close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Davydov.Lekcii.po.cifrovoj.obrabotke.signalov.p03.-.Okonnoe.preobrazovanie

код для вставкиСкачать
1
© А.В.Давыдов. 18.08.04.
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ
Главные: Сайта | ЦОС
Назад
Тема 3: ОКОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ФУРЬЕ
Ни одна вещь не возникает и не уничтожается, но каждая составляется из
смешения существующих вещей или выделяется из них.
Анаксагор. Древнегреческий философ, IV в.д.н.э.
Приятно сознавать, что в основе оконного преобразования тоже лежат
древнегреческие начала анализа и синтеза.
Владимир Уткин. Уральский геофизик.
Содержание: Введение. 3.1. Кратковременное преобразование Фурье. Общий принцип. Частотно-временное оконное преобразование. 3.2. Функции оконного преобразования в среде
Mathcad. Литература.
ВВЕДЕНИЕ
Спектральное представление периодического сигнала комплексным рядом Фурье, а
равно и произвольного конечного сигнала, если нас не интересует его поведение за пределами задания, соответствует выражению:
N
s(t) =
∑ Sn exp(jtn∆ω),
n=0
Sn = (1/T)
∫
T
0
s(t) exp(-jtn∆ω).
Ряд Фурье, как правило, является приближенным и ограничивается определенным количеством членов ряда N, обеспечивающем требуемую точность обработки данных.
С позиций точного представления произвольных сигналов и функций, преобразование
Фурье имеет ряд недостатков, которые привели к появлению оконного преобразования Фурье и стимулировали развитие вейвлетного преобразования. Отметим основные из них:
¾ ограниченная информативность анализа нестационарных сигналов и практически полное отсутствие возможностей анализа их особенностей (сингулярностей), т.к. в частотной области происходит «размазывание» особенностей сигналов (разрывов, ступенек, пиков и т.п.) по всему частотному диапазону спектра.
¾ появление эффекта Гиббса на скачках функций, при усечениях сигналов и при вырезке отрезков сигналов для локального детального анализа;
¾ гармонический характер базисных функций, определенных в интервале от -∞ до +∞ ;
Неспособность преобразования Фурье осуществлять временную локализацию сингулярностей сигналов может быть частично устранена введением в преобразование так называемой движущейся оконной функции, имеющей компактный носитель. Использование
оконной функции позволяет представлять результат преобразования в виде функции двух
переменных - частоты и временного положения окна.
3.1. КРАТКОВРЕМЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [25]
Общий принцип. Полный временной интервал сигнала, особенно при большой его
длительности, разделяется на подинтервалы – временные окна, и преобразование проводится
последовательно для каждого окна в отдельности. Тем самым осуществляется переход к частотно-временному (частотно-координатному) представлению сигналов и в какой-то мере позволяет выделять на координатной оси и анализировать особенности нестационарных сигналов.
Оконное преобразование выполняется в соответствии с выражением:
S(ω,bk) =
∫
∞
−∞
s(t) w(t-bk) exp(-jωt) dt.
(3.1.1)
Функция w(t-b) представляет собой функцию окна сдвига преобразования по координате t, где параметром b задаются фиксированные значения сдвига. При сдвиге окон с равномерным шагом bk = k∆b. В качестве окна преобразования может использоваться как простейшее прямоугольное окно (w(t)=1 в пределах окна и 0 за его границами), так и специаль-
2
ные весовые окна (Бартлетта, Гаусса, Кайзера и пр.), обеспечивающие малые искажения
спектра за счет граничных условий вырезки оконных отрезков сигналов и нейтрализующие
явление Гиббса. При этом для каждого положения окна на временной оси сигнала вычисляется свой комплексный спектр. Эффективная ширина оконной функции, как правило, сохраняется постоянной по всему интервалу сигнала.
Пример оконного преобразования для нестационарного сигнала на большом уровне
шума приведен на рис. 3.1.1. По спектру сигнала в целом можно судить о наличии в его составе гармонических колебаний на трех частотах. Оконное преобразование не только подтверждает данное заключение, но и показывает конкретную локальность колебаний по интервалу сигнала и соотношение между амплитудами этих колебаний.
Рис. 3.1.1.
Координатная разрешающая способность оконного преобразования определяется шириной оконной функции и, в силу принципа неопределенности Гейзенберга, обратно пропорциональна частотной разрешающей способности. При ширине оконной функции, равной
b, частотная разрешающая способность определяется значением ∆ω = 2π/b. При требуемой
величине частотного разрешения ∆ω соответственно ширина оконной функции должна быть
равна b = 2π/∆ω. Для оконного преобразования Фурье эти ограничения являются принципиальными. Так, для рис. 3.1.1 при размере массива данных N = 300 и ширине оконной функции ∆b = 100 частотная разрешающая способность результатов преобразования уменьшается
в N/∆b = 3 раза по сравнению с исходными данными, и графики Sw(n∆ωSw) по координате n
для наглядного сопоставления с графиком S(n∆ωS ) построены с шагом по частоте ∆ωSw =
3∆ωS, т.е. по точкам n = 0, 3, 6, … , N.
Частотно-временное оконное преобразование. Функция оконного преобразования
(3.1.1) может быть переведена в трехмерный вариант с независимыми переменными и по
времени, и по частоте:
S(t,ω) =
∫ τ s(t-τ) w(τ) exp(-jωτ) dτ.
(3.1.2)
На рис. 3.1.2 приведен пример вычисления и представления (модуль правой части
главного диапазона спектра) результатов трехмерной спектрограммы при дискретном задании входного сигнала sq(n). Сигнал представляет собой сумму трех последовательных ра-
3
диоимпульсов с разными частотами без пауз, с отношением сигнал/шум, близким к 1. Оконная функция wi задана в одностороннем варианте с эффективной шириной окна b ≅ 34 и полным размером М =50. Установленный для результатов шаг по частоте ∆ω = 0.1 несколько
выше фактической разрешающей способности 2π/M = 0.126. Для обеспечения работы оконной функции по всему интервалу сигнала задавались начальные и конечные условия вычислений (продление на M точек обоих концов сигнала нулевыми значениями).
Рис. 3.1.2.
Как видно по результатам вычислений, оконное преобразование позволяет достаточно
точно локализовать информативные особенности сигнала и по времени, и по частоте.
3.2. ФУНКЦИИ ОКОННОГО АНАЛИЗА В СРЕДЕ MATHCAD [25]
Mathcad имеет ряд специальных функций оконного спектрального анализа в пакете
Signal Processing. Они позволяют разбивать сигнал на поддиапазоны (с перекрытием или без
перекрытия) и выполнять следующие операции:
¾ сspectrum(x,n,r[,w]) – расчет кросс-спектра сигнала х;
¾ pspectrum(x,n,r[,w]) – расчет распределения спектральной мощности сигнала;
¾ сoherence(x,y,n,r[,w]) – расчет когерентности сигналов х и у;
¾ snr(x,y,n,r[,w]) – расчет отношения сигнал/шум для векторов х и у.
Здесь: х и у – вещественные или комплексные массивы данных (векторы), n – число
поддиапазонов разбиения входного сигнала х (от 1 до N – размера массива), к – фактор перекрытия поддиапазонов (от 0 до 1), w - код окна (1- прямоугольное, 2- трапеция, 3- треугольное, 4- окно Хеннинга, 5- окно Хемминга, 6- окно Блекмана).
ЛИТЕРАТУРА
25. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. – М.: СОЛОН-Р, 2002. – 448 с.
26. Корн Г., Корн Е. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука,
1984.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
358 Кб
Теги
davydova, preobrazovanie, signalov, okonnoe, p03, cifrovom, lekcii, obrabotka
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа