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Будылин А.М. - Ряды и интегралы Фурье (2002).pdf

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3.2.
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4.
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?0 y(b) + ?1 y 0 (b) = c2 .
(4.1)
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(4.2)
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2
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4.2.
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? (py 0 )0 + qy = ??y ,
(
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?0 y(b) + ?1 y 0 (b) = 0
(4.5)
(4.6)
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?????????? ??????? ???????????????, ??? ???? ??????????????, ??? p, q ? ? ?
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y(b) = 0
(4.7)
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y 0 (a) = 0 ,
y 0 (b) = 0
(4.8)
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???????????????? ????????? ?????? ??????????????? ????? ???? ??????????? ?????????? ????????. ???? ?????? ??????????? ?????????? t ??????????
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JJ
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s=
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,
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dt
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d2 y
d2 k
dk du ds
1 dk du 1 d2 u ds
d2 k
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dt2
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1 d2 u d2 k и
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?
u = ?p?ku .
k 3 ds2
dt2
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??????????
??? ? ????????
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d2 u
+ ru = ?u .
ds2
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?????
4.3.
?????????? ?????? ???????????????
???????? L (4.4) ?????????? ?????????? ?????????? ???????????????, ????
p, ? > 0. ?????? (4.5)?(4.6) ?????????? ??????????, ???? L ? ?????????? ???????? ???????????????.
??????? ????????? ???????? ??????? ?????????? ?????? ???????????????.
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?????????????, ???? y(x0 ) = 0 ? y 0 (x0 ) = 0, ?? ? ???? ?????????????? ???????
?????? ???? y(x) ? 0.
2. ??????? ???????????? ???????? ???????? ???????????? ? ????????? ?? ????????? ??????????? ??????? (?.?. ??????????? ????? ????????? ???????
???????? ? ???????).
?????????????, ????? y1 ? y2 ? ??????????? ???????, ?????????? ???????????? ???????? ?. ???????, ??? ?????????? ??????? (???????????? ??????????
?0 ? ?1 )
(
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JJ
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Zb
b Zb
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a
a
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Zb
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p
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(4.9)
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a
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2
JJ
II
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I
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9 ?????
?????? ???? ?????? ?????????????? ????????????? ? ??????? ????????.
10 ????? ?????? ???? ?????? ?????????????? ??????? p ? q.
11 ? ???? ??????????? ????????, ??? ?????, ??????????, ???????????????.
?????
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???????
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???????.
4. ????????? ??????????? ????????? ?1 ? ?2 ???????? ????????????? ??????????? ??????? y1 ? y2 :
Zb
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?????????? ?????????
a
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(?1 ? ?2 )hy1 |y2 i = hL[y1 ]|y2 i ? hy1 |L[y2 ]i = 0 .
5. ??????????? ????? ???????? ??????????? ????????? ???????????? ??????????????????, ??????????? ? ?????????????
?1 < ? 2 < . . . < ? n < . . . ,
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JJ
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Zb
2
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???????? 68 ?? 127
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Zb
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4.4.
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????????
??????????? ????????? ?????????????? ??????? ??????, ???:
1. ? = 1 ,
??? ? ????????
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JJ
II
J
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???????? 69 ?? 127
2. ????????? ???????????? V1 ??????? ?? ???????????? ??????????? ???????,
??????????????? ???????? ??????? (4.7).
?????
? ??????????????? ??????
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Zb
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???????
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12 ????????
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Zb
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Zb
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[py 02 + qy 2 ] dx .
a
???? ?????
? ????? Ф???????????? ??????????╗ ????? ????????, ??. ???? var.pdf, ??? ?????????? ???????? ????????????? ??????????? I(y) ??? ????????
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?????????? ?????????
??????????
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?1 = I(y1 ) ,
??? ?1 ? ?????????? ??????????? ???????? ??????????????? ?????? ???????
???????? ? y1 ? ??????????????? ??????????? ???????, ky1 k = 1. ????? ????,
????? ????? ????????? ???????????, ????????? ??? ???????????? ??????? ? ???????? ??????????? ????????.
????? y1 , y2 , . . . yn?1 ? ????????????????? ??????? ??????????? ???????, ?????????? ?????? n ? 1 ??????????? ?????? ?????? ???????????????, ????????????? ? ??????? ??????????? ?1 < ?2 < . . . < ?n?1 . ????? ?????????? ????????
????????????? ??????????? I(y) ??? ????????
y(a) = y(b) = 0 ,
kyk = 1 ,
y ? yk
????????? ????
JJ
II
J
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???????? 70 ?? 127
?k = 1, 2, . . . (n ? 1) ,
?????
???????????, ??????
min I(y) = ?n ,
?n = I(yn ) ,
??? ?n ? n-?? ??????????? ???????? ??????????????? ?????? ??????????????? ?
yn ? ??????????????? ??????????? ???????.
????????????? ???? ????????? ??? ?????????????? ??????? (???????????) ??????? ??????????? ??????? ????????? ??????????????? L ? ???????????? V1 .
?????? ?????
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k=1
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hL(rn )|rn i = hL(f )|rn i ?
n?1
X
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k=1
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X
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k=1
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6 0, ????????
rn = krn ken ,
JJ
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min
kyk=1,
y?y1 ,...yn?1
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???????? 71 ?? 127
?????
?????? ? ???? ??????????? ??????
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?.?. ????? ?n ? +? ??? n ? ?
krn k 6
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kL(f )k
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?n n??
?????
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????????, ??????, ? ?????????
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???????, ??? ? ???? ?????????????? L
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cn (L(y)) = hL(y)|yn i = hy|L(yn )i = hy|?n yn i = ?n hy|yn i = ?n cn (y) ,
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?n cn (y) = cn (f )
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?
X
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?n
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????????????? ???????? ???????? ?????? ???????????????, ??????? ?? ????????
?????????? ????? ????.
4.5.
??? ? ????????
????????? ????
JJ
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??????? ??????
? ???? ????????? ?? ???????????? ? ?????????? ????????? ??????????? ???????
????????? ???????????????.
??????? 4.1 (?????). ????? y1 ? y2 ???????, ??????????????, ?????????
y 00 + a1 (x)y = 0 ,
y 00 + a2 (x)y = 0 ,
?????
?????? ?????
???????
??? a1 ? a2 ? ??????????? ???????, ??????
a1 (x) 6 a2 (x)
(4.10)
(4.11)
???????? 72 ?? 127
(?x) .
?????
????? ????? ?????? ????? ?????? ??????? y1 ????????? (4.10) ????????? ??
??????? ???? ???? ???? ??????? y2 ????????? (4.11):
y1 (x1 ) = y1 (x2 ) = 0 ,
?
x1 < x2
?x3 ? [x1 , x2 ] :
y2 (x3 ) = 0 .
??????????????. ??????? ?????????
y100
?? y2 , ? ?????????
???? ?????
+ a1 y1 = 0
????????? ?????
?????????? ?????????
??????????
y200 + a2 y2 = 0
?? y1 ? ?????? ?????? ?? ???????. ???????
??? ? ????????
(y1 y20 ? y2 y10 )0 + (a2 ? a1 )y1 y2 = 0 .
????????? ????
????? x1 ? x2 ? ??????? ????? ??????? y1 . ???????????, ??? ? ????????? [x1 , x2 ]
??? ?????? ??????? y2 . ??? ??????????? ???????? (? ???? ???????????? ?????????)
????? ???????, ??? y1 ? y2 ?????????????? ?? ????????? [x1 , x2 ]. ??????????????
????????? ????????? ? ????????? [x1 , x2 ], ???????
x2 Zx2
0
0 (y1 y2 ? y2 y1 ) + (a2 ? a1 )y1 y2 dx = 0 ,
x1
x1
JJ
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J
I
???????? 73 ?? 127
??????
?y2 (x2 )y10 (x2 ) + y2 (x1 )y10 (x1 ) 6 0 .
?????
?? ? ???? ???????? ?????? ??????? y1 ? ?? ????????????? y1 > 0 ?? ?????????
[x1 , x2 ] ?????????, ??? y10 (x1 ) > 0 ? y10 (x2 ) < 0. ?? ?????????????, ?????, y2 > 0 ?
????????? [x1 , x2 ], ?.?.
?????? ?????
?y2 (x2 )y10 (x2 ) + y2 (x1 )y10 (x1 ) > 0 ,
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????????. ????????????? ?????????? ?? ?????????? ????:
?y 00 + ry = ?y
???
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y 00 + (? ? r)y = 0 .
????????, ??? ?n ? +?. ???? ?n ????? ??????????? ????????, ??? ?n ? r > k 2 ,
?
?? ??????????????? ??????????? ??????? yn ? ?????? ????????? ?????
?????
k
????? ???? ?? ???? ??????. ??? ???????? ?? ??????? ?????? ? ???? ?????, ???
???????? ?????????
y 00 + k 2 y = 0
???????? ??????? y = C1 cos kx + C2 sin kx, ?????????? ???? ?????????. ?????
???????, ??????????? ??????? (? ???????? ????????) ?????????? ??????????
??????????????? ???????? ??????????????.
????????? ?????
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??????????
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??? ? ????????
????????? ? ???????? ???????? ?????????????? ?????
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??????? ? ??????????
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JJ
II
J
I
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???????? 75 ?? 127
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?????
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?????
5.
5.1.
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???????? ?????: ??????????? ??????
?????????? ?????????? ???????????????? ?? ???? ??? ????????? ?????????????
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1
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1
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JJ
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(5.1)
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?????, ? ???????? ? ?????? ????? ????????? ?????????? ?????????? ????? ???????
f.
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+?
Z
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1
f (x) =
2?
??
+?
Z
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(5.2)
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?????????? ?????????
??????????
??? ? ????????
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???, ? ???????????? ?????,
1
fb(?) = ?
2?
1
f (x) = ?
2?
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Z
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??
+?
Z
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JJ
II
J
I
(5.3)
(5.4)
???????? 77 ?? 127
??
??? ???? ??????? fb (? ????? ?????????) ?????????? ??????????????? ????? ??????? f . ??? ?????????????? ?? ? ?????????? ????? ???????????? ????????????
?????? ?????????????? ?????.
??? ????????? ???????????? ????? ????????? ????? ???????, ??? ???? ????-
?????
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1
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+?
+?
+?
+?
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Z
Z
Z
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f (t) cos ?(x ? t) dt +
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1
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Z
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?
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+?
Z
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Z
d?
f (t) cos ?(x ? t) dt .
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Z
0
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+?
Z
Z
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1
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????????? ? ??? ???????????? ?? ???????? ??????????).
???? ??????????????? ???????? ???????? ????????, ????????? (5.5) ????????? ?
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1
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?
+?
+?
+?
+?
Z
Z
Z
Z
1
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f (t) sin ?t dt .
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II
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??
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+?
Z
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??
?????? ?????
???????
(??? ???????? ?? ???????? ??????? ?? ????????????? ?????????) ? ???????? ?????
?????
?????????? ? ????
2
f (x) =
?
+?
+?
Z
Z
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f (t) cos ?t dt .
0
(5.6)
0
???? ?????
??????????, ???? f (x) ? ????????, ??
????????? ?????
?????????? ?????????
+?
+?
Z
Z
2
d? sin ?x
f (t) sin ?t dt .
f (x) =
?
0
??????????
(5.7)
0
??? ? ????????
???? ??????? f (x) ?????????? ?????? ?? ??????? [0, +?), ?? ??? ????? ????
?????????? ??? ?????? ??? ???????? ?? ??? ???????????? ???. ??? ????????? ??????????? ??????? ?? ??????? ????? ?? ?????? (5.6), (5.7).
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r
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f (x) 7? fbc (?) =
2
?
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JJ
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J
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Z
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0
r
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+?
Z
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?
0
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???????? (5.6), (5.7), ????????? ?????????? ?????? ?? ???? ???? ??????????????
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Fc2 = I ,
??? I ? ????????????? ??????????????.
Fs2 = I ,
???????? 79 ?? 127
?????
?????? ?????
???????
?????
5.2.
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????? ??????? f (x) ? ??????????? (???????????????????) ? ????????? ????????????? ?? ???????????? ???:
+?
Z
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??
?????????? ?????????
??????????
????? ?????????? ???????????
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1
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2?
+?
Z
f (x)e?i?x dx ,
??
??? ? ????????
????????? ????
?????????? ??????????????? (??????????) ?????. ???????? ????? F ????????
???????? (????? ?????????? ?????????):
JJ
II
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g,
J
I
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1
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2?
?????? ?????
???
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+?
Z
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??
?????
2. fb(?) ? ?????????? ??????????? ???????.
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2
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???
2
? e?ix
???
2
) = ?2ie?ix
?+?
2
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2
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x(? ? ?) |e?i?x ? e?i?x | = 2sin
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2
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+?
+?
Z
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)f (x) dx 6
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2
??
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2
?
Z
r
Z
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sin
и |f (x)| dx 6
2
?
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2
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Z
JJ
II
J
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|x|>N
r
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x(? ? ?) sin
и |f (x)| dx .
2
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2
??? ? ? ???????????? ????????????? ?????. ????? ????? ??????? ? > 0 ???,
?????
r
Z
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2
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<
?
и
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2
2
2
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|x|6N
?????? ?????
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?????
????? ??? |? ? ?| < ? ? |x| 6 N
x(? ? ?) N ?
sin
<
2
2
? ??? ?????????
?
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2
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???? ?????
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?????????? ?????????
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3. fb(?) ? 0 ??? ? ? ?.
??? ? ????????
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1
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???
1
I1 = ?
2?
Z
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Z
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??
f (x)e?i?x dx ,
1
I2 = ?
2?
JJ
II
J
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Z
1
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2?
|x|>N
?
????????? ????
|f (x)| dx ,
|x|>N
Z
f (x)e?i?x dx .
|x|6N
???????? 82 ?? 127
?????
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|I1 | <
?
,
2
??? ? ? ???????????? ????????????? ?????. ????? ????? ? ????? ??????? ?????
???????, ?????
?
|I2 | < .
2
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?????
????????? ???????? ? ???? ????? ?????????????:
Z
1
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f (x)e?i?x dx ? 0 .
???
2?
|x|6N
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????????? ?????
?????????? ?????????
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5.3.
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??????? ?????????
??? ? ????????
??? ?????????????? ??????? ????? ??? ??????????? ????????? ???????? ???? ???????, ??????? ? ?????? ????????? ????? ???????????? ??????????
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1 sin N (x ? t)
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?
x?t
????? 5.1. ??? N > 0 ? ??? ????? x ? R
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?
+?
Z
sin N (x ? t)
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(5.8)
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JJ
II
J
I
???????? 83 ?? 127
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?????? ???????? ???????? ?????????? ?? N ??? N > 1.
?????
??????????????. ????????? ??????? ?????????????. ????? T ? ?????????? ??????? ????????????? ?????, ??? ??? |x| < T . ?????
+?
Z
T
sin N (x ? t)
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+?
Z
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?
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+?
Z
T
cos N (x ? t)
dt
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???????
?????
??????
+?
+?
Z
Z
sin
N
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?
t)
1
dt
2
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(t ? x)2
T ?x
T
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T ?+?
0.
T
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???? ?????
????????? ?????
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sin N (x ? t)
dt .
x?t
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??????????
??
??? ?????????????? (5.8) ?????????? ?????????? ????????? (??? N > 0)
1
?
+?
Z
sin N t
dt = 1 .
t
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??
??????? ??????? ????????????? ????????? ?? N ??? ????????????? N , ??? ?????????? ????????? ??? ?????? ? = N t , d? = N dt:
1
?
+?
Z
sin N t
1
dt =
t
?
??
+?
Z
sin ?
d? .
?
JJ
II
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?????
?????????? ????? ????????
2
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??? ? ????????
+?
Z
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t
?????? ?????
x > 0.
0
???????
???????, ?????? ?????, ??? ?? ???????? ?????????? ?? x > 0. ?????????????,
?????
??? T > 0
+?
Z
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t
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Z
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dt ?
t
T
T
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Z
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t
T
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Z
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???? ?????
(?x+i)t
1 e
d
?
t ?x + i
t=T
1 h e(?x+i)T
T
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(?x?i)t
1 e
d
t ?x ? i
?????????? ?????????
??????????
t=T
+?
Z
+?
h 1 e(?x+i)t
1 e(?x?i)t i
=
?
+
t ?x + i
t ?x ? i t=T
=?
+?
Z
h e(?x+i)t
?x + i
?
e(?x?i)t i dt
?x ? i t2
??? ? ????????
T
e(?x?i)T i
?
+
?x + i
?x ? i
+?
Z
h
e(?x?i)t i dt
e(?x+i)t
?
,
?x + i
?x ? i t2
T
????????? ????
JJ
II
J
I
??????
+?
+?
Z
Z
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dt
2
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2
t
T
t
T
T
?
T ?+?
0.
T
???????? 85 ?? 127
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?????
?0 (x) = ?
2
?
+?
Z
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0
1
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+?
Z
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0
+?
1 h e(?x+i)t
e(?x?i)t i
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1 i
2
1
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?
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?
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? x +1
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2
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?
+?
+?
Z
2 e?xt 2
?xt
e
dt = ?
=
? x t=0 ?x
? = 0.
x?+?
0
???? ?????
????? ???????? ??????? ???????????????? ??? ?????????????? ?????????
+?
Z
?????????? ?????????
+?
2
? (x) dx = ? arctg x0 = ?1 .
?
??(0+) = lim ?(x) ? ?(0+) =
x?+?
????????? ?????
0
??????????
0
??? ? ????????
?? ????? ??????????? ?? x ?????????? ????????? ?(x)
2
?(0+) =
?
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Z
1
?
sin t
dt ,
t
??
0
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Z
sin t
1
dt =
t
?
+?
Z
sin t
dt = 1 .
t
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JJ
II
J
I
??
???????? 86 ?? 127
??????? 5.2 (?????). ????? ??????? f ?????????? ? ????????? ????????????
?? ???????????? ??? ? ????? ??? ??????????????? ? ????? x. ?????
1
f (x) = ? v.p.
2?
+?
Z
1
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2?
??
ZN
lim
N ?+?
?N
fb(?)ei?x d? .
????????? 5.3. ?????????? v.p. ????? ?????? ????????? ???????? ??? Ф???????
????????╗ ?????????.
?????
?????? ?????
???????
?????
??????????????. ???????
1
fN (x) = ?
2?
Z+N
???.
1
fb(?)ei?x d? =
2?
ZN
+?
Z
d?
f (t)ei?(x?t) dt .
(5.9)
??
?N
?N
???? ?????
????????? ??????? ?? ?????????????? ?????????????? ????????? ?? ????????? ?
???????? ????????, ??????
????????? ?????
?????????? ?????????
??????????
fN (x) =
1
2?
ZN
?N
1
=
?
+?
+?
Z
ZN
Z
i
d?
f (t) cos ?(x ? t) dt +
d?
f (t) sin ?(x ? t) dt
2?
??
?N
??? ? ????????
??
+?
+?
Z
ZN
Z
1
sin N (x ? t)
dt f (t) cos ?(x ? t) d? =
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dt .
?
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??
????????? ????
??
0
JJ
II
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1
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?
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+?
Z
Z
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1
sin N (x ? t)
f (x)
dt ?
f (t)
dt
x?t
?
x?t
??
=
1
?
+?
Z
???????? 87 ?? 127
??
f (x) ? f (t)
и sin N (x ? t) dt .
x?t
?????
??
?????? ?????
????????? ???????? ???????? ?? ??? ?????:
Z?T
+?
Z
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??
ZT
+
??
?T
+?
Z
+
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T
(5.10)
???????
?????
??????, ??? T ?????????? ??????, ??? ??? |x| < T . ???????? T ????? ??????? ?????
???????, ??? ?????? ? ????????? ????????? ? ?????? ????? ????? ????? ??????
???? ?????????? ?? ???????? N ??? N > 1. ?????????????, ????????,
+?
Z
f (x) ? f (t)
и sin N (x ? t) dt = I1 + I2 ,
x?t
???? ?????
????????? ?????
T
?????????? ?????????
???
+?
Z
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??????????
sin N (x ? t)
dt
x?t
??? ? ????????
T
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Z
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f (t) sin N (x ? t)
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x?t
T
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JJ
II
J
I
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|I1 | 6
2|f (x)|
T ?x
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0
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???????? 88 ?? 127
? (? ???? ?????????? ??????????????? ??????? f )
1
|I2 | 6
T ?x
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Z
|f (t)| dt
?????
?
T ?+?
T
0.
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Z?T Z
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+
2
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T
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?????
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???????? ? ?????? ????? ????????? (5.10) ????? ???? ?????? ????? ?????? ?????
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ZT
f (x) ? f (t)
и sin N (x ? t) dt ? 0 .
N ?+?
x?t
?T
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?????????? ?????????
????????????? ????? ????????????? ????????? ????? ????, ??? ??????? ?????????? t
f (x) ? f (t)
t 7?
x?t
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? lim
t?x
f (x) ? f (t)
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x?t
??????????
??? ? ????????
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JJ
II
J
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ZT ?
< ,
2
???????? 89 ?? 127
?T
?????
|f (x) ? fN (x)| < ? .
?????
?????? ?????
5.4.
???????? ?????????????? ?????
??? ??????? ?? ?????????? ???? ??????? ?????, ???? ??????? f (x) ? ????????
???????????????? ? ????????? ????????????? ?? ???????????? ???, ?? ?????????-
???????
?????
????? ?????
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f 7? fb = F f ,
1
fb(?) = ?
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+?
Z
f (x)e?i?x dx ,
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????? ???????? ??????????????
F
?1
:
????????? ?????
fb 7? f = F ?1 fb,
1
f (x) = ? v.p.
2?
+?
Z
fb(?)ei?x d? .
?????????? ?????????
??????????
??
??? ? ????????
???????, ??? ???? ??????? fb ???????? ????????? ?????????????, ?? ???????? ?????????????? ????? F ?1 ????? ??????? ??????????
????????? ????
F ?1 = P F ,
??? ???????? P ???????? ?????????? Ф?????????╗
P :
f (x) 7? f (?x) .
JJ
II
J
I
??????? ????? ?????????????? ???????????
FP = PF ,
???????? 90 ?? 127
??????? ????? ????????????? ??????? ?????????? ? ?????????:
?????
+?
??
Z
Z
1
1
?i?x
F P f (?) = ?
f (?x)e
dx = ? ?
f (t)ei?t dt
2?
2?
??
?????? ?????
+?
1
=?
2?
+?
Z
f (t)ei?t dt = P F f (?) .
??
???????
?????
5.5.
????????? ?????????????? ????? ?????? ????????? ??????? ? ???????? ???????? ?????????????? ????? ???????
???????
???? ??????? f (x) ?????????? ? ???????? ????????
+?
Z
|xf (x)| dx ,
???? ?????
????????? ?????
?????????? ?????????
??????????
??
?? ?????????????? ????? fb(?) ???????? ?????????? ???????????????? ????????,
d b
f (?) ???????? ??????????????? ????? ??????? ?ixf (x):
?????? ??????????? d?
+?
Z
dfb(?)
1
(?ix)f (x)e?i?x dx .
=?
d?
2?
??
??? ????? ???????? ?? ??????? ? ????????????????? ?????????????? ?????????
?? ?????????, ????????? ????? ???????? ??????, ?????????? ?????????? ?????????????????? ?????????????? ????? ??????? f ??? ?????? ?????????, ????????
?????????? ?? ?.
??? ????????? ????????, ???? ??????? f (x) ?????????? ? ????????? ???????????? ?? ???????? |x|n , ?? ????? ????? fb(?) ???????? n ??? ?????????? ???????????????? ????????, ??????
(?ix)n f (x)
F
7??
dn b
f (?) .
d? n
?????????? ?????? ?????? ? ???????? ???????? ?????????????? ????? ???????
???????.
??? ? ????????
????????? ????
JJ
II
J
I
???????? 91 ?? 127
?????
?????? ?????
???????
?????
??????? 5.4. ????? ?????? ??????? f ? ?????????? ???????????????, ??????
f ? f 0 ? ????????? ????????????:
+?
Z
|f (x)| dx < +? ,
+?
Z
|f 0 (x)| dx < +? .
???? ?????
??
??
????????? ?????
????? ????? ????? ???????????
?????????? ?????????
??????????
fb0 (?) = i? fb(?) ,
??? ? ????????
? ?????????
1
fb(?) = o
.
???
|?|
????????? ????
??????????????. ???????? ??????? ????????????????
Zb
f (b) ? f (a) =
? ?????????? ??????????????? ??????? f 0 , ?????????? ???????
lim f (a) ,
lim f (a) = 0 ,
J
I
???????? 92 ?? 127
lim f (b) .
b?+?
???? ????? ?? ???? ???????? ?? ????? ????, ??????? f ?? ????? ???? ?????????
????????????? ?? R, ????? ???????
a???
II
f 0 (x) dx
a
a???
JJ
?????
?????? ?????
lim f (b) = 0 .
b?+?
???????
?????
?????, ?????????? ?? ??????, ???????
1
fb0 (?) = ?
2?
+?
+?
Z
Z
f (x)e?i?x +?
1
0
?i?x
?
?
f (x)e
dx =
f (x)(?i?)e?i?x dx
?
??
2?
2?
??
??
+?
Z
(i?)
f (x)e?i?x dx = (i?)fb(?) .
=?
2?
??
???? ?????
????????? ?????
?????????? ?????????
??????????
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1 fb(?) = o
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??????
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????? ???????, ??? ?????????????? ????? ???????? ????????? ?? ???????????
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F
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F
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JJ
II
J
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?????
5.6.
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? ?????? ????????? ????? ?????? ???? ?????? ???????????? ?????? S(R) ???????
?????? ????????? ???????. ??? ???????????? ??????? ??????? ?? ?????????? ???????????????? ???????, ??????? ?????? ?? ????? ?????? ???????????? ???????
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6
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1 + |x|k
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???????? ??????????? ?????? ???????? ????? F ??????? ?????? ?????? ????????? ????? ? ??????? ?????? ??????. ????????? ???????? ???????? ????? ?
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JJ
II
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?????
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?????? ?????
+?
Z
2
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????????, ??? ? ??????????? ????????? ???????????? V ???????? A? ??????????
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????????? ?????????????? ????????? ????????? ???????????? ?, ? ?????????, ?????
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F ? = F ?1 .
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Z
Z
Z
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1
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2?
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+?
Z
Z
1
?
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2?
??
II
J
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???????????? ???????? ?????????????? ???????? ????? ??????????? ??????????
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+?
+?
Z
Z
2
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|f (x)|2 dx .
??
JJ
??
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?????
? ?????????? ?????? ????? F ? ????? ???????????? ????????
?
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?
F :
f 7? fe,
1
fe(?) = ?
2?
+?
Z
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??
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? ?????????? ??????????? ??????????????? ?????.
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????????? 5.7. ??? ????? ??????, ???????
?????????? ?????????
??????????
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g i = hf |gi ,
???? f ? ???????????, ????????? ????????????? ???????, ? gb ? ????????? ????????????? ????? ????? ???????????????? ? ????????? ????????????? ??????? g.
?????????????, ? ???? ??????, ? ???? ??????? ?????????, g = F ?1 gb ? ?????
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g i = hf |F ?1 gbi = hf |gi .
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JJ
II
J
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kfbk = kf k
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????? ???????????? ??????????????? ???????!
???????
?????
6.
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2?
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????????? ?????
?????????? ?????????
? ??????? ?? ?????????????? ?????? ?? ?????? ???????????? ? ?????????? ????????? (6.1). ????????, ?????????? ??????????? ????????????? ? ?????????? ??????????????? ??????? f ? ????????????? ? ?????????????? ??????? g ??? ????????,
????????????? ? ?????????? ??????????????? ??????? g ? ????????????? ? ?????????????? ??????? f . ??? ? ? ????????????? ??????, ????? ????????, ??? ???????
????????????:
f ?g =g?f.
??????? ?? ??????????? ?????????, ??? ? ??????? ?????????????, ????? ???????????? ??? ??????????? ???????. ????? f ? ?????????? ??????????? ??????? ??
???????????? ???. ????? ? > 0 ??????????? ? ? ??????, ???
|x ? y| < ?
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??? ? ????????
????????? ????
JJ
II
J
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???????? 97 ?? 127
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1. ?(x) > 0 ,
2. ? ? ?????? ???????,
3. ?(x) = 0 ??? |x| > ? ,
4.
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1
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2?
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??
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?????????? ??????? g = f ? ?:
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1
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2?
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Z
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??
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????? ???????? ??????????? ?? ???????? ????????????? ? ?????????????? ???????
??????? ?? ????????? |x ? t| 6 ?. ??????? g ????????, ????????, ???????, ??????
1
g (x) = ?
2?
0
+?
Z
f (t)? 0 (x ? t) dt .
JJ
II
J
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+?
1 Z
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2?
??
Z
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1
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2?
2?
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???????? 98 ?? 127
?????
Z
?(x ? t) dt = ? .
?????? ?????
|x?t|6?
?????? ??????? ??????? ?? ????????, ?????? ??????, ?? ????????. ??? ???????
????? ???????????? ? ????? ?????? ?????????????? ?????.
???????
?????
??????? 6.1. ????? ??????? f ? g ? ?????????? ? ????????? ???????????? ??
???????????? ???:
+?
Z
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+?
Z
|f (x)| dx < +? ,
??
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??
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?????
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??????????
??? ??? ?? ??
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ge = F ? g .
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fb. ??????? ???????? ?? ??????????????
1
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2?
+?
+?
+?
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Z
Z
1
1
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f (? ? ?)g(?) d? = ?
2?
2?
+?
+?
+?
Z
Z
Z
1
1
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ix?
?
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g(?)e d? = ?
f (x)e
g (x)e?ix? dx
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2?
2?
2?
??
JJ
II
J
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??
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??
??
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(F ? f ) ? g = F ? (f и F g)
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?????
?????? ?????
??????????????. ???????, ???
+?
+?
Z
Z
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f (?u)g(?x + u) du ,
??
??
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?????
??????
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?????
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? P F (f и F ? g) = F ? (f и F P g) .
???? ?????
?????? ? ???? ???????
?
????????? ?????
?
F f ? P g = F (f и F P g) .
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??????????
??????? 6.3. ???? ??????? f ? g ? ??????????, ????????? ? ???????????
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+?
Z
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+?
Z
|g(x)|2 dx < +? ,
??
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????????? ????
??
?? ??????? f ? g ???????? ????????? ????????????? ???????? ?
JJ
II
J
I
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?????
??????????????. ???????, ??? ? ???? ??????????? ?????? ??????? f ?g ??????????,
?????? ???????? ???????? ?????????? ?? x:
Z
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Z
2
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|t|>T
|f (t)|2 dt
Z
|t|>T
|g(x ? t)|2 dt =
Z
|t|>T
|f (t)|2 dt
?????? ?????
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Z
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???????
??
?????
??????, ???????? ??????? ?? ?????????????? ?????????????? ????????? ?? ?????????, ??????? ????? ???????? ????????? ????????????? ????????:
+?
+?
+?
+?
Z
Z
Z
Z
dx
f (t)g(x ? t) dt 6
dx
|f (t)g(x ? t)| dt
??
??
??
???? ?????
??
+?
+?
+?
+?
Z
Z
Z
Z
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dt |f (t)|
|g(x ? t)| dx =
|f (t)| dt
|g(s)| ds .
??
??
??
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+?
Z
Z
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?
f (t)g(x ? t) dt
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2?
??
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??? ? ????????
????????? ????
??
+?
+?
Z
Z
1
1
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?
?
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2?
2?
??
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??
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?? ????????? ???????
1
?
2?
????????? ?????
JJ
II
J
I
??
1
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2?
+?
+?
Z
Z
1
?i?t
dt e
f (t) ?
e?i?u g(u) du .
2?
??
??
????????? 6.4. ? ????????????????, ? ???????? ????????? ??????? ????? ????????,
???
f ? g = F ? (fb и gb) ,
?????? ???????????? fb и gb ???????? ????????? ????????????? ????????, ??????,
? ?????????, ???????? ????????????? ? ???????? ?? ????????????? ??????? f ? g
???????? 101 ?? 127
?????
?????? ?????
???????
?????
(????? ??????????????? ??????? ?????????????? ????? ????????? ?????????????
???????).
???? ?????
????????? ?????
?????????? ?????????
??????????
??? ? ????????
????????? ????
JJ
II
J
I
???????? 102 ?? 127
?????
?????? ?????
???????
?????
7. ??????? ? ??????????
7.1.
?????? ??????
???????? ?????? ????? ??? ????????? ???????.
???? ?????
1.
(
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f1 (x) =
0,
x < 0.
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?????????? ?????????
??????????
?????
+?
+?
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1
1
1
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2? 1 + i?
2? ?1 ? i? 0
2?
0
2.
(
0 , x > 0,
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??? ? ????????
????????? ????
JJ
II
J
I
????? f2 = P f1 , ?????? fb2 = P fb1 , ?.?.
1
1 + i?
fb2 (?) = ? и
.
2? 1 + ? 2
???????? 103 ?? 127
?????
3.
f3 (x) = e?|x| .
?????? ?????
? ???? f3 = f1 + f2 ???????
r
fb3 (?) =
???????
2
1
и
.
? 1 + ?2
?????
4.
f4 (x) = sgnx и e?|x| .
? ???? f4 = f1 ? f2 ???????
r
2
?
b
f4 (?) = ?i
и
.
? 1 + ?2
???? ?????
????????? ?????
?????????? ?????????
5.
f5 (x) =
?
???????, ??? F f5 (?) =
r
1
.
1 + x2
??????????
??? ? ????????
? ?|?|
e
. ????? ? ???? F = P F ?
2
r
? ?|?|
b
f5 (?) =
e
.
2
6.
f6 (x) =
x
.
1 + x2
r
?
sgn? и e?|?| . ?????, ?????????? ? ??????????,
???????, ??? F f6 (?) = i
2
r
?
b
sgn? и e?|?| .
f6 (?) = ?i
2
?
????????? ????
JJ
II
J
I
???????? 104 ?? 127
?????
?????? ?????
7.
(
1 , x ? [?1, 1],
f7 (x) =
0 x?
/ [?1, 1].
???????
?????
?????
1
fb7 (?) = ?
2?
Z1
?i?x
e
?1
1
e?i? ? ei?
dx = ? и
=
?i?
2?
r
2 sin ?
и
.
?
?
???? ?????
8.
sin x
f8 (x) =
.
x
???????, ??? F ? f8 (?) =
r
????????? ?????
?????????? ?????????
?
f7 (?) . ????? (? ???? ????????)
2
r
?
fb8 (?) =
f7 (?) .
2
??????????
??? ? ????????
????????? ????
??????? ??? ????? ?????? ????????? ?????????:
+?
Z
??
9.
sin x 2
d
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