close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Горицкий А.Ю. и др. - Уравнения с частными производными первого порядка (1999).pdf

код для вставкиСкачать
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В.ЛОМОНОСОВА
Ме╡анико-ма▓ема▓и╖е▒кий ┤ак│л╝▓е▓
А.Ю. Го░и╢кий
С.Н. К░│жков
Г.А. Че╖кин
УРАВНЕНИЯ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
(У╖ебное по▒обие)
Мо▒ква 1999
Го░и╢кий А.Ю., К░│жков С.Н., Че╖кин Г.А.
У░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка.
(У╖ебное по▒обие)
В по▒обии из│╖а╛▓▒┐ │░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми
пе░вого по░┐дка. Ра▒▒мо▓░ен╗ воп░о▒╗ локал╝ного ▒│╣е▒▓вовани┐ гладки╡ ░е╕ений зада╖и Ко╕и дл┐ линейн╗╡, квазилинейн╗╡ и нелинейн╗╡ │░авнений. Под░обно изложена ▓ео░и┐
░аз░╗вн╗╡ обоб╣енн╗╡ ░е╕ений дл┐ квазилинейного │░авнени┐ ▒ одной п░о▒▓░ан▒▓венной пе░еменной. Пол│╖ено │▒ловие
доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва, введен╗ пон┐▓и┐ ╜н▓░опии и ╜не░гии.
О▒обое внимание │дел┐е▓▒┐ ░е╕ени╛ зада╖и Римана о ░а▒паде п░оизвол╝ного ░аз░╗ва. По▒обие ▒оде░жи▓ бол╝╕ое коли╖е▒▓во о░игинал╝н╗╡ зада╖ и │п░ажнений; многие воп░о▒╗ излага╛▓▒┐ на п░име░е и╡ ░е╕ени┐.
П░едназна╖ено дл┐ ▒▓│ден▓ов, из│╖а╛╣и╡ к│░▒ │░авнений
▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми. Може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зовано в ка╖е▒▓ве зада╖ника по данной ▓еме.
ISBN 5-87597-061-8
c Го░и╢кий А.Ю., К░│жков С.Н.,
Че╖кин Г.А., 1999г.
Оглавление
П░еди▒ловие
Введение
1. В╗вод │░авнений
2. Локал╝на┐ кла▒▒и╖е▒ка┐ ▓ео░и┐
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
Линейное │░авнение . . . . . . . . . . . . . . . .
Квазилинейное │░авнение . . . . . . . . . . . .
Ха░ак▓е░и▒▓ики нелинейного │░авнени┐ . . . .
Зада╖а Ко╕и дл┐ нелинейного │░авнени┐ . . .
П░име░╗ нелинейн╗╡ │░авнений . . . . . . . .
Тео░ема ▒│╣е▒▓вовани┐ ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3. Кла▒▒и╖е▒кие (гладкие) ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и и
┤о░ми░ование о▒обенно▒▓ей
3.1. Квазилинейное │░авнение ▒ одной п░о▒▓░ан▒▓венной
пе░еменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Сведение ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и к не┐вном│ ┤│нк╢ионал╝ном│ │░авнени╛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. У▒ловие ▒│╣е▒▓вовани┐ гладкого ░е╕ени┐ в поло▒е . .
3.4. Фо░ми░ование о▒обенно▒▓ей . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ квазилинейного │░авнени┐
4.1. Пон┐▓ие обоб╣енного ░е╕ени┐ . . . . . . . . . . . . . .
4.2. У▒ловие Ранкина-Г╛гонио . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. П░име░ неедин▒▓венно▒▓и обоб╣енного ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва . . . . . .
4.4. Одноме░ное нелинейное │░авнение. . . . . . . . . . . . .
5. Пон┐▓ие обоб╣енного ╜н▓░опийного ░е╕ени┐
5.1. У▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва в ▒л│╖ае в╗п│клой
┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Ме▓од \и▒╖еза╛╣ей в┐зко▒▓и" . . . . . . . . . . . .
5.3. Пон┐▓ие ╜н▓░опии и необ░а▓имо▒▓╝ п░о╢е▒▒ов . . .
5.4. Эне░ге▓и╖е▒кие о╢енки . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Оп░еделение обоб╣енного ░е╕ени┐ по К░│жков│ .
5
6
7
10
11
14
16
18
21
23
29
29
33
35
37
40
40
42
50
53
56
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
60
67
68
73
3
6. Зада╖а Римана о ░а▒паде ░аз░╗ва
79
Закл╛╖ение
Ли▓е░а▓│░а
90
94
6.1. У░авнение Хоп┤а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2. Сл│╖ай в╗п│клой ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ . . . . . . . . . . 82
6.3. Сл│╖ай нев╗п│клой ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ . . . . . . . . . 85
4
П░еди▒ловие
На▒▓о┐╣ий │╖ебник ┐вл┐е▓▒┐ ▒│╣е▒▓венно ░а▒╕и░енн╗м и пе░е░або▓анн╗м изданием книги [14]. Иде┐ напи▒ани┐ ▓акого │╖ебного по▒оби┐ п░инадлежи▓ С▓ани▒лав│ Николаеви╖│ К░│жков│, вклад ко▓о░ого в ▓ео░и╛ │░авнений ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка
▓░│дно пе░ео╢ени▓╝. Э▓о издание в╗╡оди▓ │же по▒ле безв░еменной
кон╖ин╗ п░о┤е▒▒о░а С.Н.К░│жкова, в╗да╛╣его▒┐ ма▓ема▓ика и ▓алан▓ливого педагога. Хо╖е▓▒┐ о▓ме▓и▓╝ ог░омн│╛ ░ол╝ С▓ани▒лава
Николаеви╖а в ░ео░ганиза╢ии к│░▒а │░авнений ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми, ко▓о░╗й ╖и▓ае▓▒┐ на ме╡анико{ма▓ема▓и╖е▒ком ┤ак│л╝▓е▓е МГУ им. М.В.Ломоно▒ова. По его на▒▓о┐▓ел╝ной ░екоменда╢ии
к│░▒ ▒емина░ов б╗л │вели╖ен ▒ пол│годового до годового. Б╗ли введен╗ нов╗е ░аздел╗, ▒░еди ко▓о░╗╡ | │░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка, где из│╖али▒╝ локал╝на┐ кла▒▒и╖е▒ка┐
▓ео░и┐, возникновение и ┤о░ми░ование ░аз░╗вов │ ░е╕ений за коне╖ное в░ем┐, обоб╣енн╗е ░аз░╗вн╗е ░е╕ени┐, │да░н╗е волн╗.
Э▓а книга б╗ла зад│мана как │╖ебное по▒обие ▒ бол╝╕им коли╖е▒▓вом зада╖, на п░име░е ░е╕ени┐ ко▓о░╗╡ излагае▓▒┐ ▒│╣е▒▓венна┐ ╖а▒▓╝ ма▓е░иала. Нам ╡о▓ело▒╝ ▒дела▓╝ книг│, ко▓о░а┐ помогала
б╗ ▒▓│ден▓ам из│╖а▓╝ ▒ов░еменн╗е п░облем╗ ма▓ема▓и╖е▒кой ┤изики в легкой и до▒▓│пной ┤о░ме. О▓ме╖а┐ бол╝╕│╛ ░ол╝ │╖ебного
по▒оби┐ [15], по▒в┐╣енного │░авнени┐м в▓о░ого по░┐дка, м╗ п╗▓али▒╝ ▒дела▓╝ ▓ак│╛ же ╡о░о╕о во▒п░инимаем│╛ ▒▓│ден▓ами книг│
по │░авнени┐м ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка.
След│╛╣ее ниже введение м╗ ▒о╡░анили п░ак▓и╖е▒ки в ▓ом виде,
в каком оно б╗ло напи▒ано С.Н.К░│жков╗м дл┐ [14], не▒мо▓░┐ на ▓о,
╖▓о на▒▓о┐╣ее издание вкл╛╖ае▓ в ▒еб┐ ░┐д нов╗╡ ░азделов. П░ежде
в▒его ╜▓о ка▒ае▓▒┐ локал╝ной ▓ео░ии │░авнений в ╖а▒▓н╗╡ п░оизводн╗╡ пе░вого по░┐дка, в ▓ом ╖и▒ле и нелинейн╗╡ (░аздел╗ 2.1{2.6).
К░оме ▓ого, ░а▒▒мо▓░ен╗ обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ одноме░ного нелинейного │░авнени┐ (░аздел 4.4), более под░обно изложен╗ воп░о▒╗,
▒в┐занн╗е ▒ пон┐▓и┐ми ╜н▓░опии и ╜не░гии (░аздел╗ 5.3{5.5).
П░иведенн╗й в кон╢е по▒оби┐ ▒пи▒ок ли▓е░а▓│░╗ ░азделен на две
г░│пп╗. Пе░ва┐ вкл╛╖ае▓ в ▒еб┐ на│╖н╗е ▒▓а▓╝и и ┤│ндамен▓ал╝н╗е
░або▓╗, ко▓о░╗е м╗ ░екоменд│ем ╖и▓а▓╝ в ▒л│╖ае более │гл│бленного из│╖ени┐ ▓ем╗; в▓о░а┐ ╖а▒▓╝ вкл╛╖ае▓ │╖ебники и │╖ебн╗е по▒оби┐, п░едназна╖енн╗е дл┐ ▒▓│ден▓ов.
Го░и╢кий А.Ю., Че╖кин Г.А.,
Мо▒ква, 19 ап░ел┐ 1999 г.
5
Введение
Ди┤┤е░ен╢иал╝н╗е │░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого
по░┐дка возникли не▒кол╝ко позже по┐влени┐ пон┐▓и┐ п░оизводной.
Че▓кий ┤изи╖е▒кий ▒м╗▒л ╜▓ого пон┐▓и┐ как ▒ко░о▒▓и движени┐ и
не менее ╖е▓кий и нагл┐дн╗й геоме▓░и╖е▒кий ▒м╗▒л его как ▓анген▒а │гла наклона ка▒а▓ел╝ной к о▒и аб▒╢и▒▒ на коо░дина▓ной пло▒ко▒▓и п░иводили ог░омное ╖и▒ло зада╖ ме╡аники и геоме▓░ии к ░е╕ени╛ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его ди┤┤е░ен╢иал╝ного │░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми
п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка п░и заданн╗╡ на╖ал╝н╗╡ данн╗╡.
Локал╝на┐ ▓ео░и┐ ▓аки╡ │░авнений, о▒нованна┐ на пон┐▓и┐╡ п░оизводной по нап░авлени╛ и ╡а░ак▓е░и▒▓ик, ▒┤о░ми░овала▒╝ в XVIII
веке.
Во многи╡ ▓акого ░ода зада╖а╡ одной из незави▒им╗╡ пе░еменн╗╡ ┐вл┐е▓▒┐ в░ем┐, а ┤изи╖е▒кие п░о╢е▒▒╗, модели░│ем╗е ими, п░о▓ека╛▓ до▒▓а▓о╖но долго. С ▓е╖ением в░емени мог│▓ возникн│▓╝
о▒обенно▒▓и │ кла▒▒и╖е▒ки╡ ░е╕ений ░а▒▒ма▓░иваем╗╡ │░авнений.
О▒новн╗е о▒обенно▒▓и б╗ва╛▓ дв│╡ ▓ипов: ▒лаб╗е ░аз░╗в╗, когда
▒амо ░е╕ение е╣е неп░е░╗вно, но ░аз░╗вной ▒▓анови▓▒┐ п░оизводна┐, и ▒ил╝н╗е ░аз░╗в╗, когда за коне╖ное в░ем┐ ░е╕ение п░иоб░е▓ае▓ ░аз░╗в пе░вого ░ода. Б╗ва╛▓ е╣е более ▒ил╝н╗е ▒инг│л┐░но▒▓и вз░╗вного ▓ипа (\blow up"), когда │ ░е╕ени┐ по┐вл┐е▓▒┐ ░аз░╗в
в▓о░ого ░ода. По▒ледн╛╛ ▒и▓│а╢и╛ в на▒▓о┐╣ем по▒обии м╗ ░а▒▒ма▓░ива▓╝ не б│дем.
Пон┐▓но, ╖▓о по▒ле по┐влени┐ ▒ил╝н╗╡ о▒обенно▒▓ей необ╡одимо
б╗ло вводи▓╝ в ░а▒▒мо▓░ение пон┐▓ие п░оизводной ░аз░╗вн╗╡ ┤│нк╢ий, да и ░аз░╗вн╗е на╖ал╝н╗е │▒лови┐ в п░ин╢ипе б╗ли возможн╗
▒ами по ▒ебе. Долгое в░ем┐ б╗ли не┐▒н╗ какие-либо под╡од╗ к ╜▓ой
▒и▓│а╢ии. В╗╡од наме▓ил▒┐ ▓ол╝ко к ▒е░едине на╕его века по▒ле по┐влени┐ \идеологии обоб╣енн╗╡ ┤│нк╢ий" (как ┤изи╖е▒кой, ▓ак и
ма▓ема▓и╖е▒кой). Пе░вой ма▓ема▓и╖е▒кой ░еализа╢ией ╜▓ой идеологии ┐вила▒╝ ▓епе░╝ │же кла▒▒и╖е▒ка┐ ░або▓а Е.Хоп┤а [1] 1950 года, в
ко▓о░ой по▒▓░оена нелокал╝на┐ ▓ео░и┐ зада╖и Ко╕и дл┐ │░авнени┐
;
▒ на╖ал╝н╗м │▒ловием
ut + u2=2 x = 0
(0.1)
ut=0 = u0 (x);
(0.2)
где u0 (x) | п░оизвол╝на┐ ог░ани╖енна┐ изме░има┐ ┤│нк╢и┐. Е▒▓е6
▒▓венн╗м обоб╣ением │░авнени┐ (0.1) ┐вл┐е▓▒┐ │░авнение
ut + (f(u))x = 0:
(0.3)
С│╣е▒▓венн╗й вклад в нелокал╝н│╛ ▓ео░и╛ зада╖и Ко╕и дл┐ ╜▓ого │░авнени┐ вне▒ли (в ╡░онологи╖е▒ком по░┐дке о▒новн╗╡ ░або▓)
О.А.Олейник [2], [6], А.Н.Ти╡онов, А.А.Сама░▒кий [3], П.Лак▒ [4],
О.А.Лад╗жен▒ка┐ [5], И.М.Гел╝┤анд [7]; наиболее об╣а┐ закон╖енна┐
▓ео░и┐ зада╖и Ко╕и (0.3),(0.2) в п░о▒▓░ан▒▓ве ог░ани╖енн╗╡ изме░им╗╡ ┤│нк╢ий по▒▓░оена С.Н.К░│жков╗м в [8], [9] (▒м. ▓акже [16]).
У░авнени┐ вида (0.3) ┐вл┐╛▓▒┐ п░о▒▓ей╕ими ма▓ема▓и╖е▒кими модел┐ми многи╡ п░и░одн╗╡ ┐влений, о▓░ажа╛╣ими ▒│▓╝ ╜▓и╡ ┐влений.
О▒новна┐ ╢ел╝ данного по▒оби┐: по▒ле напоминани┐ ма▓е░иала локал╝ной ▓ео░ии, об║┐▒ни▓╝, как ░е╕ае▓▒┐ зада╖а о п░одолжении ░аз░╗вн╗╡ ▒о▒▓о┐ний п░и помо╣и пон┐▓и┐ обоб╣енн╗╡ ░е╕ений. О▒обое внимание б│де▓ │делено ▓ак наз╗ваемой зада╖е Римана о ░а▒паде
п░оизвол╝ного ░аз░╗ва, ░е╕ение ко▓о░ой в╗░ажае▓▒┐ как ░аз░╗вн╗ми ┤│нк╢и┐ми (│да░н╗е волн╗), ▓ак и неп░е░╗вн╗ми ┤│нк╢и┐ми
(▓ак наз╗ваем╗е ╢ен▓░и░ованн╗е волн╗ ░аз░ежени┐).
М╗ надеем▒┐, ╖▓о данное по▒обие б│де▓ полезн╗м п░и из│╖ении
▒ов░еменной ▓ео░ии │░авнений ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми и │░авнений ма▓ема▓и╖е▒кой ┤изики.
1. В╗вод │░авнений
У░авнение Хоп┤а. Ра▒▒мо▓░им одноме░н│╛ ▒░ед│, ▒о▒▓о┐╣│╛ из
╖а▒▓и╢, движ│╣и╡▒┐ по ине░╢ии (▓.е. без взаимодей▒▓ви┐ и в о▓▒│▓▒▓вии вне╕ни╡ ▒ил). Обозна╖им u(t; x) | ▒ко░о▒▓╝ ╖а▒▓и╢╗, на╡од┐╣ей▒┐ в момен▓ в░емени t в ▓о╖ке x. Е▒ли x = '(t) | ▓░аек▓о░и┐ движени┐ неко▓о░ой ┤ик▒и░ованной ╖а▒▓и╢╗, ▓о ее ▒ко░о▒▓╝ |
'(t)
_ = u(t; '(t)), │▒ко░ение же '(t)
 ░авно н│л╛. Зна╖и▓,
2
@u
@u @u
0 = ddt'2 = dtd u(t; '(t)) = @u
@t + @x '_ = @t + @x u:
Пол│╖енное │░авнение
ut + uux = 0;
(1.1)
опи▒╗ва╛╣ее ╜вол╛╢и╛ пол┐ ▒ко░о▒▓ей u невзаимодей▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓и╢, и наз╗вае▓▒┐ │░авнением Хоп┤а.
7
У░авнение не░аз░╗вно▒▓и. Э▓о │░авнение, ко▓о░ое в╗води▓▒┐
в к│░▒е ме╡аники ▒пло╕ной ▒░ед╗, опи▒╗вае▓ движение жидко▒▓и
(или газа) в Rn п░и о▓▒│▓▒▓вии и▒▓о╖ников и ▒▓оков. Обозна╖им
v(x; t) = (v1 ; : : :; vn) | век▓о░ ▒ко░о▒▓и движени┐ жидко▒▓и, (x; t)
| ее пло▓но▒▓╝. За┤ик▒и░│ем п░оизвол╝н│╛ обла▒▓╝ V Rn. В момен▓ в░емени t ма▒▒а жидко▒▓и, ▒оде░жа╣ей▒┐ в ╜▓ой обла▒▓и ░авна
Z
MV (t) =
V
(x; t) dx;
▒ко░о▒▓╝ изменени┐ ╜▓ой ма▒▒╗ е▒▓╝ dMV =dt. С д░│гой ▒▓о░он╗,
п░и о▓▒│▓▒▓вии и▒▓о╖ников и ▒▓оков вн│▓░и V , изменение ма▒▒╗ MV
п░ои▒╡оди▓ ▓ол╝ко о▓ в▓екани┐ и в╗▓екани┐ жидко▒▓и ╖е░ез г░ани╢│ @V ░а▒▒ма▓░иваемой обла▒▓и, ▓о е▒▓╝ ▒ко░о▒▓╝ изменени┐ ма▒▒╗
MV (t) ░авна по▓ок│ жидко▒▓и ╖е░ез @V :
dMV = ; Z (v(x; t); ) (x; t) dS :
x
dt
@V
Зде▒╝ (v; ) | ▒кал┐░ное п░оизведение век▓о░а ▒ко░о▒▓и v и век▓о░а
едини╖ной вне╕ней но░мали к г░ани╢е в ▓о╖ке x 2 @V , dSx |
╜лемен▓ пло╣ади на @V .
Таким об░азом, имеем:
d Z (x; t) dx = ; Z (v(x; t); ) (x; t) dS :
x
dt V
@V
В п░едположении, ╖▓о и u до▒▓а▓о╖но гладки, п░еоб░аз│ем п░ав│╛
╖а▒▓╝ по▒леднего ░авен▒▓ва по ┤о░м│ле Га│▒▒а-О▒▓░ог░ад▒кого (ин▓ег░ал о▓ диве░ген╢ии по неко▓о░ой обла▒▓и ░авен по▓ок│ ╖е░ез ее
г░ани╢│):
Z @
Z
dx = ; div(v) dx;
(1.2)
V
V @t
где div | опе░а▓о░ диве░ген╢ии по п░о▒▓░ан▒▓венн╗м пе░еменн╗м.
Напомним, диве░ген╢ией век▓о░ного пол┐ a(x) = (a1 ; : : :; an) 2 Rn
наз╗вае▓▒┐ ▒кал┐░на┐ вели╖ина
div a = (a1 )x1 + : : : + (an )xn :
В ▒ил│ п░оизвол╝но▒▓и обла▒▓и V Rn, из ░авен▒▓ва (1.2) п░и╡одим
к ╡о░о╕о изве▒▓ном│ в гид░одинамике │░авнени╛ не░аз░╗вно▒▓и:
@ + div(v) = 0:
(1.3)
@t
8
У░авнение п░о▒а╖ивани┐ вод╗ ╖е░ез пе▒ок. Дл┐ │п░о╣ени┐
введем не▒кол╝ко е▒▓е▒▓венн╗╡ ог░ани╖ений. П░едположим, ╖▓о вода двигае▓▒┐ под дей▒▓вием ▓ол╝ко ▒ил╗ ▓┐же▒▓и, ▓.е. движение ве░▓икал╝ное и о▓ го░изон▓ал╝н╗╡ коо░дина▓ зави▒имо▒▓и не▓. И▒▓о╖ники и ▒▓оки о▓▒│▓▒▓в│╛▓, а ▒ко░о▒▓╝ п░о▒а╖ивани┐ v е▒▓╝ ┤│нк╢и┐
пло▓но▒▓и u(t; x), ▓.е. v = v(u).
Эк▒пе░имен▓ал╝но │▒▓ановлено, ╖▓о зави▒имо▒▓╝ v(u) в╗гл┐ди▓
▓ак, как изоб░ажено на ░и▒. 1. На о▓░езке [0; u0] ▒ ╡о░о╕ей ▓о╖но▒▓╝╛ можно ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о ╜▓а зави▒имо▒▓╝ по╖▓и па░аболи╖е▒ка┐,
▓.е. v(u) = Cu2.
В ░а▒▒ма▓░иваемом одноме░ном ▒л│╖ае │░авнение (1.3) пе░епи╕е▓▒┐ в виде
ut(t; x) + [u(t; x) v (u(t; x))]x = 0;
(1.4)
или
ut + p(u)ux = 0;
где
p(u) = v(u) + v0 (u)u:
В▒помина┐ об ╜к▒пе░имен▓ал╝но
найденной зави▒имо▒▓и ▒ко░о▒▓и
п░о▒а╖ивани┐ о▓ пло▓но▒▓и, ▒╖и▓аем v(u) = u2 =3, и окон╖а▓ел╝но
имеем:
Ри▒. 1
ut + u2ux = 0:
У░авнение до░ожного движени┐. Э▓о │░авнение, как и │░ав-
нение ┤ил╝▓░а╢ии, пол│╖ае▓▒┐ из одноме░ного по x │░авнени┐ не░аз░╗вно▒▓и (1.3). В зада╖а╡ до░ожного движени┐ и▒пол╝з│╛▓ ╜к▒пе░имен▓ал╝но найденн│╛ зави▒имо▒▓╝ ▒ко░о▒▓и движени┐ ав▓омобилей
v(u) о▓ пло▓но▒▓и u(t; x) ма╕ин на ав▓о▒▓░аде в данной ▓о╖ке. Типи╖на┐ модел╝ до░ожного движени┐ задае▓▒┐ ┤о░м│лой
v(u) = Au(1 ; u);
A = Const > 0:
В ╜▓ом ▒л│╖ае │░авнение (1.4) п░инимае▓ вид
ut + A(2u ; 3u2 )ux = 0:
9
2. Локал╝на┐ кла▒▒и╖е▒ка┐ ▓ео░и┐
Локал╝но │░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка ░е╕а╛▓▒┐ ме▓одами ▓ео░ии об╗кновенн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений п░и помо╣и ▒ведени┐ и╡ к ▓ак наз╗ваемой ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▒и▒▓еме. С ┤изи╖е▒кой ▓о╖ки з░ени┐ ╜▓о▓ ┤ак▓ можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ как двой▒▓венно▒▓╝ опи▒ани┐ ┐влений п░и помо╣и волн и
п░и помо╣и ╖а▒▓и╢ (ко░п│▒к│л┐░но{волновой д│ализм). Поле │довле▓во░┐е▓ неко▓о░ом│ │░авнени╛ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого
по░┐дка, поведение же ╖а▒▓и╢ опи▒╗вае▓▒┐ ▒и▒▓емой об╗кновенн╗╡
ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений. Сведение │░авнений ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка к ▒и▒▓еме об╗кновенн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений позвол┐е▓ ▒ве▒▓и из│╖ение ╜вол╛╢ии волн к из│╖ени╛ ░а▒п░о▒▓░анени┐ ╖а▒▓и╢.
О▓ме▓им, ╖▓о бол╝╕а┐ ╖а▒▓╝ воп░о▒ов, ░а▒▒мо▓░енн╗╡ в на▒▓о┐╣ем па░аг░а┤е, под░обно о▒ве╣ена в │╖ебника╡ по об╗кновенн╗м
ди┤┤е░ен╢иал╝н╗м │░авнени┐м (нап░име░, [12, Глава 2]). Зада╖и на
на╡ождение об╣и╡ ░е╕ений дл┐ линейн╗╡ и квазилинейн╗╡ │░авнений ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка, а ▓акже на ░е╕ение ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей зада╖и Ко╕и можно най▓и в [17, x20]. Ниже
м╗ к░а▓ко напомним о▒новн╗е ┤ак▓╗, ка▒а╛╣ие▒┐ локал╝ной ▓ео░ии линейн╗╡ и квазилинейн╗╡ │░авнений ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка, о▒▓ановив╕и▒╝ более под░обно на ▓ео░ии нелинейного │░авнени┐, ко▓о░а┐ опи▒ана далеко не во в▒е╡ │╖ебника╡.
П│▒▓╝ x = (x1 ; : : :; xn) | ▓о╖ка n-ме░ного евклидова п░о▒▓░ан▒▓ва. Ра▒▒мо▓░им │░авнение вида
@u(x) = 0;
F x1 ; : : :; xn; u(x); @u(x)
;
:
:
:;
(2.1)
@x1
@xn
где u(x) u(x1; : : :; xn) | неизве▒▓на┐ ┤│нк╢и┐. П░и ╜▓ом б│дем
░а▒▒ма▓░ива▓╝ ▒л│╖ай, когда ┤│нк╢и┐
F (x; u; p) F (x1; : : :; xn; u; p1; : : :; pn)
ди┤┤е░ен╢и░│ема по пе░еменн╗м p1; : : :; pn.
Оп░еделение 2.1. Ди┤┤е░ен╢иал╝н╗м │░авнением ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка наз╗вае▓▒┐ │░авнение вида (2:1), е▒ли
n @F 2
X
jrp F j2 =
10
i=1
@pi
6= 0
на неко▓о░ом о▓к░╗▓ом множе▒▓ве G R2n+1 п░о▒▓░ан▒▓ва пе░еменн╗╡ x1 ; : : :; xn; u; p1; : : :; pn:
Под кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением │░авнени┐ (2.1) понимае▓▒┐ неп░е░╗вно ди┤┤е░ен╢и░│ема┐ ┤│нк╢и┐ u(x), ко▓о░а┐ п░и под▒▓ановке в
него дае▓ ве░ное ░авен▒▓во.
П│▒▓╝ ▓епе░╝ в п░о▒▓░ан▒▓ве x-ов ┤ик▒и░ована гладка┐ гипе░пове░╡но▒▓╝ Rn, dim = n ; 1, и на ней задана ┤│нк╢и┐ u0(x):
Оп░еделение 2.2. Зада╖ей Ко╕и дл┐ │░авнени┐ (2:1) наз╗вае▓▒┐
зада╖а о на╡ождении ░е╕ени┐ u(x) ╜▓ого │░авнени┐, │довле▓во░┐╛╣его на╖ал╝ном│ │▒лови╛
u = u0(x):
(2.2)
2.1. Линейное │░авнение
П│▒▓╝ v = v(x) | гладкое век▓о░ное поле в обла▒▓и Rn.
Оп░еделение 2.3. Линейн╗м одно░одн╗м │░авнением ▒ ╖а▒▓н╗ми
п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка наз╗вае▓▒┐ │░авнение
@u + : : : + v (x) @u = 0:
Lv [u] v1 (x) @x
n @x
1
n
(2.3)
Напомним, ╖▓о в ▓ео░ии об╗кновенн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений опе░а▓о░ Lv v1 @x@ 1 +: : :+vn @x@ n наз╗вае▓▒┐ опе░а▓о░ом ди┤┤е░ен╢и░овани┐ по нап░авлени╛ век▓о░ного пол┐ v(x).
; @u ; Геоме▓░и╖е@u ▒ки │░авнение (2.3) озна╖ае▓, ╖▓о г░адиен▓ ru @x
1 : : :; @xn и▒комой ┤│нк╢ии u о░▓огонален век▓о░ном│ пол╛ v(x) в каждой ▓о╖ке
обла▒▓и .
Дл┐ ▓ого ╖▓об╗ гладка┐ ┤│нк╢и┐ u = u(x) б╗ла ░е╕ением │░авнени┐ (2.3), необ╡одимо и до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ u б╗ла по▒▓о┐нна вдол╝
┤азов╗╡ к░ив╗╡ пол┐ v(x), ▓.е. ┐вл┐ла▒╝ пе░в╗м ин▓ег░алом ▒и▒▓ем╗
│░авнений
8 x_ = v (x ; : : :; x );
>
< x_ 12 = v12(x11; : : :; xnn);
(2.4)
>
: x_ n = vn(x1; : : :; xn):
Си▒▓ема (2.4), ко▓о░│╛ можно запи▒а▓╝ ▓акже в век▓о░ной ┤о░ме x_ = v(x), наз╗вае▓▒┐ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▒и▒▓емой линейного
11
│░авнени┐ (2.3). Ре╕ени┐ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▒и▒▓ем╗ наз╗ва╛▓▒┐
╡а░ак▓е░и▒▓иками, ▒амо век▓о░ное поле v(x) в n-ме░ном п░о▒▓░ан▒▓ве x-ов наз╗вае▓▒┐ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒ким век▓о░н╗м полем линейного │░авнени┐.
Оп░еделение 2.4. Линейн╗м неодно░одн╗м │░авнением ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка наз╗вае▓▒┐ │░авнение
Lv [u] = f(x);
(2.5)
где f(x) | заданна┐ неп░е░╗вна┐ ┤│нк╢и┐.
В │░авнении (2.5) ┤ак▓и╖е▒ки напи▒ано, ╖▓о е▒ли м╗ двигаем▒┐
по ╡а░ак▓е░и▒▓икам x(t) (▓.е. вдол╝ ░е╕ений x(t) ▒и▒▓ем╗ (2.4)),
▓о u(x(t)) мен┐е▓▒┐ ▒ изве▒▓ной ▒ко░о▒▓╝╛ f(x(t)). Таким об░азом,
в ▒л│╖ае неодно░одного линейного │░авнени┐ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒к│╛
▒и▒▓ем│ (2.4) ▒лед│е▓ дополни▓╝ │░авнением на u:
u_ = f(x1 ; : : :; xn):
(2.6)
Дл┐ ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и (2.3),(2.2) дл┐ линейного одно░одного │░авнени┐ до▒▓а▓о╖но п░одолжи▓╝ ┤│нк╢и╛ u(x) ▒ пове░╡но▒▓и
кон▒▓ан▓ой вдол╝ ╡а░ак▓е░и▒▓ик x(t). В ▒л│╖ае зада╖и (2.5),(2.2)
дл┐ неодно░одного │░авнени┐ на╖ал╝н╗е │▒лови┐ надо п░одолжа▓╝ в
▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ законом (2.6).
О▓ме▓им две важн╗е о▒обенно▒▓и ко░░ек▓ной по▒▓ановки зада╖и
Ко╕и.
Ри▒. 2.
Заме╖ание 2.1. Зада╖а Ко╕и ▒▓ави▓▒┐ локал╝но (▓.е. в ок░е▒▓но-
▒▓и неко▓о░ой ▓о╖ки x0 на ). В п░о▓ивном ▒л│╖ае, как ╜▓о видно,
12
нап░име░, из ░и▒. 2, ╡а░ак▓е░и▒▓ика може▓ п░ине▒▓и в неко▓о░│╛
▓о╖к│ x ░азн╗е зна╖ени┐ о▓ ░азн╗╡ ▓о╖ек на пове░╡но▒▓и . Таким
об░азом, ░е╕ение зада╖и (2.3),(2.2) б│де▓ ▒│╣е▒▓вова▓╝ не п░и л╛б╗╡ на╖ал╝н╗╡ │▒лови┐╡ u0(x).
Также вполне возможно, ╖▓о в▒е ╡а░ак▓е░и▒▓ики, име╛╣ие об╣ие
▓о╖ки ▒ на╖ал╝ной пове░╡но▒▓╝╛ , не заполн┐╛▓ ╢еликом обла▒▓╝,
в ко▓о░ой и╣е▓▒┐ ░е╕ение зада╖и Ко╕и. В ╜▓ом ▒л│╖ае не б│де▓
един▒▓венно▒▓и ░е╕ени┐.
Заме╖ание 2.2. Е▒ли в ▓о╖ке x0 2 век▓о░ v(x0) ка▒ае▓▒┐ пове░╡но▒▓и (▓акие ▓о╖ки x0 наз╗ва╛▓▒┐ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кими, ▒м.
░и▒. 2), ▓о, в╗би░а┐ даже мал│╛ ок░е▒▓но▒▓╝ ╜▓ой ▓о╖ки, м╗ не избавл┐ем▒┐ о▓ п░облем, о▓ме╖енн╗╡ в Заме╖ании 2.1. Следова▓ел╝но,
▒│╣е▒▓вование и един▒▓венно▒▓╝ ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и можно га░ан▓и░ова▓╝ в ок░е▒▓но▒▓и ли╕╝ не╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▓о╖ки на .
Линейное │░авнение ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка
може▓ оказа▓╝▒┐ не░аз░е╕им╗м в ок░е▒▓но▒▓и ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой
▓о╖ки и в ▓ом ▒л│╖ае, когда кажда┐ ╡а░ак▓е░и▒▓ика пе░е▒екае▓ на╖ал╝н│╛ пове░╡но▒▓╝ ░овно один ░аз.
П░име░ 2.1. Ра▒▒мо▓░им ▒лед│╛╣│╛ зада╖│ Ко╕и:
@u = 0; u
2
(2.7)
y=x3 = x :
@x
Ха░ак▓е░и▒▓и╖е▒ким век▓о░н╗м полем зде▒╝ ┐вл┐е▓▒┐ по▒▓о┐нное
едини╖ное поле (1; 0), ╡а░ак▓е░и▒▓иками | п░┐м╗е y = C, кажда┐ из
ко▓о░╗╡ пе░е▒екае▓ к│би╖е▒к│╛ па░абол│ = f(x; y) j y = x3g ░овно
в одной ▓о╖ке. П░одолжа┐ на╖ал╝н│╛ ┤│нк╢и╛ x2 (░авн│╛ y2=3 на
) по▒▓о┐нной вдол╝ ╡а░ак▓е░и▒▓ик, ▓.е. незави▒имой о▓ x, пол│╖аем \░е╕ение" u(x; y) = y2=3 | ┤│нк╢и╛, не ┐вл┐╛╣│╛▒┐ неп░е░╗вно
ди┤┤е░ен╢и░│емой на п░┐мой y = 0.
Воз░ажение, ╖▓о ▓ем не менее найденна┐ ┤│нк╢и┐ имее▓ ╖а▒▓н│╛ п░оизводн│╛ по x и, ▒ледова▓ел╝но, │довле▓во░┐е▓ │░авнени╛,
легко ▒н┐▓╝, ▒делав в зада╖е (2.7) замен│ пе░еменн╗╡ x = x0 + y0 ,
y = x0 ; y0 . По▒ле ╜▓ого пово░о▓а (и ░а▒▓┐жени┐ о▒ей) пол│╖им ▒лед│╛╣│╛ зада╖│ Ко╕и:
@u + @u = 0; u = (x0 + y0 )2 :
@x0 @y0
Пол│╖енное же \░е╕ение" u(x0; y0 ) = (x0 ; y0 )2=3 не б│де▓ име▓╝ ╖а▒▓н╗╡ п░оизводн╗╡ ни по x0 , ни по y0 на п░┐мой x0 ; y0 = 0.
13
2.2. Квазилинейное │░авнение
Оп░еделение 2.5. Квазилинейн╗м │░авнением ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка наз╗вае▓▒┐ │░авнение (2:1) в ▒л│╖ае, когда
┤│нк╢и┐ F (x; u; p) линейна о▓но▒и▓ел╝но пе░еменн╗╡ p1; : : :; pn.
И▓ак, квазилинейное │░авнение | ╜▓о │░авнение вида
@u + : : : + v (x; u) @u = f(x; u):
Lv(x;u) v1(x; u) @x
(2.8)
n
@xn
1
Е▒ли в │░авнении (2.8) в▒е ко╜┤┤и╢иен▓╗ vi не зави▒┐▓ о▓ u, ▓.е.
vi = vi (x), ▓о │░авнение наз╗вае▓▒┐ пол│линейн╗м.
По аналогии ▒ линейн╗м ▒л│╖аем напи╕ем ▒и▒▓ем│ (2.4),(2.6):
8 x_
>
< 1
>
: x_ un_
= v1(x1 ; : : :; xn; u);
= vn(x1 ; : : :; xn; u);
= f(x1 ; : : :; xn; u):
(2.9)
Э▓а ▒и▒▓ема наз╗вае▓▒┐ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▒и▒▓емой дл┐ квазилинейного │░авнени┐ (2.8); ░е╕ени┐ (x(t); u(t)) 2 Rn+1 ▒и▒▓ем╗ (2.9)
| ╡а░ак▓е░и▒▓ики ╜▓ого │░авнени┐; ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кое поле квазилинейного │░авнени┐ (2.8) е▒▓╝ гладкое век▓о░ное поле ▒ компонен▓ами (v1 (x; u); : : :; vn(x; u); f(x; u)) в (n + 1)-ме░ном п░о▒▓░ан▒▓ве
▒ коо░дина▓ами (x1 ; : : :; xn; u).
Заме╖ание 2.3. В ▒л│╖ае линейного │░авнени┐, ░а▒▒ма▓░иваемого
как квазилинейное, а ▓акже в ▒л│╖ае пол│линейного │░авнени┐, п░оек╢и┐ (v1; : : :; vn) на п░о▒▓░ан▒▓во x-ов ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кого век▓о░а (v1; : : :; vn; f) в ▓о╖ке (x0; u0), не зави▒и▓ о▓ зна╖ени┐ u0, ▓ак как
ко╜┤┤и╢иен▓╗ vi не зави▒┐▓ о▓ u. Следова▓ел╝но, в ╜▓и╡ ▒л│╖а┐╡
п░оек╢ии на п░о▒▓░ан▒▓во x-ов ╡а░ак▓е░и▒▓ик, лежа╣и╡ \на ░азн╗╡
в╗▒о▓а╡", ▒овпада╛▓ (м╗ ▒╖и▓аем о▒╝ u ве░▓икал╝ной).
Е▒ли гладка┐ пове░╡но▒▓╝ M Rn+1 ┐вл┐е▓▒┐ г░а┤иком ┤│нк╢ии u = u(x), ▓о век▓о░ но░мали к ней в коо░дина▓а╡ (x; u) имее▓
вид (rx u; ;1) = (@u=@x1; : : :; @u=@xn; ;1), и, ▓аким об░азом, │░авнение (2.8) геоме▓░и╖е▒ки озна╖ае▓ о░▓огонал╝но▒▓╝ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кого век▓о░а (v(x; u); f(x; u)) и но░мали к M; ▓.е. ка▒ание пове░╡но▒▓и M и ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кого пол┐.
14
Тео░ема 2.1. Гладка┐ ┤│нк╢и┐ u = u(x) ┐вл┐е▓▒┐ ░е╕ением │░авнени┐ (2:8) ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда ее г░а┤ик M = f(x; u(x))g,
M Rn+1, ка▒ае▓▒┐ в каждой ▒воей ▓о╖ке ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кого
век▓о░ного пол┐ (v1 ; : : :; vn; f).
След▒▓вие 2.1. Так как ╡а░ак▓е░и▒▓ики (x(t); u(t)) по оп░еделени╛ ка▒а╛▓▒┐ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кого век▓о░ного пол┐ (▒м. (2:9)),
▓о ╡а░ак▓е░и▒▓ика, име╛╣а┐ об╣│╛ ▓о╖к│ ▒ г░а┤иком ░е╕ени┐,
в▒┐ лежи▓ на ╜▓ом г░а┤ике. Таким об░азом, г░а┤ик ░е╕ени┐ u(x)
│░авнени┐ (2:8) полно▒▓╝╛ ▒о▒▓авлен из ╡а░ак▓е░и▒▓ик.
(М╗ в▒егда п░едполагаем, ╖▓о ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема │довле▓во░┐е▓ │▒лови┐м ▓ео░ем╗ ▒│╣е▒▓вовани┐ и един▒▓венно▒▓и ░е╕ени┐ из ▓ео░ии об╗кновенн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений.)
Геоме▓░и╖е▒ки ░е╕ение зада╖и Ко╕и (2.8),(2.2) дл┐ квазилинейного │░авнени┐ закл╛╖ае▓▒┐ в ▒лед│╛╣ем. П│▒▓╝
; = f(x; u0(x)) j x 2 g Rn+1; dim; = n ; 1;
| г░а┤ик на╖ал╝ной ┤│нк╢ии u0(x). В╗п│▒ка┐ из каждой ▓о╖ки на
; ╡а░ак▓е░и▒▓ик│, пол│╖им неко▓о░│╛ пове░╡но▒▓╝ M ко░азме░но▒▓и 1. Ниже показ╗вае▓▒┐, ╖▓о M и б│де▓ (по к░айней ме░е локал╝но в ок░е▒▓но▒▓и ▓о╖ки (x0 ; u0(x0 )) 2 ;) г░а┤иком и▒комого ░е╕ени┐ u(x), е▒ли ▓ол╝ко ▓о╖ка (x0 ; u0(x0 )) | не╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒ка┐.
Оп░еделение 2.6. То╖ка (x0; u0) 2 ; наз╗вае▓▒┐ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой, е▒ли век▓о░ v(x0 ; u0) ка▒ае▓▒┐ в ╜▓ой ▓о╖ке .
Заме╖ание 2.4. Дл┐ квазилинейного │░авнени┐ ▒▓ои▓
воп░о▒ не о
╡а░ак▓е░и▒▓и╖но▒▓и неко▓о░ой ▓о╖ки x0 2 Rn, а о ╡а░ак▓е░и▒▓и╖но▒▓и ▓о╖ки (x0; u0(x0 )) 2 ; Rn+1, ▓ак как ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кое век▓о░ное поле в ╜▓ом ▒л│╖ае зави▒и▓ и о▓ u.
Е▒ли (x0; u0(x0)) 2 ; | не╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒ка┐ ▓о╖ка, ▓о пло▒ко▒▓╝ T, ка▒а▓ел╝на┐ в ╜▓ой ▓о╖ке к M, изомо░┤но п░ое╢и░│е▓▒┐ на п░о▒▓░ан▒▓во x-ов. Дей▒▓ви▓ел╝но, пло▒ко▒▓╝ T задае▓▒┐ ка▒а▓ел╝н╗ми к ; нап░авлени┐ми, ко▓о░╗е п░и п░ое╢и░овании об░аз│╛▓ пло▒ко▒▓╝, ка▒а▓ел╝н│╛ к , и ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒ким век▓о░ом
(v(x0 ; u0(x0 )); f(x0 ; u0(x0 ))), ко▓о░╗й п░и п░ое╢и░овании пе░е╡оди▓
в ▓░ан▒ве░▒ал╝н╗й к век▓о░ v(x0 ; u0(x0 )). Следова▓ел╝но, локал╝но в ок░е▒▓но▒▓и ▓о╖ки (x0; u0(x0 )) 2 ; по▒▓░оенна┐ пове░╡но▒▓╝ M
┐вл┐е▓▒┐ г░а┤иком гладкой ┤│нк╢ии u = u(x).
15
2.3. Ха░ак▓е░и▒▓ики нелинейного │░авнени┐
У░авнение ╡а░ак▓е░и▒▓ик дл┐ нелинейного │░авнени┐
F (x; u; p) = 0
(2.10)
м╗ пол│╖им ме▓одом квазилинеа░иза╢ии, закл╛╖а╛╣его▒┐ в ▓ом,
╖▓о е▒ли u(x) | ░е╕ение нелинейного │░авнени┐ (2.10), ▓о ┤│нк╢ии
pi = uxi │довле▓во░┐╛▓ неко▓о░ом│ квазилинейном│ │░авнени╛.
М╗ п░едположим, ╖▓о ┤│нк╢и┐ F дважд╗ неп░е░╗вно ди┤┤е░ен╢и░│ема, и ░е╕ение u(x) │░авнени┐ (2.10) | ▓акже кла▒▒а C 2;
p(x) ux (x). П░оди┤┤е░ен╢и░│ем ▓ожде▒▓во F (x; u(x); p(x)) = 0
по xi. Имеем:
n @F @p
@F + @F p + X
j
@x @u i
@p @x = 0:
i
У╖и▓╗ва┐, ╖▓о
j =1
j
i
@pj = @pi = @ 2 u ;
@xi @xj
@xi @xj
м╗ дей▒▓ви▓ел╝но пол│╖аем квазилинейное │░авнение на pi:
n @F @p
X
i = ; @F ; @F p :
@p
@x
@xi @u i
j
j
j =1
(2.11)
В ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ (2.9) ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема дл┐ ╜▓ого │░авнени┐ имее▓ вид
8 x_ = @F ;
>
@p1
> 1
< @F ;
x_ n = @p
>
n
>
: p_i = ; @x@F
@F
i ; @u pi :
Об║един┐┐ │░авнени┐ ╡а░ак▓е░и▒▓ик, пол│╖енн╗е дл┐ каждого pi,
б│дем име▓╝
x_ = Fp ; p_ = ;Fx ; Fup:
Дл┐ зам╗кани┐ ▒и▒▓ем╗ о▒▓ае▓▒┐ пол│╖и▓╝ │░авнение на u. Найдем
п░оизводн│╛ ┤│нк╢ии u(x) в ▒ил│ ▒и▒▓ем╗ x_ = Fp :
16
n @u
n
X
du = X
x
_
=
dt j =1 @xj j j =1 pj Fpj = p Fp :
(2.12)
(Зде▒╝ ╖е░ез p Fp м╗ обозна╖али ▒кал┐░ное п░оизведение век▓о░ов
p = (p1 ; : : :; pn) и Fp = (Fp1 ; : : :; Fpn ).)
И▓ак, пол│╖ена ▒и▒▓ема 2n + 1 │░авнени┐
8 x_ = F ;
<
p
u
_
=
p
: p_ = ;FFxp;; Fup ;
(2.13)
ко▓о░а┐ и наз╗вае▓▒┐ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▒и▒▓емой дл┐ нелинейного │░авнени┐ (2.10).
Как м╗ видели, г░а┤ик ░е╕ени┐ квазилинейного │░авнени┐ ▒о▒▓ои▓ из ╡а░ак▓е░и▒▓ик ╜▓ого │░авнени┐. Оказ╗вае▓▒┐, в ▒л│╖ае нелинейного │░авнени┐ (2.10) ▓ем же ▒вой▒▓вом обладае▓ 1-г░а┤ик ░е╕ени┐ u(x).
Оп░еделение 2.7. 1-г░а┤иком
гладкой
┤│нк╢ии
u(x) наз╗вае▓▒┐
u(x); @u@x(1x) ; : : :; @u@x(nx) , ▓о е▒▓╝ множе-
г░а┤ик о▓об░ажени┐ x !
▒▓во ▓о╖ек (x; u(x); ux(x)) в (2n +1)-ме░ном п░о▒▓░ан▒▓ве (x; u; p).
Тео░ема 2.2. Вме▒▓е ▒ л╛бой ▓о╖кой на 1-г░а┤ике ░е╕ени┐ u(x)
│░авнени┐ (2:10) лежи▓ и ╡а░ак▓е░и▒▓ика, п░о╡од┐╣а┐ ╖е░ез ╜▓│
▓о╖к│.
Доказа▓ел╝▒▓во. Воз╝мем на 1-г░а┤ике ┤│нк╢ии u(x) п░оизвол╝н│╛ ▓о╖к│ (x0 ; u(x0); ux (x0)) и ░а▒▒мо▓░им в п░о▒▓░ан▒▓ве x-ов
к░ив│╛ x(t), ┐вл┐╛╣│╛▒┐ ░е╕ением ди┤┤е░ен╢иал╝ного │░авнени┐
x_ = Fp (x; u(x); ux(x))
(2.14)
▒ на╖ал╝н╗м │▒ловием x(0) = x0. Во▒▒▓ановим ее на 1-г░а┤ике ┤│нк╢ии u(x). Пол│╖им к░ив│╛
(x(t); u(t); p(t)) (x(t); u(x(t)); p(x(t))) 2 R2n+1;
где p(x(t)) ux (x(t)).
Когда x(t) мен┐е▓▒┐ по закон│ (2.14), коо░дина▓╗ u(t) и p(t) на
по▒▓░оенной к░ивой мен┐╛▓▒┐ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ законом
;
u_ = p(x(t)) Fp x(t); u(x(t)); p(x(t)) ;
;
p_ = ;Fx (x(t); u(x(t)); p(x(t))) ; Fu x(t); u(x(t)); p(x(t)) p(x(t)):
17
Дей▒▓ви▓ел╝но, квазилинейное │░авнение (2.11) озна╖ае▓, ╖▓о когда
пе░еменна┐ x мен┐е▓▒┐ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ (2.14), коо░дина▓а pi измен┐е▓▒┐ по ▒лед│╛╣ем│ п░авил│:
@F ; @F p ;
p_i = ; @x
i
i @u
изменение же u(x(t)) в ▒ил│ (2.14) б╗ло по▒╖и▓ано в (2.12). Таким
об░азом, к░ива┐ (x(t); u(t); p(t)) е▒▓╝ ░е╕ение ▒и▒▓ем╗ (2.13) ▒ на╖ал╝н╗ми │▒лови┐ми (x0; u0; p0) = (x0; u(x0); ux(x0 )). О▒▓ало▒╝ ▓ол╝ко заме▓и▓╝, ╖▓о е▒ли F 2 C 2 ; ▓о ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема (2.13)
│довле▓во░┐е▓ │▒лови┐м ▓ео░ем╗ ▒│╣е▒▓вовани┐ и един▒▓венно▒▓и
░е╕ений ▒и▒▓ем╗ об╗кновенн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений. 2
2.4. Зада╖а Ко╕и дл┐ нелинейного │░авнени┐
Как б╗ло │▒▓ановлено в╗╕е, в ▒л│╖ае нелинейного │░авнени┐ дл┐ ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и (2.10),(2.2) необ╡одимо по на╖ал╝ном│ │▒лови╛
n+1 ┤│нк╢ии u(x)
(▓о е▒▓╝ по и u0 (x)) во▒▒▓анови▓╝ 1-г░а┤ик ; R2x;u;p
n
над Rx и в╗п│▒▓и▓╝ из каждой ▓о╖ки (n ; 1)-ме░ной пове░╡но▒▓и ; ╡а░ак▓е░и▒▓ик│. Пол│╖ив╕а┐▒┐ n-ме░на┐ пове░╡но▒▓╝ M и б│де▓ локал╝но 1-г░а┤иком и▒комой ┤│нк╢ии (коне╖но, е▒ли ░е╕ение
зада╖и (2.10),(2.2) ▒│╣е▒▓в│е▓).
Заме╖ание 2.5. Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ пове░╡но▒▓╝ M задавала ╡о▓┐ б╗
локал╝но г░а┤ик о▓об░ажени┐ x ! (u(x); p(x)), необ╡одимо, ╖▓об╗
ка▒а▓ел╝на┐ к ней пло▒ко▒▓╝ T изомо░┤но п░ое╢и░овала▒╝ на п░о▒▓░ан▒▓во x-ов. Пло▒ко▒▓╝ T задае▓▒┐ ка▒а▓ел╝н╗ми к ; нап░авлени┐ми, ко▓о░╗е п░и п░ое╢и░овании об░аз│╛▓ ка▒а▓ел╝ное п░о▒▓░ан▒▓во к , и нап░авлением ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кого век▓о░ного пол┐. Таким об░азом, x-компонен▓а Fp ╜▓ого век▓о░ного пол┐ не должна ка▒а▓╝▒┐ на╖ал╝ной пове░╡но▒▓и . Э▓о и е▒▓╝ │▒ловие не╡а░ак▓е░и▒▓и╖но▒▓и в ▒л│╖ае нелинейного │░авнени┐, ▒ ко▓о░╗м м╗ в▒▓░е▓им▒┐ и ниже.
П░ин╢ипиал╝ное о▓ли╖ие о▓ квазилинейного ▒л│╖а┐ закл╛╖ае▓▒┐
в ▓ом, ╖▓о 0-г░а┤ик (▓о е▒▓╝ об╗╖н╗й г░а┤ик) ┤│нк╢ии u(x) над
(n ; 1)-ме░ной пове░╡но▒▓╝╛ легко во▒▒▓анавливае▓▒┐ по u0(x), а
1-г░а┤ик | не▓. Дей▒▓ви▓ел╝но, м╗ можем во▒▒▓анови▓╝ п░оизводн╗е ┤│нк╢ии u(x) ▓ол╝ко в нап░авлени┐╡, ка▒а▓ел╝н╗╡ к ; ░азме░но▒▓╝ ╜▓ого ка▒а▓ел╝ного п░о▒▓░ан▒▓ва ░авна n ; 1. Дл┐ на╡ождени┐
18
недо▒▓а╛╣ей, ▓░ан▒ве░▒ал╝ной , компонен▓╗ век▓о░а p(x) необ╡одимо во▒пол╝зова▓╝▒┐ ▒амим │░авнением (2.10) в п░едположении, ╖▓о
оно ░аз░е╕имо о▓но▒и▓ел╝но ин▓е░е▒│╛╣ей на▒ коо░дина▓╗.
По┐▒ним ╜▓о под░обнее. П│▒▓╝ на╖ал╝на┐ пове░╡но▒▓╝ задае▓▒┐
как об░аз нев╗░ожденного о▓об░ажени┐ x = (y) неко▓о░ой ок░е▒▓но▒▓и ▓о╖ки y0 2 Rny ;1 в п░о▒▓░ан▒▓во Rnx. Нев╗░ожденно▒▓╝ озна@ (y0 ) о▓об░ажени┐ в ▓о╖ке y0 (и, ▒ле╖ае▓, ╖▓о ма▓░и╢а Якоби @y
дова▓ел╝но, в неко▓о░ой ее ок░е▒▓но▒▓и) имее▓ мак▒имал╝н╗й ░анг
(░авн╗й n ; 1). На╖ал╝ное │▒ловие (2.2) в ╜▓ом ▒л│╖ае пе░епи▒╗вае▓▒┐
в виде
u(1(y1 ; : : :; yn;1); : : :; n(y1 ; : : :; yn;1)) u0(y1 ; : : :; yn;1); (2.15)
где u0 (y) | заданна┐ ┤│нк╢и┐ (n ; 1)-ой пе░еменной. П░оди┤┤е░ен╢и░│ем ▓ожде▒▓во (2.15) по каждой из пе░еменн╗╡ yi , i = 1; : : :; n ; 1,
не заб╗ва┐, ╖▓о @u=@xj = pj . Имеем:
n @
X
pj @yj = qi(y1 ; : : :; yn;1);
i
j =1
где qi = @u0 =@yi | изве▒▓н╗е ┤│нк╢ии (i = 1; : : :; n ; 1). Дополнив пол│╖енн╗е ░авен▒▓ва │░авнением (2.10), пол│╖им ▒и▒▓ем│ из n
│░авнений:
8
Pn @j p = q ;
>
1
j =1 @y1 j
>
>
<
Pn @j p = q ;
n
>
j =1 @yn j
>
: F ((y); u((y)); p) = 0:
Э▓а ▒и▒▓ема запи▒╗вае▓▒┐ в виде
(y; p) = 0:
(2.16)
В п░едположении, ╖▓о имее▓▒┐ ▓о╖ка (y0 ; p0) ▓ака┐, ╖▓о (y0 ; p0) = 0;
по ▓ео░еме о не┐вной ┤│нк╢ии ░авен▒▓во (2.16) ░аз░е╕имо в ок░е▒▓но▒▓и ╜▓ой ▓о╖ки о▓но▒и▓ел╝но p (▓о е▒▓╝ (2.16) можно пе░епи▒а▓╝
в виде p = p(y); п░и╖ем p(y0 ) = p0 ), е▒ли ▓ол╝ко ди┤┤е░ен╢иал
p (y0 ; p0) нев╗░ожден.
19
Таким об░азом, м╗ ▒можем во▒▒▓анови▓╝ над в ок░е▒▓но▒▓и
▓о╖ки x0 = (y0 ) 1-г░а┤ик ┤│нк╢ии u(x), е▒ли
0 @1
@y1
B
..
B
.
det B
B
@ @y@n;1 1
@F
@p1
n
: : : @
@y1
. . . ...
: : : @y@n;n 1
@F
: : : @p
n
1
CC
CC 6= 0:
A
(2.17)
По▒леднее в ▓о╖но▒▓и озна╖ае▓, ╖▓о век▓о░╗
@
@
@y1 ; : : :; @yn;1 ; Fp
┐вл┐╛▓▒┐ линейно незави▒им╗ми. Ввид│ нев╗░ожденно▒▓и о▓об░ажени┐ x = (y) пе░в╗е (n ; 1) век▓о░ ╜▓ой ▒и▒▓ем╗ линейно незави▒им╗ и зада╛▓ (n ; 1)-ме░н│╛ пло▒ко▒▓╝, ка▒а▓ел╝н│╛ к в
▓о╖ке x0. Таким об░азом, │▒ловие (2.17) е▒▓╝ │▒ловие ▓░ан▒ве░▒ал╝но▒▓и (не ка▒ани┐) пове░╡но▒▓и и век▓о░а Fp (x0 ; u0(x0); p0) в ▓о╖ке
x0 = (y0 ) 2 . То╖ки (x0; u0(x0 ); p0), в ко▓о░╗╡ в╗полнено │▒ловие
▓░ан▒ве░▒ал╝но▒▓и, наз╗ва╛▓▒┐, как и в ▒л│╖ае линейного или квазилинейного │░авнений, не╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кими.
Заме╖ание 2.6. В ▒л│╖ае, е▒ли квазилинейное │░авнение (2.8) ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ как ╖а▒▓н╗й ▒л│╖ай нелинейного │░авнени┐ (2.10), ▓о
┤│нк╢и┐ F имее▓ вид
F (x; u; p) = v(x; u) p ; f(x; u);
где v p | ▒кал┐░ное п░оизведение век▓о░ов v(x; u) и p. Тогда
1) пе░в╗е два │░авнени┐ ▒и▒▓ем╗ ╡а░ак▓е░и▒▓ик (2.13) пе░епи╕│▓▒┐ в виде
x_ = Fp = v(x; u);
u_ = p Fp = p v(x; u) = F (x; u; p) + f(x; u) = f(x; u)
(ввид│ F(x; u; p) = 0), ╖▓о полно▒▓╝╛ ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▒и▒▓еме (2.8) квазилинейного │░авнени┐. П░и ╜▓ом
п░ав╗е ╖а▒▓и пол│╖енн╗╡ │░авнений не зави▒┐▓ о▓ p, ╖▓о дае▓
возможно▒▓╝ ░е╕а▓╝ и╡, не дополн┐┐ ▒и▒▓ем│ │░авнением на
коо░дина▓│ p;
20
2) ╡а░ак▓е░и▒▓ики (x(t); u(t); p(t)) квазилинейного │░авнени┐, ░а▒n+1 на
▒ма▓░иваемого как нелинейное, п░и п░ое╢и░овании из R2x;u;p
n
+1
Rx;u (▓о е▒▓╝ п░и \заб╗вании" коо░дина▓╗ p) пе░е╡од┐▓ в ╡а░ак▓е░и▒▓ики (x(t); u(t)) ╜▓ого квазилинейного │░авнени┐;
3) │▒ловие не╡а░ак▓е░и▒▓и╖но▒▓и дл┐ нелинейного │░авнени┐ п░име▓ вид: век▓о░ Fp = v(x0 ; u(x0)) не ка▒ае▓▒┐ в ▓о╖ке x0 пове░╡но▒▓и , ╖▓о в ▓о╖но▒▓и ▒овпаде▓ ▒ │▒ловием не╡а░ак▓е░и▒▓и╖но▒▓и дл┐ квазилинейного │░авнени┐.
2.5. П░име░╗ нелинейн╗╡ │░авнений
У░авнение Гамил╝▓она-Якоби. У░авнением Гамил╝▓она-Якоби
наз╗вае▓▒┐ нелинейное │░авнение (2.10) в ▒л│╖ае, когда ┤│нк╢и┐ F
не зави▒и▓ о▓ u. Э▓а ┤│нк╢и┐ наз╗вае▓▒┐ гамил╝▓онианом и об╗╖но обозна╖ае▓▒┐ H(x; p). И▓ак, │░авнение Гамил╝▓она-Якоби | ╜▓о
│░авнение вида
H(x; ux) = 0:
(2.18)
Ха░ак▓е░и▒▓и╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема │░авнени┐ (2.18):
8 x_ = H (x; p);
<
p
p
_
=
;
H
(2.19)
: u_ = p Hxp(x;(x;p);p):
По▒кол╝к│ пе░в╗е два │░авнени┐ ▒и▒▓ем╗ (2.19) не зави▒┐▓ о▓ u, ▓о
и╡ об╗╖но ░а▒▒ма▓░ива╛▓ о▓дел╝но о▓ ▓░е▓╝его. Си▒▓ема об╗кновенн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений вида
x_ = H (x; p);
p
(2.20)
p_ = ;Hx (x; p);
но▒и▓ название гамил╝▓оновой ▒и▒▓ем╗. В ме╡анике: x | коо░дина▓а, p | имп│л╝▒.
П░о▒▓ей╕им п░име░ом гамил╝▓оновой ▒и▒▓ем╗ ┐вл┐е▓▒┐ │░авнение Н╝╛▓она движени┐ ╖а▒▓и╢╗ едини╖ной ма▒▒╗ в по▓ен╢иал╝ном
▒иловом поле:
x = f(x); f(x) = ;rU(x); x 2 Rn:
Обозна╖а┐ ╖е░ез x_ = p ▒ко░о▒▓╝ ╖а▒▓и╢╗ (ко▓о░а┐ ▒овпадае▓ в ╜▓ом
▒л│╖ае ▒ имп│л╝▒ом), пол│╖аем ▒и▒▓ем│ (2.20) ▒ гамил╝▓онианом
H(x; p) = p2=2 + U(x):
21
Зде▒╝ p2=2 | кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ движени┐ ╖а▒▓и╢╗; U(x) | по▓ен╢иал╝на┐; H(x; p) | полна┐ ╜не░ги┐.
У░авнение ╜йконала. П│▒▓╝ H = (p2 ; 1)=2: Соо▓ве▓▒▓в│╛╣ее
│░авнение Гамил╝▓она-Якоби п░име▓ вид
(ux )2 = 1:
(2.21)
У░авнение (2.21) наз╗вае▓▒┐ │░авнением ╜йконала геоме▓░и╖е▒кой
оп▓ики. Э▓о │░авнение опи▒╗вае▓ ░а▒п░о▒▓░анение ▒ве▓ов╗╡ волн.
Е▒ли гипе░пове░╡но▒▓╝ задае▓ положение ▒ве▓ового ┤░он▓а в на╖ал╝н╗й момен▓ в░емени t = 0, ▓о положение ╜▓ого ┤░он▓а в момен▓
в░емени t ▒овпадае▓ ▒ пове░╡но▒▓╝╛ │░овн┐ fx j u(x) = ctg (c | ▒ко░о▒▓╝ ▒ве▓а) ░е╕ени┐ u(x) │░авнени┐ (2.21) ▒ н│лев╗м на╖ал╝н╗м
│▒ловием
u = 0:
(2.22)
Ха░ак▓е░и▒▓и╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема дл┐ │░авнени┐ ╜йконала
x_ = p;
p_ = 0;
u_ = p2 = 1
опи▒╗вае▓ движение ╖а▒▓и╢╗ по п░┐мой ▒ по▒▓о┐нной ▒ко░о▒▓╝╛
p p(0), ░авной по мод│л╛ едини╢е (▓ак как │░авнение (2.21) имее▓
вид p2 = 1), зна╖ение ┤│нк╢ии u(x) п░и движении по ╜▓им п░┐м╗м
мен┐е▓▒┐ ▒ едини╖ной ▒ко░о▒▓╝╛.
П░и заданном на╖ал╝ном │▒ловии (2.22) нап░авление едини╖ного век▓о░а p(0) в каждой ▓о╖ке x0 2 о░▓огонал╝но . Дей▒▓ви▓ел╝но, п░оек╢и┐ ╜▓ого век▓о░а на ░авна н│л╛ (как п░оизводна┐
по▒▓о┐нной на ┤│нк╢ии u(x); в ка▒а▓ел╝н╗╡ к нап░авлени┐╡).
О▓▒╛да кажда┐ ▓о╖ка | не╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒ка┐, ▓ак как Fp = p не
ка▒ае▓▒┐ . Таким об░азом, е▒ли ╡а░ак▓е░и▒▓ики │░авнени┐ (2.21),
▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие на╖ал╝ном│ │▒лови╛ (2.22) ▒п░ое╢и░ова▓╝ на п░о▒▓░ан▒▓во x-ов, пол│╖им ▒емей▒▓во но░малей к пове░╡но▒▓и .
Заме╖ание 2.7. На п░име░е зада╖и (2.21){(2.22) легко │виде▓╝ воз-
можн│╛ неедин▒▓венно▒▓╝ ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и дл┐ нелинейного
│░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка. Дей▒▓ви▓ел╝но, на░┐д│ ▒ неко▓о░╗м ░е╕ением u(x), │ зада╖и (2.21){(2.22) в▒егда
е▒▓╝ и ░е╕ение ;u(x). По┐▒ним, о▓к│да возникае▓ ╜▓а неедин▒▓венно▒▓╝.
22
Как │же │каз╗вало▒╝, век▓о░ p(0) в каждой ▓о╖ке x0 2 по мод│л╛ ░авен 1 и о░▓огонален , ▓о е▒▓╝ оп░еделен ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ до
│множени┐ на ;1. Изменение нап░авлени┐ ╜▓ого век▓о░а на п░о▓ивоположное (в ▓о╖ке x0, и, ▒ледова▓ел╝но в неко▓о░ой ок░е▒▓но▒▓и
╜▓ой ▓о╖ки на ) и веде▓ к изменени╛ знака │ пол│╖аемого ░е╕ени┐ u(x). Физи╖е▒ки ╜▓о озна╖ае▓ ░а▒п░о▒▓░анение ▒ве▓ов╗╡ волн
в одн│ или в д░│г│╛ ▒▓о░он│ о▓ на╖ал╝ной гипе░пове░╡но▒▓и |
на╖ал╝ного положени┐ ▒ве▓ового ┤░он▓а.
Заме╖ание 2.8. Ре╕ение зада╖и Ко╕и дл┐ нелинейного │░авнени┐
▒│╣е▒▓в│е▓ не в▒егда. Так, е▒ли u(x) | ░е╕ение │░авнени┐ ╜йконала, ▓о п░оизводна┐ ╜▓ой ┤│нк╢ии по л╛бом│ нап░авлени╛ не п░ево▒╡оди▓ 1. Следова▓ел╝но, не ▒│╣е▒▓в│е▓ (даже локал╝но)
░е╕ени┐
│░авнени┐ (2.21) ▒ на╖ал╝н╗м │▒ловием, нап░име░, ux1 =0 = 2x2 .
Уп░ажнение 2.1. Най▓и ░е╕ени┐ u = u(x1; : : :; xn) │░авнени┐ ╜йконала (2:21) ▒ на╖ал╝н╗ми │▒лови┐ми
1) ux1 =0 = 0;
2) ux1 =0 = x2=2;
= 0.
3) u
jxj=1
Уп░ажнение 2.2. Най▓и ░е╕ение u(t; x) ▒лед│╛╣ей зада╖и Ко╕и:
ut + (ux)2 =2 ; 1 = 0;
ut=0 = x2=2:
2.6. Тео░ема ▒│╣е▒▓вовани┐ ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и
Ниже м╗ б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ▒лед│╛╣ее │░авнение на ┤│нк╢и╛
u(t; x), t 2 R, x 2 Rn (t об╗╖но имее▓ ┤изи╖е▒кий ▒м╗▒л в░емени, а
x | п░о▒▓░ан▒▓венной коо░дина▓╗):
@u + f t; x; u; @u = 0
(2.23)
@t
@x
▒ на╖ал╝н╗м │▒ловием в момен▓ в░емени t = 0:
ut=0 = u(0; x) = u0 (x):
М╗ ▒╖и▓аем, ╖▓о f (t; x; u; p) и u0 (x) | ┤│нк╢ии кла▒▒а C 2.
(2.24)
23
Заме╖ание 2.9. К зада╖е ▓акого вида ▒води▓▒┐ и об╣а┐ зада╖а Ко-
╕и (2.10),(2.2) по▒ле в╗п░┐млени┐ (локал╝но) на╖ал╝ной пове░╡но▒▓и , и ░аз░е╕ени┐ и▒╡одного │░авнени┐ (2.10) о▓но▒и▓ел╝но п░оизводной по ▓░ан▒ве░▒ал╝ном│ к нап░авлени╛ (п░и в╗полнении
│▒лови┐ не╡а░ак▓е░и▒▓и╖но▒▓и, ▒м. ░азд. 2.4). Е▒ли по ╜▓ом│ век▓о░│ нап░ави▓╝ о▒╝ t, а ╖е░ез x обозна╖и▓╝ коо░дина▓╗ на пове░╡но▒▓и , ▓о пол│╖ае▓▒┐ │░авнение ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого
по░┐дка, ░аз░е╕енное о▓но▒и▓ел╝но @u=@t. Пове░╡но▒▓╝ в нов╗╡
коо░дина▓а╡ ┐вл┐е▓▒┐ гипе░пло▒ко▒▓╝╛ t = 0. Таким об░азом м╗
пол│╖или зада╖│ вида (2.23),(2.24).
Обозна╖им век▓о░ p = ux ; ▒кал┐░ q = ut. У░авнение (2.23) пе░епи▒╗вае▓▒┐ в виде
F (t; x; u; p; q) q + f(t; x; u; p) = 0:
(2.25)
Си▒▓ема ╡а░ак▓е░и▒▓ик дл┐ ╜▓ого │░авнени┐ в╗гл┐ди▓ ▒лед│╛╣им
об░азом:
8 t_ = F = 1;
>
q
>
< x_ = Fp = fp;
u_ = qFq + p Fp = q + p fp = p fp ; f;
(2.26)
>
q
_
=
;
qF
;
F
=
;
qf
;
f
;
>
: p_ = ;pFuu ; Ftx = ;pfuu ; ftx:
Заме╖ание 2.10. Дл┐ зада╖и (2.23),(2.24) │▒ловие ╡а░ак▓е░и▒▓и╖но▒▓и в▒егда в╗полнено (╖▓о и не│диви▓ел╝но, ▒м. Заме╖ание 2.9).
Дей▒▓ви▓ел╝но, ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кий век▓о░ в л╛бой ▓о╖ке имее▓
t-коо░дина▓│, ░авн│╛ 1, и п░оек╢и┐ ╜▓ого век▓о░а на п░о▒▓░ан▒▓во
(t; x) в▒егда ▓░ан▒ве░▒ал╝на пло▒ко▒▓и ft = 0g = .
Пе░вое │░авнение в ▒и▒▓еме (2.26) ▒овме▒▓но ▒ на╖ал╝н╗м │▒ловием t(0) = 0 (ввид│ (2.24)) в ▓о╖но▒▓и озна╖ае▓, ╖▓о незави▒има┐
пе░еменна┐, по ко▓о░ой иде▓ ди┤┤е░ен╢и░ование в ▒и▒▓еме (2.26),
обозна╖аемое ▓о╖кой ( _ ), ▒овпадае▓ ▒ ┤азовой пе░еменной t, ▓о е▒▓╝
▒ ▓ем ▒ам╗м t, ко▓о░ое п░и▒│▓▒▓в│е▓ в │░авнении (2.23). К░оме ▓ого, │░авнени┐ на x, u и p не зави▒┐▓ о▓ q, ╖▓о позвол┐е▓ и▒кл╛╖и▓╝
q из ┤азов╗╡ пе░еменн╗╡, ▓ем более ╖▓о, зна┐ t, x, u и p, зна╖ение q
легко на╡оди▓▒┐ из ▒амого │░авнени┐ (2.25): q = ;f(t; x; u; p).
Таким об░азом, дл┐ зада╖и Ко╕и (2.23),(2.24) ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▒и▒▓емой е▒▓е▒▓венно назва▓╝ \│░езанн│╛" ▒и▒▓ем│ (2.26):
24
8 x_ = f ;
<
p
u
_
=
p
: p_ = ;pffpu ;; f;fx:
(2.27)
Ра▒▒мо▓░им ░е╕ение ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▒и▒▓ем╗ (2.27), │довле▓во░┐╛╣ее на╖ал╝н╗м │▒лови┐м
x(0) = y; u(0) = u0(y); p(0) = @u0(y)=@y:
Обозна╖им ╜▓о ░е╕ение
(x; u; p) = (x(t; y); u(t; y); p(t; y)) :
Таким об░азом,
8 x_ = f (t; x; u; p);
i = 1; : : :; n;
>
< i Ppin
u
_
=
p
f
(t;
x
;
u
;
p
)
;
f(t;
x
;
u
;
p
);
(2.28)
i pi
>
: p_ i = ;pi=1
i = 1; : : :; n;
i fu (t; x; u; p) ; fxi (t; x; u; p);
x(0; y) = y; u(0; y) = u0(y); p(0; y) = @u0(y)=@y:
(2.29)
Обозна╖им y = y(t; x) | ░е╕ение │░авнени┐ x(t; y) = x. Такое
░е╕ение ▒│╣е▒▓в│е▓ и един▒▓венно в ок░е▒▓но▒▓и ▓о╖ки (0; x0) по
▓ео░еме о не┐вной ┤│нк╢ии, ▓ак как
(t; y) = det @y = 1 6= 0:
det @ x@y
@y
t=0
Заме▓им, ╖▓о y(0; x) x ввид│ x(0; y) y.
Ри▒. 3.
25
Заме╖ание 2.11. Как о▓ме╖ало▒╝ в╗╕е, в ░азделе 2.4, ░е╕и▓╝ за-
да╖│ Ко╕и дл┐ нелинейного │░авнени┐ геоме▓░и╖е▒ки озна╖ае▓ из
в▒е╡ ▓о╖ек на╖ал╝ной пове░╡но▒▓и
; = f(t; x; u; p) j t = 0; x = y; u = u0(y); p = ru0(y)g
в╗п│▒▓и▓╝ ╡а░ак▓е░и▒▓ики, ко▓о░╗е и ▒о▒▓ав┐▓ 1-г░а┤ик и▒комого ░е╕ени┐ u(t; x). Введенна┐ ┤│нк╢и┐ y(t; x) ┤ак▓и╖е▒ки задае▓ ▓│
▓о╖к│ (y; u0 (y); @u0 (y)=@y) 2 ;, дл┐ ко▓о░ой в╗п│╣енна┐ из нее ╡а░ак▓е░и▒▓ика п░ойде▓ над заданной ▓о╖кой (t; x) (▒м. ░и▒. 3).
Положим
u(t; x) = u(t; y(t; x)); p(t; x) = p(t; y(t; x)):
(2.30)
На╕а зада╖а показа▓╝, ╖▓о u(t; x) и е▒▓╝ и▒комое ░е╕ение зада╖и
Ко╕и (2.23),(2.24), а p(t; x) = ux. На╖ал╝ное │▒ловие (2.24) о╖евидно
в╗полнено:
u(0; x) = u(0; y(0; x)) = u(0; x) = u0 (x):
Докажем, ╖▓о ux(t; x) = p(t; x); ▓о е▒▓╝ ╡а░ак▓е░и▒▓ики локал╝но
▒о▒▓авл┐╛▓ 1-г░а┤ик, а за▓ем п░ове░им (2.23).
П░едложение 2.1. В введенн╗╡ обозна╖ени┐╡
n
@ u(t; y) = X
pi(t; y) @xi (t; y) ; k = 1; : : :; n:
@yk
@yk
i=1
(2.31)
Доказа▓ел╝▒▓во. П│▒▓╝
n
X
Lk (t; y) = @ u(t; y) ; pi(t; y) @ xi (t; y) :
@yk
i=1
@yk
Тогда
n @x
n
@Lk = @ u_ ; X
i p_ ; X p @ x_ :
i
i
i
@t @yk i=1 @yk
i=1 @yk
У╖и▓╗ва┐ (2.28), имеем
!
n
n @x
n
X
@Lk = @ X
i (;p f ; f ) ; X p @ f
p
f
;
f
;
i
p
i
u
x
pi
i
i
i
@t
@yk i=1
i=1 @yk
i=1 @yk
26
n @x
@f(t; x; u; p) + X
i (p f + f )
f
p
i u
xi
i;
@y
@y
@y
k
i=1 k
i=1 k
!
n
n
n
X
X
X
@
x
@
p
@
u
@
p
i
i
i
fxi + fu @y + fpi @y
=
fpi ;
k i=1
k
i=1 @yk
i=1 @yk
n
n
X
X @xi
+ fu @@yxi pi + fxi @y
k
i=1
i=1 ! k
n
@ u ; X @ xi p = ;f (t; x; u; p) L :
= ;fu @y
i
u
k
k i=1 @yk
=
n @p
X
i
Ре╕им пол│╖енное ди┤┤е░ен╢иал╝ное │░авнение:
Zt
Lk (t; y) = Lk (0; y) exp ;
0
fu (; x(; y); u(; y); p(; y)) d : (2.32)
Из ▓ожде▒▓ва xi (0; y) yi ▒лед│е▓ @ xi (0; y)=@yk = ik : Ввид│ на╖ал╝н╗╡ │▒ловий (2.29) имеем
n
(0; y) ; X
i (0; y)
Lk (0; y) = @ u@y
pi(0; y) @x@y
k
k
i=1
n
X
= @u@y0 (y) ; @u@y0(y) ik = 0:
k
i
i=1
(2.33)
Из (2.32) и (2.33) ▒лед│е▓ Lk (t; y) 0; и (2.31) доказано. 2
П░едложение 2.2. Имее▓ ме▒▓о ▒оо▓но╕ение ux = p дл┐ ┤│нк╢ий
u(t; x) и p(t; x), введенн╗╡ в (2:30).
Доказа▓ел╝▒▓во. Из (2:31) ▒лед│е▓
n
X
@yk
uxj (t; x) = @ u(t;@xy(t; x)) = @ u@y(t; y) @x
j
k
j
k=1
n
n
XX
i (t; y) @yk
=
pi(t; y) @x@y
k @xj
k=1 i=1
Ди┤┤е░ен╢и░│┐ ▓ожде▒▓во
xi(t; y(t; x)) xi
(2.34)
27
по xj , пол│╖аем
n @ x (t; y) @y
X
i
k
@yk @xj = ij ;
k=1
и, ▒ледова▓ел╝но,
uxj (t; x) =
n
X
i=1
pi(t; y)ij = pj (t; y(t; x)) = pj (t; x): 2
П░едложение 2.3. Ф│нк╢и┐ u(t; x); оп░еделенна┐ в (2:30) │довле▓во░┐е▓ │░авнени╛ (2:23).
Доказа▓ел╝▒▓во. Из (2.31) имеем
n
X
ut = @ u(t; y(t; x)) = u_ + @ u(t; y) @yk
@t
=
k=1 @yk
i (t; y) @yk :
u_ +
pi(t; y) @x@y
k @t
k=1 i=1
n X
n
X
@t
Ди┤┤е░ен╢и░│┐ (2.34) по t, пол│╖им
n
X
i (t; y) @yk = 0:
x_ i + @x@y
k @t
k=1
П░инима┐ во внимание (2.28):
ut = u_ ;
n
X
i=1
pix_ i =
n
X
i=1
pifpi ; f ;
n
X
i=1
pifpi = ;f(t; x; u; p);
╖▓о и ▓░ебовало▒╝ доказа▓╝. 2
Заме╖ание 2.12. По▒▓░оение ░е╕ени┐ u(t; x) зада╖и (2.23){(2.24)
б╗ло п░оведено в п░едположении, ╖▓о f и u0 | дважд╗ неп░е░╗вно
ди┤┤е░ен╢и░│ем╗е ┤│нк╢ии. В ╜▓ом ▒л│╖ае по ▓ео░еме о ди┤┤е░ен╢и░│емой зави▒имо▒▓и о▓ па░аме▓░а ░е╕ений об╗кновенн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений ┤│нк╢ии x(t; y); u(t; y) и p(t; y) | кла▒▒а C 1
(▓ак как на╖ал╝ное │▒ловие (2.29) неп░е░╗вно ди┤┤е░ен╢и░│емо зави▒и▓ о▓ па░аме▓░а y). Тогда ▓ео░ема о не┐вной ┤│нк╢ии га░ан▓и░│е▓, ╖▓о y(t; x) 2 C 1 . Зна╖и▓, ux (t; x) = p(t; x) = p(t; y(t; x)) и
ut(t; x) = ;f(t; x; u(t; y(t; x)); p(t; y(t; x))) | ▓акже неп░е░╗вно ди┤┤е░ен╢и░│ем╗е ┤│нк╢ии, ▓о е▒▓╝ u(t; x) 2 C 2.
28
3. Кла▒▒и╖е▒кие (гладкие) ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и и ┤о░ми░ование о▒обенно▒▓ей
3.1. Квазилинейное │░авнение ▒ одной п░о▒▓░ан▒▓венной пе░еменной
В на▒▓о┐╣ем ░азделе м╗ из│╖им зада╖│ Ко╕и вида (2.23){(2.24) дл┐
одноме░ного по п░о▒▓░ан▒▓венной пе░еменной (▓. е. x 2 R1) квазилинейного │░авнени┐ на ┤│нк╢и╛ u(t; x):
0
ut + (f(u))
x ut + f (u)ux = 0;
ut=0 = u0 (x);
(3.1)
(3.2)
а именно, ░а▒▒мо▓░им возможно▒▓╝ по▒▓░оени┐ ░е╕ений ╜▓ой зада╖и
в кла▒▒е ┤│нк╢ий, гладки╡ в поло▒е
T f(t; x) j ;1 < x < +1; 0 < t < T g :
Сна╖ала п░именим к ╜▓ом│ конк░е▓ном│ ▒л│╖а╛ ░ез│л╝▓а▓╗ изложенной в╗╕е об╣ей ▓ео░ии. Ха░ак▓е░и▒▓и╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема (2.27) ▒
на╖ал╝н╗ми │▒лови┐ми, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ими (3.2), в ╜▓ом ▒л│╖ае п░име▓ вид:
8 x_ = f 0(u);
x(0) = y;
<
u
_
=
0;
= u0(y);
(3.3)
: p_ = ;f 00(u)p2; u(0)
p(0) = u00(y):
Ре╕ение ╜▓ой ▒и▒▓ем╗:
8 x(t; y) = y + f 0(u (y))t;
<
0
u
(t;
y)
=
u
(3.4)
0 (y);
: p(t; y) = (1=u00(y) + f 00(u0(y))t);1 :
(В ▒л│╖ае u00(y) = 0 б│де▓ p(t; y) 0.)
Заме╖ание 3.1. Е▒ли в╗полнено u00(y)f 00 (u0(y)) < 0, ▓о ░е╕ение ▒и-
▒▓ем╗ (3.3) не ▒│╣е▒▓в│е▓ на в▒ей пол│о▒и t > 0, а ли╕╝ на ин▓е░вале (0; T(y)), где
1=T(y) = ;u00 (y)f 00 (u0 (y)) > 0;
p(t; y) ! 1 п░и t ! T (y) ; 0.
29
Как в▒егда в квазилинейном ▒л│╖ае, пе░в╗е два │░авнени┐ ▒и▒▓ем╗ (3.3) не зави▒┐▓ о▓ ▓░е▓╝его, и ╡а░ак▓е░и▒▓ики квазилинейного
│░авнени┐ (3.1) | п░┐м╗е
x(t; y) = y + f 0(u0(y))t; u(t; y) = u0(y)
в ▓░е╡ме░ном п░о▒▓░ан▒▓ве (t; x; u). К░ива┐ (3.4) в ╖е▓╗░е╡ме░ном
п░о▒▓░ан▒▓ве (t; x; u; p) | ╡а░ак▓е░и▒▓ика ▓ого же │░авнени┐ (3.1),
но ░а▒▒ма▓░иваемого как нелинейное.
Как б╗ло показано в п░ед╗д│╣ем ░азделе, ░е╕ение u(t; x) зада╖и
Ко╕и (3.1){(3.2) задае▓▒┐ ▒оо▓но╕ением:
u(t; x) = u(t; y(t; x)) u0 (y(t; x));
где y(t; x) | ░е╕ение о▓но▒и▓ел╝но y │░авнени┐
x = x(t; y) y + f 0 (u0(y))t:
Г░а┤ик ╜▓ого ░е╕ени┐ u = u(t; x), как │каз╗вало▒╝ в╗╕е, ▒о▒▓ои▓
из ╡а░ак▓е░и▒▓ик, в╗п│╣енн╗╡ из каждой ▓о╖ки на╖ал╝ной к░ивой
; = f(t; x; u) j t = 0; x = y; u = u0(y)g, ▓о е▒▓╝ из п░┐м╗╡
u u0 (y);
x = y + f 0 (u0 (y))t:
По╜▓ом│ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ по▒▓░ои▓╝ вид ░е╕ени┐ зада╖и (3.1){(3.2)
в ░азли╖н╗е момен▓╗ в░емени t > 0 (▓.е. ▒е╖ени┐ пло▒ко▒▓┐ми t =
Const г░а┤ика ░е╕ени┐ u(t; x) ╜▓ой зада╖и) можно ▒ г░а┤иком на╖ал╝ной ┤│нк╢ии u = u0 (x) п░одела▓╝ ▒лед│╛╣ее п░еоб░азование.
То╖ки (x; u) ╜▓ого г░а┤ика на╖ина╛▓ двига▓╝▒┐ го░изон▓ал╝но (▓.е.
в нап░авлении о▒и x-ов) ▒о ▒ко░о▒▓╝╛ f 0 (u). П░и ╜▓ом, заме▓им,
▓о╖ки, в ко▓о░╗╡ f 0 (u) = 0 о▒▓а╛▓▒┐ в▒егда неподвижн╗ми. Е▒ли
f 0 (u) > 0, ▓о ▓о╖ка двигае▓▒┐ нап░аво, п░и╖ем ╖ем бол╝╕е f 0 (u), ▓ем
б╗▒▓░ее, в ▒л│╖ае же f 0 (u) < 0 ▓о╖ка (x; u) двигае▓▒┐ налево (▒м.
░и▒. 4).
Заме╖ание 3.2. П│▒▓╝ г░а┤ик на╖ал╝ной ┤│нк╢ии u = u0(x) ог░ани╖ивае▓ коне╖н│╛ пло╣ад╝ (нап░име░, u0 | ┤ини▓на). Тогда п░и
│казанном в╗╕е п░еоб░азовании пло╣ад╝ под г░а┤иком о▒▓ае▓▒┐ неизменной. Дей▒▓ви▓ел╝но, ▓о╖ки, ░а▒положенн╗е на г░а┤ике ┤│нк╢ии u0(x) на одной в╗▒о▓е, двига╛▓▒┐ ▒ одинаковой ▒ко░о▒▓╝╛, и,
▒ледова▓ел╝но, длин╗ го░изон▓ал╝н╗╡ о▓░езков, ▒оедин┐╛╣и╡ ▓о╖ки на ╜▓ом г░а┤ике, не мен┐╛▓▒┐.
30
Ри▒. 4.
Фак▓ ▒о╡░анени┐ пло╣адей можно пол│╖и▓╝
R +1 u(t; x)и непо▒░ед▒▓венн╗м
в╗╖и▒лением. Обозна╖им ╖е░ез S(t) = ;1
dx │казанн│╛ пло╣ад╝, ог░ани╖енн│╛ г░а┤иком ░е╕ени┐ u(t; x) зада╖и (3.1){(3.2) (п░и
┤ик▒и░ованном t > 0). Тогда
d S(t) = Z +1 u (t; x) dx = ; Z +1 (f(u(t; x))) dx
t
x
dt
;1
x=+1 ;1
= ;f (u(t; x)) x=;1 = f(0) ; f(0) = 0;
▓о е▒▓╝ S(t) Const.
П░и опи▒анной в╗╕е ╜вол╛╢ии може▓ на▒▓│пи▓╝ момен▓ в░емени
T > 0, когда пол│╖енна┐ к░ива┐ пе░е▒▓ае▓ б╗▓╝ г░а┤иком гладкой
┤│нк╢ии u(T; x) одной пе░еменной x.
Ра▒▒мо▓░им, нап░име░, │░авнение Хоп┤а, ▓.е. │░авнение (3.1) ▒
f(u) = u2=2. Э▓о │░авнение опи▒╗вае▓ поле ▒ко░о▒▓ей ▒░ед╗ из невзаимодей▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓и╢ (▒м. x1). Кажда┐ ╖а▒▓и╢а, двига┐▒╝ по
ине░╢ии, ▒о╡░ан┐е▓ ▒во╛ на╖ал╝н│╛ ▒ко░о▒▓╝. Ра▒▒мо▓░им две ╖а▒▓и╢╗, ко▓о░╗е в на╖ал╝н╗й момен▓ в░емени t = 0 б╗ли в ▓о╖ка╡ x1
и x2, x1 < x2. Е▒ли на╖ал╝ное ░а▒п░еделение ▒ко░о▒▓ей u0(x) б╗ло моно▓онно воз░а▒▓а╛╣ей ┤│нк╢ией, ▓о ▒ко░о▒▓╝ u0(x1) пе░вой ╖а▒▓и╢╗ в на╖ал╝н╗й момен▓ в░емени (а, зна╖и▓, и в▒егда в дал╝ней╕ем)
мен╝╕е u0(x2) | ▒ко░о▒▓и в▓о░ой ╖а▒▓и╢╗: u0 (x1) < u0(x2 ). Так как
и на╖ал╝н╗е коо░дина▓╗ ╖а▒▓и╢╗ ▒в┐зан╗ ▒оо▓но╕ением x1 < x2,
▓о в л╛бой момен▓ в░емени t > 0 две ░а▒▒ма▓░иваем╗е ╖а▒▓и╢╗ не
окаж│▓▒┐ в ▓о╖ке ▒ одной коо░дина▓ой, ▓.е. не б│де▓ ▒▓олкновений
╖а▒▓и╢.
31
Е▒ли же на╖ал╝ное ░а▒п░еделение ▒ко░о▒▓ей u0(x) не ┐вл┐е▓▒┐ моно▓онно воз░а▒▓а╛╣ей ┤│нк╢ией, ▓о более б╗▒▓░╗е ╖а▒▓и╢╗ б│д│▓
догон┐▓╝ более медленн╗е (или, возможно, ╖а▒▓и╢╗ б│д│▓ двига▓╝▒┐
нав▒▓░е╖│ д░│г д░│г│), и в какой-▓о момен▓ в░емени T > 0 должн╗
п░оизой▓и ▒▓олкновени┐. На╖ина┐ ▒ ╜▓ого момен▓а в░емени T на╕а
модел╝ пе░е▒▓ае▓ о▓░ажа▓╝ ░еал╝н│╛ ┤изи╖е▒к│╛ ка░▓ин│, ▓ак как
\п░о╡од┐╣ие ▒квоз╝ д░│г д░│га" ╖а▒▓и╢╗ об┐зан╗ как-▓о взаимодей▒▓вова▓╝ (▒▓алкива▓╝▒┐). Ма▓ема▓и╖е▒ки ▓акое взаимодей▒▓вие
об╗╖но опи▒╗вае▓▒┐ добавлением в п░ав│╛ ╖а▒▓╝ │░авнени┐ (3.7)
▒лагаемого вида "uxx , где " > 0 | ко╜┤┤и╢иен▓ в┐зко▒▓и. C ╜▓ой
модел╝╛ м╗ е╣е в▒▓░е▓им▒┐ ниже, в ░азделе 5.2.
Уп░ажнение 3.1. По▒▓░ои▓╝ п░име░н╗й вид ░а▒п░еделени┐ ▒ко░о-
▒▓ей u(t; x) в ░азли╖н╗е момен▓╗ в░емени t > 0 дл┐ │░авнени┐ Хоп┤а, е▒ли на╖ал╝ное ░а▒п░еделение ▒ко░о▒▓ей задае▓▒┐ ┤│нк╢ией
1)
2)
3)
4)
5)
6)
u0(x) = arctg x,
u0(x) = ; arctg x,
u0(x) = sin x,
u0(x) = ; sin x,
u0(x) = x3 ,
u0(x) = ;x3 .
П░и заданн╗╡ на╖ал╝н╗╡ │▒лови┐╡ в╗┐▒ни▓╝, дл┐ какого мак▒имал╝ного T > 0 ▒│╣е▒▓в│е▓ гладкое ░е╕ение зада╖и Ко╕и
ut + uux = 0;
ut=0 = u0(x);
в поло▒е T = f(t; x) j 0 < t < T; x 2 Rg.
Уп░ажнение 3.2. По▒▓░ои▓╝ ▒е╖ени┐ г░а┤ика ░е╕ени┐ u(t; x) зада╖и Ко╕и
ut + (f(u))x = 0;
ut=0 = u0(x);
в ░азли╖н╗е момен▓╗ в░емени t > 0; е▒ли
1) f(u) = cos u; u0 (x) = x;
2) f(u) = cos u; u0 (x) = sin x;
3) f(u) = u3=3; u0(x) = sinx:
32
3.2. Сведение ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и к не┐вном│
┤│нк╢ионал╝ном│ │░авнени╛
Ре╕а▓╝ зада╖│ Ко╕и дл┐ квазилинейного │░авнени┐ (3.1) можно и
непо▒░ед▒▓венно, без ▒▒╗лок на изложенн│╛ в╗╕е локал╝н│╛ ▓ео░и╛
│░авнений ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка (в ▓ом ╖и▒ле
и нелинейн╗╡). Э▓ом│ и по▒в┐╣ен на▒▓о┐╣ий ░аздел.
П░едположим, ╖▓о м╗ имеем гладкое ░е╕ение u(t; x) по▒▓авленной зада╖и (3.1){(3.2).
П░едложение 3.1. Ф│нк╢и┐ u(t; x) по▒▓о┐нна вдол╝ ин▓ег░ал╝н╗╡
к░ив╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝ного │░авнени┐
dx = f 0 (u(t; x)) :
(3.5)
dt
Доказа▓ел╝▒▓во. П░оди┤┤е░ен╢и░│ем ┤│нк╢и╛ u(t; x) вдол╝
ин▓ег░ал╝н╗╡ к░ив╗╡ (t; x(t)) │░авнени┐ (3.5):
du = @u + @u dx = u + u f 0 (u) = u + (f(u)) = 0:
2
t
x
dt @t @x dt t x
Так как u о▒▓ае▓▒┐ по▒▓о┐нной на ╜▓и╡ ин▓ег░ал╝н╗╡ к░ив╗╡,
▓о ░е╕ени┐ │░авнени┐ (3.5) | линейн╗е ┤│нк╢ии x = f 0 (u)t + C1.
(П░┐м╗е x ; f 0 (u)t = C1, лежа╣ие в пло▒ко▒▓┐╡ u = C2, и е▒▓╝ ╡а░ак▓е░и▒▓ики квазилинейного │░авнени┐ (3.1).)
Таким об░азом, зна╖ение u = u(t0 ; x0) ░е╕ени┐ u(t; x) в ▓о╖ке
(t0 ; x0) ▒о╡░ан┐е▓▒┐ и на в▒ей п░┐мой
x ; f 0 (u(t0; x0)) t = C = x0 ; f 0 (u(t0 ; x0)) t0 :
(3.6)
П░овед┐ ╜▓│ п░┐м│╛ до пе░е▒е╖ени┐ ▒ о▒╝╛ x-ов в ▓о╖ке (0; y0), найдем зна╖ение u0 (y0 ) в ╜▓ой ▓о╖ке. Так как ▓о╖ка (0; y0) лежи▓ на
п░┐мой (3.6), ▓о y0 = x0 ; f 0 (u(t0 ; x0)) t0. Следова▓ел╝но,
u(t0; x0) = u0 (y0 ) = u0 (x0 ; f 0 (u(t0 ; x0)) t0 ) :
В ▒ил│ п░оизвол╝но▒▓и ▓о╖ки (t0 ; x0), пол│╖ено ▒лед│╛╣ее │░авнение
дл┐ ░е╕ени┐ u(t; x) зада╖и Ко╕и (3.1){(3.2):
u = u0 (x ; f 0 (u)t) :
(3.7)
33
Воп░о▒ о ▓ом, в как│╛ обла▒▓╝ можно п░одолжи▓╝ ░е╕ение u(t; x)
зада╖и (3.1){(3.2), ┤ак▓и╖е▒ки ▒води▓▒┐ к ▓ом│, где │░авнение (3.7)
однозна╖но ░аз░е╕имо о▓но▒и▓ел╝но u.
Заме╖ание 3.3. Фо░м│л│ (3.7) можно пол│╖и▓╝ и п░и п░ак▓и╖е▒ком ░е╕ении зада╖и Ко╕и дл┐ квазилинейного │░авнени┐ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ [17, x20]. У ▒и▒▓ем╗ ╡а░ак▓е░и▒▓ик
dt = dx = du ;
1 f 0 (u) 0
▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей │░авнени╛ (3.1), е▒▓╝ два пе░в╗╡ ин▓ег░ала:
I1 (t; x; u) u; I2 (t; x; u) x ; f 0 (u)t:
(3.8)
На на╖ал╝ной к░ивой ; = f(0; y; u0(y))g 2 R3t;x;u зна╖ени┐ ╜▓и╡ пе░в╗╡ ин▓ег░алов ▒лед│╛╣ие:
I1 ; = u0(y);
I2 ; = y:
Таким об░азом, I1 и I2 ▒в┐зан╗ на ; ▒оо▓но╕ением
I1 = u0(I2 ):
(3.9)
Так как пе░в╗е ин▓ег░ал╗ о▒▓а╛▓▒┐ по▒▓о┐нн╗ми на ╡а░ак▓е░и▒▓ика╡, ▓о ▒оо▓но╕ение (3.9) б│де▓ в╗полнено на в▒е╡ ╡а░ак▓е░и▒▓ика╡,
в╗п│╣енн╗╡ ▒ к░ивой ;. О▒▓ало▒╝ ▓ол╝ко заме▓и▓╝, ╖▓о п░и под▒▓ановке (3.8) в (3.9) м╗ пол│╖аем в ▓о╖но▒▓и │░авнение (3.7).
С д░│гой ▒▓о░он╗, зада╖│ Ко╕и (3.1){(3.2) можно ░е╕а▓╝, п░одолжа┐ ░е╕ение u(t; x) из на╖ал╝ной ▓о╖ки (0; y) кон▒▓ан▓ой (░авной
зна╖ени╛ u0(y) ░е╕ени┐ в ╜▓ой на╖ал╝ной ▓о╖ке) вдол╝ п░┐мой
x ; f 0 (u0(y)) t = C = y ; f 0 (u0(y)) 0 = y;
(3.10)
▓о е▒▓╝ u(t; x) = u0 (y) п░и в▒е╡ x и t, │довле▓во░┐╛╣и╡ (3.10). В╗░ажа┐ в │░авнении (3.10) пе░еменн│╛ y ╖е░ез x и t, пол│╖аем ┤│нк╢и╛
y = y(t; x), и, ▒ледова▓ел╝но,
u(t; x) = u0 (y(t; x)) :
(3.11)
В ╜▓ом ▒л│╖ае воп░о▒ о п░одолжаемо▒▓и ░е╕ени┐ ▒води▓▒┐ к ▓ом│, где │░авнение (3.10) однозна╖но ░аз░е╕имо о▓но▒и▓ел╝но y.
34
3.3. У▒ловие ▒│╣е▒▓вовани┐ гладкого ░е╕ени┐
в поло▒е
Найдем мак▒имал╝ное зна╖ение момен▓а в░емени T > 0, п░и ко▓о░ом │░авнение (3.7) задае▓ гладкое ░е╕ение u = u(t; x) в поло▒е T .
Фак▓и╖е▒ки надо оп░едели▓╝, ╖ем│ ░авно мак▒имал╝но возможное
зна╖ение T, ▓акое ╖▓о │░авнение
(t; x; u) u ; u0(x ; f 0 (u)t) = 0;
(3.12)
однозна╖но ░аз░е╕имо о▓но▒и▓ел╝но u п░и каждом ┤ик▒и░ованном t
из пол│ин▓е░вала [0; T). Так как п░и t = 0 ┤│нк╢и┐ (0; x; u) моно▓онно воз░а▒▓ае▓ по u, ▓о и▒ком╗й момен▓ в░емени по ▓ео░еме о
не┐вной ┤│нк╢ии оп░едел┐е▓▒┐ ▒оо▓но╕ением:
u(u; x; t) = 1 + u00(x ; f 0 (u)t) f 00 (u) t > 0
(3.13)
п░и t 2 [0; T) дл┐ л╛бой ▓о╖ки (t; x; u), дл┐ ко▓о░ой (t; x; u) = 0.
Е▒ли jf 00 (u)j 6 L на множе▒▓ве в▒е╡ зна╖ений ┤│нк╢ии u = u0(x),
а ▓акже ju00j 6 K, ▓о (3.13) б│де▓ в╗полнено, е▒ли 1 ; KL t > 0.
Зна╖и▓, гладкое ░е╕ение зада╖и (3.1){(3.2) ▒│╣е▒▓в│е▓ в поло▒е
1 :
0 < t < KL
Зада╖а 3.1. Показа▓╝, ╖▓о е▒ли знаки ┤│нк╢ий u00 и f 00 ▒о╡░ан┐╛▓▒┐ (▓.е. ┤│нк╢и┐ u0 моно▓онна, а f в╗п│кла) и ▒овпада╛▓, ▓о
гладкое ░е╕ение u(t; x) ▒│╣е▒▓в│е▓ во в▒ей пол│пло▒ко▒▓и t > 0.
Из не░авен▒▓ва (3.13) можно пол│╖и▓╝ и ▓о╖ное зна╖ение в░емени T ▒│╣е▒▓вовани┐ гладкого ░е╕ени┐. Дл┐ ╜▓ого до▒▓а▓о╖но обозна╖и▓╝ y = x ; f 0 (u)t и заме▓и▓╝, ╖▓о u = u0(y) в ▒ил│ (3.12). Тогда (3.13) пе░епи╕е▓▒┐ в виде
1 + u00 (y) f 00 (u0(y)) t > 0:
О▓▒╛да
1
i ; (3.14)
h d1 0
T = ; inf [u0 (y)f
=
00
(u
(y))]
y2 0
0
; inf y2 dy f (u0(y))
R
R
е▒ли ▓ол╝ко │казанн╗й ин┤им│м о▓░и╢а▓ел╝н╗й. В п░о▓ивном ▒л│╖ае, е▒ли inf y2 [u00(y)f 00 (u0 (y))] > 0, ▓о T = +1 (▒м. Зада╖│ 3.1).
35
R
Заме╖ание 3.4. Как ▒лед│е▓ из Заме╖ани┐ 3.1, (0; T ) | мак▒имал╝н╗й ин▓е░вал положи▓ел╝ной пол│о▒и, на ко▓о░ом ▒│╣е▒▓в│╛▓ в▒е
░е╕ени┐ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▒и▒▓ем╗ (3.3). На╖ина┐ именно ▒ ╜▓ого
момен▓а T, неко▓о░╗е из ╡а░ак▓е░и▒▓ик на╕его │░авнени┐, ░а▒▒ма▓░иваемого как нелинейное, │╡од┐▓ (за коне╖ное в░ем┐) в бе▒коне╖но▒▓╝ по о▒и p, ▓о е▒▓╝ ux об░а╣ае▓▒┐ в бе▒коне╖но▒▓╝.
Зада╖а 3.2. П░ове░и▓╝, ╖▓о гладка┐ в поло▒е T ┤│нк╢и┐ u(t; x),
│довле▓во░┐╛╣а┐ (3:7) ┐вл┐е▓▒┐ ░е╕ением зада╖и Ко╕и (3.1){(3.2).
Зада╖а 3.3. Показа▓╝, ╖▓о ┤│нк╢и┐ u(t; x), задаваема┐ (3:11), где
гладка┐ в поло▒е T ┤│нк╢и┐ y(t; x) │довле▓во░┐е▓ (3:10), ┐вл┐е▓▒┐
░е╕ением зада╖и Ко╕и (3.1){(3.2).
Зада╖а 3.4. Доказа▓╝, ╖▓о ┤о░м│л╗ (3:7) и (3:11) зада╛▓ одно и
▓о же ░е╕ение зада╖и Ко╕и (3.1){(3.2).
Зада╖а 3.5. Показа▓╝, ╖▓о е▒ли infy2 [u00(y)f 00 (u0(y))] = ;1, ▓о
гладкого ░е╕ени┐ зада╖и (3.1){(3.2) не ▒│╣е▒▓в│е▓ ни в какой поло▒е T = f(t; x) j 0 < t < T; x 2 Rg, T > 0.
Уп░ажнение 3.3. Дл┐ какого мак▒имал╝ного T > 0 ▒│╣е▒▓в│е▓
R
гладкое ░е╕ение зада╖и Ко╕и
ut + f 0 (u)ux = 0;
ut=0 = u0 (x);
в поло▒е T = f(t; x) j 0 < t < T; x 2 Rg, е▒ли
1) f(u) = u2=2; u0(x) = arctg x,
2) f(u) = u2=2; u0(x) = ; arctg x,
3) f(u) = cos u; u0 (x) = x,
4) f(u) = cos u; u0 (x) = sin x,
5) f(u) = u3=3; u0(x) = sinx.
(3.15)
Уп░ажнение 3.4. В╗┐▒ни▓╝, какие из по▒▓авленн╗╡ ниже зада╖
Ко╕и вида (3:15) име╛▓ гладкое ░е╕ение u(t; x) во в▒ей пол│пло▒ко▒▓и t > 0, а какие | не име╛▓ гладкого ░е╕ени┐ ни в какой
поло▒е T , T > 0, е▒ли
36
1) f(u) = u2=2; u0(x) = x3,
2) f(u) = u2=2; u0(x) = ;x3,
3) f(u) = u4; u0 (x) = x,
4) f(u) = u4; u0 (x) = ;x.
3.4. Фо░ми░ование о▒обенно▒▓ей
Ра▒▒мо▓░им дл┐ п░име░а ▒лед│╛╣│╛ зада╖│ Ко╕и дл┐ │░авнени┐
Хоп┤а (1.1), ▓.е. │░авнени┐ вида (3.1) ▒ f(u) = u2 =2:
ut + uux = 0;
ut=0 = u0(x);
(3.16)
где u0(x) { гладка┐ ┤│нк╢и┐, задаваема┐
8 2
>
>
< 1(x)
u0(x) = > ;x
>
: 2(x)
;2
п░и x 6 ;3
п░и ; 3 < x < ;1
п░и ; 1 6 x 6 1
п░и 1 < x < 3
п░и x > 3
(▒м. ░и▒. 5а). Зде▒╝ ┤│нк╢ии 1 и 2 гладким об░азом ▒в┐з╗ва╛▓
кон▒▓ан▓╗ п░и jxj > 3 и линейн│╛ ┤│нк╢и╛ п░и jxj 6 1. П░и ╜▓ом
┤│нк╢ии 1 и 2 в╗би░а╛▓▒┐ ▓ак, ╖▓о ;1 < i0 (x) 6 0, i = 1; 2, п░и
1 < jxj < 3.
Так как ju00j 6 1 и f 00 = 1, ▓о из ░ез│л╝▓а▓ов п░ед╗д│╣его ░аздела ▒лед│е▓, ╖▓о гладкое ░е╕ение u(t; x) зада╖и (3.16) ▒│╣е▒▓в│е▓
и един▒▓венно в поло▒е 0 < t < 1. Как показ╗вало▒╝ в ░азделе 3.2,
дл┐ по▒▓░оени┐ ╜▓ого ░е╕ени┐, н│жно из каждой ▓о╖ки (t; x) = (0; y)
п░┐мой t = 0 в╗п│▒▓и▓╝ п░┐м│╛ (▒м. (3.10)):
x ; u0(y) t = y;
(3.17)
и во в▒е╡ ▓о╖ка╡ (t; x) ╜▓ой п░┐мой положи▓╝ u(t; x) = u0(y).
П░и y 6 ;3 (или y > 3) ░авен▒▓во (3.17) задае▓ (▒м. ░и▒. 5б)
▒емей▒▓во па░аллел╝н╗╡ п░┐м╗╡ x = 2t + y (или, ▒оо▓ве▓▒▓венно,
x = ;2t + y). Таким об░азом,
u(t; x) = 2
u(t; x) = ;2
п░и 0 6 t 6 1; x 6 2t ; 3;
п░и 0 6 t 6 1; x 6 3 ; 2t:
37
Ри▒. 5.
Е▒ли же jyj 6 1, ▓о имеем п░┐м╗е x + yt = y, ▓.е. x = y(1 ; t), на
ко▓о░╗╡ u = ;y = ;x=(1 ; t). Зна╖и▓,
u(t; x) = ;x=(1 ; t) п░и 0 6 t < 1; jxj 6 1 ; t:
М╗ не можем напи▒а▓╝ ┐вное ░е╕ение u(t; x) на множе▒▓ве 0 6 t 6 1,
1 ; t < jxj < 3 ; 2t, не задава┐ ┐вно ┤│нк╢ии i(x). Един▒▓венное,
╖▓о можно га░ан▓и░ова▓╝, ╜▓о ▓о, ╖▓о п░┐м╗е вида (3.17) п░и ░азли╖н╗╡ зна╖ени┐╡ y из множе▒▓ва (;3; ;1) [ (1; 3) не пе░е▒ека╛▓▒┐
в поло▒е 0 6 t 6 1, ▓ак как j i0 j < 1 на ╜▓ом множе▒▓ве.
П░и t = 1 ╖е░ез кажд│╛ ▓о╖к│ (t; x) = (1; x), где x 6= 0, п░о╡оди▓
░овно одна п░┐ма┐ из ▒емей▒▓ва (3.17), jyj > 1 (▒м. ░и▒. 5б), п░ино▒┐
в нее зна╖ение u = u0 (y), п░и╖ем е▒ли x ! ;0, ▓о ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее
зна╖ение y ! ;1, а е▒ли x ! +0, ▓о y ! 1. Следова▓ел╝но, в момен▓ в░емени t = 1 м╗ пол│╖аем гладк│╛ (в ▒ил│ ▓ео░ем╗ о не┐вной
┤│нк╢ии) п░и x < 0 и п░и x > 0 ┤│нк╢и╛ u(1; x). Как б╗ло о▓ме╖ено,
lim u(1; x) = ylim
x!0
!1 u0 (y) = 1:
38
В ▓о╖к│ же (1; 0) ░азн╗е ╡а░ак▓е░и▒▓ики п░ино▒┐▓ ░азн╗е зна╖ени┐
┤│нк╢ии u. То╖нее, в▒е п░┐м╗е вида (3.17) ▒ jyj 6 1 (▓.е. x = y(1 ; t) )
п░о╡од┐▓ ╖е░ез ╜▓│ ▓о╖к│ и п░ино▒┐▓ в нее зна╖ени┐ u = ;y, в▒е
возможн╗е зна╖ени┐ из о▓░езка [;1; 1].
Г░а┤ик ┤│нк╢ии u = u(1; x) изоб░ажен на ░и▒. 5в. И▓ак, име┐ в
на╖ал╝н╗й момен▓ в░емени t = 0 гладк│╛ ┤│нк╢и╛ u(0; x) = u0(x),
п░и t = 1 возникае▓ ░аз░╗вна┐ в ▓о╖ке x = 0 ┤│нк╢и┐ u(1; x). Раз░╗в
▓акого ░ода когда u(t0; x0 + 0) 6= u(t0 ; x0 ; 0), наз╗вае▓▒┐ ▒ил╝н╗м.
Таким об░азом, │ ░е╕ени┐ зада╖и (3.16) в момен▓ в░емени t0 = 1 в
▓о╖ке x0 = 0 об░азовал▒┐ ▒ил╝н╗й ░аз░╗в.
Сил╝н╗й ░аз░╗в дл┐ об╣ей зада╖и (3.1){(3.2) возникае▓ в момен▓
в░емени T, задаваем╗й (3.14), е▒ли ▒░аз│ на ╢елом о▓░езке [y; ; y+ ] до▒▓игае▓▒┐ о▓░и╢а▓ел╝н╗й inf y2 [u00(y)f 00 (u0 (y))]. В ╜▓ом ▒л│╖ае, как
и в ░а▒▒мо▓░енном в╗╕е п░име░е, п░┐м╗е (3.10) п░и в▒е╡ y 2 [y; ; y+ ]
пе░е▒ек│▓▒┐ в одной ▓о╖ке (T; x0 ), п░ино▒┐ в ╜▓│ ▓о╖к│ ░азн╗е зна╖ени┐ u.
R
Зада╖а 3.6. Доказа▓╝, ╖▓о е▒ли
u00 (y)f 00 (u0 (y)) = I
где
R
8y 2 [y; ; y+ ];
I = yinf
[u0 (y)f 00 (u0 (y))] ;
2 0
I < 0;
▓о п░┐м╗е (3:10) п░и в▒е╡ y 2 [y; ; y+ ] пе░е▒ека╛▓▒┐ в одной ▓о╖ке.
К░оме ▒ил╝ного ░аз░╗ва, │ ░е╕ени┐ u(t; x) в момен▓ в░емени T
може▓ возникн│▓╝ и ▓ак наз╗ваем╗й ▒лаб╗й ░аз░╗в. По▒леднее озна╖ае▓, ╖▓о ┤│нк╢и┐ u(T; x) пе░еменной x неп░е░╗вна, но неди┤┤е░ен╢и░│ема.
Зада╖а 3.7. П│▒▓╝ о▓░и╢а▓ел╝н╗й I = inf y2R[u00(y)f 00 (u0(y))] до-
▒▓игае▓▒┐ ли╕╝ в одной ▓о╖ке y0 . Показа▓╝, ╖▓о в ╜▓ой ▒и▓│а╢ии │ гладкого п░и t < T (T задае▓▒┐ (3:14)) ░е╕ени┐ u(t; x) в ▓о╖ке
(T; y0 + f 0 (u0 (y0 ))T ) возникае▓ ▒лаб╗й ░аз░╗в, а п░┐м╗е вида (3:10)
на╖ина╛▓ пе░е▒ека▓╝▒┐ п░и t > T .
39
4. Обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ квазилинейного
│░авнени┐
Как б╗ло показано в п░ед╗д│╣ем па░аг░а┤е, │ кла▒▒и╖е▒ки╡ ░е╕ений квазилинейного │░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка, даже п░и ▒кол╝ │годно гладки╡ на╖ал╝н╗╡ ┤│нк╢и┐╡,
▒ ░о▒▓ом в░емени мог│▓ ▒┤о░ми░ова▓╝▒┐ о▒обенно▒▓и. В п░иложени┐╡ ╖а▒▓о в▒▓░е╖а╛▓▒┐ ▓акже зада╖и ▒ ░аз░╗вн╗ми на╖ал╝н╗ми
┤│нк╢и┐ми. Пpиpода ░а▒▒ма▓░иваем╗╡ нами │░авнений ▓акова (а
зде▒╝ бол╝╕│╛ ░ол╝ иг░а╛▓ ╡а░ак▓е░и▒▓ики, вдол╝ ко▓о░╗╡ \пе░ено▒и▓▒┐" ин┤о░ма╢и┐ о▓ на╖ал╝н╗╡ данн╗╡), ╖▓о не дае▓ нам о▒нований ожида▓╝, ╖▓о ╜▓и на╖ал╝н╗е ░аз░╗в╗ заведомо и▒╖езн│▓ п░и
t > 0. По╜▓ом│ возникае▓ на▒│╣на┐ необ╡одимо▒▓╝ ░а▒╕и░и▓╝ пон┐▓ие кла▒▒и╖е▒ки╡ ░е╕ений, ░а▒▒ма▓░ива┐ ▓ак наз╗ваем╗е обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ в кла▒▒а╡, ко▓о░╗е вкл╛╖а╛▓ ░аз░╗вн╗е ┤│нк╢ии.
4.1. Пон┐▓ие обоб╣енного ░е╕ени┐
С│╣е▒▓в│е▓ об╣ий под╡од к пон┐▓и╛ обоб╣енного ░е╕ени┐, име╛╣ий ▒вои ко░ни в ▓ео░ии обоб╣енн╗╡ ┤│нк╢ий. П░и ▓аком под╡оде
по▓о╖е╖ное ди┤┤е░ен╢иал╝ное │░авнение замен┐е▓▒┐ на ин▓ег░ал╝ное ▓ожде▒▓во, ко▓о░ое на кла▒▒и╖е▒ки╡ (до▒▓а▓о╖но гладки╡) ░е╕ени┐╡ ╜квивален▓но и▒╡одном│ │░авнени╛. Но ин▓ег░ал╝ное ▓ожде▒▓во имее▓ ▒м╗▒л дл┐ зна╖и▓ел╝но более ╕и░окого кла▒▒а ┤│нк╢ий.
Ф│нк╢ии, │довле▓во░┐╛╣ие ▓акого ▓ипа ин▓ег░ал╝ном│ ▓ожде▒▓в│
об╗╖но и наз╗ва╛▓ обоб╣енн╗ми ░е╕ени┐ми.
То▓ под╡од, ко▓о░╗й м╗ б│дем ░азвива▓╝, и▒пол╝з│е▓ ┤о░м│л│
Га│▒▒а-О▒▓░ог░ад▒кого.
Тео░ема 4.1 (Фо░м│ла Га│▒▒а-О▒▓░ог░ад▒кого). П│▒▓╝ |
ог░ани╖енна┐ обла▒▓╝ в Rn ▒ гладкой г░ани╢ей @
, w(x) 2 C 1(
).
Тогда
Z
Z
@w
@xi dx = @ w cos(; xi) dSx :
Зде▒╝ cos(; xi) | i-▓а┐ компонен▓а век▓о░а едини╖ной вне╕ней
но░мали (ко▒ин│▒ │гла межд│ нап░авлением вне╕ней но░мали к @
и нап░авлением i-▓ой коо░дина▓ной о▒и Oxi), dSx | ╜лемен▓ пло╣ади на @
.
40
След▒▓вие 4.1 (Фо░м│ла ин▓ег░и░овани┐ по ╖а▒▓┐м).
1
П░именим Тео░ем│ 4:1 к ┤│нк╢ии w = uv, u; v 2 C (
). Пе░ене▒┐
одно из ▒лагаем╗╡ в п░ав│╛ ╖а▒▓╝, имеем:
Z @u
Z
Z @v
v @x dx = uv cos(; xi) dSx ; u @x dx:
i
i
@
(4.1)
Пе░вое ▒лагаемое в п░авой ╖а▒▓и (4:1) ┐вл┐е▓▒┐ аналогом внеи▓ег░ал╝ного ╖лена изве▒▓ной одноме░ной ┤о░м│л╗.
П│▒▓╝ ┤│нк╢и┐ u = u(t; x) 2 C 1 (
) ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением │░авнени┐
ut + (f(u))x = 0;
(4.2)
1
2
f(u) 2 C (R), в неко▓о░ой обла▒▓и R (нап░име░, в поло▒е
= T = f;1 < x < +1; 0 < t < T g), ▓.е. u(t; x) п░и под▒▓ановке в
│░авнение (4.2) дае▓ ве░ное ░авен▒▓во п░и в▒е╡ (t; x) 2 . Умножим
╜▓о │░авнение на ┤ини▓н│╛ бе▒коне╖но ди┤┤е░ен╢и░│ем│╛ ┤│нк╢и╛ '(t; x). Фини▓но▒▓╝ озна╖ае▓, ╖▓о ' = 0 вне неко▓о░ой ог░ани╖енной обла▒▓и G, п░и╖ем G . (П░о▒▓░ан▒▓во ┤ини▓н╗╡ бе▒коне╖но ди┤┤е░ен╢и░│ем╗╡ ┤│нк╢ий в обозна╖ае▓▒┐ C01(
).) Так
как ┤│нк╢ии u(t; x), f(u(t; x)), '(t; x) ┐вл┐╛▓▒┐ гладкими, м╗ вп░аве
во▒пол╝зова▓╝▒┐ ┤о░м│лой ин▓ег░и░овани┐ по ╖а▒▓┐м (4.1):
0 =
=
Z
Z
[ut + (f(u))x ] ' dtdx =
@G
Z
= ;
Z
G
ut' dtdx +
(u cos(; t) + f(u) cos(; x)) ' dS ;
(u't + f(u)'x ) dtdx:
Z
Z
G
G
(f(u))x ' dtdx
(u't + f(u)'x ) dtdx
Зде▒╝ м╗ во▒пол╝зовали▒╝ ▓ем, ╖▓о '(t; x) = 0 п░и (t; x) 2 n G, в
▓ом ╖и▒ле и п░и (t; x) 2 @G.
Таким об░азом, пол│╖ено ▒лед│╛╣ее │▓ве░ждение: е▒ли u(t; x) |
гладкое ░е╕ение │░авнени┐ (4.2) в обла▒▓и , ▓о
Z
(u't + f(u)'x ) dtdx = 0 8' 2 C01 (
):
(4.3)
Соо▓но╕ение (4.3) п░инима╛▓ за оп░еделение обоб╣енного ░е╕ени┐
(или ░е╕ени┐ в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) │░авнени┐ (4.2). В
41
ка╖е▒▓ве обоб╣енного ░е╕ени┐ ░а▒▒ма▓░иваемого │░авнени┐ не об┐за▓ел╝но в╗▒▓│па╛▓ гладкие ┤│нк╢ии. Л╛бое кла▒▒и╖е▒кое ░е╕ение
u(t; x) │░авнени┐ (4.2) ┐вл┐е▓▒┐ и его обоб╣енн╗м ░е╕ением.
Легко п░ове░┐е▓▒┐ и об░а▓н╗й ┤ак▓: е▒ли ┤│нк╢и┐ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ гладким обоб╣енн╗м ░е╕ением │░авнени┐ (4.2) (▓.е. u(t; x) п░инадлежи▓ C 1(
) и │довле▓во░┐е▓ (4.3)), ▓о она ┐вл┐е▓▒┐ и кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением ╜▓ого │░авнени┐ (▓.е. п░и под▒▓ановке в (4.2) дае▓
ве░ное ░авен▒▓во). Дей▒▓ви▓ел╝но, в▒е п░оведенн╗е в╗╕е в╗кладки
п░о╡од┐▓ и в об░а▓ном по░┐дке, а из ▓ого ╖▓о неп░е░╗вна┐ ┤│нк╢и┐
[ut + (f(u))x ] │довле▓во░┐е▓
Z
[ut + (f(u))x ]' dtdx = 0 8' 2 C01 (
)
▒лед│е▓ ut (t; x) + [f(u(t; x))]x = 0 п░и в▒е╡ (t; x) 2 .
Зада╖а 4.1. П░ове▒▓и акк│░а▓ное доказа▓ел╝▒▓во ╜▓ого │▓ве░ждени┐.
4.2. У▒ловие Ранкина-Г╛гонио
Ра▒▒мо▓░им гладк│╛ в обла▒▓и R2t;x ┤│нк╢и╛ u(t; x) и ▒в┐жем
▒ ней век▓о░ное поле ~v = (u; f(u)), заданное в ╜▓ой обла▒▓и. То▓
┤ак▓, ╖▓о u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением │░авнени┐ (4.2) в
▓о╖но▒▓и озна╖ае▓ div~v = 0, ╖▓о в ▒во╛ о╖е░ед╝ ░авно▒ил╝но ▓ом│,
╖▓о по▓ок век▓о░ного пол┐ ~v ╖е░ез г░ани╢│ л╛бой обла▒▓и G ░авен н│л╛:
Z
(~v ; ) dS = 0 8G :
(4.4)
@G
Зде▒╝ | едини╖н╗й век▓о░ но░мали к @G, (~v; ) | ▒кал┐░ное п░оизведение век▓о░ов ~v и . Тожде▒▓во (4.4) наз╗вае▓▒┐ законом ▒о╡░анени┐.
П│▒▓╝ ▓епе░╝ м╗ имеем к│▒о╖но-гладк│╛ ┤│нк╢и╛ u(t; x), │довле▓во░┐╛╣│╛ │░авнени╛ (4.2) в ок░е▒▓но▒▓и каждой ▓о╖ки гладко▒▓и.
В ╜▓ом ▒л│╖ае закон ▒о╡░анени┐ (4.4) в╗полн┐▓╝▒┐, вооб╣е гово░┐,
│же не б│де▓ (по▓ок може▓ б╗▓╝ и нен│лев╗м, е▒ли обла▒▓╝ G ▒оде░жи▓ лини╛ ░аз░╗ва u(t; x)). Однако, дл┐ л╛бого к│▒о╖но-гладкого
обоб╣енного ░е╕ени┐ │░авнени┐ (4.2) в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (4.3) ╜▓о▓ важн╗й ┤изи╖е▒кий закон, ▒│▓╝ ко▓о░ого и в╗░ажае▓▒┐ │░авнением (4.2), в╗полн┐е▓▒┐. Дело в ▓ом, ╖▓о на л╛бой
42
линии ░аз░╗ва обоб╣енное ░е╕ение │довле▓во░┐е▓ ▓ак наз╗ваемом│ │▒лови╛ Ранкина-Г╛гонио. Э▓о │▒ловие ┐вл┐е▓▒┐ необ╡одим╗м и
до▒▓а▓о╖н╗м дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ к│▒о╖но-гладка┐ ┤│нк╢и┐ u(t; x); │довле▓во░┐╛╣а┐ │░авнени╛ (4.2) в ок░е▒▓но▒▓и каждой ▓о╖ки гладко▒▓и, ┐вл┐ла▒╝ обоб╣енн╗м ░е╕ением в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (4.3). Э▓о▓ ░аздел и по▒в┐╣ен в╗вод│ в╗╕еназванного │▒лови┐.
П│▒▓╝ u(t; x) | к│▒о╖но-гладкое ░е╕ение │░авнени┐ (4.2) в обла▒▓и R2 в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (4.3). То╖нее, п│▒▓╝
дели▓▒┐ линией ; на две ╖а▒▓и (▒м. ░и▒. 6) ; и + , в каждой из
ко▓о░╗╡ ┤│нк╢и┐ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ гладкой, u(t; x) 2 C 1(
; ) \ C 1(
+ ),
и ▒│╣е▒▓в│╛▓ одно▒▓о░онние п░едел╗ u; и u+ ┤│нк╢ии u(t; x) п░и
под╡оде к ;.
Таким об░азом, на к░ивой ; в
каждой ▓о╖ке (t0 ; x0) 2 ; оп░еделен╗
u;(t0 ; x0) = (t;x)!lim
u(t; x);
(t0 ;x0 )
и
(t;x)2
;
u+ (t0 ; x0) = (t;x)!lim
u(t; x):
(t0 ;x0 )
(t;x)2
+
Ри▒. 6
Такие ░аз░╗в╗ м╗ б│дем наз╗ва▓╝ ░аз░╗вами пе░вого ░ода.
Так как u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ гладким обоб╣енн╗м ░е╕ением как в
обла▒▓и ; , ▓ак и в + (ввид│ C01 (
) C01 (
)), ▓о в каждой из
╜▓и╡ обла▒▓ей по доказанном│ в╗╕е ┤│нк╢и┐ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением. У▒▓ановим, каким │▒лови┐м │довле▓во░┐е▓ ░е╕ение u(t; x) на линии ░аз░╗ва ;.
П░едложение 4.1. П│▒▓╝ к░ива┐ ; в обла▒▓и е▒▓╝ г░а┤ик гладкой ┤│нк╢ии x = x(t). Тогда к│▒о╖но-гладкое обоб╣енное ░е╕ение
u(t; x) │░авнени┐ (4:2) │довле▓во░┐е▓ на линии ░аз░╗ва ; ▒лед│╛╣ем│ │▒лови╛ Ранкина-Г╛гонио:
dx = [f(u)] = f(u+ ) ; f(u; ) ;
(4.5)
dt
[u]
u+ ; u;
где [u] = u+ ; u; | ▒ка╖ок ┤│нк╢ии u(t; x) на линии ░аз░╗ва ;,
[f(u)] = f(u+ ) ; f(u; ) | ▒ка╖ок f(u).
43
П░инима┐ во внимание ▒оо▓но╕ение dx=dt = ; cos(; t)= cos(; x),
где cos(; x) и cos(; t) | коо░дина▓╗ едини╖ной но░мали к к░ивой ; (нап░авленной из ; в + , cos(; x) 6= 0), ░авен▒▓во (4:5)
пе░епи▒╗вае▓▒┐ в ╜квивален▓ном виде:
[u]cos(; t) + [f(u)] cos(; x) = 0:
(4.6)
Оп░еделение 4.1. Уда░н╗ми волнами наз╗ва╛▓▒┐ ░аз░╗вн╗е ░е╕ени┐ │░авнени┐ (4:2).
Таким об░азом, │▒ловие Ранкина-Г╛гонио (4.5) ▒в┐з╗вае▓ ▒ко░о▒▓╝ x_ ░а▒п░о▒▓░анени┐ │да░н╗╡ волн ▒ п░едел╝н╗ми зна╖ени┐ми
u+ и u; ░е╕ени┐ u(t; x) ╖е░ез ┤│нк╢и╛ ▒о▒▓о┐ни┐ f(u).
Доказа▓ел╝▒▓во П░едложени┐ 4.1. Б│дем доказ╗ва▓╝ ┤о░м│-
л│ (4.6). По оп░еделени╛ обоб╣енного ░е╕ени┐ дл┐ л╛бой п░обной
┤│нк╢ии ' 2 C01 (
), '(t; x) = 0 п░и (t; x) 2= G, G , имеем:
Z
0 =
Z
=
(u't + f(u)'x ) dtdx
; \G
(u't + f(u)'x ) dtdx +
Z
+ \G
(u't + f(u)'x ) dtdx:
Так как ┤│нк╢ии u(t; x); f(u(t; x)) и '(t; x) ┐вл┐╛▓▒┐ гладкими в
ог░ани╖енн╗╡ обла▒▓┐╡ ; \ G и + \ G, ▓о в ин▓ег░ала╡ по ╜▓им
множе▒▓вам можно пе░еб░о▒и▓╝ п░оизводн╗е в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ многоме░ной ┤о░м│лой ин▓ег░и░овани┐ по ╖а▒▓┐м (4.1). У╖и▓╗ва┐, ╖▓о
г░ани╢╗ ╜▓и╡ обла▒▓ей ▒о▒▓о┐▓ из @G и ;, а ин▓ег░ал по @G ░авен
н│л╛, ▓ак как '(t; x) = 0 п░и (t; x) 2 @G, имеем:
0 = ;
Z
; \G
+
+
= ;
Z
;\G
Z ;\G
;
44
Z
(ut ' + (f(u))x ') dtdx ;
;
+ \G
(ut' + (f(u))x ') dtdx
(u; cos(; t) + f(u; ) cos(; x)) ' dS
(u+ cos(;; t) + f(u+ ) cos(;; x)) ' dS
(ut + (f(u))x ) ' dtdx ;
Z
;
Z
Z
+
(ut + (f(u))x ) ' dtdx
(u+ ; u; ) cos(; t) + (f(u+ ) ; f(u; )) cos(; x) ' dS:
М╗ во▒пол╝зовали▒╝ ▓ем, ╖▓о | вне╕н┐┐ но░мал╝ к обла▒▓и ; \G,
а к обла▒▓и + \ G вне╕ней но░мал╝╛ ┐вл┐е▓▒┐ ;. У╖и▓╗ва┐, ╖▓о,
как о▓ме╖ало▒╝ в╗╕е, u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением в ;
и в + , ▓.е. в╗полнено (4.2) п░и (t; x) 2 ; [ + , имеем:
Z
;
([u]cos(; t) + [f(u)] cos(; x))' dS = 0
8' 2 C01 (
):
(4.7)
О▓▒╛да ▒лед│е▓, ╖▓о ░авен▒▓во (4.6) в╗полнено во в▒е╡ ▓о╖ка╡
(t; x) 2 ;, в ко▓о░╗╡ к░ива┐ ░аз░╗ва ; гладка┐ (▓.е. век▓о░ но░мали
= (cos(; t); cos(; x)) неп░е░╗вно зави▒и▓ о▓ ▓о╖ки). 2
Имее▓ ме▒▓о и │▓ве░ждение, об░а▓ное к ▓ол╝ко ╖▓о доказанном│, а именно: е▒ли ┤│нк╢и┐ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением
│░авнени┐ (4.2) как в обла▒▓и ; , ▓ак и в + , имее▓ на ; ░аз░╗в
пе░вого ░ода, а ▓акже на линии ░аз░╗ва ; │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛
Ранкина-Г╛гонио, ▓о она ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣енн╗м ░е╕ением │░авнени┐ (4.2) в обла▒▓и = ; [ ; [ + . Дей▒▓ви▓ел╝но, и▒╡од┐ из (4.7)
и ▓ого ┤ак▓а, ╖▓о
ut + (f(u))x = 0 п░и (t; x) 2 ; [ + ;
в▒е в╗кладки можно п░одела▓╝ в об░а▓ном по░┐дке. Э▓о п░иводи▓
к оп░еделени╛ обоб╣енного ░е╕ени┐ (4.3).
Зада╖а 4.2. П░ове▒▓и ▒▓░ого доказа▓ел╝▒▓во ╜▓ого ┤ак▓а.
Тео░ема 4.2. П│▒▓╝ │ ┤│нк╢ии u(t; x), оп░еделенной в обла▒▓и ,
е▒▓╝ не▒кол╝ко компонен▓ гладко▒▓и 1 ; 2; : : :; n и, ▒оо▓ве▓▒▓венно, не▒кол╝ко линий ░аз░╗ва пе░вого ░ода ;1; ;2; : : :; ;k , п░и╖ем
n k =
[
i=1
i
[ [
i=1
;i
(▒м. ░и▒. 7 в ▒л│╖ае поло▒╗ = T ).
Ф│нк╢и┐ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ в обла▒▓и обоб╣енн╗м ░е╕ением
│░авнени┐ (4:2) в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (4:3) ▓огда и
▓ол╝ко ▓огда, когда u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением ╜▓ого │░авнени┐ в ок░е▒▓но▒▓и каждой ▓о╖ки гладко▒▓и (▓.е. на каждом из множе▒▓в i , i = 1; : : :; n) и │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛ Ранкина-Г╛гонио (4:6) на каждой линии ░аз░╗ва ;i, i = 1; : : :; k за и▒кл╛╖ением коне╖ного ╖и▒ла ▓о╖ек пе░е▒е╖ений ;i .
45
Дл┐ доказа▓ел╝▒▓ва до▒▓а▓о╖но ░а▒▒мо▓░е▓╝ ┤│нк╢и╛ u(t; x)
на каждой о▓дел╝но вз┐▓ой линии
░аз░╗ва ;i и дв│╡ п░илега╛╣и╡ к
ней компонен▓а╡ гладко▒▓и i1 ,
i2 и во▒пол╝зова▓╝▒┐ │▓ве░ждени┐ми, доказанн╗ми в П░едложении 4.1 и в Зада╖е 4.2.
Ри▒. 7
П░едложение 4.2. П│▒▓╝ u(t; x) | к│▒о╖но гладкое обоб╣енного
░е╕ение │░авнени┐ (4:2) в обла▒▓и в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (4:3). Тогда дл┐ век▓о░ного пол┐ ~v = (u; f(u)) в╗полнен
закон ▒о╡░анени┐ (4:4).
Доказа▓ел╝▒▓во. П│▒▓╝ i | компонен▓╗ гладко▒▓и ┤│нк╢ии
u(t; x); G | п░оизвол╝на┐ подобла▒▓╝ обла▒▓и . По▓ок век▓о░ного
пол┐ ~v = (u; f(u)) ╖е░ез @ (
i \ G) ░авен н│л╛, ▓ак как u | кла▒▒и╖е▒кое ░е╕ение │░авнени┐ (4.2) в каждой подобла▒▓и i . Ра▒▒мо▓░им
░авн│╛ н│л╛ ▒│мм│ ╜▓и╡ по▓оков ╖е░ез в▒е г░ани╢╗ @ (
i \ G). В
▒ил│ в╗полнени┐ │▒лови┐ Ранкина-Г╛гонио (4.6) на каждой линии
░аз░╗ва ;j , ▒│мма░н╗й по▓ок век▓о░н╗╡ полей ~v ▒ обеи╡ ▒▓о░он о▓
;j ╖е░ез к░ив│╛ ;j \ G ░авен н│л╛. Зна╖и▓, ▒│мма по▓оков ╖е░ез в▒е
г░ани╢╗ @ (
i \ G) ░авна по▓ок│ век▓о░ного пол┐ ~v ╖е░ез @G, ╖▓о и
доказ╗вае▓ (4.4). 2
Как о▓ме╖ало▒╝ в Заме╖ании (3.2), пло╣ад╝, ог░ани╖енна┐ г░а┤иком кла▒▒и╖е▒кого ░е╕ени┐ u(t; x) зада╖и (3.1){(3.2) п░и ░азли╖н╗╡
┤ик▒и░ованн╗╡ момен▓а╡ в░емени t > 0 о▒▓ае▓▒┐ по▒▓о┐нной (не зави▒и▓ о▓ t), е▒ли ▓ол╝ко ╜▓а пло╣ад╝ коне╖на. Оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о дл┐
обоб╣енного ░е╕ени┐ ╜▓о▓ ┤ак▓ ▓акже имее▓ ме▒▓о. Таким об░азом,
┤о░ми░ование │да░ной волн╗ (оп░окид╗вание г░а┤ика) п░ои▒╡оди▓
▓аким об░азом, ╖▓о \о▓░езаема┐" ╖а▒▓╝ ░авна по пло╣ади \добавл┐емой" (▒м. ░и▒. 8), и ╜▓о е▒▓╝ п░┐мое ▒лед▒▓вие │▒лови┐ РанкинаГ╛гонио.
46
Ри▒. 8.
П░едложение 4.3. П│▒▓╝ к│▒о╖но гладка┐, ┤ини▓на┐ по пе░еменной x ┤│нк╢и┐ u(t; x) ▒ линией ░аз░╗ва x = x(t) ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣енн╗м ░е╕ением │░авнени┐ (4:2). Обозна╖им
S(t) =
Z +1
;1
u(t; x) dx:
Тогда ┤│нк╢и┐ S(t) не зави▒и▓ о▓ t, ▓.е. S(t) Const.
Доказа▓ел╝▒▓во. Дей▒▓ви▓ел╝но, запи╕ем
Z x(t)
Z +1
S(t) =
;1
u(t; x) dx +
x(t)
u(t; x) dx;
где x = x(t) | лини┐ ░аз░╗ва обоб╣енного ░е╕ени┐ u(t; x). Как и
░анее, обозна╖аем u = limx!x(t)0 u(t; x) | п░едел╗ ▒п░ава и ▒лева
(по о▒и x-ов) ░е╕ени┐ u(t; x) п░и под╡оде к линии ░аз░╗ва. Тогда
Z x(t)
dS = u(t; x(t) ; 0) x(t)
_
+
ut(t; x) dx
dt
;1
;u(t; x(t) + 0) x(t)
_ +
Z +1
Z x(t)
x(t)
ut(t; x) dx
Z +1
= (u; ; u+ ) x(t)
_ ;
[f(u(t; x))]x dx ;
[f(u(t; x))]x dx
;1
x(t)
= (u; ; u+ ) x(t)
_ + f(u(t; ;1)) ; f(u(t; x(t) ; 0))
; f(u(t; +1)) + f(u(t; x(t) + 0))
= (f(u+ ) ; f(u; )) ; (u+ ; u; ) x(t)
_
(4.8)
В ╜▓и╡ в╗кладка╡, к░оме ▒амого │░авнени┐ (4.2), м╗ во▒пол╝зовали▒╝
▓ем, ╖▓о f(u(t; ;1)) = f(u(t; +1)) = f(0) в▒лед▒▓вие ┤ини▓но▒▓и
┤│нк╢ии u(t; x) по x.
47
Е▒ли u+ = u; , ▓о из (4.8) о╖евидно имеем
dS = 0:
dt
В ▒л│╖ае же u+ 6= u; ▓о▓ же ▒ам╗й ░ез│л╝▓а▓ дае▓ │▒ловие РанкинаГ╛гонио (4.5). 2
Зада╖а 4.3. Докажи▓е аналоги╖н╗й ░ез│л╝▓а▓ в ▓ом ▒л│╖ае, ко-
гда │ к│▒о╖но-гладкого обоб╣енного (в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) ░е╕ени┐ u(t; x) │░авнени┐ (4:2) имее▓▒┐ не одна, а коне╖ное
╖и▒ло линий ░аз░╗ва x = xj (t), j = 1; : : :; N .
Заме╖ание 4.1. Е▒ли ┤│нк╢и┐ u(t; x) ▓е░пи▓ ▒лаб╗й ░аз░╗в на ли-
нии ;, ▓.е. ┐вл┐е▓▒┐ на ней неп░е░╗вной и имее▓ на ; ли╕╝ ░аз░╗в╗
п░оизводн╗╡ ut ; ux , ▓о │▒ловие Ранкина-Г╛гонио (4.6), о╖евидно,
в╗полнено (▓ак как [u] = 0, и, ▒ледова▓ел╝но, ▓акже [f(u)] = 0).
Таким об░азом, к│▒о╖но-гладка┐ неп░е░╗вна┐ в обла▒▓и ┤│нк╢и┐ u(t; x), ко▓о░а┐ в ок░е▒▓но▒▓и каждой ▓о╖ки гладко▒▓и ┐вл┐е▓▒┐
кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением, б│де▓ во в▒ей обла▒▓и обоб╣енн╗м ░е╕ением (┤│нк╢и┐ u(t; x) кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением в , без│▒ловно, не
┐вл┐е▓▒┐, ▓ак как она неди┤┤е░ен╢и░│ема п░и (t; x) 2 ; ).
Заме╖ание 4.2. Фо░мал╝но пе░е╡од┐ к п░едел│ в (4.5) п░и u ! u
на линии ▒лабого ░аз░╗ва ; = f(t; x) j x = x(t)g, пол│╖им
dx = f 0 (u(t; x));
(4.9)
dt
▓.е. ▒лаб╗й ░аз░╗в ░а▒п░о▒▓░ан┐е▓▒┐ по ╡а░ак▓е░и▒▓ике.
Дадим ▒▓░огое доказа▓ел╝▒▓во ╜▓ого ┤ак▓а.
П│▒▓╝ ; = f(t; x) j x = x(t)g | лини┐ ▒лабого ░аз░╗ва межд│ дв│м┐ кла▒▒и╖е▒кими ░е╕ени┐ми u(t; x) и v(t; x) │░авнени┐ (4.2). Тогда
u(t; x(t)) v(t; x(t)):
(4.10)
Ди┤┤е░ен╢и░│┐ (4.10) по t, пол│╖аем
dx
ut(t; x(t)) + ux(t; x(t)) dx
dt = vt (t; x(t)) + vx (t; x(t)) dt
Зде▒╝ и далее под ux ; vx; ut; vt м╗ под░аз│меваем ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие п░едел╗ п░оизводн╗╡ п░и ▒▓░емлении ▓о╖ки (t; x) к линии ▒лабого ░аз░╗ва ;. (Из оп░еделени┐ ▒лабого ░аз░╗ва ▒лед│е▓, ╖▓о ╜▓и
48
п░едел╗ ▒│╣е▒▓в│╛▓.) Замен┐┐ ▓епе░╝ в ▒ил│ │░авнени┐ (4.2) п░оизводн╗е по t, имеем
dx 0
0
ux (t; x(t)) dx
dt ; f (u(t; x(t)))ux = vx (t; x(t)) dt ; f (v(t; x(t)))vx :
О▓▒╛да, п░инима┐ во внимание (4.10), пол│╖аем
0 (u(t; x(t)) = 0:
;
f
ux (t; x(t)) ; vx (t; x(t)) dx
dt
Так как к░ива┐ x = x(t) ┐вл┐е▓▒┐ линией ▒лабого ░аз░╗ва, ▓о на ней
в╗полнено ux (t; x) 6= vx (t; x), и (4.10) доказано.
Уп░ажнение 4.1. Явл┐е▓▒┐ ли ┤│нк╢и┐ u(t; x) обоб╣енн╗м ░е╕е-
нием (в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (4:3)) │░авнени┐ (4:2) в
поло▒е T = f;1 < x < +1; 0 < t < T g, е▒ли
0 п░и x < t;
u(t; x) = 1 п░и x > t;
0 п░и x < t;
1)
f(u) = u2=2;
2)
f(u) = u2=2;
3)
f(u) = u2=2;
4)
f(u) = ;u2 ;
5)
f(u) = ;u2 ;
6)
f(u) = u3;
7)
f(u) = u3;
;1 п░и x > 0;
x < t;
u(t; x) = ;11 п░и
п░и x > t;
8)
f(u) = u3;
u(t; x) =
u(t; x) =
2 п░и x > t;
u(t; x) =
;1 п░и x > 0;
x < t;
u(t; x) = 20 п░и
п░и x > t;
1 п░и x < 0;
;1 п░и x < 0;
u(t; x) = 1 п░и x > 0;
1 п░и x < 0;
u(t; x) =
1 п░и x < t;
;1 п░и x > t:
49
Уп░ажнение 4.2. П░ид│ма▓╝ какие-либо
обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ (в
▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) в поло▒е T │░авнений
1)
2)
3)
4)
5)
6)
ut ; (u3)x = 0;
ut ; u2 ux = 0;
ut + sin u ux = 0;
ut ; (eu )x = 0;
ut + (eu )x = 0;
ut + ux =u = 0;
ко▓о░╗е по▒ле л╛бого изменени┐ на множе▒▓ве ме░╗ н│л╝ не ▒▓ановили▒╝ б╗ кла▒▒и╖е▒кими.
4.3. П░име░ неедин▒▓венно▒▓и обоб╣енного ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва
Оказ╗вае▓▒┐, ░а▒╕и░ение пон┐▓и┐ ░е╕ени┐ │░авнени┐ (4.2) п│▓ем
пе░е╡ода к ин▓ег░ал╝ном│ ▓ожде▒▓в│ (4:3)) (ко▓о░ое, заме▓им, ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣енной ┤о░мой закона ▒о╡░анени┐ (4:4)) дл┐ век▓о░ного пол┐ ~v = (u; f(u)) ) п░иводи▓ к неедин▒▓венно▒▓и обоб╣енного ░е╕ени┐
зада╖и Ко╕и. Ч▓об╗ │беди▓╝▒┐ в ╜▓ом, ░а▒▒мо▓░им │░авнение (4.2) ▒
┤│нк╢ией ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) = u2 и ▒ н│лев╗ми на╖ал╝н╗ми │▒лови┐ми:
ut + 2uu
x = 0;
u t=0 = 0:
x 2 R; 0 < t < T;
(4.11)
(4.12)
Кла▒▒и╖е▒ким (а, ▒ледова▓ел╝но, и обоб╣енн╗м) ░е╕ением ╜▓ой зада╖и ┐вл┐е▓▒┐ ┤│нк╢и┐ u(t; x) 0. Тем не менее м╗ можем по▒▓░ои▓╝
о▓ли╖н╗е о▓ ▓ожде▒▓венного н│л┐ обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ ░а▒▒ма▓░иваемой зада╖и. Положим (▒м. ░и▒. 9)
8 0
>
< u (t; x) = > ;
: +0
50
п░и x < ;t;
п░и ; t < x < 0;
п░и 0 < x < +t;
п░и x > +t;
где > 0:
(4.13)
Ри▒. 9.
Заданна┐ ┤о░м│лой (4.13) ┤│нк╢и┐ u (t; x) на каждой из ╖е▓╗░е╡ компонен▓ гладко▒▓и ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением │░авнени┐ (4.11) (вооб╣е, л╛ба┐ кон▒▓ан▓а │довле▓во░┐е▓ │░авнени╛ (4.2) ▒
п░оизвол╝ной ┤│нк╢ией ▒о▒▓о┐ни┐ f(u)). П░ове░им │▒ловие РанкинаГ╛гонио на каждой из ▓░е╡ (x = 0 и x = t) п░┐м╗╡ ░аз░╗ва:
п░и x = 0 имеем u; = ;, u+ = , и
dx = 0 = 2 ; (;)2 = f(u+ ) ; f(u; ) ;
dt
; (;)
u+ ; u;
п░и x = ;t имеем u; = 0, u+ = ;, и
dx = ; = (;)2 ; 02 = f(u+ ) ; f(u; ) ;
dt
(;) ; 0
u+ ; u;
п░и x = t имеем u; = , u+ = 0, и
dx = = 02 ; 2 = f(u+ ) ; f(u; ) :
dt
0;
u+ ; u;
Заме▓им, ╖▓о в ▒л│╖ае к│▒о╖но-по▒▓о┐нн╗╡ ░е╕ений │▒ловие Ранкина-Г╛гонио имее▓ ве▒╝ма п░о▒▓ой геоме▓░и╖е▒кий ▒м╗▒л. По▒▓░оим г░а┤ик ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f = f(u) в о▒┐╡ (u; f), па░аллел╝н╗╡
коо░дина▓н╗м о▒┐м (t; x). О▓ме▓им на по▒▓░оенном г░а┤ике ▓о╖ки
(u; ; f(u; )) и (u+ ; f(u+ )) (▒м. ░и▒. 10). Тогда о▓░езок, ▒оедин┐╛╣ий
╜▓и ▓о╖ки, б│де▓ па░аллелен п░┐мой ░аз░╗ва x = x(t) = kt. Дей▒▓ви▓ел╝но, ▓анген▒ │гла наклона о▓░езка ░авен f (uu++);;uf (;u; ) , а ▓анген▒
│гла наклона п░┐мой ░аз░╗ва е▒▓╝ dx
dt = k, ░авен▒▓во же ╜▓и╡ ▓анген▒ов │глов наклона и е▒▓╝ в ▓о╖но▒▓и │▒ловие Ранкина-Г╛гонио (4.5).
51
Ри▒. 10.
С ╜▓ой геоме▓░и╖е▒кой ▓о╖ки з░ени┐ можно по▒мо▓░е▓╝ на ▓ол╝ко ╖▓о по▒▓░оенн╗е обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ u (t; x) │░авнени┐ (4.11).
О▓ме▓ив ▓о╖ки (0; 0); (; 2) и ▒оединив и╡ о▓░езками как ╜▓о показано на ░и▒. 9, м╗ и пол│╖аем нап░авлени┐ и▒ком╗╡ линий ░аз░╗ва.
Уп░ажнение 4.3. По▒▓░ои▓╝ к│▒о╖но-по▒▓о┐нное обоб╣енное ░е╕ение зада╖и (4.11){(4.12) ▒ ▓░ем┐ (как │ u (t; x)) лини┐ми ░аз░╗ва,
о▓ли╖ное о▓ (4:13). Дл┐ по▒▓░оенного ░е╕ени┐ п░ове░и▓╝ анали▓и╖е▒ки в╗полнение │▒лови┐ Ранкина-Г╛гонио на в▒е╡ лини┐╡ ░аз░╗ва.
Заме▓им, ╖▓о к│▒о╖но-по▒▓о┐нное обоб╣енное ░е╕ение зада╖и
(4.11){(4.12) ▒ дв│м┐ лин┐ми ░аз░╗ва по▒▓░ои▓╝ нел╝з┐, ▓ак как │
▓акого ░е╕ени┐ должн╗ б╗▓╝ ▒ка╖ки о▓ 0 к неко▓о░ой кон▒▓ан▓е и о▓ к 0, а ╜▓и ░аз░╗в╗ мог│▓ б╗▓╝, в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ │▒ловием
Ранкина-Г╛гонио, ли╕╝ на п░┐мой x = f ();;0f (0) t.
Уп░ажнение 4.4. По▒▓░ои▓╝ к│▒о╖но-по▒▓о┐нн╗е обоб╣енн╗е (в
▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) ░е╕ени┐ зада╖и (4.11){(4.12) более ╖ем ▒ ▓░ем┐ лин┐ми ░аз░╗ва.
Уп░ажнение 4.5. Можно ли по▒▓░ои▓╝ ▓акие ░е╕ени┐ ▒ ╖е▓н╗м
╖и▒лом линий ░аз░╗ва, кажда┐ из ко▓о░╗╡ ┐вл┐е▓▒┐ л│╖ом, в╗╡од┐╣им из на╖ала коо░дина▓?
Дл┐ по▒▓░оени┐ не ░авного ▓ожде▒▓венно н│л╛ обоб╣енного ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и
52
ut + (f(u))x = 0;
ut=0 = 0;
(4.14)
▒ п░оизвол╝ной заданной ┤│нк╢ией ▒о▒▓о┐ни┐ f(u), до▒▓а▓о╖но в╗б░а▓╝ два ╖и▒ла и , < 0 < , ▓ак, ╖▓об╗ ▓о╖ки (0; f(0)),
(; f()) и (; f()) не лежали на одной п░┐мой, ▒оедини▓╝ и╡ о▓░езками, и ▓ем ▒ам╗м пол│╖и▓╝ нап░авление п░┐м╗╡ ░аз░╗ва ░е╕ени┐
на пло▒ко▒▓и (t; x), как ╜▓о опи▒╗вало▒╝ в╗╕е в ▒л│╖ае f(u) = u2 (▒м.
░и▒. 9). Невозможно▒▓╝ же най▓и ▓акие ▓о╖ки в ▓о╖но▒▓и озна╖ае▓,
╖▓о ┤│нк╢и┐ f(u) = au + b | линейна┐, и ▓огда линейна┐ (а не квазилинейна┐) зада╖а ut + aux = 0, ujt=0 = u0 (x), п░и л╛бом на╖ал╝ном
│▒ловии u0(x) имее▓ един▒▓венное ░е╕ение u(t; x) = u0 (x ; at).
Уп░ажнение 4.6. По▒▓░ои▓╝ не▓░ивиал╝н╗е обоб╣енн╗е (в ▒м╗-3
▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) ░е╕ени┐ зада╖и (4:14) ▒ f(u) = u
и f(u) = sin u. Можно ли п░ид│ма▓╝ ▓акие ░е╕ени┐ ▒ более ╖ем
▓░ем┐ п░┐м╗ми ░аз░╗ва?
Пон┐▓но, ╖▓о в▒е по▒▓░оенн╗е в╗╕е обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ зада╖и (4.11){(4.12) или (4.14) в каком-▓о ▒м╗▒ле \неп░авил╝н╗е", ╡о▓┐ и
│довле▓во░┐╛▓ │░авнени╛ в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (4.3), а
\п░авил╝н╗м" ░е╕ением ┐вл┐е▓▒┐, без│▒ловно, ▓ожде▒▓венн╗й н│л╝.
Таким об░азом, м╗ должн╗ ма▓ема▓и╖е▒ки ▓о╖но ▒┤о░м│ли░ова▓╝
е╣е неко▓о░ое необ╡одимое │▒ловие на обоб╣енное ░е╕ение, в╗дел┐╛╣ее един▒▓венно \п░авил╝ное" ░е╕ение. Э▓о │▒ловие, но▒┐╣ее название │▒лови┐ воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии, б│де▓ ▒┤о░м│ли░овано ниже.
4.4. Одноме░ное нелинейное │░авнение.
В на▒▓о┐╣ем ░азделе м╗ б│дем ▒▓░ои▓╝ ░е╕ение зада╖и Ко╕и дл┐
одноме░ного по п░о▒▓░ан▒▓венной пе░еменной x нелинейного │░авнени┐
ut + f(ux ) = 0;
(4.15)
▒ на╖ал╝н╗ми │▒лови┐ми
ut=0 = u0 (x):
(4.16)
П│▒▓╝ u(t; x) | до▒▓а▓о╖но гладкое кла▒▒и╖е▒кое ░е╕ение зада╖и
(4.15){(4.16). П░оди┤┤е░ен╢и░│ем │░авнение (4.15) по x и обозна╖им
p(t; x) ux (t; x). Ф│нк╢и┐ p(t; x) │довле▓во░┐е▓ ▒лед│╛╣ей зада╖е
Ко╕и дл┐ ░а▒▒мо▓░енного в╗╕е квазилинейного │░авнени┐:
pt + (f(p))
(4.17)
p x == 0;p (x);
(4.18)
0
t=0
53
где p0(x) = u00(x).
Об░а▓но, п│▒▓╝ ┤│нк╢и┐ p(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением зада╖и Ко╕и (4.17){(4.18). Из ░авен▒▓ва pt = (;f(p))x ▒лед│е▓,
╖▓о в╗░ажение (1-┤о░ма) p dx ; f(p) dt е▒▓╝ полн╗й ди┤┤е░ен╢иал
неко▓о░ой ┤│нк╢ии u(t; x):
p dx ; f(p) dt = du;
(4.19)
п░и ╜▓ом ux = p, ut = ;f(p) = ;f(ux ). Таким об░азом, ┤│нк╢и┐ u(t; x), ┐вл┐╛╣а┐▒┐ по▓ен╢иалом век▓о░ного пол┐ (;p; f(p)), е▒▓╝
░е╕ение зада╖и Ко╕и (4.15){(4.16), п░и ╜▓ом u0(x) е▒▓╝ пе░вооб░азна┐ ┤│нк╢ии p0 (x) (▓ак как п░и t = 0 ░авен▒▓во (4.19) п░инимае▓
вид p0 (x) dx = du0(x)). На╖ал╝на┐ ┤│нк╢ии u0 (x), как и ▒амо ░е╕ение u(t; x), оп░едел┐╛▓▒┐ по p(t; x) ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ до кон▒▓ан▓╗.
Ра▒▒мо▓░им ▓епе░╝ в обла▒▓и к│▒о╖но-гладкое обоб╣енное ░е╕ение p(t; x) квазилинейного │░авнени┐ (4.17) ▒ одной линией ░аз░╗ва ; = f(t; x(t))g. Э▓о в ▓о╖но▒▓и озна╖ае▓, ╖▓о
p (t; x) п░и x < x(t);
p(t; x) = p; (t; x) п░и x > x(t);
+
где p+ и p; | кла▒▒и╖е▒кие ░е╕ени┐ │░авнени┐ (4.17) в обла▒▓┐╡
+ = f(t; x) j x > x(t)g и ; = f(t; x) j x < x(t)g, а на ; в╗полнено
│▒ловие Ранкина-Г╛гонио
dx = f(p+ ) ; f(p; ) :
(4.20)
dt
p+ ; p;
Оп░еделим по p+ и p; в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ (4.19) ┤│нк╢ии u+ (t; x)
и u; (t; x) | кла▒▒и╖е▒кие ░е╕ени┐ │░авнени┐ (4.15) в обла▒▓┐╡ +
и ; . Так как
p dx ; f(p ) dt = du ;
▓о на линии ░аз░╗ва ; имеем
d(u+ ; u; ) = (p+ ; p; ) dx ; (f(p+ ) ; f(p; )) dt:
(4.21)
В ▒ил│ (4.20) п░ава┐ ╖а▒▓╝
(4.21) ░авна 0, ▓о е▒▓╝ d(u+ ; u;) = 0. Следова▓ел╝но, (u+ ; u; ); Const. Е▒▓е▒▓венно положи▓╝ ╜▓│ кон▒▓ан▓│ ░авной н│л╛ и оп░едел┐▓╝ обоб╣енное ░е╕ение │░авнени┐ (4.15)
как неп░е░╗вн│╛ к│▒о╖но-гладк│╛ ┤│нк╢и╛, ко▓о░а┐ в ок░е▒▓но▒▓и каждой ▓о╖ки гладко▒▓и ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением ╜▓ого
54
│░авнени┐. П░и ▓аком оп░еделении м╗ доп│▒каем возможно▒▓╝ ли╕╝
▒лаб╗╡ ░аз░╗вов дл┐ ░е╕ений зада╖и (4.15){(4.16).
Коне╖но же, понимаемое в │казанном ▒м╗▒ле обоб╣енное ░е╕ение зада╖и Ко╕и (4.15){(4.16) б│де▓ неедин▒▓венно, как и в квазилинейном ▒л│╖ае. Дей▒▓ви▓ел╝но, е▒ли м╗ п░оин▓ег░и░│ем ┤│нк╢и╛
p u (t; x) (u задано в (4.13)) в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ (4.19), ▓о п░и каждом > 0 пол│╖им неп░е░╗вн│╛ в пол│пло▒ко▒▓и t > 0 ┤│нк╢и╛
8
x 6 ;t;
>
< ; (x + t)0 п░и
п░и
; t 6 x 6 0;
u(t; x) =
(x
;
t)
п░и
0
6 x 6 +t;
>
:
0 п░и x > +t;
┐вл┐╛╣│╛▒┐ (как легко п░ове░и▓╝ и непо▒░ед▒▓венной под▒▓ановкой
в │░авнение) на░┐д│ ▒ u 0 обоб╣енн╗м ░е╕ением ▒лед│╛╣ей зада╖и Ко╕и:
ut + (ux)2 = 0;
ut=0 = 0:
Уп░ажнение 4.7. По▒▓░ои▓╝ какие-либо не▓ожде▒▓венн╗е обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ ▒лед│╛╣и╡ зада╖ Ко╕и:
1) ut + (ux )3 = 0; ut=0 = 0;
2) ut ; (ux )2 = 0; ut=0 = 1;
3) ut + sin ux = 0; ut=0 = 2;
4) ut ; exp ux = 0; ut=0 = 0;
5) u + f(u ) = 0; u = u Const.
t
x
t=0
0
Как ▒▓░ои▓╝ ░е╕ени┐ ╜▓и╡ зада╖, име╛╣ие более ╖ем ▓░и п░┐м╗е ▒лабого ░аз░╗ва?
55
5. Пон┐▓ие обоб╣енного ╜н▓░опийного
░е╕ени┐
Из ▒оде░жани┐ п░ед╗д│╣и╡ ░азделов в╗▓екае▓, ╖▓о в ▓ео░ии зада╖и
Ко╕и дл┐ │░авнени┐
ut + (f(u))x = 0
(5.1)
▒ на╖ал╝н╗м │▒ловием
ut=0 = u0(x)
(5.2)
имее▓▒┐ ▒лед│╛╣а┐ ▒и▓│а╢и┐:
1) Даже п░и неко▓о░╗╡ ог░ани╖енн╗╡ гладки╡ (бе▒коне╖но ди┤┤е░ен╢и░│ем╗╡) на╖ал╝н╗╡ ┤│нк╢и┐╡ u0(x) ░е╕ение u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐
гладкой ┤│нк╢ией до момен▓а в░емени T , а п░едел
u(T; x) = t!lim
u(t; x)
T ;0
е▒▓╝ к│▒о╖но-гладка┐ ┤│нк╢и┐ ▒ ░аз░╗вами 1-го ░ода. Так как │░авнение (5.1) о▓но▒и▓▒┐ к ╖и▒л│ ▓ак наз╗ваем╗╡ \гипе░боли╖е▒ки╡"
│░авнений, гладкие ░е╕ени┐ ко▓о░╗╡ ▒▓░о┐▓▒┐ по \ин┤о░ма╢ии",
░а▒п░о▒▓░ан┐╛╣ей▒┐ вдол╝ ╡а░ак▓е░и▒▓ик ▒ на╖ал╝ного многооб░ази┐, и ╜▓а \ин┤о░ма╢и┐" об│▒ловила возникновение ░аз░╗ва 1-го ░ода, ▓о е▒▓е▒▓венно ожида▓╝, ╖▓о ░е╕ение о▒▓ане▓▒┐ ░аз░╗вн╗м и
на неко▓о░ом о▓░езке в░емени [T; T + ]. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о дл┐ по▒▓░оени┐ нелокал╝ной ▓ео░ии зада╖и (5.1){(5.2) необ╡одимо вве▒▓и в
░а▒▒мо▓░ение ░аз░╗вн╗е ░е╕ени┐.
2) Е▒▓е▒▓венн╗м под╡одом к введени╛ ▓аки╡ ░е╕ений ┐вл┐е▓▒┐
под╡од \в ▒м╗▒ле ▓ео░ии ░а▒п░еделений (обоб╣??нн╗╡ ┤│нк╢ий)", о
ко▓о░ом м╗ гово░или в ░азделе 4.1. Даже в кла▒▒е локал╝но ог░ани╖енн╗╡ изме░им╗╡ в T ┤│нк╢ий можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ обоб╣енн╗е
░е╕ени┐ u(t; x) в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва
Z
T
[u't + f(u)'x ] dx dt = 0;
(5.3)
▒п░аведливого дл┐ л╛бой \п░обной" ┤│нк╢ии '(t; x) 2 C01 (T ), а
на╖ал╝ное │▒ловие (5.2) ╜▓о ░е╕ение п░инимае▓, ▒кажем, дл┐ по╖▓и
в▒е╡ x 2 R.
Однако, как б╗ло показано в╗╕е, п░и ▓аком понимании обоб╣енного ░е╕ени┐ оно оказ╗вае▓▒┐ неедин▒▓венн╗м (даже п░и u0(x) 0).
Пон┐▓но, ╖▓о ╜┤┤ек▓ неедин▒▓венно▒▓и ▒в┐зан ▒ нали╖ием ░аз░╗вов
56
│ ░е╕ени┐ в п░иведенном п░име░е. По-видимом│, не л╛б╗е ░аз░╗в╗
доп│▒▓им╗. Но как най▓и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие необ╡одим╗е │▒лови┐ на
░аз░╗в╗?
5.1. У▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва в ▒л│╖ае
в╗п│клой ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐
Сделаем дополни▓ел╝ное п░едположение
f 00 (u) > 0;
3 ;
f(u) 2 Cloc
u0(x) 2 C 2:
Зада╖а 5.1. На о▒нове (3:7) или (3:11)
и Зада╖и 3:2 или 3:3 покажи2
▓е, ╖▓о в ╜▓ом ▒л│╖ае u(t; x) 2 C (T ).
Тепе░╝ во▒пол╝з│ем▒┐ ▒лед│╛╣им \╖и▒▓о ма▓ема▓и╖е▒ким" ▒ооб░ажением: поп╗▓аем▒┐ в╗┐ви▓╝ ▓е ▒вой▒▓ва гладки╡ п░и t < T
░е╕ений, ко▓о░╗е не │╡│д╕а╛▓▒┐ (или ▒о╡░ан┐╛▓▒┐) п░и \под╡оде"
к к░и▓и╖е▒ком│ зна╖ени╛ в░емени t = T и ко▓о░╗е, ▒ледова▓ел╝но,
╡а░ак▓е░из│╛▓ возника╛╣ие о▒обенно▒▓и ░е╕ени┐ u(t; x). Обозна╖им p = ux(t; x) и п░оди┤┤е░ен╢и░│ем │░авнение (5.1) по x. Имеем
0 = pt + f 0 (u) px + f 00 (u) p2x > pt + f 0 (u)px :
Вдол╝ л╛бой ╡а░ак▓е░и▒▓ики x = x(t), x_ = f 0 (u(t; x(t)), (а ▓акие
╡а░ак▓е░и▒▓ики заполн┐╛▓ в▒╛ обла▒▓╝ T ▒│╣е▒▓вовани┐ гладкого
░е╕ени┐) по▒леднее не░авен▒▓во \▒во░а╖ивае▓▒┐" ▓ак:
dp(t; x(t))
0 > pt + dx
dt px = dt ;
▓о е▒▓╝ ┤│нк╢и┐ p(t; x) не воз░а▒▓ае▓ вдол╝ ╡а░ак▓е░и▒▓ик x = x(t).
(Э▓о же дае▓ нам и ▓░е▓╝е │░авнение в ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ▒и▒▓еме (3.3): p_ = ;f 00 (u)p2 6 0.) Следова▓ел╝но, в л╛бой ▓о╖ке (t; x) 2 T
в╗полнено
p(t; x) = ux(t; x) 6 sup u00(x) = K0 :
(5.4)
R
x2
По▒кол╝к│ п░оизводна┐ ux (t; x) п░и t = T оп░еделена не п░и в▒е╡ x,
▓о пе░ейдем к ╜квивален▓ной ┤о░ме не░авен▒▓ва (5.4):
u(t; x2) ; u(t; x1) 6 K
8x1 ; x2 :
(5.5)
0
x2 ; x1
57
Такого вида не░авен▒▓во в ка╖е▒▓ве │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и в ▓ео░ии обоб╣енн╗╡ ░е╕ений введено в ░або▓а╡ О.А.Олейник (▒м. [6]).
Из (5.5) ▒лед│е▓ u(t; x2) ; u(t; x1) 6 K0 (x2 ; x1) п░и x1 < x2, и в п░еделе п░и x2 ! x + 0, x1 ! x ; 0, где x | ▓о╖ка ░аз░╗ва ┤│нк╢ии u(T; x), пол│╖аем
u+ = u(t; x + 0) < u(t; x ; 0) = u; :
(5.6)
Б│дем ▓░ебова▓╝ в╗полнение (5.6) в каждой ▓о╖ке ░аз░╗ва обоб╣енного ░е╕ени┐ u(t; x). Э▓о │▒ловие е▒▓е▒▓венно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ как
│▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва в кла▒▒е к│▒о╖но-гладки╡ ░е╕ений.
Заме╖ание 5.1. В ░а▒▒мо▓░енном в╗╕е (▒м. ░аздел 004.3) п░име░е
неедин▒▓венно▒▓и дл┐ зада╖и Ко╕и (4.11){(4.12), где f (u) = 2 > 0,
дл┐ ░е╕ений u (t; x), > 0, вида (4.13) │▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва (5.6) не в╗полнено на п░┐мой x = 0. Един▒▓венн╗м доп│▒▓им╗м
░е╕ением б│де▓ u(t; x) 0, ┐вл┐╛╣ее▒┐ кла▒▒и╖е▒ким ░е╕ением ░а▒▒ма▓░иваемой зада╖и.
Е▒ли f 00 (u) < 0, ▓о по▒ле замен╗ u = ;v в │░авнении (5.1) пол│╖а~ x = 0, где f(v)
~ ;f(;v), п░и╖ем f~00 (v) = ;f 00 (;v) > 0.
ем vt + (f(v))
Дл┐ ░е╕ени┐ v(t; x) м╗ имеем v+ < v; : Следова▓ел╝но, │▒ловием доп│▒▓имо▒▓и в ▒л│╖ае f 00 (u) < 0 ┐вл┐е▓▒┐ п░о▓ивоположное к (5.6)
не░авен▒▓во u+ = ;v+ > ;v; = u; .
Таким об░азом, в╗ведено ▒лед│╛╣ее │▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва в ▒л│╖ае в╗п│клой ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f(u). П│▒▓╝ u; и u+ |
п░едел╗ обоб╣енного ░е╕ени┐ u(t; x) п░и под╡оде к линии ░аз░╗ва
▒оо▓ве▓▒▓венно ▒лева и ▒п░ава по нап░авлени╛ о▒и x-ов. Тогда
е▒ли ┤│нк╢и┐ ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) ┐вл┐е▓▒┐ в╗п│клой вниз (нап░име░, f(u) = u2=2; eu; : : :), ▓о │ ░е╕ени┐ │░авнени┐ (5.1) возможн╗ ▒ка╖ки о▓ u; к u+ ли╕╝ п░и u; > u+ ;
е▒ли f(u) в╗п│кла вве░╡ (f(u) = ;u2 ; ln u; : : :), ▓о ▒ка╖ки о▓ u;
к u+ возможн╗ ли╕╝ в ▒л│╖ае u; < u+ .
Дадим неко▓о░ое \┤изи╖е▒кое" по┐▒нение пол│╖енного │▒лови┐
доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва. Из ╜▓ого │▒лови┐ ▒лед│е▓, ╖▓о в л╛бой ▓о╖ке линии ░аз░╗ва x = x(t) │глов╗е ко╜┤┤и╢иен▓╗ f 0 (u+ ) и f 0 (u; )
╡а░ак▓е░и▒▓ик x = f 0 (u )t + C, под╡од┐╣и╡ в ╜▓│ ▓о╖к│ ▒ ░азн╗╡
f (u+ );f (u; )
▒▓о░он о▓ линии ░аз░╗ва, а ▓акже ▓анген▒ ! = dx
dt = u+ ;u; │гла
58
наклона ка▒а▓ел╝ной к линии ░аз░╗ва (заме▓им, ╖▓о ! ░авно зна╖ени╛ f 0 (~u) в неко▓о░ой ▓о╖ке u~, лежа╣ей ▒▓░ого межд│ u+ и u; )
│довле▓во░┐╛▓ ▒оо▓но╕ени╛
; f(u; ) = f 0 (~u) < f 0 (u ):
f 0 (u+ ) < ! = f(uu+ ) ;
(5.7)
;
+ u;
Дей▒▓ви▓ел╝но, е▒ли f 00 (u) > 0; ▓о f 0 (u) | моно▓онно воз░а▒▓а╛╣а┐
┤│нк╢и┐, а из │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва в ▒л│╖ае в╗п│клой вниз
┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) ▒лед│е▓ u+ < u~ < u; . Е▒ли же ┤│нк╢и┐ f(u)
в╗п│кла вве░╡ (f 00 (u) < 0), ▓о │▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва нам
дае▓ u+ > u~ > u;, и м╗ ▒нова имеем (5.7), ▓ак как в ╜▓ом ▒л│╖ае
f 0 (u) | моно▓онно │б╗ва╛╣а┐ ┤│нк╢и┐.
Таким об░азом, м╗ имеем, ╖▓о ▒ воз░а▒▓анием t ╡а░ак▓е░и▒▓ики под╡од┐▓ ▒ ░азн╗╡ ▒▓о░он к линии ░аз░╗ва (▒м. ░и▒. 11а), а не
о▓╡од┐▓ о▓ нее (░и▒. 11б). Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о ░аз░е╕ен╗ ▓е ░аз░╗в╗, ко▓о░╗е об│▒ловлен╗ ▓ем, ╖▓о ╡а░ак▓е░и▒▓ики, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие гладким ░е╕ени┐м (▒ каждой ▒▓о░он╗ о▓ линии ░аз░╗ва), на╖ина╛▓ пе░е▒ека▓╝▒┐ ▒ ░о▒▓ом t. А ▒и▓│а╢и┐, когда м╗ ▒ами как
б╗ нав┐з╗ваем лини╛ ░аз░╗ва, и ╡а░ак▓е░и▒▓ики ▒ ░о▒▓ом в░емени
о▓╡од┐▓ о▓ нее, недоп│▒▓има.
Ри▒. 11.
П░име░ 5.1. П░оилл╛▒▓░и░│ем в╗╕е▒казанное 2на п░име░е │░авне-
ни┐ Хоп┤а (1.1), ▓.е. │░авнени┐ (5.1) ▒ f(u) = u =2. Э▓о │░авнение
(▒м. x1) опи▒╗вае▓ поле ▒вободно движ│╣и╡▒┐ ╖а▒▓и╢. П│▒▓╝ ╖а▒▓и╢╗, на╡од┐╣ие▒┐ в на╖ал╝н╗й момен▓ в ок░е▒▓но▒▓и +1 (▓.е. ▒ коо░дина▓ами бол╝╕е неко▓о░ого зна╖ени┐), име╛▓ ▒ко░о▒▓╝ u+ ; а в
ок░е▒▓но▒▓и ;1 | ▒ко░о▒▓╝ u; ; п░и╖ем u+ < u;: По▒леднее озна╖ае▓, ╖▓о ╖а▒▓и╢ам не избежа▓╝ ▒▓олкновений, и б│де▓ об░азов╗ва▓╝▒┐ │да░на┐ волна. Ско░о▒▓╝ движени┐ │да░ной волн╗, об░азованной
59
▒▓олкновением ╜▓и╡ ╖а▒▓и╢, б│де▓ ░авна
; f(u; ) = u2+ =2 ; u2; =2 = u+ + u; :
! = f(uu+ ) ;
u+ ; u;
2
+ u;
М╗ пол│╖аем обоб╣енное ░е╕ение │░авнени┐ Хоп┤а в ▒лед│╛╣ем
виде:
u
x < !t + C;
u(t; x) = u; п░и
(5.8)
п░и
x > !t + C:
+
Э▓о ░е╕ение можно ин▓е░п░е▓и░ова▓╝ ▒лед│╛╣им об░азом. Межд│ ╖а▒▓и╢ами, име╛╣ими ▒ко░о▒▓и u; и u+ , п░ои▒╡оди▓ аб▒ол╛▓но
не│п░│гое ▒о│да░ение, ▓о е▒▓╝ они ▒оедин┐╛▓▒┐ в одн│. По▒ле ▒о│да░ени┐ ╖а▒▓и╢╗ п░одолжа╛▓ движение ▒о ▒ко░о▒▓╝╛ (u+ + u; )=2,
▒оздава┐ │да░н│╛ волн│. Ско░о▒▓╝ движени┐ ╜▓ой волн╗ найдена из
закона ▒о╡░анени┐ имп│л╝▒а | ▒░еднее а░и┤ме▓и╖е▒кое межд│ ▒ко░о▒▓┐ми ╖а▒▓и╢ до ▒о│да░ени┐. Заме▓им, ╖▓о п░и ▓аки╡ ▒о│да░ени┐╡
п░ои▒╡оди▓ по▓е░┐ кине▓и╖е▒кой ╜не░гии (к ╜▓ом│ воп░о▒│ м╗ е╣е
ве░нем▒┐ ниже).
Е▒ли же м╗ имели u+ > u; ; и на╖ал╝ное ░а▒п░еделение ▒ко░о▒▓ей б╗ло гладкой моно▓онно воз░а▒▓а╛╣ей ┤│нк╢ией, ▓о никаки╡
▒о│да░ений межд│ ╖а▒▓и╢ами п░ои▒╡оди▓╝ не б│де▓, ░а▒п░еделение
▒ко░о▒▓ей u(t; ) в л╛бой момен▓ в░емени t > 0 б│де▓, ▓акже как
и п░и t = 0, гладкой моно▓онно воз░а▒▓а╛╣ей ┤│нк╢ией, никаки╡
│да░н╗╡ волн не може▓ об░азова▓╝▒┐ (▒м. ░азд. 3.1). В ╜▓ом ▒л│╖ае
┤│нк╢и┐ u(t; x), задаваема┐ (5.8), ╡о▓╝ и │довле▓во░┐е▓ ин▓ег░ал╝ном│ ▓ожде▒▓в│ (5.3), не ┐вл┐е▓▒┐ ┤изи╖е▒ки п░авил╝н╗м ░е╕ением
│░авнени┐ Хоп┤а.
5.2. Ме▓од \и▒╖еза╛╣ей в┐зко▒▓и"
Дл┐ обоб╣ени┐ │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва на ▒л│╖ай нев╗п│клой
┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) ▒делаем ▒лед│╛╣ее \набл╛дение", │╖и▓╗ва┐
взаимное ░а▒положение г░а┤иков и ╡о░д в╗п│кл╗╡ ┤│нк╢ий: е▒ли
u; > u+ (u; < u+ ), ▓о г░а┤ик ┤│нк╢ии f(u) должен б╗▓╝ ░а▒положен не в╗╕е (не ниже) ╡о░д╗, ▒▓┐гива╛╣ей ▓о╖ки (u; ; f(u; )) и
(u+ ; f(u+ )) (▒м. ░и▒. 12). Оказ╗вае▓▒┐, именно в ▓акой ┤о░ме пол│╖енн╗е │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и ░а▒п░о▒▓░ан┐╛▓▒┐ на ▒л│╖ай п░оизвол╝ной (нев╗п│клой) ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f(u).
Дл┐ до▒▓а▓о╖но ▒▓░огого обо▒новани┐ ╜▓ого │▓ве░ждени┐ п░именим \┤изи╖е▒кие (▓о╖нее, газодинами╖е▒кие) ▒ооб░ажени┐", о▒нов╗ва╛╣ие▒┐ на пон┐▓и┐╡ \идеал╝ного" и \в┐зкого" газа. Е▒ли x = x(t)
60
Ри▒. 12.
| ▓░аек▓о░и┐ ╖а▒▓и╢╗ идеал╝ного газа в ▓░│бке, ░а▒положенной
вдол╝ о▒и x, а ┤│нк╢и┐ u(t; x) | ▒ко░о▒▓╝ ╖а▒▓и╢╗, на╡од┐╣ей▒┐ в
момен▓ в░емени t в ▓о╖ке x, ▓о (▒м. x1) x(t)
_ = u (t; x(t)), x(t) = du
dt = 0,
о▓к│да и возникае▓ │░авнение Хоп┤а (1.1). Но идеал╝н╗й газ \б╗вае▓" ли╕╝ ▓ео░е▓и╖е▒ки, в п░еделе, когда в┐зко▒▓╝ ░еал╝ного газа не
│╖и▓╗вае▓▒┐ ввид│ ее мало▒▓и.
Е▒ли ", " > 0, | ко╜┤┤и╢иен▓ в┐зко▒▓и ░еал╝ного газа, ▓о ▒ил│
в┐зко▒▓ного ▓░ени┐ (п░и оп░еделенн╗╡ доп│╣ени┐╡), дей▒▓в│╛╣│╛
на ╖а▒▓и╢│ x(t) и о▓не▒енн│╛ к едини╢е ма▒▒╗, можно п░ин┐▓╝ ░авной "uxx(t; x(t)). Тогда x = du
dt = "uxx , и вме▒▓о │░авнени┐ Хоп┤а м╗
пол│╖аем ▓ак наз╗ваемое │░авнение Б╛░ге░▒а
ut + u ux = "uxx :
(5.9)
Е▒▓е▒▓венно ▒╖и▓а▓╝ (а ╜▓о ▓ак и е▒▓╝), ╖▓о в▒е доп│▒▓им╗е обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ │░авнени┐ Хоп┤а мог│▓ б╗▓╝ пол│╖ен╗ как п░едел
░е╕ений u"(t; x) │░авнени┐ (5.9) п░и ▒▓░емлении ко╜┤┤и╢иен▓а в┐зко▒▓и " к 0. Сама опе░а╢и┐ введени┐ в │░авнение пе░вого по░┐дка
╖лена "uxx ▒ по▒лед│╛╣им из│╖ением п░еделов п░и " ! +0 наз╗вае▓▒┐ ме▓одом \и▒╖еза╛╣ей в┐зко▒▓и".
П░ежде ╖ем пе░ей▓и к п░именени╛ ╜▓ого ме▓ода дл┐ обо▒новани┐ ▒┤о░м│ли░ованного в╗╕е │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и в об╣ем ▒л│╖ае, │кажем важн╗й ме▓од \линеа░иза╢ии" (в оп░еделенном ▒м╗▒ле)
│░авнени┐ Б╛░ге░▒а (5.9). У╖и▓╗ва┐, ╖▓о ut = ("ux ; u2=2)x , введем
по▓ен╢иал U(t; x), оп░едел┐ем╗й ░авен▒▓вом
;
dU = u dx + "ux ; u2 =2 dt:
В ╜▓ом ▒л│╖ае
Ux = u; Ut = "ux ; u2=2 = "Uxx ; Ux2 =2;
61
▓о е▒▓╝ ┤│нк╢и┐ U(t; x) │довле▓во░┐е▓ │░авнени╛
Ut + 12 Ux2 = "Uxx :
(5.10)
Сделаем в (5.10) замен│ U = ;2" ln z. Тогда
zx2 :
+
2"
Ut = ;2" zzt ; Ux = ;2" zzx ; Uxx = ;2" zxx
z
z2
У░авнение (5.10) п░име▓ вид
2
2
;2" zzt + 2"2 zzx2 = ;2"2 zzxx + 2"2 zzx2 ;
▓о е▒▓╝ пол│╖ено линейное │░авнение ▓еплоп░оводно▒▓и о▓но▒и▓ел╝но ┤│нк╢ии z(t; x):
zt = "zxx :
(5.11)
Заме╖ание 5.2. Указанн╗й ме▓од линеа░иза╢ии б╗л впе░в╗е п░едложен п░и и▒▒ледовании одной п░икладной зада╖и ░│▒▒ким ме╡аником В.А.Фло░ин╗м в 1948 год│. Позже (в 50-е год╗) ╜▓о▓ ме▓од б╗л
пе░ео▓к░╗▓ аме░икан▒кими │╖ен╗ми Э.Хоп┤ом и С.Ко│лом и ▓епе░╝
╖а▒▓о наз╗вае▓▒┐ и╡ именами (п░авил╝но гово░и▓╝ о п░еоб░азовании
Фло░ина-Хоп┤а-Ко│ла).
Из ▒деланн╗╡ замен ▒лед│е▓, ╖▓о ░е╕ение │░авнени┐ (5.9) имее▓
вид
u = Ux = ;2" zzx ;
где z(t; x) е▒▓╝ ░е╕ение (5.11).
Как ╡о░о╕о изве▒▓но из ▓ео░ии линейн╗╡ │░авнений ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми в▓о░ого по░┐дка, ░е╕ение зада╖и Ко╕и дл┐ │░авнени┐ ▓еплоп░оводно▒▓и (5.11) даже ▒ к│▒о╖но неп░е░╗вн╗ми на╖ал╝н╗ми данн╗ми бе▒коне╖но ди┤┤е░ен╢и░│емо п░и t > 0: Таким
об░азом, и ░е╕ение │░авнени┐ Б╛░ге░▒а (5.9) ▓акже е▒▓╝ бе▒коне╖но ди┤┤е░ен╢и░│ема┐ ┤│нк╢и┐, и, ▒ледова▓ел╝но, не може▓ име▓╝
│да░н╗╡ волн.
П░едположим ▓епе░╝, ╖▓о п░о▒▓а┐ волна
u п░и x < !t;
u
+ ; u;
u(t; x) = u; + 2 [1+sign(x ; !t)] = u; п░и x > !t; (5.12)
+
62
где ! = Const, ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣енн╗м ░е╕ением │░авнени┐ (5.1) в
▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (5.3). Дл┐ ╜▓ого необ╡одимо и до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ на линии ░аз░╗ва x(t) = !t б╗ло в╗полнено │▒ловие
Ранкина-Г╛гонио
f(u+ ) ; f(u; )
! dx
(5.13)
dt = u+ ; u; :
Иде┐ ме▓ода \и▒╖еза╛╣ей в┐зко▒▓и" в ╜▓ом ▒л│╖ае закл╛╖ае▓▒┐ в
▒лед│╛╣ем. Б│дем ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о данное ░аз░╗вное ░е╕ение (│да░на┐
волна) u(t; x) вида (5.12) доп│▒▓имо, е▒ли оно може▓ б╗▓╝ пол│╖ено
как по▓о╖е╖н╗й п░едел (п░и x 6= !t) ░е╕ений u"(t; x) │░авнени┐
u"t + (f(u" ))x = "u"xx :
(5.14)
п░и " ! +0. (Излагаем╗й ниже под╡од б╗л п░едложен И.М.Гел╝┤андом [7]).
У╖и▓╗ва┐ ▒▓░│к▓│░│ ░е╕ени┐ u(t; x), б│дем и▒ка▓╝ ░е╕ение │░авнени┐ (5.14) в виде
u"(t; x) = v(); = x ;" !t :
(5.15)
Под▒▓авл┐┐ ░е╕ение ▓акого вида в (5.14), пол│╖аем, ╖▓о ┤│нк╢и┐
v() е▒▓╝ ░е╕ение │░авнени┐
;!v0 + (f(v)) 0 = v00 :
(5.16)
;
С д░│гой ▒▓о░он╗ ┐▒но, ╖▓о ┤│нк╢и┐ u" = v x;"!t по▓о╖е╖но
(п░и x 6= !t) апп░ок▒ими░│е▓ п░и " ! +0 ┤│нк╢и╛ u(t; x) вида (5.12)
▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда ┤│нк╢и┐ v() │довле▓во░┐е▓ г░ани╖н╗м
│▒лови┐м
v(;1) = u; ; v(+1) = u+ :
(5.17)
Заме╖ание 5.3. И▒кома┐ ┤│нк╢и┐ v() заведомо неедин▒▓венна: е▒ли v() | ░е╕ение зада╖и (5.16){(5.17), ▓о ░е╕ени┐ми ╜▓ой же зада╖и
┐вл┐╛▓▒┐ и ┤│нк╢ии v~ = v( ; 0) п░и л╛бом 0 2 R.
Ин▓ег░и░│┐ (5.16), пол│╖аем
v0 = ;!v + f(v) + C = F(v) + C; C = Const :
(5.18)
Дл┐ ▓ого ╖▓об╗ ав▓ономное │░авнение пе░вого по░┐дка (5.18) ▒
гладкой п░авой ╖а▒▓╝╛ F(v) + C имело ░е╕ение, ко▓о░ое ▒▓░еми▓▒┐
к кон▒▓ан▓ам u; п░и ! ;1 и u+ п░и ! +1, необ╡одимо и
до▒▓а▓о╖но в╗полнение ▒лед│╛╣и╡ │▒ловий:
63
1) u; и u+ { о▒об╗е ▓о╖ки ╜▓ого │░авнени┐, ▓.е. об░а╣а╛▓ в н│л╝
п░ав│╛ ╖а▒▓╝ │░авнени┐ (5.18):
F(u; ) + C = F (u+ ) + C = 0;
▓о е▒▓╝ C = ;F(u;) = ;F (u+ ). Равен▒▓во F(u;) = F (u+ ) по▒ле запи▒и в виде f(u; ) ; !u; = f(u+ ) ; !u+ в ▓о╖но▒▓и ▒овпадае▓ ▒ │▒ловием Ранкина-Г╛гонио (5.13).
2) На п░омеж│▓ке межд│ u; и u+ не▓ д░│ги╡ о▒об╗╡ ▓о╖ек, и
п░ава┐ ╖а▒▓╝ (5.18) F(v) ; F (u;) = F (v) ; F(u+ ) на ╜▓ом п░омеж│▓ке
а) положи▓ел╝на п░и u; < u+ (▓огда ░е╕ение воз░а▒▓ае▓):
F (v) ; F (u;) > 0 8v 2 (u;; u+ ); е▒ли u; < u+ ; (5.19)
б) о▓░и╢а▓ел╝на п░и u; > u+ (v() │б╗вае▓):
F (v) ; F (u+ ) < 0 8v 2 (u+ ; u;); е▒ли u+ < u; ; (5.20)
Е▒ли же ╜▓и │▒лови┐ в╗полнен╗, ▓о ин▓е░е▒│╛╣ие на▒ ░е╕ени┐
│░авнени┐ (5.16) зада╛▓▒┐ ┤о░м│лой
Zv
dv
= ; 0; v0 = u+ +2 u; :
F(v)
;
F
(u
)
;
v0
Соо▓но╕ени┐ (5.19){(5.20) и ┐вл┐╛▓▒┐ анали▓и╖е▒кой запи▒╝╛ │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и.
Дадим ▓епе░╝ ем│ и геоме▓░и╖е▒к│╛ ин▓е░п░е▓а╢и╛. Под▒▓авл┐┐
F (v) = f(v) ; !v в (5.19) и (5.20), пол│╖им:
f(v) ; f(u; ) > !(v ; u;) 8v 2 (u; ; u+ ); е▒ли u; < u+ ;
f(v) ; f(u+ ) < !(v ; u+ ) 8v 2 (u+ ; u; ); е▒ли u+ < u;;
или, ▒ │╖е▓ом │▒лови┐ Ранкина-Г╛гонио (5.13):
f(u) ; f(u; ) > ! = f(u+ ) ; f(u; ) 8u 2 (u ; u ); е▒ли u < u ;
; +
;
+
u ; u;
u+ ; u;
(5:190)
f(u) ; f(u+ ) < ! = f(u+ ) ; f(u; ) 8u 2 (u ; u ); е▒ли u < u :
+ ;
+
;
u ; u+
u+ ; u;
(5:200)
64
Ри▒. 13.
На░и▒│ем г░а┤ик ┤│нк╢ии f(u) (▒м. ░и▒. 13). У▒ловие (5:190) озна╖ае▓, ╖▓о ╡о░да Ch ╜▓ого г░а┤ика ▒ кон╢ами (u; ; f(u; )); (u+ ; f(u+ ))
имее▓ мен╝╕ий │гол ▒ положи▓ел╝н╗м нап░авлением о▒и u, ╖ем ▒ек│╣а┐, п░о╡од┐╣а┐ ╖е░ез ▓о╖ки (u; ; f(u; )), (u; f(u)) дл┐ в▒е╡ u из ин▓е░вала (u; ; u+). Следова▓ел╝но, ▓о╖ка (u; f(u)) и ве▒╝ г░а┤ик f(u)
на ин▓е░вале (u; ; u+ ) ░а▒положен в╗╕е │казанной ╡о░д╗ Ch. Аналоги╖но, │▒ловие (5:200) озна╖ае▓, ╖▓о г░а┤ик ┤│нк╢ии f(u) на (u+ ; u;)
░а▒положен ниже ╡о░д╗ Ch.
Заме╖ание 5.4. Ва░╝и░│┐ u;; u+, а ▓акже f(u), можно ▒▓░ои▓╝ ░азли╖н╗е ▒╡од┐╣ие▒┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓и доп│▒▓им╗╡ обоб╣енн╗╡ ░е╕ений вида (5.15). Е▒▓е▒▓венно │▒лови▓╝▒┐ ▒╖и▓а▓╝ доп│▒▓им╗ми и
л╛б╗е по▓о╖е╖н╗е п░едел╗ доп│▒▓им╗╡ ░е╕ений. Но ▓огда ┐▒но, ╖▓о
л╛б│╛ ▒и▓│а╢и╛ ▒ ка▒анием г░а┤ика f(u) и ╡о░д╗ Ch, ▓оже ▒лед│е▓
▒╖и▓а▓╝ доп│▒▓имой.
Окон╖а▓ел╝но пол│╖аем, ╖▓о │ ░е╕ени┐ u(t; x) │░авнени┐ (5.1) возможен ▒ка╖ок о▓ u; к u+ (в нап░авлении воз░а▒▓ани┐ x) п░и в╗полнении ▒лед│╛╣его │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва:
в ▒л│╖ае u; < u+ г░а┤ик ┤│нк╢ии f(u) на о▓░езке [u; ; u+]
должен б╗▓╝ ░а▒положен не ниже ╡о░д╗ ▒ кон╢ами (u; ; f(u; ))
и (u+ ; f(u+ ));
в ▒л│╖ае u; > u+ г░а┤ик ┤│нк╢ии f(u) на о▓░езке [u+ ; u;]
должен б╗▓╝ ░а▒положен не в╗╕е ╡о░д╗ ▒ кон╢ами (u; ; f(u; ))
и (u+ ; f(u+ )).
Дадим е╣е одн│ ┤о░м│ запи▒и пол│╖енного │▒лови┐. Дл┐ ╜▓ого
на ░и▒│нке в коо░дина▓а╡ (u; f) на░┐д│ ▒ г░а┤иком ┤│нк╢ии f(u)
и ╡о░дой, ▒оедин┐╛╣ей кон╢╗ ╜▓ого г░а┤ика, ░а▒положим ▓акже
65
Ри▒. 14.
век▓о░ но░мали = (cos(; t); cos(; x)) к линии ▒ил╝ного ░аз░╗ва
(▒м. ░и▒. 14). Обозна╖им ▓о╖ки A = (u; ; f(u; )), B = (u+ ; f(u+ ))
и C = (u; f(u)) | неко▓о░а┐ ▓ек│╣а┐ ▓о╖ка на г░а┤ике. Век▓о░
;! (╜▓о в ▓о╖но▒▓и │▒ловие Ранкина-Г╛го о░▓огонален век▓о░│ ;
AB
нио (5.13)) и ▒мо▓░и▓ \вве░╡", ▓.е. cos(; x) > 0 (▓ак как но░мал╝
в╗би░ае▓▒┐ нами по нап░авлени╛ о▒и x). У▒ловие ▓ого, ╖▓о г░а┤ик
┤│нк╢ии f(u) ░а▒положен
не ниже
в ▓о╖но▒▓и озна╖ае▓, ╖▓о
;!
;!╡о░д╗
│гол межд│ век▓о░ами;!
AC (или ;
BC)
и не бол╝╕е =2, ▓о е▒▓╝ ▒кал┐░ное п░оизведение (AC; ) ╜▓и╡ век▓о░ов нео▓░и╢а▓ел╝но:
(u ; u;) cos(; t)+(f(u) ; f(u; )) cos(; t) > 0
8u 2 (u; ; u+ ) (5.21)
в ▒л│╖ае u; < u+ .
У▒ловие же ▓ого, г░а┤ик лежи▓ не ниже ╡о░д╗ озна╖ае▓, ╖▓о │гол
межд│ ▓еми
век▓о░ами не мен╝╕е =2, ▓о е▒▓╝ ▒кал┐░ное п░оиз;! же
ведение (;
BC;
) неположи▓ел╝но:
(u ; u+ ) cos(; t)+(f(u) ; f(u+ )) cos(; t) 6 0
8u 2 (u+ ; u;) (5.22)
в ▒л│╖ае u; > u+ .
Заме╖ание 5.5. У▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва, пол│╖енн╗е \ме▓одом и▒╖еза╛╣ей в┐зко▒▓и" п░ек░а▒но ▒огла▒│╛▓▒┐ ▒ │▒лови┐ми, пол│╖енн╗ми в п░ед╗д│╣ем ░азделе в ▒л│╖ае в╗п│клой ┤│нк╢ии f(u).
Дей▒▓ви▓ел╝но, ▒вой▒▓во в╗п│кло▒▓и ┤│нк╢ии вниз (вве░╡) по оп░еделени╛ озна╖ае▓, ╖▓о л╛ба┐ ╡о░да, ▒оедин┐╛╣а┐ ▓о╖ки на г░а┤ике
╜▓ой ┤│нк╢ии, лежи▓ в╗╕е (ниже) ▒амого г░а┤ика.
66
Везде ниже ▓епе░╝ под обоб╣енн╗м к│▒о╖но гладким ░е╕ением
│░авнени┐ (5.1) м╗ б│дем понима▓╝ ░е╕ение в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (5.3), │довле▓во░┐╛╣ее ▒┤о░м│ли░ованном│ │▒лови╛
воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии на лини┐╡ ▒ил╝ного ░аз░╗ва.
Уп░ажнение 5.1. У▒▓анови▓╝, на каки╡ п░┐м╗╡ ░аз░╗ва дл┐ ░е-
╕ений u(t; x) │░авнений вида (5:1) в╗полнено, а на каки╡ | не▓,
│▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва (п░и ▒обл╛дении │▒лови┐ РанкинаГ╛гонио (5:13)), где
1) u(t; x) задан╗ в Уп░ажнении 4.1;
2) u(t; x) по▒▓░оен╗ в Уп░ажнении 4.2;
3) u(t; x) по▒▓░оен╗ в Уп░ажнении 4.6.
5.3. Пон┐▓ие ╜н▓░опии и необ░а▓имо▒▓╝ п░о╢е▒▒ов
По╖ем│ же пол│╖енн╗е в╗╕е │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва наз╗ва╛▓▒┐ │▒лови┐ми ▓ипа \воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии"? Дело в ▓ом, ╖▓о
нелинейн╗е ┤изи╖е▒кие п░о╢е▒▒╗, модели░│ем╗е ░а▒▒ма▓░иваем╗ми │░авнени┐ми, | необ░а▓им╗ во в░емени, а ┤│нк╢и┐, п░и помо╣и
ко▓о░ой ╡а░ак▓е░из│е▓▒┐ необ░а▓имо▒▓╝, наз╗вае▓▒┐ \╜н▓░опией".
У░авнение Хоп┤а (1.1) ┐вл┐е▓▒┐, коне╖но, ли╕╝ п░о▒▓ей╕ей модел╝╛ движени┐ газа в ▓░│бке; в более п░авил╝н╗╡, более ▓о╖н╗╡
модел┐╡ п░и▒│▓▒▓в│е▓ е╣е давление, а в ▒л│╖ае ▒жимаемого газа |
и его пло▓но▒▓╝. Че░ез ╜▓и ╡а░ак▓е░и▒▓ики ▒о▒▓о┐ни┐ газа и в╗░ажае▓▒┐ ┤│нк╢и┐-╜н▓░опи┐ S, ко▓о░а┐ (как ╜▓о б╗ло изве▒▓но │же в
газовой динамике п░о╕лого века) не │б╗вае▓ во в░емени п░и пе░е╡оде ╖е░ез │да░н│╛ волн│ ;:
S+ = S(t + 0; x) > S; = S(t ; 0; x);
(t; x) 2 ;:
(5.23)
По╜▓ом│ в▒е не░авен▒▓ва, ╡а░ак▓е░из│╛╣ие необ░а▓имо▒▓╝ п░и░одн╗╡ п░о╢е▒▒ов, наз╗ва╛▓▒┐ не░авен▒▓вами ▓ипа \воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии". В ▒л│╖ае п░о▒▓ей╕ей газодинами╖е▒кой модели | │░авнени┐
Хоп┤а | в ка╖е▒▓ве ╜н▓░опии \в╗▒▓│пае▓" кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐
╖а▒▓и╢╗, на╡од┐╣ей▒┐ в ▓о╖ке x в момен▓ в░емени t:
S(t; x) 21 u2 (t; x):
67
Покажем, ╖▓о п░и пе░е╡оде ╖е░ез │да░н│╛ волн│ не░авен▒▓во (5.23)
дл┐ ╜▓ой ┤│нк╢ии дей▒▓ви▓ел╝но в╗полн┐е▓▒┐.
У▒ловие Ранкина-Г╛гонио (5.13) в ▒л│╖ае │░авнени┐ Хоп┤а (▓.к.
f(u) = u2 =2) имее▓ вид
u; + u+ = dx :
(5.24)
2
dt
У▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва в ▒л│╖ае в╗п│клой вниз ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) = u2 =2 запи▒╗вае▓▒┐ в виде
u; ; u+ > 0:
(5.25)
Е▒ли dx=dt > 0, ▓о (▒м. ░и▒. 15) S; = u2+ =2, а S+ = u2; =2. Умножа┐ не░авен▒▓во (5.25) на в╗░ажение (u; + u+ )=2 (положи▓ел╝ное в
▒ил│ (5.24)), имеем (u2; ; u2+ )=2 > 0, ▓.е. S; < S+ .
Ри▒. 15.
Аналоги╖но, п░и dx=dt < 0 имеем (▒м. ░и▒. 15):
S; = 12 (u; )2 < 21 (u+ )2 = S+ :
5.4. Эне░ге▓и╖е▒кие о╢енки
Дадим е╣е одн│ ╡а░ак▓е░иза╢и╛ необ░а▓имо▒▓и дл┐ │░авнени┐ (5.1),
име╛╣│╛ более нагл┐дн╗й ┤изи╖е▒кий ▒м╗▒л. А именно, ░а▒▒мо▓░им полн│╛ кине▓и╖е▒к│╛ ╜не░ги╛ ░а▒▒ма▓░иваемой ┤изи╖е▒кой
▒и▒▓ем╗
Z +1 1
2
E(t) =
(5.26)
2 u (t; x) dx:
;1
П░и гладки╡ (и, ▒кажем, ┤ини▓н╗╡) на╖ал╝н╗╡ данн╗╡ на неко▓о░ом ин▓е░вале в░емени [0; T), T > 0, ▒│╣е▒▓в│е▓ кла▒▒и╖е▒кое (и
68
┤ини▓ное по x п░и каждом ┤ик▒и░ованном t) ░е╕ение u(t; x) зада╖и (5.1){(5.2). В на▒▓о┐╣ем ░азделе м╗ б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ли╕╝
▓е ░е╕ени┐ u(t; x) │░авнени┐ (5.1), дл┐ ко▓о░╗╡ кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ (5.26) коне╖на (нап░име░, е▒ли u(t; x) ┤ини▓на по x).
П░едложение 5.1. Дл┐ кла▒▒и╖е▒ки╡ ░е╕ений │░авнени┐ (5:1) в╗полнено
E(t) Const;
▓о е▒▓╝ кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ (5:26) ┐вл┐е▓▒┐ пе░в╗м ин▓ег░алом
│░авнени┐ (5:1).
Доказа▓ел╝▒▓во. Ввид│ u(t; 1) = 0 имеем
dE = Z +1 uu dx = ; Z +1 u(f(u)) dx
t
x
dt
;1
;1
x=+1 Z +1
= ;uf(u)x=;1 +
=
Z u(t;+1)
u(t;;1)
;1
f(u) du = 0:
f(u)ux dx
2
Ра▒▒мо▓░им ▓епе░╝ │░авнение ▒ в┐зко▒▓╝╛
u"t + (f(u" ))x = "u"xx
(5.27)
П░едложение
5.2.
П│▒▓╝ u" (t; x) 6 0 | ░е╕ение │░авнени┐ (5:27),
"
"
"
п░и╖ем u , ux и uxx до▒▓а▓о╖но б╗▒▓░о и ░авноме░но по t ▒▓░ем┐▓▒┐ к н│л╛ п░и x ! 1. Тогда полна┐ кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ E(t) на
╜▓ом ░е╕ении │б╗вае▓.
Доказа▓ел╝▒▓во. Так же как и п░и доказа▓ел╝▒▓ве п░ед╗д│╣его п░едложени┐ пол│╖аем
dE = Z +1 u"u" dx = Z +1 u" ("u" ; (f(u" )) ) dx
x
t
xx
dt
;1
;1
= ;"
Z +1
;1
(u"x )2 dx 6 0:
Заме▓им, ╖▓о м╗ имеем dE=dt = 0 ли╕╝ в ▒л│╖ае по▒▓о┐нной по x
┤│нк╢ии u"(t; x); ╖▓о в ▒ил│ ее ▒▓░емлени┐ к н│л╛ на бе▒коне╖но▒▓и
дае▓ u"(t; x) 0. 2
69
Как м╗ помним (▒м. ░аздел 5.2), обоб╣енн╗е ╜н▓░опийн╗е ░е╕ени┐ u(t; x) │░авнени┐ (5.1) м╗ пол│╖али как п░едел╗ ░е╕ений u" (t; x)
│░авнени┐ (5.27), на ко▓о░╗╡ п░ои▒╡оди▓ ди▒▒ипа╢и┐ ╜не░гии. По╜▓ом│ можно ожида▓╝, ╖▓о и на п░едел╝н╗╡ ░е╕ени┐╡ u(t; x) кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ ▓акже │б╗вае▓.
П░едложение 5.3. П│▒▓╝ u(t; x) | обоб╣енное ╜н▓░опийное ░е╕ение │░авнени┐ (5:1) ▒ одной линией ▒ил╝ного ░аз░╗ва x = x(t). Тогда ▒ко░о▒▓╝ │б╗вани┐ кине▓и╖е▒кой ╜не░гии E(t) на ╜▓ом ░е╕ении
в кажд╗й момен▓ в░емени t = t0 ░авна пло╣ади S(t0 ), ог░ани╖енной г░а┤иком ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f = f(u) на о▓░езке [u;; u+ ] (или
[u+ ; u;]) и ╡о░дой, ▒оедин┐╛╣ей ▓о╖ки (u; ; f(u; )) и (u+ ; f(u+ )) на
╜▓ом г░а┤ике (▒м. ░и▒. 16) :
dE (t ) = ;S(t ):
(5.28)
0
dt 0
Как и ░ан╝╕е, ╖е░ез u = u (t0 ) м╗ обозна╖аем одно▒▓о░онние п░едел╗ (по x) ┤│нк╢ии u(t0; x) п░и под╡оде к ▓о╖ке ░аз░╗ва x(t0).
Доказа▓ел╝▒▓во. Ра▒▒мо▓░им дл┐ оп░еделенно▒▓и ▒л│╖ай,
когда u; < u+ , и, ▒ледова▓ел╝но,
г░а┤ик ┤│нк╢ии f(u) на о▓░езке [u; ; u+] лежи▓ в╗╕е ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей ╡о░д╗. Тогда
S =
Z u+
u;
f(u) du
; f(u+ ) +2 f(u; ) (u+ ; u; ):
Ри▒. 16
С д░│гой ▒▓о░он╗,
dE = d Z +1 1 u2 (t; x) dx
dt
dt ;1 2
!
Z x(t) 1
Z +1 1
d
2
2
u (t; x) dx +
u (t; x) dx
= dt
;1 2
x(t) 2
Z x(t)
Z +1
uut(t; x) dx ; 21 u2+ x(t)
uut (t; x) dx
= 21 u2; x(t)
_ +
_ +
;1
x(t)
70
Z x(t)
Z +1
u2; ; u2+
=
_ ;
u (f(u))x dx ;
u (f(u))x dx
2 x(t)
;1
x(t)
u2 ; u2 _ ; uf(u)x=x(t) + Z x(t) f(u)u dx
= ; 2 + x(t)
x=;1 ;1
x
x=+1 Z +1
;uf(u)x=x(t) +
f(u)ux dx:
x(t)
В ▒ил│ │▒лови┐ Ранкина-Г╛гонио (5.13) и ▒ │╖е▓ом ▓ого, ╖▓о
u(t; 1) = 0, имеем
dE = u2; ; u2+ f(u+ ) ; f(u; ) ; u f(u )
; ;
dt
2
u+ ; u;
+
Z u;
0
f(u) du + u+ f(u+ ) +
Z0
u+
f(u) du
+ ) ; f(u; ))
= u+ f(u+ ) ; u; f(u; ) ; (u+ + u; )(f(u
2
;
Z u+
u;
f(u) du
Z u+
(u
+ ; u; )(f(u+ ) + f(u; ))
=
;
f(u) du = ;S:
2
2
u;
Заме╖ание 5.6. Е▒ли ░е╕ение имее▓ не▒кол╝ко │да░н╗╡ волн, ▓о на
каждой из ни╡ п░ои▒╡оди▓ по▓е░┐ ╜не░гии в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ (5.28).
(Докажи▓е ╜▓о▓ ┤ак▓ ▒амо▒▓о┐▓ел╝но.)
Закл╛╖ение. Таким об░азом, в ▒ил│ П░едложени┐ 5.1 м╗ имеем
E(t) = Const = E(0) на гладки╡ ░е╕ени┐╡ u(t; x) │░авнени┐ (5.1)
до к░и▓и╖е▒кого момен▓а в░емени T (когда │ ░е╕ений по┐вл┐╛▓▒┐
о▒обенно▒▓и), ▓.е. ди▒▒ипа╢ии кине▓и╖е▒кой ╜не░гии не▓ | она по▒▓о┐нна.
П░и нали╖ии же │да░н╗╡ волн в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ (5.28) м╗ имеем
dE < 0;
dt
▓о е▒▓╝ кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ ди▒▒ипи░│е▓ (╖а▒▓и╖но она п░ев░а╣ае▓▒┐ на │да░н╗╡ волна╡ в ▓еплов│╛ ╜не░ги╛). Следова▓ел╝но, ╜вол╛╢и┐ обоб╣енн╗╡ ░е╕ений ▒ │да░н╗ми волнами ▒в┐зана ▒ │б╗ванием кине▓и╖е▒кой ╜не░гии, ╖▓о и оп░едел┐е▓ необ░а▓имо▒▓╝ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ┤изи╖е▒ки╡ п░о╢е▒▒ов, модели░│ем╗╡ │░авнением (5.1).
71
Такой ┤изи╖е▒кий п░о╢е▒▒ нел╝з┐ \п░ок░│▓и▓╝"(как в кино) в об░а▓ном по в░емени нап░авлении.
П░ак▓и╖е▒ки в▒е в▒▓░е╖али▒╝ ▒ ╜▓им ┐влением на мо░е: е▒ли волн╗ небол╝╕ие, мо░е до▒▓а▓о╖но ▒покойное, и его ▓емпе░а▓│░а на
пове░╡но▒▓и по╖▓и ▓ака┐ же, как и ▓емпе░а▓│░а возд│╡а. Е▒ли ве▓е░
│▒иливае▓▒┐, и по┐вл┐╛▓▒┐ \ба░а╕ки" | \мо░▒кие │да░н╗е волн╗"
(волнение бол╝╕е 3 баллов), ▓о по п░о╕е▒▓вии дли▓ел╝ного в░емени
мо░е │ пове░╡но▒▓и вод╗ ▒▓анови▓▒┐ ▓еплее возд│╡а. Э▓о об│▒ловлено в╗делением ▓епла на │да░н╗╡ волна╡.
Чи▒▓о ма▓ема▓и╖е▒ки ▒и▓│а╢и┐, │казанна┐ в Закл╛╖ении, ▒в┐зана ▒ ▓ем об▒▓о┐▓ел╝▒▓вом, ╖▓о п░и замене t на ;t и x на ;x (как и п░и
▒двига╡ вдол╝ о▒ей x ! x;x0 и t ! t;T) │░авнение (5.1) не измен┐е▓▒┐ (в ╜▓ом ▒л│╖ае гово░┐▓, ╖▓о │░авнение инва░иан▓но о▓но▒и▓ел╝но
▓акой замен╗). Следова▓ел╝но, на░┐д│ ▒ л╛б╗ми гладкими п░и t 6 T
░е╕ени┐ми u(t; x), ┤│нк╢ии u~(t; x) u(T ; t; ;x) ▓оже б│д│▓ гладкими ░е╕ени┐ми │░авнени┐ (5.1). Е▒ли же u(t; x) | обоб╣енное ░аз░╗вное ░е╕ение │░авнени┐ (5.1), ▓о ┤│нк╢и┐ u~(t; x) не б│де▓ ┐вл┐▓╝▒┐
обоб╣енн╗м ╜н▓░опийн╗м ░е╕ением ░а▒▒ма▓░иваемого │░авнени┐,
▓ак как │▒ловие воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии ▓акой замен╗ не в╗де░живае▓
(оно замен┐е▓▒┐ п░┐мо п░о▓ивоположн╗м), ╖▓о делае▓ однов░еменн│╛ замен│ t на T ; t и x на ;x в ╜▓ом ▒л│╖ае недоп│▒▓имой.
72
5.5. Оп░еделение обоб╣енного ░е╕ени┐
по К░│жков│
В╗╕е м╗ об▒│дили, какие ▓░ебовани┐ необ╡одимо наклад╗ва▓╝ на
░аз░╗в╗ обоб╣енн╗╡ (в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) ░е╕ений
│░авнени┐ (5.1). Но ог░ани╖ени┐ ▓акого ░ода име╛▓ ▒м╗▒л ли╕╝ дл┐
к│▒о╖но-гладки╡ ┤│нк╢ий, когда по к░айней ме░е оп░еделено, ╖▓о
▓акое лини┐ ░аз░╗ва и одно▒▓о░онние п░едел╗ п░и под╡оде к ╜▓ой
линии. С д░│гой ▒▓о░он╗, п░и оп░еделении обоб╣енного ░е╕ени┐
u(t; x) ╜▓ого │░авнени┐ в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (5.3) нам
необ╡одимо ли╕╝ ▒│╣е▒▓вование ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ин▓ег░алов, ╖▓о,
коне╖но же, ┐вл┐е▓▒┐ намного менее ог░ани╖и▓ел╝н╗м ▓░ебованием,
нежели к│▒о╖на┐ гладко▒▓╝ ┤│нк╢ии u(t; x). По╜▓ом│ в▒▓ае▓ воп░о▒,
как да▓╝ оп░еделение обоб╣енного ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и (5.1){(5.2),
вкл╛╖ив в него и ин▓ег░ал╝ное ▓ожде▒▓во, и │▒ловие воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии (▓о╖нее, неко▓о░ое его обоб╣ение, ▒в┐занное ▒ ▓ем, ╖▓о м╗
╡о▓им ░а▒▒ма▓░ива▓╝ не ▓ол╝ко к│▒о╖но гладкие ░е╕ени┐). О▓ве▓
на ╜▓о▓ воп░о▒ б╗л дан С.Н.К░│жков╗м (▒м. [8],[9]), п░и╖ем не ▓ол╝ко дл┐ ░а▒▒ма▓░иваемой нами зада╖и, а и дл┐ более ╕и░окого кла▒▒а │░авнений и ▒и▒▓ем. В ╜▓и╡ же ░або▓а╡ доказана ▓ео░ема ▒│╣е▒▓вовани┐ и един▒▓венно▒▓и ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и в ▒м╗▒ле данного
оп░еделени┐.
П░иведем ╜▓о оп░еделение. Наиболее об╣им п░о▒▓░ан▒▓вом обоб╣енн╗╡ ░е╕ений в кла▒▒е об╗╖н╗╡ ┤│нк╢ий ┐вл┐е▓▒┐ п░о▒▓░ан▒▓во
ог░ани╖енн╗╡ изме░им╗╡ в поло▒е T = [0; T ) Rx ┤│нк╢ий u(t; x).
Оп░еделение 5.1. Ог░ани╖енна┐ изме░има┐ в T ┤│нк╢и┐ u(t; x)
наз╗вае▓▒┐ обоб╣енн╗м ╜н▓░опийн╗м ░е╕ением (по К░│жков│) зада╖и (5.1){(5.2), е▒ли:
Дл┐ л╛бой кон▒▓ан▓╗ k 2 R и дл┐ л╛бой п░обной ┤│нк╢ии
'(t; x) 2 C01 (T ), '(t; x) > 0, в╗полн┐е▓▒┐ не░авен▒▓во
Z
T
ju ; kj' + sign(u ; k) ;f(u) ; f(k)' dx dt > 0: (5.29)
t
x
u(t; x) ! u0(x) п░и t ! +0 в п░о▒▓░ан▒▓ве L1;loc(R), ▓о е▒▓╝
дл┐ л╛бого о▓░езка [a; b]
lim
Zb
t!+0 a
ju(t; x) ; u0 (x)j dx = 0:
73
П░едложение 5.4. Е▒ли ┤│нк╢и┐ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣енн╗м ╜н-
▓░опийн╗м ░е╕ением в ▒м╗▒ле Оп░еделени┐ 5:1 зада╖и (5.1){(5.2),
▓о она ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣енн╗м ░е╕ением │░авнени┐ (5:1) в ▒м╗▒ле
ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (5:3).
Доказа▓ел╝▒▓во. Так как ┤│нк╢и┐, ░авна┐ кон▒▓ан▓е k, ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким, а, ▒ледова▓ел╝но, и обоб╣енн╗м ░е╕ением │░авнени┐ (5.1), ▓о дл┐ л╛бой п░обной ┤│нк╢ии '(t; x) 2 C01 (T ) в╗полнено
Z
[k't + f(k)'x ] dx dt = 0:
(5.30)
T
(В по▒леднем ░авен▒▓ве не▒ложно │беди▓╝▒┐ и непо▒░ед▒▓венно.)
Воз╝мем в (5.29) k > sup u(t; x). Имеем
Z (k ; u)'t + (f(k) ; f(u))'x dx dt > 0
T
дл┐ л╛бой ┤│нк╢ии '(t; x) 2 C01 (T ), '(t; x) > 0. П░инима┐ во внимание (5.30), закл╛╖аем
Z ;
u't + f(u)'x dx dt > 0:
T
(5.31)
Бе░┐ k < inf u(t; x), аналоги╖но пол│╖им
Z
T
[u't + f(u)'x ] dx dt > 0:
(5.32)
С░авнива┐ не░авен▒▓ва (5.31) и (5.32), п░и╡одим к ▒лед│╛╣ем│
░авен▒▓в│
Z
T
[u't + f(u)'x ] dx dt = 0
8'(t; x) 2 C01 (T ); '(t; x) > 0:
Нам и ▓░ебовало▒╝ пол│╖и▓╝ ▓акое ин▓ег░ал╝ное ▓ожде▒▓во, но
дл┐ л╛бой (а не ▓ол╝ко нео▓░и╢а▓ел╝ной) ┤│нк╢ии '(t; x) из п░о▒▓░ан▒▓ва C01 (T ). По╜▓ом│ дл┐ заве░╕ени┐ доказа▓ел╝▒▓ва о▒▓ае▓▒┐ заме▓и▓╝, ╖▓о л╛б│╛ ┤│нк╢и╛ ' 2 C01 (T ) можно п░ед▒▓ави▓╝
как ░азно▒▓╝ ' = '1 ; '2 дв│╡ нео▓░и╢а▓ел╝н╗╡ п░обн╗╡ ┤│нк╢ий
'1 (t; x) и '2 (t; x); 'i 2 C01 (T ), 'i (t; x) > 0 (i = 1; 2). И по▒кол╝к│
▒оо▓но╕ение (5.3) имее▓ ме▒▓о дл┐ '1 и '2, ▓о ╜▓о ▓ожде▒▓во б│де▓
в╗полнено и дл┐ '. 2
74
П░едложение 5.5. П│▒▓╝ u = u(t; x) | к│▒о╖но гладкое обоб╣ен-
ное ╜н▓░опийное ░е╕ение │░авнени┐ (5:1) в ▒м╗▒ле Оп░еделени┐ 5:1.
Тогда на каждой линии ░аз░╗ва ; (задаваемой │░авнением x = x(t))
в╗полнено │▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва (5:21) или (5:22).
Доказа▓ел╝▒▓во. За┤ик▒и░│ем ▓о╖к│ (t0; x0) 2 ;, x0 = x(t0),
на линии ▒ил╝ного ░аз░╗ва ;. Как в▒егда обозна╖им u | одно▒▓о░онние п░едел╗ ░е╕ени┐ u(t; x) п░и под╡оде к ;. П│▒▓╝, дл┐ оп░еделенно▒▓и, u; (t0 ; x0) < u+ (t0 ; x0). За┤ик▒и░│ем п░оизвол╝ное ╖и▒ло
k 2 (u; ; u+ ) и в╗бе░ем мал│╛ ок░е▒▓но▒▓╝ O T ▓о╖ки (t0; x0),
и▒╡од┐ из │▒ловий
u(t; x) < k
п░и (t; x) 2 O; f(t; x) 2 O j x < x(t)g; (5.33)
u(t; x) > k
п░и (t; x) 2 O+ f(t; x) 2 O j x > x(t)g: (5.34)
Из (5.29) ▒лед│е▓, ╖▓о дл┐ л╛бой п░обной ┤│нк╢ии ' 2 C01(O);
'(t; x) > 0 в╗полнено
Z ju ; kj't + sign(u ; k) (f(u) ; f(k)) 'x dx dt > 0:
O
(5.35)
П░ед▒▓авим по▒ледний ин▓ег░ал по обла▒▓и O в виде ▒│мм╗ ин▓ег░алов по O; и O+ . С │╖е▓ом (5.33){(5.34) пол│╖им
Z (u ; k)'t + (f(u) ; f(k)) 'x dx dt
ZO; +
(u ; k)'t + (f(u) ; f(k)) 'x dx dt > 0:
;
O+
Пе░еб░о▒им п░оизводн╗е по t и по x в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ ┤о░м│лой
ин▓ег░и░овани┐ по ╖а▒▓┐м (4.1). К░оме ин▓ег░алов по обла▒▓┐м O;
и O+ возникн│▓ ин▓ег░ал╗ по и╡ г░ани╢ам, ▓о е▒▓╝ по @O и по ; \ O.
Вид│ ┤ини▓но▒▓и ' в O, ин▓ег░ал по @O ░авен н│л╛. Таким об░азом,
пол│╖аем
Z
;
;
O;
Z
;\O
Z
;\O
[ut + (f(u))x ] ' dx dt
((u; ; k) cos(; t) + (f(u; ) ; f(k)) cos(; x)) ' dS
;
Z
O+
[ut + (f(u))x ] ' dx dt
((u+ ; k) cos(; t) + (f(u+ ) ; f(k)) cos(; x)) ' dS > 0:
75
Зде▒╝ | но░мал╝ к к░ивой ;, ▒мо▓░┐╣а┐ из O; в O+ (▓о е▒▓╝
вне╕н┐┐ дл┐ обла▒▓и O; и вн│▓░енн┐┐ дл┐ O+ ). В ▒ил│ П░едложени┐ 5.4 ┤│нк╢и┐ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣енн╗м (в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) ░е╕ением │░авнени┐ (5.1), а, зна╖и▓, и кла▒▒и╖е▒ким
░е╕ением ╜▓ого │░авнени┐ в каждой из обла▒▓ей O; и O+ . Таким
об░азом, в O; и O+ в╗полнено ut + (f(u))x = 0. И▓ак, дл┐ л╛бой
п░обной ┤│нк╢ии ' 2 C01 (O); '(t; x) > 0 в╗полнено
Z
;(2k ; u ; u ) cos(; t)
; +
;\O
+(2f(k) ; f(u; ) ; f(u+ )) cos(; x) ' dS > 0:
Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о п░и в▒е╡ k 2 (u; ; u+ ) в╗полнено
(2k ; u; ; u+ ) cos(; t) + (2f(k) ; f(u; ) ; f(u+ )) cos(; x) > 0: (5.36)
Как │же о▓ме╖ало▒╝, u(t; x) | обоб╣енное (в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) ░е╕ение │░авнени┐ (5.1), а, зна╖и▓, на линии ░аз░╗ва ; в╗полнено │▒ловие Ранкина-Г╛гонио (5.13):
(u+ ; u;) cos(; t) + (f(u+ ) ; f(u; )) cos(; x) = 0
(5.37)
Не░авен▒▓во (5.36) ▒ │╖е▓ом (5.37) пе░епи▒╗вае▓▒┐ в виде:
2 (k ; u; ) cos(; t) + (f(k) ; f(u; )) cos(; x)
; (u+ ; u; ) cos(; t) + (f(u+ ) ; f(u; )) cos(; x)
= 2 (k ; u; ) cos(; t) + (f(k) ; f(u; )) cos(; x) > 0
дл┐ л╛бого k 2 (u; ; u+ ), ╖▓о в ▓о╖но▒▓и ▒овпадае▓ ▒ │▒ловием доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва (5.21).
Е▒ли же u+ < u; , ▓о дела┐ аналоги╖н╗е п░еоб░азовани┐ п░и ░а▒к░╗▓ии мод│л┐ и sign(u ; k) в ░авен▒▓ве (5.35), м╗ пол│╖им п░о▓ивоположн╗й знак, и, ▒оо▓ве▓▒▓венно, вме▒▓о ▒оо▓но╕ени┐ (5.36) б│дем
име▓╝
(2k ; u; ; u+ ) cos(; t) + (2f(k) ; f(u; ) ; f(u+ )) cos(; x) 6 0
п░и в▒е╡ k 2 (u+ ; u;). С │╖е▓ом (5.37), пол│╖аем не░авен▒▓во
2 (k ; u+ ) cos(; t) + (f(k) ; f(u+ )) cos(; x)
+ (u+ ; u; ) cos(; t) + (f(u+ ) ; f(u; )) cos(; x)
= 2 (k ; u+ ) cos(; t) + (f(k) ; f(u+ )) cos(; x) 6 0;
76
в╗полненное дл┐ л╛бого k 2 (u+ ; u;), ╖▓о ▒овпадае▓ ▒ (5.22). 2
В закл╛╖ении покажем, ╖▓о не░авен▒▓во (5.29) ┐вл┐е▓▒┐ ▒лед▒▓вием ме▓ода \и▒╖еза╛╣ей в┐зко▒▓и". Дей▒▓ви▓ел╝но, п│▒▓╝ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ п░еделом п░и " ! +0 по но░ме L1;loc (T ) кла▒▒и╖е▒ки╡ ░е╕ений
u"(t; x) зада╖и Ко╕и дл┐ │░авнени┐
ut + f 0 (u)ux = "uxx
(5.38)
▒ на╖ал╝н╗м │▒ловием u(0; x) = u0(x).
Воз╝мем л╛б│╛ в╗п│кл│╛ вниз ┤│нк╢и╛ E(u) 2 C 2(R) и │множим │░авнение (5.38) на E 0(u). У╖и▓╗ва┐
x)) ;
E 0 (u)ut = @E(u(t;
@t
@ Z u(t;x) f 0 () E 0 () d ;
f 0 (u)E 0 (u)ux = @x
k
E 0 (u)uxx = (E(u))xx ; E 00(u)u2x ;
имеем
Et +
Z u
k
f 0 ()E 0 () d x = " (E(u))xx ; "E 00 (u)u2x 6 " (E(u))xx (5.39)
в ▒ил│ E 00 (u) > 0, " > 0. Умножим ▓епе░╝ не░авен▒▓во (5.39) на
п░обн│╛ ┤│нк╢и╛ '(t; x) > 0 из Оп░еделени┐ 5.1 и п░оин▓ег░и░│ем
по T . П░имен┐┐ ┤о░м│л│ ин▓ег░и░овани┐ по ╖а▒▓┐м, пе░еб░о▒им
в▒е п░оизводн╗е на ':
;
Z Zu
T
k
't E(u) + 'x
f 0 ()E 0 () d dx dt 6 "
В п░еделе п░и " ! +0 пол│╖аем, ╖▓о
Z Zu
T
k
't E(u) + 'x
Z
T
'xx E(u) dx dt
f 0 ()E 0 () d dx dt > 0:
(5.40)
П│▒▓╝ fEm (u)g | по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ дважд╗ гладки╡ в╗п│кл╗╡
┤│нк╢ий, апп░ок▒ими░│╛╣и╡ ┤│нк╢и╛ ju;kj. Под▒▓авим E = Em (u)
в не░авен▒▓во (5.40) и пе░ейдем к п░едел│ п░и m ! 1. Так как
Em0 () ! sign( ; k), ▓о
77
Zu
k
f 0 ()Em0 () d ;!
Zu
k
f 0 () sign( ; k) d
Zu
= sign(u ; k) f 0 () d
k
= sign(u ; k) (f(u) ; f(k)) :
Таким об░азом, из (5.40) м╗ в╗вели (5.29).
Зада╖а 5.2. Под░обно обо▒н│й▓е по▒ледний п░едел╝н╗й пе░е╡од.
Заме╖ание 5.7. В ▒л│╖ае в╗п│клой ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) можно
в оп░еделении обоб╣енного ╜н▓░опийного ░е╕ени┐ замени▓╝ ин▓ег░ал╝ное не░авен▒▓во (5.29) ин▓ег░ал╝н╗м ▓ожде▒▓вом (5.3) и не░авен▒▓вом (5.29), ко▓о░ое должно в╗полн┐▓╝▒┐ ╡о▓┐ б╗ дл┐ одной
▒▓░ого в╗п│клой ╜н▓░опии E(u). Един▒▓венно▒▓╝ ▓акого ░е╕ени┐
доказана в [10].
Заме╖ание 5.8. Оп░еделение обоб╣енного ╜н▓░опийного ░е╕ени┐
на о▒нове не░авен▒▓ва (5.29) о▒▓ае▓▒┐ в ▒иле дл┐ многоме░ного аналога зада╖и (5.1){(5.2). П░и ╜▓ом x 2 Rn,
f : R ! Rn;
(f(u))x rxf(u(t; x));
'x = rx ';
а (f(u) ; f(k)) 'x | ▒кал┐░ное п░оизведение (f(u) ; f(k)) на 'x . Введенн╗е оп░еделени┐ обоб╣енного ░е╕ени┐ u(t; x) и набо░ ╜н▓░опий
ju;kj, k 2 R,в п│блика╢и┐╡ ╖а▒▓о ▒в┐з╗ва╛▓ ▒ именем С.Н.К░│жкова
(░е╕ение в ▒м╗▒ле К░│жкова). В ░або▓а╡ [8],[9] впе░в╗е б╗ло введено ╜▓о оп░еделение и ░азви▓а име╛╣а┐ гл│бокий ┤изи╖е▒кий ▒м╗▒л
▓е╡ника доказа▓ел╝▒▓ва ▓ео░ем ▒│╣е▒▓вовани┐ и един▒▓венно▒▓и.
78
6. Зада╖а Римана о ░а▒паде ░аз░╗ва
В на▒▓о┐╣ем па░аг░а┤е м╗ ░а▒▒мо▓░им ▓ак наз╗ваем│╛ зада╖│ о
░а▒паде п░оизвол╝ного ░аз░╗ва (зада╖│ Римана) дл┐ │░авнени┐ (4.2),
▓о е▒▓╝ б│дем ▒▓░ои▓╝ обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ u(t; x) в поло▒е T =
f;1 < x < +1; 0 < t < T g ▒лед│╛╣ей зада╖и:
x < 0;
ut + (f(u))x = 0; ut=0 = u0(x) = uu; п░и
п░и x > 0; (6.1)
+
где u; и u+ | п░оизвол╝н╗е кон▒▓ан▓╗. По▒▓░оенн╗е ░е╕ени┐ б│д│▓ к│▒о╖но гладкими в T ┤│нк╢и┐ми, ко▓о░╗е на каждой компонен▓е гладко▒▓и │довле▓во░┐╛▓ в кла▒▒и╖е▒ком ▒м╗▒ле из│╖аемом│ │░авнени╛, на лини┐╡ ░аз░╗ва │довле▓во░┐╛▓ │▒лови╛ РанкинаГ╛гонио (4.5) и │▒лови╛ воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии. По▒▓░оенн╗е ░е╕ени┐ u(t; x) б│д│▓ ▒▓░еми▓╝▒┐ к u0 (x) п░и t ! +0 везде, к░оме ▓о╖ки
x = 0.
Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗ ▒│╣е▒▓вовани┐ и един▒▓венно▒▓и обоб╣енн╗╡ (в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва и │▒лови┐ воз░а▒▓ани┐
╜н▓░опии) ░е╕ений зада╖и (6.1) можно най▓и в [16, Лек╢ии 4-6].
П░ежде в▒его заме▓им, ╖▓о и▒╡одное │░авнение не мен┐е▓▒┐ п░и
замене x ! kx, t ! kt, на╖ал╝ное │▒ловие ▓акже пе░е╡оди▓ в ▒еб┐ п░и
░а▒▓┐жени┐╡ x ! kx, k > 0. К░оме ▓ого, │▒ловие воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии инва░иан▓но о▓но▒и▓ел╝но │казанного п░еоб░азовани┐. Зна╖и▓,
в ▒ил│ един▒▓венно▒▓и, п░и замене пе░еменн╗╡ x ! kx, t ! kt, где
k > 0, ┤│нк╢и┐ u(t; x) пе░е╡оди▓ в ▒еб┐:
u(kt; kx) = u(t; x) 8k > 0:
Э▓о в ▓о╖но▒▓и озна╖ае▓, ╖▓о u(t; x) о▒▓ае▓▒┐ по▒▓о┐нной на в▒е╡
л│╖а╡ x = t, t > 0, в╗╡од┐╣и╡ из на╖ала коо░дина▓, ▓.е. ┐вл┐е▓▒┐
┤│нк╢ией о▓ = x=t:
u(t; x) = u(x=t); t > 0:
(6.2)
Ре╕ени┐, зави▒┐╣ие о▓ x=t наз╗ва╛▓▒┐ ав▓омодел╝н╗ми. У ав▓омодел╝н╗╡ ░е╕ений, в ╖а▒▓но▒▓и, линии ░аз░╗ва мог│▓ б╗▓╝ ▓ол╝ко
л│╖ами, в╗╡од┐╣ими из на╖ала коо░дина▓.
Уп░ажнение 6.1. Най▓и в▒е гладкие в пол│пло▒ко▒▓и t > 0 ав▓омодел╝н╗е ░е╕ени┐ │░авнений из Уп░ажнени┐ 4:2.
79
6.1. У░авнение Хоп┤а
Дл┐ на╖ала ░а▒▒мо▓░им зада╖│ (6.1) в ▒л│╖ае f(u) = u2=2:
x < 0;
ut + uux = 0; ut=0 = u0(x) = uu; п░и
(6.3)
п░и x > 0:
+
П░ежде в▒его опи╕ем в▒е гладкие ав▓омодел╝н╗е ░е╕ени┐ │░авнени┐ Хоп┤а. Под▒▓авл┐┐ (6.2) в │░авнение (6.3), пол│╖им:
; tx2 u0 xt + 1t u xt u0 xt = 1t u0 xt u xt ; xt = 0;
▓.е. либо u0 = 0, ▒ледова▓ел╝но u C | кон▒▓ан▓а, либо u = x=t. Таким об░азом, в▒е гладкие ав▓омодел╝н╗е ░е╕ени┐ │░авнени┐ Хоп┤а
е▒▓╝ кон▒▓ан▓╗ и ┤│нк╢и┐ x=t.
На╕а дал╝ней╕а┐ зада╖а | ▒оедини▓╝ п░авил╝н╗м об░азом (▓.е.
▒ в╗полнением на л│╖а╡ ░аз░╗ва │▒ловий Ранкина-Г╛гонио и воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии) по▒▓░оенн╗е гладкие ав▓омодел╝н╗е ░е╕ени┐ ▓ак,
╖▓об╗ │довле▓во░и▓╝ на╖ал╝ном│ │▒лови╛ u0(x). П░ежде в▒его в╗┐▒ним, по каким л│╖ам можно ▒▓╗кова▓╝ ░азли╖н╗е кон▒▓ан▓╗, а
▓акже кон▒▓ан▓│ и ┤│нк╢и╛ x=t.
Две по▒▓о┐нн╗е ┤│нк╢ии u(t; x) u1 и u(t; x) u2; ui = Const,
как ▒лед│е▓ из │▒лови┐ Ранкина-Г╛гонио (4.5), ▒▓╗к│╛▓▒┐ по п░┐мой
; f(u1 ) t = 1 u22 ; u21 t = u2 + u1 t;
x = f(uu2 ) ;
2 u2 ; u1
2
2 u1
п░и╖ем ▒ка╖ок, из │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва, возможен ▓ол╝ко
в ▒▓о░он│ │мен╝╕ени┐ u (п░и ░о▒▓е x). Таким об░азом, е▒ли дл┐
оп░еделенно▒▓и u2 > u1, ▓о
u(t; x) = u2 п░и x < u2 +2 u1 t , и u(t; x) = u1 п░и x > u2 +2 u1 t :
Ч▓о ка▒ае▓▒┐ ▒▓╗ковки кон▒▓ан▓╗ u(t; x) u3 = Const и ┤│нк╢ии u(t; x) = x=t, ▓о е▒ли они ▒▓╗к│╛▓▒┐ по л│╖│ x = t, ▓о п░едел
┤│нк╢ии x=t п░и под╡оде к ╜▓ом│ л│╖│ ░авен , и из (4.5) ▒лед│е▓:
f(u3 ) ; f() = 1 u23 ; 2 = u3 + ;
=
= dx
dt
u3 ; 2 u3 ; 2
▓.е. = u3 . По▒леднее озна╖ае▓, ╖▓о пол│╖енна┐ ┤│нк╢и┐ неп░е░╗вна
на л│╖е ▒▓╗ковки x = t = u3t; t > 0, и ░аз░╗в | ▒лаб╗й.
80
Ри▒. 17.
Тепе░╝ м╗ можем полно▒▓╝╛ ░е╕и▓╝ зада╖│ Римана о ░а▒паде
░аз░╗ва дл┐ │░авнени┐ Хоп┤а. Зде▒╝ возможн╗ две п░ин╢ипиал╝но
░азли╖н╗е ▒и▓│а╢ии:
1) Е▒ли u; > u+ , ▓о ░е╕ение ▒▓░ои▓▒┐ в виде │да░ной волн╗ |
дв│╡ кон▒▓ан▓ u; и u+ , ▒оединенн╗╡ по л│╖│ x = u2 +2 u1 t в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ │▒ловием Ранкина-Г╛гонио (▒м. ░и▒. 17):
(
u; п░и x < u; +2 u+ t;
u(t; x) =
(6.4)
u+ п░и x > u; +2 u+ t:
Пол│╖енн╗й ░аз░╗в, как │же о▓ме╖ало▒╝, ┐вл┐е▓▒┐ доп│▒▓им╗м в ▒м╗▒ле │▒лови┐ воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии.
2) Е▒ли u; < u+ , ▓о ▒▓░ои▓╝ ░е╕ение в виде │да░ной волн╗ нел╝з┐, ▓ак как пол│╖аем╗й в ╜▓ом ▒л│╖ае ░аз░╗в не │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛ воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии. Зде▒╝ на помо╣╝ п░и╡оди▓
┤│нк╢и┐ x=t, ко▓о░а┐ по неп░е░╗вно▒▓и ▒▓╗к│е▓▒┐ ▒ кон▒▓ан▓ами u; и u+ (▒м. ░и▒. 18):
8u
< ; п░и x 6 u;t;
u(t; x) = : x=t п░и u; t < x < u+ t;
(6.5)
u+
п░и x > u+ t:
Пол│╖енное ░е╕ение неп░е░╗вно во в▒ей пол│пло▒ко▒▓и t > 0.
Угол u; t < x < u+ t, t > 0, в ко▓о░ом п░ои▒╡оди▓ ▒глаживание
░аз░╗вн╗╡ на╖ал╝н╗╡ │▒ловий, наз╗ва╛▓ обла▒▓╝╛ ░аз░ежени┐, а ▒амо ░е╕ение (6.5) | ╢ен▓░и░ованной волной ░аз░ежени┐.
81
Ри▒. 18.
Дадим геоме▓░и╖е▒кий коммен▓а░ий к пол│╖енн╗м ░е╕ени┐м.
По▒▓░оим г░а┤ик ┤│нк╢ии f(u) = u2=2 в о▒┐╡ (u; f), па░аллел╝н╗╡
о▒┐м (t; x), и о▓ме▓им на нем ▓о╖ки (u; ; u2;=2) и (u+ ; u2+ =2). Тогда,
как │же о▓ме╖ало▒╝ в╗╕е, лини┐ ░аз░╗ва ░е╕ени┐ (6.4) па░аллел╝на
о▓░езк│, ▒оедин┐╛╣ем│ ╜▓и ▓о╖ки (▒м. ░и▒. 17). Об░а▓им внимание
и на ▒лед│╛╣ий ┤ак▓ (ко▓о░╗й, как м╗ │видим позже, ▒ов▒ем не
▒л│╖аен): линии ▒лабого ░аз░╗ва ░е╕ени┐ u(t; x), задаваемого (6.5),
| л│╖и x = u;t и x = u+ t | па░аллел╝н╗ ка▒а▓ел╝н╗м к г░а┤ик│ ┤│нк╢ии f(u) = u2=2, по▒▓░оенн╗╡ ▒оо▓ве▓▒▓венно в ▓о╖ка╡
(u; ; f(u; )) и (u+ ; f(u+ )).
Заме╖ание 6.1. П░и u; > u+ ┤о░м│ла (6.5) не задае▓ ┤│нк╢ии в
пол│пло▒ко▒▓и t > 0.
Зада╖а 6.1. Показа▓╝, ╖▓о в кла▒▒е ав▓омодел╝н╗╡
обоб╣енн╗╡
░е╕ений зада╖и (6:3) по▒▓░оенн╗е в╗╕е ░е╕ени┐ (6:4) и (6:5) един▒▓венн╗.
6.2. Сл│╖ай в╗п│клой ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐
Ре╕ение зада╖и Римана о ░а▒паде ░аз░╗ва (6.1) в ▒и▓│а╢ии, когда
f(u) | в╗п│кла┐ вниз ┤│нк╢и┐ о▓ли╖ае▓▒┐ о▓ ░е╕ени┐ ╜▓ой зада╖и в
▒л│╖ае │░авнени┐ Хоп┤а (▓.е. когда f(u) = u2 =2) ли╕╝ ▓ем, ╖▓о вме▒▓о непо▒▓о┐нного гладкого ав▓омодел╝ного ░е╕ени┐ x=t │░авнени┐
Хоп┤а │╖а▒▓в│е▓ неко▓о░а┐ д░│га┐ ┤│нк╢и┐ (x=t). Найдем ее. Как
и в╗╕е, под▒▓авим (6.2) в (6.1) и пол│╖им:
; tx2 u0 + 1t f 0 (u)u0 = 1t u0 (x=t)(f 0 (u (x=t)) ; x=t) = 0:
82
Таким об░азом, к░оме кон▒▓ан▓, пол│╖аем╗╡ из │▒лови┐ u0 = 0, е▒▓╝
е╣е одна ┤│нк╢и┐ u() = () (зде▒╝ = x=t), ┐вл┐╛╣а┐▒┐ ░е╕ением
│░авнени┐
f 0 ( ) = ;
▓.е. | ┤│нк╢и┐, об░а▓на┐ к f 0 :
= (f 0 );1 . Она ▒│╣е▒▓в│е▓,
▓ак как f | в╗п│кла┐, и ▒ледова▓ел╝но, f 0 | моно▓онна┐ ┤│нк╢и┐.
Э▓о по▒леднее найденное ░е╕ение u = (x=t), ░аз░╗вное в (0; 0) и
неп░е░╗вное п░и t > 0, наз╗ва╛▓ волной ░аз░ежени┐.
Заме╖ание 6.2. В ▒л│╖ае
│░авнени┐ Хоп┤а │ на▒ и б╗ло f 0 (u) = u,
;1
а, зна╖и▓, () = (f 0 ) () = .
Ре╕ение (6.1) в ▒л│╖ае в╗п│клой вниз ┤│нк╢ии f(u) б│дем ▒▓░ои▓╝ по аналогии ▒ │░авнением Хоп┤а, а именно:
1) Е▒ли u; > u+ , ▓о ░е╕ение ▒нова ▒▓░оим в виде │да░ной волн╗, ▒▓╗к│┐ две кон▒▓ан▓╗ u; и u+ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ │▒ловием
Ранкина-Г╛гонио по л│╖│ xt = f (uu++);;fu(;u; ) ; t > 0:
u(t; x) =
(
u;
u+
п░и x < f (uu++);;uf ;(u; ) t;
п░и x > f (uu++);;uf (;u; ) t:
(6.6)
(С░авни▓е ▒ (6.4) и ░и▒. 17.) Пол│╖енн╗й ▒ил╝н╗й ░аз░╗в доп│▒▓им в ▒м╗▒ле │▒лови┐ воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии.
2) Е▒ли u; < u+ , ▓о ░е╕ение вида (6.6) не │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛
воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии. Тогда, как и п░и по▒▓░оении (6.5), ▒клеим кон▒▓ан▓╗ u; и u+ ▒ по▒▓░оенн╗м ░е╕ением (x=t), найд┐
л│╖и ▒клейки x = ; t и x = + t из │▒ловий неп░е░╗вно▒▓и ░е╕ени┐ на ╜▓и╡ л│╖а╡: u = ( ), ▓.е. = f 0 (u ):
8u
< ;
u(t; x) = : (x=t)
u+
п░и x 6 f 0 (u; )t;
п░и f 0 (u; )t < x < f 0 (u+ )t;
п░и x > f 0 (u+ )t:
(6.7)
Заданна┐ в (6.5) ┤│нк╢и┐ ко░░ек▓но оп░еделена п░и t > 0, ▓ак
как ┤│нк╢и┐ ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) в╗п│кла вниз, ▒ледова▓ел╝но, f 0 (u) моно▓онно воз░а▒▓ае▓, и f 0 (u; ) < f 0 (u+ ) в ▒л│╖ае u; < u+ .
83
Волна ░аз░ежени┐ (x=t), как неп░е░╗вна┐ п░и t > 0 ┤│нк╢и┐,
п░инимае▓ в▒е возможн╗е зна╖ени┐ межд│ u; и u+ . В ▒ил│ оп░еделени┐ как ┤│нк╢ии, об░а▓ной к f 0 , │▒ловие (x=t) = u0 ░авно▒ил╝но x = f 0 (u0)t дл┐ л╛бого u0 2 [u;; u+ ]. И▓ак, неко▓о░ое ┤ик▒и░ованное зна╖ение u0 волной ░аз░ежени┐ (x=t) п░инимае▓▒┐ на л│╖е
x = f 0 (u0 )t, t > 0, па░аллел╝ном ка▒а▓ел╝ной к г░а┤ик│ ┤│нк╢ии
f = f(u), по▒▓░оенной в ▓о╖ке (u0 ; f(u0 )). В ╖а▒▓но▒▓и, м╗ пол│╖аем
доказа▓ел╝▒▓во │же о▓ме╖енного в ▒л│╖ае │░авнени┐ Хоп┤а │▓ве░ждени┐: линии ▒лабого ░аз░╗ва ░е╕ени┐ u(t; x), задаваемого ┤о░м│лой (6.7) (▓.е. л│╖и x = f 0 (u )t) па░аллел╝н╗ ка▒а▓ел╝н╗м к г░а┤ик│
┤│нк╢ии f = f(u), по▒▓░оенн╗м в к░айни╡ ▓о╖ка╡ (u ; f(u )) (cм.
░и▒. 18). (Коне╖но, м╗ ▒нова п░едполагаем, ╖▓о о▒и (u; f) па░аллел╝н╗ о▒┐м (t; x).)
Заме╖ание 6.3. Нам важна в╗??│кло▒▓╝ ┤│нк╢ии f(u) ли╕╝ на о▓░езке [u; ; u+] (или [u+ ; u; ]).
Ч▓о ка▒ае▓▒┐ ▒л│╖а┐ в╗п│клой вве░╡ (на ░а▒▒ма▓░иваемом о▓░езке) ┤│нк╢ии f(u), ▓о ░е╕ение, в неко▓о░ом ▒м╗▒ле, ▒▓░ои▓▒┐ ░овно наобо░о▓ по ▒░авнени╛ ▒ в╗╕еизложенн╗м, а именно: в ▒л│╖ае
u; < u+ м╗ пол│╖аем │да░н│╛ волн│ (6.6); е▒ли же u; > u+ , ▓о ░е╕ение задае▓▒┐ (6.7) (в ╜▓ом ▒л│╖ае f 0 (u) │б╗вае▓, и, ▒ледова▓ел╝но,
▒нова б│де▓ в╗полнено f 0 (u; ) < f 0 (u+ )). Акк│░а▓но п░оделай▓е в▒е
в╗кладки в ╜▓ом ▒л│╖ае ▒амо▒▓о┐▓ел╝но:
Зада╖а 6.2. Ре╕и▓╝ зада╖│ Римана (6:1) в ▒л│╖ае п░оизвол╝ной в╗-
п│клой вве░╡ ┤│нк╢ии f(u), по▒▓░ои▓╝ ░е╕ение г░а┤и╖е▒ки (как на
░и▒. 17 и 18), п░ове░и▓╝ в╗полнение │▒лови┐ Ранкина-Г╛гонио и
│▒лови┐ воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии.
Уп░ажнение 6.2. Ре╕и▓╝ ▒лед│╛╣ие зада╖и о ░а▒паде ░аз░╗ва:
1) ut ; (u2)x = 0;
x < 0; и u = 1 п░и x < 0;
ut=0 = ;11 п░и
t=0
п░и x > 0
;1 п░и x > 0;
84
2) ut + u2 ux = 0;
2 п░и x < 0;
0
п░и
x
<
0;
u t=0 = 2 п░и x > 0 и u t=0 = 0 п░и x > 0;
x < 0;
3) ut + cos u ux = 0; ut=0 = 0 п░и
п░и
п░и x < 0; x > 0; п░и x < 0;
ut=0 = 0 п░и x > 0 и ut=0 = 2 п░и x > 0;
4) ut + eu ux = 0;
x < 0; и u = 1 п░и x < 0;
ut=0 = 01 п░и
t=0
п░и x > 0
0 п░и x > 0;
5) ut + (lnu)
xe= 0;п░и x < 0; x < 0;
u t=0 = 1 п░и x > 0 и ut=0 = 1e п░и
п░и x > 0:
6.3. Сл│╖ай нев╗п│клой ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐
Оп░еделение 6.1. В╗п│клой вве░╡ оболо╖кой ┤│нк╢ии f(u) на о▓░езке [; ] наз╗ва╛▓ ┤│нк╢и╛
^ = inf f(u);
~ u 2 [; ] ;
f(u)
f~2F^
~ ▓аки╡, ╖▓о
где F^ ▒овок│пно▒▓╝ в▒е╡ в╗п│кл╗╡ вве░╡ ┤│нк╢ий f(u)
~
f(u) > f(u) 8u 2 [; ].
Оп░еделение 6.2. В╗п│клой вниз оболо╖кой ┤│нк╢ии f(u) на о▓░езке [; ] наз╗ва╛▓ ┤│нк╢и╛
= sup f(u);
~ u 2 [; ] ;
f(u)
f~2F
~ ▓аки╡, ╖▓о
где F ▒овок│пно▒▓╝ в▒е╡ в╗п│кл╗╡ вниз ┤│нк╢ий f(u)
~
f(u) 6 f(u) 8u 2 [; ].
Заме╖ание 6.4. Е▒ли f(u) | в╗п│кла┐ вве░╡ (вниз) ┤│нк╢и┐ на о▓░езке [; ], ▓о ее в╗п│клой вве░╡ (вниз) оболо╖кой на ╜▓ом о▓░езке
^ = f(u) (f(u)
= f(u)), а г░а┤ик ее в╗п│кл┐вл┐е▓▒┐ она ▒ама: f(u)
ой вниз (вве░╡) оболо╖ки | о▓░езок, ▒оедин┐╛╣ий ▓о╖ки (; f()) и
(; f()).
Уп░ажнение 6.3.
По▒▓░ои▓╝ в╗п│кл│╛ вве░╡ и в╗п│кл│╛ вниз
оболо╖ки ┤│нк╢ии f(u) = u3 на о▓░езке [;1; 1] и ┤│нк╢ии f(u) = sin u
на о▓░езке [0; 3].
85
Дл┐ ░е╕ени┐ зада╖и Римана (6.1) в ▒л│╖ае u; < u+ по▒▓░оим в╗п│кл│╛ вниз оболо╖к│ ┤│нк╢ии f(u) на о▓░езке [u; ; u+], а в ▒л│╖ае
u; > u+ | в╗п│кл│╛ вве░╡ оболо╖к│ на о▓░езке [u+ ; u;]. Г░а┤ик
оболо╖ки ▒о▒▓ои▓ из в╗п│кл╗╡ (в ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣│╛ ▒▓о░он│) к│▒ков г░а┤иков ┤│нк╢ии f(u) и о▓░езков, ▒оедин┐╛╣и╡ ╜▓и к│▒ки. Кажд╗й ▓акой о▓░езок б│де▓ ▒оо▓ве▓▒▓вова▓╝ л│╖│ ░аз░╗ва (│да░ной
волне) по▒▓░оенного ░е╕ени┐ межд│ дв│м┐ гладкими ав▓омодел╝н╗ми ░е╕ени┐ми вида u(t; x) = (x=t), где () | ┤│нк╢и┐, об░а▓на┐ к
= f 0 (u) (▒м. ░аздел 6.2). Заме▓им, ╖▓о на каждом │╖а▒▓ке в╗п│кло▒▓и f(u) ┤│нк╢и┐, об░а▓на┐ к f 0 (u), ▒│╣е▒▓в│е▓.
П░име░ 6.1. По▒▓░оим ░е╕ение ▒лед│╛╣ей зада╖и Римана:
x < 0;
ut + (u3 )x = 0; ut=0 = ;11 п░и
(6.8)
п░и x > 0:
Сна╖ала по▒▓░оим в╗п│кл│╛ вве░╡ (▓ак как u; = 1 > ;1 = u+ )
оболо╖к│ ┤│нк╢ии f(u) = u3 на о▓░езке [;1; 1]. Дл┐ ╜▓ого оп│▒▓им
ка▒а▓ел╝н│╛ из ▓о╖ки (1; 1) на г░а┤ике ░а▒▒ма▓░иваемой ┤│нк╢ии к
╜▓ом│ г░а┤ик│. То╖к│ ка▒ани┐ (u0; u30) к г░а┤ик│ найдем из │▒лови┐:
1 ; u30 = f 0 (u ) = 3u2; u 6= 1;
0
0
0
1 ; u0
▓.е. 1 + u0 + u20 = 3u20, о▓к│да u0 = ;1=2. Таким об░азом, г░а┤ик в╗п│клой вве░╡ оболо╖ки ┤│нк╢ии f(u) = u3 на о▓░езке [;1; 1] ▒о▒▓ои▓
(▒м. ░и▒. 19) из к│▒ка к│би╖е▒кой па░абол╗ на о▓░езке [;1; ;1=2] и
о▓░езка, ▒оедин┐╛╣его ▓о╖ки (;1=2; ;1=8) и (1; 1). Зна╖и▓, ░е╕ение
по▒▓авленной зада╖и имее▓ ░овно один л│╖ ▒ил╝ного ░аз░╗ва x = t,
t > 0, па░аллел╝н╗й ▓ол╝ко ╖▓о по▒▓░оенном│ о▓░езк│ (е▒ли, как
в▒егда, о▒и (t; x) па░аллел╝н╗ о▒┐м (u; f)), ▓.е.
+ 1=8 = 3 :
= 11 +
1=2 4
Э▓о▓ ░аз░╗в иде▓ межд│ кон▒▓ан▓ой u; = 1 (▒о ▒▓о░он╗ x < 43 t) и
┤│нк╢ией (x=t). Зде▒╝ () | ┤│нк╢и┐, об░а▓на┐ к = f 0 (u) = 3u2
на о▓░езке [;1; ;1=2], ▓.е.
p
u = () = ; =3; 3=4 6 6 3:
П░едел ░е╕ени┐ u(t; x) на л│╖е ▒ил╝ного ░аз░╗ва x = 43 t ▒о ▒▓о░он╗
x > 34 t ░авен ( 34 ) = ; 21 . (Э▓о е▒▓╝ ▒лед▒▓вие f 0 (; 21 ) = 3(; 12 )2 = 34 .)
86
Ри▒. 19.
Как и в ▒л│╖ае в╗п│клой ┤│нк╢ии (▒м. ░аздел 6.2), ▒▓╗ковка межд│ волной ░аз░ежени┐ (x=t) и кон▒▓ан▓ой u+ = ;1 иде▓ по неп░е░╗вно▒▓и, ▓.е. по л│╖│ x = 3t, t > 0, ко▓о░╗й оп┐▓╝-▓аки па░аллелен
ка▒а▓ел╝ной к; г░а┤ик│
┤│нк╢ии f(u) = u3, по▒▓░оенной в ▓о╖ке
3
(u+ ; f(u+ )) = u+ ; u+ = (;1; ;1).
Таким об░азом, пол│╖ено ░е╕ение зада╖и (6.8):
81
< p x п░и x3 < 34 t;
u(t; x) = : ; 3t п░и 4 t < x < 3t;
;1
п░и x > 3t:
Уп░ажнение 6.4. По▒▓░ои▓╝ ░е╕ение зада╖и Римана:
x < 0;
ut + u2 ux = 0; ut=0 = ;22 п░и
п░и x > 0:
П░име░ 6.2. Ре╕им ▒лед│╛╣│╛ зада╖│ о ░а▒паде ░аз░╗ва:
п░и x < 0;
ut + (sin u)x = 0; ut=0 = 3
0
п░и x > 0:
Так как u; = 3 > 0 = u+ , по▒▓░оим в╗п│кл│╛ вве░╡ оболо╖к│
┤│нк╢ии f(u) = sin u на о▓░езке [0; 3]. Э▓а оболо╖ка ▒о▒▓ои▓ (▒м.
░и▒. 20) из дв│╡ в╗п│кл╗╡ вве░╡ к│▒ков г░а┤ика sin u на о▓░езка╡
[0; =2] и [5=2; 3] и го░изон▓ал╝ного о▓░езка, ▒оедин┐╛╣его ▓о╖ки
(=2; 1) и (5=2; 1) на ▒ин│▒оиде. Таким об░азом, и▒комое ░е╕ение
u(t; x) должно име▓╝ ▒ил╝н╗й ░аз░╗в по п░┐мой x = 0 о▓ 5=2 =
limx!;0 u(t; x) к =2 = limx!+0 u(t; x). К░оме ╜▓ого,
u(t; x) = 3 п░и x < f 0 (3) t = cos 3 t = ;t
u(t; x) = 0
п░и x > f 0 (0) t = t:
87
Ри▒. 20.
О▒▓ало▒╝ ░аз░е╕и▓╝ о▓но▒и▓ел╝но u │░авнение
f 0 (u) = cos u = = x=t
на о▓░езка╡ [0; =2] и [5=2; 3], где, заме▓им, ┤│нк╢и┐ f 0 (u) = cos u
моно▓онна. Ре╕ение │░авнени┐ cos u = , ;1 6 6 1, ╡о░о╕о изве▒▓но: u = arccos + 2n; n 2 Z. На о▓░езке [0; =2] ╜▓о б│де▓
u = arccos , а на о▓░езке [5=2; 3] | u = arccos + 2. Таким об░азом, по▒▓░оено ░е╕ение ░а▒▒ма▓░иваемой зада╖и (▒м. ░и▒. 20):
8 3
п░и x 6 ;t;
>
< arccos x=t + 2 п░и
; t < x < 0;
u(t; x) = > arccos x=t
п░и
0
< x < t;
:0
п░и x > t:
Ре╕ение зада╖и Римана ка░динал╝но измени▓▒┐, е▒ли помен┐▓╝
ме▒▓ами u+ и u; .
П░име░ 6.3.
0
ut + (sin u)x = 0; u t=0 = 3
п░и x < 0;
п░и x > 0:
В╗п│кла┐ вниз оболо╖ка sin u на [0; 3] ▒о▒▓ои▓ (▒м. ░и▒. 21) из
ка▒а▓ел╝н╗╡, оп│╣енн╗╡ из ▓о╖ек (0; 0) и (3; 0) на в╗п│кл╗й вниз
к│▒ок ▒ин│▒оид╗ на о▓░езке [; 2] и к│▒ка г░а┤ика sin u межд│ ▓о╖ками ка▒ани┐ (u1; sin u1) и (u2; sin u2). В ▒ил│ ▒имме▓░ии легко пон┐▓╝, ╖▓о u1 + u2 = 3; sin u1 = sin u2 , и ▓анген▒╗ │глов наклона
по▒▓░оенн╗╡ ка▒а▓ел╝н╗╡ о▓ли╖а╛▓▒┐ ли╕╝ знаком. Обозна╖им
sin u1 = f 0 (u ) = cos u
;k = f(uu1 ) ;; f(0)
=
1
1
u1
1 0
88
| ▓анген▒ │гла наклона ка▒а▓ел╝ной, оп│╣енн╗╡ из ▓о╖ки (0; 0),
▓огда +k | ▓анген▒ │гла наклона в▓о░ой ка▒а▓ел╝ной. Сами зна╖ени┐ u1 ; u2 и k м╗, е▒▓е▒▓венно, най▓и не можем, а можем ли╕╝
▒каза▓╝, ╖▓о u1 | наимен╝╕ее положи▓ел╝ное ░е╕ение │░авнени┐
tg u1 = u1; u2 = 3 ; u1 ; k = ; cos u1 = cos u2.
Ри▒. 21.
На о▓░езке [u1; u2] [; 2] об░а▓им ┤│нк╢и╛ f 0 (u) = cos u. В
╜▓ом ▒л│╖ае u = (f 0 );1 () = 2 ; arccos ; ;k 6 6 k. Тепе░╝ можно
запи▒а▓╝ и▒комое ░е╕ение (▒м. ░и▒. 21):
80
<
u(t; x) = : 2 ; arccos x=t
3
п░и x 6 ;kt;
п░и ; kt < x < kt;
п░и x > kt:
По▒▓░оенное ░е╕ение имее▓ два ░аз░╗ва: по п░┐мой x = ;kt |
▒ка╖ок о▓ 0 до u1 ; по п░┐мой x = kt | о▓ u2 до 3.
Уп░ажнение 6.5. По▒▓░ои▓╝ ░е╕ение зада╖и Римана:
;5=4 п░и x < 0;
ut + sin(2u) ux = 0; u t=0 = 5=4
п░и x > 0:
89
Закл╛╖ение
В данном по▒обии дан╗ о▒новн╗е пон┐▓и┐ нелокал╝ной ▓ео░ии зада╖и Ко╕и дл┐ одноме░ного (по п░о▒▓░ан▒▓венной пе░еменной) квазилинейного закона ▒о╡░анени┐ вида
ut + (f(u))x = 0:
(A.1)
Ч▓о ка▒ае▓▒┐ нелокал╝ной ▓ео░ии дл┐ многоме░ного ▒кал┐░ного
│░авнени┐
ut + divx f(u) = 0;
x 2 Rn;
f(u) 2 Rn;
(A.2)
▓о ее довол╝но заве░╕енна┐ ┤о░ма по┐вила▒╝ в кон╢е 60-╡ годов
(▒м. [8],[9]) в ▓ом ▒л│╖ае, когда компонен▓╗ fi (u) век▓о░-┤│нк╢ии
▒о▒▓о┐ни┐ f(u) │довле▓во░┐╛▓ │▒лови╛ Лип╕и╢а и, ▒ледова▓ел╝но,
в ▓ео░ии зада╖и Ко╕и дл┐ │░авнени┐ (A.2) имее▓ ме▒▓о ╜┤┤ек▓ коне╖ной ▒ко░о▒▓и ░а▒п░о▒▓░анени┐ возм│╣ений и коне╖ной обла▒▓и
зави▒имо▒▓и ░е╕ени┐ (в данной ┤ик▒и░ованной ▓о╖ке (t; x)) о▓ на╖ал╝н╗╡ данн╗╡.
Нов╗й (▒ов░еменн╗й) в▒пле▒к в ░азви▓ии нелокал╝ной ▓ео░ии
│░авнений (A.1) и (A.2) ▒в┐зан ▒ вкл╛╖ением в ░а▒▒мо▓░ение ▒л│╖а┐,
когда ┤│нк╢и┐ ▒о▒▓о┐ни┐ ▓ол╝ко неп░е░╗вна, ▓.е., вооб╣е гово░┐, неди┤┤е░ен╢и░│ема и, ▒ледова▓ел╝но, когда можно ожида▓╝ по┐влени┐
▓ипи╖но \па░аболи╖е▒кого | ди┤┤│зионного" ╜┤┤ек▓а бе▒коне╖ной
▒ко░о▒▓и ░а▒п░о▒▓░анени┐ возм│╣ений и бе▒коне╖ной обла▒▓и зави▒имо▒▓и обоб╣енного ╜н▓░опийного ░е╕ени┐ о▓ на╖ал╝н╗╡ данн╗╡.
Дей▒▓ви▓ел╝но, давай▓е поп╗▓аем▒┐ по▒▓░ои▓╝ обоб╣енное ╜н▓░опийное ░е╕ение зада╖и Ко╕и
ut + juj x = 0;
x 2 R; 2 (0; 1);
(A.3)
1; x 2 (;1; 0);
[sign(x
+
1)
;
signx]
u t=0 = u0 (x) = 0; x 2= (;1; 0): (A.4)
2
Так как на╖ал╝на┐ ┤│нк╢и┐ u0 (x) > 0, ▓о обоб╣енное ╜н▓░опийное
░е╕ение u(t; x) ▓оже нео▓░и╢а▓ел╝но и, ▒ледова▓ел╝но, в (A.1) ┤│нк╢и┐ ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) u = в╗п│кла вве░╡ на ин▓е░е▒│╛╣ем на▒ о▓░езке изменени┐ u. С д░│гой ▒▓о░он╗, ввид│ ▒пе╢и┤ики ▒▓░│к▓│░╗
(\одно▒▓│пен╖а▓о▒▓╝") на╖ал╝ной ┤│нк╢ии, можно наде┐▓╝▒┐, ╖▓о на
90
Ри▒. 22.
до▒▓а▓о╖но малом о▓░езке в░емени 0 6 t 6 обоб╣енное ╜н▓░опийное ░е╕ение ░а▒▒ма▓░иваемой зада╖и б│де▓ оп░едел┐▓╝▒┐ ░е╕ением
дв│╡ зада╖ Римана ▒ на╖ал╝н╗ми ┤│нк╢и┐ми sign(x + 1) и sign x.
Зада╖а A.3.
Убеди▓е▒╝, ╖▓о обоб╣енное ╜н▓░опийное ░е╕ение
u(t; x) зада╖и (A.3){(A.4) дл┐ 0 < t < 1; = задае▓▒┐ ┤о░м│лой
(▒м. ░и▒. 22)
8
п░и x < t ; 1;
>
< 0
п░и t ; 1 < x 6 t
u(t; x) = > ; 1 1
: t 1; п░и x > t:
x
Зада╖а A.4. П░одолжи▓╝
░е╕ение u(t; x) зада╖и (A.3){(A.4) в пол│пло▒ко▒▓╝ t > = 1; . То╖нее, най▓и │░авнение линии ░аз░╗ва
x = x(t), положив п░и t > (▒м. ░и▒. 22)
u(t; x) =
(
; t 01;1
x
п░и x < x(t);
п░и x > x(t):
Таким об░азом, дл┐ на╖ал╝ной ┤│нк╢ии ▒ компак▓н╗м но▒и▓елем
обоб╣енное ╜н▓░опийное ░е╕ение u(t; x) зада╖и (A.3){(A.4) имее▓
некомпак▓н╗й (неог░ани╖енн╗й) но▒и▓ел╝ п░и л╛б╗╡ (▒кол╝ │годно
мал╗╡!) t < . Как изве▒▓но, в ▓ео░ии па░аболи╖е▒ки╡ │░авнений
(ди┤┤│зионн╗╡ п░о╢е▒▒ов) ╜┤┤ек▓ бе▒коне╖ной ▒ко░о▒▓и ░а▒п░о▒▓░анени┐ возм│╣ений п░иводи▓ к неедин▒▓венно▒▓и ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и. Каково вли┐ние ▓акого ╜┤┤ек▓а на ▓ео░и╛ нелокал╝ной
░аз░е╕имо▒▓и зада╖и Ко╕и дл┐ │░авнени┐ (A.2) в кла▒▒е ог░ани╖енн╗╡ изме░им╗╡ ┤│нк╢ий? Оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о обоб╣енное ╜н▓░опий91
ное ░е╕ение ╜▓ой зада╖и ▒│╣е▒▓в│е▓ в▒егда без каки╡-либо ог░ани╖ений на компонен▓╗ ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ fi (u). А во▓ един▒▓венно▒▓╝
обоб╣енного ╜н▓░опийного ░е╕ени┐ ╜▓ой зада╖и (как б╗ло впе░в╗е
пол│╖ено в [11]) \кон▓░оли░│е▓▒┐" п░оизведением мод│лей неп░е░╗вно▒▓и !i () ┤│нк╢ий fi (u). Е▒ли дл┐ л╛б╗╡ u; v
jfi (u) ; fi (v)j 6 !i(ju ; vj);
где !i () | в╗п│кла┐ вве░╡, ▒▓░ого моно▓онна┐ неп░е░╗вна┐ ┤│нк╢и┐, !i (0) = 0, ▓о дл┐ един▒▓венно▒▓и обоб╣енного ╜н▓░опийного
░е╕ени┐ до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗
() n
Y
i=1
!i () 6 Const n;1 :
(A.5)
О▓ме▓им, ╖▓о дл┐ │░авнени┐
ut + juj x + juj y = 0; 0 < < < 1;
│▒ловие (A.5), п░инима╛╣ее в ╜▓ом ▒л│╖ае вид + 6 1, ┐вл┐е▓▒┐ необ╡одим╗м и до▒▓а▓о╖н╗м дл┐ един▒▓венно▒▓и обоб╣енного
╜н▓░опийного ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и. Заме▓им, ╖▓о в ▒л│╖ае n = 1
какие-либо ог░ани╖ени┐ на ┤│нк╢и╛ ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) │▒ловие (A.5)
не наклад╗вае▓: един▒▓венно▒▓╝ обоб╣енного ╜н▓░опийного ░е╕ени┐ имее▓ ме▒▓о в▒егда. Заме▓им ▓акже, ╖▓о в [11] дан╗ до▒▓а▓о╖но
п░о▒▓╗е доказа▓ел╝▒▓ва един▒▓венно▒▓и обоб╣енного ╜н▓░опийного ░е╕ени┐ в ▒л│╖ае не▒кол╝ко более ▒ил╝ного, ╖ем (A.5), │▒лови┐
() = o(n;1 ); ! 0.
И▓ак, м╗ видим, ╖▓о возник╕а┐ в 50-╡ года╡ на╕его века нелокал╝на┐ ▓ео░и┐ квазилинейн╗╡ законов ▒о╡░анени┐ 1-го по░┐дка
ин▓ен▒ивно ░азвивае▓▒┐ в на╕е в░ем┐: зде▒╝ е╣е много ин▓е░е▒н╗╡
не░е╕енн╗╡ зада╖ даже в ▒л│╖ае одноме░ного │░авнени┐ (A.2), но
о▒обенно ак▓│ал╝на и ин▓е░е▒на п░облема▓ика ▓аки╡ законов в век▓о░ном ▒л│╖ае, даже в п░о▒▓ей╕и╡ ▒и▓│а╢и┐╡. Дей▒▓ви▓ел╝но, е▒ли
м╗ ░а▒▒мо▓░им ╡о░о╕о в▒ем изве▒▓н│╛ \волнов│╛" ▒и▒▓ем│
u ;v = 0
t x
vt ; ux = 0;
▒ из│╖ени┐ ко▓о░ой на╖инала▒╝ ма▓ема▓и╖е▒ка┐ ┤изика в ▓░│да╡ Даламбе░а и Эйле░а, и за▓ем │╖▓ем неко▓о░╗е нелинейн╗е зави▒имо▒▓и
92
в ░а▒▒ма▓░иваемом волновом п░о╢е▒▒е, заменив линейн│╛ ┤│нк╢и╛
▒о▒▓о┐ни┐ v в пе░вом │░авнении на неко▓о░│╛ нелинейн│╛ зави▒имо▒▓╝ p(v), p0 (v) > 0, ▓о возникне▓ ▓ак наз╗ваема┐ \p"-▒и▒▓ема ▓ео░ии гипе░боли╖е▒ки╡ ▒и▒▓ем
u ; (p(v)) = 0
t
x
vt ; ux
= 0;
┐вл┐╛╣а┐▒┐, в ╖а▒▓но▒▓и, одной из важн╗╡ газодинами╖е▒ки╡ моделей. Так во▓, в на▒▓о┐╣ее в░ем┐ ▒и▓│а╢и┐ ▓акова, ╖▓о п░и л╛бой
нелинейно▒▓и p(v) ник▓о в ми░е не знае▓, как оп░едели▓╝ \п░авил╝ное" ╜н▓░опийное обоб╣енное ░е╕ение ╜▓ой ▒и▒▓ем╗. Так ╖▓о малей╕ее нелинейное возм│╣ение п░о▒▓ой линейной ▒и▒▓ем╗ п░иводи▓ к
▓░│дней╕ей не░е╕енной п░облеме ▒ов░еменного нелинейного анализа. Хо▓ело▒╝ б╗ наде┐▓╝▒┐, ╖▓о ак▓│ал╝на┐, п░о▒▓о ┤о░м│ли░│╛╣а┐▒┐, \ненад│манно" ▓░│дна┐ п░облема▓ика нелокал╝ной ▓ео░ии квазилинейн╗╡ законов ▒о╡░анени┐ п░ивле╖е▓ к ней внимание молод╗╡,
и╣│╣и╡ и▒▒ледова▓елей, ▒по▒обн╗╡ п░ид│ма▓╝ нов╗е не▓░ади╢ионн╗е под╡од╗.
М╗ благода░им ка┤ед░│ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений ме╡анико-ма▓ема▓и╖е▒кого ┤ак│л╝▓е▓а МГУ им. М.В.Ломоно▒ова, о▒обенно ее завед│╛╣его | академика Ол╝г│ А░▒ен╝евн│ Олейник | за
подде░жк│ на╕и╡ ини╢иа▓ив по внед░ени╛ изложенного в╗╕е ма▓е░иала в ▒ов░еменн│╛ ▓ео░и╛ и п░ак▓ик│ п░еподавани┐ │░авнений ▒
╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми.
93
Ли▓е░а▓│░а
[1] Hopf E., The partial dierential equation ut + uux = uxx. Comm.
Pure Appl.Math., 3(3), 1950, 201{230.
[2] Олейник О. А., О зада╖е Ко╕и дл┐ нелинейн╗╡ │░авнений в кла▒▒е ░аз░╗вн╗╡ ┤│нк╢ий. ДАН СССР, 95(3), 1954, 451{454.
[3] Ти╡онов А. Н., Сама░▒кий А. А., О ░аз░╗вн╗╡ ░е╕ени┐ квазилинейного │░авнени┐ пе░вого по░┐дка. ДАН СССР, 99(1), 1954,
27{30.
[4] Lax P., Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their
numerical computations. Comm. Pure Appl. Math., 7(1), 1954, 159{
193.
[5] Лад╗жен▒ка┐ О. А., О по▒▓░оении ░аз░╗вн╗╡ ░е╕ений квазилинейн╗╡ гипе░боли╖е▒ки╡ │░авнений как п░еделов ░е╕ений ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ па░аболи╖е▒ки╡ │░авнений, когда ко╜┤┤и╢иен▓
в┐зко▒▓и ▒▓░еми▓▒┐ к н│л╛. ДАН СССР, 111(2), 1956, 291{294.
[6] Олейник О. А., Раз░╗вн╗е ░е╕ени┐ нелинейн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений. УМН, 12(2), 1957, 3{73.
[7] Гел╝┤анд И. М., Неко▓о░╗е зада╖и ▓ео░ии квазилинейн╗╡ │░авнений. УМН, 14(2), 1959, 87{158.
[8] К░│жков С.Н., Обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и в ╢елом дл┐
нелинейн╗╡ │░авнений пе░вого по░┐дка. ДАН СССР, 187(1),
1969, 29{32.
[9] К░│жков С. Н., Квазилинейн╗е │░авнени┐ пе░вого по░┐дка ▒о
многими незави▒им╗ми пе░еменн╗ми. Ма▓ем. ▒бо░ник, 81(2),
1970, 228{255.
[10] Панов Е. Ю., О един▒▓венно▒▓и ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и дл┐ квазилинейного │░авнени┐ пе░вого по░┐дка ▒ одной ▒▓░ого в╗п│клой ╜н▓░опией. Ма▓ем. заме▓ки, 55(5), 1994, 116{129.
[11] К░│жков С. Н., Панов Е. Ю., Кон▒е░ва▓ивн╗е квазилинейн╗е
закон╗ пе░вого по░┐дка ▒ бе▒коне╖ной обла▒▓╝╛ зави▒имо▒▓и
о▓ на╖ал╝н╗╡ данн╗╡. ДАН СССР, 314(1), 79{84.
94
***************************************************
[12] А░нол╝д В. И., Дополни▓ел╝н╗е глав╗ об╗кновенн╗╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений, Мо▒ква: На│ка, 1982.
[13] А░нол╝д В. И., Лек╢ии по │░авнени┐м ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми, Мо▒ква: Изд-во МК НМУ, 1995.
[14] Го░и╢кий А.Ю., К░│жков С. Н., Че╖кин Г. А., Квазилинейн╗е
│░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка: обоб╣енн╗е ░е╕ени┐, │да░н╗е волн╗, ╢ен▓░и░ованн╗е волн╗ ░аз░ежени┐. (К░а▓кое │╖ебное по▒обие), Мо▒ква: Изд-во ме╡-ма▓ ┤-▓а
МГУ, 1997
[15] Коме╖ А. И., П░ак▓и╖е▒кое ░е╕ение │░авнений ма▓ема▓и╖е-
▒кой ┤изики (У╖ебно-ме▓оди╖е▒кое по▒обие дл┐ ▒▓│ден▓ов │ниве░▒и▓е▓ов), Мо▒ква: Изд-во ме╡-ма▓ ┤-▓а МГУ, 1993
[16] К░│жков С.Н., Нелинейн╗е │░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми (Лек╢ии). Ча▒▓╝ 2. У░авнени┐ пе░вого по░┐дка. Мо▒ква:
Изд-во МГУ, 1970.
[17] Филиппов А. Ф., Сбо░ник зада╖ по ди┤┤е░ен╢иал╝н╗м │░авнени┐м, Мо▒ква: На│ка, 1985.
95
Го░и╢кий Анд░ей Ю░╝еви╖,
К░│жков С▓ани▒лав Николаеви╖ ,
Че╖кин Г░иго░ий Алек▒анд░ови╖
У░авнени┐ ▒ ╖а▒▓н╗ми п░оизводн╗ми пе░вого по░┐дка.
(У╖ебное по▒обие)
М.: Изда▓ел╝▒▓во Цен▓░а п░икладн╗╡ и▒▒ледований п░и ме╡аникома▓ема▓и╖е▒ком ┤ак│л╝▓е▓е МГУ, 1999, 96 ▒▓░.
Подпи▒ано в пе╖а▓╝ 10.09.1999 г.
Фо░ма▓ 6090 1/16. Об║ем 6 п.л.
Заказ 15.
Ти░аж 500 ╜кз.
Изда▓ел╝▒▓во ЦПИ п░и ме╡анико-ма▓ема▓и╖е▒ком ┤ак│л╝▓е▓е МГУ
г. Мо▒ква, Во░об╝ев╗ го░╗.
Ли╢ензи┐ на изда▓ел╝▒к│╛ де┐▓ел╝но▒▓╝ ЛР N 040746,
о▓ 12.03.1996 г.
О▓пе╖а▓ано на ▓ипог░а┤▒ком обо░│довании ме╡анико-ма▓ема▓и╖е▒кого ┤ак│л╝▓е▓а и ┤░анко-░│▒▒кого ╢ен▓░а им. А.М.Л┐п│нова.
96
, ╖▓о л╛ба┐ ╡о░да, ▒оедин┐╛╣а┐ ▓о╖ки на г░а┤ике
╜▓ой ┤│нк╢ии, лежи▓ в╗╕е (ниже) ▒амого г░а┤ика.
66
Везде ниже ▓епе░╝ под обоб╣енн╗м к│▒о╖но гладким ░е╕ением
│░авнени┐ (5.1) м╗ б│дем понима▓╝ ░е╕ение в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (5.3), │довле▓во░┐╛╣ее ▒┤о░м│ли░ованном│ │▒лови╛
воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии на лини┐╡ ▒ил╝ного ░аз░╗ва.
Уп░ажнение 5.1. У▒▓анови▓╝, на каки╡ п░┐м╗╡ ░аз░╗ва дл┐ ░е-
╕ений u(t; x) │░авнений вида (5:1) в╗полнено, а на каки╡ | не▓,
│▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва (п░и ▒обл╛дении │▒лови┐ РанкинаГ╛гонио (5:13)), где
1) u(t; x) задан╗ в Уп░ажнении 4.1;
2) u(t; x) по▒▓░оен╗ в Уп░ажнении 4.2;
3) u(t; x) по▒▓░оен╗ в Уп░ажнении 4.6.
5.3. Пон┐▓ие ╜н▓░опии и необ░а▓имо▒▓╝ п░о╢е▒▒ов
По╖ем│ же пол│╖енн╗е в╗╕е │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва наз╗ва╛▓▒┐ │▒лови┐ми ▓ипа \воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии"? Дело в ▓ом, ╖▓о
нелинейн╗е ┤изи╖е▒кие п░о╢е▒▒╗, модели░│ем╗е ░а▒▒ма▓░иваем╗ми │░авнени┐ми, | необ░а▓им╗ во в░емени, а ┤│нк╢и┐, п░и помо╣и
ко▓о░ой ╡а░ак▓е░из│е▓▒┐ необ░а▓имо▒▓╝, наз╗вае▓▒┐ \╜н▓░опией".
У░авнение Хоп┤а (1.1) ┐вл┐е▓▒┐, коне╖но, ли╕╝ п░о▒▓ей╕ей модел╝╛ движени┐ газа в ▓░│бке; в более п░авил╝н╗╡, более ▓о╖н╗╡
модел┐╡ п░и▒│▓▒▓в│е▓ е╣е давление, а в ▒л│╖ае ▒жимаемого газа |
и его пло▓но▒▓╝. Че░ез ╜▓и ╡а░ак▓е░и▒▓ики ▒о▒▓о┐ни┐ газа и в╗░ажае▓▒┐ ┤│нк╢и┐-╜н▓░опи┐ S, ко▓о░а┐ (как ╜▓о б╗ло изве▒▓но │же в
газовой динамике п░о╕лого века) не │б╗вае▓ во в░емени п░и пе░е╡оде ╖е░ез │да░н│╛ волн│ ;:
S+ = S(t + 0; x) > S; = S(t ; 0; x);
(t; x) 2 ;:
(5.23)
По╜▓ом│ в▒е не░авен▒▓ва, ╡а░ак▓е░из│╛╣ие необ░а▓имо▒▓╝ п░и░одн╗╡ п░о╢е▒▒ов, наз╗ва╛▓▒┐ не░авен▒▓вами ▓ипа \воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии". В ▒л│╖ае п░о▒▓ей╕ей газодинами╖е▒кой модели | │░авнени┐
Хоп┤а | в ка╖е▒▓ве ╜н▓░опии \в╗▒▓│пае▓" кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐
╖а▒▓и╢╗, на╡од┐╣ей▒┐ в ▓о╖ке x в момен▓ в░емени t:
S(t; x) 21 u2 (t; x):
67
Покажем, ╖▓о п░и пе░е╡оде ╖е░ез │да░н│╛ волн│ не░авен▒▓во (5.23)
дл┐ ╜▓ой ┤│нк╢ии дей▒▓ви▓ел╝но в╗полн┐е▓▒┐.
У▒ловие Ранкина-Г╛гонио (5.13) в ▒л│╖ае │░авнени┐ Хоп┤а (▓.к.
f(u) = u2 =2) имее▓ вид
u; + u+ = dx :
(5.24)
2
dt
У▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва в ▒л│╖ае в╗п│клой вниз ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) = u2 =2 запи▒╗вае▓▒┐ в виде
u; ; u+ > 0:
(5.25)
Е▒ли dx=dt > 0, ▓о (▒м. ░и▒. 15) S; = u2+ =2, а S+ = u2; =2. Умножа┐ не░авен▒▓во (5.25) на в╗░ажение (u; + u+ )=2 (положи▓ел╝ное в
▒ил│ (5.24)), имеем (u2; ; u2+ )=2 > 0, ▓.е. S; < S+ .
Ри▒. 15.
Аналоги╖но, п░и dx=dt < 0 имеем (▒м. ░и▒. 15):
S; = 12 (u; )2 < 21 (u+ )2 = S+ :
5.4. Эне░ге▓и╖е▒кие о╢енки
Дадим е╣е одн│ ╡а░ак▓е░иза╢и╛ необ░а▓имо▒▓и дл┐ │░авнени┐ (5.1),
име╛╣│╛ более нагл┐дн╗й ┤изи╖е▒кий ▒м╗▒л. А именно, ░а▒▒мо▓░им полн│╛ кине▓и╖е▒к│╛ ╜не░ги╛ ░а▒▒ма▓░иваемой ┤изи╖е▒кой
▒и▒▓ем╗
Z +1 1
2
E(t) =
(5.26)
2 u (t; x) dx:
;1
П░и гладки╡ (и, ▒кажем, ┤ини▓н╗╡) на╖ал╝н╗╡ данн╗╡ на неко▓о░ом ин▓е░вале в░емени [0; T), T > 0, ▒│╣е▒▓в│е▓ кла▒▒и╖е▒кое (и
68
┤ини▓ное по x п░и каждом ┤ик▒и░ованном t) ░е╕ение u(t; x) зада╖и (5.1){(5.2). В на▒▓о┐╣ем ░азделе м╗ б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ли╕╝
▓е ░е╕ени┐ u(t; x) │░авнени┐ (5.1), дл┐ ко▓о░╗╡ кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ (5.26) коне╖на (нап░име░, е▒ли u(t; x) ┤ини▓на по x).
П░едложение 5.1. Дл┐ кла▒▒и╖е▒ки╡ ░е╕ений │░авнени┐ (5:1) в╗полнено
E(t) Const;
▓о е▒▓╝ кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ (5:26) ┐вл┐е▓▒┐ пе░в╗м ин▓ег░алом
│░авнени┐ (5:1).
Доказа▓ел╝▒▓во. Ввид│ u(t; 1) = 0 имеем
dE = Z +1 uu dx = ; Z +1 u(f(u)) dx
t
x
dt
;1
;1
x=+1 Z +1
= ;uf(u)x=;1 +
=
Z u(t;+1)
u(t;;1)
;1
f(u) du = 0:
f(u)ux dx
2
Ра▒▒мо▓░им ▓епе░╝ │░авнение ▒ в┐зко▒▓╝╛
u"t + (f(u" ))x = "u"xx
(5.27)
П░едложение
5.2.
П│▒▓╝ u" (t; x) 6 0 | ░е╕ение │░авнени┐ (5:27),
"
"
"
п░и╖ем u , ux и uxx до▒▓а▓о╖но б╗▒▓░о и ░авноме░но по t ▒▓░ем┐▓▒┐ к н│л╛ п░и x ! 1. Тогда полна┐ кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ E(t) на
╜▓ом ░е╕ении │б╗вае▓.
Доказа▓ел╝▒▓во. Так же как и п░и доказа▓ел╝▒▓ве п░ед╗д│╣его п░едложени┐ пол│╖аем
dE = Z +1 u"u" dx = Z +1 u" ("u" ; (f(u" )) ) dx
x
t
xx
dt
;1
;1
= ;"
Z +1
;1
(u"x )2 dx 6 0:
Заме▓им, ╖▓о м╗ имеем dE=dt = 0 ли╕╝ в ▒л│╖ае по▒▓о┐нной по x
┤│нк╢ии u"(t; x); ╖▓о в ▒ил│ ее ▒▓░емлени┐ к н│л╛ на бе▒коне╖но▒▓и
дае▓ u"(t; x) 0. 2
69
Как м╗ помним (▒м. ░аздел 5.2), обоб╣енн╗е ╜н▓░опийн╗е ░е╕ени┐ u(t; x) │░авнени┐ (5.1) м╗ пол│╖али как п░едел╗ ░е╕ений u" (t; x)
│░авнени┐ (5.27), на ко▓о░╗╡ п░ои▒╡оди▓ ди▒▒ипа╢и┐ ╜не░гии. По╜▓ом│ можно ожида▓╝, ╖▓о и на п░едел╝н╗╡ ░е╕ени┐╡ u(t; x) кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ ▓акже │б╗вае▓.
П░едложение 5.3. П│▒▓╝ u(t; x) | обоб╣енное ╜н▓░опийное ░е╕ение │░авнени┐ (5:1) ▒ одной линией ▒ил╝ного ░аз░╗ва x = x(t). Тогда ▒ко░о▒▓╝ │б╗вани┐ кине▓и╖е▒кой ╜не░гии E(t) на ╜▓ом ░е╕ении
в кажд╗й момен▓ в░емени t = t0 ░авна пло╣ади S(t0 ), ог░ани╖енной г░а┤иком ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f = f(u) на о▓░езке [u;; u+ ] (или
[u+ ; u;]) и ╡о░дой, ▒оедин┐╛╣ей ▓о╖ки (u; ; f(u; )) и (u+ ; f(u+ )) на
╜▓ом г░а┤ике (▒м. ░и▒. 16) :
dE (t ) = ;S(t ):
(5.28)
0
dt 0
Как и ░ан╝╕е, ╖е░ез u = u (t0 ) м╗ обозна╖аем одно▒▓о░онние п░едел╗ (по x) ┤│нк╢ии u(t0; x) п░и под╡оде к ▓о╖ке ░аз░╗ва x(t0).
Доказа▓ел╝▒▓во. Ра▒▒мо▓░им дл┐ оп░еделенно▒▓и ▒л│╖ай,
когда u; < u+ , и, ▒ледова▓ел╝но,
г░а┤ик ┤│нк╢ии f(u) на о▓░езке [u; ; u+] лежи▓ в╗╕е ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей ╡о░д╗. Тогда
S =
Z u+
u;
f(u) du
; f(u+ ) +2 f(u; ) (u+ ; u; ):
Ри▒. 16
С д░│гой ▒▓о░он╗,
dE = d Z +1 1 u2 (t; x) dx
dt
dt ;1 2
!
Z x(t) 1
Z +1 1
d
2
2
u (t; x) dx +
u (t; x) dx
= dt
;1 2
x(t) 2
Z x(t)
Z +1
uut(t; x) dx ; 21 u2+ x(t)
uut (t; x) dx
= 21 u2; x(t)
_ +
_ +
;1
x(t)
70
Z x(t)
Z +1
u2; ; u2+
=
_ ;
u (f(u))x dx ;
u (f(u))x dx
2 x(t)
;1
x(t)
u2 ; u2 _ ; uf(u)x=x(t) + Z x(t) f(u)u dx
= ; 2 + x(t)
x=;1 ;1
x
x=+1 Z +1
;uf(u)x=x(t) +
f(u)ux dx:
x(t)
В ▒ил│ │▒лови┐ Ранкина-Г╛гонио (5.13) и ▒ │╖е▓ом ▓ого, ╖▓о
u(t; 1) = 0, имеем
dE = u2; ; u2+ f(u+ ) ; f(u; ) ; u f(u )
; ;
dt
2
u+ ; u;
+
Z u;
0
f(u) du + u+ f(u+ ) +
Z0
u+
f(u) du
+ ) ; f(u; ))
= u+ f(u+ ) ; u; f(u; ) ; (u+ + u; )(f(u
2
;
Z u+
u;
f(u) du
Z u+
(u
+ ; u; )(f(u+ ) + f(u; ))
=
;
f(u) du = ;S:
2
2
u;
Заме╖ание 5.6. Е▒ли ░е╕ение имее▓ не▒кол╝ко │да░н╗╡ волн, ▓о на
каждой из ни╡ п░ои▒╡оди▓ по▓е░┐ ╜не░гии в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ (5.28).
(Докажи▓е ╜▓о▓ ┤ак▓ ▒амо▒▓о┐▓ел╝но.)
Закл╛╖ение. Таким об░азом, в ▒ил│ П░едложени┐ 5.1 м╗ имеем
E(t) = Const = E(0) на гладки╡ ░е╕ени┐╡ u(t; x) │░авнени┐ (5.1)
до к░и▓и╖е▒кого момен▓а в░емени T (когда │ ░е╕ений по┐вл┐╛▓▒┐
о▒обенно▒▓и), ▓.е. ди▒▒ипа╢ии кине▓и╖е▒кой ╜не░гии не▓ | она по▒▓о┐нна.
П░и нали╖ии же │да░н╗╡ волн в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ (5.28) м╗ имеем
dE < 0;
dt
▓о е▒▓╝ кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ ди▒▒ипи░│е▓ (╖а▒▓и╖но она п░ев░а╣ае▓▒┐ на │да░н╗╡ волна╡ в ▓еплов│╛ ╜не░ги╛). Следова▓ел╝но, ╜вол╛╢и┐ обоб╣енн╗╡ ░е╕ений ▒ │да░н╗ми волнами ▒в┐зана ▒ │б╗ванием кине▓и╖е▒кой ╜не░гии, ╖▓о и оп░едел┐е▓ необ░а▓имо▒▓╝ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ┤изи╖е▒ки╡ п░о╢е▒▒ов, модели░│ем╗╡ │░авнением (5.1).
71
Такой ┤изи╖е▒кий п░о╢е▒▒ нел╝з┐ \п░ок░│▓и▓╝"(как в кино) в об░а▓ном по в░емени нап░авлении.
П░ак▓и╖е▒ки в▒е в▒▓░е╖али▒╝ ▒ ╜▓им ┐влением на мо░е: е▒ли волн╗ небол╝╕ие, мо░е до▒▓а▓о╖но ▒покойное, и его ▓емпе░а▓│░а на
пове░╡но▒▓и по╖▓и ▓ака┐ же, как и ▓емпе░а▓│░а возд│╡а. Е▒ли ве▓е░
│▒иливае▓▒┐, и по┐вл┐╛▓▒┐ \ба░а╕ки" | \мо░▒кие │да░н╗е волн╗"
(волнение бол╝╕е 3 баллов), ▓о по п░о╕е▒▓вии дли▓ел╝ного в░емени
мо░е │ пове░╡но▒▓и вод╗ ▒▓анови▓▒┐ ▓еплее возд│╡а. Э▓о об│▒ловлено в╗делением ▓епла на │да░н╗╡ волна╡.
Чи▒▓о ма▓ема▓и╖е▒ки ▒и▓│а╢и┐, │казанна┐ в Закл╛╖ении, ▒в┐зана ▒ ▓ем об▒▓о┐▓ел╝▒▓вом, ╖▓о п░и замене t на ;t и x на ;x (как и п░и
▒двига╡ вдол╝ о▒ей x ! x;x0 и t ! t;T) │░авнение (5.1) не измен┐е▓▒┐ (в ╜▓ом ▒л│╖ае гово░┐▓, ╖▓о │░авнение инва░иан▓но о▓но▒и▓ел╝но
▓акой замен╗). Следова▓ел╝но, на░┐д│ ▒ л╛б╗ми гладкими п░и t 6 T
░е╕ени┐ми u(t; x), ┤│нк╢ии u~(t; x) u(T ; t; ;x) ▓оже б│д│▓ гладкими ░е╕ени┐ми │░авнени┐ (5.1). Е▒ли же u(t; x) | обоб╣енное ░аз░╗вное ░е╕ение │░авнени┐ (5.1), ▓о ┤│нк╢и┐ u~(t; x) не б│де▓ ┐вл┐▓╝▒┐
обоб╣енн╗м ╜н▓░опийн╗м ░е╕ением ░а▒▒ма▓░иваемого │░авнени┐,
▓ак как │▒ловие воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии ▓акой замен╗ не в╗де░живае▓
(оно замен┐е▓▒┐ п░┐мо п░о▓ивоположн╗м), ╖▓о делае▓ однов░еменн│╛ замен│ t на T ; t и x на ;x в ╜▓ом ▒л│╖ае недоп│▒▓имой.
72
5.5. Оп░еделение обоб╣енного ░е╕ени┐
по К░│жков│
В╗╕е м╗ об▒│дили, какие ▓░ебовани┐ необ╡одимо наклад╗ва▓╝ на
░аз░╗в╗ обоб╣енн╗╡ (в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) ░е╕ений
│░авнени┐ (5.1). Но ог░ани╖ени┐ ▓акого ░ода име╛▓ ▒м╗▒л ли╕╝ дл┐
к│▒о╖но-гладки╡ ┤│нк╢ий, когда по к░айней ме░е оп░еделено, ╖▓о
▓акое лини┐ ░аз░╗ва и одно▒▓о░онние п░едел╗ п░и под╡оде к ╜▓ой
линии. С д░│гой ▒▓о░он╗, п░и оп░еделении обоб╣енного ░е╕ени┐
u(t; x) ╜▓ого │░авнени┐ в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (5.3) нам
необ╡одимо ли╕╝ ▒│╣е▒▓вование ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ин▓ег░алов, ╖▓о,
коне╖но же, ┐вл┐е▓▒┐ намного менее ог░ани╖и▓ел╝н╗м ▓░ебованием,
нежели к│▒о╖на┐ гладко▒▓╝ ┤│нк╢ии u(t; x). По╜▓ом│ в▒▓ае▓ воп░о▒,
как да▓╝ оп░еделение обоб╣енного ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и (5.1){(5.2),
вкл╛╖ив в него и ин▓ег░ал╝ное ▓ожде▒▓во, и │▒ловие воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии (▓о╖нее, неко▓о░ое его обоб╣ение, ▒в┐занное ▒ ▓ем, ╖▓о м╗
╡о▓им ░а▒▒ма▓░ива▓╝ не ▓ол╝ко к│▒о╖но гладкие ░е╕ени┐). О▓ве▓
на ╜▓о▓ воп░о▒ б╗л дан С.Н.К░│жков╗м (▒м. [8],[9]), п░и╖ем не ▓ол╝ко дл┐ ░а▒▒ма▓░иваемой нами зада╖и, а и дл┐ более ╕и░окого кла▒▒а │░авнений и ▒и▒▓ем. В ╜▓и╡ же ░або▓а╡ доказана ▓ео░ема ▒│╣е▒▓вовани┐ и един▒▓венно▒▓и ░е╕ени┐ зада╖и Ко╕и в ▒м╗▒ле данного
оп░еделени┐.
П░иведем ╜▓о оп░еделение. Наиболее об╣им п░о▒▓░ан▒▓вом обоб╣енн╗╡ ░е╕ений в кла▒▒е об╗╖н╗╡ ┤│нк╢ий ┐вл┐е▓▒┐ п░о▒▓░ан▒▓во
ог░ани╖енн╗╡ изме░им╗╡ в поло▒е T = [0; T ) Rx ┤│нк╢ий u(t; x).
Оп░еделение 5.1. Ог░ани╖енна┐ изме░има┐ в T ┤│нк╢и┐ u(t; x)
наз╗вае▓▒┐ обоб╣енн╗м ╜н▓░опийн╗м ░е╕ением (по К░│жков│) зада╖и (5.1){(5.2), е▒ли:
Дл┐ л╛бой кон▒▓ан▓╗ k 2 R и дл┐ л╛бой п░обной ┤│нк╢ии
'(t; x) 2 C01 (T ), '(t; x) > 0, в╗полн┐е▓▒┐ не░авен▒▓во
Z
T
ju ; kj' + sign(u ; k) ;f(u) ; f(k)' dx dt > 0: (5.29)
t
x
u(t; x) ! u0(x) п░и t ! +0 в п░о▒▓░ан▒▓ве L1;loc(R), ▓о е▒▓╝
дл┐ л╛бого о▓░езка [a; b]
lim
Zb
t!+0 a
ju(t; x) ; u0 (x)j dx = 0:
73
П░едложение 5.4. Е▒ли ┤│нк╢и┐ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣енн╗м ╜н-
▓░опийн╗м ░е╕ением в ▒м╗▒ле Оп░еделени┐ 5:1 зада╖и (5.1){(5.2),
▓о она ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣енн╗м ░е╕ением │░авнени┐ (5:1) в ▒м╗▒ле
ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва (5:3).
Доказа▓ел╝▒▓во. Так как ┤│нк╢и┐, ░авна┐ кон▒▓ан▓е k, ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким, а, ▒ледова▓ел╝но, и обоб╣енн╗м ░е╕ением │░авнени┐ (5.1), ▓о дл┐ л╛бой п░обной ┤│нк╢ии '(t; x) 2 C01 (T ) в╗полнено
Z
[k't + f(k)'x ] dx dt = 0:
(5.30)
T
(В по▒леднем ░авен▒▓ве не▒ложно │беди▓╝▒┐ и непо▒░ед▒▓венно.)
Воз╝мем в (5.29) k > sup u(t; x). Имеем
Z (k ; u)'t + (f(k) ; f(u))'x dx dt > 0
T
дл┐ л╛бой ┤│нк╢ии '(t; x) 2 C01 (T ), '(t; x) > 0. П░инима┐ во внимание (5.30), закл╛╖аем
Z ;
u't + f(u)'x dx dt > 0:
T
(5.31)
Бе░┐ k < inf u(t; x), аналоги╖но пол│╖им
Z
T
[u't + f(u)'x ] dx dt > 0:
(5.32)
С░авнива┐ не░авен▒▓ва (5.31) и (5.32), п░и╡одим к ▒лед│╛╣ем│
░авен▒▓в│
Z
T
[u't + f(u)'x ] dx dt = 0
8'(t; x) 2 C01 (T ); '(t; x) > 0:
Нам и ▓░ебовало▒╝ пол│╖и▓╝ ▓акое ин▓ег░ал╝ное ▓ожде▒▓во, но
дл┐ л╛бой (а не ▓ол╝ко нео▓░и╢а▓ел╝ной) ┤│нк╢ии '(t; x) из п░о▒▓░ан▒▓ва C01 (T ). По╜▓ом│ дл┐ заве░╕ени┐ доказа▓ел╝▒▓ва о▒▓ае▓▒┐ заме▓и▓╝, ╖▓о л╛б│╛ ┤│нк╢и╛ ' 2 C01 (T ) можно п░ед▒▓ави▓╝
как ░азно▒▓╝ ' = '1 ; '2 дв│╡ нео▓░и╢а▓ел╝н╗╡ п░обн╗╡ ┤│нк╢ий
'1 (t; x) и '2 (t; x); 'i 2 C01 (T ), 'i (t; x) > 0 (i = 1; 2). И по▒кол╝к│
▒оо▓но╕ение (5.3) имее▓ ме▒▓о дл┐ '1 и '2, ▓о ╜▓о ▓ожде▒▓во б│де▓
в╗полнено и дл┐ '. 2
74
П░едложение 5.5. П│▒▓╝ u = u(t; x) | к│▒о╖но гладкое обоб╣ен-
ное ╜н▓░опийное ░е╕ение │░авнени┐ (5:1) в ▒м╗▒ле Оп░еделени┐ 5:1.
Тогда на каждой линии ░аз░╗ва ; (задаваемой │░авнением x = x(t))
в╗полнено │▒ловие доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва (5:21) или (5:22).
Доказа▓ел╝▒▓во. За┤ик▒и░│ем ▓о╖к│ (t0; x0) 2 ;, x0 = x(t0),
на линии ▒ил╝ного ░аз░╗ва ;. Как в▒егда обозна╖им u | одно▒▓о░онние п░едел╗ ░е╕ени┐ u(t; x) п░и под╡оде к ;. П│▒▓╝, дл┐ оп░еделенно▒▓и, u; (t0 ; x0) < u+ (t0 ; x0). За┤ик▒и░│ем п░оизвол╝ное ╖и▒ло
k 2 (u; ; u+ ) и в╗бе░ем мал│╛ ок░е▒▓но▒▓╝ O T ▓о╖ки (t0; x0),
и▒╡од┐ из │▒ловий
u(t; x) < k
п░и (t; x) 2 O; f(t; x) 2 O j x < x(t)g; (5.33)
u(t; x) > k
п░и (t; x) 2 O+ f(t; x) 2 O j x > x(t)g: (5.34)
Из (5.29) ▒лед│е▓, ╖▓о дл┐ л╛бой п░обной ┤│нк╢ии ' 2 C01(O);
'(t; x) > 0 в╗полнено
Z ju ; kj't + sign(u ; k) (f(u) ; f(k)) 'x dx dt > 0:
O
(5.35)
П░ед▒▓авим по▒ледний ин▓ег░ал по обла▒▓и O в виде ▒│мм╗ ин▓ег░алов по O; и O+ . С │╖е▓ом (5.33){(5.34) пол│╖им
Z (u ; k)'t + (f(u) ; f(k)) 'x dx dt
ZO; +
(u ; k)'t + (f(u) ; f(k)) 'x dx dt > 0:
;
O+
Пе░еб░о▒им п░оизводн╗е по t и по x в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ ┤о░м│лой
ин▓ег░и░овани┐ по ╖а▒▓┐м (4.1). К░оме ин▓ег░алов по обла▒▓┐м O;
и O+ возникн│▓ ин▓ег░ал╗ по и╡ г░ани╢ам, ▓о е▒▓╝ по @O и по ; \ O.
Вид│ ┤ини▓но▒▓и ' в O, ин▓ег░ал по @O ░авен н│л╛. Таким об░азом,
пол│╖аем
Z
;
;
O;
Z
;\O
Z
;\O
[ut + (f(u))x ] ' dx dt
((u; ; k) cos(; t) + (f(u; ) ; f(k)) cos(; x)) ' dS
;
Z
O+
[ut + (f(u))x ] ' dx dt
((u+ ; k) cos(; t) + (f(u+ ) ; f(k)) cos(; x)) ' dS > 0:
75
Зде▒╝ | но░мал╝ к к░ивой ;, ▒мо▓░┐╣а┐ из O; в O+ (▓о е▒▓╝
вне╕н┐┐ дл┐ обла▒▓и O; и вн│▓░енн┐┐ дл┐ O+ ). В ▒ил│ П░едложени┐ 5.4 ┤│нк╢и┐ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣енн╗м (в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) ░е╕ением │░авнени┐ (5.1), а, зна╖и▓, и кла▒▒и╖е▒ким
░е╕ением ╜▓ого │░авнени┐ в каждой из обла▒▓ей O; и O+ . Таким
об░азом, в O; и O+ в╗полнено ut + (f(u))x = 0. И▓ак, дл┐ л╛бой
п░обной ┤│нк╢ии ' 2 C01 (O); '(t; x) > 0 в╗полнено
Z
;(2k ; u ; u ) cos(; t)
; +
;\O
+(2f(k) ; f(u; ) ; f(u+ )) cos(; x) ' dS > 0:
Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о п░и в▒е╡ k 2 (u; ; u+ ) в╗полнено
(2k ; u; ; u+ ) cos(; t) + (2f(k) ; f(u; ) ; f(u+ )) cos(; x) > 0: (5.36)
Как │же о▓ме╖ало▒╝, u(t; x) | обоб╣енное (в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва) ░е╕ение │░авнени┐ (5.1), а, зна╖и▓, на линии ░аз░╗ва ; в╗полнено │▒ловие Ранкина-Г╛гонио (5.13):
(u+ ; u;) cos(; t) + (f(u+ ) ; f(u; )) cos(; x) = 0
(5.37)
Не░авен▒▓во (5.36) ▒ │╖е▓ом (5.37) пе░епи▒╗вае▓▒┐ в виде:
2 (k ; u; ) cos(; t) + (f(k) ; f(u; )) cos(; x)
; (u+ ; u; ) cos(; t) + (f(u+ ) ; f(u; )) cos(; x)
= 2 (k ; u; ) cos(; t) + (f(k) ; f(u; )) cos(; x) > 0
дл┐ л╛бого k 2 (u; ; u+ ), ╖▓о в ▓о╖но▒▓и ▒овпадае▓ ▒ │▒ловием доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва (5.21).
Е▒ли же u+ < u; , ▓о дела┐ аналоги╖н╗е п░еоб░азовани┐ п░и ░а▒к░╗▓ии мод│л┐ и sign(u ; k) в ░авен▒▓ве (5.35), м╗ пол│╖им п░о▓ивоположн╗й знак, и, ▒оо▓ве▓▒▓венно, вме▒▓о ▒оо▓но╕ени┐ (5.36) б│дем
име▓╝
(2k ; u; ; u+ ) cos(; t) + (2f(k) ; f(u; ) ; f(u+ )) cos(; x) 6 0
п░и в▒е╡ k 2 (u+ ; u;). С │╖е▓ом (5.37), пол│╖аем не░авен▒▓во
2 (k ; u+ ) cos(; t) + (f(k) ; f(u+ )) cos(; x)
+ (u+ ; u; ) cos(; t) + (f(u+ ) ; f(u; )) cos(; x)
= 2 (k ; u+ ) cos(; t) + (f(k) ; f(u+ )) cos(; x) 6 0;
76
в╗полненное дл┐ л╛бого k 2 (u+ ; u;), ╖▓о ▒овпадае▓ ▒ (5.22). 2
В закл╛╖ении покажем, ╖▓о не░авен▒▓во (5.29) ┐вл┐е▓▒┐ ▒лед▒▓вием ме▓ода \и▒╖еза╛╣ей в┐зко▒▓и". Дей▒▓ви▓ел╝но, п│▒▓╝ u(t; x) ┐вл┐е▓▒┐ п░еделом п░и " ! +0 по но░ме L1;loc (T ) кла▒▒и╖е▒ки╡ ░е╕ений
u"(t; x) зада╖и Ко╕и дл┐ │░авнени┐
ut + f 0 (u)ux = "uxx
(5.38)
▒ на╖ал╝н╗м │▒ловием u(0; x) = u0(x).
Воз╝мем л╛б│╛ в╗п│кл│╛ вниз ┤│нк╢и╛ E(u) 2 C 2(R) и │множим │░авнение (5.38) на E 0(u). У╖и▓╗ва┐
x)) ;
E 0 (u)ut = @E(u(t;
@t
@ Z u(t;x) f 0 () E 0 () d ;
f 0 (u)E 0 (u)ux = @x
k
E 0 (u)uxx = (E(u))xx ; E 00(u)u2x ;
имеем
Et +
Z u
k
f 0 ()E 0 () d x = " (E(u))xx ; "E 00 (u)u2x 6 " (E(u))xx (5.39)
в ▒ил│ E 00 (u) > 0, " > 0. Умножим ▓епе░╝ не░авен▒▓во (5.39) на
п░обн│╛ ┤│нк╢и╛ '(t; x) > 0 из Оп░еделени┐ 5.1 и п░оин▓ег░и░│ем
по T . П░имен┐┐ ┤о░м│л│ ин▓ег░и░овани┐ по ╖а▒▓┐м, пе░еб░о▒им
в▒е п░оизводн╗е на ':
;
Z Zu
T
k
't E(u) + 'x
f 0 ()E 0 () d dx dt 6 "
В п░еделе п░и " ! +0 пол│╖аем, ╖▓о
Z Zu
T
k
't E(u) + 'x
Z
T
'xx E(u) dx dt
f 0 ()E 0 () d dx dt > 0:
(5.40)
П│▒▓╝ fEm (u)g | по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ дважд╗ гладки╡ в╗п│кл╗╡
┤│нк╢ий, апп░ок▒ими░│╛╣и╡ ┤│нк╢и╛ ju;kj. Под▒▓авим E = Em (u)
в не░авен▒▓во (5.40) и пе░ейдем к п░едел│ п░и m ! 1. Так как
Em0 () ! sign( ; k), ▓о
77
Zu
k
f 0 ()Em0 () d ;!
Zu
k
f 0 () sign( ; k) d
Zu
= sign(u ; k) f 0 () d
k
= sign(u ; k) (f(u) ; f(k)) :
Таким об░азом, из (5.40) м╗ в╗вели (5.29).
Зада╖а 5.2. Под░обно обо▒н│й▓е по▒ледний п░едел╝н╗й пе░е╡од.
Заме╖ание 5.7. В ▒л│╖ае в╗п│клой ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) можно
в оп░еделении обоб╣енного ╜н▓░опийного ░е╕ени┐ замени▓╝ ин▓ег░ал╝ное не░авен▒▓во (5.29) ин▓ег░ал╝н╗м ▓ожде▒▓вом (5.3) и не░авен▒▓вом (5.29), ко▓о░ое должно в╗полн┐▓╝▒┐ ╡о▓┐ б╗ дл┐ одной
▒▓░ого в╗п│клой ╜н▓░опии E(u). Един▒▓венно▒▓╝ ▓акого ░е╕ени┐
доказана в [10].
Заме╖ание 5.8. Оп░еделение обоб╣енного ╜н▓░опийного ░е╕ени┐
на о▒нове не░авен▒▓ва (5.29) о▒▓ае▓▒┐ в ▒иле дл┐ многоме░ного аналога зада╖и (5.1){(5.2). П░и ╜▓ом x 2 Rn,
f : R ! Rn;
(f(u))x rxf(u(t; x));
'x = rx ';
а (f(u) ; f(k)) 'x | ▒кал┐░ное п░оизведение (f(u) ; f(k)) на 'x . Введенн╗е оп░еделени┐ обоб╣енного ░е╕ени┐ u(t; x) и набо░ ╜н▓░опий
ju;kj, k 2 R,в п│блика╢и┐╡ ╖а▒▓о ▒в┐з╗ва╛▓ ▒ именем С.Н.К░│жкова
(░е╕ение в ▒м╗▒ле К░│жкова). В ░або▓а╡ [8],[9] впе░в╗е б╗ло введено ╜▓о оп░еделение и ░азви▓а име╛╣а┐ гл│бокий ┤изи╖е▒кий ▒м╗▒л
▓е╡ника доказа▓ел╝▒▓ва ▓ео░ем ▒│╣е▒▓вовани┐ и един▒▓венно▒▓и.
78
6. Зада╖а Римана о ░а▒паде ░аз░╗ва
В на▒▓о┐╣ем па░аг░а┤е м╗ ░а▒▒мо▓░им ▓ак наз╗ваем│╛ зада╖│ о
░а▒паде п░оизвол╝ного ░аз░╗ва (зада╖│ Римана) дл┐ │░авнени┐ (4.2),
▓о е▒▓╝ б│дем ▒▓░ои▓╝ обоб╣енн╗е ░е╕ени┐ u(t; x) в поло▒е T =
f;1 < x < +1; 0 < t < T g ▒лед│╛╣ей зада╖и:
x < 0;
ut + (f(u))x = 0; ut=0 = u0(x) = uu; п░и
п░и x > 0; (6.1)
+
где u; и u+ | п░оизвол╝н╗е кон▒▓ан▓╗. По▒▓░оенн╗е ░е╕ени┐ б│д│▓ к│▒о╖но гладкими в T ┤│нк╢и┐ми, ко▓о░╗е на каждой компонен▓е гладко▒▓и │довле▓во░┐╛▓ в кла▒▒и╖е▒ком ▒м╗▒ле из│╖аемом│ │░авнени╛, на лини┐╡ ░аз░╗ва │довле▓во░┐╛▓ │▒лови╛ РанкинаГ╛гонио (4.5) и │▒лови╛ воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии. По▒▓░оенн╗е ░е╕ени┐ u(t; x) б│д│▓ ▒▓░еми▓╝▒┐ к u0 (x) п░и t ! +0 везде, к░оме ▓о╖ки
x = 0.
Доказа▓ел╝▒▓во ▓ео░ем╗ ▒│╣е▒▓вовани┐ и един▒▓венно▒▓и обоб╣енн╗╡ (в ▒м╗▒ле ин▓ег░ал╝ного ▓ожде▒▓ва и │▒лови┐ воз░а▒▓ани┐
╜н▓░опии) ░е╕ений зада╖и (6.1) можно най▓и в [16, Лек╢ии 4-6].
П░ежде в▒его заме▓им, ╖▓о и▒╡одное │░авнение не мен┐е▓▒┐ п░и
замене x ! kx, t ! kt, на╖ал╝ное │▒ловие ▓акже пе░е╡оди▓ в ▒еб┐ п░и
░а▒▓┐жени┐╡ x ! kx, k > 0. К░оме ▓ого, │▒ловие воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии инва░иан▓но о▓но▒и▓ел╝но │казанного п░еоб░азовани┐. Зна╖и▓,
в ▒ил│ един▒▓венно▒▓и, п░и замене пе░еменн╗╡ x ! kx, t ! kt, где
k > 0, ┤│нк╢и┐ u(t; x) пе░е╡оди▓ в ▒еб┐:
u(kt; kx) = u(t; x) 8k > 0:
Э▓о в ▓о╖но▒▓и озна╖ае▓, ╖▓о u(t; x) о▒▓ае▓▒┐ по▒▓о┐нной на в▒е╡
л│╖а╡ x = t, t > 0, в╗╡од┐╣и╡ из на╖ала коо░дина▓, ▓.е. ┐вл┐е▓▒┐
┤│нк╢ией о▓ = x=t:
u(t; x) = u(x=t); t > 0:
(6.2)
Ре╕ени┐, зави▒┐╣ие о▓ x=t наз╗ва╛▓▒┐ ав▓омодел╝н╗ми. У ав▓омодел╝н╗╡ ░е╕ений, в ╖а▒▓но▒▓и, линии ░аз░╗ва мог│▓ б╗▓╝ ▓ол╝ко
л│╖ами, в╗╡од┐╣ими из на╖ала коо░дина▓.
Уп░ажнение 6.1. Най▓и в▒е гладкие в пол│пло▒ко▒▓и t > 0 ав▓омодел╝н╗е ░е╕ени┐ │░авнений из Уп░ажнени┐ 4:2.
79
6.1. У░авнение Хоп┤а
Дл┐ на╖ала ░а▒▒мо▓░им зада╖│ (6.1) в ▒л│╖ае f(u) = u2=2:
x < 0;
ut + uux = 0; ut=0 = u0(x) = uu; п░и
(6.3)
п░и x > 0:
+
П░ежде в▒его опи╕ем в▒е гладкие ав▓омодел╝н╗е ░е╕ени┐ │░авнени┐ Хоп┤а. Под▒▓авл┐┐ (6.2) в │░авнение (6.3), пол│╖им:
; tx2 u0 xt + 1t u xt u0 xt = 1t u0 xt u xt ; xt = 0;
▓.е. либо u0 = 0, ▒ледова▓ел╝но u C | кон▒▓ан▓а, либо u = x=t. Таким об░азом, в▒е гладкие ав▓омодел╝н╗е ░е╕ени┐ │░авнени┐ Хоп┤а
е▒▓╝ кон▒▓ан▓╗ и ┤│нк╢и┐ x=t.
На╕а дал╝ней╕а┐ зада╖а | ▒оедини▓╝ п░авил╝н╗м об░азом (▓.е.
▒ в╗полнением на л│╖а╡ ░аз░╗ва │▒ловий Ранкина-Г╛гонио и воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии) по▒▓░оенн╗е гладкие ав▓омодел╝н╗е ░е╕ени┐ ▓ак,
╖▓об╗ │довле▓во░и▓╝ на╖ал╝ном│ │▒лови╛ u0(x). П░ежде в▒его в╗┐▒ним, по каким л│╖ам можно ▒▓╗кова▓╝ ░азли╖н╗е кон▒▓ан▓╗, а
▓акже кон▒▓ан▓│ и ┤│нк╢и╛ x=t.
Две по▒▓о┐нн╗е ┤│нк╢ии u(t; x) u1 и u(t; x) u2; ui = Const,
как ▒лед│е▓ из │▒лови┐ Ранкина-Г╛гонио (4.5), ▒▓╗к│╛▓▒┐ по п░┐мой
; f(u1 ) t = 1 u22 ; u21 t = u2 + u1 t;
x = f(uu2 ) ;
2 u2 ; u1
2
2 u1
п░и╖ем ▒ка╖ок, из │▒лови┐ доп│▒▓имо▒▓и ░аз░╗ва, возможен ▓ол╝ко
в ▒▓о░он│ │мен╝╕ени┐ u (п░и ░о▒▓е x). Таким об░азом, е▒ли дл┐
оп░еделенно▒▓и u2 > u1, ▓о
u(t; x) = u2 п░и x < u2 +2 u1 t , и u(t; x) = u1 п░и x > u2 +2 u1 t :
Ч▓о ка▒ае▓▒┐ ▒▓╗ковки кон▒▓ан▓╗ u(t; x) u3 = Const и ┤│нк╢ии u(t; x) = x=t, ▓о е▒ли они ▒▓╗к│╛▓▒┐ по л│╖│ x = t, ▓о п░едел
┤│нк╢ии x=t п░и под╡оде к ╜▓ом│ л│╖│ ░авен , и из (4.5) ▒лед│е▓:
f(u3 ) ; f() = 1 u23 ; 2 = u3 + ;
=
= dx
dt
u3 ; 2 u3 ; 2
▓.е. = u3 . По▒леднее озна╖ае▓, ╖▓о пол│╖енна┐ ┤│нк╢и┐ неп░е░╗вна
на л│╖е ▒▓╗ковки x = t = u3t; t > 0, и ░аз░╗в | ▒лаб╗й.
80
Ри▒. 17.
Тепе░╝ м╗ можем полно▒▓╝╛ ░е╕и▓╝ зада╖│ Римана о ░а▒паде
░аз░╗ва дл┐ │░авнени┐ Хоп┤а. Зде▒╝ возможн╗ две п░ин╢ипиал╝но
░азли╖н╗е ▒и▓│а╢ии:
1) Е▒ли u; > u+ , ▓о ░е╕ение ▒▓░ои▓▒┐ в виде │да░ной волн╗ |
дв│╡ кон▒▓ан▓ u; и u+ , ▒оединенн╗╡ по л│╖│ x = u2 +2 u1 t в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ │▒ловием Ранкина-Г╛гонио (▒м. ░и▒. 17):
(
u; п░и x < u; +2 u+ t;
u(t; x) =
(6.4)
u+ п░и x > u; +2 u+ t:
Пол│╖енн╗й ░аз░╗в, как │же о▓ме╖ало▒╝, ┐вл┐е▓▒┐ доп│▒▓им╗м в ▒м╗▒ле │▒лови┐ воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии.
2) Е▒ли u; < u+ , ▓о ▒▓░ои▓╝ ░е╕ение в виде │да░ной волн╗ нел╝з┐, ▓ак как пол│╖аем╗й в ╜▓ом ▒л│╖ае ░аз░╗в не │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛ воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии. Зде▒╝ на помо╣╝ п░и╡оди▓
┤│нк╢и┐ x=t, ко▓о░а┐ по неп░е░╗вно▒▓и ▒▓╗к│е▓▒┐ ▒ кон▒▓ан▓ами u; и u+ (▒м. ░и▒. 18):
8u
< ; п░и x 6 u;t;
u(t; x) = : x=t п░и u; t < x < u+ t;
(6.5)
u+
п░и x > u+ t:
Пол│╖енное ░е╕ение неп░е░╗вно во в▒ей пол│пло▒ко▒▓и t > 0.
Угол u; t < x < u+ t, t > 0, в ко▓о░ом п░ои▒╡оди▓ ▒глаживание
░аз░╗вн╗╡ на╖ал╝н╗╡ │▒ловий, наз╗ва╛▓ обла▒▓╝╛ ░аз░ежени┐, а ▒амо ░е╕ение (6.5) | ╢ен▓░и░ованной волной ░аз░ежени┐.
81
Ри▒. 18.
Дадим геоме▓░и╖е▒кий коммен▓а░ий к пол│╖енн╗м ░е╕ени┐м.
По▒▓░оим г░а┤ик ┤│нк╢ии f(u) = u2=2 в о▒┐╡ (u; f), па░аллел╝н╗╡
о▒┐м (t; x), и о▓ме▓им на нем ▓о╖ки (u; ; u2;=2) и (u+ ; u2+ =2). Тогда,
как │же о▓ме╖ало▒╝ в╗╕е, лини┐ ░аз░╗ва ░е╕ени┐ (6.4) па░аллел╝на
о▓░езк│, ▒оедин┐╛╣ем│ ╜▓и ▓о╖ки (▒м. ░и▒. 17). Об░а▓им внимание
и на ▒лед│╛╣ий ┤ак▓ (ко▓о░╗й, как м╗ │видим позже, ▒ов▒ем не
▒л│╖аен): линии ▒лабого ░аз░╗ва ░е╕ени┐ u(t; x), задаваемого (6.5),
| л│╖и x = u;t и x = u+ t | па░аллел╝н╗ ка▒а▓ел╝н╗м к г░а┤ик│ ┤│нк╢ии f(u) = u2=2, по▒▓░оенн╗╡ ▒оо▓ве▓▒▓венно в ▓о╖ка╡
(u; ; f(u; )) и (u+ ; f(u+ )).
Заме╖ание 6.1. П░и u; > u+ ┤о░м│ла (6.5) не задае▓ ┤│нк╢ии в
пол│пло▒ко▒▓и t > 0.
Зада╖а 6.1. Показа▓╝, ╖▓о в кла▒▒е ав▓омодел╝н╗╡
обоб╣енн╗╡
░е╕ений зада╖и (6:3) по▒▓░оенн╗е в╗╕е ░е╕ени┐ (6:4) и (6:5) един▒▓венн╗.
6.2. Сл│╖ай в╗п│клой ┤│нк╢ии ▒о▒▓о┐ни┐
Ре╕ение зада╖и Римана о ░а▒паде ░аз░╗ва (6.1) в ▒и▓│а╢ии, когда
f(u) | в╗п│кла┐ вниз ┤│нк╢и┐ о▓ли╖ае▓▒┐ о▓ ░е╕ени┐ ╜▓ой зада╖и в
▒л│╖ае │░авнени┐ Хоп┤а (▓.е. когда f(u) = u2 =2) ли╕╝ ▓ем, ╖▓о вме▒▓о непо▒▓о┐нного гладкого ав▓омодел╝ного ░е╕ени┐ x=t │░авнени┐
Хоп┤а │╖а▒▓в│е▓ неко▓о░а┐ д░│га┐ ┤│нк╢и┐ (x=t). Найдем ее. Как
и в╗╕е, под▒▓авим (6.2) в (6.1) и пол│╖им:
; tx2 u0 + 1t f 0 (u)u0 = 1t u0 (x=t)(f 0 (u (x=t)) ; x=t) = 0:
82
Таким об░азом, к░оме кон▒▓ан▓, пол│╖аем╗╡ из │▒лови┐ u0 = 0, е▒▓╝
е╣е одна ┤│нк╢и┐ u() = () (зде▒╝ = x=t), ┐вл┐╛╣а┐▒┐ ░е╕ением
│░авнени┐
f 0 ( ) = ;
▓.е. | ┤│нк╢и┐, об░а▓на┐ к f 0 :
= (f 0 );1 . Она ▒│╣е▒▓в│е▓,
▓ак как f | в╗п│кла┐, и ▒ледова▓ел╝но, f 0 | моно▓онна┐ ┤│нк╢и┐.
Э▓о по▒леднее найденное ░е╕ение u = (x=t), ░аз░╗вное в (0; 0) и
неп░е░╗вное п░и t > 0, наз╗ва╛▓ волной ░аз░ежени┐.
Заме╖ание 6.2. В ▒л│╖ае
│░авнени┐ Хоп┤а │ на▒ и б╗ло f 0 (u) = u,
;1
а, зна╖и▓, () = (f 0 ) () = .
Ре╕ение (6.1) в ▒л│╖ае в╗п│клой вниз ┤│нк╢ии f(u) б│дем ▒▓░ои▓╝ по аналогии ▒ │░авнением Хоп┤а, а именно:
1) Е▒ли u; > u+ , ▓о ░е╕ение ▒нова ▒▓░оим в виде │да░ной волн╗, ▒▓╗к│┐ две кон▒▓ан▓╗ u; и u+ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ │▒ловием
Ранкина-Г╛гонио по л│╖│ xt = f (uu++);;fu(;u; ) ; t > 0:
u(t; x) =
(
u;
u+
п░и x < f (uu++);;uf ;(u; ) t;
п░и x > f (uu++);;uf (;u; ) t:
(6.6)
(С░авни▓е ▒ (6.4) и ░и▒. 17.) Пол│╖енн╗й ▒ил╝н╗й ░аз░╗в доп│▒▓им в ▒м╗▒ле │▒лови┐ воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии.
2) Е▒ли u; < u+ , ▓о ░е╕ение вида (6.6) не │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛
воз░а▒▓ани┐ ╜н▓░опии. Тогда, как и п░и по▒▓░оении (6.5), ▒клеим кон▒▓ан▓╗ u; и u+ ▒ по▒▓░оенн╗м ░е╕ением (x=t), найд┐
л│╖и ▒клейки x = ; t и x = + t из │▒ловий неп░е░╗вно▒▓и ░е╕ени┐ на ╜▓и╡ л│╖а╡: u = ( ), ▓.е. = f 0 (u ):
8u
< ;
u(t; x) = : (x=t)
u+
п░и x 6 f 0 (u; )t;
п░и f 0 (u; )t < x < f 0 (u+ )t;
п░и x > f 0 (u+ )t:
(6.7)
Заданна┐ в (6.5) ┤│нк╢и┐ ко░░ек▓но оп░еделена п░и t > 0, ▓ак
как ┤│нк╢и┐ ▒о▒▓о┐ни┐ f(u) в╗п│кла вниз, ▒ледова▓ел╝но, f 0 (u) моно▓онно воз░а▒▓ае▓, и f 0 (u; ) < f 0 (u+ ) в ▒л│╖ае u; < u+ .
83
Волна ░аз░ежени┐ (x=t), как неп░е░╗вна┐ п░и t > 0 ┤│нк╢и┐,
п░инимае▓ в▒е возможн╗е зна╖ени┐ межд│ u; и u+ . В ▒ил│ оп░еделени┐ как ┤│нк╢ии, об░а▓ной к f 0 , │▒ловие (x=t) = u0 ░авно▒ил╝но x = f 0 (u0)t дл┐ л╛бого u0 2 [u;; u+ ]. И▓ак, неко▓о░ое ┤ик▒и░ованное зна╖ение u0 волной ░аз░ежени┐ (x=t) п░инимае▓▒┐ на л│╖е
x = f 0 (u0 )t, t > 0, па░аллел╝ном ка▒а▓ел╝ной к г░а┤ик│ ┤│нк╢ии
f = f(u), по▒▓░оенной в ▓о╖ке (u0 ; f(u0 )). В ╖а▒▓но▒▓и, м╗ пол│╖аем
доказа▓ел╝▒▓во │же о▓ме╖енного в ▒л│╖ае │░авнени┐ Хоп┤а │▓ве░ждени┐: линии ▒лабого ░аз░╗ва ░е╕ени┐ u(t; x), задаваемого ┤о░м│лой (6.7) (▓.е. л│╖и x = f 0 (u )t) па░аллел╝н╗ ка▒а▓ел╝н╗м к г░а┤ик│
┤│нк╢ии f = f(u), по▒▓░оенн╗м в к░айни╡ ▓о╖ка╡ (u ; f(u )) (cм.
░и▒. 18). (Коне╖но, м╗ ▒нова п░едполагаем, ╖▓о о▒и (u; f) па░аллел╝н╗ о▒┐м (t; x).)
Заме╖ание 6.3. Нам важна в╗?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
590 Кб
Теги
первого, частными, 1999, уравнения, горицкий, pdf, производными, порядке
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа