close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Реутова РАЗРАБОТКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ЯВЛЕНИЙ (диплом)

код для вставкиСкачать
РАЗРАБОТКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ
МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ЯВЛЕНИЙ
Студентка: Реутова Э.М.
Научный руководитель: Окороков Б.Н.
МИСиС
Факультет МТРиЭ
В природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в
той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы
условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты
полностью и в точности совпадали.
Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению.
Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, цель их
в том, чтобы, минуя сложное изучение отдельного явления, обратиться непосредственно к
законам, управляющим массами случайных явлений. Изучение этих законов позволяет не
только осуществлять научный прогноз в области случайных явлений, но и в ряде случаев
помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их,
ограничивать сферу действия случайности, сужать ее влияние на практику. /1/
Обширное поле применения находит теория вероятностей в металлургической
промышленности, особенно при моделировании металлургических процессов, включая
доменное, конвертерное и электросталеплавильное производство. /2/
Параметры, которые входят в состав математической модели, часто имеют
случайный характер и подчиняются различным законам распределения, таким как
нормальное, равномерное, биномиальное, экспоненциальное или распределение Пуассона.
1. Общий подход для моделирования основных распределений.
Основой для моделирования любых видов распределений является получение
случайных чисел равномерного распределения. В данной работе для моделирования
случайных величин на ЭВМ используются псевдослучайные числа. Псевдослучайными
числами называются числа, вырабатываемые ЭВМ рекуррентным способом по
специальным алгоритмам, когда каждое последующее число Ri получается из предыдущих
в результате применения некоторых арифметических и логических операций. На базе
псевдочисел равномерного распределения строятся другие распределения. /2/
Метод псевдослучайных последовательностей прост и экономичен: он не требует
разработки специальных приспособлений к ЭВМ, и при его использовании на получение
каждого числа затрачивается всего несколько простых операций. /3/
Такой подход был принят в работе как наиболее рациональный.
1.1. Описание алгоритма моделирования случайных величин с равномерным
распределением.
I.
Получение случайных величин.
1) Берется некоторое четырехзначное число r0, где 0<r0<1, которое принимается как
точка начальной инициализации (например: r0=0,9876).
2) Это число возводится в квадрат (r0^2= 0,97535376).
3) Выбираются 4 средние цифры этого числа (в данном случае это цифры 5,3,5,3) и
представляются в виде дробной части последующего числа (r1=0,5353).
Учитывая, что в программе проще получить случайные величины, в алгоритме для
получения последующего случайного числа предыдущее число умножается на 100 и из
этого числа вычитается целая часть Int (r1=0,975353*100-97=0,5353). В последующих
работах для получения случайных чисел использовался аналогичный алгоритм.
4) Далее число r1 возводится в квадрат (r1^2=0,28654609) и снова выбираются 4
средние цифры этого числа для получения r2 (в этом случае r2 будет равно 0,6546) и т.д.
Последовательность чисел r1; r2; ... – можно принять за последовательность значений
случайной величины R, имеющей равномерное распределение на отрезке [0;1]./5/
II.
Моделирование случайной величины с равномерным распределением.
1) Пусть случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a;b].
Тогда для Х∋[a;b] функция распределения F(X)=(х-а)/(b-a).
2) Составляется уравнение:
Принимается, что (х-а)/(b-a)=r, тогда х=а+ r(b-a).
Последовательности значений r1, r2, ..., rn случайной величины R соответствует
последовательность значений х1=а+ r1(b-a); х2=а+ r2(b-a);... величины Х, равномерно
распределенной на [a;b], где n – объем выборки. /3/
Блок-схема моделирования случайных величин,
имеющих равномерное распределение на отрезке [a;b].
Начало
Вводятся n, a, b.
i:=1
ri:=0.9876
Xi:=a+ri(b-a)
ri:=100*ri^2-Int
Да
i:=i+1
i<n
Нет
Конец
1.2. Описание алгоритма моделирования случайных величин с нормальным
распределением.
I.
Получение случайных величин (рассмотрено ранее).
II.
Моделирование случайной величины с нормальным распределением.
1) Пусть R1, R2,..., Rn – независимые случайные величины, равномерно
распределенные на отрезке [0;1]. Через Y обозначается сумма случайных величин
Y=R1+R2+...+Rn
При достаточно большом n (n=12) можно считать, что Y имеет нормальный закон
распределения с математическим ожиданием M{Y}=0.5n и дисперсией D{Y}=n/12.
2) От величины Y осуществляется переход к стандартной нормально
распределенной случайной величине:
U = Y - M {Y } = Y − 0.5n = (Y − 0.5n)
D {Y }
n/12
6 ,
3n
для которой М{U}=0, a D{U}=1.
3) Также от величины Х осуществляется переход к стандартной нормально
распределенной величине:
U =
X − M {х }.
σ
Тогда
n
X = M {х }+ у х U = M {х } + у ( ∑ R i − 0.5n)
x
i =1
Например, при n=12:
6 ;
3n
12
x = M {х }+ σ x ( ∑ r − 6 ),
i =1 i
4) Отсюда значение Y случайной величины X:
12
Y = M {х }+ σ x ( ∑ R − 6 )
i =1 i
где r1,r2,...,rn – значения случайной величины R, равномерно распределенной на
отрезке [0;1].
Таким образом, при наличии 12 значений случайной величины R и использовании
их в последней формуле, получается значение случайной величины Х и т.д. до достижения
значения объема выборки, равного m./3/
Блок-схема алгоритма моделирования случайных
величин, имеющих нормальное распределение.
Начало
Точка начальной
инициализации
Вводится m, MX, σx
n=0
Получение случайной величины ri,
имеющей равномерное распределение
Нет
Да
R:=R+1;
n:=n+1
n=12
Xi:=MX+σx(Σrj-0.5n)6/(3n)^0.5
R:=0
i:=i+1
m=0
Нет
1.3. Описание алгоритма моделирования случайной величины с
биномиальным распределением.
I. Получение случайных величин (рассмотрено ранее).
II. Моделирование случайной величины с биномиальным распределением.
1)
Вводится случайная величина Xi – число появлений события в i-ом
испытании, i=1,2,3,...,n. Очевидно, что эта величина может принимать только 2 значения:
либо 1 с вероятностью р, либо 0 с вероятностью (1-р), т.е. ряд распределения величины Xi
такой:
Xi
1
0
P
p
1-p
Тогда случайная величина m появлений события в n испытаниях:
m=X1+X2+X3+...+Xn.
2)
Для каждого числа ri проверяется, выполняется ли неравенство ri<p. Если
неравенство выполняется, то полагают Xi=1; в противном случае Xi=0;
3)
Находится сумма значений n случайных величин Xi (это и будет значение
случайной величины m).
При повторении этой процедуры, получается последовательность значений
m1,m2,... случайной величины с биномиальным законом распределения при объеме
выборки S. /3/
Блок-схема моделирования случайных величин, имеющих
биномиальное распределение.
Начало
Точка начальной
инициализации
Вводится S, р, n
Получение случайной величины ri,
имеющей равномерное распределение
m:=m+1;
n:=n+1
Нет
Да
ri<p
Xi:=0
Нет
Xi:=1
i:=i+1
n=0
Да
m:=ΣXi
Нет
S=0
Конец
1.4. Описание алгоритма моделирования случайной величины,
распределенной по закону Пуассона.
I. Получение случайных величин (рассмотрено ранее).
II. Моделирование случайной величины с распределением Пуассона.
Распределение Пуассона используется в том случае, когда число n независимых
испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом отдельно взятом
испытании мала.
1)
Выбирается n такое, чтобы вероятность p=λ/n была достаточно малой
(p<0.01).
2)
Получается последовательность значений r1,r2,.....rn случайной величины R,
равномерно распределенной на отрезке [0;1].
3)
Для каждого числа ri проверяется, выполняется ли неравенство ri<p; если это
неравенство выполняется, то полагают Xi=1, в противном случае Xi=0.
4)
Вычисляется сумма Xi (S - это и есть значение случайной величины,
распределенной по закону Пуассона). /6/
Блок-схема моделирования случайных величин, имеющих
распределение Пуассона.
Начало
Точка начальной
инициализации
Вводится n, λ, m, S
p=λ/n
Нет
p<0.01
Получение случайной величины ri,
имеющей равномерное распределение
S:=S+1;
m:=m+1
Нет
Да
ri<p
Xi:=0
Xi:=1
i:=i+1
Нет
m=0
Да
S:=ΣXi
Нет
S=0
Конец
1.5. Описание алгоритма моделирования случайной величины с
показательным распределением.
I.
Получение случайных величин (рассмотрено ранее).
II.
Моделирование случайной величины с показательным распределением.
1)
Составляется уравнение
1 − е − µх = r ⇒ x = 1 ln(1 − r ).
µ
Т.к. R – случайная величина, равномерно распределенная на [0;1], то (1-R) – также
случайная величина, равномерно распределенная на [0;1]. Поэтому для моделирования
случайной величины Х используется соотношение:
X =−
1
µ
ln r.
Блок-схема моделирования случайных величин, имеющих
показательное распределение.
Начало
Точка начальной
инициализации
Вводится n, µ.
Получение случайной величины ri,
имеющей равномерное распределение
Xi:=-1/µlnri
Да
i<n
i:=i+1
Нет
Конец
2. Программная реализация представленных распределений.
Для выполнения работ по получению различных распределений и их изменений
при линейных и нелинейных преобразованиях разработана программа, структурная схема
которой представлена на Рис.1.
Программа позволяет получать случайные величины с заданным законом
распределения и параметрами распределения. Также в возможности программы входит
построение гистограммы по полученным результатам; с возможностью ручного ввода
количества интервалов разбиения, максимального, минимального и среднего значения
случайных величин.
Программа прохождения сигналов
File
Показать результаты
Параметры распределения
Вид
распределения
Коэффициенты
Хср+δ
Схема
взаимодействия
входных
переменных
Вид
распределения
Гистограмма
Yср
Хср+δ
Использовать оба входа
Инициализация случайных чисел
Расчет
Объем
выборки
Авт/Ручн.
Рис.1.
Инструкция по выполнению работ.
Реализация необходимого распределения:
Для данной работы задаются
− значение измеряемой величины;
− на панели “Вид распределения” выбирается Распределение;
− задаются параметры распределения в пункте меню “Параметры распределения”;
− задается необходимый объем выборки;
− на панели “Схема взаимодействия входных переменных” выбирается нужное уравнение;
Далее нажимается кнопка “Расчет”. Для просмотра результатов выбирается пункт
меню “Показать результаты”. Для построения гистограммы выбирается пункт меню
“Гистограмма”.
Разработанная программа кроме указанных работ может выполнять исследование
моделирования двух входных величин при их взаимодействии между собой в линейной и
нелинейной форме.
Для этого необходимо нажать на кнопку панели “Использовать оба входа” и
выбрать вид взаимодействия в панели “Схема взаимодействия”:
Y=K0+ K1X1X2 ;
Y=K0+ K1X1+ K2X2;
Y=K0+ K1X1+ K2X2^2.
Далее после нажатия кнопки “Расчет” в пункте меню “Гистограмма” можно
построить гистограммы обоих входных величин и гистограмму полученной в результате их
взаимодействия выходной величины.
3. Оценка качества генератора случайных чисел.
Далее в работе была произведена оценка качества генератора случайных чисел с
использованием критерия χ2. Оценка производилась для основных распределений
вероятности, таких как нормальное, равномерное, биномиальное, экспоненциальное и
распределение Пуассона. /7/
В результате исследования выяснилось, что степень соответствия статистического
распределения и теоретического (нормального) приближается к 100% при объеме выборки
равном 250 и выше, что и представлено на Рис.2.
Для других распределений достаточно высокая степень достоверности результатов
достигается при меньших объемах выборки:
•
Для равномерного – при n=100 Р=0,93;
•
Для биномиального – при n= 100 Р=0,96;
•
Для распределения Пуассона – выборке из 200 чисел соответствует степень
вероятности = 0,92;
•
Для экспоненциального – для 150 значений Р=0,91.
Кривая зависимости вероятности распределения от объема
выборки для нормального распределения
1
0,9
Р, вероятность
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
100
200
300
400
500
600
N, объем выборки
700
800
900
1000
Рис.2.
В промышленных условиях всегда присутствует степень случайности, в той или
иной степени. Не всегда существует возможность измерить точно необходимый параметр.
Не многие параметры подчиняются нормальному закону распределения и полученная
программа позволяет определить наличие случайных и закономерных составляющих. В
развитие данной работы проводится проверка массива плавок конвертерного цеха ЧерМК
на наличие случайных величин.
Список используемой литературы.
1. Венцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969.
2. Бусленко Н.П. Математическое моделирование производственных процессов на
цифровых вычислительных машинах. – М.: Наука, 1964.
3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998.
4. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для
персональных ЭВМ: Справочник. – М.: Наука, 1989.
5. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1973.
6. Иванов Н.И., Парсункин Б.Н., Рябков В.М. Автоматизация производственных процессов
в черной металлургии. – М.: Металлургия, 1980.
7. В.М. Ордынцев. Математическое описание объектов автоматизации. – М.:
Машиностроение, 1965.
8. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.:
Наука, 1988.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
15
Размер файла
202 Кб
Теги
явления, процессов, методов, моделирование, случайных, разработка, реутов, диплом, вычислительной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа