close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Агранович М.С. - Эллиптические псевдодифференциальные операторы Часть 1(2003).pdf

код для вставкиСкачать
ЛЕКЦИЯ 1
Глава I.
ИСЧИСЛЕНИЕ ?СЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ О?ЕРАТОРОВ В
x1.
?▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗е опе░а▓о░╗ и и╡ ▒имвол╗
?олагаем
= (1 ; : : : ; n ); j 2 Z+; jj = 1 + + n ;
@j = @=@xj ; @ = @11 : : : @nn ; = 11 : : : nn ;
Dj = i@j ; D = D11 : : : Dnn :
?од░обно▒▓и к ▒казанном│ в ▒лед│╛╣и╡ дв│╡ п│нк▓а╡ можно най▓и, нап░име░, в лек╢и┐╡ п░ед╗д│╣его ▒еме▒▓░а.
б╗▒▓░о │б╗ва╛╣и╡ ┤│нк╢ий S = S (R n ) ▒о▒▓ои▓ из бе▒коне╖но гладки╡ комплек▒нозна╖н╗╡ ┤│нк╢ий u(x) ▒ коне╖н╗ми
но░мами
jhuijN = sup(1 + jxj)jjj@ u(x)j;
(1)
где ве░╡н┐┐ г░ан╝ бе░е▓▒┐ по в▒ем x и в▒ем , c jj + j j N . Зде▒╝ N п░обегае▓ в▒е ╢ел╗е нео▓░и╢а▓ел╝н╗е ╖и▒ла. Э▓и но░м╗ оп░едел┐╛▓ ▓опологи╛
в S . В ╖а▒▓но▒▓и, по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ┤│нк╢ий uk из S ▒╡оди▓▒┐ к ┤│нк╢ии u
в ╜▓ом п░о▒▓░ан▒▓ве, е▒ли ▒╡оди▓▒┐ к ней в каждой из ╜▓и╡ но░м.
Е▒ли u(x) 2 S , ▓о x@ u(x) 2 S .
?░┐мое п░еоб░азование Ф│░╝е оп░едел┐е▓▒┐
нап░име░, на ┤│нк╢и┐╡ из S ┤о░м│лой
1. Обозна╖ени┐.
2.
?░о▒▓░ан▒▓во Шва░╢а
3. ?░еоб░азовани┐ Ф│░╝е.
v ( ) = (F u)( ) = F [u(x)] =
Зде▒╝ и дал╝╕е
x =
n
X
1
Z
e ix u(x) dx:
(2)
xj j :
Как легко п░ове░и▓╝, п░еоб░азование (2) пе░еводи▓ Dj u(x) в j v( ) и по╜▓ом│
D u(x) в v ( ). Далее, оно пе░еводи▓ xj u(x) в Dj v ( ) (зде▒╝ Dj { п░оизводна┐ по j ) и по╜▓ом│ x u(x) { в ( 1)jjD v( ). Э▓о позвол┐е▓ п░ове░и▓╝,
╖▓о опе░а▓о░ F о▓об░ажае▓ п░о▒▓░ан▒▓во S (R n ) ┤│нк╢ий о▓ x в п░о▒▓░ан▒▓во S (R n ) ┤│нк╢ий о▓ . Доказ╗вае▓▒┐, ╖▓о ╜▓о неп░е░╗вн╗й в обе ▒▓о░он╗
изомо░┤изм. В ╖а▒▓но▒▓и, дл┐ л╛бого N найде▓▒┐ ▓акое N 0 , ╖▓о
jhF uijN CN;N jhuijN
0
0
Typeset by
1
AMS-TEX
Rn
2
(неп░е░╗вно▒▓╝ F ). Об░а▓н╗м ┐вл┐е▓▒┐ опе░а▓о░ об░а▓ного п░еоб░азовани┐
Ф│░╝е
u(x) = (F 1 v )(x) = F 1 [v ( )] = (2 ) n
Z
eix v ( ) d:
(3)
4. ?░ед▒▓авление опе░а▓о░а в ╖а▒▓н╗╡ п░оизводн╗╡ п░и помо╣и
п░еоб░азований Ф│░╝е.
водн╗╡ по░┐дка m
Ра▒▒мо▓░им линейн╗й опе░а▓о░ в ╖а▒▓н╗╡ п░оиз-
a(x; D) =
X
a (x)D
jjm
B1 бе▒коне╖но
(4)
c ко╜┤┤и╢иен▓ами из п░о▒▓░ан▒▓ва
гладки╡ ┤│нк╢ий a(x), │
ко▓о░╗╡ кажда┐ п░оизводна┐ D a(x) ог░ани╖ена. Такой опе░а▓о░ дей▒▓в│е▓,
коне╖но, в S , ▓.е. пе░еводи▓ ╜▓о п░о▒▓░ан▒▓во в ▒еб┐, и не▓░│дно п░ове░и▓╝,
╖▓о он дей▒▓в│е▓ неп░е░╗вно. Имеем
X
a(x; D)u(x) =
a (x)F 1 (F u)( ):
jjm
?оложим
a(x; ) =
X
jjm
a (x) :
(5)
Э▓а ┤│нк╢и┐ наз╗вае▓▒┐ (полн╗м) ▒имволом опе░а▓о░а (4); более ▒▓а░ое ее
название { ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кий много╖лен. О▓ме▓им е╣е, ╖▓о ┤│нк╢и┐
X
a0 (x; ) =
a (x) (6)
jj=m
наз╗вае▓▒┐ главн╗м ▒имволом опе░а▓о░а a(x; D). М╗ имеем
a(x; D)u(x) = F!1x [a(x; )Fy! u(y )];
(7)
или
ZZ
n
a(x; D)u(x) = (2 )
ei(x y) a(x; )u(y ) dy d:
(8)
Зде▒╝ ▒на╖ала п░оизводи▓▒┐ ин▓ег░и░ование по y.
?о ▓акой же ┤о░м│ле оп░едел┐е▓▒┐ и п▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░,
но п░и ╜▓ом ▒имвол a(x; ) │же не об┐за▓ел╝но ┐вл┐е▓▒┐ много╖леном по . Однако ░а▒▒ма▓░ива▓╝ п░оизвол╝н╗е ▒имвол╗ бе▒полезно, и в ▒лед│╛╣ем п│нк▓е
м╗ оп░едел┐ем наиболее │по▓░еби▓ел╝н╗е кла▒▒╗ ▒имволов.
S m ?│▒▓╝ m { ве╣е▒▓венное ╖и▒ло. Кла▒▒ S m =
S m (R n R n ) оп░еделим как ▒о▒▓о┐╣ий из бе▒коне╖но гладки╡ комплек▒нозна╖н╗╡ ┤│нк╢ий a(x; ), │довле▓во░┐╛╣и╡ не░авен▒▓вам
(9)
j@x@ a(x; )j C; (1 + j j)m jj
п░и л╛б╗╡ , . В дал╝ней╕ем ╜▓о б│д│▓ ▒имвол╗ ?ДО { п▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ опе░а▓о░ов. Чи▒ло m можно назва▓╝ по░┐дком ▒имвола. (?ока ╜▓о не
5. Кла▒▒╗ ▒имволов
.
3
о╖ен╝ ▓о╖ное оп░еделение по░┐дка.) ?о░┐док не мен┐е▓▒┐ п░и ди┤┤е░ен╢и░овании по x и понижае▓▒┐ на едини╢│ п░и ди┤┤е░ен╢и░овании по .
Е▒ли m { на▓│░ал╝ное ╖и▒ло, ▓о ░а▒▒мо▓░енн╗й
в╗╕е ▒имвол ди┤┤е░ен╢иm
ал╝ного опе░а▓о░а, о╖евидно, п░инадлежи▓ S .
Е╣е один п░име░: п░и л╛бом ве╣е▒▓венном m ┤│нк╢и┐ (1 + j j2)m=2 п░инадлежи▓ S m (п░ове░╝▓е ▒амо▒▓о┐▓ел╝но).
Топологи┐ в S m оп░едел┐е▓▒┐ п░и помо╣и но░м
j[a]jN = sup(1 + j j) m+jjj@x@ a(x; )j;
(10)
где ве░╡н┐┐ г░ан╝ бе░е▓▒┐ по в▒ем x, и по в▒ем , c jj + j j N , а N
п░обегае▓ ╢ел╗е нео▓░и╢а▓ел╝н╗е ╖и▒ла.
Удобно положи▓╝
S 1 = [m S m ; S 1 \m S m :
(11)
О▓ме▓им ▒░аз│ ▒лед│╛╣ие легко
п░ове░┐ем╗е
▒вой▒▓ва ╜▓и╡ п░о▒▓░ан▒▓в.
m
m
1
2
1) Из m1 < m2m▒лед│е▓, ╖▓о Sm S 1 .
2) ?░и ╜▓ом S 1 пло▓но в S 2 , а S пло▓но во в▒е╡ S m .
3) Е▒ли a(x; ) 2 S m , ▓о @x@ a(x; ) 2 S m jj.
4) Е▒ли a 2 S m1 , b 2 S m2 , ▓о ab 2 S m1 +m2 .
5) Е▒ли a 2 S m , b 2 S 1 , ▓о ab 2 S 1 .
m
?ДО a(x; D)
m
m
n
из кла▒▒а = (R ) { ╜▓о опе░а▓о░, оп░едел┐ем╗й ┤о░м│лой (7) или, ╖▓о
▓о же, (8), где ▒имвол a(x; ) п░инадлежи▓ S m.
?░иведем п░о▒▓ей╕ий п░име░ ?ДО, не ┐вл┐╛╣его▒┐, вооб╣е гово░┐, ди┤┤е░ен╢иал╝н╗м опе░а▓о░ом:
m = F 1 (1 + j j2)m=2F:
(12)
Он б│де▓ полезен п░и ░а▒▒мо▓░ении ?ДО в ▒оболев▒ки╡ п░о▒▓░ан▒▓ва╡ (▒м.
лек╢ии п░ед╗д│╣его ▒еме▒▓░а). Так как опе░а▓о░ Лапла▒а имее▓ ▒имвол
j j2 (п░ове░╝▓е), ▓о опе░а▓о░ (12) ╖а▒▓о запи▒╗ва╛▓ ▓ак: (1 )m=2. Э▓о,
вооб╣е гово░┐, д░обна┐ ▒▓епен╝ опе░а▓о░а 1 .
На ▒лед│╛╣ей лек╢ии б│де▓ п░ове░ена
?▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ из m дей▒▓в│е▓ неп░е6. Кла▒▒╗
п▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ опе░а▓о░ов.
Тео░ема 1.
░╗вн╗м об░азом в п░о▒▓░ан▒▓ве Шва░╢а.
?▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗е опе░а▓о░╗ б╗ли введен╗ в 60-╡ гг. п░о╕лого
века. ?е░вона╖ал╝но по▓░ебно▒▓╝ в ни╡ ▒о▒▓о┐ла в ▓ом, ╖▓об╗ облег╖и▓╝
гомо▓опии п░и ░е╕ении п░облем╗ в╗╖и▒лени┐ индек▒а ╜ллип▓и╖е▒кого ди┤┤е░ен╢иал╝ного опе░а▓о░а на замкн│▓ом многооб░азии. Ч▓о ▓акое ╜ллип▓и╖е▒кий опе░а▓о░ на замкн│▓ом многооб░азии (▓.е. компак▓ном многооб░азии без к░а┐), пока гово░и▓╝ ░ано. На╕и лек╢ии на ▒амом деле на╢елен╗ на
по▒▓░оение ▓ео░ии ╜ллип▓и╖е▒ки╡ ?ДО на замкн│▓ом многооб░азии. Эллип▓и╖но▒▓╝ ди┤┤е░ен╢иал╝ного опе░а▓о░а (4) в R n оп░едел┐е▓▒┐ ▒лед│╛╣им
│▒ловием, наклад╗ваем╗м на его главн╗й ▒имвол (6):
ja(x; )j cj jm;
(13)
4
где c { положи▓ел╝на┐ по▒▓о┐нна┐. Рано гово░и▓╝ пока и о ▓ом, ╖▓о ▓акое
индек▒ ╜ллип▓и╖е▒кого опе░а▓о░а на замкн│▓ом многооб░азии. Зада╖а в╗╖и▒лени┐ индек▒а ╜ллип▓и╖е▒кого опе░а▓о░а б╗ла по▒▓авлена И.М. Гел╝┤андом
и п░ивлекла внимание о╖ен╝ многи╡ ма▓ема▓иков. Она б╗ла ░е╕ена в ▓опологи╖е▒ки╡ ▓е░мина╡, дл┐ ╖его и по▓░ебовали▒╝ гомо▓опии { неп░е░╗вн╗е п░еоб░азовани┐ ╜ллип▓и╖е▒ки╡ ▒имволов. ?о▒▓░оение н│жн╗╡ гомо▓опий о╖ен╝
▒ил╝но облег╖ае▓▒┐, е▒ли вме▒▓о много╖ленов можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ более об╣ие ┤│нк╢ии.
Однако ▒ по┐влением ?ДО б╗▒▓░о в╗┐▒нило▒╝, ╖▓о они п░и▒│▓▒▓в│╛▓ в▒╛д│
в анализе и в о▒обенно▒▓и в ▓ео░ии │░авнений в ╖а▒▓н╗╡ п░оизводн╗╡. Б╗ло
по▒▓░оено и▒╖и▒ление ?ДО, и оказало▒╝, ╖▓о оно воб░ало в ▒еб┐ ▓е╡ни╖е▒кие
▓░│дно▒▓и, ко▓о░╗е до ╜▓ого в░оз╝ п░еодолевали▒╝ в много╖и▒ленн╗╡ ▒пе╢иал╝н╗╡ ▒и▓│а╢и┐╡ в ▓ео░ии │░авнений в ╖а▒▓н╗╡ п░оизводн╗╡.
?▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ може▓ име▓╝ и о▓░и╢а▓ел╝н╗й по░┐док m, и ▓огда ╜▓о ин▓ег░ал╝н╗й опе░а▓о░, п░и╖ем о╡ва╖енн╗ми оказ╗ва╛▓▒┐
важней╕ие ин▓ег░ал╝н╗е опе░а▓о░╗ ма▓ема▓и╖е▒кой ┤изики.
М╗ на╖инаем ▒ о▒воени┐ и▒╖и▒лени┐ ?ДО. Кла▒▒ ▒имволов в╗б░ан п░о▒▓ей╕ий, и его ╡ва▓и▓ дл┐ ░а▒▒мо▓░ени┐ ╜ллип▓и╖е▒ки╡ ?ДО. Обоб╣ени┐ б│д│▓
│казан╗ позднее.
?оложим
1 = [m m ; 1 = \m m :
(14)
И▒╖и▒ление ?ДО ▒▓░ои▓▒┐ \▒ ▓о╖но▒▓╝╛ до п░ибавлени┐" ?ДО из 1 (по▓ом
│▓о╖ним, ╖▓о зде▒╝ имее▓▒┐ в вид│). ?о╜▓ом│ ин▓е░е▒но
в╗┐▒ни▓╝, ╖▓о ▒обой
1
п░ед▒▓авл┐╛▓ ?ДО по░┐дка 1, ▓. е. ?ДО из . Так как ▒имвол ▓акого
?ДО б╗▒▓░о │б╗вае▓ п░и ! 1, ▓о в (8) ин▓ег░ал╗ по y и можно помен┐▓╝
ме▒▓ами. ?ол│╖ае▓▒┐, ╖▓о ?ДО a(x; D) из 1 { ин▓ег░ал╝н╗й опе░а▓о░
a(x; D)u(x) =
Z
k(x; y )u(y ) dy;
(15)
ei(x y) a(x; ) d:
(16)
где ┐д░о k(x; y) оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой
k(x; y ) = (2 )
n
Z
Обозна╖им ╖е░ез K 1 = K 1 (R n R n ) множе▒▓во в▒е╡ бе▒коне╖но гладки╡
┤│нк╢ий k(x; y), │довле▓во░┐╛╣и╡ не░авен▒▓вам
(1 + jx yj)N j@x@y k(x; y)j C;;N
(17)
п░и в▒е╡ , и в▒е╡ ╢ел╗╡ нео▓░и╢а▓ел╝н╗╡ N . См╗▒л ╜▓и╡ не░авен▒▓в ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о в▒е п░оизводн╗е ┤│нк╢ии k б╗▒▓░о │б╗ва╛▓ п░и jx yj ! 1.
На ▒лед│╛╣ей лек╢ии б│де▓ доказана
?ДО a(x; D) п░инадлежи▓ 1 ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда
он п░ед▒▓авим в виде (15) c ┐д░ом k(x; y ), │довле▓во░┐╛╣им не░авен▒▓вам
(17).
Тео░ема 2.
5
?│▒▓╝ дан╗ ▒имвол╗
и aj 2 S m j (j = 0; 1; : : : ). М╗ ▒кажем, ╖▓о ▒имвол a ░азлагае▓▒┐ в
а▒имп▓о▓и╖е▒кий ░┐д из ▒имволов aj , и б│дем пи▒а▓╝
a a0 + a1 + : : : ;
(18)
е▒ли
NX1
a
aj 2 S m N
(19)
7.
А▒имп▓о▓и╖е▒кие ░азложени┐ ▒имволов.
a 2 Sm
0
п░и л╛бом на▓│░ал╝ном N .
Нап░име░, в ▒л│╖ае ди┤┤е░ен╢иал╝ного опе░а▓о░а (4) ▒имвол a(x; ) е▒▓╝
▒│мма
a = a0 + a1 + + am ;
где
X
aj (x; ) =
a (x) ;
jj=m j
и зде▒╝ вме▒▓о а▒имп▓о▓и╖е▒кого ░┐да м╗ имеем коне╖н│╛ ▒│мм│. ?о▒леднее
▒лагаемое не зави▒и▓ о▓ .
На ▒лед│╛╣ей лек╢ии б│де▓ доказана ▓ео░ема, подго▓авлива╛╣а┐ по▒▓░оение ▒имволи╖е▒кого и▒╖и▒лени┐:
?│▒▓╝ дана по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▒имволов aj 2 S m j , j =
0; 1 : : : . Тогда ▒│╣е▒▓в│е▓ ▒имвол a c а▒имп▓о▓и╖е▒ким ░азложением (18).
Тео░ема 3.
Разно▒▓╝ дв│╡ ▒имволов ▒ ▓аким а▒имп▓о▓и╖е▒ким ░азложением п░инадлежи▓ S 1 .
Э▓а ▓ео░ема п░инадлежи▓ Хе░манде░│.
Забега┐ впе░ед, о▓ме▓им, ╖▓о две важней╕ие ▓ео░ем╗ ▒имволи╖е▒кого и▒╖и▒лени┐ { ╜▓о ▓ео░ем╗ о компози╢ии дв│╡ ?ДО и о ?ДО, ┤о░мал╝но ▒оп░┐женном к данном│ ?ДО. В пе░вой из ни╡ │▓ве░ждае▓▒┐, ╖▓о п░оизведение
дв│╡ ?ДО { ?ДО, и │каз╗вае▓▒┐ ░е╢еп▓ по▒▓░оени┐ по ▒имволам ▒омножи▓елей а▒имп▓о▓и╖е▒кого ░азложени┐ дл┐ ▒имвола п░оизведени┐. Во в▓о░ой ▓ео░еме │▓ве░ждае▓▒┐, ╖▓о опе░а▓о░, ┤о░мал╝но ▒оп░┐женн╗й к ?ДО, { ?ДО, и
│каз╗вае▓▒┐ ░е╢еп▓ по▒▓░оени┐ по ▒имвол│ данного ?ДО а▒имп▓о▓и╖е▒кого
░азложени┐ ▒имвола ┤о░мал╝но ▒оп░┐женного ?ДО. См╗▒л ▒лова \┤о░мал╝но"
б│де▓ об║┐▒нен.
6
ЛЕКЦИЯ 2
Запи╕ем ?ДО A = a(x; D) 2 S m в виде
8. Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗ 1.
Au(x) = (2 )
n
Z
eix a(x; )v ( ) d;
где v( ) = F u:
Ф│нк╢и┐ v п░инадлежи▓ S , по╜▓ом│ б╗▒▓░о │б╗вае▓, ▓ак ╖▓о можно ди┤┤е░ен╢и░ова▓╝ по x под знаком ин▓ег░ала. ?ол│╖аем
D Au(x) =
Z
e ix b (x; )v ( ) d;
и легко п░ове░и▓╝, ╖▓о b 2 S m+jj. Я▒но, ╖▓о ╜▓о▓ ин▓ег░ал { ог░ани╖енна┐
┤│нк╢и┐. Далее,
x D Au(x) =
Z
[D eix ]b(x; )v( ) d:
Зде▒╝ ▒вой▒▓ва подин▓ег░ал╝н╗╡ ┤│нк╢ий позвол┐╛▓ п░оин▓ег░и░ова▓╝ по
╖а▒▓┐м, и м╗ пол│╖аем
x D Au(x) = (
Z
1)jj
eix D [b (x; )v ( )] d:
Снова видно, ╖▓о ин▓ег░ал ог░ани╖ен. Более ▓ого, дл┐ л╛бого N м╗ можем
най▓и ▓акое N 0 , ╖▓о
jhAuijN CN;N jhvijN :
0
0
А ▓ак как п░еоб░азование Ф│░╝е неп░е░╗вно о▓об░ажае▓ S на S , ▓о дл┐ л╛бого N найде▓▒┐ ▓акое N 00 , ╖▓о
0 jhuijN : jhAuijN CN;N
(1)
00
9. Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗ 2.
┐д░а:
k(x; y ) = (2 )
Z
00
?│▒▓╝ a 2 S 1 . Запи╕ем ┤о░м│л│ дл┐
ei(x y) a(x; ) d:
(2)
Так как ▒имвол ▒о в▒еми его п░оизводн╗ми б╗▒▓░о │б╗вае▓ п░и ! 1, ▓о
можно ди┤┤е░ен╢и░ова▓╝ под знаком ин▓ег░ала. ?ол│╖аем
@x @y k(x; y ) =
n
Z
ei(x y) a; (x; ) d;
и легко виде▓╝, ╖▓о a; (x; ) 2 S 1 . Далее,
(x
y ) @x @y k(x; y ) =
Z
D [ei(x y) ]a; (x; ) d:
7
Зде▒╝ б╗▒▓░ое │б╗вание ┤│нк╢ии a; (x; ) и ее п░оизводн╗╡ позвол┐е▓ п░оин▓ег░и░ова▓╝ по ╖а▒▓┐м и пол│╖и▓╝
(x
y ) @x @y k(x; y ) =
Z
ei(x y) a;; (x; ) d:
Символ a;; (x; ) ▒нова п░инадлежи▓ S 1 , ▓ак ╖▓о ин▓ег░ал ог░ани╖ен. Таким об░азом, k 2 K 1 .
Об░а▓но, п│▒▓╝ k(x; y) 2 K 1 . ?од▒▓авим в ин▓ег░ал
Z
Au(x) =
k(x; y )u(y ) dy
в╗░ажение дл┐ u(x) ╖е░ез об░а▓ное п░еоб░азование ╜▓ой ┤│нк╢ии и помен┐ем
ме▒▓ами ин▓ег░ал╗ (о╖евидно, ╖▓о ╜▓о можно ▒дела▓╝). ?ол│╖им
Au(x) = (2 )
где
a(x; ) =
О▓▒╛да
Z
e
n
Z
eix a(x; )v ( ) d;
i(x y) k(x; y ) dy = e ix
a(x; ) = e ix
Z
eiy k(x; y ) dy:
(3)
Z
[Dy eiy ]k(x; y) dy;
и зде▒╝ ▒п░ава п░оизводн╗е пе░ено▒┐▓▒┐ на k ин▓ег░и░ованием по ╖а▒▓┐м.
?ол│╖ае▓▒┐ ог░ани╖енн╗й ин▓ег░ал. М╗ видим, ╖▓о a(x; ) б╗▒▓░о │б╗вае▓
п░и ! 1 ░авноме░но по x. ?░ове░╝▓е ▒амо▒▓о┐▓ел╝но, ╖▓о ▓о же ве░но дл┐
п░оизводн╗╡ о▓ a. (Нап░име░, п░и ди┤┤е░ен╢и░овании ┤│нк╢ии a(x; ) по j
п░ои▒╡оди▓ │множение ┐д░а на xj yj c ▓о╖но▒▓╝╛ до по▒▓о┐нного множи▓ел┐.) . Возможно д░│гое напи▒ание ┐д░а, и оно б│де▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐
п░и ░а▒▒мо▓░ении ?ДО коне╖ного о▓░и╢а▓ел╝ного по░┐дка:
Заме╖ание
(2)
где
n
ZZ
ei(x y) a(x; )u(y ) dy d
K (x; y ) = (2 )
Z
=
Z
K (x; x y )u(y ) dy;
eiy a(x; )d:
(4)
?░и ▓акой запи▒и ┐д░о { об░а▓ное п░еоб░азование Ф│░╝е о▓ ▒имвола по в▓о░ом│ пе░еменном│, а ▒имвол { ▒оо▓ве▓▒▓венно п░┐мое п░еоб░азование Ф│░╝е
о▓ ┐д░а по в▓о░ом│ пе░еменном│:
a(x; ) =
Z
n
e iy K (x; y ) dy:
(5)
8
?ока м╗ не о▒▓анавливаем▒┐ на в╗┐▒нении ▓ого, в каком ▒м╗▒ле и п░и каки╡
│▒лови┐╡ ╜▓и ┤о░м│л╗ ко░░ек▓н╗.
В ╜▓ом доказа▓ел╝▒▓ве ин▓е░е▒на п░ежде в▒его ┤о░м│ла, по ко▓о░ой ▒▓░ои▓▒┐ a(x; ). Но доказа▓ел╝▒▓во до▒▓а▓о╖но делика▓ное.
?│▒▓╝ ( ) { ┤│нк╢и┐ из C 1 (Rn ), ░авна┐ 0 п░и j j 1 и 1 п░и j j 2, и п│▒▓╝
fj g1
0 { воз░а▒▓а╛╣а┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ╖и▒ел, в ко▓о░ой пе░вое ╖и▒ло не
мен╝╕е 1; она ▒▓░ои▓▒┐ дал╝╕е. ?оложим
10. Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗ 3.
a(x; ) =
1
X
0
(=j )aj (x; ):
(6)
?░и ┤ик▒и░ованном (x; ) ▓ол╝ко коне╖ное ╖и▒ло ╖ленов ╜▓ого ░┐да о▓ли╖но
о▓ н│л┐, по╜▓ом│ воп░о▒ о ▒╡одимо▒▓и не возникае▓.
О╖евидно, ╖▓о @ ( ) и j j @ ( ) { ог░ани╖енн╗е ┤│нк╢ии, по╜▓ом│
j@ (= )j C (1 + j j) jj ( 1; 2 Rn ):
О▓▒╛да ▒лед│е▓, ╖▓о
j@x@ [(= )aj (x; )]j C;;j (1 + j j)m jj
j
(7)
п░и 1 и в▒е╡ x, .
О╖евидно, ╖▓о п░и ┤ик▒и░ованн╗╡ ; ; j и до▒▓а▓о╖но бол╝╕ом C;;j 2 j (1 + j j)
дл┐ j j > =2:
(8)
М╗ в╗бе░ем j > j 1 ▓ак, ╖▓об╗
j@x@ [(=j )aj (x; )]j 2 j (1 + j j)1+m jj
j
(9)
╖▓о возможно в ▒ил│ (7) и (8). Г░│бо гово░┐, по ▒░авнени╛ ▒ (7) м╗ ▒п░ава │вели╖или ▒▓епен╝ множи▓ел┐ 1 + j j на 1, но за▓о ╖и▒ловой множи▓ел╝ заменили
на 2 j .
Тепе░╝
┤│нк╢и┐ a(x; ) полно▒▓╝╛ оп░еделена. За┤ик▒и░│ем ; ; N и поло0
жим N = max(jj + j j; N + 1). Нам надо о╢ени▓╝
@x @
Зде▒╝
X
1
=
a(x; )
N
X
0
N
X
0
aj (x; )
@x @ f[(=j )
+
X
1]aj (x; )g 2 S
1;
=
X
1
+
X
2
3
:
(10)
(11)
9
▓ак как ╜▓а ┤│нк╢и┐ ░авна н│л╛ п░и бол╝╕и╡ . Далее,
X
=
2
и
j
в ▒ил│ (7). Наконе╢,
X
2
N
X
0
N +1
@x @ [(=j )aj (x; )]
j C (1 + j j)m jj
X
3
=
1
X
N 0 +1
(N +1)
(12)
@x @ [(=j )]
│довле▓во░┐е▓ не░авен▒▓в│ (зде▒╝ м╗ ▒│мми░│ем п░ав╗е ╖а▒▓и в (9))
j
X
3
j C 0 (1 + j j)m jj
(N +1) :
(13)
М╗ видим, ╖▓о мод│л╝ левой ╖а▒▓и в (10) не п░ево▒╡оди▓
C 00 (1 + j j)m j j (N +1);
╖▓о и ▓░ебовало▒╝ показа▓╝.
О▒▓ало▒╝ заме▓и▓╝, ╖▓о е▒ли ┤│нк╢ии a и ea име╛▓ одно и ▓о же а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение a0 + + aN + : : : , ▓о
a ea = fa [a0 + + aN ]g fea [a0 + + aN ]g 2 S m N 1
п░и л╛бом N . След│╛╣а┐ ▓ео░ема облег╖ае▓ ╜▓│ п░ове░к│.
11. ?░ове░ка а▒имп▓о▓и╖но▒▓и ░азложени┐.
Тео░ема 4.
?░едположим, ╖▓о
a(x; ) 2 C 1 ;
j@x@ a(x; )j C; (1 + j j); ;
(14)
aj (x; ) 2 S m j (j = 0; 1; : : : );
(15)
l 1
X
a(x; )
Cl (1 + j j)rl ; rl ! 1:
a
(
x;
)
(16)
j
j =0
Тогда a 2 S m и a a0 + a1 + : : : .
В ╖а▒▓но▒▓и, │▒ловие (14) в╗полнено, е▒ли a 2 S 1 , а │▒ловие (16) дo▒▓а▓о╖но
▒╖и▓а▓╝ в╗полненн╗м ▒ rl = m l (без каки╡-либо ди┤┤е░ен╢и░ований).
Доказа▓ел╝▒▓во б│де▓ об▒│жда▓╝▒┐ на ▒лед│╛╣ей лек╢ии.
10
ЛЕКЦИЯ 3
Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗ 4.
@ @ a
x (x; )
N
X
j =0
Н│жно п░ове░и▓╝ не░авен▒▓ва
aj (x; )
C;;N (1 + j j)m
N j j 1;
(17)
и ╜▓о делае▓▒┐ инд│к▓ивно по jj + j j. Но м╗ ог░ани╖им▒┐ пе░в╗ми дв│м┐
╕агами.
1) jj = j j = 0. Бе░ем l > N c rl < m N 1 и и▒пол╝з│ем (15), (16).
2) jj + j j = 1. Нам понадоби▓▒┐ ▒лед│╛╣а┐ изве▒▓на┐ лемма.
?│▒▓╝ f 2 B2 (R ) и Mj = sup jf (j ) (t)j, j = 0; 1; 2. Тогда
M12 4M0 M2 :
(18)
Лемма.
Ее доказа▓ел╝▒▓во пока о▓ложим. Закон╖им ░а▒▒мо▓░ение ▒л│╖а┐ 2).
?оложим = maxjj+jj2 ; и п░едположим, не ▓е░┐┐ об╣но▒▓и, ╖▓о >
m.
И▒пол╝з│┐ (14), (15), ░ез│л╝▓а▓ 1) и лемм│, пол│╖им дл┐ jj + j j = 1, N 0 N
@ @ a
x (x; )
и зде▒╝
N
X
0
j =0
2
aj (x; )
m N0
4(1 + j j)m
1+ m
N 0 1 (1 + j j);
1 j j
п░и до▒▓а▓о╖но бол╝╕ом N 0 > N . О▒▓ае▓▒┐ и▒пол╝зова▓╝ (15) дл┐ j > N . Во▒пол╝з│ем▒┐ ┤о░м│лой Тейло░а
2
N
Доказа▓ел╝▒▓во лемм╗.
f (t + ) = f (t) + f 0 (t) +
2 00
f (t + ); 2 (0; 1):
2
В╗░ажа┐ о▓▒╛да пе░в│╛ п░оизводн│╛, пол│╖аем
2M M
(19)
M1 0 + 2 :
2
?░ава┐ p╖а▒▓╝ до▒▓игае▓ миним│ма п░и 2М0= 2 = M2=2. Соо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ░авно 2 M0=M2 . ?од▒▓авл┐┐ его в (19), пол│╖аем
p
M1 2 M0 M2 :
11
x2.
И▒╖и▒ление ?ДО в
1. Анализ опе░а▓о░а более об╣его вида.
Au(x) = (2 )
n
ZZ
Rn
Ра▒▒мо▓░им опе░а▓о░ вида
ei(x y) p(x; y; )u(y ) dy d:
(1)
Зде▒╝ вме▒▓о ▒имвола a(x; ) ▒▓ои▓ ┤│нк╢и┐ p(x; y; ), наз╗ваема┐ ампли▓│дой,
о▓ ▓░е╡ г░│пп пе░еменн╗╡, п░и╖ем x, y, име╛▓ одинаков│╛ ░азме░но▒▓╝ n.
Ф│нк╢и┐ u по-п░ежнем│ бе░е▓▒┐ из п░о▒▓░ан▒▓ва Шва░╢а.
Заме▓им, ╖▓о м╗ могли оп░едели▓╝ п░о▒▓░ан▒▓во S (Rn1 R n2 ), не п░едполага┐, ╖▓о n1 = n2. Сей╖а▒ м╗ п░едположим, ╖▓о
p(x; y; ) 2 S m (R 2n R n ):
(2)
Э▓о п░о▒▓░ан▒▓во ▒о▒▓ои▓ из бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢ий p, │довле▓во░┐╛╣и╡ не░авен▒▓вам
j@x@y @ p(x; y; )j C;; (1 + j j)m (3)
п░и в▒е╡ , , .
М╗ докажем, ╖▓о (1) { ?ДО из m (R n ), и в╗╖и▒лим а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение его ▒имвола.
Но ▒на╖ала м╗ \░азв┐жем ▒ебе ░│ки" в о▓но╕ении по░┐дка ин▓ег░и░овани┐.
Е▒ли m < n, ▓о ин▓ег░ал (1) аб▒ол╛▓но ▒╡оди▓▒┐, но п░и m n м╗ пока
должн╗ ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о ин▓ег░и░ование по y п░ед╕е▒▓в│е▓ ин▓ег░и░овани╛ по
. ?о┐▒ним, ╖▓о ин▓ег░ал
v (x; ) =
Z
e iy p(x; y; )u(y ) dy
аб▒ол╛▓но ▒╡оди▓▒┐ и не п░ево▒╡оди▓ C (1+ j j)m, но ▓о же ве░но дл┐ v(x; )
п░и л╛бом (╜▓о п░ове░┐е▓▒┐ ин▓ег░и░ованием по ╖а▒▓┐м по y), по╜▓ом│ он
б╗▒▓░о │б╗вае▓ п░и ! 1, ▓ак ╖▓о ин▓ег░ал
(2)
n
Z
eix v (x; ) d
▓оже аб▒ол╛▓но ▒╡оди▓▒┐.
Однако ин▓ег░ал (1) доп│▒кае▓ ░ег│л┐░иза╢и╛, по▒ле ко▓о░ой по░┐док ин▓ег░и░овани┐ пе░е▒▓ае▓ иг░а▓╝ ▒│╣е▒▓венн│╛ ░ол╝.
?е░в╗й ▒по▒об ░ег│л┐░иза╢ии ▒о▒▓ои▓ в ▒лед│╛╣ем. Воз╝мем ┤│нк╢и╛
0 (x) из C01 (R n ), ░авн│╛ 1 вблизи на╖ала. ?о ▓ео░еме Лебега о мажо░и░│емой
▒╡одимо▒▓и,
Au(x) = (2 )
= (2)
n lim
"!0
n lim
"!0
Z
0 (" )eix v (x; ) d
ZZ
0 (" )ei(x y) p(x; y; )u(y ) dy d;
12
и зде▒╝ \двойной" ин▓ег░ал под знаком п░едела аб▒ол╛▓но ▒╡оди▓▒┐.
М╗ │кажем е╣е в▓о░ой ▒по▒об ░ег│л┐░иза╢ии, но пол╝зова▓╝▒┐ б│дем ▓ол╝ко
пе░в╗м. Введем опе░а▓о░
L = (1 + j j2) 1
где Dj =
i@=@yj .
n
X
1
j Dj + 1 ;
(4)
М╗ имеем
e iy = Le iy = = (
1)k Lk e
iy :
(5)
?о╜▓ом│
v (x; ) = (
=
=
Z
Z
Z
1)k
Lk e iy [p(x; y; )u(y )] dy
e iy Lk [p(x; y; )u(y )] dy
e iy
X
jjk
p (x; y; )Du(y ) dy;
и легко п░ове░и▓╝, ╖▓о зде▒╝ p 2 S m k . Таким об░азом,
Au(x) = (2 )
n
ZZ
ei(x y)
X
jjk
p (x; y; )Du(y ) dy:
(6)
Зде▒╝ надо вз┐▓╝ ▓акое k, ╖▓о m k < n, и ▓огда \двойной" ин▓ег░ал ▒п░ава
б│де▓ аб▒ол╛▓но ▒╡од┐╣им▒┐. Э▓о и е▒▓╝ в▓о░ой ▒по▒об ░ег│л┐░иза╢ии.
В дал╝ней╕ем и▒пол╝з│е▓▒┐ обозна╖ение ! = 1! : : : n !.
?│▒▓╝ p(x; y; ) 2 S m (R 2n R n ). Тогда A { ?ДО из m ▒
▒имволом
X
a(x; ) p (x; );
(7)
Тео░ема 1.
где
1 D @ p(x; y; ) 2 S m jj:
(8)
y =x
! y
Об║┐▒ним, как возникае▓ ┤о░м│ла (7). Разложим p(x; y; )
как ┤│нк╢и╛ о▓ y по ┤о░м│ле Тейло░а по ▒▓епен┐м y x ▒ ╢ен▓░ом ░азложени┐
в ▓о╖ке x:
X
p(x; y; ) =
q (x; )(y x) + N (x; y; );
(9)
p (x; ) =
Доказа▓ел╝▒▓во.
где
jjN
q (x; ) =
1 @ p(x; y; ) 2 S m(R n R n ):
y=x
! y
(10)
13
О▒▓а▓ок N м╗ в╗пи╕ем позднее. Слагаем╗м в ▒│мме (9) о▓ве╖а╛▓ опе░а▓о░╗
ZZ
n
(2)
( 1)[D ei(x y) ]q (x; )u(y) dy d:
Е▒ли m < n, ▓о можно пе░е▒▓ави▓╝ ин▓ег░ал╗ по y и по и п░оин▓ег░и░ова▓╝ по ╖а▒▓┐м по . Э▓и опе░а▓о░╗ п░им│▓ вид
(2)
n
ZZ
ei(x y) p (x; )u(y ) dy d:
(11)
Е▒ли же │▒ловие m < n не в╗полнено, ▓о ▓о▓ же ░ез│л╝▓а▓ пол│╖ае▓▒┐ п░и
помо╣и (пе░вой) ░ег│л┐░иза╢ии. А именно, м╗ должн╗ ░а▒▒мо▓░е▓╝
lim
"!0
ZZ
= "lim
!0
( 1) [Dei(x
ZZ
y) ]
0 (" )q (x; )u(y ) dy d
ei(x y) D [0 (" )q (x; )]u(y ) dy d:
Зде▒╝ п░оизводна┐ D [: : : ] в╗╖и▒л┐е▓▒┐ по ┤о░м│ле Лейбни╢а. Э▓о линейна┐
комбина╢и┐ п░оизведений ┤│нк╢ий D q (x; ) 2 S m jj и D 0(" ), + = .
О╖евидно, ╖▓о п░и " ! 0 по▓о╖е╖но
0 (" ) ! 1; D 0 (" ) ! 0 ( 6= 0):
Лемма.
где
C
.
не зави▒и▓ о▓ "
@ 0
Дей▒▓ви▓ел╝но,
j@ [0(" )]j C (1 + j j) ;
(12)
( ) { ог░ани╖енна┐ ┤│нк╢и┐, ▓ак ╖▓о
@ [0 (" )] = "j j (@ 0 )(" )
{ ┤│нк╢и┐, ░авноме░но ог░ани╖енна┐ по " и .
Тепе░╝ имеем
ZZ
ei(x y) D q (x; )D 0 (" )u(y ) dy d
=
Z
eix D q (x; )D 0 (" )v ( ) d;
где v = F u, и зде▒╝ в по▒леднем ин▓ег░але подин▓ег░ал╝ное в╗░ажение имее▓
ин▓ег░и░│ем│╛ мажо░ан▓│, не зави▒┐╣│╛ о▓ ". ?о ▓ео░еме Лебега о мажо░и░│емой ▒╡одимо▒▓и, п░и " ! 0 ин▓ег░ал ▒╡оди▓▒┐ к 0 п░и 6= 0 и к
Z
ei╡ p (x; )v ( ) d
п░и = 0, ▓.е. │ на▒ оп┐▓╝ пол│╖ае▓▒┐ опе░а▓о░ (11).
?о п░авой ╖а▒▓и в (7) ▒имвол a(x; ) ▒▓░ои▓▒┐ по ▓ео░еме Хе░манде░а.
14
Тепе░╝ надо и▒▒ледова▓╝ о▒▓а▓о╖н╗й ╖лен в ┤о░м│ле Тейло░а (9). Его
можно запи▒а▓╝ в ин▓ег░ал╝ной ┤о░ме, п░идав ем│ вид
N (x; y; ) =
где
X
j j=N +1
(x; y; )(y x) ;
(13)
Z
N +1 1
(1 )N (@y p[x; x + (y x); ] d
! 0
(14)
Э▓о бе▒коне╖но гладкие ┤│нк╢ии. Фо░м│ла е▒▓╝ в │ниве░▒и▓е▓▒ки╡ │╖ебника╡
по анализ│. Ф│нк╢ии на▒лед│╛▓ п░инадлежно▒▓╝ к S m. В дал╝ней╕ем
и▒пол╝з│е▓▒┐ ▓ол╝ко по▒леднее об▒▓о┐▓ел╝▒▓во.
О▒▓а▓о╖ном│ ╖лен│ в ┤о░м│ле (9) о▓ве╖ае▓ опе░а▓о░, ко▓о░╗й п░и помо╣и
▓ой же ░ег│л┐░иза╢ии запи▒╗вае▓▒┐ в виде
(x; y; ) =
RN u(x) = (2 )
n
X
j j=N +1
lim
ZZ
"!0
(y
x) ei(x y) 0 (" ) (x; y; )u(y ) d dy:
Зде▒╝
(y x) ei(x y) = ( 1)jjD ei(x y) :
?е░ено▒┐ D на 0(" ) (x; y; ) и и▒пол╝з│┐ п░и п░едел╝ном пе░е╡оде ▓акие
же ▒ооб░ажени┐, как в╗╕е, м╗ пол│╖аем, ╖▓о
RN u(x) = (2 )
где
rN (x; y; ) =
n
X
j j=N +1
ZZ
ei(x y) rN (x; y; )u(y ) dy d;
(15)
D (x; y; ) 2 S m N 1 (R 2n R n ):
(16)
15
ЛЕКЦИЯ 4
И▓ак, м╗ имеем
A a(x; D) = [A
где
X
jjN
a (x; D)]
RN u(x) = (2 )
n
ZZ
{ опе░а▓о░ ▒ ампли▓│дой rN 2 S m
ReN u(x) = (2 )
[a(x; D)
n
X
jjN
a (x; D)] = RN
ei(x y) rN (x; y; )u(y ) dy d
N 1
ZZ
ReN ;
(16)
и
ei(x y) reN (x; )u(y ) dy d
(17)
{ ?ДО c ▒имволом
reN (x; ) = a(x; )
X
jjN
a (x; ) 2 S m N 1 :
С╖и▓а┐, ╖▓о m N 1 < n, м╗ можем пе░епи▒а▓╝ оба ╜▓и опе░а▓о░а в виде
ин▓ег░ал╝н╗╡ опе░а▓о░ов:
RN u(x) =
Z
kN (x; y )u(y ) dy
и
ReN u(x) =
Z
e
kN
(x; y)u(y) dy:
(18)
Свой▒▓ва и╡ ┐де░ │л│╖╕а╛▓▒┐ ▒ ░о▒▓ом
N , и в и▓оге пол│╖ае▓▒┐, ╖▓о A
▒ ┐д░ом из K 1 , ▓ак ╖▓о ╜▓о ?ДО из 1 . Де▓али п░ове░╝▓е ▒амо▒▓о┐▓ел╝но,
и▒пол╝з│┐ ▒ооб░ажени┐ из доказа▓ел╝▒▓ва ▓ео░ем╗ о
?ДО из 1 . Таким об░азом, A { ?ДО из m c │казанн╗м в╗╕е а▒имп▓о▓и╖е▒ким ░азложением ▒имвола. О▓ме▓им, ╖▓о в ┤о░м│ле (8) можно замени▓╝ (однов░еменно) D и @y на @
и Dy . Э▓о заме╖ание о▓но▒и▓▒┐ и к неко▓о░╗м дал╝ней╕им ┤о░м│лам.
?│▒▓╝ Anи A() { опе░а▓о░╗, дей▒▓в│╛╣ие дл┐ п░о▒▓о▓╗ в п░о▒▓░ан▒▓ве Шва░╢а S (R ). Опе░а▓о░
A() наз╗вае▓▒┐ ┤о░мал╝но ▒оп░┐женн╗м к A, е▒ли
(Au; v) = (u; A()v) (u; v 2 S (R n )):
(1)
Зде▒╝ и дал╝╕е (u; v) { об╗╖ное ▒кал┐░ное п░оизведение в L2 (Rn ):
a(x; D) { опе░а▓о░
2. Опе░а▓о░, ┤о░мал╝но ▒оп░┐женн╗й к ?ДО.
(u; v) =
Z
u(x)v (x) dx:
(2)
Слово \┤о░мал╝но" под╖е░кивае▓ ▓о об▒▓о┐▓ел╝▒▓во,
╖▓о
опе░а▓о░╗
A и A()
не ░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐ как опе░а▓о░╗ в L2 (Rn ) (ог░ани╖енн╗е или неог░ани╖енн╗е).
16
?░име░╗.
1.?│▒▓╝ A { ин▓ег░ал╝н╗й опе░а▓о░
Au(x) =
Z
k(x; y )u(y ) dy
(3)
▒ ┐д░ом, ▒кажем, из L2 (Rn R n ). Тогда A() { ▓оже ин▓ег░ал╝н╗й опе░а▓о░:
A() v (y ) =
Z
k(x; y )v (x) dx:
(4)
2. ?│▒▓╝ A { ди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░
X
A=
a (x)D
(5)
jjm
дл┐ п░о▒▓о▓╗ ▒ ко╜┤┤и╢иен▓ами из B1 (Rn ). Тогда A(){ ▓оже ди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░:
X
(6)
A() =
D [a (x)]:
jjm
?░ове░╝▓е ╜▓о ▒амо▒▓о┐▓ел╝но. В ╜▓и╡ п░име░а╡ ▒оо▓но╕ение (1) ░а▒п░о▒▓░ан┐е▓▒┐ на более ╕и░окие кла▒▒╗ ┤│нк╢ий. А именно, в пе░вом ▒л│╖ае
опе░а▓о░╗ ┐вл┐╛▓▒┐ ог░ани╖енн╗ми
в
L2 (R n ), и ▒оо▓но╕ение (1) ░а▒п░о▒▓░ан┐е▓▒┐ на ┤│нк╢ии u, v из L2(R n ). В в▓о░ом ▒л│╖ае м╗ имеем ог░ани╖енн╗е
опе░а▓о░╗ из ▒оболев▒кого
п░о▒▓░ан▒▓ва
H m (R n ) (cм. лек╢ии п░ед╗д│╣его
▒еме▒▓░а) в L2(R n ), и ▒оо▓но╕ение (1) ░а▒п░о▒▓░ан┐е▓▒┐ на ┤│нк╢ии u, v из
H m (R n ). Сей╖а▒ м╗ ░а▒▒мо▓░им ?ДО, дл┐ ни╡ │ на▒ пока не▓ ▓ео░ем╗ об
ог░ани╖енно▒▓и в ▒оболев▒ки╡ п░о▒▓░ан▒▓ва╡.
?│▒▓╝ A { ?ДО из m c ▒имволом a(x; ). Тогда ▒│╣е▒▓в│е▓ ┤о░мал╝но ▒оп░┐женн╗й опе░а▓о░ A() , и ╜▓о ?ДО из m c ▒имволом
a() (x; D), име╛╣им а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение
X 1
(7)
D @x a(x; ):
a() (x; ) !
Запи╕ем Au в виде
Тео░ема 2.
Доказа▓ел╝▒▓во.
Au(x) = (2 )
Имеем
(Au; v) = (2)
n
Z
v (x)
Z
n
Z
eix a(x; )F u( ) d:
eix a(x; )F u( ) d dx = (2 ) n
где (м╗ замен┐ем x на y)
w( ) =
Z
e iy a(y; )v (y ) dy:
Z
F u( )w( ) d;
17
Как не▓░│дно п░ове░и▓╝, ╜▓о ┤│нк╢и┐ из п░о▒▓░ан▒▓ва Шва░╢а. (О╖евидно,
╖▓о jw( )j C (1 + j j)m, но аналоги╖на┐ о╢енка пол│╖ае▓▒┐ дл┐ w( ) и
D w( ).) Во▒пол╝з│ем▒┐ ░авен▒▓вом ?а░▒евал┐
(2)
n
Z
F u( )w( ) d =
Z
u(x)F 1 w(x) dx
(или, ╖▓о ▓о же, под▒▓авим F u( ) = R e ix u(x) dx и пе░е▒▓авим ин▓ег░ал╗).
М╗ видим, ╖▓о
(Au; v) = (u; A()v);
где
ZZ
(
)
n
(8)
A v (x) = (2 )
ei(x y) a(y; )v (y ) dy d:
Тепе░╝ во▒пол╝з│ем▒┐ ▓ео░емой 1. Опе░а▓о░ A() { ╜▓о ?ДО ▒ не завиc┐╣ей
о▓ x ампли▓│дой a(y; ), он п░инадлежи▓ m , и ╜▓а ▓ео░ема дае▓ нам а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение (7) ▒имвола a() . В дал╝ней╕ем м╗ б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ и ма▓░и╖н╗е ?ДО ▒ ма▓░и╖н╗ми
▒имволами, пе░евод┐╣ие век▓о░-┤│нк╢ии в век▓о░-┤│нк╢ии. В ╜▓ом ▒л│╖ае
▓ол╝ко ╖▓о доказанна┐ ▓ео░ема ▓оже ве░на, но в ┤о░м│ле (7) надо замени▓╝
комплек▒но-▒оп░┐женн│╛
к a ┤│нк╢и╛ a ╜░ми▓ово-▒оп░┐женной к a ма▓░и╢ей
a:
X 1
D @ a (x; ):
(9)
a() ! x
?оложим
Z
hu; vi = uv dx:
(10)
3. Фо░мал╝но ▓░ан▒пони░ованн╗й опе░а▓о░.
Назовем опе░а▓о░ A(0) ┤о░мал╝но ▓░ан▒пони░ованн╗м к A, е▒ли
hAu; vi = hu; A(0) vi (u; v 2 S (R n )):
(11)
Э▓о ▒оо▓но╕ение ░авно▒ил╝но ▒оо▓но╕ени╛
(Au; v) = (u; A(0) v);
▓ак ╖▓о
A(0) v = A() v; или A() v = A(0) v:
(12)
Е▒ли A { ?ДО из m c ▒имволом a(x; ), ▓о из ┤о░м│л╗ (8) пол│╖аем
A(0) v (x) = (2 ) n
ZZ
e i(x y) a(y; )v (y ) dy d:
Но зде▒╝ необ╗╖н╗й знак в ╜к▒понен▓е. Замен┐┐ на , пол│╖аем
A(0) v (x) = (2 ) n
ZZ
ei(x y) a(y; )v (y ) dy d:
(13)
18
И▒пол╝з│┐ ▓епе░╝ ▓ео░ем│ 1, пол│╖аем ▒лед│╛╣ий ░ез│л╝▓а▓.
?│▒▓╝ A { ?ДО из m ▒ ▒имволом a(x; ). Тогда A(0) { ?ДО из
m ▒ ▒имволом a(0) (x; ), име╛╣им ▒лед│╛╣ее а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение:
X 1
D @x [a(x; )]:
(14)
a(0) (x; ) !
Тео░ема 3.
Заме▓им, ╖▓о (A(0) )(0) = A (и ▓акже
(A() )() = A). ?о╜▓ом│ на╕ ?ДО A = a(x; D) доп│▒кае▓ запи▒╝
4. Д│ал╝ное п░ед▒▓авление ?ДО.
a(x; D)u(x) = (2 )
n
ZZ
ei(x y) ad (y; )u(y ) dy d;
(15)
где ad (y; ) = a(0) (y; ), или
ad (x; ) = a(0) (x; ):
(16)
Э▓а ┤│нк╢и┐ наз╗вае▓▒┐ д│ал╝н╗м ▒имволом ?ДО A, а ┤о░м│ла (15) { его
д│ал╝н╗м п░ед▒▓авлением. Таким об░азом, д│ал╝ное п░ед▒▓авление имее▓
вид
a(x; D)u(x) = F!1x [Fy! [ad (y; )u(y )]]
(17)
в о▓ли╖ие о▓ об╗╖ного п░ед▒▓авлени┐
a(x; D)u(x) = F!1x [a(x; )Fy! [u(y )]]:
(18)
И▒пол╝з│┐ ┤о░м│л╗ (14) и (16), пол│╖аем а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение
дл┐ д│ал╝ного ▒имвола
1 ( 1)jjD @ a(x; ):
x
!
О▓ме▓им, ╖▓о е▒ли ди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ запи▒ан в виде
X
a(x; D)u(x) =
D [b (x)u(x)];
ad (x; ) X
jjm
(19)
(20)
▓о его д│ал╝н╗й ▒имвол е▒▓╝
ad (x; ) =
X
jjm
b (x) :
Дей▒▓ви▓ел╝но, дл┐ опе░а▓о░а (21) имеем
X
a(x; D)u(x) =
F 1 F [b (x)u(x)];
jjm
и пол│╖ае▓▒┐ ┤о░м│ла (17) c д│ал╝н╗м ▒имволом (21).
(21)
19
До ▒и╡ по░ м╗ ░а▒▒ма▓ивали ?ДО
на ┤│нк╢и┐╡ из п░о▒▓░ан▒▓ва Шва░╢а S = S (R n ). И▒пол╝з│┐ д│ал╝н╗й к A
?ДО A(0) , можно ░а▒п░о▒▓░ани▓╝
дей▒▓вие
опе░а▓о░а A на обоб╣енн╗е ┤│нк0
0
n
╢ии из п░о▒▓░ан▒▓ва Шва░╢а S = S (R ) линейн╗╡ неп░е░╗вн╗╡ ┤│нк╢ионалов над S . Э▓о делае▓▒┐ по ┤о░м│ле
hAf; ui = hf; A0ui (u 2 S ; f 2 S 0 ):
(22)
Зде▒╝ hg; vi { обозна╖ение дл┐ ░ез│л╝▓а▓а п░именени┐ ┤│нк╢ионала (обоб╣енной ┤│нк╢ии) g к о▒новной ┤│нк╢ии v. Из ▓ео░ем╗ 3 ▒░аз│ пол│╖ае▓▒┐
?▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ A из 1 дей▒▓в│е▓ не5. ?ДО на обоб╣енн╗╡ ┤│нк╢и┐╡.
Тео░ема 4.
п░е░╗вн╗м об░азом в
S0.
Зде▒╝ неп░е░╗вно▒▓╝ надо понима▓╝ в ▒лед│╛╣ем ▒м╗▒ле: е▒ли fm ! f в S 0
(▓.е. hfm ; ui ! hf; ui дл┐ л╛бой ┤│нк╢ии u 2 S ), ▓о Afm ! Af . Неп░е░╗вно▒▓╝
п░ове░┐е▓▒┐ о╖евидн╗м об░азом:
hAfm; ui = hfm ; A(0)ui ! hf; A0ui = hAf; ui:
В ╖а▒▓но▒▓и, имее▓ ▒м╗▒л Aeix .
Дл┐ ▒имвола ?ДO A = a(x; D) имее▓ ме▒▓о ┤о░м│ла
a(x; ) = e ix a(x; Dx )eix :
(23)
Таким об░азом, ▒имвол ?ДО однозна╖но оп░еделен ╜▓и опе░а▓о░ом (в о▓ли╖ие о▓ ампли▓│д╗).
Имеем
Z
Z
Z
ix
ix
(
0
)
n
ix
ix
hAe ; u(x)i = he ; A u(x)i = (2)
e
e
e iy a(y; )u(y ) dy d dx:
Заменим зде▒╝ на . ?ол│╖им, ╖▓о ╜▓о в╗░ажение ░авно
Z
Z
Z
n
ix
ix
iy
(2) e
e
e a(y; )u(y ) dy d dx:
Зде▒╝ два вне╕ни╡ ин▓ег░ала ▒ множи▓елем (2) n { ╜▓о об░а▓ное и п░┐мое
п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е: Fx!1 F!x . ?о╜▓ом│ и╡ можно │б░а▓╝, заменив на в о▒▓а╛╣ем▒┐ ин▓ег░але:
Z
ix
hAe ; u(x)i = eiy a(y; )u(y) dy = heix a(x; ); u(x)i;
╖▓о и дае▓ ┤о░м│л│ (23).
След│╛╣а┐ ▓ео░ема, { може▓ б╗▓╝, важней╕а┐ в и▒╖и▒лении ?ДО.
?│▒▓╝ A = a(x; D) и B = b(x; D) { ?ДО ▒оо▓ве▓▒▓венно из
m
m
1
2
и . Тогда C = BA { ?ДО из m1 +m2 ▒ ▒имволом c(x; ), име╛╣им
6. Фо░м│ла дл┐ ▒имвола.
Тео░ема 4.
Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗.
7. Компози╢и┐ дв│╡ ?ДО.
Тео░ема 5.
а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение
c(x; ) X
1 D b(x; )@ a(x; ):
x
! (24)
20
ЛЕКЦИЯ 5.
М╗ запи╕ем ?ДО B в об╗╖ной ┤о░ме и
?ДО A в д│ал╝ной ┤о░ме:
(Bv)(x) = F!1x b(x; )Fz! [v(z)];
(25)
где
v (z ) = (Au)(z ) = F!1z Fy! [ad (y; )u(y )]:
(26)
?од▒▓авим (26) в (25) и оп│▒▓им Fz! F!1z . ?ол│╖им
Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗ 5.
Cu(x) = F!1x [b(x; )Fy! [ad (y; )u(y )]] = (2 ) n
ZZ
ei(x y) b(x; )ad(y; ) dy d:
(27)
Э▓о ?ДО ▒ ампли▓│дой b(x; )ad(y; ) 2 S m1+m2 . Его ▒имвол c(x; ) имее▓
а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение
X 1
@ [b(x; )Dxad (x; )];
(25)
c(x; ) !
и зде▒╝
X 1
ad (x; ) ( 1)jj@ Dx a(x; )
(26)
!
по ┤о░м│ле (19). ?од▒▓авим (26) в (25) и в╗╖и▒лим @ по ┤о░м│ле Лейбни╢а
X !
@ f @ ╞ g:
@ [f g ] =
+╞= !╞ !
?ол│╖им
( 1)jj @ b(x; ) @ +╞ D++╞ a(x; )
(27)
x
! !╞ ! ;;╞
Э▓о а▒имп▓о▓и╖е▒кий ░┐д, в ко▓о░ом по░┐док ▒лагаем╗╡ падае▓ ▒ ░о▒▓ом
j j + j j + j╞j. Тепе░╝ м╗ во▒пол╝з│ем▒┐ ┤о░м│лой Н╝╛▓она
X {!
( 1)jj ╞ :
(28)
( ){ =
!
╞
!
+╞={
c(x; ) X
?олага┐ зде▒╝ = = (1; : : : ; 1), пол│╖аем
X ( 1)j j
0=
п░и { =6 (0; : : : ; 0):
+╞={ !╞ !
?о╜▓ом│ ┤о░м│ла (27) п░инимае▓ вид
X 1
@ b(x; ) Dx a(x; ): c(x; ) !
21
Заме╖ани┐.
1. В ╜▓ом а▒имп▓о▓и╖е▒ком ░азложении главн╗й ╖лен е▒▓╝ ba.
2. Е▒ли A и В { ▒кал┐░н╗е ?ДО, ▓о дл┐ и╡ комм│▓а▓о░а
[A; B ] = AB BA
пол│╖аем [A; B ] 2 S m1 +m2 1 . В ма▓░и╖ном ▒л│╖ае ╜▓о ве░но п░и │▒ловии пе░е▒▓аново╖но▒▓и ▒имволов a и b. В ╖а▒▓но▒▓и, до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ один из ╜▓и╡
▒имволов б╗л ▒кал┐░ной ма▓░и╢ей.
3. Дл┐ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ опе░а▓о░ов доказанна┐ ┤о░м│ла доп│▒кае▓ непо▒░ед▒▓венн│╛ п░ове░к│; п░и ╜▓ом до▒▓а▓о╖но ░а▒▒ма▓░ива▓╝ \одно╖лен╗"
b(x)@xm2 и a(x)@xm1 .
8.
Локал╝но▒▓╝ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ опе░а▓о░ов и п▒евдолокал╝-
Нам понадоб┐▓▒┐ оп░еделени┐, ко▓о░╗е │же в▒▓░е╖али▒╝ в к│░▒е обоб╣енн╗╡ ┤│нк╢ий.
Но▒и▓елем supp u неп░е░╗в╗ной ┤│нк╢ии u(x) наз╗вае▓▒┐ зам╗кание множе▒▓ва ▓о╖ек, в ко▓о░╗╡ u(x) 6= 0. Но▒и▓ел╝ supp u
можно ▓акже оп░едели▓╝ как наимен╝╕ее замкн│▓ое множе▒▓во, вне ко▓о░ого
u(x) = 0.
?│▒▓╝ ' и { две ┤│нк╢ии из C01 (R n ) ▒ не пе░е▒ека╛╣ими▒┐ но▒и▓ел┐ми. Тогда е▒ли A { ди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ ▒ ко╜┤┤и╢иен▓ами из B1 , ▓о 'A { н│левой опе░а▓о░, а е▒ли A { ?ДО из 1 , ▓о
'A { ?ДО из 1 .
Зде▒╝ пе░вое │▓ве░ждение о╖евидно. В▓о░ое п░ове░┐е▓▒┐ п░и помо╣и ▓ео░ем╗ о компози╢ии. Дей▒▓ви▓ел╝но, е▒ли A имее▓ ▒имвол a(x; ), ▓о из оп░еделени┐ ?ДО видно, ╖▓о 'A { ?ДО c ▒имволом '(x)a(x; ). Тепе░╝ п░имен┐ем
▓ео░ем│ о компози╢ии к ?ДО 'A и опе░а▓о░│ │множени┐ на . ?ол│╖ае▓▒┐
?ДО ▒ а▒имп▓о▓и╖е▒ким ░азложением ▒имвола, ▒о▒▓о┐╣им из одни╡ н│лей.
Дл┐ обоб╣енной ┤│нк╢ии u, нап░име░, из S 0 оп░еделим
ее но▒и▓ел╝ supp u = F как наимен╝╕ее замкн│▓ое множе▒▓во, вне ко▓о░ого
u = 0. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о hu; 'i = 0, е▒ли но▒и▓ел╝ о▒новной ┤│нк╢ии ' 2 S
▒оде░жи▓▒┐ в дополнении к F .
но▒▓╝ п▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ опе░а▓о░ов.
Оп░еделение 1.
?░едложение 1.
Оп░еделение 2.
?░едложение 2.
▓ами из
Е▒ли
Дей▒▓ви▓ел╝но, е▒ли
▓о
A
{ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ c ко╜┤┤и╢иен-
B1 , ▓о он обладае▓ ▒лед│╛╣им ▒вой▒▓вом локал╝но▒▓и:
supp Au supp u:
A=
X
jjm
a (x)D ;
hAu; 'i = hu; i; где =
X
( 1)jjD ';
jjm
(29)
22
и е▒ли но▒и▓ел╝ ┤│нк╢ии ' лежи▓ в дополнении к F = supp u, ▓о ▓о же ве░но
дл┐ ┤│нк╢ии , ▓ак ╖▓о hu; i = 0.
?▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ може▓ б╗▓╝ ин▓ег░ал╝н╗м опе░а▓о░ом, ▓ак ╖▓о в об╣ем ▒л│╖ае он не обладае▓ ▒вой▒▓вом локал╝но▒▓и.
?│▒▓╝ u(x) { об╗╖на┐ ┤│нк╢и┐ на R n . Ее ▒инг│л┐░н╗м
но▒и▓елем sing supp u наз╗вае▓▒┐ наимен╝╕ее замкн│▓ое множе▒▓во F , вне
ко▓о░ого она ┐вл┐е▓▒┐ бе▒коне╖но гладкой ┤│нк╢ией.
?│▒▓╝ u { обоб╣енна┐ ┤│нк╢и┐, нап░име░, из S 0 (R n ). Ее
▒инг│л┐░н╗м но▒и▓елем sing supp u наз╗вае▓▒┐ наимен╝╕ее замкн│▓ое множе▒▓во F , вне ко▓о░ого она ▒овпадае▓ ▒ бе▒коне╖но гладкой ┤│нк╢ией.
?▒евдоди┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ A 2 1 ┐вл┐е▓▒┐ п▒евдолокал╝н╗м опе░а▓о░ом в ▒лед│╛╣ем ▒м╗▒ле:
sing supp Au sing supp u:
(30)
?│▒▓╝ { дополнение к F = sing supp u и ', '1 , '2
{ ▓░и бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢ии ▒ компак▓н╗ми но▒и▓ел┐ми, лежа╣ими
вн│▓░и , п░и╖ем '1 ░авна 1 в ок░е▒▓но▒▓и но▒и▓ел┐ ┤│нк╢ии ' и '2 ░авна 1
в ок░е▒▓но▒▓и но▒и▓ел┐ ┤│нк╢ии '1 . Имеем
hAu; 'i = hAu; '1'i = h'1 A'2u; 'i + h'1 A(1 '2 )u; 'i:
(31)
Зде▒╝ '2 u 2 C01 (Rn ), ▓ак как u { бе▒коне╖но гладка┐ ┤│нк╢и┐ в ; A'2u 2 S ,
▓ак как A дей▒▓в│е▓ в S ; '1 A'2 u 2 C01 (R n ). ?о╜▓ом│ пе░вое ▒лагаемое ▒п░ава
в (31) { ░ез│л╝▓а▓ дей▒▓ви┐ бе▒коне╖но гладкой ┤│нк╢ии на '. Во в▓о░ом
▒лагаемом надо │╖е▒▓╝ оп░еделение дей▒▓ви┐ ?ДО на обоб╣енн│╛ ┤│нк╢и╛ и
▓о об▒▓о┐▓ел╝▒▓во, ╖▓о u как обоб╣енна┐ ┤│нк╢и┐ из S 0 е▒▓╝ коне╖на┐ ▒│мма
п░оизводн╗╡ в ▒м╗▒ле обоб╣енн╗╡ ┤│нк╢ий о▓ неп░е░╗вн╗╡ ┤│нк╢ий u (x)
не в╗╕е ╖ем ▒▓епенного ░о▒▓а (▒м. лек╢ии п░о╕лого ▒еме▒▓░а):
X
u=
@ u (x):
Оп░еделение 3.
Оп░еделение 4.
Тео░ема 6.
Доказа▓ел╝▒▓во.
jjN
Э▓о в▓о░ое ▒лагаемое пе░епи▒╗вае▓▒┐ в виде
X
h
@ u (x); (1 '2 )A(0) '1 'i:
jjN
(32)
Опе░а▓о░, дей▒▓в│╛╣ий зде▒╝ на ', п░инадлежи▓ 1 в ▒ил│
п░едложени┐ 1,
▓ак ╖▓о ╜▓о ин▓ег░ал╝н╗й опе░а▓о░ ▒ ┐д░ом k(x; y) из K 1 . ?о╜▓ом│ в╗░ажение (32) пе░епи▒╗вае▓▒┐ в виде линейной комбина╢ии в╗░ажений
hu(x); @x
Z
k(x; y )'(y )i:
(33)
?е░ено▒им п░оизводн╗е на k ди┤┤е░ен╢и░ованием под знаком 1ин▓ег░ала, пол│╖ае▓▒┐ ин▓ег░ал╝н╗й опе░а▓о░ ▒ ┐д░ом k (x; y) ▒нова из K . ?е░еб░а▒╗ваем ┤о░мал╝но ▓░ан▒пони░ованн╗й опе░а▓о░ на u(x), ╜▓о возможно, ▓ак как
23
'(y ) имее▓
компак▓н╗й но▒и▓ел╝, а k (x; y) б╗▒▓░о │б╗вае▓ п░и │далении x
о▓ ╜▓ого но▒и▓ел┐. В╗░ажение (33) по▒ле пе░е▒▓ановки ин▓ег░алов п░инимае▓
вид
Z
hg(y); '(y)i; где g (y) = k(x; y)u(x) dx
{ бе▒коне╖но гладка┐ ┤│нк╢и┐. Ра▒▒мо▓░им ?ДО
Замена пе░еменн╗╡ в ?ДО.
Au(x) = (2 )
n
ZZ
ei(x y) a(x; )u(y ) dy d
(34)
из m и две обла▒▓и и e в R n . То╖ки пе░вой (и набо░╗ и╡ коо░дина▓)
б│дем обозна╖а▓╝ ╖е░ез x, ▓о╖ки в▓о░ой { ╖е░ез xe. ?│▒▓╝ ╜▓и обла▒▓и ▒в┐зан╗
ди┤┤еомо░┤измом кла▒▒а C 1
xe = '(x); x = (xe);
(35)
╜▓о взаимно об░а▓н╗е о▓об░ажени┐. ?│▒▓╝ 1(x) и 2 (x) { две ┤│нк╢ии из
C01 (R n ) ▒ но▒и▓ел┐ми, лежа╣ими вн│▓░и . Им ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ бе▒коне╖но
гладкие ┤│нк╢ии о▓ xe
1 (xe) = 1 ( (xe)); 2 (xe) = 2 ( (xe))
e п░одолженн╗е н│лем вне .
e М╗ ░а▒▒мо▓░им
▒ но▒и▓ел┐ми, лежа╣ими в ,
опе░а▓о░
e )(x
(Av
e) = 1 (x)A(2 u)x= (x
e) ; где u = v ['(x)] в :
Зде▒╝ под░аз│мевае▓▒┐ ▒лед│╛╣ее. Ф│нк╢и┐ v оп░еделена на R n . Ф│нк╢и┐ u
оп░еделена в , а 2u п░одолжае▓▒┐ н│лем вне .
М╗ докажем, ╖▓о ╜▓о ?ДО из m , и в╗╖и▒лим а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение
его ▒имвола. Но дл┐ п░о▒▓о▓╗ под░обно ░а▒▒мо▓░им ▓ол╝ко ▒л│╖ай m < n.
Сл│╖ай m n ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ п░и помо╣и ░ег│л┐░иза╢ии.
М╗ имеем
( )(xe) = (2)
e
Av
n (x
1 e)
ZZ
ei[ (xe) y] a( (xe); )2(y )u(y ) dy d:
?од▒▓авим y = (ye) во вн│▓░еннем ин▓ег░але. ?ол│╖им
( )(xe) = (2)
e
Av
где
n
ZZ
ei[ (xe) (ye)] b(xe; ye; )v (ye) dye d;
b(xe; ye; ) = 1 (xe)a( (xe); )2(
ye )
det @ @(yeye) :
24
?о ┤о░м│ле Адама░а
(xe)
где
(ye) = (xe; ye)(xe
(xe; ye) =
ye);
1@
[ye + t(xe ye)] dt:
0 @ ye
Z
(36)
(37)
e и она об░а▓има п░и x
Как изве▒▓но, ╜▓а ма▓░и╢а бе▒коне╖но гладка┐ в e ,
e=
ye, б│д│╖и ░авна ▓ам @ (xe)=@ xe. ?░едположим, ╖▓о ма▓░и╢а (xe; ye) об░а▓има
п░и
jxe yej < "; xe 2 supp 1 ; ye 2 supp 2 :
(38)
Воз╝мем ▒░еза╛╣│╛ ┤│нк╢и╛ 0 (x) 2 C01 (Rn ), ░авн│╛ 1 п░и jxj "=3 и 0 п░и
jxj 2"=3, и запи╕ем Ae в виде ▒│мм╗ Ae1 v + Ae2 v, где
( ) = (2)
Ae1 v xe
n
ZZ
ei(xe ye) (xe;ye) b(xe; ye; )0(xe ye)v (ye) dye d;
0
(39)
где ╕▓░и╡ возле озна╖ае▓ ▓░ан▒пози╢и╛ ма▓░и╢╗ и
( ) = (2)
Ae2 v xe
n
ZZ
ei(xe ye) (xe;ye) b(xe; ye; )[1 0 (xe ye)]v (ye) dye d:
0
(40)
Из ╜▓и╡ дв│╡ опе░а▓о░ов главн╗м ┐вл┐е▓▒┐ Ae1. М╗ покажем, ╖▓о ╜▓о ?ДО
из m в ампли▓│дном п░ед▒▓авлении, a Ae2 2 1 .
25
ЛЕКЦИЯ 6.
Ра▒▒мо▓░им опе░а▓о░ (39). ?омен┐ем ме▒▓ами ин▓ег░ал╗ по ye и и ▒делаем
под▒▓ановк│
0 (xe; ye) = во вн│▓░еннем ин▓ег░але. За▓ем ▒нова помен┐ем ме▒▓ами ин▓ег░ал╗. ?ол│╖им
ZZ
n
e
A1 v (xe) = (2 )
ei(xe ye) b(1) (xe; ye; )v (ye) dye d;
(41)
где
b(1) (xe; ye; ) = b(xe; ye; 1 (xe; ye) ) j det (xe; ye)j 1 0 (xe ye):
(42)
Не▒ложно п░ове░и▓╝, ╖▓о ╜▓о ампли▓│да из S m . Зна╖и▓, Ae1 { ?ДО из m .
?е░ейдем к опе░а▓о░│ (40). Его можно п░ед▒▓ави▓╝ в виде
0
Ae2 v (xe) =
где
c
k(xe; ye) = (2 )
n
Z
Z
k(xe; ye)v (ye) dye;
ei( (xe) (ye)) b(2) (xe; ye; ) d
(43)
(44)
b(2) (xe; ye; ) = b(xe; ye; )[1 0 (xe ye)]:
(45)
?░ове░им, ╖▓о ╜▓о ┐д░о из K 1 . ?ока ┐▒но, ╖▓о оно неп░е░╗вно и ░авно н│л╛
п░и бол╝╕и╡ jxej + jyej. Ф│нк╢и┐ b(2) и ░авна н│л╛ ▓акже п░и мал╗╡ jxe yej.
Э▓о позвол┐е▓ запи▒а▓╝ ▒▓о┐╣│╛ пе░ед ней ╜к▒понен▓│ в виде
( (xe) (ye))@ ei( (xe) (ye)) :
ei( (xe) (ye)) =
ij (xe) (ye)j2
Ин▓ег░и░│┐ по ╖а▒▓┐м, м╗ замен┐ем b(2) на ┤│нк╢и╛ из S m 1. ?ов▓о░┐┐
╜▓│ п░о╢ед│░│, замен┐ем b(2) ┤│нк╢ией из S m N c п░оизвол╝но бол╝╕им N .
О▓▒╛да видно, ╖▓о k 2 C 1 и, зна╖и▓, k 2 K 1 .
И▓ак, Ae2 2 1 и Ae 2 m .
А▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение ▒имвола ╜▓ого ?ДО запи▒╗вае▓▒┐ г░омоздкой
┤о░м│лой
X 1
@ (ye) 1
1
e
a(xe; ) (xe)@ Dye a[ (xe); (xe; ye) ]2 (ye) det
j det(xe; ye)j :
! 1
@ ye ye=xe
(46)
М╗ заменили 0(xe ye) на 1, ▓ак как ╜▓а ┤│нк╢и┐ ░авна 1 п░и мал╗╡ jxe yej.
О▓ме▓им, ╖▓о оп░едели▓ели бе░│▓▒┐ о▓ взаимно об░а▓н╗╡ ма▓░и╢ п░и ye = xe.
Главн╗й ╖лен в (46) о▓ве╖ае▓ = 0 и оказ╗вае▓▒┐ ░авн╗м
0
@ (xe)
1 (xe)a (xe);
@ xe
0
1
2 (xe):
(47)
26
К ╜▓ом│ важном│ в╗░ажени╛ м╗ е╣е ве░нем▒┐.
3. ?ДО в ▒оболев▒ки╡ п░о▒▓░ан▒▓ва╡
?░о▒▓░ан▒▓во H s (Rn ) ░а▒▒ма▓░ивало▒╝
в лек╢и┐╡ п░ед╗д│╣его ▒еме▒▓░а. Э▓о пополнение п░о▒▓░ан▒▓ва C01 (R n ) по
но░ме, оп░едел┐емой ░авен▒▓вом
1. Соболев▒кие п░о▒▓░ан▒▓ва.
kuk2 = (2) n
Z
s
jF u( )j2(1 + j j2)s d:
(1)
Множи▓ел╝ ▒п░ава введен дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ п░и s = 0 пол│╖ала▒╝ но░ма в L2 :
напомним, ╖▓о ░авен▒▓во ?а░▒евал┐ имее▓ вид
Z
u(x)v (x) dx = (2 )
n
Z
F u( )F v ( ) d:
(2)
?░о▒▓░ан▒▓во H s (R n ) ▒│жае▓▒┐ ▒ ░о▒▓ом s и п░и s > n=2 ▒о▒▓ои▓ из неп░е░╗вн╗╡ ог░ани╖енн╗╡ ┤│нк╢ий (по▒ле и╡ и▒п░авлени┐, е▒ли понадоби▓▒┐, на
множе▒▓ва╡ н│левой ме░╗). С ░о▒▓ом s и╡ гладко▒▓╝ пов╗╕ае▓▒┐. ?░и о▓░и╢а▓ел╝н╗╡ s в ╜▓и п░о▒▓░ан▒▓ва попада╛▓ обоб╣енн╗е ┤│нк╢ии, не ┐вл┐╛╣ие▒┐ об╗╖н╗ми
┤│нк╢и┐ми.
s
n
Но░ма в H (R ) доп│▒кае▓ ▒лед│╛╣│╛ запи▒╝:
kuks = ksuk0 ; где s = F 1 (1 + j j2)s=2F;
(3)
╜▓о, как м╗ знаем, ?ДО из s .
В п░о▒▓░ан▒▓ве H s (Rn ) п░и л╛бом s пло▓н╗ бе▒коне╖но гладкие ┤ини▓н╗е
┤│нк╢ии.
?░о опе░а▓о░ A, оп░еделенн╗й на ▓аки╡ ┤│нк╢и┐╡ и │довле▓во░┐╛╣ий на
ни╡ не░авен▒▓в│ kAukm s Cs kukm п░и л╛бом s, гово░┐▓, ╖▓о он дей▒▓в│е▓
в ╕кале ▒оболев▒ки╡ п░о▒▓░ан▒▓в H s (R n ) и имее▓ по░┐док m. ?░и каждом
s ▓акой опе░а▓о░ п░одолжае▓▒┐ до опе░а▓о░а, дей▒▓в│╛╣его ог░ани╖енн╗м
об░азом из H m (R n ) в H m s(R n ).
Опе░а▓о░ по░┐дка 1 { ╜▓о опе░а▓о░, дей▒▓в│╛╣ий ог░ани╖енн╗м об░азом из H s в H s+N ▒о ▒кол╝ │годно бол╝╕им N п░и л╛бом s.
2. Ог░ани╖енно▒▓╝ ?ДО в ▒оболев▒ки╡ но░ма╡.
Нам понадоби▓▒┐
Лемма Ш│░а.
Ра▒▒мо▓░им ин▓ег░ал╝н╗й опе░а▓о░
g (x) =
Z
K (x; y ) f (y ) dy:
(4)
?░едположим, ╖▓о коне╖н╗ ве░╡ние г░ани
Z
sup
jK (x; y)j dy
x
Z
и
sup
jK (x; y)j dx:
y
(5)
27
Тогда опе░а▓о░
▒▓во
(1) ог░ани╖ен в L2(R n ). Более ▓о╖но, имее▓ ме▒▓о не░авенp
(6)
kgk0 M1M2 kf k0:
Имеем в ▒ил│ не░авен▒▓ва Шва░╢а
Доказа▓ел╝▒▓во.
jg(x)j2 Z
jK (x; y)j dy
О▓▒╛да
Z
jK (x; y)jjf (y)j2dy M1
Z
jK (x; y)jjf (y)j2dy:
kg(x)k2 M1M2 kf k2: Тепе░╝ м╗ докажем важней╕│╛ ▓ео░ем│ об ог░ани╖енно▒▓и ?ДО в ▒оболев▒ки╡ п░о▒▓░ан▒▓ва╡. См╗▒л ее ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о ?ДО по░┐дка m в п░ежнем
▒м╗▒ле (▓.е. п░инадлежа╣ий m ) имее▓ по░┐док m в новом ▒м╗▒ле { как
опе░а▓о░ в ▒оболев▒кой ╕кале.
?│▒▓╝ A { ?ДО из m , m 2 R . Тогда A { ог░ани╖енн╗й опе░аs
n
▓о░ из H (R ) в H s m (R n ) п░и в▒е╡ s 2 R .
В▒е н│жн╗е не░авен▒▓ва до▒▓а▓о╖но доказ╗ва▓╝ на ┤ини▓н╗╡ бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢и┐╡.
1. У▓ве░ждение ▓ео░ем╗ ▒░аз│ пол│╖ае▓▒┐ дл┐ ?ДО s в ▒ил│ ┤о░м│л╗
(3) и о╖евидного ▒оо▓но╕ени┐ s t = s+t . Тепе░╝ об╣ий ▒л│╖ай ▒води▓▒┐ к
▒л│╖а╛ s = m = 0 ▒лед│╛╣им об░азом:
A = m s A1 s ; где A1 = s m A s 2 0
(7)
в ▒ил│ ▓ео░ем╗ о компози╢ии. Далее б│дем п░едполага▓╝, ╖▓о s = m = 0.
2. ?│▒▓╝ ▒имвол a = a( ) не зави▒и▓ о▓ x. В ╜▓ом ▒л│╖ае нам не н│жна
его гладко▒▓╝, до▒▓а▓о╖на ог░ани╖енно▒▓╝: ja(x; )j C1. Имеем
Тео░ема.
Доказа▓ел╝▒▓во.
kAuk20 = (2) n
Z
ja( )F u( )j2 d C12 (2) n
Z
jF u( )j2 d = C12 kuk20: (8)
Э▓о заме╖ание ▒делано ▓ол╝ко ▒ ╢ел╝╛ по┐▒ни▓╝, ╖▓о в ▒л│╖ае не зави▒┐╣его
о▓ x доказа▓ел╝▒▓во ▒ов▒ем п░о▒▓ое.
3. ?│▒▓╝ a(x; ) = 0 п░и jxj r, где r не зави▒и▓ о▓ . ?оложим v(x) =
(Au)(x). Имеем
где
(F v)() =(2)
n
(2)
n
Z
Z
e
ix
Z
eix a(x; )(F u)( ) d dx =
b( ; )(F u)( ) d;
b(; ) =
Z
e ix a(x; ) dx:
(9)
28
Э▓о ин▓ег░ал по ╕а░│ ░ади│▒а r, иZ в▒е ┤│нк╢ии
b(; ) = e ix Dx a(x; ) dx
ог░ани╖ен╗. Можем напи▒а▓╝
jb( ; )j C2(1 + j )j) (n+1);
(10)
где по▒▓о┐нна┐ C2 зави▒и▓ ▓ол╝ко о▓ r и maxx; j@xa(x; )j, jj n + 1. Из
не░авен▒▓ва (10) ▒лед│е▓ ог░ани╖енно▒▓╝ опе░а▓о░а (9) в ▒ил│ лемм╗ Ш│░а, и
о▒▓ае▓▒┐ и▒пол╝зова▓╝ ░авен▒▓во ?а░▒евал┐ (2).
4. ?│▒▓╝ a(x; ) 2 S 1 . Тогда A { ин▓ег░ал╝н╗й опе░а▓о░ ▒ неп░е░╗вн╗м
(даже бе▒коне╖но гладким) ┐д░ом, │довле▓во░┐╛╣им, в ╖а▒▓но▒▓и, не░авен▒▓в│
jk(x; y)j C3 jx yj n 1 ;
(11)
и его ог░ани╖енно▒▓╝ ▒нова ▒лед│е▓ из лемм╗ Ш│░а.
5. Об╣ий ▒л│╖ай. За┤ик▒и░│ем две ┤│нк╢ии
'(x), (x) из C01 (R n ), ▓акие,
p
╖▓о '(x) нео▓░и╢а▓ел╝на, n░авна 1 п░и jxj n=2 (╜▓о половина длин╗ диагонали едини╖ного к│ба в R ) и (x) ░авна 1 в ок░е▒▓но▒▓и но▒и▓ел┐ ┤│нк╢ии
'. ?оложим
1
X
' (x) = '(x )
'(x ) ; (x) = (x );
(12)
где п░обегае▓ ╢ело╖и▒ленн│╛ ░е╕е▓к│ в R n . Зде▒╝ ▒│мма по в каждой
▓о╖ке x положи▓ел╝на и ▒о▒▓ои▓ из коне╖ног?? ╖и▒ла ▒лагаем╗╡, не п░ево▒╡од┐╣его ┤ик▒и░ованной по▒▓о┐нной. Ф│нк╢ии ' об░аз│╛▓ ░азбиение едини╢╗.
М╗ имеем
X
X
X
A = ' A = A1 + A2 ; где A1 = ' A(1 ); A2 = ' A : (13)
Опе░а▓о░ A1 ▒о▒▓ои▓ из ▒лагаем╗╡, п░инадлежа╣и╡ 1 в ▒ил│ п░едложени┐
1 из лек╢ии 5. Дл┐ ┐де░ k(x; y) ╜▓и╡ опе░а▓о░ов ▒п░аведлив╗ о╢енки
jx yjN j@x @y k (x; y)j C;;N
(14)
▒ по▒▓о┐нн╗ми, не зави▒┐╣ими о▓ . Но в л╛бой ▓о╖ке x о▓ли╖но о▓ н│л┐
▓ол╝ко коне╖ное ╖и▒ло ┐де░ k(x; y), ог░ани╖енное не зави▒┐╣ей о▓ x по▒▓о┐нной. ?о╜▓ом│ аналоги╖на┐ о╢енка ве░на дл┐ P k(x; y). А ╜▓о озна╖ае▓, ╖▓о
A1 2 1 . Сл│╖ай ▓акого опе░а▓о░а │же ░а▒▒мо▓░ен в п. 4.
О▒▓ае▓▒┐ доказа▓╝ ог░ани╖енно▒▓╝ опе░а▓о░а A2. И▒пол╝з│┐ не░авен▒▓во
Шва░╢а, напи╕ем
X
X
jA2u(x)j2 '2 j A uj2
?е░ва┐ ▒│мма ░авноме░но ог░ани╖ена. В ╖лена╡ в▓о░ой A { ?ДО, к ко▓о░╗м п░именим ░ез│л╝▓а▓ п│нк▓а 3, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ о╢енка ░авноме░на по
. ?ол│╖аем
Z X
X
2
2
0
2
2
0 00 2
kA2 uk C k A uk CC
(x)ju(x)j dx CC C kuk : (15)
29
ЛЕКЦИЯ 7
4. ?олиодно░одн╗е ?ДО
Э▓о▓ п│нк▓ ▒оде░жи▓m подго▓овк│
к ░а▒▒мо▓░ени╛ ╜ллип▓и╖е▒ки╡ ?ДО. М╗
m
оп░еделим подкла▒▒ ph кла▒▒а , ▓акой, ╖▓о в нем кажд╗й ?ДО имее▓, в
╖а▒▓но▒▓и, одно░одн╗й по главн╗й ▒имвол.
?оложим
R n0 = R n n f0g:
(1)
Введем ▒на╖ала кла▒▒ одно░одн╗╡ ▒имволов. ?│▒▓╝ b(x; ) { ┤│нк╢и┐ на
n
R R n0 . У▒ловим▒┐ пи▒а▓╝
b 2 Shm = Shm (R n R n0 );
(2)
е▒ли
1) дл┐ b(x; ) в╗полнено │▒ловие положи▓ел╝ной одно░одно▒▓и ▒▓епени m
по b(x; ) = m b(x; ) ( > 0; 6= 0)
(3)
и
2) ▒п░аведлив╗ (░авноме░н╗е) о╢енки
j@x@ b(x; )j C; j jm jj ( 6= 0);
(4)
где по▒▓о┐нн╗е не зави▒┐▓ о▓ x; .
Заме▓им, ╖▓о ▓ака┐ ┤│нк╢и┐ не попадае▓ в кла▒▒ S m, за и▒кл╛╖ением ▒л│╖а┐, когда m { на▓│░ал╝ное ╖и▒ло и ╜▓о много╖лен по , одно░одн╗й ▒▓епени
m (или m = 0 и b не зави▒и▓ о▓ ). Дей▒▓ви▓ел╝но, одно░одна┐ ┤│нк╢и┐ о▓
, не ┐вл┐╛╣а┐▒┐ много╖леном, имее▓ о▒обенно▒▓╝ в на╖але (е▒ли m < 0) или
п░иоб░е▓ае▓ ее по▒ле до▒▓а▓о╖ного ╖и▒ла ди┤┤е░ен╢и░ований по .
Назовем
▓епе░╝
?ДО A = a(x; D) из m полиодно░одн╗м и б│дем пи▒а▓╝
m
m
n
A 2 ph = ph (R ), е▒ли
a(x; ) a0 (x; ) + a1 (x; ) + : : : ;
(5)
где a 2 Shm , в ▒лед│╛╣ем ▒м╗▒ле:
@ @ a
x (x; )
N
X
=0
a (x; )
C;;N j jm jj
N 1
п░и j j C > 0;
(6)
где по▒▓о┐нн╗е C;;N не зави▒┐▓ о▓ x; . Символ a(x; ) ▓оже б│дем наз╗ва▓╝
m = S m (R n R n ).
полиодно░одн╗м и б│дем пи▒а▓╝ a 2 Sph
ph
?░о▒▓ей╕ий п░име░ { опе░а▓о░ в ╖а▒▓н╗╡ п░оизводн╗╡ (▒ ко╜┤┤и╢иен▓ами
из B1 ). В ╜▓ом ▒л│╖ае ░азложени┐ (5) коне╖н╗.
Е╣е п░име░: m . А▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение ▒имвола h im = (1+ j j2 )m=2
╜▓ого ?ДО в ▒м╗▒ле (5) ▒▓░ои▓▒┐ ▒ и▒пол╝зованием биномиал╝ного ░┐да:
2 1) j j 4 + : : : ;
h im = j jm 1 + m2 j j 2 + (m=2)(m=
2!
30
где в▒е ╖лен╗ ░┐да надо │множи▓╝ на j jm. Э▓о ░азложение ┐вл┐е▓▒┐ в данном
▒л│╖ае ▒╡од┐╣им▒┐ п░и j j > 1 ░┐дом.
?░име░╗ ▒имволов из S 1, не ┐вл┐╛╣и╡▒┐ полиодно░одн╗ми:
h i + h i1=2; h i + h i1=2 lnh i:
Ф│нк╢ии a в (5) о╖евидн╗м об░азом оп░едел┐╛▓▒┐ однозна╖но. Ф│нк╢и┐
a0 (x; ) наз╗вае▓▒┐ главн╗м ▒имволом ?ДО A = a(x; D) (по-англий▒ки principal symbol). Ф│нк╢и┐ a(x; ) наз╗вае▓▒┐ полн╗м ▒имволом (complete symbol).
У▒ловие ░авноме░ной ╜ллип▓и╖но▒▓и ╜▓ого ?ДО ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о
ja0(x; )j C j jm;
(7)
где C { положи▓ел╝на┐ по▒▓о┐нна┐.
Нап░име░, опе░а▓о░ Лапла▒а имее▓ главн╗й ▒имвол j j2 и, коне╖но,
░авноме░но ╜ллип▓и╖ен. Опе░а▓о░ m имее▓ главн╗й ▒имвол j jm и ▓оже ░авноме░но ╜ллип▓и╖ен.
?│▒▓╝ ( ) { бе▒коне╖но гладка┐ ┤│нк╢и┐ на R n , ░авна┐ 0 в ок░е▒▓но▒▓и на╖ала и 1 вне бол╝╕ей ок░е▒▓но▒▓и. Тогда из (5) │множением на ( ) пол│╖аем,
╖▓о
a(x; ) ( )a0(x; ) + ( )a1(x; ) + : : : :
(8)
Об░а▓но, о▓▒╛да ▒лед│е▓ (5). ?о╜▓ом│ по заданной по▒ледова▓ел╝но▒▓и fa g
одно░одн╗╡ ▒имволов из Shm ▒▓░ои▓▒┐ полн╗й ▒имвол ▒ ░азложением (5).
Е▒ли A и B { полиодно░одн╗е ?ДО, ▓о ╜▓о же ве░но дл┐ и╡ п░оизведени┐
C = AB , п░и ╜▓ом его главн╗й ▒имвол c0 ░авен п░оизведени╛ a0 b0 главн╗╡
▒имволов ?ДО A и B .
Е▒ли A { полиодно░одн╗й ?ДО ▒ главн╗м ▒имволом a0 , ▓о ┤о░мал╝но ▒оп░┐женн╗й опе░а▓о░ A() { ▓оже полиодно░одн╗й ?ДО, ▒ главн╗м ▒имволом
a0 (в ▒кал┐░ном ▒л│╖ае). Аналоги╖ное │▓ве░ждение ве░но в о▓но╕ении ┤о░мал╝но ▓░ан▒пони░ованного опе░а▓о░а, его главн╗й ▒имвол ▒овпадае▓ c a0.
Е▒ли м╗ делаем ди┤┤еомо░┤н│╛ замен│ пе░еменн╗╡ x = (y) в полиодно░одном ?ДО ▒ главн╗м ▒имволом a(x; ), ▓о пол│╖аем полиодно░одн╗й ?ДО
▒ главн╗м ▒имволом
@ (y ) 1 e
a0 (y; ) = a0 (y );
:
(9)
0
@y
С░. ▒ ┤о░м│лой (47) в лек╢ии 6. Сей╖а▒ м╗ пи╕ем y вме▒▓о xe и имеем в вид│
▓е ▓о╖ки x, в ко▓о░╗╡ j (x) = 1, j = 1; 2. Фо░м│ла (9) б│де▓ и▒пол╝зована
п░и ░а▒▒мо▓░ении ?ДО на многооб░ази┐╡.
В доказа▓ел╝▒▓ве ог░ани╖енно▒▓и ?ДО в ▒оболев▒ки╡ но░ма╡ б╗ло и▒пол╝зовано довол╝но много п░оизводн╗╡ ▒имвола. Сей╖а▒ м╗ займем▒┐ │▓о╖нением
о╢енки но░м╗ дл┐ полиодно░одного ?ДО. М╗ в╗┐▒ним ее ▒в┐з╝ ▒ ве░╡ней г░ан╝╛ мод│л┐ главного ▒имвола.
На╖нем ▒о ▒л│╖а┐ m = s = 0.
31
?│▒▓╝ A 2 0ph ,
▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акое C" , ╖▓о
Тео░ема 1.
0
M
= sup ja0(x; )j.
Тогда дл┐ л╛бого
kAuk0 (M + ")kuk0 + C" kuk 1 :
Доказа▓ел╝▒▓во.
можно п░ове░и▓╝, ╖▓о
">
0
(10)
?оложим M1 = M + "=2. Тогда M12 ja0(x; )j2 > 0, и
b0 (x; ) = [M12
ja0(x; )j2]1=2 2 Sh0 :
?│▒▓╝ B { полиодно░одн╗й ?ДО ▒ главн╗м ▒имволом b0. Тогда
M12 A A B B = T 2 ph1 ;
по▒кол╝к│ ╜▓о ?ДО из 0ph ▒ н│лев╗м главн╗м ▒имволом. Тепе░╝ имеем
(Au; Au)0 + (Bu; Bu)0 = M12(u; u)0 (T u; u)
и, зна╖и▓,
kAuk20 M12kuk20 + kT uk0 kuk0 2
(M + 2" )2kuk20 + "4 kuk20 + Ce"2 kT uk20 (M + ")kuk0 + Ce" kT uk2;
▓ак ╖▓о
kAuk0 (M + ")kuk0 + Ce"C kuk 1 : Тепе░╝ м╗ ░а▒▒мо▓░им полиодно░одн╗й ?ДО по░┐дка m.
?│▒▓╝ A 2 m
ph , M = supx;jj=1 ja0 (x; )j. Тогда ▒│╣е▒▓в│е▓
▓акое C" 0, ╖▓о п░и л╛бом s
kAuks m (M + ")kuks + C" kukm 1 :
(11)
Тео░ема 2.
?оложим A1 = s m A s . Э▓о ?ДО из 0ph . Е▒ли
u 2 H s (R n ), ▓о v = s u 2 H 0 (R n ), s v = u. М╗ │же знаем, ╖▓о
kA1 vk0 (M + ")kvk0 + C" kvk 1:
Э▓а о╢енка ▒овпадае▓ ▒ доказ╗ваемой. Доказа▓ел╝▒▓во.
?│▒▓╝
▒п░аведлива о╢енка
Тео░ема 3.
kAuks
m
A
{ л╛бой опе░а▓о░, дл┐ ко▓о░ого п░и неко▓о░ом
C1 kuks + C2 kuks
1
(u 2 H s(R n )):
s
(12)
32
0
Тогда дл┐ л╛бого " > ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акой опе░а▓о░ T , дей▒▓в│╛╣ий ог░ани╖енн╗м об░азом из п░о▒▓░ан▒▓ва H t R n ▒о ▒кол╝ │годно бол╝╕им по мод│л╛
о▓░и╢а▓ел╝н╗м t в H s m R n , ╖▓о
( )
k(A T )uks
( )
m (С1 + ")kuks :
(13)
A { ?ДО по░┐дка m, ▓о T { ?ДО по░┐дка 1.
1 n
Доказа▓ел╝▒▓во. ?│▒▓╝ ┤│нк╢и┐ 0 ( ) п░инадлежи▓ C0 (R ), 0 0 ( ) 1 и 0( ) = 1 п░и j j h. ?оложим
0 (D) = F 1 0 ( )F; T = A0 (D); v = [I 0 (D)]u:
?░и ╜▓ом е▒ли
М╗ имеем
[1
0 ( )]2=[1 + j j2] (1 + h2 ) 1 :
?о╜▓ом│
k(A T )uks m = kAvks m C1kvks + C2 kvks 1 (C1 + C2 (1 + h2 ) 1=2)kuks:
Зде▒╝ пе░е╡од о▓ v к u возможен в ▒ил│ ▒в┐зи об░азов Ф│░╝е ╜▓и╡ ┤│нк╢ий
и ▒вой▒▓в ┤│нк╢ии 0 ( ). О▒▓ае▓▒┐ │╖е▒▓╝, ╖▓о h можно вз┐▓╝ ▒кол╝ │годно
бол╝╕им. x3.
Эллип▓и╖е▒кие ?ДО в
Rn
( )
( )
n
?│▒▓╝ A { ░авноме░но ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из m
ph R . Тогда
▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акой ░авноме░но ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО B из phm R n , ╖▓о
Тео░ема 1.
BA = I + T1 ; AB = I + T2 ;
где Tj { ?ДО по░┐дка
b0 =a0 .
(1)
1. Главн╗е ▒имвол╗ ?ДО a0 и b0 ▒в┐зан╗ ┤о░м│лой
=1
Опе░а▓о░ B наз╗вае▓▒┐ дв│c▓о░онним па░аме▓░ик▒ом, или п░о▒▓о па░аме▓░ик▒ом дл┐ A.
?│▒▓╝ ▒имвол a ?ДО A имее▓ а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение
a a0 + a1 + : : : :
(2)
Б│дем ▒▓░ои▓╝ а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение ▒имвола b ?ДО B
b b0 + b1 + : : : ;
(3)
и▒╡од┐ из пе░вого из ▒оо▓но╕ений (1). В ▒ил│ ▓ео░ем╗ о компози╢ии м╗
должн╗ име▓╝
b0 a0 = 1;
X
b1 a0 + b0 a1 + @j b0 Dxj a0 = 0;
b2 a0 + b1 a1 + = 0
Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗.
33
и ▓. д. О▓▒╛да по▒ледова▓ел╝но оп░едел┐ем
b0 = a0 1 2 Sh m ;
X
b1 = a0 1 [ b0 a1
@j b0 Dxj a0 ] 2 Sh m 1 ;
b2 = a0 1 [ b1 a1 + : : : ] 2 Sh m 2
и ▓. д. ?░и в╗╖и▒лении каждого bj и▒пол╝з│е▓▒┐ ▓о об▒▓о┐▓ел╝▒▓во, ╖▓о
п░ед╗д│╣ие ╖лен╗ в ░азложении ▒имвола b │же оп░еделен╗. ?о а▒имп▓о▓и╖е▒ком│ ░азложени╛ (3) ▒▓░ои▓▒┐ ▒имвол b, ╖ем оп░едел┐е▓▒┐ полиодно░одн╗й
?ДО В1 c ▓о╖но▒▓╝╛ до ▒лагаемого из 1 . ?ДО B = B1 п░инадлежи▓ phm .
М╗ по▒▓░оили ╜▓о▓ ?ДО ▓ак, ╖▓о B1A = I + T1 , где T1 { ?ДО по░┐дка 1.
Такой ?ДО B1 наз╗вае▓▒┐ лев╗м па░аме▓░ик▒ом дл┐ A.
Аналоги╖но ▒▓░ои▓▒┐ п░ав╗й па░аме▓░ик▒ B2 { ▓акой ?ДО из phm , ╖▓о
AB2 = I + T3 , где T3 { ?ДО из 1 . Тепе░╝ имеем
B1 AB2 = (I + T1 )B2 = B1 (I + T3 ):
Из по▒леднего ░авен▒▓ва видно, ╖▓о B1 B2 2 1 , ▓ак ╖▓о оба ?ДО B1 и
B2 ┐вл┐╛▓▒┐ дв│▒▓о░онними па░аме▓░ик▒ами дл┐ A. Тео░ема 1 имее▓ важн╗е ▒лед▒▓ви┐.
(о пов╗╕ении гладко▒▓и ░е╕ений ╜ллип▓и╖е▒ки╡ │░авнений).
n
?│▒▓╝ A { ░авноме░но ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из m
ph и Au = f в R , где u 2
H s (R n ), a f 2 H s m+t (R n ) c положи▓ел╝н╗м t. Тогда u 2 H s+t (R n ).
И▒пол╝з│┐ па░аме▓░ик▒ B , имеем BAu = Bf , о▓к│да
u = T1 u + Bf 2 H s+t (R n );
▓ак как T1 u 2 H 1 (R n ) = \H r (R n ). Э▓ом│ │▓ве░ждени╛ м╗ в ▒лед│╛╣ей лек╢ии п░идадим локал╝н│╛ ┤о░м│.
(об ап░ио░ной о╢енке). ?│▒▓╝ A { ░авноме░но ╜ллип▓и╖е▒кий
?ДО из m
.
Тогда
ph
kuks C (kAuks m + kuks 1 ) (u 2 Hm (R n )):
(4)
И▒пол╝з│┐ па░аме▓░ик▒, из ▒оо▓но╕ени┐ Au = f оп┐▓╝
пол│╖аем
u = T1 u + Bf;
о▓к│да
kuks kT1 uks + kBf ks
и как ▒лед▒▓вие
kuks C1 kf ks m + C2kuks 1 : О▓ме▓им, ╖▓о в по▒леднем ▒лагаемом но░м│ kuks 1 можно замени▓╝ но░мой
л╛бого по░┐дка, мен╝╕его s.
Тео░ема 2
Доказа▓ел╝▒▓во.
Тео░ема 3
Доказа▓ел╝▒▓во.
34
ЛЕКЦИЯ 8
?░иведем локал╝н╗й ва░иан▓ ▓ео░ем╗ о пов╗╕ении гладко▒▓и ░е╕ений. Но
дл┐ п░о▒▓о▓╗ ог░ани╖им▒┐ ▒л│╖аем пов╗╕ени┐ гладко▒▓и \до бе▒коне╖но▒▓и".
n
s n
?│▒▓╝ A { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из m
ph (R ), u 2 H (R ) и
Au 2 C 1 (
), где { неко▓о░а┐ обла▒▓╝ в R n . Тогда u 2 C 1 (
).
Не ог░ани╖ива┐ об╣но▒▓и, б│дем ▒╖и▓а▓╝ обла▒▓╝ ╕а░ом. ?│▒▓╝ 0 { кон╢ен▓░и╖е▒кий ╕а░ мен╝╕его ░ади│▒а. До▒▓а▓о╖но показа▓╝, ╖▓о u 2 C 1 (
0) (по▒ле возможного и▒п░авлени┐ на множе▒▓ве н│левой
ме░╗).
?о▒▓░оим по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ┤│нк╢ий 'k c ▒│жа╛╣ими▒┐ но▒и▓ел┐ми (k =
1; 2; : : : ) ▓ак, ╖▓о
'k = 1 в ок░е▒▓но▒▓и но▒и▓ел┐ supp 'k+1 и supp 'k 0 :
В ╖а▒▓но▒▓и, в▒е 'k ░авн╗ 1 на 0.
Заме▓им, ╖▓о
'k+1 A'k u = 'k+1 Au 'k+1 A(1 'k )u 2 C01 (R n );
▓ак как в пе░вом ╖лене ▒п░ава Au 2 C 1 на supp 'k+1 , а во в▓о░ом ╖лене
'k+1 A(1 'k ) 2 1 .
Тепе░╝ п░оводим ▒лед│╛╣│╛ инд│к╢и╛. Имеем
'2 A'1 u = ('2 A A'2 )('1 u) + A('2 u):
(5)
Зде▒╝ ▒п░ава '2 A A'2 2 m 1 и '1 u 2 H s(R n ), ▓ак ╖▓о пе░вое ▒лагаемое
▒п░ава п░инадлежи▓ H s m+1 (Rn ). Так как
лева┐
╖а▒▓╝
п░инадлежи▓
C01 (R n ),
▓о по ▓ео░еме 2 закл╛╖аем, ╖▓о '2 u 2 H s+1(R n ).
Далее, из ▒оо▓но╕ени┐
'3 A'2 u = ('3 A A'3 )('2 u) + A('3 u)
(6)
аналоги╖но закл╛╖аем, ╖▓о '3u 2 H s+2 (Rn ), и ▓. д. В и▓оге u 2 H 1 (
0). Заме▓им, ╖▓о ╜ллип▓и╖но▒▓╝ до▒▓а▓о╖но п░едполага▓╝ в , ▓ак как из ╕а░а
0 ╜ллип▓и╖е▒кий в главн╗й ▒имвол (a0(x; ) 6= 0 п░и x 2 ) можно п░одолжи▓╝ до главного ▒имвола, ░авноме░но ╜ллип▓и╖е▒кого в R n .
Е▒ли Au = f и A ░авноме░но ╜ллип▓и╖ен, ▓о
sing supp u sing supp Au
(7)
Тео░ема 4.
Доказа▓ел╝▒▓во.
След▒▓вие.
и, зна╖и▓,
sing supp u = sing supp Au;
по▒кол╝к│ об░а▓ное к (7) вкл╛╖ение ▒п░аведливо в▒егда.
(8)
35
Тепе░╝ м╗ покажем, ╖▓о из ап░ио░ной о╢енки (▒м. ▓ео░ем│ 3) ▒лед│е▓ ╜ллип▓и╖но▒▓╝.
n
?│▒▓╝ A 2 m
ph (R ) и
kuks C (kAuks m + kukm 1)
(9)
дл┐ ┤│нк╢ий u из H s (R n ) п░и неко▓о░ом s c но▒и▓ел┐ми в неко▓о░ой ок░е▒▓но▒▓и O = O(x0 ) ▓о╖ки x0 , где C не зави▒и▓ о▓ u. Тогда главн╗й ▒имвол
a0 (x; ) ╜ллип▓и╖ен в ▓о╖ке x0 :
a0 (x0 ; ) 6= 0 ( 6= 0):
(10)
?░едположим, ╖▓о a0 (x0; 0) 6= 0 п░и неко▓о░ом 0 6= 0.
?░именим о╢енк│ (9) к ┤│нк╢и┐м
u(x) = '(x)eix0 ; > 0;
где
' 2 C01 (R n ); k'k0 = 1; supp ' O:
Имеем
kuks = ksuk0 = ks(')(eix0 )k:
?│▒▓╝ b(x; ) { ▒имвол п░оизведени┐ s ('). Тогда по изве▒▓ной нам ┤о░м│ле
дл┐ ▒имвола под знаком по▒ледней но░м╗ ▒▓ои▓ b(x; 0)eix0 . ?░и ╜▓ом
X 1
@ (1 + j j2 )s=2 @x '(x);
b(x; ) j
j
!i
▓ак ╖▓о
b(x; 0) = s j0 js '(x) + O( s 1) ( ! 1):
(11)
Аналоги╖но
kAuks m = ks mAuk0 ;
и под знаком по▒ледней но░м╗ ▒▓ои▓ ▒(x; 0)eix , где c(x; ) { ▒имвол опе░а▓о░а s m A('). Дл┐ него имеем
▒(x; 0 ) = eix0 s j0 js m a0 (x; 0 )'(x) + O( s 1 ):
Тепе░╝ о╢енка (9) дае▓
s 1 ):
s j0 js C s j0 js m x2max
j
a
(
x;
)
j
+
O
(
(12 M)
0
0
supp '
Тео░ема 5.
Доказа▓ел╝▒▓во.
?│▒▓╝ supp ' на▒▓ол╝ко мал, ╖▓о на нем C max ja0(x; 0=j0j)j < 1. Тогда п░и
до▒▓а▓о╖но бол╝╕ом возникае▓ п░о▓иво░е╖ие. 36
x4.
?▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗е опе░а▓о░╗
на замкн│▓╗╡ многооб░ази┐╡
Ра▒▒мо▓░им n-ме░ное замкн│▓ое
Нап░име░, ╜▓о може▓ б╗▓╝ замкн│▓а┐ бе▒коне╖но
гладка┐ гипе░пове░╡но▒▓╝ в R n+1 . Не вдава┐▒╝ в ▒ов▒ем ▓о╖ное оп░еделение,
напомним, ╖▓о M { \до▒▓а▓о╖но ╡о░о╕ее" ▓опологи╖е▒кое п░о▒▓░ан▒▓во, пок░╗▓ое коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми O. Кажда┐ ▓ака┐ ок░е▒▓но▒▓╝ имее▓
ка░▓│ { обла▒▓╝ U в R n cо взаимно однозна╖н╗м о▓об░ажением x = (y) обла▒▓и U на O. Коо░дина▓╗ y в U ┐вл┐╛▓▒┐ локал╝н╗ми коо░дина▓ами в O. Е▒ли
коо░дина▓н╗е ок░е▒▓но▒▓и O1 и O2 пе░е▒ека╛▓▒┐, ▓о и╡ п░ооб░аз╗
на ка░▓а╡
1
U1 и U2 { о▓к░╗▓╗е множе▒▓ва и ▒в┐з╗ва╛╣ее и╡ о▓об░ажение 1 2 ┐вл┐е▓▒┐
бе▒коне╖но гладким ди┤┤еомо░┤измом. Ка░▓╗ коо░дина▓н╗╡ ок░е▒▓но▒▓ей
об░аз│╛▓ а▓ла▒ многооб░ази┐. Замкн│▓о▒▓╝ многооб░ази┐ озна╖ае▓ его компак▓но▒▓╝ (и о▓▒│▓▒▓вие к░а┐). Компак▓но▒▓╝ { ╜▓о возможно▒▓╝ в╗б░а▓╝
из л╛бого пок░╗▓и┐ многооб░ази┐ M о▓к░╗▓╗ми множе▒▓вами (в ╖а▒▓но▒▓и, коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми) коне╖ное подпок░╗▓ие. Эквивален▓ное
│▒ловие ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о л╛ба┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▓о╖ек на M ▒оде░жи▓
подпо▒ледова▓ел╝но▒▓╝, ▒╡од┐╣│╛▒┐ к неко▓о░ой его ▓о╖ке.
Замкн│▓а┐ гладка┐ гипе░пове░╡но▒▓╝ в R n как п░авило задае▓▒┐ па░аме▓░и╖е▒ки ▒ ░азной (гладкой) па░аме▓░иза╢ией в ░азн╗╡ ме▒▓а╡, па░аме▓░╗
{ ╜▓о и е▒▓╝ локал╝н╗е коо░дина▓╗. Более об╣ий п░име░ замкн│▓ого гладкого n-ме░ного многооб░ази┐ (┤ак▓и╖е▒ки
▒ам╗й об╣ий) { замкн│▓а┐ гладка┐
N
пове░╡но▒▓╝ ░азме░но▒▓и n в R , N > n.
Ф│нк╢и┐ f (x) на M наз╗вае▓▒┐ бе▒коне╖но гладкой, е▒ли в▒е ┤│нк╢ии f ((y))
на ка░▓а╡ коо░дина▓н╗╡ ок░е▒▓но▒▓ей бе▒коне╖но гладкие. Э▓и ┤│нк╢ии
об░аз│╛▓ п░о▒▓░ан▒▓во C 1 (M ) = E (M ). Аналоги╖но оп░едел┐╛▓▒┐ ┤│нк╢ии кла▒▒а C N (M ) c коне╖н╗м N 2 Z+. Ча▒▓н╗е п░оизводн╗е оп░еделен╗
локал╝но в локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡ и зави▒┐▓ о▓ и╡ в╗бо░а. Как п░авило ди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ на M нел╝з┐ оп░едели▓╝ ▒░аз│ глобал╝но.
Дл┐ каждого пок░╗▓и┐ fOk gKk коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми (или л╛б╗ми
о▓к░╗▓╗ми множе▒▓вами) ▒│╣е▒▓в│е▓ под╖иненное ╜▓ом│ пок░╗▓и╛ ░азбиение едини╢╗ { ▒и▒▓ема ┤│нк╢ий f'k gK
1 ▒о ▒вой▒▓вами
1. Гладкое замкн│▓ое многооб░азие.
многооб░азие M кла▒▒а C 1 .
'k 2 C 1 (M ); 'k 0;
supp 'k Ok ;
K
X
1
'k (x) 1:
В п░о▒▓░ан▒▓ве С N (M ) можно вве▒▓и но░м│
kf kN = k;y2max
j@ (f'k )[(k) (y)]j:
Uk ;jN y
(1)
(2)
Э▓а но░ма зави▒и▓ о▓ в╗бо░а ░азбиени┐ едини╢╗ и локал╝н╗╡ коо░дина▓, но
можно п░ове░и▓╝, ╖▓о п░и ░азн╗╡ в╗бо░а╡ пол│╖а╛▓▒┐ ╜квивален▓н╗е но░м╗.
(Эквивален▓но▒▓╝ дв│╡ но░м озна╖ае▓, ╖▓о и╡ о▓но╕ение закл╛╖ено межд│
положи▓ел╝н╗ми по▒▓о┐нн╗ми.)
?░о▒▓░ан▒▓во E 0(M ) оп░едел┐е▓▒┐ как п░о▒▓░ан▒▓во линейн╗╡ неп░е░╗вн╗╡ ┤│нк╢ионалов над E (M ) = C 1 (M ).
37
Об▒│дим ▓епе░╝ воп░о▒ об ин▓ег░и░овании по M . Оп░еделим пло▓но▒▓╝
на M как ▒овок│пно▒▓╝ бе▒коне╖но гладки╡ положи▓ел╝н╗╡ ┤│нк╢ий U (y) на
ка░▓а╡ U , ▓аки╡, ╖▓о е▒ли коо░дина▓н╗е ок░е▒▓но▒▓и
O и O0 име╛▓ неп│▒▓ое
0
пе░е▒е╖ение, ▓о дл┐ ▓о╖ек на ка░▓а╡ U и U , ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ▓о╖кам ╜▓ого
пе░е▒е╖ени┐,
U (y ) dy = U (y 0 ) dy 0:
(3)
Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о
0) 1
@y
(
y
0
0
:
U [y (y )] = U (y ) det
(4)
@y 0 Об╗╖но пло▓но▒▓╝ запи▒╗ва╛▓ ▓ак: dx = fU (y) dyg.
Тепе░╝ оп░еделим ин▓ег░ал о▓ ┤│нк╢ии f (x) по M ┤о░м│лой
0
0
Z
M
f (x) dx =
K Z
X
1
(f'k )[(k) (y)]Uk (y) dy:
(5)
Зде▒╝ и▒пол╝зован╗ ░азбиение едини╢╗, ▒о▒▓о┐╣ее из ┤│нк╢ий 'k ▒ но▒и▓ел┐ми
в коо░дина▓н╗╡ ок░е▒▓но▒▓┐╡ Ok , пло▓но▒▓╝ и локал╝н╗е коо░дина▓╗ в
U (k) . Но ин▓ег░ал благода░┐ (4) зави▒и▓ ▓ол╝ко о▓ в╗бо░а пло▓но▒▓и. E▒ли,
в ╖а▒▓но▒▓и, но▒и▓ел╝ ┤│нк╢ии f лежи▓ в коо░дина▓ной ок░е▒▓но▒▓и O, ▓о
Z
Z
f (x) dx = f ((y ))(y ) dy:
(6)
M
Кажд│╛ неп░е░╗вн│╛ ┤│нк╢и╛ f (x) на M можно ▓епе░╝ о▓ожде▒▓ви▓╝ ▒
░а▒п░еделением, или обоб╣енной ┤│нк╢ией, из E 0(M ) по ┤о░м│ле
hf; 'i =
Скал┐░ное п░оизведение
Z
M
f (x)'(x) dx; ' 2 E (M ):
на M оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой
Z
(f; g)0;M = f (x)g(x) dx:
(7)
(8)
Далее е▒▓е▒▓венно оп░едел┐е▓▒┐ п░о▒▓░ан▒▓во L2 (M ) как гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во, пол│╖аемое, нап░име░, пополнением п░о▒▓░ан▒▓ва C (M ) неп░е░╗вн╗╡ ┤│нк╢ий по ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей но░ме kuk0;M = (u; u)10=;M2 . Можно оп░едели▓╝ и д░│гие п░о▒▓░ан▒▓ва Lp (M ), 1 p 1.
Ра▒▒мо▓░им дв│ме░н│╛ замкн│▓│╛ пове░╡но▒▓╝ S в R 3 . ?│▒▓╝
она локал╝но задае▓▒┐ │░авнени┐ми
xj = xj (t1 ; t2 ) (j = 1; 2; 3);
(9)
где ┤│нк╢ии ▒п░ава бе▒коне╖но гладкие. Зде▒╝ t1 ; t2 { локал╝н╗е коо░дина▓╗.
Лебегова ме░а в R 3 по░ождае▓ лебегов│ ме░│ на S , и \ин▓ег░ал 1-го ░ода" по
╜▓ой ме░е (\по пло╣ади на S ") в╗╖и▒л┐е▓▒┐ по изве▒▓ной ┤о░м│ле
?░име░.
Z
f (x) dS =
ZZ
p
f (x1(t1 ; t2 ); : : : ) EG F 2 dt1 dt2 ;
(10)
38
где
E = @t1 x @t1 x; F
= @t1 x @t2 x; G = @t2 x @t2 x:
(11)
p
?░и ╜▓ом, как изве▒▓но, вели╖ина EG F 2, зави▒┐╣а┐ о▓ в╗бо░а па░аме▓░иза╢ии, в╗░ажае▓▒┐ ╖е░ез ┐кобиан╗ ▒лед│╛╣им об░азом:
1=2
p
@ (x1 ; x2 ) 2
2
EG F = det
+ ::: :
@ (t1 ; t2 ) В данном ▒л│╖ае пло▓но▒▓╝ е▒▓╝ fpEG F 2 dt1 dt2 g.
?░и заданной пло▓но▒▓и кажда┐ ▓о╖ка на M имее▓ ок░е▒▓но▒▓╝ ▒ ▓акими локал╝н╗ми коо░дина▓ами y, ╖▓о U (y) 1.
Дей▒▓ви▓ел╝но, п│▒▓╝ O { кака┐-ниб│д╝ коо░дина▓на┐ ок░е▒▓но▒▓╝, в ко▓о░ой на╡оди▓▒┐ вз┐▓а┐ ▓о╖ка, и yej (j = 1; : : : ; n) { локал╝н╗е коо░дина▓╗ в ней,
Ue { ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ ка░▓а. ?оложим
Заме╖ание.
y1 = ye1 ; : : : ; yn 1 = yen 1 ; yn =
Z yen
yen;0
Ue (ye1 ; : : : ; yen 1 ; t) dt:
(12)
Тогда @y=@ ye { нижн┐┐ ▓░е│гол╝на┐ ма▓░и╢а ▒ главной диагонал╝╛ (1; : : : ; 1; Ue )
и
dy = det(@y=@ ye) dye = Ue (ye) dye;
▓ак ╖▓о U (y) дей▒▓ви▓ел╝но ░авно 1.
?ок░╗ва┐ многооб░азие ок░е▒▓но▒▓┐ми ▒ ▓акими локал╝н╗ми коо░дина▓ами и в╗би░а┐ коне╖ное подпок░╗▓ие, пол│╖аем ▒пе╢иал╝н╗й \мал╗й" а▓ла▒
из ка░▓, ▒огла▒ованн╗╡ ▒ заданной пло▓но▒▓╝╛ ▓ак, ╖▓о в▒е U ▓ожде▒▓венно ░авн╗ 1. Фо░м│ла (5) дл┐ ин▓ег░ала п░и и▒пол╝зовании ╜▓и╡ ка░▓
п░инимае▓ вид
Z
K Z
X
f (x) dx =
(f'k )[(k) (y)] dy:
(5')
M
1
ввод┐▓▒┐ ▒лед│╛╣им об░азом. ?│▒▓╝K
{ пок░╗▓ие многооб░ази┐ коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми, и п│▒▓╝ f k g1
{ ▒и▒▓ема ┤│нк╢ий ▒о ▒лед│╛╣ими ▒вой▒▓вами:
X
1
(13)
k 2 C (M );
k 0; supp k Ok ;
k > 0 на M:
Соболев▒кие п░о▒▓░ан▒▓ва
fOk g
H s (M )
Дл┐ л╛бого s 2 R и л╛бой ┤│нк╢ии u 2 C 1 (M ) положим
kuks;M =
X
ku k k2s;Rn
1=2
;
(14)
где под░аз│мевае▓▒┐,
╖▓о ┤│нк╢и┐ u k п░одолжена ▒ n▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей ка░▓╗
n
на R н│лем вне ее но▒и▓ел┐ и но░ма в╗╖и▒лена в R . ?░о▒▓░ан▒▓во H s (M )
оп░едел┐е▓▒┐ как пополнение п░о▒▓░ан▒▓ва C 1 (M ) по ╜▓ой но░ме.
39
О╖евидно, ╖▓о ╜▓о гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во ▒о ▒кал┐░н╗м п░оизведением
(u; v)s;M =
X
(u
k ; v k )s;Rn :
(15)
Разн╗е в╗бо░╗ коо░дина▓н╗╡ ок░е▒▓но▒▓ей, локал╝н╗╡ коо░дина▓ и ▒и▒▓ем╗
┤│нк╢ий k п░ивод┐▓ к ╜квивален▓н╗м но░мам. Э▓а ▒и▒▓ема може▓ б╗▓╝, в
╖а▒▓но▒▓и, ░азбиением едини╢╗:
X
k (x) 1:
(16)
Д░│гой полезн╗й в╗бо░ ╜▓ой ▒и▒▓ем╗: ▒ │▒ловием
X
k (x) 1:
(17)
2
В по▒леднем ▒л│╖ае, е▒ли пол╝зова▓╝▒┐ мал╗м а▓ла▒ом из ка░▓, ▒огла▒ованн╗╡
▒ заданной пло▓но▒▓╝╛,
Z
(18)
(u; v)0;M = uv dx;
M
▓ак ╖▓о H 0(M ) полно▒▓╝╛ ▒овпадае▓ ▒ L2(M ).
Имее▓ ме▒▓о неп░е░╗вное вложение Hs(M ) Hs (M ) п░и s < s0; более
▓ого, ╜▓о вложение компак▓но (благода░┐ компак▓но▒▓и M ). ?░и s > n=2 + k
имеем неп░е░╗вное вложение H s(M ) C (k) (M ), k 2 Z+. ?о╜▓ом│ H 1 (M ) =
\H s (M ) можно о▓ожде▒▓ви▓╝ ▒ C 1 (M ). ?░о▒▓░ан▒▓во [H s(M )]0 неп░е░╗вн╗╡
линейн╗╡ ┤│нк╢ионалов над H s (M ) можно
о▓ожде▒▓ви▓╝ 1) c H s(M ), и▒пол╝s
з│┐ ▒кал┐░ное п░оизведение (15), 2) c H (M ), и▒пол╝з│┐ п░одолжение ┤о░м╗
(u; v)0;M на H s(M ) H s (M ). Но ╜▓о▓ в▓о░ой ва░иан▓ │да▒▓▒┐ обо▒нова▓╝
▓ол╝ко позднее. См. лек╢и╛ 11.
Неко▓о░╗е под░обно▒▓и можно най▓и в лек╢и┐╡ п░ед╗д│╣его ▒еме▒▓░а.
0
40
Лек╢и┐ 9
?│▒▓╝ M { замкн│▓ое nме░ное
бе▒коне╖но гладкое многооб░азие, и п│▒▓╝ A { опе░а▓о░, дей▒▓в│╛╣ий
в C 1 (Rn ). Че░ез ' и б│дем обозна╖а▓╝ ┤│нк╢ии из C 1 (M ).
М╗ ▒кажем, ╖▓о A { ?ДО из m (M ), е▒ли в╗полнен╗ два │▒лови┐.
1. Дл┐ л╛б╗╡ ', ▒ не пе░е▒ека╛╣ими▒┐ но▒и▓ел┐ми 'A( ) п░одолжае▓▒┐
до опе░а▓о░а по░┐дка 1 в ▒оболев▒кой ╕кале на M .
2. Е▒ли но▒и▓ели ┤│нк╢ий ', лежа▓ в одной коо░дина▓ной ок░е▒▓но▒▓и
O, ▓о
'A u = 'AU u;
(19)
где AU { ?ДО из m (Rn ), зави▒┐╣ий ▓ол╝ко о▓ O и в╗бо░а локал╝н╗╡ коо░дина▓ в O.
Зде▒╝ и дал╝╕е под░аз│мевае▓▒┐ ▒лед│╛╣ее. Слева u { л╛ба┐ ┤│нк╢и┐ из
1
C (M ). Но▒и▓ели ┤│нк╢ий u лежа▓ в O. ?о▒ле пе░е╡ода к локал╝н╗м коо░дина▓ам пол│╖а╛▓▒┐ ┤│нк╢ииn на ка░▓е U , ░авн╗е н│л╛ вблизи г░ани╢╗
ка░▓╗. Они п░одолжа╛▓▒┐ на R н│лем вне ▒вои╡ но▒и▓елей. В п░авой ╖а▒▓и
┤о░м│л╗ (19) пол│╖ае▓▒┐ ┤│нк╢и┐ на R n ▒ но▒и▓елем в U . Она пе░ено▒и▓▒┐
на O и п░одолжае▓▒┐ н│лем на M вне ▒воего но▒и▓ел┐.
В под▓ек▒▓е ╜▓ого оп░еделени┐ { ▓ео░ема о ▓ом, ╖▓о в R n компози╢и┐ вида
'A( ), где A { ?ДО, а ' и { ┤│нк╢ии из С01 (R n ) c не пе░е▒ека╛╣ими▒┐
но▒и▓ел┐ми, е▒▓╝ ?ДО по░┐дка 1, а главное, ▓ео░ема о замене пе░еменн╗╡ в ?ДО. В ▒ил│ ╜▓и╡ ▓ео░ем ▓ол╝ко ╖▓о данное оп░еделение ?ДО на M
ко░░ек▓но.
В╗ведем ▓епе░╝ ┤о░м│л│ дл┐ п░ед▒▓авлени┐ ?ДО A на M . ?│▒▓╝ fOk gK1 {
пок░╗▓ие многооб░ази┐ коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми, а f'k gK1 { ░азбиение
едини╢╗, ▒о▒▓о┐╣ее из бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢ий и под╖иненное ╜▓ом│ пок░╗▓и╛. ?│▒▓╝ Ak = AUk { ?ДО
из в▓о░ого п│нк▓а оп░еделени┐, о▓ве╖а╛╣ие
1
Ok . ?│▒▓╝ k { ┤│нк╢ии из C (M ) c но▒и▓ел┐ми в Ok , ░авн╗е 1 в ок░е▒▓но▒▓и
но▒и▓ел┐ ┤│нк╢ии 'k . Тогда
2.
Оп░еделение ?ДО на многооб░азии.
A=
X
'k A =
X
'k Ak k +
X
'k A(1
k )
?о▒ледн┐┐ ▒│мма { опе░а▓о░ по░┐дка 1. Таким об░азом,
A=
X
'k Ak k + : : : ;
(20)
зде▒╝ и дал╝╕е много▓о╖ием обозна╖ае▓▒┐ опе░а▓о░ по░┐дка 1. Аналоги╖н│╛ ┤о░м│л│ можно пол│╖и▓╝, │множа┐ A на ░азбиение едини╢╗ ▒п░ава:
A=
X
k Ak 'k + : : : :
(21)
Из ╜▓и╡ ┤о░м│л ▒░аз│ ▒лед│е▓
?ДО из m (M ) дей▒▓в│е▓ ог░ани╖енн╗м об░азом из H s (M )
s
m
вH
(M ).
Тео░ема 1.
41
Дей▒▓ви▓ел╝но, до▒▓а▓о╖но во▒пол╝зова▓╝▒┐ аналоги╖н╗м ░ез│л╝▓а▓ом дл┐
?ДО в R n .
Заме▓им е╣е, ╖▓о л╛бой опе░а▓о░ вида (20) или (21) { ?ДО из m (M ). Э▓о
▒лед│е▓ из ▓ео░ем╗ о замене пе░еменн╗╡ в ?ДО.
Че░ез 1 (M ) обозна╖им пе░е▒е╖ение в▒е╡ m (M ) и ╖е░ез 1 (M ) { об║единение в▒е╡ m (M ). Заме▓им, ╖▓о 1 (M ) ▒овпадае▓ ▒ кла▒▒ом ин▓ег░ал╝н╗╡ опе░а▓о░ов
Z
k(x; y )u(x) dx
c бе▒коне╖но гладкими ┐д░ами. Можно показа▓╝, ╖▓о он же ▒овпадае▓ ▒ кла▒▒ом опе░а▓о░ов по░┐дка 1 в ▒оболев▒кой ╕кале M .
?олн╗й ▒имвол ?ДО как п░авило можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ▓ол╝ко локал╝но, в
локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡.
?ДО A из m (M ) назовем полиодно░одн╗м, е▒ли в▒е Ak { полиодно░одн╗е
?ДО. Э▓и ?ДО об░аз│╛▓ кла▒▒ mph (M ).
?░име░ами мог│▓ ▒л│жи▓╝ опе░а▓о░╗ в ╖а▒▓н╗╡ п░оизводн╗╡ ▒ бе▒коне╖но
гладкими ко╜┤┤и╢иен▓ами (и╡ запи▒╝ об╗╖но локал╝на и зави▒и▓ о▓ в╗бо░а
локал╝н╗╡ коо░дина▓) и опе░а▓о░ │множени┐ на бе▒коне╖но гладк│╛ ┤│нк╢и╛, ╜▓о ?ДО из 0ph (M ).
Б│де▓ показано, ╖▓о полиодно░одн╗й ?ДО имее▓ инва░иан▓но оп░еделенн╗й главн╗й ▒имвол. ?одго▓овка п░оводи▓▒┐ в ▒лед│╛╣ем п│нк▓е.
M ?│▒▓╝ U {
обла▒▓╝ в R n и в каждой ее ▓о╖ке y задан ╖и▒ловой ▒▓олбе╢ (y) в╗▒о▓╗ n.
Гово░┐▓, ╖▓о ╜▓о кон▓░ава░иан▓н╗й век▓о░ (▓о╖нее, поле кон▓░ава░иан▓н╗╡
век▓о░ов), е▒ли п░и п░еоб░азовании коо░дина▓ y 7! ye = ye(y) ╜▓и век▓о░╗
п░еоб░аз│╛▓▒┐ по п░авил│
@ ye(y )
:
(22)
e =
@y
Э▓о п░еоб░азование ими▓и░│е▓ линейн│╛ ╖а▒▓╝ п░еоб░азовани┐ y y0 в ye ye0 :
3.
Ка▒а▓ел╝ное и кока▒а▓ел╝ное ░а▒▒лоени┐ над
.
@ ye
ye ye0 = (y y0 ) + : : : :
@y
?ол┐ кон▓░ава░иан▓н╗╡ век▓о░ов об░аз│╛▓ линейное п░о▒▓░ан▒▓во ▒ инва░иан▓но оп░еделенн╗ми (не зави▒┐╣ими о▓ в╗бо░а коо░дина▓) линейн╗ми
опе░а╢и┐ми.
Е▒ли в U задана к░ива┐ y = y(t), ▓о ка▒а▓ел╝н╗е к ней век▓о░╗ dy(t)=dt
кон▓░ава░иан▓н╗. Дей▒▓ви▓ел╝но, п░и пе░е╡оде к коо░дина▓ам ye │░авнени┐
к░ивой п░инима╛▓ вид ye = ye(y(t)), и
dye @ ye dy
=
:
dt @y dt
Кон▓░ава░иан▓н╗е век▓о░╗ наз╗ва╛▓▒┐ ▓акже ▓ензо░ами ▓ипа 10 .
42
Тепе░╝ в▒помним пон┐▓ие
пол┐ кова░иан▓н╗╡ век▓о░ов, или ковек▓о░ов,
или ▓ензо░ов по░┐дка 01 . Э▓о ▓оже век▓о░ в╗▒о▓╗ n, п░и ╜▓ом ▓░еб│е▓▒┐, ╖▓об╗ ▒▓анда░▓ное ▒кал┐░ное п░оизведение не зави▒ело о▓ в╗бо░а
коо░дина▓. ?о╜▓ом│ из ░авен▒▓ва
@ ye
@y
e e = e ▒лед│е▓ п░авило п░еоб░азовани┐ коо░дина▓ ковек▓о░а
e =
@ ye
@y
1
0
(23)
:
?е░ейдем к пон┐▓и┐м ка▒а▓ел╝ной пло▒ко▒▓и и ка▒а▓ел╝ного ░а▒▒лоени┐.
Фик▒и░│┐ ▓о╖к│ x на M , ░а▒▒мо▓░им па░╗ (x; ), где { кон▓░ава░иан▓н╗е
век▓о░╗, \ в╗╡од┐╣ие из" x. Э▓и па░╗
об░аз│╛▓ ка▒а▓ел╝н│╛ пло▒ко▒▓╝
Tx M . Е▒ли M { гипе░пове░╡но▒▓╝ в R n+1 , ▓о ╜▓о об╗╖на┐ ка▒а▓ел╝на┐ пло▒ко▒▓╝, ▒о▒▓о┐╣а┐ из в╗╡од┐╣и╡ из x век▓о░ов, ка▒а▓ел╝н╗╡ к п░о╡од┐╣им
╖е░ез x гладким к░ив╗м на M . Об║единение
[
TM =
Tx M
(24)
x2M
наз╗вае▓▒┐ ка▒а▓ел╝н╗м ░а▒▒лоением многооб░ази┐ M . Зде▒╝ ка▒а▓ел╝н╗е
пло▒ко▒▓и Tx M и Tx^ M в ░азн╗╡ ▓о╖ка╡ x и x^ ▒╖и▓а╛▓▒┐ не име╛╣ими об╣и╡
▓о╖ек. Э▓о бе▒коне╖но гладкое некомпак▓ное многооб░азие ▒ коо░дина▓н╗ми
ок░е▒▓но▒▓┐ми O R n и п░еоб░азовани┐ми локал╝н╗╡ коо░дина▓
ye = ye(y ); e =
Кока▒а▓ел╝на┐ пло▒ко▒▓╝ Tx M
Об║единение
@ ye
:
@y
(25)
▒о▒▓ои▓ из па░ (x; ), где { ковек▓о░╗.
T M =
[
x2M
Tx M
(26)
наз╗вае▓▒┐ кока▒а▓ел╝н╗м ░а▒▒лоением многооб░ази┐ M . Э▓о бе▒коне╖ноn
гладкое некомпак▓ное многооб░азие ▒ коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми O R
и п░еоб░азовани┐ми коо░дина▓
ye = ye(y ); e =
@ ye
@y
0
1
:
(27)
В▒помним, ╖▓о п░и п░еоб░азовании коо░дина▓ { под▒▓ановке ye = ye(y) главн╗й ▒имвол ?ДО п░еоб░аз│е▓▒┐ по ┤о░м│ле
@ ye(y )
e
a0 (ye(y );
= a(y; ):
4.
Главн╗й ▒имвол ?ДО на многооб░азии.
@y
43
О▓▒╛да ▒лед│е▓, ╖▓о главн╗й ▒имвол a0(x; ) ?ДО из mph (M ) имее▓ инва░иан▓н╗й
▒м╗▒л
как
┤│нк╢и┐
на
кока▒а▓ел╝ном
░а▒▒лоении
T M , ▓о╖нее, на
T M n 0 (из T M в╗б░а▒╗вае▓▒┐ \н│левое ▒е╖ение", ▒о▒▓о┐╣ее из ковек▓о░ов
(x; 0)). Э▓о положи▓ел╝но одно░одна┐ по ┤│нк╢и┐ ▒▓епени m. Э▓о озна╖ае▓,
╖▓о \п░ед▒▓ави▓ели" a0(y; ) главного ▒имвола в локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡ положи▓ел╝но одно░одн╗ ▒▓епени m по .
В ╖а▒▓но▒▓и, имее▓ ▒м╗▒л │▒ловие ╜ллип▓и╖но▒▓и
a0 (x; ) 6= 0 ( 6= 0):
(28)
Уже ▒лед│╛╣ий ╖лен a1 полного ░азложени┐ ▒имвола не имее▓ инва░иан▓ного ▒м╗▒ла. Но можно доказа▓╝, ╖▓о ▓ак наз╗ваем╗й ▒│бглавн╗й ▒имвол
X
(29)
(sub A) = a1(x; ) 21i @j @xj a0 (x; )
имее▓ инва░иан▓н╗й ▒м╗▒л, е▒ли догово░и▓╝▒┐ пол╝зова▓╝▒┐ ▓ол╝ко локал╝н╗ми коо░дина▓ами, ▒огла▒ованн╗ми ▒ данной пло▓но▒▓╝╛ (в▒е ┤│нк╢ии U
░авн╗ едини╢е).
О▓ме▓им е╣е, ╖▓о на ок░│жно▒▓и S (длин╗ 2) е▒▓е▒▓венно пол╝зова▓╝▒┐
пе░иоди╖е▒кой коо░дина▓ой. В ╜▓ом ▒л│╖ае полн╗й ▒имвол имее▓ ▒м╗▒л как
2-пе░иоди╖е▒ка┐ ┤│нк╢и┐ о▓ x:
a(x + 2; ) = a(x; ):
(30)
Аналоги╖но об▒▓ои▓ дело на ▓о░е Tn = S S { п░┐мом п░оизведении n
ок░│жно▒▓ей.
В▒е ▓ео░ем╗ ▒лед│╛▓ из аналоги╖н╗╡ ▓ео░ем в R n , но п░о▒леди▓╝ │дае▓▒┐ ▓ол╝ко за главн╗ми ▒имволами.
?│▒▓╝ A 2 m1 (M ), B 2 m2 (M ). Тогда C = BA 2 m1 +m2 (M ).
?░и ╜▓ом е▒ли A и B полиодно░одн╗, ▓о C полиодно░оден и его главн╗й ▒имвол е▒▓╝ п░оизведение главн╗╡ ▒имволов ?ДО B и A:
c0 = b0 a0 :
(31)
?│▒▓╝ ', { две ┤│нк╢ии из C 1 (M ) ▒на╖ала ▒ не пе░е▒ека╛╣ими▒┐ но▒и▓ел┐ми. ?│▒▓╝ ┤│нк╢и┐ из C 1 (M ), ░авна┐ 1 в ок░е▒▓но▒▓и но▒и▓ел┐ ┤│нк╢ии ' и ▓ака┐, ╖▓о но▒и▓ели ┤│нк╢ий и не пе░е▒ека╛▓▒┐.
Тогда
'BA = 'BA +'B (1 )A Оба ▒лагаем╗╡ ▒п░ава п░инадлежа▓ 1 (M ).
?│▒▓╝ ▓епе░╝ но▒и▓ели обеи╡ ┤│нк╢ий1', лежа▓ в одной коо░дина▓ной
ок░е▒▓но▒▓и, и п│▒▓╝ { ┤│нк╢и┐ из C (M ) ▒ но▒и▓елем в O, ░авна┐ 1 в
ок░е▒▓но▒▓и об║единени┐ но▒и▓елей ┤│нк╢ий ' и . Имеем
'BA = 'BA +'B (1 2 )A :
5. И▒╖и▒ление ?ДО на многооб░азии.
Тео░ема 1.
Доказа▓ел╝▒▓во.
44
В пе░вом ▒лагаемом м╗ можем под▒▓ави▓╝ вме▒▓о A и B ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие
?ДО в R n , в▓о░ое ▒лагаемое п░инадлежи▓ 1 (M ). О▓▒╛да видно, ╖▓о ВА
{ ?ДО из m1 +m2 (M ), полиодно░одн╗й в ▒л│╖ае полиодно░одн╗╡ A и B . Дл┐
п░ове░ки │▓ве░ждени┐ о главн╗╡ ▒имвола╡ до▒▓а▓о╖но п░едположи▓╝ в▒е ▓░и
┤│нк╢ии ░авн╗ми 1 в ок░е▒▓но▒▓и ┤икcи░ованной ▓о╖ки. ?│▒▓╝ на многооб░азии за┤ик▒и░ована (положи▓ел╝на┐ бе▒коне╖но гладка┐)
пло▓но▒▓╝. Тогда оп░еделен╗ ▒кал┐░ное п░оизведение
(u; v)0 = (u; v)0;M =
и ┤о░ма
hu; vi0 = hu; vi0;M =
Z
M
Z
uv dx
(32)
и дл┐ каждого опе░а▓о░а A, дей▒▓в│╛╣его в C 1 (M ), оп░еделен╗ ┤о░мал╝но
▒оп░┐женн╗й опе░а▓о░ A() и ┤о░мал╝но ▓░ан▒пони░ованн╗й опе░а▓о░ A(0)
▒оо▓ве▓▒▓венно ┤о░м│лами
(Au; v)0 = (u; A()v)0 и hAu; vi0 = hu; A(0) vi:
(33)
?│▒▓╝ A { ?ДО из m (M ). Тогда A() и A(0) { ▓оже ?ДО
из m (M ). Е▒ли A полиодно░оден, ▓о A() и A(0) ▓оже полиодно░одн╗ и
и╡ главн╗е ▒имвол╗ ░авн╗ ▒оо▓ве▓▒▓венно a0 (x; ) и a0 (x; ), где a0 (x; ) {
главн╗й ▒имвол ?ДО A.
?░о╣е в▒его во▒пол╝зова▓╝▒┐ мал╗м а▓ла▒ом из ок░е▒▓но▒▓ей ▒ локал╝н╗ми коо░дина▓ами, ▒огла▒ованн╗ми ▒ заданной пло▓но▒▓╝╛,
и ┤о░м│лой (20):
X
A = 'k Ak k + : : : ;
зде▒╝ и дал╝╕е много▓о╖ием обозна╖ен бе▒коне╖но ▒глажива╛╣ий опе░а▓о░.
Имеем
X
() ' ; A(0) = X A(0) ' ;
A() =
A
k k k
k k k
и ▓.д.
M
uv dx;
Тео░ема 2.
Доказа▓ел╝▒▓во.
x5.
Эллип▓и╖е▒кие ?ДО на замкн│▓ом многооб░азии
1 . ?а░аме▓░ик▒ дл┐ ╜ллип▓и╖е▒кого ?ДО.
(M ).
?│▒▓╝ A { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из m
ph
m
▒▓в│е▓ ▓акой ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО B из ph M , ╖▓о
Тео░ема 3.
BA = I + : : :
и
( )
AB = I + : : : :
Тогда ▒│╣е-
(1)
1=a0, где a0 { главн╗й ▒имвол ?ДО A.
Нам понадоб┐▓▒┐ два пок░╗▓и┐ fOk gN1 и fOek gN1 многооб░ази┐ M ▒о ▒лед│╛╣им ▒вой▒▓вом: e▒ли пе░е▒е╖ение Ok \ Ol неп│▒▓о, ▓о
об║единение Ok [ Ol ▒оде░жи▓▒┐ в пе░е▒е╖ении Oek \ Oel .
Главн╗й ▒имвол b0 ?ДО
Доказа▓ел╝▒▓во.
B
░авен
45
Дл┐ каждого k найдем ▓акой ?ДО Ak 2 m (Rn ), ╖▓о дл┐ ┤│нк╢ий ', из
C 1 (M ) c но▒и▓ел┐ми в Oek
'A = 'Ak в ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡. Опе░а▓о░╗ Ak можно п░едположи▓╝ ░авноме░но ╜ллип▓и╖е▒кими. Заме▓им, ╖▓о е▒ли но▒и▓ели ┤│нк╢ий ',
лежа▓ в Oek \ Oel , ▓о
'Ak = 'Al ' :
(2)
Зде▒╝ ▒лева и ▒п░ава и▒пол╝з│╛▓▒┐ ░азн╗е ▒и▒▓ем╗
локал╝н╗╡ коо░дина▓. Тепе░╝ за┤ик▒и░│ем коне╖ное ░азбиение едини╢╗ P 'k , под╖иненное пок░╗▓и╛
fOk g, и п░едположим, ╖▓о но▒и▓ел╝ ┤│нк╢ии k лежи▓ в Ok и ╖▓о k = 1 в
ок░е▒▓но▒▓и но▒и▓ел┐ ┤│нк╢ии 'k . М╗ имеем
A=
X
k Ak 'k + : : : :
?│▒▓╝ Bk {╜ллип▓и╖е▒кий па░аме▓░ик▒ дл┐ Ak . ?оложим
B=
X
'l Bl l (3)
и покажем, ╖▓о ╜▓о лев╗й па░аме▓░ик▒ дл┐ A. Имеем
ВА =
XX
'l Bl l k Ak 'k :
Зде▒╝ в каждом ▒лагаемом или 'l 'k { ▓ожде▒▓венн╗й н│л╝. или об║единение
но▒и▓елей ┤│нк╢ий k и l лежи▓ в Oek \ Oel . В по▒леднем ▒л│╖ае можно замени▓╝ Ak на Al и пе░епи▒а▓╝ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ▒лагаемое, и▒пол╝з│┐ (2), в
виде
'l Bl l k Al 'k = 'l Bl (1 l + l )(1 k + k )Al 'k + = 'l Al Bl 'k + = 'l 'k +: : : :
С│мми░│┐ по k и l, пол│╖аем едини╖н╗й опе░а▓о░ пл╛▒ бе▒коне╖но ▒глажива╛╣ий.
Далее, как в R n , ▒▓░оим п░ав╗й па░аме▓░ик▒ и п░ове░┐ем, ╖▓о оба ┐вл┐╛▓▒┐
дв│▒▓о░онними па░аме▓░ик▒ами. 2. След▒▓ви┐.
(об ап░ио░ной о╢енке). ?│▒▓╝ A { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из
mph (M ). Тогда ▒п░аведлива о╢енка
kuks;M Cs (kAuks m;M + kuks 1;M ):
(4)
(о пов╗╕ении гладко▒▓и
░е╕ений). ?│▒▓╝
A { ╜ллип▓и╖е▒кий
m
s
s
m
+
t
?ДО из ph (M ). Тогда е▒ли u 2 H (M ), Au 2 H
(M ), где t > 0, ▓о
u 2 H s+t (M ).
Тео░ема 4
Тео░ема 5
46
Лек╢и┐ 10
Из ▓ео░ем╗ о пов╗╕ении гладко▒▓и ▒лед│е▓, ╖▓о подп░о▒▓░ан▒▓во KerA
░е╕ений одно░одного ╜ллип▓и╖е▒кого │░авнени┐ Au = 0 ▒о▒▓ои▓ из бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢ий; в ╖а▒▓но▒▓и, оно не зави▒и▓ о▓ s.
Тео░ема о пов╗╕ении гладко▒▓и ▒п░аведлива ▓акже в локал╝ном ва░иан▓е,
нап░име░, ▓аком:
s
?│▒▓╝ A { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из m
ph (M ) и u 2 H (M ), ▓ак
╖▓о Au 2 H s m (M ), но Au 2 C 1 в обла▒▓и G на M . Тогда u 2 C 1 (G).
Э▓о ▒лед│е▓ из │же │▒▓ановленного аналоги╖ного ░ез│л╝▓а▓а в R n .
Как и в R n , дл┐ обоб╣енной ┤│нк╢ии u на M оп░едел┐е▓▒┐ ее ▒инг│л┐░н╗й
но▒и▓ел╝ sing supp u { наимен╝╕ее замкн│▓ое множе▒▓во, вне ко▓о░ого она
┐вл┐е▓▒┐ бе▒коне╖но гладкой. Дл┐ п░оизвол╝ного ?ДО A
sing supp Au sing supp u:
(4)
Дл┐ ╜ллип▓и╖е▒кого ?ДО из ▓ео░ем╗ 6 пол│╖ае▓▒┐, ╖▓о
sing supp Au = sing supp u:
(5)
Сп░аведлива ▓акже ▓ео░ема, об░а▓на┐ к ▓ео░еме 5 об ап░ио░ной о╢енке:
s
?│▒▓╝ A { ?ДО из m
ph (M ), и п│▒▓╝ дл┐ ┤│нк╢ий u из H (M )
Тео░ема 6.
Тео░ема 7.
c но▒и▓ел┐ми в ок░е▒▓но▒▓и
O
▓о╖ки x0 на
M
▒п░аведлива о╢енка
kuks;M C (kAuks;M + kuks
:
1;M ):
(
(6)
)
Тогда A ╜ллип▓и╖ен в x0 главн╗й ▒имвол a0 x0 ; о▓ли╖ен о▓ н│л┐ на нен│лев╗╡ кока▒а▓ел╝н╗╡ век▓о░а╡ в x0 .
Дей▒▓ви▓ел╝но, можно п░едположи▓╝, ╖▓о O { коо░дина▓на┐ ок░е▒▓но▒▓╝,
и пе░ей▓и на ка░▓│, а в R n ▓ака┐ ▓ео░ема │же доказана.
?░ежде ╖ем пе░е╡оди▓╝ к о▒новной ▓ео░еме об ╜квивален▓но▒▓и ╜ллип▓и╖но▒▓и и ┤░едгол╝мово▒▓и, ░а▒▒мо▓░им важн╗й п░име░.
?│▒▓╝
M { ░иманово многооб░азие. Э▓о зна╖и▓, ╖▓о на нем задана ве╣е▒▓венна┐ ▒имме▓░и╖на┐ положи▓ел╝но оп░еделенна┐ ма▓░и╢а g(y) = (gij (y)) в локал╝н╗╡
коо░дина▓а╡, ко▓о░а┐ п░и и╡ изменении веде▓ ▒еб┐ как ▓ензо░ ▓ипа 02 :
3. Опе░а▓о░ Бел╝▓░ами{Лапла▒а на ░имановом многооб░азии.
ge(ye) =
@y
@y 0
g (y (ye)) :
@ ye
@ ye
(7)
?░и помо╣и ╜▓ой ма▓░и╢╗ в╗╖и▒л┐е▓▒┐ длина к░ивой на M : е▒ли дл┐ п░о▒▓о▓╗ к░ива┐ лежи▓ в коо░дина▓ной ок░е▒▓но▒▓и и задае▓▒┐ │░авнени┐ми
47
= y(t) в локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡ ( t ), ▓о длина в╗╖и▒л┐е▓▒┐ по
┤о░м│ле
Z l = [y 0 (t)]0 g (y (t))y (t)]1=2 dt:
Далее, ╜▓а ма▓░и╢а оп░едел┐е▓ пло▓но▒▓╝
p
dx = f (y ) dy g; где (y ) = det g (y ):
(8)
Е▒ли G { обла▒▓╝ на M , ▓о ее ░иманов об║ем в╗░ажае▓▒┐ ин▓ег░алом RG dx.
Нап░име░, е▒ли M е▒▓╝ n-ме░на┐ пове░╡но▒▓╝ в R N , локал╝но заданна┐ │░авнени┐ми
xk = xk (y 1 ; : : : ; y n ) (k = 1; : : : ; N )
(9)
(индек▒╗ │ коо░дина▓ ▒ей╖а▒ пи╕│▓▒┐ наве░╡│), ▓о
y
gij =
@xk (y ) @xk (y )
@y i @y j
k=1
N
X
(i; j = 1; : : : ; n):
(10)
В ▒л│╖ае дв│ме░ной пове░╡но▒▓и в R 3 ма▓░и╢а g(y) { ╜▓о ма▓░и╢а
E F
F G
Опе░а▓о░ Бел╝▓░ами{Лапла▒а оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой
n
X
p
1
ij
u((y)) = p(y) @yi (y)g (y)@yj u((y)) :
i;j =1
(11)
Зде▒╝
ма▓░и╢а, об░а▓на┐ к ма▓░и╢е g(y), ╜▓о ▓ензо░ ▓ипа 20 .
Главн╗й ▒имвол опе░а▓о░а е▒▓╝
X
g ij (y )i j ;
╜▓о положи▓ел╝но оп░еделенна┐ квад░а▓и╖на┐ ┤о░ма, ▓ак ╖▓о опе░а▓о░ ╜ллип▓и╖ен. К░оме ▓ого, как не▓░│дно п░ове░и▓╝, он ┤о░мал╝но ▒амо▒оп░┐жен.
(gij (y)) {
4. Ф░едгол╝мов╗ опе░а▓о░╗.
?│▒▓╝ H1 и H2 { гил╝бе░▓ов╗ п░о▒▓░ан▒▓ва (можно б╗ло б╗
░а▒▒мо▓░е▓╝ бана╡ов╗ п░о▒▓░ан▒▓ва) и A { опе░а▓о░ из H1 в H2, дл┐ п░о▒▓о▓╗
ог░ани╖енн╗й. Он наз╗вае▓▒┐ ┤░едгол╝мов╗м, е▒ли в╗полнен╗ ▒лед│╛╣ие
▓░и │▒лови┐.
1. Яд░о KerA коне╖номе░но.
2. Обла▒▓╝ зна╖ений Im A замкн│▓а в H2 .
3. Она имее▓ в H2 коне╖номе░ное дополнение Coker A.
Оп░еделение.
48
Разно▒▓╝
{ (A) = dimKer A
dimCoker A
(12)
наз╗вае▓▒┐ индек▒ом опе░а▓о░а A.
В ли▓е░а▓│░е в▒▓░е╖ае▓▒┐ ▓акже ▓ака┐ ▓е░минологи┐: вме▒▓о \┤░едгол╝мов опе░а▓о░" пи╕│▓ \не▓е░ов опе░а▓о░", а ┤░едгол╝мов╗м наз╗ва╛▓ не▓е░ов
опе░а▓о░ ▒ н│лев╗м индек▒ом.
Нап░име░, п│▒▓╝ H1 = H2 = H и A = I + T , где I { едини╖н╗й, а T {
компак▓н╗й опе░а▓о░╗. Об╣еизве▒▓но, ╖▓о ▓огда A { ┤░едгол╝мов опе░а▓о░
и {(A) = 0. Э▓а ▓ео░ема доказ╗вае▓▒┐ в об┐за▓ел╝ном к│░▒е ┤│нк╢ионал╝ного анализа или анализа-III. Главн╗й п░име░ { опе░а▓о░ I + T в п░о▒▓░ан▒▓ве L2 (G), где G { кака┐-ниб│д╝ обла▒▓╝ в R n и T { ин▓ег░ал╝н╗й опе░а▓о░
R
G K (x; y )u(y ) dy c квад░а▓и╖но ин▓ег░и░│ем╗м ┐д░ом.
?│▒▓╝ A { ог░ани╖енн╗й опе░а▓о░ из H1 в H2. Ог░ани╖енн╗й опе░а▓о░ B
из H2 в H1 наз╗ве▓▒┐ лев╗м па░аме▓░ик▒ом дл┐ A, е▒ли
B1 A = I1 + T1 ;
(13)
и п░ав╗м па░аме▓░ик▒ом, е▒ли
AB2 = I2 + T2 :
(14)
Зде▒╝ и дал╝╕е Ij и Tj { едини╖н╗й и компак▓н╗й опе░а▓о░╗ в Hj , j = 1; 2.
Е▒ли опе░а▓о░ B ┐вл┐е▓▒┐ лев╗м и п░ав╗м па░аме▓░ик▒ом, ▓о он наз╗вае▓▒┐
(дв│▒▓о░онним) па░аме▓░ик▒ом дл┐ A. Э▓и ▓е░мин╗ м╗ ▒░авним ▒ введенн╗ми ░ан╝╕е аналоги╖н╗ми ▓е░минами дл┐ ?ДО в ▒лед│╛╣ем п│нк▓е.
Е▒ли опе░а▓о░ A имее▓ лев╗й и п░ав╗й па░аме▓░ик▒╗ B1 и B2 , ▓о оба
они ┐вл┐╛▓▒┐ дв│▒▓о░онними па░аме▓░ик▒ами. Дей▒▓ви▓ел╝но, ▓огда
B1 AB2 = (I1 + T1 )B2 = B1 (I2 + T2 );
и ░азно▒▓╝ B1 B2 оказ╗вае▓▒┐ компак▓н╗м опе░а▓о░ом, ▓ак как п░оизведение ог░ани╖енного опе░а▓о░а на компак▓н╗й компак▓но. О▓▒╛да легко ▒лед│е▓ на╕е │▓ве░ждение.
1.?│▒▓╝ опе░а▓о░ A имее▓ лев╗й па░аме▓░ик▒. Тогда
он имее▓ коне╖номе░ное ┐д░о и замкн│▓│╛ обла▒▓╝ зна╖ений. 2. ?│▒▓╝ опе░а▓о░ A имее▓ п░ав╗й па░аме▓░ик▒. Тогда он имее▓ замкн│▓│╛ обла▒▓╝
зна╖ений. 3. ?│▒▓╝ опе░а▓о░ A ┤░едгол╝мов. Тогда он имее▓ дв│▒▓о░онний
?░едложение 1.
па░аме▓░ик▒.
?│▒▓╝ B1 { лев╗й па░аме▓░ик▒, ▓ак
╖▓о можно пол╝зова▓╝▒┐ ▒оо▓но╕ением (13). Тогда
Ker A Ker(I1 + T1 );
о▓▒╛да ▒░аз│ ▒лед│е▓, ╖▓о Ker A коне╖номе░но. Докажем ▓епе░╝ ▒лед│╛╣ее
в▒помога▓ел╝ное п░едложение:
Доказа▓ел╝▒▓во п░едложени┐ 1.
49
?░едложение 2.
дополнении
?░и нали╖ии левого па░аме▓░ик▒а на о░▓огонал╝ном
(Ker A)? к ┐д░│ опе░а▓о░а A ▒п░аведлива о╢енка
kuk1 C kAuk2
c не зави▒┐╣ей о▓
u по▒▓о┐нной.
(15)
Доп│▒▓им, ╖▓о о╢енка (15) неве░на.
Тогда ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓ака┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ╜лемен▓ов un ? KerA, ╖▓о kun k1 =
1 и Aun ! 0. Из (13) ▒лед│е▓, ╖▓о un + T1 un ! 0. Так как опе░а▓о░ T1 компак▓ен, а fT un g { ог░ани╖енна┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝, ▓о е▒▓╝ ▓ака┐ подпо▒ледова▓ел╝но▒▓╝ индек▒ов fnk g, ╖▓о по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ fT unk g ┤│ндамен▓ал╝на.
?│▒▓╝ дл┐ п░о▒▓о▓╗ обозна╖ений fT un g ┤│ндамен▓ал╝на. Тогда и fun g ┤│ндамен▓ал╝на. Так как H1 полно, ▓о fun g имее▓ п░едел u. Э▓о▓ п░едел имее▓
едини╖н│╛ но░м│ и о░▓огонален Ker A. В ▓о же в░ем┐ Au = 0. Э▓о п░о▓иво░е╖ие доказ╗вае▓ о╢енк│ (15).
Тепе░╝ п░ове░им замкн│▓о▒▓╝ обла▒▓и зна╖ений. ?│▒▓╝ Aun ! f . В╗╖и▓а┐
из un о░▓огонал╝н│╛ п░оек╢и╛ на KerA, можно п░едположи▓╝, ╖▓о un ? KerA.
И▒пол╝з│┐ о╢енк│ (15) ▒ un um вме▒▓о u, пол│╖аем, ╖▓о fun g ┤│ндамен▓ал╝на.
?│▒▓╝ un ! u. Тогда Aun ! Au. Зна╖и▓, g = Au. Из │▓ве░ждени┐ 2 п░ове░им коне╖номе░но▒▓╝ ко┐д░а. Она видна из (14):
Im A Im(I2 + T2 ):
?░ава┐ ╖а▒▓╝ имее▓ коне╖номе░ное дополнение, зна╖и▓, и лева┐.
Наме▓им план доказа▓ел╝▒▓ва │▓ве░ждени┐ 3. Ф░едгол╝мов опе░а▓о░ A
взаимно однозна╖но о▓об░ажае▓ (Ker A)? на ImA и в ▒ил│ неп░е░╗вно▒▓и
имее▓ об░а▓н╗й (по ▓ео░еме об об░а▓ном опе░а▓о░е), обозна╖им его B0. ?░одолжим B0 до опе░а▓о░а B , положив его ░авн╗м н│левом│ опе░а▓о░│ на (Im A)?.
У╖и▓╗ва┐ компак▓но▒▓╝ коне╖номе░ного опе░а▓о░а, можно показа▓╝, ╖▓о В {
па░аме▓░ик▒.
На ▒амом деле ▒п░аведлив╗ │▓ве░ждени┐, об░а▓н╗е к │▓ве░ждени┐м 1 и 2.
Cлед│╛╣а┐ ▓ео░ема ┐вл┐е▓▒┐ о▒новной в на▒▓о┐╣ем па░аг░а┤е.
?│▒▓╝ A { ?ДО из m
ph (M ). Тогда ▒лед│╛╣ие │▓ве░ждени┐
╜квивален▓н╗.
1╞. Опе░а▓о░ A ╜ллип▓и╖ен.
2╞. Опе░а▓о░ A имее▓ дв│▒▓о░онний па░аме▓░ик▒ B 2 mph (M ) в ▒м╗▒ле
▓ео░ии ?ДО.
3╞╞. A { ┤░едгол╝мов опе░а▓о░ из H s(M ) в H s m(M ) п░и л╛бом s.
4 . ?░и л╛бом s cп░аведлива ап░ио░на┐ о╢енка
kuks;M Cs kAuks m;M + kuks 1;M :
(16)
Более ▓ого, │▒ловие 3╞ п░и неко▓о░ом s ░авно▒ил╝но ╜▓ом│ │▒лови╛ п░и
в▒е╡ s, и ▓о же ве░но дл┐ │▒лови┐ 4╞ .
Доказа▓ел╝▒▓во п░едложени┐ 2.
5.
Эквивален▓но▒▓╝ ╜ллип▓и╖но▒▓и и ┤░едгол╝мово▒▓и.
Тео░ема 8.
50
М╗ │же знаем, ╖▓о 1╞ ) 2, 1╞ ) 4╞ п░и в▒е╡ s и 1╞ ( 4╞
п░и каком-ниб│д╝ s.
Тепе░╝
заме▓им,
╖▓о ?ДО по░┐дка 1 ┐вл┐е▓▒┐
компак▓н╗м опе░а▓о░ом
s
s
╞
╞
1
2
из H в H п░и л╛б╗╡ s1 и s2. ?о╜▓ом│ 2 ) 3 п░и в▒е╡ s.
?░едположим, ╖▓о в╗полнено │▒ловие 3╞ п░и неко▓о░ом s. Тогда опе░а▓о░
A взаимно однозна╖но о▓об░ажае▓ (Ker A)? на Im A и по ▓ео░еме об об░а▓ном
опе░а▓о░е имее▓ неп░е░╗вн╗й об░а▓н╗й. ?о╜▓ом│ на (Ker А)? имее▓ ме▒▓о
ап░ио░на┐ о╢енка
kuks;M C kAuks m;M :
(17)
?│▒▓╝ fuj gN1 s { бази▒ в Ker A, о░▓оно░ми░ованн╗й
в ▒м╗▒ле ▒кал┐░ного п░оизs
ведени┐ в H (M ). Тогда л╛ба┐ ┤│нк╢и┐ из H (M ) п░ед▒▓авима в виде
X
u = ue + (u; uj )s;M uj ;
Доказа▓ел╝▒▓во.
где ue 2 (Ker A)?. ?о╜▓ом│
X
X
kuks;M C [kAueks m;M + j(u; uj )s;M jkuj ks;M ] C 0 [kAuks m;M + j(u; uj )s;M j]:
Заме▓им, ╖▓о
j(u; v)s;M j C 00 kuks 1;M kvks+1;M ;
(18)
╜▓о▓ ва░иан▓ обоб╣енного не░авен▒▓ва Шва░╢а по┐▒ним немного ниже. ?о╜▓ом│ пол│╖аем (16). Из (16), как м╗ │же знаем, ▒лед│е▓ ╜ллип▓и╖но▒▓╝ опе░а▓о░а A.
О▒▓ало▒╝ п░ове░и▓╝ не░авен▒▓во (18). ?░и его п░ове░ке можно замени▓╝ u и
v ┤│нк╢и┐ми 'u и v , где ' и { бе▒коне╖но гладкие ┤│нк╢ии ▒ но▒и▓ел┐ми в
неко▓о░ой коо░дина▓ной ок░е▒▓но▒▓и. С╖и▓а┐ локал╝н╗е коо░дина▓╗
▒огла▒ованн╗ми ▒ заданной пло▓но▒▓╝╛, можем пе░ей▓и на ка░▓│. В R n н│жное
не░авен▒▓во п░ове░┐е▓▒┐ ╜лемен▓а░но, нап░име░, п░и помо╣и п░еоб░азовани┐
Ф│░╝е. 1. Е▒ли Ker A = 0, ▓о ап░ио░на┐ о╢енка
ве░на в ┤о░ме (17).
Э▓о ▒лед│е▓, нап░име░, из п░едложени┐ 2.
2. ?│▒▓╝ ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО A 2 mph (M ) имее▓ об░а▓н╗й A 1 п░и в▒е╡
s. Тогда A 1 { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из phm (M ).
Дей▒▓ви▓ел╝но, е▒ли B { па░аме▓░ик▒, ▓о
BAA 1 = (I + T1 )A 1 = B;
о▓к│да видно, ╖▓о A 1 B { опе░а▓о░ по░┐дка 1.
3. Яд░о ╜ллип▓и╖е▒кого опе░а▓о░а ▒о▒▓ои▓ из бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢ий
и не зави▒и▓ о▓ s. Но е╣е п░ед▒▓ои▓ показа▓╝, ╖▓о индек▒ не зави▒и▓ о▓
s и ╖▓о об░а▓имо▒▓╝ ╜ллип▓и╖е▒кого опе░а▓о░а п░и каком-ниб│д╝ s вле╖е▓
об░а▓имо▒▓╝ п░и в▒е╡ s.
Дополни▓ел╝н╗е заме╖ани┐.
51
?│▒▓╝ A { ?ДО из m (M ), и п│▒▓╝ ▒на╖ала
m 0.
{ ог░ани╖енн╗е опе░а▓о░╗ в L2(M ) и ░авен▒▓во
(Au; v)0;M = (u; A()v)0;M :
(19)
ве░но дл┐ ┤│нк╢ий u, v из H m (M ). Оно озна╖ае▓, ╖▓о опе░а▓о░ A() ▒оп░┐жен к A в ▒м╗▒ле ▓ео░ии опе░а▓о░ов в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве. В
дал╝ней╕ем б│дем запи▒╗ва▓╝ его в виде A, без ▒кобок в показа▓еле.
?│▒▓╝ ▓епе░╝ m > 0. Тогда A { неог░ани╖енн╗й опе░а▓о░ в L2 (M ). Его
обла▒▓╝╛ оп░еделени┐ D(A) ┐вл┐е▓▒┐ п░о▒▓░ан▒▓во H m(M ). Е▒ли A замкн│▓,
▓о ввид│ пло▓но▒▓и в L2 (M ) его обла▒▓и оп░еделени┐ он имее▓ ▒оп░┐женн╗й
A в ▒м╗▒ле ▓ео░ии опе░а▓о░ов в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве.
m (M ), m > 0, ╜ллип▓и╖ен. Тогда
?│▒▓╝ опе░а▓о░ A 2 Hph
╜▓о замкн│▓╗й опе░а▓о░ в L2 (M ). Соп░┐женн╗й опе░а▓о░ A ▒овпадае▓ ▒
┤о░мал╝но ▒оп░┐женн╗м A() и имее▓ ▓│ же обла▒▓╝ оп░еделени┐ H m (M ).
?░ове░им
замкн│▓о▒▓╝.
?│▒▓╝
ul 2 H m (M ), ul ! u в
H 0 (M ) и Aul ! f в H 0 (M ). Тогда Aun ! Au в H m (M ), ▓ак ╖▓о Au = f
в H m (M ). Но ▓ак как f 2 H 0(M ), ▓о по ▓ео░еме о пов╗╕ении гладко▒▓и
u 2 H m (M ). Таким об░азом, u 2 D(A) и Au = f . Э▓о и озна╖ае▓, ╖▓о опе░а▓о░
A замкн│▓.
М╗ имеем v 2 D(A ) и A v = g, е▒ли
(Au; v)0;M = (u; g)0;M дл┐ u 2 H m(M ):
(20)
В░еменно обозна╖им опе░а▓о░ A() ╖е░ез B . Имеем
(Au; v)0;M = (u; Bv)0;M дл┐ u; v 2 H m (M ):
(21)
Э▓о п░ове░┐е▓▒┐ апп░ок▒има╢ией ┤│нк╢ий u и v бе▒коне╖но гладкими ┤│нк╢и┐ми.
Из ▒░авнени┐ (20) и (21) видно, ╖▓о D(B ) = Н m (M ) D(A) и A = B на
D(B ).
C д░│гой
▒▓о░он╗,
е▒ли
v 2 D(A ) и A v = g в H 0 (M ), ▓о Bv = g в H m (M ).
Но g 2 H 0 (M ) и B ╜ллип▓и╖ен, ▓ак ╖▓о в ▒ил│ ▓ео░ем╗ о пов╗╕ении гладко▒▓и
v 2 H m (M ). Таким об░азом, │▒▓ановлено об░а▓ное вкл╛╖ение D(A ) D(B )
и ▒овпадение ╜▓и╡ дв│╡ опе░а▓о░ов. Скобки в показа▓еле м╗ ▓епе░╝ б│дем оп│▒ка▓╝ и б│дем пи▒а▓╝ (дл┐ ╜ллип▓и╖е▒ки╡ A) A вме▒▓о A() .
6. Соп░┐женн╗й опе░а▓о░.
Тогда A и A()
Тео░ема 9.
Доказа▓ел╝▒▓во.
52
Лек╢и┐ 11
В ╜▓ом п│нк▓е м╗ б│дем
░а▒▒ма▓░ива▓╝ п▒евдоди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ как опе░а▓о░ в L2(M ).
Согла▒но изве▒▓н╗м оп░еделени┐м, ░езол╝вен▓ное множе▒▓во (A) опе░а▓о░а A в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве H { ╜▓о множе▒▓во ▓аки╡ ▓о╖ек на
комплек▒ной пло▒ко▒▓и, ╖▓о опе░а▓о░ A I имее▓ ог░ани╖енн╗й об░а▓н╗й
7. ?░о▒▓ей╕ие ▒пек▓░ал╝н╗е ▒вой▒▓ва ?ДО.
RA () = (A I ) 1 ;
наз╗ваем╗й ░езол╝вен▓ой опе░а▓о░а A в ▓о╖ке . Э▓о о▓к░╗▓ое множе▒▓во;
дополнение (A) к нем│ замкн│▓о и наз╗вае▓▒┐ ▒пек▓░ом опе░а▓о░а A. В
ин▓е░е▒│╛╣ем на▒ ▒ей╖а▒ ▒л│╖ае H = H 0 (M ).
Е▒ли ?ДО A из m (M ) имее▓ о▓░и╢а▓ел╝н╗й по░┐док m, ▓о он компак▓ен
в H 0 (M ), ▓ак как дей▒▓в│е▓ ог░ани╖енн╗м об░азом из H 0 (M ) в H m (M ), а
H m (M ) вложено в H 0 (M ) компак▓но. Спек▓░ ▓акого опе░а▓о░а ▒о▒▓ои▓ из
н│л┐ и изоли░ованн╗╡ нен│лев╗╡ ▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений, каждом│ нен│левом│
▒об▒▓венном│ зна╖ени╛ о▓ве╖ае▓ коне╖номе░ное ко░невое подп░о▒▓░ан▒▓во,
▒о▒▓о┐╣ее из ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ╜▓ом│ ▒об▒▓венном│ зна╖ени╛ ▒об▒▓венн╗╡ и
п░и▒оединенн╗╡ век▓о░ов и н│л┐. Соб▒▓венн╗е зна╖ени┐ мог│▓ ▒каплива▓╝▒┐
▓ол╝ко к н│л╛. То╖ка 0 може▓ б╗▓╝ или не б╗▓╝ ▒об▒▓венн╗м зна╖ением,
но0 опе░а▓о░ Am не ┤░едгол╝мов в H 0(M ) (╡о▓┐ ┤░едгол╝мов 0как опе░а▓о░ из
H (M ) в H (M )): его обла▒▓╝ зна╖ений незамкн│▓а в H (M ). То╖ки ,
▓акие, ╖▓о опе░а▓о░ A I в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве H не ┐вл┐е▓▒┐ ┤░едгол╝мов╗м, наз╗ва╛▓▒┐ ▓о╖ками ▒│╣е▒▓венного ▒пек▓░а опе░а▓о░а A. Таким об░азом, 0 { ▓о╖ка ▒│╣е▒▓венного ▒пек▓░а ?ДО о▓░и╢а▓ел╝ного по░┐дка.
?░и m = 0 полиодно░одн╗й ?ДО имее▓ ▒│╣е▒▓венн╗й ▒пек▓░, ▒о▒▓о┐╣ий
из зна╖ений главного ▒имвола a0(x; ). Дей▒▓ви▓ел╝но, главн╗й ▒имвол ?ДО
A I ░авен a0 (x; ) , и п░и ▓аки╡ ╜▓о▓ опе░а▓о░ не ╜ллип▓и╖ен, зна╖и▓,
не ┤░едгол╝мов в H 0(M ).
?░и m > 0 ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО A може▓ име▓╝ неп│▒▓ое ░езол╝вен▓ное множе▒▓во.
Е▒ли ╜▓о ▓ак и п░инадлежи▓ ем│, ▓о ░езол╝вен▓а RA () компак▓на
в H 0 (M ), ▓ак ╖▓о A { опе░а▓о░ ▒ компак▓ной ░езол╝вен▓ой. Спек▓░ ▓акого
опе░а▓о░а, как изве▒▓но, ▒о▒▓ои▓ из изоли░ованн╗╡ ▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений,
ко▓о░╗е мог│▓ ▒каплива▓╝▒┐ ▓ол╝ко к бе▒коне╖но▒▓и. Каждом│ ▒об▒▓венном│
зна╖ени╛ о▓ве╖ае▓ коне╖номе░ное ко░невое подп░о▒▓░ан▒▓во. ?░о опе░а▓о░╗
▒ ▓акими ▒вой▒▓вами гово░┐▓, ╖▓о они име╛▓ ди▒к░е▓н╗й ▒пек▓░.
Е▒ли A = A , ▓о опе░а▓о░ A наз╗вае▓▒┐ ▒амо▒оп░┐женн╗м. Спек▓░ ▓акого
опе░а▓о░а лежи▓ на ве╣е▒▓венной о▒и, п░и▒оединенн╗╡ век▓о░ов не▓. Е▒ли
A { ▒амо▒оп░┐женн╗й компак▓н╗й опе░а▓о░ в H , ▓о он имее▓ о░▓оно░ми░ованн╗й бази▒ из ▒об▒▓венн╗╡ век▓о░ов. Аналоги╖но об▒▓ои▓ дело в ▒л│╖ае
▒амо▒оп░┐женного опе░а▓о░а ▒ компак▓ной ░езол╝вен▓ой.
Из ▒казанного ▒лед│е▓, ╖▓о ▒амо▒оп░┐женн╗й ?ДО о▓░и╢а▓ел╝ного по░┐дка
имее▓ о░▓оно░ми░ованн╗й бази▒ из ▒об▒▓венн╗╡ ┤│нк╢ий в H 0(M ). Е▒ли A
╜ллип▓и╖ен, ▓о, и▒пол╝з│┐ ▓ео░ем│ о пов╗╕ении гладко▒▓и, легко п░ове░и▓╝,
╖▓о ▒об▒▓венн╗е ┤│нк╢ии п░инадлежа▓ C 1 (M ). Е▒ли A { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДO
53
положи▓ел╝ного по░┐дка, ▓о ав▓ома▓и╖е▒ки ╜▓о опе░а▓о░ ▒ компак▓ной ░езол╝вен▓ой и о░▓оно░ми░ованн╗м бази▒ом из ▒об▒▓венн╗╡ ┤│нк╢ий. И ▒нова
легко п░ове░┐е▓▒┐, ╖▓о они п░инадлежа▓ C 1 (M ).
?░име░ом ▒амо▒оп░┐женного ╜ллип▓и╖е▒кого опе░а▓о░а (по░┐дка 2) ┐вл┐е▓▒┐ опе░а▓о░ Бел╝▓░ами{Лапла▒а на ░имановом многооб░азии.
Е▒ли ?ДО A нен│левого по░┐дка ╜ллип▓и╖ен, но не ┐вл┐е▓▒┐ ▒амо▒оп░┐женн╗м
опе░а▓о░ом, ▓о его ▒об▒▓венн╗е и п░и▒оединенн╗е ┤│нк╢ии п░инадлежа▓
1
C (M ). Э▓о ▒лед│е▓ из ▓ого, ╖▓о они п░инадлежа▓ ┐д░ам ╜ллип▓и╖е▒ки╡ опе░а▓о░ов (A I )k ▒ на▓│░ал╝н╗ми k.
Но зде▒╝ п░и не╢елом m п░и╡оди▓▒┐ не▒кол╝ко ░а▒╕и░и▓╝ кла▒▒ ░а▒▒ма▓░иваем╗╡ ?ДО и доп│▒▓и▓╝, ╖▓о в а▒имп▓о▓и╖е▒ком ░азложении ▒имвола по░┐дки ▒лагаем╗╡ не об┐за▓ел╝но о▓ли╖а╛▓▒┐ о▓ m на ╢елое ╖и▒ло. ?од░обно
на ╜▓ом о▒▓анавлива▓╝▒┐ не б│дем.
8. Само▒оп░┐женн╗й об░а▓им╗й ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО.
( )
?│▒▓╝ t -л╛бое ве╣е▒▓венное ╖и▒ло и a0 x; { бе▒коне╖но
гладка┐ положи▓ел╝на┐ ┤│нк╢и┐ на T M n , положи▓ел╝но одно░одна┐ ▒▓епени t. Тогда ▒│╣е▒▓в│е▓ об░а▓им╗й ▒амо▒оп░┐женн╗й ?ДО A из tph M
c главн╗м ▒имволом a0 , взаимно однозна╖но и неп░е░╗вно о▓об░ажа╛╣ий
H t M на H 0 M .
Доказа▓ел╝▒▓во.
fOk gK
Тео░ема 9.
( )
( )
0
( )
За┤ик▒и░│ем коне╖ное пок░╗▓ие
1 многооб░ази┐
M
коо░дина▓н╗ми
ок░е▒▓но▒▓┐ми
и
под╖иненное
ем│
░азбиение
едини╢╗
P
'k = 1, ▒о▒▓о┐╣ее из бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢ий. ?│▒▓╝ k { бе▒коне╖но
гладкие ┤│нк╢ии ▒ но▒и▓ел┐ми в Ok , ░авн╗е 1 в ок░е▒▓но▒▓┐╡ но▒и▓елей ┤│нк╢ий 'k . ?е░ено▒┐ ┤│нк╢и╛ a0(x; ) на ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие ка░▓╗, ▒▓░оим ▓ам
?ДО A(k) в локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡ ▒ ╜▓им главн╗м ▒имволом. ?олагаем ▒на╖ала
X
A0 = 'k A(k) k :
Э▓о ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО на M ▒ главн╗м ▒имволом a0. ?олагаем
A1 = Re A0 = 12 (A0 + A0 ):
Э▓о ▒амо▒оп░┐женн╗й ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО ▒ ▓ем же главн╗м ▒имволом. Е▒ли
его ┐д░о Ker A1 ▓░ивиал╝но, ▓о он об░а▓им. ?│▒▓╝ оно не▓░ивиал╝но. Тогда
оно коне╖номе░но и ▒о▒▓ои▓ из бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢ий; воз╝мем в нем
о░▓оно░ми░ованн╗й бази▒ fej (x)g. ?оложим
X
A = A1 + (; ek )0;M ek :
Э▓о▓ ?ДО о▓ли╖ае▓▒┐ о▓ A1 на бе▒коне╖но ▒глажива╛╣ий опе░а▓о░, ▓ак ╖▓о
╜▓о ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО ▒ ▓ем же главн╗м ▒имволом, и он о▒▓ае▓▒┐ ▒амо▒оп░┐женн╗м. ?░ове░им, ╖▓о его ┐д░о ▓░ивиал╝но. Оно ▒о▒▓ои▓ из бе▒коне╖но
гладки╡ ┤│нк╢ий. ?░ед▒▓авим л╛б│╛ ┤│нк╢и╛ из него в виде u = v + w, где
v ? Ker A1 и w 2 Ker A1 . Тогда v; w 2 С 1 (M ) и
X
Au = A1 v + (w; ek )0;M ek :
54
Зде▒╝
(A1 v; ek )0;M = (v; A1ek ) = 0;
▓ак ╖▓о
Av 2 (Ker A1 )? ;
X
(w; ek )0;M ek 2 Ker A1 :
?о╜▓ом│ е▒ли Au = 0, ▓о A1v = 0 и Aw = w, ▓ак ╖▓о w = 0. Но A1 не може▓
анн│ли░ова▓╝ не▓░ивиал╝н╗е ╜лемен▓╗ из (Ker A1)?, по╜▓ом│ и v = 0.
И▓ак, A о▒│╣е▒▓вл┐е▓ н│жн╗й изомо░┤изм. В б│д│╣ем м╗ покажем, ╖▓о ▓акие изомо░┤изм╗ можно │▒▓анови▓╝ п░и
помо╣и ▒▓епеней одного ╜ллип▓и╖е▒кого ?ДО по░┐дка 1.
Cкал┐░ное п░оизведение (u; v )0;M в H 0 (M ) п░одолжае▓▒┐
до неп░е░╗вной ┤о░м╗ на H s (M ) H s (M ) и │довле▓во░┐е▓ обоб╣енном│
Тео░ема 10.
не░авен▒▓в│ Шва░╢а
v2H
(M ).
Э▓а ┤о░ма п░и
╢ионала над H s
(u; v)0;M Cs kuks;M kvk s;M :
(22)
s (M ) дае▓ об╣ий вид линейного неп░е░╗вного ┤│нк-
?░одолжимо▒▓╝ ┤о░м╗ и не░авен▒▓во (22) в╗вод┐▓▒┐
из аналоги╖н╗╡ ░ез│л╝▓а▓ов в R n . Из (22) ▒лед│е▓, ╖▓о ╜лемен▓╗ v из
H s (M )
s
оп░едел┐╛▓ линейн╗е неп░е░╗вн╗е ┤│нк╢ионал╗ (u; v)0;M над H (M ). Ч▓о
╜▓о об╣ий вид линейного неп░е░╗вного ┤│нк╢ионала над H s (M ), п░ове░┐е▓▒┐
п░и помо╣и ▓ео░ем╗ Ри▒▒а об об╣ем виде 0линейного неп░е░╗вного ┤│нк╢ионала в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве H = H (M ) и п░ед╗д│╣ей ▓ео░ем╗. С░.
лек╢ии п░ед╗д│╣его ▒еме▒▓░а. A В ╜лемен▓а░ной ▓ео░ии линейн╗╡ опе░а▓о░ов
доказ╗вае▓▒┐, ╖▓о е▒ли A { опе░а▓о░ в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве H c пло▓ной обла▒▓╝╛ оп░еделени┐, ▓о ▒оп░┐женн╗й опе░а▓о░ A ▒│╣е▒▓в│е▓, его ┐д░о
Ker A замкн│▓о и
(23)
H = Im A Ker A :
?│▒▓╝ A { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из m
ph (M ). Ра▒▒мо▓░им его
s
s
m
как опе░а▓о░ из H (M ) в H
(M ). Сп░аведлива ┤о░м│ла
H s m (M ) = Im A Ker A ;
(24)
где о░▓огонал╝но▒▓╝ имее▓ ме▒▓о о▓но▒и▓ел╝но ┤о░м╗ (u; v )0;M , п░одолженной на H s m (M ) H m s (M ).
?о┐▒ним, ╖▓о зде▒╝ Im A замкн│▓а в H s m (M ), а Ker A коне╖номе░но и не
зави▒и▓ о▓ s, ▓ак как A ╜ллип▓и╖ен вме▒▓е ▒ A. С│╣е▒▓венно, ╖▓о м╗ можем
░а▒▒ма▓ива▓╝ A во в▒ей ▒оболев▒кой ╕кале, об╗╖ного пон┐▓и┐ ▒оп░┐женного
опе░а▓о░а в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве ▓│▓ недо▒▓а▓о╖но.
Е▒ли m 0 и s = m, ▓о ┤о░м│ла (24)
непо▒░ед▒▓венно ▒лед│е▓ из ┤о░м│л╗ (23).
Доказа▓ел╝▒▓во.
9.
Рол╝ ┐д░а ?ДО
.
Тео░ема 11.
Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗ 11.
55
Э▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ озна╖ае▓, ╖▓о в ▒л│╖ае m 0 │░авнение Au = f c f 2 H 0 (M )
имее▓ ░е╕ение u 2 H m (M ) ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда Af = 0. Сей╖а▒ м╗
обоб╣им ╜▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ на п░оизвол╝н╗е m и s.
Опе░а▓о░ из ▓ео░ем╗ 9 обозна╖им ╖е░ез t . У░авнение Au = f ╜квивален▓но │░авнени╛
Bv = g; где B = s m As 1 ; v = s u; g = s m f:
Зде▒╝ B { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО по░┐дка 0 и v; g 2 H 0 (M ). Дл┐ его ░аз░е╕имо▒▓и необ╡одимо и до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ в╗полн┐ло▒╝ │▒ловие
(g; w)0;M = 0 п░и B w = 0;
▓.е. (полагаем h = s mw)
(s mf; w)0;M = 0 п░и s 1 A s m w = 0;
▓.е.
(f; h)0;M = 0 п░и A h = 0:
Именно ╜▓и │▒лови┐ и надо б╗ло пол│╖и▓╝. След▒▓вие.
A в╗░ажае▓▒┐ ┤о░м│лой
{ (A) = dimKer A dimKerA* :
Индек▒ ╜ллип▓и╖е▒кого ?ДО
Он не зави▒и▓ о▓ s.
10.
Дал╝ней╕ие ▒вой▒▓ва индек▒а.
п░о▒▓░ан▒▓ва.
?│▒▓╝ H1, H2, H3 { гил╝бе░▓ов╗
?│▒▓╝ A1 : H1 7! H2 , A2 : Н2 7! H3 {
A2 A1 : H1 7! H3 { ┤░едгол╝мов опе░а▓о░ и
?░едложение 3.
опе░а▓о░╗. Тогда
(25)
┤░едгол╝мов╗
{ (A2 A1 ) = { (A2 ) + { (A1 ):
(26)
Э▓о │▓ве░ждение доказ╗вае▓▒┐ во многи╡ книга╡. Возможно, м╗ докажем
его в на╖але ▒лед│╛╕его ▒еме▒▓░а.
?│▒▓╝ A : H1 7! H2 { ┤░едгол╝мов опе░а▓о░ и B : H 2 7!
1
H
?░едложение 4.
{па░аме▓░ик▒ дл┐
A.
Тогда
B
{ ┤░едгол╝мов опе░а▓о░ и
{ (B ) = { (A):
(27)
?е░вое │▓ве░ждение доказ╗ва▓╝ не б│дем, дл┐ ╜ллип▓и╖е▒ки╡ A оно о╖евидно. Фо░м│ла (27) ▒лед│е▓ из (26), ▓ак как п░оизведение BA имее▓ н│левой
индек▒.
?░едложение 5.
из
H1 в H2 .
Тогда
?│▒▓╝ A { ┤░едгол╝мов и T { компак▓н╗й опе░а▓о░╗
T { ┤░едгол╝мов опе░а▓о░ из H1 в H2 и
A+
{ (A + T ) = { (A):
(28)
56
Э▓о ▒лед│е▓ из ▓ого, ╖▓о па░аме▓░ик▒ B дл┐ A о▒▓ае▓▒┐ па░аме▓░ик▒ом дл┐
A + T.
в
в
?░едложение 6. ?│▒▓╝ A { (ог░ани╖енн╗й) ┤░едгол╝мов опе░а▓о░ из H1
H2 . Тогда ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акое ╖и▒ло " > 0, ╖▓о е▒ли A { опе░а▓о░ из H1
H2 c но░мой kAk < ", ▓о A + A { ┤░едгол╝мов опе░а▓о░ и
{ (A + A) = { (A):
(29)
?│▒▓╝ B { па░аме▓░ик▒ дл┐ A. Тогда
B (A + A) = BA + B A = I1 + T1 + B A:
Доказа▓ел╝▒▓во.
?│▒▓╝
kB kkAk < 1:
Тогда ▒│╣е▒▓в│е▓ (I1 + B A) 1 и
(I1 + B A) 1B (A + A) = I1 + (I + B A) 1T1 :
?о▒леднее ▒лагаемое компак▓но, ▓ак ╖▓о (I1 + B A) 1B { лев╗й па░аме▓░ик▒
дл┐ A + A. ?░ав╗й ▒▓░ои▓▒┐ аналоги╖но, ▓ак ╖▓о можно вз┐▓╝ " = kB k 1.
Л╛бой об░а▓им╗й опе░а▓о░ имее▓ н│левой индек▒, ▓ак ╖▓о индек▒ по▒▓░оенного па░аме▓░ик▒а ▓акой же, как │ B . О▓▒╛да и из п░едложени┐ 4 ▒лед│е▓
(29).
?│▒▓╝ A { ┤░едгол╝мов опе░а▓о░ из H1 в H2 ▒ н│лев╗м
индек▒ом. Тогда ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акой коне╖номе░н╗й опе░а▓о░ T , ╖▓о A T
об░а▓им.
?░едложение 7.
+
(c░. ▒ ╖а▒▓╝╛ доказа▓ел╝▒▓ва ▓ео░ем╗ 6). ?│▒▓╝ u1 ; : : : ; um
{ бази▒ в Ker A и v1 ; : : : ; vn { бази▒ в Ker A . ?оложим T uj = vj (j = 1; : : : ; m),
T = 0 на (Ker A)? и ░а▒п░о▒▓░аним T на H1 по линейно▒▓и. Э▓о коне╖номе░н╗й опе░а▓о░, ▓ак ╖▓о он компак▓ен и A + T ▒о╡░ан┐е▓ н│левой индек▒.
Тепе░╝ до▒▓а▓о╖но п░ове░и▓╝, ╖▓о A + T имее▓ ▓░ивиал╝ное ┐д░о.
?│▒▓╝ h { ╜лемен▓ ╜▓ого ┐д░а. ?│▒▓╝ h = h1 +h2 , где h1 2 KerA и h2 ? Ker A.
Тогда
(A + T )h1 = T h1 ; (A + T )h2 = Ah2 ; T h1 ? Ah2 ;
▓ак ╖▓о T h1 = 0 и Ah2 = 0. О▓▒╛да ▒лед│е▓, ╖▓о h1 = 0, а ▓акже ╖▓о Ah2 = 0
и h2 = 0 (▒м. п░едложение 2). Доказа▓ел╝▒▓во
? однозна╖н╗м о▓об░ажением x = (y) обла▒▓и U на O. Коо░дина▓╗ y в U ┐вл┐╛▓▒┐ локал╝н╗ми коо░дина▓ами в O. Е▒ли
коо░дина▓н╗е ок░е▒▓но▒▓и O1 и O2 пе░е▒ека╛▓▒┐, ▓о и╡ п░ооб░аз╗
на ка░▓а╡
1
U1 и U2 { о▓к░╗▓╗е множе▒▓ва и ▒в┐з╗ва╛╣ее и╡ о▓об░ажение 1 2 ┐вл┐е▓▒┐
бе▒коне╖но гладким ди┤┤еомо░┤измом. Ка░▓╗ коо░дина▓н╗╡ ок░е▒▓но▒▓ей
об░аз│╛▓ а▓ла▒ многооб░ази┐. Замкн│▓о▒▓╝ многооб░ази┐ озна╖ае▓ его компак▓но▒▓╝ (и о▓▒│▓▒▓вие к░а┐). Компак▓но▒▓╝ { ╜▓о возможно▒▓╝ в╗б░а▓╝
из л╛бого пок░╗▓и┐ многооб░ази┐ M о▓к░╗▓╗ми множе▒▓вами (в ╖а▒▓но▒▓и, коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми) коне╖ное подпок░╗▓ие. Эквивален▓ное
│▒ловие ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о л╛ба┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▓о╖ек на M ▒оде░жи▓
подпо▒ледова▓ел╝но▒▓╝, ▒╡од┐╣│╛▒┐ к неко▓о░ой его ▓о╖ке.
Замкн│▓а┐ гладка┐ гипе░пове░╡но▒▓╝ в R n как п░авило задае▓▒┐ па░аме▓░и╖е▒ки ▒ ░азной (гладкой) па░аме▓░иза╢ией в ░азн╗╡ ме▒▓а╡, па░аме▓░╗
{ ╜▓о и е▒▓╝ локал╝н╗е коо░дина▓╗. Более об╣ий п░име░ замкн│▓ого гладкого n-ме░ного многооб░ази┐ (┤ак▓и╖е▒ки
▒ам╗й об╣ий) { замкн│▓а┐ гладка┐
N
пове░╡но▒▓╝ ░азме░но▒▓и n в R , N > n.
Ф│нк╢и┐ f (x) на M наз╗вае▓▒┐ бе▒коне╖но гладкой, е▒ли в▒е ┤│нк╢ии f ((y))
на ка░▓а╡ коо░дина▓н╗╡ ок░е▒▓но▒▓ей бе▒коне╖но гладкие. Э▓и ┤│нк╢ии
об░аз│╛▓ п░о▒▓░ан▒▓во C 1 (M ) = E (M ). Аналоги╖но оп░едел┐╛▓▒┐ ┤│нк╢ии кла▒▒а C N (M ) c коне╖н╗м N 2 Z+. Ча▒▓н╗е п░оизводн╗е оп░еделен╗
локал╝но в локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡ и зави▒┐▓ о▓ и╡ в╗бо░а. Как п░авило ди┤┤е░ен╢иал╝н╗й опе░а▓о░ на M нел╝з┐ оп░едели▓╝ ▒░аз│ глобал╝но.
Дл┐ каждого пок░╗▓и┐ fOk gKk коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми (или л╛б╗ми
о▓к░╗▓╗ми множе▒▓вами) ▒│╣е▒▓в│е▓ под╖иненное ╜▓ом│ пок░╗▓и╛ ░азбиение едини╢╗ { ▒и▒▓ема ┤│нк╢ий f'k gK
1 ▒о ▒вой▒▓вами
1. Гладкое замкн│▓ое многооб░азие.
многооб░азие M кла▒▒а C 1 .
'k 2 C 1 (M ); 'k 0;
supp 'k Ok ;
K
X
1
'k (x) 1:
В п░о▒▓░ан▒▓ве С N (M ) можно вве▒▓и но░м│
kf kN = k;y2max
j@ (f'k )[(k) (y)]j:
Uk ;jN y
(1)
(2)
Э▓а но░ма зави▒и▓ о▓ в╗бо░а ░азбиени┐ едини╢╗ и локал╝н╗╡ коо░дина▓, но
можно п░ове░и▓╝, ╖▓о п░и ░азн╗╡ в╗бо░а╡ пол│╖а╛▓▒┐ ╜квивален▓н╗е но░м╗.
(Эквивален▓но▒▓╝ дв│╡ но░м озна╖ае▓, ╖▓о и╡ о▓но╕ение закл╛╖ено межд│
положи▓ел╝н╗ми по▒▓о┐нн╗ми.)
?░о▒▓░ан▒▓во E 0(M ) оп░едел┐е▓▒┐ как п░о▒▓░ан▒▓во линейн╗╡ неп░е░╗вн╗╡ ┤│нк╢ионалов над E (M ) = C 1 (M ).
37
Об▒│дим ▓епе░╝ воп░о▒ об ин▓ег░и░овании по M . Оп░еделим пло▓но▒▓╝
на M как ▒овок│пно▒▓╝ бе▒коне╖но гладки╡ положи▓ел╝н╗╡ ┤│нк╢ий U (y) на
ка░▓а╡ U , ▓аки╡, ╖▓о е▒ли коо░дина▓н╗е ок░е▒▓но▒▓и
O и O0 име╛▓ неп│▒▓ое
0
пе░е▒е╖ение, ▓о дл┐ ▓о╖ек на ка░▓а╡ U и U , ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ▓о╖кам ╜▓ого
пе░е▒е╖ени┐,
U (y ) dy = U (y 0 ) dy 0:
(3)
Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о
0) 1
@y
(
y
0
0
:
U [y (y )] = U (y ) det
(4)
@y 0 Об╗╖но пло▓но▒▓╝ запи▒╗ва╛▓ ▓ак: dx = fU (y) dyg.
Тепе░╝ оп░еделим ин▓ег░ал о▓ ┤│нк╢ии f (x) по M ┤о░м│лой
0
0
Z
M
f (x) dx =
K Z
X
1
(f'k )[(k) (y)]Uk (y) dy:
(5)
Зде▒╝ и▒пол╝зован╗ ░азбиение едини╢╗, ▒о▒▓о┐╣ее из ┤│нк╢ий 'k ▒ но▒и▓ел┐ми
в коо░дина▓н╗╡ ок░е▒▓но▒▓┐╡ Ok , пло▓но▒▓╝ и локал╝н╗е коо░дина▓╗ в
U (k) . Но ин▓ег░ал благода░┐ (4) зави▒и▓ ▓ол╝ко о▓ в╗бо░а пло▓но▒▓и. E▒ли,
в ╖а▒▓но▒▓и, но▒и▓ел╝ ┤│нк╢ии f лежи▓ в коо░дина▓ной ок░е▒▓но▒▓и O, ▓о
Z
Z
f (x) dx = f ((y ))(y ) dy:
(6)
M
Кажд│╛ неп░е░╗вн│╛ ┤│нк╢и╛ f (x) на M можно ▓епе░╝ о▓ожде▒▓ви▓╝ ▒
░а▒п░еделением, или обоб╣енной ┤│нк╢ией, из E 0(M ) по ┤о░м│ле
hf; 'i =
Скал┐░ное п░оизведение
Z
M
f (x)'(x) dx; ' 2 E (M ):
на M оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой
Z
(f; g)0;M = f (x)g(x) dx:
(7)
(8)
Далее е▒▓е▒▓венно оп░едел┐е▓▒┐ п░о▒▓░ан▒▓во L2 (M ) как гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во, пол│╖аемое, нап░име░, пополнением п░о▒▓░ан▒▓ва C (M ) неп░е░╗вн╗╡ ┤│нк╢ий по ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей но░ме kuk0;M = (u; u)10=;M2 . Можно оп░едели▓╝ и д░│гие п░о▒▓░ан▒▓ва Lp (M ), 1 p 1.
Ра▒▒мо▓░им дв│ме░н│╛ замкн│▓│╛ пове░╡но▒▓╝ S в R 3 . ?│▒▓╝
она локал╝но задае▓▒┐ │░авнени┐ми
xj = xj (t1 ; t2 ) (j = 1; 2; 3);
(9)
где ┤│нк╢ии ▒п░ава бе▒коне╖но гладкие. Зде▒╝ t1 ; t2 { локал╝н╗е коо░дина▓╗.
Лебегова ме░а в R 3 по░ождае▓ лебегов│ ме░│ на S , и \ин▓ег░ал 1-го ░ода" по
╜▓ой ме░е (\по пло╣ади на S ") в╗╖и▒л┐е▓▒┐ по изве▒▓ной ┤о░м│ле
?░име░.
Z
f (x) dS =
ZZ
p
f (x1(t1 ; t2 ); : : : ) EG F 2 dt1 dt2 ;
(10)
38
где
E = @t1 x @t1 x; F
= @t1 x @t2 x; G = @t2 x @t2 x:
(11)
p
?░и ╜▓ом, как изве▒▓но, вели╖ина EG F 2, зави▒┐╣а┐ о▓ в╗бо░а па░аме▓░иза╢ии, в╗░ажае▓▒┐ ╖е░ез ┐кобиан╗ ▒лед│╛╣им об░азом:
1=2
p
@ (x1 ; x2 ) 2
2
EG F = det
+ ::: :
@ (t1 ; t2 ) В данном ▒л│╖ае пло▓но▒▓╝ е▒▓╝ fpEG F 2 dt1 dt2 g.
?░и заданной пло▓но▒▓и кажда┐ ▓о╖ка на M имее▓ ок░е▒▓но▒▓╝ ▒ ▓акими локал╝н╗ми коо░дина▓ами y, ╖▓о U (y) 1.
Дей▒▓ви▓ел╝но, п│▒▓╝ O { кака┐-ниб│д╝ коо░дина▓на┐ ок░е▒▓но▒▓╝, в ко▓о░ой на╡оди▓▒┐ вз┐▓а┐ ▓о╖ка, и yej (j = 1; : : : ; n) { локал╝н╗е коо░дина▓╗ в ней,
Ue { ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ ка░▓а. ?оложим
Заме╖ание.
y1 = ye1 ; : : : ; yn 1 = yen 1 ; yn =
Z yen
yen;0
Ue (ye1 ; : : : ; yen 1 ; t) dt:
(12)
Тогда @y=@ ye { нижн┐┐ ▓░е│гол╝на┐ ма▓░и╢а ▒ главной диагонал╝╛ (1; : : : ; 1; Ue )
и
dy = det(@y=@ ye) dye = Ue (ye) dye;
▓ак ╖▓о U (y) дей▒▓ви▓ел╝но ░авно 1.
?ок░╗ва┐ многооб░азие ок░е▒▓но▒▓┐ми ▒ ▓акими локал╝н╗ми коо░дина▓ами и в╗би░а┐ коне╖ное подпок░╗▓ие, пол│╖аем ▒пе╢иал╝н╗й \мал╗й" а▓ла▒
из ка░▓, ▒огла▒ованн╗╡ ▒ заданной пло▓но▒▓╝╛ ▓ак, ╖▓о в▒е U ▓ожде▒▓венно ░авн╗ 1. Фо░м│ла (5) дл┐ ин▓ег░ала п░и и▒пол╝зовании ╜▓и╡ ка░▓
п░инимае▓ вид
Z
K Z
X
f (x) dx =
(f'k )[(k) (y)] dy:
(5')
M
1
ввод┐▓▒┐ ▒лед│╛╣им об░азом. ?│▒▓╝K
{ пок░╗▓ие многооб░ази┐ коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми, и п│▒▓╝ f k g1
{ ▒и▒▓ема ┤│нк╢ий ▒о ▒лед│╛╣ими ▒вой▒▓вами:
X
1
(13)
k 2 C (M );
k 0; supp k Ok ;
k > 0 на M:
Соболев▒кие п░о▒▓░ан▒▓ва
fOk g
H s (M )
Дл┐ л╛бого s 2 R и л╛бой ┤│нк╢ии u 2 C 1 (M ) положим
kuks;M =
X
ku k k2s;Rn
1=2
;
(14)
где под░аз│мевае▓▒┐,
╖▓о ┤│нк╢и┐ u k п░одолжена ▒ n▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей ка░▓╗
n
на R н│лем вне ее но▒и▓ел┐ и но░ма в╗╖и▒лена в R . ?░о▒▓░ан▒▓во H s (M )
оп░едел┐е▓▒┐ как пополнение п░о▒▓░ан▒▓ва C 1 (M ) по ╜▓ой но░ме.
39
О╖евидно, ╖▓о ╜▓о гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во ▒о ▒кал┐░н╗м п░оизведением
(u; v)s;M =
X
(u
k ; v k )s;Rn :
(15)
Разн╗е в╗бо░╗ коо░дина▓н╗╡ ок░е▒▓но▒▓ей, локал╝н╗╡ коо░дина▓ и ▒и▒▓ем╗
┤│нк╢ий k п░ивод┐▓ к ╜квивален▓н╗м но░мам. Э▓а ▒и▒▓ема може▓ б╗▓╝, в
╖а▒▓но▒▓и, ░азбиением едини╢╗:
X
k (x) 1:
(16)
Д░│гой полезн╗й в╗бо░ ╜▓ой ▒и▒▓ем╗: ▒ │▒ловием
X
k (x) 1:
(17)
2
В по▒леднем ▒л│╖ае, е▒ли пол╝зова▓╝▒┐ мал╗м а▓ла▒ом из ка░▓, ▒огла▒ованн╗╡
▒ заданной пло▓но▒▓╝╛,
Z
(18)
(u; v)0;M = uv dx;
M
▓ак ╖▓о H 0(M ) полно▒▓╝╛ ▒овпадае▓ ▒ L2(M ).
Имее▓ ме▒▓о неп░е░╗вное вложение Hs(M ) Hs (M ) п░и s < s0; более
▓ого, ╜▓о вложение компак▓но (благода░┐ компак▓но▒▓и M ). ?░и s > n=2 + k
имеем неп░е░╗вное вложение H s(M ) C (k) (M ), k 2 Z+. ?о╜▓ом│ H 1 (M ) =
\H s (M ) можно о▓ожде▒▓ви▓╝ ▒ C 1 (M ). ?░о▒▓░ан▒▓во [H s(M )]0 неп░е░╗вн╗╡
линейн╗╡ ┤│нк╢ионалов над H s (M ) можно
о▓ожде▒▓ви▓╝ 1) c H s(M ), и▒пол╝s
з│┐ ▒кал┐░ное п░оизведение (15), 2) c H (M ), и▒пол╝з│┐ п░одолжение ┤о░м╗
(u; v)0;M на H s(M ) H s (M ). Но ╜▓о▓ в▓о░ой ва░иан▓ │да▒▓▒┐ обо▒нова▓╝
▓ол╝ко позднее. См. лек╢и╛ 11.
Неко▓о░╗е под░обно▒▓и можно най▓и в лек╢и┐╡ п░ед╗д│╣его ▒еме▒▓░а.
0
40
Лек╢и┐ 9
?│▒▓╝ M { замкн│▓ое nме░ное
бе▒коне╖но гладкое многооб░азие, и п│▒▓╝ A { опе░а▓о░, дей▒▓в│╛╣ий
в C 1 (Rn ). Че░ез ' и б│дем обозна╖а▓╝ ┤│нк╢ии из C 1 (M ).
М╗ ▒кажем, ╖▓о A { ?ДО из m (M ), е▒ли в╗полнен╗ два │▒лови┐.
1. Дл┐ л╛б╗╡ ', ▒ не пе░е▒ека╛╣ими▒┐ но▒и▓ел┐ми 'A( ) п░одолжае▓▒┐
до опе░а▓о░а по░┐дка 1 в ▒оболев▒кой ╕кале на M .
2. Е▒ли но▒и▓ели ┤│нк╢ий ', лежа▓ в одной коо░дина▓ной ок░е▒▓но▒▓и
O, ▓о
'A u = 'AU u;
(19)
где AU { ?ДО из m (Rn ), зави▒┐╣ий ▓ол╝ко о▓ O и в╗бо░а локал╝н╗╡ коо░дина▓ в O.
Зде▒╝ и дал╝╕е под░аз│мевае▓▒┐ ▒лед│╛╣ее. Слева u { л╛ба┐ ┤│нк╢и┐ из
1
C (M ). Но▒и▓ели ┤│нк╢ий u лежа▓ в O. ?о▒ле пе░е╡ода к локал╝н╗м коо░дина▓ам пол│╖а╛▓▒┐ ┤│нк╢ииn на ка░▓е U , ░авн╗е н│л╛ вблизи г░ани╢╗
ка░▓╗. Они п░одолжа╛▓▒┐ на R н│лем вне ▒вои╡ но▒и▓елей. В п░авой ╖а▒▓и
┤о░м│л╗ (19) пол│╖ае▓▒┐ ┤│нк╢и┐ на R n ▒ но▒и▓елем в U . Она пе░ено▒и▓▒┐
на O и п░одолжае▓▒┐ н│лем на M вне ▒воего но▒и▓ел┐.
В под▓ек▒▓е ╜▓ого оп░еделени┐ { ▓ео░ема о ▓ом, ╖▓о в R n компози╢и┐ вида
'A( ), где A { ?ДО, а ' и { ┤│нк╢ии из С01 (R n ) c не пе░е▒ека╛╣ими▒┐
но▒и▓ел┐ми, е▒▓╝ ?ДО по░┐дка 1, а главное, ▓ео░ема о замене пе░еменн╗╡ в ?ДО. В ▒ил│ ╜▓и╡ ▓ео░ем ▓ол╝ко ╖▓о данное оп░еделение ?ДО на M
ко░░ек▓но.
В╗ведем ▓епе░╝ ┤о░м│л│ дл┐ п░ед▒▓авлени┐ ?ДО A на M . ?│▒▓╝ fOk gK1 {
пок░╗▓ие многооб░ази┐ коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми, а f'k gK1 { ░азбиение
едини╢╗, ▒о▒▓о┐╣ее из бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢ий и под╖иненное ╜▓ом│ пок░╗▓и╛. ?│▒▓╝ Ak = AUk { ?ДО
из в▓о░ого п│нк▓а оп░еделени┐, о▓ве╖а╛╣ие
1
Ok . ?│▒▓╝ k { ┤│нк╢ии из C (M ) c но▒и▓ел┐ми в Ok , ░авн╗е 1 в ок░е▒▓но▒▓и
но▒и▓ел┐ ┤│нк╢ии 'k . Тогда
2.
Оп░еделение ?ДО на многооб░азии.
A=
X
'k A =
X
'k Ak k +
X
'k A(1
k )
?о▒ледн┐┐ ▒│мма { опе░а▓о░ по░┐дка 1. Таким об░азом,
A=
X
'k Ak k + : : : ;
(20)
зде▒╝ и дал╝╕е много▓о╖ием обозна╖ае▓▒┐ опе░а▓о░ по░┐дка 1. Аналоги╖н│╛ ┤о░м│л│ можно пол│╖и▓╝, │множа┐ A на ░азбиение едини╢╗ ▒п░ава:
A=
X
k Ak 'k + : : : :
(21)
Из ╜▓и╡ ┤о░м│л ▒░аз│ ▒лед│е▓
?ДО из m (M ) дей▒▓в│е▓ ог░ани╖енн╗м об░азом из H s (M )
s
m
вH
(M ).
Тео░ема 1.
41
Дей▒▓ви▓ел╝но, до▒▓а▓о╖но во▒пол╝зова▓╝▒┐ аналоги╖н╗м ░ез│л╝▓а▓ом дл┐
?ДО в R n .
Заме▓им е╣е, ╖▓о л╛бой опе░а▓о░ вида (20) или (21) { ?ДО из m (M ). Э▓о
▒лед│е▓ из ▓ео░ем╗ о замене пе░еменн╗╡ в ?ДО.
Че░ез 1 (M ) обозна╖им пе░е▒е╖ение в▒е╡ m (M ) и ╖е░ез 1 (M ) { об║единение в▒е╡ m (M ). Заме▓им, ╖▓о 1 (M ) ▒овпадае▓ ▒ кла▒▒ом ин▓ег░ал╝н╗╡ опе░а▓о░ов
Z
k(x; y )u(x) dx
c бе▒коне╖но гладкими ┐д░ами. Можно показа▓╝, ╖▓о он же ▒овпадае▓ ▒ кла▒▒ом опе░а▓о░ов по░┐дка 1 в ▒оболев▒кой ╕кале M .
?олн╗й ▒имвол ?ДО как п░авило можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ▓ол╝ко локал╝но, в
локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡.
?ДО A из m (M ) назовем полиодно░одн╗м, е▒ли в▒е Ak { полиодно░одн╗е
?ДО. Э▓и ?ДО об░аз│╛▓ кла▒▒ mph (M ).
?░име░ами мог│▓ ▒л│жи▓╝ опе░а▓о░╗ в ╖а▒▓н╗╡ п░оизводн╗╡ ▒ бе▒коне╖но
гладкими ко╜┤┤и╢иен▓ами (и╡ запи▒╝ об╗╖но локал╝на и зави▒и▓ о▓ в╗бо░а
локал╝н╗╡ коо░дина▓) и опе░а▓о░ │множени┐ на бе▒коне╖но гладк│╛ ┤│нк╢и╛, ╜▓о ?ДО из 0ph (M ).
Б│де▓ показано, ╖▓о полиодно░одн╗й ?ДО имее▓ инва░иан▓но оп░еделенн╗й главн╗й ▒имвол. ?одго▓овка п░оводи▓▒┐ в ▒лед│╛╣ем п│нк▓е.
M ?│▒▓╝ U {
обла▒▓╝ в R n и в каждой ее ▓о╖ке y задан ╖и▒ловой ▒▓олбе╢ (y) в╗▒о▓╗ n.
Гово░┐▓, ╖▓о ╜▓о кон▓░ава░иан▓н╗й век▓о░ (▓о╖нее, поле кон▓░ава░иан▓н╗╡
век▓о░ов), е▒ли п░и п░еоб░азовании коо░дина▓ y 7! ye = ye(y) ╜▓и век▓о░╗
п░еоб░аз│╛▓▒┐ по п░авил│
@ ye(y )
:
(22)
e =
@y
Э▓о п░еоб░азование ими▓и░│е▓ линейн│╛ ╖а▒▓╝ п░еоб░азовани┐ y y0 в ye ye0 :
3.
Ка▒а▓ел╝ное и кока▒а▓ел╝ное ░а▒▒лоени┐ над
.
@ ye
ye ye0 = (y y0 ) + : : : :
@y
?ол┐ кон▓░ава░иан▓н╗╡ век▓о░ов об░аз│╛▓ линейное п░о▒▓░ан▒▓во ▒ инва░иан▓но оп░еделенн╗ми (не зави▒┐╣ими о▓ в╗бо░а коо░дина▓) линейн╗ми
опе░а╢и┐ми.
Е▒ли в U задана к░ива┐ y = y(t), ▓о ка▒а▓ел╝н╗е к ней век▓о░╗ dy(t)=dt
кон▓░ава░иан▓н╗. Дей▒▓ви▓ел╝но, п░и пе░е╡оде к коо░дина▓ам ye │░авнени┐
к░ивой п░инима╛▓ вид ye = ye(y(t)), и
dye @ ye dy
=
:
dt @y dt
Кон▓░ава░иан▓н╗е век▓о░╗ наз╗ва╛▓▒┐ ▓акже ▓ензо░ами ▓ипа 10 .
42
Тепе░╝ в▒помним пон┐▓ие
пол┐ кова░иан▓н╗╡ век▓о░ов, или ковек▓о░ов,
или ▓ензо░ов по░┐дка 01 . Э▓о ▓оже век▓о░ в╗▒о▓╗ n, п░и ╜▓ом ▓░еб│е▓▒┐, ╖▓об╗ ▒▓анда░▓ное ▒кал┐░ное п░оизведение не зави▒ело о▓ в╗бо░а
коо░дина▓. ?о╜▓ом│ из ░авен▒▓ва
@ ye
@y
e e = e ▒лед│е▓ п░авило п░еоб░азовани┐ коо░дина▓ ковек▓о░а
e =
@ ye
@y
1
0
(23)
:
?е░ейдем к пон┐▓и┐м ка▒а▓ел╝ной пло▒ко▒▓и и ка▒а▓ел╝ного ░а▒▒лоени┐.
Фик▒и░│┐ ▓о╖к│ x на M , ░а▒▒мо▓░им па░╗ (x; ), где { кон▓░ава░иан▓н╗е
век▓о░╗, \ в╗╡од┐╣ие из" x. Э▓и па░╗
об░аз│╛▓ ка▒а▓ел╝н│╛ пло▒ко▒▓╝
Tx M . Е▒ли M { гипе░пове░╡но▒▓╝ в R n+1 , ▓о ╜▓о об╗╖на┐ ка▒а▓ел╝на┐ пло▒ко▒▓╝, ▒о▒▓о┐╣а┐ из в╗╡од┐╣и╡ из x век▓о░ов, ка▒а▓ел╝н╗╡ к п░о╡од┐╣им
╖е░ез x гладким к░ив╗м на M . Об║единение
[
TM =
Tx M
(24)
x2M
наз╗вае▓▒┐ ка▒а▓ел╝н╗м ░а▒▒лоением многооб░ази┐ M . Зде▒╝ ка▒а▓ел╝н╗е
пло▒ко▒▓и Tx M и Tx^ M в ░азн╗╡ ▓о╖ка╡ x и x^ ▒╖и▓а╛▓▒┐ не име╛╣ими об╣и╡
▓о╖ек. Э▓о бе▒коне╖но гладкое некомпак▓ное многооб░азие ▒ коо░дина▓н╗ми
ок░е▒▓но▒▓┐ми O R n и п░еоб░азовани┐ми локал╝н╗╡ коо░дина▓
ye = ye(y ); e =
Кока▒а▓ел╝на┐ пло▒ко▒▓╝ Tx M
Об║единение
@ ye
:
@y
(25)
▒о▒▓ои▓ из па░ (x; ), где { ковек▓о░╗.
T M =
[
x2M
Tx M
(26)
наз╗вае▓▒┐ кока▒а▓ел╝н╗м ░а▒▒лоением многооб░ази┐ M . Э▓о бе▒коне╖ноn
гладкое некомпак▓ное многооб░азие ▒ коо░дина▓н╗ми ок░е▒▓но▒▓┐ми O R
и п░еоб░азовани┐ми коо░дина▓
ye = ye(y ); e =
@ ye
@y
0
1
:
(27)
В▒помним, ╖▓о п░и п░еоб░азовании коо░дина▓ { под▒▓ановке ye = ye(y) главн╗й ▒имвол ?ДО п░еоб░аз│е▓▒┐ по ┤о░м│ле
@ ye(y )
e
a0 (ye(y );
= a(y; ):
4.
Главн╗й ▒имвол ?ДО на многооб░азии.
@y
43
О▓▒╛да ▒лед│е▓, ╖▓о главн╗й ▒имвол a0(x; ) ?ДО из mph (M ) имее▓ инва░иан▓н╗й
▒м╗▒л
как
┤│нк╢и┐
на
кока▒а▓ел╝ном
░а▒▒лоении
T M , ▓о╖нее, на
T M n 0 (из T M в╗б░а▒╗вае▓▒┐ \н│левое ▒е╖ение", ▒о▒▓о┐╣ее из ковек▓о░ов
(x; 0)). Э▓о положи▓ел╝но одно░одна┐ по ┤│нк╢и┐ ▒▓епени m. Э▓о озна╖ае▓,
╖▓о \п░ед▒▓ави▓ели" a0(y; ) главного ▒имвола в локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡ положи▓ел╝но одно░одн╗ ▒▓епени m по .
В ╖а▒▓но▒▓и, имее▓ ▒м╗▒л │▒ловие ╜ллип▓и╖но▒▓и
a0 (x; ) 6= 0 ( 6= 0):
(28)
Уже ▒лед│╛╣ий ╖лен a1 полного ░азложени┐ ▒имвола не имее▓ инва░иан▓ного ▒м╗▒ла. Но можно доказа▓╝, ╖▓о ▓ак наз╗ваем╗й ▒│бглавн╗й ▒имвол
X
(29)
(sub A) = a1(x; ) 21i @j @xj a0 (x; )
имее▓ инва░иан▓н╗й ▒м╗▒л, е▒ли догово░и▓╝▒┐ пол╝зова▓╝▒┐ ▓ол╝ко локал╝н╗ми коо░дина▓ами, ▒огла▒ованн╗ми ▒ данной пло▓но▒▓╝╛ (в▒е ┤│нк╢ии U
░авн╗ едини╢е).
О▓ме▓им е╣е, ╖▓о на ок░│жно▒▓и S (длин╗ 2) е▒▓е▒▓венно пол╝зова▓╝▒┐
пе░иоди╖е▒кой коо░дина▓ой. В ╜▓ом ▒л│╖ае полн╗й ▒имвол имее▓ ▒м╗▒л как
2-пе░иоди╖е▒ка┐ ┤│нк╢и┐ о▓ x:
a(x + 2; ) = a(x; ):
(30)
Аналоги╖но об▒▓ои▓ дело на ▓о░е Tn = S S { п░┐мом п░оизведении n
ок░│жно▒▓ей.
В▒е ▓ео░ем╗ ▒лед│╛▓ из аналоги╖н╗╡ ▓ео░ем в R n , но п░о▒леди▓╝ │дае▓▒┐ ▓ол╝ко за главн╗ми ▒имволами.
?│▒▓╝ A 2 m1 (M ), B 2 m2 (M ). Тогда C = BA 2 m1 +m2 (M ).
?░и ╜▓ом е▒ли A и B полиодно░одн╗, ▓о C полиодно░оден и его главн╗й ▒имвол е▒▓╝ п░оизведение главн╗╡ ▒имволов ?ДО B и A:
c0 = b0 a0 :
(31)
?│▒▓╝ ', { две ┤│нк╢ии из C 1 (M ) ▒на╖ала ▒ не пе░е▒ека╛╣ими▒┐ но▒и▓ел┐ми. ?│▒▓╝ ┤│нк╢и┐ из C 1 (M ), ░авна┐ 1 в ок░е▒▓но▒▓и но▒и▓ел┐ ┤│нк╢ии ' и ▓ака┐, ╖▓о но▒и▓ели ┤│нк╢ий и не пе░е▒ека╛▓▒┐.
Тогда
'BA = 'BA +'B (1 )A Оба ▒лагаем╗╡ ▒п░ава п░инадлежа▓ 1 (M ).
?│▒▓╝ ▓епе░╝ но▒и▓ели обеи╡ ┤│нк╢ий1', лежа▓ в одной коо░дина▓ной
ок░е▒▓но▒▓и, и п│▒▓╝ { ┤│нк╢и┐ из C (M ) ▒ но▒и▓елем в O, ░авна┐ 1 в
ок░е▒▓но▒▓и об║единени┐ но▒и▓елей ┤│нк╢ий ' и . Имеем
'BA = 'BA +'B (1 2 )A :
5. И▒╖и▒ление ?ДО на многооб░азии.
Тео░ема 1.
Доказа▓ел╝▒▓во.
44
В пе░вом ▒лагаемом м╗ можем под▒▓ави▓╝ вме▒▓о A и B ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие
?ДО в R n , в▓о░ое ▒лагаемое п░инадлежи▓ 1 (M ). О▓▒╛да видно, ╖▓о ВА
{ ?ДО из m1 +m2 (M ), полиодно░одн╗й в ▒л│╖ае полиодно░одн╗╡ A и B . Дл┐
п░ове░ки │▓ве░ждени┐ о главн╗╡ ▒имвола╡ до▒▓а▓о╖но п░едположи▓╝ в▒е ▓░и
┤│нк╢ии ░авн╗ми 1 в ок░е▒▓но▒▓и ┤икcи░ованной ▓о╖ки. ?│▒▓╝ на многооб░азии за┤ик▒и░ована (положи▓ел╝на┐ бе▒коне╖но гладка┐)
пло▓но▒▓╝. Тогда оп░еделен╗ ▒кал┐░ное п░оизведение
(u; v)0 = (u; v)0;M =
и ┤о░ма
hu; vi0 = hu; vi0;M =
Z
M
Z
uv dx
(32)
и дл┐ каждого опе░а▓о░а A, дей▒▓в│╛╣его в C 1 (M ), оп░еделен╗ ┤о░мал╝но
▒оп░┐женн╗й опе░а▓о░ A() и ┤о░мал╝но ▓░ан▒пони░ованн╗й опе░а▓о░ A(0)
▒оо▓ве▓▒▓венно ┤о░м│лами
(Au; v)0 = (u; A()v)0 и hAu; vi0 = hu; A(0) vi:
(33)
?│▒▓╝ A { ?ДО из m (M ). Тогда A() и A(0) { ▓оже ?ДО
из m (M ). Е▒ли A полиодно░оден, ▓о A() и A(0) ▓оже полиодно░одн╗ и
и╡ главн╗е ▒имвол╗ ░авн╗ ▒оо▓ве▓▒▓венно a0 (x; ) и a0 (x; ), где a0 (x; ) {
главн╗й ▒имвол ?ДО A.
?░о╣е в▒его во▒пол╝зова▓╝▒┐ мал╗м а▓ла▒ом из ок░е▒▓но▒▓ей ▒ локал╝н╗ми коо░дина▓ами, ▒огла▒ованн╗ми ▒ заданной пло▓но▒▓╝╛,
и ┤о░м│лой (20):
X
A = 'k Ak k + : : : ;
зде▒╝ и дал╝╕е много▓о╖ием обозна╖ен бе▒коне╖но ▒глажива╛╣ий опе░а▓о░.
Имеем
X
() ' ; A(0) = X A(0) ' ;
A() =
A
k k k
k k k
и ▓.д.
M
uv dx;
Тео░ема 2.
Доказа▓ел╝▒▓во.
x5.
Эллип▓и╖е▒кие ?ДО на замкн│▓ом многооб░азии
1 . ?а░аме▓░ик▒ дл┐ ╜ллип▓и╖е▒кого ?ДО.
(M ).
?│▒▓╝ A { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из m
ph
m
▒▓в│е▓ ▓акой ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО B из ph M , ╖▓о
Тео░ема 3.
BA = I + : : :
и
( )
AB = I + : : : :
Тогда ▒│╣е-
(1)
1=a0, где a0 { главн╗й ▒имвол ?ДО A.
Нам понадоб┐▓▒┐ два пок░╗▓и┐ fOk gN1 и fOek gN1 многооб░ази┐ M ▒о ▒лед│╛╣им ▒вой▒▓вом: e▒ли пе░е▒е╖ение Ok \ Ol неп│▒▓о, ▓о
об║единение Ok [ Ol ▒оде░жи▓▒┐ в пе░е▒е╖ении Oek \ Oel .
Главн╗й ▒имвол b0 ?ДО
Доказа▓ел╝▒▓во.
B
░авен
45
Дл┐ каждого k найдем ▓акой ?ДО Ak 2 m (Rn ), ╖▓о дл┐ ┤│нк╢ий ', из
C 1 (M ) c но▒и▓ел┐ми в Oek
'A = 'Ak в ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡. Опе░а▓о░╗ Ak можно п░едположи▓╝ ░авноме░но ╜ллип▓и╖е▒кими. Заме▓им, ╖▓о е▒ли но▒и▓ели ┤│нк╢ий ',
лежа▓ в Oek \ Oel , ▓о
'Ak = 'Al ' :
(2)
Зде▒╝ ▒лева и ▒п░ава и▒пол╝з│╛▓▒┐ ░азн╗е ▒и▒▓ем╗
локал╝н╗╡ коо░дина▓. Тепе░╝ за┤ик▒и░│ем коне╖ное ░азбиение едини╢╗ P 'k , под╖иненное пок░╗▓и╛
fOk g, и п░едположим, ╖▓о но▒и▓ел╝ ┤│нк╢ии k лежи▓ в Ok и ╖▓о k = 1 в
ок░е▒▓но▒▓и но▒и▓ел┐ ┤│нк╢ии 'k . М╗ имеем
A=
X
k Ak 'k + : : : :
?│▒▓╝ Bk {╜ллип▓и╖е▒кий па░аме▓░ик▒ дл┐ Ak . ?оложим
B=
X
'l Bl l (3)
и покажем, ╖▓о ╜▓о лев╗й па░аме▓░ик▒ дл┐ A. Имеем
ВА =
XX
'l Bl l k Ak 'k :
Зде▒╝ в каждом ▒лагаемом или 'l 'k { ▓ожде▒▓венн╗й н│л╝. или об║единение
но▒и▓елей ┤│нк╢ий k и l лежи▓ в Oek \ Oel . В по▒леднем ▒л│╖ае можно замени▓╝ Ak на Al и пе░епи▒а▓╝ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ▒лагаемое, и▒пол╝з│┐ (2), в
виде
'l Bl l k Al 'k = 'l Bl (1 l + l )(1 k + k )Al 'k + = 'l Al Bl 'k + = 'l 'k +: : : :
С│мми░│┐ по k и l, пол│╖аем едини╖н╗й опе░а▓о░ пл╛▒ бе▒коне╖но ▒глажива╛╣ий.
Далее, как в R n , ▒▓░оим п░ав╗й па░аме▓░ик▒ и п░ове░┐ем, ╖▓о оба ┐вл┐╛▓▒┐
дв│▒▓о░онними па░аме▓░ик▒ами. 2. След▒▓ви┐.
(об ап░ио░ной о╢енке). ?│▒▓╝ A { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из
mph (M ). Тогда ▒п░аведлива о╢енка
kuks;M Cs (kAuks m;M + kuks 1;M ):
(4)
(о пов╗╕ении гладко▒▓и
░е╕ений). ?│▒▓╝
A { ╜ллип▓и╖е▒кий
m
s
s
m
+
t
?ДО из ph (M ). Тогда е▒ли u 2 H (M ), Au 2 H
(M ), где t > 0, ▓о
u 2 H s+t (M ).
Тео░ема 4
Тео░ема 5
46
Лек╢и┐ 10
Из ▓ео░ем╗ о пов╗╕ении гладко▒▓и ▒лед│е▓, ╖▓о подп░о▒▓░ан▒▓во KerA
░е╕ений одно░одного ╜ллип▓и╖е▒кого │░авнени┐ Au = 0 ▒о▒▓ои▓ из бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢ий; в ╖а▒▓но▒▓и, оно не зави▒и▓ о▓ s.
Тео░ема о пов╗╕ении гладко▒▓и ▒п░аведлива ▓акже в локал╝ном ва░иан▓е,
нап░име░, ▓аком:
s
?│▒▓╝ A { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из m
ph (M ) и u 2 H (M ), ▓ак
╖▓о Au 2 H s m (M ), но Au 2 C 1 в обла▒▓и G на M . Тогда u 2 C 1 (G).
Э▓о ▒лед│е▓ из │же │▒▓ановленного аналоги╖ного ░ез│л╝▓а▓а в R n .
Как и в R n , дл┐ обоб╣енной ┤│нк╢ии u на M оп░едел┐е▓▒┐ ее ▒инг│л┐░н╗й
но▒и▓ел╝ sing supp u { наимен╝╕ее замкн│▓ое множе▒▓во, вне ко▓о░ого она
┐вл┐е▓▒┐ бе▒коне╖но гладкой. Дл┐ п░оизвол╝ного ?ДО A
sing supp Au sing supp u:
(4)
Дл┐ ╜ллип▓и╖е▒кого ?ДО из ▓ео░ем╗ 6 пол│╖ае▓▒┐, ╖▓о
sing supp Au = sing supp u:
(5)
Сп░аведлива ▓акже ▓ео░ема, об░а▓на┐ к ▓ео░еме 5 об ап░ио░ной о╢енке:
s
?│▒▓╝ A { ?ДО из m
ph (M ), и п│▒▓╝ дл┐ ┤│нк╢ий u из H (M )
Тео░ема 6.
Тео░ема 7.
c но▒и▓ел┐ми в ок░е▒▓но▒▓и
O
▓о╖ки x0 на
M
▒п░аведлива о╢енка
kuks;M C (kAuks;M + kuks
:
1;M ):
(
(6)
)
Тогда A ╜ллип▓и╖ен в x0 главн╗й ▒имвол a0 x0 ; о▓ли╖ен о▓ н│л┐ на нен│лев╗╡ кока▒а▓ел╝н╗╡ век▓о░а╡ в x0 .
Дей▒▓ви▓ел╝но, можно п░едположи▓╝, ╖▓о O { коо░дина▓на┐ ок░е▒▓но▒▓╝,
и пе░ей▓и на ка░▓│, а в R n ▓ака┐ ▓ео░ема │же доказана.
?░ежде ╖ем пе░е╡оди▓╝ к о▒новной ▓ео░еме об ╜квивален▓но▒▓и ╜ллип▓и╖но▒▓и и ┤░едгол╝мово▒▓и, ░а▒▒мо▓░им важн╗й п░име░.
?│▒▓╝
M { ░иманово многооб░азие. Э▓о зна╖и▓, ╖▓о на нем задана ве╣е▒▓венна┐ ▒имме▓░и╖на┐ положи▓ел╝но оп░еделенна┐ ма▓░и╢а g(y) = (gij (y)) в локал╝н╗╡
коо░дина▓а╡, ко▓о░а┐ п░и и╡ изменении веде▓ ▒еб┐ как ▓ензо░ ▓ипа 02 :
3. Опе░а▓о░ Бел╝▓░ами{Лапла▒а на ░имановом многооб░азии.
ge(ye) =
@y
@y 0
g (y (ye)) :
@ ye
@ ye
(7)
?░и помо╣и ╜▓ой ма▓░и╢╗ в╗╖и▒л┐е▓▒┐ длина к░ивой на M : е▒ли дл┐ п░о▒▓о▓╗ к░ива┐ лежи▓ в коо░дина▓ной ок░е▒▓но▒▓и и задае▓▒┐ │░авнени┐ми
47
= y(t) в локал╝н╗╡ коо░дина▓а╡ ( t ), ▓о длина в╗╖и▒л┐е▓▒┐ по
┤о░м│ле
Z l = [y 0 (t)]0 g (y (t))y (t)]1=2 dt:
Далее, ╜▓а ма▓░и╢а оп░едел┐е▓ пло▓но▒▓╝
p
dx = f (y ) dy g; где (y ) = det g (y ):
(8)
Е▒ли G { обла▒▓╝ на M , ▓о ее ░иманов об║ем в╗░ажае▓▒┐ ин▓ег░алом RG dx.
Нап░име░, е▒ли M е▒▓╝ n-ме░на┐ пове░╡но▒▓╝ в R N , локал╝но заданна┐ │░авнени┐ми
xk = xk (y 1 ; : : : ; y n ) (k = 1; : : : ; N )
(9)
(индек▒╗ │ коо░дина▓ ▒ей╖а▒ пи╕│▓▒┐ наве░╡│), ▓о
y
gij =
@xk (y ) @xk (y )
@y i @y j
k=1
N
X
(i; j = 1; : : : ; n):
(10)
В ▒л│╖ае дв│ме░ной пове░╡но▒▓и в R 3 ма▓░и╢а g(y) { ╜▓о ма▓░и╢а
E F
F G
Опе░а▓о░ Бел╝▓░ами{Лапла▒а оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой
n
X
p
1
ij
u((y)) = p(y) @yi (y)g (y)@yj u((y)) :
i;j =1
(11)
Зде▒╝
ма▓░и╢а, об░а▓на┐ к ма▓░и╢е g(y), ╜▓о ▓ензо░ ▓ипа 20 .
Главн╗й ▒имвол опе░а▓о░а е▒▓╝
X
g ij (y )i j ;
╜▓о положи▓ел╝но оп░еделенна┐ квад░а▓и╖на┐ ┤о░ма, ▓ак ╖▓о опе░а▓о░ ╜ллип▓и╖ен. К░оме ▓ого, как не▓░│дно п░ове░и▓╝, он ┤о░мал╝но ▒амо▒оп░┐жен.
(gij (y)) {
4. Ф░едгол╝мов╗ опе░а▓о░╗.
?│▒▓╝ H1 и H2 { гил╝бе░▓ов╗ п░о▒▓░ан▒▓ва (можно б╗ло б╗
░а▒▒мо▓░е▓╝ бана╡ов╗ п░о▒▓░ан▒▓ва) и A { опе░а▓о░ из H1 в H2, дл┐ п░о▒▓о▓╗
ог░ани╖енн╗й. Он наз╗вае▓▒┐ ┤░едгол╝мов╗м, е▒ли в╗полнен╗ ▒лед│╛╣ие
▓░и │▒лови┐.
1. Яд░о KerA коне╖номе░но.
2. Обла▒▓╝ зна╖ений Im A замкн│▓а в H2 .
3. Она имее▓ в H2 коне╖номе░ное дополнение Coker A.
Оп░еделение.
48
Разно▒▓╝
{ (A) = dimKer A
dimCoker A
(12)
наз╗вае▓▒┐ индек▒ом опе░а▓о░а A.
В ли▓е░а▓│░е в▒▓░е╖ае▓▒┐ ▓акже ▓ака┐ ▓е░минологи┐: вме▒▓о \┤░едгол╝мов опе░а▓о░" пи╕│▓ \не▓е░ов опе░а▓о░", а ┤░едгол╝мов╗м наз╗ва╛▓ не▓е░ов
опе░а▓о░ ▒ н│лев╗м индек▒ом.
Нап░име░, п│▒▓╝ H1 = H2 = H и A = I + T , где I { едини╖н╗й, а T {
компак▓н╗й опе░а▓о░╗. Об╣еизве▒▓но, ╖▓о ▓огда A { ┤░едгол╝мов опе░а▓о░
и {(A) = 0. Э▓а ▓ео░ема доказ╗вае▓▒┐ в об┐за▓ел╝ном к│░▒е ┤│нк╢ионал╝ного анализа или анализа-III. Главн╗й п░име░ { опе░а▓о░ I + T в п░о▒▓░ан▒▓ве L2 (G), где G { кака┐-ниб│д╝ обла▒▓╝ в R n и T { ин▓ег░ал╝н╗й опе░а▓о░
R
G K (x; y )u(y ) dy c квад░а▓и╖но ин▓ег░и░│ем╗м ┐д░ом.
?│▒▓╝ A { ог░ани╖енн╗й опе░а▓о░ из H1 в H2. Ог░ани╖енн╗й опе░а▓о░ B
из H2 в H1 наз╗ве▓▒┐ лев╗м па░аме▓░ик▒ом дл┐ A, е▒ли
B1 A = I1 + T1 ;
(13)
и п░ав╗м па░аме▓░ик▒ом, е▒ли
AB2 = I2 + T2 :
(14)
Зде▒╝ и дал╝╕е Ij и Tj { едини╖н╗й и компак▓н╗й опе░а▓о░╗ в Hj , j = 1; 2.
Е▒ли опе░а▓о░ B ┐вл┐е▓▒┐ лев╗м и п░ав╗м па░аме▓░ик▒ом, ▓о он наз╗вае▓▒┐
(дв│▒▓о░онним) па░аме▓░ик▒ом дл┐ A. Э▓и ▓е░мин╗ м╗ ▒░авним ▒ введенн╗ми ░ан╝╕е аналоги╖н╗ми ▓е░минами дл┐ ?ДО в ▒лед│╛╣ем п│нк▓е.
Е▒ли опе░а▓о░ A имее▓ лев╗й и п░ав╗й па░аме▓░ик▒╗ B1 и B2 , ▓о оба
они ┐вл┐╛▓▒┐ дв│▒▓о░онними па░аме▓░ик▒ами. Дей▒▓ви▓ел╝но, ▓огда
B1 AB2 = (I1 + T1 )B2 = B1 (I2 + T2 );
и ░азно▒▓╝ B1 B2 оказ╗вае▓▒┐ компак▓н╗м опе░а▓о░ом, ▓ак как п░оизведение ог░ани╖енного опе░а▓о░а на компак▓н╗й компак▓но. О▓▒╛да легко ▒лед│е▓ на╕е │▓ве░ждение.
1.?│▒▓╝ опе░а▓о░ A имее▓ лев╗й па░аме▓░ик▒. Тогда
он имее▓ коне╖номе░ное ┐д░о и замкн│▓│╛ обла▒▓╝ зна╖ений. 2. ?│▒▓╝ опе░а▓о░ A имее▓ п░ав╗й па░аме▓░ик▒. Тогда он имее▓ замкн│▓│╛ обла▒▓╝
зна╖ений. 3. ?│▒▓╝ опе░а▓о░ A ┤░едгол╝мов. Тогда он имее▓ дв│▒▓о░онний
?░едложение 1.
па░аме▓░ик▒.
?│▒▓╝ B1 { лев╗й па░аме▓░ик▒, ▓ак
╖▓о можно пол╝зова▓╝▒┐ ▒оо▓но╕ением (13). Тогда
Ker A Ker(I1 + T1 );
о▓▒╛да ▒░аз│ ▒лед│е▓, ╖▓о Ker A коне╖номе░но. Докажем ▓епе░╝ ▒лед│╛╣ее
в▒помога▓ел╝ное п░едложение:
Доказа▓ел╝▒▓во п░едложени┐ 1.
49
?░едложение 2.
дополнении
?░и нали╖ии левого па░аме▓░ик▒а на о░▓огонал╝ном
(Ker A)? к ┐д░│ опе░а▓о░а A ▒п░аведлива о╢енка
kuk1 C kAuk2
c не зави▒┐╣ей о▓
u по▒▓о┐нной.
(15)
Доп│▒▓им, ╖▓о о╢енка (15) неве░на.
Тогда ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓ака┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ╜лемен▓ов un ? KerA, ╖▓о kun k1 =
1 и Aun ! 0. Из (13) ▒лед│е▓, ╖▓о un + T1 un ! 0. Так как опе░а▓о░ T1 компак▓ен, а fT un g { ог░ани╖енна┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝, ▓о е▒▓╝ ▓ака┐ подпо▒ледова▓ел╝но▒▓╝ индек▒ов fnk g, ╖▓о по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ fT unk g ┤│ндамен▓ал╝на.
?│▒▓╝ дл┐ п░о▒▓о▓╗ обозна╖ений fT un g ┤│ндамен▓ал╝на. Тогда и fun g ┤│ндамен▓ал╝на. Так как H1 полно, ▓о fun g имее▓ п░едел u. Э▓о▓ п░едел имее▓
едини╖н│╛ но░м│ и о░▓огонален Ker A. В ▓о же в░ем┐ Au = 0. Э▓о п░о▓иво░е╖ие доказ╗вае▓ о╢енк│ (15).
Тепе░╝ п░ове░им замкн│▓о▒▓╝ обла▒▓и зна╖ений. ?│▒▓╝ Aun ! f . В╗╖и▓а┐
из un о░▓огонал╝н│╛ п░оек╢и╛ на KerA, можно п░едположи▓╝, ╖▓о un ? KerA.
И▒пол╝з│┐ о╢енк│ (15) ▒ un um вме▒▓о u, пол│╖аем, ╖▓о fun g ┤│ндамен▓ал╝на.
?│▒▓╝ un ! u. Тогда Aun ! Au. Зна╖и▓, g = Au. Из │▓ве░ждени┐ 2 п░ове░им коне╖номе░но▒▓╝ ко┐д░а. Она видна из (14):
Im A Im(I2 + T2 ):
?░ава┐ ╖а▒▓╝ имее▓ коне╖номе░ное дополнение, зна╖и▓, и лева┐.
Наме▓им план доказа▓ел╝▒▓ва │▓ве░ждени┐ 3. Ф░едгол╝мов опе░а▓о░ A
взаимно однозна╖но о▓об░ажае▓ (Ker A)? на ImA и в ▒ил│ неп░е░╗вно▒▓и
имее▓ об░а▓н╗й (по ▓ео░еме об об░а▓ном опе░а▓о░е), обозна╖им его B0. ?░одолжим B0 до опе░а▓о░а B , положив его ░авн╗м н│левом│ опе░а▓о░│ на (Im A)?.
У╖и▓╗ва┐ компак▓но▒▓╝ коне╖номе░ного опе░а▓о░а, можно показа▓╝, ╖▓о В {
па░аме▓░ик▒.
На ▒амом деле ▒п░аведлив╗ │▓ве░ждени┐, об░а▓н╗е к │▓ве░ждени┐м 1 и 2.
Cлед│╛╣а┐ ▓ео░ема ┐вл┐е▓▒┐ о▒новной в на▒▓о┐╣ем па░аг░а┤е.
?│▒▓╝ A { ?ДО из m
ph (M ). Тогда ▒лед│╛╣ие │▓ве░ждени┐
╜квивален▓н╗.
1╞. Опе░а▓о░ A ╜ллип▓и╖ен.
2╞. Опе░а▓о░ A имее▓ дв│▒▓о░онний па░аме▓░ик▒ B 2 mph (M ) в ▒м╗▒ле
▓ео░ии ?ДО.
3╞╞. A { ┤░едгол╝мов опе░а▓о░ из H s(M ) в H s m(M ) п░и л╛бом s.
4 . ?░и л╛бом s cп░аведлива ап░ио░на┐ о╢енка
kuks;M Cs kAuks m;M + kuks 1;M :
(16)
Более ▓ого, │▒ловие 3╞ п░и неко▓о░ом s ░авно▒ил╝но ╜▓ом│ │▒лови╛ п░и
в▒е╡ s, и ▓о же ве░но дл┐ │▒лови┐ 4╞ .
Доказа▓ел╝▒▓во п░едложени┐ 2.
5.
Эквивален▓но▒▓╝ ╜ллип▓и╖но▒▓и и ┤░едгол╝мово▒▓и.
Тео░ема 8.
50
М╗ │же знаем, ╖▓о 1╞ ) 2, 1╞ ) 4╞ п░и в▒е╡ s и 1╞ ( 4╞
п░и каком-ниб│д╝ s.
Тепе░╝
заме▓им,
╖▓о ?ДО по░┐дка 1 ┐вл┐е▓▒┐
компак▓н╗м опе░а▓о░ом
s
s
╞
╞
1
2
из H в H п░и л╛б╗╡ s1 и s2. ?о╜▓ом│ 2 ) 3 п░и в▒е╡ s.
?░едположим, ╖▓о в╗полнено │▒ловие 3╞ п░и неко▓о░ом s. Тогда опе░а▓о░
A взаимно однозна╖но о▓об░ажае▓ (Ker A)? на Im A и по ▓ео░еме об об░а▓ном
опе░а▓о░е имее▓ неп░е░╗вн╗й об░а▓н╗й. ?о╜▓ом│ на (Ker А)? имее▓ ме▒▓о
ап░ио░на┐ о╢енка
kuks;M C kAuks m;M :
(17)
?│▒▓╝ fuj gN1 s { бази▒ в Ker A, о░▓оно░ми░ованн╗й
в ▒м╗▒ле ▒кал┐░ного п░оизs
ведени┐ в H (M ). Тогда л╛ба┐ ┤│нк╢и┐ из H (M ) п░ед▒▓авима в виде
X
u = ue + (u; uj )s;M uj ;
Доказа▓ел╝▒▓во.
где ue 2 (Ker A)?. ?о╜▓ом│
X
X
kuks;M C [kAueks m;M + j(u; uj )s;M jkuj ks;M ] C 0 [kAuks m;M + j(u; uj )s;M j]:
Заме▓им, ╖▓о
j(u; v)s;M j C 00 kuks 1;M kvks+1;M ;
(18)
╜▓о▓ ва░иан▓ обоб╣енного не░авен▒▓ва Шва░╢а по┐▒ним немного ниже. ?о╜▓ом│ пол│╖аем (16). Из (16), как м╗ │же знаем, ▒лед│е▓ ╜ллип▓и╖но▒▓╝ опе░а▓о░а A.
О▒▓ало▒╝ п░ове░и▓╝ не░авен▒▓во (18). ?░и его п░ове░ке можно замени▓╝ u и
v ┤│нк╢и┐ми 'u и v , где ' и { бе▒коне╖но гладкие ┤│нк╢ии ▒ но▒и▓ел┐ми в
неко▓о░ой коо░дина▓ной ок░е▒▓но▒▓и. С╖и▓а┐ локал╝н╗е коо░дина▓╗
▒огла▒ованн╗ми ▒ заданной пло▓но▒▓╝╛, можем пе░ей▓и на ка░▓│. В R n н│жное
не░авен▒▓во п░ове░┐е▓▒┐ ╜лемен▓а░но, нап░име░, п░и помо╣и п░еоб░азовани┐
Ф│░╝е. 1. Е▒ли Ker A = 0, ▓о ап░ио░на┐ о╢енка
ве░на в ┤о░ме (17).
Э▓о ▒лед│е▓, нап░име░, из п░едложени┐ 2.
2. ?│▒▓╝ ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО A 2 mph (M ) имее▓ об░а▓н╗й A 1 п░и в▒е╡
s. Тогда A 1 { ╜ллип▓и╖е▒кий ?ДО из phm (M ).
Дей▒▓ви▓ел╝но, е▒ли B { па░аме▓░ик▒, ▓о
BAA 1 = (I + T1 )A 1 = B;
о▓к│да видно, ╖▓о A 1 B { опе░а▓о░ по░┐дка 1.
3. Яд░о ╜ллип▓и╖е▒кого опе░а▓о░а ▒о▒▓ои▓ из бе▒коне╖но гладки╡ ┤│нк╢ий
и не зави▒и▓ о▓ s. Но е╣е п░ед▒▓ои▓ показа▓╝, ╖▓о индек▒ не зави▒и▓ о▓
s и ╖▓о об░а▓имо▒▓╝ ╜ллип▓и╖е▒кого опе░а▓о░а п░и каком-ниб│д╝ s вле╖е▓
об░а▓имо▒▓╝ п░и в▒е╡ s.
Дополни▓ел╝н╗е заме╖ани┐.
51
?│▒▓╝ A { ?ДО из m (M ), и п│▒▓╝ ▒на╖ала
m 0.
{ ог░ани╖енн╗е опе░а▓о░╗ в L2(M ) и ░авен▒▓во
(Au; v)0;M = (u; A()v)0;M :
(19)
ве░но дл┐ ┤│нк╢ий u, v из H m (M ). Оно озна╖ае▓, ╖▓о опе░а▓о░ A() ▒оп░┐жен к A в ▒м╗▒ле ▓ео░ии опе░а▓о░ов в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве. В
дал╝ней╕ем б│дем запи▒╗ва▓╝ его в виде A, без ▒кобок в показа▓еле.
?│▒▓╝ ▓епе░╝ m > 0. Тогда A { неог░ани╖енн╗й опе░а▓о░ в L2 (M ). Его
обла▒▓╝╛ оп░еделени┐ D
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
437 Кб
Теги
эллиптическая, псевдодифференциальных, оператора, pdf, часть, агранович, 2003
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа