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Воронин А.А. Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры. Монография. - М. 2003. - 214 с

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ISBN 5-85534-699-4
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E-mail ???????: voronin@volsu.ru;smishin@newmail.ru
ISBN 5-85534-699-4
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26
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3
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1
2
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{6,7} (7-?????????) ??????? ??????????? H 2 = (V2 , E 2 ) , ???????
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3
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4
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1
27
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E S1 = {{5,7}, {6,7}} . ?? ??????? ???? S1 ??????? ??????????
???????????????. ???? G ?????????? ????????????? ???? S1 ???
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7
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5
1
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H2
S2
S3
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???????? ?? ??????? ?????????-???????? ??????? ??????.
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????????????? ???? S 2 ????? G , ??????? ??????? ?? ???????
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???????? ??????? ??????, ????? ???????? ?????.
3. ?????????? ? ????????? ???????????.
??????????? 1.9. ??????????? ????????? ? ???????
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????????? ? = UG?? ( H (G ) ? S (G )) .
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???????????? ??????????? ? ?????.
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??? ????? ?????????? ?? ????????? ? P : ? ? [0;+?) ???, ?????
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????????? ??????? 7 ? ?? ????????? ??????? 1 ? 2. ?? ???? G2
??????????? ?? ??????????? G1 ? ???? Z G2 (7) . ????????????
????????????, ??? ??? ???? ? ????????? P (G1 ) ?????? ????
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????????? P (G2 ) . ?????????? ??? ?????????? ? G1 ???? Z G3 (9) ?
P (G1 ) ?????? ???? ????????? ???????? y = P( Z G3 (9)) =
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Z G2 (7) ? Z G3 (9) ??????? ???? G4 . ??????????????, ??????
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P (G4 ) = P (G1 ) + x + y .
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1 2 3 4 5 6
7
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7
8
9
1 2 3 4 5 6
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P (G3 ) = P (G1 ) + P ( Z G3 (9)) , P (G4 ) = P (G1 ) + P ( Z G2 (7)) + P ( Z G3 (9)) ,
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1
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30
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??????????? H = (V H , E H ) ? ???? S = (VS , E S ) . ??????????
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Z G (v) ? S ( v ? VS \ N S ), ????? Z G (v) ? S ( v ? VS \ N S ). ?????
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4. ??????????? ??????. ??????????? ???????????????.
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1
????????? ????????? ????? ???? ???????????.
31
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??????????? 1.14. ??? ?????? ????? G = (V , E ) ? ? ? ?????
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????????? g G (v) ? N G ? N , ?? ???? g G (v) ? F . ????????
????? ???????????????? ??? ?????? ??????? N G ????? G , ???
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??????? v ? V ????????? ??????????? ??????? ????????? g G (v) .
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QG (v) = {v1 , K, v k }. ???? ??????? v ? ? V ????????? ???????
v ?? ? V , ?? g G (v ?) ? g G (v ??) .
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?????, ?? u ????????? v , ????????????? u ? g G (v) . ?? ????
g G (vi ) ? g G (v) . ???? u ? g G (v) , ?? ?? u ?????????? ???? ? v ,
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???? ?????? ???? ????? ? v ), ?? ???? u ????????? vi ,
????????????? u ? g G (vi ) . ? ????? ????? g G (v) = gG (v1 ) ? K
K ? g G (vk ) . ???? ????????? ??????? u ????????? ??????? v? , ?
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??????????? 1.15. ??????????? ??? ???? D1 = (V1 , E1 ) ? ? ?
D2 = (V2 , E2 ) ? ? ??????? ?????????? ??????????????, ???? ???
????????? ?????? G1 ,G2 ? ? , ????? ??? D1 ? H (G1 ) ? S (G1 ) ,
D2 ? H (G2 ) ? S (G2 ) , ?????????? ?????????? D1 ? D2 ,
32
??????????? ??????????? ??????. ?? ???? ?????????? ???????
??????????? ??????????? ? : V1 ? V2 , ?????, ??? ???????
(u , v) ? E1 ???????????? ??????? (? (u ), ? (v )) ? E 2 ? ??? ?????
??????? u ? V1 ????????? g G1 (u ) = g G2 (? (u )) .
??????? ??????????? ??????????? ??????????????? ??
???????. ????? ???????? D1 = G1 ? ? ? D2 = G2 ? ? ??????????
????????????. ?????????? ????????? ??????? u ? N G1 . ?? ?
????? G1 ????????? ?????? ??? ????, ?? ???? g G1 (u ) = {u} .
????????? ? (u ) ? N G2 , ??? ??? ? ??????????????? ???????
?????? ??????? ??????????????? ?????, ? ? u ????? ?? ??????.
????? g G2 (? (u )) = {? (u )} = g G1 (u ) = {u} , ?? ???? ? (u ) = u . ????,
????????? N G1 = N G2 , ?????? ???????????? ????????? ??????
????????????. ?????????? ????? ?????? G1 ? G2 ????? ??????????
?????? ????????????????? ?????? ? ??????????? ?????????
??????????.
?????????? ????? G1 ? G2 , ???????????? ?? ???. 1.3.
????????? N G1 = N G2 = {1,2,3,4,5,6} , ?? G1 ? G2 ?? ????????
?????????? ??????????????. ?????????? ???? D1 = Z G1 (9) ?
D2 = Z G2 (14) ?????? G1 ? G2 . D1 ? D2 ?????????: ? (7) = 12 ,
? (8) = 13 , ? (9) = 14 . ???????? 7 ? 12 ? ?????? G1 ? G2
??????????? ???? ? ?? ?? ?????? g G1 (7) = g G2 (12) = {1,2,3} .
?????????? g G1 (8) = g G2 (13) = {4,5,6} . ??????? 9 ? 14 ?????????
????? ? ??? ?? ??????? g G1 (9) = g G2 (14) = {1,2,3,4,5,6} ? ???????
?????????? ?????? ? ???? ?? ??????????????? ????????????
??????????? {1,2,3} ? {4,5,6} . ????? ???????, ??????? ????? G1 ?
G2 , ? ??????? ???? D1 ? D2 ????? ????? ? ?? ?? ?????????
???????????, ?? ???? ?????????? ????????????. ?????????
????????? 9-????????? G1 ????? H 1 , 14-????????? G2 ? ????? H 2 .
??????????? H 1 ? H 2 ????? ??????? ????????? ???????????, ??
???? ?? ???????? ?????????? ??????????????, ??? ? ???????? ?
?????????? ??????????? ??????????????? G1 ? G2 , ???????? ??
??????????????? D1 ? D2 .
33
14
9
12
7
1
2
8
3
4
5
13
10
6
1
11
2
3
4
5
6
???. 1.3. ?????? ?????? G1 , G2 (????? ???????).
5. ??????? ? ??????????? ???????????.
??????????? 1.16. ?????????? P ??????? ???????, ???? ???
????? ????????? ?????????? ?? ????????? ? (??. ???. 1.10) ???,
????? ??? ????? ?????????? ????????????? ?????? D1 , D2 ? ?
??????????? P ( D1 ) = P( D2 ) .
????? ???????, ?????????? ?????????? ?????, ???? ???
???????? ????????? ??? ?????? ? ??????????? ??????????
???????????. ?? ???? ???????????????? ????? ???????????
(???????????) ?????? ????? ?? ???????? ? ????????? ?????????,
??? ??? ??????????? ????????? ?????????? ????????? ??????.
??????????? 1.17. ?????????? P ??????? ???????????,
????
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1
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G
???????? P ( g G (v1 ),K, g G (v k )) ? 0 ?????????? ???????????? ?????
?????????? ? ??????? ?????2 ? ? ?? ??????? ?? ????? G ? ???????
????? g G (v1 ),K, g G (v k ) .
??????? 1.2. ??????? ?????????? ????????? ??????????.
??????????????. ?? ??????????? ???????? ???????????
????????? ??? ?? ? ? ??????? ????????????? P . ?? ??????? 1.1
P ???????, ????????????? ??? ?????? ????? G = (V , E ) ? ?
????????? P (G ) = ?v?V \ N P ( Z G (v)) . ?????????? v ? V \ N G .
G
1
????? ? ????? ????? ? ??? ?? ?????? P ???????????? ??? ????????? ?????? ??
? , ??? ? ????????? ??????? ?????, ??? ?? ???????? ? ???????? ? ???? ????????
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2
? ?????? ????? ???? ????????????? ??????.
34
????????? QG (v) = {v1 , K, v k } ? ??????? ?? ???????????
P ( g G (v1 ),K, g G (v k )) = P ( Z G (v)) ? 0 . ????? ??? ?????????? ?????
G1 = (V1 , E1 ) ? ? ? ????????? ??????? u ? V1 \ N G1 ?????????
QG1 (u ) = {u1 , K, u k } , g G (vi ) = g G1 (ui ) , i = 1, k . ????? ?????? Z G (v)
? Z G1 (u ) ?????????? ????????????: ? (vi ) = ui , i = 1, k , ? (v) = u , ??
????? 1.1 g G (v) = g G (v1 ) ? K ? g G (vk ) = g G1 (u1 ) ? K ? g G1 (uk ) =
= gG1 (u ) = gG1 (? (v )) . ? ???? ????????? P ( Z G (v )) = P ( Z G1 (u ))
???????? P ( g G (v1 ),K, g G (v k )) ???????????? ??????? ????? ? ??
??????? ?? ????? G . ????????? ??????? ?????? ?????? v1 , K, v k
?????
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??
????????
P ( Z G (v)) ,
??
????
P ( g G (v1 ),K, g G (v k )) ?? ??????? ?? ??????? ?????. ???????
????????.
??????????? 1.18. ????????? ? ??????? ????????
????????????, ???? ????? ??????? v ????????????? ???? ? ?? ??
??????????? ?????? g ? ????? ????? G = (V , E ) ? ? , ???????
???????? v : v ? V , g G (v) = g .
?
????????
??????????? ?????????, ?????????
??????????, ???? ?????? ??????? ?? ???? ?????? ????????? ????
? ?? ?? ??????. ????????? ??????? ???????? ??????? 1.2 ???
???????? ???????????? ???????? ? .
??????? 1.3. ?? ???????? ???????????? ????????? ?
?????????? ????????? ????? ????? ? ?????? ?????, ????? ??
??????????.
??????????????. ???????? ?????? ?? ????? ????????????? ??
????? ????????? ? ? ???? ??????? 1.2. ??????? ???????? ???
???????? ????????????? ?????????. ???????????, ???
?????????? ??????????. ?????????? ???????????? ????
D = (V , E ) ? ? \ ? ? ????????? ??????? v ? V \ N D . ?????
QD (v) = {v1 ,K, v k } .
?
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??????????? ?????? g G (v1 ) = g (v1 ),K, g G (v k ) = g (v k ) ?? ???????
?? ????, ? ????? ????? G ? ? ?????? D . ?? ???? ????????
P ( g G (v1 ),K, g G (v k )) (??. ???. 1.17) ??????? ?????? ?? v1 ,K, v k , ?
35
?? ?? ????? G . ???? Z D (v) ? ? , ?? ??????? ?? ???????????
P ( Z D (v )) = P ( g (v1 ),K, g (v k )) . ????? ??? ????? ????? D ?????????
P ( D) = ?v?V \ N P ( Z D (v)) . ?????????? ?????????????? ??????? 1.1
D
????? ????????, ??? ??????????? ??????????? ???????????
????????? (??. ???. 1.10). ?????????? ?????????? ?????????????
????? D1 = (V1 , E1 ) ? ? ? D2 = (V2 , E2 ) ? ? . ??? v ? V1 \ N D1 ,
QD1 (v) = {v1 , K, v k } ????????? QD2 (? (v )) = {? (v1 ),K, ? (v k )}. ?????
????, g (vi ) = g (? (vi )) , i = 1, k . ?? ???? P ( Z D1 (v )) = P ( Z D2 (? (v))) =
= P ( g (v1 ),K, g (vk )) . ????? ???????, ????? D1 ? D2 ???????????
?? ???? ??????????????? ??????? ? ?????????? ??????????.
?????????????, P ( D1 ) = P( D2 ) . ??????? ????????.
???? ????????? ? ?? ???????? ???????? ????????????, ??
???????? ??????? v , ??????? ? ????????? ?????? ?????????
?????? ??????. ????????? ??????????? ????? ????? ???
{g G (v) : G = (V , E ) ? ?, v ? V } . ? ???? ?????? ????? ??????? ?
????????? ?? , ? ?????? ???????? ?????? ??????? v ?????
?????????????? ????? ???????, ???????????? ????????????
????????: {vG? = (v, g G (v )) : G = (V , E ) ? ?, v ? V } . ????????? ??
??? ????? ???????? ????????????. ???? ?????????? ??????????
?? ? , ?? ??, ????????, ?????????? ? ?? ?? . ????? ???????, ??
??????? 1.3 ?????????? ????? ?? ?? .
??? ???????????? ?????? ??????? ???????????? ??????????
??????????? ????? ??????????? (??. ??????? 1.2). ??????? 1.3
??????????, ??? ???????? ?????? ??????????? ???????????? ?????
? ??????????, ??? ??? ????? ??????????? ?????????? ? ?????
?????? ????? ???? ???????.
?????? ?????? ????????? ???????????? ???????????
????????????. ????????? ???????? ????????? ?????????????
???????????????? ?????????? ?????????????: ???? ??? ?????????
??????? ? ???????? ?? ????????? ????????????, ?????????
??????????? ???????? ??????? ? ??? ?????? (??????????????)
??????????? (???????????) ?????? ????????? ?? ????????, ??
?????????? ????? ? ?????????? ???? ?????? ????? ????
???????????? ??? ??????? ?????? ?? ??????????? ????????.
36
???? (??. ?.4 ? ?.5 �??. II) ?????????? ??????? ????? ?
????????????? ????????????, ??? ???????????? ?????????????
???????? ????? ????????????. ????????? ??????? ????? II
??????????, ??? ???????????? ????????????? ???????????
????????????? ??????. ????? II ? ????? ???????????? ??????????
?????????? ? ?????? ????? ??????? ???????????? ???????????
???????????? ??? ??????? ??????? ?????.
� ???????? ????? ?????? ? ?????? ?? ???????????
???????????.
1. ????? ???????????.
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1.19.
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????????
???????????? ???? G = (V , E ) , ? ??????? ????????? ?????? V
????? ????????? ??????????, ??????? ?????? ??????????? ???
?????????? ????????? N , ???? ????????? ????????? ???????:
a) ? ???????? ????? ????????? ?????? ?????????, ?? ???? ???
????? ??????? g ? V ????????? g ? F (??. ???. 1.13);
b) ??? ????? ?????? g ? V \ N G ????????? g = Uh?Q ( g ) h ,
G
??? ????? QG ( g ) = {h : h ? V , (h, g ) ? E} ?????????? ?????????
?????? ????? G , ?? ??????? ???? ????? ? g ,1 ? ?????
N G = {g ? V : QG ( g ) = ?} ?????????? ????????? ?????????
?????? G . ????? ????????, ??? ?????? g ? V \ N G ???????????? ??
???????? ????????? QG (g ) .
c) ????? ?????? g ? N G ???????????. ????????? N G ??
???????? ????????????? ?????.
??? ????????? ?????? ??????????? (???????????) ??? ??????????
????????? N ????????? ????? O (N ) .
??? ????? ??????????? G = (V , E ) ? O ( N ) ? ????? ?????
g , h ? V ????? ?????????? ????????????? g ? h , ?????????
RG (g ) , TG , ?????? Z G (g ) , g -????????? ??? ??, ??? ?
1
????????? QG (g ) ????? ????????? ????????????? ??????.
37
???????????? 1.2-1.6.
?????????????.
????
?????
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?????
????? 1.2. ????? ???? G = (V , E ) ? ? ????? ?????? ????
?????? v ? V ?? ??????????? ?? ?????? g G (v) 1 ??????????
?????? ??????????? ??? N .
??????????????. ???? v ? N G , ?? ??????? v ?????????
?????? ??? ????, ????????????? ?????? g G (v) = {v} ???????????.
??????? ????? G ?? ???????????, ????????????? ????? ?????? ?
????????? ???????? ?? ????? ????????????? ?????. ??????????
??????? v ? V \ N G . ????? ??????? v ??????????????? ?????????
??????? v1 , K, v k , ?? ???? QG (v) = {v1 , K, v k } . ????? ?? ????? 1.1
????? g G (v) = g G (v1 ) ? K ? g G (v k ) . ????? ????????.
??????????? 1.20. ??????????? O : ? ? O ( N ) ?????????
??? ?????? ???? ?????? ????? G ? ? ???????????? ?? ????????.
?? ????? 1.2 O ????????????? ?????????? ? ? O (N ) . ?????????
??????? ? ????????? ????? O (?) ? O ( N ) .
????? 1.3. ???????? ?? ? , ????????????? ???????????? O
? ???? ????, ?????????? ???????????? ? ? ?????? ????????????
??????????? ????? ?????????? ?????????.
??????????????. ????? ????? G1 ? G2 ???????????? O
??????????? ? ???? ? ??? ?? ???? D = (V D , E D ) ? O( N ) .
?????????? ??????? g ? V D ? ?? ????????? v ? V1 ? u ? V2 ?
?????? G1 ? G2 . ??????? ?? ??????????? ? (v) = u . ? ??????
?????? g ? V D ? ????? G1 ???? ? ?????? ???? ???????? (V D ?????
????????? ????????????? ??????). ?? ?? ???????? ? ????? G2 .
????? ???????, ? ? ??????? ??????????? ???????????? V1 ? V2 .
??????? (v ?, v ??) ? E1 ???????????? ??????? ( g G1 (v ?), g G1 (v ??)) ? E D ,
???????, ? ???? ???????, ???????????? ??????? (? (v ?), ? (v ??)) ? E 2 .
?? ???? ? ? ?????????? G1 ? G2 . ????? ????, ??? ????? v ? V1
??? ???? ????????? ?????? ????? ?????????? ?? ?????????? ??????, ???
???????? ? ????????? ?????????? ?? ????????? ??????, ? ?? ? ??????????????
??????????? ?????.
1
38
????????? g G1 (v ) = g G2 (? (v)) , ?? ???? G1 ? G2 ??????????
????????????.
????? ?????????? ??????????. ?? ??????????? 1.17 ???
????? G1 = (V1 , E1 ) ? ?
????????? ????????? ?????????
P (G1 ) = ?v?V \ N P ( g G1 (v1 ),K, g G1 (v k )) , ??? QG1 (v ) = {v1 ,K, v k }.
1
G1
?????
?????
v ? V1 \ N G1 .
QG2 (? (v )) = {? (v1 ),K, ? (v k )} ? ????????? gG1 (vi ) = gG2 (? (vi )) = gi ,
??????????
???????
i = 1, k . ?????????????, ? ? P (G1 ) , ? ? P (G2 ) ???????????? ???? ?
?? ?? ????????? P ( g1 ,K, g k ) , ?? ???? P (G1 ) = P (G2 ) . ?????
????????.
??????????? 1.21. ????????? ?????????? ?????????
P : O ( N ) ? [0;+?) ?? O (N ) ????????? ???????: ??? ??????
G = (V , E ) ? O ( N ) ??????? P (G ) = ? g?V \ N P ( g1 , K , g k ) , ???
G
QG ( g ) = {g1 , K, g k }, ????????
P ( g1 , K , g k ) ? 0
??????????
???????? ?? ? ??????????? ???????????? (??. ???. 1.17), ?
????????? ?????? ?????? ???????????. ?????? P ( g1 , K, g k ) ?????
????? ???????????? ??????????? P (QG ( g )) .
??????? ???????????. ? ??????????? ?? ????????? ?
???????? P ( g1 ,K, g k ) ????? ???? ?????????? ?? ?? ???? ???????
????? ?? F , ? ?????? ?? ???, ??????? ??????????? ? ?????? O (?) .
?? ????????? ??????? ????????? P ( g1 , K, g k ) ? 0 ????????????
???????, ???, ????? ???????? P ( g1 , K, g k ) ?? ?????????? ???
????????????? ????? g1 , K, g k .
????, ??????? ?????????? ???????????. ????? ?????????
?????? ????? ??????????? ?????????? ???????????? ? ?????
?????????? ????????? (??. ????? 1.3). ?? ??????????? 1.21 ???
?????? ????? G ? ? ????????? P (G ) = P(O (G )) . ?? ????
????????? ??????????? ?? O (?) ? ????????? ???? ?? ??????????
?????????. ?????????????, ??? ?????? ??????????? ?? ?
????????????? ????????? ?????????? ????? ???????????
??????????? ?? O (?) ? O ( N ) , ????? ???? ????? ????? ?? ??
39
?????????? ? ? . ????? ???????, ?????? ?? ??????????? ????????
???????????????? ? ?????? ?? ??????????? ???????????.
? ?????????? ? ?????? ????????? ???????? ??????????
????????? ?? O (N ) (??. ???. 1.21) ? ???????? ?????? ??
??????????? ??????????? ?? ????????? ????????????? O (N ) , ???
????????? ?????? ?????? ?? ??????????? ???????? ??
??????????????? ?????????? ? ??? ??????????? ????????????.
2. ??????????? ??????????? ?????? ?????.
????????? O (N ) ????????, ? ?????????, ???????????
????? (?? ???? ?????, ????????? ?? ????????????? ????????????
?????) ??????? ?????????. ??????? ??????? ?????? ??
??????????? ??????????? ?? ???? ????????? O (N ) ??????????.
? ????? ?????? ????????? ??????????? ??????????? O (?)
????? ????? ????? ?????? ??????? ?????????. ? ???????,
?????????? ? ?????????????? ????? ??????, ????????? ?????????
O (?) ??????????? ??????? ? ??? ??????, ??? ??? ?????? ?????
G ? O (N ) ??????? ????????????? ???????? ???????? ???????
G ? O (?) .
??????????? 1.22. ????????? ???????????, ? ???????
?????? ?????? f1 , K, f m ,1 ????????? ????? O( f1 , K, f m ) 2 ??? O (f ) ,
??? f = { f1 , K, f m } . ????? ??????????? ?? O (f ) ???????
???????????? ????? f1 , K, f m . ????? ??????????? ??????,
???????? ?? f1 , K, f m , ??????? ????????????? ???????.
????????????? ??????? O (?) = O (f ) ????????, ??? ????????
?????? ?????? ??????????? ??????????? ????? ???, ???????
????????? ???????? ????????? f1 , K, f m . ???? ? O (?) ??????
???????????, ??????????? ???? ?? ????? ?? ??????? ?????
1
???????????????, ??? ????? f 1 , K , f m ??? ????????????? ?????.
??? m = 1 O( f ) ? ????????? ???????????, ?????????? ?????? f , ? ?????????
O (N ) ? ????????? ????? ??????????? ??? N . ????? N ?????? ?????
?????????????? ??? ??????????? ????? ????????? ?????????, ? f ? ???
??????????? ??????, ????? ???????? ???????? ? ?????? f = N .
2
40
f (i ) = { f1(i ) ,K, f m(i ) },
i
i = 1, s , ??
O(?) = O(f ( 1 ) ) ? K ? O(f (s) )
?
?????? ?? ??????????? ??????????? ?? O (?) ???????? ? ???????
??????? s ????? ?? ?????????? O(f (i) ) .
?????? ????????? O (f ) ????? ?????????????? ???????????
?? ??????????? G ? O (f ) . ????????? ?? ????? ???????????
??????? ???? (??. ???. 1.23-1.25). ? ??????? ???????????
???????? O (f ) ??? ?? ??????? ??? ????????? ??????? ????? f
????? ??????????? ?????????? ??????? ????? ????????
O (?) ? O ( N ) . ???? ? ?????? ??????????????? ?????? ???????
?????? ?? ??????????? ??????????? ?? O (f ) ? ??? ????????. ?
????????? ??????? ?????????? ????? ???????????????? ???
??????? ????? ?? ?????? ????????? O (?) .1
???? ????????? ??????????? ????? f1 , K, f m ????????
???????????? ???????, ???????? ?? f1 , K, f m , ?? ??? ????? ????
??????? ?????? ? ???????????? ??????? ??? ??????????
?????????. ???? ???????????? ??????? f i ??????????? ?????????
???, ?? ????????????? ?????????? ????? ????? ???? ???????.
????? ??? ??????? ?????? ?? ??????????? ???????????
???????, ??? ????????? O (f ) ???????? ?????? ??????????? ?
???????????????? ????????????? ????????? ?? ??????
f = { f1 , K, f m } (????????????? ??? ??????????????? ???????????
???????? ?? ????? m ???????????? ??????). ??????? ?????? ??
??????????? ??????????? ?? ????? ????????? ????? ???????? ?
?? ???????? ?????????.
??????????? 1.1. ??? ?????? ????? G = (V , E ) ? O (f )
????????? N G = f1 ? K ? f m .
??????????????. ??? ???????????? ??????? G ??????????
????? ????? ?????? f = { f1 , K, f m } . ????? ??????? {a} ? N G
????????? ?? ??????? ???? ????? ?? ???????????? ?????? f i ,
????????????? ?? ????? 1.1 {a} ? f i . ? ?? ?? ????? ??? a ? f i
?????????
{a} ? f i ? N G .
??
????
N G = f1 ? K ? f m .
??????????? ????????.
1
??. ????? 4 �????? II, ?????? ? ????? III ?? ?????? ?????????? ?????? ????????
? ???????????? ?????? ???????.
41
??? ??? ?????? ?? ??????????? ??????????? ???????? ??
O (f ) ??? ??? ?????????????, ?? ?? ??????????? 1.1 ??? ????
??????????? ?????? G ????????? N G = f1 ? K ? f m . ?????
???????, ????? ???????, ??? N = f1 ? K ? f m = {a1 , K, a n } , ???
n = f1 ? K ? f m . ??? ?? ???????????? ????????, ??? ??? ???
????????? ???????? ? ?????????? ?? ?????? ?? ?????? ?? ? ????
?? ??????????????? ??????.
3. ???? ???????????.
??????????? 1.23. ??? r ? 2 r -???????????? ??????? ????
G = (V , E ) ? O ( N ) , ??? ????? ??????? g ? V ???????? ?????????
QG ( g ) ? r . ????? Or (f ) ????????? ????????? r -???????????,
???????? ? O (f ) .
??????????? 1.24. ???????????????? ???????????? ???????
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50
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???????????? ??????????? g ? . ???? ?????????? ?????????,
G ? O (f ) ??? G ? Or (f ) , ?? ??? g ?? ? QG (h) ?????? ????? ( g ??, h) ,
??????? ??????????? ???????????, ????????????? ???? ??
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??????????? ??? ?????????? g . ??? ????????? ?????????????
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????? 1.4. ???? ??????????? G = (V , E ) ?? ????????
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??????????? ???????: h ? g ; ??? ???????????? ??????? {a} ? V
???????? ??????????: {a} ? N G .
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g = g1 ? K ? g k ,
???
QG ( g ) = {g1 , K, g k }. ??? k = 1 g = g1 , ?? ???? ?????? ???????????,
????????????? k ? 2 . ??? ?????? i = 1, k ????????? g i ? g . ????
g i = g , ?? ?????? ???????????, ????????????? g i ? g . ?
???????????? ?????? {a} ????? ??????? ????? ?????? ?? ????? ??
52
?????. ??? ??? ?????????? ???????????, ?? ? {a} ????? ?? ??????,
?? ???? {a} ? N G . ????? ????????.
4. ??????????? ???????? ???????????.
??????????? 1.32. ??????????? ?????????? ?????????
??????? ??????????? ????????, ???? ?? ???????? ? ??? ??????
?????? ?????????????? ????? {g1 , g 2 } ????????? ?? ??????? ????
???? ?? ???? ???????:
?) ??? ?????? a ? g1 : P( g1, g 2 ) ? P( g1 \ {a}, g 2 ) + P((g1 \ {a}) ? g 2 ,{a}),
b) ??? ?????? a ? g 2 : P( g1, g2 ) ? P( g1, g 2 \ {a}) + P( g1 ? (g 2 \ {a}),{a}).
?? ???? ?????????? ??????????? ????????, ???? ???
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??????? ???????????? ???????, ? ????? ???????????? ??? ?
?????????? ???????, ?? ?????????? ?????????.
??????? 1.8. ??? ??????????? ???????? ??????????? ???
????? ??????????? G ? O (f ) ?????? ????? f ??????????
???????????????? ??????????? G p ? O p (f ) ?? ??????? ?????????:
P (G p ) ? P (G) .
??????????????. ?? ??????? 1.5 ?????????? 2-???????????
G2? ? O2 (f ) ,
P (G2? ) ? P (G ) . ?? ??????? 1.7 ??????????
2-??????????? ??? ????????????? ????? G2 = (V , E ) ? O2 (f ) ,
P (G2 ) ? P (G2? ) ? P(G ) . ?? ????? 1.4 ??? g ? V \ N G2 ?????????
QG2 ( g ) = 2 . ??????? ??????? g ????? G2 ????????????, ???? ???
???????????? ?? ???? ?????????????? ????????. ? ?????????
?????? ??????? ?? ??????????. ???? ? ????? G2 ??? ????????????
??????, ?? G2 ? ???????????????? ??????????? (??. ???. 1.24).
????? g ? ????? ???????????? ???????, ??? ???????????
??????? ??????? ?????????. ????? QG2 ( g ) = {g1 , g 2 } . ????? g1 ?
g 2 ? ?????????????? ?????????? ???????, ?, ?????????????,
QG2 ( g1 ) = {g1 \ {a ?}, {a ?}} , QG2 ( g 2 ) = {g 2 \ {a ??}, {a ??}} .
?????????? ? ??????????? ????????. ????? ?????????
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1.32.
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g 3 = ( g1 \ {a ?}) ? g 2 ,1 ??????????? ?? ?? g1 \ {a ?} ? g 2 . ????? ?????
?????????? g ?? {a ?} ? g 3 (??. ???. 1.7). ??????? 2-???????????
P ( g1 , g 2 ) ? P ( g1 \ {a ?}, g 2 ) + P ( g 3 ,{a ?})
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G ? . ? ????
P (G ?) ? P (G2 ) . ???? ????????? ??????? b) ??????????? 1.32, ??
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62
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K (l ? + l ??) ? K (l ?) + K (l ??) ,
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K (l ? + l ??) ? K (l ?) + K (l ??) ? ?? ??????????? b). ???????????
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63
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K ( x + y ) ? K ( x) + K ( y ) ??? ????? x, y ? 0 .
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?? ???? ??? ???????? ????? 2.1 ?????????? ??????
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?????, ??? ????????? ?????. ?? ???? ??????????? ?????? ?
??????? ??????????? ? ???????? ???? ?????, ???????? ?????????
??? ????????. ??? ???????? ??????? ?????? (???. 2.3 ?????)
???????? ?????????????? ????????? ????? ???????, ??? ????
???????. ?? ???? ???? ????????? ????? ???????????? ????? ????
?????, ?? ???????? ?????? ??? ???? ????????????? ?????. ?
?????????? ?????????? 2-?????? ???????????, ??????? ?????
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64
???. 2.3. ???????? ? ???????? ??????? ??????.
???? ??? ?????????? ???????? ??????? ?????? ?????????
K (0) > 0 , ?? ???????? K ( x + y) ? K ( x) + K ( y) ????? ?? ???????????,
?, ?????????????, 2-??????? ????? ?? ???? ????????????.
???????? K (0) ????? ????????????? ??? ????????? ??????? ??
?????????? ???? ??? ??????? ?????????????? ??????. ??? ?????
??????, ??????????? ? ?????????????? ????? ??????, ? [17]
????????? ????????????? ???????? ???????.
2. ??????????? ?????????? ???????????.
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???????? (??., ????????, [42]): ??????? {a1 , K, a n } ? ????????
{b1 , K, br }. ????????? ???????? ?????????? ??? (?????
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li ? 1. ??? ?????????? ?????????? (????????????), ???? ?????
?????????????????? ??????? ????, ?????????? ??????, ?????
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????? w j , i ? j . ????????, ??? ????? ?????????? ??? ????????.
??? ?????? ??????????? ???? ????????? ???????????
?????????? ?i =1,n1 / r li ? 1 [51]. ???????? (??., ????????, [42]),
??? ???? ???????? l1 ,K, l n ????????????? ???????????
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65
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P ( g1 , K , g k ) = K (k ) ,
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K ( x + y ) ? K ( x) + K ( y ) , ?? ????
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K (k + 1) ? K (i ) + K (k ? i + 1) , ? ? ???? ?????????? K (k ) ? K (k + 1) .
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??????????? ??????? ??????????? ?????????? ?? ????????? D ( f ) ,
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?? ??????? 1.6 ??????? ???? ?? ???????????, ?????????? ? [21].
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?????????????.
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?????? ??????? ?????? ?????? ?????? ?????? (??., ????????, [4, 22,
27, 28]). ? ????? ?????? ? [39] ????????? ???? ?????????????
????????? ???????.
� ??????? ??????????? ???????????? ?????????.
1. ????????? ??????. ???????? ??????????? ?????????.
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?? ?????? ??????????? ?????? ??????? (??., ????????, �
????? ???????, ??? ??????????? ?????????? P ( g 1,K, g k ) ???????
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????????????? C ( g1 ),K, C ( g k ) ???????????? ???????? ?
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????????, ??? ?????? ?? ???????? ????? ???????? ? ?????? ?? ??????? ?
??????? ???????????? ??????????? ????????? P ( D ) = C ? ?( D) , ??? C ?
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76
???????????
2.1.
??????????
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C : F ? [0,+? ) ,1 C ( g ) ? C ( h) ??? g ? h .
??????????? 2.2. ??????????? ?????????? ?????????
??????? ?????????, ???? ??? ????? ???????? g1 , K, g k ? F ???
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g = g1 ? K ? g k ? ???????????? ??????.
????????? ?????????, ?? ???? ?? ??????? ??? ??????????
??????3. ???? ?????????? ?? ??????? ?? C (g ) , ?? ?????????
???????? ? ??????????? 2.2 ????? ????????. ????? ? ????
????????? ??????? ?????????? ????????? ?????????. ???? ???
????? ?????? ?? ?????????? ?????????? ??????????? ????????
????????? ?? ???????, ?? ?????????? ????????? (? ????
???????????? ?????????).
????? ???????? ????????? ?????? ??????? ?????????.
????? ??? ???? a ? N ?????? ???????????? ???????? C ( a) ? 0 , ??
???? ????????? ?????????. ????? ??? ???????????? ?????? g ? F
????????? ?? ????????? ????????? ???????:
(2.2)
C ( g ) = (?a?g C (a)1 / ? )? ,
??? ? ? (0,+?) ? ???????? ?????????. ??? ? = 1 ????????? ??????
????? ????? ?????????? ???????????? ?? ?????????, ??? ? > 1 ?
?????? ???? ????? (??????????? ????????), ??? ? < 1 ? ??????
(?????????? ????????). ????????? ?????????? ????? ?????????
????? ???????? ???????????? ??????? ?????????, ?????????
??????????? ??? ??????? ????????? ???? (2.2).
1
F ? ????????? ?????, ??. ???. 1.13.
????? ? ????? ????? ? ??? ?? ?????? P ???????????? ??????????, ????????? ??
?????? ?????, ? ?? ?????? ??????????, ??? ?? ???????? ? ???????? ? ????
???????? ?????????? ????????????.
3
????? ??????? ????????? ?????? ???????? ????????, ??????, ?????? ??
????????? ?????????????? ?????????????, ? ?????? ?????? ?????? ???????????
????? ???????.
2
77
??????????? 2.3. ????????? ?????????? ?????????
??????? ??????????, ???? ??? ????? ??????? x, C1 , K, C k , C ? 0 ,
C ? max(C1 ,K, C k ) ????????? P( xC1,K, xCk , xC) = ?( x)P(C1,K, Ck , C) ,
??? ? (?) ? ???????????? ???????, ? (0) = 0 , ? ( x) > 0 ??? x > 0 .
??? ??????? ????????? ???? (2.2) ????????????
??????????? ??????????? ????????????? ??????????? ??????
??????????? ?? ???????? ?????????? ????????? C (a ) , a ? N , ??
???? ?? ????, ? ????? ?????????? ???????? ?????????. ???????
???????, ??? ????????? C (a ) ?? ????????? x > 0 , ?????????? ???
?????? a ? N , ????????? ???? ???????? ????????? ?? ? ( x) > 0 .
????? ???????, ?????????? ???????????? ???????? ??????
???????? ? ?????????????? ????? ??????. ????? ? ???? ?????????
?????????? ??????? ?????????? ????????????.
??????????? 2.4. ????????? ?????????? ?????????
??????? ?????????? ? ????, ???? ??? ????? 0 ? C ? C ? ?????????
P (C ,0, K ,0, C ?) = 0 , ?? ???? ????????? ??????????? ?????-????
?????? ? ???????? ??????? ????????? ????? ????.
???? ?????????? ?? ????????? ? ????, ?? ?????????
??????????????? ???????? ??????? ????????? ????? ??
????????? ????. ????????????? ??? ?????????????, ????????,
?????????
?????????
????????,
??????????????
???
??????????? ????? ??????, ?????????? ?? ?? ?????????.
?????????? ????????? ???????? ??????????? ?????????:
(I) P(C ( g1 ),K, C ( g k )) = [C ( g1 ) + K + C ( g k ) ? max(C ( g1 ),K, C ( g k ))]? ;
(II)
P (C ( g1 ), K , C ( g k )) = [C ( g1 ) + K + C ( g k )]? ;
(III) P (C ( g1 ), K, C ( g k ), C ( g )) = [C ( g ) / max(C ( g1 ),..., C ( g k )) ? 1]? ;1
(IV)
P (C ( g1 ),K, C ( g k ), C ( g )) = [?i =1,k C ( g ) ? C ( g i )] ? ,
??? ?????? g = g1 ? K ? g k ???????????? ?? ???????? g1 ,K, g k ,
? ? (0;+?) ? ???????? ???????????.
???? ???????, ??? ???? max(C ( g 1 ),..., C ( g k )) = 0 , ?? ???????? ??????????? (III)
????? + ? ?????????? ?? ???????? C (g ) . ?? ???? ???????? ??????? ????????
??????????? ??????????? ??????.
1
78
??????????? (I)-(IV) ???? ??????????, ?????? ??
????????? ?????????????? ?????????????1.
????????, ??? ??????????? (I)-(IV) ?????????, ?? ???? ??
??????? ?? ???????? ?????????.
?????????? (I) ????????? ? ???? ? ?????????. ?????????
??????????? ???????????? ?????? ?????????? ????????,
???????????? ? ????? ???????.
?????????? (II) ?????????, ?? ?? ????????? ? ????.
????????? ??????????? ???????????? ?????? ??????????
???????????? ????????.
?????????? (III) ????????? ? ???? ??? ??????? ?????????
???? (2.2), ?? ?? ?????????. ????????? ??????????? ?
????????????? ?????????? ? ???????????? ?????????? ?????????
?????? ? ???????????? ????????? ?????????.
1
????????????? ??????????? (I)-(IV) ????????? ??????? ????????????
(?????????) ?? ?????????? ???????. ??????? ??? ?????????? ?????? ??????
"?????????" ???????? ??????, ????????????? ??????????? ????????? ??? ?????
??????????? ?? ?????? (?? ????? ????? ????????? ? ????????????? ?????????).
????????? ???? ???????????? ????????????? ?????????? "???????" ?????
???????????????? ?????????????? ? ?????????????? ???????????? ? ???????????
?? ??????. ??? ???? ?????????????? ??????? ?? ?????? ??????? ??
??????????? ?? ???????????? ?????? (??., ????????, [47, 53, 55]). ?????????
??????????? ????????? ????????????? ???????? ??????? ???????????? ??
?????????? ???????.
???, ?????????? (I) ????????????? ?????? ? "???????????" [50], ??????? ??
??????? ?????? ?? ??????????? ?????. ????? ???????, ??????? ????????????
?????? ?????????? ???? ????????? ??????, ?? ??????????? "??????????", ??
???? ??????????? "????????" ????????.
?????????? (II) ????????????? ?????? ??? ??????, ? ??????? ??? ??????? ??
??????????? ????? ?? ???? ??????????? ?????. ?? ???? ??? ???????
???????????? ?????? ?????????? ???? ????????? ??????.
?????????? (III) ????????????? ?????? ? ???????, ?????????????? ???? ????????
???????? ? ???????? ?????? ???????????? ?????? ?? ???????????
?????????????? [49]. ??? ?????? ????????? ??????, ??? ??????
?????????????? ??????? ?? ????? ????? ?? ????, ?????? ??? ????? ???????
???????????? ??????.
?????????? (IV) ????????????? ???????? ? ???????? ?????????????? ??????
???????????? ? ??????? ?????? [54] (????????, ??? ????????). ???????
???????????? ?????????? ????? ?????????? ?????????? ????????? ????????????
(??????????? ?? "??????????" ????????????) ? ??????????? ?????????
(????????).
79
?????????? (IV) ?? ????????? ? ???? ? ?? ?????????.
????????? ??????????? ? ?????????? ?????????? ? ????????????
????????? ????? ?????????? ?????? ? ??????????? ????????.
????????????? ? ????? I ??????? ????? ? ???? ?????????
???????????? ??? ?????? ??????????? ??????????? ???
???????????? (I)-(IV). ??? ?????????????? ???????????????
??????????? ???????????? ????????? ???????????:
(2.3) ( x1 + ... + xn )? ? x1? + ... + xn? ??? ????? x1 ? 0,K, xn ? 0 ??? ? ? 1,
(2.4) ( x1 + ... + xn )? ? x1? + ... + xn? ??? ????? x1 ? 0,K, xn ? 0 ??? ? ? 1.
??????????? (2.3) ? (2.4) ???????????? ????? ??????? ??????
??????????? ??????????? (??., ????????, [40]).
2. ??? ??????????? ??????????? ??? ??????????? (I).
??????????? 2.6. ?????????? (I) ??? ? ? 1 ? ????????, ???
? ? 1 ? ????????, ? ??? ??????? ????????? ???? (2.2) ? ? ? 1,
?? ? 1 ? ??????????? ????????.
??????????????. ?????????? ???????????? ????? ?????
{g1 , K, g k } . ????????? ????? P1 ?????, ????? P2 ? ?????? ????? ?
???????????? ??????????? 1.30.
????? ? ? 1. ?????????? ???????????? ????????? ??????
{g1 , K, g k } ?? ????????? {h1 ,K, hi } ? {hi +1 , K, hk }, 1 < i < k ,
h = h1 ? K ? hi . ?????? ??????????? x j = C (h j ) , x = max( x j ) ,
j = 1, i ,
y s = C ( hs ) ,
y = max( y s ) ,
s = i + 1, k ,
X = x1 + K + xi ,
Y = y i +1 + K + y k . ????? P1 = ( X + Y ? max( x, y )) ? , P2 = ( X ? x ) ? +
+ (C ( h) + Y ? max( y , C (h))) ? .
???
? ?1
?
????
(2.4)
P2 ? ( X + Y + C ( h ) ? x ? max( y , C ( h ))) ? .
???
??????????????
??????????? P1 ? P2 ???????? ????????, ??? x + max( y, C ( h)) ?
? C ( h ) + max( x, y ) . ???
y ? C (h )
???????????, ????????,
?????????. ??? y > C (h) ??????????? ??????????? ? ????
x + y ? C ( h) + max( x, y ) , ??? ????????? ? ???? x ? C (h ) (?????????
?????????). ????? ???????, ??? ? ? 1 ????????? P1 ? P2 , ?? ????
??????????? b) ??????????? 1.30. ?????????????, ?????????? (I) ?
????????.
80
????? ? ? 1. ????????? xi = C ( g i ) , i = 1, k . ??? ???????????
???????? ???????, ??? x1 = max( x1 , K, x k ) .1 ??????? {h1 , h2 } =
= {g1, g 2 } , {h3 , K, hk } = {g 3 , K, g k }. ?????
P1 = ( x 2 + K + x k ) ? ,
P2 = x 2? + ( x 3 + K + x k ) ? . ? ???? (2.3) ??? ? ? 1 ????????? P1 ? P2 ,
?? ???? ??????????? a) ??????????? 1.30. ?????????????,
?????????? (I) ? ????????.
????? ??????? ????????? ????? ??? (2.2) ? ? ? 1, ?? ? 1.
?????????? ????? ?????????????? ????? {g1 , g 2 }. ?????
C ( g1 ) ? C ( g 2 ) . ????????? ????? P1 ?????, ????? P2 ? ??????
????? ? ??????????? a) ??????????? 1.32: P1 = P ( g1 , g 2 ) , ??? a ? g1
P2 = P( g1 \ {a}, g 2 ) + P (( g1 \ {a}) ? g 2 , {a}) . ????????? x = C ( g1 ) ,
y = C ( g1 \ {a}) , z = C ({a}) . ????? P1 = x ? , P2 = y ? + z ? .
??????????? P1 ? P2 ? ?????? x = ( y1 / ? + z 1 / ? )? ????? ???:
( y 1 / ? + z 1 / ? )?? ? ( y 1 / ? )?? + ( z 1 / ? )?? . ????????? ????????? ? ????
(2.3) ??? ?? ? 1. ? ?????? C ( g1 ) ? C ( g 2 ) ?????????? ???????????
b) ??????????? 1.32 ???????????? ?????????? ? ????????? ??
?????? g1 ?? g 2 . ?????????????, ?????????? (I) ? ???????????
????????. ??????????? ????????.
??????????? 2.7. ???????????????? ??????????? ?????
?????? f , ? ??????? ?? ?????? ????? ?????2 ???????
???????????? ?????????, ?????????? ?? O p ( f )
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??????????????. ?????????? ???????????? ???????????
G ? O p ( f ) . ?????? ???????? Pmin = C ({a1}) ? + K + C ({an }) ? ?
? max(C ({a1}),K, C ({an })) ? ? ???????, ??? P (G ) ? Pmin . ? G
???????? ??????????? ? ????????? ??????? ai1 ,K, ain (??. ???.
1.33). ????????? g j = {ai1 , K, ai j } , C j = C ({ai j }) , j = 1, n . ???? ???
j = 1, n ? 1 ????????? C ( g j ) ? C j +1 , ?? P (G ) = C 2? + K + C n? , ??
???? P (G ) ? Pmin . ????? ?????? ??????????? k , ??? ????????
C ( g k ) < C k +1 . ????? C ( g j ) ? C j +1 ??? j = 1, k ? 1 . ?????????????, ?
1
2
????? ????? ???????? ????????? ????? g 1 , K , g k .
C?. ???. 1.33.
81
P (G ) ?????? ???????? P1 = ?j=2,k +1 P(QG (g j )) = C2? + K+ Ck? + C(gk ) ? .
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C j ? C ( g k ) < C k +1 . ???????? aik +1 ?? ?????? ?????, ???????
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??????????? G ? . ??? ???? ????????? ??????????? ?????
g 2 , K, g k +1 ????????? ?? ????????? ??????????? ???????????????
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P2 = ? j =2,k +1 P(QG? ( g ?j )) = C1? + K + C k? .
P (G ) ? P (G ?) = P1 ? P2 = C ( g k ) ? ? C1? ? 0 . ? G ? k ??????????? ??
??????? ???? ?? ???????, P (G ?) ? P (G ) . ????????? ?????
???????? ? G ? ?????? G , ? ????? ?????? ? ????????????????
??????????? G * , ??? ??????? C ( g j ) ? C j +1 ??? j = 1, n ? 1 . ?????
???????, ??? ????? ??????????? G ? O p ( f ) ?????????
P (G ) ? P (G * ) = C 2? + K + C n? ? Pmin . ???? ?? ?????? ????? ?
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??????????, ?? ????????? ??????????? ????? Pmin , ?? ???? ???
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??????????? ????? ?????? f ??? ??????????? (I) ????? ???????
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a. ?? O p ( f ) ???????? ????? ????? ????????????????
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82
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O (f ) ?????????? 2-??????????? ????????????? ?????? ?????
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83
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3. ??? ??????????? ??????????? ??? ??????????? (II).
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??????? ????????? ???? (2.2) ? ? > 1 , ? ? 1 ?????? ?? ???????
???????????????? ?????1.
??????????????. ?????????? ????? ????? {g1 , K, g k } ? ???
???????????? ????????? ?? ????????? {h1 ,K, hi } ? {hi +1 , K, hk },
1 < i < k , h = h1 ? K ? hi . ????????? ????? P1 ?????, ????? P2 ?
?????? ????? ? ???????????? ??????????? 1.30. ?????????
X = C ( h1 ) + K + C ( hi ) , Y = C (hi +1 ) + K + C ( hk ) , ????? P1 = ( X + Y ) ? ,
P2 = X ? + (C ( h ) + Y ) ? . ??? ? ? 1 ? ???? (2.4) P1 ? X ? + Y ? ? P2 .
? ?????? ? > 1 , ? ? 1 ????? ????????? ?????????????? ??????, ??? ???????
?????????? ??????????? b) ? ???. 1.30, ? ??? ? < 1 , ? > 1 ????? ????????? ?
???????????????? ??????, ?????????? ??? ?? ?????????. ?? ???? ???????????
???????????.
1
84
???? ????? h1 , K, hi ??? ?????????????? ????? ? ???????
????????? ????? ??? (2.2), ?? C (h) = (C (h1 )1 / ? + K + C (hi )1 / ? )? .
??? ? ? 1 ? ???? (2.3) C ( h) ? X , ????????????? P2 ? ( X + Y ) ? = P1 .
??????????? ????????.
??????????? 2.9. ???????????????? ???????????, ? ???????
???????? ??????????? ? ??????? ?????????? ?????????1,
?????????? ?? O p ( f ) ??? ??????????? (II) ? ???????? ?????????
???? (2.2) ? ??????????? ? ? 1 ??? ? > 1 , ? ? 1.2
??????????????. ?????????? ??????????? ?? O p ( f )
??????????? G . ? G ???????? ??????????? ? ????????? ???????
ai1 ,K, ain . ????????? g j = {ai1 , K, ai j } , C j = C ({ai j }) , j = 1, n .
????? ??? ?????????? k C k > C k +1. ???????? ??????? aik ? aik +1 .
??????? ???????????????? ??????????? G ? . ???? k = 1, ??
P (G ?) = P (G ) .
?????
?
P (G )
???????
????????
P1 = (C ( g k ?1 ) + C k ) ? + (C ( g k ?1 ? {aik }) + C k +1 ) ? . ?????? P1 ? P (G ?)
?????? ???????? P2 = (C ( g k ?1 ) + C k +1 ) ? + (C ( g k ?1 ? {aik +1 }) + C k ) ? .
?????????
z = C ( g k ?1 )1 / ? ,
x = C k1 / ? ,
y = C k1/+?1 . ?????
x > y,
P1 = ( z? + x? ) ? + (( z + x)? + y? ) ? , P2 = ( z? + y ? ) ? + (( z + y)? + x? ) ? .
?????? ????????? P2 ?? ??????????? ??????? ?????????? P1 .
???????, ??? ??? ? ? 1 ??? ?????? ????????? ??????????? ?? ??.
??? ????? ?????????? ???????? ????????????????? ????????
? = ( z + x)? + y ? ? ( z + y )? ? x ? . ?????????? ? ??? ??????? z .
????? ? (0) = 0 , ? ?( z ) = ? ( z + x)? ?1 ? ? ( z + y )? ?1 . ??? ? ? 1 ?
?????? x > y ????? ? ?( z ) ? 0 . ?????????????, ? (z ) ????????? ??
???????. ????? ? ( z ) ? 0 , ?? ???? P2 ? P1 .
??????? ?????? ? < 1, ? ? 1 . ??? ?????????????? ???????????
P1 ? P2 ?????????? ???????? ???? ??????? ??? ??????? ?? y ?
??????? ?? ?????????????????:
1
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??? ? < 1 , ? > 1 ????? ???????? ??????, ??? ??????? ??????????? ???????. ??
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2
85
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z ? + y ? < ( z + x)? + y ? ? ??????? ? ? 1 . ?????????????, ? ?( y ) ? 0 .
????????? ? (0) > 0 , ? ( x) = 0 , ?? ???? ??????? ? ( y ) ?????????
??????? ?? ???? ??? ?????????? y ?? ???? ?? x . ????? ? ( y ) ? 0 ,
?? ???? P2 ? P1 .
????, ??? ???????? ??????????? P2 ? P1 , ?????????????
P (G ?) ? P (G ) ? ??????????? G ? ??????????. ????????? ?????
????????????, ??????? ? ????? ??????????? ?? O p ( f )
???????????, ? ??????? ???????? ??????????? ? ???????
?????????? ?????????. ??????????? ????????.
? ?????????? ?? ?????? ??????? ?????? ?? ???????????
??????????? ????? ?????? f ??? ??????????? (II) ????? ???????
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a. ?? O p ( f ) ??? ??????? ????????? ???? (2.2) ? ? ? 1 ??? ? > 1,
? ? 1 ???????? ????? ???????????????? ???????????, ? ???????
???????? ??????????? ? ??????? ?????????? ????????? (??.
???. 2.9), ?? ???? ?????? ?? ???? ????????? ??????
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b. ??? ? ? 1 ??? ??? ??????? ????????? ???? (2.2) ? ? > 1 , ? ? 1
?????????? ?????? (??. ???. 2.8), ????????????? ? ????
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c. ? ???? ???????????? ??????? ?? D ( f ) ? Dr ( f ) ?????
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?????????), ?? ???? ?????? ?? ???? ?????????? ???????? ?
??????? ?????????? ?????? ??????????? ???????? (??. ??.III).
d. ??? ??????? ????????? ???? (2.2) ? ? = 1 , ? = 1 ??????????
(II) ????????? ? ???????????? (2.1) (??. ?.2 �, ???? ????????
C (ai ) = pi . ??????? ?i =1,n pi = 1 ?? ???????????? ????????, ???
??? (II) ????????? (??. ???. 2.3) ? ??????? ?????? ??
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??????????? ???????? ?? ??????? ?? ???????? ??????????. ??
???? ??? ???????????? ??????????
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???????? pi = C (ai ) /(C (a1 ) + K + C (a n )) . ????? ???????,
?????????? (II) ?????????, ? ?????????, ??????????
???????????. ? ???? ???????????? ??????? ?? Dr ( f ) ?????
???????? ? ?? Or ( f ) , ?? ???? ?????? ?? ???? ??????????
???????? ? ??????? ?????????? ?????? ??????????? ??
?????????? ??????? n log n (??. ?.2 �. ???????
?????????????? ???????? ???????????? ??? ????????? ? ?
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???. 2.6. ??????????? ??????????? ??? ??????????? (II).
?? ???. 2.6 ?????????? ?????????? ??? ??????????? (II) ?
??????? ????????? ???? (2.2) ?????????? ??????????. ??
?????????????? ??? ???????? ???????? ? , ?? ???????????? ?
???????? ? . ? ?????? ? ? 1 ??? ? > 1 , ? ? 1 ? ??????? ?
???????????? ?????????? ? ?? O ( f ) ?????????? ???????
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??????? ?? O p ( f ) ?????????? ???????????????? ???????????, ?
??????? ???????? ??????????? ? ??????? ?????????? ?????????
87
(?? ?????????? ? ??????????). ??? ? < 1 , ? > 1 ? ????? ??????? ?
?????????? ?? ???????? ?? ????????, ?? ????????1.
????????????? ??????? ?????? ? ???? ??????? ?? ?????? ??????
???????????. ? ?????? 3 �????? III (??. ???. 3.5) ???????? ??????
????????????? ??????????????? ??????? ???????, ?? ????????
????? ??????? ?????, ??? ? ????????????? ??????? ???????????
??????????? ????? ???? ??????? ??????? ??? ?????????
?????????? ? ? ? .
4. ??? ??????????? ??????????? ??? ??????????? (III).
??????????? 2.10. ?????????? (III) ? ???????????
???????? ??? ? ? 1 .2
??????????????. ??????? ??????? ??????????. ??????????
???????????? ????? ????? {g1 , K, g k } , k ? 3 ? ??? ????????? ??
{h3 , K, hk } = {g 3 , K, g k }.
???
?????????
{h1 , h2 } = {g1 , g 2 } ,
??????????? ???????? ??????? C ( g1 ) = max(C ( g1 ),K, C ( g k )) .3
????????? h = h1 ? h2 ; x = C ( g1 ? K ? g k ) ; y = C (h) ; z = C (h1 ) .
????????? ?????????, ????????????? z ? y ? x . ????? P1
????????? ?????, ????? P2 ? ?????? ????? ? ????????????
??????????? 1.30. ????? P1 = ( x / z ? 1) ? , P2 = ( y / z ? 1) ? +
+ ( x / y ? 1) ? ? ( y / z ? 1 + x / y ? 1) ? ? ???? (2.3) ? ? ? 1 .4 ???
?????????????? ??????????? P2 ? P1 ?????????? ????????, ???:
x / z ? 1 ? y / z + 1 ? x / y + 1 = ( xy + yz ? y 2 ? xz) / yz = ( x ? y)( y ? z) / yz ? 0 ,
???, ????????, ?????. ????? ???????, ?????????? (III) ?
????????.
?????????? ????? ?????????????? ????? {g1 , g 2 } . ?????
C ( g1 ) ? C ( g 2 ) . ????????? x = C ( g1 ? g 2 ) , z = C ( g 2 ) , P1 ? P2 ?
1
????? ????????? ?????????, ??? ??????? ?????????? ??? ??????????? ? ???.
1.30.
2
??? ? < 1 ????? ????????? ?????????, ??? ??????? ?????????? ??????????? ?)
? ???. 1.30. ?? ???? ??????????? ???????????.
3
????? ????? ???????? ????????? ????? g 1 , K , g k .
4
??? z = 0 P1 = +? ?? ??????????? ??????????? (III), ????????????? ?????????
??????????? P1 ? P2 . ????? ??????? z > 0 .
88
?????????????? ????? ? ?????? ????? ??????????? a) ???????????
1.32. ????? P1 = P ( g1 , g 2 ) = ( x / z ? 1) ? . ?????????? a ? g1 , ?????
P2 = P(g1 \ {a},g2 ) + P((g1 \ {a})? g2,{a}). ????????? y = C((g1 \ {a})? g2 ) ,
????? P2 = ( y / z ? 1) ? + ( x / y ? 1) ? . ???? ???? ????????, ???
P1 ? P2 ??? z ? y ? x , ??? ????????? ? ???? ????????????
??????? ?????????. ? ?????? C ( g1 ) ? C ( g 2 ) ??????????
??????????? b) ??????????? 1.32 ???????????? ?????????? ?
????????? ?? ?????? g1 ?? g 2 . ?????????????, ?????????? (III) ?
??????????? ????????. ??????????? ????????.
??????? ??? ??????????????? ????? ? ??????????? 2.11 ?
????? ????????? ??????? ?? ??????????? ?? O p ( f )
????????????????
???????????
?????
??????
???
??????????? (III).
????? 2.2. ??? ??????????? (III) ? ???????? ?????????
???? (2.2) ?????????? ??????????? ?? O p ( f ) ????????????????
??????????? ????? ?????? f , ? ??????? ???????? ??????????? ?
????? ??????? ai* , K, ai* ,1 ??? ??? k = 1, n ? 1 ?????????
1
n
C ({ai* }) ? C ({ai* , K, ai* }) .
k +1
1
k
??????????????. ????? G ? O p ( f ) ? ??????????? ?? O p ( f )
??????????? ? ???????? ????????? ai1 ,K, ain . ?????????
g j = {a i1 , K , a i j } ,
y j = C(g j ) ,
C j = C ({ai j }) ,
j = 1, n . ??????
??????????? k , ??? ???????? y k < C k +1 . ???? ?????? k ???, ?? G ?
??????? ???????????. ????? ??? j = 1, k ? 1 ????????? y j ? C j +1 .
????????? x = C1k+/?1 . ? P (G ) ?????? ???????? P1 = ?j =2,k +1 P(QG (g j )) =
= ( y2 / y1 ? 1) ? + ( y3 / y2 ? 1) ? + K + ( yk / yk ?1 ? 1) ? + (( x + y1k / ? )? / x? ? 1) ? .
?????????? ??????? aik +1 ?? ?????? ?????, ??????? ?????????
????????. ??????? ???????????????? ??????????? G ? . ? ??????
???????????? ????????? ????????? C k +1 > y k ? y j ? C j ???
1
??. ???. 1.33.
89
j = 1, k . ?????????????, ?????? P1 ? P (G ?) ?????? ?????????
????????: P2 = (( x + y11 / ? )? / x? ? 1) ? + (( x + y12/ ? )? /( x + y11 / ? )? ? 1) ? +
+ K + (( x + y1k / ? )? /( x + y1k /??1 )? ? 1) ? .
???????, ??? P2 ? P1 ????????? ?? k . ??? k = 1 ?????????
P2 = P1 . ????????? P1 ? P2 ??? k = q ????? P1 (q) ? P2 ( q) .
???????????, ??? ????????? P2 (q) ? P1 (q) . ???????, ???
P2 (q + 1) ? P1 (q + 1) .
?????
????????
P2 (q + 1) = P2 (q) +
+ (( x + y1q/+?1 )? /( x + y1q/ ? )? ? 1) ? , P1(q + 1) = P1(q) + ((x + y1q/+?1 )? / x? ? 1)? ?
? (( x + y1q/ ? )? / x? ? 1) ? + ( yq +1 / yq ? 1) ? .
?????????
y = y 1q/+?1 ,
z = y 1q/ ? , ????? ????????? z ? y .1 ?????????? ????????:
(( x + y ) ? /( x + z ) ? ? 1) ? ? (( x + y )? / x ? ? 1) ? ? (( x + z ) ? / x ? ? 1) ? + ( y ? / z ? ? 1) ? ,
(( x + z ) ? / x ? ? 1) ? + (( x + y ) ? /( x + z ) ? ? 1) ? ? (( x + y) ? / x ? ? 1) ? + ( y ? / z ? ? 1) ? .
?????? ????????? ????? ?? ??????????? ??????? ?????? ? ????
z ? y . ??????????? ??? ?????? ????????? ????? ????????
????????? ??????? ( x + y ) /( x + z ) ? y / z . ???????? ?????????:
xz + yz ? xy + zy , ??? ????????? ? ???? z ? y .
????, P2 ? P1 , ????????????? G ? ?????????? ?? O p ( f ) .
?????????? G ? ?????? G . ????? y j ? C j +1 ??? j = 1, k . ????????
??? ????????????? ????????????? ???????? ? ?????? k ? > k , ?
????? ?????? ? ??????? ???????????. ????? ????????.
????? 2.3. ??? ???????????? ??????? 1 ? u ? v ??? ? ? 1 ?
? ? 1 ????????? ???????????:
(u ? ? 1) ? + ((1 + (v ? 1) / u )? ? 1) ? ? (v ? ? 1) ? + ((1 + (u ? 1) / v)? ? 1) ? .
??????????????. ?????????? ???????? ?????? ? ?????
f (u ) = (v? ? 1) ? ? (u? ? 1) ? +
?????? ??? ??????? ?? u :
+ ((1 + (u ? 1) / v )? ? 1) ? ? ((1 + (v ? 1) / u )? ? 1) ? . ????? ?????????
f (1) = f (v) = 0 . ??????? ?????????? ??????? f (u ) , ?? ????
2
??? z = 0 ????????? ????????? P1 ????? + ? ?? ??????????? ??????????? (III),
????????????? ????????? ??????????? P1 ? P2 . ???? ??????? z > 0 .
2
??? ? = 1 ? ? = 2 ????? ???????????? ????????????? ???????????????? ???
???????????? ? > 0 . ????????? ???????????? ???????????? ?????????? ?????
??? ? ? 1 ?????????? ?? ???????? ? > 0 . ?? ???? ????? ????????????
?????????????? ????? ??? 0 < ? < 1 , ?? ?????? ??? ???????? ?? ????????.
1
90
??????????? f ??(u ) ? 0 ??? 1 < u < v . ? ???? ?????? f (u ) ????? ??
???? ??? ???????, ?? ???? f (u ) ? 0 ? ??????????? ????????.
???????? ?????? ???????????:
f ?(u ) = ??? (u ? ? 1) ? ?1 u ? ?1 + ?? ((1 + (u ? 1) / v )? ? 1) ? ?1 (1 + (u ? 1) / v )? ?1 / v +
+ ?? ((1 + (v ? 1) / u )? ? 1) ? ?1 (1 + (v ? 1) / u )? ?1 (v ? 1) / u 2
????????? ?? ?? ?????? ?? ???? ?????? ???????????. ?????????
???, ???????? ?????? ??????????? ? ???????? ?????????
??????????????. ???????:
f ??(u ) = ? ( ? ? 1)[((1 + (u ? 1) / v )? ? 1) ? ?2 (1 + (u ? 1) / v) 2? /(u + v ? 1) 2 ?
? (u ? ? 1) ? ?2 u 2? /u 2 ? ((1 + (v ? 1) / u )? ? 1) ? ?2 (1 + (v ? 1) / u ) 2 (? ?1) (v ? 1) 2 / u 4 ] +
+ (? ? 1)[ ((1 + (u ? 1) / v)? ? 1) ? ?1 (1 + (u ? 1) / v )? /(u + v ? 1) 2 ? (u ? ? 1) ? ?1 u ? /u 2 ?
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103
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104
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105
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n
1
2
3
4
5
6
7
q(n)
1
4
14
51
202
876
n
q(n)
8
9
10
11
12
13
14
4 139
21 146
115 974
678 569
4 213 596
27 644 436
190 899 321
n
15
16
17
18
19
20
21
q(n)
1 382 958 544
10 480 142 146
82 864 869 803
682 076 806 158
5 832 742 205 056
51 724 158 235 371
474 869 816 156 750
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106
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1
2
3
4
5
6
7
s (n)
-
s (n) / q(n)
-
1
7
36
171
813
4 012
1
1.75
2.57
3.35
4.02
4.58
n
8
9
10
11
12
13
14
s (n)
s (n) / q(n)
20 891
5.05
115 463
5.46
677 546
5.84
4 211 549
6.21
27 640 341
6.56
190 891 130
6.91
1 382 942 161
7.24
s(n) / q( n)
n
s (n)
15
10 480 109 379
7.58
16
82 864 804 268
7.91
17
682 076 675 087
8.23
18
5 832 741 942 913
8.55
19
51 724 157 711 084
8.87
20
474 869 815 108 175
9.18
21 4 506 715 736 350 170
9.49
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?????? ?? D ( f ) .
???????? ?????? ?????????? ?????????? ???????????? ??
D ( f ) ?????? ??????????? ?????? f = {a1 , K , a12 } ?? ??????????
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???????? ?? ????????, ?? ???????? (??. ???. 2.7). ?????????
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f
a1
a2
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a4
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a7
a12
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?????? f = {a1 , K , a12 } .
??????????? ?????? ?????????? ?? ???. 3.2. ??? ????????
??? ????????????? ??????. ?????? f ???????????? ?? ?????????
{a 7 , a8 , a10 , a11 , a12 } ? ???? ???????????? ????????. ?????
???????, ? ??????? ?? ?????? ? ? 1 , ?? ?????? ????????????????
???????????, ?? ? 2-?????? ?? ????? ???????????. ???
??????????? ? ? ???? ???????? ??????????? ????????? ?
???????, ?? ???? ????????? ????? ????????? ? ??????????
?????????????? ?????. ?????????????, ??? ?????????? ????? ?
????? ?????????? ??????? ???????????, ?????????? ????????????
107
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?????????? ??????? ???????????, ?? ??? ?????? ??????
?????????? ????????? ????? ??????????? ??? ??????? ? ???
????????????? ??????? ???????????. ? ?????????? ????? ???????
?????, ??? ????????????? ????????????? ??????? ????????????
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?? ????? ???????????? ??????????????? ??????, ?????????? ?
????????? ?????.
2. ?????? ????????? ????? ?????? ?? Dr ( f ) . ??????????
????????.
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??????????? 3.1 ??? Dr ( f ) .
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?????
??????
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??????????? r -?????? ?? Dr ( f ) , r ? 2 , f = n ? 3 ??? ???????????? ??????????? P ?????? ????, ?????? ???????????????? ??
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q (n, r ) ???????? P , ????? ?????? ???????, ????????? ????????
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???????? ?????? ?? ??????????? r -?????? ?? Dr ( f ) ,
??????????? ????? q (n, r ) ???????? P . ???????? ??? ??? ???????
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D ? ? Dr ( f ) . ???????? ?? ?????????????? ???? ?? ?????? ????????
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???????????? ? ???????? (3.3) (??. ???. 3.1).
???????? ???????? ??? ??????? ?????? ? ???????????? P ?? .
?? ???????? ???????? ??????????? ?????? ?? ?????? ????????
108
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P ( D ?) = y . ??? ?????? ???????? ?????? P ?? ? ???? n ? 3 ? Dr ( f )
?????????? ?? ??????? ???? ???? r -??????, ? ??????? ?????? f
???????????? ?? ?? ???????? h1 , K, h j . ????????? ?????? r -??????
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1
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109
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3.2). ?? ???? ????????? ????? ????????? s ( n, r ) . ????, ????????? ?????????? ?????????, ????????? ?????? ?? ???????????
r -?????? ?? Dr ( f ) , ????? ????? q (n, r ) ? s ( n, r ) . ???????
???????? q (n, r ) ? s ( n, r ) ??? r = 2 ????????? ? ??????? 3.3.
n q(n,2) s (n,2) n
1
8
2
1
1 9
3
3
6 10
4
7
25 11
5
15
90 12
6
31
301 13
7
63
966 14
q(n, 2)
127
255
511
1 023
2 047
4 095
8 191
s (n,2)
3 025
9 330
28 501
86 526
261 625
788 970
2 375 101
n
15
16
17
18
19
20
21
q(n, 2)
16 383
32 767
65 535
131 071
262 143
524 287
1 048 575
s (n,2)
7 141 686
21 457 825
64 439 010
193 448 101
580 606 446
1 742 343 625
5 228 079 450
??????? 3.3. ??????????? ????????? q (n,2) ??????? ????????? ??????
???????????? 2-?????? ?? D2 ( f ) ? ????????? s(n,2) ??????????? ?????????.
?????, ??? ??? n ? 20 ????????? ??????????? ?????????
?????? ???????????? 2-?????? ???????? ??????????. ? ?? ??
????? ??? ??????????? ??????????? ?????? ?????? ?????????
?????????. ? ?????? ???????, ??? ?????????? ??????? 3.4, ???
?????????? r ?????? ?????? ???????? ?????? ???????????? ?
????????? ??????????? ?????????. ?????, ??? ??? n = 15 ? r ? 6
????????? ??????????? ????????? ??????????? ?????? ??????
?? ????? ??? ?? ???????.
110
r
s (15, r ) / q (15, r )
2
435
3
74
4
28
5
15
6
10
7
8.7
8
7.9
9
7.6
10
7.6
11
7.6
12
7.6
13
7.6
14
7.6
15
7.6
??????? 3.4. ????????? ????????? ??????????? ????????? ?????? r -??????
s(n, r ) ? ?????????? ????????? ????????? ??????? ????????? q (n, r ) ??? n = 15 .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
???. 3.3. ????????? s (15, r ) ??????????? ????????? ??????
r -?????? ??? 2 ? r ? 15 .
???. 3.3 ??????????, ??? ??? ????? r ?? 2 ?? n ?????????
??????????? ????????? ?????? ???????????? r -?????? ??????
?????????? ???????? ?? r = n / 2 , ????? ???? ???????? ???????????
??????????, ??????? ? s (n) (??. ??????? 3.2). ?? ???? ?????????
s ( n / 2, n ) ??????????? ????????? ??? n > 20 ??????????? ??????.
f
a10
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a2
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a12
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a8
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a16
a17
a4
a5
a9
a18
???. 3.4. ??????????? ?? D2 ( f ) 2-?????? ???????????
?????? f = {a1 ,K , a18 } .
???????? ?????? ?????????? ?????????? ???????????? ??
D2 ( f ) 2-?????? ??????????? ??????
f = {a1 , K, a18 } ??
111
???????????? ????????? ( n = 18 ) ??? ??????????? (IV) ?
???????? ????????? ???? (2.2) (??. �??. II). ??? ???????
??????? ? = 1 ? ? = 0.5 , ?? ???? ?????????? ????? ?? ???????, ?
??????? ?????????? ?? ???????? ?? ????????, ?? ???????? (??.
???. 2.8). ????????? ????????? ????????? ????????? ???????
C (a1 ) = 1, C (a 2 ) = 2, K, C (a18 ) = 18 .
???????????
2-??????
?????????? ?? ???. 3.4.
3. ?????? ????????? ?????? ?? D ( f ) ??? ???????????
???? P ( g1 ,K, g k , g ) . ???????? ???????.
??? ???? ???????? ? ?????? ?????, ???? ?????????? ?????
??? P ( g1 ,K, g k , g ) , ?? ????????? ??????????? ???????? ? ??????
??????? ?????? ?? ?? ?????????, ?? ?? ?? ???????. ?? ????
???????? ????????? g ?? ????????? ?????????? ???????? ?????
?????????? ?????????. ???????? ?????????? ???????????.
??????????? 3.1. ??? ?????? ??????????????1 ?????????
?????? g ?? ???????????????? ????????? Q = {g1 , K, g k }, k ? 2 ,
g = g1 ? K ? g k ???????? ????, ??????????????? ?????? Q ,
??????? ?????? v = (v1 ,K , v g ?1 ) , i -? ?????????? vi ???????? ?????
?????????? ???????? ???????? i , ???????? ? Q , i = 1, g ? 1.
??????????? 3.2. ??? ????????????? ????????? Q1 ? Q2
?????? g ??????? ??????????? ??????????, ???? ???????????
??????? ????, ??????????????? Q1 ? Q2 .
???? ?????? Q1 = {g1 , K, g k } ? Q2 = {h1 , K, hk } , g = g1 ? K ?
? g k = h1 ? K ? hk ?? ???????? ??????????? ??????????, ??
????????, ??? ?????? ????? g1 , K, g k ? h1 ,K, hk ????????? ?
?????????
??
????????????,
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??????????? P (Q1 ) = P ( g1 , K, g k , g ) = P ( h1 , K, hk , g ) = P (Q2 ) .
????? ???????, ??? ?????? ???????????? ?????? ???????????
??????????? (??. ???. 3.2 ? 3.4) ????? ????????????? ?? ???
1
?? ???? ?????? ??????????? ?? ??? ??? ????? ?????????.
112
?????????, ? ???? ??, ??????? ??????????? ????????. ??????????????? ????? 1 ??? ??????????? ???? P ( g1 ,K, g k , g ) .
????? q~ ( n, r ) ????????? ?????????? ???????? ??????????????
????????? ?????? ?? n ????????? ?? ??????????? ?????????
?????? ?? r ??? ????? ????????, n ? 2 , r ? 2 . ????? q~ ( n) = q~ ( n, n)
????????? ????? ????? ???????? ?????????????? ?????????
?????? ?? n ????????? ?? ??????????? ????????? ??????
????????. ????????, ??? ??? ?????? r > n ?????????
q~ ( n, r ) = q~ ( n, n) = q~ ( n) , ??? ??? ?????? ??????? ?????? ?? n
????????? ????? ??? ?? n ???????????????? ????????.
??????????? 3.5. ????????, ???????? ?????? ??
??????????? ?????? ?? D ( f ) , f = n ? 3 ? ???????????? ????
P ( g1 ,K, g k , g ) , ?????? ???????????????? ?? ????? q~ ( n)
???????? ??????????? P . ????? ????????, ????????????? ?????
q~ ( n ) ???????? P , ????? ?????? ???????, ????????? ????????
????? ?????? ?????? ????????? ???????????? ??????.
??????????????. ??????? ?????????? P ?( g1 ,K, g k ) ????????? ??????????? ???????? g1 , K, g k ? ?????? g = g1 ? K ? g k
????????? ???????:
(3.4)
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,
P ?( g 1 , K , g k ) = ?
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g
f
,
???
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?
??? y > 0 ? ???????????? ?????.
????? ????? ?????? D ? D ( f ) ????? ????????? y . ???????????, ??? ????????, ???????? ?????? ?? ??????????? ?????? ??
D ( f ) , ??????????? ????? q~ ( n ) ???????? P . ???????? ??? ???
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?????? ????? D? ? D ( f ) . ???????? ????? ????? ???????? h1 , K, h j ,
f = h1 ? K ? h j , ??? ??? ???????? ??????????? f , ?????????
??????? ?????????????? ????????, ????? ??????????? ??????????
?? h1 , K, h j . ???? ? D? ????? QD? ( f ) ??????????? ?????????? ??
h1 , K, h j , ?? ??????? ?????????? P ?? ????????? ???????:
?0, ??? g ? f ??? ??? k = j ? ?????????? ????
(3.5) P ??( g1 , K , g k ) = ?? ???????? g , K , g ? h ,K ,h
1
k
1
j
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113
???? ? D? ????? QD? ( f ) ?? ?????????? ??????????? ?? h1 , K, h j ,
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(3.6)
? 0, ??? g ? f
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P??( g1 , K , g k ) = ?
????????? g1 , K , g k ? h1,K ,h j
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1.18 80
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1.16 90
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1.15 100
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15 796 475
56 634 172
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q~(n ? 1)
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1 295 920
6 639 288
30 053 883
~
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q~ (n)
6,35
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n
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s ( n)
80
90
100
123 223 558
465 672 458
1 642 992 467
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q~ (n)
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8,22
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P ( g1 ,K, g k , g ) , ?????? ???????????????? ?? ????? q~ ( n, r )
???????? ??????????? P . ????? ????????, ????????????? ?????
q~ ( n, r ) ???????? P , ????? ?????? ???????, ????????? ????????
????? ?????? ?????? ????????? ???????????? r -??????.
??????????????. ??????? ?????????? P ?( g1 ,K, g k ) ????????? ??????????? ???????? g1 , K, g k ? ?????? g = g1 ? K ? g k ?
???????????? ? ???????? (3.4) (??. ???. 3.5). ????? ????? r -??????
D ? Dr ( f ) ????? ????????? y . ???????????, ??? ????????,
???????? ?????? ?? ??????????? r -?????? ?? Dr ( f ) ,
??????????? ????? q~ ( n, r ) ???????? P . ???????? ??? ??? ???????
?????? ? ???????????? P ? . ????????? ?????????? r -?????? ?????
D ? ? Dr ( f ) . ???????? ????? ????? ???????? h1,K, hj , f = h1 ?K?hj ,
j ? r , ??? ??? ???????? ??????????? f , ????????? ???????
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h1 , K, h j . ???? ? D? ????? QD? ( f ) ??????????? ?????????? ??
h1 , K, h j , ?? ??????? ?????????? P ?? ? ???????????? ? ????????
(3.5), ?????, ?????? ???????????? z > y , ??????? ?????????? P ?? ?
???????????? ? ???????? (3.6) (??. ???. 3.5).
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??????????? f , ??????? ????????????? ?????????? ?? h1 , K, h j .
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???????? ??????? ????? ????? ?????? r -?????? D? . ??? ??????
???????? ?????? P ?? r -??????? ?? Dr ( f ) , ? ??????? ?????? f
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P ( D ?) = y . ??? ?????? ???????? ?????? P ?? ? ???? n ? 4 1 ? Dr ( f )
?????????? ?? ??????? ???? ???? r -??????, ? ??????? ?????? f
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????? ??????? ????????? ????????? ??????? ????? ???? ?????
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????? 3.4. ???? ?????????? ????? ??? P ( g1 ,K, g k , g ) ?
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P ( g1 ,K, g k , g ) ? ??? ?????????.
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????????? ?? ???????? ??????????? ??????????, ??? ??? ???? ????????? ?????
???????? ????, ?????? ? ???????? ??? (??. ???. 3.1).
2
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s ( n, r ) , ?????? ?? ????? 3.3 ???????
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???????????? ?????. ??? ??? ??? ???????? ????? ??????????
?????????, ??????? ?????????? ????? ?? ????????? ??????, ?
??????? ????? ?????? ? ???????? ????????????. ?? ???? ??????? ?
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124
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b) ???? l ? i / 2 , ?? ?????????? ??????? ????????? g i ??
????????? Q ??( g i ) = {h ?, h??}2 ? ???????? ????????? ???????????????? ?????? P ?? = P(Q ??( g i )) + P ( D h? ) + P ( D h?? ) .
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{a1 ,K, ai }
{a1 ,K, al }
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2
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137
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3,418
0,000
0,000
240,253
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3,293
3,817
78,369
54,939
0,079
0,165
43,175
35,559
0,305
0,474
(0,91; 1,10)
(0,91; 1,10)
(0,67; 2,00)
(0,59; 2,00)
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1
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138
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139
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140
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g1 , K, g k , g . ????????, ??? ????????????? ? �????? II
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142
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E H = E H? ? E H?? ? E H??? ,
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E H?? = {({ai }, {ai , a j }) : 1 ? i < j ? n} ,
E H??? = {( g , g ? {ai }) : g ? V , g ? 2, ai ? g , i = 1, n} .
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??????? ? : E H ? R + , ??????? ???????????? ????????? ???????.
??? ????? ?? E H? ??????? ??? ?????? ????. ??? ?????? ????? ??
E H?? ? E H??? ???? e = {g , g ? {ai }} ??????? ? (e) = P ( g , {ai }) .
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143
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P({a1 , a 2 ,K, a n ?2 , a n ?1 }, {a n })
P({a1 , a3 ,K , a n?1 , a n }, {a 2 })
P({a1 , a 2 ,K, a n ?2 , a n }, {a n ?1 })
?
{a1 , a 2 ,K , a n ? 2 , a n ?1} {a1 , a 2 , K , a n ? 2 , a n }
?
?
?
?
{a1 , a 2 }
{a1 , a3 ,K, a n ?1 , a n } {a 2 , a3 ,K , a n?1 , a n }
?
?
{a1 , a3 }
P({a1 },{a 2 })
P({a 2 , a 3 ,K, a n?1 , a n }, {a1 })
?
{a1 , a 4 }
?
?
?
?
?
?
{a n ? 2 , a n ?1}
{a n? 2 , a n }
{a n?1 , a n }
P({a n? 2 }, {a n })
P({a1 }, {a 4 })
......................................................................................
....................................................................................................
.................................................................................. P({a }, {a })
P({a1 },{a 3 })
n?2
n ?1
P({a n ?1 }, {a n })
{a1 }
{a 2 }
0
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{a3 }
0
0
{a n? 2 }
0
0
{a n?1}
{a n }
0
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144
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D = (V D , E D ) ????? H .
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??? ?????? ?????? {ai , a j } ? V D ???????? ?????? ????????? {ai }
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?????????? g = {ai , a j } ? V , i < j , ????? g , {ai } ? VD . ???????
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{ai } ? V D ??????? ????? e = (?, {ai }) ? E D , ? (e) = 0 . ??
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?????????? ????? f1 , K, f m . ? ????? ??????? ????????? D ?????
H , ?????? ????????? P (G ) = ? ( D ) (??. ???. 4.3).
???????, ????? D = (V D , E D ) ? ????????? H . ????????
???????????????? ??????????? G = (V , E ) ? O p (f ) ?????? ?????
1
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????????????? ? ??????? ?????? ? ????????, ?????? ????????? ?????????
?????????????? ??????????????? ?? ????????? ?? ?????????? ??????? ?????
?????. ????????, ????????? ??????????? ? ?????????????? ???????
?????????????? ??????? ??????? ?? ????? ?????? ????? ??????????? G ???
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145
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V = (V D ? {{a1}, K{a n }}) \ {?} . ? ??????? g ? V , g ? 2 ? ??????
D ?????? ???? ????? e = (h, g) . ??????? ? E ????? ( h, g ) , (g \ h, g) .
??????? g \ h ???????????, ?? ???? ?????? ? V . ?????????
P (QG ( g )) = ? (e) . ????????, ??? ??????? ????????????????
??????????? ?????? ????? f = { f1 , K, f m } , ?????? P (G ) = ? ( D ) .
????, ??????? ????????? D ????? ?????? H ?????????????
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????????????. ??????? ????????.
????????? 1. ?????? ?? ??????????? ?? O p ( f )
???????????????? ??????????? ????? ?????? f ????????????
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??????????????. ????????? H ? ?????? ? ? , ??????????
f , ???????????? ?????? ???????? ???????? f , ???? ???? ?? ? ?
f ? ????? H . ????????? ????????.
????????? 2. ????????, ???????? ?????? ?? ???????????
?? O p ( f ) ???????????????? ??????????? ????? ?????? f ,
f = n ? 3 , ??? ???????????? ??????????? P ?????? ???? ??????
???????????????? n(2 n?1 ? (n + 1) / 2) ???????? P .
??????????????. ????????? f = N , ??? ??? ????????????
?????? ???? ??????. ?? ????????? 1 ?????? ???????????? ?????? ?
?????????? ???? ?? ? ? f ? ????? H . ??? ??????? ?????
????????????? ???????? ???????????, ?????? ??? ??????? ?????
????? ???? ?????? ?????????? ?? ??????, ??? ?? ??? ?
?????????? ????? ???? ????????? ?? ?????? ????????
?????????? ?? ???????? ?? ?????? ???????. ???????, ???
???????? ?????? ? ????? ?????? ???????????????? ???? ????
????? H , ????? ????? ???? (?, {a}) .
???????????, ??? ?????????? ????????, ???????? ?????? ?
?? ????????????? ???? ???? ????????????? ?????. ??????? ??
146
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n ?????, ??? ?????? ???? ????? n ? 1 (??? ??????? ????? ????
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??????????????? ???? ?? ?????? ????? e . ???? e ?? ???????????
????, ??????? ??? ????????? ?? 0, ????? ?? 2. ? ?????????? ?????
????? ?????? ??? ?? ????, ??? ? ? ?????? ??????, ??? ???
?????????? ???????? ?? ???????????????. ?? ?? ?? ?????
?????????. ??????? n ? 3 ?????????? ??? ????, ?????
???????????? ??? ??????? ??? ???? ?? ? ? f .
?????????? ????? H , ?? ??????????? ????? ???? (?, {a}) ,
????? ????????? ????????? ???????: n(n ? 1) / 2 + ?i = 2, n Cni (n ? i) =
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iC ni = nC ni ??11 ).
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???? ????????? ?????????? ????? ?? ???? ?????? ??????
???????? ? ?????????? ??? ????????? ?? ??? ?????, ??????
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??????????, ??? ????? ???????????? ????????? ?? ??????????.
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??????????? ????????? H (??. ????. 4.1). ????????? ??? ??????
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2. ???????????? ????? ??????.
??????????? ???? ?????? H (??. ???. 4.1) ? ??? ??????????
??????????????? ???? ??????, ?? ?????? ??????? ????????
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147
??????????????? ??????. ???????? ??????? ?????? ??
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H norm = (Vnorm , E norm ) ??????? ????, ??????? ?????????? ?? ?????
?????? H = (V H , E H ) ? ?????????? ????????? ?????????. ?????
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?????????? ????????? ??????, ? ??????? ???? ????? ?? g ? ?????
H . ?????? ????? ( g , g i ) , i = 1, k . ??????? k1 = ?(k + 1) / 2? ??????,
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????? ???? ????????? ????? ( g , g i ) . ???? k1 ? 3 , ?? ???????
k 2 = ?(k1 + 1) / 2?
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g12 , K, g k22 , ? ?????
( g ?2(i +1) / 2 ? , g 1i , ) , i = 1, k1 ???????? ????. ? ??? ?????, ?? ?????????
???? ??????? ??? ??????? g1q , g 2q ? ????? ( g , g1q ) , ( g , g 2q )
???????? ????. ???????? ????? ???? ??? ???? g ? V H , R( g ) ? 3 ,
?????? ? ????? H norm , ?? ?????? ???????? ??????? ?? ????? ????
?????. ??? H norm = (Vnorm , E norm )
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??????????? ????????? ?????????? ??????????? 4.3.
???. 4.2. ?????????? ? ???????????????? ????? ??????.
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?????????????? ???????, ?? ??????? ? ???? ??????? ??????? ??
148
????? ???? ?????, ? ??? ?????, ? ????? ???????? ?? ??????
g1 , K, g k , ? ??????? ? ?????????????? ????? ??? ????? ?? g . ??
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g ? g i , ?????????? ????? ??????????? ???????. ?????? ???
???? ????? ???? ??????????????? ????? ( g , g i ) .
??????????? 4.1. ?????? ?? ??????????? ????????? ? H
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H = (V H , E H ) . ???????? ?????????
D ? = (V D? , E D? )
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H norm = (Vnorm , E norm ) . ??????? ? V D? ??? ??????? ?? V D . ???
g ? V D , R( g ) ? 2 ??????? ? E D? ????????? ?? g ?????. ?????????? g ? V D , R ( g ) = {g1 ,K, g k } , k ? 3 . ????? ? H norm ???? ???????
g1j , K, g kj , j = 1, q (??. ???. 4.4). ????? ? ????????? D ?? g ?????j
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E D? ????? ( g 1?(is +1) / 2? , g is ) , s = 1, l . ??? ??????????? ?????? ??????? ??????? ? ??? ? ????? H norm ????? 1 ? ??????????????? ???????, ? ??? ?????, ???? ?? ??????? ?????? ?? g ?????. ???????
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???????, ?????????? ????????? D ? = (V D? , E D? ) ????? H norm .
???????? ????????? D = (V D , E D ) ????? H . ??????? ? V D ???
??????? ?? V D? ? V H . ??? g ? VD? ? V H , R( g ) ? 2 ??????? ? D
?????, ????????? ?? g ? D? . ??? g ? V D? ? VH , R ( g ) = {g1 ,K, g k } ,
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149
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150
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12
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153
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235 530
4
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1 104
5 171
31 378
263 338
6 3 000
4 127
6 404
16 510
54 766
304 145
8 21 975
29 949
40 149
76 173
149 033
424 000
10 186 598
255 754
317 294
577 674
837 763
1 576 865
12
2 232 954
2 799 913
4 729 690
6 465 469
8 650 013
14
19 327 169
24 272 855
39 182 355
55 710 417
71 441 464
16
172 996 106 217 376 355 346 835 503 479 629 550 615 392 008
18
1 551 740 086 1 942 858 319 3 114 855 925 4 317 150 636 5 466 045 252
20
13 952 535 549 17 446 863 109 28 016 474 706 38 502 846 307 48 954 320 373
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152
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{a1 , a 2 }
{a1 , a3 }
{a1 }
{a2 , a3 , a4 }
{a2 , a3 }
{a2 }
{a2 , a 4 }
{a3 }
{a3 , a 4 }
{a4 }
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2
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?????? H ??????? ? ?????????????? ??????? 4.1.
1
153
{a1 , a 2 , a3 }
{a 2 , a 3 , a 4 }
{a 2 , a3 }
{a1 }
{a 2 }
{a3 }
{a 4 }
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????? ???? ????? ?? ? . ?? g11 ????? ???? ??? ????? ? {a1} ? {a 2 } ,
?? g 12 ? ??? ????? ? {a3 } ? {a 4 } (??. ???. 4.4). ?? ??????????? 4.1
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? H norm ????? ?? ????????? (????????, ???? ????? (?,{a1}) ??????
? D , ?? ?????? ???? ? D? ?????? ???? (?, g11 ) , (g11,{a1}) ? ????????).
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? ( f 2 , { f 2 }) = 0 , ????????? ???????? ????? + ? , ??? ??? ?????????? ? ?????? f1 ????? ??????? ?????? ??????? f1 (?? ?? ????? ?
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? ({a 2 , a3 }, { f1 , f 2 }) ????????? ???????. ?? {a 2 , a3 } ??????? ???
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f 2 . ????????, ??? ???????????? ??????? ????????? { f1 , f 2 } ,
????????? ???????? ?? ????? + ? , ?????????? ??????????,
??????????????? ????????? ? ( f1 ,{ f1}) ? ? ( f 2 , { f 2 }) . ?? ????
? ({a 2 , a3 }, { f1 , f 2 }) = ? ( f1 , { f1}) + 1 + ? ( f 2 , { f 2 }) + 1 = 2 (?????????
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? ({a 2 , a3 }, { f1}) = 1 ? ? ({a 2 , a3 }, { f 2 }) = 1 . ????? ????? ?????? ?
??????????? ??? {a 2 , a3 } ????? ??????. ??? ????????? ??????
H norm ?????? ? ??????????? ???????? ??????????.
154
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?? ????? ?????? ??? ?? ???????????? ????????? {a}. ?? ????
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G
G
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??????????? ????? ???? ???????????????.
????, ? ?????? ??????????? ???? P ( g1 ,K, g k , g ) ?????
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f = { f1 , K , f m }
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???????????? ??????????? f1 ,K, f m ? ?????????? P1 , K, PM ?1 .
????????, ??? F = 2 N \ {?} ? ????????? ???????????? ?????, ?? ????
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???????????????? ??????????? ??? ????????????? ?????, ????????????? ?????
?????????????? ?????? h ???????????? ?? ???????? g ? {a} , {a} ? g .
1
155
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?? ??????????? ?? O p (f ) ???????????????? ??????????? ??????
????? f = { f1 , K, f m } ???????? ??? ( f i = 3 ) NP -????? ??? ?????
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??????????? ?? O p (f ) ??????????? ???????? ?????? f i , i = 1, m
???????????? ? ????????? ?????????????????? (??. ???. 1.33).
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??????????? Gi = (Vi , Ei ) ? O p ( f i ) ?????? ?? ????? f i . ????? ???????? ???????????????? ??????????? G ?????? f = { f1 , K, f m } ?
??????? ??????????? ??????????? ??? ?????? ?? ?????:
G = G1 ? K ? Gm . ??? ???? ???? ?????? g ??????????? ???
??????? ???? ??????, ?? ???? g ? Vi , g ? V j ??? i < j , ?? ???????,
??? ? G ?????? ???? ????????? g , ?????? QG ( g ) = QGi ( g ) , ?? ????
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?????? G1 , K, Gm . ????????, ??? ????????? ????? ???????????, ?
??????? ??? ??????
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???????????? ? ?????????
??????????????????, ?? ????? P (G ) . ?? ???? ????????
??????????? ?? O p (f ) ???????????. ????????, ??? ?????????
?????????? ??????????? ??????????? ?? ???????? ??????????????????? ?????????????. ?????????????, ?????? ????????
??????????????????? ??????? ???????? ?? ??????????????
?????, ?? ???? ??????????? ?????? NP .
?????????? ?????? ? ?????????????? ? 2-??????????. ??????
????????? X = {x1 ,K, x n } ? ?????????????? ????????????
Y1 , K, Ym ? X . ?????????? ????? ????????? ??????????????
Y ? X ??????????? ????????, Y ? Yi ? 1 ??? i = 1, m .1 ?????? ?
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????????? ?????? ??????????? ????????, ???????????? ??? ????? ?????.
???????????? ?????? ? ?????????????? ????? ?????? ??? ??????????????.
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N = {a 0 , a1 ,K, a n } , f i = {a 0 , a ji , a ki }, f = { f1 , K, f m } . ???????, ???
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??? ????? ??? ??????????? ????? {a 0 , al1 }, K , {a0 , alq } ?? ???????????? ????????. ??? Yi = {x ji , x ki } ????????? x ji ? Y ???
x ki ? Y , ????????????? {a 0 , a ji } ? V ??? {a 0 , a ki } ? V . ? ???????
????? ?? ???? ???????? ?????????? f i , ??????? ? E
??????????????? ?????. ? ?????????? ?? q -???????????
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b) ???????, ????? ?????? ???????????????? ???????????
G = (V , E ) ? O p (f ) . ????? P (G ) = qP1 + mP2 , ??? q ? ????? ?????
???????? ??? ? G . ?????????? g = {a s , at } ? V , 1 ? s < t ? n. ?? g
????? ???????? ????? ???? ? f = {a0 , a s , at } . ?????? g , ? f
?????????? ?? {a0 , a s } ? {at }, ???????, ???? ?????, ???????
{a0 , a s }. ????????? ????? ????????, ?????? ????????????????
??????????? G ? = (V ?, E ?) ? O p (f ) , ??????? ???????? q ? ?????
{a 0 , a l1 }, K , {a 0 , a lq? } ???????? ???, P (G ?) = q ?P1 + mP2 , q ? ? q .
????? ?????????? Y = {xl1 ,K, xlq? } ? X . ??? f i = {a0 , a ji , aki } ????????? {a 0 , a ji } ? V ? ??? {a 0 , a ki } ? V ? . ?? ???? ?????????? 1 ? t ? q ? ,
??? ???????? a ji = alt ??? a ki = alt . ?????????????, x ji = xlt ???
x ki = xlt . ????? Yi ? Y ? 1 ? ???? Yi = {x ji , x ki } . ? ?????????? ??
???????????????? ??????????? G ????? f1 , K, f m ?????????
qP1 + mP2 ????????? ????????? ?????????????? ?? q? ? q ?????????.
157
????????? ??????? ?????? ?? ??????????? ?? O p (f )
??????????? ????? G , P (G ) = qP1 + mP2 . ????? ????? ????????
?????? b) ?? ?????????????? ????? ?????? ????????? ?????????????? Y ?? q ? ?????????, q ? ? q . ???? ?? ???????????? ????????? ?????????????? ?? q ?? < q ?????????, ?? ???????? ?????? ?)
???????????? ?? ???????????????? ??????????? G ?? ? O p (f ) ,
P (G ??) = q ??P1 + mP2 < P (G ) ? ???? P1 > 0 , ??? ????????????
????????????? G . ????, ????????? ????????? ?????????????? Y
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??????????? ?? O p (f ) ???????????, ?? ?????????????? ?????
????? ?????? ? ?????????????? ? 2-??????????. ??????? ????????.
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mP2 . ????????? ????????? ????????????????
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??? ??????? ?????? ????? ?????? ?????????? ??????? ??????????
????????? ?????????????? ? ????????, ??? ? ??????????
??????????????? ?????? ? ?????????????? ? 2-?????????? ? ??????
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????, ???? P ? NP , ?? ?? ?????????? ???????????????
????????? ??????? ?????? ?? O p (f ) , ???? ???? ???????? ????
????? ?????? f ?? ??????????? ????. ????????? ?????? ????????? ??????????? ???????????? ? �????????? ??? ???????????? ???? P ( g1 ,K, g k , g ) . ????? ??????????? ????????? ???????
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2. ??????? ??????.
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158
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?? ???? ??? ???????? ???????? ????? ???????? ?????????????? ??????, ??????? ???????? ???????????? ?????-???? ?????
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?????? f1 = {a1 , a 2 , a3 } , f 2 = {a 2 , a3 , a 4 } ? {a 2 , a3 } = f1 ? f 2 .
??????????? 4.2. ??? ??????????? ???? P ( g1 ,K, g k , g )
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G , ? ??????? ????? ??????? g ? ????? ??? ????? ??????????
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g ? \ g = {ai1 ,K, aik } . ??????? ? G ??????? g j = g ? {ai1 , K, ai j } ,
159
j = 1, k ? ????? ( g j ?1 , g j ) , ({ai j }, g j ) , ??? g 0 = g . ??????????
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??????????? ???????????????? ???????????. ?????? ??????
h1 ,K, hk ? l1 ,K, l k ? G ? ?????? ??????? g1 ,K, g k ????? ??
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O p (f ) ???????????, ? ??????? ????? ????????? ??????????????
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?????????????? ???????? ????????? ??????? ????? ??????????
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??????????? ? [1, 2] ?????????? ??? ?????????? ??????????
??????????????. ???? ? �?? ?????????? ????????????
??????????? ?? ?????????????? ????????? ? ? ?????? ??????
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????? (??. ???. 1.22), ????????????? ???????? ???????.
???????????? ??????????? ???????? ??????? ? ? ?????????
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??????? ???????, ??????? ??????????? ? ??????????? ????? (??.,
????????, [44, 56]) ???? ?? ???????????? ??????. ??????????
?????? ????????? ???? ?????????????? ?????? ????????????
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� ????????? ????????????? ?????????.
? ?????? ????????? ???????? ???? ?? ????????? ????????
????????????? ???????????????? ??????? ?? ?????? ???????????
? ????????? ?????????????. ?? ?????? ????? ????????? ??????? ??
????????? ????? (??. ???. 5.1). ????? ????????? ??????? ??
????????? ??????? ????? ? ?? ????????? ?????? (??. ???. 5.2 ?
5.3), ?????? ??????????? ?????????? ????? ????? ???????? ??
?????? ????? ?????? ??????? ?? ????????? ?????. ?????
169
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??????? ?????? ????. ? ??????????? ?????????? ?????????
????????????? ???????????? ??? ????????????? ???????????
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1. ????????? ????????????? ?????.
??????????? 5.1. ?????????? ????????????? ??????
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= ? a?g \ h ? ?(a) + ? a?h \ g ? ??(a ) ,2 ??? ? ?( a) ? 0 ? ???????? ?????????
?????????? ???????? a ?? ??????, ? ? ??( a ) ? 0 ? ????????
????????? ????????? ???????? a ? ??????. ???????? ? (?, h)
??????? ?????????? ??????????? h ?? ?????, ???????? ? ( g , ?) ?
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????? ???????, ????????????, ??? ??? ?????? ????????
a ? N ?????? ????????? ????????? ? ?????????? a ?? ??????.
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???????? ? ????? ??????, ?????????? ?????????? ? ?. ?.
????????????, ??? ????????? ????????? (??????????) ???????
???? ?? ?????? ???????? a , ? ?? ?? ??? ??????, ? ??????? ??
?????????? (?? ??????? ???????????).
??????????? 5.1 ????? ???? ????????? ??????????????
?????????????. ??? ????????????? ?????? g ? ?????? h ???????
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h , ? ????? ??????????????? ???????? ?? ???????? h , ??????? ??
?????? ? g . ????? ? ( g , h) ???? ?????? ? ????? ??????????
????????????? g ? h . ???? ???????? g = ? , ?? ???????
????????? ??????????? ?????? h ?? ?????, ?? ???? ?????????
????????? ???? ????????? ??????. ???? ???????? h = ? , ??
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1
????????, ??? ????? F ?????????? ????????? ????? (??. ???. 1.13), ?????
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?????????. ??? ?????????? ????? ???? ????? ???????? ????????? ?
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2
????? ?? ??????? ????????? ???????? ?????? ???? ?? ???????????.
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? ( g , h) = ?a?g \ h ? ?(a) + ?a?h \ g ? ??(a) = 0
????? ? ?????? ?????, ????? g \ h = ? ? h \ g = ? (? ???? ? ?( a) > 0 ,
? ??( a ) > 0 ), ??? ???????????? ??????? g = h . ????? ????????.
????? 5.2. ???? ??? ???? a ? N ????????? ? ?( a) = ? ??( a ) =
= ? (a ) , ?? ??? ????? ????? g , h ? F ? {?} ????????? ??????
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??????????????. ?( g, h) = ? ?(a) + ? ?(a) = ? ?(a) + ? ?(a) =
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??????????? ????????????: ? ( f , h) ? ? ( f , g ) + ? ( g , h) .
??????????????.????? (*) ? ( f , h) = ?a? f \ h ? ?(a) + ?a?h\ f ? ??(a) ,
(**) ? ( f , g ) + ? ( g , h) = ? a? f \ g ? ?(a) + ? a? g \ f ? ??(a) + ? a?g \ h ? ?(a) +
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???? ? ?(a ) ?????? ? ????????? (*). ???? a ? g , ?? a ? g \ h . ????
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?????? ??? ?????. ????? ????????.
??????????? 5.1. ???? ??? ???? a ? N ?????????
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171
?????????????? ??????? ?? ???? 5.1-5.3. ???????????
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2. ????????? ????????????? ??????? ?????.
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??????????? ? ?????? 1, ???????? ??????? ?? ????????? ???????
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??????????? 5.2. ?????????? ????????????? ?????????????
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? (Q1 , Q2 ) = min ?i =1,k ? ( g i , hi ) , ??? k = max( Q1 , Q2 ) , ?????
??????? ???????? ???????? ??????? ???????? ?? ???????? k ,
??????? ??????? ?? ???????????? ?????????? ??????? Q1 ? Q2
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???? Q2 ? ?????? ?????, ?? ???????? ? (Q1 , ?) ???????
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??????? ???????????. ???????????, ??? ??????????
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Q2 . ?????????? ??? ??????: g ? Q1 ? h ? Q2 . ??????? ??
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172
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173
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??????????????. ????????? k = max( Q1 , Q2 , Q3 ) . ???????
? Q1 , Q2 , Q3 ?????? ????????? ???, ????? k = Q1 = Q2 = Q3 . ??
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174
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i = 1, k ? ????????? ???????? Q2 ? Q3 ?? ????, ???????
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????????? ?????????? ?????????????. ????? ????????.
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? ?(a ) = ? ??(a ) = ? ( a ) > 0 , ?? ????????? ????????????? ????????
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5.1
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?? ???????????? ?????????? ???????? V1 ? V2 ?? ???? ( g i , hi ) ,
i = 1, k . ???? G1 = (?, ?) ? ?????? ????, ?? ???????? ? (?, G2 )
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1
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175
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G2 = (V2 , E 2 ) ? O( N ) ? ????? ??????????? ??? ????????? ?????????? ????????? N (??. ???. 1.19). ???????????, ??? G1 ?????????? ?????????????? ? G2 . ?????????? ??????? g ? V1 \ N G1 ?
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(??????????) ???????? ?? h2 \ h1 ? ??????? ? ?????? h . ?????????? ????????? ? ? ??????? ?????? ????? ?? QG1 ( g ) � QG2 (h) .
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????? ???????, ??? ????????????? G1 ? G2 ????????
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1
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176
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k ?? ? k ????????????? ??????, j = 1,2 . ????????? V1?? ? V2?? ?????
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? (G3 , G4 ) ? ? (G1 , G2 ) . ?????????? ????????? ???????? V1?? ? V2??
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177
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? (QG1 ( g i ), QG2 (hi )) = 0 . ??? ??? G1 ? G2 ? ????? ???????????, ??
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QG1 ( g i ) ? QG2 (hi ) ???????? ???????? ???????? ?????, ???????
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QG1 ( g i ) = QG2 (hi ) ??????????? ??????? ?? V1 ? V2 ???????????
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178
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???????????? ??????? ( g , h) ? E 2 ? ???? ????, ??? ????? G1 ,
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???????, E1 = E 2 , ?? ???? ??????? G1 = G2 . ????? ????????.
????? 5.10. ???? ??? ????? ??????? ????? ?????????
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????? 5.11. ??? ???????????? ?????? G1 = (V1 , E1 ) ,
G2 = (V2 , E 2 ) , G3 = (V3 , E3 ) ????????? ??????????? ????????????:
? (G1 , G3 ) ? ? (G1 , G2 ) + ? (G2 , G3 ) .
??????????????. ????????? k = max( V1 , V2 , V3 ) . ??????? ?
V1 , V2 , V3 ????????????? ??????? ???, ????? k = V1 = V2 = V3 .
?? ????? 5.8 ??? ?? ??????? ??????? ? (G1 , G3 ) , ? (G1 , G2 ) ,
? (G2 , G3 ) . ????? ( f i , g i ) , i = 1, k ? ????????? ???????? V1 ? V2 ??
????, ??????? ????????????? ???????? ? (G1 , G2 ) , ? ( g i , hi ) , i = 1, k
? ????????? ???????? V2 ? V3 ?? ????, ??????? ????????????? ???????? ?(G2 ,G3) . ????? ?(G1, G2 ) + ?(G2 , G3) = ?i =1,k [?(QG1 ( fi ),QG2 (gi )) +
+ ? (QG2 ( gi ), QG3 (hi ))] ? ?i =1, k ? (QG1 ( f i ), QG3 (hi )) . ????????? ?????
?????? ??? ????? ? (G1 , G3 ) ? ???? ????, ??? ? (G1 , G3 )
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179
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5.9-5.11 ????? ?????????? ??? ????, ????? ?? ?? ????????
??????????? ??? ????? ?????? ??????????? ??? ?????????????
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4. ????????? ???????? ????????? ?????????????.
????? 5.12. ??? ????? ??????? ????? Q ? ? Q ?? ?????????
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???????????? ? ?????????? ??????????? ????? ??????? ??
???????. ???? ?????? Q ? ? Q ?? ???????? ?????? ???????????????
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? (Q ?, Q ??) ?? ????? ???? ?????? ? ( g ?, g ??) . ?????????????,
??????????? ????????? ???????? ???????????. ????? ????????.
180
????, ??? ????? ????????? ????? g ? ? g ?? ?? ?????????
????????? ? (Q ?, Q ??) ????????????? ?????? ???????? Q ? ? ?????
Q ?? ?? ??????, ??? ????????? ? ( g ?, g ??) ????????????? ?????? g ? ?
?????? g ?? . ?????? ????????? ????? ?????, ???? ?????????
???????, ?? ???? ?????? ?????? ??????????? ?? ???????? ? ???
???????????? ?????????.
??????????? 5.4. ??? ????? ??????????? G = (V , E ) ? O (f )
?????? ????? f = { f1 , K, f m } ????????? ? (?, G???? ) ? ? (?, G ) ?
? (G???? , ?) ? ? (G, ?) , ??? G???? ? ??????? ??????????? ??????
????? f (??. ???. 1.26).
??????????????. ?(?, G) = ?g?V ?(?, QG (g)) ? ?i=1,m ?(?, QG ( fi )).
??????????? ?????????, ??? ??? ?????? f1 , K, f m ?????? ? G (??.
???. 1.22). ?? ????? 5.12 ?i =1,m ? (?, QG ( f i )) ? ?i =1,m ? (?, f i ) .
????????? ?????? ????? G???? ??????? ?? f1 , K, f m ? ??????????????? ???????????? ??????. ? ???????????? ??????? {a}
????? ?? ??????. ??????? ? (?, QG???? ({a})) = ? (?, ?) = 0 ? ???
???????? ? (?, G???? ) ????? ? (?, G???? ) = ?i =1, m ? (?, QG???? ( f i )) =
= ?i =1, m ? (?, f i ) , ??? ????????? ????????? ????????? ? ????
?????
5.12,
???
???
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QG???? ( f i )
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??????????? ? (G???? , ?) ? ? (G, ?) ???????????? ?????????? ?
????????? ?? ????????? ??????? ??????????. ???????????
????????.
????? ???????, ????? ???? ??????????? G ? O(f ) ?????????
?????? ????? f ????????? ????????????? ? ??????????? ?? ?????
?????????? ??? ??????? ???????????. ?????????? ????, ???
??????? ??????????? ?????? ???????? ? ???????? ??????
???????????? ? ???????????. ??????????? 5.4 ??????????, ???
????????? ????????? ????????????? ??????????? ? ????
??????????? ??????????????.
181
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1. ??????????? ?????????.
?? ????????????? ??????? ??????????????? ??????? (??.
???????? ? ?????), ????? ????????????? ?? ?? ?????????? T
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??????????? 5.4. ????????? ???????? ????????????
(????????? ?????????) ??????????????? ??????? ????????? ?????
N = {a1 , K, a n } ? ????? ??????? ?????????? ?? ??????????
???????????????? ????????? ???????.
??????????? 5.5. ????? f t = { f1t , K, f mt t } , t = 1, T ?????????
????? ????? ????????????, ??????? ?????? ???? ???????????? ??
?????????? ??????? ??????? t ??? ?????????? ???????????????
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??????????? 5.6. ?????????? ??????????????? ??????? ??
?????????? ??????? ??????? t ??????? ????? ???? ???????????
G t ? O(f t ) ?????? ????? f t .
????????????? ??????????? 5.5 ? 5.6 ????? ????????
????????? ???????. ??????? ??????? (?????? ???????, ????????
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??????? ????? (????????, ??????????? ?????) ??????????, ??? ?
??????? ??????? ??????? t ??????? ?????? ????????? ?????????
?????????? m t ???????, ?????? ?? ?????????? ???????
??????????? ?????? ????? f t = { f1t , K, f mt t } . ???? G t ? O(f t )
??????????? ????? ?????? f t ?????????? ????????? ??????????
????????????? ??? ??????????? ?? ?????????????? ? ??????
???????. ????? ???????????? ????? (??????????? ???????)
????? ?????????? ??? ????????? t , ??? ?????? ?????????????
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182
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???????? ??????.
? ?????? ?????? ?????????? ???????????? ???????????,
??????? ???? ?????????????? ????????????? ???????? ??????,
????? ?? ????? ?? ?????????? ?????????. ????? ????????
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??? ???????, ?????????? ??? ??? ???? ??????? ? ????????
??????? ?????????? ????? ??? ????? ????????, ??? ? ??????
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?? ???????, ?????? ??????, ????? ??????????? ????????? ??????
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?????????? ??????, ? ????? ? ???, ????? ?????? ????????????
????? ????????????? ????? ???????, ????????? ?????????
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?????? ??? ????? ????????? ?????????????? ?? ?????????
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?????. ???????????, ??? ??????? ???????? ?????, ????????
????????? ??????? ?? ????????? ?????? I1 , K, I q , ?????????????
???????. ? ??????? ??????? ??????? t ??????? ??????????
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183
??????? ??????? ??????? I k , k = 1, q , j = 1, r . ????????? ?????
s j (a ) ?????????? ???????????? ?????? e j , ??????? ???????????
a ? N ???????? ????????? ?? ??????? ???????. ??????
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s(a ) = ( s1 (a),K, s r (a)) .
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y t = ( y1t ,K, y qt ) . ????? ?? ?????? ??????????, ????? ??????
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???????. ??? ????? ???????????? ???? 0 ? x tj (a ) ? 1 ???????
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187
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189
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????????????? ??? ?????????? G2 ??????? f 2 ????? ???????, ?
????? ???????????? ?? ???????? ? ??? ???????????? ?????.
f1 = {a1 , a 2 ,..., a8 }
{a1 , a 2 , a3 , a 4 } {a5 , a 6 , a7 , a8 }
{a1 , a 2 } {a3 , a 4 } {a5 , a6 } f 2 = {a7 , a8 }
f1 = {a1 , a 2 ,..., a8 }
{a1 , a 2 , a3 , a 4 }
{a5 , a 6 , a7 , a8 } f 2 = {a7 , a8 }
{a1} {a2 } {a3 } {a4 } {a5 } {a6 } {a7 } {a8 }
{a1} {a2 } {a3 } {a4 } {a5 } {a6 } {a7 } {a8 }
???. 5.1. ???? G ? O({ f1 , f 2 }) ??????????? ?????? ????? { f 1 , f 2 }
? ??? 2-???????? G2 .
?? ???. 5.2 ???????? ??? ???? ?????? 2-???????? ?????
G ? O({ f1, f 2 }) . ????????? LG ({a3 , a 4 }) = 2 . ??????? ??????
{a3 , a 4 }.
???
??????????????
???
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f1 = {a1 , a 2 , a3 , a 4 } ? {a3 , a 4 , a5 } . ??????????????, ????????? ?????
({a3 }, f1 ) ? ({a 4 }, f1 ) ??? ??????????? ?????? f1 (?????? {a1 , a 2 } ?
????? ({a1 , a 2 }, f1 ) ???????? ??? ?????????). ?????? {a3 , a 4 , a5 } ?
G2 ???????????? ?? ???????? ? ??? ???????????? ?????.
190
f1 = {a1 , a2 , a3 , a 4 } f 2 = {a3 , a 4 , a5 , a6 }
f1 = {a1 , a2 , a3 , a 4 } f 2 = {a3 , a 4 , a5 , a6 }
{a3 , a 4 , a5 }
{a3 , a 4 , a5 }
{a1 , a 2 } {a3 , a 4 }
{a1} {a2 } {a3 } {a4 }
{a1 , a 2 }
{a5 }
{a6 }
{a1} {a2 } {a3 } {a4 }
{a5 }
{a6 }
???. 5.2. ???? G ? O({ f1 , f 2 }) ??????????? ?????? ????? { f 1 , f 2 }
? ??? 2-???????? G2 .
????, ??? ?????? ????? G ? O (f ) ??????????? 5.15 ???? ???
?????? G1 , G2 , K, G L (G ) ? O(f ) , ?????? ?? ??????? ????????????
????? ???????????? ??????? ???????????, ????????? ?????????
? ?????? G . ?? ???? ? ?????? G1 , G2 , K, G L (G ) ???????????????
???????????? ????? ?????? ??????????? (???????????) ??????
?? ??? ???, ???? ?? ????? ???????? ???????? ??????????? G .
??????????? 5.16. ??? l ? 1 l -??????????? ?????????? ?l
??????? ?????????? ?????????? (??. ???. 5.9), ??????? ? ??????
?????? ??????? t = 1, T ????? ??? ?lt (f t ) = Glt , ??? Glt ? O(f t ) ?
l -???????? ??????????? ?? O(f t ) ??????????? G*t ? O(f t ) ??????
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??????? ??????????? ????????? ??????? ?????? ?????? ?????.
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??????? ?????? ?????? ?????. ?? ???? ?????????? ?l max
191
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1
??????? ????? ??????????? ????? ???? l -??????????.
192
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??? ????????????? ?????????? ????????? ??????. ?????????? ???????????? (?????????) n = 30 , ?????????????? ?????????
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?????? f1 , K, f 30 ????? ???????? 12. ?????? f i +1 ?????????? ??
?????? f i ???, ??? ? ??? ???????? ???? ???????????, ? ????
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????????? ?????? ????? f1 = { f1 , K, f10 } , f 2 = { f 2 ,K, f11} ,
?, f 30 = { f 30 , f1 , K, f 9 } . ?? ???? f1 ???????? ?????? ? ?????? ??
???????, f 2 ? ?? ?????? ?? ????????????, ? ?. ?. ?????????? ??????????????? ??????? ?? ?????????? ???????? ?????? ???????,
T = 30 . ?????? ???????? ???????? ????????? ??????? ?????
0 ? s ? 1. ????? ? ???????? ?????? ?????, ???????????? ? ??????
??????? t , ????????? ????????? ????? f t = f1+ ?s (t ?1) ? , t = 1, T .
??? ???????????? ???????? s = 1 ????????? f 1 = f1,
f 2 = f 2 ,?, f 30 = f 30 , ?? ???? ??????? ?????? ???????????????
???????????? ?????? f1 , K, f 30 . ??? s = 0.5 ???????????????
???????????? ?????? f1 , f1 , f 2 , f 2 , K, f15 , f15 . ?? ???? ????????????? s ? ?????????? ????? ?????, ???????????? ? ?????? ?
??????? ??????? ???????, ? ?????????? ?????? ?????, ???????
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?????????). ????? ????????? ????????? ???? ??. ????? ???????,
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193
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????? s = 0,04;0,07;0,1;0,2;K;1,0 . ??? ??????????? ???????? ?????
???????????? ????? ???????? ???? ??? ?? ??????????
???????????????? ?????????? ??????? t = 1, T . ??? ????????????
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? ??????????????? ??????? ??????? ????? ???????????????? ??????????? ?? O p (f t ) ????? 11, ??? ??? ???????? ????
???????????? (????????????) ????? ????? 12. ?? ???? ???
??????????? ???????????????? ??????????? G*t ? O p (f t ) ????????? L(G*t ) = 11. ??? l = l max = 11 l -???????? Glt ??????????? G*t
????????? ? G*t . ? ?????????? ???????? ??? ??????????
?1 , ?2 ,K, ?11 , ??? ??????? ????????? ??????????? ????? ?????????????? ?? ?????? ?? ??????????? ????????????? ?????????????
???????.
????? ???????, ? ?????? ?????? ??????? ???????? ???????
?????. ???? ??????? ?? ????????, ????????? ????? R (?l )
????????? l -??????????, ????? P (?l ) ? ? (?l ) ? ??????????????
?????? ? ?????? ??? ????? (??. ???. 5.10).
2. ????????? ?????? ?? ???????????????? ? ?????????????.
??? ???? ???????? ?? ???????? ? ?????? ?????, ???????, ???
??????? ?? ???????????????? (?????? ????? ??????????
??????????
??????????,
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???.
5.10)
????????????
???????????? ????????? P .
???????? ??????? ?? ??????? ??????????? (I) (??. �??. II),
??????? ????? ???:
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??? ? ? (0;+?) ? ???????? ???????????. ???????, ??? ???????
????????? ????? ??? C ( g ) = (?a?g C (a)1 / ? )? , ??? ? ? (0,+?) ?
???????? ?????????, ? C ( a) ? 0 ? ???????? ?????????
???????????? (?????????) a ? N . ??????? C ( a) = 1 ??? ??????
194
a ? N (???? ???????????? ??????? ???????????, ?? ????
???????? ?????????? ?????????).
? ???????????????? ??????????? ????? ??????????????
?????? g ???????????? ?? ????????? h ? ????????????
????????? {a}. ????????? ????? ??????????? P (C ( h), C ({a})) =
= [C(h) + C({a}) ? max(C (h), C({a}))]? = 1 ? ???? C ( h) ? 1 = C (a ) . ???
l -???????? ???????????????? ??????????? ????????? ?????????????? ?????? g = {ai1 ,K, aik } ????? ???????????????? ??????????-
????? ?? ???????? ? ??? ???????????? ???????? {ai1 }, K, {aik }.
????????? ????? ??????????? P (C ({ai1 }),K, C ({aik })) = (k ? 1) ? .
??? ???????? ? ?????? ?????????, ??? ?????????????
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??????????? ? ?? l -????????. ?????????????, ???????? ?????????
? ????? ?? ?????? ?? ????????? ????????????? ???????????.
??????? ? = 1 . ???? ????? ????????????? ?????????? ???
????????? ????????? ??????????? ? ?? 0.25 ?? 2. ????????? ?
?????? ?????? ?? ????????? ???????? ? ?? ???????? ?????????
???????????????? ???????????. ????????, ??? ??? ? ? 1
?????????? (I) ? ????????, ??? ? ? 1 ? ??????????? ????????
(??. ???. 2.6), ?? ???? ??? ? ? 1 ????????? ??????????
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O(f t ) , ??? ? < 1 ? ?????? ?????? ???.
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a5
a14
a15
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a16
a17
21
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a8
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a22
a18
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f14
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a12
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a24
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???. 5.3. ????? ??????????? ???????????????? ???????????
????? f1 ,K, f15 ??? ??????????? (I).
?? ???. 5.3 ???????? ?????? ??????????? ?? O p (f )
???????????????? ??????????? ?????? ????? f = { f1 , K, f15 }
195
a26
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??? ? ? 1 1 ???????????? ??????????? ?????????? ????? ? ?? O (f )
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????????? ????????? ???, ??? ??? ????? ??????? ?????????? ??????
??????????. ?? ???? ??????? ???????????? ????? ?????
??????????? ???????????????? ???????????.
?? ???. 5.3 ????? ?????????????????? ??????????? ?????????
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?????? f i , i = 1,15 ?????????? ???????????? 10 ?????????????
?????. ???? ??? ?????? f1 , K, f15 ?????????????? ??????????, ??
??????????? 150 ????????????? ?????. ?????? ?????????
????????????? ?????? ????? ???? ???????????? ????????? ???.
?? ???? ????? ? ????????? ?????????? ??????????? ???????????
?????????? ?????? 38 ????????????? ?????, ??? ???????
????????? ??????????? ?????, ??? ? ??? ????. ?????? f1 , K, f 7 ?
f 8 ,K, f15 ???????????? ??? ????????????? ????? ?????????????
???????? (????? ? ?????? ????? ????? ????? ?????? ?????
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(????????) a ? N ? ?????? ? ?????????? a ?? ??????. ????
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??? ???? a ? N ??????? ? ?( a) = ? ??( a) = ? , ??? ? > 0 ? ?????????
????????, ???????????? ??????? ????????? ????????????? ??
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??????????).
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1. ???????? ?.?., ????? ?.?., ?????? ?.?. ? ??. ????????????
??????? ? ??????? ????????, ??????????? ??????? (??????
?????????????). ????? 1 // ?????????? ? ????????????. 1979.
?7. ?. 135?151.
2. ???????? ?.?., ????? ?.?., ?????? ?.?. ? ??. ????????????
??????? ? ??????? ????????, ??????????? ??????? (??????
?????????????). ????? 2 // ?????????? ? ????????????. 1979.
?9. ?. 123?136.
3. ????????? ?.?. ??????????? ?????????? ????????????? ??
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????????????? ?????????? ????????????? ? ?????????
??????????????. ???????????, 1977.
4. ????????? ?.?., ???????? ?.?., ???????????? ?.?. ? ??.
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?????????. ???. 1. ?., 1971.
5. ?????? ?.?., ?????????? ?.?. ????????? ????????????????
??????????????? ??????. ?.: ?????, 1981.
6. ?????? ?.?. ?????? ?????????????? ?????? ???????? ??????.
?.: ?????, 1977.
7. ?????? ?.?., ???????? ?.?., ??????? ?.?. ?????? ?????? ?
?????????? ???????????????? ?????????. ?.: ??????, 2001.
8. ?????? ?.?., ??????? ?.?. ?????? ???????? ?????? ? ??????
???????????????? ?????????? / ????? ????????????? ?????????????????? ??????????? �????? ???????? ??????�. ??????:
??? ???, 19?21 ?????? 2001. ??? 1. ?. 12?16.
9. ?????? ?.?., ??????? ?.?. ?????? ???????? ??????: ?????????
? ???????????. ?.: ??????, 1999.
10. ?????? ?.?., ????????? ?.?. ?????? ?????????????
????????? ?????????? ? ??????? ???????? // ?????????? ?
????????????. 1973. ?3.
11. ??????? ?.?. ?????????? ???????? ? ??? ??? ??????????? //
?????????????? ???????????. 2000. ?1(12). ?. 59?67.
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????????????. 2002. ?5. ?. 120?132.
210
13. ??????? ?.?., ????? ?.?. ?????????????? ?????????????
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?????????? ? ????????????. 2002. ?8. ?. 136?150.
16. ????? ?.?. ????????? ??????????? ??????????? ??????????
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?????? 2002. C. 50?54.
18. ????? ?.?., ??????? ?.?. ?????? ??? ? ??????????
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f 2 = {a3 , a 4 , a5 , a6 }
{a3 , a 4 , a5 }
{a3 , a 4 , a5 }
{a1 , a 2 } {a3 , a 4 }
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{a1 , a 2 }
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191
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1
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192
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???????????? N = {a1 , K, a30 } . ????????? ???????? ?????
f1 = {a1 , a 2 ,K, a1
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