close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Ника Д.Л. - Кинетические эффекты взаимодействия электронов с колебаниями в квантовых гетероструктурах (2006).pdf

код для вставкиСкачать
МОЛДАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах манускрипта
УДК 539.21
Ника Денис Леонидович
КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРОНОВ С
АКУСТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ В КВАНТОВЫХ
ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ
01.04.02 – теоретическая и математическая физика
Диссертация, представленная на соискание
учёной степени доктора физико-математических наук
Научный руководитель:
ПОКОТИЛОВ Е.П., член-корреспондент
АНМ, доктор хабилитат физ.-мат. наук,
профессор___________________________
Автор: Ника Д.Л.____________________
Кишинёв–2006
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................................... 4
ГЛАВА 1. АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ В ПЛОСКИХ МНОГОСЛОЙНЫХ
НАНОСТРУКТУРАХ ................................................................................................................ 11
1.1. Акустические фононы в плоских однородных наноструктурах.................................... 11
1.2. Конфайнмент фононов в плоских многослойных наноструктурах............................... 12
1.3. Дисперсии и групповые скорости акустических фононов в гетероструктурах ........... 15
1.4. Эффекты фононного обеднения и обогащения в гетероструктурах ............................. 30
1.5. Заключение.......................................................................................................................... 36
ГЛАВА 2. АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КВАНТОВЫХ
НИТЯХ, ПОКРЫТЫХ ОБОЛОЧКОЙ .................................................................................. 37
2.1. Прямоугольные квантовые нити как объект изучения ................................................... 37
2.2. Конфайнмент фононов в прямоугольных квантовых нитях, покрытых оболочкой.... 38
2.3. Дисперсии и групповые скорости фононов в прямоугольных гетеронитях ................ 41
2.4. Заключение.......................................................................................................................... 51
ГЛАВА 3. АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КВАНТОВЫХ
НИТЯХ, ПОКРЫТЫХ ОБОЛОЧКОЙ .................................................................................. 53
3.1. Цилиндрические квантовые нити как объект изучения ................................................. 53
3.2. Конфайнмент фононов в цилиндрических квантовых нитях, покрытых оболочкой .. 53
3.3. Дисперсии и групповые скорости фононов в цилиндрических гетеронитях............... 56
3.4. Эффекты фононного обеднения и обогащения в цилиндрических гетеронитях ......... 60
3.5. Заключение.......................................................................................................................... 65
ГЛАВА 4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В КВАНТОВЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ 66
4.1. Скорость рассеяния конфайнмент электронов конфайнмент акустическими фононами
в трёхслойных гетероструктурах ............................................................................................. 66
4.1.1. Энергетический спектр и волновые функции конфайнмент электронов в
трёхслойных AlN/GaN/AlN гетероструктурах ................................................................. 67
4.1.2. Взаимодействие конфайнмент электрона с конфайнмент акустическими
фононами.............................................................................................................................. 68
4.1.3. Скорость рассеяния конфайнмент электрона на конфайнмент акустических
фононах................................................................................................................................. 71
4.2. Подвижность электронов в AlN/GaN/AlN и Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктурах.... 77
© 2006 Д.Л. Ника
2
4.2.1. Двухмерный электронный газ (2DEG) в гетероструктурах AlN/GaN/AlN и
пластик/AlN/GaN/AlN/пластик .......................................................................................... 78
4.2.2. Взаимодействие электрона с оптическими фононами в AlN/GaN/AlN и
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктурах................................................................................ 79
4.2.3. Кинетическое уравнение Больцмана для взаимодействия электрона с
оптическими и акустическими фононами......................................................................... 81
4.2.4. Рассеяние электронов на заряженных дислокациях и поверхностных
несовершенствах.................................................................................................................. 84
4.2.5. Влияние эффекта фононного обеднения на значение подвижности в
гетероструктурах ................................................................................................................. 85
4.3. Фононная теплопроводность AlN/GaN/AlN и Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктур .... 87
4.4. Термоэлектрические свойства трёхслойной AlN/GaN/AlN и пятислойной
пластик/AlN/GaN/AlN/пластик гетероструктур ..................................................................... 90
4.4.1. Электропроводность и коэффициент Зеебека ........................................................ 91
4.4.2. Электронная теплопроводность и ZT...................................................................... 93
4.5. Заключение.......................................................................................................................... 95
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ..................................... 97
ЛИТЕРАТУРА .......................................................................................................................... 103
АННОТАЦИЯ ........................................................................................................................... 113
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА ............................................................................................................. 116
ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ ................................................................................................ 117
© 2006 Д.Л. Ника
3
ВВЕДЕНИЕ
Kванты нормальных колебательных мод кристаллической решётки – фононы являются
активными участниками различных кинетических явлений в конденсированных веществах
[1-2]. Aкустические фононы определяют процессы переноса тепла в изоляторах и
полупроводниках [2]. Совместно с оптическими фононами они ограничивают подвижность
электронов при промежуточных и высоких температурах в объёмных полупроводниках и в
наноструктурах [3-5]. Оптические фононы проявляют себя также во взаимодействие
вещества со светом [1].
Важной характеристикой фонона является закон дисперсии !ω (q ), то есть зависимость
энергии фонона от фононного волнового числа. В объёмных полупроводниках с g атомами в
элементарной ячейке существует 3·g фононных дисперсионных ветвей [1-2], из которых 3
ветви (2 поперечные и одна продольная) соответствуют акустическим фононам (когда
элементарная ячейка колеблется как одно целое) и 3·(g-1) ветви – оптическим фононам
(когда происходят колебания подрешёток кристалла). В рамках континуальной модели
объёмные
акустические
фононы
характеризуются
линейным
законом
дисперсии
!ω (q ) = !VS q , где VS – это объёмная скорость поперечной или продольной звуковой волны,
а ! – постоянная Планка [1-2, 6].
Интенсивные исследования акустических фононов в однородных наноструктурах:
квантовых пластинах, квантовых нитях и квантовых точках, а также в сверхрешётках
начались в середине прошлого века. Подробное теоретическое изучение свойств
акустических фононов в однородных пластинах и цилиндрических квантовых нитях
представлено Т. Микером и А. Мейтцлером в монографии [6]. В работах [6-14] было
установлено, что в однородных наноструктурах, когда характеристический размер структуры
W меньше чем длина свободного пробега фонона Λ , спектр акустических фононов
существенно модифицируется благодаря пространственному конфайнменту, который
приводит к появлению большого числа квантованных фононных ветвей, изменению
плотности фононных состояний и гибридизации фононных мод. Это в свою очередь сильно
влияет на кинетические эффекты, обусловленные взаимодействием акустических фононов с
электронами и точечными дефектами [4-6,10], а также на фонон-фононное взаимодействие
[2,14]. Управление кинетическими эффектами с участием акустических фононов путём
модификации их энергетического спектра в наноструктурах получило название фононной
инженерии [2]. Влияние фононного квантования проявляется в эффекте фононного узкого
© 2006 Д.Л. Ника
4
горла [15-16], в излучательной и безызлучательной релаксации электронов [17-19]. Совсем
недавно было теоретически показано, что модификация фононного спектра приводит к
существенному уменьшению фононной теплопроводности в тонких пластинах нанометровой
толщины [14] и в цилиндрических квантовых нитях [20]. Уменьшение теплопроводности
объясняется уменьшением средней групповой скорости фононов в пластинах (фононный
“slab” эффект) [10] и в квантовых нитях (фононный “wire” эффект) [21]. В последние годы
благодаря
бурному
развитию
технологии
изготовления
наноразмерных
структур
наблюдается значительный прогресс, как в теоретическом, так и в экспериментальном
изучении их акустических свойств [6-7,10,12,14,19-21]. Однако теоретические исследования
ограничивались в основном однородными наноструктурами, возможность управления
акустическими спектрами в которых ограничена выбором размеров и формы наноструктуры.
Принципиально другим подходом к проблеме трансформации фононных состояний в
наноструктурах является создание гетероструктур (плоских многослойных наноструктур),
квантовых нитей и квантовых точек, покрытых оболочками с различными упругими
свойствами слоёв. Такие наноструктуры обладают более широким спектром физических
свойств, чем однородные. Теоретическое и экспериментальное изучение наноструктур,
покрытых
различными
оболочками,
открывает
обширные
прикладные
и
научные
перспективы для них, что придаёт актуальность выбранному направлению исследований.
Цель и объект исследования. Основной целью диссертационной работы является
исследование
акустических
свойств
плоских
гетероструктур,
цилиндрических
и
прямоугольных квантовых нитей, покрытых оболочками (гетеронитей), а также изучение
кинетических эффектов, обусловленных взаимодействием электронов с акустическими
фононами в плоских гетероструктурах. Для достижения поставленной цели были рассчитаны
и исследованы:
! Спектры и групповые скорости акустических фононов в трёхслойных (AlN/GaN/AlN,
пластик/GaN/пластик)
и
пятислойных
(пластик/AlN/GaN/AlN/пластик)
плоских
гетероструктурах.
! Спектры и групповые скорости акустических фононов в цилиндрических и
прямоугольных квантовых GaN-нитях, покрытых “акустически быстрым (имеющим
большую скорость звука)” AlN-материалом и “акустически медленным (имеющим
меньшую скорость звука)” пластиковым (Pl) материалом.
! Скорости рассеяния электронов в трёхслойных AlN/GaN/AlN гетероструктурах.
© 2006 Д.Л. Ника
5
! Транспортные времена рассеяния и подвижности электронов в трёхслойных
AlN/GaN/AlN и пятислойных Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктурах.
! Теплопроводности AlN/GaN/AlN и Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктур.
! Термоэлектрические
коэффициенты
“figure
of
merit”
в
AlN/GaN/AlN
и
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктурах.
Научная новизна представленных в диссертационной работе результатов обусловлена
проведённым
впервые
исследованием
влияния
материала
обкладок
на
основные
акустические и кинетические свойства наноструктур (гетероструктур и квантовых нитей,
покрытых оболочками). При этом были получены следующие новые результаты:
♦ в континуальном приближении получены уравнения движения для упругих колебаний
среды в квантовых гетероструктурах и гетеронитях с учётом анизотропии
вьюрцитных GaN (AlN)-материалов;
♦ разработаны эффективные вычислительные процедуры, позволяющие решить эти
уравнения с высокой точностью;
♦ исследованы акустические свойства гетероструктур и гетеронитей, покрытых
оболочками из “акустически быстрого” и “акустически медленного” материалов;
♦ расчет энергетического спектра и волновых функций электрона выполнен с учётом
спонтанной и пьезоэлектрической поляризаций, возникающих во вьюрцитных GaN и
AlN-материалах;
♦ получены гамильтонианы деформационного и пьезоэлектрического взаимодействий
электрона с акустическими фононами в гетероструктурах;
♦ разработана методика эффективного численного решения кинетического уравнения
Больцмана, которая позволила, наряду с учётом неупругости электрон-фононого
взаимодействия и дисперсии акустических фононов, впервые учесть дисперсию
оптических фононов;
♦ установлены температурные интервалы доминирования рассеяния электронов на
акустических
фононах
в
плоских
AlN/GaN/AlN
и
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl
гетероструктурах.
Положения, выносимые на защиту:
1) Обкладки с большей (меньшей) скоростью звука увеличивают (уменьшают)
групповые скорости фононов в гетероструктурах и гетеронитях по сравнению со
скоростями в соответствующих однородных пластинах и нитях без обкладок.
© 2006 Д.Л. Ника
6
2) В гетероструктурах и гетеронитях происходит перераспределение компонент
векторов смещения фононных мод таким образом, что акустическая волна
выдавливается в слои с меньшей скоростью звука. Это приводит к обеднению
фононами слоёв с большей скоростью звука и обогащению фононами слоёв с
меньшей скоростью звука.
3) Эффект
уменьшения
гетероструктурах
обкладками
с
(увеличения)
средней
“акустически
медленными”
приводит
к
уменьшению
групповой
скорости
(“акустически
(увеличению)
решёточной
фононов
в
быстрыми”)
и
полной
теплопроводностей.
4) Эффекты
обеднения
и
обогащения
акустическими
фононами
внутреннего
проводящего канала гетероструктур с “акустически медленными” и “акустически
быстрыми” обкладками существенно влияют на рассеяние электронов акустическими
фононами в канале. Эффект обеднения ослабляет рассеяние электронов, тогда как
эффект
обогащения
усиливает
рассеяние
электронов.
Таким
образом,
в
температурном интервале доминирования рассеяния на акустических фононах
происходит увеличение (в случае обеднения фононами проводящего канала) или
уменьшение (в случае обогащения фононами проводящего канала) подвижности
электронов.
5) Одновременное
увеличение
подвижности
электронов
и
уменьшение
теплопроводности увеличивают коэффициент “figure of merit” ZT, то есть улучшают
термоэлектрические свойства гетероструктур.
Теоретическая и практическая значимость работы состоит в следующем:
1) Теоретически изучено влияние материала обкладок гетероструктур и гетеронитей на
свойства акустических фононов.
2) Разработаны эффективные вычислительные методы, которые позволили:
" рассчитать
спектры
и
групповые
скорости
акустических
фононов
в
гетероструктурах и гетеронитях с учётом анизотропии;
" решить кинетическое уравнения Больцмана с учётом неупругости электронфононного взаимодействия и дисперсий акустических и оптических фононов.
3) Развита концепция управления фононными, кинетическими и термоэлектрическими
свойствами наноструктур путём использования обкладок с большей или меньшей
скоростью звука. Практическое внедрение этой концепции позволит улучшить
фононные и транспортные свойства приборов на основе наноструктур.
© 2006 Д.Л. Ника
7
Апробация
результатов.
Основные
результаты
диссертационной
работы
докладывались и обсуждались на Международной конференции “Meeting of the German
Physical Society” (г. Регенсбург, Германия, 2000 г.), Научной конференции профессорскопреподавательского состава Молдавского Государственного Университета (г. Кишинёв,
Молдова, 2000 г.), 2ой Международной конференции “Materials Science and Condensed Matter
Physics” (г. Кишинёв, Молдова, 2004 г.), Международной конференции “American Physical
Society March Meeting” (г. Лос-Анджелес, США, 2005 г.), 4ой Международной конференции
“Microelectronics
and
Computer
Science”
(г.
Кишинёв,
Молдова,
2005
г.),
13ом
Международном симпозиуме “Nanostructures: Physics and Technology” (г. Санкт-Петербург,
Россия, 2005 г.).
Публикации. Основные результаты опубликованы в 20 научных работах, список
которых приводится в конце диссертации.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх
глав, общих выводов и списка цитируемой литературы. Работа содержит 120 страниц, 56
рисунков, 3 таблицы и 125 литературных ссылок.
# В Главе 1 в рамках континуального подхода выведены уравнения движения для упругих
колебаний в плоских многослойных гетероструктурах с учётом гексагональной
анизотропии вьюрцитных AlN и GaN-материалов. Получены спектры акустических
фононов “Shear”, “SA” и “AS” поляризаций в трёхслойных (AlN/GaN/AlN и Pl/GaN/Pl) и
пятислойных
(Pl/AlN/GaN/AlN/Pl)
гетероструктурах,
а
также
для
сравнения
в
однородных GaN-пластинах. На их базе вычислены плотности состояний и средние
групповые скорости акустических фононов в зависимости от частоты фонона и
температуры. Показано, что соответствующим выбором материала и толщины обкладок
гетероструктуры можно увеличивать или уменьшать средние групповые скорости
фононов по сравнению со скоростями в соответствующем объёмном материале или
однородной пластине. Проведено сравнение спектров и скоростей акустических фононов
в гетероструктурах со свободными и закрепленными внешними поверхностями. Описаны
эффекты фононного обеднения и обогащения, которые появляются в гетероструктурах
благодаря пространственному перераспределению колебаний между слоями. Введена
количественная характеристика этих эффектов (коэффициент фононного обеднения).
Исследована зависимость эффектов фононного обеднения и обогащения от толщины
обкладок гетероструктуры.
© 2006 Д.Л. Ника
8
# В главе 2 в континуальном приближении получена система уравнений для упругих
колебаний в прямоугольных квантовых нитях с оболочкой. При выводе уравнений
движения учтена гексагональная анизотропия вьюрцитных GaN и AlN-материалов.
Исследованы спектры и групповые скорости фононов в прямоугольных GaN-нитях,
покрытых “акустически быстрой” оболочкой из AlN и “акустически медленной”
оболочкой из Pl-материала. Установлено, что в прямоугольных гетеронитях существуют
фононы “Dilatational”, “Flexural1”, “Flexural2” и “Shear” поляризаций, которые
различаются симметрией компонент вектора смещения. Рассмотрены гетеронити со
свободными и закреплёнными внешними поверхностями. Показано, что в случае нитей с
закреплёнными внешними поверхностями в спектре фононов отсутствует объёмноподобная мода, и все фононные уровни являются размерно-квантованными. Исследовано
влияние материала оболочек на энергетические спектры и групповые скорости фононов.
Установлено, что в прямоугольных гетеронитях из-за двумерного пространственного
конфайнмента эффект уменьшения групповых скоростей фононов проявляется сильнее,
чем в плоских гетероструктурах.
# В Главе 3 исследованы свойства акустических фононов в цилиндрических GaN-нитях,
покрытых оболочками с различными скоростями звука. В континуальной модели
получена система трёх уравнений движения для упругих колебаний в цилиндрических
гетеронитях. Показано, что система уравнений движения имеет решения при любых
целых значениях углового квантового числа m. При m=0 система трёх уравнений
распадается на подсистему из двух уравнений относительно компонент ur и uz вектора
"
u = (ur , u z ) и независимое уравнение относительно компоненты uϕ ( r ) . Решение
подсистемы
из
двух
уравнений
описывает
продольно-подобные
“дыхательные”
фононные моды, а уравнение относительно компоненты uϕ ( r ) описывает крутильные
колебания вокруг оси нити (при этом ось нити остаётся неподвижной). При |m|=1
решения системы уравнений движения называются изгибными колебания 1-го порядка, а
решения с |m|>1 называются круговыми колебаниями порядка m. При этом решения с
нечётными m соответствуют колебаниям со смещением оси нанонити. Установлено, что
для всех видов колебаний материал оболочки существенно влияет на среднюю
групповую скорость акустических фононов: оболочки с большей скоростью звука
увеличивают среднюю групповую скорость, а оболочки с меньшей скоростью звука её
уменьшают. Исследован эффект фононного обеднения в цилиндрических гетеронитях и
введена его количественная характеристика. Показано, что физическая причина эффекта
© 2006 Д.Л. Ника
9
фононного обеднения заключается в выталкивании акустической волны в слои с меньшей
скоростью звука.
# В Главе 4 исследовано влияние материала обкладок многослойных гетероструктур на
скорость рассеяния электронов, на подвижность электронов, на решёточную
теплопроводность и на термоэлектрический коэффициент “figure of merit” ZT. Для
этого
выведены
гамильтонианы
деформационного
и
пьезоэлектрического
взаимодействий электронов с акустическими фононами. Решено кинетическое
уравнение Больцмана с учётом неупругости электрон-фононного взаимодействия и
дисперсий как акустических, так и оптических фононов. Получены транспортные
времена рассеяния электронов акустическими и оптическими фононами, а также
полное
время
рассеяния
электронов,
при
расчёте
которого
учитывались
взаимодействия электронов с фононами, с поверхностными дефектами и с
заряженными дислокациями. Используя полное время рассеяния, рассчитана
подвижность электронов в гетероструктурах AlN/GaN/AlN и Pl/AlN/GaN/AlN/Pl.
Установлено, что “акустически медленные” пластиковые обкладки ослабляют
взаимодействие электронов с акустическими фононами (что повышает подвижность
электронов в 2-3 раза в области доминирования акустического рассеяния), тогда как
“акустически быстрые” обкладки усиливают электрон-фононное взаимодействие.
Показано также, что теплопроводность гетероструктуры Pl/AlN/GaN/AlN/Pl с
“акустически медленными” обкладками в 3 раза меньше, чем теплопроводность
AlN/GaN/AlN гетероструктуры. Одновременное увеличение подвижности электронов
и уменьшение теплопроводности приводит к увеличению термоэлектрического
коэффициента “figure of merit” ZT в гетероструктуре Pl/AlN/GaN/AlN/Pl в 2-4 раза по
сравнению с гетероструктурой AlN/GaN/AlN в температурном диапазоне от 50 K до
400 K.
© 2006 Д.Л. Ника
10
ГЛАВА 1. АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ В ПЛОСКИХ МНОГОСЛОЙНЫХ
НАНОСТРУКТУРАХ
1.1. Акустические фононы в плоских однородных наноструктурах
Акустические фононы играют важную роль в электронных и тепловых процессах
полупроводниковых материалов. Вместе с оптическими фононами они ограничивают
подвижность электрона в технологически важных полупроводниках, таких как Si, GaAs и
GaN. Акустические фононы являются основными переносчиками тепла в умеренно
легированных полупроводниках в широком диапазоне температур [22]. В структурах
нанометровых
размеров
спектр
акустических
фононов
модифицируется
благодаря
пространственному конфайнменту фононов, который приводит к появлению квантованных
фононных ветвей, изменению фононной плотности состояний, гибридизации фононных мод
и уменьшению средней скорости фононного потока [10,14,23]. В однородных нанопластинах
происходит смешивание продольных и поперечных фононов, в результате которого
появляются фононы “Dilatational”, “Flexural” и “Shear” поляризаций [6,10]. “Dilatational” и
“Flexural” поляризованные фононы проявляют смешанные свойства продольных и
поперечных фононов объёмного материала, тогда как “Shear” поляризованные фононы
проявляют свойства поперечных фононов [6,10]. Теоретические расчёты фононных
энергетических спектров в упомянутых выше работах были выполнены с использованием
континуального подхода для нанопластин со свободными и закреплёнными внешними
поверхностями.
Экспериментальное исследование эффекта конфайнмента акустических фононов в
плоских однородных наноструктурах затруднено сложностями получения наноструктур со
свободными границами, поперечные размеры которых сравнимы со средней фононной
длиной волны λd, а также трудностями в измерении и интерпретации результатов. Однако
недавно несколько экспериментальных групп изготовили нанопластины со свободными
границами [24-26]. В [24-25] нанопластины из Al, Ag и Au с толщинами менее 20 нм были
изготовлены методом молекулярно-лучевой эпитаксии на NaCl подложке с её последующим
растворением. В [26] полупроводниковые нанопластины со свободными поверхностями из
GaAs и InxGa1-xAs были получены из сверхрешёток с использованием стандартной
литографической техники и селективного травления.
Таким образом, за последнее время достигнут существенный прогресс, как в
теоретическом, так и в экспериментальном исследовании свойств акустических фононов в
© 2006 Д.Л. Ника
11
плоских однородных наноструктурах. Тем не менее, акустические свойства плоских
гетероструктур, ещё не были исследованы. С этой целью в этой главе детально изучены
акустические свойства плоских трёх- и пятислойных гетероструктур с внутренним слоем из
GaN. Использование гетероструктур с GaN-каналом в электронных и оптоэлектронных
устройствах является перспективным направлением в наноэлектронике благодаря широкой и
прямой запрещенной зоне в GaN, высокотемпературной и высокополевой стабильностям
этого материала [27-28]. Транзисторы на базе GaN демонстрируют способность к
высокочастотным операциям с низким уровнем шумов, подходящим для микроволновых
устройств [27-28].
1.2. Конфайнмент фононов в плоских многослойных наноструктурах
Схематическое изображение рассматриваемых в диссертационной работе трёх- и
пятислойных гетероструктур, а также однородной пластины показано на Рис. 1.1 (a-c)
соответственно. Оси X1 и X2 прямоугольной Декартовой системы координат лежат в
плоскости слоёв, а ось X3 направлена перпендикулярно ей. Толщины слоёв обозначены через
di (i=1,2,3 в случае трёхслойной и i=0,1,2,3,4 в случае пятислойной гетероструктур).
Рассматриваемые структуры симметричны, d1=d3 и d0=d4, поэтому общая толщина
трёхслойной гетероструктуры d = 2d1 + d 2 , а общая толщина пятислойной гетероструктуры
d = 2d 0 + 2d1 + d 2 . Также в дальнейшем предполагается, что слои обладают гексагональной
симметрией и кристаллографическая ось с направлена вдоль координатной оси X3.
Рис. 1.1. Схематическое изображение трёхслойной гетероструктуры (а), пятислойной
гетероструктуры (b) и однородной пластины (c).
Система уравнений движения для упругих колебаний в анизотропном пространстве
имеет вид [29]
ρ
© 2006 Д.Л. Ника
∂ 2U m ∂σ mi
,
=
∂t 2
∂xi
(1.1)
12
→
где U (U1 , U 2 , U 3 ) – это вектор смещений, а ρ – плотность материала. Тензор упругих
∂U j
1 ∂U
напряжений определяется как σ mi = cmikjU kj , где U kj = ( k +
) – тензор деформаций, а
∂xk
2 ∂x j
cmikj - тензор модулей упругости. При взятии производных в Ур. 1.1 необходимо учитывать
тот факт, что рассматриваемая система неоднородна вдоль оси X3, поэтому модули
упругости - ступенчатые функции координаты x3 :
cmikj = cmikj ( x3 )
(1.2)
Для сокращения числа индексов в обозначении модулей упругости будем в дальнейшем
использовать общепринятую двух индексную нотацию: 1111 → 11; 2222 → 22; 3333 → 33;
1122 → 12; 1133 → 13; 1313 → 44; 2323 → 55; 1212 → 66 [30].
В кристаллах гексагональной симметрии (пространственная группа симметрии C6v4 )
существует пять независимых модулей упругости: c11 , c33 , c12 , c13 и c44 , которые связаны с
остальными следующими соотношениями c11 = c1111 = c2222 , c33 = c3333 , c12 = c1122 = c2211 ,
c13 = c1133 = c3311 = c2233 = c3322 ,
c44 = c1313 = c3131 ,
c55 = c44 ,
c66 = c1212 = c2121 =
c11 − c22
.
2
Тензор модулей упругости в кристаллах c гексагональной сингонией имеет вид [30]:
 c11

 c12
c
 13
 0
 0

 0

c12
c11
c13
0
0
0
c13
c13
c33
0
0
0
0 0 0

0 0 0
0 0 0

c44 0 0 
0 c44 0 
0 0 c66 
(1.3)
Применение анизотропной континуальной модели позволяет точно учесть особенности
строения кристаллической решётки вьюрцитных кристаллов.
Направим ось X1 вдоль направления распространения акустической волны. Поскольку,
рассматриваемые структуры однородны в плоскости (X1, X2), решение системы уравнений
(1.1) ищется в следующей форме:
U i ( x1 , x3 , t ) = ui ( x3 )ei (ωt − qx1 ) (i = 1, 2,3) ,
(1.4)
В Ур. (1.4) ui – это амплитуды вектора смещения, ω - частота фонона, q – фононное волновое
число и i – мнимая единица. Из системы уравнений (1.1) можно выделить уравнение,
описывающее “Shear” поляризацию, когда вектор смещения параллелен поверхности
гетероструктуры:
© 2006 Д.Л. Ника
13
ρ
∂ 2U 2 ∂σ 2i
=
.
∂t 2
∂xi
(1.5)
Подставляя Ур. (1.4) для i=2 в Ур. (1.5) и учитывая Ур. (1.2 - 1.3) получаем
дифференциальное уравнение второго порядка для “Shear” поляризации [31]:
d 2u2 ( x3 ) dc44 du2 ( x3 )
+
⋅
− c66 q 2u2 ( x3 ) .
dx32
dx3
dx3
− ρω 2u2 ( x3 ) = c44
Производные
(1.6)
dcik
учитывают неоднородность структуры вдоль оси X3. В случае
dx3
однородной пластины
dc44
= 0 и из Ур. (1.6) можно получить простое аналитическое
dx3
решение (см. [6, 10]). В дальнейшем в работе будут рассматриваться два предельных случая
граничных условий: случай свободных внешних поверхностей (СВП) и закреплённых
внешних
поверхностей
(ЗВП).
В
случае
СВП
внешние
поверхности
структуры
предполагаются свободными, поэтому все компоненты силы на этих поверхностях равны 0:
"
P1 = P2 = P3 = 0 , где Pi = σ ik nk , а n =(0, 0, n3) - это вектор, нормальный к поверхности
наноструктуры. Таким образом, на внешних поверхностях гетероструктуры должно
выполняться следующее условие
∂u2
= 0.
∂x3 |вн.пов.
(1.7 а)
В случае ЗВП все компоненты вектора смещения равны 0 на внешних поверхностях,
поэтому
u2 |вн.пов. = 0.
(1.7 б)
Для двух других фононных поляризаций (i=1,3) с компонентами вектора смещения U1
и U 3' = −iU 3 , используя Ур. (1.1) и (1.4) получаем систему из 2-х уравнений [31]:
− ρω 2u1 ( x3 ) = − q 2 c11u1 ( x3 ) + c44
d 2u1 ( x3 )
du3' ( x3 )
+
+
(
)
q
c
c
13
44
dx32
dx3
dc du ( x )
+ 44 ( 1 3 + qu3' ( x3 )),
dx3
dx3
− ρω 2u3' ( x3 ) = − q 2 c44u3' ( x3 ) + c33
d 2u3' ( x3 ) dc33 du3' ( x3 )
+
dx32
dx3 dx3
du ( x ) dc
− q[(c44 + c13 ) 1 3 + 13 u1 ( x3 )].
dx3
dx3
(1.8)
(1.9)
с граничными условиями на внешних поверхностях гетероструктуры:
© 2006 Д.Л. Ника
14
du '
du1
+ qu3' = 0, − qc13u1 + c33 3 = 0 ,
dx3
dx3
(1.10 а)
в случае СВП и
u1 = 0, u3' = 0 .
(1.10 б)
в случае ЗВП.
Благодаря пространственной симметрии рассматриваемых многослойных структур и
математической форме Ур. (1.8-1.9), вектор смещений должен иметь компоненты
противоположной симметрии, то есть (u1S , u3A ) или (u1A , u3S ) , где uiS ( x3 ) (i = 1,3) - это чётная
функция x3, а uiA ( x3 ) (i=1, 3) - это нечётная функция x3. Верхние индексы “SA” и “AS”
"
"
"
"
векторов смещения u SA = u (u1S , u3A ) и u AS = u (u1A , u3S ) обозначают независимые фононные
поляризации, которые совместно с “Shear” поляризацией образуют полный набор фононных
мод в структуре. В случае однородной пластины “SA” моды соответствуют “Dilatational”
модам, а “AS” моды соответствуют “Flexural” модам. [6, 10, 32-33].
1.3. Дисперсии и групповые скорости акустических фононов в гетероструктурах
Для получения спектра акустических фононов в плоской многослойной наноструктуре
были решены дифференциальное уравнение (1.6) с граничными условиями (1.7 а – 1.7 б) для
“Shear” поляризации и система уравнений (1.8-1.9) с граничными условиями (1.10 а – 1.10 б)
для “SA” и “AS” поляризаций. Уравнения были решены, используя численный метод
конечных разностей. Вычисления проводились для каждого значения q из интервала q∈ (0,
π/a), где a - это постоянная решётки в плоскости (X1, X2). Материальные константы,
используемые в расчёте фононных мод, приведены в Таблице 1.1.
Таблица 1.1. Модули упругости и плотности материалов, использованные в расчётах
акустических фононных мод.
Параметр
GaN
AlN
Al2O3
с11 (ГПа)
с12 (ГПа)
с13 (ГПа)
с33 (ГПа)
с44 (ГПа)
ρ (г ⋅ см−3 )
390 [34]
145 [34]
106 [34]
398 [34]
105 [34]
396 [34]
137 [34]
108 [34]
373 [34]
116 [34]
496 [31]
115 [31]
115 [31]
498 [31]
148 [31]
Пластиковый
материал (Pl)
4 [31]
2 [31]
2 [31]
4 [31]
1 [31]
6.15 [35]
3.23 [35]
4.0 [31]
1 [31]
© 2006 Д.Л. Ника
15
Характерные особенности дисперсий акустических фононов ясно проявляются на
графиках зависимостей фононных групповых скоростей от фононного волнового числа q,
определяемых формулой:
vs SA, AS , sh (q ) =
d SA, AS , sh
ωs
(q) .
dq
(1.11)
В Ур. (1.11) верхние индексы определяют тип фононной поляризации, а нижний индекс s это квантовый номер фононной моды с данной поляризацией.
Рис. 1.2. Энергия акустических фононов “Shear” поляризации в зависимости от
фононного волнового числа q (a) в однородной 6-нм GaN-пластине и (b) в трёхслойной
гетероструктуре AlN/GaN/AlN с размерами (2.5 нм/ 1 нм/ 2.5 нм).
На Рис. 1.2 (а-b) и 1.3 (а-b) показаны дисперсии !ωssh (q ) и групповые скорости vs sh (q )
“Shear” поляризованных акустических фононов, для которых эффекты квантования и
© 2006 Д.Л. Ника
16
структурной гетерогенности проявляются более выражено, чем для “SA” и “AS”
поляризованных фононов. Это объясняется тем что “Shear” колебания - поперечные
колебания, в то время как “SA” и “AS” колебания - это смесь поперечных и продольных
колебаний.
Рис. 1.3. Групповые скорости акустических фононов “Shear” поляризации в зависимости от
фононного волнового числа q в однородной 6-нм GaN-пластине (а) и в трёхслойной
гетероструктуре AlN/GaN/AlN с размерами (2.5 нм/ 1 нм/ 2.5 нм) (b).
На Рис. 1.2 (а) и 1.3 (а) представлены результаты, полученные для однородной GaNпластины с толщиной в 6 нм, а на Рис. 1.2 (b) и 1.3 (b) для 3-х слойной AlN/GaN/AlN
гетероструктуры со слоями 2.5 нм/ 1 нм/ 2.5 нм соответственно. Для удобства дальнейшего
описания назовём эту гетероструктуру гетероструктурой типа I (гетероструктура с “тонким”
© 2006 Д.Л. Ника
17
внутренним
GaN-слоём
и
“толстыми”
AlN-обкладками).
Внешние
поверхности
гетероструктуры типа I и упомянутой выше однородной GaN-пластины предполагаются
свободными.
Как видно из Рис. 1.2 около центра зоны Брюллиена (малые значения q) фононные
моды квантованы и все моды с s ≠ 0 квадратично дисперсные. В центре зоны Брюллиена
групповые скорости фононов представляют собой линейные функции волнового числа q:
vs sh (q ) = as q (см. Рис. 1.3 (a)). С увеличением q все дисперсионные кривые стремятся к
пределу !ω 0 (q ) = v0 !q , где v0 = vTA2 (GaN ) , а vTA2 – это скорость распространения поперечной
акустической волны вдоль оси X1 и поляризованной вдоль оси X2 (TA2 поляризованные
волны).
Мода с s=0 является GaN объемно-подобной модой при всех значениях q. При больших
q моды с s ≠ 0 также становятся GaN объёмно-подобными (см. Рис. 1.2 (а) и 1.3 (a)). Сильное
размерное
квантование
спектра
акустических
фононов
при
малых
q,
появление
квазиоптических мод (моды с s ≠ 0 ) и существенное понижение групповой скорости
фононов ( vs (q ) < vTA2 (GaN ) ) являются проявлением эффекта фононного конфайнмента в
ультратонких пластинах [10, 36-39].
Гетерогенность трёхслойной структуры изменяет форму дисперсионных кривых как
качественно, так и количественно (см. Рис. 1.2 (b) и 1.3 (b)). Крутые участки на каждой из
кривых дисперсии на Рис. 1.2 (b) отличают эти кривые от монотонных кривых GaNпластины (Рис. 1.2 (а)). Эти участки выстраиваются в порядке возрастания номера моды s и
могут быть объединены прямой линией, обозначённой на Рис. 1.2 (b) символом L. Из Рис. 1.3
(b) видно, что скорость фононов на этих участках приближённо равна скорости TA2 фононов
в объёмном AlN. Таким образом, фононы на линии L являются (AlN, TA2) объёмноподобными.
Кривые дисперсии слева и выше линии L выглядят похожими на дисперсионные
кривые в однородной пластине. Это регион сильного размерного квантования фононного
спектра и он выглядит качественно одинаковым для обеих рассмотренных структур и всех
поляризаций. Моды с малыми s и большими значениями фононного волнового числа q
отщепляются вниз от линии L и являются (GaN, TA2) объёмно-подобными. Моды с
большими s и q являются (AlN, TA2) объёмно-подобными (см. Рис. 1.3 (b)).
Фононные моды в многослойных структурах образуются в результате суперпозиции
колебаний из разных слоёв на интерфейсах структур. Это приводит к появлению гибридных
мод. Интересно отметить, что в зависимости от q гибридные моды проявляют свойства
© 2006 Д.Л. Ника
18
разных слоёв гетероструктуры, а не её усреднённые свойства. Например, групповая скорость
мод с s=1 при промежуточных значениях q примерно равна vTA2 (GaN ) , хотя полная толщина
AlN-обкладок в 5 раз больше чем толщина внутреннего GaN-слоя, а групповая скорость мод
с s = 5 при промежуточных и больших q монотонно стремится к объёмной скорости
vTA2 ( AlN ).
На Рис. 1.4 проиллюстрировано “втягивание” фононной ветви s=0 в “акустически
медленный” внутренний GaN-слой из “акустически быстрых” AlN-обкладок с возрастанием
фононного волнового числа q. В результате этого групповая скорость фононов меняется от
v = vTA2 ( AlN ) при малых q до v = vTA2 (GaN ) при больших q.
Рис. 1.4. Зависимость амплитуды u2(x3) от фононного волнового числа q в
гетероструктуре типа I. Внешние параллелепипеды на этом рисунке показывают
AlN-слои, а внутренний параллелепипед соответствует GaN-слою.
На Рис. 1.5 (a-d) и Рис. 1.6 (а-d) показана эволюция дисперсии и групповых скоростей
фононов “SA” (непрерывная линия) и “AS” (штриховая линия) поляризаций в трёхслойной
структуре со свободными внешними поверхностями, когда толщина внутреннего слоя
меняется от 0 нм (AlN-пластина (Рис. 1.5 (а) и 1.6 (а))) до 6 нм (GaN-пластина (Рис. 1.5 (d) и
1.6 (d))). Как видно из Рис. 1.5 (а,d), характеристическая линия L в случае “SA” и “AS”
фононов присутствует на графиках дисперсии для GaN и AlN-пластин, тогда как эта линия
отсутствует на графике дисперсии “Shear” фононов в GaN-пластине (см. Рис. 1.2 (а)). Наклон
vL линии L приближённо равен v LA ( AlN ) (на Рис. 1.5 (а)) и v LA (GaN ) (на Рис. 1.5 (d)), где v LA -
скорость продольной акустической волны, распространяющейся вдоль оси X1 (LA
поляризованные волны). В пределе больших значениях q групповые скорости одинаковы
практически для всех фононных мод в пластинах. Их значение слегка меньше чем
поперечная скорость звука vTA1 ( AlN ) (см. Рис. 1.5 (а)) и vTA1 (GaN ) (см. Рис. 1.5 (d)))
© 2006 Д.Л. Ника
19
вследствие эффекта фононного конфайнмента ( vTA1
- это скорость распространения
поперечной
X1
акустической
волны
вдоль
оси
и
поляризованной
вдоль
кристаллографической оси (TA1 поляризованные волны)). Появление на дисперсионных
кривых однородных пластин линий L в случае “SA” и “AS” фононов объясняется
смешиванием волн с потенциальной и соленоидальной поляризациями, которые в объёмном
пределе образуют LA и TA1 волны соответственно.
Рис. 1.5. Дисперсия энергии акустических фононов “SA” и “AS” поляризаций в однородных
AlN (a) и GaN (d) пластинах, а также в гетероструктурах типа I (b) и типа II (c).
На Рис. 1.5 (с) представлены результаты для структуры, которую в дальнейшем будем
называть гетероструктурой типа II (гетероструктура с “толстым” внутренним GaN слоём (6
нм) и “тонкими” AlN-обкладками (1 нм)). В трёхслойных гетероструктурах I-го и II-го типа
на дисперсионных кривых (Рис. 1.5 (b,c)) появляются две характеристические линии (L и L’).
На кривых групповых скоростей соответственно различаются две последовательности
максимумов (см. Рис. 1.6). Последовательность высоких максимумов соответствует линии L
© 2006 Д.Л. Ника
20
с наклоном vL ≈ v LA ( AlN ) , тогда как последовательность низких максимумов соответствует
линии L’ с наклоном vL' ≈ v LA (GaN ) .
Рис. 1.6. Групповые скорости акустических фононов “SA” и “AS” поляризаций в
однородных AlN (a) и GaN (d) пластинах, а также в гетероструктурах типа I (b) и типа II (c).
Присутствие
на
кривых
дисперсий
двух
характеристических
линий
объясняется
смешиванием и гибридизацией акустических волн в гетероструктуре. Обе линии чётко
видны на Рис. 1.5 (b) для гетероструктуры I-го типа, тогда как для гетероструктуры II-го типа
линия L определяется в основном только начальным участком фононной ветви s = 0 .
Подавление AlN объёмно-подобных мод в гетероструктуре II-го типа объясняется тем, что
“толстый” внутренний GaN-слой понижает групповые скорости всех фононных мод. Линии
L и L’ делят график фононных дисперсий на три чётко различимых региона (см. Рис. 1.5 (b-
c)): (i) регион сильного фононного размерного квантования при малых q слева от линии L;
(ii) регион резкого изменения дисперсионных характеристик (между линиями L и L’) и (iii)
регион справа от линии L’ с низкочастотными модами, групповые скорости которых
© 2006 Д.Л. Ника
21
стремятся к объёмному значению vTA1 ( AlN ) (Рис. 1.5 (b)) и vTA1 (GaN ) (Рис. 1.5 (c)). Как видно
из этих рисунков, “SA” и “AS” фононы также проявляют скорее индивидуальные свойства
слоёв гетероструктуры, чем её усреднённые свойства, за исключением узкого региона между
линиями L и L’, фононные свойства которого являются усреднёнными свойствами
внутреннего и внешних слоёв гетероструктуры.
Другой особенностью спектра фононов в гетероструктуре (Рис. 1.5 (b,c)) является
отсутствие линии Рэлея (R) [32], которая присутствует на графиках дисперсии однородных
пластин (Рис. 1.5 (a,d)).
Рис. 1.7. Компоненты u1 (непрерывная линия) и u3 (штриховая линия) вектора смещения
фононных мод “SA” поляризации в гетероструктуре типа I в зависимости от координаты x3.
Результаты показаны для 4-х фононных мод: (a) (s=0, q=0.05 нм-1), (b) (s=2, q=1.256 нм-1),
(c) (s=2, q=2.44 нм-1) и (d) (s=2, q=6.26 нм-1).
Поведение фононных дисперсий и групповых скоростей определяется спецификой
распределения векторов смещения в слоях гетероструктуры. На Рис. 1.7 (a-d) показаны
компоненты векторов смещения u1,SAs ( x3 ) (непрерывная линия) и u3,SAs ( x3 ) (штриховая линия) в
структуре I-го типа для фононных мод (а) s=0, q=0.05 нм-1; (b) s=2, q=1.256 нм-1; (c) s=2,
q=1.44 нм
-1
и (d) s=2, q=6.28 нм
-1
. Смещения мод, изображенных на Рис. 1.7 (a-d)
соответствуют четырём закрашенным точкам на графике групповых скоростей (Рис. 1.6 (b)).
© 2006 Д.Л. Ника
22
Как видно из Рис. 1.7 (а) амплитуда u1,SAs=0 ( x3 ) одинакова во всех слоях гетероструктуры.
Последнее, с учётом того, что общая толщина AlN-обкладок намного больше, чем толщина
внутреннего GaN-слоя объясняет (AlN, LA)-подобность этой моды. Мода s=2 при q=1.256
нм-1 (Рис. 1.7 (b)) также (AlN, LA)-подобна, так как амплитуда u1,SAs= 2 ( x3 ) в основном
сосредоточена
в
AlN-обкладках.
Вклад
разных
поляризаций
(потенциальной
и
"
"
соленоидальной) в вектор смещений U может быть получен вычислением операторов divU и
"
curlU . Эти вычисления для моды (s=0, q=0.05 нм-1) показывают, что эта мода LA-подобная,
"
"
так как для неё curlU =0, а divU ≠ 0. Этот результат полностью соответствует Рис. 1.5 (b)).
Для вычисления различных макроскопических параметров наноструктур, таких как
теплопроводность, электропроводность и теплоёмкость, необходима спектральная плотность
распределения фононов (фононная плотность состояний). В рассматриваемых плоских
наноструктурах фононный волновой вектор является двухмерным. Поэтому фононная
плотность состояний для каждой из фононных поляризаций “SA”, “AS” или “Shear” для
данного номера фононной ветви s определяется формулой:
f sSA, AS , sh (ω ) =
dq SA, AS , sh (ω )
1 SA, AS , sh
.
qs
(ω ) s
2π
dω
(1.12)
Полная фононная плотность состояний для каждой из поляризаций получается
суммированием по номерам всех фононных ветвей s:
F SA, AS , sh (ω ) = ∑ f sSA, AS , sh (ω ) .
(1.13)
s
Полная фононная плотность состояний F SA, AS , sh (ω ) в гетероструктурах I-го и II-го типов
показана на Рис. 1.8. Для сравнения также показана полная плотность фононных состояний в
AlN и GaN-пластинах. Осциллирующий характер поведения кривых плотностей фононных
состояний
объясняется
проявлением
эффекта
квантования
фононных
мод
и
их
квазиоптичностью (ω(q=0)≠0). Локальные ступеньки на кривых плотности состояний
объясняются “включением” новой фононной моды, когда достигнута её минимальная
(начальная) частота и “выключением” моды, когда достигнута её максимальная частота.
Изменение фононной плотности состояний в многослойных структурах при низких частотах
по сравнению с объёмным случаем ведёт к существенным изменениям в процессе электронфононного рассеяния, в особенности при низких температурах.
© 2006 Д.Л. Ника
23
Рис. 1.8. Полная плотность фононных состояний в зависимости от частоты
фонона в однородных пластинах и в гетероструктурах типа I и II.
Средние фононные групповые скорости являются важными характеристиками, которые
определяют, например, решёточную (фононную) теплопроводность в полупроводниковых
наноструктурах [14, 23]. Средняя групповая скорость фононов данной поляризации – это
скорость волнового пакета, в котором моды заселены в соответствии с функцией
распределения Бозе-Эйнштейна:
ωn max
v SA, AS , sh (T ) =
где N (
∫
ω
n min
(N (
!ω
)∑ vsSA, AS , sh (ω ) f sSA, AS , sh (ω ))d ω
k БT s
ωn max
!ω
(N (
)∑ f sSA, AS , sh (ω ))d ω
∫
k БT s
ωn min
,
(1.14)
!ω
) – это функция распределения фононов в термодинамическом равновесии, k Б –
kБT
это постоянная Больцмана и T – температура.
На Рис. 1.9 изображены средние групповые скорости фононов v SA, AS , sh (T ) “SA”
поляризации (непрерывная линия), “AS” поляризации (линия из точек) и “Shear”
поляризации (штриховая линия) для гетероструктур I-го и II-го типов, а также для AlN и
GaN-пластин. В гетероструктурах I-го и II-го типов средняя скорость фононного потока
существенно выше, чем в GaN-пластине, что объясняется влиянием “быстрых” AlNобкладок. При температуре T=300 K отношения средних групповых скоростей фононов в
© 2006 Д.Л. Ника
24
гетероструктуре I-го типа к скоростям в GaN-пластине равны: v SA (типа I ) / v SA (GaN ) = 1.35 ,
v AS (типа I ) / v AS (GaN ) = 1.29 и v Shear (типа I ) / v Shear (GaN ) = 1.26 .
Рис. 1.9. Средние групповые скорости фононов “SA”, “AS” и “Shear”
поляризации в зависимости от температуры в AlN, GaN-пластинах и в
гетероструктурах типа I и II.
Эти результаты демонстрируют возможность изменять скорость фононного потока в
широком интервале значений. Соответствующим выбором материала и толщины обкладок
можно существенно повышать или понижать фононные групповые скорости в структуре,
регулирую тем самым её фононную теплопроводность KT, которую приближённо можно
описать формулой KT ~ CVVΛ (CV – это теплоёмкость структуры, Λ – средняя длина
свободного пробега фонона, а V=Σ v SA, AS , sh – скорость фононного потока, усреднённая по
всем направлениям и поляризациям). Таким образом, фононная теплопроводность зависит от
скорости фононного потока как явно, так и через длину свободного пробега Λ, которая
сильно зависит от групповой скорости фононов vs SA, AS , sh (q ) .
Для демонстрации возможности сильного изменения групповой скорости фононов
путём выбора материала обкладок рассмотрим 2 новые гетероструктуры. Гетероструктура
III-го типа это 1-нм GaN-слой, покрытый “акустически медленным” пластиковым (Pl)
материалом: Pl/GaN/Pl. Химическая структура пластикового материала, используемого в
дальнейшем расчёте, не существенна для анализа фононных эффектов в гетероструктурах. В
качестве параметров пластика были выбраны параметры, приведённые в Таблице 1.1,
которые соответствуют большинству используемых пластиковых материалов [31].
© 2006 Д.Л. Ника
25
Гетероструктура IV-го типа это 1-нм слой пластика, покрытый “акустически быстрым”
Al2O3 материалом: Al2O3/plastic/Al2O3. Материальные константы Al2O3, использованные в
расчёте, также приведены в Таблице 1.1.
Рис. 1.10. Энергия фононов “SA” поляризации в гетероструктуре типа III с размерами 3
нм/ 1 нм/ 3 нм (a) и 10 нм/ 1 нм/ 10 нм (b).
На Рис. 1.10 (a-b) и 1.11 (a-b) показаны дисперсии “SA” фононов в гетероструктуре IIIго типа (с толщиной внутреннего GaN-слоя в 1 нм и толщиной Pl-обкладок в 3 нм (Рис. 1.10
(а)) и 10 нм (Рис. 1.10 (b))) и IV-го типа (с толщиной внутреннего Pl-слоя в 1 нм и толщиной
Al2O3 – обкладок в 3 нм (Рис. 1.11 (а)) и 10 нм (Рис. 1.11 (b))). На Рис. 1.10 (а) наклон линии
L соответствует скорости LA фононов в пластике vL ≈ v LA ( Pl ) , тогда как наклон
дисперсионных ветвей справа от линии L стремится к скорости TA фононов в пластике
vTA ( Pl ) . Проявление свойств GaN-слоя в этой гетероструктуре подавлено благодаря тому,
что эффект конфайнмента и пластиковые обкладки действуют в одном направлении
© 2006 Д.Л. Ника
26
уменьшения частоты фононных мод. Поэтому фононные свойства гетероструктуры III-го
типа становятся похожими на свойства Pl-пластины. Таким образом, “акустически
медленные” Pl-обкладки тонкого GaN-слоя приводят к сильному фононному замедлению в
этой гетероструктуре. Увеличение толщины обкладок существенно не изменяет этой
картины.
Рис. 1.11. Энергия фононов “SA” поляризации в гетероструктуре типа IV с размерами
3 нм/ 1 нм/ 3 нм (a) и 10 нм/ 1 нм/ 10 нм (b).
На Рис. 1.11 (a-b) показано “ускоряющее” действие Al2O-обкладок на групповые
скорости гетероструктуры IV-го типа. В этом случае эффект фононного конфайнмента и
“акустически быстрые” обкладки действуют в противоположенные стороны. Эффект
фононного конфайнмента уменьшает частоту фононов, в то время как Al2O3–обкладки её
увеличивают. Поэтому гетерогенность структуры проявляется очень чётко. Свойства этой
гетероструктуры не становятся аналогичными свойствам пластины даже при очень толстых
© 2006 Д.Л. Ника
27
Al2O3-обкладках. На Рис. 1.11 (b) видны обе характеристические линии L и L’, наклон
которых соответственно равен v LA ( Al2O3 ) и vTA1 ( Al2O3 ) . Промежуточный регион между
этими двумя линиями характеризуется резким и многократным изменением фононной
скорости в интервале значений ( vTA ( Pl ) , v LA ( Al2O3 ) ). Справа от линии L’ находится регион
низкочастотных фононов ((Pl, TA)-подобные моды). С увеличением толщины обкладочных
слоёв промежуточный регион расширяется и количество “быстрых” фононных мод
возрастает. Однако, “акустически быстрые” обкладки не преодолевают полностью
“медленность”
внутреннего
Pl-слоя.
Поэтому
эффект
фононного
ускорения
в
гетероструктуре IV-го типа меньше чем эффект фононного замедления в гетероструктуре IIIго типа.
Рис. 1.12. Средние групповые скорости фононов “SA” поляризации в
зависимости от температуры. Кривые построены для однородных пластин из
GaN и Pl, а также для гетероструктур III-го и IV-го типов.
Количественно эффекты фононного замедления и ускорения описываются следующими
отношениями, которые соответствуют некоторым точкам Рис. 1.12: отношение средней
групповой скорости “SA” фононов в гетероструктуре III-го типа (3 нм/ 1 нм/ 3 нм) при
температуре T=20 K к скорости в GaN-пластине равно v( типа III )/v(GaN-пластина)=0.17
(см. Рис. 1.10 (a) и Рис. 1.12). В структуре III-го типа (10 нм/ 1 нм/ 10 нм) это отношение
равно v( типа III )/v(GaN-пластина)=0.16 (см. Рис. 1.10 (b) и Рис. 1.12). При комнатной
температуре (T=300 K) эти отношения одинаковы для обоих случаев и равны 0.26. Это
означает, что благодаря влиянию обкладок средняя групповая скорость фононов в
© 2006 Д.Л. Ника
28
гетероструктуре замедлена в 3.84 раза по сравнению с GaN-пластиной, групповая скорость
фононов в которой уже меньше объёмной благодаря конфайнменту. Отношение средней
групповой скорости фононов в гетероструктуре IV-го типа (3 нм/ 1 нм/ 3 нм) к скорости в Plпластине
при
температуре
T=20
K
равно
v( типа IV )/v(Pl-пластина)=1.06,
а
для
гетероструктуры 10 нм/ 1 нм/ 10 нм v( типа IV )/v(Pl-пластина)=1.4 (см. Рис. 1.12). При
комнатной температуре это соотношение равно 1.36 и 2.36 соответственно.
Также интересно сравнить средние скорости фононов в трехслойных гетероструктурах
с их значениями в соответствующем объёмном материале. В гетероструктуре IV-го типа
средняя скорость фононного потока во внутреннем слое может быть больше, чем в
соответствующем объёмном материале (в пластике). Это повышение скорости происходит
благодаря влиянию “акустически быстрых” и “толстых” обкладок. В гетероструктуре III-го
типа средняя скорость во внутреннем GaN-слое меньше, чем в объёмном GaN, из-за влияния
“акустически медленных” Pl-обкладок.
Рис. 1.13. Дисперсия энергий акустических фононов “SA” поляризации в (a)
пятислойной Pl/AlN/GaN/AlN/Pl (5 нм/3 нм/ 3 нм/ 3 нм/ 5 нм) и (b) трёхслойной
AlN/GaN/AlN (3 нм/ 3 нм/ 3 нм) гетероструктурах.
© 2006 Д.Л. Ника
29
На Рис. 1.13 (a-b) изображены фононные дисперсии в трёхслойной гетероструктуре
AlN/GaN/AlN (3 нм/ 3 нм/ 3 нм) и в пятислойной гетероструктуре Pl/AlN/GaN/AlN/Pl (5 нм/ 3
нм/ 3 нм/ 3нм/ 5 нм). Из рисунка видно, что Pl-обкладки сильно понижают энергию фононов.
Действительно, фононные моды в AlN/GaN/AlN гетероструктуре при q=0 заключены в
интервале 12 мэВ, тогда как в пятислойной гетероструктуре с “акустически медленными”
обкладками моды заключены в интервале 4.5 мэВ. Покрытие трёхслойной гетероструктуры
AlN/GaN/AlN пластиковыми обкладками приводит к эффектам, качественно подобным тем,
которые описаны выше для гетероструктуры III-го типа.
Рис. 1.14. Дисперсия энергий акустических фононов “SA” поляризации в гетероструктуре
AlN/GaN/AlN (4 нм/ 2 нм/ 4 нм) со свободными (а) и закреплёнными (b) внешними
поверхностями.
На Рис. 1.14 (а-b) показаны дисперсии “SA” фононов в гетероструктуре AlN/GaN/AlN
(4 нм/ 2 нм/ 4 нм) в случае свободных (а) и закреплённых (b) внешних поверхностей. Как
видно из этого рисунка, в случае ЗВП отсутствует объёмно-подобная ветвь (s=0) фононных
мод. В этом случае моды с s=0 при малых q квадратично дисперсные.
1.4. Эффекты фононного обеднения и обогащения в гетероструктурах
В многослойных гетероструктурах, состоящих из слоёв с различными акустическими
свойствами, происходит модификация спектра акустических фононов и перераспределение
векторов смещения фононных мод. Это приводит к появлению в слоях гетероструктур
эффектов фононного обеднения и обогащения, которые впервые были исследованы
Покатиловым Е. П., Никой Д. Л. и Баландиным А. А. в [40]. Сущность этих эффектов
состоит в том, что фононные моды выталкиваются из слоёв с большей скоростью звука в
© 2006 Д.Л. Ника
30
слои с меньшей скоростью звука. Таким образом, происходит фононное обеднение
“акустически быстрых” слоёв и фононное обогащение “акустически медленных” слоёв.
Для количественного описания этих эффектов в [40] был введён коэффициент
фононного обеднения.
Разложение фононного вектора смещения по всем модам и поляризациям имеет вид:
"
"
"
"
"
U ( x 1 , x2 , x3 , t ) = ∑ U s(α ) (r , x3 , q , t ), r ( x1 , x2 ) .
(1.15)
"
α ,s ,q
В Ур. (1.15) индекс α = ( SA, AS , Shear ) обозначает тип поляризации, а индекс s =0, 1, 2,…N –
"
квантовый номер нормальной фононной моды. Вектор смещения ( α , s, q ) нормальной
фононной моды описывается уравнением:
"
"
"
U s(α ) (r , x3 , q , t ) =
""
1
" " "
As(α ) (q , t ) wsα (q , x3 )eiqr ,
L1 L2
(1.16)
где L1 и L2 - это размеры гетероструктуры вдоль осей X1 и X2 (L1,L2 # d), As(α ) - амплитуда
" "
"
колебания и wαs (q , x3 ) - это вектор поляризации ( α , s, q )- нормальной фононной моды. Вектор
" "
поляризации wαs (q , x3 ) удовлетворяет условиям ортонормировки:
d
2
" (α ) "
" (α ')* "
(q , x3 )dx3 = ρ$ s(α ) (q )δ ss 'δαα ' ,
s ( q , x3 ) ρ ( x3 ) ws '
∫w
(1.17)
d
−
2
где δ kk ' = 0 ( k ≠ k ' ) и δ kk ' = 1 ( k = k ' ).
Полная энергия колебаний в гетероструктуре представляется в виде [29]:
E=
"% 2
1
1
ρ
x
U
dV + ∫ ckjlm ( x3 )U kjU lm dV .
(
)
3
∫
2V
2V
(1.18)
Первый член Ур. (1.18) представляет кинетическую, а второй член – потенциальную энергию
колебаний решётки. Подставляя Ур. (1.15) и (1.16) в Ур. (1.18) и, используя условие
нормировки (1.17), можно представить энергию колебаний в следующей форме:
2
" 2
" 2
Es(α ) (q ) = Es(α,1 ) (q ) + Es(,2α ) (q ) = (ωs(α ) )2 As(α ) ( ρ1 ∫ ws(α ) dx3 + ρ 2 ∫ ws(α ) dx3 ) .
1
(1.19)
2
Индексы 1 и 2 обозначают внутренний слой и внешние обкладки соответственно. Выражение
(1.19) записано таким образом, что первый член соответствует энергии Es,1(q) упругих
колебаний (α , s, q ) нормальной моды во внутреннем слое гетероструктуры, тогда как второй
член соответствует энергии Es,2(q) упругих колебаний в обкладках. Коэффициент фононного
© 2006 Д.Л. Ника
31
обеднения ξ s(α ) (q ) определяется как отношение плотности упругой энергии во внутреннем
слое гетероструктуры к плотности энергии всей гетероструктуры:
ξ
(α )
s
(q) =
Es(,1α ) (q )
V1
V
(α )
s
E
(q)
=
d ρ1
d1 ρ$ s(α )
∫w
(α )
s
2
(q, x3 ) dx3 .
(1.20)
1
В Ур. (1.20) V1 = L1 L2 d1 и V = L1 L2 d . В соответствии с этим определением ξ s(α ) (q ) показывает
относительное количество энергии во внутреннем слое гетероструктуры по сравнению со
всей энергией в гетероструктуре (обе энергии берутся на единицу объёма).
Также полезно сравнить средние квадраты вектора поляризации во внутреннем слое
гетероструктуры и в однородной пластине. Для этой цели в [40] вводится “phonon damping”
коэффициент rs(q,d):
d
2
2
"
d1 ∫ ws(α, sl) (q, x3 ) dx3
(α )
s
r
−
( q, d ) =
d
2
d1
2
d
∫
−
,
(1.21)
2
"
ws(α, h) (q, x3 ) dx3
d1
2
"
"
где ws(α, sl) (q, x3 ) – это вектор поляризации в пластине толщиной d, а ws(α, h) (q, x3 ) – это вектор
поляризации в гетероструктуре.
Рис. 1.15 (а) показывает дисперсионные ветви “SA” акустических фононов в
гетероструктуре Pl/GaN/Pl (4 нм/ 2 нм/ 4 нм). Как видно из этого графика, дисперсия
нижайшей моды (s=0) такая же, как у поперечных фононных мод в объёмном Pl со
скоростью звука v≈1 км/с. Другие дисперсионные ветви (s ≠ 0) соответствуют квантованным
квазиоптическим модам. Количество всех квазиоптических мод, которое использовалось в
расчётах, оценивалось отношением
d
(во вьюрцитном GaN c=0.51 нм). Квазиоптические
2c
ветви имеют параболическую дисперсию ( ω ~ q 2 ) для q вблизи центра зоны Брюллиена.
Наклон линии L примерно равен значению скорости TA фононов в GaN (~ 4 км/с). Этот
узкий регион с крутыми изменениями в наклонах дисперсионных кривых проявляет свойства
“акустически быстрого” слоя. Для всех других значений q наклоны дисперсионных кривых
существенно меньше. Это означает что средняя групповая скорость фононных мод,
распространяющихся через всю структуру, лежит в диапазоне между объёмными скоростями
TA и LA волн в пластике (линией L’ обозначен регион со скоростью близкой к скорости LA
фононов в пластике: v ≈ 1.6 − 1.9 км/с). Ширина региона с большими скоростями фононов
© 2006 Д.Л. Ника
32
относительно мала (∼0.1нм-1). Поэтому в этой гетероструктуре доминируют акустические
свойства “ медленных” пластиковых обкладок.
Рис. 1.15. (a) Дисперсия энергий !ω sα ( x3 , q )
гибридных “SA” акустических
фононных мод в гетероструктуре Pl/GaN/Pl (4 нм/ 2 нм/ 4 нм). Непрерывные и
штриховые
кривые
соответствуют
чётным
и
нечётным
фононным
ветвям
соответственно. (b) Функция ζ (sSA) в зависимости от фононного волнового числа q,
построенная для чётных фононных ветвей. Положительные значения
ζ (sSA)
указывают промежуток по q, в котором колебания решётки во внутреннем слое
гетероструктуры подавлены.
На Рис. 1.15 (b) показан десятичный логарифм коэффициента фононного обеднения,
взятый с противоположным знаком: ζ (sSA) ( q ) = − log 10 ξ s( SA) (q) в зависимости от волнового
© 2006 Д.Л. Ника
33
числа. Функция ζ (sSA) ( q ) показана для чётных фононных мод “SA” поляризации в
гетероструктуре Pl/GaN/Pl (4 нм/ 2 нм/ 4 нм). Для дальнейшего удобства изложения
материала будем называть эту структуры гетероструктурой V-го типа. Как видно, из Рис.
1.15 (b) значения функции ζ (sSA) ( q ) положительны практически для всех значений q. Более
того, при q ≥ 2 нм-1 значения ζ s( SA) ≥ 2 . Это означает, что плотность энергии фононов в
“медленных” обкладках превышает плотность энергии фононов во внутреннем “быстром”
GaN-слое на 2 порядка и более. Таким образом, происходит сильное фононное обеднение
(подавление колебаний кристаллической решётки) в GaN-слое и сильное фононное
обогащение (усиление колебаний решётки) в пластиковых обкладках.
Важно отметить, что эффект фононного обеднения (обогащения) имеет место для всех
мод и практически для всех значений q, за исключением фононов из узкого интервала по q,
относящихся к региону максимальных наклонов дисперсионных кривых (линия L на Рис.
1.15 (а)). Минимумы кривых ζ (sSA) на Рис. 1.15 (b) соответствуют резкому изменению
наклона дисперсионных кривых на Рис. 1.15 (а). Однако эти минимумы не глубокие и не
изменяют основной ход кривых ζ (sSA) . Поэтому эффект фононного обеднения внутреннего
“акустически быстрого” слоя доминирует во всех ветвях спектра акустических фононов.
"
На Рис. 1.16 сравниваются квадраты усреднённых векторов поляризации ws(α ) (q, x3 )
фононных мод с одинаковыми s в гетероструктуре и в однородных пластинах. Рис. 1.16 (а)
показывает десятичный логарифм “phonon damping” коэффициента log10 rs(α ) (q, d = 10 нм) .
Толщина пластины (d=10 нм) выбрана равной полной толщине гетероструктуры. Как видно
из этого рисунка, средние квадраты векторов поляризации во внутреннем GaN-слое
гетероструктуры практически на 2 порядка ниже, чем в GaN-пластине. На Рис. 1.16 (b)
сравниваются средние квадраты векторов поляризации двух фононных ветвей (s=0, 1) в
гетероструктуре и в GaN-пластине с толщиной в 2 нм, равной толщине внутреннего слоя
гетероструктуры. Как видно из этого рисунка, средние квадраты векторов поляризации в
GaN-пластине на несколько порядков больше, чем во внутреннем слое гетероструктуры.
Поэтому колебания решётки во внутреннем GaN-слое гетероструктуры сильно подавлены.
© 2006 Д.Л. Ника
34
Рис. 1.16. “Phonon damping” коэффициент для чётных “SA” фононных ветвей: (а)
сравнение средних квадратов векторов поляризации в пластине и гетероструктуре
с
одинаковыми толщинами;
(b)
сравнение средних квадратов векторов
поляризации в пластине и гетероструктуре с толщиной внутреннего слоя равной
толщине пластины.
Физическая причина описанных эффектов фононного обеднения и обогащения
"
"
заключается в перераспределении векторов смещения фононных мод U s(α ) ~ As(α ) ws(α ) ( x3 ) в
гетероструктуре таким образом, что в “акустически медленных” слоях колебаний решётки
будет значительно больше, чем в “акустически быстрых” слоях. Это проиллюстрировано на
Рис. 1.17 (a-b), на котором показаны амплитуды w1,SAs=1 ( x3 , q) (а) и w3,SAs=1 ( x3 , q) (b) компонент
вектора смещения в зависимости от q и x3. В “быстром” GaN-слое поверхности амплитуд
колебаний практически плоские и равны 0, в то время как в “медленных” обкладках
© 2006 Д.Л. Ника
35
амплитуды колебаний большие. Аналогичная зависимость наблюдается и для других “SA” и
“AS” фононных мод.
Рис. 1.17. Компоненты w1,SAs=1 (а) и w3,SAs=1 (b) вектора смещения w SA
s=1 в зависимости от
фононного волнового числа q и координаты x3.
1.5. Заключение
В главе 1 были исследованы свойства конфайнмент акустических фононов в плоских
многослойных структурах со свободными и закреплёнными внешними поверхностями. Было
показано, что соответствующим выбором материала и толщины обкладок можно как
увеличить, так и уменьшить среднюю скорость фононов во внутреннем слое (канале)
гетероструктуры по сравнению со скоростью в соответствующей однородной пластине или в
соответствующем объёмном материале. Было также установлено, что обкладки с большей
скоростью звука обогащают канал гетероструктуры фононами (эффект фононного
обогащения), в то время как обкладки с меньшей скоростью звука обедняют его (эффект
фононного обеднения).
Физическая причина описанных эффектов заключается в перераспределении векторов
смещения в гетероструктуре, таким образом, что происходит подавление колебаний в слоях с
большей скоростью звука и усиление колебаний в слоях с меньшей скоростью звука.
Управление фононной групповой скоростью и эффектами фононного обеднения
(обогащения)
в
гетероструктурах
открывает
новые
возможности
для
управления
транспортом акустических фононов, для оптимизации электронных и фононных устройств и
для развития фононной инженерии.
© 2006 Д.Л. Ника
36
ГЛАВА 2. АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КВАНТОВЫХ
НИТЯХ, ПОКРЫТЫХ ОБОЛОЧКОЙ
2.1. Прямоугольные квантовые нити как объект изучения
Квантовые нити привлекают пристальное внимание исследователей ввиду сочетания
многостороннего конфайнмента и возможности свободного движения заряда вдоль оси нити.
Считается, что эти структуры (вместе с квантовыми слоями и квантовыми точками) в
будущем составят основу электронной техники. Доказано, что транзисторы и лазеры,
изготовленные из квантовых нитей, будут обладать хорошими характеристиками [41-42].
Значительное количество теоретических и экспериментальных исследовательских работ
посвящено нитям прямоугольного сечения. Детальное изучение электронных и дырочных
состояний в прямоугольных квантовых нитях GaAs/Ga1-xAlxAs и Ga0.47In0.53As/InP проведено
в работах [41-46]. Энергия связи водородной примеси в прямоугольной квантовой нити
вычислена в [47-48]. Влияние конфайнмента LO-фононов на энергию основного состояния
примеси в нити рассмотрено в [49]. Экспериментально были изготовлены и исследованы
прямоугольные квантовые нити из Ga0.47In0.53As/InP [44-45] и из GaAs/Ga0.63Al0.37As [50].
Исследование эффекта пространственного конфайнмента в кантовых нитях прямоугольного
сечения Ga0.47In0.53As/InP проведено в [51]. Оптические свойства прямоугольных квантовых
нитей из ZnS рассмотрены в [52-53].
Изучение акустических свойств квантовых нитей различной формы затруднено тем, что даже
в случае нитей прямоугольного сечения происходит смешивание продольных и поперечных
акустических волн на внешних поверхностях нитей, что усложняет задачу нахождения
нормальных мод акустических фононов. Первоначальные теоретические исследования
ограничивались рассмотрением свойств акустических фононов в изотропных нитях.
Предполагалось, что фононные моды прямоугольных квантовых нитей будут хорошо
описываться приближёнными гибридами объёмных продольных и поперечных мод,
полученных в приближении независимости компонент вектора смещения друг от друга на
внешних поверхностях нитей, если отношение сторон поперечного сечения квантовой нити
меньше 2. Эти гибридные моды были названы “thickness” и “width” модами [8-9]. Однако с
помощью приближённых методов невозможно определить продольную и поперечную
составляющие акустической волны, так как смешивание поперечных и продольных
колебаний зависит от формы нити, от частоты и волнового числа фонона [54]. Поэтому
гибридные “thickness” и “width” моды [8,9] только качественно описывали спектр
© 2006 Д.Л. Ника
37
акустических фононов в реальных нанонитях [7, 54]. Впервые точные спектры акустических
фононов в прямоугольных квантовых нитях из GaAs с учётом кубической симметрии
кристаллической решётки, а также зависимости компонент вектора смещения друг
относительно друга на внешних поверхностях нитей были получены в [7]. В этой работе
было показано, что в однородной прямоугольной квантовой нити существуют фононы
четырёх поляризаций: “Dilatational”, “Flexural 1”, “Flexural 2” и “Shear”, которые отличаются
друг от друга чётностью компонент вектора смещения. В этой работе также установлено, что
только нижайшие ветви приближённых “thickness” и “width” фононных мод относительно
хорошо соответствуют реально существующим в нитях ветвям “Dilatational” поляризации.
2.2. Конфайнмент фононов в прямоугольных квантовых нитях, покрытых
оболочкой
Схематические изображения прямоугольной квантовой нити, покрытой прямоугольным
барьерным слоем (гетеронити), и однородной прямоугольной нити показаны на Рис. 2.1 (a) и
2.1 (b) соответственно.
Рис. 2.1. Схематичное изображение прямоугольной квантовой нити покрытой
оболочкой (а) и однородной прямоугольной квантовой нити без оболочки (b).
В качестве материала нити выбран GaN, как один из технологически используемых
материалов [27-28], а в качестве барьерных материалов рассмотрены “акустически более
быстрый, чем GaN” AlN и “акустически более медленный, чем GaN” пластиковый материал.
В дальнейшем предполагается, что GaN и AlN имеют вьюрцитную структуру (то есть их
решётки
обладают
гексагональной
симметрией),
а
ось
нити
направлена
вдоль
кристаллографической оси c. Ось X3 прямоугольной Декартовой системы координат также
направлена вдоль оси c, а оси X1 и X2 лежат в плоскости поперечного сечения нити,
параллельно сторонам сечения (см. Рис. 2.1 (a,b)). Центр системы координат выбран в центре
© 2006 Д.Л. Ника
38
поперечного сечения нанонити. Толщины сторон нанонити обозначены d1(1) и d 2(1) , тогда как
полные толщины гетеронити (нанонить + барьерный материал) обозначены d1 и d 2 .
Так как рассматриваемая система неоднородна в плоскости (X1, X2), перпендикулярной
оси нити, плотность и модули упругости являются функциями координат: ρ = ρ ( x1 , x2 ) и
cij = cij ( x1 , x2 ) . При проведении вычислений ступенчатые на границе нить/обкладка функции
ρ ( x1 , x2 ) и cij ( x1 , x2 ) заменялись функциями, плавно меняющимися от значения в материале
нити до значения в обкладочном материале. Последующая проверка показала, что вид
плавной функции практически не влияет на результат вычислений (в пределах
вычислительной погрешности в 1%), если толщина переходной области между материалом
нити и материалом обкладки, где осуществлялась замена на плавную функцию, равнялась
постоянной решётки a.
В случае гетеронити, решения системы уравнений (1.1) ищутся в виде:
U i ( x1 , x2 , x3 , t ) = ui ( x1 , x2 )ei (ωt − kx3 ) , (i=1,2,3).
(2.1)
Подставляя Ур. (2.1) в Ур. (1.1), можно получить систему из трёх уравнений относительно
компонент вектора смещения [55]:
∂ 2u1
∂ 2u1 ∂c11 ∂u1 ∂c66 ∂u1
(c44 q − ω ρ )u1 = c11 2 + c66
+
+
+
∂x1
∂x2 2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2
2
2
∂ 2u2 ∂c12 ∂u2 ∂c66 ∂u2
∂u
∂c
+ (c12 + c66 )
+
+
+ q (c13 + c44 ) 3 + q 13 u3 ,
∂x1∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
∂x1
∂x1
∂ 2u 2
∂ 2u2 ∂c66 ∂u2 ∂c11 ∂u2
(c44 q − ω ρ )u2 = c66
+ c11
+
+
+
∂x12
∂x2 2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2
2
(2.2)
2
∂u
∂c
∂ 2u1 ∂c66 ∂u1 ∂c12 ∂u1
+ (c12 + c66 )
+
+
+ q (c13 + c44 ) 3 + q 13 u3 ,
∂x1∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
∂x2
∂x2
(q 2 c33 − ω 2 ρ ) = c44 (
∂ 2u3 ∂ 2u3 ∂c44 ∂u3 ∂c44 ∂u3
+ 2 )+
+
−
∂x12
∂x2
∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2
∂u ∂u
∂c
∂c
− q (c13 + c44 )( 1 + 2 ) − q ( 44 u1 + 44 u2 ).
∂x1 ∂x2
∂x1
∂x2
(2.3)
(2.4)
При выводе этих уравнений сначала была сделана замена u3 = −iu3' , после чего u3' снова было
заменено на u3 : u3' ≡ u3 .
Благодаря
симметрии
рассматриваемой
структуры
в
плоскости
(X1,X2)
и
инвариантности уравнений (2.2-2.4) к операциям отражения относительно осей X1 и X2,
система уравнений (2.2-2.4) имеет четыре типа независимых решений с разной чётностью
© 2006 Д.Л. Ника
39
функций ui : (i) “Dilatational (D)” моды: u1AS ( x1 , x2 ), u2SA ( x1 , x2 ), u3SS ( x1 , x2 ) → uiD ; (ii) “Flexural1
(F1)”
моды:
u1AA ( x1 , x2 ), u2SS ( x1 , x2 ), u3SA ( x1 , x2 ) → uiF1 ;
u1SS ( x1 , x2 ), u2AA ( x1 , x2 ), u3AS ( x1 , x2 ) → uiF2
(iii)
“Flexural2
(F2)”
и (iv) “Shear (Sh)” моды: u1SA ( x1 , x2 ),
моды:
u2AS ( x1 , x2 ),
u3AA ( x1 , x2 ) → uiSh . Верхние индексы в обозначении компонент вектора смещения показывают
чётной или нечётной является функция относительно координаты x1 и x2 соответственно, то
f ( x1 , x2 ) = f (− x1 , x2 ) =
есть
→ f
AA
f ( x1 , − x2 ) → f SS ( x1 , x2 ) ,
f ( x1 , x2 ) = − f (− x1 , x2 )
= − f ( x1 , − x2 )
( x1 , x2 ) и т.д.
Вектор смещения в произвольной точке нанонити представляет собой суперпозицию
всех нормальных мод:
"
1
U ( x1 , x2 , x3 ) =
L3
"(
A α (q, t ) w α ( x , x , q)e
∑
α
( )
n
n
)
1
2
− iqx3
,
(2.5)
,n ,k
где An(α ) (q, t ) - это амплитуда нормальной моды с поляризацией ( α ) в фононной ветви с
"
квантовым номером n и с волновым числом q. Вектор w удовлетворяет условиям
ортонормировки:
" (α )
∫ ρ ( x , x )w
1
2
n
" '
( x1 , x2 , q) wn(α' )* ( x1 , x2 , q)dx1dx2 = ρ$ n(α ) (q)δ nn' δαα '
" (α )
" (α ' )*
w
(
x
,
x
,
q
)
w
( x1 , x2 , q)dx1dx2 = δ nn' δαα ' ,
1
2
n
∫
n'
(2.6)
(2.7)
В формулах (2.6-2.7) интегрирование производится по поверхности поперечного сечения
нити. Внешние поверхности нити могут быть как свободными, так и закреплёнными. В
случае ЗВП, все компоненты вектора смещения равны 0 на внешних поверхностях нити:
w1 = w2 = w3 = 0, а в случае СВП, все компоненты силы равны 0 на внешних поверхностях
нити: P1 = P2 = P3 = 0 , где Pi = σ ik nk и nk – это компонента внешнего нормального вектора к
поверхности нити. Все коэффициенты уравнений (2.2-2.4) пропорциональны отношениям
cik / ρ . Отношения
c33 / ρ = V|| L и
c11 / ρ = V⊥L определяют продольную скорость звука
вдоль и перпендикулярно кристаллографической оси c , тогда как отношение
c44 / ρ = V T
определяет поперечную скорость звука. Поэтому различие в скоростях звука материала нити
и барьерного материала играет важную роль в акустических эффектах, обусловленных
обкладками.
© 2006 Д.Л. Ника
40
2.3. Дисперсии и групповые скорости фононов в прямоугольных гетеронитях
Решения системы уравнений (2.2-2.4) были найдены численно, с использованием
метода конечных разностей. Вычисления проводились для GaN-нанонити с площадью
поперечного сечения S (1) = d1(1) ⋅ d 2(1) = 2 нм x 3 нм, покрытой “акустически быстрым” и
“акустически медленным” барьерным материалом. Полная площадь поперечного сечения
рассматриваемых гетеронитей S = d1 ⋅ d 2 равнялась 4 нм x 6 нм и 6 нм x 9 нм. Для
исследования эффектов, обусловленных обкладками нити, также были рассчитаны
дисперсии энергии и средние групповые скорости акустических фононов в однородных GaNнитях с площадями поперечного сечения в 2 нм x 3 нм, 4 нм x 6 нм и 6 нм x 9 нм. Значения
упругих модулей и плотностей материалов, использованных в расчёте, приведены в Таблице
1.1.
Количество фононных ветвей каждой поляризации, учтённое в дальнейших расчётах,
оценивалось как nmax =
d1 d 2
⋅ , где a – это постоянная решётки в плоскости поперечного
2a 2 a
сечения нити.
На Рис. 2.2 и 2.3 показаны графики дисперсии фононов “Dilatational” поляризации в
GaN-нити с S = 2 нм x 3 нм (Рис. 2.2 (а)) и S = 4 нм x 6 нм (Рис. 2.3 (а)), в GaN-нити с
оболочкой из AlN с S (1) = 2 нм x 3 нм и S = 4 нм x 6 нм (Рис. 2.2 (b), 2.3 (b)), в GaN-нити с
оболочкой из пластика (Pl) с S (1) = 2 нм x 3 нм и S = 4 нм x 6 нм (Рис. 2.2 (c), Рис. 2.3 (с)). В
GaN-нити с S = 2 нм x 3 нм максимальное количество ветвей nmax = 15 для каждой
поляризации; в нанонити с S = 4 нм x 6 нм максимальное количество ветвей каждой
поляризации равно 59, а в нанонити с S = 6 нм x 9 нм количество ветвей возрастает до 139.
Так как значения постоянных решётки в GaN и AlN мало отличаются (a(GaN)=0.318 нм,
a(AlN)=0.311 нм), максимальное число фононных ветвей nmax =
d1d 2
примерно одинаковое
4a 2
для нитей из GaN и AlN. Полное число фононных ветвей каждой поляризации (рассчитанное
из соображения, что полное число фононных мод должно равняться полному числу степеней
свободы атомов в нити) больше чем nmax =
d1d 2
, но расчёты, проведённые с учётом всех
4a 2
возможных фононных ветвей, показали, что высокоэнергетические фононные моды
практически не влияют (в пределах ошибки вычислений в 0.5%) на средние групповые
скорости фононов в зависимости от температуры и частоты. Поэтому, при расчёте средних
© 2006 Д.Л. Ника
41
скоростей в дальнейшем учитывалось nmax =
d1d 2
фононных ветвей, а постоянная решётки a
4a 2
бралась равной а(GaN).
Рис. 2.2. Дисперсия энергии акустических фононов “Dilatational” поляризации в
прямоугольной GaN-нити без обкладок c площадью поперечного сечения S=2 нм x 3 нм (a),
в прямоугольных GaN-нитях c “акустически быстрой” AlN-обкладкой (S(1)=2 нм x 3 нм, S=4
нм x 6 нм) (b) и “акустически медленной” Pl-обкладкой (S(1)=2 нм x 3 нм, S=4 нм x 6 нм) (c).
Результаты показаны для нитей со свободными внешними поверхностями.
© 2006 Д.Л. Ника
42
Рис. 2.3. Дисперсия энергии акустических фононов “Dilatational” поляризации в
прямоугольной GaN-нити без обкладок cо свободными внешними поверхностями (S=2
нм x 3 нм) (a), в прямоугольной GaN-нити с закреплёнными внешними поверхностями,
покрытой “акустически быстрой” AlN-обкладкой (S(1)=2 нм x 3 нм, S=4 нм x 6 нм) (b) и
“акустически медленной” Pl-обкладкой (S(1)=2 нм x 3 нм, S=4 нм x 6 нм) (c).
На Рис. 2.2 (b-c) и 2.3 (b-c) показаны пять нижайших фононных ветвей n=0,…4 и
фононные ветви с квантовым номером n=8, 18, 28, 38, 48 и nmax = 58. Фононные дисперсии,
© 2006 Д.Л. Ника
43
изображенные на Рис. 2.3 (b-c) получены для нитей с закреплёнными внешними
поверхностями. Остальные дисперсионные кривые построены для нитей со свободными
внешними поверхностями.
В случае закреплённых внешних поверхностей в фононном спектре отсутствует
объёмно-подобная мода и все фононные ветви – размерно-квантованны. В обоих случаях
СВП и ЗВП различие в скоростях звука материала нити и обкладочного материала
существенно влияет на вид низкоэнергетической части фононного спектра. Толщина
барьерного материала также сильно влияет на акустические свойства гетеронитей. Как видно
из Рис. 2.2 (a-c) и 2.3 (a-c) изменение граничных условий от свободных внешних
поверхностей к закреплённым внешним поверхностям и уменьшение площади поперечного
сечения нити ведёт к увеличению размерного квантования в низкоэнергетической части
спектра, но слабо влияет на высокоэнергетические фононные ветви. Последнее объясняется
тем, что положение высокоэнергетических фононных мод в основном определяется
отношением 1/ a , в то время как величина размерного квантования определяется
соотношением 1/ d .
Как видно из Рис.2.2 и 2.3, “акустически медленная” Pl-обкладка увеличивает
плотность фононных ветвей на единичный интервал энергии, в то время как “акустически
быстрая” обкладка из AlN уменьшает плотность фононных ветвей. В нанонити с S = 4 нм x 6
нм в энергетическом интервале 6 мэВ содержится 9 нижайших фононных ветвей, а интервал
в 18 мэВ включает все рассчитанные фононные ветви !ω (q = 0) (см Рис. 2.3 (a)). В
нанонитях с “акустически медленными” Pl-обкладками (см. Рис. 2.2 (c) для СВП и 2.3 (c) для
ЗВП) девять фононных ветвей содержится в значительно меньшем энергетическом
интервале в 1.8 мэВ на Рис. 2.2 (c) и 3 мэВ на Рис. 2.3 (c). В нанонитях с “быстрой” AlNоболочкой первые 9 фононных ветвей содержаться в интервале в 7.5 мэВ на Рис. 2.2 (b) для
СВП и в интервале в 11 мэВ на Рис. 2.3 (b) для ЗВП.
По сравнению с фононными спектрами в тонких пластинах и гетероструктурах,
описанными в П.1.3, фононные спектры в нанонитях с обкладками и без обкладок
характеризуются большим числом размерно-квантованных фононных ветвей вследствие
двухмерного фононного конфайнмента и большей плотностью фононных ветвей в
единичном интервале энергий.
Акустические свойства барьерного материала сильно влияют на значение средних
фононных групповых скоростей, определяемых формулой:
© 2006 Д.Л. Ника
44
v (ω ) =
1
g α (ω )
.
∑
4 α ∑ (vnα (ω ))−1
(2.8)
n (ω )
В Ур. (2.8) суммирование проводится по всем дисперсионным ветвям n(ω ), а g (α ) (ω ) – это
число дисперсионных ветвей поляризации ( α ). Средние групповые скорости фононов,
полученные усреднением по всем фононным ветвям от n = 0 до n = nmax и по всем
фононным поляризациям (“D”, “F1”, “F2” и “Sh”), для нанонитей со свободными внешними
поверхностями показаны на Рис. 2.4. Кривые средних групповых скоростей сильно
осциллируют с изменением частоты из-за существования большого числа квантованных
(α )
n
фононных ветвей и из-за быстрого изменения производных v
dqn(α ) (ω )
.
(ω )) =
dω
−1
Рис. 2.4. Средние групповые скорости фононов, полученные с учётом всех
поляризаций и фононных мод, в зависимости от частоты для GaN, GaN/AlN и GaN/Pl
гетеронитей со свободными внешними поверхностями.
Как видно из Рис. 2.4, “акустически медленные” Pl-обкладки существенно понижают
(примерно в 3 раза) среднюю скорость фононов по сравнению с её значением в GaN-нити без
обкладок. Эффект понижения скорости усиливается с увеличением толщины обкладочного
слоя. Обкладки из “акустически быстрого” AlN-изменяют направление эффекта и
увеличивают среднюю скорость фононов в нанонитях.
Средняя групповая скорость фононов, полученная с учётом заселения фононных
состояний, определяется формулой:
© 2006 Д.Л. Ника
45
α
ωmax
∫
g (α ) (ω ) N (
α
ωmin
v (α ) (T ) = ωα
max
∫
(v
(α )
α
ωmin
где (v (α ) (ω )) −1 =
!ω
)dω
k BT
!ω
(ω )) N (
)dω
k BT
,
(2.9)
−1
dqn(α ) (ω )
∑ dω .
n (ω )
Рис. 2.5. Средние скорости “Dilatational” фононов в зависимости от температуры в
GaN, GaN/AlN и GaN/Pl нанонитях с закреплёнными внешними поверхностями.
На Рис. 2.5 представлена средняя групповая скорость “Dilatational” фононов v ( D ) (T ) в
нанонитях с закреплёнными внешними поверхностями. Как следует из этого рисунка,
“акустически медленные” обкладки уменьшают среднюю скорость фононов примерно в 4-5
раз по сравнению со скоростью в GaN-нити. “Акустически быстрые” AlN-обкладки
увеличивают фононную скорость примерно в 1.3 раза. Аналогичный эффект проявляется и
для других фононных поляризаций.
Важно отметить, что решение задачи в приближении эффективной среды (когда
нанонить с обкладками представляется в виде однородной нанонити с усреднённой
плотностью и модулями упругости) [56] не приводит к такой сильной зависимости средней
скорости фононов от барьерного материала.
Физическая причина описанных выше акустических эффектов заключается в
перераспределение компонент вектора смещения в нанонитях. Рис. 2.6 (а-b) показывает
"
w3,( Dn )=10 ( x1 , x2 , q = 0.4 нм −1 )
и
w⊥( D,n)=10 ( x1 , x2 , q = 0.4 нм −1 )
распределения
компонент
© 2006 Д.Л. Ника
46
соответственно для “Dilatational” фононной моды ( n = 10, q = 0.4 нм −1 ) в плоскости
гетеронити.
Рис. 2.6. Распределение компонент вектора смещения w3,( Dn )=10 ( x1 , x2 , q = 0.4 нм −1 ) (a) и
"
w⊥( D, n)=10 ( x1 , x2 , q = 0.4 нм −1 ) (b) в плоскости поперечного сечения GaN/Pl гетеронити со
свободными внешними поверхностями.
Как видно из представленного рисунка, вектор смещения рассмотренной моды в основном
сконцентрирован в “акустически медленном” Pl-покрытии. Это проявление эффекта
фононного обеднения, аналогичного описанному в П.1.4 для многослойных гетероструктур.
© 2006 Д.Л. Ника
47
Рис. 2.7. Распределения амплитуды вектора смещения wn( D= 2) =
w12 + w23 + w32 в
плоскости поперечного сечения GaN (a), GaN/AlN (b) и GaN/Pl (c) нанонитей
со свободными внешними поверхностями.
© 2006 Д.Л. Ника
48
Рис. 2.8. Распределения амплитуды вектора смещения wn( D= 6) =
w12 + w23 + w32 в плоскости
поперечного сечения GaN (a), GaN/AlN (b) и GaN/Pl (c) нанонитей со свободными
внешними поверхностями.
На
Рис.
2.7
и
2.8
показано
распределение
амплитуды
вектора
смещения
wn(α ) ( x1 , x2 , q ) = w12 + w22 + w32 для “Dilatational” мод ( n =2, q = 0.4 нм-1) и ( n =6, q = 0.4 нм-1) в
GaN-нити без барьеров (Рис. 2.7 (а) и 2.8 (а)), в GaN-нити с “акустически быстрыми” AlNбарьерами (Рис. 2.7 (b), 2.8 (b)) и “акустически медленными” Pl-барьерами (Рис. 2.7 (c), 2.8
(c)). В нанонитях с Pl-обкладками для всех фононных ветвей n = 0,..., nmax большинство
© 2006 Д.Л. Ника
49
колебаний сконцентрировано в обкладочном слое, а GaN обеднён колебаниями. В случае
нити с AlN-обкладками наоборот происходит увеличение амплитуды вектора смещения в
GaN по сравнению с нитью без обкладок. Действительно, для фононной моды ( n =6,
q = 0.4 нм-1) седловая точка, которая была в GaN-нити без обкладок, превращается в
локальный пик в гетеронити с AlN-барьером.
Рис. 2.9. Распределения амплитуды вектора смещения wn( D=1) ( x1 = 0, x2 , q ) GaN (a),
GaN/AlN (b) и GaN/Pl (c) нанонитей со свободными внешними поверхностями.
Зависимость распределения амплитуды вектора смещений
wn( D=1) ( x1 = 0, x2 , q )
от
волнового числа q для “Dilatational” фононных мод с n=1 изображена на Рис. 2.9 (a-c) для
© 2006 Д.Л. Ника
50
GaN-нити без барьера, для GaN-нити с AlN-барьером и для GaN-нити с Pl-барьером
соответственно. Как видно из этого рисунка, увеличение q ведёт к втягиванию колебаний в
GaN в нити с “акустически быстрыми” AlN-обкладками (Рис. 2.9 (b)) и выталкиванию
колебаний из GaN в нити с “акустически медленными” Pl-обкладками (Рис. 2.9 (с)). Таким
образом, происходит обеднение колебаниями материала с более высокой скоростью звука и
обогащение колебаниями материала с более низкой скоростью звука. Из этого рисунка
следует также, что эффект фононного обеднения (обогащения) усиливается с увеличением q.
Так как различие в скоростях звука между GaN и пластиком больше, чем между GaN и AlN,
выталкивание колебаний из GaN в нити с Pl-барьером сильнее, чем втягивание колебаний в
GaN в нити с AlN-барьером.
2.4. Заключение
В главе 2 были исследованы свойства конфайнмент акустических фононов в
прямоугольных GaN-нанонитях, покрытых оболочками. Были рассмотрены нанонити со
свободными и закреплёнными внешними поверхностями. Установлено, что основной
особенностью спектра акустических фононов в нанонитях с закреплёнными поверхностями
является отсутствие объёмно-подобной моды, которая появляется в энергетическом спектре
нанонитей со свободными внешними поверхностями.
Было показано, что соответствующим выбором материала и толщины оболочки
нанонити можно как увеличить, так и уменьшить среднюю скорость фононов в ней по
сравнению со скоростью в соответствующей однородной прямоугольной нанонити или в
соответствующем объёмном материале. Было также установлено, что обкладки с большей
скоростью звука обогащают нанонить фононами (эффект фононного обогащения), в то время
как обкладки с меньшей скоростью звука обедняют её (эффект фононного обеднения).
Как и в случае плоских гетероструктур причина описанных выше эффектов
заключается в перераспределении компонент вектора смещения в прямоугольной нанонити с
обкладкой таким образом, что колебания оказываются подавленными в материале с большей
скоростью звука и усиленными в материале с меньшей скоростью звука.
Описанная сильная зависимость энергетического спектра и средней групповой
скорости фононов от материала обкладки нанонити может быть использована для усиления
взаимодействия электрона с акустическими фононами и для увеличения или уменьшения
теплопроводности нанонитей, так как теплопроводность в явной форме зависит от средних
групповых
скоростей
© 2006 Д.Л. Ника
фононов.
Модификация
энергетического
спектра
фононов,
51
комбинированная с электронной “band-gap” инженерией может также влиять на
термоэлектрические [57] и поляронные [58] свойства нанонитей. Таким образом,
установленные
эффекты
могут
быть
полезны
для
оптимизации
кинетических
и
термоэлектрических свойств прямоугольных нанонитей, то есть для дальнейшего развития
концепции фононной инженерии.
© 2006 Д.Л. Ника
52
ГЛАВА 3. АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КВАНТОВЫХ
НИТЯХ, ПОКРЫТЫХ ОБОЛОЧКОЙ
3.1. Цилиндрические квантовые нити как объект изучения
Большое количество теоретических [46, 59-62] и экспериментальных работ посвящено
изучению оптических и транспортных свойств цилиндрических квантовых нитей.
Нелинейное оптическое пропускание в цилиндрических квантовых нитях, изготовленных из
GaAs и CdS в хризотил-асбестовых нанотрубках, было исследовано в [59]. Энергия связи
водородной примеси в цилиндрической квантовой нити была рассчитана в [60]. Вклад
поляронного эффекта в энергию связи примеси оценён в [61]. Электронные и дырочные
энергетические
состояния
в
цилиндрических
квантовых
нитях,
вычисленные
с
использованием однозонных и многозонных гамильтонианов, исследованы в [46,62].
Акустические
свойства
цилиндрических
квантовых
нитей
и
нанотрубок
цилиндрической формы также интенсивно изучаются [6, 63-67]. Свойства акустических
фононов в однородных цилиндрических квантовых нитях были исследованы Т. Микером и
А. Мейтцлером [6]. В [6] было показано, что благодаря пространственному конфайнменту
акустических фононов в цилиндрических нитях происходит сильная модификация их
энергетического спектра по сравнению с объёмным случаем и появляются “дыхательные”,
“крутильные” и “изгибные” нормальные фононные моды. Совсем недавно было
экспериментально установлено, что в цилиндрических квантовых нитях из Si c радиусами
20-80 нм, модификация спектра акустических фононов приводит к существенному
уменьшению фононной теплопроводности [20], которое ранее было теоретически
предсказано в [23].
3.2. Конфайнмент фононов в цилиндрических квантовых нитях, покрытых
оболочкой
Для
иллюстрации
цилиндрических
влияния
квантовых
нитей,
материала
в
обкладок
диссертационной
на
акустические
работе
были
свойства
рассмотрены
цилиндрические нанонити из вьюрцитного GaN, покрытые “акустически быстрым” AlNматериалом и “акустически медленным” пластиковым материалом.
Схематическое изображение цилиндрической нити покрытой оболочкой и без
оболочки, а также основные обозначения показаны на Рис. 3.1. Предполагается, что ось нити
направлена вдоль кристаллографической оси c. Так как рассматриваемая система обладает
© 2006 Д.Л. Ника
53
цилиндрической симметрией удобно использовать цилиндрическую систему координат с
"
радиус-вектором r , углом в плоскости поперечного сечения нити ϕ и осью Z, направленной
по оси нити. Как отмечено на Рис. 3.1, радиус внутренней нити обозначен как R1 , а полный
радиус гетеронити (нанонить + барьерный слой) как R . Толщина барьерного слоя
∆R = R − R1 . Предполагается, что радиусы R1 и R имеют нанометровые размеры, а длина
нити формально взята бесконечной.
Рис. 3.1. Схематичное изображение цилиндрической квантовой нити покрытой
оболочкой (а) и однородной цилиндрической квантовой нити без оболочки (b).
"
В цилиндрической системе координат вектор смещения U
имеет следующие
компоненты: U r (r , ϕ , z ) , Uϕ (r , ϕ , z ) , U z (r , ϕ , z ) . Так как структура однородна вдоль
направления Z, решения системы уравнений движения (1.1) ищутся в виде:
U r ( r , ϕ , z ) = A ( q )u r ( r ) cos mϕ e i ( ω t − qz )
U ϕ ( r , ϕ , z ) = A ( q )uϕ ( r ) sin mϕ e i (ω t − qz ) ,
(3.1)
U z ( r , ϕ , z ) = A ( q )u z ( r ) cos mϕ e i (ω t − qz )
где m=0, ±1, ±2, ±3,... . В Ур. (3.1) A(q ) – амплитуда нормальной фононной моды. При
выполнении дифференцирования в Ур. (1.1) необходимо учитывать, что модули упругости и
плотность материала - это ступенчатые функции радиуса r: cik = cik (r ) и ρ = ρ (r ) . При
проведении численных расчётов, ступенчатые функции на границе нить/обкладка
заменялись плавными функциями таким образом, чтобы вид этих функций мало влиял (в
пределах погрешности вычислений) на конечный результат.
Подставляя Ур. (3.1) в Ур. (1.1) получаем следующую систему дифференциальных
уравнений относительно компонент вектора смещения [67]:
d 2ur c11 dc11 dur 1 dc12 c11 m 2 c66
+( +
+(
− − 2 )ur
)
dr 2
r
dr dr
r dr r 2
r
m(c11 − c66 ) duϕ
dc
du
1 dc12 c11 + c66
u
+ m(
−
+
+ q (c13 + c44 ) z + q 13 u z
)
ϕ
2
r dr
r
r
dr
dr
dr
(c44 q 2 − ρ ω 2 )ur = c11
© 2006 Д.Л. Ника
(3.2)
54
d 2uϕ
c 66 dc66 duϕ
c66 1 dc66 c11m 2
+
−
+
+ 2 )uϕ
)
(
dr 2
r
dr dr
r 2 r dr
r
m(c11 − c66 ) dur
c11 + c66 1 dc66
mq (c13 + c44 )
uz
−
− m(
+
)ur −
r
dr
r2
r dr
r
(c44 q 2 − ρ ω 2 )uϕ = c66
+(
c +c
d 2u z c44 dc44 du z c44 m 2
dc
+( +
− 2 u z − q ( 13 44 + 44 )ur
)
2
dr
r
dr dr
r
r
dr
qm
c
+
c
(
)
du
13
44
− q (c13 + c44 ) r −
uϕ
dr
r
(c33 q 2 − ρ ω 2 )u z = c44
(3.3)
(3.4)
Внешние поверхности нитей могут быть как свободными (СВП), так и закреплёнными
(ЗВП). В случае свободных внешних поверхностей все компоненты тензора напряжений
равны 0 при r = R ( σ rr = 0 , σ rϕ = 0 и σ rz = 0 ):
(c11 − c12 )
dur
du 1
m
+ c12 ( r ur + uϕ ) + qc13u z = 0
dr
dr r
r
duϕ
dr
−
u
m
ur − ϕ = 0
r
r
(3.5)
du z
− qur = 0 .
dr
В случае закреплённых внешних поверхностей все компоненты вектора смещения равны 0
при r = R: ur = 0, uϕ = 0, u z = 0 .
Несмотря на то, что вьюрцитный GaN обладает гексагональной симметрий, в случае
распространения звуковой волны вдоль кристаллографической оси c решения системы
уравнений (3.2-3.4) могут быть классифицированы аналогично решениям этой системы в
случае изотропной цилиндрической нити [6]. Система уравнений (3.2-3.4) имеет решения для
любых целых m. При m=0, система трёх уравнений распадается на подсистему из двух
"
уравнений относительно компонент ur и uz вектора u = (ur , u z ) и независимое уравнение
относительно компоненты uϕ ( r ) . Решение подсистемы из двух уравнений описывает
продольно-подобные
“дыхательные”
фононные
моды,
которые
соответствуют
периодическому сжатию и расширению поперечного сечения нанонити. При q=0 колебания
вдоль радиуса и вдоль оси нити становятся независимыми и происходят при разных
частотах. Уравнение относительно компоненты uϕ ( r ) описывает крутильные колебания
вокруг оси нити (при этом ось нити остаётся неподвижной). Для этих колебаний амплитуда
вектора смещения пропорционально радиусу.
Для отыскания решений при m ≠ 0 необходимо решать систему из трёх уравнений (Ур.
3.2-3.4) относительно трёх компонент вектора смещения. Решения с |m|=1 называются
© 2006 Д.Л. Ника
55
изгибными колебания 1-го порядка, а решения с |m|>1 называются круговыми колебаниями
порядка m. При этом решения с нечётными m соответствует колебаниям со смещением оси
нанонити.
3.3. Дисперсии и групповые скорости фононов в цилиндрических гетеронитях
Численные вычисления были проведены для однородной GaN-нити с радиусом R=6 нм
и для GaN-нитей с различными оболочками. При этом радиус внутренней GaN-нити R1 =6
нм. В качестве оболочек были рассмотрены “акустически медленные” оболочки из Plматериала толщиной ∆R =4 нм и ∆R =2 нм, а также “акустически быстрая” оболочка из AlNматериала толщиной ∆R =4 нм. Материальные параметры, использованные в расчёте,
указаны в Таблице 1.1.
Рис. 3.2. Дисперсия энергии “дыхательных” (m=0) акустических фононных мод
в цилиндрических GaN/Pl (а) и GaN (b) нитях.
На Рис. 3.2 показаны “дыхательные” фононные моды в GaN-нанонити с радиусом R1=6
нм, покрытой Pl-оболочкой толщиной ∆R =4 нм. Полный радиус гетеронити в этом случае
равняется R=10 нм. Количество фононных ветвей Smax, для которых применимо
континуальное приближение при q < 2 нм-1, в случае цилиндрической нити оценивалось
соотношением Smax=R/2a (a – постоянная решётки в плоскости поперечного сечения нити).
Высокоэнергетические (коротковолновые) фононные ветви с квантовыми номерами s > Smax
не влияют на описываемые ниже эффекты и их вкладом в средние групповые скорости
фононов можно пренебречь. На Рис. 3.2 изображены Smax = 16 фононных ветвей (a(GaN)=0.31
нм). Каждая из дисперсионных кривых в нити с Pl-оболочкой имеет крутые участки в узком
© 2006 Д.Л. Ника
56
регионе по q. Эти крутые участки дисперсионных кривых отражают свойства “акустически
быстрого” материала (GaN в этом случае). Они могут быть объединены прямой линией,
которая отмечена на Рис. 3.2 символом L. Наклон линии L примерно соответствует объёмной
скорости TA-акустических фононов в GaN. Наклон линии L’ примерно соответствует
скорости LA-фононов в Pl-материале. Важно отметить, что протяжённость (в импульсном
пространстве) региона с малыми скоростями примерно на порядок больше чем
протяжённость региона с высокими скоростями, хотя площадь “акустически медленного”
материала всего в 2 раза больше, чем площадь GaN. Другим эффектом, обусловленным Plобкладкой, является сжатие спектра акустических фононов (увеличение числа фононных
ветвей в единичном интервале энергий) в гетеронити по сравнению со спектром GaN-нити,
изображённом на Рис. 3.2 (b). Спектр “дыхательных” фононных мод, показанный на Рис. 3.2
(b) вычислен для GaN-нити без обкладок радиусом R=6 нм, равным внутреннему радиусу
гетеронити (см. Рис. 3.2 (а)). На Рис. 3.2 (а) 16 фононных ветвей ограничены энергетическим
интервалом в 3.1 мэВ, тогда как на Рис. 3.2 (b) 10 фононных ветвей заключены в более
широком энергетическом интервале в 9 мэВ.
Рис. 3.3. Дисперсия энергии “крутильных” (m=0) акустических фононных мод в
цилиндрических GaN/Pl (а) и GaN (b) нитях.
Похожие свойства проявляют и “крутильные колебания” с m=0. На Рис. 3.3 (а) показан
спектр “крутильных” фононных мод в гетеронити GaN/Pl с внутренним радиусом R1 = 6 нм и
∆R = 2 нм, а на Рис. 3.3 (b), для сравнения, представлен спектр “крутильных” фононных мод
в GaN-нити с радиусом R = 6 нм. Дисперсии “крутильных” фононных мод в цилиндрической
нити похожи на дисперсии “Shear” фононных мод в тонкой пластине (см. Рис. 1.2 (а)).
“Крутильные” колебания в цилиндрической нити с оболочкой (которые поперечны, также же
© 2006 Д.Л. Ника
57
как и “Shear” колебания
в плоских гетероструктурах) являются гибридизированными и
отражают различные акустические свойства барьерного и внутреннего материалов
гетеронити.
Рис. 3.4. Дисперсия энергии акустических фононных мод кругового порядка m=±2 в
цилиндрических GaN/Pl (а) и GaN (b) нитях.
Рис. 3.5. Дисперсия энергии “изгибных” акустических фононных мод (m=±1)
(непрерывные линии) и мод кругового порядка m=±3 (штриховые линии) в
цилиндрических GaN/Pl (а) и GaN (b) нитях.
На Рис. 3.4 (а) представлены фононные моды кругового порядка m=±2 в GaN/Pl
гетеронити с внутренним радиусом R1 =6 нм и ∆R = 2 нм. Для сравнения спектр таких же мод
в GaN-нити показан на Рис. 3.4 (b). В этом случае амплитуда колебаний меняется вдоль
окружности,
а
вектора
u⊥ = (ur , uϕ )
на
концах
диаметра
нанонити
направлены
противоположно друг другу. Рис. 3.5 (a-b) показывает спектр “изгибных” колебаний (m= ±1)
© 2006 Д.Л. Ника
58
и колебаний кругового порядка m= ±3. Для этих колебаний, вектора u⊥ = (ur , uϕ ) на концах
диаметра нанонити сонаправлены.
Рис. 3.6. Средние групповые скорости акустических фононов в цилиндрических GaN и
GaN/Pl нанонитях. (a) “дыхательные” фононные моды; (b) крутильные (m=0) моды и моды
кругового порядка |m|=2; (c) изгибные (|m|=1) моды и моды кругового порядка |m|=3.
© 2006 Д.Л. Ника
59
Таким образом, для всех видов колебаний материал оболочки гетеронити (барьерный
слой) приводит к существенному изменению спектра акустических фононов. Более того,
разные типы фононных мод чувствительны как к материалу оболочки, так и к её толщине.
Это открывает возможности управления фононным транспортом в цилиндрических
гетеронитях.
Зависимости средних групповых скоростей фононов v (!ω ) от энергии фонона для
различных типов фононных мод в GaN-нанонитях с оболочками и без оболочек
представлены на Рис. 3.6 (a-c). Средние фононные групповые скорости вычислялись в
соответствии с формулой (2.8) предыдущей главы. Для удобства сравнения амплитуд
групповых скоростей фононов в нанонитях с обкладками и без обкладок, на Рис. 3.6
непрерывными горизонтальными линиями показаны средние значения амплитуд скоростей
ωmax
vA =
∫
ωmin
v (ω )d ω
ωmax − ωmin
. Как следует из Рис. 3.6 (a-c), средние групповые скорости фононов для
“дыхательных” и “изгибных” волн в GaN/Pl гетеронити с внутренним радиусом R1=6 нм и
∆R =4 нм в 3-4 раза меньше чем в GaN-нити радиуса R=6 нм. Как видно из Рис. 3.6 (c),
различие в скоростях уменьшается при уменьшении толщины пластикого покрытия.
3.4. Эффекты фононного обеднения и обогащения в цилиндрических гетеронитях
В цилиндрических гетеронитях, также как и в плоских гетероструктурах, происходит
перераспределение компонент векторов смещения акустических фононных мод. Это
приводит к модификации спектра акустически фононов и появлению в цилиндрических
гетеронитях эффектов фононного обеднения и обогащения, аналогичных описанным в П.1.4
для плоских гетероструктур, состоящих из слоёв с акустически различными свойствами.
Введём коэффициент фононного обеднения в цилиндрической гетеронити, как
отношение плотности упругой энергии во внутренней части гетеронити радиусом R1 к
плотности упругой энергии во всей гетеронити [67]:
R1
ξ s(α ) (q) =
Es ,1 (q ) V
R
= 2
V1 Es (q ) R1
"
ρ1 ∫ | us (r ) |2 rdr
2
0
R
"
2
∫ ρ (r ) | us (r ) | rdr
,
(3.6)
0
© 2006 Д.Л. Ника
60
где V1 = π R12 Lz , V = π R 2 Lz , Es ,1 (q ) – это упругая энергия во внутренней части гетеронити
радиусом R1 и Es (q ) это упругая энергия всей гетеронити. Индекс s=0,1,2,…,Smax обозначает
номер фононной ветви, а индекс ( α ) поляризацию фононов.
На Рис. 3.7 (a-b) изображены кривые десятичного логарифма коэффициента фононного
обеднения, взятого с противоположным знаком ζ sα (q ) = − log ξ s(α ) (q ) в зависимости от
фононного волнового числа q для “дыхательных” (Рис. 3.7(a)) и “крутильных” (Рис. 3.7 (b))
фононных мод (m=0) в GaN/Pl гетеронити с R1=6 нм и ∆R =4 нм. Кривые, полученные для
“дыхательных” фононных мод, качественно похожи на кривые для плоских гетероструктур
(см. П.1.4). При некотором значении фононного волнового числа q функция ζ sα (q )
достигает минимума, который сдвигается в область больших q с увеличением номера
фононной ветви. В цилиндрической нити значения ζ s (q ) ~4.0 значительно превышают
значения ζ s (q ) ~1.5-2.0, полученные в плоских гетероструктурах соответствующих размеров
[31]. При больших q коэффициент ζ s (q ) достигает значения 5. Это означает, что плотность
энергии в “акустически медленном” покрытии гетеронити становится на пять порядков
больше чем плотность энергии во внутренней GaN-части гетеронити. Таким образом, GaN
сильно обедняется фононами, а Pl-покрытие наоборот сильно ими обогащается.
Рис. 3.7. Коэффициент ζ sα ( q ) = − log ξ s(α ) ( q ) в GaN/Pl цилиндрической гетеронити в
зависимости от волнового числа q. (a) “дыхательные” (m=0) фононные моды; (b)
крутильные (m=0) фононные моды.
Значение коэффициента фононного обеднения для “изгибных” колебаний (|m|=1) и
колебаний кругового порядка с |m|=2, 3 также достигает гигантской величины ~7 (см. Рис. 3.7
© 2006 Д.Л. Ника
61
(a-b) и 3.8 (a-c)). Особенностью этих колебаний является то, что ζ s (q ) остаётся большим при
всех значениях фононного волнового числа q за исключением узкого региона q ~ 0.5 нм-1 для
показанных ветвей с s=0,…,5. Даже в случае гетеронити с относительно тонкой обкладкой
∆R =2 нм (см. Рис. 3.8 (b)), коэффициент фононного обеднения остаётся большим и
превышает значение, полученное для плоских гетероструктур.
Рис. 3.8. Коэффициент ζ sα ( q ) = − log ξ s(α ) ( q ) в GaN/Pl цилиндрической гетеронити в
зависимости от волнового числа q. (a) “изгибные” (m=1) фононные моды; (b)
моды кругового порядка |m|=2; (с) моды кругового порядка |m|=3.
© 2006 Д.Л. Ника
62
Для физического объяснения эффекта фононного обеднения в цилиндрических
гетеронитях на Рис. 3.9 (a-b), 3.10 (a-b) и 3.11 (a-b) показаны распределения амплитуды
вектора смещения u (r , q ) = ur2 (r , q ) + uϕ2 (r , q ) + u z2 (r , q ) в Pl/GaN гетеронитях (панели a) и в
GaN-нанонитях (панели b) для “дыхательных” мод (Рис. 3.9(a-b)), для мод кругового порядка
m=2 (Рис. 3.10 (a-b)) и m=3 (Рис. 3.11 (a-b)). Как видно из этих рисунков, в гетеронитях
происходит вытеснение колебаний решётки в “акустически медленную” Pl-обкладку. Это
перераспределение
смещений
решётки
(колебательной
энергии)
объясняет
эффект
фононного обеднения в цилиндрических гетеронитях.
Рис. 3.9. Распределение амплитуды вектора смещения u ( r , q ) = ur2 ( r , q ) + uϕ2 ( r , q ) + u z2 ( r , q )
“дыхательных” фононных мод (s=2) в зависимости от радиуса нити. (a) GaN/Pl гетеронить;
(b) GaN-нить.
Рис. 3.10. Распределение амплитуды вектора смещения u ( r , q ) = ur2 ( r , q ) + uϕ2 ( r , q ) + u z2 ( r , q )
фононных мод кругового порядка m=3 (s=3) в зависимости от радиуса нити. (a) GaN/Pl
гетеронить; (b) GaN-нить.
© 2006 Д.Л. Ника
63
Рис. 3.11. Распределение амплитуды вектора смещения u ( r , q ) = ur2 ( r , q ) + uϕ2 ( r , q ) + u z2 ( r , q )
фононных мод кругового порядка m=2 (s=1) в зависимости от радиуса нити. (a) GaN/Pl
гетеронить; (b) GaN-нить.
Для оценки влияния анизотропии решётки вьюрцитного кристалла на описанные
эффекты на Рис. 3.12 показаны групповые скорости “дыхательных” фононных мод с s=0 и
s=15, рассчитанные с учётом анизотропии (сплошные линии) и в изотропной континуальной
модели (линии из точек). Из этого графика следует, что различие между скоростями,
полученными в изотропном и анизотропном случаях, существенны для ряда значений
фононного волнового числа q, хотя анизотропия составляет всего 2% (с11=390 ГПа, c33=398
ГПа).
Рис. 3.12. Фононные групповые скорости в зависимости от q для “дыхательных”
фононных ветвей s=0 и s=15 в GaN/AlN гетеронити. Непрерывные линии
соответствуют
анизотропному подходу,
а
линии
из точек
–
изотропному
приближению.
© 2006 Д.Л. Ника
64
Акустические
эффекты
в
нитях
с
закреплёнными
внешними
поверхностями
качественно подобны, описанным выше эффектам для нитей со свободными внешними
поверхностями. Существенное различие заключается в том, что в спектрах акустических
фононов в нитях с закреплёнными внешними поверхностями отсутствует объёмно-подобная
фононная ветвь s=0. В нитях с закреплёнными поверхностями ветвь s=0 является оптическиподобной ветвью.
3.5. Заключение
В главе 3 были исследованы свойства конфайнмент акустических фононов в
цилиндрических GaN-нанонитях, покрытых “акустически медленными” пластиковыми и
“акустически быстрыми” AlN-оболочками. Были рассмотрены нанонити со свободными и
закреплёнными внешними поверхностями. Показано, что соответствующим выбором
материала и толщины оболочки цилиндрической нанонити можно как увеличить, так и
уменьшить среднюю скорость фононов в ней по сравнению со скоростью в соответствующей
однородной нанонити или в объёмном материале. Показано также, что эффект фононного
обеднения в цилиндрической GaN-нити, покрытой “акустически медленной” Pl-оболочкой,
сильнее, чем в соответствующей плоской гетероструктуре.
Управление эффектами уменьшения (увеличения) групповой скорости фононов и
эффектами фононного обеднения (обогащения) в цилиндрических гетеронитях путём выбора
материала и толщины обкладок может быть использовано для инженерии и оптимизации
акустических и тепловых свойств цилиндрических нанонитей.
© 2006 Д.Л. Ника
65
ГЛАВА 4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В КВАНТОВЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ
4.1. Скорость рассеяния конфайнмент электронов конфайнмент акустическими
фононами в трёхслойных гетероструктурах
В этом параграфе будут описаны основные свойства взаимодействия конфайнмент
электронов с конфайнмент акустическими фононами в однородных GaN-пластинах с
толщинами d=(2 нм, 10 нм) и в трёхслойных AlN/GaN/AlN гетероструктурах с
пространственными размерами (4 нм/ 2 нм/ 4 нм) и (2 нм/ 6 нм/ 2 нм). Для удобства
дальнейшего описания обозначим эти гетероструктуры как гетероструктуры типа A
(“толстый” барьер – “тонкий” внутренний слой) и типа B (“тонкий” барьер – “толстый”
внутренний слой) соответственно. Детали вычисления нормальных фононных мод в GaNпластинах и в AlN/GaN/AlN гетероструктурах описаны в главе 1. С носителями заряда
взаимодействуют нормальные фононные моды “SA” и “AS” поляризаций, тогда как “Shear”
"
фононные моды с вектором смещения U , параллельным слоям гетероструктуры, с
"
носителями заряда не взаимодействуют [68-69]. Вектора смещения U для “SA” и “AS”
"
фононных мод лежат в плоскости (X3, q ).
Рис. 4.1. Дисперсия энергии “SA” (a) и “AS” (b) акустических фононов в трёхслойной
AlN/GaN/AlN (4 нм/ 2 нм/ 4 нм) гетероструктуре.
Спектр акустических фононов в гетероструктуре типа A показан на Рис. 4.1 для “SA”
(панель a) и “AS” (панель b) фононов. Как видно из этого рисунка нижайшие “SA” и “AS”
фононные ветви являются объёмно-подобными. Все остальные фононные ветви квантованы
и являются квазиоптическими, то есть ω(q=0)≠0.
© 2006 Д.Л. Ника
66
4.1.1. Энергетический спектр и волновые функции конфайнмент электронов в
трёхслойных AlN/GaN/AlN гетероструктурах
Кристаллическая решётка вьюрцитных материалов не обладает инверсионной
симметрией, поэтому в AlN- и GaN-слоях гетероструктуры существует спонтанная
поляризация. Вектор спонтанной поляризации Psp направлен вдоль кристаллографической
оси кристалла c. Кроме этого, вследствие различия постоянных решёток GaN и AlN (a(GaN)
> a(AlN) на 2.5%), в гетероструктуре типа A внутренний GaN-слой равномерно сжат в
плоскости (X1,X2), тогда как в гетероструктуре типа B обкладочные AlN-слои равномерно
растянуты в той же плоскости. Как показано в [70-72], такая деформация не релаксирует,
если толщины слоёв d(GaN, AlN)<3 нм и эта деформация индуцирует пьезоэлектрическую
поляризацию Pst. Общая поляризация включает обе компоненты P tot = P sp + P st . Если
внутренний GaN-слой не напряжён, то P tot (GaN ) = P sp . Теоретические оценки встроенного
электростатического поля F , индуцированного полной поляризацией P tot , дают значения ~
106 В/см [73-74].
Уравнение
Шрёдингера
для
поперечного
движения
электрона
в
плоских
гетероструктурах может быть записано в виде [69]:
(−
1
∂
!2 ∂
+ Vb ( x3 ) + Vbuild −in ( x3 ))ψ n ( x3 ) = ε ⊥ nψ n ( x3 ),
2 ∂x3 m|| ( x3 ) ∂x3
ε ⊥n = ε ⊥0 n −
1
=
m⊥ ,n
d
2
∫ |ψ
d
−
2
n
!2k 2 1
,
2 m⊥ ,n
( x3 ) |2
(4.1)
(4.2)
1
dx3 .
m⊥ ( x3 )
(4.3)
В Ур. (4.1) m||(x3) – эффективная масса электрона вдоль кристаллографической оси c, m⊥ ( x3 )
– эффективная масса электрона в плоскости (X1,X2), Vb ( x3 ) – энергия потенциального барьера
и Vbuild −in ( x3 ) = −eF3w x3 , e – заряд электрона, а F3w
– это компонента встроенного
электростатического поля вдоль оси X3 в квантовой яме. Ур. (4.2) определяет энергию
электронного уровня с квантовым числом n и волновой функцией ψ n .
На Рис. 4.2 плоская прямоугольная потенциальная квантовая яма (FB, “Flat Band”)
изображена непрерывной линией, а треугольная потенциальная квантовая яма (TB,
“Triangular Band”), соответствующая напряжённости встроенного электрического поля F3w =4
© 2006 Д.Л. Ника
67
МВ/см, показана штриховой линией. Значение встроенного электростатического поля,
выбранное для численных расчётов, соответствует типично используемым значениям для
AlN/GaN/AlN гетероструктур [75-80]. Энергии и волновые функции основного и первого
возбуждённого энергетических состояний электрона в плоской и треугольной квантовых
ямах показаны на Рис. 4.2 непрерывными и штриховыми линиями соответственно. Как видно
из этого рисунка, волновая функция ψ n =1 ( x3 ) в случае плоской ямы распределена однородно
по толщине слоя, тогда как в треугольной яме волновая функция ψ n =1 ( x3 ) становится
несимметричной с максимумом, смещенным от центра слоя на
1
его толщины. Эта
3
особенность волновых функций электрона в треугольной яме влияет на взаимодействие
электрона с акустическими фононами по сравнению со случаем плоской ямы.
Рис. 4.2. Энергии и волновые функции основного и первого возбуждённого
электронных уровней в треугольной (TB) и плоской (FB) квантовых ямах.
4.1.2. Взаимодействие конфайнмент электрона с конфайнмент акустическими
фононами
Разложение вектора смещения по всем нормальным фононным модам имеет вид:
© 2006 Д.Л. Ника
68
"
"
"
" "
U ( x 1 , x2 , x3 ) = ∑ U s(α ) (r , x3 , q ), r ( x1 , x2 ) ,
(4.4)
α ,s
где индекс α = ( SA, AS ) указывает тип фононной поляризации, а индекс s =0, 1, 2,…N – это
"
квантовый номер фононной ветви. Вектор смещения ( α , s, q ) нормальной моды определяется
уравнением:
"
"
"
U s(α ) (r , x3 , q ) =
""
1
" " "
As(α ) (q , t ) wsα (q , x3 )eiqr .
L1 L2
(4.5)
" "
В Ур. (4.5) As(α ) – это амплитуда колебаний, а wαs (q , x3 ) – поляризационный вектор для
"
( α , s, q )-нормальной моды, который удовлетворяет условия ортонормировки
d
2
" (α ) "
" (α ')* "
(q , x3 )dx3 = ρ$ s(α ) (q)δ ss 'δαα ' ,
s ( q , x3 ) ρ ( x3 ) ws '
∫w
(4.6)
d
−
2
где δ kk ' = 0 ( k ≠ k ' ) и δ kk ' = 1 ( k = k ' ).
"
Гамильтониан взаимодействия электрона с ( α , s, q ) – нормальной акустической
), d
фононной модой через деформационный потенциал Hˆ e(α− ph
, s и пьезоэлектрический потенциал
), p
Hˆ e(α− ph
, s имеет вид [69]
), β
Hˆ e(α− ph
,s = i
"
" ""
!
Φ (sα ), β ( x3 , q)(bˆs(α ) (q ) + bˆs†(α ) (− q ))eiqr ,
(α )
2 L1 L2 ρ$ (q)ωs (q )
(α )
s
(4.7)
"
"
где β =(d, p), bˆs(α ) (q ) – оператор рождения фонона, bˆs†(α ) (q ) – оператор уничтожения фонона в
"
( α , s, q )
моде
и
Φ (sα ), β
–
это
потенциальные
функции
деформационного
и
пьезоэлектрического взаимодействий. Функция ρ$ s(α ) (q ) вычислялась в соответствии с
условием ортонормировки (4.6). Потенциальная функция деформационного взаимодействия
имеет вид:
dw(α ) ( x , q )
""
Φ (sα ),d ( x3 , q ) = a2 c qws(α ) ( x3 , q ) − a1c 3, s 3
,
dx3
(4.8)
где a1c и a2c – это деформационные константы зоны проводимости. Как видно из Ур. (4.8),
(α )
поляризационного
симметрия функции Φ (sα ),d совпадает с симметрией компоненты w1,s
вектора. Таким образом, чётный деформационный потенциал соответствует “SA”
нормальным фононным модам и наоборот.
Потенциальная функция пьезоэлектрического взаимодействия электрона с ( α , s, q )
нормальной фононной модой, находилась из решения уравнения Пуассона [69]:
© 2006 Д.Л. Ника
69
ε st ( x3 )(
d 2 Φ (sα ), p ( x3 , q )
d ε st ( x3 ) d Φ (sα ), p ( x3 , q )
2 (α ), p
−
q
Φ
(
x
,
q
))
+
=
s
3
dx32
dx3
dx3
(α )
e d (e33 ( x3 ) w3, s ( x3 , q)) e
−
e15 ( x3 ) q 2 w3,(αs) ( x3 , q)
ε0
dx3
2ε 0
(4.9)
dw1,(αs ) ( x3 , q ) e de31 ( x3 ) (α )
e15 ( x3 )
w1,s ( x3 , q ) ,
− q(
− e31 ( x3 ))
− q
dx3
dx3
ε0
2
ε0
e
где ε 0 – это электрическая постоянная, ei ,k – пьезоэлектрические модули гексагонального
кристалла. Численные значения деформационных констант a1c и a2c , пьезоэлектрических
модулей ei ,k и диэлектрической проницаемости ε st , использованные в расчётах, приведены в
Таблице 4.1.
Таблица 4.1. Деформационные потенциалы, пьезоэлектрические модули и статические
электрические константы GaN, AlN и пластикового материалов.
Параметр
GaN
AlN
Pl
a1c (эВ)
– 6.4 [34]
– 5.4 [34]
– 6.4
a2c (эВ)
– 9.5 [34]
– 12 [34]
– 9.5
e31 (Kл/м2)
– 0.35 [34]
– 0.5 [34]
0
e33 (Kл/м2)
1.27 [34]
1.79 [34]
0
e15 (Kл/м2)
– 0.3 [73]
– 0.48 [73]
0
εst (статическая)
9.5 [35]
9.14 [35]
2
Так как вне структуры пьезоэлектрическая поляризация Poutp = 0 , граничные условия
Максвелла для пьезоэлектрической функции Φ (sα ), p ( x3 , q ) на внешней поверхности структуры
имеют вид
−ε 0ε st ( x3 )
d Φ (sα ), p ( x3 , q )
d Φ (sα ), p ( x3 , q )
]out = −ε 0ε st ( x3 )
]in − eP3,(αs ), p ]in
dx3
dx3
d
d
x = − ± 0("+ " in;"− " out ) или x = + ± 0("+ " in;"− " out )
2
2
где P3,(αs ), p ( x3 , q ) = e31 ( x3 )qw1,(αs ) ( x3 , q) − e33 ( x3 )
dw3,(αs) ( x3 , q )
dx3
,
(4.10)
. Из Ур. (4.9) следует, что симметрия
функции Φ (sα ), p совпадает с симметрией компоненты w3,(αs ) поляризационного вектора.
Поэтому, чётный пьезоэлектрический потенциал соответствует нормальным “AS” модам и
наоборот.
© 2006 Д.Л. Ника
70
), p
для GaN-пластины (d=2 нм) и для гетероструктуры типа A (d=10 нм)
Функции Φ (s AS
=0
показаны на Рис. 4.3 (a). Интересно отметить, что в GaN-пластине и AlN/GaN/AlN
), p
гетероструктуре с одинаковыми толщинами, функции Φ (s AS
практически одинаковы
=0
), p
для 10 нм GaN-пластины не построена на Рис. 4.3 (а)). При малых
(поэтому функция Φ (s AS
=0
), p
в гетероструктуре с d=10 нм и в 10-нм
значениях q абсолютное значение функций Φ (s AS
=0
GaN-пластине
больше
чем
в
2-нм
GaN-пластине.
Это
приводит
к
усилению
пьезоэлектрического взаимодействия при увеличении толщины структуры для электронов с
относительно малым импульсом, то есть для не вырожденного электронного газа при низких
температурах.
Рис. 4.3. (а) Пьезоэлектрический потенциал нижайших (s=0) “AS” фононных мод в
зависимости от фононного волнового числа q в GaN – пластине и в AlN/GaN/AlN
гетероструктуре.
деформационного
(b)
GnSA=1,, sn='7,=1d ( x3 , q = 0.25 нм −1 )
Функция
электрон-фононного
взаимодействия
матричного
в
элемента
GaN-пластине
и
в
AlN/GaN/AlN гетероструктуре.
4.1.3. Скорость рассеяния конфайнмент электрона на конфайнмент акустических
фононах
Квантово-механическая
вероятность
перехода
электрон-фононной
системы
из
начального состояния i c энергией Ei в конечное состояние f с энергией Ef, благодаря
электрон-фононному взаимодействию, вычисляется согласно “золотому” правилу Ферми:
τ −1 (ε ) = Wi → f =
2π
!
∑ |< f | H
e − ph
| i >|2 δ ( E f − Ei ) ,
(4.11)
f
где суммирование выполняется по всем конечным состояниям системы. Ур. (4.11)
определяет число электрон-фононных столкновений в единицу времени, то есть скорость
© 2006 Д.Л. Ника
71
рассеяния с которой электрон уходит из начального состояния i. В Ур. (4.11) ε – это энергия
электрона в начальном состоянии.
Учитывая законы сохранения энергии и импульса, после интегрирования по углу
цилиндрической системы координат, можно переписать Ур. (4.11) в форме
τ n−,1n ' (ε ) =
∞
!ωs(α )
(N (
) + 12 ∓ 12 )dq
kБT
d
2
1
m⊥ ,n ' ∫
( ∫ Gnα,n, s', β (q, x3 )dx3 )2 ,
∑
2
α
α
∓
(
)
(
)
2
2π ! k α , β , s
$ s (q )ωs (q ) 1 − (∆ ) − d
0 ρ
(4.12)
2
где ωs(α ) – это частота фонона в s-той ветви с поляризацией (α ) , а функции ∆ ∓ и Gnα,,ns', β
определяются как:
(∆ ) =
∓
m⊥ , n '
kq! 2
{ε
0
⊥n '
−ε
0
⊥n
!2k 2 1
1
!2q2
(
)+
∓ !ωs(α ) (q )}
+
−
2 m⊥ ,n ' m⊥ , n
2m⊥ ,n '
Gnα,,ns', β (q, x3 ) = Φ (sα ), β (q, x3 )ψ n*' ( x3 )ψ n ( x3 )
(4.13)
(4.14)
Верхний знак “-” в формулах (4.12-4.13) соответствует поглощению фонона, а нижний знак
“+”– испусканию фонона.
Размерно-квантованная энергия электрона в гетероструктурах с толщинами в несколько
нм значительно больше, чем тепловая энергия электрона при комнатной температуре.
Поэтому только нижайшая электронная минизона ( n = 1 ) заселена и межминизонное
рассеяние ( n ≠ n ' в Ур. 4.12-4.14) появляется только в случае неравновесного состояния
системы, которое можно достигнуть, например, оптическим возбуждением [75,81].
На Рис. 4.3 (b) показаны функции GnSA=1,, sn='=7,1d ( x3 , q = 0.25 нм −1 ) для 10-нм GaN-пластины и
для гетероструктуры типа A. Как показано в [10], в однородных пластинах электрон
взаимодействует в основном только с нижайшими фононными модами (s=0,1,2). Как видно
d
2
из Рис. 4.3 (b), для высокой фононной ветви s=7 ( ∫ GnSA=1,, sn='=7,1d (q, x3 )dx3 ) 2 ≈ 0 в 10-нм GaN−
d
2
d
2
пластине и ( ∫ GnSA=1,, sn='=7,1d (q, x3 )dx3 ) 2 ≠ 0
в гетероструктуре типа A. Таким образом, в
d
−
2
гетероструктурах высокие фононные моды вовлекаются в процесс рассеяния, и электрон
взаимодействует со всеми фононными модами (s=0, 1, 2, 3….).
© 2006 Д.Л. Ника
72
Рис. 4.4. Скорость внутриминизонного рассеяния электрона акустическими фононами в
GaN-пластине. Непрерывные линии соответствуют испусканию фонона, а штриховые
линии – поглощению фонона. (а) Деформационное рассеяние; (b) Пьезоэлектрическое
рассеяние.
Рис. 4.5. Скорость внутриминизонного рассеяния электрона акустическими фононами в
гетероструктуре типа A. Непрерывные линии соответствуют испусканию фонона, а
штриховые линии – поглощению фонона. (а) Деформационное рассеяние; (b)
Пьезоэлектрическое рассеяние.
Скорости внутриминизонного ( n = n ' = 1 ) рассеяния τ 11−1 (ε ) в 2-нм GaN-пластине и
гетероструктурах типа A и типа B представлены на Рис. 4.4 (a-b), 4.5 (a-b) и 4.6 (a-b)
соответственно. Как видно из этих рисунков, скорости рассеяния при поглощении фононов
−1
τ abs
(ε ) описываются плавными функциями, так как все фононные моды участвуют в
процессе поглощения, однако с различными вкладами, определяемыми значением
матричного элемента. Кривые скорости рассеяния при излучении фононов характеризуются
чёткими ступенями, появляющимися при энергиях ε step = !ωs(α ) (q = 0) и соответствующими
© 2006 Д.Л. Ника
73
включению в процесс излучения s-той фононной ветви, которое происходит когда энергия
электрона становится равной !ωs(α ) (q = 0) . Эти ступени отличают скорости рассеяния
конфайнмент электрона конфайнмент акустическими фононами в гетероструктурах от
скорости рассеяния свободного электрона объёмными акустическими фононами, когда τ-1 ~
(ε)1/2. Вычисленные скорости рассеяния в гетероструктурах также отличаются от скоростей
рассеяния конфайнмент электрона объёмными акустическими фононами, показанных на Рис.
−1
−1
4.4 (a) линиями из точек ( τ abs
= τ em
при T=300 K). Как видно из Рис. 4.4, в “тонкой” 2-нм GaN-
пластине ступени смещаются в область больших энергий вследствие более сильного
квантования спектра акустических фононов в “тонкой” пластине по сравнению с
гетероструктурами типа A и B (см. Рис. 4.5 и 4.6).
Рис. 4.6. Скорость внутриминизонного рассеяния электрона акустическими фононами в
гетероструктуре типа B. Непрерывные линии соответствуют испусканию фонона, а
штриховые линии – поглощению фонона. (а) Деформационное рассеяние; (b)
Пьезоэлектрическое рассеяние.
Количество фононных ветвей, учтённых при расчёте скоростей рассеяния, оценивалось
отношением
d
, где c1c – это постоянная решётки вдоль кристаллографической оси с. Это
c1c
соотношение следует из условия, что общее число фононных мод в структуре равно полному
числу степеней свободы её атомов. Так как c1c(GaN) ≈ c1c(AlN), для оценки количества
ветвей была использована константа c1c(GaN)=0.51 нм. Из оценки числа ветвей следует, что
в 2-нм GaN-слое существует 4 нормальные фононные ветви каждой поляризации (объёмноподобная ветвь s=0 и размерно-квантованные ветви s=1,2,3), тогда как в обоих типах
гетероструктур существует 20 фононных ветвей каждой поляризации. В гетероструктуре
типа B максимум электронной волновой функции значительно смещён от центра
© 2006 Д.Л. Ника
74
гетероструктуры из-за встроенного электрического поля. В результате, деформационное
взаимодействие электронов с “AS” модами и пьезоэлектрическое взаимодействие с “SA”
модами усиливается, тогда как деформационное взаимодействие с “SA” модами и
пьезоэлектрическое взаимодействие с “AS” модами ослабляется. В гетероструктуре типа A
встроенное электрическое поле практически не влияет на скорость рассеяния электронов, так
как треугольная потенциальная яма не сильно изменяет вид волновой функции электрона по
сравнению со случаем плоской потенциальной ямы (из-за тонкости (d=2 нм) внутреннего
GaN-слоя гетероструктуры).
Зависимость скорости деформационного рассеяния от толщины гетероструктуры (см.
Рис. 4.4 (а) и 4.4 (b)) обусловлена размерным квантованием спектра акустических фононов.
Такого эффекта нет в объёмном случае, так как при расчёте скорости рассеяния увеличение
числа
нормальных
акустических
мод,
которое
пропорционально
компенсируется уменьшением амплитуды этих мод ~ V
−
1
2
объёму
образца,
. Аналогично с этим в
гетероструктурах количество нормальных акустических мод ~ d, а амплитуда каждой моды
~d
−
1
2
. Однако, эффективность взаимодействия фононных мод с электроном падает с ростом
номера фононной ветви s (см. Рис. 4.5). Поэтому скорость деформационного рассеяния
падает с увеличением толщины слоя d (см. Рис. 4.4 (а) и 4.5 (а)).
Скорость пьезоэлектрического рассеяния ведёт себя по-другому. Пьезоэлектрический
потенциал – это дальнодействующее взаимодействие. Для оценки его зависимости от
толщины структуры можно, используя Ур. (4.9), записать следующее выражение
| Φ sp |~ d | ws(α ) |~ d 1/ 2 . Однако эта общая зависимость может быть сильно модифицирована
знакопеременностью функции Φ sp ( x3 , q ) для больших q и s. Из сравнения Рис. 4.4 (b) и 4.5
(b)
видно,
что
с
увеличением
толщины
гетероструктуры
происходит
усиление
пьезоэлектрического рассеяния.
Скорость релаксации электронов из первой возбуждённой минизоны (которая
заселяется оптическим возбуждением) в основную минизону характеризуется функцией
τ 21−1 (ε ) . Обратный процесс, вследствие теплового возбуждения, описывается функцией
τ 12−1 (ε ) . Функции τ 21−1 (ε ) и τ 12−1 (ε ) показаны на Рис. 4.7 (а) и Рис. 4.7 (b) соответственно. В
этом
случае
основной
вклад
в
рассеяние
электронов
вносит
деформационное
взаимодействие, так как межминизонные переходы ((1 → 2, 2 → 1)) идут при больших
значениях импульса электрона.
© 2006 Д.Л. Ника
75
Рис. 4.7. Скорость межминизонного рассеяния электрона на “SA” и "AS” акустических
фононах в гетероструктуре типа B. Панель (а) показывает рассеяние из первой
возбуждённой электронной минизоны в основную; панель (b) показывает рассеяние из
основной минизоны в первую возбуждённую.
Рис. 4.8. (а) Полная скорость внутриминизонного деформационного (непрерывные
линии) и пьезоэлектрического (штриховые линии) рассеяния электрона в зависимости
от энергии в гетероструктуре типа A. (b) Средняя скорость рассеяния электрона в
зависимости от температуры для однородных GaN-пластин (d =2 нм, d =10 нм) и для
гетероструктур типа A и B.
Полная скорость рассеяния τ −1 (abs + em) построена на Рис. 4.8 (a). Средняя скорость
рассеяния электрона
τ tot−1 (T ) = ∑ (τ −1 (T ))(α ), β , полученная усреднением
(τ −1 (ε ))(α ), β
с
α ,β
использованием функции распределения Максвелла для невырожденного электронного газа,
−1
−1
(T , type A) > τ tot
(T , type B ) >
показана на Рис. 4.8 (b). Результирующие соотношения τ tot
τ tot−1 (T , d = 10 нм , пластина) > τ tot−1 (T , d = 2 нм, пластина) объясняются причинами, описанными
выше.
© 2006 Д.Л. Ника
76
В итоге можно сформулировать следующие закономерности (i) включение высоких
фононных мод в рассеяние в гетероструктурах, (ii) усиление пьезоэлектрического
1
взаимодействия (~ d 2 ) и ослабление деформационного взаимодействия (~
увеличением
толщины
гетероструктуры
поляризации
соотношения
между
d.
В
скоростями
структурах
без
рассеяния
d
−
1
2
) с
пьезоэлектрической
электрона
изменятся
τ tot−1 (T , d = 2 нм , пластина) > τ tot−1 (T , type A ) > τ tot−1 (T , type B) > τ tot−1 (T , d = 10 нм, пластина) .
4.2. Подвижность электронов в AlN/GaN/AlN и Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктурах
Эффект
фононного
обеднения
(обогащения)
внутреннего
слоя
(канала)
гетероструктуры с “акустически медленными” (“акустически быстрыми”) обкладками
приводит к ослаблению (усилению) взаимодействия электрона с акустическими фононами в
канале гетероструктуры. Это позволяет уменьшать или увеличивать подвижность электронов
в интервале доминирования рассеяния на акустических фононах. Со стороны высоких
температур (T > 150 K) этот интервал ограничен рассеянием на оптических фононах [82-84],
а при низких температурах основным становится рассеяние на примесях, дислокациях и
несовершенствах поверхности [83,85-91]. Со стороны низких температур интервал
доминирования рассеяния на акустических фононах можно расширить за счёт улучшения
технологии создания гетероструктур. Высокие подвижности электронов в GaN–канале
AlxGa1xN/GaN/AlxGa1-xN гетероструктур экспериментально наблюдались в работах [85-87]
при низких температурах. Эти результаты свидетельствуют о возможность создания
высококачественных гетероструктур на базе GaN.
Теоретические и экспериментальные исследования основных механизмов рассеяния
электронов
в
гетероструктурах
AlxGa1-xN/GaN/AlxGa1-xN
представлено
в
[88-91].
Теоретический анализ основных лимитирующих механизмов (дислокации, несовершенства
поверхности, оптические и акустические фононы) и расчёт величины подвижности с учётом
всех этих механизмов проведён в [83, 92-95]. При этом оптические и акустические фононы
рассматривались как объёмные фононы, то есть не был учтён конфайнмент фононов в
гетероструктурах.
© 2006 Д.Л. Ника
77
4.2.1. Двухмерный электронный газ (2DEG) в гетероструктурах AlN/GaN/AlN и
пластик/AlN/GaN/AlN/пластик
Сильное
встроенное
электрическое
поле,
обусловленное
спонтанной
и
пьезоэлектрической поляризациями, приводит к появлению на AlN/GaN интерфейсах
гетероструктур AlN/GaN/AlN и Pl/AlN/GaN/AlN/Pl двухмерного электронного газа высокой
плотности (2DEG) без легирования внутреннего GaN-канала, уменьшающего подвижность
электронов. Свойства двухмерного электронного газа, индуцированного спонтанной и
пьезоэлектрической
поляризациями,
исследовались,
как
экспериментально,
так
и
теоретически [93, 96-100]. Источники электронов для формирования 2DEG окончательно
ещё не установлены. Считается [93,96], что источником электронов являются поверхностные
заряды, появляющиеся на внешних поверхностях AlN-слоёв.
Рис. 4.9. Энергии и волновые функции основного и первого возбуждённого
электронных состояний в трёхслойной гетероструктуре AlN/GaN/AlN (3 нм/ 3 нм/ 3 нм).
Будем предполагать, что в гетероструктуре AlN/GaN/AlN (3 нм/ 3 нм/ 3 нм)
деформирован внутренний GaN-слой, а внешние AlN-слои - недеформированны. Благодаря
пьезоэлектрической и спонтанной поляризациям в GaN и спонтанной поляризации в AlN, во
внутреннем GaN-слое гетероструктуры появляется встроенное электрическое поле, которое
формирует треугольную потенциальную яму для электронов. Волновые функции и энергии
© 2006 Д.Л. Ника
78
квантованных уровней электрона найдены путём решения уравнения Шрёдингера (4.1) с
треугольной потенциальной ямой и учётом конечной высоты барьера. В тонких квантовых
ямах, эффект электронного экранирования треугольного потенциала пренебрежимо мал,
поэтому при расчёте энергий и волновых функций электрона этот эффект не учитывался.
Схематичное изображение электронной зоны в трёхслойной гетероструктуре с AlNбарьерами ( d1 = 3 нм ) и GaN-каналом ( d 2 = 3 нм ) показано на Рис. 4.9.
В дальнейшем, в работе, будут учитываться только переходы электрона внутри
основной минизоны, так как расстояние между первой возбуждённой и основной
минизонами намного больше тепловой энергии электрона (ε ⊥01 − ε ⊥0 0 ) >> k BT .
4.2.2. Взаимодействие электрона с оптическими фононами в AlN/GaN/AlN и
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктурах
Спектры оптических фононов во вьюрцитных гетероструктурах AlxGa1-xN/GaN/AlxGa1-xN
получены в работах [84, 101-102]. В этих работах показано, что в многослойной
AlN/GaN/AlN гетероструктуре существуют четыре поверхностные оптические фононные
моды: нижние две GaN-подобные (чётная и нечётная) и верхние две AlN-подобные (чётная и
нечётная) с частотами ΩGaN , S (q ), ΩGaN , A (q ), Ω AlN , S (q ) и Ω AlN , A (q ). Кроме них во внутреннем
GaN-слое гетероструктуры существуют конфайнмент оптические моды с частотами ω sC (q ) .
При расчёте взаимодействия электрона с конфайнмент модами в рассматриваемых
AlN/GaN/AlN и Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктурах c толщиной GaN-канала d2=3 нм были
учтены восемь чётных и восемь нечетных оптических мод. Учёт более высоких мод не
влияет на результат ввиду их сильной осцилляции. Спектры поверхностных и конфайнмент
оптических фононных мод в гетероструктуре AlN/GaN/AlN (3 нм / 3 нм/ 3 нм) показаны на
Рис. 4.10 (a-с). Как видно из Рис. 4.10 (a), поверхностные оптические фононы имеют
существенную дисперсию (~ 10 мэВ) при малых значениях q.
Для вычисления матричных элементов взаимодействия электрона с оптическими
фононами были использованы гамильтонианы H IFS , H IFA , H CS и H CA , выведенные в [102] для
вьюрцитных AlN/GaN/AlN гетероструктур.
© 2006 Д.Л. Ника
79
Рис. 4.10. Дисперсия энергии поверхностных (a) и конфайнмент (b, c) оптических
фононов в трёхслойной гетероструктуре AlN/GaN/AlN (3 нм/ 3 нм/ 3 нм).
© 2006 Д.Л. Ника
80
4.2.3. Кинетическое уравнение Больцмана для взаимодействия электрона с
оптическими и акустическими фононами
Для получения транспортного времени рассеяния (в дальнейшем просто времени
рассеяния) электрона акустическими и оптическими фононами необходимо решить
уравнение Больцмана с учётом неупругости электрон-фононного взаимодействия и
дисперсии как акустических, так и оптических фононов. Время рассеяния электрона
акустическими фононами в однородных пластинах их GaAs было рассчитано в [10], а время
рассеяния электрона оптическими фононами в GaN-слоях было теоретически получено в [83]
без учёта дисперсии оптических фононов.
Кинетическое уравнение Больцмана для взаимодействия электрона с акустическими
фононами было получено в [10] как интегро-дифференциальное уравнение относительно
транспортного времени рассеяния τ t (ε ) :
""
pp′ τ t (ε f )
(τ t (ε i )) = ∑ W (i → f )
(1 − 2
),
1 − f 0 (ε i )
p τ t (ε i )
f
1 − f 0 (ε f )
−1
где W (i → f ) =
(4.15)
2 1
2π
< f H e− ph i > 2 δ ( E f − Ei ) – это вероятность ежесекундного перехода
κ
!
электрон-фононной системы из начального состояния с энергией Ei в конечное состояние с
1
энергией E f , f 0 (ε ) =
ε +ε ⊥0 0 − EF
e
k BT
– это функция Ферми-Дирака. Электронные импульсы в
+1
"
"
начальном и конечном состояниях системы обозначены как p и p′ соответственно.
Зависимость энергии уровня Ферми (уровня химического потенциала) EF от концентрации
электронов и температуры определяется из условия нормировки и имеет вид:
Nd1 = N s =
EF − ε ⊥0 0
m*k BT
+
ln(1
exp(
)) .
π !2
k BT
(4.16)
В Ур. (4.16) N – это объёмная плотность электронов, а N s – это двухмерная электронная
плотность. Экранирующее число
1
κ2
=
q2
[83, 90], где
( q + qs ) 2
e2 m*
qs =
F (q ) f 0 (0) ,
2πε 0ε ! 2
∞
∞
F (q ) = ∫ dz ∫ dz ′ψ n2= 0 ( z )ψ n2= 0 ( z ′) exp(− q z − z ′ ) ,
0
© 2006 Д.Л. Ника
(4.17)
(4.18)
0
81
а f 0 (0) = (exp(ε ⊥0 0 − EF ) / k BT + 1)−1 и m* – это эффективная масса электрона. Отмечу, что в
случае
невырожденного
электронного
газа
ε F = EF − ε ⊥0 0 < 0 ,
эффект
экранировки
описывается волновым числом Дебая, а в случае вырожденного электронного газа ε F > k BT –
волновым
числом
Томаса-Ферми.
Формулы
(4.17,
4.18)
применимы
для
случая
произвольного вырождения электронного газа и в пределах дают волновые числа Дебая и
Томаса-Ферми.
Уравнение Больцмана (4.15) получено в предположении сферической формы
изоповерхности
энергии
электрона
ε ( p) = p 2 / 2m* .
Функция
W (i → f )
включает
электронные переходы с поглощением (“-“) и излучением (“+“) фонона, то есть
W (i → f ) = W + (i → f ) + W − (i → f ) .
Для решения Ур. (4.15) в [103] был использован метод итераций, в котором время
релаксации импульса использовалось как начальное приближение для функции τ t . Это
начальное приближение удобно для запуска итерационной процедуры, так как оно прямо
следует из Ур. (4.15) в упругом приближении, когда τ t (ε f ) = τ t (ε i ). Итерационный метод
быстро сходился при температурах T>20 K. При более низких температурах сходимость
метода ухудшалась, и, наконец, при T<5 K итерационный метод переставал сходиться. В
случае рассеяния на оптических фононах применение метода итераций для решения Ур.
(4.15) затруднено для любых температур, так как функция 1/ τ (ε ) резко ступенчато
возрастает (в 50-100 раз) при энергии электрона ≈ энергии оптического фонона, когда наряду
с переходами с поглощением фонона начинаются переходы и с испусканием фонона.
Энергия оптического фонона в рассматриваемых структурах порядка 80 мэВ, поэтому в
температурном интервале 50-250 K, который представляет большой интерес, упругое
приближение не применимо. Наряду с неупругостью электрон-фононного взаимодействия
необходимо также учитывать и дисперсию оптических фононов, так как основную роль во
взаимодействие с электроном играют поверхностные оптические моды, имеющие в
рассматриваемых гетероструктурах существенную дисперсию при малых q (см. рис. 4.10).
Кинетическое уравнение для неупругого взаимодействия электронов с оптическими
фононами в бездисперсном приближении получено в [103] и решено с помощью “ladder”
техники. Этот метод решения кинетического уравнения Больцмана в дальнейшем был
использован в работах [82, 104].
© 2006 Д.Л. Ника
82
После некоторых преобразований можно записать Ур. (4.15) в следующей форме,
применимой к рассмотрению взаимодействия электронов, как с акустическими, так и с
оптическими фононами:
""
1 − f 0 (ε f ) pp′
τ t (ε i )∑ W (i → f )
τ t (ε f ) = 1 .
− ∑ W (i → f )
1 − f 0 (ε i )
1 − f 0 (ε i ) p 2
f
f
1 − f 0 (ε f )
(4.19)
Уравнение (4.19) учитывает как неупругость взаимодействия, так и дисперсию оптических и
акустических фононов. В бездисперсном приближении !ω = const из Ур. (4.16) можно
получить уравнения, используемые в работах [82, 103-104].
Для решения уравнения (4.19) шкала энергии разбивалась на N точек с шагом в 0.1 мэВ.
Верхняя граница энергии ε max выбиралась из условия ε max >> !ωopt . Полученная система из N
линейных уравнений относительно значений функции τ в точках разбиения ε l (l=1,…,N)
была решена численно. Замыкание системы
уравнений осуществлялось
условием
ε l + !ω (q) ≈ ε N , если ε l + !ω (q) > ε N ( ε N = ε max >> !ωopt ).
Рис. 4.11. Транспортное время рассеяния электрона на “поверхностных” и
“конфайнмент” оптических фононах в трёхслойной гетероструктуре AlN/GaN/AlN
(3 нм/ 3 нм/ 3 нм).
На Рис. 4.11 показаны транспортные времена рассеяния электрона оптическими
фононами в гетероструктуре AlN/GaN/AlN (3 нм/ 3 нм/ 3 нм), полученные из решения Ур.
(4.19), в зависимости от энергии электрона при температуре T=150 K. Показаны кривые
соответствующие разным значениям концентрации электронного газа.
© 2006 Д.Л. Ника
83
Подвижность электрона, пропорциональная среднему времени рассеяния, определяется
формулой:
∞
e
e
µ (T ) = *
< τ >= *
m k BT
m k BT
∫ ετ (ε ) f (ε )(1 − f (ε ))d ε
t
0
0
0
∞
.
(4.20)
∫ f (ε )d ε
0
0
4.2.4. Рассеяние электронов на заряженных дислокациях и поверхностных
несовершенствах
В области низких температур подвижность электронов, в основном, определяется
различными
структурными
несовершенствами:
дислокациями,
несовершенствами
поверхности, примесями в канале и удалёнными донорами [83,85-91]. Последние
достижения в технологии изготовления GaN/AlN структур демонстрируют возможность
создания высококачественных структур, в которых роль несовершенств существенно
снижена. В результате, высокая подвижность ~ 2 × 105 см 2 / В ⋅ с получена при низких
температурах [85].
Как показано в [91] удалённые доноры слабо влияют на рассеяние электрона, поэтому
этот механизм, в дальнейшем, учитываться не будет. Предположим также, что в GaN-канале
нет примесей, а высокая концентрация носителей заряда обусловлена сильным встроенным
электрическим полем [96-100] (см. П.4.2.1.). Таким образом, в диссертационной работе будут
рассмотрены
два
основных
механизма
рассеяния
электрона:
на
структурных
несовершенствах:(i) рассеяние на заряженных дислокациях (ЗД) и (ii) рассеяние на
несовершенствах поверхности (НП). Лимитирующая роль НП в GaN/AlN структурах
исследовалась экспериментально и теоретически [90-92]. Согласно [91] скорость рассеяния
электронов на НП вычисляется по формуле:
τ
−1
IFR
e2 N s ∆Λ 2 m*
=(
) 3 J (k ) ,
2ε 0ε
!
(4.21)
где
2k
J (k ) =
∫ 2k
0
exp(− q 2 Λ 2 / 4)
3
( q + qs ) 2 1 − ( q / 2 k ) 2
(4.22)
В Ур. (4.22) экранирующий коэффициент qs определяется Ур. (4.17).
Подвижности электронов, ограниченные рассеянием на заряженных дислокациях
(дислокационные
© 2006 Д.Л. Ника
линии
формально
считались
бесконечными),
расположенных
84
перпендикулярно поверхности гетероструктуры, были вычислены во многих работах [83, 94,
105-107]. Однако, в гетероструктурах длина дислокационной линии определяется полной
толщиной гетероструктуры d1 + 2d 2 , которая сравнима с толщиной проводящего канала d1 .
Поэтому, в формуле рассеяния электрона на заряженных дислокациях были учтены конечная
длина гетероструктуры и плотность электронного заряда, описываемого волновой функцией
электрона:
−1
τ dis
= N dis (
eρ γ
A(q) = L 0
2ε 0ε
2k
m*
q 2 dq
2
)
(
)
,
A
q
2π ! 3 k 3 ∫0
1 − ( q / 2k ) 2
d /2
∫
dz ′
−d / 2
d /2
∫
ϕn2= 0 ( z ) exp(−q z − z′ )dz
−d / 2
q + qTF
(4.23)
.
(4.24)
e
В Ур. (4.23, 4.24) линейная плотность заряда ρ L = γ 0 , где γ 0 – это относительное
c
заполнение дислокационных ловушек, а обратная экранирующая длина Томаса-Ферми qTF
имеет вид:
qTF
e 2 m*
=
f 0 (0) .
2πε 0ε ! 2
(4.25)
Подвижность, ограниченная рассеянием электрона на НП и ЗД, вычислялась в
соответствии с общей формулой (4.20).
4.2.5. Влияние эффекта фононного обеднения на значение подвижности в
гетероструктурах
В
диссертационной
работе
были
рассчитаны
подвижности
электронов
в
гетероструктуре AlN/GaN/AlN (3 нм / 3 нм / 3 нм) и в гетероструктуре Pl/AlN/GaN/AlN/Pl (5
нм/ 3 нм/ 3 нм/ 3 нм/ 5 нм) с “акустически медленными” Pl-обкладками. Для удобства
дальнейшего описания обозначим эти гетероструктуры как гетероструктуры типа С и D
соответственно. Материальные параметры, необходимые для расчёта подвижностей, взяты
из Таблиц 1.1 и 4.1.
При расчёте времени рассеяния электрона на акустических фононах учитывались
механизмы деформационного и пьезоэлектрического рассеяний. Гамильтонианы электронфононного взаимодействия, соответствующие этим механизмам рассеяния, выведены в П.
4.1.2. (см. Формулы 4.7 – 4.10).
© 2006 Д.Л. Ника
85
Рис. 4.12. Подвижность электрона в трёхслойной AlN/GaN/AlN и пятислойной
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктурах в зависимости от температуры и концентрации
электронного газа.
Полное время рассеяния (с учётом всех рассмотренных механизмов: рассеяние на
оптических и акустических фононах, на заряженных дислокациях и несовершенствах
поверхности) находилось согласно формуле:
© 2006 Д.Л. Ника
86
1
τ tot
=
1
τ ac
+
1
τ op
+
1
τ dis
+
1
τ IFR
,
(4.26)
где τ ac и τ op – транспортные времена рассеяния электронов акустическими и оптическими
фононами, полученными из решения кинетического уравнения Больцмана (4.19), а τ dis и τ IFR
определяются из Ур. (4.23) и (4.21) соответственно.
На Рис. 4.12 представлены подвижности электрона в гетероструктурах C и D для
разных концентраций электронного газа. Непрерывными линиями на этом графике показаны
полные подвижности электронов (вычисленные с учётом всех вышеперечисленных
механизмов),
прерывистыми
линиями
показаны
подвижности,
обусловленные
акустическими фононами, а линиями из точек – оптическими фононами. Из графиков видно,
что при низкой концентрации электронного газа интервал доминирования взаимодействия с
акустическими фононами больше чем при высокой концентрации электронного газа. При
низкой концентрации этот интервал составляет 200 К (от 50 K до 250 К), а при высокой
концентрации – 100 К (от 50 К до 150 К). “Акустически медленные” пластиковые обкладки
существенно увеличивают как подвижность электронов, обусловленную взаимодействием с
акустическими фононами (в 2-4 раза в зависимости от концентрации электронов и
температуры вследствие эффекта фононного обеднения), так и полную подвижность при
температурах 50 K – 150 K, где доминирует рассеяние на акустических фононах. Во всех
рассмотренных случаях заполнение дислокационных ловушек γ 0 =0.3 [85].
4.3. Фононная теплопроводность AlN/GaN/AlN и Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктур
Экспериментальные измерения фононной теплопроводности κ ph в тонких однородных
слоях начались сравнительно недавно [14, 108-111]. Полученные экспериментально [108111] значения фононной теплопроводности в GaN-пластинах колеблются в интервале 1.3-2.1
Вт/см·К. Как установлено в теоретических работах [14, 23], основными механизмами
рассеяния фононов, определяющими значение κ ph , являются рассеяние на (i) дислокациях и
(ii) точечных дефектах, а также (iii) фонон-фононное (“Umpklapp” процессы) и (iv)
поверхностное рассеяния. В этом параграфе, для расчёта теплопроводностей гетероструктур
типа C и D будут обобщены методы, использованные в работах [14, 23].
Энергия, переносимая фононным потоком, определяется формулой:
"
"
"
θ = ∑ !ωsα (q)vsα (q)N sα (q ) .
"
(4.27)
α , s ,q
© 2006 Д.Л. Ника
87
"
В данной формуле, суммирование выполняется по всем фононным модам ( q , s , α ),
vsα (q) =
dωsα (q)
"
– это групповая скорость фонона и N sα ( q ) – это неравновесная фононная
dq
функция распределения, которую можно представить в виде:
!ωsα
"
"
N s (q ) = N (
) + δ N sα (q ),
k BT
α
(4.28)
где
!ωsα
)
k BT
.
∂T
∂N (
"
δ N sα (q ) = −(∇Tvsα )τ tot (ωsα (q))
(4.29)
В Ур. (4.29) τ (ω sα ( q )) – это общее время рассеяния фонона. Подставляя (4.28-4.29) в (4.27)
получим:
"
"
"
θ = − ∑ !ωsα (q )vsα (q )(∇Tvsα (q ))τ (ωsα )
!ωsα
)
k BT
.
∂T
∂N (
"
α , s ,q
(4.30)
Из сравнения формулы (4.30) с феноменологическим определением теплопроводности
следует, что теплопроводность (в предположении, что тепловой поток направлен вдоль оси
X1) имеет вид:
K=
!ω α (q )(vα (q ))
∑
α
"
, s ,q
s
s
!ωsα
)
k BT
,
∂T
∂N (
2
cos 2 ϕτ (ωsα )
(4.31)
"
где ϕ – это угол между вектором q и осью X1. Разделив обе части Ур. (4.31) на объём L1 L2 d
"
и переходя к интегрированию по q получим выражение для коэффициента
теплопроводности κ ph :
!ωsα (q)
)
qmax
α
!2
k BT
α
α
2 ∂ω s ( q ) 2
=
qdq .
∑ (!ωs (q)) ( ∂q ) τ tot (ωs )
!ωsα (q)
4π k BT 2 d α , s ∫0
2
(exp(
) − 1)
k BT
exp(
κ ph
(4.32)
Следуя работе [23, 112], рассмотрим следующие механизмы рассеяния фононов:
I. Фонон-фононное рассеяние (“Umklapp” процессы):
1
τU
© 2006 Д.Л. Ника
= 2γ 2
k BT ⋅ (ωsα )2
.
(c$44 )αs V0 ωsα max
(4.33)
88
В этой формуле γ – это параметр Грюнайзена, V0 – объём элементарной ячейки, (ω sα ) max –
максимальная частота фононной ветви s с поляризацией ( α ) , а (c$44 )αs имеет вид:
d /2
α
(c$44 (q )) s =
∫
2
"
c44 ( x3 ) wsα (q ) dx3
(4.34)
−d / 2
II. Рассеяние на точечных дефектах:
1
τ pd
=
V0 ⋅ (ωsα )4
Γ,
4π ⋅ (vαs )3
(4.35)
где Γ – это параметр, характеризующий силу рассеяния на точечном дефекте.
III. Поверхностное рассеяние:
1
τB
=
vαs (q ) 1 − p
d 1+ p
(4.36)
Параметр p в формуле (4.36) определяет силу поверхностного рассеяния фононов.
IV. Рассеяние на дислокациях:
1
τ DC
(V0 ) 4 / 3 (ωsα (q ))3
= η ND
,
(vsα (q )) 2
(4.37)
где N D – это плотность дислокационных линий, а η – это весовой фактор для учёта
взаимной
ориентации
дислокационной
линии
и
температурного
градиента.
Когда
дислокационные линии ориентированы перпендикулярно температурному градиенту η = 1 , а
если дислокационные линии параллельны с температурным градиентом η = 0 . В случае
случайной ориентации дислокационных линий параметр η = 0.55 [112].
Полное время рассеяния фонона, с учётом всех вышеупомянутых механизмов,
рассчитывалось по формуле:
1/ τ tot = 1/ τ U + 1/ τ pd + 1/ τ B + 1/ τ DC .
Параметры
γ,
Γ
и
η,
использованные
в
численных
(4.38)
расчётах
коэффициента
теплопроводности в гетероструктурах типа C и D, приведены в таблице 4.2.
На Рис. 4.13 показаны графики фононной теплопроводности в гетероструктурах типа C
и D в зависимости от температуры и силы p поверхностного рассеяния. Видно, что для всех
значений p теплопроводность гетероструктуры типа D (с “акустически мягкими”
обкладками) в 3-4 раза меньше теплопроводности в структуре типа С. Это понижение
© 2006 Д.Л. Ника
89
фононной теплопроводности объясняется уменьшением средней групповой скорости
фононов в гетероструктурах с “акустически мягкими” обкладками.
Таблица 4.2. Материальные параметры, использованные при расчёте теплопроводностей в
гетероструктурах AlN/GaN/AlN и Pl/AlN/GaN/AlN/Pl.
Параметр Грюнайзена ( γ )
0.74 [113]
η
0.55 [112]
Γ
2× 10-3 [112]
Рис. 4.13. Фононная (решёточная) теплопроводность в трёхслойной AlN/GaN/AlN
и
пятислойной
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl
гетероструктурах
в
зависимости
от
температуры и параметра p поверхностного рассеяния фононов.
4.4. Термоэлектрические свойства трёхслойной AlN/GaN/AlN и пятислойной
пластик/AlN/GaN/AlN/пластик гетероструктур
Термоэлектричество играет ключевую роль в слаботочной энергетике благодаря своим
уникальным особенностям. Термоэлектрические элементы просты по своему устройству и не
имеют трущихся деталей. Они могут изготавливаться нанометровой величины и
непосредственно включаться в наноразмерные электрические цепи. В настоящее время в
области низких температур широко применяются термоэлементы из Bi и соединений BiTe, а
при высоких температурах используются кремниевые термоэлементы.
Основным направлением развития термоэлектричества остаётся синтез новых
соединений [114-119], обладающих высокими термоэлектрическими характеристиками в
© 2006 Д.Л. Ника
90
разных температурных областях. В этом направлении достигнуты значительные успехи.
Например, в [119] было синтезировано соединение AgPbmSbTe2
с “figure of merit” ZT
порядка 2.2.
Другое направление развития термоэлектричества заключается в целенаправленном
сочетании зонных параметров квантовых ям и барьеров (“band gap engineering”(BGE)),
оптимизирующих электропроводность и теплопроводность многослойных структур и
сверхрешёток для достижения максимального “figure of merit” [120-124].
В этом параграфе предлагается новый метод увеличения ZT, основанный на
использование эффекта уменьшения фононной групповой скорости и эффекта фононного
обеднения в гетероструктурах с “акустически медленными” обкладками.
Коэффициент ZT определяется формулой:
ZT=
S 2σ T
,
κ ph + κ el
(4.39)
где S – это коэффициент Зеебека, σ – теплопроводность, κ ph и κ el – фононная и
электронная
теплопроводности
соответственно.
Таким
образом,
для
достижения
максимального значения ZT необходимо, чтобы числитель S 2σ T был наибольшим, а
знаменатель ( κ ph + κ el ) – наименьшим. Далее будет проанализировано влияние “акустически
медленных” обкладок на значения числителя и знаменателя в формуле (4.39).
4.4.1. Электропроводность и коэффициент Зеебека
Электропроводность линейно связана с подвижностью электронов: σ = eN µ , где N –
это концентрация электронов. Поэтому зависимость σ (T ) аналогична зависимости µ (T )
(см. Рис. 4.12), так как предполагается, что концентрация N не зависит от температуры.
Таким образом, пластиковые обкладки увеличивают электропроводность в температурном
интервале, где доминирует взаимодействие электрона с акустическими фононами.
Коэффициент Зеебека S имеет вид [125]:
S=
K1
,
eTK 0
(4.40)
где
∞
1
K0 = 2
ετ (ε ) f 0 (1 − f 0 )d ε ,
π ! k BTd ∫0 t
(4.41)
и
© 2006 Д.Л. Ника
91
K1 =
∞
1
ε (ε − ε F )τ t (ε ) f 0 (1 − f 0 )d ε .
2
π ! k BTd ∫0
(4.42)
Рис. 4.14. Коэффициент Зеебека в трёхслойной AlN/GaN/AlN и пятислойной
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl
гетероструктурах
в
зависимости
от
температуры
и
концентрации электронов.
Рис. 4.15. Число Лоренца в трёхслойной AlN/GaN/AlN и пятислойной
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl
гетероструктурах
в
зависимости
от
температуры
и
концентрации электронов.
Зависимости S(T) в гетероструктурах типа C и D показаны на Рис. 4.14. Как видно из
этого рисунка, функция S возрастает с ростом температуры и уменьшается с шагом ~(0.1 –
© 2006 Д.Л. Ника
92
0.2) мВ/K при уменьшении двухмерной концентрации электронов
Ns
на порядок.
Пластиковые обкладки практически не влияют на значения коэффициента Зеебека, так как и
числитель и знаменатель формулы (4.40) интегрально содержат функцию τ t (ε ) .
В объёмных полупроводниках выполняется закон Видемана-Франца, который
заключается в том, что число Лоренца L( N s , T , A, B ) =
κ el
является постоянной величиной.
T ⋅σ
Для проверки этого закона в наноструктурах на Рис. 4.15 представлены зависимости L(T) в
гетероструктурах типа C и типа D. Как видно из этого рисунка, в гетероструктурах закон
Видемана-Франца приближённо выполняется только в области высоких температур, когда
доминирует рассеяние на оптических фононах. При промежуточных температурах функции
L(T) проходят через максимумы и минимумы.
4.4.2. Электронная теплопроводность и ZT
Электронная теплопроводность определяется формулой [125]:
κ el =
1
K2
(K2 − 1 ) ,
T
K0
(4.43)
где
K2 =
∞
1
ε (ε − ε F ) 2τ t (ε ) f 0 (ε )(1 − f 0 (ε ))d ε
2
∫
π d ! k BT 0
(4.44)
Рис. 4.16. Электронная теплопроводность в трёхслойной AlN/GaN/AlN и
пятислойной Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктурах в зависимости от температуры и
концентрации электронов.
© 2006 Д.Л. Ника
93
На Рис. 4.16 показана зависимость электронной теплопроводности в гетероструктурах
типа C и D от температуры. При низкой концентрации электронов (Ne = 1011, 1012 см-2)
κ ph > κ el
и общая теплопроводность, в основном, определяется κ ph . При высокой
концентрации электронов (Ne=1013 см-2) электронная теплопроводность возрастает в обоих
типах гетероструктур и становится сравнимой с κ ph . Это ограничивает возможность
уменьшения знаменателя в формуле (4.39) при высоких Ne.
Рис. 4.17. Зависимость “figure of merit” ZT от температуры и концентрации
электронов в трёхслойной AlN/GaN/AlN (a) и пятислойной Pl/AlN/GaN/AlN/Pl (b)
гетероструктурах.
© 2006 Д.Л. Ника
94
Температурные зависимости коэффициента ZT для разных значений Ne и p = 0.9 в
гетероструктурах типа С и D показаны на Рис. 4.17 (a, b) соответственно. Для обоих типов
гетероструктур наибольшее значение ( ZT ) max достигается при промежуточной концентрации
электронов N e = 1012 см −2 .
На Рис. 4.18 показаны температурные зависимости отношения коэффициентов ZT в
гетероструктурах типа С и D. Как видно из Рис. 4.17 – 4.18, “акустически медленные”
пластиковые обкладки увеличивают ZT во всём температурном диапазоне от 50 K до 400 K в
2-6 раз в зависимости от концентрации электронов и температуры. Это объясняется тем, что
уменьшение общей теплопроводности играет более важную роль в увеличение ZT, чем
увеличение подвижности электронов.
Рис. 4.18. Отношение коэффициентов ZT в пятислойной Pl/AlN/GaN/AlN/Pl и
трёхслойной AlN/GaN/AlN гетероструктурах в зависимости от температуры и
концентрации электронов.
4.5. Заключение
В главе 4 было рассмотрено влияние обкладочного материала на скорость рассеяния
электронов, на подвижность электронов, на решёточную теплопроводность и на
коэффициент “figure of merit” ZT. Показано, что в гетероструктурах электрон сильнее, чем в
пластинах, взаимодействует с высокими модами акустических фононов. Этот эффект может
быть использован при изготовлении высокочастотных устройств на базе GaN, когда
необходима быстрая релаксация электронов.
© 2006 Д.Л. Ника
95
Установлено также, что “акустически медленные” пластиковые обкладки увеличивают
в 2-3 раза подвижность электронов и уменьшают в 2-4 раза решёточную теплопроводность,
что в свою очередь приводит к увеличению в 2-6 раз коэффициента ZT в гетероструктуре
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl по сравнению с гетероструктурой AlN/GaN/AlN. Это открывает новые
возможности для оптимизации электронных и термоэлектрических свойств наноприборов.
© 2006 Д.Л. Ника
96
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
" В рамках континуальной модели с учётом анизотропии вьюрцитных GaN (AlN)материалов впервые были выведены уравнения движения для упругих колебаний в
плоских многослойных структурах, в прямоугольных и цилиндрических квантовых
гетеронитях.
Рассмотрены
многослойные
наноструктуры
со
свободными
и
закреплёнными внешними поверхностями.
" Получены энергетические спектры и групповые скорости акустических фононов в
трёхслойных
(AlN/GaN/AlN,
пластик/GaN/пластик)
и
пятислойных
(пластик/AlN/GaN/AlN/пластик) гетероструктурах, а также в квантовых GaN-нитях
цилиндрического и прямоугольного сечения, покрытых “акустически быстрыми” AlN и
“акустически медленными” пластиковыми оболочками.
" Впервые установлено, что фононные моды в многослойной наноструктуре образуются в
результате суперпозиции колебаний из разных слоёв на интерфейсах наноструктуры. Это
приводит к появлению гибридных мод, каждая из которых в зависимости от значения
волнового числа q либо распространяется по всей ширине гетероструктуры, либо
концентрируется в одном из слоёв гетероструктуры и отражает его акустические
свойства.
" Проведено сравнение свойств акустических фононов в гетероструктурах и гетеронитях со
свойствами фононов в однородных пластинах и квантовых нитях без обкладок. Показано,
что материал обкладок существенно влияет на энергетический спектр и групповые
скорости фононов в гетероструктурах и гетеронитях:
•
обкладки с меньшей скоростью звука сжимают спектр акустических фононов и в 2-4
раза для рассмотренных наноструктур уменьшают среднюю групповую скорость
фононов по сравнению со скоростью в однородных пластинах и нитях;
•
обкладки
с
большей
скоростью
звука
растягивают
энергетический
спектр
акустических фононов и увеличивают их среднюю групповую скорость (в 1.2~1.5 раза
для рассмотренных наноструктур) по сравнению со скоростью в однородных
пластинах и нитях.
" Исследованы распределения компонент вектора смещения акустических фононных мод в
гетероструктурах и гетеронитях. Проведено их сравнение с распределениями компонент
вектора смещения в однородных пластинах и нитях без обкладок. Установлено, что в
гетероструктурах и гетеронитях фононные моды выталкиваются из слоёв с большей
скоростью звука в слои с меньшей скоростью звука. Таким образом, происходит
© 2006 Д.Л. Ника
97
фононное обеднение “акустически быстрых” слоёв и фононное обогащение “акустически
медленных” слоёв. Показано, что в гетероструктуре Pl/GaN/Pl (4 нм/ 2 нм/ 4 нм)
плотность энергии фононов в “медленных” Pl-обкладках превышает плотность энергии
фононов во внутреннем “быстром” GaN-слое на 2-3 порядка, поэтому в GaN-слое
гетероструктуры колебания сильно подавлены. В цилиндрических и прямоугольных
гетеронитях эффекты фононного обеднения и обогащения проявляются ещё сильнее
благодаря двухстороннему конфайнменту. В цилиндрической GaN/Pl гетеронити (6 нм/4
нм) плотность энергии фононов во внутренней GaN-нити на 3-6 порядков меньше, чем в
пластиковых обкладках в зависимости от фононного волнового числа.
" Впервые рассчитаны скорости рассеяния электронов акустическими фононами в плоских
AlN/GaN/AlN
гетероструктурах
и
однородных
GaN-пластинах.
Рассмотрены
деформационный и пьезоэлектрический механизмы взаимодействия электрона с
акустическими фононами. Выведены гамильтонианы этих взаимодействий. Показано, что
в трёхслойных AlN/GaN/AlN гетероструктурах, высокие фононные моды активно
взаимодействую с электроном. При расчёте электронных состояний в AlN/GaN/AlN
гетероструктурах учтено встроенное электрическое поле, обусловленное спонтанной и
пьезоэлектрической поляризациями.
" Для получения транспортного времени рассеяния численно решено кинетическое
уравнение Больцмана, в котором, наряду с неупругостью электрон-фононного
взаимодействия и дисперсией акустических фононов, впервые была учтена дисперсия
оптических фононов. Необходимость учёта дисперсии оптических фононных мод
обусловлена тем, что во вьюрцитных AlN/GaN/AlN гетероструктурах существуют четыре
поверхностные моды, имеющие существенную дисперсию (~ 10 мэВ) при малых
значениях фононного волнового числа.
" Были рассчитаны подвижности электронов, обусловленные рассеянием на акустических
и оптических фононах, на заряженных дислокациях и несовершенствах поверхности в
гетероструктурах
AlN/GaN/AlN
и
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl.
Исследованы
зависимости
подвижности от температуры для разных концентраций электронов. Установлен
температурный интервал доминирования рассеяния на акустических фононах. Показано,
что при концентрации электронов Ne=1010 см-2 этот интервал составляет 200 К (от 50 K до
250 К), а при Ne=1013 – 100 К (от 50 К до 150 К). “Акустически медленные” пластиковые
обкладки увеличивают как подвижность электронов, обусловленную взаимодействием с
акустическими фононами (в 2-3 раза в зависимости от концентрации электронов и
© 2006 Д.Л. Ника
98
температуры вследствие эффекта фононного обеднения), так и полную подвижность при
температурах 50 K – 150 K, где доминирует рассеяние на акустических фононах.
" Рассчитаны
решёточные
и
электронные
теплопроводности
в
AlN/GaN/AlN
и
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl гетероструктурах в зависимости от температуры. Показано, что
решёточная теплопроводность κ ph гетероструктуры Pl/AlN/GaN/AlN/Pl с “акустически
медленными”
обкладками
в
2-3
раза
меньше
теплопроводности
в
структуре
AlN/GaN/AlN. Это понижение фононной теплопроводности является следствием эффекта
уменьшения средней групповой скорости фононов в гетероструктурах с “акустически
медленными” обкладками. При низкой концентрации электронов (Ne = 1011, 1012 см-2)
κ ph > κ el , а при концентрации Ne=1013 см-2 электронная теплопроводность возрастает и
становится сравнимой с κ ph . Поэтому, при концентрациях электронов Ne = 1011, 1012 см-2
пластиковые обкладки в 2-3 раза
уменьшают и общую теплопроводность в
гетероструктуре
по
Pl/AlN/GaN/AlN/Pl
сравнению
с
теплопроводностью
в
гетероструктуре AlN/GaN/AlN.
" Исследовано влияние пластиковых обкладок на термоэлектрический коэффициент “figure
of merit” ZT и продемонстрировано, что “акустически медленные” обкладки увеличивают
ZT во всём температурном диапазоне от 50 K до 400 K в 2-4 раза в зависимости от
концентрации электронов и температуры.
Управление
фононной
групповой
скоростью,
подвижностью
электронов,
теплопроводностью и коэффициентом ZT, путём использования обкладок из различных
материалов,
открывает
новые
возможности
для
управления
транспортными
и
термоэлектрическими свойствами гетероструктур, для оптимизации электронных и
фононных устройств на основе гетероструктур и для дальнейшего развития концепции
фононной инженерии.
© 2006 Д.Л. Ника
99
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. E. Pokatilov, V. Fonoberov, V. Fomin, S. Balaban, D. Nika. Stările excitonice şi de
impuritate în firele dreptunghiulare cu gropi cuantice. Conferinţa corpului didactico-ştiinţific
“Bilanţul activităţii ştiinţifice a USM pe anii 1998/99”. Rezumatele comunicărilor. Ştiinţe
fizico-matematice, Chişinău: USM, 2000, p. 210-211.
2. E.P. Pokatilov, V.A. Fonoberov, V.M. Fomin, S.N. Balaban and D.L. Nika. Exciton and
impurity states in rectangular quantum well wires. Spring Meeting of the German Physical
Society, Regensburg, Germany, March 27-31, 2000, Proceedings, Vol. 35, p. 501.
3. А. Мациевский, Д. Ника, Е. Покатилов. Поперечные акустические моды в
трёхслойных плоских наноразмерных структурах. Analele Ştiinţifice ale Universităţii de
Stat din Moldova. Seria “Ştiinţe fizico-matematice”. Chişinău: USM. 2003, c. 66-72.
4. Д. Ника. Дырочные состояния в квантовых нитях, вычисленные на базе 6-тизонного
гамильтониана. Analele Ştiinţifice ale Universităţii de Stat din Moldova. Seria “Ştiinţe
fizico-matematice”. Chişinău: USM. 2003, c.73-77.
5. E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Acoustic phonon spectrum modification in
three-layered heterostructures. Moldavian Journal of the Physical Sciences, 2003, vol. 2, no.
2, pp. 138-147.
6. E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Phonon spectrum and group velocities in
AlN/GaN/AlN and related heterostructures. Superlattices and Microstructures, 2003, vol. 33,
pp. 155-171.
7. Д. Ника. Влияние электронных свойств гетероструктуры AlN/GaN/AlN на скорость
деформационного рассеяния электронов акустическими фононами. Analele Ştiinţifice
ale Universităţii de Stat din Moldova. Seria “Ştiinţe fizico-matematice”. Chişinău: USM,
2004, c.73-75.
8. Д. Ника. Акустические свойства трёхслойных гетероструктур с двумя проводящими
GaN каналами. Analele Ştiinţifice ale Universităţii de Stat din Moldova. Seria “Ştiinţe
fizico-matematice”. Chişinău: USM, 2004, c.76-80.
9. A.A. Balandin, D.L. Nika and E.P. Pokatilov. Phonon spectrum and group velocities in
wurtzite heterostructures. physica status solidi (c), 2004, vol. 1, no. 11, pp. 2658-2661.
10. E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Confined electron – confined phonon
scattering rates in wurtzite AlN/GaN/AlN heterostructures. Journal of Applied Physics,
2004, vol. 95, no. 10, pp. 5626-5632.
© 2006 Д.Л. Ника
100
11. E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. A phonon depletion effect in ultrathin
heterostructures with acoustically mismatched layers. Applied Physics Letters, 2004, vol.
85, no. 5, pp. 825-827.
12. D.L. Nika, E.P. Pokatilov and A.A. Balandin. Dispersion of acoustical modes and electron
scattering rate in three-layered free standing heterostructures. 2nd International Conference
on Materials Science and Condensed Matter Physics, Chisinau, Moldova, September 21-26,
2004, Abstracts, p. 100.
13. E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Acoustic phonon engineering in coated
cylindrical nanowires. Superlattices and Microstructures, 2005, vol. 38, pp. 168-183.
14. E.P. Pokatilov, D.L. Nika, V.M Fomin, J.T Devreese. Excitons and photoluminescence
spectra in nanoscale heterostructures AlGaN/GaN/AlGaN. March Meeting of the American
Physical Society, Los Angeles, California, March 21-25, 2005, Proceedings, V16.00001.
15. D.L. Nika, E.P. Pokatilov and A.A. Balandin. Acoustic properties of cylindrical nanowires
with the elastically dissimilar barriers. 4th International Conference on “Microelectronics
and Computer Science”, Chisinau, Moldova, September 15-17, 2005, Proceedings, pp. 4043.
16. N.D. Zincenco, D.L. Nika and M. Al-Sabayleh. Acoustical properties of rectangular
quantum heterowires with clamped outer surfaces. 4th International Conference on
“Microelectronics and Computer Science”, Chisinau, Moldova, September 15-17, 2005,
Proceedings, pp. 66-69.
17. D.L. Nika, E.P. Pokatilov, V.M. Fomin and J.T. Devreese. Exciton properties of nanoscale
heterostructures
AlxGa1-xN/GaN/AlxGa1-xN.
4th
International
Conference
on
“Microelectronics and Computer Science”, Chisinau, Moldova, September 15-17, 2005,
Proceedings, pp. 258-261.
18. E.P. Pokatilov, D.L. Nika, V.M. Fomin, J.T. Devreese. Theoretical modeling of excitons in
semiconductor
nanoscale
heterostructures
AlGaN/GaN/AlGaN.
13th
International
Symposium “Nanostructures: Physics and Technology”, St. Petersburg, Russia, June 20-25,
2005, Proceedings, pp. 354-355.
19. Д. Ника, Е. Покатилов. Развитие точной “ladder” техники для решения уравнения
Больцмана с учётом дисперсий акустических и оптических фононов в плоских
гетероструктурах. Analele Ştiinţifice ale Universităţii de Stat din Moldova. Seria “Ştiinţe
fizico-matematice”. Chişinău: USM, 2005, c.72-77.
© 2006 Д.Л. Ника
101
20. E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Acoustic-phonon propagation in rectangular
semiconductor nanowires with elastically dissimilar barriers. Physical Review B, 2005, vol.
72, pp. 113311-1 – 113311-4.
© 2006 Д.Л. Ника
102
ЛИТЕРАТУРА
[1] А.И. Ансельм. Введение в теорию полупроводников. Москва: Государственное
издательство физико-математической литературы, 1962, с. 66-84.
[2] A.A. Balandin. Acoustic Phonon Confinement in Nanostructures and its Effect on the Thermal
Lattice Conductivity. 11th International Conference on Phonon Scattering in Condensed Matter
Physics, St. Petersburg, Russia, July, 2004, Book of Abstract, pp. 6-7.
[3] J.L. Farvacque and Z. Bouqrioua. Carrier mobility versus carrier density in AlxGa1–xN/GaN
quantum wells. Physical Review B, 2003, vol. 68, pp. 035335-035341.
[4] D. Jena, A. C. Gossard, U. K. Mishra. Dislocation scattering in a two-dimensional electron gas.
Applied Physics Letters, 2000, vol. 76, pp. 1707 – 1709.
[5] H. Tang, J.B. Webb, P. Coleridge, J.A. Bardwell, C.H. Ko, Y.K. Su, S.J. Chang. Scattering
lifetimes due to interface roughness with large lateral correlation length in AlxGa1–xN/GaN twodimensional electron gas. Physical Review B, 2002, vol. 66, pp. 245305-245311.
[6] Т. Микер и А. Мейтцлер. Волноводное распространение в протяжённых цилиндрах и
пластинах. В мон. Физическая Акустика (под редакцией В.П. Мезона). Москва: Мир, 1966, с.
140-203.
[7] N. Nishiguchi, Y. Ando and M.N. Wybourne. Acoustic phonon modes of rectangular quantum
wires. J. Phys.: Condens. Matter.,1997, vol. 9, pp. 5751-5764.
[8] R.W. Morse. Dispersion of compressional waves in isotropic rods of rectangular cross section. J.
Acoust. Soc. Am., 1948, vol. 20, pp. 833-838.
[9] R.W. Morse. The velocity of compressional waves in rods of rectangular cross section. J.
Acoust. Soc. Am., 1950, vol. 22, pp. 219-223.
[10] N. Bannov, V. Aristov, V. Mitin and M.A. Stroscio. Electron relaxation times due to the
deformation-potential interaction of electrons with confined acoustic phonons in a free-standing
quantum well. Physical Review B, 1995, vol. 51, pp. 9930-9942.
[11] N. Telang and S. Bandyopadhyay. Effects of a magnetic field on electron-phonon scattering in
quantum wires. Physical Review B, 1993, vol. 48, pp. 18002-18009.
[12] SeGi Yu, K. W. Kim, M. A. Stroscio, G. J. Iafrate and A. Ballato. Electron–acoustic-phonon
scattering rates in rectangular quantum wires. Physical Review B, 1994, vol. 50, pp. 1733-1738.
[13] J. Zhang, L. Zhang, F. Jiang, Y. Yang and J. Li. Fabrication and Optical Property of Silicon
Oxide Layer Coated Semiconductor Gallium Nitride Nanowires. J. Phys. Chem. B, 2005, vol. 109,
pp. 151-154.
© 2006 Д.Л. Ника
103
[14] A. Balandin and K.L. Wang. Significant decrease of the lattice thermal conductivity due to
phonon confinement in a free-standing semiconductor quantum well. Physical Review B, 1998, vol.
58, pp. 1544-1549.
[15] H. Benisty, C.M. Sotomayor-Torres and C. Weisbuh. Intrinsic mechanism for the poor
luminescence properties of quantum-box systems. Phys.Rev. B, 1991, vol. 44, pp. 10945-10948.
[16] H. Noguchi, J.P. Leburton and H. Sakaki. Transient and steady-state analysis of electron
transport in one-dimensional coupled quantum-box structures. Phys.Rev. B, 1993, vol. 47, pp.
15593-15600.
[17] U. Bockelmann. Phonon scattering between zero-dimensional electronic states: Spatial versus
Landau quantization. Physical Review B, 1994, vol. 50, pp. 17271-17279.
[18] H. Benisty. Reduced electron-phonon relaxation rates in quantum-box systems: theoretical
analysis. Physical Review B, 1995, vol. 51, pp. 13281-13293.
[19] M. Dur, A.D. Gunther, D. Vasileska, S. M. Goodnick. Acoustic phonon scattering in silicon
quantum dots. Nanotechnology, 1999, vol. 10, pp. 142-146.
[20] D. Li, Y. Wu, P. Kim, L. Shi, P. Yang, A. Majumdar. Thermal conductivity of individual
silicon nanowires. Appl. Phys. Lett, 2003, vol. 83, pp. 2934-2936.
[21] A. Khitun, A. Balandin, K. L. Wang. Modification of the lattice thermal conductivity in silicon
quantum wires due to spatial confinement of acoustic phonons. Superlattices and Microstructures,
1999, vol. 26, pp. 182-193.
[22] C.M. Bhandari and D.M. Rowe. Thermal Conduction in Semiconductors. New York: John
Wiley & Sons, 1988, p. 79.
[23] J. Zou and A. Balandin. Phonon heat conduction in a semiconductor nanowire. Journal of
Applied Physics, 2001, vol. 89, pp. 2932-2938.
[24] M. Grimsditch, R. Bhadra, I.K. Schuller. Lamb waves in unsupported thin films: A Brillouinscattering study. Physical Review Letters, 1987, vol. 58, pp. 1216-1219.
[25] R. Bhadra, M. Grimsditch, I.K. Schuller, F. Nizzoli. Brillouin scattering from unsupported Al
films. Physical Review B, 1989, vol. 39, pp. 12456-12459.
[26] H. Nakahara, M. Ichikawa. Molecular beam epitaxial growth of Si on Ga-activated Si(111)
surface. Applied Physics Letters, 1992, vol. 61, pp. 1531-1533.
[27] A. Balandin, S. Morozov, S. Cai, R. Li, K.L. Wang, G. Wijeratne, C.R. Viswanathan. Low
flicker-noise GaN/A1GaN heterostructure field-effect transistors for microwave communications.
IEEE Trans. Electron. Devices, 1999, vol. 47, pp. 1413-1417.
© 2006 Д.Л. Ника
104
[28] M.E. Levinshtein, S.L. Rumyantsev, R. Gaska, J.W. Yang, M.S. Shur. AlGaN/GaN high
electron mobility field effect transistors with low 1/f noise. Applied Physics Letters, 1998, vol. 73,
pp. 1089-1091.
[29] Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц. Теоретическая Физика, т. 7: "Теория Упругости". Москва:
Наука, 1965, c. 131.
[30] Ф. И. Федоров. Теория Упругих Волн в Кристаллах. Москва: Наука, 1965, с. 41-42.
[31] E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Phonon spectrum and group velocities in
AlN/GaN/AlN and related heterostructures. Superlattices and Microstructures, 2003, vol. 33, pp.
155-171.
[32] S.M. Rytov. Acoustical properties of a thinly laminated medium. Sov. Phys. – Acoust., 1956,
vol. 2, pp. 68-80.
[33] A. Svizhenko, A. Balandin, S. Bandyopadhyay, M.A. Stroscio. Electron interaction with
confined acoustic phonons in quantum wires subjected to a magnetic field. Physical Review B,
1998, vol. 57, pp. 4687-4693.
[34] I. Vurgaftman and J.R. Meyer. Band parameters for nitrogen-containing semiconductors.
Journal of Applied Physics, 2003, vol. 94, pp. 3675-3696.
[35] V. Bougrov, M. Levinshtein, S.L. Rumyantsev, and A. Zubrilov. Properties of Advanced
Semiconductor Materials. New York: J. Wiley & Sons, 2001, p. 79.
[36] E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Acoustic phonon spectrum modification in threelayered heterostructures. Moldavian Journal of the Physical Sciences, 2003, vol. 2, no. 2, pp. 138147.
[37] А. Мациевский, Д. Ника, Е. Покатилов. Поперечные акустические моды в трёхслойных
плоских наноразмерных структурах. Analele Ştiinţifice ale Universităţii de Stat din Moldova,
seria “Ştinţe fizico-matematice”, 2003, с. 66-72.
[38] A.A. Balandin, D.L. Nika and E.P. Pokatilov. Phonon spectrum and group velocities in
wurtzite heterostructures. physica status solidi (c), 2004, vol. 1, no. 11, pp. 2658-2661.
[39] Д. Ника. Акустические свойства трёхслойных гетероструктур с двумя проводящими
каналами. Analele Ştiinţifice ale Universităţii de Stat din Moldova, seria “Ştinţe fizicomatematice”, 2004, с.76-80.
[40] E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Confined electron – confined phonon scattering
rates in wurtzite AlN/GaN/AlN heterostructures. Journal of Applied Physics, 2004, vol. 95, no. 10,
pp. 5626-5632.
[41] J. Shertzer and D. L. Ram-Mohan. Removal of accidental degeneracies in semiconductor
quantum wires. Physical Review B, 1990, vol. 41, pp. 9994-9999.
© 2006 Д.Л. Ника
105
[42] S. Gangopadhyay and B. R. Nag. Energy eigenvalues in square and rectangular quantum wires
with finite barrier potential. phys. stat. sol. (b), 1996, vol. 195, pp. 123-129.
[43] D. S. Citrin and Yia-Chung Chang. Valence-subband structures of GaAs/AlxGa1-xAs quantum
wires: The effect of split-off bands. Physical Review B, 1989, vol. 40, pp. 5507-5514.
[44] M. Notomi, M. Naganuma, T. Nishida, T. Tamamura, H. Iwamura, S. Nojima, M. Okamoto.
Clear energy level shift in ultranarrow InGaAs/InP quantum well wires fabricated by reverse mesa
chemical etching. Applied Physics Letters, 1991, vol. 58, pp. 720-722.
[45] P. Ils, M. Michel, A. Forchel, I. Gyuro, M. Klenk, E. Zielinski. Room temperature study of
strong lateral quantization effects in InGaAs/InP quantum wires. Applied Physics Letters, 1994, vol.
64, pp. 496-498.
[46] Д. Ника. Дырочные состония в квантовых нитях, вычисленные на базе 6-ти зонного
гамильтониана. Analele Ştiinţifice ale Universităţii de Stat din Moldova, seria “Ştinţe fizicomatematice, 2003, с. 66-72.
[47] Francisco A. P. Osorio, M. H. Degani, and O. Hipolito. Bound impurity in GaAs-Ga1-κAlκAs
quantum-well wires. Physical Review B, 1988, vol. 37, pp. 1402-1405.
[48] G. Weber, P. A. Schulz, and L. E. Oliveira. Density of states and energy spectra of hydrogenic
impurities in quantum-well wires. Physical Review B, 1988, vol. 38, pp. 2179-2182.
[49] S. Moukhliss, M. Fliyou, and N. Es-Sbai. Binding Energy of the Donor-Confined LO Phonon
System in Quantum Well Wire Structures. phys. stat. sol. (b), 1998, vol. 206, pp. 593-600.
[50] J. Cibert, P.M. Petroff, G.J. Dolan, S.J. Pearton, A.C. Gossard, and G.H. English. Optically
detected carrier confinement to one and zero dimension in GaAs quantum well wires and boxes.
Applied Physics Letters, 1986, vol. 49, pp. 1275-1277.
[51] M. Notomi, S. Nojima, M. Okamoto, H. Iwamura, T. Tamamura, J. Hammersberg, H. Weman.
Size dependence of
lateral quantum-confinement effects of the optical response in
In0.53Ga0.47As/InP quantum wires. Physical Review B, 1995, vol. 52, pp. 11073-11088.
[52] Q. Xiong, J. Wang, O. Reese, L.C. Lew Yan Voon P.C. Eklund. Raman Scattering from
Surface Phonons in Rectangular Cross-sectional w-ZnS Nanowires. Nano Letters, 2004, vol. 4, pp.
1991-1996.
[53] Q. Xiong, G. Chen, J.D. Acord, X. Liu, J.J. Zengel, H.R. Gutierrez, J.M. Redwing, L.C. Lew
Yan Voon, B. Lassen P.C. Eklund. Optical Properties of Rectangular Cross-sectional ZnS
Nanowires. Nano Letters, 2004, vol. 4, pp. 1663-1668.
[54] N. Nishiguchi. Resonant acoustic-phonon modes in a quantum wire. Physical Review B, 1995,
vol. 52, pp. 5279-5288.
© 2006 Д.Л. Ника
106
[55] E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Acoustic-phonon propagation in rectangular
semiconductor nanowires with elastically dissimilar barriers. Physical Review B, 2005, vol. 72, pp.
113311-1 – 113311-4
[56] A.A. Balandin. Chapter “Thermal Conductivity of Semiconductor Nanostructures” in
Encyclopedia of Nanoscience and Nanotechnology (ENN, Editor H.S. Nalwa). Los Angeles:
American Scientific Publishers, 2002, pp. 425-445.
[57] A. Casian, I. Sur, H. Scherrer and Z. Dashevsky. Thermoelectric properties of n-type PbTe/Pb1xEuxTe
quantum wells. Physical Review B, 2000, vol. 61, pp. 15965-15974.
[58] M.M. de Lima, P.C. Taylor, S. Morrison, A. LeGeune, F. C. Marques. ESR observations of
paramagnetic centers in intrinsic hydrogenated microcrystalline silicon. Physical Review B, 2004,
vol. 65, pp. 235324-235329.
[59] V. Dneprovskii, E. Zhukov, V. Karavanskii, V. Poborchii, I. Salamatina. Nonlinear optical
properties of semiconductor quantum wires. Superlattices and Microstructures, 1998, vol. 23, pp.
1217-1221.
[60] J.W. Brown and H.N. Spector. Hydrogen impurities in quantum well wires. Journal of Applied
Physics, 1986, vol. 59, pp. 1179-1186.
[61] E.P. Pokatilov, V.M. Fomin, S.N. Balaban, S.N. Klimin and J.T. Devreese. Impurity-Bound
Hole Polaron in a Cylindrical Quantum Wire. phys. stat. sol. (b), 1998, vol. 210, pp. 879-883.
[62] E. Shangina. Electron transport in undoped quantum wire AlGaAs/GaAs superlattices. Phys.
Low.-Dim. Struct., 2000, vol. 3, pp. 45-54.
[63] V. G. Grigoryan and D. G. Sedrakyan. Quantization of the phonon spectrum in wires
(filaments). Akust. Zh., 1983, vol. 29, pp. 470-474.
[64] N. Nishiguchi. Confined and interface acoustic phonons in a quantum wire. Physical Review
B, 1994, vol. 50, pp. 10970-10980.
[65] A. Raichura, M. Dutta and M. A. Stroscio. Quantized acoustic vibrations of single-wall carbon
nanotube. Journal of Applied Physics, 2003, vol. 94, pp. 4060-4065.
[66] M. Cote, M.L. Cohen and D.J. Chadi. Theoretical study of the structural and electronic
properties of GaSe nanotubes. Phys. Rev B, 1998, vol. 58, pp. R4277-R4280.
[67] E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Acoustic phonon engineering in coated
cylindrical nanowires. Superlattices and Microstructures, 2005, vol. 38, pp. 168-183.
[68] N. Bannov, V. Mitin, and M. A. Stroscio. Confined Acoustic Phonons in a Free-Standing
Quantum Well and Their Interaction with Electrons. phys. stat. sol (b), 1994, vol. 183, pp. 131-142.
© 2006 Д.Л. Ника
107
[69] E.P. Pokatilov, D.L. Nika and A.A. Balandin. Confined electron – confined phonon scattering
rates in wurtzite AlN/GaN/AlN heterostructures. Journal of Applied Physics, 2004, vol. 95, no. 10,
pp. 5626-5632.
[70] A. Bykhovski, B. Gelmont and M. Shur. The influence of the strain-induced electric field on
the charge distribution in GaN-AlN-GaN structure. Journal of Applied Physics, 1993, vol. 74, pp.
6734-6739.
[71] A. Bykhovski, B. Gelmont and M. Shur. Elastic strain relaxation in GaN–AlN–GaN
semiconductor–insulator–semiconductor structures. Journal of Applied Physics, 1995, vol. 78, pp.
3691-3696.
[72] A. Bykhovski, B. Gelmont and M. Shur. Elastic strain relaxation and piezoeffect in GaN-AlN,
GaN-AlGaN and GaN-InGaN superlattices. Journal of Applied Physics, 1997, vol. 81, pp. 63326338.
[73] F. Bernardini, V. Fiorentini and D. Vanderbilt. Spontaneous polarization and piezoelectric
constants of III-V nitrides. Physical Review B, 1997, vol. 56, pp. R10024-R10027.
[74] F. Bernardini and V. Fiorentini. Macroscopic polarization and band offsets at nitride
heterojunctions. Phys. Rev B, 1998, vol. 57, pp. R9427-9430.
[75] N. Suzuki and N. Iizuka. Effect of Polarization Field on Intersubband Transition in
AlGaN/GaN Quantum Wells. Jpn. Journal of Applied Physics, 1999, vol. 38, pp. L363-L365.
[76] C. Adelman, E. Sarigiannidou, D. Jalabert, Y. Hori, J.-L. Rouviere, B. Daudin, S. Fanget, C.
Bru-Chevallier, T. Shibata, M. Tanaka. Growth and optical properties of GaN/AlN quantum wells.
Applied Physics Letters, 2003, vol. 82, pp. 4154-4156.
[77] N. Grandjean, B. Damilano, S. Dalmasso, M. Leroux, M. Laught and J. Massies. Built-in
electric-field effects in wurtzite AlGaN/GaN quantum wells. Journal of Applied Physics, 1999, vol.
86, pp. 3714-3720.
[78] N.M. Leroux, N. Grandjean, J. Massies, B. Gill, P. Lefebvre and P. Bigenwald. Barrier-width
dependence of group-III nitrides quantum-well transition energies. Physical Review B, 1999, vol.
60, pp. 1496-1499.
[79] J. Simon, R. Langer, A. Barski and N.T. Pelekanos. Spontaneous polarization effects in
GaN/AlxGa1-xN quantum wells. Physical Review B, 2000, vol. 61, pp. 7211-7214.
[80] R. Langer, J. Simon, V. Ortiz, N.T. Pelekanos, A. Barski, R. Andre, M. Godlewski. Giant
electric fields in unstrained GaN single quantum wells. Applied Physics Letters, 1999, vol. 74, pp.
3827-3829.
© 2006 Д.Л. Ника
108
[81] S.-H. Park, D. Ahn and Y.-T. Lee. Spontaneous Polarization and Piezoelectric Effects on InterSubband Scattering Rate in Wurtzite GaN/AlGaN Quantum-Well. Jpn. Journal of Applied Physics,
2001, vol. 40, pp. L941-L944.
[82] D.R. Anderson, N.A. Zakhleniuk, M. Babiker, B.K. Ridley, C.R. Bennett. Polar-optical
phonon-limited transport in degenerate GaN-based quantum wells. Physical Review B, 2001, vol.
63, pp. 245313-245319.
[83] B.K. Ridley, B.E. Foutz, L.F. Eastman. Mobility of electrons in bulk GaN and AlxGa1-xN/GaN
heterostructures. Physical Review B, 2000, vol. 61, pp. 16862-16869.
[84] S.M. Komirenko, K.W. Kim, M.A. Stroscio, M. Dutta. Energy-dependent electron scattering
via interaction with optical phonons in wurtzite crystals and quantum wells. Physical Review B,
2000, vol. 61, pp. 2034-2040.
[85] M.J. Manfra, K.W. Baldwin, A.M. Sergent, K.W. West, R.J. Molnar, J. Caissie. Electron
mobility exceeding 160000 cm2/V·s in AlGaN/GaN heterostructures grown by molecular-beam
epitaxy. Applied Physics Letters, 2004, vol. 85, pp. 5394-5396.
[86] R. Gaska, M.S. Shur, A.D. Bykhovski, A.O. Orlov, G.L. Snider. Electron mobility in
modulation-doped AlGaN–GaN heterostructures. Applied Physics Letters, 1999, vol. 74, pp. 287289.
[87] M. Miyoshi, H. Ishikawa, T. Egawa, K. Asai, M. Mouri, T. Shibata, M. Tanaka, O. Oda. Highelectron-mobility
AlGaN/AlN/GaN
heterostructures
grown
on
100-mm-diam
epitaxial
AlN/sapphire templates by metalorganic vapor phase epitaxy. Applied Physics Letters, 2004, vol.
85, pp. 1710-1712.
[88] S. Gokden. Mobility of two-dimensional electrons in an AlGaN/GaN modulation-doped
heterostructures. phys. stat. sol. (a), 2003, vol. 200, pp. 369-377.
[89] D. Zanato, S. Gokden, N. Balkan, B.K. Ridley, W.J. Schaff. Momentum relaxation of electrons
in n-type bulk GaN. Superlattices and Microstructures, 2003, vol. 34, pp. 77-85.
[90] D. Zanato, S. Gokden, N. Balkan, B.K. Ridley, W.J. Schaff. The effect of interface-roughness
and dislocation scattering on low temperature mobility of 2D electron gas in GaN AlGaN.
Semicond. Sci. Technol., 2004, vol. 19, pp. 427-432.
[91] S. Gokden, R. Baran, N. Balkan, S. Mazzucato. The effect of interface roughness scattering on
low field mobility of 2D electron gas in GaN/AlGaN heterostructures. Physica E, 2004, vol. 24, pp.
249-256.
[92] D. Zanato, N. Balkan, G. Hill, W.J. Schaff. Energy and momentum relaxation of electrons in
bulk and 2D GaN. Superlattices and Microstructures, 2004, vol. 36, pp. 455-463.
© 2006 Д.Л. Ника
109
[93] D. C. Look and J. R. Sizelove. Dislocation Scattering in GaN. Physical Review Letters. 1999,
vol. 82, pp. 1237-1240.
[94] Y. Zhang and J. Singh. Charge control and mobility studies for an AlGaN/GaN high electron
mobility transistor. Journal of Applied Physics, 1999, vol. 85, pp. 587-594.
[95] L. Hsu and W. Walukiewich. Electron mobility in AlxGa1-xN/GaN heterostructures. Physical
Review B, 1997, vol. 56, pp; 1520 -1528.
[96] I.P. Smorchkova, C.R. Elsass, J.P. Ibbetson, R. Vetury, B. Heying, P. Fini, E. Haus, S.P.
DenBaars, J.S. Speck, U.K. Mishra. Polarization-induced charge and electron mobility in
AlGaN/GaN heterostructures grown by plasma-assisted molecular-beam epitaxy. Journal of
Applied Physics, 1999, vol. 86, pp. 4520-4526.
[97] L. Hsu, W. Walukiewicz. Effect of polarization fields on transport properties in AlGaN/GaN
heterostructures. Journal of Applied Physics, 2001, vol. 89, pp. 1783-1789.
[98] O. Ambacher, R. Dimitrov, M. Stutzmann, B.E. Foutz, M.J. Murphy, J.A. Smart, J.R. Shealy,
N.G. Weimann, L.F. Eastman. Role of Spontaneous and Piezoelectric Polarization Induced Effects
in Group-III Nitride Based Heterostructures and Devices. phys. stat. sol. (b), 1999, vol. 216, p. 381389.
[99] E.T. Yu, G.J. Sullivan, P.M. Asbeck, C.D. Wang, D. Qiao, S.S. Lau. Measurement of
piezoelectrically induced charge in GaN/AlGaN heterostructure field-effect transistors. Applied
Physics Letters, 1997, vol. 71, pp. 2794-2796.
[100] E.T. Yu, X.Z. Dang, L.S. Yu, D. Qiao, P.M. Asbeck, S.S. Lau, G.J. Sullivan, K.S. Boutros,
J.M. Redwing. Measurement of piezoelectrically induced charge in GaN/AlGaN heterostructure
field-effect transistors. Applied Physics Letters, 1998, vol. 73, pp. 1880-1882.
[101] C. Chen, M. Dutta, M.A. Stroscio. Confined and interface phonon modes in GaN/ZnO
heterostructures. Journal of Applied Physics, 2004, vol. 95, pp. 2540-2546.
[102] B.C. Lee, K.W. Kim, M.A. Stroscio, M. Dutta. Optical-phonon confinement and scattering in
wurtzite heterostructures. Physical Review B, 1998, vol. 58, pp. 4860-4865.
[103] D.J. Howarth and E.H. Sondheimer. The theory of electronic conduction in polar semiconductors. Proc. R. Soc., 1953, vol. 219, no. 1136, pp. 53-74.
[104] K. Fletcher and P.N. Butcher. An exact solution of the linearized Boltzmann equation with
applications to the Hall mobility and Hall factor of n-GaAs. J. Phys.C: Solid St. Phys., 1972, vol. 5,
pp. 212-224.
[105] D. Jena, I. Smorchkova, A.C. Gossard, U.K. Mishra. Electron Transport in III –V Nitride
Two-Dimensional Electron Gases. phys. stat. sol. (b), 2001, vol. 228, pp. 617-619.
© 2006 Д.Л. Ника
110
[106] K. Hess. Impurity and phonon scattering in layered structures. Applied Physics Letters, 1979,
vol. 35, pp. 484-486.
[107] X. Han, D. Li, H. Yuan, X. Sun, X. Liu, X. Wang, Q. Zhu and Z. Wang. Dislocation
scattering in a two-dimensional electron gas of an AlxGa1–xN/GaN heterostructures. phys. stat. sol.
(b), 2004, vol. 241, pp. 3000-3008.
[108] D.I. Florescu, V.M. Asnin, and F.H. Pollak. Thermal conductivity measurements of GaN and
AlN. Compound Semiconductor, 2001, vol. 7, pp. 62-67.
[109] E.K. Sichel and J.I. Pankove. Thermal conductivity of GaN. J. Phys. Chem. Solids, 1997, vol.
38, p. 330.
[110] D.I. Florescu, V.M. Asnin, F.H. Pollak, R.J. Molnar and C.E.C. Wood. High spatial
resolution thermal conductivity and Raman spectroscopy investigation of hydride vapor phase
epitaxy grown n-GaN/sapphire(0001): Doping dependence. Journal of Applied Physics, 2000, vol.
88, pp. 3295-3300.
[111] C.-Y. Luo, H. Marchand, D. R. Clarce, S. P. DenBaars. Thermal conductivity of lateral
epitaxial overgrown GaN films. Applied Physics Letters, 1999, vol. 75, pp. 4151-4153.
[112] J. Zou, D. Kotchetkov, A.A. Balandin, D.I. Florescu, F.H. Pollak. 'Thermal conductivity of
GaN films: effects of impurities. Journal of Applied Physics, 2002, vol. 92, pp. 2534-2539.
[113] D. Kotchetkov, J. Zou, A.A. Balandin, D.I. Florescu, F.H. Pollak. Effect of dislocations on
thermal conductivity of GaN layers. Applied Physics Letters, 2001, vol. 79, pp. 4316-4318.
[114] K. Mastronardi, D. Young, C.C. Wang, P. Khalifah, R.J. Cava, A.P. Ramirez. Antimonides
with the half-Heusler structure: New thermoelectric materials. Applied Physics Letters, 1999, vol.
74, pp. 1415-1417.
[115] R. Venkatasubramanian, E. Siivola, T. Colpitts, B. O’ Quinn. Thin-film thermoelectric
devices with high room-temperature figures of merit. Nature, 2001, vol. 413, pp. 597-602.
[116] D.Y. Chung, T. Hogan, P. Brazis, M. Rocci-Lane, C. Kannewurf, M. Bastea, C. Uher, M.G.
Kanatzidis. CsBi4Te6: A high-performance thermoelectric material for low-temperature
applications. Science, 2000, vol. 287, pp. 1024-1027.
[117] K. Gianno, A.V. Sologubenko, H.R. Ott, A.D. Bianchi, Z. Fisk. Low-temperature
thermoelectric power of CaB6. J. Phys.: Condens. Matter, 2002, vol. 14, pp. 1035-1044.
[118] T. Kyratsi, J.S. Dyck, W. Chen, D.Y. Chung, C. Uher, K.M. Paraskevopoulos, M.G.
Kanatzidis. Highly anisotropic crystal growth and thermoelectric properties of K2Bi8–xSbxSe13 solid
solutions: Band gap anomaly at low x. Journal of Applied Physics, 2002, vol. 92, pp. 965-975.
© 2006 Д.Л. Ника
111
[119] К.А. Hsu, S. Loo, F. Guo., W. Chen, J.S. Dyck, C. Uher, T. Hogan, E.K. Polychroniadis,
M.G. Kanatzidis. Cubic AgPbmSbTe2m: Bulk Thermoelectric Materials with High Figure of Merit.
Science, 2004, vol. 303, p. 818-821.
[120] H. Beyer, J. Nurnus, H. Bottner, A. Lambrecht, T. Roch, G. Bauer. PbTe based superlattice
structures with high thermoelectric efficiency. Applied Physics Letters, 2002, vol. 80, pp. 12161218.
[121] L.D. Hicks, T.C. Harman, M.S. Dresselhaus. Use of quantum-well superlattices to obtain a
high figure of merit from nonconventional thermoelectric materials. Appl.Phys.Lett., 1993, vol. 63,
pp. 3230-3232.
[122] L.D. Hicks, M.S. Dresselhaus. Effect of quantum-well structures on the thermoelectric figure
of merit. Physical Review B, 1993, vol. 47, pp. 12727-12731.
[123] Y.M. Lin, M.S. Dresselhaus. Thermoelectric properties of superlattice nanowires. Physical
Review B, 2003, vol. 68, pp. 075304-075317.
[124] D. Vashaee, A. Shakouri. Electronic and thermoelectric transport in semiconductor and
metallic superlattices. Journal of Applied Physics, 2004, vol. 95, pp. 1233-1245.
[125] Дж. Займан. Электроны и фононы. Москва: Издательство иностранной литературы,
1962, с. 344-346.
© 2006 Д.Л. Ника
112
АННОТАЦИЯ
диссертационной работы Д. Л. Ники “Кинетические эффекты, обусловленные
взаимодействием электронов с акустическими колебаниями в квантовых
гетероструктурах”, представленной на соискание учёной степени доктора физикоматематических наук.
Диссертационная работа посвящена комплексному исследованию акустических и
кинетических свойств плоских гетероструктур с внутренним GaN-слоем, прямоугольных и
цилиндрических GaN-нитей, покрытых оболочками с большей или меньшей, чем в GaN,
скоростью звука.
В рамках континуальной модели с учётом анизотропии вьюрцитных GaN (AlN)
материалов впервые получены уравнения движения для упругих колебаний в плоских
гетероструктурах, в прямоугольных и цилиндрических квантовых гетеронитях.
Осуществлено решение этих уравнений численным методом конечных разностей.
Рассчитаны энергетические спектры и групповые скорости акустических фононов в
трёхслойных
(AlN/GaN/AlN,
пластик/GaN/пластик)
и
пятислойных
(пластик/AlN/GaN/AlN/пластик) гетероструктурах, а также в квантовых GaN-нитях
цилиндрического и прямоугольного сечения, покрытых “акустически быстрыми” AlN и
“акустически медленными” пластиковыми оболочками. Показано, что обкладки с меньшей
скоростью звука сжимают спектр акустических фононов и существенно (в 2-4 раза для
рассмотренных наноструктур) уменьшают среднюю групповую скорость акустических
фононов по сравнению со скоростью в однородных пластинах и нитях. Обкладки с большей
скоростью звука (“акустически быстрые”) растягивают энергетический спектр акустических
фононов и увеличивают их среднюю групповую скорость (в 1.2~1.5 раза для рассмотренных
наноструктур) по сравнению со скоростью в однородных пластинах и нитях. Установлено,
что в наноструктурах, состоящих из слоёв с различными скоростями звука, происходит
перераспределение компонент вектора смещения. Это приводит к появлению в слоях
гетероструктур и гетеронитей эффектов фононного обеднения и обогащения, сущность
которых состоит в том, что фононные моды выталкиваются из слоёв с большей скоростью
звука в слои с меньшей скоростью звука.
Впервые рассчитаны и изучены скорости рассеяния электронов акустическими
фононами в AlN/GaN/AlN гетероструктурах. Рассмотрены деформационный и
пьезоэлектрический механизмы взаимодействия электрона с акустическими фононами.
Выведены гамильтонианы этих взаимодействий. Показано, что в трёхслойных AlN/GaN/AlN
гетероструктурах высокие фононные моды активно взаимодействуют с электроном.
Для получения транспортного времени рассеяния численно решено кинетическое
уравнение Больцмана (полученного для изотропного закона дисперсии энергии электрона), в
котором, наряду с неупругостью электрон-фононного взаимодействия и дисперсией
акустических фононов, впервые была учтена дисперсия оптических фононов.
Показано, что “акустически медленные” обкладки (1) понижают скорость рассеяния
электронов во внутреннем GaN-слое (канале) гетероструктуры и увеличивают подвижность
электронов (благодаря эффекту фононного обеднения); (2) уменьшают решёточную
теплопроводность в гетероструктурах благодаря эффектам сжатия спектра и уменьшения
средней групповой скорости акустических фононов.
Одновременное увеличение подвижности электронов и уменьшение решёточной
теплопроводности увеличивает коэффициент “figure of merit” ZT, то есть улучшает
термоэлектрические свойства гетероструктур.
Полученные результаты опубликованы в 20 научных работах.
Диссертация написана на русском языке, содержит 120 страниц, 56 рисунков, 3 таблицы и
125 литературных ссылок.
© 2006 Д.Л. Ника
113
ADNOTAREA
tezei “Efectele cinetice determinate de interacţiunea electronilor cu oscilaţii acustice în
heterostructurile cuantice”, elaborată de Denis Nica şi prezentată pentru obţinerea gradului
ştiinţific de doctor în ştiinţe fizico- matematice.
Teza este consacrată cercetării complexe a proprietăţilor acustice şi cinetice ale
heterostructurilor plane cu stratul intern GaN, firelor dreptunghiulare şi cilindrice GaN, acoperite cu
învelişurile cu o viteză de sunet mai mare sau mai mică decât în GaN.
În cadrul modelului continual, ţinând cont de anizotropia materialelor cu structura “wurtzite”
GaN (AlN), au fost obţinute pentru prima dată ecuaţiile de mişcare pentru oscilaţiile elastice în
heterostructurile plane, în heterofirele cuantice dreptunghiulare şi cilindrice. Rezolvarea acestor
ecuaţii a fost realizată prin metoda numerică a diferenţelor finale. Au fost calculate spectrele
energetice şi vitezele de grup ale fononilor acustici în heterostructurile cu trei straturi
(AlN/GaN/AlN, plastic/GaN/plastic) şi cele cu cinci straturi (plastic/AlN/GaN/AlN/plastic), precum
şi în firele cuantice GaN cu secţiuni cilindrice şi dreptunghiulare, acoperite cu învelişuri de AlN
“acustic rapide” şi de plastic “acustic lente”. S-a arătat că învelişurile cu o viteză de sunet mai mică
compresează spectrul fononilor acustici şi reduc semnificativ (de 2-4 ori pentru heterostructurile
cercetate) viteza medie de grup a fononilor acustici în comparaţie cu viteza în plăcile şi firele
omogene. Învelişurile cu viteză a sunetului mai mare (“acustic rapide”) lărgesc spectrul energetic al
fononilor acustici şi măresc viteza lor medie de grup (de 1.2-1.5 ori pentru nanostructurile cercetate)
în comparaţie cu viteza în firele şi plăcile omogene. S-a stabilit faptul că în nanostructurile ce
constau din straturi cu diferite viteze ale sunetului are loc redistribuirea componentelor vectorului
de deplasare. Aceasta duce la apariţia în straturile heterostructurilor şi ale heterofirelor a efectelor
de sărăcire şi îmbogăţire fononică, esenţa cărora constă în faptul că modele fononice acustice sunt
deplasate din straturile cu o viteză a sunetului mai mare în cele cu o viteză mai mică a sunetului.
Pentru prima dată au fost calculate şi studiate vitezele de dispersia electronilor de fononii
acustici în heterostructurile AlN/GaN/AlN. Au fost examinate mecanismele deformaţional şi
piezoelectric de interacţiune a electronului cu fononii acustici. Au fost deduşi hamiltonienii acestor
interacţiuni. S-a arătat că în heterostructurile cu trei straturi AlN/GaN/AlN modele fononice înalte
interacţionează activ cu electronul.
Pentru obţinerea timpului de transport al dispersiei a fost rezolvată numeric ecuaţia cinetică a
lui Bolţman (obţinută pentru legea izotropică de dispersie a energiei electronului), în care de rând cu
inelasticitatea interacţiunii electron-fononice şi cu dispersia fononilor acustici, pentru prima dată a
fost luată în consideraţie dispersia fononilor optici.
S-a arătat că învelişurile “acustic lente” (1) reduc viteza de dispersie a electronilor în stratul
(canalul) intern GaN al heterostructurii şi măresc mobilitatea electronilor (datorită efectului sărăcirii
fononice); (2) micşorează conductibilitatea termică de reţea în heterostructuri, datorită efectelor de
compresie a spectrului şi reducere a vitezei medii de grup a fononilor acustici. Majorarea
concomitentă a mobilităţii electronilor şi micşorarea conductibilităţii termice de reţea măreşte
coeficientul “figure of merit” ZT, adică îmbunătăţeşte proprietăţile termoelectrice ale
heterostructurilor.
Rezultatele obţinute au fost publicate în 20 lucrări ştiinţifice.
Teza este scrisă în limba rusă, conţine 120 pagini, 56 figuri, 3 tabele şi 125 titluri
bibliografice.
© 2006 Д.Л. Ника
114
SUMMARY
of the thesis “Kinetic effects determined by the interaction of electrons with acoustic
oscillations in quantum heterostructures” presented by Denis Niсa for receiving the scientific
degree of Doctor of Philosophy in Physics and Mathematics
Dissertation is dedicated to the complex investigation of acoustic and kinetic properties of the
flat heterostructures with internal GaN layer as well as rectangular and cylindrical GaN wires,
covered with shell possessing higher or lower sound velocity than GaN.
In the frame of the continual model with account of the anisotropy of the wurtzite GaN (AlN)
materials for the first time there were obtained the equations of motion for elastic oscillations in the
flat heterostructures as well as for rectangular and cylindrical quantum heterowires. Solution for
these equations was obtained through the finite differences method. There were calculated energy
spectra and group velocities of acoustic phonons in three-layered (AlN/GaN/AlN,
plastic/GaN/plastic) and five-layered (plastic/AlN/GaN/AlN/plastic) heterostructures and in
quantum GaN wires with rectangular and cylindrical cross-sections covered with “acoustically fast”
AlN and “acoustically slow” plastic shells. It was shown that shells with lower sound velocity
compress acoustic phonons spectrum and considerably (2-4 times for the considered nanostructures)
decrease average acoustic phonons group velocity in comparison with the velocity in homogeneous
slabs and wires. The shells with higher sound velocity (“acoustically fast”) extend the energy
spectrum of acoustic phonons and increase their average group velocity (1.5-2 times for the
considered nanostructures) in comparison with velocity in homogeneous slabs and wires. It was
established that in the nanostructures consisting of the layers with different sound velocities the redistribution of the displacement vector components takes place. This fact leads to the appearance of
the effects of phonon depletion and accumulation in the heterostructures and heterowires. The
physical origin of these phenomena consists in the effect of phonon modes pressing out from the
layers with higher sound velocity into the layers with lower sound velocity.
For the first time there were calculated the scattering rates of electrons by acoustic phonons in
AlN/GaN/AlN heterostructures. Deformation and piezoelectric mechanisms of the electron
interaction with acoustic phonons had been considered. Hamiltonians, which describe these
interactions, were obtained. It was shown that in three-layered AlN/GaN/AlN heterostructures high
phonon modes actively interact with electron.
For the obtaining of the transport scattering time the kinetic Boltzmann equation (obtained for
the isotropic law of electron energy dispersion) had been solved. At that, in given equation, the
dispersion of optical phonons had been accounted for the first time along with inelasticity of the
electron-phonon interaction and acoustic phonon dispersion.
It was shown that “acoustically slow” shells (1) decrease electron scattering rate in the internal
GaN layer (channel) of heterostructures and increase electron mobility (due to the effect of phonon
depletion); (2) decrease lattice heat conductivity in the heterostructures due to the effects of
spectrum compressing and decreasing of the average acoustic phonon group velocity.
Simultaneous increasing of the electron mobility and decreasing of the lattice heat
conductivity lead to the increasing of the “figure of merit” ZT, i.e. to the improving of
thermoelectrical properties of heterostructures.
The obtained results were published in 20 scientific papers.
The thesis is written in Russian language and it consists of 120 pages, 56 figures, 3 tables and
125 references.
© 2006 Д.Л. Ника
115
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
акустические фононы, плоские гетероструктуры, цилиндрические и прямоугольные
гетеронити, скорость рассеяния электронов, транспортное время релаксации электронов,
подвижность электронов, теплопроводность, термоэлектрический коэффициент “figure of
merit” ZT.
CUVINTELE-CHEIE
fononii acustici, heterostructuri plane, heterofire cilindrice şi dreptunghiulare, viteza de dispersie a
electronilor, timpul de transport al relaxării electronilor, mobilitatea electronilor, conductibilitatea
termică, coeficientul termoelectric “figure of merit” ZT.
KEY WORDS
acoustical phonons, plane heterostructures, cylindrical and rectangular quantum heterowires,
scattering rate of electrons, transport relaxation time of electrons, electron mobility, thermal
conductivity, thermoelectric coefficient “figure of merit” ZT.
© 2006 Д.Л. Ника
116
ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ
k Б – постоянная Больцмана;
! – постоянная Планка;
Λ – длина свободного пробега акустического фонона;
W – характеристический размер наноструктуры;
Гетеронить – квантовая нить, покрытая оболочкой;
СВП – свободные внешние поверхности;
ЗВП – закреплённые внешние поверхности;
LO-фонон – продольный оптический фонон;
2DEG – двухмерный электронный газ высокой плотности;
ЗД – заряженные дислокации;
НП – несовершенства поверхности;
ρ – плотность материала;
σ mi – тензор упругих напряжений;
"
U (U1 ,U 2 ,U 3 ) – вектор смещений;
cmikj – тензор модулей упругости;
q – фононное волновое число;
ω – частота фонона;
! – постоянная Планка;
vs(α ) – групповая скорость акустических фононов s – той фононной ветви с поляризацией
( α );
v (α ) – средняя групповая скорость акустических фононов с поляризацией ( α );
ξ s(α ) – коэффициент фононного обеднения в s – той фононной ветви с поляризацией ( α );
rs(α ) – “phonon damping” коэффициент в s – той фононной ветви с поляризацией ( α );
N(
!ω
) – равновесная функция распределения фононов (функция Бозе-Эйнштейна);
kБT
m' – эффективная масса электрона вдоль кристаллографической оси вьюрцитного кристалла;
m⊥ – эффективная масса электрона в плоскости перпендикулярной кристаллографической
оси вьюрцитного кристалла;
T – температура;
© 2006 Д.Л. Ника
117
P sp – спонтанная поляризация;
P st – пьезоэлектрическая поляризация;
F – напряжённость встроенного электрического поля;
Vb – энергия потенциального барьера;
Vbuild −in – потенциальная энергия встроенного электрического поля;
"
), d
Hˆ e(α− ph
, s – гамильтониан деформационного взаимодействия электрона с ( α , s, q )–нормальной
акустической фононной модой;
"
), p
Hˆ e(α− ph
, s – гамильтониан пьезоэлектрического взаимодействия электрона с ( α , s, q )нормальной акустической фононной модой;
Φ (sα ), β – потенциальные функции деформационного и пьезоэлектрического взаимодействий
"
электрона с ( α , s, q )-нормальной акустической фононной модой;
a1c – деформационная константа зоны проводимости вдоль кристаллографической оси
вьюрцитного кристалла;
a2c – деформационная константа зоны проводимости в плоскости перпендикулярной
кристаллографической оси вьюрцитного кристалла;
ε 0 - электрическая постоянная;
ε st – статическая диэлектрическая проницаемость среды;
ei ,k – пьезоэлектрические модули гексагонального кристалла;
W (i → f ) – квантово-механическая вероятность перехода электрон-фононной системы из
начального состояния i в конечное состояние f;
f 0 – функция Ферми-Дирака;
N s – двухмерная электронная плотность;
EF – энергия уровня Ферми;
τ n−,1n ' – скорость рассеяния электронов на акустических фононах при переходах из минизоны n
в минизону n’;
τ t – транспортное время рассеяние электрона, определяемое кинетическим уравнением
Больцмана;
−1
τ IFR
– скорость рассеяния электронов на несовершенствах поверхности гетероструктуры;
−1
τ dis
– скорость рассеяния электронов на заряженных дислокациях в гетероструктуре;
© 2006 Д.Л. Ника
118
µ – подвижность электрона;
κ ph – фононная теплопроводность;
κ el – электронная теплопроводность;
S – коэффициент Зеебека;
σ – электропроводность;
ZT – термоэлектрический коэффициент ZT.
© 2006 Д.Л. Ника
119
В заключении автор выражает большую благодарность научному руководителю,
доктору хабилитат физико-математических наук, члену-корреспонденту АНМ, профессору
Покотилову Е.П. за плодотворные обсуждения результатов и неоценимую помощь в
процессе научных исследований и подготовке диссертации.
Автор искренне благодарит профессора Баландина А.А., руководителя “Nano-Device
Laboratory” (University of California – Riverside, USA) за научные консультации, финансовую
поддержку и радушный приём в своей лаборатории, которую автор посетил в 2005 г. для
проведения совместных исследований акустических и кинетических свойств наноструктур.
Автор очень признателен профессору Фомину В.М. за полезные обсуждения
полученных результатов и диссертационной работы.
Также автор благодарен фонду CRDF и его представительству в Республике Молдова
ассоциации MRDA за финансовую поддержку проведённых исследований (гранты MP23044, MOE2-3057 и MTFP-04-06)
© 2006 Д.Л. Ника
120
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
8 073 Кб
Теги
кинетическая, никам, взаимодействия, pdf, квантовые, гетероструктур, колебания, электронно, 2006, эффекты
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа