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Гончар А.А. Суетин С.П. - Об аппроксимациях Паде мероморфных функций марковского типа (2004).pdf

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ISBN 5-98419-009-5
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2? . ??????? (?) = n?(2) ? n?(1) ;
3? . ?? ? ????????? ??????? ???????: ?(x)?(x+) = ?(x?).
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(16)
18
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7
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2? . Qn (x; ? ) = ?+ (x) + ?? (x) + o(1) ??? n ? ? ??????????
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(18)
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19
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1
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|?(a)|2/х
j = 1, . . . , х;
?
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20
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??????????? ?? ??????????? ??????? fn ? D ?????????? ??????? ?? ?????????? ? Д 4 ??????? ????????????? ???????????
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Qn (z; ? )
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(20)
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j=1 mj ? ?????? ????? ??????? f ? D. ??????????? (20) ???????? ???????? ? ??? ?????????????? ??????? 2;
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D = D \ {a1 , . . . , a } ? ?? ??????? ?. ????, ????????? ????? ????????????, ?? ????? ?????? ??????? ??????????? ??? ?????
Qn (z; f ) (?.?. ??????? fn ), ??????? ????????? ? ??????? f ? D.
?????????? ? ????? ??????? (??. ???? ??????? (221 )?(223 ))
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Д 2. ???????????? ???????? ???????????
21
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(1)
(1)
(2)
2? . ??????? (?) = n?(2) + m1 a1 + и и и + m a ? m1 a1 ? и и и ?
(2)
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??????? D = D \ {a1 , . . . , a }.
??? ??? ? ??????????????? ????? ?????? ??? ????????? ??????????? R ????? ???? ? deg (?) = 0, ?? ?????? (R2 ), ??? ? ?????? (R1 ), ??????????? ?? ??????????? ??????, ???????????????
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?(z) = ?(z) e
mj
?(z) ? ?(aj )
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1
?
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)?(z)
j
j=1
(21)
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22
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(221 )
2? . Qn (x; f ) = ?+ (x) + ?? (x) + o(1) ??? n ? ? ??????????
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(222 )
??? D = D \ {a1 , . . . , a }, ???????? o(1) = o(? n ), ? < 1.
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?????????? ? ?. 2? ??????????? 2 ??????? ??????? ??????????? ????????? Qn (x; f ) ?? ??????? ? ????? ? ?????? ?????????????? ?????????? ??????????? ?? ??????????????? ????????? ??????? fn ??? ??????? ?.
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??????????????? ????? aj ??? n ? ? ?????? fn . ?????
aj,? (n) = aj +
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(1+o(? n ))
Bj2n
??? n ? ?, ? = 1, . . . , mj , (223 )
???
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?
Bj = ?(aj )1/mj = |?(aj )|1/mj eig (aj )/mj ,
1/mj
2G (aj )
?2S(aj )/mj
Cj = e
?
Aj ?j
(?2)m/mj ?(aj )m/mj s=1 ?(as )ms /mj
О
;
2ms /mj
s=1 (1 ? ?(as )?(aj ))
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?? ???? ? ??????? ?????? ?? f .
?
????? g ? (z) = gD
(z, ?) ? ???????, ??????????? ? ???????
????? gD (z, ?) ??????? D, G(z) = GD (z, ?) ? ???????????
??????? ?????; S(z) ? ??????? ????.
?????????? Cj ??????? ? ?????????????? ????????????? j-??
?????? aj ??????? f ???????????? ??????? ? ? ?????? ??????? f ; ???????? 1/Bj ????????????? (??????????????) ????????
Д 2. ???????????? ???????? ???????????
23
?????????? ??????? fn ? ????? aj ? ?? ??????? ?? ?????? ????m
??? f ; ??????? ????????? ?j , ?j j = 1, ???????????? ?? ?????????????? ?????????? ???????????? mj ??????? fn ?? ?????????
? ????????????? ????? aj , ? ??????? ?????????? ?? ????????.
??????????????? ?? (223 ) ????????, ??? ??? ?????? j = 1, . . . , ??????????
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n??
1
,
|?(aj )|2/mj
? = 1, . . . , mj ;
??? ?????, ? ?????? ????? (10) ?????? ?????????? ??????????
???????? ?????????? ??????? fn ? ??????? f ? D.
?? ??????? 3 ???????? ????????? ??????????.
????????? 1. ? ?????? ??????? ???? f = ? + r, ??? ??????? ? ?????????? ? ?? ?????????? ? ???? ?? ??????? ?, ? ??? ?????? ??????????? ???????????? ??????? r ????? ? ??????? D
? r(?) = 0, ??????????? ??????????
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A
z 2n+1
+ иии
?
2G (z)
(1 + o(1)), n ? ?,
?(z)2
?????????? ?????? D ,
(f ? fn )(z) =
(23)
??? fn , n ? N, ? ???????????? ??????? ??????? ?? ???? n, o(1) =
o(? n ), ? < 1.
??????????? (23) ???????? ? ??????? ??????? ???????????
??? ?????????????????? {fn }n?N :
2G (z)
(1 + o(1))
?(z)2
?????????? ?????? D ??? n ? ?.
fn (z) = f (z) ?
????????? 2. ????? ? ???????? ??????? 2 ??? ? ??????????? ?? ?, ? ???????????? ??????? r ???????????. ????? ???
???? ?????????? ??????? n ??? ?????? ???????????? ????????????? ???? ??????? f = ? + r ???????.
24
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
????????? 3. ????? ? ???????? ??????? 2 ??? ? > 0 ?? ?,
f = ? + r, r ? R(z). ????? ?????????? ?? ?
2
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Qn (x; f ) = ?(x)
???
n ? ?,
?
dt
1 ? x2
log ?(t) ? log ?(x)
?
,
2?
x
?
t
1
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?
mj
1 ei arccos x ? ?(aj )
cos ?(x) =
2 j=1 1 ? ?(aj )ei arccos x
?(x) =
+
mj ?i arccos x
e
? ?(aj )
.
1 ? ?(aj )e?i arccos x
j=1
? ?????????? ??????? ????? ????????? ???????????? ????????????? ????? ??????, ??????????? ?? ????????? ?-??????? ? ??????? ??????????? ??????? ?????? ??????. ????? ?????? ??????????????? ??? ????????????? n ? N (??. ?????? (R1 ) ? (R2 )),
? ?? ??????? ????????? ? ????? ???? ? ???????? ????????? ??????????? R ? ???? ? (??. (16) ? (21)). ?????? ???????, ??? ????
????? ???????? ? ??? ?????????? ?????? ??????? ???????????
? ?????? ??????????? (?.?. ?????????? ?? n) ???? ? = ?n : ? ?????
??????? ??? ?-??????? ?????? ???? ?n ???? ?????????? ?????????, ??????????? ??? ??????????? ?? n (??. [18]). ????? ????,
????? ??????????? ???????? ? ? ??????, ????? ? (5) ???????? S
???? ? ??????? ?? ?????????? ???????? (????????? ??. ???? Д 7).
Д 3. ?????????????? ??????????? 1
1. ????? ? ? ??????? ?????? (R1 ) ??? ????????? n ? N, ??????? Qn (z) = Qn (z; ? ), deg Qn n, Qn ? 0, ?????????????
???????????
1
Rn (z; ? ) := (Qn ? ? Pn )(z) = O n+1 ,
z ? ?,
z
??? deg Pn n ? 1, Rn (z) = Rn (z; ? ) ? ??????? ???????.
Д 3. ?????????????? ??????????? 1
25
????????? ?? R \ ? ??????? F ????????? ???????:
Rn (z)w(z), z = z (1) ? D(1) ,
F (z) = ?(z) и
?2Qn (z),
z = z (2) ? D(2) ;
(24)
???????? ??????, ??? F (???????) ?????????? ? R \ ?.
????????? ???????? ?-??????? ??? ??????? ?????? (R1 ) ?
???????? ??????? ??????? Rn ?? ??????? ??????? ?: Rn+ (x) ?
Rn? (x) = ?2Qn (x)?(x)/w+ (x), ???????? ????????? ??????? ??????? ??? F ?? ?????? ?:
F (?+) ? F (??) = ?(??)
1
,
?(?)
? ? ?,
(25)
??? ??????? ?(z) = ?(z)Rn (z)w(z), z ? D(2) , ?????????? ?? ?????? ?????8 . ??? ???? ???????? F ??????????? ??????? [20, Д 8,
??????? (8.16)] ????????????????? ? R \ ? ?? ????????? ???????? (25) ?????????? ???? ????:
1
1
F (z) = ?
d?(?; z) + Cn ,
?(??)
z?
/ ?,
(26)
2?i ?+
?(?)
??? Cn ? ????????? ??????????,
d?(?; z) =
1 w(?) + w(z) d?
2
? ?z
w(?)
(27)
? ??????????? ?? R ?????? ????????????, ??????? ????? ?????? ?????? ? ?????? z, ?(1) , ?(2) ? ???????? 1, ?1/2, ?1/2
??????????????, ? ?????? ?+ ???????????? ???????????? ???????????? ??????? D(1) : ??????? ???????? ????? ??? ?????? ?? ???????. ???????????? ????????????? (26) ????? ? ?????? ??????????
???????????.
2. ????? ??????? z = z (1) ? D(1) . ??????? ????? R > 1 ?
? > 0 ???, ????? ??????? ? ? 1/? ???? ?? ?????????? ? ??????? {z (2) : 1 < |?(z)| < R + ?}. ????? (??? z = z (1) ) ? ???????????? ????????????? (26) ?????? ? ????? ???????? ?? ??????
8 ??? ? ?????, ??? F (?+) ????? ?????????? ?????????? ???????? ??????? F (z) ??? D (1) z ? ? ? ?. ??????????? ????? ????????? F (??) ?
?(??).
26
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
(2)
?R = {z (2) : |?(z)| = R}, ??????? ??????? ?? ?????? ????? D(2) .
????????????? ?????? ???, ???
?(z (2) ) = ?(z (2) )Rn (z)w(z (2) ) = ?F (z (1) )
?(z (2) )
F (z (1) )
=?
(1)
?(z )
?(z (1))2
? d?(? (2) ; z (1) ) = d?(? (1) ; z (2) ) (??. (27)). ????? ?? (26) ????????
????????? ????????????? ??? ??????? F :
1
1
F (z (1) ) = ?
d?(? (2) ; z (1) ) + Cn
?(? (2) )
2?i ?(2)
?(?)
R
F (? (1) )
1
=?
(28)
d?(? (1) ; z (2) ) + Cn ,
(1) )2 ?(?)
2?i ?(1)
?(?
R
(1)
(1)
??? ?R = {? (1) : |?(?)| = R}. ??? ? (1) ? ?R ???????????? (27)
????? ???:
d?(? (1) ; z (2) ) =
1 w(?) ? w(z) d?
;
2
? ?z
w(?)
?????????????, ??? ? ??????????? ?? ?????????? z (2) ? ??????? D(2) ????????????. ????? ????, ???????????? d?(? (1) ; z) ?
(1)
??????????? ?? z ?? ???????? D(2) ? ??? ? (1) ? ?R . ???????
9
(1)
????????????? (28) ??????????? ??? z ? D ?. ?? (28) ????????, ??? ?????????? ?? ???????? D(1) ?
|F (z) ? Cn | = Mn max
(1)
?R
1
O(1)
|?(? (1) )|2
??? n ? ?,
(29)
??? Mn = max?(1) |F (? (1) )|. ?????????????, ?????????? ?? z ?
D(1) ?
R
|F (z) ? Cn | = Mn и O(? n ) ??? n ? ?,
(30)
??? ? = 1/R2 < 1. ??? ??? F (z (1) ) ? 0 (??. (24)), ?? Mn = 0,
(1)
???????, ???????? (30) ??????? ? ???????? ?R ? D(1) , ? ?????
9 ???????????? ??????? (28) ?????? ????????????? ??????????? ??????? F (z), z ? D (1) , ????? ?????? ? ?? ?????? ???? ????????? ??????????? R
(2)
?????? ?? ??????? ?R , ?????? ??? z ? D (2) ??? ???????????, ?????? ??????,
?? ????????? ? ???????? F (z), z ? D (2) , ???????????? ? (24); ??. ? ??????????????? ??????? 2.1 ? [14].
Д 3. ?????????????? ??????????? 1
27
? ???????? D(1) ?, ??????????????? ????????:
Mn = |Cn |(1 + O(? n ))
n
F (z) = Cn (1 + O(? ))
??? n ? ?,
??? n ? ?
?????????? ?? z ? D(1) ?.
(31)
3. ????? ?????? z = z (2) ? D(2) . ????? ?? (26) ????????, ???
(2)
??? z (2) ? DR = {z (2) : |?(z)| > R}
1
1
d?(? (2) ; z (2) ) + Cn
F (z (2) ) = ?
?(? (2) )
2?i ?(2)
?(?)
R
F (? (1) )
1
=?
(32)
d?(? (1) ; z (1) ) + Cn ;
(1)
2?i ?R ?(?? (1) )2 ?(?)
????? ?? ??????????????? ???, ??? d?(? (2) ; z (2) ) = d?(? (1) ; z (1) ).
(1)
???????????? d?(? (1) ; z (1) ) ? ??????????? ?? z (1) ? DR ???
(1)
? (1) ? ?R . ????????? ???????? ?-??????? ? ?????????? ????
??????????????? ????????????? (31) ??? ??????? F (z (1) ), ???????? ?? (32) ?????? ??????????? (31) ??? F (z (2) ) ??? n ? ?:
F (z (2) ) = Cn (1 + O(?1n ))
(33)
(2)
?????????? ?????? DR , ??? ?1 < 1. ?????? ? ?? ??????????? (24)
??????? F ????????, ??? ?????????? ?????? DR ???????????
?????????????
Cn
(1 + o(1)) = ?Cn ?(z)(1 + o(1)),
?(z (2) )
??? o(1) = O(?1n ), ?1 < 1.
2Qn (z) = ?
(34)
????????, ???
?(z)
? ?n ??? z ? ?,
zn
??? ?n = 2n exp{S(?)} = 0, ?.?. ? ????? ? ????? z = ? ????? n-??
???????. ??? ??? ?????????? Cn = 0 ??? ?????????? ??????? n
(??. (31)), ?? deg Qn = n, ?.?. ??? ?????????? ??????? ??????? n
?????????. ????? ?????????? Cn = 0 ?????? ?????? ? ??????????? Qn . ??????? Cn = ?2. ? ????? ?????? ???????????????
??????? (34) ??? ????????? Qn ??? ??????? ? ?????? ???:
Qn (z) = ?(z)(1 + o(1)),
n
??? o(1) = O(? ), ? < 1.
n ? ?,
(35)
28
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
4. ???????? ?????? ? ??????????? F (z) = Cn 1 + o(1) =
?2 + o(1), ??????? ??????????? ?????????? ?? ???????? D(1) ?
?, ?????????????, ?????????? ?? ?. ?? ????? ??????????? ? ????
??????????? ??????? F ????????, ??? ?????????? ?? x ? ?
?+ (x)Rn+ (x)w+ (x) = ?2 + o(1),
n ? ?.
?? (x)Rn? (x)w? (x) = ?2 + o(1)
??? ??? ?+ (x) = 0 ? ?? (x) = 0 ?? ?, ??
Rn+ (x)w+ (x) = ?
Rn? (x)w? (x) = ?
2
?+ (x)
(1 + o(1)),
n ? ?.
2
(1 + o(1)),
?? (x)
???????? ??? ????????? ???????????, ????????
Rn+ (x)w+ (x) + Rn? (x)w? (x) = ?
2
?+ (x)
?
2
?? (x)
+ o(1).
(36)
????????? Rn+ (x) ? Rn? (x) = ?2Qn (x)?(x)/w+ (x) ??? x ? ?, ??
Rn+ (x)w+ (x) + Rn? (x)w? (x) = ?2Qn (x)?(x).
(37)
????????? ??????????? (36) ? (37), ????????, ???
Qn (x)?(x) =
1
1
+
+ o(1).
?+ (x) ?? (x)
??? ??? ?(x)?+ (x)?? (x) ? 1 ??? x ? ?, ??
Qn (x) = ?+ (x) + ?? (x) + o(1)
?????????? ?? x ? ?, ??? o(1) = o(? n ), ? < 1.
??????????? 1 ????????.
Д 4. ?????????????? ??????? 2
1. ????? ?????????????? ??????? 1, ???????????? ? [4] ???
????????????? ???? ?, ???????? ?????????? ????? ? ??? ??????? ????????????? ??????? ??????????? (35) ????????? ???????? ?????? ??????? 1 ??? ???????????? ???? ?. ???? ?? ???????? ?????????????? ??????? 2, ?????? ? ????? ????? ???????????
?????? [4].
Д 4. ?????????????? ??????? 2
29
? ???? ????????? ?? ????? ?????????????? ?????????? ?????????? ??? ??????????? ??????? ??????? f ? D: aj , j = 1, . . . , ,
? ??????? ????????? ?????? f ?????????? mj 1 ????????????
??, m =
j=1 mj ? ?????? ????? ??????? f ? D ? ?????? ??
??????????.
????? ??????? f = ? + r, ???
dx
?(x)
1
?
?(z) =
,
(38)
? ? z ? x 1 ? x2
mj
1
Aj,k
r(z) =
,
(39)
(k
?
1)!
(z
?
aj )k
j=1
k=1
????? Aj,mj = 0.
??? ??? ??? ??????? ? ??? ?????????? ??????? ??????? n
?????????, ?? deg Qn (z; ? ) = n ??? n n0 . ???????? ? ???????? ????? ????????? ??? ??????, ???????? ???????????, ??????? ? ?????? ?????????? ????????? Qn (z; ? ) ? ???????, ???
Qn (z; ? ) = z n + и и и ??? n n0 . ? ?????? ????????????? (16)
??????? ? ???????? ??????, ??? ??????? ??????? ??????????? (35) ??? ????????? Qn ??????????, ???? ?? ???????????????
??????? ??????? ? ?????????? ????? ?-???????, ??????, ? ?????? ????? ????????????? (16) ?(z) ??????? ?? ?(z)/2 ? ??????? ??? ?????? ????? ?? exp{?S(?)} (?, ??? ?????, ?????????
?-??????? ???????? ?(z)/z n ? 1 ??? z ? ?).
??????????? ?????????? ? ???????? ????? ????????? ?????
??????????? ? ???????????? ????????? Qn (z; f ): ???? ? = {nk }
? ?????????????????? ?????????? ???????? ??? ??????? f , ??
Qn (z; f ) = z n + и и и ??? n ? ?. ????????, ??? ?????????????????? ? = {nk } ????????? ??????????? ??? ????? ?? ?????????
?k = {n : nk n < nk+1 } ?????, ??? fn = fnk ??? n ? ?k . ???
????????????? n ? N ?????????? ???????????? ???? ?????????
Pn , Qn (??????? n) ?????, ???: a) ??????????? ??????????? (4),
b) ???????? Pn ? Qn ?? ????? ????? ????? ? c) ??????? ??????????? ???????? Qn ????? 1. ????? ? ???? ????????? ?????
Pn = Pn (f ) ? Qn = Qn (f ) ???????????? ????????, ??????????????? ???????? a)?c); ????? ???????? ?? ?????????? ? ???????????? ???????????? ??????? fn , n ? N.
????? ? ?????????? ?? ?????????????? ???? ?????????? ?,
????? ????, ??? ????????? ????????: Ln (z) := Qn (z; ? ) = z n + и и и
30
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
??? n n0 , Qn (z) := Qn (z; f ); ??? ?????, Qn (z) = z n + и и и ???
n ? ?.
? ?????? ?????????? ?? ??????????? 1 ???????? ?????????
??????? ??????? ??????????? ??? ????????? Ln ??? n ? ?:
n
?(z)
eS(z)?S(?) (1 + o(1))
Ln (z) =
2
(40)
?????????? ?????? D,
Ln (x) =
?+ (x)
2
n
eS
+
(x)?S(?)
+
?? (x)
2
?????????? ?? ?.
n
eS
?
(x)?S(?)
+ o(1)
(41)
??????? ????????? ?????? ???????????? ????????? Ln , ????????????? ?? ??????? ? ? ????? ?, ??????? ???????? ?? (40), (41)
? ????? ?????????????? ???? ? ??????????. ????? U ? ???????????? ??????????? ??????? ? ???? U = U? = {z : gD (z, ?) < ?}.
?? ??????? ??????? ??????????? (40) ??? Ln ????????, ??? ???
?????????? ??????? n ??? ???? Ln ? ?? ??????????? ????? ?????? U . ? ?????????? ????? ???????, ??? ? > 0 ??????? ???, ???
??? ?????? ??????? f ????? ? D \ U .
?? ??????? (41) ????? ????????, ??? Ln (x) = 2?n и O(1) ?????????? ?? ? ?
?(x) dx
L2n (x) ?
= 21?2n e?2S(?) (1 + o(1)) ??? n ? ?
2
1
?
x
?
(??. ? (19)).
?????? ?? ???? ??????? ????????? Ln ????? ???????? ????????? ??????????? (??????? ???? 2?5 ?? [4]).
(i) ?????????? ?????? D ??????????? ???????????
х
?(z)
Ln+х
(z) =
,
(42)
lim
n?? Ln
2
??? х ? ???????????? ??????????? ?????.
(ii) ??? ????? ??????????? х ? ?, х < ? < n, ? ?????? K C \ U ????? ????? ??????
(?) Ln
??х
c1 n
< (х) (z) < c2 n??х ,
z ? K,
(43)
Ln
??? c1 > 0 ? c2 < +? ?? ??????? ?? n.
Д 4. ?????????????? ??????? 2
31
(iii) ??? ????? ??????????? х ? ? ?????????? ?????? D ?????:
х
(?)
Ln+х
?(z)
lim
(z)
=
.
(44)
n?? L(?)
2
n
(iv) ??? ????? ????? ??????????????? х ? ? ? ?????? a ? D
?????:
1/n
Ln+х ?
1
lim
=
,
(45)
(?)
n?? |L
|?(a)|
n (a)|
??? и ? ? sup-????? ?? ?.
?? ????????????? ???????????? ????? fn ??????????? (4)
??? f = ? + r ????? ????????, ??? ??? ?????? ???????? q, deg q n ? 1, ?????
mj
?(x) dx Qn (x)q(x) ?
+
Aj,k (Qn (z)q(z))(k?1) = 0 (46)
2
1?x
?
z=aj
j=1 k=1
(????????, ??? Qn (z) := Qn (z; f )). ????? ? ?????????? ???????,
??? n > m. ??????? ?m (z) = j=1 (z ? aj )mj , q(z) = ?m (z)z ? ,
??????? ?? (46) ????????? ??????????? ??????????????????????
??? ???????? (Qn ?m )(z), deg(Qn ?m ) n + m:
?(x) dx
Qn (x)?m (z)z ? ?
= 0,
1 ? x2
?
? = 0, 1, . . . , n ? m ? 1. (47)
??? ??? ??? ?????????? ??????? ??????? n ??? ??????? ?
?????????, ?? deg Ln = n ??? n n0 . ??????, ?? ??????????????? Ln ? ????? ? ?? ? ? ??????????? ???????????????????? (47)
??? Qn ????????, ??? deg Qn n ? 2m ??? ???? n n0 + m. ???
????????, ??? ??? ?????????????????? ? = {nk } ?????????? ???????? ??? ??????? f ?????:
nk+1 ? nk 2m + 1
??? nk n0 + m.
(48)
?????????? ??????????? (? ??. 2?4) ?????????? ??? ??????????
????????.
32
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
2. ???? ????????? ???? ? ?????????????? ?????????? ??????????? (??????? ????????????? ???????????), ???????????? ????? 1 ?? [4].
??????????? 3. ?????????? ?????? ??????? D ??????????? ???????????
2mj
Qn
j=1 (?(z) ? ?(aj ))
lim
(z)
=
.
(49)
n?? L
n
2m ?m (z) j=1 (z ? aj )mj
n??
????? n ? ?, Sn+m (z) = (Qn ?m )(z) = z n+m + и и и . ?????
?(x) dx
Sn+m (x)x? ?
= 0,
? = 0, 1, . . . , n ? m ? 1.
1 ? x2
?
??? ??? ??? ???? ?????????? ??????? ???????? deg Ln = n, ?? ??
???? ??????????? ????????, ??? ??????? Sn+m ??????????????
? ????????? ????:
Sn+m = Ln+m + ?n,1 Ln+m?1 + и и и + ?n,2m Ln?m ,
(50)
??? ????????? ?1,n , . . . , ?n,2m ??????????. ???? ?? ???????
2m ???????????, ??????? ???????? ????????? ??? ?????????
?? ????????????? (50).
?????? m ??????????? ?????????? ??????? ?? ???????????
???????? Sn+m :
(m ?1)
j
Sn+m (aj ) = Sn+m
(aj ) = и и и = Sn+m
(aj ) = 0,
j = 1, . . . , .
(51)
??????? ??? ???? ?????? ?? m ???????????.
??????????? j ? {1, . . . , } ? ???????
(0)
(1)
Sn+m (z) и (z ? aj )?mj = Sn+m,j (z) = bn,j + bn,j (z ? aj ) + и и и (52)
(??????? ????? ???????? ????? n + m ? mj ). ????????? ??????
??????? ?m (z)/(z ? aj )? , ? = 1, . . . , mj , ? ??????????? (46), ???????
?
mj
Sn+m (x) ?(x) dx
mj ?? (k?1) ?
+
A
(z)(z
?
a
)
= 0.
S
n+m,j
j
j,k
?
2
(x ? aj )
1?x
z=aj
k=1
Д 4. ?????????????? ??????? 2
33
?????? ???????? ??????? ?????????
Sn+m (x) ?(x) dx
(0)
?
+ (mj ? 1)! Aj,mj bn,j = 0,
1 ? x2
? x ? aj
Sn+m (x) ?(x) dx
(0)
?
+ (mj ? 2)! Aj,mj ?1 bn,j
2
1 ? x2
? (x ? aj )
(1)
+(mj ? 1)! Aj,mj bn,j = 0,
...............................................
Sn+m (x) ?(x) dx
(0)
?
+ Aj,1 bn,j + и и и
mj
2
(x
?
a
)
1?x
j
?
(m ?1)
+(mj ? 1)! Aj,mj bn,jj
= 0.
(0)
(1)
(m ?1)
(?????????? ??? ??????? ???????????? bn,j , bn,j , . . . , bn,jj
???, ??? ???????? Aj,mj = 0, ??. (39)), ??????? ????? ?? mj ????????? pj,1 , . . . , pj,mj (?????? ?????? ????? ??????? ????????)
?????, ???
1
?(x) dx
(0)
?
Sn+m (x)pj,1
= 0,
mj ! bn,j +
x
?
a
1 ? x2
j
?
1
?(x) dx
(1)
?
(mj + 1)! bn,j +
Sn+m (x)pj,2
= 0,
x
?
a
1 ? x2
j
?
.............................................................
1
?(x) dx
(m ?1)
?
+
Sn+m (x)pj,mj
= 0.
(2mj ? 1)! bn,jj
x ? aj
1 ? x2
?
??????????, ??? ???????? pj,? , 1 ? mj , ?? ??????? ?? n;
??? ????????? ???????????? ??????? ?????? ?????????? ??????? f ? ????? z = aj . ???????? (52), ????????? ??????? ????????
????? ?????????? ???:
1
?(x) dx
(mj )
?
(aj ) +
Sn+m (x)pj,1
= 0,
Sn+m
x
?
a
1 ? x2
j
?
1
?(x) dx
(mj +1)
?
Sn+m (aj ) +
Sn+m (x)pj,2
= 0,
(53)
x
?
a
1 ? x2
j
?
.......................................................
1
?(x) dx
(2m ?1)
?
Sn+m (x)pj,mj
= 0.
Sn+mj (aj ) +
x ? aj
1 ? x2
?
???????????? ????? ?????? (53) ??? ???? j = 1, 2, . . . , ????????
m ???????????.
34
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
3. ???????
Ln?m+х (x)pj,?
(mj ?1+?)
Ln?m
(aj )
1
x ? aj
?(x) dx
?
,
1 ? x2
?
(54)
??? j = 1, . . . , , ? = 1, . . . , mj , х = 0, 1, . . . , 2m. ???????
1
pj,?
z ? aj
?n (j, х, ?) =
1
?????????? ? ??????????? ??????? ?, ? ???????? pj,? ?? ???????
?? n. ? ?????? ??????? (i)?(iv) ????????? Ln , ???????? ?? (54):
lim |?n (j, х, ?)|1/n n??
1
< 1.
|?(aj )|
????? ? < 1 ??????, ??? 1/|?(aj )| < ? < 1 ??? ?????? j = 1, . . . , .
????? ??? ????? ?????? ???????? j, х, ?, ?????????? ? ????????? ???? ????????, ?????
?n (j, х, ?) = o(? n ),
n ? ?.
(55)
????????? ? ??????????? (53) ?????????? (50); ????? ?????????
??????????????, ???????? (55), ???????
Ln+m?1
Ln+m
(aj ) + ?n,1
(aj ) + и и и + ?n,2m = 0,
Ln?m
Ln?m
.........................................................
(m ?1)
j
Ln+m
(m
(aj ) + ?n,1
?1)
j
Ln?m
(m )
j
Ln+m
(m
(m ?1)
j
Ln+m?1
(m ?1)
j
Ln?m
(aj ) + o(? n ) + ?n,1
)
j
Ln?m
(aj ) + и и и + ?n,2m = 0,
(m )
j
Ln+m?1
(m )
j
Ln?m
(aj ) + o(? n ) + и и и
+ ?n,2m (1 + o(? n )) = 0,
.........................................................
(2mj ?1)
(2m ?1)
Ln+m?1
Ln+mj
n
n
(a
)
+
o(?
)
+
?
(a
)
+
o(?
)
+ иии
j
n,1
j
(2m ?1)
(2m ?1)
Ln?mj
Ln?mj
+ ?n,2m (1 + o(? n )) = 0,
(56)
Д 4. ?????????????? ??????? 2
35
??? j = 1, 2, . . . , . ?? ?????? ?????? ?? mj ??????????? ?? ???????? ?? o(? n ) ????????? ???? (54).
??? n ? ? ? ?????? ?? ????????? (56) ?????? ????????????? ????? ???? ? ??? ?? ??????, ? ?????? ??????
2m 2m?1
1
1
?(aj )
?(aj )
,
,...,1
2
2
(??. ???????? (i)?(iv)). ??????????? ?????? ??????? (56) ???, ????? ? ??????? ?????????? ??????? ??????????? ??????.
? ??????? ??????? ???????? ????????
(?)
Ln+m?х
(?)
=
Ln?m
Ln+m?х
Ln?m
(?)
???
Fn?m (?, k) =
Ln?m
(?)
Ln?m
?
?
(??k)
Fn?m (?, k)
Ln+m?х
k=1
(??k)
, (57)
Ln?m
(k)
(??k) ? Ln?m Ln?m
1
,
(?)
k
Ln?m
Ln?m
х = 0, 1, . . . , 2m ? 1; ??????????, ??? Fn?m (?, k) ?? ??????? ?? х.
????????? ????????????? (43) ? (44), ???????? ????????, ??? ???
?????? a ? D ??????????? ???????????
lim |Fn?m (?, k)(a)|1/n 1.
(58)
n??
????? C > 1 ??????, ??? ?1 = C? < 1. ? ???? (58) ??? ?????
?????? ???????? j, ?, k, ?????????? ? ???????? j = 1, . . . , ,
? = 1, . . . , 2mj ? 1, k = 1, . . . , ?, ?????
Fn?m (?, k)(aj ) = O(C n ),
n ? ?.
(59)
?????? ????????? ???????????:
?n,х =
Ln+m?х
,
Ln?m
х = 0, 1, . . . , 2m;
?=
?
.
2
(60)
? ???? (42) ?????????? ?????? D ??????????? ???????????:
lim ?n,х (z) = ?2m?х (z),
n??
х = 0, 1, . . . , 2m;
(61)
??? ?????, ? ???????????????? ??????????? ??????? ?n,х
?????????? ?????? D ???????? ? ??????????????? ???????????
??????? ?2m?х .
36
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
???????? ?????? ? ?-? ?????? ??????? (56) ???????? ?????????? ?????????????? ????? ? ??????????????, ????????????? ?????????? (57) ? ????? aj . ?????, ???????? (??? ? mj )
??????????? (59), ???????? ????????? ???????:
(?)
(?)
(?)
?n,0 (aj ) + ?n,1 ?n,1 (aj ) + и и и + ?n,2m ?n,2m (aj ) = 0,
? = 0, 1, . . . , mj ? 1;
Ln?m
(?)
?n,0 (aj ) (?) (aj ) + o(?1n )
Ln?m
Ln?m
(?)
+ ?n,1 ?n,1 (aj ) (?) (aj ) + o(?1n ) + и и и
Ln?m
Ln?m
(?)
n
+ ?n,2m ?n,2m (aj ) (?) (aj ) + o(?1 ) = 0,
Ln?m
? = mj , mj + 1, . . . , 2mj ? 1.
(?)
??????? ?-? ????????? (??? ? mj ) ?? Ln?m (aj )/Ln?m (aj ) ?
???????? ??????????? (43) (?.?. ????????? ???? ????? ?????????
??? ? = mj , . . . , 2mj ? 1), ???????????? ???????? ???????
?n,0 (aj ) + ?n,1 ?n,1 (aj ) + и и и + ?n,2m и 1 = 0,
.......................................................
(m ?1)
(m ?1)
(aj ) + ?n,1 ?n,1j (aj ) + и и и + ?n,2m и 0 = 0,
(m )
(m )
?n,0j (aj ) + o(1) + ?n,1 ?n,1j (aj ) + o(1) + и и и
+ ?n,2m и o(1) = 0,
.......................................................
(2m ?1)
(2m ?1)
?n,0 j (aj ) + o(1) + ?n,1 ?n,1 j (aj ) + o(1) + и и и
+ ?n,2m и o(1) = 0,
?n,0j
(62)
??? j = 1, 2, . . . , .
4. ????????? ????? ?0n ???????????? ??? ??????????? ?n,1 ,
. . . , ?n,2m ???? ???????. ???????? ??????????? (61), ???????
?2m?2 (aj )
. . . 1 ?2m?1 (aj )
(?2m?2 ) (aj )
... 0 (?2m?1 ) (aj )
lim ?0n = ?0 = n??
............................................. 2m?1 (2m ?1)
(?
) j
(aj ) (?2m?2 )(2mj ?1) (aj ) . . . 0 .
j=1,...,
Д 4. ?????????????? ??????? 2
37
??????, ??????? ? ?????? ????? ????? ?????????, ??????????
???????????? ??????? 2m, ? ??????? ??????????????? ???????????? ????????? ?????? ????? ??? j = 1, 2, . . . , . ????????? ? ?
??????????? ??????? ? ??????? D, ???????????? ?0 ??????? ??
???? (???????? ????? ???????????? ??? ?? ???????????). ?????????????, ?0n = 0 ??? ?????????? ??????? n n0 .
??????? ?????? ? ??????? (62) ???????????
?n,0 (z) + ?n,1 ?n,1 (z) + и и и + ?n,2m =
Sn+m
(z),
Ln?m
z ? D,
? ???????? ?? ????? ??????????? (? ??????? ??????? (62)) ??????????? ?n,1 , . . . , ?n,2m . ???????
?n (z)
Sn+m
(z) =
,
Ln?m
?0n
z ? D,
n n0 ,
???
?n,0 (z)
?n,1 (z)
. . . 1 ?n,1 (aj )
. . . 1 ?n,0 (aj )
................................................ (m ?1)
(m ?1)
(aj )
?n,1j
(aj )
... 0 ?n,0j
?n (z) = (mj )
(mj )
?n,0
(a
)
+
o(1)
?
(a
)
+
o(1)
.
.
.
o(1)
j
j
n,1
................................................ (2mj ?1)
(2m ?1)
?n,0
(aj ) + o(1) ?n,1 j
(aj ) + o(1) . . . o(1) .
j=1,...,
????????????? (????????, ??? n ? ?),
lim
n??
n??
???
?(z)
Sn+m
(z) = P(z) =
,
Ln?m
?0
?2m (z)
?2m (a1 )
..
?(z) = .
(?2m )(2m ?1) (a )
z ? D,
?2m?1 (z) . . . 1
..................
..
.
?0
..
.
(63)
;
(64)
??????? ? ??????? ? (63) ? ??????????? ?????? D. ???????
P(z) ? ??????? ?? ?(z) ??????? 2m ?? ??????? ?????????????
38
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
??? ?2m (z), ?????? 1 (??. (50)). ???????? ???????? ????? ????
???????, ????????
P(z) =
(?(z) ? ?(aj ))2mj .
(65)
j=1
?????????????, ???????? ?? ???????? (60), (65) ? ????????? ????? ??????????? Sn+m = Qn ?m , ?????:
Qn
(z) =
lim
n?? L
n?m
n??
2mj
j=1 (?(z) ? ?(aj ))
22m ?m (z)
,
z ? D;
(66)
?????????? ? ??????????? ?????? D. ????????? ??????????? ???????????? (49). ??????????? 3 ????????.
???????, ??? ? ???? ????? ???????????? ?????????
?(z) ? ?(a)
2?(z)?(a)
=?
z?a
1 ? ?(z)?(a)
??????????? (49) ????????????? ??????? ?????????????? ? ????:
mj
?(z) ? ?(aj )
Qn (z)
= const и
,
lim
n?? L (z)
1 ? ?(z)?(aj )
n
n??
j=1
??? const = (?1)m /
j=1
(67)
?mj (aj ).
5. ???????, ??????? ? ?????? ????? ??????????? (49), ?????????? ? ??????? D; ????????? ?? ????? ????????? (? ??????
?? ??????????) ? ?????????? ??????? ??????? f ? D. ??????
? ?? ??????? ???? ???????? ??????????? ??????? 2 ??? ?????????????????? ?????????? ???????? ? = {nk }; ????????? ?????????????????? {fn }n?N ?????? (??. Д 1, ?. 2), ??? ??? ????? ???
??????????? ??????????? ???????????? ? ??? ???? ????????.
???? ?? ?????????? ????????? ???????????, ??????????
?? (63):
1
z ? D
(68)
lim |Sn+m (z)|1/n = |?(z)|,
n??
2
n??
(??????? ? ??????? ? ??????????? ?????? D ).
Д 4. ?????????????? ??????? 2
39
??????? ??????????? ? ???????? ?????????? ??????? fn ? f
? ??????? fn ? ??????? f . ????? n ? ?, n > m; ?? (4) ????????
? ? ?n )(z) =
(
? + r ? fn )(z) = (
A
z 2n+1
+ иии ;
(69)
????? ?n = fn ? r ? ???????????? ??????? ??????? n + m, ??????????? ??????? ???? Qn ?m = Sn+m . ??????????? (69) ????????, ??? ??? ???????????? ??????? ????????????? ???????????
? ??????? D ??????? ? ? ????? z = ? ?? ??????? 2n + 1 > n + m.
????????? ???????????? ??????? K ? D ; ?? ???????????
??????? 2 ???????, ??? ??? ?????????? ??????? n ??? ???? ???????? Sn+m ????? ??? ???????? K. ??? ?????? R > 1 ???????
?R = {z : |?(z)| = R}; ????? R ????? ?????? ? 1, ??? K ????? ??
????????? ?R . ? ??????? ??????? ?????? ?? (69) ????????
Sn+m (t)q(t)
?(t) dt
1
(f ? fn )(z) = (
,
z ? K,
? ? ?n )(z) =
2?i ?R Sn+m (z)q(z)(t ? z)
??? q ? ???????????? ??????? ??????? n ? m. ??????? q =
Ln?m . ?????, ????????? (68) ? ???????? ????????? {Ln }, ???????? ??????
2n
R+?
f ? fn K < C
,
R(K) ? ?
??? и ? sup-?????, R(K) = inf{|?(z)| : z ? K}, ? > 0 ? ???????????, n > n(?), n ? ?, C ?? ??????? ?? n. ?????????????,
1/2n
lim f ? fn K
n??
n??
R+?
;
R(K) ? ?
????????? ? ? ???? ? R ? ???????, ???????? ??????
1/2n
lim f ? fn K
n??
n??
1
< 1.
R(K)
(70)
????? ???????? ????????? ?????????????????? {fn }n?N ? ??????????? (48) ??? ?????????? ????????, ???????? ?? (70) ????????? ??????????? ? ???????? ?????????? ??????? fn ? f :
1/2n
lim f ? fn K
n??
1
< 1.
R(K)
40
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
?????? ??? ????? ????????, ??? ???? a ? D ? ????? f ????????? х 1, ??
lim |a ? ?j,n (a)|1/n n??
1
< 1,
|?(a)|2/х
j = 1, . . . , х
(??? ??????, ?j,n (a), j = 1, . . . , х, ? ?????? fn , ????????????????
? ??????? ?????????? ?? ?????????? ?? ????? a).
Д 5. ?????????????? ??????????? 2
1. ????????????? ? ?????????????? ??????? ?????? (R2 ) ???????????? ??????????? ???????? (??. [16]): ? ?????????????,
??? ??????? ??????????, ????????? ??? ????? ???. ??????????????? ???????????, ??? ?????????? ? ????? ??????? ????????
???????? ??????? ??????. ??? ?????????????? ??????????? 2
??? ??????????? ??????????? ? ?????? ????????? ????? ?????,
??? (R2 ), ??????? ??????.
????? aj , bj ? C\?, j = 1, . . . , m, ? ???????????? ????????????? ????????? ?????.
?????? (R3 ). ??? ????????????? n ? N ????? ???????
? = ?n ?????, ???:
1? . ? (???????) ?????????? ?? R \ ? = D(1) D(2) ;
(1)
(1)
(2)
(2)
2? . ??????? (?) = n?(2) +a1 +и и и+am ?b1 ?и и и?bm ?n?(1) ;
3? . ?? ? ????????? ??????? ???????: ?(x)?(x+) = ?(x?).
??????????????? ?? ??????? ???? ?????? ????????, ???
m
j=1 (z ? aj )
(1)
(2)
?(z )?(z ) ? const и m
j=1 (z ? bj )
??? z ? D, ??? const = 0. ??? ? ?????, ????? ?????????????? ???
?????????? ?-???????, ??????? ???? const = 1. ??????? ?????? (R3 ) ??????????? ??? ? ????????, ????? bj = aj,n ? aj ???
n ? ?, j = 1, . . . , m. ???????, ??? ????? ????? a1 , . . . , am ? ?. 2?
?????? (R3 ) ????? ??????????? ???????????; ??????????? ????????? ????????? ? ? ?????? b1 , . . . , bm . ? ?????????? ? ????????
????? ????????? ????????? ?????????? ??? ????? ?????? ?????????????? ? ???????????? ??????? ??????? f : ?????? ????? f
? D ???????????? ??????? ???, ?????? ??? ?????????.
Д 5. ?????????????? ??????????? 2
41
????? ????? ??? ??????? ?????? (R3 ) ?? ?????????? ?????:
???????? ??????????? R ? ???????? ????, ??????? ????? ???????
???? a(1) ?b(2) ????????: ?????????? ??????? ?a,b , ???????????
?? R ? ?????, ??? (?a,b ) = a(1) ? b(2) (??. (15)). ??? ?-???????
deg(?) = 0, ??????? ?????? (R3 ) ??????????? ?? ????????? ??????????? ?????, ??????????????? ??. 2? ? 3? .
??????? ?(z) = z + w ?????????? ?? R, ??????? (?) =
?(2) ? ?(1) ? ?(z (1) )?(z (2) ) ? 1 ??? z ? D. ????? a, b ? C \ ?
? ???????????? ?????, ? = 0 ? ??????????? ??????????. ???????
z?a
?(z) ? ?(b)
(71)
?a,b (z) = ?
z?b
1 ? ?(a)?(z)
? ??????????? ??????????? ???????
?? R ? ????????? (?a,b ) =
a(1) ? b(2) . ??????? ? = ?(a, b) = ?(a)/?(b) . ????? ?a,b (z (1) ) О
?a,b (z (2) ) ? (z ? a)/(z ? b) ??? z ? D. ??????? ???? (71) ??????????? ??? ?????? ? ????????, ????? a ???????????, ? b ? a. ?????? ?? ????? ??????? ??????? ? ????????????? ??? ? ????? ?????
???, ??? ?(a, b) = 1 + o(1) ??? b ? a; ????????, ??? o(1) ???????????? ????????? ?????????? b ? a: o(1) = O(|a ? b|).
???????
F (z) = ?(z)n
= ?(z)n
m
j=1
m
?aj ,bj (z)
?(aj , bj )
j=1
z ? aj
?(z) ? ?(bj )
.
z ? bj
1 ? ?(aj )?(z)
??????? F ?????????? ?? R, ??????? (F ) = n?(2) ? n?(1) +
m (1) m (2)
? F (x+) = F (x?) ?? ?. ??? ?????, (F ) =
j=1 aj ?
j=1 bj
(?) ? ??? ??????? H(z) = ?(z)/F (z) ?????: (H) = 0, ?.?. H ?????????? ? ??????? ?? ???? ? R \ ?, ? ?? ? ??????????? ???????
??????? ?(x)H(x+) = H(x?). ?????? ? ?????? ????????? ?????????? ??????? ? ? F :
F (z (1) )F (z (2) ) ?
(z ? a1 ) и и и (z ? am )
,
(z ? b1 ) и и и (z ? bm )
????????, ??? H(z (1) )H(z (2) ) ? 1 ??? z ? D. ? ?????? ?????
??????????? ?? ???????? ??????? ??? ??????? H ?? ? ????????,
??? ?(x)H + (x)H ? (x) ? 1 ??? x ? ?.
42
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
????? ???????, ??????? H(z) = H(z (1) ) ?????????? ? ??????? ?? ???? ? D ? ????????????? ???????: ?(x)H + (x)H ? (x) ? 1
log H(z)
?????????? ??????????? x ? ?. ????? ??????? u(z) =
w(z)
?? ? ?????????? ? D, u(?) = 0 ?
u+ (x) ? u? (x) = ?
log ?(x)
log ?(x)
= i?
w+ (x)
1 ? x2
??? x ? ?. ?????????????, ??? u ??????????? ????????? ????????????? ?????????? ???? ????:
1
dx
log ?(x) dx
log ?(x)
1
?
=
?
u(z) =
2?i ? x ? z w+ (x)
2? ? x ? z
1 ? x2
dx
log ?(x)
1
?
=
.
2? ? z ? x
1 ? x2
??? ?????, ???????????? w(z)u(z) = S(z) ? ??????? ???? ???
???? ?. ?????? ????????, ???
? 2
dx
z ?1
log ?(x)
w(z)u(z)
S(z)
?
=e
= exp
.
H(z) = e
2?
1 ? x2
? z?x
? ????? ??? ?-???????, ???????? ?????? (R3 ), ???????? ????????? ????????????? ??? z ? R \ ?:
?(z) = F (z)H(z),
(72)
???
? 2
z ?1
log ?(x)
dx
?
H(z ) = exp
,
2?
1 ? x2
? z?x
1
,
H(z (2) ) ?
H(z (1) )
m
z ? aj
?(z) ? ?(bj )
,
F (z (1) ) = ?(z)n
?(aj , bj )
z ? bj
1 ? ?(aj )?(z)
j=1
m
j=1 (z ? aj )
(2)
F (z ) ? m
.
(z
? bj ) и F(z (1) )
j=1
(1)
(73)
Д 5. ?????????????? ??????????? 2
43
?? ??????????? ????????????? ????????, ??? ?(z)/z n ? ?n ???
z ? ?, ???
m
?(aj , bj )
(??(b
j ))
j=1
m
1
log ?(x) dx ?(aj , bj )
?
= 0,
= 2n exp
2? ?
(??(bj ))
1 ? x2
j=1
?n = 2n eS(?)
?.?. ? ????? ? ????? z = ? ????? n-?? ???????. ??????????????? ???????????, ??? ?????????? ??????? ? ???????? ????????
?????? (R3 ). ??????? ????? ????????? ???????? ???? ???????,
??????? ??????????? ??? ? ??????????:
?(x)? + (x)? ? (x) ?
m
x ? aj
x ? bj
j=1
??? x ? ?.
(74)
???????, ??? bj = aj , j = 1, . . . , m, ?????????? ?????????? ?????
???????? ? ?-???????, ???????? ?????? (R2 ):
?(z) = F (z)H(z),
(75)
??? H(z) ???????????? ????????? (73), ?
F (z (1) ) = ?(z)n
m
?(z) ? ?(aj )
,
1 ? ?(aj )?(z)
j=1
F (z (2) ) ?
1
, (76)
F (z (1) )
??? ???? ?(x)?+ (x)?? (x) ? 1 ??? x ? ? ? ?(z)/z n ? ?n ???
z ? ?, ???
2n eS(?)
?n = m
= 0,
j=1 (??(aj ))
?.?. ? ????? ? ????? z = ? ????? n-?? ???????.
2. ??????????? ????? ?????? ???????? ?? ????????? ?-???????. ????? ????? ??????????????, ??? ? ??????? 2? ?????? (R3 )
????? aj , j = 1, . . . , m, ? ??????10 ??????? f ? D, bj = aj,n ?
?????? ???????????? ????? fn , ??????????????? ??????? f ? D
10 ????????, ??? ? ???? ????????? ?? ?????????????? ?????????? ??????????: ?????? ????? ??? ???? ??????? ???????????? ??????? ???, ??????
??? ?????????.
44
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
??? n ? ? ? ?????????????? ???, ??? aj,n ? aj ??? n ? ? ???
(1)
(1)
j = 1, . . . , m. ??? ????? ??????? (?) = n?(2) + a1 + и и и + am ?
(2)
(2)
a1,n ? и и и ? am,n ? n?(1) , ? ??????????????? ? = ?(aj , bj ) ? 1
??? n ? ? ? ?????????????? ????????? (??. Д 2, ?. 3). ???????
m
m
?m (z) = j=1 (z ? aj ), ?n,m (z) = j=1 (z ? aj,n ).
????????? ?? R \ ? ??????? F ????????? ???????:
Rn (z)w(z), z = z (1) ? D(1) ,
F (z) = ?(z) и
(77)
?2Qn(z),
z = z (2) ? D(2) .
???????? ?? ???????? ??????? ? ? R \ ?, ???????? ???????, ???
??????? F (???????) ?????????? ? R\?. ??? ????? ???????? ????, ??? ?????????? ??????? ??????? n ????????? ??? ???????
f = ? + r ? ??? ????? n ??????? (F ) = 0.
????????? ???????? ?-??????? ?? ?????? ? ? ?????????
???????? ??????? ??????? Rn ?? ??????? ??????? ?: Rn+ (x) ?
Rn? (x) = ?2Qn(x)?(x)/w+ (x), ???????? ??????? ??????? ??? F
?? ?:
1
,
? ? ?,
(78)
F (?+) ? F (??) = ?(??)
?(?)
??? ??????? ?(z) = ?(z)Rn (z)w(z), z ? D(2) , ?????????? ?? ?????? ?????. ? ????? ?????? F ??????????? ??????? (??. [19], [16])
????????????????? ? R \ ? ?? ????????? ???????? (78) ?????????? ???? ????:
1
1
d?(?; z) + Cn ,
?(??)
z?
/ ?,
(79)
F (z) = ?
2?i ?+
?(?)
??? Cn ? ????????? ??????????,
d?(?; z) =
1 w(?) + w(z) d?
2
? ?z
w(?)
(80)
? ??????????? ?? R ?????? ????????????, ? ?????? ?+ ???????????? ???????????? ???????????? ??????? D(1) : ??????? ???????? ????? ??? ?????? ?? ???????. ??? ??????, ?????????? ??????????? ???????? ?? ???????????? ????????????? (79).
????? ??????? z = z (1) ? D(1) . ??????? ????? R > 1 ? ? > 0
???, ????? ??????? ? ? 1/? ???? ?? ?????????? ? ???????
Д 5. ?????????????? ??????????? 2
45
{z (2) : 1 < |?(z)| < R + ?}. ????? ? ???????????? ??????????(2)
??? (79) ?????? ? ????? ???????? ?? ?????? ?R ? D(2) . ???????????????? ???, ???
?(z (2) ) = ?(z (2) )Rn (z)w(z (2) ) = ?F (z (1) )
= ?F (z (1) )
?(z (2) )
?(z (1) )
?m (z)/?m,n (z)
?(z (1) )2
? d?(? (2) ; z (1) ) = d?(? (1) ; z (2) ), ???????? ?? (79) ????????? ????????????? ??? ??????? F :
1
1
(1)
d?(? (2) ; z (1) ) + Cn
F (z ) = ?
?(? (2) )
(2)
2?i ?R
?(?)
1
?m (z)/?m,n (z) 1
d?(? (1) ; z (2) ) + Cn ,
=?
F (? (1) )
(1) )2
2?i ?(1)
?(?)
?(?
R
(81)
(1)
??? ?R = {z (1) : |?(z)| = R}. ??? ??? ???????????? d?(? (1) ; z)
(1)
? ??????????? ?? z ?? ???????? D(2) ? ??? ? (1) ? ?R , ??
????????? ???????????? ?????????????11 ??????????? ?????????? ?? ???????? D(1) ?. ?? (81) ????????, ??? ?????????? ??
z ? D(1) ?
|F (z) ? Cn | = Mn max
?R
1
O(1) ??? n ? ?,
|?(? (1) )|2
??? Mn = max?(1) |F (? (1) )|. ????????? ???????? ?-???????, ????R
???? ??????, ??? ?????????? ?? z ? D(1) ?
|F (z) ? Cn | = Mn и O(? n ) ??? n ? ?,
(82)
??? ? = 1/R2 < 1. ??? ??? F (z (1) ) ? 0, ?? Mn = 0, ??????? ?? (82)
??????????????? ????????: Mn = |Cn |(1 + O(? n )) ?
F (z (1) ) = Cn (1 + O(? n )) ??? n ? ?
(83)
?????????? ?? z ? D(1) ?.
11 ??? ? ?????, ???????????? ??????? (81) ?????? ????????????? ??????????? ??????? F (z), z ? D (1) , ????? ?????? ? ?? ?????? ???? ????????? ??(2)
????????? R ?????? ?? ??????? ?R , ?????? ??? z ? D (2) ??? ???????????,
?????? ??????, ?? ????????? ? ???????? F (z), z ? D (2) , ???????????? (77).
46
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
????? ?????? z = z (2) ? D(2) . ????? ?? (79) ????????, ??? ???
(2)
z (2) ? DR = {z (2) : |?(z)| > R}
1
1
d?(? (2) ; z (2) ) + Cn
F (z (2) ) = ?
?(? (2) )
2?i ?(2)
?(?)
R
1
?m (z)/?m,n (z) 1
d?(? (1) ; z (1) ) + Cn .
=?
F (? (1) )
2?i ?(1)
?(?)
?(? (1) )2
R
(84)
(1)
???????????? d?(? (1) ; z (1) ) ? ??????????? ?? z (1) ? DR ???
(1)
? (1) ? ?R . ????????? ???????? ?-??????? ? ?????????? ????
??????????????? ????????????? (83) ??? ??????? F (z), ????????
?? (84) ?????? ??????????? (83) ??? F (z (2) ) ??? n ? ?:
F (z (2) ) = Cn (1 + O(? n ))
(85)
(2)
?????????? ?????? DR , ? < 1. ??????????????? ?? ??????????? (77) ??????? F ????????, ??? ?????????? ?????? DR , R > 1,
??????????? ?????????????
2Qn (z) = ?Cn
1
(1 + o(1)),
?(z (2) )
??? o(1) = O(? n ), ? < 1.
??? ??? ? ???? (83) ?????????? Cn = 0 ??? ?????????? ??????? n, ?? deg Qn = n, ?.?. ??? ????? ??????? ?????????. ?????
?????????? Cn = 0 ?????? ?????? ? ??????????? Qn , ???????
? ?????????? ??????? Cn = ?2. ? ????? ?????? ??????????????? ??????? ??? ????????? Qn ??? ??????? ? ?????? ???:
Qn (z) =
m
?m,n (z)
1
(1 + o(1)),
(1
+
o(1))
=
?(z)
?m (z)
?(z (2) )
j=1
n ? ?,
???, ????????????,
Qn (z)
?m (z)
= ?(z)(1 + o(1))
?m,n (z)
?????????? ?????? D ??? n ? ?.
???????? ?????? ? ???????????
F (z) = Cn (1 + o(1)) = ?2 + o(1),
(86)
Д 5. ?????????????? ??????????? 2
47
??????? ??????????? ?????????? ?? ???????? D(1) ?. ?? ?????
??????????? ? ???? ??????????? ??????? F ????????, ??? ?????????? ?? x ? ?
? + (x)R+ (x)w+ (x) = ?2 + o(1),
n ? ?.
? ? (x)R? (x)w? (x) = ?2 + o(1),
??? ??? ? + (x) = 0 ? ? ? (x) = 0 ?? ?, ??
R+ (x)w+ (x) = ?
R? (x)w? (x) = ?
2
? + (x)
(1 + o(1)),
n ? ?.
2
(1 + o(1)),
? ? (x)
???????? ????????? ???????????, ????????
Rn+ (x)w+ (x) + Rn? (x)w? (x) = ?
2
? + (x)
?
2
? ? (x)
+ o(1).
????????? Rn+ (x) ? Rn? (x) = ?2Qn (x)?(x)/w+ (x) ??? x ? ?, ??
Rn+ (x)w+ (x) + Rn? (x)w? (x) = ?2Qn (x)?(x). ????????? ?????????
??????????? ??? ??????? ???????, ????????, ???
Qn (x)?(x) =
1
1
+
+ o(1).
? + (x) ? ? (x)
?? ?(x)? + (x)? ? (x) ? ?m (x)/?m,n (x) = 1 + o(1) ?? ?, ??? ?????
Qn (x)
?m (x)
= ? + (x) + ? ? (x) + o(1)
?m,n (x)
(87)
?????????? ?? x ? ?, ??? o(1) = o(? n ), ? < 1.
????, ???????? (??. ???? (86) ? (87)) ????????? ??????????????? ????????????? ??? ????????? Qn (z) = Qn (z; f ):
?m (z)
= ?(z)(1 + o(? n ))
?m,n (z)
?????????? ?????? D ,
Qn (z; f )
(88)
?m (x)
= ? ? (x) + ? + (x) + o(? n )
Qn (x; f )
?m,n (x)
?????????? ?? ?,
48
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
m
m
??? ?m (z) = j=1 (z ? aj ), ?m,n (z) = j=1 (z ? aj,n ), ? ? < 1.
??? ??? ?????????? ?????? D ? ?????????? ?? ? ??? n ? ?
?????: ?m,n (z) = ?m (z)(1+o(? n )) ? ?(z) = ?(z)(1+o(? n )), ??? ? ?
??????? ?????? (R2 ), ?? ?? (88) ?????????? ??????? ???????????
??????????? 2.
??????????? 2 ????????.
? ?????????? ??? ??????????? ????? ????????? ???????????, ??????? ???????? ??????????????? ?? (88) ? ?????????????
(75), (76):
Qn (z; f )
?(z)
=
(1 + o(? n ))
?m,n (z)
?m (z)
?????????? ?????? D,
n (z; f ) = Qn (z; f )/?m,n(z), ?(z)
???, ???? ?????? ??????????? Q
=
?(z)/?m (z), ??
n (z; f ) = ?(z)(1
Q
+ o(? n ))
?????????? ?????? D.
(89)
Д 6. ?????????????? ??????? 3
1. ?????????????? ??????? 3 ????????, ??????? ???????, ??
??????? ??????? ??????????? (222 ) ????????? Qn (z) = Qn (z; f )
?? ??????? ?. ???? ????????? ???? ? ??????? ???? ???????
???, ????????? ??? ??????????
???????????. ??? ??????????
??? ??????? ?(z) = z + z 2 ? 1 ?????:
?+ (x) = eig
?+
(x)
= ei arccos x ,
?? (x) = e?i arccos x
??? x ? ?.
?????????????, |?+ (x)| ? |?? (x)| ? 1 ?? ?. ???????? ??????
????????????? (75), (76) ??? ?-???????, ????????: ?+ (x) = O(1)
? ?? (x) = O(1) ??? n ? ? ?????????? ?? ?. ??? ??? Qn (x) =
?+ (x) + ?? (x) + o(1) ?????????? ?? ??????? ?, ??, ??-??????,
Qn (x) = O(1) ??? n ? ? ?????????? ?? x ? ?, ? ??-??????,
Q2n (x) = ?+ (x)2 +?? (x)2 +
2
+o(1),
?(x)
??? o(1) = o(? n ), ? < 1;
(90)
????? ?? ??????????????? ?????????? ????? ????????????
?(x)?+ (x)?? (x) ? 1
??? x ? ?.
Д 6. ?????????????? ??????? 3
49
????? a1 , . . . , a ? (?????????) ?????? ??????? f ? ????
mj ? ?????? D, mj , j = 1, . . . , , ? ?? ?????????, m =
j=1
??? ????? ??????? f ? D. ??????? ?m (z) = j=1 (z ? aj )mj ,
m
?n,m (z) = j=1 (z ? aj,n ), ??? aj,n , j = 1, . . . , m, ? ??????????????? ??????? f ??? n ? ? ?????? ???????????? ????? fn ;
n = n ? m ??? ????? n (z) = Qn (z)/?n,m (z), ????? deg Q
????? Q
n ?m
????? ??????? n. ??????? ??????????? (4) ?? ??????? Q
??????? n, ???????
1
Rn (z) = (Qn Qn ?m f ? Pn )(z) = O
??? n ? ?,
z
n ?m ?????????? ? D, Pn = Pn Q
n ?m .
n = Rn Q
??? ??????? R
??? ??????????? ? D ??????? Rn ??????????? ?????????????
n (z) = 1
R
?
n (x)?m (x)?(x) dx
Qn (x)Q
?
(z ? x) 1 ? x2
?
Q2n (x)(1 + ?n (x))?(x) dx
?
(z ? x) 1 ? x2
?
Q2n (x)?(x) dx
Q2n (x)?n (x)?(x) dx
1
1
?
?
=
+
? ? (z ? x) 1 ? x2
? ? (z ? x) 1 ? x2
=
1
?
= I1 (z) + I2 (z),
z ? D,
(91)
1/n
??? limn?? ?n ? < 1. ??? ??? Q2n (x) = O(1) ??? n ? ? ?????????? ?? x ? ?, ?? ???
Q2n (x)?n (x)?(x) dx
1
?
I2 (z) =
? ? (z ? x) 1 ? x2
?????
o(1)
= G (z)o(1)
z2 ? 1
??? n ? ? ?????????? ?????? D,
I2 (z) = ?
??? o(1) = o(? n ), ? < 1. ???????? ?????? ???????????? ????????
Q2n (x) ?(x) dx
1
?
.
I1 (z) =
? ? (z ? x) 1 ? x2
50
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
?????????? ??????????? ???????? ?? ??????????????? ??????? (90) ??? Q2n ?? ??????? ?.
??????????????? ????????? (90) ? ???????? ?-???????, ??????????? ????????????? ??? I1 (z) ????????? ???????:
dx
2
?
1 ? x2
? z?x
?+ (x)2 + ?? (x)2 ?(x) dx
1
o(1)
?
+
+?
2
? ?
z?x
1?x
z2 ? 1
1
dx
1
2
1
?
+ + 2
= ?
+
? (x)2
2
?
?
?
(x)
z ?1
(z ? x)?(x) 1 ? x2
?
o(1)
+?
z2 ? 1
1
2 + o(1)
d?
1
+
= ?
z 2 ? 1 2?i ?R ? ? z ?(?)2 ?(?) ? 2 ? 1
I1 (z) =
1
?
o(1)
2
2
+?
=?
(1 + o(1))
= ?
2
2
2
z ?1
z ?1
z ?1
= 2G (z)(1 + o(1))
??? n ? ? ?????????? ?????? DR , R > 1,
??? DR = {? : |?(?)| > R}, ?R = ?DR , R > 1, o(1) = o(? n ),
? < 1. ????? ???????,
n (z) = 2G (z)(1 + o(1))
R
??? n ? ? ?????????? ?????? D.
(92)
??????????????? ?? ???? ?????????????? ????? ??????????? ?????, ??? ??? ????????????? ????????????????? ????? ????? ???:
??? ?????? ?????? k 1
n(k) (z) = 2G(k+1) (z)(1 + o(1))
R
??? n ? ? ?????????? ?????? D;
(93)
????????? ??????????? ????? ??? ??? ???? ?????????, ?????????
??? ?????? ????? ?????????? ?????????? ?????? C \ ?, ? ?????????????, ? ? ? ??????????? ??????? ??????? f ? D.
Д 6. ?????????????? ??????? 3
51
n ?m f ? Pn )(z) = (Qn Q
nF ?
n (z) = (Qn Q
2. ????????, ??? R
Pn )(z), ??? ??????? F = ?m f ?????????? ? D, ? ??????? Pn =
n ?m . ???????? Aj = F (aj ) = 0, j = 1, . . . , . ??????????? ??Pn Q
???? ???????????? j ? {1, . . . , } ?, ??? ?????, ???????????????
n(k) (aj ) =
??? aj ? mj . ? ???? ??????????? (92), (93) ???????? R
(k+1)
(aj )(1 + o(1)) ??? k = 0, . . . , mj ? 1 ??? n ? ?. ? ??????
2G
(k)
n ?m )(aj )(k) = 0,
???????, ??? ????? k ???????? Pn (aj ) = (Pn Q
??????? ? ???? ??????? ????????
(k) (aj ) = (Qn Q
n F )(k) (aj ) = (?m,n Q
2 F )(k) (aj )
R
n
n
k k 2 (s) (k?s)
(k)
2n (aj )?m,n
= Aj Q
(aj ) +
(Qn F ) ?m,n (aj ).
s
s=1
?????????? ??? ??????????? ??? k = 0 ? (92), ????????
2 (aj )?m,n (aj ) = 2G (aj )(1 + o(1)),
Aj Q
n
n ? ?,
??? G (aj ) = 0,
(94)
?????????? ?? (93) ??? k = 1, . . . , mj ? 1 ?????:
k k 2 (s) (k?s)
2
(k)
Aj Qn (aj )?m,n (aj ) +
(Qn F ) ?m,n (aj )
s
s=1
= 2G(k+1) (aj )(1 + o(1));
(95)
? ?????????,
2n (aj )?m,n
2n F ) ?m,n (aj ) = 2G (aj )(1 + o(1)).
(aj ) + (Q
Aj Q
(96)
????? aj,? (n), ? = 1, . . . , mj , ? ?????? ???????????? ?????
f
mjn , ??????????????? ??? n ? ? ????? aj . ??????? qn (z) =
n (z) = ?m,n (z)/qn (z). ????? ?
n (aj ) = ?j (1 +
?=1 (z ? aj,? (n)), ?
(mj )
o(1)) ??? n ? ?, ??? ?j = ?m (aj )/mj ! = 0. ??? ?????, ???? j )2 /2G (aj ) = 0, ?; ????? ?
= ?/?m , G (aj ) = 0.
???? Aj ?j ?(a
?????
j )2 2/mj
Aj ?j ?(a
.
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52
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53
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54
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1
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1
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55
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2
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56
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??????, ????? S = pj=1 ?j ? ?????????????, ??? ???? ? ????????? ?????????? ???????????? ???? ?????? ?? S ?
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1
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(101)
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Д 7. ?????? ?????????? ????????
57
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?????????, ? ?? ????????? ??? n ? ? ???????????? ?????????
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????? {ej }, ????? ????? ??? ????? ????????? ???????????, ?
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g+1
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R
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????? ??????????, ?? ??????? w = h(z) . ?? ?????? ????? D
????? w = ? h(z) . ??? ????? ????????? ???????????
R ?????
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(2)
?? z
= (z, ? h(z) ). ??????? D(1) ?????, ??? ???????, ????????????? ? ???????????? ???????? D. ??? z = z (1) ????? ?????
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?????? w(z); ??? ?????, ??????????? ?????
? ?????? w+ (x) = h(x + i0) , x ? S (??. (101)). ????????????
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(1)
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?????????. ? ???????????? ? ???????????? ?? ????? ?????????????? ? ???????? [19] (??. ????? [21], [22]).
58
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
??????????? ?????? ?j ???, ??? ??? ?????? ?? ?j ??????? D(1)
???????? ?????, ? ??????? D(2) ? ??????. ?????? ??????????????? ?????? ?j , j = 1, . . . , g, ?? a-????? aj ?? R ? ??????????? ??????? [19] ???????? ?? b-??????? bj ?? ?????? ?????????
{aj , bj }j=1,...,g ?? R. ????? {d?k } ? ??????????????? a-????????????? ????? ??????????? ???????? ??????????????:
d?k = ?kj ,
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aj
??????? B = Bkj k,j=1,...,g , ??? Bkj =
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d?k ? b-??????? ??-
?????? ??????????????, ???????? ???????? ??????: ??? ???????????, Bkj = Bjk , ? ?? ?????? ????? ???????????? ??????????, Im Bjk > 0 (???????, ??? ? ??????????????? ????? ??????
??? Bjk ? iR). ???????
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z
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d?k
?????????? ?? R ?????????? ?? ?????? ?? a- ? b-????????. ???
??? ?k (z) = pk (z)/w(z), ??? pk ? ??????? ??????? g ? 1, ?? ?????
+
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k (x) = pk (x) dx/w (x) ??? x ? S.
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?? ?????????? ???????? ??? z ? x ? ?, z ? D(1) , ???? ???
??????????; ??????????? ????? ????????? ? F (x?) ??? z ? D(2) ,
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????? ??????? e1 , . . . , eg , Be1 , . . . , Beg ??????? ?????????? ??? R
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0 (x)j , (y)j < 1, N, M ? Zg ; ?????? ??? ????????? ???? ????????? ?? ?????? ???????? ?????????????? {d?k } ?? ????? ???????? ? ?????? ?????? v ? x + By.
??????????????? ?????? ????? (z1 , . . . , zg ), zj ? R, ???????? g-? ?????????????? ??????? S g R ????????? ??????????? R.
Д 7. ?????? ?????????? ????????
59
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A(z1 , . . . , zg ) = (A1 , . . . , Ag ) ? ????????????
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zj
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?????????? ??????????? ????? A : S g R ? Jac R. ???? ????? ?????? v = (v1 , . . . , vg ) ? Jac R, ?? ?????? ?????????? ???????????????? ?????? ????? (z1 , . . . , zg ) ? S g R, ??? ????????
Ak (z1 , . . . , zg ) = vk
(mod ????????),
k = 1, . . . , g,
?????????? ????????? ????????? ?????. ???????? ?????????
????? ?????? ?????????, ??, ?????? ??????, ?? ???????????? ???????. ? ?????????? ??????????????? ????? ????? (z1 , . . . , zg ) ?
S g R ????? ???????? ????????? ? ?????????? d = z1 + и и и + zg .
??? ????? ???? ????????? ????? z1 ? z2 ????????? ??????????? R ?????????? ?????? ???????????? ???????? ????, ??????????? ????? ?? R, ?? ??????????? ???? ???? ?????, ? ??????? ??
????? ??????? ?????? ? ???????? ?????????????? 1 ? ?1; ?????
???????????? ?????????? ??????????. ?????????? ???????????? ????? ????????? ??????????, ???? ???????????, ????? ???
??? a-??????? ???? ????? ????; ????? ???????? ????? ???????????? a-????????????? ???????? ?????????????? ????????
???? ? ?????????? d?(z1 , z2 ; z). ?????? ?????? ?????????? ??????
(???????????) ???????????? ???????? ???? ? ???????????, ????? ??? ??? ??????? ???? ????? ???????. ??? ????? ?????????????? ????? ???????????? ??????????? dG(z1 , z2 ; z), ??????????? ??? ????, ??? ?????? ? ?????? z1 ? z2 ????? ??????????????
?1 ? 1. ? ???????? ?????????????? ????????? ????????????
?
(z, ?)
??????????? ??????? ????? GD (z, ?) = gD (z, ?) + igD
?
(????? gD (z, ?) ? ???????, ???????????? ??????????? ? ???? \ S. ???????
??? ????? gD (z, ?)) ???????????? ??????? D = C
GD (z, ?) ??????????? ? D ?
z
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GD (z, ?) =
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z ? D,
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13 ?
?????????? ?? ???????? z0 = e2g+1 .
60
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
??? Pg (z) = Pg (z; h) = z g + и и и ? ???????????? ???????, ??? ????
???????? ????? ? ??????? (e2j , e2j+1 ), j = 1, . . . , g. ????????????
dG = dG(?(1) , ?(2) ; z) = Pg (z) dz/w(z) ????????? ?? ???? ????????? ??????????? R, ????? ????? ?????? ??????? ? ???????
?????? ? ?????? z = ?(1) ? z = ?(2) ? ???????? ??????????????
?1 ? 1.
????? ?k (z; D) = ?(z; ?k , D) ????? ?????????? ?????????????
???? (? ????? z ? D) ??????? ?k ???????????? ??????? D.
3. ?????? ???????????? ? Д 2 ????? ?????????, ??????? ??????? ?????? f = ?, ???
1
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?(z) =
,
(102)
?i S z ? x w+ (x)
??????? S ??????? ?? ?????????? ????????, ? ??????? ??????? ?
?????????? ?? S ? ????????????? ??????? (101).
??????????? ???????????? n ? N ? ?????????? ?? ?????????
??????????? R ????????? ??????? ?????? ??????.
?????? (R1 ). ??? ????????????? n ? N, n g, ????? ??????? ? = ?n ?????, ???:
1? . ? (???????) ?????????? ?? R \ ? = D(1) D(2) ;
2? . ??????? (?) = (n ? g)?(2) + z1 + и и и + zg ? n?(1) ;
3? . ?? ? ????????? ??????? ???????: ?(x)?(x+) = ?(x?).
? ?. 2? ????? zj ? ??????????? ???? ?-??????? ? ???????
?? n, ??? ?(x+) ? ?. 3? ?????????? ?????????? ???????? ??????? ?(z) ??? D(1) z ? x ? ?, ??????????? ????? ????????? ? ?(x?). ??????? ?, ???????? ?????? (R1 ), ?????? ??????????, ??? ???? ??? ??? ??? g = p ? 1 ??????????? R ???????????, ?? ???? ? ?????? ? ?? R ??????????? ?????????? ????????????? ?????????????, ???????????? ????????????
????? ??? ???????????? ??????????? ??????? ?? R, ? ???????
d = z1 + и и и + zg ???????? ???????? ???????????? ???????? ????????? ?????. ?????? ?????? ???? ???????? ??????????, ???
??? ??????????? ???? ??????? (101) ?? ??? ? ?? ??????? ?????? ??????, ??? zj = pr zj ? [e2j , e2j+1 ], ?.?. ? ?????? ????????? ?????? ????? ????????? {?j } ????? ????? ?? ????? ????? pr zj ? R. ??????, ??????? d = z1 + и и и + zg ?????????????,
Д 7. ?????? ?????????? ????????
61
? ?????????????, ????? ???????? ????????? ????? ????? ???????????? ???????. ?????? ????????, ??? ?-???????, ????????
?????? (R1 ), ??????????? ? ????????? ?? ?????????? ? ?????
? ?????????? ????????? ????? z = ?(1) ????? ? ???????? n-??
???????. ???????? ??????, ??? ??? ??????
z ? C \ S ???????????
??????????? ?(z (1) )?(z (2) ) ? const и gj=1 (z ? zj ), ??? const = 0.
? ?????????? ?? ????? ??????????????
????????? ????????
g
??14 ?-???????: ?(z (1) )?(z (2) ) ? j=1 (z ? zj ). ???????? ????? ?
????? ??? ???? ???????. ??? z = z (1) ? D(1) ? ? ?????????????,
??? zj ? (e2j , e2j+1 ), ????? (??. ? (21)):
?(z (1) ) = ?(z)n?g eA(z;?) Fn (z),
(103)
??? ?(z) = eGD (z,?) ? (????????????) ???????????? ???????,
1
log ?(x) dx
A(z; ?) = w(z)
2?i S x ? z w+ (x)
g
dx
1 1
+
?k
,
+
2?i
?k x ? z w (x)
?k = 2
S
k=1
log ?(x) d?+
k (x) (??? g = 0 A(z; ?) ? ??????? ????),
g
g
1
(1) (1)
(1)
Fn (z) = exp
?(zj , ? ; z ) + cg +
?k ?k (z )
2
j=1
k=1
(104)
= exp(?n (z)),
???????? ?k = ?k (n) = {n?k (?)} ? g (????? ? ???? ? (105) { и }
?????????? ??????? ????? ???????????????? ?????), ??????? d =
z1 + и и и + zg , ??? zj = zj (n), ???????? (????????????) ????????
???????? ????????? ?????
g
g i
1
?k (zj ) =
log ?(x) d?+
n?
?s (?; D) Bks +
k (x),
2
?
S
s=1
j=1
k = 1, . . . , g,
???????? cg = cg (n) =
g
j=1 (e2g+1
(105)
? zj ).
14 ??? ??? ?????????? ????, ????? ???????? ?-??????? ???????????? ?????????? ? ????????? ?? ????? ▒.
62
????????????? ???? ??????????? ??????? ??????????? ????
????????????? ??? ?(z (2) ) ??? z (2) ? D(2) ??????? ????????
??????? ?? (103) ? ??????????? ?(z (1) )?(z (2) ) ? gj=1 (z ? zj ) ???
z ? D. ??? ??? ??????? ? ?????????? ? ??????? ?? ???? ?? S, ??
?????? ????? ????????????? (103) ????? ????? ? ??? z ? D(1) ?
??? ???????? d = z1 + и и и + zg , ???????????????? ??????? ????????? (105). ??? ?????, ??? ???????? ?(z), z ? D(1) ?, ??????????? ???????? ?????? ????? ????????????? (105). ???????????? ?????????? ????? ?????????????? ? ??? ??????? ?(z) ???
z ? D(2) ?.
??? ?????????? ?????????? ????????? Qn (z; ? ) ? ???????????? ???????????? ????????????? ???? ??????? f = ? ? ??
\ ? ? ?? ???????? S
=C
??????? ??????????? ?????? ??????? D
??????????? ? ???????? ?-???????, ???????? ?????? (R1 ), ????????? ???????.
??????????? 1 . ????? ??????????? ?? S ??????? ? ????????????? ??????? (101), ? ? ??????? ?????? (R1 ) ??? n ? N.
????? ??? ?????????? ?????????? ????????? Qn (z; ? ) ?????:
1? . Qn (z; ? ) = ?(z)(1 + o(1)) ??? n ? ? ?????????? ??????
\ ?;
=C
D
2? . Qn (x; ? ) = ?+ (x) + ?? (x) + o(1) ??? n ? ? ??????????
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????? ?(z) = ?(z (1) ), ??? ?+ (x) (?? (x)) ?????????? ??????? (?????????????? ??????) ?????????? ???????? ?(z) ?? S;
???????? o(1) = o(? n ), ??? ? < 1. ??????? ?, ???????? ?????? (R1 ), ????? ? ????? z = ?(1) ????? ? ???????? n-?? ???????. ??? ??? deg Qn = n ??? ???? n ? ?(z (1) )/z n ? ?n = 0 ???
z ? ?, ??? ?n ? R, ?? ??????????? ??????????? Qn ????????
Qn (z) = ?n z n + и и и . ? ??????? ????????????? (103) ???????? ?n
???????? ????? ? ? ????? ????, ??? ????, ??? ??? ?n ? R, ????? ???????, ??? ?n > 0; ????? ??????? ????? ? ?n ??????????
???????????? ? ???? ?-???????.
???????, ??? ??????? ??????????? ????????? Qn ? ???????
????? ????????? ??? ????? ?? ???????????, ???? ??? ????? ????? ???? ??????? ? ????????, ????????? ? ????????? ???????????? R (??? ??? ??????????????? ????????? ????? Qn , ????????????? ? ??????? ????? ?????????, ??????????? ????????????
???????????? ???????; ??. [17] ? [20]).
Д 7. ?????? ?????????? ????????
63
4. ???????? ?????? ? ?????? ?????? f = ?+r, ??? ??????? ?
????????????? ??????? (101) ? ?????????? ?? S, ? ??????? r ?
R(z) ? ?? ????? ??????? ?? ? ? ???????? ???????? S. ?????
a1 , . . . , a ? ?????? f ? C \ ?, m1 , . . . , m ? ?? ?????????.
?????????? ?? ????????? ??????????? R ????????? ??????? ?????? ??????.
?????? (R2 ). ??? ????????????? n ? N, n g, ????? ??????? ? = ?n ?????, ???:
1? . ? (???????) ?????????? ?? R \ ? = D(1) D(2) ;
(1)
2? . ??????? (?) = (n ? g)?(2) + z1 + и и и + zg + m1 a1 + и и и +
(1)
(2)
(2)
m a ? m1 a1 ? и и и ? m a ? n?(1) ;
3? . ?? ? ????????? ??????? ???????: ?(x)?(x+) = ?(x?).
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64
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?????? ?????????? . . . . . . . . . . . . .
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e-mail: spm@mi.ras.ru
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