close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Радченко В.П. Еремин Ю.А. - Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций (2000).pdf

код для вставкиСкачать
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .....................................................................................
1. Основные подходы исследования реологического деформирования элементов конструкций........................................
2. Моделирование неупругого деформирования и разрушения материалов на основании структурной модели.............
2.1. Закономерности формирования напряженно – деформированного состояния сплошной среды...........................................
2.2. Структурная модель стержневого типа для материала. Уравнения равновесия и совместности деформаций .........................
2.3. Идентификация параметров структурной модели ....................
2.4. Расчет кинетики упругопластического деформирования и
разрушения металлов по структурной модели...........................
2.5. Адекватность структурной модели экспериментальным исследованиям по закритическому упругопластическому деформированию ............................................................................
2.6. Расчет первой и второй стадий ползучести в пределах упругости ............................................................................................
2.7. Математическое моделирование накопления поврежденности и разрушения материалов при ползучести по структурной
модели .........................................................................................
2.8. Адекватность структурной модели экспериментальным исследованиям по ползучести и разрушению материалов ............
2.9. Исследование упругопластического деформирования при
знакопеременном напряжении ...................................................
2.10. Исследование влияния предварительной пластической деформации на последующую ползучесть по структурной модели .............................................................................................
3. Энергетический вариант одноосной феноменологической
теории ползучести и длительной прочности..........................
3.1. Реологические уравнения при наличии трех стадий ползучести ...............................................................................................
3.2. Критерий разрушения металлов в условиях одноосного напряженного состояния ................................................................
3.3. Методика идентификации параметров реологической модели
энергетического типа ..................................................................
3.4. Экспериментальная проверка энергетического варианта теории ползучести и длительной прочности ...................................
4. Энергетический вариант феноменологической теории ползучести и длительной прочности в условиях сложного напряженного состояния..............................................................
5
8
25
25
28
33
36
52
56
61
76
83
104
111
111
116
119
122
151
3
4.1. Определяющие реологические уравнения и критерий
разрушения..................................................................................
4.2. Экспериментальная проверка определяющих уравнений и
критерия разрушения при сложном напряженном состоянии ...
4.3. Решение краевой задачи о неупругом реологическом деформировании и разрушении толстостенной трубы под действием внутреннего давления и осевой силы ....................................
4.4. Проверка адекватности решения краевой задачи для толстостенной трубы и сравнительный анализ данных расчета ..........
5. Построение обобщенных реологических моделей неупругого деформирования и разрушения элементов конструкций
5.1. Постановка задачи.....................................................................
5.2. Определяющие уравнения для элемента конструкции при
наличии трех стадий ползучести ................................................
5.3. Метод решения некоторых краевых задач реологии с конечным множеством степеней свободы ...........................................
5.4. Способы построения локальных определяющих соотношений для реономных сред .............................................................
5.5. Обобщенная модель ползучести и разрушения балки в условиях чистого изгиба ...................................................................
5.6. Обобщенная модель неупругого деформирования и разрушения толстостенной трубы при действии внутреннего давления ...........................................................................................
5.7. Обобщенная модель неупругого деформирования и разрушения толстостенной сферической оболочки при ползучести ..
5.8. Обобщенная модель неупругого деформирования и разрушения резьбового соединения при растяжении .........................
5.9. Компактное представление приближенных аналитических
решений краевых задач ползучести с использованием
обобщенной модели....................................................................
Библиографический список .............................................................
4
151
159
163
170
181
181
183
189
193
204
215
219
228
237
242
ПРЕДИСЛОВИЕ
Состояние современного машиностроения в качестве одной из
главных задач перед теоретической наукой ставит проблему увеличения ресурса при одновременном форсировании режимов работы
установок и снижении их материалоемкости. Последнее автоматически приводит к увеличению рабочих напряжений, появлению неупругих реологических деформаций, интенсификации процессов рассеянного накопления поврежденности и как следствие этого – необходимости разработки методов оценки предельного ресурса. Актуальность исследований предельного ресурса оборудования (особенно
энергетического и авиационного) обусловлена прежде всего неуклонным возрастанием доли элементов конструкций, отработавших
расчетный или нормативный срок службы. К тому же задача усложняется наличием большого разброса механических характеристик
материала (особенно для процессов ползучести и усталости).
Очевидно, что требуются неклассические подходы решения соответствующих краевых задач для оценки предельного ресурса для
конкретной конструкции в реальных условиях эксплуатации как по
параметрическим (достижение предельного значения деформацией,
перемещением, напряжением и т.д.), так и катастрофическим (разрушение) критериям отказов. Несомненно, что для решения такого
класса задач необходима разработка методов построения обобщенных моделей деформирования и разрушения конструкций, позволяющих оценить напряженно-деформированное состояние в наиболее нагруженных областях изделий и допускающих как теоретическое, так и экспериментальное определение параметров и функций
модели.
Современные классические методы исследования в механике
деформируемого твердого тела базируются на трех иерархических
уровнях: механика микронеоднородных сред – феноменологические
модели сплошной среды – краевые задачи, внешние мало связанных
друг с другом. В результате возникла ситуация, когда реологические
определяющие уравнения записываются для слишком узкого класса
материалов, когда связи между различными соотношениями (а иногда и описываемые феноменологические эффекты в рамках одной
теории) глубоко не анализируются, когда отсутствует универсальная
5
методология построения определяющих реологических уравнений
даже на одном иерархическом уровне. Все это приводит к тому, что
построение реологических уравнений для новых материалов (в особенности композиционных и биокомпозиционных) или решение новых неклассических краевых задач реологии не укладывается в рамки существующих уже теорий и методов.
Наконец, совершенствование методов решения краевых задач
реологии обусловлено факторами времени и физической нелинейности материала, так как известно, что аналитические решения в
условиях ползучести получены для самых простых случаев, а
реализация численных методов (особенно для областей сложной
формы) приводит к большим затратам машинного времени, потере
вычислительной устойчивости и т.д.
При оценке напряженно-деформированного состояния реальных
конструкций, работающих в условиях ползучести, основой являются
феноменологические теории ползучести материалов. Поэтому для
полного и адекватного описания эволюции элементов конструкций
необходимы экспериментальные исследования материалов на временной базе, соизмеримой со временем эксплуатации самой конструкции.
Наглядное представление о соответствующих затратах дают сроки эксплуатации реальных изделий, составляющих, например, в
энергетике от 104 до 3.105 часов.
Все эти сложности привели к тому, что в последнее время получили развитие так называемые обобщенные реологические модели
элементов конструкции, позволяющие строить определяющие соотношения типа «обобщенные нагрузки – обобщенные перемещения».
В частности, в работах Самарина Ю.П. [212, 217, 309] изложены основные теоретические положения таких подходов и дана методология построения определяющих обобщенных моделей для случая изотермической ползучести в пределах первых двух стадий ползучести.
Авторами настоящей работы сделана попытка обобщить эти результаты на случай учета третьей стадии ползучести и разрушения
конструкций.
Предложена одноосная модель ползучести и длительной прочности энергетического типа. Выполнена ее обстоятельная экспериментальная проверка.
На основании одноосной модели разработана методика построения обобщенной модели элемента конструкции.
6
Приводятся результаты экспериментальной проверки такого рода обобщенных моделей для самых разнообразных конструктивных
элементов. Решен ряд практически важных задач.
7
1. ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
РЕОЛОГИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ
В рамках континуальной механики традиционный путь феноменологического построения реологической модели конструкции
(рис. 1.1) начинается со специально организованного эксперимента
над материалом. Результаты анализируются и строится модель
материала, которая затем применяется при решении соответствующей краевой задачи. При нестационарных внешних воздействиях
краевая задача должна решаться с учетом истории нагружения.
Такой путь трудоемок и дает информацию о напряженнодеформированном состоянии НДС в каждой точке детали, которая
для некоторого класса задач является фактически излишней,
поскольку лишь небольшая ее часть используется в дальнейшем,
например, при оценке ресурса изделия по параметрическим критериям отказа. Если же иметь непосредственную связь между внешними
нагрузками и интересующими нас перемещениями (деформациями),
то прогноз деформационных свойств конструкции при нестационарных внешних воздействиях существенно упроститься и в некоторых
случаях повысится его надежность. Однако в силу нелинейности
задач ползучести построение упомянутых связей в рамках реологической модели конструкции по результатам решения краевой задачи
(см. рис. 1.1) в настоящее время возможен лишь для ограниченного
числа случаев, которые рассматриваются ниже.
Анализируя переход 4-6 (рис. 1.1), следует отметить, что
феноменологические теории основываются на гипотезах формального характера, реальная структура металла совершенно не принимается во внимание при выборе этих гипотез. Несомненно, что такой
подход имеет как свои преимущества, так и недостатки. С одной
стороны, законы неупругого деформирования в феноменологических
теориях формулируются для произвольного тела и позволяют
описать одной теорией проблемы пластичности и ползучести
материалов самой разнообразной природы (металлы, полимеры,
бетон, грунты и так далее). С другой стороны, при конкретизации
этих общих законов для той или иной среды мы фактически
описываем явление, но не объясняем его. К тому же возникает
необходимость в определяющем макроэксперименте, который
проводится в жестких рамках температурно-силового нагружения и
8
вида напряженного состояния и во весь рост встает проблема экстраполяции данных расчета по той или иной феноменологической
теории за границы этих рамок. Поэтому для более адекватного
отражения процессов неупругого деформирования наряду с феноменологическими теориями параллельно развиваются теории,
базирующиеся на учете микронеоднородности развития необратимых деформаций.
Действительно, с позиций континуальной механики материал
представляет собой единое целое, в то же время известно, что это
очень сложная конструкция, и именно так материал рассматривается
на микроскопическом (механика неоднородных сред, металловедение) и субмикроскопическом (физика металлов, теория дислокаций)
уровнях.
Закономерности неупругого деформирования такой весьма сложной статически неопределимой микросистемы формируются как
результат взаимодействия случайно распределенных ее элементов с
заданными реологическими свойствами.
В рамках механики микронеоднородных сред существует
большое количество различных структурных моделей, построенных,
например, В.С.Зарубиным [67, 68, 70], К.Н.Русинко [204],
С.Б.Батдорфом [14] с привлечением физических соображений, а также Д.А.Гохфельдом, О.С.Садаковым [48], В.С.Зарубиным,
Ю.И.Кадашевичем, М.А.Кузьминым [69], Кадашевичем Ю.И., Новожиловым В.В. [76-78, 155], Ю.Н.Шевченко, Р.Г.Тереховым [265],
Д.Ф.Бесселингом [272] и другими авторами с привлечением чисто
формальных соображений для представления материала в виде конструкций различного уровня сложности.
Ясно, что основное назначение микроструктурных теорий
состоит не в решении краевых задач на их основе, а в установлении
характера неупругого деформирования и обоснованном качественном выборе, с точностью до материальных констант и функций,
искомой функциональной зависимости между макрохарактеристиками деформаций и напряжений, описывающих на феноменологическом уровне реологический процесс. Отсюда следует, что схема 1-23-5 построения феноменологической модели материала предпочтительнее схемы 4-5 (рис. 1.1).
Предпосылки такого подхода содержатся в работе Седова Л.И.
[229], где указывается на то, что структуру искомой функциональной
зависимости, описывающей какой-либо процесс, можно установить
9
предварительным качественно-теоретическим анализом явления, а из
экспериментов определять входящие в них параметры и функции.
Таким образом, конечная цель такого подхода – построение модели материала, причем основные этапы этого построения (см. рис.
1.1) мало чем отличаются от соответствующих этапов при разработке
модели конструкции с помощью решения краевой задачи.
Действительно, при анализе эволюции конструкции в условиях
однопараметрического нагружения можно обнаружить аналогию
между эффектами деформационной анизотропии, определяемыми
наличием самоуравновешенных напряжений в конструктивном элементе, и наблюдаемыми микронапряжениями в испытаниях образцов
реальных материалов. Природа этой аналогии очевидна, неоднородность реальных материалов вызывает микронапряжения, которые в
образце играют ту же роль, что и самоуравновешенные напряжения в
статически неопределенной конструкции. При этом роль макроструктурной модели для краевой задачи (элемента конструкции) играет, например, конечноэлементное (или сеточное) разбиение области (объема) при численном решении соответствующей реологической задачи.
Отсюда следует вывод, что если ограничиться построением локальных решений для краевой задачи (в некоторых выбранных точках) или описывать эволюцию некоторых характеристик, интегрально отражающих деформационные свойства конструктивных элементов, то реологические уравнения для элементов конструкций можно
строить таким же образом и пользуясь такой же методологией, как и
в феноменологических теориях для сплошной среды, не учитывающих микронапряжения, возникающих за счет неоднородностей материала.
Таким образом, логика построения моделей на рассмотренных
иерархических уровнях имеет много общего и переход от модели к
модели фактически означает понижение размерности задачи за счет
рассмотрения как единого целого все более сложных агрегатов (материал, конструктивный элемент). Естественно такой подход продолжить и дальше, рассматривая как единое целое наряду с конструктивным элементом (подконструкцией) (рис. 1.1), и агрегаты из
таких элементов.
Тогда конструкции на разных иерархических уровнях можно
трактовать как некоторый управляемый объект УО (рис. 1.2),
подвергающийся воздействию одного или нескольких внешних
10
I
Механика
микронеоднородных сред
1
Физические или
формальные аргументы
по выбору элемента
структурной модели
2
Реологические
свойства элемента
Задача взаимодействия
элементов
III
Механика
сплошной среды
3
Механика
конструкций
4
Эксперимент с
7
Эксперимент
с
подконструкцией
материалом
5
Модель
6
Краевая
задача
8
9
Задача
взаимодействия
подконструкции
Р и с. 1.1. Схема построения модели конструкции на разных иерархических уровнях
10
Эксперимент
с
конструкцией
Модель
подконструкции
материала
структурной модели
Структурная модель.
II
11
Модель
конструкции
11
факторов. Совокупность этих факторов задается с помощью входной
вектор - функции x(t)=(x1(t),
х2(t),…, xm (t)), координатами которой могут быть нагрузки, напряжения, температура и т.д.
Р и с. 1.2. Схематическое
Реакция конструкции на возизображение черного ящика
действия х(t) регистрируется путем
измерения нескольких параметров, совокупность которых можно
рассматривать как некоторую выходную вектор – функцию у(t) =
(у1(t), у2(t), …, уn (t)). Cтруктура наблюдаемой вектор-функции у(t)
зависит от целей выполняемого исследования, а ее координатами
могут быть деформации, перемещения, параметры поврежденности и
т.п.
Поскольку рассматриваемая эволюция объекта является физически определенной, то существует оператор, преобразующий вход в
выход:
у(t) = Ax(t)
(1.1)
Зависимость (1.1) будем называть определяющим соотношением
для управляемого объекта О. Подобный подход в терминах «входвыход» или «возбуждение-отклик» использовался в работах Ю.И.
Карковского,
С.И.Мешкова
[85],
Н.И.Малинина
[132],
Ю.П.Самарина [211, 212, 217, 309], Г.П.Черепанова [257] и других.
Существуют два пути исследования вида оператора А в соотношении (1.1). Один из них состоит в представлении изучаемого объекта О как некоторой системы, поведение каждого из элементов которой известно. При этом для построения оператора А необходимо решение задачи о взаимодействии составляющих элементов, рассматриваемых на более высоком уровне декомпозиции либо с феноменологических позиций, либо с привлечением физических или формальных соображений.
На уровне механики микронеоднородных сред здесь следует
отметить физические модели пластичности и ползучести материала,
базирующиеся на физической природе полей микродеформаций, теории дислокаций, следах скольжения и других структурных процессах, предложенные А.Л. Аршакуни [2,3], С.Б. Батдорфом и Б.В. Будянским [14, 26], В.С. Ивановой [73], Ларссоном и Стораккерсом
[111], А.М. Мерцером [140], В.М. Розенбергом [199], А.А. Смирновым [231], Хартом [255], С.А. Шестеритовым, С.П. Мельниковым и
x (t )
12
y (t )
А.Л. Аршакуни [24], F.W. Crossman и M.F. Askby [277], S. Takenchi и
A.S. Argon [316] и другими. Однако такие модели в параметрах состояния весьма сложны и практически непригодны для расчета на
феноменологическом уровне. С этой точки зрения более приемлемы
структурные математические модели среды, учитывающие неравномерность развития необратимых деформаций и представляющих совокупность некоторых гипотетических локальных элементов. Основные принципы построения таких математических моделей даны в
работах Д.А. Гохфельда и О.С. Садакова [48, 209], В.С. Зарубина и
Ю.И. Кадашевича [67, 69], Ю.И. Кадашевича и В.В. Новожилова [7678, 156], В.Ю. Марины [135,136], К.Н. Русинко [204], Ю.Н. Шевченко [264] и других. Они более просты в расчетах и занимают промежуточное положение между физическими моделями и феноменологическими теориями. Однако и на микроскопическом уровне остается достаточно много открытых вопросов, связанных, в частности, с
задачей описания деформации пластичности и ползучести и их взаимного влияния; описанием кинетики накопления поврежденности и
разрушения материалов и других проблем.
В качестве второго примера построения оператора А для рассматриваемого случая можно указать построение модели конструкции по схеме 5-6-8-9-11 (рис. 1.1) посредством решения краевой задачи аналитически, приближенно, либо численно методом конечных
элементов (методом сеток). Библиография здесь достаточно обширна, хорошо известна и приведена, например, в монографиях Н.Н.
Малинина [134] и Ю.Н. Работнова [173].
Однако микроскопический путь исследования удается реализовать не всегда. Препятствиями здесь могут служить: высокая сложность объекта как системы, отсутствие достаточно точных определяющих соотношения для некоторых элементов этой системы, большая погрешность при декомпозиции объекта.
Второй путь – чисто феноменологический. При этом исследуемый объект рассматривается как единое целое и отыскивается сразу
связь входа с выходом путем активных экспериментов. Это означает,
что нас не интересуют процессы, протекающие в объекте, так что он
представляет собой так называемый черный ящик. Вид же оператора
А конкретизируется в результате испытаний объекта при подаче на
его вход специальным образом подобранных (тестовых) воздействий,
задаваемых вектором х(t), и измерений соответствующих выходных
координат вектор-функции у(t).
13
Оба рассмотренных пути исследования в настоящее время с успехом применяются при решении задач линейной упругости, например, в разработанных В.А. Постновым и др. [171] методе суперэлементов, И.Ф. Образцовым [159] в методе многоуровневой схематизации и А.В. Саченковым [266] теоретико-экспериментальном методе
при определении жесткостных характеристик конструкции как
целого.
Ситуация значительно осложняется даже для задач упругости,
когда в них появляется физическая или геометрическая нелинейность. Одним из эффективных приемов преодоления указанных
трудностей являются развиваемые в последнее время методы исследования конструкций, основанные на синтезе рассмотренных выше
путей построения оператора А. При этом поведение конструкции качественно анализируется теоретически, а затем изучается экспериментально при различных законах нагружения, в результате чего
строятся соотношения для расчета напряженно-деформируемого состояния. Как указывалось выше, предпосылки такого подхода содержатся в работе Л.И.Седова [229], где рекомендуется структуру
искомой функциональной зависимости, описывающей какой-либо
процесс,
устанавливать
предварительным
качественнотеоретическим анализом исходных уравнений (например, на основе
теории размерности и подобия), а из экспериментов определять входящие в них параметры.
С использованием этого положения для задач теории упругости
в работах А.В.Саченкова, В.Г.Выборнова, И.Г.Коноплева и др. [36,
37, 107, 108, 224 - 226], Л.М.Куршина [109] исследовались устойчивость и прочность пластин и оболочек сложной конфигурации под
действием нагрузок, отличающихся от классических значительной
сложностью по своему характеру. Предварительно с помощью качественного анализа уравнений была выявлена структура искомых зависимостей с точностью до произвольных констант или функций,
которые далее определялись из результатов эксперимента. Такой
подход позволил решить ряд задач, которые в настоящее время недоступны чисто теоретическому исследованию в связи с физической
нелинейностью материала и геометрической нелинейностью; необходимостью учета таких факторов, как начальные поля напряжений
и деформаций, анизотропия, неоднородность материала и других.
Необходимость анализа жесткостных характеристик конструкции как целого возникает при разработке методов расчета по пре14
дельным нагрузкам. Например, в работе П.А.Павлова [163] испытывались фланцевые соединения при совместном и раздельном действии растягивающей силы, крутящего момента и внутреннего давления, а по остаточному изменению характерных размеров делалось
заключение об исчерпании их несущей способности.
Значительно сложнее становится проблема построения оператора А в соотношениях (1.1) для реономных конструкций, поскольку
здесь включается новый параметр – время. Последующий анализ будем вести применительно к конструктивному элементу (подконструкции) и далее – к агрегатам из таких элементов (см. рис. 1.1), не
рассматривая проблему построения модели материала. Для этих объектов определяющие соотношения (1.1) будем в дальнейшем называть реологической моделью конструкции (РМК).
Одной из первых работ в области ползучести элементов конструкций, где искомая функциональная зависимость определялась непосредственно из экспериментов, является работа Н.Н.Малинина
[133]. Здесь в виде графиков установлена связь между величиной
максимального прогиба алюминиевых балок при чистом изгибе уmax,
изгибающим моментом М и временем t на основании серии из четырех “кривых ползучести” в координатах уmax – t при М=const. При
этом возможность перехода к изменяющемуся во времени изгибающему моменту в указанной работе, к сожалению, не рассматривалась.
В исследованиях Ю.Н. Работнова и С.Т. Милейко [174] и О.В.
Сорокина, Ю.П. Самарина, И.А. Одинга [232, 233] использовалась
уже операторная связь k(t) = AM(t) (k(t) – кривизна) для балок из металлов. Подобная же связь кривизны (прогиба) от момента для балок
из полимерных материалов рассматривалась в работах Бразгалина
Г.И. [24] и Яценко В.Ф. [270].
По-видимому, впервые аналитическое выражение для кривизны
k=k(t) при М=const приведено в работе О.В.Сорокина, Ю.П. Самарина, И.А.Одинга. [233]:
E
E
k (t )
= 1 + 2 (1 - e h`1 ) + 2 t ,
k (0)
E1
h2
где Е2 = соnst; Е1, h1, h2 – функции, зависящие от момента М, формы
и размеров сечения балки. Там же указывалось на возможность вести
расчет при нестационарных нагрузках по кривым k=k(t, m), где m –
параметр, аналогичный напряжению для кривых ползучести при рас-
E1t
15
тяжении и зависящий от изгибающего момента, формы и размеров
сечения балки.
Аналогичный подход для описания ползучести балок использовался в работе Н.Н. Малинина [134], где на основе подобия изохронных кривых ползучести получена зависимость изгибающего
момента от кривизны
M (k )
M (t ) = 0 b .
1 + at
Здесь М=М0 (k) – уравнение кривой мгновенного деформирования в
координатах k-М, a и b - постоянные.
В монографии С.С.Вялова, Ю.К.Зарецкого и др. [38] для выявления зависимости между радиальным давлением Р и деформациями
защемленного ледопородного цилиндра используются опыты при
нескольких значениях Р=const, по результатам которых устанавливалась связь между приложенной нагрузкой и деформациями цилиндра: радиальными смещениями на внутреннем и внешнем контурах;
выпучиванием дна цилиндра, отнесенным к длине цилиндра; относительным изменением площади выработки, суммарно характеризующим деформируемость цилиндра. Аналогично исследовалась зависимость между радиальной деформацией и толщиной стенки ледопородного цилиндра, испытываемого под действием постоянной нагрузки, а также влияние температуры на величину деформации. Приведены соответствующие аналитические выражения.
Заслуживает внимания работа В.П.Савачева [208], где без исследования напряженно – деформируемого состояния (НДС) элементов
стального каната при вытяжке сразу формируется уравнение, связывающее его деформацию, напряжение и время:
e = e M + e p , e р = Аtm s ,
где e, eМ ,eр – соответственно полная, упругая деформация и деформация ползучести; А, m – постоянные. Приведены параметры А и m
для спиральных канатов и канатов двойной свивки.
Кан К.Н и соавторы [83] при оценке надежности тонкостенной
трубы, выполненной на основе полимерного вязкого материала и нагруженной внутренним давлением, связывали перемещение ее опасной точки на внутреннем диаметре с давлением. Это позволило оценить время безопасной работы трубы по величине максимально допустимой радиальной деформации.
16
Другой путь установления связи между обобщенными перемещениями и обобщенными силами состоит в решении соответствующих краевых задач при нескольких квазистатических режимах нагружения с последующим использованием этой информации для
конкретизации вида оператора А в (1.1) (переход 5-6-8-9-11 на
рис. 1.1). При таком подходе описания ползучести конструкций отпадает необходимость решать краевые задачи при действии переменных нагрузок, а достаточно использовать соотношение (1.1).
В этом смысле заслуживают внимания работы Е.Е. Елисеевой
[56], Л.В. Кайдаловой [81], Л.А. Муратовой [144] и авторов настоящей работы [60, 62].
Так, в [81] решением соответствующей краевой задачи при квазистационарном нагружении сформулирована связь «крутящий момент – угол закручивания» при кручении толстостенных труб, в [144]
- «радиальное перемещение – количество оборотов» для диска газотурбинного двигателя, в [56] - «радиальное перемещение – внутреннее давление» для толстостенной трубы под действием внутреннего
давления, в [60, 62] - «изгибающий момент – кривизна балки» для
чистого изгиба балки и «прогиб-перерезывающая сила» для статистически определимых и неопределимых балок.
Использованию аналитических или численных решений для построения обобщенных реологических моделей элементов конструкций посвящено достаточно большое число работ.
В этом смысле заслуживают внимания публикации Р.Г. Андерсона, И.Р.Т. Гарднера, В.Р. Ходкинса [271], Ф.А. Лекки [294], А.Ц.
Маккензи [296], Д.И. Мариотта и Ф.А. Лекки [298], Р.Г. Сима и Р.К.
Пенни [310-314], где разработан метод эталонных напряжений для
исследования ползучести элементов конструкций. Этот приближенный метод предполагает наличие в конструкции с нелинейным поведением некоторых «средних» (эталонных) напряжений, которые в
процессе ползучести не меняются, и поэтому могут быть выражены
непосредственно через действующие на конструкцию нагрузки. Используя различные кинематические гипотезы, по деформациям в точке действия «средних» напряжений определяются характерные
деформации (перемещения) конструкции, то есть свойства конструкции соотносятся с поведением образца при определенным образом
проведенном испытании на растяжение. В работе Ж.Ж. Вильямса и
Ф.А. Лекки [323] метод применяется также для анализа поведения
конструкций при переменных нагрузках.
17
В работах А.Джонсона [290], Р.Г.Сима [310], М.Х.Вальтера и
А.Р.С. Понтера [320], Ж.Ж. Вильямса и А.Ц.Ф. Кокса [322] идея эталонных напряжений распространяется на случай неравномерно нагретых конструкций, для чего в рассмотрение дополнительно вводится так называемая контрольная (эталонная) температура.
Метод эталонных напряжений и температуры является приближенным и позволяет избежать решения соответствующей краевой
задачи шагами по временным слоям. В большинстве случаев достаточно знать упругое и установившееся (соответствующее второй
стадии ползучести) распределение напряжений в конструкции.
В силу своей простоты метод широко используется для решения
многих практически важных задач. Так методом эталонных напряжений в работах Б.В. Горева и Б.В. Заева [45, 46] исследуется ползучесть балок; в работах Р.Г.Сима и Р.К.Пенни [310, 312] рассмотрены
балки,
диски,
толстостенные
трубы;
В.И.Розенблюм
и
Н.Н.Виноградов [200] анализировали поведение диафрагм паровых
турбин, а А.М. Гудман [283] - тонкостенных сосудов высокого давления.
Метод эталонных напряжений и температур, как и любой приближенный метод, имеет ограничения в применении. В частности, он
хорошо работает при показателе нелинейности установившейся ползучести материала n<9 и при нагружении, близком к пропорциональному, а также при развитых вязкопластических деформациях, когда
участком неустановившейся ползучести можно пренебречь.
Модель хуже описывает поведение конструктивных элементов с
большими температурными градиентами и диапазонами изменения
температур. Кроме того, при полной разгрузке доля возвращающейся
части перемещения будет такой же, как соответствующая доля возвращающейся части деформации ползучести материала. Последнее
противоречит эксперименту [60, 63].
Следует отметить большую группу работ, в которых с помощью
вариационных принципов строятся соотношения для элемента конструкции, связывающие обобщенные силы и вызванные ими обобщенные перемещения.
Вариационное уравнение неустановившейся ползучести, полученное Л.М.Качановым [93] на основе варьирования напряжений,
предполагает знание предельных состояний тела: начального упругого и состояния установившейся ползучести. Это уравнение в [93] выведено для теорий течения и старения и справедливо при фиксиро18
ванных или медленно меняющихся воздействиях. Аналогичная задача решена С.А.Шестериковым [265, 267] для теории упрочнения и
Я.М. Клебановым [100 ] для нелинейной теории наследственности.
В работах Я.М. Клебанова, О.В.Сорокина [99] и Я.М. Клебанова,
Ю.П. Самарина [217] показана возможность распространения решений, полученных Л.М.Качановым для постоянных нагрузок, на случай переменных внешних воздействий для конструкций из материалов с нелинейным поведением.
Для расчета конструктивных элементов, в которых деформации
во всех точках определяются с помощью одного параметра, можно
использовать подход, разработанный Д.А. Гохфельдом и О.С. Садаковым [48, 210] на основе представления материала в виде совокупности идеально вязких стержней.
Таким образом, общим элементом перечисленных выше подходов является то, что наличие адекватной реологической модели конструкции делает ненужным решение краевой задачи при действии
переменных нагрузок, что существенно упрощает расчет.
Анализ рассмотренных выше работ позволяет заключить, что
основной их стратегической целью является снижение объема вычислительной работы фактически за счет понижения размерности
исходной задачи. Способы же достижения этой цели вообще говоря
различны.
В связи с этим естественным образом возникает задача разработки достаточно общего метода феноменологического построения реологической модели конструкции (РМК), в рамках которого можно
было бы с единых позиций рассматривать конструкции на разных
иерархических уровнях сложности (рис. 1.1). При этом для различных конструкций общность следует ожидать в методе построения
определяющих соотношений или в их структуре, а полная аналогия
возможна лишь в некоторых частных случаях.
Для решения поставленной задачи целесообразно воспользоваться универсальными идеями и методами теории управления, в частности известной в кибернетике концепцией черного ящика [119, 246].
Эта концепция развита в работах Ю.П. Самарина [212, 309] применительно к исследованию изотермического деформирования реономных материалов, в пределах первой и второй стадии.
Рассмотрим используемое в теории управления представление
оператора А в (1.1) в виде:
у(t) = j(h(t), x(t)),
19
·
(1.2)
h (t)=f(h(t), x(t)),
где h(t)= (h1(t), h2(t),… hs(t)) – вектор-функция состояния (s<¥), j и
f–вектор-функция s+m переменных с n и s координатами (соответственно), h(0)=0, j(0,0)=0. Если совокупность координат выходной
вектор-функции считать функционально независимой, то должно
выполняться неравенство n£ s+m. Все введенные вектор-функции
при использовании матричной символики считаются столбцовыми
матрицами.
Соотношения (1.2) выражают тот факт, что процесс эволюции
объекта при t³t1 однозначно определяется заданием входного воздействия x(t) при t³t1 и не более чем счетного множества координат
hi(t1), с помощью которых фиксируется вся предыстория процесса.
Схематически это представлено на рис. 1.3, где цифрой 1 обозначено
отображение х(t) на h(t) (второе из соотношений (1.2)), а цифрой 2 –
отображение h(t) на у(t) (первое из соотношений (1.2)).
Определяющие соx (t )
h (t )
y (t )
отношения объекта в
1
2
форме (1.2) обладают
большой общностью и
их использование в
различных
областях
Р и с. 1.3. Схематическое изображение
знаний приводит к ховзаимодействия входа и выхода
рошим результатам.
Чтобы убедиться в
этом, рассмотрим случай, когда входное воздействие определяется
заданием нескольких параметров, то есть
xi = хi(t,a), a=(a1, … aк), i = 1, m ,
(1.3)
где хi – заданные функции, акÎR. С помощью (1.3) можно получить
хорошие приближения для входных функций различных классов.
Отвечающая воздействию (1.3) выходная вектор-функция будет,
очевидно, такой:
уj=Фj(t,a), j = 1, n ,
(1.4)
причем вид функций Фj и задает оператор, отображающий х(t) на
у(t). В работе [212] показано, что каким бы не был этот оператор, его
можно представить в виде (1.2).
20
Дальнейшая конкретизация соотношений (1.2) применительно к
задачам механики деформируемого твердого тела выполнена
Ю.П.Самариным [212] с помощью введения так называемой гипотезы отделимости, согласно которой часть координат вектор-функции
у(t) зависит только от h(t) (см.(1.2)), то есть эти координаты являются
реономными и описание их эволюции существенно связано с фактором времени, а другая часть координат у(t) всецело определяется текущим значением х(t), и они будут склерономными.
Это означает, что в соотношениях (1.2)
у=(j1 (h),(j2 (х)), j1 (0)=0, j2 (0)=0,
(1.5)
причем вектор-функции j1 и j2 имеют n1 и n2 координат (соответственно), 0£ n1 £ s, 0 £ n2 £ m, n1 + n2 = n.
Введение гипотезы отделимости не является слишком обременительным и означает лишь независимость реономных и склерономных
координат, то есть в материале конструкции не должно быть процессов старения, полимеризации, упругие константы и коэффициент
температурного расширения не должны меняться в процессе деформирования.
Гипотеза отделимости позволяет доказать важную теорему [212],
согласно которой определяется структура наблюдаемой векторфункции и соотношения (1.2) приводятся к виду:
У=
А1 | 0
0 | А2
h* ,
х*
dh *
= f * (h*, x*),
dt
(1.6)
где х*=х*(х) – m x1 матрица (перестроенное входное воздействие);
h*= h*(h) – s х 1 -(перестроенная вектор - функция состояния);
0 – нулевая матрица; А1 и А2 – постоянные n1 x s и n2 x m матрицы,
причем rang A1 = n1 , rang A2 = n2 .
Соотношения (1.6) утверждают возможность такой структуры
вектора h*(t), при которой сумма его координат, взятых с соответствующими постоянными весовыми коэффициентами, образуют ту или
иную непрерывно изменяемую координату у(t). Это позволяет строить пространство состояний, исходя из анализа особенностей поведения наблюдаемой вектор-функции у(t).
21
Если наблюдается только одна величина - обобщенное перемещение (деформация) Р, вызванное ползучестью, то (1.6) принимает
вид
s
Р(t ) = åhk (t ) ,
(1.7)
hk (t)=fk (h1(t), h2 (t), …, hs (t), x(t)), hk (0) =0.
(1.8)
k =1
·
Согласно [212 ] отметим некоторые особенности управляемого
объекта (УО) (см. рис. 1.2) и вытекающие отсюда общие принципы
построения определяющих соотношений, которые будут использованы в дальнейшем.
УО называется стабильным, если управление х(t) не содержит
временной координаты и система дифференциальный уравнений в
(1.7), (1.8) инвариантна по отношению к запаздыванию, что означает
отсутствие процессов, связанных с изменением структурных характеристик материала (фазовые превращения, высыхание, полимеризация и т.п.).
УО называется вполне наблюдаемым, если при любых хÎD и
hÎs (где D – пространство управления, s – множество достижимости
в пространстве состояния)
dP
= 0, k = 1, s .
(1.9)
dh k
Если для некоторых hk (1.9) не выполняется, это означает, что данные координаты не являются аргументами Р(t). Непосредственно эти
координаты не наблюдаются, хотя исключить их из рассмотрения,
вообще говоря, нельзя.
Принцип разделения деформации следует из (1.7) и заключается
в том, что координаты пространства состояний являются составными
частями деформации ползучести. Из этого вытекает важный для
практики вывод: структуру h (t) необходимо выявлять путем наблюдения особенностей поведения Р(t) и выделения в ней соответствующих слагаемых.
Принцип расщепленности системы дифференциальных уравнений состоит в том, что исследование структуры системы (1.8) следует начинать с простейшего частного случая, когда
·
.
h k (t ) = f k (h k (t ), x (t )),
22
h(0) = 0, k = 1, s .
(1.10)
Если УО является не вполне наблюдаемым, то вместо (1.7) имеем
P(t ) =
S0
åh
k
, s0 < s .
(1.11)
k =1
При этом расщепленность должна пониматься в обобщенном смысле: всякая подсистема уравнений, сцепленная с данной наблюдаемой
координатой пространства состояний, может содержать также ненаблюдаемые координаты, не входящие в другие подсистемы.
Принцип линейности по координатам пространства состояний
заключается в том, что на первом этапе формирования системы
(1.10) целесообразно в (1.7) выделить (если это удастся) те слагаемые, которые описываются линейными уравнениями с постоянными
коэффициентами
·
h(t ) + l k h k (t ) = l k a k ( x (t )), h k (0) = 0 .
(1.12)
Уравнение (1.12) при фиксированном управлении х(t) (x(t)=const,
t>0) имеют решение вида
hk (t ) = ak ( x ) (1 - e -lk t ) .
(1.13)
Важной особенностью (1.13) является возможность простого экспериментального измерения всех входящих в него величин. Как показано в работе [238], результаты наблюдений за суммой решений вида
(1.13) позволяют вычислить все значения аk (х) и lк путем последовательного выделения экспоненциальных слагаемых (1.13) (начиная с
наименьшего из чисел lк).
Поскольку в качестве УО может трактоваться конструкция любого уровня сложности, то представляется целесообразным использовать рассмотренные выше свойства УО в качестве основы для разработки метода построения определяющих соотношений вида (1.1)
применительно к конструктивному элементу.
Изложенная выше концепция была реализована для построения
реологических моделей конструкций лишь в пределах первых двух
стадий изотермической ползучести, ограничиваясь случаем отсутствия мгновенно-пластических деформаций, которая на стадии разупрочнения играет существенную роль.
В связи с этим возникают следующие задачи, которыми определяется направление исследований настоящей работы.
1. На основе синтеза идей механики деформируемого твердого
тела и рассмотрения конструкции как единого целого разработать
феноменологический метод построения определяющих соотношений
23
в виде (1.1), адекватно описывающих поведение конструкций различного уровня сложности при нестационарном температурносиловом нагружении. Составными элементами первой задачи являются этапы построения определяющих соотношений (1.1) с помощью специально организованных натурных экспериментов и на основе численных экспериментов.
2. Обобщение результатов на случай реологического деформирования, разупрочнения и разрушения материалов и элементов конструкций в координатах «обобщенная нагрузка – обобщенное перемещение» с учетом пластических деформаций.
3. Иллюстрация предложенного подхода для ряда практически
важных задач, решение которых традиционными методами встречает
существенные трудности.
24
2. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУПРУГОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
НА ОСНОВАНИИ СТРУКТУРНОЙ МОДЕЛИ
2.1. Закономерности формирования напряженнодеформированного состояния сплошной среды
Как уже отмечалось выше многие промышленные и природные
поликристаллические материалы даже малого объема с точки зрения
механики микронеоднородных сред представляют сложную статически неопределимую систему случайно ориентированных кристаллических зерен и тех частиц (атомов, молекул и т.д.), из которых они
состоят. И если подходить строго, то такие системы должны изучаться методами дискретной математики и статистической физики, заменяя реальные силы взаимодействия между элементами системы некоторыми осредненными силами и описывая поведение материала
на макроуровне как результат перемещения отдельных элементов
системы.
Однако в механике смешанных среды вместо такого рода дискретных систем рассматриваются перемещения и взаимодействия
некоторых малых объемных элементов. Хорошо известно, что уравнения равновесия и соотношения Эйлера – Коши, связывающие
шесть компонент тензора напряжений с тремя компонентами вектора перемещений, не зависят от свойств материала. Все погрешности
решения той или иной краевой задачи механики сплошных сред связаны с другой группой уравнений, так называемыми определяющими
соотношениями, связывающими компоненты тензора напряжений с
компонентами тензора деформаций. И именно этими соотношениями
одно макроскопическое тело отличается от другого макроскопического тела. Отсюда и следуют те повышенные требования к формированию определяющих соотношений материала, так как они являются одним из главных источников неадекватного поведения реального материала (конструкции) от данных расчета по математической
модели.
Основным источником информации для построения определяющих соотношений являются экспериментальные данные. Однако
такого рода феноменологические модели, как правило, дают хорошие результаты лишь в тех температурно-силовых ограничениях, в
рамках которых проведен эксперимент, и эти результаты трудно
поддаются экстраполяции как по температурно-силовым параметрам,
25
так и по виду напряженного состояния. Основными причинами этого
являются следующие:
1) высокая степень нелинейности в реологических соотношениях, связывающих напряжения и деформации;
2) крайне сложная природа формирования макродеформаций и
макронапряжений в поликристаллическом материале;
3) огромные технические сложности проведения испытаний на
ползучесть (особенно при сложном напряженном состоянии) при повышенных температурах и большие их длительности).
Поликристаллическое тело является системой, состоящей из
множества кристаллических зерен, размеры, форма и ориентация
кристаллографических осей которых имеет случайный характер. В
связи с изложенным наряду с феноменологическими теориями, устанавливающими связь между макроскопическими свойствами материала, возникает необходимость (особенно для сред со сложными
реологическими свойствами) рассматривать микромеханизмы деформирования и разрушения материала с целью более полного описания его поведения при термомеханических воздействиях. Это дает
представление о том, каким образом формируются макроскопические характеристики материала и позволяет более обоснованно выбрать подходящий вариант феноменологической теории.
Для этой цели часто используют физические модели пластичности и ползучести, базирующиеся на физической природе микронапряжений, теории дислокаций, следах скольжения и других структурных процессах. Такой подход рассматривался в работах
А.Л. Аршакуни [2, 3], С.Б. Батдорфа и Б.В. Будянского [14, 26],
В.С. Ивановой [75], Ларссона и Стораккерса [111], А.М. Мерцера
[140], В.М. Розенберга [199], А.А. Смирнова [231], Харта [255],
С.А. Шестерикова, С.П. Мельникова и А.Л. Аршакуни [266],
F.W. Grossman и M.F. Ackby [277], S. И. Takenchi, А.S Argon [316] и
других.
Однако такие модели в параметрах состояния весьма сложны и
практически непригодны для расчета макрохарактеристик на феноменологическом уровне. Показательным в этом отношении является
попытка использовать путь статистического описания механических
свойств поликристаллов методами теории случайных полей. Механические свойства поликристаллов определяются статистическими
свойствами конгломерата монокристаллических зерен. В ряде работ,
например [21, 22, 131], использование методов статистической физи26
ки применительно к поликристаллам позволило получить оценки для
модуля Юнга и коэффициента Пуассона исходя из задания случайного поля упругих свойств анизотропных кристаллитов. При этом, даже в случае стационарности полей напряжений и деформаций, для
определения зависимости между математическими ожиданиями напряжений и упругих деформаций в поликристалле приходится решать нелинейную стохастическую краевую задачу.
Но вопрос даже не в сложности и громоздкости такой задачи, а в
том, что исходной информацией для ее решения является изотропный тензор восьмого ранга (корреляционный тензор модулей упругости), задающий случайное поле упругих свойств кристаллитов.
При этом входящие в этот тензор инвариантные параметры являются физическими константами, которые должны быть определены
экспериментально. Очевидно, что даже в теории упругости это крайне сложная задача. Но и выполненный эксперимент часто не позволяет говорить о решении задачи. В [156] отмечалось: «Трудность
теоретической расшифровки экспериментальных кривых, отражающих связь между напряжениями и деформациями в кристаллах, объясняется тем, что эти кривые выражают весьма сложные и до сих пор
еще не поддающиеся истолкованию статистические закономерности».
Очевидно, что обобщение такого подхода на область реологического неупругого деформирования и разрушения поликристаллов в
настоящее время нереально, так как свойства пластичности, ползучести и микромеханизмы их разрушения на порядок сложнее упругих
свойств.
С вышеизложенной точки зрения более приемлемы структурные
математические модели среды, учитывающие неравномерность развития необратимых деформаций и представляющие совокупность
некоторых гипотетических локальных элементов. Основные принципы построения таких математических моделей даны в работах
Д.А. Гохфельда и О.С. Садакова [48, 209], В.С. Зарубина и Ю.И. Кадашевича [67,69], Ю.И. Кадашевича и В.В. Новожилова [76-78, 156],
В.Ю. Марины [135, 136], К.Н. Русинко [204], Ю.Н. Шевченко [264] и
других. Они более просты в расчетах и занимают промежуточное
положение между физическими моделями и феноменологическими
теориями деформирования и разрушения материалов.
Основное назначение структурных моделей – создание математического моделирующего комплекса для качественного и количест27
венного исследования деформационных и прочностных свойств материалов с целью:
1) выявления наиболее общих качественных закономерностей в
поведении материала при заданном виде напряженного состояния;
2) обоснованного выбора феноменологической теории и структуры определяющих реологических уравнений на уровне механики
сплошных сред;
3) оптимального планирования определяющего эксперимента
для идентификации материальных (физических) констант и функций
в соответствующих феноменологических реологических уравнениях;
4) использования информации о микромеханизме разрушения
сред для научно обоснованного описания механизмов разрушения и
выбора критерия разрушения на феноменологическим уровне.
В качестве замечания следует отметить, что к трактовке данных
расчета на основании структурных моделей необходимо относиться
осторожно. Во многих случаях они дают лишь качественную информацию о реологическом поведении материала при сложных программах температурно-силового нагружения, которую можно использовать лишь для выбора класса и вида соответствующего дифференциального (или интегрального) оператора на феноменологическом уровне, связывающего тензоры напряжений и деформаций. А
все константы и функции этого оператора необходимо определять на
основании экспериментальных исследований.
Естественно, что это замечание ни в какой мере не умаляет собственного значения структурных моделей в механике деформируемых сред.
Ниже ставится задача разработки структурной модели среды,
которое бы достаточно полно описывала неупругое деформирование
и разрушение сред со сложными реологическими свойствами (ползучесть за пределом упругости, взаимное влияние пластической деформации и деформации ползучести, разрушение материала от ползучести в широком диапазоне изменения напряжения и другие эффекты).
2.2. Структурная модель стержневого типа для материала.
Уравнения равновесия и совместности деформаций
Как отмечалось выше, поликристаллический металлический материал представляет собой довольно сложную конструкцию, законо28
мерности пластичности и ползучести которой носят статистический
характер и формируются как результат взаимодействия случайно
ориентированных кристаллических зерен. В этой связи в теории ползучести и пластичности развивается направление, основанное на
представлении о металле как о некотором агрегате, состоящем из совокупности элементов, обладающих набором простейших свойств
(структурные математические модели). Несмотря на достаточное
число существующих моделей [48,67,69,76-78,150,156,165,209,264],
вопросу применения структурных моделей к конкретным конструкционным материалам со сложной реологией, а также описанию разупрочнения в процессе неупругого деформирования и разрушению
материалов в отмеченных работах уделялось недостаточное внимания. К тому же они ограничивались, в основном, рассмотрением одноосной ползучести.
Неравномерность неупругой деформации обусловлена флуктуациями структуры кристаллической решетки, неравномерностью распределения дефектов в атомной решетке и многими другими причинами. Все это приводит к тому, что неупругая деформация на микроуровне является анизотропной. Поэтому в структурных моделях
[156] статика анизотропных кристаллитов моделируется статикой
изотропных частиц (локальных элементов модели), обладающих заданными статистическими законами распределения либо механических характеристик (микромодулей Юнга, микропределов текучести,
скоростей вязкого течения и т.п.), либо геометрических параметров
(зерен, монокристаллов, характерных размеров решетки и т.п.), либо
внутренней геометрической структуры.
В настоящей работе согласно [180,181,184, 189, 190,218,219],
поликристаллический материал моделируется системой хаотически
ориентированных однородных стержней одинаковой длины, работающих на растяжение-сжатие. Каждый локальный элемент этой
системы (стержень) наделяется простейшими деформационными
свойствами: линейной упругостью, идеальной пластичностью и нелинейной вязкостью, которые, по-видимому, являются наиболее реальными свойствами монокристаллов [199, 272, 321]. В таком случае
деформацию i-го локального элемента можно представить в виде:
e i = ei + eip + pi ,
(2.1)
где
(2.2)
ei = s i / E м –
29
упругая микродеформация, Ем - микромодуль Юнга, еip - пластическая микродеформация, pi - микродеформация ползучести, причем
·
p i = y (s i ) = a s i
n -1
si ,
(2.3)
a, n - микроконстанты материала.
С точки зрения простоты деформационных свойств локальных
элементов, совершенно неприемлем подход [165], когда подэлементы наделяются достаточно сложными соотношениями типа уравнения Трунина [243], поскольку последнее описывает поведение материала уже на феноменологическом уровне и не отражает микронапряженно-деформированное состояние материала.
Следует отметить, что стержневые модели сред рассматривались
в некоторых работах [39, 242, 301]. Однако в них стержневые аналогии континуальных сред используются для численного решения некоторых задач теории упругости, когда среда запрограммировано
разбивается на шарнирно-скрепленные стержневые элементы (подобно методу конечных элементов), причем вопросы пластичности и
ползучести в них не рассматривались.
Рассмотрим материал, на который действует тензор напряжений,
приведенный к главным осям 0XYZ (рис. 2.1). Ориентация элементарных стержней задаетsx
ся двумя сферическими
углами Q и j (0£Q£p/2,
0£j£2p). Через s(Q, j)
обозначим напряжение,
возникающее в локальx
ном элементе; e(Q, j) –
деформацию локального
q
элемента; s x , s y ,
y
sy
j
0
s z - макронапряжения
(главные
z
sz
Р и с. 2.1. Схематическое изображение
структурной модели в точке
30
напряжения);
e x , e y , e z - макродеформации
(главные
деформации); a (Q, j) –
концентрация стержней
рассматриваемого
направления.
Поскольку стержни хаотически ориентированы, то через любой
участок определенной площади поверхности сферы радиуса l проходит одинаковое количество стержней. Тогда справедливо
a (Q, j) . DQ Dj = kl2sinQ DjDQ,
где k – коэффициент пропорциональности, откуда
a (Q, j) = kl2sinQ .
(2.4)
Подставляя (2.4) в условие нормировки
p/2
ò
0
2p
dQ ò a( Q, j) dj = 1 ,
(2.5)
0
находим kl2=1/(2p). Окончательно (2.4) принимает вид
a (Q, j ) =
1
sin Q .
2p
(2.6)
Запишем уравнения равновесия структурной модели:
sx =
sy =
sz =
p /2
2p
0
p /2
0
2p
0
p /2
0
2p
0
0
ò d Q ò a (Q,j )s (Q,j ) cos QP (Q,j )dj ,
x
ò d Q ò a (Q,j )s (Q,j )sin Q | cos j | P (Q,j )dj ,
y
(2.7)
ò d Q ò a (Q,j )s (Q,j )sin Q | sin j | P (Q,j )dj ,
z
где Px (Q,j), Py (Q,j), Pz (Q,j) - функции плотности вероятности попадания группы стержней заданного направления в сечения, перпендикулярные осям ОХ, ОУ, ОZ соответственно. Очевидно, что величины Pj (Q,j) (j=x,y,z) должны быть пропорциональны проекции
стержня на направление соответствующей оси, т.е.
Р х ( Q, j) = k x l cos Q, Py ( Q, j) = k y l sin Q | cos j |,
Р z (Q, j) = k z l sin Q | sin j |,
(2.8)
где kx, ky, kz – коэффициенты пропорциональности.
31
Используя условие
p /2
2p
0
0
ò d Q ò P (Q,j )dj = 1 ( j = x, y, z ) ,
j
(2.9)
и выражения (2.6), (2.8), нетрудно получить следующие зависимости
Px (Q, j ) = 2 cos Q, Py (Q, j ) = 2sin Q | cos j |,
Pz (Q,j ) = 2sin Q | sin j | .
(2.10)
Подставляя (2.6) и (2.10) в (2.7), получаем уравнения равновесия
структурной модели:
p /2
2p
1
s x = ò cos 2 Q sin Qd Q ò s (Q, j ) dj ,
p
sy =
1
p
1
0
0
p /2
ò sin
0
p /2
2p
3
Qd Q ò s (Q, j ) cos 2 j dj ,
0
2p
(2.11)
sin 3 Qd Q ò s (Q,j )sin 2 j dj .
p ò0
0
Для получения замкнутой системы уравнений, позволяющей на
основе полей микронапряжений и микродеформаций вести расчет
макродеформации, к уравнениям (2.11) необходимо присоединить
уравнение совместности микродеформаций. Для вывода последнего
введем гипотезу однородности деформации по объему макрообразца,
что равносильно принятию условия равенства деформации каждого
локального элемента системы макросредней в этом же направлении.
Эта гипотеза частично отражает те условия «стесненности» деформаций отдельных кристаллов, которые имеют место для поликристаллического материала. Тогда в соответствии с введенной гипотезой имеем
p
p p
e x = e (0, j ), e y = e ( ,0), e z = e ( , ).
(2.12)
2
2 2
Обозначим через l длину локального элемента до деформирования, через l1 – в процессе деформирования. Тогда на основании гипотезы однородности (2.12) запишем (см. рис. 2.1).
sz =
l1 = l12x + l12y + l12z = [l cos Q(1 + e x )]2 +
!!!
32
!!!
+[l | cos j | sin Q(1 + e y )]2 + [l sin Q | sin j | (1 + e z )]2 .
Разлагая последнее выражение в ряд Тейлора и ограничиваясь
линейными относительно áeхñ, áeуñ, áezñ членами, находим условие совместности деформаций:
e (Q,j ) = e x cos2 Q + e y sin 2 Q cos 2 j + e z sin 2 Q sin 2 j . (2.13)
Используя закон Гука (2.2) и условия (2.12), из соотношения
(2.13) в упругой области получаем
p
s(Q, j) = s(0, j) cos 2 Q + s( ,0) sin 2 Q cos 2 j +
2
p p
+ s( , ) sin 2 Q sin 2 j .
(2.14)
2 2
p
p p
Вводя обозначение s x = s(0, j), s y = s( ,0) и s z = s( , ) , под2
2 2
ставляя (2.14) в (2.11) и решая полученную систему относительно sх ,
sу, sz, получаем связь между микронапряжениями sх ,sу, sz и главными значениями макронапряжений ásхñ, ásуñ, ászñ:
3
3
sx = 3 sx - s y - sz ,
4
4
3
3
sy = - sx +3 sy - sz ,
(2.15)
4
4
3
3
sz = - sx - sy +3 sz .
4
4
2.3. Идентификация параметров структурной модели
Для идентификации параметров структурной модели Ем, sтм
(микропредел текучести), а также а и n в соотношении (2.3) рассмотрим одноосное напряженное состояние (ászñ=ásyñ=0, áezñ=áeyñ). Тогда
из соотношения (2.14) с учетом (2.15) имеем
1
s (Q) = 3 s x (cos 2 Q - sin 2 Q),
(2.16)
4
т.е. в силу симметрии задачи поле микронапряжений не зависит от
угла j.
Из (2.16) следует, что при одноосном растяжении микронапряжения
в
упругой
области
находятся
в
пределах
3 s x £ s (Q) £ -
3
s x , т.е. при одноосном растяжении в образце
4
33
возникают значительные сжимающие микронапряжения. Используя
гипотезу (2.12), закон Гука и соотношение (2.16), нетрудно получить
выражение для микромодуля Юнга
Eм = 3 áEñ,
(2.17)
где áEñ - макромодуль Юнга, а также значение коэффициента Пуассона структурной модели n= - áeyñ / áexñ=0.25, совпадающий со значением, найденным в работе [223]. В работе [213] был рассмотрен
частный случай – двумерный вариант структурной модели стержневого типа и было получено значение n=1/3, которое совпало с данными работы [43], где исследовалось плоское напряженное состояние среды при помощи ее стержневой двумерной модели.
Рассмотрим упругопластическое состояние образца. Для выполнения расчетов по структурной модели необходимо знать микропредел текучести sтм локального элемента. Для его определения по диаграмме мгновенного макродеформирования образца ásñ ~ áeñ определяется предел пропорциональности sпр, т.е. значение напряжения,
начиная с которого нарушается линейный характер диаграммы деформирования и появляются остаточные деформации. Затем при
ásхñ=sпр из соотношения (2.16) определяется максимальное значение
микронапряжения s (Q), возникающее при Q = 0, т.е. s (0)=3sпр, которое и принимается за микропредел текучести. Таким образом,
sтм =3sпр.
(2.18)
Предполагается, что sТМ одинаков при растяжении-сжатии локального элемента.
Изложим методику определения параметров а и n , входящих в
соотношение (2.3). Для этой цели рассмотрим ползучесть образца в
пределах упругости, т.е. когда приложенное макронапряжение
ásxñ<sпр. Необходимой информацией для определения a и n являются
участки установившейся ползучести образца, аппроксимация которых принимается в виде
·
e x = A( s x ) N ,
(2.19)
где A и N - константы.
В процессе ползучести между локальными элементами рассматриваемой модели будет происходить перераспределение микрона34
пряжений и на участке установившейся ползучести при t®¥ , пренебрегая упругими деформациями, из уравнения (2.13) будем иметь
·
·
·
e (Q) = e x cos 2 Q + e y sin 2 Q .
(2.20)
Используя (2.3), (2.12), (2.20) и предполагая симметрию механических свойств локальных элементов структурной модели на растяжение-сжатие, получаем
n -1
æp ö æp ö
s ¢(Q) s ¢(Q) = s ¢(0) s ¢(0) cos Q + s ¢ ç ÷ s ¢ ç ÷ sin 2 Q , (2.21)
è2ø è2ø
где s ¢(Q) = lim s (Q) - предельные (соответствующие стадии устаn -1
n -1
2
t ®+¥
новившейся ползучести) значения микронапряжений.
Выражая s¢ (Q) из уравнения (2.21) и подставляя его в уравнения равновесия (2.11) при ásyñ=ászñ=0, получаем систему уравнений
для определения s¢ (Q) и s¢ (p/2):
p /2
1
ì
-1
2
ï s x = 2 ò s ¢(0)C C n cos Q sin Qd Q,
0
ïï
íp
1
ï2
-1
3
ï ò C C n sin Qd Q = 0,
ïî 0
где
(2.22)
n
æ
p ö
ç s¢( ) ÷
2 ÷
sin 2 Q.
С = cos 2 Q - çç
s¢(0) ÷
çç
÷÷
ø
è
(2.23)
Система уравнений (2.22), (2.23) относительно s¢ (0), s¢ (p/2)
решается численно. Для этого вводится гипотеза о равенстве показателей нелинейности вязкого течения n=N на микро- и макроуровне и
из второго уравнения (2.22) при заданном n численно находится ве-
p
s ¢( )
личина К * =
2
, а далее из первого уравнения (2.22) определяs ¢(0)
ется
35
sx
s ¢(0) =
p /2
2
òCC
1
-1
n
.
(2.24)
cos Q sin Qd Q
2
0
Из соотношений (2.19), (2.23), (2.24) при ásxñ > 0 следует
n
é
ù
ê
ú
sx
ê
ú
n
n
a(s ¢(0)) = a ê p / 2
ú = A( s x ) ,
1
ê 2 C C n -1 cos 2 Q sin Qd Q ú
êë ò0
úû
откуда получаем связь микро- и макровеличин а и А:
é p/2
a = Aê2 C C
ëê 0
ò
1
-1
n
n
ù
cos Q sin QdQú .
ûú
2
(2.25)
2.4. Расчет кинетики упругопластического деформирования
и разрушения металлов по структурной модели
Рассмотрим упругопластическое
состояние материала в условиях одноосного напряженного состояния.
Как отмечено в пункте 2.3 для соответствующих расчетов необходимо
знать величину микропредела текучести sтм, которая определяется равенством (2.18), и величину микромодуля Юнга локального элемента Ем, задаваемую соотношением (2.17).
Для решения упругопластической задачи используются уравнения
Р и с. 2.2. Диаграмма упруравновесия (2.11) и совместности дегопластического деформироформаций (2.13), которые для однования образца
осного напряженного состояния в
силу независимости распределения
микронапряжений от угла j принимают вид
e ( Q ) = e x cos2 Q + e y sin 2 Q ,
36
(2.26)
p
ì
2
ï
s
=
2
s ( Q ) cos 2 Q sin Qd Q;
x
ò
ï
ï
0
(2.27)
íp
ï2
ï s ( Q ) sin 3 Qd Q = 0.
ïî ò0
Интегрирование по углу Q в уравнениях (2.27) проводится по
трем областям: первая соответствует упругопластически растянутым
элементам; вторая – локальным элементам модели, находящимися в
упругом состоянии; третья – упругопластически сжатым элементам.
Если стандартная схематическая диаграмма упругопластического макродеформирования образца имеет вид, представленный на рис.
2.2, то кинематика поля микронапряжений в процессе упругопластического деформирования и разрушения металлов, изображенная на
рис. 2.3, состоит из этапов а) – е).
Точке 1 на диаграмме деформирования (рис. 2.2) соответствует
чисто упругое состояние, поэтому для эпюры микронапряжений имеем |s(Q)|<sтм, 0£Q£p/2 (рис. 2.3, а).
По мере возрастания нагрузки (точка 2 на рис. 2.3) часть наиболее нагруженных локальных элементов модели достигает предела
текучести и возникает зона пластического растяжения (s(Q)=sтм,
0£Q£a1), а оставшиеся элементы находятся в упругом состоянии
(ïs(Q)ï<sтм, a1<Q£p/2). Этому состоянию соответствует схема,
представленная на рис. 2.3, б.
Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к увеличению зоны
пластически растянутых локальных элементов модели и росту (по
модулю) микронапряжений сжатия до тех пор, пока напряжение в
стержне при Q=p/2 не достигнет микропредела при сжатии:
s(p/2)= - sтм (схема на рис. 2.3, в). Начиная с этого момента в материале образуются зоны пластического растяжения (0£Q£a1), пластического сжатия (a2£Q£p/2) и упругая зона (a1£Q£a2). Этому состоянию соответствует схема на рис. 2.3, г. Очевидно, что схема г) реализуется до состояния, соответствующего на диаграмме упругопластического деформирования временному пределу сопротивления ss
(максимум зависимости s=s(e), рис. 2.2). В последующем на закритической стадии деформирования естественно предположить, что
наиболее нагруженные локальные элементы модели в зоне растяже-
37
ния начинают разрушаться и микронапряженное состояние среды
определяется зоной разрушенных элементов 0£Q£a3 , зонами пластического растяжения a3£Q£a1 и пластического сжатия a2£Q£p/2,
упругой областью a1£Q£a2 (схема на рис. 2.3, д). Завершающей стадии закритического деформирования соответствуют зоны разрушения в областях пластического растяжения (0£Q£a3) и пластического
сжатия (a4£Q£p/2), пластического сжатия (a4£Q£p/2) и пластического растяжения (a3£Q£a1) без разрушения локальных элементов, а
также упругая область (a1£Q£a2). Схематически это состояние представлено схемой на рис. 2.3, е.
б
а
a1*
в
г
д
е
Р и с. 2.3. Диаграмма распределения микронапряжений в процессе
одноосного упругопластического деформирования
38
Вопрос, связанный с выбором критериев разрушения локального
элемента и математической моделью каждого из случаев а-е будет
рассмотрен ниже.
Однако в некоторых случаях процесс разрушения образца при
одноосном упругопластическом растяжении можно описать и с более
простых позиций.
1. Рассмотрим простейший (силовой) критерий разрушения одноосного образца. Из схем а-е, представленных на рис. 2.3, следует,
что по мере возрастания нагрузки граница пластически растянутых
локальных элементов a1 и граница пластически сжатых локальных
элементов a2 приближаются друг к другу. Если не вводить в рассмотрение разрушение локальных элементов системы, то естественно предположить, что разрушение образца произойдет тогда, когда
a1=a2=a. В этот момент происходит разрыв зависимости микронапряжений s = s(Q) и она имеет вид
ìs тм ,0 £ Q £ a ;
ï
s (Q) = í
(2.28)
p
ïî-s тм , a £ Q £ 2 .
Схематически эпюра микронапряжений, соответствующая предельному состоянию (2.28), представлена на рис. 2.4.
С учетом соотношений (2.28) уравнения равновесия (2.27) записываются следующим образом:
p
ì
éa
ù
2
ï
ê
ú
2
2
ï s x = 2s тм ê ò cos Q sin Qd Q - ò cos Q sin Qd Q ú ,
a
ï
êë 0
úû
í
p
ï
a
2
ï
3
3
ïò sin Qd Q = ò sin Q sin Qd Q.
î0
a
Интегрируя полученное, получаем систему уравнений:
2s тм
ì
(1 - cos3 a ) ,
ï sx =
(2.29)
3
í
ïcos3 a - 3cos a + 1 = 0.
î
Поскольку в предельном состоянии происходит разрыв микронапряжений при Q=a, то естественно макронапряжение ásxñ, соответ39
ствующее
этому
состоянию,
принять за истинный предел
прочности ss.
Решая
второе
уравнение
(2.29), находим, что a=69041/. Используя найденное значение a, из
первого уравнения (2.29) находим
ss = 1,846 sпр .
(2.30)
Соотношение (2.30) можно
назвать силовым критерием разрушения при упругопластическом
нагружении.
Таким образом, для того, чтоР и с. 2.4. Эпюра микронапрябы предсказать предел прочности
жений в предельном состоянии
по структурной модели, достаточно знать лишь предел пропорциональности sпр на диаграмме упругопластического макродеформирования.
Экспериментальная проверка критерия (2.30) выполнена для ряда жаропрочных сплавов на хромоникелевой основе, а также для
алюминиевый и магниевых сплавов по данным работы [34].
На рис. 2.5 приведены значения
безразмерной величины h =
Р и с. 2.5. Расчетные (сплошная
линия) и экспериментальные
(значки) значения h=ss /sпр в
зависимости от температуры
для сплавов:
1–ЭИ617; 2– ЖС6; 3–ЭИ767;
4– ИЭ826; 5- ЭИ598; 6–ЭИ437Б;
7– АК4; 8 – В300
40
ss
,
s пр
которые рассчитывались как непосредственно на основании экспериментальных данных [34] – значки, так и по (2.30). Как видно, наблюдается
соответствие
расчетных и экспериментальных
данных, особенно для области высоких температур.
2. Рассмотрим теперь схему
упругопластического деформирования и разрушения металлов на
основании структурной модели,
исходя из критерия разрушения локального элемента [804,805].
Кинетика полей микронапряжений схематически представлена
на рис. 2.3, а-е, которые соответствуют различным возрастающим
значениям макродеформации пластичности e p (точки 1-6 на рис
2.2). Построим теперь математическую модель для каждого из указанных случаев а – е.
а. Диаграмма микронапряжений в данном состоянии соответствует упругому состоянию, т.е. |s(Q)|<sтм (0£Q£ p/2). Здесь все определяется соотношениями (2.12), (2.16), (2.26).
б. В этом случае часть стержней находятся в состоянии упругопластического растяжения, т.е. s(Q)=sтм при 0£Q£a1, но разрушения
ни одного локального элемента не наблюдается. Область же
a1£Q£ p/2 соответствует чисто упругому состоянию локальных элементов.
Опишем математически данную схему. Из уравнения совместности (2.26) при Q = a1 имеем
e (a1 ) = e x cos 2 a1 + e y sin 2 a1 .
(2.31)
Поскольку граничный между пластической и упругой областями
стержень при Q = a1 находится в упругом состоянии, так же, как и
стержень при Q = p/2, то с учетом (2.12) и закона Гука для этого локального элемента соотношение (2.31) принимает вид
s тм
Eм
=< e x > cos 2 a1 +
æp ö
sç ÷
2
è ø sin 2 a ,
1
Eм
откуда
1
æ
æp ö 2 ö
(2.32)
ç s тм - s ç ÷ sin a1 ÷ .
2
Eм cos a1 è
è2ø
ø
Подставляя (2.32) в (2.26) и используя закон Гука, в упругой области для a1£Q£ p/2 получим
1 é
ù
æp ö
æp ö
s (Q) =
s тм - s ç ÷ sin 2 a1 ú cos 2 Q + s ç ÷ sin 2 Q . (2.33)
ê
2
cos a1 ë
è2ø
è2ø
û
ex =
Запишем соотношения (2.27) в виде аддитивных составляющих
по упругопластической и упругой областям:
41
p
a1
2
s x = 2 ò s тм cos2 Q sin Qd Q + ò s ( Q ) cos2 Q sin Qd Q ;
a1
0
p
a1
òs
0
2
тм
sin 3 Q sin Qd Q + ò s ( Q ) cos2 Q sin Qd Q = 0 .
(2.34)
a1
Подставляя (2.33) в (2.34) и интегрируя их, получим следующую
систему уравнений:
ì
2é
æ
æ p ö öù
3
ï s x = ê5s тм - 2cos a1 ç s тм - s ç ÷ ÷ú ;
15 ë
è 2 ø øû
ï
è
(2.35)
í
æ
æ
æ p öö
æ p öö
ï
3
ï5s тм - 5cos a1 ç s тм - s çè 2 ÷ø ÷ + cos a1 ç s тм - s çè 2 ÷ø ÷ = 0.
è
ø
è
ø
î
Неизвестными в (2.35) являются s x , a1, s(p/2), т.е. имеем три
неизвестных и два уравнения. Однако в процессе упругопластического нагружения при феноменологическом подходе известен некоторый параметр нагружения. В реальном эксперименте обычно за·
дают либо скорость напряжения s х , либо скорость деформации
·
e х . Поэтому в рассматриваемом случае одну из величин в (2.35)
можно задавать и решать систему (2.35) относительно двух других.
Будем считать в качестве известной величину a1, которая и является параметром нагружения. Задавая значения величины a1, из
æp ö
второго уравнения системы (2.35) находится s ç ÷ , затем из первоè2ø
го уравнения - s x , а из (2.32) - e x .
в. Для схемы, представленной на рис. 2.2, в, имеем, что
æp ö
s ( Q ) = s тм ( 0 £ Q £ a1* ) , s ç ÷ = -s тм ,а локальные элементы, соотè2ø
ветствующие углам a1<Q<p/2, находятся в упругом состоянии. Аналогично рассмотренному выше случаю, подставляя значения микронапряжений в уравнения равновесия (2.27), используя уравнение совместности (2.26) и закона Гука, получим
42
ì
2s тм ( 5 - 4cos3 a1* )
ï sx =
;
15
ï
ï
3 *
*
(2.36)
í5 + 2cos a1 - 10cos a1 = 0;
ï
s тм
ï ex =
1 + sin 2 a1* ) .
2 * (
Eм cos a1
ïî
Из второго уравнения определяется значение a1*, что позволяет
найти s x и e x . В частности, распределение поля микронапряжений в упругой области a1*<Q<p/2, имеет вид
s (Q) =
s тм
1 + sin 2 a1* cos 2 Q - sin 2 Q cos 2 a1* ) .
2
* (
cos a1
г. Для данного состояния материала (рис. 2.2, г) при 0£Q£a1
имеем s(Q)=sтм; при a2£Q£p/2 - s(Q)= – sтм, а в области a1£Q£a2
будет упругое распределение микронапряжений. Предполагается,
что в этой области разрушение локальных элементов также не происходит.
Запишем уравнения совместимости (2.26) для углов Q=a1 и
Q=a2 с учетом закона Гука:
ìs (a1 )
= e x cos 2 a1 + e y sin 2 a1 ;
ï
E
ï м
(2.37)
í
ïs (a 2 ) = e cos 2 a + e sin 2 a .
x
2
y
2
ï E
î м
Решая систему (2.37) относительно e x и e y и используя
обозначения s(a1) = sТМ, s(a2) = - sТМ , получим
s sin 2 a1 + sin 2 a 2
e x = - тм
;
Eм cos2 a 2 - cos 2 a1
ey =
s тм cos2 a1 + cos 2 a 2
.
Eм cos 2 a 2 - cos2 a1
(2.38)
В упругой области для a1£Q£a2 из (2.26) имеем
(
)
s ( Q ) = Eм e x cos 2 Q + e y sin 2 Q .
(2.39)
Подставляя в (2.39) соотношения (2.38), находим упругое распределение микронапряжений (a1£Q£a2):
43
é sin 2 a1 + sin 2 a 2
ù
cos2 a1 + cos 2 a 2
cos 2 Q +
sin 2 Q ú . (2.40)
2
2
2
2
cos a 2 - cos a1
ë cos a 2 - cos a1
û
Запишем теперь уравнения равновесия (2.27):
a2
éa1
s x = 2 ê ò s тм cos 2 Q sin Qd Q + ò s ( Q ) cos 2 Q sin Qd Q êë 0
a1
p
ù
2
ú
2
- ò s тм cos Q sin Qd Q ú ;
a2
úû
s ( Q ) = s тм ê-
a1
òs
0
a2
тм
p
2
sin 3 Qd Q + ò s ( Q ) sin 3 Qd Q - ò s тм sin 3 Qd Q = 0 ,
e1
(2.41)
a2
где s(Q) задается (2.40). Интегрируя (2.41), получим
2s тм
ì
ï s x = 15 cos 2 a - cos 2 a ´
(
2
1)
ï
ïï é
2
2
5
5
ù
(2.42)
í´ ë5 ( cos a 2 - cos a1 ) - 4 ( cos a 2 - cos a1 ) û ;
ï
5
5
3
3
ï2 ( cos a 2 - cos a1 ) - 10 ( cos a 2 - cos a1 ) +
ï
2
2
ïî+5 ( cos a 2 - cos a1 ) = 0.
Полная система уравнений для рассматриваемого случая состоит
из уравнений (2.38), (2.42). Неизвестными в этой системе являются
a1, a2, s x , e x , e y , т.е. имеем пять неизвестных, а уравнений –
четыре. Но по вышеизложенным соображениям одну из неизвестных
можно считать параметром нагружения и задавать, а далее решать
систему четырех уравнений относительно остальных четырех неизвестных. Поэтому алгоритм решения системы (2.38), (2.42) может
быть следующим: задавая значение угла a 2 <
p
, из второго уравне2
ния (2.42) определяется значение угла a1, а затем последовательно
определяются s x , e x , e y .
д. Перейдем теперь к описанию следующего этапа деформирования материала, сопровождающегося разрушением локальных эле44
ментов модели (рис. 2.2, д). Но для этого необходимо ввести критерий разрушения локального элемента системы.
Будем использовать энергетический подход, предполагая, что
разрушение наступает тогда, когда работа микронапряжения на микродеформации пластичности достигает критического значения. В
качестве критического будем использовать состояние материала, соответствующее
локальному
экстремуму
на
диаграмме
упругопластического
макродеформирования
образца,
характеризующегося
точкой
p
(ss, e s), (см. рис. 2.2) и отделяющего участки устойчивого и неустойчивого (закритического) деформирования. Тогда элементарный стержень при Q=const находится в неразрушенном состоянии, если
ep
ò s(Q)de (Q) < A
p
*
p
,
(2.43)
,
(2.44)
0
и разрушается, если выполняется условие
ep
ò s(Q)de (Q) = A
p
*
p
0
где Ар* - критическая величина работы микронапряжения s на микродеформации пластичности e p (константа материала).
В силу того, что в пластическом состоянии в зоне растяжения
s(Q)=sтм и ер(Q)>0, а в зоне сжатия s(Q)=-sтм и ер(Q)<0 неравнество
(2.43) принимает вид
s тм e p ( Q ) < A*p .
(2.45)
Величину Ар* можно определить следующим образом. Первым
разрушится наиболее нагруженный локальный элемент при Q=0. Поскольку в силу гипотезы однородности деформации по объему (2.12)
в момент разрушения имеем, что ер(0)= e x =esp, то тогда из (2.42)
получим
esp
A = ò s тм de p ( 0 ) =s тм esp .
*
p
(2.46)
0
С учетом (2.46) критерий разрушения (2.44) принимает деформационный характер и имеет вид
45
e p (Q ) = e sp .
(2.47)
С учетом вышеизложенного рассмотрим схему деформирования,
представленную на рис. 2.2, д. Здесь при 0 £Q£ a3 локальные элементы модели разрушены; при a3£Q£ a1 имеем s(Q)=sтм; при
a1£Q£ a2 будет упругое состояние, а при a2<Q£ p/2 – s(Q)= - sтм.
Записывая уравнения совместности деформаций (2.26) для Q=a1
и Q=a2 с учетом закона Гука, получим систему (2.37), решение которой относительно e x , e y имеет вид (2.38).
При Q=a3 из (2.1), (2.26) (с учетом выражений для e x
и ey
из (2.38)), имеем
s тм
Eм
+ esp = -
s тм é sin 2 a1 + sin 2 a 2
cos2 a 3 ê 2
2
Eм ë cos a 2 - cos a1
(2.48)
-
ù
cos 2 a1 + cos 2 a 2
sin 2 a 3 ú .
2
2
cos a 2 - cos a1
û
Записывая уравнение равновесия (2.27), получим
sx
éa1
= 2 ê ò s тм cos2 Q sin Qd Q +
êëa3
p
ù
ú
+ ò s ( Q ) cos Q sin Qd Q - ò s тм cos Q sin Qd Q ú ;
a1
a2
úû
a2
2
2
a1
a2
a3
e1
2
p
2
3
3
3
ò s тм sin Qd Q + ò s ( Q) sin Qd Q - ò s тм sin Qd Q = 0 ,
(2.49)
a2
где s(Q) в упругой области задается так же, как и в случае г) соотношением (2.40). Интегрируя (2.49) и присоединяя к полученному
(2.38), (2.48), имеем следующую систему уравнений:
46
2s тм
ì
ï s x = 15 cos 2 a - cos 2 a ´
(
2
1)
ï
ï é
3
2
2
5
5
ù
ï´ ë5cos a 3 ( cos a 2 - cos a1 ) - 4 ( cos a 2 - cos a1 ) û ;
ï
5
5
3
3
ïéë 4 ( cos a 2 - cos a1 ) - 20 ( cos a 2 - cos a1 ) ï
ï-5 ( cos2 a 2 - cos 2 a1 ) ( cos 2 a 3 - cos 2 a1 ) ù = 0;
û
ï
2
2
ï
s тм sin a1 + sin a 2
;
í ex = Eм cos2 a 2 - cos 2 a1
ï
ï
s cos 2 a1 + cos2 a 2
ï e y = тм
;
Eм cos2 a 2 - cos 2 a1
ï
ï
2
2
ïe p = - s тм é1 + sin a1 + sin a 2 cos 2 a 3
ê
ï s
Eм ë cos 2 a 2 - cos 2 a1
ï
ï cos 2 a1 + cos 2 a 2
ù
sin 2 a 3 ú .
ï2
2
û
îï cos a 2 - cos a1
(2.50)
Алгоритм решения системы (2.50) может быть следующим: задается значение угла a3, играющего роль параметра нагружения; из
системы уравнений, образованной вторым и пятым уравнениями
(2.50), определяются значения a1 и a2; зная a1,a2, a3, находятся последовательно e x , e y , s x .
е. Рассмотрим заключительный этап разрушения образца, изображенный схематически на рис. 2.2, е. Здесь разрушаются не только
элементы в зоне пластического растяжения при 0£Q£ a3, но и в зоне
пластического сжатия a4£Q£ p/2. В области a3£Q£ a1 имеем
s(Q)= sтм; при a4£Q£ a2 – s(Q)= -sтм, а в зоне a1£Q£ a2 локальные
элементы находятся в упругой области.
Записывая уравнения совместности деформации для Q=a1,
Q=a2, Q=a3 и Q=a4; подставляя напряжения s(Q) в уравнения равновесия и выполняя интегрирование, получим следующую математическую модель для рассматриваемого случая:
47
ì
s тм sin 2 a1 + sin 2 a 2
e
=
;
ï x
Eм cos2 a 2 - cos 2 a1
ï
ï
s cos 2 a1 + cos 2 a 2
;
ï e y = тм
Eм cos2 a 2 - cos 2 a1
ï
ïs
ï тм + esp = e x cos 2 a 3 + e y sin 2 a 3 ;
ï Eм
ï s
ï- тм - esp = e x cos 2 a 4 + e y sin 2 a 4 ;
ï Eм
ï
2s тм
í
3
3
é
ï s x = 15 cos 2 a 2 - cos2 a ë5 ( cos a 4 + cos a 3 ) ´
(
2
1)
ï
ï
2
2
5
5
ù
ï´ ( cos a 2 - cos a1 ) - 4 ( cos a 2 - cos a1 ) û ;
ï
5
5
3
3
ïéë 4 ( cos a 2 - cos a1 ) - 20 ( cos a 2 - cos a1 ) ï
2
2
3
3
ï-5 ( cos a 2 - cos a1 ) ( cos a 3 - cos a 4 ) +
ï
ï15 ( cos 2 a 2 - cos 2 a1 ) ( cos a 3 + cos a 4 ) ù :
û
ï
ïï:15 ( cos 2 a 2 - cos 2 a1 ) = 0.
î
(2.51)
Схема решения системы (2.51) может быть следующей. Задавая,
например, в качестве параметра нагружения a4, из третьего, четвертого и пятого уравнений (2.51) имеем систему трех уравнений относительно трех неизвестных a1,a2, a3; зная величины всех углов ai
( i = 1, 4) , определяются величины
sx , ex , ey .
Таким образом, схема деформирования одноосного образца
вплоть до разрушения математически описана полностью.
Реализация изложенного алгоритма осуществляется с использованием численных процедур решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
Экспериментальная проверка результатов расчета диаграмм упругопластического деформирования на основании структурной модели проводилась для различных классов материалов и температур.
48
В качестве примера на рис. 2.6–2.11 приведены экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) по структурной
модели диаграммы мгновенного упругопластического деформирования для жаропрочных сплавов ЖСЗ при Т=9000С; ЭП 693 при
Т=725 0С; ЭИ 617 при Т = 8500С и Т=9000С; ЭИ 767 при Т=8000С;
ЭИ 698 при Т=7500 С.
Экспериментальные данные для сплавов ЖСЗ, ЭИ 617, ЭИ 767
взяты из [27]; для ЭИ 698, ЭП 693 – из работ [178,193].
На рис. 2.12 и рис. 2.13 приведена аналогичная информация для
другого класса металлических сплавов, а именно, титанового и алюминиево-магниевого.
Расчетные данные здесь представлены сплошными линиями, а
экспериментальные – значками [151].
На рис. 2.14 представлены расчетная (штриховая линия) и экспериментальная
(сплошная
линия)
[86]
диаграммы
упругопластического деформирования при сжатии каменной соли
при комнатной температуре.
Р и с. 2.6. Экспериментальная (сплошная линия) и расчетная по
структурной
модели
(штриховая линия) диаграммы упругопластического деформирования жаропрочного сплава ЖСЗ при Т=900 0С
Р и с. 2.7. Экспериментальная (сплошная
линия) и расчетная по
структурной модели
(штриховая
линия)
диаграммы упругопластического деформирования жаропрочного
сплава ЭП 693 при
Т=725 0С
49
s , МПа
s , МПа
400
400
200
200
0
2
4
e, %
0
Р и с. 2.8. Экспериментальная
(сплошная линия) и расчетная по структурной модели
(штриховая линия) диаграммы упругопластического деформирования жаропрочного
сплава ЭИ 617 при Т=9000 С
2
4
e, %
Р и с. 2.9. Экспериментальная
(сплошная линия) и расчетная
по
структурной
модели
(штриховая линия) диаграммы упругопластического деформирования жаропрочного
сплава ЭП 693 при Т=8500 С
s , МПа
s , МПа
600
1000
400
500
200
0
3
6
9
e, %
Р и с. 2.10. Экспериментальная
(сплошная линия) и расчетная
по структурной модели (штриховая линия) диаграммы упругопластического деформирования жаропрочного сплава ЭИ
767 при Т=8000 С
50
0
6
12
18 e , %
Р и с. 2.11. Экспериментальная (сплошная линия) и расчетная по структурной модели (штриховая линия) диаграммы упругопластического
деформирования жаропрочного сплава ЭИ 698 при
Т=7500 С
s ,МПа
s ,МПа
125
500
0
1
e,%
Р и с. 2.12. Расчетная по структурной модели (сплошная линия) и экспериментальная (значки) [151] диаграммы мгновенного упругопластического деформирования сплава АМГЗ в условиях растяжения (1,2) и сжатия
(3,4) при Т=2000С
0
1
e,%
Р и с. 2.13. Расчетная по структурной модели (сплошная линия)
и экспериментальная
(значки)
[151]
диаграммы
мгновенного упругопластического деформирования сплава
TI-6Al-4v в условиях растяжения (1-3) и сжатия (4) при
Т=2000С
s ,МПа
20
10
0
2
4
6 e,%
Р и с. 2.14. Экспериментальная
(сплошная линия) [151] и расчетная по структурной модели
(штриховая линия) диаграммы
мгновенного
упругопластического деформирования каменной соли при комнатной температуре при одноосном сжатии
51
Как следует из приведенных на рис. 2.6–2.14 графических зависимостей диаграмм упругопластического деформирования для разных классов материалов (высокопрочные жаропрочные и легкие конструкционные сплавы, каменные породы), наблюдается удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных данных.
2.5. Адекватность структурной модели экспериментальным
исследованиям по закритическому упругопластическому
деформированию
Потеря несущей способности одноосного образца с феноменологических позиций является результатом накопления повреждений
в результате необратимого пластического деформирования, сопровождающегося необратимым изменением внутренней структуры
материала. Вопрос описания полной диаграммы упругопластического деформирования достаточно сложной и до настоящего времени во
всей его полноте не раскрыт. Основная проблема заключается в объяснении и описании ниспадающего участка диаграммы, так называемой стадии неустойчивого (закритического) деформирования [31,
32]. Факторов, влияющих на вид диаграммы, достаточно много.
В [252] отмечалось, что сопротивление разрушению является не
только свойством материала, но и зависит от жесткости нагружающей системы, в которую входят как нагружающее устройство, так и
само деформируемое тело, окружающее зону разрушения. Существенно сказывается на характер ниспадающей ветви диаграммы и режим нагружения. Так, когда к находящемуся в однородном напряженном состоянии телу прикладываются не зависящие от его сопротивления
силы,
разрушению
соответствуют
максимально
достижимые значения напряжений, как это обычно и принимается в
расчетах на прочность. В другом же предельном случае «жесткого
нагружения» (когда задаются перемещения точек на границе) возможно равновесное протекание процесса накопления повреждений,
что находит свое отражение на ниспадающей ветви диаграммы деформирования. С аналогичных позиций это явление описывалось и в
ряде других работ [64, 113, 164].
Наличие ниспадающей ветви на диаграмме деформирования
привело к тому, что характеристикой разрушения материала стали
считать не точку локального экстремума зависимости “перемещениенагрузка”, а конечную точку диаграммы. Я.Б. Фридман [253] отмеча52
ет, что эта точка отражает состояние, соответствующее началу заключительной быстропротекающей неравновесной стадии процесса
разрушения, при этом разрушение заканчивается при усилии, близком к нулю.
Вообще говоря, в вопросе возможности экспериментального построения полной диаграммы существуют диаметрально противоположные мнения. Так Г.П.Черепанов считает, что закритический участок является динамической характеристикой системы образец – испытательная машина в целом и «вообще не зависит от физических
свойств материала в закритической области» [258]. С другой стороны, в работах [153, 205] теоретически обосновывается осуществимость состояний материала, соответствующих ниспадающей ветви
диаграммы деформирования.
Однако ряд экспериментальных работ А.А.Лебедева с соавторами [114-116] показал, что ниспадающая ветвь все же зависит не
только от жесткости испытательной машины, но и является характеристикой материала, при этом независимо от класса и исходной
структуры материала кинетика разрушения носит общий стадийный
характер. Наличие ниспадающего участка диаграммы свидетельствует о том, что разрушение материала не является мгновенным актом, а
проистекает непрерывно в течение определенного времени. На это
же указывалось и В.В.Стружановым и В.И.Мироновым [241]. Исследование кинетики разрушения образцов при растяжении показали,
что сначала происходит разрыхление материала, образуются микропоры и микротрещины, т.е. происходит рассеянное накопление
поврежденности в материале на уровне структуры [269]. Этот
процесс можно рассматривать как деформационное разуплотнение
материала. Затем возникает магистральная внутренняя трещина и с
этого момента резко меняется сопротивление образца и нагрузка
начинает падать.
Таким образом, падение сопротивления в ходе равновесного необратимого пластического деформирования является следствием
уменьшения эффективной площади поперечного сечения элементарного объема материала образца. Теоретические истоки описания этого экспериментального факта заложены еще в работах
Ю.Н.Работнова. [175], В.В.Новожилова [155], Л.М.Качанова [91].
Указанные выше эффекты достаточно полно описываются предложенной структурной моделью. Действительно, идеализированные
схемы б, в, г на рис. 2.3 описывают процесс накопления рассеянной
53
поврежденности без эффекта существенного изменения эффективной
площади конкретного сечения образца, так как здесь локальные элементы структурной модели не разрушаются. Однако в них накапливаются необратимые изменения, что ведет к концентрации энергии в
наиболее нагруженных элементах системы. С феноменологических
позиций эти схемы описывают концентрацию микронапряжений в
областях, содержащих дефекты внутренней структуры материала
(дефекты в геометрии атомной (кристаллической) решетки и межатомных связей, дислокации и т.п). При этом нарушения сплошности
материла на этих стадиях упрочнения не наблюдается.
Схемы д и е на рис. 2.3 моделируют ниспадающую ветвь диаграммы за счет разрушения локальных элементов модели и, как
следствие этого, снижения ее несущей способности. С феноменологических позиций эти схемы отражают процессы появления в материале микропор, микротрещин, пустот между кристаллами и т.п.
Здесь происходит нарушение сплошности материала на микроуровне, что ведет к уменьшению эффективной площади поперечного сечения образца и снижению растягиваемой нагрузки при заданной
скорости деформирования ( < e& > =const).
Коснемся еще одного важного экспериментального факта, обнаруженного в работе [86], где экспериментально определялся модуль
упругости горных пород в зависимости от степени накопления деформации и поврежденности. Отмечено, что модули упругости, определенные по продольным деформациям при разгрузке образца, изменяются незначительно в довольно широком диапазоне нагрузок: от
начала нагрузки до максимально достижимого напряжения при сжатии ssc и в процессе разрушения образца до напряжения, составляющего около 60% ssc, модули упругости практически были постоянными. При дальнейшем деформировании в области физического
разрушения образца модули Юнга уменьшились в 2-3 раза. Параллельно с этим резко увеличились поперечные деформации по сравнению с продольными, так что это привело к увеличению объема образца примерно до 10% и более от первоначального. Все это свидетельствует о раскрытии микротрещин в материале на заключительной стадии деформирования, существенному разрушению микроструктуры образца и резкому уменьшению эффективной площади
поперечного сечения образца.
Этот экспериментальный факт также моделируется структурной
моделью и характеризует переход механизма разрушения от схемы
54
д) к схеме е) на рис. 2.3. Здесь начинают разрушаться поперечно ориентированные локальные элементы, что ведет к резкой интенсификации поперечной деформации. С феноменологических позиций это,
по всей видимости, соответствует появлению макротрещины и образованию шейки на образце.
Таким образом, суммируя вышеизложенное можно утверждать,
что ниспадающий участок диаграммы деформирования является характеристикой материала, что подтверждено как экспериментальными, так и теоретическими исследованиями. Причиной этого участка
является структурное разрушение микронеоднородной среды.
Здесь уместно отметить, что стремление описать накопление повреждений на закритической стадии деформирования породило
развитие новой ветви в механике деформируемого твердого тела, а
именно, разработку и усовершенствованию моделей материала с целью описания накопления повреждений на закритической стадии деформирования. Это, в свою очередь, стимулировало развитие методов решения краевых задач пластичности по определению напряженно-деформированного состояния, предельной несущей способности и разрушению элементов конструкций, учитывающих возможность работы материала на стадии разрушения, которая характеризуется падающей ветвью диаграммы деформирования [31, 32, 33,
72, 241].
В заключение можно отметить следующее.
1. Предложенная структурная модель позволяет с позиций статики расчетным путем прогнозировать диаграмму упругопластического деформирования металлов, включая участок закритического
деформирования.
2. Показано, что участок закритического деформирования связан с появлением и развитием зон микроразрушения локальных элементов, что с феноменологических позиций соответствует интенсивному накоплению поврежденности, уменьшению истинной площади
поперечного сечения образца (пластическому разрыхлению материала), резкому увеличению значения истинного напряжения и одновременно уменьшению номинального напряжения при увеличении
значения е р.
3. Предложенная модель может быть использована в качестве
математического моделирующего комплекса процесса упругопластического деформирования, накопления поврежденности и разру55
шения металлов с целью построения адекватных феноменолгических
моделей указанных процессов.
2.6. Расчет первой и второй стадий ползучести в пределах
упругости
Рассмотрим схему расчета одноосной деформации ползучести
по структурной модели в пределах упругости, т.е. когда в процессе
ползучесть |s(Q,t|<sтм (0£Q£π/2, t³0). Из соотношения (2.3) имеем
·
(2.52)
p (Q, t ) = a | s(Q, t ) | n -1 s(Q, t ),
где а, n – микропараметры, методика определения которых изложена
в пункте 2.3.
Решение задачи состоит из двух этапов. На первом этапе при t=0
решается упругая задача. Тогда в соответствии с (2.13), (2.16) имеем
1
s (Q,0) = 3 s x (cos 2 Q - sin 2 Q) ;
(2.53)
4
e (Q,0) = s (Q,0) / Eм .
На втором этапе осуществляется расчет деформации ползучести. Для этого используется хорошо известный численный метод шагов по времени. Для этого выполняется дискретизация времени
ti+1=ti + Dt (i=0,1,2…; to=0) малыми шагами Dt. В пределах каждого
интервала все характеристики напряженного состояния считаются
постоянными, а в конце его происходит мгновенное изменение напряжений. Другими словами, напряжения s(Q,t) при t Î[ti, ti+1] аппроксимируются кусочно-постоянными непрерывными слева функциями.
Введем обозначения
e(Q, t i ) = e i (Q), s(Q, t i ) = s i (Q), p(Q, t i ) = pi (Q) .
Тогда на основании (2.1) на отрезке [ti , ti+1] имеем
e i +1 (Q) =
s i +1
+ pi +1 (Q) ;
(2.54)
p i +1 (Q) = p i (Q) + Dp i (Q),
(2.55)
Eм
где
а величина приращения деформации ползучести Dpi ( Q ) за интервал
времени Dt=ti+1-ti определится согласно (2.52) по формуле:
Dpi (Q) = a | s i (Q) | n -1 s i (Q) × Dt .
56
(2.56)
Запишем
учетом (2.54):
условие
совместимости
деформаций
(2.26)
с
p
é
ù
ê s i +1 ( 2 )
é s i +1 (0)
ù
p ú 2
2
+ pi +1 (Q) = ê
+ pi +1 (0) ú cos Q + ê
+ pi +1 ( ) ú sin Q.
Eм
2 ú
ë Ev
û
ê Eм
ëê
ûú
Выражая из последнего величину si+1(Q) и подставляя ее в
уравнения равновесия (2.27), получаем систему уравнений вида:
p /2
ìïp / 2
p
4
s x = 2 í ò s i +1 (0) cos Q sin Qd Q + ò s i +1 ( ) cos 2 Q sin 3 Qd Q +
2
ïî 0
0
s i +1 (Q)
p /2
+ Eм
ò
p /2
ò
pi +1 (0) cos 4 Q sin Qd Q + Eм
0
0
üï
p
pi +1 ( )sin 3 Q cos 2 Qd Q ý 2
ïþ
p /2
- Eм
ò
pi +1 (Q) cos2 sin Qd Q;
0
p /2
ò
s i +1 (0) cos2 Q sin 3 Qd Q +
0
p /2
òs
p
i +1
0
= - Eм
p /2
ò
( )sin 5 Qd Q =
2
pi +1 (Q) cos 2 Q sin 3 Qd Q - Eм
0
+ Eм
p /2
ò
p /2
ò
0
æp ö
pi +1 ç ÷ sin 5 Qd Q +
è2ø
pi +1 (Q)cos 2 Q sin Qd Q.
0
Вычисляя в приведенных выше соотношениях интегралы и решая
полученную систему уравнений относительно si+1(0) и si+1(p/2), находим:
s i +1 (0) = 3 s x + 6 Eм
p /2
ò
pi +1 (Q) cos 2 Q sin Qd Q -
0
3
- Eт
2
p /2
ò
pi +1 (Q)sin 3 Qd Q - Eм pi +1 (0);
0
p
s i +1 ( ) = 2
3
- Eм
2
p /2
ò
0
3
9
s x + Eм
4
4
p /2
ò
pi +1 (Q)sin 3 Qd Q -
0
p
pi +1 (Q) cos 2 Q sin Qd Q - Eм pi +1 ( ) .
2
(2.57)
57
Зная величины si+1(0) и si+1(p/2), с использованием (2.54) и
(2.12) определяются значения e x ( ti +1 ) , e y ( ti +1 ) :
e x (ti +1 ) = e i +1 (0) =
æp ö
s i +1 (0)
Eм
+ pi +1 (0) ;
æp ö
s i +1 ç ÷
2
è ø + p æ p ö.
i +1 ç
÷
Eм
è ø
è2ø
Далее по (2.26) находится поле микродеформаций:
e i +1 (Q) = e x (ti +1 ) cos 2 Q + e y (ti +1 ) sin 2 Q,
e y (ti +1 ) = e i +1 ç ÷ =
2
(2.58)
(2.59)
а из (2.54) – поле микронапряжений:
s i +1 (Q) = Eтм (e i +1 (Q) - pi +1 (Q)).
(2.60)
Учитывая, что все характеристики напряженно - деформированного состояния элементов структурной модели на левом конце отрезка [ti; ti+1] известны, то возможна следующая схема расчета ползучести на модели:
1) производится расчет начального упругого поля микронапряжений, микродеформация и макровеличин áexñ , áeyñ согласно (2.53);
2) с использованием начального упругого поля микронапряжений по (2.56) вычисляются приращения деформации ползучести на
отрезке [0, Dt] для всех 0£Q£π/2; по (2.55) рассчитываются
р1(Q)=р0(Q)+Dр1(Q) (р0(Q)º0, 0£Q£π/2);
3) из (2.57) – (2.60) определяются последовательно все характеристики в концце первого интервала [0, t1] (t1 = Dt):
æp ö
s 1 (0), s 1 ç ÷ ® e x (t1 ) , e y (t1 ) ® e1 (Q), s 1 (Q);
è2ø
4) полученные характеристики принимаются за начальные и алгоритм повторяется до тех пор, пока не будет пройден нужный отрезок времени.
Численная реализация указанной процедуры не представляет каких либо трудностей.
В качестве примера на рис. 2.15 точками представлены экспериментальные данные по ползучести для сплава Д20 при Т=3500 С [27],
а сплошными линиями – расчетные кривые ползучести по структурной модели. На рис. 2.16 – 2.18 сплошными линиями приведены экспериментальные данные ползучести сплава ЭП 693 при трех значе58
ниях температур: Т={7000С,
e,%
7250 С, 7500 С}, а штриховы0,4
ми линиями - расчетные кривые ползучести, полученные
по структурной модели. Значения макропараметров для
0,2
указанных материалов представлены в табл. 2.1.
40
80
160 t, ч
Численное исследование
Р и с. 2. 15. Расчетные (сплошные
ползучести показало, что в
линии) и экспериментальные
процессе реологического де(точки) значения деформации
формирования
происходит
ползучести сплава Д20 при
существенное перераспредеТ=3500С:
ление поля микронапряжений
цифры – макронапряжение ásñ: 1-20;
2-25; 3-30 МПа
от упругого состояния до состояния, соответствующего
стадии установившейся ползучести. В частности, на рис. 2.19 представлены эпюры микронапряжений в процессе ползучести образца из
сплава ЭП 693 для значения макронапряжения s x = 200 МПа при
Т= 7000С в различные моменты времени (включая разгрузку при
t=100 часов). Соответствующая кривая ползучести этого образца
представлена на рис. 2.16.
Т а б л и ц а 2.1
Значения параметров для материалов
Материал
Д 20
ЭП 693
ЭП 693
ЭП 693
Температура,
Т0 С
350
700
725
750
N
4,2
4,95
4,28
3,145
А,
МПа-N
0,2 10-10
1,26 10-17
5,9 10-17
1,96 10-16
áЕñ,
МПа
44145
131400
130400
129500
Так, первая стадия ползучести есть прямой результат перераспределения микронапряжений от наиболее нагруженных к менее нагруженным локальным элементам, что вызывает уменьшение микронапряжения в элементарном стержне при Q=0, который, в соответствии с гипотезой (2.12), определяет ползучесть образца. Таким образом, на микроуровне при s x =const мы имеем ползучесть при переменном законе изменения микронапряжений.
59
P, %
P, %
0,3
0,6
0,2
0,4
0,1
0,3
0
20
40
60
80 t, ч
0
20
40
60
80
100 t, ч
Р и с. 2.17. Расчетные (штриховые
линии)
и
экспериментальные
(сплошные линии) кривые ползучести сплава ЭП 693 при Т=7250 С:
Р и с. 2.16. Расчетные (штриховые
линии)
и
экспериментальные
(сплошные линии) кривые ползучести сплава ЭП 693 при Т=7000 С:
цифры - макронапряжение ásñ в МПа
цифры - макронапряжение ásñ в МПа
P, %
s,
МПа
1,0
400
0,8
1
3 2
4
200
0
0,4
5
30
q, град
60
90
-200
0
20
40
60
80
t, ч
Р и с. 2. 18. Расчетные (штриховые
линии)
и
экспериментальные
(сплошные линии) кривые ползучести сплава ЭП 693 при Т=7500 С:
цифры - макронапряжение ásñ в МПа
Р и с. 2.19. Эпюры микронапряжений
для сплава ЭП 693 в процессе ползучести при ásñ=200 МПа (Т=7000 С):
1- t=0 ч; 2- t=3 ч; 3- t=60 ч; 4- t=100-0 ч;
5- t=100+0 ч (разгрузка)
Второй важный вывод заключается в следующем. Из структурной модели следует, что в результате полной разгрузки образца после ползучести ( s x =const, tÎ[0,t*]; s x =0, t>t*) наблюдается
60
обратная ползучесть материала, которая возникает за счет действия
(релаксации) остаточного поля микронапряжений. Из рис. 2.19 следует, что их величина может быть значительной. Величина обратной
ползучести за счет остаточных напряжений в зависимости от показателя нелинейности n может составлять до 10% от деформации ползучести, соответствующей первой стадии.
Факт наличия обратной ползучести, следующий из структурной
модели, объясняет причины этого явления, наблюдаемого экспериментально для ряда металлических материалов, и может служить
«обоснованием» на микроструктурном уровне соответствующих феноменологических теорий [178, 187, 193, 212, 213], учитывающих
обратную ползучесть.
Таким образом, из структурной модели теоретически следует,
что в отсутствии третьей стадии соответствующие феноменологические модели должны описывать первую и вторую стадии ползучести,
а также частично обратимую деформацию неустановившейся ползучести после полной разгрузки.
Практически же вопрос учета или не учета обратной ползучести
каждый раз решается индивидуально и диктуется целями и задачами
исследования, а также величинами допускаемых погрешностей.
2.7. Математическое моделирование накопления
поврежденности и разрушения материалов
при ползучести по структурной модели
Рассмотрим теперь вопрос, связанный с описанием процесса накопления поврежденности и разрушения материала в условиях ползучести в широком диапазоне напряжений (включая напряжения,
превышающие предел пропорциональности) на основании структурной модели. Это необходимо для более глубокого понимания микромеханизмов разрушения, физического состояния материала на этой
стадии и обоснованного выбора соответствующей феноменологической модели.
Для описания процесса разрушения в материале необходимо
ввести критерий разрушения локального элемента структурной модели при наличии микродеформации ползучести и пластичности. В
настоящей работе вводится гипотеза вязкого разрушения, базирующаяся на энергетическом подходе накопления поврежденности в ло61
кальном элементе. В качестве меры поврежденности локального
элемента используется величина
A (Q, t ) A2 (Q, t )
W(Q, t ) = 1
+
,
(2.61)
A1 *
A2 *
t
где A1 (Q, t ) = ò s(Q, x)dx - текущая величина работы микронапряже0
t
·
ния на микродеформации пластичности; A2 (Q, t ) = ò s(Q, x) p (Q, x)dx 0
текущая величина работы микронапряжений на микродеформации
ползучести; A1 * и A2 * - микроконстанты материала (критические
величины работы микронапряжений в локальном элементе на пластической микродеформации и микродеформации ползучести соответственно). Величина угла Q (0£Q£p/2) играет роль параметра. При
этом предполагается, что если W(Q, t ) < 1 (0 £ Q £ p / 2), то локальный элемент находится в неразрушенном состоянии. Время разрушения t=t* элемента определяется из условия W(Q, t * ) = 1 . Разрушение элемента объема материала происходит в результате разрушения
всех локальных элементов.
Предложенный критерий позволяет естественным образом достоверно отразить сложный процесс накопления повреждений материала, не накладывая дополнительных гипотез на законы накопления
поврежденности в локальном элементе, как это сделано, например, в
работе [150]. Очевидно, что данная модель предпочтительнее моделей [11, 259], где в качестве разрушения объема материала выступает
разрушение хотя бы одного локального элемента (гипотеза слабого
звена).
Для определения константы материала A1* необходимо иметь
диаграмму мгновенного упругопластического деформирования
вплоть до разрушения. Несмотря на известные трудности, связанные
с зависимостью диаграммы деформирования от скорости нагружения
при высоких температурах, в работах [133, 174] даются экспериментальные методы ее построения. Методика определения величины A1*
приведена в пункте 2.4 (формулы (2.43)-(2.47)).
Для определения константы A2* необходимо иметь серию кривых стационарной одноосной ползучести с начальным участком
третьей стадии при нескольких значениях s x = const в упругой
62
области работы материала ( s x <sпр). На этих кривых определяются точки (р*, t*), соответствующие границе между второй и третьей
стадиями ползучести, для нахождения которых имеются достаточно надежные методы, изложенные в работах [103, 145, 191].
Вводится гипотеза, согласно которой с этого момента времени
начинается последовательное разрушение локальных элементов
структурной модели, что и является причиной появления третьей
стадии на кривой ползучести, при этом первым выйдет из строя
наиболее нагруженный элемент при Q=0. Поэтому величина A2,
накопленная в этом элементе к моменту времени, соответствующему началу третьей стадии ползучести, и принимается за критическую A2*. Для ее определения достаточно воспользоваться методикой численного расчета ползучести, изложенной в пункте 2.6.
При описании процесса деформирования и разрушения при
ползучести для s x = const на микроуровне возможны две схемы
разрушения: первая соответствует случаю, когда макронапряжение
s x <sпр, и при t=0 все элементы модели находятся в упругом состоянии; вторая соответствует случаю, когда s x ³ sпр, и при t=0
часть локальных элементов находится в упругопластическом состоянии. Наглядно кинетика микронапряжений в процессе неупругого деформирования и разрушения при ползучести для первого и
второго случаев схематически представлена соответственно на
рис.2.20 и рис.2.21.
Рассмотрим математическую модель для схемы разрушения,
представленной на рис.2.20, описывающую процесс деформирования и разрушения образца при <sx > = const ( s x <sпр). Здесь на
рис.2.20,а показана диаграмма распределения микронапряжений,
соответствующих упругому состоянию материала в момент нагружения при t=0. Естественно, что все микронапряжения удовлетворяют неравенству |s (Q)| < sтм. Далее в процессе ползучести происходит перераспределение микронапряжений от упругого состояния
до стационарного состояния, соответствующего стадии установившейся ползучести (рис.2.20,б). При этом в процессе ползучести в
каждом локальном элементе происходит накопление величины работы А2(Q,t) микронапряжения s(Q,t) на микродеформации ползучести p(Q,t), а величина A1(Q,t)=0, так как здесь нет пластических
63
деформаций. До тех пор, пока выполняется неравенство W( Q, t ) < 1 ,
где W определяется (2.61), реализуется схема, соответствующая
рис.2.20,б. В некоторый момент времени t * величина W(Q, t * ) = 1 и
локальный элемент при Q = 0 разрушается. Начиная с этого момента времени происходит последовательное разрушение наиболее
нагруженных элементов, для которых выполняется условие
W( Q, t ) = 1 , 0£Q£a1, а оставшиеся элементы находятся в упругом
состоянии |s(Q,t)| <sтм, a1£Q£p/2. Эта схема представлена на
рис.2.20,в. Следует отметить, что здесь происходит увеличение
максимального значения микронапряжения по сравнению со случаем, представленным на рис.2.20,б; увеличиваются по модулю и
сжимающие микронапряжения.
а
г
б
д
в
е
Р и с. 2.20. Кинетика микронапряжений в процессе деформирования
и разрушения при ползучести (вариант №1)
64
При последующем реологическом деформировании за счет
увеличения относительной доли разрушенных элементов (0£Q£a1)
и увеличения микронапряжений в зоне неразрушенных локальных
элементов, прилегающих справа к a1 , часть элементов попадает в
пластическое состояние (s(Q,t) =sтм, a1£Q£a2); остальные элементы находятся в упругом состоянии (|s(Q,t)| <sтм, a2<Q£p/2). Для
этой схемы (рис. 2.20, г) вычисление величины W( Q ,t ) производится уже с учетом пластической деформации.
Дальнейшая кинематика представлена на рис.2.20, д. В этом
случае элементы при 0£Q<a1 разрушились; при a1£Q<a2 и
a3£Q£p/2 стержни находятся в упругопластическом состоянии
(|s(Q)| =sтм ), остальная же их часть при a2£Q<a3 находится в упругом состоянии (|s(Q)| <sтм ). Следует отметить, что в рассматриваемом случае существует две области упругопластического состояния: одна часть локальных элементов (a1£Q<a2) находится в
состоянии пластического растяжения, а другая (a3£Q£p/2) – в состоянии пластического сжатия, хотя на макроуровне рассматривается одноосное растяжение. При этом в зоне сжатия не происходит
разрушения локальных элементов.
Завершающая схема разрушения представлена на рис.2.20,е.
Дальнейшее развитие деформации ползучести приводит к разрушению не только пластически растянутых (0£Q<a1), но пластически сжатых стержней (a4£Q£p/2). Имеются также неразрушенные
зоны пластически растянутых (a1£Q£a1) и пластически сжатых
(a3£Q£a4) стержней; остальные элементы находятся в упругом состоянии (a2£Q£a3).
Рассмотрим теперь схему второго варианта деформирования и
разрушения при s x >sпр, представленную на рис.2.21. Отличие от
рассмотренной выше схемы состоит в том, что при t=0 приходится
учитывать микропластические деформации и величину W (Q,t) необходимо вычислять с учетом деформаций пластичности. Поэтому
при t=0 (рис.2.21, а) сразу имеем зоны пластического растяжения
(0£Q£a0) и упругую область (a0£Q£p/2). Дальнейшая кинетика
микронапряжений представлена на рис.2.21, б-е. Она аналогична
вышерассмотренной схеме, представленной на рис.2.20, и в комментариях не нуждается.
65
Изложим далее математический аппарат, описывающий представленные графически схемы неупругого реологического деформирования и разрушения материалов.
Для схемы, соответствующей рис.2.20, при t=0 имеем, что
s x <sпр, поэтому в данном случае упругое решение для микронапряженного состояния задается формулами (см.(2.16))
1
s (Q) = 3 s x (cos 2 Q - sin 2 Q);
(2.62)
4
e (Q) = s (Q) / Eм .
а
б
г
д
в
е
Р и с. 2.21. Кинетика микронапряжений в процессе
деформирования и разрушения при ползучести (вариант №2)
Для варианта, представленного на рис.2.21,а, макронапряжение s x при t=0 больше предела пропорциональности и часть локальных элементов (стержней) в данный момент времени находится в упругопластическом состоянии. Поэтому распределение микронапряжений и микродеформаций при t=0 находится согласно
алгоритму, изложенному в пункте 2.4. Далее будем рассматривать
обобщенную задачу ползучести, соответствующую и первому, и
66
второму варианту разрушения. Для ее решения временной интервал разбивают на отрезки длиной D tj (tj+1 = tj +D tj ) и находятся
приращения деформации ползучести на отрезке [tj , tj+1]:
Dр(Q, t j ) = a | s(Q, t j ) | n -1 s(Q, t j ) Dt j ,
(2.63)
причем при t=0 величина s(Q,0) - распределение микронапряжений, соответствующее либо первому, либо второму варианту разрушения, считается известным. Уравнение совместности деформации (2.13) при t=tj запишется в виде:
e(Q, t j ) = e(0, t j ) cos 2 Q + e(p 2, t j ) sin 2 Q.
(2.64)
Рассмотрим математические модели реологического деформирования для схем, изображенных на рис .2.20, б и рис.2.21, б.
Преобразуем (2.64), используя (2.1) и закон Гука (2.2):
s (Q, t j ) p
é s (0, t j )
ù
+ e* (Q) + p (Q, t j ) = ê
+ е*р (0) + p(0, t j ) ú cos2 Q +
Ем
ë Eм
û
é π
ù
ês ( 2 , t j )
ú
p
p p
+ê
+ e* ( ) + p( , t j ) ú sin 2 Q,
(2.65)
2
2
ê Eм
ú
êë
úû
где e*p (Q) - величина микропластической деформации, возникшей в
локальном элементе, при t=0. При этом для случая, представленного на рис. 2.20, а – e*p ( Q ) =0 (0£Q£p/2),а для случая, соответствующего рис. 2.21, а – e*p ( Q ) ¹0 (0£Q£a0) и e*p ( Q ) =0 (a0£Q£p/2).
Величина деформации ползучести определяется из рекурентного
соотношения
р (Q, t j ) = p (Q, t j -1 ) + Dp (Q, t j ) .
(2.66)
Как следует из (2.65) распределение микронапряжений в момент времени t=tj будет иметь вид
ì
é p
ïï é s (0, t j )
ês ( , t j )
ù 2
p
р
s (Q, t j ) = Eм í ê
+ е* (0) + р (0, t j ) ú cos Q + ê 2
+ е*р ( ) +
2
û
ï ë Eм
ê Eм
ëê
îï
ü
p
ù
+ р( , t j ) ú sin 2 Q - e*p (Q) - p(Q, t j ) ý.
2
û
þ
(2.67)
67
Подставляя соотношение (2.67) в первое уравнение равновесия
(2.27) и выполняя интегрирование, получим:
p /2
s x = 2 ò (s (0, t j ) + Eм e*p (0) + Eм р(0, t j )) cos 4 Q sin Qd Q +
0
p /2
p
ò (s ( 2 , t ) + E e
+2
p
м *
j
0
p
p
( ) + Eм р( , t j )) cos2 Q sin 3 Qd Q 2
2
p /2
ò
-2 Eм
p /2
e*p (Q) cos2 Q sin Qd Q - 2 Eм
0
ò
p(Q, t j ) cos 2 Q sin Qd Q =
0
2
4
p
= (s (0, t j ) + Eм e*p (0) + Eм P(0, t j )) + (s ( , t j ) +
5
15
2
p
p /2
p
+ E е ( ) + Eм р( , t j )) - 2 Eм
2
2
р
м *
-2 Eм
p /2
ò
òe
p
*
(Q) cos 2 Q sin Qd Q -
0
p (Q, t j ) cos 2 Q sin Qd Q.
0
Подставляя теперь (2.67) во второе уравнение равновесия
(2.27) и выполняя интегрирование, находим
p /2
ò [s (0, t ) + E е
р
м *
j
(0) + Ем р(0, t j )]cos2 Q sin 3 Qd Q +
0
p /2
+
p
ò [(s ( 2 , t ) + E е
j
0
- Eм
p /2
ò
р
м *
p
p
( ) + + Ем р ( , t j )]sin 5 Qd Q 2
2
e*p (Q)sin 3 Qd Q - Eм
p /2
ò
0
p(Q, t j ) sin 3 QdQ =
0
2
= [s (0, t j ) + Eм е*р (0) + Ем р(0, t )] +
15
8
p
p
p
+ [s ( , t j ) + Eм e*p ( ) + Eм р ( , t j )] 15
2
2
2
p /2
- Eм
ò
0
68
p /2
e*p (0)sin 3Qd Q - Eм
ò
0
р(Q, t j )sin 3 Qd Q = 0.
Объединяя эти два полученных уравнения в систему, получим
4
p
ì2
p
ï 5 [s (0, t j ) + e* (0) Eм + Eм p(0, t j )] + 15 [s ( 2 , t j ) +
ï
p /2
p
ï
р p
р
2
E
е
Е
р
t
E
(
)
(
,
)]
2
+
+
j
м
м ò е* (Q) cos Q sin Qd Q ï м * 2
2
0
ï
p /2
ï
ï-2 Eм ò р (Q, t j ) cos2 Q sin Qd Q = s x ;
ï
0
(2.68)
í
2
ï
р
ï15 [s (0, t j ) + Eм е* (0) + Eм р(0, t j )] +
ï
ï+ 8 [s ( p , t ) + E е р ( p ) + Е р ( p , t )] j
j
м *
м
ï 15
2
2
2
ï
p /2
p /2
р
3
ï- E
е (Q)sin Qd Q - Eм ò р(Q, t j ) sin 3 Qd Q = 0.
ï м ò *
î
0
0
Решение системы (2.68) относительно s(0,tj) и s(p/2,tj) дает
следующие выражения:
p /2
ì
3
p
2
s
(0,
t
)
=
é
2
s
+
4
E
ï
j
х
м ò (e* (Q) + p (Q, t j )) cos Q sin Qd Q ë
2
0
ï
p /2
ï
ï- Eм ò (e*p (Q) + p(Q, t j ))sin 3 Qd Q ù - Eм (е*р (0) + р(0, t j ));
û
ï
0
(2.69)
í
p /2
p /2
9é
2
ï p
p
p
3
ïs ( 2 , t j ) = 4 ê Eм ò (e* (Q) + p (Q, t j ))sin Qd Q - 3 Eм ò (e* (Q) +
0
0
ë
ï
ï
1
p
ù
2
р p
ï+ p(Q, t j )) cos Q sin Qd Q - < s x > ú - Eм (е* ( ) + р( , t j )).
3
2
2
û
îï
Зная s (0,tj) и s (p/2,tj), из (2.67) с учетом (2.66) определяется
s (Q,tj), а далее находятся величины
e (Q, t j ) = s (Q, t j ) / Eм + е*р (Q) + р (Q, t j );
< e x (t j ) >= e (0, t j ).
Расчет по указанной схеме производится до тех пор, пока выполняется неравенство W (Q,tj)<1 (0£Q£p/2), где W определяется
(2.61).
69
Когда наиболее нагруженный элемент системы при Q =0 выйдет из строя (разрушится), схема расчета изменяется (рис. 2.20, в и
рис. 2.21, в). Здесь в процессе расчета вычисляется величина W,
задаваемая соотношением (2.61), и определяется угол a1, при котором выполняется W(a1, tj) = 1. После разрушения стержней для
0£Q£a1 соотношение (2.26) справедливо при изменении угла Q от
a1 до p/2. Записывая это соотношение для Q = a1 , с учетом (2.1) и
закона Гука (2.2), для t=tj имеем
s (a1 , t j ) + е*р (a1 , t j ) + р (a1 , t j ) = e x cos 2 a1 +
é p
ù
ês ( 2 , t j )
ú
p
p p
+ê
+ e* ( ) + p( , t j ) ú sin 2 a1 .
2
2
ê Eм
ú
ëê
ûú
(2.70)
Выражая из (2.70) величину e x , подставляя ее значение в
(2.26), используя (2.1) и закон Гука (2.2), получим
ïì é s (a1 , t j )
s (Q, t j ) = Eм í ê
+ e*p (a1 ) + p(a1 , t j ) E
м
îï ë
-(
p
s ( ,t j )
2
Eм
2
p
p
ù cos Q
+ е*р ( ) + р ( , t j ))sin 2 a1 ú ×
+
2
2
2
û cos a1
é p
ù
ês ( 2 , t j )
ú
ü
p
p p
+ê
+ e* ( ) + p( , t j ) ú sin 2 Q - e*p (Q) - p(Q, t j ) ý .(2.71)
2
2
þ
ê Eм
ú
ëê
ûú
Уравнения равновесия для данного случая запишутся в виде
p /2
s x = 2 ò s (Q, t j ) cos2 Q sin Qd Q;
a1
p /2
ò s (Q, t )sin
a
j
3
Qd Q = 0.
(2.72)
1
Подставляя (2.71) в (2.72) и выполняя вычисление интегралов, получим систему уравнений для определения s(a1 ,tj ) и s(p/2, tj):
70
s (a1 , t j )
2
4
cos3 a1 Eм (
) + e*p (a1 ) + p (a1 , t j ) + cos3 a1Eм (
5
15
Ем
p
p
+е*р ( ) + р ( , t j )) - 2 Eм
2
2
p /2
ò (е
a
р
*
p
s ( ,tj )
2
Eм
+
(Q) + р(Q, t j )) cos2 Q sin Qd Q = s x ;
1
ö
Eм (5cos a1 - 3cos a1 ) æ s (a1 , t j )
×ç
+ е*р (a1 ) + р (a1 , t j ) ÷ +
15
è Eм
ø
æ p
ö
÷
Eм (10cos a1 - 2cos3 a1 ) ç s ( 2 , t j )
p
p p
+
×ç
+ e* ( ) + p ( , t j ) ÷ Eм
15
2
2
çç
÷÷
è
ø
3
- Ем
p /2
ò (е
a
р
*
(2.73)
(Q) + р(Q, t j ))sin 3 Qd Q = 0.
1
Решая систему (2.73) относительно s(a1, tj ) и s(p/2, tj), получаем
3(5 - cos 2 a1 ) é s x
+
s (a1 , t j ) =
ê
2 cos 3 a1 ë 2
p /2
+ Eм
ò (e
a
p
*
1
3Eм
2cos a1
ù
(Q) + p (Q, t j )) cos 2 Q sin Qd Q ú úû
p /2
ò (e
a
p
*
(Q) + p (Q, t j ))sin 3 Qd Q -Eм éë e*p (a1 ) + p (a1 , t j ) ùû ;
1
p
3(3cos 2 a1 - 5) é s x
s ( ,t j ) =
+
ê
2
4cos3 a1
ë 2
+ Eм
p /2
ò
a1
(2.74)
ù
(e*p (Q) + р (Q, t j ))cos 2 Q sin Qd Q ú +
úû
p /2
p
é p
ù
(Q) + p(Q, t j ))sin 3 Qd Q - Eм êe*p ( ) + p( , t j ) ú .
2
2
ë
û
a1
Таким образом, схема расчета при t=tj в данном случае следующая:
+
9
Eм
4cos a1
ò (e
p
*
71
(2.63) ®Dр(Q,tj)
(2.66)
®s(a1,tj), s(p/2,tj)
p(Q,tj)
(2.70)
áeхñ
(2.61)
W (Q,tj) ® W (a1,tj) = 1
(2.71)
(2.74)
s(Q,tj) .
При этом расчет по данной схеме ведется до тех пор, пока выполняется неравенство |s(Q,tj)|< sтм (a1£Q£p/2).
Рассмотрим теперь математическую модель, соответствующую схемам разрушения, представленным на рис. 2.20, г и
рис. 2.21, г. Здесь, начиная с некоторого момента времени, возникает ситуация, когда наряду с областью разрушения локальных
элементов (0£Q£a1), возникает область пластически растянутых
локальных элементов (a1£Q£a2). В силу того, что в реологических
свойствах локальных элементов заложена идеальная пластичность,
для пластически растянутых элементов полагается Dр(Q,tj)=0
(a1£Q£a2), так как модель идеально пластического тела предполагает бесконечную скорость пластической деформации при
s(Q,tj)=sтм . Поскольку микронапряжения сжатия в данном случае
удовлетворяют неравенству |s(Q,tj)|<sтм , то для пластически растянутых стержней в области (a1£Q£a2) с учетом (2.1), (2.2) и (2.26)
имеем
p
s ( ,t j )
p
e p (Q, t j ) = e x cos 2 Q + ( 2
+ e*p ( ) +
Eм
p
2
s
+ p ( , t j )) ´ sin 2 Q - тм - р* (Q),
(2.75)
2
Ем
где р*(Q) – накопленная деформация ползучести в данных стержнях к моменту времени, когда микронапряжение s(Q,t) достигло
значения sтм.
Записывая соотношение (2.26) с учетом (2.1) и (2.2) для угла
Q=a2 и выражая из него e x , получим
é s ТМ
+ е*р (a 2 ) + р(a 2 , t j ) ë Ем
ex = ê
æ p
ö
ç s ( 2 ,t j )
÷
ù
p
p
-ç
+ e*p ( ) + p( , t j ) ÷ sin 2 a 2 ú / cos2 a 2 . (2.76)
2
2
û
çç Eм
÷÷
è
ø
72
В упругой области (a2£Q£p/2) распределение микронапряжений вновь может быть получено из (2.26) с учетом (2.76):
ìï és
s (Q, t j ) = Eм í ê тм + е*р (a 2 ) + р (a 2 , t j ) îï ë Ем
ù
æ p
ö
ç s ( 2 ,t j )
÷ 2 ú cos 2 Q
p
p p
-ç
+ e* ( ) + p( , t j ) ÷ sin a 2 ú ´
+
2
E
2
2
cos
a
м
1
ú
çç
÷÷
è
ø
ûú
é p
ù
ü
ês ( 2 , t j )
ú
p
p
ï
р
2
p
+ê
+ е* ( ) - р( , t j ) ú ´ sin Q - e* (Q) - p (Q, t j ) ý .(2.77)
2
2
ï
ê Eм
ú
þ
ëê
ûú
Уравнения равновесия для данного случая принимают вид
p
a2
2
s x = 2 ò s тм cos 2 Q sin Qd Q + 2 ò s (Q, t j ) cos2 Q sin Qd Q;
a1
a2
2
ò s тм cos Q sin Qd Q +
a1
a2
p /2
ò s (Q, t ) cos
a
j
2
Q sin Qd Q = 0.
(2.78)
2
Подставляя (2.77) в (2.78) и выполняя интегрирование,
получим:
2
s x = éës тм (5cos3 a1 - 2cos3 a 2 ) + 3Eм (e*p (a 2 , t j )) cos3 a 2 +
15
æp ö
æp ö
æp ö
+2cos3 a 2 (s ç , t j ÷ + Eм e*p ç ÷ + Eм p ç , t j ÷) è2 ø
è2ø
è2 ø
æ p2
ö
ç
÷ ù
p
2
-15Eм ç ò (e* (Q) + p(Q, t j ) cos Q sin Qd Q ÷ ú ,
ç a2
÷ û
è
ø
2
1
2
æ
ö
s тм ç cos3 a 2 - cos3 a1 - cos a 2 + cos a1 ÷ +
15
3
3
è
ø
1
æ1
ö
+ Eм ( e*p (a 2 ) + p (a 2 , t j ) ) ç cos a 2 - cos3 a 2 ÷ +
5
è3
ø
73
é æp ö
æ æp ö
+ ês ç , t j ÷ + Eм ç e*p ç ÷ +
è è2ø
ë è2 ø
2
æ p ö öù æ 2
ö
p ç , t j ÷ ÷ú × ç cos a 2 - cos3 a 2 ÷ 15
è 2 ø øû è 3
ø
p
2
- Eм ò (e*p (Q) + p (Q, t j ))sin 3 Qd Q = 0.
(2.79)
a2
Исключая из второго уравнения (2.79) величину s (p/2;tj) и
подставляя ее в первое уравнение (2.79), получим уравнение относительно величины a2 (величина a1 является известной), которое
решается численно. Зная величину a2 , из второго уравнения (2.79)
определяется s(p/2;tj).
Таким образом, схема расчета при t=tj для данного случая:
(2.63) ®Dр(Q,tj)
(2.66)
(2.80)
s(p/2,tj)
a2
(2.77)
(2.79)
p(Q,tj)
(2.75)
(2.61)
W (Q,tj) ® W (a1,tj)=1®
ep (Q,tj)
(2.76)
ex
s(Q,tj) (a1£Q£p/2).
®
(2.80)
Расчет по алгоритму (2.80) продолжается до тех пор, пока
|s(Q,tj)|<sтм.
Перейдем к математическому описанию схем, представленных
на рис. 2.20, д и рис. 2.21, д. Распределение микронапряжений для
рассматриваемого случая будет следующим: при a1£Q£.a2 имеем
область пластического растяжения и s(Q,tj)=sтм; при a2£Q£.a3 –
упругое состояние; при a3<Q£.p/2 имеем область пластического
сжатия s(Q,tj)= – sтм.
Поскольку при Q=a2 и Q=a3 имеем упругое состояние, то
уравнения равновесия (2.26) дают
s тм
Ем
-
+ е*р (Q) + р (a 2 , t j ) = e x cos 2 a 2 + e y sin 2 a 2 ;
s тм
Ем
+ е*р (Q) + р(a 3 , t j ) = e x cos 2 a 3 + e y sin 2 a 3 .
Решая (2.81) относительно e x и e y , получим
74
(2.81)
ù
ïìé s тм
+ е*р (a 2 ) + р(a 2 , t j ) ú sin 2 a 3 ïîë Ем
û
e x = íê
é s
ù
ü
- ê - тм + е*р (a 3 ) + р(a 3 , t j ) ú ´ sin 2 a 2 ý /(cos 2 a 2 - cos 2 a 3 );
þ
ë Ем
û
ù
ïìé s
e y = - íê тм + e*p (a 2 ) + p(a 2 , t j ) ú cos 2 a 3 û
îïë Ем
(2.82)
é s
ù
ü
- ê - тм + e*p (a 3 ) + p(a 3 , t j ) ú ´ cos 2 a 2 ý /(cos2 a 2 - cos2 a 3 ).
þ
ë Eм
û
Чтобы получить упругое распределение микронапряжений
(a2£Q£.a3), достаточно подставить (2.82) в (2.26) и воспользоваться
(2.1) и (2.2). В результате имеем
s (Q, t j ) = Eм éë e x cos 2 Q + e y sin 2 Q - e*p (Q) - p (Q, t j ùû ,
где e x и e y
(2.83)
задаются (2.82).
Уравнения равновесия (2.27) в данном случае имеют вид
a2
a3
a1
a2
s x = 2 ò s тм cos2 Q sin Qd Q + 2 ò s (Q, t j )cos 2 Q sin Qd Q p /2
-2
òs
a
тм
(2.84)
cos2 Q sin Qd Q;
3
a2
òs
a
1
a3
sin Qd Q + ò s (Q, t j )sin 3 Qd Q 3
тм
a2
p /2
òs
a
тм
sin 3 Qd Q = 0,
3
где s(Q,tj) определяются соотношениями (2.82), (2.83).
Соотношения (2.84) можно рассматривать как систему уравнений относительно a2 и a3, которая решается численно (величина a1
считается известной и определяется из уравнения W(a1,tj)=1).
Записывая уравнения совместности деформации (2.26) в области пластически растянутых и пластически сжатых элементов
модели, получим
75
s тм
Ем
-
+ р* (Q) + е р (Q, t j ) = e x cos 2 Q + e y sin 2 Q, a1 £ Q £ a 2 ;
s тм
Ем
+ р (Q) + е (Q, t j ) = e x cos Q + e y sin Q, a 3 £ Q £
*
2
р
2
p
2
(2.85)
,
при этом величина ер(Q,tj) включает в себя величину e*p (Q).
При известных a2 и a3 соотношения (2.85) позволяют определить ер(Q,tj).
Суммируя вышеизложенное, приведем схему расчета при t=tj
для рассмотренного случая:
(2.63) ®Dр(Q,tj)
(2.84)
a2 ® a3
(2.66)
(2.82)
p(Q,tj)
(2.61)
ex , ey
W (Q,tj) ® W (a1,tj)=1
(2.83)
s(Q,tj) (a2£Q£a3)
(2.85)
®ep (Q,tj) (a1£Q£a2, a3£Q£p/2).
(2.86)
Схема (2.86) реализуется до тех пор, пока в области пластически сжатых элементов выполняется неравенство W(a1,tj)<1.
Наконец, для завершающей схемы деформирования и разрушения при ползучести, представленной на рис. 2.20, е и рис. 2.21, е,
математическая модель аналогична предыдущему случаю. Единственное изменение касается изменения пределов интегрирования в
третьих интегралах соотношений (2.84) по Q: a3£Q£a4. Величины
a1 и a4 определяются из соотношения W(a1,tj)=1 в области пластически растянутых и пластически сжатых элементов соответственно.
2.8. Адекватность структурной модели
экспериментальным исследованиям по ползучести
и разрушению материалов
Экспериментальная проверка, рассмотренной в пункте 2.7
структурной модели в условиях ползучести была выполнена для
ряда металлов и сплавов как в условиях стационарного, так и
нестационарного нагружений. В качестве примера рассмотрим экспериментальные данные по неупругому реологическому деформированию и разрушению сплава ЭИ698 при Т=700оС и Т=750оС. На
рис. 2.11 и рис.2.22 сплошными линиями представлены экспери76
ментальные диаграммы упругопластического деформирования указанного сплава при соответствующих температурах. На основании
этих данных были определены значения макромодуля Юнга E ;
предела пропорциональности s пр ; пластической деформации e sp ,
соответствующей максимуму диаграммы деформирования, которые
s,
представлены в таблице 2.2. Далее МПа
по методике, изложенной в пункте
2.4, были рассчитаны теоретические диаграммы по структурной
500
модели, которые представлены на
рис. 2.11 и рис. 2.22 штриховыми
линиями.
На рис.2.23 сплошными линиями приведены эксперимен0
0,08 0,16 e , %
тальные кривые стационарной
ползучести этого же сплава при
Р и с. 2.22. ЭксперименТ=750оС вплоть до разрушения
тальная (сплошная линия) и
расчетная по структурной
при различных ásхñ=const. Согласмодели (штриховая линия)
но методике, изложенной в пункте
диаграммы упругопласти2.3, были определены параметры А
ческого
деформирования
и
N
аппроксимации
(2.19):
-35
-N
сплава
ЭИ
698
при Т=7000С
А=8,13×10
(МПа) и N=10,96.
Далее согласно методике [145] для каждой экспериментальной
кривой были определены значения времени t1 начала третьей стадии ползучести, которые приведены в табл.2.3. Применяя для каждой из кривых ползучести расчет по структурной модели до времени t=t1, были вычислены критические значения удельной работы
А2* (см. табл.2.3) и в результате осреднения было получено значение áA2*ñ=6,03 МН×м/м3.
На рис.2.23 штриховыми линиями показан расчет кривых ползучести по структурной модели для стационарного, а на рис.2.24 –
нестационарного режимов нагружения для этого сплава.
В таблице 2.3 приведены расчетные по структурной модели
(t1*) и экспериментальные (t2*) значения времени до разрушения
этого сплава. Как следует из рис.2.23 и рис.2.24, а также данных
табл.2.3, наблюдается удовлетворительное соответствие расчетных
и экспериментальных данных.
77
Т а б л и ц а 2.2
Значения макропараметров сплава ЭИ 698
Материал
Температура, ТоС
N
A,
МПа-N
ЭИ698
700
750
10,96
10,96
8,13×10-35
1,28×10-33
E ×10-5,
МПа
1,52
1,47
sпр,
МПа
еsp
500,3
480,7
0,14
0,09
Т а б л и ц а 2.3
Значения удельной работы разрушения локального элемента (А2*),
время начала третьей стадии (t1) согласно [145] и по структурной модели (t2), расчетные значения начала лавинной ползучести (t3), расчетные (t1*) и экспериментальные (t2*) значения времени до разрушения для сплава ЭИ698 при Т=750оС
ásxñ, МПа
А2*, Мн×м/м3
t1, ч.
t2, ч.
t3, ч.
t1*, ч.
t2*, ч.
373
4,97
60
102
127,6
129
116,5
421,8
6,67
30
33
37,3
38
46,5
470,9
7,45
10
9,6
10,4
10,7
12,75
Проанализируем подробно кинетику микродеформирования на
примере ползучести образца из сплава ЭИ 698 при Т=750 0С при
s x = 380 МПа. Здесь s x <sпр и имеем схему разрушения, представленную на рис.2.20. На рис.2.25 приведены экспериментальная
(сплошная линия) и расчетная (штриховая линия) кривые ползучести, а на рис.2.26 представлены эпюры распределения микронапряжений в четырех характерных точках, отмеченных цифрами 1-4
на расчетной кривой ползучести (см. рис.2.25). Как следует из
рис.2.26 сначала идет перераспределение микронапряжений от упругого состояния (точка 1) до состояния установившейся ползучести (точка 2) без разрушения локальных элементов. Начиная с точки 2 происходит последовательное разрушение локальных элементов, но при этом микронапряжение |s(Q)|<sтм. В точке, отмеченной
на рис. 2.26 стрелкой, наиболее нагруженный из неразрушенных
78
локальных элементов достигает значения sтм и дальнейшее микроразрушение происходит в упругопластической области. Начиная с
этого момента времени в полную реологическую макродеформацию кроме упругой деформации и деформации ползучести аддитивной составляющей будет входить и деформация пластичности,
хотя напряжение s x <sпр. Точка 4 и соответствует этой области
разрушения. Как следует из рис.2.26 для точки 4 около трети локальных элементов уже разрушились, причем сжимающие микронапряжения приближаются к микропределу текучести.
Таким образом, начало третьей стадии ползучести связано с
началом разрушения локальных элементов. В таблице 2.3 приведены расчетные значения времени начала третьей стадии ползучести
по структурной модели для кривых ползучести, представленных на
рис 2.23.
P,%
P,%
2,4
1,8
1,6
1,2
0,8
0,6
0
40
80
120 t, ч
Р и с. 2.23. Экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные
(штриховые линии) кривые стационарной ползучести сплава
ЭИ 698 при Т=750 0С:
1 - ásxñ=373; 2 - ásxñ=421; 3 -ásxñ=470,9
МПа; ´ – разрушение
0
40
80
t, ч
Р и с. 2.24. Экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные
(штриховые линии) кривые ползучести сплава ЭИ 698 при Т=750 0С
при переменных режимах нагружения:
1 - ásxñ=373; 2 - ásxñ=0; 3 - ásxñ=421,8;4 ásxñ=470,9 МПа; ´ – разрушение
79
s ×10 -2 ,
МПа
10
Р, %
5
2,4
1,6
0
0,8
-5
0
40
80
t, ч
Р и с. 2.25. Расчетная (штриховая линия) и экспериментальная
кривые ползучести сплава ЭИ
698 при Т=7500С и ásxñ=373 МПа
-10
22,5
45
67,5
Р и с. 2.26. Эпюры микронапряжений, соответствующие точкам 1-4
на кривой ползучести сплава ЭИ
698 при Т=7500С и ásxñ=373 МПа
На рис.2.27 приведены экспериментальная (сплошная линия) и
расчетная (штриховая линия) кривые ползучести для сплава ЭИ698
при Т=700оС при s x =520 МПа. В данном случае s x >sпр (см.
табл.2.2) и реализуется вторая схема разрушения, соответствующая
рис.2.21.
На рис.2.28 приведена кинетика полей макронапряжений в процессе ползучести для характерных точек, отмеченных на расчетной
кривой ползучести точками 0-5 (см. рис.2.27). Как следует из
рис.2.28,а при t=0 сразу возникают пластические деформации; далее
в процессе ползучести идет их релаксация до состояния, соответствующего стадии установившейся ползучести, а затем начинается
процесс микроразрушения элементов (рис.2.28, б).
На рис.2.29 в качестве примера приведены расчетные и экспериментальные кривые ползучести для этого же сплава при Т=700оС
для других уровней макронапряжений.
Суммируем полученные результаты.
Детальный анализ ползучести металлов на основании разработанной модели для случая одноосного напряженного состояния
показал, что на третьей стадии ползучести локальные элементы начинают выходить из строя. С феноменологических позиций это
80
соответствует уменьшению эффективной площади поперечного сечения образца. По мере разрушения локальных элементов даже в
упругой области при s x =const ( s x < sпр) в некоторый момент
времени микронапряжения в части локальных элементов достигают
микропредела текучести и в них наряду с ползучестью развивается
пластическое течение. На рис.2.23 и рис.2.24 этот момент времени
отмечен стрелкой. По-видимому, этот момент времени можно принять за начало четвертой (“лавинной”) стадии ползучести, на
которую указывалось в работах [15, 160]. К тому же такой подход
обосновывает физическое состояние материала в момент начала “лавинной’ стадии ползучести. В табл. 2.3 приведены расчетные
значения времени начала “лавинной” ползучести (t3) сплава ЭИ 698
при Т=750оС для кривых ползучести, представленных на рис.2.23.
Известно [104], что продолжительность третьей стадии ползучести для многих материалов составляет до 50% и более общей
долговечности материала. Поэтому вполне очевидна возможность
эксплуатации материала и на этой стадии, но только до начала лавинной ползучести, так как последняя составляет незначительное
время в общей длительности третьей стадии и на ней часто происходит локализация процессов разрушения. Отсюда вполне очевидна
актуальность задачи определения времени начала “лавинной” ползучести. В отличие от работы [15], где предложенный чисто
геометрический метод определения начала лавинной ползучести
применим лишь для стационарных кривых ползучести, по структурной модели это можно сделать при произвольных изменениях
напряжения, так как кинетика накопления поврежденности в каждом
локальном элементе фиксируется в процессе расчета.
Анализ ползучести металлов по структурной модели показал,
что при незначительной длительности лавинной ползучести накопленная деформация на этой стадии составляет 60-70% от всей
неупругой деформации до момента разрушения и складывается из
двух совершенно различных по механизму образования компонент:
пластической деформации и деформации ползучести.
Таким образом, при построении феноменологических реологических уравнений, описывающих все три стадии ползучести, и
формировании критерия разрушения необходимо учитывать даже в
упругой области ( s x < sпр) не только деформацию ползучести, но и
деформацию пластичности.
81
Р и с. 3.27. Расчетная (штриховая линия) и экспериментальная
(сплошная линия) кривые ползучести сплава ЭИ 698 при Т=7000 С
для s x =520 МПа
а
б
Р и с. 2.28. Эпюры микронапряжений, соответствующие состояниям 0-5 на кривой ползучести для сплава ЭИ 698 при Т=7000 С для
s x =520 МПа
Р, %
2
1
0
96
192
t,
ч
Р и с. 2.29. Расчетные (штриховые линии) и экспериментальные (сплошные линии) кривые ползучести сплава
ЭИ 698 при Т=7000С:
1 - s x =567 МПа; 2 - s x = 471 МПа
82
2.9. Исследование упругопластического деформирования
при знакопеременном нагружении
В настоящем пункте ставится задача описания процесса упругопластического деформирования при знакопеременном (в частности,
циклическом) нагружении с помощью рассмотренной выше структурной модели. Сначала рассмотрим эффект Баушингера, который
играет важную роль при оценке поведения упругопластических систем при циклических нагружениях.
Как известно [142], если образец, предварительно растянутый за
предел упругости, сжимать, то пластические деформации на сжатие
появляется при меньшем значении осевой нагрузки, чем при предшествующем растяжении; предел упругости при последующем сжатии
уменьшается и тем в большей степени, чем выше было напряжение
предшествующего растяжения. Аналогичные изменения наблюдаются и в случае растяжения после предварительного сжатия. Это
явление, получившее название эффекта Баушингера, было обнаружено у большого числа металлов при одноосном нагружении, а
также при других видах напряженного состояния.
Первая попытка объяснить эффект Баушингера и наблюдающиеся при повторном нагружении петли гистерезиса была сделана
Мазингом (G.Masing) еще в середине двадцатых годов двадцатого
столетия. Он исходил из того, что отдельные зерна в поликристаллическом теле, вследствие различия их ориентировок и анизотропии
кристаллов, имеют различные механические характеристики и деформируются по разному. Им была предложена интересная
структурная модель, моделирующая реальное микронапряженное
состояние материала конструкционной неоднородностью элементов
модели. Образец фактически моделировался 10 параллельно соединенными элементами, наделенными свойствами линейной упругости
и идеальной пластичности. При этом элементы модели имели различные пределы текучести, величины которых относились как 1 : 2 :
3… : 10 (sт1=sт,sт2=2sт,…sт10=10sт).
Эта идея моделирования микронеоднородности напряженнодеформированного состояния материала конструкционной неоднородностью (структурной моделью) нашла свое развитие и в более
поздних работах, например [48,172,180,181,209], для материалов со
сложными реологическими свойствами.
83
Несколько иной принцип моделирования микронеоднородности
предлагался в работах В.С.Зарубина, Ю.И. Кадашевича, М.А. Кузьмина [69], В.В.Новожилова и Ю.И. Кадашевича [76–78, 156], Ю.Н.
Шевченко и Р.Г.Терехова [265], Д.Ф.Бесселинга [272], В.Ю. Марины
[136], в которых макрохарактеристики материала получаются в результате
осреднения
микронапряженно-деформированного
состояния с известными законами распределения механических
свойств.
Объединяет эти работы одна идея: эффект Баушингера – следствие остаточных полей микронапряжений и микродеформации,
возникающих в процессах упругопластического деформирования и
разгрузки, наличие которых при обычных опытах на растяжение –
сжатие выявлено быть не может.
В этом плане интересны по своей сути экспериментальные исследования по измерению теплоты, выделяющейся при
макроскопически однородной деформации [22]. Сравнение соответствующей этой теплоте работы с работой, затраченной на
пластическую деформацию, показывает, что механический эквивалент выделившейся теплоты всегда заметно меньше затрачиваемой
работы. Из этого следует, что в однородно деформированном (на
макроуровне) упругопластическом теле после снятия с него всей нагрузки остается поле упругих микродеформаций и соответствующее
ему поле остаточных микронапряжений, появление которого может
быть объяснено только микроскопической неоднородностью пластических свойств тела.
Таким образом, в однородно деформированном (на макроуровне) упругопластическом теле после снятия с него всей нагрузки
остаются поля упругих микродеформаций и соответствующее ему
поле микронапряжений, которые и ответственны за эффекты деформационной анизатропии (типа эффекта Баушингера).
Здесь следует также отметить, что при видимой однородности
макродеформаций и макронапряжений в испытываемом за пределом
упругости (текучести) образце возникают не только упругие, но и
пластические неоднородные микродеформации, которые при опытах,
типа рассмотренных в [22], не могут быть выявлены. Но как отмечалось в работе [156], на них тратится работа, по-видимому, сравнимая
по величине с работой, затрачиваемой на упругие остаточные микродеформации, так, что в действительности из всей работы,
затрачиваемой на пластическую деформацию тела, вероятно, не ме84
нее 10-15% должно быть отнесено за счет самоуравновешенных микронапряжений и соответствующих им микродеформаций.
Высказанная гипотеза достаточно интересна и может быть проверена на основе предложенной в данной работе структурной
модели. Для этой цели был выполнен расчет диаграммы упругопластического деформирования сплава
ЭИ 698 при Т=7500 С (сплошная
линия на рис. 2.30) и произведена
разгрузки в точках 1-6, соответствующих напряжениям s x ={580,
640, 700, 760, 820, 860} МПа соответственно. При этом напряжения
s x в точках 1-6 таковы, что в
процессе упругопластического деформирования при растяжении
была реализована только схема
микродеформирования, представленная на рис 2.3, б, т.е. s(Q) =sтм
(0£Q£a1), а в области a1£Q£p/2
реализуется чисто упругое состояние элементов модели и для этих
Р и с. 2.30. Диаграмма
углов ер(Q) = 0.
упругопластического деНа рис. 2.31 приведены эпюры
формирования сплава ЭИ
остаточных микронапряжений в
698 при Т=7500 С и мо результате разгрузки в точках 1-6.
менты разгрузки
Работа микронапряжений на
пластических микродеформациях принимает вид
a1
e p ( Q)
0
0
A1 = ò d Q
ò
a1
s тм de p = s тм ò e p ( Q ) d Q .
(2.87)
0
Обозначим остаточные микронапряжения при разгрузке через
sост (Q). Тогда работа остаточных напряжений на упругих микродеформациях определится из соотношения
p
2
1 2 ост
éës ( Q )ùû d Q .
A2 =
(2.88)
ò
2 Eм 0
Используя методику, изложенную в пункте 2.4, для рассматриваемого сплава ЭИ 698 был выполнен расчет напряженно-
85
деформированных состояний в точках 1-6 диаграммы упругопластического растяжения и далее по (2.87) была рассчитана величина А1. В
табл. 2.4 приведены абсолютные значения А1 и А2 и их отношение
А1/А2, выраженное в процентах, для точек 1-6 (в таблице указаны
соответствующие им макронапряжения s x ). Как следует из данных
приведенной таблицы, гипотеза авторов [156] близка к действительности.
Р и с. 2.31. Эпюры остаточных напряжений при полной разгрузке сплава ЭИ 698 при Т=750о С для состояний, изображенных на рис. 2.30 точками 1-6
Перейдем теперь к описанию эффекта Баушингера на основании
структурной модели. Ранее было указано, что одним из проявлений
эффекта Бушингера является снижение предела пропорциональности
(упругости) при сжатии после предварительного упругопластического растяжения образца. Проанализирует, каким образом изменяется
отношение Кs =
s прс
в зависимости от величины пластической деs прр
формации ер , накопленной при упругопластическом растяжении к
моменту разгрузки, где s прр - предел пропорциональности при расс
тяжении, s пр
- предел пропорциональности при сжатии после
предварительного упругопластического растяжения.
86
Т а б л и ц а 2.4
Значения работы микронапряжений на микропластической
деформации (А1), работы остаточных микронапряжений на
микроупругих деформациях (А2) и их отношение
s x , МПа
МДж
м3
МДж
А2,
м3
А1,
А2
,%
А1
350
388
426
464
502
540
0,0094
0,0278
0,0634
0,1347
0,2988
0,9261
0,0004
8
0,0021
0,0055
0,0112
0,0216
0,0421
5,1
7,55
8,67
8,5
6,2
5,1
Рассмотрим образец из поликристаллического
материала,
который был подвергнут повторному
знакопеременному нагружению. Для
определенности будем считать, что
сначала образец был упругопластически растянут до напряжения
sx
p
, а затем сжат до появления
пластических деформаций сжатия
(см. рис. 2.32). Макронапряжению
p
s x соответствует распределению
микронапряжений s (Q), которое
рассчитывается по методике, излоР и с. 2.32. Схематическая
женной в пункте 2.4. Тогда для
диаграмма упругопластисостояния полной разгрузки поле
ческого деформирования
ост
остаточных микронапряжений s
при
изменении
знака
(Q) определяется из соотношения:
нагружения
s ост (Q) = s(Q ) - s упр (Q ) , (2.89)
где sупр (Q) – упругое поле, соответствующее макронапряжению
p
s x , задаваемое выражением
87
1 2 ö
æ 2
(2.90)
ç cos Q - sin Q ÷ .
4
è
ø
Типичные картины распределения sост(Q) представлены на
рис. 2.31.
s упр ( Q ) = 3 s x
p
c
Определим макронапряжение s x , при котором появятся пластические деформации при сжатии в одном наиболее нагруженном
локальном элементе модели. Тогда это значение
sx
c
и будет
представлять величину s .
с
пр
Распределение микронапряжений при сжатии в упругой области
(|s(Q)|<sтм) определяется соотношением
1
cæ
ö
s ( Q ) = s ост ( Q ) + 3 s x ç cos2 Q - sin Q ÷ .
(2.91)
4
è
ø
Очевидно, что минимальное микронапряжение при сжатии, определяемое (2.91), возникает при Q =0 (см. рис. 2.31). Подставляя
c
с
Q=0 в (2.91) и полагая в нем s(Q) = - sтм, s x = s пр
, получаем с
sтм = sост (0)+3 s пр
, откуда
с
=s пр
s тм - s ост (0)
.
(2.92)
3
На рис. 2.33 приведены результаты расчета коэффициента
æsс ö
Ks = ç прр ÷ ×100% для ряда сплавов при различных значениях темпеç s пр ÷
è
ø
ратуры в зависимости от значения пластической макродеформации,
накопленной при растяжении к моменту изменения знака нагружения.
Как следует из данных, приведенных на рис. 2.33, снижение
предела пропорциональности при развитых пластических деформациях значительно. Следует отметить, что с ростом ер наблюдается
тенденция стремления величины Ks к асимптомическому значению.
Рассмотрим теперь математическую модель при знакопеременном нагружении. Особый интерес при этом вызывает цикличекское
симметричное нагружение (см. рис. 2.34). Пусть сначала выполнено
упругопластическое нагружение по линии ОАВ. Будем для простоты
считать, что в конечной точке В этого пути микронапряженное состояние соответствует схеме, представленной на рис. 2.3, б, т.е.
88
s(Θ)=sтм при 0£Θ£a1 , а в области a1£Θ£
p
имеем упругое состоя2
ние. Величину накопленной пластической деформации в локальных
элементах модели в точке В обозначим через енр (Θ) (енр (Θ) ¹ 0 при
0 £ Θ £ a1 и енр(Θ) = 0 при a1 £ Θ £
Рис.2.33.
p
).
2
Зависимость
коэффициента
sс
K s = прр ×100% в зависимости от величины
s пр
пластической деформации ер, накопленной к
моменту разгрузки, для сплавов:
1 - ЭИ 617 (Т=8500 С); 2 - ЭИ 698 (Т=7500 С); 3 -ЖС6
(Т=9000С); 4 – ЭП 742 (Т=7500 С)
Пусть теперь в точке В произошло изменение знака нагружения
таким образом, что при сжатии появились пластические деформации
сжатия ерс(Θ).
Будем считать, что микронапряженное состояние на участке СD
(см. рис. 2.34) имеет вид, представленный на рис. 2.35, т.е. s(Θ)=-sтм
p
при 0£Θ£a2, а в области a2£Θ£ имеем упругое состояние. Тогда
2
уравнение совместности деформаций принимает вид
89
s (Q)
Eтм
+ ecp ( Q ) + eHp ( Q ) = e x cos 2 Q + e y sin 2 Q .
ásxñ
s
B
A
K
F
(2.93)
áexñ
0
0
a2
p
w
2
C
s тм
D
Р и с. 2.34. Схематическая
диаграмма упругопластического
деформирования
при
симметричном
циклическом
знакопеременном нагружении
Р и с. 2.35. Схема микронапряженого состояния
в
пластической области при
сжатии на участке СD
Для угла Θ= a2 соотношение (2.93) даёт
а для a 2 £ Q £
s тм
Eм
+ eHp (a 2 ) = e x cos 2 a 2 + e y sin 2 a 2 ,
(2.94)
p
–
2
s ( Q)
Eм
+ ecp ( Q ) = e x cos 2 Q + e y sin 2 Q .
(2.95)
Учитывая, что s(Θ) = - sтм (0 £ Θ £ a2), выражая из (2.95) s(Q )
p
для a2 £ Θ £
и подставляя полученное в уравнения равновесия
2
(2.27), имеем
90
a2
s x = - ò s тм cos 2 Q sin Qd Q +
0
p
2
(
)
+2 Eм ò e x cos 4 Q sin Q + e y cos 2 Q sin Q d Q a2
p
2
-2 Eм ò eHp ( Q ) cos 2 Q sin Qd Q ;
a2
ìï 2
2
3
cos
q
d
q
í- ò s тм sin Qd Q + Eм
p ò0
ïî 0
1
a
2p
a2
ò( e
x
cos 2 Q sin 3 Q +
0
p
ü
ï
+ e y sin Q d Q - Eм ò e sin Qd Q ý = 0.
(2.96)
a2
ï
þ
Интегрирование в этих двух соотношениях даёт
2
2
s x = s тм ( cos3 a 2 - 1) + Eм cos5 a 2 e x +
3
5
2
+ cos5 a 2 Eм ( 5 - 3cos2 a 2 ) e y - 2 J1 (a 2 ) ,
(2.97)
15
s тм
E
3cos a 2 - cos3 a 2 - 2 ) + м cos5 a 2 ( 5 - 3cos 2 a 2 ) e x +
(
3
5
E
+ м (15cos a 2 - 10cos5 a 2 + 3cos 2 a 2 ) e y = J 2 (a 2 ) , (2.98)
15
5
)
2
p
H
3
где
p
p
2
2
a2
a2
J1 (a 2 ) = Eм ò eHp ( Q ) cos 2 Qd Q , J 2 (a 2 ) = Eм ò eHp ( Q ) sin 3 Qd Q .
(2.99)
Решая (2.94) и (2.98) как систему уравнений относительно á e х ñ ,
á e у ñ , получаем:
(
e y = 15 J 2 (a 2 ) + s тм (10 - 10a 2 + 2 cos3 a 2 ) - Eм eHp (a 2 ) ( 3cos3 a 2 - 5cos a 2 )
)
2 Eм cos a 2 ( 5 - cos 2 a 2 ) ;
91
ü
s тм
1 ì p
- e y sin 2 a 2 ý.
(2.100)
íeH (a 2 ) 2
Eм
cos a 2 î
þ
Величина пластических деформаций сжатия определяется из
формулы (2.93):
ex =
ecp ( Q ) = e x cos 2 Q + e y sin 2 Q +
s тм
- ecp ( Q ) , 0 £ Q £ a 2 , (2.101)
Eм
а полная деформация – из соотношения
s ( Q) p
p
e (Q) =
+ ec ( Q ) + eHp ( Q ) , 0 £ Q £ .
(2.102)
Eм
2
Таким образом, если считать величину α2 параметром нагружения, то схема расчета на участке сжатия СD (см. рис. 2.34) будет
следующей:
( 2.100)
( 2.97 )
( 2.101)
( 2.102 )
a 2 ¾¾¾
® e x , e y ¾¾¾
® s x ¾¾¾
® ecp ( Q ) ¾¾¾
®e (Q) .
Рассмотрим частный случай, когда граница упругой и пластической областей a1 при нагружении в точке В совпадает с границей
упругой и пластической областей при сжатии a 2 в точке D (см. рис.
2.34), т.е. a1 = a 2 . Тогда
pö
pö
æ
æ
eHp ( Q ) = 0 ç a1 £ Q £ ÷ ; ecp ( Q ) = 0 ç a 2 £ Q £ ÷ .(2.103)
2ø
2ø
è
è
Напряженно-деформированное состояние в точке В определится
из математической модели (2.31)-(2.35), описывающей схему, представленную на рис.2.3, б, которая в рассматриваемом случае имеет
вид
p
s æç , 0 ö÷
3
2
ø = - s тм 5 - 5cos a1 + 2 cos a1 ;
ey B = è
Eм
Eм cos a1 ( 5 - cos 2 a1 )
ex
B
sx
B
=
1 æ s тм
- ey
ç
cos2 a1 è Eм
ö
2
sin
a
;
÷
1
B
ø
=
2é
5s тм - 2cos3 a1 s тм - Eм e y
ë
15
(
(2.104)
B
)ùû .
Найдем теперь напряженно-деформированное состояние в точке
D пути ВСD (рис. 2.34). В данном случае в силу (2.103) имеем, что в
92
(2.99) J1=J2=0. Тогда из (2.97), (2.98), (2.100), (2.104) с учетом α2 = α1
получаем:
ey
D
=
s тм 5 - 5cos a 2 + 2cos3 a 2
= - ey
Eм cos a 2 ( 5 - cos 2 a 2 )
B
;
ö
2
a
sin
÷=
2
D
ø
ù
1 és тм
=- e y sin 2 a 2 ú = - e x B ;
ê
2
B
cos a 2 ë Eм
û
2
2
s x D = s тм ( cos3 a 2 - 1) + Eм cos5 a 2 ´
3
5
ö
1 æ s тм
2
´
- e y D sin 2 a 2 ÷ + cos5 a 2 Eм ( 5 - 3cos 2 a 2 ) e y
çcos 2 a 2 è Eм
ø 15
ex
D
=-
1 æ s тм
+ ey
ç
cos 2 a 2 è Eм
(
(
D
=
)
)
2é
-5s тм + 2cos 2 a 2 s тм + Eм e y D ù =
ë
û
15
2
= - é5s тм - 2cos 2 a 2 s тм - Eм e y B ù = - s x B .
û
15 ë
Таким образом, в точках В и D имеем симметричное напряженно-деформированное состояние. Это означает, что при симметричном циклическом нагружении (á s х ñ В = -á s х ñ D ) деформированное
состояние при сжатии при ás х ñ = ás х ñ D после предварительного растяжения до ás х ñ = á s х ñ В (по пути ВСD, рис. 2.34) будет таким же,
как если бы образец сжимался до ás х ñ = ás х ñ D из исходного состояния (по пути ОD, рис. 2.34).
Для определения остаточных микронапряжений s ост
(Q ) при
с
разгрузке после режима сжатия, т.е. в точке F2 (см. рис. 2.34), достаточно в условиях равновесия (2.27) положить ás х ñ = 0 . Уравнение
совместности деформаций в точке F2 имеет вид:
s сост ( Q ) p
+ ec ( Q ) + eHp ( Q ) = e x cos 2 Q + e y sin 2 Q . (2.105)
Eм
=
Выражая из (2.105) микронапряжение s ост
(Q ) , получим
с
93
s сост ( Q ) = éë< e x > cos2 Q+ < e y > sin 2 Q - ecp ( Q ) ùû Eм . (2.106)
Подставляя далее (2.106) в уравнения равновесия, с учетом ás х ñ = 0
получаем следующую систему уравнений относительно á e х ñ и á e у ñ :
p
p
2
2
áe х ñ ò cos 4 Q sin Qd Q +áe y ñ ò cos 2 Q sin 3 Qd Q = I1 ;
0
0
p
p
2
2
0
0
áe х ñ ò cos 2 Q sin 3 Qd Q +áe y ñ ò sin 5 Qd Q = I 2 ;
(2.107)
где
p
2
I1 = ò éëeHp ( Q ) + ecp ( Q ) ùû cos2 Q sin Qd Q;
0
p
2
[
]
I 2 = ò e Hp (Q ) + e cp (Q) sin 3 QdQ .
(2.108)
0
Решение системы (2.107) дает
ex =
3
( 4 I1 - I2 ) ,
2
q
Р и с. 2.36. Схема микронапряженного состояния в пластической области при повторном растяжении на участке КВ
94
3
(2.109)
( 3I 2 - 2 I1 ) .
4
Тогда поле остаточных микронапряжений определяется из (2.106)
с учетом (2.109).
Рассмотрим теперь случай,
когда знак нагружения снова изменился и образец подвергается
вторичному упругопластическому растяжению (путь нагружения
DКВ, рис. 2.34). Для простоты
будем считать, что микронапряженное состояние при растяжении на участке пластического
деформирования КВ имеет вид,
представленный на рис. 2.36, т.е.
σ( Q )=σтм при 0 £ Q £ a 3 , а в об-
ey =
ласти a 3 £ Q £
p
2
имеем упругое состояние. Обозначим через
е*р (Q ) = е ср (Q ) + е нр (Q ) - пластическую деформацию, накопленную в
локальном элементе в момент последнего изменения знака нагрузки,
а через енр (Q ) - величину дополнительных пластических деформа2
ций, возникающих на участке КВ. Очевидно, что е нр (Q ) ¹ 0 при
2
p
0 £ Q £ a 3 и енр (Q ) = 0, если a 3 £ Q £ .
2
Уравнение совместимости деформации для данного случая будет иметь вид
s ( Q) P
+ eH 2 ( Q ) + e*P ( Q ) = e x cos 2 Q + e y sin 2 Q . (2.110)
Eм
В частном случае при Q = a 3 из (2.110) имеем
2
s тм
+ e*P (a 3 ) = e x cos 2 a 3 + e y sin 2 a 3 .
(2.111)
Eм
Распределение микронапряжений в упругой области при
p
a 3 £ Q £ ( енр = 0) можно получить из соотношения (2.110):
2
s ( Q ) = Eм e x cos2 Q + e y sin 2 Q - e*P ( Q ) .
(2.112)
2
{
}
Подставляя зависимости для напряжений s(Q ) в уравнения равновесия и выполняя интегрирование по пластической ( 0 £ Q £ a 3 ,
p
σ( Q )= σтм) и упругой ( a 3 £ Q £ ,σ( Q ) определяется (2.112)) облас2
тям, получим
2
2
s x = s тм (1 - cos3 a 3 ) + Eм e x cos5 a 3 +
3
5
æ cos3 a 3 cos5 a 3 ö
+2 Eм e y ç
÷ - I4 ;
5 ø
è 3
æ
æ cos5 a 3 cos3 a 3 ö
cos3 a 3 2 ö
-s тм ç cos a 3 - ÷ - Eм e x ç
÷+
3
3ø
3 ø
è
è 5
95
æ
2
cos5 a 3 ö
+ Eм e y ç cos a 3 - cos a 3 +
÷ - I 3 =0,
3
5 ø
è
где введены обозначения
p
p
2
2
a3
a3
I 3 = Eм ò e*p ( Q ) sin 3 Qd Q , I 4 = Eм ò e*p ( Q ) cos 2 Q sin Qd Q .
(2.113)
(2.114)
Выразим из (2.112) макродеформацию á e х ñ :
æ s тм
ö
+ e*p (a 3 ) - e y sin 2 a 3 ÷
ç
E
ø.
ex = è м
(2.115)
2
cos a 3
Подставляя (2.115) во второе уравнение равновесия (2.113), находим
величину á e у ñ :
ey =
15
EM
ì
cos a 3 ( 3cos2 a 3 - 5 ) ´
íJ3 +
2
15
2 EM cos a 3 ( 5 - cos a 3 ) î
s тм
(2.116)
(10cosa3 - 2cos3 a3 - 10)üýþ .
15
Зная величины á e х ñ , á e у ñ , не составляет труда определить рас´e*p (a 3 ) +
пределение микронапряжений s(Q ) по (2.112), далее найти
e ( Q ) = e x cos2 Q + e y sin 2 Q ,
а затем вычислить
eHp 2 ( Q ) = e ( Q ) - e*p ( Q ) -
(2.117)
s тм
.
(2.118)
Eм
Таким образом, если считать a 3 параметром нагружения, то
схема упругопластического расчета на этом этапе нагружения будет
следующей:
(
)
e*p , a 3 ¾¾¾
®
2.116
( 2.115 )
( 2.113)
e y ¾¾¾
® e x ¾¾¾
® sx ®
( 2.117 )
( 2.118)
¾¾¾
® e ( Q ) ¾¾¾
® eHp 2 ( Q ) .
Рассмотрим
е (a 3 ) = 0
р
*
96
и
частный
случай,
когда
a1 = a 2 = a 3 .
J 3 = 0 в силу того, что е (Q) = е (Q ) = 0
р
с
р
н
Тогда
для
p
. Тогда величины á e х ñ , á e у ñ , ás х ñ , вычисленные соот2
ветственно по (2.116), (2.115) и (2.113), в точности совпадают со
значениями á e х ñ В , á e у ñ В , ás х ñ В , определяемыми (2.104).
a3 £ Q £
Таким образом, при повторном растяжении образца из точки D
диаграмма упругопластического деформирования попадает по пути
DFКВ в точку В. Отсюда можно сделать следующий вывод: при
симметричном знакопеременном нагружении получаем симметричную замкнутую диаграмму упругопластического деформирования.
В качестве иллюстрации отмеченного факта на рис. 2.37 приведена расчетная по изложенной выше методике диаграмма
упругопластического деформирования при симметричном знакопеременном нагружении для сплава ЭИ698 при Т=7500С.
Рассмотренная схема знакопеременного нагружения справедлива для идеального материала, который в исходном состоянии (точка
О на рис. 2.34) не имеет начальных возмущений, т.е. на микроуровне
выполняется
p
.
2
В реальности получить, например, металл с невозмущенным начальным микронеоднородным напряженно - деформированным состоянием практически невозможно, так как решающую роль в этом вопросе
s(Q ) = 0, e(Q) = 0, 0 £ Q £
Р и с. 2.37. Расчетная диаграмма упругопластического деформирования при симметричном знакопеременном нагружении для сплава ЭИ 698 при Т=7500С
97
играют технологические факторы получения металла: кристаллизация, прокатка, протяжка, штамповка, закалка и т.п. Очевидно, что
идеальных технологических процессов не существует и следствием
этого является структурная микронеоднородность в металлических
образцах в состоянии поставки, а именно, наличие самоуравновешенных полей микронапряжений и соответствующих им полей
микродеформаций. Не снимает полностью микронапряжения и такой
технологический прием как отжиг. С феноменологических позиций
определить наличие или отсутствие самоуравновешенного микронапряженного состояния практически невозможно. Однако роль
начальных микронапряжений и микродеформаций на макрохарактеристики материала оказывается существенной и признаётся многими
исследователями.
Естественно в таком случае возникает задача анализа диаграммы
циклического (по напряжениям) упругопластического деформирования образцов с начальным полем самоуравновешенных
микронапряжений. Для этого достаточно рассмотреть любую завиp
симость s = s(Q ), 0 £ Q £ , которая удовлетворяет уравнениям
2
равновесия (2.11) при s х = s y = s z = 0 .
Возьмем, например, в качестве модельного начального состояния самоуравновешенное поле микронапряжений, полученное в
результате разгрузки образца после ползучести при ás х ñ = const . В
этом случае поле остаточных микронапряжений s ост (Q ) при полной
разгрузке определится по формуле:
s ( Q)
1
æ
ö
s ост ( Q ) =
- 3 s x ç cos2 Q - sin 2 Q ÷ ,
Eм
4
è
ø
где s(Q ) - поле микронапряжений, соответствующее точке разгрузки
на кривой ползучести при ás х ñ = const , определяемое по методике,
изложенной в пунктах 2.6 и 2.7. Для простоты предполагается, что
микроразрушений в материале ещё не наблюдается. Остаточное поле
микродеформаций определяется соотношением
s ост ( Q )
e (Q) =
+ p (Q) ,
Eм
98
где p(Q) - микродеформация ползучести в локальных элементах,
накопленная к моменту разгрузки.
Рассмотрим упругопластическое растяжение образца с возмущенным указанным образом начальным микронапряженным
состоянием. Для простоты будем полагать, что микронапряженное
состояние при циклическом нагружении в режиме "растяжениесжатие-растяжение" соответствует схемам, представленным на рис.
2.3 б, рис. 2.35 и рис. 2.36. Тогда в первом цикле растяжения
p
s(Q ) = s тм ( 0 £ Q £ a1 ) , а в области a1 £ Q £
имеем упругое со2
стояние.
Уравнение совместностной деформации имеет вид
s ( Q) p
e (Q) =
+ eH ( Q ) + p ( Q ) = e x cos 2 Q + e y sin 2 Q , (2.119)
Eм
где e Hp (Q) - накопленная микропластическая деформация в первом
цикле растяжения. В частном случае при Q = a1
(2.119) получаем
s тм
Eм
( е (a ) = 0 )
р
н
1
из
+ p (a1 ) = e x cos2 a1 + e x sin 2 a1
или
é æp ö
ês ç 2 ÷
2
+ p (a1 ) = e x cos a1 + ê è ø +
Eм
ê Eм
êë
s тм
ù
æ p ö úú 2
p ç ÷ sin a1 .
è 2 øú
úû
микронапряжений
в
упругой
(2.120)
Распределение
области
p
p
( a1 £ Q £ ) находится из соотношения ( е нр (Q ) = 0 , a1 £ Q £ )
2
2
ì
ü
é æp ö
ù
sç ÷
ï
ï
ê
ú
2
ï
æp ö
ï
s ( Q ) = í e x cos2 Q + ê è ø + p ç ÷ú sin 2 Q - p ( Q ) ý Eм ,
ê Eм
è 2 øú
ï
ï
êë
úû
ïî
ïþ
а полное распределение микронапряжений задается в виде
99
ìs тм , 0 £ Q £ a1 ,
ï
ö
é æp ö
ù
ïïæ
÷
ês ç 2 ÷
ú
s ( Q ) = íç
(2.121)
ç e x cos 2 Q + ê è ø + p æç p ö÷ ú sin 2 Q - p ( Q ) ÷ Eм .
ïç
÷
ê Eм
è 2 øú
ïç
÷
ê
ú
ë
û
ø
îïè
Подставляя (2.121) в уравнения равновесия (2.27), выполняя инp
тегрирование по двум областям 0 £ Q £ a 1 и a1 £ Q £ , получим
2
систему уравнений:
ì æp ö é
3
3
ïs ç 2 ÷ = ë 2s тм ( 5 - 5cos a1 + cos a1 ) + Eм p (a1 ) ( 5cos a1 - 3cos a1 ) ï è ø
p
ï
ù
2
ï
æp ö
ú
3
3
ï-15Eм ò p ( Q ) sin Qd Q ú / ( 2cos a1 - 10cos a1 ) - Eм p ç ÷ ;
è2ø
a1
ïï
úû
(2.122)
í
ï s = 2 és 5 - 2cos3 a + 3cos3 a E p (a ) 1)
1 м
1
ï x 15 ë тм (
ï
p
ù
ï
2
ï-15 E p ( Q ) cos 2 Q sin Qd Q + 2cos3 a æ s æ p ö + E p æ p ö ö ú .
мò
1ç
м ç
ç ÷
÷÷
ï
è 2 ø ø úú
è è2ø
a1
ïî
û
Задавая величину a1 (она играет роль параметра нагружения),
æ pö
из первого уравнения (2.122) определяется sç ÷ , а из второго ás х ñ .
è 2ø
Тогда из (2.120) находим
æ
p ö
s æç ö÷ ÷
ç
s тм
2
æp ö
+ p (a1 ) - ç p ç ÷ + è ø ÷ sin 2 a1
Eм
Eм ÷
ç è2ø
ç
÷
è
ø
ex =
.
(2.123)
cos2 a1
Величина деформации в первом цикле растяжения вычисляется
по формуле
100
é
æp öù
ê æ p ö s ç 2 ÷ú
e ( Q ) = e x cos2 Q + ê p ç ÷ + è ø ú sin 2 Q ,
(2.124)
Eм ú
ê è2ø
êë
úû
а пластическая деформация – из соотношения
s (Q)
.
(2.125)
eHp ( Q ) = e ( Q ) - p ( Q ) Eм
Таким образом, схема расчета в первом цикле растяжения будет
следующей:
æp ö
( 2.122 )
( 2.125)
( 2.12)
p ( Q ) , a1 ¾¾¾
®s ç ÷ , s x ¾¾¾
® e x ¾¾¾
®s ( Q ) ®
è2ø
(
)
(
)
¾¾¾
® e ( Q ) ¾¾¾
® eHp ( Q ) .
Для цикла сжатия полностью повторяется алгоритм, изложенный для случая невозмущенного напряженного состояния. При этом
необходимо в формулах (2.94) – (2.102) заменить е нр (Q ) на
2.124
2.124
е нр (Q) + р(Q) . Для второго цикла растяжения достаточно в формулах
(2.110) –
(2.118) в
качестве
е*р (Q )
использовать величину
е (Q ) + е (Q ) + е(Q ) . Далее алгоритм повторяется.
В качестве модельного примера была рассмотрена и описана
диаграмма упругопластического деформирования при симметричном
циклическом напряжении для сплава ЭИ698 при Т=7500С после
предварительной ползучести. Начальные участки расчетных (штриховые линии) и экспериментальных (сплошные линии) кривых
ползучести указанного сплава при различных ás х ñ = const представлены на рис. 2.38 (полные кривые ползучести приведены на
рис. 2.23).
Первый вариант заключался в следующей программе нагружения: сначала была осуществлена ползучесть образца при
ás х ñ = 373 МПа в течение t = 60 часов; затем была произведена разгрузка образца и далее он подвергался симметричному циклическому
знакопеременному нагружению в упругопластической области. На
рис. 2.39 представлена диаграмма упругопластического деформирования при указанном режиме нагружения. Во втором варианте
сначала образец был подвержен ползучести при ás х ñ = 471 МПа в
р
c
р
н
101
Р и с. 2.38. Расчетные (штриховые линии) и экспериментальные
(сплошные линии) начальные кривые ползучести сплава ЭИ 698 при
Т=7500С:
1- á s х ñ =375 МПа; 2 - á s х ñ =421,8 МПа; 3 - á s х ñ =471 МПа
ásхñ, МПа
ex
Р и с. 2.39. Расчетные диаграммы циклического упругопластического
деформирования сплава ЭИ698 при Т=750оС после предварительной
ползучести при s x = 373 МПа
102
течение t =6 часов и после разгрузки осуществлялось симметричное
циклическое знакопеременное упругопластическое нагружение. Диаграмма упругопластического деформирования для второго варианта
представлена на рис. 2.40. В обоих случаях по оси á e х ñ указана полная деформация за вычетом деформации ползучести, накопленной к
моменту разгрузки.
ásхñ, МПа
ex
Р и с. 2.40. Расчетные диаграммы циклического упругопластического деформирования сплава ЭИ698 при Т=7500С после предварительной ползучести при á s х ñ = 471 МПа
Из данных расчета и рис. 2.39, 2.40 для рассмотренных случаев
(начального возмущенного микронапряженного состояния) имеем:
во-первых, несимметричные (по деформациям) диаграммы неупругого деформирования; во-вторых, первые два цикла существенно
различаются друг от друга, в то время как начиная с третьего цикла
практически осуществляется стабилизация несимметричного (по деформациям) цикла упругопластического деформирования.
Из изложенного следует, что все реальные материалы должны
обладать несимметричными (по деформациям) циклическими диаграммами, так как снять микронапряженное состояние, порожденное
технологическими причинами изготовления материала, практически
невозможно. Коэффициент асимметрии цикла зависит от того, в ка103
кой мере удалось устранить наведенные микронапряжения, например, отжигом или другими технологическими приёмами.
Таким образом, теоретические расчеты, выполненные по структурной модели для циклического знакопеременного нагружения,
позволяет сделать следующие выводы:
1) симметричный стабильный цикл (по деформациям) при симметричном
циклическом
нагружении
присущ
идеальным
материалам, т.е. материалам, которые не имеют начального возмущенного микронапряженного состояния;
2) несимметричный стабильный цикл (по деформациям) при
симметричном циклическом нагружении имеют материалы, обладающие начальным возмущенным микронапряженным состоянием,
при этом для стабилизации диаграммы упругопластического деформирования практически достаточно 2-3 циклов нагружения.
2.10. Исследование влияния предварительной пластической
деформации на последующую ползучесть по структурной
модели
В п. 2.8 было отмечено, что даже в упругой области (ás х ñ £ s пр )
в процессе неупругого деформирования на третьей стадии необходимо наряду с деформациями ползучести учитывать пластические
деформации. Как указывалось в ряде работ (например [224, 142]),
микромеханизмы образования пластической деформации и деформации ползучести различны. Поэтому естественным образом возникает
задача теоретического и экспериментального исследования взаимного влияния этих деформаций.
Особенно актуальной эта задача становится в случае, когда деформации ползучести предшествует предварительная пластическая
деформация, возникающая при начальном нагружении или перегрузках за пределом упругости. В теоретическом плане задача
исследования влияния пластической деформации ер на последующую
деформацию ползучести р важно с точки зрения обоснования (или
отрицания) гипотезы разделения деформацией ер и р на феноменологическом уровне.
Этот вопрос в научной литературе до сих пор остается открытым, хотя имеется ряд работ [50, 52, 79, 84, 98, 118, 146, 161, 174,
186, 192, 201, 209], в которых эта проблема затрагивалась. Так, в од104
ной из самых ранних экспериментальных работ В. И. Даниловской,
Г. М. Ивановой и Ю. Н. Работнова [50], посвященной данной проблеме, сделано предположение о независимости мгновенной
пластической деформации и деформации ползучести. По крайней
мере, упрочняющее воздействие мгновенной пластической деформации на ход ползучести оказалось чрезвычайно малым.
Указанное предположение
проверялось
экспериментально
С. Т. Милейко и Ю. Н. Работновым [174]. Однако проверка
проводилась в условиях высокотемпературной кратковременной
ползучести, начинаюшейся с установившегося участка, в пределах
которого скорость деформации не зависит от пластической деформации, поэтому такая проверка не является показательной.
Аналогичное предположение о независимости мгновенной
деформации и деформации ползучести было сделано автором работы
[52] для неметаллических материалов на основании экспериментальных данных по деформированию костной ткани.
Попытка экспериментально подтвердить отсутствие связи между
мгновенной пластической деформацией и деформацией ползучести
[146] привела В. С. Наместникова к отрицательному результату, хотя, по его мнению, эти деформации оказывают различное влияние на
материал.
В [84, 161] на основании опытных данных было установлено, что
небольшие предварительные пластические деформации порядка
1÷3% уменьшают величину первой стадии ползучести (вплоть до её
исчезновения при значительных ер ) и практически не влияют на
скорость установившейся ползучести. В работах [79, 98, 192]
предлагается описывать пластичность и ползучесть с единых позиций, где исходной информацией для построения определяющих
соотношений
является
зависимость
кривой
мгновенного
деформирования от скорости нагружения. Однако вопрос о взаимном
влиянии деформаций на третьей стадии, их вкладе в кинетику
накопления поврежденности и разрушение материалов в указанных
выше работах не рассматривался.
Целью настоящего пункта является изучение механизма взаимодействия пластической деформации и деформации ползучести на
уровне механики микронеоднородных сред при помощи структурной
модели. Конечной задачей такого исследования являются вполне
105
определенные рекомендации при построении соответствующих реологических уравнений на феноменологическом уровне.
Для выяснения существа дела будем рассматривать реологическое неупругое деформирование лишь в пределах первых двух стадий ползучести и при малых начальных пластических деформациях,
так, что величина Ω в (2.61) в начальный момент нагружения незначительна.
Для более наглядной иллюстрации рассмотрим вопрос о влиянии
предварительной пластической деформации на деформацию ползучести на конкретном численном примере ползучести образца из
сплава ЭИ698 при Т=7500С. Для этой цели было выполнено два типа
численных экспериментов.
В первом моделировалась ползучесть при постоянном напряжении á s х ñ < s пр без предварительной пластической деформации и с
предварительной пластической деформацией при том же напряжении
ás х ñ . На рис. 2.41 цифрой 1 представлена расчетная кривая ползучести сплава ЭИ698 при Т=7500 С при ás х ñ =373 МПа ( s пр = 490 МПа)
без предварительной пластической деформации. На рис. 2.43 цифрами 1 и 5 показаны рассчитанные по структурной модели эпюры микронапряжений для упругого решения в момент нагружения при t = 0
и стадии установившейся ползучести (соответственно). Как следует
из рис. 2.43 деформирование в локальном элементе при Θ = 0, которым (в соответствии с гипотезой (2.12)) определяется макродеформация образца, происходит при переменном (убывающем) напряжении. Как отмечалось ранее, результатом перераспределения микронапряжений является наличие первой стадии ползучести образца.
Далее в численном эксперименте было предварительно осуществлено
упругопластическое
деформирование
до
напряжений
ás х ñ = {640, 700, 760}МПа (точки 2-4 на рис. 2.30), которым соответствуют пластические деформации á е р ñ ={0,002; 0,003; 0,005}, с
последующей разгрузкой. В результате разгрузки образовались поля
остаточных микронапряжений s ост (Q ) , представленные на рис.2.43
цифрами 2 - 4. Затем осуществлялось нагружение этих образцов напряжением ás х ñ = 373 МПа. На рис. 2.41 цифрами 2 - 4 представлены кривые ползучести с различной величиной предварительной пластической деформации. Как следует из этих данных, происходит су106
щественное снижение величины первой стадии ползучести с увеличением предварительной пластической деформации ер. В то время
как скорость установившейся ползучести для всех кривых ползучести 1 - 4 одна и та же.
Объяснить этот эффект с позиций механики микронеоднородных сред можно следующим образом. В результате предварительного пластического деформирования и последующей разгрузки и нагружения образца напряжением ás х ñ = 373 МПа начальное поле
микронапряжений при t = 0+0 является суперпозицией остаточных
полей микронапряжений s ост (Q ) (цифры 2-4 на рис. 2.43) и упругого
поля при ás х ñ = 373 МПа (цифра 1 на рис. 2.43). Их графические зависимости показаны на рис. 2.44 цифрами 2 - 4. В процессе реологического деформирования с течением времени все эпюры 1 - 4 трансформируются в положение 5 (рис. 2.43), т.е. скорость установившейся ползучести, определяемая полем микронапряжений 5, не зависит
от истории и величины предварительной деформации (как мгновенной, так и временной).
Из рис. 2.44 следует, что эпюры микронапряжений 2-4 существенно отличаются от эпюры, соответствующей образцу без предварительной пластической деформации (цифра 1 на рис. 2.44). Поэтому
начальный процесс ползучести образцов 2-4 идет при совершенно
разных полях микронапряжений. А поскольку микронапряжение в
локальном элементе при Q=0 для эпюры 1 много больше, чем для
эпюр 2-4, то очевидно, что величина деформации ползучести первой
стадии, формирующаяся в процессе релаксации поля микронапряжений 1 к полю 5, будет много больше, чем при релаксации полей 2-4 к
полю 5.
Таким образом, незначительная предварительная пластическая
деформация существенно снижает величину первой стадии ползучести и не влияет на скорость установившейся ползучести. Именно эти
факты и были экспериментально отмечены в работах [52, 84,
146, 161].
Второй тип численного эксперимента состоял в следующем.
Сначала была просчитана деформация ползучести по программе:
ás х ñ =323,7 МПа при t Î [0;150] часов с последующей перегрузкой
до ás х ñ = 373 МПа без предварительной пластической деформации
при t = 0 (кривая 1 на рис. 2.42 ), при этом перегрузка производится
107
на стадии установившейся ползучести при ás х ñ = 323,7 МПа. Далее по той же программе, но при предварительной пластической деформации при t = 0, соответствующей ás х ñ = {640, 700, 760} МПа на
диаграмме упругопластического деформирования (см. рис. 2.30),
был выполнен численный расчет по структурной модели еще для
трех вариантов (кривая 2 - 4 на рис. 2.42). Здесь вновь снижалась величина деформации ползучести первой стадии на ступени нагружения при ás х ñ =323,7 МПа, но после перегрузки при ás х ñ =373 МПа
величина первой стадии была практически одинакова для реализаций
2-4. Об этом свидетельствует то, что кривые 1 - 4 на рис. 2.42 после
перегрузки являются конгруэнтными. Это, в свою очередь, говорит о
том, что влияние пластической деформации на последующую ползучесть носит наследственный (затухающий) характер.
С позиции механики микронеоднородных сред это можно объяснить и проиллюстрировать следующим образом. Первая стадия
ползучести (как неупрочненного, так и предварительно упрочненного мгновенной пластической деформаций) образца определяется
процессом релаксации начальной эпюры микронапряжений (при t=0)
к эпюре, соответствующей стадии установившейся ползучести, которая будет одной и той же как для упрочненного, так и для неупрочненного материала. И если перегрузка производится на стадии установившейся ползучести, то микронапряженное состояние в этот момент времени будет одним и тем же для всех образцов. Поэтому и
деформация неустановившейся ползучести после перегрузки будет
одной и той же для всех режимов нагружения.
Таким образом, влияние предварительной пластической деформации "забывается" после выхода на стадию установившейся ползучести. На этот факт впервые было указано в работе [186].
Исследуем полярный рассмотренному выше случаю вариант, когда предварительные пластические деформации являются большими,
так что относительное количество локальных элементов, находящихся в пластическом состоянии, существенно. При этом вносится значительная величина поврежденности в локальный элемент (см. первый член величины Ω в (2.61)) и требуется меньшая величина времени для выполнения условия Ω=1, т.е. времени для разрушения наиболее нагруженного локального элемента в процессе ползучести.
Это, в свою очередь, ведет к более раннему началу третьей стадии
ползучести и снижению длительной прочности материала.
108
Р и с. 2.41. Расчетные кривые
ползучести сплава ЭИ 698 при
Т=750оС и ásхñ=373 МПа без
предварительной
пластической деформации (1) и с предварительной пластической деформацией (2-4)
Р и с. 2.42. Расчетные кривые
ползучести сплава ЭИ 698 при
Т=750оС при переменном режиме нагружения без предварительной пластической деформации (1) и с предварительной пластической деформацией (2-4)
Р и с. 2.43. Эпюры микронапряжений при t=0 (1) и на стадии
установившейся ползучести при
t=190 ч (5) при ásхñ=373 МПа.
Эпюры остаточных микронапряжений (2-4) при упругопластической разгрузке для
áерñ={0,002;0,003;0,005}
Р и с. 2.44. Начальные эпюры
микронапряжений при t=0+0 при
ásхñ=373 МПа без предварительной пластической деформации
(1) и с предварительной пластической деформацией (2-4) при
áерñ={0,002;0,003;0,005}
109
Выполненные исследования позволяют сделать следующие
выводы:
1) незначительная предварительная пластическая деформация
существенно снижает величину первой стадии ползучести и не влияет на скорость установившейся ползучести;
2) влияние предварительной пластической деформации на последующую ползучесть носит наследственный характер и с течением
времени "забывается";
3) существенная пластическая деформация ведет к снижению
длительной прочности материала.
Таким образом, строго говоря при формировании феноменологических реологических уравнений необходимо, чтобы они учитывали:
1) наследственный характер влияния пластической деформации
на первую стадию ползучести для малых значений ер;
2) накопление мгновенной поврежденности и снижение длительной прочности от деформации пластичности при значительных
величинах ер.
При этом, если теория строится для малых неупругих деформаций (случай первой и второй стадии), то в феноменологических
уравнениях деформация ползучести должна зависеть не только от
структурных параметров, но и явно от ер. Если же феноменологическая теория строится для трех стадий ползучести, то в первом приближении можно использовать гипотезу явной независимости деформаций ползучести и пластичности (в силу незначительного вклада первой стадии в процесс разрушения), считая, что они влияют
друг на друга неявно через процесс накопления поврежденности.
110
3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ВАРИАНТ ОДНООСНОЙ
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
И ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ
3.1. Реологические уравнения при наличии
трех стадий ползучести
Рассмотренные в разделе 2 задачи построения моделей неупругого деформирования и разрушения материалов на уровне механики микронеоднородных сред показывают, насколько сложной
является эта проблема. Структурные феноменологические модели
исходя из современных представлений о реальных процессах микродеформирования позволяют в достаточно полной мере описать и
объяснить многие нелинейные эффекты реологического деформирования, наблюдаемые в экспериментах. Ни в какой мере не отвергая это направление в изучении микронапряжений и микродеформаций, следует все же отметить, что такого рода теории на уровне
механики микронеоднородных сред достаточно сложны даже в
случае одноосного напряженного состояния и поэтому мало пригодны для решения, например, краевых задач механики сплошных
сред. Для этих целей более предпочтительными являются обычные
феноменологические теории ползучести на макроуровне. Однако
построение последних должно осуществляться с учетом качественных и количественных результатов, полученных на микроуровне
(см. рис.1.1).
Сложность самого процесса неупругого деформирования и
разрушения материалов, а также разрозненность экспериментальных данных, характеризующих ползучесть материалов вплоть до
разрушения, и неоднозначность выводов, следующих из них, приводит к тому, что вопрос о формировании определяющих реологических уравнений и установления критерия разрушения на феноменологическом уровне механики сплошных сред и в настоящее
время во многом остается открытым. Так, все рекомендованные в
существующей нормативно-технической документации [196] модели, описывающие третью стадию ползучести, базируются либо
на теории упрочнения, либо на теории течения и имеют ряд их недостатков. Одним из них является невозможность описания обратной ползучести при разгрузке, пренебрежение которой приводит к
ошибкам при нахождении времени до разрушения, особенно в ус111
ловиях нестационарных и циклических нагрузок. Проблемным остается также вопрос о построении определяющих реологических
уравнений, позволяющих описывать ползучесть за пределом упругости, а также выбора критерия разрушения материалов, при помощи которого можно было бы с единых позиций описать, например, следующие экспериментально наблюдаемые при одноосной
ползучести факты: немонотонный характер предельной неупругой
деформации при разрушении; нелинейный характер диаграмм длительной прочности; наличие стадии «лавинной» ползучести и некоторые другие. Поэтому в настоящем разделе поставлена задача
анализа затронутой выше проблемы и разработки теории ползучести и критерия разрушения материалов (в основном, металлических), которые позволили бы решить сформулированные выше задачи.
Одно из наиболее развитых направлений для описания трех
стадий ползучести связано с построением теории деформирования
и разрушения при ползучести с учетом кинетики развития микромеханизмов разрушения, интегрально описываемых с помощью
некоторых структурных параметров поврежденности.
Большая группа теорий [6, 18, 19, 41, 91, 92, 95, 117, 118, 124,
151, 173, 234] базируется на кинетической теории ползучести
Ю.Н.Работнова [173], основанной на методах механики непрерывного накопления поврежденности, согласно которой процесс накопления поврежденности материала непосредственно связывается с
накопленной неупругой деформацией и текущим напряжением.
Одной из характеристик состояния материала принимается параметр (или несколько параметров) поврежденности, с которым либо
явно, либо косвенно связывается относительное уменьшение эффективной площади поперечного сечения образца, и как следствие
этого – увеличение истинного напряжения, вызываемого микроразрушением материала в процессе деформирования.
Другая группа теорий базируется на гипотезе пластического
разрыхления [155], согласно которой ответственность за разрушение возлагается на необратимое изменение объема (плотности). За
последние годы появился ряд экспериментальных работ [35, 207,
275, 279, 281, 284, 285, 324], в которых приводятся результаты непосредственного измерения пластического разрыхления в условиях
ползучести при одноосном растяжении. В ряде работ, например
[5, 29, 106, 138, 206, 254, 261], удалось теоретически связать раз112
рушение в условиях ползучести с разрыхлением. Согласно этим
теориям описание процесса разрушения твердых тел естественно
сводится к совместному рассмотрению уравнений необратимого
деформирования с условием достижения разрыхлением критического значения. В этом смысле они более сложны по сравнению с
первой группой теорий, так как возникает необходимость в измерении еще одной величины – разрыхления материала.
Однако хорошо известно, что при изменении скорости
деформирования и температуры в широких диапазонах возникают
определенные трудности в разделении мгновеннопластической
деформации и деформации ползучести. Поэтому в большинстве
рассмотренных выше теорий часто стирается различие упомянутых
выше неупругих деформаций и либо обе деформации
объединяются в одну – неупругую, либо исследуют деформацию
ползучести, не указывая ни прямо, ни косвенно на область работы
(упругая при s<sпр или упругопластическая s³sпр материала. При
рассмотрении же вопроса о разрушении металлов при
высокотемпературном
неупругом
деформировании
нужно
учитывать, что, как это показано в разделе 2, микромеханизмы
упругопластического и длительного разрушения различны и
поэтому необходимо разделять деформации пластичности и
ползучести.
В связи с изложенным в настоящей работе развивается
энергетический подход к описанию деформирования и разрушения
металлов, предложенный в [178, 187, 188, 220, 308], базирующийся
на принципе суперпозиции упругой, пластической деформаций и
деформации ползучести, а также методе разделения деформации
ползучести, изложенном для случая первой и второй стадий в
[213]. Для описания стадии разупрочнения материала вводится гипотеза, согласно которой параметр поврежденности в материале
полагается пропорциональным линейной комбинации работы
истинного напряжения (напряжения, отнесенного к площади
поперечного сечения образца с учетом микроповреждений) на
деформации ползучести и на пластической деформации. Основной
вариант определяющих соотношений имеет вид
e = е + е р + р; е = s / Е ;
113
ì0, s (t ) £ s пр ;
ïï
n
n
p
p
е = íìïl éë a(s (t ) - s пр ) 1 - e (t ) ùû , a (s (t ) - s пр ) 1 > e (t ),
ïí
n1
p
îïïî0, a(s (t ) - s пр ) £ e (t ), s (t ) > s пр ;
р = u + v + w;
·
р
S
·
u (t ) = å uk (t ), uk (t ) = lk éë ak (s (t ) / s * ) n2 - uk (t ) ùû ;
k =1
ìïl k [bk ( s(t ) / s * ) n - v k (t )], bk (s (t ) / s * ) n > v k (t );
v (t ) = å v k (t ), v k (t ) = í
ïî0, bk (s(t ) / s * ) n £ v k (t );
k =1
S
·
2
2
2
·
w(t ) = c[s(t ) / s * ] m ;
s = s 0 (1 + w) ;
·
·
·
w = gs e p + as p .
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Здесь e - полная деформация; е и е – упругая и пластическая деформации (соответственно); р – деформация ползучести; u, v, w вязкоупругая, вязкопластическая и вязкая составляющие деформации ползучести (соответственно); sо и s - соответственно номинальное и истинное напряжения (sо³0); Е - модуль Юнга; lk, ak, bk,
с, n2, m, s* - константы модели, при помощи которых описывается
первая и вторая стадии ползучести материала и ее обратимая после
разгрузки часть; w - параметр поврежденности; g и a - параметры
модели, контролирующие процессы разупрочнения материала на
пластической деформации и деформации ползучести (соответственно); a, n1, l - константы, описывающие диаграмму мгновенного
упругопластического деформирования; sпр – предел пропорциональности.
Согласно третьего соотношения 3.1 пластическая деформация
ер описывается такими же по структуре уравнениями, как и вязкопластическая компонента v деформации ползучести, т.е. также развивается во времени. Такой подход к описанию пластической деформации соответствует так называемым эндохронным теориям
пластичности [80, 143, 317-319, 325], т.е. теориям пластичности с
внутренним временем. В предложенных уравнениях в качестве
внутреннего времени используется обычное физическое время. Если выбрать l>> max {lk }, то при фиксированном sо всегда можно
р
k
114
указать такой интервал времени [0, t], что ep(t) будет сколь угодно
мало отличаться от своего асимптотического значения, полученного из решения третьего соотношения (3.1) при t®+¥, в то время
как p(t)»0. Схема развития упругопластической деформации в координатах sо~e в режиме мягкого нагружения (мгновенного приложения нагрузки) представляет ломаную ОАВ (см. рис.3.1). C ододной стороны, такой подход к
оценке пластической деформации
удобен в расчетной практике, так
как позволяет с единых методологических позиций алгоритмизировать процесс расчета неупругой
деформации. С другой стороны,
это не только математический
прием описания пластической деформации и третьему соотношению (3.1) можно дать вполне реальное физическое обоснование. В Р и с. 3.1. Схема развития пластической деформации по эндоработах А.М. Жукова [64, 65] эксхронной теории пластичности
периментально было установлено,
что тензорезисторы, наклеенные по длине образца, при упругопластическом нагружении срабатывают не мгновенно с приложением
нагрузки, а спустя некоторое время, которое составляет от 0,4 до 4
секунд. С позиций механики микронеоднородных сред это можно
объяснить неоднородностью деформирования образца. А с феноменологических позиций формально это можно трактовать как запаздывание пластической деформации (пластической волны) по
отношению к приложенной нагрузке.
Детальный анализ экспериментальных данных показал, что в
общем случае g = g(ер) и a = a(sо) и для них можно использовать
степенные аппроксимации вида
m
m
g = g 1 (е р ) , a = a 1 (s o ) .
(3.4)
Для ряда материалов в частных случаях выполняется g = const,
a=const.
Как следует из уравнений (3.1) в них использовалась гипотеза
явной независимости пластической деформации и деформации
ползучести. Это предположение обосновывается тем, что, как было
показано в разделе 2, из анализа экспериментальных данных и
2
1
115
данных расчета на основе структурной модели, незначительная
пластическая деформация влияет лишь на первую стадию ползучести, вклад которой в процесс разрушения незначительный. С другой стороны, значительные пластические деформации вносят существенную поврежденность и, как следствие этого, увеличение
скорости деформации ползучести, что отражено введением в уравнения (3.1) истинного напряжения, связанного с процессом накопления поврежденности соотношениями (3.2), (3.3).
3.2. Критерий разрушения металлов в условиях
одноосного напряженного состояния
Для оценки времени до разрушения при неупругом реологическом деформировании, как правило, используют кинетические
уравнения силового типа [162], деформационные [23, 66, 118, 124,
139], энергетические (диссипативные) [66, 165, 203, 234, 236], термодинамические [7, 20, 43, 97, 137, 248-251, 262] критерии разрушения, либо же критерии, связанные с достижением параметрами
поврежденности (функцией от них) некоторой критической величины [6, 66, 125-127]. В настоящей работе предпочтение отдано
энергетическим критериям разрушения, так как, с одной стороны,
они позволяют без особых усложнений описать отмеченный в ряде
работ немонотонный характер предельной неупругой деформации
в момент разрушения [6, 66, 104, 124, 127] и экспериментально наблюдаемый нелинейный характер диаграммы длительной прочности в двойных логарифмических (или полулогарифмических) координатах, а, с другой стороны, очень удобны в использовании в силу
аддитивности энергий различного вида [168].
Для вывода критерия разрушения будем исходить из термодинамических соображений на основании подхода, предложенного в
работах [248, 249], согласно которому ни количество работы, ни
количество теплоты, ни определяющие их параметры (температура,
деформация, напряжения) не могут являться свойствами материальной системы, так как являются функциями процесса. Коренным
же свойством материальной системы является внутренняя ее энергия, изменение которой не зависит от пути процесса и определяется
суммой обобщенных работ. Поэтому в [248, 249] предлагается в
качестве критерия разрушения использовать состояние, в котором
плотность внутренней энергии достигает критической величины.
116
Проведенные в [250] теоретические и экспериментальные исследования для некоторых процессов позволяют считать, что критическая величина плотности внутренней энергии не зависит от процесса нагружения и является константой материала. Исходя из этой
гипотезы и строятся дальнейшие выводы.
Накапливаемая в деформируемом элементе тела внутренняя
энергия u+ определяется суммой двух составляющих. Часть этой
энергии (10-30%) обусловлена накоплением в деформируемых объемах материала потенциальной (запасенной, скрытой) энергии ue,
которая связана с зарождением различного рода дефектов и служит
количественной характеристикой его поврежденности в процессе
деформирования, а другая часть этой энергии (70-90%) накапливается в виде теплосодержания uт,, что приводит к ослаблению межатомных связей и, как следствие этого, к физическому разупрочнению материала. Таким образом, исходя из принципа суперпозиции
энергии [168] имеем
u+ = ue + uт.
(3.5)
В соответствии с изложенным выше критерий разрушения
принимает вид
u+ = u0 + u1 = u* ,
(3.6)
где u0 = u0(Т) – начальное значение удельной внутренней энергии,
u1 – приращение внутренней энергии за время деформирования,
u* – константа материала. Приращение D u+ = D u1 за время Dt
складывается из двух составляющих:
D u+=D ue+D uт, D ue=sDер+sDр, D uт=D u1т+D u2т,
(3.7)
где приращение потенциальной энергии D ue в отличие от работ
[7, 20, 43, 97, 134, 248-251, 262] записано не для номинального, а
для истинного напряжения s; D u1т, D u2т – соответственно приращения теплосодержания при образовании пластической деформации и деформации ползучести. Дальнейшая задача состоит в определении величины D uт. Непосредственное измерение этой величины при помощи калориметрирования даже в лабораторных условиях при фиксированной температуре – трудоемкая задача. Практически неразрешима задача определения D uт при таком подходе при
оценке ползучести элементов конструкций в реальных условиях
эксплуатации. Поэтому необходимы поиски других способов оценки величины D uт.
117
Некоторые экспериментальные данные (в основном, по усталости) [250] позволяют ввести следующую гипотезу: в каждый момент времени величины D u1т и D u2т пропорциональны соответственно sDер и sDр. Преобразуем (3.7) к виду
Du = sDe p (1 + Du1T / sDe p ) + sDp (1 + Du 2T / sDp).
(3.8)
На основании введенной гипотезы с использованием обозначений
C (e p , T ) = 1 + Du1T / sDe p , D (s 0 , T ) = 1 + Du2T / s × Dp
выражению (3.8) можно придать вид
Du = C (e p , T )sDe p + D(s 0 T )sDp.
(3.9)
После интегрирования (3.9) с использованием (3.6) получаем
критерий разрушения
t*
t*
0
0
p
p
ò C (e , T )sde + ò D(s 0,T )sdp = u ¢(T ),
(3.10)
где u ¢(T ) = u* - u 0 (T ) – величина, вообще говоря, неизвестная,
t* – время разрушения.
В дальнейшем для простоты будем считать, что
p
C (e , T ) = C1 (T ) и перепишем соотношение (3.10) в виде
t*
ò
0
t*
sde p
sdp
+
= 1,
A*p (T ) ò0 A*C (s 0 , T )
(3.11)
где A*p (T ) = u ¢(T ) / C1 (T ), A*C (s 0 , T ) = u ¢(T ) / D(s 0 , T ).
Соотношение (3.11) и есть критерий разрушения при неупругом реологическом деформировании.
Для случая изометрической ползучести - A*p = const ,
A*C = A*C (s 0 ) и критерий разрушения (3.11) принимает частный упрощенный вид
118
t*
t
sde p * sdp
ò0 A*p + ò0 A*C (s 0 ) = 1.
(3.12)
Соотношение (3.12) при A*C (s 0 ) = const было предложено в
[178, 188]. Как будет показано ниже величины А*p и А*C(s0) могут
быть определены достаточно просто по диаграмме упругопластического деформирования и кривым стационарной ползучести (соответственно).
Таким образом, отличие критерия (3.11) и его частного случая
(3.12) от аналогичных критериев [7, 20, 43, 66, 97, 137, 165, 234,
236, 248-251, 262] заключается в введении как в определяющие
уравнения, так и в критерии разрушения истинного напряжения и
представления неупругой деформации в виде суммы пластической
деформации и деформации ползучести.
Следует отметить, что по форме критерий (3.12) встречался,
например, в работе [203]; однако в соответствующем критерии там
величины А*p, А*C полагались константами и вычислялись экспериментальным путем по отношению к номинальному напряжению.
3.3. Методика идентификации параметров
реологической модели энергетического типа
Рассмотрим методику определения констант модели и необходимый для этого определяющий эксперимент. Частично она приведена в работах [178, 179, 188] и систематически изложена в [191].
Для определения параметров a, n1, g, A*p необходимо иметь
стандартную диаграмму мгновенного деформирования, получен·
·
ную, например, с постоянной скоростью нагружения e = e 0 = const,
но такой, чтобы за время нагружения накопленная деформация
ползучести была незначительной (р<<ер). Несмотря на известные
трудности ее получения при высоких температурах имеются достаточно надежные методы для построения таких диаграмм [133, 174].
Тогда, полагая р=0, из (3.1)-(3.3) нетрудно получить соотношения
ер
s = s 0 ехр( ò gs 0 de p ) ;
(3.13)
0
119
·
·
e -e
.
(3.14)
a[s(t ) - s пр ] - e (t ) = 0
l
За счет выбора параметра l (при выполнении условия
n1
·
p
·
l>> max{l k } ) величину (e 0 - е ) \ l можно сделать пренебрежимо
k
малой. С учетом сделанного предположения из (3.14) имеем
е р = а(s - s пр ) n .
1
(3.15)
Из (3.13) и (3.15) получаем неявно заданную зависимость
s0=s0(ер):
ер
е = а[s 0 ехр ( ò gs 0 de p ) - s пр ] n .
р
1
(3.16)
0
При малых значениях ер поврежденность от пластической деформации незначительна и можно считать s0»s. Тогда, используя
начальный участок экспериментальной диаграммы мгновенного
упругопластического деформирования, по методу наименьших
квадратов (МНК) находятся коэффициенты а, n1 аппроксимации
(3.15). Определение параметра g осуществляется численно. Имея
ряд экспериментальных значений (еip, s0i) диаграммы мгновенного
упругопластического деформирования и представляя значение интеграла в (3.16), например, по второй формуле прямоугольников, из
соотношения (3.16) получаем
é p n1
ù
ê æç ei ö÷ + s
ú
пр
ç
÷
ê
ú
s
a
1
0 ( i -1)
ln ê è ø 1
×
ú. (3.17)
g (eip ) =
p
p
s 0i ú
s 0 i (ei - ei -1 ) ê p n
ö
æ
ê ç ei -1 ÷ + s пр
ú
ç
êë è a ÷ø
úû
Зная дискретную зависимость g( eip ), можно построить либо ап1
1
проксимацию вида (3.4), либо принять гипотезу g( eip )=const. Согласно (3.12) величина А*p есть не что иное, как работа истинного
напряжения на деформации пластичности и определяется по формуле
e*p
A = ò sde p ,
p
*
0
120
(3.18)
где s задается (3.13), а e*p – пластическая деформация, соответствующая разрушению образца.
Исходной информацией для определения параметров уравнений, связанных с описанием деформации ползучести, являются
кривые стационарной ползучести, доведенные до разрушения, при
нескольких номинальных напряжениях s0, меньших предела пропорциональности (s 0 < s пр ) . Приведем алгоритм вычисления параметров, описывающих деформацию ползучести.
а. Отделяя первую и вторую стадии ползучести либо графически, либо применяя более точные и надежные способы [103, 145],
по методике, изложенной в работах [197, 191, 214], находятся параметры lk, ak, bk, c, m, n2, s*.
m
б. Определение величины a = a1s 0 1 и константы А*C производится по экспериментальным данным стационарной ползучести
при фиксированном s0 на основании критерия близости расчетных
и экспериментальных кривых по некоторому направлению
p
y(0£y£ ) (см. рис.3.2) путем минимизации безразмерного функ2
ционала
ìé р T - p Э ù 2 é t T - t Э ù 2 ü
ï j
ï
i
j
j
ú +ê
ú ý ® min ,
íê
å
р* úû
j =1 ï ê
êë t* úû ïþ
îë
N
(3.19)
где tjT, pjТ – расчетные, tjЭ, pjЭ – экспериментальные значения времени и неупругой деформации (соответственно), принадлежащие
одной прямой а-а (см.рис.3.2), имеющей угол наклона к оси времени y; t* , p* - экспериментальные данные времени и неупругой деформации, соответствующие точке разрушения образца; N – количество точек, используемых в соотношении (3.19). Для этой цели
величина a в (3.3) варьируется и осуществляется расчет по (3.1)(3.3) до достижения неупругой деформацией экспериментального
значения в момент разрушения t = t* и выбирается то значение a,
при котором выполняется (3.19).
Как видно из рис.3.2, критерий близости (3.19) включает как
частный случай традиционные методы близости по деформации
121
p
) и по времени дости2
жения заданного значения неупругой деформации (y=0) и
свободен от их недостатков.
Так критерий близости по деформации не пригоден на
третьей стадии, а близость по
времени может дать колоссальные ошибки для материаР и с. 3.2. Схема близости кривых лов с маленькой скоростью на
неупругой деформации по направ- второй стадии ползучести
лению y. Сплошные линии – экспе(кривые 2 на рис.3.2).
римент, пунктирный – расчет
Значение A*C при заданном s0 и найденном a определяется из соотношения (3.12):
(y=
t*
t*
0
0
A = ò sdp /[1 - ò (s / A*p ) de p .
C
*
(3.20)
в. После нахождения a и A*C при нескольких s0 строится аппроксимация a = a 1 s 0
m1
и
A*C = a A (s 0 ) m
(3.21)
А
(в частных случаях возможны варианты a = const, A = const).
C
*
3.4. Экспериментальная проверка энергетического
варианта теории ползучести и длительной прочности
В данном пункте рассматриваются следующие основные задачи, которые должна решать любая вновь создаваемая теория ползучести:
1) экспериментальная проверка предложенной модели (3.1)(3.4) и критерия разрушения (3.12), а также сравнение данных расчета по этой теории с существующими теориями ползучести;
2) анализ диаграммы упругопластического деформирования
вплоть до разрушения;
122
3) анализ характера предельной неупругой деформации в момент разрушения;
4) анализ характера диаграмм длительной прочности в широком диапазоне изменения напряжения;
5) проверка широко применяемого в расчетной практике
принципа линейного суммирования поврежденности и анализ отклонений от него и другие эффекты.
Для экспериментальной проверки предложенной модели (3.1)(3.4) и критерия (3.12) была выполнена серия испытаний на сплаве
ЭИ698 при трех уровнях температур Т=700оС, Т=750оС и Т=7750С;
сплаве ЭП693 при Т=650оС, Т=700оС, Т=725оС; сплаве ЭП742 при
Т=650оС и Т=750оС. Все испытания проводились на унифицированных круглых образцах с отношением длины к диаметру равным
10. Заготовки образцов для сплавов ЭИ698 и ЭП742 вырезались из
диска газотурбинного двигателя, а для ЭП693 – из прутка и обрабатывались по штатной технологии. Испытания проводились на установке для одноосной ползучести типа МП-3Б, снабженной дополнительным приводом для обеспечения скорости активного захвата, равной 20 мм/мин. Необходимые температуры в зоне испытаний создавались печью сопротивления. Контроль температуры
осуществлялся двумя термопарами типа ДП. Разброс по длине образца не превышал 1,5оС. На каждом из задаваемых режимов испытывалось по 2-3 образца и данные осреднялись.
Для сравнения результатов расчета по предложенной модели с
существующими теориями были использованы также экспериментальные данные других авторов, в частности, по сплаву ОТ-4 при
Т=450оС и Т=500оС [234, 236, 237]; сплаву ЭИ437Б при Т=800оС
[4, 230]; сплаву АК4 при Т=250оС [27]; сплаву ЖС6КП при
Т=900оС, Т=950оС, Т=1000оС [12, 105]; нержавеющей стали
12Х18Н10Т при Т=850оС [66, 124]. При этом недостающие экспериментальные данные по диаграммам упругопластического деформирования для сплавов ЭИ437Б (Т=800оС), ЖС6КП (Т=900-1000оС)
были позаимствованы из работы [27], для стали 12Х18Н10Т
(Т=850оС) – из [120, 139]. Для сплава ОТ-4 использовались данные
работы [235], где представлены диаграммы при Т={20оС, 100оС,
200оС, 300оС, 400оС}. После их обработки по предложенной в работе методике была осуществлена экстраполяция для температуры
Т=450оС и Т=500оС.
123
В качестве примера на рис.3.3, рис.3.8, рис.3.13-3.14, рис.3.24,
рис.3.27, рис.3.29, рис. 3.31, рис.3.34(а) приведен расчет диаграмм
мгновенного упругопластического деформирования для указанных
выше материалов: сплошные линии соответствуют экспериментальным данным, пунктирные – расчету по модели (3.1)-(3.4), (3.12) в
координатах «номинальное напряжение-деформация» (s0~e), штрихпунктирные – расчету в координатах «истинное напряжениедеформация» (s ~e). Материальные константы для расчета упругопластической деформации для всех материалов, используемых в
данной работе, приведены в табл. 3.1. Как видно из приведенных рисунков, расчетная диаграмма в координатах s0~e имеет немонотонный характер с точкой максимума, что соответствует расчетному
значению временного предела сопротивления материала, а диаграмма в истинных напряжениях s ~e строго монотонна. Одним из важных, на наш взгляд, результатов является теоретическое описание
немонотонного характера кривой мгновенного деформирования на
уровне механики сплошных сред, что, как известно [59], встречает
наибольшие трудности при соответствующей аппроксимации. Следует отметить, что немонотонный характер расчетной диаграммы
мгновенного деформирования s0~e есть не результат формальной
математической аппроксимации, а прямое следствие накопления поврежденности (пластического разрыхления) в материале. Этот же
а
б
Р и с. 3.3. Диаграммы мгновенного деформирования сплава ЭИ 698:
а) Т=7000С; б) Т=7500С:_______ эксперимент; - - - - расчет в
координатах s0 - e;
расчет в координатах s - e
124
факт был описан ранее в разд. 2 на уровне механики микронеоднородных сред.
Проверка адекватности модели (3.1)-(3.4) и критерия (3.12) экспериментальным данным в процессе ползучести осуществлялась при
описании кривых неупругой деформации в область интерполяции в
условиях стационарного нагружения при фиксированных значениях
s0 (базовый эксперимент), по которым определялись все константы
модели; в область интерполяции в условиях нестационарного (ступенчатого) нагружения теми же значениями s0, а также в область
экстраполяции результатов для стационарного нагружения напряжениями s0, не входящими в базовый эксперимент для определения
констант модели.
На рис.3.4-3.6 приведен расчет стационарной ползучести (пунктирные линии) для сплава ЭИ698 по модели (3.1)-(3.4), (3.12):
сплошные линии соответствуют экспериментальным данным, крестики – разрушению материала. Аналогичный расчет выполнен для
сплава ЭП742 (рис.3.9, рис.3.10), ЭП693 (рис.3.15-3.20), ОТ-4
(рис.3.25-3.26), стали 12Х18Н10Т (рис.3.28), сплава ЭИ437Б
(рис.3.30), сплава ЖС6КП (рис.3.32-3.33) и АК-4 (рис.3.34,б). Реологические константы для этих материалов, вычисленные по приведенной в п. 3.3 методике на основании указанных экспериментальных
данных стационарной ползучести, приведены в табл. 3.2. Расчетные
и экспериментальные значения времени до разрушения при этих режимах нагружения для приведенных материалов представлены в
таблицах 3.3-3.5, 3.8-3.12. Здесь же дана средняя относительная
ошибка
*
*
1 N t -t
Q = å 1i * 4 i
(3.22)
N i =1 t1i
отклонения расчетных значений времени до разрушения ( t4i* t*4i) от
экспериментальных (t*1i) (N – количество обрабатываемых кривых, i
– номер реализации).
На рис.3.7, 3.12, 3.21-3.23 приведены примеры расчета (пунктирные линии) для сплавов ЭИ698 (Т=750оС), ЭП742 (Т=750оС) и
ЭП693 (Т=650оС, Т=700оС, Т=725оС) при переменных режимах нагружения. Сплошные линии здесь соответствуют экспериментальным данным. При этом для сплава ЭП 742 (рис. 3.12) перегрузка
осуществлялась, когда величина неупругой деформации имела значение 3%.
125
Р и с. 3.4. Экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные
(пунктир) кривые неупругой деформации сплава ЭИ 698
(Т=7000С):
1 - s0 = 470,9;2 - s0=520; 3 - s0 = 570
МПа
Р и с. 3.6. Экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные
(пунктир) кривые неупругой деформации сплава ЭИ 698
(Т=7750С):
1 - s0=323,7; 2 - s0=343,4; 3 s0=372,8; 4- s0=421,8; 5 - s0=470,9
МПа
126
Р и с. 3.5. Экспериментальные
(сплошные линии), расчетные
при a=a1 s0m1 (пунктир) и
a=const (штрих-пунктир) кривые неупругой деформации
сплава ЭИ 698 (Т=7500С):
1 - s0 = 372,8; 2 - s0 = 428,8;
3 - s0 = 470,9 МПа
Р и с. 3.7. Экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные
(пунктир) кривые неупругой деформации сплава ЭИ 698
(Т=7500С) при нестационарном
нагружении:
1 - s0=372,8;2 - s0=0; 3 - s0=421,8;
4- s0=470,9 МПа
а
б
в
Р и с. 3.8. Кривые мгновенного упругопластического деформирования сплава ЭП 742:
а – Т = 200С; б – Т = 6500 С; в – Т=7500 С.
мент; - - - - расчет в координатах s0 - e;
координатах s - e
Р и с. 3.9. Экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные
(пунктир) кривые ползучести
сплава ЭП 742 (Т=6500С) при
стационарном нагружении:
1-s0=588,6; 2-s0=637,6;
3 - s0=686; 4 - s0 = 784,8 МПа
_______
эксперирасчет в
Р и с. 3.10. Экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные
(пунктир)
кривые
неупругой
деформации сплава ЭП 742
(Т=7500С) при стационарном нагружении:
1 - s0=470,9; 2 - s0=520; 3 - s0=570;
4 - s0=68,67 МПа
127
Р и с. 3.11. Экспериментальные (сплошные линии) и
расчетные (пунктир) кривые
кратковременной ползучести
сплава ЭП 742 (Т=7500С):
1-s0=735,7;2-s0=784,8;
3-s0=883 МПа
Р и с. 3.12. Экспериментальные (сплошные линии)
и расчетные (пунктир) кривые неупругой деформации
сплава ЭП 742 (Т=7500С):
1-s0=470,9; 2 –570 МПа
а
б
Р и с. 3.13. Экспериментальные (сплошные линии), расчетные в координатах s0 - e (пунктир) и s - e (штрих-пунктир)
диаграммы мгновенного упругопластического деформирования сплава ЭП 693:
а – Т = 7000 С; б – Т = 7250С
128
Р и с . 3.14. Экспериментальная
(сплошная линия), расчетные в
координатах s0 - e (пунктир) и s e (штрих-пунктир) диаграммы
мгновенного упругопластического
деформирования сплава ЭП 693
при Т=7500С
Р и с. 3.16. Начальные участки
кривых ползучести сплава ЭП 693
(Т=7250С):
экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные
(пунктир):
1 - s0=196,2; 2 -s0=245,3; 3 -s0 =294,3;
4 -s0 = 343,3; 5 -s0 = 0 МПа
Р и с . 3.15. Начальные участки
кривых ползучести сплава ЭП 693
(Т=7000С):
экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные
(пунктир):
1-s0 = 245,3; 2 -s0= 294,3; 3 -s0 =343,4;
4 -s0 = 392,4; 5 -s0 = 0 МПа
Р и с. 3.17. Начальные участки
кривых ползучести сплава ЭП 693
(Т=7500С):
экспериментальные
(сплошные линии) и расчетные
(пунктир):
1-s0=196,2; 2 -s0=294,3; 3 -s0=343,4;
4 -s0=0 МПа
129
2
1
3
Р и с. 3.18. Экспериментальные
(сплошные линии), расчетные
(пунктир) кривые неупругой деформации в процессе ползучести
сплава ЭП 693 при Т=7000С:
1-s0=343,4; 2-s0=392,4; 3-s0=441,4 МПа
Р и с. 3.19. Экспериментальные
(сплошные линии), расчетные
(пунктир) кривые неупругой
деформации в процессе ползучести сплава ЭП 693 при Т=7250С:
1-s0=292,4; 2 -s0=343,3 МПа
На рис.3.11 показан пример экстраполяции расчета по модели
(3.1)-(3.4), (3.12) в область кратковременной ползучести для сплава
ЭП742 (Т=750оС) по информации, представленной на рис.3.10.
Как следует из приведенных рисунков и таблиц результаты
расчетов имеют хорошее согласование с экспериментальными
данными.
Анализ данных расчета и эксперимента показал, что величина
обратимой деформации ползучести при разгрузке на третьей стадии значительно увеличивается по сравнению с начальным участком. Расчетные (uP) и экспериментальные (uЭ) значения для сплава
ЭП693 при Т=725оС (рис.3.21) для двух режимов нагружения приведены в таблицах 3.6, 3.7. Здесь u0p, u0э – расчетные и экспериментальные значения обратимой деформации на начальном участке
(рис.3.16), где поврежденность практически равна нулю. Так, например, для верхней реализации на рис.3.21 на последней ступени
разгрузки ее экспериментальное значение увеличивается в 3,65
раза, а расчетное - в 5,6 раз. Для нижней реализации на последней
ступени разгрузки эти значения соответственно равны 3,0 и 2,81.
Аналогичная картина наблюдается для этого же сплава и при
Т=650оС (см. рис.3.22). Это свидетельствует о том, что разгрузка
130
происходит не при напряжении s0, а при истинном напряжении s,
и говорит о росте последнего в процессе деформирования. Следует
также отметить, что абсолютная величина обратимой деформации
для верхней реализации на рис.3.22 к моменту третьей разгрузки
составляет ~ 10% от накопленной к этому моменту неупругой деформации.
Р и с. 3.20. Экспериментальные (сплошные линии) и
расчетные (пунктир) кривые неупругой деформации
в процессе ползучести сплава ЭП 693 при Т=7500С:
1-s0 = 245,2; 2 -s0= 294,3; 3 -s0 =343,3 МПа
Из этих двух фактов можно сделать вывод о целесообразности
применения предложенных уравнений, учитывающих обратную
деформацию ползучести при разгрузке, и введения в эти уравнения
вместо номинального – истинного напряжения. Сравнение предложенной модели (3.1)-(3.4), (3.12) с существующими теориями было
осуществлено по данным работ [234, 237], в которых приведены
результаты испытаний на ползучесть титанового сплава ОТ-4 при
Т=4500 С и Т=5000С, и работ [66, 124] по данным ползучести стали
12Х18HIOT при Т=8500 С. Так на рис. 3.25, 3.26 сплошными линиями приведены экспериментальные данные по ползучести сплава
ОТ-4, пунктирными – расчет по модели (3.1) – (3.4), (3.12), а
штрих-пунктирными – по энергетичеcкому варианту О.В. Соснина
[234, 237]. В табл. 3.8 и 3.9 приведены данные расчета времени раз131
разрушения для этого сплава, выполненные разными авторами.
Здесь t*1 – соответствует экспериментальным данным [234,237]; t*2
– расчету по энергетическому критерию Соснина О.В. [234, 236];
t*3 – расчету по деформационному критерию на основании кинетических уравнений Ю.Н. Работнова, выполненному в [66, 127]; t*4 –
расчету по модели (3.1) – (3.4), (3.12). Очевидно, что для этого
сплава соотношения (3.1)-(3.4) в целом аппроксимируют опытные
данные несколько лучше, чем уравнения работ [ 234, 237], о чем
свидетельствует величина средней относительной ошибки Q отклонения расчетных и экспериментальных данных времени разрушения. Для стали 12Х18HIOT получены практически одинаковые
результаты расчета по модели (3.1)-(3.4), (3.12) и по кинетическим
уравнениям Работнова Ю.Н. [66, 127] (см. табл. 3.10).
Отметим следующий интересный факт. Несмотря на то, что
напряжение s0 может не превышать предела пропорциональности,
истинное напряжение s с течением времени за счет накопления
повреждений становится выше предела пропорциональности и на
деформацию ползучести будет накладываться мгновеннопластическая деформация. Наглядно этот вариант продемонстрирован на рис.3.35,а. При этом неупругая деформация складывается
из трех компонент: деформации ползучести р; деформации пластичности ер и приращения упругой деформации е(t) – e(0) за счет
увеличения истинного напряжения (рис.3.35,б). Это соответствует
так называемой четвертой («лавинной») стадии ползучести, на которую указывалось в работах [15, 160] и появление которой с позиций механики микронеоднородных сред было обосновано в
разделе 2. Начало стадии «лавинной» ползучести на рис.3.4-3.7,
рис.3.9-3.12, рис.3.18-3.23, рис.3.25-3.26, рис.3.30 показано стрелкой. В отличие от работы [15], где чисто геометрический метод определения начала этой стадии применим лишь для стационарных
кривых ползучести, по модели (3.1)-(3.4), (3.12) это можно сделать
при любых законах изменения напряжения. К тому же такой подход обосновывает физическое состояние материала на феноменологическом уровне в момент начала «лавинной» ползучести. Следует отметить, что «лавинная» стадия реализуется не всегда. В частности, для сплава ЖС6КП (см. рис.3.32-3.34) для исследуемого
диапазона напряжений разрушение происходило в упругой области
без появления пластических деформаций.
132
Р и с. 3.21. Экспериментальные (сплошные линии) и расчетные (пунктир) кривые ползучести сплава ЭП 693 при
Т=7250С для нестационарного нагружения:
1-s0 = 294,3; 2 -s0= 0; 3 -s0 =274,7 МПа
Р и с. 3.22. Экспериментальные
(сплошные линия) и расчетные
(пунктир) кривые ползучести
сплава ЭП693 при Т=6500С для
нестационарного нагружения:
1-s0=588,8; 2-s0=0; 3-s0=490,5;
4 – s 0 = 392,4 МПа
Р и с. 3.23. Экспериментальные
(сплошные линии), расчетные
(пунктир) кривые ползучести
сплава ЭП 693 при Т=7000С для
нестационарного нагружения:
1- s0 = 392,4; 2 - s0= 0;
3 - s0 =294,3; 4 - s0 =245,3 МПа
133
134
Т а б л и ц а 3.1
Значения параметров модели для описания деформации пластичности
Материал
ЭИ 698
ЭП 742
ЭП 693
ОТ - 4
ХI 8HIOT
ЭИ 437Б
АК 4
ЖС6 КП
12 ХМФ
Сталь 20
ЭИ 694
0
T, C
700
750
775
20
650
750
700
725
750
20
100
200
300
400
450
500
850
800
250
900
950
1000
590
500
700
sпр ,
МПа
500.3
480.7
466.0
863.3
696.5
608.2
755.4
735.7
716.1
470.9
412.0
343.35
284.5
235.4
206.0
176.6
44.1
372.8
157.0
343.4
245.2
196.2
147.15
147.15
137.34
E .10-5,
МПа
1.52
1.47
1.44
2.21
1.79
1.70
1.314
1.304
1.295
1.05
0.912
0.873
0.814
0.726
0.696
0.667
0.775
1.275
0.588
1.364
1.265
1.226
0.505
1.08
1.08
a,
МПа - n1
.
n1
-7
1.184 10
4.27. 10-8
2.17. 10-8
1.356. 10-6
8.614. 10-7
5.102. 10-7
1.09. 10-5
4.85. 10-6
1.95. 10-3
1.965. 10-14
2.84. 10-14
8.852. 10-12
1.784. 10-11
5.6. 10-10
1.89. 10-9
6.07. 10-9
7.48. 10-7
2.08. 10-9
1.64. 10-8
3.62. 10-6
3.97. 10-7
3.1. 10-12
1.786. 10-6
5.19. 10-7
2.575. 10-6
1.955
2.145
2.458
1.776
1.854
1.943
2.38
3.206
2.242
4.82
4.93
3.95
3.78
3.015
2.82
2.61
3.46
3.17
2.45
1.25
1.62
3.9
1.97
2.61
2.08
g1,
МПа -1
3.77. 10-3
7.06. 10-3
5.73. 10-3
1.916. 10-3
1.776. 10-3
1.623. 103
7.63. 10-4
1.36. 10-3
4.61. 10-3
7.176. 10-4
2.28. 10-4
1.18. 10-3
2.85. 10-3
1.136. 10-2
1.83. 10-2
3.3. 10-2
1.19. 10-5
1.43. 10-3
4.12. 10-2
3.45. 10-2
9.21. 10-1
2.76
9.41. 10-3
2.92. 10-3
2.81. 10-3
А*р ,
МДж/м3
284.5
201.2
147.5
275.8
227.5
180.0
76.9
87.67
94.76
83.28
63.86
60.33
56.7
58.27
51.1
49.6
36.44
83.0
34.08
8.78
13.24
12.95
91.92
75.24
99.1
m2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.48
0.93
0
0
0.63
1.2
0
0
0
Т а б л и ц а 3.2
Значения параметров модели для описания деформации ползучести
Материал
T, 0C
ЭИ 698
700
750
775
sпр,
МПа
490.5
490.5
490.5
ЭП 742
650
490.5
750
700
490.5
294.3
725
294.3
750
294.3
450
500
850
800
250
900
950
1000
590
500
700
ЭП 693
ОТ - 4
ХI8HIO
T
ЭИ 437Б
АК 4
ЖС6КП
135
12ХМФ
Сталь 20
ЭИ694
294.3
9.81
9.81
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
-
lk,
ч-1
0.2
0.2
0.2
0.022
0.2
0.022
0.2
0.24
2.85
0.24
2.85
0.24
2.85
1.955
-
2.96. 10-4
5.2. 10-4
6.28. 10-4
7.32. 10-4
0
0
6.55. 10-4
1.317. 10-4
0.8. 10-4
2.225. 10-4
1.346. 10-4
4.53. 10-4
2.74. 10-4
0
-
255.1
9.81
196.2
137.3
93.2
176.6
107.9
58.86
1
1
1
1
-
0.83
0.033
0.033
0.033
-
0
0
0
0
-
k
ak
bk
c
4.44. 10-4 2.51. 10-5
7.8. 10-4
3.98. 10-4
.
-4
9.42 10
1.41. 10-3
5.37. 10-3
7.22. 10-7
0
0
4.155. 10-5
.
-3
4.804 10
0.275. 10-4 2.09. 10-4
0.167. 10-4
0.463. 10-4 9.765. 10-4
0.28. 10-4
9.48. 10-5 3.25. 10-4
5.74. 10-5
3.47. 10-3 6.07. 10-4
1.29 10-7
9.91. 10-6
6.3 10-6
2.5. 10-3
3.2. 10-2
2.91. 10-3
.
5.167. 10-4
9.21. 10-8
2.26. 10-5
4.7. 10-5
1.25. 10-4
2.48. 10-5
1.865. 10-4
3.0. 10-6
a1,
n2
m
МПа -1- m1
m1
2.9
3.45
4.1
10.96
10.96
10.96
9.56. 107
3.81. 105
1.94. 107
-2.027
-2.59
-3.22
3.29
3.76
14.3
8.9
3.0. 1014
2.81. 106
1.76
4.944
1.43
aA,
МПа1- mA
mA
12.2
12.6
9.02
174.4
0
0
0
0
-6.09
-3.3
87.1
0
2.11. 10-2
0
470.5
0
4.28
2.13. 10-1
-0.42
277.3
0
1.06
3.145
0.472
-0.5
570.9
0
3.19
-
3.94
3.59
3.2
9.37. 10-3
1.18 10-2
42.28
0
0
-1.5
219.7
114.0
7.52
0
0
0
1.77
1.2
1.45
1.6
-
8.37
2.77
6.62
3.92
3.11
7.1
7.28
5.3
1.03. 1010
2.77
7.78. 106
9.856
3.46. 102
7.19. 103
1.65. 102
34.45
-4.73
-2.28
-3.62
-0.97
-1.9
-2.28
-2.34
-1.5
2.32. 10-4
5.23
5.55. 10-3
1.78. 10-5
1.13 10-2
1.1 10-4
2.99 10-2
31.88
1.63
0
1.05
2.18
0.82
2.35
1.52
0
136
Т а б л и ц а 3.3
Экспериментальные (числитель), расчетные (знаменатель) значения времени до разрушения (в часах) и
средняя ошибка отклонения (Q) расчетных и экспериментальных данных для сплава ЭИ 698
s0,
МПа
Т, 0С
323.7
343.4
372.8
421.8
470.9
520
570
Q,%
100
96.1
4.3
5.5
32
36.5
8.1
46.5
37
8.6
9.5
256
272
12.7
13.4
3.5
3.8
700
750
106
94.1
775
53
50
116.5
120.6
29
27
12
8.6
Т а б л и ц а 3.4.
Экспериментальные (числитель), расчетные (знаменатель) значения времени до разрушения (в часах) и
средняя ошибка отклонения (Q) расчетных и экспериментальных данных для сплава ЭП 742
s0,
Мпа
Т, 0С
470.9
520
570
588.6
650
750
156.4
159.4
84.4
75.9
35.4
37.1
267
281
673.6
686.7
898
908
472
467.7
11.25
7.25
735.7
784.8
3.12
3.75
128
108
1.05
1.9
883
Q,%
5.9
0.25
0.44
29.7
Т а б л и ц а 3.5
Экспериментальные (числитель), расчетные (знаменатель) значения времени до разрушения (в часах) и
средняя ошибка отклонения Q расчетных и экспериментальных данных для сплава ЭП 693
s0,
МПа
Т0 ,С
245.2
294.3
343.3
392.4
441.45
Q,%
268
271
131
132.1
7.5
414
416.9
136
113.8
498
601
187
183.2
53.5
63.1
700
750
775
214
225.7
1.63
13.25
Т а б л и ц а 3.6
Расчетные (ир) и экспериментальные (иэ) значения обратимой деформации
при разгрузке для режима нагружения
s0 = 274.7 – 294.3 – 0 – 294.3 – 0 – 294..3 - 0 - 294.3 (МПа) сплава ЭП 693
при Т = 7250 С (рис. 3.21)
№ разгрузки
up, %
uэ, %
uр/ u0 p
uэ/ u0 э
137
1
0.039
0.05
1.09
1.25
u0 p = 0.0357 %,
2
0.05
0.08
1.4
2.0
u0 э = 0.04 %
3
0.1
0.120
2.81
3.0
Т а б л и ц а 3.7
Расчетные (ир) и экспериментальные (иэ) значения обратимой
деформации при разгрузке для режима нагружения
s0 = 294.3 – 0 - 294.3 – 0 – (МПа) сплава ЭИ 693 при Т=7250 С (рис. 3.21)
№ разгрузки
1
up, %
0.065
uэ, %
0.64
uр/ u0 p
1.82
uэ/ u0 э
1.6
u0 p = 0.0357 %,
u0 э = 0.04 %
2
0.2
0.146
5.6
3.65
Т а б л и ц а 3.8
Экспериментальные [236, 237] (t1*), расчетные по модели (3.1) – (3.4),
(3.12) (t4*) и по модели О.В. Соснина [234, 236] (t2*) данные времени до
разрушения для сплава ОТ-4 при Т=4500 С
s0, МПа
t1* ,ч
t2*,ч
t4*,ч
196.2
1085
987
1065.2
206
704
789
826,4
230.5
419
462
454
245.25
348
317
322.9
294.3
117
104
108.2
343.35
35
34
34.2
Q,%
10.7
7.42
Т а б л и ц а 3.9
Экспериментальные [236, 237] (t1*), расчетные по модели О.В. Соснина
[236, 237] (t2*), расчетные по деформационному критерию [124] (t3*), расчетные по модели (3.1) – (3.4), (3.12) (t4*) данные времени до
разрушения для сплава ОТ-4 при Т=5000 С
s0, МПа
t1* ,ч
t2*,ч
t3*,ч
t4*,ч
138
98.1
444
445
356
455.8
112.8
211
265
216
240.1
127.5
141
155
139.6
137.7
147.1
65
78
83
70.3
176.6
38
26
43
30.1
Q,%
17.46
12.9
9.5
Т а б л и ц а 3.10
Экспериментальные [66] (t1*), расчетные по модели (3.1) – (3.4), (3.12)
(t4*), расчетные по модели А.М. Локошенко, С.А. Шестерикова [66] (t3*)
данные времени до разрушения для стали 12XI8HIOT при Т=8500 С
s0, МПа
t1*,ч
t3*,ч
t4*,ч
39.24
54
51
51.3
49.05
23.5
25.2
26,4
48.86
15.4
14.1
15.0
78.48
6.0
5.7
5.75
Q,%
6.57
6.07
Т а б л и ц а 3.11
Экспериментальные (t1*) [4,230] и расчетные (t4*) по модели (3.1) – (3.4),
(3.12) данные времени до разрушения для сплава ЭИ 437 Б при Т=8000 С
s0,
МПа
t1* ,ч
t4*,ч
196.2
235.4
255.1
294.3
392.4
431.6
451.3
470.9
Q,%
83.7
721.7
45.9
30.9
15.4
21.3
10.3
1082
1.82
2.07
0.975
0.96
0.462
0.61
0.328
0.343
17.3
Т а б л и ц а 3.12
Экспериментальные (t*э, р*э) [12] и расчетные (t*т, р*т) по модели
(3.1) – (3.4), (3.12) данные времени до разрушенияи неупругой
деформации в момент разрушения (соответственно) сплава ЖС6КП
Т0,С
900
950
1000
s0, МПа
181.4
196.2
264.9
107.9
137.3
225.6
58.86
93.2
122.6
t*э, ч
1231
777
147
857
379
48.8
870
196.8
92.6
t*т, ч
985
716
185
870.6
353.1
53.9
780
210
92.5
Q,%
17.9
5.9
8.5
р*э
5.76
6.6
6.39
3.52
4.26
6.64
4.48
4.24
4.17
р*т
5.45
5.68
6.45
3.58
4.53
6.61
4.33
4.28
4.19
Q,%
2.5
2.83
1.59
139
Р и с. 3.24. Расчетные в координатах s0 - e (сплошные линии)
и координатах s - e (пунктир) диаграммы упругопластического деформирования сплава ОТ-4:
·; x ;o; D – экспериментальные данные [235]
Р и с. 3.25. Кривые ползучести сплава ОТ-4 при Т=4500 С:
точки - экспериментальные данные [234, 236];
расчет по
модели (3.1) – (3.4), (3.12), (3.21);
расчет по модели
О.В. Соснина [234, 236];
1-s0 = 196,2; 2-s0=206; 3-s0=230; 4 -s0=245,25; 5-s0=294,3;
6-s0=343,35 МПа
140
Р и с . 3.26. Экспериментальные (точки) [234,237],
расчетные (пунктир) по модели (3.1) – (3.4), (3.12) и
(штрих-пунктир) по модели Соснина О.В. [234, 236]
кривые ползучести сплава ОТ-4 при Т=5000 С:
1-s0 = 98,1; 2-s0=112,8; 3-s0=127,5; 4 -s0=147,1;
5-s0=176,6 МПа
Р и с .3.27. Диаграммы упругопластического деформирования
стали 12Х18Н1ОТ при Т=8500 С:
_______
эксперимент; - - - - расчет в
координатах s0-e;
расчет
в координатах s - e
Р и с . 3.28.
Экспериментальные
( _______ ) и расчетные ( - - - - -) по модели (3.1) – (3.4), (3.12) кривые ползучести стали 12Х18Н1ОТ при
Т=8500 С:
1-s0 = 38,24; 2-s0=49,05; 3-s0=58,86;
4 -s0=78,48 МПа
141
На рис.3.36 приведены расчетные зависимости предельной неупругой деформации e*=e*(s0) в момент разрушения для различных
сплавов. Как видно, определяющие уравнения (3.1)-(3.4) и критерий
разрушения (3.12) описывают и монотонный и немонотонный характер зависимости e*=e*(s0) как с одним, так и с двумя локальными
экстремумами. В ряде работ [6, 51, 127, 234, 236] были описаны лишь
монотонные зависимости e*=e*(s0), либо немонотонные с одним локальным экстремумом.
На рис.3.37-3.39, рис.3.34, г представлены типичные расчетные
диаграммы длительной прочности как в полулогарифмических, так и
двойных логарифмических координатах. Как видно, диаграммы длительной прочности имеют ярко выраженный нелинейный характер,
причем в полулогарифмических координатах они имеют точку перегиба (см. рис.3.37, 3.38), при этом
условно можно выделить прямолинейный участок диаграммы и две
прилегающие к нему области, которые, по-видимому, определяют три
области с различными механизмами
разрушения. Для подтверждения
этого обратимся к рис.3.40, где к
единой оси ординат lgt приведены
графики предельной неупругой деформации (3), относительных работ
от ползучести A C (t ) / A*C (1) и от пла-
Р и с. 3.29. Диаграмма мгновенного деформирования сплава ЭИ 437Б при Т=8000С:
1- эксперимент; расчет в координатах s0 - e при g = const (2) и при
g = g1 (e p )
m1
(3); 4 - расчет в ко-
ординатах s - e.
142
стичности A p (t ) / A*p (2) в момент
разрушения и диаграммы длительной прочности (4) сплавов ЭИ698
при Т=750оС (а) и ЭП742 при
Т=750оС (б). Как видно из рис.3.40,
можно выделить область (II), где
величины A C (t ) / A*C и A p (t ) / A*p
практически постоянны и именно
этой области соответствует прямолинейный участок диаграммы длительной прочности и некоторая стабилизация скорости предельной не-
упругой деформации de/dlgt. На рис.3.40,б в качестве примера на основе модифицированного в [145] критерия Н.В.Смирнова принадлежности точек однородной совокупности (de/dlg t =const) выделены
три области: первая соответствует области кратковременной ползучести; вторая – области ползучести с развитой третьей стадией, длительность которой здесь может составлять до 50% и выше от общего
времени до разрушения; третью – условно можно назвать областью
хрупкого разрушения, так как по расчетам на основании модели
(3.1)-(3.4), (3.12) длительность третьей стадии составляет здесь доли
процента и вторая стадия заканчивается практически вертикальной
асимптотой.
Большое внимание в настоящей работе было уделено проверке
широко используемой в расчетной практике гипотезы линейного
суммирования поврежденности
t
dt
(3.23)
ò0 t* (s(t)) = 1 ,
предложенный еще Е.А.Робинсоном [307], в развитие идей
А.Пальгрема [303] и М.А.Минера [300], сформулированных для усталости. Здесь t*(s) – функция, аппроксимирующая диаграмму длительной прочности. В значительном количестве экспериментальных
исследований, например [42, 282], при кусочно-постоянной функции
растягивающего напряжения s0=s0(t) наблюдаются систематические
отклонения от равенства (3.23) как в ту, так и в другую сторону, выходящие за границы естественного разброса. Это послужило причиной модификации кинетических уравнений Ю.Н. Работнова, предпринятой в ряде работ [95, 125, 127], для описания этого факта.
Анализ соотношения (3.23) на основании модели (3.1)-(3.4),
(3.12) при кусочно-постоянной аппроксимации s0=s0(t) (s0=s0(1) при
tÎ[0, t1], s0=s0(2) при tÎ[t1, t*]) показал, что значение интеграла S1 в
(3.23): S1>1, если s0(1)>s0(2), и S1<1 – при s0(1)<s0(2). Это отклонение
возрастает, если s0(1) и s0(2) принадлежат разным областям разрушения (см. рис.3.40,б).
*
143
Р и с. 3.30. Экспериментальные (сплошные линии) [4, 230] и расчетные (пунктир) по модели (3.1) – (3.4), (3.12) кривые неупругой
деформации сплава ЭИ 437Б при Т=8000 С:
1-s0 = 39264; 2-s0=431,6; 3-s0=451,3; 4 -s0=470,9; 5-s0=196,6; 6-s0=235,4;
7-s0=255,1; 8-s0=294,3 МПа
Р и с. 3.31. Экспериментальные
(сплошные линии), расчетные
(пунктир) в координатах s0 - e
и s - e (штрих-пунктир) диаграммы мгновенного деформирования сплава ЖС6 КП:
1 – Т=10000 С; 2 – Т=9500 С;
3 – Т= 9000 С
144
Р и с. 3.32. Экспериментальные
(сплошные линии) [12] и расчетные
(пунктир) кривые неупругой деформации сплава ЖС6 КП при
Т=9000 С:
1-s0 = 181,4; 2-s0=196,2;
3-s0=264,9 МПа
e-е(0), %
а
e-е(0), %
б
Р и с. 3.33. Экспериментальные (сплошные линии) [12] и расчетные (пунктир) кривые неупругой деформации сплава ЖС6 КП при
Т=9500 С (а) и Т=10000 С (б):
1-s0=225,6; 2-s0=137,3; 3-s0=107,9; 4-s0=122,6; 5-s0=93,2;
6-s0=58,86 МПа
145
а
б
г
в
0
Р и с. 3.34. Сплав АК-4, Т=250 С, экспериментальные данные – [27]:
а - экспериментальная (сплошная линия), расчетные в координатах s0 - e (пунктир) и
координатах s - e (штрих-пунктир) диаграммы упругопластического деформирования; б - экспериментальные (сплошные линии) и расчетные (пунктир) по модели
(3.1) – (3.4), (3.12) кривые ползучести: 1-s0=88,3; 2-s0=78,5; 3-s0=68,67; 4-s0=63,8
МПа; в - расчетные значения неупругой деформации в момент разрушения; г - расчетные (сплошная линия) и экспериментальные (точки) значения диаграммы
длительной прочности
146
а
б
Р и с. 3.35. Сплав ЭИ 698, Т=7500 С:
а - расчетные значения истинного напряжения в процессе ползучести образцов: 1-s0=372,8; 2-s0=421,8; 3-s0=470,9 МПа; б - расчетные значения полной неупругой деформации (штриховая линия); деформации ползучести р (1), пластической деформации
e p (2) и приращения упругой деформации е(t) – e(0) (3) в процессе ползучести при s0=372,8 МПа
Р и с. 3.36. Значения неупругой деформации в момент разрушения для сплавов:
1 – ЭП742 (Т=7500 С); 2 – ЭИ698 (Т=7500 С); 3 – ЖС6КП (Т=9000С);
4 – ОТ –4 (Т=5000С); 5 – ЭП 693 (Т=7500 С).
147
Р и с. 3.37. Расчетные диаграммы длительной прочности
сплава ЭП 742:
1 – Т=6500С; 2 – Т=7500С. Точки – экспериментальные данные
Р и с. 3.38. Расчетные диаграммы длительной прочности
сплава ЭИ 698:
1 – Т=7000С; 2 – Т=7500С; 3 – Т=7750 С. Точки – экспериментальные данные
148
Р и с. 3.39. Расчетные диаграммы длительной прочности
по модели (3.1) – (3.4), (3.12) (сплошная линия) и по данным [4, 230] (пунктир) для сплава ЭИ 437 Б при Т=8000С:
o – экспериментальные данные [230]
а
б
Р и с. 3.40. Расчетные значения неупругой деформации в
момент разрушения (3); относительные величины работ
Ас (t)/Aс* (1) и Ар (t)/Aр* (2); диаграммы длительной
прочности (4):
а – сплав ЭИ 698 (Т=7500 С): б – сплав ЭП 742 (Т=7500 С)
149
И, наконец, разделение неупругой деформации на пластическую
деформацию и деформацию ползучести позволяет избежать типичного недостатка теорий, в которых подобное разделение не производится, связанного с необходимостью введения гипотезы о «скачке»
внутренней энергии при переходе через некоторое значение s0. На
самом деле происходит просто изменение механизма разрушения и
существенную
роль
начинает
играть
первый
член
в
соотношении (3.12).
Таким образом, предложенная модель (3.1)-(3.4) и критерий разрушения (3.12) позволяет с единых позиций описать ряд отмеченных
фактов, которые с феноменологических позиций встречают наибольшие трудности.
150
4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ВАРИАНТ
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
И ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ В УСЛОВИЯХ
СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
4.1. Определяющие реологические уравнения и критерий
разрушения
Проблема выбора уравнений состояния и критерия разрушения в
условиях неупругого реологического деформирования материала при
сложном напряженном состоянии находится в еще более неразработанном состоянии, чем в случае одноосного напряженного состояния.
Известно, что процесс накопления поврежденности и разрушения материалов при сложном напряженном состоянии носит многостадийный характер. На первом этапе происходит интегральное (рассеянное) накопление микроповреждений, характерный размер которых много меньше среднего линейного размера поликристаллического материала. Далее происходит образование микротрещин, эволюция которых приводит к образованию магистральной трещины и
разрушению материала на макроуровне. Это уже область макромеханики разрушения. Целью настоящего раздела является выбор феноменологической реологической модели для описания процесса накопления рассеянной поврежденности и критерия разрушения в пределах первой стадии разрушения (до появления макротрещины).
Одними из первых подходов решения поставленной задачи являлись методы введения скалярного параметра поврежденности w,
базирующиеся на концепции эквивалентного напряжения s э , которое вводилось как в основные кинетические соотношения, так и в
уравнения для параметра поврежденности.
Истоки этого подхода восходят к работам Л.М. Качанова [91] и
Ю.Н. Работнова [173]. В дальнейшем он развивался, например, в работах С.А. Шестерикова, А.Н. Локощенко [128-130], В.И. Астафьева,
Т.В. Григорьевой, В.А. Пастухова [9], В.И. Астафьева, Ю.Н. Радаева
и Л.В. Степановой [10] и многих других авторов.
Здесь при таком подходе главным вопросом является выбор эквивалентного напряжения. Этот вопрос изучен достаточно хорошо и
обзор существующих аналитических выражений для sЭ можно най151
ти, например, в [66, 129]. Так Henderson с соавторами [287-289] в условиях растяжения и чистого сдвига для семи материалов обнаружил, что для одних можно использовать максимальное растягивающее напряжение (s Э = s1 ) , а для других – интенсивность напряжений (s Э = s e ) . В какой-то мере обобщая выводы только что приведенных работ [287-289], R.A. Leckie и D.R. Hayhyrst [294] рассмотрели следующий вариант кинетических соотношений со скалярным
параметром поврежденности:
n -1
·
S ij
3 æ se ö
P ij = Bç
,
÷
2 è1 - w ø 1 - w
m
·
æ s ö
w = Aç Э ÷ ,
è1 - wø
s Э = as 1 + bs e + (1 - a - b ) (s 1 + s 2 + s 3 ) ,
где s i (i = 1,2,3) - главные напряжения s1 > s 2 > s 3 ; s e - интенсивность напряжений; S ij - девиатор напряжений; B, A, m, n, a, b - параметры модели. Целый ряд эквивалентных напряжений предложен
С.Т. Милейко [141].
При таком подходе естественным образом записывается критерий разрушения в виде w(t * ) = 1 ( t * - время разрушения).
Энергетический подход к интерпретации скалярного параметра поврежденности w дан в работах О.В. Соснина с соавторами
[234, 236] и А.Ф. Никитенко [151], где в качестве w выступает диссипируемая работа А=sijdpij. Разрушение происходит при выполнении
условия А(t*)=A*, где A* – константа материала. В качестве развития
работ Соснина О.В. можно указать на работу [47], где скалярный параметр использовался при решении задач изгиба и кручения. Близко
примыкают к подходу О.В. Соснина работы, базирующиеся на принципах термодинамики. Так В.В. Федоров [49-251] в качестве критерия разрушения использует скалярную величину внутренней энергии. В ряде работ [7, 20, 43, 97, 262] предлагалось в качестве параметра, характеризующего накопление поврежденности, использовать
текущее значение величины энтропии, а за условие разрушения
принимать критическое приращение плотности энтропии в процессе
деформирования.
152
Вариант использования энтропийного критерия в стохастической постановке рассмотрен в [53, 263], где полагалось, что уровень
накопленной энергии имеет случайный разброс, а появление микротрещин связывалось с ее максимальным (критическим) значением.
Однако, как следует из экспериментальной [96] и теоретических
[155, 261, 176, 305] работ, распределение поврежденности в материале в условиях сложного напряженного состояния носит анизотропный характер. Так в [96] детальный анализ структурных механизмов
разрушения показал их существенное отличие при кручении и двухосном растяжении. Отсюда возникает необходимость введения отличной от скалярной характеристики поврежденности, позволяющей
учесть анизотропный характер кинетики накопления поврежденности.
Л.М. Качанов [92] характеризует уровень поврежденности на
некоторой площадке вектором с модулем y v, направленным по нормали v к этой площадке. Некоторое обобщение этой модели дано в
работе [147], где в качестве параметра поврежденности используется
вектор w(w1 , w 2 , w 3 ) , компоненты которого связаны с пространством
главных напряжений s i (i = 1,2,3) . Условие разрушения задается соотношением
min {t : wi ( t ) = 1} = t* ,
i =1,2,3
где t* - время разрушения.
Наряду с вышеприведенными соотношениями используют и гипотезу слабого звена
max {t : wi ( t ) = 1} = t* .
i =1,2,3
Чтобы учесть различный механизм внутризеренного и межзеренного разрушения Г.М. Хажинским [254] введена комбинация скалярного параметра w, характеризующего разрыхление материала, и
вектора сплошности y v, описывающего межзеренные повреждения
на площадках с нормалью v.
Однако введение вектора поврежденности, формирующегося
только от нормальных напряжений, вообще говоря, недостаточно для
описания полиморфизма микроразрушения по границам зерен. В ра153
боте [261] экспериментально показано, что процесс накопления поврежденности при ползучести контролируется не только действием
максимальных нормальных напряжений, но и влиянием максимальных касательных напряжений, и для его описания требуется ввести
тензор поврежденности. Поэтому многие авторы [74, 273, 274, 295,
302, 304] формально вводят в рассмотрение либо симметричный тензор второго ранга (в общем случае четного ранга), либо две последовательности симметричных тензоров четного ранга. Вообще в 90-х
годах тензорным мерам поврежденности уделяется достаточно пристальное внимание. Здесь следует отметить работы Б.Е. Победри
[169], Ю.Н. Радаева [176], Ю.Н. Радаева и С. Мураками [305]. В качестве критериев разрушения используют различные нормы и инварианты тензоров поврежденности.
Все рассмотренные теории базируются либо на теории квазиустановившейся ползучести, либо на теории упрочнения и, во-первых,
не описывают обратимую деформацию ползучести при разгрузке, а
во-вторых, большинство из них не учитывают пластическую
деформацию, учет которой позволяет с единых позиций описать
многие реологические эффекты на стадии разупрочнения. Хотя
следует отдать должное тому, что в ряде работ зарубежных авторов
последних лет [32, 278] пластическая деформация в сочетании с
поврежденностью при реологическом деформировании учитывалась.
В определенной мере отмеченные недостатки устраняются следующим энергетическим вариантом феноменологических реологических уравнений, полученным на основе обобщения одноосных соотношений (3.1) – (3.4) со скалярным параметром поврежденности w,
основной вариант которых имеет вид [193]:
e ij = eij + qij + p ij ;
eij =
1+ m
m
s ij - d ij s kk ;
E
E
3
1
q vv = b qvv - (b11q + b q22 + b q33 ) ;
2
2
3
1
b& qvv = 0, при s vv - s 0 £ s пр ;
2
2
154
(4.1)
(4.2)
(4.3)
[
]
ìl a(S - s пр )n -1 B - b qvv , [...] × B > 0;
ï
b& qvv = í
3
1 0
ï0, [...] × B £ 0, при s vv - s > s пр ;
2
2
î
p ij = u ij + v ij + wij ;
æ S ö
w& ij = c ç * ÷
ès ø
1
m -1
1 æ3
1
ö
s ij - s 0d ij ÷ ;
* ç
s è2
2
ø
ìuij ( t ) = å uijk ( t ) ;
ï
k
ï
n -1
í
ì
üï
S 2 1
ïuijk ( t ) = lk ïíak æç * ö÷
é 1 + m k¢ )s ij - m k¢s 0d ij ùû - uijk ( t ) ý ;
* ë(
ïî
îï è s ø s
þï
ì
ï
ï
ïvvv ( t ) = å vvvk ( t );
ï
k
ï k
k
k
k
k
ívvv ( t ) = (1 + mk¢¢ ) b vv ( t ) - mk¢¢ ( b11 ( t ) + b 22 ( t ) + b 33 ( t ) ) ;
ï
ì é æ S ön2 -1 s
ù
ï
vv
- b vvq ( t ) ú , [...]s vv > 0;
ï & k ïïlk êbk ç * ÷
*
s
úû
ïb vv = í êë è s ø
ï
ï
ïî0, [...]s vv £ 0;
ïî
s ij = s ijo (1 + w) ;
& = g( E 2 )s ij q& ij + a(S 0 )s ij p& ij .
w
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Здесь eij, eij, qij, pij - тензоры полных, упругих, пластических деформаций и деформации ползучести соответственно; uij, vij,, wij – вязкоупругая, вязкопластическая и вязкая составляющие деформации ползучести; sij, s0ij – соответственно компоненты истинного и номинального тензоров напряжений; Е, m - упругие константы материала;
E2, S, S0 – соответственно интенсивности тензоров пластической деформации, истинных и номинальных напряжений; l, a, n1 – константы модели, описывающие диаграмму мгновенного упругопластического деформирования; sпр – предел пропорциональности; lk, ak, bk,
c, n2, m, s* - константы модели, при помощи которых описывается
первая и вторая стадия ползучести материала и ее обратимая после
155
разгрузки часть; m'k, m''k – коэффициенты Пуассона для обратимой и
необратимой компонент деформации ползучести; b iiq , b iik – соответственно активные пластические и вязкопластические деформации,
которые можно было бы наблюдать при отсутствии пуассоновского
сужения материала; g(Е2) и a(S0) задаются степенными аппроксимациями вида
g ( E 2 ) = g 1 × E 2m , a(S 0 ) = a 1 × S 0m ,
1
2
где g1, m1, a1, m2 – константы модели, контролирующие процессы
разупрочнения материала при пластической деформации и деформации ползучести соответственно; w - скалярный параметр поврежденности. В формулах (4.4) – (4.7) использованы следующие обозначения:
æ3
ö
1
1 ö
æ3
B = çç s vv - s 0 - s пр ÷÷ × signç s vv - s 0 ÷; s 0 = s11 + s 22 + s 33 , (4.11)
2
2 ø
è2
è2
ø
sign - функция сигнатуры (знака).
Расчет пластической qii и вязкопластической vii деформаций осуществляется в главных осях, поэтому суммирования по индексу v в
формулах (4.3), (4,8), (4.11) не выполняется. Очевидно, что при записи (4.1) – (4.10) использовалась гипотеза соосности тензоров напряжений и деформаций. Модель (4.1) – (4.11) описывает процесс
неупругого деформирования с изотропным разупрочнением. Методика определения всех параметров модели (4.1) – (4.11) представлена
в [178, 188, 193]. Она осуществляется на основании одноосных кривых ползучести, полученных при s0=const и доведенных до разрушения, и диаграммы упругопластического деформирования.
Для прогнозирования времени разрушения материала t* используется критерий разрушения энергетического типа вида [178, 193].
t*
W(t * ) = ò
0
s ij dq ij
A*
t*
+ò
0
s ij dp ij
A*c (S 0 )
=1,
(4.12)
где А* и А*с(S0) – соответственно критические величины работ разрушения истинного напряжения на пластической деформации и на
деформации ползучести. При этом материал находится в неразру156
шенном состоянии, если W(t)<1, и разрушается при выполнении условия W ( t * ) = 1 . В общем случае величина А*с(S0) имеет степенную
аппроксимацию вида
A*c (S 0 ) = a A × S 0m ,
A
где aА, , mА – константы материала, которые могут быть определены
по результатам одноосных испытаний по методике, изложенной в
[178, 188, 193].
Таким образом, построение модели (4.1) – (4.11) для описания
неупругой деформации при сложном напряженном состоянии и критерия разрушения (4.12) не требует дополнительных экспериментальных затрат, так как все параметры модели определяются по результатам одноосных испытаний.
Следует отметить, что согласно (4.3) – (4.4) пластические деформации описываются такими же по структуре уравнениями, как и
вязкопластическая компонента v деформации ползучести (4.8), то
есть предполагается, что пластическая деформация также развивается по времени. При этом величина l много больше max{l k } и скоk
рость деформации пластичности на порядок выше скорости деформации ползучести. При таком предположении за то время, когда пластическая деформация при заданном тензоре напряжений достигнет
(согласно (4.3) – (4.4)) асимптотического значения, накопленная деформация ползучести за это же время будет пренебрежимо малой по
сравнению с пластической деформацией, то есть pij(t) много меньше
qij(t). Такой поход к описанию пластических деформаций соответствует так называемым эндохронным теориям пластичности [80, 143].
Обоснованность применения такого подхода приведена в [193]. Соотношения (4.3) – (4.4) задают вариант теории пластичности без поверхности пластичности. Это позволяет ценой незначительных погрешностей свести задачу упругопластического деформирования к
задаче ползучести.
Здесь естественно возникает вопрос о выборе параметра поврежденности w (соотношение (4.9), (4.10)) и критерия разрушения
(4.12) в скалярной форме, что приводит к модели изотропного разупрочнения материала в процессе неупругого реологического деформирования. Ранее было указано, что на самом деле процесс накопле157
ния поврежденности носит анизотропный характер и с теоретических
позиций казалось бы должен быть использован тензорный (либо векторный) параметр поврежденности. Однако имеется ряд причин, которые в свете сегодняшнего состояния экспериментальных исследований позволяют обойтись более простым скалярным параметром
поврежденности. К ним можно отнести следующие соображения.
1. Принципиальное различие, по которому можно было бы судить о преимуществах конкретных вариантов теории ползучести при
сложном напряженном состоянии со скалярной, векторной или тензорной характеристикой поврежденности, проявляется лишь в экспериментах с резким изменением вида напряженного состояния в процессе деформирования на стадии разупрочнения. Если же обрабатывать экспериментальные данные в условиях сложного напряженного
состояния при неизменных его видах, то одна и та же теория ползучести со скалярным, векторным и тензорным параметром дает практически одинаковые результаты не только для «чистого» сложного
напряженного состояния [147], но и при решении некоторых краевых
задач (толстостенные трубы под действием внутреннего, внешнего
давлений и осевой силы; вращающегося диска) [148].
2. Использование тензорного параметра поврежденности в феноменологических теориях наталкивается на значительные сложности при проведении экспериментальных исследований, являющихся
базовыми для определения параметров определяющих уравнений.
3. Зачастую все уточнения теорий, связанные с введением векторной или тензорной меры поврежденности, перекрываются разбросом экспериментальных данных по ползучести при сложном напряженном состоянии.
4. Не последнюю роль играют чисто прикладные аспекты использования теории неупругого реологического деформирования и
разрушения к расчету реальных элементов конструкций энергетического, нефтехимического, авиационного и машиностроительных комплексов (трубо- и паропроводы, оболочечные элементы, диски
газотурбинных двигателей, диафрагмы паровых турбин и др.), в реальных условиях эксплуатации которых вид напряженного состояния
является либо неизменным, либо имеем нагружение, близкое к простому.
158
4.2. Экспериментальная проверка определяющих уравнений
и критерия разрушения при сложном напряженном
состоянии
Проверка теорий неупругого деформирования в условиях ползучести и критериев длительной прочности металлов для сложного напряженного состояния обычно проводится на тонкостенных образцах
с отношением внешнего и внутреннего диаметров порядка
b1=1,05–1,1, нагруженных осевой силой Q, крутящим моментом М и
внутренним давлением Р. Имеется большое количество работ, в которых исследовалась длительная прочность при комбинации растяжения и кручения [42, 66, 71, 128, 151, 162, 227, 228, 236, 238, 244,
291, 292], растяжения и внутреннего давления [66, 71, 88, 90, 110,
112, 128, 276, 286, 293]. К сожалению, в большинстве работ исследовалась лишь длительная прочность трубок без учета и замера эволюции полей деформации при неизменных видах напряженного
состояния.
Исключение составляют работы [236, 238], обобщение результатов которых дано в монографии [151]. Здесь представлены уникальные экспериментальные данные для легких алюминиевых, магниевых и титановых сплавов по их деформированию и разрушению в
условиях ползучести при сложном напряженном состоянии.
Для проверки модели (4.1) – (4.12) необходимо иметь диаграмму
мгновенного упругопластического деформирования и кривые стационарной одноосной ползучести. К сожалению, экспериментальных
работ при сложном напряженном состоянии в условиях ползучести, в
которых имеется эта информация, в научной литературе крайне мало. В определенной мере из всех приведенных работ лишь в пяти из
них для материалов стали 12Х18Н10Т при Т=850оС [66, 128], стали
12ХМФ при Т=590оС [110], стали 20 Т=500оС [88], стали ЭИ 694 при
Т=700оС [71] и сплава Д16Т при Т=250оС [236, 238] имеется необходимая информация. Однако для стали 12ХМФ, стали 20 и стали
ЭИ694 отношение внешнего и внутреннего радиусов составляет величину от b1=1,1 до b1=1,6 и поэтому для трубок из этих материалов
гипотеза о «чистом» плоском напряженном состоянии не справедлива и оценку длительной прочности необходимо осуществлять, решая
соответствующую краевую задачу о реологическом деформировании
и разрушении толстостенной трубы. Эта задача будет рассмотрена
ниже в пункте 4.3. Сплав Д16Т проявляет исходную деформацион159
ную анизотропию и в настоящей работе не рассматривается. В определенной мере указанная информация имеется в [66, 128], где
приведены экспериментальные данные по ползучести и разрушению
(при стационарном нагружении) для стали 12Х18Н10Т при Т=850°С.
В [66, 128] приведены экспериментальные данные по длительной
прочности для 69 образцов двух плавок при трех видах напряженного состояния: одноосного растяжения (образцы с 1 по 29), растяжения и кручения (образцы №30-53), внутреннего давления и растяжения (образцы №54 – 69). В табл. 4.1 через t* обозначены экспериментальные значения времени до разрушения [66,128], а через М[ t*] – их
осредненные значения для каждого режима нагружения.
Параметры модели (4.1) – (4.12) были определены по результатам одноосных испытаний 21 образца при четырех уровнях напряжения s0={40, 50, 60, 80} МПа [124] и приведены в табл. 3.1 и 3.2 раздела 3, при этом использовалась диаграмма упругопластического деформирования для этой стали из [139].
На рис. 3.27 и рис. 3.28 сплошными линиями приведены экспериментальные данные для диаграммы упругопластического деформирования и стационарных краевых ползучести стали 12Х18Н10, а
штриховыми линиями – их расчетные значения по одноосной модели
(3.1) – (3.4), соответствующей модели для сложного напряженного
состояния (4.1) – (4.12).
Расчет длительной прочности по модели (4.1) – (4.12) осуществлялся в главных напряжениях s1 и s2, значения которых приведены в
[66, 128] и представлены в табл.4.1. Расчетные значения времени до
разрушения t1, полученные на основании модели (4.1) – (4.12), приведены также в табл. 4.1.
Для анализа было выполнено сравнение данных расчета по длительной прочности по предложенной модели (4.1) – (4.12) с данными
расчета для этой же стали по прямым феноменологическим теориям
длительной прочности, базирующихся на эквивалентных напряжениях.
В качестве эквивалентных напряжений в работах [129, 130] использовались: максимальное главное напряжение - s Э1 = s max ; интенсивность напряжения - s Э 2 = s e ; критерий В.П. Сдобырева [227, 228]
1
s Э3 = (s max + s e ) ; разность максимального и минимального глав2
160
ных напряжений - s Э 4 = s 1 - s 2 ; критерий А.А. Лебедева [112] -
s Э5 = cs e + (1 - c ) s max , где c константа материала ( c Î [ 0,1]) .
Выполненные в [66], [128]-[130] исследования для стали
12Х18Н10Т показали, что из двух аппроксимаций диаграммы длительной прочности
t * = C3s Э- m3 ,
(4.13)
t * = C 4 exp(- m4 s Э ) ,
(4.14)
где t* - время до разрушения, С3, С4, m3, m4 – константы, лучшие результаты при одинаковых s Э дает (4.13), а минимальная погрешность по (4.13) достигается при s Э = s max со значениями коэффициентов аппроксимации т =3,58; С3=7,97×1010 ( MПa )
- m3
×ч .
В табл. 4.1. значения t 2 соответствуют времени до разрушения,
рассчитанному по модели (4.13) при s Э = s max ( s 1 и s 2 - главные
напряжения). Для сравнения данных расчета по модели (4.13) и по
реологической модели деформирования и разрушения (4.1) – (4.12)
были вычислены относительные значения абсолютных ошибок отклонения расчетных данных от экспериментальных значений по
формуле
D1 =
1
ti* - t1i
1
ti* - t2 i
,
D
=
å t
å t ,
2
n i
n i
1i
2i
где i – номер реализации при заданном напряженном состоянии
( i = 1,69) , n=69 – суммарное число реализаций;
t1i , t2i – расчетные
значения времени разрушения по модели (4.1) – (4.12) и модели
(4.13) соответственно. Для модели (4.13) получено D 2 = 38,37% , а
для энергетической модели (4.1) – (4.12) – D 1 = 39,39% .
Таким образом, модели (4.13) и (4.1) – (4.12) дают практически
одинаковые результаты.
161
Т а б л и ц а 4.1
Экспериментальные (t*), расчетные по модели (4.1) – (4.12) (t1) ,
расчетные по модели (4.13) (t2) значения длительной прочности стали
12Х18Н10Т при Т=850°С
№
образца
s1,
МПа
1-10
39,24
11-21
49,05
22-27
58,86
28-29
78,48
30-32
33
34
35-37
32,96
34,82
39,24
39,73
38-41
40,42
42
43-44
45
49,05
51,8
55,13
46-51
59,35
52-53
64,84
54-55
56-57
58-59
60-61
62
63-64
65-66
67
68
69
19,62
19,62
49,05
49,05
49,05
54,94
58,86
58,86
58,86
62,78
162
s2,
МПа
smax,
t*, ч
М[t*]
МПа
Одноосное растяжение
68; 67; 67; 66;
0
39,24 50; 47; 43; 40; 51,3
35; 30,5
30; 28; 24; 23;
0
49,05 22,5; 21,5;
21,8
20,5; 18; 16; 12
20,5; 20; 16;
0
58,86
15,4
15; 14; 6,7
0
78,48
6; 6
6
Растяжение + кручение
-3,53
32,96
77; 65; 43
61,8
-5,4
34,82
70
70
-19,62 39,24
50
50
-0,49
39,73 25; 24,5; 23
24,2
30,5; 30; 27;
-1,18
40,42
26,9
20
-19,62 49,05
24
24
-2,75
51,8
14,5; 11,5
13
-1,18
55,13
15
15
15; 11,; 10;
-0,49
59,35
9,3
9; 6; 5
-1,08
64,84
5; 4
4,5
Внутренне давление + растяжение
9,81
19,62
238; 195
216,5
19,62
19,62
329; 316
322,5
19,62
49,05
17; 12,5
14,75
39,24
49,05
33,5; 20,5
27
49,05
49,05
8,3
8,3
27,47
54,94
10; 5,2
7,6
19,62
58,86
16;10,6
13,3
39,24
58,86
27
27
58,86
58,86
5,1
5,1
53,95
62,78
7,6
7,6
t1, ч
t2, ч
51,5
40,8
26,6
18,34
15,1
9,54
5,9
3,4
72,3
57,3
22,34
48,7
76,16
62,5
40,8
36,7
45,2
39,01
13,3
20,7
17,94
18,34
15,08
12,06
14,5
9,26
10,8
6,75
527
556,6
40
34,6
26,6
29,2
22,4
22,3
15,2
15,2
488,5
488,5
18,34
18,34
18,34
12,23
9,54
9,54
9,54
7,57
Но если модель (4.13) есть не что иное, как аппроксимация всех
экспериментальных данных по длительной прочности при всех видах
напряженного состояния (n=69), то исходной информацией для модели (4.1) – (4.12) являются лишь данные по одноосной ползучести
(n=21), а для остальных режимов нагружения при сложном напряженном состоянии осуществляется прогноз длительной прочности по
модели (4.1) – (4.11) и критерию (4.12).
Еще одним недостатком моделей типа (4.13), базирующихся на
эквивалентных напряжениях, являются трудности, связанные с оценкой длительной прочности при нестационарных режимах изменения
нагружения даже при одном виде напряженного состояния и особенно при смене вида напряженного состояния. В таких случаях приходится применять различные варианты линейного (или нелинейного)
суммирования повреждений по парциальным (относительным) значениям времени до разрушения, парциальным значениям неупругой
деформации в момент разрушения или их различным комбинациям
[1, 121, 280, 307]. При использовании же модели (4.1) – (4.12) эта
проблема решается естественным образом, при этом, кроме времени
до
разрушения,
фиксируется
эволюция
напряженнодеформированного состояния.
Разумеется, что выполненная проверка модели (4.1) – (4.12) носит частный характер и касается лишь экспериментальных данных по
длительной прочности при ползучести. Еще раз следует подчеркнуть,
что полную экспериментальную информацию о кинетике напряженно-деформируемого состояния при ползучести вплоть до разрушения
в научной литературе найти крайне трудно.
4.3. Решение краевой задачи о неупругом реологическом
деформировании и разрушении толстостенной трубы под
действием внутреннего давления и осевой силы
Другим способом проверки адекватности модели (4.1) – (4.12)
является решение краевой задачи о напряженно-деформированном
состоянии элементов конструкций в условиях неупругого реологического деформирования и разрушения материала и сравнение расчетных данных с существующими экспериментальными данными. В
этом плане классическим конструктивным элементом является толстостенная труба, работающая в условиях неупругого реологического деформирования при сложном напряженном состоянии и исполь163
зуемая в различного рода продуктопроводах нефтехимического и
энергетического оборудования. Имеются некоторые работы (например [71,88]), в которых можно найти необходимую информацию для
построения модели (4.1) – (4.12) и экспериментальные данные по
длительной прочности толстостенных труб при действии внутреннего давления. Поэтому оценка реологического деформирования и разрушения толстостенной трубы является актуальной задачей как в
практическом плане, так и в теоретическом аспекте для механики
деформированного твердого тела.
Целью настоящего пункта является изложение метода решения
краевой задачи для расчета напряженно-деформированного состояния, накопления поврежденности и разрушения толстостенной трубы
в условиях ползучести под действием внутреннего давления и осевой
силы на основании реологической модели энергетического типа согласно работе [194].
В литературе имеется достаточное количество работ для оценки
кинетики напряженно-деформированного состояния трубы для различных видов напряженного состояния. Так, например, в работах
[93, 133, 173, 239] приведены решения об установившейся ползучести трубы при нулевой скорости осевой деформации. В предположении существования постоянной осевой скорости без учета третьей
стадии ползучести решена задача для трубы при совместном действии внутреннего давления, осевой силы и крутящего момента в [240],
а в [75] разработан метод решения при действии внутреннего и внешнего давлений и осевой силы для пластичности, который может быть
применен и для задач установившейся ползучести.
Решение задачи о разрушении толстостенной трубы без учета
первой стадии на основании скалярного параметра поврежденности
рассматривалось в [92, 173]. Более уточненный вариант кинетики
накопления поврежденности с введением зоны предразрушения материала w*<w<1 и зоны разрушения w=1 предложен для решения
длительной прочности трубы в [123]; скалярный параметр энергетического характера применялся в [44], а вектор поврежденности - в
[148]. Однако вопрос о разрушении толстостенной трубы при наличии трех стадий ползучести с учетом деформации пластичности и на
сегодняшний день остается открытым.
Изложим методику решения краевой задачи для толстостенной
трубы согласно работе [194].
164
Предположим, что толстостенная труба с внутренним радиусом
R1 и внешним R2 нагружена внутренним давлением q и осевой силой
Q. Индексы q, r, z для всех переменных соответствуют окружной,
радиальной и осевой составляющим (соответственно). При решении
задачи использовалась гипотеза плоских сечений:
e z (r , z , t ) = e 0 ( z, t ) .
(4.15)
Второе уравнение совместности деформаций имеет вид
de
r × q + eq = er .
(4.16)
dr
Запишем уравнения равновесия :
ds r0
r×
+ s r0 = s q0 ;
(4.17)
dr
R2
2p ò s 0z rdr = Q .
(4.18)
R1
Представим компоненты тензора полных деформаций в виде
e q = e q + e qp + p q ;
e r = e r + e rp + p r ;
e z = e z + e zp + p z ,
(4.19)
где ei , e , p i (i = r, q, z) – упругая деформация, деформация пластичности и деформация ползучести соответственно.
Найдем выражение для компонент напряжений sq, sr, sz . Для
этого подставим первые два соотношения (4.19) в (4.16) и после преобразований получим
de
d (e qp + p q )
r × q + eq - e r = p r - p q + e rp - eqp - r ×
.
(4.20)
dr
dr
Используя закон Гука (4.2) для тензора истинных напряжений в
главных осях
1
ei = éë(1 + m )s i - m I ùû (i = r , q , z ) ,
(4.21)
E
где I= sq + si + sz – первый инвариант тензора истинных напряжений,
и связь между компонентами тензоров истинных и номинальных напряжений (4.9), находим
1+ m 0
eq - er =
(4.22)
(s q - s r0 ) ,
E*
p
i
165
где E*=E/(1+w).
Дифференцируя (4.21) по r при i=q и подставляя полученное в
(4.20), получим
æ ds 0 ds 0 öù
r é ds 0q
- vçç z + r ÷÷ú + eq - e r =
ê
E* êë dr
dr øúû
è dr
= p r - p q + erp - eqp - r
d (eqp + p q )
.
dr
(4.23)
ds 0z
через функции sq0 и sr0. Для этого подставим
dr
третье соотношение (4.19) в уравнение (4.21). Тогда при i=z имеем
1 0
s z - v (s 0q + s 0r ) = e 0 ( z , t ) - e zp - p z .
(4.24)
E*
Дифференцируя полученное соотношение (4.24) по r и выражая
ds 0z
из него
, находим
dr
ds 0z
d (e zp + p z ) æ ds 0q ds 0r ö
÷.
= - E*
+ vçç
+
(4.25)
dr
dr
dr ÷ø
è dr
Подстановка (4.22) и (4.25) в (4.23) дает
r
ds 0 r m
ds 0 1 + m 0
1- m2 ) q (1 + m ) q +
(
(s q - s r0 ) = g ( r, t ) , (4.26)
E*
dr
E*
dr
E*
где введено обозначение
d ( eqp + pq )
d ( ezp + pz )
p
p
g ( r , t ) = pr - pq + er - eq - r
- rm
.
(4.27)
dr
dr
Выражая из уравнения (4.17)
ds 0r s 0q - s 0r
=
(4.28)
dr
r
и подставляя это выражение в (4.26), получим
ds r0 s q0 - s r0 E* g ( r , t )
+
=
(4.29)
dr
r
(1 - m 2 ) r
Выразим
[
]
Продифференцируем (4.28) по r :
ds 0r
d 2 s 0r ds 0r ds q0
+r
+ 2 =0.
dr
dr 2
dr
dr
166
(4.30)
ds 0q
, выраженное из (4.29),
dr
получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной sr:
E g ( r, t )
d 2s r0 3 ds r0
+
= * 2 2,
(4.31)
2
dr
r dr
(1 - m ) r
Подставляя в (4.30) соотношение
где время t входит в sr и g как параметр. Граничные условия для
(4.31) имеют вид
s r0
= -q, s r0
=0.
(4.32)
r = R1
r = R2
Решение уравнения (4.31) с граничными условиями (4.32) имеет
вид
s r0 ( r , t ) =
q ( t ) R12
R22 - R12
é R22 ù
E*
´
ê1 - 2 ú +
2
ë r û 2 (1 - m )
R2
é r g ( x, t )
g ( x, t ) æ
R2
x2 ö ù
´êò
dx - 2 2 2 ò
1
ç
÷ dx ú +
R2 - R1 R1 x è R22 ø úû
êë R1 x
r
é R12 R22 R2 g ( x, t ) æ
ù
E*
x2 ö
+
1
dx
g ( x, t ) xdx ú . (4.33)
ê
ç
2
2 ò
2 ÷
ò
2
2
2 (1 - m ) r ëê R2 - R1 R1 x è R2 ø
R1
ûú
Выразим sq из (4.17):
ds 0
s 0q = r r + s r .
(4.34)
dr
Продифференцировав (4.33) по r и подставив полученное выражение в (4.34), находим величину sq :
q (t ) R2 é R2 ù
E*
s q0 ( r , t ) = 2 12 ê1 + 22 ú ´
R2 - R1 ë r û 2 (1 - m 2 )
é R22 ù 2 g ( x, t ) æ
x2 ö
1
+
1
dx +
ç
ê
2 ú ò
2 ÷
ë r û R1 x è R2 ø
r
é1 r
g ( x, t ) ù
E*
+
g
x
,
t
xdx
+
(4.35)
ê
(
)
2
ò x dx úú .
2 (1 - m 2 ) r 2 ëê r Rò1
R1
û
Нетрудно видеть, что первые члены (4.33), (4.35) совпадают с
упругим решением для толстостенной трубы, так как g(r,t) êt=0 =0.
´
R22
R22 - R12
R
167
Найдем распределение sz0 (r, t). Для этого представим третье соотношение (4.19) в виде
e z (r , t ) = e 0 ( t ) = e z (r , t ) + e zp (r , t ) + p z (r , t ) .
(4.36)
Используя закон Гука (4.21), соотношению (4.36) можно придать вид
1
e 0 (t ) =
s z0 ( r , t ) - m éës q0 ( r , t ) + s r0 ( r , t )ùû + ezp ( r , t ) + pz ( r , t ) . (4.37)
E*
Выразим из (4.37) sz0 :
{
}
s z0 ( r , t ) = E* éëe 0 ( t ) - ezp ( r , t ) - pz ( r , t ) ùû + m (s q0 + s z0 ) .
(4.38)
Таким образом, для того, чтобы иметь распределение sz, необходимо знать величину e0 (t). Для ее нахождения подставим (4.38) в
(4.18) и разрешим полученное относительно e0 (t) :
R
ì Q
2
e 0 (t ) = 2
+
e zp (r , t ) + p z (r , t ) rdr í
R2 - R12 î 2pE* Rò
2
[
]
1
-
m
R2
ü
ï
ò éës q ( r , t ) + s ( r , t )ùû rdr ýï ,
0
0
r
(4.39)
þ
где s q0 и s r0 задаются (4.33) и (4.35).
Зная величину e0 (t), из (4.38) определим sz. Имея законы распределения для всех компонент напряжений, из (4.19) находим
eq и er :
1
e i ( r , t ) = {(1 + m )s i0 ( r , t ) - m I 0 } + eip ( r , t ) + pi ( r , t ) ( i = r , q ) ,(4.40)
E*
0
0
где I =sr + sz0 + sq0.
Численная реализация расчета
кинетики напряженнодеформированного состояния и разрушения толстостенной трубы
под действием внутреннего давления и осевой силы осуществлялась
по хорошо известному в теории ползучести методу “шагами по времени”. Временной интервал разбивался на малые отрезки времени
[ti, ti+1] с шагом Dti , внутри которого напряженное состояние считалось постоянным и соответствующим моменту t=ti. Приращения всех
деформаций в конце отрезка при t=ti+1 находились по формулам (4.1)
– (4.12) по методу Эйлера. При этом соответствующие интегралы во
всех расчетных формулах вычислялись по соответствующим квадра168
E*
R1
турным формулам численного интегрирования при каждом значении
времени t=ti, а для производных по радиусу использовались их конечноразностные аппроксимации. Время до разрушения в соответствии с (4.12) определялось следующим образом: расчет продолжался
до такого момента времени t=t*, при котором в какой -либо точке
трубы выполнялось условие W(t*)=1, где
t
W(t ) = ò
0
s ij deijp
p
*
A
t
+ò
0
s ij dpij
A*e (S 0 )
.
(4.41)
Следует отметить, что во всех формулах (4.17) – (4.40) (кроме
(4.21)) используются номинальные напряжения, тогда как реологические и упругие деформации рассчитываются на основании (4.1) –
(4.12) по истинным напряжениям.
Таким образом, схема решения задачи о кинетике напряженно –
деформированного состояния и разрушении толстостенной трубы
представляется в следующем виде:
(4.1) - (4.12)
(4.27)
t ¾¾¾¾
¾
® pi ( r , t ) , eip ( r , t ) ( i = r , q , z ) ¾¾¾
® g (r,t ) ®
( 4.33)
(4.35)
(4.37)
(4.39)
¾¾¾
®s r0 ( r , t ) ¾¾¾
®s q0 ( r , t ) ¾¾¾
® e 0 ( t ) ¾¾¾
®s z0 ( r , t ) ®
4.40 )
4.41)
¾(¾
¾® e q (r , t ), e r (r , t ) ¾(¾
¾® W(t ) .
(4.42)
Расчет по приведенному алгоритму (4.42) продолжается до тех
пор, пока выполняется условие W ( r , t ) < 1 ( R1 £ r £ R2 ) .
При вычислении приращений деформаций пластичности и ползучести на основании (4.1) – (4.12) на основании метода Эйлера необходимо учитывать, что для приращений деформации ползучести
используется обычное физическое время с шагом Dt , в то время как
для приращений деформации пластичности b& qyj (в рассматриваемой
задачи для трубы они обозначаются через eip (i=r, q, z)) шаг интегрирования Dt представляет «внутреннее» время и при расчетах необходимо, чтобы Dt << Dt (например, Dt меньше Dt на два порядка).
Тогда на шаге интегрирования Dt будет полностью решена упругопластическая задача с шагом Dt , а затем определится приращение
деформаций ползучести.
169
4.4. Проверка адекватности решения краевой задачи
для толстостенной трубы и сравнительный анализ
данных расчета
Как было отмечено выше, исходной информацией для определения всех параметров модели (4.1)–(4.12) являются полная диаграмма
упругопластического деформирования и серия стационарных кривых
одноосной ползучести при s0 =const (s0 –номинальное напряжение)
вплоть до момента разрушения.
В научной литературе имеется достаточное число работ, в которых исследовалась длительная прочность толстостенных труб. К сожалению, из всех экспериментальных работ лишь в трех их них [71,
88, 110 имеется необходимая информация для построения модели
деформирования и разрушения (4.1)–(4.12). В указанных трех работах экспериментальные исследования проводились лишь в режиме
внутреннего давления.
Для стали 12ХМФ (Т=5900 С) [110] и стали 20 (Т = 5000 С) [88]
имеются кривые одноосной ползучести вплоть до разрушения, которые приведены на рис. 4.2 и рис. 4.4 сплошными линиями. Как видно, эти материалы не имеют первой стадии ползучести. В связи с
этим вязкоупругие u ij (формулы (4.7)) и вязкопластические vij (формулы (4.8)) компоненты деформации ползучести pij отсутствуют
( uij = 0 , vij = 0 ) и pij = wij . Поэтому все коэффициенты компонент u ij
и vij положены нулю. Диаграммы упругопластического деформирования для указанных материалов построены по справочным данным
[120] и представлены на рис. 4.1 и рис. 4.3 сплошными линиями. Значения параметров модели (4.1) - (4.12) для материалов 12ХМФ и
стали 20, вычисленные на основе этой информации согласно методике, изложенной в разделе 3, представлены в табл. 3.1 и табл. 3.2.
В качестве примера на рис. 4.1 – рис. 4.4 приведены экспериментальные и расчетные по модели (4.1)–(4.12) диаграммы упругопластического деформирования и кривые стационарной ползучести для
одноосного случая, а в табл. 4.2 представлены экспериментальные и
расчетные по одноосной модели (3.1) – (3.4) значения длительной
прочности и неупругой деформации в момент разрушения для стали
12ХМФ и стали 20.
170
Т а б л и ц а 4.2
Экспериментальные ( t* , x* ) и расчетные ( t1 , x1 ) значения
времени до разрушения и неупругой деформации в момент
разрушения (соответственно) при одноосной ползучести стали
12ХМФ при Т = 5900 С и стали 20 при Т = 5000 С
№,п.п
s0 , МПа
1
2
3
4
5
6
7
88.3
98.1
107.9
117.7
127.5
137.34
147.15
1
2
3
4
5
147.15
176.6
196.2
196.2
245.25
t* , ч
x* , %
Сталь 20 Т = 5000 С
4912
28
2250
28.4
1134
43.1
573
24.7
487
30.2
244
43.6
169
26.3
Сталь 12ХМФ Т = 5900 С
2175
11.6
356
12.3
499
14.3
117
15.2
72
16.3
t1 , ч
x1 , %
4490
2280
1232
701
416.5
257
163.7
28.9
30.7
32.4
34.04
35.5
37
38.4
1664
539
267
267
47.4
8.8
11.5
12.3
12.3
16.35
Для сплава ЭИ694 (Т=7000 С) в [71] приведены лишь зависимость скорости установившейся ползучести (первая стадия ползучести отсутствует) и значения времени до разрушения t* для 14 уровней
напряжений при одноосной ползучести (табл. 4.3). Поскольку неупругая деформация в момент разрушения в [71] не приведена, то она
была положена для всех значений напряжений равной 25%. Величина a, входящая в (4.10), при каждом значении напряжения определялась по модели (4.1) – (4.13) из условия прохождения расчетной кривой через точку разрушения ( t*, p* ), где p* =0,25. Экспериментальная
диаграмма мгновенного упругопластического деформирования для
этого сплава приведена в [27], а вычисленные параметры модели
(4.1) – (4.13) для этого сплава - в табл. 3.1 и табл. 3.2. Все коэффициенты, соответствующие u ij и v ij , также положены равными нулю.
Данные расчета времени до разрушения t1 по модели (3.1) –
(3.4), соответствующей (4.1) – (4.13) в одноосном случае, для сплава
ЭИ694 представлены в табл. 4.3. Здесь же через t* обозначены экспериментальные данные времени до разрушения.
171
Т а б л и ц а 4.3
Экспериментальные ( t* ) и расчетные ( t ) значения длительной
прочности одноосных образцов сплава ЭИ694 (Т=7000 С)
s0 , МПа
83.38
87.31
98.1
94.7
95.16
98.1
105.9
109.4
117.7
128
127.5
138.3
127.5
№, п.п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
t*, ч
2300
2170
1480
1287
1148
1146
1048
706
462
396
392
200
322
t, ч
2608
2086
1183
1407
1372
1183
811
691.5
480
315
212
321
212
Экспериментальные и расчетные (на основании решения краевой задачи) данные длительной прочности для толстостенных труб
из этих трех материалов при действии внутреннего давления представлены в табл. 4.4 – 4.6. Здесь же даны размеры внутреннего (R1),
внешнего (R2 ) радиусов и их отношение b1=R2/ R1. В качестве иллюстрации на рис. 4.5 представлены расчетные зависимости номинальных (si0) и истинных (si) (i= r, q, z) радиального, окружного и осевого напряжений для толстостенной трубы из сплава ЭИ694
(Т = 7000 С ) в процессе ползучести для варианта №3 из табл. 4.6.
Т а б л и ц а 4.4
Значения наружного (R2 ), внутреннего (R1 ) радиусов;
их соотношение (b1 ); экспериментальные (t* ) и расчетные ( t1 )
значения длительной прочности труб из стали 12ХМФ (Т = 5900 С)
при внутреннем давлении q= 28 МПа
№,п.п
1
2
3
4
5
172
R2 ,мм
14.85
15.34
16.37
16.51
16.68
R1 ,мм
13.05
13.24
13.87
13.91
13.98
b1
1.138
1.159
1.18
1.187
1.22
t* , ч
247
452
1131
1463
1612
t1 , ч
179.3
488.9
1098.3
1371.1
1168.1
:
s0, s,
e, %
МПа
Р и с. 4.1. Экспериментальная
(1), расчетные в координатах
s0-e (2) и s-e (3) диаграммы
мгновенного деформирования
стали 12ХМФ (Т=5900 С)
s0, s,
Р и с. 4.2. Экспериментальные (сплошные линии) и расчетные (штриховые
линии) кривые полной деформации
стали 12ХМФТ (Т=5900С): 1-s0=147,15; 2
- s0=176,6; 3 - s0=245,25 МПа
e, %
МПа
Р и с. 4.3. Экспериментальная (1), расчетные в координатах s0-e (2) и s-e (3) диаграммы
мгновенного
деформирования стали 20
(Т=5000 С)
Р и с. 4.4. Экспериментальные (сплошные линии) и расчетные (штриховые
линии) кривые неупругой деформации
стали 20 (Т=5000 С):
1 - s0=147,15; 2 - s0=137,34; 3 - s0=127,53;
4 - =117,72; 5 - s0=107,9 МПа
173
а
б
в
Р и с. 4.5. Расчетные значения номинального si0 (сплошные линии) и истинного si (i = r, q, z) (штриховые линии) окружного (а), радиального (б) и
осевого (в) напряжений в процессе ползучести трубы из сплава ЭИ694
(Т=7000 С) при внутреннем давлении P = 32,56 МПа:
1 - t=0; 2 - t=200; 3 - t=1216; 4 - t=1355 ч.
174
Т а б л и ц а 4.5
Значения наружного ( R2 ), внутреннего ( R1 ) радиусов;
их соотношение ( b1 ); экспериментальные (t* ) и расчетные ( t1 )
значения длительной прочности труб из стали 20 (Т = 5000 С )
при внутреннем давлении q
№, п.п
1
2
3
4
5
6
R2 , мм
20.0
20.0
22.46
21.96
20.0
18.87
R1 , мм
18.02
18.02
17.01
17.02
18.02
17.00
1.11
1.11
1.32
1.29
1.11
1.11
b1
P, МПа
17.56
17.56
35.81
29.82
12.26
11.05
t* , ч
75
100
385
889
1058
1176
t1 , ч
52.3
52.3
471
989
850.8
1846
7
8
9
10
11
12
22.51
21.97
18.88
22.52
19.06
22.47
18.01
18.01
17.01
18.015
17.02
17.02
1.25
1.22
1.11
1.25
1.12
1.32
23.41
19.42
9.42
19.96
9.32
23.20
1682
3803
5804
7067
7690
9092
2181
3822
5909
7092
11865
11883
Для сопоставимости результатов по длительной прочности толстостенных труб было выполнено сравнение данных расчета на основании решения краевой задачи по энергетическому варианту
(4.1)–(4.12) и по прямым эмпирическим методам оценки длительной
прочности труб через эквивалентные напряжения [129, 130]. Согласно [129, 130] при обработке результатов испытаний в случае действия внутреннего давления q характеристики неоднородного напряженного состояния заменяются интегрально средними по поперечному сечению трубы значениями. При этом в [129] показано, что для
показателя нелинейности установившейся ползучести n ³ 1 при отношении радиусов 1£b1£1,3 изменение средних эквивалентных напряжений составляет величина порядка около 1%.
В качестве эквивалентных напряжений используют [129, 130]
максимальное главное напряжение sэ1, интенсивность напряжений
sэ2 , критерий Сдобырева [227, 228] sэ3=(sэ1+sэ2)/2, разность максимального и минимального главных напряжений sэ4 и критерий Лебедева [112] sэ5=c×sэ2+(1-c)×sэ1, где c константа материала. Для рассматриваемого напряженного состояния (внутреннее давление) сред175
ние эквивалентные напряжения sэ1 ,sэ2 и sэ4 принимают вид
[129, 130]
1
(s q - s r )2 + s q2 + s r2 , s Э 4 = s q - s r ,
s Э1 = s q , s Э 2 =
2
где s q , s r - средние интегральные значения напряжений, которые
вычисляются по формулам [129, 130]:
é
ù
q
q
1
1 ú
, sr = - 2
,
s q = êê 2
+ 3
ú
b
1
2 b1 - 1
1
b12 - 1 ûú
ëê
где q – внутреннее давление.
Т а б л и ц а 4.6
Значения наружного ( R2 ), внутреннего ( R1 ) радиусов;
их соотношение ( b1 ); экспериментальные (t* ) и расчетные ( t1 )
значения длительной прочности труб из сплава ЭИ694 (Т = 7000 С )
при внутреннем давлении q
№, п.п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
176
R2 , мм
15.505
15.506
15.01
15.2
15.01
15.25
15.0
15.0
15.05
15.3
14.3
14.3
14.3
14.3
14.64
14.635
R1 , мм
11.495
11.495
11.0
11.51
10.98
10.99
11.0
11.0
11.52
11.04
10.99
11.03
11.05
11.02
11.0
11.0
b1
1.349
1.349
1.364
1.321
1.367
1.388
1.364
1.364
1.307
1.3
1.3
1.3
1.3
1.3
1.33
1.33
q, МПа
25.51
28.94
32.56
34.53
29.43
31.68
32.56
37.67
28.55
37.57
32.57
29.13
32.67
37.57
37.86
37.57
t* , ч
1740
1452
1367
1232
1218
933
912
887
826
558
399
326
264
228
186
124
t1 , ч
3856
2031
1355
551
2347
2060
1339
629
1220
218
557
923
489
227.6
401
425
В случае, если добавляется осевая сила Q, то в рассмотрение
вводится еще одно напряжение
Q
sz = sz =
.
p(R22 - R12 )
Как правило [129, 130] для оценки времени до разрушения t*
толстостенных труб используют следующие две аппроксимации:
t * = c3 s -э m ,
(4.43)
3
t * = c 4 exp (- m 4 s э ) ,
(4.44)
при этом сi , mi (i=3,4) определяют по методу наименьших квадратов
обработкой всех экспериментальных данных. В [129, 130] показано,
что для любого эквивалентного напряжения лучшие результаты по
длительной прочности дает степенная аппроксимация (4.43). Там же
установлено, что для испытаний на длительную прочность в условиях одноосной ползучести (см. п. 4.2) и толстостенных труб под действием внутреннего давления лучшие результаты для рассматриваемых трех материалов дает эквивалентное напряжение s Э 4 = s q - s r разность максимального и минимального главных (средних) напряжений. Поэтому в дальнейших расчетах использовалась аппроксимация (4.43) при sэ = sэ4.
В табл. 4.7 приведены средние интегральные напряжения, значения напряжения sэ4, экспериментальные значения t* по длительной
прочности для одноосных образцов и труб под действием внутреннего давления для стали 12XМФ [110], стали 20 [88], сплава ЭИ694
[71], а также результаты расчета t1 на основании модели (4.1)-(4.13) и
результаты расчета t2 по аппроксимации (4.43), со значениями параметров, приведенными в табл. 4.8.
Для сравнения результатов расчета по моделям (2.4)-(2.15) и
(2.43) использовалась величина средней относительной ошибки отклонения опытных данных от данных расчетов:
1 N t * j - t ij
Di = å
(i = 1,2) ,
N j =1 t ij
где t*j – экспериментальные, tij – расчетные данные (j-номер реализации), N – количество экспериментов, i = 1 – соответствует расчету по
модели (2.4) – (2.15), i = 2 - расчету по модели (4.43). Численные
значения величин ошибок отклонения Di ( i=1,2 ) приведены в
табл. 4.10.
177
Т а б л и ц а 4.7
Экспериментальные ( t* ) и расчетные ( t1, t2 ) значения длительной
прочности толстостенных труб из стали 12XМФ ( Т=5900 С )
и сплава ЭИ694 ( Т=7000 С); t1 – расчет по модели (2.4) – (2.15)
толстостенной трубы, t2 – феноменологическая модель
эквивалентных напряжений (4.43)
№
пп
sz ,
МПа
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
147.15
176.6
196.2
196.2
245.25
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
88.3
98.1
107.9
117.7
127.5
137.34
147.15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
178
sq ,
МПа
sr ,
sЭ4 ,
t* , ч
МПа
МПа
0
Сталь 12ХМФТ=590 С
0
0
147.15
2175
0
0
176.6
356
0
0
196.2
499
0
0
196.2
117
0
0
245.25
72
206
-12.32
218.3
247
179
-12.11
191.1
452
157.84 -11.87
169.7
1131
152.15 -11.97 164.12
1463
147.34 -11.67 159.02
1612
Сталь 20 Т=5000 С
0
0
88.3
4912
0
0
98.1
2250
0
0
107.9
1134
0
0
117.7
573
0
0
127.5
487
0
0
137.34
244
0
0
147.15
169
159.6
-7.87
167.5
75
159.6
-7.87
167.5
100
112.16 -13.08 125.24
385
103.0
-11.18
114.2
889
111.4
-5.5
116.9
1058
100.55
-4.94
105.4
1176
93.76
-9.133
102.9
1682
88.4
-7.798
96.19
3803
85.64
-4.22
89.86
5804
79.95
-7.79
87.74
7067
77.7
-2.7
80.4
7690
72.7
-8.0
80.7
9092
t1 , ч
t2 , ч
1664
539
267
267
47.4
179.3
488.9
1098.3
1371.1
1668
3944
741.7
281.2
281.2
36
105
357
1068
1455
1945.5
4490
2280
1232
701
416.5
257
163.7
52.3
52.3
471
989
850.8
1846
2181
3822
5909
7092
11865
11883
5730.6
2666
1334.2
709.2
396.5
231.5
140.25
54.8
54.8
454
884
744.5
1583
1883
3087
5042
5996
11317
10574
Окончание табл. 4.7
№
п.п
sz ,
МПа
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
83.38
87.31
98.1
94.67
95.16
98.1
105.9
109.4
117.7
128.0
127.5
138.3
127.5
145.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
sq ,
sr ,
МПа
МПа
Сплав ЭИ694
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
73.3
-9.04
83.4
-10.27
89.75
-11.38
107.8
-12.57
80.44
-10.26
80.69
-10.83
89.75
-10.27
103.24 -13.145
93.2
-10.54
125.5
-13.96
108.4
-12.1
94.52
-10.83
110.95 -12.20
125.5
-13.97
99.46
-13.0
117.7
-13.7
sЭ4 ,
МПа
Т=7000
83.38
87.31
98.1
94.67
95.16
98.1
105.9
109.4
117.7
128.0
127.5
138.3
127.5
145.2
82.4
93.65
101.14
120.4
90.7
91.5
101.14
116.37
103.7
139.5
120.5
105.4
123.2
139.5
112.5
131.4
t* , ч
t1 , ч
t2 , ч
С
2300
2170
1480
1287
1148
1146
1048
706
462
396
292
200
322
175
1740
1452
1367
1232
1218
933
912
887
826
558
399
326
264
228
186
124
2608
2086
1183
1407
1372
1183
811
691.5
480
315
321
212
212
165
3856
2031
1355
551
2347
2060
1339
629
1220
218
557
923
489
227.6
401
425
2061
1694
1030
1199
1173
1030
742
647.6
473
331
336
238
336
193.5
2175
1256
904.6
429.7
1440
1386.4
904.6
497.2
813.4
230
428
760
390
230
575
295.6
179
Т а б л и ц а 4.8
Значения коэффициентов аппроксимации (4.43) и средние величины
относительной ошибки отклонения экспериментальных данных
от расчетных для модели толстостенной трубы (D1) и модели (4.43) (D2)
Материал
12ХМФ
Сталь 20
ЭИ694
Т, 0 С
590
500
700
С3, МПа-m3
3.6×1013
1.56×1017
3.23×1011
m3
9.206
7.263
4.266
D1 ,%
31.8
19.54
32.86
D2 ,%
51.81
22.56
32.31
Из анализа величин Di (i=1,2), представленных в табл. 4.8, следует, что результаты расчета по длительной прочности по энергетическому варианту (4.1)- (4.13) для толстостенной трубы как минимум
не хуже данных расчета по аппроксимации (4.43). Но если (4.43) есть
просто эмпирическая аппроксимация всех опытных данных по длительной прочности толстостенных труб, то для решения краевой задачи для толстостенной трубы исходными данными являются лишь
данные по одноосной ползучести материалов, а в область длительной
прочности при действии внутреннего давления осуществляется прогноз на основании численного решения соответствующей краевой
задачи.
Таким образом, в целом с учетом естественного разброса данных
по длительной прочности, результаты решения краевой задачи для
толстостенной трубы под действием внутреннего давления на основе определяющих соотношений (4.1) – (4.13) удовлетворительно
согласуются с экспериментальными данными.
Сделаем еще одно замечание чисто практического плана. При
оценке надежности такого конструктивного элемента, как толстостенная труба, часто используют не только катастрофические критерии отказа (физическое разрушение элемента объема материала),
о чем шла речь выше, но и параметрические критерии отказа. При
этом в качестве такого параметра может выступать, например, радиальное перемещение, кинетика которого легко может быть установлена из решения соответствующей краевой задачи. Чисто же силовые
критерии типа (4.43), (4.44) лишены такой возможности.
180
5. ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ РЕОЛОГИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И
РАЗРУШЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
5.1. Постановка задачи
Расчет напряженно-деформированного состояния и разрушения
элементов конструкций с учетом нелинейного реологического деформирования нередко оказывается очень сложным даже при использовании современных ЭВМ. Здесь можно отметить декомпозицию в случае области сложной формы с большими градиентами исследуемых полей, приближенное склеивание решений для подобластей [57, 58, 101, 102, 167], распараллеливание процессов вычисления [101, 102] и другие подходы.
Классические подходы решения прочностных задач для элементов конструкций базируются на методах решения соответствующих
краевых задач (аналитических, численных, приближенных) на основе
соответствующих теорий неупругого деформирования и длительной
прочности материалов. Отметим некоторые проблемы, возникающие
при численном решении краевых задач. Во-первых, для решения
краевой задачи численными методами необходимой предпосылкой
является точное и подробное знание механических свойств материалов. Однако информация о свойствах ползучести обычно не является
исчерпывающей и зачастую сводится лишь к набору экспериментальных данных по ползучести при постоянном напряжении. Поэтому возникают проблемы, когда необходимо предсказывать поведение
конструкции при нестационарных нагрузках в условиях сложного
напряженного состояния. Другое затруднение возникает при численном решении реономной краевой задачи с движением по временным
слоям, когда заданная процедура требует рассмотрения полной предыстории нагружения во всех точках заданного объема, а длительная
прочность элементов конструкций и материалов может исчисляться
десятками и сотнями тысяч часов.
Хорошо известно, что такие вычисления в связи с накапливаемыми ошибками с течением времени становятся нестабильными
[299].
Поэтому постоянно делаются попытки найти новые подходы к
решению краевых задач, с помощью которых в частных случаях ценой незначительных погрешностей удается существенно упростить
181
исходную задачу. В этом направлении следует отметить ряд работ
[55,57,66,211,212,215,221], базирующихся на принципах теории
управления и идеях декомпозиции [87,154,167]. Уменьшение размерности решаемой задачи может быть достигнуто, если вместо методов, опирающихся на численные процедуры, использовать методы
обобщенных моделей [48,99,217], связывающие в виде дифференциального или интегрального операторов основные характеристики их
интегрального поведения: обобщенные нагрузки и обобщенные силы. Использование такого рода моделей с математической точки зрения снижает размерность краевой задачи. Такой метод удобен при
прогнозировании интегральных деформационных свойств в условиях
переменного внешнего нагружения. Обобщенные модели можно рассматривать как способ сжатия и компактного представления информации о напряженно-деформированном состоянии.
Заслуживают внимания публикации [311,312,314], где разработан метод эталонных напряжений для исследования ползучести элементов конструкций. Эта концепция предлагает наличие в конструкции “средних” (эталонных) напряжений, которые непосредственно
выражаются через нагрузки, приложенные к конструкции, а деформация ползучести, вызванная этим напряжением, непосредственно
связана с деформацией конструкции при ползучести. Таким образом,
согласно этого подхода, свойства конструкции соотносятся с поведением образца при определенным образом проведенном испытании на
растяжение. Метод был применен к исследованию ползучести балок
и дисков [312], толстостенных труб [311] и показал хорошие результаты.
В отмеченных выше работах исследования проводились с использованием реологических моделей, описывающих деформацию
ползучести лишь в пределах первых двух стадий и для напряжений,
не превышающих предел текучести. В связи с изложенным естественным образом возникает проблема развития такого рода исследований с целью систематизации результатов и их обобщения на случай учета третьей стадии ползучести, деформации пластичности и
разрушения элементов конструкций.
182
5.2. Определяющие уравнения для элемента конструкции
при наличие трех стадий ползучести
Пусть некоторый объект О (образец при одноосном растяжении,
конструктивный элемент) испытывает воздействие внешних факторов (нагрузок, температур и т.д), которые можно задать векторфункцией x(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t)), которая называется входной вектор-функцией [212, 215]. Кинетика объекта регистрируется путем
измерения нескольких параметров, совокупность которых образует
выходную вектор-функцию y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t)). На функции xi(t),
y i ( t ) (i= 1, m ; j= 1, n ) накладываются необременительные ограничения, такие, как наличие конечного числа точек разрыва первого рода,
ограниченная вариация [212], которые являются обычными при решении многих краевых задач. При этом должен существовать некоторый временной оператор А, преобразующий входное воздействие
x(t) в наблюдаемую величину y(t):
y(t)=Ax(t).
(5.1)
Имеются два пути исследования вида оператора A. Один из путей состоит в представлении изучаемого объекта O (элемента конструкции) как некоторой системы, поведение каждого из элементов
которой известно. Такой подход называют микроскопическим или
физическим. В качестве примера можно рассмотреть решение краевых задач методом конечных элементов или методом конечных разностей. Однако микроскопический путь исследования удается реализовать не всегда. Препятствиями здесь могут служить: высокая сложность объекта, как системы; отсутствие точных определяющих
соотношений; ограниченные возможности вычислительной техники
и т.д.
Другой путь – макроскопический или феноменологический. При
таком подходе исследуемый объект (элемент конструкции) рассматривается как единое целое и находится сразу связь входа с выходом
путем активных численных или натурных экспериментов.
Рассмотрим часто используемое представление оператора A,
предложенное Ю.П. Самариным [212, 215]:
ì y (t ) = j(h(t ), x (t )),
í&
îh(t ) = f (h(t ), x (t )),
(5.2)
183
где h(t)=(h1(t),…,hs(t))- вектор-функция состояния; j, f - векторфункции с s+m переменными.
Определяющие соотношения элемента конструкции (объекта)
(5.1) в виде (5.2) обладают большой общностью. Чтобы убедиться в
этом, рассмотрим случай, когда входное воздействие определяется
xi (t ) = C i (t , a ) ,
заданием конечного множества параметров
a = (a1 , a 2 ,..., a r ) , i = 1, m , где C i (t , a ) - заданные функции. Если, например, в качестве C i рассмотреть степенные полиномы по t, то с их
помощью можно как угодно точно приблизиться к любой непрерывной на отрезке функции. Если же C i представляют собой тригонометрические полиномы, то они позволяют удобно описать действие
циклических нагрузок. Можно далее разбить временной интервал, в
течение которого действует х(t), на небольшие промежутки и аппроксимировать х(t) ступенчатой функцией: ai здесь будут выражать
приближенные значения х(t) в соответствующих промежутках.
В работе [212] Самариным Ю.П. доказано следующее утверждение:
Т е о р е м а 5.1. Если множество входных воздействий зависит
от конечного набора параметров, то любое отображение (5.1) можно
представить в виде (5.2).
Важный класс образуют объекты, для которых вектор-функция
j может быть представлена в виде
j(h,x)=(j1(h),j2(x)), j1(0)=0, j2(0)=0,
(5.3)
где j1 и j2 вектор-функции соответственно с n1 и n2 координатами,
n1+n2=n.
Координаты вектор-функции j2(x) будут мгновенноизменяемыми; любое значение j2(x) всецело определяется текущим значением
x(t), а координаты вектор-функции j1(h) существенно зависят от эволюции объекта, т.е. связаны с фактором времени.
Соотношение (5.3) в [212] получило название гипотезы отделимости. Вопросы, связанные с анализом условий выполнимости условия (5.3) для реономных материалов, рассмотрены в [177, 182], где
установлено, что для материалов соотношение (5.3) выполняется,
если материал следует линейному закону упругости. Хорошо известно, что линейному закону упругости удовлетворяет подавляющее
большинство конструкционных и природных материалов.
184
Т е о р е м а 5.2. Если для определяющих соотношений (5.2)
выполняется гипотеза отделимости (5.3), вектор – функции j1 и j 2
непрерывно дифференцируемы и имеют отличные от нуля якобианы
по некоторым n1 и n2 переменным (соответственно), то при s < ¥
соотношения (5.2) приводятся к виду
A1
0 h*
dh *
y= - -- - ;
= f * (h * , x* ) ,
(5.4)
dt
*
0
0 x
где x * = x * ( x) - m´1 – матрица (перестроенное входное воздействие),
h* = h* (h) - s´1 – матрица (перестроенный вектор состояния), А1 и
А2 –постоянные матрицы порядка n1´s, n2´m (соответственно),
T
rang А1 = n1, rang А2=n2, y = y1 ,..., y n .
Доказательство этой теоремы также можно найти в [212].
В дальнейших исследованиях в качестве определяющих уравнений для элементов конструкций будем использовать соотношения
(5.4), опуская при записи звездочки. Не составляет труда показать,
что уравнения состояния одноосной теории ползучести (3.1) – (3.3)
для случая первой и второй стадии (w = 0; s = s 0 ) и отсутствия деформации пластичности, могут быть представлены в виде (5.4). Действительно, положив
T
y = p e , x = s 0 , A1 = 1 1 ... 1 , A2 = 1 , h = u1 ...u s v1 ...v s w ,
соотношения (3.1) – (3.3) можно записать следующим образом
u1
1 1 ... 1
p
= - - - e
0 0 ... 0
(
:
0 us
- v1 ,
1 :
vs
w
)
h& i = f i (hi , s 0 ) i = 1, 2s + 1 ,
где f i - правые части величин u&i , v&i , w& в (3.1).
(5.5)
185
Ясно, что гипотезой (5.3) не исчерпывается неупругое поведение
реальных материалов. Если рассмотреть одноосное реологическое
деформирование простейшего конструктивного элемента – стержня в
пределах трех стадий ползучести, которое задается моделью (3.1) –
(3.3), то очевидно, что упругую деформацию можно представить в
s s
E
. Очевидно, что упругая деформация
виде e = = 0 , где E1 =
E E1
1+ w
зависит не только от внешних нагрузок, но и от истории нагружения.
Введем в рассмотрение следующую гипотезу:
j (h , x ) = (j1 (h ) , j2 ( x,h ) ) , j1 ( 0 ) = 0, j2 ( 0,0 ) = 0 , (5.6)
где j1 и j 2 имеют такую же размерность, что и в (5.3). Как и в (5.3)
координаты j 2 в (5.6) непосредственно связаны с внешними нагрузками и потому будут изменяться ступенчато при мгновенном изменении x(t), но величина скачка будет существенно зависеть от эволюции объекта.
При выполнении (5.6) справедливо следующее утверждение.
Т е о р е м а 5.3. Если выполняется гипотеза (5.6), вектор –
функции j1 и j 2 непрерывно дифференцируемы и имеют отличные
от нуля якобианы по некоторым n1 и n2 переменным (соответственно), то при s < ¥ уравнения (5.2) приводятся к виду
A1
0 h * (h )
y= -,
*
0
A2 x (h , x )
dh *
= f * (h * , x* ) , h * ( 0 ) = 0 ,
(5.7)
dt
где h* = h* (h), x * = x * (h, x ) - столбцовые s ´ 1 и m ´ 1 матрицы; А1 и
А2 –постоянные n1´s, n2´m матрицы, причем rang А1=n1, rang А2=n2.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Выпишем соотношения, вытекающие из (5.7):
åa
h k* = j1!i (h1 ,...,hs )
(i = 1, n ) ,
m
xk* = j2 ! j ( x1 ,..., xm )
( j = 1, n ) ,
s
1!ik
k =1
åa
2 ! jk
k =1
186
1
2
(5.8)
где a1!ik , a2 !ik - элементы блочных матриц А1 и А2 в (5.7) соответственно. Предположим, что отличны от нуля якобианы по первым n1 и
n2 аргументам вектор – функций j1 и j 2 (соответственно). Дополним систему (5.8) вспомогательными уравнениями
h k = h*k , k = n1 + 1, s;
xl = xl* , l = n2 + 1, m .
(5.9)
Тогда, используя теорему о существовании неявных функций, из
решения систем первых и вторых уравнений (5.8), (5.9) получим выражения
hi = y 1! j (h1* ,...,h s ) , i = 1, n1 ;
x j = y 2! j ( x1* ,..., xm* ) , j = 1, n2 .
Таким образом, для любых вектор – функций j1 и j2 , удовлетворяющих условиям теоремы, можно составить такие выражения
(5.8), (5.9), что при подстановке их в (5.2) получаются определяющие
уравнения вида (5.7). Теорема доказана.
Покажем, что представление (5.7) справедливо и для уравнений
(3.1) – (3.3) с учетом третьей стадии ползучести и деформации пластичности. Учитывая, что p& = u& + v& + w& , соотношению (3.3) можно
придать вид
n1
w& = gs e& p + a1s 0m1s p& = gs × H1 × H 2 × éêa (s - s пр ) - e p ùú +
ë
û
m
ìï s é æ s ön2
ù s é æ s ön2
ù
æ s ö üï
i
+as s íå li êai ç ÷ - ui ú + å li êbi ç ÷ - vi ú H 3 + c ç ÷ ý , (5.10)
úû i =1 êë è s * ø
úû
è s * ø þï
ïî i =1 êë è s * ø
где
H 1 [·] = H 1 s - s пр ,
H 2 [·] = H 2 a s - s пр n1 - e p ,
m1
0
[
)
]
ù
s ö
÷÷ - v i ú - функции Хевисайда соответствующих
[·] =
ê è sx ø
úû
ë
аргументов. Переобозначим через x - пластическую деформацию, а
через w1 - значение параметра поврежденности. Если теперь положить
H 3i
é
[(
]
æ
H 3i êbi çç
n2
x = s 0 , y = expw1
T
T
, h = e p u1 ... u s v1 ... v s , w, w ,
187
то после замены s = s 0 (1 + w) в соотношения (3.1), (3.2) и (5.10) (для
& ) для системы уравнений (3.1), (3.2), (5.10) получим тиu& i , v& i , w& , w
пичную структуру вида (5.7):
s0
E (1 + w )
e
1
-x = 0
p
0
0
w1
0
1
0
0
ep
u1
:
us
v1
:
vs
w
0 × × × 0 0
- - - - - 0 × × × 0 0
1 × × × 1 0
0 × × × 0 1
,
w
(
)
h&i = fi (s 0 , e p , u1 ,..., w, w ) i = 1,2s + 3 ,
(5.11)
где f i - правые части для e& p , u& i , v&i , w& , w в соотношениях (3.1),
(3.2), (5.10).
Аналогично можно показать, что и уравнения для сложного напряженного состояния (4.1) – (4.10) также могут быть приведены к
типовому виду (5.7), причем координатами вектора х в (5.1) будут
являться компоненты тензора напряжений s 0ij , а координатами вектора у – компоненты тензора упругой, пластической деформации,
деформации ползучести и параметра поврежденности.
Таким образом, выполненные исследования позволяют сделать
следующий вывод. При определенном выборе выходных характеристик для конструктивного элемента (деформации, перемещения, прогибы и т.д.) описание его эволюции при ползучести при заданных
входных воздействиях (силовые характеристики) может быть осуществлено соотношениями типа (5.7). При этом сложность конструкции
не играет роль, будь то одноосный образец, балка при изгибе, стержень при кручении, толстостенная труба под давлением и т.д. Поэтому при построении модели (5.7) для элемента конструкций можно
188
использовать методологию построения определяющих соотношений
для одноосного растягиваемого образца (одноосная модель (3.1) –
(3.3)), изложенную в разд. 3.
5.3. Метод решения некоторых краевых задач реологии
с конечным множеством степеней свободы
Обобщим подход, разработанный в п. 5.2, для решения краевых
задач, согласно работам [222, 223].
Пусть исследуемая величина y(x,t), где x=(x1,x2,x3) – радиусвектор рассматриваемой точки, определяется в области V с границей
S с помощью дифференциального оператора
Ly(x,t)=f(x,t), xÎV,
(5.12)
начальных условий
Miy(x,0)=gi(x), xÎV,
(5.13)
и граничных условий
Nky(x,t)=hk(x,t), xÎS,
(5.14)
В (5.12)-(5.14) L,Mi,Nk – известные дифференциальные операторы (в общем случае нелинейные); f(x,t), gi(x), hk(x,t)- заданные функции i = 1, m1 , k = 1, m2 , t Î [0, t 0 ] . Предполагается, что если функции
f(x,t), gi(x), hk(x, t) принадлежат соответствующим образом определенным классам, то краевая задача (5.12) – (5.14) имеет единственное
решение.
При решении краевых задач область V считается фиксированной
в пределах конкретной задачи, а функции f(x,t), gi(x), hk(x,t) могут
произвольно выбираться из некоторых классов. Поэтому, рассматривая (5.12)-(5.14) как определяющие соотношения для некоторого
управляемого объекта O, входное воздействие можно задавать с помощью набора функций
x(x,t)=(f(x,t),g1(x),…, g m1 (x),h1(x,t),…, hm2 (x,t)).
(5.15)
(
)
Аналогично (5.1) выходная функция y(x,t)запишется в виде
y(x,t)=Ax(x,t),
(5.16)
где А- оператор, задаваемый соотношениями (5.12)-(5.14).
Рассмотрим случай, когда множество управляющих функций
вида (5.15) задается с помощью конечного множества параметров,
т.е.
x(x,t)=X (x,t,a), a=(a1,a2,…,am),
(5.17)
189
где X (x,t,а) – фиксированная (неизменяемая в пределах рассматриваемой задачи) m-мерная вектор-функция (m=m1+m2+1).
Из (5.16), (5.17) следует, что существует отображение
a ® y (x, t ) , т.е. в данном случае
y = F (x, t , a ) .
(5.18)
Т е о р е м а 5.4. Если множество входных воздействий краевой
задачи, решение которой существует, единственно и обладает достаточной гладкостью, зависит от конечного набора параметров (см.
(5.17)), то для описания множества решений достаточно следующих
соотношений:
ìï y (x , t ) = j (h (x , t ) , x (x , t ) , x ) ;
í
ïîh& (x , t ) = f (h (x , t ) , x (x , t ) , x ) ,
(5.19)
где j(h, x ) - некоторая числовая функция, f (x, t ) - некоторая s- мерная вектор – функция, h(x, t ) = (h1 (x, t ), h 2 (x, t ),..., h s (x, t )) - вектор –
функция состояния.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Продифференцируем функцию (5.18)
s раз по переменной t:
y = F (x , t , a ) ;
y& = F ¢t (x , t , a ) ;
....................
y
(s )
= F (t s ) (x, t , a ) .
(5.20)
Если теперь выбрать m + s = r + 1 , то из m соотношений (5.17) и s
первых соотношений (5.20) можно выразить r + 1 следующих величин:
ìak = jk x1 ,..., xm , y , &&
y ,..., yt( s -1) , x , k = 1, r ;
ï
(5.21)
í
y ,..., yt( s -1) , x .
ït = j0 x1 ,..., xm , y , &&
î
Введем обозначения:
h1 = y , h 2 = y& , h3 = &y&,..., h s = y t( s -1) .
(5.22)
Из (5.18), (5.20) - (5.22) следует, что
(
190
(
)
)
y = F * ( x1 ,..., x m , h1 ,..., h s , x),
h& 1 = h 2 ,
h& 2 = h3 ,
.............
h& s -1 = h s ,
h& s = f * ( x1 ,..., x m , h1 ,..., h s , x) .
(5.23)
Очевидно, что соотношения (5.23) являются частным случаем
соотношений (5.19) и теорема 5.4 доказана. При этом большая общность системы уравнений (5.19) по сравнению с (5.23) не является
существенной. Действительно, если вместо вектор – функции h(x, t )
ввести связанную с ней s – мерную вектор – функцию z (x, t ) согласно формул
hi = u i ( z, x ), i = 1, s ,
(5.24)
то
s ¶u z , x
( ) z& + m ¶ui ( z, x ) x& .
h&i = å i
(5.25)
å
k
e
¶zk
¶xl
k =1
l =1
Поскольку согласно (5.17), (5.21), (5.22), (5.24)
x& e = C e (x, t , a ) = C *e (x, x, h) = C oe (x, x, z ) ,
то выражение (5.25) можно привести к виду
s
h&i = å u&ik ( z , x ) z&k + ui* ( x , x, z ) .
(5.26)
k =1
Подставив (5.24), (5.26) в (5.23), будем иметь
ì y = F o ( x, z , x ) ;
ï s
í
o
o
o
ïå uik ( z, x ) z k = f i ( z , x, x ) .
î k =1
(5.27)
Если det u iko ¹ 0 , то (5.27) приводится к виду (5.19).
Таким образом, установлено, что при условии (5.17) вместо решений краевой задачи (5.12) – (5.14) можно рассматривать соотношения (5.19), где h(x, t ) , f (h, x, x), j(h, x, x ) - соответствующим образом подобранные функции.
Этот результат может показаться не очень полезным, поскольку
алгоритм построения указанных функций не указан. В общем случае
191
это действительно так. Однако для ряда прикладных задач ситуация
бывает более простой, чем это диктует общая теория.
Во многих случаях интерес представляет не все поле y (x, t ) , а
его значение в некоторой критической (опасной) точке x = x 0 , т.е.
y (x 0 , t ) = y 0 (t ) . Тогда уравнения (5.19) совпадают с (5.2) и их связь с
пространственными переменными исчезает. Заметим, что соотношения (5.19) существенно зависят от x: как структура этих соотношений, так и размерность вектора h могут в общем случае существенно
изменяться от точки к точке. Тогда практически найти соотношения
(5.19) очень трудно. В конкретной же точке x = x 0 структура соотношений (5.19) может быть эффективно построена с помощью аналитических и численных решений, а также с помощью специальным
образом спланированных экспериментов над конструктивным элементом. При этом для построения решений краевой задачи в точке
x = x 0 можно использовать хорошо разработанную методологию построения одноосных соотношений типа (5.2), изложенную в разд. 3.
Следует отметить, что, вообще говоря, целесообразно изучение
поля не в одной, а в нескольких точках x = (x1 , x 2 ,..., x n ) . Этот вариант сводится к независимому повторному изучению рассмотренных
случаев для каждой из n заданных точек.
В дальнейшем рассматривается случай, когда в (5.19) x = x 0 , т.е.
вместо (5.19) можно рассматривать (5.2), и тогда
x(t ) = C(t , q(t )) ,
(5.28)
q(t ) = (q1 (t ), q 2 (t ),..., q m (t )) .
(5.29)
В (5.28) функция C (t, q ) считается фиксированной, а функции qi (t )
могут задаваться произвольно. Краевую задачу (5.12) – (5.15), (5.28),
(5.29) будем называть краевой задачей с m степенями свободы. Основанием к этому служит то, что решение краевой задачи однозначно определяется m – мерной вектор – функцией (5.29).
Фактически выражение (5.28) является как угодно близким у
представлению xi = C i (t , a ), a = (a1 , a 2 ,..., a r ) i = 1, m в соотношениях (5.2), поскольку любую вектор – функцию на конечном отрезке
можно с любой степенью точности приблизить полиномом. При этом
q(t ) = Q(t , a ) , где Q – фиксированная функция, a = (a1 , a 2 ,..., a r ) .
(
192
)
Таким образом, для исследования поля (5.12) – (5.14) в фиксированной точке предлагается использовать уравнения вида (5.2), (5.28),
(5.29). Структура уравнений (5.2) для каждой задачи должна выясняться с помощью аналитических или численных экспериментов, а
также может быть выявлена с помощью натурных экспериментов над
конструктивным элементом, математическим образом которого является заданная краевая задача. Методология построения определяющих уравнений (5.2) зависит от типа изучаемой краевой задачи
(5.12) – (5.14). Однако существуют важные классы реологических
задач, где эта методология неизменна, о чем речь пойдет ниже.
5.4. Способы построения локальных определяющих
соотношений для реономных сред
Для получения решения краевой задачи (5.12)-(5.14) в заданной
точке x=x0 в виде (5.2), (5.28), (5.29) необходимо определить структуру вектор - функции h(t) и вид вектор - функций j(h,x), f(h,x) в
(5.2) (величина у(t) считается векторной). Это можно сделать тремя
способами.
Первый способ состоит в непосредственном использовании аналитического решения задачи (5.12)-(5.14), если оно найдено. В этом
случае выражение (5.16) дает искомый результат y(x0,t)=Ax(x0,t), где
временной оператор A определяется путем замены в аналитическом
решении задачи x на x0. Несмотря на тривиальность, при этом возможны существенные упрощения оператора, что очень важно при
использовании результатов решения краевой задачи на ЭВМ. Однако, в силу нелинейности определяющих уравнений для материала,
этот способ практически не применим к задачам реологии, т.к. найти
аналитическое решение удается лишь для узкого класса краевых задач.
Второй способ предполагает возможность численного решения
краевой задачи (5.12)-(5.14). Тогда можно выполнить серию расчетов
при соответствующем наборе входных воздействий x1(t),x2(t),…,xl(t)
и по полученной информации y1(t),y2(t),…,yl(t) построить соотношение (5.2) (они эквивалентны(5.19) при x=x0). Здесь требуется распознать структуру вектор-функции h(t) и вид вектор-функций j(h,x),
f(h,x). После этого выражением (5.2) можно пользоваться как при193
ближенным аналитическим решением краевой задачи (5.12)-(5.14) в
точке x=x0.
Наконец, возможен и третий способ, когда аналитическое решение не найдено и численное решение осуществить затруднительно,
но имеется возможность проводить эксперименты над объектом. В
этом случае при выбранном наборе входных воздействий
x1(t),x2(t),…,xl(t) следует измерить величину y(x0,t) и получить информацию в виде набора функций y1(t),y2(t),…,yl(t), т. е. мы приходим
к задаче, что и во втором способе.
Дальнейшее исследование целесообразно проводить для определенных классов операторов А в (5.16), т. е. для краевых задач
(5.12)-(5.14) частного вида. Ввиду большого разнообразия элементов
конструкций сразу же возникает вопрос о том, какой должна быть
для них структура определяющих соотношений и методология их
построения.
Введем понятие пропорционального нагружения. Пусть обобщенная плотность поля внешних нагрузок задается формулой
( )
( )
(
) (
)
a r , t = a V r , t + a s ( rs , t ) d ( r - rs ) + å a i r i , t dV r - ri , (5.30)
i
где `r - радиус-вектор рассматриваемой точки; `av (`r, t) – объемная
плотность нагрузки; `as (rs,t) – поверхностная плотность нагрузки,
заданная на поверхности rs= rs (j,q ) (j, q - углы в сферической системе координат); d(r) – дельта- функция Дирака скалярного аргумента; `ai(`ri , t) –сосредоточенная сила в точке `r =`ri ; dv (`r ) – “объемная” дельта-функция Дирака векторного аргумента:
(
)
ìï1, ri
Î DV ,
ïî0, ri
Ï DV
òòò d r - ri dV = í
DV
Таким образом, в формуле (5.30) учитывается три вида нагрузок:
распределенные по объему , по поверхности, а также сосредоточенные силы.
Будем называть нагружение пропорциональным, если обобщенная плотность (5.30) имеет вид
r
( )
( )
a r , t = éa v r V + a s ( rs ) d ( r - rs ) +
194
ë
ù
+ åa i ( ri ) dV r - r i ú q ( t ) = a 0 r q ( t ) .
(5.31)
i
û
Обозначим через `p(`r , t) поле перемещений, заданное во всех
точках, где действует нагрузка (5.30). Поле перемещений будем называть пропорциональным, если
(
)
( )
()
()
p r, t = b r e ( t ) .
(5.32)
Для многих краевых задач выполнение (5.32) автоматически следует из кинематических гипотез, накладываемых на перемещения. В
качестве примера можно привести гипотезу плоских сечений при
чистом изгибе балки, при кручении вала или раздаче толстостенного
цилиндра при действии внутреннего давления.
Соотношение (5.2) с высокой точностью будет выполняться для
элементов конструкций с локализованной внешней нагрузкой. Действительно, если объемные силы отсутствуют, то выполнение условия (5.32) надо контролировать лишь на поверхности, где действуют
поверхностные силы, или в точках приложения сосредоточенных
усилий, т.е. пропорциональность перемещений должна проверяться
лишь на нагруженной части граничной поверхности.
Вычислим работу, совершаемую внешними нагрузками (5.31) на
перемещениях (5.32):
t
( )
( )
() ()
t
A ( t ) = ò òòò a r ,t dt p r ,t dV - òòò a 0 r b r dV ò q (t ) d e (t )
0 V
V
0
или
t
A ( t ) = c* ò q (t ) d e (t ) ,
(5.33)
0
где через с* обозначена величина интеграла по пространственным
координатам.
Из (5.33) следует, что при выполнении условий (5.31) и (5.32)
работа внешних нагрузок с точностью до константы записывается
так же, как для одноосного растяжения стержня. При этом роль «напряжения» играет q(t), а e(t) – роль «деформации».
Далее величина q(t) будет называться обобщенной нагрузкой, а
e(t) – обобщенным перемещением. Выражение (5.33) позволяет ввести гипотезу: исследование деформирования элемента конструкций,
195
для которого выполняются условия (5.31), (5.32), следует вести в соответствии с методологией, разработанной в случае одноосного напряженного состояния для растягиваемого стержня. В связи с изложенным в качестве определяющих уравнений, связывающих e и q,
используем уравнения (3.1) – (3.4) с заменой s на q, а под e будем
понимать обобщенное перемещение:
e = e + e p + p, e =
q
,
G
q(t ) £ q пр ,
ì0,
ï
n
e& p = íìïl a q(t ) - q пр 1 - e p (t ) , [...] > 0,
ïíï0,
q (t ) > q пр ,
[...] £ 0,
îî
p =u +v+ w,
[(
)
]
é æ q ö n2
ù
u (t ) = u k (t ) ,
u& k (t ) = l k êa k çç ÷÷ - u k (t )ú ,
êë è q* ø
úû
k
ì é æ q ö n2
ù
ïl k êbk ç ÷ - v k (t )ú , [...] > 0,
v(t ) = v k (t ), v& k (t ) = í ê çè q* ÷ø
úû
k
ï ë
[...] £ 0,
î0,
å
å
m
æ q ö 1
& = g qe& p + a qp& .
w& (t ) = cçç ÷÷ , q = q 0 (1 + w) , w
è q* ø
(5.34)
Здесь e – полное обобщенное перемещение; e, ep – упругая и пластическая компоненты e; p – компонента обобщенного перемещения,
вызванная ползучестью; u, v, w – вязкоупругая, вязкопластическая и
вязкая составляющие p; G – интегральная (либо локальная) упругая
податливость в заданной точке; q0 и q соответственно номинальное и
истинное значения обобщенной нагрузки, qпр – предел пропорциональности на обобщенной диаграмме упругопластического деформирования в координатах e – q; a, n1, l, lk, ak, bk, n2, c, m1, q*, –константы
модели.
Детальный анализ данных, о котором речь пойдет далее, показал, что в общем случае g=g(ep) и a=a(q0) и для них также можно использовать степенные аппроксимации вида:
196
( )
m
g = g 1 e p 2 , a = a 1 q 0m3 .
Величину «фиктивной» (истинной) нагрузки q можно трактовать
следующим образом. В процессе неупругого деформирования конструктивного элемента происходит накопление поврежденности (появление микротрещин, микропор и т.п.), что ведет к увеличению величины обобщенной плотности поля внешних нагрузок при q0=const.
Поэтому записывая кинетику для обобщенной плотности a r, t с
учетом микроповрежденности в виде
( )
( )
( )
a r , t = a1 r , t (1 + w ) ,
( )
где a1 r, t обобщенная плотность внешних нагрузок в неповрежденном состоянии, w - параметр поврежденности, из (5.31) сразу получаем предпоследнее соотношение (5.34).
В качестве критерия разрушения (локального или интегрального) конструктивного элемента формально можно использовать соотношение (3.12), записанное для обобщенных перемещений и нагрузок
t
t
q (t ) de p (t )
q (t ) dp (t )
+
=1,
(5.35)
p
A*
A*c ( q0 )
0
0
ò
ò
где A*p , A*c ( q 0 ) имеют тот же смысл и определяются по той же методике, что и в (3.12).
Конечно, далеко не все практически важные задачи исчерпываются случаем (5.31). Поле внешних нагрузок может иметь несколько
степеней свободы и тогда вместо (3.14) следует рассматривать нагрузки вида
a = a 0 r , q1 (t ), q 2 (t ),..., q m (t ) .
(
)
Теперь обобщенная нагрузка представляет из себя векторную величину
x(t ) = (q1 (t ),..., q m (t )) .
(5.36)
Анализ поля внешних нагрузок с несколькими степенями свободы для элемента конструкции может иметь аналогию с использованием поведения материала при сложном напряженном состоянии.
Однако прямое перенесение на элемент конструкции уравнений типа
197
(4.1) - (4.12) затруднительно и требует дополнительных исследований.
Более сложной может быть и структура обобщенного перемещения. В качестве основного варианта рассматривается случай, когда
наблюдаются перемещения в нескольких точках. Тогда обобщенное
перемещение задается вектором
y (t ) = (e 1 (t ), e 2 (t ),..., e n (t )) .
(5.37)
Многомерность вектора (5.37) принципиальных затруднений не
вызывает, так как отображения
e i (t ) = Ai x (t )
(5.38)
могут строиться независимо друг от друга.
Для нагрузки с одной степенью свободы (5.31) операторы в
(5.38) будут иметь структуру, аналогичную (5.34).
Рассмотренные выше математические соображения, доказывающие возможность описания ползучести элементов конструкций в
терминах «обобщенная нагрузка – обобщенное перемещение» в виде
(5.19) или частном случае (5.34) – (5.35), имеют глубокое механическое обоснование. Действительно, если обратиться к схеме, представленной на рис. 1.1, то можно обратить внимание на аналогию
построения феноменологических теорий ползучести на уровне механики сплошных сред и построении обобщенной модели элемента
конструкции на уровне макромеханики конструкций. В том и другом
случаях базовой информацией для построения моделей являются
диаграммы упругопластического деформирования и серия кривых
ползучести при постоянных внешних нагрузках в координатах «деформация – напряжение» и «обобщенное перемещение – обобщенная
нагрузка» (соответственно). Но при испытаниях одноосных образов
и построении феноменологических теорий полностью игнорируется
эволюция напряженно – деформированного состояния материала на
микроуровне, хотя в разд. 2 показана вся сложность поведения материала в одноосном образце при растяжении.
Переход от механики сплошных сред к макромеханике конструкций (соотношениям (5.19) или (5.34) – (5.35)) фактически также
не учитывает кинетику неоднородного макронапряженного состояния элемента конструкций, при этом устанавливается связь между
198
входными и выходными параметрами и конструктивный элемент
рассматривается как единое целое (специфический образец, хотя и
сложной структуры). В общем случае выбор обобщенного перемещения в качестве наблюдаемой величины неоднозначен, носит неформальный характер и определяется целями и задачами исследования; осуществлять его следует так, чтобы при постоянной нагрузке
получить для него обычную «кривую ползучести» в координатах
«обобщенное перемещение – время», а также обычную обобщенную
диаграмму упругопластического деформирования в координатах
«обобщенная нагрузка – обобщенное перемещение».
Другими словами, соотношения (5.19) или (5.34) – (5.35) основаны на полной аналогии диаграмм упругопластического деформирования и кривых ползучести для растягиваемых одноосного стержня и конструктивного элемента при неоднородном напряженном состоянии для постоянных внешних температурно – силовых нагрузок.
Такой же качественный вывод следует из анализа многочисленных экспериментальных кривых ползучести, полученных на различных конструктивных элементах в упругой области работы материала
(без учета пластической деформации) и без учета третьей стадии
ползучести: балки при изгибе [60, 63, 152, 157, 158]; пластины [24,
25, 30, 149, 170, 247]; толстостенные трубы под действием внутреннего [245, 311] и наружного [94, 109, 171] давлений; скручиваемые
стержни [61]; цилиндрические пружины [17, 30]; оболочки [28]; диски [40], роторы [297], корпусные детали [13] турбин и рамные стержневые конструкции [59].
Некоторые из типичных экспериментальных кривых ползучести
для элементов конструкций представлены на рис. 5.1 – 5.6. Так на
рис. 5.1 приведены обобщенные кривые ползучести при чистом изгибе балки поперечного сечения 5 ´ 30 мм из технически чистого
алюминия при T = 26o C в координатах «кривизна балки от ползучести c p - время» при постоянном значении момента М (величине упM
). На рис. 5.2 – кривые ползучести резьбовоEJ
го соединения в координатах «осевое удлинение l - время» при постоянных внешних растягивающих усилиях Q .
ругого прогиба c y =
199
c p ×103 ,
1/мм
Р и с. 5.1. Экспериментальные (значки) и расчетные (сплошные линии) по
модели (5.34) обобщенные кривые ползучести балки при чистом изгибе в
координатах «кривизна от ползучести – время»:
цифры: величина упругого прогиба cу ×103
а
б
в
Р и с. 5.2. Резьбовое соединение (а); программа нагружения (б); экспериментальная (значки) и расчетные (сплошные линии) по модели (5.34) обобщенные
кривые ползучести резьбового соединения в координатах «осевое перемещение – время»:
200
цифры - режимы нагружения по программе нагружения (б)
На рис. 5.3 – 5.6 приведена аналогичная эмпирическая информация для выпучивания днища толстостенного цилиндра при действии
внутреннего давления; окружной и осевой деформации при вращении ротора; перемещения характерной точки рамной конструкции и
осевого перемещения диафрагмы паровой турбины ТЭЦ (соответственно).
Как следует из приведенных графиков, обобщенные кривые ползучести элементов конструкций при постоянных внешних воздействиях полностью аналогичны кривым ползучести при растяжении одноосных образцов. Отсюда следует важный вывод: поскольку обобщенные кривые ползучести являются базовым экспериментом для
построения модели типа (5.34) – (5.35), а соответствующие аналогичные кривые ползучести являются базовыми для построения одноосной модели (3.1) – (3.4), (3.12), то методика идентификации параметров модели (5.34) – (5.35) будет такой же, как и для модели (3.1) –
(3.4), (3.12).
W, мм
Сталь 20 Т=5000 С
30
25
20
15
10
5
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
t, ч
Р и с. 5.3. Экспериментальные значения (точки) изменения прогиба
W в центре плоского днища [247] под действием внутреннего
давления q=0,59 МПа
Заметим, что если натурный эксперимент для получения базовых обобщений кривых упругопластического деформирования и
обобщенных кривых ползучести осуществить затруднительно, то
базовую информацию можно получить расчетным путем, решив несколько раз соответствующую краевую задачу при постоянных
201
внешних воздействиях. Далее построить модель типа (5.34) – (5.35) и
затем для переменного однопараметрического нагружения уже
пользоваться построенной обобщенной моделью конструкции, не
прибегая к решению соответствующей краевой задачи.
e t × 105 ,
e z ×105
353.6
50.8
1
24
20
16
2
Т=5380С
сталь: 1Cr-1M0-1/4 V
3
12
8
4
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 t, ч
Р и с. 5.4. Кривые накопления деформаций во вращающемся роторе [296]:
; ; ; ; ; - эксперимент; _________ – танценциальная деформация e t ;
- - - - - - – осевая деформация e z ; 1 – радиальное напряжение s 0 = 1387 МПа;
2 - s 0 = 1257 МПа; 3 - s 0 = 1166 МПа
Здесь следует отметить, что вариант уравнений (5.34) при ограничениях на обобщенные перемещения и нагрузки в виде (5.31),
(5.32) в пределах первых двух стадий ползучести (w=0) и отсутствии
пластических деформаций в конструктивном элементе изучены достаточно хорошо. В связи с изложенным следует отметить работы по
чистому изгибу балки из нелинейного реологического материала [60,
62], где в качестве обобщенной силы q использовалась величина упM
ругой кривизны c y =
(М – изгибающий момент), а обобщенного
EI
перемещения – кривизна χр, вызванная ползучестью; изгибу статически определимых и неопределимых балок [60] (q – перерезывающая
сила, e - величина прогиба срединного сечения); кручению толсто202
hp
стенных цилиндров [81] (q – крутящий момент, e - угол закручивания); ползучести резьбового соединения [63] (q – осевая сила, e - осевое смещение); раздаче толстостенного цилиндра под действием
внутреннего давления [56, 59] (q – внутреннее давление, e - радиальное перемещение); ползучести диафрагмы паровой турбины [59] (q –
давление, e - осевой прогиб).
D
А
Q
Q
а
б
Dhp,
мм
2,0
Q, кН
980
3
4
760
1,0
0
870
1
2
160
180
1,5
0,5
200 Т, 0С
0
в
5
10
15
20
t, ч
г
Р и с. 5.5. Рамная конструкция (а) и схема ее деформирования (б); программа нагружения (в); обобщенные экспериментальные (точки) и расчетные
(сплошные линии) по модели (5.34) кривые ползучести рамной конструкции
в координатах «перемещение Dhp - t »:
0 – 4 соответствуют схеме нагружения (в) ; 5 – разгрузка.
203
l, мм
T=5200C
q=0,559 МПа
1
0,75
0,5
0,25
5
10
15
20
25
30
, 10 ч
Р и с. 5.6. Типичная кривая накопления осевого прогиба l в точке А
сварной диафрагмы [59]
Вопросы, связанные с учетом третьей стадии ползучести, деформации пластичности, накопления поврежденности и разрушения,
рассматриваются ниже.
5.5. Обобщенная модель ползучести и разрушения балки
в условиях чистого изгиба
Целью настоящего пункта является применение общих идей, изложенных выше, для случая неупругого реологического деформирования и разрушения балки в условиях чистого изгиба, т.е. в конкретизации соотношений (5.34), (5.35) для данного конструктивного элемента.
Учитывая формальную аналогию в поведении образца при растяжении в условиях ползучести в координатах «деформация - время»
при s = const и балки в состоянии чистого изгиба в координатах
«кривизна балки - время» при M = const , обобщенная модель в рас204
сматриваемом случае в соответствии с формулами (5.34), (5.35), где
формально произведена замена e®c, s®М, принимается в виде
c = c e + ce + c p , ce =
p
M (t )
;
Wp
ì0, M ( t ) £ M пр ,
ï
n1
n1
ïì
c& e p = íïl éêëa × ( M ( t ) - M пр ) - c e p ( t )ùúû , a ( M ( t ) - M пр ) > c e p ( t ) ,
ïí
n
ïï0, a × ( M ( t ) - M пр ) 1 £ c p ( t ) , M ( t ) > M пр ;
e
îî
c p = cu + cv + c w ;
s
c u ( t ) = å c u ( t ) , c& u ( t ) =lk ( t ) é ak ( M ( t ) / M * ) 2 - cu ( t )ù ;
k =1
n2
k
k
ë
s
cv (t ) = å cv (t ) ;
k =1
k
k
û
(5.39)
ì é æ M ( t ) ön2
ù
ïlk êbk ç
ú
c
t
, [...] > 0,
(
)
÷
vk
ïï ê è M * ø
ú
û
c& vk ( t ) = í ë
n2
ï
æ M (t ) ö
ï0, bk ç
÷ £ c vk ( t ) ;
ïî
è M* ø
æ M (t ) ö
c& w ( t ) = c ç
÷ ;
è M* ø
M = M 0 (1 + w ) ;
w& = g M c& e p + a M c& p .
m
Здесь c - полное обобщенное перемещение (кривизна балки при изгибе) cе и c e p - упругая и пластическая компоненты c соответственно; cр – компонента обобщенного перемещения, вызванная ползучестью; cu , cv , cw – вязкоупругая, вязкопластическая и вязкая составляющие cр соответственно; М0 и М – соответственно номинальное и
«фиктивное» (истинное) значения обобщенной нагрузки (изгибающего момента); Wp – интегральная упругая податливость балки; lk ,
205
ak , bk , c , n2 , m, M * – константы модели, при помощи которых описываются первая и вторая стадии ползучести балки и ее обратимая
после разгрузки часть; g и a - параметры модели, контролирующие
процессы разупрочнения материала от пластического обобщенного
перемещения и от обобщенного перемещения ползучести соответственно; a, n1, l - константы модели, описывающие диаграмму мгновенного упругопластического деформирования для обобщенного перемещения; Мпр – предел пропорциональности на диаграмме упругопластического деформирования в координатах e-q. Как уже отмечалось выше
g = g 1 ( ce
p
)
m2
, a = a1 ( M 0 ) 1 ,
m
при этом в частных случаях возможны варианты a=const, g=const.
В качестве критерия разрушения рассматриваемого конструктивного элемента в соответствии с (5.35) используется соотношение
вида:
t*
Md c ep ( t ) t* Md c p ( t )
(5.40)
ò0 A*p + ò0 A*c ( M 0 ) = 1 .
Для аппроксимации величины A*c ( M 0 ) использовалось соотношение вида
A*c ( M 0 ) = a A ( M 0 ) A ,
m
где aА и mА – константы.
По аналогии с одноосным напряженным состоянием исходной
информацией для построения обобщенной реологической модели
служат кривые стационарной ползучести балки в координатах «кривизна-время» вплоть до разрушения, полученные при постоянных
моментах, а также диаграмма «упругопластического деформирования» балки в координатах «изгибающий момент-кривизна».
Как отмечалось выше, эта информация может быть получена
двумя путями: при помощи численного решения соответствующей
краевой задачи упругопластического деформирования балки и ползучести балки при М0 =const или непосредственно из эксперимента.
Проиллюстрируем сначала случай, когда исходная информация получается численным решением соответствующей краевой задачи,
методика которой в пределах первых двух стадий ползучести материала разработана в [60].
206
Кратко изложим методику численного решения краевой задачи
для чистого изгиба балки. Здесь материал балки находится в одноосном напряженном состоянии. Уравнение равновесия элемента балки
имеет вид
y2
ò s ( y, t ) ydS = M ( t ) ,
0
0
(5.41)
y1
где у – расстояние элемента площади сечения до нейтральной оси; dS
– элемент площади сечения балки, перпендикулярный нейтральной
оси; dS=b(y)dy; b(y) – ширина сечения балки на расстоянии у от нейтральной оси; s0(y,t) –номинальное напряжение.
Уравнение совместности деформаций в соответствие с гипотезой
плоских сечений принимает вид
e ( y, t ) = y × c ( t ) ,
(5.42)
где
e ( y, t ) = e ( y , t ) + e p ( y, t ) + p ( y, t ) –
полная деформация, e ( y , t ) = s 0 ( y, t ) / E - упругая деформация; p(y,t),
ep(y,t) – деформация ползучести и пластическая деформация соответственно на расстоянии у от нейтральной оси; c(t) – кривизна балки по
нейтральной оси.
Здесь и в дальнейшем многие величины в расчетных формулах
зависят от координаты у. Данный факт отмечается простановкой у
как аргумента, понимая при этом, что зависимость соответствующей
величины от у получается за счет различных напряжений s0(y, t).
Весь процесс деформирования разбивается во времени на отрезки Dtj=tj+1-tj ; в пределах каждого из которых все характеристики напряженного состояния считаются постоянными. Тогда для j-го отрезка времени tj£ t £ tj+1 можно записать
Ds 0 j ( y )
e ( y, t j +1 ) = e ( y , t j ) +
+ Dp j ( y ) + De pj ( y ) , (5.43)
E
где
Ds 0 j ( y ) = s 0 ( y , t j +1 ) - s 0 ( y , t j ) ;
(5.44)
Dp j ( y ) = p ( y, t j +1 ) - p ( y , t j ) ;
De jp ( y ) = e p ( y , t j +1 ) - e p ( y , t j ) .
(5.45)
(5.46)
Из уравнений (5.41), (5.44) получаем
207
y2
ò Ds ( y ) ydS = M ( t ) - M ( t ) .
0j
j +1
j
(5.47)
y1
Уравнения же (5.42) и (5.43) дают
Ds 0 j ( y )
Dp j ( y ) + De pj +
= Dc j y ,
(5.48)
E
где Dc j = c ( t j +1 ) - c ( t j ) . Умножая (5.48) на ydS, интегрируя полученное в пределах от у1 до у2 и используя (5.47), получаем
y2
y2
é
ù
Dc j = ê M ( t j +1 ) - M ( t j ) - E ò ( Dp j ( y ) + De jp ( y ) ) ydS ú / E × ò ydS .
êë
úû
y1
y1
Далее нетрудно получить все искомые характеристики:
c ( t j +1 ) = c ( t j ) + Dc j ;
Ds 0 j ( y ) = éëDc j y - Dp j ( y ) - De jp ( y )ùû × E ;
s 0 ( y , t j +1 ) = s 0 ( y , t j ) + Ds 0 j ( y ) .
Приращения всех неупругих деформаций вычисляются на основании (3.1)– (3.4) с использованием метода Эйлера и при фиксированном у на отрезке [tj, tj+1 ] имеют вид
De = De + De p + Dp ;
ì0, s ( t ) £ s пр ,
ï
n1
n1
p
p
ïì
De p = íïl éêëa × (s - s пр ) - e ùúû Dt , éêëa (s - s пр ) - e ùúû > 0,
ïí
n
ïï0, a × (s - s пр ) 1 - e p £ 0;s ( t ) > s пр ( t ) ;
îî
Dp = Du + Dv + Dw ;
s
é æ s ön2
ù
Du = å Duk , Duk =lk ê ak ç ÷ - uk ú Dt ;
k =1
êë è s * ø
úû
ì é æ s ön2
ù
s
ïïlk êbk ç ÷ - vk ú Dt , [...] > 0,
Dv = å Dvk , Dvk = í êë è s * ø
úû
k =1
ï
ïî0, [...] £ 0;
208
m
æs ö
Dw = c ç ÷ Dt ;
è s* ø
Dw = gsDe p + asDp ;
s = s 0 (1 + w ) .
(5.49)
При этом все неупругие деформации и параметр поврежденности
имеют нулевые начальные условия, а величины ep, p, u, v, w, w ,s0
при tÎ[tj ,tj+1] определяются по рекуррентному соотношению
F ( t j +1 ) = F ( t j ) + DFj , где F – любая из этих величин. Следует указать
на особенность при использовании соотношений для пластической
деформации ep. Как следует из (3.41), по форме эти соотношения записываются как для деформации ползучести, однако в них используется не реальное физическое время t , а некоторое «внутреннее»
время, что учитывается тем, что
l >> max {lk } . Поэтому на кажk
дом шаге Dt=tj+1-tj отдельно решается задача вычисления Dep также
шагами по “внутреннему” времени.
Расчет ползучести балки осуществляется до тех пор, пока выполняется условие при любом у:
t
t
s dp
s de p
W(t ) = ò c
+ò p < 1 .
A s
A*
0 * ( 0)
0
Выполнение при каком-либо
значении у условия W(t*)=1 предполагает, что происходит разрушение материала при t=t* и расчет
прекращается.
В качестве модельного примера был рассмотрен случай неупругого реологического деформирования и разрушения балки с
размерами 5х30х160 мм из сплава
ЭИ 698 при Т=700 °С. Реологиче-
Р и с 5.7. ²Экспериментальная² (сплошная линия) и расчетная (штриховая линия) по
модели (5.39) диаграммы
мгновенного деформирования
балки из сплава ЭИ698 при
Т=700°С
209
ские параметры модели (3.41) для ЭИ 698 при Т=700 °С приведены в
табл. 3.1 и 3.2 разд. 3.
На рис. 5.7 – 5.10 на основе решения краевой задачи для балки из
данного сплава сплошными линиями приведены результаты численного расчета (численный эксперимент) диаграммы упругопластического деформирования балки в координатах «кривизна балки - изгибающий момент М0» и кривые ползучести в координатах «кривизна
балки – время» при стационарном нагружении при М0=const.
Далее, по методике, изложенной для одноосного напряженного
состояния в разд. 3, на основании информации, полученной в результате численного эксперимента, были определены параметры обобщенной модели (5.39) – (5.40), значения которых представлены в табл. 5.1 и 5.2.
Т а б л и ц а 5.1
Значения параметров модели (5.39) – (5.40) для описания деформации
пластичности балки из сплава ЭИ 698 при Т=700°С
Мпр,
H×мм
7800
Wp×10 -5
H×мм2
54.23
n1
3.428
g 1×103,
a×1016,
-n
-n-1
-1
H ×мм
H × мм - m2 -1
5
1.06
m2
-0.023
A*p ,
Н
1189.28
Т а б л и ц а 5.2
Значения параметров модели (5.39) – (5.40) для описания деформации
ползучести балки из сплава ЭИ 698 при Т=700°С
M* ,
Н×мм
k lk , ak× bk×
ч-1 104 104
7000
0 0.2
n2
c×
105
m
a1×10-9,
- m1 -1
H
мм - m1
4.19 9.79 2.53 2.47 9.11 5.98
m1
aA , mA
H мм - m A -
-3.36 600
0
Для сравнения на рис.5.7 штриховой линией показана рассчитанная по модели (5.39)-(5.40) диаграмма упругопластического деформирования балки в координатах М0 - c. На рис. (5.8) – (5.10)
штриховыми линиями представлены результаты расчета по модели
210
(5.39) – (5.40) неупругой реологической кривизны c p для стационарных режимов нагружения при М0=const.
После построения обобщенной модели для балки в виде (3.39) –
(3.40) необходимости решать краевую задачу с учетом пространственной координаты y нет. Поэтому при переменных режимах для изгибающего момента достаточно воспользоваться одномерными уравнениями (5.39) – (5.40).
Адекватность модели (3.39) – (5.40) была выполнена для нестационарных режимов нагружения изгибающего момента. На
рис.(3.11) – (3.13) сплошные линии соответствуют данным численного решения краевой задачи о неупругом реологическом деформировании и разрушении балки (численный эксперимент), а штриховые –
данным расчета по обобщенной модели балки (5.39) – (5.40).
Р и с 5.8. ²Экспериментальные² (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести балки при стационарных режимах
нагружения:
1-М0=5×103 Н×мм; 2- М0=5.5×103Н×мм; 3- М0=6×103 Н×мм; 4- М0=6.5×103 Н×мм
211
Р и с 5.9. ²Экспериментальные² (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести балки при стационарных режимах
нагружения:
1 - М0=7×103 Н×мм; 2 - М0=7.5×103 Н×мм; 3 - М0=8×103 Н×мм; 4 - М0=9×103 Н×мм
Р и с 5.10. ²Экспериментальные² (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести балки при стационарных режимах
нагружения
1- М0=1×104 Н×мм; 2- М0=1.1×104 Н×мм
212
Р и с 5.11. ²Экспериментальные² (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести балки при нестационарных режимах
нагружения:
1- М0=9×103 Н×мм, 2- М0=5×103 Н×мм, 3- М0=6.5×103 Н×мм, 4- М0=6×103 Н×мм
Р и с. 5.12. ²Экспериментальные² (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести балки при нестационарных режимах
нагружения:
1- М0=7.5×103 Н×мм; 2- М0=5×103 Н×мм; 3- М0=6×103 Н×мм; 4- М0=8×103 Н×мм
213
Р и с 5.13. ²Экспериментальные² (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести балки при нестационарных режимах
нагружения:
1- М0=9×103 Н×мм; 2- М0=5.5×103 Н×мм; 3- М0=8×103 Н×мм; 4- М0=6×103 Н×мм
Как следует из рис. 5.7 – 5.13, наблюдается хорошее соответствие данных численного эксперимента традиционным методом и данных расчета по модели (5.39) – (5.40).
Рассмотрим и другой способ построения модели (5.39) на основании данных работ [60,62], где исследовалась ползучесть балки в
пределах первых двух стадий ( w = 0 ) и при отсутствии деформации
пластичности ( e p = 0 ). В [60,62] в качестве базовой информации для
построения обобщенной модели балки (5.39) использовались экспериментальные данные, приведенные на рис. 5.1 (точки). На основании этой информациим была осуществлена идентификация параметров модели (5.39) и сплошные линии на рис.5.1 соответствуют уже
расчету по обобщенной модели. На рис. 5.14 приведены результаты
расчета (сплошные линии) деформирования балки по обобщенной
модели (5.39) при переменных режимах нагружения; здесь же значками отмечены экспериментальные данные. Из приведенного примера видно, что и здесь наблюдается хорошее соответствие расчетных
(по обобщенной модели) и экспериментальных данных.
214
c p ×105 ,
мм-1
Р и с. 5.14. Экспериментальные (значки) и расчетные (сплошные линии) по
модели (5.34) обобщенные кривые ползучести балки в условиях чистого
изгиба при переменных законах изменения изгибающего момента:
цифры - величина упругой кривизны c y ×103
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что в рассматриваемых примерах ценой незначительной погрешности (например,
для балки из сплава ЭИ 698 максимальная погрешность по времени
до разрушения составляет 12%, а средняя относительная ошибка –
3,27%) удается двумерную задачу свести к одномерной, тем самым
на порядок сократив количество вычислений.
Рассмотренный подход описания эволюции балки при ползучести полезен в задачах оценки надежности по параметрическим критериям отказа, когда в качестве критерия отказа выступает, например, критическая величина кривизны балки.
5.6. Обобщенная модель неупругого деформирования и
разрушения толстостенной трубы при действии
внутреннего давления
В качестве еще одного примера применения предложенной
обобщенной модели (5.34), (5.35) рассматривается неупругое реологическое деформирование толстостенной трубы под действием внутреннего давления. Роль обобщенной силы q в данном случае играет
давление P, роль обобщенного перемещения e-окружная деформация
215
на внутренней поверхности трубы e q ,связанная c радиальным перемещением соотношением ur = r eq .
Так же, как и в предыдущем пункте, в качестве исходной информации для построения уравнений (5.34) и(5.35) служат кривая
упругопластического деформирования трубы в координатах q - e и
серия кривых ползучести при q0=const вплоть до разрушения, которые были получены численным решением (численный эксперимент)
соответствующей краевой задачи для трубы.
Решение краевой задачи для трубы приведено в разд. 4 (п.4.3).
Реализация изложенного метода осуществлялась численно шагами
по времени, при этом использовались определяющие соотношения
для материала при сложном напряженном состоянии вида (4.1) –
(4.11) и критерий разрушения (4.12). В качестве модельного примера
были построены соотношения (5.34), (5.35) для толстостенной трубы
из стали 12ХМФ при Т=5900С с внутренним радиусом R1 =13,87 мм
и внешним - R2 =16,37мм (вариант №3 из табл. 4.4)
Идентификация параметров модели для сложного напряженного
состояния для материала 12 ХМФ (Т=590 0С) была выполнена в
разд. 4 (п. 4.4) и их значения приведены в табл. 3.1 и 3.2.
Т а б л и ц а 5.3
Значения параметров модели (5.34), (5.35) для описания
деформации пластичности толстостенной трубы из стали
12ХМФ при Т=590°С
Т,
Материал
°С
12ХМФ 590
qпр,
MПа
25.5
a,
G,
MПа
MПа -n1
8064.5 4.56×10-5
n1
2.18
g1,
-1
MПа
3.25×10-2
A*p ,
MДж/м3
13.83
m2
0
На рис.3.15 и 3.16 на основе решения краевой задачи сплошными
линиями приведены результаты численного расчета диаграмм упругопластического деформирования для точки внутреннего радиуса в
координатах P0 - e q и кривые ползучести при стационарном нагружении при P0 = const , полученные решением соответствующей краевой задачи (численный эксперимент).
216
Т а б л и ц а 5.4
Значения параметров модели (5.34), (5.35) для описания
деформации ползучести толстостенной трубы из стали 12ХМФ
при Т=590°С
МаТ,
тери°С
ал
12
590
ХМФ
q* ,
MПа
k
28.45
0 2.754×10-5 -
c
n2
m
a1,
MПа -1-m1
m1
8.9
1.453×104
-3.5
aA,
MПа -1
3.38
mA
0
По данным, представленным на рис. 3.15 и 3.16, были определены все параметры обобщенной модели трубы (5.34), (5.35), которые
приведены в табл. 5.3 и 5.4.
Для сравнения на рис.5.15 штриховой и штрих-пунктирной линиями показаны рассчитанные по предложенной обобщенной модели
(5.34), (5.35) диаграммы упругопластического деформирования в координатах P0 - e q и P - e q соответственно ( P0 , P -истинное и номинальное давления.) На рис.5.16 штриховыми линиями представлены
P0, P, МПа
Р и с. 5.15. Диаграмма мгновенного деформирования для точки
на внутреннем радиусе толстостенной трубы из стали 12ХМФ
(Т=5900С):
- численный эксперимент (сплошная линия); модель (5.34) в координатах Р0 - eq (штриховая линия) и P - e q (штрих - пунктирная линия)
217
результаты расчета по модели (5.34), (5.40) неупругой реологической
деформации для стационарных режимов нагружения при P0 = const .
Адекватность модели (5.34), (5.40) была выполнена для нестационарных режимов нагружения. На рис.5.17 сплошные линии соответствуют данным численного решения краевой задачи о ползучести
толстостенной трубы (численный эксперимент), а штриховые - данным расчета по модели (5.34), (5.40). Как видно наблюдается хорошее соответствие данных численного эксперимента по традиционным методам и расчета по модели (5.34), (5.40).
Приведенный пример свидетельствует о том, что и в данном
случае ценой незначительных погрешностей удалось двумерную задачу свести фактически к одномерной модели.
Р и с. 5.16. Значения неупругой окружной деформации в процессе ползучести на внутреннем радиусе толстостенной трубы из стали 12ХМФ
(Т=5900С):
_______
численный эксперимент; --------модель (5.34), (5.35);
1 - P0 = 22,56; 2 - P0 = 22,5; 3 - P0 = 28, 45; 4 - P0 = 31, 4; 5 - P0 = 34,34 МПа
218
Р и с. 5.17. Значения неупругой окружной деформации в процессе ползучести на внутреннем радиусе толстостенной трубы из стали 12ХМФ
(Т=5900С) при сложных программах нагружения:
___
численный эксперимент; ----- модель (5.34), (5.35);
1 - P0 = 22, 56; 2 - P0 = 22, 5; 3 - P0 = 28, 45; 4 - P0 = 31, 4;
5 - P0 = 34,34 МПа
С точки зрения инженерной практики данный подход наиболее
полезен в задачах оценки остаточного ресурса трубопроводов по деформационным критериям отказа, т.к. величина eq (ur) легко диагностируется по изменению радиуса трубы в процессе ползучести.
5.7. Обобщенная модель неупругого деформирования и
разрушения толстостенной сферической оболочки при
ползучести
Целью настоящего пункта является развитие идей предыдущего
параграфа на случай толстостенной сферы под действием внутреннего давления, при этом получение необходимой информации для построения соответствующей обобщенной модели сферы также основано на решении соответствующей краевой задачи при постоянных
значениях внутреннего давления.
Изложим теперь методику решения краевой задачи для толстостенной сферической оболочки.
219
Предположим, что толстостенная сферическая оболочка с внутренним радиусом R1 и внешним — R2 под действием внутреннего
давления p(t) находится в условиях неупругого деформирования. Задача рассматривается в сферических координатах r, q , y , В силу
симметрии задачи деформации сдвига и касательные напряжения
равны нулю и она решается в главных осях, причем eq = ey ,
s q = sy .
Полные деформации e i ( i = r , q , y ) описываются соотношениями (4.1)–(4.12).
Уравнение совместности деформаций в силу симметрии задачи
записывается в виде
¶e
r q + eq = e r .
(5.50)
¶r
Из (5.50) и соотношений (4.1) имеем
¶e
r q + eq - er = g (r , t ),
(5.51)
¶r
где функция g(r,t) задается следующим образом:
¶q ö
æ ¶p
g ( r , t ) = pr + qr - pq - qq - r ç q + q ÷ .
(5.52)
¶
r
¶r ø
è
Из закона Гука
ì
s r0 - 2ms q0
;
ïer =
E
ï
ï
(1 - m )s r0 - ms q0
e
=
;
(5.53)
íq
E
ï
ïey = eq
ï
î
выражается величина
1+ m 0
eq - er =
s q - s r0 ) ,
(
E
с учетом которой уравнение (3.44) принимает вид
¶e 1 + m 0
r q +
(5.54)
(s q - s r0 ) = g (r, t ).
¶r
E
Дифференцируя второе уравнение (5.53) и подставляя его в
(5.54), получаем
220
¶s q0
¶s 0
- r m r + (1 + m ) (s q0 - s r0 ) = E × g ( r , t ),
¶r
¶r
из которого с учетом уравнения равновесия
¶s 0
r r + 2s r0 = 2s q0
(5.55)
¶r
находим дифференциальное уравнение относительно s r0 :
r (1 - m )
¶ 2s r0 4 ¶s r0
2 E g (r , t )
+
=
2
¶r
r ¶r 1 - m r 2
Решение уравнения (5.56) с граничными условиями
s r0
=0
= - p(t ), s r0
r = R1
r = R2
(5.56)
(5.57)
при фиксированном значении времени t записывается в виде:
2 E r g ( x, t )
2E 1 r 2
s r0 (r , t ) =
dx
x g ( x, t ) dx- p(t ) 3 (1 - m ) òR1 x
3(1 - m ) r 3 òR1
(r - R ) R
(R - R )r
r
æ 2 E R 2g ( x, t )
ö
2E 1
2
dx
x
g
(
x
,
t
)
dx
p
(
t
)
ç
÷ . (5.58)
3
ò
ò
3
3
3 ç
÷
3
1
m
x
3
1
m
r
(
)
(
)
R
R
2
1
è
1
1
ø
0
С учетом (5.58) из (5.55) находится выражение для s q :
3
-
3
1
s q0 (r , t ) =
3
2
r
2E
g ( x, t )
E
1
dx +
ò
3 (1 - m ) R1 x
3 (1 - m ) r 3
( 2r + R ) R
2(R + R ) r
r
ò x g ( x, t ) dx - p(t ) 2
R1
R
æ 2E
ö
g ( x, t )
E
1 2 2
dx
x
g
(
x
,
t
)
dx
p
(
t
)
+
ç
÷ .(5.59)
ò
3
3
3ç
÷
3 (1 - m ) r 3 òR1
2
1
è 3 (1 - m ) R1 x
ø
Соотношения (5.58) и (5.59) задают распределение напряжений
s r0 , s q0 по радиусу в зависимости от времени. Нетрудно видеть, что
при g(r, t)=0 они совпадают с упругим решением для толстостенной
сферы.
Численная реализация расчета кинетики напряженнодеформируемого состояния во времени и разрушения толстостенной
сферической оболочки под действием внутреннего давления p в условиях ползучести осуществлялась по хорошо известному методу
"шагами по времени", изложенному в п. 5.5. Временной интервал
разбивался на малые отрезки времени [ti , ti +1] с шагом D ti , внутри
которого внутреннее и внешнее напряженные состояния считались
3
3
1
3
2
R2
221
постоянными и соответствующими моменту t = ti . Приращения
компонент деформаций в конце отрезка при t = ti +1 находились по
формулам (4.1)–(4.11) по методу Эйлера. При этом интегралы в формулах (5.58) и (5.59) вычислялись по соответствующим квадратурным формулам численного интегрирования при каждом значении
времени t = ti , а для производных по радиусу использовались их конечно-разностные аппроксимации. Время до разрушения в соответствии с (4.12) определялось следующим образом: расчет продолжался до того момента времени t = t* , при котором в какой-либо точке
сферы выполнялось бы условие W(t* ) = 1 .
В случае упругопластического деформирования расчет происходит также "шагами по времени" (как при ползучести), но здесь время
рассматриватется как некоторое "внутреннее время", играющее роль
параметра нагружения. При этом сначала рассчитывается упругое
решение при t=0, а затем строится упругопластическое решение на
основании (4.1)–(4.4), (4.9)–(4.11) по аналогии с деформацией ползучести.
Еще раз следует отметить, что во всех формулах (5.50)–(5.59)
используются номинальные напряжения, тогда как реологические и
упругие деформации рассчитываются в соответствии (4.1)–(4.11) с
использованием истинных напряжений.
В качестве примера выполнено модельное численное исследование неупругого деформирования и разрушения толстостенной сферической оболочки из сплава ЭИ 698 при Т=700°С с внутренним радиусом R1 = 0.20 м и внешним — R 2 = 0.28 м при действии внутреннего давления p и температуре T=700 o C. Параметры модели материала (4.1) – (4.12) представлены в табл. 3.1 и 3.2.
Используя разработанную выше методику, была решена серия
краевых задач о ползучести и разрушении толстостенной сферической оболочки при постоянных давлениях, а также задача о упругопластическом разрушении сферической оболочки, при этом для упругопластической задачи в определяющих соотношениях (4.1)–(4.12)
было положено pij = 0 . В качестве примера на рис. 5.18 приведена
расчетная диаграмма "упругопластического деформирования" сферы
в координатах "перемещение внутреннего радиуса — давление". На
рис. 5.19 сплошными линиями приведены расчетные зависимости,
222
полученные решением краевой задачи,
для перемещения от
времени на внутреннем радиусе сферы,
вызванного деформациями ползучести
и
пластическими
деформациями, для
ряда
постоянных
значений давления
(численный эксперимент). Информация, представленная
на
рис.5.18
и
рис.5.19,
являлась
исходной для построения обобщенной модели сферической оболочки.
P0,
МПа
500
400
300
200
100
0
0,005
0,01 0,015 0,02 0,025 e, м
Р и с 5.18. ²Экспериментальная² (сплошная
линия) и расчетная (штриховая линия) диаграммы упругопластического деформирования толстостенной сферы из сплава ЭИ698
при Т=700°С
e, м
0,004
0,003
0,002
0,001
0
2000 4000 6000 8000 10000 12000
t, ч
Р и с 5.19. ²Экспериментальные² (сплошные линии) и расчетные
(штриховые линии) кривые ползучести толстостенной сферы при
стационарных режимах нагружения:
1-Р0=210МПа; 2- Р0=220 МПа; 3- Р0=250 МПа; 4- Р0=270 МПа; 5- Р0=290 МПа
223
Если в качестве внешней "обобщенной силы" взять внутреннее
давление, а в качестве "обобщенного перемещения" — перемещение
на внутреннем радиусе, то, как это следует из рис.5.18 и 5.19, наблюдается полная аналогия в эволюции сферы и одноосного образца при
растяжении в процессе ползучести и упругопластического деформирования. В связи с этим обобщенная модель реологического деформирования и разрушения толстостенной сферы как целого также
имеет вид (5.34), (5.35) .
В рассматриваемом случае роль обобщенной силы q играет давление р, роль обобщенного перемещения e — радиальное перемещение на внутренней поверхности сферы.
Как отмечалось выше, в качестве исходной информации для построения уравнений (5.34) и критерия (5.35) служат кривая упругопластического деформирования сферы в координатах e - q и серия
кривых ползучести при q0 = const вплоть до разрушения, которые в
настоящей работе получены численным решением соответствующей
краевой задачи и представлены на рис.5.18 и рис.5.19 сплошными
линиями. Используя эту информацию, по методике, изложенной в
разделе 3, были определены все параметры модели (5.34)–(5.35), значения которых представлены в таблицах 5.5 и 5.6.
Т а б л и ц а 5.5
Значения параметров обобщенной модели (5.34)–(5.35)
для описания деформации пластичности толстостенной
сферической оболочки из сплава ЭИ 698 при T=700 o C
qпр ,
МПа
212.1
224
E ×10 -5 , a, МПа - n1
n1
МПа
6.13
g1 ,
МПа
6.86 × 10-9
2.178
-1
3 × 10-3
A*p ,
m2
МДж/м 3
15.39
-0.609
Т а б л и ц а 5.6
Значения параметров обобщенной модели (5.34)–(5.35) для
описания деформации ползучести толстостенной сферической
o
оболочки из сплава ЭИ 698 при T=700 C
k
q* ,
МПа
lk ,
1
7.75
10-4
4.99
10-3
1.68
10-1
200
2
3
ч
-1
c
ak
bk
´10
´10
4.29
8.58
2.35
4.7
2.07
4.15
5
5
´108
n2
m
a1 ,
m1
МПа -1-
3.5 3.343 6.188 75.487 -0.923
aA ,
mA
МПа -1- mA
0.9
0
Для сравнения на рис.5.18 штриховыми линиями показаны рассчитанные по предложенной модели (3.34)–(3.35) диаграммы упругопластического деформирования в координатах p0 - e ( p0 — истинное давление). На рис. 5.19 штриховыми линиями представлены
результаты расчета кривых ползучести по модели (5.34)–(5.35) для
стационарных режимов нагружения при p0 = const . Адекватность
модели (5.34)–(5.35) с данными решения краевой задачи была выполнена для нестационарных режимов нагружения. На рис. 5.20 –
5.22 сплошные линии соответствуют данным численного решения
краевой задачи о ползучести толстостенной сферической оболочки
традиционным методом (численный эксперимент), а штриховые —
данным расчета по модели (5.34)–(5.35). Как следует из представленных рисунков, наблюдается соответствие данных численного эксперимента и расчета по модели (5.34)–(5.35). Максимальная ошибка по
времени до разрушения в рассматриваемом случае не превышает 8%,
а средняя относительная ошибка – 5,05%.
Приведенный пример свидетельствует о том, что и в этом случае
связь обобщенных перемещений с обобщенными нагрузками может
быть сформулирована соотношениями типа (5.34)–(5.35). Достоинством соотношений (5.34)–(5.35) является то, что существенно понижается размерность исходной краевой задачи, и, как следствие этого,
на порядок уменьшается количество вычислений. Краевую задачу
при этом необходимо решать лишь для нескольких стационарных
225
e, м
0,004
0,003
0,002
0,001
0
2000 4000
6000 8000 10000 12000
t, ч
Р и с. 5.20. ²Экспериментальные² (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести толстостенной сферы при нестационарных режимах нагружения:
1- Р0=190 МПа; 2- Р0=250 МПа; 3- Р0=210 МПа; 4- Р0=230 МПа;
5- Р0=200 МПа
e, м
0,003
0,002
0,001
0
1000
2000
3000
4000
5000
t, ч
Р и с. 5.21. ²Экспериментальные² (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести толстостенной сферы при нестационарных режимах нагружения:
226
1- Р0=190 МПа; 2- Р0=280 МПа; 3- Р0=220 МПа;
4- Р0=0 МПа; 5- Р0=210 МПа
e, м
0,003
0,002
0,001
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
t, ч
Р и с. 5.22. ²Экспериментальные² (сплошные линии) и расчетные
(штриховые линии) кривые ползучести толстостенной сферы при
нестационарных режимах нагружения:
1- Р0=190МПа, 2- Р0=270 МПа, 3- Р0=210 МПа, 4- Р0=230 МПа,
5- Р0=220 МПа, 6- Р0=280 МПа
режимов нагружения при p0 (t ) = const . При переменных режимах
нагружения нет необходимости в решении краевой задачи, а достаточно воспользоваться "одномерными" соотношениями (5.34)–(5.35).
Это немаловажный фактор с точки зрения оценки вычислительной устойчивости расчетных алгоритмов, так как при решении полных краевых задач с учетом времени приходится многократно пересчитывать одни и те же итерационные процедуры (реальные элементы конструкций, например, в энергетической промышленности в условиях ползучести эксплуатируются до 104 ¸ 105 часов).
Данный подход применительно к сфере также наиболее полезен
в задачах оценки остаточного ресурса сферических сосудов и оболочек по деформационным критериям отказа, т.к. величина радиального перемещения e может диагностироваться по изменению радиуса
сферической оболочки в процессе ее ползучести.
227
5.8. Обобщенная модель неупругого деформирования и
разрушения резьбового соединения при растяжении
Несмотря на достаточно большое число работ, посвященных исследованию резьбовых соединений, достоверной и приемлемой расчетной схемы решения этой задачи в условиях реологического неупругого деформирования и интенсивного накопления поврежденности
при ползучести с учетом деформаций пластичности в настоящее
время не разработано (даже на основе метода конечных элементов
(МКЭ) и современных пакетов типа ANSYS). В частности, в работе
[59] на основе модернизации расчетной схемы [16] предложен алгоритм декомпозиции резьбового соединения и метод численного решения задачи в пределах первых двух стадий ползучести, существенно снижающий объем вычислений по сравнению с прямым применением МКЭ. Однако обобщение этого метода на случай третьей
стадии ползучести и учета пластической деформации и разрушения в
[59] не приведено. Лобовое же решение данной задачи с использованием МКЭ сталкивается с большими трудностями при практической реализации алгоритма, которые диктуются особенностями процесса ползучести, длительность которого до разрушения для реальных эксплуатационных напряжений в элементах конструкций может
составлять десятки и сотни тысяч часов. Это обстоятельство приводит к колоссальным затратам машинного времени при реализации
задачи на ЭВМ и порождает чисто математические проблемы точности, устойчивости и сходимости расчетной конечно-элементной схемы, особенно для элементов конструкций, требующих большого
числа элементов в конечно-элементном разбиении, к которым и принадлежит резьбовое соединение.
В связи с вышеизложенным в настоящей работе ставится задача
построения феноменологической модели неупругого деформирования и разрушения резьбового соединения, для построения которой
специально спланированный эксперимент заменяет расчетную дискретную математическую схему. Таким образом, в настоящем пункте
иллюстрируется второй способ получения исходной информации, а
именно при помощи специальным образом спланированного эксперимента.
Следует отметить, что такой способ получения исходной информации рассматривался в работах [59, 63] в пределах первой и
второй стадий ползучести материала и без учета пластической де228
формации. В настоящем разделе этот подход обобщается на случай
учета третьей стадии, деформации пластичности и разрушения.
Объектом исследования в настоящем разделе являлось резьбовое
соединение типа стяжка (рис. 5.23). В качестве обобщенного перемещения здесь принималось перемещение Dl сечений на базе свинчивания l=20 мм, а обобщенной силы - растягивающее усилие Q
(рис 5.23). Связь между Dl и Q формулировалась на основе модели
(5.34) и имеет вид
Dl = Dle+Dlp + Dlc , Dlе=Q/G;
ì0, Q ( t ) £ Qпр ,
ï
Dl&p = í
n1
n1
é
ù é
ù
ïî l êë a ( Q ( t ) - Qпр ) - Dl p ( t ) úû × h êë a ( Q ( t ) - Qпр ) - Dl p ( t ) úû ,Q ( t ) > Qпр ;
Dlc = Dlu + Dlv + Dlw ;
S
n2
Dlu ( t ) = å Dluk ( t ), Dl&uk ( t ) = lk é ak ( Q ( t ) / Q* ) - Dluk ( t ) ù ;
ë
û
k =1
S
n2
n2
Dlv ( t ) = å Dlvk ( t ), Dl&vk ( t ) = lk ébk ( Q ( t ) / Q* ) - Dlvk ( t ) ù h ébk ( Q ( t ) / Q* ) - Dlvk ( t ) ù ;
ë
û
ë
û
k =1
Dl&w ( t ) = c ( Q ( t ) / Q* ) ;
m
Q = Q0 (1 + w ) ;
w& = g QDl&p + a QDl&c .
(5.60)
Здесь Dl - полное обобщенное перемещение; Dle, Dlp - упругая и пластическая компонента Dl; Dlс - компонента обобщенного перемещения, вызванная ползучестью; Dlu, Dlv, Dlw - вязкоупругая, вязкопластическая и вязкая составляющие Dlс; G - интегральная упругая податливость резьбового соединения; Q0 и Q соответственно номинальное и «фиктивное» (истинное) значение обобщенной нагрузки;
Qпр - предел пропорциональности на диаграмме упругопластического
деформирования резьбового соединения как целого; w - параметр
поврежденности; g, a, lк, aк, bк, c, n2, m, Q*, a, n1, l - константы, определяемые по методике, изложенной в разделе 3; h[…] - функция Хевисайда соответствующего аргумента.
Для определения времени до разрушения t* энергетический критерий разрушения по аналогии с (5.35) принимался в виде
229
t*
ò
0
Q ( t ) d Dl p ( t )
p
*
A
Q ( t ) d Dlc ( t )
= 1,
A*p ( Q0 )
0
t*
+ò
(5.61)
где A*p и A*c (Q0) - характеристики материала – критические величины работы фиктивной обобщенной нагрузки на обобщенных перемещениях, вызванных пластическим деформированием и деформированием от ползучести (соответственно).
Р и с 5.23. Схема резьбового соединения
Для экспериментальной проверки модели (5.60), (5.61) использовались резьбовые пары болт-гайка М8 из стали 45 (T=450°C) с
длиной свинчивания 20 мм (рис 5.23). Исследовалась ползучесть и
разрушение резьбового соединения в интервале нагрузок
9,8 кН£Q£11,76 кН. На рис 5.24 и 5.25 сплошными линиями показаны экспериментальная диаграмма упругопластического деформирования в координатах Q - Dl (осреднение в эксперименте производились по 2 реализациям) и кривые неупругого деформирования резьбового соединения в процессе ползучести (осреднение по 3 реализациям) соответственно при нескольких Q0=const. Крестиком отмечено
разрушение резьбового образца. Как видно из приведенных рисунков, их характер мало чем отличается от реологического поведения
образцов материала при одноосном испытании. Используя методику,
изложенную для одномерного случая в разд. 3, были определены параметры модели (5.60), (5.61) для резьбового соединения. Их численные значения приведены в табл. 5.7 и 5.8. Расчетные диаграммы упругопластического деформирования и кривые неупругого деформирования при ползучести резьбового соединения как целого по модели
230
(5.60), (5.61) с данными из табл. 5.7 и 5.8 представлены на рис. 5.24 и
5.25 штриховыми линиями. Как видно, наблюдается хорошее соответствие расчетных и экспериментальных данных. В частности,
средняя относительная ошибка отклонения экспериментальных значений времени до разрушения (tэ) от расчетных (tp)
D=
1 3 tэ - t p
å
3 i =1 t p
составила 11,1%.
Т а б л и ц а 5.7
Значения параметров модели для описания перемещений
от пластичности резьбового соединения из стали 45 при Т=450°С
G·10-2,
кН/мкм
Qпр,
кН
13,72
a,
(кН)-n1·мкм
5,28
g·106
n1
A*p ·10-4
кН·мкм
2,08
-1
(кН) ·мкм
2,7
2,31
2,17
Т а б л и ц а 5.8
Значения параметров модели для описания перемещений
от ползучести резьбового соединения из стали 45 при Т=450°С
Q*, кН к
lк,
-1
aк
bк
с
n2
m
ч
9,8
1 2,59 2,33 14,32 0,969 2,26
(кН) ·мкм
Ac*·10-3
кН·мкм
155
8,38
a·105,
-1
12,4
2 0,37 2,53 15,54
Разрабатываемый в этом разделе подход описания неупругого
деформирования резьбового соединения может быть с успехом применен в задачах определения запасов по плотности стыков в пакетах
детали, скрепляемых резьбовой парой гайка-болт, за счет учета релаксации напряжений, например для фланцевого соединения
(рис. 5.26).
Вопросу разработки методов решения краевой задачи для фланцевого соединения посвящено достаточное число работ (например
231
[16], [34], [118]), при этом в основном эти попытки сводятся к построению эквивалентной системы из одномерных стержней, реологические свойства которых отображают свойства соответствующих
элементов. Очевидно, что замена действительных элементов (особенно резьбовых пар) некоторыми эквивалентными стержнями является в определенной мере условной. Однако если характеристики
деформации каждого такого стержня полностью определяют закономерности ползучести данного элемента фланцевого соединения, то
подобная схематизация не вносит в расчет заметной погрешности.
Таким образом, решение задачи о напряженно - деформированном состоянии фланцевого соединения сводится к решению статически неопределимой стержневой системы и решается на основании
одномерной теории ползучести.
При таком подходе наиболее сложно решается задача о выборе
стержня, эквивалентного резьбовой паре. Реологические характеристики эквивалентных стержней могут быть получены, например, путем анализа экспериментальных или расчетных кривых ползучести
соответствующих резьбовых пар. В связи с тем, что условия нагружения витков резьбы отличны от условий одноосного нагружения
образца, реологические характеристики эквивалентного стержня
приобретают условный характер, так как они определяются не только свойствами самого материала, но и особенностями нагружения
элементов резьбы и их геометрии. Таким образом, для выбора
стержней эквивалентных резьбовым парам, необходимы расчетные
или экспериментальные кривые ползучести не самих материалов, а
резьбовых соединений из этих материалов.
Расчетный путь решения задачи о ползучести резьбовой пары,
несомненно, является более радикальным, чем экспериментальное
исследование ползучести в каждых конкретных условиях (материал,
температура, тип и размер резьбы, нагрузка и так далее). Однако при
существующем состоянии теоретических исследований в этой области использовать их в теоретических расчетах крайне затруднительно.
Причинами здесь являются крайне ограниченное число феноменологических теорий ползучести и длительной прочности при сложном
напряженном состоянии; существенные трудности проведения базовых экспериментальных исследований в области ползучести и длительной прочности; большой разброс данных по ползучести даже в
пределах одной плавки материала; существенная нелинейность реологических свойств современных материалов, составляющая величи232
ну порезка от 8 до 18, является причиной возмущений решений из-за
их чувствительности к геометрическим допускам витков резьбы и
так далее.
Поэтому самым надежным способом получения адекватных реологических характеристик эквивалентного стержня являются прямые
экспериментальные исследования резьбовой пары в упругопластической области и в области ползучести.
Таким образом, заменяя резьбовую пару в расчетной схеме эквивалентным стержнем, характеристики которого определяются соотношениями (5.60), (5.61), во многих случаях задачу о стяжке пакета деталей можно свести к расчету статически неопределимой
стержневой системы в условиях неупругого деформирования. С математической точки зрения сведение трехмерных краевых задач к
одномерным, несомненно, является положительным моментом.
Проиллюстрируем применение предложенной обобщенной модели для резьбового соединения на простейшей конструкции – фланцевого соединения (рис.5.26), элементом которого является пара
болт-гайка.
Р и с 5.24. Диаграмма упругопластического
деформирования резьбового соединения из
стали 45 при Т=450°С
233
3
2
1
Р и с 5.25. Экспериментальные (сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые ползучести резьбового соединения из стали 45 при
Т=450°С:
1-Q=9.8; 2-Q=11.27; 3-Q=11.76 кН
На рис. (5.26) 1,3 – скрепляемые детали, 2 – прокладка, 4 – гайка,
5- болт. Устройство такого рода встречается, например, в соединениях трубопроводов, корпусных деталей авиадвигателей и турбин (при
наличии шайб расчеты существенно
не усложняются).
В качестве конструктивных
элементов фланцевого соединения
выберем:
-систему болт-гайка;
-скрепляемые детали;
-прокладку.
Увеличение расстояния между
торцами болта и гайки может происходить за счет:
а) удлинения тела болта;
б) смятия торцев болта и гайки;
в)
деформации витков резьбы и
Р и с. 5.26. Фланцевое согайки.
единение
234
Учесть все эти факторы путем решения краевой задачи весьма
трудно. Однако с позиций использования обобщенных моделей элементов конструкций данная задача вполне разрешима. Для этого следует провести испытания готовой пары болт-гайка при нескольких
значениях растягивающей нагрузки F и на основании опытных данных (рис.5.27) строить определяющие реологические соотношения
вида
d1 ( t ) = A1 F ( t ) ,
(5.62)
где d1 – абсолютное удлинение системы болт-гайка; А1 – временной
оператор, который имеет вид (5.34), (5.35).
Скрепляемые детали сокращаются вследствие
а) смятия поверхности слоев;
б) деформации материала.
Для данного конструктивного элемента проводятся испытания
на сжатие скрепляемых деталей усилием F и получается серия кривых ползучести, по которым строится определяющее соотношение
d 2 ( t ) = - A2 F ( t ) ,
(5.63)
где d2 – удлинение деталей; А2 – также временной оператор типа
(5.34), (5.35). Таким же образом производится испытание прокладки
и находится
d 3 ( t ) = - A3 F ( t )
(5.64)
где d3 – удлинение прокладки; А3 – временной оператор типа
(5.34), (5.35).
При последующем агрегировании указанных конструктивных
элементов фланцевое соединение (рис. 5.26) схематично можно представить статически неопределимой системой (рис.5.28). Здесь Q –
внешняя сила, приложенная к фланцевому соединению, которая
считается зависящей от времени (в частности, Q может быть равна
нулю); S – усилие в стыке 1-2 (рис. 5.26); F – усилие в паре болтгайка.
Для раскрытия статической неопределимости системы необходимо иметь условие совместности удлинений. Очевидно, что оно
имеет вид
d1 - d2 - d = d0 ,
(5.65)
где d0 – удлинение от предварительного натяга.
235
б
F
а
F
в
Р и с. 5.27. Схема нагрузок (а), диаграмма упругопластического деформирования (б) и кривые ползучести (в) системы болт-гайка
а
б
Р и с. 5.28. Схематичное изображение фланцевого соединения в виде
статически неопределимой системы
236
Рассматривая сечение а – а (рис.5.28), получаем уравнение равновесия
Q + S – F = 0.
(5.66)
Решая совместно уравнения (5.62) – (5.65), можно рассчитать
как удлинения d1, d2, d3 , так и усилия S и F.
Таким образом, выполненные в настоящем пункте исследования
свидетельствуют о целесообразности применения предложенного
подхода к оценке деформирования и разрушения резьбового соединения в условиях ползучести для определенного класса технических
задач.
5.9. Компактное представление приближенных
аналитических решений краевых задач ползучести
с использованием обобщенной модели
Приведенные выше решения относились к случаю, когда векторы обобщенных нагрузок и обобщенных перемещений содержали по
одной координате.
Рассмотрим теперь пример, когда вектор обобщенных перемещений имеет более одной компоненты, а вектор обобщенных нагрузок содержит одну компоненту. В п. 5.4 отмечалось, что многомерность обобщенного вектора перемещений y ( x ) = {e1 ( t ) ,..., e z ( t )} в
виде (5.37) не вызывает принципиальных затруднений, так как отображения
e i ( t ) = Ai x ( t )
могут строиться независимо друг от друга.
В качестве замечания, подтверждающего выдвинутую гипотезу,
можно рассмотреть экспериментальные данные для тангенциальной
и осевой компонент деформаций ползучести при вращении ротора,
представленные на рис.5.4. Здесь также наблюдается полная
качественная аналогия поведения осевых и тангенциальных
деформаций поведению одноосного образца при растяжении, что
свидетельствует о возможности выбора в рамках одной конструкции
нескольких обобщенных перемещений для наблюдения.
Рассмотрим построение уравнений типа (5.34) для случая, когда
вектор обобщенных перемещений (5.37) имеет более одной координаты, на примере растяжения нагрузкой q полосы единичной толщины с симметричными выточками (четвертая ее часть представлена на
237
рис. 5.29) из сплава ЭИ 698 при Т=7000С в пределах первой и второй
стадий ползучести [195]. В качестве координат вектора y ( t ) в (5.37)
использовались компоненты тензора деформаций e ij .
Рис. 5.29. Конечноэлементное разбиение полосы с выточкой
В качестве исходной информации для конкретизации оператора
Ai в (5.38) являлись поля деформаций, полученные в результате численного решения по методу конечных элементов (МКЭ) (конечноэлементное разбиение представлено на рис. 5.29) при постоянных
значениях распределенной нагрузки q = {110,3;125;132,4;147,1;161,8}
МПа с последующей разгрузкой. Характеристики материала для
уравнений (4.1) – (4.11) в пределах первой и второй стадий взяты из
работы [98]: S = 2,
l1 = 0,2; l2 = 2,1;
n2 = 4,1;
m = 7,3;
c = 9,17 × 10-18 ;
a1 = 1,75 × 10-11 ;
a2 = 0,51 × 10-11 ;
b1 = 2,62 × 10-11 ;
b2 = 0,76 × 10-11 ; s * = 9,8 МПа. Следует отметить, что данные по ползучести этой партии материала отличаются от данных другой партии
для этого материала, приведенных в табл. 3.1 и 3.2.
Детальный анализ данных численного решения позволил конкретизировать (5.38) в виде
238
e ij = eij + pij ; eij = q / Gij ( x, y ) ;
pij = uij + vij + wij ;
ìuij ( x, y, t ) = å uijk ( x, y , t );
ïï
k
í
é
ù
éqù
ïu&ijk ( x, y , t ) = lk êaijk ( x, y ) j ê ú - U ijk ( x, y , t ) ú ;
ë q* û
ë
û
îï
ìvij ( x, y, t ) = å vijk ( x, y , t );
ïï
k
í
é
ù
éqù
ïv&ijk ( x, y , t ) = lk êbijk ( x, y ) j ê ú - Vijk ( x, y , t ) ú × H ijk [...] ;
ïî
ë q* û
ë
û
æqö
w& ij ( x, y, t ) = cij ( x, y )y ç ÷ ( i, j = 1,2 ) ,
è q* ø
(5.67)
é
ù
éqù
где H ijk [...] = H ijk êbijk ( x, y ) j ê ú - Vijk ( x, y , t ) ú - единичная функция
ë q* û
ë
û
Хевисайда, а все остальные обозначения имеют тот же смысл, что и в
(5.34) при e p = 0, w = 0 . При этом для функций j и y получены сле4,05
4,83
éqù æqö
éqù æqö
дующие
аппроксимации:
jê ú=ç ÷ ;
y ê ú=ç ÷
ë q* û è q* ø
ë q* û è q* ø
( q* =132,4 МПа). Таким образом, функции нагрузки j и y одинаковы для всех координат обобщенного перемещения. Это обстоятельство существенно упрощает обработку первичных кривых ползучести в режиме «нагрузка – разгрузка», т.к. для построения j и y достаточно обработать лишь данные для одной координаты вектора
e i ( x ) в (5.38).
После построения (5.67) для произвольных режимов нагружения
не нужно решать краевую задачу МКЭ, а достаточно воспользоваться соотношениями (5.67). В качестве примера на рис. 5.30 приведен
расчет деформации ползучести по (5.67) (штриховые линии) и для
сравнения сплошной линией – точный численный расчет по МКЭ для
четырех треугольных элементов разбиения №11, 31, 59, 74 (см.
рис. 5.29) при сложной программе нагружения.
239
p ×104
p ×106
py
3
px
6
px
2
4
py
pxy
1
0
20
40
2
pxy
t, ч
0
20
а
40
t, ч
б
p ×106
p ×106
py
6
px
4
pxy
2
6
px
4
2
py
0
20
40
в
t, ч
0
20
40
t, ч
г
Р и с. 5.30. Кривые ползучести компонент тензора деформации ползучести для выточки по данным численного эксперимента по МКЭ (сплошные линии) и по модели (5.67) (штриховые линии) для элементов
№ 11, 31, 59, 74 конечноэлементного разбиения:
1 – q= 110,3;2 - q=125; 3 - q=132,4; 4 - q=147,1; 5 - q=161,8 МПа
240
Зная кинетические соотношения (5.63), можно рассчитать и кинетику напряжений в заданной точке, не прибегая к МКЭ. Для этого
достаточно рассмотреть соотношение e ij ( t ) = eij + pij , где e ij и pij
определяются по (5.42), а eij выражается по закону Гука через обычные напряжения. Решая полученную систему относительно напряжений, находим:
E
s x ( t ) = éëe y ( t ) - p y ( t ) ùû m + e x ( t ) - px ( t )
,
1- m2
E
s y ( t ) = éëe x ( t ) - px ( t ) ûù m + e y ( t ) - p y ( t )
,
1- m2
E
t xy ( t ) = éëe xy ( t ) - pxy ( t ) ùû
.
2 (1 + m )
В частности, соответствующие расчеты для рассматриваемого
примера показали, что напряжения по предложенному методу и полученные по МКЭ отличаются не более, чем на 2-3 %.
Таким образом, приближенные компактные аналитические решения для краевых задач типа (5.63), (5.64) могут рассматриваться
как способ сжатия информации, обеспечивающий существенную
экономию памяти в соответствующем информационном банке, и
уменьшение затрат машинного времени на несколько порядков.
{
}
{
}
241
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
242
Або эль Ата Н.И., Финни И. Исследование законов суммирования поврежденности при ползучести // Теор. основы инженерных расчетов.
Тр. амер. общ. инж. мех. 1972. №3. С. 21-32.
Аршакуни А.Л. К выбору определяющих соотношений обратной ползучести металлов // Ползучесть и длительная прочность конструкций.
Куйбышев: Изд-во авиац. ин-та, 1986. С. 50-56.
Аршакуни А.Л. Учет неоднородности деформации в кинетических
уравнениях неустановившейся ползучести // Проблемы прочности.
1981. №5. С. 15-17.
Аршакуни А.Л. Использование обобщенной кинетической модели
ползучести и длительной прочности конструкционных металлических материалов для межотраслевой стандартизации // Унифицированные методы определения ползучести и длительной прочности. М.:
Изд-во стандартов, 1986. С. 38-50.
Арутюнян Р.А. О критериях разрушения в условиях ползучести //
Проблемы прочности. 1982. №9. С. 42-45.
Астафьев В.И. К вопросу о поврежденности и критериях разрушения
при ползучести // Проблемы прочности. 1983. №3. С. 11-13.
Астафьев В.И. Энтронитный критерий разрушения при ползучести
(рост вязких трещин) // Прочность и надежность конструкций. Куйбышев: Изд-во авиац. ин-та, 1981. С. 103 – 106.
Астафьев В.И. Описание процесса разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №4. С. 126 – 129.
Астафьев В.И., Григорьева Т.В., Пастухов В.А. Влияние поврежденности материала на напряженно – деформированное состояние в окрестности вершины трещины при ползучести // ФХММ. 1992. Т. 28.
№1. С. 5 – 11.
Астафьев В.И., Радев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика
разрушения. Самара: Самарский госуниверситет, 2001. 632 с.
Афанасьев Н.И. Статистическая теория усталостной прочности металлов. Киев: АН УССР, 1953. 123 с.
Бадаев А.Н. К вопросу об определении функции распределения параметров уравнения состояния ползучести // Проблемы прочности.
1984. №12. С. 22-26.
Балина В.С. Определение напряжений в корпусных деталях турбин с
учетом ползучести // Проблемы прочности. 1971. №10. С. 53 – 56.
Батдорф С.Б., Будянский Б.В. Математическая теория пластичности,
основанная на концепции скольжения // Механика. 1962. №1.
С. 135 – 155.
Баумштейн М.В., Бадаев А.Н. К вопросу определения области «лавинной» ползучести // Проблемы прочности. 1980. №5. С. 19-21.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Биргер И.А., Иосилевич Г.Б. Резьбовые соединения. М.: Машиностроение, 1973. 256 с.
Богуславский П.Я. О ползучести при кручении // Изв. АН СССР ОТН.
1956. №4. С. 151.
Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.:
Изд-во лит-ры по строительству, 1965. 208 с.
Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.:
Машиностроение, 1984. 312 с.
Болотин В.В., Гольденблат И.И. Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. М: Стройиздат, 1972. С. 4 – 64.
Болотин В.В., Москаленко В.Н. Задача об определении упругих постоянных микронеоднородной среды // Журнал прикл. мех. и техн.
физики. 1968. №1. С. 66 – 72.
Большанина М.А., Панин В.Е. Скрытая энергия деформаций // Исследования по физике твердого тела. Сб. статей / Отв. ред. М.А. Большанина. М.: Изд-во АН СССР, 1957. С. 193 – 234.
Бородин Н.А., Борщев Н.И. Экспериментальная оценка деформационного критерия длительной прочности // Проблемы прочности.
1972. №1. С. 22 – 26.
Брызгалин Г.И. Испытание на ползучесть пластинок из стеклопластика // Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1965. №1. С. 136-138.
Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973.
288 с.
Будянский Б.В., У – Тай – Те. Теоретическое предсказание пластических деформаций поликристаллов // Механика. 1964. №6.
С. 113-133.
Булыгин И.Н. и др. Атлас диаграмм растяжения при высоких температурах, кривые ползучести и длительной прочности сталей и сплавов для двигателей. М.: Оборонгиз, 1953. 173 с.
Бурлаков А.В., Львов Г.И. К вопросу о концентрации напряжений в
оболочках при ползучести // Прикладная механика. 1975. Т. 11. Вып.
2. С. 34 – 40.
Вакуленко А.А., Литов Ю.И., Чебанов В.М. О разрыхлении структуры
и прочности полимерных материалов // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175.
№3. С. 539 – 541.
Варшавский Д.П., Богуславский П.Я. и др. Моделирование деформированного состояния деталей сложной формы в условиях ползучести
// Теплоэнергетика. 1955. №5. С. 9 – 16.
Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевые задачи континуальной механики разрушения. Пермь Препринт / УрО РАН,
1992. 78 с.
243
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
244
Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого
деформирования и разрушения композиционных материалов. М.:
Наука, 1997. 288 с.
Волков С.Д. Функция сопротивления материалов и постановка краевых задач механики разрушения // УНЦ АН СССР. Ин-т металлургии. Препринт. Свердловск. 1986, 65 с.
Вольфсон А.С. Ползучесть и релаксация напряжений в шпильках
фланцевых соединений паровых турбин: Автореф. дисс. … канд.
техн. наук: Ленинград, 1965. 12 с.
Вудфорд Д.А. Повреждение при ползучести и концепция остаточной
долговечности // Теорет. основы инженерн. расчетов. 1979. Т. 101.
№4. С. 1-8.
Выборнов В.Г. Устойчивость консольных усеченных конических
оболочек, ослабленных отверстиями, при изгибе сосредоточенной
силой // Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. науч. тр.
Казан. гос. ун-т. 1979. Вып. 6 – 7. С. 139 – 147.
Выборнов В.Г., Саченков А.В. Теоретическое и экспериментальное
исследование устойчивости конических оболочек // Исследования по
теории пластин и оболочек. Вып. 6-7. Казань: Изд-во Казанского госуниверситета. 1970. С. 451 – 480.
Вялов С.С., Зарецкий Ю.К. и др. Прочность и ползучесть мерзлых
грунтов и расчеты ледогрунтовых ограждений. М.: АН СССР, 1962.
254 с.
Гераськов В.И. К обоснованию стержневой модели континуума для
плоского напряженного состояния // Строительная механика и расчет
сооружений. 1979. №3. С. 72-74.
Гецов Л.Б., Нигин А.А., Кабелевский М.Г., Кононов К.М. Прогнозирование термоциклической долговечности турбинных дисков по данным стендовых испытаний // Проблемы прочности. 1982. №8.
С. 61 – 66.
Голуб В.П. Поврежденность и одномерные задачи разрушения в
условиях циклического напряжения // Прикладная механика. 1987. Т.
23. №10. С. 19-29.
Голубовский Е.Р. Длительная прочность и критерий разрушения при
сложном напряженном состоянии сплава ЭИ 698 ВД // Проблемы
прочности 1984. №8. С. 11-17.
Гольденблат И.И., Бажанов В.Л., Копнов В.А. Длительная прочность
в машиностроении. М.: Машиностроение, 1977. 248 с.
Горев Б.В., Цвелодуб И.Ю. Применение энергетических уравнений
ползучести к расчету толстостенной цилиндрической трубы // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН
СССР, 1974. Вып. 17. С. 99-105.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
Горев Б.В., Заев В.В. К определению координат характеристической
точки в элементах конструкций при ползучести // Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов. Ин-т гидродинамики СО АН СССР.
1977. Вып. 28. С. 143 – 151.
Горев Б.В. К оценке ползучести и длительной прочности элементов
конструкций мо методу характеристических параметров. Сообщение
1 // Проблемы прочности. 1979. №4. С. 30 – 36.
Горев Б.В., Клопотов И.Д. Описание процесса ползучести и разрушения при изгибе балок и кручении валов уравнениями со скалярными
параметрами поврежденности // ПМТФ. 1999. Т. 40. №6. С. 157 – 162.
Гохфельд Д.А., Садаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов
конструкций при повторном нагржении. М.: Машиностроение, 1984.
256 с.
Гуляев В.Н., Колиниченко М.Г. К оценке долговечности в процессе
ползучести при ступенчатом изменении нагрузки // Заводская лаборатория. 1963. №6. С. 748-752.
Даниловская В.Н., Иванова Г.М., Работнов Ю.Н. Ползучесть и
релаксация хромомолибденовой стали // Изв. АН СССР. ОТН.
1955. №5. С. 102 – 107.
Дачева М.Д., Локощенко А.М., Шестериков С.А. Модельное представление предельной деформации при ползучести // Журн. прикл.
мех. и техн. физики. 1984. №4. С. 139-142.
Добелис М.А. Деформативные свойства деминерализованной костной
ткани человека при растяжении // Механика полимеров. 1978. №4.
С. 101 – 108.
Долгопольский А.А., Чудковский А.И. К вопросу о статистических
закономерностях длительной прочности образцов // Тр. Ленингр.
инж. строит. ин-та. Ленинград: ЛИСИ, 1974. №93. С. 91 – 102.
Дубровина Г.И., Соковкин Ю.П., Гуськов Ю.П. и др. К теории накопления повреждений // Проблемы прочности. 1975. №2. С. 21 – 24.
Елисеева Е.Е., Самарин Ю.П. Применение теории управления к решению задачи о равновесии реономной среды методом конечных
элементов в условиях плоского напряженного состояния // Математическая физика. Куйбышев: Изд-во авиац. ин-та, 1979. С. 107 – 112.
Елисеева Е.Е. Прогнозирование надежности толстостенной трубы под
действием внутреннего давления // Ползучесть и длительная прочность конструкций. Куйбышев: КптИ, 1986. С. 113-116.
Еремин Ю.А. Дискретное и континуальное агрегирование в конструкциях при ползучести // Теоретико – экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях. Куйбышев: Изд-во авиац. инта, 1984. С. 41-56.
245
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
246
Еремин Ю.А. Применение многоуровневой схематизации к расчету
елочных замков лопаток турбин // Ползучесть и длительная прочность конструкций. Куйбышев: Изд-во авац. ин-та, 1986. С. 99-108.
Еремин Ю.А. Разработка методов построения реологических моделей
элементов конструкций. Дисс. … докт. техн. наук. Куйбышев, 1986,
294 с.
Еремин Ю.А., Кайдалова Л.В., Радченко В.П. Исследование ползучести балок на основе аналогии структуры уравнения состояния материала и элементов конструкций // Машиноведение. 1983. №2.
С. 67-64.
Еремин Ю.А., Кайдалова Л.В. Применение теории управления к исследованию ползучести при кручении толстостенных цилиндров //
Прочность и надежность конструкций. Куйбышев: Куйб. авиац. ин-т,
1981. С. 89 – 95.
Еремин Ю.А., Радченко В.П. Метод расчета ползучести балок при нестационарном изменении изгибающего момента с учетом индивидуальных деформационных свойств // Прочность и долговечность элементов конструкций. Куйбышев: Изд-во авиац. ин-та, 1983. С. 3-12.
Еремин Ю.А., Самарин Ю.П. Применение теории управления к исследованию ползучести конструкций // Деформация и разрушение
теплостойких сталей и сплавов: Материалы конф. (20 – 22 янв. 1981.
г.) М.: Общество «Знание» РСФСР, 1981. С. 118 – 122.
Жуков А.М. Деформирование малоуглеродистой стали при фиксированных скоростях нагружения // Проблемы прочности. 1974. №12.
С. 26-30.
Жуков А.М. Ползучесть металлов при комнатной температуре после
малой частичной нагрузки // Прочность, пластичность и вязкоупргость материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986.
С. 64-68.
Закономерности ползучести и длительной прочности. Справочник
(под редакцией Шестерикова С.А.). М.: Машиностроение, 1983. 101с.
Зарубин В.С. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1985. 294 с.
Зарубин Е.С. Модели неизотермической пластичности и ползучести //
Материалы Всес. симпоз. по малоцикл. усталости при повышенных
температурах. Вып. 1. Челябинск: Челяб. политех. ин-т, 1974.
С. 58 – 78.
Зарубин В.С., Кадашевич Ю.И., Кузьмин М.А. Описание ползучести
металлов при помощи структурной модели // Прикладная механика.
1977. Т.13. №9. С. 10-13.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
Зарубин В.С., Поляков А.А. Исследование взаимного влияния мгновенной пластической деформации и ползучести при помощи модели
неизотермического деформирования поликристаллического материала // Тепловые напряжения в элементах конструкций: Респ. межв. сб.
Киев: Наук. думка. 1975. Вып. 15. С. 65 – 70.
Зверьков Б.В. Длительная прочность труб при сложных нагрузках //
Теплоэнергетика. 1958. №3. С. 51-54.
Ибрагимов В.А., Клюшников В.Д. Некоторые задачи для сред с падающей диаграммой // Изв. Ан СССР. МТТ. 1971. №4. С. 116 – 121.
Иванова В.С., Ермишкин В.А. К теории высокотемпературной ползучести металлов // Структура и свойства жаропрочных металлических
материалов. М.: Наука, 1973. С. 62-70.
Ильюшин А. А. Об одной теории длительной прочности // Изв. АН
СССР. МТТ. 1967. №3. С. 21-35.
Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности и ползучести
металлов, учитывающая микронапряжения // Изв. АН СССР. МТТ.
1981. №5. С. 99-110.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Об учете микронапряжений в теории пластичности // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. №3. С. 82-91.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Обобщенная теория упрочнения //
Докл. АН СССР. 1980. Т. 254. №5. С. 1096 – 1098.
Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности и ползучести, учитывающая наследственные свойства и влияние скорости пластического нагружения на локальный предел текучести материалов //
Докл. АН СССР. 1978. Т. 238. №1. С. 36-38.
Кадашевич Ю.И., Мосолов А.Б. Эндохронные теории пластичности,
основные положения, перспективы развития // Изв. АН СССР. МТТ.
1989. №1. С. 161 – 168.
Кайдалова Л.В. Исследование ползучести толстостенных цилиндров
при кручении теоретико – экспериментальных методом // Ползучесть
и длительная прочность. Куйбышев: Изд-во авиац. ин-та, 1986.
С. 116 – 123.
Кайдалова Л.В. Исследование ползучести сплава ХН73МБТЮ (ЭИ
698) при нестационарных температурах // Теоретико – экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях. Куйбышев:
Изд-во авиац. ин-та, 1984. С. 94 – 100.
Кан К.Н., Реутов А.И., Реутов Ю.И., Фишко И.Н. Прогнозирование
надежности изделий из полимерных композитных материалов для
условий ползучести и релаксации напряжений // Механика композитных материалов. 1987. №4. С. 734 – 738.
Каптелин Ю.Н. Экспериментальное исследование влияния кратковременной пластической деформации на установившуюся ползучесть
247
титанового сплава ВТ – 6 при одноосном растяжении // Журн. прикл.
мех. и техн. физики. 1969. №3. С. 179 – 183.
85. Карковский Ю.И., Мешков С.И. Периодическое возбуждение в теории отклика // Механика деформируемого твердого тела. Вып. 1.
Куйбышев: Изд-во Куйбышевского госуниверситета, 1975. С. 5-10.
86. Карташов Ю.М., Матвеев Б.В., Михеев Г.В., Фадеев А.Б. Прочность
и деформируемость горных пород. М.: Недра, 1979. 269 с.
87. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы.
М.: Мир, 1982. 216 с.
88. Кац Ш.Н. Исследование длительной прочности углеродистых труб //
Теплоэнергетика. 1955. №11. С. 37 – 40.
89. Кац Ш.Н. Разрушение аустенитных труб под действуем внутреннего
давления в условиях ползучести // Энергомашиностроение. 1957. №2.
С. 1 – 5.
90. Кац Ш.Н. Влияние добавочных осевых усилий на длительную прочность котельных труб // Теплоэнергетика. 1960. №5. С. 12 – 16.
91. Качанов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв.
АН СССР. ОТН. 1958. №8. С. 26 – 31.
92. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.
93. Качанов Л.М. Теория ползучести. М.: Физматгиз, 1960. 455 с.
94. Кашелкин В.В., Локощенко А.М., Мякотин Е.А., Шестериков С.А.
Сплющивание цилиндрической оболочки в условиях ползучести. Методика и экспериментальная проверка // Изв. АН СССР. МТТ. 1974.
№1. С. 155 – 158.
95. Киселевский В.Н. Вариант кинетического уравнения ползучести //
Проблемы прочности. 1982. №1. С. 93 – 96.
96. Киселев А.В. Влияние вида напряженного состояния на разрушение и
ползучесть // Физика и электроника твердого тела: Ижевск, 1976.
Вып. 1. С. 35 – 41.
97. Киялбаев Д.А., Чудновский А.И. О разрушении деформируемых тел //
Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1970. №3. С. 105 – 110.
98. Клебанов Я.М., Кокорев И.А. Методика определения параметров
неупргого реономного деформирования // Заводская лаборатория.
1985. №4. С. 80-83.
99. Клебанов Я.М., Сорокин О.В. Приближенный метод решения задач
нелинейной наследственной теории ползучести // Машиноведение.
1985. №6. С. 90-95.
100. Клебанов Я.М. Нелинейная наследственная ползучесть и оптимальное
проетирование некоторых элементов конструкций // Изв. ВУЗов.
Машиностроение. 1984. №7. С. 13 – 17.
101. Клебанов Я.М., Давыдов А.Н. Параллелизация задач установившейся
ползучести при степенной зависимости между напряжениями и ско248
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
ростью деформаций // Вестник СамГТУ. Серия: Физ. – мат. науки.
1999. Вып. 7. С. 38 – 50.
Клебанов Я.М., Давыдов А.Н. Многоуровневая декомпозиция конструкций методом аппроксимирующих моделей // Численные и аналитические методы расчета конструкций. Труды междун. конф. Самара:
СамГСА, 1998. С. 92 – 96.
Ковпак В.И. К вопросу о достоверном определении начала ускоренной стадии ползучести // Проблемы прочности. 1973. №12. С. 135 –
137.
Ковпак В.И. Методы прогнозирования длительной прочности и ползучести металлических материалов на большие сроки службы. Автореф. дисс. … д-ра техн. наук. Киев. 1979. 54 с.
Ковпак В.И., Бадаев А.Н. Унифицированный подход к прогнозированию ползучести. Вопросы жаропрочных материалов в статическом
аспекте // Унифицированные методы определения ползучести и длительной прочности. М.: изд-во стандартов. 1986. С. 51 – 62.
Колмогоров В.Л. и др. Пластичность и разрушение. М.: Металлургия,
1977. 336 с.
Коноплев Ю.Г. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием // Исследование по теории пластин и оболочек. Вып. 6-7. Казань: Изд-во
Казанского госуниверситета, 1970. С. 481 – 483.
Коноплев И.Г. Саченков А.В. Изгиб и устойчивость прямоугольной в
плане цилиндрической панели под действием локального поперечного давления // Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. научн. тр. Казан. гос. ун-т, 1981. Вып. 16. С. 111 – 124.
Куршин Л.М. Устойчивость при ползучести // Изв. АН СССР. МТТ.
1978. №3. С. 125 – 160.
Лагунцов И.П., Святославов В.К. Испытание пароперегревательных
труб из стали 12ХМФ на длительную прочность // Теплоэнергетика.
1959. №7. С. 55 – 59.
Ларсон, Стораккерс. Описание некоторых зависящих от времени неупругих свойств стали с помощью параметров состояния // Теор. основы инж. расчетов. 1978. №4. С. 64 – 72.
Лебедев А.А. Экспериментальное исследование длительной прочности хромоникелевой стали в условиях двухосного растяжения // Термопрочность материалов и конструкционных элементов. Киев: Наукова Думка, 1965. С. 77 – 83.
Лебедев А.А., Марусий О.И., Чаусов Н.Г., Зайцева Л.В. Исследование
кинетики разрушения материалов на заключительной стадии
деформирования // Проблемы прочности. 1982. №1. С. 12 – 18.
249
114. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г. Установка для испытания материалов с по-
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
250
строением полностью равновесных диаграмм деформирования //
Проблемы прочности. 1981. №12. С. 104 – 106.
Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Евецкий Ю.П. Методика построения полных диаграмм деформирования листовых материалов // Проблемы
прочности. 1986. №9. С. 29 – 32.
Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Марусий О.И. и др. Кинетика разрушения
листовой аустенитной стали на заключительной стадии деформирования // Проблемы прочности. 1989. №3. С. 16 – 21.
Леметр Дж., Плантри А. Применение понятия поврежденности для
расчета разрушения в условиях одномерной усталости и ползучести //
Теор. основы инж. расчетов. 1979. Т. 101. №3. С. 124 – 134.
Лепин Г.Ф. Ползучесть металлов и критерии жаропрочности . М.:
Металлургия, 1976. 345 с.
Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.:
Наука, 1972. 574 с.
Либерман Л.Я., Пейсихис М.И. Справочник по свойствам сталей, применяемых в котлотурбостроении. М.: Машгиз, 1958. 302 с.
Либерман Л.Я. Релаксационная стойкость при растяжении и кручении сталей ЭИ 612 и 20 ХНД // Металловедение и термическая обработка металлов. 1962. №4. С. 6 – 9.
Лившиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К Теории упругих свойств
поликристаллов // Журнал эксперимент. и техническ. физики. 1946.
Т. 16. Вып. 11. С. 967 - 972.
Логинов О.А. Распространение фронта разрушения в толстостенной
трубе в условиях ползучести // Надежность и прочность машиностроительных конструкций. Куйбышев: Изд-во авиац. ин-та, 1981.
С. 61 - 67.
Локощенко А.М., Шестериков С.А. Методика описания ползучести и
длительной прочности при чистом растяжении // Журн. прикл. мех. и
техн. физики. 1980. №3. С. 155 – 159.
Локощенко А.М., Шестериков С.А. К проблеме оценки длительной
прочности при ступенчатом нагружении // Журн. прикл. мех. и техн.
физики. 1982. №2. С. 139 – 143.
Локощенко А.М., Наместникова И.В. Описание длительной прочности при ступенчатом нагружении // Проблемы прочности. 1983. №1.
С. 9 – 13.
Локощенко А.М., Шестериков С.А. Модель длительной прочности с
немонотонной зависимостью деформации при разрушении от напряжения // Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1982. №1.
С. 160 – 163.
128. Локощенко А.М., Мякотин Е. А., Шестериков С.А. Ползучесть и дли-
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
тельная прочность стали 12Х18Н1ОТ в условиях сложного напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №4. С. 87 – 94.
Локощенко А.М., Шестериков С.А. Стандартизация критериев длительной прочности // Унифицированные методы определения ползучести и длительной прочности. М.: Изд-во стандартов, 1986. С. 3 –
15.
Локощенко А.М. Длительная прочность металлов при сложном напряженном состоянии // Проблемы прочности. 1983. №8. С. 55 – 59.
Ломакин В.А. О деформировании микронеоднородных тел // Прикладная математика и механика. 1965. №2. С. 139 – 143.
Малинин Н.И. Определение деформационных и прочностных характеристик композиционных материалов по испытаниям на кручение
сплошных цилиндрических образов // Тезисы докл. 5 Всесоюзн.
конф. по композиционным материалам (выпуск 2). М.: Изд-во МГУ,
1981. С.20.
Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.:
Машиностроение, 1975. 400 с.
Малинин Н.Н. Основы расчета на ползучесть. М.: Машгиз, 120 с.
Марина В.Ю. Неупругое деформирование деталей, работающих в условиях высоких температур // Повышение прочности деталей с/х техники. Кишенев: Изд-во КСХИ, 1983. С. 75 – 81.
Марина В.Ю. Уравнение состояния микронеоднородного тела при
неизотермическом процессе деформирования // Теоретико - экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях. Куйбышев: Куйб. авиац. ин-т, 1984. С. 180 – 190.
Масленников В.Г., Лавендел Э.Э. Энтропийный критерий долговечности силовых резинотехнических деталей // Механика полимеров.
1975. №2. С. 241 – 247.
Махутов Н.А., Левин О.А. Уравнения состояния и расчет на малоцикловую прочность // Уравнения состояния при малоцикловом нагружении / Под. общ. редакцией Н.А. Махутова. М.: Наука. 1981.
С. 5 – 24.
Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981. 272 с.
Мерцер А.М. Применение обобщенных уравнений состояния установившейся и неустановившейся ползучести // Теор. основы инж. расч.
1982. №1. С. 21 – 29.
Милейко С.Т. Длительная прочность конструкционных материалов
при сложном напряженном состоянии // Докл. АН СССР. 1976.
Т. 288. №3. С. 562 – 565.
Москвитин В.В. Пластичность при переменных нагружениях. М.:
Изд-во МГУ, 1965. 263 с.
251
143. Мосолов А.Б. Эндохронная теория пластичности. Предпринт № 358.
М.: Институт проблем механики АН СССР, 1988. 44 с.
144. Муратова Л.А. Оценка работоспособности турбинных дисков в усло-
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
252
виях ползучести с помощью теоретико – экспериментального метода
при нестационарном нагружении // Ползучесть и длительная прочность. Куйбышев: Куйб. авиац. ин-т, 1986. С. 108 – 113.
Мухина Л.Г. Вычисление характеристик ползучести по опытным данным с применением метода непараметрического выравнивания //
Теоретико – экспериментальный метод исследования ползучести в
конструкциях. Куйбышев: Куйб. авиац. ин-т, 1984. С. 86 – 94.
Наместников В.С. О ползучести алюминиевого сплава при переменных нагрузках // Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1964. №2. С. 99 –
105.
Наместникова И.В., Шестериков С.А. Векторное представление параметра поврежденности // Деформирование и разрушение твердых
тел. М.: МГУ, 1985. С. 43 – 52.
Наместникова И.В., Шестериков С.А. Применение векторной характеристики поврежденности к расчету на прочность диска и толстостенной трубы в условиях ползучести // Деформирование и разрушение твердых тел. М.: МГУ, 1985. С. 53 – 67.
Наумов С.М., Поспелов И.И. Экспериментальное исследование неустановившейся ползучести круглых пластин при изгибе // Ученые
записки ЦАГИ. 1981. Вып. 12. №5. С. 97 – 105.
Несмеянов А.С., Садаков О.С. Структурная модель неупругой разрушающейся среды // Проблемы прочности. 1985. №5. С. 20 – 24.
Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических
материалов. Новосибирск: НГАСУ, 1997. 278 с.
Никитенко А.Ф., Заев В.А. К расчету элементов конструкций с учетом повреждаемости материала в процессе ползучести // Проблемы
прочности. 1979. №4. С. 20 – 25.
Никитин Л.В., Рыжак Е.И. Об осуществимости состояний материала, соответствующих «падающему» участку диаграммы // Изв. АН
СССР. МТТ. 1986. №2. С. 155 – 161.
Никольский В.В., Никольская Т.Н. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983. 304 с.
Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении // Прикладная
математика и механика. 1965. Т. 29. №4. С. 681 – 689.
Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. Л.: Машиностроение. Ленинградское отделение,
1990. 223 с.
Носов С.А. Проектировочный расчет прогибов балок при ползучести
// Вопросы прочности материалов и конструкций. Сб. научн. тр. Новосибирск. электротехнич. ин-т. 1969. Вып. 1. С. 136 – 141.
158. Носов С.А., Равикович А.И. Изгиб кессонов в условиях неустановив-
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
шейся ползучести // Известия Вузов. Авиационная техника. 1970. №4.
С. 43 – 48.
Образцов И.Ф. Современные проблемы создания сложных инженерных конструкций // Научные основы прогрессивной технологии: Сб.
статей. М.: Машиностроение, 1982. С. 52 – 96.
Осасюк В.В. Прогнозирование остаточного ресурса материала элементов конструкций энергетического оборудования после длительной эксплуатации / Автореф. дисс. … д-ра техн. наук. Киев, 1987.
33 с.
Охаси Е., Каваи М., Момосе Т. Влияние предварительной пластической деформации на последующую ползучесть нержавеющей стали
Э16 при повышенной температуре // Теоретич. основы инжен. расчетов. 1986. Т. 108. №1. С. 99 – 112.
Павлов П.А., Курилович Н.Н. Длительное разрушение жаропрочных
сталей при нестационарном нагружении // Проблемы прочности.
1982. №2. С. 44 – 47.
Павлов П.А. Несущая способность соединений стальных обоблочек
вращения: Дисс. … докт. техн. наук. Ленинград, 1965. 235 с.
Пежина П. Моделирование закритического поведения и разрушения
диссипативного твердого тела // Теорет. основы инжен. расч. 1984.
Т. 106. №4. С. 107 – 117.
Перец И.М., Щур Л.И. Модель разрушения материала при высокотемпературной ползучести и ее реализация на ЭВМ // Точность и надежность механических систем. Стохастический анализ определяющих параметров. Рига: Рижский политехн. ин-т, 1987. С. 125 – 136.
Перец И.М., Щур Л.И. Математические модели накопления повреждений при длительной высокотемпературной ползучести // Точность
и надежность механических систем. Параметрические методы диагностики. Рига: Рижский политехн. ин-т, 1988. С. 92 – 98.
Первозванский А.А., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и
приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. 344 с.
Планк М. Принципы сохранения энергии. М. – Л.: ГОНТИ, 1938.
325 с.
Победря Б.Е. О моделях поврежденности реономных сред // Изв.
РАН. МТТ. 1998. №4. С. 128 – 148.
Поспелов И.И., Наумов С.М. Исследование неустановившейся
ползучести круглых пластин при изгибе // Проблемы прочности.
1982. №1. С. 96 – 101.
Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев В.К. и др. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979.
287 с.
253
172. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Иностр.
литература. 1956. 442 с.
173. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М: Наука, 1966.
752 с.
174. Работнов Ю.Н., Милейко С.Т. Кратковременная ползучесть. М.: Нау-
ка, 1970. 224 с.
175. Работнов Ю.Н. О механизме длительного разрушения // Вопросы
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
254
прочности материалов и конструкций. Сб. научн. тр. М.: Изд-во АН
СССР. 1959. С. 5 – 7.
Радаев Ю.Н. Тензорные меры поврежденности и гармонический анализ тонкой структуры поврежденности // Вестн. Самарского гос. унта. Самара, 1998. №2 (8). С. 79 – 105.
Радченко В.П. Об одной структурной реологической модели нелинейно – упругого материала // Прикладная механика. 1990. Т. 26. №6.
С. 67 – 74.
Радченко В.П. Энергетический вариант одноосной теории ползучести
и длительной прочности // Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1991.
№4. С. 172 – 179.
Радченко В.П. Энергетический подход к прогнозированию ползучести и длительной прочности материалов в стохастической постановке
// Проблемы прочности. 1992. №2. С. 34 – 40.
Радченко В.П., Самарин Ю.П. Структурная модель стержневого типа
для описания одноосной пластичности и ползучести материалов //
Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С. 109 – 115.
Радченко В.П., Кузьмин С.В. Структурная модель накопления повреждений и разрушения металлов при ползучести // Проблемы прочности. 1989. №10. С. 18 – 23.
Радченко В.П., Самарин Ю.П. Влияние ползучести на величину упругой деформации слоистого композита // Механика композитных
материалов. 1983. №2. С. 231 – 237.
Радченко В.П., Самарин Ю.П. Влияние ползучести на обратимость
упругой деформации статически определимой стержневой системы
как целого // Прочность и надежность конструкций. Куйбышев: Куйб.
авиац. ин-т, 1981. С. 75 – 80.
Радченко В.П., Кузьмин С.В. Обоснование уравнений ползучести материалов с помощью структурной модели стержневого типа // Теоретико – экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях. Куйбышев: Куйб. авиац. ин-т, 1984. С. 75 – 85.
Радченко В.П., Самарин Ю.П. Структурная (стержневая) модель одноосной пластичности и ползучести металлов, учитывающая микронапряжения // Тезисы докл. областной н.-т. конф. «60-летию СССР -
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
ударный труд, знания, инициативу и творчество молодых». Куйбышев. 1983. С. 19 – 20.
Радченко В.П., Кузьмин С.В. Структурно – математическое моделирование влияния предварительной пластической деформации на последующую ползучесть металлов // Физика прочности и пластичности металлов и сплавов. Тезисы докл. Всесоюзн. научн.-техн. конф.
Куйбышев, 1987. С. 387.
Радченко В.П., Самарин Ю.П., Хренов С.М. Определяющие уравнения для материалов при наличии трех стадий ползучести // Докл. АН
СССР. 1986. Т. 288. №3. С. 571 – 575.
Радченко В.П., Кичаев Е.К. Феноменологическая реологическая содель и критерий разрушения металлов при одноосном напряженном
состоянии // Проблемы прочности. 1991. № 11. С. 13 - 19.
Радченко В.П., Небогина Е.В. Моделирование неупругого деформирования и разрушения материалов на основании структурной модели
// Численные и аналитические методы расчета конструкций. Труды
международной конференции. Самара, 1988. С. 82 – 86.
Радченко В.П., Панферова Е.В. Структурная математическая модель
упругопластического деформирования и разрушения металлов в одноосном случае // Вестник СамГТУ. Серия: Физ. – мат. науки. Вып. 4.
1996. С. 78 – 84.
Радченко В.П., Симонов А.В. Разработка автоматизированной системы построения моделей неупругого деформирования металлов на основе методов непараметрического выравнивания экспериментальных
данных. Вестник СамГТУ. Серия: Физ. – мат. науки. Вып. 7. 1999.
С. 51 – 63.
Радченко В.П., Небогина Е.В. Численное исследование влияния пластической деформации на деформацию ползучести на основании
структурной модели // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой межвузовской конференции. Часть 1. Самара:
СамГТУ, 1997. С. 116 – 120.
Радченко В.П. Математическая модель неупругого деформирования и
разрушения металлов при ползучести энергетического типа // Вестник СамГТУ. Серия: Физико - математические науки. Вып. 4. 1996.
С. 43 – 63.
Радченко В.П., Кубышкина С.Н. Математическая модель реологического деформирования и разрушения тостостенной трубы // Вестн.
СамГТУ. Серия: Физ. – мат. науки. 1998. Вып. 6. С. 23 – 34.
Радченко В.П. Компактное представление напряженно деформированного состояния в точке при решении краевых задач
реологии // Прочностные и динамические характеристики машин и
конструкций. Сб. научн трудов. Пермь: ПГТУ, 1994. С. 46 – 54.
255
196. Расчеты и испытания на прочность. Расчетные методы определения
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
256
несущей способности и долговечности элементов машин и конструкций. Метод определения параметров кривых ползучести и накопления повреждений при одноосном нагружении. Методические рекомендации. М.: ВНИИНМАШ, 1982. 91 с.
Расчетные и расчетно – экспериментальные методы определения несущей способности и долговечности элементов машин и конструкций. Расчетно – экспериментальный метод определения параметров
ползучести и длительной прочности при одноосном нагружения. Методические рекомендации (1-ая редакция). М.: Госстандарт, 1982. С.
39 – 47.
Ржаницын А.Р. Представление сплошного изотропного упругого тела в виде шарнирно – стержневой системы // Исследования по вопросам строительной механики и теории пластичности. М.: Госстройиздат, 1956. С. 84 – 96.
Розенберг В.М. Основы жаропрочности металлических материалов.
М: Металлургия, 1973. 328 с.
Розенблюм В.И., Виноградов Н.Н. К расчету ползучести конструкций
при низких уровнях напряжений // Проблемы прочности. 1973. №12.
С. 38 – 39.
Романов А.В. Нелинейная модель накопления повреждений и расчет
долговечности в условиях ползучести при нестационарном нагружении / Автореф. дисс. … канд. техн. наук. Киев, 1989. 18 с.
Романов А.Н. Энергетические критерии разрушения при малоцикловом нагружении // Проблемы прочности. 1974. №1. С. 4 – 13.
Романов А.Н. Закономерности образования и развития трещин при
высокотемпературном статическом и циклическом нагружении /
Автореф. дисс. … д-ра техн. наук. М.: ИМАШ АН СССР, 1979. 52 с.
Русинко К.Н. Теория пластичности и неустановившейся ползучести.
Львов: Вища школа, 1981. 148 с.
Рыжак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине
// Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №1. С. 111 – 127.
Рыбакина О.Г. Феноменологическое описание разрушения металлов
при некоторых видах асимметричного деформирования // Изв. АН
СССР. МТТ. 1969. №6. С. 61 – 65.
Рыбакина О.Г., Сидорин Я.С. Экспериментальное исследование пластического разрыхления материалов при однократном и многократном статическом нагружении // Инженерный журнал. МТТ. 1966. №1.
С. 120 – 124.
Савачев В.П. Исследование кратковременной ползучести канатов при
вытяжке // Прочность и долговечность стальных канатов. Киев:
Техника. 1975. С. 145 – 148.
209. Садаков О.С. Анализ напряженно – деформированного состояния
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
элементов конструкций при циклических неизотермических нагружениях на основе структурной модели среды // Материалы Всесоюзн.
симпозиума по малоцикловой усталости при повышенных температурах. Челябинск: ЧПИ, 1974. Вып. 3. С. 95 – 127.
Садаков О.С. Разработка общей теории циклического неупругого деформирования и методов расчета теплонапряженных конструкций:
Автореф. дисс. … докт. техн. наук. Челябинск, 1983. 38 с.
Самарин Ю.П. О применении теории управления к исследованию
ползучести конструкций // Механика деформируемых сред. Куйбышев: Куйб. госуниверситет, 1976. С. 123 – 129.
Самарин Ю.П. Уравнения состояния материалов со сложными
реологическими свойствами. Куйбышев: Куйб. госуниверситет. 1979.
Самарин
84 с.
Ю.П. Об одном обобщении метода разделения деформации
в теории ползучести // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №3. С. 60 – 63.
Самарин Ю.П. Построение экспоненциальных аппроксимаций для
кривых ползучести методом последовательного выделения экспоненциальных слагаемых // Проблемы прочности. 1974. №9. С. 24 – 27.
Самарин Ю.П. Метод исследования ползучести в конструкциях, основанный на концепции черного ящика // Теоретико – экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях. Куйбышев:
Куйб. авиац. ин-т, 1984. С. 3 – 27.
Самарин Ю.П. Описание деформирования реономных материалов
методами теории управления / Куйб. полиех. ин-т. Куйбышев, 1976.
134 с. Деп. в ВИНИТИ 21.09.83. № 3061 – 76 ДЕП.
Самарин Ю.П., Клебанов Я.М. Обобщенные модели в теории ползучести конструкций. Самара: Поволж. отд. Инж. акад. РФ. СамГТУ,
1994. 197 с.
Самарин Ю.П., Радченко В.П., Кузьмин С.В. Математическое моделирование деформационных и прочностных свойств материалов при
помощи структурной модели стержневого типа // Пети национален
конгресс по теоретична и приложна механика. Доклади. Книга 1. София: Болгарская Академия Наук. 1985. С. 156 – 161.
Самарин Ю.П., Радченко В.П., Кузьмин С.В. Структурная модель
среды для описания пластичности и ползучести при сложном напряженном состоянии // Прочность материалов и элементов конструкций
при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1986.
С. 233 – 237.
Самарин Ю.П., Радченко В.П. Определяющие уравнения для описания деформирования и разрушения металлов при циклической
ползучести // Малоцикловая усталость – критерии разрушения и
структура материалов. Тезисы докладов и сообщений 5 Всесоюзн.
симпозиум. Волгоград. 1987. Ч.2. С. 148 – 150.
257
221. Самарин Ю.П., Еремин Ю.А. Метод исследования ползучести конст-
рукций // Проблемы прочности. 1985. №4. С. 40 – 45.
222. Самарин Ю.П., Радченко В.П., Кочкина Т.А., Макарова И.С. Метод
223.
224.
225.
226.
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
258
решения некоторых краевых задач механики сплошных сред с применением принципов теории управления // Надежность и прочность
машиностроительных конструкций. Куйбышев: Куйб. авиац. ин-т,
1988. С. 112 – 123.
Самарин Ю.П., Радченко В.П. О решении краевых задач механики
сплошных сред методами теории управления // Механика и прикладная математика. Тула: Приокское книжное изд-во, 1988. С. 3 – 5.
Саченков А.В., Клементьев Г.Г. Исследование устойчивости оболочек
при ударном нагружении теоретико - экспериментальным методом //
Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. научн. тр. Казан.
гос. ун-т. 1980. Вып. 15. С. 114 – 115.
Саченков А.В. и др. Конструирование формул для оценки устойчивости и прочности оболочек при решении задач теоретико - экспериментальным методом // Исследования по теории пластин и оболочек:
Сб. научн. тр. Казан. гос. ун-т. 1979. Вып. 14. С. 100 – 122.
Саченков А.В. Теоретико – экспериментальный метод исследования
устойчивости пластин и оболочек // Исследования по теории пластин
и оболочек. Сб. научн. тр. Казан. гос. ун-т. 1968. Вып. 6-7.
С. 391 – 432.
Сдобырев В.П. Длительная прочность сплава ЭИ 472Б при сложном
напряженном состоянии // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. №4. С. 92 - 97.
Сдобырев В.П. Критерий длительной прочности для некоторых жаропрочных сплавов при сложном напряженном состоянии // Изв. АН
СССР. ОТН. 1959. №6. С. 93 – 99.
Седов Л.И. Метод подобия и размерности в механике. М.: Гостехиздат, 1957. 375 с.
Сизова Р.Н. Сопротивления длительному статическому разрушению
сплавов для лопаток турбин в условиях нестационарного нагрева и
нагружения / Автореферат дисс. … канд. техн. наук. М.: МАТИ,
1965. 25 с.
Смирнов А.А. Молекулярно – кинетическая теория металлов. М.: Наука, 1966. 488 с.
Сорокин О.В., Самарин Ю.П. Ползучесть деталей машин и сооружений. Куйбышев: Куйбыш. книжн. изд-во, 1968. 144 с.
Сорокин О.В., Самарин Ю.П., Одинг И.А. К расчету ползучести балок
при изгибе // Докл. АН СССР. 1964. Т. 157. №6. С. 1325 – 1328.
Соснин О.В. Энергетический вариант теории ползучести и длительной прочности // Проблемы прочности. 1973. №5. С. 45 – 49.
Соснин О.В., Соснин О.О. О термопластичности // Проблемы прочности. 1988. №12. С. 3 – 9.
236. Соснин О.В., Горев Б.В., Никитенко А.Ф. Энергетический вариант
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
245.
246.
247.
248.
249.
теории ползучести. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР,
1986. 95 с.
Соснин О.В., Торшенов Н.Г. О ползучести и разрушении титанового
сплава ОТ – 4 в интервале температур 400 – 500 0С // Проблемы прочности. 1972. №7. С. 45 – 59.
Соснин О.В., Горев Б.В., Никитенко А.Ф. К обоснованию энергетического варианта теории ползучести. Сообщение 1. Основные гипотезы
и их экспериментальная проверка // Проблемы прочности. 1976. №11.
С. 3 – 8.
Стасенко В.И. Установившаяся ползучесть толстостенной трубы при
действии внутреннего давления и изгибающего момента // Изв. вузов.
Машиностроение, 1973. №8. С. 18 – 22.
Стасенко В.И. Установившаяся ползучесть толстостенной трубы //
Изв. вузов. Машиностроение, 1974. №2. С. 14 – 17.
Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: УрО РАН, 1995,
190 с.
Тананайко О.Д. Построение стержневой модели типа системы перекрестных полос конечной ширины для приближенного решения плоской задачи теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. №3.
С. 48 – 53.
Трунин И.И. Механическое уравнение состояния металлических материалов и прогнозирование характеристик жаропрочности // Проблемы прочности. 1976. №9. С. 9 – 15.
Трунин И.И. Оценка сопротивления длительному разрушению и некоторые особенности деформирования при сложном напряженном
состоянии // Журнал прикл. мех. и техн. физики. 1963. №1.
С. 110 – 114.
Турусов Р.А., Рабинович А.Л. Нелинейная ползучесть толстостенной
полимерной трубы под действием внутреннего давления // Механика
полимеров. 1970. №3. С. 493 – 501.
Ту Ю. Современная теория управления. М.: Машиностроение, 1971,
472 с.
Умрачеев А.И. Исследование ползучести плоских днищ и трубных
досок высокотемпературных энергетических установок // Науч. тр.
ЦКТИ. 1982. № 192. С. 87 – 90.
Федоров В.В. Термодинамические представления о прочности и разрушении твердого тела // Проблемы прочности. 1971. №11.
С. 32 – 34.
Федоров В.В. Термодинамический метод оценки длительной прочности // Проблемы прочности. 1972. №9. С. 45 – 47.
259
250. Федоров В.В. Кинетика поврежденности и разрушения твердых тел.
Ташкент: ФАН, 1985. 167 с.
251. Федоров В.В., Тульчинская Н.Н. Энергетические принципы в теории
252.
253.
254.
255.
256.
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
260
ползучести // Труды Ташк. ин-та инж. железн. трансп. 1972. Вып. 85.
С. 148 – 160.
Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. Ч.1. Деформация и
разрушения. М.: Машиностроение, 1974. 472 с.
Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. Ч.2. Механические
испытания. Конструкционная прочность. М.: Машиностроение, 1974.
368 с.
Хажинский Г.М. О теории ползучести и длительной прочности металлов // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №6. С. 29 – 36.
Харт. Уравнения состояния для неупругой деформации металлов //
Теоретические основы инж. расчетов. 1976. №3. С. 40 – 50.
Цымбалистый Я.И., Троян И.А., Марусий О.И. Исследование виброползучести сплава ЭИ 437Б при нормальных и высоких температурах
// Проблемы прочности. 1975. №11. С. 30 – 35.
Черепанов Г.П. О моделировании в нелинейной реологии // Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды (к 60 – летию академика Л.И. Седова). М.: Наука, !969. С. 553 – 559.
Черепанов Г.П. О закритических деформациях // Проблемы прочности. 1985. №8. С. 3 – 8.
Черняк И.И., Гаврилов Д.А. Сопротивление деформированию металлов при повторных статических нагружениях. Киев: Наукова думка,
1971. 132 с.
Чижик А.А. Индивидуальные методы прогнозирования ресурса основных элементов энергетического оборудования // Проблемы
машиностроения и надежности машин. 1990. №5. С. 31 – 35.
Чижик А.А., Петреня Ю.К. Разрушение вследствие ползучести и
механизмы микроразрушения // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297. №6.
С. 1331 – 1333.
Чудновский А.И. О разрушении макротел // Исследования по упругости и пластичности. Л.: ЛГУ, 1973. №9. С. 3 – 40.
Чудновский А.И. Об одной статистической теории квазихруцкого разрушения // Аннотация докл. IV Всесоюзного съезда по теоретической
и прикл. механике. Киев: Наукова думка, 1976. С. 110.
Шевченко Ю.Н., Марина В.Ю. Структурная модель среды при неизотермическом процессе нагружения // Прикладная механика. 1976.
№12. С. 19 – 27.
Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Г. Физические уравнения термовязкопластичности. Киев: Наук. думка, 1982. 238 с.
266. Шестериков С.А., Мельников С.П., Аршакуни А.Л. К выбору уравне-
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
281.
ний состояния при ползучести // Проблемы прочности. 1980. №6.
С. 77 – 81.
Шестериков С.А. Об одном вариационном принципе в теории ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. 1957. №2. С. 122 – 123.
Шестериков С.А. Об одном условии для законов ползучести // Изв.
АН СССР. Механика и машиностроение. 1959. №1. С. 131 – 132.
Шин Р.Г., Катков В.Л. Механизм деформирования микронеоднородной среды // Проблемы прочности. 1987. № 10. С. 72 – 74.
Яценко В.Ф. Прочность и ползучесть слоистых пластиков (сжатие,
растяжение, изгиб). Киев: Наукова думка, 1966. 204 с.
Anderson R.G., Gardner I.R.T. and Hodkins W.R. Deformation of Uniformly Loaded Beams Obcying Complex Creep Laws // Journal of Mechanical Engineering Science. 1963. V. 5. P. 238 – 244.
Besseling J.F. Plasticity and creep theory in engineering mechanics // Top.
Appl. Continuum Mech. Wien – New – York. 1974. P. 115 – 135.
Betten J.A. Net – stress analysis in creep mechanics // Jng. Arch. 1982.
V. 52. №6. P. 405 – 419.
Bodner S.R. A procedure for including damage in constitutive equation for
elastic - viscoplastic work – hardeming materials // Phys. Non – Linearities Struct.Anal. Iutam. Symp. Senlis. May 27 – 30. 1980. Berlin e.a. 1981.
P. 21 – 28.
Boettner R.G. Robertson W.D. A study of the Growth of the voils in
Coppe During the Creep Process by Measurement of the Accompanying
change in Density // Tranaction of the Metallurgical Socioty of American
Institute of Mining Metallurgical and Petroleum Engineers. (AIME). 1961.
V. 221. №3, June. P. 613 – 622.
Brown R.J., Lonsdale D., Flewitt P.E. The role of stress state on the creep
rupture of 1% Cr, ½% Mo and 12% Cr 1% Mo V W tube steels // Creep
and Fract. Eng. Mater. and struct. Proc. Int. Couf., Swancea. 24th – 27th
March. 1981. Swancea. 1981. P. 545 – 558.
Crossman F.W., Askby M.F. The nonuniform flow of polycrystals by
power – low creep // Asta met. 1975. Vol. 23. №4. P. 425 – 440.
Deng Hui, Peng Fan, Zhang Ping, Ma Shichen. A new approach to damage
evalution // Xiangton daxue Zinan kexue xuebao. Natur. Sci. J. Xiangton
Umv. 1998. V. 20. №1. P. 122 – 126.
Duson B.F., Melear D. New method of predieting Creep life // Metal Science Journal. 1972. Vol. 6. № 3. November. P. 220 – 223.
Freeman J.W., Voorhess H.R. Literature Survey on creep damage in metals // ASTM. 1965. P. 391 – 396.
Gittins A. The kinetics of cavity growth in 20 Cr/25 Ni stainless stell //
Journ. of Mater. Scince. 1970. Vol. 5. №3. P. 223 – 232.
261
282. Goldhoff R.M. The effect of creep prestrain on creep rupture properties of
283.
284.
285.
286.
287.
288.
289.
290.
291.
292.
293.
294.
295.
296.
262
variable noten seusivity Cr-Mo-V stell // Mater. Research. 1962. №1.
P. 26 – 32.
Goodman A.M. The Creep Design of Thin Pressure Vessel and Closures //
3rd Int. Conf. Struct. Mech. Reach. Technol. London, 1975. V.3. Past: G-H
Amsterdam. P. 1 – 16.
Greenwood G.W. Cavity nucleation in the early stages creep // The philosophical magazine. A. Journal of theoretical experimental and applied
physics. 1969. Vol. 19. № 158. P. 423 – 424.
Hanna M.D., Greenwood G.W. Catity growth and creep in cooper at low
stresses // Acta. Metallurgica. 1982. Vol. 30. №3. P. 719 – 724.
Hayhurst D.R. Creep rupture under miltiaxial states of stress // Journal of
the mechanics and physics of soluds. 1972. Vol. 20. №6. P. 381 – 390.
Henderson J., Ferguson F.R. Estimetion of the controlling stress in creep
fracture (summary) // 3rd Int. Conf. Struct. Mech. Reactor Technol. London. 1975. P. L.3 – L.6.
Henderson J., Ferguson F.R. Determination of the multi – axial stress
creep fracture criterion using a modified tensile creep unit // Metals Technol. Vol. 4. № 6. P. 296 – 300.
Henderson J., Shedden J.D. Prediction of shear – creep fracture in aluminium alloy components // J. Inst. Metals. 1972. Vol. 100. June.
P. 163 – 171.
Jonson A. An Alternative Definition of Referme Stress for Creep // International Conference on Creep and Fatigue in Elevated Temperature Applications. (Philadelphia, Sept. 1973, and Sheffield, Apr. 1974). Paper
C 205/74.
Jonson A.E., Henderson J., Mathur V.D. Combined stress creep fracture of
a commercial copper at 250 0C. Part 1 // The Engineer. 1956. V. 202.
№ 5248. P. 261 – 265.
Jonson A.E., Henderson J., Mathur V.D. Complex stress creep fracture of
an aluminium // Aircraft
Engineering. 1960. Vol. 32. № 376.
P. 161 – 170.
Kooistra L.F., Blaser R.U., Tucker J.T. High temperature stress - rupture
testing of specimeuse // Trans. ASME. 1952. Vol. 74. №5. P. 783 – 792.
Leckie F.A., Hayhurst D.R. Creep rupture of structures // Proc. Roy. Soc.
London. 1974. A 340. № 1622. P. 323 – 347.
Leckie F.A., Onat E.T. Jensorial nature of damage measuring internal variables // Phys. Non – Linearsties Struct. Anal. IUTAM Sump. Senlis. May.
27 – 30. 1980. Berlin e.a. 1981. P. 140 – 155.
Mackenzie A.C. On the Use of a Single Uniaxial Test to Estimate Deformation Rates in Some Structures Undergoing Creep // Int. Journ. of
Mechan. Sciences. 1968. V. 10. P. 441 – 453.
297. Marloff R.H., Leven M.M., Sankey G.O. Creep of Rotors under Triaxial
298.
299.
300.
301.
302.
303.
304.
305.
306.
307.
308.
309.
310.
311.
312.
Tension // Westing house RSD Center Pittsburgh, DA 15235. March 11.
1981.
Marriott D.L , Leckie F.A. Some Observations on the Deflections of Structures During Creep // Proceedings of the Conference on Thermal Loading
and Creep. Institution of Mechanical Engineers. 1964. V. 178.
P. 115 – 125.
Marriott D.L. Appoximale Analysis of Transient creep deformation //
Journ. of Strain Analusis. 1986. Vol.3. №4. P. 288 – 296.
Miner M.A. Cumulation bamage in Fatigue // J. Appl. Mech. 1945.
Vol. 12. № 1. P. A159 – A 164.
Милков В. Решение на равнинната задача на теорията на пластичността посредством прътова идеализация // Годиен. Высш. учебн. завед.
техн. мех. 1978. Т. 13. №2. С. 167 – 176.
Murakami S., Ohno N. A continuum theory of creep and creep damage //
Creep in structures. Proc. 3 – rd IUTAM Symp. Leisester. 1980. Berlin.
e.a. 1981. P. 422 - 444.
Palgrem A. Die Lebensdauer von Kugellagern // Z. Vereines Dentsher Ind.
1924. Vol. 88. №14. S. 339 – 341.
Rabotnov Y.N. Creep rupture // Procceding Applied Mechanics Conference. Stanford University. 1968. P. 342 – 349.
Radaev Yu.N., Murakami S., Hayakawa K. Mathematical Description of
Anicotropic Damage State in Continuum Damage Mechanics // Trans. Japan Soc. Mech. Eng. 1994. V. 60 A. № 580. P. 68 – 76.
Radchenko V.P., Kuzmin S.V., Yeremin Yu. A. Rheologic model and destruction criterion of metallic materials // Proc. 7th European conference on
Fracture. Budapest. 1988. 19 – 24 September. P. 103 – 105.
Robinson E.L. Effect of temperature variation on the longtime rupture
steels // Trans. ASME. 1938. №60. P. 253 – 259.
Samarin Y.P., Radchenko V.P. Model describing deformation and destruction of metals while stretting them under creepage // Proc. 9th Congress of
material testing. Budapest. 1986. Vol. 1. P. 124 – 129.
Samarin Y.P. System analysis for creep in material and structure // Advanced series in mathematical science and engineering. Word federation
publishers company. Atlanta, Georgia. 1996. 295 p.
Sim R.G. Evaluation of Reference Parameters for Structures Subject to
Creep // Journal Mechanical Engineering Science. 1971. V. 13, № 1.
P. 47 – 50.
Sim R.G., Penny R.K. Plane strain creep behavior of thick – walled cylinders // Jnt. Journ. Mech. Sciences. 1971. Vol. 13. №12. P. 987 – 1009.
Sim R.G., Penny R.K. Some results of testing simple structures under constant and variable loading during creep // Journ. of the Societly for experimental stress analysis. 1970. V. 10. №4. P. 152 – 159.
263
313. Sim R.G. Reference stress and Temperatures for Cylinders and Spheres
314.
315.
316.
317.
318.
319.
320.
321.
322.
323.
324.
325.
326.
264
under Internal Pressure with a Steady Heat Flow in the Radial Direction //
Intern. Journ. of Mechan. Sciences. 1973. V. 18. P. 211 – 220.
Sim R.G. Reference stress consepts in analysis of Structures creep //
Jntern. Journ. Mech. Sciences. 1970. Vol. 12. №6. P. 561 – 573.
Sim R.G. Reference Results for Plane Stress Creep Behaviour // Journal of
Mechan. Engin. Science. 1972. V. 14, № 6. P. 404 – 410.
Takenchi S., Argon A.S. Steady – state creep of single – phase crystalline
matter at high temperature // J. Mater. Sci. 1976. Vol. 11. №8.
P. 1542 – 1566.
Valanis K.C. A theory of viscoplasticity with out a yield Surface // Arch.
Mech. Stosow. 1971. Vol. 23. №4. P. 517 – 521.
Valanis K.C. On the foundation of the endochronic theory of viscoplasticity // Arch. Mech. Stosow. 1975. Vol. 27. №5/6. P. 857 – 868.
Valanis K.C. Continuum foundation of endochronic plasticity // Trans.
ASME. J. Eng. Mater. Technol. 1984. Vol. 106. №4. P. 367 – 375.
Walter M.H., Ponter A.R.S. Some Properties of Creep of Structures Subjected to Nonuniform Temperatures // Intern. Journ. of Mechan. Science.
1976. V. 18. P. 305 – 312.
Wend G.J. A physically consistent for the prediction of creep behavior
metals // Trans. ASME. J. Appl. 1979. №4. P. 800 – 804.
Williams J.J., Cocks A.C.F. Reference Stress and Temperature for nonisothermal Creep of Structures // ASME. Journal of Applied Mechanics.
1979. V. 46. Dec. 795 – 799.
Williams J.J., Leckie F.A. A Method for Estimating Creep Deformation of
Structures Subjected to Cyclic Loading // ASME Journal of Applied Mechanics. 1973. V. 40. Dec. 928 – 934.
Woodford D.A. Density change during creep in Nickel // Metal Science
Journal. 1969. Vol. 3. P. 234 – 240.
Wu H.C., Yang K.J. Application of the improved endochronic theory of
plasticity to loading with multiaxial strain – path // Intern. J. Non – Linear.
Mech. 1983. Vol. 18. №5. P. 395 – 408.
Zeng Pak, Sum X.P. Damage – Conpeed Creep Mechanics and structural
analysis principle // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. V. 62. №3.
P. 640 – 645.
Научное издание
РАДЧЕНКО Владимир Павлович
ЕРЕМИН Юрий Алексеевич
Реологическое деформирование
и разрушение материалов
и элементов конструкций
Редактор В.Ф. Елисеева
Технический редактор В.Ф. Елисеева
Компьютерная верстка О.С. Афанасьева
Подписано в печать
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная.
Усл. п. л. 15,34. Усл. кр.-отт. 15,34.
Уч.-изд.л. 15,25.
Тираж
. С.-52.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
68
Размер файла
2 736 Кб
Теги
реологически, радченко, конструкции, еремина, элементов, разрушение, деформирования, pdf, материалы, 2000
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа