close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Хлопков Ю.И. и др. - Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности (2005).pdf

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(государственный университет)
Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов
ЛЕКЦИИ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ
ИССЛЕДОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
Московского физико-технического института
(государственного университета)
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
по направлению “Прикладные математика и физика”
Москва 2005
УДК 532.529
Х58
Рецензенты:
Кафедра физики Российского химико-технологического университета
(Зав. кафедрой, доктор физико-математических наук, профессор В.М. Кузнецов)
Доктор физико-математических наук, профессор И.И. Липатов
Х58
Хлопков Ю.И., Жаров В.А. Горелов С.Л.
Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности: Учебное пособие. — М.: МФТИ, 2005. — 179 с.
ISBN 5-7417-0132-9
Рассмотрены теоретические основы изучения турбулентного движения жидкости. Дан критический анализ
многочисленных теоретических подходов описания турбулентности. Турбулентность рассматривается в контексте
физических методов. Приведенный в пособии ретроспективный взгляд позволяет легко перейти к изучению
современных методов теоретического и численного исследования сложных неоднородных турбулентных течений. Книга
доступна как для студентов, так и для аспирантов-аэродинамиков.
Предназначено для широкого круга читателей, интересующихся современными проблемами описания
турбулентных течений.
УДК 532.529
ISBN 5-7417-0132-9
© Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л., 2005
© Московский физико-технический институт
(государственный университет), 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Современные методы исследования
турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2. Турбулентность как естественное состояние
жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3. Турбулентность как ветвь статистической
физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4. Перенормировочная теория возмущений . . . . . . . . .
107
5. Ренормализационная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
........
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вопросу теоретического описания турбулентных явлений посвящено множество
монографий и научных статей, так как эта проблема оказывается неувядающей вот уже в течение
более 150 лет. Время от времени появляются очень яркие новые идеи и методы, которые
вдохновляют многочисленных исследователей на преодоление необычайных трудностей,
связанных с пониманием сути проблемы. Тем не менее практическая важность хотя бы
инженерного решения этой проблемы породила огромное число полуэмпирических моделей, в
которых вопрос о сути проблемы не ставится, а результаты ориентируются на определенный
набор интересных для технических приложений течений. При этом делается упор на описание
средних моментов низкого порядка: средняя скорость, среднее давление, средняя кинетическая
энергия, средние концентрации химических компонентов и т. п. Кроме того, развивалось
моделирование, мотивацией которого была невозможность точного численного описания течений
при очень больших числах Рейнольдса.
В последнее время достигнут значительный прогресс в экспериментальном и
теоретическом изучении анизотропных турбулентных течений, который позволяет вернуться к
исходным проблемам, связанным с существом этого явления [1–4]. Экспериментально
обнаружены когерентные структуры, которые представляют существенные элементы течений,
оказывающие сильное влияние на различные физические характеристики потоков. Таким образом,
течение разбивается на глобально среднее течение, когерентную структуру и стохастический
компонент. Были сделаны эксперименты, которые способствовали выявлению деталей
когерентных структур. Стохастический же компонент стал теоретически связываться с так
называемой фрактальной структурой множества сингулярностей поля завихренности [6–8].
Сингулярная структура турбулентного поля пульсаций следует, например, из простых
рассуждений [5].
Рассмотрим уравнение Навье–Стокса:
∂ t v + ( v ⋅ ∇) v = −∇p / с + нΔv .
(1)
При ν → 0 уравнение инвариантно относительно преобразований [29]:
r → лr , v → л h v, t → л1− h t , л > 0 .
(2)
Для конечных ν уравнение будет инвариантным, если
н → л1+ h н .
(3)
Заметим, что число Re = VL/ν инвариантно относительно преобразований (2) и (3). Предполагая,
что мелкомасштабная турбулентность статистически инвариантна относительно этих законов
подобия, мы можем выбрать h, исходя из физических соображений. Предположение Колмогорова
(1941) – законы подобия турбулентности оставляют неизменным поток энергии в
предположении о локальности нелинейных взаимодействий в k-пространстве. Из этого
предположения следует, что скорость диссипации энергии инвариантна относительно
преобразований подобия (3). По определению, ε = ν〈 (·v)2〉 , где символ 〈 …〉 – среднее по
ансамблю. Отсюда
е → л3h−1е
(4)
Из инвариантности получаем h = 1/3. Теория Колмогорова имеет сильное продолжение по
отношению к величине градиента скорости ·v. Рассмотрим величину
Δv / Δx 1/ 3 = [ v( x ) − v( y)] / ( x − y ) 1/ 3 .
Из преобразования подобия с h = 1/3 следует
lim Δv / Δx1/ 3 ≠ 0
x→ y
.
(5)
т.е. градиент скорости является сингулярной величиной.
Сингулярность поля пульсаций с самого начала проблемы обыгрывалась по аналогии с
кинетической теорией газов, т.е. несжимаемая жидкость рассматривалась как ансамбль жидких
частиц – молей. При этом течение определяется хаотическим движением молей, каждый из
которых обладает собственной скоростью и координатой. Изменение характера течения в целом,
например, поля средних скоростей происходит из-за турбулентного перемешивания молей с
разными собственными скоростями. Вообще любая характеристика течения является усреднением
аналогичных характеристик молей, составляющих данный поток. Аналогию между молярным
перемешиванием в турбулентном потоке и молекулярным переносом в газах использовали еще
Буссинеск и Прандтль для вывода известных формул турбулентного трения. Формула Буссинеска
имеет вид
ф= снT ∂ u / ∂ y , нT = lv ,
здесь величины l и v – случайные длина перемешивания и пульсационная скорость жидкой
частицы. Формула Прандтля имеет вид
ф= снT ∂ u / ∂ y, нT = L2 ∂ u / ∂ y ,
здесь L (путь смешения) – эмпирическая величина. В общем случае подобными формулами
осуществляется связь двух тензоров: тензора напряжения и тензора скоростей деформации.
Заметим, что подобная связь между названными тензорами называется линейной, даже если
коэффициент νT зависит от элементов поля скорости.
Большим вкладом в развитие теории турбулентности явилась каскадная теория передачи
энергии по спектру турбулентных пульсаций, т. е. передача энергии от больших масштабов к
меньшим. Колмогоров и Обухов придали этой теории в однородном и изотропном случае
аналитический вид, воспользовавшись теорией размерности и подобия. Результаты были
экспериментально подтверждены с большой степенью точности. С тех пор для течений с
большими числами Рейнольдса изотропная и однородная турбулентность рассматривается как
основная составляющая, хотя и допускается существование ситуаций, в которых спектр энергии
еще не установился.
Главный вывод этой теории – наличие инерционной области спектра по волновым числам
k: 1/L << k << (1/L)Re3/4, в которой вязкие эффекты диссипации энергии несущественны, благодаря
чему спектральная плотность энергии изменя ется в зависимости от волнового числа по закону «–
5/3». Включение этого элемента в динамику жидкости приводит к появлению моделей с некоторой
феноменологической связью тензора напряжений с тензором скоростей деформаций
дополнительными уравнениями, наподобие указанных выше, а также к некоторому числу
дополнительных уравнений для величин типа турбулентной энергии, скорости диссипации и т. п.
(например, K–ε модель). Однако практика показала, что подобные модели имеют узкую область
применения. С изменением области применения меняются и константы, входящие в эти
уравнения, которые надо снова определять экспериментально. Кроме того, для течений типа
пограничного слоя возникали трудности с удовлетворением граничных условий на твердых
поверхностях.
Более последовательное, на наш взгляд, направление построения моделей для течений с
большими числами Рейнольдса связано с так называемым подсеточным моделированием, смысл
которого связан с тем, чтобы оставить в уравнениях гидродинамики только масштабы,
превосходящие размеры расчетной сетки (разрешенные масштабы). Это уменьшает количество
степеней свободы до разумной величины и позволяет использовать современную вычислительную
технику для определения средних полей течения. Размер расчетной сетки выбирают так, чтобы
соответствующее ей волновое число находилось в инерционной области, и вводится некоторая
связь тензора напряжений с элементами поля течения. Так, например, в модели Смагоринского
вводится линейная связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформации.
Коэффициент вязкости заменяется на коэффициент турбулентной вязкости, который определяется
из осреднения подсеточных пульсаций, т. е. пульсаций, размер которых меньше размера сетки. К
исходным уравнениям могут быть добавлены несколько дополнительных уравнений, например,
для подсеточной кинетической энергии и т. п. Уравнения решаются по времени относительно
разрешенных переменных, при этом пульсации с подсеточными частотами отфильтровываются с
помощью того или иного фильтра, а то, что остается, усредняется по времени. В этом их главное
отличие от моделей типа Буссинеска или Прандтля, которые можно использовать и в
стационарных постановках.
Однако практика показала, что сильно анизотропные течения, такие, как течение в
пограничном слое или в слое смешения, не ухватываются такими теориями, приводя к
неправильному профилю скорости и другим эффектам. Последние экспериментальные
достижения показывают, что подобные модели не содержат ряд эффектов, которые наблюдаются в
реальных потоках. После скрупулезного анализа оказалось, что подсеточные модели должны
содержать эффекты переноса энергии по спектру в инерционной области, включая обратное
рассеяние энергии, а также ее перераспределение между нормальными компонентами тензора
напряжений. Эти эффекты являются следствием нелинейных взаимодействий и анизотропии.
Результаты, полученные при использовании нелинейной модели в крупномасштабном
моделировании нейтрального сдвигового пограничного слоя в атмосфере, демонстрируют
существенное улучшение в предсказании средних величин по сравнению с линейными моделями
типа модели Смагоринского. Эти результаты показывают также сильное влияние модели на
структуру течения.
Отметим также методы [24–28], в которых для турбулентного пограничного слоя на основе
множественного трехволнового резонанса получены уравнения для пульсаций в виде
кинетического уравнения для элементарных волн и явным образом выделенного уравнения для
пристеночной когерентной структуры, ответственной за генерацию завихренности со стенки.
Явное выделение когерентной структуры позволяет вновь вернуться к стационарной постановке
задачи. Характер нелинейности тензора напряжений при этом сохраняется.
Кроме методов подсеточного моделирования большое распространение получили методы
статистического моделирования турбулентных течений [16–22]. В этих методах делается попытка
феноменологически сформировать уравнение для плотности вероятности флуктуаций поля
скорости (и других параметров), которое затем решается с помощью методов Монте-Карло. Такой
подход позволяет вычислять как средние моменты низшего порядка, так и более тонкие
статистические характеристики. В качестве практических достижений этих подходов можно
указать на численное решение задач о турбулентном следе за цилиндром, о расплывании
турбулентного пятна, о профиле турбулентного пограничного слоя, обтекание обратной ступеньки
и т. п.
Параллельно с указанными результативными подходами к описанию турбулентной
динамики развиваются теоретические методы исследования, в которых на основе уравнений
Навье–Стокса делаются попытки найти либо статистическое решение проблемы [9, 10] (проблема
замыкания, уравнения в функциональных производных), либо используются методы
динамических систем (мультифрактальная структура поля завихренности, вейвлетный анализ –
фрактальное преобразование свертки) [5–7], либо используются уже зарекомендовавшие себя в
исследовании критических явлений ренормгрупповые приложения теоретико-физических
асимптотических методов, развитых в применении к описанию динамических систем с
бесконечным числом степеней свободы с возбуждением непрерывного спектра масштабов [11–
14, 23, 30]. Детали метода громоздки, однако суть некоторых его вариантов можно пояснить на
примере метода Гаусса [15] вычисления эллиптического интеграла (в RNG методах тоже
вычисляются интегралы для нахождения средних по ансамблю величин, только эти интегралы
являются, вообще говоря, континуальными) с помощью арифметико-геометрического среднего.
Пусть надо вычислить интеграл вида
2р
I=
∫ 2р
0
dϕ
m 2 cos 2 ϕ + n 2 sin 2 ϕ .
Для его вычисления делается преобразование этого интеграла, которое оставляет вид и величину
этого выражения неизменными, т. е. новое выражение можно записать как
dϕ ′
2р
I=
∫ 2р
0
m′ cos ϕ ′ + n′2 sin 2 ϕ ′ ,
2
2
а m′ и n′ определены выражениями
m′ =
m+n
, n′ = mn
2
,
т. е. рекуррентно. Гауссом было доказано, что предел для m′ и n′ этих рекуррентных соотношений
существует, и m′ и n′ совпадают. После этого искомый интеграл I легко выражается через этот
предел. Сведение задачи к рекурсивным соотношениям является основой многих RNG подходов.
Далее описаны результаты теоретических исследований, связанных с решением задачи об
изотропной и однородной турбулентности. Приводится простое физическое введение в сущность
явления, дается краткое описание математических методов, позволяющих описывать системы с
бесконечным числом степеней свободы. Кроме того, подводится итог применения этих методов
для описания однородной и изотропной турбулентности. Рассмотрены парадоксы и особенности
этих методов. Все это дает хорошую основу для понимания и применения современных
математических подходов к решению задач о турбулентном движении жидкости.
Список литературы
1. 1. Репик Е.У., Соседко Ю.П. Исследование прерывистой структуры течения в пристенной
области турбулентного пограничного слоя // Турбулентные течения. – М.: Наука, 1974.
2. 2. Садовский В.С., Синицына Н.П., Таганов Г.И. Численное исследование математической
модели пристенного течения в турбулентном пограничном слое // Пристенные турбулентные
течения. Ч. 1. – Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1975.
3. 3. Robinson S.K. Coherent Motions in the Turbulent Boundary Layer // Ann. Rev. Fluid Mech. –
1991. V. 23. P. 601–639.
4. 4.
Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Когерентные структуры в турбулентном
пограничном слое. – М.: МФТИ, 2002. – 267 с.
5. 5. Benzi R., Paladin G., Parizi G., Vulpiani A. On the multifractal nature of fully developed
turbulence and chaotic systems // J. Phys. A. Math. Gen. –1984. 17. P. 3521–3531.
6. 6. Суини Х. и др. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. – М.:
Мир, 1984. – 344 с.
7. 7.
Farge Maric. Are wavelets and related multiscale techniques useful for turbulence? //
Tagungsber. Math. Forschungsinst. Obervolfach. – 1995. N 31. Р. 6–7.
8. 8.
Монин А.С., Полубаринова-Кочина П.Я., Хлебников В.И. Космология, гидродинамика,
турбулентность. А.А. Фридман и развитие его научного наследия. – М.: Наука, 1989. – 325 с.
9. 9.
Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. Т. 2. –
М.: 1996. – 742 с.
10. 10. Inoue A. Functional Derivative Equations (including the Hopf equation) in an Analysis on
superspace over co-dimentional Frechet-Grassman algebra // Tagungsber. Math. Forschungsinst.,
Obervolfach. – 1991. N 35. Р. 9.
11. 11. Теодорович Э.В. Использование метода ренормализационной группы // Монин А.С., Яглом
А.М. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. Т. 2. – М.: 1996. – 742 с.
12. 12. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н. Квантовополевая ренормализационная группа
в теории развитой турбулентности // УФН. – 1996. Т. 166, № 12. С. 1257–1284.
13. 13. Захаров В.Е., Львов В.С. О статистическом описании нелинейных волновых полей //
Известия ВУЗов, Радиофизика. – 1975. Т. XVIII. № 10. С. 1470–1487.
14. 14. Ширков Д.В. Ренормализационная группа, принцип инвариантности и функциональная
автомодельность // ДАН СССР. – 1982. Т. 263. С. 64–67.
15. 15. Клайн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: в двух томах. Т. 1. – М.: Наука,
1989. – 456 с.
16. 16. Кузнецов В.Р., Сабельников В.А. Турбулентность и горение. – М.: Наука, 1986. – 287 с.
17. 17. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. – М.:
Физматлит, 1994. – 448 с.
18. 18. Van Slooten P.R., Pope S.B. Advances in PDF modeling for inhomogeneous turbulent flow //
Phys. Fluids. – 1998. V. 10, N 1. Р. 246–265.
19. 19. Delarue B.J., Pope S.B. Calculation of subsonic and supersonic turbulent reacting mixing layers
using probability density functions methods // Phys. Fluids. – 1998. V. 10, N 2. Р. 487–498.
20. 20. Ong L., Wallace J. M. Joint probability density analysis of the structure and dynamics of the
vorticity of a turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. – 1998. V. 367. Р. 291–321.
21. 21. Белоцерковский О.М., Иванов С.А., Яницкий В.Е. Прямое статистическое моделирование
некоторых задач турбулентности // ЖВМ и МФ. – 1998. Т. 38, № 3. С. 489–503.
22. 22. Белоцерковский О.М., Опарин А.М. Численный эксперимент в турбулентности. От
порядка к хаосу. Изд. 2-е, доп. – М.: Наука, 2000. – 223 с.
23. 23. Васильев А.Н. Квантово-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и
стохастической динамике. Сиб. Изд. ПИАФ, 1998. – 774 с.
24. 24. Жаров В.А., Додонов И.Г., Хлопков Ю.И. Резонансные свойства ламинарного и
турбулентного пограничных слоев // Численное моделирование в задачах аэродинамики и
экологии. – М.: МФТИ, 1998.
25. 25. Zharov V.A., Dodonov I.G., Khlopkov Yu.I. Resonant properties of laminar and turbulent
boundary layers // Proc. of the third seminar on RRDPAE’98, Warsaw University of Technology,
Research Bulletin N 7, part II, Warsaw, 1999.
26. 26. Жаров В.А., Додонов И.Г., Хлопков Ю.И. Локализованные когерентные структуры в
пограничном слое // ПМТФ.– 2000. Т. 41, № 6. С. 60–68.
27. 27. Bogolepov V.A., Zharov V.A., Lipatov I.I., Khlopkov Yu.I. Turbulent boundary layer model with
explicit representation of coherent generative structure // Proc. of Int. conf. «Progress in nonlinear
science». Nizhniy Novgorod, Russia, July 2–6, 2001, V. II, pp. 209–214.
28. 28. Жаров В.А., Боголепов В.В., Липатов И.И., Хлопков Ю.И. Модель турбулентного
пограничного слоя с явным выделением когерентной генерационной структуры // ПМТФ.
2002. Т. 43, № 4. С. 65–74.
29. 29. Frish U. Fully developed turbulence and singularities // In: Chaotic behavior of deterministic
systems, Les Houches, 1981, North-Holland: Amsterdam, 1983, pp. 665–704.
30. 30. Теодорович Э.В. Метод ренормализационной группы в задачах механики // ПММ. – 2004.
Т. 68. Вып. 2. С. 335–367.
СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
1. Введение
Турбулентное движение жидкости является весьма привлекательной проблемой для
исследователей. Турбулентное движение можно наблюдать очень часто в повседневной жизни, а,
кроме того, для описания этого движения теоретически мы должны обратиться за помощью к
квантовой теории поля. Последнее обстоятельство делает турбулентность предметом внимания
все большего числа физиков-теоретиков.
Совершенно ясно, что турбулентность представляет проблему теории поля, которая в силу
своей нелинейности приводит к исходным понятиям детерминистического хаоса. Однако, если мы
преобразуем поле скорости по Фурье в пространство волновых чисел, исходная проблема
преобразуется в проблему многих степеней свободы с сильной связью, превращаясь фактически в
проблему многих тел. Этот подход к исследованию, выражаясь математически, переводит
проблему в ту же область, к которой принадлежат и критические явления, и статистическая теория
поля. Действительно, пионеры современной теории турбулентности в своих работах
руководствовались сходством с квантовой теорией поля с «константой» связи, которая может
изменяться от нуля до бесконечности. С их точки зрения привлечение турбулентности придавало
этим проблемам строгую и, очевидно, простую формулировку. Это как раз тот аспект
турбулентности, который будет интересовать нас в данном изложении, и далее будет видно, что
эта простота окажется иллюзорной.
Однако надо заметить, что отмеченное обстоятельство не является единственным,
привлекающим внимание к изучению турбулентности. Огромная практическая важность явления в
промышленных технологиях, в аэрокосмических приложениях и в описании окружающих нас
потоков убеждает нас, что турбулентность является объектом обширных феноменологических
исследований, проводимых теми, кто не хочет ждать, когда фундаментальная наука даст ответы на
многие поставленные вопросы. Фактически этот вид исследования является доминирующим в
исследовании турбулентности, поэтому желательно, чтобы теоретики были осведомлены о
достижениях в этой области. По этой причине мы затрагиваем основы феноменологии в пункте 2
наряду с рассмотрением некоторых идей, перед тем как познакомиться с полуэмпирическими
теориями, используемыми в приложениях. Следует подчеркнуть, что это лишь небольшой экскурс
в литературу, посвященную турбулентности. Поэтому сначала мы закончим этот пункт
дискуссией о различных предварительных соображениях.
В действительности жидкость или газ, рассматриваемые в качестве сплошной среды,
являются гораздо более сложными с точки зрения физики объектами, чем это будет определено
ниже. Для того чтобы исследовать как можно более простые задачи, ограничим наше внимание
средами с линейным соотношением между напряжением и скоростью деформации. Такие среды
называются «ньютоновскими». При этом мы исключаем интересные среды, подобные слоистым,
мелкодисперсным или пластическим. Последние остаются твердыми до некоторого критического
напряжения сдвига и начинают течь, когда напряжение превышает это значение. Кроме того, мы
не будем рассматривать увлекательную проблему уменьшения сопротивления с помощью
введения полимерных добавок [МакКомб, 1990].
Ограничимся также рассмотрением несжимаемой жидкости, т. е. плотность жидкости
всегда остается постоянной. Это означает, что мы исключаем некоторые явления, связанные с
понятием скорости звука.
Можно думать, что, вводя эти два ограничения, мы исключаем слишком многое. Но на
самом деле мы оставляем огромное количество жидких ньютоновских сред, имеющих большое
техническое значение, наподобие воды, алкоголя, глицерина или нефти, а также многих газов, при
условии, что скорость движения частиц в этих средах не превосходит одной трети скорости
распространения звука в них. В пункте 2 будут приведены основные уравнения, которым
подчиняется движение этого широкого класса сред. Здесь же мы рассмотрим соотношения,
связывающие жидкий континуум и микроскопическую структуру сред.
Рассмотрим газ, скорость частиц которого равна ξ. Тогда, если газ находится в покое
(макроскопическое условие), среднее от всех составляющих молекулярных скоростей должно
быть равно нулю, т. е.
< о > system = 0
,
где осреднение производится по скоростям всех молекул. Однако если газ подвергнуть действию
макроскопических градиентов импульса, плотности и температуры, то это приведет к появлению
макроскопических потоков массы и тепла. Теперь, если мы снова выполним усреднение по
некоторому объему, содержащему достаточное количество молекул, но вместе с тем и достаточно
малое, чтобы можно было пренебречь изменением макроскопических величин внутри него, то
получим поле скорости континуума в виде
< о >box = U ( x, t ) .
Теперь мы хотим получить уравнения переноса для описания этих макроскопических процессов.
Для импульса – это уравнения Навье–Стокса, которые будут приведены в пункте 2. Однако если
бы вы захотели вывести их из микроскопических рассмотрений, то обнаружили бы, что подобная
трактовка строга и универсальна для тех свойств, которые являются основными для континуума.
А свойства, которые зависят от природы частных сред (т. е. вида напряжений), будут возвращать
нас к проблеме многих тел молекулярного взаимодействия. На практике мы можем избежать
столкновения с этими проблемами, если будем оперировать понятиями механики континуума,
ограничивая свое внимание (что и делается на самом деле) линейными ньютоновскими
жидкостями. Тем не менее поучительно взглянуть на то, что при этом остается, по крайней мере, в
принципе.
При выводе макроскопических свойств с помощью статистической механики нам
требуется одночастичная функция распределения f1, которая определяет вероятность того, что
частица имеет определенные координаты в фазовом пространстве в некоторый момент времени.
Если мы выведем строгие уравнения для эволюции во времени для f1, то обнаружим, что она
зависит от новой функции f2, которая определяет вероятность того, что частица 1 имеет
определенные координаты в фазовом пространстве при условии, что частица 2 имеет некоторые
определенные координаты. Очевидно, что f2 – это условная вероятность, и если две частицы
статистически независимы, то мы получаем простой результат:
f 2 = f12 .
Однако в реальных ситуациях частицы не являются независимыми. Они взаимодействуют, так как
в противном случае они не смогли бы образовать макроскопических потоков, в которых бы
доминировал процесс стремления к равновесию. В соответствии с этим нам нужно получить
уравнение для двухчастичной функции распределения, но это приводит к тому, что в уравнении
появляется трехчастичная функция распределения. И так далее. Мы получаем незамкнутую
статистическую иерархию, в которой всегда на одно неизвестное больше, чем уравнений. Это
известная BBGKY-иерархия [Балеску, 1975; Райхль, 1980] и ее замыкание – серьезная нерешенная
проблема микроскопической статистической физики. Переходя к макроскопической
статистической физике, мы видим, что в самом центре ее существует проблема, в точности
аналогичная рассмотренной, поэтому главная тема будет связана с путями замыкания цепочки
уравнений в теории турбулентности и аналогией между теорией турбулентности и
микроскопической статистической теорией. (Отметим, что некоторые исследователи называют эту
аналогию мезоскопической физикой, но здесь этот термин не используется).
Следует, однако, понять ограничения, сопутствующие такой аналогии. В
микроскопической теории переноса, соответствующей умеренным условиям, макроскопические
процессы генерируют внешние масштабы, которые существенно больше микроскопических. Так
можно представить локальное равновесие, существующее в объеме достаточно большом, чтобы
подансамбль был представительным, т. е. позволял использовать результаты, полученные при
условии теплового равновесия. В турбулентности это не так. Поскольку в турбулентности
«транспортные процессы» – это не то же самое, что «молекулярные процессы», турбулентное
распределение не является нормальным. Поэтому нет аналогов ни константе Больцмана, ни
распределению Больцмана.
Некоторое проникновение в предмет может быть получено, если мы рассмотрим способы
измерений. Рассмотрим течение жидкости вдоль длинной прямой трубы в качестве примера. При
этом основной гидродинамический подход состоит в измерении перепада давления вдоль трубы с
помощью отверстия в стенке трубы и манометра, а также измерения количества жидкости,
протекающей через сечение трубы в единицу времени. Если разделить последнюю величину на
площадь поперечного сечения трубы, то получим среднемассовую скорость U, которая является
нашей первой статистической величиной. С увеличением внешней силы, т. е. перепада давления,
скорость течения также увеличится. В конце концов, отклонение от линейной связи между этими
двумя величинами даст знать о наступлении турбулентности.
То, что это протекает именно так, впервые продемонстрировал Осборн Рейнольдс (1883,
1895), воспользовавшись подкрашенной струйкой тока, – теперь мы называем это методом
визуализации течения. Эта демонстрация приоткрыла одну из тайн, но количественная сторона
дела была отложена до конца 1930-х годов, так как требовала развития анемометрии, т. е.
способов измерения скорости. Изначально эти методы были основаны на идее введения нагретой
проволочки в поток. Изменения локальной скорости потока приводили к изменению температуры
проволочки и тем самым к изменению ее сопротивления, которое измерялось мостом.
Проволочные анемометры все еще широко используются в настоящее время в сочетании с
лазерными анемометрами, действие которых основано на рассеянии лазерного света.
Если расположить анемометр в какой-либо точке внутри трубы, то можно измерить
локальную скорость жидкости в этой точке как функцию времени. В принципе можно получить
все поле скорости U(t, x). При этом следует иметь в виду, что анемометр должен быть
существенно меньше, чем допустимый размер области течения, соответствующий размеру
наименьшего вихревого движения. Однако анемометр с неизбежностью будет больше
молекулярных масштабов, поэтому все измерения, проведенные этим прибором, соответствуют
континуальному пределу. В соответствии с этим, когда мы указываем точку жидкости, мы имеем в
виду нечто, что одновременно меньше характерных масштабов течения и больше молекулярных
масштабов.
Поле скорости U(t, x), измеренное таким образом, известно в динамике жидкости как
эйлеровское. Эйлеровская координатная система соответствует лабораторной. Можно также
перейти в систему отсчета, связанную с жидкой частицей, если мы изучаем движение этой жидкой
частицы. Так, если мы пометим жидкость в точке x в некоторый момент времени t0, то, наблюдая
за ней в течение времени t, мы можем ввести лагранжевы координаты X(t), такие, что X(t0) = x, а
лагранжева скорость равна V(t) = dX / dt. Эта координатная система очень удобна для обсуждения
турбулентной диффузии, но не очень удобна для общего изложения. С одной стороны, не
существует решения задачи перехода к эйлеровской системе координат, с другой стороны, очень
трудно проводить эксперимент в лагранжевых координатах. Тем не менее идея лагранжевых
координат неожиданно появится снова несколько позже.
Изучение хаотического поведения динамических систем с несколькими степенями
свободы вызвала большой интерес в связи с идеей хаоса. Большинство физиков, во всяком случае,
знакомы с идеей итераций простейшего отображения, приводящего к удивительным образам,
которые чувствительны к начальным данным и к величинам управляющих параметров. Кроме
того, хорошо известно, что турбулентность можно рассматривать как типичный пример
детерминистического хаоса, и это часто приводит к неправильному пониманию в отношении
переноса теории хаоса малой размерности на турбулентность. Поэтому мы сделаем здесь
несколько осторожных замечаний по этому поводу.
Во-первых, идея хаоса не является новой. Больцман сделал предположение о
молекулярном хаосе или Stossahlanzatz для того, чтобы замкнуть систему уравнений, которая
позднее стала называться иерархией BBGKY. Даже в современном понимании теории хаоса ряд
основных идей давно знаком исследователям турбулентности.
Предположим, что мы рассматриваем эйлеровское поле скорости U(t, x). Тогда это
полностью детерминированная величина, определяемая уравнениями Навье–Стокса для любого
момента времени при заданных начальных условиях. Как согласовать это утверждение с фактом
появления турбулентности? Рейнольдс нашел, что безразмерное соотношение
R = Ud / н
(1)
дает критерий перехода от ламинарного течения к турбулентному. Здесь d и U – характерные
длина и скорость, в данном случае – диаметр трубы и среднемассовая скорость, а ν –
кинематическая вязкость жидкости. Поскольку диаметр трубы и вязкость фиксированы, влияние
числа Рейнольдса R можно интерпретировать как влияние безразмерной скорости. Когда
безразмерная скорость превысит некоторое критическое значение, может возникнуть
турбулентность.
Таким образом, на языке современной теории хаоса число Рейнольдса – это управляющий
параметр. Когда оно превосходит некоторое критическое значение, решение уравнений Навье–
Стокса становится чувствительным к начальным условиям и, следовательно, хаотическим в том
смысле, что любая малая неопределенность в начальных условиях будет усиливаться, приводя к
непредсказуемости поля скорости. Так, отдельная реализация турбулентного поля будет очень
сильно отличаться от любой другой на уровне очень подробного описания, что полностью
согласуется с современной теорией хаоса. Однако надо также иметь в виду, что любое
турбулентное течение можно рассматривать как ансамбль множества реализаций (предполагая
эргодичность, которая является слабым предположением, следующим из перемешивающего
характера турбулентности). Так, среднее поведение, полученное по множеству реализаций,
нечувствительно к бесконечно малым возмущениям начальных условий, т. е. заданный градиент
давления приводит всегда к одной и той же среднемассовой скорости в трубе. Таким образом,
детерминизм восстанавливается для средних величин, характеризующих систему.
Наконец, прежде чем перейти к обсуждению других вопросов, интересно отметить, что
признаки лежащего в основе этих явлений хаоса можно обнаружить во многих сдвиговых
турбулентных течениях. Например, в течении в трубе переход к турбулентности не является раз и
навсегда произошедшим катастрофическим событием, он более похож на квазипериодический
процесс, известный под названием «берстинга». Он может наблюдаться с помощью визуализации
течения или с помощью осреднения по коротким отрезкам времени, содержащим идентичные
нестационарные события. Этот тип когерентных структур (если использовать общий термин)
более присущ свободным сдвиговым течениям, где открытие катящихся вихрей в турбулентном
слое смешения [Браун, Рошко, 1974] стимулировало быстрый рост исследований в этой области.
Понятие перенормировки играет главную роль в современной теории турбулентности, и
будет полезно сделать некоторые общие замечания, относящиеся к рассматриваемому вопросу, с
этой точки зрения. Коротко говоря, этот термин пришел из квантовой физики и относится к
процедуре исключения расходимостей, которые появляются тогда, когда делается попытка
распространить дискретные формулировки динамики частиц на случай непрерывного поля. Эти
расходимости появляются как на больших масштабах, так и на малых, и известны соответственно
как «инфракрасные» и «ультрафиолетовые».
Следует подчеркнуть, что расходимости этого рода не присущи теории турбулентности.
Некоторая путаница по этому поводу может возникнуть благодаря существованию инфракрасной
расходимости при переходе к пределу бесконечных чисел Рейнольдса и является полностью
искусственной ситуацией, рассмотренной с целью проверки частных теорий. Существование
расходимостей – это крах теории, т. е. факт, который не нуждается в формулировке.
Смысл, который мы будем придавать термину «перенормировка», хорошо установлен
ранее в статистической физике и физике взаимодействия многих тел. В общем случае он связан с
представлением о квазичастицах, в котором взаимодействующие («голые») частицы заменяются
на «одетые», которые уже не взаимодействуют. «Одетые» частицы перенормированы с помощью
передачи им части энергии взаимодействия. Ранние систематические вычисления этого рода были
проделаны Дебаем и Хюккелем в 1920-м году, которые исследовали электронный газ в
электролите и учли электрон-электронное взаимодействие с помощью замены заряда отдельного
электрона на зависящий от пространственных координат эффективный заряд. Подстановка
эффективного заряда в закон Кулона привела к появлению экранирующего потенциала, в котором
коллективное действие облака электронов можно было интерпретировать как экранирующий
эффект. В наши дни подобная операция должна рассматриваться как перенормировка, а Дебай–
Хюккелевская теория – как специальный случай перенормируемой теории возмущений.
В турбулентности аналогичная ситуация возникает с перенормировкой вязкости жидкости
за счет добавления случайного влияния макроскопического вихревого движения для создания
эффективной или турбулентной вязкости. Фактически эта идея была предложена Буссинеском ad
hoc в 1890-х годах – первый пример ренормализованной величины! В этом смысле и будет далее
использоваться термин «перенормировка», хотя временами это будет скорее неявно, чем явно.
Когда турбулентность рассматривается в контексте физики в целом и в контексте фазового
перехода в частности, то естественно предположить, что известная проблема турбулентности
состоит в том, чтобы предсказать критическое значение числа Рейнольдса фазового перехода от
ламинарного течения к турбулентному. Это действительно проблема первостепенной важности, и
она продолжает привлекать большое внимание. Но это не относится к содержанию этой книги.
Рассмотрим турбулентность в жидкости как явление природы, требующее статистического
описания. В соответствии с этим, как и в микроскопической статистической физике, мы
столкнемся с проблемой замыкания статистической иерархии. В пункте 2 эта проблема будет
рассмотрена в том виде, как она появляется у гидродинамиков, которые соприкасаются с
исследованием течений в трубах, струях и даже в таких сложных ситуациях, как обмен тепла и
турбины. Это означает, в сущности, что статистические свойства таких течений осложнены
зависимостью от координат (неоднородность) и от ориентации в пространстве (анизотропия). В
пункте 3 мы рассмотрим вопрос о том, как можно переформулировать проблему турбулентности,
чтобы она стала похожа на теорию поля в теоретической физике, т. е. чтобы она была однородной
и изотропной. Центральным вопросом в этом пункте будет вопрос о том, как можно
удовлетворительно сформулировать тестовые задачи для развиваемых здесь теорий с
искусственной изотропией.
Однако, как мы увидим, хорошо развитая турбулентность может мыслиться как задача из
области критических явлений с фазовым переходом к автомодельному поведению,
демонстрирующему универсальность и масштабную инвариантность.
В пунктах 2 и 3 приведена формулировка проблемы с точки зрения гидродинамиков и
физиков-теоретиков соответственно. Оставшиеся пункты посвящены использованию методов
перенормировки решения задачи, сформулированной в пункте 3, т. е. не рассматривается вопрос
практических приложений.
В пункте 4 рассматривается проблема замыкания в теории турбулентности с помощью
методов статистической теории поля. Здесь общая стратегия состоит в том, чтобы начиная с
теории возмущений и используя так называемое λ-разложение, ренормализовать это разложение с
помощью частных методов суммирования. Варианты теории рассматриваются с точки зрения их
способности удовлетворять определенным целям.
В пункте 5 рассмотрен новый ренормгрупповой метод, в котором осуществляется
эффективное сокращение степеней свободы, а управляющие уравнения перенормируются для
того, чтобы сделать их независимыми от преобразования. Появление масштабной инвариантности
характеризуется стационарной точкой. Этот пункт в действительности содержит
модифицированную версию статистической проблемы замыкания, которая может мыслиться
наиболее естественной с точки зрения ее компьютерной реализации.
2. Турбулентность как естественное состояние течения жидкости
Динамика жидкости основана на изучении сравнительно простых течений: свободных
струй и следов, пограничных слоев, прилегающих к твердой поверхности, течений в прямых
трубах и плоских каналах. Эти классические течения образуют специальный случай и могут быть
отнесены к течениям в пограничных слоях или (более общо) к двумерным потокам. При переходе
к турбулентности нужно проявлять осторожность, когда имеется среднее двумерное течение, так
как на самом деле турбулентное движение остается полностью трехмерным.
Для того чтобы представить непосредственно суть турбулентности как основного явления
движения жидкости, рассмотрим стационарное среднее течение в плоском канале в качестве
представительного примера. Кроме того, поскольку динамика жидкости не включается в обычный
курс физики, мы начнем с краткого введения в математическое описание движения жидкости на
уровне уравнений и рассмотрим способы их применения к простым ламинарным течениям.
Далее будут рассмотрены течения несжимаемой жидкости. Для обсуждения условий, при
которых это может быть справедливо, см. [Бэтчелор, 1967]. Для наших целей оно сводится к
утверждению того, что плотность ρ всегда остается постоянной, а уравнение неразрывности
можно записать в виде
∂ U в / ∂ xв = 0 ,
(2)
где Uβ(x, t) – скорость жидкости в точке x в момент времени t. Отметим, что здесь в основном
используется декартова система записи тензоров, греческие индексы α, β, γ, ... принимают
значения 1, 2, 3, …. Мы также будем использовать соглашение о суммировании, согласно
которому по повторяющимся индексам проводится суммирование.
Для несжимаемой жидкости уравнение, выражающее закон сохранения импульса,
записывается в виде
∂ U б / ∂ t + ∂ U бU в / ∂ xв =
1
= − (∂ P / ∂ xб − ∂ у бв / ∂ xв )
с
,
(3)
где σαβ – тензор напряжений, P – давление. Для ньютоновской жидкости тензор напряжений
задается соотношением
у бв = с v(∂ U б / ∂ xв + ∂ U в / ∂ xб )
,
(4)
где ν – кинематическая вязкость жидкости.
Подставляя σαβ из (4) и воспользовавшись уравнением (2), получим уравнение движения
несжимаемой ньютоновской жидкости в виде
∂ U б / ∂ t + ∂ U бU в / ∂ xв =
1
= − ∂ P / ∂ xб + н∇ 2U б
с
(5)
которое известно как уравнение Навье–Стокса. Для тех читателей, которые незнакомы с этим
уравнением, его вывод можно найти во многих учебниках по динамике жидкости (например,
[Бэтчелор, 1967]). На этой стадии может быть полезно узнать, что это уравнение есть не что иное,
как второй закон Ньютона, примененный к жидкому континууму. Для этого надо рассмотреть
отдельную жидкую частицу объема dV и массы dm = ρ dV, которая согласно механике Ньютона и
своей континуальной природе (конвективная часть) имеет ускорение ∂ U/∂ t + (U, ∇)U. Правая
часть уравнения описывает взаимодействие между жидким элементом и остальной жидкостью.
Уравнения (2) и (5) описывают движение многих обычных жидкостей, таких, как вода,
алкоголь, глицерин, воздух и большинство газов, при условии, что их плотность остается
постоянной. Многие другие жидкости (например, суспензии, растворы полимеров) требуют для
своего описания более сложных конститутивных соотношений между тензором напряжений и
тензором скоростей деформаций, чем рассмотренная ниже линейная связь.
В качестве конкретного примера рассмотрим стационарный сдвиговый поток между
бесконечными пластинами, которые расположены параллельно плоскости (x1, x3) при x2 = 0 и
x2 = 2a. Течение жидкости происходит только в направлении x1, а поле скорости сводится к
U(x, t) = (U1(x2), 0, 0). Тогда производная по времени от скорости исчезает, а нелинейный член в
уравнении (5) можно записать в виде
∂ U1 ( x2 )U1 ( x2 ) / ∂ x1 = 0 ,
(6)
в результате чего уравнение Навье–Стокса запишется следующим образом:
∂ P / ∂ x1 = ∂ у 12 / ∂ x2 ,
(7)
Отметим, что равенство нелинейного члена нулю – это характерное свойство одномерного
ламинарного течения и что уравнение Навье–Стокса в этой частной ситуации описывает
равновесие между продольным градиентом давления и вязкими напряжениями. Для этого течения
тензор вязких напряжений можно получить из соотношения (4):
у 12 = сн dU1 / dx2 ,
(8)
это выражение соответствует закону Ньютона. Этот закон дает одновременно и определение и
метод измерения динамической вязкости μ = ρν. С точки зрения физики этот эффект можно
интерпретировать как необратимый поток продольного импульса (т.е. в направлении x1) в
направлении x2.
Можно решить уравнения (7) и (8) одновременно и получить хорошо известный
параболический профиль скорости. Для этого подставим уравнение (8) в уравнение (7), получим
сн d 2U1 / d x22 = ∂ P / ∂ x1 ,
(9)
Интегрируя дважды и используя условия «прилипания» U1(0) = U1(2a) = 0, получим
U1 ( x2 ) = −
dP y (2a − y )
dx1 2сн ,
(10)
Следует заметить, что в рассматриваемой ситуации давление зависит только от одной переменной,
поэтому замена частной производной на обыкновенную справедлива. К тому же давление
изменяется в направлении движения потока, следовательно, его градиент является отрицательной
величиной, а выражение для скорости – положительной.
Можно получить много физических сведений о турбулентности, если изучать способы
передачи энергии от точки к точке в турбулентном потоке или от одной группы вихрей с
определенными размерами к другой с другими размерами. Отметим, что под словом «энергия» мы
будем всегда подразумевать кинетическую энергию макроскопического движения жидкости.
Начнем с некоторых общих для ламинарных и турбулентных течений соображений.
В общем случае жидкость, занимающая объем V и ограниченная поверхностью S, обладает
кинетической энергией ET, связанной с движением жидкости, выраженной через поле мгновенной
скорости U(x, t), равной:
ET =
1
∑ с U б2 dV
2 б V∫
,
(11)
Далее иногда будет использован знак суммирования вместо соглашения о повторяющихся
индексах вида Uα2 = Uα Uα. Легко показать (см., например, [МакКомб, 1990]), что уравнение для
ET может быть выведено из уравнения Навье–Стокса, при этом получим
dET / dt = ∫ с U б f б dV − ∫ с еdV
V
V
,
(12)
где fα(x, t) – внешняя сила (на единицу массы жидкости), а ε – энергия диссипации в единицу
времени на единицу массы жидкости. Она определяется выражением
е=
1
2
н∑∑ (∂ U б / ∂ xв + ∂ U в / ∂ xб )
2 б в
(13)
Уравнение (12) говорит нам о том, что скорость изменения энергии равна скорости притока
энергии за счет работы внешних сил и убыли за счет преобразования энергии в тепло благодаря
вязкости. Сделаем по этому поводу два замечания.
Во-первых, нелинейные члены в уравнении Навье–Стокса не вносят вклада в уравнение
(12), т. е. эти члены не производят работы над системой. (Это замечание относится и к давлению:
как будет видно из дальнейшего изложения, давление действует аналогично нелинейным членам.)
Математически это объясняется тем, что любой член, имеющий дивергентный вид в уравнении
для энергии, исчезает при интегрировании по объему системы при получении уравнения для
глобального значения этой величины.
Во-вторых, вязкие члены можно разделить на две части, одна из которых имеет
диффузионный характер и исчезает при интегрировании, а другая описывает диссипацию энергии
и представлена в правой части уравнения (13).
Научное исследование турбулентности берет начало с работ Осборна Рейнольдса (1883).
Задача, которую решал Рейнольдс, принадлежит к классическим работам, посвященным
исследованию течений в прямых трубах с постоянным круговым сечением. Используя свой
«метод цветных полосок», он первым показал для заданной жидкости и параметров трубы, что
течение будет ламинарным для скорости жидкости, не превышающей некоторой критической
величины. При скорости, равной критической, течение внезапно становится турбулентным на
некотором расстоянии от начала трубы. При скорости больше критической турбулентное
состояние оказалось вполне типичным, хотя и можно поддерживать ламинарное состояние,
устраняя возмущения на входе в трубу. Эксперименты Рейнольдса показали, что минимальное
значение безразмерной скорости R, определенной соотношением (1), при котором может
появиться турбулентность, приблизительно равно 2000. Однако ламинарное течение в трубе
может быть метастабильным при значительно больших числах Рейнольдса. Подробности по этому
вопросу можно найти в монографии [Шлихтинг, 1968].
Рассмотрим теперь течение в трубе, когда число Рейнольдса заметно превосходит критическую
величину. На рис. 1 показано распределение средней скорости в зависимости от расстояния точки
наблюдения от оси трубы. Среднее течение направлено по оси x1, а x2 – поперечная или
радиальная координата. Для сравнения изображен также эквивалентный ламинарный профиль для
того же числа Рейнольдса. Последний профиль, естественно, описывается параболой,
определенной соотношением (10), полученной из уравнения Навье–Стокса. Теория
турбулентности должна решить аналогичную задачу для турбулентного профиля скорости.
Рис. 1. Сравнение ламинарного и турбулентного распределений
средней скорости для течения в трубе при R = 105
Как правило, мы будем рассматривать среднее значение как результат осреднения по
времени, при этом средняя скорость будет обозначаться чертой сверху. В общем случае операция
осреднения, определенная некоторым способом, будет изображаться угловыми скобками 〈 〉 , и
эти скобки будут использоваться для обозначения моментов более высокого порядка. Так, для
средней скорости можно написать
U б (x, t ) = U б (x, t ) =
1
2T
∫
T
−T
U б (x, t + t ′)dt ′
,
(14)
где 2T – время осреднения, которое должно быть существенно больше времени турбулентных
пульсаций для их успешного сглаживания и существенно короче характерного внешнего времени
задачи. Для определенности далее будут рассматриваться течения, средняя скорость которых
постоянна по времени.
В этом пункте мы следуем процедуре, предложенной Рейнольдсом (1885), согласно
которой мгновенная скорость представляется в виде суммы средней по времени скорости U б и
отклонений от этого среднего значения uα, т.е.
U б ( x, t ) = U б ( x, t ) + u б ( x , t ) ,
(15)
Аналогично можно представить и давление
P ( x , t ) = P ( x , t ) + p ( x, t ) ,
(16)
где P (x, t ) – среднее давление, а p(x, t) – флуктуации давления.
Из этих определений следует, что флуктуации имеют нулевое среднее, т. е.
uб ( x, t ) = 0 , p ( x, t ) = 0 ,
(17)
С физической точки зрения этот результат имеет простое объяснение: в среднем мгновенная
скорость одинаковое время как превосходит среднюю скорость, так и имеет значения меньше ее.
Соответственно среднее от квадрата флуктуаций не равно нулю и можно ввести
среднеквадратичную величину u′ следующим образом:
u ′(x, t ) = ∑ uб (x, t )
2
1/ 2
б
.
(18)
На практике u′ часто используется как удобная мера интенсивности флуктуаций.
Мы напоминаем, что зависимость от времени, обозначенная выше для
среднеквадратичного значения флуктуаций, относится к медленным внешним изменениям и
оставлена только в целях обобщения записи. Когда мы обратимся к конкретным примерам
реальных течений, то будем ограничиваться только стационарными случаями.
Рассмотрим сначала уравнение неразрывности (2). Если мы подставим разложение (15) и
усредним согласно определению (14) и (17), то получим
∂ U в / ∂ xв = 0 .
(19)
Вычитание этого результата из уравнения (2) дает похожий результат для uα, следовательно,
средняя скорость и флуктуации удовлетворяют уравнению неразрывности порознь. Полученный
результат является простым следствием линейности уравнения (2).
Для того чтобы оперировать подобным образом с уравнением движения, подставим
соотношения (15) и (16) в уравнение (5) и усредним его почленно. Легко показать, что операция
осреднения коммутирует с оператором дифференцирования по времени (см., например,
[МакКомб, 1990]).
На этот раз нам приходится работать с нелинейными членами, поэтому, замечая, что
Uu = U u = 0
, получим
∂U б / ∂ t + ∂U бU в / ∂ xв + ∂ uб uв / ∂ xв =
1
= − ∂P / ∂ xб + н∇ 2U б
с
(20)
Сравнение с уравнением (5) показывает, что уравнение для средней скорости в точности
совпадает с уравнением Навье–Стокса, записанного для средней скорости, в которое добавлен
член, содержащий величины 〈 uα uβ〉 . Таким образом, уравнения для среднего движения (в данном
случае уравнения (19) и (20)) содержат три независимых неизвестных: U б , P и 〈 uα uβ〉 . Если мы
заглянем вперед, то увидим, что уравнение (22) для флуктуаций скорости может быть
использовано для получения уравнения для третьей неизвестной 〈 uα uβ〉 . Однако оно будет
содержать неизвестные моменты третьего порядка и т. д. В этом заключается известная проблема
замыкания, отмеченная в пункте 1.
Уравнение (20) есть уравнение Рейнольдса, а член с 〈 uα uβ〉 – это (кинематическое)
рейнольдсово напряжение. Этот член описывает перенос импульса турбулентными флуктуациями.
Как было отмечено Рейнольдсом, этот член существенно увеличивает вязкие напряжения,
обусловленные случайным блужданием молекул. Гипотеза о том, что существует аналогия между
этими двумя процессами, вместе с утверждением, что величина 〈 uα uβ〉 может быть выражена
линейным образом через тензор скорости деформаций и некоторый эффективный (и явным
образом записанный) коэффициент вязкости, была главной темой в исследованиях
турбулентности.
Подробный вывод тензора напряжений для явного выражения турбулентного трения
можно найти в монографии [Шлихтинг, 1968, с. 537]. Здесь нам будет удобнее ввести полный
тензор сдвиговых напряжений с помощью соотношения
фбв = у бв − с uб uв
,
(21)
в котором тензор вязких напряжений определен соотношением (4).
Уравнение движения для флуктуаций скорости получается вычитанием уравнения (20) из
уравнения (5):
∂uб / ∂ t + ∂uбU в / ∂ xв + ∂U б uв / ∂xв +
(
+∂ uб uв − uб uв
) / ∂x
в
1
= − ∂p / ∂xб + н∇ 2uб
с
. (22)
Ясно, что любой член этого уравнения при усреднении исчезает. Но если умножить их на uγ(x, t) и
усреднить, то мы получаем основу для изучения одноточечной одновременной иерархии в
соответствии с известными инженерными методами. Но можно умножить на uγ(x′, t′) и усреднить,
тогда получим двухточечную двухвременную иерархию, лежащую в основе фундаментального
подхода. Однако сначала мы сконцентрируем внимание на одноточечной форме уравнений. В
частности, мы рассмотрим энергетический баланс для флуктуаций.
В турбулентном случае уравнение (11) для полной кинетической энергии легко обобщить:
учтя разложение (15), получим
2 ET = ∑ ∫ с U б2 dV + ∑ ∫ с uб2 dV
б V
б V
,
(23)
U u =0
где опять использовано свойство б б
.
Обычно мы будем интересоваться только энергией, связанной с флуктуациями скорости
uγ(x, t). Можно получить соответствующее уравнение сохранения энергии из уравнения для
тензора напряжений Рейнольдса. Подробности вывода можно найти во многих монографиях
[МакКомб, 1990], здесь мы только обрисуем общие контуры подхода и процитируем
окончательный результат.
Рассмотрим уравнение (22) для компонент флуктуаций uα(x, t). Перепишем его в виде
уравнения для uγ(x, t), оставляя все другие индексы без изменения и присвоив ему номер (22a).
Теперь умножим (22) на uγ(x, t) и усредним. После этого умножим (22a) на uα(x, t) и усредним.
Затем, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения функций, сложим
полученные уравнения вместе. Эта процедура приводит нас к уравнению для кинематических
напряжений Рейнольдса 〈 uα uγ〉 . Если мы теперь положим α = γ, то получим уравнение для
среднеквадратичных флуктуаций (или нормальных компонентов напряжений) в виде
∂ uб2 / ∂ t + U в ∂ uб2 / ∂ xв =
1
= −∂ uб2 uв / ∂ xв − 2 ∂ uв p / ∂ xв −
с
−2 uб uв ∂ U б / ∂ xв +
+ н∂
2
u
2
б
/ ∂ xв ∂ xв − 2н∑
в
⎛ ∂ uб
⎜⎜
⎝ ∂ xв
⎞
⎟⎟
⎠
2
(24)
Если мы теперь просуммируем данное выражение по α, разделим на два, то получим
уравнение сохранения турбулентной кинетической энергии E на единицу массы:
∂ E / ∂ t + U в ∂ E / ∂ xβ =
1
=− ∂
2
∑u u
2
б в
/ ∂ xв −
б
1
− ∂ uв p / ∂ xв + н∂ 2 E / ∂ xв ∂ xв −
с
− uб uв ∂ U б / ∂ xв − н∑
бв
⎛ ∂ uб
⎜⎜
⎝ ∂ xв
⎞
⎟⎟
⎠
2
(25)
где
E=
1
∑ uб2
2 б
(26)
Левая часть уравнения (25) дает полную скорость изменения по времени (т. е. локальное
плюс конвективное) турбулентной кинетической энергии на единицу массы жидкости. Другими
словами, уравнение (25) говорит нам, что полная скорость изменения турбулентной энергии по
времени полностью определяется членами, расположенными в правой части уравнения. Для того
чтобы придать этому конкретный смысл, следует заметить, что первые три члена в правой части
уравнения (25) могут быть записаны в дивергентном виде и в соответствии с этим не вносят
вклада в глобальный баланс энергии. Следовательно, основной эффект этих членов заключается в
диффузии турбулентной энергии в пространстве за счет нелинейных и вязких взаимодействий
соответственно.
Трудность, возникающая с четвертым членом, состоит в том, что он не может быть записан
в дивергентном виде. Однако если вывести уравнение баланса энергии для средней скорости, то
соответствующий член может быть найден. Два этих члена, вместе взятых, можно
проинтегрировать и увидеть, что они дают сохранение полной энергии. Таким образом, можно
интерпретировать четвертый член правой части уравнения (25) как поток энергии от среднего
поля к полю флуктуаций. В литературе он часто называется «генеративным членом»: см. [Хинце,
1975]. Очевидно, что последний член в правой части рассматриваемого уравнения выражает
необратимую диссипацию кинетической энергии в тепловую.
Наконец, заметим, что невозможно решить ни уравнение (24), ни уравнение (25): проблема
замыкания не позволяет это сделать. Тем не менее каждый член в отдельности может быть
измерен экспериментально, поэтому генерация флуктуаций и энергетический баланс изучаются
таким способом. Мы вернемся к этому позже.
В случае течения в канале мы конкретизируем процедуру осреднения. Аргументы,
использованные для скорости жидкости в случае ламинарного течения в канале, теперь
применимы только к средней скорости, направленной по оси x1 и зависящей от координаты x 2 .
Так, для средней скорости можно написать
U1 ( x2 ) = U1 ( x2 , t ) =
1
2T
∫
T
−T
U1 ( x2 , t + t ′)dt ′
.
(27)
Поскольку течение в канале стационарно, примем далее, что средняя скорость постоянна во
времени.
Для средней скорости, определенной выражением Uα ( x ) = {U1 ( x ), 0, 0} , легко показать,
что уравнения (19) и (20), выражающие сохранение массы и импульса, приводятся к виду
∂ U1 / ∂ x1 = 0
и
(28)
1
н ∂ 2U1 / ∂ x22 − ∂ u1u2 / ∂ x2 = ∂ P / ∂ x1
с
.
(29)
Если мы сравним этот результат с уравнением (9), соответствующим случаю ламинарного
течения, то можем заметить, что в дополнение к замене мгновенных величин на их средние
значения появляется корреляция флуктуационных скоростей 〈 u1 u2〉 , обычно называемая
напряжениями Рейнольдса, которая дополняет вязкий член и выражает дополнительное
сопротивление движению за счет флуктуаций.
Уравнение (25), описывающее баланс турбулентной энергии, можно еще применить к
случаю полностью развитого, стационарного среднего течения в плоском канале. Требуя
выполнения указанных ограничений, можно приравнять нулю производные по t, x1, x2, а также
недиагональную корреляцию, содержащую u3, и свести исходное уравнение сохранения энергии к
виду, приспособленному для описания развитого турбулентного течения в канале:
− u1u2 dU1 / dx2 −
⎛1
⎞
1
−d / dx2 ⎜ ∑ uб2u2 + u2 p ⎟
с
⎝2 б
⎠
= н∑ (∂ uα / ∂ xβ )2 = е
б,в
(30)
В этом выражении отброшен член вязкой диффузии на том основании, что он мал по сравнению с
остальными членами почти во всей области, кроме пристеночной, как это следует из
экспериментальных данных.
Можно охарактеризовать турбулентный пограничный слой в жидкости, текущей около
твердой поверхности, с помощью масштаба длины и скорости, задав полную толщину слоя δ и
скорость набегающего потока. Эти параметры известны под названием «внешних масштабов». Но
можно определить и «внутренние масштабы», которые необходимо использовать, если нам нужно
охарактеризовать структуру турбулентности. Для того чтобы обсуждать скейлинговое поведение в
сдвиговых течениях, необходимо ввести соответствующие внутренние масштабы.
Прежде всего обычно разделяют турбулентный пограничный слой на внутренний слой
(приближенно), расположенный в области 0 ≤ x2 ≤ 0,2 δ, и внешний слой, ограниченный областью
0,2 δ ≤ x2 ≤ δ, где координата x2 измеряется по нормали к поверхности: x2 = 0 на поверхности и
x2 ~ δ на внешней границе пограничного слоя. (Следует заметить, что положение внешней
границы турбулентного пограничного слоя само по себе является случайной величиной, поэтому,
когда мы ссылаемся на нее, то подразумеваем среднее значение.) Такое разделение на слои
основано на экспериментальных наблюдениях, которые показывают, что величина полного
напряжения сдвига τ12, определенного соотношением (21), остается практически постоянной во
внутреннем слое и приближенно равна его значению τw на поверхности (стенке).
Подобные рассуждения, относящиеся к пограничному слою на пластине в потоке
жидкости, могут быть перенесены на течение в канале. В таком течении постоянство величины
напряжения сдвига в подслое не является сильно выраженным свойством, но подразделение на
подслои все еще оправдано общей феноменологией.
Внутренний слой можно разделить на подслои по относительной величине вязких и
турбулентных напряжений. В данном случае уравнение (21) принимает простой вид
ф12 = снdU1 / dx2 − с u1u2 ,
(31)
в котором вязкий член определяется законом Ньютона по средней скорости деформации, а
турбулентная часть соответствует компоненте тензора напряжений Рейнольдса.
Около стенки граничное условие, накладываемое на скорости: {u1, u2} → 0 при x2 → 0,
утверждает, что произведение u1 u2 стремится к нулю при приближении к стенке. Поэтому на
стенке напряжение обусловлено только вязкими напряжениями и может быть записано в виде
фw = сн[ dU1 / dx2 ]x2 = 0 ,
(32)
Теперь можно определить вязкий подслой как область вблизи стенки, в которой доминирует
первый член в правой части соотношения (31). Для больших значений x2 второй член в правой
части (31) становится доминирующим, поэтому эта область часто называется областью
постоянства турбулентного напряжения. Очевидно, что существует промежуточная область, в
которой оба члена имеют одинаковый порядок величины. Такая область называется переходной
(или, часто, буферным подслоем).
Физическую меру каждого из этих подслоев наиболее удобно выразить через так
называемые «внутренние переменные», которые могут быть введены следующим образом.
Анализ размерностей (подтвержденный экспериментом) показывает, что подходящим
масштабом скорости для внутренней области может быть величина
uф = (фw / с)1/ 2 ,
(33)
в соответствии с которой масштаб длины внутреннего слоя определится как
«масштаб длины внутреннего слоя» = ν / uτ , (34)
где uτ – так называемая «вязкая скорость». Как будет видно из дальнейшего, uτ имеет тот же
порядок, что и величина среднеквадратичной флуктуации скорости.
Используя соотношения (32) и (33), можно определить безразмерные переменные:
x2+ = x2uф / н ,
U1+ = U1 / uф .
(35)
Эти величины предназначены для измерения расстояний от стенки в единицах ν/uτ и для
малой вязкости приводят к растяжению пристеночной области.
Экспериментальные результаты (которые будут обсуждаться позже) позволяют
предложить следующую классификацию:
внутренний слой
внешний слой
0 ≤ x2 ≤ 0,2 δ
0,2 δ ≤ x2 ≤ δ
При этом внутренний слой разделен на подслои следующим образом:
вязкий подслой
переходный слой
турбулентный слой
постоянного напряжения
+
0 ≤ x2 ≤ 5
+
5 ≤ x2 ≤ 30
x2+ > 30
+
Следует подчеркнуть, что характерные величины, принятые для x2 и x2 с целью ввести
классификацию слоев, различны у разных авторов. Это, безусловно, подчеркивает трудности в
установлении точных критериев установления границ между подслоями.
Феноменологические теории для среднего профиля скорости были подкреплены
экспериментальными наблюдениями, позволяющими проверить законы подобия в
рассматриваемых здесь ситуациях. Например, во внутренней области пограничного слоя
совокупность измерений средней скорости может быть сведена к универсальной форме:
U1+ = f ( x2+ ) ,
(36)
которая известна как «закон стенки».
Предполагается, что стенка имеет гладкую поверхность. Если высота (как-либо
определенная) неоднородностей на стенке меньше, чем толщина вязкого подслоя, то говорят, что
стенка «гидравлически гладкая» и выполняется закон подобия (36). Если высота неоднородности
больше толщины вязкого подслоя, то она определяет масштаб внутренней области.
С другой стороны, для внешней области эксперимент дает самосохраняющуюся форму
профиля вида
U ∞+ − U1+ = g ( x2 / д) ,
(37)
которая известна под названием «закон дефекта скорости».
Функции f и g могут быть определены (по крайней мере, для большей части пограничного
слоя), если потребовать здесь, чтобы существовала область, где обе формы (или даже их первые
производные) непрерывны. Подробные пояснения могут быть найдены в книге [Хинце, 1975].
Результат известен: функции f и g должны быть логарифмами, а уравнение (37) принимает вид
U1+ = A ln( x2+ ) + B
(38)
где A и B – постоянные, которые должны быть определены из сравнения соотношения (38) с
экспериментальными результатами.
Этот логарифмический профиль средней скорости прекрасно подтвержден
экспериментально, причем до такой степени, что приобрел статус закона природы в области
динамики жидкости. К сожалению, как мы еще увидим, этот закон не выполняется вблизи стенки
и во внешней части пограничного слоя. (Совершенно очевидно, что соотношение (38) не может
удовлетворять граничному условию U1 ( x2 = 0) = 0 .)
Однако можно установить предельную форму средней скорости на стенке, рассматривая
уравнение (31) для полного напряжения сдвига в пределах вязкого подслоя. Требуя, чтобы полное
напряжение было постоянным в этой области (τ12 = τ0), и чтобы напряжения Рейнольдса
стремились к нулю, получим
фw /с = нdU1 / dx2 , x2+ ≤ 5 .
(39)
Интегрируя это соотношение по x2 и используя (33), получим
U1 = uф2 x2 / н ,
(40)
или в безразмерных переменных
U1+ = x 2+ ,
(41)
при этом константа интегрирования положена равной нулю для того, чтобы удовлетворить
граничному условию на стенке. Этот линейный закон применим только к вязкому подслою и
получил достаточное экспериментальное подтверждение.
Хотя уравнения Рейнольдса для средней скорости не могут быть решены, можно
проинтегрировать их для получения нескольких полезных результатов, относящихся к сдвиговым
течениям. В частности, мы обсудим двумерное течение в канале, образуемом добавлением второй
пластины, параллельной плоскости (x1, x3), расположенной при x2 = 2a над плоскостью x2 = 0. Вниз
по течению на значительном удалении от входа в канал, где оба пограничных слоя сливаются
вместе, турбулентное течение будет хорошо развито, поэтому уравнения Рейнольдса сведутся к
уравнению (29).
Перепишем уравнение (29), заменяя частные производные на обыкновенные; получим
нd 2U1 / dx22 − d u1u2 / dx2 = (1/ с ) dP / dx1 .
(42)
Интегрирование каждого члена уравнения по x2 дает
снdU1 / dx2 − с u1u2 = ( x2 − a )dP / dx1 = ф12 ,
(43)
в котором последняя операция получена с использованием уравнения (31) и условий dU1 / dx2 = 0 ,
〈 u1 u2〉 = 0 при x2 = a (центральная линия канала).
Для значений x2, расположенных достаточно далеко от стенок канала, можно пренебречь
вязкими напряжениями и записать напряжения Рейнольдса в виде
с u1u2 = −( x2 − a ) dP / dx1 = ф12 .
(44)
С другой стороны, на стенке (т.е. при x2 = 2a) имеем важное соотношение
фw = adP / dx1 ,
(45)
которое подтверждает простой метод определения сдвигового напряжения на стенке с помощью
двух легко измеримых величин.
Кроме того, можно ввести коэффициент турбулентного сопротивления f с помощью
соотношения
f = 2фw / с U 2 ,
(46)
где U – среднемассовая скорость.
Наконец, для полноты следует заметить, что существует эмпирический закон для
коэффициента сопротивления в канале. Он имеет вид [Годстейн, 1938; с. 338].
1/
f = 4log( R
f ) − 0, 4 ,
(47)
где f – коэффициент сопротивления, и называется законом Прандтля–Кармана.
Существует огромное количество данных, относящихся к турбулентности, большая часть
которых получена много лет назад. Заинтересованный читатель может получить прекрасное
впечатление о предмете, если он заглянет в книгу «Modern Developments in Fluid Dynamics»
[Голдстейн, 1938; в двух томах]. Не стоит комментировать скорость развития предмета
исследований, чтобы понять, что слово «современный» не такое уж здесь неуместное. Чтобы
картина была достаточно содержательная, рассмотрим только несколько исследований. Мы
ограничим внимание на течении в канале.
Для того чтобы дать представление о течении в канале, обратимся к работам Никурадзе
(1932, см. [Голдстейн, 1938]), Лауфера (1954) и Лоуна (1971), которые связаны с исследованиями
течения в трубах круглого сечения. Результаты для других форм канала – плоских течений – не
сильно отличаются от рассматриваемых ниже. Но для полноты будут рассмотрены работы
Лауфера (1951), Хуссейна и Рейнольдса (1975), а также Креплина и Экельмана (1979),
посвященные исследованиям в каналах.
Наконец, прежде чем вернуться к обсуждению экспериментальных результатов последнего
времени, нам придется переопределить координатную систему для течений с другими
геометриями. Для течений в каналах x1 – координата в продольном (осевом) направлении, x2 –
расстояние от стенки в радиальном направлении, x3 – азимутальная.
На рис. 2 показано распределение средней скорости в трубе для трех сильно
отличающихся друг от друга чисел Рейнольдса. Результаты взяты из работ Никурадзе (1932) и
являются достаточно хорошей характеристикой турбулентности с резким изменением профиля
скорости около стенки и более пологим профилем вблизи ядра. Ясно, что такое поведение
профиля скорости становится более выраженным по мере роста числа Рейнольдса.
Рис.2. Распределения средней скорости для течения в трубе
при различных числах Рейнольдса:
● – 4×103, ■ – 1,1×105, ▲ – 3,2×106
Стремление формы профиля к универсальному «закону стенки» показано на рис. 3, на
котором сведены воедино все три предыдущие совокупности экспериментальных точек.
Поскольку абсцисса x2 на графике отложена в логарифмическом масштабе (логарифм по
основанию 10), прямая линия указывает на удовлетворительную логарифмическую зависимость,
которой удовлетворяет большая часть данных.
Рис. 3. Логарифмическое распределение средней скорости для
течения в трубе: универсальная форма закона в пристеночных
переменных (обозначения те же, что и на рис. 2)
Этот результат подтвержден многочисленными исследованиями (например, см.
[Голдстейн, 1938], [Хинце, 1975]). Это говорит о том, что распределение скорости, задаваемое
соотношением (38), находится в хорошем согласии с экспериментальными данными, за
исключением тех, которые относятся к области, непосредственно примыкающей к стенке. Однако
значительно меньше согласия проявляется в отношении значения констант A и B. На рис. 3
прямая линия соответствует выражению
U1+ = 5,75log( x2+ ) + 5,5 ,
и, переходя к натуральным логарифмам, получим, что A = 2,5 и, следовательно, константа фон
Кармана равна k = 0,4. Но даже в рамках приведенных здесь данных ясно, что экспериментальный
разброс допускает и другие значения констант A и B.
В противоположность этому средний профиль скорости в вязкой подобласти является
строгим результатом. И хотя мы не представили ни одной экспериментальной точки в этой
области на рис. 3, линейный закон также проверен экспериментально (последние данные из этой
области см. в работе [Бэйквелл и Ламли, 1967]).
Для определения величин в турбулентном течении обратимся к классическим измерениям
Лауфера (1954), который использовал технику проволочных термоанемометров для получения
трех компонент флуктуирующей скорости для течения воздуха в канале. На рис. 4 представлены
среднеквадратичные скорости u1′, u2′, u3′, деленные на скорость uτ, определенную по трению на
стенке, в зависимости от x2/a для двух различных чисел Рейнольдса R = 50 000 и R = 500 000.
Очевидно, что каждая среднеквадратичная компонента удовлетворительно коррелирует с uτ, за
исключением области вблизи стенки.
Другие точки, как можно заметить, содержат несоответствие между компонентами в
большинстве течений, благодаря тенденции к их возрастанию в направлении стенки и стремлению
к одному пределу на оси трубы. Обсуждение этих аспектов будет отложено до следующего
пункта, в котором будет рассмотрен процесс производства и переноса турбулентности.
Рис. 4. Радиальное распределение трех среднеквадратичных компонент скорости для турбулентного течения
в трубе: u1′/uτ ⎯ , u2′/uτ ⎯ − ⎯ , u3′/uτ - - -
На рис. 5 показано распределение величин 〈 u1 u2〉 /uτ2, 〈 u1 u2〉 / u1′u2′. Первое из них – это
отношение напряжений Рейнольдса к напряжениям на стенке; данные подтверждают линейную
зависимость, предсказанную соотношением (42). Вторая величина – это коэффициент корреляции,
который равен приблизительно 0,4 независимо от точки.
Сначала мы объясним уравнение сохранения энергии для флуктуационных скоростей, т. е.
уравнение (25). Обращаясь к четвертому члену правой части уравнения, мы назвали его членом
производства, так как он выражает преобразование энергии от среднего поля к флуктуирующему и
интерпретируется поэтому как скорость генерации турбулентности. Рассмотрим этот член в
условиях стационарного хорошо развитого течения в канале. Уравнение (30) есть уравнение (25),
переписанное и приспособленное к описанию течения в канале. Член производства энергии теперь
появляется в виде первого члена в левой части уравнения (30) и имеет вид
− u1u2 dU1 / dx2 .
(48)
Рис. 5. Радиальное распределение напряжения Рейнольдса
и коэффициента корреляций для турбулентного течения в трубе:
〈 u1 u2〉 /uτ2 ⎯, 〈 u1 u2〉 /u1′u2′ - - -
Теперь мы в состоянии понять некоторые качественные особенности результатов,
относящихся к среднеквадратичным величинам скоростей, рассмотренных ранее. Из рассмотрения
уравнений (24) и (48) можно сделать следующие выводы:
(а) кинетическая энергия среднего течения преобразуется только в флуктуации продольной
скорости 〈 u12〉 , поэтому не удивительно, что u1′ больше, чем остальные компоненты u2′, u3′;
(б) радиальная и азимутальная компоненты u2′, u3′ возбуждаются за счет инерционной
передачи энергии от u1′ посредством тройных корреляций или, конкретнее, благодаря члену,
содержащему флуктуации давления.
(в) скорость генерации 〈 u12〉 будет очень большой около стенки, где велики и напряжения
Рейнольдса и средний градиент скорости. Эта скорость должна быстро падать при удалении от
стенки. Таким образом, роль тройных корреляций состоит в переносе энергии в радиальном
направлении (стремление к однородности) и преобразовании энергии от 〈 u12〉 к 〈 u22〉 и 〈 u32〉
(тенденция к изотропии). Это подтверждается результатами, приведенными на рис. 4, которые
показывают, что среднеквадратичные компоненты приближенно равны и относительно однородны
около оси трубы, где член генерации турбулентности равен нулю.
Можно рассматривать баланс энергии, вернувшись к уравнению (25). Лоун (1971) измерял
величины отдельных членов в уравнении. Его результаты приведены на рис. 6. Измерение
генеративного члена весьма доступно, в то время как измерение скорости диссипации
представляет большие трудности, так как подразумевает измерение девяти независимых
компонентов флуктуирующего тензора скоростей изменения напряжения. На рис. 6 кривая
диссипации энергии была получена вычислением разности между генерацией и инерциальной
трансформацией (или диффузией). К сожалению, эта процедура страдает от того, что вклад от
флуктуаций давления в диффузию не может быть измерен непосредственно и должен быть оценен
другим способом с потерей точности.
Лоун также определил скорость диссипации двумя другими методами, которые были
основаны на предположении локальной изотропии в области малых масштабов, которые больше
всего ответственны за диссипацию. Далее эти методы не обсуждаются, поскольку они содержат
элементы, лежащие очень далеко от содержания этого курса. Однако из рис. 6 ясно, что все три
метода определения скорости диссипации достаточно хорошо согласуются друг с другом, поэтому
мы относимся к этим результатам как к достаточно убедительному доказательству выполнения
уравнения баланса турбулентной энергии.
Рис. 6. Баланс турбулентной энергии в ядре потока в трубе
(Лоун, 1971)
Мы рассмотрим традиционные феноменологические теории турбулентности, хотя можно
доказать, что первая – это общее предположение, а вторая – есть просто метод его реализации.
Начиная с ранних исследований турбулентности, было сделано много попыток согласовать
идеи, лежащие в основе кинетической теории газов с представлениями о свойствах континуума
(особенно со свойством завихренности и вихревого движения в целом), встречающихся в
макроскопическом движении жидкости. В результате многие теории турбулентности
основывались на аналогии между хаотическим движением вихрей и случайном движении молекул
в разреженных газах. Модель длины смешения (см., например, [Шлихтинг, 1968], [Хинце, 1975])
хорошо известна и дает нам интересный пример, который мы здесь обсудим. Мы начнем с
рассмотрения связанного с этими представлениями понятия эффективной вихревой вязкости.
Представление о том, что коллективное движение вихрей может быть заменено
коэффициентом вязкости, очень привлекательно. Традиционно оно вводится по аналогии с
известными результатами кинетической теории (например, как в уравнении (8)):
среднее вязкое сдвиговое напряжение = снdU1 / dx1 .
Можно попытаться представить турбулентное сдвиговое напряжение в аналогичной форме
−с u1u2 = снT ( x2 ) dU1 / dx2 ,
(49)
где νT(x2) – это кинематическая вихревая вязкость. Вопреки тому, что провозглашение такой
аналогии было очевидно даже для ранних исследователей турбулентности, эта гипотеза все еще
привлекает большое внимание. Позднее мы рассмотрим дополнительные подтверждения этой
идеи о вихревой вязкости на основе недавних ренормгрупповых исследований, которые будут
даны с некоторыми ограничениями. На данной стадии мы просто отметим, с критической точки
зрения, что в течении, где dU1 / dx2 и 〈 u1 u2〉 обращаются в ноль одновременно в некоторой
точке, вихревая вязкость (определенная соотношением (49)) может быть либо нулем, либо
бесконечностью в некоторых точках течения. Если же мы преследуем аналогию с
континуальными механизмами, а не кинетической теорией, то очевидно, что «конститутивные
соотношения» для турбулентности в общем случае должны быть существенно более сложными,
чем чисто «ньютоновское», определяемое соотношением (49).
Модель длины смешения является более амбициозной попыткой построить аналогию с
кинетической теорией. Мы начнем с напоминания о том, что напряжение сдвига Рейнольдса
ρ〈 u1 u2〉 – это поток x1 - компоненты импульса в направлении x2. Прандтль предположил, что этот
импульс переносится дискретными порциями жидкости, которые перемещаются в направлении x2
на расстояние l без взаимодействия друг с другом (т. е. предполагается, что их импульс
сохраняется на длине l), а затем перемешиваются с жидкостью в новом месте. Ясно, что длина l,
называемая длиной смешения, играет в этом процессе роль длины свободного пробега.
Существенным в этом анализе является следующее. Жидкий элемент dV переносится из
точки x2 в точку x2 + l с помощью флуктуации скорости u2. При этом переносится импульс в
другую точку благодаря разности между U1 ( x 2 ) и U 1 ( x 2 + l ) . В результате изменяется импульс в
направлении x1, и, следовательно, изменяется скорость u1 в направлении x1. Это можно выразить
следующим образом:
с u1dV = с[U1 ( x2 ) − U1 ( x2 + l )]dV =
= −с (ldU1 / dx2 )dV
(50)
с точностью до первого порядка по l , следовательно
u1 = − ( ldU1 / dx 2 ) .
(51)
Заметим, что, если U 1 является возрастающей функцией x2, жидкие частицы, движущиеся в
направлении положительных x2 (т. е. в направлении, соответствующем положительным
флуктуациям u2), вызывают отрицательную флуктуацию в скорости u1. Таким образом,
напряжение Рейнольдса будет отрицательно, поэтому корреляцию можно записать, используя
среднеквадратичные скорости, в виде
u1u2 = − R12u1′u2′ = −C u12
,
(52)
где R12 – коэффициент корреляции. Следующий шаг следует из экспериментальных наблюдений,
которые показывают, что u2′ имеет тот же порядок величины, что и u1′ в подслое, где напряжение
постоянно. Выразив через константу C коэффициент R12, получим из формулы (51)
с u1u2 = −с l 2 (dU1 / dx2 ) 2 ,
(53)
где константа C теперь уже вошла в определение l.
На этом этапе нам необходимы дальнейшие предположения, а именно:
(а) в подслое постоянного напряжения можно положить τ12 = τw;
(б) для x2 > 5 можно пренебречь вязким членом в сдвиговом напряжении;
(в) l = k x2, где k известна как константа Кармана.
После этого, воспользовавшись уравнениями (31) и (53), получим
фw / с = − u1u2 = l 2 (dU1 / dx2 ) 2 ,
(54)
откуда, с учетом уравнения (32),
k 2 x22 (dU1 / dx2 )2 = uф2 .
(55)
Наконец, извлекая корень квадратный из правой и левой частей уравнения и интегрируя по x2,
получим профиль скорости в виде
U1 = (uф / k )ln( x2 ) + D ,
(56)
где D – константа интегрирования. Этот результат можно сшить с линейным профилем (см.
уравнение (41)), выбрав соответствующим образом константу D. В результате получим, что
логарифмический профиль, задаваемый соотношением (56), удовлетворяет виду «закона стенки»
(38). Мы видим, что эксперимент дает существенное подтверждение логарифмического
распределения скорости.
3. Турбулентность как ветвь статистической физики
В этом пункте мы будем следовать схеме изложения, сходной со схемой пункта 2,
интересуясь главным образом структурными основами турбулентности. То есть рассмотрим
корреляции скоростей в двух или более точках (и моментах времени), тогда как в пункте 2
рассматривались только одноточечные корреляции. Основы такого подхода изложены Тейлором
(1935) в статье, в которой были введены также понятия статистической однородности и
изотропии, шаг, который перевел теорию турбулентности из разряда инженерной науки в разряд
области физики. В следующей работе [Тейлор, 1938а] было завершено определение
энергетического спектра через волновые числа (т. е. использовано преобразование Фурье от
двухточечной пространственной корреляции), и, как мы теперь понимаем, вычисление этого
спектра является главной целью фундаментальной теории турбулентности.
Двухточечные корреляции второго порядка (или моменты) поля скоростей играют
ведущую роль в теории турбулентности. Поэтому обратим некоторое внимание на связи между
двухточечным (фундаментальным) и одноточечным (инженерным) подходами к решению
проблемы турбулентности. В частности, поскольку многоточечная теория является более общей
по сравнению с двухточечной, мы будем интересоваться условиями, при которых она сведется к
одноточечной.
Начнем с того, как реально можно измерить корреляции в двух точках, например, в
течении в трубе. Можно предположить, что у нас есть анемометр, который измеряет все три
скалярных компонента флуктуирующей скорости в одной точке x. Если у нас есть второй такой
анемометр в точке x′, то в принципе мы должны перемножить все пары сигналов и усреднить
полученное произведение, чтобы получить девять скалярных компонентов корреляционного
тензора Qαβ, который определяется соотношением
Qбв (x, x′; t , t ′) = uб (x, t ) uв (x′, t ′)
,
(57)
Каждый компонент корреляционного тензора сам по себе является функцией восьми
скалярных переменных. Поэтому мы прежде, чем начнем создавать множество данных,
попытаемся аккуратно рассмотреть вопрос о том, как можно решить такую задачу наиболее
систематическим образом. В своей существенной части корреляции скорости, как можно ожидать,
зависят от двух вещей. Во-первых, если мы достаточно далеко раздвигаем точки, в которых
производится измерение, то можем ожидать, что корреляция исчезает. Таким образом, корреляция
будет зависеть от расстояния между измеряемыми точками. Во-вторых, величина корреляций
должна, при фиксированном расстоянии между точками, зависеть от абсолютных величин
компонентов скорости. Если мы обратимся к экспериментальным результатам, относящимся к
сдвиговым течениям (например, рис. 5), то увидим, что величины корреляции, при заданном
расстоянии между точками, зависят от расстояния до оси трубы.
На практике очень хорошим способом решения этой задачи является жесткое закрепление
двух анемометров с помощью устройства, которое позволяет менять расстояние между ними
контролируемым образом. Кроме того, сама эта система закрепляется на втором аналогичном
устройстве, которое позволяет менять положение пары как целого в трубе, так что влияние
изменения расстояния между датчиками можно исследовать в каждой точке независимым
образом.
Формально эта процедура соответствует замене переменных, т. е. мы представляем
двухточечную корреляцию в виде функции переменных
R = ( x + x′) / 2 ,
r = x − x′ ,
(58)
(59)
где R – это координаты центра (или абсолютные координаты), а r – разностные координаты (или
относительные координаты).
Аналогичное преобразование может быть выполнено для переменных по времени t и t′,
при этом получим
Qбв ( x, x′; t , t ′) = Qбв (r, R , ф, T )
,
(60)
где
T = (t + t ′) / 2 ,
(61)
ф = (t − t ′) .
(62)
Ясно, что если положить x = x′ в выражении (60), то получим одноточечную корреляцию,
которой мы интересовались в наших предыдущих рассмотрениях, где она встречалась как
напряжение Рейнольдса. В этом случае ее зависимость от абсолютного положения точки является
важным свойством.
Однако если мы хотим достигнуть фундаментального понимания турбулентности, то нам
необходимо сосредоточиться на том, как корреляции зависят от относительных координат.
Понятно, что нам хотелось бы установить, где турбулентность является чисто
детерминистическим процессом (т. е. ламинарным течением), а где полностью случайным (т. е.
таким, как подбрасывание монеты или бросание костей).
Ранее мы видели, как могут упроститься статистические уравнения, полученные с
помощью усреднения уравнений Навье–Стокса, при описании течения в канале. Для того чтобы
исследовать физику турбулентности, нам необходимо сосредоточиться на простейшей
нетривиальной задаче, и давно признано, что такой задачей является однородная изотропная
турбулентность. Мы начнем с краткого обсуждения двух подходов. Следует заметить, что в этом
пункте переменные по времени нас не интересуют, поэтому выкладки будут выглядеть проще,
если эти переменные не указывать явно.
Термин «однородность» в действительности есть сокращение от «пространственной
однородности» и означает независимость средних величин от абсолютных координат для
заданного направления. Так, течение в канале, рассмотренное ранее, по предположению
однородно по координатам x1 и x3. Однако неопределенный термин «однородность» обычно
применим к полям, которые являются трансляционно инвариантными во всех трех взаимно
перпендикулярных направлениях, т. е. тот случай, который мы здесь рассматриваем.
Наиболее важное применение этого ограничения состоит в том, что выражение (60) можно
записать как функцию только от относительных координат, т. е.
uб (x) uв (x′) = Qбв (x − x′) = Qбв (r )
,
(63)
и аналогично для моментов более высокого порядка. Кроме того, корреляция не должна зависеть
от замены x на x′, т. е. является симметричной функцией r:
Qбв (r ) = Qвб (−r )
.
(64)
Дополнительное ограничение, связанное с изотропией, определяется независимостью от
направления. Формально это означает, что все моменты скорости инвариантны относительно
вращения системы координат и относительно отражений от координатных плоскостей.
Принципиальным моментом является также требование дополнительной симметрии:
Qбв (r ) = Qвб (r )
(65)
Можно вывести дальнейшие следствия из изотропии при первом рассмотрении
одноточечных моментов. Можно показать, что все недиагональные элементы одноточечного
корреляционного тензора равны нулю, т. е.
u1u2 = u2u3 = u3u1 = 0 ,
а диагональные элементы все равны
(66)
u1
2
= u2
2
= u3
2
= u2
,
(67)
где 〈 u2〉 – средний квадрат флуктуационной скорости в некотором направлении. Отсюда следует,
что одноточечный изотропный корреляционный тензор может быть записан как
Qбв (0) = (2 E / 3)дбв
,
(68)
где E – кинетическая энергия турбулентных флуктуаций на единицу массы жидкости, а δij –
символ Кронекера.
Таким образом, одноточечный корреляционный тензор может быть выражен через одну
скалярную константу. Как мы увидим далее, двухточечный корреляционный тензор может быть
также сведен к одному скаляру, который в данном случае является уже функцией расстояния
между x и x′.
Теперь рассмотрим вопрос о том, насколько реализуемо представление об изотропной
турбулентности. Возвращаясь назад к результатам, относящимся к течению в трубе как типичному
примеру, из рис. 4 можно видеть, что среднеквадратичные компоненты скорости сильно
отличаются друг от друга, следовательно, соотношение (67) не выполняется. Подобным же
образом рис. 5 показывает, что 〈 u1 u2〉 не равно нулю, за исключением оси симметрии трубы,
следовательно, соотношение (66) не выполняется также. Отсюда ясно, что течение в трубе крайне
анизотропно и это относится к большинству течений, так как наличие границ и наложенного извне
градиента давления неизбежно приводит к выделению предпочтительного направления.
Все это убеждает нас, что изотропные турбулентные течения надо искать там, где имеются
большие физические объемы газа или жидкости с заметной областью, удаленной от границ.
Очевидным примером являются геофизические течения, наблюдаемые в атмосфере или океане.
В противоположном случае течений, наблюдаемых в лабораторных условиях, можно
рассмотреть другой предел и сосредоточиться на вихрях малого размера, относительно которых
можно надеяться, что они не подвержены влиянию твердых границ. Этого можно достигнуть,
поддерживая расстояние между измеряемыми точками малым по сравнению с масштабами длины,
на которых заметна неоднородность – так называемая «локальная изотропия».
Оба подхода могут приводить к очень хорошей аппроксимации изотропной
турбулентности. Однако развитию предмета сильно способствовало изобретение искусственного
вида турбулентности. Это турбулентность, сгенерированная решеткой. Для краткости мы будем ее
называть «решеточная турбулентность». Она может быть создана в лабораторных условиях
следующим образом.
Предположим, что воздух, текущий в аэродинамической трубе, проходит через ячейки
решетки. Физическая ситуация, с которой мы сталкиваемся здесь, такова, что пограничные слои
на стенках трубы тонкие, поэтому большая часть потока представляет собой потенциальное ядро
(другими словами, течение в аэродинамической трубе соответствует входной области течения в
трубе). В этих условиях вихревая дорожка генерируется каждым стержнем, из которых сделана
решетка, и при условии точного подбора параметров решетки многочисленные дорожки
сливаются вместе вниз по течению, создавая турбулентное поле. Эксперимент показал, что такие
поля являются приближенно изотропными (см. [Голдстейн, 1938], с. 228–229).
К сожалению, решеточная турбулентность не может быть полностью однородной, так как
она затухает в направлении движения жидкости. Тем не менее, переходя в систему координат,
движущуюся вместе с жидкостью, можно сделать турбулентность математически эквивалентной
изотропной турбулентности, которая свободно затухает во времени. Если движение происходит
вдоль оси x1, то вышесказанного можно добиться, введя преобразование
t = x1 / U ∞ ,
(69)
где t – переменная, описывающая затухание во времени.
На практике получено, что ранние стадии затухания могут сильно зависеть от конструкции
решетки, создающей турбулентность. Это не так уж и удивительно, но можно ожидать, что
достаточно далеко от решетки вниз по течению турбулентность будет независима от способа ее
генерации и примет универсальный вид, подчиняющийся только уравнению движения.
Эксперименты подтверждают это.
Возвращаясь к двухточечным корреляциям, напомним, что можно свести девять скалярных
функций, которые (в принципе) необходимо знать, к одной. Общий метод, который позволяет это
сделать, был предложен Робертсоном (1940) и основывается на том, что изотропный тензор может
быть выражен через инварианты группы вращения. Здесь мы изложим только наиболее
интересные моменты.
Робертсон показал, что изотропная двухточечная корреляция может быть записана в виде
Qбв (r ) = A(r )rб rв + B (r )д бв
,
(70)
где A и B – четные функции от r = |r|. Заметим, что этот результат сводится к соответствующему
одноточечному, если положить r нулю.
Хотя выражение (70) удовлетворяет всем требуемым симметриям, мы можем еще привлечь
уравнение неразрывности для установления связи функций A и B. Однако сначала мы выразим эти
функции через продольный и поперечный корреляционные коэффициенты.
Это может быть сделано следующим образом. Введем две точки и направление от точки к
точке, т. е. вектор, соединяющий эти две точки. В декартовой системе координат три отличных от
нуля коэффициента корреляции равны друг другу. Если основываться на системе координат,
связанной с двумя точками, то существует два других коэффициента. Корреляция может
вычисляться вдоль направления между точками по скорости, параллельной r, или по поперечным
компонентам uT, которые перпендикулярны r. Во втором случае возможно вычисление двух
одинаковых корреляций.
Продольный и поперечный коэффициенты корреляции f и g можно ввести с помощью
соотношений
u 2 f (r ) = uL (x) u L (x′)
,
(71)
g (r ) = uT (x) uT (x′)
,
(72)
u
2
где f(r) и g(r) – четные дифференцируемые функции r, удовлетворяющие условию f(0) = g(0) = 1, а
также f′(0) = g′(0) = 0. Мы должны также потребовать, чтобы x = x′ + r.. Можно связать f(r) и g(r) с
коэффициентами A и B в (70), рассматривая специальный случай, когда r направлен вдоль x1. То
есть x = 0, а r = (r1, 0, 0). Тогда, полагая α = β = 1 в (70), получим
Q11 (r ) = Ar 2 + B = u 2 f (r )
,
(73)
где последний шаг следует из (71). Аналогично можно положить α = β = 2 в (70), при этом
получим
Q22 (r ) = B = u 2 g (r )
.
(74)
Очевидно, (74) дает нам связь коэффициента B с g(r), и если мы подставим этот результат в (73),
то легко получим связь A с f(r) и g(r). Тогда уравнение (70) может быть записано в виде
Qбв ( r ) = u 2
( f (r ) − g (r ) ) rб rв / r 2 +
+ u 2 g (r )дбв
(75)
Наш последний шаг состоит в исключении функции g(r), связав ее с функцией f(r). Мы сделаем
это, продифференцировав соотношение (75) по rα и привлекая уравнение неразрывности. После
простых выкладок и небольшой перегруппировки членов легко находим, что двухточечная
изотропная корреляция может быть выражена через одну скалярную функцию следующим
образом:
Qбв ( r ) = u 2
( f (r ) + rf ′(r ) / 2 ) дбв −
− u 2 f ′( r ) rб rв / 2r 2
,
(76)
где штрих означает дифференцирование по r. Для частного случая r = 0 можно заметить, что
∑Q
бб
(0) = u 2 Tr(д бв ) = 3 u 2 = 2 E
б
(77)
где Tr – след, т. е. сумма диагональных элементов матрицы.
Два важных масштаба можно определить с помощью продольного корреляционного
коэффициента f(r). Первый – это микромасштаб Тейлора λ. Это дифференциальный масштаб
длины и его можно получить следующим образом. Предположим, что мы разложили функцию f(r)
в ряд в точке r = 0. Тогда требуя, чтобы f(r) была симметричной функцией от r, т. е. f′(0) = 0,
можно написать
f (r ) = 1 − r 2 / 2л 2 + O(r 4 ) ,
1/ л = − f ′′(0) ,
2
(78)
(79)
т. е. мы определили микромасштаб, аппроксимируя параболой корреляционную функцию в
области малых r.
Продольный интегральный масштаб L определяется выражением
∞
L = ∫ f ( r )dr
0
(80)
Можно проиллюстрировать физический смысл L (хотя и не строго), придавая экспоненциальный
вид корреляционной функции. (На практике этот вид может быть очень хорошей аппроксимацией,
хотя ясно, что он непригоден в точке r = 0, где мы требуем выполнения условия f′(0) = 0 из
соображений симметрии.)
Исключительно для этой цели рассмотрим f(r) =
= exp(–b r), где b – некоторый параметр с размерностью обратной длины. Подставляя это
выражение в (80), легко найдем, что L = 1/b. Другими словами, если корреляция была
экспоненциальной по виду, то интегральный масштаб – это длина, на которой корреляция
изменяется от 1 до 1/e.
Турбулентность – это существенно нестационарное явление. Тем не менее, можно
отличать ситуации, когда средняя скорость зависит от времени, от ситуаций, когда зависимость от
времени отсутствует. Например, каждодневным образчиком этого является ситуация, когда мы
пользуемся трубой для стока воды, соединенной с краном. Теперь представим, что мы открываем
и закрываем кран. Во время этих манипуляций средняя скорость воды в трубе будет меняться со
временем. Но если допустить, что внешние факторы (установка крана, регулировка сопла или
окружающие условия) будут постоянны, то очевидно, что средняя скорость воды будет также
постоянна – условие, которое мы ранее назвали «стационарное среднее течение».
Распространение этой идеи на многовременные моменты дает нам представление о
стационарности. Формально величина uα(x, t) есть стационарная случайная величина, если
связанное с ней распределение вероятностей зависит только от разности моментов времени,
входящих в ее определение, но не от их абсолютных величин.
В качестве примера рассмотрим двухточечную корреляцию. Временно опуская
зависимость от пространственных координат и тензорные индексы, получим из соотношений (57)
и (60):
u (t ) u (t ′) = Q (ф, T ) ,
(81)
где τ и T – соответственно относительное и абсолютное времена. Тогда, если u(t) – стационарная
случайная функция, соотношение (81) примет вид
u (t ) u (t ′) = Q (ф) = Q(t − t ′) ,
(82)
причем
Q( t − t ′ ) = Q( t ′ − t ) .
(83)
Таким образом, стационарность – это однородность во времени.
Использование Фурье-анализа приводит к трем главным выигрышам. Он сводит
дифференциальный оператор к мультипликативному, дает относительно простую картину
турбулентности и позволяет определить число степеней свободы турбулентной системы. Мы
начнем рассмотрение с турбулентной жидкости, занимающей куб со стороной L. Поле скорости
(или какая-либо другая динамическая переменная) может быть разложено в ряд Фурье следующим
образом
uб ( x, t ) = ∑ uб (k , t ) exp(ik ⋅ x)
k
,
(84)
где волновой вектор k определен соотношением
k = (2р / L )( n1 , n2 , n3 ) ,
(85)
а n1, n2 и n3 – целые числа, по каждому из которых суммирование проводится от минус до плюс
бесконечности.
Надо заметить, что нами используются одинаковые обозначения для полей, независимо от
того, является ли это поле физической скоростью или ее Фурье-образом. Несмотря на то, что в
математических монографиях используются другие обозначения, обозначения, принятые ниже,
являются обычными в работах подобного рода. Путаницы при этом не происходит, наоборот,
очень удобно представлять величину uα(k, t) как поле скорости в пространстве волновых чисел.
Мы начнем с преобразования уравнения неразрывности, так как это позволит нам
довольно легко сдвинуться с места. Поскольку мы ограничиваемся изотропными полями с
нулевым средним, то соотношение (15) можно упростить
U б ( x , t ) = u б ( x, t ) .
(86)
Тогда, подставляя (84) в (2) и проводя дифференцирование, получим
∑ (ik )u (k , t ) exp(ik ⋅ x) = 0
в
в
.
(87)
Это соотношение должно выполняться для всех exp(ik⋅x). Поэтому уравнение неразрывности
принимает вид
k
kв uв (k , t ) = 0
,
(88)
т. е. векторы u(k) и k взаимно ортогональны.
Займемся теперь преобразованием уравнения Навье–Стокса. При этом придется
представить поле давления тоже в виде ряда Фурье, коэффициенты ряда обозначим через p(k) по
аналогии с полем скорости. После этого надо подставить выражения для скорости и давления,
записанные через Фурье-компоненты, в уравнение (5). Мы получим требуемую форму, учтя
следующие моменты:
• •
Каждая производная по пространственным переменным заменяется при переходе к
пространству волновых чисел на соответствующий компонент волнового вектора
мультипликативно.
• • Нелинейный член является произведением в физическом пространстве, поэтому, согласно
теореме о свертке, он должен перейти в свертку в пространстве волновых чисел.
В соответствии с этим, представляя переменную суммирования в свертке через j, можно
записать преобразованное уравнение Навье–Стокса следующим образом:
(∂ / ∂ t + нk 2 )uб (k , t ) =
= −ikб p(k ) − ikв ∑ uв ( j, t )uб (k − j, t )
j
.
(89)
Здесь и далее полагается, что ρ = 1 (так как жидкость несжимаемая). Следует заметить, что
нелинейный член после преобразования Фурье представляет взаимодействие мод c волновыми
векторами j с модами c волновыми векторами j – k, в результате которого образуются моды с
векторами k. Это явление известно как нелинейное смешение. Оно лежит в основе хаотического
поведения жидкости.
Уравнения (88) и (89) вместе определяют две неизвестных величины: скорость и давление.
Можно исключить одно уравнение и одну неизвестную величину и тем самым получить
соленоидальное уравнение Навье–Стокса в виде, который является отправной точкой во многих
современных теориях турбулентности.
Мы сделаем это следующим образом. Умножим каждый член в уравнении (89) на kα и
просуммируем по α. Из уравнения неразрывности в форме (88) немедленно следует, что оба члена
в левой части уравнения исчезают. Поэтому, перегруппировав оставшиеся члены, можно записать
давление в виде
p(k ) = −kб kв k −2 ∑ uв ( j, t )uб (k − j, t )
j
.
(90)
Ранее мы отмечали, что давление в действительности является нелинейной величиной, оправдание
этому теперь очевидно.
Продолжая процедуру вывода, подставим выражение (90) для давления в уравнение
Навье–Стокса, замечая, что индекс α теперь является немым и может быть заменен на индекс γ,
чтобы устранить путаницу с обозначениями, возникшую в уравнении (89). Кроме того, используя
свойства символа Кронекера, получим окончательно
(∂ / ∂ t + нk 2 )uб (k , t ) =
= M бвг (k )∑ uв ( j, t )uб (k − j, t )
j
где
,
M бвг (k ) = (2i)−1 ( kв Dбг (k ) + kг Dбв (k ) )
Dбв (k ) = д бв − kб kв / k .
2
(91)
,
(92)
(93)
Отметим, что нами использована инвариантность нелинейного члена по отношению к замене
волновых векторов и индексов для того, чтобы записать правую часть уравнения (91) в
симметричном виде, в котором используется оператор инерциального переноса (92). Легко
проверить, что решение уравнения (91), если оно удовлетворяет уравнению неразрывности (88) в
начальный момент времени, будет решением во все последующие моменты времени. Умножая
каждую часть уравнения на kα, легко обнаруживаем, что левая часть уравнения, благодаря
соотношению (88), исчезает. Правая часть уравнения (91) тоже исчезает, что является следствием
важного свойства оператора Dαβ(k):
kб Dбв (k ) = 0
.
(94)
Для того, чтобы развить формализм, основанный на уравнении (91), мы должны знать коечто об общих свойствах иерархии моментов в пространстве волновых чисел. Мы начнем с
рассмотрения свойства однородности, которое в конфигурационном пространстве x означает
инвариантность по отношению к сдвигам.
Временно опуская зависимость от времени, запишем выражение для коэффициентов Фурье
в выражении (84) следующим образом
uб (k ) = (1/ L)3 ∫ uб (x) exp(−ik ⋅ x)dx
,
(95)
из которого следует, что двухточечная корреляция в k-пространстве может быть связана с
соответствующей величиной в x-пространстве соотношением
uб (k )uв (k ′) =
= (1/ L)6 ∫∫ dxdx′ uб (x)uв (x′) exp(−ik ⋅ x − ik ′ ⋅ x′) =
= (1/ L)6 ∫∫ dxdx′ uб (x)uв (x − r ) × exp(−i (k + k ′) ⋅ x)exp(ik ′ ⋅ r )
(96)
Теперь мы воспользуемся свойством инвариантности в виде
uб (x)uв (x − r ) = uб (0)uв (r )
,
и соотношение (98) можно переписать в виде
uб (k )uв (k ′) =
= (1/ L)6 ∫∫ dxdr uб (0)uв (r ) × exp(−i (k + k ′) ⋅ x) exp(ik ′ ⋅ r )
(97)
На этом шаге можно выполнить интегрирование по x, поэтому с учетом
(1/ L)3 ∫ dx exp(−i (k + k ′) ⋅ x) = дk + k ′, 0
корреляция в пространстве волновых чисел примет вид
uб (k )uв (k ′) =
= дk + k ′,0 (1/ L)3 ∫ drQбв ( r ) exp(ik ′ ⋅ r )
.
(98)
Таким образом, если мы находим корреляцию двух различных мод k и k′, то получим
неисчезающий вклад только при условии k + k′ = 0. Аналогично можно показать, что для
моментов третьего порядка
uб (k ) uв ( j) uг (l ) = 0, k + j + l ≠ 0
(99)
и, в общем случае, свойство однородности для момента произвольного порядка означает, что он
равен нулю, если сумма волновых векторов, его определяющих, не равна нулю. Наконец, для того,
чтобы получить предел системы с бесконечным объемом, мы определим тензор корреляции в
пространстве волновых чисел следующим образом:
Qбв (k ) = ( L / 2р)3 uб (k )uв (−k )
и
(100)
Qбвг (k , j) = ( L / 2р)6 uб (k )uв ( j)uг (−k − j)
.
(101)
Ясно, что эта процедура может быть индуктивно продолжена в направлении определения тензоров
произвольного порядка.
Ранее было дано короткое введение в приложение теории инвариантов Робертсона (1940) к
тензору изотропных корреляций в конфигурационном пространстве. Тот же метод может быть
применен к тензору изотропного спектра (например, [Бэтчелор, 1971]), который существенно
проще использовать в пространстве волновых чисел, хотя здесь мы только приведем
окончательные результаты. Применяя те же рассуждения, что и ранее, получим результат,
аналогичный уравнению (70), удовлетворяющий всем требованиям симметрии. Кроме того,
используя уравнение неразрывности для исключения одного из скаляров, получим требуемый
общий вид:
Qбв (k ; t , t ′) = Dбв (k )Q( k ; t , t ′)
.
(102)
Для случая одновременных корреляций:
Q ( k ; t , t ′) = Q ( k ; t ) .
(103)
Для случая, когда корреляции не зависят от времени:
Q (k ; 0) = q (k ) .
(104)
Из выражения (102) следует, что описанный выше вид изотропного спектра удовлетворяет
условию неразрывности kα Qαβ(k) = 0 для произвольного q(k). Эта процедура может быть
распространена на моменты более высокого порядка, но поскольку нас интересует замыкание на
уровне вторых моментов, мы не будем это делать, упомянув для полноты результат Орзага (1969),
который рассмотрел общую проблему представления изотропного момента произвольного
порядка с помощью скалярных функций.
Рассмотрим физическую интерпретацию функции q(k) и попытаемся оправдать название
тензора Qαβ(k) «спектральный». Для начала вычислим след тензора Qαβ(k), используя выражение
(102):
Tr(Qбв ) = Tr(Dбв q(k )) = 2q(k )
.
(105)
Теперь можно связать Tr(Qαβ(k)) с энергией E на единицу массы жидкости следующим образом.
Из соотношения (68) получим
2 E = 3 u 2 = Tr ( Qбв (r ) )
∞
r =0
= ∫ E (k ) dk
0
,
(106)
где необходимое интегрирование по углам легко выполняется. В этом выражении E(k)dk – это
вклад в полную энергию от гармонических компонентов с волновыми векторами, лежащими в
спектральном интервале между k и k + dk:
E (k ) = 4рk 2 q(k ) .
(107)
Обычно величина E(k) называется «волновым спектром». Более формально эта величина
представляет распределение энергии по волновым числам (или по угловым пространственным
частотам), поэтому, в силу предыдущего соотношения, можно интерпретировать величину q(k) как
плотность вкладов в полную энергию в пространстве волновых чисел. Поэтому мы будем
называть ее спектральной плотностью.
Мы обсудили трехмерный энергетический спектр, который является ключевым понятием в
турбулентности, однако на практике бывает более удобным измерять частотный спектр одной
флуктуирующей скорости в продольном направлении. Фактически огромный массив
экспериментальных данных представляет из себя спектры этого вида, поэтому нам нужно
рассмотреть задачу о том, как связать измеренные спектры с теоретическими. Как обычно, мы
рассматриваем движение жидкости в направлении x1, а анемометр расположен в одной точке для
измерения флуктуаций скорости u1. Если сигнал анемометра пропустить через спектральный
анализатор, то флуктуации скорости будут разложены на гармоники по (угловой) частоте ω.
Затем, если выходной сигнал возвести в квадрат и усреднить, то результирующий спектр E11(ω) с
необходимостью обладает следующим свойством
∞
u12 = ∫ E11 (щ)dщ
0
.
(108)
Возможность выразить частотный спектр через волновой связана всецело с гипотезой
«замороженной конвекции» [Тейлор, 1938]. Тейлор предположил, что изменения u1 во времени в
фиксированной точке обусловлены прохождением замороженной турбулентной структуры при
условии, что средняя (набегающая) скорость, содержащая турбулентные вихри, значительно
больше турбулентных флуктуаций, т. е. можно связать поле скорости в разные моменты времени
преобразованием
u1 ( x1 , t ) = u1 ( x1 − U1t , 0) ,
и, следовательно, локальная производная по времени в точке может быть заменена на
конвективную производную при условии u′ << U1:
∂
= −U1∂ / ∂ x, u ′ << U1
∂t
.
(109)
Гипотеза Тейлора часто рассматривается как имеющая отношение к практике, она широко
используется в экспериментальных работах по турбулентности. Однако в лучшем случае эта
гипотеза является аппроксимацией и, следовательно, при улучшении техники эксперимента
подвергается критической оценке (см., например, [Заман, Хуссейн, 1981] и [Браун, Антония,
Раджагопалан, 1983]). В рамках нашего изложения уравнение (109) эквивалентно
k1 = щ / U 1 .
(110)
В соответствии с этим можно определить
E11 ( k1 ) = U1 E11 (щ) .
(111)
Поэтому из (110), (111) и (108) следует
∫
∞
0
∞
E11 (щ) dщ = ∫ E11 ( k1 ) dk1 = u12
0
.
(112)
Таким образом, частотный спектр может быть связан с однокомпонентным спектром в
пространстве волновых чисел, но только для одной скалярной переменной. Обобщение на случай
трех измерений очень просто и может быть найдено в книге [Бэтчелор, 1971] или с большими
подробностями в [Хинце, 1975; с. 208–209].
Начнем работу в этом пункте с использования уравнения (91) в качестве основы
формулировки проблемы замыкания для изотропной турбулентности в пространстве волновых
чисел. Сначала рассмотрим уравнение для средней скорости. Если усреднить обе части уравнения
(91), то в результате получим
⎛∂
2⎞
⎜ + нk ⎟ uб (k , t ) =
⎝ ∂t
⎠
= M бвг (k )∑ uв ( j, t )uг (k − j, t )
j
(113)
Но теперь из уравнения (99) получаем, что
uв ( j, t )uг (k − j, t ) = 0
,
если j + k – j≠0, и правая часть уравнения для 〈 uα(k, t)〉 обращается в ноль, поскольку Mαβγ(0) = 0.
Этот результат конечно же согласуется с нашим предыдущим наблюдением, в котором равенство
нулю средней скорости (или по меньшей мере постоянство по всему пространству) влекло за
собой однородность и изотропию турбулентного движения. Уравнение для двухвременной
корреляции можно получить умножением каждого члена уравнения (91) на uα(–k, t′) с
последующим усреднением:
⎛∂
2⎞
⎜ + нk ⎟ uб (k , t )uу (−k , t ′) =
t
∂
⎝
⎠
= M бвг (k )∑ uв ( j, t )uг (k − j, t )uу (−k , t ′)
j
(114)
Кроме того, можно записать его через компоненты корреляционных тензоров. Используя
выражение (100) и перейдя к системе бесконечного размера, получим
⎛∂
2⎞
⎜ + нk ⎟ Qбу (k; t , t ′) =
⎝ ∂t
⎠
= M бвг (k ) ∫ djQвгу ( j, k − j; t , t ′)
(115)
Нашей главной целью является получение замкнутой формы уравнения (115), записанной
исключительно через Qασ(k; t, t′), и это то, что мы рассмотрим более подробно несколько позже.
Поэтому хотя и очень просто выводить уравнения для моментов более высокого порядка
иерархическим образом, мы не будем заниматься этим. Однако можно закончить этот этап
преобразованием уравнения (115) к изотропной форме. Воспользовавшись уравнением (102) для
изотропного корреляционного тензора и полагая σ = α, с последующим суммированием по α,
получим
⎛∂
2⎞
⎜ + нk ⎟ Q(k ; t , t ′) = P(k ; t , t ′)
⎝ ∂t
⎠
,
P ( k ; t , t ′) =
1
M бвг (k ) ∫ djQвгб ( j, k − j; t , t ′)
2
,
(116)
(117)
где было использовано соотношение Tr(Dαβ(k)) = 2.
При рассмотрении одновременных моментов ситуация сильно меняется. Для начала
отметим, что вывод уравнений менее прямолинеен, чем в двухвременном случае. К тому же на
поздней стадии нам понадобятся члены более высокого порядка из одноточечной иерархии в
явной форме. В соответствии с этим на этом этапе мы можем вывести эквивалент уравнения (115)
и следующее за ним уравнение. Снова нашей отправной точкой является уравнение (91) для
uα(k, t). Умножаем каждый член в этом уравнении на uσ(–k, t), но прежде чем усреднить его, мы
выписываем второе уравнение из (91) для uσ(–k, t), умноженное на uα(k, t), и складываем их
вместе. Уравнение для одновременных корреляций легко приводится к виду
⎛∂
2⎞
⎜ + нk ⎟ uб (k , t )uу (−k , t ) =
t
∂
⎝
⎠
= M бвг (k )∑ uв ( j, t )uг (k − j, t )uу (−k , t ) +
j
+{k ↔ −k ; б ↔ σ }
(118)
где второй член в правой части уравнения получен из первого заменой k на –k и α на σ.
Переходя к системе бесконечного размера, получим
⎛∂
2⎞
⎜ + нk ⎟ Qбу (k ; t , t ) =
⎝ ∂t
⎠
= M бвг (k ) ∫ djQвгу ( j, k − j; t , t ) +
+{k ↔ −k ; б ↔ у}
(119)
Аналогичным образом можно получить уравнение для моментов третьего порядка,
образовав сначала три уравнения из (89) для uα(k, t), uρ(k, t) и uσ(k, t). Тогда каждое из этих
уравнений умножается на дополнительную пару скоростей, и после операции сложения и
усреднения получается
⎛∂
2⎞
⎜ + нk ⎟ uб (k , t )uс (l, t )uу (p, t ) =
⎝ ∂t
⎠
= M бвг (k )∑ uв ( j, t )uг (k − j, t )uс (l, t )uу (p, t ) +
j
+{k ↔ l; б ↔ с} + {k ↔ p; б ↔ у}
(120)
где второй и третий члены в правой части могут быть получены из первого указанной
перестановкой. Следующие уравнения в этой последовательности можно найти в работе Орзага и
Крускала (1968).
Далее мы снова рассмотрим уравнение энергии для турбулентных пульсаций. При этом
надо заметить, что теперь мы имеем дело с ситуацией, когда средняя турбулентная энергия
постоянна по пространству. Поэтому когда мы будем рассматривать перенос турбулентной
энергии, то будем иметь в виду пространство волновых чисел. Кроме того, можно рассматривать
передачу энергии от вихрей одного размера к вихрям другого размера – этот процесс носит
название энергетического каскада.
Нашей исходной точкой будет уравнение (118) для одновременной корреляции.
Конкретизировать левую часть этого уравнения для изотропного случая можно, воспользовавшись
соотношением (102), которое приводит спектральный тензор к изотропному виду. После этого
можно получить уравнение для энергетического спектра E(k, t), определенной соотношением
(107), которой теперь обобщается на случай зависимости от времени. Если положить σ = α,
просуммировать по α и (помня, что Tr(Dαβ(k)) = 2) умножить каждый член уравнения (118) на
2πk2, то получим
(d / dt + 2нk 2 ) E (k , t ) = T (k , t ) ,
(121)
где нелинейный член T(k, t) определяется выражением
T ( k , t ) = 2р k 2 M бвг (k ) ×
×∫ dj[Qβγα ( j, k − j, − k ; t ) − Qβγα ( j, − k − j, k ; t )] =
= 4р k 2 M бвг (k ) ∫ djQβγα ( j, k − j, − k ; t )
(122)
здесь последний шаг следует из условия однородности, согласно которому момент третьего
порядка не может изменяться при замене k на –k, а оператор переноса Tαβγ(k) меняет знак на
обратный. Когда мы обсуждали вопрос о сохранении турбулентной энергии ранее, то отмечали,
что нелинейные члены сохраняют энергию. Следствием этого является то, что T(k, t) может только
перераспределить энергию в пространстве волновых чисел, поэтому при интегрировании каждого
члена в уравнении (121) по k, как это следует из (106), получим
∞
dE / dt + ∫ 2нk 2 E ( k , t ) dk = 0
0
.
(123)
Скорость затухания полной кинетической энергии флуктуаций (на единицу массы жидкости) в
точности совпадает со скоростью диссипации. Следовательно, уравнение (123) дает нам простое
выражение для скорости диссипации ε в случае изотропной турбулентности, которое можно
записать следующим образом:
∞
dE / dt = −е = − ∫ 2нk 2 E ( k , t ) dk
0
.
(124)
Представляет интерес проверить, что вклад от T(k, t) действительно исчезает при
интегрировании по всем волновым числам. Это можно сделать таким образом. Исходя из
определения (93) для Dαβ(k), можно показать, что
Dбв (k ) uв (k , t ) = uб (k , t )
,
(125)
и, таким образом,
Dбв (k ) Qвгб ( j, l, − k ) = Qвгв ( j, l, − k )
,
(126)
где временно сделана замена немой переменной l = k – j. Тогда из (122), (126) и (92) следует, что
можно представить интеграл от T(k, t) в виде
∫
∞
0
T (k , t )dk =
= ∫ dkdj(2i)−1[kг Qвгв ( j, l, − k ) − kг Qвгв ( j, l − 2k, k )]
(127)
где немые переменные были заменены, а немые тензорные индексы оставлены. В этом месте было
использовано также уравнение неразрывности в виде
lг u г (l , t ) = 0
,
(128)
из которого следует также
lг Qвгв ( j, l, − k , t ) = 0
.
(129)
Ясно, что при этом мы можем заменить kγ в первом члене правой части (127) на kγ – lγ = jγ. В
результате получим
∫
∞
0
T (k , t )dk =
= ∫ dkdj(2i)−1[ jг Qвгв ( j, l, − k ) − kг Qвгв ( j, l − 2k, k )]
.
(130)
Поскольку каждый момент третьего порядка симметричен относительно перестановки k на j,
видно, что подынтегральное выражение антисимметрично относительно этой перестановки и
поэтому интеграл равен нулю при интегрировании по всему пространству по этим переменным.
Отсюда видно, что
∫
∞
0
T ( k , t ) dk = 0
.
(131)
Позже мы увидим, что не только результат, полученный здесь, важен, но и важен способ, которым
он получен.
Высокий уровень флуктуаций завихренности является характерным для турбулентных
течений. Этот факт вместе с историей развития гидродинамики как самостоятельного предмета
исследований очень тесно соприкасается с вихревыми движениями, делая естественным
интерпретацию турбулентности на языке вихрей. В настоящее время вихревая интерпретация
турбулентности может показаться недоразвитым ответвлением рассматриваемой темы
исследований по сравнению, скажем, со статистической теорией, основанной на поле скорости.
Тем не менее она является направлением, важность которого растет, в особенности при изучении
когерентных структур, а также при интерпретации результатов компьютерного моделирования
турбулентности. Полная формулировка вихревого метода выводит нас за пределы
рассматриваемой темы, поэтому интересующиеся исследователи могут обратиться к книге
Шорина [Шорин, 1994]. Здесь мы рассмотрим только основные идеи. Вернемся в
конфигурационное пространство. Поскольку завихренность ω есть ротор поля скорости,
подействуем этим оператором на уравнение (5) и получим (см., например, [Бэтчелор, 1967]):
Dщб / Dt = щв ∂ uб / ∂ xв + н∇ 2 щб ,
(132)
где D/Dt означает полную производную от времени и содержит конвективные производные
uβ ∂/∂xβ, которые действуют на ωα. Это уравнение движения для завихренности.
Оно говорит нам, что скорость изменения завихренности зависит от взаимодействия
завихренности с градиентами скорости и от ее диссипации за счет вязкости. Чтобы лучше понять
влияние взаимодействия членов в правой части уравнения (132), рассмотрим вихревую трубку в
направлении оси x1. Можно рассматривать эту структуру как длинный тонкий цилиндрический
элемент жидкости, вращающийся вокруг своей оси, которая также расположена вдоль оси x1. Это
означает, что мы принимаем β = 1 в уравнении (132) и смотрим, что произойдет с точки зрения
физики, когда α = 1, 2, 3.
Игнорируя вязкие эффекты, рассмотрим теперь случай α = 2 или α = 3. В любом случае
градиент является сдвиговым и стремится заставить вращаться жидкий элемент. Ясно, что в
результате наша гипотетическая вихревая трубка будет стремиться развернуть свою ось в
направлении x2 или x3 соответственно. Таким образом, влияние подобного рода взаимодействия
состоит в обмене завихренностью между тремя скалярными компонентами ω. Оставшийся случай
соответствует α = 1. В этом случае градиент ∂u1/∂x1 является продольным, поэтому если он
положителен, то будет растягивать вихревую трубку в направлении x1, площадь поперечного
сечения трубки при этом будет уменьшаться. Сохранение углового момента (на единицу массы)
может быть выражено в виде
щ1 r 2 = const ,
где r – радиус вихревой трубки. Поэтому при уменьшении радиуса под влиянием продольного
градиента угловая скорость (пропорциональная ω1) будет увеличиваться, а вместе с ней и энергия
ω1 r2, определяемая масштабом r, тоже будет увеличиваться. Следовательно, энергия
преобразуется в малые масштабы.
Конечно, при этом надо рассмотреть вопрос, что случится, если градиент будет
отрицательным. Ясно, что отдельное воздействие, содержащее отрицательную скорость
деформации, будет иметь противоположный эффект по сравнению с рассмотренным, приводя к
сжатию вихревой трубки, а не к растяжению. Обсуждение этого аспекта часто приводит к
необходимости обращаться к утверждениям, относящимся к общим свойствам случайного
блуждания, согласно которым расстояние между двумя блуждающими точками в среднем со
временем растет или бесконечно малый линейный элемент в среднем растягивается в однородной
изотропной турбулентности ([Бэтчелор, 1952], [Кок, 1969], [Орзаг, 1970], [Коррзин, 1972], [Дар,
1976]), хотя доказательство не может быть строго обобщено на случай завихренности или
конечную длину элемента. Однако как только статистический ответ приобретает какой-то смысл,
мы замечаем, что наличие вязкости приводит к стоку энергии на малых масштабах и к
необратимости. То есть в среднем передача энергии должна происходить в направлении малых
масштабов.
Имея это в виду, следует заметить, что существует тенденция извлекать много смысла из
конкретной реализации турбулентного течения, полученного либо с помощью методов
визуализации, либо методом прямого численного моделирования. При этом надо осознать, что эта
информация является единичной реализацией и мало что может сказать нам о среднем поведении.
Представление об изотропной турбулентности является весьма искусственным, поскольку
требует, чтобы некоторое свойство, которое, естественно, присутствует в какой-то степени во всех
турбулентных течениях, было доминирующим или характеристическим, по крайней мере, в
некоторых турбулентных полях. Следствием этого является цена, которую мы платим за
относительную аналитическую простоту изотропной турбулентности, – те трудности, которые
встречаются при проверке полученных результатов.
Прежде чем перейти к формулированию конкретных тестовых задач в изотропной
турбулентности, рассмотрим сначала более типичную повседневную ситуацию, которую
представляет собой течение в трубе. В принципе было бы желательно решить замкнутую форму
уравнений Рейнольдса для средней скорости с граничными условиями равенства нулю скорости на
стенке трубы. Поскольку течение в трубе возможно только при наличии градиента давления, то,
естественно, надо задать еще и градиент давления. Для простоты возьмем его постоянным во
времени, так что течение само по себе будет независимым от времени. Ввиду этого оно очень
легко осуществимо на практике. Для полноты описания мы можем задать распределение средней
скорости на входе в трубу. В качестве простого предположения можно взять равномерное по
сечению распределение скорости на входе. Это также физически реализуемо, по крайней мере, с
достаточно хорошей точностью, если предположить, что труба соединена с резервуаром большой
емкости, хотя проще, и это обычно делается, проигнорировать «длину входа» и начать вычисления
на некотором расстоянии вниз по течению, где среднее распределение скорости уже не будет
зависеть от начальных условий (т. е. будет универсальным).
Существенным в этой постановке задачи является то, что классическая постановка
описания одномерного течения в трубе может быть сформулирована очень просто и
непосредственно. К тому же предсказания теории – средний профиль скорости в зависимости от
градиента давления – могут быть проверены экспериментально совершенно непротиворечивым и
строгим образом. И эта постановка годится для многих практически важных течений, кроме
изотропной турбулентности, где наинизшим статистическим моментом является энергетический
спектр, измерить который и проинтерпретировать существенно сложнее, чем профиль средней
скорости.
Рассмотрим баланс энергии для изотропной турбулентности, определяемый уравнением
(121), где член инерционной передачи энергии T(k, t) связан с нелинейной частью уравнения
Навье–Стокса с помощью соотношений (122) и (101). Формально проблему замыкания в теории
турбулентности можно рассматривать как необходимость в определении связи между T(k, t) и
энергетическим спектром E(k, t). Предположим, что мы имеем такую зависимость. Тогда можно
заметить, что уравнение (121) является уравнением первого порядка относительно времени, для
решения которой необходимо задание начальных условий. То есть нам надо проинтегрировать
уравнение (121) по времени вперед при заданном начальном энергетическом спектре
E (k , 0) = e( k ) ,
(133)
где e(k) – некоторая функция, определяющая начальные значения полной энергии и скорости
диссипации на единицу массы жидкости. Однако, отвлекаясь от обсуждения, заметим, что важная
черта функции e(k) состоит в том, что она совершенно произвольна. Это подчеркивает отличие
проблемы изотропной турбулентности от течения в трубе. Поэтому мы вынуждены полагаться на
то, что с течением времени поведение системы приобретает некоторую универсальность. Другими
словами, мы предполагаем, что турбулентность, будучи возбуждена некоторым произвольным
способом в момент времени t = 0, забывает о своем начальном состоянии с течением времени в тот
момент, когда генерация вихрей обусловлена всецело нелинейными взаимодействиями. Эти
взаимодействия являются общими для всех ситуаций, будучи внутренним свойством исходных
уравнений, поэтому можно ожидать, что поведение системы будет универсальным.
На практике наблюдается именно эта ситуация: автомодельное поведение наблюдается
экспериментально. Мы не будем здесь вдаваться в подробности, а только отметим, что подробное
обсуждение этих вопросов можно найти в работах Бэтчелора (1971), Хинце (1975) и Монина и
Яглома (1975), в том числе и случай решеточной турбулентности.
Однако с нашей точки зрения действительная важность состоит не только в том, что
решеточная турбулентность является изотропной, но и в том, что она содержит в себе
рассмотренные выше свойства независимо от того, как она была создана (т. е. каждый может
построить свою собственную решетку с некоторыми уникальными параметрами), иначе говоря,
эволюционирует к состоянию, которое не зависит от выбора начальных условий.
Мы уже отмечали, что очень легко сформулировать задачу о стационарной турбулентности
для случая течения в трубе. Более того, экспериментальная реализация стационарных условий
является простой задачей, что верно и для ряда других практически важных течений. Но это не так
в случае изотропной турбулентности, если не считать приближенного локального поведения в
течениях, занимающих большой пространственный объем, сравнимый с атмосферой земли или
океаном. Можно, конечно, надеяться на то, что компьютерное моделирование достигнет этого со
временем. Но в настоящее время оценка стационарных параметров турбулентности достигается не
без трудностей. Мы коснемся этого далее, но сначала рассмотрим теоретическую формулировку
задачи.
Образование стационарного изотропного турбулентного поля требует некоторого подвода
энергии, компенсирующего потери вследствие вязкой диссипации. Поэтому естественно ввести
понятие взбалтывающей силы, случайной по природе, которая создает случайное поле скорости в
процессе воздействия на жидкость. Этот шаг оказывается весьма содержательным. Смысл
взбалтывающей силы состоит главным образом в определении турбулентного ансамбля. Но для
наших целей будет достаточно заметить, что выбор этот надо осуществлять весьма осторожно, так
чтобы получить в итоге турбулентное поле, которое является характеристикой уравнений Навье–
Стокса, а не произвольного начального состояния.
Рассмотрим уравнение движения, дополненное случайной силой с компонентами fα(k, t).
Уравнение (91) тогда можно записать
⎛∂
2⎞
⎜ + нk ⎟ uб (k , t ) =
⎝ ∂t
⎠
= M бвг (k )∑ uв ( j, t )uг (k − j, t ) + f б (k , t )
j
,
(134)
где для удовлетворения условию дивергентности поля скорости взбалтывающая сила должна
удовлетворять условию, обобщающему соотношение (88)
k б f б (k , t ) = 0 .
(135)
Заметим также, что взбалтывающая сила (как и другие члены в (134)) должна в действительности
быть силой на единицу массы и поэтому иметь размерность ускорения. Тем не менее, мы будем,
помня это условие, ссылаться на нее как на силу. Можно использовать уравнение (134) для того,
чтобы получить уравнения баланса энергии, как и выше. Для этого умножим каждый член на uα(–
k, t) и усредним. Затем просуммируем по α, умножим на 2 π k2 и, используя выражение (107) для
энергетического спектра, получим
(d / dt + 2нk 2 ) E (k , t ) =
= T (k , t ) + 2рk 2 f б (k , t ) uб (−k , t ) ,
(136)
которое отличается от (121) только наличием члена накачки в правой части уравнения. Для того
чтобы выразить его в явном виде, надо определить природу случайной взбалтывающей силы.
Можно решить эту задачу, взяв за пример броуновское движение. Предположим, что
распределение вероятности этой силы является нормальным (или гауссовым) с автокорреляцией,
подчиняющейся условию
f б (k , t ) fв (−k , t ) = Dбв (k ) w(k , t − t ′)
,
(137)
где Dαβ(k) определено соотношением (101), а функция w(k, t – t′) должна быть определена
дополнительно. Заметим, что форма правой части (137) выбрана таким образом, чтобы
корреляционная функция силы была однородна, изотропна и стационарна. По аналогии с
броуновским движением выберем случайную взбалтывающую силу некоррелированной по
времени. Это означает, что функция w(k, t – t′) должна иметь дельтаобразный вид вблизи t = t′:
w( k , t − t ′) = W ( k )д(t − t ′) .
(138)
Это предположение полезно тем, что даже если в начальный момент корреляция по времени
отсутствует, то вследствие нелинейного взаимодействия в соответствии с уравнением Навье–
Стокса она появится. Для того чтобы задать W(k), мы должны вычислить последний член в правой
части уравнения (136). Рассмотрим очень простое объяснение этой операции. Предположим, что
отклик системы для малых интервалов
|t – t′| определяется функцией Грина g(k, t – t′)
uб (k , t ) = ∫ g (k , t − t ′) f б (k , t ′)dt ′
(139)
где g обладает свойством 〈 g〉 = g, а также
g (k , t − t ′) = 0, t < t ′;
g (k , t − t ′) = 1, t = t ′.
(140)
Первое из условий (140) указывает на то, что причина не может предшествовать следствию, а
второе условие отражает тот факт, что мгновенное изменение скорости по времени определяется
только интегралом от ускорения. Это свойство определяется фактически только функцией g со
свойствами, в которых мы нуждаемся, поэтому подставляя (139) для uα(–k, t), можно записать
член накачки (136) как
2рk 2 f б (k , t )uу (−k , t ) =
= 2р k 2 ∫ g (k , t − t ′) f б (k , t )uу (−k , t ′) dt ′
(141)
где мы использовали соотношение (137) для автокорреляции вместе с соотношением
Tr(Dαβ(k)) = 2. С учетом уравнения (141) уравнение баланса энергии (136) примет вид
(d / dt + 2нk 2 ) E (k , t ) = T (k , t ) + 2рk 2W (k )
(142)
Стационарное состояние достигается тогда, когда член накачки (который выражает
скорость, с которой случайная сила совершает работу над жидкостью) в точности тот же, что и
скорость диссипации энергии за счет вязкости. В этих условиях производная по времени
обращается в ноль, кроме того, представляет большой интерес проинтегрировать оставшиеся
члены по всем k . Требуя в соответствии с (131), чтобы интеграл от T(k, t) по всем k был равен
нулю, что соответствует консервативности нелинейных членов, получим
∫
∞
0
∞
2нk 2 E ( k ) dk = ∫ 4нk 2W (k ) dk = е
0
,
(143)
где последний шаг следует из уравнения (124). Таким образом, в условиях стационарности
автокорреляция случайной силы может быть выражена через скорость диссипации энергии.
Обычная интерпретация уравнения (142) сводится к тому, что энергия системы,
содержащаяся в малых k (большие масштабы), преобразуется с помощью нелинейного члена
T(k, t) в большие k (малые масштабы), где она поглощается вязкими членами. Очевидно, что
нелинейный член, который представляет коллективное воздействие всех мод на моду с волновым
вектором k, является необычайно сложным. Однако вопреки этому общим эффектом от него
является энергетический каскад, который позволяет сформулировать замечательно простую
картину.
Прежде чем обсуждать процесс инерциального переноса, рассмотрим сначала область
волновых чисел, представляющих интерес с этой точки зрения. В случае нижней границы это
очень просто. Наибольшие возможные вихри ограничены размером системы, поэтому наименьшие
волновые числа определяются соотношением
k min = 2р / L ,
(144)
где L – наибольший эффективный линейный размер турбулентной системы. Можно ожидать, что
величина обрезания волновых чисел сверху определяется вязкой диссипацией. Единственные
параметры, определяющие этот эффект, – кинематическая вязкость ν и скорость диссипации
энергии ε, поэтому из соображений размерности можно ввести характеристический масштаб
длины
з = (н3 / е)1/ 4 ,
(145)
и (для удобства в проведении дальнейших выкладок) соответствующий масштаб скорости
v = (не)1/ 4 .
(146)
Величина, обратная выражению (145), принимается в качестве приближенной меры максимально
возможного волнового числа. Назовем ее kd
kd = (е / н3 )1/ 4 .
(147)
Интересно отметить, что если мы определим локальное (по волновому числу) число Рейнольдса на
основе выше определенного масштаба, то получим
R( kd ) = vз /н = 1 .
(148)
Это говорит о том, что вязкие и инерциальные процессы имеют один порядок величины при k ∼ kd.
Важно отметить, что наименьшие волновые числа определяются характером и размерами
конкретной турбулентной системы, в то время как наибольшие – общими свойствами,
описываемыми величинами ν и ε. Таким образом, отношение kd к kmin можно сделать как угодно
большим, в пределе бесконечных чисел Рейнольдса – бесконечно большим. Теперь отметим
следующее: из экспериментов [Тейлор, 1938] известно, что энергия определяется наименьшими
волновыми числами, в то время как диссипация – наибольшими, и что даже при умеренных
значениях числа Рейнольдса эти две области волновых чисел не перекрываются. Таким образом,
отсюда следует, что инерционный член (который связывает эти две области) можно сделать
доминирующим в сколь угодно большой области волновых чисел за счет увеличения числа
Рейнольдса (см. (147)), т. е. уменьшения величины наименьшего (диссипативного) волнового
числа. Этот факт является решающим для описания физики турбулентности, так как он позволяет
нам рассматривать инерционный перенос энергии, не беспокоясь о деталях накачки (при малых k)
или диссипации (при больших k).
Мы начнем обсуждение нелинейного инерциального переноса с рассмотрения уравнения
(91), которое является уравнением Навье–Стокса для Фурье-компонент поля скорости. В этом
уравнении нелинейный член легко интерпретировать следующим образом. Два коэффициента в
разложении Фурье поля скорости с различными волновыми числами j и l = |k – j| связаны вместе
таким образом, чтобы было влияние на коэффициент разложения с волновым числом k. Полный
вклад нелинейных членов определяется суммой по всем таким взаимодействиям. Эта объединение
волновых векторов в триады обычно называется «условием треугольника» и является примером
явления, известного в других областях физики (например, в электронике) как нелинейное
смешение.
Коллективная природа нелинейности ясна. В принципе каждая Фурье-мода поля скорости
связана со всеми другими модами, поэтому мы оказываемся перед очень сложной физической
задачей. В этих условиях естественно искать некоторые упрощающие предположения, которые
будут полезны, если сумма по всем модам будет ограничена некоторым ограниченным
множеством волновых векторов, которое является характерным для этой нелинейности. То есть
нам хотелось бы доказать, что удаленные гармоники слабо связаны и что некоторая мода k будет
эффективно связана с модами j и l, такими, что моды k, j и l имеют один порядок величины.
Другими словами, проводя аналогию, скажем, со спинами на решетке, нам хотелось бы
ограничить сумму только модами, являющимися ближайшими соседями.
Физические основы для такого предположения можно обнаружить, рассматривая действие
нелинейности в конфигурационном пространстве. Взаимодействие двух вихрей можно разложить
(а) на конвективный перенос одного вихря полем скорости другого и (б) на разрушение одного
вихря другим. Первый из названных эффектов приводит только к сдвигу фаз соответствующих
Фурье-коэффициентов и с точки зрения динамики несуществен. Второй эффект приводит к
инерциальной деформации вихрей с передачей энергии к малым масштабам. Если
взаимодействующие вихри сильно отличаются по размерам, то с физической точки зрения весьма
вероятно, что несущественное изменение фазы является основным эффектом. Отсюда один шаг до
утверждения о том, что нелинейное взаимодействие до некоторой степени локально в
пространстве волновых чисел.
Теперь, возвращаясь к уравнению энергии, мы можем интерпретировать нелинейный член
потока энергии между модами с помощью усредненного по многим модам взаимодействия
рассмотренного выше типа. Объединение идеи локальности основных взаимодействий с идеей
осреднения приводит к важному выводу о том, что после ряда подобных шагов энергетический
каскад становится независящим от способа создания турбулентности. Поэтому энергетический
спектр в области больших волновых чисел принимает универсальный вид.
Эти идеи впервые были сформулированы Колмогоровым в двух знаменитых гипотезах
[Колмогоров, 1941 а, б]. Гипотезы Колмогорова являются принципами подобия для
энергетического спектра и могут быть выражены следующим образом.
Во-первых, при достаточно больших волновых числах спектр может зависеть только от
вязкости жидкости, скорости диссипации и собственно волнового числа. Поэтому, из соображений
размерности, энергетический спектр может быть представлен в виде
E (k ) = v 2 з f (kз ) = v 5/4 е1/ 4 f (kз ) ,
(149)
где второе выражение следует из (146) и (147), f – неизвестная функция универсального вида, а
диссипативная длина определена соотношением (145).
Второй принцип подобия состоит в том, что величина E(k) не должна зависеть от вязкости,
когда число Рейнольдса стремится к бесконечности. Легко видеть, что это приводит к тому, чтобы
неизвестная функция имела вид
f (kз ) = б(kз ) −5 / 3 = бн−5 / 4 е 5 /12 k −5 / 3 ,
(150)
где α – постоянная.
Следовательно, после подстановки формулы (150) для функции f(kη) уравнение (148)
запишется
E (k ) = бе 2 / 3 k −5 / 3
(151)
в пределе бесконечного числа Рейнольдса. Полученное распределение называется
колмогоровским, а константа α называется константой Колмогорова. В теоретических работах
часто используется спектральная функция q(k) вместо E(k). Из соображений удобства
воспользуемся соотношением (107) , при этом получим для q(k):
q(k ) = (б / 4р)е2 / 3 k −11/ 3 .
(152)
Для больших, но конечных чисел Рейнольдса можно постулировать существование
инерционной подобласти волновых чисел, таких, что
2р / L
k
kd ,
в которой спектр, задаваемый формулой (151), не зависит от вязкости. При этом можно
переписать соотношение (150) в виде
f (kз ) = б(kз ) −5 / 3 F (k / kd ) ,
(153)
где F – другая универсальная функция, удовлетворяющая условию F(0) = 1, в результате чего
формулу (149) можно записать в виде
E (k ) = бе2 / 3 k −5 / 3 F (k / kd )
(154)
для 2π/L << k, которая асимптотически стремится к выражению (151) в инерционной подобласти
волновых чисел. Для функции F нет общепринятого выражения, но, как мы увидим позже,
экспериментальные данные подтверждают экспоненциальный закон.
Теперь отметим следующее. Различные доводы и гипотезы, представленные в этом пункте,
относятся не только к математической идеализации изотропной турбулентности. Действительно,
обычно утверждается, что, поскольку каскад предшествует очень маленьким масштабам,
преобразование флуктуаций скорости в флуктуации давления (и наоборот) будет приводить к
выделению предпочтительного направления, которое затем сглаживается. Таким образом, при
условии, что рассматриваемые вихри малы по сравнению с некоторой пространственной
неоднородностью течения, можно мыслить себе «локальную изотропию». В этих условиях
(которые опять приводят к тому, чтобы число Рейнольдса было достаточно велико) можно
ожидать, что колмогоровский спектр применим также и к сдвиговым течениям.
Было сделано много попыток вывести замкнутую форму уравнений для энергетического
спектра. Ситуация фактически очень похожа на ту, что была описана в ранее в связи с
уравнениями для одноточечных моментов с аналогичным разнообразием используемых ad hoc
методов. Как и в том случае, понятие об эффективной (или турбулентной) вязкости оказалось
очень популярным. Мы обсудим метод эффективной вязкости Гейзенберга [1948 a, b] в качестве
представительного примера.
Начнем с того, что перепишем уравнение (121) для энергетического спектра в виде
dE ( k , t ) / dt = T (k , t ) − 2нk 2 E (k , t ) =
∞
= ∫ S (k , j , | k − j |)dj − 2нk 2 E ( k , t )
(155)
0
где подробная структура выражения S(k, j, |k – j|) может быть получена из выражения (122), хотя
здесь нам нужно только знать, что оно антисимметрично относительно перестановки символов k и
j. Простейший способ замыкания этого уравнения состоит в том, что T пропорционально E.
Можно привести некоторые оправдание в пользу принятого предположения.
Проинтегрируем каждый член уравнения для спектра до некоторого произвольного волнового
числа k′, тогда
k′
k′
∞
k′
dE
2
∫0 dt dk = ∫0 dk ∫k djS (k , j, | k − j |) − ∫0 2нk E (k , t )dk
,
(156)
где интеграл от S по области 0 ≤ k, j ≤ k′ исчезает (см., например, уравнение (131)). После этого
влияние нелинейного члена в рассмотренном выше уравнении можно проинтерпретировать как
перетекание энергии от мод k ≤ k′ за счет инерциальной передачи к волновым числам k ≥ k′. В
соответствии с этим, если мы хотим смоделировать процесс перетекания энергии по аналогии с
вязкой диссипацией, введем эффективную турбулентную вязкость с помощью предположения о
том, что передача энергии может быть записана следующим образом:
k′
k′
0
0
2
∫ T (k , t )dk = −2н(k ′, t ) ∫ E (k , t )k dk
,
(157)
где ν(k′, t) – кинематическая вихревая вязкость, которая представляет результат интегрирования по
волновым числам от k′ до бесконечности. Это значит, что мы ищем выражение для вихревой
вязкости, которое содержит такой интеграл. Поэтому напишем
∞
ν ( k ′, t ) = ∫ f [ j , E ( j , t )]dj
k′
,
(158)
где неизвестная функция может быть определена с помощью анализа размерности
f [ j , E ( j , t )] = Aj −3/ 2 [ E ( j , t )]1/ 2 ,
(159)
где A = const. Следовательно, вихревая вязкость по Гейзенбергу определяется выражением
∞
н(k ′, t ) = A∫ j −3/ 2 [ E ( j , t )]1/ 2 dj
k′
.
(160)
Эти уравнения были решены только для стационарного случая (см. [Бэтчелор, 1971]). Отметим
только что результирующий спектр сводится к колмогоровскому закону «–5/3» в инерциальной
области волновых чисел, но ведет себя как k–7 в диссипативной области. Как известно, этот
последний закон поведения неправилен, так как экспериментальные результаты показывают, что
энергетический спектр при больших волновых числах спадает экспоненциально, т. е. быстрее
любой степени.
Рассмотрим снова уравнение (121) для энергетического спектра, но на этот раз будем
интересоваться детальной структурой правой части уравнения и иерархией моментов, которая (в
принципе) определяет T(k, t). Из уравнения (122) мы видим, что T(k, t) может быть выражена через
тройную корреляцию, которая в свою очередь может быть определена из уравнения (120) через
момент четвертого порядка. То есть если мы коротко запишем правую часть (120) в виде
(2р/L )3 H бс у (k , l, p; t )
,
(161)
то формально можно записать решение уравнения (120) в виде
Qбсу (k , l, p; t ) =
t
=
∫ ds exp ⎡⎣ − н(k
−∞
2
+ l 2 + p 2 )(t − s ) ⎤⎦ H бсу (k , l, p; s )
.
(162)
На этом этапе мы вводим гипотезу о квазинормальности [Прудман и Рид, 1954], [Тацуми, 1957],
которая утверждает, что все моменты четного порядка связаны так же, как и для нормального
распределения.
Заметим, что предположение о квазинорамальности значительно более слабое
утверждение, чем утверждение о нормальности поля скорости, которое нефизично, поскольку не
согласуется с существованием тройной корреляции, которая, как мы видели, ответственна за
передачу турбулентной энергии. Напротив, предположение о квазинормальности очень хорошо
подтверждается экспериментально [Френкель, Клебанов, 1967], [Ван Атта, Чен, 1969], [Ван Атта,
Чен, 1970], [Френкель, Клебанов, 1973], так как наблюдается именно эта связь между
корреляциями четного порядка, если пренебречь небольшим разбросом измеряемых результатов.
Гипотеза квазинормальности использована для замыкания иерархии уравнений, так как
позволяет выразить моменты четвертого порядка в правой части уравнения (120) через
произведение моментов второго порядка. Если мы обозначим момент четвертого порядка через
〈 1, 2, 3, 4〉 , то для нормального распределения получим
1, 2,3, 4 = 1, 2 3, 4 + 1,3 2, 4 + 1, 4 2,3 .
Применение этого соотношения к каждому из моментов четвертого порядка в правой части
уравнения (120) приводит к появлению девяти таких произведений моментов второго порядка –
степень алгебраической сложности, которая может показаться слишком большой. Однако на
практике, наоборот, это обстоятельство не является таким уж плохим, как может показаться на
первый взгляд. Не трудно видеть, что три таких члена обращаются тождественно в ноль. А из
шести оставшихся два члена можно объединить в один, как в конечном счете и четыре других,
оставляя только два члена в конце вычислений. Начать можно с первого члена в правой части
(120):
(2р / L)6 H бсу (k , l, p; t ) =
= M бвг (k )∑ uв ( j, t )uг (k − j, t )uс (l, t )uу (p, t ) +
j
+{k ↔ l; б ↔ с} + {k ↔ p; б ↔ у}
(163)
Если мы факторизуем квадрупольный момент в соответствии с нашими гипотезами, то получим
uв ( j, t )uг (k − j, t )uс (l, t )uу (p, t ) =
= uв ( j, t )uг (k − j, t ) uс (l, t )uу (p, t ) +
+ uв ( j, t )uс (l, t ) uг (k − j, t )uу (p, t ) +
+ uв ( j, t )uу (p, t ) uг (k − j, t )uс (l, t )
(164)
Теперь воспользуемся условием однородности для моментов второго порядка (см. соотношение
(98)):
• • В первом произведении из условия однородности j – k – j = 0 следует k = 0. Но
Mαβγ(k) = 0 для k = 0, поэтому этот член равен нулю.
• • Во втором произведении условие однородности имеет вид k + l + p = 0.
• • В третьем k + l + p = 0.
Следовательно, суммируя по j (т. е. заменяя j на –l во втором произведении и на –p в третьем),
пользуясь соотношением (100) для тензора парных корреляций и условием симметрии оператора
инерционной передачи относительно перестановки последних двух индексов, мы преобразуем
предыдущее выражение первого члена в правой части уравнения (163) к виду
2(2р / L)6 M бвг (k ) Qвс (l )Qгу (p ) .
Можно применить тот же метод к другим моментам четвертого порядка, при этом из (163)
получим
H бсу (k , l, p; t ) = M бвг (k )Qвс (l )Qгу (p ) +
+{k ↔ l; б ↔ с} + {k ↔ p; б ↔ у}
(165)
Теперь можно получить замкнутую форму для T(k, t). Однако сначала мы заметим,
вспоминая (122), что нам нужно знать Qβγα(j, k – j, –k, t) и, следовательно, Hβγα(j, k – j, –k, t). Делая
перестановки, аналогичные (165), получим
H бсу (k , l, p; t ) = M бвг (k )Qсв ( j)Qуг (k − j) +
+{−k ↔ j; б ↔ в} + {k ↔ k − j; б ↔ г}
(166)
На этой стадии ограничимся изотропным случаем, т. е. воспользуемся уравнением (102) для того,
чтобы выразить спектральный тензор через операторы проектирования и скалярную спектральную
плотность Q(k, t). В соответствии с этим, выражая рассмотренное выше соотношение в
изотропном виде и подставляя в (122), можно T(k, t) переписать в виде
T ( k , t ) = ∫ dj∫ ds exp { н(k 2 + j 2 + | k − j |2 )(t − s )} ×
t
−∞
×4р k 2 [2 M бвг (k ) M бсу (−k ) Dсв ( j) Dуг (k − j) +
+{−k ↔ j; б ↔ в} + {k ↔ k − j; б ↔ г}]
(167)
Это выражение можно упростить еще, замечая, что при интегрировании по j переменная k – j
может быть заменена на j. Так в последнем члене уравнения (167) мы можем заменить k – j на j.
Алгебраические подробности можно найти в [МакКомб, 1990], где показано, что (167)
сравнительно просто приводится к
T (k , t ) =
= 4р k 2 ∫ dj∫ ds exp { н(k 2 + j 2 + | k − j |2 )(t − s )} ×
t
−∞
×2 L(k , j)Q(| k − j |, s ) [Q ( j , s ) − Q ( k , s ) ]
(168)
где
L(k , j) =
= − M бвг (k ) M бсу (−k ) Dсв ( j) Dуг (k − j) =
= 2 M свг (k ) M всу ( j) Dуг (k − j) =
=
[м(k 2 + j 2 ) − kj (1 + 2м2 ](1 − м2 )kj
k 2 + j 2 − 2kjм
(169)
а μ – косинус угла между векторами k и j. Формально уравнение (121) дает замкнутое уравнение
для энергетического спектра, если в него подставить выражение (168) для T(k, t). Однако для того
чтобы быть последовательными и подтвердить то, что получается обычно на практике, мы будем
работать в терминах спектральной плотности Q(k, t). Поэтому подставим (168) в (121), разделим
обе стороны на 4πk2 и, используя обобщение уравнения (107) для введения спектральной
плотности в левой части уравнения, получим замкнутое приближение, основанное на гипотезе
квазинормальности:
[d / dt + 2нk 2 ]Q( k , t ) =
t
= 2 ∫ dj∫ ds exp ⎡⎣ − н(k 2 + j 2 + | k − j |2 )(t − s ) ⎤⎦ ×
−∞
× L(k , j)Q (| k − j |, s ) [Q ( j , s ) − Q (k , s )]
(170)
Если положить, что Q(k, t) задано при t = 0, уравнение (170) можно проинтегрировать по
времени для случая свободно затухающей турбулентности. К сожалению, вопреки очевидной
обоснованности природы основных предположений, при численном решении (170) ([О’Брайен,
Френсис, 1962], [Огура, 1963], критический обзор [Орзаг, 1970]) было получено, что Q(k, t)
становится отрицательной при некоторых значениях волнового числа k. Конечно, не видно
причин, почему бы приближенной теории не нарушать в некоторой малой степени применимость
начальных предположений. Но проблема квазинормальности состоит в том, что полученный
эффект не является малым.
Это рассмотрение квазинормальности представляет не только исторический интерес. При
выводе уравнения (170) мы воспользовались алгебраическими выкладками, которые многие
исследователи считают слишком пугающими, при столкновении с современными
аппроксимациями в проблеме замыкания. Таким образом, результат будет полезным в
дальнейшем изложении.
Ранее мы ввели одномерный спектр E11(k1), который определен на интервале –∞ ≤ k1 ≤ ∞ и
связан со среднеквадратичной скоростью соотношением (112). На практике экспериментатор
часто использует функцию Φ(k1), которая определена на интервале 0≤ k1 ≤ ∞ и удовлетворяет
условию
∞
∫ Φ (k )dk
1
0
1
= u12
.
(171)
Очевидно, что Φ(k1) равна удвоенной E11(k1), но ради простоты будем следовать практике
экспериментаторов при представлении результатов.
Рис. 7. Измеренные одномерные спектры для широкого диапазона
чисел Рейнольдса и физических ситуаций: ▼ – Стюарт и Таунсенд (1951), ■ – Уберой и Фреймут (1969), ▲–
Комте-Беллот и Коррзин (1971), ◄ – Чампэйн, Харрис, Коррзин (1970), ► – Лауфер (1954),
Ò – Уберой и Фреймут (1969), ● – Коантиц и Фавр (1974),
Ü – Грант и др. (1962)
На рис. 7 представлены экспериментальные данные для Φ(k1), полученные из многих
отличающихся друг от друга экспериментальных ситуаций: от лабораторных исследований в
аэродинамических трубах до классических морских исследований Гранта и др. (1962) в каналах с
приливом и отливом. Поскольку физические источники данных столь различны (а мы
интересовались только мелкомасштабной структурой), то каждая совокупность данных
характеризовалась числом Рейнольдса Rλ, определяемого по микромасштабу Тейлора:
R л = лu / н ,
(172)
где u – среднеквадратичная скорость, ν – кинематическая вязкость, а микромасштаб Тейлора
определен соотношением (79). Можно видеть, что спектры построены в переменных Колмогорова,
определенных формулами (146) и (147) и построены относительно безразмерной переменной k/kd.
Ясно, что спектры при больших волновых числах сходятся к универсальной кривой,
подтверждая тем самым первую гипотезу Колмогорова о подобии, которая подытожена
соотношением (149). С ростом числа Рейнольдса также видно, что спектры демонстрируют
увеличение области (по волновым числам) универсального поведения с тенденцией
асимптотического отхода от закона k–5/3 (предсказанного во второй гипотезе подобия
Колмогорова: см. (149)) при малых волновых числах. Таким же образом можно отметить, что
постоянная асимптота каждого спектра при малых волновых числах – это в чистом виде артефакт,
возникающий как следствие одномерности спектра, который является неполным отображением
трехмерного спектра. С точки зрения физики это означает, что часть Φ(k1), относящаяся к малым
k, подвержена сильному влиянию выравнивания от больших волновых чисел, движущихся под
углом к оси x1 (см. [Теннекес, Ламли, 1972]).
Константа пропорциональности α в спектре Колмогорова долгое время была целью
теоретических предсказаний, поэтому ее экспериментальная величина так важна. Для начала
заметим [Бэтчелор, 1971], что из колмогоровского спектра следует
E11 (k1 ) =
9 2 / 3 −5 / 3
бе k1
55
.
(173)
Требуя, чтобы Φ(k1) равнялось удвоенному E11(k1), убеждаемся, что измерение спектральной
функции
−5 / 3
Φ ( k1 ) = б1 е 2 / 3 k1
(174)
показывает, что константа (151) определяется соотношением
б=
55
б1
18 .
(175)
Результаты Гранта и др. (1962), которые можно рассматривать как наиболее надежные,
дают α1 = 0,47 ± 0,02. Следовательно, α = 1,44 ± 0,06. Другие исследования дают несколько
отличный результат, но все исследователи в этой области утверждают, что величина этой
постоянной находится вблизи 1.5.
Однако это согласие не является единодушным. Кречнан (1966) показал, что постоянная
зависит о того, где выбирается граница между инерционной и диссипативной областями. Обычно
она определяется соотношением k = 0,1 kd, но, как видно на рис. 7, это иногда трудно сделать
достаточно аккуратно. Очевидно, мы можем сделать это с аналитическим видом, который можно
хорошо подобрать в обеих областях волновых чисел. Были предложены различные модели и связи
для достижения этой цели. Вероятно, наиболее известная из них – это аппроксимация Пао (1965).
Существенно, что аргументы Пао заключались в том, что скорость, с которой энергия
передается в пространстве волновых чисел, имеет ту же зависимость от вязкости, что и
энергетический спектр. Так отношение этих двух величин не зависит от вязкости: это верно в
инерционной области (в колмогоровском представлении) и, следовательно, в этой области
получается закон Колмогорова «–5/3». Если эту гипотезу распространить на область диссипации,
то получим, что выражение (154) перейдет в
E (k ) = бе 2 / 3 k −5 / 3 exp {−(3/ 2)(k / kd ) 4 / 3 }
,
(176)
которое, как показывает рис. 7, очень хорошо согласуется с экспериментом. Это основное
предположение в работе Пао оказалось совершенно не оценено и не представлено здесь в качестве
спектральной теории (хотя были сделаны попытки ее усовершенствовать [Пао, 1968], [Теннекес,
1968], [Лин, 1972] или распространить ее на малые волновые числа [Дрискол, Кеннеди, 1983]).
Существенно, что это оказался хороший путь анализа экспериментальных результатов. А с нашей
точки зрения наиболее заслуживает внимания в этом анализе способ, с помощью которого он
привлекает внимание к тому факту, что величина α, большая 2,2 (или возможно еще больше), не
совместима с данными: см., в частности, [Гибсон и др., 1970].
4. Перенормировочная теория возмущений
В этом пункте мы будем обращаться с проблемой замыкания моментов в теории
турбулентности очень специфично. Начнем с общего формализма, часто называемого «лямбдаразложением», а затем продолжим рассмотрение конкретных теорий. Эти теории разделены на два
класса. Сначала рассмотрим теории, которые несовместимы с колмогоровским распределением
энергии по волновым числам, а затем те, которые совместимы.
Начать можно с того, что методы, которые мы обсуждаем, впервые появились в теории
многих тел статистической физики. Для того чтобы дать представление об общем методе,
рассмотрим случай реального газа, который лишь слегка неидеален. Очевидно, существует
искушение представить это как возмущение идеального газа, в котором составляющие его
частицы не взаимодействуют друг с другом. В микроскопической физике основной величиной,
позволяющей нам вычислить статистическую сумму, является гамильтониан. Из статистической
суммы находятся макроскопические свойства системы. Для идеального газа гамильтониан может
быть записан как в виде суммы гамильтонианов отдельных частиц, т. е.
N
H ideal = ∑ H i
i =1
,
(177)
где Hi – гамильтониан отдельной частицы, а суммирование проводится по N частицам,
составляющим систему.
Теперь предположим, что реальный газ имеет гамильтониан, который может быть записан
в виде
N
N
i =1
i, j
H real = ∑ H i + ∑ H i j
,
(178)
где первый член есть сумма индивидуальных кинетических энергий частиц, а второй – потенциал
двухчастичного взаимодействия (кулоновский или леннард-джонсоновский). В этом случае общая
стратегия в теории многих тел состоит в попытке заменить взаимодействующие частицы на
представительные квазичастицы, которые уже не взаимодействуют и могут быть описаны
одночастичными гамильтонианами:
N
H real = ∑ H i′
(179)
i =1
Проблема теперь состоит в том, чтобы определить квазичастицы, для чего существует
много эвристических методов, каждый из которых приспособлен к конкретной физической
проблеме. Например, в случае колебаний решетки можно заметить, что переход от функции (178)
к функции (179) равносилен диагонализации гамильтониана, в соответствии с чем удобно
работать в терминах нормальных мод. Однако в общем случае существует только один метод,
который является развитием теории возмущений и иногда называется λ-разложением.
Перепишем уравнение для гамильтониана реального газа, введя параметр λ:
N
N
i =1
i, j
H real = ∑ H i + л∑ H i j
(180)
с целью отметить порядок членов в разложении, который полагается равным 1 в конце
вычислений. Другими словами, λ играет роль параметра разложения в теории возмущений. Но
поскольку он не мал, он не является критерием для обрыва ряда в каком-то конкретном порядке.
Тем не менее, продолжая этот пример из микроскопической физики, следующий шаг – это
выражение для конфигурационной части статистической суммы
N
⎛
⎞
Z = V − N ∫ d N x exp ⎜ − л( k BT ) −1 ∑ H i j ⎟
i, j
⎝
⎠.
(181)
Экспонента разлагается в ряд по степеням λ, которая полагается в конце вычислений равной
единице. Практическая трудность вычисления коэффициентов разложения связана с природой
потенциала взаимодействия. Но общая стратегия состоит в том, чтобы изучить и
классифицировать члены в каждом порядке – часто с помощью графиков или диаграмм для
упрощения выявления топологических свойств – и найти способ суммирования членов некоторого
вида во всех порядках по λ. Получение таких частичных сумм часто сопровождается введением
эффективных масс или эффективных зарядов. Подобные подходы могут быть использованы и в
турбулентности, но здесь перенормированная величина – это эффективная вязкость.
Турбулентность не является гамильтоновой системой, хотя можно сформулировать задачу
с помощью лиувиллиана, чтобы подчеркнуть сходство с микроскопическими теориями,
рассмотренными выше. Однако обычно работают непосредственно с уравнениями Навье–Стокса,
с моментами поля скорости, что мы и будем делать далее.
Рассмотрим уравнения Навье–Стокса в форме (134), но теперь введем параметр λ в
нелинейный член
⎛ ∂
⎞
+ нk 2 ⎟ uб ( k , t ) =
⎜
∂
t
⎝
⎠
= л M бвг ( k )∑ uв ( j, t )uг ( k − j, t ) + f б ( k , t ).
(182)
j
Мы напоминаем, что параметр λ равен единице и используется только для упорядочения членов
разложения. Сам по себе этот параметр не может быть использован для оправдания обрывания
ряда. В соответствии с этим (182) в точности совпадает уравнением (134).
Это уравнение содержит силу, которая определена так же, как и ранее. Мы требуем, чтобы
взбалтывающая сила удовлетворяла условию (135) и имела гауссовское распределение
вероятности, автокорреляция которого задается соотношением (137). Во всем остальном она
произвольна. Формулировка проблемы турбулентности основана на предположении о том, что
нелинейное взаимодействие, индуцированное уравнением (182), будет приводить к
универсальному турбулентному полю скорости независимо от природы взбалтывающей силы.
Однако существо проблемы турбулентности в том, что результирующее поле скорости при этом
оказывается заметно негауссовским.
Это обстоятельство создает сложности в теории турбулентности. Для того чтобы решить
проблему замыкания, нужно получить соотношения между моментами разных порядков. Но, к
сожалению, это можно сделать только для нормального (гауссовского) распределения. Мы уже
видели, что гипотеза квазинормальности, которая предполагает связь между моментами
четвертого и второго порядков, не работает. Очевидно, надо соблюдать осторожность
относительно способа, с помощью которого турбулентное поле можно рассматривать как
возмущение нормального процесса. Конкретный путь реализации этих представлений отличает
одну теорию турбулентности от другой. Можно обеспечить условия, в которых легко обсуждать
различные подходы, если изложить сначала некоторый общий формализм. Мы сделаем это
следующим образом.
Рассмотрим уравнения Навье–Стокса при λ = 0, т. е. мы проводим мысленный
эксперимент, в котором жидкость приводится в движение взбалтывающей силой, но нелинейные
члены отключены. В этих условиях отклик жидкости определяется кинематической вязкостью, так
что решение (182) можно записать в виде
t
uб(0) (k , t ) =
∫ dt ′ exp{− н k
0
−∞
2
(t − t ′)} f б (k , t )
,
(183)
где верхний индекс «0» указывает на то, что поле скорости является решением уравнений Навье–
Стокса при λ = 0.
Желая свести математические сложности к минимуму, рассмотрим основную идею,
которая заключается во введении очень простой формы записи. Представим (183) в виде
u( 0 ) = G ( 0 ) f ,
(184)
где G(0) – функция Грина exp{–ν0 k2 (t – t′)}. Здесь и далее мы будем использовать целые числа для
того, чтобы отличать поля.
Из последнего уравнения, а также из определения взбалтывающей силы следует, что поле
(0)
u имеет нормальное распределение, поэтому его моменты удовлетворяют ряду соотношений. Вопервых, все нечетные моменты равны нулю:
u (0) (1)u (0) (2)...u (0) (n) = 0, n = 2m + 1
.
(185)
Теперь если скомбинировать свойство однородности с факторизацией гауссовских моментов
четного порядка, то получим
u (0) (1)u (0) (2) = д 12Q (0) (1)
,
(186)
u (1)u (2)u (3)u (4) =
(0)
(0)
(0)
(0)
= д12 д 34Q (0) (1)Q (0) (3) +
+ д 13д 24Q (0) (1)Q (0) (2) + д 14 д 23Q (0) (1)Q (0) (2),
(187)
где целые числа 1, 2, ..., n соответствуют волновым числам k1, k2, …, kn, а Q(0) – очевидное
обобщение записи момента второго порядка (или спектральной плотности) для поля нулевого
приближения.
Мы можем завершить наш мысленный эксперимент включением нелинейных членов,
скажем при t = –∞. Влияние нелинейных членов выражается, благодаря нелинейному
перемешиванию, в том, что все моды нулевого приближения оказываются связанными в
результирующем поле u(k). И, конечно же, u(k) сильно отличается от гауссовского распределения.
Можно выразить это математически, выписав выражение для результирующего поля с
помощью ряда теории возмущений:
u (k ) = u (0) (k ) + лu (1) (k ) + л 2 u (2) (k ) + ...
(188)
В этом разложении только результирующее поле и поле нулевого приближения имеют ясный
физический смысл. Другие члены u(1), u(2), … являются членами высшего порядка и могут быть
выражены итеративно с помощью поля нулевого приближения. Они могут быть вычислены
подстановкой выражения (188) в уравнение (182) и приравниванием членов одного порядка по λ.
В результате:
u (1) = G (0) Mu (0) u (0) ,
u
u
(2)
(3)
(189)
= 2G Mu G Mu u ,
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(190)
= 4G Mu G Mu G Mu u
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
+
+G MG Mu u G Mu u .
(191)
и так далее.
Если подставить эти члены обратно в уравнение (188), то можно проинтерпретировать
разложение на основе порядка сложности связи мод. С точки зрения наших предварительных
замечаний относительно проблем описания на микроуровне систем типа неидеального газа
интересно отметить, что имеется сходство между написанным выше разложением и, скажем,
кластерным вириальным разложением. Однако, с нашей точки зрения, уравнение (188) с учетом
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(189) – (191) и остальных порядков дает общее выражение для точного (негауссового) поля
скорости с помощью гауссового поля нулевого приближения.
Можно подчеркнуть этот аспект, записывая выражение для моментов второго порядка. В
нашей скелетной системе записи Q(k) = 〈 u(k) u(–k)〉 , поэтому, подставляя выражения из
предыдущего уравнения и выполняя усреднение, получим
Q(k ) = Q(0) + G (0) MMQ(0) Q(0) + O(л 4 ) .
(192)
Это наша общая форма для точных моментов второго порядка (спектральной плотности),
выраженных чрез моменты нулевого приближения. Если бы λ было малым, то можно было бы
оборвать правую часть (192) на некоторых подходящих членах, как делается в обычной теории
возмущений. Однако на некоторой стадии следует положить λ = 1, и в этих условиях может не
быть оправдания для обрывания ряда на членах низкого порядка. Если мы и знаем что-либо об
этом ряде, так это то, что он в высшей степени расходящийся. В следующем пункте рассмотрим
способ, с помощью которого может быть достигнута перенормировка.
В этом пункте техника перегруппировки и частичного суммирования, используемые в λразложении в микроскопической физике, применена к ряду теории возмущений в уравнениях
Навье–Стокса. Впервые это было сделано Уайлдом (1961), который предложил анализ скалярного
аналога этих уравнений, который позже был обобщен Ли (1965) на трехмерные уравнения Навье–
Стокса, а также на уравнения магнитной гидродинамики. Дадим здесь лишь некоторое
представление об этой технике, полное описание которой наряду с обоснованием некоторых
аспектов можно найти в различных изданиях [МакКомб, 1990]. Однако краткое изложение
предпочтительно, по сравнению с длинным перечислением ограничений, если мы хотим увидеть,
как возникают перенормированные величины в самом общем виде.
Начнем со смены терминологии. Будем называть Q(0) и G(0) корреляцией и пропагатором в
нулевом порядке соответственно. Оправдание названия последней величины связано с тем, что
функция Грина дает зависимость от времени для поля скорости в отсутствие нелинейных
эффектов, а также отклик на внешнюю силу в соответствии с уравнением (183). Очевидно, мы
хотим определить точные (перенормированные) корреляцию и пропагатор. Способ, которым это
будет сделано, принадлежит больше к топологии, чем к физике.
Если мы рассмотрим ряд теории возмущений для поля скорости (188) с учетом
соотношений (189) – (191), то, как мы уже замечали, он может быть интерпретирован с точки
зрения разложения по сложности членов. Очевидно, что это – топологическое свойство, поэтому
введем диаграммное представление разложения для прояснения топологического аспекта.
Сделаем это, если установим соответствие между математическим выражением членов и
элементами диаграмм следующим образом:
сплошная линия ↔u(0)
пунктирная линия ↔G(0)
точка (вершина) ↔M .
(193)
Используя эти обозначения, можно записать ряд теории возмущений (188) в диаграммной
форме, как показано на рис. 8.
Рис. 8. Диаграммы, соответствующие членам ряда
теории возмущений (188) для поля скорости
Хотя мы не отмечаем на диаграммах волновые числа, но следует заметить, что три
элемента всегда встречаются в вершине, в которой всегда выполняются законы сохранения.
Поэтому мы считаем, что волновое число слева от вершины равно сумме волновых чисел двух
элементов справа.
Наш следующий шаг нацелен на то, чтобы из этих элементов получить диаграммное
разложение для точной корреляции. Другими словами, нам хотелось бы иметь диаграммное
разложение для точной корреляции Q, выраженное через элементы Q(0), G(0) и вершину M. Все, что
нам нужно – это графический эквивалент факторизации моментов четного порядка в виде
произведений парных корреляций.
На самом деле способ, которым мы это сделаем, очень прост. Расположим любые пары
диаграмм ветвями друг к другу, а затем соединим все полностью независимые сплошные линии
так, чтобы соединить две диаграммы всеми возможными способами и отметим, что две скорости
связаны с помощью крестика, который помещается в точке соединения. Численный множитель
получается умножением каждой диаграммы на число способов, с помощью которых соединение
линий дает одну и ту же диаграмму. Этот процесс проиллюстрирован на рис. 9, где мы показали
диаграммы нулевого порядка и два примера диаграмм второго порядка.
Таким способом можно написать полное разложение для точной парной корреляции до
любого порядка по параметру итераций. Следующий шаг состоит в поиске путей суммирования
этих членов во всех порядках. Следуя Уайлду, введем перенормированные диаграммные элементы
следующим образом:
жирная сплошная линия
жирная пунктирная линия
↔u
↔G
кружок
↔о
точная скорость
перенормированный
пропагатор
перенормированная
вершина.
Рис. 9. Примеры процедуры осреднения с полем нулевого порядка,
приводящей к диаграммам разложении Qαβ(k; ω, ω′)
Отсюда следует, что в диаграммном обозначении точная парная корреляция – это две
жирных сплошных линии, соединенных крестиком.
Тем не менее подчеркнем, что мы не пользуемся этими элементами в данном изложении.
Мы вводим их только для того, чтобы объяснить основную идею. Будем снова следовать Уайлду,
и разделим проблему на две части. Снова привлекаемые идеи являются топологическими, и
основаны на классификации диаграмм на два типа: класс А и класс B. Поэтому с целью
напоминания временно сохраним полные обозначения и запишем точную парную корреляцию в
виде суммы отдельных вкладов от двух типов диаграмм, а именно:
Qбв (k ; щ, щ′) = Qбв (k ; щ, щ′) A + Qбв (k ; щ, щ′) B
, (195)
где ω, ω′ – угловые частоты, связанные с помощью преобразования Фурье с временами t, t′. Теперь
мы рассмотрим по очереди два типа диаграмм.
Класс А диаграмм: перенормированный пропагатор
Класс А диаграмм определен как такие диаграммы, которые можно расщепить на две
части, разрезая одну независимую Q(0) линию. Если мы взглянем на первую (нулевого порядка)
диаграмму на рис. 9, то она как раз удовлетворяет определению диаграмм класса А. Ясно, что ее
можно интерпретировать с помощью уравнения (184) следующим образом:
u (0) u (0) = G (0) f G (0) f = G (0) G (0) w
,
(196)
где последний шаг следует из (137), а w – спектральная функция взбалтывающей силы.
Переходя ко второму порядку мы видим, что вторая диаграмма на рис. 9 не удовлетворяет
критерию для диаграмм класса А, а третья – удовлетворяет. И хотя мы не показываем это, каждый
легко может убедиться в том, что должно быть зеркальное отображение такой диаграммы, давая
две диаграммы класса А во втором порядке. Первая из них (которая показана) может иметь свою
Q(0) линию слева, представленную в виде произведения G(0)G(0)w, в то время как вторая такая
диаграмма может иметь независимую Q(0) линию справа, факторизованную аналогичным образом.
Таким образом, во втором порядке имеется две группы диаграмм класса А, в которых спектр
взбалтывающей силы появляется вместе с G(0) то с одной стороны, то с другой. Если мы будем
поступать таким образом с диаграммами класса А, то можем написать
Qбв (k ; щ, щ′) A = G (k , щ)G (k , щ′) w(k ; щ, щ′)
,
(197)
где G(k, ω) – перенормированный пропагатор, равный сумме всех порядков соответствующим
образом модифицированных диаграмм класса А.
В этом месте следует заметить для дальнейшего, что подход Уайлда не является самым
общим. Фактически шаг, рассмотренный выше, эквивалентен утверждению, что точный
пропагатор определен системой откликов на взбалтывающую силу.
Класс В диаграмм: перенормированый ряд теории возмущений
В класс В диаграмм входят все те диаграммы, которые не попадают в класс А. Вернемся
опять к рис. 9. Первая из диаграмм второго порядка не может быть разделена на две части
разрывом одной Q(0) линии и поэтому является примером диаграмм класса В, которых во втором
порядке имеется только одна.
Теперь рассмотрим идеи, используемые при работе с диаграммами класса А. Мы уже
отмечали, что некоторые диаграммы соединены подобно G(0) и, следовательно, являются
пропагатороподобными, поэтому просуммируем их все для получения перенормированного
пропагатора G. Из чисто топологических соображений следует, что можно перенормировать
голую вершину, добавляя все диаграммы, соединенные подобно вершине.
Можно сформулировать общий алгоритм для этих процессов следующим образом:
1. 1. Выделим все диаграммы, которые не могут быть сведены к диаграммам низшего порядка
заменой частей этих диаграмм.
2. 2. Назовем иx неприводимыми диаграммами.
3. 3. Заменим все голые элементы в неприводимых диаграммах на их перенормированную
форму.
4. 4. Выпишем все эти модифицированные диаграммы по порядку, получив таким образом
перенормированный ряд теории возмущений.
Для полноты картины покажем результаты подобной процедуры, проведенной до
четвертого порядка на рис. 10, куда мы включили также диаграммы, полученные из диаграмм
класса А ранее.
Рис.10. Диаграммы, соответствующие интегральному уравнению для Q(k; ω, ω′)
В этом пункте рассмотрим те теории турбулентности, которые принадлежат к классу
перенормируемых теорий второго порядка и которые не дают колмогоровский спектр в качестве
решения при больших числах Рейнольдса. Большую часть места отведем исторически важным
теориям, которые были призваны сыграть большую роль в рассматриваемой области
исследования. Мы обратимся к приближению прямых взаимодействий DIA Кречнана (1958), к
теории Эдвардса фоккер-планковского типа EFP (1964) и к теории самосогласованного поля
Геринга (1965).
Методика DIA была развита в ряде статей, закончившихся общей формулировкой в 1958
году. Ключевым моментом этой теории было введение функции бесконечно малого отклика G$ .
Предположим, что взбалтывающая сила подвергнута флуктуации вида f → f + δf, вводящей таким
образом соответствующую флуктуацию в поле скорости u → u + δu, тогда для малых δf, δu
линеаризованный отклик системы можно записать как
t
дuб (k , t ) = ∫ dp ∫ dt ′G€бв (k , t ; p, t ′)дf12 (p, t ′)
−∞
где
G€бв (k , t , p, t ′)
,
(198)
– тензор бесконечно малого отклика.
Уравнение для G$ можно получить линеаризацией уравнений Навье–Стокса для малой
добавки. Очевидно, что G$ будет флуктуировать от реализации к реализации, поэтому мы вводим
G€ = G€
средний по ансамблю отклик в виде
, при этом, используя пространственную
однородность, результат можно записать в диагонализированной форме:
t
дuб (k , t ) =
∫ dt ′G€
бв
(k ; t , t ′)дfв (k , t ′)
−∞
.
(199)
Здесь и далее мы следуем процедуре, описанной выше. Сначала делаем λ-разложение,
затем заменяем каждое выражение нулевого порядка для Q(0) и G(0) на ренормализованные Q и G
соответственно, обрывая на втором порядке по λ и полагая λ = 1. Для изотропного случая
результирующие уравнения для Q и G имеют вид:
⎛ ∂
⎞
+ нk 2 ⎟ G ( k ; t , t ′) +
⎜
⎝∂ t
⎠
t
+ ∫ dj∫ dsL(k , j)G ( j; t , s ) ×
t′
×G (k ; s, t ′)Q(| k − j |; t , s ) = д(t − t ′)
(200)
⎛ ∂
⎞
+ 2нk 2 ⎟ Q(k ; t , t ′) −
⎜
⎝∂ t
⎠
⎧ t′
⎫
⎪ ∫ dsG (k ; t ′, s )Q( j; t , s )Q(| k − j |; t , s ) − ⎪
⎪
⎪
− ∫ djL(k , j) ⎨ −∞ t
⎬=
⎪− dsG ( j; t , s )Q(| k − j |; t , s )Q(k ; t ′, s ) ⎪
⎪ ∫
⎪
⎩ −∞
⎭
t′
=
∫ dsG (k ; t ′, s)w(k ; t , s)
−∞
(201)
Ранее мы встречали коэффициент L(k, j) в связи с теорией квазинормальности,
определенный соотношением (169). Фактически это тот самый коэффициент, который появляется
почти во всех перенормированных теориях второго порядка в изотропном случае.
Теория Кречнана DIA рассматривалась как большое продвижение вперед, как
существование физически осмысленного модельного представления, так как при интегрировании
по времени вперед она давала гарантированно положительный спектр, устраняющий катастрофу,
связанную с гипотезой квазинормальности.
Кречнан показал, что уравнения DIA обладают свойством сохранения энергии в
нелинейных взаимодействиях; при применении к ансамблям в состоянии абсолютного равновесия
эти уравнения дают равнораспределенные решения (т. е. дисперсия скорости не зависит от
волнового числа) наряду с флуктуационно-диссипативным соотношением (т. е. функция отклика
равна дисперсии как функции от времени). Как отмечал Кречнан, это дает статистическую основу
для переноса энергии от сильно возбужденных мод к слабо возбужденным модам. В реальных
случаях, когда жидкость обладает конечной вязкостью, это означает перенос энергии от малых
волновых чисел к большим.
Однако в случае больших чисел Рейнольдса модель DIA в инерционной области давала
спектр, пропорциональныый k–3/2, а не экспериментально подтвержденный k–5/3 спектр
Колмогорова. Этот результат стимулировал поиски теории, способной предсказывать
колмогоровский спектр, который бы сохранял лучшие черты модели DIA. Кроме того, этот
результат стимулировал также интерес к исследованию воздействия больших вихрей на
декоррелирующий процесс (sweeping), обусловленный мелкими вихрями (см. обсуждение далее).
Как было отмечено ранее, формулировка проблемы с помощью характеристических
функционалов (или через распределение вероятности) математически эквивалентна формулировке
проблемы с помощью моментов. Однако в первом случае линейность исходных уравнений дает
некоторые преимущества, которые были использованы Эдвардсом в смелой попытке применить
теорию броуновского движения.
Следуя работе Эдвардса (1964), определим турбулентный ансамбль заданием
взбалтывающей силы. Примем, что взбалтывающая сила является случайной с
мультидисперсионным нормальным распределением, автокорреляция которой дается выражением
(138), чтобы быть уверенным в полной некоррелированности силы по времени. Усредненная
функция распределения вероятностей флуктуирующей скорости (P) получается с помощью
усреднения по ансамблю, определяющему распределение вероятностей взбалтывающей силы, что
позволяет получить уравнение для P. Это уравнение является обобщением уравнения Лиувилля,
при использовании которого возникают нетривиальные проблемы из-за того, что взбалтывающая
сила явно входит в это уравнение. Эта проблема аналогична вычислению перекрестной
корреляции скорости и силы, которую мы рассматривали ранее. Более общая трактовка этой точки
зрения [Эдвардс, 1964; Новиков 1965] приводит к следующему уравнению для P:
⎡
∂
⎤
+ нk 2 uб ( k ) ⎥P −
uб ( −k )
k ⎣
⎦
∂ P
− ∑ M бвг ( k ) uв ( j)uг ( k − j)
= 0.
∂ uб ( k )
j, k
∑ ⎢щ(k ) ∂
(202)
Это уравнение должно быть решено приближенно, для чего мы сначала запишем его в
упрощенной форме:
L P − VP = 0 ,
(203)
где определение вида операторов L и V производится сравнением с предыдущим выражением.
При этом мы проведем лямбда-разложение, представив функцию распределения P в виде
P = P0 + лP1 + л 2 P2 + ...
(204)
L 0 P0 = 0 ,
(205)
где вид L 0 должен быть определен.
Определим теперь L 0 , причем сделаем это так, чтобы P0 ≅ P. Мы проведем это в два этапа.
Сначала добавим и вычтем L 0 P из правой части уравнения (203). Затем припишем порядок λ
выражению VP, так как этот член имеет существенно тот же смысл, что и нелинейность в
уравнениях Навье–Стокса. Для корректного определения L 0 мы предположим также, что
(L 0 − L )P имеет порядок λ2. Затем, помня о том, что параметр λ в окончательном результате
полагается равным единице, получим уравнение
L P0 − лVP − л 2 (L 0 − L ) P = 0 ,
(206)
которое является основой для пертурбативного разложения.
На этой стадии Эдвардс предположил, что спектр силы W(k) и скорость затухания мод изза вязкости могут быть заменены на
d (k ) = W (k ) + s (k ),
щ(k ) = нk 2 + r ( k ),
(207)
где s(k), r(k) выражают влияние нелинейности. С физической точки зрения это правдоподобный
шаг, так как можно утверждать, что для любой моды k нелинейное взаимодействие возникает за
счет того, что привносится модами с меньшими k и передается модам с большим k . Фактически
уравнение (207) представляет одновременную ренормализацию взбалтывающей силы и вязкости.
Перенормировка оператора L достигается при этом за счет добавления членов, содержащих
s( k ), r ( k ) :
L0 = ∑
k
∂
∂ uα (k )
×
⎡
⎤
∂
× ⎢щ(k )uб (k ) + d (k )
⎥
∂ u б ( −k ) ⎦
⎣
(208)
с вычитанием соответствующих членов, позволяющих получить корректирующий оператор
L0 −L .
С оператором нулевого порядка, заданного соотношением (208), уравнение (205) для
распределения основного порядка, как легко показать, имеет решение
⎧ ∑ uб (k )uб (−k ) ⎫
⎪
⎪
P0 = N exp ⎨− k
⎬
q (k )
⎪
⎪
⎩
⎭,
(209)
где N – это приближенная нормализация, s(k), r(k) удовлетворяют соотношению
2щ(k )q(k ) = d (k ) ,
(210)
а второй момент скорости дается выражением
3
⎛ 2р ⎞
⎜ ⎟ uб ( k )uб ( − k ) =
⎝ L ⎠
= ∫ P0 ( k )uб ( k )uб ( −k )дu( k ).
(211)
Коэффициенты в разложении P должны быть найдены из сравнения членов одинакового
порядка по λ. Обращение оператора нулевого порядка осуществляется с помощью разложения по
его собственным функциям. Если P1, P2, … найдены, то следствием уравнения (211) является
результат
∫ u (k)u (−k)дu(k)[P + P + ...] = 0 ,
б
б
2
4
(212)
в котором члены нечетного порядка не вносят вклада из-за симметрии.
Вычисление этого условия до второго порядка приводит к уравнению энергии
W (k ) − 2н0 k 2 q( k ) =
= −2∫
djL(k , j)q(| k − j |){q( j ) − q(k )}
щ(k ) + щ( j ) + щ(| k − j |)
(213)
и отклика
щ(k ) = н0 k 2 + ∫
djL(k , j)q(| k − j |)
щ(k ) + щ( j ) + щ(| k − j |) .
(214)
Эти уравнения являются уравнениями второго порядка по взаимодействию, аналогично
соответствующему результату
для модели DIA, соотношения (200) и (201). Но в
противоположность DIA они не зависят от времени. Кречнаном показано, что две теории можно
связать, предполагая, что в модели DIA временная зависимость может быть аппроксимирована
экспонентой со скоростью затухания мод ω(k), с последующим интегрированием по
промежуточным временам. Этим способом он нашел, что уравнение энергетического баланса
сводится к уравнению Эдвардса, а уравнения для отклика принимает вид
щ(k ) = нk 2 + ∫
djL(k , j)q(| k − j |)
щ( j ) + w(| k − j |) .
(215)
Следует отметить, что уравнение отклика в модели DIA имеет только два характерных времени,
появляющиеся в знаменателе, в то время как EFP уравнение имеет три.
Эдвардс (1965) показал также, что из рассмотрения консервативных свойств уравнения
EFP в пределе бесконечного числа Рейнольдса следует ряд интересных результатов.
При стремлении к этому пределу мы предположим, что вязкость стремится к нулю таким
образом, чтобы скорость диссипации оставалась постоянной. Из определения колмогоровского
диссипативного волнового числа в соответствии с (147) следует, что диссипация сдвигается в
область бесконечных волновых чисел и в этом пределе стремится к дельта-функции на
бесконечности.
В общем случае спектр накачки W(k), который является произвольным, должен быть
выбран в виде функции, сконцентрированной вблизи начала координат в k-пространстве так,
чтобы универсальное поведение могло развиться при больших волновых числах. Однако если мы
уменьшаем вязкость, то становится легче возбуждать моды при малых волновых числах, и в
пределе оказывается, что мы можем возбуждать систему при k = 0, т. е. накачка энергии может
быть задана тоже в виде дельта-функции, но на этот раз в начале координат.
При осуществлении этих условий, когда энергия подводится в точке k = 0 с помощью
внешней взбалтывающей силы и откачивается в точке k = ∞ за счет диссипации, колмогоровский
спектр можно ожидать во всей области волновых чисел, так что степенной закон для спекральной
плотности, определеннный в безразмерных переменных, дается выражением (152). Аналогичным
образом анализ размерностей дает нам скорость затухания мод в виде
щ(k ) = ве1/ 3 k 2 / 3 ,
(216)
где β – некоторая постоянная, подлежащая определению. На основе этого Эдвардс показал, что
уравнения (213) и (214) сводятся к
2
djL( k , j) | k − j |−11/ 3 {k −11/ 3 − j −11/ 3 }
⎛ б ⎞
8р k 2 ⎜ ⎟ в −1 ∫
=
k 2 / 3 + j 2 / 3 + | k − j |2 / 3
⎝ 4р ⎠
= д ( k ) − д ( k − ∞),
(217)
ве1/ 3 k 2 / 3 =
djL( k , k − j) j −11/ 3
бе1/ 3
.
4рв ∫ k 2 / 3 + j 2 / 3 + | k − j |2 / 3
(218)
В принципе эти два уравнения должны были бы определять и константы α и β, но появляется
затруднение в уравнении для отклика, которое оказывается неинтегрируемым из-за расходимости
при j = 0. Это знаменитая инфракрасная расходимость теории турбулентности.
Хорошо известный метод самосогласованного поля был применен к проблеме
турбулентности Герингом (1965, 1966). Метод был похож во многом на метод Эдвардса и
приводил (в своей не зависящей от времени форме) к EFP уравнению энергии (213) и, что
любопытно, к независящему от времени DIA уравнению (215) для отклика, а не EFP форме (214).
В своей последней, зависящей от времени, формулировке метод самосогласованного поля Геринга
дает DIA уравнения.
Недостаток места не позволяет рассмотреть эту элегантную теорию достаточно подробно,
она рассмотрена в работе [МакКомб, 1990]. Более поздние попытки теорий самосогласованного
поля в турбулентности в зависимости от основных предположений приводили либо к уравнениям
Геринга [Балеску и Сенаторски, 1970], либо к DIA уравнениям [Питиан, 1969]. Одно из очевидных
приложений всего этого состоит в том, что перенормировочные теории первого рода являются
некоторой формой теорий самосогласованного (или среднего) поля. Так как они не совместимы с
колмогоровским спектром, то отсюда следует, что колмогоровское распределение вряд ли
является следствием теории самосогласованого поля вопреки стремлению некоторых
комментаторов проводить слишком далеко аналогию с фазовыми переходами второго рода и
утверждать, что это так и есть [Сиггиа, 1977].
Из подобия соотношений (214) и (215) легко видеть, что неудача DIA (по крайней мере, в
ее независящей от времени форме) с колмогоровским распределением, также, как и EFP, может
быть объяснена инфракрасной расходимостью. Однако в общем случае неудача DIA может быть
связана с ее внутренней неспособностью различать эффекты однородной конвекции и процессы
генерации внутренних напряжений, сопровождающиеся переносом энергии. В результате теория
не может разделить эффекты энергосодержащих (малых) волновых чисел от динамики в
инерционной области [Кречнан, 1964b]. Помимо этого интересно отметить, что этот анализ связан
с гипотезой «случайного свиппинга», которая утверждает, что затухание эйлеровской
двухточечной корреляции на малых масштабах определяется крупномасштабным свиппингом с
временем декорреляции (kU)–1, где U – некоторая характерная скорость в области
энергосодержащих волновых чисел. Использование численных методов для исследования
случайного свиппинга стало в настоящее время весьма популярным, и мы сошлемся здесь на ряд
ведущих работ в этом направлении [Чен и Кречнан, 1989; Нелкин и Табор, 1990; Санда и
Шанмугусандаран, 1992; Гото и др.), замечая, что, по крайней мере, в области от малых до
умеренных чисел Рейнольдса результаты подтверждают эту гипотезу.
Упомянутый выше анализ Кречнана (1964), направлен на общую формулировку принципа
стохастической галилеевой инвариантности, которой должна удовлетворять теория. Конечно,
тривиальным является утверждение о том, что уравнения Навье–Стокса и теории, основанные на
них, удовлетворяют обычной форме инвариантности Галилея [МаКомб, 1990]. Но совсем не
очевидно, что теории удовлетворяют более общему стохастическому условию, и, кроме того, не
ясно, что это условие можно соответствующим образом сформулировать.
Тем не менее Кречнан получил, что не только DIA, но также все эйлеровские
двухвременные корреляционные теории должны с неизбежностью нарушать это условие и,
следовательно, быть неспособными подтверждать колмогоровскую картину динамики в
инерционной области. Как мы увидим далее, это чрезмерно пессимистическая точка зрения.
Рассмотрим только начальные стадии альтернатив Кречнана, состоящие во введении новой
координатной системы, которая имеет некоторое отношение к лагранжевым координатным
системам, описанным выше. Результирующие уравнения необычайно сложны, более того, не
зависимо от того, что они с очевидностью дают колмогоровский спектр, они требуют некоторого
упрощения, поэтому существует несколько различных форм этих уравнений. Полное
рассмотрение проведено в работе [МакКомб, 1990], здесь же дано краткое введение.
При исследовании трудностей DIA Кречнан (1964) заметил, что использование обрезания
по волновым числам устраняет ложные конвективные эффекты и что это эквивалентно
представлению уравнений Навье–Стокса в квази-лагранжевой системе координат. Он
переформулировал DIA уравнения в названные им координаты «лагранжевых траекторий»
[Кречнан, 1965]. Главным шагом в этой процедуре является введение обобщенной скорости
u(x, t|s), которая определена как скорость жидкой частицы, которая была в точке x в момент
времени t, измеренная в момент времени s. Два различных времени известны как
t = время маркировки,
s = время измерения.
Ясно, что обобщенная скорость должна удовлетворять двум предельным условиям:
u(x, t | t ) = u( x, t )
(219)
и для фиксированных значений (x0, t0)
u ( x 0 , t0 | s ) = V ( x 0 , s ) ,
(220)
где V – поле лагранжевой скорости, определенной выше. Фактически зависимость от t является
эйлеровской характеристикой, в то время как s – лагранжевой.
Когда t = s, обобщенная скорость является чисто эйлеровской и удовлетворяет уравнениям
Навье–Стокса. В противном случае можно показать, что обобщенная скорость удовлетворяет
уравнению
⎡ ∂
⎤
+ u(x, t ) ⎥ u(x, t | s ) = 0
⎢
⎣∂ t
⎦
(221)
Поэтому при t = s обобщенная скорость удовлетворяет условию несжимаемости, чего нет в случае
нарушения этого условия. Кречнан использовал это обстоятельство для разделения обобщенной
скорости на соленоидальную и незавихренную части, к которой DIA не может быть применена.
Дальнейшие пояснения могут быть найдены в работах Кречнана (1965, 1977) и Кречнана и
Геринга (1978). Как мы уже отмечали ранее, результирующие усложнения являются крайне
значительными, и существует несколько направлений, по которым можно честно следовать
исходной постановке задачи. К тому же недавно Базденков и Кухарин (1993) указали, что
результат зависит от того, что принято за исходное поле: поле скорости, поле напряжений или
поле завихренности. Несомненно, надо отметить, что, пользуясь этой теорией, Кречнан (1966)
опубликовал теоретическое значение спектральной константы Колмогорова α = 1,77, которое
находится в пределах области экспериментальных значений.
Наконец, ради полноты отметим неэйлеровское перенормированное разложение Хорнера и
Липовски (1979), в котором был использован формализм Мартина, Сиггиа и Роуза для построения
галилеево-инвариантного разложения, а также метод Канеды (1981), в котором предложен вариант
кречнановской формулировки на основе лагранжевых траекторий с использованием производных
по измеримому времени, а не по маркировочному. Эти теории также приводят к хорошему
предсказанию константы Колмогорова с α = 1,72 [Канеда, 1986].
Были сделаны две попытки решения EFP теории. Эдвардс и МакКомб (1969) получили
уравнения для отклика, максимизируя турбулентную энтропию. Вторая попытка была основана на
гипотезе локальности переноса энергии [МакКомб, 1974; 1976] и приводила к LET теории, которая
будет рассмотрена в следующем пункте. Здесь мы будем следовать Эдвардсу и МакКомбу (1969),
которые показали, что энтропия, интерпретируемая как отрицательная информация, пригодна для
описания некоторых систем, которые не находятся в состоянии термодинамического равновесия.
Так если общий вид [Шеннон и Вивер, 1949] задать выражением
S = −κ ∫ P ln P
,
(222)
где κ – постоянная, а интегрирование проводится по всем переменным системы, то для P,
являющимся решением уравнения (202) в виде λ-разложения (204), получим энтропию
турбулентности в виде
S = − ∫ ( P0 + P1 + P2 + ...)ln( P0 + P1 + P2 + ...)дu =
− ∫ P0 ln P0 дu − л 2 ∫ P1 P0 P1 дu + O (л 4 ),
−1
(223)
где нечетные по маркировочному параметру члены исчезают при интегрировании благодаря
симметрии, член второго порядка P2 не вносит вклада из-за наложенного на него условия (212).
Следует отметить, что мы положили константу κ = 1, так как она не существенна для вычислений.
Коэффициент P0 задан соотношением (209). Для определения P1 сошлемся на результаты
Эдвардса (1964), Эдвардса и МакКомба (1969) или МакКомба (1990). Этот член является членом
первого порядка по нелинейности и суть функционал от q(k) и ω(k).
Результирующее выражение для члена второго порядка для турбулентной энтропии имеет
вид
3
1
⎛ 2р ⎞
S = ⎜ ⎟ ч( k ) − ∑ q( k ) −
2 k
⎝ L ⎠
⎛ 2р ⎞
−⎜ ⎟
⎝ L ⎠
9
[ L( k , j, l ) q( j ) q(l ) − L( l, j, k ) q( k ) q( j )]
,
q( k )[щ( k ) + щ( j ) + щ(l )]2
k , j, l
∑
(224)
где маркирующий параметр положен равным единице, а выражение L(k, j, l) связано с
выражением (169) соотношением
L(k , j, l ) = L(k , j)д(k + j + l ) .
(225)
Заметим, что первый член в правой части (224) есть число степеней свободы системы и, поскольку
оно постоянно, не вносит вклада при дифференцировании.
Теперь, исходя из EFP теории, мы видим, что уравнение энергии дает одно соотношение
для двух неизвестных q(k) и ω(k), а варьирование энтропии S(q(k), ω(k)) по ω(k) даст нам второе.
Но для того чтобы сделать это, мы должны принять во внимание, что существующее соотношение
между q(k) и ω(k) действует как ограничение на вариацию. В соответствии с этим мы и должны
записать вариационный принцип, который дает нам второе соотношение в виде
⎡ дS ⎤ дq ( j )
дS
+ ∑⎢
=0
⎥
дщ(k ) k ⎣ дq ( j ) ⎦ дщ(k )
,
(226)
в котором коэффициент перед вторым членом в правой части уравнения может быть получен из
(210) в виде
дq ( j )
d (k )
дd ( j )
=− 2
+
дщ(k )
2щ (k )д(k − j ) 2щ( j )дщ(k ) .
(227)
Поскольку второй член в правой части уравнения потребовал бы огромных усилий для
своего вычисления, Эдвардс и МакКомб просто опустили его. Найдя вариацию S в соответствии с
(227), они получили новое уравнение для отклика. Для некоторого частного ω(A) оно имеет вид
1
=
щ( A)
[ L(k , A, l )q( A)q (l ) − L(l, k , A)q (k )q ( A)]
+
q (k )щ( A)[щ(k ) + щ( A) + щ(l )]2
+ подобные члены
(228)
= ∫ dk ∫ dj
Хотя мы не приводим его полную форму, ясно, что оно значительно сложнее, чем
первоначальное уравнение (214) для отклика в EFP теории. Тем не менее некоторые из этих
дополнительных усложнений необходимы, так как взаимное уничтожение различных членов с
разными знаками приводит к устранению расходимости, как и в случае уравнения сохранения
энергии.
Переходя в этом уравнении к пределу бесконечного числа Рейнольдса и решая его
одновременно с (217), получим константу Колмогорова κ = 3,8, которая приблизительно в два раза
больше приемлемого экспериментального значения. Однако из-за отбрасывания членов
определенного вида невозможно говорить о точности этого метода, за исключением того, что он
устраняет инфракрасную расходимость.
Стоит отметить, что простая идея максимума энтропии для турбулентной системы
вызывает скептицизм (например, [Монин и Яглом, 1975], [Киан, 1983], [Базденков и Кухаркин,
1993]), а типичная оценка этого метода заключается в утверждении, что принцип максимума
энтропии применим только к состоянию термодинамического равновесия изолированной системы.
По-видимому, эта точка зрения базируется на непонимании. Критика была бы без сомнения
правильной, если бы турбулентная система задавалась на микроскопическом уровне, так как в
этих условиях происходила бы генерация энтропии. (В этом смысле представляется напрасным то,
что Эдвардс и МакКомб не называли константу κ константой Больцмана). Однако выражение
(223) применимо только к макроскопической конфигурации и является конфигурационной или
информационной энтропией и не имеет ничего общего с термодинамикой. Вариация вычисляется
в духе принципа, который утверждает, что из всех распределений, удовлетворяющих
соответствующим ограничениям, надо выбрать одно с наибольшей энтропией в качестве
наилучшей оценки или наиболее вероятного состояния. Хорошая общая дискуссия по этому
вопросу может быть найдена в работе [Шор, Джонсон, 1980].
Другая модифицированная теория EFP была предложена Кианом (1983), которая очень
близка к оригинальной работе Эдвардса, но где был применен иной критерий для оценки точности
метода. В только что описанном методе максимума энтропии мы в некотором смысле
минимизируем разность P – P0, и минимизация отрицательной энтропии есть тот самый метод,
F
призванный сделать это. Киан выбирает метод минимизации L - L , где L – лиувиллиан
системы, а L – оператор Фоккера–Планка. Приведем здесь только краткое описание метода, к
сожалению Киан использует ad hoc модификацию упрощенных обозначений Геринга, что
вызывает некоторые трудности при сравнении его результатов с результатами других авторов.
Основной постулат состоит в том, что нелинейность уравнений Навье–Стокса может быть
смоделирована заменой
F
∑M
бвг
( k )uв ( j, t )uг ( k − j, t ) ≈
j
≈ −щ( k )uб ( k , t ) + f б ( k , t ),
(229)
где все символы имеют свое изначальное значение. Киан применил метод среднеквадратичной
подгонки в качестве критерия выбора величины затухания мод ω(k). Для величины I
среднеквадратичной невязки он написал
2
⎡
⎤
⎢ ∑ M бвг (k )uв ( j, t )uг (k − j, t ) − (−щ(k )uб (k , t )) ⎥
⎣ j
⎦
(230)
и потребовал выполнения условия
дI
=0
дщ(k )
,
(231)
которое дает уравнение для отклика. Это приводит к теории, совместимой с колмогоровской
моделью и, очевидно, находится в хорошем согласии с экспериментом, так как способна учесть
мелкомасштабную перемежаемость и предсказать фактор выполаживания производной по
скорости: см. [Киан, 1990].
Однако эта теория была подвергнута критике МакКомбом (1990), в которой было указано,
что вариация по ω(k) не свободна, и что ситуация в точности такая же, что и с методом
максимальной энтропии. Ясно, что должно быть I = [ω(k), q(k)], в соответствии с этим МакКомб
предположил, что дифференцирование фактически должно иметь тот же вид, что и (227).
Базденков и Кухаркин (1993) сослались на эту критику и указали, что Киан выбросил
взбалтывающую силу при переходе от (230) к (231), что нарушило связь q(k) с ω(k), и,
следовательно, возражение МакКомба было отброшено. Однако эти авторы отметили, что цена,
заплаченная за это, есть некоторая степень произвольности в теории Киана. Поскольку эта теория
оказывается приемлемой в практическом смысле, она была бы полезна, если бы эти
фундаментальные уравнения можно было бы упростить.
Как упоминалось ранее, теория LET начала свою жизнь как ad hoc модификация EPT
теории, основанной на идее, что отклик турбулентной системы может быть определен локально по
волновым числам с помощью рассмотрения баланса энергии. Позже эта идея была распространена
на зависящий от времени случай [МакКомб, 1978] и совсем недавно была переформулирована
[МакКомб, Филипяк, Шанмугасундарам, 1992]. LET уравнения были также получены независимо
в работах Накано (1988) и Пандья (1995). В последней ссылке содержится модельное
представление LET теории, которое гарантирует ее осуществимость.
Основная гипотеза LET теории – это гипотеза о том, что поле скорости связано само с
собой в последовательные моменты времени точным пропагатором. Исходное предположение
[МакКомб, 1978] было сделано на языке поля скорости (в пространстве волновых чисел), и в
случае функции отклика в DIA теории использовался средний по ансамблю пропагатор. В своей
обычной форме точный пропагатор H вводился с помощью соотношения
Qбе (k ; t , t ′) = H бу (k ; t , s )Qуе (k ; s, t ′) .
(232)
Затем в теории перенормированных возмущений второго порядка по маркировочному параметру
получаются уравнения для отклика и энергии:
⎛ ∂
⎞
+ нk 2 ⎟ H ( k ; t , t ′) +
⎜
⎝∂ t
⎠
t
+ ∫ dj L( k , j) ∫ dt ′′H ( k ; t , t ′) H ( j; t , t ′′)Ω(| k − j |; t , t ′′) =
t′
t′
=
1
djL( k , j) ∫ dt ′′Ω(| k − j |; t , t ′′) ×
Q ( k ; t ′, t ′) ∫
0
×{H ( k ; t ′, t ′′)Q ( j; t , t ′′) − Q ( k ; t ′, t ′′) H ( j; t , t ′′)}
(233)
и
⎛ ∂
⎞
+ нk 2 ⎟ Q ( k ; t , t ′) = ∫ dj L( k , j) ×
⎜
⎝∂ t
⎠
t′
⎧
× ⎨ ∫ dt ′′H ( k ; t ′, t ′′)Q ( j; t , t ′′)Q (| k − j |; t , t ′′) −
⎩0
t
⎫
− ∫ dt ′′H ( j; t , t ′)Q ( k ; t ′′, t )Q (| k − j |; t , t ′′) ⎬ .
0
⎭
(234)
Сравним теперь LET уравнения с DIA уравнениями. Очевидно, что уравнения энергии
(234) и (201) идентичны. Однако если мы сравним уравнение (200) для функции отклика в DIA
теории с уравнением (233) для функции отклика в LET теории, пропагатор H, то мы увидим, что
левые части уравнений идентичны, а в правой части (233) содержится достаточно сложный
нелинейный член. Очень просто показать, что этот член устраняет инфракрасную расходимость в
уравнении для функции отклика при k → j. Мы вернемся к численным предсказаниям позже, но
уже здесь полезно отметить, что LET теория предсказывает колмогоровский спектр с константой
κ = 2,5, которая дает завышенное значение, но не является несовместимой с экспериментом и с
результатами численных расчетов.
Закончим этот пункт замечанием о том, что уравнение (232), которое теперь можно
рассматривать как основу гипотезы LET теории, идентичной флуктуационно-диссипативному
соотношению в форме, не ограниченной применением только к микроскопическим системам
[Кубо, 1966]. Следует также отметить, что связь между флуктуационно-диссипативной теоремой и
теорией турбулентности не нова. Геринг (1966) заметил, что соотношение между SCF и DIA
осуществляется в этой форме. Недавно Канеда (1981) обнаружил, что вариант кречнановской
теории лагранжевых траекторий имеет форму флуктуационно-диссипативного соотношения. К
тому же упомянутые работы Накано (1988) и Пандья (1995) позволяют получить некоторую
форму флуктуационно-диссипативного соотношения, дают альтернативные пути вывода LET
теории.
В этом пункте мы коротко обсудим некоторый класс турбулентных моделей, которые
вызвали большой интерес в последние годы, особенно в смысле практического приложения. Но
надо пояснить, что термин «модель» мы используем для обозначения теории, основанной на
некотором специфическом предположении, приводящем к наличию свободного параметра,
который обычно используется для того, чтобы сделать предсказания модели согласующимися с
экспериментом.
Основная идея состоит в рассмотрении случайного блуждания, где каждый шаг зависит от
предыдущего, но не от предпредыдущего шага. Конечно, турбулентность есть в лучшем случае
процесс коррелированного случайного блуждания и поэтому не в точности марковский. Тем не
менее защитники такого подхода утверждают, что турбулентность может быть отнесена при
некоторых условиях к почти марковскому процессу, особенно, когда турбулентный масштаб
времени сравним с вязким временем.
Этот тип теорий обычно связывается с работой Орзага (1970), который обсуждал
применимость гипотезы квазинормальности и указал, что интеграл памяти в этой теории (см.
правую часть уравнения (170)) ограничен масштабом времени, определенным по кинематической
вязкости жидкости. Однако влияние турбулентности должно разрушать корреляции, поэтому
интеграл памяти должен быть обрезан на временах, определяемых турбулентной декорреляцией. В
соответствии с этим Орзаг предложил, что вязкое время жизни (т. е. 1/(νk2)) должно быть заменено
на 1/ω(k), т. е. уравнение (170) следует заменить на
t
[d / dt + 2нk 2 ]Q (k , t ) = 2 ∫ dj ∫ ds ×
−∞
× exp{−[щ( k ) + щ( j ) + щ(| k − j |)](t − s )} ×
×L( k , j)Q (| k − j |, s )[Q ( j, s ) − Q ( k , s )],
где скорость затухания мод остается заданной.
(235)
Если мы вернемся к нашей дискуссии о пределе бесконечных чисел Рейнольдса, то
увидим, что соображения размерности будут определять скорость затухания мод в соответствии с
соотношением (217). Поэтому если мы зададим эту форму для скорости затухания мод, то придем
к тому, что уравнение (235) сведется к уравнению (218), и в результате эта квазинормальность,
обусловленная марковским характером процесса, будет совместима с колмогоровской картиной.
Много вариантов моделей такого типа возникает в соответствии с тем, как решается
проблема выбора скорости затухания мод. Подчеркнем, что на этом пути фиксации
квазинормальности ренормализация стоит не на первом месте. В RPT теории гауссовское среднее
может быть получено совершенно строго на уровне примитивных рядов теории возмущений, с
последующей заменой парной корреляции нулевого порядка на точную и заменой пропагаторов
нулевого порядка на точный. Этот последний шаг является перенормировкой как таковой, и
можно определить рассмотренную выше марковизацию как некоторый вид post hoc
ренормализации. Подробное описание рассмотренного подхода можно найти в книге Лезьера
(1987).
5. Ренормализационная группа (RG)
Магнетизм возникает из-за того, что спины в узлах решетки выстраиваются друг за
другом. Эта тенденция спинов к упорядочению противоположна тепловому воздействию, которое
стремится создать беспорядок. Упорядочение возникает в виде случайной флуктуации на
масштабах длин, изменяющихся от шага решетки (L0) до некоторой корреляционной длины
(скажем, ξ). Корреляционная длина зависит от температуры и становится бесконечной при
температуре Кюри (или в критической точке). В критической точке появляются флуктуации всех
масштабов от L0 до размеров образца, поэтому наступает полная всеобщая магнетизация.
Теоретическая задача состоит в том, чтобы вычислить гамильтониан (и, следовательно,
термодинамические свойства материала), который содержит члены взаимодействия в виде суммы
по всем конфигурациям спинового взаимодействия. Тот факт, что все длины (в принципе)
одинаково важны, вносит трудность, связанную с вопросом, с каких масштабов начать. Конечно,
если некоторые масштабы исключены, то каким-то способом их влияние должно быть сохранено.
Более простая задача возникает в модели Изинга, в которой вектора спинов являются
булевскими и направлены только вверх или вниз, а промежуточные состояния отсутствуют. Кроме
того, предполагается, что спины взаимодействуют только с ближайшими соседями.
Приложение RG к этой модели можно рассматривать как некоторую форму укрупнения
зернистости в следующем смысле. Мы начинаем с гамильтониана взаимодействия H0, связанного
с двумя спинами, разделенными расстоянием L0 (т. е. шагом решетки). Затем мы вычисляем
эффективный гамильтониан H1, связанный с областью размером 2 L0, усредняя влияние масштабов
L0. Затем мы вычисляем H2, связанный с длинами 4 L0, в котором проведено осреднение по
масштабам, меньшим или равным 2 L0.
Описанный выше процесс может быть выражен формально через преобразование T,
которое применяется рекурсивно: TH0→H1, TH1→H2, TH2→H3, ... На каждой стадии масштаб
длины изменяется: L0→2L0, 2L0→4L0, ... и для компенсации этого спиновые переменные
масштабируются соответствующим образом так, чтобы гамильтониан всегда был тем же самым в
масштабированных координатах. Это есть как раз то самое перемасштабирвание, которое
приводит к перенормировке, а множество преобразований {T} определяет простую группу,
которая и называется группой перенормировок. Если итерирование преобразования приводит к
результату
TH n = H n+1 = H N ,
то HN называется стационарной точкой. В случае критических явлений эта точка соответствует
критической точке.
Теперь рассмотрим обобщение этой процедуры на случай континуальной задачи (как в
движении жидкости), которая здесь нас интересует. Предположим, что мы сделали
преобразование Фурье и перешли от z-пространства к k-пространству. Более того, предположим,
что мы удалили (каким-то способом) наименьшие масштабы длин, скажем, меньшие или равные
Λ–1, так что мы остались с гамильтонианом, который является функцией континуальных
переменных в k-пространстве, H(Λ). Затем мы формально удаляем моды в полосе Λ/b ≤ k ≤ Λ
следующим образом. Обозначим трехмерное спиновое поле через Sα(k), где α = 1, 2,3, и сделаем
следующие шаги:
1. 1. Проинтегрируем по всем Sα(k), для которых Λ/b ≤ k ≤ Λ.
2. 2. Перенормируем оставшиеся моды спинового поля, умножая волновые вектора на
множитель b.
3. 3. Умножим каждый Sα(k) на постоянный множитель ζb.
Параметр b должен удовлетворять условию 1 < b < ∞ и известен как пространственный
перенормировочный множитель, а ζb – как спиновый переномировочный множитель
(терминология связана с магнетиками). Если мы запишем упомянутые три шага в виде
H ′ =T b H ,
то множество T b , 1 < b < ∞ можно называть ренормализационной группой. Заметим, что мы не
определили обратное преобразование к T b , т. е. короче говоря, мы определили полугруппу.
Прекрасное всеобъемлющее рассмотрение этого понятия приведено в работах [Вилсон, Когут,
1974] и [Вилсон, 1975].
Описанные выше идеи, связанные с рассмотрением статических критических явлений,
могут быть обобщены на динамические критические явления, т. е. на те случаи, когда Sα(k, t)
является функцией времени. Ма и Мазенко (1975) развили модель изотропного ферромагнетика и
изучили стационарную точку с помощью обобщения RG алгоритма, рассмотренного в
предыдущем пункте. Следует отметить, что имеется некоторое сходство между этой задачей и
проблемой турбулентности, которое состоит в том, что спаривание между спинами приводит к
появлению нелинейных членов в уравнении движения для спинового поля. Кроме того, в задаче с
магнетиком необходимо моделировать эффекты теплового возбуждения, и это делается с
помощью введения произвольного шумового члена. Очевидно, что это аналогично введению
взбалтывающей силы в случае турбулентности. Сходство усиливается еще и тем, что шум
рассматривается как многодисперсионный с гауссовским распределением, т. е. в точности такой
же, как и в нашей формулировке проблемы турбулентности.
Мы не будем вдаваться в детали уравнений движения: для нас достаточно заметить, что
они содержат множество параметров μ, в которое входят: внешнее поле, интенсивность шумовой
накачки, интенсивность связи спинов и некторые другие феноменологические параметры и
константы. Используя, где это возможно, обозначения предыдущего пункта, определим теперь RG
как непрерывное множество преобразований Rb, которые преобразуют μ в μ′, так что
м′ = Rb м ,
и определяемое следующим образом:
1. 1. Надо решить уравнение движения для всех Sα(k, t), для которых Λ/b ≤ k ≤ Λ,
подставить решение в оставшиеся уравнения движения и усреднить по случайному
шуму. Это исключает коротковолновую компоненту поля из уравнений движения.
2. 2. Пернормировать оставшиеся моды спинового поля с помощью умножения волновых
векторов на множитель b, заменив длину L в физическом пространстве на
bL′,
1–η/2
–z
заменяя спиновое поле на b
S(bk, b t) в оставшихся уравнениях движения. Новые
уравнения движения затем записываются в прежнем виде, но с измененными
параметрами, которые рассматриваются как элементы множества μ′.
Постоянные η и z определяются следующим образом. Мы продолжаем процесс до тех пор,
пока не найдем множество μ*, которое инвариантно относительно RG преобразования. Очевидно,
что это стационарная точка преобразования, которая определяется из решения уравнения
Rb м* = м* .
Постоянные η и z выбираются таким образом, чтобы это уравнение имело решение.
Ма и Мазенко основывались на введении теории возмущений в предположении, что все
параметры множества μ малы, но мы вернемся теперь к теории турбулентности и, в частности, к
уравнениям Навье–Стокса.
При увеличении числа Рейнольдса макроскопическое движение жидкости испытывает два
«фазовых перехода». Во-первых, происходит переход к турбулентности, а во-вторых, при
больших числах Рейнольдса, – переход к автомодельному поведению турбулентности. В
последнем случае это означает установление промежуточной области волновых чисел, в которой
энергетический спектр принимает вид степенного закона. И это как раз тот последний переход,
который мы рассмотрим.
Удобным способом установления автомодельного поведения является рассмотрение
случая, в котором число Рейнольдса (вычисленное, например, по турбулентному микромасштабу)
достаточно велико, так что в достаточно обширной области волновых чисел существует
степенной спектр. Теперь определим локальное число Рейнольдса, используя обратную величину
волнового числа в качестве масштаба длины. Тогда, двигаясь по волновым числам в сторону
уменьшения, мы фактически увеличиваем число Рейнольдса до того места, где начинается
степенной спектр (т. е. граница между инерциальной и вязкой областями). Поэтому, по существу,
простейшее применение RG к турбулентности содержит последовательное исключение
коротковолновых мод с переходом к стационарной точке, соответствующей перенормированной
вязкости в инерционном интервале.
Соленоидальное уравнение Навье–Стокса для несжимаемой жидкости (182) теперь
запишется в виде
⎛ ∂
⎞
+ н 0 k 2 ⎟ uб ( k , t ) =
⎜
⎝∂ t
⎠
= л M бвг ( k ) ∫ d j uв ( j, t )uг ( k − j, t ),
(236)
где мы обозначили кинематическую вязкость жидкости через ν0, чтобы подчеркнуть
неперенормированный статус этой величины в рамках проблемы турбулентности.
Для того чтобы попытаться осуществить алгоритм RG, рассмотренный ранее,
предположим, что Фурье-компоненты определены на интервале 0 ≤ k ≤ k0, где k0 – наибольшее
волновое число, равное колмогоровскому диссипативному масштабу (147). Тогда для k1, k1 < k0,
выделим скорость при k = k1. Это можно выразить с помощью ступенчатой функции
⎧1, 0 ≤ k ≤ k1
и − (k ) = ⎨
⎩0, k1 ≤ k ≤ k0 ,
⎧0, 0 ≤ k ≤ k1
и + (k ) = ⎨
⎩1, k1 ≤ k ≤ k0 ,
(237)
(238)
позволяющей определить следующие полезные формулы:
uб− (k , t ) = и− ( k ) uб (k , t ),
uб+ (k , t ) = и+ ( k ) uб (k , t ),
−
+
M бвг
(k ) = и− ( k ) M бвг (k ), M бвг
(k ) = и+ (k ) M бвг (k ).
Подстановка этих формул в уравнение (237) позволяет разложить уравнения Навье–Стокса на
длинноволновые и коротковолновые части:
⎛∂
2⎞ −
⎜ + н 0 k ⎟ uб ( k , t ) =
⎝ ∂t
⎠
−
( k ) ∫ d j {uв− ( j, t )uг− ( k − j, t ) +
= л M бвг
+2uв− ( j, t )uг+ ( k − j, t ) + uв+ ( j, t )uг+ ( k − j, t )}.
(239)
⎛∂
2⎞ +
⎜ + н0 k ⎟ uб (k , t ) =
⎝ ∂t
⎠
+
= лM бвг
(k ) ∫ d j {uв− ( j, t )uг− (k − j, t ) +
+2uв− ( j, t )uг+ (k − j, t ) + uв+ ( j, t )uг+ (k − j, t )}
(240)
Если мы попытаемся выполнить первый из трех шагов, описанных для решеточно-спинового
гамильтониана, то сможем приспособить эту процедуру к настоящему случаю следующим
образом:
1. 1. Решаем уравнение (240) для u+.
2. 2. Подставляем это решение в уравнение (239) для u- и делаем частичное усреднение
по u+.
3. 3. Члены, получающиеся в результате этой процедуры, которые линейны по u-, можно
интерпретировать как вклад в турбулентную вязкость.
Главная проблема, которая возникает из-за межмодового взаимодействия, легко понятна.
• • Во-первых, решение уравнения (240) для u+ содержит члены с u-. Когда они
подставляются в правую часть уравнения (239), в результате получаются члены
третьего порядка нелинейности по u-, которые могут приводить к появлению
нелинейности более высокого порядка в последовательных итерациях.
• • Во-вторых, усреднение коротковолновых мод требует выполнения соотношения
u −u + u + = u − u + u +
которое не может быть строго истинным, поскольку u- и u+ являются частями одного и
того же поля скорости и не являются статистически независимыми.
Следует подчеркнуть, что эти две проблемы непременно появляются при попытке
приспособить эту процедуру к настоящему случаю (при применении RG к уравнению Навье–
Стокса). Пути решения данных проблем отличают одну RG теорию турбулентности от другой. Мы
здесь рассмотрим два возможных подхода. Первый существенно уклоняется от решения
указанных выше проблем за счет рассмотрения довольно искусственной модели жидкости. Этот
путь изложен в работах FNS [Форстер, Нелсон и Стефен, 1976, 1977]. Второй восходит к работе
Роуза (1977) (хотя и относится к рассмотрению линейной задачи о конвекции пассивного скаляра)
и имеет дело с исключением конечных блоков мод в реальной турбулентности при больших
числах Рейнольдса.
Подход FNS развился под влиянием динамической теории критических явлений, в
результате чего его можно рассматривать как способ переформулирования проблемы
турбулентности так, чтобы она приняла форму модели Изинга. Они рассмотрели модель
турбулентности в ограниченной области 0 ≤ k ≤ Λ, где Λ было выбрано достаточно малым, чтобы
исключить влияние каскадного переноса энергии. Определение их класса моделей было закончено
выбором степенного закона для дисперсии внешней силы W(k) в соответствии с (138):
W ( k ) = W0 ( y )k − y
(241)
для k ≤ Λ.
Выбор величины y равносилен выбору модели, и y = 2 дает модель А FNS,
соответствующую тепловому равновесию, тогда как y = 0 дает их модель В, которая соответствует
макроскопическому перемешиванию жидкости. Мы ограничимся моделью В.
FNS обходит две существенные трудности, рассмотренные выше, за счет рассмотрения
упрощенных систем. Они использовали модифицированную форму λ-разложения, заменив λ на λ0,
которая затем рассматривается как перенормируемая. Соответствующее поле нулевого порядка
просто связано с взбалтывающей силой линейным пропагатором (или функцией Грина). Выбирая
взбалтывающую силу статистически независимой для разных волновых чисел, получаем, что
проблема усреднения становится тривиальной, поэтому можно усреднить по u+ независимо от u-.
Фактически это является существенно большим упрощением, чем модель Изинга в случае
магнетика.
Таким образом, производится перенормировка вязкости, взбалтывающей силы и
интенсивности взаимодействия. Существенной чертой этого анализа является то, что тройная
нелинейность в u- становится несущественной в процессе итераций до самой стационарной точки.
Таким образом, характерной чертой метода является определенный вид инвариантности
уравнений Навье-Стокса по отношению к перенормировке, так как в результате действия
перенормировки достигается стационарная точка. Существует много ограничений,
сопутствующих этому результату, но самое существенное в них то, что результат пригоден
асимптотически при k → 0.
Важно отметить, что FNS теория не имеет ничего общего с турбулентностью и не может
быть применена к ней. В этой теории Λ должна быть выбрана достаточно малой, чтобы исключить
каскадные эффекты в инерционной области, поэтому при применении к реальной жидкости
необходимы Λ на порядок меньшие, чем колмогоровское диссипативное волновое число для
данного течения. Как указывается в FNS теории, каскадный процесс недоступен для нее, так как
при больших волновых числах процедура этой теории начинает выдавать несоразмерно большие
величины параметра взаимодействия.
FNS теория взбалтываемой жидкости привлекла большое внимание. В частности, де
Доминикис и Мартин (1979) повторили полученные в ней результаты, используя теоретикополевые методы. Они указали также, что если выбрать y = 3 в FNS выражении для дисперсии (т. е.
в соотношении (241)), то предсказываемый энергетический спектр приобретает колмогоровский
вид. Однако проблема в этом подходе состоит в том, что в стационарном режиме выбор дисперсии
силы должен приводить к виду W(k), который сохраняет скорость диссипации ε. Как отмечено в
работе МакКомба (1990), их выбор W0 = ε для того, чтобы определить скорость диссипации,
вместе с соотношением (241) означает, что спектр силы (и, следовательно, спектр энергии) должен
быть ограничен волновыми числами kmin и kmax, где kmax/kmin = 1,083.
Яхот и Орзаг (1986, далее - YO) предположили, что подобный подход может быть
использован в практических расчетах. Их предложение было заявлено как принцип соответствия
в том смысле, что численные результаты, полученные из FNS теории, должны быть такими же, что
и для соответствующего реального турбулентного течения. Например, они получили для
колмогоровского спектрального закона величину a = 1,62. В отличие от де Доминикиса и Мартина
(1979) они показали, что соотношение между взбалтывающей силой и скоростью диссипации
могут быть получены из перенормированной теории возмущений, и получили результат,
эквивалентный y = 3 и W0 = 11,12 ε.
Позже они использовали процедуру для вывода результатов RPT [Данневик, Яхот, Орзаг,
1987]. Но даже с этим частным соотношением между скоростью накачки и скоростью
диссипациии волновые числа, ограничивающие область действия взбалтывающей силы (и,
следовательно, поле скорости), должны находиться в отношении kmax/kmin = 1,007.
Теория Яхота и Орзага была использована для получения одной из версий k-ε модели,
которая хорошо известна в практических приложениях. Это привлекло большое внимание
исследователей во всем мире с точки зрения вычислительной гидродинамики, но в
действительности эта теория переносит нас из области фундаментальных исследований в область
феноменологии с константами, подгоняемыми таким образом, чтобы уравнения были применимы
для получения предсказаний, совпадающих с экспериментальными результатами. В соответствии
с этим мы опять выходим за рамки рассмотрения, но прежде заметим, что вся YO процедура
недавно была подвергнута острой критике [Эйнк, 1994].
Более свежий подход Лэма (1992) значительно более отчетливо указал, что подгоночные
константы содержатся в процедуре моделирования. Начиная с уравнения Навье-Стокса, Лэм
сосредоточился на дополнительном члене (обозначенном как gfast), который возникает в уравнении
движения для разрешенных мод как следствие процесса исключения мод. Используя результаты
FNS теории в качестве оправдания этого шага, Лэм выразил длинноволновую часть gfast через
постоянную вихревую вязкость. Ошибка, возникающая при этом, моделировалась
корреляционной функцией с пиком в окрестности k = Λ. Таким способом Лэм избежал проблемы
нелинейности третьего порядка.
В подходе Лэма уравнение (241) может быть записано как
⎛k⎞
W ( k ) = const × е × k −3 ⎜ ⎟
⎝Λ⎠
4−е
,
(242)
где (для пространства размерности 3) сделана замена y = ε - 1. Выбор такой зависимости W от Λ
позволяет восстановить колмогоровский спектр без ограничения на величину ε, полагаемую ранее
равной 4 для всех k. Следовательно, по Лэму ε пригодна для подгоночной постоянной.
Наконец проблема связи между скоростью диссипации и рассматриваемым физическим
полем течения была решена введением ad hoc выражения для скорости диссипации:
Λ
е ≡ lim 2н T ( Λ ) ∫ k 2 E ( k )dk ,
Λ→∞
0
(243)
где νT – не зависящая от k вихревая вязкость. Фактически это предложение эквивалентно
уравнению (248), которое получено из уравнений Навье-Стокса для более общего случая
[МакКомб, 1986].
Одна из интересных черт этой работы состоит в том, что Лэм требует интерпретировать
YO как модель турбулентности и дать оправдание ее принципа соответствия. Для исследователей,
работающих в рамках CFD, представляет интерес обоснование этого принципа.
Роуз (1977) рассмотрел подсеточное моделирование турбулентной конвекции пассивной
скалярной примеси (например, φ). Этот метод содержал итеративную процедуру, в которой
моделировались сначала вихри из диссипативной области, а затем вихри немного большего
размера и т. д. Это был настоящий рекурсивный метод исключения, содержащий полосу волновых
чисел конечного размера в инерциальной и диссипативной областях k-пространства. Усреднение
по модам в полосе k1 ≤ k ≤ k0 предшествовало такой же процедуре для k2 ≤ k ≤ k1. В общем случае
n-е волновое число определялось соотношением
k n = h n k0 , 0 ≤ h ≤ 1
(244)
для произвольного h.
Роуз сделал два предположения, каждое из которых представляется весьма обоснованным.
Он считал u+ малой по сравнению с u-, кроме того, он полагал, что u+ быстро осциллирует
(изменяется) в масштабе времени величины u-. После этого непосредственное применение метода
итеративных возмущений приводит к стационарной точке, соответствующей перенормированной
(подсеточной) скалярной диффузии.
Однако когда мы рассматриваем, как теория Роуза решает сложные проблемы модовой
связи, мы обнаруживаем, что первое из этих предположений не справедливо в той форме, в какой
мы его рассматривали. Это является следствием того, что Роуз изучал явно линейную задачу
скалярной конвекции, в которой тройная нелинейность по u- не возникает. Вместо этого он
столкнулся с аналогичным членом <φ< u- u->, который он рассматривал как часть нового
скалярного диффузионного уравнения. Это уравнение является новым, проявляющим некоторую
инвариантность по отношению к RG преобразованиям, но последнее содержит дополнительное
обрезание в каждом цикле итераций для того, чтобы поддержать эту инвариантность. Вторая
проблема, связанная с частичным усреднением по u+, просто проигнорирована за счет
интерпретации u+ и u- как не зависимых статистически. После этого частичное усреднение
становится просто комбинированием фильтра и среднего по ансамблю.
Различные методы, называемые методом итеративного усреднения, восходят к работе
МакКомба (1982), где было введено рейнольдсовское среднее, согласно которому уравнение
движение сначала подвергается процедуре последовательного условного усреднения, а затем
вычитается из неусредненного уравнения. В результате было получено уравнение для
коротковолновых мод, которое не содержало членов, нелинейных по длинноволновым модам,
благодаря чему проблема тройной нелинейности не возникала [МакКомб, Шанмугасундарам,
1983].
Помимо этого теория использует те же предположения для поля скорости, что и у Роуза
(1977) для скалярного случая, поэтому рекурсивные соотношения приводят к стационарной точке,
в которой перенормированная вязкость не зависит от произвольно выбранной молекулярной
вязкости ν0. Коротко сформулируем окончательный результат.
Если νn(k′) перенормированная вязкость после исключения n -й оболочки волновых чисел,
то введем автомодельный вид
н n ( k ) = б 1/ 2 е 1/ 3 k n−4 / 3 н% n ( k ′)
,
(245)
где α - постоянная Колмогорова, ε - скорость диссипации и kn - волновое число обрезания после
исключения n-й оболочки.
Затем с помощью масштабного множителя h в соответствии с соотношением (245)
рекурсивное соотношение для н% n ( k ′) записывается как
н% n +1 (k ′) = h 4 / 3 [н% n (hk ′) + дн% n (hk ′) ]
где приращение к вязкости имеет вид
(246)
дн% n ( k ′) =
1
L(k ′, j′)l ′−11/ 3
′
d
j
2р k ′2 ∫ н% n ( j ′) j ′2 + н% n (l ′)l ′2
(247)
Затем выписывается перенормированное диссипативное соотношение [МакКомб, 1986] в
форме
kn
е = ∫ 2нn (k ) k 2 E ( k ) dk
0
.
(248)
Это позволяет вычислить постоянную Колмогорова. Не смотря на то, что величина этой
постоянной была в хорошем согласии с экспериментом, была показана ее нефизическая
зависимость от скалярного параметра h (как в результатах Роуза). Эта зависимость была объяснена
неправильной связью между условным средним и обычным средним по ансамблю.
В ряде статей [МакКомб иУатт, 1990, 1992; МакКомб, Робертс и Уатт, 1992] была сделана
попытка улучшить итеративный метод усреднения и поставить его на твердое основание. Это
потребовало развития хорошо разработанного формализма, в котором условное усреднение
определено по смещенному подансамблю при обычном среднем по ансамблю, определенном по
всему представительному ансамблю. Условное среднее по u+ (в котором u- считается постоянной)
впоследсвии связывается с безусловным усреднением по всему ансамблю с помощью разложения
u + = V + + Δ+
(249)
где V+ не зависит от u-, и, следовательно, может быть усреднено безусловно, в то время как Δ+
отражает влияние взаимодействия мод на условное среднее.
Этот формализм является очень общим и может применяться для рассмотрения проблем с
межмодовым взаимодействием, но его применение для некоторых частных физических систем
нуждается в предположении о связи между V+ и u+, таком, что Δ+ можно считать малой. Для случая
турбулентности вера в то, что энергетический каскад является локальным в пространстве
волновых чисел, предполагает, что соответствующее соотношение можно получить, беря V+
определенном посредством разложения первого порядка u+ в ряд Тейлора в окрестности k = k0 для
первой полосы волновых чисел, подлежащей исключению, а затем обобщая эту процедуру на
последующие полосы.
Как и ранее, возьмем автомодельную эффективную вязкость н% n ( k ′) для n-й исключаемой
полосы в соответствии с (246), но теперь рекурсивное соотношение для автомодельной вязкости
принимает вид
н% n +1 (k ′) = h 4 / 3 н% n (hk ′) + h−4 / 3дн% n (hk ′) ,
(250)
Это изменяет рекурсивное соотношение (сравните с (246) в ранних вариантах теории) в
направлении исправления ошибки. Однако новый способ проведения условного усреднения
приводит к новым приращениям в описанных выше уравнениях для рекурсивных соотношений,
так что
дн% n (k ′) =
1
L(k ′, j′)Q′
dj′
2 ∫
4р k ′
н% n (hj ′) j ′2 + н% n (hl ′)l ′2
для полосы волновых чисел
0 ≤ k ′ ≤ 1; 1 ≤ j ′, l ′ ≤ h −1 ,
где l′ = |k′ - j′| и Q′ определено соотношением
(251)
Q′ = h11/ 3 −
11 14 / 3
h (l ′ − h−1 ) + O(з 2 )
3
,
(252)
где η - параметр, определяющий ширину полосы и связанный с масштабным множителем h
формулой h = 1 - η.
Вычисления, выполненные с помощью описанной процедуры, дают спектральную
постоянную Колмогорова a = 1,60 ± 0,01 независимо от ширины полосы в области 0,25 ≤ η ≤ 0,45.
Этот метод был применен к описанию конвекции пассивного скаляра [Уатт, 1991], где была
получена перенормированная скалярная диффузия. В этих вычислениях была получена
спектральная константа Обухова-Коррзина β = 1,02 ± 0,01 для полосы 0,17 ≤ η ≤ 0,33.
Соответствующие числа Прандтля равнялись 0,6-0,7.
Числа, которые появляются в этих вычислениях, являются хорошими, и количественное
поведение такой RG теории, вообще говоря, удовлетворительно. Эти улучшения
рассмотренной итеративной теории усреднения можно приписать тому факту, что процедура
исключения мод является рациональным приближением к уравнению Навье-Стокса в том смысле,
что все члены, которыми пренебрегли, имеют
порядок η2 или более высокий, где η - безразмерный параметр, определяющий ширину полосы.
Это показано на рис. 11, где представлено изменение постоянной Колмогорова в зависимости от η
для старой теории итеративного усреднения и для двухполевой теории.
Рис.11. Сравнение постоянной Колмогорова α, вычисленной
с помощью теории итеративного усреднения, с новыми
вычислениями, использующими двухполевую теорию,
в виде функции ширины полосы η
Несмотря на препятствия, возникающие в процессе приложения пертурбативной RG к
уравнениям Навье-Стокса, которые отмечались в работе МакКомба и Шанмугасундарама (1983),
Жу и др. (1988) предположили, что метод Роуза (1977) может быть применен к полю скорости.
Они показали, что член с тройным моментом является существенным при рассмотрении сильных
взаимодействий в окрестности границы между исключаемыми и оставляемыми волновыми
числами.
Их выражение для автомодельной вязкости отличается от всего, что было получено в
какой-либо версии итеративного усреднения, и имеет вид
нn (kn +1k ′) = б 1/ 2 е 1/ 3 kn−+41/ 3 н% n (k ′) ,
(253)
хотя их форма рекурсивного соотношения совпадает с (246) (но отличается от (250)). Выражение
для приращения вязкости задается в этом случае формулой
% n ( k ′) =
дн
1
L( k ′, j′)l ′−11/ 3
′
+
d
j
% n ( hj ′) j ′2
2р k ′2 ∫
н
n −1
+∑
i =0
h −4( n −i ) / 3
L( k ′, j′)l ′−11/ 3
′
d
,
j
% i ( h ( n −i ) j ′) j ′2
4р k ′2 ∫ н
(254)
где волновые числа ограничены соотношениями
0 < k ′ < 1,
h n −1 < j ′ < h n −i −1 .
Это выражение для приращения существенно отличается от всего того, что было рассмотрено в
предыдущих пунктах. Однако оно очень похоже на выражение Роуза (1977) для скалярного
случая. В частности, второй член, который не имеет аналога в какой-либо форме итеративного
усреднения, возникает из переразложения тройной нелинейности в каждом цикле итераций. Цена
за это - некоторая форма инвариантности, которую надо наложить на процедуру обрывания λразложения для u- в каждом цикле.
Особый интерес в этой работе представляет исследование влияния тройной нелинейности
на перенос энергии. Перенос энергии и спектральная вихревая вязкость были проанализированы с
помощью прямого численного моделирования, в котором вводилось искусственно обрезание на
волновых числах kc, меньших максимальных разрешенных в численном анализе волновых чисел
km. Таким способом было возможно оценить влияние мод в полосе kc < k < km на разрешенные
масштабы, у которых k < kc. Уравнение энергии было сформировано из уравнений Навье-Стокса
обычным образом. Затем, введя T><(k) и T>>(k) для представления передачи энергии к моде k,
возникающей за счет взаимодействия с одной или обеими модами выше параметра обрезания kc
соответственно Жу и Вахала (1993), получили следующее:
1. T>>(k) отводит энергию из всех явных масштабов способом, который согласуется с идеей
вихревой вязкости.
2. T><(k) управляет локальным потоком энергии через границу kc.
Соответствующие (по энергии) вихревые вязкости ν><(k) и ν>>(k) могут быть определены
><
по T (k) и T>>(k) для заданного спектра энергии E(k). Это делается с помощью соотношений
н>> (k ) = −T >> (k ) / 2k 2 E (k ) ,
ν >< (k ) = −T >< (k ) / 2k 2 E (k ) .
При этом было получено, что квадратичный вклад ν>>(k) (несмотря на его различное определение)
ведет себя как соответствующая вихревая вязкость из итеративного усреднения. Наоборот,
качественно наиболее важная черта величины ν><(k) заключена в очень резком ее увеличении при
k → kc.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В предыдущих пунктах нами рассмотрены возможности методов перенормировки при
создании теории турбулентности. Теперь мы сделаем попытку оценить успешность этих теорий.
Фактически это означает, что мы хотим сравнить их предсказания с результатами, полученными
из эксперимента. А под экспериментами будем подразумевать не только течения жидкости в
лабораторных условиях или в естественных природных условиях, но также результаты прямого
численного моделирования уравнений Навье-Стокса на компьютерах.
Можно заметить здесь, что экспериментальная ситуация далека от удовлетворительной.
Точность получаемых данных в этой области значительно меньше, чем в других сопоставимых
областях физики твердого тела. Как мы уже указывали, отдельные экспериментальные измерения
колмогоровской спектральной постоянной могут быть сделаны с тремя значащими цифрами, но
неопределенность возникает при сравнении результатов различных авторов. Фактически
экспериментальная область значений этой константы определяется неравенством 1,20 ≤ a ≤ 2,20,
хотя многие исследователи сходятся на значении a ≈ 1,5. (При этом существование закона «-5/3»
сомнения не вызывает.)
Мы только слегка затронем здесь вопросы сравнения. Более подробное рассмотрение
приведено в работе [МакКомб, 1990]. Кроме того, поскольку общая методология и даже цели RPT
и RG теорий отличаются очень сильно, будем проводить сравнения для них отдельно.
Все RPT теории являются отрезками второго порядка перенормированных пертурбативных
разложений. Существование перенормировки устраняет одну неопределенность, а именно:
неперенормированное примитивное пертурбативное разложение, как оказывается, перестает
действовать уже в низших порядках. Как мы видели ранее, такие разложения являются сильно
расходящимися по причине комбинаторного эффекта (число членов возрастает очень быстро с
порядком итераций), а также потому, что эффективным параметром разложения является число
Рейнольдса, которое очень велико. К сожалению, перенормировка не добавляет определенности, а
только вселяет надежду, что обрыв ряда на втором порядке может служить, в некотором смысле,
хорошей аппроксимацией к реально протекающим физическим процессам.
Сказав так, мы возвращаемся к положительным результатам, заметив прежде, что все
рассмотренные теории воспроизводят исходные симметрии уравнений Навье-Стокса в том
смысле, что они сохраняют энергию и импульс. По этой причине будем различать их по тому,
насколько правильно они описывают поведение в инерционной области. Надо подчеркнуть здесь,
что эти теории, по размерности, совместимы с колмогоровским спектром [Эдвардс, 1965], но те
теории, которые здесь отнесены к RPT теориям первого рода, дают в функции отклика
расходящийся в пределе бесконечных чисел Рейнольдса интеграл, что приводит к бесконечному
значению константы Колмогорова.
При проведении более общих количественных и качественных оценок RPT теорий мы
полагаемся на небольшое число исследований свободно затухающей турбулентности, в которой
начальный спектр считается заданным, а уравнения для функций отклика (или пропагатора)
решаются по времени вперед. Пионерской работой в этой области была работа Кречнана (1964с,
1965), затем следовали работы Геринга и Кречнана (1972, 1979), МакКомба и Шанмугасундарама
(1984), Кото, Канеды и Бекки (1988), МакКомба, Шанмугасундарама и Хатчинсона (1989),
МакКомба, Филипяка и Шанмугасундарама (1992).
Приведем здесь только представительный пример результатов подобных вычислений, и
ради удобства мы возьмем их из работы МакКомба и Шанмугасундарама (1984) и МакКомба и др.
(1992).
На рис. 12. продемонстрирован одномерный спектр для низких и умеренных чисел
Рейнольдса порядка Rλ = 40, где Rλ - число Тейлора-Рейнольдса, подсчитенное по
среднеквадратичной скорости и тейлоровскому микромасштабу, определенному формулой (79).
Продемонстрированные спектры определены для произвольных начальных условий с помощью
LET и DIA теорий. Они получены в условиях, когда все интегральные параметры достигают своей
постоянной величины. На этом рисунке полученные спектры сравнены с экспериментальными
результатами некоторых исследований. Можно видеть, что теории согласуются с экспериментом
очень хорошо, по крайней мере, так же хорошо, как и экспериментальные результаты согласуются
друг с другом.
Рис.12. Одномерный спектр для низких и умеренных чисел Рейнольдса, подсчитанный с помощью LET и
DIA теорий.
LET ——, DIA -----. Экспериментальные результаты: ·, Rλ = 39,4 (Стюарт и Таунсенд, 1951); ○, Rλ = 49,0 и
●, Rλ = 35,0 (Чен, 1968); ', Rλ = 38,1 и ▲, Rλ = 36,6 (Комте-Беллот и Коррзин, 1971); ▼, Rλ = 45,2 (Френкель
и Клебанов, 1971)
Среди интегральных параметров, которые определяют, является ли спектр установившимся, надо
указать коэффициент асимметрии. Было установлено, что турбулентное поле скорости не является
нормально распределенным. Одним из показателей отклонения распределения от гауссовского
является коэффициент асимметрии [МакКомб, 1990]. Помимо большого физического значения
коэффициент асимметрии имеет практическое значение, так как с помощью него можно очень
точно различать результаты различных теорий. На рис. 13 показан расчетный коэффициент
асимметрии S(t) в виде функции от времени для LET, DIA и SCF теорий. «Новая» форма LET, так
же, как и старая, некорректна. Эти вычисления были проведены для установившегося числа
Тейлора-Рейнольдса Rλ = 15 и сравнены с данными, полученными в пионерской работе Орзага и
Паттерсона (1972), посвященной численному моделированию. Очевидно, что LET теория дает
заниженное значение коэффициента асимметрии на малых временах, но устанавливается на
больших временах на значениях, хорошо согласующихся с экспериментом.
На рис. 13 расчеты для всех трех теорий были сделаны в работе МакКомба и
Шанмугасундарама (1984), которая устанавливает строгую совместимость трех теорий.
На рис. 14 это не так: одномерный спектр по LET теории, согласно работе МакКомба и
Шанмугасундарама (1984), сравнен с предсказаниями, полученными в работе Геринга и Кречнана
(1979) по теории лагранжевых траекторий ALHDI и SBALHDI. В этом случае число
Тейлора-Рейнольдса равно Rλ = 500, которое является достаточно большим для наблюдаемой
инерционной области колмогоровского типа. Ясно, что (допуская, как и ранее, разброс данных
эксперимента), указанные три теории согласуются с экспериментом и оказываются
сопоставимыми с колмогоровским распределением.
Рис. 13. Эволюция фактора скоса для низких чисел Рейнольдса.
LET (новая форма) ——, LET (старая форма) – – –, DIA -----,
SCF — - —. Экспериментальные результаты: ○, ', □ (Орзаг и Паттерсон, 1972)
Особенно интересно, что чисто эйлеровская LET теория ведет себя очень схоже с теориями
лагранжевых траекторий.
Степень несовпадения между ними может быть обусловлена применением различных
численных методов в конкретных исследованиях [МакКомб и Шанмугасундарам, 1984]. Напротив,
на рис. 15 установившиеся одномерные спектры вычислены одним и тем же методом для трех
чисто эйлеровских теорий LET, DIA и SCF для значительно большего числа Рейнольдса Rλ = 1040.
Результат является удивительным, так как все три теории согласуются до неразличимости и все
три совместимы с колмогоровским спектром. Как бы то ни было, результаты подтверждают, что
RPT теории заслуживают большего внимания.
Рис. 14. Одномерный спектр при больших числах Рейнольдса:
сравнение LET теории и теории лагранжевых траекторий
с экспериментом. Теория: LET ——, ALHDI — - —,
SBALHDI — - - —. Эксперимент: ○, ●, ', ▲, Rλ = 2000 (Грант и др., 1962); ■, Rλ = 538 (Кистлер и
Вребалович, 1966);·, Rλ = 308 (Уберой и Фреймут, 1969); □, Rλ = 850 (Коантиц и Фавр, 1974)
Рис. 15. Сравнение чисто эйлеровских теорий при больших числах Рейнольдса (Rλ = 1040). LET——, DIA
— - —, SCF -----.
Не вдаваясь в подробности здесь уместно заключить, что все теории, рассмотренные выше,
согласуются с экспериментальной картиной достаточно хорошо в пределах разброса
экспериментальных данных. Этот общий результат обнадеживает и более важен, чем некоторые
детали различий между теориями. Теоретические построения при исследовании турбулентности
пользуется дурной славой в связи со своей сложностью, но тем не менее дают хорошие
результаты, согласующиеся с экспериментом, без использования ad hoc методов или подгоночных
констант, что весьма примечательно. Однако, без сомнения, существует необходимость для
улучшения методов этих теорий, а это можно ожидать в свою очередь после лучшего понимания
физических явлений, лежащих в основе турбулентного движения.
Напротив, как мы видели, большинство ренормгрупповых теорий макроскопических
движений жидкости связано с ситуацией, когда действительное движение жидкости сильно
управляется взбалтывающей силой. Это очень искусственная ситуация, и здесь было мало
попыток получить количественные оценки. Однако (как и в других разделах физики) прямое
численное моделирование может дать соответствующий стандарт сравнения, но препятствием
здесь является то, что различие между моделями FNS типа и турбулентностью жидкости гораздо
больше, чем между моделью Изинга и ферромагнитной решеткой. Вероятно, более подходящей
теорией для турбулентности могут служить новые оболочечные модели [Эйнк, 1993] или строго
переномируемые модели для скалярного переноса [Авеланеда и Майда, 1992], поэтому можно
ожидать развития в этой области в ближайшие несколько лет.
Там, где RG метод был применен к проблеме вычисления подсеточной вязкости,
качественное поведение физически приемлемо, а предсказываемое значение константы
Колмогорова находится в хорошем согласии с экспериментом. Однако еще отсутствует
критическая проверка теории, и существует настоятельная необходимость детального
количественного исследования погрешностей.
В данной работе мы представили очень узкий взгляд на теорию турбулентности,
концентрируя внимание на методах перенормировки и подчеркивая сходство между проблемой
турбулентности и другими проблемами теории поля и статистической физики. В
действительности, с точки зрения фундаментальности, это наиболее развитые и наиболее
подходящие теории, но они не дают всей картины исследований. Мы, например, проигнорировали
вихревой метод, который может оказаться более естественным способом описания
турбулентности [Шорин, 1994], многочисленные феноменологические модели, которые
доминируют в инженерных исследованиях [Роди, 1980], и совсем не упомянули исследования
малоразмерного хаоса, который, возможно, способен привести к созданию теории
турбулентности. Этот последний пункт можно описать как истинно физический подход, дающий
основу для исследований и движущийся от простого к сложному. К сожалению, он все еще мало
развит и в обзоре конечного объема необходимо принять некоторые ограничения.
В данном обзоре не дано полное обоснование теоретических методов, а в области
эксперимента не описана вся его сложность и привлекательность. В связи с этим заметим, что в
последние два десятилетия обнаружилось, что движение жидкости, являющейся сложнейшей
естественной нелинейной системой, необычайно богато удивительными явлениями. Это
справедливо для простых жидкостей даже при малых числах Рейнольдса, но это справедливо в
гораздо большей степени для гетерогенных систем, особенно в турбулентном режиме. В
последнем случае уменьшение турбулентного трения за счет введения полимерной добавки наиболее яркий пример, в котором турбулентное трение может быть уменьшено на 95 %. В этом
явлении мы встречаемся с макроскопическим аналогом явления сверхтекучести, который можно
наблюдать в лабораторных условиях при нормальной температуре. Возможно, поскольку
линейные проблемы уже решены в физике, и традиционные области физики конденсированного
состояния превратились в электротехнику, материаловедение или инженерные науки, ученые в
области фундаментальных наук могут с большей энергией обратиться к исследованиям
макроскопического движения жидкости. Нам представляется, что это то направление, в котором
каждый может найти область применения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
1.
Avellaneda M., Majda A.J. 1992. Phys. Fluids A 4. 41.
2.
Bakewell H.P., Lumley J.L. 1967. Phys. Fluids 10. 1880.
3.
Balescu R., Senatorski A 1970. Ann. Phys. NY 58. 587.
4.
Balescu R. 1975 Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics (New York:
Wiley)
5.
Bazdenkov S.V., Kukharkin N.N. 1993 Phys. Fluids A 5. 2248.
6.
Batchelor G.K. 1952. Proc. Roy. Soc. A. 213. 349.
7.
Batchelor G.K. 1967. An Introduction to Fluid Dynamics (Cambridge: Cambridge
University Press)
8.
Batchelor G.K. 1971. The Theory of Homogeneous Turbulence 2nd edn (Cambridge:
Cambridge University Press)
9.
Birnbaum Z.W. 1964. Introduction to Probability and Mathematical Statistics (New York:
Harper)
10.
Brown G.L., Roshko A. 1974. J. Fluid Mech. 64. 775.
11.
Brown L.W.B., Antonia R.A., Rajagopalan S. 1983. Phys. Fluids 26. 1222.
12.
Champagne F.H., Harris V.G., Corrsin S. 1970. J. Fluid Mech. 41. 81.
13.
Chen W.Y. 1968. Spectral energy transfer and higher-order correlations in grid
turbulence, PhD thesis, University of California, San Diego
14.
Chen S., Kraichnan R.H. 1989. Phys. Fluids A 1. 2019.
15.
Chorin A. 1994. Vorticity and Turbulence (New York: Springer)
16.
Coantic M., Favre A. 1974. Adv. Geophys. 18A. 391.
17.
Cocke W.J. 1969. Phys. Fluids 12. 2488.
18.
Comte-Bellot G., Corrsin S. 1971. J. Fluid Mech. 48. 273.
19.
Corrsin S. 1972. Phys. Fluids 19. 1370.
20.
Dannevik W.P., Yakhot V., Orszag S.A. 1987. Phys. Fluids 30. 2021.
21.
DeDominicis C., Martin P.C. 1979. Phys. Rev. A 19. 419.
22.
Dhar D. 1976. Phys. Fluids 19. 1059.
23.
Driscoll R.J. Kennedy L.A. 1983. Phys. Fluids 26. 1228.
24.
Edwards S.F. 1964. J. Fluid Mech. 18. 239.
25.
Edwards S.F. 1965. Int. Conf. on Plasma Physics, Trieste (Vienna: IAEA) p. 595.
26.
Edwards S.F., McComb W.D. 1969. J. Phys. A 2. 157.
27.
Eyink G.L. 1993. Phys. Rev. E 48. 1823.
28.
Eyink G.L. 1994. Phys. Fluids 6. 3063.
29.
Forster D., Nelson D.R., Stephen M.J. 1976. Phys. Rev. Lett. 36. 867.
30.
Forster D., Nelson D.R., Stephen M.J. 1977. Phys. Rev. A 16. 732.
31.
Frenkiel F.N., Klebanoff P.S. 1967. Phys. Fluids. 10. 1737.
32.
Frenkiel F.N., Klebanoff P.S. 1971. J. Fluid Mech. 48. 183
33.
Frenkiel F.N., Klebanoff P.S. 1973. Phys. Fluids. 16. 725.
34.
Gibson C.H., Stegen G.R., Williams R.B. 1970. J. Fluid Mech. 41. 153.
35.
Goldstein S. 1938. Modern Developments in Fluid Dynamics (Oxford: Clarendon)
(Reprinted by Dover Publications, New York, 1965)
36.
Gotoh T., Kaneda Y., Bekki N. 1988. J. Phys. Soc. Japan. 57. 866.
37.
Gotoh T., Rogallo R.S., Herring J.S., Kraichnan R.H. 1993. Phys. Fluids. A 5. 2846.
38.
Grant H.L. Stewart R.W., Moilliet A. 1962. J. Fluid Mech. 12. 241.
39.
Heisenberg W. 1948a. Z. Phys. 124. 628.
40.
Heisenberg W. 1948b. Proc. Roy. Soc. A 195. 402.
41.
Herring J.R. 1965. Phys. Fluids. 8. 2219.
42.
Herring J.R. 1966. Phys.Fluids. 9. 2106.
43.
Herring J.R., Kraichnan R.H. 1972. Statistical Models and Turbulence ed. M. Rosenblatt
and C. Van Atta (Lecture notes in physics, vol. 12, p. 148) (Berlin: Springer)
44.
Herring J.R., Kraichnan R.H. 1979. J. Fluid Mech. 91. 581.
45.
Hinze J.O. 1975. Turbulence 2nd edn (New York: McGraw-Hill)
46.
Horner H., Lipowsky R. 1979. Z. Phys. B 33. 223.
47.
Hussain A.K.M.F., Reynolds W.C. 1975. J. Fluid Eng. 97. 568.
48.
Kaneda Y. 1981. J. Fluid Mech. 107. 131.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
49.
Kaneda Y 1986. Phys. Fluids. 30. 701.
50.
Kistler A.L., Vrebalovich T. 1966. J. Fluid Mech. 26. 37.
51.
Kolmogorov A.N. 1941a. C. R. Acad. URSS. 30. 301.
52.
Kolmogorov A.N. 1941b. C. R. Acad. URSS. 32. 16.
53.
Kraichnan R.H. 1964a. Phys. Fluids 7. 1163.
54.
Kraichnan R.H. 1964b. Phys. Fluids 7. 1723.
55.
Kraichnan R.H. 1964c. Phys. Fluids 7. 1030.
56.
Kraichnan R.H. 1965. Phys. Fluids 8. 575.
57.
Kraichnan R.H. 1966. Phys. Fluids 9. 1728.
58.
Kraichnan R.H. 1977. J. Fluid Mech. 83. 349.
59.
Kraichnan R.H., Herring J.R. 1978. J. Fluid Mech. 88. 355.
60.
Kreplin H-P., Eckelmann H. 1979. Phys. Fluids 22. 1233.
61.
Kubo R. 1966. Rep. Prog. Phys. 24. 255.
62.
Lam S.H. 1992. Phys. Fluids. A 4. 1007.
63.
Laufer J. 1951. NACA Rep. 1053.
64.
Laufer J. 1954. NACA Tech. Rep. 1174.
65.
Lawn C.J. 1971. J. Fluid Mech. 48. 477.
66.
Lee L.L. 1965. Ann. Phys. NY 32. 292.
67.
Lesieur M. 1987. Turbulence in Fluids (Dordrecht: Martinus Nijhoff)
68.
Leslie D.C. 1973. Developments in the Theory of Turbulence (Oxford: Clarendon)
69.
Lin J-T. 1972. Phys. Fluids. 15. 205.
70.
McComb W.D. 1974. J. Phys. A: Math. Nucl. Gen. 7. 632.
71.
McComb W.D. 1976. J. Phys. A: Math. Gen. 9. 179.
72.
McComb W.D. 1978. J. Phys. A: Math. Gen. 11. 613.
73.
McComb W.D. 1982. Phys. Rev. A. 26. 1078.
74.
McComb W.D. 1986. Direct and large eddy simulation of turbulence (ed. U. Schumann and
R. Friedrich) Notes on numerical fluid mechanics, vol. 15 (Braunschweig: Vieweg)
McComb W.D. 1990. The Physics of Fluid Turbulence (Oxford: Oxford University Press)
75. 75.
McComb W.D., Shanmugasundaram V. 1983. Phys. Rev. A. 28. 2588.
76. 76.
McComb W.D., Shanmugasundaram V.1984. J. Fluid Mech. 143. 95
77. 77.
78. 78.
McComb W.D., Shanmugasundaram V., Hutchinson P. 1983. J. Fluid Mech. 208. 91.
McComb W.D., Watt A.G. 1990. Phys. Rev. Lett. 65. 3281
79. 79.
McComb W.D., Watt A.G. 1992. Phys. Rev. A. 46. 4797
80. 80.
McComb W.D., Roberts W., Watt A.G. 1992. Phys. Rev. A 45. 3507.
81. 81.
McComb W.D., Filipiak M.J., Shanmugasundaram V. 1992. J. Fluid Mech. 245. 279.
82. 82.
Ma S.K., Mazenko G. 1975. Phys. Rev. B. 11. 4077.
83. 83.
84. 84.
Martin P.C., Siggia E.D., Rose H.A. 1973. Phys. Rev. A 8. 423.
Monin A.S., Yaglom A.M. 1975. Statistical Fluid Mechanics vol.2, Mechanics of
85. 85.
turbulence (Cambridge, MA: MIT Press)
Nakano T. 1988. Phys. Fluids. 31. 1420.
86. 86.
Nelkin M., Tabor M. 1990. Phys. Fluids. A 2. 81.
87. 87.
88. 88.
Novikov E.A. 1965. Sov. Phys. – JETP. 20. 1290.
O’Brien E.E., Francis G.C. 1962. J. Fluid Mech. 13. 369.
89. 89.
Ogura Y. 1963. J. Fluid Mech. 16. 33.
90. 90.
Orszag S.A. 1969. Stud. Appl. Maths. 48. 275.
91. 91.
Orszag S.A. 1970a Phys. Fluids. 13. 2203.
92. 92.
Orszag S.A. 1970b J. Fluid Mech. 41. 363.
93. 93.
94. 94.
Orszag S.A., Kruskal M.D. 1968. Phys. Fluids. 11. 43.
Orszag S.A., Patterson G.S. 1972. Phys. Rev. Lett. 28. 76.
95. 95.
Pandya R.V.R, McComb W.D. The LET theory and its possible application to turbulent
96. 96.
shear flows. ERCOFTAC UK South Special Topic Group on Turbulence Structure. 28 June 1996.
University of Surrey, Guilford, UK.
Pao Y-H. 1965. Phys. Fluids. 8. 1063.
97. 97.
Pao Y-H. 1968. Phys. Fluids. 11. 1371.
98. 98.
Phythian R. 1969. J. Phys A: Gen. Phys. 2. 181.
99. 99.
100. 100. Proudman I., Reid W.H. 1954. Phil. Trans. Roy. Soc. A 247. 163.
101. 101. Qian J. 1983. Phys. Fluids. 26. 2098.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
102. Qian J. 1990. J. Fluid Mech. 217. 203.
103. Reichl L.E. 1980. A Modern Course in Statistical Physics (London: Edward Arnold)
104. Reynolds O. 1983. Phil. Trans. Roy. Soc. A. 175. 935.
105. Robertson H.P. 1940. Proc. Camb. Phil. Soc. 36. 209.
106. Rodi W. 1980. Turbulence Models and their Application in Hydraulics IAHR
107. Rose H.A. 1977. J. Fluid Mech. 81. 719.
108. Sanda T., Shanmugasundaram V. 1992. Phys. Fluids A 4. 1245.
109. Schlichting H. 1968. Boundary Layer Theory (6th edn) (London: Pergamon Press)
110. Shannon C.E., Weaver W 1949. The Mathematical Theory of Communication (Urbana, IL:
University of Illinois Press)
111. Shore J.E., Johnson R.W. 1980. IEEE Trans. Inform Theory. 26. 26.
112. Siggia E.D., 1977. Phys. Rev. A 15. 1730.
113. Stewart R.W., Townsend A.A. 1951. Phil. Trans. Roy. Soc. A. 243. 359
114. Tatsumi T. 1957. Proc. R. Soc. A. 239. 16.
115. Taylor G.I. 1935. Proc. R. Soc. A. 151. 421.
116. Taylor G.I. 1938. Proc. R. Soc. A. 164. 476.
117. Tennekes H. 1968. Phys. Fluids. 11. 246.
118. Tennekes H., Lumley J.L. 1972. A First Course in Turbulence (Cambridge, MA: MIT
Press)
119. Uberoi M.S., Freymuth P. 1969. J. Fluid Mech. 12. 1359.
120. Van Atta C.W., Chen W.Y 1969. J. Fluid Mech. 38. 743.
121. Van Atta C.W., Yeh T.T. 1970. J. Fluid Mech. 41. 169
122. Watt A.G. 1991. A study of isotropic turbulence. PhD thesis, University of Edinburgh.
123. Wilson K.G., Kogut J. 1974. Phys. Rep. 12C. 75.
124. Wilson K.G., 1975. Rev. Mod. Phys. 47. 773.
125. Wyld H.W. 1961. Ann. Phys. NY 14. 143.
126. Yakhot V., Orszag S.A. 1986. J. Sci. Comput. 13.
127. Zaman K.B.Q., Hussain A.K.M.F. 1981. J. Fluid Mech. 112. 379.
128. Zhou Y., Vahala G. 1993. Phys. Rev. E 47. 2503.
129. Zhou Y., Vahala G., Hossain M. 1988. Phys. Rev. A 37. 2590.
Учебное издание
ХЛОПКОВ Юрий Иванович
ЖАРОВ Владимир Алексеевич
ГОРЕЛОВ Сергей Львович
ЛЕКЦИИ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ
ИССЛЕДОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Редактор И.А. Волкова
Корректор О.П. Котова
Подписано в печать .03.2005. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная Печать офсетная. Усл. печ л. 11,0. Уч.- изд. л. 10,8.
Тираж 500 экз.
Заказ № фГосударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских систем
“ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ”
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
Для заявок: тел. (095) 408-58-22 rio@mail.mipt.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
53
Размер файла
1 604 Кб
Теги
лекция, теоретические, методами, pdf, 2005, турбулентность, исследование, хлопков
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа