close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Гуржий А. - Численные методы математической физики. Курс лекций (2006).pdf

код для вставкиСкачать
Национальный технический университет
\Киевский политехничекий институт"
Теплоэнергетический факультет
Александр ГУРЖИЙ
Курс лекций по дисциплине
Численные методы
математической физики
г. Киев - 2006 г.
С О Д Е Р Ж А Н И Е
:: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: :
1.1. Основные положения : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : :
1.2. Классификация уравнений второго порядка с частными производными :: : : : : : :: : : : : : :: : : :
1.3. Граничные условия : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: :
1.4. Единственность решения : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : :
1.5. Уравнение конвективно-диффузионной теплопроводности :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :
2. ДИСКРЕТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРОИЗВОДНЫХ : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : :
2.1. Разложение в ряды Тейлора : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : :
2.1.1. Конечно-разностное приближение первой производной : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: :
2.1.2. Конечно-разностное приближение второй производной : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : :
2.2. Полиномиальное представление производных : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : ::
2.3. Смешанные частные производные : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : :
2.4. Изменение размеров сетки :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : :
2.4.1. Аппроксимация первой производной : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :
2.4.2. Аппроксимация второй производной : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: :
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ : : : : :: : : : :
3.1. Сведение задач к системам алгебраических уравнений : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : :
3.2. Прямые методы : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : :
3.2.1. Правило Крамера : : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : :
3.2.2. Метод исключения Гаусса : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: :
3.2.3. Алгоритм Томаса : : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : :
3.3. Итерационные методы : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : :
3.3.1. Метод итераций Гаусса-Зейделя : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : :
3.3.2. Метод последовательной верхней релаксации : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : :
3.4. Нелинейные системы : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :
3.4.1. Метод итераций Ньютона-Рафсона : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :
4. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: :
4.1. Диффузионные системы : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : :
4.1.1. Пластина : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : :
4.1.2. Сплошной цилиндр или сфера : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : :
4.1.3. Полый цилиндр или сфера : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : :
5. ОДНОМЕРНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: :
5.1. Простой явный метод : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :
5.1.1. Пластина : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : :
5.1.2. Сплошной цилиндр или сфера : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : :
5.1.3. Полый цищиндр или сфера : : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : ::
5.2. Устойчивость явного метода : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : :
5.2.1. Влияние граничных условий на устойчивость : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : :
5.3. Простой неявный метод : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : :
5.3.1. Устойчивость простой неявной схемы :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: :
5.3.2. Сплошной цилиндр или сфера : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : :
5.3.3. Полый цилиндр или сфера : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : :
5.4. Метод Кранка-Никольсона : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : ::
5.4.1. Сплошной цилиндр или сфера : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : :
5.4.2. Полый цилиндр или сфера : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : :
5.5. Трехуровневый по времени метод : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :
5.6. Сравнение конечно-разностных схем :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :
6. МНОГОМЕРНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :
6.1. Простой явный метод : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :
6.1.1. Устойчивость простого явного метода :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : ::
6.2. Неявный метод чередующихся направлений (НМЧН) : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : :
6.3. Явный метод чередующихся направлений (ЯМЧН) :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : :
6.3.1. Устойчивость простого явного метода :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : ::
6.3.2. Двухмерная нестационарная теплопроводность : : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
1
3
3
3
5
6
7
10
10
11
12
13
13
14
15
15
17
17
19
20
20
21
22
22
25
26
27
30
30
30
33
38
42
42
42
45
47
50
52
57
58
58
59
59
61
63
66
66
68
68
69
71
72
73
73
: : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : :
7.1. Стационарная двухмерная теплопроводность : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : :
7.1.1. Локальные сетки : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :
7.1.2. Методы решения : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :
7.2. Приближение контрольного объема : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : :
7.3. Свойство консервативности : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : ::
7.4. Поле скорости двухмерного несжимаемого течения :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : :
7.4.1. Метод завихренность-функция тока : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: :
7.4.2. Итоги формулировки завихренность-функция тока : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : :
7.4.3. Конечно-разностное представление формулировки завихренность-функция тока : : :: : :
7.4.4. Метод решения ! и : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : :
7.4.5. Метод решения для давления : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :
7.4.6. Формулировка граничных условий : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : :
7.5. Двухмерная тепловая конвекция : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : :
7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
2
75
75
76
78
80
82
85
85
86
87
89
91
92
96
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В большинстве случаев численные методы оказываются весьма полезными при решения задач
динамики жидкости, тепло, массопереноса и других задач математической физики, в которых основополагающие физические явления описываются системой дифференциальных уравнений с частными
производными, когда такие задачи не могут быть решены аналитическими методами по причине их
нелинейности, сложной геометрии или сложных граничных условий. Развитие быстродействующих
компьютеров значительно увеличило применение численных методов в различных отраслях науки
и техники. Сегодня существует уже значительный перечень прикладных задач математической
физики, которые могут быть решены за достаточно малую стоимость и за достаточно короткий
промежуток времени при умеренных вычислительных мощностях.
В настоящее время для решения уравнений с частными производными, которые описывают явления переноса температуры, массы, момента и др., широкое распространение получили метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). В современной литературе существует
обширное количество разновидностей этих методов и алгоритмических схем для решения такого
рода задач. Каждый известный метод имеет свои преимущества в зависимости от особенностей
решаемой физической задачи. Однако, что известно точно, в настоящее время не существует универсального, наилучшего метода для решения задач, имеющих практическую значимость.
Точность МКР может быть исследована по порядку ошибки усечения в разложении ряда Тейлора.
В случае МКЭ разложение в ряды Тейлора не применяется. В этом состоит главное отличие этих
методов. Размерность задачи { другой фактор, который заслуживает определенного рассмотрения.
Например, эффективный метод для одномерных задач не может быть настолько же эффективен для
решения двух- или трехмерных задач. Эти особенности вычислительных методов формируют одну
из главных трудностей в выборе и использовании численных методов при решении задач математической физики.
Конечно-разностные методы являются простыми с точки зрения формулировки задачи и могут
быть сразу расширены на двух или трехмерные задачи. Они требуют меньше вычислительных ресурсов по сравнению с МКЭ. Кроме того, МКР является достаточно простым при изучении и чаще
всего применяются при решении уравнений с частными производными, с которыми сталкиваются
исследователи при моделировании технических проблем для достаточно простых (т.е. не очень нерегулярной) геометрий. Для проблем, связанных с нерегулярной геометрией в области решения, МКЭ
может иметь определенное преимущество. Этот вычислительный метод обладает определенной гибкостью, поскольку область около границы может быть просто разделена на подобласти.
Главным недостатком МКР является, видимо, сложность формирования эффективного решения задачи для произвольно сформированной геометрии вычислительных полей, поскольку имеются
определенные трудности в интерполяции полей между границами и внутренними точками. В настоящее время, с появлением методов численной генерации сетки, МКР стал сопоставимым с МКЭ
в отношении задач с нерегулярной геометрией, сохраняя при этом простоту стандартного подхода
метода конечных элементов.
В этом курсе мы сконцентрируем свое внимание на применении МКР и метода контрольного
объема для решения задач переноса тепла, массы и момента, с которыми сталкиваются исследователи в технических приложениях. Несмотря на простоту представления конечных разностей для
основных уравнений с частными производными, эти методы требуют определенного опыта и знаний
при выборе эффективной конечно-разностной схемы для конкретной задачи.
Тип уравнений с частными производными, физическая размерность задачи, вид используемой
координатной системы, являются ли основные уравнения или граничные условия линейными или нелинейными, является ли задача стационарной или нестационарной { вот перечень факторов, которые
влияют на выбор численной схемы из большого числа доступных методов. Это первый важный шаг
при численном решении задач математической физики. В этом курсе мы рассмотрим классификацию
уравнений с частными производными, с которыми будем иметь дело при математической формулировке задач переноса тепла, массы и импульса, и обсудим физическое значение такой классификации
в отношении численного решения задач математической физики.
1.2. КЛАССИФИКАЙИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
При решении уравнений с частными производными конечно-разностными методами необходимо
выбрать конечно-разностную схему. Применение той или иной вычислительной схемы первую оче3
редь зависит от типа рассматриваемого дифференциального уравнения. Вообще, дифференциальные
уравнения с частными производными классифицируются на три группы, называемые эллиптические,
параболические и гиперболические уравнения.
Для иллюстрации этой классификации рассмотрим следующее наиболее общее дифференциальное
уравнение второго порядка с частными производными по двум независимым переменным x и y
2
@ 2 + C @ 2 + D @ + E @ + F + G(x; y) = 0 :
A @@x2 + B @x@y
(1.1)
@y2
@x
@y
Здесь предполагается, что приведенное уравнение является линейным уравнением (заметим, что это
ограничение не является обязательным). Другими словами, коэффициенты A, B , C , D, E F и G в
(1.1) представляют собой функции двух независимых переменных x, y, но не являются функциями зависимой переменной . Эта обобщенная зависимая переменная в задачах передачи тепла,
в задачах механики жидкости и других областях физики обозначает определенную зависимую переменную, или физическое поле. В общем случае под переменной понимают поле температур,
скорости, плотности, давления и др.
Математический характер дифференциального уравнения с частными производными (1.1) зависит только от значений коэффициентов A, B и C . Дифференциальное уравнение (1.1) в точке (x0,
y0) называется:
эллиптический
если
B 2 4AC < 0 ;
параболический
если
B 2 4AC = 0 ;
(1.2)
2
гиперболический
если
B 4AC > 0 ;
Например:
Уравнение стационарной теплопроводности без генерации энергии и с постоянными физическими свойствами
@ 2T + @ 2T = 0 ;
(1.3)
@x2 @y2
является эллиптическим. В современной литературе это уравнение часто называют уравнением
Лапласа.
Стационарное уравнение теплопроводности (1.3) имеет частные производные второго порядка
по переменным x и y. Состояние в произвольном заданном положении (x0; y0) определяются изменением в состояниях по обеим сторонам этого положения (по определению производных разного
порядка). Таким образом, стационарное уравнение теплопроводности является эллиптическим как
по координате x, так и по координате y, и поэтому просто называется эллиптическим.
Уравнение стационарной теплопроводности с генерацией энергии
@ 2T + @ 2T + G(x; y) = 0 ;
(1.4)
@x2 @y2
также является эллиптическим. Часто уравнение такого вида называют уравнением Пуассона.
Особенностью эллиптических уравнений является то, что они требуют спецификации соответствующих граничных условий на всех границах (в ограниченных областях) или бесконечности (для
безграничного пространства).
Одномерное нестационарное уравнение передачи тепла
@ 2T = 1 @T
(1.5)
@x2 @t
является параболическим.
Нестационарное уравнение теплопроводности (1.4) имеет частную производную второго порядка по переменной x и частную производную первого порядка по переменной t. Состояние в произвольном заданном положении (x0) определяется изменением в состояниях с обоих сторон заданного
4
положения, следовательно уравнение остается эллиптическим по переменной x. Однако по переменной t, на состояние в любой момент повлияют только изменения, имевшие место в предшествующих
состояниях. Следовательно уравнение является параболически по времени и поэтому названо параболическим. Обратите внимание, что, уравнение называется параболическим, если существуют по
крайней мере одна координата (то есть, время или положение), в которой условия в любом заданном
положении (т.е. по времени или по положению) изменяются под влиянием изменения в состояниях
только с одной стороны (т.е., более раннего по времени или вверх по положению).
Волновое уравнение второго порядка
@ 2 = 1 @ 2 T ;
(1.6)
@x2 c2 @t2
где t - время, x { пространственная переменная и c - скорость распространения волны. Это уравнение
гиперболического типа.
Решение гиперболического уравнения (1.6) формируется по аналогии с распространяющейся волны поля температур с конечной скоростью в отличие от бесконечной скорости распространения, связанной с параболическим уравнением теплопроводности (1.5). Поэтому, решение гиперболических
уравнений с конечными разностями требует специального рассмотрения и специальных вычислительных схем.
Для простоты, мы рассмотрели дифференциальное уравнение с частными производными (1.1)
для двух независимых переменных, в нашем случае (x, y). Обобщение этой классификации для трех
или более независимых переменных проводится аналогично.
Например:
Трехмерное стационарное уравнение теплопроводности
@ 2T + @ 2T + @ 2T + G(x; y) = 0 ;
(1.7)
@x2 @y2 @z2
является эллиптическим.
Двухмерное уравнение теплопроводности
@ 2T + @ 2T + G(x; y) = 1 @T
(1.8)
@x2 @y2
@t
является параболическим.
1.3. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Дифференциальное уравнение с частными производными будет иметь единственное решение
только в том случае, если надлежащим образом определить граничные и начальные условия.
Для того, чтобы идентифицировать различные типы линейных граничных условий, введем следующие определения (смотри рис.1.1):
Граничное условие 1-го рода:
= определено ;
@ = определено ;
Граничное условие 2-го рода:
(1.9)
@n
@ + h = определено ;
Граничное условие 3-го рода:
@n
где @=@n обозначает дифференцирование в направлении внешней нормали к граничной поверхности. Когда правая сторона условий (1.9) обнуляется, граничные условия называться однородными
граничными условиями.
Физический смысл производной по направлению @=@n понять легче, если воспользоваться определением
!
@ = n r = (in + j n + kn ) i @ + j @ + k @ = n @ + n @ + n @ ;
(1.10)
x
x
y
z
@n
@x @y @z
@x y @y y @y
5
Рис. 1.1: Различные виды граничных условий: a - первого рода, б - второго Рис. 1.2: Элементарный парода, в - третьего рода.
раллелепипед внутри сплошной теплопроводящей среды.
где n { единичный вектор в направлении внешней нормали; единичные векторы i, j и k направлены
по координатным осям x, y и z, соответственно.
Например, подстановка уравнения (1.10) в уравнение (1.9,c) придает граничному условию третьего рода следующий вид
!
@
@
@
(1.11)
nx @x + ny @y + nz @z + h = определено :
Если и h трактуются как коэффициенты, то граничные условия второго и первого родов получаются из уравнения (1.11) в виде частного случая, приравнивая h или к нулю, соответственно.
Физическое значение этих параметров состоит в том, что, представляет тепловую проводимость или коэффициент диффузии, а h представляет коэффициент переноса температуры или массы.
Если рассматривается нестационарная задача, то для однозначного определения решения дифференциального уравнения необходимо задать начальные условия. Это значит, что для некоторого
момента времени, например t = 0, распределение функции (x; y; z; t) во всей области решения считается известной
(x; y; z; 0) = определено :
(1.12)
1.4. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
Изучение единственности и существования решений к данной системе уравнений { вопрос, который принадлежит полностью математическому анализу. Однако, поучительно исследовать некоторые простые ситуации, чтобы проиллюстрировать значения этого вопроса.
Рассмотрим стационарную задачу теплопроводности с выделением энергии в конечной замкнутой области
r2T + G = 0 ; в области ;
@T = 0 ; на границах ;
(1.13)
@n
где @=@n означает производную в направлении внешней нормали к границе поверхности. Только
следуя физическими соображениям можно заключить, что такая проблема не может иметь стационарного решения, так как энергия, произведенная в среде не имеет никакой возможности покинуть
область, поскольку все границы теплоизолированные. Здесь температура вынужденна все время
непрерывно увеличиться.
Рассмотрим другую стационарную задачу теплопроводности в конечной области без источника
энергии в среде, но с границами, на которых определен тепловой поток. Математическая формулировка этой проблемы имеет вид
r2 T = 0 ;
в области ;
6
k @T
@n = f (rs ) ;
на границах ;
(1.14)
Снова, следуя физическим рассуждением, заключаем, что эта проблема также не может иметь
стационарного решения, если величина теплового потока, входящего в среду через часть граничных поверхностей не равно сумме тепловых потоков, покидающих область через остальную часть
поверхностей. Даже, если это условие удовлетворено, стационарное решение этой задачи является
единственным только к в пределах аддитивной постоянной, то есть \T (r) + T0". Здесь произвольная постоянная T0 удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и граничному условию,
заданному уравнениями (1.14). Следовательно, эта задача имеет бесчисленное число стационарных
решений.
Для множества других физических нелинейных граничных задач, существуют многократные
решения, а может случиться так, что решений нет вообще.
1.5. УРАВНЕНИЕ КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Количество теплоты, протекающей в единицу времени через элемент изотермической поверхности в направлении нормали к самой поверхности, называется тепловым потоком Q и измеряется в
Вт. Тепловой поток, отнесенный к единице поверхности, называется удельным тепловым потоком
q = dQ
(1.15)
dS :
По закону Фурье удельный тепловой поток пропорционален производной от температуры по
нормали @T=@n к изотермической поверхности
@T dS :
;
или
dQ
=
k
(1.16)
q = k @T
@n
@n
Знак минус указывает на то, что векторы q и @T=@n направлены в противоположные стороны;
k { физический параметр, называемый коэффициентом теплопроводности, который характеризует
способность вещества проводить теплоту.
Рассмотрим элементарный параллелепипед сплошной теплопроводящей среды (рис.1.2), который
движется в поле скорости U с компонентами u(x; y; z; t), v(x; y; z; t) и w(x; y; z; t) вдоль соответствующих осей прямоугольной системы координат. Элементарный параллелепипед занимает объем
V = x y z и имеет массу m = V , где { плотность среды, которую будем считать неизменной.
Количество теплоты, содержащейся в элементарном объеме, можно определить из выражения
Q = CpT m = CpT V ;
(1.17)
где T { абсолютное значение температуры среды в элементарном параллелепипеде, а Cp { массовая
теплоемкость среды. В этом случае изменение количества теплоты в этом объеме за интервал
времени t связана с изменением температуры
Q = Cp[T (x; y; z; t + t) T (x; y; z; t)]V :
(1.18)
Это выражение в предельном случае, когда V ! 0 и t ! 0, можно представить в виде
@T dV dt :
dQ = Vlim
lim
f
C
[
T
(
x;
y;
z;
t
+
t
)
T
(
x;
y;
z;
t
)]
V
g
=
C
(1.19)
p
p
!0 t!0
@t
Изменение количества теплоты в рассматриваемом объеме сплошной среды может происходить
тремя независимыми путями. С одной стороны подвижность сплошной среды приводит к проникновению жидкости через одни поверхности и вытеканию жидкости через другие поверхности. Заметим,
что втекаемая и вытекаемая жидкости могут иметь разные температуры и, соответственно, разное
количество тепла. Говорят, имеет место конвективный теплообмен, связанный с переносом среды.
С другой стороны, рассматриваемый элементарный параллелепипед контактирует с внешней средой,
температура которой может отличаться от температуры выделенного объема. В результате, следуя закону Фурье (1.16), возникает тепловой поток через грани рассматриваемого параллелепипеда
7
в стороны меньших температур. Другими словами, имеет место диффузионный теплообмен. Наконец, изменение количества теплоты в рассматриваемом объеме может быть вызвано выделением
тепла в самом объеме, говорят имеет место объемное тепловыделение.
Рассмотрим конвективный теплообмен через левую и правую грани элементарного параллелепипеда (рис.1.2). Изменение количества тепла, протекаемого через грани можно оценить из выражения
Q(1)
x = Cp[(uT )x+x;y;z;t (uT )x;y;z;t]yz t :
Воспользовавшись предельным переходом, получаем, что
(1.20)
@ (uT ) dV dt :
dQ(1)
lim
f
C
[(
uT
)
(
uT
)
]
yz
t
g
=
C
p
x
+
x;y;z;t
x;y;z;t
p
x = Vlim
!0 t!0
@x
(1.21)
Аналогично можно получить изменение количество тепла в выделенном объеме за счет переноса
среды по двум другим направлениям. В результате получаем
@ (vT )
dQ(1)
(1.22)
y = Cp @y dV dt ;
@ (wT )
dQ(1)
(1.23)
z = Cp @z dV dt :
Изменение количества теплоты, вызванной диффузионным механизмом, можно оценить непосредственно из теплового закона Фурье. Так, принимая во внимание диффузионный поток через
левую и правую границы объема, получаем
2 3
@T
@T
5 yzt : (1.24)
dQ(2)
x = [q (x + x; y; z; t) q (x; y; z; t)]yz t = k 4 @x @x x+x;y;z;t
x;y;z;t
Снова, указанный ранее предельный переход, дает
8 2 9
3
2T
<
=
@T
@T
@
(1)
4
5
dQx = Vlim
lim k @x !0 t!0 :
@x x;y;z;t yzt; = k @x2 dV dt :
x+x;y;z;t
(1.25)
Аналогично получаются два других выражения
@ 2T dV dt ;
(1.26)
dQ(2)
=
k
y
@y2
@ 2T dV dt :
dQ(2)
=
k
(1.27)
z
@z2
Наконец, объемное тепловыделение в выделенном объеме среды равно
dQ(3) = g(x; y; z; t)V t ;
(1.28)
где g(x; y; z; t) { объемная мощность тепловыделения в рассматриваемом параллелепипеде. Применяя
предельный переход V ! 0 и t ! 0, получаем
dQ(3) = Vlim
lim fg(x; y; z; t)V tg = q(x; y; z; t) dV dt :
(1.29)
!0 t!0
Суммируя все указанные выше тепловые потоки, вызывающие изменение количества теплоты в
рассматриваемом объеме сплошной среды, с учетом знаков тепловых потоков, получаем выражение,
которое после сокращения на dV dt и перегруппировки слагаемых, принимает следующий вид
) ( 2
(
2 T @ 2T )
@
(
uT
)
@
(
vT
)
@
(
wT
)
@
@
T
@T
(1.30)
Cp @t + @x + @y + @z = k @x2 + @y2 + @z2 + g :
8
Если ввести обозначение
= Ck ;
p
где k { коэффициент температуропроводности, то уравнение (1.30) преобразуется к
ковективно-диффузионной теплопроводности
(1.31)
уравнению
(
)
1 @T + @ (uT ) + @ (vT ) + @ (wT ) = @ 2T + @ 2T + @ 2T + g :
(1.32)
@t
@x
@y
@z
@x2 @y2 @z2 k
Заметим, что поле скорости U (x; y; z; t) = iu(x; y; z; t) + jv(x; y; z; t) + kw(x; y; z; t) течения сплошной
среды должно быть задано
априорно. В противном случае оно должно быть определено из отдельной
гидродинамики задачи 1.
Если предположить, что сплошная среда не участвует в движении (распространение тепла осуществляется в твердом теле), то скорость U = 0. В результате уравнение (1.32) преобразуется к
классическому уравнению теплопроводности
1 @T = @ 2T + @ 2T + @ 2T + g :
(1.33)
@t @x2 @y2 @z2 k
1
Решение задач гидродинамики выходит за рамки настоящего курса. Однако, следует заметить, что численные методы
решения таких задач имеют много общего с тепловыми задачами.
9
2. ДИСКРЕТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
Если дифференциальное уравнение решено аналитически по заданной области и удовлетворяет
граничным условиям, то полученное решение должно удовлетворять дифференциальному уравнению
в каждой точке области. Если проблема не может быть решена аналитически, или нахождение аналитического решения оказывается чрезвычайно сложным, то исследователи применяют численные
методы решения. При использовании конечно-разностных методов, исследователи дискретизируют
область задачи так, чтобы значения неизвестной зависимой переменной рассматривались только
в конечном числе внутренних точек вычислительной области. Если выбрано N узлов, то необходимо сформировать N алгебраических уравнений, дискретизирующих основные дифференциальные
уравнения и соответствующие граничные условия. Другими словами, решение дифференциальных
уравнений в обычных или частных производных сводится к системе алгебраических уравнений и
подбора подходящего алгоритма решения.
По-видимому, этот простой подход усложняется тем фактом, что характер сформированной
системы алгебраических уравнений зависит от характера дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих физическую задачу. Другими словами, являются ли они параболическими, эллиптическими или гиперболическими. Кроме того, имеются многочисленные схемы
дискретизации, следовательно нужно выбрать такую, которая является наиболее подходящей для
соответствующего характера задачи.
Обычно применяются три основных подхода к дискретизации производных в дифференциальных
уравнениях с частными производными, а имено, использование: (i) разложения в ряды Тейлора, (ii)
полиномиального представления и (iii) приближения контрольного объема 2 .
Идея конечно-разностного представления производной может быть наглядно показана, используя
определение производной функции F (x; y) по переменной x в точке x = x0, y = y0
@F = lim F (x0 + x; y0) F (x0; y0) :
(2.1)
@x x !0
x
Если функция F (x; y) является непрерывной, то правая сторона выражения (2.1) может быть
разумным приближением частной производной @F=@x для достаточно маленького, но, тем не менее,
конечного x.
2.1. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ТЕЙЛОРА
Формальной основой для использования конечно-разностного приближения к производным разного вида и порядка является разложение функции в ряд Тейлора. Рассмотрим разложение в ряд
Тейлора функции f (x) в окрестности точки x0 в направлении вперед (т.е., в положительном направлении оси Ox) и назад (т.е., в отрицательном направлении оси Ox), которые задаются в виде, соответственно,
2 d3 f 2 f 3x + ::: ;
d
df
x+
(2.2)
f (x0 + x) = f (x0) + dx x + dx2 3
2!
dx
3!
x
=
x
x
=
x
x
=
x
0 2 3 0 3
0
2
d
f
df
(2.3)
f (x0 x) = f (x0) dx x + dx2 2!x ddxf3 3!x + ::: :
x=x0
x=x0
x=x0
Эти два выражения формируют основу для развития конечно-разностных приближений первой
производной df=dx в точке x = x0. Восстанавливая значения производных в уравнениях (2.2) и (2.3),
аппроксимации конечными разностями вперед и назад для первой производной, соответственно,
примут вид
df = f (x0 + x) f (x0) + O( ) (вперед) ;
(2.4)
x
dx 0
x
df = f (x0) f (x0 x) + O( ) (назад) ;
(2.5)
x
dx 0
x
2
Приближение контрольного объема и анализ свойств этого приближения будет рассмотрен в последующих разделах курса.
10
Рис. 2.1: Представление непрерывной функции эквидистантно расположенной системой узловых точек.
где обозначение \порядок" \O(x )" характеризует ошибку усечения, связанную с конечно-разностным приближением. Она определяет различие между производной и ее конечно-разностным представлением. Например, для случая, заданного уравнением (2.4), ошибка составляет
2
(2.6)
O(x ) = 2x f 00(x0) + 6x f 000(x0) + :::
Вычитая уравнение (2.3) из уравнения (2.2), определяем приближение центральными разностями
df = f (x0 + x) f (x0 x) + O(2 ) ;
(2.7)
x
dx x=x0
2x
где
2
4x f 00000(x ) + :::
(2.8)
O(2x) = 6x f 000(x0) + 120
0
Анализ ошибки усечения, связанной с записанными выше различными конечно-разностными
представлениями, показывает, что центральное конечно-разностное приближение является вторым
по порядку x. Следовательно, оно является более точным приближением, чем разности вперед или
разности назад.
В вышеупомянутых соотношениях, используется только две точки сетки для конечно-разностного приближения первой производной. Однако, часто встречаются ситуации, в которых должно быть
сохранено большее количество точек сетки для конечно-разностного приближения производных для
того, чтобы улучшить точность представления производной.
2.1.1. Конечно-разностное приближение первой производной
Представим непрерывную одномерную функцию f (x) в виде последовательности эквидистантно
расположенной системы узловых точек (рис.2.1). Пусть i будет индекс сетки в точке x = x0. Тогда
индексы i +1 и i 1 относятся к точкам сетки с координатами x = x0 + h и x = x0 h, соответственно.
Здесь h { шаг дискретизации функции f (x). Точно так же индексация i +2 и i 2 относится к точкам
сетки x = x0 + 2h и x = x0 2h, соответственно, и так далее. Другими словами
fi = f (x0 + ih) :
(2.9)
Используя это обозначение, приводим ниже двух-, трех- и четырехточечные формулы конечноразностной аппроксимации первой производной.
Двухточечные формулы:
fi0 = fi+1h fi + O(h) ; (вперед) ;
(2.10)
fi0 = fi hfi 1 + O(h) ; (назад) ;
fi0 = fi+1 2h fi 1 + O(h2 ) ; (центральные) ;
Трехточечные формулы:
fi0 = 21h ( 3fi + 4fi+1 fi+2) + O(h2 ) ;
fi0 = 21h (fi 2 4fi 1 + 3fi) + O(h2 ) ;
(2.11)
11
Четырехточечные формулы:
fi0 = 61h ( 11fi + 18fi+1 9fi+2 + 2fi+3 ) + O(h3) ;
fi0 = 61h ( 2fi 1 3fi + 6fi+1 fi+2) + O(h3 ) ;
fi0 = 61h (fi 2 6fi 1 + 3fi + 2fi+1 ) + O(h3) ;
(2.12)
Понятно, что трех или четырехточечные формулы полезно использовать для представления первой производной в узлах на границах вычислительной области. При этом используется две и более внутренние точки сетки с одной стороны границы, что в конечном итоге улучшает точность
конечно-разностного приближения первой производной, вычисленной на самой границе.
Пример 2-1. Пусть T1 будет температурой точки на границе физической области, а T2, T3 , T4,
... { температуры в соседних с ней точках вдоль положительного направления оси x, как показано
на рис.2.1. Определите тепловой поток на границе x = x1 в соответствии с определением qw =
k(@T=@x)x=1. Представьте производную температуры в точке x = x1 конечными разностями,
использующими приближения с ошибкой порядка O(h), O(h2) и O(h3).
Решение. Необходимо применять разностные схемы вперед, потому что точки сетки 2, 3, 4, ...
по отношению к граничному узлу 1 расположены в положительном направлении оси Ox.2 Конечноразностные представления первой производной вперед с порядками точности O(h), O(h ) и O(h3),
получаются из уравнений (2.10,a), (2.11,a) и (2.12,a), соответственно, и имеют вид
dT = T2 T1 + O(h) ;
dx
h
dT = 1 ( 3T + 4T T ) + O(h2 ) ;
(2.13)
1
2
3
dx 2h
dT = 1 ( 11T + 18T 9T + 2T ) + O(h3 ) :
1
2
3
4
dx 6h
2.1.2. Конечно-разностное приближение второй производной
Разложения в ряд Тейлора непрерывной функции f (x), заданные уравнениями (2.2) и (2.3), могут
быть использованы для получения приближений конечными разностями второй производной f 00(x)
в узловых точках.
Для того, чтобы получить центральное конечно-разностного приближение для второй производной сложим уравнения (2.2) и (2.3). Результирующее выражение для (d2f=dx2 )x=x0 записывается с
принятыми выше обозначениями в виде
2
O(h2) = h12 f00000 + :::
(2.14)
f 00 = fi 1 2hf2i + fi+1 + O(h2 ) ;
Для формирования конечных разностей вперед или назад вторых производных функции f (x0 +
2h) и f (x0 2h) так же используется разложение в ряд Тейлора. В этом случае значение f 0(x0)
выражается через разложение f (x0 +2h) и разложения, заданного уравнением (2.2). Полученное выражение разрешается относительно (d2f=dx2 )x=x0 . В результате конечно-разностное представление
вперед для второй производной определяется в виде
fi00 = fi 2fih+12 + fi+2 + O(h) (вперед) :
(2.15)
Точно так же значение f 0(x0) получается исключением в разложении f (x0 2h) и разложения,
заданного уравнением (2.3). В результате получаем следующее выражение для конечно-разностного
12
представления назад для второй производной
fi00 = fi 2 2hf2i+1 + fi + O(h) (назад) :
(2.16)
где
O(h) = hf0000 + :::
Конечно-разностные приближения для второй производной, записанные выше, используют три
точки сетки. Приближения, использующие более чем три точки могут быть так же получены аналогичным образом. Представим ниже некоторые из этих выражений
fi00 = 2fi 5fi+1 +h24fi+2 fi+3 + O(h2) ;
fi00 = fi 3 + 4fi h2 2 5fi 1 + 2fi + O(h2) :
(2.17)
2.2. ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Разностные выражения для представления производных различного порядка могут быть получены, если представить функцию f (x) в виде полинома, в котором коэффициенты определяются через
значения функции в соседних узловых точках.
Например, рассмотрим представление f (x) в виде параболы, или полиномом второго порядка
f (x) = ax2 + bx + c ;
(2.18)
проходящие через узлы x1 = 0, x2 = h и x2 = 2h. Тогда производная равна
f 0(x) = 2ax + b и f 0(0) = b
(2.19)
Определяя функцию f (x) в узлах x = 0, h и 2h, находим
f (0) = c ; f (h) = ah2 + bh + c ; f (2h) = 4ah2 + 2bh + c :
(2.20)
Решение последней системы уравнений относительно b дает
f 0(0) = b = fi0 = 21h ( 3fi + 4fi+1 fi+2) ;
(2.21)
которое является идентичным уравнению (2.11,a).
Этот подход особенно полезен при получении конечно-разностных выражений как для неэквидистантных сеток с неравномерными значениями h, так и для вычисления градиентов, необходимые
для определения тепловых потоков на твердых поверхностях.
2.3. СМЕШАННЫЕ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Часто, при решении прикладных задач, необходимо представить смешанные частные производные вида d2f=dxdy их конечно-разностным аналогом. Такое приближение может быть достигнуто
последовательным применением разностного дифференцирования по переменным x и y.
В качестве
иллюстрации, рассмотрим конечно-разностную аппроксимацию смешанной произ2
водной d f=dxdy и применим центральную разностную формулу (2.10,c) для дискретизации первой
производной по переменной x и y.
Сначала проведем дискретизацию функции двух переменных. Введем эквидистантную сетку по
переменным с обозначением
f (x; y) = f (ix; j y ) = fi;j :
(2.22)
13
Записываем
1
@f A + O(2 ) ;
(2.23)
x
@y i 1;j
Применение центральной разностной формулы еще раз для дискретизации частной производной
относительно переменной y в уравнении (2.23) приводит к
!
!
@ @f = 1 fi+1;j+1 fi+1;j 1 fi 1;j+1 fi 1;j 1 + O[(2 )(2)] ;
(2.24)
x
y
@x @y
2x
2y
2y
которая является конечно-разностным приближением смешанной производной d2f=dxdy с использованием центральных разностей как для переменной x, так и переменной y. Порядок дифференцирования является несущественным, если производные непрерывны. Это значит, что d2f=dxdy и
d2f=dydx равны.
В нашем примере были применены центральные разности для обеих производных по переменным x и y. Если рассмотреть все возможные комбинации разностей вперед, назад
и центральные, то
получим девять различных случаев для конечно-разностного приближения d2f=dxdy, которые сведены в таблице 2-1. Порядок ошибок усечения для каждого из этих 9 случаев может быть проверен
разложением в ряд Тейлора по двум переменным.
0 !
@ @f = 1 @ @f @x @y
2x @y i+1;j
Таблица 2-1. Конечно-разностные аппроксимации смешанной производной @ 2f=@x@y
N Схема
Конечно-разностная
Порядок
x y
аппроксимация
ошибки
!
1 fi+1;j+1 fi+1;j fi;j+1 fi;j
1 В В
O[x; y ]
x
y
y !
1 fi+1;j fi+1;j 1 fi;j fi;j 1
2 В Н
O[x; y ]
x
y
y
!
1 fi+1;j+1 fi+1;j 1 fi;j+1 fi;j 1
3 В Ц
O[x; (y )2]
x
2y
2y !
1 fi;j+1 fi;j fi 1;j+1 fi 1;j
4 Н В
O[x; y ]
x
y
y
!
1 fi;j fi;j 1 fi 1;j fi 1;j 1
5 Н Н
O[x; y ]
x
y
y
!
1
f
i;j +1 fi;j 1 fi 1;j +1 fi 1;j 1
6 Н Ц
O[x; (y )2]
x
2y
2y
!
1
f
i+1;j +1 fi+1;j fi 1;j +1 fi 1;j
7 Ц В
O[(x)2; y ]
2x
y
y
!
1
f
i+1;j fi+1;j 1 fi 1;j fi 1;j 1
8 Ц Н
O[(x)2; y ]
2x
y
y
!
f
1
i+1;j +1 fi+1;j 1 fi 1;j +1 fi 1;j 1
9 Ц Ц 2
O[(x)2; (y )2]
2
2
x
y
y
В { разности вперед, Н { разности назад, Ц { центральные разности.
2.4. ИЗМЕНЕНИЕ РАЗМЕРОВ СЕТКИ
Часто, в большинстве инженерных приложений, появляется необходимость формирования неэквидистантной сетки (т.е. сетка с неравномерным расстоянием между узлами) особенно в тех
местах, где функция испытывает внезапное изменение. Поэтому, для того, чтобы получить более точное решение в этой области, где градиенты, как ожидается, изменятся быстро, желательно
использовать более подробную дискретизацию по сравнению с дискретизацией в остальной части
14
Рис. 2.2: Изменение размера шага от x1 до x2 в узле i.
вычислительной области. Для иллюстрации этого момента, рассмотрим самую простую ситуацию
на примере функции одной переменной с использованием переменного интервала между узлами в
рассматриваемой вычислительн??й области.
Рис.2.2 показывает изменение размера шага от x1 до x2 в некотором текущем узле i. В
этом случае можно применить разложение в ряд Тейлора функции f (x) относительно узла i для
последующего построения конечно-разностной аппроксимации первых и вторых производных.
2.4.1. Аппроксимация первой производной
Разложим функцию f (x) относительно узла i в ряды Тейлора вперед и назад, соответственно
2 d2 f x3 d3 f df
x
fi+1 = fi + x2 dx + 2! 2 dx2 + 3! 2 dx3 + O[x42] ;
i
i
i
2
3
2
3
df + x1 d f + x1 d f + O[x4] ;
(2.25)
fi 1 = fi x1 dx
1
i 2! dx2 i 3! dx3 i
Затем вычитаем уравнение (2.25,b) из уравнения (2.25,a), а полученное выражение разрешаем
относительно первой производной df=dxji . В результате получаем
df = fi+1 fi 1 1 (x2)2 (x1)2 d2 f + O(2 ) ;
(2.26)
x
dx i x1 + x2 2 x1 + x1 dx2 i
где O(2x) означает наибольший из O(x21) или O(x22).
Тогда конечно-разностная аппроксимация первой производной в узле i, где размер шага изменяется от x1 до x2, становится
df = fi+1 fi 1 + O( ) ;
(2.27)
x
dx i x1 + x2
Из уравнения (2.26) непосредственно следует, что конечно-разностная аппроксимация (2.27) имеет второй порядок точности только при условии, что x2 ! x1
"
2 (x1)2 #
(
x
)
2
O[x21] :
(2.28)
O x + x
2
1
Обращаем внимание на то, что если размер шага изменяется от x1 до x2 резко, скажем
x2 = 2x1, то точность дифференцирования в узле i ухудшается до первого порядка.
2.4.2. Аппроксимация второй производной
Для того, чтобы получить разностную аппроксимацию для второй производной в узле i, уравнение (2.25,b) умножим на (x2=x1)2, а полученное выражение добавим к уравнению (2.25,a). Получаем
2 f df
d
2
2
2
fi+1 + " fi 1 = (1 + " )fi + (1 ")x2 dx + x2 dx2 +
i
i
3 f x2 ;
1
d
"=
+ 6 (x2 x1)x22 dx3 + O(4x) ;
(2.29)
x1
i
15
а O(4x) означает самый наибольший из O(x41) или O(x42).
Конечно-разностное приближение для второй производной получается при решении уравнения
(2.29) относительно d2f=dx2ji. В конечном итоге получаем выражение
d2f = fi+1 (1 + "2)fi + "2fi 1 1 " df + O[(x x )] :
(2.30)
2
1
dx2 i
(x2)2
x2 dx i
Это выражение имеет точность первого порядка в узле i, если 1 " = O(x21) и имеет точность
второго порядка когда x2 ! x1. Другими словами, если интервал шага меняется достаточно
резко, то ошибка усечения значительно увеличивается.
16
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
В предыдущей части была описана дискретная аппроксимация дифференциальных уравнений,
используя при этом как разложение в ряд Тейлора, так и полиномиального представления функции
относительно текущей точки сетки. Таким образом задачи тепло и массопереноса, которые описываются отдельным или системой дифференциальных уравнений с соответствующими граничными
условиями, может быть сведена к системе линейных, а в некоторых случаях и нелинейных, алгебраических уравнений. Если результирующая система является линейной и алгебраических уравнений оказывается не так уж и много, то они могут быть решены, используя любую из стандартных
компьютерных подпрограмм для решения системы алгебраических уравнений. Однако, если число
уравнений, которые необходимо решить, оказывается очень много или сами уравнения оказываются
в конечном итоге нелинейными, то необходимо сначала исследовать характер полученной системы
уравнений. На надлежащий выбор компьютерной подпрограммы для решения системы алгебраических уравнений влияют следующие особенности:
(a) Является ли проблема линейной или нелинейной,
(b) Является ли матрица коэффициентов трехдиагональной, полной или редкой (т.е., большой процент нулевых коэффициентов),
(c) Является ли число действий, вовлеченных в алгоритм столь большим, чтобы вызвать чрезмерное
накопление накопительных ошибок,
(d) Является ли матрица коэффициентов "по диагонали доминирующей",
(e) Является ли матрица коэффициентов устойчивой (т.е., приводят ли малые величины ошибок в
коэффициентах усечения к большим изменениям в решении).
Цель этого раздела курса как раз состоит в том, чтобы показать на простых примерах основные
шаги в преобразовании задач переноса, описываемых дифференциальным уравнением с некоторыми
заданными граничными условиями в систему алгебраических уравнений. Затем представим краткий
обзор различных методов для решения систем алгебраических уравнений и обсудим их преимущества
и недостатки.
3.1. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ К СИСТЕМАМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Большое количество конечно-разностных схем может быть применено для дискретизации производных в дифференциальных уравнениях. Выбор численной схемы зависит от характера дифференциального уравнения, описывающего физическую задачу, и граничных и, при необходимости,
начальных условий. Наша цель в этом разделе состоит в иллюстрации основных шагов в преобразовании дифференциального уравнения и его граничных условий в систему алгебраических уравнений.
Рассмотрим следующий простой пример.
Пусть в плите толщиной L выделяется энергия выделяется с тепловым потоком g(x) Вт=м3. Тепло
рассеивается на граничных поверхностях с координатами x = 0 и x = L путем конвекции в окружающую среду с температурами T1;0 и T1;L с коэффициентами теплопередачи h0 и hL, соответственно.
Математическая формулировка этой проблемы для стационарного случая имеет вид
d2T + g(x) = 0;
0 < x < L;
dx2
k
k dT
x = 0;
(3.1)
dx + h0T (x) = h0T1;0 ;
x = L:
k dT
dx + hLT (x) = hLT1;L ;
Основные шаги в преобразовании этой задачи от конечных разностей к системе алгебраических
уравнений для температур Ti в конечном числе точек сетки, i = 1; 2; :::; М, выбранной в области
решения задачи, будут следующими:
(I) Область 0 x L разделяется на М равные подобласти, каждая толщиной x = L=M , как
показано на рис.3.1.
(II) дифференциальное уравнение (3.1,а) дискретизуется в соответствии с подходящей конечноразностной схемой во внутренних точках сетки, i = 1; 2; :::; M 1. Здесь удобно использовать классическую формулу второго порядка точности с центральными разностями, приведенную в уравнении
17
Рис. 3.1: Одномерная сетка с конечными разностями.
(2.14) для дискретизации второй производной. В результате дифференциальное уравнение (3.1,а)
сводится к конечно-разностному аналогу
Ti 1 2Ti + Ti+1 + gi = 0
2x
k
с ошибкой усечения O(2x). Этот результат можно преобразовать к виду
2
Ti 1 2Ti + Ti+1 + Gi = 0 ; i = 1; 2; :::; (M 1) ;
Gi = (xk) gi :
(3.2)
Система (3.2) образует M 1 алгебраических уравнения, но они содержат M + 1 неизвестные
температуры в точках сетки T0, T1, ..., TM . Два дополнительных соотношения, необходимые для
достижения числа уравнений, равного числу неизвестных, получаются после дискретизации наложенных граничных условий.
(III) Граничные условия, заданные уравнениями (3.1, b,c) должны быть тоже подвержены дискретизации, потому они содержат первую производную от температуры. Если использовать формулы
дискретизации вперед или назад, заданные уравнениями (2.10,a,b), то результаты будут первого
порядка точности, т.е. O(x). Желательно использовать более точную формулу второго порядка
для того, чтобы она была совместима с точностью дискретизации дифференциального уравнения
второго порядка.
Точная формула второго порядка для первой производной задана уравнением (2.10,c); но использовать эту формулу на границе сетки i = 0 и i = M требует значения в дополнительной точке слева
и справа от граничных узлов i = 0 и i = M , соответственно. Поэтому, рассматриваются фиктивные
узлы, расположенные на расстоянии x с левой и с правой стороны от границ при x = 0 и x = L
с фиктивными температурами T 1 и TM +1, соответственно, как показано на рис.3.2. Тогда применение формул с центральным разностями (2.10,c) на границе позволяют провести дискретизацию
уравнений (3.1,b) и (3.1,c), соответственно. В результате получаем
k T12T 1 + h0T0 = h0T1;0 ;
k TM +12 TM + hLTM = hLT1;L ;
(3.3)
x
x
Рис. 3.2: Фиктивные узлы с фиктивными температурами T 1 и TM +1.
Устраняя фиктивные температуры T 1 и TM +1 в уравнениях (3.3), получаем два дополнительные
разностные уравнения (3.2,a) для i = O и i = M , соответственно,
2
2
T
2T + T + (x) gM = 0 :
(3.4)
T 2T + T + (x) g0 = 0 ;
M 1
M
M +1
k
k
Устранение T0 и TM +1 в уравнениях (3.3) и (3.4) приводит к следующим двум уравнениям с
конечными разностями
2T1 20T0 + (20 + G0 ) = 0 ;
x = 0 (i = 0) ;
2TM 1 2LTM + (2L + GM ) = 0 ;
x = L (i = M ) ;
(3.5)
1
0
1
18
где
0
0 = 1 + xh
k ;
L
L = 1 + xh
k ;
2
G0 = (xk) g0 ;
0 = x(hk0T1;0) ;
L = x(hkLT1;L) ;
2
GM = (xk) gM ;
(3.6)
Уравнения (3.2) и (3.5) формируют M +1 систему алгебраических уравнений для определения M +
1 неизвестных температур в узлах Ti, (i = 0; 1; 2; :::; M ). Итоговые уравнения можно преобразовать
к виду
2T1 20T0 = (2 0 + G0) ;
i = 0;
(3.7)
Ti 1 2Ti + Ti+1 = Gi ;
i = 1; 2; :::; M 1 ;
(3.8)
2TM 1 2LTM = (2 L + GM ) ;
i=M:
(3.9)
(IV) Систему уравнений (3.7) - (3.9) можно представить в матричной форме
[A][T ] = [B ] ;
(3.10)
2 20 2 0 ::: 0 0 0 3
8
9
где
8 T0 9
>
>
(
G
+
2
)
0
0
>
>
66 1 2 1
>
>
0 0 0 77
>
>
G
<
=
=
<
T
1
1
0
1
2
1
0
0
0
6
7
:::
: (3.11)
[A] = 66 :::
77 ; [T ] = > ::: > ; [B ] = >
>
G
T
>
>
>
>
4 0
5
M
1
M
1
: T ;
1 2 1
: (GM + 2L) ;
M
0 0 ::: ::: 0 2 L
Таким образом задача одномерной стационарной теплопроводности, заданной уравнениями (3.1)
преобразована к решению системы алгебраических уравнений (3.10) для определения M + 1 температур в узлах Ti, где i = 0; 1; :::; M .
Для одномерной проблемы, рассматриваемой здесь, матрица коэффициентов [A] является трехдиагональной. В зависимости от характера проблемы, ее размерности и используемой схемы дискретизации могут появиться мультидиагональные, полные или редкие матрицы.
Пока что показаны только основные шаги в преобразовании дифференциального уравнения в
частных производных и его граничных условий в систему алгебраических уравнений. Методы решения такой системы алгебраических уравнений могут быть помещены в одну из следующих двух
категорий:
(1) Прямые методы, в которых при поиске решения используется конечное число итераций, и
(2) Итерационные методы, в которых полученное решение становятся более точными по мере увеличения итераций и при условии, что критерий сходимости, связанный с диагональным преобладанием
матрицы коэффициентов удовлетворен.
Далее представим краткий обзор прямых и итерационных методов решения систем алгебраических уравнений и обсудим некоторые особенности поиска решения нелинейных алгебраических
систем.
3.2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
Вообще, прямые методы являются более предпочтительными для линейных алгебраических систем с коэффициентами в матричной форме и для задач, имеющих относительно простую геометрию
и граничные условия. Прямые методы являются достаточно эффективными, но требуют большой
памяти хранения в компьютере и вызывают накопление ошибок усечения, если число уравнений
оказывается достаточно большим. В настоящее время в современной литературе имеется множество исследований, связанных с решением систем алгебраических уравнений, из-за важности этого
вопроса в научных и инженерных вычислениях. В этом разделе курса рассмотрим некоторые из
прямых методов, которые часто встречаются в практических приложениях.
19
3.2.1. Правило Крамера
Одним из наиболее простых методов решения систем алгебраических уравнений является метод
. Метод не является практичным при его применении к большому количеству уравнений,
потому что метод использует большое количество операций.
Например, для того, чтобы решить
систему N уравнений, необходимо выполнить порядка N 4 операций. Это значит, что при удвоении
числа уравнений компьютер тратит больше времени в 24 (или 16) раз. Даже если время вычислений
для компьютера не является проблемой, то точность вычислений будет ухудшаться из-за ошибок
усечения. Кроме того, метод связан с преобразованием матриц, требует большие объемы памяти.
Вот почему метод Крамера не нашел должного применения при решении большого числа уравнений.
Крамера
3.2.2. Метод исключения Гаусса
Это прямой метод, достаточно часто применяемый при решении систем алгебраических уравнений. В этом методе матрица коэффициентов преобразуется в верхнюю треугольную матрицу
последовательным применением некоторых алгебраических действий, при которых решение системы уравнений остается инвариантным. Используется два основных действия:
(1) Умножение или деление любого уравнения на константу,
(2) Замена любого уравнения суммой (или разницей) этого уравнения с любым другим уравнением.
Поскольку в конечном итоге система преобразуется в верхнюю диагональную матрицу коэффициентов, поиск решения осуществляется от последнего уравнения и продолжается вверх обратными
заменами. Проиллюстрируем эту процедуру следующим простым примером, содержащим только
три неизвестных T1, T2 и T3.
a11T1 + a12T2 + a13T3 = d1 ;
a21T1 + a22T2 + a23T3 = d2 ;
(3.12)
a31T1 + a32T2 + a33T3 = d3 ;
Выбираем первое уравнение как "исходное" уравнение и используем его для того, чтобы устранить T1 во втором и третьем уравнениях. Получаем
a11T1 + a12T2 + a13T3 = d1 ;
(3.13)
a?22T2 + a?23T3 = d?2 ;
?
?
?
a32T2 + a33T3 = d3 ;
Для того, чтобы устранить T2 из третьего уравнения, теперь второе уравнение используется в
качестве "исходного". Тогда система (3.13) приобретает диагональную форму
a11T1 + a12T2 + a13T3 = d1 ;
(3.14)
?
?
?
a22T2 + a23T3 = d2 ;
(3.15)
0
0
(3.16)
a33T3 = d3 ;
Неизвестные Ti определяются сразу из этой системы, начиная с последнего уравнения и применяя
далее обратную замену. В результате получаем
T3 = d03=a033 ;
(3.17)
?
?
?
T2 = (d2 a23T3)=a22 ;
(3.18)
T1 = (d1 a13T3 a12T2)=a11 :
(3.19)
Вышеупомянутая процедура может быть обобщена к системе из N уравнений.
Число операций, выполняемых при решении системы N алгебраических
уравнений с полностью
3
заполненной матрицей, в методе Гаусса пропорционально N , что намного меньше чем N 4, необходимое для решения методом Крамера.
20
3.2.3. Алгоритм Томаса
В случае трехдиагональной системы алгебраических уравнений, с которыми сталкиваются при
решении одномерных проблем теплопроводности, может быть применен метод исключения Гаусса
(Thomas,1949). Эта модифицированная процедура, вообще упоминаемая как алгоритм Томаса, является чрезвычайно эффективным методом для решения большого количества таких уравнений.
Рассмотрим систему N алгебраических уравнений, имеющих трехдиагональную матрицу коэффициентов, заданную уравнениями (3.10,3.11). Для того, чтобы решить эту систему уравнений,
матрица коэффициентов помещается в трехдиагональную форму
2 b1 c1 0 0 :::
0
0 3 2 T1 3 2 d1 3
66 a2 b2 c2 0 :::
0
0 7 6 T2 7 6 d2 7
66 0 a3 b3 c3 :::
0
0 777 666 T3 777 = 666 d3 777 :
(3.20)
:::
64 :::
75 64 ::: 75 64 ::: 75
TN 1
dN 1
0 0 0 ::: aN 1 bN 1 cN 1
TN
dN
0 0 0 ::: 0 aN bN
и применяется процесс исключения, последовательные шаги которого приведены ниже:
(I) Первое уравнение (первый ряд) выбирается за \исходное" уравнение, оно умножается на a2=b1
и вычитается из второго уравнения (второй ряд) для устранения коэффициента a2. Результирующее
второе уравнение эквивалентно
замене b2 на b2 a2 c1 ;
и замене d2 на d2 a2 d1 :
(3.21)
b1
b1
(II) Теперь преобразованное второе уравнение выбирается за \исходное" уравнение, применяется аналогичная итерация для того, чтобы устранить коэффициент a3. Результирующее третье
уравнение эквивалентно
и замене d3 на d3 ab 3 d2 :
(3.22)
замене b3 на b3 ab 3 c2 ;
2
2
(III) Процедура продолжается пока будет устранено aN из последнего уравнения. Такая процедура в общем виде для верхней диагонали матрицы (3.20) эквивалентна для текущей строчки с индексом
i (i = 2; :::; N )
и замене di на di bai di 1 :
(3.23)
замене bi на bi bai ci 1 ;
i 1
i 1
Как только достигнута диагональная форма, неизвестные Ti определяются обратной заменой,
начиная с последнего уравнения и перебирая уравнения в обратном направлении
(3.24)
TN = dbN ; и Ti = di bciTi+1 ; при i = N 1; N 2; :::; 1 :
N
i
В алгоритме Томаса число основных арифметических действий для решения трехдиагональной
системы пропорционально N , в отличие от N 3, требуемого для решения с методом исключения
Гаусса. Поэтому, в алгоритме Томаса уменьшается не только время вычислений, но и существенным
образом уменьшаются накопление ошибок усечения.
Пример 3-1. Конечно-разностная аппроксимация стационарной задачи теплопроводности в
плите с выделением энергий и установленными тепловыми потоками на обеих границах с использованием четырех узловых точек заканчивается линейной алгебраической системой уравнений, матричная форма записи которой формирует трехдиагональную систему коэффициентов
2 1 1 0 0 3 2 T0 3 2 40 3
64 1 2 1 0 75 64 T1 75 = 64 30 75 :
(3.25)
0 1 2 1
30
T2
0 0 1 2
30
T3
21
Решите эту проблему, используя алгоритм Томаса.
Решение. Прямая прогонка, определенная уравнениями (3.21) дает
b1 = 1 ;
d1 = 40 ;
a
1
2
b2 = b2 b c1 = 2 1 1 = 1 ;
d2 = d2 ab 2 d1 = 30 11 ( 40) = 70 ;
1
1
1
a
a
3
b3 = b3 b c2 = 2 1 1 = 1 ;
d3 = d3 b 3 d2 = 30 11 ( 70) = 100 ; (3.26)
2
2
a
a
1
4
b4 = b4 b c3 = 2 1 1 = 1 ;
d4 = d4 b 4 d3 = 30 11 ( 100) = 130 ;
3
3
Обратная прогонка, определенная уравнениями (3.22), позволяет определить температуры в четырех узловых точках.
8 T = 130 ;
>
3
>
>
>
T
= d3 b c3T3 = 100 11 130 = 230 ;
2
>
<
3
(3.27)
Ti : > T1 = d2 c2T2 = 70 1 230 = 300 ;
>
b2
1
>
>
d
c
T
40
1 300 = 340 :
1
1
1
>
=
: T0 = b
1
1
3.3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Когда число уравнений оказывается очень большим, а матрица коэффициентов редкая и не является диагональной (трехдиагональной, пятидиагональной), хранение значений коэффициентов алгебраической системы в компьютере является критическим, то итерационные методы является предпочтительными в сравнении с прямыми методами решения. Если итерационный процесс является
сходящимся, то решение получается в пределах указанной точности за конечное, но, к сожаленью,
за непредсказуемое число итераций. Метод является в определенном смысле сходящимся только для
систем, которые имеют выраженную диагональ.
Итерационные методы имеют довольно простые алгоритмы, легки в применении и не ограничены
для использования в вычислительных областях с простой геометрией и установленными граничными
условиями. Итерационные методы оказываются более предпочтительными, когда число операций в
вычислениях настолько большое, что прямые методы могут оказаться неадекватными из-за накопления ошибок усечения.
Метод итераций Гаусса-Зейделя (часто его называют метод итераций Либмана) является одним из наиболее эффективных процедур для решения больших, прореженных систем уравнений.
Сходимость этого метода может быть определенным образом ускорена в соответствии с процедурой, названной метод последовательной верхней релаксации. В этой части рассматриваются метод
итераций Гаусса-Зейделя и процедура метод последовательной верхней релаксации.
3.3.1. Метод итераций Гауса-Зейделя
Это очень простая, эффективная поточечная итерационная процедура для решения больших,
прореженных систем алгебраических уравнений. Итерации Гаусса-Зейделя основаны на идее последовательных приближений. Но этот метод этим и отличается от стандартных итерационных
методов. В этом методе определенные ранее значения вектора решения используются на каждом
последующем итерационном шаге.
Основными шагами итерационного метода Гауса-Зейделя являются:
(1) Записывается решение каждого уравнения для диагональной неизвестной исходной системы
уравнений.
(2) Проводится начальное приближение для всех неизвестных.
(3) Вычисления начинают с использования начального приближения неизвестных для последовательного определения первого приближения каждой диагональной неизвестной, записанных
на шаге 1. При каждом вычислении, везде, где возможно, используются только что определенные значения неизвестных. В конечном итоге считается, что первая итерация считается
законченной.
22
(4) Значения, определенные на первой итерации, в дальнейшем используются всякий раз там,
где возможно, для того, чтобы закончить второй круг итерационных вычислений.
(5) Итерационные процедуры продолжается до тех пор, пока указанные критерии сходимости
будут удовлетворены для всех неизвестных в рассматриваемой алгебраической системе уравнений.
В качестве примера, иллюстрирующего итерации метода Гаусса-Зейделя, рассмотрим следующие
три уравнения
a11T1 + a12T2 + a13T3 = d1 ;
a21T1 + a22T2 + a23T3 = d2 ;
(3.28)
a31T1 + a32T2 + a33T3 = d3 ;
где aii 6= 0 для i = 1; 2; 3.
Последовательно решаем уравнения для диагональных неизвестных
T1 = a1 (d1 a12T2 a13T3) ;
11
1
T2 = a (d3 a21T1 a23T3) ;
(3.29)
22
T3 = a1 (d3 a31T1 a32T2) ;
33
Затем выбираем начальные приближения в виде
T1(0) ; T2(0) ; T3(0) :
(3.30)
Эти предварительные значения используются вместе с полученными на текущей итерации значениями для определения значений неизвестных. Другими словами, первый круг итераций имеет
вид
T1(1) = a1 (d1 a12T2(0) a13T3(0)) ;
11
1
(1)
(3.31)
T2 = a (d3 a21T1(1) a23T3(0)) ;
22
T3(1) = a1 (d3 a31T1(1) a32T2(1)) ;
33
Эти первые приближения используются вместе с недавно вычисленными значениями для того,
чтобы закончить второй круг итераций
T1(2) = a1 (d1 a12T2(1) a13T3(1)) ;
11
1
(2)
T2 = a (d3 a21T1(2) a23T3(1)) ;
(3.32)
22
T3(2) = a1 (d3 a31T1(2) a32T2(2)) ;
33
В дальнейшем, итерационные процедуры продолжается аналогичным образом.
Таким образом выражение для \n+1"-ого шага итераций вышеупомянутой системы можно представить в виде
T1(n+1) = a1 (d1 a12T2(n) a13T3(n)) ;
11
1
(3.33)
T2(n+1) = a (d3 a21T1(n+1) a23T3(n)) ;
22
T3(n+1) = a1 (d3 a31T1(n+1) a32T2(n+1)) ;
33
23
В общем случае для системы М уравнений, \n+1"-ый шаг итераций может быть записан в следующем обобщенном виде
9
8 i1
M
=
<
X
X
1
Ti(n+1) = a :di
i = 1; :::; M :
(3.34)
aij Tj(n);
aij Tj(n+1)
ii
j =i+1
j =1
Что касается критериев сходимости итерационного процесса, то он может быть определен либо
как абсолютный критерий сходимости в виде
(n+1) (n)
T
T "абс
(3.35)
i
i
либо как относительный критерий сходимости в виде
(n+1) (n) Ti
T T (n+1) i "отн ;
i
(3.36)
который должен быть удовлетворен для всех Ti. Заметим, что значения "абс, либо "отн должны быть
определены заранее.
Критерий сходимости, заданный уравнением (3.36) является самым безопасным выбором, если
величины Ti не могут быть предсказаны заранее. Но проверка (3.36) требует большего количества итераций, следовательно и компьютерного времени, чем проверка абсолютного критерия сходимости, заданного уравнением (3.35). Если приблизительные величины Ti известны заранее, то
критерий, заданный уравнением (3.35) является предпочтительным.
Сходимость итерационного метода проявляет слабую зависимость от начального приближения
для неизвестных, но она зависит существенным образом от характера матрицы коэффициентов в
рассматриваемой системе уравнений. Для сходящейся системы, хорошее первое приближение для неизвестных значительно уменьшает число итераций для выбранного критерия сходимости. Система
уравнений, в которых диагональные элементы являются самыми большими элементами (по модулю)
в каждой строчке, является лучшей ситуацией для проведения итераций. В ситуациях, когда дело
обстоит не так, уравнения могут быть реорганизованы так, чтобы внести, по возможности, наибольший элемент в каждой строчке на диагональ. К счастью, в большинстве задач теплопроводности,
диагональные элементы разностных уравнений имеют наибольшие по модулю значения.
Детальные исследования показывают, что достаточным условием для сходимости итерационного
метода Гаусса-Зейделя является неравенство
M
X
jaij j i = 1; 2; :::; n ;
(3.37)
jaiij j =1;i6=j
Другими словами, это условие требует, чтобы для каждого уравнения величина диагонального
элемента была больше или равнялась сумме абсолютных величин других коэффициентов в каждом
уравнении. Однако, на практике, сходимость может быть достигнута, когда это условие выполняется
только для отдельных строчек.
Пример 3-2. Проведите первые три итерации метода Гаусса-Зейделя для решения следующей
системы линейных алгебраических уравнений
6T1 + T2 + 3T3 = 17 ;
T1 10T2 + 4T3 = 7 ;
(3.38)
T1 + T2 + 3T3 = 12 :
Решение. Прежде всего обращаем внимание на то, что в каждом уравнении самый больший по
модулю элемент действительно находится на диагонали. Следовательно достаточное условие сходимости (3.37) выполнено.
24
Запишем решения для каждого диагонального неизвестного
T1 = 61 (17 T2 3T3) ;
T2 = 101 (7 + T1 + 4T3) ;
T3 = 31 (12 T1 T2) ;
и выберем начальные приближения для неизвестных в виде
(3.39)
T1(0) = T2(0) = T3(0) = 1 :
(3.40)
Первый итерация определяет
T1(1) = 61 (17 T2(0) 3T3(0)) = 2:167 ;
1 (7 T (1) 3T (0)) = 1:317 ;
(3.41)
T2(1) = 10
1
3
T3(1) = 31 (12 T1(1) 3T2(1)) = 2:839 ;
Второй круг итераций дает
T1(2) = 61 (17 T2(1) 3T3(1)) = 1:194 ;
1 (7 T (2) 3T (1)) = 1:955 ;
T2(2) = 10
(3.42)
1
3
T3(2) = 31 (12 T1(2) 3T2(2)) = 2:950 ;
и третья итерация приводит к
T1(3) = 61 (17 T2(2) 3T3(2)) = 1:032 ;
1 (7 T (3) 3T (2)) = 1:999 ;
(3.43)
T2(3) = 10
1
3
T3(3) = 31 (12 T1(3) 3T2(3)) = 2:989 ;
Значения, полученные за приведенные выше три итерации являются достаточно близкими к
точному ответу T1 = 1, T2 = 2 и T3 = 3. Другими словами решение алгебраической системы
достаточно быстро сходится к точному решению.
3.3.2. Метод последовательной верхней релаксации
Опыт подсказывает, что метод Гаусса-Зейделя, описанный ранее, в общем случае не сходится
достаточно быстро. Последовательная верхняя релаксация является методом, который может ускорить сходимость. Для того, чтобы проиллюстрировать основную идею в этого метода добавим в
правую сторону уравнений (3.33) тождества 0 = T1(n) T1(n), 0 = T2(n) T2(n) и 0 = T3(n) T3(n) и затем
перегруппируем их
i
h
T1(n+1) = T1(n) + a1 d1 a11T1(n) a12T2(n) a13T3(n) ;
11
h
i
1
(3.44)
T2(n+1) = T2(n) + a d2 a21T1(n+1) a22T2(n) a23T3(n) ;
22
h
i
T3(n+1) = T3(n) + a1 d3 a31T1(n+1) a32T2(n+1) a33T3(n) :
33
Поскольку по мере проведения итераций решение системы уравнений приближается к точному
решению, то решение Ti(n+1) приближается к Ti(n). Следовательно слагаемые внутри квадратных
25
скобок станут нулевыми тождественно. Поэтому, слагаемые внутри квадратных скобок могут быть
расценены как слагаемые коррекции, действующие на Ti(n) при i = 1; 2; 3 для каждой итерации.
В методе последовательной верхней релаксации слагаемые в скобках умножены на множитель !,
называемый параметром релаксации и уравнения (3.44) можно представить в виде
i
h
T1(n+1) = T1(n) + a! d1 a11T1(n) a12T2(n) a13T3(n) ;
11 h
i
!
(
n+1)
(
n)
T2 = T2 + a d2 a21T1(n+1) a22T2(n) a23T3(n) ;
(3.45)
22 h
i
T3(n+1) = T3(n) + a! d3 a31T1(n+1) a32T2(n+1) a33T3(n) :
33
Для достижения сходимости значения релаксационного параметра должны лежать в диапазоне
0 < ! < 2. Диапазон 0 < ! < 1 соответствует нижней релаксации, а 1 < ! < 2 соответствует
верхней релаксации, При ! = 1 релаксационный метод превращается в итерационный метод ГаусаЗейделя.
Вышеупомянутые итерации метода последовательной верхней релаксации могут быть обобщены
для случая М уравнений в виде
9
8 i1
M
=
< X (n+1) X
!
(
n
)
(
n
+1)
(
n
)
i = 1; :::; M :
(3.46)
aij Tj ;
aij Tj
Ti = Ti + a :di
ii
j =i
j =1
которые могут быть перегруппированы в виде
9
8 i1
M
=
<
X
X
!
Ti(n+1) = a :di
aij Tj(n); + (1 !)Ti(n) ;
aij Tj(n+1)
ii
j =i+1
j =1
i = 1; :::; M :
(3.47)
Обратите внимание на то, что структура слагаемых внутри фигурной скобки в уравнении (3.47)
является аналогичной структуре слагаемых в фигурных скобках в итерациях Гаусса-Зейделя (3.34).
Выбор параметра релаксации определяет скорость сходимости, но определение оптимального
значений ! является трудным вопросом. Иногда необходимо провести даже определенный численный
эксперимент для выбора надлежащего значения параметра релаксации в рассматриваемой задаче.
С надлежащим выбором !, можно уменьшить время вычислений на порядок. Поэтому, когда число
уравнений большое и имеет место необходимость сокращения числа вычислений, бывает полезно
проведение некоторых пробных вычислений с различными значениями !.
Физическое значение параметра релаксации ! следующее. Для ! = 1, вычисленные значения
методом Гаусса-Зейделя заносятся в качестве текущих значений. Для дорелаксационного режима,
когда 0 < ! < 1, среднее весовое значение метода Гайсса-Зейделя и значения от предыдущей итерации заносятся как текущее значение. Для сверхрелаксации, когда 1 < ! < 2 запомненные значения
фактически экстраполируются вне значений метода Гаусса-Зейделя. Для ! > 2, вычисления претерпевают возбуждение.
3.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Во многих, практически важных случаях, краевые задачи становятся нелинейными из-за нелинейности рассматриваемых дифференциальных уравнений, или граничных условий, или по обеим
причинам. Фактически большинство физических проблем являются нелинейными. В большинстве
случаев при проведении конечно-разностных аппроксимаций к дискретизации нелинейной проблемы
трудности не встречаются. Определенные сложности появляются при решении полученной системы
алгебраических уравнений. Поскольку система линейных алгебраических уравнений может быть
решена с известными алгоритмами, то имеет смысл проведения линеаризации нелинейных систем
уравнений. Однако, опыт подсказывает, что во многих случаях такая линеаризация приводит к существенному увеличению продолжительности вычислений. По этой причине методы линеаризации
применяются редко и только для специального класса задач.
Наибольшее распространение для решения нелинейных систем алгебраических уравнений получил метод Ньютона-Рафсона. Далее обсудим главные особенности проведения итераций в методе
Ньютона-Рафсона.
26
3.4.1. Метод итераций Ньютона-Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона { итерационный алгоритм для определения корней системы нелинейных
алгебраических уравнений. Рассмотрим, например, следующую систему N алгебраических уравнений
F1(x1; x2; ::::; xN ) = 0 ;
F2(x1; x2; ::::; xN ) = 0 ;
:::
(3.48)
Fn(x1; x2; ::::; xN ) = 0 :
Необходимо найти x1, x2, ... xN такими, чтобы эта система нелинейных уравнений была удовлетворена.
Для формирования итерационной схемы, уравнения удобно представить в векторной форме
F (x) = 0
(3.49)
Далее рассматривается их разложения в ряд Тейлора в виде
!
@
F
k
+1
k
F (x ) = F (x ) + @ x (xk+1 xk ) + :::
(3.50)
Необходимо, чтобы F (xk ) = 0. Ряд Тейлора усекается и накладывается условие
!
@
F
k
(3.51)
F (x ) + @ x (xk+1 xk ) = 0 ;
которое решается относительно вектора xk+1
!1
@
F
(3.52)
xk+1 = xk @ x F (xk ) ;
где (@ F =@ x) { якобиан матрицы J , определенный как
2 @F1
@F1 3
:::
k) 6
66 @x1 ::: @xn 777
@
F
(
x
J = @x = 6
(3.53)
7:
4 @Fn
@F
n 5
@x ::: @x
1
n
Уравнения (3.52) определяют итерационный метод Ньютона-Рафсона. Здесь индекс k обозначает
значения, полученные на k-ой итерации, а k + 1 указывает на значения на k + 1-ой итерации.
Специальный Случай n=2. Для иллюстрации рассмотрим метод Ньютона-Рафсона для случая двух уравнений, заданными в виде
F1(x; y) = 0 ;
F2(x; y) = 0 :
(3.54)
Метод Ньютона-Рафсона, заданный уравнениями (3.52) сводится к
xk+1 xk F (xk ; yk ) 1
1
(3.55)
[J ]
yk+1 = yk
F2(xk ; yk ) ;
где J { матрица Якобиана, определенная как
2 @F @F 3
66 @x1 @y1 77
(3.56)
J = 64 @F2 @F2 75 :
@x @y
27
Если точная инверсия матрицы Якобиана J может быть получена численно или в аналитической
форме, то уравнения (3.55) можно переписать в виде
0 2
1
@F1 3 xk+1 xk B 1 6 @F2
k
k
@y 775 F1(xk ; yk) C
B@ 64 @y
C
=
(3.57)
k
+1
k
y
y
F2 ( x ; y ) A ;
D @F2 @F1
@x @x
где детерминант
@F1 @F1 @x @y :
D = @F
(3.58)
2 @F2 @x @y
Специальный случай n=1. В этом специальном случае имеем только одно уравнение
F (x) = 0
(3.59)
и метод Ньютона-Рафсона сводится к
k
(3.60)
xk+1 = xk FF0((xxk)) ;
где штрих обозначает дифференцирование по x.
Если сделано хорошее начальное приближение, то итерационный процесс Ньютона-Рфасона сходится чрезвычайно быстро. Итерации заканчиваются, когда вычисленные изменения в значениях
jxk+1 xk j стали меньше чем некоторое указанное значение "абс.
Задание хорошего начального приближения является существенным для успешной сходимости
этого метода. Для единственного уравнения, хорошая априорная информация относительно положения корней часто оказывается доступной. Однако, в случае систем уравнений весьма трудно найти
хорошие начальные значения в окрестностях решения, следовательно сходимость решения может составить серьезную проблему. Проблема обнаружения хорошего начального приближения для метода
Ньютона-Рафсона является предметом многочисленных исследований.
Пример 3-3.
Заданы два нелинейных алгебраических уравнения
F1(x; y) = x2 2y + 2 = 0 ;
F2(x; y) = 2x2 y 5 = 0 :
(3.61)
Запишите алгоритм Ньютона-Рафсона для решения этих двух уравнений и выполните первую
итерацию.
Решение. Это система с двумя уравнениями. Применим явную форму алгоритма, заданную
уравнениями (3.57). Детерминант D равен
2xk 2 D = 4xk 1 = 6xk ;
(3.62)
где индекс k обозначает k-ую итерацию. Запишем
2 @F2
@F1 66 @y
1
+2
@y
(3.63)
4 @F2 @F1 = 4xk 2xk :
@x @x Подстановка этих результатов в уравнение (3.57) дает следующий алгоритм для проведения итераций
xk+1 xk 1 1 2 (xk )2 2yk + 2 :
(3.64)
yk+1 = yk
2(kk ) yk 5
6kk 4xk 2xk
28
Для того, чтобы выполнить итерации, необходимо задать начальные приближения. Пусть x0 =
= 1:0. Тогда приведенные выше уравнения дают следующие значения после первой итерации
(x1; y1)
x1 1 1 1 2 1 2:5 (3.65)
4 = 3:0 :
y1 = 1
6 4 2
Эти значения используются в вышеупомянутом выражении на последующих итерациях и определяют x(2), y(2). Процедура продолжается, пока желательная сходимость не будет достигнута.
y0
29
4. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
В этой части курса исследуем конечно-разностное представление и решение задачи одномерной
стационарной теплопроводности с плоской геометрией с цилиндрической и сферической симметриями. Будут обсуждены вопросы численной устойчивости полученных конечно-разностных уравнений.
4.1. ДИФФУЗИОННЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим одномерную стационарную тепловую диффузию в среде с постоянными свойствами,
с плоской геометрией, с цилиндрической и сферической симметриями. Основное уравнение, описывающее распространения тепла в различных системах координат, записывается в виде
!
1 d rp dT + g(r) = 0 ;
r 6= 0 ;
(4.1)
rp dr dr
k
или
d2T + p dT + g(r) = 0 ;
r 6= 0 ;
dr2 r dr8 k
где
< 0 { прямоугольная
p = : 1 { цилиндрическая
2 { сферическая
В приведенных выражениях p представляет число, которое в различных координатных системах
принимает различные значения и соответствующим образом преобразует исходное уравнение (4.1)
в различных координатных системах: p = 0 для одномерной задачи в прямоугольной системе координат (при этом r x), p = 1 для цилиндрической системы координат при наличии осевой симметрией
в распределении полей, и p = 2 для сферической системы координат так же при наличии осевой
симметрии в распределении полей.
В случае тепловой диффузии, T представляет собой поле температур (град), слагаемое g(r) имеет
смысл объемной плотности выделения энергии (Вт=м3), а k { коэфиициент теплопроводности среды.
В случае массовой диффузии, T представляет собой объемную массовую концентрацию (г=см3), g(r)
соответствует объемной генерации массы (кг=(м3 с)), а k заменяется коэффициентом диффузии D
(см2=с).
4.1.1. Пластина
В этом случае уравнение (4.1) упрощается до
d2T + g(x) = 0 ;
0xb
(4.2)
dx2 k
Для проведения дискретизации этого уравнения введем систему M эквидистантных узловых точек с расстоянием между соседними узлами
(4.3)
= Mb
и обозначение, связанное с определением значения поля температур в узловых точках
T (x) = T (i) Ti ;
i = 0; 1; :::; M :
(4.4)
Использование конечно-разностной формулы второго порядка для второй производной приводит
к следующему дискретному аналогу уравнения одномерной стационарной теплопроводности
Ti 1 2Ti + Ti+1 + gi = 0 :
(4.5)
2
k
Последнему уравнению можно придать более компактный вид, который будем использовать в дальнейшем
2
Ti 1 2Ti + Ti+1 = gik :
(4.6)
30
Заметим, что полученное выражение может быть применено только для внутренних узлов рассматриваемой области, i = 1; 2; :::; M 1. Следовательно, уравнение (4.6) позволяет сформировать
всего M 2 независимых алгебраических уравнений для M неизвестных (T0, T1, ..., TM 1, TM ). Другими словами, для решения задачи необходимо сформировать еще два дополнительных уравнения,
которые непосредственно следуют из выражений для граничных условий.
Рассмотрим отдельно каждое из граничных условий, применяя его сначала к левой (x = 0), а
потом к правой (x = b) границам рассматриваемого поля температур.
1. Граничное условие первого рода.
В этом случае определена температура на границе области. Математическая формулировка
граничного условия первого рода имеет вид
T (0) = Ta ;
(4.7)
где Ta { заданная величина, температура левой границы области.
Тогда можно утверждать, что
T0 = Ta :
(4.8)
Если в рассматриваемой тепловой системе на левой границе задано граничное первого рода, уравнение (4.8) можно использовать как дополнительное уравнение, связывающее значения температур
в узловых точках.
В случае правой границы имеем следующую математическую формулировку граничного условия
T (b) = Tb ;
(4.9)
где Tb { заданная величина, температура правой границы области.
По аналогии, и этом случае можно записать, что
TM = Tb ;
(4.10)
которое можно использовать как дополнительное уравнение к алгебраической системе уравнений
(4.6).
2. Граничное условие третьего рода.
В этом случае определен конвекционный тепловой поток на границах области. Математическая
формулировка граничного условия третьего рода на левой границе имеет вид
@T
k @x + haT (0) = haT1;a ;
(4.11)
x=0
где ha { коэффициент теплопередачи на левой границе рассматриваемой области Вт=(м2 град), k {
коэффициент теплопроводности среды Вт=(м град), T1;a { температура внешней среды, отводящей
тепло на левой границе.
Для того, чтобы дискретизировать уравнение (4.11) относительно граничного узла с индексом 0
центральной разностной формулой второго порядка, введем дополнительный узел, расположенный
левее узла с индексом 0. Это можно реализовать, если рассматривать продление области на расстояние налево от узла с индексом 0, формируя фиктивный узел с индексом 1 и с фиктивной
температурой T 1 так, как показано рис.4.1. Тогда дискретизация уравнения (4.11) относительно
узла с индексом 0 центральной разностной формулой дает
(4.12)
k T1 2T 1 + haT0 = haT1;a :
Дополнительное соотношение, необходимые для вычисления T 1, определяется из уравнения (4.6)
для i = 0. Получаем
2
T 1 2T0 + T1 = g0k :
(4.13)
31
Рис. 4.1: Формирование фиктивных узлов 1 и M + 1 с фиктивными температурами T 1 и TM +1.
Исключение T 1 в уравнениях (4.12) и (4.13) дает
0T0 + 2T1 = 0 G0 ;
где
2ha T ;
a
;
=
0 = 2 + 2h
0
k
k 1;a
которое является точным вплоть до O(2).
2
(4.14)
G0 = kg0 ;
Математическая формулировка граничного условия третьего рода на правой границе имеет вид
@T
(4.15)
k @x + hbT (b) = hbT1;b ;
x=b
где hb { коэффициент теплопередачи на правой границе рассматриваемой области Вт=(м2 град), k {
коэффициент теплопроводности среды Вт=(м град), T1;b { температура внешней среды, отводящей
тепло на границе.
Для того, чтобы дискретизировать уравнение (4.15) относительно правого граничного узла M
центральной разностной формулой второго порядка, введем по аналогии с предыдущим случаем
дополнительный узел, расположенный правее граничного узла M , рис.4.1. Этот фиктивный узел с
индексом M + 1 имеет фиктивную температуру TM +1. В этом случае дискретный аналог условия
(4.15) относительно узла M центральной разностной формулой дает
k TM +1 2 TM 1 + hbTM = hbT1;b :
(4.16)
Дополнит??льное соотношение, необходимые для вычисления TM +1, определяется из уравнения
(4.6) для i = M . В результате получаем
2
TM 1 2TM + TM +1 = gMk :
(4.17)
Исключение TM +1 в уравнениях (4.16) и (4.17) позволяет записать дополнительное уравнение,
связывающее температуру в граничном узле с полем температур в исследуемой области
2TM 1 M TM = M GM ;
(4.18)
где
2hb T ;
2 gM ;
b
;
G
M = 2 + 2h
M=
1;b
M=
k
k
k
которое имеет ошибку усечения порядка O(2).
3. Граничное условие второго рода.
В этом случае зафиксирован тепловой поток на границах области. Математическая формулировка граничного условия на левой границе имеет вид
@T
k @x = Qa ;
(4.19)
x=0
32
где Qa { величина теплового потока на левой границе рассматриваемой области Вт=м2, k { коэффициент теплопроводности среды Вт=(м град). Здесь, положительные значения Qa или Qb подразумевают,
что тепловой поток направлен в среду, внутрь вычислительной области.
Граничное условие (4.19) следует непосредственно из условия (4.11) при замене haT (0) = 0 и
haT1;a = Qa. Тогда дополнительное выражение (4.14), связывающее значения температур на границе
i = 0 и на близлежащем к границе узле i = 1, принимает вид
2T0 + 2T1 = 0 G0 ;
(4.20)
2
где
0 = 2k Qa ; G0 = kg0 ;
которое имеет порядок точности O(2).
Аналогично можно получить выражение для граничного условия второго рода на правой границе
рассматриваемой области. Математическая формулировка граничного условия имеет вид
@T
k @x = Qb ;
(4.21)
x=b
где Qb { величина теплового потока на правой границе рассматриваемой области Вт=м2, k { коэффициент теплопроводности среды Вт=(м град).
Полагая в (4.15) haT (0) = 0 и haT1;a = Qa, окончательно получаем
2TM 1 2TM = M GM ;
(4.22)
2
где
M = 2k Qb ; GM = kgM ;
которое имеет ошибку усечения порядка O(2).
4.1.2. Сплошной цилиндр или сфера
Для сплошного цилиндра и сферы уравнение (4.1) имеет очевидную особенность при приближении к r = 0. Однако, анализ уравнения (4.1,b) показывает, что как r, так и dT=dr стремятся к нулю
при r = 0, следовательно, имеет место особенность вида \0=0" в начале координат. Применение
правила Лопиталя показывает, что это отношение имеет следующий детерминированный вид
! dT
d
!
2 T d
dr
dr
1 dT
(4.23)
r dr r=0 = d (r) = dr2 r=0 :
r=0
dr
Тогда уравнение (4.1,b) при r = 0 преобразуется к виду
2 T (r ) g (r )
(1 + p) d dr
r = 0:
(4.24)
2 + k = 0;
Для проведения дискретизации уравнения (4.1) введем систему M эквидистантных узловых точек
с расстоянием между соседними узлами (рис.4.2)
(4.25)
= Mb ;
где b { радиус цилиндра или сферы.
В дальнейшем полезно ввести обозначение
T (x) = T (i) Ti ;
i = 0; 1; :::; M :
(4.26)
33
Рис. 4.2: Особенности конечно-разностного представления для цилиндрической и сферической симметрий.
Рис. 4.3: Фиктивных узел M + 1 с фиктивной температурой TM +1.
Тогда, используя конечно-разностную формулу второго порядка для первой и второй производных, проведем процедуру дискретизации уравнения (4.1,b). Полученное конечно-разностное приближение становится
Ti 1 2Ti + Ti+1 + p Ti+1 Ti 1 + gi = 0 ;
i = 1; 2; :::; M 1 : (4.27)
2
i
2
k
Уравнение (4.27) можно теперь перегруппировать и записать в более удобном виде
p
p
2
(4.28)
1 2i Ti 1 2Ti + 1 + 2i Ti+1 = kgi ;
1 { цилиндр
p = 2 { сфера
i = 1; 2; :::; M 1 :
Эта система формирует M 1 алгебраических уравнений для M + 1 неизвестных температур в
узлах T0, T1, ... , TM 1, TM .
Дополнительные отношения получаются после дискретизации уравнения (4.24) при r = 0 и граничного условия на внешней границе при r = b. Для того, чтобы использовать центральные разности
второго порядка при r = 0, необходим узел слева от начала координат r = 0. Это достигается, рассматривая фиктивный узел \-1" с фиктивной температурой T 1, расположенный на расстоянии влево от точки i = 0. В результате получается следующее результирующее конечно-разностное
приближение уравнения (4.24) при r = 0 (i = 0)
(1 + p) T 1 2T2 0 + T1 + gk0 = 0 ;
(4.29)
где фиктивная температура T 1 может быть определена при использовании условия симметрии в
узле i = 0
dT = T 1 T1 = 0 ; ) T = T :
(4.30)
1
1
dr r=0
2
Подстановка результата (4.30) в уравнение (4.29) дает первое дополнительное конечно-разностное уравнение
(4.31)
2(1 + p) T1 2 T0 + gk0 = 0 :
Последнее уравнение можно переписать в более привычном виде
2
цилиндр
2(1 + p)(T1 T0) = kg0 ;
p = 21 {{ сфера
(4.32)
Необходимо еще одно уравнение, чтобы число уравнений совпало с числом неизвестных. Это
достигается при рассмотрении граничного условия на внешней границе, в узле i = M (при r = b).
34
1. Граничное условие первого рода.
В этом случае определена температура Tb на границе r = b. Следовательно
TM = Tb
(4.33)
и система уравнений (4.28), (4.32) и (4.33) обеспечит M + 1 уравнение для определения M + 1 неизвестных температур в узловых точках рассматриваемой области.
2. Граничное условие третьего рода.
Граничное условие третьего рода представляет собой конвекцию в окружающую среду с температурой T1;b и коэффициентом теплопередачи hb. Граничное условие задается в виде
k dT
(4.34)
dr + hbT (b) = hbT1;b ;
Для того, чтобы дискретизировать это уравнение относительно граничного узла М центральной
разностной формулой второго порядка, введем дополнительный узел правее узла М. Это получится,
если рассматривать продление области на расстояние направо от узла М, формируя фиктивный
узел с индексом M +1 и с фиктивной температурой TM +1, как показано рис.4.3. Тогда дискретизация
уравнения (4.34) относительно узла М с центральной разностной формулой дает
k TM +1 2 TM 1 + hbTM = hbT1;b :
(4.35)
Дополнительное соотношение, необходимые для вычисления TM +1 определяется из уравнения
(4.28) для i = M . Получаем
2
p
p
1 2M TM 1 2TM + 1 + 2M TM +1 + kgM = 0 :
(4.36)
Исключение TM +1 в уравнениях (4.35) и (4.36) дает
2TM 1 M TM = M GM ;
(4.37)
2hb
2hb
2
где
p
p
M = 2 + 1 + 2M k ; M = 1 + 2M k T1;b ; GM = kgM ;
которое является точным вплоть до O(2).
Уравнения (4.28), (4.32) и (4.37) обеспечивают M + 1 выражений для определения M + 1 неизвестных температур в узлах для условия конвекции на внешней границе.
3. Граничное условие второго рода.
Граничное условие второго рода представляет предписанное значение потока тепла через внешнюю границу, r = b. Для этого случая, установившееся решение не существует, если энергия,
произведенная в среде не будет равняется потоку удаления тепла от его внешней границы. Даже
для такого предельного случая (баланс энергии соблюдается), стационарное решение для сплошного цилиндра или сплошной сферы не являются единственным. Такую ситуацию в настоящем курсе
рассматривать не будем.
Пример 4-1. Стальной брус 10 см в диаметре с тепловой проводимостью k = 40 Вт=(м град)
нагревается
электрическим током, который выделяет энергию в пределах бруса с мощностью g =
4:0 106 Вт=м3. Тепло рассеивается от поверхности бруса конвекцией с коэффициентом передачи
h = 400 Вт=(м C 0) в окружающую среду температурой T1 = 20 C 0. Поделив радиус на 5 равных
частей, определите конечно-разностные уравнения для этой стационарной задачи теплопроводности.
Сравните решение, полученное численно методом конечных разностей, с точным аналитическим
решением для случаев, когда используется формулы первого и второго порядка точности как при
35
дифференцировании основного уравнения теплопроводности, так и для условия конвекции на внешней
границе.
Решение. Задача включает 6 неизвестных температур в узлах, Ti , i = 0; 1; :::; 5, в области
0 r b, разделенной на пять равных частей. Необходимо сформировать шесть уравнений с
конечным разностями для определения неизвестных температур.
Для центрального узла уравнение (4.32) при p = 1 дает
2
4(T1 T0) + g0k = 0 ; i = 0 ;
(4.38)
Для внутренних узлов, уравнение (4.28) при p = 1 дает
1
1
2
1 2i Ti 1 2Ti + 1 + 2i Ti+1 + kgi = 0 ;
i = 1; 2; 3; 4 :
(4.39)
Для граничного узла с конвекцией i = 5 конечно-разностное уравнение второго порядка точности
получается из уравнений (4.37), приравнивая M = 5
2T4 5T5 + 2 5 + G5 = 0 ; i = 5 ;
(4.40)
1
1 2h
2
где
(4.41)
5 = 2 + 1 + 10 k ; 5 = 1 + 10 k hT1;b ; G5 = kg5 :
Таким образом, уравнения (4.38 - 4.41) формируют 6 алгебраических уравнений для определения
6 неизвестных температур в узлах Ti, i = 0; 1; :::; 5.
Если использовать конечно-разностную аппроксимацию первого порядка, то условия конвекции
на границе описывается следующим конечно-разностным уравнением
!
1
h
T5 =
T4 + k T1 ; i = 5 ;
(4.42)
1 + h
k
которое является менее точным, чем дифференцирование разностями второго порядка, записанное
в (4.40).
В дальнейшем применяем следующие числовые значения:
b = 0:05 м ;
M = 5 ; g5 = 4:0 106 Вт=м3 ;
h = 400 Вт=(м C 0) ; k = 40 Вт=(м C 0) ; T1 = 20 C 0 :
(4.43)
Тогда, другие величины принимают следующие значения
2h = (0:01)2 4:0 106 = 10 ;
= Mb = 0:01 м ;
k
40
h = 0:01 400 = 0:1 ;
h T = 0:1 20 = 2 :
(4.44)
k
40
k 1
а конечно-разностные уравнения (4.38) и (4.39), соответственно, примут вид
4(1 T1 T0) + 10 =0 ; 1 1 2i Ti 1 2Ti + 1 + 2i Ti+1 + 10 = 0 ;
i = 1; 2; 3; 4:
(4.45)
(4.46)
Для граничного условия при i = M = 5, можно использовать либо формулу первого порядка
точности (4.42)
(4.47)
T5 = 11:1 (T4 + 2) ; i = 5 ;
36
или формулу второго порядком точности (4.40)
T4 1:11 T5 + 7:2 = 0 ; i = 5 :
(4.48)
Подитоживая, видно, что уравнения (4.45), (4.46), (4.47) или уравнения (4.45), (4.46), (4.48) обеспечивают шесть алгебраических уравнений для определения шести неизвестных температур узлов.
Точное решение этой проблемы имеет вид
2 " r 2#
gb
gb
T (r ) = T 1 + 2h + 4k 1 b ;
(4.49)
где gb 4:0 106 5:0 10 2
gb2 = 4:0 106 25 10 4 = 62:5 : (4.50)
0
=
250
;
T
=
20
C
;
1
2h
2 400
4k
4 40
Тогда точное решение имеет вид
" 2 #
(4.51)
T (r) = 20 + 250 + 62:5 1 rb :
В таблице 4-1 приведено сравнение конечно-разностных решений с точными результатами для
случаев, когда использовались формулы с первым и вторым порядками точности для конвекционного граничного условия. Использовался метод исключения Гаусса для решения полученной системы
алгебраических уравнений. Численные результаты, полученные с помощью формулы второго порядка точности находятся в хорошем соответствии с точным решением. Решение с использованием
формулы первого порядка не настолько хорошо. Ошибка в предсказании температуры составляет
величину порядка от 7 до 9 процентов. Увеличение числа узлов от M = 5 до M = 10 улучшает
точность результатов с формулами первого порядка приблизительно на 4 процента.
Таблица 4-1. Сравнение результатов с точным решением для примера 4-1.
M =5
M = 10
r=b точные 1-й порядок 2-й порядок 1-й порядок
точности точности точности
0.0 332.50
307.50
332.50
320.00
0.2 330.00
305.00
330.00
317.50
0.4 322.50
297.50
322.50
310.00
0.6 310.00
285.00
310.00
297.00
0.8 292.50
267.50
292.50
280.00
1.0 270.00
245.00
270.00
257.50
Пример 4-2.
Повторите пример 4-1 для случая сплошной сферы.
Решение. Физическая проблема аналогичной задаче, которая рассматривалась в примере 4-1,
но для сплошной сферы диаметром D = 10 см вместо сплошного цилиндра.
В этом случае конечно-разностные уравнения аналогичны уравнениям, приведенным в Примере
4-1, но здесь p = 2. Окончательные уравнения имеют вид
T1 T0) + 10 = 0 ; i = 0 ;
(4.52)
6(
1 1i Ti 1 2Ti + 1 + 1i Ti+1 + 10 = 0 ;
i = 1; 2; 3; 4:
(4.53)
Для граничного узла i = 5 используем как формулы первого порядка
T5 = (T4 + 2)=1:1 ;
i = M = 5;
так и формулы второго порядка точности
T4 1:12T5 + 7:4 = 0 ;
i = M = 5;
37
(4.54)
(4.55)
этой задачи теплопроводности задается в виде
2 " r 2#
gb
gb
(4.56)
T (r ) = T 1 + 3h + 6k 1 b ;
где gb 4:0 106 5:0 10 2 500
gb2 = 4:0 106 25 10 4 = 125 : (4.57)
0
=
;
T
=
20
C
;
1
3h
3 400
3
6k
4 40
3
Точное решение принимает вид
" 2#
125
500
(4.58)
T (r) = 20 + 3 + 3 1 rb :
В таблице 4-2 приведено сравнение конечно-разностных решений с точными результатами для
случаев, когда использовались формулы с первым и вторым порядком точности. Использовался метод исключения Гаусса для решения полученной системы алгебраических уравнений. Численные
результаты, полученные с помощью формулы второго порядка точности находятся в хорошем соответствии с точным решением. Однако решение с использованием формулы первого порядка не
настолько хорошо. Ошибка в предсказании температуры составляет величину порядка от 7 до 9
процентов. Увеличение числа узлов от M = 5 до M = 10 улучшает точность результатов с формулами первого порядка приблизительно на 5 процентов.
Таблица 4-2. Сравнение результатов с точным решением для примера 4-2.
M =5
M = 10
r=b точные 1-й порядок 2-й порядок 1-й порядок
точности точности точности
0.0 228.333 211.667
228.333
220.000
0.2 226.667 210.000
226.667
218.333
0.4 221.667 205.000
221.667
213.333
0.6 213.333 196.667
213.333
205.000
0.8 201.667 185.000
201.667
193.333
1.0 186.667 170.000
186.667
178.333
Точное решение
4.1.3. Полый цилиндр или сфера
Рассмотрим теперь задачу теплопроводности в полом цилиндре и сфере с внутренним радиусом
r = a и внешним радиусом r = b. Для того, чтобы решить эту задачу с помощью конечных разностей, сформируем сеть по области, как показано на рис.4.4. Основные уравнения теплопроводности
задаются в виде
d2T + p dT + g(r) = 0 ; a < r < b :
(4.59)
dr2 r dr
k
Рис. 4.4: Особенности конечно-разностного представления для полой сферы или цилиндра.
Для конечно-разностного представления этого уравнения, область a r b разделяется на М
подобластей, каждая толщиной = bMa :
38
(4.60)
Далее, как обычно, дискретизируется дифференциальное уравнение, используя центральные конечно-разностные формулы второго порядка для первой и второй производных
Ti 1 2Ti + Ti+1 + p Ti+1 Ti 1 + gi = 0 ;
(4.61)
2
a + i 2
k
которые можно перегруппировать в виде
#
"
#
"
2
p
p
1 2(a= + i) Ti 1 2Ti + 1 + 2(a= + i) Ti+1 + kgi = 0 ;
1 цилиндр ;
i = 1; 2; :::; M 1 :
(4.62)
p = 2 сфера ;
Уравнения (4.62) обеспечивают M 1 алгебраических уравнений, но используют M + 1 неизвестных температур в узлах Ti, i = 0; 1; 2; :::; М. Два дополнительных соотношения получаются из
граничных условий при r = a и r = b. Рассмотрим следующие возможные граничные условия:
1. Граничное условие первого рода.
Температуры Ta и Tb определены на границах r = a и r = b. Тогда система уравнений (4.62)
обеспечивает M 1 соотношения для определения M 1 температур во внутренних узлах, поскольку
T0 = Ta ;
и
TM = Tb
(4.63)
являются известными.
2. Граничное условие третьего рода.
Граничными условиями в этом случае при r = a и r = b являются условие тепловой конвекции
в свободное пространство при температурах T1;a и T1;b с коэффициентами теплопередачи hа и hb,
соответственно
dT
dT
k dr + haT (a) = haT1;a ;
k dr + hb T (b) = hbT1;b :
(4.64)
r =a
r =b
Два дополнительных отношения получаются при дискретизации этих двух граничных условий.
Здесь целесообразно использовать центральную формулу второго порядка для дискретизации первой производной. Чтобы применять центральную разностную формулу по принятой области, введем
одним узел на расстоянии влево от граничного узла \0", а для получения фиктивного узла \M+1" с
фиктивной температуре TM +1 введем дополнительный узел, расположенный на расстоянии вправо
от граничного узла \М" с фиктивной температурой TM +1. Затем уравнения для граничных условий
(4.64) дискретизируем относительно узлов \0" и \М", соответственно, используя центральную разностную формулу. Полученные выражения будут содержать неизвестные фиктивные температуры
T 1 и TM +1. Эти неизвестные температуры устраняются, используя выражения (4.63), которые оцениваются для i = 0 и i = M . В конечном итоге, граничные приближения второго порядка точности
(4.64) приобретают вид, соответственно
0T0 + 2T1 = 0 G0 ;
2TM 1 + M TM = M GM ;
(4.65)
!
!
где
2
h
p
p
a
b
M = 2 1 + 2[a= + M ] 2h
;
0 = 2 1 2a= k ;
k
!
!
p
2
h
p
a
b
0 = 1 2a= k T1;a ;
M = 2 + 2[a= + M ] 2h
k T1;b ;
2
2
GM = kgM :
(4.66)
G0 = kg0 ;
Таким образом, уравнения (4.63) и (4.65) формируют M + 1 алгебраических уравнения для определения M + 1 неизвестных температур в узлах Ti, i = 0; 1; 2; :::; M .
39
3. Граничное условие второго рода.
В этом случае на границы наложен установленный тепловой поток
dT
dT
k dr = Qa ;
k dr = Qb :
(4.67)
r =a
r =b
Здесь, положительные значения Qa или Qb подразумевают, что тепловой поток направлен в среду,
внутрь вычислительной области.
Для того, чтобы получить конечно-разностную форму граничных условий для теплового потока
(4.67), сравним выражения с конвективными граничными условиями, заданными уравнениями (4.64).
Почленное сравнению дает
ha = 0 ; haT1;a = Qa =
hb = 0 ; hbT1;b = Qb = :
(4.68)
Следовательно, конечно-разностная аппроксимация вторым порядком точности для описания
тепловых граничных условий (4.67) получается из уравнений (4.65) после замен, указанных в (4.68).
В результате получаем
!
2
p
2T0 + 2T1 = 1 2a= 2k Qa kg0 ;
(4.69)
!
2
p
2TM 1 2TM = 1 + 2[a= + M ] 2k Qb kgM :
(4.70)
Случай, учитывающий тепловой поток с обеих границ не имеет стационарного решения, если
величина потока внутрь тела не равняется потоку удаления из границ. Даже для такого предельного
случая решение не является единственным. По этой причине, в тепловых одномерных стационарных
задачах в полом цилиндре или сфере рассматривают граничное условие второго рода только одной
из границ, на другой границе должны быть заданы другие граничные условия.
Пример 4-3. Рассмотрите стационарную радиальную задачу теплопроводности в полой сфере
с внутренним радиусом a = 2 см6 и внешним
радиусом b = 7 см. Тепловая энергия генерируется с
3
удельной мощностью g = 5:0 10 Вт=м o, в то время как внутренняя поверхность поддерживается
при постоянной температуре Ta = 100 C , а внешняя поверхность рассеивает тепло конвекцией с
постоянным коэффициентом теплопередачи hb = 500 Вт=(м2 град) в окружающую среду с нулевой
температурой, T1;b = 0o C . Тепловая проводимость твердого тела k = 50 Вт=(м град). Разделяя
область \b a" на 5 равных частей, получите конечно-разностное приближение для этой задачи
теплопроводности. Сравните полученное конечно-разностное решение с точным решением задачи.
Решение. Задача включает 5 неизвестных температур в узлах Ti, i = 1; 2; :::; 5, поскольку
температура на внутренней граничной поверхности поддерживается неизменной
T0 = Ta = 100 C 0
(4.71)
и является известной.
Область делится на 5 равных частей. В этом случае = 1 см. Конечно-разностные уравнения
для внутренних узлов получаются из уравнения (4.62), принимая p = 2
"
#
"
#
1
1
2gi = 0 :
1
T
2
T
+
1
+
T
+
(4.72)
i
2(a= + i) i 1
2(a= + i) i+1 k
Конечно-разностное уравнение для узла i = М = 5 на внешней границе получается из уравнений
(4.65,b), приравнивая M = 5 и p = 2
2T4 + 5T5 = 5 G5 ;
(4.73)
40
где
!
!
1
2
h
1
b
5 = 2 1 + 2[a= + 5] k ; 5 = 1 + 2[a= + 5] 2h
k T1;b ;
Рассмотрим следующие числовые значения
a = 0:02 м b = 0:07 м ; M = 5 ;
g = 5:0 106 Вт=м3 ; hb = 500 Вт=(м2 град) ;
k = 50 Вт=(м град) ;
T1;b = 0 o C :
Тогда другие величины принимают значения
a = 0:02 = 2 ;
= b M a = 0:07 5 0:02 = 0:01 м ;
0:01
2
6
2
hb = 0:1 0 = 0 :
g = 0:01 5:0 10 = 10 ;
k
50
k
2
G5 = kg5 :
(4.74)
(4.75)
(4.76)
Далее конечно-разностные уравнения (4.72) и (4.73), соответственно, принимают вид
"
#
"
#
1
1
1 2 + i) Ti 1 2Ti + 1 + 2 + i) Ti+1 + 10 = 0 ;
(4.77)
T4 1:1143 T5 + 5 = 0 :
(4.78)
Таким образом, уравнения (4.77) и (4.78) обеспечивают 5 уравнений для 5 неизвестных температур в узлах Ti, i = 1; 2; :::; 5, поскольку температура T0 = 100 o C является известной. Точное решение
к этой проблемы имеет вид
2 C1
(4.79)
T (r) = T0 gr
6k + r + C2 ;
#)
(
"
где
2
2 C1
ab
g
h
b 2
2
C1 = ak + bh (b a) hb(Ta T1) 3 b + 2k (b a ) ; C2 = ga
6k a ; (4.80)
b
а другие величины определены ранее.
В таблице 4-3 приведено сравнение конечно-разностного решения с точными результатами. Для
иллюстрации конечно-разностные вычисления выполнены с использованием метода исключения Гаусса. Результаты находятся в хорошем соответствии с точным решением. Обратите внимание на то,
что в узле i = 0, соответствующему внутренней границе, температура определена.
Таблица 4-3. Сравнение конечно-разностного решения с точным решением примера 4-3.
Номер
Температура узла Ti
узла Точное Конечные разности
0
100.00
100.00
1
153.54
153.07
2
172.80
172.11
3
176.36
175.53
4
170.40
169.47
5
157.58
156.58
41
5. ОДНОМЕРНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В предыдущих частях курса было рассмотрено конечно-разностное представление и решение одномерных стационарных систем. Сейчас сосредоточим свое внимание к конечно-разностной формулировке, решению и анализу устойчивости одномерных параболических систем. Процессы передачи
тепла или диффузии массы, в результате которых меняется температура или массовая концентрация в пределах тела с течением времени, описываются дифференциальными уравнениями с частными
производными параболического типа.
Нестационарные задачи имеют многочисленные важные применения в различных отраслях науки и техники. Почти все индустриальные процессы испытывают переходные процессы на различных
стадиях. Например, тепловые переходные процессы в пределах тела вообще начинаются внезапным
изменением граничного условия или выделения энергий в среде. Запуск или закрытие ядерных реакторов, духовок, печей, и т.д., являются типичными примерами активации переходных процессов
в результате изменений в выделении энергии. Охлаждение горячих тел, внезапно подвергнутые холодному воздействию, является типичным примером переходных процессов по причине изменения
граничных условий.
Следуя учебным целям, сначала обратимся к одномерной тепловой или массовой диффузиям,
которые в общем случае описываются линейным дифференциальным уравнением параболического
типа
1 @T (x; t) = @ 2T (x; t) + g(x; t)
(5.1)
@t
@x2
k
совместно с линейными граничными условиями для демонстрации применения различных схем с
конечным разностями и общих алгоритмов решения.
Затем рассмотрим отдельно задачи с цилиндрической и сферической симметриями для иллюстрации представлений с конечными разностями дифференциального уравнения и граничных условий для
таких пространственных геометрий.
5.1. ПРОСТОЙ ЯВНЫЙ МЕТОД
5.1.1. Пластина
Для простоты изложения основных положений и анализа устойчивости численной схемы рассмотрим нестационарную одномерную задачу теплопроводности для поля температур T (x; t) в конечной
области 0 x L, которая задается в виде
1 @T = @ 2T + g(x; t) ;
0 x L; t > 0:
(5.2)
@t @x2
k
Сформируем двухмерную сетку узлов на поле температур. Для этого область 0 x L разделяем на М равных частей с шагом
L
x = M
(5.3)
и введем обозначение
T (x; t) = T (ix; nt) Tin :
(5.4)
Теперь проведем дискретизацию дифференциального уравнения (5.2), используя центральные
разности второго порядка точности для второй производной и разности вперед первого порядка для
производной по времени. Получаем
1 Tin+1 Tin = Tin 1 2Tin + Tin+1 + gin + O[ ; 2 ] ;
(5.5)
t x
t
2x
k
Уравнение (5.5) перегруппируем и запишем в виде
Tin+1 = Tin 1 + (1 2 )Tin + Tin+1 + Gni ;
(5.6)
42
Рис. 5.1: Шаблон схемы с конечными разностями для простой явной схемы.
где
n 2
Gni = gi kx ;
= 2t ;
x
Рис. 5.2: Образование фиктивных узлов
1и
n .
M +1 с фиктивными температурами T n1 и TM
+1
n = 0; 1; ::: i = 1; 2; :::; M 1 :
с ошибкой усечения порядка O[t; 2x].
Уравнение (5.6) называется простой явной формой конечно-разностного приближения диффузионного уравнения (5.2), потому что оно включает только одно неизвестное значение Tin+1 для
временного уровня n + 1, который может быть непосредственно рассчитан из уравнения (5.6), когда
узловые значения Tin 1, Tin и Tin+1 являются известными на предыдущем временном слое n.
Рис.5.1 схематично иллюстрирует расположение узлов в явной конечно-разностной схеме, применяемой для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности. Ясно, что система (5.6)
формирует M 1 алгебраическое уравнение, i = 1; 2; :::; M 1, но содержат M + 1 неизвестных
значений в узлах Tin+1 (i = 0; 1; 2; :::; M ). Понятно, что необходимо добавить два дополнительных
соотношения для того, чтобы число уравнений было равно числу неизвестных. Эти два уравнения
непосредственно получаются из двух граничных условий для i = 0 и i = M . Если температуры
на границах известны и фиксированы, то число уравнений равняется числу неизвестных. Однако,
для конвекционного граничного условия или граничного условия с установленным тепловым потоком
значения температур на границах являются неизвестными. В таких случаях, два дополнительных
уравнения получаются путем дискретизации граничных условий.
1. Граничное условие первого рода.
Граничные условия первого рода предполагают, что значения температуры являются известными на границах i = 0 и i = M
(5.7)
TMn = Tb :
T0n = Ta ;
Тогда система уравнений (5.6) формирует M 1 явных выражений для определения M 1 неизвестных значений
температур во внутренних узлах Tin+1, i = 1; 2; :::; M 1, поскольку граничные
n
n
потенциалы T0 и TM остаются всегда известными.
Можно предложить следующий вычислительный алгоритм:
(1) Начинаем вычисления с n = 0. Вычисляем Ti1, i = 1; 2; :::; M 1 до конца на первом временном
шаге уравнения (5.6), поскольку правая сторона этого уравнения известна из начальных условий.
(2) Устанавливаем n = 1 и вычисляем Ti2, i = 1; 2; :::; M 1 до конца второго временного шага
уравнения (5.6), потому что правая сторона этого уравнения является известной из предыдущего
шага вычислений по времени.
(3) Процедура повторяется для каждого последующего шага по времени, пока указанное время
или другое финальное условие не будет достигнуто.
2. Граничное условие третьего рода.
Рассмотрим граничные поверхности при x = 0 и x = L, подвергнутые конвекции с коэффициентами теплопередачи h0 и hL в окружающую среду с температурами T1;0 и T1;L, соответственно.
43
Математическая формулировка граничных условий третьего рода имеет вид
@T
@T
k @x + h0T (0) = h0T1;0 ;
k @x + hLT (L) = hLT1;L ;
(5.8)
x=0
x=L
где температуры в граничных узлах с нижними индексами i = O и i = M являются неизвестными.
Два дополнительных отношения получаются путем дискретизации этих двух граничных условий.
Существует достаточно простой подход к дискретизации этих граничных условий: разности вперед для уравнения (5.8,a) и разности назад для уравнения (5.8,b). Но эти результаты с точностью
только первого порядка, т.е. O(x) и при численном решении задачи низкая точность в дискретизации граничных условий приводит к появлению существенных ошибок метода дискретизации.
Можно также применить второй порядок точности, т.е. O(2x ), дифференцируя эти граничные
условия с использованием центральных разностей, которые являются более привычными для дискретизации первой производной в указанных граничных условиях. Чтобы применять nцентральный
разности, рассмотрим фиктивные узлы с индексом \-1" и фиктивной температурой T 1 и индексом
\M+l" с фиктивной температурой TMn +1, которые получаются расширением вычислительной области
на x налево и направо, соответственно, как показано на рис.5.2.
Используя эти фиктивные узлы, центральные разности к граничным условиям (5.8) принимают
вид
n
n
n
n
k T1 2T 1 + h0T0n = h0T1;0 ;
k TM +12 TM 1 + hLTMn = hLT1;L ;
(5.9)
x
x
где T n1 и TMn +1 { фиктивные температуры в фиктивных узлах \-1" и \M+1", соответственно. Два
дополнительных отношения, необходимые для устранения этих фиктивных температур определяются
после записывая уравнения (5.6) для i = 0 и i = M . Получаем, соответственно
T0n+1 = T n1 + (1 2 )T0n + T1n + Gn0 ;
TMn+1 = rTMn 1 + (1 2 )TMn + rTMn +1 + GnM :
(5.10)
Теперь, T n1 устраняется с помощью уравнений (5.9,a) и (5.10,a), в то время как TMn +1 устраняется
с помощью уравнений (5.9,b) и (5.10,b). В результате получаем
T0n+1 = (1 2Z0)T0n + 2T1n + 20 + Gn0 ;
(5.11)
TMn+1 = 2TMn 1 + (1 2ZL)TMn + 2L + GnM ;
n 2
где
Z0 = 1 + xkh0 ; 0 = xkh0 T1;0 ; Gn0 = g0kx ;
n 2
ZL = 1 + xkhL ; L = xkhL T1;L ; GnM = gMkx ; = 2t :
(5.12)
x
Уравнения (5.11) и (5.12) являются конечным приближением второго порядка точности задачи
с конвективными граничными условиями, уравнения (5.8,a) и (5.8,b), соответственно. Уравнения
с конечными разностями (5.6) вместе с вышеупомянутым двумя уравнениями (5.11) формируют
M + 1 уравнений для определения M + 1 неизвестных температур в узлах на каждом последующем
временном слое.
Надо отметить, что конечно-разностные представления, заданные уравнениям (5.11), можно развить, записывая баланс энергии для контрольного объема толщиной x=2, смежный с граничными
узлами i = 0 и i = M , соответственно. Этот метод будет рассмотрен несколько позднее.
3. Граничное условие второго рода.
Исследуем теперь конечно-разностное представление граничных условий с заданным тепловым
потоком на границах. Математическая формулировка граничных условий второго рода имеет вид
@T = Q ;
=
Q
k
(5.13)
k @T
0
L
@x
@x
44
где Q0 и QL определяют тепловые потоки, накладываемые на граничные поверхности при x = 0 и
x = L, соответственно.
Сравнение этих граничных условий с конвективными граничными условиями (5.8) показывает,
что граничное условие второго рода непосредственно следует из граничного условия третьего рода
при использовании следующих замен
h0 = hL = 0 ;
h0T1;0 = Q0 ;
hLT1;L = QL :
(5.14)
Тогда конечно-разностное приближение второго порядка точности к граничным условием с фиксированным тепловым потоком (5.13) сразу получается из уравнений (5.11) в виде
n 2
T0n+1 = (1 2 )T0n + 2T1n + 2 xkQ0 + g0kx ;
n 2
(5.15)
TMn+1 = 2TMn 1 + (1 2 )TMn + 2 xkQL + gMkx :
Совместное решение (5.6) с (5.15) позволяет сформировать полную систему уравнений для определения значения профиля температур на следующем \n + 1" временном слое.
5.1.2. Сплошной цилиндр или сфера
В предыдущей части была рассмотрена конечно-разностные схема для одномерных параболических систем, в которых, в качестве примера, рассматривалась одномерное уравнение теплопроводности в прямоугольной системе координат. В этой части будет показано применение этих конечноразностных схем для цилиндрической и сферической симметрий
1 { цилиндр
1 @T = @ 2T + p @T + g(r; t) ; r 6= 0 ;
p = 2 { сфера :
(5.16)
@t @r2 r @r
k
Когда область решения включает начало координат r = 0, то по аналогии со случаем сплошного цилиндра или сферы, имеется очевидная особенность при r = 0, которую можно избежать,
воспользовавшись правилом Лопиталя. В результате уравнение (5.16) заменяется на
1 @T = (1 + p) @ 2T + g(r; t) ;
r = 0:
(5.17)
@t
@r2
k
Рассмотрим сплошной цилиндр или сферу радиуса r = b. Область решения 0 r b разделим
на М слоев толщиной
(5.18)
= Mb ;
как показано на рис.5.3. Уравнения с конечными разностями для внутренних узлов i = 1; 2; :::; M 1
получаются после дискретизации дифференциального уравнения (5.17), а для центрального узла
x = 0 { после дискретизации уравнения (5.18). В результате получаем
Tin+1 Tin = Tin 1 2Tin + Tin+1 + p Tin+1 Tin 1 + gin ;
i = 1; 2; :::; M 1
(5.19)
t
2
i 2
k
"
#
и
T0n+1 T0n = 1 2(1 + p)(T n T n) + 2gin ;
i = 0:
(5.20)
1
0
t
2
k
@ 2T = 2(T1 T0) :
поскольку
(5.21)
@r2 r=0
2
Уравнения (5.19) и (5.20) могут быть перегруппированы, соответственно
p
p
2 n
n
+1
n
n
Ti = 1 2i Ti 1 + (1 2 )Ti + 1 + 2i Tin+1 + kgi ;
i = 1; 2; :::; M 1 (5.22)
45
Рис. 5.3: Формирование узлов в области решения
для конечно-разностного представления задачи теплопроводности для сплошного цилиндра или сферы.
Рис. 5.4: Образование фиктивного узла
фиктивной температурой TM +1.
M
+1 с
2 n
i = 0;
(5.23)
T0n+1 = [1 2 (1 + p)]T0n + 2 (1 + p)T1n + kgi ;
1 { цилиндр
b
t
где
(5.24)
=M;
p = 2 { сфера ;
= 2 ;
которые имеют точность порядка O[t; 2].
Уравнения (5.22 - 5.24) формируют М соотношений, но они содержат M +1 неизвестные значения
температур в узлах Tin+1, i = 0; 1; 2; :::; М для временного уровня n + 1. Необходимо сформировать
еще одно дополнительное уравнении, используя граничное условие на внешней поверхности при r = b.
1. Граничное условие первого рода.
Это граничное условие содержит предписанное значение температуры Tb на границе r = b. Для
такого случая имеем
TM = Tb :
(5.25)
для всех временных уровней. Тогда, уравнения (5.22), (5.23) и (5.24), вместе с уравнением (5.25)
являются достаточными для вычисления М неизвестных внутренних температур в узлах Tin+1, (i =
0; 1; :::; M 1) для известных температур в узлах для временного уровня n.
2. Граничное условие третьего рода.
Это граничное условие определяет конвективную теплопередачу на границе r = b. Математическая формулировка граничного условия третьего рода задается в виде
@T
k @r + hbT (b; t) = hbT1;b ;
(5.26)
r =b
и
где T1;b { температура окружающей среды, а hb { коэффициент теплопередачи. Для того, чтобы дискретизировать производную в этом уравнении центрально-разностной формулой со вторым
порядком точности, рассмотрим фиктивный узел \M+1" с фиктивной температурой TM +1, расположенным на расстоянии правее узла М, как показано на рис.5.4. Тогда уравнение (5.26) может
быть дискретизировано, используя формулу с центральными разностями
n
n
T
T
M
+1
M
1 + h Tn = h T :
k
(5.27)
b M
b 1;b
2
Для того, чтобы устранить фиктивную температуру TMn +1 из этого выражения, необходимо получить дополнительное соотношение, оценивая выражение (5.22) для i = M
2 n
p
p
n
n
n
+1
(5.28)
TM = 1 2M TM 1 + (1 2 )TM + 1 + 2M TMn +1 + 2gM :
46
Устранение TMn +1 из уравнений (5.27) и (5.28) приводит к
TMn+1 = 2TMn 1 + (1 2ZM )TMn + 2M + GnM ;
(5.29)
p hb ; G = 2gMn ;
где
ZM = 1 + 1 + 2M
(5.30)
M
k
k
hb
1 { цилиндр
p
M = 1 + 2M k T1;b ; p = 2 { сфера :
Тогда, уравнения (5.22) и (5.23) вместе с уравнением (5.29) формируют M + 1 уравнений для
определения
M + 1 неизвестных температур в узлах Tin+1, i = 0; 1; 2; :::; М, когда температуры узлов
n
Ti на предыдущем уровне являются известными. Понятно, что вычисления начинаются с начального
состояния.
3. Граничное условие второго рода.
Это граничное условие фиксирует тепловой поток на границе r = b. Для этого случая граничное
условие имеет вид
@T
(5.31)
k @r = Qb :
r =b
Ясно, это граничное условие получается из конвекционного граничного условия как частный
случай уравнения (5.26), принимая следующие обозначения
hb = 0 ;
hbT1;b = Qb :
(5.32)
Тогда конечно-разностная форма уравнения (5.31) сразу получается из уравнения (5.29), учитывая замены, определенные уравнением (5.32). Получаем
2 n
p
n
+1
n
n
TM = 2TM 1 + (1 2ZM )TM + 2 1 + 2M k Qb + kgM :
(5.33)
Тогда уравнения (5.22) и (5.23) вместе с уравнением (5.33) формируют M + 1 соотношений для
определения M + 1 неизвестных температур узлов Tin+1, i = 0; 1; :::; М на временном уровне n + 1
при известных температурах в узлах на временном уровне n.
Надо признать ограничения решений, полученных с предписанными граничными условиями по
потоку. Когда сплошной цилиндр или сфера подвергнуты однородному потоку энергии на граничных
поверхностях, температура твердых поверхностей непрерывно повышается, потому что нет никакого оттока тепла в среду. Поэтому, при таких условиях, никакое стационарное решение для задачи
не достижимо. Предположим, что тепловой поток вносится в изучаемую область и определенное
его количество удаляется от границ. При таких условиях можно ожидать стационарное решение, но
решение будет единственным только в пределах произвольной постоянной.
5.1.3. Полый цилиндр или сфера
В случае полого цилиндра или сферы с внутренним радиусом a и внешним радиусом b, сначала,
по аналогии с предыдущим случаем, разделим область решения a r b на М слоев равной толщины
= bMa ;
(5.34)
как показано на рис.5.5. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее процесс теплопередачи,
задается в виде
1 { цилиндр
1 @T = @ 2T + p @T + g(r; t) ;
a < r < b;
p = 2 { сфера :
(5.35)
@t @r2 r @r
k
47
Рис. 5.5: Формирование узлов в области решения для конечно-разностного представления задачи теплопроводности для полого цилиндра или сферы.
Затем приведенное выше уравнение дискретизуется, используя простую явную схему. Полученное конечно-разностные уравнения для внутренних узлов, имеют вид
Tin+1 Tin = Tin 1 2Tin + Tin+1 + p Tin+1 Tin 1 + gin ; i = 1; 2; :::; M 1 :
(5.36)
t
2
a + i 2
k
Уравнение (5.36) решается относительно Tin+1
"
#
"
#
2 n
p
p
n
+1
n
n
Ti = 1 2(a= + i) Ti 1 + (1 2 )Ti + 1 + 2(a= + i) Tin+1 + kgi ;
i = 1; 2; :::; M 1 ;
(5.37)
цилиндр :
где
= bMa ;
p = 21 {{ сфера
= 2 t ;
Обратите внимание на то, что для a = 0, уравнение (5.37) упрощается до уравнения (5.22), как
это было для сплошного цилиндра или сплошной сферы.
Уравнения (5.37) формируют M 1 соотношений, но проблема содержит M + 1 неизвестные
температуры в узлах Tin+1, i = 0; 1; :::; М на каждом временном уровне. Необходимы еще два дополнительных выражения для того, чтобы выровнять число уравнений и число неизвестных. Для этого
используются граничные условия на поверхностях r = a и r = b.
Если температуры зафиксированы на обеих границах, то уравнения (5.37) достаточно решить
для неизвестных температур в узлах Tin+1, i = 1; 2; :::; M 1. В случае конвекции или фиксированного теплового потока на границах, температуры на границах являются неизвестными. В этом
случае добавляются два дополнительных соотношения, полученные после дискретизации граничных
условий. Для того, чтобы получить точный результат с вторым порядком точности, используют
для дифференцирования центральные разности, рассматривая фиктивные узлы T 1 и TM +1, левее от
границы r = a и правее границы r = b, соответственно. Фиктивные температуры в этих узлах T 1 и
TM +1, появляющиеся в полученных уравнениях, устраняются посредством выражений, полученных
при оценке выражений (5.37) для узлов i = 0 и i = M , соответственно, как это было показано выше.
1. Граничное условие первого рода.
Это граничное условие содержит предписанное значение температур Ta и Tb на границах r = a
и r = b. Для такого случая имеем
T0 = Ta ;
TM = Tb
(5.38)
для всех временных уровней. Тогда, уравнения (5.37) и (5.38) являются достаточными для вычисления М неизвестных внутренних температур в узлах Tin+1, (i = 0; 1; :::; M 1) для известных
температур в узлах для временного уровня n.
48
2. Граничное условие третьего рода.
Это граничное условие определяет конвективную теплопередачу на границах r = a и r = b.
Математическая формулировка граничного условия третьего рода задается в виде
@T
@T
k @r + hbT (b; t) = hb T1;b ;
(5.39)
k @r + hbT (a; t) = haT1;a ;
r =a
r =b
где T1;a и T1;b { температуры окружающих сред на обеих граничных поверхностях, а ha и hb {
коэффициенты теплопередачи. Для того, чтобы дискретизировать первые производные в этих уравнениях центрально-разностными формулами с вторым порядком точности, рассмотрим фиктивные
узлы \-1" и \M+1" с фиктивными температурами T 1 и TM +1, расположенными на расстоянии левее узла с индексом 0 и правее узла с индексом M , как показано на рис.5.4. Тогда уравнение (5.39)
может быть дискретизировано, используя формулу с центральными разностями второго порядка
n
n
n
n
k T1 2T 1 + haT0n = haT1;a ;
k TM +1 2 TM 1 + hbTMn = hbT1;b :
(5.40)
Для того, чтобы устранить фиктивные температуры T n1 и TMn +1 из этих выражений, необходимо
получить дополнительные соотношения, оценивая уравнения (5.37) для i = 0 и i = M
!
!
2g n
p
p
n
n
n
n
+1
T0 = 1 2(a=) T 1 + (1 2 )T0 + 1 + 2(a=) T1 + k 0 :
(5.41)
!
!
2 n
p
p
n
+1
n
n
TM = 1 2(a= + M ) TM 1 + (1 2 )TM + 1 + 2(a= + M ) TMn +1 + kgM : (5.42)
Устранение T n1 из уравнений (5.40) и (5.41), а так же TMn +1 из уравнений (5.40) и (5.42) приводит
к двум дополнительным уравнениям
T0n+1 = (1 2Z0)T0n + 2T1n + 20 + Gn0 ;
(5.43)
n
+1
n
n
n
TM! = 2TM 1 + (1 2ZM )TM + 2M + GM ; !
(5.44)
2
n
p ha T ;
p ha ;
n = g0 ;
где Z0 = 1 + 1
G
=
1
0
0
2(a=) k !
k
2(a=) k !1;a
2 n
ZM = 1 + 1 + 2(a=p+ M ) hk b ; GnM = kgM ; M = 1 + 2(a=p+ M ) hk b T1;b : (5.45)
Тогда, уравнения (5.37) вместе с уравнениями (5.43) (5.44) формируют M + 1 уравнений для
определения
M + 1 неизвестных температур в узлах Tin+1, i = 0; 1; 2; :::; М, когда температуры узлов
n
Ti на предыдущем уровне являются известными. Понятно, что вычисления начинаются с начального
состояния, n = 0.
3. Граничное условие второго рода.
Это граничное условие фиксирует тепловой поток на границах r = a и r = b. Для этого случая
граничные условия имеют вид
@T
@T
k @r = Qb :
(5.46)
k @r = Qa ;
r =a
r =b
Ясно, это граничное условие получается из конвекционного граничного условия как частный
случай уравнения (5.39), принимая следующие обозначения
ha = hb = 0 ;
haT1;a = Qa ;
hbT1;b = Qb :
(5.47)
Тогда конечно-разностная форма уравнений (5.46) сразу получается из уравнений (5.43, 5.44),
учитывая замены, определенные уравнением (5.47). Получаем
T0n+1 = (1 2 )T0n + 2T1n + 20 + Gn0 ;
(5.48)
n
+1
n
n
n
TM = 2TM 1 + (1 2 )TM + 2M + GM ;
(5.49)
49
где
2g0n ;
=
0
k
2 n
GnM = kgM ;
Gn
!
p
0 = 1 2(a=) k Qa ;
!
p
M = 1 + 2(a= + M ) k Qb :
(5.50)
Тогда уравнения (5.48) и (5.49) вместе с уравнением (5.37) формируют M + 1 соотношений для
определения M + 1 неизвестных температур узлов Tin+1, i = 0; 1; :::; М на временном уровне n + 1
при известных температурах в узлах на временном уровне n.
Надо признать ограничения решений, полученных с предписанными граничными условиями по
потоку. Когда сплошной цилиндр или сфера подвергнуты однородному потоку энергии на граничных
поверхностях, температура твердых поверхностей непрерывно повышается, потому что нет никакого оттока тепла в среду. Поэтому, при таких условиях, никакое стационарное решение для задачи
не достижимо. Предположим, что тепловой поток вносится в изучаемую область и определенное
его количество удаляется от границ. При таких условиях можно ожидать стационарное решение, но
решение будет единственным только в пределах произвольной постоянной.
5.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЯВНОГО МЕТОДА
Для того, чтобы организовать решение одномерной нестационарной задачи теплопроводности
конечно-разностным методом по явной схеме необходимо выбрать также и шаг временной дискретизации, величина которого определяет значение параметра
= 2 t ;
(5.51)
где t { шаг временной дискретизации, 2 { шаг пространственной дискретизации задачи, а {
коэффициент температуропроводности.
Исследования показывают, что именно этот параметр простой явной схемы определяет устойчивость вычислений. Увеличение этого параметра приводит к уменьшению общего количества итерации для достижения финального времени, необходимого для решения нестационарных задач теплопроводности. Однако, если значение больше некоторого критического значения кр, то вычислительные схемы по мере проведения итераций начинают проявлять неустойчивость, которая выражается в резком увеличении вычислительных ошибок, которые после нескольких итераций могут
превысить порядок решения, а затем и переполнение.
Проведем анализ устойчивости простой явной схемы на примере одномерной нестационарной
задачи теплопроводности в прямоугольной системе координат, конечно-разностная схема которой
имеет вид
n 2
Gni = gi kx :
Tin+1 = Tin 1 + (1 2 )Tin + Tin+1 + Gni ;
(5.52)
Внесем в некоторый узел с индексами (i; n) некоторое малое возмущение "ni (смотри рис.5.5).
Тогда применение вычислительной схемы (5.52) приведет к тому, что после проведения итераций в
узле с индексами (i; n + 1) появится
значение, отличающееся от решения, которое появилось бы в
случае отсутствия возмущения "ni .
Величину возмущения, внесенного в узел (i; n) можно оценить из выражения
(Tin+1 + "ni +1 ) = Tin 1 + (1 2 )(Tin + "ni) + Tin+1 + Gni :
(5.53)
После вычитания уравнения (5.52) из уравнения (5.53) можно определить величину возмущения,
появивщуюся на следующем временном слое
"ni +1 = (1 2 )"ni :
(5.54)
Понятно, что для того, чтобы численная схема работала устойчиво, необходимо, чтобы по мере проведения итераций величина возмущения должна уменьшаться. Математически это условие
устойчивости можно представить в виде
n+1 "i < 1 ;
или
j1 2 j < 1 :
(5.55)
"ni 50
Рис. 5.6: Развитие численных возмущений при решении одномерных параболических задач простым
явным методом.
Рис. 5.7: Влияние параметра на устойчивость
решения задачи теплопроводности простым явным
методом с точным решением.
Другими словами, условие устойчивости простой явной схемы требует одновременного выполнения двух неравенств
1 2 < 1 ;
1 + 2 < 1 :
(5.56)
Первое неравенство требует выполнение условия
> 0;
или
t > 0 ;
(5.57)
что выполняется всегда. Это условие устойчивости получило название статической устойчивости
простой явной схемы.
Второе неравенство в (5.56) требует
2
(5.58)
< 1;
или
t < ;
что, в общем случае, накладывает первое нестрогое ограничение на величину пространственного
шага. Это условие устойчивости получило название динамической устойчивости простой явной
схемы.
Надо заметить, что начальное возмущение, внесенное в узел (i; n) передается не только в узел с
индексами (i; n + 1). Очевидно, что начальное возмущение передается так же и в узлы (i + 1; n + 1)
и (i 1; n + 1). Оценим величину этого возмущения.
+1 ) = (T n + "n ) + (1 2 )T n + T n + Gn :
(Tin+1+1 + "ni+1
(5.59)
i
i
i+1
i+2
i+1
Если положить, что Gni Gni+1 , то разность уравнений (5.59) и (5.52) дает
+1 = "n :
"ni+1
(5.60)
i
+1 , смотри рис.5.6.
Очевидно, что "ni +11 = "ni+1
Таким образом, начальное возмущение, внесенное в узел с индексами (i; n) после одной итерации
передается трем узлам на следующем временном слое: (i 1; n +1), (i; n +1) и (i +1; n +1). Понятно,
что после проведения следующей итерации, которая связана с определением профиля температур
на временном слое n + 2, величина начального возмущения претерпевает определенные изменения.
Величину возмущения можно оценить из выражения
(5.61)
(Tin+2 + "ni +2) = (Tin 1 + "ni) + (1 2 )(Tin + (1 2 )"ni) + (Tin+1 + "ni) + Gni +1 :
Разница уравнений (5.61) и (5.52) позволяет определить значение возмущения, которое передается через два временных слоя. Получаем
(5.62)
"ni +2 = "ni(1 4 + 2) "ni (1 4 ) ;
51
поскольку условие динамической устойчивости требует, чтобы < 1.
Следовательно, для того, чтобы вычислительная схема была устойчивой необходимо выполнение
условия
n+2 "i < 1 ;
или
j1 4 j < 1 :
(5.63)
"ni Другими словами, второе условие устойчивости простой явной схемы требует одновременного
выполнения двух неравенств
1 4 < 1 ;
1 + 4 < 1 :
(5.64)
Первое условие в точности совпадает со статическим условием устойчивости простой явной схемы
(5.57). Второе неравенство в (5.64) накладывает более жесткое ограничение на величину временного
шага
2
< 12 ;
или
t < 2 ;
(5.65)
Это условие устойчивости получило название периодической устойчивости простой явной схемы.
Таким образом, для того, чтобы решение уравнений с конечными разностями (5.6) оставалась
устойчивым (т.е., нерасходящимся или неколебательным), необходимо, чтобы на параметр , используемый в этих уравнениях, было наложено ограничение
0 < 0:5 ;
= ()t2 :
(5.66)
x
Этот критерий устойчивости подразумевает, что, за для данных значений и x, величина шага
по времени t не может превышать предел, наложенный уравнением (5.66). Рис.5.7 иллюстрирует
влияние значения на устойчивость решения конечными разностями для простого явного метода.
Поскольку критерий устойчивости нарушен для = (5=9) > 0:5, то решение начинает колебаться и
отклоняться, в то время как результаты, полученные с = (5=11) < 0:5 являются устойчивыми и
находятся в хорошем соответствии с точным решением задачи.
5.2.1. Влияние граничных условий на устойчивость
Критерий устойчивости, заданный уравнениями (5.66) можно развить, рассматривая конечноразностные уравнения (5.6) для внутренних узлов области. Если граничные условия для задачи
включают указанный температурный и/или тепловой поток и никакие дополнительные ограничения не наложены на граничные условия, то критерий устойчивости, заданный уравнением (5.66)
остаются приемлемыми для решения уравнений с конечным разностями. Однако, в случае конвективного условия на границе с вторым порядком точности конечно-разностной аппроксимации, заданной уравнениями (5.15), налагается более серьезное ограничение на параметр , чем наложенное
в соответствии с критерием 1=2.
Проведем анализ устойчивости граничного условия третьего рода в простой явной схеме на
примере одномерной нестационарной задачи теплопроводности в прямоугольной системе координат,
конечно-разностная аппроксимация которой имеет вид
T0n+1 = (1 2Z0)T0n + 2T1n + 20 + Gn0 :
(5.67)
Внесем в некоторый граничный узел с индексами (0; n) малое возмущение "n0 (смотри рис.5.8).
Тогда применение вычислительной схемы (5.67) приведет к тому, что после проведения итераций в
узле с индексами (0; n + 1) появится
значение, отличающееся от решения, которое появилось бы в
случае отсутствия возмущения "n0 . Это возмущение можно оценить из выражения
(5.68)
T0n+1 + "n0 +1 = (1 2Z0)(T0n + "n0 ) + 2T1n + 20 + Gn0 :
52
Рис. 5.8: Развитие численных возмущений на границе при решении одномерных параболических задач
простым явным методом.
Отсюда видно, что на следующем временном уровне возникло возмущение, которое связано с
начальным возмущением следующим соотношением
(5.69)
"n0 +1 = (1 2Z0)"n0 ;
Z0 = 1 + xkh0 :
Для того, чтобы численная схема работала устойчиво, необходимо, чтобы по мере проведения
итераций величина возмущения уменьшалась. Математически это условие можно представить в
виде
n+1 "0 < 1 ;
или
j1 2Z0j < 1 :
(5.70)
"n0 Другими словами, условие устойчивости простой явной схемы требует одновременного выполнения двух неравенств
1 2Z0 < 1 ;
1 + 2Z0 < 1 :
(5.71)
Первое неравенство требует
> 0;
или
t > 0 ;
(5.72)
что выполняется всегда. Это статическое условие устойчивости простой явной схемы.
Второе неравенство в (5.71) требует
2
(5.73)
или
t < 2(1 + h =k) ;
< 2Z1 ;
0
x 0
что, в общем случае, накладывает более строгое ограничение на величину пространственного шага
по сравнению с условием динамической устойчивости простой явной схемы.
Очевидно, что начальное возмущение, внесенное в узел (0; n) передается в узел (1; n + 1). Величину возмущения, внесенного в этот узел, можно определить из выражения (5.60).
Таким образом, начальное возмущение, внесенное в узел с индексами (0; n) после одной итерации
передается двум узлам на следующем временном слое: (0; n + 1), и (i + 1; n + 1). Понятно, что после
проведения следующей итерации, которая связана с определением профиля температур на временном слое n + 2, величина начального возмущения претерпевает определенные изменения. Величину
возмущения можно оценить из выражения
T0n+2 + "n0 +2 = (1 2Z0)[T0n+1 + (1 2Z0)"n0 ] + 2 (T1n + "n0 ) + 20 + Gn0 :
(5.74)
Разница уравнений (5.74) и (5.67) позволяет определить значение возмущения, которое передается через два временных слоя. Получаем
"n0 +2 = "n0 (1 4Z0 + 4 2Z02 + 2 2) "ni(1 4Z0) ;
(5.75)
53
поскольку условие динамической устойчивости требует, чтобы < 1.
Следовательно, для того, чтобы вычислительная схема была устойчивой необходимо выполнение
условия
n+2 "i < 1 ;
или
j1 4Z0j < 1 :
(5.76)
"ni Другими словами, второе условие устойчивости простой явной схемы, вызванное граничными
условиями, требует одновременного выполнения двух неравенств
1 4Z0 < 1 ;
1 + 4Z0 < 1 :
(5.77)
Первое условие в точности совпадает со статическим условием устойчивости простой явной схемы
(5.57). Второе неравенство в (5.77) накладывает менее жесткое ограничение на величину временного
шага по сравнению с периодическим условием устойчивости простого явного метода (5.65)
2
< 2Z1 ;
(5.78)
или
t < 2(1 + h =k) :
0
x 0
Исследования показывают, если использовать точные формулы вперед и назад для дискретизации
производных формулами первого порядка на границах в условиях конвекции (5.10), то критерий
устойчивости для окончательных конечно-разностных уравнений будет 0:5.
Пример 5-1. Рассмотрите следующую нестационарную задачу теплопроводности в плите, которая задается в безразмерном виде следующим образом
@ 2T = @T ;
0 < x < 1;
t > 0;
(5.79)
@x2 @t
@T = 0 ;
x = 0;
t > 0;
@x
T = 0;
x = 1;
t > 0;
x T = 100 cos 2 ; t = 0 ;
0 x 1:
Решите эту проблему в численно конечно-разностной схемой, разбивая область 0 x 1 на 5
равных частей, используя (a) разностные схемы первого порядка точности, и (b) разностные схемы
второго порядка точности для дифференцирования граничного условия при x = 0. Точное решение
этой проблемы имеет вид
x 2 !
T (x; t) = 100 cos 2 exp 4 t :
(5.80)
Сравните температуру изолированной поверхности, полученной в с помощью решения конечными разностями с точным решением, заданным выше. Выберите = 1=5 для вычислений.
Решение. Область 0 x 1 разделяем на 5 равных частей. Проблема содержит 5 неизвестных температур
в узлах Tin, i = 0; 1; 2; 3; 4, так как температура поверхности границы при x = 1
n
определена T5 = 0.
Tin+1 = 0:2Tin+1 + 0:6Tin + 0:2Tin+1 ;
i = 1; 2; 3; 4 ;
T5n = 0 :
(5.81)
Конечно-разностные уравнения для внутренних узлов получаются из уравнений (5.6), принимая
= 0:2.
Дополнительное соотношение получено путем дискретизации условия на теплоизолированной
границе.
54
(a) Если использовать формулу первого порядка, приближение с конечным разностями для теплоизолированного граничного условия становится
T1n T0n = 0 ;
или ;
T0n = T1n ; i = 0 :
(5.82)
x
(b) Если использовать второй порядок точности, то конечно-разностное приближение теплоизолированного граничного условия получается из уравнения (5.11,a), принимая h0 = 0, = 0:2 и
h 0T1;0 = 0, в виде
T0n+1 = 0:6T0n + 0:4T1n ;
i = 0:
(5.83)
Начальное условие задачи имеет вид
x 0
Ti = 100 cos 2 ;
i = 0; 1; :::; 5:
(5.84)
Представляем в таблице 5-1 сравнение решений с конечными разностями с точными результатами для температуры для теплоизолированной границы. Ясно, что решение с конечными разностями,
использующее дифференцирование второго порядка точности для граничного условия является очень
близким к точному решению, в то время как решение с конечными разностями, использующее первый порядок точности для дифференцирования граничного условия отклоняется приблизительно на
от 5% до 10% от точных результатов.
Таблица 5-1. Сравнение решений с конечными разностями с точным решением для примера 5-1.
Время
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Точное
61.0498
37.2708
22.7537
13.8911
8.4805
5.1773
3.1607
1.9296
T (0; t)
Конечные разности
1-го порядка 2-го порядка
точности
точности
55.0210
61.0004
31.4255
37.2105
17.9513
22.6986
10.2544
13.8462
5.8577
8.4463
3.3461
5.1523
1.9114
3.1429
1.0919
1.9172
Пример 5-2. Рассмотрите следующую нестационарную задачу теплопроводности, заданную в
безразмерной форме
@ 2T = @T ;
0 < x < 1;
t > 0;
(5.85)
@x2 @t
T = 0;
x = 0;
t > 0;
T = 0;
x = 1;
t > 0;
T = 100 sin(2x) ;
t = 0;
0 x 1:
Точное аналитическое решение этой проблемы имеет вид
T (x; t) = 10e 42 t sin 2x :
(5.86)
Решите эту проблему с конечными разностями, используя разностный метод, принимая:
(a) x = 0:1 ; = 0:25 ; t = 0:0025 ;
(5.87)
(b) x = 0:1 ; = 0:50 ; t = 0:0050 ;
55
и сравните температуру в положении x = 0:3 с точными результатами.
Решение Конечно-разностное приближение дифференциального уравнения теплопроводности
получается из уравнения (5.6) в виде
Tin+1 = rTin 1 + (1 2r)Tin + rTin+1 ;
i = 1; 2; :::; 9:
(5.88)
Температура в граничных узлах определяется как
T0n = 0 ;
T10n = 0 ;
(5.89)
а начальное условие
Ti0 = 10 sin(0:2i) ;
i = 0; 1; :::; 10:
(5.90)
Вышеупомянутая система алгебраических уравнений может быть решена при указанном значении , удовлетворяя критерию устойчивости. Здесь рассматриваем два случая:
(a) = 0:25 ; Tin+1 = 0:25Tin 1 + 0:5Tin + 0:25Tin+1 ;
(b) = 0:50 ; Tin+1 = 0:5(Tin 1 + Tin+1) :
(5.91)
Таблица 5-2 показывает сравнение решений с конечными разностями с точными результатами
для случаев r = 0:5 и r = 0:25. Ясно, что меньшее значение r производит к более точным результатам.
Таблица 5-2. Сравнение решения с конечными разностями с точными результатами в положении
x = 0:3 при двух различных значениях r
T (0:3; t)
r время конечные точное ошибка, %
разности
0.5 0.0050 7.6942 7.8070
-1.444
0.0150 5.0359 5.2605
-4.269
0.0250 3.2960 3.5447
-7.014
0.0350 2.1573 2.3884
-9.679
0.0450 1.4120 1.6094 -12.268
0.25 0.0025 8.6024 8.6167
-0.167
0.0075 7.0379 7.0732
-0.499
0.0125 5.7580 5.8062
-0.830
0.0175 4.7108 4.7661
-1.160
0.0225 3.8541 3.9112
-1.489
Пример 5-3.
энергии
Рассмотрите следующую нестационарную задачу теплопроводности с выделением
2
0 < x < L; t > 0;
(5.92)
@@xT2 + k g = @T
@t ;
x = 0;
t > 0;
k @T
@x + h0T = h0T1 ;
T = 0;
x = L;
t > 0;
T = F (x) ;
t = 0;
0 x L:
Разделив область 0 x L на М равных частей, получите конечно-разностное приближение с
вторым порядком точности этой задачи, используя явный метод.
Решение. Конечно-разностное приближение для этой проблемы сразу получается из уравнения
(5.4,a) с учетом вклада источника энергии
Tin+1 Tin = Tin 1 2Tin + Tin+1 + gn :
(5.93)
t
2x
k i
56
Решение для Tin+1 получается в виде
Tin+1 = rTin 1 + (1 2r)Tin + rTin+1 + kt gin ;
i = 1; 2; :::; M 1 :
(5.94)
Конечно-разностное приближение второго порядка для конвективного граничного условия при
x = 0 получается из уравнения (5.15) должным образом добавляя вклад источника энергии. Находим
i = 0;
(5.95)
T0n+1 = (1 2Z0)T0n + 2T1n + 20 + kt g0n ;
где
t ;
0T ;
Z0 = 1 + xkh0 ;
0 = xh
=
1
k
(x)2
Также имеем TMn = 0 для i = M , и начальное условие дает
Ti0 = F (ix) ;
i = 0; 1; :::; M:
(5.96)
Итоговое конечно-разностное приближение этой задачи получается в виде
T0n+1 = (1 2Z0)T0n + 2T1n + 20 + kt g0n ;
i = 0;
(5.97)
i = 1; 2; :::; M 1
Tin+1 = Tin 1 + (1 2 )Tin + Tin+1 + kt gin ;
TMn+1 = 0 ;
i=M;
а начальные условия
Ti0 = F (ix) ;
i = 0; 1; :::; M:
(5.98)
Здесь 0 и 0 определены предварительно. Критерий устойчивости получается из уравнения
(5.78) в виде
!1
xh
0
0<r 2+2 k
:
(5.99)
5.3. ПРОСТОЙ НЕЯВНЫЙ МЕТОД
Простой явный метод, обсужденный в предыдущей части, очень прост в вычислительном отношении, но максимальный размер шага по времени ограничен соображениями устойчивости. Если
вычисления должны быть выполнены в течение большого периода времени, число шагов, следовательно, и число необходимых вычислений, может стать достаточно большим. Чтобы преодолеть эту
трудность, применяют схемы с конечными разностями, которые не ограничивают размер шага по
времени t. Одним из таких методов является простой неявный метод.
Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности
1 @T = @ 2T + g(x; t) :
(5.100)
@t @x2
k
Пространственная производная дискретизируется на n + 1 временном уровне в виде
@ 2T = Tin+11 2Tin+1 + Tin+1+1 + O(2 ) ;
(5.101)
x
@x2 i;n+1
2x
а производная по времени в виде
@T = Tin+1 Tin 1 + O( ) :
(5.102)
t
@t i;n+1
t
57
Рис. 5.9: Размещение узлов для простой неявной
схемы с конечными разностями.
Рис. 5.10: Размещение узлов для конечно-разностной схемы Кранка-Никольсона.
Подставляя уравнения (5.101 - 5.102) в уравнение (5.100), получаем простое неявное приближение
с конечными разностями для диффузионного уравнения в виде
Tin+1 Tin 1 = Tin+11 2Tin+1 + Tin+1+1 + gin+1 ;
(5.103)
t
2x
k
который является точным порядка O[2x; t] и является безоговорочно устойчивым. Это неявная
схема, потому что каждый раз на временном уровне необходимо решать одновременно уравнения
для определения температур в нескольких центральных узлах.
Рис.5.9 иллюстрирует рассматриваемую точку (i; n + 1) и окружающие узлы в конечных разностях. Если проблема включает М неизвестных температур в узлах, то необходимо одновременное
решение М уравнений каждый раз на новом уровне по сравнению со схемой явного метода. Но метод
имеет то преимущество, что он не накладывает никаких ограничений на размер шага по времени
t из соображений устойчивости.
5.3.1. Устойчивость простой неявной схемы
Как было обсуждено ранее, численное решение TE представляет собой сумму точного решения
TE проблемы плюс ошибка "
TN = TE + " :
(5.104)
Подставляя уравнение (5.104) в (5.103), отмечаем, что TE должно также удовлетворять разностному уравнению. Получаем
+1
"nj +1 "nj 1
"nj +11 2"nj +1 + "nj+1
=
;
(5.105)
t
(x)2
Простое неявное приближение с конечными разностями является устойчивым при всех значениях
временного шага t. Однако, t должен оставаться разумно маленьким для того, чтобы получить
результаты достаточно близкими к точному решению дифференциального уравнения в частных
производных, поскольку этот метод имеет порядок O(t).
5.3.2. Сплошной цилиндр или сфера
Рассмотрим сплошной цилиндр или сферу радиуса r = b. Для того, чтобы развить приближение
с конечными разностями, область решения 0 r b разделим на М слоев, каждая толщиной =
b=M , как показано на рис.5.3. Конечно-разностное приближение уравнений теплопроводности для
цилиндра и сферы (5.16, 5.17) с помощью простой неявной схемы, соответственно, дает
)
(
Tin+1 Tin = 1 1 p T n T n + 1 + p T n + 2gin+1 ; i = 1; 2; :::; M 1 : (5.106)
t
2 "
2i i 1 i
2i i+1
k
#
n
+1
n
+1
n
2
T0
Ti = 1 2(1 + p)(T n+1 T n+1) + g0 ;
i = 0;
(5.107)
1
0
t
2
k
58
= Mb :
где
Эти уравнения являются безоговорочно устойчивыми с точностью порядка O[2; t] и содержат
М выражений, но M +1 неизвестных температур в узлах. Можно получить дополнительное выражение, используя граничное условие при r = b. Если граничное условие представляет собой указанную
температуру, то уравнений (5.106) и (5.107) достаточно для того, чтобы определить М неизвестных
температур во внутренних узлах на временном уровне n +1 при известных температурах на временном уровне n. Стартуют обычно с начального температурного распределения. В случае конвекции
или указанного теплового потока на границе r = b, получают дополнительное соотношение путем
дискретизации граничного условия. Лучше всего применять центральные конечные приближения
при дискретизации граничного условия для получения конечного приближения с вторым порядком
точности.
5.3.3. Полый цилиндр или сфера
В случае полого цилиндра или сферы с внутренним радиусом a и внешним радиусом b, область
решения a r b разделим на М равных слоев, каждый толщиной = (b a)=M , как показано на
рис.5.5, а основное дифференциальное уравнение (5.16) дискретизуем, используя простую неявную
схему, в результате получаем
("
#
"
#
2g n+1 )
Tin+1 Tin = 1 1
p
p
i
n
+1
n
+1
n
+1
; (5.108)
t
2
2(a= + i) Ti 1 2Ti + 1 + 2(a= + i) Ti+1 + k
i = 1; 2; :::; M 1 ;
где
= bMa :
Эти уравнения являются безоговорочно устойчивыми с точностью порядка O[2; t] и формируют M 1 выражений, но задача содержит M + 1 неизвестных температур в узлах. Необходимо
получить еще два дополнительных выражения из граничных условий при r = a и r = b. Если
температуры указаны на границах, уравнения (5.108) являются достаточными для определения неизвестных во внутренних узлах, начиная с начального условия. Если граничные условия представляют собой конвекционные условия или условия с фиксированным тепловым потоком, то получают
два дополнительных выражения при дискретизации этих граничных условий. Необходимо применять центральное конечно-разностное приближение к этим граничным условиям для того, чтобы
получить конечно-разностное приближение второго порядка для граничных условий.
5.4. МЕТОД КРАНКА-НИКОЛЬСОНА
Основная идея в использовании неявной схемы была далее развита многочисленными исследователями с целью обнаружения эффективных схем, которые являются более точными и также не
имеют никакого ограничения на размер шага по времени. Одна из таких схем, называемая методом
Кранка-Николсона, явилась успешной при достижении такой цели. Эта альтернативная неявная схема дифференцирования, предложенная Crank and Nicolson (1947), сохраняет левую сторону неявного
уравнения (5.103), но изменяет правую сторону, принимая среднее арифметическое правых сторон
явного уравнения (5.5) и неявного уравнения (5.103). Тогда приближение с конечными разностями
диффузионного уравнения (5.1) методом Кранка-Николсона становится
"
#
1 Tin+1 Tin = 1 Tin+11 2Tin+1 + Tin+1+1 + Tin 1 2Tin + Tin+1 + gin + gin+1 :
(5.109)
t
2
2x
2x
k
Разлагая в ряд Тейлора относительно узла (i; n), можно показать, что метод Кранка-Николсона
является вторым порядком точности как по времени, так и по пространству, O[2t ; 2x]. Это является
преимуществом по отношению к простой неявной схеме, которая является точной только по порядку
O[t; 2x]. Кроме того, как в случае с полностью неявной схемой, эта схема во время итераций не
имеет никакого ограничения на размер шага по времени t.
С учебной точки зрения обсуждение значения схемы дифференцирования Кранка-Никольсона
является поучительной. Правая сторона уравнения (5.109) является средним арифметическим центральных разностных выражений для второй производной @ 2T=@x2 относительно узла i на временных
59
слоях n + 1 и n. Такая составная в среднем схема может быть расценена как оценка второй производной в узле i относительно временного слоя n + 1=2. Тогда левая сторона уравнения (5.109) может
быть расценена как центрально-разностное представление @T=@t относительно точки A (рис.5.10).
Следовательно, конечно-разностное дифференцирование производных относительно пространственной и временной переменной, является схемой с центральными разностями, а ошибки усечения, как
и ожидается, будут иметь второй порядок как по t, так и по x.
Уравнение (5.109) теперь можно переписать в виде
n+1
2 n
Tin+11 + (2 + 2 )Tin+1 Tin+1+1 = Tin 1 (2 2 )Tin + Tin+1 + (gi +k gi ) : (5.110)
Это уравнение безоговорочно устойчиво без ограничения на значение параметра = t=2.
Имеется только формальное ограничение на : для данного и x, применяемый шаг по времени
t не должен быть большим для того, чтобы не вредить точности вычислений.
1. Граничное условие первого рода.
Если температуры заданы на граничных поверхностях r = 0 и r = L, то температуры узлов
T0 и TM известны. Таким образом, каждый раз на уровне n уравнения (5.110) формируют M 1
алгебраических уравнений для определения M 1 неизвестных температур во внутренних узлах для
следующего временного шага n + 1.
2. Граничное условие третьего рода.
Когда граничные условие при x = 0 и x = L является конвекционным, тогда температуры
узлов T0 и TM на границах являются неизвестными. Поэтому, необходимо два дополнительных
соотношения.
Формулы дифференцирования граничных условий с вторым порядком точности могут быть получены при использовании формул с центральными разностями относительно граничных узлов i = 0
и i = M . Рассмотрим конвекционные граничные условия на обеих границах при x = 0 и x = L,
заданные в виде
x = 0;
(5.111)
k @T
@x + h0T = h0T1;0 ;
k @T
x = L:
(5.112)
@x + hL T = hLT1;L ;
Конечно-разностное приближение с центральными разностями для этих граничных условий относительно узлов i = 0 и i = M со вторым порядком точности имеют вид
n
n
k Ti 2T 1 + h0T0n = h0T1;0 ;
(5.113)
x
n
n
(5.114)
k TM +12 TM 1 + hLTMn = hLT1;L ;
x
где T n1 и TMn +1 { фиктивные температуры в фиктивных узлах, как показано на рис.5.2. Уравнения
(5.113) и (5.114) могут также быть написаны для временного
уровня
n +1, просто заменяя индексы n
n
n
на n + 1. Чтобы устранять фиктивные температуры T 1 и TM +1 имеется два дополнительных соотношения, полученные из уравнения (5.110), оценивая температуры для i = 0 и i = M , содержащие,
соответственно
n+1
2 n
T n1+1 + (2 + 2 )T0n+1 T1n+1 = T n1 + (2 + 2 )T0n + T1n + (gi +k gi ) ;
(5.115)
n+1
2 n
TMn+11 + (2 + r)TMn+1 TMn+1+1 = TMn 1 + (2 + 2 )TMn + TMn +1 + (gi +k gi ) ; (5.116)
Фиктивные температуры T n1 и T n1+1 устраняются из уравнения (5.115) при использовании уравнения (5.113) для временных слоев n и n + 1. Точно так же TMn +1 и TMn+1
+1 устраняются из уравнения
60
(5.116) посредством уравнения (5.114). Тогда получаются следующие два выражения для приближения с конечными разностями конвекционных граничных условий в граничных узлах i = 0 и i = M ,
соответственно
(2 + 2Z0)T0n+1 2T1n+1 = (2 20)T0n + 2T1n + 40 + (Gn0 + Gn0 +1 ) ;
(5.117)
n
+1
n
+1
n
n
n
n
+1
2TM + (2 + 2L)TM 1 = 2TM +1 + (2 2ZL)TM + 4L + (GM + GM ) ;
(5.118)
где
n 2
Z0 = 1 + xkh0 ; 0 = xkh0 T1;0 ; Gn0 = g0kx ;
n 2
(5.119)
ZL = 1 + xkhL ; L = xkhL T1;L ; GnM = gMkx ; = 2t :
x
Таким образом, система уравнений (5.117) и (5.118), вместе с уравнениями (5.110), является
полным приближением конечными разностями уравнения теплопроводности на пластине методом
Кранка-Никольсона, подвергнутого конвекции с обеих граничных поверхностей. Они формируют
M + 1 алгебраических уравнений для M + 1 неизвестных температур узлов. Система является
безоговорочно устойчивой.
3. Граничное условие второго рода.
Рассмотрим наложенные граничные условия по тепловому потоку на поверхностях x = 0 и x = L
@T
(5.120)
k @x = Q0 ;
x=0
@T
k @x = QL ;
(5.121)
x=L
где Q0 и QL являются наложенными тепловыми потоками на поверхностях при x = 0 и x = L,
соответственно. Сравнение этого граничного теплового потока с конвекционным граничными условиями, заданными уравнениями (5.111) и (5.112) показывает, что, вторые следую из первых при
следующих заменах
h0hl = 0 ; h0T1;0 = Q0 ; hLT1;L = QL :
(5.122)
Тогда уравнения с конечными разностями для наложенных граничных условий по тепловому
потока являются доступными из уравнений (5.117) и (5.118), соответственно, и, учитывая замены,
введенные уравнениями (5.122), получаем
(5.123)
(2 + 2 )T0n+1 2T1n+1 = (2 2 )T0n + 2T1n + 4 xkQ0 + (Gn0 + Gn0 +1 ) ;
2TMn+11 + (2 + 2 )TMn+1 = 2TMn 1 + (2 2 )TMn + 4 xQL + (GnM + GnM+1 ) : (5.124)
k
Таким образом, уравнения (5.123, 5.124) вместе с уравнением (5.110), для i = 1; 2; :::; M 1 обеспечивают полностью представление конечными разностями диффузионной задачи в плите методом
Кранка-Никольсона, подвергнутого наложенному тепловому потоку на границах. Они формируют
M + 1 алгебраических уравнений для определения M + 1 неизвестных температур узлов. Система
является безоговорочно устойчивой.
5.4.1. Сплошной цилиндр или сфера
Покажем теперь применение метода Кранка-Никольсона для конечно-разностного дифференцирования при цилиндрической и сферической симметриях. Рассмотрим одномерное диффузионное
уравнение с источниковым слагаемым для сплошного цилиндра или сферы радиуса r = b. Область
решения 0 r b разделим на М слоев толщиной = b=M , как показано на рис.5.5. Уравнения
61
с конечными разностями, примененные для внутренних узлов i = 1; 2; :::; M 1, получаются путем
дискретизации уравнений (5.16) методом Кранка-Никольсона. В результате получаем
Tin+1 Tin = 1 1 p T n+1 2T n+1 + 1 + p T n+1 + 1 p T n 2T n +
i
i
t 22
2i i 1
2i i+1
2i i 1
)
2
+ 1 + 2pi Tin+1 + k (gin+1 + gin)
(5.125)
для внутренних узлов i = 1; 2; :::; M 1.
Уравнение с конечными разностями для центрального узла i = 0 получается путем дискретизации уравнения (5.17) методом Кранка-Никольсона
(
)
T0n+1 T0n = 1 2(1 + p)(T n+1 T n+1) + 2(1 + p)(T n T n) + 2 (gn+1 + gn ) ; i = 0 : (5.126)
1
0
1
0
0
t
2 2
k 0
Уравнения (5.125) и (5.126) перегруппированы, соответственно, в виде
p
p
p
p
n
+1
n
+1
n
+1
n
n
1 2i Ti 1 + (2 + 2 )Ti
1 + 2i Ti+1 = 1 2i Ti+1 + (2 2 )Ti + 1 + 2i Tin 1 +
2
+ (gin+1 + gin ) ;
i = 1; 2; :::; M 1: ;
(5.127)
k
2
[2 + 2 (1 + p)]T0n+1 2 (1 + p)T1n+1 = [2 2 (1 + p)]T0n 2 (1 + p)T1n + k (g0n+1 + g0n ) ; (5.128)
где
= Mb ;
= 2 t :
Уравнения (5.127) и (5.128) являются безоговорочно устойчивыми с точностью порядка O[2; 2t ]
и обеспечивают М алгебраических уравнений, но содержат M +1 неизвестные температуры в узлах.
Дополнительное выражение получается из граничного условия при r = b.
1. Граничное условие первого рода.
Это условие подразумевает наличие фиксированной температуры Tb в границе r = b. Для такого
случая имеем
TM = Tb
(5.129)
для всех временных уровней. Тогда уравнений (5.127) и (5.128) оказывается достаточно для вычисления М неизвестных
температур в узлах, Tin+1, i = 0; 1; :::; M 1 для временного слоя n +1 на основе
n
известных Ti на предыдущем временном уровне.
2. Граничное условие третьего рода.
Это условие выражает тепловую конвекцию в границе r = b. Для этого случая граничное условие
при r = b задается уравнением
@T
(5.130)
k @x + hbT (b; t) = hbT1;b :
r =b
Это выражение должно быть дискретизировано центральной разностной формулой второго порядка точности, рассматривая фиктивный узел M + 1 с фиктивной температурой TM +1, расположенный правее на расстоянии от узла М, как показано на рис.5.4. Дискретизация уравнения (5.130)
на временных уровнях n и n + 1, соответственно, дает
n+1 T n+1
n
n
T
T
T
M
+1
M
1
M
+1
M 1 + h Tn = h T :
n
k
+
h
k
(5.131)
b TM = hb T1;b
b M
b 1;b
2
2
62
Теперь оценим уравнение с конечными разностями (5.127) для i = M . Получаем
p T n+1 + (2 + 2 )T n+1 1 + p T n+1 = 1 p T n +
1 2M
M +1
M
2M M +1
2M M 1
p T n + 2 (gn+1 + gn ) ;
(5.132)
+(2 2 )TMn + 1 + 2M
M +1
M
k M
где = (t)=2.
Фиктивные температуры TMn +1, и TMn +1, появившиеся в этом выражении, исключаются, используя уравнения (5.131). Тогда конечно-разностное приближение с вторым порядком точности граничного условия (5.130)
2TMn+1+1 + (2 + 2ZM )TMn+1 = 2TMn 1 + (2 2ZM )TMn + 4M + GM ;
(5.133)
p h T ;
p hb ;
где
ZM = 1 + 1 + 2M
M = 1+
k
2M k b 1;b
2
= 2 t :
(5.134)
GnM = k (gMn+1 + gMn ) ;
Подводя итоги, скажем, что уравнения (5.127), (5.128) и (5.133) обеспечивают M + 1 алгебраических уравнения для определения M + 1 неизвестных температур в узлах Tin+1, i = 0; 1; :::; М на
временном уровне n + 1 при известных температурах в узлах на предыдущем временном уровне
n, начиная с начального распределения. Обращаем внимание на то, что при большие значениях М
уравнение (5.133) сводится до уравнения (5.118) для плоской геометрии.
3. Граничное условие второго рода.
В этом случае указывается фиксированный тепловой поток на границе r = b. В этом случае
имеем
@T
k @r = Qb :
(5.135)
r =b
Сравнение этого граничного условия теплового потока с конвекционным граничным условием
для уравнения (5.130) показывает, что оно получается из конвекционного граничного условия как
частный случай, принимая следующие замены:
hb = 0 ;
hbT1;b = Qb :
(5.136)
Тогда, конечно-разностная аппроксимация во вторым порядком точности к указанному потоку
на границе получается из уравнения (5.133), делая замену, указанную в уравнении (5.136). Находим
2
2TMn+1+1 + (2 + 2 )TMn+1 = 2TMn 1 + (2 + 2 )TMn + 4 1 + p Qb + gMn :
(5.137)
2M k
k
Обратите внимание на то, что для большого М и отсутствия выделения энергии, это уравнение
сводится до уравнения (5.124) для плоской геометрии.
Конечно-разностное дифференцирования методом Кранка-Никольсона является безоговорочно
устойчивым, следовательно нет никакого ограничения на максимальное значение параметра .
5.4.2. Полый цилиндр или сфера
Рассмотрим одномерное диффузионное уравнение с источниковым слагаемым для полого цилиндра или сферы с внутреним радиусом r = a и внешним радиусом r = b. Область решения a r b
разделим на М слоев толщиной = (b a)=M , как показано на рис.5.5. Уравнения с конечными
63
разностями, примененные для внутренних узлов i = 1; 2; :::; M 1, получаются путем дискретизации
уравнений (5.16) методом Кранка-Никольсона. В результате получаем
#
"
#
"
#
("
Tin+1 Tin = 1 1
p
p
p
n
+1
n
+1
n
+1
n
t
2"2
2(a=#+ i) Ti 1 2Ti +) 1 + 2(a= + i) Ti+1 + 1 2(a= + i) Ti 1
2
p
n
n
2Ti + 1 + 2(a= + i) Ti+1 + k (gin+1 + gin )
(5.138)
для внутренних узлов i = 1; 2; :::; M 1.
Уравнения (5.138) могут быть перегруппированы в виде
p
p
p
p
n
+1
n
+1
n
+1
n
n
1 + 2i Ti+1 = 1 2i Ti+1 + (2 2 )Ti + 1 + 2i Tin 1 +
1 2i Ti 1 + (2 + 2 )Ti
2
i = 1; 2; :::; M 1: ;
(5.139)
+ k (gin+1 + gin ) ;
где
= bM a ;
= 2 t :
Уравнения (5.139) являются безоговорочно устойчивыми с точностью порядка O[2; 2t ] и обеспечивают М 1 алгебраических уравнений, но содержат M + 1 неизвестные температуры в узлах.
Дополнительные выражения получаются из граничных условий при r = a и r = b.
1. Граничное условие первого рода.
Это условие подразумевает наличие фиксированных температур Ta и Tb на границах r = a и
r = b. Для такого случая имеем
T0 = Ta ;
TM = Tb
(5.140)
для всех временных уровней. Тогда уравнений (5.139) оказывается достаточно для вычисления М
неизвестных
температур в узлах, Tin+1, i = 1; :::; M 1 для временного слоя n +1 на основе известных
n
Ti на предыдущем временном уровне.
2. Граничное условие третьего рода.
Это условие выражает тепловую конвекцию в границах r = a и r = b. Для этого случая граничные
условия задается уравнениями
@T
@T
k @r + hbT (b; t) = hb T1;b :
(5.141)
k @r + haT (a; t) = haT1;a ;
r =a
r =b
Эти выражения должны быть дискретизированы центральными разностями второго порядка
точности, рассматривая фиктивные узлы 1 и M + 1 с фиктивными температурами T 1 и TM +1,
соответственно, расположенные левее и правее на расстоянии от узлов 1 и М, как показано на
рис.5.4. Дискретизация уравнений (5.141) на временных уровнях n и n + 1, соответственно, дают
n+1 T n+1
n Tn
T
T
1
1 + h Tn = h T ;
1
1
n
k 2 + haT0 = haT1;a
k
(5.142)
a 0
a 1;a
2
n+1
n+1
n
n
k TM +1 2 TM 1 + hb TMn = hb T1;b :
(5.143)
k TM +1 2 TM 1 + hbTMn = hbT1;b
Теперь оценим уравнение с конечными разностями (5.139) для i = 0 и i = M . Получаем, соответственно
#
"
#
"
#
"
p
p
p
1 2(a=) T n1+1 + (2 + 2 )T0n+1 1 + 2(a=) T1n+1 = 1 2(a=) T1n +
64
#
2
p
n + (g n+1 + g n ) ;
T
(5.144)
+(2
1
+
1
0
0
0
2(
a=
)
k
"
#
"
#
"
#
p
p
p
n
+1
n
+1
n
+1
1 2(a= + M ) TM 1 + (2 + 2 )TM 1 + 2(a= + M ) TM +1 = 1 2(a=) TMn +1 +
#
"
2
p
n
(5.145)
+(2 2 )TM + 1 + 2(a= + M ) TMn 1 + k (gMn+1 + gMn ) ;
где = (t)=2.
Фиктивные температуры T n1, T n1+1, TMn +1, и TMn +1, появившиеся в этих выражениях, исключаются, используя уравнения (5.142) и (5.143). Тогда конечно-разностные приближения с вторым
порядком точности граничных условий (5.141)
(2 + 2Z0)T0n+1 2T1n+1 = (2 2Z0)T0n + 2T1n + 40 + G0 ;
(5.146)
n
+1
n
+1
n
n
2TM +1 + (2 + 2ZM )TM = 2TM 1 + (2 2ZM )TM + 4M + GM ;
(5.147)
!
!
hb ;
p
p ha ;
где
Z
Z0 = 1 + 1 + 2(a=
M =1+ 1+
2(a= +!M ) k
! ) k
p
h T ;
h T ;
p
0 = 1 + 2(a=
a 1;a
M = 1+
) k
2(a= + M ) k b 1;b
2
2
GnM = k (gMn+1 + gMn ) ;
= 2 t :
(5.148)
Gn0 = k (g0n+1 + g0n ) ;
2 )T n + "
Подводя итоги, скажем, что уравнения (5.146), (5.147) и (5.139) обеспечивают M + 1 алгебраических уравнения для определения M + 1 неизвестных температур в узлах Tin+1, i = 0; 1; :::; М на
временном уровне n + 1 при известных температурах в узлах на предыдущем временном уровне n,
начиная с начального распределения.
3. Граничное условие второго рода.
В этом случае указывается фиксированный тепловой поток на границах r = a и r = b. В этом
случае имеем
@T
@T
k @r = Qb :
(5.149)
k @r = Qa ;
r =a
r =b
Сравнение этого граничного условия теплового потока с конвекционным граничным условием
для уравнения (5.141) показывает, что оно получается из конвекционного граничного условия как
частный случай, принимая следующие замены:
ha = hb = 0 ;
haT1;a = Qa ;
hbT1;b = Qb :
(5.150)
Тогда, конечно-разностная аппроксимация во вторым порядком точности к указанному потоку
на границе получается из уравнений (5.146) и (5.147), делая замену, указанную в уравнении (5.150).
Находим
"
#
2
p
n
+1
n
+1
n
n
(2 + 2 )T0
2T1 = (2 2 )T0 + 2T1 + 4 1 + 2(a=) k Qb + k g0n ;
(5.151)
"
#
2
p
2TMn+1+1 + (2 + 2 )TMn+1 = 2TMn 1 + (2 2 )TMn + 4 1 + 2(a= + M ) k Qb + k gMn ; (5.152)
Конечно-разностное дифференцирования методом Кранка-Никольсона является безоговорочно
устойчивым, следовательно нет никакого ограничения на максимальное значение параметра .
65
5.5. ТРЕХУРОВНЕВЫЙ ПО ВРЕМЕНИ МЕТОД
В предыдущих частях были рассмотрены только двухуровневые по времени конечно-разностные
схемы дифференцирования, которые вычисляют новые значения на слое n +1, используя значения на
временном слое n. Трехуровневые (или более) схемы по времени могут быть построены для достижения преимуществ этих схем по сравнению с двумя уровнями. К такими преимуществам относят
меньшая локальная ошибка усечения, большая устойчивость, или возможность преобразования нелинейной проблемы к линейной. В трехуровневой по времени схеме для вычисления новых значений
на временном уровне (n + 1), необходимы значения во времени на уровнях n, и n 1. Поэтому,
для начала вычислений с трехуровневой по времени схеме необходимо применить двухуровневую по
времени схему в качестве стартовой.
Рассмотрим, в качестве примера, одномерное диффузионное уравнение
1 @T = @ 2T + g(x; t) :
(5.153)
@t @x2
k
Дифференцирование конечными разностями по трехуровневой по времени схеме приводит к
3 Tin+1 Tin + 1 Tin Tin 1 = Tin+11 2Tin+1 + Tin+1+1 + gin ;
(5.154)
2 t
2 t
2x
k
которая
является вторым порядком точности по временной и пространственной переменным, т.е.,
2
2
O[t ; x].
Это конечно-разностное приближение имеет ошибку усечения того же самого порядка, как и
схема Кранка-Никольсона, но она более точна в случаях, когда начальное условие задачи является
разрывным или быстро изменяется с изменением x. Однако, когда начальные условия и его производные являются непрерывными, можно пользоваться методом Кранка-Никольсона.
Для того, чтобы начать вычисления (5.154), необходимы начальные данные на двух временных
уровнях, n = 0 и n = 1 (т.е., t = 0 и t = t). Поэтому, необходима двухуровневая по времени
схема для вычисления Ti1. Когда начальные данные Ti0 ?? Ti1 являются уже известны, можно применять уравнение (5.154) для вычисления Ti2, и вычисления могут быть в дальнейшем по аналогии
продолжены.
5.6. СРАВНЕНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
В этой части рассмотрим различные конечно-разностные схемы, включая простую явную, простую неявную, Кранка-Никольсона и трехуровневую по времени схему и проиллюстрируем их применение на одномерном диффузионном уравнении
@T (x; t) = @ 2T (x; t) :
(5.155)
@t
@x2
в качестве образцового уравнения. Поучительно иметь краткий обзор всех этих методов для того,
чтобы сравнить их существенные особенности. В таблице 5-4 приведены конечно-разностные схемы,
уравнения с конечными разностями, критерий устойчивости и порядок точности для каждого из этих
методов, полученные после дискретизации диффузионного уравнения (5.155).
В таблице 5-4, случай #1 для простой явной схемы указывает на центральное дифференцирование для второй производной по пространству
и дифференцирование вперед для производной по
времени. Эта схема с точностью O[2x; t].
Случай #2 для простой неявной схемы включает центральное дифференцирование по пространству2 и дифференцирование назад по времени. Схема всегда устойчива и имеет точность порядка
O[x; t].
Схема Кранка-Никольсона показана как случай # 3. Пространственная производная дискретизируется, беря среднее арифметическое центральных разностей на временных слоях n и n + 1, в то
время как дифференцирование производной по времени может быть расценено как центральные2 про-2
изводные относительно временного слоя n + 1=2. Поэтому, схема имеет точность порядка O[x; t ]
и всегда является устойчивой.
66
В случае # 4, трехуровневая по времени схема использует центральный дифференцирование по
пространственной переменной по временному уровню n + 1 и среднее весовое число дифференцирования вперед 3=2 и назад 1=2, соответственно, по временной переменной. Эта схема имеет точность
порядка O[2x; 2t ] и всегда устойчивая.
Таблица 5-4. Сравнение различных конечно-разностных схем дискретизации диффузионного
уравнения (5.155)
Конечно-разностная
Критерий Порядок
схема
устойч-ти точности
простая явная
Tin+1 Tin = T n
< 0:5 O[2x; t]
xx i
t
простая неявная
Tin+1 Tin = T n+1
везде
O[2x; t]
xx i
t
Кранка-Никольсона
Tin+1 Tin =
t
= xxTin+1
везде
O[2x; 2t ]
трехуровневая по t
3 Tin+1 Tin 1 Tin Tin 1 = T n
везде
O[2x; 2t ]
xx i
2 t
2 t
В приведенной таблице
xxTi = Ti 1 2T2i + Ti+1
= 2t :
x
x
Непостоянные и непоследовательные схемы. Наконец, поучительно исследовать ситуации,
в которых схема с конечными разностями является или безоговорочно непостоянной, или она является несовместимой с дифференциальным уравнением, которое предназначено аппроксимировать.
Рассмотрим, например, следующую трехуровневую по времени схему для приближения с конечным разностями диффузионного уравнения, Richardson(1910)
Tin+1 Tin 1 = Tin 1 2Tin + Tin+1 ;
(5.156)
2t
2x
которая имеет точность порядка O(2x; 2t ). К сожалению, этот метод является безоговорочно неустойчивым, поэтому это не может использоваться при решении диффузионного уравнения независимо от его других выгодных численных свойств.
Чтобы стабилизировать эту схему, DuFort and Frankel (1953) заменили слагаемое Tin на (Tin+1
Tin 1)=2 в уравнении (5.156) и предложили следующее приближение с конечными разностями для
диффузионного уравнения
Tin+1 Tin 1 = Tin 1 Tin Tin+1 + Tin+1 ;
(5.157)
2t
2x
которое может быть перегруппировано
(1 + 2 )Tin+1 = Tin 1 + 2 (Tin 1 Tin 1 + Tin+1) :
(5.158)
Схема явная, потому что она содержит только одну неизвестную, Tin+1, ошибка усечения имеет
порядок O(2x; 2t ) и схема является безоговорочно устойчивой. Несмотря на эти привлекательные
особенности, можно показать, что метод совместимым с решением диффузионного уравнения, если
имеет (t=x)2 приближающееся к нулю и x и t, стремящиеся к нулю.
67
6. МНОГОМЕРНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Когда температурные градиенты в пределах тела становятся определяющими в больше чем одном измерении, или имеют место пространственные граничные условия, то в анализ задач должен
включать многомерные эффекты.
Для тел, имеющих простые формы типа прямоугольник, прямоугольный параллелепипед, цилиндр
или сфера, многомерные линейные диффузионные задачи могут быть решены аналитическими методами. Однако, для тел, имеющих нерегулярные формы, сложные граничные условия для температуры
или нерегулярные распределения концентрации, получение аналитических решений становится очень
трудным или их вообще невозможно получить. Кроме того, в некоторых ситуациях оценка решения
может быть такой сложной, что численное решение становится предпочтенным.
В этой разделе исследуем численное решение многомерных параболических систем конечноразностными методами. Имеется большое разнообразие тепловых или задач диффузии, которые
являются параболическими по своей природе. Например, проблемы диффузии или распространения
массы в твердых телах, нестационарные тепловые задачи с принудительным тепловым потоком,
граничные задачи диффузии в слое могут быть выделены в параболические системы.
Простой явный метод может быть применен для решения многомерных проблем. Однако этот
метод имеет ограничение, наложенное на допустимый временной шаг и на количество точек сетки,
которые ведут к чрезвычайному увеличению продолжительности вычислений. Для решения двух
и трехмерных проблем может быть применен метод Кранка-Никольсона, но полученная система
алгебраических уравнений уже не является трехдиагональной.
В настоящем разделе рассматриваются неявные и явные методы чередующихся направлений,
модифицированные методы для конечно-разностного представления типичных двух и трехмерных
проблем.
6.1. ПРОСТОЙ ЯВНЫЙ МЕТОД
Рассмотрим в качестве модельной задачи двухмерную линейную задачу теплопроводности в изотропном твердом теле. Температурные поля в среде описываются дифференциальным уравнением с
частными производными в прямоугольной системе координат
!
@T = @ T + @ T + g(x; y; t) ;
(6.1)
@t
@x2 @y2
k
где T = T (x; y; t) подчиняется некоторым указанным граничным и начальному условиям, g = g(x; y; t)
{ объемная плотность источника тепловыделения. Для того, чтобы дискретизировать это дифференциальное уравнение введем обозначение
T (x; y; t) = T (ix; j x; nt) Ti;jn :
(6.2)
Тогда, конечно-разностное приближение дифференциального уравнения (6.1) простым явным методом в точке сетки (x; y), использующим дискретизацию разностями вперед по времени и центральные пространственные разности, дает
#
" n
Ti 1;j 2Ti;jn + Tin+1;j Ti;jn 1 2Ti;jn + Ti;jn +1 gi;jn
Ti;jn+1 Ti;jn
(6.3)
+
+ k :
=
t
2x
2y
Это выражение можно перегруппировать
t gn ;
Ti;jn+1 = Ti;jn + x(Tin 1;j 2Ti;jn + Tin+1;j ) + y (Ti;jn 1 2Ti;jn + Ti;jn +1) + (6.4)
k i;j
где
x = 2t ;
y = 2t :
x
y
Для эквидистантной сетки x = y = , уравнение (6.4) преобразуется до
Ti;jn+1 = (Tin 1;j + Tin+1;j + Ti;jn 1 + Ti;jn +1) + (1 4 )Ti;jn + Gni;j ;
68
(6.5)
2gi;jn
t
n
= 2 ;
Gi;j = k :
Уравнение (6.4) или (6.5) обеспечивают явное выражение для определения Ti;jn+1 на следующем
временном слое n + 1 из значений температур в точках Ti;jn на предыдущем временном слое n. Если
температура предписана на всех границах, число уравнений равняется числу неизвестных температур сетки, следовательно проблема является разрешимой.
Для граничных условий с производными, типа конвекции или фиксированного теплового потока, температуры в граничных узлах являются неизвестными. Для таких случаев, используются
дополнительные соотношения дискретизирующие граничные условия. Дискретизация слагаемого
с производной в граничном условии может быть проведена или односторонними разностями, используя формулу вперед или назад, которая является формулой только первого порядка точности.
Возможна более точная дискретизация граничных условий формулами второго порядка, представляя
фиктивный узел и используя формулу с центральным разностями.
где
6.1.1. Устойчивость простого явного метода
Для того, чтобы получить решение конечно-разностного уравнения (6.4), надо установить критерий устойчивости. Перепишем уравнение (6.4) в виде
(6.6)
Ti;jn+1 = Ti;jn + x(Tjn 1;k 2Tj;kn + Tjn+1;k ) + y (Tj;kn 1 2Tj;kn + Tj;kn +1) ;
t ;
t :
где
x = (
y=
2
x)
(y)2
Здесь опущено слагаемое генерации энергии, потому что оно не влияет на рост и распространение ошибок. Для случая x = y = , критерий статической устойчивости требует
(6.7)
= 2 t > 0 ;
что выполняется всегда, поскольку t > 0.
Динамический критерий устойчивости накладывает условие
2
= 2 t < 21 ;
t = 2 :
(6.8)
Наконец периодический критерий устойчивости требует
2
t = 4 :
(6.9)
= 2 t 41 ;
который является вдвое ограничительным по сравнению с одномерным случаем, который требует
0:5.
Пример 6-1. Получите критерий устойчивости для приближения с конечными разностями простого явного метода трехмерного линейного диффузионного уравнения в прямоугольной системе координат (x; y; z).
Решение. Уравнение с конечными разностями (6.6) и соответствующая ошибка могут быть
обобщены на трехмерный случай. Слагаемое ошибки заменяется в уравнении с конечными разностями, описанном ранее. В результате имеем следующие результаты для критерия устойчивости
[x + y + z ] 21 ;
(6.10)
или
69
"
#
t + t + t 1 :
(6.11)
2x 2y 2z
2
Для случая x = y z = , критерий устойчивости становится
(6.12)
= 2 t 61 ;
который является втрое ограничительным по отношению к одномерному ограничению 0:5.
Пример 6-2. Используя простой явный метод, запишите конечно-разностную форму следующего двухмерного диффузионного уравнения в цилиндрических координатах.
1 @T = @ 2T + 1 @T + 1 @ 2T + g ;
(6.13)
@t @r2 r @r r2 @ k
где T = T (r; t), g = g(r; ; t).
Решение. Принимаем обозначение
T (r; ; t) = T (ir; j ; nt) = Ti;jn :
(6.14)
Используя разности вперед по времени и центральные разности по пространству, получаем
Ti;jn+1 Ti;jn Tin 1;j 2Ti;jn + Tin+1;j 1 Ti;jn 1 Ti;jn 1 1 Ti;jn 1 2Ti;jn + Ti;jn +1 gi; jn
=
+ i2
+ i
+ k : (6.15)
t
2r
2r
2
r
r
Это уравнение теперь можно переписать в виде
1
1
n
+1
n
Ti;j = 1 2i Ti;j + 1 + 2i Tin+1;j + ri2 Ti;jn 1 + ri2 Ti;jn +1 +
!
2
2
(6.16)
+ 1 2 i2 Ti;jn + kr gi;jn ;
t
:
= (
r )2
r
Уравнение (6.16) применимо во всех внутренних узлах i = 1; 2; :::; M 1 и j = 1; 2; ::: кроме в
начала координат i = 0, который исследован в следующем примере.
где
= 2t ;
Пример 6-3. При использовании простого явного метода запишите конечно-разностное приближение следующего диффузионного уравнения
1 @T = @ 2T + 1 @T + 1 @ 2T + g(r; ; t) ;
(6.17)
@t @r2 r @r r2 @
k
в начале координат r = 0.
Решение. Лапласиан имеет очевидную особенность при r = 0. Поэтому, при r = 0, оно
заменяется его декартовом эквивалентом в виде
2
2
1 @T = r2T (r; ; t) + g ;
2T = @ T + @ T ;
r
r = 0 : (6.18)
@t
k
@x2 @y2
70
Чтобы построить конечно-разностную форму для r2T в начале координат построим круг с радиусом r и центром в r = 0. Этот круг пересекает оси ox и oy в точках 1, 2, 3 и 4. Пусть температура
T0 будет в центре r = 0, а температуры T1, T2, T3 и T4 будут в вышеупомянутых четырех точках.
Тогда, конечно-разностное приближение оператора Лапласа r2T jr=0 станет
r2T r=0 = T1 + T2 +(T3 )+2 T4 4T0 + O[2r ] :
(6.19)
r
Вращение осей на маленький угол ведет к аналогичным результатам. Повторение этого вращения и сложение этих результатов ведет к соотношению
^
r2T r=0 = 4(T( )T2 0) + O[2r ] :
(6.20)
r
где T^ { среднее значение T по кругу радиуса r .
6.2. НЕЯВНЫЙ МЕТОД ЧЕРЕДУЮЩИХСЯ НАПРАВЛЕНИЙ (НМЧН)
Метод Кранка-Никольсона и простые неявные методы, обсужденные в предыдущих разделах
курса, имеют то преимущество, что все они безоговорочно устойчивы, но при этом для двух- и
трехмерных задач вычисления становятся громоздкими. Например,3 трехмерная задача с N внутренними узлами
в каждом временном направлении обращается к N внутренним точкам. Поэтому,
матрица N 3 N 3 должна быть решена для каждом временном уровне. Таким образом, процедура
становится неэффективной для большого N . Преодолели такие трудности Peaceman and Rachford
(1955) и Douglas (1955), развившие неявный метод чередующихся направлений для решения задач,
включающих большое количество внутренних узлов. Принципиальное преимущество таких методов
заключается в том, что размер матрицы, которая будет решена каждый раз на временном уровне
уменьшается за счет многочисленного решения уменьшенной матрицы. Например, для трехмерной
проблемы, содержащей N внутренних узлов на каждом из направлений, НМЧН преобразует задачу
к решению матрицы
N N на каждом временном уровне, что является намного легче, чем решение
матрицы N 3 N 3. Кроме того, НМЧН требует минимальной памяти для хранения чисел и метод
является весьма точным.
Рассмотрим двухмерное нестационарное уравнение теплопроводности
1 @T = @ 2T + @ 2T + g(x; y; t) ;
(6.21)
@t @x2 @y2
k
подчиненное соответствующим граничным и начальным условиям. Вводим обозначение
T (x; y; t) = T (ix; j x; nt) Ti;jn :
(6.22)
Конечно-разностное приближение дифференциального уравнения (6.21) с НМЧН основано на
следующих концепциях.
Предположим, что вычисления должны быть проведены с n-ого временного уровня на (n + 1)-й
временной уровень. Используем простой неявный метод для одного из пространственных направлений, скажем x, и простой явный метод для другого направления, скажем y. Тогда, продвижение от
(n + 1)-го уровня к (n + 2)-му уровню будет сделано, неявный и явный методы меняют направления. В дальнейшем вычислительная процедура продолжается, поочередно меняя направления явных
и неявных методов.
Теперь покажем применение НМЧН метода для дискретизации уравнения (6.21). Предположим,
что используется неявная схема в направлении x и явная схема в направлении y, чтобы перейти от
n-го временного слоя к (n + 1)-му слою. Конечно-разностное приближение уравнения (6.21) дается
в виде
Ti;jn+1 Ti;jn Tin+11;j 2Ti;jn+1 + Tin+1+1;j Tin 1;j 2Ti;jn + Tin+1;j gi;jn+1
(6.23)
+
+ k :
t =
2x
2y
71
Для следующего временного уровня используется явная формулировка для направления x и неявной формулировка для направления y. Тогда, конечно-разностная аппроксимация уравнения (6.21)
при переходе от (n + 1)-го слоя на (n + 2)-й временной шаг становится
Ti;jn+2 Ti;jn+1 Tin+11;j 2Ti;jn+1 + Tin+1+1;j Tin+21;j 2Ti;jn+2 + Tin+1+2;j gi;jn+1
=
+
+
(6.24)
t
2x
2y
k :
Это уравнение использует результаты предыдущего временного шага n +1 для вычисления температуры на временном шаге n + 2.
Для вычислительных целей, удобно перегруппировать уравнения (6.23) и (6.24) так, чтобы на
каждом уровне, неизвестные величины появлялись на одной стороне равенства, скажем, слева, а
известные величины с другой стороны, т.е. справа. Уравнения (6.23) и (6.24), соответственно,
примут вид
xTin+11;j + (1 + 2x)Ti;jn+1 xTin+1+1;j = y Ti;jn 1 + (1 2y )Ti;jn + y Ti;jn +1 + kt gi;jn+1
(6.25)
для временного шага n + 1, и
y Ti;jn+21 + (1 + 2y )Ti;jn+2 y Ti;jn+2+1 = xTin+11;j + (1 2x)Ti;jn+1 + xTin+1+1;j + kt gi;jn+2 (6.26)
для временного слоя n + 2, где
y = 2t :
(6.27)
x = 2t ;
x
y
При решении проблемы, уравнения (6.25) и (6.26) повторяются альтернативно.
Преимуществом этого подхода по сравнению с полностью неявной схемой или методом КранкаНикольсона состоит в том, что каждое уравнение, хотя и является неявным, но все равно
остается
трехдиагональной. Другим словами, уравнение (6.25) неявно содержит неизвестные Ti;jn+1, Tin+11 и
Tin+1+1;j , в то время как уравнение (6.26) неявно содержит неизвестные Ti;jn+2, Ti;jn+21 и Ti;jn+2+1. Поэтому,
матрица коэффициентов является трехдиагональной для каждого уравнения. Следовательно, вычислительная схема является более эффективной чем процедура для не трехдиагональных систем.
Если температуры указаны на всех границах, то уравнений (6.25) и (6.26) оказывается достаточно для определения неизвестных температур во внутренних узлах.
Для конвекции и установленных граничных условий для теплового потока температуры на граничных узлах являются неизвестными. Для таких случаев, получают дополнительные соотношения.
Метод получения этих уравнений подробно описан в предыдущем разделе.
6.3. ЯВНЫЙ МЕТОД ЧЕРЕДУЮЩИХСЯ НАПРАВЛЕНИЙ (ЯМЧН)
Явные методы чередующихся направлений не только обеспечивают вычислительную простоту,
но также и обладают преимуществами перед неявными методами в том, что никакие серьезные
ограничения не накладываются на временной шаг. Для того, чтобы проиллюстрировать особенности
ЯМЧН, рассмотрим одномерную нестационарную теплопроводности в качестве модельной задачи
перед рассмотрением двухмерной ситуации.
Одномерная задача нестационарной теплопроводности в плите толщиной L описывается дифференциальным уравнением
1 @T = @ 2T + g(x; t) ;
(6.28)
@t @x2
k
подчиненное фиксированным температурам на обеих границах и начальному условию. Для дискретизации уравнений введем обозначение
T (x; t) = T (j x; nt) Tjn :
(6.29)
72
Пусть Ujn и Vjn будут решениями следующих двух уравнений с конечным разностями, которые являются многомерными конечно-разностными представлениями дифференциального уравнения
(6.28).
Ujn+1 Ujn
Ujn+11 Ujn+1 Ujn + Ujn+1
(gn+1 + gn ) ;
=
(6.30)
+
+
j
t
2x
2k j
Vjn+1 Vjn
Vjn 1 Vjn Vjn+1 + Vjn+1+1 n+1 n
=
j = 1; 2; :::; M 1
(6.31)
+ 2k (gj + gj ) ;
t
2x
Уравнения (6.30) и (6.31) можно перегруппировать для того, чтобы получить явные выражения
для Ujn+1 и Vjn+1 . Они, соответственно, станут
Ujn+1 = aUjn + b(Ujn+11 + Ujn+1 ) + bG?j ;
(6.32)
n
+1
n
n
n
+1
?
Vj = aVj + b(Vj 1 + Vj+1 ) + bGj ; j = 1; 2; :::; M 1 ;
(6.33)
2
где
(6.34)
a = 11 + ; b = 1 + ; G?j = (2kx) (gjn+1 + gjn ) ; = 2t :
x
Вычислительная процедура для определения Ujn+1 и Vjn+1 из уравнений (6.32) и (6.33) следующая:
1. Уравнение (6.32) проходит для решения слева направо, начиная в узле i = 1 с U0n+1 , являющимся
всегда доступным от указанной температуры на левой границе. Точно так же уравнение (6.33)
прогоняется права налево, начиная в узле j = M 1, пока Vjn+1 является всегда доступным от
указанной температуры на правой границе. Эти два решения выполняются одновременно.
2. Как только Ujn+1 и Vjn+1 определены из этих вычислений, температуры Tjn+1 на временном
уровне n + 1 во внутренних узлах j вычисляются от среднего арифметического числа Ujn+1 и Vjn+1
как
(6.35)
Tjn+1 = 21 Ujn+1 + Vjn+1 :
Преимущество этого метода в двух положениях. Прежде всего эта схема является безоговорочно
устойчиво, и второе, ошибка усечения приблизительно O(2t ; 2x), потому что состоит в среднем из
двух полученных решений (6.35) имеет тенденцию сокращать ошибки противоположных знаков.
6.3.1. Устойчивость простого явного метода
Рассмотрим, например, уравнение (6.30) без генерации энергии, записанного в виде
= 2t :
Ujn+1 Ujn = Ujn+1+1 Ujn+1 Ujn + Ujn+1 ;
(6.36)
x
Предшествующий анализ основан на условии, что температуры указаны на всех границах, следовательно температуры на граничных узлах являются известными. В случае конвекции или предписанных тепловых потоках, анализ устойчивости показывает, что ограничения на размер шага по
времени не имеют места.
6.3.2. Двухмерная нестационарная теплопроводность
Теперь обобщим ЯМЧН метод для двухмерного случая, рассматривая нестационарную теплопроводность в качестве модельной задачи. Основное дифференциальное уравнение записывается в
виде
1 @T = @ 2T + @ 2T + g(x; y; t) ;
(6.37)
@t @x2 @y2
k
73
подчиненное к указанным температурам на всех границах и начальному условиям. Для дискретизации введем обозначение
T (x; y; t) = T (ix; j y ; nt) Ti;jn :
(6.38)
Пусть Ui;jn и Vi;jn будут решениями следующих двух уравнений с конечными разностями, которые
являются представлениями конечно-разностного дифференциального уравнения (6.37)
Ui;jn+1 Ui;jn Uin+11;j Ui;jn+1 Ui;jn + Uin+1;j Ui;jn+11 Ui;jn+1 Ui;jn + Ui;jn +1 gjn+1 + gjn
+
+ 2k ; (6.39)
t =
2x
2y
Vi;jn+1 Vi;jn Vin 1;j Vi;jn Vi;jn+1 + Vin+1+1;j Vi;jn 1 Vi;jn Vi;jn+1 + Vi;jn+1
gjn+1 + gjn
+1
+
+ 2k ;
(6.40)
t =
2x
2y
Уравнения (6.39) и (6.40) можно перегруппированы для того, чтобы получить явные выражения
для Ui;jn+1 и Vi;jn+1 . Они, соответственно, примут вид
Ui;jn+1 = AUi;jn + B (Uin+11;j + Uin+1;j ) + C (Ui;jn+11 + Ui;jn 1) + G?i;j ;
(6.41)
n
+1
n
n
n
+1
n
n
+1
?
Vi;j = AVi;j + B (Vi 1;j + Vi+1;j ) + C (Vi;j 1 + Vi;j 1) + Gi;j ;
(6.42)
где i = 1; 2; :::; M 1 и j = 1; 2; :::; N 1. В приведенных выражениях использованы обозначения
A = 11 + rrx + rry ; B = 1 + rrx + r ; C = 1 + rry + r ;(6.43)
x
y
x
y
x
y
t
G?i;j = 2(1 + r + r ) gi;jn+1 + gi;jn ;
x
y
x = 2t ;
y = 2t ;
(6.44)
x
y
Вычислительная процедура для вычисления Ui;jn+1 и Vi;jn+1 из уравнений (6.41) и (6.42) следующая:
1. Рассмотрим, например, вычисление Ui;jn+1 из уравнения (6.41). Вычисления начинаются от
сетки, самой близкой на границе x = 0 и y = 0 (т.е., i = 1, j = 1) и выполняются в направлении
n+1
увеличения i и j , в то время как U0n;+1
1 и U1;0 являющиеся всегда доступными из граничных условий.
2. Аналогично вычисляются Vi;jn+1 из уравнений (6.42), начиная вычисления от узла, самого
близкого
к границам x = a и y = b и выполняются в направлении уменьшения i и j , в то время как
n+1 и V n+1 являющиеся всегда доступными из граничных условий.
VM;N
1
M 1;N
Однажды вычисленные Ui;jn+1 и Vi;jn+1, определяют температуры Ti;jn+1 во внутренних узлах (i; j )
Ti;jn+1 = 12 Ui;jn+1 + Vi;jn+1 :
(6.45)
Ошибка усечения составляет приблизительно O(2t ; 2x; 2y ), потому что слагаемые с противоположными по знаку ошибками отличаются только слегка по величине и имеют тенденцию сокращать
друг друга. Анализ устойчивости показывает, что двухмерный ЯМЧН также является безоговорочно устойчивым.
74
7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Физические процессы, такие как стационарная тепловая или массовая диффузии с или без источников в пределах безвихревого потока несжимаемой жидкости, медленное движение несжимаемой
вязкой жидкости и многие другие описываются эллиптическими дифференциальными уравнениями
с частными производными. Например, уравнение Лапласа
r2T = 0
(7.1)
является хорошо известным уравнением для моделирования стационарной теплопроводности без
источников в сплошной среде. Уравнение Пуассона
r2T + f (r) = 0
(7.2)
используется для моделирования стационарной теплопроводности с источниками внутри среды.
Обычно в таких задачах используемые линейные граничные условия, которые содержат определенные значения функции (т.е., указанную температуру) или ее производную (т.е., указанный тепловой поток) или линейную комбинацию значения и ее производной (т.е., конвекция). Если область
решения конечна и, производная функции определена в каждом точке так, что сумма поступающего
теплового потока равняется потоку отведенному от тела через его границы, то решение задачи является единственным только к пределах аддитивной постоянной. Другими словами, если T { решение,
то T + const является также решением. Если сумма поступающего и произведенного тепла не равна
отводимому теплу из среды, то такая задача не имеет стационарного решения.
Двухмерные несжимаемые уравнения Навье-Стока для потока с постоянными свойствами без
внешних сил представляют систему эллиптических и параболических уравнений. Используя подход
завихренность-функция тока, эти уравнения преобразуются в уравнение переноса завихренности,
которое является параболическим во времени и уравнение завихренности, которое является эллиптическим уравнением Пуассона.
Для несжимаемого потока с постоянными свойствами и в отсутствии внешних сил, задача определения поля скорости и поля температуры являются в первом приближении независимыми. Поэтому,
как только компоненты скорости определены из уравнения движения, они используются в качестве
исходных данных для уравнения теплопроводности, которое может быть решено при удовлетворении
тепловых граничных условий.
В этом разделе курса исследуем конечно-разностные представления стационарного уравнения
диффузии, двухмерного уравнения Навье-Стокса для течения несжимаемой жидкости с постоянными
свойствами.
7.1. СТАЦИОНАРНАЯ ДВУХМЕРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Двухмерная стационарная теплопроводность или диффузия массы в среде с постоянными свойствами с источниками определяется уравнением Лапласа
@ 2T + @ 2T = 0 ;
(7.3)
@x2 @y2
подчиненное соответствующим тепловым граничным условиям.
Для дискретизации этого уравнения принимаем обозначение
T (x; y) = T (ix; j y ) Ti;j :
(7.4)
Используя стандартную конечно-разностную схему дифференцирования второго порядка, аппроксимация разностями уравнения (7.3) для внутренних узлов задается в виде
Ti+1;j 2Ti;j + Ti 1;j + Ti;j+1 2Ti;j + Ti;j 1 = 0 ;
(7.5)
x
y
которая является точной порядка O[2x; 2y ].
75
Рис. 7.1: Контрольный объем относительно узла
\A" на границе с конвекцией.
Рис. 7.2: Локальная сеть и типичные контрольные
объемы.
Для указанной температуры на всех границах, число уравнений, обеспеченных системой (7.5),
равно числу неизвестных температур для внутренних узлов. Следовательно уравнения могут быть
решены.
Для граничных условий второго или третьего рода, температуры на граничных узлах являются
неизвестными. Применяются дополнительные соотношения, основанные на принципе сохранения
для соответствующего контрольного объема относительно каждого граничного узла. Рассмотрим,
например, узел \A" при конвективном условии на границе, как показано на рис.7.1.
Принцип сохранения для уравнения Лапласа может быть определен уравнением
Z
q n ds = 0 ;
(7.6)
(S )
где q { вектор теплового потока, n { единичный вектор нормали, направленный наружу по отношению к границе поверхности. Интегрирование проводится по всей поверхности контрольного объема.
Определение уравнения (7.6) к контрольному объему относительно узла \A" на рис.7.1 дает
@T
x @T x @T + k 2 @y k 2 @y = 0;
(7.7)
hy (T1 Ti;j ) + ky @x i+1=2;j
i;j +1=2
i;j 1=2
когда производные будут дискретизированы, получим
Ti+1;j Ti;j x Ti;j+1 Ti;j ! x Ti;j 1 Ti;j !
hy (T1 Ti;j ) + ky
+k 2
+k 2
= 0 : (7.8)
x
y
y
Аналогичные выражения уравнению (7.6) применяются для всех узлов с конвекцией или указанных тепловых потоках на границах.
В случае уравнения Пуассона, выражение с конечными разностями содержит вклад источникового слагаемого f (x; y).
Конечно-разностное приближение уравнения Лапласа или уравнения Пуассона проводится аналогичным образом. Процедура дискретизации ведет к системе, которая содержит большое количество
линейных алгебраических уравнений, поэтому важен выбор надлежащего алгоритма решения.
7.1.1. Локальные сетки
До настоящего момента мы обсуждали конечно-разностное приближение двухмерных стационарных проблем теплопроводности для тел, имеющих регулярные формы (типа прямоугольника) и
рассмотрели использование сеток с одинаковым шагом по всей области. Уменьшение размера шага
дискретизации увеличивает точность результатов за счет увеличения объема вычислений. Могут
также встретиться ситуации, когда размер шага должен быть уменьшен только в одной части области, связанной со спецификой вычислительной области. Рассмотрим, например, большую область
76
Рис. 7.3: Поясняющий рисунок к примеру 7-1.
Рис. 7.4: Обозначения для решения уравнения Лапласа.
с квадратным выступом размера L L, как показано на рис.7.2. Пусть квадратный шаг дискретизации x = y = L=2 является достаточным для большей части области. Ясно, эта дискретизация
будет очень грубой для выступа, потому что с этой дискретизацией имеем только единственный
узел в выступе. Одним из способов преодоления этой трудности без того, чтобы увеличивать число
узлов в большой части области состоит в том, чтобы изменить размер шага в выступе, используя
локальную сеть, как показано на рис.7.2. Число внутренних узлов в выступе увеличено от одного
до девяти.
Также на рис.7.2 показаны типичные контрольные объемы, которые нужно использовать для
получения уравнений с конечными разностями для дополнительных точек сетки, следующих из дополнительной обработки сетки. Одна из трудностей при использовании локальной сети { частичное
перекрывание некоторых из контрольных объемов для узлов на или в непосредственной близости
к поверхности. Накладывание увеличивает тепловое сопротивление и тепловую емкость. Однако,
если перекрывание относительно мало по сравнено со всей областью, вносимая ошибка оказывается
незначительной.
Пример 7-1. Разработайте конечно-разностное приближение для стационарной теплопроводности в сплошном цилиндре радиуса r = b с выделением энергий g(r; ) Вт=м3 и указанной температурой на границах.
Решение Основное уравнение теплопроводности в этом случае задается в виде
@ 2T + 1 @T + 1 @ 2T + g(r; ) = 0 ;
0 r b;
0 2 :
(7.9)
@x2 r @r r2 @2
k
Для дискретизации этого уравнения принимаем обозначение
T (r; ) = T (ir; j ) Ti;j ;
(7.10)
при i = 0; 1; :::; I и j = 0; 1; :::; J .
Область 0 r b разделяем на I равных частей, а 0 2 на J равных частей, как показано
на поясняющем рис.7.3.
Дифференциальное уравнение (7.9) дискретизируется, используя центральные разности второго
порядка точности
Ti+1;j 2Ti;j + Ti 1;j + 1 Ti+1;j Ti 1;j + 1 Ti+1;j 2Ti;j + Ti 1;j + 2r gi;j = 0 ; (7.11)
2r
ir
2r
i2r
2
k
которые можно перегруппировать в виде
!
1
1
1
+ Ti;j+1 + 2r ri;j = 0 (7.12)
1 2i Ti 1;j + 1 + 2i Ti+1;j 2 1 + (i )2 Ti;j + Ti;j 1i
2
k
77
для i = 1; 2; :::; I 1 и j = 0; 1; :::; J 1.
Граничные значения для i = 1 являются известными, но температуры в центре T0;j = T0 являются
неизвестными. Необходимо получить дополнительное соотношение, заменяя слагаемое с лапласианом в уравнении (7.9) его эквивалентом в прямоугольной системе координат так, чтобы уравнение
(7.9) приняло вид
@ 2T + @ 2 T + g = 0 ; r ! 0 ;
(7.13)
@x2 @y2 k
Теперь строим круг радиуса r с центром в r = 0. Пусть в центре r = 0 будет температура
T0, а T1, T2, T3 и T4 будут температуры в четырех узлах, пересекающих круг осями x и y. Тогда
конечно-разностная форма уравнения (7.13) при r = 0 становится
T1 + T2 + T3 + T4 4T0 + g0 = 0 ;
(7.14)
2r
k
с ошибкой усечения порядка 2r . Вращение относительно осей ox и oy при r = 0 также ведет к
подобному разностному уравнению. Следовательно, уравнение (7.13) может быть записано в виде
(7.15)
4 T 12 T0 + gk0 = 0 ;
r
где T 1 { арифметическое среднее значений Ti;j вокруг круга радиуса r с центром в r = 0, а T0
{ значение температуры при r = 0. Таким образом, вместе с уравнением (7.15), число уравнений
равно числу неизвестных температур в узлах.
7.1.2. Методы решения
Ранее обсуждались методы решения систем линейных алгебраических уравнений прямыми и итерационными методами. Прямые методы для многомерных стационарных задач теплопроводности
могут быть более эффективными чем итерационные методы для простых конфигураций и линейных
граничных условий. С другой стороны, итерационные методы являются простыми при программировании и не ограничиваются простыми геометриями. Если требования сходимости, заданные
уравнениями (3.37), удовлетворены, и матрица коэффициентов является редкой, то итерационные методы являются предпочтенными. Система алгебраических уравнений, следующая из приближения с
конечными разностями уравнения Лапласа или уравнения Пуассона, удовлетворяет такому условию,
тогда такие методы, как итерационные методы Гаусса-Зейделя или метод последовательной верхней
релаксации хорошо подходят для их решений. Опыт подсказывает, что сходимость улучшается при
использовании метода верхней релаксации.
Теперь проиллюстрируем применение итерационных методов решения системы алгебраических
уравнений (7.5), полученной из конечно-разностного приближения уравнения Лапласа.
1. Итерационный метод Гаусса-Зейделя.
Рассмотрим задачу стационарной теплопроводности в прямоугольной области, описываемой
уравнением Лапласа и подвергнутой определенной температуре на всех границах. Рис.7.4 показывает геометрию и конечно-разностную сетку области.
Задача содержит (I 2)(J 2) неизвестных температур во внутренних узлах, а уравнения с
конечными разностями (7.5) обеспечивают (I 2)(J 2) алгебраических уравнений для определения
этих неизвестных. Для того, чтобы решить эту систему уравнений итерациями Гаусса-Зейделя,
уравнение (7.5) решается для главного диагонального элемента Ti;j и затем группируется в виде
Tik+1;j + Tik+11;j 2(Ti;jk +1 + Ti;jk+11)
k
+1
Ti;j =
;
(7.16)
2(1 + 2)
где = x=y, индекс k обозначает уровень итерации, нижние индексы i и j обозначают строку и
ряд, соответственно. После того, как сделано начального приближения для неизвестных температур
78
внутренних узлов, прохождение по сетке, как указано ранее, происходит рядами, начинающегося с
ряда, расположенного к границе с увеличением j после каждого прохождения. Поэтому, температуры
Tik+11;j и Ti;jk+11 на итеративном уровне k + 1 появляющиеся в правой стороне уравнения (7.16) являются фактически известными, поскольку предыдущие значения температур используются в правой
стороне уравнения.
2. Последовательная верхняя релаксация (ПВР).
Скорость сходимости улучшается при использовании метода последовательной верхней релаксации (ПВР). Применение релаксационной формулы, итеративной формула Гаусса-Зейделя (7.16),
дает
h
i
Ti;jk+1 = (1 k)Ti;jk + 2(1 +! 2) Tik+1;j + Tik+11;j + 2 Ti;jk +1 + Ti;jk+11 ;
(7.17)
где ! = 1 соответствует итерациям Гаусса-Зейделя, 0 < ! < 1 соответствует методу последовательной нижней релаксации, а 1 < ! < 2 { методу последовательной верхней релаксации.
Сокращение компьютерного времени решения при помощи метода ПВР зависит от надлежащего выбора значения параметра !. В настоящее время нет никакого общего правила определения
оптимального значения !opt. Однако для решения уравнения Лапласа в прямоугольной области, подчиненной к граничному условию первого рода на всех границах, теоретически получена следующее
оптимальное значение !opt
p1 2 !
1 cos + 2 cos ; = x ;
1
;
=
!opt = 2
(7.18)
2
1 + 2
I 1
J 1
y
I и J { постоянные числа деления прямоугольной области в направлениях x и y, соответственно.
Вышеупомянутые результаты применены для прямоугольной области, подчиненной к граничному условию первого рода на всех границах. Для других конфигураций и граничных условий, !opt
может быть оценено, исследуя скорость сходимости решения при нескольких различных значениях
! в диапазоне 1 < ! < 2.
Опыт подсказывает, что в большинстве случаев следует использовать верхнюю релаксацию, потому что сходимость метода высокая по сравнению с другими методами, а компьютерное время
вычислений значительно меньше.
3. Последовательная верхняя релаксация по рядам.
Снова рассмотрим решение уравнения Лапласа в прямоугольной области, подчиненной указанным температурам на всех границах, как показано на рис.7.3. Итеративная формула метода ПВР
(7.18) изменяется, оценивая как Ti+1;j , так и Ti;j 1 на уровне \k+1". В результате получаем
i
h
(7.19)
Ti;jk+1 = (1 k)Ti;jk + 2(1 +! 2) Tik+1+1;j + Tik+11;j + 2 Ti;jk +1 + Ti;jk+11 ;
где 0 ! 2.
В этом уравнении имеется только три неизвестных, Ti;jk+1, Tik+11;j и Tik+1+1;j , поскольку Ti;jk+11 является
известным или от нижнего граничного условия, когда закончена первая прогонка, или от решения,
уже полученного из ряда j 1 на уровне k + 1, потому что вычисление выполняются в направлении
увеличения j . Эти уравнения могут быть решены алгоритмом Томаса для каждого ряда, так как
каждое уравнение содержит только три неизвестных, и матрица коэффициентов является трехдиагональной. Перед применением алгоритма Томаса, уравнения (7.19) должны быть сгруппированы
в форму, заданную уравнениями (3.20). Одна прогонка считается выполненной, когда трехдиагональная инверсия применяется к всем рядам. Процедура продолжается, пока желательная сходимость будет достигнута. Необходимо проявлять осторожность для того, чтобы гарантировать, что
! 1 + 2, для поддержания диагонального господства при использовании алгоритма Томаса.
79
7.2. ПРИБЛИЖЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЕМА
В предшествующих разделах курса было принято, что дифференциальное уравнение в частных
производных является корректным и соответствующим образом отражает физические законы сохранения, следовательно использование разложения в ряд Тейлора является приемлемой математической
процедурой для получения конечно-разностных аппроксимаций разных производных.
В альтернативном подходе, названном метод контрольного объема, конечно-разностные уравнения записываются для конечного контрольного объема, выполняя при этом определенные физические
законы сохранения, такие как сохранение массы, импульса или энергии по контрольному объему.
Рассмотрим маленький контрольный объем и вернемся к дифференциальному уравнению в частных производных, описывающем изменение определенной физической величины. В качестве иллюстрации рассмотрим уравнение теплопроводности
Cp @T
(7.20)
@t = r q + g ;
где вектор теплового потока q связан с температурой T (r; t) в соответствии с законом Фурье
q = k rT ;
(7.21)
а g { объемный источник энергии.
Интегрирование уравнения (7.20) по маленькому фиксированному объему V приводит к следующему выражению
Z
Z
Z
@T
Cp @t dV =
rqdV + gdV :
(7.22)
V
V
V
Интеграл в левой стороне может быть вычислен посредством интегральной теоремы о среднем.
Точно так же можно избавиться от слагаемого с g. Объемный интеграл по дивергенции вектора
теплового потока можно преобразовать к поверхностному интегралу в соответствии с теоремой
Остроградского-Гаусса. В этом случае уравнение (7.22) преобразуется к виду
Z
=
q ndS + gV :
(7.23)
CpV @T
@t
S
где S | поверхность контрольного объема.
Подстановка вектора теплового потока q из уравнения (7.20) в уравнение (7.23) приводит к
Z @T
@T :
=
k
dS
+
gV
;
r
T
n
=
(7.24)
CpV @T
@t S @n
@n
Здесь V { маленький контрольный объем; n и @T=@n { единичный вектор внешней нормали и производная по нормали к поверхности контрольного объема, соответственно, T и g { средние значения
температуры и объемного источника энергии, соответственно.
Таким образом, уравнение (7.23) или (7.24) представляют принцип сохранения энергии по конечному контрольному объему V . Это значит, что величина энергии, поступающая в контрольный
объем через его граничные поверхности S и величина энергии, произведенной в элементе объема,
равна величине увеличения накопленной энергии в контрольном объеме. Более того, поскольку тепловые потоки сохраняются между соседними контрольными объемами, принцип сохранения энергии
также удовлетворяется для определенного набора контрольных объемов. Другими словами, численное решение таких уравнений удовлетворяет как местным, так и глобальным свойства сохранения.
В вышеупомянутом уравнении сохранения физической величины в контрольном объеме (7.23) нашей отправной точкой было уравнение диффузии, которое было проинтегрировано по контрольному
объему. Понятно, что этот альтернативный подход состоит в учете того факта, что само уравнение
диффузии обычно получается из закона сохранения энергии по контрольному объему, следовательно
к нему можно непосредственно применять соответствующий принцип сохранения по контрольному
объему.
80
Рис. 7.5: Контрольный объем для одномерной ситуации.
Уп??мянутые выше уравнения сохранения энергии в контрольном объеме были записаны для физических явлений, учитывающих теплопроводность. Подобные выражения могут быть получены для
сохранения массы или импульса, и могут включать ситуации, в которых учитываются конвективные
явления.
Как только получено уравнение сохранения в контрольном объеме, можно приступать к получению соответствующих конечно-разностные уравнений по контрольному объему путем дискретизации производных в уравнении сохранения.
Подход контрольного объема для получения конечно-разностных уравнений имеет отличные преимущества. Он может сразу применяться к многомерным проблемам, к сложным граничным условиям и к ситуациям, связанным с переменными шагами сетки. С другой стороны, проведение оценки
точности подхода контрольного объема оказывается трудным по сравнению с методом разложения в ряды Тейлора, который обладает информацией относительно порядка появляющейся ошибки
усечения.
В методе контрольного объема для получения уравнений с конечными разностями сначала надо определить положение узлов, а затем необходимо идентифицировать контрольные объемы. Для
иллюстрации этого вопроса, обратимся к рис.7.5, где представлена одномерной область с точками
сетки. После определения объемов устанавливаем в точках сетки значения потенциала T . Точки
сетки необходимо также поместить на границу, потому что для определения граничного условия
требуется значения потенциала на границе. В этом примере узлы помещены с равным интервалом
x (заметим, что в этом случае неэквидистантное межузловое расстояние не вносит трудностей в
последующие рассуждения). На рисунке показана типичная внутренняя точка сетки i, а значение
потенциала в этой точке обозначено Ti. Граничный узел идентифицирован как B , а соответствующий потенциал как TB . Этот простой пример иллюстрирует основные концепции в применении
подхода контрольного объема для получения конечно-разностных уравнений.
Пример 7-2. Используя уравнение сохранения энергии в контрольном объеме (7.24, получите
конечно-разностное уравнение в узле i для одномерной стационарной теплопроводности с переменной
тепловой проводимостью k и выделением энергии g.
Запишите также конечно-разностное уравнение для граничного узла B , при условии, что граница
подвергнута конвекции с коэффициентом теплопередачи h и окружающей температурой T1 внешней
среды.
Решение. Применение уравнения сохранения энергии контрольного объема (7.24) к узлу i,
показанного на рис.7.5, дает
2
!
! 3
dT
dT
5 S + giV :
0 = 4 k dx
k dx
(7.25)
i+1=2
i 1=2
В левой стороне стоит ноль, потому что для стационарного потока слагаемое dT=dt исчезает.
Для одномерной проблемы, рассматриваемой здесь, принимаем единичные длины по направлению
осей y и z, следовательно
S =11
= площадь поверхности раздела ;
81
V = x 1 1 = объем контрольного элемента :
(7.26)
Нижний индекс i +1=2 относится к положению границы между узлами i и i +1, аналогично i 1=2
относится к положению границы между узлами i и i 1.
Для получения конечно-разностного уравнения для узла i, дискретизируем производные в выражении (7.25), принимая во внимание кусочно-линейный профиль для температуры между соседними узлами, как это показано на рис.7.5 и учитывая вышеупомянутые значения S и V . Конечноразностное уравнение с для внутреннего узла i станет
ki+1=2 Ti+1 Ti ki 1=2 Ti Ti 1 + xgi = 0 ;
(7.27)
x
x
где gi { среднее значение g по контрольному объему, связанному с узлом i.
Как следует из выражения (7.27), использование переменного интервала между узлами не приводит к существенным проблемам, поскольку соответствующий интервал в узле x можно заменить
в уравнении (7.27) на xj .
Для того, чтобы получить конечно-разностное уравнение для граничного узла B , подвергнутого
конвекции, применим уравнения (7.24) в узле B
!
!
dT
dT
k dx = h(T1 TB ) ;
k dx
= k1=2 T1 TB ;
x
B
1=2
S = 1 1 и V = 1 1=2
(7.28)
Тогда конечно-разностное уравнение для граничного узла B принимает вид
(7.29)
h(T1 TB ) + k1=2 T1 TB + 2x gB = 0 ;
x
где gB { среднее значение g по контрольному объему, связанному с границей в узле B .
7.3. СВОЙСТВО КОНСЕРВАТИВНОСТИ
Конечно-разностный метод является консервативным, если он обеспечивает выполнение определенных интегральных законов сохранения, справедливых для исходных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим уравнение нестационарной конвекции (1.32), полагая = 1=(Cp ),
@T = r (U T ) + r2T:
(7.30)
@t
Проинтегрируем это уравнение по некоторой пространственной области R:
Z
Z
Z @T
dR
=
r
(
U
T
)
dR
+
r2TdR:
(7.31)
@t
R
R
R
Поскольку t не зависит от пространственных переменных, имеем
Z @T
@ Z TdR:
dR
=
@t
@t R
R
Используя формулу Остроградского - Гаусса, получаем
Z
Z
r (U T )dR = (U T ) nds;
R
@R
82
(7.32)
(7.33)
где @R { граница R, n { единичный вектор к внешней нормали поверхности (положительное направление соответствует внешней нормали) и ds { дифференциал длины дуги границы @R. Аналогично,
по той же формуле
Z
Z
r2TdR = (rT ) nds:
(7.34)
R
@R
Тогда уравнение (7.31) примет вид
@ Z TdR = Z (U T ) n + Z (rT ) nds:
@t R
@R
@R
(7.35)
Уравнение (7.35) констатирует, что скорость накопления величины T в области R равна сумме
конвективного и диффузионного притоков величины T в R через @R за единицу времени3. Требование консервативности заключается в тождественном сохранении в конечно-разностной схеме этого
интегрального соотношения.
Простоты ради рассмотрим одномерное модельное уравнение для предельного случая бездиффузионного теплопереноса ( = 0), которое получается из уравнения (7.30) и имеет вид
@T = r (U T ):
(7.36)
@t
(Если, с другой стороны, величину T , трактовать как массовую плотность, то уравнение (7.36)
будет уравнением неразрывности для сжимаемой среды.) Используя разности вперед по времени
и центральные разности по пространственной переменной, можно записать конечно-разностный
аналог уравнения (7.36) в виде
Tin+1 Tin = Uin+1Tin+1 Uin 1Tin 1 :
(7.37)
t
2x
Рассмотрим теперь одномерную область R (причем i меняется от I1 до I2) и вычислим сумму
I2
1 X
t i=I1 Tix ;
R
соответствующую интегралу @=@t R TdR в уравнении (7.35):
2 I2
3 I2
I2
n Tn
n Tn !
X
X
U
U
1 4X
i
+1
i
+1
i
1 i 1 x =
n+1 n 5 =
T
T
x
x
i
i
2
t i = I1
= 12
I2
X
i=I1
i=I1
x
i=I1
[(UT )i 1 (UT )i+1] = (UT )I1 1 + (UT )I1 (UT )I2 (UT )I2+1 =
= (UT )I1 1=2 (UT )I2+1=2 :
(7.38)
Данное уравнение показывает, что скорость накопления величины Ti в области R в точности
равна4 потоку величины T , в область R через границы I1 1=2 и I2 + 1=2 (это следует также из
уравнения (7.35) при = 0). Таким образом, полученный конечно-разностный аналог сохраняет
интегральное свойство, которое выражает формула Остроградского-Гаусса для дифференциального
уравнения, и мы будем говорить, что этот аналог обладает свойством консервативности.
3 Мы вывели (7.35) из (7.30), чтобы показать связь этих уравнений, но на самом деле уравнение (7.35) является более
общим, чем (7.30). Например, если
= 0, а
{ массовая плотность, то оба эти уравнения представляют собой уравнение
неразрывности, выражающие закон сохранения массы. Однако уравнение (7.35) остается справедливым даже в том случае,
когда в некоторых внутренних точках области
производные, входящие в (7.30), не существуют.
4
Здесь имеется в виду алгебраическое равенство без учета ошибок округления на вычислительной машине.
T
R
83
Свойство консервативности зависит как от используемой формы дифференциального уравнения,
так и от принятой конечно-разностной схемы. Например, неконсервативная форма одномерного
модельного уравнения (1.32) при = 0 такова:
@T = U @T :
(7.39)
@t
@x
Используя ту же схему, что и в предыдущем примере, т. е. разности вперед по времени и
центральные разности по пространственной переменной, получаем
Tin+1 Tin = U n Tin+1 Tin 1 :
(7.40)
i
t
2x
Тогда суммы, соответствующие (7.38), имеют вид
2I
3 I
I2
n
n !
2
X
X2
T
T
1 4X
i
+1
i
n
n
+1
n
5
Ui 2 1 x =
t i=I1 Ti x i=I1 Ti x = i=I1
x
I
X2
= 12 Uin [Ti 1 Ti+1] :
(7.41)
i=I1
Отсюда видно, что при такой форме исходного дифференциального уравнения члены, соответствующие потокам через грани смежных ячеек, взаимно не уничтожаются, например
UI1+2 TI1+1 UI1 TI1+1 = (UI1+2 UI1 )TI1+1 6= 0 ;
(7.42)
за исключением частного случая, когда Ui = const. Значит, в этом случае конечно-разностный
аналог оказывается не в состоянии обеспечить выполнение формулы Остроградского - Гаусса для
дифференциального уравнения. Теперь становится ясным смысл терминов \консервативная" или
\дивергентная" форма уравнения (1.32).
Ясно, что при > 0 единственный путь обеспечить сохранение суммарного потока в общем
случае (когда и является функцией пространственной переменной) заключается в независимом сохранении конвективных и диффузионных членов. В многомерном случае необходимо обеспечивать
консервативность этих членов отдельно по каждой пространственной переменной.
Важность свойства консервативности легко понять на примере уравнения неразрывности для
сжимаемой среды. Рассмотрим задачу об естественной конвекции в полностью замкнутом сосуде с
непроницаемыми стенками. В начальный момент времени считаем, что во всем объеме U = 0. К
нижней стенке сосуда подводится тепло, и происходит естественная конвекция, возможно достигающая стационарного состояния. Если для расчетов принимается какая-либо неконсервативная схема,
то полная масса в исследуемом объеме будет меняться. Если же используется консервативная схема,
то полная масса не будет меняться (без учета машинных ошибок округления). Некоторым утешением в первом случае может служить тот факт, что ошибки, вызванные нарушением сохранения
массы, уменьшаются при x ! 0, но в практических вычислениях с конечной величиной x такое
утешение является слабым.
Эти соображения считаются существенными и настоятельно рекомендуется применять консервативные схемы. Однако здесь имеются доводы и за и против, причем примеры численных контрольных расчетов, опубликованные в литературе, не дают возможности сделать однозначный выбор.
Обратимся к этим доводам и к результатам контрольных расчетов.
Свойство консервативности не обязательно связано с повышением точности схемы. Например,
неустойчивые решения консервативных уравнений сохраняют свойство консервативности. Более
того, неконсервативный метод может быть в некотором смысле точнее консервативного. Например, для представления функций по значениям в узлах сетки можно было бы применять одномерные
аппроксимации полиномами высокого порядка и при этом производные по пространственным переменным будут, вероятно, определяться с ошибкой более высокого порядка. Однако построенная
таким образом схема может быть неконсервативной, а если критерий точности включает условие
консервативности, то неконсервативная схема окажется менее точной.
Обычно схемы, обеспечивающие сохранение основных величин, таких, как вихрь, масса, количество движения или полная энергия, не требуют большого труда. В двухмерной задаче о переносе
84
вихря дополнительная работа заключается в выполнении двух лишних конечно-разностных операций для получения составляющих скорости из решения для функции тока и двух лишних умножений.
В задачах о движении сжимаемой среды дополнительной работы больше, что в некоторых случаях
может оказаться причиной отказа от применения консервативной схемы.
Для того чтобы предостеречь от фетишизации консервативных схем, заметим в заключение, что
неконсервативная форма для члена @ (@T=@x)=@x с переменным коэффициентом диффузии может
привести к более точным результатам, чем консервативная.
7.4. ПОЛЕ СКОРОСТИ ДВУХМЕРНОГО НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЧЕНИЯ
Рассмотрим двухмерную область несжимаемого потока жидкости с постоянными свойствам без
упрощения пограничного слоя. Типичными приложениями являются поток во ограниченных областях, поток около движущегося конца плоской пластины, поток в следе, где никакие упрощения пограничного слоя являются неприменимыми. Необходимо вычислить скорость и распределение давления
в потоке в таких ситуациях из полных уравнений Навье-Стокса. Основными двухмерными уравнениями являются уравнение неразрывности и уравнения импульса. В прямоугольной системе координат
они имеют вид
неразрывность: @u + @v = 0 ;
(7.43)
@x @y
!
@u + v @u = 1 @p + @ 2u + @ 2u ;
x-импульс: @u
(7.44)
+
u
@t @x @y
@x
@x2 @y2!
@v + v @v = 1 @p + @ 2v + @ 2v ;
y-импульс: @v
+
u
(7.45)
@t @x @y
@y
@x2 @y2
где { кинематическая вязкость, p { плотность, а p { давление. Для несжимаемой жидкости с
постоянными свойствами без внешних сил уравнения движения несвязаны с уравнением энергии,
поэтому они могут быть решены отдельно для неизвестных u(x; y; t), v(x; y; t) и p(x; y; t).
Хотя и можно получить численные решения вышеупомянутых уравнений, подчиненных соответствующим граничным условиям, наиболее успешным численным методом для решения такой системы
является подход завихренность-функция тока, который будет обсуждена далее. Однако, этот подход применим главным образом для двухмерных случаев, потому что скалярная функция тока не
существует для трехмерных задач.
7.4.1. Метод завихренность-функция тока
Этот подход, обычно применяемый для решения двухмерного течения жидкости с постоянными
свойствами, описываемого уравнениями Навье-Стокса, основан на преобразовании зависимых переменных от (u; v) к (!; ), где ! { завихренность, а { функция тока. Завихренность определяется
как
! = r u;
(7.46)
где u { вектор скорости. Для двухмерной прямоугольной системы координат x; y, величина вектора
завихренности задается в виде
@v @u ;
(7.47)
! = @x
@y
а функция тока определяется из
@ = u;
@ = v;
(7.48)
@y
@x
С этим определением функции тока, уравнение неразрывности (7.43) тождественно удовлетворяется. Преобразование зависимых переменных от (u; v) к (!; ) может быть достигнуто, устраняя
слагаемое с давлением в уравнениях сохранения импульса (7.44) и (7.45). Другими словами, уравнение
85
(7.44) дифференцируется по y, а уравнение (7.45) дифференцируется по переменной x, результаты
вычитаются, и, учитывая определения ! и , получаем следующее уравнение для завихренности, !,
!
@! + u @! + v @! = @ 2! + @ 2! ;
(7.49)
@t @x @y
@x2 @y2
которое можно написать в консервативной форме
!
@! + @ (u!) + @ (v!) = @ 2! + @ 2! :
(7.50)
@t @x
@y
@x2 @y2
Эквивалентность из этих двух уравнений станет очевидной если в уравнении (7.49) конвективные слагаемые изменены с использованием уравнения неразрывности. Уравнение (7.49) или (7.50)
называется уравнением переноса завихренности, которое является параболическим по отношению
ко времени.
Дополнительные соотношения можно получить, подставляя уравнения (7.48) в уравнение (7.47).
Получаем
@2 + @2 = ! ;
(7.51)
@x2 @y2
которое является эллиптическим уравнением Пуассона для функции тока.
Таким образом, два уравнения импульса (7.44) и (7.45) в переменных (u; v) преобразованы к
уравнениям (7.49) и (7.51) в переменных (!; ). Обращаем внимание на то, что на компоненты
скорости u и v в уравнении (7.49) связаны с функцией потока посредством выражений (7.48).
Таким образом, используя подход завихренность-функция тока, мы преобразовали смешанную
эллиптически-параболические двухмерные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с
постоянными свойствами в терминах (u; v) к переменным завихренность-функция тока, которое
является параболическими по времени и уравнение эллиптическое уравнение Пуассона в терминах
(!; ). Дополнительное уравнение для давления в области потока определяется из уравнения НавьеСтокса (7.43) к (7.45) как будет описано ниже.
Дифференциальное уравнение для давления определяется следующим образом. Уравнение импульса вдоль оси x (7.44) дифференцируется по переменной x, а уравнение импульса вдоль оси y
(7.45) по переменной y, результаты складываются, и, используя уравнение неразрывности (7.43),
получаем
!
@ 2p + @ 2p = 2 @u @v @u @v :
(7.52)
@x2 @y2
@x @y @y @x
Этот результат может быть выражен в терминах функции тока в виде
3
2 2 ! 2 !
2 !2
@ 2p + @ 2p = s ;
@
@
@
5
(7.53)
s = 2 4 @x2 @y2
@x2 @y2
@x@y :
Таким образом, уравнение (7.53) обеспечивает связь для определения давления в области потока,
когда функция тока является известной.
7.4.2. Итоги формулировки завихренность-функция тока
Теперь подведем итоги гидродинамической задачи с основными уравнениями в терминах завихренность-функция тока. Уравнение переноса завихренности для ! задается в виде
!
@! + u @! + v @! = @ 2! + @ 2! ;
(7.54)
@t @x @y
@x2 @y2
86
Уравнение Пуассона для
@2 + @2 = ! ;
@x2 @y2
и уравнение Пуассона для давления p
@ 2p + @ 2p = s ;
@x2 @y2
2 2 ! 2 !
s = 2 4 @@x2 @@y2
(7.55)
!3
@ 2 25 :
@x@y
Эти уравнения могут быть выражены в безразмерной форме в виде
!
@ + U @ + V @ = 1 @ 2
+ @ 2
;
@
@X
@Y Re @X 2 @Y 2
@ 2 + @ 2 = ;
@X 2 @Y 2
3
2 2 ! 2 !
2 !2
@
@
@
@ 2P + @ 2P = S ;
5:
S = 2 4 @X 2 @Y 2
@X 2 @Y 2
@X@Y
(7.56)
(7.57)
(7.58)
(7.59)
а различные безразмерные переменные определяется следующим образом
U = uu ; X = Lx ; P = up 2 ;
0
0
u
t
u
v
0
V =u ; Y = L; = L ;
0
!L
= u ;
Re = u0L ;
(7.60)
= u L;
0
0
где u0 { характерная скорость, L { характерная длина, и Re = u0L= { число Рейнольдса.
Консервативная форма уравнения переноса завихренности задается в виде
!
@ + @ (U ) + @ (V ) = 1 @ 2
+ @ 2
:
(7.61)
@ @X
@Y
Re @X 2 @Y 2
Обращаем внимание на то, что в уравнении переноса завихренности компоненты скорости u и
v могут быть выражены в терминах функции тока, согласно определению функции тока, заданной
уравнениями (7.48).
7.4.3. Конечно-разностное представление формулировки завихренность-функция
тока
Формулировка завихренность-функция тока, описанная ранее, состоит из трех разных дифференциальных уравнений в частных производных для зависимых переменных !, и p. Уравнение
переноса завиренности для ! является параболическим по времени, в то время как уравнение (7.55)
является параболическим для (7.56) и для p применяется уравнения Пуассона, в котором время
выступает просто как параметр. Для того, чтобы получить стационарные решения, которые имеют обычно практический интерес, уравнение для !, которое является параболическим по времени,
решается совместно с уравнением для , пока асимптотическая стадия не будет достигнута. Как
только установленные значения ! и будут достигнуты, можно приступать к решению уравнения
для давления.
Для конечно-разностного приближения этих уравнений, принимаем следующее обозначение
F (x; y; t) = F (ix; j y; nt) Fi;jn ;
F = f! ; или pg :
(7.62)
87
Уравнение переноса завихренности.
Поскольку это уравнение является параболическим по времени и содержит конвективные слагаемые, то существует несколько возможностей для его дискретизации. Например, могут применяться
явные или неявные методы. Дискретизация центральными разностями и дискретизация против потока могут быть применены к конвективным слагаемым. Для простоты рассмотрим только простую
явную схему с дискретизацией вперед по времени. Конечно-разностная дискретизация конвективных
слагаемых и центральные разности вторых производных относительно пространственных переменных будет так же использоваться. Тогда приближение с конечными разностями уравнения переноса
завихренности (7.54) принимает вид
!n
!n
#
" n
!i;jn+1 !i;jn
!i+1;j 2!i;jn + !in 1;j !i;jn +1 2!i;jn + !i;jn 1
@!
@!
n
n
;(7.63)
vi;j @y + = ui;j @x
+
t
(x)2
(x)2
i;j
i;j
где первые производные в конвективных слагаемых дискретизуются схемой против потока следующим образом
!
!
@! n = !i;jn !in 1;j ; u > 0 ;
@! n = !in+1;j !i;jn ; u < 0 ;
i;j
i;j
@x i;j
x
@x i;j
x
!
!
@! n = !i;jn !i;jn 1 ; v > 0 ;
@! n = !i;jn +1 !i;jn ; v < 0 ;
(7.64)
i;j
i;j
@y i;j
y
@y i;j
y
Схема имеет ошибку усечения порядка O[x; y; t]. Скорости ui;j и vi;j связаны с функцией
тока уравнений (7.48) и в форме конечных разностей задаются в виде
n
n
i 1;j + O[2 ] :
n = i+1;j
v
(7.65)
i;j
x
2y
2x
Если бы безразмерное уравнение переноса завихренности (7.57) дискретизировано, полученное
конечно-разностное уравнение было бы подобно данному уравнению (7.63) со следующими изменениями в переменных:
1 ;
x ! X ; u ! U ; ! Re
y ! Y ; v ! V ; t ! ; ! ! :
(7.66)
Может так же использоваться центральная дискретизация всех пространственных производных в уравнении
переноса завихренности. Для такого случая, слагаемые с первыми производными
(@!=@x)ni;j и (@!=@y)ni;j в уравнении (7.63) дискретизируются с использованием центральной разностной формулы. Для такого случая, полученное конечно-разностное уравнение имеет точную ошибку
усечения второго порядка по пространственным переменных, т.е., O(2x; 2y ), но ограничение на
устойчивость становится более строгим для больших чисел Рейнольдса. Поэтому, для малых чисел
Рейнольдса диффузия доминирует и центральные разности могут быть использованы для дискретизации конвективных слагаемых, поскольку эта схема более точная. Однако, при больших числах
Рейнольдса конвекция доминирует, и использование схемы против течения является предпочтительной из соображений устойчивости.
Конечно-разностная схема, рассматриваемая здесь, является явной, шаг по времени t должен
удовлетворять ограничению устойчивости, которое имеет вид
(
#) 1
"
j
u
j
1
j
v
j
1
t + + 2 2 + (2
:
(7.67)
x
y
x
y
Это выражение является двухмерной версией ограничения, заданного уравнением (7.63) с вместо .
uni;j =
n
i;j +1
n
i;j 1
+ O[2y ] ;
88
Уравнение Пуассона для функции тока.
Уравнение Пуассона (7.55) для функции тока дискретизируется, используя центральные разностные формулы. Получаем
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
i+1;j 2 i;j + i 1;j + i;j +1 2 i;j + i;j 1 = ! n+1
(7.68)
i;j
(x)2
(y)2
для случая x = y = , это уравнение решается для i;jn+1. В результате получаем
i
h
n+1 = 1 n+1 + n+1 + n+1 + n+1 + 2! n+1 :
(7.69)
i;j
i;j
4 i+1;j i 1;j i;j+1 i;j 1
с ошибкой усечения O(2x; 2y ).
Уравнение Пуассона для давления.
Уравнение Пуассона (7.56) для давления дискретизируется в виде
pi+1;j 2pi;j + pi 1;j + pi;j+1 2pi;j + pi;j 1 = S ;
i;j
2x
2y
!
!
"
где
i;j +1 2 i;j + i;j 1
i+1;j 2 i;j + i 1;j
Si;j = 2i;j
2x
2y
!23
i+1;j +1
i+1;j 1
i 1;j +1 + i+1;j +1 5
4xy
(7.70)
и слагаемое со взаимной пространственной производной, появляющейся в S дискретизируется, используя формулу второго порядка точности, заданной уравнением (2.15). Таким образом, конечноразностная схема имеет ошибку усечения порядка O(2x; 2y ).
Для стационарных задач, уравнение давления решается только один раз, после того, как установившиеся значения ! и были вычислены. Поэтому, в вышеупомянутых уравнениях для давления
опущен индекс n + 1.
7.4.4. Метод решения
!и
В предыдущей формулировке уравнение переноса завихренности является независимым по времени, в то время как уравнения для функции потока и давления являются стационарными. В многих
численных исследованиях, такая стационарная система используется для того, чтобы получить стационарное решение ! и , описывая нестационарную задачу, пока асимптотический предел не будет
достигнут. Такой подход предпочтен из-за параболического характера уравнения переноса завихренности во времени. Это позволяет решать маршевыми методами во времени к установившемуся
решению. Эта процедура требует, чтобы в каждом шаге эллиптическое уравнение Пуассона (7.55)
было решено. Но необходимо только конечное вычислительное время для того, чтобы достигнуть
асимптотическую стадию.
Если нестационарное приближение требует большого вычислительного времени для достижения
асимптотической стадии, задача может быть решена непосредственно в стационарной форме итерационным методом, но стационарный подход может быть восприимчив к неустойчивостям. Далее
опишем метод решения уравнения переноса завихренности как для нестационарного, так и как для
стационарного случаев.
Решение для нестационарной задачи.
Основными шагами для решения уравнений с конечными разностями (7.63) и (7.68) как переходная проблема для завихренности и функции тока являются:
Предположим значения !i;jn и i;jn являются известными на временном шаге n, тогда компоненты
скорости uni;j и vi;jn получаются из уравнения (7.65).
89
1. Завихренность !i;jn+1 на временном шаге n + 1 вычисляются из уравнения (7.63).
2. Зная !i;jn+1 в каждой точке сетки, итерационно решается уравнение Пуассона (7.68) для функции тока, учитывая соответствующие граничные условия, и определяется i;jn+1 в точках сетки по
всей области потока.
3. Новые значения функции тока i;jn+1 используются для того, чтобы вычислить соответствующие компоненты скорости ui;j и vi;j из уравнений (7.65) с использованием самых последних значений
!i;jn+1 и i;jn+1 во внутренних узлах для того, чтобы вычислить новые значения ! на границах.
Если решение к завихренности !i;jn+1 не сходится, вычисления повторяются, пока желательная
сходимость не будет достигнута на временном уровне n + 1.
Нет никакого категорического критерия для достижения сходимости стационарного решения.
Обычным критерием для сходимости к стационарного значения !i;j является проверка последовательности для
(7.71)
или
max !n+1 !n =!n "
max !n+1 !n " ;
i;j
i;j
i;j
i;j
i;j
и аналогично для i;j . Значения ", сообщенные в открытой литературе изменяются от " = 10 3 до
10 8 . Иногда полезно исследовать итерационное поведение решения, анализируя maxj!i;jn+1 !i;jn ji;j
по n и во времени.
Решение для стационарной задачи.
Если использование переходного подхода требует, чтобы было достигнуто установившееся решение за большое вычислительное время, то можно применить стационарное приближение для решения этой задачи. Рассмотрим безразмерное уравнение переноса завихренности (7.57) и уравнение
Пуассона (7.58) для функции тока. Для стационарной задачи решение получается путем пропуска
слагаемых с производными в уравнении переноса завихренности (7.57).
2
@ 2
!
@
@
1
@
(7.72)
U @X + V @Y = Re @X 2 + @Y 2 ;
@ 2 + @ 2 = ;
(7.73)
@X 2 @Y 2
Эти уравнения могут быть выражены в конечно-разностной форме, как это обсуждено ранее.
Полученная система алгебраических уравнений может быть решена итерациями.
Представим ниже основной алгоритм для решения такой системы алгебраических уравнений.
Принимаем конечно-разностное обозначение
m(x; y) = m(ix; j y) mi;j
(7.74)
где индекс m обозначает m-ую итерацию, а нижние индексы (i; j ) обозначают дискретные точки
сетки. Кроме того пусть
fi;j = граничные значения i;j ;
Fi;j = граничные значения i;j ;
(7.75)
и полагаем, что количества i;j и i;j являются известными на m-ой итерации
mi;j mi;j ;
(7.76)
а mi;j+1 и mi;j+1 будут определенным.
Представим также обозначение
~ mi;j+1 ~ mi;j+1 ;
где тильда обозначает приблизительное промежуточное значение.
90
(7.77)
Основными шагами для определения mi;j+1 и mi;j+1 являются:
1. Промежуточные значения ~ mi;j+1 вычисляются из решения конечно-разностного представления уравнения Пуассона (7.73). Пусть конечно-разностная форма уравнения (7.73) будет написана
формально в виде
!
@ 2~ + @ 2~ m+1 = m ; в области ;
~ mi;j+1 = fi;j ; на границе :
(7.78)
i;j
@X 2 @Y 2 i;j
2. Полученные значения mi;j+1 определяются, используя релаксационную формулу
mi;j+1 = ~ mi;j+1 + (1 )mi;j ;
(7.79)
где параметр релаксации имеет значения в пределах 0 < 1.
3. Промежуточные значения ~ mi;j+1 вычисляются из конечно-разностной формы уравнения (7.72),
заданный в виде
" ~
~ 1 @ 2
~ @ 2
~ !#m+1
@
@
U @X + V @Y Re @X 2 + @Y 2
= 0;
в области ;
(7.80)
i;j
~ )i; j m+1 = Fi;j ;
на границах ;
где компоненты скорости U и V связаны с функцией тока уравнениями (7.48,a,b) или (7.65).
4. Полученные значения mi;j+1 определяются с помощью следующих релаксационных формул:
mi;j+1 = ~ mi;j+1 + (1 )
mi;j ; в области ;
(7.81)
mi;j+1 = ~ mi;j+1 + (1 )
mi;j ; на границах ;
(7.82)
где параметры релаксации лежат в пределах 0 < ; 1.
Итерации продолжаются, пока желательные критерии сходимости не будут достигнуты. Можно
принять простой критерии сходимости
max ni;j+1 ni;j i;j " ;
max ni;j+1 ni;j i;j "
:
(7.83)
7.4.5. Метод решения для давления
Как только получена функция тока в точках сетки, источниковое слагаемое s в уравнении
давления (7.56) становится известным. Конечно-разностное уравнение (7.70) может быть решено
любым из итерационных методов, применимых для решения уравнения Пуассона, и давления pi;j
определяется в точках сетки по всей области потока. Граничные условия для уравнения давления
соответствуют часто условию второго рода (т.е., @p=@n указано на границе). Если давление необходимо только для установившегося состояния, уравнение давления решается только один раз,
используя установившиеся значения .
Если давление требуется найти только на стенке, нет никакой потребности решить уравнение
давления всей области потока. В таких случаях, применяется простое выражение для определения
давления на стенке, используя тангенциальные уравнения импульса в жидкости по отношению к поверхности стенки. Для того, чтобы продемонстрировать подход, рассмотрим стенку, направленную
по оси x, как показано на рис.7.6.
Уравнение момента импульса вдоль оси x используется для жидкости, смежной со стенкой. Имеем
@p = @ 2u :
(7.84)
@x y=0
@y2 y=0
91
Рис. 7.6: Обозначение для точек сетки в жидкости
и на стене, направленной по оси x.
Рис. 7.7: Граничные условия на острых углах.
Обращаем внимание на то, что v = 0, следовательно @v=@x = 0 на поверхности стенки. Затем
этот результат применяется к определению завихренности, ! = @v=@x @u=@y, и получаем ! =
@u=@y. Тогда уравнение (7.84) записывается в терминах завихренности в виде
@p = @! :
(7.85)
@x y=0
@y y=0
Это уравнение дискретизируется, используя центральную разностную формулу для производной
по x, и односторонней формулой по трем точкам, заданной уравнением (2.11) для производной по
y. Получаем
pi+1;0 pi 1;0 = 3!i;0 + 4!i;1 !i;2 :
(7.86)
2x
2y
Завихренности в правой стороне этого выражения являются известными из решения уравнения
переноса завихренности. Только тогда может быть рассчитано давление на стенках из уравнения
(7.86). Однако, когда все граничные условия по давлению являются условиями второго рода, как
имеет место полости, где скорости наложены на границу, должна быть определена, по крайней мере,
одно значение давления; или давление будет определено с точностью до аддитивной постоянной.
7.4.6. Формулировка граничных условий
Чтобы решить уравнения с конечными разностями, рассмотренными ранее, необходимо задать
граничные условия необходимы для вычислительной процедуры ! и , также и для давления p. Пока
что представлены уравнения с конечными разностями, которые применяются в области потока, но
не исследованы граничные условия. В этой части представим граничные условия по компонентам
скорости и обсудим задание соответствующих вычислительных граничных условий по и !.
Граничные условия по скорости.
Граничные условия по скорости зависят от реальных физических ситуаций в области потока.
Для потока вдоль неподвижной непроницаемой стенки, условия принимаются в виде
u = v = 0 ; на поверхности стенки.
(7.87)
Если стена перемещается с заданной скоростью или является пористой с определенным всасыванием, или жидкость поступает в поток, то компоненты скорости определяются соответственно.
На оси симметрии или в центре потока, развитого вдоль оси x, v равно нулю всюду по оси,
следовательно @v=@x = 0. Также u, в силу симметрии, имеет @u=@y = 0.
.
Функция тока определяется из решения и ее значение должно удовлетворять уравнению Пуассона
(7.55) для , т.е.
@2 + @2 = ! ;
(7.88)
@x2 @y2
Граничные условия по
92
Поэтому, граничные условия для функции тока должны моделироваться совместно с физическими условиями, используя определение из уравнений (7.84). Определение надлежащих граничных
условий чрезвычайно важно, потому что они являются граничным и начальными условиями для
дифференциального уравнения вместе с параметрами потока, который выделяет саму область потока. Имеются многочисленные физические ситуации типа непроницаемой стенки, скольжение вдоль
стенки, симметрии границы и условие притока, которые требуют специального внимания. Мы
исследуем ниже представление таких физических ситуаций в виде граничных условий на функцию
тока.
(i) Непроницаемая, без скольжения стенка вдоль оси x: Для такой ситуации компоненты скорости на стенке исчезают
v = u = 0 ; на стенке.
(7.89)
Первое условие в терминах функции тока задается в виде выражения
@ (x; 0) = v(x; 0) = 0 ;
(x; 0) = const
(7.90)
@x
вдоль поверхности стенки и представляет условие непроницаемости на стенке. Константа может
быть приравнена нулю без потери общности.
Второе условие u = 0 на стенке, в терминах принимает вид
@ (x; 0) = u(x; 0) = 0 ;
(7.91)
@y
который представляет условие отсутствия скольжения на стенке.
Любое из условий, заданных уравнениями (7.90,b) или (7.90,c) могут использоваться как граничное условие для в уравнении Пуассона (7.88); но, оба условия = 0 и @ =@y = 0 не могут использоваться вдоль той же самой границы, так как это бы переопределило задачу. Условие (@ =@y)wall = 0
требуется для граничного условия на завихренность !; тогда как условие wall = 0 принадлежит
уравнению Пуассона для . Это единственное правильное распределение этих граничных условий.
(ii) симметричная граница вдоль оси x: нормальная скорость v равна нулю всюду на границе
симметрии. В терминах имеем
@ = v = 0;
(x; 0) = const
(7.92)
@x
всюду на симметричной границе.
(iii) Приток (вверх по течению) границы с постоянной скоростью u0 по оси y : скорость притока
u0 в терминах функции тока задается в виде
@ =u
(7.93)
@y 0
при x = 0 (т.е., вверх по течению). Интегрирование уравнения (7.93) относительно y и принимая
константу интегрирования постоянной и равный нулю, условие притока на принимает вид
(0; y) = u0y :
(7.94)
Здесь величина u0y представляет поток жидкости.
!.
Пространственное и временное изменение завихренности по области потока описывается уравнением переноса завихренности (7.90). Завихренность генерируется на границах без скольжения.
Это диффузионный процесс с последующей конвекцией генерирует завихренность, которая фактически и формирует саму проблему.
Граничное условие по
93
Для стены, ровной вдоль оси x с u(x; y) и v(x; y), обозначающие компоненты скорости вдоль
направлений x и y, соответственно, завихренность !(x; y) определяется в виде
x; y) @u(x; y) ;
!(x; y) = @v(@x
(7.95)
@y
где компоненты скорости связаны с функцией тока в виде
(x; y) :
(x; y) ;
v(x; y) = @ @x
(7.96)
u(x; y) = @ @y
Симметричные непроницаемые, без проскальзывания, условия на стенке могут быть получены,
формируя аналитические граничные условия. Могут использоваться различные условия для вверх
по течению (приток), вниз по течению (отток) и острые угловые грани. Здесь сначала обсудим
некоторые из возможностей для условия вверх по течению, вниз по течению и условий на острых
гранях угла и затем представим развитие граничных условий для симметрии и двигающейся стенки.
(i) Приток на границе (вверх по течению). Некоторые из подходов имеют обыкновение представлять граничное условие вверх по течению, которое включает:
Полное определение притока, например, принимая полностью развитый поток Пуазейля, который определяет как , так и !. Иногда определяется ! = O и затем установливается @ =@y = u0,
таким образом определяется ! = @ 2 =@y2.
Фиксируется , принимая @v=@x = 0. Таким образом получаем ! = @ 2 =@y2.
(ii) Отток на границе (вниз по течению). Если рассматриваемый участок поверхности длинный, то условие оттока не является важным; но для малых расстояний между оттоком и притоком,
вычисления показывают, что может развиться неустойчивость от оттока до притока. Некоторые
из подходов имели обыкновение моделировать условие границы оттока в виде:
Полная спецификация условий оттока. Это самое безопасное с точки зрения стабильности, но
не подходящее для отделенных течений. Например, можно указать однородный отток (и приток) со
скоростью u = const и v = 0.
Можно определить менее ограничительные граничные условия, установив v = @ =@x = 0 и
@!=@x = 0.
Можно использовать менее ограничительные граничные
условия для оттока, полагая @v=@x = 0
2
и @!=@x = 0. Ясно, что первое условие подразумевает @ =@x2 = 0 пока v = @ =@x.
(iii) Острые углы. При исследовании граничных условий на функцию тока и завихренность
в остром угле, рассмотрим случаи острого вогнутого и острого выпуклого угла, как показано на
рис.7.7,a,b.
Для острого вогнутого угла C1, показанного на рис.7.7,a, c = 0 и !c = 0, независимо от того,
являются ли обе границы стенки границей без проскальзывания или является линией симметрии.
В случае острого выпуклого угла C2, показанного на рис.7.7,b, функция тока c = 0 или равна
константе; Однако заметим, что в настоящее время существует несколько путей оценки значений !:
Завихренность в C2 принимается такой, чтобы быть разрывной
(0; y) ; на стенке A ;
!c = !A = (
y )2
(x; 0) ; на стенке B :
(7.97)
!c = !B = (
x)2
Завихренность в C2 принимается в виде арифметического среднего из двух завихренностей,
заданных уравнениями (7.97,a,b), т.е.
(0; y) + (x); 0 :
(7.98)
!c = (
y )2
(x)2
94
(iv) симметрия на границе вдоль оси x. Компоненты скорости v всюду ноль на границе симметрии, имеем @v=@y = 0. Компонента скорости u на симметрии имеет @u=@y = 0. Тогда по
определению завихренности, заданной уравнением (7.95,a), имеем
! = 0 ; вдоль оси симметрии :
(7.99)
Пример 7-3. Получите граничное условие для завихренности на непроницаемой стенке, перемещающейся с постоянной скоростью u0 направлении x.
Решение. Для непроницаемой стены имеем v (x; 0) = 0, следовательно @v (x; 0)=@x = 0. Тогда,
из определения завихренности, заданного уравнением (7.95,a), пишем
(x; 0) ;
(7.100)
!(x; 0) = @u@y
или в терминах функции тока
2
!(x; 0) = @ @y(x;2 0) ;
(7.101)
Для того, чтобы оценить @ 2 (x; 0)=@y2, разложим (x; y) относительно точки (x; 0) в ряд Тейлора
2 (x; 0)
1
@
@
(
x;
0)
2
+
(7.102)
(x; y) = (x; 0) + y @y
2 y @y2 + :::
который перегруппируется в выражение
@ 2 (x; 0) = 2 [ (x; y) (x; 0) yu ] + O(y) ;
(7.103)
0
@y2
(y)2
поскольку @ (x; 0)=@y = u0.
Подстановка уравнения (7.103) в (7.101), пристеночная завихренность !(x; O) определяется как
!(x; 0) = (2y)2 [ (x; y) (x; 0) yu0] + O(y) :
(7.104)
Используя конечно-разностное представление, показанное на рис.7.7, уравнение (7.104) становится
!i;0 = (2y)2 [ i;1 i;0 yu0] + O(y) :
(7.105)
Для неподвижной стенки, этот результат упрощается
(7.106)
!i;0 = (2y)2 [ i;1 i;0] :
Этот пример также показывает, что значение на стенке не достаточно для определения завихренности на стенке; необходима также информация относительно @ =@y на стенке.
Граничные Условия по давлению.
Граничные условия по давлении определяются с оценкой установившегося импульса, уравнения
(7.81) и (7.82) на граничных поверхностях. Нормальный градиент давления @p=@n определен на
стенке для всех граничных поверхностей. Однако, уравнение Пуассона для давления с граничным
95
условием второго рода на всех поверхностях становится единственным только к в пределах аддитивной постоянной; следовательно, необходимо, по крайней мере, одно значение давления для того,
чтобы определить распределение давления по области решения.
Начальное условие.
Уравнение переноса завихренности (7.90) является зависимым от времени, поэтому должно быть
определено начальное условие для !. Однако, для проблем, у которых установившееся решение представляет интерес, начальное условие может стать произвольным. Значения каждый раз используются для определения компонент скорости u и v, которые только потом подставляются в уравнение
переноса завихренности для использования на следующем временном шаге.
7.5. ДВУХМЕРНАЯ ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ
Для несжимаемой жидкости с постоянными свойствами при известном поле скорости, полученном при решении уравнений движения, температурное поле определяется из решения уравнения
энергии. Здесь рассматриваем нестационарное уравнение энергии для двухмерного несжимаемого
потока с постоянными свойствами без внешних сил, заданных в неконсервативной форме
"
#
2T @ 2T !
@T
@
@T
@T
Cp @t + u @x + v @y = k @x2 + @y2 + ;
(7.107)
где { функция диссипации, определяемая из
2 !2
!23
!2
@v
@u
@u
@v
(7.108)
= 2 4 @x + @y 5 + @x + @y :
Эти уравнения могут быть выражены в безразмерной форме
#
"
2 @ 2 ! E
@
@
1
@
@
Cp @ + U @X + V @Y = Pe @X 2 + @Y 2 + Re ? ;
2
!2
!23
!2
где
@V
@U
@V
@U
?
= 2 4 @X + @Y 5 + @X + @Y ;
(7.109)
(7.110)
а различные безразмерные величины определяются как
U = uu ; X = Lx ; = TT ; = uL0t ; V = uv ; Y = Ly ; Re = u0L ; (7.111)
0
0
! 0
2
Pe = Re Pr = u0L Ckp = число Пекле ; E = C u0T = число Эккарда ;
p 0
T0 = масштаб температуры ;
L = масштаб длины ;
u0 = масштаб скорости :
Консервативная форма уравнения (7.109) имеет вид
#
"
2 @ 2 ! E
@
@
@
1
@
(7.112)
Cp @ + U @X (U ) + V @Y (V ) = Pe @X 2 + @Y 2 + Re ? ;
где ? задается уравнением (7.110).
Сравнение уравнения энергии (7.109) с уравнением переноса завихренности (7.25) показывает,
что, за исключением диссипативного слагаемого, эти два уравнения имеют ту же самую форму, с
заменой на и Pe на Re. Поэтому, все конечно-разностные выражения, полученные ранее для
для уравнения переноса завихренности применимы
для уравнения энергии, рассматриваемого здесь.
Кроме того, поскольку диссипативная функция ? не зависит от температуры, анализ устойчивости,
развитый для уравнения переноса завихренности также остается в силе.
96
Задача течения, совместно с задачей теплопроводности, компонент скорости U и V , определяются из задачи течения и станет входной для уравнения энергии. Тогда уравнение энергии может
быть решено для разнообразных тепловых граничных условий и при различных значениях Pe и E .
Вспомним, что значение числа Рейнольдса влияет на вычислительный метод, который нужно
использовать для решения уравнения переноса завихренности. В случае уравнения энергии, число
Пекле играет ту же самую роль, как и число Рейнольдса для уравнения переноса завихренности. В
случае газов, Pr 1, следовательно Pe = Re Pr = Re, тогда тот же самый метод может быть
применим для решения как уравнения переноса завихренности, так и уравнений энергии.
Для нефти Pr >> 1, в то время как для жидких металлов Pr << 1. Тогда различные вычислительные методы в таких случаях должны рассматриваться для решения уравнения переноса
завихренности и уравнения энергии для данного числа Рейнольдса. Поскольку уравнение энергии
линейно и не требует решения уравнения Пуассона для функции тока на каждом временном шаге, то необходимо намного меньше вычислительного времени по сравнению с решением уравнения
переноса завихренности.
Наконец, уравнение энергии, приведенное выше без диссипативного слагаемого, может представлять задачу диффузии массы, если температура заменяется массовой концентрацией C , и число
Пекле Pe заменяется числом Шмидта Sc.
Пример 7-4. Рассмотрим температурное поле для гидродинамически и термально развивающегося ламинарного потока внутри круглой трубы при стационарных условиях. Осевые и радиальные
компоненты скорости u и v считаются известными из решения гидродинамической задачи. Задача
обладает цилиндрической симметрией, осевая проводимость в жидкости является важной, а вязкая
диссипация принимаем незначительной. получите конечно-разностную аппроксимацию для уравнения энергии.
Решение. Стационарное уравнение энергии в цилиндрических координатах и в консервативной
форме имеет вид
!
@ (uT ) + 1 @ (rvT ) = @ r @T + @ 2T ;
(7.113)
@x
r @r
r @r @r
@x2
или разложение радиального диффузионного слагаемого дает
!
@ (uT ) + 1 @ (rvT ) = @ 2T + 1 @T + @ 2T :
(7.114)
@x
r @r
r @r2 r @r
@x2
Принимаем обозначение
F (x; r) = F (ix; j r ) Fi;j
(7.115)
где F = (T , uT или rvT ).
Конечно-разностное приближение уравнения (7.115) c использованием центральных разностей
1 [(uT )
1 [(rvT )
i+1;j (uT )i 1;j ] +
i;j +1 (rvT )i:j 1] =
2x
2j 2r
= 2 [Ti;j+1 + Ti;j 1 2Ti;j ] + 2j2 [Ti;j+1 Ti;j 1] +
r
r
+ 2 [Ti+1;j + Ti 1;j 2Ti;j ] ; j 6= 0 ;
(7.116)
x
Обе стороны этого уравнения умножаются на 2x=, а результат перегруппирован. Получаем
!
!
x
x
2
2(1 + )Ti;j 1 2 ui+1;j Ti+1;j 1 + 2 ui 1;j Ti 1;j
"
"
!
!
#
#
1
1
rj+1
rj 1
2
2
1 + 2j
2 j vi;j+1 Ti;j+1 1 2j
2 j vi;j 1 Ti;j 1 = 0 (7.117)
97
допустимы для всех внутренних узлов, исключая j = 0 (т.е., ось симметрии) где = x=r . При
больших значениях u и v, коэффициенты при Ti+1;j и Ti;j+1 станут положительными. Тогда уравнение
(7.116) нарушает экстремальное положение и вызывает числовую неустойчивость. Для того, что
преодолеть эти трудности, связанные с такой неустойчивостью, может использоваться схема против
потока для дискретизации конвективных слагаемых.
Уравнение с конечными разностями (7.116) не применимо на центральной линии, j = 0, потому
что j появляется в знаменателе. Эта трудность является результатом того факта, что конвекция
и диффузия вызывает в уравнении энергии (7.113) особенность при r = 0. Эта трудность можно
преодолеть, оценивая такие слагаемые с помощью правила Лопиталя следующим образом.
Радиальный конвективное слагаемое в уравнении (7.113) раскладывается
1 @ (rvT ) = T @v + v @T + vT ;
r @r
@r @r r
@v = 0 ; @T = 0 ; при r = 0 ;
где
@r @r
vT = lim @ (vT ) = 0 ; поскольку на оси v = 0 :
(7.118)
lim
r!0 @r
r!0 r
Таким образом радиальный конвективное слагаемое исчезает при r = 0, т.е.
1 @ (rvT ) = 0 ; при r = 0 :
(7.119)
r @r
Слагаемое (@T=@r)=r, которое появляется в радиальной диффузии в уравнении (a), оценивается
при r = 0 как:
! 2
1
@ T ; r = 0:
@T
lim
=
(7.120)
r!0 r @r
@r2
Подставляя уравнений (7.119) в (7.113), уравнение энергии, применимое при r = 0 принимает
вид
@ (uT ) = 2 @ 2T + @ 2T ; r = 0 :
(7.121)
@x
@r2
@x2
Конечно-разностная аппроксимация уравнения (7.121) дает
1 [(uT )
2
(7.122)
i+1;0 (uT )i 1;0] = 2 (Ti;1 + Ti; 1 2Ti;0 ) + 2 (Ti 1;0 + Ti+1;0 2Ti;0) ;
2x
r
x
где Ti; 1 { фиктивная температура в фиктивном узле \-1", и она равна Ti;1, из-за симметрии. Поэтому
далее заменяем Ti; 1 на Ti;1, умножаем обе стороны уравнения (7.122) на 2x= и перегруппировываем
в виде
!
!
x
x
2
(2 + 4 )Ti;0 1 2 ui+1;0 Ti+1;0 1 + 2 ui 1;0 Ti 1;0 4 2Ti;1 = 0 :
(7.123)
Таким образом, уравнения (7.117) и (7.123) образовывают систему выражений с конечными разностями, применимые для всех внутренних узлов в области потока.
98
?ер, если
= 0, а
{ массовая плотность, то оба эти уравнения представляют собой уравнение
неразрывности, выражающие закон сохранения массы. Однако уравнение (7.35) остается справедливым даже в том случае,
когда в некоторых внутренних точках области
производные, входящие в (7.30), не существуют.
4
Здесь имеется в виду алгебраическое равенство без учета ошибок округления на вычислительной машине.
T
R
83
Свойство консервативности зависит как от используемой формы дифференциального уравнения,
так и от принятой конечно-разностной схемы. Например, неконсервативная форма одномерного
модельного уравнения (1.32) при = 0 такова:
@T = U @T :
(7.39)
@t
@x
Используя ту же схему, что и в предыдущем примере, т. е. разности вперед по времени и
центральные разности по пространственной переменной, получаем
Tin+1 Tin = U n Tin+1 Tin 1 :
(7.40)
i
t
2x
Тогда суммы, соответствующие (7.38), имеют вид
2I
3 I
I2
n
n !
2
X
X2
T
T
1 4X
i
+1
i
n
n
+1
n
5
Ui 2 1 x =
t i=I1 Ti x i=I1 Ti x = i=I1
x
I
X2
= 12 Uin [Ti 1 Ti+1] :
(7.41)
i=I1
Отсюда видно, что при такой форме исходного дифференциального уравнения члены, соответствующие потокам через грани смежных ячеек, взаимно не уничтожаются, например
UI1+2 TI1+1 UI1 TI1+1 = (UI1+2 UI1 )TI1+1 6= 0 ;
(7.42)
за исключением частного случая, когда Ui = const. Значит, в этом случае конечно-разностный
аналог оказывается не в состоянии обеспечить выполнение формулы Остроградского - Гаусса для
дифференциального уравнения. Теперь становится ясным смысл терминов \консервативная" или
\дивергентная" форма уравнения (1.32).
Ясно, что при > 0 единственный путь обеспечить сохранение суммарного потока в общем
случае (когда и является функцией пространственной переменной) заключается в независимом сохранении конвективных и диффузионных членов. В многомерном случае необходимо обеспечивать
консервативность этих членов отдельно по каждой пространственной переменной.
Важность свойства консервативности легко понять на примере уравнения неразрывности для
сжимаемой среды. Рассмотрим задачу об естественной конвекции в полностью замкнутом сосуде с
непроницаемыми стенками. В начальный момент времени считаем, что во всем объеме U = 0. К
нижней стенке сосуда подводится тепло, и происходит естественная конвекция, возможно достигающая стационарного состояния. Если для расчетов принимается какая-либо неконсервативная схема,
то полная масса в исследуемом объеме будет меняться. Если же используется консервативная схема,
то полная масса не будет меняться (без учета машинных ошибок округления). Некоторым утешением в первом случае может служить тот факт, что ошибки, вызванные нарушением сохранения
массы, уменьшаются при x ! 0, но в практических вычислениях с конечной величиной x такое
утешение является слабым.
Эти соображения считаются существенными и настоятельно рекомендуется применять консервативные схемы. Однако здесь имеются доводы и за и против, причем примеры численных контрольных расчетов, опубликованные в литературе, не дают возможности сделать однозначный выбор.
Обратимся к этим доводам и к результатам контрольных расчетов.
Свойство консервативности не обязательно связано с повышением точности схемы. Например,
неустойчивые решения консервативных уравнений сохраняют свойство консервативности. Более
того, неконсервативный метод может быть в некотором смысле точнее консервативного. Например, для представления функций по значениям в узлах сетки можно было бы применять одномерные
аппроксимации полиномами высокого порядка и при этом производные по пространственным переменным будут, вероятно, определяться с ошибкой более высокого порядка. Однако построенная
таким образом схема может быть неконсервативной, а если критерий точности включает условие
консервативности, то неконсервативная схема окажется менее точной.
Обычно схемы, обеспечивающие сохранение основных величин, таких, как вихрь, масса, количество движения или полная энергия, не требуют большого труда. В двухмерной задаче о переносе
84
вихря дополнительная работа заключается в выполнении двух лишних конечно-разностных операций для получения составляющих скорости из решения для функции тока и двух лишних умножений.
В задачах о движении сжимаемой среды дополнительной работы больше, что в некоторых случаях
может оказаться причиной отказа от применения консервативной схемы.
Для того чтобы предостеречь от фетишизации консервативных схем, заметим в заключение, что
неконсервативная форма для члена @ (@T=@x)=@x с переменным коэффициентом диффузии может
привести к более точным результатам, чем консервативная.
7.4. ПОЛЕ СКОРОСТИ ДВУХМЕРНОГО НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЧЕНИЯ
Рассмотрим двухмерную область несжимаемого потока жидкости с постоянными свойствам без
упрощения пограничного слоя. Типичными приложениями являются поток во ограниченных областях, поток около движущегося конца плоской пластины, поток в следе, где никакие упрощения пограничного слоя являются неприменимыми. Необходимо вычислить скорость и распределение давления
в потоке в таких ситуациях из полных уравнений Навье-Стокса. Основными двухмерными уравнениями являются уравнение неразрывности и уравнения импульса. В прямоугольной системе координат
они имеют вид
неразрывность: @u + @v = 0 ;
(7.43)
@x @y
!
@u + v @u = 1 @p + @ 2u + @ 2u ;
x-импульс: @u
(7.44)
+
u
@t @x @y
@x
@x2 @y2!
@v + v @v = 1 @p + @ 2v + @ 2v ;
y-импульс: @v
+
u
(7.45)
@t @x @y
@y
@x2 @y2
где { кинематическая вязкость, p { плотность, а p { давление. Для несжимаемой жидкости с
постоянными свойствами без внешних сил уравнения движения несвязаны с уравнением энергии,
поэтому они могут быть решены отдельно для неизвестных u(x; y; t), v(x; y; t) и p(x; y; t).
Хотя и можно получить численные решения вышеупомянутых уравнений, подчиненных соответствующим граничным условиям, наиболее успешным численным методом для решения такой системы
является подход завихренность-функция тока, который будет обсуждена далее. Однако, этот подход применим главным образом для двухмерных случаев, потому что скалярная функция тока не
существует для трехмерных задач.
7.4.1. Метод завихренность-функция тока
Этот подход, обычно применяемый для решения двухмерного течения жидкости с постоянными
свойствами, описываемого уравнениями Навье-Стокса, основан на преобразовании зависимых переменных от (u; v) к (!; ), где ! { завихренность, а { функция тока. Завихренность определяется
как
! = r u;
(7.46)
где u { вектор скорости. Для двухмерной прямоугольной системы координат x; y, величина вектора
завихренности задается в виде
@v @u ;
(7.47)
! = @x
@y
а функция тока определяется из
@ = u;
@ = v;
(7.48)
@y
@x
С этим определением функции тока, уравнение неразрывности (7.43) тождественно удовлетворяется. Преобразование зависимых переменных от (u; v) к (!; ) может быть достигнуто, устраняя
слагаемое с давлением в уравнениях сохранения импульса (7.44) и (7.45). Другими словами, уравнение
85
(7.44) дифференцируется по y, а уравнение (7.45) дифференцируется по переменной x, результаты
вычитаются, и, учитывая определения ! и , получаем следующее уравнение для завихренности, !,
!
@! + u @! + v @! = @ 2! + @ 2! ;
(7.49)
@t @x @y
@x2 @y2
которое можно написать в консервативной форме
!
@! + @ (u!) + @ (v!) = @ 2! + @ 2! :
(7.50)
@t @x
@y
@x2 @y2
Эквивалентность из этих двух уравнений станет очевидной если в уравнении (7.49) конвективные слагаемые изменены с использованием уравнения неразрывности. Уравнение (7.49) или (7.50)
называется уравнением переноса завихренности, которое является параболическим по отношению
ко времени.
Дополнительные соотношения можно получить, подставляя уравнения (7.48) в уравнение (7.47).
Получаем
@2 + @2 = ! ;
(7.51)
@x2 @y2
которое является эллиптическим уравнением Пуассона для функции тока.
Таким образом, два уравнения импульса (7.44) и (7.45) в переменных (u; v) преобразованы к
уравнениям (7.49) и (7.51) в переменных (!; ). Обращаем внимание на то, что на компоненты
скорости u и v в уравнении (7.49) связаны с функцией потока посредством выражений (7.48).
Таким образом, используя подход завихренность-функция тока, мы преобразовали смешанную
эллиптически-параболические двухмерные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с
постоянными свойствами в терминах (u; v) к переменным завихренность-функция тока, которое
является параболическими по времени и уравнение эллиптическое уравнение Пуассона в терминах
(!; ). Дополнительное уравнение для давления в области потока определяется из уравнения НавьеСтокса (7.43) к (7.45) как будет описано ниже.
Дифференциальное уравнение для давления определяется следующим образом. Уравнение импульса вдоль оси x (7.44) дифференцируется по переменной x, а уравнение импульса вдоль оси y
(7.45) по переменной y, результаты складываются, и, используя уравнение неразрывности (7.43),
получаем
!
@ 2p + @ 2p = 2 @u @v @u @v :
(7.52)
@x2 @y2
@x @y @y @x
Этот результат может быть выражен в терминах функции тока в виде
3
2 2 ! 2 !
2 !2
@ 2p + @ 2p = s ;
@
@
@
5
(7.53)
s = 2 4 @x2 @y2
@x2 @y2
@x@y :
Таким образом, уравнение (7.53) обеспечивает связь для определения давления в области потока,
когда функция тока является известной.
7.4.2. Итоги формулировки завихренность-функция тока
Теперь подведем итоги гидродинамической задачи с основными уравнениями в терминах завихренность-функция тока. Уравнение переноса завихренности для ! задается в виде
!
@! + u @! + v @! = @ 2! + @ 2! ;
(7.54)
@t @x @y
@x2 @y2
86
Уравнение Пуассона для
@2 + @2 = ! ;
@x2 @y2
и уравнение Пуассона для давления p
@ 2p + @ 2p = s ;
@x2 @y2
2 2 ! 2 !
s = 2 4 @@x2 @@y2
(7.55)
!3
@ 2 25 :
@x@y
Эти уравнения могут быть выражены в безразмерной форме в виде
!
@ + U @ + V @ = 1 @ 2
+ @ 2
;
@
@X
@Y Re @X 2 @Y 2
@ 2 + @ 2 = ;
@X 2 @Y 2
3
2 2 ! 2 !
2 !2
@
@
@
@ 2P + @ 2P = S ;
5:
S = 2 4 @X 2 @Y 2
@X 2 @Y 2
@X@Y
(7.56)
(7.57)
(7.58)
(7.59)
а различные безразмерные переменные определяется следующим образом
U = uu ; X = Lx ; P = up 2 ;
0
0
u
t
u
v
0
V =u ; Y = L; = L ;
0
!L
= u ;
Re = u0L ;
(7.60)
= u L;
0
0
где u0 { характерная скорость, L { характерная длина, и Re = u0L= { число Рейнольдса.
Консервативная форма уравнения переноса завихренности задается в виде
!
@ + @ (U ) + @ (V ) = 1 @ 2
+ @ 2
:
(7.61)
@ @X
@Y
Re @X 2 @Y 2
Обращаем внимание на то, что в уравнении переноса завихренности компоненты скорости u и
v могут быть выражены в терминах функции тока, согласно определению функции тока, заданной
уравнениями (7.48).
7.4.3. Конечно-разностное представление формулировки завихренность-функция
тока
Формулировка завихренность-функция тока, описанная ранее, состоит из трех разных дифференциальных уравнений в частных производных для зависимых переменных !, и p. Уравнение
переноса завиренности для ! является параболическим по времени, в то время как уравнение (7.55)
является параболическим для (7.56) и для p применяется уравнения Пуассона, в котором время
выступает просто как параметр. Для того, чтобы получить стационарные решения, которые имеют обычно практический интерес, уравнение для !, которое является параболическим по времени,
решается совместно с уравнением для , пока асимптотическая стадия не будет достигнута. Как
только установленные значения ! и будут достигнуты, можно приступать к решению уравнения
для давления.
Для конечно-разностного приближения этих уравнений, принимаем следующее обозначение
F (x; y; t) = F (ix; j y; nt) Fi;jn ;
F = f! ; или pg :
(7.62)
87
Уравнение переноса завихренности.
Поскольку это уравнение является параболическим по времени и содержит конвективные слагаемые, то существует несколько возможностей для его дискретизации. Например, могут применяться
явные или неявные методы. Дискретизация центральными разностями и дискретизация против потока могут быть применены к конвективным слагаемым. Для простоты рассмотрим только простую
явную схему с дискретизацией вперед по времени. Конечно-разностная дискретизация конвективных
слагаемых и центральные разности вторых производных относительно пространственных переменных будет так же использоваться. Тогда приближение с конечными разностями уравнения переноса
завихренности (7.54) принимает вид
!n
!n
#
" n
!i;jn+1 !i;jn
!i+1;j 2!i;jn + !in 1;j !i;jn +1 2!i;jn + !i;jn 1
@!
@!
n
n
;(7.63)
vi;j @y + = ui;j @x
+
t
(x)2
(x)2
i;j
i;j
где первые производные в конвективных слагаемых дискретизуются схемой против потока следующим образом
!
!
@! n = !i;jn !in 1;j ; u > 0 ;
@! n = !in+1;j !i;jn ; u < 0 ;
i;j
i;j
@x i;j
x
@x i;j
x
!
!
@! n = !i;jn !i;jn 1 ; v > 0 ;
@! n = !i;jn +1 !i;jn ; v < 0 ;
(7.64)
i;j
i;j
@y i;j
y
@y i;j
y
Схема имеет ошибку усечения порядка O[x; y; t]. Скорости ui;j и vi;j связаны с функцией
тока уравнений (7.48) и в форме конечных разностей задаются в виде
n
n
i 1;j + O[2 ] :
n = i+1;j
v
(7.65)
i;j
x
2y
2x
Если бы безразмерное уравнение переноса завихренности (7.57) дискретизировано, полученное
конечно-разностное уравнение было бы подобно данному уравнению (7.63) со следующими изменениями в переменных:
1 ;
x ! X ; u ! U ; ! Re
y ! Y ; v ! V ; t ! ; ! ! :
(7.66)
Может так же использоваться центральная дискретизация всех пространственных производных в уравнении
переноса завихренности. Для такого случая, слагаемые с первыми производными
(@!=@x)ni;j и (@!=@y)ni;j в уравнении (7.63) дискретизируются с использованием центральной разностной формулы. Для такого случая, полученное конечно-разностное уравнение имеет точную ошибку
усечения второго порядка по пространственным переменных, т.е., O(2x; 2y ), но ограничение на
устойчивость становится более строгим для больших чисел Рейнольдса. Поэтому, для малых чисел
Рейнольдса диффузия доминирует и центральные разности могут быть использованы для дискретизации конвективных слагаемых, поскольку эта схема более точная. Однако, при больших числах
Рейнольдса конвекция доминирует, и использование схемы против течения является предпочтительной из соображений устойчивости.
Конечно-разностная схема, рассматриваемая здесь, является явной, шаг по времени t должен
удовлетворять ограничению устойчивости, которое имеет вид
(
#) 1
"
j
u
j
1
j
v
j
1
t + + 2 2 + (2
:
(7.67)
x
y
x
y
Это выражение является двухмерной версией ограничения, заданного уравнением (7.63) с вместо .
uni;j =
n
i;j +1
n
i;j 1
+ O[2y ] ;
88
Уравнение Пуассона для функции тока.
Уравнение Пуассона (7.55) для функции тока дискретизируется, используя центральные разностные формулы. Получаем
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
i+1;j 2 i;j + i 1;j + i;j +1 2 i;j + i;j 1 = ! n+1
(7.68)
i;j
(x)2
(y)2
для случая x = y = , это уравнение решается для i;jn+1. В результате получаем
i
h
n+1 = 1 n+1 + n+1 + n+1 + n+1 + 2! n+1 :
(7.69)
i;j
i;j
4 i+1;j i 1;j i;j+1 i;j 1
с ошибкой усечения O(2x; 2y ).
Уравнение Пуассона для давления.
Уравнение Пуассона (7.56) для давления дискретизируется в виде
pi+1;j 2pi;j + pi 1;j + pi;j+1 2pi;j + pi;j 1 = S ;
i;j
2x
2y
!
!
"
где
i;j +1 2 i;j + i;j 1
i+1;j 2 i;j + i 1;j
Si;j = 2i;j
2x
2y
!23
i+1;j +1
i+1;j 1
i 1;j +1 + i+1;j +1 5
4xy
(7.70)
и слагаемое со взаимной пространственной производной, появляющейся в S дискретизируется, используя формулу второго порядка точности, заданной уравнением (2.15). Таким образом, конечноразностная схема имеет ошибку усечения порядка O(2x; 2y ).
Для стационарных задач, уравнение давления решается только один раз, после того, как установившиеся значения ! и были вычислены. Поэтому, в вышеупомянутых уравнениях для давления
опущен индекс n + 1.
7.4.4. Метод решения
!и
В предыдущей формулировке уравнение переноса завихренности является независимым по времени, в то время как уравнения для функции потока и давления являются стационарными. В многих
численных исследованиях, такая стационарная система используется для того, чтобы получить стационарное решение ! и , описывая нестационарную задачу, пока асимптотический предел не будет
достигнут. Такой подход предпочтен из-за параболического характера уравнения переноса завихренности во времени. Это позволяет решать маршевыми методами во времени к установившемуся
решению. Эта процедура требует, чтобы в каждом шаге эллиптическое уравнение Пуассона (7.55)
было решено. Но необходимо только конечное вычислительное время для того, чтобы достигнуть
асимптотическую стадию.
Если нестационарное приближение требует большого вычислительного времени для достижения
асимптотической стадии, задача может быть решена непосредственно в стационарной форме итерационным методом, но стационарный подход может быть восприимчив к неустойчивостям. Далее
опишем метод решения уравнения переноса завихренности как для нестационарного, так и как для
стационарного случаев.
Решение для нестационарной задачи.
Основными шагами для решения уравнений с конечными разностями (7.63) и (7.68) как переходная проблема для завихренности и функции тока являются:
Предположим значения !i;jn и i;jn являются известными на временном шаге n, тогда компоненты
скорости uni;j и vi;jn получаются из уравнения (7.65).
89
1. Завихренность !i;jn+1 на временном шаге n + 1 вычисляются из уравнения (7.63).
2. Зная !i;jn+1 в каждой точке сетки, итерационно решается уравнение Пуассона (7.68) для функции тока, учитывая соответствующие граничные условия, и определяется i;jn+1 в точках сетки по
всей области потока.
3. Новые значения функции тока i;jn+1 используются для того, чтобы вычислить соответствующие компоненты скорости ui;j и vi;j из уравнений (7.65) с использованием самых последних значений
!i;jn+1 и i;jn+1 во внутренних узлах для того, чтобы вычислить новые значения ! на границах.
Если решение к завихренности !i;jn+1 не сходится, вычисления повторяются, пока желательная
сходимость не будет достигнута на временном уровне n + 1.
Нет никакого категорического критерия для достижения сходимости стационарного решения.
Обычным критерием для сходимости к стационарного значения !i;j является проверка последовательности для
(7.71)
или
max !n+1 !n =!n "
max !n+1 !n " ;
i;j
i;j
i;j
i;j
i;j
и аналогично для i;j . Значения ", сообщенные в открытой литературе изменяются от " = 10 3 до
10 8 . Иногда полезно исследовать итерационное поведение решения, анализируя maxj!i;jn+1 !i;jn ji;j
по n и во времени.
Решение для стационарной задачи.
Если использование переходного подхода требует, чтобы было достигнуто установившееся решение за большое вычислительное время, то можно применить стационарное приближение для решения этой задачи. Рассмотрим безразмерное уравнение переноса завихренности (7.57) и уравнение
Пуассона (7.58) для функции тока. Для стационарной задачи решение получается путем пропуска
слагаемых с производными в уравнении переноса завихренности (7.57).
2
@ 2
!
@
@
1
@
(7.72)
U @X + V @Y = Re @X 2 + @Y 2 ;
@ 2 + @ 2 = ;
(7.73)
@X 2 @Y 2
Эти уравнения могут быть выражены в конечно-разностной форме, как это обсуждено ранее.
Полученная система алгебраических уравнений может быть решена итерациями.
Представим ниже основной алгоритм для решения такой системы алгебраических уравнений.
Принимаем конечно-разностное обозначение
m(x; y) = m(ix; j y) mi;j
(7.74)
где индекс m обозначает m-ую итерацию, а нижние индексы (i; j ) обозначают дискретные точки
сетки. Кроме того пусть
fi;j = граничные значения i;j ;
Fi;j = граничные значения i;j ;
(7.75)
и полагаем, что количества i;j и i;j являются известными на m-ой итерации
mi;j mi;j ;
(7.76)
а mi;j+1 и mi;j+1 будут определенным.
Представим также обозначение
~ mi;j+1 ~ mi;j+1 ;
где тильда обозначает приблизительное промежуточное значение.
90
(7.77)
Основными шагами для определения mi;j+1 и mi;j+1 являются:
1. Промежуточные значения ~ mi;j+1 вычисляются из решения конечно-разностного представления уравнения Пуассона (7.73). Пусть конечно-разностная форма уравнения (7.73) будет написана
формально в виде
!
@ 2~ + @ 2~ m+1 = m ; в области ;
~ mi;j+1 = fi;j ; на границе :
(7.78)
i;j
@X 2 @Y 2 i;j
2. Полученные значения mi;j+1 определяются, используя релаксационную формулу
mi;j+1 = ~ mi;j+1 + (1 )mi;j ;
(7.79)
где параметр релаксации имеет значения в пределах 0 < 1.
3. Промежуточные значения ~ mi;j+1 вычисляются из конечно-разностной формы уравнения (7.72),
заданный в виде
" ~
~ 1 @ 2
~ @ 2
~ !#m+1
@
@
U @X + V @Y Re @X 2 + @Y 2
= 0;
в области ;
(7.80)
i;j
~ )i; j m+1 = Fi;j ;
на границах ;
где компоненты скорости U и V связаны с функцией тока уравнениями (7.48,a,b) или (7.65).
4. Полученные значения mi;j+1 определяются с помощью следующих релаксационных формул:
mi;j+1 = ~ mi;j+1 + (1 )
mi;j ; в области ;
(7.81)
mi;j+1 = ~ mi;j+1 + (1 )
mi;j ; на границах ;
(7.82)
где параметры релаксации лежат в пределах 0 < ; 1.
Итерации продолжаются, пока желательные критерии сходимости не будут достигнуты. Можно
принять простой критерии сходимости
max ni;j+1 ni;j i;j " ;
max ni;j+1 ni;j i;j "
:
(7.83)
7.4.5. Метод решения для давления
Как только получена функция тока в точках сетки, источниковое слагаемое s в уравнении
давления (7.56) становится известным. Конечно-разностное уравнение (7.70) может быть решено
любым из итерационных методов, применимых для решения уравнения Пуассона, и давления pi;j
определяется в точках сетки по всей области потока. Граничные условия для уравнения давления
соответствуют часто условию второго рода (т.е., @p=@n указано на границе). Если давление необходимо только для установившегося состояния, уравнение давления решается только один раз,
используя установившиеся значения .
Если давление требуется найти только на стенке, нет никакой потребности решить уравнение
давления всей области потока. В таких случаях, применяется простое выражение для определения
давления на стенке, используя тангенциальные уравнения импульса в жидкости по отношению к поверхности стенки. Для того, чтобы продемонстрировать подход, рассмотрим стенку, направленную
по оси x, как показано на рис.7.6.
Уравнение момента импульса вдоль оси x используется для жидкости, смежной со стенкой. Имеем
@p = @ 2u :
(7.84)
@x y=0
@y2 y=0
91
Рис. 7.6: Обозначение для точек сетки в жидкости
и на стене, направленной по оси x.
Рис. 7.7: Граничные условия на острых углах.
Обращаем внимание на то, что v = 0, следовательно @v=@x = 0 на поверхности стенки. Затем
этот результат применяется к определению завихренности, ! = @v=@x @u=@y, и получаем ! =
@u=@y. Тогда уравнение (7.84) записывается в терминах завихренности в виде
@p = @! :
(7.85)
@x y=0
@y y=0
Это уравнение дискретизируется, используя центральную разностную формулу для производной
по x, и односторонней формулой по трем точкам, заданной уравнением (2.11) для производной по
y. Получаем
pi+1;0 pi 1;0 = 3!i;0 + 4!i;1 !i;2 :
(7.86)
2x
2y
Завихренности в правой стороне этого выражения являются известными из решения уравнения
переноса завихренности. Только тогда может быть рассчитано давление на стенках из уравнения
(7.86). Однако, когда все граничные условия по давлению являются условиями второго рода, как
имеет место полости, где скорости наложены на границу, должна быть определена, по крайней мере,
одно значение давления; или давление будет определено с точностью до аддитивной постоянной.
7.4.6. Формулировка граничных условий
Чтобы решить уравнения с конечными разностями, рассмотренными ранее, необходимо задать
граничные условия необходимы для вычислительной процедуры ! и , также и для давления p. Пока
что представлены уравнения с конечными разностями, которые применяются в области потока, но
не исследованы граничные условия. В этой части представим граничные условия по компонентам
скорости и обсудим задание соответствующих вычислительных граничных условий по и !.
Граничные условия по скорости.
Граничные условия по скорости зависят от реальных физических ситуаций в области потока.
Для потока вдоль неподвижной непроницаемой стенки, условия принимаются в виде
u = v = 0 ; на поверхности стенки.
(7.87)
Если стена перемещается с заданной скоростью или является пористой с определенным всасыванием, или жидкость поступает в поток, то компоненты скорости определяются соответственно.
На оси симметрии или в центре потока, развитого вдоль оси x, v равно нулю всюду по оси,
следовательно @v=@x = 0. Также u, в силу симметрии, имеет @u=@y = 0.
.
Функция тока определяется из решения и ее значение должно удовлетворять уравнению Пуассона
(7.55) для , т.е.
@2 + @2 = ! ;
(7.88)
@x2 @y2
Граничные условия по
92
Поэтому, граничные условия для функции тока должны моделироваться совместно с физическими условиями, используя определение из уравнений (7.84). Определение надлежащих граничных
условий чрезвычайно важно, потому что они являются граничным и начальными условиями для
дифференциального уравнения вместе с параметрами потока, который выделяет саму область потока. Имеются многочисленные физические ситуации типа непроницаемой стенки, скольжение вдоль
стенки, симметрии границы и условие притока, которые требуют специального внимания. Мы
исследуем ниже представление таких физических ситуаций в виде граничных условий на функцию
тока.
(i) Непроницаемая, без скольжения стенка вдоль оси x: Для такой ситуации компоненты скорости на стенке исчезают
v = u = 0 ; на стенке.
(7.89)
Первое условие в терминах функции тока задается в виде выражения
@ (x; 0) = v(x; 0) = 0 ;
(x; 0) = const
(7.90)
@x
вдоль поверхности стенки и представляет условие непроницаемости на стенке. Константа может
быть приравнена нулю без потери общности.
Второе условие u = 0 на стенке, в терминах принимает вид
@ (x; 0) = u(x; 0) = 0 ;
(7.91)
@y
который представляет условие отсутствия скольжения на стенке.
Любое из условий, заданных уравнениями (7.90,b) или (7.90,c) могут использоваться как граничное условие для в уравнении Пуассона (7.88); но, оба условия = 0 и @ =@y = 0 не могут использоваться вдоль той же самой границы, так как это бы переопределило задачу. Условие (@ =@y)wall = 0
требуется для граничного условия на завихренность !; тогда как условие wall = 0 принадлежит
уравнению Пуассона для . Это единственное правильное распределение этих граничных условий.
(ii) симметричная граница вдоль оси x: нормальная скорость v равна нулю всюду на границе
симметрии. В терминах имеем
@ = v = 0;
(x; 0) = const
(7.92)
@x
всюду на симметричной границе.
(iii) Приток (вверх по течению) границы с постоянной скоростью u0 по оси y : скорость притока
u0 в терминах функции тока задается в виде
@ =u
(7.93)
@y 0
при x = 0 (т.е., вверх по течению). Интегрирование уравнения (7.93) относительно y и принимая
константу интегрирования постоянной и равный нулю, условие притока на принимает вид
(0; y) = u0y :
(7.94)
Здесь величина u0y представляет поток жидкости.
!.
Пространственное и временное изменение завихренности по области потока описывается уравнением переноса завихренности (7.90). Завихренность генерируется на границах без скольжения.
Это диффузионный процесс с последующей конвекцией генерирует завихренность, которая фактически и формирует саму проблему.
Граничное условие по
93
Для стены, ровной вдоль оси x с u(x; y) и v(x; y), обозначающие компоненты скорости вдоль
направлений x и y, соответственно, завихренность !(x; y) определяется в виде
x; y) @u(x; y) ;
!(x; y) = @v(@x
(7.95)
@y
где компоненты скорости связаны с функцией тока в виде
(x; y) :
(x; y) ;
v(x; y) = @ @x
(7.96)
u(x; y) = @ @y
Симметричные непроницаемые, без проскальзывания, условия на стенке могут быть получены,
формируя аналитические граничные условия. Могут использоваться различные условия для вверх
по течению (приток), вниз по течению (отток) и острые угловые грани. Здесь сначала обсудим
некоторые из возможностей для условия вверх по течению, вниз по течению и условий на острых
гранях угла и затем представим развитие граничных условий для симметрии и двигающейся стенки.
(i) Приток на границе (вверх по течению). Некоторые из подходов имеют обыкновение представлять граничное условие вверх по течению, которое включает:
Полное определение притока, например, принимая полностью развитый поток Пуазейля, который определяет как , так и !. Иногда определяется ! = O и затем установливается @ =@y = u0,
таким образом определяется ! = @ 2 =@y2.
Фиксируется , принимая @v=@x = 0. Таким образом получаем ! = @ 2 =@y2.
(ii) Отток на границе (вниз по течению). Если рассматриваемый участок поверхности длинный, то условие оттока не является важным; но для малых расстояний между оттоком и притоком,
вычисления показывают, что может развиться неустойчивость от оттока до притока. Некоторые
из подходов имели обыкновение моделировать условие границы оттока в виде:
Полная спецификация условий оттока. Это самое безопасное с точки зрения стабильности, но
не подходящее для отделенных течений. Например, можно указать однородный отток (и приток) со
скоростью u = const и v = 0.
Можно определить менее ограничительные граничные условия, установив v = @ =@x = 0 и
@!=@x = 0.
Можно использовать менее ограничительные граничные
условия для оттока, полагая @v=@x = 0
2
и @!=@x = 0. Ясно, что первое условие подразумевает @ =@x2 = 0 пока v = @ =@x.
(iii) Острые углы. При исследовании граничных условий на функцию тока и завихренность
в остром угле, рассмотрим случаи острого вогнутого и острого выпуклого угла, как показано на
рис.7.7,a,b.
Для острого вогнутого угла C1, показанного на рис.7.7,a, c = 0 и !c = 0, независимо от того,
являются ли обе границы стенки границей без проскальзывания или является линией симметрии.
В случае острого выпуклого угла C2, показанного на рис.7.7,b, функция тока c = 0 или равна
константе; Однако заметим, что в настоящее время существует несколько путей оценки значений !:
Завихренность в C2 принимается такой, чтобы быть разрывной
(0; y) ; на стенке A ;
!c = !A = (
y )2
(x; 0) ; на стенке B :
(7.97)
!c = !B = (
x)2
Завихренность в C2 принимается в виде арифметического среднего из двух завихренностей,
заданных уравнениями (7.97,a,b), т.е.
(0; y) + (x); 0 :
(7.98)
!c = (
y )2
(x)2
94
(iv) симметрия на границе вдоль оси x. Компоненты скорости v всюду ноль на границе симметрии, имеем @v=@y = 0. Компонента скорости u на симметрии имеет @u=@y = 0. Тогда по
определению завихренности, заданной уравнением (7.95,a), имеем
! = 0 ; вдоль оси симметрии :
(7.99)
Пример 7-3. Получите граничное условие для завихренности на непроницаемой стенке, перемещающейся с постоянной скоростью u0 направлении x.
Решение. Для непроницаемой стены имеем v (x; 0) = 0, следовательно @v (x; 0)=@x = 0. Тогда,
из определения завихренности, заданного уравнением (7.95,a), пишем
(x; 0) ;
(7.100)
!(x; 0) = @u@y
или в терминах функции тока
2
!(x; 0) = @ @y(x;2 0) ;
(7.101)
Для того, чтобы оценить @ 2 (x; 0)=@y2, разложим (x; y) относительно точки (x; 0) в ряд Тейлора
2 (x; 0)
1
@
@
(
x;
0)
2
+
(7.102)
(x; y) = (x; 0) + y @y
2 y @y2 + :::
который перегруппируется в выражение
@ 2 (x; 0) = 2 [ (x; y) (x; 0) yu ] + O(y) ;
(7.103)
0
@y2
(y)2
поскольку @ (x; 0)=@y = u0.
Подстановка уравнения (7.103) в (7.101), пристеночная завихренность !(x; O) определяется как
!(x; 0) = (2y)2 [ (x; y) (x; 0) yu0] + O(y) :
(7.104)
Используя конечно-разностное представление, показанное на рис.7.7, уравнение (7.104) становится
!i;0 = (2y)2 [ i;1 i;0 yu0] + O(y) :
(7.105)
Для неподвижной стенки, этот результат упрощается
(7.106)
!i;0 = (2y)2 [ i;1 i;0] :
Этот пример также показывает, что значение на стенке не достаточно для определения завихренности на стенке; необходима также информация относительно @ =@y на стенке.
Граничные Условия по давлению.
Граничные условия по давлении определяются с оценкой установившегося импульса, уравнения
(7.81) и (7.82) на граничных поверхностях. Нормальный градиент давления @p=@n определен на
стенке для всех граничных поверхностей. Однако, уравнение Пуассона для давления с граничным
95
условием второго рода на всех поверхностях становится единственным только к в пределах аддитивной постоянной; следовательно, необ
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
75
Размер файла
873 Кб
Теги
лекция, численные, физики, метод, математические, pdf, гуржий, 2006, курс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа