close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

М.И.Граев А.В.Коганов - Геометрические и топологические структуры связанные с универсальными алгебрами

код для вставкиСкачать
April 5, 2003
algdoc.tex 20.12.2002
УДК 512+519.688
МАТЕМАТИКА
Геометрические и топологические структуры, связанные с
универсальными алгебрами.
М.И.Граев, А.В.Коганов
Введен класс универсальных алгебр, с которым естественно связаны
различные геометрические и топологические структуры. Статья посвящена
описанию и исследованию этих структур. Для удобства термин "универсальная
алгебра"заменен термином "А-система".
1. Исходные определения. [1, 2] Универсальной алгеброй (А-системой)
называется совокупность множеств U и Fn , где n пробегает подмножество N0
натуральных чисел, с заданными отображениями
?n : Fn Ч U n ? U,
n ? N0 .
(1)
Множество U называется носителем А-системы, а элементы f ? Fn nарными операциями. Образ пары f ? Fn и (u1 , . . . , un ) ? U n при отображении
?n обозначается через f (u1 , . . . , un ). А-система с носителем U и множеством
операций F = ?Fn обозначается, через (U, F ) или подробнее через (U, F, ?), где
? = {?n }.
Естественным образом определяются гомоморфизм одной А-системы в
другую и изоморфизм двух А-систем.
Для любой А-системы (U, F, ?) подмножество V ? U называется замкнутым
относительно операций f ? F , короче, F -подмножеством, если ?n (Fn Ч V n ) ?
V для всех n ? N0 . Каждое F -подмножество является носителем А-системы
(V, F ) с тем же множеством операций F, что и исходная А-система; ее называют
подсистемой А-системы (U, F ).
Свяжем с каждым подмножеством X ? U носителя А-системы (U, F, ?)
возрастающую последовательность {Yn } подмножеств в U :
Ў
ў
n
Y1 = X, Yk = Yk?1 ? ??n (Fn Ч Yk?1
) при k > 1.
(2)
Очевидно, что V = ?Yk F -подмножество в U. Говорят, что X ? V является
порождающим подмножеством в V.
2. Правильные А-системы. Для любой А-системы (U, F ) назовем элемент
u ? U простым, если его нельзя представить в виде u = f (u1 , . . . , un ),
где (u1 , . . . , un ) 6= (u, . . . , u). Очевидно, элемент u ? U является простым
тогда и только тогда, когда он принадлежит любому подмножеству X ? U,
порождающему U.
Назовем А-систему (U, F ) правильной, если
0Поддержано
РФФИ, грант 01-01-00754.
1
2
1) ее носитель U порожден подмножеством X ? U простых элементов и
2) для каждого элемента u ? U, не являющегося простым, существуют
единственные число n ? N0 , операция f ? Fn и последовательность
(u1 , . . . , un ) 6= (u, . . . , u). определенная с точностью до порядка свои членов,
такие что u = f (u1 , . . . , un ).
Предложение 1. Любая подсистема правильной А-системы является
правильной.
Назовем подмножество X ? U простых элементов правильной А-системы ее
базой и будем писать (U, F ) = U [X] или U [x1 , . . . , xn ], если X = {x1 , . . . , xn }.
Мощность X назовем рангом А-системы и обозначим через r(U ).
Введем две числовые функции на носителе правильной А-системы U [X].
Положим X1 = X и Xk = Yk \ Yk?1 при k > 1, где Yk подмножества в U ,
определенные равенствами (2). Если u ? Xk , то будем говорить, что элемент
u ? U имеет высоту k и писать h(u) = k. В силу этого определения, любой
элемент u ? U высоты k > 1 представим в виде
u = f (u1 , . . . , un ), где max(h(u1 ), . . . , h(un )) = k ? 1.
(3)
Определим длину l(u) элементов u ? U правильной А-системы (U, F )
индукцией по их высоте h(u). Если h(u) = 1, то полагаем l(u) = 1. Если h(u) > 1,
то элемент u ? U однозначно представим в виде (3), и мы полагаем:
l(u) = l(u1 ) + . . . + l(un ).
Предложение 2. Если в А-системе нет унарных операций, то h(u) 6 l(u)
для всех u ? U .
Функции h и l задают на носителе U правильной А-системы отношение
частичной упорядоченности. Именно, мы пишем : u0 6h u, если u0 = u или
h(u0 ) < h(u); u0 6l u, если u0 = u или l(u0 ) < l(u). Заметим, что отношения 6 h
и 6 l не инвариантны относительно операций f ? F, т.е. , например, из условий
u0i 6 h ui , i = 1, . . . , n не следует, вообще говоря. что f (u01 , . . . , u0n ) 6 f (u1 , . . . , un ).
Предложение 3. Пусть V1 = U [y1 , . . . , yn ] и V2 = U [z1 , . . . , zn ] F -
подмножества конечного ранга n правильной А-системы такие что V1 ? V2 .
Тогда, если h(yi ) = h(zi ) для всех i, то V1 = V2 .
В правильной А-системе (U, F ) из включения V1 ? V2 , где V1 , V2 F -подмножества конечных рангов, не следует, вообще говоря, неравенство
r(V1 ) 6 r(V2 ). Справедливо, однако, более слабое утверждение (свойство обрыва
возрастающих цепочек).
Теорема
1.
В
правильной
А-системе
любая
возрастающая
последовательность V1 ? . . . Vn ? . . . F -подмножеств конечного ранга
такая, что r(Vn ) > r(Vn+1 ), n = 1, 2, . . . , стабилизируется на конечном шагу.
шагу.
3
PДля доказательства достаточно убедиться, что стабилизируется сумма
y?Yn h(y), где Yn база в Vn . Отсюда и из предложения 3 следует утверждение
теоремы.
3. Свободные, свободные коммутативные и свободные идемпотентные
А-системы. Рассмотрим частные случаи правильных А-систем.
Назовем правильную А-систему (U, F ) свободной, если
1) равенство
f (u1 , . . . , uk ) = f 0 (u01 , . . . , u0l )
(4)
имеет место тогда и только тогда, когда f = f 0 (и,значит, k = l) и ui = u0i
для всех i;
2) не существует соотношений вида u = f (u, . . . , u).
Назовем правильную А-систему (U, F ) свободной коммутативной , если
условие 1 предыдущего определения заменено более слабым: равенство (4) имеет
место тогда и только тогда, когда когда f = f 0 , и последовательности (u1 , . . . , uk )
и (u01 , . . . , u0l ) различаются только порядком.
Назовем правильную А-систему (U, F ) свободной идемпотентной, если
u = f (u, . . . , u) для всех u ? U
и
f ? F,
и никаких других соотношений не существует.
Отметим, что для свободных идемпотентных систем все F -подмножества
ранга 1 являются одноэлементными.
Предложение 4. Любая подсистема свободной, свободной коммутативной
и свободной идемпотентной А-системы является также соответственно
свободной, свободной коммутативной и свободной идемпотентной Асистемой.
Предложение
5.
Две
свободные
(соответственно,
свободные
коммутативные и свободные идемпотентные) А-системы (U, F ) и (U 0 , F 0 )
изоморфны тогда и только тогда, когда r(U ) = r(U 0 ) и #Fn = #Fn0 , n = 1, 2, . . .,
где Fn ? F и Fn0 ? F 0 подмножества n-арных операций.
Назовем свободную А-систему свободным группоидом, если множество
операций F состоит из одной бинарной операции (умножение)[3]. Существует
вложение ? носителя U произвольной свободной А-системы U [X] = (U, F ) с
базой X в свободный группоид G[X ? F ] с базой X ? F :
? : U ? G[X ? F ].
Это вложение определяется индукцией по высоте h(u) элементов u ? U. Если
h(u) = 1, т,е. u ? X , то полагаем ?(u) = u. Пусть ?(u). уже определено для
элементов высоты меньшей n. Определим ?(u) при h(u) = n.
4
Сначала индукцией по k = 1, 2, . . . определим отображения ?k : (Un )k ? G[X ?
F ], где Un ? U подмножество элементов высоты меньшей n :
?1 (u) = ?(u),
?k (u1 , . . . , uk ) = ?k?1 (u1 , . . . , uk?1 ) ?(uk ).
Заметим, что отображения ?k : (Un )k ? G[X ? F ] согласованы с отображениями
?k : (Um )k ? G[X ? F ] при m < n.
Пусть h(u) = n. Элемент u имеет и притом единственное представление в виде
u = f (u1 , . . . , uk ), где f ? F , h(ui ) < h(u), i = 1, . . . , k , и мы полагаем
?(u) = f · ?k(f ) (u1 , . . . , uk(f ) ),
Построенное отображение ? : U ? G[X ? F ] инъективно и исходная свободная
А-система U [X] однозначно восстанавливается, с точностью до изоморфизма,
по множеству ?(U ) ? G[X ? F ].
4. Графы и отношение частичной упорядоченности, ассоциированные
с правильными А-системами. Скажем, что элемент u0 ? U носителя
правильной А-системы подчинен элементу u 6= u0 , если существуют
последовательность {u1 , . . . , un } ? U , содержащая u0 и n-арная операция f ? F
такие что u = f (u1 , . . . , un ).
Определим, используя отношение подчиненности, несколько новых структур
на носителе U правильной А-системы.
4.1. Структура направленного графа. Вершинами этого графа являются
элементы u ? U , а направленные ребра соединяют каждый непростой элемент
u со всеми подчиненными ему элементами, т.е. с элементами ui , входящими в
разложение u = f (u1 , . . . , un ). При этом, если ui входит в разложение n раз, то
из u в ui проводится n ребер. Отметим, что из каждой вершины графа выходит
лишь конечное число ребер, а входит в нее, вообще говоря, бесконечное число
ребер.
Предложение 6. Любая свободная А-система однозначно определяется, с
точностью до изоморфизма, ассоциированным с ней графом.
4.2. Структура частично упорядоченного множества на U . Положим u0 6
u, если либо u0 = u, либо существует конечная последовательность u =
u1 , u2 , . . . , un = u0 элементов, в которой каждый последующий элемент подчинен
предыдущему. Эта частичная упорядоченность не согласована, вообще говоря,
с операциями f ? F. Отметим, что из u 6 v следует h(u) 6 h(v) и l(u) 6 l(v).
4.3. Схемы разложений элементов u ? U . Свяжем с каждым элементом u ?
U конечный направленный граф S(u) типа дерева, который назовем схемой
разложений элемента u. Его вершину, в которую ребра не входят, назовем
корнем, а вершины, из которых ребра не выходят - листьями.
Определим S(u) индукцией по высоте h(u). Если h(u) = 1, т.е. u ? X ,
где X база, то по определению, S(u) состоит из одной точки, являющейся
5
одновременно и корнем, и листом. Пусть схемы S(u) уже определены для всех
элементов u высоты меньшей n, где n > 1. Тогда, если h(u) = n > 1, то
представим u в виде u = f (u1 , . . . , uk ), где h(ui ) < h(u), i = 1, . . . , k . По
определению, схема S(u) получается из схем S(u1 ), . . . , S(uk ) добавлением одной
вершины (корня дерева S(u)) и k ребер, идущих от этого корня к корням
деревьев S(u1 ), . . . , S(uk ). При этом корень снабжается меткой f знаком
соответствующей операции. Таким образом, каждая вершина дерева S(u), не
являющаяся листом, предполагается снабженной меткой f ? F.
Отметим, что высота h(u) элемента u равна максимальному числу ярусов
схемы S(u), а длина числу ее листьев. Таким образом, если S(u) = S(v), то
h(u) = h(v) и l(u) = l(v).
5. А-системы S -подмножеств. Назовем S -подмножествами правильной Асистемы (U, F ) подмножества V ? U элементов с одной и той же схемой
разложения.
Свяжем с каждой правильной А-системой (U, F ) другую А-систему (?, F ),
носитель которой совокупность ? всех S -подмножеств в U , а множество
операций совпадает с множеством операций F исходной А-системы.
Определим действие операций f ? F на множестве ?. Пусть f ? Fn произвольная n-арная операция, V1 , . . . , Vn произвольные S -подмножества в
U , и vi ? Vi , i = 1, . . . , n их представители. Предполагается, что если какиелибо из множеств Vi совпадают, то в качестве их представителей берется один и
тот же элемент. Определим V = f (V1 , . . . , Vn ) как S -подмножество, содержащее
элемент v = f (v1 , . . . , vn ). Это определение корректно, поскольку не зависит от
выбора представителей vi ? Vi .
Свойство А-системы (?, F ).
1) А-система (?, F ) правильна.
2) Если (U, F ) свободная, свободная коммутативная или свободная
идемпотентная А-система, то А-система (?, F ) также является
соответственно свободной, свободной коммутативной или свободной
идемпотентной А-системой.
3) Если (U, F ) свободная или свободная коммутативная А-система, то
базис А-системы (?, F ) состоит из одного элемента S -подмножества X
элементов высоты 1.
4) Если (U, F ) свободная идемпотентная А-система, то S -подмножество V
принадлежит базису А-системы (?, F ), т.е. является простым элементом
этой А-системы, тогда и только тогда, когда либо V = X, либо элементы
v ? V имеют вид u = f (v1 , . . . , vn ), где h(vi ) < h(v), и все vi принадлежат
одному и тому же S -подмножеству.
e =
6. Решетки F -подмножеств конечного ранга. Обозначим через L
e
L(U,
F ) совокупность всех F -подмножеств V ? U правильной А-системы (U, F ).
6
e образует решетку относительно естественных операций суммы
Множество L
(объединения) ? и произведения (пересечения) ? [4].
Теорема 2. Совокупность L F -подмножеств V ? U конечного ранга является
e и
подрешеткой в L,
r(U1 ? U2 ) + r(U1 ? U2 ) 6 r(U1 ) + r(U2 )
для любых U1 , U2 ? L.
(5)
Базы подмножеств U1 ? U2 и U1 ? U2 принадлежат объединению баз
подмножеств U1 и U2 .
Заметим, что решетка L не полумодулярна, и включение U 0 ? U 00 не влечет в
ней, вообще говоря, неравенство r(U 0 ) 6 r(U 00 ).
Назовем F -подмножество U 0 ? U конечного ранга r плоским подмножеством,
если не существует F -подмножеств ранга r1 6 r, строго содержащих U 0 .
Согласно определению, для любых плоских подмножеств U 0 и U 00 из
включения U 0 ? U 00 следует r(U 0 ) 6 r(U 00 ); при этом если r(U 0 ) = r(U 00 ), то
U 0 = U 00 .
Теорема 3. Пересечение V = ?? V? плоских подмножеств V? рангов r?
является плоским подмножеством ранга r 6 min? r? . В частности, если
r = r? , для некоторого ?, то V = V? .
Следствие. Совокупность L = L(U, F ) плоских подмножеств правильной
А-системы (U, F ) наделена структурой решетки по включению ; в ней
произведение U1 ? U2 плоских подмножеств U1 и U2 задается так же, как
и в решетке L, а их сумма U1 ? U2 есть пересечение плоских подмножеств,
содержащих U1 и U2 .
Заметим, что L не является подрешеткой в L, поскольку определения суммы
в L и L различны.
Из теоремы 1 и теоремы 3 следует, что для каждого F -подмножества
конечного ранга правильной А-системы существует минимальное содержащее
ее плоское подмножество.
Теорема 4. Ранги плоских подмножеств U1 , U2 , U1 ? U2 и U1 ? U2 связаны
соотношением (5).
Следствие. Если r(U1 ) = r(U2 ) = r(U1 ? U2 ) + 1 и U1 6= U2 , то r(U1 ? U2 ) =
r(U1 ) + 1. Это свойство эквивалентно полумодулярности решетки L [...].
В силу полумодулярности решетки L, плоские подмножества ранга r
естественно трактовать как плоскости размерности r ? 1. Отметим особенность
возникающей так геометрии. С каждой плоскостью V размерности r ? 1 связан
фиксированный набор из r элементов в U база подмножества V. При этом базы
пересечения и объединения двух плоскостей содержатся в объединении баз этих
плоскостей.
7
7. Решетки плоскостей. Назовем F -подмножество V ? U правильной Асистемы (U, F ) плоскостью, если любое плоское подмножество в V является
плоским подмножеством в U. В частности, носитель U А-системы и пустое
множество ? являются плоскостями.
Из определения следует:
1) Если V1 плоскость в U, а V2 плоскость в V1 , то V2 является плоскостью
в U,
2) Любое плоское подмножество в U является плоскостью и обратно,
любая плоскость конечного ранга является плоским подмножеством. В
частности, если ранг носителя U конечен, то любая плоскость в U является
плоским подмножеством.
3) Любая плоскость V ? U является объединением всех содержащихся в ней
плоских подмножеств из U.
T
Теорема 5. Пересечение V = ? V? любой совокупности плоскостей V?
является плоскостью.
Следствие. Множество Le плоскостей в носителе U правильной А-системы
(U, F ) наделено структурой решетки, в которой для любых плоскостей V1 и
V2 элемент V1 ? V2 есть пересечение плоскостей, а V1 ? V2 минимальная
плоскость, содержащая V1 и V2 .
Совокупность L плоских подмножеств является подрешеткой этой
решетки.
Скажем, что плоскость V1 покрывает плоскость V2 , если V1 строго содержит
V2 , и не существует плоскости V , отличной от V1 и V2 такой, что V1 ? V ? V2 .
Теорема 6. Плоскость V 0 покрывает плоскость V ? U , V 6= U тогда и только
тогда, когда V 0 порождена множеством V и элементом x ?
/ V. Таким образом,
множество плоскостей, покрывающих плоскость V 6= U, непусто.
Теорема 7. Решетка Le удовлетворяет условию полумодулярности: если
плоскости U1 и U2 , U1 =
6 U2 покрывают плоскость U0 , то U1 ? U2 покрывает
U1 и U2 .
Примечание. Приведенные конструкции полумодулярных решеток можно
распространить и на индуктивные пределы правильных А-систем.
8. Топологические и метрические А-системы. Назовем А-систему (U, F )
AT -системой (соответственно, AM - системой), если на ее носителе U
задана структура топологического (соответственно метрического) пространства,
относительно которой все операции f ? F непрерывны.
Если (U, F ) свободная А-система, то топологию (метрику), заданную на ее
базе X ? U , можно продолжить до топологии (соответственно, метрики) на
всем носителе U. Приведем конструкцию этой топологии (метрики).
8
Пусть на X задана топология, т.е. для каждого элемента x ? X определен
базис ее окрестностей. Определим базис окрестностей произвольного элемента
u ? U высоты n > 1 в предположении, что для всех элементов высоты меньшей
n этот базис уже определен. Элемент u представим, и притом единственным
способом, в виде u = f (u1 , . . . , uk ), где h(ui ) < n, i = 1, . . . , k , и значит, базисы
окрестностей элементов ui уже определены. По определению, базис окрестностей
элемента u есть совокупность подмножеств
f (Vu1 , . . . , Vuk ) = {u0 = f (u01 , . . . , u0k ) | u01 ? Vu1 , . . . , u0k ? Vuk },
где Vu1 , . . . , Vuk пробегают базисы окрестностей элементов u1 , . . . , uk .
Из определения следует, что все S -подмножества US ? U открыты и замкнуты
в этой топологии и что свойства хаусдорфовости, связности и локальной
компактности сохраняются при продолжении топологии с X на U.
Пусть теперь на X задана метрика ?, архимедова или неархимедова.
Продолжим ее на любое S -подмножество US ? U. Пусть эта метрика уже
продолжена на S -подмножества с элементами высоты меньшей n, и пусть US
любое S -подмножество с элементами высоты n > 1. Согласно определению
S -подмножеств, существуют f ? F и S -подмножества US1 , . . . , USk с элементами
высоты меньшей n, где k арность f, такие что S -подмножество US состоит из
элементов вида
u = f (u1 , . . . , uk ),
h(ui ) < h(u),
где ui ? USi ,
i = 1, . . . , k,
т.е. US = US1 Ч . . . Ч USn .
В силу индуктивного предположения, метрика на S -подмножествах USi уже
определена. В случае, когда эта метрика архимедова, определим ?(u, v) для
любых элементов u = f (u1 , . . . , uk ) и v = f (v1 , . . . , vk ) из US по формуле
p
?(u, v) = ?2 (u1 , v1 ) + . . . + ?2 (un , vn ).
В случае, когда метрика ? на S -подмножествах USi неархимедова, определим
?(u, v) по формуле
?(u, v) = max(?(u1 , v1 ), . . . , ?(un , vn )).
Определенные так метрики на S -подмножествах в U , соответственно
архимедовы и неархимедовы, можно различными способами продолжить до
метрики ? архимедовой или неархимедовой на всем носителе U так, что ?(u, v) >
1, если u и v принадлежат различным S -подмножествам.
Приведенные конструкции переносятся с несущественными изменениями на
случай свободных коммутативных и свободных идемпотентных систем.
В случае свободной идемпотентной системы хаусдорфову топологию и
неархимедову метрику на X можно продолжить до другой, более слабой чем
исходная, хаусдорфовой топологии (соответственно неархимедовой метрики)
на U. В новой, вторичной, топологии базис окрестностей в U определяется
9
как совокупность F -подмножеств V ? U, порожденных подмножествами,
открытыми в исходной топологии.
Приведем описание вторичной неархимедовой метрики на U. По определению,
на S -подмножествах в U эта метрика совпадает с исходной метрикой.
Продолжим ее на все множество U , т,е, определим ?(u, v) для элементов u, v ?
U , принадлежащих различным S -подмножествам. Пусть для определенности
h(u) 6 h(v). Тогда h(v) > 1, а потому элемент v однозначно представим в виде
v = f (v1 , . . . , vk ),
где h(vi ) < h(v),
i = 1, . . . , k.
Если h(u) < h(v), то положим ?(u, v) = max(?(u, v1 ), . . . , ?(u, vk )).
Если h(u) = h(v), то представим u в виде
u = f1 (u1 , . . . , ul ),
где h(ui ) < h(u),
i = 1, . . . , l
и положим ?(u, v) = maxi,j (?(ui , vj )), где максимум берется по всем i = 1, . . . , l и
j = 1, . . . , k .
Легко убедиться, что ? удовлетворяет всем аксиомам неархимедовой метрики.
Предложение 7. Во вторичной неархимедовой метрике на U каждый шар
является F -подмножеством в U, порожденным подмножеством, открытым
в исходной метрике.
9. Топология и метрика на совокупности F -подмножеств конечного
ранга. Топология и метрика на носителе U правильной А-системы (U, F )
e=e
индуцируют топологию (соответственно, метрику) на совокупности L
l(U, F )
F -подмножеств V ? U конечного ранга. Приведем их конструкцию для случая
свободной А-системы.
e индуцированная топологией на U . Пусть V ? U 9.1. Топология на L,
произвольное F -подмножество c базисом Y = {y1 , . . . , yk }. Обозначим через
M (Vy1 , . . . , Vyk ), где Vyi окрестность точки yi , совокупность F -подмножеств в
U, порожденных всевозможными подмножествами Z = {z1 , . . . , zk }, где zi ? Vyi ,
i = 1, . . . , k. По определению, базис окрестностей подмножества V состоит
e, где Vy для каждого i пробегает базис
из множеств M (Vy1 , . . . , Vyk ) ? L
i
окрестностей точки yi .
В п. 8 хаусдорфова топология на базе X ? U продолжена до топологии на U.
e
Тем самым, топология на X индуцирует и топологию на L.
e , индуцированная хаусдорфовой топологией на X,
Теорема 8. Топология на L.
также хаусдорфова и, если база X ? U не содержит изолированных точек,
e плоских подмножеств открыто и
то в этой топологии подмножество L ? L
всюду плотно.
10
e индуцированная метрикой ? на U . Для подмножеств U1 =
9.2. Метрика на L,
U [x1 , . . . , xn ] и U2 = [y1 , . . . , yn ] одинакового ранга полагаем:
і
ґ
?(U1 , U2 ) = min max(?(x1 , y?(1) ), . . . , ?(xn , y?(n) )) ,
?
где минимум берется по всем перестановкам ? индексов 1, . . . , n.
Если ? архимедова или неархимедова метрика на U , то эта формула задает
en F соответственно архимедову или неархимедову метрику на совокупности L
подмножеств в U одного и того же фиксированного ранга n. Эту метрику можно
затем продолжить до соответственно архимедовой или неархимедовой метрики
e так, что ?(U1 , U2 ) > 1, если r(U1 ) 6= r(U2 ).
на всем L
Список литературы
[1]
[2]
[3]
[4]
Курош А.. Лекции по общей алгебре. М., "Наука", 1973, 399с
Кон П.. Универсальная алгебра. М., "Мир", 1968, 351с
O. Bor
uvka. Grundlagen der gruppoid-und gruppenteoria. Berlin, 1966, 198с.
Биркгоф Г. Теория решеток. М.,"Наука", 1984, 568с
Научно исследовательский институт системных исследований Российской Академии
Наук. Москва.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
216 Кб
Теги
структура, универсальных, связанные, топологическими, геометрические, коганов, алгебрами, граев
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа