close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Фурсиков А.В. Тихомиров В.М. - Существование решений экстремальных задач (2005).pdf

код для вставкиСкачать
Существование решений экстремальных
задач
В.М.Тихомиров, А.В.Фурсиков
22 января 2004 г.
Я убежден, что будет возможно доказывать теоремы существования с помощью общего принципа [...]. Этот общий принцип, возможно, приблизит нас к ответу на следующий вопрос:
имеет ли решение каждая регулярная вариационная проблема, если самому понятию решение при случае придавать
расширенное толкование.
Д. Гильберт.
1
Принцип компактности
Тема, рассматриваемая в этой главе, непосредственно связана с двадцатой проблемой Гильберта одной из двадцати трех знаменитых проблем, поставленных в его докладе на парижском Конгрессе 1900 года проблемой существования решений задач вариационного исчисления. Общий принцип доказательства теорем существования, о котором
говорит Гильберт, это, видимо, принцип компактности.
1.1
Предварительные сведения
X топологическое
R = R ? {?} ? {??},
Напомним сначала несколько определений. Пусть
1
пространство
где
R
и
R
расширенная прямая, т. е.
вещественная ось.
1 Топологическим пространством
подмножеств, содержащих
X, ?,
(X, ? )
называется множество
X
и система
?
его
и замкнутых относительно операции объединения
любой совокупности множеств и пересечения любого конечного числа множеств. В
1
f : X ? R называется собственной, если она не равна
тождественно +?, и для всех x ? X, f (x) > ??.
Функция f : X ? R называется полунепрерывной снизу на X , если
Функция
выполнено одно из условий:
x?X
n??
i) Для любого
ся к
x
при
и любой последовательности
{xn }n?N , сходящей-
f (x) ? lim inf f (xn ) := lim inf f (xi ),
n??
ii) Для любого
{x ? X | f (x) ? ?},
? ? R
Лебегово множество функции
замкнут в
Предложение 1.1.
f,
X Ч R.
т. е. множество
Свойства
Доказательство.
n ? ?.
f,
т. е.
L? f :=
замкнуто.
iii) Надграфик функции
? ? f (x)},
n?? i?n
i)
?
Так как согласно i)
i), ii), iii)
epif := {(x, ?) ? X Ч R |
эквивалентны.
? ? R, xn ? L? f и xn ? x
b
f (b
x) ? lim inf f (xn ) ? ?, то x
b ? L? f ,
ii). Пусть
при
что
L? f .
? iii). Пусть (xn , ?n ) ? epif , т. е. ?n ? f (xn ), и xn ? x
b, ?n ?
?
b при n ? ?. Допустим, что ?
b < f (b
x), т. е. iii) не верно, и положим
? = (f (b
x) ? ?
b)/2. Так как ?n ? ?
b, то при любом достаточно большом
n ?n ? ?
b + ?. Отсюда и из условия f (xn ) ? ?n в силу ii) следует, что
f (b
x) ? ? + ?. Подставляя в это неравенство выражение для ?, получим
противоречие с предположением, что f (b
x) > ?
b.
iii) ? i). Пусть i) не верно, т. е. существует такая последовательность
доказывает замкнутость
ii)
xn ? x
b
при
что
f (b
x) > ? := lim inf f (xn ).
n??
{xm } подпоследовательность последовательности {xn } такая, что f (xm ) ? ? при m ? ?. Если ? > ??, то при
любом m
Следовательно
? < ?.
n ? ?,
Пусть
(xm , f (xm )) ? epif, (xm , f (xm )) ? (b
x, ?)
при
m ? ?.
? наоткрытыми, а их дополнения замкнутыми. Топологическое пространство
называется компактным (или компактом), если из любого его покрытия можно вытопологическом пространстве определено понятие сходимости. Множества из
зывают
брать конечное подпокрытие.
2
(b
x, ?) ?
/ epif , что противоречит iii).
Если ? = ??, то для любого ? ? R при достаточно больших m
справедливо неравенство ? > f (xm ), и следовательно (xm , ?) ? epif .
Конечно, (xm , ?) ? (b
x, ?) при m ? ?. Но если взять ? < f (b
x), то
(b
x, ?) 6? epif , что противоречит iii).
Но
Контрольный вопрос 1.1
(далее
КВ):
Привести пример разрыв-
ной функции, полунепрерывной снизу.
В основе теории существования решения экстремальных задач лежит
(Принцип компактности Вейерштрасса Лебега) Пусть
X компактное топологическое пространство и f собственная полунепрерывная снизу функция на X . Тогда f ограничена снизу и существует точка x
b ? X , в которой f достигает абсолютного минимума.
Теорема 1.1.
Доказательство.
Ln f, n ? Z. Из определения ii) полунепрерывности снизу следует, что Un := X \ Ln f , n ? Z открытые
множества в X . Ясно, что . . . ? Un ? Un?1 ? . . . и что {Un }n?Z открытое покрытие в X . Из определения компактности существует число
m ? Z такое, что Um = X , т. е. f ограничена снизу и потому существует нижняя грань µ := inf x?X f (x). Если нижняя грань не достигается,то
положив Vn := X \ Lµ+1/n f , n ? N, получим, что {Vn }n?N есть открытое
покрытие X . Следовательно, (снова из-за определения компактности)
существует число s ? N такое, что X = Vs , т. е. f > µ + 1/s. Но это
противоречит определению µ.
Рассмотрим
О том, насколько существенно требование компактности области определения минимизируемой функции свидетельствует следующий пример
2
задачи минимизации на R неотрицательного многочлена четвертого
порядка от двух переменных, в которой нет решения: x21 + (x1 x2 ? 1)2 ?
min.
(Разумеется, существуют тривиальные примеры несуществования
при отсутствии компактности даже для функций одного переменного.
1
? min, x ? R, где решения нет.)
Такова, скажем, задача
1+x2
Отметим, что в задачах вариационного исчисления минимизируются
функционалы, которые обычно определены на неограниченных множествах бесконечномерных пространств. Так как такие множества не являются компактными, непосредственное применение теоремы 1.1 в такой
ситуации невозможно.
Установим принцип компактности, применимый к задачам вариационного исчисления.
3
1.2
Принцип компактности
X нормированное пространство, т.е. линейное пространство, снабженное нормой k · k. В нем помимо сходимости по норме k · k (т.е. сильной
Пусть
сходимости) существует и другой тип предельного перехода. Последова-
{xn }n?N нормированного пространства X называется слабо сходящейся, если для любого линейного ограниченного функ?
?
?
ционала x на X (т.е. для x ? X )
тельность элементов
hx? , xn i ? hx? , xi
где
hx? , xi
значение функционала
Подмножество
замкнутым,
A
пространства
если предел
x
b
n??
x? на векторе x.
X называется секвенциально слабо
любой слабо сходящийся последовательно-
xn ? A принадлежит A.
Кв 1.2. Пусть X нормированное пространство и A (сильно) замкнутое поднножество X . Всегда ли оно является секвенциально слабо
сти его элементов
замкнутым?
Напомним, что нормированное пространство называется
банаховым,
если оно является полным, т.е. любая его фундаментальная последовательность элементов сходится. Банахово пространство
флексивным,
X
называется
ре-
если из всякой ограниченной последовательности его элел-
ментов можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.
Примером рефлексивного пространства является пространство
? область в пространстве Rn ) при 1 < p < ? (см. [I]).
2
Lp (?)
(где
Кв 1.3.
Привести пример нормированного, но не банахова простран-
ства.
Задача 1.1.
Доказать, что все конечномерные нормированные про-
странства рефлексивны.
Задача 1. 2? . Привести пример нерефлексивного банахова пространства.
В полном соответствии с определениями i), ii), iii) функций, полунепрерывных снизу, можно дать следующее определение.
Функционал f : X ? R называется полунепрерывным снизу на X
относительно слабой сходимости, если выполнено одно из условий:
2 Отметим, что очень часто рефлексивным называют банахово пространство
совпадающее со своим вторым сопряженным
нии
X
в
X ?? .
X ?? := (X ? )? при
X,
каноническом вложе-
Эквивалентность этих двух определений составляет содержание теоре-
мы Эберлейна-Шмульяна (см. [I]).
4
x?X
n??
i') Для любого
щейся к
x
при
и любой последовательности
{xn },
слабо сходя-
f (x) ? lim inf f (xn )
n??
i') Для любого
??R
лебегово множество
L? f
секвенциально слабо
замкнуто.
ii') Надграфик
epif
Предложение 1.2.
секвенциально слабо замкнут в
Свойства
i'), ii'), iii')
X Ч R.
эквивалентны.
Задача 1.3 Доказать предложение 1.2 (аналогично предложению1.1).
X рефлексивное банахово пространство, A ? X , f
на X . Рассмотрим экстремальную задачу:
Пусть
ционал
f (x) ? min;
x ? A.
функ-
(1.1)
Решение задачи, т. е. точку, в которой достигается глобальный мини-
x?.
коэрцитивна, если для некоторого ? ? R
лебегово множество L? (f ) = {x ? A | f (x) ? ?} непусто и ограничено
в X . (В случае, когда в (1.1) A = X коэрцитивным часто называют
функционал f , а не задачу (1.1)).
мум функционала
f,
обозначим
Говорят, что задача (1.1)
(О существовании точки минимума) Пусть собственный функционал f определен на рефлексивном банаховом пространстве
X и полунепрерывен снизу на X относительно слабой сходимости. Тогда, если множество A секвенциально слабо замкнуто, а задача (1.1)
коэрцитивна, то функционал f ограничен снизу и достигает своего абсолютного минимума на A.
Теорема 1.2.
Доказательство.
Пусть
µ = inf f (x)
x?A
и ? число из определения коэрцитивности задачи (1.1). Так как L? (f ) 6=
?, то ? ? µ. Если ? = µ, то любая точка x ? L? f 6= ? является точкой абсолютного минимума f (x) и теорема доказана. Рассмотрим случай ? > µ.
Согласно определению нижней грани существует такая последовательность
xn ? A,
что
f (xn ) ? µ.
Все члены последовательности
исключением, возможно, конечного числа принадлежат
5
{xn }n?N
за
L? (f ) и поэтому
{kxn k}
множество
ограничено. Вследствие рефлексивности
X,
перехо-
xn ? x?
A x? ? A,
дя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что
X.
слабо в
Вследствие секвенциальной слабой замкнутости
а благодаря полунепрерывности снизу относительно слабой сходимости
f (x?) ? µ = limn?? f (x). Так как по условию f (x?) > ??, то µ конечно
f (x?) = µ, т. е. x? точка абсолютного минимума функционала f .
и
У теоремы 1.2 имеются два достаточно трудно проверяемых условия:
секвенциально слабой замкнутости множества
снизу функционала
f
A
и полунепрерывности
относительно слабой сходимости. В следующем
пункте мы приведем легко проверяемые условия, гарантирующие их выполнение.
1.3
Теорема Мазура и ее следствия
Начнем с напоминания определений. Если
странства
X,
то отрезок
[a, b],
a, b
точки линейного про-
соединяющий эти точки, определяется
формулой
[a, b] := {x ? X| x = ?a + (1 ? ?)b,
? ? [0, 1]}.
A пространства X называется выпуклым, если для любых точек a, b ? A отрезок [a, b] принадлежит A.
Задача 1.4. Доказать, что замыкание A выпуклого множества A выпукло. (Предполагается, что A ? X и X - нормированное пространство.)
n
Если x1 , . . . , xn ? X , то при любых ?i ? 0 таких, что ?i=1 ?i = 1
Подмножество
вектор
x=
n
X
?i xi
(1.2)
i=1
называется
Если
A
выпуклой комбинацией
комбинация (1.2) принадлежит
A.
x1 , . . . , n .
x1 , . . . , xn ? A, то
вектров
выпуклое множество и
любая выпуклая
Действительно, если в (1.2)
n = 2,
то утверждение следует из определения выпуклого множества. Пусть
утверждение доказано для всех выпуклых комбинаций не более, чем n?1
0
элементов и пусть в (1.2) |? | = ?1 + · · · + ?n?1 > 0 (в противном случае
P
?i
x = xn ? A). Тогда по предположению индукции x0 = n?1
i=1 |?0 | xi ? A и
0 0
по определению выпуклого множества x = |? |x + ?n xn ? A.
B подмножество в X . Овыпуклением B называется множествыпуклых комбинаций элементов B . Овыпукление обозначается
Пусть
во всех
6
ConvB . ConvB
выпуклое множество, потому, что, если
y1 =
n
X
?i xi ,
y2 =
i=1
то при любом
?j zj
j=1
xi ? B , i = 1, . . . n, zj ? B , j =
выпуклые комбинации элементов
1, . . . , m,
m
X
? ? (0, 1)
?y1 + (1 ? ?)y2 =
элемент
n
X
??i xi +
i=1
m
X
(1 ? ?)?j zj
j=1
является выпуклой комбинацией элементов из
B и поэтому принадлежит
ConvB .
Задача 1.5.
плоскости:
Вычислить овыпукление объединения двух гипербол на
H1 {(x1 , x2 )|x1 x2 = 1, xi > 0, i = 1, 2}
и
H2 = {x1 x2 = ?1, x1 <
0, x2 > 0}.
(Мазур) Пусть x
b является слабым пределом последовательности {xn | n ? P
N} при n ? ?. Тогда существует такая последовательность yn = nj=1 ?j,n xj выпуклых комбинаций элементов xk ,
что yn ? x
b сильно при n ? ?.
Теорема 1.3.
Доказательство.
x
b не принадлежит замыканию Conv{xn } овыпукления счетного множества {xn }.
Так как замыкание выпуклого множества выпукло, то Conv{xn } замкнутое выпуклое множество, и x
b?
/ Conv{xn }. Поэтому в силу теоремы
?
отделимости существует линейный непрерывный функционал x такой,
Допустим противное. Это означает, что
что
sup
z?Conv{xn }
при некотором
? > 0.
hx? , zi < hx? , x
bi ? ?
Но это неравенство противоречит слабой сходимо-
сти последовательности
xn
к
x
b.
Важную роль в дальнейшем играют два следствия теоремы Мазура.
Если множество выпукло и замкнуто, то оно секвенциально слабо замкнуто.
Следствие 1.1.
Доказательство.
Пусть
xn ? A
и
xn ? x
b
n ? ?. По
yk выпуклых комk ? ?. Так как A что x
b ? A.
слабо при
теореме Мазура существует такая последовательность
бинаций элементов
выпукло, то
y k ? A,
xn ,
что
yk ? x
b
сильно при
а из замкнутости
7
A
следует,
Если функционал f : X ? R является выпуклым и полунепрерывным снизу, то он полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости.
Следствие 1.2.
Доказательство.
Из условий теоремы и свойства iii) полунепре-
epif выпукло и замкнуто в X Ч R. Поэтоepif секвенциально слабо замкнуто, а в силу
рывности снизу множество
му согласно следствию 1.1
свойства iii') функция
f
полунепрерывно снизу относительно слабой схо-
димости.
2
Постановка задачи о существовании решения. Контрпримеры
Начнем с формулировки теоремы существования решения вариационной
задачи.
2.1
Одномерная вариационная задача
Рассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления:
Z
t1
J (x(·)) =
L(t, x(t), x?(t)) dt ? min,
x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,
(2.1)
t0
?? < t0 < t1 < ?.
Применим наш общий подход к этой задаче. Первые общие теоремы
существования решений были доказаны Тонелли.
2
Функция L(t, x, p), (t, x, p) ? [t0 , t1 ] Ч R называется
если при любых
(t, x) ? [t0 , t1 ] Ч R
она выпукла по
квазирегулярной,
p.
[t0 , t1 ]
Lq ([t0 , t1 ]),
Совокупность абсолютно непрерывных на отрезке
функций,
производная которых принадлежит пространству
обозначаWq1 ([t0 , t1 ]) (такие пространства носят имя С. Л. Соболева). Имеет
ется
место следующая
(Тонелли о существовании) Пусть интегрант (t, x, x?) 7?
L : [t0 , t1 ]ЧR ? R в задаче (2.1) непрерывен по всем переменным, непрерывно дифференцируем по x?, квазирегулярен и удовлетворяет следую-
Теорема 2.1.
2
8
щему условию роста: L(t, x, x?) ? ?|x?|q + ? , ? > 0, ? ? R, q > 13 . Тогда в
пространстве Wq1 ([t0 , t1 ]) существует решение (абсолютный минимум)
задачи (2.1).
Эта теорема будет доказана (причем в многомерном случае) в следующем разделе. Ее доказательство состоит в сведении к теореме 1.2.
При этом наиболее трудным оказывается проверка того, что из квазирегулярности интегранта следует полунепрерывность снизу функционала
относительно слабой сходимости.
Отметим, что условие роста в теореме Тоннели диктует выбор функционального пространства, на котором естественно рассматривать зада1
чу (2.1). Этим пространством является пространство Соболева Wq (t0 , t1 ).
Выбор функционального пространства, наиболее естественного для поставленной задачи лежит в основе подхода Соболева.
1
На пространстве Соболева Wq (t0 , t1 ) введем норму
Z
t1
kx(·)kWq1 (t0 ,t1 ) =
1/q
.
(|x(t)| + |x?(t)| ) dt)
q
q
t0
Легко проверить, что все свойства нормы здесь выполнены за исключе-
kxk = 0 ? x = 0. Действительно, kxkWq1 (t0 ,t1 ) = 0 и для
x(t) = 0 лишь при почти всех t ? (t0 , t1 ). Однако, если как в прострастве
1
Лебега Lq (t0 , t1 ) элементом пространства Wq (t0 , t1 ) считать класс экви1
валентных (т. е. совпадающих почти всюду) функций, то Wq (t0 , t1 ) будет
нием одного:
банаховым пространством. Так как любой класс содержит единственную
абсолютно непрерывную функцию, то мы можем оперировать с элемен1
тами Wq (t0 , t1 ) как с абсолютно непрерывными функциями.
2.2
Примеры несуществования решения
Рассмотрим теперь примеры задачи (2.1) в которых нет решения, т. е.
нижняя грань функционала
J
не достигается. Эти примеры, в частно-
сти, устанавливают существенность всех условий теоремы 1.2 для существования решения задачи (1.1).
3 В следующем разделе будет показано, что это условие роста по существу эквивалентно условию коэрцитивности. В литературе это условие роста обычно и называют
условием коэрцитивности (см., например, [E]).
9
(Больца: невыпуклость интегранта по x?)
Z 1
((x?2 (t) ? 1)2 + x2 (t)) dt ? min, x(0) = x(1) = 0.
J1 (x(·)) =
Пример 2.1.
0
Интегрант
пень по
(x?2 ? 1)2 + x2
функционала
J1
растет как четвертая сте-
x?
и поэтому задачу естественно рассматривать в пространстве
1
Соболева W4 (0, 1).
1
Ясно, что J1 (x(·)) > 0 для любого x(·) ? W4 (0, 1), x(t) 6? 0, а с другой
стороны, если x?(t) ? 0, то J(x?(·)) = 1.
Если же взять последовательность
Z
t
Un (? ) d?,
xn (t) =
где
Un (t) = sgn sin 2?nt, n ? N,
0
xn (·) ? 0 (n ? ?) равномерно на [0, 1], в то время как |x?n (t)| = 1 п.в. и следовательно, J(xn (·)) ?
0 (n ? ?). Значит нижняя грань у задачи нуль, а решения в W41 (0, 1)
2
2
нет, и причина в том, что функция x? 7? (x? ? 1) невыпуклая.
(она изображена на рисунке), то очевидно, что
Сопоставим теперь пример Больца с теоремой 1.2. Выбор пространW41 (0, 1) в качестве области определиния задачи Больца сразу обеспечивает ее коэрцивность и конечность значений функционала. Множества
ство
A = {x(t) ? W41 (0, 1) | x(0) = x(1) = 0}
замкнуто. Это вытекает из приведенной в следующем разделе теоремы 3.3 (о следе). Поэтому, будучи выпуклым, множество
A
является
секвенциально слабо замкнутым.
Задача 2.1.
Проверить непосредственно замкнутость множества
A
1
в W4 (0, 1).
Задача 2.2.
Проверить коэрцитивность задачи из примера Больца.
Из всех условий теоремы 1.2 осталось непроверенным лишь условие о
полунепрерывности снизу относительно слабой сходимости функционала
J1 . Так как задача из примера 2.1 не имеет решения, то J1 этому условию
не удолетворяет.
Вывод:
Условие о полунепрерывности снизу относительно слабой
сходимости существенно для справедливости теоремы 1.2 о существовании решения.
10
Именно его нарушение и является истинной причиной несуществования решения в рассматриваемой задаче. (Здесь впрочем уместно отметить, что в силу утверждений, приведенных ниже, квазирегулярность
интегранта из (2.1), т. е. его выпуклость по
x?,
эквивалентна его полуне-
прерывности снизу относительно слабой сходимости в соответствующем
пространстве Соболева.)
(Вейерштрасса: вырождение интегранта)
Z 1
t2 x?2 (t) dt ? min, x(0) = 0, x(1) = 1.
J2 (x(·)) =
Пример 2.2.
0
Это знаменитый пример Вейерштрасса, которым он аргументировал неполноту аргументов Римана, касающихся существования решения
4
вариационной задачи. .
Здесь естественным функциональным пространством является не Соболевский класс, а пространство
W (0, 1) измеримых функций с конечной
нормой
Z
kxkW (0,1) =
1
1/2
(t x? (t) + tx (t)) dt
.
2 2
2
0
Первое слагаемое в под знаком интеграла определяется функционалом
J2 , а член tx2 (t) добавлен, чтобы норма на функциях, тождественно рав2
ных константе, не была нулевой. При этом коэффициент t перед x де2 2
лает этот член подчиненным члену t x? (см. ниже неравенство (2.2)).
J2 (x(·)) > 0 для функции x(·) ? W (0, 1),
x(0) = 0, x(1) = 1. А если взять
(
N t,
0 ? t ? 1/N,
xN (t) =
1,
t ? 1/N, N ? N,
Мы видим, что
ряющей условиям
то, очевидно,
удовлетво-
J2 (xN (·)) ? 0 (N ? ?).
Снова: значение задачи нуль, а решения в
W (0, 1)
нет.
4 Из книги в книгу переходят рассказы о том, как Вейерштрасс возразил Риману,
якобы считавшему, что минимум интеграла Дирихле существует, так как интегрант
положителен. В книге [K] автор пишет, что Вейерштрасс нашел слабое место в принципе Дирихле и в 1869 году опубликовал критику этого принципа, и далее: Риман
умер, так и не найдя ответа на возражение Вейерштрасса. Некоторая деликатность
состоит в том, что Риман умер в 1866 году.
11
Сопоставим пример Вейерштрасса с теоремой 1.2. Конечность функ-
J2 (x) и его непрерывность в W (0, 1), а значит, в силу выпуклости
ционала
и полунепрерывность снизу относительно слабой сходимости, очевидны.
Задача 2.3.
Доказать непрерывность в
W (0, 1)
и выпуклость функ-
J2 (x).
ционала
Для проверки коэрцитивности
1
Z
покажем, что
1
tx (t) dt ?
2
2
0
для любой функции
J2
1
Z
t2 x?2 (t) dt
(2.2)
0
x(t) ? W0 ? {y(t) ? W (0, 1) | y(1) = 0}.
Действи-
тельно,
2 Z
x?(? ) d? ?
Z
|x(t)| = ?
1
1?t
t
Z
2
t
=
t
1
d?
?2
Z
1
? 2 x?2 (? ) d? =
t
1
? 2 x?2 (? ) d?
t
и поэтому
Z
1
Z
2
1
Z
(1 ? t)
tx (t) dt ?
0
0
Множество
A
0
1
1
? x? (? ) d? dt ?
2
2 2
Z
1
? 2 x?2 (? ) d?.
0
из (1.1) в случае примера Вейерштрасса имеет вид
A = {x ? W (0, 1) | x(0) = 0, x(1) = 1}
A ? W0 + 1, причем справа стоит сдвиг множества W0 на функJ2 следует из
ограниченности на W (0, 1) множества
и значит
цию, тождественно равную единице. Поэтому коэрцивность
{x ? W0 + 1 | J2 (x) ? R} ?R > 0,
которая вытекает из (2.2).
С помощью последовательности функций
xN (t),
использованной для
доказательства несуществования решения в примере Вейерштрасса, устанавливается незамкнутость множества
A, а значит, A не является секвен-
циально слабо замкнутым.
Вывод:
Условие секвенциально слабой замкнутости множества
щественно для справедливости теоремы 1.2.
12
A су-
Причина несуществования решения в примере Вейерштрасса в наличии условия
x(0) = 0
при сильной вырожденности интегранта в нуле.
Действительно, если в задаче убрать это граничное условие, то множество
A
заменится на
A? = {x ? W (0, 1) | x(1) = 1},
а это множество, как легко проверить, замкнуто в
Пример 2.3.
ционала)
W (0, 1).
(Гармонический осциллятор: некоэрцитивность функ-
Z
T
J3 (x(·)) =
(x?2 ? x2 ) dt ? min, T > ?, x(0) = x(T ) = 0.
0
W21 (0, T ).
Здесь, если рассмотреть последовательность xn (t) = n sin(?t/T ), n ? N,
то легко убедится, что J3 (xn (·)) ? ?? (n ? ?), и значит, абсолютного
Эту задачу естественно рассматривать на пространстве Соболева
минимума в задаче нет.
Причиной несуществования решения здесь является некоэрцивность
задачи, которая легко устанавливается с помощью указанной выше по-
xn (t) = n sin(?t/T ). Действительно, для любого ? ?
множество L? J3 содержит xn при достаточно больших n и
? ? при n ? ?. Поэтому множество L? J3 неограничено
? ? R. Все остальные условия теоремы 1.2 выполнены для
следовательности
R лебегово
kxn kW21 (0,T )
при любом
этой задачи. В частности, полунепрерывность снизу относительно слабой сходимости для
J3
устанавливается как в доказательстве теоремы
Тонелли (см. теорему 3.7 в следующем разделе).
3
Существование решений вариационной задачи
В этом разделе после напоминания некоторых фундаментальных фактов
теории пространств Соболева доказывается теорема Тонелли о существовани решения задачи вариационного исчисления.
13
3.1
Пространства Соболева
Пусть
?
Rd ,
область в пространстве
граница которой
??
является
бесконечно дифференцируемым многообразием. Напомним, что симво?
лом C (?) обозначается пространство бесконечно дифференцируемых
?
функций, определенных на замыкании ? области ?, а C0 (?) это под?
пространство пространства C (?), состоящее из функций с компактным носителем. При этом носитель
suppf
= {x ? ? : f (x) 6= 0},
f (suppf )
определяется формулой:
причем черта наверху опять обозначает опе-
рацию замыкания множества.
x ? u(x), принадлежащую пространству Lp (?).
Ее обобщенной производной ?u/?xk называется такая обобщенная функ?
ция (т. е. линейный непрерывный функционал на пространстве C0 (?),
что
Z
??(x)
?u
u(x)
dx = ?
, ? , ?? ? C0? (?),
?xk
?xk
?
Рассмотрим функцию
?u
на пробной функпричем справа стоит значение обобщенной функции
?xk
1
ции ?). Пространством Соболева Wp (?), 1 ? p < ?, называется множество таких функций u(·) ? Lp (?) у которых все обобщенные производные
?u
, k = 1, . . . , d, принадлежат пространству Lp (?).
?xk
1
Норма в пространстве Wp (?) определяется формулой:
ku(·)kpWp1 (?)
Z =
?
p Z
d X
?u
p
p
p
|u(x)| +
?xk dx = (|u(x)| + |?u(x)| )dx.
?
k=1
Как и в случае одного переменного, чтобы выписанное выражение действительно определяло норму, элементом пространства нужно считать
u(x), а класс эквивалентных функций, совu(x) при почти всех x ? ?). Именно так мы и будем считать,
не фиксированную функцию
падающих с
хотя и будем допускать вольность речи, называя элементом пространства
Соболева конкретные функции.
Теорема 3.1.
(о полноте) Пространство Wp1 (?) полно.
Доказательство.
Пусть последовательность {un } фундаментальна
1
в Wp (?). Тогда последовательности {un }, {?un /?xj }, j = 1, . . . , d фундаментальны в Lp (?), а в силу полноты Lp (?) существуют такие функции
u, u(j) , j = 1, . . . , d , что при n ? ?
un ? u,
?un
? u(j) ,
?xj
j = 1, . . . , d
14
в
Lp (?)
? ? C0? (?)
Z
Z
Z
Z
??
??
?un
n??
n??
u
dx ??
un
dx = ?
? dx ?? ? u(j) ? dx.
?x
?x
?x
j
j
j
?
?
?
?
Поэтому при любом
?u
(в смысле обобщенных функций), что доказывает пол?xj
1
ноту пространства Wp (?).
Значит
u(j) =
Приведем без доказательства
5
следующие фундаментальные утвер-
ждения:
(о плотности для пространства Wp1 (?)) Пространство
C ? (?) плотно в Wp1 (?) при 1 ? p < ?.
Теорема 3.2.
Пусть область ? ограничена. Тогда пространство Wq1 (?)
вполне непрерывно вложено в Lq (?): Wq1 (?) b Lq (?).
Лемма 3.1.
u(·) ? C ? (?), то, очевидно, определено сужение (след) функции
границу ??: ?u = u(·)|?? . Имеет место
Если
u(·)
на
(о следе) Оператор следа продолжается с C ? (??) до
непрерывного оператора ? : Wp1 (?) ? Lp (?), 1 ? p < ?.
Теорема 3.3.
Схема доказательства. Сначала для произвольной функции u(·) ?
?
C (?)
устанавливается оценка
k?u(·)kLp (??) ? Cku(·)kWp1 (?) ,
где константа
C
не зависит от
(3.1)
u(·)
(и это является главной частью докаu(·) ? Wp1 (?) с помощью
?
теоремы о плотности выбирается последовательность un (·) ? C (?),
1
сходящаяся к u(·) в Wp (?). Эта последовательность фундаментальна
1
в Wp (?), а в силу приведенной выше оценки последовательность ?un (·)
зательства). Потом для произвольной функции
фундаментальна в
рый обозначается
Lp (??). Значит, ?un (·) имеет предел в Lp (??), кото?u(·). Далее устанавливается, что след ?u(·) связан
u(·) (т. е. не зависит от аппроксимирующей последовательности)
?u(·) и u(·) справедлива приведенная выше оценка.
лишь с
и для
Такая схема доказательства характерна для теории пространств Соболева: сначала доказываемый факт устанавливается для гладких функций, а потом проводится процесс замыкания.
5 Относительно доказательства этой и других теорем о пространствах Соболева
см., например, [E].
15
Задача 3.1.
Докажите справедливость неравенства (3.1) для любой
d
1
фкнкции u(x) ? C (?) если а) ? = (a, b) (одномерный случай), б) ? ? R
?
- ограниченная область с границей ?? ? C .
1
Определим следующее подпространство пространства Wp (?):
o 1
1
W p (?) = {u(·) ? Wp (?) | ?u(·) = 0},
где
? оператор сужения на границу ??. Справедлив следующий аналог
теоремы о плотности, который мы также приводим без доказательства.
o 1
Теорема 3.4.
(о плотности для пространства W p (?)) Пространство
o 1
C0? (?) плотно в W p (?) при 1 ? p < ?.
В дальнейшем при p
o 1
W21 (?) = H 1 (?), W 2 (?)
=2
мы будем использовать также обозначения:
= H01 (?).
Наконец, приведем еще следующую важную оценку (оставив ее также
без доказательства).
o 1
(неравенство Фридрихса) Для любой функции u(·) ?W p
(?) справедливо неравенство
Z
Z
p
|u(x)| dx ? c |?u(x)|p dx
Теорема 3.5.
?
?
с константой c, зависящей лишь от области ?.
o 1
В силу неравенства Фридрихса норму в пространстве
W p (?)
есте-
ственно задавать равенством:
Z
kuk o 1
W p (?)
p
|?u(x)| dx
=
1/p
.
?
Докажем теперь важную для нас теорему о рефлексивности про1
странств Wp (?).
Теорема 3.6.
Пространство Wp1 (?) рефлексивно, если 1 < p < ?.
16
Доказательство.
Напомним, что
Lp (?)
- рефлексивное простран1
1
ство, причем его сопряженное можно отождествить с Lq (?) где + = 1.
q
p
Из теоремы о виде функционала на прямом произведении пространств
n
сразу следует, что (Lp (?)) := Lp (?)Ч· · ·ЧLp (?) (n раз) имеет в качестве
n
сопряженного пространство (Lq (?)) , откуда сразу следует его рефлекn
сивность, так как его второе сопряженное совпадает с (Lp (?)) , т.е. с ним
же.
A : Wp1 (?) ? (Lp (?))d+1 ,
1
определяемый формулой Au = (u, ?u/?x1 , . . . , ?u/?xd ). Очевидно, AWp (?)
d+1
- замкнутое подпространство в (Lp (?))
(доказательство такое же как
Рассмотрим линейный непрерывный оператор
в теореме 3.1), а в силу следствия 1.1 оно секвенциально слабо замкнуто.
?
1
Покажем, что для любого функционала F ? (Wp (?)) существует
d+1
(f0 , . . . , fd ) ? (Lq (?)) , где 1/p + 1/q = 1 такой, что
Z
F (u) =
(f0 (x)u(x) +
?
d
X
fj (x)
j=1
?u(x)
) dx ? u ? Wp1 (?).
?xj
(3.2)
1
определяет функционал F1 на AWp (?). По теореме
d+1
1
Хана-Банаха F1 можно продолжить с AWp (?) на все пространство (Lp (?))
d+1
с сохранением нормы. Так как функционал на (Lp (?))
определяется
d+1
некоторым элементом (f0 , . . . , fd ) ? (Lq (?))
, то отсюда следует (3.2).
1
Пусть последовательность {un } ограничена в Wp (?). Значит послеd+1
довательность {(un , ?un /?xj , j = 1, . . . , d)} ограничена в (Lp (?))
, и
Действительно,
F
в силу рефлексивности этого пространства существует подпоследова-
{wk } ? {(unk , ?unk /?xj , j = 1, . . . , d)} слабо сходящаяся к
w
b ? (Lp (?))d+1 Так как wk ? AWp1 (?), и множество AWp1 (?) секвенциально слабо замкнуто, то w
b имеет вид w
b = (b
u, ?b
u/?xj , j = 1, . . . , d)}.
1
Значит ввиду (3.2) unk ? u
b слабо в Wp (?).
Задача 3.2. Пусть Y - замкнутое подпространство рефлексивного банахова пространства X . Доказать, что Y - рефлексивное пространство.
тельность
Задача 3.3.
o 1
Доказать рефлексивность пространства
W p (?),
если
1 < p < ?.
Рассмотрим теперь некоторые задачи вариационного исчисления.
17
3.2
Вариационная задача: коэрцитивность и условия
роста
Мы изучим следующий многомерный аналог простейшей задачи вариационного исчисления (2.1):
Z
L(x, y(x), ?y(x)) dx ? min
J(y(·)) =
(3.3)
?
при условии, что
y(x)|x??? = 0
? ? Rd (x1 , . . . , xd ) ? ?
где
ограниченная область с границей
(3.4)
??
класса
C ?, x =
y(x) искомая вещественнозначная функция, ?y(x) = (?y/?x1 , . . . , ?y/?xd ) ее градиент. Об
интегранте L(x, y, p) = L(x, y, p1 , . . . , pd ) будем предполагать, что
независимые переменные,
L(·, ·, ·) ? C(? Ч R Ч Rd ), ?(x, y) ? ? Ч R L(x, y, ·) ? C 1 (Rd ).
(3.5)
Отметим, что полным аналогом одномерной простейшей задачи из предыдущего раздела является минимизация функционала (3.3) при условии
y(x)|x??? = y0 (x),
где заданная функция
y0 (x) 6= 0.
Здесь мы ограничимся изучением за-
дачи (3.3), (3.4) с однородным граничным условием.
Теорема существования решения задачи (3.3), (3.4) (теорема Тонелли) будет доказана с помощью теоремы 1.2 о существовании решения аб-
коэрцитивности функционала J(y) из (3.3) мы наложим на функцию L(x, y, p)
следующее условие роста:
страктной задачи. Чтобы гарантировать справедливость условия
Пусть задано
1<q<?
Существуют константы
? > 0, ? ? 0
такие, что неравенство
L(x, y, p) ? ?|p|q ? ?
справедливо при всех
Если функция
L
(3.6)
(3.7)
x ? ?, y ? R, p ? R d .
удовлетворяет условию (3.6), (3.7), то задачу (3.3),
Wq1 (?), а огра-
(3.4) естественно рассматривать на пространстве Соболева
o 1
ничение (3.4) записать в виде y ? A ?W q (?).
18
o 1
Функционал J(y), y ?W q (?) ограничен снизу, не равен
тождественно +? и удовлетворяет условию коэрцитивности.
Лемма 3.2.
Доказательство.
грируя по
?
Подставляя в (3.7)
(y, p) ? (y(x), ?y(x))
и инте-
получим, что
Z
q
J(y) ? ?
Z
|?y(x)| dx ? ?
?
dx = ?kykqo 1
? ?|?|,
(3.8)
W q (?)
?
o 1
J(y) на W q (?).
y ? C 1 (??), y|?? = 0
откуда следует ограниченность снизу функционала
L(x, y, p)
J(y) < ?.
Так как
имеем
R
удовлетворяет (3.5), то при
Возьмем произвольную функцию y0 (x)
o 1
= J(y0 ). Очевидно, LR J = {y ?W q (?):
? C 1 (??), y0 |?? = 0
J(y) ? R} 6= ?.
и положим
Кроме того, в
силу неравенства (3.8)
o 1
LR J ? {y ?W q (?) : kykqo 1
W q (?)
Следовательно, множество
LR J
?
1
(?|?| + R)}.
?
J
ограничено, и функционал
удовлетво-
ряет условию коэрцитивности.
Итак, в лемме 3.2 показано, что условия (3.6), (3.7) гарантируют выполнение условия коэрцитивности у задачи (3.3), (3.4). Покажем на простом примере, что невыполнение условий (3.6), (3.7) приводит к отсутствию коэрцитивности. Это указывает, что условия (3.6), (3.7) родственны условию коэрцитивности в случае задачи (3.3), (3.4).
Рассмотрим следующую одномерную задачу вариационного исчисления
Z
1
L(y?(x)) dx ? inf, y(?1) = y(1) = 0,
J(y) =
(3.9)
?1
L(p) ? C 1 (R), L(0) = 0, L(p) ? 0 и при |p| > p0 , L(p) = |p|q?? ,
где ? > 0 сколь угодно мало. Будем считать, что q > 1, q ? ? > 1.
Конечно, L(p) удовлетворяет условиям (3.6), (3.7) c q , замененным на
где
q ? ?,
o 1
и поэтому задача (3.9) коэрцитивна в пространстве
Однако
L(p)
не удовлетворяет условиям (3.6), (3.7) c
q.
W q?? (?1, 1).
Это приводит к
следующему утверждению.
Лемма 3.3.
Задача
o 1
(3.9)
не коэрцитивна в пространстве W q (?1, 1).
19
Доказательство.
Определим последовательность функций
yk (x)
с
помощью их производных
?
?
?0,
y?k (x) = k ? ,
?
? ?
?k ,
?>0
где
|x| > 1/k,
0 < x < 1/k,
?1/k < x < 0,
удовлетворяет условиям:
1
1
<?<
q
q??
и краевым условиям
yk (?1) = yk (1) = 0.
Прямые вычисления показыва-
ют, что вследствие (3.10) при достаточно больших
Z
1
Z
k
1/k
k ?(q??) dx = 2k ?(q??)?1 ? 0
L(y?k (x)) dx = 2
?1
(3.10)
k ? ?,
0
а также
Z
q
kyk k o 1
1/k
=
W q (?1,1)
k ?q dx = 2k ?q?1 ? ? k ? ?.
?1/k
Первое из этих соотношений показывает, что для любого
? > 0 y k ? L? J
множество L? J
при достаточно больших k . В силу второго соотношения
o 1
неограничено на W q (?1, 1) при любом ? > 0. Вследствие неравенства
L(p) ? 0
множество
функционал
3.3
J
L? J 6= ? ?? > 0.
Таким образом установлено, что
o 1
коэрцитивен на
W q (?1, 1).
Квазирегулярность и полунепрерывность снизу
относительно слабой сходимости
Запись задачи (3.3), (3.4) в форме абстрактной задачи (1.1) такова:
o 1
J(y) ? min, y ?W q (?),
причем функционал
J
задается равенством (3.3) и определен на
Будучи замкнутым линейным подпространством пространства
20
(3.11)
Wq1 (?).
Wq1 (?),
o 1
множество
W q (?)
является секвенциально слабо замкнутым. Таким об-
разом, для задачи (3.11) проверены все условия абстрактной теоремы
существования, за исключением условия полунепрерывности снизу относительно слабой сходимости для функционала
J.
Оказывается, чтобы
обеспечить выполнимость этого условия для интегрального функционала вида (3.3) не обязательно требовать выпуклости этого функционала,
L(x, y, p) только по пере-
а достаточно требовать выпуклости интегранта
менным
p,
т. е.
функция
его квазирегулярности.
p 7? L(x, y, p)
Наложим это условие:
выпукла при любых
x ? ??, y ? R.
(3.12)
Теорема 3.7. Пусть интегрант L ограничен снизу и удовлетворяет
условиям квазирегулярности (3.12) и гладкости (3.5). Тогда функционал J , определенный в (3.3), полунепрерывен снизу относительно слабой
сходимости на Wq1 (?).
Доказательство.
Мы должны показать, что если
yk ? y?
слабо в
Wq1 (?),
(3.13)
то
J(y?) ? J? ? lim inf J(yk ).
k??
Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что
?
lim J(yk ) = J.
k??
В силу (3.13)
max kyk kWq1 < ?
(см. [KF], гл. 4 џ 3) и поэтому, вследствие
k
1
леммы 3.1 о полной непрерывности вложения Wq (?) b Lq (?), yk ? y?
сильно в Lq (?). Поэтому, переходя если нужно к подпоследовательности,
можно считать, что
yk (x) ? y?(x)
Для любого
?>0
E?
x ? ?.
(3.14)
согласно теореме Егорова ([KF], гл. 5 џ 4)
yk (x) ? y?(x)
где
при почти всех
равномерно по
некоторое измеримое подмножество
mes(? \ E? ) ? ?
21
x ? E? ,
?,
для которого
(3.15)
(mesA это лебегова мера множества
Пусть
A).
F? = {x ? ?: |y?(x)| + |?y?(x)| ? 1/?}.
? ? 0,
при
Так как
mes(? \ F? ) ? 0
то для множества
G? = F? ? E?
(3.16)
mes(? \ G? ) ? 0 ? ? 0.
(3.17)
справедливо соотношение
Вследствие (3.13)
Z
(?(x), ?yk (x) ? ?y?(x)) dx ? 0
при
k??
? ? (Lr (?))d ? Lr (?)Ч· · ·ЧLr (?) (d раз) с 1r + 1q = 1 и поэтому
любом достаточно малом ? > 0
Z
?
(Lp (x, y?(x), ?y?(x)), ?yk (x) ? ?y?(x)) dx ? 0 k ? ?.
?k :=
для любой
при
G?
В силу (3.14), (3.16) при каждом достаточно малом
?k?
?>0
Z
:=
Z
(L(x, yk (x), ?y?(x)) ? L(x, y?(x), ?y?(x))) dx+
G?
(Lp (x, yk (x), ?y?(x)) ? Lp (x, y?(x), ?y?(x)), ?yk (x) ? ?y?(x)) dx ? 0
+
G?
k??
Вследствие (3.12)
L(x, yk (x), ?yk (x)) ? L(x, y?(x), ?y?(x))+
+[L(x, yk (x), ?y?(x)) ? L(x, y?(x), ?y?(x))]+
+(Lp (x, y?(x), ?y?(x)), ?yk (x) ? ?y?(x))+
+(Lp (x, yk (x), ?y?(x)) ? Lp (x, y?(x), ?y?(x)), ?yk (x) ? ?y?(x)).
G? ,
Интегрируя это неравенство по
?k? :
Z
Z
L(x, yk (x), ?yk (x)) dx ?
G?
получим, учитывая определение
L(x, y?(x), ?y?(x)) dx + ?k? + ?k? .
G?
22
?k? ,
(3.18)
В соответствии с условием ограниченности снизу интегранта
L
L(x, y, p) ? ?? ?(x, y, p) ? ?? Ч R Ч Rd
? ? 0. Поэтому в силу (3.17), (3.18) для любого ? > 0
существуют такие ? > 0 и k0 > 0, что при всех k > k0
Z
Z
J(uk ) =
L(x, yk , ?yk ) dx +
L(x, yk , ?yk ) dx ?
G?
?\G?
Z
? ??mes(? \ G? ) + J(y?) ?
L(x, y?, ?y?) dx + ?k? + ?k ? J(y?) ? ?.
с некоторым
?\G?
Так как
3.4
?
здесь произвольно, то
J(y?) ? J? = limk?? J(yk ).
Необходимость условий квазирегулярности
Оказывается, что справедливо утверждение, обратное Теореме 3.7. Действительно, имеет место
Пусть функционал J , определенный в (3.3), (3.4), удовлетворяет условиям роста (3.7) и гладкости (3.5). Предположим также, что этот функционал полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости в пространстве Wq1 (?). Тогда для всех x0 ? ?, y0 ? R
интегрант L(x0 , y0 , p) является выпуклым по p ? Rd .
Теорема 3.8.
Эта теорема доказана, например, в монографии Ч.Б.Морри [M].
Отметим, что утверждение теоремы 3.8 справедливо и для одномернных векторных задач вариационного исчисления, т. е. для лагражианов
L(x, y, p) с x ? [t0 , t1 ], y ? Rn , p ? Rn . В случае же многомерных векторных задач вариационного исчисления справедлив следующий результат:
Пусть функционалу из (3.3) отвечает лагранжиан L(x, y, p)
с x ? ? ? R , y ? Rn , p ? Rdn и при этом J полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости в (Wq1 (G))n . Тогда для всех x0 ? ?, y0 ?
Rn , p0 ? Rdn
Z
L(x0 , y0 , p0 + ??) dx ? L(x0 , y0 , p0 )mesG
(3.19)
Теорема 3.9.
d
G
для любого постоянного вектора (x0 , y0 , p0 ), любой ограниченной области G с липшецевой границей и любой функции ? ? (C 1 (G))n равной
тождественно нулю на границе ?G.
23
Доказательство этого утверждения также можно найти в книге Ч.Б.Морри [M].
L, удовлетворяющий неравенству (3.19) обычно называют
n=
d = 1 следует выпуклость лагранжиана L(x, y, p) по переменным
[M]). В общем случае n > 1, d > 1 выпуклость L по переменным p
Интегрант
квазивыпуклым по Морри. Из квазивыпуклости по Морри в случаях
1
p
или
(см.
из квазивыпуклости по Морри не следует.
3.5
Теорема Тоннели
Теперь мы можем доказать основную теорему о существовании решения
задачи (3.3), (3.4).
(Тонелли) Пусть интегрант L(x, y, p) ? C ? (? Ч R Ч
Rd ) из (3.3) удовлетворяет условиям гладкости (3.5), роста (3.6), (3.7)
и выпуклости по p (3.12). Тогда в пространстве Wq1 (?) существует
решение y?(x) ? Wq1 (?) задачи (3.3), (3.4).
Теорема 3.10.
Доказательство.
В силу леммы 3.2 и теоремы 3.7 задача (3.3),
(3.4) удовлетворяет всем предположениям теоремы 1.2 о разрешимости
абстрактной экстремальной задачи. Поэтому из этой теоремы следует
справедливость теоремы Тонелли.
4
Уравнение Эйлера
Мы выводим необходимое условие, которому удовлетворяет решение
yb(x)
задачи (3.3), (3.4). В результате получим так называемое уравнение Эйлера. Далее мы определяем понятие эллиптичности и, используя уравнение Эйлера, обсуждаем связь этого понятия с условием квазирегулярности соответствующего лагранжиана.
4.1
Необходимое условие минимума
Наложим на интегрант
L из (3.3) дополнительное условие, более жесткое,
чем условие (3.5):
L(x, y, p) ? C(? Ч R Ч Rd ),
?x ? ?, L(x, ·, ·) ? C 1 (Rd+1 ).
(4.1)
Кроме того, необходимо наложить ограничения на скорость роста интегранта
L(x, y, p)
при
|y| + |p| ? ?
Мы предположим, что существуют
24
такие константы
?1 > 0, ?2 > 0
что
|L(x, y, p)| ? ?1 (1 + |y|q + |p|q ),
(4.2)
а также
|Ly (x, y, p)| +
d
X
|Lpj (x, y, p)| ? ?2 (1 + |y|q?1 + |p|q?1 ),
(4.3)
j=1
для любых
(x, y, p) ? ? Ч Rd+1 ,
Лемма 4.1.
где
Ly = ?L/?y, Lpi = ?L/?pi
Пусть для интегранта L выполнены условия теоремы 3.10
o 1
(Тонелли), а также условия (4.1)(4.3). Тогда решение yb(x) ?W q (?)
задачи (3.3), (3.4) удовлетворяет следующему интегральному тождеству:
)
Z (X
d
?h(x)
+ Ly (x, yb(x), ?b
y (x))h(x) dx = 0 (4.4)
Lpj (x, yb(x), ?b
y (x))
?xj
j=1
?
o 1
для любых h ?W q (?)
Доказательство.
Главное, что требуется доказать это дифферен-
определенного в (3.3), в точке y
b.
o 1
Покажем это, используя (4.1)(4.3). Пусть h ?W q (?) и ? ? (0, 1). В силу
цируемость по Гато функционала
J(y),
(3.3)
J(b
y + ?h) ? J(b
y)
=
?
Z
M (x, yb, h, ?) dx
(4.5)
?
где
M (x, yb, h, ?) =
а
b
L(x, yb(x) + ?h(x), ?b
y (x) + ??h(x)) ? L(x)
,
?
(4.6)
b
L(x)
= L(x, yb(x), ?b
y (x)). Вследствие условия (4.1) при почти всех x ? ?
by (x)h(x) + (L
bp (x), ?h(x)),
M (x, y, h, ?) ? L
при
? ? 0,
причем
by (x) = Ly (x, yb(x), ?b
bp (x) = Lp (x, yb(x), ?b
L
y (x)), L
y (x)).
25
(4.7)
? ? 0, используя теорему Лебега. Для
этого нам нужно указать мажоранту функции M (x, y, h, ?), не зависяот ? и принадлежащую L1 (?). В силу (4.6) и равенства g(?)?g(0) =
Rщую
1 d
g(?s)ds получим:
0 ds
Мы перейдем к пределу в (4.5) при
M (x, y, h, ?) =
R1
Ly (x, y(x) + ?sh(x), ?y(x) + ?s?h(x))h(x) +
0
+(Lp (x, y + ?sh, ?y + ?s?h), ?h(x)) ds
(4.8)
Оценивая правую часть (4.8) с помощью неравенств (4.3), Гельдера и
Юнга, получим
R1
|M (x, y, h, ?)| ? c0 (1 + |y(x) + ?sh(x)|q?1 +
0
q?1
+|?y(x) + ?s?h(x)| )(|h(x)| + |?h(x)|) ds ?
R1
? c1 (1 + |y + ?sh|q + |?y + ?s?h|q + |h|q + |?h|q ) ds ?
0
R1
? c2 (1 + |y(x)|q + |?y(x)|q + |h(x)|q + |?h(x)|q ) ds,
(4.9)
0
c2 не зависит от ? ? (?1, 1). Следовательно правая часть неравенства
L1 (?). Поэтому, переходя в (4.5) к пределу при ? ? 0
помощью теоремы Лебега, получим, что J(y) интегрируем по Гато, и
Z n
o
0
by (x)h(x) + (L
bp (x), ?h(x)) dx
hJ (b
y ), hi =
L
(4.10)
где
(4.9) принадлежит
с
?
Так как
yb
вместе с
h
точка абсолютного минимума задачи (3.3), (3.4), то левая
o 1
часть (4.5) неотрицательна при любом ? ? (?1, 1), и h ?W q (?). Поэтому
o 1
и левая часть (4.10) неотрицательна при любом h ?W q (?). Так как
мы можем поставить в (4.10) и
?h,
то справедливо равенство
(4.4).
Взяв в (4.4)
h ? C0? (?),
получаем, что это интегральное равенство
эквивалентно уравнению
d
X
?
?
Lp (x, y?(x), ?y?(x)) + Ly (x, y?(x), ?y(x)) = 0,
?xj j
j=1
26
(4.11)
где производные
?
L понимаются в смысле теории обобщенных функ?xj pj
ций.
Уравнение (4.11) называется уравнением Эйлера,
соответствующим вариационной задаче (3.3), (3.4).
Определение 4.1.
o 1
Функция y?(x) ?W q (?) называется обощенным решением краевой задачи (4.11), (3.4), если y? удовлетворяет интегральному тождеству (4.4).
Определение 4.2.
Из теоремы 3.10 (Тоннели) и леммы 4.1 сразу следует
Пусть выполнены условия теоремы 3.10 и леммы 4.1. Тогда у задачи (4.11), (3.4) существует обобщенное решение
Предложение 4.1.
o 1
y?(x) ?W q (?).
4.2
Эллиптические уравнения
Предположим дополнительно, что
?x ? ?
L(x, y, p) ? C 2 (Rd+1 ).
(4.12)
Уравнение (4.11) можно формально переписать в следующем виде:
d
X
d
? 2 y?(x) X
? y?(x)
?
L?pj ,pi
?
L?pj ,y
+ L?y = 0,
?xi ?xj
?xj
i,j=1
j=1
где
L?pj ,pi =
?L(x,y?(x),?y?(x))
, а функции
?pj ?pi
L?pj ,y , L?y
(4.13)
определяются аналогично.
Отметим, что в уравнении (4.13) вторые производные являются, вообPd
? 2 y?
ще говоря, обобщенными функциями, и поэтому сумме
i,j=1 L?pj ,pi ?xi ?xj
можно придать смысл только с помощью уравнения (4.11). Тем не менее
запись (4.13) уравнения (4.11) полезна, потому что позволяет определить
один очень важный класс уравнений в частных производных класс эллиптических уравнений.
Нелинейное уравнение (4.11) называется эллиптическим на функции y?(x) если существует константа ? > 0 такая, что
Определение 4.3.
27
для любого вектора ? = (?1 , . . . , ?d ) ? Rd и точки x ? ? справедливо
неравенство
d
X
Lpj ,pi (x, y?(x), ?y?(x))?j ?i ? ?|?|2 ,
(4.14)
i,j=1
где, напомним, |?|2 =
2
j=1 ?j .
Pd
Эллиптические уравнения важны потому, что возникают во многих
задачах математической физики и в других приложениях. Они также
тесно связаны с задачами вариационного исчисения. Последнее объясняется тем, что условие эллиптичности является усилением условия выпуклости, играющего в теории задач вариационного исчисления фундаментальную роль. Чтобы это показать, напомним следующее утверждение:
Пусть F (z) ? C 2 (Rk ). Функция F (z) выпукла в том и
только том случае, когда
Лемма 4.2.
k
X
? 2 F (z)
?i ?j ? 0
?z
?z
i
j
i,j=1
?? = (?1 , . . . , ?k ) ? Rk
(4.15)
при каждом z ? Rk .
Доказательство.
F (z) выпуклая функция на Rk . Положим
? ? [0, 1], z ? Rk , v ? Rk . Очевидно ?(?)
Пусть
?(?) = F (z + ?(v ? z)),
где
выпуклая функция. В силу неравенства Иенссена и теоремы Лагранжа
(о среднем) при любом
? ? (0, 1)
получим:
?(1) ? ?(?) ?(?) ? ?(0)
0
0
?
= ? (?2 ) ? ? (?1 ) =
0?
1??
?
Z
?2
00
? (?) d?
(4.16)
?1
?1 , ?2 некоторые числа, удовлетворяющие неравенствам 0 < ?1 <
? < ?2 < 1. Положив ? = v ? z, ? = ?/|?| и используя обозначение
2 (z)
00
k для матрицы вторых производных функции F , получим
F (z) = k ??zFi ?z
j
где
из (4.16), что
Z ?2
1
00
0?
? (?) d? =
2
(?2 ? ?1 )|?| ?1
Z ?2
1
00
=
hF (z + ?|?|?)?, ?i d? =
?2 ? ?1 ?1
Z ?2 |?|
1
00
hF (z + ??)?, ?i d?
=
(?2 ? ?1 )|?| ?1 |?|
28
(4.17)
Переходя в правой части (4.17) к пределу при
ли
|?| ? 0, получим (4.15). Ес-
F (z) удовлетворяет (4.15), то повторяя приведенные выше рассужде?(?), а значит и F (z), удовлетво-
ния в обратном порядке, получим, что
ряют неравенству Иенссена, т. е. являются выпуклыми функциями.
Аналог условия эллиптичности (4.14) для функции
F (z) переписыва-
ется следующим образом:
k
X
? 2 F (z)
?i ?j ? ?|?|2
?zi ?zj
i,j=1
где
?
не зависит от
Если
F (z)
?
и
?? = (?1 , . . . , ?k ) ? Rk , z ? Rk
(4.18)
z.
удовлетворяет условию (4.18), то эта функция строго вы-
пукла. Действительно, из (4.18), (4.17), (4.16) следует, что
? + ?(?) = ??(1) + (1 ? ?)?(0)
? = ??(1 ? ?)(?2 (?) ? ?1 (?))|v ? z|2 , причем числа ?2 (?) > ?1 (?)
определяются по ?. Так как ? > 0 при любом ? ? (0, 1), то ?(?)строго
выпуклая функция. Значит и F (z) строго выпукла.
4
Как показывает пример строго выпуклой функции F (z) = z , не удовлетворяющий при z = 0 условию (4.18), условие эллиптичности (4.18)
где
сильнее условия строгой выпуклости.
Если в правой части неравенства (4.14) из определения 4.3
? = 0,
то
уравнение (4.11) называется вырождающимся эллиптическим уравнением. Таким образом, условие выпуклости интегранта
менным
p
L(x, y, p)
по пере-
эквивалентно условию вырожденной эллиптичности. Именно
оно гарантирует существование решения вариационной задачи в теореме Тонелли (при выполнении других требуемых условий), а не условие
эллиптичности.
Тем не мение, условие эллиптичности играет в анализе очень важную
роль, что объясняется по крайней мере двумя причинами. Во-первых,
класс эллиптических уравнений значительно шире класса эллиптпческих уравнений Эйлера вариационных задач, и для этого класса удается
построить теорию существования и единственности решений ( или по
крайней мере теорию нормальной разрешимости, т. е. разрешимости для
исходных данных, обнуляющих конечное число соответствующих функционалов).
Во-вторых, для эллиптических уравнений обычно удается доказать
теорему о гладкости решений при гладких исходных данных. Для вырожденных эллиптических уравнений, даже являющихся уравнениями
29
Эйлера вариационной задачи, гладкость решений часто доказать не удается. Более того, эти решения далеко не всегда являются гладкими.
5
Вариационные неравенства.
В этом разделе исследуются вариационные неравенства. Такие неравенства возникают как системы оптимальности для задач вида (1.1) с множествами ограничений
A,
имеющими структуру более сдожную, чем
у линейного пространства. Рассмотрен пример вариационного неравенства, возникающего в задаче с препятствием.
5.1
Абстрактное неравенство
Вернемся к задаче (1.1) из раздела 1:
f (x) ? inf,
где
A
x ? A,
подмножество банахова пространства
X, f :? R
(5.1)
собственный
функционал и выведем для нее необходимые и достаточные условия минимума в предположении выпуклости
Гато функционала
f
и
A
и дифференцируемости по
f.
Пусть задача (5.1) имеет решение, множество A выпукло, а функционал f дифференцируем по Гато и является выпуклым.
Тогда a) x? является решением задачи (5.1) в том и только том случае,
если
x
b ? A;
hf 0 (x?), x ? x?i ? 0
?x ? A
(5.2)
Теорема 5.1.
где,напомним, hf 0 (x?), ziэто значение линейного функционала f 0 (x?) ?
X ? на векторе z ? X ; b) решение задачи (5.1) единственно, если f строго выпуклый функционал.
Доказательство.
x? решение задачи, а x ? A.
Aвыпукло, то при любом ? ? (0, 1) вектор x? + ?(x ? x?) ? A и
(f (x? + ?(x ? x?)) ? f (x?))/? ? 0. Переходя в этом неравенстве к
при ? ? 0, получим (5.2).
Пусть x? удовлетворяет (5.2). По неравенству Иеннсена
a) Пусть
(f (x? + ?(x ? x?)) ? f (x?))/? ? f (x) ? f (x?)
30
Так как
поэтому
пределу
Левая часть этого неравенства при
Поэтому
??0
стремится к
hf 0 (x?), x ? x?i ? 0.
f (x) ? f (x?) ? 0 ?x ? A.
x?1 6= x?2 два решения, то из-за выпуклости A (x?1 + x?2 )/2 ? A,
строгой выпуклости f ,
b)Если
а в силу
1
f ((x?1 + x?2 )/2) < (f (x?1 ) + f (x?2 )) = inf f (x),
x?A
2
что противоречит предположению, что
Определение 5.1.
венством.
5.2
Неравенство
(5.2)
x?1 , x?2
решения задачи.
называется вариационным нера-
Задача с препятствием
? ? Rd ограниченная область с границей ?? класса C ? ,
?(x) ? C(?) заданная функция, причем
Пусть теперь
а
?(x)|?? ? 0
Рассмотрим множество
X? = {u(x) ? H01 (?) : u(x) ? ?(x)
п.в.
x ? ?}
(5.3)
(п. в. значит "при почти всех") и запишем экстремальную задачу:
Z
J(u) =
(|?u(x)|2 ? 2u(x)f (x)) dx ? inf, u ? X? ,
(5.4)
?
где
f (x) ? L2 (?)
заданная функция, а функция
u(x)
ищется в
H01 (?).
Задача (5.4) описывает положение равновесия мембраны со смещением
u(x), x ? ?,
??: u|?? = 0. При этом на мембрану дейf (x), и мембрана имеет ограничение снизу вида
u(x) ? ?(x). (От препятствия ?(x) и произошло название задачи.)
Задача 5.1. Доказать, что множество X? выпукло и замкнуто в
H01 (?).
закрепленной на
ствует сила с плотностью
Задача 5.2.
рывновть на
Доказать выпуклость функционала (5.4) и его непре-
H01 (?).
Задача 5.3.
Доказать, что
J(u) ? ?
ционал (5.4).
31
при
kukH01 ? ?,
где
J
- функ-
Задача (5.4) имеет единственное решение u?(x) ? H01 (?).
Это решение может быть описано с помощью вариационного неравенства:
u? ? X?
?u ? X?
Z (?u?(x), ?u(x) ? ?u?(x)) ? f (x)(u(x) ? u?(x)) dx ? 0,
(5.5)
Теорема 5.2.
?
где X? множество
(5.3).
Доказательство.
Сведем задачу (5.4) к абстрактной задаче (5.1).
1
Положим X = H0 (?), тогда множество X? , определенное в (5.3), выпукло и замкнуто в X , а значит, и секвенциально слабо замкнуто. Функционал
J(u)
из (5.4) удовлетворяет условиям теорем 1.2 и 5.1. В частности,
его коэрцитивность вытекает из очевидного свойства:
J(u) ? ?
при
kukH01 (?) ? ?,
а полунепрерывность снизу относительно слабой сходи1
мости из его выпуклости и непрерывности на H0 (?). Поэтому, применяя теоремы 1.2,5.1 и следствия 1.1, 1.2, мы установим существование и единственность решения, а также его характеризацию с помощью
вариационного неравенства (5.2), которое в случае задачи (5.4) имеет
вид (5.5).
В том частном случае, когда в задаче (5.1) A = X , неравенство (5.2)
0
превращается в равенство hf (x), ?i = 0 ?? ? X . Чтобы его получить,
достаточно в (5.2) взять
x = x? ± ?.
Применяя это равенство к экстре-
мальной задаче
Z
J(u) =
|?u(x)|2 ? 2u(x)f (x) dx ? inf, u|?? = 0,
(5.6)
?
в которой
X = H01 (?),
получим, что справедливо
Для любого f ? L2 (?) задача (5.6) имеет единственное решение u?(x) ? H01 (?) и это решение описывается с помощью
равенства
Z
Z
(?u?(x), ??(x)) dx = f (x)?(x) dx
?? ? H01 (?).
(5.7)
Предложение 5.1.
?
Если предположить, что
?
u?(x)
в (5.7) достаточно гладкая функция,
то интегрируя в левой части (5.7) по частям и учитывая, что
32
u?|?? =
?|?? = 0
получим, что
u?(x)
является решением краевой задачи Дирихле
для оператора Лапласа:
??u?(x) = f (x), x ? ?, u?|?? = 0,
(где
?? = ?
Pd
j=1
(5.8)
? 2 /?x2j ).
Напомним, что функция
нием задачи (5.8), если
u?
u?(x) ? H01 (?) называется обобщенным реше-
удовлетворяет интегральному равенству (5.7).
Таким образом, решение
u?(x)
экстремальной задачи (5.7) является
обобщенным решением краевой задачи (5.8). Предложение 5.1 автоматически устанавливает существование и единственность обобщенного решения задачи Дирихле для оператора Лапласа.
6
Оптимальное управление системами с распределенными параметрами.
В этом разделе мы будем изучать задачи управления: абстрактную задачу и одну задачу с распределенными параметрами: мы докажеи их
разрешимость и для решения второй задачи выведем систему оптимальности. Более полно эта тема исследована в [F]
6.1
Абстрактная нелинейная задача управления
Пусть
Y, V
линейные нормированные пространства,
Y1 , U
рефлек-
Y1 непрерывно вложено в Y , U? U , L : Y1 Ч U ? V линепрерывные операторы, J(y, u) :
сивные банаховы пространства, причем
выпуклое замкнутое подмножество пространства
F : Y1 ? V нелинейный
Y Ч U ? R собственный функционал, полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в Y Ч U . Рассматривается экстремальная
нейный, а
задача
J(u, y) ? inf, L(y, u) + F (y) = 0, u ? U? .
Пара
(y, u) ? Y1 Ч U
(6.1)
называется допустимой, если она удовлетворяет
второму и третьему из соотношений (6.1) и
допустимых пар обозначается символом
J(u, y) < ?.
Множество
A.
Решением задачи (6.1) называется такая допустимая пара
что
J(y?, u?) = inf J(y, u) ? Jmin .
(y,u)?A
33
(y?, u?) ? A,
На задачу (6.1) накладываются следующие условия:
Условие 6.1.
Условие 6.2.
(нетривиальности). A 6= ?
(коэрцитивности). Существует такое ? ? R, что
множество A? = {(y, u) ? A: J(y, u) ? ?} непусто и ограничено в
Y1 Ч U .
Условие 6.3.
(компактности). Существует нормированное простран-
ство Y?1 , содержащее Y , причем вложение Y1 ? Y?1 вполне непрерывно, и выполнено условие: для любого функционала s из некоторого всюду
плотного множества S ? V ? функция y 7? hF (y), si продолжается с
пространства Y1 до непрерывного функционала на пространстве Y?1 .
При выполнении перечисленных выше условий существует решение (y?, u?) задачи (6.1).
Теорема 6.1.
Доказательство.
мизирующая
Пусть
(yn , un ) ? A
последовательность, мини-
J:
J(yn , un ) ?? Jmin ? inf J(y, u).
n??
В силу условия коэрцитивности
(y,u)?A
kyn kY1 + kun kU ? C
Поэтому, используя рефлексивность пространства
и C не зависит от n.
Y1 Ч U , и переходя,
если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что
yn ? y?
слабо в
Y1 , un ? u?
В силу выпуклости и замкнутости
справедливо включение
?
?
u? ? U? .
U? ,
слабо в
условия
U.
un ? U?
и следствия 1.1
Кроме того, для любого функционала
v ?V
hv ? , L(yn , un )i = hL? v ? , (yn , un )i ?? hL? v ? , (y?, u?)i = hv ? , L(y?, v?)i.
n??
Так как вложение
Y?1 .
s?S ?V?
сильно в
Y1 ? Y?1
вполне непрерывно,
yn ? y?
при
n ? ?
Поэтому в силу Условия 6.3 (компактности) для любого
hF (yn ), si ?? hF (y?), si.
n??
(yn , un )
n ? ? в этом
Подставив
во второе из соотношений (6.1), перейдем к пределу
при
равенстве, учитывая полученные выше соотношения.
34
L(y?, u?) + F (y?) = 0, которое вместе с
включением u? ? U? доказывает, что (y?, u?) ? A. Так как вложение Y1 ? Y
непрерывно, yn ? y? слабо в Y и поэтому
В результате получим равенство
?? < J(y?, u?) ? lim J(yn , un ) = Jmin .
n??
(y?, u?) решение задачи (6.1), а функционал J
множестве A.
Следовательно
снизу на
ограничен
Очевидно, задача (6.1) является спецификацией задачи (1.1) или, что
эквивалентно, задачи (5.1).
Существенность предположений теоремы 1.2 о существовании решения задачи (5.1) подробно обсуждалась на конкретных примерах. Эти
примеры автоматически подтверждают существенность всех условий теоремы 6.1 доказанной выше, за исключением условия 6.3 (компактности).
Для проверки существенности этого условия рассмотрим задачу
1
Z
(y 2 (t) + u2 (t)) dt ? inf, u(t) + y?(t)2 = 1, y(0) = y(1) = 0.
J(y, u) =
0
(6.2)
Выразив
u(t)
через
y?(t)
из второго соотношения и подставив это вы-
ражение в первое соотношение, получим задачу из примера 2.1 Больца.
В этом примере было показано, что задача Больца не имеет решения
x ? W41 (0, 1). Следовательно, не имеет решения (y, u) в пространстве
W41 (0, 1) Ч L2 (0, 1) и задача (6.2). Ниже мы покажем, что задача (6.2)
удовлетворяет всем предположениям теоремы 6.1 за исключением условия компактности. Отсюда вследствие отсутствия решений у (6.2), будет
следовать два факта: а) Задача (6.2) условию 6.3 (компактности) не удовлетворяет, и б) Это условие компактности существенно для справедливости теоремы 6.1.
Задача (6.2) удовлетворяет всем условиям теорекроме условия (6.3) (компактности).
Предложение 6.1.
мы
6.1
Доказательство.
o 1
Y = U = V = U? = L2 (0, 1), Y1 =W 4
(0, 1), L(y, u) = u, F (y) = y? ? 1, J(y, u) функционал из (6.2). Этот
2
функционал является квадратом нормы пространства Y ЧU = (L2 (0, 1))
Положим
2
и поэтому выпукл и непрерывен, а значит, и полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости в
o 1
Y Ч U.
W 4 (0, 1) Ч L2 (0, 1) ? L2 (0, 1)
Очевидно, операторы L(y, u) = u:
o 1
2
и F (y) = y? ? 1: W 4 (0, 1) ? L2 (0, 1)
35
A допустимых элементов не пусто, так как, на(y, u) = (0, 1) ? A. Докажем коэрцитивность задачи. Так как
непрерывны. Множество
пример,
o 1
A = {(y, u) ?W 4 ЧL2 : u + y? 2 ? 1 = 0}, то
Z 1
o 1
2
2
2
A? = (y, u) ?W 4 ЧL2 | u = 1 ? y? ,
y + u dt ? ? ?
0
Z
Z 1
o 1
4
2
2
2
y? dt = (1 ? u) dt ?
? (y, u) ?W 4 ЧL | kuk ? ?,
0
Z 1
?
o 1
2
2
4
2
2
? (y, u) ?W 4 ЧL | kuk ? ?,
y? dt ? (kuk + 1) ? ( ? + 1) ,
0
где
k · k = k · kL2 (0,1) ,
причем первое включение получилось в результате
2
интегрирования равенства и отбрассывания члена с y в неравенстве из
первого множества. Последнее множество в цепочке ограничено в
o 1
U =W 4 ЧL2 в силу неравенства Фридрихса (см. теорему 3.5).
6.2
Пространства
Y1 Ч
H ?1 (?)
Для применения теоремы 6.1 к конкретным задачам нам понадобится
?1
функциональное пространство H
(?). На пространстве L2 (?) определим норму
R
kf kH ?1 (?) =
sup
??H01 (?),?6=0
fn ? L2 (?)
f (x)?(x) dx
k?kH01 (?)
L2 (?) по этой норме.
?1
фундаментальная по норме H
(?) последователь-
и определим пространство
Пусть
H ?1 (?)
?
как пополнение
ность, реализующая некоторый элемент этого пополнения. Из определения нормы
k · kH ?1 (?) следует, что
Z
fn (x)?(x) dx ? kfn kH ?1 (?) k?kH01 (?) .
?
Значит функционалы из левой части этого неравенства, задаваемые эле1
ментами fn , стремятся к некоторому функционалу f на H0 (?), удовлетворяющему неравенству
|hf, ?i| ? kf kH ?1 (?) k?kH01 (?) ,
36
h·, ·i
слева порождено
H ?1 (?)
справа определя-
причем, очевидно, соотношение двойственности
скалярным произведением в
L2 (?),
а норма
kf k
ется равенством
kf kH ?1 (?) =
hf, ?i
.
??H01 (?),?6=0 k?kH01 (?)
sup
?1
Таким образом показано, что H
(?) состоит из подпространства линей1
?1
(?) изоморфно (H01 (?))? .
ных функционалов на H0 (?). Покажем, что H
1
?
Пусть F ? (H0 (?)) . Согласно теореме Рисса существует функция uF ?
1
H0 (?) такая, что
Z
?uF (x) · ??(x) dx ?? ? H01 (?).
F (?) =
?
Взяв в правой части этого равенства
? ? C0? (?),
получим, используя
определение обобщенной производной:
Z
h??uF , ?i =
?
?uF (x) · ??(x) dx ? k?uF kL2 (?) k?kH01 (?) .
(6.3)
Поделив обе части этого неравенства на k?kH 1 (?) , взяв supremum по
0
0 6= ? ? C0? (?) и воспользовавшись теоремой 3.4, получим, что ??uF ?
H ?1 (?) и
k ? ?uF kH ?1 (?) ? kuF kH01 (?) .
Поэтому доказана непрерывность оператора
?? : H01 (?) ? H ?1 (?).
В силу теоремы Рисса для любого
что
Z
f ? H ?1 (?)
(6.4)
существует
?u(x) · ??(x) dx = hf, ?i ?? ? H01 (?),
u ? H01 (?),
(6.5)
?
и поэтому, учитывая (6.3), получаем, что оператор (6.4) сюръективен.
Следовательно, в силу теоремы Банаха об обратном операторе доказана
Лемма 6.1.
иH
?1
(?).
Оператор
(6.4)
устанавливает изоморфизм между H01 (?)
37
Итак, из теоремы Рисса и Леммы 6.1 следует изоморфизм пространств
1
(H0 (?))? и H ?1 (?).
1
Функция u ? H0 (?), удовлетворяющая (6.5), называется обобщенным
решением задачи Дирихле для оператора Лапласа (ср. с (5.7), (5.8)).
Таким образом, мы получили еще одно доказательство существования и
?1
единственности задачи (5.8), правда, уже для произвольного f ? H
(?).
6.3
Пример задачи оптимального управления
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления нелинейной
системой с распределенными параметрами.
Z
Z
4
|y(x) ? w(x)| dx + N
J(y, u) =
?
|u(x)|2 dx ? inf,
(6.6)
?
??y(x) + y 2 (x) = f (x) + u(x), x ? ?; y|?? = 0;
u ? U? ,
где
w ? L4 (?), f ? H ?1 (?)
заданные функции,
N > 0, U?
(6.7)
(6.8)
выпуклое
L2 (?). Характерными примерами
U? являются следующие: U? = {u ? L2 (?), kukL2 ? R} и U? = {u ?
L2 (?) | ?1 (x) ? u(x) ? ?2 (x) п.в.}, где ?i (x) ? C(??), i = 1, 2 и ?1 (x) ?
?2 (x) ? ? с некоторым ? > 0. Искомой является пара (y(x), u(x)).
Предполагается, что y(x) является обобщенным решением задачи (6.7)
1
с правой частью f (x)+u(x), т. е. y ? H0 (?) удовлетворяет интегральному
замкнутое подмножество пространства
тождеству
Z
(?y(x) · ??(x) + y 2 (x)?(x)) dx = hf + u, ?i ?? ? C0? (?).
?
Отметим, что существование обобщенного решения задачи (6.7) не
доказано при произвольной правой части
f + u.
Более того, есть все
основания полагать, что не при всех правых частях обобщенное решение
существует, а значит, не при всех
U?
и
f
задача будет удовлетворять
условию нетривиальности. Поэтому мы вынуждены наложить
Существует пара (y, u) ? (H01 (?) ? L4 (?)) Ч L2 (?), удовлетворяющая соотношениям (6.7), (6.8).
Условие 6.4.
Условие 6.4 будет, например, выполнено, если
Тогда пара
(y, u) = (0, ?f )
f ? L2 (?)
удовлетворяет (6.7), (6.8).
38
и
?f ? U? .
Пусть заданы w ? L4 (?), f ? H ?1 (?), N > 0 и выполнено
условие 6.4. Тогда существует решение (y?, u?) ? (H01 (?) ? L4 (?)) Ч L2 (?)
задачи (6.6)(6.8).
Теорема 6.2.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 6.1. Положим Y = L4 (?),
Y1 = L4 (?)?H01 (?), U = L2 (?), V = H ?1 (?), L(y, u) = ??y?u, F (y) = y 2 ,
J(y, u) функционал (6.6).
Из непрерывности и выпуклости J(y, u) следует его полунепрерывность снизу относительно слабой сходимости в L4 (?) Ч L2 (?). Непрерыв?1
1
(?),
ность отображений L(y, u) = ???u : (H0 (?)?L4 (?))ЧL2 (?) ? H
?1
2
1
F (y) = y ? f : (L4 (?) ? H0 (?)) ? H (?) очевидна (см. лемму 6.1), а
условие нетривиальности гарантировано условием 6.4.
Проверим теперь коэрцивность. Имеем при
? > 0:
A? = {(y, u) ? (L4 ? H01 ) Ч L2 | ??y = f + u ? y 2 , J(y, u) ? ?} ?
?
4
? {(y, u) ? (L4 ? H01 ) Ч L2 | ??y = f + u ? y 2 , kykL4 ? ? + kwkL4 ,
p
kukL2 ? ?/N }.
В силу леммы 6.1
kykH01 ? kf kH ?1 + ckukL2 + ckyk2L4
и поэтому последнее
из выписанных выше множеств включается в множество
kykH01
?
4
{(y, u) ? (L4 ? H01 ) Ч L2 | kykL4 ? ? + kwkL4 ,
p
p
?
4
? c( ? + kwkL4 )2 + kf kH ?1 + c ?/N , kukL2 ? ?/N },
которое, очевидно, ограничено в
(L4 ? H01 ) Ч L2 .
Y?1 = L2 (?). В
силу ограниченности области ?, вложения L4 (?) ? L2 (?), т. е. Y ? Y?1
1
непрерывно. Пространство Y1 = L4 (?) ? H0 (?) вполне непрерывно вкладывается в Y?1 = L2 (?) в силу леммы 3.1, в которой взято q = 2.
R 2
Очевидно, функционал y 7? hF (y), si =
y (x)s(x) dx ? hf, si непре?
?
рывен на L2 (?) при любой функции s(x) ? C0 (?). Так как множество
S = C0? (?) плотно в H01 (?) = (H ?1 (?))? , то справедливость условия комДокажем, наконец, условие компактности. Положим
пактности установлена. Следовательно, доказываемая теорема вытекает
из теоремы 6.1.
6.4
Система оптимальности
Предположим, что в задаче (6.6)(6.8)
словами, рассмотрим задачу (6.6), (6.7).
39
U? = U = L2 (?),
т. е., другими
Нам понадобится следующая теорема о вложении пространств Соболева, которая приводится без доказательства.
(Соболева о вложении) Вложение H 1 (?) ? Lp (?) непрерывно, если d(1/2 ? 1/p) ? 1, где d = dim?.
Теорема 6.3.
Систему оптимальности, т. е. необходимые условия экстремума для
1
задачи (6.6), (6.7), мы выведем в случае, когда H0 (?) непрерывно вкла1
1
дывается в L4 (?) и поэтому Y1 = L4 (?) ? H0 (?) = H0 (?). В силу теоремы 6.3 Соболева о вложении, это условие будет выполнено, если
d = dim? ? 4.
(6.9)
Пусть выполнено условие (6.9) и (y?, u?) ? H01 (?)ЧL2 (?) решение задачи (6.6), (6.7). Тогда существует функция p ? H01 (?) такая, что тройка (y?, u?, p) удовлетворяет краевой задаче, состоящей из
равенств (6.7) и уравнений
Теорема 6.4.
??p(x) + 2y?(x)p(x) = ?4(y?(x) ? w(x))3 , x ? ?; p|?? = 0,
p(x) = 2N u?(x).
(6.10)
(6.11)
Доказательство. Применим принцип Лагранжа для гладкой задачи:
J(x) ? inf,
где
J(·) : X ? R
F (x) = 0,
F (·) : X ? V оператор, строго
минимума x? этой задачи, причем известно,
функционал и
дифференцируемые в точке
0
что оператор F (x?) : X ? V действует на. Тогда производная функции
?
?
?
Лагранжа L(x, v ) = f (x) + hv , F (x)i при некотором v ? V обращается
?
0
в нуль в точке x?: Lx (x?, v ) = 0.
1
?1
Положим X = Y1 Ч U = H0 (?) Ч L2 (?), V = H
(?), x = (y, u),
2
F (x) = ??y + y ? u ? f . Так как в силу (6.9) и теоремы вложения
1
1
?1
Соболева H0 (?) ? L4 (?), то оператор F (x) : H0 (?) Ч L2 (?) ? H
(?) ?
0
V нерперывен. Легко проверить, что производная F определяется по
формуле
F 0 (y?, u?)(y, u) = Fy0 (y?, u?)y + Fu0 (y?, u?)u = ??y + 2y?y ? u,
причем оператор
F 0 (y?, u?) : H01 (?) Ч L2 (?) ? H ?1 (?)
непрерывен. Что-
бы доказать сюръективность этого оператора, нужно для любого
H ?1 (?) найти (z, v) ? H01 (?) Ч L2 (?), удовлетворяющие равенству
??z(x) + 2y?(x)z(x) ? v(x) = g(x).
40
g ?
(6.12)
z ? H01 (?) удовлетворяющим уравнению ??z = g . Существование такого z доказано в лемме 6.1. Положим v(x) = 2y?(x)z(x). Так
1
1
как y?, z ? H0 (?), то в силу вложения H0 (?) ? L4 (?), v(x) ? L2 (?).
1
Очевидно, построенная пара (z, v) ? H0 Ч L2 удовлетворяет (6.12) и тем
Возьмем
самым справедливость условий применимости принципа Лагранжа проверена.
Функция Лагранжа в случае задачи (6.6), (6.7) имеет вид:
Z
((y ? w)4 + N u2 + p(x)(??y + y 2 ? u)) dx ? hp, f i,
L(y, u, p) =
(6.13)
?
p ? H01 (?),
а сам принцип Лагранжа эквивалентен двум соотношениям
hL0y (y?, u?, p), yi = 0 ?y ? H01 (?),
(6.14)
hL0u (y?, u?, p), ui
(6.15)
= 0 ?u ? L2 (?).
Применяя (6.14) к (6.13), получим, что
Z
[4(y? ? w)3 y + p(??y + 2y?y)] dx = 0 ?y ? H01 (?),
?
откуда следует, что
p ? H01 (?)
является обобщенным решением задачи
(6.10), которая определяется аналогично обобщенному решению задачи
(6.7), введенному выше.
Применяя равенство (6.15) к (6.13), получим соотношение
Z
(2N u?(x)u(x) ? p(x)u(x))dx = 0 ?u ? L2 (?),
?
откуда следует (6.11).
Список литературы
[I]
К.Иосида. Функциональный анализ. М., Мир, 1967.
[KF] А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1968.
[K]
Р.Курант. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М., ИЛ., 1953.
41
[M]
C.B.Morrey.
Multiple
integrals
in
the
calculus
of
variations.
Grundlehren math. Wiss. 130, Springer, Berlin, 1966.
[F]
А.В.Фурсиков. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск, Научная книга, 1999.
[SU]
В.А.Солонников, Н.Н.Уральцева
[E]
Л.К.Эванс. Уравнения с частными производными. Новосибирск,
Тамара Рожковская, 2003.
42
?енства (3.1) для любой
d
1
фкнкции u(x) ? C (?) если а) ? = (a, b) (одномерный случай), б) ? ? R
?
- ограниченная область с границей ?? ? C .
1
Определим следующее подпространство пространства Wp (?):
o 1
1
W p (?) = {u(·) ? Wp (?) | ?u(·) = 0},
где
? оператор сужения на границу ??. Справедлив следующий аналог
теоремы о плотности, который мы также приводим без доказательства.
o 1
Теорема 3.4.
(о плотности для пространства W p (?)) Пространство
o 1
C0? (?) плотно в W p (?) при 1 ? p < ?.
В дальнейшем при p
o 1
W21 (?) = H 1 (?), W 2 (?)
=2
мы будем использовать также обозначения:
= H01 (?).
Наконец, приведем еще следующую важную оценку (оставив ее также
без доказательства).
o 1
(неравенство Фридрихса) Для любой функции u(·) ?W p
(?) справедливо неравенство
Z
Z
p
|u(x)| dx ? c |?u(x)|p dx
Теорема 3.5.
?
?
с константой c, зависящей лишь от области ?.
o 1
В силу неравенства Фридрихса норму в пространстве
W p (?)
есте-
ственно задавать равенством:
Z
kuk o 1
W p (?)
p
|?u(x)| dx
=
1/p
.
?
Докажем теперь важную для нас теорему о рефлексивности про1
странств Wp (?).
Теорема 3.6.
Пространство Wp1 (?) рефлексивно, если 1 < p < ?.
16
Доказательство.
Напомним, что
Lp (?)
- рефлексивное простран1
1
ство, причем его сопряженное можно отождествить с Lq (?) где + = 1.
q
p
Из теоремы о виде функционала на прямом произведении пространств
n
сразу следует, что (Lp (?)) := Lp (?)Ч· · ·ЧLp (?) (n раз) имеет в качестве
n
сопряженного пространство (Lq (?)) , откуда сразу следует его рефлекn
сивность, так как его второе сопряженное совпадает с (Lp (?)) , т.е. с ним
же.
A : Wp1 (?) ? (Lp (?))d+1 ,
1
определяемый формулой Au = (u, ?u/?x1 , . . . , ?u/?xd ). Очевидно, AWp (?)
d+1
- замкнутое подпространство в (Lp (?))
(доказательство такое же как
Рассмотрим линейный непрерывный оператор
в теореме 3.1), а в силу следствия 1.1 оно секвенциально слабо замкнуто.
?
1
Покажем, что для любого функционала F ? (Wp (?)) существует
d+1
(f0 , . . . , fd ) ? (Lq (?)) , где 1/p + 1/q = 1 такой, что
Z
F (u) =
(f0 (x)u(x) +
?
d
X
fj (x)
j=1
?u(x)
) dx ? u ? Wp1 (?).
?xj
(3.2)
1
определяет функционал F1 на AWp (?). По теореме
d+1
1
Хана-Банаха F1 можно продолжить с AWp (?) на все пространство (Lp (?))
d+1
с сохранением нормы. Так как функционал на (Lp (?))
определяется
d+1
некоторым элементом (f0 , . . . , fd ) ? (Lq (?))
, то отсюда следует (3.2).
1
Пусть последовательность {un } ограничена в Wp (?). Значит послеd+1
довательность {(un , ?un /?xj , j = 1, . . . , d)} ограничена в (Lp (?))
, и
Действительно,
F
в силу рефлексивности этого пространства существует подпоследова-
{wk } ? {(unk , ?unk /?xj , j = 1, . . . , d)} слабо сходящаяся к
w
b ? (Lp (?))d+1 Так как wk ? AWp1 (?), и множество AWp1 (?) секвенциально слабо замкнуто, то w
b имеет вид w
b = (b
u, ?b
u/?xj , j = 1, . . . , d)}.
1
Значит ввиду (3.2) unk ? u
b слабо в Wp (?).
Задача 3.2. Пусть Y - замкнутое подпространство рефлексивного банахова пространства X . Доказать, что Y - рефлексивное пространство.
тельность
Задача 3.3.
o 1
Доказать рефлексивность пространства
W p (?),
если
1 < p < ?.
Рассмотрим теперь некоторые задачи вариационного исчисления.
17
3.2
Вариационная задача: коэрцитивность и условия
роста
Мы изучим следующий многомерный аналог простейшей задачи вариационного исчисления (2.1):
Z
L(x, y(x), ?y(x)) dx ? min
J(y(·)) =
(3.3)
?
при условии, что
y(x)|x??? = 0
? ? Rd (x1 , . . . , xd ) ? ?
где
ограниченная область с границей
(3.4)
??
класса
C ?, x =
y(x) искомая вещественнозначная функция, ?y(x) = (?y/?x1 , . . . , ?y/?xd ) ее градиент. Об
интегранте L(x, y, p) = L(x, y, p1 , . . . , pd ) будем предполагать, что
независимые переменные,
L(·, ·, ·) ? C(? Ч R Ч Rd ), ?(x, y) ? ? Ч R L(x, y, ·) ? C 1 (Rd ).
(3.5)
Отметим, что полным аналогом одномерной простейшей задачи из предыдущего раздела является минимизация функционала (3.3) при условии
y(x)|x??? = y0 (x),
где заданная функция
y0 (x) 6= 0.
Здесь мы ограничимся изучением за-
дачи (3.3), (3.4) с однородным граничным условием.
Теорема существования решения задачи (3.3), (3.4) (теорема Тонелли) будет доказана с помощью теоремы 1.2 о существовании решения аб-
коэрцитивности функционала J(y) из (3.3) мы наложим на функцию L(x, y, p)
следующее условие роста:
страктной задачи. Чтобы гарантировать справедливость условия
Пусть задано
1<q<?
Существуют константы
? > 0, ? ? 0
такие, что неравенство
L(x, y, p) ? ?|p|q ? ?
справедливо при всех
Если функция
L
(3.6)
(3.7)
x ? ?, y ? R, p ? R d .
удовлетворяет условию (3.6), (3.7), то задачу (3.3),
Wq1 (?), а огра-
(3.4) естественно рассматривать на пространстве Соболева
o 1
ничение (3.4) записать в виде y ? A ?W q (?).
18
o 1
Функционал J(y), y ?W q (?) ограничен снизу, не равен
тождественно +? и удовлетворяет условию коэрцитивности.
Лемма 3.2.
Доказательство.
грируя по
?
Подставляя в (3.7)
(y, p) ? (y(x), ?y(x))
и инте-
получим, что
Z
q
J(y) ? ?
Z
|?y(x)| dx ? ?
?
dx = ?kykqo 1
? ?|?|,
(3.8)
W q (?)
?
o 1
J(y) на W q (?).
y ? C 1 (??), y|?? = 0
откуда следует ограниченность снизу функционала
L(x, y, p)
J(y) < ?.
Так как
имеем
R
удовлетворяет (3.5), то при
Возьмем произвольную функцию y0 (x)
o 1
= J(y0 ). Очевидно, LR J = {y ?W q (?):
? C 1 (??), y0 |?? = 0
J(y) ? R} 6= ?.
и положим
Кроме того, в
силу неравенства (3.8)
o 1
LR J ? {y ?W q (?) : kykqo 1
W q (?)
Следовательно, множество
LR J
?
1
(?|?| + R)}.
?
J
ограничено, и функционал
удовлетво-
ряет условию коэрцитивности.
Итак, в лемме 3.2 показано, что условия (3.6), (3.7) гарантируют выполнение условия коэрцитивности у задачи (3.3), (3.4). Покажем на простом примере, что невыполнение условий (3.6), (3.7) приводит к отсутствию коэрцитивности. Это указывает, что условия (3.6), (3.7) родственны условию коэрцитивности в случае задачи (3.3), (3.4).
Рассмотрим следующую одномерную задачу вариационного исчисления
Z
1
L(y?(x)) dx ? inf, y(?1) = y(1) = 0,
J(y) =
(3.9)
?1
L(p) ? C 1 (R), L(0) = 0, L(p) ? 0 и при |p| > p0 , L(p) = |p|q?? ,
где ? > 0 сколь угодно мало. Будем считать, что q > 1, q ? ? > 1.
Конечно, L(p) удовлетворяет условиям (3.6), (3.7) c q , замененным на
где
q ? ?,
o 1
и поэтому задача (3.9) коэрцитивна в пространстве
Однако
L(p)
не удовлетворяет условиям (3.6), (3.7) c
q.
W q?? (?1, 1).
Это приводит к
следующему утверждению.
Лемма 3.3.
Задача
o 1
(3.9)
не коэрцитивна в пространстве W q (?1, 1).
19
Доказательство.
Определим последовательность функций
yk (x)
с
помощью их производных
?
?
?0,
y?k (x) = k ? ,
?
? ?
?k ,
?>0
где
|x| > 1/k,
0 < x < 1/k,
?1/k < x < 0,
удовлетворяет условиям:
1
1
<?<
q
q??
и краевым условиям
yk (?1) = yk (1) = 0.
Прямые вычисления показыва-
ют, что вследствие (3.10) при достаточно больших
Z
1
Z
k
1/k
k ?(q??) dx = 2k ?(q??)?1 ? 0
L(y?k (x)) dx = 2
?1
(3.10)
k ? ?,
0
а также
Z
q
kyk k o 1
1/k
=
W q (?1,1)
k ?q dx = 2k ?q?1 ? ? k ? ?.
?1/k
Первое из этих соотношений показывает, что для любого
? > 0 y k ? L? J
множество L? J
при достаточно больших k . В силу второго соотношения
o 1
неограничено на W q (?1, 1) при любом ? > 0. Вследствие неравенства
L(p) ? 0
множество
функционал
3.3
J
L? J 6= ? ?? > 0.
Таким образом установлено, что
o 1
коэрцитивен на
W q (?1, 1).
Квазирегулярность и полунепрерывность снизу
относительно слабой сходимости
Запись задачи (3.3), (3.4) в форме абстрактной задачи (1.1) такова:
o 1
J(y) ? min, y ?W q (?),
причем функционал
J
задается равенством (3.3) и определен на
Будучи замкнутым линейным подпространством пространства
20
(3.11)
Wq1 (?).
Wq1 (?),
o 1
множество
W q (?)
является секвенциально слабо замкнутым. Таким об-
разом, для задачи (3.11) проверены все условия абстрактной теоремы
существования, за исключением условия полунепрерывности снизу относительно слабой сходимости для функционала
J.
Оказывается, чтобы
обеспечить выполнимость этого условия для интегрального функционала вида (3.3) не обязательно требовать выпуклости этого функционала,
L(x, y, p) только по пере-
а достаточно требовать выпуклости интегранта
менным
p,
т. е.
функция
его квазирегулярности.
p 7? L(x, y, p)
Наложим это условие:
выпукла при любых
x ? ??, y ? R.
(3.12)
Теорема 3.7. Пусть интегрант L ограничен снизу и удовлетворяет
условиям квазирегулярности (3.12) и гладкости (3.5). Тогда функционал J , определенный в (3.3), полунепрерывен снизу относительно слабой
сходимости на Wq1 (?).
Доказательство.
Мы должны показать, что если
yk ? y?
слабо в
Wq1 (?),
(3.13)
то
J(y?) ? J? ? lim inf J(yk ).
k??
Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что
?
lim J(yk ) = J.
k??
В силу (3.13)
max kyk kWq1 < ?
(см. [KF], гл. 4 џ 3) и поэтому, вследствие
k
1
леммы 3.1 о полной непрерывности вложения Wq (?) b Lq (?), yk ? y?
сильно в Lq (?). Поэтому, переходя если нужно к подпоследовательности,
можно считать, что
yk (x) ? y?(x)
Для любого
?>0
E?
x ? ?.
(3.14)
согласно теореме Егорова ([KF], гл. 5 џ 4)
yk (x) ? y?(x)
где
при почти всех
равномерно по
некоторое измеримое подмножество
mes(? \ E? ) ? ?
21
x ? E? ,
?,
для которого
(3.15)
(mesA это лебегова мера множества
Пусть
A).
F? = {x ? ?: |y?(x)| + |?y?(x)| ? 1/?}.
? ? 0,
при
Так как
mes(? \ F? ) ? 0
то для множества
G? = F? ? E?
(3.16)
mes(? \ G? ) ? 0 ? ? 0.
(3.17)
справедливо соотношение
Вследствие (3.13)
Z
(?(x), ?yk (x) ? ?y?(x)) dx ? 0
при
k??
? ? (Lr (?))d ? Lr (?)Ч· · ·ЧLr (?) (d раз) с 1r + 1q = 1 и поэтому
любом достаточно малом ? > 0
Z
?
(Lp (x, y?(x), ?y?(x)), ?yk (x) ? ?y?(x)) dx ? 0 k ? ?.
?k :=
для любой
при
G?
В силу (3.14), (3.16) при каждом достаточно малом
?k?
?>0
Z
:=
Z
(L(x, yk (x), ?y?(x)) ? L(x, y?(x), ?y?(x))) dx+
G?
(Lp (x, yk (x), ?y?(x)) ? Lp (x, y?(x), ?y?(x)), ?yk (x) ? ?y?(x)) dx ? 0
+
G?
k??
Вследствие (3.12)
L(x, yk (x), ?yk (x)) ? L(x, y?(x), ?y?(x))+
+[L(x, yk (x), ?y?(x)) ? L(x, y?(x), ?y?(x))]+
+(Lp (x, y?(x), ?y?(x)), ?yk (x) ? ?y?(x))+
+(Lp (x, yk (x), ?y?(x)) ? Lp (x, y?(x), ?y?(x)), ?yk (x) ? ?y?(x)).
G? ,
Интегрируя это неравенство по
?k? :
Z
Z
L(x, yk (x), ?yk (x)) dx ?
G?
получим, учитывая определение
L(x, y?(x), ?y?(x)) dx + ?k? + ?k? .
G?
22
?k? ,
(3.18)
В соответствии с условием ограниченности снизу интегранта
L
L(x, y, p) ? ?? ?(x, y, p) ? ?? Ч R Ч Rd
? ? 0. Поэтому в силу (3.17), (3.18) для любого ? > 0
существуют такие ? > 0 и k0 > 0, что при всех k > k0
Z
Z
J(uk ) =
L(x, yk , ?yk ) dx +
L(x, yk , ?yk ) dx ?
G?
?\G?
Z
? ??mes(? \ G? ) + J(y?) ?
L(x, y?, ?y?) dx + ?k? + ?k ? J(y?) ? ?.
с некоторым
?\G?
Так как
3.4
?
здесь произвольно, то
J(y?) ? J? = limk?? J(yk ).
Необходимость условий квазирегулярности
Оказывается, что справедливо утверждение, обратное Теореме 3.7. Действительно, имеет место
Пусть функционал J , определенный в (3.3), (3.4), удовлетворяет условиям роста (3.7) и гладкости (3.5). Предположим также, что этот функционал полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости в пространстве Wq1 (?). Тогда для всех x0 ? ?, y0 ? R
интегрант L(x0 , y0 , p) является выпуклым по p ? Rd .
Теорема 3.8.
Эта теорема доказана, например, в монографии Ч.Б.Морри [M].
Отметим, что утверждение теоремы 3.8 справедливо и для одномернных векторных задач вариационного исчисления, т. е. для лагражианов
L(x, y, p) с x ? [t0 , t1 ], y ? Rn , p ? Rn . В случае же многомерных векторных задач вариационного исчисления справедлив следующий результат:
Пусть функционалу из (3.3) отвечает лагранжиан L(x, y, p)
с x ? ? ? R , y ? Rn , p ? Rdn и при этом J полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости в (Wq1 (G))n . Тогда для всех x0 ? ?, y0 ?
Rn , p0 ? Rdn
Z
L(x0 , y0 , p0 + ??) dx ? L(x0 , y0 , p0 )mesG
(3.19)
Теорема 3.9.
d
G
для любого постоянного вектора (x0 , y0 , p0 ), любой ограниченной области G с липшецевой границей и любой функции ? ? (C 1 (G))n равной
тождественно нулю на границе ?G.
23
Доказательство этого утверждения также можно найти в книге Ч.Б.Морри [M].
L, удовлетворяющий неравенству (3.19) обычно называют
n=
d = 1 следует выпуклость лагранжиана L(x, y, p) по переменным
[M]). В общем случае n > 1, d > 1 выпуклость L по переменным p
Интегрант
квазивыпуклым по Морри. Из квазивыпуклости по Морри в случаях
1
p
или
(см.
из квазивыпуклости по Морри не следует.
3.5
Теорема Тоннели
Теперь мы можем доказать основную теорему о существовании решения
задачи (3.3), (3.4).
(Тонелли) Пусть интегрант L(x, y, p) ? C ? (? Ч R Ч
Rd ) из (3.3) удовлетворяет условиям гладкости (3.5), роста (3.6), (3.7)
и выпуклости по p (3.12). Тогда в пространстве Wq1 (?) существует
решение y?(x) ? Wq1 (?) задачи (3.3), (3.4).
Теорема 3.10.
Доказательство.
В силу леммы 3.2 и теоремы 3.7 задача (3.3),
(3.4) удовлетворяет всем предположениям теоремы 1.2 о разрешимости
абстрактной экстремальной задачи. Поэтому из этой теоремы следует
справедливость теоремы Тонелли.
4
Уравнение Эйлера
Мы выводим необходимое условие, которому удовлетворяет решение
yb(x)
задачи (3.3), (3.4). В результате получим так называемое уравнение Эйлера. Далее мы определяем понятие эллиптичности и, используя уравнение Эйлера, обсуждаем связь этого понятия с условием квазирегулярности соответствующего лагранжиана.
4.1
Необходимое условие минимума
Наложим на интегрант
L из (3.3) дополнительное условие, более жесткое,
чем условие (3.5):
L(x, y, p) ? C(? Ч R Ч Rd ),
?x ? ?, L(x, ·, ·) ? C 1 (Rd+1 ).
(4.1)
Кроме того, необходимо наложить ограничения на скорость роста интегранта
L(x, y, p)
при
|y| 
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
17
Размер файла
435 Кб
Теги
решение, существования, экстремальных, фурсиков, тихомирова, pdf, 2005, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа