close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Баутин Н.Н. Леонтович Е.А. - Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости .pdf

код для вставкиСкачать
Н.Н.Баутин, Е.А.Леонтович
МЕТОДЫ И ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ
Содержит справочный материал по теории динамических систем и
качественное исследование большого количества динамических систем из
приложений.
Цель книги — показать эффективность методов п приемов качественного
исследования динамических систем и одновременно естественность
использования этой теории при рассмотрении математических моделей реальных
систем.
Содержание
Предисловие к первому изданию
9
Часть I АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С
АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ
Глава 1. Общие сведения о динамической системе на плоскости.
11
Основные теоремы
§ 1. Автономная динамическая система на плоскости
11
§ 2. Теорема существования и единственности решения
12
§ 3. Простейшие свойства решений системы (А)
13
§ 4. Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой плоскости
15
(х, у)
§ 5. Сопоставление геометрической интерпретации системы (А) в
17
пространстве (x, у, t) с интерпретацией на фазовой плоскости
§ 6. Некоторые термины
18
§ 7. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных
19
условий
§ 8. Направление на траекториях. Изменение параметризации
19
§ 9. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической
22
системе
§ 10. Понятие интегральной кривой и интеграла в случае аналитических 23
правых частей Р(х, у) и Q(х, у) системы (А)
§ 11. Что значит "найти решение динамической системы"
25
§ 12. Примеры
26
§ 13. Замечания по поводу примеров § 12
35
§ 14. Математическое определение качественной (топологической)
37
структуры разбиения на траектории и качественного исследования
динамической системы
Глава 2. Возможный характер отдельной траектории. Теория
40
Пуанкаре — Бендиксона. Особые траектории
Введение
40
§ 1. Дуга без контакта
40
§ 2. Цикл без контакта
42
§ 3. Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная
43
траектория
§ 4. Основная теорема
§ 5. Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств
§ 6. Особые и неособые полутраектории и траектории
§ 7. Возможные типы особых, и неособых траекторий
§ 8. Случай конечного числа особых траекторий. Элементарные ячейки
§ 9. Возможные типы ячеек. Односвязные и двусвязные ячейки
§ 10. Два подхода к описанию качественной структуры
§ 11. Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в
случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической
системы
§ 12. Устойчивость по Ляпунову
Глава 3. Исследование качественной структуры окрестности
состояния равновесия (особой точки)
Введение
§ 1. Простые состояния равновесия (особые точки)
§ 2. Приведение динамической системы к каноническому виду
§ 3. Возможный характер простых состояний равновесия. Грубые
состояния равновесия
§ 4. Замечания о методах установления характера грубых состояний
равновесия
§ 5. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими
корнями
§ 6. Направления, в которых траектории стремятся к простым
состояниям равновесия
§ 7. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может
стремиться к простому состоянию равновесия
§ 8. Сводка сведений о грубых состояниях равновесия
Глава 4. Качественная структура окрестностей некоторых сложных
состояний равновесия
§ 1. Направления, в которых траектории стремятся к сложному
состоянию равновесия
§ 2. Сложное состояние равновесия (особая точка) с нулевыми
характеристическими корнями
§ 3. Примеры
§ 4. Нормальные формы
Глава 5. Функция последования. Простые и сложные предельные
циклы
§ 1. Функция последования
§ 2. Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки
точечного отображения
§ 3. Функция соответствия
§ 4. Изучение окрестности замкнутой траектории. Простые и сложные
предельные циклы
§ 5. Аналитические выражения для коэффициентов функции
46
48
50
52
53
55
56
57
63
65
65
65
66
68
69
70
75
77
80
84
84
86
91
94
95
95
97
98
99
103
последования. Характеристический показатель замкнутой
траектории
Глава 6. Некоторые приемы качественного исследования
§ 1. Некоторые признаки существования и отсутствия предельных
циклов
§ 2. Изучение поведения интегральных кривых в бесконечности. Сфера
Пуанкаре
§ 3. Примеры исследования в бесконечности
§ 4. Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных циклов
§ 5. Топографическая система Пуанкаре. Функция Ляпунова. Кривые
контактов
Часть II. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ
Глава 7. Двумерные консервативные системы. Неконсервативные
динамические системы теории колебаний. Общие теоремы
Введение
§ 1. Свойства консервативных систем на плоскости
§ 2. Динамические системы, характерные для теории колебаний
§ 3. Измененные системы. Системы, правые части которых зависят от
параметра
§ 4. Основные теоремы о зависимости решения от изменения правых
частей динамической системы
§ 5. Грубость динамической системы и теорема о непрерывной
зависимости решения от изменения правых частей
Глава 8. Грубые динамические системы
§ 1. Определение грубой динамической системы
§ 2. Состояния равновесия, возможные в грубой динамической системе
§ 3. Состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими
корнями
§ 4. Замкнутые траектории, возможные в грубой системе
§ 5. Поведение сепаратрис седел в грубых системах
§ 6. Необходимые условия грубости. Достаточность этих условий для
грубости системы
§ 7. Пространство динамических систем. Всюду плотность грубых
(двумерных) динамических систем
§ 8. Понятие грубости при более общих предположениях относительно
правых частей динамической системы
§ 9. Типы особых траекторий и ячеек в грубых системах
§ 10. Замечания по поводу определения грубой системы
Глава 9. Простейшие негрубые динамические системы — системы
первой степени негрубости
§ 1. Общие замечания
§ 2. Системы первой степени негрубости
§ 3. Состояния равновесия, возможные в системе первой степени
негрубости
106
106
107
109
113
118
128
128
128
133
131
133
136
138
138
141
142
143
145
145
147
148
151
153
155
155
155
157
§ 4. Замкнутые траектории, возможные в системе первой степени
негрубости
§ 5. Условия на сепаратрисы седел и седло-узлов в системе первой
степени негрубости
§ 6. Необходимые и достаточные условия первой степени негрубости
§ 7. Динамические системы более высокой степени негрубости
Глава 10. Бифуркации при изменении правых частей динамической
системы
§ 1. Определение бифуркации
§ 2. Бифуркации систем первой степени негрубости
§ 3. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек
§ 4. Бифуркации двукратной точки, для которой ∆=0 и σ= 0
§ 5. Рождение предельных циклов из особых траекторий степени
негрубости выше первой
Глава 11. Динамические системы, правые части которых содержат
параметры
§ 1. Возможный характер зависимости правых частей динамической
системы от параметров
§ 2. Смена качественных структур при изменении параметров
§ 3. Случай, когда правые части зависят более чем от одного параметра
§ 4. Бифуркации "от бесконечности"
§ 5. Условия существования седло-узла и сложного фокуса первого
порядка
§ 6. Поворот векторного поля
§ 7. Метод малого параметра. Метод Понтрягина
Глава 12. Динамические системы с цилиндрической фазовой
поверхностью
§ 1. Цилиндрическая фазовая поверхность и характер траекторий,
возможных на цилиндрической фазовой поверхности
§ 2. Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр
§ 3. Приемы исследования качественной структуры динамической
системы на цилиндре
§ 4. Понятие грубости и степени негрубости для динамических систем
на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля
§ 5. Динамические системы на цилиндре, близкие к гамильтоновым
(метод Понтрягина)
Глава 13. Адекватное истолкование нелинейных физических
явлений фактами качественной теории и теории бифуркаций
динамических систем
Введение
§ 1. Мягкий и жесткий режимы
§ 2. Замечания о границах области устойчивости различных
стационарных режимов
§ 3. Мягкое и жесткое возникновение колебаний
158
158
159
160
163
163
164
171
174
178
180
180
184
190
194
196
200
203
208
208
209
212
212
215
217
217
219
220
222
§ 4. "Безопасные" и "опасные" границы области устойчивости
состояний равновесия
§ 5. Замечания по поводу других границ области устойчивости
Часть III. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНКРЕТНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ
ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ
Глава 14. Общие замечания о приемах качественного исследования
Введение
§ 1. Некоторые рецептурные указания
§ 2. Некоторые простые примеры качественного исследования
динамических систем на плоскости
§ 3. Некоторые простые примеры динамических систем на цилиндре
Глава 15. Исследование методом малого параметра (методом
Понтрягина)
§ 1. Общие замечания
§ 2. Примеры рассмотрения методом Понтрягина (полное исследование)
§ 3. Исследование методом Понтрягина с привлечением
вычислительных методов
Глава 16. Качественное исследование динамических систем с
использованием приемов, опирающихся на теорию
бифуркаций
§ 1. Квадратичное дифференциальное уравнение
§ 2. Электрическая цепь с туннельным диодом
§ 3. Двумерная модель динамики твердотельного лазера
§ 4. Симметричный полет самолета в вертикальной плоскости (задача Н.
Е. Жуковского)
§ 5. Система, описывающая динамику проточного химического
реактора
§ 6. Фазовая автоподстройка частоты
§ 7. Частотно-фазовая автоподстройка частоты (случай существования
трех предельных циклов)
§ 8. Синхронный генератор с асинхронной характеристикой
Часть IV. КУСОЧНО-СШИТЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 17. Общие сведения о кусочно-сшитых системах
Введение
§ 1. Сшитые системы. Доопределение на линиях сшивания
§ 2. Возможные типы полутраекторий сшитых систем
§ 3. Особые траектории сшитых систем
§ 4. Бифуркации в сшитых системах. Метод Понтрягина для сшитых
систем
Глава 18. Исследование кусочно-сшитых систем методом
Понтрягина
§ 1. Уравнение из теории электрических машин
§ 2. Автоподстройка при кусочно-постоянной аппроксимации
225
234
237
237
241
243
252
258
258
260
272
285
285
292
305
313
324
334
340
345
357
357
359
361
363
367
382
382
388
характеристики
§ 3. Автоколебания синхронного мотора
Глава 19. Качественное исследование сшитых систем методами
теории бифуркаций
§ 1. Кусочно-линейная система с тремя параметрами
§ 2. Следящая система с люфтом
§ 3. Электрическая цепь с туннельным диодом
§ 4. Система со скачками на линии сшивания
Глава 20. Об аппроксимациях и грубости пространства параметров
Введение
§ 1. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях пилообразными
функциями
§ 2. Рассмотрение системы (2) при аппроксимации, включающей
отрезок параболы
§ 3. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях кусочно-постоянной
для sinϕ и пилообразной для cosϕ функциями
§ 4. Исследование роли аппроксимаций для уравнения маятникова типа
§ 5. Динамическая система, описывающая автоколебания синхронного
мотора
§ 6. Динамическая система, описывающая симметричный полет
самолета
Дополнение
§ 1. Динамические системы на двумерных поверхностях
§ 2. Динамические системы в n-мерном евклидовом пространстве
Список литературы
Список дополнительной литературы
392
399
399
404
408
418
431
431
433
437
439
444
449
458
463
463
467
476
483
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
31
Размер файла
9 007 Кб
Теги
метод, качественное, система, приема, плоскости, pdf, исследование, леонтович, динамическое, баутина
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа