close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сборник. Квантовый компьютер и вычисления Часть 1.pdf

код для вставкиСкачать
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: │╖ебное
░│ковод▒▓во
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
(Samuel L. Braunstein)1
П░ед▒▓ав╝▓е ▒ебе комп╝╛▓е░, пам┐▓╝ ко▓о░ого ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕е, ╖ем можно б╗ло б╗ ожида▓╝, о╢енива┐ его
┐вн╗й ┤изи╖е▒кий ░азме░; комп╝╛▓е░, ко▓о░╗й може▓ опе░и░ова▓╝ однов░еменно ▒ ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕им набо░ом
в╡одн╗╡ данн╗╡; комп╝╛▓е░, ко▓о░╗й п░оводи▓ в╗╖и▒лени┐
в ▓│манном дл┐ бол╝╕ин▒▓ва из на▒ гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве.
Тогда В╗ д│мае▓е о кван▓овом комп╝╛▓е░е.
Ч▓об╗ пон┐▓╝, ╖▓о ▓акое кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, ▓░еб│е▓▒┐
в▒его ли╕╝ не▒кол╝ко о▓но▒и▓ел╝но п░о▒▓╗╡ пон┐▓ий кван▓овой ме╡аники. Тонко▒▓╝ ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓об╗ на│╖и▓╝▒┐ ░або▓а▓╝ ▒ ╜▓ими положени┐ми. Явл┐е▓▒┐ ли ▓акой комп╝╛▓е░
неизбежно▒▓╝╛, или по▒▓░ои▓╝ его б│де▓ ▒ли╕ком ▒ложно?
На▒▓о┐╣а┐ ░або▓а знакоми▓ ▒ ▓ем, как можно и▒пол╝зова▓╝ кван▓ов│╛ ме╡аник│ дл┐ │▒ове░╕ен▒▓вовани┐ в╗╖и▒лений. П░облема, ко▓о░а┐ зде▒╝ ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ | ┤ак▓о░иза╢и┐ бол╝╕ого ╖и▒ла, ░е╕ение
ко▓о░ой ┐вл┐е▓▒┐ ╜к▒понен╢иал╝но ▒ложной дл┐ об╗╖ного комп╝╛▓е░а. В ка╖е▒▓ве в▒▓│плени┐ м╗ дадим обзо░ ▒▓анда░▓н╗╡ ин▒▓░│мен▓ов
в╗╖и▒лени┐, │ниве░▒ал╝н╗╡ гей▓ов и ма╕ин. Э▓и идеи впе░в╗е по┐вили▒╝ в ▓ео░ии кла▒▒и╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░ов без ди▒▒ипа╢ии, а за▓ем б╗ли
п░именен╗ к кван▓ов╗м комп╝╛▓е░ам.
С╡ема▓и╖е▒ки опи▒╗вае▓▒┐ модел╝ кван▓ового комп╝╛▓е░а, а ▓акже неко▓о░╗е ▓онко▒▓и в его п░ог░амми░овании. Алго░и▓м Шо░а [1, 2]
╜┤┤ек▓ивной ┤ак▓о░иза╢ии ╖и▒ел на кван▓овом комп╝╛▓е░е п░ед▒▓авлен в дв│╡ ╖а▒▓┐╡: кван▓ова┐ п░о╢ед│░а вн│▓░и алго░и▓ма и кла▒▒и╖е▒кий алго░и▓м, ко▓о░╗й ▓░еб│е▓ кван▓ов│╛ п░о╢ед│░│. Об▒│ждае▓▒┐
1 Encyclopedia of Applied Physics, Update, WILEY-VCH, 1999.
Пе░евод В. В. Белок│░ова.
12
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
ма▓ема▓и╖е▒ка┐ ▒▓░│к▓│░а в ┤ак▓о░иза╢ии, ко▓о░а┐ делае▓ алго░и▓м
Шо░а возможн╗м. В закл╛╖ении дае▓▒┐ об╣ий взгл┐д на о▒│╣е▒▓вимо▒▓╝ и пе░▒пек▓ив╗ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений в ближай╕ие год╗.
На╖нем ▒ опи▒ани┐ по▒▓авленной зада╖и: ┤ак▓о░иза╢ии ╖и▒ла N
на п░о▒▓╗е множи▓ели (нап░име░, ╖и▒ло 51688 може▓ б╗▓╝ ░азложено
как 23 7 13 71). Удобн╗й ▒по▒об о╢ени▓╝, как б╗▒▓░о конк░е▓н╗й
алго░и▓м може▓ ░е╕и▓╝ зада╖│, ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓об╗ в╗┐▒ни▓╝, как
╖и▒ло ╕агов, ▓░еб│ем╗╡ дл┐ в╗полнени┐ алго░и▓ма, ░а▒▓е▓ ▒ │вели╖ением ░азме░а в╡одн╗╡ данн╗╡.
Дл┐ зада╖и ┤ак▓о░иза╢ии в╡одн╗ми данн╗ми ┐вл┐е▓▒┐ ▒амо ╖и▒ло N , ко▓о░ое м╗ ╡о▓им ┤ак▓о░изова▓╝; ▒ледова▓ел╝но, длина в╡ода
е▒▓╝ log N . (О▒нование лога░и┤ма оп░едел┐е▓▒┐ на╕ей ▒и▒▓емой ▒╖и▒лени┐. Так, о▒нование 2 задае▓ длин│ в двои╖ной ▒и▒▓еме; а о▒нование 10
в де▒┐▓и╖ной). цП░иемлем╗мич алго░и▓мами ┐вл┐╛▓▒┐ ▓е, в ко▓о░╗╡
╖и▒ло ╕агов ░а▒▓е▓ как неко▓о░╗й полином небол╝╕ой ▒▓епени о▓ ░азме░а в╡одн╗╡ данн╗╡ (▒о ▒▓епен╝╛, возможно, 2 или 3).
На об╗╖н╗╡ комп╝╛▓е░а╡ ▒ам╗е
; л│╖╕ие изве▒▓н╗е алго░и▓м╗
┤ак▓о░иза╢ии в╗полн┐╛▓▒┐ за O exp (64=9)1=3(ln N )1=3 (ln ln N )2=3
╕агов [3]. Таким об░азом, ╜▓о▓ алго░и▓м ░а▒▓е▓ ╜к▒понен╢иал╝но ▒ ░азме░ом в╡одн╗╡ данн╗╡ log N . Нап░име░, в 1994 год│ 129-зна╖ное ╖и▒ло (изве▒▓ное как RSA129 [30 ]) б╗ло │▒пе╕но ┤ак▓о░изовано ▒ и▒пол╝зованием ╜▓ого алго░и▓ма на п░иблизи▓ел╝но 1600 ░або╖и╡ ▒▓ан╢и┐╡,
░а▒п░еделенн╗╡ по в▒ем│ ми░│; полна┐ ┤ак▓о░иза╢и┐ зан┐ла во▒ем╝
ме▒┐╢ев. И▒пол╝з│┐ ╜▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ дл┐ о╢енки множи▓ел┐ пе░ед п░иведенной в╗╕е ╜к▒понен▓ой, пол│╖им, ╖▓о по▓░еб│е▓▒┐ п░иблизи▓ел╝но 8 105 ле▓ дл┐ ┤ак▓о░иза╢ии ▓еми же комп╝╛▓е░ами 250-зна╖ного
╖и▒ла; аналоги╖но, дл┐ 1000-зна╖ного ╖и▒ла по▓░еб│е▓▒┐ 1025 ле▓ (зна╖и▓ел╝но бол╝╕е, ╖ем воз░а▒▓ в▒еленной). Т░│дно▒▓╝ ┤ак▓о░иза╢ии
бол╝╕и╡ ╖и▒ел ┐вл┐е▓▒┐ оп░едел┐╛╣им ┤ак▓о░ом дл┐ к░ип▓о▒и▒▓ем
▒ о▓к░╗▓╗м кл╛╖ом, ▓аки╡, какие и▒пол╝з│╛▓▒┐ в банка╡. Там ▓акие
код╗ ▒╖и▓а╛▓▒┐ надежн╗ми в ▒ил│ ▒ложно▒▓и ┤ак▓о░иза╢ии ╖и▒ел ▒
п░иблизи▓ел╝но 250 знаками.
Недавно б╗л ░аз░або▓ан алго░и▓м дл┐ ┤ак▓о░иза╢ии
╖и▒ел
;
на
кван▓овом комп╝╛▓е░е, ко▓о░╗й ░еализ│е▓▒┐ за O (log N )2+" ╕агов,
где " | неко▓о░ое малое ╖и▒ло [1]. Он п░иблизи▓ел╝но квад░а▓и╖но
зави▒и▓ о▓ ░азме░а в╡одн╗╡ данн╗╡, по╜▓ом│ ┤ак▓о░иза╢и┐ 1000-зна╖ного ╖и▒ла ▒ помо╣╝╛ ▓акого алго░и▓ма по▓░еб│е▓ ▓ол╝ко не▒кол╝ко
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: │╖ебное ░│ковод▒▓во
13
миллионов ╕агов. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о к░ип▓о▒и▒▓ем╗ ▒ о▓к░╗▓╗м кл╛╖ом, о▒нованн╗е на ┤ак▓о░иза╢ии, мог│▓ б╗▓╝ взломан╗.
Ч▓об╗ да▓╝ п░ед▒▓авление о ▓ом, за ▒╖е▓ ╖его п░ои▒╡оди▓ ▓акое
╜к▒понен╢иал╝ное │л│╖╕ение, ░а▒▒мо▓░им ╜лемен▓а░н╗й кван▓овоме╡ани╖е▒кий ╜к▒пе░имен▓, ко▓о░╗й показ╗вае▓, где мог│▓ б╗▓╝ заложен╗ ▓акие возможно▒▓и [5]. Дв│╡╣елевой ╜к▒пе░имен▓ дае▓ п░о▓о▓ип
набл╛даемого кван▓овоме╡ани╖е▒кого поведени┐: и▒▓о╖ник и▒п│▒кае▓
┤о▓он╗, ╜лек▓░он╗ или д░│гие ╖а▒▓и╢╗, ко▓о░╗е до▒▓ига╛▓ па░╗ ╣елей. Э▓и ╖а▒▓и╢╗ п░е▓е░пева╛▓ │ни▓а░н│╛ ╜вол╛╢и╛, и в кон╢е п░о╢е▒▒а изме░ени┐ м╗ видим ин▓е░┤е░ен╢ионн│╛ ка░▓ин│, когда обе ╣ели о▓к░╗▓╗, и ко▓о░а┐ полно▒▓╝╛ и▒╖езае▓, е▒ли одна из ╣елей зак░╗▓а. В неко▓о░ом ▒м╗▒ле ╖а▒▓и╢╗ п░о╡од┐▓ ╖е░ез обе ╣ели па░аллел╝но. Е▒ли б╗ ▓ака┐ │ни▓а░на┐ ╜вол╛╢и┐ п░ед▒▓авл┐ла б╗ в╗╖и▒ление
(или неко▓о░│╛ опе░а╢и╛ в ░амка╡ в╗╖и▒лени┐), ▓огда кван▓ова┐ ▒и▒▓ема в╗полн┐ла б╗ в╗╖и▒лени┐ па░аллел╝но. Кван▓ов╗й па░аллелизм
до▒▓игае▓▒┐ бе▒пла▓но. Пол│╖енн╗й на в╗╡оде ╜▓ой ▒и▒▓ем╗ ░ез│л╝▓а▓ п░ед▒▓авл┐л б╗ ▒обой ин▓е░┤е░ен╢и╛ ░ез│л╝▓а▓ов па░аллел╝н╗╡
в╗╖и▒лений.
1. В╗╖и▒лени┐ на а▓омн╗╡ ░а▒▒▓о┐ни┐╡
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ б│д│▓ п░оводи▓╝ в╗╖и▒лени┐ на а▓омн╗╡
░а▒▒▓о┐ни┐╡ [5, 6]. На ░и▒. 1 п░иведен╗ ░ез│л╝▓а▓╗ пол│╖енн╗╡ Кейе▒ом в 1988 год│ [7] о╢енок изменени┐ ▒ годами ╖и▒ла п░име▒ей в о▒новани┐╡ бипол┐░н╗╡ ▓░анзи▒▓о░ов, ▓░еб│ем╗╡ дл┐ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий.
Можно ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о ╜▓о▓ г░а┤ик показ╗вае▓ ╖и▒ло ╜лек▓░онов, необ╡одим╗╡ дл┐ ╡░анени┐ одного би▓а ин┤о░ма╢ии. Эк▒▓░апол┐╢и┐ г░а┤ика
озна╖ае▓, ╖▓о в ▓е╖ение ▒лед│╛╣и╡ дв│╡ де▒┐▓иле▓ий м╗ могли б╗
п░оводи▓╝ в╗╖и▒лени┐ на а▓омн╗╡ ░а▒▒▓о┐ни┐╡.
2. Об░а▓имое в╗╖и▒ление
В ╖ем ▒о▒▓о┐▓ ▓░│дно▒▓и поп╗▓ок по▒▓░ои▓╝ кла▒▒и╖е▒к│╛ в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ ма╕ин│ на ▓аки╡ мал╗╡ ░а▒▒▓о┐ни┐╡? Одна из наиболее
к░│пн╗╡ п░облем п░ог░амм╗ миниа▓╛░иза╢ии об╗╖н╗╡ комп╝╛▓е░ов
▒в┐зана ▒ в╗делением ▓епло▓╗.
Уже в 1961 год│ Ланда│╜░ и▒▒ледовал ┤изи╖е▒кие ог░ани╖ени┐, налагаем╗е на в╗╖и▒лени┐ ди▒▒ипа╢ией [8]. Удиви▓ел╝но, но ем│ │дало▒╝
14
;
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
Ри▒. 1. Г░а┤ик из ░або▓╗ [7], показ╗ва╛╣ий изменение ▒ годами ╖и▒ла неодно░одно▒▓ей в бипол┐░н╗╡ ▓░анзи▒▓о░а╡, и▒пол╝з│ем╗╡ дл┐ в╗полнени┐
логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий.
показа▓╝, ╖▓о п░ак▓и╖е▒ки в▒е опе░а╢ии, ▓░еб│ем╗е дл┐ в╗╖и▒лени┐,
мог│▓ б╗▓╝ п░оведен╗ об░а▓им╗м об░азом, и по╜▓ом│ без ди▒▒ипа╢ии
▓епло▓╗! Пе░вое │▒ловие дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ де▓е░мини░ованное │▒▓░ой▒▓во б╗ло об░а▓им╗м, ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о в╡одн╗е и в╗╡одн╗е данн╗е
должн╗ един▒▓венн╗м об░азом во▒▒▓анавлива▓╝▒┐ д░│г из д░│га. Э▓о
наз╗вае▓▒┐ логи╖е▒кой об░а▓имо▒▓╝╛. Е▒ли в дополнение к логи╖е▒кой об░а▓имо▒▓и │▒▓░ой▒▓во може▓ ░еал╝но дей▒▓вова▓╝ в об░а▓ном
нап░авлении по в░емени, ▓огда оно наз╗вае▓▒┐ ┤изи╖е▒ки об░а▓им╗м,
и в▓о░ой закон ▓е░модинамики га░ан▓и░│е▓, ╖▓о оно не ░а▒▒еивае▓ ▓епло▓│.
Рабо▓а по кла▒▒и╖е▒ким об░а▓им╗м в╗╖и▒лени┐м заложила о▒нов╗ дл┐ ░азви▓и┐ кван▓овоме╡ани╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░ов. На кван▓овом
комп╝╛▓е░е п░ог░амм╗ в╗полн┐╛▓▒┐ по▒░ед▒▓вом │ни▓а░ной ╜вол╛╢ии в╡одн╗╡ данн╗╡, ко▓о░╗е зада╛▓▒┐ ▒о▒▓о┐нием ▒и▒▓ем╗. Так как
│ни▓а░н╗е опе░а▓о░╗ U об░а▓им╗, и U ;1 = U + , ▓о на кван▓овом комп╝╛▓е░е в╗╖и▒лени┐ в▒егда можно об░а▓и▓╝.
3. Кла▒▒и╖е▒кие │ниве░▒ал╝н╗е ма╕ин╗ и
логи╖е▒кие гей▓╗
Ра▒▒мо▓░им ▓епе░╝ о▒новн╗е логи╖е▒кие ╜лемен▓╗, и▒пол╝з│ем╗е
в в╗╖и▒лении, и об║┐▒ним, как об╗╖н╗е комп╝╛▓е░╗ мог│▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован╗ дл┐ л╛бого ц░аз│многоч в╗╖и▒лени┐. Раз│мное в╗╖и▒ление | ▓акое, ко▓о░ое може▓ б╗▓╝ запи▒ано в ▓е░мина╡ неко▓о░ого
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: │╖ебное ░│ковод▒▓во
A
0
0
1
1
15
B AND OR XOR NOT B
0 0
0
0
1
1 0
1
1
0
0 0
1
1
1
1
0
0
1 1
Табли╢а 1. Оп░еделение дей▒▓ви┐ неко▓о░╗╡ ╜лемен▓а░н╗╡ логи╖е▒ки╡ гей▓ов. Кажда┐ ▒▓░ока показ╗вае▓ два в╡одн╗╡ зна╖ени┐ A и B и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие в╗╡одн╗е зна╖ени┐ дл┐ гей▓ов AND, OR и XOR. В╗╡од дл┐ NOT гей▓а
показан ▓ол╝ко дл┐ в╡ода B.
(возможно бол╝╕ого) б│лев▒кого в╗░ажени┐, и л╛бое б│лев▒кое в╗░ажение може▓ б╗▓╝ по▒▓░оено из ┤ик▒и░ованного набо░а логи╖е▒ки╡
гей▓ов. Такой набо░ (нап░име░, AND (И), OR (ИЛИ) и NOT (НЕ)) наз╗вае▓▒┐ │ниве░▒ал╝н╗м. В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и можно обой▓и▒╝ ▓ол╝ко
дв│м┐ гей▓ами, ▓акими как AND и NOT, или OR и NOT. Дей▒▓в│┐ ал╝▓е░на▓ивн╗м ▒по▒обом, м╗ можем замени▓╝ неко▓о░╗е из ╜▓и╡ п░ими▓ивн╗╡ гей▓ов д░│гими, ▓акими как и▒кл╛╖а╛╣ее ИЛИ (наз╗вае▓▒┐
XOR); ▓огда AND и XOR об░аз│╛▓ │ниве░▒ал╝н╗й набо░. Рез│л╝▓а▓╗
дей▒▓ви┐ ╜▓и╡ гей▓ов п░иведен╗ в ▓абли╢е 1. Л╛бое │▒▓░ой▒▓во, ко▓о░ое може▓ ▒мон▓и░ова▓╝ п░оизвол╝н╗е комбина╢ии логи╖е▒ки╡ гей▓ов
из │ниве░▒ал╝ного набо░а, ┐вл┐е▓▒┐ │ниве░▒ал╝н╗м комп╝╛▓е░ом.
Какие из п░иведенн╗╡ в╗╕е гей▓ов об░а▓им╗? По▒кол╝к│ AND,
OR и XOR | опе░а╢ии, о▓об░ажа╛╣ие много данн╗╡ в одно, ▓о в ▓ом
виде, как они задан╗, они не ┐вл┐╛▓▒┐ логи╖е▒ки об░а▓им╗ми. П░ежде
╖ем м╗ об▒│дим, как ╜▓и логи╖е▒кие гей▓╗ мог│▓ б╗▓╝ ▒делан╗ об░а▓им╗ми, м╗ ░а▒▒мо▓░им неко▓о░╗е не▒▓анда░▓н╗е гей▓╗, ко▓о░╗е нам
дл┐ ╜▓ого по▓░еб│╛▓▒┐.
4. FANOUT (░азво░а╖ивание) и ERASE (▒▓и░ание)
Хо▓┐ п░иведенн╗е в╗╕е гей▓╗ до▒▓а▓о╖н╗ дл┐ ма▓ема▓и╖е▒кого
аппа░а▓а логики, они недо▒▓а▓о╖н╗ дл┐ по▒▓░оени┐ п░ак▓и╖е▒кой в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕ин╗. Дл┐ ╜▓ого ▓░еб│╛▓▒┐ е╣е гей▓╗ FANOUT и
ERASE (░и▒. 2).
Вна╖але ░а▒▒мо▓░им гей▓ FANOUT. Явл┐е▓▒┐ ли он об░а▓им╗м?
О╖евидно, никака┐ ин┤о░ма╢и┐ не ░аз░│╕ае▓▒┐, по╜▓ом│ он, по к░айней
ме░е логи╖е▒ки, об░а▓им. Ланда│╜░ показал, ╖▓о он може▓ б╗▓╝ ▓ак-
16
;
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
Ри▒. 2. Два не▒▓анда░▓н╗╡ гей▓а, ко▓о░╗е, в дополнение к │ниве░▒ал╝ном│
набо░│, ▓░еб│╛▓▒┐ дл┐ по▒▓░оени┐ комп╝╛▓е░а: (a) FANOUT гей▓, ко▓о░╗й
д│бли░│е▓ в╡одн╗е данн╗е A и (b) ERASE гей▓, ко▓о░╗й │ни╖▓ожае▓ его
в╡одн╗е данн╗е.
же и ┤изи╖е▒ки об░а▓им [8]. Опи╕ем п░о▒▓│╛ модел╝ дл┐ FANOUT,
о▒нованн│╛ на ▒╡еме Бенне▓▓а дл┐ об░а▓имого изме░ени┐ (░и▒. 3) [9].
Зде▒╝ ▓емн╗й ╕а░ и▒пол╝з│е▓▒┐ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ оп░едели▓╝ нали╖ие
или о▓▒│▓▒▓вие в▓о░ого (▒ве▓лого) ╕а░а вн│▓░и лов│╕ки. Лов│╕ка ▒о▒▓ои▓ из набо░а о▓░ажа▓елей и може▓ ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ как ░еги▒▓░ ▒
одним би▓ом пам┐▓и. Е▒ли лов│╕ка зан┐▓а, ▓о ▓емн╗й ╕а░ о▓░ажае▓▒┐
и покидае▓ лов│╕к│ в нап░авлении M (п░и ╜▓ом ▒ве▓л╗й ╕а░ п░одолжае▓ двига▓╝▒┐ вдол╝ ▒воей пе░вона╖ал╝ной ▓░аек▓о░ии); в п░о▓ивном
▒л│╖ае он п░о╡оди▓ без поме╡ в нап░авлении N . По▒ле ▓ого, как ▓емн╗й ╕а░ покине▓ лов│╕к│, нап░авление его движени┐ и▒пол╝з│е▓▒┐ дл┐
▓ого, ╖▓об╗ за▒ели▓╝ или не▓ д░│г│╛ лов│╕к│.
;
Ри▒. 3. Об░а▓имое изме░ение нали╖и┐ ▒ве▓лого ╕а░а в лов│╕ке, ▒о▒▓о┐╣ей
из о▓░ажа▓елей (▓емн╗е п░┐мо│гол╝ники) [9]. Темн╗й ╕а░ в╡оди▓ в лов│╕к│
из Y . В о▓▒│▓▒▓вии ▒ве▓лого ╕а░а в лов│╕ке ▓емн╗й ╕а░ п░о▒лед│е▓ по
п│▓и HN. П░и нали╖ии ▒ве▓лого ╕а░а (в ╜▓о в░ем┐ на╖ина╛╣его движение
в X) ▓емн╗й ╕а░ о▓клони▓ ▒ве▓л╗й ╕а░ о▓ его пе░вона╖ал╝ной ▓░аек▓о░ии
ABCDEF на ▓░аек▓о░и╛ ABGDEF, а ▒ам п░о▒лед│е▓ по п│▓и HIJKLM.
Давай▓е ▓епе░╝ ░а▒▒мо▓░им опе░а╢и╛ ERASE, ко▓о░а┐ ▓░еб│е▓▒┐
дл┐ пе░иоди╖е▒кой ц╖и▒▓кич пам┐▓и комп╝╛▓е░а.
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: │╖ебное ░│ковод▒▓во
17
Один ▓ип ▒▓и░ани┐ може▓ б╗▓╝ п░оведен об░а▓им╗м об░азом. Е▒ли │ на▒ е▒▓╝ п░од│бли░ованна┐ копи┐ неко▓о░ой ин┤о░ма╢ии, ▓о м╗
можем ▒▓е░е▓╝ добаво╖н╗е копии, ▓. е. п░ове▒▓и опе░а╢и╛, об░а▓н│╛
▓ой, ╖▓о ▒ове░╕ае▓ FANOUT гей▓. Т░│дно▒▓╝ возникае▓, когда м╗ ╡о▓им ▒▓е░е▓╝ име╛╣│╛▒┐ по▒ледн╛╛ копи╛, ▓. е. ▒ове░╕и▓╝ ▓ак наз╗ваемое п░ими▓ивное ▒▓и░ание (п░ими▓ивн╗й ERASE).
Ра▒▒мо▓░им одино╖н╗й би▓, п░ед▒▓авленн╗й как па░а ░авнове░о┐▓н╗╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒о▒▓о┐ний неко▓о░ой ╖а▒▓и╢╗. Дл┐ ▒▓и░ани┐
ин┤о░ма╢ии о ▒о▒▓о┐нии ╖а▒▓и╢╗ м╗ должн╗ необ░а▓им╗м об░азом
▒жа▓╝ ┤азовое п░о▒▓░ан▒▓во в два ░аза. Е▒ли позволи▓╝ ╜▓ом│ ▒жа▓ом│ ┤азовом│ п░о▒▓░ан▒▓в│ адиаба▓и╖е▒ки ░а▒╕и░┐▓╝▒┐ п░и ▓емпе░а▓│░е T до его пе░вона╖ал╝ного ░азме░а, ▓о можно пол│╖и▓╝ коли╖е▒▓во
░або▓╗, ░авное kB T ln 2 (где kB | по▒▓о┐нна┐ Бол╝╢мана). О▒нов╗ва┐▒╝ на п░о▒▓╗╡ модел┐╡ и более об╣и╡ а░г│мен▓а╡ о▓но▒и▓ел╝но ▒жа▓и┐ ┤азового п░о▒▓░ан▒▓ва, Ланда│╜░ ▒делал в╗вод о ▓ом, ╖▓о ▒▓и░ание одного би▓а ин┤о░ма╢ии п░и ▓емпе░а▓│░е T ▓░еб│е▓ ди▒▒ипа╢ии
по мен╝╕ей ме░е kB T ln 2 ▓епло▓╗ (░ез│л╝▓а▓, изве▒▓н╗й как п░ин╢ип
Ланда│╜░а) [8].
5. В╗╖и▒ление без ERASE
К ▒╖а▒▓╝╛, гей▓ п░ими▓ивн╗й ERASE не ┐вл┐е▓▒┐ аб▒ол╛▓но необ╡одим╗м в в╗╖и▒лени┐╡. Ч▓об╗ пон┐▓╝, по╖ем│ ╜▓о ▓ак, ░а▒▒мо▓░им,
╖▓о ▓░еб│е▓▒┐ дл┐ в╗╖и▒лени┐ п░оизвол╝н╗╡ ┤│нк╢ий, и▒пол╝з│╛╣его об░а▓им│╛ логик│ (где п░ими▓ивн╗й ERASE зап░е╣ен). Ланда│╜░
показал, как л╛ба┐ ┤│нк╢и┐ f (a) може▓ б╗▓╝ во▒п░оизведена взаимно
однозна╖но ▒ ее а░г│мен▓ом (один к одном│) в ░ез│л╝▓а▓е ▒о╡░анени┐
копии в╡одн╗╡ данн╗╡:
f : a ! (a; f (a)):
К░│гл╗е ▒кобки озна╖а╛▓ зде▒╝ │по░┐до╖енн╗й набо░ вели╖ин, в данном ▒л│╖ае дв│╡. Дополни▓ел╝н╗е ц╣елич б│д│▓ добавлен╗ (или │дален╗), как по▓░еб│е▓▒┐ в на╕ем дал╝ней╕ем об▒│ждении.
Как ╜▓о▓ ▓░╛к може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован дл┐ в╗полнени┐ об░а▓имой
логики? Одно ░е╕ение, изве▒▓ное как То┤┤оли-гей▓, показано на ░и▒. 4
[8, 10, 11]. В╗╡од ╜▓ого гей▓а може▓ б╗▓╝ ░азложен в ░азли╖н╗е гей▓╗:
18
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
8 A:C;
>
>
< A B;
B (A:C ) = > B;
>
:
дл┐ B = 0
(AND)
дл┐ C = 1
(XOR)
дл┐ A = C = 1
(NOT)
A; дл┐ B = 0; C = 1 (FANOUT)
где A:B изоб░ажае▓ AND-гей▓, A B изоб░ажае▓ XOR-гей▓ и A изоб░ажае▓ NOT-гей▓. М╗ видим, ╖▓о ╜▓о▓ гей▓ ┐вл┐е▓▒┐ │ниве░▒ал╝н╗м,
по▒кол╝к│ он в╗полн┐е▓ AND, XOR, NOT или FANOUT, в зави▒имо▒▓и
о▓ ▓ого, ╖▓о имее▓▒┐ на в╡оде.
Комбина╢и┐ многи╡ ▓аки╡ гей▓ов може▓ за▓ем и▒пол╝зова▓╝▒┐ дл┐
л╛бого в╗╖и▒лени┐ и б│де▓ о▒▓ава▓╝▒┐ об░а▓имой.
;
Ри▒. 4. Униве░▒ал╝н╗й об░а▓им╗й То┤┤оли-гей▓ ▒ ▓░ойн╗м в╡одом и ▓░ойн╗м в╗╡одом. Э▓о▓ гей▓, о╖евидно, ┐вл┐е▓▒┐ об░а▓им╗м, ▓. к. пов▓о░ное его
п░именение во▒п░оизводи▓ пе░вона╖ал╝н╗е в╡одн╗е данн╗е.
Как б╗ло заме╖ено Ланда│╜░ом, ╜▓а п░о╢ед│░а п░иводи▓ к п░┐мой
п░облеме из-за о▓▒│▓▒▓ви┐ п░ими▓ивного ERASE. Чем бол╝╕е гей▓ов
м╗ и▒пол╝з│ем, ▓ем бол╝╕е цм│▒о░н╗╡ч би▓ов м╗ накопим: в каждом
гей▓е м╗ должн╗ ╡░ани▓╝ в╡одн╗е би▓╗ дл┐ ▒о╡░анени┐ об░а▓имо▒▓и.
Д░│гими ▒ловами, комп╝╛▓е░, по▒▓░оенн╗й из логи╖е▒ки об░а▓им╗╡
гей▓ов вме▒▓о об╗╖н╗╡, логи╖е▒ки необ░а▓им╗╡ гей▓ов, вел б╗ ▒еб┐
как
f : a ! (a; j (a); f (a));
▒ бол╝╕им ╖и▒лом дополни▓ел╝н╗╡ м│▒о░н╗╡ би▓ов j (a).
Бенне▓▓ ░е╕ил ╜▓│ п░облем│, показав, ╖▓о м│▒о░н╗е би▓╗ мог│▓
б╗▓╝ об░а▓им╗м об░азом ▒▓е░▓╗ на п░омеж│▓о╖н╗╡ ╕ага╡ ▒ минимал╝н╗ми за▓░а▓ами в░емени и пам┐▓и [12, 13]. Иде╛ ░е╕ени┐ Бенне▓▓а можно и▒▓олкова▓╝ на ┐з╗ке ▒лед│╛╣ей п░о╢ед│░╗:
f : a ! (a; j (a); f (a));
FANOUT: (a; j (a); f (a)) ! (a; j (a); f (a); f (a));
f y : (a; j (a); f (a); f (a)) ! (a; f (a));
где f y обозна╖ае▓ возв░а╣ение к нев╗╖и▒ленном│ f , как п░о▓ивоположное к в╗╖и▒лени╛ f ;1 . Сна╖ала в╗╖и▒л┐е▓▒┐ f и п░и ╜▓ом пол│╖а╛▓▒┐
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: │╖ебное ░│ковод▒▓во
19
м│▒о░н╗е би▓╗ и и▒ком╗й в╗╡одной ░ез│л╝▓а▓. За▓ем п░имен┐е▓▒┐
FANOUT-гей▓ дл┐ д│бли░овани┐ в╗╡одного ░ез│л╝▓а▓а. В кон╢е м╗
возв░а╣аем▒┐ к нев╗╖и▒ленной и▒╡одной ┤│нк╢ии f , в╗полн┐┐ в об░а▓н│╛ ▒▓о░он│ опе░а╢и╛ ее в╗╖и▒лени┐. Э▓а п░о╢ед│░а │дал┐е▓ м│▒о░н╗е би▓╗ и пе░вона╖ал╝н╗й в╗╡одной ░ез│л╝▓а▓. Однако д│блика▓
о▒▓ае▓▒┐!
Э▓о заве░╕ае▓ на╕е об▒│ждение │▒▓░ой▒▓ва кла▒▒и╖е▒ки╡ об░а▓им╗╡ комп╝╛▓е░ов. М╗ │▒▓ановили, ╖▓о ▓░ебование об░а▓имо▒▓и не ┐вл┐е▓▒┐ п░еп┐▓▒▓вием дл┐ логи╖е▒кой кон▒▓░│к╢ии в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ма╕ин. П░ежде, ╖ем пе░ено▒и▓╝ ╜▓и идеи на кван▓ов╗е ▒и▒▓ем╗, введем
неко▓о░╗е ╜лемен▓а░н╗е кван▓овоме╡ани╖е▒кие пон┐▓и┐.
6. Элемен▓а░н╗е кван▓ов╗е пон┐▓и┐
Одн│ из п░о▒▓╗╡ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем, в ко▓о░ой имее▓▒┐ два │░овн┐,
п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой ╖а▒▓и╢а ▒о ▒пином 1=2 . Ее бази▒н╗е ▒о▒▓о┐ни┐, ▒пин
вниз j #i и ▒пин вве░╡ j "i, мог│▓ б╗▓╝ пе░еобозна╖ен╗ дл┐ п░ед▒▓авлени┐ двои╖н╗╡ н│л┐ и едини╢╗, ▓. е., ▒оо▓ве▓▒▓венно, j0i и j1i. Со▒▓о┐ние
одной ▓акой ╖а▒▓и╢╗ опи▒╗вае▓▒┐ волновой ┤│нк╢ией = j0i + j1i.
Квад░а▓╗ мод│л┐ комплек▒н╗╡ ко╜┤┤и╢иен▓ов jj2 и j j2 зада╛▓ ве░о┐▓но▒▓и най▓и ╖а▒▓и╢│ в ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡. Обоб╣а┐ ╜▓о
на набо░ k ╖а▒▓и╢ ▒пина 1=2 , пол│╖аем, ╖▓о ▓епе░╝ имее▓▒┐ 2k бази▒н╗╡
▒о▒▓о┐ний (кван▓овоме╡ани╖е▒ки╡ век▓о░ов, ко▓о░╗е об░аз│╛▓ гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во), ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡, ▒кажем, 2k возможн╗м двои╖н╗м ▒▓░окам длин╗ k. Нап░име░, j25i = j11001i = j ""##"i | одно
из ▓аки╡ ▒о▒▓о┐ний дл┐ k = 5.
Разме░но▒▓╝ гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва ░а▒▓е▓ ╜к▒понен╢иал╝но ▒
│вели╖ением k.
В ▒амом об╣ем ▒м╗▒ле кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ и▒пол╝з│╛▓ ╜▓о▓
ог░омн╗й об║ем, ▒к░╗▓╗й даже в ▒ам╗╡ мал╗╡ ▒и▒▓ема╡.
7. Логи╖е▒кие гей▓╗ дл┐ кван▓ов╗╡ би▓ов
В ╜▓ом ░азделе м╗ опи╕ем, как можно по▒▓░ои▓╝ п░оизвол╝н╗е
логи╖е▒кие гей▓╗ дл┐ кван▓ов╗╡ би▓ов.
М╗ на╖нем ▒ ░а▒▒мо▓░ени┐ ░азли╖н╗╡ одноби▓н╗╡ опе░а╢ий и одной дв│би▓ной | XOR-опе░а╢ии. И╡ комбина╢ии до▒▓а▓о╖н╗ дл┐ по-
20
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
▒▓░оени┐ То┤┤оли-гей▓а дл┐ кван▓ов╗╡ би▓ов, или, на ▒амом деле, л╛бой │ни▓а░ной опе░а╢ии на коне╖ном ╖и▒ле би▓ов.
На╖нем ▒ одного кван▓ового би▓а.
п░ед▒▓ави▓╝ ▒о▒▓о┐ни┐ j #i
; ;Е▒ли
и j "i (▓. е. j0i и j1i) как век▓о░╗ 10 и 01 , ▒оо▓ве▓▒▓венно, ▓о наиболее
об╣ем│ │ни▓а░ном│ п░еоб░азовани╛ о▓ве╖ае▓ ма▓░и╢а 2 2 вида
i(++ ) (=2) e;i(+; ) sin (=2)
U ;eei(;+ )cos
sin (=2) ei(;; ) cos (=2) ;
в ко▓о░ой об╗╖но полага╛▓ = = = 0 [14]. И▒пол╝з│┐ ╜▓о▓ опе░а▓о░,
м╗ можем инве░▓и░ова▓╝ би▓╗:
U j0i = ;j1i ; U j1i = j0i:
П░ои▒╕ед╕ее изменение знака озна╖ае▓ по┐вление ┤азового множи▓ел┐, ко▓о░╗й не вли┐е▓ на логи╖е▒к│╛ опе░а╢и╛ гей▓ов и може▓ б╗▓╝
оп│╣ен, е▒ли м╗ за╡о▓им, ▒░аз│ или на более позднем ╜▓апе. Такие одноби▓н╗е в╗╖и▒лени┐ изоб░ажен╗ ▒╡ема▓и╖но как кван▓ова┐ ╢еп╝ на
░и▒. 5 [14, 15].
;
Ри▒. 5. С╡ема▓и╖на┐ диаг░амма кван▓ового ╢икла дл┐ одноби▓ного гей▓а. Лини┐ изоб░ажае▓ один кван▓ов╗й би▓ (▓акой, как задае▓ ╖а▒▓и╢а ▒пина 1=2 ).
Пе░вона╖ал╝но ╜▓о▓ би▓ имее▓ ▒о▒▓о┐ние, опи▒╗ваемое век▓о░ом jAi; по▒ле
▓ого, как он п░ойде▓ ╖е░ез ╜▓│ ╢еп╝, он в╗йде▓ в ▒о▒▓о┐нии U jAi.
Д░│гой важн╗й одноби▓н╗й гей▓ | ╜▓о U;=2 , ко▓о░╗й о▓об░ажае▓ ▒о▒▓о┐ние ▒о ▒пином вниз в ░авн│╛ ▒│пе░пози╢и╛ ▒о▒▓о┐ний ▒о
▒пином вниз и ▒пином вве░╡
U;=2 j0i = p1 (j0i + j1i) :
2
Ра▒▒мо▓░им ▒▓░ок│, задаваем│╛ k ╖а▒▓и╢ами ▒пина 1=2, ▒пин╗ ко▓о░╗╡ пе░вона╖ал╝но нап░авлен╗ вниз. Е▒ли м╗ п░именим на╕ гей▓
незави▒имо к каждой ╖а▒▓и╢е, ▓о пол│╖им ▒│пе░пози╢и╛ в▒е╡ возможн╗╡ двои╖н╗╡ ▒▓░ок длин╗ k:
j0i ! p1q
q;
X
1
a=0
jai;
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: │╖ебное ░│ковод▒▓во
21
где q = 2k . На╕ комп╝╛▓е░ на╡оди▓▒┐ ▓епе░╝ в ▒│пе░пози╢ии ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕ого ╖и▒ла ╢ел╗╡ ╖и▒ел a о▓ 0 до 2k ; 1. П░едположим, ╖▓о
м╗ можем ▓епе░╝ по▒▓░ои▓╝ │ни▓а░н│╛ опе░а╢и╛, ко▓о░а┐ о▓об░ажае▓
па░│ двои╖н╗╡ ▒▓░ок ja; 0i в па░│ ja; f (a)i дл┐ неко▓о░ой ┤│нк╢ии f (a).
Тогда ▓акой │ни▓а░н╗й опе░а▓о░, дей▒▓в│┐ на ▒│пе░пози╢и╛ ▒о▒▓о┐ний
q;
X
1
q;
X
=0
=0
1
p1q ja; 0i ! p1q ja; f (a)i ;
a
a
в╗╖и▒л┐е▓ ┤│нк╢и╛ f (a) па░аллел╝но ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕ое ╖и▒ло
░аз дл┐ ░азли╖н╗╡ в╡одн╗╡ зна╖ений a.
Ч▓об╗ пон┐▓╝, как ▓акие │ни▓а░н╗е опе░а▓о░╗ мог│▓ б╗▓╝ по▒▓░оен╗ из не▒кол╝ки╡ ╜лемен▓а░н╗╡ опе░а▓о░ов, ░а▒▒мо▓░им XOR-гей▓
[14, 15].
Запи▒╗ва┐ дв│╡╖а▒▓и╖н╗е бази▒н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ как век▓о░а
011
001
001
001
B0CC ; j01i = BB1CC ; j10i = BB0CC ; j11i = BB0CC ;
j00i = B
@0A
@0A
@1A
@0A
0
0
0
1
м╗ можем п░ед▒▓ави▓╝ XOR гей▓ │ни▓а░н╗м опе░а▓о░ом
01 0 0 01
B 0 1 0 0 CC :
UXOR B
@0 0 0 1A
0 0 1 0
Зде▒╝ пе░ва┐ ╖а▒▓и╢а дей▒▓в│е▓ как │▒ловн╗й гей▓ дл┐ инве░▓и░овани┐
▒о▒▓о┐ни┐ в▓о░ой ╖а▒▓и╢╗. Легко п░ове░и▓╝, ╖▓о ▒о▒▓о┐ние в▓о░ой ╖а▒▓и╢╗ о▓ве╖ае▓ дей▒▓ви╛ XOR-гей▓, заданного в ▓абли╢е 1. Кван▓ова┐
╢еп╝ дл┐ XOR-гей▓а изоб░ажен на ░и▒. 6.
;
Ри▒. 6. Диаг░амма кван▓ового ╢икла дл┐ XOR-гей▓а. Низ╕ий би▓ jB i инве░▓и░│е▓▒┐ в▒┐кий ░аз, когда ве░╡ний би▓ jAi ┐вл┐е▓▒┐ едини╢ей.
Э▓а ╢еп╝ ╜квивален▓на ╜лемен▓а░ной команде: е▒ли (jAi = 1),
▓о jB i ! NOTjB i; ╖▓о можно понима▓╝ как п░име░ п░ог░амм╗ кван▓ового комп╝╛▓е░а [22]. Скобки j i ┐вл┐╛▓▒┐ напоминанием ▓ого, ╖▓о
22
;
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
м╗ имеем дело ▒ кван▓ов╗ми, а не кла▒▒и╖е▒кими би▓ами. XOR-гей▓
позвол┐е▓ пе░еме╣а▓╝ ин┤о░ма╢и╛, как показано на ░и▒. 7.
Ри▒. 7. Цикл дл┐ пе░е▒▓ановки ме▒▓ами па░╗ би▓ов.
Как по▒▓░ои▓╝ То┤┤оли-гей▓? Главна┐ п░облема ▒ ╜▓им гей▓ом закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о он ▓░еб│е▓ ▓░и би▓а на в╡оде и ▓░и на в╗╡оде.
Каже▓▒┐, ╖▓о ╜▓о ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ кван▓овом│ п░о╢е▒▒│ ░а▒▒е┐ни┐, вкл╛╖а╛╣ем│ ▓░е╡╖а▒▓и╖н╗е ▒▓олкновени┐ [16], ▓░еб│╛╣ие (возможно) непоме░ного кон▓░ол┐ за ╖а▒▓и╢ами [5]. К ▒╖а▒▓╝╛, То┤┤оли-гей▓ може▓
б╗▓╝ по▒▓░оен ▓ол╝ко из п░о╢е▒▒ов дв│╡╖а▒▓и╖ного ░а▒▒е┐ни┐ [15, 17,
18, 19, 20]. В ╖а▒▓но▒▓и, зде▒╝ м╗ показ╗ваем кон▒▓░│к╢и╛, вкл╛╖а╛╣│╛ XOR-гей▓ и неко▓о░╗е одноби▓н╗е гей▓╗ U (░и▒. 8) [14].
;
Ри▒. 8. То┤┤оли-гей▓, по▒▓░оенн╗й из дв│би▓н╗╡ XOR-гей▓ов пл╛▒ неко▓о░╗╡ одноби▓н╗╡ гей▓ов [5, 14]. Э▓а ╢еп╝ вводи▓ неко▓о░╗е дополни▓ел╝н╗е
знаки в │ни▓а░ной ма▓░и╢е UXOR , ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ │дален╗ на более
позднем ╜▓апе.
XOR-гей▓ не ▓ол╝ко до▒▓а▓о╖ен дл┐ в▒е╡ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий на
кван▓овом комп╝╛▓е░е, но он може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован дл┐ по▒▓░оени┐
п░оизвол╝н╗╡ │ни▓а░н╗╡ п░еоб░азований на л╛бом коне╖ном набо░е
би▓ов. Ра▒▒ма▓░ивали▒╝ много╖и▒ленн╗е п░едложени┐, как ▒озда▓╝ ▓акие гей▓╗ [2, 6].
8. Модел╝н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ и кван▓ов╗е
код╗
В ╜▓ом ░азделе м╗ опи╕ем п░о▒▓│╛ модел╝ кван▓ового комп╝╛▓е░а, о▒нованного на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е, об│╖а╛╣ем ма╕ин│
│п░авл┐▓╝ набо░ом ▒пинов. У ╜▓ой модели е▒▓╝ неко▓о░╗е вн│▓░енние
ог░ани╖ени┐, ко▓о░╗е дела╛▓ ░аз░або▓к│ алго░и▓мов на ┐з╗ке в╗▒око-
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: │╖ебное ░│ковод▒▓во
23
го │░овн┐ довол╝но ▒ложной. М╗ об▒│дим неко▓о░╗е из п░авил дл┐ напи▒ани┐ ▓акого кода кван▓ового комп╝╛▓е░а как ┐з╗ка в╗▒окого │░овн┐ и п░иведем п░име░.
Ра▒▒мо▓░им ▒лед│╛╣│╛ модел╝ дей▒▓ви┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а.
Не▒кол╝ко ▓╗▒┐╖ ╖а▒▓и╢ ▒пина 1=2 (или дв│╡│░овнев╗╡ ▒и▒▓ем) пе░вона╖ал╝но на╡од┐▓▒┐ в неко▓о░ом оп░еделенном ▒о▒▓о┐нии, нап░име░, ▒о
в▒еми ▒пинами вниз. Кла▒▒и╖е▒ка┐ ма╕ина бе░е▓ о▓дел╝н╗е ▒пин╗ или
па░╗ ▒пинов и ▒к░е╣ивае▓ и╡ (п░оизвод┐ ╜лемен▓а░н│╛ одноби▓н│╛
опе░а╢и╛ U или дв│би▓н╗й XOR-гей▓); ▒м. ░и▒. 9a, b и c. Э▓и ╜▓ап╗
пов▓о░┐╛▓▒┐ на ░азн╗╡ па░а╡ ▒пинов ▒огла▒но п░едпи▒ани┐м об╗╖ной
комп╝╛▓е░ной п░ог░амм╗. Т. к. ▒пин╗ ▒к░е╣ива╛▓▒┐, ▓о м╗ не должн╗ в╗дел┐▓╝ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒пинов на п░омеж│▓о╖н╗╡ ╜▓апа╡.
;
Ри▒. 9. Модел╝н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ в п░ед▒▓авлении Шо░а [21]. Пе░вона╖ал╝но в▒е ╖а▒▓и╢╗ име╛▓ ▒пин╗ вниз. Э▓ап a) кла▒▒и╖е▒ка┐ ма╕ина
бе░е▓ о▓дел╝н╗е ▒пин╗ или па░╗ ▒пинов и на ╜▓апе b) п░оизводи▓ подоб░анн│╛ одноби▓н│╛ или дв│би▓н│╛ опе░а╢и╛; на ╜▓апе c) ц▒к░е╣енн╗еч ╖а▒▓и╢╗ возв░а╣а╛▓▒┐ на ▒вои пе░вона╖ал╝н╗е ме▒▓а. Э▓и ▓░и ╜▓апа пов▓о░┐╛▓▒┐
много ░аз в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ командами, заданн╗ми об╗╖н╗м кла▒▒и╖е▒ким
комп╝╛▓е░ом. Когда ╜▓о▓ ╢икл заве░╕ен, ╜▓ап d) ▒о▒▓ои▓ в изме░ении ▒о▒▓о┐ни┐ ╖а▒▓и╢ (поме╣а┐ и╡ в неко▓о░│╛ ╖а▒▓н│╛ двои╖н│╛ ▒▓░ок│); ╜▓а
двои╖на┐ ▒▓░ока ┐вл┐е▓▒┐ ░ез│л╝▓а▓ом в╗╖и▒лени┐.
М╗ должн╗ ▒о╡░ани▓╝ кван▓ов│╛ ▒│пе░пози╢и╛ непов░ежденной.
Более ▓ого, в▒е, ╖▓о може▓ на░│╕и▓╝ о░иен▓а╢и╛ ▒пинов или п░е░ва▓╝
24
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
│ни▓а░н│╛ ╜вол╛╢и╛ ▒о▒▓о┐ний, не должно ин▓е░┤е░и░ова▓╝ ▒о ▒пинами. Когда ╜▓о▓ оп░еделенн╗й ╢икл манип│л┐╢ий заве░╕ен, о░иен▓а╢ии
▒пинов изме░┐╛▓▒┐ (░и▒. 9d).
Пол│╖енн╗й набо░ изме░енн╗╡ о░иен▓а╢ий ┐вл┐е▓▒┐ и▓огом в╗╖и▒лени┐.
Е▒ли задана ▓ака┐ па░адигма кван▓ового комп╝╛▓е░а, ▓о как може▓ в╗гл┐де▓╝ его ┐з╗к в╗▒окого │░овн┐ (его комп╝╛▓е░н╗й код)?
Наиболее ▒е░╝езна┐ ▓░│дно▒▓╝, ▒ ко▓о░ой п░и╡оди▓▒┐ ▒▓алкива▓╝▒┐, ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о кван▓ова┐ ин┤о░ма╢и┐ │п░авл┐е▓▒┐ об╗╖н╗м комп╝╛▓е░ом аб▒ол╛▓но ▒леп╗м об░азом | без какого-либо до▒▓│па к
зна╖ени┐м ╜▓ой кван▓овой ин┤о░ма╢ии. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о п░ог░амма
не може▓ и▒пол╝зова▓╝ ▒ок░а╣ени┐, об│▒ловленн╗е зна╖ением кван▓овой пе░еменной (или ░еги▒▓░ом, или би▓ом). Нап░име░, ╢икл╗ должн╗
и▓е░и░ова▓╝▒┐ ▓о╖но ▓о же ▒амое ╖и▒ло ░аз незави▒имо о▓ зна╖ений
кван▓ов╗╡ пе░еменн╗╡. Аналоги╖но, опе░а╢ии │▒ловного пе░е╡ода ╖е░ез бол╝╕ие к│▒ки п░ог░амм╗ должн╗ б╗▓╝ ░азби▓╗ на пов▓о░┐╛╣ие▒┐ │▒лови┐ дл┐ каждого ╕ага. К ▓ом│ же кажда┐ команда, в╗полн┐ема┐
▒ кван▓ов╗ми би▓ами, должна б╗▓╝ логи╖е▒ки об░а▓имой. Так, об╗╖ное п░и▒воение зна╖ени┐ пе░еменной, ▓акое как jai = n; незаконно, а,
вме▒▓о ╜▓ого, оно должно в╗полн┐▓╝▒┐ как п░и░а╣ение пе░вона╖ал╝но
░авной н│л╛ пе░еменной jai = jai + n.
П░име░ ▓акой п░ог░амм╗, ко▓о░а┐ могла б╗ в╗полн┐▓╝▒┐ на ╜▓ой
ма╕ине, мог б╗ в╗гл┐де▓╝ ▒лед│╛╣им об░азом [22]:
do 10 k = 1, worstdiv
jai = jai ; n
if (jai = 0) jq i = jq i + 1
10 continue
do 20 k = 1, worstdiv
if (k > jq i) jai = jai + n
20 continue
Э▓о▓ ┤░агмен▓ п░ог░амм╗ може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован дл┐ в╗╖и▒лени┐ ╖а▒▓ного и о▒▓а▓ка, поме╣енн╗╡ в jqi и jai ▒оо▓ве▓▒▓венно, дл┐
делени┐ jai на n; по▒▓о┐нна┐ worstdiv | ╖и▒ло ░аз, ко▓о░ое в ╡│д╕ем ▒л│╖ае должен п░обега▓╝▒┐ ╢икл. Зде▒╝ jqi пе░вона╖ал╝но ░авен
н│л╛. Кажда┐ команда зде▒╝ | либо об╗╖на┐ комп╝╛▓е░на┐ команда, либо п░ог░амма, вкл╛╖а╛╣а┐ кван▓ов╗е пе░еменн╗е. Пе░в╗е ┐вл┐╛▓▒┐ п░┐м╗ми командами дл┐ вне╕него комп╝╛▓е░а, в ▓о в░ем┐ как
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: │╖ебное ░│ковод▒▓во
25
по▒ледние ▒лед│е▓ ин▓е░п░е▓и░ова▓╝ как по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ манип│л┐╢ий, ко▓о░╗е должн╗ ▒ове░╕а▓╝▒┐ ▒ кван▓ов╗ми би▓ами. Так, как
она напи▒ана, ╜▓а п░ог░амма ┐вл┐е▓▒┐ необ░а▓имой (и ▓акже не о╖ен╝
╜┤┤ек▓ивной), нап░име░, иден▓и┤ика▓о░ 10 не дае▓ опи▒ани┐ ▓ого, какой п│▓╝ должен б╗ б╗▓╝ и▒пол╝зован, ╖▓об╗ доб░а▓╝▒┐ до него. Она,
однако, легко може▓ б╗▓╝ пе░епи▒ана [22].
9. Кван▓ов╗й па░аллелизм. Пе░иод
по▒ледова▓ел╝но▒▓и
Тепе░╝ на╕и╡ знаний до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ пон┐▓╝, как кван▓ов╗й
комп╝╛▓е░ може▓ в╗полн┐▓╝ логи╖е▒кие опе░а╢ии и в╗╖и▒л┐▓╝ подобно об╗╖ном│ комп╝╛▓е░│. В ╜▓ом ░азделе м╗ опи╕ем алго░и▓м, и▒пол╝з│╛╣ий кван▓ов╗й па░аллелизм, на ко▓о░╗й м╗ │же намекали:
пои▒к пе░иода длинной по▒ледова▓ел╝но▒▓и.
Ра▒▒мо▓░им по▒ледова▓ел╝но▒▓╝
f (0); f (1); : : : ; f (q ; 1);
k
где q = 2 ; ╖▓об╗ най▓и ее пе░иод, м╗ и▒пол╝з│ем кван▓ов╗й па░аллелизм. На╖нем ▒ ▒овок│пно▒▓и ╖а▒▓и╢, ▒пин╗ ко▓о░╗╡ пе░вона╖ал╝но
нап░авлен╗ вниз. Сг░│ппи░│ем и╡ в два набо░а (два кван▓ов╗╡ ░еги▒▓░а, или кван▓ов╗е пе░еменн╗е):
j0; 0i = j # ; # ; : : : ; # ; # ; : : : i ;
п░и ╜▓ом пе░в╗й ░┐д ▒оде░жи▓ k би▓ов, и ╖и▒ло би▓ов в д░│гом до▒▓а▓о╖но дл┐ на╕и╡ ╢елей. (В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, ▓░еб│╛▓▒┐ и д░│гие
░еги▒▓░╗, но зна┐ ░е╕ение Бенне▓▓а зада╖и об │бо░ке м│▒о░а, пока о
ни╡ можно │мол╖а▓╝.)
П░именив к каждом│ би▓│ пе░вого ░еги▒▓░а одноби▓н│╛ опе░а╢и╛ U;=2 , пол│╖им ▒│пе░пози╢и╛ в▒е╡ возможн╗╡ двои╖н╗╡ ▒▓░ок
длин╗ k в ╜▓ом ░еги▒▓░е:
! p1q
q;
X
1
a=0
ja; 0i :
След│╛╣ий ╕аг ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о в╗╖и▒ление ┤│нк╢ии f (a) ░азбивае▓▒┐ на ░┐д одноби▓н╗╡ и дв│би▓н╗╡ │ни▓а░н╗╡ опе░а╢ий. По▒ледова▓ел╝но▒▓╝ опе░а╢ий кон▒▓░│и░│е▓▒┐ ▓аким об░азом, ╖▓об╗ п░еоб░азова▓╝ ▒о▒▓о┐ние ja; 0i в ▒о▒▓о┐ние ja; f (a)i дл┐ л╛бого a. Чи▒ло би▓ов,
26
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
необ╡одим╗╡ дл┐ в▓о░ого ░еги▒▓░а, должно б╗▓╝, по к░айней ме░е, до▒▓а▓о╖н╗м дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ вме▒▓и▓╝ ▒ам╗й длинн╗й ░ез│л╝▓а▓ f (a)
дл┐ л╛бого из ╜▓и╡ в╗╖и▒лений. Когда ╜▓а по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ опе░а╢ий п░имен┐е▓▒┐ к на╕ей ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕ой ▒│пе░пози╢ии, а не
к одном│ ▒о▒▓о┐ни╛ на в╡оде, м╗ пол│╖аем
! p1q
q;
X
1
a=0
ja; f (a)i :
Эк▒понен╢иал╝но бол╝╕ое ╖и▒ло в╗╖и▒лений п░оводи▓▒┐ по ▒│╣е▒▓в│
бе▒пла▓но.
Коне╖н╗й в╗╖и▒ли▓ел╝н╗й ╕аг, ▓акже как и пе░в╗й, оп┐▓╝ ┐вл┐е▓▒┐ ╖и▒▓о кван▓овоме╡ани╖е▒ким. Ра▒▒мо▓░им ди▒к░е▓ное цкван▓овоеч
п░еоб░азование Ф│░╝е пе░вого ░еги▒▓░а
jai ! p1
q;
X
1
q c=0 e
2
iac=q jc; f (a)i :
Легко заме▓и▓╝, ╖▓о оно об░а▓имо в ░ез│л╝▓а▓е об░а▓ного п░еоб░азовани┐ (не▓░│дно п░ове░и▓╝, ╖▓о оно │ни▓а░но). Э┤┤ек▓ивн╗й ▒по▒об
в╗╖и▒лени┐ ╜▓ого п░еоб░азовани┐ ▒ помо╣╝╛ одноби▓н╗╡ и дв│би▓н╗╡
гей▓ов б╗л опи▒ан Коппе░▒ми▓ом (░и▒. 10) [23, 24, 6].
;
Ри▒. 10. Цеп╝ дл┐ кван▓ового п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е пе░еменной
jak;1 : : : a1 a0 i, и▒пол╝з│╛╣а┐ ме▓од Коппе░▒ми▓а б╗▒▓░ого п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е [23, 24, 6]. Дв│би▓н╗е цXn ч-гей▓╗, в ▒во╛ о╖е░ед╝, мог│▓ б╗▓╝
░азложен╗ в неко▓о░╗е одноби▓н╗е и XOR-гей▓╗ [14].
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: │╖ебное ░│ковод▒▓во
27
Когда ╜▓о кван▓овое п░еоб░азование Ф│░╝е п░имен┐е▓▒┐ к на╕ей
▒│пе░пози╢ии, м╗ пол│╖аем
! 1q
q; X
q;
X
1
1
a=0 c=0
jc; f (a)i :
В╗╖и▒ление ▓епе░╝ заве░╕ено, и м╗ во▒▒▓анавливаем ░ез│л╝▓а▓ на в╗╡оде кван▓ового комп╝╛▓е░а, изме░┐┐ ▒о▒▓о┐ние в▒е╡ ▒пинов в пе░вом
░еги▒▓░е (дл┐ пе░в╗╡ k би▓ов). В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, как ▓ол╝ко п░еоб░азование Ф│░╝е в╗полнено, в▓о░ой ░еги▒▓░ може▓ б╗▓╝ даже о▓б░о╕ен [27].
Как б│де▓ в╗гл┐де▓╝ в╗╡од?
П░едположим, ╖▓о f (a) имее▓ пе░иод r, ▓. е. f (a + r) = f (a). С│мма
по a п░иводи▓ к кон▒▓░│к▓ивной ин▓е░┤е░ен╢ии ко╜┤┤и╢иен▓ов, ▓ол╝ко когда c=q к░а▓но об░а▓ном│ пе░иод│ 1=r [25]. П░и в▒е╡ д░│ги╡ зна╖ени┐╡ c=q п░ои▒╡оди▓ в бол╝╕ей или мен╝╕ей ▒▓епени де▒▓░│к▓ивна┐
ин▓е░┤е░ен╢и┐. Таким об░азом, ░а▒п░еделение ве░о┐▓но▒▓и най▓и пе░в╗й ░еги▒▓░ ▒ ░азли╖н╗ми зна╖ени┐ми ▒╡ема▓и╖но показано на ░и▒. 11.
;
Ри▒. 11. Г░а┤ик зави▒имо▒▓и ве░о┐▓но▒▓и каждого ░ез│л╝▓а▓а о▓но▒и▓ел╝но c=q. Кон▒▓░│к▓ивна┐ ин▓е░┤е░ен╢и┐ дае▓ │зкие пики п░и зна╖ени┐╡ c=q,
к░а▓н╗╡ об░а▓ном│ пе░иод│ по▒ледова▓ел╝но▒▓и 1=r.
Один полн╗й ╢икл ░або▓╗ кван▓ового комп╝╛▓е░а дае▓ ▒л│╖айное
зна╖ение c=q, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее одном│ из пиков ве░о┐▓но▒▓и каждого ░ез│л╝▓а▓а prob(c). Ина╖е гово░┐, м╗ пол│╖аем ▒л│╖айное зна╖ение,
к░а▓ное об░а▓ном│ пе░иод│. Дл┐ в╗делени┐ ▒амого пе░иода нам н│жно
▓ол╝ко пов▓о░и▓╝ ╜▓о кван▓овое в╗╖и▒ление, г░│бо гово░┐, log log r=k
░аз дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ пол│╖и▓╝ в╗▒ок│╛ ве░о┐▓но▒▓╝, по к░айней ме░е,
одном│ из к░а▓н╗╡ б╗▓╝ взаимно п░о▒▓╗м ▒ пе░иодом r | ▓огда он од-
28
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
нозна╖но оп░едел┐е▓▒┐ [1]. Таким об░азом, ╜▓о▓ алго░и▓м дае▓ ▓ол╝ко
ве░о┐▓но▒▓н╗й ░ез│л╝▓а▓. К ▒╖а▒▓╝╛, м╗ можем ▒дела▓╝ ╜▓│ ве░о┐▓но▒▓╝ на▒▓ол╝ко бол╝╕ой, на▒кол╝ко за╡о▓им.
В▒┐ опи▒анна┐ в╗╕е ░або▓а може▓ показа▓╝▒┐ не▒кол╝ко обе▒к│░ажива╛╣ей. М╗ ▒▓олкн│ли▒╝ ▒ бол╝╕ими ▓░│дно▒▓┐ми п░и кон▒▓░│и░овании кван▓ового комп╝╛▓е░а дл┐ пои▒ка пе░иода по▒ледова▓ел╝но▒▓и.
П░еим│╣е▒▓во, однако, ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ в╗╖и▒л┐е▓▒┐ па░аллел╝но и ┐вл┐е▓▒┐ ╜к▒понен╢иал╝но длинной | даже дл┐
малого коли╖е▒▓ва би▓ов, ▒кажем k = 140, в пе░вом ░еги▒▓░е кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ пол│╖ал и ▒о╡░ан┐л бол╝╕е ░ез│л╝▓а▓ов, ╖ем ╖и▒ло
╖а▒▓и╢ во в▒еленной. Сей╖а▒ м╗ опи╕ем п░о▒▓│╛ ▒▓░│к▓│░│, ко▓о░а┐
▒│╣е▒▓в│е▓ в ма▓ема▓и╖е▒кой зада╖е ┤ак▓о░иза╢ии и ко▓о░а┐ позвол┐е▓ п░имени▓╝ в ╜▓ом ▒л│╖ае опи▒анн╗й в╗╕е алго░и▓м кван▓ов╗╡
в╗╖и▒лений.
10. Фак▓о░иза╢и┐ ╖и▒ел
М╗ ╡о▓им ┤ак▓о░изова▓╝ ╖и▒ло N . До▒▓а▓о╖но най▓и ╡о▓┐ б╗ один
множи▓ел╝, ▓ак как за▓ем м╗ можем ▒ве▒▓и зада╖│ к более п░о▒▓ой.
П░ежде в▒его, в╗бе░ем ╖и▒ло x.
С помо╣╝╛ алго░и▓ма Евклида (▒м. п░иложение) можно ╜┤┤ек▓ивно в╗╖и▒ли▓╝ об╣ие множи▓ели │ N и x, и ░ед│╢и░ова▓╝ зада╖│.
По╜▓ом│ п░едположим, ╖▓о ╜▓и ╖и▒ла взаимно п░о▒▓╗. За▓ем ░а▒▒мо▓░им по▒ледова▓ел╝но▒▓╝, об░азованн│╛ ┤│нк╢ией f (a) = xa (mod N ).
Зде▒╝ a (mod b) обозна╖ае▓ о▒▓а▓ок о▓ делени┐ a на b. Он може▓ понима▓╝▒┐ как ╖а▒, показ╗ваем╗й на ╢и┤е░бла▓е ▒ b делени┐ми по▒ле ▓ого,
как п░о╕ло a ╖а▒ов ▒ ▓е╡ по░, когда ╖а▒╗ б╗ли по▒▓авлен╗ на н│левой
╖а▒ (╖а▒ b).
По▒ледова▓ел╝но▒▓и fxa g и fxa (mod N )g в╗гл┐д┐▓, ▒оо▓ве▓▒▓венно, как
1 ; x ; : : : ; xr;1 ; xr ; xr+1 ; : : :
1| ; x;{z: : : ; }; 1| ; x;{z: : : ; }; 1| ; x;{z: : : ; };
r ╖ленов
r ╖ленов
r
╖ленов
Чи▒ло r | ╜▓о минимал╝на┐ ▒▓епен╝, дл┐ ко▓о░ой xr = 1 (mod N ).
П░и▒▓ал╝н╗й взгл┐д на нижн╛╛ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ обна░│жи▓,
╖▓о она имее▓ пе░иоди╖е▒к│╛ ▒▓░│к▓│░│ ▒ пе░иодом r. И▒пол╝з│┐ ▒▓анда░▓н╗е алго░и▓м╗, ╜▓о▓ пе░иод дл┐ длинн╗╡ по▒ледова▓ел╝но▒▓ей по-
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: │╖ебное ░│ковод▒▓во
29
л│╖и▓╝ ве▒╝ма неп░о▒▓о. Однако опи▒анн╗м в п░ед╗д│╣ем ░азделе алго░и▓мом дл┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а он може▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лен ╜┤┤ек▓ивн╗м об░азом. Э▓а возможно▒▓╝, как м╗ ▒ей╖а▒ п░одемон▒▓░и░│ем,
о▓к░╗вае▓ нов╗й ▒по▒об най▓и множи▓ели ╖и▒ла N:
Давай▓е п░едположим, ╖▓о опи▒анн╗м в╗╕е алго░и▓мом кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений м╗ пол│╖или пе░иод r [26]. Е▒ли ╜▓о▓ пе░иод ╖е▓н╗й,
м╗ можем п░и▒▓│пи▓╝ к на╕ем│ алго░и▓м│ ┤ак▓о░иза╢ии. Е▒ли не▓,
м╗ должн╗ в╗б░а▓╝ д░│гое x и на╖а▓╝ ▒на╖ала. Сл│╖айн╗м об░азом
в╗б░анное x п░иведе▓ к под╡од┐╣ем│ ╖е▓ном│ пе░иод│ r в п┐▓иде▒┐▓и
п░о╢ен▓а╡ ▒л│╖аев, по╜▓ом│ понадоби▓▒┐ не ▓ак много поп╗▓ок [1, 2].
П░и▒▓│пим ▓епе░╝ к алго░и▓м│ ┤ак▓о░иза╢ии. В╗б░ав x ▓ак, ╖▓о
по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ fxa (mod N )g имее▓ ╖е▓н╗й пе░иод r ; пе░епи╕ем
▒оо▓но╕ение xr = 1 (mod N ) как ░азно▒▓╝ дв│╡ квад░а▓ов:
xr=2 ; 1 0 (mod N ):
2
В╗░ажа┐ лев│╛ ▒▓о░он│ как п░оизведение ▒│мм╗ и ░азно▒▓и, пол│╖им
xr=2 + 1 xr=2 ; 1 0 (mod N ):
Э▓о п░о▒▓о озна╖ае▓, ╖▓о п░оизведение дв│╡ ▒омножи▓елей ▒лева к░а▓но
╖и▒л│ N; ко▓о░ое м╗ ╡о▓им ┤ак▓о░изова▓╝. Таким об░азом, или один,
или д░│гой ▒омножи▓ел╝ должен име▓╝ об╣ий множи▓ел╝ ▒ N : Окон╖а▓ел╝н╗й ╜▓ап алго░и▓ма ▒о▒▓ои▓ в в╗╖и▒лении наибол╝╕его об╣его
дели▓ел┐ каждого из ╜▓и╡ ▒омножи▓елей ▒ N (╜┤┤ек▓ивн╗й кла▒▒и╖е▒кий алго░и▓м опи▒ан в п░иложении). Л╛бой не▓░ивиал╝н╗й об╣ий
дели▓ел╝ ┐вл┐е▓▒┐ множи▓елем, ко▓о░╗й м╗ и▒кали. Таким об░азом,
пои▒к б│де▓ заве░╕ен.
В ка╖е▒▓ве п░име░а ░а▒▒мо▓░им ╖и▒ло N = 91: В╗би░а┐ x = 3;
найдем, ╖▓о по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ 3a (mod 9)1 имее▓ вид
a : 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;
7; : : :
3a : 1; 3; 9; 27; 81; 243; 243; 2187; : : :
3a (mod 9)1 : 1; 3; 9; 27; 81; 61; 1;
3; : : :
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ може▓ в╗╖и▒л┐▓╝ пе░иод па░аллел╝но, однако зде▒╝ до▒▓а▓о╖но взгл┐н│▓╝ невоо░│женн╗м глазом, ╖▓об╗ заме▓и▓╝, ╖▓о по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ имее▓ пе░иод r = 6 (▓ак как он ╖е▓н╗й,
можно п░и▒▓│па▓╝ к алго░и▓м│).
30
С. Л. Б░а│н╕▓ейн
Пе░епи▒╗ва┐ ▒оо▓но╕ение 36 1 (mod 9)1 как ▒казано в╗╕е, пол│╖им 28 26 0 (mod 9)1: Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о либо НОД (28, 91),
либо НОД (26, 91) ┐вл┐╛▓▒┐ не▓░ивиал╝н╗ми дели▓ел┐ми 91. В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, в ╜▓ом ▒л│╖ае оба ╖лена да╛▓ ░азли╖н╗е множи▓ели,
▒оо▓ве▓▒▓венно, 7 и 13. Э▓о заве░╕ае▓ ░азложение ╖и▒ла 91 на п░о▒▓╗е
множи▓ели: 91 = 7 13:
11. Пе░▒пек▓ив╗
Каков╗ пе░▒пек▓ив╗ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений? В ╜▓ом ░азделе м╗
об▒│дим пои▒ки д░│ги╡ алго░и▓мов и опи╕ем наибол╝╕ие ▓░│дно▒▓и,
возника╛╣ие п░и по▒▓░оении кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов.
В ╜▓ой ▒▓а▓╝е м╗ об▒│дили один алго░и▓м, п░ивод┐╣ий к ╜к▒понен╢иал╝ном│ │▒ко░ени╛ по ▒░авнени╛ ▒ об╗╖н╗ми ме▓одами |
╜┤┤ек▓ивное в╗╖и▒ление пе░иода длинной по▒ледова▓ел╝но▒▓и. Сегодн┐ ╜▓о | един▒▓венн╗й алго░и▓м, обна░│жива╛╣ий ▓акое │▒ко░ение.
Э▓о▓ алго░и▓м б╗л п░именен к ▓░ади╢ионной зада╖е в╗╖и▒ли▓ел╝ной
ма▓ема▓ики | зада╖е ┤ак▓о░иза╢ии ▓ол╝ко благода░┐ понимани╛ гл│бокой ▒▓░│к▓│░╗, лежа╣ей в о▒нове ╜▓ой п░облем╗. Э▓о ▓░ебование
оказ╗вае▓▒┐ об╣им | кван▓ов╗й па░аллелизм п░иведе▓ к ╜к▒понен╢иал╝ном│ │▒ко░ени╛ ▓ол╝ко в ▓е╡ зада╖а╡, ▒▓░│к▓│░а ко▓о░╗╡ позвол┐е▓ избежа▓╝ необ╡одимо▒▓и п░ове░ки ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕ого ╖и▒ла
░е╕ений [28, 29, 30, 31]. Таким об░азом, под╡од ▒ п░именением г░│бой
▒ил╗ к неко▓о░╗м ▒ложней╕им в╗╖и▒ли▓ел╝н╗м воп░о▒ам, изве▒▓н╗м
как NP-полн╗е зада╖и, не п░иведе▓ к │▒пе╡│ и ▒ и▒пол╝зованием кван▓ового па░аллелизма. Л╛бой п░ог░е▒▒ в ░е╕ении ▓аки╡ зада╖ ▓░еб│е▓
обна░│жени┐ неко▓о░ой ▒▓░│к▓│░╗, лежа╣ей в и╡ о▒нове. Вме▒▓о ╜▓ого,
кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗, по╡оже, б│д│▓ наиболее полезн╗ дл┐ модели░овани┐ мал╗╡ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем и │п░авлени┐ ими [6].
На▒кол╝ко ▓░│дно б│де▓ по▒▓░ои▓╝ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░? Даже в
░амка╡ о╖евидно мал╗╡ ▒и▒▓ем а▓омного ░азме░а кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ п░о╡од┐▓ на ог░омном об║еме гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва. Кван▓овое в╗╖и▒ление под░аз│мевае▓ по▒▓░оение ▓░аек▓о░ии о▓ ▒▓анда░▓ного
на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ к ▒ложном│ коне╖ном│ ▒о▒▓о┐ни╛. Главна┐ ▓░│дно▒▓╝ ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓об╗ де░жа▓╝▒┐ ╜▓ой ▓░аек▓о░ии. Покин│▓╝ ее |
озна╖ае▓ и▒╖езн│▓╝ в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве. Наибол╝╕а┐ п░облема | ╜▓о ▒ве░╡╖│в▒▓ви▓ел╝но▒▓╝ к возм│╣ени┐м, ▒двига╛╣им в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ ▓░аек▓о░и╛ ▒л│╖айн╗м об░азом ▒ ее нап░авлени┐. Такие
Ли▓е░а▓│░а
31
возм│╣ени┐ п░ои▒╡од┐▓ о▓ некон▓░оли░│ем╗╡ ▒в┐зей ▒ вне╕ним ╕│мом [32]. Сли╕ком ░ано п░ед▒каз╗ва▓╝ ▓┐же▒▓╝ ╜▓ой п░облем╗. Хо▓┐
каже▓▒┐, ╖▓о не▓ ┤│ндамен▓ал╝н╗╡ ог░ани╖ений на ▓о, как ╡о░о╕о м╗
можем изоли░ова▓╝ кван▓ов│╛ ▒и▒▓ем│. В на▒▓о┐╣ее в░ем┐ неко▓о░╗е
░еализа╢ии кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов ░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐ ▓ео░е▓иками и
╜к▒пе░имен▓а▓о░ами в ░азн╗╡ ▒▓░ана╡ [17, 18, 33, 34, 35, 36, 37]. Одна
многообе╣а╛╣а┐ ▒╡ема вкл╛╖ае▓ ионн╗е лов│╕ки [34, 35] | ▒лед│╛╣ее поколение об░аз╢ов а▓омн╗╡ ╖а▒ов. В ▓е╖ение ▒лед│╛╣и╡ дв│╡
де▒┐▓иле▓ий об╗╖н╗е комп╝╛▓е░╗ до▒▓игн│▓ а▓омн╗╡ ░азме░ов; возможно, кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ до▒▓игн│▓ ╜▓и╡ ░азме░ов ░ан╝╕е.
12. П░иложение
Зде▒╝ м╗ опи╕ем алго░и▓м Евклида дл┐ на╡ождени┐ наибол╝╕его
об╣его дели▓ел┐ (НОД) дв│╡ ╖и▒ел n0 > n1 [38]. Алго░и▓м о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ как по▒ледова▓ел╝ное деление ▒ о▒▓а▓ком ▒лед│╛╣и╡ ╖и▒ел:
n0 = d1 n1 + n2
n1 = d2 n2 + n3
nm;2 = dm;1 nm;1 + nm
nm;1 = dm nm + 0;
где dm | ╖а▒▓н╗е и nm;1 > nm на каждом ╕аге. По▒ледний нен│левой
о▒▓а▓ок nm дае▓ о▓ве▓, ▓. е. НОД(n0 ; n1 ) = nm : Нап░име░, по▒ледова-
▓ел╝но▒▓╝ делений
91 = 3 28 + 7
28 = 4 7 + 0;
дае▓ НОД(28; 91) = 7 п░┐мо за два ╕ага. В ╡│д╕ем ▒л│╖ае ╖и▒ло ╕агов,
▓░еб│ем╗╡ дл┐ в╗полнени┐ алго░и▓ма Евклида, ░авно O(log log n1 ):
Ли▓е░а▓│░а
[1] P. W. Shor. In Proc. 35th Annual Symposium on the Foundations of
Computer Science, edited by S. Goldwasser (IEEE Computer Society
Press, Los Alamitos, California, 1994), p. 124.
32
Ли▓е░а▓│░а
[2] Более де▓ал╝ное опи▒ание алго░и▓ма Шо░а можно най▓и в ░або▓е: A. Ekert and R. Jozsa. Shor's quantum algorithm for factorizing
numbers, Rev. Mod. Phys. 1995, to appear.
[3] A. M. Odiyzko. The future of integer factorization, AT&T Bell
Laboratories preprint 1995.
0
[3 ] R. Rivest, A. Shamir and L. Adieman. On digital signatures and publickey cryptosystems, MIT Laboratory for Computer Science, preprint
MIT/LCS/TR-212,1979.
[4] D. Atkins, M. Gra, A. K. Lenstra and P. C. Leyland. In Advances in
Cryptology{ASIACRYPT'94, Eds. J. Pieprzyk and R. Safavi-Naini.
Lecture Notes in Comp. Sci. 917 (Springer Verlag, Berlin, 1995), p. 263.
[5] D. P. DiVincenzo, presented at Quantum Computation 1994, Villa
Gualino, Turin, Italy, October 1994, unpublished.
[6] D. P. DiVincenzo. Quantum computation. Science, to appear 1995.
[7] R. W. Keyes. IBM J. Res. Develop. 32, 24 (1988).
[8] The seminal paper in reversible computation: R. Landauer. IBM J.
Res. Develop. 3, 183 (1961).
[9] This paper describes the history of reversible computation:
C. H. Bennett. IBM J. Res. Develop. 32, 16 (1988).
[10] T. Tooli. In Automata, Languages and Programming, Eds. J. W. de
Bakker and J. van Leeuwen (Springer-Verlag, New York, 1980) p. 632.
[11] E. Fredkin and Т. Tooli. Int. J. Theor. Phys. 21, 219 (1982).
[12] С. H. Bennett. IBM J. Res. Develop. 17, 525 (1973).
[13] С. H. Bennett. SIAM J. Comput. 18, 766 (1989).
[14] A. Barenco, C. H. Bennett, R. Cleve, D. P. DiVincenzo, N. Margolus,
P. Shor, T. Sleator, J. Smolin and H. Weinfurter. Elementary gates for
quantum computation, submitted to Phys. Rev. A, 1995.
[15] D. P. DiVincenzo. Phys. Rev. A 51, 1015 (1995).
[16] D. Deutsch. Proc. Roy. Soc. Lond. A 425, 73 (1989).
Ли▓е░а▓│░а
33
[17] A. Barenco, D. Deutsch and A. Ekert. Phys. Rev. Lett. 74, 4083 (1995).
[18] T. Sleator and H. Weinfurter. Phys. Rev. Lett. 74, 4087 (1995).
[19] D. Deutsch, A. Barenco and A. Ekert. Proc. Roy. Soc. Lond. A 449,
669 (1995).
[20] S. Lloyd. Almost any quantum logic gate is universal, Los Alamos
National Laboratory preprint.
[21] P. W. Shor, presented at Quantum Computation 1994, Villa Gualino,
Turin, Italy, October 1994, unpublished.
[22] D. P. DiVincenzo, private communication and work presented at
Quantum Computation 1995, Villa Gualino, Turin, Italy, June 1995,
unpublished.
[23] D. Coppersmith. An approximate Fourier transform useful in quantum
factoring, IBM Research Report RC19642 (1994).
[24] R. Cleve. A note on computing Fourier transforms by quantum
programs, unpublished.
[25] Необ╡одимо, ╖▓об╗ ди▒к░е▓ное п░еоб░азование Ф│░╝е обе▒пе╖ило до▒▓а▓о╖ное ░аз░е╕ение дл┐ в╗делени┐ к░а▓ного об░а▓ном│
пе░иод│ из ▒оо▓но╕ени┐ c=q. Э▓о в▒егда возможно, е▒ли ╖и▒ло
би▓ов k в пе░вом кван▓овом ░еги▒▓░е │довле▓во░┐е▓ не░авен▒▓в│ r2 6 q = 2k .
[26] Так как пе░иод r неизве▒▓ен, м╗ ▓░еб│ем N 2 6 q = 2k . Тогда
п░еоб░азование Ф│░╝е обе▒пе╖ивае▓ на данном ╜▓апе в╗╖и▒лений
до▒▓а▓о╖ное ░аз░е╕ение [1,2].
[27] I. L. Chuang, R. Laamme, P. Shor and W. H. Zurek. Quantum
computers, factoring and decoherence, Report LA-UR-95-241 (1995).
[28] R. Jozsa. Proc. R. Soc. Lond. A 435, 563 (1991).
[29] D. Deutsch and R. Jozsa. Proc. R. Soc. Lond. A 439, 554 (1992).
[30] A. C.-C. Yao. Quantum circuit complexity, preprint.
[31] С. H. Bennett, E. Bernstein, G. Brassard and U. V. Vazirani. Strengths
and weaknesses of quantum computing, preprint.
34
[32]
[33]
[34]
[35]
Ли▓е░а▓│░а
W. G. Unruh. Phys. Rev. A 51, 992 (1995).
S. Lloyd. Science 261, 1569 (1993).
J. I. Cirac and P. Zoller. Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).
Т. Pellizzari, S. A. Gardiner, J. I. Cirac and P. Zoller. Decoherence,
continuous observation and quantum computing: a cavity QED model,
preprint.
[36] Q. A. Turchette, C. J. Hood, W. Lange, H. Mabuchi and H. J. Kimble.
Measurement of conditional phase shifts for quantum logic, Caltech
preprint.
[37] R. Hughes, presented at Quantum Computation 1995, Villa Gualino,
Turin, Italy, June 1995, unpublished.
[38] G. H. Hardy and E. M. Wright. An introduction to the theory of
numbers, Oxford, Clarendon Press, 1979.
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
Давид П. ДиВин╖ен╢о
(David P. DiVincenzo)1
Е▒ли когда-ниб│д╝ комп╝╛▓е░н╗е би▓╗ │мен╝╕а▓▒┐ до
░азме░ов о▓дел╝н╗╡ а▓омов, кван▓ово-ме╡ани╖е▒кие ╜┤┤ек▓╗
мог│▓ ▒ил╝но измени▓╝ ▒ам│ п░и░од│ в╗╖и▒лений. Волнова┐
┤│нк╢и┐ ▓акого комп╝╛▓е░а б│де▓ оп░едел┐▓╝ ▒│пе░пози╢и╛
многи╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п░о╢е▒▒ов, в╗полн┐ем╗╡ однов░еменно. Возника╛╣ий па░аллелизм може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован
дл┐ ╜┤┤ек▓ивного ░е╕ени┐ многи╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п░облем,
▓аки╡, как ░азложение бол╝╕ого ╢елого ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели. Однако ▒оздание кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов п░ед║┐вл┐е▓ ▓акие ▓░ебовани┐ к ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ░еализа╢ии ▒и▒▓ем
▒ в╗▒окой кван▓овой коге░ен▓но▒▓╝╛, о каки╡ пока можно
▓ол╝ко ме╖▓а▓╝. В на▒▓о┐╣ее в░ем┐ ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗е возможно▒▓и в а▓омной ┤изике и в д░│ги╡ обла▒▓┐╡ на│ки позвол┐╛▓ о▒│╣е▒▓ви▓╝ ▓ол╝ко ▒ам╗е ╜лемен▓а░н╗е кван▓ов╗е
в╗╖и▒лени┐.
1. Введение
Как ╖а▒▓о ▒л│╖ае▓▒┐ в ┤изике, плодо▓во░н╗е ░ез│л╝▓а▓╗ до▒▓ига╛▓▒┐ по▒ле ▒о╖е▓ани┐ дв│╡ пона╖ал│ не ▒в┐занн╗╡ идей. Зде▒╝ м╗
об▒│дим ▓акое ▒о╖е▓ание: об║единение кван▓овой ме╡аники и ▓ео░ии
комп╝╛▓е░ов. Вме▒▓е они по░ожда╛▓ нов╗й об║ек▓ | кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, ко▓о░╗й на╖ал оп░едел┐▓╝▒┐ и и▒ка▓╝ п│▓╝ к ░еал╝но▒▓и, ╡о▓┐
╜▓о▓ долгий п│▓╝ п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ пока г░│бо. Иде┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а п░о▒▓а. В и▒п░авно ┤│нк╢иони░│╛╣ем об╗кновенном комп╝╛▓е░е
1 IBM Research Division, Thomas J. Watson Research Center, Post Oce Box 218,
York-town Heightsm, NY 10598, USA.
c Science. vol. 270, 1995.
Пе░евод О. В. Павлов▒кого.
36
Д. П. ДиВин╖ен╢о
в▒е би▓╗ в л╛бой момен▓ в░емени на╡од┐▓▒┐ в оп░еделенном ▒о▒▓о┐нии, ▒кажем 01110010 : : : , Со▒▓о┐ние кван▓ового комп╝╛▓е░а може▓
б╗▓╝ опи▒ано волновой ┤│нк╢ией, п░ед▒▓авимой в виде
= aj01110010 : : : i + bj11101010 : : : i + : : :
(1)
Ко╜┤┤и╢иен▓╗ a; b; : : : | комплек▒н╗е ╖и▒ла, п░и╖ем ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о комп╝╛▓е░ на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии 01110010 : : : ░авна jaj2 , а ▓ого, ╖▓о он на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии 11101010 : : : ░авна jbj2 , и ▓ак далее.
Однако опи▒ание ▒о▒▓о┐ни┐ комп╝╛▓е░а ▒ помо╣╝╛ волновой ┤│нк╢ии
не ог░ани╖ивае▓▒┐ п░о▒▓о п░едположением о неоп░еделенно▒▓и о▓дел╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний, ко▓о░╗е опи▒╗ва╛▓▒┐ ▒ помо╣╝╛ ве░о┐▓но▒▓ей. С│╣е▒▓венное зна╖ение име╛▓ ┤аз╗ комплек▒н╗╡ ко╜┤┤и╢иен▓ов a; b; : : :
Они опи▒╗ва╛▓ ин▓е░┤е░ен╢и╛ межд│ о▓дел╝н╗ми ▒о▒▓о┐ни┐ми комп╝╛▓е░а, ко▓о░а┐ оказ╗вае▓▒┐ ╖░езв╗╖айно полезной п░и в╗╖и▒лени┐╡.
Волнова┐ ┤│нк╢и┐ гово░и▓, ╖▓о комп╝╛▓е░ ▒│╣е▒▓в│е▓ ▒░аз│ во в▒е╡
▒о▒▓о┐ни┐╡ однов░еменно. Е▒ли же б│де▓ п░оизведено изме░ение, в╗дел┐╛╣ее оп░еделенное ▒о▒▓о┐ние, ▓о оно б│де▓ набл╛да▓╝▒┐ ▒ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей ем│ ве░о┐▓но▒▓╝╛.
Сей╖а▒ не ▒│╣е▒▓в│е▓ комп╝╛▓е░а, ко▓о░╗й ╡о░о╕о опи▒╗вал▒┐
б╗ ▓акой волновой ┤│нк╢ией, ▒ов░еменн╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ма╕ин╗ в
▓о╖но▒▓и │довле▓во░┐е▓ │▒лови┐м кла▒▒и╖е▒кой ┤изики. Но е▒ли когданиб│д╝ ░азме░╗ комп╝╛▓е░н╗╡ би▓ов ▒ок░а▓┐▓▒┐ до а▓омн╗╡ ░азме░ов, ▓о кван▓овое опи▒ание ▒о▒▓о┐ни┐ би▓ов и динамики комп╝╛▓е░ов може▓ оказа▓╝▒┐ полезн╗м. Фейнман об▒│ждал ╜▓│ возможно▒▓╝
в 1985 год│ и оп▓ими▒▓и╖е▒ки заме▓ил [1]: цКаже▓▒┐, ╖▓о закон╗ ┤изики не б│д│▓ п░еп┐▓▒▓вова▓╝ │мен╝╕ени╛ ░азме░ов комп╝╛▓е░ов до
▓е╡ по░, пока они не до▒▓игн│▓ ░азме░ов а▓омов, ▓огда кван▓овое поведение б│де▓ │же оказ╗ва▓╝ домини░│╛╣ее вли┐ниеч. В ╜▓ой ▒▓а▓╝е
м╗ в пе░в│╛ о╖е░ед╝ об▒│дим о▒нов│ оп▓имизма Фейнмана, опи░а╛╣его▒┐ на ▓о▓ ┤ак▓, ╖▓о кван▓ов╗й аналог комп╝╛▓е░н╗╡ цгей▓овч
можно о▒│╣е▒▓ви▓╝ в ░амка╡ ╡о░о╕о из│╖енной (но ве▒╝ма ▒ложной)
╜к▒пе░имен▓ал╝ной ┤изики. М╗ ▓акже об▒│дим ▓о, ╖его Фейнман не
знал, а именно: │мело и▒пол╝з│┐ кван▓ов│╛ динамик│ дл┐ ▒оздани┐
кон▒▓░│к▓ивной или де▒▓░│к▓ивной ин▓е░┤е░ен╢ии, можно ▒оздава▓╝
│диви▓ел╝но мо╣н╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е алго░и▓м╗, как ┤ак▓о░из│╛╣ий
алго░и▓м Шо░а [2]. За░од╗╕ ╜▓ой идеи по┐вил▒┐ в 1985 год│ в ░або▓е
Дой╖а [3]. Дой╖ показал, ╖▓о кван▓ова┐ ме╡аника │ни╖▓ожае▓ один из
▒ам╗╡ заве▓н╗╡ п░ин╢ипов на│ки о комп╝╛▓е░а╡ | п░ин╢ип однозна╖-
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
37
но▒▓и в╗╖и▒ли▓ел╝ной ▒ложно▒▓и л╛бой ма▓ема▓и╖е▒кой п░облем╗. Со
в░емен ░або▓ Т╝╛░инга [4] ▒╖и▓ало▒╝, ╖▓о о▓ве▓ на воп░о▒, б│де▓ ли
данна┐ зада╖а ░е╕ена за в░ем┐, полиномиал╝но зави▒┐╣ее о▓ ░азме░ов и▒╡одн╗╡ данн╗╡ или за бол╝╕ее в░ем┐, не зави▒и▓ о▓ ┤изи╖е▒кой
аппа░а▓│░╗, на ко▓о░ой ╜▓а зада╖а ░е╕ае▓▒┐. Э▓о▓ п░ин╢ип каже▓▒┐
вполне ▒п░аведлив╗м дл┐ в▒е╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ма╕ин, опе░и░│╛╣и╡
п░ин╢ипами кла▒▒и╖е▒кой ┤изики, но кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ мог│▓
░е╕а▓╝ за полиномиал╝ное в░ем┐ зада╖и, ко▓о░╗е ▓░еб│╛▓ бол╝╕его
в░емени на л╛бой кла▒▒и╖е▒кой ма╕ине.
2. С▓░ои▓ел╝н╗е блоки кван▓овой логики
В ╜▓ом ░азделе м╗ п░едлагаем по▒мо▓░е▓╝, как кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ можно ░еализова▓╝ на п░ак▓ике. Под╖е░кнем, ╖▓о по к░айней
ме░е на ╜▓и╡ не▒кол╝ки╡ пе░в╗╡ ╕ага╡ необ╡одим╗е опе░а╢ии ▒в┐зан╗ ▒ ╡о░о╕о изве▒▓н╗ми п░о╢ед│░ами в ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ┤изике. В
о▒нове в▒ей ╜▓ой кон▒▓░│к╢ии лежи▓ к│би▓ (или кван▓ов╗й би▓) [5] |
кван▓ова┐ ▒и▒▓ема, ко▓о░а┐, как и об╗кновенн╗й комп╝╛▓е░н╗й би▓,
имее▓ два возможн╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐, но, в о▓ли╖ие о▓ об╗кновенного би▓а, може▓ на╡оди▓▒┐ в ▒│пе░пози╢ии ╜▓и╡ дв│╡ ▒о▒▓о┐ний. В ┤изике
изве▒▓но много ▓аки╡ ▒и▒▓ем, однако зде▒╝ б│де▓ и▒пол╝зована модел╝
╜лемен▓а░ной ╖а▒▓и╢╗ ▒о ▒пином 1=2, ▓акой, как ╜лек▓░он или п░о▓он.
В ╜▓ом ▒л│╖ае можно ░азли╖и▓╝ ▒о▒▓о┐ние ц▒пин вве░╡ч, обозна╖аемое
как j1i, и ц▒пин внизч, обозна╖аемое как j0i. Как и в б│левой логике, опе░а╢ии в кван▓овой логике б│д│▓ ▒▓░ои▓╝▒┐ из небол╝╕ого набо░а кван▓ов╗╡ гей▓ов, в ко▓о░╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐ в╡одн╗╡ к│би▓ов (в по▒лед│╛╣и╡
п░име░а╡ один или два к│би▓а) п░еоб░аз│╛▓▒┐ вполне оп░еделенн╗м
об░азом и покида╛▓ гей▓╗ в оп░еделенн╗╡ коне╖н╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡. В ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ законами кван▓овой ме╡аники изоли░ованн╗╡ ▒и▒▓ем, в▒е
возможн╗е опе░а╢ии над ╜▓ими ▒и▒▓емами ┐вл┐╛▓▒┐ │ни▓а░н╗ми опе░а▓о░ами, опи▒╗ва╛╣ими ╜вол╛╢и╛ на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ кван▓овой
▒и▒▓ем╗.
Нап░име░, кван▓ов╗й аналог одноби▓ного б│левого NOT-гей▓а, или
гей▓-инве░▓о░а, можно ░еализова▓╝ ▒ помо╣╝╛ ╡о░о╕о изве▒▓ной ▒ п┐▓иде▒┐▓╗╡ годов ▒пек▓░о▒копи╖е▒кой ▓е╡ники. По╖▓и в л╛бой из ╜лемен▓а░н╗╡ книг по кван▓овой ме╡анике [6] показано, ╖▓о ╜вол╛╢ией
▒и▒▓ем╗ ▒о ▒пином 1=2 можно ве▒╝ма ▓о╖но │п░авл┐▓╝ ▒ помо╣╝╛ ░аз│много п░именени┐ зави▒┐╣и╡ о▓ в░емени магни▓н╗╡ полей. Инве░▒и┐
38
;
Д. П. ДиВин╖ен╢о
Ри▒. 1. Дей▒▓вие NOT-гей▓а или гей▓-инве░▓о░а. Гамил╝▓ониан, опи▒╗ва╛╣ий магни▓но-░езонан▒ное воздей▒▓вие, ░ез│л╝▓а▓ом ко▓о░ого ┐вл┐е▓▒┐ дей▒▓вие NOT, имее▓ вид H = g[H0 z + H1 (t)y ]. (A) В░еменна┐ зави▒имо▒▓╝
магни▓ного пол┐ оп░окид╗ва╛╣его имп│л╝▒а в данном ▒л│╖ае п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой ▒ин│▒оид│ ▒ ╖а▒▓о▓ой !, │множенна┐ на ▒▓│пен╝кооб░азн│╛ ┤│нк╢и╛ P(t), о▓ли╖н│╛ о▓ н│л┐ ▓ол╝ко на п░омеж│▓ке о▓ t = 0 до t = T. (B) Диаг░амм╗ ╜не░ге▓и╖е▒ки╡ │░овней дл┐ к│би▓а. Оп░окид╗ва╛╣ий имп│л╝▒ на╡оди▓▒┐ в ░езонан▒е ▒ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей ░азно▒▓╝╛ ╜не░гий межд│ дв│м┐
▒▓а╢иона░н╗ми │░овн┐ми j0i и j1i. (C) Диаг░амма ╜вол╛╢ии ▒о▒▓о┐ний, показ╗ва╛╣а┐ п│▓и ╜вол╛╢ии дв│╡ о▒новн╗╡ ▒о▒▓о┐ний. на диаг░амме озна╖ае▓, ╖▓о в╗деленн╗й ╜▓ой б│квой п│▓╝ п░иоб░е▓ае▓ ▒двиг ┤аз, ░авн╗й 180
(в п░едположении, ╖▓о !T = 0 и T = ).
▒о▒▓о┐ний, п░и ко▓о░ой ▒о▒▓о┐ние ц▒пин вве░╡ч пе░е╡оди▓ в ▒о▒▓о┐ние
ц▒пин внизч и наобо░о▓, о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ ▒ помо╣╝╛ ╡о░о╕о изве▒▓ного оп░окид╗ва╛╣его имп│л╝▒а. П░едположим, ╖▓о м╗ имеем изоли░ованное ▒пиновое ▒о▒▓о┐ние, на╡од┐╣ее▒┐ под воздей▒▓вием комбина╢ии
▒▓а╢иона░ного и зави▒┐╣его о▓ в░емени магни▓н╗╡ полей, опи▒╗ваемое
гамил╝▓онианом
H = 12 g[H0 z + H1 y P (t) sin !t];
(2)
где g | магни▓н╗й дипол╝н╗й момен▓ ╖а▒▓и╢╗ ( = eh=(2mc) в
едини╢а╡ ▒ан▓име▓░-г░амм-▒ек│нда, h | кон▒▓ан▓а Планка, m | ма▒▒а
╖а▒▓и╢╗, c | ▒ко░о▒▓╝ ▒ве▓а), ▒▓а▓и╖е▒кое магни▓ное поле H0 нап░авлено по о▒и z , а имп│л╝▒ пе░еменного магни▓ного пол┐ H1 нап░авлен по
о▒и y; y и z | ▒пинов╗е ма▓░и╢╗ Па│ли, а P (t) | огиба╛╣а┐ имп│л╝▒а, показанна┐ как п░┐мо│гол╝н╗й имп│л╝▒ на ░и▒. 1. В░еменна┐ ╜во-
39
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
л╛╢и┐ (по t) под дей▒▓вием ╜▓ого гамил╝▓ониана под░обно опи▒╗вае▓▒┐
во многи╡ ме▒▓а╡ (нап░име░, в [6]). Во в░ем┐ дей▒▓ви┐ оп░окид╗ва╛╣его имп│л╝▒а пе░еменное магни▓ное поле на╡оди▓▒┐ в ░езонан▒е ▒ ░азно▒▓╝╛ ╜не░гий межд│ дв│м┐ ▒пинов╗ми ▒о▒▓о┐ни┐ми: h! = 2gH0 .
Тогда │ни▓а░на┐ ма▓░и╢а 2 2, опи▒╗ва╛╣а┐ в░еменн│╛ ╜вол╛╢и╛
▒пиновой ▒и▒▓ем╗ на╖ина┐ ▒ t = 0 до t = T , в бази▒е из ▒о▒▓о┐ний
ц▒пин вве░╡ч, ц▒пин внизч п░о▒▓о имее▓ вид ма▓░и╢╗ в░а╣ени┐ (зде▒╝
оп│╣ен╗ ┤азов╗е множи▓ели)
U=
ei!T=2
0
0
e;i!T=2
cos T=2 ; sin T=2
sin T=2 cos T=2
;
(3)
где = gH1 =4~ | ╖а▒▓о▓а Раби. Так как и , и T зави▒┐▓ о▓ па░аме▓░ов оп░окид╗ва╛╣его имп│л╝▒а, м╗ можем пол│╖и▓╝ л╛бой │гол
пово░о▓а. П░и │гле пово░о▓а в 180 г░ад│▒ов, когда T = , ╜вол╛╢и┐
б│де▓ ▒оо▓ве▓▒▓вова▓╝ опе░а╢ии NOT: е▒ли ▒и▒▓ема в на╖але на╡одила▒╝ в ▒о▒▓о┐нии j0i, в кон╢е она пе░ейде▓ в ▒о▒▓о┐ние j1i, и наобо░о▓.
Коне╖но, ╜▓а кла▒▒и╖е▒ка┐ опе░а╢и┐ имее▓ некла▒▒и╖е▒кие ╖е░▓╗, в╗░ажа╛╣ие▒┐ в ┤азов╗╡ ┤ак▓о░а╡, а▒▒о╢ии░│ем╗╡ ▒ в░еменной ╜вол╛╢ией. В об╣ем, они мог│▓ б╗▓╝ в╗б░ан╗ ░авн╗ми едини╢е, ╡о▓┐, ▓ак
как об╗╖но ! , │╖е▓ ╜▓и╡ ┤аз ┐вл┐е▓▒┐, ве░о┐▓но, ▒амой ▒ложной
о▒обенно▒▓╝╛ ме▓ода оп░окид╗ва╛╣и╡ имп│л╝▒ов │ни▓а░н╗╡ п░еоб░азований п░и кон▓░оле ▓о╖но▒▓и.
Тол╝ко ╖▓о опи▒анна┐ опе░а╢и┐ оп░окид╗вани┐ на │гол ни╖ем не
в╗дел┐е▓▒┐ ▒░еди д░│ги╡ ▒пин-░езонан▒н╗╡ опе░а╢ий, можно п░иве▒▓и
полное неп░е░╗вное (▓░е╡па░аме▓░и╖е▒кое) ▒емей▒▓во опе░а╢ий, ▒в┐занное ▒ п░оизвол╝ной SU (2) ма▓░и╢ей [7]. Такие опе░а╢ии п░ед▒▓авл┐╛▓ ▒обой ▒│╣но▒▓╝ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений и п░ида╛▓ им ог░омн╗е
по▓ен╢иал╝н╗е возможно▒▓и.
Дл┐ ▒в┐занной дв│▒пиновой ▒и▒▓ем╗ можно ▒о▒▓ави▓╝ аналоги╖н╗й ▒пин-░езонан▒н╗й п░о▓окол [8, 9, 10], ╡о░о╕о изве▒▓н╗й в ┤изике
двойного ░езонан▒а, ко▓о░╗й позвол┐е▓ по▒▓░ои▓╝ ┤│нк╢и╛ ци▒кл╛╖а╛╣его илич (XOR) [11, 12]. цИ▒кл╛╖а╛╣ее илич (XOR) дв│╡ би▓ов |
╜▓о ▒│мма и╡ б│лев╗╡ зна╖ений, вз┐▓а┐ по мод│л╛ 2. Нов╗м компонен▓ом, ко▓о░╗й необ╡одим дл┐ ▒оздани┐ ци▒кл╛╖а╛╣его илич (XOR)
▒ помо╣╝╛ ▒пин-░езонан▒ной ▓е╡ники, ┐вл┐е▓▒┐ нен│левой гамил╝▓ониан взаимодей▒▓ви┐ дв│╡ ▒пинов межд│ ▒обой. П░о▓окол може▓ б╗▓╝
наиболее п░о▒▓о об║┐▒нен в ▒л│╖ае взаимодей▒▓ви┐ Изинга [9], п░и ╜▓ом
40
Д. П. ДиВин╖ен╢о
гамил╝▓ониан взаимодей▒▓ви┐ п░име▓ вид
H = 12 gf H0 a z + 12 gb H0 b z + Ja z b z + H(t);
(4)
╡о▓┐ по▒▓░оение XOR-п░о▓окола не зави▒и▓ о▓ ┐вного вида взаимодей▒▓ви┐ межд│ ▒пинами a и b. Зде▒╝ H(t) | зави▒┐╣ий о▓ в░емени гамил╝▓ониан, опи▒╗ва╛╣ий по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ оп░окид╗ва╛╣и╡
имп│л╝▒ов. Без оп░окид╗ва╛╣и╡ имп│л╝▒ов ▓акой гамил╝▓ониан опи▒╗вае▓ п░о▒▓о ▒▓а╢иона░н│╛ кван▓ов│╛ ▒и▒▓ем│ ▒ ╖е▓╗░╝м┐ ╜не░ге▓и╖е▒кими │░овн┐ми (░и▒. 2A). Из-за ▒пин-▒пинового взаимодей▒▓ви┐
░азно▒▓и ╜не░гий межд│ л╛бой па░ой ╜не░ге▓и╖е▒ки╡ │░овней ╜▓ой ╖е▓╗░е╡│░овневой ▒и▒▓ем╗ б│д│▓ ░азли╖н╗ми. Э▓о позвол┐е▓ подоб░а▓╝
дл┐ каждого конк░е▓ного ░езонан▒а ▒во╛ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ оп░окид╗ва╛╣и╡ имп│л╝▒ов. Таким об░азом, е▒ли в момен▓ t1 п░иложи▓╝
имп│л╝▒, ╖а▒▓о▓а ко▓о░ого на▒▓░оена на !1 (она оп░едел┐е▓▒┐ ░а▒▒▓о┐нием межд│ пе░в╗м и ▓░е▓╝им │░овнем ▒пек▓░а (░и▒. 2A)), а │гол
пово░о▓а в╗б░а▓╝ ░авн╗м , ▓о к окон╖ани╛ имп│л╝▒а t2 , б│де▓ в╗полнен желаем╗й XOR-гей▓. Оп░окид╗ва┐ ▒пин a, е▒ли ▒пин b на╡оди▓▒┐
в ▒о▒▓о┐нии j1i, и ни╖его не п░едп░инима┐ в п░о▓ивном ▒л│╖ае, ╜▓о▓
имп│л╝▒ пе░еводи▓ ▒пин a в XOR на╖ал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний a и b, о▒▓авл┐┐ ▒пин b в пе░вона╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии, как показано в пе░в╗╡ дв│╡
▒▓олб╢а╡ ▓абли╢╗ и▒▓инно▒▓и на ░и▒. 2C. Обозна╖ение опе░а╢ии, в╗полн┐╛╣ей XOR-гей▓, показано на ░и▒. 2D.
XOR-п░о▓окол ▓е▒но ▒в┐зан ▒ п░о╢ед│░ами, давно изоб░е▓енн╗ми
в ░езонан▒ной ▒пек▓░о▒копии [13]. В 1956 год│ Фе╡е░ п░едложил п░о╢ед│░│ по пе░ено▒│ пол┐░иза╢ии в ╜лек▓░онно-┐де░ном двойном ░езонан▒е (ENDOR), ко▓о░а┐ ▒оде░жи▓ об▒│ждаем╗й в╗╕е XOR-п░о▓окол.
В пе░вона╖ал╝н╗╡ ╜к▒пе░имен▓а╡ Фе╡е░а ▒пин a п░инадлежал вне╕нем│, наиболее │даленном│ не▒па░енном│ ╜лек▓░он│, п░инадлежа╣ем│
п░име▒и ┤о▒┤о░а (P) в к░и▒▓алли╖е▒ком к░емнии (Si), а ▒пин b п░инадлежи▓ близлежа╣ем│ ┐д░│ 29 Si (к▒▓а▓и, дав╕его название ▓е╡нологии).
ENDOR- и XOR-п░о▓окол╗ ░азли╖а╛▓▒┐ ▓ол╝ко ▓ем, ╖▓о п░о╢ед│░а,
п░едложенна┐ Фе╡е░ом, и▒пол╝з│е▓ в▓о░ой имп│л╝▒, на╖ина╛╣ий▒┐ в
момен▓ в░емени t2 и пово░а╖ива╛╣ий ▒пин на │гол . Э▓о▓ в▓о░ой
имп│л╝▒ имее▓ ░езонан▒н│╛ ╖а▒▓о▓│ !2 , ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣│╛ ░азно▒▓и
╜не░гий межд│ пе░в╗м и в▓о░╗м │░овн┐ми ▒пек▓░а, изоб░аженного на
░и▒. 2A. По окон╖ании в▓о░ого имп│л╝▒а в момен▓ в░емени t3 опе░а╢и┐ ENDOR заве░╕ена. Табли╢а и▒▓инно▒▓и дл┐ ╜▓ой опе░а╢ии п░ед▒▓авлена в пе░вом и ▓░е▓╝ем ▒▓олб╢а╡ ░и▒. 2C. В ░ез│л╝▓а▓е дей▒▓ви┐
;
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
41
Ри▒. 2. Дей▒▓вие дв│би▓ного XOR-гей▓а. (A) Диаг░амма ╜не░ге▓и╖е▒ки╡
│░овней дл┐ дв│би▓ной ▒и▒▓ем╗, на ко▓о░ой показан╗ ╖е▓╗░е ▒▓а╢иона░н╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐ гамил╝▓ониана (4). Э▓и ▒о▒▓о┐ни┐ обозна╖ен╗ по нап░авлени╛ ▒пинов jabi. (B) В░еменн╗е ╜вол╛╢ионн╗е п│▓и кван▓овой ▒и▒▓ем╗ под
дей▒▓вием п░о▓окола оп░окид╗ва╛╣и╡ имп│л╝▒ов, опи▒анного в ▓ек▒▓е. Снова, под б│квой обозна╖ае▓▒┐ ▒двиг ┤аз на 180 вдол╝ обозна╖енного ей
п│▓и. (C) Табли╢а и▒▓инно▒▓и, ▒│мми░│╛╣а┐ ░ез│л╝▓а▓╗ в░еменной ╜вол╛╢ии опе░а╢ии о▓ на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ (в░ем┐ t1 ), по▒ле пе░вого (в░ем┐ t2 ) и
по▒ле в▓о░ого (в░ем┐ t3 ) оп░окид╗ва╛╣и╡ имп│л╝▒ов. (D) Обозна╖ение гей▓а, п░оизвод┐╣его XOR-гей▓, пол│╖аемого п│▓ем и▒пол╝зовани┐ пе░в╗╡ дв│╡
имп│л╝▒ов ENDOR-п░о▓окола. В ░ез│л╝▓а▓е дей▒▓ви┐ ╜▓ого гей▓а ▒о▒▓о┐ние
к│би▓а b не измен┐е▓▒┐, а ▒о▒▓о┐ние к│би▓а a ▒▓анови▓▒┐ ░авн╗м ▒│мме a
и b по мод│л╛ 2.
╜▓ой опе░а╢ии ▒пин a (▒пин P-╜лек▓░она в ╜к▒пе░имен▓е Фе╡е░а) ▒оде░жи▓ ░ез│л╝▓а▓ дей▒▓ви┐ XOR-гей▓а на на╖ал╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ a и b.
В дополнение к ╜▓ом│, ▒пин b на╡оди▓▒┐ в ▓ом ▒о▒▓о┐нии, в ко▓о░ом
на╡одил▒┐ ▒пин a в на╖ал╝н╗й момен▓ в░емени. Э▓о и е▒▓╝ ╜┤┤ек▓ пе░ено▒а пол┐░иза╢ии, ко▓о░╗м ин▓е░е▒овал▒┐ Фе╡е░. Дл┐ многи╡ ╢елей
в ┤изике, ╡имии и биологии жела▓ел╝но пе░ене▒▓и ▒пиновое ▒о▒▓о┐ние
╜лек▓░она на ближай╕ее ┐д░о, но ▓о▓ ┤ак▓, ╖▓о ╜▓а п░о╢ед│░а п░оизводи▓ ▓акой ин▓е░е▒н╗й логи╖е▒кий гей▓, как XOR, не о▓ме╖ал▒┐ ░анее
в ENDOR-▒пек▓░о▒копии. Дл┐ по▒▓░оени┐ как одноби▓н╗╡, ▓ак и дв│би▓н╗╡ гей▓ов ▓░еб│╛▓▒┐ в╗▒око▓о╖н╗е ме▓од╗ ╜к▒пе░имен▓ал╝ной
┤изики. Необ╡одимо ▓о╖но кон▓░оли░ова▓╝ в░ем┐ дей▒▓ви┐ оп░окид╗-
42
Д. П. ДиВин╖ен╢о
ва╛╣его имп│л╝▒а, ╖▓об╗ набега╛╣а┐ ┤аза !T б╗ла в ▓о╖но▒▓и ░авна
н│л╛ (или неко▓о░ой д░│гой вели╖ине). Дл┐ дв│би▓н╗╡ опе░а╢ий ▓акже
необ╡одимо, ╖▓об╗ гамил╝▓ониан взаимодей▒▓ви┐, ко▓о░╗й оп░едел┐е▓ ░а▒╣епление ╜не░ге▓и╖е▒ки╡ │░овней ╖е▓╗░е╡│░овневого ▒пек▓░а,
б╗л ▓о╖но изве▒▓ен и кон▓░оли░│ем. К ▓ом│ же ╖а▒▓о▓а, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ пово░о▓│ на │гол , должна п░оизводи▓▒┐ ▓ак, ╖▓об╗ имп│л╝▒,
име╛╣ий номинал╝но ╖а▒▓о▓│ !1 , не имел о▒▓а▓о╖ной малозаме▓ной
▒о▒▓авл┐╛╣ей ▒ ╖а▒▓о▓ой !2 , а ╜▓о ▓░еб│е▓ акк│░а▓ного в╗бо░а ┤о░м╗
имп│л╝▒а (п░┐мо│гол╝н╗й имп│л╝▒, изоб░аженн╗й на ░и▒. 1A невозможен). Многие из │пом┐н│▓╗╡ а▒пек▓ов, в о▒обенно▒▓и ┤о░ма имп│л╝▒ов
и ╖а▒▓о▓на┐ ▒▓абил╝но▒▓╝, ак▓ивно об▒│ждае▓▒┐ в ли▓е░а▓│░е по магни▓н╗м ░езонан▒ам [14].
3. Кван▓ов╗е ▒е▓и
Л╛ба┐ │ни▓а░на┐ опе░а╢и┐ на ▒и▒▓еме к│би▓ов може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлена как ▒овок│пно▒▓╝ │ниве░▒ал╝н╗╡ кван▓ов╗╡ гей▓ов [15, 16].
Имее▓▒┐ в вид│, ╖▓о л╛бое │ни▓а░ное п░еоб░азование в 2n -ме░ном
гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве, на▓┐н│▓ом на n-к│би▓ов, може▓ б╗▓╝ ░азложена в ▒е▓╝ ▓аки╡ │ниве░▒ал╝н╗╡ гей▓ов, по▒ледова▓ел╝но п░имен┐ем╗╡ к ╜▓им к│би▓ам. Две оп░еделенн╗е ░анее опе░а╢ии, одноби▓н╗й
пово░о▓ и дв│би▓н╗й XOR-гей▓, облада╛▓ ╜▓им │ниве░▒ал╝н╗м ▒вой▒▓вом [12]. По╜▓ом│, даже не▒мо▓░┐ на ▓о, ╖▓о ╜▓о в╗╡оди▓ за ░амки на╕и╡ ▒егодн┐╕ни╡ ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗╡ возможно▒▓ей, м╗ можем
по▒▓░ои▓╝ л╛бое кван▓овое в╗╖и▒ление (ко▓о░╗е вкл╛╖а╛▓ в▒е об╗кновенн╗е б│лев╗ опе░а╢ии и не╖▓о бол╝╕ее), п░имен┐┐ ╜▓и опе░а╢ии,
по▒ледова▓ел╝но дей▒▓в│╛╣ие на оп░еделенн╗е к│би▓╗ и па░╗ к│би▓ов
дл┐ по▒▓░оении ▒е▓ей л╛бой ▒ложно▒▓и.
В ка╖е▒▓ве п░име░а и▒пол╝зовани┐ ╜▓и╡ гей▓ов дл┐ ╜┤┤ек▓ивного
кван▓ового в╗╖и▒лени┐, ░а▒▒мо▓░им по▒▓░оение кван▓ового AND-гей▓а, показанного на ░и▒│нке 3 [12, 17]. Э▓а опе░а╢и┐ вкл╛╖ае▓ в ▒еб┐
▓░и би▓а по▓ом│, ╖▓о на╖ал╝н╗е би▓╗ a и c о▒▓а╛▓▒┐ неизменн╗ми во
в░ем┐ опе░а╢ии. Рабо╖ий би▓ b в на╖але на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j0i, а
в ░ез│л╝▓а▓е опе░а╢ии пе░е╡оди▓ в ▒о▒▓о┐ние (a AND c). (Б│лева опе░а╢и┐ AND | п░оизведение зна╖ений дв│╡ би▓ов.) Хо░о╕о изве▒▓но,
╖▓о дв│би▓на┐ опе░а╢и┐ AND необ░а▓има, но ее можно ▒дела▓╝ об░а▓имой, е▒ли вве▒▓и в ░а▒▒мо▓░ение е╣е один би▓ [18, 19]. По▒кол╝к│
│ни▓а░н╗е опе░а╢ии, ко▓о░╗е и▒пол╝з│╛▓▒┐ в кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени-
;
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
43
Ри▒. 3. Кон▒▓░│к╢и┐ AND-гей▓а. (A) Обозна╖ение дл┐ AND-гей▓а, а ▓акже
кон▒▓░│к╢и┐ AND-гей▓а, и▒пол╝з│╛╣а┐ ▓░и XOR-гей▓а и ╖е▓╗░е одноби▓н╗╡ в░а╣ени┐. Э▓о▓ =4 гей▓ ▒в┐зан ▒ дей▒▓ви┐ми, опи▒анн╗ми ┤о░м│лой (3)
c па░аме▓░ами !T = 0 и T = =4 . Е▒ли ░або╖ий к│би▓ б│де▓ в на╖ал╝н╗й
момен▓ в ▒о▒▓о┐нии j0i, ▓о в коне╖н╗й момен▓ он пе░ейде▓ в ▒о▒▓о┐ние ja bi.
(B) Полна┐ ▓абли╢а и▒▓инно▒▓и дл┐ ▓░е╡би▓ного AND-гей▓а. (C) Диаг░амма
╜вол╛╢ии ▒о▒▓о┐ний дл┐ AND-гей▓а, о▓ме╖енн╗╡ в п░омеж│▓о╖н╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡ в░емени, │казан╗ на ░и▒│нке (A). Зде▒╝ по┐вила▒╝ нова┐ о▒обенно▒▓╝:
дл┐ неко▓о░╗╡ на╖ал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний п░омеж│▓о╖ное ▒о▒▓о┐ние п░ед▒▓авл┐е▓
▒обой ▒│пе░пози╢и╛ дв│╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п│▓ей, но коне╖ное ▒о▒▓о┐ние ▒нова ▒▓анови▓▒┐ оп░еделенн╗м, ▓ак как кон▒▓░│к▓ивна┐ ин▓е░┤е░ен╢и┐ ░аз░е╕ае▓ ▒│╣е▒▓вова▓╝ ▓ол╝ко одном│ коне╖ном│ зна╖ени╛, а ▓е п│▓и, ко▓о░╗е
ин▓е░┤е░и░│╛▓ де▒▓░│к▓ивно | и▒╖еза╛▓.
┐╡, об░а▓им╗, кван▓ов╗й AND-гей▓ ▓акже должен ▒оде░жа▓╝ ▓░и би▓а. Изоб░аженн╗й на ░и▒. 3A AND-гей▓ ▒оде░жи▓ ▓░и XOR-гей▓а, в
каждом из ни╡ ░ез│л╝▓а▓ ░азме╣ае▓▒┐ в b-к│би▓е, ко▓о░╗й п░и ╜▓ом
п░о╡оди▓ ▒квоз╝ одноби▓н╗е гей▓╗, кажд╗й из ко▓о░╗╡ пово░а╖ивае▓
к│би▓ на 45o. П░и опи▒анной ░еализа╢ии AND-гей▓а коне╖н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ п░иоб░е▓а╛▓ ┤азов╗е ┤ак▓о░╗, ко▓о░╗е (к░оме одного) можно
п░иве▒▓и к едини╢е, а ▒о▒▓о┐ние j110i пе░е╡оди▓ в ;j110i. Во многи╡
▒л│╖а┐╡ ╜▓и изменени┐ ┤аз╗ мог│▓ б╗▓╝ п░иемлем╗ п░и по▒▓░оении
гей▓ов (нап░име░, е▒ли изве▒▓но, ╖▓о на╖ал╝н╗й к│би▓ b може▓ б╗▓╝
в▒егда пе░еведен в j0i), но е▒ли необ╡одимо, ╖▓об╗ в▒е ┤азов╗е ┤ак▓о-
44
Д. П. ДиВин╖ен╢о
░╗ б╗ли ░авн╗ми едини╢е, ▓огда ░еализа╢и┐ AND-гей▓а б│де▓ ▒ложнее
и по▓░еб│е▓ ╕е▒▓и XOR-гей▓ов и во▒╝ми одноби▓н╗╡ гей▓ов [12].
Диаг░амм╗ ▓ипа ▓е╡, ╖▓о изоб░ажен╗ на ░и▒. 3A, да╛▓ обман╖ивое п░ед▒▓авление о п░о▒▓о▓е, ▒ ко▓о░ой ╜лемен▓а░н╗е кван▓овоме╡ани╖е▒кие манип│л┐╢ии мог│▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован╗ дл┐ п░оведени┐
кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. П░и ░еализа╢ии AND-гей▓а м╗ п░едположили,
╖▓о знаем, как ▒в┐з╗ва╛▓▒┐ межд│ ▒обой ▓░и XOR-гей▓а и не▒кол╝ко
одноби▓н╗╡ гей▓ов. Тепе░╝ м╗ ░а▒▒мо▓░им, ╖▓о ▒лед│е▓ понима▓╝ под
╜▓ими ▒в┐з┐ми. Пока дей▒▓в│е▓ XOR-гей▓, ▒в┐з╗ва╛╣ий к│би▓╗ b и c,
▒пин╗ b и c должн╗ взаимодей▒▓вова▓╝ п░едпи▒анн╗м им ▒по▒обом
(нап░име░, ▒ помо╣╝╛ изингова взаимодей▒▓ви┐, п░ед▒▓авленного в 4),
в ▓о в░ем┐ как взаимодей▒▓вие межд│ ▒пинами a и b, как, вп░о╖ем, и
межд│ ▒пинами a и c, должно б╗▓╝ ░авно н│л╛. Когда же на╖не▓ дей▒▓вова▓╝ в▓о░ой XOR-гей▓, мик░о▒копи╖е▒кое взаимодей▒▓вие должно б╗▓╝ пе░е│по░┐до╖ено, ▓епе░╝ взаимодей▒▓вие a и b ▒пинов должно
б╗▓╝ нен│лев╗м. Э▓о неп░о▒▓о ▒дела▓╝, и ▓ака┐ п░о╢ед│░а не п░одел╗вала▒╝ ни в ╜к▒пе░имен▓а╡ Фе╡е░а, ни в д░│ги╡ подобн╗╡ ╜к▒пе░имен▓а╡ в п┐▓иде▒┐▓╗╡ года╡.
Э▓а п░облема цвзаимо▒в┐зич, ве░о┐▓но, б│де▓ ░е╕ена, но ╜▓о одна из ▓е╡ зада╖, п░едлагаем╗╡ в на▒▓о┐╣ее в░ем┐, ░е╕ение ко▓о░╗╡
▓░еб│е▓ ▒пек│л┐▓ивн╗╡ и необ╗╖н╗╡ ме▓одов. С помо╣╝╛ │▒▓░ой▒▓ва,
п░ед▒▓авленного на ░и▒. 4, в б│д│╣ем возможно ░е╕и▓╝ ╜▓│ п░облем│
дл┐ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов. На ╜▓ом ░и▒│нке изоб░ажен ╣│п а▓омного
▒илового мик░о▒копа (AFM) [20], п░о╡од┐╣ий над пове░╡но▒▓╝╛ к░и▒▓алла. П░едположим, ╖▓о и ╣│п мик░о▒копа, и пове░╡но▒▓╝ к░и▒▓алла
│довле▓во░┐╛▓ ▒лед│╛╣им к░и▓е░и┐м:
Спин╗ ┐де░ а▓омов водо░ода, один из ко▓о░╗╡ ░а▒положен на ▒а-
мом кон╖ике ╣│па, а д░│гие пе░иоди╖е▒ки ░а▒положен╗ на пове░╡но▒▓и к░и▒▓алла, во▒п░инима╛▓▒┐ нами как к│би▓╗.
В▒е ╜лек▓░он╗ ▒в┐зан╗, как вн│▓░и к░и▒▓алла (к░и▒▓алли╖е▒кий
к░емний ┐вл┐е▓▒┐ изол┐▓о░ом), ▓ак и на пове░╡но▒▓и. В ╜▓ом ▒л│╖ае не п░ои▒╡оди▓ пе░ево░о▓а ▒пина ╜лек▓░она или пе░ено▒а ▒пинов╗╡ ▒о▒▓о┐ний, по▓ом│ ╖▓о ▓акие возб│ждени┐ ▓░еб│╛▓ ▒ли╕ком много ╜не░гии.
В▒е ┐д░а ▒и▒▓ем╗ (к░оме водо░ода) име╛▓ н│левой ▒пин, по╜▓ом│
▓ол╝ко п░о▓он ┐д░а водо░ода оказ╗вае▓▒┐ до▒▓│пн╗м дл┐ взаимо-
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
45
дей▒▓ви┐. (В кон╢е ▒▓а▓╝и м╗ ко▒нем▒┐ ▒лед▒▓вий по▓е░╝ кван▓ов╗╡ ▒▓епеней ▒вобод╗ в кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░а╡, п░ин╢ипиал╝н│╛ ░ол╝ в ко▓о░ой иг░ае▓ по▓е░┐ кван▓овой ┤азовой коге░ен▓но▒▓и.)
;
Ри▒. 4. На ╜▓ом ░и▒│нке показана а▓омна┐ ▒▓░│к▓│░а, необ╡одима┐ дл┐ ░еализа╢ии кван▓ового комп╝╛▓е░а на о▒нове AFM. Она п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой ╣│п
из к░и▒▓алли╖е▒кого к░емни┐, ▒ помо╣╝╛ ко▓о░ого и▒▒лед│е▓▒┐ пове░╡но▒▓╝,
▓оже из к░и▒▓алли╖е▒кого к░емни┐. К│би▓ами ┐вл┐╛▓▒┐ ▒пин╗ п░о▓онов ┐д░а водо░ода, один из ко▓о░╗╡ ░а▒положен на ▒амом кон╢е ╣│па, а д░│гие пе░иоди╖е▒ки ░азме╣а╛▓▒┐ на пове░╡но▒▓и. Взаимодей▒▓вие межд│ к│би▓ом
на ╣│пе и к│би▓ами на пове░╡но▒▓и можно вкл╛╖а▓╝ и в╗кл╛╖а▓╝, п░о▒▓о
пе░еме╣а┐ ╣│п вдол╝ пове░╡но▒▓и, и ▓аким об░азом о▒│╣е▒▓вл┐▓╝ п░о▓окол
гей▓ов, ▓акой, нап░име░, как на ░и▒│нке 3A. На╡од┐╣ие▒┐ на пове░╡но▒▓и
╡ими╖е▒кие ▒в┐зи должн╗ б╗▓╝ полно▒▓╝╛ ней▓░ализован╗, ╖▓об╗ избежа▓╝
нежела▓ел╝н╗╡ к│би▓ов о▓ ▒л│╖айн╗╡ ╜лек▓░онн╗╡ ▒пинов. Сл│╖айн╗╡ к│би▓ов, п░ои▒╡од┐╣и╡ о▓ ┐де░н╗╡ ▒пинов, можно ▓акже избежа▓╝, е▒ли поблизо▒▓и о▓ а▓ома водо░ода б│д│▓ на╡оди▓╝▒┐ ▓ол╝ко изо▓оп╗ ▒ н│лев╗м ▒пином.
Щ│пов╗й к│би▓ може▓ б╗▓╝ ▒пек▓░о▒копи╖е▒кие в╗делен благода░┐ д░│гим
молек│л┐░н╗м ▒в┐з┐м, ко▓о░╗е в ▒во╛ о╖е░ед╝ обе▒пе╖ива╛▓ ╡ими╖е▒кий
▒двиг ▒пек▓░а. Э▓о▓ ┤ак▓ може▓ б╗▓╝ полезен п░и по▒▓░оении ▒елек▓ивн╗╡
магни▓но-░езонан▒н╗╡ п░о╢ед│░.
Как и в л╛бом AFM, п░едполагае▓▒┐ возможн╗м пе░едвига▓╝
а▓ом на кон╖ике ╣│па ▓ак, ╖▓об╗ он мог взаимодей▒▓вова▓╝ ▒
л╛б╗м а▓омом на пове░╡но▒▓и. Э▓о ▒вой▒▓во и обе▒пе╖и▓ необ╡одимое в╗бо░о╖ное взаимодей▒▓вие: когда б│де▓ ░еализов╗ва▓╝▒┐
46
Д. П. ДиВин╖ен╢о
пе░в╗й XOR-гей▓, изоб░аженн╗й на ░и▒. 3A, ╣│п мик░о▒копа б│де▓ кон▓ак▓и░ова▓╝ ▒ а▓омом водо░ода, ░а▒положенн╗м ▒п░ава на
пове░╡но▒▓и, изоб░аженной на ░и▒. 4; когда б│де▓ п░оизводи▓▒┐
в▓о░ой XOR-гей▓, ╣│п б│де▓ на╡оди▓╝▒┐ над лев╗м а▓омом, и ▓ак
далее.
В на▒▓о┐╣ее в░ем┐ а▓омн╗е ▒илов╗е мик░о▒коп╗ не мог│▓ │довле▓во░и▓╝ в▒ем ╜▓им к░и▓е░и┐м, однако в по▒ледние не▒кол╝ко ле▓
б╗л ▒делан бол╝╕ой п░о░╗в в обла▒▓и и▒пол╝зовани┐ AFM дл┐ п░оведени┐ ▒пин-░езонан▒н╗╡ манип│л┐╢ий и изме░ений мал╗╡ г░│пп ▒пинов [20, 21].
4. Алго░и▓м Пи▓е░а Шо░а ░азложени┐ ╖и▒ла на
п░о▒▓╗е ▒омножи▓ели
Показанн╗й на ░и▒. 3A AND-гей▓ п░оизводи▓ кла▒▒и╖е▒к│╛ б│лев│
опе░а╢и╛. Однако ее ░еализа╢и┐ аб▒ол╛▓но некла▒▒и╖е▒ка┐, ▓ак ╖▓о ее
можно ▒╖и▓а▓╝ п░о▓о▓ипом мо╣н╗╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п░о╢ед│░ (▓аки╡,
как ░азложение на п░о▒▓╗е множи▓ели и подобн╗╡ ей), ┐вл┐╛╣и╡▒┐
│никал╝ной о▒обенно▒▓╝╛ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. На ░и▒. 3C показано,
как п░и ░азли╖н╗╡ на╖ал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡ изоб░аженн╗й на ░и▒. 3A
AND-гей▓ ╜вол╛╢иони░│е▓ ╖е░ез ▓░и ▒вои ▒▓адии к окон╖а▓ел╝ном│
о▓ве▓│ (м╗ ▒лед│ем в╗╖и▒лени╛, дл┐ ко▓о░ого на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние
░або╖его к│би▓а ░авно j0i).
В л╛бой кла▒▒и╖е▒кой ▒╡еме каждое из ╜▓и╡ в╗╖и▒лений п░оизводи▓▒┐ незави▒имо о▓ д░│ги╡ по оп░еделенном│ п│▓и о▓ на╖ала в╗╖и▒лени┐ до его кон╢а. В ▒л│╖ае же кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений ╜▓а п░о╢ед│░а
може▓ б╗▓╝ ░а▒╣еплена на не▒кол╝ко (в данном ▒л│╖ае на два) п│▓и,
ко▓о░╗е, благода░┐ кван▓овом│ п░ин╢ип│ ▒│пе░пози╢ии, ╜вол╛╢иони░│╛▓ во в░емени па░аллел╝но. В ▒ил│ ▓ого, ╖▓о кажд╗й из ╜▓и╡ п│▓ей
обладае▓ оп░еделенной ┤азой (об░а▓и▓е внимание на ▓о╖ки, в ко▓о░╗╡
┤азов╗й ▒двиг на 180 об│▒ловлен ╜вол╛╢ией), окон╖а▓ел╝н╗й о▓ве▓
пол│╖ае▓▒┐ по▒ле ░екомбина╢ии коне╖н╗╡ ▒о▒▓о┐ний, ▒оп░овождаемой
кон▒▓░│к▓ивной или де▒▓░│к▓ивной ин▓е░┤е░ен╢ией.
В на╕ем п░име░е ▒о▒▓о┐ние j000i п░еоб░аз│е▓▒┐ в ▒еб┐, как ╜▓ого
▓░еб│е▓ ▓абли╢а и▒▓инно▒▓и дл┐ AND, по▓ом│ ╖▓о два в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п│▓и, п░ивод┐╣и╡ в кон╢е к ▒о▒▓о┐ни╛ j000i, име╛▓ одн│ и ▓│ же
┤аз│ (0 вдол╝ одного п│▓и и 2 вдол╝ д░│гого), и по╜▓ом│ и╡ взаим-
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
47
ное вли┐ние кон▒▓░│к▓ивно. Неп░авил╝н╗й ░ез│л╝▓а▓, нап░име░ j010i,
╖╝и в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е п│▓и ▓акже до╡од┐▓ до кон╢а, п░едо▓в░а╣ае▓▒┐,
по▓ом│ ╖▓о ┤аз╗ его дв│╡ возможн╗╡ п│▓ей п░о▓ивоположн╗ (0 вдол╝
одного п│▓и и вдол╝ д░│гого) и, ин▓е░┤е░и░│┐, га▒┐▓ д░│г д░│га. Е▒ли ┤аз╗ не б│д│▓ кон▓░оли░ова▓╝▒┐ в ▓о╖но▒▓и, ▓о в половине ▒л│╖аев
б│де▓ по┐вл┐▓╝▒┐ неп░авил╝н╗й ░ез│л╝▓а▓. Таким об░азом, м╗ видим,
╖▓о кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐, воп░еки ▒воей ╖░езв╗╖айной ▒ложно▒▓и, не
оп░едел┐╛▓ п░омеж│▓о╖ного ▒о▒▓о┐ни┐ в╗╖и▒лени┐, но ╜▓о ▒о▒▓о┐ние
може▓ б╗▓╝ оп░еделено в кон╢е.
Э▓о об╣а┐ ▒╡ема кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений б╗ла п░едложена впе░в╗е
Дой╖ем [3], а за▓ем ▒ бол╝╕им ╜┤┤ек▓ом б╗ла и▒пол╝зована в алго░и▓ме Шо░а [2, 3] дл┐ ╜┤┤ек▓ивного ░е╕ени┐ ╖░езв╗╖айно г░омоздкой в╗╖и▒ли▓ел╝ной п░облем╗. На ░и▒. 5 показана кван▓ова┐ в╗╖и▒ли▓ел╝на┐
▒▓░│к▓│░а, ко▓о░│╛ и▒пол╝зовал Шо░ дл┐ ░е╕ени┐ зада╖и о ░азложении ╢елого ╖и▒ла на п░о▒▓╗е ▒омножи▓ели.
На ╜▓ой диаг░амме, ▓акже, как на диаг░амме на ░и▒. 3A, опи▒╗ва╛╣ей ╜вол╛╢и╛ AND-гей▓а, показан╗ п│▓и изменени┐ во в░емени ▒о▒▓о┐ни┐ кван▓ового в╗╖и▒лени┐ дл┐ ┤ак▓о░иза╢ионной п░о╢ед│░╗ как
┤│нк╢и┐ о▓ в░емени (в░ем┐ измен┐е▓▒┐ зде▒╝ ▒ве░╡│ вниз, ▓акже как
░анее ▒лева на п░аво).
Как п░едлагали в более ░анни╡ ░або▓а╡ Дой╖ и Джоз▒а [22] (▒м.
▓акже [23]), Шо░ ░аздел┐е▓ к│би▓╗ кван▓ового комп╝╛▓е░а на два ░еги▒▓░а: в╡одной и в╗╡одной. Чи▒ло би▓ов в каждом ░еги▒▓░е должно ▒оо▓ве▓▒▓вова▓╝ ╖и▒л│ би▓ов в ╖и▒ле, ко▓о░ое надо ┤ак▓о░изова▓╝.
П░едположим, ╖▓о в каждом ░еги▒▓░е ▒оде░жи▓▒┐ по k = 1000 би▓ов.
П░┐мо│гол╝ник на ░и▒. 5 изоб░ажае▓ пам┐▓╝ гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва
▒о▒▓о┐ний в╡одного и в╗╡одного ░еги▒▓░а. Э▓а диаг░амма о╖ен╝ ▒╡ема▓и╖на, ▓ак как ░азме░но▒▓╝ гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва ог░омна: 21000
би▓ов дл┐ каждого ░еги▒▓░а. Заме▓им, ╖▓о ╜к▒понен╢иал╝н╗й ░о▒▓ ░азме░но▒▓и гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва ▒ │вели╖ением ╖и▒ла ╖а▒▓и╢ в ▒и▒▓еме ┐вл┐е▓▒┐ одной из п░и╖ин ог░омной по▓ен╢иал╝ной ▒ил╗ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. Коне╖но, │ни▓а░н╗е ма▓░и╢╗ мог│▓ б╗▓╝ п░о▒▓о
по▒▓░оен╗ и пе░емножен╗ на об╗кновенном ╢и┤░овом комп╝╛▓е░е, но
и╡ ░азме░╗ не мог│▓ ░а▒▓и ╜к▒понен╢иал╝но ▒ ╖и▒лом в╡од┐╣и╡ в него
компонен▓ [24].
Че░н╗м на ░и▒. 5 обозна╖ено мгновенное ▒о▒▓о┐ние кван▓ового
комп╝╛▓е░а на ▓░е╡ о▒новн╗╡ ▒▓ади┐╡ в╗╖и▒ли▓ел╝ного алго░и▓ма
Шо░а. Пе░в╗е не▒кол╝ко ╕агов ╖░езв╗╖айно п░о▒▓╗: п│▒▓╝ на╖ал╝ное
48
;
Д. П. ДиВин╖ен╢о
Ри▒. 5. С╡ема▓и╖е▒кое изоб░ажение в░еменной ╜вол╛╢ии в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡
п│▓ей алго░и▓ма Шо░а ░азложени┐ на п░о▒▓╗е множи▓ели. В кажд╗й момен▓ в░емени ▒о▒▓о┐ние в╗╖и▒лени┐ оп░едел┐е▓▒┐ волновой ┤│нк╢ией и обозна╖ае▓▒┐ ╖е░н╗м полем. Неко▓о░╗е из в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п│▓ей ▒╡ема▓и╖е▒ки
наб░о▒ан╗. Бол╝╕ин▒▓во в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п│▓ей (обозна╖енн╗╡ много▓о╖и┐ми) ин▓е░┤е░и░│╛▓ де▒▓░│к▓ивно, и ▓ол╝ко неко▓о░╗е (обозна╖енн╗е ▒пло╕н╗ми лини┐ми) ин▓е░┤е░и░│╛▓ кон▒▓░│к▓ивно.
▒о▒▓о┐ние б│де▓ н│лев╗м (в▒е ▒пин╗ нап░авлен╗ вниз). (Кла▒▒и╖е▒кий
ввод | ин┤о░ма╢и┐ о ╖и▒ле N , ко▓о░ое должно б╗▓╝ ┤ак▓о░изовано,
пока жде▓ ▒воей о╖е░еди). На пе░вом ╕аге в╗╖и▒ление ░а▒╣епл┐е▓▒┐
на 21000 в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п│▓ей, ▓аким об░азом волнова┐ ┤│нк╢и┐ ▒и▒▓ем╗ ▒▓анови▓▒┐ линейной ▒│пе░пози╢ией в▒е╡ возможн╗╡ ▒о▒▓о┐ний ▒
одинаков╗ми ┤азами. Пол│╖енное ▒о▒▓о┐ние поме╣ае▓▒┐ во в╡одной ░еги▒▓░ x. Э▓о в в╗▒╕ей ▒▓епени некла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление можно о╖ен╝
п░о▒▓о опи▒а▓╝ ▒пек▓░о▒копи╖е▒ким ┐з╗ком: к каждом│ из ▒пинов п░иклад╗вае▓▒┐ имп│л╝▒, о▒│╣е▒▓вл┐╛╣ий пово░о▓ на 90. Э▓а опе░а╢и┐
п░иводи▓ к волновой ┤│нк╢ии ▒и▒▓ем╗ в ожидаемом ▒о▒▓о┐нии.
В▓о░ой ╕аг менее ▓░ивиален. Необ╡одимо единожд╗ в╗╖и▒ли▓╝
▒лед│╛╣│╛ кла▒▒и╖е▒к│╛ б│лев│ ┤│нк╢и╛
f (x) = cx (mod N ):
(5)
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
49
Зна╖ение ╜▓ой ┤│нк╢ии надо ░азме▒▓и▓╝ в в╗╡одном ░еги▒▓░е y. В ┤о░м│ле (5) x | зна╖ение в╡одного ░еги▒▓░а, ░а▒▒ма▓░иваемое как ╢елое
╖и▒ло в бина░ном п░ед▒▓авлении, N | ╢елое ╖и▒ло, ко▓о░ое м╗ ┤ак▓о░из│ем, и кон▒▓ан▓а c | л╛бое д░│гое ╢елое ╖и▒ло, не име╛╣ее об╣и╡
п░о▒▓╗╡ множи▓елей ▒ ╖и▒лом N . Под mod N м╗ понимаем а░и┤ме▓ик│ по мод│л╛ N , в ко▓о░ой ░ез│л╝▓а▓ ░авен о▒▓а▓к│ о▓ делени┐ на N .
По▒кол╝к│ на в╡оде комп╝╛▓е░а задан╗ в▒е зна╖ени┐ а░г│мен▓а, ▓о в
▒ил│ п░ин╢ипа ▒│пе░пози╢ии един▒▓венное в╗╖и▒ление f (x) да▒▓ нам
в▒е возможн╗е зна╖ени┐ на в╗╡одном ░еги▒▓░е. Ч▓об╗ в╗╖и▒ли▓╝ ╜▓│
┤│нк╢и╛ на кван▓овом комп╝╛▓е░е, н│жно ▒на╖ала ц▒компили░ова▓╝ч
ее в об╗╖ном кла▒▒и╖е▒ком ▒м╗▒ле, ▓. е. зада▓╝ ┤│нк╢и╛ как по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ опе░а╢ий в ▓е░мина╡ ▓аки╡ п░ими▓ивн╗╡ б│лев╗╡ ┤│нк╢ий,
как NOT и AND. За▓ем ▒лед│е▓ ░еализова▓╝ ╜▓│ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝
как кван▓ов│╛ п░о╢ед│░│, нап░име░, ▒ помо╣╝╛ магни▓н╗╡ имп│л╝▒ов.
Зде▒╝ не ме▒▓о дл┐ под░обного об║┐▒нени┐ ▓ого, по╖ем│ па░аллел╝ное в╗╖и▒ление ▓акой ╖а▒▓ной ┤│нк╢ии, как f (x), оказ╗вае▓▒┐ полезн╗м дл┐ п░оведени┐ п░о╢ед│░╗ ┤ак▓о░иза╢ии ╖и▒ла на п░о▒▓╗е ▒омножи▓ели. Э▓о по▓░еб│е▓ │гл│блени┐ в ▒ложн╗е ▓е╡ни╖е▒кие а▒пек▓╗ из
▓ео░ии ╖и▒ел, ко▓о░╗е ╡о░о╕о изложен╗ в о░игинал╝ной ли▓е░а▓│░е [2],
а ▓акже в недавнем обзо░е [4].
Ко░о▓ко, в дв│╡ ▒лова╡, ▒кажем, ╖▓о важней╕ей о▒обенно▒▓╝╛
┤│нк╢ии f (x) ┐вл┐е▓▒┐ ее пе░иоди╖но▒▓╝ по x. Е▒ли ╖и▒ло N п░о▒▓ое,
▓о f (x) имее▓ пе░иод N ; 1, в п░о▓ивном ▒л│╖ае пе░иод ко░о╖е, и, зна┐
╜▓о▓ пе░иод, по▒ле п░┐молинейн╗╡ (кла▒▒и╖е▒ки╡) в╗╖и▒лений можно
най▓и один из п░о▒▓╗╡ множи▓елей ╖и▒ла N .
Шо░ заме▓ил, ╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ о╖ен╝ ╡о░о╕о п░и▒по▒облен дл┐ на╡ождени┐ пе░иодов ┤│нк╢ии f (x). Н│жно ▓ол╝ко п░оизве▒▓и
п░еоб░азование Ф│░╝е над в╡одн╗м ░еги▒▓░ом x. (В╗╡одной ░еги▒▓░ y
о▒▓ае▓▒┐ не▓░он│▓╗м.) Э▓а ▓░е▓╝┐ и по▒ледн┐┐ ▒▓ади┐ в╗╖и▒лени┐ показана на ░и▒. 5. П░иведем неко▓о░╗е ▓о╖н╗е ┤о░м│л╗. П░еоб░азование
Ф│░╝е п░имен┐е▓▒┐ к волновой ┤│нк╢ии
=
11
:::1
X
x=00:::0
cx jxi;
(6)
50
Д. П. ДиВин╖ен╢о
ко▓о░а┐ п░инимае▓ вид
;
=
11
:::1
X
x=00:::0
2;k=2
11
:::1
X
exp(2x0 x=2k cx ) jxi:
0
x0 =00:::0
(7)
Ри▒. 6. П░едложенна┐ Коппе░▒ми▓ом [25] ▒╡ема кван▓ов╗╡ гей▓ов, ко▓о░╗е
п░оизвод┐▓ п░еоб░азование Ф│░╝е (▓░е▓ий ╕аг в п░о╢ед│░е Шо░а на ░и▒. 5).
Также показан╗ ма▓░и╖н╗е │ни▓а░н╗е опе░а▓о░╗, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие дв│м
видам кван▓ов╗╡ гей▓ов. Дв│би▓н╗й гей▓ Xn може▓ б╗▓╝ ░еализован ╖е░ез
п░о▒▓│╛ комбина╢и╛ XOR-гей▓ов [12]. Xn дей▒▓в│е▓ ▒имме▓░и╖но на ╜▓и
два би▓а.
Ко╜┤┤и╢иен▓╗ п░еоб░азованной волновой ┤│нк╢ии ┐вл┐╛▓▒┐ ди▒к░е▓н╗ми п░еоб░азовани┐ми Ф│░╝е пе░вона╖ал╝н╗╡ ко╜┤┤и╢иен▓ов. Шо░
обна░│жил, ╖▓о ╜▓о п░еоб░азование ┐вл┐е▓▒┐ │ни▓а░н╗м и показал, ╖▓о
оно може▓ б╗▓╝ п░оизведено за полиномиал╝ное ╖и▒ло ╕агов по k |
╖и▒л│ би▓ов во в╡одном ░еги▒▓░е (оно ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ╖и▒л│ би▓ов, необ╡одим╗╡ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ п░ед▒▓ави▓╝ ╖и▒ло N в двои╖ной ▒и▒▓еме).
Коппе░▒ми▓ [25] на╕ел п░о▒▓│╛ ┐вн│╛ кон▒▓░│к╢и╛ гей▓ов (▒м. ░и▒. 6)
дл┐ ░еализа╢ии п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е, п░ед▒▓авленного в (7). Она ┐вл┐е▓▒┐ непо▒░ед▒▓венной ▓░ан▒к░ип╢ией б╗▒▓░ого п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е (FFT) К│ли{Т│ки c индивид│ал╝н╗ми ц┤ак▓о░ами подк░│╖ивани┐ч
(FFT), ░еализ│ем╗ми как дв│к│би▓н╗е гей▓╗ Xi . Э▓а п░о╢ед│░а ▒╡ожа
▒ пе░в╗ми ╕агами в╗╖и▒лений, п░едложенн╗╡ Шо░ом, ко▓о░а┐ закл╛╖ае▓▒┐ п░о▒▓о в пово░о▓е на 90 оп░окид╗ва╛╣им имп│л╝▒ом зна╖ени┐
каждого би▓а, без гей▓ов, о▒│╣е▒▓вл┐╛╣и╡ цподк░│╖ивание ┤ак▓о░овч.
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
51
Коппе░▒ми▓ заме▓ил, ╖▓о ╜▓│ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ опе░а╢ий можно ▒ове░╕и▓╝ за k2 ╕агов.
Э▓о▓ по▒ледний ╕аг ▒ и▒пол╝зованием б╗▒▓░ого п░еоб░азовани┐
Ф│░╝е ┐вл┐е▓▒┐ ╖░езв╗╖айно ╜┤┤ек▓ивн╗м ▒по▒обом о▓╗▒кани┐ пе░иода ┤│нк╢ии f (x), аналоги╖н╗м оп░еделени╛ пе░иоди╖е▒кой ▒▓░│к▓│░╗
к░и▒▓аллов по ░ез│л╝▓а▓ам ░а▒▒е┐ни┐ ░ен▓генов▒ки╡ л│╖ей. Финал╝ное
изме░ение зна╖ени┐ ░еги▒▓░а x | ╜▓о изме░ение положени┐ одного из
б░еггов▒ки╡ мак▒им│мов в ░а▒▒е┐нии. Э▓о изме░ение позвол┐е▓ оп░едели▓╝ ли╕╝ вели╖ин│, к░а▓н│╛ ┤│ндамен▓ал╝ном│ пе░иод│ f (x), однако
▒│╣е▒▓в│е▓ п░┐молинейна┐ ▓ео░е▓ико-╖и▒лова┐ п░о╢ед│░а, позвол┐╛╣а┐ в╗╖и▒ли▓╝ ▒ам ┤│ндамен▓ал╝н╗й пе░иод.
П░едложенна┐ Шо░ом п░о╢ед│░а ░еализ│е▓▒┐ ▒по▒обом, ▒╡ожим ▒о
▒по▒обом ░еализа╢ии AND-гей▓а. Не▒мо▓░┐ на ▓о, ╖▓о п░омеж│▓о╖н╗е
▒о▒▓о┐ни┐ в╗╖и▒лени┐, п░ед▒▓авл┐╛╣ие ▒обой ▒│пе░пози╢и╛ ░азли╖н╗╡ п│▓ей, не оп░еделен╗, де▒▓░│к▓ивна┐ ин▓е░┤е░ен╢и┐ зап░е╣ае▓
по╖▓и в▒е возможн╗е коне╖н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ (▓акже как и в б░еггов▒ком
░а▒▒е┐нии ди┤░ак╢и┐ по╖▓и во в▒е нап░авлени┐ зап░е╣ена), о▒▓авл┐┐
в ┤инале по╖▓и ▓о╖но оп░еделенное ▒о▒▓о┐ние | ╜▓о и е▒▓╝ ░ез│л╝▓а▓
в╗╖и▒лени┐. Заме▓им, ╖▓о опи▒анн╗й зде▒╝ ди┤░ак╢ионн╗й п░о╢е▒▒
▒│╣е▒▓венно о▓ли╖ае▓▒┐ о▓ ди┤░ак╢ии кла▒▒и╖е▒кой волн╗: ░азме░ ди┤░ак╢ионной ░е╕е▓ки, показанной на ░и▒. 5, ░а▒▓е▓ ╜к▒понен╢иал╝но
▒ вели╖иной ╖и▒ла, ко▓о░ое должно б╗▓╝ ┤ак▓о░изованно. Именно по
╜▓ой п░и╖ине кла▒▒и╖е▒ка┐ волнова┐ оп▓ика не може▓ ░е╕и▓╝ п░облем│
┤ак▓о░иза╢ии.
Наконе╢, по┐▒ним, по╖ем│ о╢енка ╖и▒ла ╕агов, необ╡одим╗╡ дл┐
п░оведени┐ ┤ак▓о░иза╢ии по алго░и▓м│ Шо░а, п░оизвела ▒ен▒а╢и╛
в комп╝╛▓е░ном на│╖ном ▒ооб╣е▒▓ве. Алго░и▓м Шо░а полиномиален
по k, ╖и▒ло ╕агов п░опо░╢ионал╝но k3 п░и мал╗╡ k, и k2 п░и бол╝╕и╡ k. Наил│╖╕ий из ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ алго░и▓мов, о▒нованн╗╡ на об╗кновенн╗╡ б│лев╗╡ опе░а╢и┐╡, о╢енивае▓ ╖и▒ло ╕агов
как exp(ak1=3 ), где a | нека┐ кон▒▓ан▓а [4, 26]. Даже е▒ли п░изна▓╝, ╖▓о
пока неизве▒▓но, може▓ ли данна┐ п░облема б╗▓╝ ░е╕ена за полиномиал╝ное в░ем┐ на об╗кновенном комп╝╛▓е░е, ░ез│л╝▓а▓ Шо░а показал
на│╖ном│ ▒ооб╣е▒▓в│, ╖▓о алго░и▓ми╖е▒кие под╡од╗ ▒ и▒пол╝зованием кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений зна╖и▓ел╝но мо╣нее об╗кновенной б│левой
логики, и ак▓ивна┐ ░або▓а в ╜▓ом нап░авлении в более полной ме░е покаже▓ ▒ил│ ╜▓и╡ кван▓ово-ме╡ани╖е▒ки╡ под╡одов к ░е╕ени╛ важн╗╡
ма▓ема▓и╖е▒ки╡ зада╖.
52
Д. П. ДиВин╖ен╢о
5. П░облема декоге░ен▓но▒▓и
Не▒мо▓░┐ на ▓о, ╖▓о м╗ пол│╖или ┤о░мал╝н╗е │казани┐ на ог░омн╗е возможно▒▓и, ко▓о░╗ми обладае▓ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, ░або▓а╛╣ий в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ законами кван▓овой ┤изики, имее▓▒┐ не▒кол╝ко
п░ин╢ипиал╝н╗╡ ┤изи╖е▒ки╡ поме╡, ко▓о░╗е надо б│де▓ п░еодоле▓╝,
п░ежде ╖ем кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ б│де▓ по▒▓░оен в лабо░а▓о░ии. Э▓и
поме╡и дела╛▓ п│▓╝ по▒▓░оени┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а ▓░│дн╗м и
долгим однов░еменно, и на п░еодоление его │йде▓, наве░ное, немало
ле▓. Можно в╗дели▓╝ две ▓акие п░ин╢ипиал╝н╗е ▓░│дно▒▓и: ко░░ек╢и┐
о╕ибок и п░облема декоге░ен▓но▒▓и. М╗ не б│дем об▒│жда▓╝ п░облем│ ко░░ек╢ии о╕ибок, ко▓о░а┐ в коне╖ном ▒╖е▓е може▓ оказа▓╝▒┐
о╖ен╝ ▒ложной, ▓ак как, ве░о┐▓но, небол╝╕а┐ не▓о╖но▒▓╝ в ░еализа╢ии, нап░име░, имп│л╝▒а или д░│ги╡ ╜лемен▓ов кван▓ового в╗╖и▒лени┐ може▓ в коне╖ном ▒╖е▓е п░иве▒▓и к аб▒ол╛▓но неп░авил╝ном│
о▓ве▓│ [27]. Неко▓о░╗е ав▓о░╗, из│╖а┐ возника╛╣ие п░облем╗ [28, 29],
на╖али п░едлага▓╝ наб░о▒ки ▒╡ем ко░░ек╢ии ▓аки╡ о╕ибок [30]. Небол╝╕ие о╕ибки в алго░и▓ме Шо░а мог│▓ б╗▓╝ ▒ко░░ек▓и░ован╗ п░о▒▓о
п│▓ем пов▓о░ени┐ ╜▓ого в╗╖и▒лени┐ не▒кол╝ко ░аз, пока п░авил╝н╗й
о▓ве▓ не б│де▓ пол│╖ен. Его к ▓ом│ же п░о▒▓о п░ове░и▓╝ п│▓ем пе░емножени┐ пол│╖аем╗╡ ┤ак▓о░ов. (На ▒амом деле алго░и▓м Шо░а, как,
вп░о╖ем, и многие д░│гие и▒пол╝з│ем╗е алго░и▓м╗, не га░ан▓и░│е▓
п░авил╝ного о▓ве▓а ▒ пе░вой поп╗▓ки даже в ▒л│╖ае о▓▒│▓▒▓ви┐ о╕ибок.)
Каже▓▒┐, ╖▓о именно п░облема декоге░ен▓но▒▓и ▒▓анови▓▒┐ даже
по ▒ов░еменн╗м п░ед▒▓авлени┐м наиболее ▒е░╝езной п░облемой в ░еализа╢ии кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. Декоге░ен▓но▒▓╝ п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой
▒лед│╛╣ее ┐вление: е▒ли кван▓ова┐ ▒и▒▓ема не ┐вл┐е▓▒┐ изоли░ованной
о▓ ок░│жа╛╣ей ее ▒░ед╗ и кван▓ова┐ динамика ок░│жа╛╣ий аппа░а▓│░╗ б│де▓ ▓акже зави▒е▓╝ о▓ опе░а╢ий кван▓ового комп╝╛▓е░а, ▓о
подобн╗е ╜┤┤ек▓╗ мог│▓ ▒дела▓╝ ╜вол╛╢и╛ комп╝╛▓е░а не │ни▓а░ной. Так как п│▓и па░аллел╝н╗╡ в╗╖и▒лений, ░азделив╕и▒╝ в на╖але
в╗╖и▒лени┐, ▒оби░а╛▓▒┐ ▓ол╝ко в кон╢е (░и▒. 5), ▓о по▓е░┐ ┤азовой коге░ен▓но▒▓и вдол╝ ▓аки╡ п│▓ей и▒по░▓и▓ ка░▓ин│ кон▒▓░│к▓ивной и
де▒▓░│к▓ивной ин▓е░┤е░ен╢ии, ко▓о░а┐ ┐вл┐е▓▒┐ важней╕им момен▓ом дл┐ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. Следова▓ел╝но, в░ем┐ декоге░ен▓но▒▓и t должно б╗▓╝ много бол╝╕е ожидаемого в░емени кван▓ового в╗╖и▒лени┐. К ▒╖а▒▓╝╛, п░облема декоге░ен▓но▒▓и о▓но▒и▓▒┐ к ╖и▒л│ ▓е╡
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
53
п░облем, дл┐ ко▓о░╗╡ п░одолжа╛╣ее▒┐ ▒ове░╕ен▒▓вование в и▒к│▒▒▓ве п░оведени┐ ╜к▒пе░имен▓а ▒по▒обно п░оизве▒▓и ▒│╣е▒▓венн╗е изменени┐. Ул│╖╕ение изоли░ованно▒▓и кван▓овой ▒и▒▓ем╗ о▓ ок░│жа╛╣ей ее ▒░ед╗, ко▓о░ое дополн┐е▓▒┐ │▒ове░╕ен▒▓вованием ▓е╡нологии
и▒пол╝зовани┐ в╗▒око▓о╖н╗╡ изме░ений в ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ┤изике,
возможно, п░иведе▓ к │вели╖ени╛ в░емени декоге░ен▓но▒▓и t , ╖▓о
позволи▓ п░оизводи▓╝ ╜┤┤ек▓ивн╗е кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐. В ▓абли╢е 2 п░иведен╗ зна╖ени┐ в░емен декоге░ен▓но▒▓и t дл┐ довол╝но ╕и░окого набо░а изве▒▓н╗╡ в на▒▓о┐╣ее в░ем┐ дв│╡│░овнев╗╡ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем [16]. В ▒ил│ бол╝╕ой ░азни╢╗ в ░а▒▒▓о┐ни┐╡ межд│ │░овн┐ми доп│▒▓има┐ ▒ко░о▒▓╝ ░або▓╗ (в░ем┐ пе░екл╛╖ени┐) кван▓ов╗╡
гей▓ов измен┐е▓▒┐ на ╕е▒▓над╢а▓╝ по░┐дков. С▓ол╝ же велики ░азли╖и┐ в ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ на ▒егодн┐╕ний ден╝ ▓е╡нологи╖е▒ки╡ возможно▒▓┐╡ и▒пол╝зовани┐ оп░окид╗ва╛╣и╡ имп│л╝▒ов в ▓аки╡ ▒и▒▓ема╡.
Спек▓░о▒копи┐ -изл│╖ени┐, необ╡одима┐ дл┐ манип│л┐╢ий ме▒▒ба│░ов▒кими ┐д░ами на ▒егодн┐╕ний ден╝ не ▒│╣е▒▓в│е▓, ▓огда как в╗▒око▓о╖н╗е ░адио╖а▒▓о▓н╗е ▓е╡нологии дл┐ изго▓овлени┐ оп░окид╗ва╛╣и╡ имп│л╝▒ов в ┐де░ном магни▓ном ░езонан▒е (ЯМР) о╖ен╝ ╡о░о╕о
░аз░або▓ан╗. К░оме ▓ого, ▓е╡нологи┐ може▓ не позволи▓╝ полно▒▓╝╛
и▒пол╝зова▓╝ по▓ен╢иал╝н│╛ ▒ко░о▒▓╝ дл┐ л╛бого данного к│би▓а. Нап░име░, п░и недавни╡ поп╗▓ка╡ ░еализова▓╝ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ ▒
помо╣╝╛ линейн╗╡ ионн╗╡ лов│╕ек [31], в░ем┐ пе░екл╛╖ени┐ б╗ло по░┐дка 10;5, ╖▓о го░аздо бол╝╕е, ╖ем 10;14 , по▓ом│ ╖▓о оно оказало▒╝
ог░ани╖енно ░а▒коди░ованием к│би▓а за ▒╖е▓ кван▓ов╗╡ виб░а╢ий иона
вн│▓░и лов│╕ки.
Не менее велик ░азб░о▒ в░емени декоге░ен▓но▒▓и дл┐ ░азли╖н╗╡
▒и▒▓ем (▓абли╢а 2). О▓но╕ение в░емени пе░екл╛╖ени┐ ко в░емени декоге░ен▓но▒▓и ┐вл┐е▓▒┐ важной ╖е░▓ой кван▓ового комп╝╛▓е░а. Оно
оп░едел┐е▓ ╖и▒ло ╕агов в╗╖и▒лени┐, ко▓о░ое можно ▒ове░╕и▓╝, пока
декоге░ен▓но▒▓╝ не на░│╕и▓ ▒оо▓но╕ений межд│ ┤азами. В╗╖и▒лени┐
Ун░│ показ╗ва╛▓ [32], ╖▓о дл┐ ░еализа╢ии ▒╡ем, подобн╗╡ алго░и▓м│
Шо░а, ╖и▒ло н│жн╗╡ в╗╖и▒лений должно б╗▓╝ по░┐дка к│ба о▓ ╖и▒ла
би▓ов, ▒оде░жа╣и╡▒┐ в ╢елом ╖и▒ле, ко▓о░ое надо ┤ак▓о░изова▓╝. Коге░ен▓но▒▓╝ ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ в на▒▓о┐╣ее в░ем┐ к│би▓ов не позвол┐е▓,
нап░име░, ┤ак▓о░изова▓╝ 104-би▓ное ╖и▒ло (зада╖а, в╗╡од┐╣а┐ за п░едел╗ возможно▒▓ей л╛бого из ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░ов). Тем не менее, в на▒▓о┐╣ий момен▓ п░овод┐▓▒┐ обнадежива╛╣ие
╜к▒пе░имен▓╗, в ко▓о░╗╡ ▒озда╛▓▒┐ ╜лемен▓а░н╗е кван▓ов╗е гей▓╗,
54
Д. П. ДиВин╖ен╢о
Кван▓ов╗е
▒и▒▓ем╗
Ме▒▒ба│░ов▒кие ┐д░а
Элек▓░он╗: GaAs
Элек▓░он╗: Au
Ионн╗е лов│╕ки
Элек▓░онн╗й ▒пин
Элек▓░онна┐ кван▓ова┐ ▓о╖ка
Яде░н╗е ▒пин╗
tswitch
(▒ек.)
10;19
10;13
10;14
10;14
10;7
10;6
10;3
t
(▒ек.)
10;10
10;10
10;8
10;1
10;3
10;3
104
Чи▒ло
╕агов
109
103
106
1013
104
103
107
Табли╢а 2. В ▓абли╢е п░ед▒▓авлен╗ дв│╡│░овнев╗е кван▓овоме╡ани╖е▒кие
▒и▒▓ем╗, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован╗ в ка╖е▒▓ве кван▓ового би▓а.
tswitch | минимал╝ное в░ем┐, за ко▓о░ое можно возб│ди▓╝ кван▓ов│╛ ▒и▒▓ем│; оно в╗░ажае▓▒┐, как ~=E, где E | ╡а░ак▓е░н╗й ма▒╕▓аб ╜не░гий
дл┐ дв│╡│░овневой ▒и▒▓ем╗. В░ем┐ кван▓овой декоге░ен▓но▒▓и t | мак▒имал╝ное в░ем┐, в ▓е╖ение ко▓о░ого п░и кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡ п░о╢е▒▒╗
декоге░ен▓но▒▓и не б│д│▓ ▒│╣е▒▓венн╗. Оно оп░едел┐е▓▒┐ ╜к▒пе░имен▓ал╝но. О▓но╕ение ╜▓и╡ дв│╡ в░емен дае▓ нам коли╖е▒▓во ╕агов, ко▓о░ое може▓
▒ове░╕и▓╝ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, и▒пол╝з│┐ ▓акой кван▓ов╗й би▓. С▒╗лки
на и▒▓о╖ники ▒оде░жа▓▒┐ в [16].
и▒пол╝з│╛╣ие оп▓и╖е▒кие мик░ополо▒▓и [33], а ▓акже ионн╗е лов│╕ки [34]. Те╡нологии, и▒пол╝з│ем╗е в по▒леднем ▒л│╖ае, возникли из
обоб╣ени┐ и▒▒ледований а▓омн╗╡ ╖а▒ов [35]. Э▓о п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ к░айне важн╗м, ▓ак как кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ▓░еб│╛▓ бол╝╕ого в░емени
де┤ази░овани┐, на░┐д│ ▒ бол╝╕им в░еменем декоге░ен▓но▒▓и. Де┤ази░ование | по▓е░┐ ▓о╖но▒▓и в ┤азов╗╡ ┤ак▓о░а╡ в (3), должно б╗▓╝ п░и
кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡ ▒ведено к миним│м│.
6. Взгл┐д в б│д│╣ее
Из обзо░а н╗не╕него ▒о▒▓о┐ни┐ кван▓овой ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ┤изики ▒▓анови▓▒┐ ┐▒но, ╖▓о ▒оздание кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов на╡оди▓▒┐ ▒ей╖а▒ в за╖а▓о╖ном ▒о▒▓о┐нии, и ░еализа╢и┐ даже ▓акой п░о╢ед│░╗, как ┤ак▓о░иза╢ионн╗й алго░и▓м Шо░а, по▓░еб│╛╣ий п░оведени┐
миллионов опе░а╢ий над ▓╗▒┐╖ами би▓ов [14], каже▓▒┐ ▒ей╖а▒ аб▒о-
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
55
л╛▓но аб▒│░дн╗м п░едп░и┐▓ием. Однако даже го░аздо долее ▒к░омн╗й
кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ позволи▓ │же ░е╕и▓╝ зада╖и, п░ед▒▓авл┐╛╣ие
бол╝╕ой на│╖н╗й ин▓е░е▒. Нап░име░, кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ в▒его ▒
не▒кол╝кими би▓ами може▓ б╗▓╝ к░айне полезен п░и п░оведении ▓ак
наз╗ваем╗╡ изме░ений Белла, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован╗ п░и
░еализа╢ии кван▓овой ▓елепо░▓а╢ии, п░и ко▓о░ой за░анее неизве▒▓ное
кван▓овое ▒о▒▓о┐ние може▓ б╗▓╝ пе░ене▒ено на │даленное ░а▒▒▓о┐ние.
Вполне возможно, ╖▓о по░┐дка 10 би▓ов ╡ва▓и▓, ╖▓об╗ на кван▓овом
комп╝╛▓е░е ▒▓ало возможн╗м ░еализова▓╝ кван▓овое коди░ование Ш│ма╡е░а [5], ко▓о░ое п░ед▒▓авл┐е▓ ин▓е░е▒ п░и ░еализа╢ии ╜┤┤ек▓ивной
кван▓овой к░ип▓ог░а┤ии [37]. И, возможно, 100 би▓ ╡ва▓и▓ дл┐ ▓ого,
╖▓об╗ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ ▒мог ▒▓а▓╝ ╜┤┤ек▓ивн╗м ░е▓░ан▒л┐▓о░ом
╕│мовой (возможно, ╖а▒▓и╖но декоге░ен▓ной) кван▓овой к░ип▓ог░а┤и╖е▒кой ▒в┐зи [38]. Ве░о┐▓но, в ка╖е▒▓ве п░иложений окаже▓▒┐ возможн╗м ▒оздава▓╝ па░╗ Эйн╕▓ейна{Подол╝▒кого{Розена [36], ░азделенн╗е
на бол╝╕ие ░а▒▒▓о┐ни┐, ╖▓о позволи▓ о▒│╣е▒▓ви▓╝ нов╗е ▒▓░огие ╜к▒пе░имен▓ по п░ове░ки ▒п░аведливо▒▓и кван▓овой ▓ео░ии. Сей╖а▒ и в
┤изике, и в комп╝╛▓е░ной на│ке вед│▓▒┐ ак▓ивн╗е пои▒ки нов╗╡ п│▓ей и▒пол╝зовани┐ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов.
И▒пол╝зование кван▓ов╗╡ гей▓ов, опи▒анное в об╣и╡ ╖е░▓а╡ в ╜▓ой
░або▓е, каже▓▒┐ до▒▓а▓о╖но ▒ложн╗м дл┐ ╜лемен▓а░н╗╡ ░еализа╢ий
кван▓ового комп╝╛▓е░а, и возможно, ╖▓о б│д│▓ и▒пол╝зован╗ д░│гие
па░адигм╗, обе▒пе╖ива╛╣ие более п░о▒▓╗е п│▓и ░еализа╢ии кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. Нап░име░, возможно, ╖▓о е▒▓е▒▓венна┐ в░еменна┐
╜вол╛╢и┐ какой-ниб│д╝ п░о▒▓ой кван▓овой ▒и▒▓ем╗, ▓акой как к░и▒▓алл, може▓ ▒ама по ▒ебе п░оизводи▓╝ полезн╗е в╗╖и▒лени┐. Можно │каза▓╝ на ░або▓╗, ка▒а╛╣ие▒┐ цкван▓ов╗╡ кле▓о╖н╗╡ ав▓ома▓овч [9, 39]. Возможно, ╖▓о на╕и ▒егодн┐╕ние п░ед▒▓авлени┐ о необ╡одимо▒▓и ▒▓░огой изол┐╢ии кван▓овой в╗╖и▒ли▓ел╝ной ▒и▒▓ем╗ ┐вл┐╛▓▒┐ неве░н╗ми; вполне возможно, ╖▓о в░еменна┐ ╜вол╛╢и┐ ма▓░и╢╗
пло▓но▒▓и о▓к░╗▓ой кван▓овой ▒и▒▓ем╗ окаже▓▒┐ ▓акже п░именима
дл┐ п░оведени┐ в╗╖и▒лений, или ╖▓о нов╗й под╡од к ко░░ек╢ии о╕ибок [30] позволи▓ доп│▒ка▓╝ ╕│м╗ в к│би▓а╡ кван▓ового комп╝╛▓е░а.
Так или ина╖е, ▒лед│╛╣ие не▒кол╝ко ле▓ в ▓ема▓ике кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений обе╣а╛▓ б╗▓╝ о╖ен╝ ин▓е░е▒н╗ми.
56
Ли▓е░а▓│░а
Ли▓е░а▓│░а
[1] R. P. Feyman. Opt. News, 11, 11 (February 1985).
[2] P. W. Shor. In Proceedings of the 35th Annual Symposium on the
Foundations of Computer Science (IEEE Computer Society, Los
Alamitos, CA, 1994), p. 124.
[3] D. Deutsch. Proc. R. Soc. London Ser. A, 400, 97, 1985.
[4] Дл┐ ▒▒╗лок, ▒м. A. Ekert, and R. Jozsa (в пе╖а▓и); J. Brown, New
Sci., 133, (no. 1944), 21, 1994.
[5] Те░мин к│би▓ по┐вил▒┐ в по▒ледние не▒кол╝ко ле▓, ▒м. B. Schumacher, Phys. Rev. A51, 2738, 1995.
[6] G. Baym. Lectures on Quantum Mechanics, (Benjamin-Cumming,
Reading, MA, 1969), pp. 140 and 317-324.
[7] J. Mathews and R. L. Walker. Mathematical Method in Physics,
(Benjamin, Menlo Park, CA, ed. 2, 1970), pp. 464.
[8] A. Ekert. In Atomic Physics 14: 14th International Conference on
Atomic Physics, Boulder, CO, 1994.
[9] S. Lloyd. Science, 261, 1569, (1993); ibid. 263, 695, 1994.
[10] A. Barenco, D. Deutsch, A. Ekert, R. Jozsa. Phys. Rev. Lett. 74, 4083,
1995.
[11] D. Deutsch. Proc. R. Soc. London Ser. A, 425, 73, 1989.
[12] A. Barenco et al. Phys. Rev. (До▒▓│пен в а░╡иве п░еп░ин▓ов
в Ло▒-Аламо▒е: quant-ph/9503016, а ▓акже ╖е░ез ▒е▓╝ WWW
(Elementary Gates for Quantum Computation) ▒м. [40]); T. Seator and
H. Weinfurter, Phys. Rev. Lett. 74, 4087, 1995.
[13] C. P. Slichter. Principles of Magnetic Resonance. Springer-Verlag,
Berlin, ed. 3, 1992.
[14] W. S. Warren and M. S. Silver. Adv. Magn. Reson. 12, 247, (1988).
Ли▓е░а▓│░а
57
[15] S. Lloyd. Phys. Rev. Lett. 75, 346, (1995); D. Deutsch, A. Barenco,
K. Ekert. Proc. R. Soc. London Ser. A449, 669 (1995). (До▒▓│пен в а░╡иве п░еп░ин▓ов в Ло▒-Аламо▒е: quant-ph/9505018); ▒м. ▓акже [41].
[16] D. P. DiVincenzo. Phys. Rev. A 50, 1015, (1995). (До▒▓│пен в а░╡иве п░еп░ин▓ов в Ло▒-Аламо▒е: quant-ph/9407022 а ▓акже ╖е░ез
▒е▓╝ WWW (Two-Bit Gates are Universal for Quantun Compution)
▒м. [40]); Зде▒╝ п░иведен╗ и▒▓о╖ники данн╗╡, п░ед▒▓авленн╗╡ в
▓абли╢е.
[17] Нека┐ ░еализа╢и┐ ▓ак наз╗ваемого цгей▓а Ф░едкинач [19] б╗ло
░а▒▒мо▓░ено ░анее. См. ▓акже Y. Yamamoto, M. Kitegawa, K. Igeta.
In Proceedings of the 3th Asia-Pacic Physics Conference (World
Scientic, Singapure, 1988); G. J. Milbum. Phis. Rev. Lett. 62, 2124,
(1989).
[18] R. Landauer. IBM J. Res. Dev. 5, 183 (1961); T. Tooli. In Automata,
Languages and Programming, J. W. de Bakker and J. van Leeuwen
Eds. Springer, New York, 1980, p. 632.
[19] E. Fredkin and T. Tooli. Int. J. Theor. Phys. 21, 219 (1982).
[20] J. A. Sidles et al. Rev. Mod. Phys. 67, 249 (1995).
[21] D. Rugar, C. S. Yannoni, J. A. Sidles. Nature 360, 563 (1992); O. Zuger
and D. Rugar. Appl. Phys. Lett. 63, 2496 (1993).
[22] D. Deutsch and R. Jozsa. Proc. R. Soc. London Ser. A 439, 554 (1992).
[23] D. R. Simon. In [2], p. 116 (До▒▓│пен ╖е░ез ▒е▓╝ WWW (цOn the
Power of Quantum Computationч) ▒м. [40]).
[24] То╖ка з░ени┐ на кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ п░ед▒▓авлена в ▒▓а▓╝е
R. P. Feynman. Int. J. Teor. Phys. 21, 467, (1982).
[25] D. Coppersmith. IBM Res. Rep. RC19642 (1994), а ▓акже не оп│бликованн╗е ма▓е░иал╗; ▒м. ▓акже R. Cleve, не оп│бликованн╗е ма▓е░иал╗.
[26] A. K. Lenstra, H. W. Lenstra Jr., M. S. Manasse, J. M. Pollard. In
Proceedings of the 22nd Annual ACM Simposium on the theoty
of Computing (ACM Press, New York, 1990) p. 564; A. K. Lenstra,
58
[27]
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
[36]
[37]
[38]
Ли▓е░а▓│░а
H. W. Lenstra Jr., Eds. The Development of the Number Field Sieve,
vol. 1554 of Lecture Notes in Mathematics (Springer-Verlag, Berlin,
1993), p. 11.
L. Chuang, R. Larlamme, P. Shor, W. H. Zurek. (До▒▓│пен в а░╡иве п░еп░ин▓ов в Ло▒-Аламо▒е: quant-ph/9503007 а ▓акже ╖е░ез
▒е▓╝ WWW (цQuantum Computers, Factoring, and Decoherenceч)
▒м. [40]).
R. Landauer. In Proceedings of the Drexel-4 Symposium on Quantum
Nonintegrability | Quantum Classical Correspondence, D. H. Feng
and B.-L. Hu, Eds. (International Press, Boston).
R. Landauer. Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A.
A. Berthiaume, D. Deutsch, R. Jozsa. Proceeding of Workshop on
Physicsand Compution, PhysCom'94 (IEEE Computer Society Press,
Los-Alamos, CA, 1994) p. 60; A. Barenco, D. Deutsch, A. Ekert,
C. Machiavello.
J. I. Cirac, and P. Zoller. Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).
W. G. Unruh. Prys. Rev. A 51, 992 (1995). (До▒▓│пен в а░╡иве п░еп░ин▓ов в Ло▒-Аламо▒е: quant-ph/9406058).
Q. A. Turchette, C. J. Hood, W. Lange, H. Mabuchi, H. J. Kimble.
Measurement of Conditional Phase Shifts for Quantum Logic, п░еп░ин▓ (И╛л╝ 1995).
S. R. Jeerts, C. Monroe, E. W. Bell, D. J. Wineland. Phys. Rev. A 51,
3112 (1995): C. Monroe ╖а▒▓н╗е бе▒ед╗.
R. S. van Dyck Jr. In Rhysics News in 1994, April 1995 supplement of
APS News, P. W. Schewe, Ed., (American Institute of Physics, College
Park, MD, 1995) p. S6.
C. H. Bennett et al. Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).
C. H. Bennett, G. Brassard, A. Ekert. Sci. Am. 267, (щ4), 50 (1992).
C. H. Bennett et al. Purication of Noisy Entanglement and Faithful
Teleportation via Noisy Channels, п░еп░ин▓, (Май 1995).
Ли▓е░а▓│░а
59
[39] N. Margolus. In Complexity, Entropy, and the Physics Information,
vol. VII of Santa Fe Institute Studies in the Sciences Complexity,
W. H. Zurek, Ed. (Addison-Wesley, Readig, MA, 1990), p. 273.
[40] URL http://vesta.physics.ucla.edu/ smolin/ (Quantum Information
Page, Center of Advanced Accelerators).
[41] URL http://eve.physics.ox.ac.uk/QChome.html (Quantum Computation and Cryptography page, Clarendon Laboratory, University of
Oxfoord).
У▒ловна┐ кван▓ова┐ динамика и логи╖е▒кие
гей▓╗
А. Ба░енко, Д. Дой╖, А. Эке░▓
(Adriano Barenco, David Deutsch and Artur Ekert)1
Р. Джоз▒а
(Richard Jozsa)2
Кван▓ов╗е логи╖е▒кие гей▓╗ п░ед▒▓авл┐╛▓ ▒обой ┤│ндамен▓ал╝н╗е п░име░╗ │▒ловной кван▓овой динамики. Они
могли б╗ ▒л│жи▓╝ ▒▓░ои▓ел╝н╗ми блоками дл┐ об╣и╡ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем пе░еда╖и ин┤о░ма╢ии, ко▓о░╗е, как б╗ло недавно
показано, облада╛▓ множе▒▓вом ин▓е░е▒н╗╡ некла▒▒и╖е▒ки╡
▒вой▒▓в. М╗ опи╕ем п░о▒▓ей╕ий кван▓ов╗й логи╖е▒кий гей▓,
кван▓овое │п░авл┐емое НЕ, и п░оанализи░│ем неко▓о░╗е и╡
п░именени┐. М╗ об▒│дим ▓акже две возможн╗╡ ░еализа╢ии
▓акого гей▓а; одна из ни╡ о▒нована на а▓омной ин▓е░┤е░оме▓░ии Рамза┐, а д░│га┐ | на ▒елек▓ивном │п░авлении оп▓и╖е▒кими ░езонан▒ами дв│╡ под▒и▒▓ем ▒ дипол╝-дипол╝н╗м
взаимодей▒▓вием.
То▓ ┤ак▓, ╖▓о кван▓ово-ме╡ани╖е▒кие п░о╢е▒▒╗ в п░ин╢ипе доп│▒ка╛▓ нов╗е ▓ип╗ пе░еда╖и ин┤о░ма╢ии, изве▒▓ен │же около де▒┐▓и
ле▓ [1, 2]. Бенне▓▓ и Вай▒не░ показали, ╖▓о возможно▒▓и кван▓ов╗╡
каналов мог│▓ б╗▓╝ │двоен╗ [3], и недавние и▒▒ледовани┐ в кван▓овой
▓ео░ии ▒ложно▒▓и [4] п░ивели к в╗вод│, ╖▓о в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ мо╣но▒▓╝
кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов п░ево▒╡оди▓ ▓аков│╛ ма╕ин╗ Т╝╛░инга. Таким об░азом, ╜к▒пе░имен▓ал╝на┐ ░еализа╢и┐ ╜▓и╡ п░о╢е▒▒ов ┐вл┐е▓▒┐
ве▒╝ма ин▓е░е▒ной зада╖ей. В ╜▓ой ▒▓а▓╝е м╗ зао▒▓░┐ем внимание на
1 Clarendon Laboratory, Physics Department, University of Oxford, Parks Road,
Oxford OX1 3PU, United Kingdom.
2 School of Mathematics & Statistics, University of Plymouth, Plymouth PL4 8AA,
United Kingdom.
Пе░евод И. О. Че░едникова.
У▒ловна┐ кван▓ова┐ динамика и логи╖е▒кие гей▓╗
61
о▒новн╗╡ ▒о▒▓авл┐╛╣и╡ кван▓ового │▒▓░ой▒▓ва дл┐ пе░еда╖и ин┤о░ма╢ии, а именно, логи╖е▒ки╡ кван▓ов╗╡ гей▓а╡. М╗ ╡о▓им под╖е░кн│▓╝
возникновение │▒ловной кван▓овой динамики, в ко▓о░ой одна под▒и▒▓ема п░о╡оди▓ по ╜▓апам коге░ен▓ной ╜вол╛╢ии, зави▒┐╣ей о▓ ▒о▒▓о┐ни┐
д░│гой под▒и▒▓ем╗. Уни▓а░н╗й опе░а▓о░ ╜вол╛╢ии дл┐ ▒о▒▓авной ▒и▒▓ем╗ имее▓ вид
U = j0ih0j U0 + j0ih0j U1 + : : : + jkihkj Uk ;
(1)
где п░оек▓о░╗ о▓но▒┐▓▒┐ к кван▓ов╗м ▒о▒▓о┐ни┐м кон▓░ол╝ной под▒и▒▓ем╗ и │ни▓а░н╗е опе░а╢ии Ui в╗полн┐╛▓▒┐ на ░або╖ей под▒и▒▓еме.
П░о▒▓ей╕ей не▓░ивиал╝ной опе░а╢ией ▓акого ░ода ┐вл┐е▓▒┐ кван▓овое
│п░авл┐емое НЕ. М╗ опи╕ем ╜▓о▓ гей▓, п░оанализи░│ем неко▓о░╗е его
п░именени┐ и об▒│дим ┤изи╖е▒кие ░еализа╢ии.
Кла▒▒и╖е▒кое │п░авл┐емое НЕ ┐вл┐е▓▒┐ об░а▓им╗м логи╖е▒ким
гей▓ом на дв│╡ би▓а╡ "1 и "2 ; "1 наз╗вае▓▒┐ кон▓░ол╝н╗м би▓ом, а
"2 | ░або╖им би▓ом. Зна╖ение "2 о▓░и╢ае▓▒┐, е▒ли "1 = 1, в п░о▓ивном
▒л│╖ае "2 о▒▓ае▓▒┐ п░ежним. В л╛бом ▒л│╖ае кон▓░ол╝н╗й би▓ "1 не
измен┐е▓▒┐. Оп░еделим кван▓овое │п░авл┐емое НЕ C12 как о▒│╣е▒▓вл┐╛╣ее │ни▓а░н│╛ опе░а╢и╛ на дв│╡ к│би▓а╡ (дв│╡│░овнев╗╡ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ема╡), ╖▓о в в╗б░анном о░▓оно░мал╝ном бази▒е fj0i; j1ig в H2
во▒п░оизводи▓ опе░а╢и╛ │п░авл┐емое НЕ:
C12 j"1 ij"1 "2 i;
j"1 ij"2 i ;!
(2)
где озна╖ае▓ ▒ложение по мод│л╛ 2. Зде▒╝ и далее пе░в╗й индек▒
в Cij в▒егда о▓но▒и▓▒┐ к кон▓░ол╝ном│ би▓│, а в▓о░ой | к ░або╖ем│.
Нап░име░, C21 о▒│╣е▒▓вл┐е▓ ▒лед│╛╣│╛ │ни▓а░н│╛ опе░а╢и╛:
C21 j"1 "2 ij"2 i:
j"1 ij"2 i ;!
(3)
Кван▓овое │п░авл┐емое НЕ ▒лед│е▓ о▓ли╖а▓╝ о▓ кла▒▒и╖е▒кого │п░авл┐емого НЕ, ░еализованного на ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ комп╝╛▓е░а╡. Кван▓овое
│п░авл┐емое НЕ | ╜▓о коге░ен▓на┐ опе░а╢и┐ на кван▓ов╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡ дв│╡ к│би▓ов. Уни▓а░на┐ опе░а╢и┐, оп░едел┐ема┐ (2), не ┐вл┐е▓▒┐
един▒▓венной, во▒п░оизвод┐╣ей кла▒▒и╖е▒кое │п░авл┐емое НЕ на бази▒н╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡ j0i и j1i. Можно вве▒▓и дополни▓ел╝н╗е ┤аз╗, ▓ак
╖▓о в наиболее об╣ем виде ▓ака┐ кван▓ова┐ опе░а╢и┐ в╗гл┐ди▓ ▓ак:
j"1 ij"2 i ;! exp(i"1 "2 )j"1 ij"1 "2 i:
(4)
62
А. Ба░енко, Д. Дой╖, А. Эке░▓, Р. Джоз▒а
Э▓а ┤аза не имее▓ о▓но╕ени┐ к кла▒▒и╖е▒ким опе░а╢и┐м, но п░иводи▓
к по┐влени╛ ▒емей▒▓ва не╜квивален▓н╗╡ кван▓ов╗╡ гей▓ов.
У░авнени┐ (2) или (3) оп░едел┐╛▓ опе░а╢ии C12 по о▓но╕ени╛
к ▒пе╢иал╝ном│ в╗бо░│ бази▒а, именно | к в╗╖и▒ли▓ел╝ном│ бази▒│ fj0i; j1ig. Полезно об▒│ди▓╝ обоб╣ени┐ C12 , ко▓о░╗е дей▒▓в│╛▓ на
кон▓░ол╝н╗й и ░або╖ий би▓╗ в бази▒а╡, о▓ли╖н╗╡ как о▓ в╗╖и▒ли▓ел╝ного, ▓ак и, возможно, д░│г о▓ д░│га. Нап░име░, легко показа▓╝, ╖▓о
гей▓╗ C12 в бази▒е f p1 (j0ij1i)g (дл┐ дв│╡ к│би▓ов) иден▓и╖н╗ C21 в
2
бази▒е fj0i; j1ig, ▓. е. п░и ▓акой п░о▒▓ой замене бази▒а мен┐╛▓▒┐ ░оли
к│би▓ов. В дал╝ней╕ем, е▒ли не огово░ено об░а▓ное, б│де▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗й бази▒.
Кван▓ов╗й гей▓ │п░авл┐емое НЕ обладае▓ ░азнооб░азн╗ми ин▓е░е▒н╗ми ▒вой▒▓вами и п░иложени┐ми:
(1) C12 п░еоб░аз│е▓ ▒│пе░пози╢ии в ▒к░е╣ени┐
C12 : (aj0i + bj1i)j0i ! aj0ij0i + bj1ij1i:
(5)
Таким об░азом он дей▒▓в│е▓ как изме░и▓ел╝н╗й гей▓, по▒кол╝к│ е▒ли
░або╖ий би▓ "2 на╡оди▓▒┐ в на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии j0i, ▓о ╜▓о▓ би▓ вме▒▓е ▒ гей▓ом ░авно▒илен аппа░а▓│, ░еализ│╛╣ем│ ▒ове░╕енно ▓о╖ное
невозм│╣а╛╣ее (кван▓овое не░аз░│╕а╛╣ее [5]) изме░ение "1.
(2) Э▓о п░еоб░азование ▒│пе░пози╢ий в ▒к░е╣ени┐ може▓ б╗▓╝ об░а╣ено ▒ помо╣╝╛ ▓акой же опе░а╢ии │п░авл┐емое НЕ. Следова▓ел╝но,
оно може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зовано дл┐ ░еализа╢ии ▓ак наз╗ваемого изме░ени┐ Белла [6] на дв│╡ би▓а╡ п│▓ем ░а▒п│▓╗вани┐ ▒о▒▓о┐ний Белла. Из
╖е▓╗░е╡ ▒о▒▓о┐ний Белла м╗ пол│╖аем ╖е▓╗░е п░оизводн╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐:
C12 p1 (j0ij0i j1ij1i) = p1 (j0i j1i)j0i;
(6)
2
2
C12 p1 (j0ij1i j1ij0i) = p1 (j0i j1i)j1i:
(7)
2
2
Таким об░азом, изме░ение Белла на дв│╡ к│би▓а╡ о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ по▒ледова▓ел╝но дв│м┐ незави▒им╗ми дв│ме░н╗ми изме░ени┐ми: в в╗╖и▒ли▓ел╝ном бази▒е дл┐ ░або╖его к│би▓а и в бази▒е f p1 (j0ij1i)g дл┐
2
кон▓░ол╝ного к│би▓а. Реализа╢и┐ изме░ени┐ Белла ┐вл┐е▓▒┐ главной
▓░│дно▒▓╝╛ на п│▓и п░ак▓и╖е▒кого о▒│╣е▒▓влени┐ кван▓овой ▓елепо░▓а╢ии [7] и пло▓ного кван▓ового коди░овани┐ [3].
У▒ловна┐ кван▓ова┐ динамика и логи╖е▒кие гей▓╗
63
(3) Т░ан▒пози╢и┐ кван▓ов╗╡ ▒о▒▓о┐ний в╗полн┐е▓▒┐ ▒ помо╣╝╛
ка▒када из ▓░е╡ кван▓ов╗╡ гей▓ов │п░авл┐емое НЕ:
C12 C21 C12 j iji = jij i;
(8)
дл┐ п░оизвол╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний j i и ji (▒м. ▓акже [8]).
(4) Кван▓ов╗й гей▓ │п░авл┐емое НЕ можно и▒пол╝зова▓╝ дл┐ пе░ено▒а │даленн╗╡ ▒о▒▓о┐ний п░и нали╖ии канала, пе░ено▒┐╣его ▓ол╝ко
кла▒▒и╖е▒к│╛ ин┤о░ма╢и╛. Э▓о полно▒▓╝╛ о▓ли╖но о▓ опи▒анной в╗╕е
замен╗ ▒о▒▓о┐ни┐, ко▓о░а┐ ▓░еб│е▓ п░именени┐ гей▓ов к дв│м ▒о▒▓о┐ни┐м на в╡оде, ▓ак ╖▓о они не мог│▓ б╗▓╝ ▒ил╝но ░азделен╗ д░│г о▓
д░│га во в░емени. П│▒▓╝ │даленн╗е д░│г о▓ д░│га Али▒а и Боб владе╛▓
▒о▒▓о┐ни┐ми ji в H0 и j i в H5 ▒оо▓ве▓▒▓венно, ко▓о░╗ми они ╡о▓┐▓
обмен┐▓╝▒┐ (п░едполагае▓▒┐, ╖▓о они не зна╛▓, ╖▓о ╜▓о за ▒о▒▓о┐ни┐).
Ч▓об╗ ╜▓о ▒дела▓╝, они должн╗ (в п░ед╗д│╣ем ▒л│╖ае они на╡одили▒╝
░┐дом или имели до▒▓│п к кван▓овом│ комм│ника╢ионном│ канал│)
облада▓╝ дв│м┐ па░ами к│би▓ов, одной в ▒о▒▓о┐нии p1 (j0ij0i + j1ij1i)
2
в H1 H3 и д░│гой в ▓ом же мак▒имал╝но ▒к░е╣енном ▒о▒▓о┐нии в
H2 H4 . Со▒▓о┐ни┐ в H0 , H1 , H2 локализован╗ около Али▒╗ и ▒о▒▓о┐ни┐ в H3 , H4 , H5 | около Боба. П│▒▓╝ M обозна╖ае▓ полное изме░ение
в в╗╖и▒ли▓ел╝ном бази▒е fj0i; j1ig.
Дл┐ ▓░ан▒пози╢ии ji и j i Али▒а и Боб ▒лед│╛▓ ▓аком│ п░о▓окол│.
Шаг 1: Али▒а в╗полн┐е▓ C10 , а за▓ем C02 , в ▓о в░ем┐ как Боб в╗полн┐е▓ C54 , а за▓ем C35 . Шаг 2: Али▒а изме░┐е▓ M в H2 , и Боб изме░┐е▓ M
в H4 . Кажд╗й из │╖а▒▓ников ▒ооб╣ае▓ ░ез│л╝▓а▓ (один би▓ ин┤о░ма╢ии) д░│гом│. Е▒ли ░ез│л╝▓а▓╗ одинаков╗, пе░е╡одим к ╕аг│ 3. Е▒ли
они ░азли╖н╗, Али▒а и Боб о▓░и╢а╛▓ зна╖ени┐ в▒е╡ п░инадлежа╣и╡
им би▓ов, ▓. е. п░имен┐╛▓ │ни▓а░н│╛ опе░а╢и╛
0 1
1 0
к каждой ╖а▒▓и╢е. Шаг 3: Али▒а в╗полн┐е▓ в░а╣ение
p1 11 ;11
2
в H1 и Боб делае▓ ▓о же ▒амое в H3 . Шаг 4: Али▒а в╗полн┐е▓ изме░ение M в H1 и Боб делае▓ ╜▓о в H3 . Они ▒ооб╣а╛▓ д░│г д░│г│ ░ез│л╝▓а▓╗. Е▒ли ░ез│л╝▓а▓╗ одинаков╗, ▒о▒▓о┐ни┐ мен┐╛▓▒┐. В п░о▓ивном
64
А. Ба░енко, Д. Дой╖, А. Эке░▓, Р. Джоз▒а
▒л│╖ае Али▒а п░имен┐е▓ │ни▓а░ное п░еоб░азование
1 0
0 ;1
к H0 и Боб делае▓ ▓о же дл┐ H5 , по▒ле ╖его ▒о▒▓о┐ни┐ мен┐╛▓▒┐. Аналоги╖н╗й п░о╢е▒▒ опи▒ан Вайдманом [9].
Ин▓е░е▒но ▒░авни▓╝ ╜▓о▓ п░о▓окол ▒ кван▓овой ▓елепо░▓а╢ией [7],
когда Али▒а и Боб в на╖але владе╛▓ одной мак▒имал╝но ▒к░е╣енной па░ой, и Али▒а може▓ пе░еда▓╝ п░оизвол╝ное ▒о▒▓о┐ние j i Боб│, по▒╗ла┐
ем│ ▓ол╝ко два кла▒▒и╖е▒ки╡ би▓а ин┤о░ма╢ии. Тогда, и▒пол╝з│┐ ▓е же
▒░ед▒▓ва, ╖▓о и в на╕ем п░о▓околе, ▓. е. ▒овме▒▓ное владение дв│м┐
▒к░е╣енн╗ми па░ами и пе░е▒╗лк│ дв│╡ би▓ов д░│г д░│г│, м╗ може▓
ал╝▓е░на▓ивно помен┐▓╝ ▒о▒▓о┐ни┐ ji и j i ▒ помо╣╝╛ дв│╡ ▓елепо░▓а╢ий (дл┐ дв│╡ нап░авлений пе░ено▒а). Однако ▓акой п░о╢е▒▒ не може▓ б╗▓╝ ░азделен на два по▒ледова▓ел╝н╗╡ пе░ено▒а. О▓ли╖и▓ел╝ной
╖е░▓ой в▒е╡ ▓аки╡ п░о╢е▒▒ов ┐вл┐е▓▒┐ ▓о, ╖▓о п░и нали╖ии ▒к░е╣ени┐
п░оизвол╝ное ▒о▒▓о┐ние j i може▓ б╗▓╝ пе░ене▒ено в ░ез│л╝▓а▓е пе░е▒╗лки ▓ол╝ко не▒кол╝ки╡ би▓ов кла▒▒и╖е▒кой ин┤о░ма╢ии, не▒мо▓░┐ на
▓о, ╖▓о j i зави▒и▓ о▓ дв│╡ неп░е░╗вн╗╡ па░аме▓░ов, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡
бе▒коне╖ном│ коли╖е▒▓в│ кла▒▒и╖е▒кой ин┤о░ма╢ии.
Кван▓ова┐ опе░а╢и┐ │п░авл┐емое НЕ не ┐вл┐е▓▒┐ │ниве░▒ал╝ной.
Однако, на░┐д│ ▒ о▓но▒и▓ел╝но ▓░ивиал╝н╗ми однок│би▓н╗ми гей▓ами, она об░аз│е▓ адеква▓ное множе▒▓во кван▓ов╗╡ гей▓ов, ▓. e. множе▒▓во, из ╜лемен▓ов ко▓о░ого мог│▓ б╗▓╝ по▒▓░оен╗ л╛б╗е кван▓ов╗е
гей▓╗ [10]. Таким об░азом, в ░еал╝н╗╡ ▓е╡нологи┐╡ │▒ловна┐ динамика
▓ипа кван▓ового │п░авл┐емого НЕ до▒▓а▓о╖на дл┐ по▒▓░оени┐ л╛бого
кван▓ового пе░еда╛╣его │▒▓░ой▒▓ва. Униве░▒ал╝н╗е дв│би▓ов╗е кван▓ов╗е гей▓╗, о▒нованн╗е на аналоги╖н╗м об░азом кон▓░оли░│емой динамике, опи▒ан╗ в [11].
Далее б│д│▓ п░едложен╗ два ▒по▒оба ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ░еализа╢ии кван▓ового │п░авл┐емого НЕ. М╗ не │▓ве░ждаем, ╖▓о именно ╜▓и
▓е╡нологии помог│▓ на п░ак▓ике пол│╖и▓╝ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее │▒▓░ой▒▓во. Они ▒л│жа▓, однако, дл┐ илл╛▒▓░а╢ии ┤изи╖е▒ки╡ идей, ко▓о░╗е
б│д│▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ п░и по▒▓░оении ▓аки╡ │▒▓░ой▒▓в п░и л╛бой ▓е╡нологии.
Пе░ва┐ ▓е╡нологи┐ | а▓омна┐ ин▓е░┤е░оме▓░и┐ Рамза┐ [12, 13, 14,
15], а в▓о░а┐ о▒нована на ▒елек▓ивном │п░авлении оп▓и╖е▒кими ░езонан▒ами дв│╡ к│би▓ов ▒ дипол╝-дипол╝н╗м взаимодей▒▓вием [16].
У▒ловна┐ кван▓ова┐ динамика и логи╖е▒кие гей▓╗
65
В ме▓оде а▓омной ин▓е░┤е░оме▓░ии Рамза┐ ░або╖ий к│би▓ ┐вл┐е▓▒┐ а▓омом ▒ дв│м┐ к░│гов╗ми ▒о▒▓о┐ни┐ми Ридбе░га j"2 i, где "2 = 0; 1;
кон▓░ол╝н╗й к│би▓ | ╜▓о кван▓ованное ╜лек▓░омагни▓ное поле в поло▒▓и C ▒ в╗▒оким Q.
Поле в поло▒▓и ▒оде░жи▓ ▒амое бол╝╕ее один ┤о▓он неко▓о░ой мод╗, ▓ак ╖▓о его можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ как дв│╡│░овнев│╛ ▒и▒▓ем│ ▒
вак││мн╗м j0i, и одно┤о▓онн╗м ▒о▒▓о┐ни┐ми j1i в ка╖е▒▓ве бази▒а.
Поло▒▓╝ C на╡оди▓▒┐ межд│ дв│м┐ в▒помога▓ел╝н╗ми мик░оволнов╗ми поло▒▓┐ми R1 и R2 , в ко▓о░╗╡ кла▒▒и╖е▒кие мик░оволнов╗е пол┐
по░ожда╛▓ в░а╣ени┐ на =2 а▓омного век▓о░а Бло╡а,
j"1 ieldj"2 iatom ;! j"1 ield p1 (j"2 i + (;1)"2 ei j1 ; "2 i)atom ; (9)
2
где ┤азов╗й множи▓ел╝ ░азли╖ен дл┐ дв│╡ поло▒▓ей R1 и R2 . В ╢ен▓░ал╝ной поло▒▓и C ди▒пе░▒ивное взаимодей▒▓вие ▒ кван▓ованн╗м полем п░иводи▓ к ▒двигам ┤аз╗, зави▒┐╣им о▓ ▒о▒▓о┐ни┐ а▓ома j"2 i и
╖и▒ла ┤о▓онов в поло▒▓и j"1 i. Взаимодей▒▓вие ▒о╡░ан┐е▓ ╖и▒ло ┤о▓онов
в поло▒▓и:
j"1 ieldj"2 iatom ;! exp(i(;1)1;"2 ("1 + "2 ))j"1 ieldj"2 iatom ;
(10)
где | ┤азов╗й ▒двиг дл┐ ┤о▓она, ко▓о░╗й може▓ б╗▓╝ в╗б░ан ░авн╗м ( зави▒и▓ о▓ в░емени, ▓░еб│╛╣его▒┐ а▓ом│, ╖▓об╗ п░ой▓и C ,
и ░а▒▒▓░ои▓╝ а▓ом-поле).
В ╢елом п░о╢е▒▒ може▓ ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ как по▒ледова▓ел╝но▒▓╝:
пол│пе░ево░о▓ в R1 , ┤азов╗е ▒двиги в C , и пол│пе░ево░о▓ в R2 . В зави▒имо▒▓и о▓ ▒двигов ┤аз в▓о░ой пол│пе░ево░о▓ може▓ либо ве░н│▓╝
а▓ом в на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние, либо полно▒▓╝╛ пе░еве░н│▓╝ его в о░▓огонал╝ное ▒о▒▓о┐ние. Ин▓е░┤е░оме▓░ може▓ б╗▓╝ на▒▓░оен ▓ак, ╖▓о когда
а▓ом п░о╡оди▓ по▒ледова▓ел╝но ╖е░ез поло▒▓и R1 , C и R2 , два к│би▓а,
▓. e. поле и а▓ом, подве░га╛▓▒┐ п░еоб░азовани╛
j"1 ieldj"2 iatom ;! j"1 ieldj"1 "2 iatom :
(11)
Со▒▓о┐ние пол┐ в C ▓акже може▓ б╗▓╝ пе░ене▒ено ▒o (или на) в▒помога▓ел╝ного ░идбе░гов▒кого а▓ома, на▒▓░оенного на ░езонан▒н│╛ ╖а▒▓о▓│ поло▒▓и ▓аким об░азом, ╖▓о оно и▒п╗▓ае▓ дей▒▓вие ░езонан▒а, а
не ди▒пе░▒ивного взаимодей▒▓ви┐ в C . Э▓о▓ п░о╢е▒▒ позвол┐е▓ ▒озда▓╝
гей▓╗, дей▒▓в│╛╣ие на два к│би▓а одного ▓ипа, ▓. e. два ░идбе░гов▒кие
66
А. Ба░енко, Д. Дой╖, А. Эке░▓, Р. Джоз▒а
а▓ома, а не на поле и а▓ом. Давидови╖ и д░. [13] показали, как можно и▒пол╝зова▓╝ ин▓е░┤е░оме▓░и╛ Рамза┐ дл┐ кван▓овой ▓елепо░▓а╢ии. И╡
╜к▒пе░имен▓ал╝на┐ │▒▓ановка ╜┤┤ек▓ивно вкл╛╖ае▓ │▒ловн│╛ динамик│ об▒│ждаемого нами ▓ипа, име╛╣│╛ го░аздо более ╕и░окие п░иложени┐ в кван▓овой пе░еда╖е ин┤о░ма╢ии, ╖ем п░о▒▓о в кван▓овой
▓елепо░▓а╢ии. П░ак▓и╖е▒ка┐ ░еализа╢и┐ кван▓ового │п░авл┐емого НЕ
може▓ б╗▓╝ о▒│╣е▒▓влена п│▓ем неко▓о░ой моди┤ика╢ии ╜к▒пе░имен▓ов, как опи▒ано в [13, 14, 15]. Типи╖на┐ ░езонан▒на┐ ╖а▒▓о▓а должна
б╗▓╝ по░┐дка 2 1010Г╢, в░ем┐ взаимодей▒▓ви┐ а▓ома ▒ полем в поло▒▓и 3 10;5▒, и в░ем┐ жизни пол┐ в поло▒▓и може▓ б╗▓╝ ▒делано
по░┐дка 0:5▒.
Наиболее ▓░│дной ╖а▒▓╝╛ ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ░еализа╢ии ┐вл┐е▓▒┐, ве░о┐▓но, п░иго▓овление изоли░ованного а▓ома. Об╗╖но ╜▓о о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ ▒ помо╣╝╛ п░иго▓овлени┐ п│╖ка а▓омов ▒ ве▒╝ма малой
ве░о┐▓но▒▓╝╛ обна░│жени┐ о▓дел╝ного а▓ома в п│╖ке; обна░│жение же
дв│╡ а▓омов под░┐д в п│╖ке е╣е менее ве░о┐▓но. С на╕ей ▓о╖ки з░ени┐,
недо▒▓а▓ком данного ме▓ода ┐вл┐е▓▒┐ ▓о, ╖▓о он п░иводи▓ к об░а▓ной
зави▒имо▒▓и межд│ ве░о┐▓но▒▓╝╛ ▓ого, ╖▓о ▓о╖но один а▓ом (как ▓░еб│е▓▒┐) взаимодей▒▓в│е▓ ▒ полем в данном ╢икле, и надежно▒▓╝╛ гей▓а. Хо▓┐ в на╕ем п░име░е м╗ п░ежде в▒его ┤ок│▒и░овали внимание на
мик░оволнов╗╡ поло▒▓┐╡, може▓ б╗▓╝ ▓акже ░а▒▒мо▓░ена ╜к▒пе░имен▓ал╝на┐ ░еализа╢и┐ в оп▓и╖е▒ком ░ежиме [15].
В▓о░ое на╕е п░едложение по ░еализа╢ии кван▓ов╗╡ гей▓ов │п░авл┐емое НЕ о▒новано на дипол╝-дипол╝ном взаимодей▒▓вии межд│ дв│м┐ к│би▓ами. Дл┐ ╢елей данной модели к│би▓╗ мог│▓ б╗▓╝ либо магни▓н╗ми дипол┐ми, нап░име░, ┐де░н╗ми ▒пинами во вне╕ни╡ магни▓н╗╡ пол┐╡, либо ╜лек▓░и╖е▒кими дипол┐ми, нап░име░, одно╜лек▓░онн╗ми кван▓ов╗ми ▓о╖ками в ▒▓а▓и╖е▒ки╡ ╜лек▓░и╖е▒ки╡ пол┐╡. Зде▒╝
м╗ опи╕ем модел╝, о▒нованн│╛ на взаимодей▒▓вии кван▓ов╗╡ ▓о╖ек,
однако ма▓ема▓и╖е▒ки оба ▒л│╖а┐ изомо░┤н╗.
П│▒▓╝ две одно╜лек▓░онн╗╡ кван▓ов╗╡ ▓о╖ки, на╡од┐╣ие▒┐ на ░а▒▒▓о┐нии R д░│г о▓ д░│га, пог░│жен╗ в пол│п░оводник. Ра▒▒мо▓░им о▒новное и пе░вое возб│жденное ▒о▒▓о┐ни┐ каждой ▓о╖ки как ▒о▒▓о┐ни┐
в╗╖и▒ли▓ел╝ного бази▒а j0i и j1i. Пе░ва┐ кван▓ова┐ ▓о╖ка ▒ ░езонан▒ной ╖а▒▓о▓ой !1 б│де▓ и▒пол╝зована в ка╖е▒▓ве кон▓░ол╝ного к│би▓а, а
в▓о░а┐, ▒ ░езонан▒ной ╖а▒▓о▓ой !2 , как ░або╖ий к│би▓. В п░и▒│▓▒▓вие
вне╕него ▒▓а▓и╖е▒кого ╜лек▓░и╖е▒кого пол┐, ко▓о░ое може▓ вкл╛╖а▓╝▒┐ и в╗кл╛╖а▓╝▒┐ адиаба▓и╖е▒ки во избежание пе░е╡одов межд│ │░ов-
;
У▒ловна┐ кван▓ова┐ динамика и логи╖е▒кие гей▓╗
67
Ри▒. 1. Пло▓но▒▓╝ за░┐да в кван▓овой ┐ме в нап░авлении x п░иложенного
пол┐. Дипол╝н╗й момен▓ инд│╢и░│е▓▒┐, когда ╜лек▓░и╖е▒кое поле вкл╛╖ае▓▒┐ (B), и ░авен н│л╛ в о▓▒│▓▒▓вие ╜лек▓░и╖е▒кого пол┐ (A).
н┐ми, ░а▒п░еделение за░┐да в о▒новном ▒о▒▓о┐нии каждой ▓о╖ки ▒двигае▓▒┐ в нап░авлении пол┐, в ▓о в░ем┐ как в пе░вом возб│жденном ▒о▒▓о┐нии ░а▒п░еделение за░┐да ▒двигае▓▒┐ в п░о▓ивоположном нап░авлении (кван▓ов╗й ╜┤┤ек▓ Ш▓а░ка) [17] (▒м. ░и▒. 1). В п░о▒▓ой модели,
когда ▒о▒▓о┐ние к│би▓а коди░│е▓▒┐ одним ╜лек▓░оном в каждой кван▓овой ▓о╖ке, можно в╗б░а▓╝ коо░дина▓╗, в ко▓о░╗╡ дипол╝н╗е момен▓╗
в ▒о▒▓о┐ни┐╡ j0i и j1i ▒│▓╝ di , где i = 1; 2 о▓но▒┐▓▒┐ к кон▓░ол╝ной
и ░або╖ей ▓о╖ке ▒оо▓ве▓▒▓венно. Дл┐ бол╝╕ей ┐▒но▒▓и м╗ изложим
иде╛ ме▓ода ▒ и▒пол╝зованием не▒кол╝ко │п░о╣енной модели, ▓огда
как более ▓о╖на┐ модел╝ должна │╖и▓╗ва▓╝ д╗░ки в вален▓ной зоне
пол│п░оводника. Со▒▓о┐ние к│би▓а оп░едел┐е▓▒┐ ▓огда возб│ждени┐ми
▒ ░азли╖н╗ми ╜не░ги┐ми.
Элек▓░и╖е▒кое поле ╜лек▓░она в пе░вой кван▓овой ▓о╖ке може▓
▒двин│▓╝ │░овни ╜не░гии во в▓о░ой ▓о╖ке (и наобо░о▓), но в ╡о░о╕ем
п░иближении ╜▓о не п░иводи▓ к пе░е╡одам. П░и╖иной ┐вл┐е▓▒┐ ▓о, ╖▓о
в полном гамил╝▓ониане
H^ = H^ 1 + H^ 2 + V^12
(12)
домини░│е▓ дипол╝-дипол╝ное взаимодей▒▓вие V^12 , ко▓о░ое диагонал╝но в ╖е▓╗░е╡ме░ном п░о▒▓░ан▒▓ве ▒о▒▓о┐ний, на▓┐н│▓ом на ▒об▒▓венн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ fj"1 i; j"2 ig ▒вободного гамил╝▓ониана H^ 1 + H^ 2 , где "1
и "2 п░инима╛▓ зна╖ени┐ о▓ 0 до 1. Именно,
(H^ 1 + H^ 2 )j"1 ij"2 i = ~("1 !1 + "2 !2 )j"1 ij"2 i;
(13)
и
V^12 j"1 ij"2 i = (;1)"1 +"2 ~! j"1 ij"2 i;
(14)
где
! = ; d1 d2 3 :
(15)
4"0 R
68
А. Ба░енко, Д. Дой╖, А. Эке░▓, Р. Джоз▒а
Как показано на ░и▒. 2, в ░ез│л╝▓а▓е дипол╝-дипол╝ного взаимодей▒▓ви┐ ░езонан▒на┐ ╖а▒▓о▓а пе░е╡одов межд│ ▒о▒▓о┐ни┐ми j0i и j1i
одной ▓о╖ки зави▒и▓ о▓ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒о▒едней ▓о╖ки. Э▓о и е▒▓╝ и▒кома┐ │▒ловна┐ кван▓ова┐ динамика. Резонан▒на┐ ╖а▒▓о▓а пе░вой ▓о╖ки
▒▓анови▓▒┐ ░авной !1 ! , в ▒оо▓ве▓▒▓вие ▒ ▓ем, на╡оди▓▒┐ ли в▓о░а┐
▓о╖ка в ▒о▒▓о┐нии j0i или j1i. Аналоги╖но, ░езонан▒на┐ ╖а▒▓о▓а в▓о░ой
▓о╖ки е▒▓╝ !2 ! , в зави▒имо▒▓и о▓ ▒о▒▓о┐ни┐ пе░вой ▓о╖ки. Таким
об░азом, -имп│л╝▒ ╖а▒▓о▓╗ !2 + ! п░иводи▓ к пе░е╡од│ j0i $ j1i во
в▓о░ой ▓о╖ке ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда пе░ва┐ ▓о╖ка на╡оди▓▒┐ в
▒о▒▓о┐нии j1i.
;
Ри▒. 2. (a) У░овни ╜не░гии дв│╡ кван▓ов╗╡ ▓о╖ек без и п░и нали╖ии взаимодей▒▓ви┐, инд│╢и░ованного ▒▓а▓и╖е▒ким ╜лек▓░и╖е▒ким полем E0 . b) Резонан▒н╗й ▒пек▓░ дв│╡ кван▓ов╗╡ ▓о╖ек. Раз░╗вной линией показана длина
волн╗, дл┐ ко▓о░ой две ▓о╖ки дей▒▓в│╛▓ как │п░авл┐емое НЕ, п░и ╜▓ом пе░ва┐ ▓о╖ка | кон▓░ол╝н╗й к│би▓, а в▓о░а┐ | ░або╖ий.
Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ▓акие п░о╢е▒▒╗ б╗ли полезн╗ми дл┐ кван▓овой пе░еда╖и ин┤о░ма╢ии, в░ем┐ декоге░ен▓но▒▓и должно б╗▓╝ бол╝╕е, ╖ем
╡а░ак▓е░ное в░ем┐ оп▓и╖е▒кого взаимодей▒▓ви┐ (▒м., нап░име░, [18]).
В░ем┐ декоге░ен▓но▒▓и зави▒и▓ ╖а▒▓и╖но о▓ изменени┐ запи░а╛╣его
по▓ен╢иала, в╗званного ┤ононн╗ми возб│ждени┐ми. С│╣е▒▓в│е▓ ▓акже кван▓ово-╜лек▓░одинами╖е▒кий вклад, в╗званн╗й взаимодей▒▓вием ▒ вак││мн╗ми модами. Дл┐ ░езонан▒н╗╡ ╖а▒▓о▓ в ин┤░ак░а▒ном
░ежиме в░ем┐ декоге░ен▓но▒▓и можно о╢ени▓╝ как 10;6 ▒. П░име▒и
и ▓еплов╗е колебани┐ (┤онон╗) мог│▓ │мен╝╕и▓╝ в░ем┐ до 10;9▒
или е╣е мен╝╕е, но в п░ин╢ипе ▓акие ╜┤┤ек▓╗ мог│▓ б╗▓╝ миними-
Ли▓е░а▓│░а
69
зи░ован╗ более ▓о╖ной ▓е╡нологией п░оизвод▒▓ва и о╡лаждением к░и▒▓алла. В░еменной ма▒╕▓аб оп▓и╖е▒кого взаимодей▒▓ви┐ може▓ б╗▓╝
апп░ок▒ими░ован дли▓ел╝но▒▓╝╛ -имп│л╝▒а ( 10;9▒). Дли▓ел╝но▒▓╝
имп│л╝▒а ог░ани╖ена не ▒▓ол╝ко ▒│╣е▒▓в│╛╣им │░овнем ▓е╡нологии,
▒кол╝ко ▓░ебованием моно╡░ома▓и╖но▒▓и и до▒▓а▓о╖ной ▒елек▓ивно▒▓и дл┐ -имп│л╝▒а. Э▓о п░иводи▓ к ▓ом│, ╖▓о дли▓ел╝но▒▓╝ имп│л╝▒а
должна б╗▓╝ бол╝╕е об░а▓ной не▒│╣ей ╖а▒▓о▓╗ и об░а▓ной кон▒▓ан▓╗
▒в┐зи дипол╝-дипол╝ного взаимодей▒▓ви┐ (1=! 10;12▒ в на╕ей модели). Возможно, ╜▓│ модел╝ ▒ложнее о▒│╣е▒▓ви▓╝, ╖ем о▒нованн│╛ на
а▓омной ин▓е░┤е░оме▓░ии Рамза┐, но е▒ли она в▒е же б│де▓ ░еализована, она позволи▓ об║един┐▓╝ кван▓ов╗е гей▓╗ в ▒ложн╗е кван▓ов╗е
▒е▓и, ╖▓о необ╡одимо дл┐ более об╣ей кван▓овой пе░еда╖и ин┤о░ма╢ии.
Благода░но▒▓и
Ав▓о░╗ благода░┐▓ B. G. Englert, S. Haroche, H. J. Kimble, H. Mabuchi, G. Mahler, J.-M. Raimond, H. Walther за об▒│ждени┐ и коммен▓а░ии.
Рабо▓а ╖а▒▓и╖но подде░жана П░ог░аммой Пе░едов╗╡ Те╡нологий NIST.
A. B. ве▒╝ма п░изна▓елен за ┤инан▒ов│╛ подде░жк│ Фонд│ Berrow Колледжа Линкол╝на (Ок▒┤о░д). Рабо▓а A. E. подде░жана Ко░олев▒ким Об╣е▒▓вом, Лондон.
Ли▓е░а▓│░а
[1]
[2]
[3]
[4]
D. Deutsch. Proc. R. Soc. London A 400, 97 (1985).
R. Feynman. Int. J. Theor. Phys. 21, 467 (1982).
C. H. Bennett and S. J. Wiesner. Phys. Rev. Lett. 69, 2881 (1992).
D. Deutsch and R. Jozsa. Proc. R. Soc. Lond. A 439, 553 (1992);
A. Berthiaume and G. Brassard. J. Mod. Opt. 41, 2521 (1994);
R. Josza. Proc. R. Soc. Lond. A 435 563 (1991); D. Simon. Proc.
35th Ann. Symp. Foundations of Computer Science, IEEE Press,
116 (1994); E. Bernstein and U. Vazirani. Proc. 25th ACM Symp. on
Theory of Computation, 11 (1993); P. W. Shor. Proc. 35th Ann. Symp.
Foundations of Computer Science, IEEE Press (1994).
[5] V. B. Braginsky, Yu. I. Vorontsov, and F. Ya. Khalili. Zh. Eksp. Theo.
Fiz. 73, 1340 [Sov. Phys. JETP 46, 705 (1977)].
70
Ли▓е░а▓│░а
[6] S. L. Braunstein, A. Mann, and M. Revzen. Phys. Rev. Lett. 68, 3259
(1992).
[7] C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, and
W. K. Wootters. Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).
[8] R. P. Feynman. Opt. News 11, 11 (1985).
[9] L. Vaidman. Phys. Rev. A 49, 1473 (1994).
[10] A. Barenco, C. H. Bennett, R. Cleve, D. DiVincenzo, N. Margolus,
P. Shor, T. Sleator, J. Smolin and H. Weinfurter (preprint ).
[11] D. Deutsch. Proc. R. Soc. Lond. A 425, 73 (1989); A. Barenco.
Phys. Rev. Lett (submitted); T. Sleator and H. Weinfurter.
Phys. Rev. Lett. (submitted); D. Deutsch, A. Barenco, and A. Ekert.
Proc. R. Soc. Lond. A (submitted).
[12] N. F. Ramsey. Molecular Beams. Oxford University Press (1985).
[13] L. Davidovich, N. Zagury, M. Brune, J.-M. Raimond, and S. Haroche.
Phys. Rev. A, 50, R895 (1994); T. Sleator and H. Weinfurter (private
communication).
[14] M. Brune, P. Nussenzveig, F. Schmidt-Kaler, F. Bernardot, A. Maali,
J.-M. Raimond, and S. Haroche. Phys. Rev. Lett. (1994).
[15] Advances in Atomic. Molecular and Optical Physics, Supplement 2
(vol. entitled Cavity QED ), edited by P. Berman (Academic Press,
1994).
[16] K. Obermayer, W. G. Teich, and G. Mahler. Phys. Rev. B 37, 8096
(1988); W. G. Teich, K. Obermayer, and G. Mahler. ibid. p. 8111;
W. G. Teich and G. Mahler. Phys. Rev. A 45, 3300 (1992); see also
S. Lloyd. Science 261, 1569 (1993).
[17] D. A. B. Miller, D. S. Chemla, and S. Schmitt-Rink. Phys. Rev. B 33,
6976 (1986).
[18] W. Unruh. Phys. Rev. A (submitted).
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
Джон П░е▒килл
(John Preskill)1
В ░або▓е о╢енива╛▓▒┐ возможно▒▓и кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. По▒кол╝к│ должн╗ б╗▓╝ найден╗ ╕и░окие и важн╗е
п░иложени┐, оп░авд╗ва╛╣ие ▒оздание кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов, зде▒╝ об▒│жда╛▓▒┐ неко▓о░╗е изве▒▓н╗е кван▓ов╗е алго░и▓м╗ и ░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐ пе░▒пек▓ив╗ о▓к░╗▓и┐ нов╗╡.
По▒кол╝к│ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ во▒п░иим╖ив╗ к поме╡ам,
об▒│жда╛▓▒┐ недавно ░азви▓╗е о▓казо│▒▓ой╖ив╗е п░о╢ед│░╗, ко▓о░╗е позвол┐╛▓ п░оизводи▓╝ надежн╗е в╗╖и▒лени┐ на
кван▓овом комп╝╛▓е░е ▒ ╕│м┐╣ими гей▓ами. Те╡ника кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов пока е╣е на╡оди▓▒┐ во младен╖е▒ком воз░а▒▓е; по╜▓ом│ в ▒▓а▓╝е об▒│жда╛▓▒┐ неко▓о░╗е ▓е╡ни╖е▒кие
под░обно▒▓и, ко▓о░╗е, возможно, п░им│▓ во внимание б│д│╣ие ▓е╡нологии. В ▓е╖ение не▒кол╝ки╡ по▒ледни╡ ле▓ ░або▓╗
по кван▓ов╗м в╗╖и▒лени┐м п░ивели к новом│ понимани╛ в╗╖и▒ли▓ел╝ной ▒ложно▒▓и, п░и░од╗ некоге░ен▓но▒▓и, ▒▓им│ли░овали ▒оздание нов╗╡ в╗▒око▓о╖н╗╡ ме▓одов в ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ┤изике. Необ╡одим╗ ╕и░окие межди▒╢иплина░н╗е │▒или┐, ╖▓об╗ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ ░еализовали ▒еб┐
как ▒ам╗е б╗▒▓░╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е │▒▓░ой▒▓ва в ми░е. Э▓а
▒▓а▓╝┐ | ░а▒╕и░енна┐ ве░▒и┐ заме▓ок, ко▓о░╗е б╗ли подго▓овлен╗ к об▒│ждени╛ на кон┤е░ен╢ии ITP по кван▓овой
коге░ен▓но▒▓и и некоге░ен▓но▒▓и, 17 декаб░┐ 1996.
1. Введение
Цел╝ ╜▓ого об▒│ждени┐ ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓об╗ и▒▒ледова▓╝ б│д│╣ие
пе░▒пек▓ив╗ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. Мне каже▓▒┐, ╖▓о ▒лед│е▓ о▓ве▓и▓╝ на ▓░и главн╗╡ воп░о▒а:
1 Кали┤о░ний▒кий ▓е╡нологи╖е▒кий ин▒▓и▓│▓, Па▒▒адена, CA 91125, США.
E-mail: preskill@theory.caltech.edu.
Пе░евод В. Г. Лебедева.
72
Дж. П░е▒килл
Хо▓им ли м╗ ▒▓░ои▓╝ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░? Дл┐ ╖его он
необ╡одим? Не▓ никаки╡ ▒омнений: п░и ▒оздании дей▒▓в│╛╣его кван▓ового комп╝╛▓е░а м╗ в▒▓░е▓им▒┐ ▒ бол╝╕ими ▓е╡ни╖е▒кими ▓░│дно▒▓┐ми, и ▒можем п░еодоле▓╝ и╡ ▓ол╝ко в ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли б│дем
│бежден╗, ╖▓о ожидаема┐ в╗года п░евзойде▓ за▓░а▓╗. Ч▓об╗ о╢ени▓╝
б│д│╣│╛ жизне▒по▒обно▒▓╝ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов, ▒лед│е▓ п░ед▒▓ави▓╝ ▒ебе, как они б│д│▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ в б│д│╣ем. На╕е вооб░ажение
ог░ани╖ено, ▓ак ╖▓о наиболее ин▓е░е▒н╗е п░иложени┐, возможно, б│д│▓ п░оп│╣ен╗. Тем не менее м╗ поп╗▓аем▒┐.
Можем ли м╗ его по▒▓░ои▓╝? Не▒омненно, ▒оздание полезного кван▓ового комп╝╛▓е░а (▒по▒обного ░аз░е╕и▓╝ ▒ов░еменн╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е п░облем╗) | ве▒╝ма ▒ложна┐ зада╖а, но, може▓ б╗▓╝, ╜▓о
п░о▒▓о невозможно? Не ▒озда╛▓ ли ┤│ндамен▓ал╝н╗е ┤изи╖е▒кие п░ин╢ип╗ неп░еодолим╗е п░еп┐▓▒▓ви┐ на ╜▓ом п│▓и? Наиболее о╖евидной
┐вл┐е▓▒┐ п░облема о╕ибок. Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ | ╜▓о аналогов╗е
в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ма╕ин╗. Как и в ▒л│╖ае кла▒▒и╖е▒кого аналогового
комп╝╛▓е░а, его о╕ибки | неп░е░╗вн╗е вели╖ин╗, по╜▓ом│ накопление мал╗╡ о╕ибок може▓, в кон╢е кон╢ов, де▒▓абилизи░ова▓╝ ░або▓│
комп╝╛▓е░а. Далее, о▒об╗е ▒вой▒▓ва кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов ▒в┐зан╗
▒ и╡ ▒по▒обно▒▓╝╛ к кван▓ов╗м ▒к░е╣ени┐м (некла▒▒и╖е▒ким ко░░ел┐╢и┐м, об│▒ловленн╗м бол╝╕им ╖и▒лом ▒▓епеней ▒вобод╗), а ▒к░е╣ени┐
о▒обенно ╖│в▒▓ви▓ел╝н╗ к ╜┤┤ек▓ам декоге░ен▓но▒▓и, в╗з╗ваемой некон▓░оли░│ем╗м взаимодей▒▓вием ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой. Можно ли
п░еодоле▓╝ ╜▓и ▓░│дно▒▓и ╡о▓┐ б╗ в п░ин╢ипе (и е▒ли можно, ▓о как
╜▓о о▒│╣е▒▓ви▓╝ п░ак▓и╖е▒ки)?
Как м╗ должн╗ его ▒▓░ои▓╝? Какое обо░│дование б│де▓ и▒пол╝зовано в кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░а╡ б│д│╣его? Б│де▓ ли оно о▒новано
на │▒ове░╕ен▒▓вовании │же ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ▓е╡нологий, или по▓░еб│╛▓▒┐ ▒ове░╕енно нов╗е идеи?
Я не зна╛ о▓ве▓а на ╜▓и воп░о▒╗, но поп╗▓а╛▒╝ в╗▒каза▓╝ не▒кол╝ко м╗▒лей.
2.
Хо▓им
ли м╗ по▒▓░ои▓╝ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░?
Как б│д│▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗?
Я в во▒▓о░ге о▓ алго░и▓ма ┤ак▓о░иза╢ии Пи▓е░а Шо░а (Shor, 1994).
С помо╣╝╛ алго░и▓ма Шо░а можно най▓и ░азложение N -зна╖ного ╖и▒ла на множи▓ели за в░ем┐ по░┐дка N 3 , в ▓о в░ем┐ как ▒╖и▓ае▓▒┐ (╡о▓┐
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
73
╜▓о не доказано), ╖▓о в░ем┐, н│жное дл┐ ╜▓ого л╛бом│ кла▒▒и╖е▒ком│
комп╝╛▓е░│, ░а▒▓е▓ ▒ N б╗▒▓░ее, ╖ем л╛ба┐ его ▒▓епен╝. Э▓о▓ о╕еломл┐╛╣ий ░ез│л╝▓а▓ и изоб░е▓а▓ел╝но▒▓╝ алго░и▓ма в╗звали бол╝╕ой
ин▓е░е▒ к кван▓ов╗м в╗╖и▒лени┐м1.
Желание пол│╖и▓╝ мо╣ное ┤ак▓о░из│╛╣ее │▒▓░ой▒▓во (▒ к░ип▓ог░а┤и╖е▒кими п░иложени┐ми) ░а▒╢енивае▓▒┐ как одно из пе░ви╖н╗╡
поб│ждений к ▒оздани╛ кван▓ового комп╝╛▓е░а. Но, в коне╖ном ▒╖е▓е,
┐ не д│ма╛, ╖▓о ┤ак▓о░иза╢и┐ б│де▓ ▒░еди наиболее важн╗╡ п░иложений кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. На ▒амом деле ▓о, ╖▓о зада╖а ┤ак▓о░иза╢ии
▒╖и▓ае▓▒┐ ▒егодн┐ о▒обенно важной, п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ мне и▒▓о░и╖е▒кой
▒л│╖айно▒▓╝╛.
Е▒ли не ┤ак▓о░иза╢и┐, ╖▓о ▓огда? Я ▒ове░╕енно ▒огла▒ен ▒ ▓о╖кой
з░ени┐ Фейнмана (Feynman, 1982) о ▓ом, ╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ б│де▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ дл┐ модели░овани┐ поведени┐ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем2 .
Фейнман под╖е░кивал, ╖▓о кван▓овое │▒▓░ой▒▓во може▓ ╡░ани▓╝
кван▓ов│╛ ин┤о░ма╢и╛ более ╜┤┤ек▓ивно, ╖ем л╛бой кла▒▒и╖е▒кий
п░ибо░; по▒кол╝к│ N к│би▓ов ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ гил╝бе░▓ов│ п░о▒▓░ан▒▓в│ ░азме░но▒▓и 2N , кла▒▒и╖е▒кое │▒▓░ой▒▓во б│де▓ и▒пол╝зова▓╝ 2N ; 1
комплек▒н╗╡ ╖и▒ла, ╖▓об╗ опи▒а▓╝ ▓ипи╖ное кван▓овое ▒о▒▓о┐ние N
к│би▓ов. По╜▓ом│ возможно, ╖▓о кван▓овое модели░ование ┐вл┐е▓▒┐
п░име░ом зада╖и, ко▓о░а┐ ▓░еб│е▓ ╜к▒понен╢иал╝н╗╡ ░е▒│░▒ов дл┐
кла▒▒и╖е▒кого комп╝╛▓е░а, но не дл┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а3 .
(Эк▒понен╢иал╝н╗й ░о▒▓ пам┐▓и не ┐вл┐е▓▒┐ дей▒▓ви▓ел╝но необ╡одим╗м, но модели░ование, возможно, по▓░еб│е▓ ╜к▒понен╢иал╝но
бол╝╕ого в░емени.) К░оме ▓ого, кван▓овое модели░ование | ве▒╝ма
об╕и░на┐ обла▒▓╝, ▒о многими по▓ен╢иал╝н╗ми п░иложени┐ми, нап░име░, к на│кам о ма▓е░иала╡ и к ╡имии. Я д│ма╛, ╖▓о важно более
под░обно ░а▒▒мо▓░е▓╝ воп░о▒ об и▒пол╝зовании кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов в ка╖е▒▓ве кван▓ов╗╡ модели░│╛╣и╡ │▒▓░ой▒▓в, ╖▓об╗ м╗ мог1 Д╜ниел Саймон (Saimon, 1994) ┤ак▓и╖е▒ки п░оложил п│▓╝ к алго░и▓м│ Шо░а,
п░едложив пе░в╗й п░име░ кван▓ового алго░и▓ма, ко▓о░╗й ╜┤┤ек▓ивно ░е╕ае▓ ин▓е░е▒н│╛ и ▓░│дн│╛ п░облем│.
2 Однако мое мнение, ╖▓о кван▓овое модели░ование более важно, ╖ем ░азложение на множи▓ели, б╗ло во▒п░ин┐▓о неко▓о░╗ми │╖а▒▓никами кон┤е░ен╢ии как
│мозакл╛╖ение ог░ани╖енного ┤изика, ко▓о░╗й ▒╖и▓ае▓, ╖▓о един▒▓венно важн╗е
п░облем╗ | ▓е, над ко▓о░╗ми он ░або▓ае▓!
3 Но именно Д╜вид Дой╖ (Deutsch, 1985), а не Фейнман, под╖е░кн│л, ╖▓о кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ мог│▓ л│╖╕е в▒его ░еализова▓╝ и╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗й по▓ен╢иал,
╜к▒пл│а▓и░│┐ ог░омн╗й кван▓ов╗й па░аллелизм. У▓ве░ждение, ╖▓о кван▓ова┐ ▒и▒▓ема може▓ п░оизводи▓╝ в╗╖и▒ление, впе░в╗е ┐вно в╗▒казал Бенев (Benio, 1982).
74
Дж. П░е▒килл
ли л│╖╕е о╢ени▓╝ ▓е п░еим│╣е▒▓ва, ко▓о░╗е пол│╖им п░и и▒пол╝зовании в б│д│╣ем кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов по ▒░авнени╛ ▒ кла▒▒и╖е▒кими
(Lloyd, 1996; Zalka, 1996a; Wiesner, 1996; Meyer, 1996; Lidar& Biham,
1996; Abrams&Lloyd, 1997; Boghosian& Taylor, 1997).
В п░ин╢ипе, воп░о▒ о кван▓овой ▒и▒▓еме ▒▓анови▓▒┐ и▒кл╛╖и▓ел╝но ▓░│дн╗м ▓ол╝ко ▓огда, когда о▓ве▓ ▒│╣е▒▓венно зави▒и▓ о▓ де▓алей
▒к░е╣ени┐, вкл╛╖а╛╣его бол╝╕ое ╖и▒ло ▒▓епеней ▒вобод╗, и не┐▒но,
дл┐ каки╡ ┤изи╖е▒ки ин▓е░е▒н╗╡ воп░о▒ов ▒ил╝н╗е ▒к░е╣ени┐ мог│▓
иг░а▓╝ ▒│╣е▒▓венн│╛ ░ол╝.
Нап░име░, n-╖а▒▓и╖н╗е ко░░ел┐╢ии в о▒новном ▒о▒▓о┐нии мог│▓
б╗▓╝ в╗╖и▒лен╗ за полиномиал╝ное в░ем┐ на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е. Кла▒▒и╖е▒кое модели░ование поведени┐ кван▓овой ▒и▒▓ем╗ в ░еал╝ном в░емени ┐вл┐е▓▒┐ более ▓░│дной п░облемой, но возможно, ╖▓о п░и
до▒▓а▓о╖ной изоб░е▓а▓ел╝но▒▓и мог│▓ б╗▓╝ ░азви▓╗ нов╗е п░иближени┐, ко▓о░╗е зна╖и▓ел╝но │л│╖╕а▓ ╜┤┤ек▓ивно▒▓╝ ▓акого модели░овани┐. И▒пол╝зование кван▓ового комп╝╛▓е░а в зна╖и▓ел╝ной ме░е ┐вл┐е▓▒┐ ▒▓░а▓егией ░е╕ени┐ цв лобч; однако иногда в╗годнее и▒пол╝зова▓╝
именно цлобовойч ме▓од ░е╕ени┐ п░облем╗, ╖ем и▒ка▓╝ об╡одн╗е п│▓и,
▓░еб│╛╣ие и▒кл╛╖и▓ел╝ного │ма.
С момен▓а по┐влени┐ алго░и▓ма ┤ак▓о░иза╢ии Шо░а, возможно,
наиболее важное п░одвижение в кван▓овой ▒ложно▒▓и б╗ло о▒│╣е▒▓влено Г░ове░ом, п░едложив╕им ╖░езв╗╖айно о▒▓░о│мн╗й ме▓од дл┐
пои▒ка в ▒л│╖айной базе данн╗╡ (Grover, 1996). В базе данн╗╡, ▒оде░жа╣ей N запи▒ей, ▓а из ни╡, ко▓о░а┐ │довле▓во░┐е▓ неко▓о░ом│ │казанном│ к░и▓е░и╛,
p може▓ б╗▓╝ найдена на кван▓овом комп╝╛▓е░е за
в░ем┐ по░┐дка N . На кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е пе░ебо░ баз╗ данн╗╡ по▓░ебовал б╗ в░ем┐ по░┐дка N , ▓ак ╖▓о алго░и▓м Г░ове░а | ▓о▓
▒ам╗й ▒л│╖ай, когда м╗ знаем, ╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ може▓ об░аба▓╗ва▓╝ важн│╛ в в╗╖и▒ли▓ел╝ном о▓но╕ении зада╖│ б╗▒▓░ее, ╖ем
л╛бой кла▒▒и╖е▒кий комп╝╛▓е░. (Э▓о не б╗ло доказано дл┐ алго░и▓ма
░азложени┐ на множи▓ели, ╡о▓┐ каже▓▒┐ п░авдоподобн╗м ▓акже и дл┐
него.) У▒ко░ение до▒▓игае▓▒┐ как за ▒╖е▓ кван▓ового па░аллелизма, ▓ак
и за ▒╖е▓ ▓ого, ╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝ в кван▓овой ▓ео░ии ┐вл┐е▓▒┐ квад░а▓ом ампли▓│д╗ | алго░и▓м Г░ове░а дей▒▓в│е▓ на на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние, в pко▓о░ом в▒е N кла▒▒и╖е▒ки╡ запи▒ей п░ед▒▓авлен╗
▒ ампли▓│p
дой 1= N , и п░иводи▓ и▒╡одное ▒о▒▓о┐ние за N ╕агов к ▒о▒▓о┐ни╛, в
ко▓о░ом и▒кома┐ запи▒╝ п░ед▒▓авлена ▒ ампли▓│дой по░┐дка едини╢╗.
По ▒░авнени╛ ▒ кла▒▒и╖е▒кими ме▓одами │▒ко░ение, до▒▓игн│▓ое
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
75
алго░и▓мом Г░ове░а, коне╖но, не ┐вл┐е▓▒┐ на▒▓ол╝ко впе╖а▓л┐╛╣ем,
как ╜к▒понен╢иал╝ное │▒ко░ение, до▒▓игн│▓ое в алго░и▓ме Шо░а. Но
даже не╜к▒понен╢иал╝ное │▒ко░ение може▓ б╗▓╝ о╖ен╝ полезно. Пе░ебо░ баз╗ данн╗╡ | не▒омненно важна┐ п░облема ▒о многими п░иложени┐ми; нап░име░, ее можно и▒пол╝зова▓╝, ╖▓об╗ ░е╕и▓╝ л╛б│╛
NP-п░облем│ (п░облем╗, в ко▓о░╗╡ о╖ен╝ ▓░│дно най▓и ░е╕ение, но
о╖ен╝ п░о▒▓о его п░ове░и▓╝). Е▒ли кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ б│д│▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ в ближай╕ие 100 ле▓, ┐ п░едположил б╗, ╖▓о они б│д│▓
░або▓а▓╝ на о▒нове алго░и▓ма Г░ове░а или по╡ожего на него. Можно добави▓╝ е╣е кое-╖▓о о▓но▒и▓ел╝но алго░и▓мов, подобн╗╡ Г░ове░│,
обе▒пе╖ива╛╣и╡ не╜к▒понен╢иал╝ное │▒ко░ение. В ▒л│╖ае пои▒ка в базе данн╗╡, в╗╖и▒лени┐, ко▓о░╗е ▓░еб│╛▓ в░емени Tpна кла▒▒и╖е▒ком
комп╝╛▓е░е, мог│▓ б╗▓╝ ▒делан╗ за в░ем┐ по░┐дка T на кван▓овом
комп╝╛▓е░е. Б╗ло б╗ о╖ен╝ ин▓е░е▒но най▓и об╣ий ▒по▒об
p в╗делени┐
кла▒▒и╖е▒ки╡ алго░и▓мов, ко▓о░╗е доп│▒ка╛▓ ▓акой вид T кван▓ового │▒ко░ени┐. В ╖а▒▓но▒▓и, кла▒▒и╖е▒кие комп╝╛▓е░╗ об╗╖но ░е╕а╛▓
полн╗е NP-п░облем╗ не в▒леп│╛, пока не в▒▓░е▓и▓▒┐ жела▓ел╝ное ░е╕ение, а дела┐ пе░ебо░, ко▓о░╗й ┐вл┐е▓▒┐ зна╖и▓ел╝но более п░од│манн╗м и ╜┤┤ек▓ивн╗м, и п░и ╜▓ом о▒▓ае▓▒┐ до▒▓а▓о╖но п░иемлем╗м. До
какой ▒▓епени ╜▓и наиболее ╜┤┤ек▓ивн╗е алго░и▓м╗ мог│▓ б╗▓╝ │л│╖╕ен╗ ▒ помо╣╝╛ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений?
Ра▒▒│ждени┐ о▓но▒и▓ел╝но пе░▒пек▓ив кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений ╖а▒▓о ог░ани╖ива╛▓▒┐ NP-зада╖ами, и ╖а▒▓о о▒нован╗ на ожидании, ╖▓о
кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ б│д│▓ доп│▒ка▓╝ ╜к▒понен╢иал╝ное │▒ко░ение
дл┐ ░е╕ени┐ п░облем в ╜▓ом кла▒▒е. В ╜▓ой ▒в┐зи важн╗й ░ез│л╝▓а▓
б╗л пол│╖ен Бенне▓▓ом, Бе░н╕▓ейном, Б░а▒▒а░дом и Вази░ани (Bennet,
Bernstein, Brassard, и Vazirani, 1997a), ко▓о░╗е показали, ╖▓о алго░и▓м
Г░ове░а пои▒ка в ▒л│╖айной базе данн╗╡ оп▓имален; никакой д░│гой
кван▓ов╗й
p алго░и▓м не може▓ ░е╕и▓╝ п░облем│ б╗▒▓░ее, ╖ем за в░ем┐
по░┐дка N . Э▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ наводи▓ на м╗▒л╝, ╖▓о кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ не мог│▓ обе▒пе╖и▓╝ возможно▒▓╝ ░е╕ени┐ NP-полн╗╡ п░облем за
полиномиал╝ное в░ем┐. По к░айней ме░е ╜▓о │каз╗вае▓, ╖▓о не ▒│╣е▒▓в│е▓ никакого полиномиал╝ного кван▓ового алго░и▓ма, о▒нованного на
╖и▒▓ой цкван▓овой магиич; ▒ко░ее в▒его, по▓░еб│е▓▒┐ более гл│бокое
из│╖ение ▒▓░│к▓│░╗ п░облем в NP-полном кла▒▒е.
Возможно, ╖▓о полн╗е NP-п░облем╗ | не л│╖╕а┐ обла▒▓╝ дл┐
и▒пол╝зовани┐ мо╣но▒▓и кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. Може▓ оказа▓╝▒┐,
╖▓о кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ окаж│▓▒┐ ▒по▒обн╗ к ░е╕ени╛ неко▓о░╗╡
76
Дж. П░е▒килл
▓░│дн╗╡ зада╖, ко▓о░╗е лежа▓ вне NP-п░облем, и ╖▓о кван▓овое модели░ование ┐вл┐е▓▒┐ ▓аким п░име░ом. В на╕ей команде б╗ло даже
п░ед▒казание, ╖▓о возможно▒▓╝ ░е╕ени┐ полн╗╡ NP-п░облем ▒ помо╣╝╛ кван▓ового модели░овани┐ должна б╗ ▓░ебова▓╝ ╜к▒понен╢иал╝н╗╡ ░е▒│░▒ов на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е; ▓о е▒▓╝ кла▒▒и╖е▒кий комп╝╛▓е░ не ▒по▒обен ╜┤┤ек▓ивно модели░ова▓╝ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░1 .
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐, ▒ко░ее в▒его, должн╗ вне▒▓и более ▒│╣е▒▓венн╗й вклад в ▓ео░и╛ алго░и▓мов, ко▓о░╗е л│╖╕е в▒его и▒пол╝з│╛▓ возможно▒▓и кван▓ов╗╡ ░еги▒▓░ов дл┐ ╡░анени┐ ╜к▒понен╢иал╝но
бол╝╕ого ╖и▒ла комплек▒н╗╡ кван▓ов╗╡ ▒о▒▓о┐ний ▒ помо╣╝╛ полиномиал╝н╗╡ кван▓ов╗╡ ░е▒│░▒ов. (Дл┐ ▓аки╡ алго░и▓мов ▒│╣е▒▓венно,
╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ може▓ по░ожда▓╝ ▒ил╝но ▒к░е╣енн╗е кван▓ов╗е ▒о▒▓о┐ни┐.)
П░и │▒ловии ко░░ек▓но▒▓и о▒новного п░едположени┐ кла▒▒и╖е▒кой
▓ео░ии ▒ложно▒▓и (P 6= NP), ▒│╣е▒▓в│е▓ кла▒▒ п░облем (кла▒▒ NPI)
п░омеж│▓о╖ного │░овн┐ ▓░│дно▒▓и; ╜▓и п░облем╗ не ▓ак ▓░│дн╗, как
полн╗е NP-п░облем╗, однако они в▒е е╣е не мог│▓ б╗▓╝ ░е╕ен╗ ма╕иной Т╝╛░инга за полиномиал╝но ог░ани╖енное в░ем┐. П░облема ┤ак▓о░иза╢ии ░а▒╢енена как ве░о┐▓н╗й кандида▓ дл┐ ╖лен▒▓ва в ╜▓ом кла▒▒е
(Garey & Johnson, 1979), ▓ак ╖▓о е▒▓е▒▓венно зада▓╝▒┐ воп░о▒ом, мог│▓ ли б╗▓╝ изоб░е▓ен╗ ╜┤┤ек▓ивн╗е кван▓ов╗е алго░и▓м╗ дл┐ д░│ги╡ п░облем, ко▓о░╗е, как п░едполагае▓▒┐, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ NPI-кла▒▒│.
Один о▒обенно пе░▒пек▓ивн╗й п░име░ | п░облема изомо░┤изма г░а┤ов (необ╡одимо оп░едели▓╝, ┐вл┐╛▓▒┐ ли два │казанн╗╡ г░а┤а ╜квивален▓н╗ми по▒ле под╡од┐╣его пе░еобозна╖ени┐ ве░╕ин). Важно и▒▒ледова▓╝, мог│▓ ли б╗▓╝ изоб░е▓ен╗ ╡о░о╕ие кван▓ов╗е алго░и▓м╗ дл┐
п░облем╗ изомо░┤изма г░а┤ов и аналоги╖н╗╡ п░облем. Я ╖│в▒▓в│╛,
╖▓о в▒е е╣е недо▒▓ае▓ гл│бокого понимани┐, как ░або▓а╛▓ кван▓ов╗е
алго░и▓м╗. Не▒омненно, возможно▒▓и кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов о▒нован╗ на ▒к░е╣ени┐╡, кван▓овом па░аллелизме и об╕и░но▒▓и гил╝бе░▓ова
п░о▒▓░ан▒▓ва, но ┐ д│ма╛, ╖▓о ╜▓о▓ воп░о▒ б│де▓ полно▒▓╝╛ ░аз░е╕ен по ме░е понимани┐ и▒▓инной ▒│╣но▒▓и ма▓е░ии. Один из воп░о▒ов
можно ▒┤о░м│ли░ова▓╝ ▓ак: как по▒▓о┐нна┐ Планка ~ │╖а▒▓в│е▓ в кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡, и какова п░и░ода цкла▒▒и╖е▒когоч п░едела ~ ! 0?
Я п░едполага╛, ╖▓о л│╖╕ее понимание ▓акого вида воп░о▒ов могло б╗
│каза▓╝ нам на нов╗е ▓ип╗ кван▓ов╗╡ алго░и▓мов.
1 Фак▓и╖е▒ки, о▒лабленна┐ ве░▒и┐ ╜▓ого │▓ве░ждени┐ (цо▓но▒и▓ел╝но о░ак│лач)
б╗ла п░одемон▒▓░и░ована Бе░н╕▓ейном и Вази░ани (Bernstein & Vazirani, 1993).
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
77
В д░│гом в╗▒▓│плении на ╜▓ой кон┤е░ен╢ии (Preskill, 1997) ┐ о╢енил ░е▒│░▒╗, ко▓о░╗е б│д│▓ необ╡одим╗, ╖▓об╗ ░е╕и▓╝ ин▓е░е▒н│╛
п░облем│ ░азложени┐ на множи▓ели на кван▓овом комп╝╛▓е░е. О╢енка,
не▒омненно, обе▒к│░аживала. Возможно, ╖▓о ин▓е░е▒на┐ зада╖а кван▓ового модели░овани┐ могла б╗▓╝ ╜┤┤ек▓ивно в╗полнена и ▒ более ▒к░омн╗ми ░е▒│░▒ами. Но ▓акже е▒▓е▒▓венно ▒п░о▒и▓╝, ╖▓о можно дела▓╝ ▒
небол╝╕им кван▓ов╗м комп╝╛▓е░ом, ко▓о░╗й може▓ ╡░ани▓╝, ▒кажем,
де▒┐▓ки к│би▓ов и ▒оде░жа▓╝ ▒о▓ни гей▓ов. Е▒ли м╗ могли б╗ по▒▓░ои▓╝ ▓акой п░ибо░ в ближай╕ее в░ем┐, б╗ло б╗ ╜▓о полезно? Имел б╗
он комме░╖е▒кий по▓ен╢иал?
Одним из возможн╗╡ п░именений кван▓ового комп╝╛▓е░а ▒к░омн╗╡ ░азме░ов б╗ла б╗ кван▓ова┐ к░ип▓ог░а┤и┐ (Bennett & Brassard,
1984). Коне╖но, в о▓▒│▓▒▓вие кван▓ового │▒▓░ой▒▓ва ┤ак▓о░иза╢ии,
об╗╖ное ╕и┤░ование ▒ о▓к░╗▓╗м кл╛╖ом може▓ б╗▓╝ безопа▒н╗м, но ┐
полага╛, ╖▓о в▒егда найд│▓▒┐ пол╝зова▓ели, ко▓о░╗е б│д│▓ на▒▓аива▓╝
на полной ▒ек░е▓но▒▓и, и по╜▓ом│ п░едпо╖▓│▓ ░а▒п░о▒▓░анение кван▓ов╗╡ кл╛╖ей. (С д░│гой ▒▓о░он╗, пол╝зова▓ел╝ може▓ опа▒а▓╝▒┐, ╖▓о
его ▒ооб╣ение б│де▓ ▒о╡░анено и ░а▒╕и┤░овано ╖е░ез неко▓о░ое в░ем┐ в
б│д│╣ем, когда ▒▓ан│▓ до▒▓│пн╗ми более мо╣н╗е ме▓од╗ ░азложени┐
на множи▓ели.) Хо▓┐ в п░ин╢ипе ░а▒п░о▒▓░анение кван▓ов╗╡ кл╛╖ей
може▓ б╗▓╝ безопа▒но, имее▓▒┐ ▒е░╝езное ог░ани╖ение: ▒игнал за▓│╡ае▓ в канале ▒в┐зи (▓ипа волоконного ▒ве▓овода), и не може▓ б╗▓╝
│▒илен из-за ▓ео░ем╗, зап░е╣а╛╣ей клони░ование (Wootters & Zurek,
1982). Так ╖▓о или м╗ должн╗ б╗▓╝ │довле▓во░ен╗ ▒в┐з╝╛, ог░ани╖енной ░а▒▒▓о┐ни┐ми по░┐дка длин╗ за▓│╡ани┐ в волокне (возможно,
де▒┐▓ки киломе▓░ов), или ▒лед│е▓ полно▒▓╝╛ дове░┐▓╝ по▒░едникам,
╖▓о повле╖е▓ за ▒обой ▒е░╝езн╗й ░и▒к дл┐ безопа▒но▒▓и. Но кван▓овое
и▒п░авление о╕ибки може▓ обе▒пе╖и▓╝ ал╝▓е░на▓ив│: е▒ли м╗ можем
п░иго▓ови▓╝, по▒ла▓╝ и пол│╖и▓╝ ▒к░е╣енн╗е много┤о▓онн╗е ▒о▒▓о┐ни┐, ▓о в п░ин╢ипе м╗ могли б╗ и▒пол╝зова▓╝ кван▓ов╗е код╗ дл┐
и▒п░авлени┐ о╕ибок, ╖▓об╗ ░а▒╕и░и▓╝ возможно▒▓и кван▓овой ▒в┐зи.
цПов▓о░и▓елич могли б╗ ░азме▒▓и▓╝▒┐ вдол╝ линии ▒в┐зи; они не ╖и▓али
б╗ кван▓ов│╛ ин┤о░ма╢и╛, ко▓о░а┐ пе░едае▓▒┐, а ли╕╝ диагно▒▓и░овали и и▒п░авл┐ли б╗ о╕ибки, ко▓о░╗е возника╛▓ п░и пе░еда╖е. Можно
б╗ло б╗ по▒╗ла▓╝, ▒кажем, блоки из п┐▓и ┤о▓онов, ко▓о░╗е коди░│╛▓
один логи╖е▒кий к│би▓ (Бенне▓▓ et al., (Bennett, 1996), Ла┤лам et al.,
(Laamme, 1996)), поме╣енн╗й ▒л│╖айн╗м об░азом в одно из дв│╡ нео░▓огонал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний, и ░азме▒▓ив пов▓о░┐╛╣ие ▒▓ан╢ии до▒▓а-
78
Дж. П░е▒килл
▓о╖но близко, дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ве░о┐▓но▒▓╝ о╕ибки в ▓е╖ение пе░еда╖и межд│ по▒ледова▓ел╝н╗ми ▒▓ан╢и┐ми б╗ла мала. На╕и кван▓ов╗е
комп╝╛▓е░╗ должн╗ б╗▓╝ ▒по▒обн╗ми к пе░еда╖е о▓казо│▒▓ой╖ивого
п░изнака изме░ени┐ и и▒п░авлени┐ о╕ибки дл┐ п┐▓ик│би▓ового кода ▒
малой ве░о┐▓но▒▓╝╛ о╕ибки (Shor, 1996; DiVincenzo & Shor, 1996). Дл┐
до▒▓ижени┐ п░иемлемой ▒ко░о▒▓и пе░еда╖и м╗ должн╗ │ме▓╝ б╗▒▓░о
обновл┐▓╝ в▒помога▓ел╝н╗е би▓╗, и▒пол╝з│ем╗е дл┐ в╗╖и▒лени┐ п░изнака. Коне╖но, ▒ более мо╣н╗ми кван▓ов╗ми комп╝╛▓е░ами можно
и▒пол╝зова▓╝ л│╖╕ие код╗ и │л│╖╕а▓╝ ┤│нк╢иони░ование ▒е▓и.
Возможно, ╖▓о л│╖╕ие ╖а▒╗ до▒▓а▓о╖но близкого б│д│╣его б│д│▓
▒оде░жа▓╝ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░. То╖но▒▓╝ неко▓о░╗╡ а▓омн╗╡ ╖а▒ов
ог░ани╖ена коне╖но▒▓╝╛ в░емени жизни возб│жденн╗╡ ▒о▒▓о┐ний а▓ома. П░именение кодов, и▒п░авл┐╛╣и╡ о╕ибки, могло б╗, в п░ин╢ипе,
│вели╖и▓╝ в░ем┐ ак▓ивной ░або▓╗ ╜▓и╡ ▒о▒▓о┐ний и п░иве▒▓и к более в╗▒оким ▒▓анда░▓ам ╖а▒▓о▓╗. Г░│ппа NIST (Bollinger et al., 1996)
п░едложила д░│гой ▒по▒об п░именени┐ кван▓ового ▒к░е╣ени┐ дл┐ │вели╖ени┐ ▓о╖но▒▓и ╖а▒ов и ин▓е░┤е░оме▓░ов.
Е▒ли дл┐ оп░еделени┐ ╜▓алона ╖а▒▓о▓╗ и▒пол╝зова▓╝ изменение
┤аз╗ ▒о▒▓о┐ни┐ p1 (j0i + j1i) дв│╡│░овневой ▒и▒▓ем╗, ▓о ▒о▒▓о┐ние
2
1
p (j000 : : : 0i + j111 : : : 1i), по▒▓░оенное из N ▓аки╡ ▒и▒▓ем, б│де▓ о▒2
╢илли░ова▓╝ в N ░аз б╗▒▓░ее и може▓ б╗▓╝, в п░ин╢ипе, и▒пол╝зовано
дл┐ │▒▓ановлени┐ более ▓о╖ного ▒▓анда░▓а1 .
Даже е▒ли комме░╖е▒кий по▓ен╢иал кван▓ового комп╝╛▓е░а ▒ низкой п░оизводи▓ел╝но▒▓╝╛ б│де▓ ▒к░омен, кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ ▒▓ал
б╗ необ╡одим╗м ин▒▓░│мен▓ом в лабо░а▓о░ии ╜к▒пе░имен▓ал╝ного ┤изика. Спо▒обно▒▓╝ го▓ови▓╝, ▒о╡░ан┐▓╝, и▒пол╝зова▓╝ и кон▓░оли░ова▓╝
▒ме╕анн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ ▒озда▒▓ возможно▒▓╝ дл┐ ╕и░окого многооб░ази┐
нов╗╡ изоб░е▓а▓ел╝н╗╡ изме░ений.
Но п░едположим, ╖▓о ┐ мог│ к│пи▓╝ име╛╣ий▒┐ в нали╖ии дей▒▓ви▓ел╝но мо╣н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ ▒егодн┐ | ╖▓о ┐ б│д│ ▒ ним
дела▓╝? Я не зна╛, но мне каже▓▒┐, ╖▓о над ╜▓им п░иде▓▒┐ под│ма▓╝!
Мой вн│▓░енний голо▒ гово░и▓, ╖▓о е▒ли мо╣н╗е кван▓ов╗е комп╝╛▓е1 Однако │вели╖ение ▓о╖но▒▓и, ко▓о░а┐ може▓ б╗▓╝ до▒▓игн│▓а п░и и▒пол╝зовании ▒к░е╣енн╗╡ ▒о▒▓о┐ний, ▒ил╝но ог░ани╖ено ╜┤┤ек▓ами некоге░ен▓но▒▓и. По▒кол╝к│ ▒к░е╣енн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ о▒╢илли░│╛▓ б╗▒▓░ее не▒к░е╣енн╗╡, они б╗▒▓░ее
и ╡ао▓изи░│╛▓▒┐ (Huelga et al., 1997).
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
79
░╗ б│д│▓ до▒▓│пн╗, нам п░иде▓▒┐ много и долго д│ма▓╝, как по│мнее
и▒пол╝зова▓╝ и╡ возможно▒▓и.
3.
Можем
ли м╗ его по▒▓░ои▓╝?
М╜нни Нилл и ┐ об▒│ждали на ╜▓ой в▒▓░е╖е заме╖а▓ел╝н╗й п░ог░е▒▒ в ▓ео░ии о▓казо│▒▓ой╖ив╗╡ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. Даже до по▒ледни╡ до▒▓ижений можно б╗ло наде┐▓╝▒┐, ╖▓о б│д│▓ пол│╖ен╗ ме▓од╗ и▒п░авлени┐ о╕ибок, ко▓о░╗е ▒мог│▓ п░о▓иво▒▓о┐▓╝ п░о╢е▒▒ам
некоге░ен▓но▒▓и и │п░авл┐▓╝ накоплением и ░а▒п░о▒▓░анением о╕ибок в кван▓овом комп╝╛▓е░е, но ▓акие м╗▒ли об╗╖но о▓клон┐ли▒╝ как
и▒к│╕а╛╣ие. Тепе░╝ ▒и▓│а╢и┐ изменила▒╝, и, в п░ин╢ипе, не▓ никаки╡ ┤│ндамен▓ал╝н╗╡ п░еп┐▓▒▓вий дл┐ ▒оздани┐ ┤│нк╢иони░│╛╣его
кван▓ового комп╝╛▓е░а, ▒по▒обного к в╗полнени╛ ин▓е░е▒н╗╡ в в╗╖и▒ли▓ел╝ном о▓но╕ении зада╖. Се░ж Ха░о╖ и Рол╝┤ Ланда│╜░ к░а▒но░е╖иво об▒│дили на ╜▓ой в▒▓░е╖е, на▒кол╝ко оп▓ими▒▓и╖на ╜▓а ▓о╖ка
з░ени┐, и возможно ли ╜▓о. Ха░о╖ ▒╖и▓ае▓, ╖▓о оп▓ими▒▓╗ ╖░езв╗╖айно
недоо╢енива╛▓ вли┐ни┐ некоге░ен▓но▒▓и и ▓░│дно▒▓и его п░еодолени┐
(Haroche, 1997; Haroche & Ramond, 1996). Ха░о╖ о▓ме▓ил, ╖▓о ▒ил╝но
▒к░е╣енное ▒о▒▓о┐ние многи╡ к│би▓ов и▒кл╛╖и▓ел╝но ╖│в▒▓ви▓ел╝но к
╜┤┤ек▓ам некоге░ен▓но▒▓и | един▒▓венна┐ о╕ибка, вли┐╛╣а┐ ▓ол╝ко
на один из к│би▓ов, може▓ ░аз░│╕и▓╝ коге░ен▓но▒▓╝ ╢елого ▒о▒▓о┐ни┐.
Дей▒▓ви▓ел╝но, ╜▓о ▓ак: в ┤│нк╢иони░│╛╣ем кван▓овом комп╝╛▓е░е
и▒п░авление кван▓овой о╕ибки должно о▒│╣е▒▓вл┐▓╝▒┐ на▒▓ол╝ко ╜┤┤ек▓ивно, ╖▓об╗ ни один логи╖е▒кий (коди░│ем╗й) к│би▓ не п░опал в
п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лени┐. Он ▓акже под╖е░кн│л, ╖▓о код╗ ▒ и▒п░авлением
о╕ибок влек│▓ за ▒обой ог░омн│╛ изб╗▓о╖но▒▓╝ в кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡, как в ╖и▒ле ▓░еб│ем╗╡ к│би▓ов (╖▓об╗ обе▒пе╖и▓╝ необ╡одим│╛ изб╗▓о╖но▒▓╝ дл┐ и▒п░авлени┐ о╕ибок), ▓ак и ╖и▒ла необ╡одим╗╡
кван▓ов╗╡ гей▓ов (╖▓об╗ об░аба▓╗ва▓╝ ░езе░вно коди░│ем╗е данн╗е,
диагно▒▓и░ова▓╝ и об░а╣а▓╝ о╕ибки); но │вели╖ение ╖и▒ла к│би▓ов и
гей▓ов │вели╖ивае▓ ве░о┐▓но▒▓╝ о╕ибки. Так оно и е▒▓╝, и ┐ об▒│дил
╜▓о в д░│гом моем докладе на ╜▓ой кон┤е░ен╢ии (Preskill, 1997). Но
▓епе░╝ показано, ╖▓о, е▒ли ве░о┐▓но▒▓╝ о╕ибки на гей▓ мен╝╕е неко▓о░ого к░и▓и╖е▒кого зна╖ени┐ (цпо░ог ▓о╖но▒▓ич), ▓о и▒п░авление о╕ибки
може▓ в▒е же ░або▓а▓╝ до▒▓а▓о╖но ╜┤┤ек▓ивно, даже дл┐ в╗╖и▒лений ▒
п░оизвол╝ной дли▓ел╝но▒▓╝╛ (Knill & Laamme, 1996; Knill et al., 1996,
80
Дж. П░е▒килл
1997; Aharonov & Ben-Or, 1996a; Kitaev, 1996b; Gottesman et al., 1996;
Zalka, 1996b; Preskill, 1997).
О▓казо│▒▓ой╖ив╗е ме▓од╗ п░изван╗ │л│╖╕и▓╝ надежно▒▓╝ кван▓ового комп╝╛▓е░а, но за ни╡ п░и╡оди▓▒┐ ░а▒пла╖ива▓╝▒┐ воз░а▒▓а╛╣ими ▓░ебовани┐ми по ╡░анени╛ ин┤о░ма╢ии и ▒ко░о▒▓и в╗╖и▒лени┐.
Однако ╜▓а ╢ена може▓ б╗▓╝ вполне п░иемлемой. П░и заданном обо░│довании ▒ ┤ик▒и░ованной долей о╕ибки на гей▓ ▒лед│е▓ п░о▒▓о │вели╖и▓╝ ░азме░ коди░│╛╣его блока кода. Но ░азме░ блока не вполне
п░иемлемо зави▒и▓ о▓ г░омоздко▒▓и в╗╖и▒лений:
░азме░ блока [log(длина в╗╖и▒лени┐)]▒▓епен╝:
(В ▒╡еме, опи▒анной в (Preskill, 1997), ▒▓епен╝ = log2 7 ' 2:8.) Об░або▓ка ин┤о░ма╢ии, коди░│емой в ╜▓и╡ блока╡, по▓░еб│е▓ бол╝╕его
╖и▒ла гей▓ов (и╡ ╖и▒ло ░а▒▓е▓ п░иблизи▓ел╝но линейно ▒ ░азме░ом блока). Однако, в п░ин╢ипе, многие из ╜▓и╡ гей▓ов могли б╗ ░або▓а▓╝
па░аллел╝но. Е▒ли п░едположи▓╝, ╖▓о кван▓овое обо░│дование в╗▒око
па░аллелиз│емо, ▓о в░ем┐ в╗╖и▒лений ▒лабо зави▒и▓ о▓ ░азме░а блока.
До ▒и╡ по░ п░едполагало▒╝, ╖▓о о▓казо│▒▓ой╖ив╗е п░о╢ед│░╗ не
име╛▓ о╕ибок, ▒в┐занн╗╡ ▒ цп░о▒а╖иваниемч к│би▓ов из гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва, в ко▓о░ом ░або▓ае▓ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ (Plenio &
Knight, 1996). Нап░име░, в ионной лов│╕ке один из ионов може▓ ▒ове░╕и▓╝ нежела▓ел╝н╗й пе░е╡од в долгожив│╣ее ине░▓ное ▒о▒▓о┐ние, ко▓о░ое не воздей▒▓в│е▓ на кван▓ов╗е гей▓╗ ма╕ин╗. Такие о╕ибки б│д│▓ неизбежн╗, но они не должн╗ п░ед▒▓авл┐▓╝ о▒новное п░еп┐▓▒▓вие.
Возможна┐ ▒▓░а▓еги┐ закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓об╗ ▒и▒▓ема▓и╖е▒ки о╖и╣а▓╝ │░овни, ко▓о░╗е ┐вл┐╛▓▒┐ главн╗ми кандида▓ами дл┐ п░о▒а╖ивани┐. К░оме ▓ого, о╕ибки п░о▒а╖ивани┐ мог│▓ б╗▓╝ легко обна░│жен╗
в п░ин╢ипе ▒ помо╣╝╛ п░о▒▓ой ма▓░и╢╗, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей кван▓овом│ гей▓│ (Preskill, 1997). Ион, иден▓и┤и╢и░ованн╗й как де┤ек▓н╗й,
може▓ б╗▓╝ │▒▓░анен из блока кода и заменен ▒▓анда░▓н╗м ионом в
о▒новном ▒о▒▓о┐нии. По▒ле замен╗ о╕ибка │▓е╖ки ▒▓анови▓▒┐ о╕ибкой
в изве▒▓ном положении, ▒ ко▓о░ой легко име▓╝ дело, и▒пол╝з│┐ ▒▓анда░▓н╗е п░о╢ед│░╗ и▒п░авлени┐ о╕ибок (Grassl et al., 1996).
Ха░о╖ ▒омневае▓▒┐ ▓акже в ▓ом, окаже▓▒┐ ли возможн╗м до▒▓игн│▓╝ ▒▓ол╝ мал╗╡ о╕ибок на гей▓, ╖▓о кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ ▒мог│▓
░або▓а▓╝ ▓о╖но. Ф│ндамен▓ал╝на┐ ▓░│дно▒▓╝ ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о е▒ли
м╗ модели░│ем кван▓ов╗й гей▓, к│би▓╗ должн╗ ▒ил╝но взаимодей▒▓вова▓╝, но ╜▓о взаимодей▒▓вие може▓ ▒▓им│ли░ова▓╝ к│би▓╗ к взаимо-
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
81
дей▒▓ви╛ ▒ д░│гими ▒▓епен┐ми ▒вобод╗ (▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой), ╖▓о
п░иведе▓ к некоге░ен▓но▒▓и. Нап░име░, ╖▓об╗ │л│╖╕и▓╝ ░або▓│ комп╝╛▓е░а, о▒нованного на ионной лов│╕ке, ▒лед│е▓ │вели╖и▓╝ ин▓ен▒ивно▒▓╝ лазе░а дл┐ │▒ко░ени┐ ░або▓╗ гей▓а. Но п░и │вели╖ении ин▓ен▒ивно▒▓и воз░а▒▓ае▓ ве░о┐▓но▒▓╝ возб│ждени┐ д░│ги╡, не н│жн╗╡ нам
│░овней иона. Конк│░ен╢и┐ межд│ ╜▓ими дв│м┐ ╜┤┤ек▓ами п░иводи▓
к вн│▓░еннем│ п░едел│ ▓о╖но▒▓и гей▓а, ко▓о░а┐ не зави▒и▓ о▓ в╗бо░а
и▒пол╝з│емого иона (Plenio & Knight, 1996). Согла▒но довол╝но об╣им
п░едположени┐м, можно закл╛╖и▓╝, ╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝ о╕ибки на гей▓
имее▓ по к░айней ме░е по░┐док 10;6. Э▓о▓ п░едел можно измени▓╝ ▒
помо╣╝╛ ге░ои╖е▒ки╡ │▒илий | нап░име░, ░азме╣а┐ ион╗ в мален╝ки╡ каве░на╡, ▒п░оек▓и░ованн╗╡ ▓ак, ╖▓об╗ подави▓╝ нежела▓ел╝н╗е
пе░е╡од╗. Тем не менее, ▓акие а░г│мен▓╗ бе▒▒по░но полезн╗, и име╛▓
бол╝╕ой ин▓е░е▒ дл┐ ┤о░м│ли░овки об╣и╡ п░еделов, ог░ани╖ива╛╣и╡
возможн╗е ▓ип╗ пе░е╡одов или возможно▒▓и д░│гого м╗▒лимого обо░│довани┐1 .
Даже е▒ли ▓░│дно │л│╖╕и▓╝ │казанн│╛ вели╖ин│ о╕ибки по░┐дка 10;6 на гей▓, │▒▓░ой▒▓во, ко▓о░ое п░иближае▓▒┐ к ╜▓ом│ │░овн╛
▓о╖но▒▓и, │же може▓ б╗▓╝ п░игодн╗м дл┐ на▒▓о┐╣и╡ к░│пнома▒╕▓абн╗╡ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. Дей▒▓ви▓ел╝но, в моем докладе по о▓казо│▒▓ой╖ив╗м кван▓ов╗м в╗╖и▒лени┐м на ╜▓ой кон┤е░ен╢ии (Preskill,
1997) ┐ п░едположил, ╖▓о вели╖ина о╕ибки по░┐дка 10;6 на гей▓ ┐вл┐е▓▒┐ вполне п░иемлемой ╢ел╝╛, ╖▓об╗ ▒▓░еми▓╝▒┐ к ней | п░авдоподобно, ╖▓о ╜▓а вели╖ина о╕ибки должна б╗▓╝ до▒▓а▓о╖но ниже по░ога
▓о╖но▒▓и, ▓ак ╖▓о о╖ен╝ ин▓е░е▒н╗е кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ▒▓ан│▓ возможн╗ п░и неко▓о░ой доле на╡од╖иво▒▓и2 .
1 О╖ен╝ ▒лабое об╣ее ог░ани╖ение дл┐ ░еализа╢ии кван▓ового обо░│довани┐ ▒│╣е▒▓в│е▓ благода░┐ вак││мн╗м колебани┐м ╜лек▓░омагни▓ного пол┐, как б╗ло под╖е░кн│▓о Б░агин▒ким, Халили и Сажин╗м (Braginsky, Khalili, и Sazhin, 1995). В кон▓ек▒▓е ионной лов│╕ки, и╡ п░едел возникае▓ по▓ом│, ╖▓о ┤онон в ионной лов│╕ке
може▓ в п░ин╢ипе ░а▒пада▓╝▒┐ ▒ ╜ми▒▒ией ┤о▓онов. (См. ▓акже (Garg, 1996).
2 Л╛бое │▓ве░ждение о▓но▒и▓ел╝но доп│▒▓им╗╡ вели╖ин о╕ибок бе▒▒м╗▒ленно,
е▒ли модел╝ дл┐ о╕ибок не оп░еделена ▒▓░ого. В ░або▓е (Preskill, 1997) п░ин┐▓╗
неко░░ели░ованн╗е ▒л│╖айн╗е о╕ибки. Согла▒но ╜▓ом│ п░едположени╛, в▒е о╕ибки возника╛▓ благода░┐ некоге░ен▓но▒▓и, о╕ибкам ┤аз╗ и ░аз░┐дн╗м о╕ибкам
▓░игге░а ▒ ░авной ве░о┐▓но▒▓╝╛, и о╕ибки, вли┐╛╣ие на ░азли╖н╗е к│би▓╗, незави▒им╗. цВе░о┐▓но▒▓╝ о╕ибки на гей▓ч " 10;6 може▓ б╗▓╝ ин▓е░п░е▓и░ована как
кван▓ова┐ надежно▒▓╝ во▒п░оизведени┐ | ▓о е▒▓╝, е▒ли комп╝╛▓е░, на╡од┐╣ий▒┐
в ▒о▒▓о┐нии j i, имее▓ неко▓о░╗й идеал╝н╗й гей▓, и е▒ли ┤ак▓и╖е▒кое ▒о▒▓о┐ние
оп░едел┐емое по▒ле ╜▓ого гей▓а | , ▓о F h jj i = 1 ; ".
82
Дж. П░е▒килл
Я не ╡о╖│ ▒озда▓╝ впе╖а▓ление, ╖▓о ╜▓а ▓░еб│ема┐ ▓о╖но▒▓╝ б│де▓ нез╗блема; ╜▓о б╗ло б╗ ▒ли╕ком кон▒е░ва▓ивно по ░┐д│ п░и╖ин.
П░ежде в▒его, ╜▓а о╢енка б╗ла пол│╖ена ▒огла▒но п░едположени╛, ╖▓о
о╕ибки ┤аз╗ и ампли▓│д╗ в к│би▓а╡ ░авнове░о┐▓н╗. С более ░еали▒▓и╖е▒кой модел╝╛ о╕ибок, л│╖╕е п░ед▒▓авл┐╛╣ей ве░о┐▓но▒▓и о╕ибок
в ░еал╝ном п░ибо░е, ▒╡ем│ и▒п░авлени┐ о╕ибок можно ▒дела▓╝ более
▒ове░╕енной, благода░┐ ╖ем│ може▓ б╗▓╝ ▓е░пима и более в╗▒ока┐ ▒▓епен╝ о╕ибки. К░оме ▓ого, о▓казо│▒▓ой╖ива┐ ▒╡ема не п░оанализи░ована до кон╢а даже п░и в╗▒казанн╗╡ п░едположени┐╡; п░и более внима▓ел╝ном анализе можно ожида▓╝, ╖▓о найде▓▒┐ даже не▒кол╝ко более
в╗▒окий по░ог ▓о╖но▒▓и, возможно, зна╖и▓ел╝но более в╗▒окий. Реал╝н╗е │▒ове░╕ен▒▓вовани┐ могли б╗ б╗▓╝ до▒▓игн│▓╗ за ▒╖е▓ либо
изменени┐ о▓казо│▒▓ой╖ивой ▒╡ем╗, либо более ╜┤┤ек▓ивного ▒по▒оба
░еализа╢ии │ниве░▒ал╝н╗╡ о▓казо│▒▓ой╖ив╗╡ гей▓ов, либо более ╜┤┤ек▓ивн╗╡ ▒░ед▒▓в изме░ени┐ п░изнака о╕ибки. И ┐ не б│д│ │дивлен,
е▒ли окаже▓▒┐, ╖▓о ▒ │╖е▓ом ░азли╖н╗╡ │▒ове░╕ен▒▓вований кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ може▓ ░або▓а▓╝ ╜┤┤ек▓ивно ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ о╕ибки
на гей▓, ▒кажем, по░┐дка 10;4. (Так ╖▓о 10;4 вполне може▓ оказа▓╝▒┐ ниже по░ога ▓о╖но▒▓и. Фак▓и╖е▒ки, о╢енка по░ога ▓о╖но▒▓и, ко▓о░а┐ ┐вл┐е▓▒┐ более оп▓ими▒▓и╖е▒кой, ╖ем мо┐, б╗ли в╗двин│▓╗ Залкой
(Zalka, 1996b). См. ▓акже (Steane, 1997).) Д░│га┐ ▓о╖ка з░ени┐, ко▓о░│╛
необ╡одимо под╖е░кн│▓╝, | ╜▓о ▓о, ╖▓о, благода░┐ │л│╖╕ени╛ положени┐ ▒ о╕ибками, ▒▓анови▓▒┐ возможн╗м более ╜┤┤ек▓ивное и▒пол╝зование п░о▒▓░ан▒▓ва пам┐▓и, и▒пол╝з│┐ код╗, ко▓о░╗е ╡░ан┐▓ много
логи╖е▒ки╡ к│би▓ов в един▒▓венном блоке. Го▓▓▒ман (Gottesman, 1997)
недавно показал, как можно п░оводи▓╝ о▓казо│▒▓ой╖ив╗е в╗╖и▒лени┐,
и▒пол╝з│┐ ▓акие код╗, п░авда, ╢еной │вели╖ени┐ в░емени в╗╖и▒лений.
Рол╝┤ Ланда│╜░ в ▒вои╡ заме╖ани┐╡ на ╜▓ой в▒▓░е╖е и п░ед╗д│╣и╡ ░або▓а╡ (Landauer, 1995, 1996, 1997) об░а╣ае▓ внимание на ▓о, ╖▓о п░едложенн╗е нов╗е ▓е╡нологии ░едко ░еализ│╛▓ ░озов╗е п░оек▓╗, п░едлагаем╗е и╡ ▒▓о░онниками. Он неоднок░а▓но о▓ме╖ал к░и▓и╖но▒▓╝ п░облем╗ кон▓░ол┐ о╕ибок (▒м. ▓акже (Unruh, 1995). Ланда│╜░ ▒ове░╕енно п░авил╝но под╖е░кивае▓, ╖▓о ╢и┤░ов╗е п░ибо░╗ мог│▓ до▒▓ига▓╝
заме╖а▓ел╝ной надежно▒▓и, по▓ом│ ╖▓о ╢и┤░овой ▒игнал може▓ б╗▓╝
легко ▒▓анда░▓изи░ован пов▓о░но | ▓о е▒▓╝ п░и легком о▓клонении о▓
▓░еб│емого зна╖ени┐ его можно ве░н│▓╝ ▓│да, где он должен б╗▓╝. Э▓а
░е▒▓анда░▓иза╢и┐, ко▓о░а┐ п░едо▓в░а╣ае▓ мален╝кие о╕ибки о▓ накоплени┐ и в коне╖ном ▒╖е▓е | по┐вление бол╝╕и╡ о╕ибок, об┐за▓ел╝но
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
83
┐вл┐е▓▒┐ ди▒▒ипа▓ивн╗м п░о╢е▒▒ом. Легко▒▓╝ ░е▒▓анда░▓иза╢ии ┐вл┐е▓▒┐ о▒новн╗м п░еим│╣е▒▓вом, ко▓о░╗м облада╛▓ ╢и┤░ов╗е п░ибо░╗
по ▒░авнени╛ ▒ аналогов╗ми. Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ (или в более об╣ем ▒м╗▒ле | об░а▓им╗е в╗╖и▒лени┐) ▒ ╜▓ой ▓о╖ки з░ени┐ в╗гл┐д┐▓
недо░або▓анн╗м возв░а╣ением к аналогов╗м в╗╖и▒лени┐м, ▒о в▒еми
▒оп│▓▒▓в│╛╣ими п░облемами.
О╕еломл┐╛╣им б╗ло о▓к░╗▓ие ▓ого, ╖▓о, и▒пол╝з│┐ кван▓овое и▒п░авление о╕ибок, можно ░е▒▓анда░▓изи░ова▓╝ коге░ен▓н╗й кван▓ов╗й ▒игнал (Shor, 1995; Steane, 1996ab; Calderbank & Shor, 1996). Коне╖но, кван▓овое и▒п░авление о╕ибок, как и л╛ба┐ ▓е╡ника и▒п░авлени┐ о╕ибок, | ди▒▒ипа▓ивн╗й п░о╢е▒▒, ▒оп░овожда╛╣ий▒┐ в╗делением ▓епла, ко▓о░ое должно │дал┐▓╝▒┐ из │▒▓░ой▒▓ва. В ▒╡еме кван▓ового
и▒п░авлени┐ о╕ибок ин┤о░ма╢и┐ о▓но▒и▓ел╝но п░ои▒╡од┐╣и╡ о╕ибок
накапливае▓▒┐ в набо░е в▒помога▓ел╝н╗╡ к│би▓ов. Е▒ли ╜▓и в▒помога▓ел╝н╗е к│би▓╗ б│д│▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ многок░а▓но, ▓о кажд╗й ░аз они
должн╗ б╗▓╝ ▒на╖ала о╖и╣ен╗, ╖▓о озна╖ае▓ в╗б░о▒ ╜н▓░опии, ▒в┐занной ▒ накопленн╗ми о╕ибками, в ок░│жа╛╣│╛ ▒░ед│. Э▓а по▓░ебно▒▓╝
в о╡лаждении дл┐ │▒▓░анени┐ ╜н▓░опии, ▒в┐занной ▒ о╕ибками, може▓
┐вл┐▓╝▒┐ важн╗м ▓е╡ни╖е▒ким ог░ани╖ением на кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ б│д│╣его.
Ланда│╜░ п░изнае▓, ╖▓о в п░облеме кон▓░ол┐ над о╕ибками до▒▓игн│▓ зна╖и▓ел╝н╗й п░ог░е▒▒, но он поднимае▓ ▓акже неко▓о░╗е бе▒поко┐╣ие воп░о▒╗. Во▓ один из ▓аки╡ воп░о▒ов: как може▓ коди░ование п░едо╡░ан┐▓╝ кван▓ов╗е гей▓╗ о▓ небол╝╕и╡ о╕ибок, е▒ли код и
п░ибо░ не мог│▓ │зна▓╝, какой гей▓ в╗полн┐е▓ ▓│ или ин│╛ ░або▓│?
Е▒ли п░и об░або▓ке гей▓ом коди░ованн╗╡ к│би▓ов ▒ове░╕ена небол╝╕а┐ о╕ибка, ▓о коне╖ное ▒о▒▓о┐ние к│би▓а може▓ в▒е е╣е на╡оди▓▒┐
в закоди░ованном подп░о▒▓░ан▒▓ве, но его зна╖ение б│де▓ немного о▓ли╖а▓╝▒┐ о▓ п░едполагаемого. О╕ибки ▓акого ░ода неде▓ек▓и░│ем╗ и
неи▒п░авим╗. По╖ем│ б╗ ▓аким о╕ибкам ▒о в░еменем не накопи▓╝▒┐
и п░иве▒▓и к бол╝╕ой о╕ибке? (Э▓а п░облема не ▒в┐зана ▒ декоге░ен▓но▒▓╝╛; даже е▒ли ╜вол╛╢и┐ ▒о▒▓о┐ни┐ комп╝╛▓е░а │ни▓а░на a priori,
не▓ га░ан▓ии, ╖▓о она п░иведе▓ к желаемом│ ░ез│л╝▓а▓│).
Можно о╢ени▓╝ ▒е░╝езно▒▓╝ ╜▓ого воз░ажени┐ в ▒л│╖ае ▓░ивиал╝ного гей▓а, когда │ни▓а░ное п░еоб░азование, ко▓о░ое м╗ ╡о▓им п░имени▓╝, | ▓ожде▒▓венное1 .
П│▒▓╝ п░еоб░азовани┐, каждое из ко▓о░╗╡ ли╕╝ немного о▓ли╖а1
Э▓и ░а▒▒│ждени┐ легко пе░ене▒▓и на ▒л│╖ай не▓░ивиал╝ного гей▓а.
84
Дж. П░е▒килл
е▓▒┐ о▓ едини╖ного, воздей▒▓в│е▓ на кажд╗й из ╜лемен▓а░н╗╡ к│би▓ов
блока, ▓ак ╖▓о е▒ли к│би▓╗ по▒ледова▓ел╝но изме░┐▓╝, ▓о ве░о┐▓но▒▓╝
о╕ибки ┤аз╗ или ░аз░┐дной о╕ибки ▓░игге░а каждого из ни╡ б│де▓
по░┐дка " 1. В╗┐▒ним, какова б│де▓ ве░о┐▓но▒▓╝ неде▓ек▓и░│емой
о╕ибки, ▓. е. ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о блок в▒е е╣е на╡оди▓▒┐ в закоди░ованном подп░о▒▓░ан▒▓ве, но закоди░ованн╗й к│би▓ имее▓ ложное
нап░авление. Дл┐ кода, ко▓о░╗й в╗де░живае▓ однок│би▓н│╛ о╕ибк│ в
п░оизвол╝ном ме▒▓е блока, ╜▓а ве░о┐▓но▒▓╝ имее▓ по░┐док "3 ; н│жно
▒ове░╕и▓╝ ▓░и незави▒им╗╡ о╕ибки │казанного ▓ипа, ╖▓об╗ зна╖ение
кода подп░о▒▓░ан▒▓ва о▓ли╖ало▒╝ о▓ пе░вона╖ал╝ного1.
П░и анализе не▓░ивиал╝н╗╡ гей▓ов важно заме▓и▓╝, ╖▓о о▓казо│▒▓ой╖ив╗е опе░а╢ии, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ в╗полнен╗ на (▓ак ▒каза▓╝)
о▓дел╝ном закоди░ованном к│би▓е, не об░аз│╛▓ кон▓ин││м; безопа▒но можно в╗полни▓╝ ▓ол╝ко ди▒к░е▓н╗й набо░ п░еоб░азований. Таким
об░азом, п░и╖иной де▓ек▓и░│ем╗╡ о╕ибок, ко▓о░╗е можно и▒п░ави▓╝,
б│д│▓, ▒ко░ее в▒его, мал╗е о╕ибки в ░або▓е гей▓а, а не замена одного
гей▓а из о▓казо│▒▓ой╖ивого множе▒▓ва на д░│гой. Коне╖но, даже е▒ли набо░ о▓казо│▒▓ой╖ив╗╡ гей▓ов ди▒к░е▓ен, он в▒е е╣е може▓ б╗▓╝
│ниве░▒ал╝н╗м; а е▒ли м╗ обладаем │ниве░▒ал╝н╗м набо░ом о▓казо│▒▓ой╖ив╗╡ ▒╡ем, м╗ можем │ве░енно и▒пол╝зова▓╝ и╡, ╖▓об╗ ▒кон▒▓░│и░ова▓╝ п░еоб░азование, ко▓о░ое ┐вл┐е▓▒┐ п░оизвол╝но близким к
в░а╣ени╛ един▒▓венного к│би▓а на л╛бой желаем╗й │гол, но в ▓аком
│▒▓░ой▒▓ве п░иде▓▒┐ и▒пол╝зова▓╝ неко▓о░╗е из многок│би▓ов╗╡ гей▓ов.
Ланда│╜░ ▓акже напоминае▓ нам, ╖▓о ╜┤┤ек▓ивно▒▓╝ и▒п░авлени┐
о╕ибки б│де▓ │мен╝╕а▓╝▒┐, е▒ли о╕ибки име╛▓ ▒и▒▓ема▓и╖е▒к│╛ ▒о▒▓авл┐╛╣│╛. О╕ибки ▒о ▒л│╖айн╗ми ┤азами накаплива╛▓▒┐ как в ▒л│╖айном бл│ждании, ▓ак ╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝ о╕ибки накапливае▓▒┐ п░иблизи▓ел╝но линейно ▒ ╖и▒лом в╗полненн╗╡ гей▓ов. Но е▒ли о╕ибки
име╛▓ ▒и▒▓ема▓и╖е▒кие ┤аз╗, ▓о ампли▓│да о╕ибки може▓ │вели╖ива▓╝▒┐ линейно ▒ ╖и▒лом гей▓ов, а ве░о┐▓но▒▓╝ о╕ибки б│де▓ ░а▒▓и намного б╗▒▓░ее. Следова▓ел╝но, ╖▓об╗ на╕ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ ╡о░о╕о ░або▓ал, вели╖ина ▒и▒▓ема▓и╖е▒ки╡ о╕ибок должна │довле▓во░┐▓╝
более ▒▓░огим ▓░ебовани┐м, ╖ем в ▒л│╖ае ▒л│╖айн╗╡ о╕ибок. Г░│бо
гово░┐, е▒ли м╗ п░инимаем, ╖▓о ▒и▒▓ема▓и╖е▒кие ┤аз╗ в▒егда об║еди1 Фак▓и╖е▒ки более ве░о┐▓но, п░име░но ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ по░┐дка "2 , ╖▓о п░и о▓казо│▒▓ой╖ивом и▒п░авлении о╕ибки м╗ неп░авил╝но диагно▒▓и░│ем о╕ибк│ в блоке
и │▒▓ановим неп░авил╝ное зна╖ение к│би▓а.
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
85
н┐╛▓▒┐, ╖▓об╗ ▒ложи▓╝▒┐ кон▒▓░│к▓ивно, и е▒ли по░ог ▓о╖но▒▓и дл┐
▒л│╖айн╗╡ о╕ибок | ", ▓о по░ог ▓о╖но▒▓и дл┐ ▒и▒▓ема▓и╖е▒ки╡ о╕ибок
б│де▓ п░иблизи▓ел╝но "2 ; ▒кажем, по░┐дка 10;10 вме▒▓о по░┐дка 10;5.
Хо▓┐ ▒и▒▓ема▓и╖е▒кие о╕ибки мог│▓, ▓аким об░азом, б░о▒а▓╝ в╗зов
кван▓овой инжене░ии б│д│╣его, они не должн╗, ▓ем не менее, ▒оздава▓╝ неп░еодолим╗е п░еп┐▓▒▓ви┐. Во-пе░в╗╡, ▒и▒▓ема▓и╖е▒кие ┤аз╗
б│д│▓ име▓╝ ▓енден╢и╛ к │га▒ани╛ в п░о╢е▒▒е длинн╗╡ в╗╖и▒лений,
▓ак ╖▓о на п░ак▓ике ▒│╣е▒▓венн╗ми б│д│▓ ▓ол╝ко наиболее в╗▒окие
вели╖ин╗ о╕ибок (Obenland & Despain, 1996, 1997; Miquel и д░., 1997).
И к░оме ▓ого, е▒ли о╕ибки дей▒▓ви▓ел╝но ▒и▒▓ема▓и╖е▒кие, м╗ можем
в п░ин╢ипе пон┐▓╝ и╡ и▒▓о╖ник и │▒▓░ан┐▓╝ и╡. И▒▓о╖никами вн│▓░енни╡ ог░ани╖ений п░и в╗полнении опе░а╢ий в▒егда б│д│▓ ▒л│╖айн╗е
о╕ибки.
Имее▓▒┐ д░│гой важн╗й а▒пек▓, в ко▓о░ом модели о╕ибок, и▒пол╝зовав╕ие▒┐ в ▓ео░е▓и╖е▒ки╡ и▒▒ледовани┐╡ о▓казо│▒▓ой╖ив╗╡ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений, мог│▓ оказа▓╝▒┐ не░еали▒▓и╖н╗ми | об╗╖но п░инимае▓▒┐, ╖▓о о╕ибки, измен┐╛╣ие ░азли╖н╗е к│би▓╗, неко░░ели░ован╗
или ▒лабо ко░░ели░ован╗. Фак▓и╖е▒ки, ╜▓о о╖ен╝ ▒ил╝ное и ▒│╣е▒▓венное п░едположение, по▒кол╝к│ кван▓ов╗е о▓казо│▒▓ой╖ив╗е код╗
не п░едназна╖ен╗ дл┐ ░або▓╗ ▒ ▒ил╝но ко░░ели░ованн╗ми о╕ибками,
░а▒п░о▒▓░ан┐╛╣ими▒┐ на много к│би▓ов. Когда м╗ гово░им, ╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝ о╕ибки имее▓ по░┐док " 10;6 на гей▓, м╗ ┤ак▓и╖е▒ки под░аз│меваем, ╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝ дв│╡ о╕ибок, в▒▓░е╖а╛╣и╡▒┐ в о▓дел╝ном
блоке, имее▓ по░┐док "2 10;12. Э▓о в коне╖ном ▒╖е▓е ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗й воп░о▒, мог│▓ ли ░азли╖н╗е к│би▓╗ в одном блоке дей▒▓ви▓ел╝но
б╗▓╝ незави▒им╗ми. След│е▓ заме▓и▓╝, ▓ем не менее, ╖▓о не▓ никаки╡
п░и╖ин, из-за ко▓о░╗╡ два к│би▓а, п░инадлежа╣и╡ одном│ блок│ кода,
об┐за▓ел╝но должн╗ б╗▓╝ близки д░│г к д░│г│ в ма╕ине. Таким об░азом, м╗ имеем возможно▒▓╝ ░а▒╕и░и▓╝ ▒п░аведливо▒▓╝ на╕ей модели
о╕ибок ▒ помо╣╝╛ под╡од┐╣его в╗бо░а а░╡и▓ек▓│░╗ комп╝╛▓е░а.
Тепе░╝, когда м╗ │бежден╗, ╖▓о кван▓овое и▒п░авление о╕ибок
возможно, ▒лед│е▓ най▓и ▒по▒об╗ ░еализова▓╝ его. Э▓о важно, в ╖а▒▓но▒▓и, дл┐ более под░обного анализа ▓ого, как ме▓од╗ и▒п░авлени┐
о╕ибки мог│▓ б╗▓╝ адап▓и░ован╗ к неко▓о░╗м п░едложенн╗м ░еализа╢и┐м кван▓ового обо░│довани┐, нап░име░ | комп╝╛▓е░ам, о▒нованн╗м на ионн╗╡ лов│╕ка╡ и на KЭД-поло▒▓┐╡ (Pellizzari et al., 1996;
Mabuchi & Zoller, 1996; Van Enk et al., 1997).
К░оме ▓ого, в ▓о в░ем┐ как бол╝╕ин▒▓во ░або▓ над ▒╡емами кван-
86
Дж. П░е▒килл
▓ового и▒п░авлени┐ о╕ибок ▒о▒░едо▓о╖ило▒╝ на кван▓овой модели ╢епей | ░аз░або▓ан╗ под╡од┐╣ие ╢епи, ╖▓об╗ диагно▒▓и░ова▓╝ и и▒п░авл┐▓╝ о╕ибки, | более п░оизводи▓ел╝ной могла б╗ оказа▓╝▒┐ более ╕и░ока┐ ▓о╖ка з░ени┐. Одной из ал╝▓е░на▓ивн╗╡ ░або▓ могло б╗
▒▓а▓╝ изоб░е▓ение цп░оек▓и░ово╖ного гамил╝▓онианач, ко▓о░╗й имее▓
за╣и╣енное подп░о▒▓░ан▒▓во кода как ▒ил╝но в╗░ожденное о▒новное
▒о▒▓о┐ние1 .
Тогда о╕ибка, об╗╖но по┐вл┐╛╣а┐▒┐ п░и пе░е╡оде ▒и▒▓ем╗ к возб│жденном│ ▒о▒▓о┐ни╛, б│де▓ ав▓ома▓и╖е▒ки и▒п░авл┐▓╝▒┐, когда ▒и▒▓ема ░елак▒и░│е▓ к о▒новном│ ▒о▒▓о┐ни╛. С╡ем╗ ╜▓ого вида б╗ли п░едложен╗ Ки▓аев╗м (Kitaev, 1996a). Ки▓аев (Kitaev, 1997) ▓акже изоб░е▓а▓ел╝но п░едложил ░еализова▓╝ о▓казо│▒▓ой╖ив╗е кван▓ов╗е гей▓╗ в
под╡од┐╣ей ▒░еде ▒ помо╣╝╛ обмена квази╖а▒▓и╢ами, ко▓о░╗е │довле▓во░┐╛▓ ╜кзо▓и╖е▒кой ве░▒ии дв│ме░ной кван▓овой ▒▓а▓и▒▓ики. С│▓╝
идеи ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о из-за нали╖и┐ дал╝нодей▒▓в│╛╣его ▓опологи╖е▒кого взаимодей▒▓ви┐ Аа░онова{Бома квази╖а▒▓и╢ не▓ необ╡одимо▒▓и в╗полн┐▓╝ гей▓ ▒ в╗▒окой ▓о╖но▒▓╝╛ дл┐ воздей▒▓ви┐ на кван▓ов╗е
╖и▒ла квази╖а▒▓и╢ п░едпи▒анн╗м ▒по▒обом.
4. Неко▓о░╗е возможн╗е воз░ажени┐ на
возможно▒▓╝ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений, и
неко▓о░╗е о▓ве▓╗
Ланда│╜░ │беждае▓ на▒ п░ин┐▓╝ во внимание, ╖▓о е▒ли даже кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ може▓ б╗▓╝ по▒▓░оен и окаже▓▒┐ ▒по▒обен к в╗полнени╛ о╖ен╝ ╢енн╗╡ зада╖, ▓е╡нологи┐ пол│╖и▓ небол╝╕ой │да░, е▒ли
╜▓о окаже▓▒┐ ╖░езв╗╖айно до░ого. Снова о▓ме▓им, ╖▓о ╜▓о ▒е░╝езное
п░ед│п░еждение. Не▒омненно, ▓е╡нологи┐ пока ╖▓о далека даже о▓ ▓ого, ╖▓об╗ м╗ могли на╖ина▓╝ ▒е░╝езно о╢енива▓╝ ╜кономик│ кван▓ов╗╡
в╗╖и▒лений. Более важн╗м ┐вл┐е▓▒┐ ▓о, ╖▓о дл┐ ╜кономи╖е▒кой жизне▒по▒обно▒▓и кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ должен име▓╝ ╕и░окие п░иложени┐. Пои▒к (и обна░│жение) нов╗╡ и полезн╗╡ кван▓ов╗╡ алго░и▓мов
може▓ б╗▓╝ наиболее ╜┤┤ек▓ивн╗м ▒по▒обом п░иблизи▓╝ кван▓ов╗е
в╗╖и▒лени┐ к и╡ о▒│╣е▒▓влени╛ как комме░╖е▒кого п░едп░и┐▓и┐.
Неко▓о░╗е из об╗╖но п░иводим╗╡ п░и╖ин ▒кеп▓и╢изма о▓но▒и1 Можно б╗ло б╗ наде┐▓╝▒┐, ╖▓о п░оек▓и░ово╖н╗й гамил╝▓ониан може▓ б╗▓╝
░еализован п░и под╡од┐╣и╡ мезо▒копи╖е▒ки╡ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡.
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
87
▓ел╝но возможно▒▓и кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений пе░е╖и▒лен╗ в ▓абли╢е 1,
на░┐д│ ▒ неко▓о░╗ми возможн╗ми до▒▓оин▒▓вами.
Воз░ажение
Табли╢а 1.
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ | аналогов╗е
п░ибо░╗, и, ▒ледова▓ел╝но, не мог│▓
б╗▓╝ пов▓о░но ▒▓анда░▓изи░ован╗.
Кван▓ов╗й код ▒ и▒п░авлением о╕ибки
не може▓ обна░│жи▓╝ или и▒п░ави▓╝
о╕ибк│ в кван▓овом ▒о▒▓о┐нии, о▒▓ава┐▒╝ вн│▓░и за╣и╣енного подп░о▒▓░ан▒▓ва кода.
В╗▒око╜┤┤ек▓ивн╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ должен го▓ови▓╝ и ▒о╡░ан┐▓╝
▒к░е╣енн╗е кван▓ов╗е ▒о▒▓о┐ни┐, и
╜▓и ▒о▒▓о┐ни┐ о╖ен╝ ╖│в▒▓ви▓ел╝н╗ к
╜┤┤ек▓ам некоге░ен▓но▒▓и.
И▒п░авление о╕ибки ▒амо по ▒ебе ▓░еб│е▓ комплек▒н╗╡ в╗╖и▒лений, и ▓ем
▒ам╗м п░иводи▓ к бол╝╕ем│ коли╖е▒▓во о╕ибок, ╖ем │▒▓░ан┐е▓!
И▒п░авление кван▓ов╗╡ о╕ибок замедл┐е▓ ░або▓│ комп╝╛▓е░а.
Ч▓об╗ │▒пе╕но и▒пол╝зова▓╝ кван▓овое и▒п░авление о╕ибок, необ╡одим намного бол╝╕ий кван▓ов╗й комп╝╛▓е░.
Л╛бой кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ б│де▓
▒▓░ада▓╝ из-за цп░о▒а╖ивани┐ч | кван▓ова┐ ин┤о░ма╢и┐ ди┤┤│нди░│е▓ из
▓ой ╖а▒▓и гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва,
на ко▓о░ом дей▒▓в│е▓ комп╝╛▓е░.
Че░ез какое-▓о в░ем┐ п░оизойде▓ накопление ▒и▒▓ема▓и╖е▒ки╡ о╕ибок; код╗ ▒ и▒п░авлением о╕ибок не ▒п░авл┐╛▓▒┐ ▒ ▒и▒▓ема▓и╖е▒кими о╕ибками
▓ак же ╜┤┤ек▓ивно, как ▒о ▒л│╖айн╗ми о╕ибками.
Коди░ование не за╣и╣ае▓ п░о▓ив ▒ил╝ноко░░ели░ованн╗╡ о╕ибок.
О▓ве▓╗
И▒пол╝зованием кван▓ов╗╡ кодов ▒ и▒п░авлением о╕ибки и о▓казо│▒▓ой╖ивого и▒п░авлени┐ о╕ибок, м╗ можем
пов▓о░но ▒▓анда░▓изи░ова▓╝ закоди░ованн│╛ кван▓ов│╛ ин┤о░ма╢и╛.
Е▒ли и▒пол╝зова▓╝ надежн╗е код╗, ▓акие неко░░ек▓и░│ем╗е о╕ибки ▒ове░╕енно невозможн╗.
О▓казо│▒▓ой╖ивое и▒п░авление о╕ибок
за╣и╣ае▓ ▒к░е╣енн╗е коди░│ем╗е ▒о▒▓о┐ни┐ о▓ ╜┤┤ек▓ов некоге░ен▓но▒▓и.
Е▒ли ве░о┐▓но▒▓╝ о╕ибки на гей▓ ниже
по░ога ▓о╖но▒▓и, ▓о п░оизвол╝но дли▓ел╝ное в╗╖и▒ление може▓ в п░ин╢ипе
б╗▓╝ в╗полнено ▒ незна╖и▓ел╝ной ве░о┐▓но▒▓╝╛ о╕ибки.
С │╖е▓ом ▒ил╝ной па░аллелиз│емо▒▓и
опе░а╢ий, замедление не должно п░иводи▓╝ к ▒е░╝езн╗м заде░жкам.
Чи▒ло к│би▓ов ░а▒▓е▓ ▓ол╝ко полилога░и┤ми╖е▒ки п░и │вели╖ении ░азме░ов
в╗╖и▒лений, ко▓о░╗е необ╡одим╗.
П░и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ем коди░овании,
о╕ибки цп░о▒а╖ивани┐ч мог│▓ б╗▓╝ обна░│жен╗ и и▒п░авлен╗.
В п░ин╢ипе, ▒и▒▓ема▓и╖е▒кие о╕ибки
мог│▓ б╗▓╝ пон┐▓╗ и │ни╖▓ожен╗.
Ко░░ели░ованн╗е о╕ибки мог│▓ б╗▓╝
подавлен╗ под╡од┐╣ей а░╡и▓ек▓│░ой
ма╕ин╗.
88
Дж. П░е▒килл
Табли╢а 1. (П░одолжение)
Име╛▓▒┐ вн│▓░енние ог░ани╖ени┐ на
▓о╖но▒▓╝ кван▓ов╗╡ гей▓ов. И▒п░авление о╕ибок не б│де▓ ░або▓а▓╝ дл┐ гей▓ов ▒ возможной на ▒егодн┐ ▓о╖но▒▓╝╛.
Сов░еменна┐ кван▓ова┐ в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ ▓е╡нологи┐ не▓о╖на, медленна, не
ма▒╕▓аби░│ема и ▓░│дно па░аллелиз│ема.
В ближай╕ее в░емени ╜к▒пе░имен▓╗ ▒
кван▓ов╗ми комп╝╛▓е░ами о▒▓ан│▓▒┐
п░о▒▓╗ми демон▒▓░а╢и┐ми. Они ни╖ем│ не на│╖а▓ на▒.
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ б│д│▓ ▒ли╕ком до░оги.
Изве▒▓н╗╡ п░иложений кван▓ов╗╡
комп╝╛▓е░ов о╖ен╝ мало.
5.
Как
Возможн╗ гей▓╗, п░ев╗╕а╛╣ие по░ог
▓о╖но▒▓и даже вн│▓░и изве▒▓н╗╡ на
▒егодн┐ п░еделов. С под╡од┐╣им обо░│дованием можно избежа▓╝ даже ╜▓и╡
п░еделов.
Не▒омненно, мог│▓ б╗▓╝ ░азви▓╗ более
б╗▒▓░╗е гей▓╗ и нов╗е ▒по▒об╗ дл┐ об░або▓ки ▒к░е╣енн╗╡ ▒о▒▓о┐ний. Должн╗ п░иве▓▒▓вова▓╝▒┐ нов╗е идеи ▒оздани┐ кван▓ового обо░│довани┐!
М╗ на│╖им▒┐ ░або▓а▓╝ ▒ ко░░ели░ованной некоге░ен▓но▒▓╝╛. Создание
п░ибо░ов ▓ол╝ко ▒ не▒кол╝кими де▒┐▓ками к│би▓ов │же нел╝з┐ легко п░омодели░ова▓╝ или п░ед▒каза▓╝.
Но они оп░авда╛▓ ▒во╛ ╢ен│, е▒ли б│д│▓ найден╗ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие ╕и░окие п░иложени┐.
Давай▓е д│ма▓╝ о нов╗╡! Изве▒▓н╗й
кван▓ов╗й алго░и▓м пе░ебо░а баз╗
данн╗╡ може▓ доказа▓╝ ▒во╛ полезно▒▓╝.
м╗ его б│дем ▒▓░ои▓╝?
Сове░╕енно ┐▒но, ╖▓о ▒ей╖а▒ кван▓овое в╗╖и▒ли▓ел╝ное обо░│дование на╡оди▓▒┐ в младен╖е▒ком воз░а▒▓е. Хо▓┐ ▓о, ╖▓о │же до▒▓игн│▓о ▒ и▒пол╝зованием ионн╗╡ лов│╕ек (Monroe et al., 1995), в╗▒окока╖е▒▓венн╗╡ оп▓оволокон (Turchette et al., 1995), и ме▓одов ┐де░ного
магни▓ного ░езонан▒а (ЯМР) (Cory et al., 1996; Gershenfeld & Chuang,
1997) до▒▓а▓о╖но ин▓░иг│╛╣е и вн│╕и▓ел╝но, но в▒е ╜▓и ▓е╡нологии
име╛▓ ▒е░╝езн╗е вн│▓░енние ог░ани╖ени┐. Кван▓овое в╗╖и▒ли▓ел╝ное
обо░│дование б│д│╣его б│де▓ о▒новано на каком-▓о д░│гом, ▒│╣е▒▓венно о▓ли╖ном о▓ ▒ов░еменного обо░│довании.
Нап░име░, ▒ко░о▒▓╝ опе░а╢ий комп╝╛▓е░а на ионной лов│╕ке, ▒огла▒но ▒╡еме Ци░ака{Золле░а (Cirac{Zoller, 1995) ог░ани╖ена ╖а▒▓о▓ами колеба▓ел╝н╗╡ мод в лов│╕ке. В о░игинал╝ном NIST (Monroe et al.,
1995) ╜▓а ╖а▒▓о▓а ░авн┐ла▒╝ п░иблизи▓ел╝но 10 МГ╢, но, ▒ко░ее в▒его, ╜▓о по░┐док вели╖ин╗, и ╖а▒▓о▓а б│де▓ мен╝╕е в лов│╕ке, ко▓о░а┐ ▒оде░жи▓ многоза░┐дн╗е ион╗. ЯМР-│▒▓░ой▒▓ва ▒▓░ада╛▓ из-за
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
89
╜к▒понен╢иал╝ного о▒лаблени┐ ▒игнала по о▓но╕ени╛ к ╕│м│ по ме░е │вели╖ени┐ ╖и▒ла к│би▓ов в ма╕ине. Из ц▒ов░еменн╗╡ч ▓е╡нологий
кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений, возможно, л│╖╕ий долгов░еменн╗й по▓ен╢иал
имее▓ ▓е╡нологи┐, о▒нованна┐ на КЭД (Cirac et al., 1996). Б│д│╣ее обо░│дование должно б╗▓╝ б╗▒▓░╗м, ма▒╕▓аби░│ем╗м и в╗▒око па░аллелиз│ем╗м. Именно па░аллел╝н╗е в╗╖и▒лени┐ оказ╗ва╛▓▒┐ ░е╕а╛╣им
▒░ед▒▓вом и▒п░авлени┐ о╕ибок. В дополнение к о╕ибкам, возника╛╣им непо▒░ед▒▓венно п░и ░або▓е кван▓ов╗╡ гей▓ов, необ╡одимо побе▒покои▓╝▒┐ о▓но▒и▓ел╝но о╕ибок ╡░анени┐, ко▓о░╗е вли┐╛▓ на цо▓д╗╡а╛╣иеч к│би▓╗, не ░або▓а╛╣ие в гей▓а╡. Дл┐ кон▓░ол┐ о╕ибок ╡░анени┐
п░иде▓▒┐ неп░е░╗вно дела▓╝ и▒п░авлени┐ о╕ибок на о▓д╗╡а╛╣и╡ к│би▓а╡, ╖▓о нео▒│╣е▒▓вимо в бол╝╕ом п░ибо░е, е▒ли много блоков кода
не мог│▓ б╗▓╝ и▒п░авлен╗ однов░еменно. Даже е▒ли п░енеб░е╖╝ п░облемой о╕ибок ╡░анени┐ (а п░и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣им об░азом ▒п░оек▓и░ованном обо░│довании она не може▓ б╗▓╝ ▒е░╝езн╗м ог░ани╖ением),
па░аллел╝н╗е опе░а╢ии ве▒╝ма жела▓ел╝н╗ дл┐ │вели╖ени┐ ▒ко░о▒▓и
в╗╖и▒лений. Э▓о о▒обенно важно по▓ом│, ╖▓о и▒п░авление кван▓ов╗╡
о╕ибок ▒│╣е▒▓венно замедли▓ в╗╖и▒лени┐, е▒ли не окаже▓▒┐ возможн╗м опе░и░ова▓╝ однов░еменно многими к│би▓ами в одном и ▓ом же
блоке кода.
Таким об░азом, дл┐ на╕ей ма╕ин╗ б│де▓ ▒│╣е▒▓венн╗м │мение
░а▒п░едели▓╝ ╖а▒▓и ▒ил╝но ▒к░е╣енного ▒о▒▓о┐ни┐ межд│ ░азли╖н╗ми
п░о╢е▒▒о░ами и воздей▒▓вова▓╝ на ╜▓и ╖а▒▓и незави▒имо. В ма╕ине,
и▒пол╝з│╛╣ей п░ин╢ип ионной лов│╕ки, нап░име░, имели▒╝ б╗ много лов│╕ек, кажда┐ из ко▓о░╗╡ ▒оде░жи▓ много╖и▒ленн╗е к│би▓╗, и
ма╕ина должна б╗▓╝ ▒по▒обна пе░еводи▓╝ ион╗ о▓ одной лов│╕ки к
д░│гой без изменени┐ вн│▓░еннего а▓омного ▒о▒▓о┐ни┐. В ▒л│╖ае ма╕ин╗, о▒нованной на КЭД, пе░▒пек▓ивное п░едложение дл┐ ░а▒п░еделени┐ ▒к░е╣енного ▒о▒▓о┐ни┐ б╗ло ▒делано Ци░аком, Золле░ом, Кимблом и Маб│╖и (Cirac, Zoller, Kimble, Mabuchi, 1997); в и╡ ▒╡еме а▓ом╗
пойман╗ в многи╡ поло▒▓┐╡, и ▒к░е╣енное ▒о▒▓о┐ние │▒▓анавливае▓▒┐ межд│ а▓омами в ░азли╖н╗╡ поло▒▓┐╡ ▒ помо╣╝╛ обмена ┤о▓онами
межд│ поло▒▓┐ми. Ма▒╕▓аби░│емо▒▓╝, о╖евидно, ▒▓анови▓▒┐ к░и▓и╖е▒ким ▒вой▒▓вом, е▒ли м╗, в коне╖ном ▒╖е▓е, надеем▒┐ по▒▓░ои▓╝ ма╕ин╗, ▒по▒обн╗е к ╡░анени╛ и │п░авлени╛ миллионами индивид│ал╝но
ад░е▒│ем╗╡ к│би▓ов. В долго▒░о╖ной пе░▒пек▓иве ╜▓о може▓ б╗▓╝ неко▓о░ое ▓ве░дое ▓ело или мик░оп░ибо░, ко▓о░╗е б│д│▓ име▓╝ наиболее
обе╣а╛╣ие возможно▒▓и необ╡одимой ма▒╕▓аби░│емо▒▓и. М╗ должн╗
90
Дж. П░е▒килл
▓акже подго▓ови▓╝▒┐ п░и▒по▒оби▓╝ на╕│ па░адигм│ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений к нов╗м ▓е╡нологи╖е▒ким возможно▒▓┐м. Нап░име░, как показал
Ллойд (Lloyd, 1993), молек│л┐░на┐ ма╕ина более под╡оди▓ дл┐ и▒пол╝зовани┐ в ка╖е▒▓ве кван▓ового кле▓о╖ного ав▓ома▓а, ╖ем ╢епи кван▓ов╗╡ гей▓ов, ко▓о░╗е ░а▒▒ма▓░ивае▓ бол╝╕ин▒▓во ▓ео░е▓иков.
С более ╕и░окой ▓о╖ки з░ени┐, по▒кол╝к│ не ▒│╣е▒▓в│е▓ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем, ко▓о░╗е ╡о░о╕о за╣и╣ен╗ о▓ некоге░ен▓но▒▓и и по╜▓ом│
не мог│▓ ╜┤┤ек▓ивно модели░ова▓╝▒┐ на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е,
л╛ба┐ ▓ака┐ ▒и▒▓ема може▓ ░е╕а▓╝ ▓░│дн╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е зада╖и.
Аа░онов и Бен-О░ (Aharonov & Ben-Or, 1996b) обна░│жили, ╖▓о по ме░е изменени┐ вели╖ин╗ некоге░ен▓но▒▓и може▓ п░ои▒╡оди▓╝ ┤азов╗й
пе░е╡од1.
О╖ен╝ ╕│мна┐ кван▓ова┐ ▒и▒▓ема веде▓ ▒еб┐ кла▒▒и╖е▒ки, и може▓ ╜┤┤ек▓ивно модели░ова▓╝▒┐ кла▒▒и╖е▒кой ма╕иной Т╝╛░инга, но
е▒ли вели╖ина некоге░ен▓но▒▓и до▒▓а▓о╖на низка, може▓ возникн│▓╝
▒к░е╣енное кван▓овое ▒о▒▓о┐ние и никакое ╜┤┤ек▓ивное кла▒▒и╖е▒кое
модели░ование ▒и▒▓ем╗ │же невозможно. В ╜▓ом ▒м╗▒ле, л╛ба┐ кван▓ова┐ ▒и▒▓ема ▒ низкой вели╖иной некоге░ен▓но▒▓и позвол┐е▓ дела▓╝
▓░│дн╗е цв╗╖и▒лени┐ч. Дл┐ ▓ео░е▓ика, знакомого ▒ к░и▓и╖е▒кими ┐влени┐ми, е▒▓е▒▓венно зада▓╝▒┐ воп░о▒ом о▓но▒и▓ел╝но │ниве░▒ал╝н╗╡
╡а░ак▓е░и▒▓ик ╜▓ого ┤азового пе░е╡ода | нап░име░, б╗ло б╗ ин▓е░е▒но в╗╖и▒ли▓╝ к░и▓и╖е▒кие показа▓ели ▒▓епени, ко▓о░╗е │п░авл┐╛▓ ма▒╕▓абн╗ми ▒вой▒▓вами пе░е╡ода, по▒кол╝к│ они не зави▒ели б╗
о▓ ╖а▒▓ного мик░о▒копи╖е▒кого гамил╝▓ониана ░а▒▒ма▓░иваемой ▒и▒▓ем╗. Ре╕ение ╜▓ой зада╖и могло б╗ п░иве▒▓и к новой ┤изи╖е▒кой
░еализа╢ии кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений.
Раз░╗в межд│ ▒ов░еменн╗м ▒о▒▓о┐нием ▓е╡нологии кван▓ов╗╡
в╗╖и▒лений и ▓ем, ╖▓о може▓ понадоби▓╝▒┐ в б│д│╣ем, на▒▓ол╝ко велик, ╖▓о легко може▓ обе▒к│░ажи▓╝. Но м╗ не должн╗ п░инима▓╝
▒п░аведлив│╛ к░и▓ик│ ▒│╣е▒▓в│╛╣ей ▓е╡нологии как о▓░и╢а▓ел╝н│╛
о╢енк│ окон╖а▓ел╝н╗╡ пе░▒пек▓ив. Ско░ее наобо░о▓, в ░а▒╖е▓е на по▓ен╢иал╝н╗е возможно▒▓и кван▓ового комп╝╛▓е░а м╗ должн╗ дела▓╝
более ╜не░ги╖н╗е │▒или┐ дл┐ ▒оздани┐ ░або▓о▒по▒обного обо░│довани┐.
1 Э▓о ▒в┐зано, ┤ак▓и╖е▒ки, ▒ ▓ипом ┤азового пе░е╡ода в ди▒▒ипа▓ивн╗╡ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ема╡, об▒│ждаем╗╡ неко▓о░ое в░ем┐ назад Легге▓▓ом (Leggett et al., 1987).
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
91
6. Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ в кон╢е века
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ мог│▓ оказа▓╝▒┐ ▓е╡нологией по▒лезав▓░а╕него дн┐. Но бол╝╕ин▒▓во из на▒ не на▒▓ол╝ко ▓е░пелив╗. Ч▓о м╗
можем и ╖▓о должн╗ дела▓╝ зав▓░а? Или ▒егодн┐?
Каже▓▒┐ ве░о┐▓н╗м, ╖▓о пе░в╗е ╜к▒пе░имен▓╗ ▒ кван▓ов╗ми в╗╖и▒лени┐ми, вкл╛╖а╛╣ие в ▒еб┐ не▒кол╝ко кван▓ов╗╡ гей▓ов, б│д│▓
и▒пол╝зова▓╝ ЯМР-ме▓од (Cory et al., 1996; Gershenfeld & Chuang, 1997),
а за ними в▒ко░е по▒лед│╛▓ ╜к▒пе░имен▓╗ ▒ комп╝╛▓е░ами на ионной
лов│╕ке (Cirac & Zoller, 1995).
Хо▓┐ по ▒ов░еменн╗м п░ед▒▓авлени┐м о ▒оо▓но╕ении межд│ ▒игналом и ╕│мом ▒ложно▒▓╝ кван▓ов╗╡ ЯМР-│▒▓░ой▒▓в б│де▓, ве░о┐▓но,
ог░ани╖ена 10 к│би▓ами, ╜▓и пионе░▒кие ╜к▒пе░имен▓╗ мог│▓ оказа▓╝▒┐ по│╖и▓ел╝н╗ми. Но ╖▓об╗ п░о┐ви▓╝ ▒вой по▓ен╢иал, ЯМР-│▒▓░ой▒▓ва, как и ионн╗е лов│╕ки, должн╗ в╗й▓и за ▒▓ади╛ п░о▒▓╗╡ демон▒▓░а╢ий. Важна┐ ╢ел╝ ЯМР-п░ог░амм╗ могла б╗ ▒о▒▓о┐▓╝ в ▒амом де▓ал╝ном и▒▒ледовании (в д│╡е кван▓овой ▓омог░а┤ии) ме╡анизма ░аз░│╕ени┐ коге░ен▓но▒▓и ┐де░н╗╡ ▒пинов, о▒обенно в коли╖е▒▓венном
опи▒ании много▒пинов╗╡ ко░░ел┐╢ий. Б╗ло б╗ заман╖иво п░ев░а▓и▓╝
╜▓│ п░ог░амм│ в ин▒▓░│мен▓ и▒▒ледовани┐ молек│л┐░ной ▒▓░│к▓│░╗. В
дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ▒ помо╣╝╛ ЯМР не ┐вл┐╛▓▒┐ нов╗м ┐влением | │же не▒кол╝ко ле▓ ░еализа╢и┐ кван▓ов╗╡ ╢епей
▒водила▒╝ к ░│▓инной ЯМР-▓е╡нике. Но па░адигма кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений пол│╖ае▓ мо╣н│╛ и ▒и▒▓ема▓и╖е▒к│╛ подде░жк│ в ме▓ода╡ ЯМР,
и можно ожида▓╝, ╖▓о она ┐ви▓▒┐ ▓ол╖ком к по┐влени╛ нов╗╡ п░оек▓ов
╕и░окого п░едназна╖ени┐.
С более ╕и░окой ▓о╖ки з░ени┐, па░адигма кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений,
на╡од┐╣а┐▒┐ на ▒▓адии ▒▓ановлени┐, п░одолжи▓ ▒вое вли┐ние на ╜к▒пе░имен▓ал╝н│╛ ┤изик│, п░едлага┐ нов╗е вид╗ изме░ений и ╜к▒пе░имен▓ов. Э▓а ▓енден╢и┐ │же о╖евидна в из│╖ении некоге░ен▓но▒▓и ▒к░е╣енн╗╡ ▒о▒▓о┐ний, п░ед▒▓авленном на ╜▓ой в▒▓░е╖е Ха░о╖ем (Haroche,
1997; Brune et al., 1996) и Вайнландом (Wineland et al., 1997; Meekhof
et al., 1996). Разм╗╕ление в ▓е░мина╡ ма▓░и╢╗ кван▓ов╗╡ гей▓ов ░а▒╕и░┐е▓ на╕е понимание ▓ого, как мог│▓ │п░авл┐▓╝▒┐ и кон▓░оли░ова▓╝▒┐ кван▓ов╗е ▒о▒▓о┐ни┐ (D'Helon & Milburn, 1997). Задолго до ▓ого,
как кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ по┐в┐▓▒┐ как комме░╖е▒ки жизне▒по▒обн╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е │▒▓░ой▒▓ва, они окаж│▓▒┐ важн╗м ▒░ед▒▓вом в
┤изи╖е▒ки╡ лабо░а▓о░и┐╡. Я ожида╛, ╖▓о по ме░е п░ог░е▒▒а ▓е╡нологии
92
Дж. П░е▒килл
кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений она б│де▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ п░и в╗▒око▓о╖н╗╡ и▒▒ледовани┐╡ некоге░ен▓но▒▓и в кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ема╡, и п░иоб░е▓енн╗е
в ╜▓и╡ и▒▒ледовани┐╡ знани┐ б│д│▓, в ▒во╛ о╖е░ед╝, и▒пол╝зован╗ в более ▒ложн╗╡ ▒╡ема╡ и▒п░авлени┐ о╕ибок, ко▓о░╗е помог│▓ ░а▒╕и░и▓╝
на╕и ▒по▒обно▒▓и ▒оп░о▓ивл┐▓╝▒┐ некоге░ен▓но▒▓и и победи▓╝ ее. Э▓а
п░ог░амма б│де▓ о▒новой ▒о╛за межд│ ╜к▒пе░имен▓а▓о░ами и ▓ео░е▓иками, ко▓о░╗й, как можно наде┐▓╝▒┐, б│де▓ о╖ен╝ п░од│к▓ивн╗м,
незави▒имо о▓ долго▒░о╖ного комме░╖е▒кого по▓ен╢иала кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений.
Те, к▓о анализи░│╛▓ ░ез│л╝▓а▓╗ п░ед▒▓о┐╣и╡ ╜к▒пе░имен▓ов по
многок│би▓овой некоге░ен▓но▒▓и, б│д│▓ ▒▓о┐▓╝ пе░ед ин▓е░е▒ной дилеммой: некоге░ен▓но▒▓╝ | ╜▓о ▒ложно▒▓╝. Об╣ий ▒│пе░опе░а▓о░
(▒о╡░ан┐╛╣ее ▒лед, полно▒▓╝╛ положи▓ел╝ное линейное п░еоб░азование; ма▓░и╢╗
пло▓но▒▓и), опи▒╗ва╛╣ий в╗╖и▒ление k к│би▓ов, имее▓
4k 4k ; 1 ░еал╝н╗╡ па░аме▓░ов; ╜▓о │же 240 па░аме▓░ов ▓ол╝ко дл┐
дв│╡ к│би▓ов! Дл┐ ▓акой о░ганиза╢ии данн╗╡, ко▓о░а┐ обе▒пе╖и▓ полезн│╛ и о▒м╗▒ленн│╛ и╡ ин▓е░п░е▓а╢и╛, н│жн╗ нов╗е идеи.
До▒▓ижени┐ на пе░еднем к░ае ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗╡ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений должн╗ ▒оп░овожда▓╝▒┐ па░аллел╝н╗ми до▒▓ижени┐ми в
╖и▒ленном модели░овании (на кла▒▒и╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░а╡) кван▓ов╗╡
▒и▒▓ем (Despain & Obenland, 1996, 1997; Miquel et al., 1996, 1997;
Barenco et al., 1996). Кван▓ов╗е ╢епи ┐вл┐╛▓▒┐ ▒ил╝но ▒в┐занн╗ми ▒и▒▓емами, и и╡ ма▒╕▓абн╗е ▒вой▒▓ва не о╖евидн╗. В на▒▓о┐╣ее в░ем┐
▓о╖ное модели░ование кван▓ов╗╡ ╢епей ог░ани╖ено ▒к░омн╗м ╖и▒лом
к│би▓ов и гей▓ов, a из-за неблагоп░и┐▓ного ма▒╕▓аба ░е▒│░▒ов, необ╡одим╗╡ дл┐ кван▓ового модели░овани┐, ╜▓и ог░ани╖ени┐ ▓░│дно п░еодоле▓╝. Ч▓об╗ пе░ей▓и к бол╝╕им комп╝╛▓е░ам и более длинн╗м в╗╖и▒лени┐м, н│жн╗ модели░│╛╣ие │▒▓░ой▒▓ва, позвол┐╛╣ие в╗б░а▓╝
│п░о╣енн│╛ модел╝ дей▒▓ви┐ кван▓ового п░ибо░а. Дл┐ п░ове░ки ╜▓и╡
│п░о╣енн╗╡ моделей можно ▒░авни▓╝ и╡ ░ез│л╝▓а▓╗, пол│╖енн╗е дл┐
мен╝╕и╡ ▒и▒▓ем, где и╡ можно ▒░авни▓╝ ▒ ░ез│л╝▓а▓ами более ▓о╖ного
модели░овани┐. Даже п░и ╜к▒пе░имен▓а╡ ▒ не▒кол╝кими де▒┐▓ками к│би▓ов в▒егда можно пол│╖и▓╝ неожиданн╗й ░ез│л╝▓а▓, ╡о▓┐ ╖а▒▓и╖но
он возникае▓ из-за ▓░│дно▒▓ей модели░овани┐1 .
1 Одной из ин▓е░е▒н╗╡ зада╖ и дл┐ модели░овани┐, и дл┐ ╜к▒пе░имен▓а ┐вл┐е▓▒┐,
нап░име░, поведение к│би▓ов в непо▒░ед▒▓венной близо▒▓и д░│г к д░│г│, нап░име░
поведение │ловленн╗╡ ионов на ░а▒▒▓о┐ни┐╡, ▒░авним╗╡ ▒ длиной волн╗ видимого
▒ве▓а. В на▒▓о┐╣ее в░ем┐ ▒ов▒ем немного изве▒▓но о ▓ом, как веде▓ ▒еб┐ ▓ака┐
▒и▒▓ема.
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐: за и п░о▓ив
93
Важно под╖е░кн│▓╝, ╖▓о в ▓ео░е▓и╖е▒кой обла▒▓и пол│╖ен╗ неп░е╡од┐╣ие ░ез│л╝▓а▓╗. У▒▓ановлена нова┐ по ▒░авнени╛ ▒ ▓░ади╢ионной
▓ео░и┐ кла▒▒и┤ика╢и┐ ▒ложно▒▓и, о▒нованна┐ на ┤│ндамен▓ал╝н╗╡ закона╡ ┤изики. Рабо▓а над и▒п░авлением кван▓ов╗╡ о╕ибок п░ивела к
гл│боком│ п░оникновени╛ в п░и░од│ некоге░ен▓но▒▓и и понимани╛
▓ого, как можно │п░авл┐▓╝ е╛. Мой ▒об▒▓венн╗й взгл┐д ▒о▒▓ои▓ в ▓ом,
╖▓о ░азви▓ие ▓ео░ии кван▓ового и▒п░авлени┐ о╕ибок може▓ в коне╖ном
▒╖е▓е име▓╝ более ╕и░окое и более гл│бокое п░именение, ╖ем ░азви▓ие кван▓овой ▓ео░ии ▒ложно▒▓и. Имее▓▒┐ много ▒по▒обов, ко▓о░╗ми
░або▓а╛╣ие ▓ео░е▓ики могли б╗ в ближай╕ее в░ем┐ п░одвин│▓╝▒┐ в
понимании ▒ов░еменного ▒о▒▓о┐ни┐ воп░о▒а. Имее▓▒┐ к░а▓кий ▒пи▒ок
неко▓о░╗╡ ин▓е░е▒н╗╡ о▓к░╗▓╗╡ п░облем, за▓░он│▓╗╡ на ╜▓ой кон┤е░ен╢ии1 .
И▒▒ледование и ╡а░ак▓е░и▒▓ика обоб╣ений алго░и▓ма Г░ове░а пе░ебо░а баз╗. (Какиеpкла▒▒и╖е▒кие алго░и▓м╗ доп│▒ка╛▓ кван▓овое │▒ко░ение ▓ипа В░ем┐?)
Пои▒к возможно▒▓ей и▒пол╝зовани┐ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов дл┐
кван▓ового модели░овани┐.
Пои▒к кван▓ов╗╡ алго░и▓мов дл┐ п░облем, ко▓о░╗е, по п░едположени╛, на╡од┐▓▒┐ в кла▒▒е NPI (▓ипа п░облем╗ изомо░┤изма
г░а┤ов).
Из│╖ение п░иложений кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов к п░облемам, на╡од┐╣им▒┐ вне кла▒▒а NP.
Более гл│бокое понимание ▓ого, как ░або▓а╛▓ алго░и▓м╗ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. (Э▓о п░оникновение може▓ о▒ве▓и▓╝ п│▓╝ к
нов╗м алго░и▓мам.)
У▒▓анови▓╝ │ниве░▒ал╝н╗е ▒вой▒▓ва ц┤азового пе░е╡одач межд│
кван▓ов╗ми и кла▒▒и╖е▒кими │▒▓░ой▒▓вами.
1 Имее▓▒┐ ░┐д ак▓│ал╝н╗╡ ▓ео░е▓и╖е▒ки╡ п░облем, ка▒а╛╣и╡▒┐ кван▓овой ин┤о░ма╢ии, ко▓о░╗е не вкл╛╖ен╗ в ▒пи▒ок, по▓ом│ ╖▓о они не ┐вл┐╛▓▒┐ дей▒▓ви▓ел╝но ▒│╣е▒▓венн╗ми дл┐ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. С░еди ни╡ о▒обенно изве▒▓на
п░облема п░оп│▒кной ▒по▒обно▒▓и за╕│мленн╗╡ кван▓ов╗╡ каналов дл┐ пе░е▒╗лки
кван▓овой или кла▒▒и╖е▒кой ин┤о░ма╢ии (Lloyd, 1996; Bennett et al., 1996; Shor &
Smolin, 1996; Schumacher & Nielsen, 1996; Barnum et al., 1997; Bennett et al., 1997b;
Holevo, 1996; Fuchs, 1997).
94
Дж. П░е▒килл
Ха░ак▓е░и▒▓ика об╣и╡ вн│▓░енни╡ п░еделов ▓о╖но▒▓и и ▒ко░о▒▓и
кван▓ов╗╡ гей▓ов.
Адап▓а╢и┐ ме▓одов о▓казо│▒▓ой╖ив╗╡ в╗╖и▒лений к более об╣им
модел┐м о╕ибки и к ░еали▒▓и╖е▒ким │▒▓░ой▒▓вам.
Пои▒к более ╜┤┤ек▓ивн╗╡ ▒по▒обов и▒п░авлени┐ о╕ибок и о▓казо│▒▓ой╖ив╗╡ кван▓ов╗╡ гей▓ов (ко▓о░╗е могли б╗ о▒лаби▓╝ ▓░ебовани┐ на необ╡одим│╛ ▓о╖но▒▓╝ дл┐ безопа▒н╗╡ в╗╖и▒лений).
Пои▒к более ╕и░окой ░еализа╢ии и▒п░авлени┐ кван▓ов╗╡ о╕ибок
(вне аб▒▓░ак▓ной кван▓овой модели ▒е▓ей).
Создание нов╗╡ ▒по▒обов и▒пол╝зовани┐ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений
дл┐ изме░ени┐ ин▓е░е▒н╗╡ набл╛даем╗╡ вели╖ин, неизме░им╗╡
д░│гим ▒по▒обом.
Пои▒к нов╗╡ (комме░╖е▒ки╡?) п░иложений мелкома▒╕▓абн╗╡
кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов.
Ра▒╕и░ение модели░овани┐ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов на бол╝╕ие
│▒▓░ой▒▓ва и более длинн╗е в╗╖и▒лени┐, и▒пол╝з│┐ п░ове░енн╗е
│п░о╣енн╗е модели.
Фо░м│ли░овка конк░е▓ной п░ог░амм╗ п░именени┐ кван▓ов╗╡
в╗╖и▒лений на ЯМР и ионной лов│╕ке по из│╖ени╛ многок│би▓овой некоге░ен▓но▒▓и.
Пои▒к нов╗╡ ▒по▒обов о░ганиза╢ии и ин▓е░п░е▓а╢ии ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗╡ данн╗╡, име╛╣и╡ о▓но╕ение к многок│би▓овой некоге░ен▓но▒▓и.
П░ид│ма▓╝ ╡о░о╕ие воп░о▒╗, ко▓о░╗╡ не▓ в ╜▓ом ▒пи▒ке.
Э▓о▓ ▒пи▒ок воп░о▒ов напоминае▓ нам, ╖▓о ░азви▓ие кван▓ов╗╡
в╗╖и▒лений ▓░еб│е▓ │▒илий многи╡ л╛дей, облада╛╣и╡ оп╗▓ом в ╕и░оком многооб░азии ди▒╢иплин, вкл╛╖а┐ ма▓ема▓ик│, ин┤о░ма▓ик│
и ▓ео░и╛ ин┤о░ма╢ии, ▓ео░е▓и╖е▒к│╛ и ╜к▒пе░имен▓ал╝н│╛ ┤изик│,
╡ими╛ и инжене░н╗е знани┐. Э▓о▓ межди▒╢иплина░н╗й ╡а░ак▓е░ |
один из наиболее волн│╛╣и╡ и п░ивлека▓ел╝н╗╡ а▒пек▓ов кван▓ов╗╡
в╗╖и▒лений.
Ли▓е░а▓│░а
95
Се░ж Ха░о╖, один из лиде░ов в ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗╡ кван▓ов╗╡
в╗╖и▒лени┐╡, п░одолжае▓ в╗▒меива▓╝ по┐вление ░еал╝н╗╡ кван▓ов╗╡
комп╝╛▓е░ов как невозможн│╛ ме╖▓│, ко▓о░а┐ може▓ о▒│╣е▒▓вл┐▓╝▒┐
▓ол╝ко в ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли п░оизойде▓ неожиданна┐ ░евол╛╢и┐ в ┤изике
(Haroche, 1997). Кажд╗й на ╜▓ой в▒▓░е╖е ╡о░о╕о знае▓, ╖▓о по▒▓░оение
кван▓ового комп╝╛▓е░а ┐вл┐е▓▒┐ ог░омн╗м ▓е╡ни╖е▒ким в╗зовом, и
возможно, ╖▓о его нео▒│╣е▒▓вимо▒▓╝ б│де▓ в кон╢е кон╢ов доказана.
Не▒омненно, ▒кеп▓и╢изм зде▒╝ п░иемлем. Но по мне, кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ | не невозможна┐ ме╖▓а; ╜▓о ░еал╝на┐ ме╖▓а. Э▓о ме╖▓а, ко▓о░а┐
може▓ б╗▓╝ о▒│╣е▒▓влена без на░│╕ени┐ законов ┤изики, как пон┐▓о
в на▒▓о┐╣ее в░ем┐. Э▓о ме╖▓а, ко▓о░а┐ може▓ ▒▓им│ли░ова▓╝ ╖░езв╗╖айно п░оизводи▓ел╝ное ▒о▓░│дни╖е▒▓во ╜к▒пе░имен▓а▓о░ов и ▓ео░е▓иков, п╗▓а╛╣и╡▒┐ гл│боко пон┐▓╝ п░и░од│ некоге░ен▓но▒▓и. Э▓о ме╖▓а,
ко▓о░ой добива╛▓▒┐ │╖ен╗е, ко▓о░╗е ╡о▓┐▓ без п░ед│беждений и▒▒ледова▓╝ возможно▒▓и о╖а░ова▓ел╝ной и мо╣ной новой идеи. Э▓о ме╖▓а,
ко▓о░а┐ може▓ измени▓╝ ми░. Так ╖▓о позвол╝▓е нам ме╖▓а▓╝.
Э▓а ░або▓а б╗ла подде░жана ╖а▒▓и╖но Мини▒▓е░▒▓вом ╜не░ге▓ики по г░ан▓│ щDE-FG03-92-ER40701 и Уп░авлением пе░▒пек▓ивн╗╡
и▒▒ледований Мини▒▓е░▒▓ва обо░он╗ США по г░ан▓│ щDAAH04-96-10386 под ░│ковод▒▓вом А░мей▒кого и▒▒ледова▓ел╝▒кого │п░авлени┐. Я
благода░╛ Д╜вида ДиВин╖ен╢о и Вой╢е╡а З│░ека за о░ганиза╢и╛ ╜▓ой
▒▓им│ли░│╛╣ей в▒▓░е╖и и за п░едо▒▓авление возможно▒▓и в╗░ази▓╝
мо╛ ▓о╖к│ з░ени┐. На мои м╗▒ли о▓но▒и▓ел╝но кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений повли┐ли об▒│ждени┐ ▒ многими л╛д╝ми, вкл╛╖а┐ Дейва Бекмана,
Ал╝и Ди▒░ейна, Эдди Фа░╡и, Дже┤а Кимбла, Алек▒е┐ Ки▓аева, Манни
Книлла, Раймонда Ла┤ламма, Се▓а Ллойда, Пи▓е░а Шо░а. Я о▒обенно
благода░ен Джилл╛ Б░а▒▒а░д│, Ике Х│анг│, Д╜вид│ ДиВин╖ен╢о, К░и▒│ Ф│╖▒│, Рол╝┤│ Ланда│╜░│, Хидео Маб│╖и, Ма░▓ин│ Пленио, Дейв│
Винеланд│, и К░и▒▓о┤│ Залке за полезн╗е заме╖ани┐ в п░о╢е▒▒е подго▓овки ░│копи▒и. Я ╡о╖│ о▒обенно поблагода░и▓╝ Майкла Ниел▒ена за
многие конк░е▓н╗е п░едложени┐ и Д╜ниела Го▓▓е▒мана за много╖и▒ленн╗е об▒│ждени┐ в▒е╡ а▒пек▓ов кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений.
Ли▓е░а▓│░а
[1] D. S. Abrams, S. Lloyd. Simulation of many-body fermi systems on a
universal quantum computer. (Online preprint quant-ph/9703054.),
1997.
96
Ли▓е░а▓│░а
[2] D. Aharonov, M. Ben-Or 1996a. Fault tolerant quantum computation
with constant error. (Online preprint quant-ph/9611025.)
[3] D. Aharonov, M. Ben-Or 1996b. Polynomial simulations of decohered
quantum computers. (Online preprint quant-ph/9611029.)
[4] A. Barenco, T. A. Brun, R. Schack, T. Spiller 1996. Eects of noise
on quantum error correction algorithms. (Online preprint quantph/9612047.)
[5] H. Barnum, M. A. Nielsen, B. Schumacher 1997. Information
transmission through a noisy quantum channel. (Online preprint
quant-ph/9702049.)
[6] P. Benio 1982. Quantum mechanical models of Turing machines that
dissipate no energy. Phys. Rev. Lett. 48, 1581.
[7] C. B. Bennett, E. Bernstein, G. Brassard, U. Vazirani 1997a. Strengths
and weaknesses of quantum computing. (Online preprint quantph/9701001.)
[8] C. H. Bennett, G. Brassard 1984. In Proceedings of IEEE International
Conference on Computers, Systems, and Signal Processing. Bangalore,
India. New York: IEEE, p. 175.
[9] C. Bennett, D. DiVincenzo, J. Smolin, W. Wootters 1996. Mixed state
entanglement and quantum error correction. Phys. Rev. A 54, 3824.
[10] C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo, J. A. Smolin 1997b. Capacities of
quantum erasure channels. (Online preprint quant-ph/9701015).
[11] E. Bernstein, U. Vazirani 1993. Quantum complexity theory. In
Proceedings of the 25th ACM Symposium on the Theory of
Computation. New York: ACM Press, pp. 11-20.
[12] B. M. Boghosian, W. Taylor 1997. Simulating quantum mechanics on a
quantum computer. (Online preprint quant-ph/9701019.)
[13] J. J. Bollinger, W. M. Itano, D. J. Wineland, D. J. Heinzen 1997. Optical
frequency measurements with maximally correlated states. Phys. Rev.
A 54, R4649.
Ли▓е░а▓│░а
97
[14] V. B. Braginsky, F. Ya. Khalili, M. V. Sazhin 1995. Decoherence in e. m.
vacuum. Phys. Lett. A 208, 177.
[15] M. Brune, E. Hagley, J. Dreyer, X. Maitre, A. Maali, C. Wunerlich,
J. M. Raimond, S. Haroche 1996. Observing the progressive decoherence
of the meter in a quantum measurement. Phys. Rev. Lett. 77, 4887.
[16] A. R. Calderbank, P. W. Shor 1996. Good quantum error-correcting
codes exist. Phys. Rev. A 54, 1098.
[17] J. I. Cirac, P. Zoller 1995. Quantum computations with cold trapped
ions. Phys. Rev. Lett. 74, 4091.
[18] J. I. Cirac, Pellizzari, P. Zoller 1996. Enforcing coherent evolution in
dissipative quantum dynamics. Science 273, 1207.
[19] J. I. Cirac, P. Zoller, H. J. Kimble, H. Mabuchi 1997. Quantum state
transfer and entanglement distribution among distant nodes in a
quantum network. Phys. Rev. Lett. 78, 3221.
[20] D. G. Cory, A. F. Fahmy, T. F. Havel 1996. Nuclear magnetic resonance
spectroscopy: an experimentally accesible paradigm for quantum
computing. In Proceedings of the 4th Workshop on Physics and
Computation, Boston: New England Complex Systems Institute.
[21] D. Deutsch 1985. Quantum theory, the Church{Turing principle and
the universal quantum computer. Proc. Roy. Soc. Lond. A 400, 96.
[22] C. D'Helon, G. J. Milburn 1997. Quantum measurements with a
quantum computer. (Online preprint quant-ph/9705014.)
[23] D. DiVincenzo, P. Shor 1996. Fault-tolerant error correction with
ecient quantum codes. Phys. Rev. Lett. 77, 3260.
[24] R. P. Feynman 1982. Simulating physics with computers. Int. J. Theor.
Phys. 21, 467.
[25] C. Fuchs 1997. Nonorthogonal quantum states maximize classical
information capacity. (Online preprint quant-ph/9703043.)
[26] M. R. Garey, D. S. Johnson 1979. Computers and intractability: a guide
to the theory of NP-completeness. New York: W. H. Freeman and Co.
98
Ли▓е░а▓│░а
[27] A. Garg 1996. Decoherence in ion-trap quantum computers. Czech. J.
Phys. 46, 2375.
[28] N. Gershenfeld, I. Chuang 1997. Bulk spin resonance quantum
computation. Science 275, 350.
[29] D. Gottesman, J. Evslin, S. Kakade, J. Preskill 1996, to be published.
[30] D. Gottesman 1997. A theory of fault-tolerant quantum computation.
(Online preprint quant-ph/9702029.)
[31] M. Grassl, Th. Beth, T. Pellizzari 1996. Codes for the quantum erasure
channel. (Online preprint quant-ph/9610042.)
[32] L. K. Grover 1996. A fast quantum mechanical algorithm for
database search. Proceedings, 28th ACM Symposium on Theory of
Computation, 212.
[33] S. Haroche 1997, these proceedings.
[34] S. Haroche, J. M. Raimond 1996. Quantum computing: dream or
nightmare? Phys. Today 49 (8), 51.
[35] S. F. Huelga, C. Macchiavello, T. Pellizzari, A. K. Ekert, M. B. Plenio,
J. I. Cirac 1997. On the improvement of frequency standards with
quantum entanglement. (Online preprint quant-ph/9707014.)
[36] A. S. Holevo 1996. The capacity of quantum channel with general signal
states. (Online preprint quant-ph/9611023.)
[37] A. Yu. Kitaev 1996a. Quantum error correction with imperfect gates,
preprint.
[38] A. Yu. Kitaev 1996b. Quantum computing: algorithms and error
correction, preprint (in Russian).
[39] A. Yu. Kitaev 1997. Fault-tolerant quantum computation by anyons, to
be published.
[40] E. Knill, R. Laamme 1996. Concatenated quantum codes. (Online
preprint quant-ph/9608012.)
[41] E. Knill, R. Laamme, W. Zurek 1996. Accuracy threshold for quantum
computation. (Online preprint quant-ph/9610011.)
Ли▓е░а▓│░а
99
[42] E. Knill, R. Laamme, W. Zurek 1997. Resilient quantum computation:
error models and thresholds. (Online preprint quant-ph/9702058.)
[43] R. Laamme, C. Miquel, J. P. Paz, W. Zurek 1996. Pefect quantum
error correction code. Phys. Rev. Lett. 77, 198.
[44] R. Landauer 1995. Is quantum mechanics useful? Phil. Tran. R. Soc.
Lond. 353, 367.
[45] R. Landauer 1996. The physical nature of information. Phys. Lett. A
217, 188.
[46] R. Landauer 1997. Is quantum mechanically coherent computation
useful? In Proc. Drexel-4 Symposium on Quantum NonintegrabilityQuantum-Classical Correspondence, Philadelphia, PA, 8 September
1994 (ed. D. H. Feng and B.-L. Hu), Boston: International Press.
[47] A. J. Leggett, S. Chakravarty, A. T. Dorsey, M. P. A. Fisher, A. Garg,
W. Zwerger 1987. Dynamics of the dissipative two-state system. Rev.
Mod. Phys. 59, 1.
[48] D. A. Lidar, O. Biham 1996. Simulating Ising spin glasses on a
quantum computer. (Online preprint quant-ph/9611038.)
[49] S. Lloyd 1993. A potentially realizable quantum computer. Science 261,
1569.
[50] S. Lloyd 1996. Universal quantum simulators. Science 273, 1073.
[51] S. Lloyd 1997. The capacity of a noisy quantum channel. Phys. Rev. A
55, 1613.
[52] H. Mabuchi and P. Zoller 1996. Inversion of quantum jumps in
quantum-optical systems under continuous observation. Phys. Rev.
Lett. 76, 3108.
[53] D. M. Meekhof, C. Monroe, B. E. King, W. M. Itano, D. J. Wineland
1996. Generation of nonclassical motional states of a trapped atom.
Phys. Rev. Lett. 76, 1796.
[54] D. A. Meyer 1996. Quantum mechanics of lattice gas automata I:
one particle plane waves and potentials. (Online preprint quantph/9611005.)
100
Ли▓е░а▓│░а
[55] C. Miquel, J. P. Paz, R. Perazzo 1996. Factoring in a dissipative
quantum computer. Phys. Rev. A 54, 2605.
[56] Q. A. Turchette, C. J. Hood, W. Lange, H. Mabuchi, H. J. Kimble 1995.
Measurement of conditional phase shifts for quantum logic. Phys. Rev.
Lett. 75, 4710.
[57] W. G. Unruh 1995. Maintaining coherence in quantum computers.
Phys. Rev. A 51, 992.
[58] S. J. Van Enk, J. I. Cirac, P. Zoller 1997. Quantum communication over
noisy channels: a quantum optical implementation. (Online preprint
quant-ph/9702036.)
[59] S. Wiesner 1996. Simulations of many-body quantum systems by a
quantum computer. (Online preprint quant-ph/9603028.)
[60] D. J. Wineland, C. Monroe, D. M. Meekhof, B. E. King, D. Liebfried,
W. M. Itano, J. C. Bergquist, D. Berkeland, J. J. Bollinger, J. Miller
1997. Quantum state manipulation of trapped atomic ions. (Online
preprint quant-ph/9705022.)
[61] W. K. Wootters, W. H. Zurek 1982. A single quantum cannot be cloned.
Nature 299, 802.
[62] C. Zalka 1996a. Ecient simulation of quantum systems by quantum
computers. (Online preprint quant-ph/9603026.)
[63] C. Zalka 1996b. Threshold estimate for fault tolerant quantum
computing. (Online preprint quant-ph/9612028.)
Кван▓ова┐ ме╡аника помогае▓ най▓и
иголк│ в ▒▓оге ▒ена
Лов К. Г░ове░
(Lov K. Grover)1
Кван▓ова┐ ме╡аника дае▓ возможно▒▓╝ │▒ко░и▓╝ п░о╢е▒▒
пои▒ка ▒░еди не│по░┐до╖енн╗╡ данн╗╡. Нап░име░, п░ед▒▓авим ▒ебе ▓еле┤онн│╛ книг│, в ко▓о░ой ▒оде░жи▓▒┐ ┤амилий, ░а▒положенн╗╡ ▒ове░╕енно п░оизвол╝н╗м об░азом. Ч▓об╗ най▓и ╖ей-либо ▓еле┤он ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ бол╝╕ей ╖ем 50%,
л╛бой кла▒▒и╖е▒кий алго░и▓м (как де▓е░мини▒▓и╖е▒кий, ▓ак
и ве░о┐▓но▒▓н╗й) по▓░еб│е▓ об░а╣ени┐ к базе данн╗╡ как
миним│м 0 5 ░аз. Кван▓ово-ме╡ани╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема може▓
на╡оди▓╝▒┐ в ▒│пе░пози╢ии ▒о▒▓о┐ний и однов░еменно п░ове░┐▓╝ множе▒▓во имен. П░и надлежа╣ем задании п░ог░амм╗
пои▒ка в╗╖и▒лени┐ и▒комого ▒о▒▓о┐ни┐ на каждом ╜▓апе │▒илива╛▓ д░│г д░│га, в ▓о в░ем┐ как о▒▓ал╝н╗е ин▓е░┤е░и░│╛▓
▒л│╖айн╗м об░азом. В ░ез│л╝▓а▓е
н│жн╗й ▓еле┤онн╗й номе░
може▓ б╗▓╝ найден ли╕╝ за (p ) об░а╣ений к базе данн╗╡.
N
: N
O
N
1. Введение
В 1994 год│ Шо░ о▓к░╗л кван▓ов╗й алго░и▓м ┤ак▓о░иза╢ии, ▒ко░о▒▓╝ ко▓о░ого ╜к▒понен╢иал╝но велика по ▒░авнени╛ ▒о ▒ко░о▒▓╝╛
изве▒▓н╗╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ алго░и▓мов [1]. В данной ▒▓а▓╝е п░ед▒▓авлен
кван▓ов╗й алго░и▓м пои▒ка, ко▓о░╗й ░або▓ае▓ в▒его ли╕╝ полиномиал╝но б╗▒▓░ее, ╖ем л╛бой кла▒▒и╖е▒кий алго░и▓м; однако ╜▓о не ▒в┐зано ▒ ▓ем, ╖▓о он на▓алкивае▓▒┐ на недоказанн╗е ▓░│дно▒▓и п░облем╗
┤ак▓о░иза╢ии. Зада╖а пои▒ка ▒о▒▓ои▓ в ▒лед│╛╣ем: имее▓▒┐ не│по░┐до╖енна┐ база данн╗╡, ▒о▒▓о┐╣а┐ из N ╜лемен▓ов, из ко▓о░╗╡ ли╕╝
1 3C-404A Bell Labs, 600 Mountain Avenue, Murray Hill NJ 07974.
E-mail: lkgrover@bell-labs.com
c Phys. Rev. Lett., 79(2), 325{328 (1997).
Пе░евод О. Д. Тимо┤еев▒кой.
102
Л. К. Г░ове░
один │довле▓во░┐е▓ данн╗м │▒лови┐м | именно ╜▓о▓ ╜лемен▓ н│жно
най▓и. Е▒ли ╜лемен▓ можно о▒мо▓░е▓╝, ▓о оп░еделение ▓ого, │довле▓во░┐е▓ он ▓░еб│ем╗м │▒лови┐м или не▓, о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ за один ╕аг.
Однако база данн╗╡ ▓акова, ╖▓о в ней не ▒│╣е▒▓в│е▓ какого-либо │по░┐до╖ени┐, ко▓о░ое могло б╗ помо╖╝ в╗бо░│ ╜лемен▓а. Наиболее ╜┤┤ек▓ивн╗й кла▒▒и╖е▒кий алго░и▓м дл┐ ╜▓ой зада╖и ▒о▒▓ои▓ в п░ове░ке
╜лемен▓ов из баз╗ данн╗╡ одного за д░│гим. Е▒ли ╜лемен▓ │довле▓во░┐е▓ ▓░еб│ем╗м │▒лови┐м, пои▒к окон╖ен, е▒ли не▓, ▓о данн╗й ╜лемен▓
о▓клад╗вае▓▒┐ ▓ак, ▓ак ╖▓об╗ он внов╝ не подве░гал▒┐ п░ове░ке. О╖евидно, ╖▓о в ╜▓ом алго░и▓ме ▓░еб│е▓▒┐ п░ове░и▓╝ в ▒░еднем N2 ╜лемен▓ов п░ежде, ╖ем б│де▓ найден н│жн╗й.
В кван▓ово-ме╡ани╖е▒кой ▒и▒▓еме можно п░оизве▒▓и ▒вободное о▓
взаимодей▒▓ви┐ изме░ение ме▓одом, и▒пол╝з│╛╣им д│ал╝н╗е ▒вой▒▓ва ┤о▓онов [2]. В ╜▓ом ме▓оде можно оп░едели▓╝ п░и▒│▓▒▓вие (или о▓▒│▓▒▓вие) об║ек▓а, доп│▒ка┐ о╖ен╝ мал│╛ ве░о┐▓но▒▓╝ взаимодей▒▓ви┐
┤о▓она ▒ об║ек▓ом. Следова▓ел╝но, более ве░о┐▓но, ╖▓о ┤о▓он не б│де▓
взаимодей▒▓вова▓╝, однако даже возможно▒▓и взаимодей▒▓ви┐ ▒ малой
ве░о┐▓но▒▓╝╛ оказ╗вае▓▒┐ до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ п░оизве▒▓и изме░ение.
Таким об░азом, в зада╖е пои▒ка ▓акже возможно обна░│жи▓╝ об║ек▓
без об▒ледовани┐ в▒е╡ об║ек▓ов, е▒ли ли╕╝ доп│▒▓има оп░еделенна┐
ве░о┐▓но▒▓╝ подве░гн│▓╝ п░ове░ке н│жн╗й об║ек▓.
Данна┐ ░або▓а показ╗вае▓, ╖▓о, и▒пол╝з│┐ ▓о же ▒амое обо░│дование, как в кла▒▒и╖е▒ком ▒л│╖ае, но задава┐ в╡од
p и в╗╡од в виде ▒│пе░пози╢ии ▒о▒▓о┐ний, можно най▓и об║ек▓ за O( N ) кван▓овоме╡ани╖е▒ки╡
╕агов вме▒▓о O(N ) кла▒▒и╖е▒ки╡ ╕агов. Кажд╗й кван▓овоме╡ани╖е▒кий ╕аг ▒о▒▓ои▓ из ╜лемен▓а░ной │ни▓а░ной опе░а╢ии (и╡ м╗ об▒│дим
в ▒лед│╛╣ем па░аг░а┤е).
1.1. Кван▓ово-ме╡ани╖е▒кий алго░и▓м
В кван▓овом комп╝╛▓е░е логи╖е▒кие ▒╡ем╗ и в░еменн╗е ╕аги
▒│╣е▒▓венно кла▒▒и╖е▒кие, ▓ол╝ко би▓╗ пам┐▓и, ко▓о░╗е ╡░ан┐▓ пе░еменн╗е, на╡од┐▓▒┐ в ▒о▒▓о┐ни┐╡ кван▓овой ▒│пе░пози╢ии (▒мо▓░и▓е [1] и [3] дл┐ более полного ознакомлени┐ ▒ кван▓ов╗ми комп╝╛▓е░ами). Кван▓ово-ме╡ани╖е▒кие опе░а╢ии, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ п░оведен╗
кон▓░оли░│ем╗м п│▓ем, | ╜▓о │ни▓а░н╗е опе░а╢ии, дей▒▓в│╛╣ие на
каждом ╕аге на малое ╖и▒ло би▓ов. Кван▓ов╗й алго░и▓м пои▒ка, опи▒╗ваем╗й в ╜▓ой ▒▓а▓╝е, е▒▓╝ ░ез│л╝▓а▓ дей▒▓ви┐ ▓аки╡ │ни▓а░н╗╡ п░еоб-
Кван▓ова┐ ме╡аника помогае▓ най▓и иголк│ в ▒▓оге ▒ена
103
░азований на ╖и▒▓ое ▒о▒▓о┐ние, ко▓о░ое можно оп░едели▓╝ ▒ помо╣╝╛
п░о╢ед│░╗ изме░ени┐. Нам необ╡одим╗ ▒лед│╛╣ие ▓░и ╜лемен▓а░н╗е
опе░а╢ии. Пе░ва┐ | ╜▓о п░иго▓овление ▒о▒▓о┐ни┐, в ко▓о░ом ▒и▒▓ема
на╡оди▓▒┐ ▒ ░авной ве░о┐▓но▒▓╝╛ в л╛бом из ее N бази▒н╗╡ ▒о▒▓о┐ний; в▓о░а┐ | ╜▓о п░еоб░азование Уол╕а{Адама░а (Walsh{Hadamard)
и ▓░е▓╝┐ | в╗бо░о╖н╗й пово░о▓ ┤аз ▒о▒▓о┐ний.
О▒новной опе░а╢ией дл┐ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений ┐вл┐е▓▒┐ опе░а╢и┐ M , дей▒▓в│╛╣а┐ на один би▓, ко▓о░а┐ п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ ▒лед│╛╣ей
ма▓░и╢ей:
1
1
1
M = p 1 ;1
2
▓. е. би▓p в ▒о▒▓о┐нии
0
п░ев░а╣ае▓▒┐
в ▒│пе░пози╢и╛ дв│╡ ▒о▒▓о┐p
ний:p(1= 2;p1= 2). Аналоги╖но, би▓ в ▒о▒▓о┐нии 1 ▓░ан▒┤о░ми░│е▓▒┐ в
(1= 2p; ;1= 2), ▓. е. вели╖ина ампли▓│д╗ дл┐ каждого ▒о▒▓о┐ни┐ ░авна 1= 2, но ┤аза в ▒о▒▓о┐нии 1 пе░еве░н│▓а. Фаза не имее▓ аналога в
кла▒▒и╖е▒ки╡ ве░о┐▓но▒▓н╗╡ алго░и▓ма╡. Она возникае▓ в кван▓овой
ме╡анике, где ампли▓│да ве░о┐▓но▒▓и комплек▒на. В ▒и▒▓еме, в ко▓о░ой ▒о▒▓о┐ние опи▒╗вае▓▒┐ n би▓ами (▓. е. имее▓▒┐ N = 2n возможн╗╡
▒о▒▓о┐ний), м╗ можем о▒│╣е▒▓ви▓╝ п░еоб░азование M на каждом би▓е незави▒имо, по▒ледова▓ел╝но измен┐┐ ▒о▒▓о┐ние ▒и▒▓ем╗. Ма▓░и╢а
пе░е╡ода, п░ед▒▓авл┐╛╣а┐ ╜▓о▓ опе░а▓о░, б│де▓ ма▓░и╢ей ░азме░но▒▓и 2n 2n . В ▒л│╖ае, когда на╖ал╝на┐ кон┤иг│░а╢и┐ п░ед▒▓авл┐ла ▒обой
кон┤иг│░а╢и╛ ▒ n би▓ами в пе░вом ▒о▒▓о┐нии, пол│╖енна┐ кон┤иг│░а╢и┐ б│де▓ име▓╝ ░авн╗е ампли▓│д╗ 2;n=2 дл┐ каждого из 2n ▒о▒▓о┐ний.
Э▓о и е▒▓╝ ▒по▒об ▒оздани┐ ▒│пе░пози╢ии ▒ ▓ой же ▒амой ампли▓│дой
дл┐ в▒е╡ 2n ▒о▒▓о┐ний.
Тепе░╝ ░а▒▒мо▓░им ▒л│╖ай, когда на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние | ╜▓о неко▓о░ое д░│гое из 2n возможн╗╡ ▒о▒▓о┐ний, ▓. е. ▒о▒▓о┐ние, опи▒╗ваемое n-би▓ной бина░ной ▒▓░окой, в ко▓о░ой е▒▓╝ как н│ли, ▓ак и едини╢╗. Рез│л╝▓а▓ п░именени┐ п░еоб░азовани┐ M к каждом│ ▓аком│ би▓│
дае▓ ▒│пе░пози╢и╛ ▒о▒▓о┐ний, опи▒╗ва╛╣│╛ в▒е возможн╗е n би▓ов
бина░ной ▒▓░оки ▒ ампли▓│дами дл┐ каждого ▒о▒▓о┐ни┐ по вели╖ине
░авн╗ми 2;n=2 и ▒о знаком + или ;. Ч▓об╗ оп░едели▓╝ знак, заме▓им,
╖▓о из оп░еделени┐ ма▓░и╢╗ M , ▓. е.
M = p1 11 ;1 1 ;
2
┤аза ░ез│л╝▓и░│╛╣ей кон┤иг│░а╢ии измен┐е▓▒┐, когда би▓, ко▓о░╗й
104
Л. К. Г░ове░
б╗л пе░вона╖ал╝но в ▒о▒▓о┐нии 1, о▒▓ае▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии 1 по▒ле п░оведенного п░еоб░азовани┐. Следова▓ел╝но, е▒ли x б│де▓ n-би▓ной бина░ной ▒▓░окой, опи▒╗ва╛╣ей на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние, и y | n-би▓ной
бина░ной ▒▓░окой, опи▒╗ва╛╣ей ░ез│л╝▓и░│╛╣ее ▒о▒▓о┐ние, ▓о знак
ампли▓│д╗ оп░едел┐е▓▒┐ ╖е▓но▒▓╝╛ по░аз░┐дного п░оизведени┐ x и y,
▓. е. (;)(xy) . М╗ пол│╖или п░еоб░азование Уол╕а{Адама░а [4]. Э▓а опе░а╢и┐ (или ▓е▒но ▒в┐занна┐ ▒ ней опе░а╢и┐ п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е) |
одна из ▓е╡ ве╣ей, ко▓о░╗е дела╛▓ кван▓ов╗е алго░и▓м╗ более мо╣н╗ми, ╖ем кла▒▒и╖е▒кие, и об░аз│╛▓ о▒нов│ наиболее важн╗╡ кван▓овоме╡ани╖е▒ки╡ алго░и▓мов.
Т░е▓╝е п░еоб░азование, ко▓о░ое нам понадоби▓▒┐, | ╜▓о в╗бо░о╖ное в░а╣ение ┤аз╗ ампли▓│д╗ в оп░еделенн╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡. П░еоб░азование, п░ед▒▓авленное зде▒╝ дл┐ ▒и▒▓ем╗ из дв│╡ ▒о▒▓о┐ний, имее▓
┤о░м│:
j1
e
0 ;
0 ej2
p
где j = ;1 и 1 ; 2 | п░оизвол╝н╗е дей▒▓ви▓ел╝н╗е ╖и▒ла. Заме▓им,
╖▓о в о▓ли╖ие о▓ п░еоб░азовани┐ Уол╕а{Адама░а и д░│ги╡ ма▓░и╢ п░еоб░азовани┐ ▒о▒▓о┐ний, ве░о┐▓но▒▓╝ каждого ▒о▒▓о┐ни┐ о▒▓ае▓▒┐ ▓ой
же, ▓. к. квад░а▓ аб▒ол╛▓ной вели╖ин╗ ампли▓│д╗ в каждом ▒о▒▓о┐нии о▒▓ае▓▒┐ п░ежним.
2. Зада╖а в аб▒▓░ак▓ной ┤о░ме
П│▒▓╝ ▒и▒▓ема имее▓ N = 2n ▒о▒▓о┐ний, ко▓о░╗е обозна╖а╛▓▒┐
как S1 ; : : : ; SN . Э▓и 2n ▒о▒▓о┐ни┐ п░ед▒▓авл┐╛▓▒┐ как n-би▓н╗е ▒▓░оки. П│▒▓╝ ▒│╣е▒▓в│е▓ един▒▓венное ▒о▒▓о┐ние, ▒кажем S , ко▓о░ое
│довле▓во░┐е▓ │▒лови╛ C (S ) = 1, ▓огда как дл┐ в▒е╡ д░│ги╡ ▒о▒▓о┐ний S , C (S ) = 0 (п░едполагае▓▒┐, ╖▓о дл┐ л╛бого ▒о▒▓о┐ни┐ S │▒ловие C (S ) о╢енивае▓▒┐ за едини╢│ в░емени). Зада╖а ▒о▒▓ои▓ в ░а▒познании ▒о▒▓о┐ни┐ S .
Така┐ зада╖а може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлена как зада╖а пои▒ка в базе данн╗╡, где ┤│нк╢и┐ C (S ) оп░еделена ▒оде░жанием ┐╖ейки пам┐▓и,
▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей ▒о▒▓о┐ни╛ S (как об▒│ждало▒╝ в ░ез╛ме). Ал╝▓е░на▓ивно, она може▓ п░ед▒▓авл┐▓╝ зада╖│, когда зна╖ение ┤│нк╢ии C (S )
о╢енивае▓▒┐ комп╝╛▓е░ом. Разли╖н╗е важн╗е зада╖и в╗╖и▒ли▓ел╝ной
▓е╡ники мог│▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен╗ в ▓акой ┤о░ме [3, 5, 9].
Кван▓ова┐ ме╡аника помогае▓ най▓и иголк│ в ▒▓оге ▒ена
105
3. Алго░и▓м
Шаги (i) и (ii) ┐вл┐╛▓▒┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛ ╜лемен▓а░н╗╡ │ни▓а░н╗╡ опе░а╢ий опи▒анного в па░аг░а┤е 1.1 ▓ипа. Шаг (iii) е▒▓╝ заве░╕а╛╣ее изме░ение, о▒│╣е▒▓вл┐емое вне╕ней ▒и▒▓емой.
(i) П░иводим ▒и▒▓ем│ в ▒о▒▓о┐ние ▒│пе░пози╢ии:
p
p
p
p
(1= N; 1= N; 1= N; : : : ; 1= N )
▒ одинаков╗ми ампли▓│дами дл┐ каждого из N ▒о▒▓о┐ний. Э▓а
▒│пе░пози╢и┐ може▓ б╗▓╝ пол│╖ена за O(log N ) ╕агов, как об▒│ждало▒╝ в ░азделе 1.1.
p
(ii) Пов▓о░им ▒лед│╛╣│╛ │ни▓а░н│╛ опе░а╢и╛ O( N ) ░аз (в ░або▓е [5] показ╗вае▓▒┐, ╖▓о ▓о╖ное ╖и▒ло пов▓о░ений ▒│╣е▒▓венно):
a. П│▒▓╝ ▒и▒▓ема б│де▓ в каком-ниб│д╝ ▒о▒▓о┐нии S :
В ▒л│╖ае C (S ) = 1, пове░н│▓╝ ┤аз│ на ░адиан;
В ▒л│╖ае C (S ) = 0, о▒▓ави▓╝ ▒и▒▓ем│ неизмененной.
b. П░имени▓╝ п░еоб░азование ди┤┤│зии D, ко▓о░ое оп░едел┐е▓▒┐ ма▓░и╢ей D ▒лед│╛╣им об░азом: Dij = 2=N , е▒ли i 6= j
и Dii = ;1 + 2=N . (D може▓ б╗▓╝ ░еализована как п░оизведение 3 ╜лемен▓а░н╗╡ ма▓░и╢, как об▒│ждае▓▒┐ в ░азделе 5).
(iii) П░оизве▒▓и изме░ение пол│╖енного ▒о▒▓о┐нии. Э▓о ▒о▒▓о┐ние б│де▓ ▒о▒▓о┐нием S (▓. е. и▒ком╗м ▒о▒▓о┐нием, │довле▓во░┐╛╣им
│▒лови╛ C (S ) = 1) ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛, по к░айней ме░е, не мен╝╕ей, ╖ем 0.5. Заме▓им, ╖▓о ╕аг (ii)a | ╜▓о ┤азовое в░а╣ени┐ ▓ого
▓ипа, ╖▓о об▒│ждае▓▒┐ в по▒леднем абза╢е ░аздела 1.1. В его ░еализа╢и╛ должна б╗▓╝ вкл╛╖ена п░о╢ед│░а ░а▒познани┐ ▒о▒▓о┐ни┐
и по▒лед│╛╣его оп░еделени┐ | о▒│╣е▒▓вл┐▓╝ или не▓ пово░о▓
┤аз╗. Она должна п░оводи▓╝▒┐ ▓аким об░азом, ╖▓об╗ не о▒▓авл┐▓╝ ▒леда на ▒о▒▓о┐нии ▒и▒▓ем╗, ▓ак, ╖▓об╗ б╗ла │ве░енно▒▓╝,
╖▓о п│▓и, п░ивод┐╣ие к ▓ом│ же ▒амом│ коне╖ном│ ▒о▒▓о┐ни╛,
не░азли╖им╗ и мог│▓ ин▓е░┤е░и░ова▓╝. В ░або▓е [5] п░едложен
▒по▒об ░еализа╢ии ╜▓ого за один кван▓ов╗й ╕аг. Заме▓им, ╖▓о ╜▓а
п░о╢ед│░а не вкл╛╖ае▓ кла▒▒и╖е▒кого изме░ени┐.
106
Л. К. Г░ове░
4. С╡одимо▒▓╝
Цикл ╕ага (ii) | ▒│▓╝ алго░и▓ма. Кажда┐ и▓е░а╢и┐
p ╜▓ого ╢икла
│вели╖ивае▓
ампли▓│д│
и▒комого
▒о▒▓о┐ни┐
на
O
(1
=
N ). В ░ез│л╝▓аp
▓е за O( N ) пов▓о░ений ╢икла ампли▓│да, а ▒ледова▓ел╝но, и ве░о┐▓но▒▓╝ оказа▓╝▒┐ в желаемом ▒о▒▓о┐нии до▒▓игне▓ вели╖ин╗
O(1).
p
Ч▓об╗ │виде▓╝, ╖▓о ампли▓│да │вели╖ивае▓▒┐ на O(1= N ) п░и каждом пов▓о░ении ╢икла, м╗, во-пе░в╗╡, покажем, ╖▓о п░еоб░азование
ди┤┤│зии D, можно ин▓е░п░е▓и░ова▓╝ как опе░а╢и╛ инве░▒ии о▓но▒и▓ел╝но ▒░еднего. Об╗╖на┐ инве░▒и┐ | ╜▓о опе░а╢и┐ пово░о▓а ┤аз╗
и, как об▒│ждало▒╝ в по▒леднем абза╢е 1.1, она │ни▓а░на. Сей╖а▒ б│де▓
показано, ╖▓о опе░а╢и┐ инве░▒ии о▓но▒и▓ел╝но ▒░еднего (▓о╖но оп░еделенна┐ ниже) | ▓акже │ни▓а░на┐ опе░а╢и┐ и ╜квивален▓на п░еоб░азовани╛ ди┤┤│зии D, и▒пол╝з│емом│ на ╕аге (ii)a алго░и▓ма.
П│▒▓╝ a обозна╖ае▓ │▒░едненн│╛ по в▒ем ▒о▒▓о┐ни┐м ампли▓│д│, ▓. е. е▒ли ai | ╜▓о ампли▓│да i-го ▒о▒▓о┐ни┐, ▓о ▒░еднее е▒▓╝
N
P
(1=N ) ai . В ░ез│л╝▓а▓е п░еоб░азовани┐ D ампли▓│да в каждом ▒оi=1
▒▓о┐нии │вели╖ивае▓▒┐ (│мен╝╕ае▓▒┐) ▓аким об░азом, ╖▓о по▒ле ╜▓ой
опе░а╢ии она на▒▓ол╝ко ниже (в╗╕е) ai , на▒кол╝ко она б╗ла в╗╕е (ниже) до нее.
П░еоб░азование ди┤┤│зии D оп░едел┐е▓▒┐ ▒лед│╛╣им об░азом:
;
Dij = 2=N; е▒ли i 6= j и Dii = ;1 + 2=N:
(4:0)
Заме▓им, ╖▓о D можно п░ед▒▓ави▓╝
в ┤о░ме D = ;I + 2P , где I |
▓ожде▒▓венна┐ ма▓░и╢а и P | п░оек╢ионна┐ ма▓░и╢а ▒ Pij = 1=N дл┐
в▒е╡ i и j . Легко п░ове░и▓╝, ╖▓о P об-
ладае▓ ▓акими ▒вой▒▓вами: во-пе░в╗╡,
P 2 = P , и, к░оме ▓ого, P , дей▒▓в│┐
на л╛бой век▓о░ v, дае▓ век▓о░, кажда┐ ▒о▒▓авл┐╛╣а┐ ко▓о░ого ░авна ▒░едРи▒. 1. Инве░▒и┐ о▓но▒и▓ел╝но нем│ по в▒ем ▒о▒▓авл┐╛╣им. И▒пол╝з│┐
▒░еднего.
▓о▓ ┤ак▓, ╖▓о P 2 = P , из п░ед▒▓авлени┐ D = ;I + 2P немедленно пол│╖аем,
╖▓о D2 = I и, ▒ледова▓ел╝но, п░еоб░азование D │ни▓а░но. Ч▓об╗ показа▓╝, ╖▓о D | ╜▓о инве░▒и┐ о▓но▒и▓ел╝но ▒░еднего, по▒мо▓░им, ╖▓о
107
Кван▓ова┐ ме╡аника помогае▓ най▓и иголк│ в ▒▓оге ▒ена
▒л│╖и▓▒┐, когда D дей▒▓в│е▓ на п░оизвол╝н╗й век▓о░ . П░ед▒▓авл┐┐ D
как ;I +2P , пол│╖аем, ╖▓о D = (;I +2P ) = ;+2P . Как │▒▓ановлено в╗╕е, кажда┐ ▒о▒▓авл┐╛╣а┐ век▓о░а P е▒▓╝ A, где A е▒▓╝ ▒░еднее
по в▒ем ▒о▒▓авл┐╛╣им век▓о░а . Следова▓ел╝но, i-а┐ ▒о▒▓авл┐╛╣а┐
век▓о░а D ░авна (;i + 2A), ╖▓о можно запи▒а▓╝ как (A + (A ; i )),
╖▓о в ▓о╖но▒▓и е▒▓╝ инве░▒и┐ о▓но▒и▓ел╝но ▒░еднего.
Далее ░а▒▒мо▓░им ▒и▓│а╢и╛ на ░и▒. 2, когда ╜▓а опе░а╢и┐ п░имен┐е▓▒┐ к век▓о░│ ▒о в▒еми
одной, име╛╣ими
p ▒о▒▓авл┐╛╣ими, к░оме
1= и 1, а одна ▒о▒▓авл┐ампли▓│д│ ░авн│╛
C=
N
,
где
C
лежи▓
межд│
2
p
╛╣а┐ ░авна ; 1 ; C 2 .
С░еднее A в▒е╡ ▒о▒▓авл┐╛╣и╡
п░иp
близи▓ел╝но ░авно C= N . Так как кажда┐ из (N ; 1) ▒о▒▓авл┐╛╣и╡ п░иблизи▓ел╝но ░авна ▒░еднем│, они не измен┐╛▓▒┐ ▒│╣е▒▓венно в ░ез│л╝▓а▓е инве░▒ии о▓но▒и▓ел╝но ▒░еднего. Одна ▒о▒▓авл┐╛╣а┐,
ко▓о░а┐ б╗ла о▓░и╢а▓ел╝ной, ▓епе░╝ ▒▓ала положи▓ел╝ной,
и ее вели╖ина воз░о▒ла
p
на 2C= N .
В ╢икле ╕ага (ii) па░аг░а┤а 3, во- Ри▒. 2. Опе░а╢и┐ инве░▒ии
▒░еднего п░ипе░в╗╡, ампли▓│да в╗б░анного ▒о▒▓о┐- о▓но▒и▓ел╝но
мен┐е▓▒┐
к
▒│пе░пози╢ии,
ни┐ об░а╣ае▓▒┐ (╜▓о ┤азовое в░а╣ение где в▒е, к░оме одной, компои, ▒ледова▓ел╝но, п░авил╝на┐ кван▓ово- нен▓╗ пе░вона╖ал╝но ░авн╗
ме╡ани╖е▒ка┐ опе░а╢и┐, как об▒│ждало▒╝ и име╛▓ вели╖ин│ (1 p ).
в по▒леднем абза╢е па░аг░а┤а 1.1). По▓ом
п░оводи▓▒┐ опе░а╢и┐ инве░▒ии о▓но▒и▓ел╝но ▒░еднего. Э▓о │вели╖иваp
е▓ ампли▓│д│ изб░анного ▒о▒▓о┐ни┐ п░и каждой и▓е░а╢ии на p2C= N .
Следова▓ел╝но,pпока ампли▓│да един▒▓венного ▒о▒▓о┐ни┐, ▓. е.p 1 ; C 2 ,
мен╝╕е ╖ем 1= 2, │вели╖ение в ее вели╖ине бол╝╕е, ╖ем 1= 2N .pО▓▒╛да немедленно ▒лед│е▓, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ ╖и▒ло M мен╝╕ее, ╖ем N ,
▓акое, ╖▓о за M пов▓о░ений ╢икла на ╜▓апе (ii)pвели╖ина ампли▓│д╗
о▓╗▒киваемого ▒о▒▓о┐ни┐ б│де▓ п░ево▒╡оди▓╝ 1= 2. Следова▓ел╝но, е▒ли ▓епе░╝ п░оизводи▓╝ изме░ение ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗, она б│де▓ на╡оди▓╝▒┐ в желаемом ▒о▒▓о┐нии ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ бол╝╕ей, ╖ем 0.5.
;
O
=
N
108
Л. К. Г░ове░
5. Реализа╢и┐
Как │поминало▒╝ в па░аг░а┤е 1.1, кван▓ово-ме╡ани╖е▒кие опе░а╢ии, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ ░еализован╗ в ▓е░мина╡ │ни▓а░н╗╡ опе░а╢ий, | ╜▓о локал╝н╗е ма▓░и╢╗ пе░е╡одов, ▓. е. ма▓░и╢╗, в ко▓о░╗╡
▓ол╝ко по▒▓о┐нное ╖и▒ло ╜лемен▓ов в каждом ▒▓олб╢е не ░авно н│л╛.
П░еоб░азование ди┤┤│зии D, оп░еделенное на ╜▓апе (ii)b алго░и▓ма
╜▓о: Dij = 2=N , е▒ли i 6= j , и Dii = ;1+2=N . D, как п░ед▒▓авлено в╗╕е,
не е▒▓╝ локал╝на┐ ма▓░и╢а пе░е╡ода, ▓. к. зде▒╝ о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ пе░е╡од
из каждого ▒о▒▓о┐ни┐ во в▒е N ▒о▒▓о┐ний. И▒пол╝з│┐ п░еоб░азование
Уол╕а{Адама░а (▒м. 1.1), D можно п░ед▒▓ави▓╝ как п░оизведение ▓░е╡
локал╝н╗╡ │ни▓а░н╗╡ п░еоб░азований D = WRW , где R | ма▓░и╢а
┤азового пово░о▓а и W | ма▓░и╢а п░еоб░азовани┐ Уол╕а{Адама░а,
оп░еделенн╗е как Rij = 0, е▒ли i 6= j ; Rii = 1, е▒ли i = 0; Rii = ;1,
е▒ли i 6= 0. Wij = 2;n=2 (;1)(ij) , i | ╜▓о бина░ное п░ед▒▓авление i, и i j
оп░едел┐е▓ по░аз░┐дное п░оизведение дв│╡ n-би▓н╗╡ ▒▓░ок i и j .
Кажда┐ из ма▓░и╢ W и R | ╜▓о локал╝на┐ ма▓░и╢а пе░е╡ода. R,
оп░еделенна┐ в╗╕е, | ╜▓о ┤азов╗й пово░о▓ и ┐▒но, ╖▓о она локал╝на.
W , как она ░еализована в 1.1, | ╜▓о локал╝на┐ ма▓░и╢а пе░е╡ода на
каждом би▓е.
В╗╖и▒лим WRW и │бедим▒┐, ╖▓о ╜▓о дей▒▓ви▓ел╝но D. R може▓ б╗▓╝ запи▒ана в виде R = R1 + R2 , где R1 = I , I | ▓ожде▒▓венна┐ ма▓░и╢а, и R2;00 = 2, R2;ij = 0, е▒ли i 6= 0, j 6= 0. Заме╖а┐, ╖▓о MM = I , где M | ╜▓о ма▓░и╢а, оп░еделенна┐ в 1.1, легко
доказа▓╝, ╖▓о WW = I и, ▒ледова▓ел╝но, D1 = WR1 W = ;I . В╗╖и▒лим ▓епе░╝ D2 =PWR2 W . Из ▒▓анда░▓ного ма▓░и╖ного п░оизведени┐ имеем: D2;ad = Wab R2;bcWcd . Из оп░еделени┐ R2 и ▓ого ┤ак▓а,
b;c
╖▓о N = 2n , ▒лед│е▓, ╖▓о D2;ad = 2Wa0 W0d = (2=2n)(;1)(a0+0d) = 2=N .
Т. е. D2 ░авна 2=N , и ▒│мма дв│╡ ма▓░и╢ D1 и D2 дае▓ D.
Кван▓ов╗й алго░и▓м пои▒ка ╜▓ой ▒▓а▓╝и, ве░о┐▓но, б│де▓ п░о╣е
░еализова▓╝ по ▒░авнени╛ ▒ многими д░│гими изве▒▓н╗ми кван▓овоме╡ани╖е▒кими алго░и▓мами, ▓ак как необ╡одим╗е опе░а╢ии | ╜▓о ▓ол╝ко п░еоб░азование Уол╕а{Адама░а и опе░а╢и┐ │▒ловного ▒двига ┤аз╗,
кажда┐ из ко▓о░╗╡ о▓но▒и▓ел╝но п░о▒▓а по ▒░авнени╛ ▒ опе░а╢и┐ми,
и▒пол╝з│ем╗ми д░│гими кван▓ово-ме╡ани╖е▒кими алго░и▓мами [6]. К
▓ом│ же кван▓ов╗е алго░и▓м╗, о▒нованн╗е на п░еоб░азовании Уол╕а{
Адама░а (нап░име░, алго░и▓м пои▒ка ╜▓ой ▒▓а▓╝и, [4, 7, 8]), ве░о┐▓но,
Ли▓е░а▓│░а
109
много п░о╣е в ░еализа╢ии, ╖ем ▓е, ╖▓о о▒нов╗ва╛▓▒┐ на цбол╝╕ом п░еоб░азовании Ф│░╝еч [1, 6].
П░ино╕│ благода░но▒▓и П. Шо░│, Е. Бе░▒▓ейн│, Д. Б░а▒▒а░д│,
Н. Ма░гол╛▒│ и Д. П░е▒кил│ за полезн╗е коммен▓а░ии.
Ли▓е░а▓│░а
[1] P. W. Shor. Proc., Focs 1994, p. 124{134.
[2] A. Elitzur & L. Vaidman. Foundations of Physics 23, 1993, pp. 987{
997.
[3] L. K. Grover. Proc., STOC, 1996, pp. 212{218.
[4] D. Deutsch and R. Jozsa. Proc. Royal. Society of London, A400, 1992,
pp. 73{90.
[5] M. Boyer, G. Brassard, P. Hoyer & A. Tapp.Tight bound on quantum
searching. Proc., PhysComp 1996 (lanl e-print quant-ph/9605034).
[6] D. Beckman, A. N. Chari, S. Devabhaktumi & J. Preskill. Phys. Rev. A
54 (1996), 1034{1063.
[7] L. K. Grover. A fast quantum mechanical algorithm for estimating the
median, lanl e-print quant-ph/9607024.
[8] C. Durr & P. Hoyer. A quantum algorithm for nding the minimum,
lanl preprint, quant-ph/9602016.
[9] G. Brassard. Seaching a quantum phone book, Science, Jan. 31, 1997,
627{628.
Пол╝за ▒│пе░пози╢ии
Лов К. Г░ове░
(Lov K. Grover)1
Хо▓┐ ▓░анзи▒▓о░н╗е комп╝╛▓е░╗ под╖ин┐╛▓▒┐ кван▓овой ме╡анике, и╡ логи╖е▒кие ▒о▒▓о┐ни┐ | ╜▓о ▓ол╝ко 1 и 0. Однако, е▒ли ░аз░е╕и▓╝
кван▓ов│╛ ▒│пе░пози╢и╛ ▒о▒▓о┐ний логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов, ▒▓анов┐▓▒┐
возможн╗ми б╗▒▓░╗е ░е╕ени┐ неко▓о░╗╡ ▓░│дн╗╡ зада╖. Один ▓акой
п░име░ | пои▒к полн╗м пе░ебо░ом: н│жно опозна▓╝ ╜лемен▓, облада╛╣ий неко▓о░╗м ▒пе╢и┤и╖е▒ким ▒вой▒▓вом, из не│по░┐до╖енного ▒пи▒ка
из N ╜лемен▓ов. Как ▓ол╝ко ╜лемен▓ п░ове░┐е▓▒┐, легко ▒каза▓╝, обладае▓ он или не▓ ╜▓им ▒вой▒▓вом. Однако ▒пи▒ок не имее▓ никакой изве▒▓ной ▒▓░│к▓│░╗, по ко▓о░ой можно б╗ б╗ло п░едвиде▓╝, какой из ╜лемен▓ов обладае▓ ╜▓им ▒вой▒▓вом ▒ бол╝╕ей ве░о┐▓но▒▓╝╛. П░и ▓аки╡
│▒лови┐╡ л╛бом│ кла▒▒и╖е▒ком│ алго░и▓м│, как ве░о┐▓но▒▓ном│, ▓ак
и де▓е░мини▒▓и╖е▒ком│, по▓░еб│е▓▒┐ п░ове░и▓╝ по к░айней ме░е 0:5N
╜лемен▓ов, ╖▓об╗ доби▓╝▒┐ │▒пе╡а ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ 0.5. Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ мог│▓ на╡оди▓╝▒┐ в ▒│пе░пози╢ии ▒о▒▓о┐ний и однов░еменно
╜кзаменова▓╝ множе▒▓во ╜лемен▓ов; зна╖и▓, имее▓▒┐ возможно▒▓╝ и▒ка▓╝ б╗▒▓░ее, ╖ем ▒ кла▒▒и╖е▒кими комп╝╛▓е░ами. Не ▓ак давно б╗ло
показано, ╖▓о кван▓ов╗й
p комп╝╛▓е░ може▓ о▒│╣е▒▓ви▓╝ пои▒к в ▒пи▒ке мен╝╕е, ╖ем за N ╕агов [1]. Э▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ в╗звал зна╖и▓ел╝н╗й ин▓е░е▒, ▓ак как именно полн╗м пе░ебо░ом ░е╕а╛▓▒┐ неко▓о░╗е
важн╗е зада╖и [2]. Недавно б╗▒▓░╗й кван▓ов╗й алго░и▓м пои▒ка б╗л
о▒│╣е▒▓влен на молек│ла╡ жидко▒▓и c помо╣╝╛ ┐де░ного магни▓ного
░езонан▒а [3]; ▒мо▓░и▓е ▓акже коммен▓а░ий Джон▒а в ▒▓а▓╝е [4].
Кван▓ов╗й алго░и▓м пои▒ка на╖инае▓▒┐ ▒ пе░евода ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗ в ▒│пе░пози╢и╛ N ▒о▒▓о┐ний, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ в▒ем N ╜лемен▓ам, ▒░еди ко▓о░╗╡ п░оизводи▓▒┐ пои▒к. По▒ле ╜▓ого можно п░ове░┐▓╝
в▒е N ╜лемен▓ов однов░еменно. Однако, е▒ли зап░ог░амми░ова▓╝ немедленн╗й в╗вод п░ове░енного ╜лемен▓а, п░авил╝н╗й ╜лемен▓ б│де▓
1 Bell Labs, Lucent Technologies, Murray Hill, щ107974, USA.
E-mail: lkgrover@bell-labs.com.
Пе░евод О. Д. Тимо┤еев▒кой.
;
Пол╝за ▒│пе░пози╢ии
Ри▒. 1. Ра▒╣епление
111
ли╖но▒▓и. Кван▓ово-ме╡ани╖е▒кие ▒и▒▓ем╗ мог│▓
однов░еменно на╡оди▓╝▒┐ во множе▒▓ве ▒о▒▓о┐ний и п░оизводи▓╝ множе▒▓во в╗╖и▒лен??й. Алго░и▓м кван▓ового пои▒ка │вели╖ивае▓ ве░о┐▓но▒▓╝ в
желаемом ▒о▒▓о┐нии по▒░ед▒▓вом по▒ледова▓ел╝но▒▓и п░о▒▓╗╡ │ни▓а░н╗╡
опе░а╢ий.
в╗веден ▓ол╝ко ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ 1=N , ▓ак как ▓ол╝ко один из N п░ове░┐ем╗╡ ╜лемен▓ов │довле▓во░┐е▓ н│жном│ ▒вой▒▓в│. Е▒ли вме▒▓о ╜▓ого
п░ове▒▓и ▒е░и╛ кван▓ов╗╡ опе░а╢ий, можно б│де▓ │вели╖и▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝ желаемого ╜лемен▓а за ▒╖е▓ д░│ги╡ ▒о▒▓о┐ний. По▒ле ╜▓ого н│жн╗й ╜лемен▓ на ▒амом деле б│де▓ в╗веден ▒ в╗▒окой ве░о┐▓но▒▓╝╛.
Кван▓ова┐ ▒и▒▓ема оп░едел┐е▓▒┐ заданием ампли▓│д╗ каждого ▒о▒▓о┐нии, ко▓о░а┐ в об╣ем ▒л│╖ае е▒▓╝ комплек▒ное ╖и▒ло, и ве░о┐▓но▒▓╝ каждого ▒о▒▓о┐ни┐ | ╜▓о квад░а▓ аб▒ол╛▓ной вели╖ин╗ ╜▓ой
ампли▓│д╗. В ▓о╖но▒▓и ▓ак же, как кла▒▒и╖е▒кие ве░о┐▓но▒▓н╗е п░о╢е▒▒╗, кван▓ов╗е опе░а╢ии должн╗ ▒ледова▓╝ ▒воем│ ▒об▒▓венном│ закон│ ▒о╡░анени┐, ко▓о░╗й п░иводи▓ к ог░ани╖ени╛, ╖▓о в▒е кван▓ов╗е
опе░а╢ии должн╗ б╗▓╝ │ни▓а░н╗; ▓о е▒▓╝ они должн╗ б╗▓╝ же▒▓кими в░а╣ени┐ми ампли▓│д век▓о░а ▒о▒▓о┐ни┐ в N -ме░ном п░о▒▓░ан▒▓ве ▒о▒▓о┐ний. Э▓о п░иводи▓ к волновом│ поведени╛ ╖а▒▓и╢ на мик░о▒копи╖е▒ком │░овне. С░еди многи╡ кван▓ов╗╡ п░еоб░азований е▒▓╝
две ╜лемен▓а░н╗е кван▓ов╗е опе░а╢ии | ╜▓о кван▓ова┐ ди┤┤│зи┐ и
┤азов╗е в░а╣ени┐. Фак▓и╖е▒ки, кван▓ов╗й алго░и▓м пои▒ка ▒о▒▓ои▓
из ╖е░ед│╛╣ей▒┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓и опе░а╢ий кван▓овой ди┤┤│зии и
кван▓ов╗╡ в░а╣ений.
Кван▓ова┐ ди┤┤│зи┐ подобна кла▒▒и╖е▒кой, к░оме ▓ого ┤ак▓а, ╖▓о
╖а▒▓╝ ампли▓│д╗, пе░ено▒има┐ о▓ одного ▒о▒▓о┐ни┐ к д░│гом│, мнима┐ (▒м. ░и▒. 2). Е▒ли ампли▓│д╗ ▒и▒▓ем╗ в дв│╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡ ░авн╗,
▓о ампли▓│да, пе░ено▒има┐ в каждом нап░авлении, ▓а же, и ▒│мма░н╗й пе░ено▒ ░авен н│л╛. Однако, е▒ли ампли▓│да в одном ▒о▒▓о┐нии
112
;
Л. К. Г░ове░
Ри▒. 2. О▓ ▒о▒▓о┐ни┐ к ▒о▒▓о┐ни╛. Кван▓ова┐ ди┤┤│зи┐ | ╜▓о пе░ено▒
малой мнимой ампли▓│д╗ о▓ одного ▒о▒▓о┐ни┐ к д░│гом│. Е▒ли ┤аза одного ▒о▒▓о┐ни┐ пове░н│▓а по о▓но╕ени╛ к ┤азе д░│гого, имее▓▒┐ ▒│мма░н╗й
пе░ено▒ о▓ одного ▒о▒▓о┐ни┐ к д░│гом│.
пове░н│▓а по о▓но╕ени╛ к ампли▓│де в д░│гом ▒о▒▓о┐нии, ▓огда имее▓▒┐ ▒│мма░н╗й пе░ено▒ о▓ одного ▒о▒▓о┐ни┐ к д░│гом│. Как ░ез│л╝▓а▓
╜▓ого пе░ено▒а, ░ез│л╝▓и░│╛╣ий │гол пово░о▓а межд│ дв│м┐ ▒о▒▓о┐ни┐ми │мен╝╕ае▓▒┐. В │░авнении Ш░единге░а, когда ▒о▒▓о┐ни┐ | ▓о╖ки мел╝╖ай╕ей ░е╕е▓ки, имее▓▒┐ кван▓ова┐ ди┤┤│зи┐ межд│ ▒о▒едними ▓о╖ками ░е╕е▓ки вме▒▓е ▒ неп░е░╗вн╗м пово░о▓ом ┤аз╗, ко▓о░╗й
оп░едел┐е▓▒┐ по▓ен╢иалом. В ░ез│л╝▓а▓е возникае▓ ▒░едний пе░ено▒ в
▒о▒▓о┐ни┐ ▒ низким по▓ен╢иалом, как ░аз ▓о, ╖▓о можно ожида▓╝ кла▒▒и╖е▒ки.
В ▓о╖но▒▓и как и кла▒▒и╖е▒кий комп╝╛▓е░, кван▓ов╗й комп╝╛▓е░
може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен множе▒▓вом бина░н╗╡ ▒и▒▓ем. Кажда┐ бина░на┐ ▒и▒▓ема | ╜▓о кван▓ово-ме╡ани╖е▒кий би▓, наз╗ваем╗й к│би▓ом,
ко▓о░╗й на╡оди▓▒┐ в ▒│пе░пози╢ии дв│╡ ▒о▒▓о┐ний. Кван▓ов╗й алго░и▓м пои▒ка на╖инае▓▒┐ ▒ │▒▓ановки ▒и▒▓ем╗ n к│би▓ов в одно░одн│╛
▒│пе░пози╢и╛ в▒е╡ N = 2n ▒о▒▓о┐ний. За▓ем п░оводи▓▒┐ ╖е░ед│╛╣а┐▒┐
по▒ледова▓ел╝но▒▓╝
p кван▓ов╗╡ ди┤┤│зий и ┤азов╗╡ пово░о▓ов. По▒ле
п░име░но N=4 пов▓о░ений ампли▓│да кон╢ен▓░и░│е▓▒┐ на ▓░еб│емом ▒о▒▓о┐нии. Тепе░╝ изме░ение обна░│живае▓ н│жное ▒о▒▓о┐ние ▒
до▒▓ове░но▒▓╝╛.
Ве░▒и┐ ╜▓ого алго░и▓ма б╗ла недавно о▒│╣е▒▓влена дл┐ ╖а▒▓ного
▒л│╖а┐ N = 4 ▒ помо╣╝╛ ▓е╡ники ┐де░ного магни▓ного ░езонан▒а на
о░гани╖е▒кой молек│ле в ка╖е▒▓ве дв│би▓ного кван▓ового комп╝╛▓е░а [3, 4].
Ч▓об╗ ▒ до▒▓ове░но▒▓╝╛ най▓и ╜лемен▓ в не│по░┐до╖енном ▒пи▒ке
из ╖е▓╗░е╡ ╜лемен▓ов, по▓░ебовал▒┐ один-един▒▓венн╗й воп░о▒; л╛бой
кла▒▒и╖е▒кий алго░и▓м по▓░ебовал б╗ в ▒░еднем 2.25 воп░о▒ов, а в наи╡│д╕ем ▒л│╖ае | 3 воп░о▒а.
Такие ве╡и п░ог░е▒▒а, как демон▒▓░а╢и┐ важного кван▓ового алго-
113
░и▓ма, п░едо▒▓авл┐╛▓ │добн╗й ▒л│╖ай о▒▓анови▓╝▒┐ и по до▒▓оин▒▓в│
о╢ени▓╝ ▒о▒▓о┐ние и▒к│▒▒▓ва. Е▒▓╝ два вида зада╖, ▒▓о┐╣и╡ пе░ед кван▓ов╗ми комп╝╛▓е░ами: аппа░а▓ное обе▒пе╖ение и п░ог░аммное обе▒пе╖ение. Аппа░а▓н╗е п░облем╗ возника╛▓ из ▓ого ┤ак▓а, ╖▓о ┤изика
кван▓ов╗╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п░ибо░ов о▓ли╖на о▓ ┤изики ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡, и м╗ не знаем, какой б│де▓ и╡ коне╖на┐ ▒▓░│к▓│░а. Зде▒╝ должн╗ б╗▓╝ │довле▓во░ен╗ в какой-▓о ме░е п░о▓иво░е╖ив╗е ▓░ебовани┐:
во-пе░в╗╡, комп╝╛▓е░ должен б╗▓╝ изоли░ован, ╖▓об╗ п░едо▓в░а▓и▓╝
возм│╣ени┐ ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗, и, во-в▓о░╗╡, ░азли╖н╗е ╖а▒▓и ▒и▒▓ем╗ должн╗ взаимодей▒▓вова▓╝ кон▓░оли░│ем╗м об░азом. С│╣е▒▓в│╛╣ие п░ибо░╗, ▓акие как ▓░анзи▒▓о░╗, о╖ен╝ ▓е▒но ▒в┐зан╗ ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой. Яде░н╗й магни▓н╗й ░езонан▒ в неко▓о░ой ▒▓епени
│довле▓во░┐е▓ обоим │▒лови┐м. След│╛╣а┐ бол╝╕а┐ аппа░а▓на┐ п░облема ▒о▒▓ои▓ в │вели╖ении ╖и▒ла к│би▓ов о▓ дв│╡ до вели╖ин╗ по░┐дка
п┐▓и{де▒┐▓и, ╖▓о доп│▒▓и▓ более м│д░ен╗е алго░и▓м╗. П░облема п░ог░аммного обе▒пе╖ени┐: най▓и п░именени┐, ко▓о░╗е оп░авда╛▓ │▒или┐,
за▓░а╖енн╗е на ▒▓░ои▓ел╝▒▓во кван▓ового комп╝╛▓е░а. Показано, ╖▓о
кван▓ов╗й алго░и▓м пои▒ка не може▓ б╗▓╝ е╣е бол╝╕е │л│╖╕ен дл┐
п░иложений к зада╖ам, ░е╕аем╗╡ полн╗м пе░ебо░ом. Тем не менее,
▒│╣е▒▓в│╛▓ много╖и▒ленн╗е возможно▒▓и его п░именени┐ к д░│гим
зада╖ам.
Ли▓е░а▓│░а
Ли▓е░а▓│░а
[1] L. K. Grover. Phys. Rev. Lett. 79, 325(1997). (См. п░ед╗д│╣│╛ ▒▓а▓╝╛ на▒▓о┐╣его ▒бо░ника.)
[2] G. Brassard. Science 275 , 627(1997). G. P. Collins. Phys. Rev. Lett.
[3] L. Chuang, N. Gershenfeld, M. Kubinec. Phys. Rev. Lett.
[4] A. Jones. Science, 280 (1998).
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ кван▓ова┐
▓елепо░▓а╢и┐
Дик Бо│вмее▒▓░, Ян-Вей Пан, Кла│▒ Ма▓▓л, Ман┤░ед Эйбл,
Га░ол╝д Вайн┤│░▓е░, Ан▓он Цайлинге░
(Dik Bouwmeester, Jian-Wei Pan, Klaus Mattle, Manfred Eibl,
Harald Weinfurter, Anton Zeilinger)1
Эк▒пе░имен▓ал╝но демон▒▓░и░│е▓▒┐ кван▓ова┐ ▓елепо░▓а╢и┐ | пе░еда╖а ▒о▒▓о┐ни┐ кван▓овой ▒и▒▓ем╗ на п░оизвол╝ное ░а▒▒▓о┐ние. Во в░ем┐ ▓елепо░▓а╢ии п░оизводи▓▒┐ ▓акое
изме░ение на╖ал╝ного пол┐░изованного ┤о▓она и одного из
па░╗ ▒к░е╣енн╗╡ ┤о▓онов, в ░ез│л╝▓а▓е ко▓о░ого в▓о░ой из
▒к░е╣енн╗╡ ┤о▓онов п░иоб░е▓ае▓ пол┐░иза╢и╛ на╖ал╝ного.
Э▓о▓ ┤о▓он може▓ │дали▓╝▒┐ на п░оизвол╝ное ░а▒▒▓о┐ние о▓
на╖ал╝ного. Кван▓ова┐ ▓елепо░▓а╢и┐ може▓ ▒▓а▓╝ ▒│╣е▒▓венной ╖а▒▓╝╛ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ▒е▓ей.
Ме╖▓а ▓елепо░▓а╢ии | ▒по▒обно▒▓╝ к п│▓е╕е▒▓ви┐м ▒ помо╣╝╛
п░о▒▓ого по┐влени┐ в неко▓о░ом о▓даленном о▓ на╖ал╝ного ме▒▓е. Подлежа╣ий ▓елепо░▓а╢ии об║ек▓ можно полно▒▓╝╛ о╡а░ак▓е░изова▓╝ его
▒вой▒▓вами, ко▓о░╗е в кла▒▒и╖е▒кой ┤изике можно оп░едели▓╝ ▒ помо╣╝╛ изме░ений.
Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ пол│╖и▓╝ копи╛ об║ек▓а на │даленном ░а▒▒▓о┐нии,
не об┐за▓ел╝но ░азби░а▓╝ его на ╖а▒▓и | до▒▓а▓о╖но по▒ла▓╝ под░обн│╛ ин┤о░ма╢и╛, ▒ помо╣╝╛ ко▓о░ой можно ░екон▒▓░│и░ова▓╝ об║ек▓. Однако на▒кол╝ко ▓о╖но копи┐ б│де▓ ▒овпада▓╝ ▒ о░игиналом? Ч▓о,
е▒ли ╖а▒▓и об║ек▓а | ╜▓о ╜лек▓░он╗, а▓ом╗ и молек│л╗? Ч▓о ▒л│╖и▓▒┐
▒ и╡ индивид│ал╝н╗ми кван▓ов╗ми ▒вой▒▓вами, ко▓о░╗е по п░ин╢ип│
Гейзенбе░га нел╝з┐ изме░и▓╝ ▒ п░оизвол╝ной ▓о╖но▒▓╝╛? Бенне▓▓ и его
▒оав▓о░╗ [1] п░едположили, ╖▓о можно пе░ене▒▓и кван▓овое ▒о▒▓о┐ние
1 Institut f
ur Experimentalphysik, Universitat Techikerstr. 25 A-6020 Innsbruck,
Austria.
c Nature. vol. 390, 1997.
Пе░евод О. А. Х░│▒▓алева.
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ кван▓ова┐ ▓елепо░▓а╢и┐
115
╖а▒▓и╢╗ на д░│г│╛ ╖а▒▓и╢│ | ╜▓о б│де▓ п░о╢е▒▒ом кван▓овой ▓елепо░▓а╢ии | не пол│╖а┐ никакой ин┤о░ма╢ии об ╜▓ом ▒о▒▓о┐нии во в░ем┐
▓акого п░еоб░азовани┐. Э▓о можно ▒дела▓╝, и▒пол╝з│┐ ▒к░е╣енн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ | ▒│╣е▒▓венн│╛ о▒обенно▒▓╝ кван▓овой ме╡аники [2]. В ▓аки╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡ ╖а▒▓и╢╗ подве░жен╗ более ▒ил╝н╗м, ╖ем кла▒▒и╖е▒кие,
ко░░ел┐╢и┐м. Возможно▒▓╝ пе░еда╖и кван▓овой ин┤о░ма╢ии | один
из к░ае│гол╝н╗╡ камней, подде░жива╛╣и╡ здание кван▓овой комм│ника╢ии и кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений [3]. Не▒мо▓░┐ на б╗▒▓░╗й п░ог░е▒▒
в ▓ео░е▓и╖е▒ком опи▒ании п░о╢е▒▒ов кван▓овой ин┤о░ма╢ии, ▓░│дно▒▓и │п░авлени┐ кван▓ов╗ми ▒и▒▓емами не позвол┐ли до▒▓и╖╝ ▓аки╡ же
│▒пе╡ов в ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ░еализа╢ии нов╗╡ п░едложений. К░оме
многообе╣а╛╣его ░азви▓и┐ кван▓овой к░ип▓ог░а┤ии [4] (возможно,
пе░вого надежного ▒по▒оба пе░еда╖и ▒ек░е▓н╗╡ по▒ланий), ▒│╣е▒▓в│е▓ ли╕╝ ▒ов▒ем недавн┐┐ │▒пе╕на┐ демон▒▓░а╢и┐ кван▓ового пло▓ного коди░овани┐ [5], кван▓ово-ме╡ани╖е▒кого │▒илени┐ ▒жа▓и┐ данн╗╡.
Главна┐ п░и╖ина медленного ╜к▒пе░имен▓ал╝ного п░ог░е▒▒а ▒о▒▓ои▓ в
▓ом, ╖▓о ╡о▓┐ ▒│╣е▒▓в│╛▓ ме▓од╗ пол│╖ени┐ ▒к░е╣енн╗╡ ┤о▓онов [6],
▒к░е╣ение а▓омов п░одемон▒▓░и░овано ▒ов▒ем недавно [7] и не┐▒но, как
пол│╖и▓╝ ▒к░е╣енн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ более ╖ем дв│╡ ┤о▓онов.
М╗ ▒ооб╣аем о пе░вой ╜к▒пе░имен▓ал╝ной п░ове░ке возможно▒▓и кван▓овой ▓елепо░▓а╢ии. Создава┐ па░╗ ▒к░е╣енн╗╡ ┤о▓онов в ░ез│л╝▓а▓е па░аме▓░и╖е▒кого п░еоб░азовани┐ и и▒пол╝з│┐ п░и анализе
▒к░е╣ени┐ ме▓од╗ дв│╡┤о▓онной ин▓е░┤е░оме▓░ии, можно пе░ене▒▓и
кван▓овое ▒вой▒▓во (в на╕ем ▒л│╖ае | ▒о▒▓о┐ние пол┐░иза╢ии) ▒ одного
┤о▓она на д░│гой. Разви▓╗е в ╜▓ом ╜к▒пе░имен▓е ме▓од╗ б│д│▓ име▓╝
важное зна╖ение дл┐ кван▓ов╗╡ комм│ника╢ий и б│д│╣и╡ оп╗▓ов по
п░ове░ке о▒нов кван▓овой ме╡аники.
1. Зада╖а
Ч▓об╗ п░о┐▒ни▓╝ зада╖│ пе░еда╖и кван▓овой ин┤о░ма╢ии, п░едположим, ╖▓о │ Али▒╗ е▒▓╝ ╖а▒▓и╢а в оп░еделенном кван▓овом ▒о▒▓о┐нии ji и она ╡о╖е▓, ╖▓об╗ │ жив│╣его вдали о▓ нее Боба б╗ла ▓ака┐
же ╖а▒▓и╢а. Можно б╗ло б╗ п░о▒▓о по▒ла▓╝ ╜▓│ ╖а▒▓и╢│ Боб│. Но ╖▓о
дела▓╝, е▒ли канал ▒в┐зи межд│ Али▒ой и Бобом не ▒ли╕ком ╡о░о╕,
╖▓об╗ можно б╗ло ▒о╡░ани▓╝ необ╡одим│╛ кван▓ов│╛ коге░ен▓но▒▓╝,
или е▒ли пе░е▒╗лка займе▓ много в░емени, ╖▓о ▓ак и б│де▓, когда ji |
116
А. Цайлинге░ и д░.
▒о▒▓о┐ние ▒ложного или ма▒▒ивного об║ек▓а. Как│╛ ▒▓░а▓еги╛ должн╗
изб░а▓╝ Али▒а и Боб?
Как │же гово░ило▒╝, Али▒а не може▓ п░оизве▒▓и ▓акие изме░ени┐,
ко▓о░╗е позволили б╗ Боб│ ░екон▒▓░│и░ова▓╝ ▒о▒▓о┐ние, по▓ом│ ╖▓о
▒о▒▓о┐ние кван▓овой ▒и▒▓ем╗ нел╝з┐ полно▒▓╝╛ оп░едели▓╝ изме░ени┐ми. Така┐ не│ловимо▒▓╝ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем об║┐▒н┐е▓▒┐ ▓ем, ╖▓о они
мог│▓ на╡оди▓▒┐ однов░еменно в ▒│пе░пози╢ии не▒кол╝ки╡ ▒о▒▓о┐ний.
Изме░ение кван▓овой ▒и▒▓ем╗ в╗н│ждае▓ ▒и▒▓ем│ п░ин┐▓╝ одно из
╜▓и╡ ▒о▒▓о┐ний | на ╜▓о об▒▓о┐▓ел╝▒▓во ▒▒╗ла╛▓▒┐ как на п░оек╢ионн╗й по▒▓│ла▓. Можно илл╛▒▓░и░ова▓╝ ╜▓о важное кван▓овое ▒вой▒▓во,
об▒│див о▒обенно▒▓и ▒о▒▓о┐ний одного ┤о▓она. Он може▓ б╗▓╝ пол┐░изован ве░▓икал╝но или го░изон▓ал╝но. Соо▓ве▓▒▓в│╛╣ие ▒о▒▓о┐ни┐
можно обозна╖и▓╝ как j li или j $i. Фо▓он можно пол┐░изова▓╝ ▓ак,
╖▓о его ▒о▒▓о┐ние б│де▓ п░оизвол╝ной ▒│пе░пози╢ией ╜▓и╡ дв│╡ ▒о▒▓о┐ний
ji = j $i + j li;
(1)
где и | ▓акие комплек▒н╗е ╖и▒ла, ╖▓о jj2 + j j2 = 1.
Э▓и ░а▒▒│ждени┐ можно обоб╣и▓╝. Заменим ▒имвол╗ j $i и j li
в │░авнении (1) на j0i и j1i и б│дем ▒╖и▓а▓╝ и╡ п░ед▒▓ави▓ел┐ми бази▒а л╛бой ▒и▒▓ем╗ ▒ дв│м┐ возможн╗ми ▒о▒▓о┐ни┐ми. С│пе░пози╢ии
▒о▒▓о┐ний j0i и j1i наз╗ва╛▓ к│би▓ами, ╖▓об╗ под╖е░кн│▓╝ нов╗е возможно▒▓и, вно▒им╗е кван▓овой ┤изикой в ин┤о░ма▓ик│.
Е▒ли ┤о▓он в ▒о▒▓о┐нии ji п░о╡оди▓ пол┐░иза╢ионн╗й ░аздели▓ел╝ | │▒▓░ой▒▓во, ко▓о░ое о▓░ажае▓ (п░оп│▒кае▓) го░изон▓ал╝но (ве░▓икал╝но) пол┐░изованн╗е ┤о▓он╗, | ▓о ┤о▓он можно б│де▓ най▓и в
о▓░аженном (п░о╕ед╕ем) п│╖ке ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ jj2 (j j2 ). Тогда об╣ее
▒о▒▓о┐ние ji п░ое╢и░│е▓▒┐ на ▒о▒▓о┐ни┐ j $i или j li под дей▒▓вием
изме░ени┐. П░и╡оди▓▒┐ закл╛╖и▓╝, ╖▓о п░авила кван▓овой ме╡аники,
в ╖а▒▓но▒▓и п░оек╢ионн╗й по▒▓│ла▓, не позвол┐╛▓ Али▒е п░оизве▒▓и
▓акое изме░ение ▒о▒▓о┐ни┐ ji, ко▓о░ое п░ине▒ло б╗ необ╡одим│╛ дл┐
░екон▒▓░│к╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ ин┤о░ма╢и╛.
2. Кон╢еп╢и┐ кван▓овой ▓елепо░▓а╢ии
Хо▓┐ каже▓▒┐, ╖▓о п░оек╢ионн╗й по▒▓│ла▓ кван▓овой ме╡аники
п░е▒екае▓ поп╗▓ки Али▒╗ ▒набди▓╝ Боба ▒о▒▓о┐нием ji, Бенне▓▓ и его
▒оав▓о░╗ [1] показали, ╖▓о именно ╜▓о▓ по▒▓│ла▓ позвол┐е▓ пе░ене▒▓и
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ кван▓ова┐ ▓елепо░▓а╢и┐
117
▒о▒▓о┐ние ji о▓ Али▒╗ к Боб│. Оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о во в░ем┐ ▓елепо░▓а╢ии Али▒а ░аз░│╕ае▓ кван▓овое ▒о▒▓о┐ние, Боб ╜▓о ▒о▒▓о┐ние пол│╖ае▓
и п░и ╜▓ом ни Али▒а, ни Боб не пол│╖а╛▓ никакой ин┤о░ма╢ии о ▒о▒▓о┐нии ji. Кл╛╖ев│╛ ░ол╝ в ▒╡еме ▓елепо░▓а╢ии иг░ае▓ дополни▓ел╝на┐
▒к░е╣енна┐ па░а ╖а▒▓и╢, ко▓о░│╛ мог│▓ ░аздели▓╝ Али▒а и Боб. П░едположим, ╖▓о ╖а▒▓и╢а 1, ко▓о░│╛ Али▒а ╡о╖е▓ ▓елепо░▓и░ова▓╝, на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии
ji1 = j $i1 + j li1 ;
(2)
(░и▒. 1а), а ▒к░е╣енна┐ па░а ╖а▒▓и╢, ко▓о░│╛ подел┐▓ Али▒а и Боб,
на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии
j; i23 = p1 (j $i2 j li3 ; j $i3 j li2 ):
(3)
2
Ск░е╣енна┐ па░а | кван▓ова┐ ▒и▒▓ема, ко▓о░а┐ ▒ ░авной ве░о┐▓но▒▓╝╛
на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐ни┐╡ j $i2 j li3 и j $i3 j li2 . Ск░е╣енное ▒о▒▓о┐ние не
▒оде░жи▓ ин┤о░ма╢ии об индивид│ал╝н╗╡ ╖а▒▓и╢а╡; оно ▓ол╝ко │каз╗вае▓ на ▓о, ╖▓о две ╖а▒▓и╢╗ на╡од┐▓▒┐ в п░о▓ивоположн╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡.
Важн╗м ▒вой▒▓вом ▒к░е╣енной па░╗ ┐вл┐е▓▒┐ ▓о об▒▓о┐▓ел╝▒▓во, ╖▓о
е▒ли изме░ение одной ╖а▒▓и╢╗ п░ое╢и░│е▓ ее на ▒о▒▓о┐ние, ▒кажем,
j $i, ▓о д░│га┐ оказ╗вае▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j li, и наобо░о▓. Как може▓
изме░ение одной из ╖а▒▓и╢ мгновенно вли┐▓╝ на ▒о▒▓о┐ние д░│гой ╖а▒▓и╢╗, ко▓о░а┐ може▓ б╗▓╝ ▒кол╝ │годно │далена о▓ пе░вой? Эйн╕▓ейн
и многие д░│гие п░о▒▓о-нап░о▒▓о не могли ▒ми░и▓╝▒┐ ▒ ▓акой ц░або▓ой
п░ивидений на бол╝╕и╡ ░а▒▒▓о┐ни┐╡ч. Однако, к на▒▓о┐╣ем│ в░емени
╜▓о ▒вой▒▓во ▒к░е╣енн╗╡ ▒о▒▓о┐ний под▓ве░ждено многими ╜к▒пе░имен▓ами (▒м. обзо░╗ [9, 10]. С╡ема ▓елепо░▓а╢ии ▓акова. Али▒а владее▓
╖а▒▓и╢ей в ▒о▒▓о┐нии ji1 и ╖а▒▓и╢ей 2. Ча▒▓и╢а 2 ▒к░е╣ена ▒ ╖а▒▓и╢ей 3, ко▓о░а┐ оказ╗вае▓▒┐ в ░│ка╡ Боба. С│╣е▒▓венна┐ ╖а▒▓╝ ▒╡ем╗
▒о▒▓ои▓ в п░оведении ▒пе╢и┤и╖е▒кого изме░ени┐ ╖а▒▓и╢ 1 и 2, ко▓о░ое
п░ое╢и░│е▓ и╡ в ▒к░е╣енное ▒о▒▓о┐ние
j; i12 = p1 (j $i1 j li2 ; j $i2 j li1 ):
(4)
2
Э▓о ▓ол╝ко одно из ╖е▓╗░е╡ возможн╗╡ мак▒имал╝но ▒к░е╣енн╗╡
▒о▒▓о┐ний, на ко▓о░╗е можно ░азложи▓╝ л╛бое ▒о▒▓о┐ние дв│╡ ╖а▒▓и╢.
П░ое╢и░ование л╛бого ▒о▒▓о┐ние дв│╡ ╖а▒▓и╢ наз╗ва╛▓ изме░ением
;
;
118
А. Цайлинге░ и д░.
Ри▒. 1. С╡ема, показ╗ва╛╣а┐ п░ин╢ип╗, на ко▓о░╗╡ о▒нована ▓елепо░▓а╢и┐
(а) и ╜к▒пе░имен▓ал╝ное │▒▓░ой▒▓во (б).
а. У Али▒╗ е▒▓╝ кван▓ова┐ ▒и▒▓ема, ╖а▒▓и╢а 1 в неко▓о░ом на╖ал╝ном
▒о▒▓о┐нии и она ╡о╖е▓ ▓елепо░▓и░ова▓╝ ее Боб│. Али▒а и Боб, к░оме ▓ого, ▒овме▒▓но владе╛▓ ▒к░е╣енной па░ой ╖а▒▓и╢ 2 и 3, ко▓о░а┐ и▒п│▒кае▓▒┐
EPR (Эйн╕▓ейн{Подол╝▒кий{Розен)-и▒▓о╖ником. Али▒а п░оизводи▓ об║единенное изме░ение ▒о▒▓о┐ние Белла (BSM) на╖ал╝ной ╖а▒▓и╢╗ и одной из в▒помога▓ел╝н╗╡ ╖а▒▓и╢, п░ое╢и░│┐ и╡ на ▒к░е╣енное ▒о▒▓о┐ние. По▒ле ╜▓ого она
по▒╗лае▓ Боб│ ░ез│л╝▓а▓ изме░ени┐ в ка╖е▒▓ве кла▒▒и╖е▒кой ин┤о░ма╢ии.
Боб може▓ п░оизве▒▓и │ни▓а░ное п░еоб░азование д░│гой в▒помога▓ел╝ной
╖а▒▓и╢╗, пе░евод┐╣ее ее в на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние ╖а▒▓и╢╗ 1.
б. Имп│л╝▒ │л╝▓░а┤иоле▓ового изл│╖ени┐ п░о╡оди▓ ▒квоз╝ нелинейн╗й
к░и▒▓алл, по░ожда┐ в▒помога▓ел╝н│╛ па░│ ┤о▓онов 2 и 3. По▒ле о▓░ажени┐
╜▓о▓ же имп│л╝▒ по░ождае▓ д░│г│╛ па░│ ┤о▓онов. Один ┤о▓он из ╜▓ой па░╗ пе░еводи▓▒┐ в ▒о▒▓о┐ние 1 и п░едназна╖ае▓▒┐ дл┐ ▓елепо░▓а╢ии, в▓о░ой
┤о▓он ▒л│жи▓ ▓░игге░ом, │каз╗ва╛╣им на ▓о, ╖▓о ▓елепо░▓и░│е▓▒┐ именно
┤о▓он 1. За▓ем Али▒а ▒леди▓ за ▒овпадени┐ми по▒ле ┤о▓одели▓ел┐, ко▓о░╗й
п░еоб░аз│е▓ ▒о▒▓о┐ние ┤о▓она 1 и одного из в▒помога▓ел╝н╗╡ ┤о▓онов (2)
в неко▓о░│╛ и╡ ▒│пе░пози╢и╛. Боб по▒ле пол│╖ени┐ кла▒▒и╖е▒кой ин┤о░ма╢ии о набл╛дении Али▒ой ▒овпадени┐ де▓ек▓о░ов
f1 и f2, о▓ожде▒▓вл┐╛╣его
▒о▒▓о┐ние Белла ┤о▓онов 1 и 2 ▒ век▓о░ом j; i12 , знае▓, ╖▓о его ┤о▓он 3 на╡оди▓▒┐ в на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии ┤о▓она 1. Он може▓ п░ове░и▓╝ ╜▓о, из│╖а┐
пол┐░иза╢и╛ ┤о▓она ▒ помо╣╝╛ пол┐░иза╢ионного ┤о▓одели▓ел┐ и де▓ек▓о░ов d1 и d2. Де▓ек▓о░ p под▓ве░ждае▓, ╖▓о анализи░│е▓▒┐ именно ┤о▓он 1.
▒о▒▓о┐ний Белла. Со▒▓о┐ние, оп░едел┐емое ┤о░м│лой (3), о▓ли╖ае▓▒┐
о▓ ▓░е╡ о▒▓ал╝н╗╡ мак▒имал╝но ▒к░е╣енн╗╡ ▒о▒▓о┐ний ▓ем, ╖▓о оно
мен┐е▓ знак п░и пе░е▒▓ановке ╖а▒▓и╢ 1 и 2. Уникал╝ное ▒вой▒▓во ан▓и▒имме▓░ии ▒о▒▓о┐ни┐ j; i12 б│де▓ иг░а▓╝ важн│╛ ░ол╝ в ╜к▒пе░имен▓ал╝ной иден▓и┤ика╢ии, ▓. е. в изме░ении ╜▓ого ▒о▒▓о┐ни┐. Кван▓ова┐
U
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ кван▓ова┐ ▓елепо░▓а╢и┐
119
┤изика п░едпи▒╗вае▓ ▒лед│╛╣ее: е▒ли ╖а▒▓и╢╗ 1 и 2 п░ое╢и░│╛▓▒┐ на
▒о▒▓о┐ние j; i12 , ▓о ╖а▒▓и╢а 3 однов░еменно пе░еводи▓▒┐ в на╖ал╝ное
▒о▒▓о┐ние ╖а▒▓и╢╗ 1. Том│ е▒▓╝ ░езон╗. Е▒ли ╖а▒▓и╢╗ 1 и 2 набл╛да╛▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j; i12 , ▓о п░и изве▒▓ном ▒о▒▓о┐нии ╖а▒▓и╢╗ 1 ╖а▒▓и╢а 2
должна б╗▓╝ в п░о▓ивоположном ▒о▒▓о┐нии, ▓. е. в ▒о▒▓о┐нии, о░▓огонал╝ном ▒о▒▓о┐ни╛ ╖а▒▓и╢╗ 1. Но в на╖але ╜к▒пе░имен▓а ╖а▒▓и╢╗ 2 и 3
на╡од┐▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j; i23 , ╖▓о озна╖ае▓ взаимн│╛ о░▓огонал╝но▒▓╝
▒о▒▓о┐ний ╖а▒▓и╢ 2 и 3. По╜▓ом│ дл┐ ╖а▒▓и╢╗ 3 о▒▓ае▓▒┐ един▒▓венна┐
возможно▒▓╝: оказа▓╝▒┐ в ▓ом ▒о▒▓о┐нии, в ко▓о░ом пе░вона╖ал╝но на╡одила▒╝ ╖а▒▓и╢а 1. Коне╖ное ▒о▒▓о┐ние ╖а▒▓и╢╗ е▒▓╝, ▒ледова▓ел╝но,
ji3 = j $i3 + j li3 :
(5)
Заме▓им, ╖▓о во в░ем┐ изме░ени┐ Белла ╖а▒▓и╢а 1 ▓е░┐е▓ ▒во╛ индивид│ал╝но▒▓╝, по▓ом│ ╖▓о она ▒к░е╣ивае▓▒┐ ▒ ╖а▒▓и╢ей 2. Ина╖е гово░┐,
п░и ▓елепо░▓а╢ии Али▒а ░аз░│╕ае▓ ▒о▒▓о┐ние ji1 . Пол│╖енн╗й ░ез│л╝▓а▓ (│░авнение (4)) ▓░еб│е▓ неко▓о░╗╡ по┐▒нений. Пе░еда╖а кван▓овой
ин┤о░ма╢ии о▓ ╖а▒▓и╢╗ 1 к ╖а▒▓и╢е 3 може▓ п░оизой▓и п░и п░оизвол╝ном │далении ╜▓и╡ ╖а▒▓и╢, о▓▒╛да и ▒лово ц▓елепо░▓а╢и┐ч. Эк▒пе░имен▓ал╝но показано [11], ╖▓о кван▓овое ▒к░е╣ение обна░│живае▓ ▒еб┐ на
░а▒▒▓о┐ни┐╡ по░┐дка 10 км. Далее, ▒╡ема ▓елепо░▓а╢ии не п░едполагае▓, ╖▓о Али▒а знае▓, где на╡оди▓▒┐ Боб. Наконе╢, на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние
╖а▒▓и╢╗ 1 може▓ о▒▓а▓╝▒┐ неизве▒▓н╗м как дл┐ Али▒╗, ▓ак и дл┐ кого
б╗ ▓о ни б╗ло. Во в░ем┐ изме░ени┐ Белла оно може▓ б╗▓╝ полно▒▓╝╛
не оп░еделено кван▓овоме╡ани╖е▒ки. В ╜▓о в░ем┐, как │же о▓ме╖ало▒╝
в [1], ╖а▒▓и╢а 1 │же вовле╖ена в ▒к░е╣ение и не имее▓ ╡о░о╕о оп░еделенн╗╡ ▒об▒▓венн╗╡ ▒вой▒▓в. Э▓о и п░иводи▓, в кон╢е кон╢ов, к пе░ек░е▒▓ной замене [12, 13]. Важно под╖е░кн│▓╝, ╖▓о изме░ение ▒о▒▓о┐ни┐
Белла не добавл┐е▓ никакой ин┤о░ма╢ии о ▒вой▒▓ва╡ л╛бой из ╖а▒▓и╢.
Э▓о ┐вл┐е▓▒┐ п░и╖иной ▓ого, по╖ем│ ░або▓ае▓ ▒╡ема кван▓овой ▓елепо░▓а╢ии, и▒пол╝з│╛╣а┐ дв│╡╖а▒▓и╖н╗е коге░ен▓н╗е ▒│пе░пози╢ии, в
▓о в░ем┐ как ▒╡ем╗ ▒ одно╖а▒▓и╖н╗ми ▒│пе░пози╢и┐ми оказ╗ва╛▓▒┐ не▒о▒▓о┐▓ел╝н╗ми. То об▒▓о┐▓ел╝▒▓во, ╖▓о ин┤о░ма╢и┐ о ▒о▒▓о┐нии
каждой из ╖а▒▓и╢ не воз░а▒▓ае▓, об║┐▒н┐е▓, по╖ем│ кван▓ова┐ ▓елепо░▓а╢и┐ об╡оди▓ п░игово░ ▓ео░ем╗ о невозможно▒▓и клони░овани┐ [14].
По▒ле │▒пе╕ной ▓елепо░▓а╢ии пе░вона╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние ╖а▒▓и╢╗ 1 │же
недо▒▓│пно, по╜▓ом│ ╖а▒▓и╢а 3 | ░ез│л╝▓а▓ не клони░овани┐, а именно ▓елепо░▓а╢ии. Полное изме░ение ▒о▒▓о┐ний Белла може▓ не ▓ол╝ко
в╗┐▒ни▓╝, ╖▓о ╖а▒▓и╢╗ 1 и 2 на╡од┐▓▒┐ в ан▓и▒имме▓░и╖ном ▒о▒▓о-
120
А. Цайлинге░ и д░.
┐нии, но и ▓о, ╖▓о ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ 14 и╡ можно най▓и в каждом из
╜▓и╡ ▒о▒▓о┐ний. Е▒ли ╜▓о ▒л│╖и▓▒┐, ▓о ╖а▒▓и╢а 3 окаже▓▒┐ в одном из
╜▓и╡ ▒о▒▓о┐ний. Боб ▒може▓ пе░еве▒▓и ее в пе░вона╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние
╖а▒▓и╢╗ 1 по▒ле ▓ого, как он пол│╖и▓ по кла▒▒и╖е▒ком│ канал│ ▒в┐зи ин┤о░ма╢и╛ о ▓ом, какое из ▒о▒▓о┐ний Белла пол│╖ило▒╝ │ Али▒╗.
Е╣е ░аз под╖е░кнем, ╖▓о е▒ли б│де▓ в╗делено ▓ол╝ко одно из ▒о▒▓о┐ний Белла, ▓о ▓елепо░▓а╢и┐ в▒е ░авно б│де▓ п░оведена │▒пе╕но, ╡о▓┐
╜▓о ▒л│╖и▓▒┐ ▓ол╝ко в ╖е▓ве░▓и ▒л│╖аев.
3. Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ ░еализа╢и┐
Телепо░▓а╢и┐ ▓░еб│е▓ ░е╕ени┐ дв│╡ ▓░│дней╕и╡ ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗╡ зада╖ | п░иго▓овлени┐ и изме░ени┐ ▒к░е╣енн╗╡ ▒о▒▓о┐ний. Ли╕╝
немногие │▒▓░ой▒▓ва мог│▓ п░иго▓ови▓╝ ▒к░е╣енное ▒о▒▓о┐ние, и не
▒│╣е▒▓в│е▓ ╜к▒пе░имен▓ал╝но ░еализ│емой п░о╢ед│░╗ иден▓и┤ика╢ии
в▒е╡ ╖е▓╗░е╡ ▒о▒▓о┐ний Белла. Однако, можно непо▒░ед▒▓венно пол│╖и▓╝ ▒к░е╣енн╗е па░╗ ┤о▓онов и можно ▒п░ое╢и░ова▓╝ и╡, по к░айней
ме░е, на два из ╖е▓╗░е╡ ▒о▒▓о┐ний Белла. Фо▓он╗ 2 и 3 ▒к░е╣ива╛▓▒┐
▒ помо╣╝╛ па░аме▓░и╖е▒кого п░еоб░азовани┐. Э▓о▓ ▒по▒об и▒пол╝з│е▓
▓о об▒▓о┐▓ел╝▒▓во, ╖▓о попав╕ий в нелинейн╗й к░и▒▓алл ┤о▓он може▓
▒пон▓анно ░а▒па▒▓╝▒┐ на два ┤о▓она, ко▓о░╗е в ▒л│╖ае па░аме▓░и╖е▒кого п░еоб░азовани┐ в▓о░ого ░ода оказ╗ва╛▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии, оп░едел┐ем╗м │░авнением (2) (▒м. ░и▒. 2) [8]. Ч▓об╗ ▒п░ое╢и░ова▓╝ ┤о▓он╗ 1 и 2
на ▒о▒▓о┐ни┐ Белла, ▒лед│е▓ ▒дела▓╝ и╡ не░азли╖им╗ми. До▒▓игн│▓╝
╜▓ого можно ▒ помо╣╝╛ ┤о▓одели▓ел┐, ко▓о░╗й го▓ови▓ ▒│пе░пози╢и╛
▒о▒▓о┐ний ┤о▓онов (░и▒. 1б). Когда ┤о▓он╗, подойд┐ к п░ибо░│ кажд╗й ▒о ▒воей ▒▓о░он╗, покин│▓ п░ибо░, │йд┐ кажд╗й в ▒во╛ ▒▓о░он│?
Э▓о може▓ ▒л│╖и▓╝▒┐ ▓ол╝ко в ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли оба они или о▓░аз┐▓▒┐,
или п░ойд│▓ ▒квоз╝ пла▒▓инк│ п░ибо░а. В кван▓овой ┤изике пол│╖ае▓▒┐ ▒│пе░пози╢и┐ ампли▓│д каждого из и▒╡одов. Уни▓а░но▒▓╝ ▓░еб│е▓,
╖▓об╗ ампли▓│да, оп░едел┐╛╣а┐ о▓░ажение обои╡ ┤о▓онов, пол│╖ала
дополни▓ел╝н╗й знак мин│▒. По╜▓ом│ каже▓▒┐, ╖▓о ╜▓и два п░о╢е▒▒а
│ни╖▓ожа╛▓ д░│г д░│га (п░ои▒╡оди▓ де▒▓░│к▓ивна┐ ин▓е░┤е░ен╢и┐).
Однако, ╜▓о ▒п░аведливо ▓ол╝ко дл┐ ▒имме▓░и╖ного на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐. В ан▓и▒имме▓░и╖ном ▒о▒▓о┐нии п░ои▒╡оди▓ кон▒▓░│к▓ивна┐ ин▓е░┤е░ен╢и┐ [15, 16]. Таким об░азом, дл┐ п░ое╢и░овани┐ ┤о▓онов 1 и 2 в
ан▓и▒имме▓░и╖ное ▒о▒▓о┐ние j;i12 до▒▓а▓о╖но ░азме▒▓и▓╝ де▓ек▓о░╗
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ кван▓ова┐ ▓елепо░▓а╢и┐
121
│ каждого из в╗╡одов ┤о▓одели▓ел┐ и ░еги▒▓░и░ова▓╝ однов░еменное
по┐вление (▒овпадение) ┤о▓онов. Ч▓об╗ б╗ла │ве░енно▒▓╝ в ▓ом, ╖▓о
┤о▓он╗ нел╝з┐ ░азли╖и▓╝ по в░емени и╡ по┐влени┐ [17-19], они гене░и░│╛▓▒┐ ▒ помо╣╝╛ имп│л╝▒ов нака╖ки и п░оп│▒ка╛▓▒┐ ▒квоз╝ │зкополо▒н╗й ┤ил╝▓░, ╖▓о по░ождае▓ в░ем┐ коге░ен▓но▒▓и, много бол╝╕ее
дли▓ел╝но▒▓и имп│л╝▒а нака╖ки [20].
;
;
;
;
;
Ри▒. 2. Фо▓он╗, и▒╡од┐╣ие из п░еоб░азова▓ел┐ в▓о░ого ▓ипа (▒м. ▓ек▒▓).
Пло▒ко▒▓╝ ┤о▓ог░а┤ии пе░пендик│л┐░на нап░авлени╛ ░а▒п░о▒▓░анени┐ ┤о▓онов, ко▓о░╗е по░ожда╛▓▒┐ па░ами. Фо▓он, о▓пе╖а▓ав╕ий▒┐ на ве░╡нем
к░│жке, пол┐░изован го░изон▓ал╝но. Его па░▓не░ на нижнем к░│жке пол┐░изован ве░▓икал╝но. В ▓о╖ка╡ пе░е▒е╖ени┐ к░│жков пол┐░иза╢ии ┤о▓онов
неоп░еделенн╗: о ни╡ изве▒▓но ли╕╝ ▓о, ╖▓о они п░о▓ивоположн╗. Э▓о ┐вл┐е▓▒┐ ▒лед▒▓вием ▒к░е╣ени┐.
В ╜к▒пе░имен▓е имп│л╝▒╗ нака╖ки имели дли▓ел╝но▒▓╝ 200 ┤▒,
╖а▒▓о▓а и╡ пов▓о░ени┐ б╗ла 76 МГ╢. Набл╛дение п░еоб░азованн╗╡ ┤о▓онов ▒ длиной волн╗ 788 нм и ╕и░иной поло▒╗ 4 нм п░иводи▓ к
в░емени коге░ен▓но▒▓и 520 ┤▒. Заме▓им, ╖▓о по▒кол╝к│ ┤о▓он 1, в
▒во╛ о╖е░ед╝, по┐вл┐е▓▒┐ как │╖а▒▓ник ▒к░е╣енной па░╗, ▓о изме░ение его па░▓не░а може▓ │каза▓╝ на в░ем┐ изл│╖ени┐ па░╗. Как ╜к▒пе░имен▓ал╝но доказа▓╝ ▓елепо░▓а╢и╛ неизве▒▓ного кван▓ового ▒о▒▓о┐-
122
А. Цайлинге░ и д░.
ни┐? П░ежде в▒его ▒лед│е▓ показа▓╝, ╖▓о ▓елепо░▓а╢и┐ ░або▓ае▓ в ▒л│╖ае каждого из бази▒н╗╡ ▒о▒▓о┐ний, набо░а изве▒▓н╗╡ ▒о▒▓о┐ний, на
ко▓о░╗е можно ░азложи▓╝ п░оизвол╝ное ▒о▒▓о┐ние. Бази▒ пол┐░иза╢ионн╗╡ ▒о▒▓о┐ний ▒оде░жи▓ два ╜лемен▓а, по╜▓ом│ можно ▒в┐за▓╝ его
▒ ве░▓икал╝ной и го░изон▓ал╝ной пол┐░иза╢и┐ми изл│╖аемого и▒▓о╖ником ┤о▓она. Однако ╜▓о е╣е не докаже▓, ╖▓о ▓елепо░▓а╢и┐ ░або▓ае▓ дл┐ л╛бого ▒о▒▓о┐ни┐, по▓ом│ ╖▓о ╜▓и нап░авлени┐ | в╗деленн╗е
нап░авлени┐ ╜к▒пе░имен▓а. В ка╖е▒▓ве бази▒а дл┐ ▓елепо░▓а╢ии ▒лед│е▓ в╗б░а▓╝ ▒о▒▓о┐ни┐, ко▓о░╗е опи▒╗ва╛▓ линейн│╛ пол┐░иза╢и╛
на ;45 и +45, ко▓о░╗е ▒ами по ▒ебе │же ┐вл┐╛▓▒┐ ▒│пе░пози╢ией
ве░▓икал╝ной и го░изон▓ал╝ной пол┐░иза╢ий. По▒ле ╜▓ого н│жно показа▓╝, ╖▓о ▓елепо░▓а╢и┐ ░або▓ае▓ в ▒л│╖ае ▒│пе░пози╢ии ╜▓и╡ бази▒ов.
Ина╖е гово░┐, ▒лед│е▓ п░одемон▒▓░и░ова▓╝ ▓елепо░▓а╢и╛ ╢и░к│л┐░но
пол┐░изованн╗╡ ┤о▓онов.
4. Рез│л╝▓а▓╗
В пе░вом ╜к▒пе░имен▓е ┤о▓он 1 пол┐░изован под │глом 45. Телепо░▓а╢и┐ о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ в ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли ┤о▓он╗ 1 и 2 де▓ек▓и░│╛▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j; i12 , ╖▓о п░ои▒╡оди▓ в 0.25 в▒е╡ возможн╗╡
▒л│╖аев. Со▒▓о┐ние j;i12 иден▓и┤и╢и░│е▓ ▒овпадение де▓ек▓о░ов f1
и f2, поме╣енн╗╡ за ┤о▓одели▓елем (░и▒. 1б). Е▒ли де▓ек▓и░│е▓▒┐ f1f2
▒овпадение, ┤о▓он 3 ▓акже должен б╗▓╝ пол┐░изован под │глом 45.
Дл┐ анализа пол┐░иза╢ии ┤о▓он 3 п░оп│▒кае▓▒┐ ▒квоз╝ пол┐░иза╢ионн╗й ┤о▓одели▓ел╝, о▓би░а╛╣ий +45- и ;45-пол┐░иза╢ии. Свиде▓ел╝▒▓вом о пол┐░иза╢ии б│де▓ ╣ел╖ок де▓ек▓о░а d2, ко▓о░╗й ▒▓ои▓ │ в╗╡ода +45-пол┐░иза╢ионного ┤о▓одели▓ел┐, однов░еменно ▒ ╣ел╖ками
де▓ек▓о░ов f1 и f2. Де▓ек▓о░, ▒▓о┐╣ий │ в╗╡ода ;45-пол┐░иза╢ионного
┤о▓одели▓ел┐ не должен де▓ек▓и░ова▓╝ ┤о▓он. Следова▓ел╝но, ░еги▒▓░а╢и┐ ▓░ойного ▒овпадени┐ d2f1f2 (+45 | анализ) вме▒▓е ▒ о▓▒│▓▒▓вием ▓░ойного ▒овпадени┐ d1f1f2 (;45 | анализ) докаже▓, ╖▓о пол┐░иза╢и┐ ┤о▓она 1 ▓елепо░▓и░│е▓▒┐ к ┤о▓он│ 3. Ч▓об╗ из│╖и▓╝ │▒лови┐
пе░ек░╗▓и┐ во в░емени, м╗ измен┐ли ╕аг за ╕агом в░ем┐ по┐влени┐
┤о▓она 2 (в░ем┐ заде░жки измен┐ло▒╝ ▒ помо╣╝╛ пол│п░они╢аемого
зе░кала (░и▒. 1b)). Э▓о позвол┐е▓ най▓и ▓│ обла▒▓╝ в░еменного пе░ек░╗▓и┐ в ┤о▓о│множи▓еле, в ко▓о░ой возможна ▓елепо░▓а╢и┐.
Вне обла▒▓и ▓елепо░▓а╢ии кажд╗й из ┤о▓онов 1 и 2 до▒▓игае▓ ▒╖е▓╖иков f1 и f2 незави▒имо д░│г о▓ д░│га. Ве░о┐▓но▒▓╝ ▒овпадени┐ де▓ек-
;
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ кван▓ова┐ ▓елепо░▓а╢и┐
123
Ри▒. 3. Тео░е▓и╖е▒кое п░ед▒казание ве░о┐▓но▒▓и ▓░ойного ▒овпадени┐ межд│
дв│м┐ де▓ек▓о░ами, изме░┐╛╣ими ▒о▒▓о┐ни┐ Белла (f1,f2) и одного из де▓ек▓о░ов, анализи░│╛╣и╡ ▓елепо░▓и░ованное
▒о▒▓о┐ние. П░изнаком ▓елепо░▓а╢ии ┤о▓она ▒ пол┐░иза╢ией +45 ┐вл┐е▓▒┐ об░а╣ение в н│л╝ п░и н│левой
заде░жке в░емени ве░о┐▓но▒▓и
▓░ойного ▒овпадени┐ (d1f1f2) ▒ де▓ек▓о░ом,
анализи░│╛╣им ;45 -пол┐░иза╢и╛ (а) и по▒▓о┐нное
зна╖ение ве░о┐▓но▒▓и
▒овпадений ▒ де▓ек▓о░ом, анализи░│╛╣им +45 -пол┐░иза╢и╛. За▓ененн╗е
обла▒▓и на ░и▒│нке │каз╗ва╛▓ обла▒▓╝ ▓елепо░▓а╢ии.
▓о░ов f1 и f2, ▒ледова▓ел╝но, ░авна 0.5. В обла▒▓и ▓елепо░▓а╢ии она
вдвое бол╝╕е. Фо▓он 3 не обладае▓ ╡о░о╕о оп░еделенной пол┐░иза╢ией,
по▒кол╝к│ он в╡оди▓ в ▒к░е╣енн│╛ па░│. Следова▓ел╝но, ве░о┐▓но▒▓╝
▓ого, ╖▓о кажд╗й из де▓ек▓о░ов d1 и d2 пол│╖и▓ ┤о▓он 3, ░авна 0.5. Э▓о
п░о▒▓ое ░а▒▒│ждение дае▓ нам ве░о┐▓но▒▓╝ 0.25 как дл┐ ;45-анализа
(▒овпадени┐ d1f1f2), ▓ак и дл┐ +45-анализа (▒овпадени┐ d1f1f2) вне
обла▒▓и ▓елепо░▓а╢ии. Ри▒. 3 ▒│мми░│е▓ ╜▓и п░ед▒казани┐ как ┤│нк╢и╛ в░еменной заде░жки. Ве░о┐▓но▒▓╝ │▒пе╕ной ▓елепо░▓а╢ии ▒о▒▓о┐ни┐ ▒ +45-пол┐░иза╢ией │б╗вае▓ до н│л┐ п░и ;45-анализе (░и▒. 3а)
и о▒▓ае▓▒┐ по▒▓о┐нной п░и +45-анализе (░и▒. 3б). Легко пон┐▓╝ ▓ео░е▓и╖е▒кое п░ед▒казание, ▒│мми░│емое ░и▒. 3, е▒ли ▓ол╝ко ▒ооб░ази▓╝,
╖▓о п░и н│левой заде░жке ▒ко░о▒▓╝ ▒овпадений де▓ек▓о░ов анализа▓о░а ▒о▒▓о┐ний Белла, f1 и f2, │мен╝╕ае▓▒┐ наполовин│ по ▒░авнени╛ ▒о
124
А. Цайлинге░ и д░.
Табли╢а 2. Набл╛дение ▓елепо░▓а╢ии в ▒л│╖ае ▓░е╡к░а▓ного ▒овпадени┐
Пол┐░иза╢и┐ Набл╛даем╗е зна╖ени┐
+45
0:63 0:02
;45
0:64 0:02
0
0:66 0:02
90
0:61 0:02
К░│гова┐
0:57 0:02
▒ко░о▒▓╝╛ ▒╖е▓а вне обла▒▓и ▓елепо░▓а╢ии. По╜▓ом│, е▒ли пол┐░иза╢и┐
┤о▓она 3 полно▒▓╝╛ неко░░ели░ована ▒ пол┐░иза╢и┐ми о▒▓ал╝н╗╡ ┤о▓онов, ▓░ойн╗е ▒овпадени┐ ▓акже должн╗ демон▒▓░и░ова▓╝ аналоги╖н╗й
миним│м. Свиде▓ел╝▒▓вом ▓елепо░▓а╢ии н│жного ▒о▒▓о┐ни┐ как ░аз и
должн╗ б╗▓╝ к░ив╗е, изоб░аженн╗е на ░и▒. 3. Заме▓им, ╖▓о ▒ п░о╢е▒▒ом ░ождени┐ ┤о▓онов 1, 2 и 3 ве▒╝ма ▒╡оже изл│╖ение дв│╡ па░ одним
и▒▓о╖ником. Хо▓┐ зде▒╝ не▓ ┤о▓она, по░ождаемого пе░в╗м и▒▓о╖ником
(┤о▓он 1 ▓епе░╝ о▓▒│▓▒▓в│е▓), ╜▓о▓ п░о╢е▒▒ дае▓ ▒│╣е▒▓венн╗й вклад в
▓░е╡╖а▒▓и╖н╗е ▒овпадени┐. Э▓и ▒овпадени┐ не име╛▓ ни╖его об╣его ▒
▓елепо░▓а╢ией и и╡ можно о▓об░а▓╝, блоки░│┐ п│▓╝ ┤о▓она 1. И▒╡од┐ из
па░аме▓░ов ╜к▒пе░имен▓а, можно о╢ени▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝ ложн╗╡ дв│╡- и
▓░е╡╖а▒▓и╖н╗╡ ▒овпадений. Эк▒пе░имен▓ал╝но оп░еделенное зна╖ение
доли ложн╗╡ ▓░е╡╖а▒▓и╖н╗╡ ▒овпадений дае▓ зна╖ение 0.68 0.01. В
╜к▒пе░имен▓ал╝н╗╡ г░а┤ика╡ на ░и▒. 4 ╜к▒пе░имен▓ал╝но обна░│женн╗е ложн╗е ▒овпадени┐ │дален╗.
Рез│л╝▓а▓╗ ▓елепо░▓а╢ии ┤о▓онов ▒ пол┐░иза╢ией +45 п░иведен╗
в левой колонке ░и▒. 4. Ри▒│нки 4а и 4б ▒лед│е▓ ▒░авнива▓╝ ▒ ▓ео░е▓и╖е▒ким п░ед▒казанием на ░и▒. 3. Сил╝ное │б╗вание ▒игнала в ;45-анализа▓о░е и по▒▓о┐нн╗й ▒игнал в +45-анализа▓о░е, │каз╗ва╛╣ие на ▓о,
╖▓о ┤о▓он╗ 1 и 3 пол┐░изован╗ одинаково, под▓ве░жда╛▓ ▓елепо░▓а╢и╛. Рез│л╝▓а▓╗ ╜к▒пе░имен▓а ▒ ;45-пол┐░изованн╗м ┤о▓оном (п░ава┐ колонка ░и▒. 4) показ╗ва╛▓, ╖▓о ▓елепо░▓а╢и┐ о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ дл┐
полного бази▒а пол┐░иза╢ионн╗╡ ▒о▒▓о┐ний. Ч▓об╗ и▒кл╛╖и▓╝ л╛бое
кла▒▒и╖е▒кое об║┐▒нение ░ез│л╝▓а▓ов ╜к▒пе░имен▓а, б╗ли п░оведен╗
дополни▓ел╝н╗е оп╗▓╗. В ни╡ ▓елепо░▓и░овали▒╝ линейно 0 и 90-пол┐░изованн╗е ┤о▓он╗, а ▓акже ┤о▓он╗ ▒ к░│говой пол┐░иза╢ией. В ▓абли╢е 1 п░иведен╗ о▓но▒и▓ел╝н╗е зна╖ени┐ миним│мов в ▓░е╡╖а▒▓и╖н╗╡ ▒овпадени┐╡, набл╛даем╗╡ п░и анализе пол┐░иза╢ии, о░▓огонал╝ной к и▒╡одной. Как │же │поминало▒╝, ╜▓и зна╖ени┐ пол│╖али▒╝ по▒ле
;
125
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ кван▓ова┐ ▓елепо░▓а╢и┐
Ри▒. 4. Экпе░имен▓ал╝н╗е ░ез│л╝▓а▓╗. Изме░ение ▒ко░о▒▓и ▓░е╡╖а▒▓и╖н╗╡
▒овпадений d1f1f2 (;45 ) и d1f1f2 (+45 ) в ▒л│╖ае ▓елепо░▓а╢ии +45 пол┐░изованного ┤о▓она ( и ) или ;45 -пол┐░изованного ┤о▓она ( и ).
Изоб░ажена ▒ко░о▒▓╝ ▒овпадений по▒ле в╗╖и▓ани┐ ложн╗╡ ▓░е╡╖а▒▓и╖н╗╡
▒овпадений (▒м. ▓ек▒▓). Э▓и данн╗е по▒ле ▒░авнени┐ ▒ ░и▒. 3 вме▒▓е ▒ аналоги╖н╗ми данн╗ми дл┐ д░│ги╡ пол┐░иза╢ий (▓абли╢а 1) под▓ве░жда╛▓ ▓елепо░▓а╢и╛ в п░оизвол╝ном ▒о▒▓о┐нии.
в╗╖и▓ани┐ вклада ложн╗╡ ▓░е╡╖а▒▓и╖н╗╡ ▒овпадений. И╡ можно и▒кл╛╖и▓╝ ╜к▒пе░имен▓ал╝но ▒овме╣ением ▓░е╡╖а▒▓и╖н╗╡ ▒овпадений ▒
░еги▒▓░а╢ией ┤о▓она 4, ко▓о░ое ╜┤┤ек▓ивно п░ое╢и░│е▓ ┤о▓он 1 в одно╖а▒▓и╖ное ▒о▒▓о┐ние. Э▓и ╖е▓╗░е╡╖а▒▓и╖н╗е ▒овпадени┐ б╗ли в╗делен╗ дл┐ ▒л│╖аев ▓елепо░▓а╢ии +45- и +90-пол┐░иза╢ионн╗╡ ▒о▒▓о┐ний
(заме▓им, ╖▓о ╜▓и ▒о▒▓о┐ни┐ не о░▓огонал╝н╗). Эк▒пе░имен▓ал╝н╗е ░ез│л╝▓а▓╗ п░иведен╗ на ░и▒. 5. О▓но▒и▓ел╝н╗е зна╖ени┐ миним│мов,
░авн╗е 0:70 0:03, пол│╖ен╗ п░и анализе о░▓огонал╝н╗╡ пол┐░иза╢ионн╗╡ ▒о▒▓о┐ний. Зде▒╝ зна╖ени┐ миним│мов е▒▓╝ п░о▒▓о ▒▓епен╝ пол┐░иза╢ии ▓елепо░▓и░│емого в п░авил╝ном ▒о▒▓о┐нии ┤о▓она. В▒е ╜▓о
показ╗вае▓, ╖▓о опи▒анн╗е ╜к▒пе░имен▓╗ дей▒▓ви▓ел╝но демон▒▓░и░│╛▓ ▓елепо░▓а╢и╛ кван▓ового ▒о▒▓о┐ни┐ одино╖ного ┤о▓она.
а
b
c
d
126
;
А. Цайлинге░ и д░.
Ри▒. 5. Ско░о▒▓╝ ╖е▓╗░е╡╖а▒▓и╖н╗╡ ▒овпадений (без в╗╖е▓а ┤она). Т░е╡╖а▒▓и╖н╗е ▒овпадени┐ (показанн╗е на ░и▒. 4) вме▒▓е ▒ ░еги▒▓░а╢ией ┤о▓она 4
(▒м. ░и▒. 1b) │дал┐╛▓ ложн╗й ▓░е╡╖а▒▓и╖н╗й ┤он. и показ╗ва╛▓
изме░е -▒о▒▓о┐ни┐; и
ни┐ ╖е▓╗░е╡╖а▒▓и╖н╗╡ ▒овпадений п░и ▓елепо░▓а╢ии
+45
показ╗ва╛▓ ░ез│л╝▓а▓╗ ▓елепо░▓а╢ии +90 -▒о▒▓о┐ни┐. Све▓имо▒▓и и, ▒ледова▓ел╝но, пол┐░иза╢ии ▓елепо░▓и░ованн╗╡ ┤о▓онов пол│╖ен╗ без в╗╖и▓ани┐
┤она, ░авного 0 70 03. Э▓и ░ез│л╝▓а▓╗ ▓елепо░▓а╢ии дв│╡ нео░▓огонал╝н╗╡
▒о▒▓о┐ний доказ╗ва╛▓, ╖▓о м╗ имеем дело ▒ демон▒▓░а╢ией ▓елепо░▓а╢ии
кван▓ового ▒о▒▓о┐ни┐ о▓дел╝ного ┤о▓она.
a
b
c
:
d
:
5. След│╛╣ие ╕аги
В на╕и╡ оп╗▓а╡ и▒пол╝зовали▒╝ па░╗ пол┐░изованн╗╡ ▒к░е╣енн╗╡ ┤о▓онов, по░ождаем╗╡ имп│л╝▒н╗м п░еоб░азова▓елем, и дв│╡┤о▓онн╗е ин▓е░┤е░ен╢ионн╗е п░еоб░азовани┐, позвол┐╛╣ие пе░ене▒▓и
▒о▒▓о┐ние пол┐░иза╢ии одного ┤о▓она к д░│гом│. Но ▓елепо░▓а╢и┐ не
должна ог░ани╖ива▓╝▒┐ ╜▓ими ▒и▒▓емами. В дополнение к па░ам ▒к░е╣енн╗╡ ┤о▓онов или ▒к░е╣енн╗╡ а▓омов [7, 21] можно п░ед▒▓ави▓╝ ▒ебе ▒к░е╣ени┐ ┤о▓онов ▒ а▓омами, ┤о▓онов ▒ ионами и ▓ак далее. Тогда
▓елепо░▓а╢и┐ позволи▓ пе░ено▒и▓╝ ▒о▒▓о┐ни┐, нап░име░, б╗▒▓░о декоге░и░│╛╣и╡, ко░о▓ко жив│╣и╡ ╖а▒▓и╢ на более ▒▓абил╝н╗е ▒и▒▓ем╗.
Далее, и▒пол╝з│┐ о╖и╣ение ▒к░е╣ением [22] | ▒╡ем│ │л│╖╕ени┐ ка-
Ли▓е░а▓│░а
127
╖е▒▓ва ▒к░е╣ени┐, е▒ли оно дег░ади░│е▓ из-за декоге░ен▓но▒▓и во в░ем┐ ╡░анени┐ или пе░е▒╗лки ╖а▒▓и╢ по каналам ▒ ╕│мом | ▒▓анови▓▒┐
возможн╗м ▓елепо░▓и░ова▓╝ кван▓овое ▒о▒▓о┐ние ╖а▒▓и╢╗ в неко▓о░ое
ме▒▓о, даже е▒ли до▒▓│пн╗е кван▓ов╗е канал╗ о╖ен╝ пло╡ого ка╖е▒▓ва
и непо▒░ед▒▓венна┐ пе░е▒╗лка ╖а▒▓и╢╗ ▒ бол╝╕ой ве░о┐▓но▒▓╝╛ ░аз░│╕ае▓ ╡░│пкое кван▓овое ▒о▒▓о┐ние. Возможно▒▓╝ ▒о╡░анени┐ кван▓ов╗╡ ▒о▒▓о┐ний во в░аждебном ок░│жении може▓ оказа▓╝▒┐ ве▒╝ма
полезной п░и в╗полнении кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. С╡ема ▓елепо░▓а╢ии
може▓ обе▒пе╖и▓╝ ▒в┐з╝ межд│ кван▓ов╗ми комп╝╛▓е░ами. Кван▓ова┐ ▓елепо░▓а╢и┐ | не ▓ол╝ко важна┐ ▒о▒▓авл┐╛╣а┐ п░облем кван▓овой ин┤о░ма╢ии; ее можно и▒пол╝зова▓╝ дл┐ ▒оздани┐ нов╗╡ ▓ипов
╜к▒пе░имен▓ов в обла▒▓и о▒нов кван▓овой ме╡аники. По▒ле ▓ого, как ▓елепо░▓и░овано неко▓о░ое ▒о▒▓о┐ние, можно полно▒▓╝╛ пе░еоп░едели▓╝
▒о▒▓о┐ние ╖а▒▓и╢╗, в╡од┐╣ей в ▒к░е╣енн│╛ па░│. Такие опе░а╢ии позвол┐▓ пе░ене▒▓и ▒к░е╣ение ╖а▒▓и╢. Э▓о позволи▓ не ▓ол╝ко ▒озда▓╝
╢епо╖к│, пе░ено▒┐╣│╛ кван▓ов╗е ▒о▒▓о┐ни┐ в ▓акие ме▒▓а, где декоге░ен▓но▒▓╝ │же полно▒▓╝╛ ╜▓и ▒о▒▓о┐ни┐ │ни╖▓ожила, но позволи▓
о▒│╣е▒▓ви▓╝ п░ове░к│ ▓ео░ем╗ Белла дл┐ ╖а▒▓и╢, │ ко▓о░╗╡ не▓ об╣его п░о╕лого. Э▓о б│де▓ нов╗м ╕агом в и▒▒ледовании об╣ей ▒▓░│к▓│░╗
кван▓овой ме╡аники. Наконе╢, е▒ли б│д│▓ в╗полнен╗ ╜к▒пе░имен▓╗ ▒о
▒к░е╣ением более ╖ем дв│╡ п░о▒▓░ан▒▓венно ░азделенн╗╡ ╖а▒▓и╢, ▓о
ди▒к│▒▒и┐ о локал╝но ░еал╝н╗╡ ▒вой▒▓ва╡ п░и░од╗ пол│╖и▓ ▓ве░д│╛
о▒нов│.
Ли▓е░а▓│░а
[1] C. H. Bennett et al. Teleporting an unknown quantum state via dual
classic and Einstein{Podolsky{Rosen channels. Phys. Rev. Lett. 70,
1893{1899. (1993).
[2] E. Shrodinger. Die gegenwartig Situatuon in der Quantenmechanik.
Naturwissenschaften 23, 807{812; 844{849. (1935).
[3] C. H. Bennett. Quantum information and computation, Phys. Today
48(10), 24{30, October (1995).
[4] C. H. Bennett, G. Brassard, K. A. Ekert. Quantum cryptography. Sci.
Am. 267 (4), 50{57, October (1992).
128
Ли▓е░а▓│░а
[5] K. Mattle, H. Weinfurter, P. G. Kwat, A. Zeilinger. Dense coding in
experimental quantum communication. Phys. Rev. Lett. 76, 4656{
4659. (1996).
[6] P. G. Kwat et al. New high intensity source of polarization-entangled
photon pair. Phys. Rev. Lett. 75, 4337{4341. (1995).
[7] E. Hagley et al. Generation of Einstein{Podolsky{Rosen. Phys. Rev.
Lett. 79, 1{3. (1997).
[8] B. Schumacher. Quantum coding. Phys. Rev. A 51, 2738{2747. (1995).
[9] J. F. Clauser, A. Shimony. Bell's theorem: experimental tests and
implications. Rep. Prog. Phys. 41, 1881{1927. (1978).
[10] D. M. Greenberger, M. A. Horne, A. Zeilinger. Multiparticle
interferometry and the superposition principle. Phus. Today August,
22{29. (1993).
[11] W. Titel et al. Experimental demonstration of quantum-correlations
over more than 10 kilometers. Phys. Rev. Lett. (submitted).
[12] M. Zukowsky, A. Zeilinger, M. A. Horne, A. Ekert. цEvent{ready{detectorsч Bell experiment via entanglement swapping. Phys. Rev. Lett. 71,
4287{4290 (1993).
[13] S. Bose, V. Vendral, P. L. Knight. A multiparticle generalization of
entanglement swapping, (preprint).
[14] W. K. Wooters, W. H. Zurek. A single quantum cannot be cloned.
Nature 299, 802{803 (1982).
[15] R. London. Coherence and Quantum Optics VI (eds. J. H. Everly,
L. Mandel), 703{708 (Plenum, New York, 1990).
[16] A. Zeilinger, H. J. Bernstein, M. A. Horne. Information transfer with
two-state two-particle quantum systems. J. Mod. Optics, 41, 2375{
2384 (1994).
[17] H. Weinfurter. Experimental Bell-state analysis. Europhys. Lett. 25,
559{564, (1994).
Ли▓е░а▓│░а
129
[18] S. L. Braunstein, A. Mann. Measurement of the Bell operator and the
quantum teleportation. Phys. Rev. A 51, R1727{R1730 (1995).
[19] M. Michler, K. Mattle, H. Weinfurther, A. Zeilinger. Interferometric
Bell-state analysis. Phys. Rev. A 53, R12009{R1212 (1996).
[20] M. Zukowsky, A. Zeilinger, H. Weinfurther. Entagling photons radiated
by independent pulsed sources. Ann. NY. Acad. Sci. 775, 91{102
(1995).
[21] E. S. Fry, T. Walther, S. Li. Proposal for a loophole-free test of the Bell
inequalities. Phys. Rev. A 52, 4381{4395 (1995).
[22] C. H. Bennett et al. Puricacion of noisy entanglement and faithful
teleportation via noisy channels. Phys. Rev. Lett. 76, 722{725 (1996).
[23] D. M. Greenberger, M. A. Horne, A. Shimony, A. Zeilinger. Bell's
theorem without inequalities. Am. J. Phys. 58, 1131{1141 (1990).
[24] A. Zeilinger, M. A. Horne, H. Weinfurther, M. Zukowsky. Three particle entanglements from two entangled pairs. Phys. Rev. Lett. 78,
3031{3034 (1996).
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ ░еализа╢и┐ кван▓ового
алго░и▓ма
Айзек Л. Ч│анг
(Isaac L. Chuang)1
Ливен М. К. Ванде░▒ипен, К▒инлан Ж│
(Lieven M. K. Vandersypen, Xinlan Zhou)2
Дебби В. Ле╛нг
(Debbie W. Leung)3
Се▓ Ллойд
(Seth Lloyd)4
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ | ╜▓о │▒▓░ой▒▓во, об░аба▓╗ва╛╣ее ин┤о░ма╢и╛ кван▓ово-ме╡ани╖е▒ким коге░ен▓н╗м ▒по▒обом [1{5]. В п░ин╢ипе, можно и▒пол╝зова▓╝ коге░ен▓н│╛ кван▓ов│╛ ин▓е░┤е░ен╢и╛, ╖▓об╗ о▒│╣е▒▓вл┐▓╝ ▓акие в╗╖и▒лени┐, как ░азложение бол╝╕и╡ ╖и▒ел на
множи▓ели или пои▒к в не▒о░▓и░ованной базе данн╗╡, более б╗▒▓░о,
нежели кла▒▒и╖е▒кие комп╝╛▓е░╗ [1, 2, 6{8]. Ш│м╗, некоге░ен▓но▒▓╝
и ▓е╡ни╖е▒кие ▓░│дно▒▓и дела╛▓ ▒ложн╗м по▒▓░оение к░│пнома▒╕▓абн╗╡ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов [9{13]. Ионн╗е лов│╕ки и оп▓и╖е▒кое ░езона▓о░╗ ┐вл┐╛▓▒┐ многообе╣а╛╣ими ▒ ▓о╖ки з░ени┐ ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗╡ под╡одов [14, 15], но е╣е ни один кван▓ов╗й алго░и▓м не б╗л ░еализован на ▓аки╡ ▒и▒▓ема╡.
С д░│гой ▒▓о░он╗, из-за е▒▓е▒▓венной изол┐╢ии о▓ ок░│жа╛╣ей
▒░ед╗, ┐де░н╗е ▒пин╗ ┐вл┐╛▓▒┐ о▒обенно ╡о░о╕ими цкван▓ов╗ми би▓амич [16], и и╡ и▒пол╝зование дл┐ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений возможно
по▒░ед▒▓вом ┐де░ного магни▓ного ░езонан▒а (ЯМР) [17{19]. В на▒▓о┐╣ей ▒▓а▓╝е м╗ опи▒╗ваем ╜к▒пе░имен▓ал╝н│╛ ░еализа╢и╛ кван▓ового
алго░и▓ма ▒ и▒пол╝зованием ЯМР дл┐ ░е╕ени┐ ╖и▒▓о ма▓ема▓и╖е▒кой
зада╖и за мен╝╕ее коли╖е▒▓во ╕агов, ╖ем ╜▓о возможно кла▒▒и╖е▒ки.
IBM Almaden Research Center K10/D1, San Jose, CA 95120.
Solid State Electronics Laboratory, Stanford University, Stanford, CA 94305.
3 Edward L. Ginzton Laboratory, Stanford, CA 94305.
4 MIT Dept. of Mechanical Engineering, Cambridge, Mass. 02139.
c Nature, щ393, pp. 143{146 (1998).
Пе░евод А. И. Д│биков▒кого.
1
2
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ ░еализа╢и┐ кван▓ового алго░и▓ма
131
В ╖а▒▓но▒▓и, на╕ п░о▒▓ой кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ може▓ оп░едели▓╝ об╣ие ▒вой▒▓ва неизве▒▓ной ┤│нк╢ии, и▒пол╝з│┐ мен╝╕ее коли╖е▒▓во в╗зовов ┤│нк╢ии, нежели п░и и▒пол╝зовании кла▒▒и╖е▒кого комп╝╛▓е░а.
М╗ о▒│╣е▒▓вили ▒ам│╛ п░о▒▓│╛ возможн│╛ ве░▒и╛ кван▓ового
алго░и▓ма Дой╖а{Джоз▒а (Deutsch{Jozsa, D{J) [6], ко▓о░╗й оп░едел┐е▓, ┐вл┐е▓▒┐ ли неизве▒▓на┐ ┤│нк╢и┐ по▒▓о┐нной или ▒балан▒и░ованной. По▒▓о┐нна┐ ┤│нк╢и┐ f (x) о▓ N би▓ов до одного либо f (x) = 0 дл┐
в▒е╡ x, либо f (x) = 1 дл┐ в▒е╡ x. Сбалан▒и░ованна┐ ┤│нк╢и┐ f (x) = 0
дл┐ ▓о╖но половин╗ ее а░г│мен▓ов, и f (x) = 1 дл┐ о▒▓ав╕и╡▒┐. Ч▓об╗ ▒ │ве░енно▒▓╝╛ оп░едели▓╝, ┐вл┐е▓▒┐ ли ┤│нк╢и┐ по▒▓о┐нной или
▒балан▒и░ованной, на де▓е░мини░ованном кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е
▓░еб│е▓▒┐ до 2N ;1 + 1 в╗зовов ┤│нк╢ии: даже е▒ли вз┐▓╝ половин│
а░г│мен▓ов и най▓и f (x) = 0 дл┐ каждого, в▒е е╣е нел╝з┐ ▒ │ве░енно▒▓╝╛ закл╛╖и▓╝, ╖▓о ┤│нк╢и┐ по▒▓о┐нна. Нап░о▓ив, D{J алго░и▓м,
│▒ове░╕ен▒▓вованн╗й Р. Кливом и д░. [20] и Аланом Таппом, позвол┐е▓
кван▓овом│ комп╝╛▓е░│ оп░едел┐▓╝, ┐вл┐е▓▒┐ ли f (x) по▒▓о┐нной или
▒балан▒и░ованной, и▒пол╝з│┐ ▓ол╝ко один в╗зов ┤│нк╢ии.
D{J алго░и▓м ╡о░о╕о илл╛▒▓░и░│е▓▒┐ его ▒ам╗м п░о▒▓╗м возможн╗м ▒л│╖аем, когда f п░еоб░аз│е▓ один би▓ в д░│гой; ╜▓о ▓о▓ ▒л│╖ай,
ко▓о░╗й м╗ ░еализовали (╜▓о ▓акже ▒ам╗й п░о▒▓ой ▒л│╖ай алго░и▓ма
Саймона [7]). Имее▓▒┐ ╖е▓╗░е возможн╗╡ зна╖ени┐ f , два из ко▓о░╗╡
по▒▓о┐нн╗, f1(x) = 0; f2 (x) = 1 а о▒▓ав╕ие▒┐ два име╛▓ ░авное ╖и▒ло 0
и 1 зна╖ений: f3 (x) = x; f4 (x) = NOT x. В╗┐▒нение, ┐вл┐е▓▒┐ ли ▓ака┐
┤│нк╢и┐ по▒▓о┐нной или ▒балан▒и░ованной, аналоги╖но зада╖е, ┐вл┐е▓▒┐ ли моне▓а на▒▓о┐╣ей | ▒ о░лом на одной ▒▓о░оне и ░е╕кой на д░│гой, или ┤ал╝╕ивой | ▒ о░лом на дв│╡ ▒▓о░она╡. В кла▒▒и╖е▒ком ▒л│╖ае н│жно ▒мо▓░е▓╝ на моне▓│ дважд╗: ▒на╖ала на одн│ ▒▓о░он│, за▓ем
на д░│г│╛, ╖▓об╗ оп░едели▓╝ | на▒▓о┐╣а┐ ╜▓о моне▓а или ┤ал╝╕ива┐.
D{J алго░и▓м и▒пол╝з│е▓ кван▓ов│╛ коге░ен▓но▒▓╝, ╖▓об╗ оп░едели▓╝,
┐вл┐е▓▒┐ ли кван▓ова┐ цмоне▓ач на▒▓о┐╣ей или ┤ал╝╕ивой, по▒мо▓░ев
на нее ▓ол╝ко один ░аз. Алго░и▓м ▓░еб│е▓ одного цв╡од┐╣егоч ▒пина и
одного ц░або╖егоч ▒пина, и ▒╡ема▓и╖но п░ед▒▓авлен на ░и▒. 1.
Эк▒пе░имен▓ал╝но ╜▓о▓ кван▓ов╗й алго░и▓м б╗л о▒│╣е▒▓влен
▒ и▒пол╝зованием ┐де░н╗╡ ▒пинов а▓омов 1 H и 13 C в поме╖енн╗╡
│гле░одом-13 молек│ла╡ ╡ло░о┤о░ма (CHCl3 ) как в╡од┐╣ий и ░або╖ий кван▓ов╗й би▓ (цк│би▓ч). j0i (j1i) опи▒╗вае▓ ▒о▒▓о┐ние ▒пина, нап░авленного по (п░о▓ив) вне╕нем│ ▒ил╝ном│ ▒▓а▓и╖е▒ком│ магни▓ном│ пол╛ B0 в +zb нап░авлении. Уп░о╣енн╗й гамил╝▓ониан дл┐ ▓акой
132
А. Л. Ч│анг, Л. М. К. Ванде░▒ипен, К. Ж│, Д. В. Ле╛нг, С. Ллойд
2-▒пиновой ▒и▒▓ем╗ в ╡о░о╕ем п░иближении (~ = 1) ░авен [21]
Hb = ;!AIbzA ; !B IbzB + 2J IbzAIbzB + Hb env :
(1)
Пе░в╗е два ╖лена опи▒╗ва╛▓ ▒вободн│╛ п░е╢е▒▒и╛ ▒пина A (1 H)
и B (13 C) о▓но▒и▓ел╝но ;B0 ▒ ╖а▒▓о▓ами !A =2 500 МГ╢ и !B =2 125 МГ╢. IbzA | опе░а▓о░ │глового момен▓а в +zb нап░авлении дл┐ A.
Т░е▓ий ╖лен опи▒╗вае▓ ▒кал┐░ное ▒пин-▒пиновое взаимодей▒▓вие J 215 Г╢. Hb env опи▒╗вае▓ взаимодей▒▓вие ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой, вкл╛╖а┐ взаимодей▒▓вие ▒ ┐д░ами ╡ло░а, и ▓акже ╖лен╗ более в╗▒окого
по░┐дка в ▒пин-▒пиновом взаимодей▒▓вии, и ╜▓им ╖леном, как б│де▓
опи▒ано ниже, можно п░енеб░е╖╝.
;
Ри▒. 1. Кван▓ова┐ ▒╡ема ░еализа╢ии D{J алго░и▓ма. (T0) На╖инаем ▒ обои╡ цв╡од┐╣егоч и ц░або╖егоч к│би▓ов
(A и B) в ▒о▒▓о┐нии
;
; j0i. (T1) В╗пол
1=2
н┐ем ;п░еоб░азование
Y
:
j
0
i
!
j
0
i
+
j
1
i
=
2
;
j
1
i
!
; j0i + j1i =21=2 ;
p
;
p
j0i ! j0i + j1i = 2, j1i ! ; j0i + j1i = 2; к A, и об░а▓ное п░еоб░азова1
P
ние Y к B, в и▓оге пол│╖аем ▒о▒▓о┐ние 12 jxi (j0i ; j1i). В╡од┐╣ий к│x=0
би▓ в неко▓о░ом кван▓овом ▒м╗▒ле ░еги▒▓░и░│е▓ и 0 и 1 однов░еменно.
(T2) В╗з╗ваем ┤│нк╢и╛: п░имен┐ем f к A, и п░ибавл┐ем ░ез│л╝▓а▓ к B
по мод│л╛ 2. До ▓е╡ по░, пока кван▓ов╗е логи╖е▒кие опе░а╢ии, необ╡одим╗е дл┐ в╗╖и▒лени┐ f , в╗полн┐╛▓▒┐ коге░ен▓но, ░або╖ий к│би▓ в неко▓о░ом кван▓овом ▒м╗▒ле ▓епе░╝ ▒оде░жи▓ зна╖ени┐ f п░и в▒е╡ возможн╗╡ а░г│мен▓а╡; ╜▓о ░ез│л╝▓а▓, названн╗й Дой╖ем цкван▓ов╗м
па░аллелизмомч [1].
1
P
Два к│би▓а на╡од┐▓▒┐ ▓епе░╝ в ▒о▒▓о┐нии 21 jxi (j0 + f (x)i ; j1 + f (x)i) =
x=0
1
P
= 12 (;1)f (x) jxi (j0i ; j1i). (T3) В╗полн┐ем инве░▒и╛ п░еоб░азовани┐ (T1),
x=0
в▒лед▒▓вие ╖его пол│╖аем к│би▓╗ в ▒│пе░пози╢ии ▒о▒▓о┐ний. Е▒ли f по▒▓о┐нна, ▓о множи▓ели (;1)f (x) е▒▓╝ либо в▒е +1, либо в▒е ;1, и ░ез│л╝▓а▓
п░еоб░азовани┐ в ╜▓ом ╕аге | ▒о▒▓о┐ние j00i. Е▒ли f ┐вл┐е▓▒┐ ▒балан▒и░ованной, ▓о ░овно половина множи▓елей (;1)f (x) е▒▓╝ +1, и половина ;1,
и ░ез│л╝▓а▓ п░еоб░азовани┐ | ▒о▒▓о┐ние j10i. (T4) Чи▓аем A. Е▒ли ╜▓о 0,
▓о f по▒▓о┐нна┐; е▒ли 1, ▓о f ▒балан▒и░ованна┐.
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ ░еализа╢и┐ кван▓ового алго░и▓ма
133
П┐▓╝ ▓ео░е▓и╖е▒ки╡ ╕агов кван▓ового алго░и▓ма, (T0){(T4), б╗ли
╜к▒пе░имен▓ал╝но о▒│╣е▒▓влен╗ ▒лед│╛╣им об░азом:
(E0) На╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние подго▓авливало▒╝ в 200 мM, 0.5 мл ╡ло░о┤о░ма, ░а▒▓во░енного в d6-а╢е▓оне п░и комна▓ной ▓емпе░а▓│░е и ▒▓анда░▓ном давлении. O(1018 ) молек│л в ╜▓ом ░а▒▓во░е, как можно д│ма▓╝,
б╗ли незави▒им╗ми п░о▒▓╗ми кван▓ов╗ми комп╝╛▓е░ами, ░або▓а╛╣ими однов░еменно.
Тео░е▓и╖е▒ки, идеал╝н╗й ░ез│л╝▓а▓ пол│╖ае▓▒┐, когда ▒пин╗ во
в▒е╡ молек│ла╡ п░иго▓овлен╗ в 00 ▒о▒▓о┐нии. По▒кол╝к│ ╜к▒пе░имен▓
в╗полн┐л▒┐ п░и комна▓ной ▓емпе░а▓│░е, на╖ал╝на┐ ма▓░и╢а пло▓но▒▓и дл┐ ▒и▒▓ем╗ в ▓епловом ░авнове▒ии имее▓ за▒еленно▒▓и diag() =
= [n00 ; n01 ; n10 ; n11 ] в 00, 01, 10 и 11 ▒о▒▓о┐ни┐╡ ▒оо▓ве▓▒▓венно, где |
ма▓░и╢а пло▓но▒▓и, ni п░опо░╢ионал╝но e;E =kT =2N (1 ; Ei =kT )=2N
▒ ╜не░гией Ei ▒о▒▓о┐ни┐ i, а N = 2 ┐вл┐е▓▒┐ ╖и▒лом к│би▓ов, и▒пол╝з│ем╗╡ в на╕ем ╜к▒пе░имен▓е. С│╣е▒▓в│е▓ не▒кол╝ко ме▓одов дл┐
извле╖ени┐ из ▓акого ▒о▒▓о┐ни┐ ▓еплового ░авнове▒и┐ ▓ол╝ко ▒игнала о▓ 00 ▒о▒▓о┐ни┐ [17,18]; м╗ и▒пол╝зовали ме▓од цв░еменного │▒░еднени┐ч [22], ко▓о░╗й и▒пол╝з│е▓ ▒│мми░ование ▓░е╡ ╜к▒пе░имен▓ов,
в ко▓о░╗╡ за▒еленно▒▓╝ из 01, 10 и 11 ▒о▒▓о┐ний ╢икли╖е▒ки пе░е▒▓авл┐е▓▒┐ пе░ед в╗полнением в╗╖и▒лений. С│╣е▒▓венное набл╛дение ▒│▓╝ [n00 ; n01 ; n10 ; n11 ] + [n00 ; n11 ; n01 ; n10 ] + [n00 ; n10 ; n11 ; n01 ] =
= [1; 1; 1; 1] + [1; 0; 0; 0], где = n01 + n10 + n11 | ┤онов╗й ▒игнал,
ко▓о░╗й не де▓ек▓и░│е▓▒┐, а = 3n00 ; | о▓клонение о▓ одно░одного
┤она, ╖ей ▒игнал ╜┤┤ек▓ивно веде▓ ▒еб┐ подобно желаемом│ ╖и▒▓ом│
кван▓овом│ ▒о▒▓о┐ни╛ j00i. Пе░е▒▓ановки в╗полнен╗ ▒ и▒пол╝зованием
ме▓ода, и▒пол╝з│емого дл┐ в╗╖и▒лений, опи▒анн╗╡ ниже. Э▓о▓ ме▓од
избегае▓ ▓е╡ни╖е▒ки╡ ▓░│дно▒▓ей обна░│жени┐ ▒игнала о▓ един▒▓венного ┐де░ного ▒пина и позвол┐е▓ ▒и▒▓еме, да╛╣ей легко обна░│жим╗й
▒игнал, и▒пол╝з│ем╗й дл┐ кван▓ового в╗╖и▒лени┐, о▒▓ава▓╝▒┐ п░и комна▓ной ▓емпе░а▓│░е.
Заме▓им, ╖▓о в ▓о в░ем┐ как ╜▓о▓ ме▓од ▓░еб│е▓ в╗╖и▒лени┐ f (x)
3 ░аза, ┤ак▓и╖е▒ки ╜▓о не ┐вл┐е▓▒┐ необ╡одим╗м. Хо▓┐ ╕аг (T0) об│▒ловлен и▒╡одн╗м ╖и▒▓╗м ▒о▒▓о┐нием j00i, алго░и▓м ░або▓ае▓ ▓акже
╡о░о╕о, е▒ли на╖ал╝н╗й в╡од┐╣ий к│би▓ j1i; однако, когда ░або╖ий
к│би▓ пе░вона╖ал╝но j1i, ╜▓о не о╖ен╝ ╡о░о╕о, по▒кол╝к│ невозможно
о▓ли╖и▓╝ кон▒▓ан▓│ о▓ ▒балан▒и░ованной ┤│нк╢ии, но ╜▓о не вли┐е▓
на д░│гие ░або▓а╛╣ие комп╝╛▓е░╗. Таким об░азом, ▓епловое ▒о▒▓о┐ние | ╡о░о╕ее на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние дл┐ ╜▓ого алго░и▓ма, и нам необi
134
А. Л. Ч│анг, Л. М. К. Ванде░▒ипен, К. Ж│, Д. В. Ле╛нг, С. Ллойд
╡одимо в╗полни▓╝ ▓ол╝ко один ╜к▒пе░имен▓. Рез│л╝▓а▓╗ ▒ и▒пол╝зованием ▓еплового и ╖и▒▓ого на╖ал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний опи▒ан╗ ниже.
(E1) Имп│л╝▒н╗е ░адио╖а▒▓о▓н╗е ╜лек▓░омагни▓н╗е пол┐ (РЧ) и▒пол╝з│╛▓▒┐ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ п░еоб░азова▓╝ к│би▓╗, как ╜▓о ▓░еб│е▓▒┐
в (T1). Э▓и пол┐, о░иен▓и░ованн╗е в xb ; yb пло▒ко▒▓и пе░пендик│л┐░но B0 , в╗бо░о╖но ад░е▒│╛▓▒┐ или A, или B , о▒╢илли░│┐ ▒ ╖а▒▓о▓ой !A
или !B . Кла▒▒и╖е▒ки, РЧ имп│л╝▒, нап░авленн╗й, к п░име░│, по yb, в░а╣ае▓ ▒пин о▓но▒и▓ел╝но ╜▓ой о▒и на │гол, п░опо░╢ионал╝н╗й tP , ▓. е.
п░оизведени╛ дли▓ел╝но▒▓и t и мо╣но▒▓и P имп│л╝▒а. В п░ими▓ивной
ка░▓ине п░о▒▓╗╡ магни▓ов =2 имп│л╝▒ вдол╝ yb (м╗ б│дем наз╗ва▓╝
его Y ) пово░а╖ивае▓ zb о░иен▓и░ованн╗й ▒пин на 90, к xb (аналоги╖но, п│▒▓╝ Y в░а╣ае▓ ▒пин на =2 о▓но▒и▓ел╝но ;yb, и X | на =2
о▓но▒и▓ел╝но xb, и ▓. д; нижние индек▒╗ б│д│▓, опи▒╗ва▓╝ над какими
▒пинами ╜▓а опе░а╢и┐ п░оизводи▓▒┐). Э▓о опи▒ание ▒о▒▓о┐ни┐ ┐вл┐е▓▒┐ кла▒▒и╖е▒ким в ▓ом ▒м╗▒ле, ╖▓о об╗кновенн╗й магни▓ в▒егда имее▓
оп░еделенное нап░авление. Однако, в ░еал╝но▒▓и ▒пин ┐д░а | кван▓ов╗й об║ек▓, и вме▒▓о пово░о▓а в нап░авлении xb он, ┤ак▓и╖е▒ки,
┐вл┐p
е▓▒┐ ▒│пе░пози╢ией ▒о▒▓о┐ний вве░╡ и вниз, (j0i + j1i)= 2. Аналоги╖но,
▒пин, кла▒▒и╖е▒ки опи▒╗ваем╗й как на╡од┐╣ий▒┐
p по нап░авлени╛ ;xb,
┤ак▓и╖е▒ки на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии (j0i ; j1i)= 2. (E1) ▓аким об░азом
▒о▒▓ои▓ из дв│╡ имп│л╝▒ов РЧ YA YB .
(E2) Ф│нк╢и┐ y ! y f (x) о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ по▒░ед▒▓вом и▒пол╝зовани┐ РЧ-имп│л╝▒ов и ▒пин-▒пинового взаимодей▒▓ви┐. Напомним, ╖▓о
▒пин A п░ед▒▓авл┐е▓ в╡од┐╣ий к│би▓ x, и B | ░або╖ий к│би▓ y, а f
╡░ани▓ ▒вое зна╖ение. f1 ░еализована как =2 ; XB XB ; =2 ; XB XB
(╖и▓ае▓▒┐ ▒лева нап░аво), где =2 п░ед▒▓авл┐е▓ в░еменной ин▓е░вал
1=4J 1:163 м▒, в ▓е╖ение ко▓о░ого п░ои▒╡оди▓ взаимодей▒▓вие ▒в┐занн╗╡ ▒пинов. Типи╖н╗е длин╗ имп│л╝▒ов б╗ли 10{15 мк▒. Э▓о |
изве▒▓на┐ ░е┤ок│▒и░овка [23] имп│л╝▒н╗╡ по▒ледова▓ел╝но▒▓ей, ко▓о░а┐ ░еализ│е▓ н│жное дей▒▓вие. f2 ░еализована как =2 ; XB XB ; =2,
подобно f1 , но без по▒ледни╡ имп│л╝▒ов, ▓ак ╖▓о B инве░▓и░ован.
f3 е▒▓╝ YB ; ; YB XB ; YA XA YA , ╖▓о о▒│╣е▒▓вл┐е▓ цкон▓░оли░│емое
НЕч дей▒▓вие, в ко▓о░ом B инве░▓и░ован ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда A на╡оди▓▒┐ в j1i ▒о▒▓о┐нии. Дл┐ понимани┐ можно и▒пол╝зова▓╝
п░ими▓ивн│╛ ка░▓ин│ кла▒▒и╖е▒ки╡ магни▓ов дл┐ ▒л│╖а┐ на╖ал╝н╗╡
▒о▒▓о┐ний 00 или 10 и по▒ледова▓ел╝но▒▓и имп│л╝▒ов YB ; ; XB (заме▓им, ╖▓о по▒ле (E1) оба ▒пина не п░о▒▓о j0i или j1i, но на╡од┐▓▒┐ в
▒│пе░пози╢ии обои╡ ▒о▒▓о┐ний, и в ╜▓ом ▒л│╖ае необ╡одим╗ дополни-
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ ░еализа╢и┐ кван▓ового алго░и▓ма
135
▓ел╝н╗е имп│л╝▒╗ f3 [17]). Спе░ва YB пово░а╖ивае▓ B по +xb. За▓ем B
п░е╢е▒▒и░│е▓ в xb ; yb пло▒ко▒▓и о▓но▒и▓ел╝но ;zb. Из-за ▒пин-▒пинового
взаимодей▒▓ви┐ B п░е╢е▒▒и░│е▓ ╖│▓╝ медленнее (б╗▒▓░ее), е▒ли A = 0
(A = 1). По▒ле ▒ек│нд B до▒▓игае▓ +yb (;yb) во в░а╣а╛╣ей▒┐ ▒и▒▓еме
коо░дина▓. XB за▓ем пово░а╖ивае▓ B к +zb (;zb), ▓о е▒▓╝ к 0 или 1, где
коне╖ное ▒о▒▓о┐ние B зави▒и▓ о▓ на╖ал╝ного A. То╖ное кван▓овое опи▒ание легко пол│╖ае▓▒┐ по▒░ед▒▓вом пе░емножени┐ │ни▓а░н╗╡ ма▓░и╢
в░а╣ени┐. Наконе╢, f4 о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ как YB ; ; YB XB ; YA XA YA ,
╖▓о по╡оже на f3 , но ▒ инве░▓и░ованн╗м B .
(E3) Инве░▒и┐ (E1) о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ по▒░ед▒▓вом РЧ-имп│л╝▒ов YA YB
дл┐ возв░а╣ени┐ ▒пинов к zb. Спин A, ко▓о░╗й б╗л ▒на╖ала j0i, ▓ем
▒ам╗м п░еоб░аз│е▓▒┐ в j0i или j1i ▒оо▓ве▓▒▓венно дл┐ по▒▓о┐нной или
▒балан▒и░ованной ┤│нк╢ии.
(E4) Рез│л╝▓а▓ ▒╖и▓╗вае▓▒┐ по▒░ед▒▓вом имп│л╝▒а XA , возв░а╣а┐
▒пин A об░а▓но в xb ; yb пло▒ко▒▓╝. В░ем┐ изменени┐ нап░┐жени┐ V (t),
в╗званное п░е╢е▒▒ией ▒пина A вок░│г ;B0 , ░еги▒▓░и░│е▓▒┐ ┤азо╖│в▒▓ви▓ел╝ной ка▓│╕кой. И▒▒ледование ▒пек▓░а V (t), по▒ле п░оведени┐
одного ╜к▒пе░имен▓а и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его ▒╖и▓╗ва╛╣его имп│л╝▒а немедленно показ╗вае▓, ┐вл┐е▓▒┐ ли f (x) по▒▓о┐нной или ▒балан▒и░ованной, как показано на ░и▒. 2.
М╗ ▓акже на╕ли в▒╛ ма▓░и╢│ пло▓но▒▓и о▓клонений ;
;Tr()I=4 (░и▒. 3), опи▒╗ва┐ коне╖ное 2-к│би▓ное ▒о▒▓о┐ние. Э▓и ░ез│л╝▓а▓╗ однозна╖но доказ╗ва╛▓ полное п░авил╝ное ┤│нк╢иони░ование кван▓ового алго░и▓ма и да╛▓ анализ пог░е╕но▒▓ей, опи▒╗ваем╗й
ниже.
Кван▓овое в╗╖и▒ление ▓░еб│е▓, ╖▓об╗ коге░ен▓на┐ ▒│пе░пози╢и┐
▒о╡░ан┐ла▒╝ на п░одолжении в▒его в╗╖и▒лени┐. Дл┐ ╜▓ого ▓░еб│е▓▒┐
b env ), и, к ▒╖а▒╡о░о╕о изоли░ованна┐ кван▓ова┐ ▒и▒▓ема (▒ мал╗м H
▓╝╛, ┐де░н╗е ▒пин╗ ┐вл┐╛▓▒┐ е▒▓е▒▓венно ╡о░о╕о изоли░ованн╗ми о▓
ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗. Непо▒▓о┐н▒▓во ┤аз╗ из-за неодно░одно▒▓и B0 б╗ло минимизи░овано по▒░ед▒▓вом и▒пол╝зовани┐ около 30 ╜лек▓░омагни▓ов, ╖▓об╗ ▒▓а▓и╖е▒кое поле б╗ло по▒▓о┐нн╗м п░име░но в одной из 109
╖а▒▓ей в▒его об║ема и▒пол╝з│емого об░аз╢а. Кон▒▓ан▓╗ п░одол╝ной и
попе░е╖ной в░еменной ░елак▒а╢ии T1 и T2 б╗ли изме░ен╗ ▒ и▒пол╝зованием ▒▓анда░▓ного об░а▓ного во▒▒▓ановлени┐ и по▒ледова▓ел╝но▒▓и
имп│л╝▒ов Ка░░а{Па░▒елла{Мейб│ма{Гилла [23], ╖▓о дало T1 19 и
25 ▒ек│нд и T2 7 и 0:3 ▒ек│нд╗, ▒оо▓ве▓▒▓венно дл┐ п░о▓она и │гле-
136
А. Л. Ч│анг, Л. М. К. Ванде░▒ипен, К. Ж│, Д. В. Ле╛нг, С. Ллойд
░ода; они б╗ли намного длиннее, ╖ем ▓░ебовало▒╝ дл┐ на╕его ╜к▒пе░имен▓а, ко▓о░╗й б╗л заве░╕ен п░иблизи▓ел╝но за 7 милли▒ек│нд.
Един▒▓венн╗ми наиболее ▒│╣е▒▓венн╗ми и▒▓о╖никами пог░е╕но▒▓ей в ╜к▒пе░имен▓е б╗ли неодно░одно▒▓╝ РЧ и не▒ове░╕ен▒▓во
на▒▓░ойки длин╗ имп│л╝▒а. Непо▒░ед▒▓венн╗й к░и▓е░ий неодно░одно▒▓и | в░ем┐ ╜к▒понен╢иал╝ного │б╗вани┐ по░┐дка 200 мк▒ одного имп│л╝▒а. С │╖е▓ом ▒ме╕ени┐ за▒еленно▒▓ей, на каждое ┐д░о
дей▒▓вовало по░┐дка 7 имп│л╝▒ов ▒ к│м│л┐▓ивной п░одолжи▓ел╝но▒▓╝╛ 70 100 мк▒.
В▓о░ой наиболее важн╗й вклад в пог░е╕но▒▓╝ | низкое о▓но╕ение
ц▒игнал{╕│мч дл┐ │гле░ода, о▓но╕ение пик ▒игнала=RMS ╕│м 35,
▓огда как дл┐ п░о▓она 4300. Сигнал о▓ │гле░ода б╗л намного более
▒лаб╗м, по▒кол╝к│ дл┐ него ги░омагни▓ное о▓но╕ение в 4 ░аза мен╝╕е, и п░иемна┐ ка▓│╕ка дл┐ │гле░ода б╗ла │▒▓ановлена более далеко
о▓ ░або╖его об░аз╢а. Мен╝╕ие вклад╗ в пог░е╕но▒▓╝ давали неполное
за▓│╡ание межд│ по▒ледова▓ел╝н╗ми ╜к▒пе░имен▓ами, о▓клонени┐ не▒│╣ей ╖а▒▓о▓╗ и ╖и▒ленн╗е пог░е╕но▒▓и п░и ░а▒╖е▓а╡.
Недо▒▓а▓ки ▓акого мален╝кого кван▓ового комп╝╛▓е░а б╗ли ▒ко░ее во вла▒▓и ▓е╡нологии, нежели ╖ем в ┤│ндамен▓ал╝н╗╡ п░ин╢ипа╡. Однако, кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ на о▒нове ЯМР более ╖ем ▒ 10
к│би▓ами б│д│▓ ▓░ебова▓╝ нов╗╡ под╡одов, по▒кол╝к│ ▒ │вели╖ением
╖и▒ла к│би▓ов ▒ила ▒игнала ╜к▒понен╢иал╝но │б╗вае▓ в и▒пол╝з│емой
▒╡еме [24, 25]: дл┐ N ▒пинов ▒игнал о▓ на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ 00 : : : 0
п░опо░╢ионален n00:::0 / NZ ;N , где п░и бол╝╕и╡ ▓емпе░а▓│░а╡ ┤│нк╢и┐ Z 2. К░оме ▓ого, в░еменна┐ коге░ен▓но▒▓╝ е▒▓е▒▓венно │мен╝╕ае▓▒┐ дл┐ бол╝╕и╡ молек│л, в ▓о в░ем┐ как п░одолжи▓ел╝но▒▓╝ ░або▓╗ логи╖е▒кой ▒╡ем╗ │вели╖ивае▓▒┐. Однако, ▒│╣е▒▓в│е▓ неко▓о░╗й
оп▓имизм; нап░име░, из-за коллек▓ивного ╡а░ак▓е░а ЯМР-▓е╡нологий
можно пол│╖а▓╝ ░ез│л╝▓а▓ п░и до▒▓ижении ░азли╖имой бол╝╕ей ╖а▒▓и молек│л п░авил╝ного коне╖ного ▒о▒▓о┐ни┐. Тем ▒ам╗м, ▒оздание
╜┤┤ек▓ивно ╖и▒▓ого ▒о▒▓о┐ни┐ не ┐вл┐е▓▒┐ необ╡одим╗м. Оп▓и╖е▒ка┐
нака╖ка и ░азли╖н╗е ме▓од╗ о╡лаждени┐ ▓акже мог│▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐
дл┐ на╖ал╝ной пол┐░иза╢ии ░або╖его об░аз╢а, дл┐ │вели╖ени┐ ампли▓│д╗ ▒игнала, по▒кол╝к│ п░и низки╡ ▓емпе░а▓│░а╡ Z 1. Кван▓ов╗е
в╗╖и▒лени┐ ┐вно об░и▒ов╗ва╛▓ ин▓е░е▒н╗е и н│жн╗е ▒ложн╗е ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗е зада╖и б│д│╣его.
;
Эк▒пе░имен▓ал╝на┐ ░еализа╢и┐ кван▓ового алго░и▓ма
137
Ри▒. 2. Спек▓░ п░о▓она по▒ле и▒полнени┐ D{J алго░и▓ма и един▒▓венного ▒╖и▓╗ва╛╣его имп│л╝▒а XA ▒ ╜┤┤ек▓ивно ╖и▒▓╗м на╖ал╝н╗м ▒о▒▓о┐нием j00i
и ▒ ▓еплов╗м на╖ал╝н╗м ▒о▒▓о┐нием [на в▒▓авке]. Низкие (в╗▒окие) ╖а▒▓о▓н╗е линии ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ пе░е╡одам j00i $ j10i (j01i $ j11i). Ча▒▓о▓а | 499755169 Г╢, а ампли▓│да дана в п░оизвол╝н╗╡ едини╢а╡. Спек▓░ е▒▓╝
┤│░╝е-об░аз в░емени изменени┐ нап░┐жени┐ V (t), инд│╢и░│емого в ка▓│╕ке
из-за п░е╢е▒▒ии ▒пина A вок░│г ;B0 ▒ ╖а▒▓о▓ой
! по▒ле ▒╖и▓╗ва╛╣его имb A b c
c
п│л╝▒а XA . V (t) е▒▓╝ V (t) V0 Tr [e;iHt e;i 2 Ix (0)ei 2 Ix eiHt (;ibxA byA )],
где bfx;yg | ма▓░и╢╗ Па│ли, а (0) | ма▓░и╢а пло▓но▒▓и ▒о▒▓о┐ни┐ непо▒░ед▒▓венно пе░ед ▒╖и▓╗ва╛╣им имп│л╝▒ом. В ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ ╜▓им, ▒пек▓░ал╝на┐ лини┐ дл┐ ▒пина A дей▒▓ви▓ел╝на и положи▓ел╝на (о▓░и╢а▓ел╝на), когда ▒пин A | j0i (j1i) непо▒░ед▒▓венно пе░ед ▒╖и▓╗ва╛╣им имп│л╝▒ом XA . Эк▒пе░имен▓ б╗л в╗полнен в С▓ан┤о░д▒ком │ниве░▒и▓е▓е ▒ и▒пол╝зованием магни▓а 11.7 Tesla Oxford Instruments и ▒пек▓░ом ▓ипа Varian
13
Inova ▒ ▓░ойной ░езонан▒ной п░ове░кой.
C-ме╖ен╗й CHCl3 б╗л пол│╖ен в
Кемб░идж▒кой изо▓опной лабо░а▓о░ии (Cambridge Isotope Laboratories, Inc.)
[CLM-262].
UNITY
Заме▓им, ╖▓о в п░и подго▓овке ╜▓ой ▒▓а▓╝и м╗ │знали о по╡ожем
╜к▒пе░имен▓е Дж. А. Джон▒а и М. Мо▒ки в Ок▒┤о░д▒ком │ниве░▒и▓е▓е [26].
138
;
Ли▓е░а▓│░а
Ри▒. 3. Эк▒пе░имен▓ал╝но изме░енна┐ и ▓ео░е▓и╖е▒ки ожидаема┐ ма▓░и╢а пло▓но▒▓и о▓клонений по▒ле в╗полнени┐ D{J алго░и▓ма. Диагонал╝н╗е ╜лемен▓╗ п░ед▒▓авл┐╛▓ ▒обой но░ми░ованн│╛ за▒еленно▒▓╝ ▒о▒▓о┐ний
j00i; j01i; j10i и j11i (▒лева нап░аво). Недиагонал╝н╗е ╜лемен▓╗ п░ед▒▓авл┐╛▓ взаимо▒в┐з╝ межд│ ░азн╗ми ▒о▒▓о┐ни┐. Ампли▓│д╗ показан╗ ▒ ░еал╝н╗ми знаками компонен▓; в▒е мним╗е компонен▓╗ б╗ли мал╗. Ма▓░и╢а пло▓но▒▓и о▓клонений б╗ла пол│╖ена ин▓ег░ал╝но о▓ ▒пек▓░ал╝н╗╡ линий п░о▓она и │гле░ода, пол│╖енн╗╡ в 9 ╜к▒пе░имен▓а╡ ▒ ░азли╖н╗м ▒╖и▓╗ва╛╣ими имп│л╝▒ами дл┐ каждого ▒пина (▓омог░а┤и┐ кван▓ового ▒о▒▓о┐ни┐ [24]).
Набл╛даем╗е ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗е недо▒▓а▓ки мог│▓ б╗▓╝ о╢енен╗ ▒лед│╛╣им об░азом. В ╜к▒пе░имен▓а╡ но░ми░ованна┐ за▒еленно▒▓╝ ╖и▒▓╗╡ ▒о▒▓о┐ний (в идеал╝ном ▒л│╖ае ░авна┐ 1) ва░╝и░овала▒╝ о▓ 0:998 до 1:019. Д░│гие ╜лемен▓╗ ма▓░и╢╗ пло▓но▒▓и о▓клонений (в идеал╝ном ▒л│╖ае 0) б╗ли
по вели╖ине мен╝╕е 0:075. О▓но▒и▓ел╝на┐ о╕ибка " дл┐ ╜к▒пе░имен▓ал╝ной
ма▓░и╢╗ пло▓но▒▓и exp дл┐ ╖и▒▓╗╡ коне╖н╗╡ ▒о▒▓о┐ний, оп░еделенна┐ как
" =k exp ; theory k = k theory k, ва░╝и░овала▒╝ межд│ 8 и 12% .
Благода░но▒▓и
М╗ благода░н╗ Алек▒│ Пайне▒│ и Ма░к│ К│бинек│ за полезн╗е
об▒│ждени┐. Э▓а ░або▓а б╗ла подде░жана DARPA п░и ини╢иа▓иве
NMRQC. Л. В. п░изна▓елен Francqui Fellowship Бел╝гий▒кого Аме░икан▒кого Об░азова▓ел╝ного Фонда и Yansouni Family Fellowship.
Ад░е▒ дл┐ ко░░е▒понден╢ии: ichuang@almaden.ibm.com
Ли▓е░а▓│░а
[1] D. Deutsch. Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the
Universal Quantum Computer, Proc. R. Soc. Lond., A, 400, 97{117
(1985).
Ли▓е░а▓│░а
139
[2] P. Shor. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and
factoring, Proc. 35th Ann. Symp. on Found. of Computer Science
(IEEE Comp. Soc. Press, Los Alomitos, CA, 1994) 124{134.
[3] D. P. DiVincenzo. Quantum computation. Science 270, 5234, 255{261
(1995).
[4] S. Lloyd. Quantum-mechanical computers. Scientic American 273,
44{50 (Oct. 1995).
[5] A. Ekert and R. Jozsa. Quantum computation and Shor's factoring
algorithm. Rev. of Mod. Physics 68, 3, 733{753 (1996).
[6] D. Deutsch and R. Jozsa. Rapid solution of problems by quantum
computation. Proc. R. Soc. Lond., A 439, 553{558 (1992).
[7] D. Simon. On the power of quantum computation. Proc. 35th Ann.
Symp. on Found. of Computer Science (IEEE Comp. Soc. Press, Los
Alamitos, CA, 1994) 116{123.
[8] L. K. Grover. Quantum computers can search arbitrarily large
databases by a single query. Phys. Rev. Lett. 79, 23, 4709{4012 (1997).
[9] W. G. Unruh. Maintaining coherence in quantum computers. Phys.
Rev. A 51, 2, 992{997 (1995).
[10] I. L. Chuang, R. Laamme, P. Shor, W. H. Zurek. Quantum computers,
factoring, and decoherence. Science 270, 5242, 1633{1635 (1995).
[11] R. Landauer. Dissipation and Noise Immunity in Computation and
Communication. Nature, Vol. 335, 779{784 (1988).
[12] R. Landauer. Is Quantum Mechanics Useful? Phil. Trans. R. Soc.
Lond. A, 335, 367{376 (1995).
[13] G. M. Palma, K.-A. Suominen and A. K. Ekert. Quantum Computers
and Dissipation. Proc. R. Soc. Lond., A, 452, 567{584 (1996).
[14] C. Monroe, D. M. Meekhof, B. E. King, W. M. Itano, D. J. Wineland.
Demonstration of a fundamental quantum logic gate. Phys. Rev. Lett.
75, 25, 4714{4717 (1995).
140
Ли▓е░а▓│░а
[15] Q. A. Turchette, C. J. Hood, W. Lange, H. Mabuchi, H. J. Kimble.
Measurement of conditional phase shifts for quantum logic. Phys. Rev.
Lett. 75, 25, 4710{4713 (1995).
[16] S. Lloyd. A potentially realizable quantum computer. Science 261, 5128,
1569{1571 (1993).
[17] N. Gershenfeld and I. L. Chuang. Bulk spin-resonance quantum
computation. Science 275, 5298, 350{356 (1997).
[18] D. G. Cory, M. D. Price, A. F. Fahmy, T. F. Havel. Nuclear magnetic
resonance spectroscopy: an experimentally accessible paradigm for
quantum computing. Physica D, in print; lanl e-print quantph/9709001 (1997).
[19] D. G. Cory, A. F. Fahmy, and T. F. Havel. Ensemble quantum
computing by NMR spectroscopy. Proc. Nat. Acad. Sci. 94, 1634{1639
(1997).
[20] R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello and M. Mosca. Proc. R. Soc.
Lond., A, 454, 339{354 (1998); lanl e-print quant-ph/9708016.
[21] C. P. Slichter. Principles of Magnetic Resonance. (Springer, Berlin,
1990).
[22] E. Knill, I. L. Chuang and R. Laamme. Eective pure states for bulk
quantum computation, to appear in Phys. Rev. A, (1998); lanl e-print
quant-ph/9706053.
[23] R. R. Ernst, G. Bodenhausen and A. Wokaun. Principles of Nuclear
Magnetic Resonance in One and Two Dimensions. (Oxford University
Press, Oxford, 1994).
[24] I. L. Chuang, N. Gershenfeld, M. G. Kubinec, D. W. Leung. Bulk
quantum computation with nuclear magnetic resonance: Theory and
experiment. Proc. R. Soc. Lond., A, 454, 447{467 (1998).
[25] W. S. Warren. The Usefulness of NMR Quantum Computing. Science,
277 1688{1690 (1997).
[26] T. F. Jones, M. Mosca. Implementation of a Quantum Algorithm to
Solve Deutsch's Problem on a Nuclear Magnetic Resonance Quantum
Computer. subm. to J. of Chem. Phys. (1998); lanl e-print quantph/9801027.
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ▒ молек│лами
Н. Ге░╕ен┤елд, И. Чанг
(Heil Gershenfeld, Isaak L. Chuang)1
Во▒пол╝зовав╕и▒╝ ┐де░н╗м магни▓н╗м ░езонан▒ом, │╖ен╗е мог│▓ за▒▓ави▓╝ молек│л╗ в неко▓о░╗╡ ▒ам╗╡ об╗╖н╗╡
жидко▒▓┐╡ ▒л│жи▓╝ в ка╖е▒▓ве ╜к▒▓░ао░дина░ного ▓ипа комп╝╛▓е░а.
Фак▓о░иза╢и┐ ╖и▒ел ▒ 400 знаками | в╗╖и▒ли▓ел╝ное и▒к│▒▒▓во,
необ╡одимое, ╖▓об╗ взлам╗ва▓╝ неко▓о░╗е ▒ек░е▓н╗е код╗, | зан┐ла
б╗ даже на ▒амом б╗▒▓░ом из ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ▒│пе░комп╝╛▓е░ов биллион╗ ле▓. Но недавно зад│манн╗й ▓ип комп╝╛▓е░ов, ко▓о░╗й и▒пол╝з│е▓ кван▓ово-ме╡ани╖е▒кое взаимодей▒▓вие, може▓ в╗полни▓╝ зада╖│
за год и, зна╖и▓, по▒░ед▒▓вом ╜▓ого, ░аз░│╕и▓╝ многие из наиболее
и▒к│╕енн╗╡ ╕и┤░овал╝н╗╡ ▒╡ем, ко▓о░╗е ╕и░око и▒пол╝з│╛▓▒┐. Сек░е▓н╗е данн╗е пока в безопа▒но▒▓и, по▓ом│ ╖▓о е╣е ник▓о не ▒мог
по▒▓░ои▓╝ п░ак▓и╖е▒кий кван▓ов╗й комп╝╛▓е░. Но и▒▒ледова▓ели │же
▒ей╖а▒ п░одемон▒▓░и░овали возможно▒▓╝ п░иблизи▓╝▒┐ к ╜▓ом│. Такой
комп╝╛▓е░ в╗гл┐дел б╗ никак не ина╖е как ма╕ина, ко▓о░а┐ ▒▓ои▓ на
ва╕ем ▒▓оле; │диви▓ел╝но, но она могла б╗ б╗▓╝ по╡ожа ▒о ▒▓о░он╗ на
╖а╕к│ ко┤е.
М╗ и неко▓о░╗е д░│гие и▒▒ледова▓ел╝▒кие г░│пп╗ полагаем, ╖▓о
кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗, о▒нованн╗е на молек│ла╡ в жидко▒▓и, ▒мог│▓
однажд╗ п░еодоле▓╝ многие из ог░ани╖ений, ▒ ко▓о░╗ми ▒▓олкн│ли▒╝
об╗╖н╗е комп╝╛▓е░╗. П░еп┐▓▒▓ви┐ на п│▓и │л│╖╕ени┐ ▓░ади╢ионн╗╡
комп╝╛▓е░ов б│д│▓ в кон╢е кон╢ов возника▓╝ из ог░ани╖ений дл┐ кла▒▒и╖е▒кой ┤изики на миниа▓╛░иза╢и╛ (нап░име░, по▓ом│ ╖▓о ▓░анзи▒▓о░╗ и ╜лек▓░онн╗е п░оволо╖ки не мог│▓ б╗▓╝ ▒делан╗ ▓он╝╕е ░азме░ов а▓ома). Или они мог│▓ возникн│▓╝ по п░ак▓и╖е▒ким п░и╖инам |
более ве░о┐▓но по▓ом│, ╖▓о обо░│дование дл┐ изго▓овлени┐ в▒е более
1
c Scientic American, 1998.
Пе░евод О. Д. Тимо┤еев▒кой.
142
Н. Ге░╕ен┤елд, И. Чанг
мо╣н╗╡ мик░о╖ипов б│де▓ ▒▓анови▓╝▒┐ ба▒но▒ловно до░огим. Однако,
маги┐ кван▓овой ме╡аники може▓ ░е╕и▓╝ обе ╜▓и п░облем╗.
П░еим│╣е▒▓во кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов возникае▓ из ▒по▒оба коди░овки би▓а, ┤│ндамен▓ал╝ной едини╢╗ ин┤о░ма╢ии. Со▒▓о┐ние би▓а
в кла▒▒и╖е▒кой ╢и┤░овой в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕ине задае▓▒┐ одной ╢и┤░ой 0 или 1. N -би▓ное бина░ное ▒лово в ▓ипи╖ном комп╝╛▓е░е ▒оо▓ве▓▒▓венно опи▒╗вае▓▒┐ ▒▓░окой из n н│лей и едини╢. Кван▓ов╗й би▓,
наз╗ваем╗й к│би▓ом, мог б╗ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен а▓омом в одном из дв│╡
░азли╖н╗╡ ▒о▒▓о┐ний, ко▓о░╗е ▓акже можно обозна╖а▓╝ как 0 или 1.
Два к│би▓а, ▓акже как два кла▒▒и╖е▒ки╡ би▓а, име╛▓ ╖е▓╗░е ╡о░о╕о
оп░еделенн╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐ (0 и 0, 0 и 1, 1 и 0, 1 и 1).
Но, в о▓ли╖ие о▓ кла▒▒и╖е▒ки╡ би▓ов, к│би▓╗ мог│▓ ▒│╣е▒▓вова▓╝
однов░еменно в ▒о▒▓о┐ни┐╡ 0 и 1 ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ дл┐ каждого ▒о▒▓о┐ни┐, заданной ╖и▒лов╗м ко╜┤┤и╢иен▓ом. Опи▒ание дв│к│би▓ного кван▓ового комп╝╛▓е░а, ▓аким об░азом, по▓░еб│е▓ ╖е▓╗░е╡ ко╜┤┤и╢иен▓ов.
В об╣ем, n к│би▓ов ▓░еб│╛▓ 2n ╖и▒ел, ╖▓о б╗▒▓░о ▒▓анови▓▒┐ множе▒▓вом зна╖и▓ел╝н╗╡ ░азме░ов дл┐ бол╝╕и╡ зна╖ений n. Нап░име░, е▒ли n
░авно 50, около 1015 ╖и▒ел по▓░еб│е▓▒┐, ╖▓об╗ опи▒а▓╝ в▒е возможн╗е
▒о▒▓о┐ни┐ кван▓овой ма╕ин╗ | ╖и▒ло, ко▓о░ое п░ев╗╕ае▓ ▒по▒обно▒▓и
▒амого бол╝╕ого об╗╖ного комп╝╛▓е░а. Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ обе╣ае▓
безме░н│╛ мо╣но▒▓╝, по▓ом│ ╖▓о он може▓ на╡оди▓╝▒┐ во множе▒▓ве
▒о▒▓о┐ний однов░еменно | ┐вление, наз╗ваемое ▒│пе░пози╢ией, | и
по▓ом│ ╖▓о он може▓ дей▒▓вова▓╝ на в▒е ▒вои возможн╗е ▒о▒▓о┐ни┐
однов░еменно. Таким об░азом, кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ мог б╗ в╗полн┐▓╝ не▒ме▓ное ╖и▒ло опе░а╢ий па░аллел╝но, и▒пол╝з│┐ ▓ол╝ко един▒▓венн╗й п░о╢е▒▒о░.
1. Дей▒▓вие на ░а▒▒▓о┐нии
Д░│гое ▒вой▒▓во к│би▓ов е╣е более п░и╖│дливо | и полезно. Вооб░азим ┤изи╖е▒кий п░о╢е▒▒, когда изл│╖а╛▓▒┐ два ┤о▓она (▒ве▓ов╗╡
паке▓а): один налево, а д░│гой нап░аво, ▒ ┤о▓онами, име╛╣ими п░о▓ивоположн╗е пол┐░иза╢ии дл┐ и╡ о▒╢илли░│╛╣и╡ ╜лек▓░и╖е▒ки╡ полей.
До де▓ек▓и░овани┐ пол┐░иза╢и┐ каждого из ┤о▓онов неде▓е░мини░ована. Как б╗ло заме╖ено Ал╝бе░▓ом Эйн╕▓ейном и д░│гими в на╖але ▒▓оле▓и┐, в ▓о▓ момен▓, когда п░оизводи▓▒┐ изме░ение пол┐░иза╢ии дл┐
одного ┤о▓она, ▒о▒▓о┐ние пол┐░иза╢ии д░│гого ▒▓анови▓▒┐ немедленно
┤ик▒и░ованн╗м | не важно, как далеко он на╡оди▓▒┐. Такое мгновен-
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ▒ молек│лами
143
ное дей▒▓вие на ░а▒▒▓о┐нии дей▒▓ви▓ел╝но ▒▓░анно. Э▓о ┐вление позвол┐е▓ кван▓ов╗м ▒и▒▓емам ░азвива▓╝ ▓елепа▓и╖е▒к│╛ ▒в┐з╝, ▓ак наз╗ваемое ▒к░е╣ение, ко▓о░ое ╜┤┤ек▓ивно ▒л│жи▓ дл┐ комм│ника╢ии
межд│ к│би▓ами в кван▓овом комп╝╛▓е░е. Э▓о ▒амое ▒вой▒▓во позволило Ан▓он│ Цайлинге░│ в │ниве░▒и▓е▓е Ин▒б░│ка в п░о╕лом год│
п░ед▒▓ави▓╝ заме╖а▓ел╝н│╛ демон▒▓░а╢и╛ кван▓овой ▓елепо░▓а╢ии.
В 1994 год│ Пи▓е░ Шо░ │▒▓ановил, как и▒пол╝зова▓╝ п░еим│╣е▒▓ва
▒к░е╣енн╗╡ ▒о▒▓о┐ний и ▒│пе░пози╢ии ▒о▒▓о┐ний, ╖▓об╗ ░азлага▓╝ на
п░о▒▓╗е множи▓ели ╢ел╗е ╖и▒ла. Он на╕ел, ╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░
мог б╗ в п░ин╢ипе в╗полни▓╝ ╜▓│ зада╖│ го░аздо б╗▒▓░ее, ╖ем л│╖╕а┐
кла▒▒и╖е▒ка┐ в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ ма╕ина. Его о▓к░╗▓ие имело г░омадное
зна╖ение. Неожиданно ▒ек░е▓╗ ╕и┤░овал╝н╗╡ ▒и▒▓ем, ко▓о░╗е зави▒ели о▓ ▓░│дно▒▓ей ┤ак▓о░иза╢ии бол╝╕и╡ ╖и▒ел, ▒▓али ненадежн╗ми.
Но п░и закл╛╖ении многи╡ ┤инан▒ов╗╡ ▒делок п░инима╛▓▒┐ ме░╗ п░едо▒▓о░ожно▒▓и ▒ помо╣╝╛ ▓аки╡ ╕и┤░овал╝н╗╡ ▒╡ем. Рез│л╝▓а▓ Шо░а
нане▒ │да░ по к░ае│гол╝ном│ камн╛ ми░овой ╜лек▓░онной ╜кономики.
Оп░еделенно ник▓о не мог вооб░ази▓╝, ╖▓о ▓акой п░о░╗в мог п░ий▓и о▓к│да-▓о извне ▓аки╡ ди▒╢иплин, как в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ ▓е╡ника или
▓ео░и┐ ╖и▒ел. И▓ак, алго░и▓м Шо░а под▒казал комп╝╛▓е░н╗м │╖ен╗м на╖а▓╝ из│╖а▓╝ кван▓ов│╛ ме╡аник│, и он за▒▓авил ┤изиков пол╛би▓ел╝▒ки на╖а▓╝ занима▓╝▒┐ в╗╖и▒ли▓ел╝ной ▓е╡никой.
2. В░а╖евание ▒пинов
В▒е и▒▒ледова▓ели, ▒озе░╢ав╕ие о▓к░╗▓ие Шо░а, пон┐ли, ╖▓о ▒оздание полезного кван▓ового комп╝╛▓е░а ▒оби░ае▓▒┐ б╗▓╝ д╝┐вол╝▒ки
▓░│дн╗м. П░облема ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о по╖▓и л╛бое взаимодей▒▓вие ▒
ок░│жа╛╣ей ▒░едой | ▒кажем, а▓ом, ▒▓алкива╛╣ий▒┐ ▒ д░│гим а▓омом, или ░а▒▒е┐нн╗й ┤о▓он | ▒о▒▓авл┐е▓ изме░ение. С│пе░пози╢и┐
кван▓ово-ме╡ани╖е▒ки╡ ▒о▒▓о┐ний ▓огда коллап▒и░│е▓ в един▒▓венное
о╖ен╝ ╡о░о╕о оп░еделенное ▒о▒▓о┐ние | ▓о, ╖▓о де▓е░мини░│е▓▒┐ набл╛да▓елем. Э▓о ┐вление, изве▒▓ное как декоге░ен▓но▒▓╝, делае▓ дал╝ней╕ие кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ невозможн╗ми. По╜▓ом│ вн│▓░енн┐┐
░або▓а╛╣а┐ ╖а▒▓╝ кван▓ового комп╝╛▓е░а должна б╗▓╝ как-▓о о▓делена о▓ ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗, ╖▓об╗ подде░жива▓╝ коге░ен▓но▒▓╝. Но
она должна б╗▓╝ ▓акже легко до▒▓│пна, ╖▓об╗ в╗╖и▒лени┐ могли б╗▓╝
заг░│жен╗, в╗полнен╗ и ░ез│л╝▓а▓╗ в╗веден╗.
П░ед╕е▒▓в│╛╣а┐ ░або▓а, вкл╛╖ав╕а┐ ╜леган▓н╗е ╜к▒пе░имен▓╗
144
Н. Ге░╕ен┤елд, И. Чанг
;
;
;
К. Мон░о и Д. Вайл╜нда из На╢ионал╝ного ин▒▓и▓│▓а С▓анда░▓ов и Те╡нологии и Х. Кимбла из Кали┤о░ний▒кого Те╡нологи╖е▒кого ин▒▓и▓│▓а,
делала поп╗▓к│ ░е╕и▓╝ ╜▓│ п░облем│ ▓╣а▓ел╝ной изол┐╢ией кван▓ово-ме╡ани╖е▒кого ▒е░д╢а и╡
комп╝╛▓е░а. Нап░име░, магни▓ное поле може▓ за╡ва▓и▓╝ не▒кол╝ко за░┐женн╗╡ ╖а▒▓и╢, ко▓о░╗е по▓ом мог│▓ б╗▓╝ замо░ожен╗ в ╖и▒▓о кван▓овом ▒о▒▓о┐нии. Но даже ▓акие ге░ои╖е▒кие
│▒или┐ п░одемон▒▓░и░овали ▓ол╝ко ╜лемен▓а░н╗е кван▓ов╗е опе░а╢ии, ▓ак как ╜▓и нов╗е п░ибо░╗
▒оде░жа▓ ▓ол╝ко не▒кол╝ко би▓ов
и они ▓е░┐╛▓ коге░ен▓но▒▓╝ о╖ен╝
б╗▒▓░о.
К ▓ом│ же, как ▓огда кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ можно и▒пол╝зова▓╝, е▒ли он н│ждае▓▒┐ в ▓акой ╡о░о╕ей изол┐╢ии о▓ ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗? В п░о╕лом год│ м╗ обна░│жили, ╖▓о об╗╖на┐
жидко▒▓╝ може▓ и▒полни▓╝ в▒е
опе░а╢ии кван▓ово-ме╡ани╖е▒ки╡
в╗╖и▒лений: заг░│зка в на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние, п░именение логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий к ▒к░е╣енн╗м
О▒новн╗е
╜лемен▓╗
на▒▓ол╝ного ▒│пе░пози╢и┐м и в╗вод коне╖кван▓ового
комп╝╛▓е░а,
▒об░ан- ного ░ез│л╝▓а▓а. Вме▒▓е ▒ г░│пного
ав▓о░ами.
Че░ез
не▒кол╝ко пой из Га░ва░д▒кого Униве░▒и▓еле▓ ▓акой п░ибо░ б│де▓ ░або▓а▓╝ ▓а и Ма▒▒а╖│▒е▓▒кого Те╡нологидаже
л│╖╕е,
╖ем
комме░╖е▒кий ╖е▒кого Ин▒▓и▓│▓а м╗ обна░│жиЯМР-▒пек▓░оме▓░,
ко▓о░╗й
они ли, ╖▓о ме▓одами ┐де░ного маги▒пол╝з│╛▓ ▒ей╖а▒ дл┐ ▒вои╡ и▒▒лени▓ного ░езонан▒а (ЯМР) (подобдований.
н╗е ме▓одам, и▒пол╝з│ем╗м дл┐
магни▓но-░езонан▒н╗╡ изоб░ажений | МРИ) можно манип│ли░ова▓╝
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ▒ молек│лами
145
кван▓овой ин┤о░ма╢ией в ▓ом ▒м╗▒ле, ╖▓о она може▓ п░ед▒▓авл┐▓╝ ▒обой кла▒▒и╖е▒к│╛ жидко▒▓╝.
Оказ╗вае▓▒┐, наполнение п░оби░ки жидко▒▓╝╛, ▒о▒▓о┐╣ей из под╡од┐╣и╡ молек│л | ▓о е▒▓╝ и▒пол╝зование ог░омного ╖и▒ла индивид│ал╝н╗╡ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов вме▒▓о одного | непо▒░ед▒▓венно
▒в┐зано ▒ п░облемой декоге░ен▓но▒▓и. П░ед▒▓авл┐┐ кажд╗й к│би▓ ог░омн╗м набо░ом молек│л, можно доп│▒▓и▓╝ взаимодей▒▓вие ▒ не▒кол╝кими из ни╡, не на░│╕а┐ ▒о▒▓о┐ни┐ о▒▓ал╝н╗╡. Фак▓и╖е▒ки ╡имики,
ко▓о░╗е и▒пол╝з│╛▓ ЯМР в ▓е╖ение де▒┐▓иле▓ий, ╖▓об╗ из│╖а▓╝ ▒ложн╗е молек│л╗, в▒е ╜▓о в░ем┐ п░оизводили кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐.
;
Магни▓н╗е ┐д░а вед│▓ ▒еб┐ как в░а╣а╛╣ие▒┐ вол╖ки. О▒╝ ▒пина в но░мал╝ном положении о░иен▓и░ована вдол╝ нап░авлени┐ п░иложенного по▒▓о┐нного
магни▓ного пол┐ (в ╢ен▓░е). Под╡од┐╣ее пе░еменное поле може▓ в╗зва▓╝ пе░ео░иен▓а╢и╛ ▒пина. Нап░име░, 180-г░ад│▒н╗й имп│л╝▒ (▒лева) за▒▓авл┐е▓
в░а╣а╛╣ее▒┐ ┐д░о полно▒▓╝╛ пе░еве░н│▓╝▒┐. 90-г░ад│▒н╗й имп│л╝▒ (▒п░ава) за▒▓ави▓ его наклони▓╝▒┐ пе░пендик│л┐░но к по▒▓о┐нном│ магни▓ном│
пол╛ (ве░▓икал╝на┐ ▒▓░елка). По▒ле ▓акого о▓клонени┐ о▒╝ ▒пина б│де▓ ▒ама
▒обой медленно в░а╣а▓╝▒┐ (п░е╢е▒▒и░ова▓╝), ▒ов▒ем как де▓▒ка┐ иг░│╕ка.
Яде░н╗й магни▓н╗й ░езонан▒ опе░и░│е▓ ▒ кван▓ов╗ми ╖а▒▓и╢ами в ┐д░а╡ вн│▓░и молек│л жидко▒▓и. Ча▒▓и╢╗ ▒о ц▒пиномч дей▒▓в│╛▓ как к░о╕е╖н╗е магни▓ики и б│д│▓ в╗▒▓░аива▓╝▒┐ вдол╝ п░иложенного вне╕него магни▓ного пол┐. Две п░о▓ивоположн╗е о░иен▓а╢ии
(па░аллел╝но и ан▓ипа░аллел╝но вне╕нем│ пол╛) ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ дв│м
кван▓ов╗м ▒о▒▓о┐ни┐м ▒ ░азли╖н╗ми ╜не░ги┐ми, ко▓о░╗е е▒▓е▒▓венно
▒о▒▓авл┐╛▓ к│би▓. Можно положи▓╝, ╖▓о па░аллел╝н╗й ▒пин ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ╖и▒л│ 1 и ан▓ипа░аллел╝н╗й ╖и▒л│ 0. Па░аллел╝н╗й ▒пин имее▓
146
Н. Ге░╕ен┤елд, И. Чанг
более низк│╛ ╜не░ги╛, ╖ем ан▓ипа░аллел╝н╗й, на вели╖ин│, ко▓о░а┐
зави▒и▓ о▓ нап░┐женно▒▓и п░иложенного вне╕него магни▓ного пол┐.
Об╗╖но п░о▓ивоположн╗е нап░авлени┐ ▒пинов п░и▒│▓▒▓в│╛▓ в жидко▒▓и в ░авн╗╡ коли╖е▒▓ва╡. Но п░иложенное поле ▒оздае▓ более в╗годн╗е │▒лови┐ дл┐ па░аллел╝н╗╡ ▒пинов, по╜▓ом│ возникае▓ легкий
ди▒балан▒ межд│ дв│м┐ ▒о▒▓о┐ни┐ми. Э▓о▓ незна╖и▓ел╝н╗й изли╕ек,
▒о▒▓авл┐╛╣ий, возможно, ли╕╝ одно ┐д░о на миллион, изме░┐е▓▒┐ во
в░ем┐ ЯМР-╜к▒пе░имен▓ов.
В дополнение к ╜▓ом│ по▒▓о┐нном│ магни▓ном│ пол╛ ЯМР-п░о╢ед│░а ▓акже и▒пол╝з│е▓ пе░еменн╗е ╜лек▓░омагни▓н╗е пол┐. П░иклад╗ва┐ пе░еменное поле на п░авил╝ной ╖а▒▓о▓е (оп░едел┐емой вели╖иной
по▒▓о┐нного пол┐ и вн│▓░енними ▒вой▒▓вами ╖а▒▓и╢╗, к ко▓о░ой оно
п░иклад╗вае▓▒┐), оп░еделенн╗е ▒пин╗ можно за▒▓ави▓╝ пе░еве░н│▓╝▒┐ в д░│гое ▒о▒▓о┐ние. Э▓а о▒обенно▒▓╝ позвол┐е▓ пе░ео░иен▓и░ова▓╝
┐де░н╗е ▒пин╗ по желани╛.
Нап░име░, п░о▓он╗ (┐д░а водо░ода), поме╣енн╗е в по▒▓о┐нное
магни▓ное поле ▒ нап░┐женно▒▓╝╛ 10 ▓е▒ла, можно за▒▓ави▓╝ измени▓╝ нап░авление ▒пина, п░иклад╗ва┐ магни▓ное поле, о▒╢илли░│╛╣ее
▒ ╖а▒▓о▓ой около 400 МГ╢ | ▓. е. на ░адио╖а▒▓о▓а╡. Хо▓┐ его вкл╛╖а╛▓
об╗╖но ▓ол╝ко на не▒кол╝ко миллионн╗╡ ▒ек│нд╗, ▓акие ░адиоволн╗
пово░а╖ива╛▓ ▒пин╗ ┐де░ вок░│г нап░авлени┐ пе░еменного пол┐, ко▓о░ое об╗╖но о░иен▓и░овано под п░┐м╗м │глом к по▒▓о┐нном│ пол╛.
Е▒ли ░адио╖а▒▓о▓н╗й имп│л╝▒ п░одли▓▒┐ как ░аз ▒▓ол╝ко, ╖▓об╗ пове░н│▓╝ ▒пин╗ на 180, изб╗▓ок магни▓н╗╡ ┐де░, пе░вона╖ал╝но о░иен▓и░ованн╗╡ вдол╝ по▒▓о┐нного пол┐, б│де▓ ▓епе░╝ нап░авлен п░о▓ивоположно, ▓. е. в ан▓ипа░аллел╝ном нап░авлении. Имп│л╝▒ ▒ половинной дли▓ел╝но▒▓╝╛ б│де▓ за▒▓авл┐▓╝ ╖а▒▓и╢╗ ▒ ░авной ве░о┐▓но▒▓╝╛
о░иен▓и░ова▓╝▒┐ па░аллел╝но или ан▓ипа░аллел╝но.
В кван▓ово-ме╡ани╖е▒ки╡ ▓е░мина╡ ▒пин б│д▓о б╗ на╡оди▓▒┐ в обои╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡ 0 и 1 однов░еменно. Об╗╖ное кла▒▒и╖е▒кое ▓олкование
╜▓ой ▒и▓│а╢ии изоб░ажае▓ о▒и ▒пинов ╖а▒▓и╢ нап░авленн╗ми под │глом 90 к по▒▓о┐нном│ магни▓ном│ пол╛. За▓ем, как де▓▒кий вол╖ок,
ко▓о░╗й о▓клонил▒┐ о▓ ве░▓икали под дей▒▓вием г░ави▓а╢ии, о▒╝ ▒пина
╖а▒▓и╢╗ ▒ама ▒обой в░а╣ае▓▒┐, ▓. е. п░е╢е▒▒и░│е▓ вок░│г магни▓ного
пол┐ ▒ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒кой ╖а▒▓о▓ой. П░и ╜▓ом изл│╖ае▓▒┐ ▒лаб╗й ░адио▒игнал, ко▓о░╗й може▓ б╗▓╝ за░еги▒▓░и░ован ЯМР-аппа░а▓│░ой.
Фак▓и╖е▒ки, ╖а▒▓и╢╗ в ЯМР-╜к▒пе░имен▓а╡ и▒п╗▓╗ва╛▓ дей▒▓вие более ▒ил╝ного пол┐, ╖ем п░иложенное извне, по▓ом│ ╖▓о каждое
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ▒ молек│лами
147
к░о╕е╖ное а▓омное ┐д░о вли┐е▓ на вели╖ин│ магни▓ного пол┐ в ▒воей
ок░е▒▓но▒▓и. В жидко▒▓и по▒▓о┐нное движение молек│л д░│г о▓но▒и▓ел╝но д░│га п░ак▓и╖е▒ки │░авнове╕ивае▓ ╜▓│ локал╝н│╛ магни▓н│╛
░┐б╝. Но одно магни▓ное ┐д░о може▓ дей▒▓вова▓╝ на д░│гое в ▓ой же
▒амой молек│ле, когда оно возм│╣ае▓ ╜лек▓░он╗, в░а╣а╛╣ие▒┐ вок░│г
ни╡ обои╡.
Не▒мо▓░┐ на ▓░│дно▒▓и, ╜▓о взаимодей▒▓вие вн│▓░и молек│л╗ оказ╗вае▓▒┐ ве▒╝ма полезн╗м. Оно позвол┐е▓ легко по▒▓░ои▓╝ гей▓, о▒новн│╛ едини╢│ в╗╖и▒лений, и▒пол╝з│┐ два ┐де░н╗╡ ▒пина. Дл┐ на╕и╡
╜к▒пе░имен▓ов м╗ и▒пол╝зовали ╡ло░о┤о░м (CHCl3 ). М╗ б╗ли заин▓е░е▒ован╗ во▒пол╝зова▓╝▒┐ взаимодей▒▓вием межд│ ▒пинами ┐де░ водо░ода и │гле░ода. Так как ┐д░о об╗╖ного │гле░ода, │гле░ода 12, не
имее▓ ▒пина, м╗ и▒пол╝зовали ╡ло░о┤о░м, ▒оде░жа╣ий │гле░од ▒ дополни▓ел╝н╗м ней▓░оном, ко▓о░╗й п░идае▓ ┐д░│ полн╗й ▒пин.
П░едположим, ╖▓о ▒пин водо░ода нап░авлен вве░╡ или вниз, па░аллел╝но или ан▓ипа░аллел╝но ве░▓икал╝но п░иложенном│ магни▓ном│
пол╛, в ▓о в░ем┐ как ▒пин │гле░ода о░иен▓и░ован ▓ак, ╖▓о оп░еделенно нап░авлен вве░╡, па░аллел╝но ╜▓ом│ по▒▓о┐нном│ магни▓ном│
пол╛. П░авил╝но подоб░анн╗й ░адио╖а▒▓о▓н╗й имп│л╝▒ може▓ пове░н│▓╝ кажд╗й │гле░одн╗й ▒пин вниз в го░изон▓ал╝н│╛ пло▒ко▒▓╝. Яд░а
│гле░ода б│д│▓ ▓епе░╝ п░е╢е▒▒и░ова▓╝ вок░│г ве░▓икали ▒о ▒ко░о▒▓╝╛
в░а╣ени┐, ко▓о░а┐ зави▒и▓ о▓ ▓ого, оказало▒╝ ли ┐д░о водо░ода в ▓ой же
молек│ле ▓акже па░аллел╝н╗м п░иложенном│ пол╛. По▒ле оп░еделенного ко░о▓кого п░омеж│▓ка в░емени │гле░од б│де▓ на╡оди▓╝▒┐ в одном
нап░авлении или ▓о╖но п░о▓ивоположном, в зави▒имо▒▓и о▓ ▓ого, б╗л
ли ▒пин ▒о▒еднего водо░ода нап░авлен вве░╡ или вниз. В ╜▓о▓ момен▓
м╗ п░иклад╗ваем д░│гой ░адио╖а▒▓о▓н╗й имп│л╝▒, ╖▓об╗ пове░н│▓╝
┐д░о │гле░ода е╣е на 90. Э▓о▓ манев░ пе░еб░а▒╗вае▓ ┐д░а │гле░ода
в положение вниз, е▒ли ▒о▒едний водо░од б╗л вве░╡, или вниз, е▒ли
водо░од б╗л вве░╡.
Э▓а ▒е░и┐ опе░а╢ий ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▓ом│, ╖▓о ╜лек▓░о▓е╡ники наз╗ва╛▓ ┤│нк╢ией и▒кл╛╖енное ИЛИ, ╖▓о, возможно, л│╖╕е назва▓╝
кон▓░оли░│емое НЕ (по▓ом│ ╖▓о ▒о▒▓о┐ние одного в╡ода кон▓░оли░│е▓, б│де▓ ли ▒игнал на д░│гом в╡оде пе░еве░н│▓ на в╗╡оде). Тогда как
кла▒▒и╖е▒ким комп╝╛▓е░ам ▓░еб│╛▓▒┐ как подобн╗е гей▓╗ ▒ дв│м┐
в╡одами, ▓ак и более п░о▒▓╗е НЕ-гей▓╗ ▒ одним в╡одом в ▒воей кон▒▓░│к╢ии, г░│ппа и▒▒ледова▓елей показала в 1995 год│, ╖▓о кван▓ов╗е
в╗╖и▒лени┐ мог│▓ б╗▓╝ в╗полнен╗ ▓ол╝ко ▒ помо╣╝╛ в░а╣ений, п░и-
148
;
;
;
;
Н. Ге░╕ен┤елд, И. Чанг
Кон▓░оли░│ем╗й НЕ-гей▓ пе░ево░а╖ивае▓ в╡одн╗е данн╗е на одном из дв│╡
в╡одов в зави▒имо▒▓и о▓ ▒о▒▓о┐ни┐ в▓о░ого. Ав▓о░╗ ▒оздали кон▓░оли░│ем╗й НЕ-гей▓, и▒пол╝з│┐ взаимодей▒▓вие межд│ ▒пинами ┐де░ водо░ода и │гле░ода в молек│ле ╡ло░о┤о░ма. Во-пе░в╗╡, пе░еменн╗й имп│л╝▒ изби░а▓ел╝-
но пово░а╖ивае▓ ┐д░о │гле░ода на 90 . Э▓о ┐д░о п░е╢е▒▒и░│е▓ б╗▒▓░о (е▒ли
▒пин╗ ┐де░ водо░ода и │гле░ода нап░авлен╗ одинаково) или медленно (е▒ли и╡ о░иен▓а╢и┐ п░о▓ивоположна). В╗би░а┐ под╡од┐╣ий момен▓ в░емени и
п░иклад╗ва┐ д░│гой 90-г░ад│▒н╗й имп│л╝▒, за▒▓авим │гле░од пе░еве░н│▓╝▒┐ (▒лева) или о▒▓а▓╝▒┐ в пе░вона╖ал╝ном (▒п░ава) ▒о▒▓о┐нии, в зави▒имо▒▓и
о▓ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒о▒еднего водо░ода.
мененн╗╡ к индивид│ал╝н╗м ▒пинам, и кон▓░оли░│ем╗╡ НЕ-гей▓ов.
Фак▓и╖е▒ки, ╜▓о▓ ▓ип кван▓ов╗╡ гей▓ов го░аздо более │ниве░▒ален,
╖ем и╡ кла▒▒и╖е▒кий ╜квивален▓, ▓ак как ▒пин╗, на ко▓о░╗╡ он бази░│е▓▒┐, мог│▓ б╗▓╝ в ▒│пе░пози╢ии вве░╡-вниз ▒о▒▓о┐ний. Кван▓ов╗е
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ▒ молек│лами
149
комп╝╛▓е░╗ мог│▓, ▒ледова▓ел╝но, опе░и░ова▓╝ однов░еменно на комбина╢и┐╡ каж│╣и╡▒┐ не▒овме▒▓им╗ми в╡одов.
3. Две ве╣и ▒░аз│
В 1996 год│ м╗ наме░евали▒╝ ▒ Ма░ком К│бинеком из Униве░▒и▓е▓а Кали┤о░нии, Бе░кли, по▒▓░ои▓╝ ▒ов░еменн╗й дв│би▓н╗й кван▓овоме╡ани╖е▒кий комп╝╛▓е░, ▒деланн╗й из ╡ло░о┤о░ма. Подго▓овка в╡ода
даже дл┐ ╜▓ого дв│би▓ного п░ибо░а ▓░еб│е▓ зна╖и▓ел╝н╗╡ │▒илий. Се░и┐ ░адио╖а▒▓о▓н╗╡ имп│л╝▒ов должна ▓░ан▒┤о░ми░ова▓╝ бе▒╖и▒ленное ╖и▒ло ┐де░ ╜к▒пе░имен▓ал╝ной жидко▒▓и в ▒овок│пно▒▓╝, │ ко▓о░ой в▒е изб╗▓о╖н╗е ▒пин╗ о░иен▓и░ован╗ н│жн╗м об░азом. По▓ом ╜▓и
к│би▓╗ должн╗ б╗▓╝ по▒ледова▓ел╝но моди┤и╢и░ован╗. В п░о▓ивоположно▒▓╝ би▓ам в ▓░ади╢ионном ╜лек▓░онном комп╝╛▓е░е, ко▓о░╗е
миг░и░│╛▓ │по░┐до╖енн╗м об░азом ╖е░ез по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ гей▓ов в
п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений, к│би▓╗ ник│да не ид│▓. Вме▒▓о ╜▓ого гей▓╗ до▒▓авл┐╛▓▒┐ им благода░┐ ░азли╖н╗м ЯМР-манип│л┐╢и┐м. В ▒│╣но▒▓и,
в╗полн┐ема┐ п░ог░амма ▒компили░ована в ▒е░и╛ ░адио╖а▒▓о▓н╗╡ имп│л╝▒ов.
Пе░вое в╗╖и▒ление, п░имен┐╛╣ее │никал╝н╗е возможно▒▓и кван▓ово-ме╡ани╖е▒ки╡ в╗╖и▒лений, ко▓о░ое м╗ в╗полнили, ▒ледовало о▒▓░о│мном│ алго░и▓м│ пои▒ка, изоб░е▓енном│ Ловом Г░ове░ом из Беллов▒кой Лабо░а▓о░ии. Типи╖н╗й комп╝╛▓е░н╗й алго░и▓м пои▒ка желаемого ╜лемен▓а, ко▓о░╗й за▓е░┐л▒┐ где-▓о в базе данн╗╡ из n ╜лемен▓ов, по▓░ебовал б╗ в ▒░еднем около n=2 поп╗▓ок, ╖▓об╗ его най▓и.
Из│ми▓ел╝но, но кван▓ов╗й
пои▒к по Г░ове░│ може▓ за▒е╖╝ н│жн╗й
p
╜лемен▓ п░име░но за n поп╗▓ок. Как п░име░ ▓акой ╜кономии, м╗ п░одемон▒▓░и░овали, ╖▓о на╕ дв│би▓н╗й комп╝╛▓е░ ▒мог най▓и ╜лемен▓,
▒п░┐▓анн╗й в ▒пи▒ке из ╖е▓╗░е╡ возможно▒▓ей, за один ╕аг. Кла▒▒и╖е▒кое ░е╕ение ╜▓ой зада╖и ▒░одни о▓к░╗вани╛ дв│би▓н╗╡ ви▒┐╖и╡
замков на│гад: б╗ло б╗ неве░о┐▓но най▓и п░авил╝н│╛ комбина╢и╛ ▒
пе░вой поп╗▓ки. Фак▓и╖е▒ки, кла▒▒и╖е▒кий ме▓од ░е╕ени┐ по▓░ебовал
б╗ в ▒░еднем межд│ дв│м┐ и ▓░ем┐ поп╗▓ками.
Я▒но, ╖▓о о▒новное ог░ани╖ение комп╝╛▓е░а на ╡ло░о┤о░ме | мален╝кое ╖и▒ло к│би▓ов. Чи▒ло к│би▓ов можно б╗ б╗ло ░а▒╕и░и▓╝, но n
не може▓ б╗▓╝ бол╝╕е, ╖ем ╖и▒ло а▓омов в и▒пол╝з│емой молек│ле. С
▒│╣е▒▓в│╛╣им ЯМР-обо░│дованием ▒ам╗й бол╝╕ой кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, ко▓о░╗й можно ▒дела▓╝, имел б╗ ▓ол╝ко около 10 к│би▓ов
;
150
Н. Ге░╕ен┤елд, И. Чанг
Взлом ▒ек░е▓ного замка ▒ помо╣╝╛ кван▓ового колдов▒▓ва ▓░еб│е▓ мен╝╕е поп╗▓ок. Нап░име░, дв│би▓н╗й кла▒▒и╖е▒кий замок може▓ по▓░ебова▓╝
╖е▓╗░е поп╗▓ки, ╖▓об╗ его о▓к░╗▓╝ (вве░╡│). В ▒░еднем,
n-би▓н╗й
замок
pn ╕агов, ╖▓об╗ о▓множе▒▓во ▒о▒▓о┐ний ▒░аз│, по▓░еб│е▓▒┐ ▓ол╝ко около
▓░еб│е▓
n=2
поп╗▓ок. Так как кван▓ов╗й замок може▓ б╗▓╝ по▒▓авлен во
к░╗▓╝ его, е▒ли и▒пол╝зова▓╝ алго░и▓м Г░ове░а. Эк▒пе░имен▓╗ ав▓о░ов ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ о▓к░╗вани╛ дв│би▓ного кван▓ового замка, ко▓о░╗й (п░и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей подго▓овке) може▓ б╗▓╝ по▒▓авлен в п░авил╝н│╛ комбина╢и╛
за один ╕аг (вниз│). Чи▒ла на ╢и┤е░бла▓е │каз╗ва╛▓ о▓но▒и▓ел╝н│╛ ве░о┐▓но▒▓╝ дл┐ каждого из ╖е▓╗░е╡ кван▓ов╗╡ ▒о▒▓о┐ний.
(▓ак как п░и комна▓ной ▓емпе░а▓│░е вели╖ина н│жного ▒игнала б╗▒▓░о │мен╝╕ае▓▒┐, когда ╖и▒ло магни▓н╗╡ ┐де░ в молек│ле │вели╖ивае▓▒┐). Спе╢иал╝ное ЯМР-обо░│дование, п░едназна╖енное дл┐ под╡од┐╣ей
молек│л╗, могло б╗ п░едположи▓ел╝но │вели╖и▓╝ ╜▓о ╖и▒ло ░аза в ▓░и-
Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ▒ молек│лами
151
╖е▓╗░е. Но ╖▓об╗ ▒озда▓╝ комп╝╛▓е░╗ е╣е бол╝╕е, понадобили▒╝ б╗
д░│гие ме▓од╗, ▓акие как оп▓и╖е▒ка┐ нака╖ка, ╖▓об╗ цо╡лади▓╝ч ▒пин╗. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о ▒ве▓ о▓ под╡од┐╣его лазе░а мог б╗ помо╖╝ о░иен▓и░ова▓╝ ┐д░а, ╜┤┤ек▓ивно │▒▓░ан┐┐ ▓епловое движение молек│л | но
без ░еал╝ного замо░аживани┐ жидко▒▓и и ▒о╡░ан┐┐ бол╝╕ие в░емена
коге░ен▓но▒▓и.
И▓ак, можно по▒▓░ои▓╝ более к░│пн╗е кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗. Но
на▒кол╝ко б╗▒▓░╗ми они б╗ б╗ли? Э┤┤ек▓ивное в░ем┐ ╢икла кван▓ового комп╝╛▓е░а оп░едел┐е▓▒┐ наимен╝╕ей ▒ко░о▒▓╝╛, ▒ ко▓о░ой ▒пин╗
пове░н│▓▒┐ на полн╗й обо░о▓. Э▓а ▒ко░о▒▓╝, в ▒во╛ о╖е░ед╝, дик▓│е▓▒┐
взаимодей▒▓вием межд│ ▒пинами и об╗╖но закл╛╖ена межд│ ▒о▓н┐ми
╢иклов в ▒ек│нд│ до не▒кол╝ки╡ ╢иклов в ▒ек│нд│. Хо▓┐ ░або▓а ╢икла,
▒о▒▓авл┐╛╣а┐ доли ▒ек│нд╗, каже▓▒┐ │жа▒но медленной по ▒░авнени╛
▒ мегаге░╢овой ▒ко░о▒▓╝╛ ▒ов░еменн╗╡ комп╝╛▓е░ов, кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ ▒ до▒▓а▓о╖н╗м ╖и▒лом к│би▓ов могли б╗ до▒▓ига▓╝ ▓акого
ма▒▒ивного кван▓ового па░аллелизма, ╖▓о дало б╗ е╣е множи▓ел╝ в
400 де▒┐▓и╖н╗╡ знаков, ╖▓о ▒о▒▓авл┐е▓ об░а▓н╗й год.
Дава┐ ▓акое обе╣ание, м╗ о╖ен╝ много д│мали, как кван▓ов╗й
комп╝╛▓е░ можно ┤изи╖е▒ки ▒кон▒▓░│и░ова▓╝. Най▓и молек│л╗ ▒ до▒▓а▓о╖н╗м ╖и▒лом а▓омов | не п░облема. Ра▒▒▓░ой▒▓во планов ▒в┐зано
▒ ▓ем, ╖▓о по ме░е ▓ого как ░азме░╗ молек│л │вели╖ива╛▓▒┐, взаимодей▒▓вие межд│ наиболее │даленн╗ми ▒пинами ▒▓анови▓▒┐ ▒ли╕ком
▒лаб╗м, ╖▓об╗ и▒пол╝зова▓╝ его дл┐ логи╖е▒ки╡ гей▓ов. Но не в▒е е╣е
по▓е░┐но. С. Ллойд из M.I.T. показал, ╖▓о мо╣н╗е комп╝╛▓е░╗ мог│▓
б╗▓╝ в п░ин╢ипе по▒▓░о??н╗, даже е▒ли а▓ом взаимодей▒▓в│е▓ ▓ол╝ко
▒ не▒кол╝кими из ▒вои╡ ближай╕и╡ ▒о▒едей, во многом подобно ▓ом│,
как ░або▓а╛▓ ▒егодн┐╕ние па░аллел╝н╗е комп╝╛▓е░╗. Такой вид кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов можно б╗ б╗ло ▒дела▓╝ из длинн╗╡ молек│л гид░о│гле░ода, ▓акже и▒пол╝з│┐ ЯМР-▓е╡ник│. Спин╗ во многи╡ а▓омн╗╡
┐д░а╡, ко▓о░╗е ▒в┐зан╗ в длинн│╛ ╢епо╖к│, ▒л│жили б╗ ▓огда к│би▓ами.
Д░│гой ба░╝е░ дл┐ п░ак▓и╖е▒ки╡ ЯМР-комп╝╛▓е░ов ▒о▒▓ои▓ в коге░ен▓но▒▓и. В░а╣а╛╣ие▒┐ ┐д░а в жидко▒▓и, подобно плов╢ам ▒ин╡░онного плавани┐, ▓е░┐╛╣им ▒огла▒ованно▒▓╝, на╖ина╛▓ ▓е░┐▓╝ коге░ен▓но▒▓╝ ╖е░ез ин▓е░вал о▓ не▒кол╝ки╡ ▒ек│нд до не▒кол╝ки╡ мин│▓.
Наиболее длинное в░ем┐ коге░ен▓но▒▓и дл┐ жидко▒▓и по ▒░авнени╛
▒ ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒ким в░еменем ╢икла п░едполагае▓, ╖▓о може▓ б╗▓╝
п░оведено около 1 000 опе░а╢ий, пока кван▓ова┐ коге░ен▓но▒▓╝ в▒е е╣е
152
Н. Ге░╕ен┤елд, И. Чанг
▒о╡░ан┐е▓▒┐. К ▒╖а▒▓╝╛, возможно ░а▒╕и░и▓╝ ╜▓о▓ п░едел, добавл┐┐
дополни▓ел╝н╗е к│би▓╗ дл┐ и▒п░авлени┐ кван▓ов╗╡ о╕ибок.
Хо▓┐ кла▒▒и╖е▒кие комп╝╛▓е░╗ и▒пол╝з│╛▓ ╜к▒▓░а-би▓╗ дл┐ обна░│жени┐ и и▒п░авлени┐ о╕ибок, многие ╜к▒пе░▓╗ б╗ли │дивлен╗,
когда Шо░ и д░│гие показали, ╖▓о ▓о же ▒амое може▓ б╗▓╝ ▒делано
кван▓овоме╡ани╖е▒ки. Они наивно полагали, ╖▓о кван▓овое и▒п░авление о╕ибок ▓░еб│е▓ изме░ени┐ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗ и, ▒ледова▓ел╝но,
на░│╕ени┐ коге░ен▓но▒▓и. Однако оказало▒╝, ╖▓о кван▓ов╗е о╕ибки
мог│▓ б╗▓╝ и▒п░авлен╗ вн│▓░и комп╝╛▓е░а, без вме╕а▓ел╝▒▓ва п░ибо░а, ▒╖и▓╗ва╛╣его о╕ибо╖ное ▒о▒▓о┐ние.
В▒е же, до▒▓и╖╝ ░азме░ов, ко▓о░╗е ▒дела╛▓ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ на▒▓ол╝ко бол╝╕ими, ╖▓об╗ конк│░и░ова▓╝ ▒ ▒ам╗ми б╗▒▓░╗ми
кла▒▒и╖е▒кими комп╝╛▓е░ами, б│де▓ о▒обенно ▓░│дно. Но м╗ полагаем,
╖▓о п░ин┐▓╝ в╗зов на ▓акое ▒о▒▓┐зание имее▓ бол╝╕ое зна╖ение. Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗, даже ▒к░омн╗е, б│д│▓ необ╡одим╗ ▒│пе░лабо░а▓о░ии дл┐ из│╖ени┐ п░ин╢ипов кван▓овой ме╡аники. С ╜▓ими п░ибо░ами
и▒▒ледова▓ели б│д│▓ име▓╝ возможно▒▓╝ и▒▒ледова▓╝ д░│гие кван▓ов╗е
▒и▒▓ем╗, п░ед▒▓авл┐╛╣ие ┤│ндамен▓ал╝н╗й ин▓е░е▒, п░о▒▓о зап│▒ка┐
▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие п░ог░амм╗.
Э▓о зв│╖и▓ и░они╖но, но ▓акие кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗, возможно, помог│▓ │╖ен╗м и инжене░ам ░е╕и▓╝ п░облем╗, ▒ ко▓о░╗ми они
▒▓алкива╛▓▒┐, когда ▒▓а░а╛▓▒┐ ▒кон▒▓░│и░ова▓╝ ▓░ади╢ионн╗е мик░о╖ип╗ ▒ ╖░езв╗╖айно мален╝кими ▓░анзи▒▓о░ами, ко▓о░╗е вед│▓ ▒еб┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ки, когда │мен╝╕а╛▓▒┐ в ░азме░а╡ до оп░еделенного п░едела.
Кла▒▒и╖е▒кие комп╝╛▓е░╗ и▒п╗▓╗ва╛▓ ог░омн╗е ▓░│дно▒▓и, ░е╕а┐ ▓акие зада╖и кван▓овой ме╡аники. Но кван▓ов╗е могли б╗ ▒дела▓╝
╜▓о легко. Именно ▓ака┐ возможно▒▓╝ вдо╡новила позднего Ри╖а░да
Фейнмана ░а▒▒│жда▓╝ о ▓ом, мог│▓ ли кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ б╗▓╝
дей▒▓ви▓ел╝но по▒▓░оен╗.
Б╗▓╝ може▓, наиболее п░и┐▓на┐ ▒▓о░она ▒о▒▓ои▓ в понимании ▓ого, ╖▓о ▒оздание кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов не по▓░еб│е▓ п░оизвод▒▓ва
к░о╕е╖н╗╡ мик░о▒╡ем а▓омн╗╡ ░азме░ов или д░│ги╡ ▒ложней╕и╡ п░ибо░ов ▒ и▒пол╝зованием нано▓е╡нологии. Дей▒▓ви▓ел╝но, п░и░ода │же
заве░╕ила ▒ам│╛ ▓┐жел│╛ ╖а▒▓╝ ▓е╡нологи╖е▒кого п░о╢е▒▒а, ▒об░ав
о▒новн╗е компонен▓╗. В▒е в░ем┐ об╗╖н╗е молек│л╗ знали, как в╗полн┐▓╝ заме╖а▓ел╝н╗й вид в╗╖и▒лений. Л╛ди ▓ол╝ко не задавали им
п░авил╝н╗╡ воп░о▒ов.
Ли▓е░а▓│░а
153
Ли▓е░а▓│░а
[1] P. Slichter. Principles of Magnetic Resonance. Third edition. Charles
Springer-Verlag, 1992.
[2] C. H. Bennett. Quantum Infomation AND Computation. Physics
Today. Vol. 48, щ10, p. 24{30; October 1995.
[3] S. Lloyd. Quantum-Mecanical Computers. Scientic American,
Vol. 273, щ4, p. 44{50; October 1995.
[4] N. A. Gershenfeld and I. L. Chuang. Bulk Spin-Resonance. Quantum
Computation. Science, Vol. 275, pp. 350{356; January 17, 1997.
[5] L. K. Grover. Quantum Mechanics hepls in searching for a needle in a
haystack. Physical Review Letters, Vol. 79, щ2, p. 325{328; July 14,
1997. (См. п░ед╗д│╣│╛ ▒▓а▓╝╛ на▒▓о┐╣его ▒бо░ника.)
Б╗▒▓░╗й пои▒к ▒ ┐де░но-магни▓н╗м
░езонан▒н╗м комп╝╛▓е░ом
Джона▓ан А. Джо│н▒
(Jonathan A. Jones)1
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ мог│▓ ▒ове░╕и▓╝ ░евол╛╢и╛ во многи╡
о▓░а▒л┐╡ на│ки благода░┐ ▒воей ▒по▒обно▒▓и ░е╕а▓╝ зада╖и, ко▓о░╗е
▒ли╕ком ▓░│дн╗ дл┐ об╗╖н╗╡ комп╝╛▓е░ов. Хо▓┐ ▓ео░и┐ п░о▒▓а (▒м.
▒оп│▓▒▓в│╛╣ий коммен▓а░ий Г░ове░а [1]), ░еал╝ное по▒▓░оение кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов оказ╗вае▓▒┐ ╖░езв╗╖айно ▓░│дн╗м, и до недавнего в░емени б╗ло возможно демон▒▓░и░ова▓╝ ▓ол╝ко о╖ен╝ п░о▒▓╗е
опе░а╢ии. Однако, по▒ледние не▒кол╝ко ле▓ ▒▓али в░еменем ╖░езв╗╖айно б╗▒▓░ого ░азви▓и┐ комп╝╛▓е░ов, о▒нованн╗╡ на ┐де░но-магни▓ной
░езонан▒ной (ЯМР) ▒пек▓░о▒копии. И▒▒ледова▓ели в IBM, Ма▒▒а╖│▒е▓▒ком Те╡нологи╖е▒ком Ин▒▓и▓│▓е и Униве░▒и▓е▓е Кали┤о░нии в Бе░кли [2], а ▓акже мои коллеги в Ок▒┤о░де [3] п░одемон▒▓░и░овали в на▒▓о┐╣ее в░ем┐ мо╣н╗й кван▓ов╗й алго░и▓м пои▒ка ▒ мал╗ми ЯМР-комп╝╛▓е░ами.
В▒е дей▒▓в│╛╣ие кон▒▓░│к╢ии по▒▓░оен╗ из ▓е╡ же ▒ам╗╡ о▒новн╗╡ компонен▓ов, кван▓ов╗╡ би▓ов (к│би▓ов) и кван▓ов╗╡ логи╖е▒ки╡
гей▓ов. К│би▓╗ ┐вл┐╛▓▒┐ кван▓ов╗м аналогом кла▒▒и╖е▒ки╡ би▓ов, но
е▒ли би▓╗ мог│▓ п░инима▓╝ ▓ол╝ко две ░азли╖н╗е вели╖ин╗ 0 и 1,
к│би▓╗ не ог░ани╖ен╗ ╜▓ими дв│м┐ бази▒н╗ми ▒о▒▓о┐ни┐ми, обозна╖аем╗ми как j0i и j1i, а мог│▓ ▓акже ▒│╣е▒▓вова▓╝ в ▓аки╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡,
как j0i + j1i, наз╗ваем╗╡ ▒│пе░пози╢и┐ми. К│би▓ в ╜▓ом ▒о▒▓о┐нии не
на╡оди▓▒┐ ни п░о▒▓о в ▒о▒▓о┐нии j0i или j1i, ни в п░омеж│▓о╖ном ▒о▒▓о┐нии; ▒ко░ее к│би▓ на╡оди▓▒┐ в обои╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡ однов░еменно. Кван▓ов╗е логи╖е▒кие гей▓╗ дей▒▓в│╛▓ на к│би▓╗ ▓ак же, как кла▒▒и╖е▒кие
логи╖е▒кие опе░а╢ии дей▒▓в│╛▓ на кла▒▒и╖е▒кие би▓╗, но кван▓ов╗е
гей▓╗ ▓акже ░або▓а╛▓ ▒ ▒│пе░пози╢и┐ми и по╜▓ом│ мог│▓ ▒ове░╕а▓╝
множе▒▓во опе░а╢ий в одно и ▓о же в░ем┐.
1 Centre for Quantum Computating and the Oxford Centre for Molecular Sciences,
New Chemistry Laboratory, South Parks Road, Oxford OX1 3QT UK.
E-mail: jones@bioch.ox.ac.uk.
Пе░евод О. Д. Тимо┤еев▒кой.
Б╗▒▓░╗й пои▒к ▒ ┐де░но-магни▓н╗м ░езонан▒н╗м комп╝╛▓е░ом
155
К│би▓ можно п░иго▓ови▓╝ из л╛бой кван▓ово-ме╡ани╖е▒кой ▒и▒▓ем╗ ▒ дв│м┐ ▒о▒▓о┐ни┐ми. В ЯМР-комп╝╛▓е░а╡ и▒пол╝з│╛▓▒┐ два
▒пинов╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐ а▓омного ┐д░а ▒о ▒пином 1=2 в магни▓ном поле.
Разли╖н╗е а▓ом╗ в молек│ле можно о▓ли╖и▓╝ д░│г о▓ д░│га, по╜▓ом│ молек│ла може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зована как кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, где
кажд╗й ▒пин 1=2 ┐д░а обе▒пе╖ивае▓ один к│би▓. П░о▒▓╗е логи╖е▒кие
гей▓╗, ко▓о░╗е воздей▒▓в│е▓ ▓ол╝ко на един▒▓венн╗й к│би▓, мог│▓
б╗▓╝ легко ░еализован╗ ░адио╖а▒▓о▓н╗ми пол┐ми. Э▓и пол┐ ▒ил╝но
взаимодей▒▓в│╛▓ ▒ ┐де░н╗ми ▒пинами, позвол┐┐ кон▓░оли░ова▓╝ и╡ ▒
ог░омной ▓о╖но▒▓╝╛. Однако, ╖▓об╗ в╗полни▓╝ ин▓е░е▒н╗е в╗╖и▒лени┐, н│жн╗ более ▒ложн╗е гей▓╗, ко▓о░╗е позвол┐╛▓ ▒о▒▓о┐ни╛ одного к│би▓а дей▒▓вова▓╝ на д░│гие к│би▓╗ в комп╝╛▓е░е. Зде▒╝ ▓░еб│е▓▒┐ ▓акое взаимодей▒▓вие межд│ ┐де░н╗ми ▒пинами, п░и ко▓о░ом
один ▒пин може▓ ╖│в▒▓вова▓╝ ▒о▒▓о┐ние д░│ги╡ ▒пинов в молек│ле. К
▒╖а▒▓╝╛, име╛╣ее▒┐ в п░и░оде ▒пин-▒пиновое па░ное взаимодей▒▓вие
имее▓ н│жн│╛ ┤о░м│.
ЯМР-▒игнал о▓ един▒▓венной молек│л╗ ▒ли╕ком ▒лаб, ╖▓об╗ б╗▓╝
за░еги▒▓░и░ованн╗м, и по╜▓ом│ дл┐ │▒илени┐ ▒игнала необ╡одимо и▒пол╝зова▓╝ бол╝╕ое ╖и▒ло ▓ожде▒▓венн╗╡ копий. Э▓о ▒дела▓╝ не▓░│дно,
▓ак как даже не▒кол╝ко миллиг░аммов ╡ими╖е▒кого ▒оединени┐ б│де▓
▒оде░жа▓╝ ▓░еб│емое ╖и▒ло молек│л. Невозможно, однако, б╗▓╝ │ве░енн╗ми, ╖▓о в▒е копии на╖ина╛▓ в╗╖и▒лени┐ в ▓ом же ▒амом на╖ал╝ном
▒о▒▓о┐нии, и по╜▓ом│ ░азли╖н╗е копии б│д│▓ на ▒амом деле в╗полн┐▓╝ ░азли╖н╗е в╗╖и▒лени┐, ╖▓о делае▓ ╖░езв╗╖айно ▓░│дн╗м извле╖ение н│жного ░ез│л╝▓а▓а. Э▓а не▒по▒обно▒▓╝ п░иго▓ови▓╝ ЯМР-комп╝╛▓е░╗ в ╡о░о╕о оп░еделенном на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии п░еп┐▓▒▓вовала
и╡ и▒пол╝зовани╛ многие год╗.
В 1997 год│ б╗ли оп│бликован╗ два незави▒им╗╡ ░е╕ени┐ (4) ╜▓ой
п░облем╗. Оба доклада опи▒али, как цв╗│ди▓╝ч ╜┤┤ек▓ивно ╖и▒▓ое на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние из ▒ложной ▒ме▒и и, ▓аким об░азом, зап│▒▓и▓╝ ▒╖е▓,
п░ед▒▓авл┐╛╣ий ин▓е░е▒ (▒игнал╗ о▓ д░│ги╡ на╖ал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний п░и
╜▓ом можно ▒компен▒и░ова▓╝ ▓ак, ╖▓об╗ и╡ об╣ий ░ез│л╝▓а▓ ▒вел▒┐ к
н│л╛). По▒ле ╜▓ого б╗ли по▒▓░оен╗ два ░азли╖н╗╡ дв│би▓н╗╡ комп╝╛▓е░а: один | Чангом ▒ ▒о▓░│дниками (2) на о▒нове 1 H и 13 C ┐де░ в
изо▓опи╖е▒ки поме╖енном ╡ло░о┤о░ме (▒м. ░и▒│нок) и в▓о░ой | одной
из мои╡ и▒▒ледова▓ел╝▒ки╡ г░│пп в Ок▒┤о░де, и▒пол╝з│┐ два ┐д░а 1 H в
╢и▓озине (3). Обе ▒и▒▓ем╗ б╗ли и▒пол╝зован╗ дл┐ в╗полнени┐ п░о▒▓ого кван▓ового алго░и▓ма ░е╕ени┐ зада╖и Дой╖а (5), ко▓о░а┐ в╗╖и▒л┐е▓
156
;
Д. А. Джо│н▒
зна╖ение ┤│нк╢ии дл┐ дв│╡ ░азли╖н╗╡ в╡одов и позвол┐е▓ ▒░авни▓╝ два
зна╖ени┐. Э▓о ▒░авнение до▒▓игае▓▒┐ ▒ помо╣╝╛ един▒▓венной о╢енки
┤│нк╢ии, ко▓о░а┐ п░имен┐е▓▒┐ на дв│╡ в╡ода╡ однов░еменно.
Молек│л┐░н╗й би▓.
1
H и
13
C изо▓опи╖е▒ки поме╖ен-
ного ╡ло░о┤о░ма вед│▓ ▒еб┐ как мален╝кие магни▓ики и
взаимодей▒▓в│╛▓ ▒ вне╕ним магни▓н╗м полем. Яде░н╗е
▒пин╗, │▒▓ановив╕ие▒┐ вдол╝ пол┐, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ к│би▓ам в ▒о▒▓о┐нии
j0i,
в ▓о в░ем┐ как ▓е, ╖▓о о░иен▓и░ова-
н╗ п░о▓ив пол┐, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ к│би▓ам в ▒о▒▓о┐нии
j1i.
Молек│ла, изоб░аженна┐ зде▒╝, п░ед▒▓авл┐е▓ комп╝╛▓е░
в ▒о▒▓о┐нии
j0; 1i.
Т░и молек│л╗ ╡ло░а можно игно░и░о-
ва▓╝.
Зада╖а Дой╖а имее▓ ог░омн╗й и▒▓о░и╖е▒кий ин▓е░е▒, но мало
п░ак▓и╖е▒ки╡ п░иложений. В п░о▓ивоположно▒▓╝ ╜▓ом│, г░ове░ов▒кий
кван▓ов╗й алго░и▓м пои▒ка имее▓ ог░омн│╛ п░ак▓и╖е▒к│╛ важно▒▓╝.
П░о▒▓ей╕а┐ ве░▒и┐, пои▒к един▒▓венного ╜лемен▓а ▒░еди ╖е▓╗░е╡, може▓ б╗▓╝ ░еализована на дв│к│би▓ном комп╝╛▓е░е и на╡оди▓▒┐, ▓аким
об░азом, в обла▒▓и на╡од┐╣и╡▒┐ в об░а╣ении ЯМР-▒и▒▓ем. Чанг ▒ ▒о▓░│дниками опи▒али полн│╛ ░еализа╢и╛ ╜▓ого алго░и▓ма на и╡ комп╝╛▓е░е на ╡ло░о┤о░ме (2). И╡ ░ез│л╝▓а▓╗ показ╗ва╛▓, ╖▓о возможно
локализова▓╝ желаем╗й ╜лемен▓ за один ╕аг, как п░ед▒каз╗вало▒╝, и
╖▓о ▓акже возможно │▒▓анови▓╝, ╖▓о имее▓▒┐ в ▒амом деле ▓ол╝ко один
╜лемен▓, ко▓о░╗й должен б╗▓╝ найден. М╗ п░ед▒▓авили подобн│╛, но
менее полн│╛ ░еализа╢и╛ ╜▓ого алго░и▓ма на на╕ем ╢и▓озиновом комп╝╛▓е░е в Ок▒┤о░де (3).
Реализа╢и┐ кван▓ового алго░и▓ма пои▒ка | важн╗й ╕аг впе░ед
дл┐ кван▓ов╗╡ ЯМР-комп╝╛▓е░ов, но не озна╖ае▓ п░едела в и╡ ░азви▓ии. След│╛╣а┐ ▒▓│пен╝ ▒о▒▓ои▓ в ░еализа╢ии более ▒ложн╗╡ алго░и▓мов на бол╝╕и╡ ▒и▒▓ема╡ (п░едва░и▓ел╝н╗е ░ез│л╝▓а▓╗ на ▓░е╡би▓ном
комп╝╛▓е░е │же б╗ли п░одемон▒▓░и░ован╗). Неко▓о░╗е коммен▓а▓о░╗ (7) за┐вили, ╖▓о б│де▓ невозможно по▒▓░ои▓╝ ЯМР-комп╝╛▓е░ ▒
бол╝╕им ╖и▒лом к│би▓ов, по▓ом│ ╖▓о ╜┤┤ек▓ивно▒▓╝ п░о╢е▒▒а в╗делени┐ на╖ал╝ного ╖и▒▓ого ▒о▒▓о┐ни┐ падае▓ ▒ ╖и▒лом к│би▓ов. Э▓а к░и▓ика оп░еделенно по╖▓и ▒п░аведлива, но на п░ак▓ике ▓░│дно ве░и▓╝, ╖▓о
╜▓и ог░ани╖ени┐ не о▓пад│▓ в ближай╕ем б│д│╣ем. Д░│гие п░облем╗, ▒в┐занн╗е ▒ ▓░│дно▒▓╝╛ в╗бо░о╖ной ад░е▒а╢ии индивид│ал╝н╗м
▒пинам, ▒дела╛▓ ▓░│дн╗м по▒▓░оение ЯМР-комп╝╛▓е░ов ▒ более ╖ем
Ли▓е░а▓│░а
157
╕е▒▓╝╛ к│би▓ами. Однако, ╜▓о обе▒пе╖ило б╗ возможно▒▓╝ и▒▒ледова▓╝ многие важн╗е п░облем╗. Э▓о дало б╗ намного бол╝╕е, ╖ем л╛бой
кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, ко▓о░╗й може▓ б╗▓╝ по▒▓░оен ▒ и▒пол╝зованием д░│ги╡ ме▓одов в ближай╕ем б│д│╣ем. ЯМР, ве░о┐▓но, о▒▓ане▓▒┐
лиди░│╛╣ей ▓е╡нологией дл┐ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов на многие г░┐д│╣ие год╗.
Ли▓е░а▓│░а
[1] L. K. Grover. Science 280. 228(1998); G. Brassard, Science 275, 627
(1997).
[2] I. L. Chuang, N. Gershenfeld, M. Kubinec. Phys. Rev. Lett.
[3] J. A. Jones, M. Moska, R. H. Hansen, in preparation.
[4] N. Gershenfeld, I. L. Chuang. Science 275 350 (1997); D. G. Cory,
A. F. Farmy, T. F. Havel. Proc. Nath. Acad. Sci. USA, 94, 1634 (1997).
[5] J. A. Jones and M. Mosca. J. Chem. Phys. in press
htth://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9601027.
I. L. Chuang et al. http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9801037.
[6] R. Laamme et al. http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9709025.
D. G. Cory et. al. http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9802018.
[7] See for example W. S. Warren. Science 277 1688 (1997).
[8] Я благода░ен М. Мо▒ке и Р. Хан▒ен│ за плодо▓во░н╗е ди▒к│▒▒ии.
Кван▓ов╗е иг░╗ и кван▓ов╗е ▒▓░а▓егии
Й. Ай▒е░▓ и М. Уилкен▒
(Jens Eisert and Martin Wilkens)1
M. Левен╕▓айн
(Maciej Lewenstein)2
М╗ п░едлагаем ░а▒п░о▒▓░ани▓╝ кла▒▒и╖е▒к│╛ ▓ео░и╛ иг░
на кван▓ов│╛ ▓е░░и▓о░и╛. Дл┐ ╖а▒▓ного ▒л│╖а┐ Дилемм╗ Закл╛╖енного показано, ╖▓о ╜▓а иг░а пе░е▒▓ае▓ б╗▓╝ дилеммой,
е▒ли в ней ░аз░е╕ен╗ кван▓ов╗е ▒▓░а▓егии. Также по▒▓░оена
конк░е▓на┐ кван▓ова┐ ▒▓░а▓еги┐, ко▓о░а┐ в▒егда обе▒пе╖ивае▓ п░еим│╣е▒▓во п░и иг░е п░о▓ив л╛бой кла▒▒и╖е▒кой ▒▓░а▓егии. Об▒│жда╛▓▒┐ возможн╗е п░иложени┐ дл┐ кван▓овой
▓ео░ии ин┤о░ма╢ии.
Возможно, ▓о▓ ┤ак▓, ╖▓о ┤изика и иг░╗ мог│▓ име▓╝ ╖▓о-либо об╣ее, в╗зове▓ │дивление. В кон╢е кон╢ов, ▒╖и▓ае▓▒┐, ╖▓о ▓акие иг░╗, как
╕а╡ма▓╗ или поке░, о▒нован╗ на бле┤е, догадка╡ и д░│ги╡ дей▒▓ви┐╡
не┤изи╖е▒кого ╡а░ак▓е░а. Более ▓ого, как б╗ло показано ┤он Нейманом и Мо░ген╕▓е░ном [1], ░аз│мн╗й в╗бо░ не ┐вл┐е▓▒┐ ▒│╣е▒▓венн╗м
дл┐ ▓ео░ии иг░. На более аб▒▓░ак▓ном │░овне, ▓ео░и┐ иг░ занимае▓▒┐
вели╖инами, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ мак▒имизи░ован╗ или минимизи░ован╗ в ░ез│л╝▓а▓е неко▓о░╗╡ дей▒▓вий [2]. По╜▓ом│ дл┐ ▒пе╢иали▒▓а по
кван▓овой ▓ео░ии е▒▓е▒▓венно зада▓╝▒┐ воп░о▒ом, ╖▓о п░оизойде▓, е▒ли б│д│▓ ░аз░е╕ен╗ линейн╗е ▒│пе░пози╢ии ▓аки╡ дей▒▓вий, ▓. е. е▒ли
░а▒п░о▒▓░ани▓╝ иг░╗ на кван▓ов│╛ ▓е░░и▓о░и╛.
Име╛▓▒┐ не▒кол╝ко п░и╖ин, по ко▓о░╗м кван▓ов╗е иг░╗ мог│▓
б╗▓╝ ин▓е░е▒н╗. Во-пе░в╗╡, кла▒▒и╖е▒ка┐ ▓ео░и┐ иг░ ┐вл┐е▓▒┐ ╡о░о╕о ░азви▓ой о▓░а▒л╝╛ п░икладной ма▓ема▓ики [3], на╕ед╕ей много╖и▒ленн╗е п░иложени┐ в ╜кономике, п▒и╡ологии, ╜кологии и биологии [2, 3, 4, 5, 6]. То, ╖▓о она в бол╝╕ой ме░е о▒нована на ве░о┐▓но▒▓и,
Institut fur Physik, Universitat Potsdam, 14469 Potsdam, Germany.
Institut fur Theoretische Physik, Universitat Hannover, 30167 Hannover, Germany.
Пе░евод И. О. Че░едникова.
1
2
159
Кван▓ов╗е иг░╗ и кван▓ов╗е ▒▓░а▓егии
Боб: C
Али▒а: C (3,3)
Али▒а: D (5,0)
Боб: D
(0,5)
(1,1)
Табли╢а 3. Ма▓░и╢а в╗иг░╗╕а дл┐ Дилемм╗ Закл╛╖енного. Пе░вое ╖и▒ло в
▒кобка╡ обозна╖ае▓ в╗иг░╗╕ Али▒╗, а в▓о░ое | Боба. Чи▒ленн╗е зна╖ени┐
в╗б░ан╗ по [5]. С │╖е▓ом │░. (3) ╜▓о▓ в╗бо░ ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓
p=1
(цнаказание ч),
t=5
(ци▒к│╕ение ч), и
s=0
r=3
(цнаг░ада ч),
(цв╗иг░╗╕ п░о▒▓ака ч).
об│▒ловливае▓ ┤│ндамен▓ал╝н╗й ин▓е░е▒ к обоб╣ени╛ ╜▓ой ▓ео░ии на
обла▒▓╝ кван▓ов╗╡ ве░о┐▓но▒▓ей [7]. Во-в▓о░╗╡, е▒ли ц╜гои▒▓и╖н╗е ген╗ч (цSelsh Genesч) [6] | ░еал╝но▒▓╝, ▓о можно п░едположи▓╝, ╖▓о
иг░╗ в╗живани┐ [5, 6] ░аз╗г░╗ва╛▓▒┐ │же на молек│л┐░ном │░овне,
где п░авила дик▓│е▓ кван▓ова┐ ме╡аника. В-▓░е▓╝и╡, недавно обна░│жило▒╝, ╖▓о под▒л│╕ивание п░и пе░еда╖е ин┤о░ма╢ии по кван▓овом│
канал│ [8, 9, 10] и оп▓имал╝ное ░азмножение [11] мог│▓ б╗▓╝ п░о▒▓о
п░ед▒▓авлен╗ как ▒▓░а▓еги╖е▒кие иг░╗ межд│ дв│м┐ или более иг░оками, ▒ ╢ел╝╛ пол│╖и▓╝ как можно бол╝╕е ин┤о░ма╢ии п░и заданн╗╡
│▒лови┐╡ [12]. Наконе╢, б╗ло показано, ╖▓о в кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡
неко▓о░╗е зада╖и, не подда╛╣ие▒┐ об░або▓ке ▒огла▒но кла▒▒и╖е▒кой ▓ео░ии ▒ложно▒▓и, ▒▓анов┐▓▒┐ ░аз░е╕им╗ми п░и и▒пол╝зовании кван▓ов╗╡ алго░и▓мов [13]. В кван▓овой ▓ео░ии иг░ делае▓▒┐ п░едположение
о ▓ом, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│╛▓ кван▓ов╗е ▒▓░а▓егии, более ╜┤┤ек▓ивн╗е по
▒░авнени╛ ▒ ╖и▒▓о кла▒▒и╖е▒кими [7]. В данной ░або▓е б│де▓ показано,
╖▓о ╜▓о дей▒▓ви▓ел╝но ▓ак.
Ра▒▒мо▓░им дл┐ оп░еделенно▒▓и кван▓ов│╛ ▓ео░и╛ бина░н╗╡ иг░
▒ в╗бо░ом дл┐ дв│╡ иг░оков. Одним из ╜лемен▓ов ╜▓ого кла▒▒а, на╕ед╕его ╕и░окое п░именение во многи╡ обла▒▓┐╡ на│ки, ┐вл┐е▓▒┐ Дилемма Закл╛╖енного. В Дилемме Закл╛╖енного кажд╗й из дв│╡ иг░оков,
Али▒а и Боб, должен незави▒имо ░е╕и▓╝, ▒лед│е▓ ли ем│ или ей п░еда▓╝
д░│гого (▒▓░а▓еги┐ D), или дей▒▓вова▓╝ ▒ ним заодно (▒о▓░│дни╖а▓╝)
(▒▓░а▓еги┐ C ). В зави▒имо▒▓и о▓ п░ин┐▓╗╡ ░е╕ений, кажд╗й иг░ок
пол│╖ае▓ некий в╗иг░╗╕ | ▒м. ▓абл. 1. Цел╝╛ каждого иг░ока ┐вл┐е▓▒┐ мак▒имиза╢и┐ ▒воего индивид│ал╝ного в╗иг░╗╕а. Лов│╕кой в
данной дилемме ▒▓анови▓▒┐ ▓о, ╖▓о D | доминан▓на┐ ▒▓░а▓еги┐, ▓. е.
░а╢ионал╝н╗е а░г│мен▓╗ под▓алкива╛▓ каждого к п░еда▓ел╝▒▓в│, ╖▓о
▒│╣е▒▓венно │╡│д╕ае▓ ▒и▓│а╢и╛ по ▒░авнени╛ ▒ ▓ой, когда оба ░е╕или
б╗ ▒о▓░│дни╖а▓╝ [14]. В ▓е░мина╡ ▓ео░ии иг░, взаимное п░еда▓ел╝▒▓во
160
Й. Ай▒е░▓, М. Уилкен▒, M. Левен╕▓айн
┐вл┐е▓▒┐ ▓акже ░авнове▒ием Н╜╕а [3]: п░и ░е▓░о▒пек▓ивном ░азм╗╕лении о ва░иан▓е DD кажд╗й иг░ок п░и╡оди▓ к в╗вод│, ╖▓о он или она не
мог б╗ ▒дела▓╝ л│╖╕ий ╡од, одно▒▓о░онне мен┐┐ ▒во╛ ▒▓░а▓еги╛ [15].
В ╜▓ой ▒▓а▓╝е м╗ покажем, ╖▓о Дилемма Закл╛╖енного пе░е▒▓ае▓ б╗▓╝ дилеммой, е▒ли иг░окам ░аз░е╕ено и▒пол╝зова▓╝ кван▓ов╗е
▒▓░а▓егии. Более ▓ого, м╗ п░одемон▒▓░и░│ем, ╖▓о: (i) ▒│╣е▒▓в│е▓ оп░еделенна┐ па░а кван▓ов╗╡ ▒▓░а▓егий, ко▓о░а┐ в▒егда дае▓ в╗иг░╗╕ и
┐вл┐е▓▒┐ ░авнове▒ием Н╜╕а, и (ii) ▒│╣е▒▓в│е▓ оп░еделенна┐ кван▓ова┐
▒▓░а▓еги┐, ко▓о░а┐ в▒егда дае▓ в╗иг░╗╕ п░и иг░е п░о▓ив л╛бой кла▒▒и╖е▒кой ▒▓░а▓егии.
Физи╖е▒ки, данна┐ бина░на┐ иг░а дл┐ дв│╡ иг░оков ▒ в╗бо░ом легко ░еализ│е▓▒┐ ▒ помо╣╝╛ (i) и▒▓о╖ника дв│╡ би▓ов, один би▓ на каждого иг░ока, (ii) набо░а ┤изи╖е▒ки╡ ме▓одов, позвол┐╛╣и╡ иг░ок│ манип│ли░ова▓╝ ▒о ▒воим би▓ом в ▒оо▓ве▓▒▓вие ▒ изб░анной ▒▓░а▓егией,
и (iii) изме░┐╛╣его п░ибо░а, оп░едел┐╛╣его в╗иг░╗╕ иг░оков, и▒╡од┐
из ▒овок│пного ▒о▒▓о┐ни┐ дв│╡ би▓ов. В▒е ▓░и ▒о▒▓авл┐╛╣и╡ (и▒▓о╖ник, ┤изи╖е▒кие ме▓од╗ иг░оков и п░ибо░ дл┐ изме░ени┐ в╗иг░╗╕а)
▒╖и▓а╛▓▒┐ полно▒▓╝╛ изве▒▓н╗ми обоим иг░окам.
Кван▓ова┐ ┤о░м│ли░овка дополн┐е▓▒┐ заданием возможн╗╡ ░ез│л╝▓а▓ов кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒▓░а▓егей D и C ▒ помо╣╝╛ дв│╡ бази▒н╗╡
век▓о░ов jDi и jC i в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве дв│╡│░овневой ▒и▒▓ем╗, ▓. е. к│би▓ов. В каждом ▒л│╖ае ▒о▒▓о┐ние иг░╗ опи▒╗вае▓▒┐ век▓о░ом в п░о▒▓░ан▒▓ве ▓ензо░ного п░оизведени┐ ▒ бази▒ом кла▒▒и╖е▒кой
иг░╗ jCC i, jCDi, jDC i и jDDi, где пе░в╗й и в▓о░ой ╜лемен▓╗ о▓но▒┐▓▒┐ к к│би▓ам Али▒╗ и Боба ▒оо▓ве▓▒▓венно.
Реализа╢и┐ кван▓овой иг░╗ може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлена как п░о▒▓а┐ кван▓ова┐ ▒е▓╝ [16] ▒ и▒▓о╖никами, об░а▓им╗ми одноби▓ов╗ми и
дв│би▓ов╗ми гей▓ами и ▒▓оками (▒м. ░и▒. 1). Обозна╖им на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние иг░╗ как j 0 i. Удобно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ j 0 i как │ни▓а░ное п░еоб░азование ┤ик▒и░ованного век▓о░а jCC i,
j i = JbjCC i ;
0
(1)
где Jb | │ни▓а░н╗й опе░а▓о░, ко▓о░╗й изве▒▓ен обоим иг░окам. В
╖е▒▓ной иг░е Jb должен б╗▓╝ ▒имме▓░и╖н╗м по о▓но╕ени╛ к пе░е▒▓ановке иг░оков.
С▓░а▓егии в╗полн┐╛▓▒┐ на │по░┐до╖енной па░е к│би▓ов в ▒о▒▓о┐нии j 0 i. С▓░а▓еги╖е▒кие ╡од╗ Али▒╗ и Боба зада╛▓▒┐ │ни▓а░н╗ми
Кван▓ов╗е иг░╗ и кван▓ов╗е ▒▓░а▓егии
161
опе░а▓о░ами UbA и UbB ▒оо▓ве▓▒▓венно, ко▓о░╗е в╗би░а╛▓▒┐ из ▒▓░а▓еги╖е▒кого п░о▒▓░ан▒▓ва S . Незави▒имо▒▓╝ иг░оков об│▒ловливае▓ ▓о,
╖▓о UbA и UbB дей▒▓в│╛▓ и▒кл╛╖и▓ел╝но на к│би▓╗ Али▒╗ и Боба ▒оо▓ве▓▒▓венно. С▓░а▓еги╖е▒кое п░о▒▓░ан▒▓во S може▓, ▒ледова▓ел╝но,
б╗▓╝ о▓ожде▒▓влено ▒ неко▓о░╗м подп░о▒▓░ан▒▓вом г░│пп╗ │ни▓а░н╗╡ 2 2 ма▓░и╢.
Сделав ▒вои ╡од╗, п░ивед╕ие к ▒о▒▓о┐ни╛ иг░╗ (UbA UbB ) Jb j CC i, Али▒а и Боб нап░авл┐╛▓ ▒вои к│би▓╗ дл┐ окон╖а▓ел╝ного изме░ени┐, ко▓о░ое
оп░едели▓ и╡ в╗иг░╗╕. Э▓о изме░ение може▓ б╗▓╝ в╗полнено Ри▒. 1. Реализа╢и┐ кван▓овой иг░╗
▒ помо╣╝╛ п░иго▓овлени┐-к-из- дл┐ дв│╡ иг░оков.
ме░ени╛, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его │ни▓а░ном│ опе░а▓о░│ Je. Положим ▒ │▒ловием, ╖▓о ╜▓о б│де▓ под▓ве░ждено в дал╝ней╕ем, Je = Jby , ▓ак ╖▓о коне╖ное ▒о▒▓о┐ние иг░╗ пе░ед
изме░ением j f i = j f (UbA ; UbB )i задае▓▒┐ как
;
j f i = Jby UbA UbB JbjCC i :
(2)
В╗иг░╗╕ каждого иг░ока е▒▓╝ ╜░ми▓ов опе░а▓о░, ко▓о░╗й м╗ ▒╖и▓аем
диагонал╝н╗м в бази▒е кла▒▒и╖е▒кой иг░╗. Дл┐ Дилемм╗ Закл╛╖енного опе░а▓о░ в╗иг░╗╕а Али▒╗ имее▓ вид
$A = rjCC ihCC j + p jDDihDDj +
+ tjDC ihDC j + s jCDihCDj;
(3)
а в╗иг░╗╕ Боба пол│╖ае▓▒┐ заменой t $ s в дв│╡ по▒ледни╡ ╜лемен▓а╡ (╖и▒ленн╗е зна╖ени┐ ▒м. в ▓абл. 1). Ожидаем╗й в╗иг░╗╕ иг░ока = A; B ┐вл┐е▓▒┐ кван▓ово-ме╡ани╖е▒ким ▒░едним P = h f j$ j f i
[18]. О▓ме▓им, ╖▓о ожидаем╗й в╗иг░╗╕ Али▒╗ PA зави▒и▓ не ▓ол╝ко
о▓ ее в╗бо░а ▒▓░а▓егии UbA, но ▓акже о▓ в╗бо░а Боба UbB .
Удобно ог░ани╖и▓╝ п░о▒▓░ан▒▓во ▒▓░а▓егий 2-па░аме▓░и╖е▒ким
множе▒▓вом │ни▓а░н╗╡ 2 2 ма▓░и╢
Ub (; ) =
ei cos =2 sin =2
; sin =2 e;i cos =2 ;
(4)
162
Й. Ай▒е░▓, М. Уилкен▒, M. Левен╕▓айн
где 2 [0; ] и 2 [0; =2]. Дл┐ оп░еделенно▒▓и по▒▓авим в ▒оо▓ве▓▒▓вие
╖и▒▓ой ▒▓░а▓егии ц▒о▓░│дни╖е▒▓воч опе░а▓о░ Cb Ub (0; 0),
C=
b
1 0
0 1
;
(5)
а ╖и▒▓ой ▒▓░а▓егии цп░еда▓ел╝▒▓воч | пе░ево░о▓ ▒пина, Db Ub (; 0),
Db =
0 1
;1 0
:
(6)
Дл┐ кла▒▒и╖е▒кой иг░╗ п░ед▒▓авл┐╛▓ ин▓е░е▒ ▓акже ▒ме╕анн╗е ▒▓░а▓егии, когда ▒о▓░│дни╖е▒▓во в╗би░ае▓▒┐ ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ p. Э▓и ▒▓░а▓егии п░ед▒▓авл┐╛▓▒┐ Ub (; 0), где p = cos2 =2. Заме▓им, ╖▓о в▒е кла▒▒и╖е▒кие ▒▓░а▓егии, ╖и▒▓╗е или ▒ме╕анн╗е, ╡а░ак▓е░из│╛▓▒┐ = 0.
Ч▓об╗ га░ан▓и░ова▓╝, ╖▓о кла▒▒и╖е▒ка┐ ве░▒и┐ данной иг░╗ п░ед▒▓авлена ве░но, наложим в▒помога▓ел╝ное │▒ловие
h
i
Jb; Ub (; 0) Ub (0 ; 0) = 0
(7)
дл┐ в▒е╡ ; 0 2 [0; ]. У▒ловие (7) вме▒▓е ▒ Je = Jby га░ан▓и░│е▓, ╖▓о
л╛ба┐ па░а кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒▓░а▓егий, ╖и▒▓╗╡ или ▒ме╕анн╗╡, дае▓ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий кла▒▒и╖е▒кий в╗иг░╗╕. Нап░име░, па░а Db Cb п░ивоb C
b) = 5
ди▓ иг░│ в коне╖ное ▒о▒▓о┐ние j f i = jDC i, ╖▓о дае▓ PA (D;
b C
b ) = 0, в ▒огла▒ии ▒ кла▒▒и╖е▒кой ма▓░и╢ей в╗иг░╗╕а
и PB (D;
(▓абл. 1).
По▒ле в╗делени┐ абелев╗╡ подг░│пп, да╛╣и╡ не ╖▓о иное, как пе░епа░аме▓░иза╢и╛ кван▓ового ▒ек▓о░а п░о▒▓░ан▒▓ва ▒▓░а▓егий S , ░е╕ение (7) в╗гл┐ди▓ как
n
o
Jb = exp i Db Db ;
(8)
где 2 [0; 2] | дей▒▓ви▓ел╝н╗й па░аме▓░. В ▒амом деле, ┐вл┐е▓▒┐
ме░ой ▒к░е╣ени┐ иг░╗. Дл┐ = 0 j 0 i = jCC i, и ▒к░е╣ени┐ не▓. В ╜▓ом
▒л│╖ае п░и▒│▓▒▓в│е▓ ▒оо▓ве▓▒▓вие много-в-одно по о▓но╕ени╛ к ожидаемом│ в╗иг░╗╕│ межд│ в▒еми возможн╗ми ▒▓░а▓еги┐ми и множе▒▓вом кла▒▒и╖е▒ки ▒ме╕анн╗╡ ▒▓░а▓егий. На ░и▒. 2 показан ожидаем╗й
в╗иг░╗╕ Али▒╗ дл┐ = 0. Как видно из ░и▒│нка, дл┐ л╛бого в╗бо░а
;
163
Кван▓ов╗е иг░╗ и кван▓ов╗е ▒▓░а▓егии
Ри▒. 2. В╗иг░╗╕ Али▒╗ в иг░е без ▒к░е╣ени┐. На ╜▓ом и ▒лед│╛╣ем г░а┤ика╡ м╗ в╗б░али ▓ак│╛ па░аме▓░иза╢и╛, ╖▓о ▒▓░а▓егии
дл┐
t
2 [0; 1] и UbA
▓ел╝▒▓во
b
D
t
▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ зна╖ени╛
п░ед▒▓авле▓▒┐
bA
U
bB
U
и
зави-
2 [;1; 1]: м╗ положили UbA = Ub (t; 0)
b (0; ;t=2) дл┐ t 2 [;1; 0) (как и дл┐ Боба). П░еда= U
▒┐▓ ▓ол╝ко о▓ одного па░аме▓░а
t = ;1.
t
= 1, ▒о▓░│дни╖е▒▓во
b
C
|
t
= 0 и
b
Q
Боба UbB в╗иг░╗╕ Али▒╗ мак▒имизи░│е▓▒┐, е▒ли она в╗би░ае▓ Db . Дей▒▓ви▓ел╝но, ┤ак▓о░изованн╗е кван▓ов╗е иг░╗ не обна░│жива╛▓ никаки╡ ▒вой▒▓в, в╗вод┐╣и╡ за п░едел╗ кла▒▒и╖е▒кой иг░╗ ▒о ▒ме╕анн╗ми
▒▓░а▓еги┐ми. В ╖а▒▓но▒▓и, Db Db | ░авнове▒ие доминан▓н╗╡ ▒▓░а▓егий.
Си▓│а╢и┐ ▒▓анови▓▒┐ п░ин╢ипиал╝но о▓ли╖ной, когда на╖ал╝ное
▒о▒▓о┐ние ┐вл┐е▓▒┐
p мак▒имал╝но ▒к░е╣енн╗ми ▒о▒▓о┐нием j 0 i =
= (jCC i + ijDDi)= 2, ▓. е. = =2. Зде▒╝ ▒│╣е▒▓в│╛▓ па░╗ ▒▓░а▓егий,
не име╛╣и╡ аналогов в кла▒▒и╖е▒кой обла▒▓и, ╡о▓┐ на о▒новании (7) иг░а веде▓ ▒еб┐ как полно▒▓╝╛ кла▒▒и╖е▒ка┐, е▒ли оба иг░ока в╗би░а╛▓
= 0. На ░и▒. 3 показан в╗иг░╗╕ Али▒╗ в Дилемме Закл╛╖енного как
┤│нк╢и┐ ▒▓░а▓егий UbA , UbB . Е▒ли Боб в╗би░ае▓ Db , наил│╖╕им о▓ве▓ом
дл┐ Али▒╗ б│де▓ Qb Ub (0; =2),
i
0
b
Q = 0 ;i ;
(9)
в ▓о в░ем┐ как дл┐ в╗бо░а Боба Cb наил│╖╕ей ▒▓░а▓егией Али▒╗ б│де▓
п░еда▓ел╝▒▓во Db . Таким об░азом, дл┐ Али▒╗ не▓ доминан▓ной ▒▓░а▓егии. По▒кол╝к│ иг░а ▒имме▓░и╖на, ▓о же ве░но и дл┐ Боба, ▓. е. Db Db
не ┐вл┐е▓▒┐ бол╝╕е ░авнове▒ием в доминан▓н╗╡ ▒▓░а▓еги┐╡.
164
;
Й. Ай▒е░▓, М. Уилкен▒, M. Левен╕▓айн
Ри▒. 3. В╗иг░╗╕ Али▒╗ дл┐ мак▒имал╝ного ▒к░е╣ени┐. Па░аме▓░иза╢и┐ в╗би░ае▓▒┐ ▓ака┐ же, как и на ░и▒. 2.
Ин▓е░е▒но, ╖▓о Db Db пе░е▒▓ае▓ б╗▓╝ ░авнове▒ием Н╜╕а, когда оба
иг░ока мог│▓ │л│╖╕и▓╝ ▒и▓│а╢и╛ п│▓ем одно▒▓о░оннего о▓клонени┐
о▓ ▒▓░а▓егии Db . Однако, и▒╖езновени╛ ░авнове▒и┐ Db Db ▒оп│▓▒▓в│е▓
b Q
b ) = PB (Q;
b Q
b ) = 3. В
новое ░авнове▒ие Qb Qb ▒ в╗иг░╗╕ем PA (Q;
▒амом деле,
PA (Ub (; ); Qb) = cos2 2 3 sin2 + cos2 6 3
;
(10)
b U
bB ) 6 PB (Q;
b Q
b)
дл┐ в▒е╡ 2 [0; ] и 2 [0; =2] и аналоги╖но PB (Q;
b
дл┐ в▒е╡ UB 2 S , ▓ак ╖▓о ник▓о не може▓ в╗иг░а▓╝ о▓ одно▒▓о░оннего
о▓клонени┐ о▓ Qb Qb. Можно показа▓╝ [19], ╖▓о Qb Qb е▒▓╝ един▒▓венное ░авнове▒ие, ▓. е. ░а╢ионал╝н╗е довод╗ за▒▓авл┐╛▓ обои╡ иг░оков
в╗би░а▓╝ Qb как оп▓имал╝н│╛ ▒▓░а▓еги╛.
Ин▓е░е▒но о▓ме▓и▓╝, ╖▓о Qb Qb должен б╗▓╝ оп▓имал╝н╗м по Па░е▓о [3], ▓. е. о▓клонением о▓ ╜▓ой па░╗ ▒▓░а▓егий невозможно пов╗▒и▓╝ в╗иг░╗╕ одного из иг░оков, не понижа┐ п░и ╜▓ом в╗иг░╗╕а
д░│гого. В кла▒▒и╖е▒кой иг░е ▓ол╝ко взаимное ▒о▓░│дни╖е▒▓во ┐вл┐е▓▒┐ оп▓имал╝н╗м по Па░е▓о, но ╜▓о не ░авнове▒ное ░е╕ение. Можно
▒каза▓╝, ╖▓о п░и доп│╣ении кван▓ов╗╡ ▒▓░а▓егий иг░окам │дае▓▒┐ избежа▓╝ дилемм╗.
До ▒и╡ по░ м╗ ░а▒▒ма▓░ивали ╖е▒▓н╗е иг░╗, когда оба иг░ока име╛▓ до▒▓│п к об╣ем│ ▒▓░а▓еги╖е▒ком│ п░о▒▓░ан▒▓в│. А ╖▓о п░оизойде▓,
е▒ли м╗ введем не╖е▒▓н│╛ ▒и▓│а╢и╛: Али▒а може▓ и▒пол╝зова▓╝ кван▓ов│╛ ▒▓░а▓еги╛, ▓. е. ее ▒▓░а▓еги╖е▒кое п░о▒▓░ан▒▓во по п░ежнем│ S ,
Кван▓ов╗е иг░╗ и кван▓ов╗е ▒▓░а▓егии
165
в ▓о в░ем┐ как Боб в╗н│жден п░имен┐▓╝ ▓ол╝ко кла▒▒и╖е▒кие ▒▓░а▓егии, ╖и▒▓╗е либо ▒ме╕анн╗е? В ╜▓ом ▒л│╖ае наил│╖╕им ▒по▒обом
c=U
b (=2; =2),
дей▒▓вий дл┐ Али▒╗ б│де▓ иг░а M
i
1
1
c
M = p ;1 ;i ;
(11)
2
(ц╖│де▒н╗й ╡одч), ╖▓о дае▓ ей по мен╝╕ей ме░е в╗иг░╗╕ r = 3, поc U
b (; 0)) > 3 дл┐ л╛б╗╡ 2 [0; ], и о▒▓авл┐е▓ Бо▒кол╝к│ PA (M;
c
b
б│ PB (M; U (; 0)) 6 1=2 (▒м. ░и▒. 4(a)). Таким об░азом, е▒ли в не╖е▒▓ной иг░е Али▒а може▓ б╗▓╝ │ве░ена, ╖▓о Боб иг░ае▓ Ub (; 0), она
cч как п░едпо╖▓и▓ел╝н│╛ ▒▓░а▓еги╛ в пов▓о░може▓ в╗б░а▓╝ цВ▒егда-M
ной иг░е. Э▓о оп░еделенно п░ево▒╡оди▓ око за око , но ▒лед│е▓ помни▓╝,
╖▓о дл┐ ╜▓ого ве▒╝ма ▒│╣е▒▓венна п░едположенна┐ ░анее а▒имме▓░и┐.
Ин▓е░е▒но ▓акже и▒▒ледова▓╝ зави▒имо▒▓╝ п░еим│╣е▒▓ва Али▒╗
п░и не╖е▒▓ной иг░е о▓ ▒▓епени ▒к░е╣ени┐ на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ j 0 i.
Минимал╝н╗й ожидаем╗й в╗иг░╗╕ m Али▒╗ в▒егда може▓ б╗▓╝ до▒▓игн│▓ в╗бо░ом под╡од┐╣ей ▒▓░а▓егии UA:
m = bmax b min
PA (UbA ; UbB );
(12)
b
UA 2S UB =U (;0)
Али▒а не може▓ в╗иг░а▓╝ мен╝╕е данной вели╖ин╗. Ра▒▒ма▓░ива┐ m как ┤│нк╢и╛ па░аме▓░а ▒к░е╣ени┐ 2 [0; =2], легко пон┐▓╝,
╖▓о m(0) = 1 (▓. к. в ╜▓ом ▒л│╖ае доминан▓на┐ ▒▓░а▓еги┐ Db е▒▓╝
оп▓имал╝н╗й в╗бо░), ▓огда как п░и минимал╝ном ▒к░е╣ении имеc. Ри▒. 4(b) показ╗ваем m(=2) = 3, ╖▓о до▒▓игае▓▒┐ п░и иг░е M
е▓ m как ┤│нк╢и╛ па░аме▓░а ▒к░е╣ени┐ . М╗ видим, ╖▓о в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и m е▒▓╝ моно▓онно ░а▒▓│╣а┐ ┤│нк╢и┐ , и мак▒имал╝ное п░еим│╣е▒▓во до▒▓игае▓▒┐ ▓ол╝ко п░и мак▒имал╝ном ▒к░е╣ении.
Далее, Али▒е ▒лед│е▓ о▓каза▓╝▒┐ о▓ ▒▓░а▓егии Db , е▒ли и ▓ол╝ко е▒ли ▒▓епен╝ ▒к░е╣ени┐
п░ев╗╕ае▓ оп░еделенное по░оговое зна╖ение
p
th = arcsin(1= 5) 0:464. Такое по░оговое поведение напоминае▓ ┤азов╗й пе░е╡од пе░вого по░┐дка дл┐ оп▓имал╝ной ▒▓░а▓егии Али▒╗: на
по░оге она должна ди▒к░е▓но помен┐▓╝ ▒во╛ ▒▓░а▓еги╛ ▒ Db на Qb.
И▓ак, м╗ показали, ╖▓о п░и ░а▒п░о▒▓░анении кла▒▒и╖е▒ки╡ иг░,
▓аки╡ как Дилемма Закл╛╖енного, на кван▓ов│╛ ▓е░░и▓о░и╛ возника╛▓ нов╗е ин▓е░е▒н╗е о▒обенно▒▓и. Ве▒╝ма аналоги╖но ▒л│╖а╛ кван▓овой к░ип▓ог░а┤ии и в╗╖и▒лений обна░│жено, ╖▓о кван▓ов╗е ▒▓░а▓егии наил│╖╕им об░азом ░еализ│╛▓▒┐ п░и нали╖ии ▒к░е╣ени┐ [20, 21].
166
;
Ли▓е░а▓│░а
Ри▒. 4. Кван▓ов╗е и кла▒▒и╖е▒кие ▒▓░а▓егии: (a) В╗иг░╗╕ Али▒╗ как ┤│нк╢и┐ , когда Боб иг░ае▓
b (; 0) (Ub (0; 0) = Cb и Ub (; 0) = D
b ) и в╗бо░╗ Али▒╗ Cb
U
c (╕▓░и╡и). (b) Ожидаем╗й в╗иг░╗╕ АлиM
b (▓о╖ки) или
(▒пло╕на┐ лини┐), D
▒╗, ко▓о░╗й в▒егда може▓ б╗▓╝ до▒▓игн│▓ в не╖е▒▓ной иг░е, как ┤│нк╢и┐
па░аме▓░а ▒к░е╣ени┐
.
В на╕ем ▒л│╖ае, ▒к░е╣ение вводило▒╝ ▓аким об░азом, ╖▓о п░и желании можно б╗ло б╗ иг░а▓╝ в кла▒▒и╖е▒к│╛ иг░│. Такой п░ин╢ип ▒оо▓ве▓▒▓ви┐ га░ан▓и░│е▓ возможно▒▓╝ бе▒п░и▒▓░а▒▓ного ▒░авнени┐ кла▒▒и╖е▒кой и кван▓ово-ме╡ани╖е▒кой иг░. Вооб╣е, ▒по▒об кван▓овани┐
данной кла▒▒и╖е▒кой иг░╗ не ┐вл┐е▓▒┐ един▒▓венн╗м. Можно и▒пол╝зова▓╝, нап░име░, возможно▒▓╝ ▓ого, ╖▓о оба иг░ока мог│▓ изме░┐▓╝
▒о▒▓о┐ние ▒вои╡ к│би▓ов пе░ед ▒▓░а▓еги╖е▒кой манип│л┐╢ией, или доп│▒▓и▓╝ п░иго▓овление-к-изме░ени╛, ко▓о░ое не о▓мен┐е▓ ▒к░е╣ени┐,
введенного п░иго▓овлением на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ иг░╗ [19].
Э▓о и▒▒ледование б╗ло ▒▓им│ли░овано вдо╡новл┐╛╣ей лек╢ией А░▓│░а Эке░▓а о кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡. М╗ ▓акже п░изна▓ел╝н╗ Рал╝┤│ Д│м│, Тимо Фелбинге░│ и Анне Сапе░а за плодо▓во░н╗е об▒│ждени┐.
Ли▓е░а▓│░а
[1] J. von Neumann and O. Morgenstern. The Theory of Games and
Economic Behaviour (Princeton University Press, Princeton, 1947).
[2] W. Poundstone. Prisoner's Dilemma. John von Neumann, Game
Theory, and the Puzzle of the Bomb. (Doubleday, New York, 1992).
[3] R. B. Myerson. Game Theory: An Analysis of Conict . (MIT Press,
Cambridge, 1991).
[4] M. D. Davis. Game Theory. A Nontechnical Introduction . (Dover, New
York, 1970).
Ли▓е░а▓│░а
167
[5] R. Axelrod. The Evolution of Cooperation . (Basic Books, New York,
1984).
[6] R. Dawkins. The Selsh Gene . (Oxford University Press, Oxford,
1976).
[7] D. A. Meyer. lanl e-print quant-ph/9804010.
[8] C. H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard, L. Salvail, and J. Smolin,
J. Crypto. 5, 3 (1992).
[9] A. K. Ekert. Phys. Rev. Lett. 67, 661 (1991).
[10] N. Gisin and B. Huttner. Phys. Lett. A 228, 13 (1997).
[11] R. F. Werner. lanl e-print quant-ph/9804001.
[12] R. Derka, V. Buzek, and A. K. Ekert. Phys. Rev. Lett. 80, 1571 (1998).
[13] A. Ekert and R. Jozsa. Rev. Mod. Phys. 68, 733 (1996).
[14] Али▒а ░а▒▒│ждае▓ ▓ак: цЕ▒ли Боб б│де▓ ▒о▓░│дни╖а▓╝, мой в╗иг░╗╕ б│де▓ мак▒имал╝н╗м, е▒ли и ▓ол╝ко е▒ли ┐ п░едам. Е▒ли, наобо░о▓, Боб п░еда▒▓, мой в╗иг░╗╕ оп┐▓╝ б│де▓ мак▒имал╝н╗м,
е▒ли и ▓ол╝ко е▒ли ┐ п░едам. Следова▓ел╝но, ┐ должна п░еда▓╝ч.
[15] Дилемм│ Закл╛╖енного ▒лед│е▓ о▓ли╖а▓╝ о▓ ▓е╡ ее ве░▒ий, в ко▓о░╗╡ два иг░ока иг░а╛▓ в п░о▒▓│╛ Дилемм│ Закл╛╖енного не▒кол╝ко ░аз, │╖и▓╗ва┐ в▒╛ п░ед╗▒▓о░и╛ иг░╗. В комп╝╛▓е░ном
▓│░ни░е, п░оведенном Ак▒ел╝░одом, б╗ло показано, ╖▓о ▒▓░а▓еги┐
око за око п░ево▒╡оди▓ в▒е о▒▓ал╝н╗е ▒▓░а▓егии [5].
[16] D. Deutsch. Proc. R. Soc. Lond. A 425, 73 (1989).
[17] A. Steane. Rep. Prog. Phys. 61, 117 (1998).
[18] Ожидаем╗й в╗иг░╗╕ ▒лед│е▓ о▓ли╖а▓╝ о▓ ░еал╝ного в╗иг░╗╕а,
ко▓о░╗й оп░едел┐е▓▒┐ по п░авилам кван▓овой ме╡аники. Однако,
по▒кол╝к│ кван▓ова┐ ме╡аника ┐вл┐е▓▒┐ п░ин╢ипиал╝но ве░о┐▓но▒▓ной ▓ео░ией, ▓ол╝ко ▒▓░а▓еги╖е▒кое пон┐▓ие в╗иг░╗╕а е▒▓╝
ожидаем╗й в╗иг░╗╕.
[19] R. Dum, J. Eisert, M. Lewenstein, and M. Wilkens (to be published).
[20] A. Ekert, R. Jozsa, Phil. Trans. Roy. Soc. A 454 (in press); also
available as lanl e-print quant-ph/9803072.
[21] V. Vedral, M. B. Plenio. Phys. Rev. A 57, 1619 (1998).
Кван▓ов╗е ░обо▓╗ и ок░│жа╛╣а┐ ▒░еда
Пол Бенев
(Paul Benio)1
Кван▓ов╗е ░обо▓╗ | ╜▓о мобил╝н╗е кван▓ов╗е ▒и▒▓ем╗,
вкл╛╖а╛╣ие в ▒еб┐ в▒▓░оенн╗е кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ и необ╡одим╗е в▒помога▓ел╝н╗е ▒и▒▓ем╗, ко▓о░╗е взаимодей▒▓в│╛▓ ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой. Зада╖а кван▓ов╗╡ ░обо▓ов |
п░оведение оп░еделенн╗╡ изменений в ▒о▒▓о┐нии ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗ или изме░ений в ней. Зде▒╝ под ок░│жа╛╣ей ▒░едой понима╛▓▒┐ о░ак│л╗, баз╗ данн╗╡ и кван▓ов╗е ░еги▒▓░╗
как о▒об╗е ▒л│╖аи ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗. О╖евидно, ╖▓о кван▓ов╗е ░обо▓╗ должн╗ вкл╛╖а▓╝ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗, а не
б╗▓╝ п░о▒▓о да▓╖иками вне╕ни╡ │▒▓░ой▒▓в.
В ▒▓а▓╝е п░едлагае▓▒┐ модел╝ кван▓ов╗╡ ░обо▓ов и и╡
взаимодей▒▓вий, в ко▓о░ой ░е╕ение каждой зада╖и ▒води▓▒┐ к по▒ледова▓ел╝но▒▓и ▒мен┐╛╣и╡ д░│г д░│га ┤аз в╗╖и▒лений и дей▒▓вий, ко▓о░а┐ опи▒╗вае▓▒┐ │ни▓а░н╗м опе░а▓о░ом
T
=
Ta +Tc , дей▒▓в│╛╣им в ▓е╖ение оп░еделенного о▓░ез-
ка в░емени (в░ем┐ и п░о▒▓░ан▒▓во ▒╖и▓а╛▓▒┐ ди▒к░е▓н╗ми).
Динамика в▒ей ▒и▒▓ем╗ оп░едел┐е▓▒┐ ▒│ммой по закон╖енн╗м ▓░аек▓о░и┐м ┤аз в╗╖и▒лений (Tc ) и дей▒▓вий (Ta ). Ана-
лизи░│е▓▒┐ п░о▒▓ой п░име░ зада╖и на изме░ение ░а▒▒▓о┐ни┐
межд│ кван▓ов╗м ░обо▓ом и ╖а▒▓и╢ей на одноме░ной ░е╕е▓ке ▒ ди▒пе░▒ией кван▓овой ┤азовой ▓░аек▓о░ии. П░иведена и
п░оанализи░ована диаг░амма ░е╕ени┐ зада╖и.
1. Введение
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ в╗з╗ва╛▓ бол╝╕ой ин▓е░е▒ благода░┐ ▒воим возможно▒▓┐м, ко▓о░╗е п░и ░е╕ении неко▓о░╗╡ зада╖ п░ев╗╕а╛▓
1 Physics Division, Argonne National Laboratory, Argonne, IL 60439.
E-mail: pbenio@anl.gov.
Пе░евод М. В. Чи╖икиной.
Кван▓ов╗е ░обо▓╗ и ок░│жа╛╣а┐ ▒░еда
169
возможно▒▓и кла▒▒и╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░ов [1, 2]. В бол╝╕ин▒▓ве ░або▓
на ╜▓│ ▓ем│ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ ░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐ как ▒и▒▓ем╗,
░або▓а╛╣ие в изол┐╢ии о▓ вне╕ни╡ ▒и▒▓ем (ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗). До
▒и╡ по░ ░або▓╗ по кван▓ов╗м комп╝╛▓е░ам, │╖и▓╗ва╛╣ие и╡ взаимодей▒▓вие ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой, ог░ани╖ивали▒╝ бол╝╕ей ╖а▒▓╝╛
╕│мов╗ми ╜┤┤ек▓ами, и▒▒ледованием баз данн╗╡ и кван▓ов╗ми в╗╖и▒лени┐ми c о░ак│лами. Ав▓о░╗ ░а▒▒ма▓░ивали ок░│жа╛╣│╛ ▒░ед│
как и▒▓о╖ник ╕│ма и о╕ибок. Э▓о ▒▓им│ли░овало ░азви▓ие кван▓ов╗╡
кодов, ко░░ек▓и░│╛╣и╡ о╕ибки, ▒л│жа╣и╡ дл┐ минимиза╢ии ▓аки╡
╜┤┤ек▓ов [3, 4]. Д░│гие ме▓од╗ о▒нов╗ва╛▓▒┐ на ▒вой▒▓ва╡ ▒и▒▓ем ▒
о▓но▒и▓ел╝но бол╝╕ими в░еменами декоге░ен▓но▒▓и [5, 6]. Кван▓ов╗е
в╗╖и▒лени┐ c о░ак│лами пока пол│╖или мен╝╕ее ░азви▓ие [7]. Баз╗
данн╗╡ ╕и░око и▒▒лед│╛▓▒┐ в на▒▓о┐╣ее в░ем┐ [2].
В данной ░або▓е главное внимание │делено об╣им п░облемам кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов и и╡ взаимодей▒▓ви╛ ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой. О▒об╗й ин▓е░е▒ п░ед▒▓авл┐╛▓ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ ▒о в▒помога▓ел╝н╗ми ▒и▒▓емами, ко▓о░╗е мог│▓ двига▓╝▒┐ и взаимодей▒▓в│╛▓ ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой. Э▓и ▒вой▒▓ва можно п░ин┐▓╝ за оп░еделение кван▓ов╗╡
░обо▓ов.
Кван▓ов╗е ░обо▓╗ ин▓е░е▒н╗ ▒ об╣ей ▓о╖ки з░ени┐ [8]. Е▒ли кван▓ова┐ ме╡аника ┐вл┐е▓▒┐ │ниве░▒ал╝ной ▓ео░ией, ▓о ▒и▒▓ем╗, п░оизвод┐╣ие ▓ео░е▓и╖е▒кие в╗╖и▒лени┐ (комп╝╛▓е░╗), и ┤изи╖е▒кие ╜к▒пе░имен▓╗ дл┐ п░ове░ки ▓ео░е▓и╖е▒ки╡ п░ед▒казаний (░обо▓╗) должн╗
б╗▓╝ опи▒ан╗ в ░амка╡ кван▓овой ме╡аники, ▓. е. именно как кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ и кван▓ов╗е ░обо▓╗. Следова▓ел╝но, ▒и▒▓ем╗, п░ове░┐╛╣ие п░именимо▒▓╝ кван▓овой ме╡аники, должн╗ б╗▓╝ опи▒ан╗ ▓ой
же ▒амой ▓ео░ией, ко▓о░│╛ они п░ове░┐╛▓. Кван▓ова┐ ме╡аника ▒ама
должна опи▒╗ва▓╝ ▒во╛ ▒об▒▓венн│╛ п░игодно▒▓╝ [9].
С ╜▓им ▒в┐зан е╣е один довод в пол╝з│ из│╖ени┐ кван▓ов╗╡ ░обо▓ов и и╡ взаимодей▒▓ви┐ ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой. Они помога╛▓ ▒дела▓╝
пе░в╗е о╖ен╝ мал╗е ╕аги к кван▓овоме╡ани╖е▒ком│ опи▒ани╛ ▒и▒▓ем, ко▓о░╗е ▒оби░а╛▓ ин┤о░ма╢и╛ об ок░│жа╛╣ей ▒░еде, п░инима╛▓ ░е╕ени┐, ин▓еллек▓│ал╝н╗ и ▒озда╛▓ ▓ео░ии, ▓акие как кван▓ова┐
ме╡аника [10, 11, 12]. Е▒ли кван▓ова┐ ме╡аника │ниве░▒ал╝на, ▓о ╜▓и
▒и▒▓ем╗ должн╗ б╗▓╝ опи▒ан╗ ▒ помо╣╝╛ кван▓овой ме╡аники в мак▒имал╝но возможном диапазоне.
Е▒▓╝ и д░│га┐ п░и╖ина, по ко▓о░ой ▒лед│е▓ из│╖а▓╝ кван▓ов╗е ░обо▓╗: в ╜▓ом ▒л│╖ае не ▒│╣е▒▓в│е▓ ог░ани╖ений на ▓ип ок░│жа╛╣ей
170
П. Бен
ев
▒░ед╗. Ок░│жени┐, из│╖аем╗е далее, ▓акие как о░ак│л╗, баз╗ данн╗╡
и кван▓ов╗е ░еги▒▓░╗, ┐вл┐╛▓▒┐ ╖а▒▓н╗ми ▓ипами ок░│жени┐. Э▓и
▒пе╢и┤и╖е▒кие ▓ип╗ ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗ опи▒╗ва╛▓▒┐ в ▒лед│╛╣ем
░азделе. Там же п░иведен╗ п░и╖ин╗, по ко▓о░╗м кван▓ов╗е ░обо▓╗
должн╗ вкл╛╖а▓╝ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ и не мог│▓ б╗▓╝ п░о▒▓о головками вне╕ни╡ │▒▓░ой▒▓в.
Раздел 3 ▒оде░жи▓ обзо░ динами╖е▒ки╡ моделей взаимодей▒▓вий
кван▓ов╗╡ ░обо▓ов ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой, ко▓о░╗е об▒│ждали▒╝ е╣е
в [8]. Динамика опи▒╗вае▓▒┐ в ▓е░мина╡ зада╖, ░е╕аем╗╡ кван▓ов╗ми
░обо▓ами. Зада╖и оп░еделен╗ как по▒ледова▓ел╝но▒▓и ▒мен┐╛╣и╡ д░│г
д░│га ┤аз в╗╖и▒лений и дей▒▓вий. Модел╝ опи▒╗вае▓ динамик│ зада╖и
в ▓е░мина╡ и▓е░а╢ий по╕агов╗╡ опе░а▓о░ов и ┤ейнманов▒ки╡ ▒│мм по
┤азов╗м ▓░аек▓о░и┐м.
В ░азделе 4 п░иведен п░о▒▓ой п░име░ зада╖и изме░ени┐ ░а▒▒▓о┐ни┐
межд│ кван▓ов╗м ░обо▓ом и ╖а▒▓и╢ей.
П░име░ ┐вл┐е▓▒┐ обоб╣ением опи▒анн╗╡ в д░│ги╡ ░або▓а╡ зада╖, в
ко▓о░╗╡ ▒│мм╗ по ░азли╖н╗м ▓░аек▓о░и┐м ▒о▒▓о┐ний вкл╛╖ен╗ в ▒│мм│ по ┤азов╗м ▓░аек▓о░и┐м. Опи▒ание зада╖и, вкл╛╖а┐ необ╡одим╗е
╕аги, дано вме▒▓е ▒ п░ед▒▓авлением зада╖и как диаг░амм╗ ░е╕ени┐.
Об▒│ждае▓▒┐ ▓акже │▒ловие на ▓о╖но▒▓╝. В по▒леднем ░азделе об▒│ждае▓▒┐ ▒ложно▒▓╝ даже п░о▒▓ей╕и╡ изме░ений как зада╖ дл┐ кван▓ов╗╡
░обо▓ов и возможна┐ ▒в┐з╝ гипо▓ез╗ Че░╖а{Т╝╛░инга [15, 16] ▒ ┤изи╖е▒кими ╜к▒пе░имен▓ами [8].
2. О░ак│л╗, баз╗ данн╗╡, кван▓ов╗е ░еги▒▓░╗ и
головки вне╕ни╡ │▒▓░ой▒▓в
Зде▒╝ ░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐ ▒пе╢иал╝н╗е ▒л│╖аи ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗ |
о░ак│л╗ и баз╗ данн╗╡, и▒пол╝з│ем╗е в кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡ ▒ о░ак│лами [7] и в алго░и▓ме Г░ове░а [2], а ▓акже кван▓ов╗е ░еги▒▓░╗.
О░ак│л╗ | ╖а▒▓н╗й ▒л│╖ай ▒░ед╗, по▒кол╝к│ и╡ ▒вой▒▓ва п░едполага╛▓▒┐ не зави▒┐╣ими о▓ в░емени. О░ак│л, однажд╗ о▓ве╖а╛╣ий на
воп░о▒ цдач и позже на ▓о▓ же воп░о▒ цне▓ч, ▒╖и▓ае▓▒┐ де┤ек▓ивн╗м.
То╖но ▓акже о▓ве▓ на воп░о▒ Q в момен▓ в░емени t не должен зави▒е▓╝
о▓ ▓ого, задан ли б╗л д░│гой воп░о▒ P в более ░анний момен▓ t1 , е▒ли
оба о▓ве▓а цдач и цне▓ч дл┐ P игно░и░│╛▓▒┐.
Б│д│╖и вне╕ними ▒и▒▓емами, ▒о▒▓о┐ни┐ как баз данн╗╡, ▓ак и
кван▓ов╗╡ ░еги▒▓░ов мог│▓ зави▒е▓╝ о▓ в░емени в ▓ом ▒м╗▒ле, ╖▓о ба-
x 2.
О░ак│л╗, баз╗ данн╗╡, кван▓ов╗е ░еги▒▓░╗
171
з╗ данн╗╡ измен┐╛▓▒┐, когда ▒▓а░╗е данн╗е замен┐╛▓▒┐ и ко░░ек▓и░│╛▓▒┐ или добавл┐╛▓▒┐ нов╗е данн╗е. Со▒▓о┐ни┐ кван▓ов╗╡ ░еги▒▓░ов ▓акже мен┐╛▓▒┐ ▒о в░еменем как ╖а▒▓╝ л╛бого кван▓ового п░о╢е▒▒а в╗╖и▒лений. Однако в обои╡ ▒л│╖а┐╡ ▒и▒▓ем╗ измен┐╛▓▒┐ вполне
оп░еделенн╗м об░азом. В ╖а▒▓но▒▓и, п░едполагае▓▒┐, ╖▓о ни одна из
▒и▒▓ем не измен┐е▓▒┐ ▒пон▓анно п░и о▓▒│▓▒▓вии вне╕ни╡ воздей▒▓вий.
Ок░│жение движ│╣и╡▒┐ взаимодей▒▓в│╛╣и╡ ▒и▒▓ем, ▒о▒▓о┐ни┐ ко▓о░╗╡ измен┐╛▓▒┐ в ░ез│л╝▓а▓е взаимодей▒▓ви┐ или движени┐, не мог│▓
▒л│жи▓╝ ┤изи╖е▒кой модел╝╛ баз данн╗╡ или кван▓ов╗╡ ░еги▒▓░ов. В
по▒ледни╡ ▒л│╖а┐╡ ▓░ебование о▓▒│▓▒▓ви┐ ▒пон▓анн╗╡ изменений под╖е░кивае▓▒┐ необ╡одимо▒▓╝╛ дл┐ кван▓ов╗╡ ко░░ек▓и░│╛╣и╡ кодов и
д░│ги╡ ме▓одов ▒▓абилиза╢ии минимизи░ова▓╝ ╜▓о▓ ╜┤┤ек▓ [3, 4].
Ог░ани╖ени┐ на ок░│жение, опи▒анное зде▒╝, не ▒ли╕ком ▒▓░оги.
Они вкл╛╖а╛▓ взаимодей▒▓в│╛╣ие движ│╣ие▒┐ ▒и▒▓ем╗, ╖╝и кван▓ов╗е ▒о▒▓о┐ни┐ (t) = e;iHt (0) ╜вол╛╢иони░│╛▓ во в░емени. Дл┐ ╜▓и╡
▒и▒▓ем о▓ве▓ цдач на л╛бой воп░о▒, п░ед▒▓авленн╗й п░оек╢ионн╗м опе░а▓о░ом Q, имее▓ зави▒┐╣│╛ о▓ в░емени ве░о┐▓но▒▓╝ h(t)jQj(t)i.
П│▒▓╝ ▓епе░╝ P и Q | два п░оек╢ионн╗╡ опе░а▓о░а, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ воп░о▒ам P , задаваемом│ в момен▓ в░емени t1 , и Q, задаваемом│
в момен▓ в░емени t. Ве░о┐▓но▒▓╝ о▓ве▓а цдач на Q в момен▓ t1 , вооб╣е гово░┐, не ░авна ве░о┐▓но▒▓и о▓ве▓а цдач на Q в момен▓ в░емени t,
п░и │▒ловии, ╖▓о P б╗л задан в момен▓ t1 и о▓ве▓ п░оигно░и░ован.
По▒ледн┐┐ ве░о┐▓но▒▓╝ дае▓▒┐ в╗░ажением Tr (t)Q = Tr (t1 )Q(t ; t1 ),
где Q(t;t1 ) = eiH (t;t1 ) Qe;iH (t;t1 ) и (t1 ) = PR(t1 ) P +(1;P )R(t1 ) (1;
;P ) ▒ R(t1 ) = j(t1 )ih(t1 )j. Э▓о не░авен▒▓во ▒о╡░ан┐е▓▒┐ в ▒л│╖ае,
когда Q(t ; t1 ) не комм│▓и░│е▓ ▒ P .
А░г│мен▓╗ в пол╝з│ ▓ого, ╖▓о кван▓ов╗е ░обо▓╗ должн╗ вкл╛╖а▓╝ в ▒еб┐ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ и не мог│▓ б╗▓╝ п░о▒▓о головками
вне╕ни╡ │▒▓░ой▒▓в, о▒нован╗ на под▒╖е▓е ╖и▒ла ▒▓епеней ▒вобод╗ в
головка╡ вне╕ни╡ │▒▓░ой▒▓в. Е▒ли головка имее▓ одн│ ▒▓епен╝ ▒вобод╗, ╖▓о може▓ о▓ве╖а▓╝ как миним│м N ░азли╖н╗м набо░ам вне╕ней ин┤о░ма╢ии, ▓о должна б╗▓╝ возможно▒▓╝ ░азли╖а▓╝ N ░азли╖н╗╡ вн│▓░енни╡ ▒о▒▓о┐ний головки. Дл┐ бол╝╕ого ╖и▒ла N , ╖▓о може▓
б╗▓╝ в ▒л│╖ае ▒ам╗╡ об╣и╡ зада╖ или │ниве░▒ал╝н╗╡ кван▓ов╗╡ ░обо▓ов, ▒по▒обн╗╡ ░аз░е╕а▓╝ не▒кол╝ко зада╖ в ░азли╖н╗╡ ок░│жени┐╡ [8],
╜▓о ┤изи╖е▒ки необо▒нованно. Нап░име░, е▒ли головка п░ед▒▓авл┐е▓ из
▒еб┐ одн│ ▒пинов│╛ ▒и▒▓ем│, о╖ен╝ ▓░│дно ░азли╖и▓╝ N ▒о▒▓о┐ний ▒
░азли╖н╗ми п░оек╢и┐ми ▒пина.
172
П. Бен
ев
В ╜▓ом ▒л│╖ае, как и в л╛бом д░│гом, где ╖и▒ло ал╝▓е░на▓ив, ко▓о░╗е должн╗ ░азли╖а▓╝▒┐ головками, ╜к▒понен╢иал╝но велико (нап░име░, в▒е ░азли╖н╗е ▒▓░оки би▓ов длин╗ N ), един▒▓венн╗й ░аз│мн╗й
под╡од | позволи▓╝ ╖и▒л│ ▒▓епеней ▒вобод╗ в головке б╗▓╝ полиномом
по log N . Но ╜▓о ╜квивален▓но ▓░ебовани╛, ╖▓об╗ головка вкл╛╖ала в
▒еб┐ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░. То е▒▓╝ ╜▓о должен б╗▓╝ кван▓ов╗й ░обо▓.
То▓ же а░г│мен▓ ▒п░аведлив и в ▒л│╖ае, е▒ли головка имее▓ небол╝╕ое
╖и▒ло (> 1) ▒▓епеней ▒вобод╗.
3. Модел╝ кван▓ового ░обо▓а ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой
В ╜▓ом ░азделе б│д│▓ под╗▓ожен╗ опи▒ани┐ ╖а▒▓н╗╡ моделей кван▓ов╗╡ ░обо▓ов ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой. Неко▓о░╗е де▓али можно най▓и
в [8]. Кван▓ов╗й ░обо▓ ▒о▒▓ои▓ из в▒▓░оенного кван▓ового комп╝╛▓е░а,
▒и▒▓ем╗ дл┐ коне╖н╗╡ ▒о▒▓о┐ний o и кон▓░ол╝ного к│би▓а c. Динамика
▒и▒▓ем╗ и ее взаимодей▒▓ви┐ ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой може▓ б╗▓╝ опи▒ана по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛, ▒о▒▓о┐╣ей из ▒мен┐╛╣и╡ д░│г д░│га ┤аз
в╗╖и▒лений и дей▒▓вий. Цел╝╛ каждой в╗╖и▒ли▓ел╝ной ┤аз╗ ┐вл┐е▓▒┐ оп░еделение по▒лед│╛╣его дей▒▓ви┐ п│▓ем гене░и░овани┐ нового ▒о▒▓о┐ни┐ o. В╡одн╗е данн╗е ▒о▒▓о┐▓ из п░ед╗д│╣его ▒о▒▓о┐ни┐ o,
каки╡-▓о данн╗╡ в пам┐▓и и данн╗╡ набл╛дени┐ за ▒о▒▓о┐нием ближай╕его ок░│жени┐. В ▓е╖ение по▒лед│╛╣ей ┤аз╗ дей▒▓вий п░оизводи▓▒┐ дей▒▓вие, оп░едел┐емое ▒о▒▓о┐нием o. Со▒▓о┐ние в▒е╡ в▒▓░оенн╗╡
▒и▒▓ем о▒▓ае▓▒┐ неизменн╗м. Дей▒▓вие вкл╛╖ае▓ движение кван▓ового ░обо▓а и изменение ▒о▒▓о┐ни┐ ок░│жени┐. Ф│нк╢и┐ кон▓░ол╝ного
к│би▓а c | вкл╛╖а▓╝ и в╗кл╛╖а▓╝ два ▓ипа ┤аз╗. Фаза в╗╖и▒лени┐
(дей▒▓ви┐) неак▓ивна, когда c в ▒о▒▓о┐нии j1i[j0i]. Кажда┐ ┤аза закан╖ивае▓▒┐ по▒ле изменени┐ ▒о▒▓о┐ни┐ c.
С каждой зада╖ей ▒в┐з╗вае▓▒┐ │ни▓а░н╗й опе░а▓о░ T = Ta + Tc,
опи▒╗ва╛╣ий динами╖е▒кие изменени┐ в▒ей ▒и▒▓ем╗ в ▓е╖ение одного
п░омеж│▓ка в░емени (в░ем┐ и п░о▒▓░ан▒▓во п░едполага╛▓▒┐ ди▒к░е▓н╗ми). Е▒ли (0) е▒▓╝ об╣ее ▒о▒▓о┐ние кван▓ового ░обо▓а и ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗ в момен▓ в░емени 0, ▓о ▒о▒▓о┐ние по▒ле n в░еменн╗╡ ╕агов
дае▓▒┐ в╗░ажением (n) = T n(0). Опе░а▓о░╗ ┤аз дей▒▓ви┐ и в╗╖и▒лени┐ │довле▓во░┐╛▓ │▒лови┐м Ta = TP1c и Tc = TP0c, где п░оек╢ионн╗е опе░а▓о░╗ Pic о▓но▒┐▓▒┐ к ▒о▒▓о┐ни╛ c.
Опе░а▓о░ Tc може▓ зави▒е▓╝ о▓ ме▒▓оположени┐ x = x; y; z кван▓о-
x 2.
О░ак│л╗, баз╗ данн╗╡, кван▓ов╗е ░еги▒▓░╗
173
вого ░обо▓а, но не измен┐е▓ его. Э▓о можно в╗░ази▓╝ │▒ловием диагонал╝но▒▓и
X
Tc = Pxqr TcPxqr P0c :
(1)
x
У▒ловие ▓ого, ╖▓о Ta не измен┐е▓ ▒о▒▓о┐ни┐ o, дае▓▒┐ по╡ожим в╗░ажением:
X
Ta = Plo Ta PloP1c :
(2)
l
Незави▒имо▒▓╝ Ta о▓ ▒о▒▓о┐ни┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а jbi в╗░ажае▓▒┐
│▒ловием комм│▓а▓ивно▒▓и Ta ▒ п░оек╢ионн╗м опе░а▓о░ом Pbqc .
Как Tc, ▓ак и Ta п░ивод┐▓ ▓ол╝ко к локал╝н╗м изменени┐м в ▒о▒▓о┐нии ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗. Однако в╗з╗ваем╗е Tc изменени┐ ог░ани╖ен╗ ▒к░е╣ением ▒о▒▓о┐ний в▒▓░оенной ▒и▒▓ем╗ и д░│ги╡ изменений,
┐вл┐╛╣и╡▒┐ п░┐м╗м ░ез│л╝▓а▓ом набл╛дени┐ взаимодей▒▓вий. Изменени┐, ▒деланн╗е Ta , не п░ивод┐▓ к ▓аком│ ▒к░е╣ени╛ и не ог░ани╖ен╗
░ез│л╝▓а▓ами набл╛дений взаимодей▒▓вий. Под░обно▒▓и, ка▒а╛╣ие▒┐
│▒ловий локал╝но▒▓и, заданн╗╡ в ▓е░мина╡ ок░е▒▓но▒▓ей кван▓ов╗╡
░обо▓ов, п░иведен╗ в [8].
Опи▒ани┐ T до ▒и╡ по░ п░имен┐ли▒╝ к неподвижн╗м невзаимодей▒▓в│╛╣им ок░│жа╛╣им ▒и▒▓емам, дл┐ ко▓о░╗╡ гамил╝▓ониан ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗ HE = 0. Обоб╣ение на ▒л│╖ай движ│╣и╡▒┐ взаимодей▒▓в│╛╣и╡ ▒и▒▓ем може▓ б╗▓╝ ▒делано ▒ помо╣╝╛ замен╗ T на д░│гой
опе░а▓о░ T = TE1=2TTE1=2 = TE1=2Ta TE1=2 + TE1=2Tc TE1=2 = Ta + Tc . Зде▒╝
Ta и Tc оп░еделен╗ в╗╕е, и TE = e;iHE | │ни▓а░н╗й опе░а▓о░ изменени┐ дл┐ ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗. Замена T на T ▒▓анови▓▒┐ ▓о╖ной в
п░еделе ! 0 [14].
Полезно в╗░ази▓╝ динамик│ ▒и▒▓ем╗ ▒ помо╣╝╛ ┤ейнманов▒кой [13] ▒│мм╗ по ▓░аек▓о░и┐м ┤аз в╗╖и▒лений и дей▒▓вий, ▓. е.
как ▒│мм│ по ┤азов╗м ▓░аек▓о░и┐м. Дл┐ ╜▓ого ░а▒▒мо▓░им ма▓░и╖н╗й
╜лемен▓ hw; ijT n jw1 ; 0i, ко▓о░╗й задае▓ ампли▓│д│ пе░е╡ода из ▒о▒▓о┐ни┐ jw1 ; 0i в ▒о▒▓о┐ние jw; ii за n ╕агов. Зде▒╝ ╖е░ез jwi обозна╖ен╗
▒о▒▓о┐ни┐ в▒е╡ ▒и▒▓ем, к░оме кон▓░ол╝ного к│би▓а. Можно и▒пол╝зова▓╝ T n = (T (P0c + P1c))n дл┐ пол│╖ени┐
P
n X (X;n)
X
n
hw; ijT jw1 ; 0i =
hp(t + 1); ij(Tvt )ht jp(t)i (3)
п│▓╝ p h1 ht =1
t=1 длин╗
t+1
hp(3)j(Ta )h2 jp(2)ihp(2)j(Tc )h1 jp(1); 0i
174
П. Бен
ев
Каждое ▒лагаемое ╜▓ой бол╝╕ой ▒│мм╗ дае▓ ампли▓│д│, оп░едел┐╛╣│╛ t ╖е░ед│╛╣и╡▒┐ ┤аз в пе░в╗╡ n ╕ага╡, где j -а┐ ┤аза на╖инае▓▒┐, когда в▒┐ ▒и▒▓ема (к░оме c) на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии jp(j )i, и закан╖ивае▓▒┐ по▒ле hj ╕агов, когда в▒е ▒и▒▓ем╗ на╡од┐▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии jp(j + 1)i. Ве░╡ний п░едел в ▒│мме по h │каз╗вае▓ на ▒лед│╛╣ее
ог░ани╖ение: h1 + + ht = n. На╖ал╝н╗е и коне╖н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ ▓░аек▓о░ии jp(1)i и jp(t + 1)i е▒▓╝ jw1 i и jwi.
У░авнение (3) п░иведено дл┐ ▒л│╖а┐, когда на╖ал╝на┐ ┤аза е▒▓╝
┤аза в╗╖и▒лени┐, ▓. е. c на╡оди▓▒┐ в на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии j0i. Подобн╗е
же │░авнени┐ име╛▓ ме▒▓о, е▒ли на╖ал╝на┐ ┤аза е▒▓╝ ┤аза дей▒▓ви┐.
Смена ┤аз в╗░ажае▓▒┐ дл┐ ╜▓ого ▒л│╖а┐ индек▒ом vj : е▒ли j ╖е▓ное,
▓о vj = c, е▒ли j не╖е▓ное, ▓о vj = a. То╖но ▓акже ог░ани╖ени┐ в
│░авнени┐╡ (2) и (1) на Ta и Tc, ко▓о░╗е ▒о╡░ан┐╛▓▒┐ дл┐ Ta и Tc ,
показ╗ва╛▓, ╖▓о е▒ли j ╖е▓ное, jp(j )i и jp(j +1)i да╛▓ ▒о▒▓о┐ние ░обо▓а
▒ одинаков╗ми коо░дина▓ами. Е▒ли j не╖е▓ное, jp(j )i и jp(j + 1)i да╛▓
одно и ▓о же ▒о▒▓о┐ние кван▓ового комп╝╛▓е░а и ▒и▒▓ем╗ o.
У░авнени┐ ┐▒но показ╗ва╛▓, ╖▓о дл┐ л╛бого n ▒о▒▓о┐ние в▒ей ▒и▒▓ем╗ е▒▓╝ линейна┐ комбина╢и┐ множе▒▓ва ▒о▒▓о┐ний ┤азов╗╡ ▓░аек▓о░ий ╖е░ед│╛╣и╡▒┐ ┤аз в╗╖и▒лений и дей▒▓вий зада╖и, п░ед▒▓авленна┐ T . Дл┐ каждой вели╖ин╗ t и p │░авнение дае▓ ампли▓│д│ ┤азовой
▓░аек▓о░ии p, ▒оде░жа╣│╛ t ; 1 полн╗╡ ┤аз, и одн│, ко▓о░а┐ може▓
б╗▓╝ полной, а може▓ и не б╗▓╝. С│мма h дае▓ ░а▒п░еделение по п░одолжи▓ел╝но▒▓┐м или коли╖е▒▓в│ в░еменн╗╡ ╕агов в каждой ┤азе p.
Из │░авнени┐ (3) ▒лед│е▓, ╖▓о ▒о▒▓о┐ние в▒ей ▒и▒▓ем╗ (n) може▓ б╗▓╝ в╗░ажено дл┐ каждой компонен▓╗ на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ как
╜к▒понен╢иал╝но ░а▒▓│╣ее (вме▒▓е ▒ n) де░ево ┤азов╗╡ ▓░аек▓о░ий.
Кажда┐ ве░╕ина де░ева ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▒о▒▓о┐ни╛ jp(j )i. С│мма t показ╗вае▓, ╖▓о неко▓о░╗е ве▓ви де░ева име╛▓ о╖ен╝ мало │злов, и е▒▓╝
▓акие, ко▓о░╗е име╛▓ ▓ол╝ко один │зел (t = 1).
4. П░о▒▓ой п░име░
4.1. Опи▒ание зада╖и
П░о▒▓ой п░име░ дл┐ илл╛▒▓░а╢ии ░або▓╗ кван▓ового ░обо▓а вкл╛╖ае▓ ок░│жа╛╣│╛ ▒░ед│ ▒ един▒▓венной неподвижной ╖а▒▓и╢ей p на
одноме░ной ░е╕е▓ке (▓. е. TE = 1 и T = T ). Зада╖а | изме░и▓╝ ░а▒▒▓о┐ние межд│ кван▓ов╗м ░обо▓ом и p, измен┐┐ движение кван▓ового
x 2.
О░ак│л╗, баз╗ данн╗╡, кван▓ов╗е ░еги▒▓░╗
175
░обо▓а п░и локал╝н╗╡ набл╛дени┐╡ за ╖а▒▓и╢ей p, и под▒╖и▓╗ва┐ ╖и▒ло ненабл╛дений, пока ╖а▒▓и╢а p не б│де▓ найдена (╖а▒▓╝ пои▒ка). В
╖а▒▓и возв░а▓а кван▓ов╗й ░обо▓ возв░а╣ае▓▒┐ на ▓о же ╖и▒ло ╕агов, и
зада╖а закан╖ивае▓▒┐ ░авнове▒ной ╖а▒▓╝╛. Она вводи▓▒┐ дл┐ ▒о╡░анени┐ │ни▓а░но▒▓и T .
Окон╖а▓ел╝н│╛ ╢ел╝ и▒▒ледовани┐ можно ▒┤о░м│ли░ова▓╝
P как
│▒ловие на T и в╗░ази▓╝ ▒лед│╛╣им об░азом: п│▒▓╝ = cy jyi обоy
зна╖ае▓ ▒о▒▓о┐ние p на ░е╕е▓ке, ▓огда как кван▓ов╗й ░обо▓ ╡а░ак▓е░из│е▓▒┐ ме▒▓оположением и ▒о▒▓о┐нием вн│▓░енней пам┐▓и jx; 0i.
Опе░а▓о░ T дл┐ ▓акой зада╖и должен б╗▓╝ ▓аков, ╖▓об╗ и▓е░а╢ии гене░и░овали б╗ ▒ ╡о░о╕ей ▓о╖но▒▓╝╛ изве▒▓ное ▒к░е╣ение
jx; 0i ;!
X0 c jyijx; y ; xi
y
y
(4)
на ог░ани╖енном п░омеж│▓ке вели╖ин╗
y (0 6 y ; x < 2N | ▒м. ниP
0
же), обозна╖енном в знаке ▒│мм╗ . Зде▒╝ jy ; xi | ▒о▒▓о┐ние ▒в┐зки к│би▓ов ▒ по▒▓о┐нной пам┐▓╝╛, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ░а▒▒▓о┐ни╛ на
░е╕е▓ке y ; x (╖и▒ло │злов) ▓ол╝ко в одном нап░авлении межд│ p и
кван▓ов╗м ░обо▓ом. Э▓о │░авнение легко обоб╣и▓╝ на ▒л│╖ай, когда
▒о▒▓о┐ние кван▓ового ░обо▓а
P п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой волновой паке▓ коо░дина▓н╗╡ ▒о▒▓о┐ний qr = dx jxi и пол│╖и▓╝
x
p qr j0i ;!
X0 c d jyijx; y ; xi:
x;y
y x
(5)
В данной зада╖е кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ ▒оде░жи▓ два ╢икли╖е▒ки╡
кван▓ов╗╡ ░еги▒▓░а: один ▒ N + 2 к│би▓ами, а д░│гой ▒ N + 1 к│би▓ами, и головк│, пе░едвига╛╣│╛▒┐ по ░еги▒▓░ам. Оба ░еги▒▓░а вме╣а╛▓
╖и▒ла до 2N ; 1 ▒ одним ▓е░на░н╗м к│би▓ом в каждом ▒о▒▓о┐нии j2i, ко▓о░ое ▒╖и▓ае▓▒┐ на╖ал╝н╗м. N + 2-к│би▓н╗й ░еги▒▓░ ▒л│жи▓ ▓ек│╣ей
пам┐▓╝╛ дл┐ ░а▒╖е▓ов в ╖а▒▓и пои▒ка (c o в ▒о▒▓о┐нии jmr1i) и вкл╛╖ае▓ знаков╗й к│би▓. В о▒▓ал╝н╗╡ ░азме╣а╛▓▒┐ на дли▓ел╝н╗й ▒░ок
копии ╖и▒ел из ▓ек│╣ей пам┐▓и, когда ме▒▓она╡ождение p обна░│жено. Когда б╗ ни б╗ла обна░│жена p, в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ ┤аза закан╖ивае▓
╖а▒▓╝ пои▒ка, измен┐┐ ▒о▒▓о┐ни┐ o на jml1i, копи░│┐ и извлека┐ 1 из
▓ек│╣ей пам┐▓и дл┐ на╖ала ╖а▒▓и возв░а▓а. В ╜▓ой ╖а▒▓и в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ┤аз╗ из ▓ек│╣ей пам┐▓и в╗╖и▓ае▓▒┐ едини╢а (набл╛дений за
176
П. Бен
ев
ок░│жа╛╣ей ▒░едой не▓), пока не б│де▓ пол│╖ено ╖и▒ло ;1. Со▒▓о┐ние o
▓епе░╝ измен┐е▓▒┐ на jdni дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ на╖а▓╝ ░авнове▒н│╛ ╖а▒▓╝.
В╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ┤аз╗ в╗╖и▓а╛▓ из ▓ек│╣ей пам┐▓и 1, пока не б│де▓
до▒▓игн│▓о ;(2N ; 1), когда ▒о▒▓о┐ние o ▒▓анови▓▒┐ ░авн╗м jml >i.
Со▒▓о┐ние o jmr >i до▒▓игае▓▒┐, е▒ли ╖а▒▓и╢а не обна░│жена во в░ем┐
╖а▒▓и пои▒ка зада╖и (▓. е. ╖а▒▓и╢│ не │дало▒╝ обна░│жи▓╝ менее ╖ем
в 2N ; 1 и▓е░а╢и┐╡ пои▒ковой ┤аз╗ дей▒▓ви┐). П░и ▓о╖н╗╡ изме░ени┐╡
╜▓о п░ои▒╡оди▓, е▒ли y ; x < 0 или y ; x > 2N ; 1.
Во в░ем┐ в▒е╡ ┤аз дей▒▓ви┐ кван▓ов╗е ░обо▓╗ движ│▓▒┐ ▒ дей▒▓вием, оп░едел┐ем╗м ▒о▒▓о┐нием o. Набл╛дений не п░оводи▓▒┐. Со▒▓о┐ние O jml >i; jmr >i ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ незакон╖енн╗м ┤азам дей▒▓ви┐
как ┤инал╝н╗м ╖а▒▓┐м зада╖и. Динамика зада╖и може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлена ▒╡ема▓и╖но ▒ помо╣╝╛ диаг░амм╗ ░е╕ени┐, в ко▓о░ой │╖и▓╗ва╛▓▒┐ ▒вой▒▓ва Ta и Tc . Э▓о показано на ░и▒. 1 (под░обно▒▓и на подпи▒и
к ░и▒│нк│). Диаг░амма ▒о▒▓авлена ▓ак, ╖▓о она може▓ б╗▓╝ п░именена
к ╖а▒▓и де░ева, ░а▒▓│╣ей из л╛бого │зла де░ева ┤азов╗╡ ▓░аек▓о░ий,
опи▒╗ваемого │░авнением (3). То е▒▓╝ она показ╗вае▓, ╖▓о п░ои▒╡оди▓
в ╖а▒▓и де░ева, и▒╡од┐ из об╣его ▒о▒▓о┐нии в▒ей ▒и▒▓ем╗, опи▒╗ва╛╣его │зел. Э▓о ▒лед│е▓ из ┤ак▓а, ╖▓о в диаг░амме не▓ ▒▒╗лок на ▓о,
где именно кван▓ов╗й ░обо▓ или p на╡од┐▓▒┐ на ░е╕е▓ке. Соо▓но╕ение xQR = xp ? о▓но▒и▓▒┐ ▓ол╝ко к п░и▒│▓▒▓ви╛ или о▓▒│▓▒▓ви╛ p в
▓о╖ке лока╢ии ░обо▓а, где б╗ он ни на╡одил▒┐. Также не▓ оп░еделенн╗╡ длин в░еменн╗╡ п░омеж│▓ков, ▒в┐занн╗╡ либо ▒ ┤азами дей▒▓вий
(ок░│жно▒▓и), либо ▒ компонен▓ами ┤аз╗ в╗╖и▒лений (квад░а▓╗).
В более ░анни╡ ░або▓а╡ ▓░ебовало▒╝, ╖▓об╗ T б╗ло ▓аким, ╖▓об╗
вклад в ▒│мм│ по ┤азов╗м ▓░аек▓о░и┐м │░авнени┐ (3) вно▒ила ▓ол╝ко одна ┤азова┐ ▓░аек▓о░и┐. С│╣е▒▓вовала ди▒пе░▒и┐ в длине ┤азовой
▓░аек▓о░ии (t ▒│мма) и дли▓ел╝но▒▓и ┤аз╗ (h ▒│мм╗). Зде▒╝ ╜▓и ог░ани╖ени┐ б│д│▓ ▒о╡░анен╗ ▓ол╝ко дл┐ ┤аз╗ в╗╖и▒лений. Дл┐ Tc │▒ловие
един▒▓венно▒▓и ▓░аек▓о░ии в╗░ажено в │░авнении 3 ▒лед│╛╣им ▓░ебованием: е▒ли j ╖е▓ное, ▓о дл┐ каждого вводимого ▒о▒▓о┐ни┐ jp(j )i
дл┐ j=2 в╗╖и▒ли▓ел╝ной ┤аз╗ ▒│╣е▒▓в│е▓ един▒▓венное в╗водимое ▒о▒▓о┐ние ┤азовой ▓░аек▓о░ии jp(j + 1)i. Разм╗▓о▒▓╝ или кван▓ова┐ ди▒пе░▒и┐ о▓ jp(j )i до jp(j +1)i, ко▓о░а┐ ▒о╡░ан┐е▓▒┐, ог░ани╖ена ▒│ммой hj
(и ▒│ммой t).
В данной зада╖е ▓░еб│е▓▒┐, ╖▓об╗ ма▓░и╖н╗е ╜лемен▓╗ Ta
hx0 ; l; ijTajx; l; 1i б╗ли локал╝н╗ми в ▓ом ▒м╗▒ле, ╖▓о и╡ вели╖ин╗ б╗▒▓░о │б╗вали ▒ │вели╖ением ░а▒▒▓о┐ни┐ jx0 ; xj. Со▒▓о┐ние c обозна╖ено
;
x 2.
О░ак│л╗, баз╗ данн╗╡, кван▓ов╗е ░еги▒▓░╗
177
Диаг░амма ░е╕ени┐ дл┐ п░иведенного п░име░а. Движение по ╜▓апам зада╖и
о▓░ажено ▒▓░елками. Ок░│жно▒▓и mr1; mr >; ml1; ml > и dn обозна╖а╛▓ ┤аз╗
дей▒▓ви┐. Квад░а▓╗ обозна╖а╛▓ ▒о▒▓о┐ни┐ пам┐▓и ▒и▒▓ем╗ (d = ▓ек│╣а┐ пам┐▓╝
и st = по▒▓о┐нна┐ пам┐▓╝), воп░о▒╗, опе░а╢ии ▒ложени┐ (d = d + 1) и извле╖ени┐
(d = d ; 1) ╖и▒ла 1. П░┐мо│гол╝ники и ▒▓░елки межд│ │▒пе╕н╗ми дей▒▓ви┐ми показ╗ва╛▓ дей▒▓ви┐ каждой ┤аз╗ в╗╖и▒лений. С▓олбе╢ ▒лева показ╗вае▓ динамик│
╖а▒▓и пои▒ка зада╖и. Цен▓░ал╝н╗й ▒▓олбе╢ ▒ ▓ол╝ко го░изон▓ал╝н╗ми ▒▓░елками
показ╗вае▓ изменени┐ ▒о▒▓о┐ни┐ пам┐▓и, когда найдено p, и ▒▓олбе╢ ▒п░ава показ╗вае▓ динамик│ ╖а▒▓и возв░а▓а. Дей▒▓ви┐ балла▒▓ной ╖а▒▓и показан╗ о▓дел╝но
вниз│ ░и▒│нка. Изменени┐ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗ o, │каз╗ва╛╣ие на окон╖ание ╖а▒▓ей
зада╖и, не показан╗, по▒кол╝к│ и╡ легко най▓и из диаг░амм╗.
Ри▒. 1.
╖е░ез i = 0; 1. Обоб╣им п░иведенн╗й в╗╕е п░име░ [8], в ко▓о░ом ░а▒▒ма▓░ивала▒╝ ▓ол╝ко ┤азова┐ ▓░аек▓о░и┐, наложив ▓░ебование, ╖▓об╗
ма▓░и╖н╗е ╜лемен▓╗ Ta б╗ли ░авн╗ 0, пока x0 = x и i = 1, или x0 = x+1
178
П. Бен
ев
и i = 0 дл┐ jli = jmr1i. Дл┐ jli = jml1i в▓о░ое │▒ловие заменено
на x0 = x ; 1 и i = 0.
Ди▒пе░▒и┐ ┤азовой ▓░аек▓о░ии введена ▓ак, ╖▓о ма▓░и╖н╗е ╜лемен▓╗ hl; x0 ; ijTa jl; x; 1i =
6 0 дл┐ ░азли╖н╗╡ зна╖ений x0 ; x. Э▓о по░ождае▓ много ░азли╖н╗╡ в╗╡одн╗╡ ▒о▒▓о┐ний ┤аз╗ дей▒▓ви┐ дл┐ каждого
в╡одного ▒о▒▓о┐ни┐ ▒ ампли▓│дой, оп░едел┐емой ▒│ммой п░оизведений
ма▓░и╖н╗╡ ╜лемен▓ов Ta по в▒ем ▓░аек▓о░и┐м вн│▓░и ┤аз╗ дей▒▓ви┐.
Зави▒имо▒▓╝ ма▓░и╖н╗╡ ╜лемен▓ов о▓ ░азли╖н╗╡ коне╖н╗╡ ▒о▒▓о┐ний
c jii показ╗вае▓ вклад ┤аз╗ дей▒▓ви┐ в ди▒пе░▒и╛ ╖и▒ла ┤аз в ▓░аек▓о░ии (▒│мма t) и дли▓ел╝но▒▓и каждой ┤аз╗ дей▒▓ви┐ (▒│мма h) в
▒│мме по ┤азов╗м ▓░аек▓о░и┐м │░авнени┐ (3).
4.2. То╖но▒▓╝
Из опи▒ани┐ дей▒▓вий ░обо▓а ▒лед│е▓, ╖▓о без дополни▓ел╝н╗╡
ог░ани╖ений на T и▓е░а╢ии T б│д│▓ опи▒╗ва▓╝ ░е╕ение и коне╖ное
▒о▒▓о┐ние в▒ей ▒и▒▓ем╗, не име╛╣ие о▓но╕ени┐ к о▒новной ╢ели зада╖и, задаваемой │░авнением (4). Ч▓об╗ по┐▒ни▓╝ ╜▓о │▓ве░ждение,
п░едположим, ╖▓о (0) = (0)p п░ед▒▓авл┐е▓ на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние
▒ o и c в ▒о▒▓о┐нии jmr1; 0i, положение кван▓ового ░обо▓а
P и ╖а▒▓и╢╗
p на ░е╕е▓ке оп░едел┐е▓▒┐ ▒о▒▓о┐нием jxip ▒ p = y cy jyi. Д░│гие
вели╖ин╗ на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ можно пол│╖и▓╝ из ░и▒. 1. По▒ле k ╕агов ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о ╖а▒▓╝ пои▒ка зада╖и заве░╕ена и в по▒▓о┐нн│╛
пам┐▓╝ запи▒ано n, дае▓▒┐ в╗░ажением
o )j(k )i = X jcy j2 Pk (n; y );
(6)
Pk (n) = h(k)jPnst (1 ; Pmr
1
y
где
o )jy; k (y )i:
Pk (n; y) = hy; k (y)jPnst (1 ; Pmr
1
P
(7)
В ╜▓и╡ │░авнении┐╡ (k) = T k (0) = y cy k (y)jyi, где k (y) | ▒о▒▓о┐ние кван▓ового ░обо▓а по▒ле k ╕агов, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее p в ▒о▒▓о┐нии jyi. П░оек╢ионн╗й опе░а▓о░ Pnst = jnihnj, где jni | ▒о▒▓о┐ние ▒▓░оки к│би▓ов по▒▓о┐нной пам┐▓и, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ╖и▒л│ n. Равен▒▓во
п░ав╗╡ ╖а▒▓ей │░авнений (6) и (7) в╗░ажае▓ │▒ловие, ╖▓о p неподвижна и ее ▒о▒▓о┐ние, за и▒кл╛╖ением возможного ▒к░е╣ени┐ ▒о▒▓о┐ний,
о▒▓ае▓▒┐ неизменн╗м в ▓е╖ение в▒его в╗полнени┐ зада╖и.
x 2.
О░ак│л╗, баз╗ данн╗╡, кван▓ов╗е ░еги▒▓░╗
179
Ве░о┐▓но▒▓╝ Pk (n; y) в╗би░ае▓ в▒е ┤азов╗е ▓░аек▓о░ии в │░авнении (3), ▒оде░жа╣ие 2n + 1 ┤аз╗ (n ┤аз╗ дей▒▓вий и n + 1 ┤аз в╗╖и▒лени┐) в заве░╕енной ╖а▒▓и пои▒ка. Э▓и ▓░аек▓о░ии об║един┐е▓ ▓о
▒вой▒▓во, ╖▓о во в▒е╡ ┤аза╡ в╗╖и▒лени┐, к░оме по▒ледней, p не б╗ла
обна░│жена кван▓ов╗м ░обо▓ом. В ╖а▒▓и пои▒ка ▒│мм╗ по ┤азов╗м
▓░аек▓о░и┐м ╜▓о ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ог░ани╖ени╛ дл┐ в▒е╡ ┤аз, к░оме дв│╡
по▒ледни╡, в╗░ажа╛╣ем│▒┐ в ▓ом, ╖▓о ▒о▒▓о┐ни┐, в ко▓о░╗╡ на╡од┐▓▒┐
кван▓ов╗й ░обо▓ и p, не опи▒╗ва╛▓ одно и ▓о же и╡ ме▒▓оположение.
С│мма по в╗╡одн╗м ▒о▒▓о┐ни┐м дл┐ по▒ледни╡ (n-╡) ┤аз дей▒▓ви┐ пои▒ка ог░ани╖ен╗ дл┐ ▒о▒▓о┐ний, в ко▓о░╗╡ кван▓ов╗й ░обо▓ и p име╛▓
одно и ▓о же ме▒▓оположение y.
Зави▒имо▒▓╝ Pk (n) о▓ k введена │▒ловием, по ко▓о░ом│ ▓░аек▓о░ии в ▒│мма╡ по ┤азов╗м ▓░аек▓о░и┐м дл┐ k (y)jyi, да╛╣ие вклад в
│░авнение (7), ▒оде░жали б╗ n ┤аз дей▒▓ви┐ в в╗полненной ╖а▒▓и зада╖и пои▒ка ╖е░ез k ╕агов. Зави▒имо▒▓╝ о▓ k в╡оди▓ ╖е░ез ▒│мм│ h
│░авнени┐ (3), ко▓о░ое в╗░ажае▓ кван▓ов│╛ ди▒пе░▒и╛ дли▓ел╝но▒▓и
░азли╖н╗╡ ┤аз. Она ▒│╣е▒▓венно зави▒и▓ о▓ ▒вой▒▓в T и о▓ ░а▒▒▓о┐ни┐ y ; x. Дл┐ до▒▓а▓о╖но бол╝╕и╡ k ампли▓│д╗ ▓░аек▓о░ий, ко▓о░╗е
в▒е е╣е в ╖а▒▓и пои▒ка зада╖и ▒ < n + 1 в╗полненн╗ми ┤азами в╗╖и▒лений, должн╗ б╗▓╝ о╖ен╝ мал╗. В ╜▓ом ▒л│╖ае, е▒ли Ta ░аз│мн╗е,
(нап░име░, локал╝н╗е и ▓. д.) и | волновой паке▓, локализованн╗й
в ок░е▒▓но▒▓и неко▓о░ой вели╖ин╗ y0 , ▓о дл┐ вели╖ин y близки╡ к y0
должен ▒│╣е▒▓вова▓╝ п░едел п░и в░емени, ▒▓░ем┐╣ем▒┐ к бе▒коне╖но▒▓и P1 (n; y). Его зна╖ение должно б╗▓╝ до▒▓а▓о╖но близким к Pk (n; y)
дл┐ бол╝╕и╡ k, е▒ли 0 6 y0 ; x < 2N .
Може▓ ▒л│╖и▓╝▒┐, ╖▓о дл┐ бол╝╕и╡ k ░а▒п░еделение Pk (n; y) как
┤│нк╢и┐ n имее▓ мак▒им│м, и ┤│нк╢и┐ ▒о▒░едо▓о╖ена около ╜▓ого мак▒им│ма. Однако без дополни▓ел╝н╗╡ ог░ани╖ений на Ta мак▒им│м може▓ и не име▓╝ о▓но╕ени┐ к ░а▒▒▓о┐ни╛ межд│ p и кван▓ов╗м ░обо▓ом. Один из ▒по▒обов и▒п░ави▓╝ ▓акое положение | по▓░ебова▓╝,
╖▓об╗ ма▓░и╖н╗е2 ╜лемен▓╗ Ta имели ┤о░м│ hmr1; x0 ; ijTa j1; x; mr1i =
= ai e;(x ;x;1+i) , где ai | ко╜┤┤и╢иен▓, зави▒┐╣ий о▓ i. В ╜▓ом ▒л│╖ае дл┐ бол╝╕и╡ и k Pk (n; y) должна име▓╝ пик п░и n = y ; x ▒
малой ди▒пе░▒ией (задаваемой ▒оо▓но╕ением 0 6 y ; x < 2N ). В п░еделе ; k = 1 изме░ение ░а▒▒▓о┐ни┐ б│де▓ аб▒ол╛▓но ▓о╖н╗м, без
ди▒пе░▒ии. В ╜▓ом ▒л│╖ае P1 (n; y) = n;y;x, ╖▓о ▒огла▒│е▓▒┐ ▒ │░авнением (4). П░едел k ! 1 необ╡одим, по▒кол╝к│ ди▒пе░▒и┐ п░одолжи0
180
П. Бен
ев
▓ел╝но▒▓и ┤аз╗ п░и▒│▓▒▓в│е▓ в ▒│мме по ┤азов╗м ▓░аек▓о░и┐м (╜к▒понен▓а ░авна 0, е▒ли x0 = x + 1 и i = 0, либо x0 = x и i = 1).
Обоб╣ение дл┐ ▒л│╖а┐, когда п░имен┐е▓▒┐ │░авнение (5), пол│╖ае▓▒┐ непо▒░ед▒▓венно.
▒л│╖ае п░ава┐ ╖а▒▓╝ │░авнени┐ (6) замеP dx dxjcy j2PВk (n;╜▓ом
н┐е▓▒┐
x0 ; x; y). С│мма недиагонал╝на по x и диагоx;x ;y
0
0
нал╝на по y, по▒кол╝к│ в ╜▓ом п░о▒▓ом п░име░е кван▓ов╗й ░обо▓ движе▓▒┐, а ╖а▒▓и╢а p неподвижна. Дл┐ бол╝╕и╡ вели╖ин ; k Pk (n; x0 ; x; y)
должн╗ б╗▓╝ о╖ен╝ мал╗ п░и x0 6= x. В п░еделе = 1 P1 (n; x0 ; x; y) =
= x ;xn;y;x , ╖▓о ▒огла▒│е▓▒┐ ▒ │░авнением (5) дл┐ 0 6 y ; x < 2N .
0
5. Об▒│ждение
В данной зада╖е не┐вно п░едполагае▓▒┐ ▒│╣е▒▓вование Tc , ко▓о░╗й ▒в┐з╗вае▓ каждое в╡одное ▒о▒▓о┐ние ▓░аек▓о░ии ▒ един▒▓венн╗м
в╗╡одн╗м ▒о▒▓о┐нием ▓░аек▓о░ии в каждой ┤азе в╗╖и▒лени┐. С│╣е▒▓вование ▓аки╡ Tc ▒лед│е▓ из ┤ак▓а, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий
опе░а▓о░ кла▒▒и╖е▒кой ма╕ин╗ Т╝╛░инга, дей▒▓вие ко▓о░ого опи▒╗вае▓ един▒▓венн│╛ ▓░аек▓о░и╛ ▒о▒▓о┐ни┐ вн│▓░и каждой ┤аз╗ в╗╖и▒лени┐. Кван▓ова┐ ве░▒и┐ може▓ б╗▓╝ оп░еделена как доп│▒ка╛╣а┐ ░азм╗▓ие вдол╝ един▒▓венной ▓░аек▓о░ии дл┐ каждой ┤аз╗ в╗╖и▒лени┐
и, ▒ледова▓ел╝но, вводи▓ ди▒пе░▒и╛, оп░едел┐ем│╛ ▒│ммой h │░авнени┐ (3). Обоб╣ение на Tc , вкл╛╖а╛╣ее ▒│мм╗ по ░азли╖н╗м ┤азов╗м
▒о▒▓о┐ни┐м, как б╗ло ▒делано зде▒╝ дл┐ Ta , | зада╖а дал╝ней╕и╡ и▒▒ледований.
П░иведенное в╗╕е об▒│ждение показ╗вае▓, ╖▓о опи▒ание даже
п░о▒▓ей╕и╡ изме░ений ░а▒▒▓о┐ни┐ оказ╗вае▓▒┐ о▓но▒и▓ел╝но ▒ложн╗м, е▒ли под▒╖и▓а▓╝ в▒е ╕аги, необ╡одим╗е (▒м. ░и▒. 1) дл┐ пол│╖ени┐
▒к░е╣енн╗╡ ▒о▒▓о┐ний в │░авнении (4). Э▓о о▒новано на п░ед▒▓авлении
╖и▒ел как ▒о▒▓о┐ний кван▓ов╗╡ ░еги▒▓░ов, в░емени, ▓░еб│╛╣его▒┐ дл┐
в╗полнени┐ ░азли╖н╗╡ ╖а▒▓ей зада╖и (нап░име░, опе░а╢ии +1 или ;1 в
┤азе в╗╖и▒лений), и д░│ги╡ ┤ак▓о░ов. Дл┐ об▒│ждаемой зада╖и п░о╢е▒▒
░е╕ени┐, как показано на ░и▒. 1, п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой ░еализа╢и╛ п░едположени┐ о ▒│╣е▒▓вовании дл┐ ▓е╡ ┤изи╖е▒ки╡ ╜к▒пе░имен▓ов, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ о▒│╣е▒▓влен╗ кван▓ов╗ми ░обо▓ами, гипо▓ез╗ [8], подобной гипо▓езе Че░╖а{Т╝╛░инга [15] дл┐ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов [16].
В закл╛╖ение ▒лед│е▓ под╖е░кн│▓╝, ╖▓о как неод│╕евленн╗е ┤изи╖е▒кие ▒и▒▓ем╗, кван▓ов╗е ░обо▓╗ ни╖его не зна╛▓ о в╗╖и▒лени┐╡,
Ли▓е░а▓│░а
181
или о ▒воем ме▒▓оположении на ░е╕е▓ке в л╛бой момен▓ в░емени, или
о ▓ом, изме░ение ли ╜▓о вооб╣е. И╡ поведение п░о▒▓о ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓
динамике, оп░едел┐емой T .
Благода░но▒▓и
Э▓а ░або▓а п░оведена п░и подде░жке U.S. Department of Energy,
Nuclear Physics Division, кон▓░ак▓ W-31-109-ENG-38.
Ли▓е░а▓│░а
[1] P. Shor. In Proceedings of the 35th Annual Symposium on the
Foundations of Computer Science, edited by S. Goldwasser (IEEE
Computer Society, Los Alamitos, CA 1994), p. 124; Siam Jour.
Comput. 26, 1481 (1997).
[2] L. K. Grover. In Proceedings of 28th Annual ACM Symposium on
Theory of Computing ACM Press New York 1996, p. 212; Phys.
Rev. Letters, 78 325 (1997); Phys. Rev. Letters, 80 4329 (1998);
G. Brassard. Science 275 627 (1997).
[3] R. Laamme, C. Miquel, J. P. Paz, W. H. Zurek. Phys. Rev. Letters
77 198 (1996); E. Knill, R. Laamme. Phys. Rev A 55 900
(1997); P. W. Show. Phys. Rev A52 R2493 (1995); D. P. DiVincenzo,
P. W. Shor. Phys. Rev. Letters 77 3260 (1996).
[4] E. Knill, R. Laamme, W. H. Zurek. Science, 279 342 (1998).
[5] D. P. DiVincenzo. Science 270 255 (1995).
[6] N. A. Gershenfeld, I. L. Chuang. Science, 275 350 (1997); D. G. Cory,
A. F. Fahmy, T. F. Havel. Proc. Natl. Acad. Sci. 94 1634 (1997).
[7] C. H. Bennett, G. Brassard, E. Bernstein, U. Vazirani. SIAM Jour.
Computing 26 1510, (1997); Quantum Oracle Interrogation W. Van
Dam, Los Alamos Archives rept. quant-ph/9805006.
[8] P. A. Benio. Phys. Rev. A, to Appear Aug. 1998; Superlattices and
Microstructures 23 407 (1998).
[9] A. Peres and W. Zurek. Amer. Jour. Phys. 50 807 (1982).
182
Ли▓е░а▓│░а
[10] R. Penrose. The Emperor's New Mind, Penguin Books, New York,
1991.
[11] H. P. Stapp. Mind, Matter, and Quantum Mechanics, Springer Verlag,
Berlin 1993.
[12] E. Squires. Conscious Mind in the Physical World IOP Publishing,
Bristol England, 1990
[13] R. P. Feynman, A. R. Hibbs. Quantum Mechanics and Path Integrals,
McGraw-Hill Book Co. New York 1965.
[14] M. Reed, B. Simon. Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1,
Academic Press, New York, 1972, Chap. VIII; I. Montavy, G. Munster.
Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press, New York,
1994, Chap. 1.
[15] A. Church. Am. Jour. Math. 58 345 (1936); A. M. Turing. Proc. Lond.
Math. Soc. 2 42, 230 (1936).
[16] D. Deutsch. Proc. Roy. Soc. (London) A 400 997 (1985).
Кван▓ов╗й алго░и▓м в╗╖и▒лени┐
▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений и ▒об▒▓венн╗╡
век▓о░ов, обе▒пе╖ива╛╣ий
1
╜к▒понен╢иал╝ное │вели╖ение ▒ко░о▒▓и
Дани╜л╝ С. Аб░ам▒
(Daniel S. Abrams)2
С╜▓ Ллойд
(Seth Lloyd)3
П░едложен нов╗й полиномиал╝н╗й по в░емени кван▓ов╗й
алго░и▓м, и▒пол╝з│╛╣ий кван▓овое п░еоб░азование Ф│░╝е,
оп░едел┐╛╣ий ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ и ▒об▒▓венн╗е ┤│нк╢ии
опе░а▓о░а Гамил╝▓она. Алго░и▓м може▓ б╗▓╝ п░именен в ▓е╡
▒л│╖а┐╡ (об╗╖но име╛╣и╡ ме▒▓о в ┤изи╖е▒ки╡ и ╡ими╖е▒ки╡
зада╖а╡ ab initio), дл┐ ко▓о░╗╡ в▒е изве▒▓н╗е кла▒▒и╖е▒кие
алго░и▓м╗ ▓░еб│╛▓ ╜к▒понен╢иал╝ного в░емени в╗╖и▒лени┐.
Ра▒▒мо▓░ено п░именение алго░и▓ма к конк░е▓н╗м зада╖ам,
и ▒делан в╗вод, ╖▓о ин▓е░е▒н╗е зада╖и а▓омной ┤изики, ко▓о░╗е ▓░│дно ░е╕и▓╝ кла▒▒и╖е▒кими ме▓одами, мог│▓ б╗▓╝
░аз░е╕ен╗ ▒ и▒пол╝зованием о▓ 50 до 100 кван▓ов╗╡ би▓ов.
Задолго до о▒новополага╛╣его алго░и▓ма Шо░а [1] и по▒лед│╛╣ей
волн╗ ин▓е░е▒а к кван▓ов╗м в╗╖и▒лени┐м Фейнман п░едположил, ╖▓о
кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ може▓ б╗▓╝ полезен дл┐ модели░овани┐ д░│ги╡
кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем [7]. Э▓о п░едположение бази░овало▒╝ на ▓ом набл╛дении, ╖▓о ░азме░но▒▓╝ гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва, в ко▓о░ом опи▒╗ва╛▓▒┐ кван▓ов╗е ▒и▒▓ем╗, ╜к▒понен╢иал╝но ░а▒▓е▓ ▒ ╖и▒лом ╖а▒▓и╢.
1 Э▓а ░або▓а б╗ла в╗полнена п░и подде░жке по г░ан▓│ # N00014-95-1-0975 о▓
Oce of Naval Research; ARO and DARPA по г░ан▓│ # DAAH04-96-1-0386 to QUIC,
the Quantum Information and Computation initiative; по DARPA г░ан▓│ NMRQC,
the Nuclear Magnetic Resonance Quantum Computing initiative; по п░ог░амме ARO
through an NDSEG.
2 Department of Physics, MIT 12-128b Cambridge, MA 02139 (abrams@mit.edu).
3 d'Arbelo Laboratory for Information Sciences and Technology Department of
Mechanical Engineering, MIT 3-160 Cambridge, MA 02139 (slloyd@mit.edu).
Пе░евод М. В. Чи╖икиной.
184
Д. С. Аб░ам▒, С. Ллойд
Таким об░азом, дл┐ полного опи▒ани┐ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗ ▓ол╝ко 100
╖а▒▓и╢ ▒о ▒пином 1=2, кажда┐ из ко▓о░╗╡, б│д│╖и изоли░ованной, може▓
б╗▓╝ оп░еделена в▒его ли╕╝ дв│м┐ комплек▒н╗ми ампли▓│дами, ▓░еб│е▓▒┐ 2100 комплек▒н╗╡ ампли▓│д. Э▓о▓ ╜к▒понен╢иал╝н╗й ░о▒▓ о╖ен╝
ог░ани╖ивае▓ возможно▒▓╝ п░оизводи▓╝ ▓о╖н╗е в╗╖и▒лени┐ ab initio;
по▒кол╝к│ невозможно даже опи▒а▓╝ на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние (к░оме ▒л│╖аев п░о▒▓ей╕и╡ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем), п░и╡оди▓▒┐ п░ибега▓╝ к ▓е╡нике
░азли╖н╗╡ п░иближенн╗╡ в╗╖и▒лений, ╖▓об╗ в╗┐▒ни▓╝ ╡а░ак▓е░н╗е
▒вой▒▓ва кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем.
В недавни╡ ░або▓а╡ в обла▒▓и кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений б╗ли п░едложен╗ ░азли╖н╗е ме▓од╗ модели░овани┐ ┤изики на кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░а╡ [8, 11, 2, 4, 3, 5], и б╗ло показано, ╖▓о они дей▒▓ви▓ел╝но ╜┤┤ек▓ивн╗, как и п░едполагал Фейнман. Однако, в ▓о в░ем┐ как п░ед╗д│╣ие
░або▓╗ опи▒╗вали ░азнооб░азн╗е алго░и▓м╗ дл┐ п░иведени┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а в ▒о▒▓о┐ние, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ▒о▒▓о┐ни╛ ┤изи╖е▒кой
▒и▒▓ем╗, дл┐ ╜вол╛╢ии ▒о в░еменем ╜▓ого ▒о▒▓о┐ни┐ в комп╝╛▓е░е и
дл┐ изме░ени┐ ▒вой▒▓в ╜вол╛╢иони░│╛╣его ▒о▒▓о┐ни┐ [8, 11, 2, 4, 3],
б╗ло ▒делано ▒░авни▓ел╝но мало ░або▓ по алго░и▓мам, ко▓о░╗е в╗╖и▒л┐╛▓ ▒▓а▓и╖е▒кие ▒вой▒▓ва ┤изи╖е▒ки╡ ▒и▒▓ем [5]. В ╖а▒▓но▒▓и, из
в▒е╡ воп░о▒ов, ко▓о░╗е можно зада▓╝ о кван▓овой ▒и▒▓еме, е▒▓╝ один
наиболее ╖а▒▓о пов▓о░┐╛╣ий▒┐ и дл┐ ко▓о░ого наиболее жела▓ел╝но
пол│╖и▓╝ ╜┤┤ек▓ивн╗й алго░и▓м: каков╗ ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ и ▒об▒▓венн╗е век▓о░╗? В данной ░або▓е п░иводи▓▒┐ кван▓ов╗й алго░и▓м,
ко▓о░╗й може▓ на╡оди▓╝ ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ и ▒об▒▓венн╗е век▓о░╗
опе░а▓о░а Гамил╝▓она в ▒л│╖а┐╡, ╖а▒▓о п░ед▒▓авл┐╛╣и╡ ┤изи╖е▒кий
ин▓е░е▒. Более ▓ого, дл┐ в╗полнени┐ алго░и▓ма ▓░еб│е▓▒┐ п░омеж│▓ок
в░емени, ░а▒▓│╣ий как полиномиал╝на┐ ┤│нк╢и┐ ╖и▒ла ╖а▒▓и╢ и ▓░еб│емой ▓о╖но▒▓и, ▓огда как во в▒е╡ изве▒▓н╗╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ алго░и▓ма╡
╜▓о в░ем┐ ░а▒▓е▓ ╜к▒понен╢иал╝но.
П░облема може▓ б╗▓╝ ▓о╖но ▒┤о░м│ли░ована ▒лед│╛╣им об░азом.
ib
Ра▒▒мо▓░им опе░а▓о░ ╜вол╛╢ии Ub = e; ~ Ht , ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий гамил╝▓ониан│ Hb , и апп░ок▒има╢и╛ Va ▒об▒▓венного век▓о░а Ub (▒ледова▓ел╝но, и Hb ), ко▓о░╗й може▓ б╗▓╝ по▒▓░оен за полиномиал╝ное в░ем┐, ▓. е.
ма╕ина може▓ б╗▓╝ п░иведена в ▒о▒▓о┐ние Va за полиномиал╝ное ╖и▒ло кван▓ов╗╡ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий. Обозна╖им и▒▓инн╗й ▒об▒▓венн╗й
век▓о░ V и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ▒об▒▓венное зна╖ение v : Е▒ли ▒о▒▓о┐ние Va ▓аково, ╖▓о Va V 2 не ┐вл┐е▓▒┐ ╜к▒понен╢иал╝но малой вели╖иjh
j
ij
Кван▓ов╗й алго░и▓м в╗╖и▒лени┐
185
ной, ▓о е▒▓╝ п░иближенн╗й ▒об▒▓венн╗й век▓о░ ▒оде░жи▓ компонен▓│
и▒▓инного ▒об▒▓венного век▓о░а, ко▓о░а┐ ог░ани╖ена полиномиал╝ной
┤│нк╢ией па░аме▓░а зада╖и, ▓огда
V и v мог│▓ б╗▓╝ найден╗ за в░ем┐, п░опо░╢ионал╝ное 1= Va V 2 и 1=", где " | ▓░еб│ема┐ ▓о╖но▒▓╝.
Ин▓│и▓ивно ┐▒но, ╖▓о алго░и▓м ░азлагае▓ п░обное на╖ал╝ное п░иближение на компонен▓╗, не ┐вл┐╛╣ие▒┐ п░енеб░ежимо мал╗ми, и
оп░едел┐е▓ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐. Е▒ли опе░а▓о░ Ub
(и, ▒ледова▓ел╝но, его ▒об▒▓венн╗е век▓о░╗) ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕ой
░азме░но▒▓и, ╖▓о ▓ипи╖но, ▓о неизве▒▓н╗ кла▒▒и╖е▒кие алго░и▓м╗, ко▓о░╗е мог│▓ най▓и ╡о▓┐ б╗ ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ за полиномиал╝ное в░ем┐. Хо▓┐ ▓░ебование ▒│╣е▒▓вовани┐ на╖ал╝ного век▓о░а ▒о▒▓о┐ни┐ Va ▒ оп░еделенн╗ми ▒вой▒▓вами може▓ показа▓╝▒┐ ▒ли╕ком ог░ани╖ива╛╣им, ╖а▒▓о (е▒ли не ▒каза▓╝ об╗╖но) возможно пол│╖и▓╝ ▓акое п░едположение дл┐ ц░еал╝н╗╡ч п░облем, и▒пол╝з│┐ ▒│╣е▒▓в│╛╣ие
кла▒▒и╖е▒кие п░ием╗. Нап░име░, в л╛бой ┤изи╖е▒кой ▒и▒▓еме ▒ ди▒к░е▓н╗ми ╜не░ге▓и╖е▒кими │░овн┐ми, ко▓о░╗е не ░а▒положен╗ ╜к▒понен╢иал╝но близко к о▒новном│ ▒о▒▓о┐ни╛ (как в а▓оме), е▒ли возможно пол│╖и▓╝ кла▒▒и╖е▒ки л╛бой век▓о░ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒ п░едполагаемой
╜не░гией п░о▒▓о мен╝╕ей, ╖ем пе░вое возб│жденное ▒о▒▓о┐ние (на не╜к▒понен╢ал╝но мал│╛ вели╖ин│), ▓огда ╜▓о▓ век▓о░ ▒о▒▓о┐ни┐ должен
▒оде░жа▓╝ компонен▓╗ о▒новного ▒о▒▓о┐ни┐, не ┐вл┐╛╣ие▒┐ п░енеб░ежимо мал╗ми, и | ╡о▓┐ ╜▓о може▓ даже о▓даленно не по╡оди▓╝ на
о▒новное ▒о▒▓о┐ние | ╜▓о▓ век▓о░ може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован как п░иближенное ▒о▒▓о┐ние Va дл┐ оп░еделени┐ и▒▓инного о▒новного ▒о▒▓о┐ни┐ и
╜не░гии о▒новного ▒о▒▓о┐ни┐ за полиномиал╝ное в░ем┐. Наконе╢, е▒ли
из-за каки╡-▓о п░облем невозможно пол│╖и▓╝ кла▒▒и╖е▒ки п░иблизи▓ел╝н╗й под▒╖е▓ ▒ ▓░еб│емой ▓о╖но▒▓╝╛, ╖а▒▓о б╗ва╛▓ ▒л│╖аи, когда
век▓о░ ▒о▒▓о┐ни┐ Va може▓ б╗▓╝ пол│╖ен ▒ и▒пол╝зованием кван▓ового
алго░и▓ма, как кван▓ово ▒модели░ованн╗й о▓жиг.
Тепе░╝ опи╕ем алго░и▓м, п░именим╗й к л╛бом│ Ub , ко▓о░╗й може▓ б╗▓╝ в╗полнен за кван▓овое полиномиал╝ное в░ем┐, незави▒имо
о▓ ▓ого, п░ед▒▓авл┐е▓ ли он опе░а▓о░ ╜вол╛╢ии, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий данном│ гамил╝▓ониан│, или не▓. (В [8] б╗ло показано, ╖▓о опе░а▓о░ ╜вол╛╢ии, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий л╛бом│ локал╝ном│ гамил╝▓ониан│, може▓
б╗▓╝ по▒▓░оен на кван▓овом комп╝╛▓е░е за полиномиал╝ное в░ем┐).
Э▓а пе░ва┐ ╖а▒▓╝ алго░и▓ма б╗ла опи▒ана незави▒имо в [12] п░имени▓ел╝но к в╗╖и▒лени╛ ▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений (но не ▒об▒▓венн╗╡ век▓о░ов) │ни▓а░н╗╡ опе░а▓о░ов, по▒кол╝к│ ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ опе░аjh
j
ij
186
Д. С. Аб░ам▒, С. Ллойд
▓о░ов можно и▒пол╝зова▓╝ дл┐ ░е╕ени┐ зада╖и об абелевом ▒▓абилиза▓о░е. Ра▒▒мо▓░им кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, ▒о▒▓о┐╣ий из m + l + w к│би▓ов, где ▒овок│пно▒▓╝ m к│би▓ов (назовем и╡ индек▒н╗ми би▓ами)
и▒пол╝з│е▓▒┐ дл┐ б╗▒▓░ого п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е, множе▒▓во l к│би▓ов опи▒╗вае▓ гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во, в ко▓о░ом дей▒▓в│е▓ опе░а▓о░ Ub , и w дополни▓ел╝н╗╡ к│би▓ов ▓░еб│╛▓▒┐ дл┐ в░еменной пам┐▓и.
П│▒▓╝ M = 2m . То╖но▒▓╝ ░ез│л╝▓а▓а б│де▓ ░а▒▓и как 1=M . П░едположим, ╖▓о m индек▒н╗╡ к│би▓ов пе░вона╖ал╝но на╡од┐▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии 0 и l к│би▓ов на╡од┐▓▒┐ пе░вона╖ал╝но в ▒о▒▓о┐нии Va (▒ледова▓ел╝но, н│жно, ╖▓об╗ Va б╗ло по▒▓░оено за кван▓овое полиномиал╝ное
в░ем┐). В ╜▓ом ▒л│╖ае на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние е▒▓╝
= 0 Va ;
(1)
где п░едполагае▓▒┐ (е▒ли за░анее не огово░ено п░о▓ивное), ╖▓о w ░або╖и╡ к│би▓ов на╡од┐▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии 0 . М╗ п░оизводим пово░о▓ на =2
в каждом из m индек▒н╗╡ к│би▓ов, ╖▓об╗ пол│╖и▓╝ ▒о▒▓о┐ние
j i
j
i
j i j
i
j i
j
MX
;1
= 1
j Va :
i
M j=0
p
j ij
(2)
i
За▓ем п░оводи▓▒┐ ░┐д кван▓ов╗╡ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий, ко▓о░╗е пе░евод┐▓ комп╝╛▓е░ в ▒о▒▓о┐ние
MX
;1
= 1
j (Ub )j Va :
j
i
p
M j=0
j i
j
(3)
i
Э▓о п░еоб░азование заве░╕ае▓▒┐ п░именением опе░а╢ии Ub ко в▓о░ом│
набо░│ l к│би▓ов (ко▓о░╗е пе░вона╖ал╝но б╗ли в ▒о▒▓о┐нии Va ) j ░аз.
Э▓о можно легко в╗полни▓╝, п░овод┐ ╢икл (обозна╖енн╗й i) о▓ 1 до M .
И▒пол╝з│┐ ▒▓анда░▓н╗е опе░а╢ии кван▓овой логики, │▒▓ановим ┤лагов╗й к│би▓ на вели╖ин│ 1 , е▒ли ▓ол╝ко i < j , и п░оизведем опе░а╢и╛ Ub ,
│п░авл┐ем│╛ зна╖ением ╜▓ого ┤лага. Таким об░азом, пол│╖ен╗ ▓ол╝ко
▓е компонен▓╗ п░иведенной в╗╕е ▒│пе░пози╢ии, дл┐ ко▓о░╗╡ i < j .
Наконе╢, изменим зна╖ение ┤лагов╗╡ к│би▓ов и п░одолжим в╗╖и▒лени┐ ▒о ▒лед│╛╣ей и▓е░а╢ией. По▒ле M и▓е░а╢ий пол│╖им п░иведенное
в╗╕е ▒о▒▓о┐ние.
Зде▒╝ полезно пе░епи▒а▓╝ ▒о▒▓о┐ние немного в д░│гом виде. П░он│ме░│ем ▒об▒▓венн╗е век▓о░а Ub как ▒о▒▓о┐ни┐ k и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие
j
j i
j
i
i
187
Кван▓ов╗й алго░и▓м в╗╖и▒лени┐
▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ как k . По▒ле ╜▓ого можно напи▒а▓╝
Va =
j
i
X
ck k ;
j
k
(4)
i
опи▒анное в╗╕е ▒о▒▓о┐ние (3) може▓ б╗▓╝ пе░епи▒ано в ┤о░ме
j
MX
;1
X
= 1
j (Ub )j ck k =
(5)
;1
X MX
ck
j (k )j k :
= 1
(6)
i
p
M j=0
j i
j
k
j i
i
j
i
M k j=0
Е▒ли запи▒а▓╝ k как ei! и помен┐▓╝ по░┐док к│би▓ов ▓ак, ╖▓об╗
номе░а k оказали▒╝ пе░в╗ми, ░ез│л╝▓а▓ б│де▓ более нагл┐дн╗м:
p
k
j
i
j
MX
;1
X
= 1
ck k
ei! j j :
i
M k
p
j
i
k
j =0
(7)
j i
Тепе░╝ о╖евидно, ╖▓о кван▓овое п░еоб░азование Ф│░╝е, п░оизведенное на m индек▒н╗╡ к│би▓а╡, в╗╖и▒ли▓ ┤аз╗ !k и, ▒ледова▓ел╝но, ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ k . Кван▓овое п░еоб░азование Ф│░╝е ▓░еб│е▓
▓ол╝ко poly (m) опе░а╢ий, в ▓о в░ем┐ как ▓о╖но▒▓╝ ░ез│л╝▓а▓а ░а▒▓е▓
линейно ▒ M или как 2m . Кажда┐ ╖а▒▓о▓а по┐вл┐е▓▒┐ ▒ ампли▓│дой
ck = Va k . П░оизвод┐ изме░ение на m индек▒н╗╡ к│би▓а╡, можно
пол│╖и▓╝ каждое ▒об▒▓венное зна╖ение ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ ck 2 . Следова▓ел╝но, н│жно ▓ол╝ко полиномиал╝ное ╖и▒ло ╕агов, ╖▓об╗ пол│╖и▓╝
л╛бое ▒об▒▓венное зна╖ение, дл┐ ко▓о░ого ck не б│де▓ ╜к▒понен╢иал╝но
мал╗м. Е▒ли на╖ал╝ное п░обное зна╖ение Va близко к н│жном│ ▒о▒▓о┐ни╛, (▓. е., Va V 2 близко к 1), ▓о може▓ понадоби▓╝▒┐ ▓ол╝ко
не▒кол╝ко поп╗▓ок.
Более ▓ого, ▓ак же можно пол│╖и▓╝ и ▒об▒▓венн╗е век▓о░╗: е▒ли изме░ени┐ │же ▒делан╗, и ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ k оп░еделен╗,
о▒▓ав╕ие▒┐ l к│би▓ов цколлап▒и░│╛▓ч в ▒о▒▓о┐ние ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его
▒об▒▓венного век▓о░а. Коне╖но, ▒о▒▓о┐ние k в неко▓о░ом ▒м╗▒ле цзапе░▓о в лов│╕кеч вн│▓░и комп╝╛▓е░а. Но, по▒кол╝к│ невозможно ╡░ани▓╝ 2l ┤аз, ▒в┐занн╗╡ ▒ ▒о▒▓о┐нием, как кла▒▒и╖е▒к│╛ ин┤о░ма╢и╛,
h
j
i
j
j
jh
j
i
ij
j
i
j
188
Д. С. Аб░ам▒, С. Ллойд
нел╝з┐ наде┐▓╝▒┐ на л│╖╕ее. Однако, е▒ли п░ед▒▓авл┐╛▓ ин▓е░е▒ ░азли╖н╗е ▒вой▒▓ва ▒об▒▓венн╗╡ век▓о░ов, ▓о и╡ можно оп░едели▓╝ ▒ помо╣╝╛ ░азли╖н╗╡ изме░ений ╜▓ого ▒о▒▓о┐ни┐. Дл┐ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений ab initio ▒░еди легко пол│╖аем╗╡ ▒вой▒▓в наибол╝╕ий ин▓е░е▒
п░ед▒▓авл┐╛▓ ▒лед│╛╣ие: пло▓но▒▓╝ ░а▒п░еделени┐ за░┐да, ко░░ел┐╢ионна┐ ┤│нк╢и┐, ░а▒п░еделение имп│л╝▒ов и ▓. д. Об▒│ждение воп░о▒а,
каким об░азом н│жна┐ ┤изи╖е▒ка┐ ин┤о░ма╢и┐ може▓ б╗▓╝ извле╖ена
из кван▓ового комп╝╛▓е░а, п░иведено в [11].
Об▒│дим ▓епе░╝ ▓о╖нее воп░о▒ пол│╖ени┐ ▒об▒▓венн╗╡ век▓о░ов и
▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений ц░еал╝ногоч гамил╝▓ониана. Об╗╖но ▓░еб│е▓▒┐
най▓и ▒об▒▓венн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ гамил╝▓ониана в ┤о░ме
H=
n
X
n
X
i=1
i>j
(Ti + Vi ) +
Vij ;
(8)
где n | ╖и▒ло ╖а▒▓и╢, Ti | кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐, Vi | вне╕ний по▓ен╢иал и Vij | взаимодей▒▓вие межд│ ╖а▒▓и╢ами. Однако не▓ п░и╖ин,
по╖ем│ ╜▓и ме▓од╗ нел╝з┐ б╗ло б╗ п░имен┐▓╝ к д░│гим гамил╝▓онианам или к гамил╝▓онианам, ▒оде░жа╣им дополни▓ел╝н╗е ▒лагаем╗е,
е▒ли гамил╝▓ониан може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен в виде ▒│мм╗ локал╝н╗╡
взаимодей▒▓вий (▓о е▒▓╝ ▒│мм╗ ▒лагаем╗╡, ко▓о░╗е дей▒▓в│╛▓ ▓ол╝ко
на k к│би▓ов, где k не зави▒и▓ о▓ ╖и▒ла ╖а▒▓и╢ n). (В а▓омн╗╡ зада╖а╡, нап░име░, можно вкл╛╖и▓╝ ╜┤┤ек▓ивное взаимодей▒▓вие как
▒пин-о░би▓ал╝н│╛ ▒в┐з╝ или как ┐де░н╗е ╜┤┤ек▓╗ коне╖н╗╡ обла▒▓ей
дей▒▓ви┐). По▒кол╝к│ гамил╝▓ониан ╜░ми▓ов, м╗ п░имен┐ем опи▒анн╗е в╗╕е ╕аги дл┐ опе░а▓о░а ╜вол╛╢ии Ub (t) = e;iHt , ко▓о░╗й │ни▓а░ен и имее▓ ▓е же ▒об▒▓венн╗е век▓о░╗ и ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐. Э▓о▓
опе░а▓о░ ╜вол╛╢ии можно пол│╖и▓╝ ▒ помо╣╝╛ ме▓одов, опи▒анн╗╡
в [8]. О▒новна┐ иде┐ ▒о▒▓ои▓ в п░ед▒▓авлении
H=
X
Hi ;
(9)
t
t
t m X
2
Ub (t) = e;iHt = e;iH1 m e;iH2 m : : : e;iH m + [Hi ; Hj ] 2tm + : : : ;
k
i>j
(10)
где кажд╗й Hi дей▒▓в│е▓ ▓ол╝ко на k к│би▓ов однов░еменно. (В опи▒анном в╗╕е гамил╝▓ониане кажд╗й Hi п░ед▒▓авл┐е▓ одно из ▒лагае-
Кван▓ов╗й алго░и▓м в╗╖и▒лени┐
189
t
м╗╡ Ti , Vi или Vij ). П│▒▓╝ Ui = e;iH m . Каждое ▒лагаемое Ui може▓
б╗▓╝ б╗▒▓░о по▒╖и▓ано, по▒кол╝к│ оно дей▒▓в│е▓ в п░о▒▓░ан▒▓ве ▓ол╝ко k кван▓ов╗╡ би▓ов, где k мало. Дл┐ до▒▓а▓о╖но бол╝╕и╡ m в▓о░ое
▒лагаемое в п░авой ╖а▒▓и (и ▒лагаем╗е в╗▒╕и╡ по░┐дков) ▒▓░ем┐▓▒┐
к н│л╛. Следова▓ел╝но, возможно пол│╖и▓╝ Ub (t) п│▓ем дей▒▓ви┐ на
▒о▒▓о┐ние кажд╗м Ui по▒ледова▓ел╝но в▒его m ░аз. Т╣а▓ел╝н╗й анализ [8] показ╗вае▓, ╖▓о дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ▒модели░ова▓╝ Ub (t) ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ ", необ╡одимо п░одела▓╝ O(t2 =") кван▓ов╗╡ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий1 .
Дл┐ конк░е▓н╗╡ зада╖ ┤о░ма ма▓░и╢ Ui в бол╝╕ой ▒▓епени зави▒и▓
о▓ бази▒а, в╗б░анного дл┐ опи▒ани┐ гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва. Более
▓ого, в╗бо░ може▓ ▒ил╝но вли┐▓╝ на ╖и▒ло ╜лемен▓ов бази▒а, ▓░еб│емого дл┐ ▓о╖ного опи▒ани┐ ▒и▒▓ем╗. В об╗╖ном п░ед▒▓авлении пе░ви╖ного кван▓овани┐ кажда┐ ╖а▒▓и╢а опи▒╗вае▓▒┐ ░┐дом из l к│би▓ов,
п░ед▒▓авл┐╛╣им волнов│╛ ┤│нк╢и╛ о▓дел╝ной ╖а▒▓и╢╗. Си▒▓ема как
╢елое, ▓аким об░азом, п░ед▒▓авлена n l к│би▓ами. (Возможно ▓акже
п░ед▒▓авление в▓о░и╖ного кван▓овани┐, ко▓о░ое може▓ б╗▓╝ более ╜┤┤ек▓ивн╗м дл┐ оп░еделенн╗╡ зада╖; ▒м. [11].) Дл┐ опи▒анного в╗╕е
гамил╝▓ониана ма▓░и╢╗ Ui мог│▓ б╗▓╝ пол│╖ен╗ о╖ен╝ ╜┤┤ек▓ивн╗м
▒по▒обом ▒ и▒пол╝зованием либо коо░дина▓ного, либо имп│л╝▒ного п░о▒▓░ан▒▓ва дл┐ одно╖а▒▓и╖ного бази▒а и пе░е╡одом межд│ п░о▒▓░ан▒▓вами ▒ помо╣╝╛ кван▓ового п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е. Однако дл┐ бол╝╕ин▒▓ва п░облем не ▒│╣е▒▓в│е▓ п░облем╗ в╗бо░а ▒амого ╜┤┤ек▓ивного
п░ед▒▓авлени┐ ▒об▒▓венн╗╡ ▒о▒▓о┐ний ▒ оп░еделенн╗м зна╖ением ╜не░гии. Один из набо░ов бази▒н╗╡ ▒о▒▓о┐ний об╗╖но более ╜┤┤ек▓ивен и
╖а╣е и▒пол╝з│е▓▒┐ п░и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ в╗╖и▒лени┐╡:
п░име░ом мог│▓ ▒л│жи▓╝ вейвле▓╗; д░│гим ▒▓анда░▓н╗м п░ед▒▓авлением може▓ б╗▓╝ одно╜лек▓░онное ░е╕ение дл┐ ╜┤┤ек▓ивного по▓ен╢иала. По▒кол╝к│ ░азме░но▒▓╝ одно╖а▒▓и╖ного бази▒а ┤ик▒и░ована (и
м╗ в╗би░аем более ▒ложн╗й бази▒ ▒ о╖евидной ╢ел╝╛ | ▒о╡░ани▓╝ его
i
1 То▓ ┤ак▓, ╖▓о U (t) имее▓ одни и ▓е же ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ и век▓о░╗ дл┐
в▒е╡ t, може▓ п░иве▒▓и к о╕ибо╖ном│ закл╛╖ени╛, ╖▓о ╖и▒ло опе░а╢ий, необ╡одимое дл┐ на╡ождени┐ ▒об▒▓венн╗╡ ▒о▒▓о┐ний ▒ данной ▓о╖но▒▓╝╛, може▓ б╗▓╝
▒ок░а╣ено п│▓ем в╗бо░а более ко░о▓ки╡ п░омеж│▓ков в░емени t дл┐ опе░а▓о░а U (t). Однако дл┐ в╗полнени┐ алго░и▓ма ▓░еб│е▓▒┐ в╗╖и▒ли▓╝ U M , и, по▒кол╝к│ U (t)M = U (M t), о╖евидно, ╖▓о U = U (t) може▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лено ▒ бол╝╕ей
▓о╖но▒▓╝╛, е▒ли U M б│де▓ в╗╖и▒лено ▒ ┤ик▒и░ованной ▓о╖но▒▓╝╛. Дей▒▓ви▓ел╝но, по▒кол╝к│ ▒об▒▓венн╗е век▓о░╗ оп░еделен╗ ▒ ▓о╖но▒▓╝╛, п░опо░╢ионал╝ной M ,
╖и▒ло кван▓ов╗╡ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий, необ╡одим╗╡ дл┐ в╗╖и▒лени┐ ▒об▒▓венн╗╡
▒о▒▓о┐ний ▒ заданной ╜не░гией ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ ", о╖евидно, по░┐дка ";2 .
190
Д. С. Аб░ам▒, С. Ллойд
мал╗м), ▓огда опе░а▓о░╗ Ui в▒егда мог│▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лен╗ в в╗б░анном
бази▒е и по▒▓░оен╗ ▒ и▒пол╝зованием опе░а▓о░ов O(d4 ), где d | ░азме░но▒▓╝ одно╖а▒▓и╖ного бази▒а [6]. Таким об░азом, можно п░имен┐▓╝
кван▓ов╗е алго░и▓м╗, и▒пол╝з│┐ наиболее ▓╣а▓ел╝но подоб░анн╗й бази▒, ко▓о░╗й, как п░авило, и▒пол╝з│е▓▒┐ п░и ▒▓анда░▓н╗╡ в╗╖и▒лени┐╡
ab initio. (По▒кол╝к│ ▒│╣е▒▓в│е▓ б╗▒▓░ое кван▓овое вейвле▓ное п░еоб░азование [9], возможно, ╖▓о вейвле▓н╗й бази▒ окаже▓▒┐ о▒обенно полезн╗м).
С д░│гой ▒▓о░он╗, ▒│╣е▒▓в│е▓ взаимозави▒имо▒▓╝ межд│ пам┐▓╝╛
и ▒ко░о▒▓╝╛. П░и и▒пол╝зовании коо░дина▓ного или имп│л╝▒ного п░ед▒▓авлени┐ н│жно ▓ол╝ко O(poly (k)) = O(poly(log d)) опе░а╢ий, ╖▓об╗
пол│╖и▓╝ каждое из Ui ; однако ▓░еб│е▓▒┐ бол╝╕ое коли╖е▒▓во к│би▓ов, ╖▓об╗ опи▒а▓╝ ▓о╖но ▒об▒▓венное ▒о▒▓о┐ние. И▒пол╝з│┐ наиболее
▓╣а▓ел╝но подоб░анн╗й бази▒, можно зна╖и▓ел╝но ▒ок░а▓и▓╝ ▓░еб│емое коли╖е▒▓во к│би▓ов, однако може▓ оказа▓╝▒┐, ╖▓о ▓░еб│е▓▒┐ го░аздо бол╝╕ее коли╖е▒▓во кван▓ов╗╡ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий O(k4 ), ╖▓об╗
по▒▓░ои▓╝ каждое Ui . То е▒▓╝, как и п░и об╗╖н╗╡ в╗╖и▒лени┐╡, оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о в╗бо░ бази▒а в кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡ б│де▓ зави▒е▓╝ о▓
▒пе╢и┤ики ░е╕аемой п░облем╗ и возможно▒▓ей данного в╗╖и▒ли▓ел╝ного │▒▓░ой▒▓ва.
Об╗╖но на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние Va ┐вл┐е▓▒┐ ░ез│л╝▓а▓ом кла▒▒и╖е▒ки╡ в╗╖и▒лений, нап░име░, ме▓ода Ха░▓░и{Фока или в╗╖и▒лени┐ кон┤иг│░а╢ионного взаимодей▒▓ви┐. Можно и▒пол╝зова▓╝ л╛бой ab initio
ме▓од, п░ивод┐╣ий к изве▒▓ной волновой ┤│нк╢ии. (Заме▓им, ╖▓о ╜▓о
пон┐▓ие не вкл╛╖ае▓ в ▒еб┐ ме▓од╗, и▒пол╝з│╛╣ие ▓ео░и╛ ┤│нк╢ионала пло▓но▒▓и, по▒кол╝к│ н│жна волнова┐ ┤│нк╢и┐, а не п░о▒▓о ░а▒п░еделение пло▓но▒▓и за░┐да). Е▒ли м╗ вводим е╣е не ▒имме▓░изованн│╛
или ан▓и▒имме▓░изованн│╛ волнов│╛ ┤│нк╢и╛, м╗ можем и▒пол╝зова▓╝ алго░и▓м╗, опи▒анн╗е в [11], ╖▓об╗ ▒дела▓╝ ╜▓о ╜┤┤ек▓ивно.
Наконе╢, об▒│дим ░або▓а╛╣ие ab initio в╗╖и▒лени┐ ╜не░ге▓и╖е▒ки╡ │░овней а▓ома, ╖▓об╗ ▒░авни▓╝ опи▒анн╗й в╗╕е кван▓ов╗й алго░и▓м ▒ изве▒▓н╗ми кла▒▒и╖е▒кими ме▓одами. Зада╖и а▓омной ┤изики
▒л│жа▓ о▒обенно │да╖н╗м и▒╡одн╗м п│нк▓ом, по▒кол╝к│ ╡о░о╕о изве▒▓н╗ о╖ен╝ ▓о╖н╗е ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗е данн╗е. Кван▓ов╗е алго░и▓м╗ наиболее близки ме▓одам, изве▒▓н╗м как цполное ак▓ивное кон┤иг│░а╢ионное взаимодей▒▓виеч или цполное кон┤иг│░а╢ионное взаимодей▒▓виеч, по▒кол╝к│ много╖а▒▓и╖н╗й бази▒ вкл╛╖ае▓ в▒е возможн╗е
п░оизведени┐ век▓о░ов одно╖а▒▓и╖ного бази▒а. Э▓о▓ под╡од наиболее
191
Кван▓ов╗й алго░и▓м в╗╖и▒лени┐
╜┤┤ек▓ивен в ▒и▓│а╢и┐╡, где ╜не░ги┐ ко░░ел┐╢ии велика и где много цкон┤иг│░а╢ийч облада╛▓ близкими ╜не░ги┐ми (╜▓о об╗╖но б╗вае▓,
когда много ╜лек▓░онов на╡од┐▓▒┐ на незаполненной оболо╖ке). К ▒ожалени╛, ▓░│дно ▓о╖но о╢ени▓╝ минимал╝н╗й ░азме░ ▒и▒▓ем╗, дл┐ ко▓о░ой кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ п░ево▒╡од┐▓ л│╖╕ие кла▒▒и╖е▒кие, по▒кол╝к│ во избежание ╜к▒понен╢иал╝ного │вели╖ени┐ в╗╖и▒лений п░и о╢енки о▒новного ▒о▒▓о┐ни┐ и▒пол╝з│╛▓▒┐ ░азнооб░азн╗е изо╣░енн╗е ме▓од╗. Наиболее ▓о╖н╗е кла▒▒и╖е▒кие в╗╖и▒лени┐ не и▒пол╝з│╛▓ п░┐мо
ме▓од цполного кон┤иг│░а╢ионного взаимодей▒▓ви┐ч. Однако, ▒▒╗ла┐▒╝
на [10], можно о╢ени▓╝, ╖▓о в╗╖и▒ление │░овней ╜не░гии B (5 ╜лек▓░онов) ▒ и▒пол╝зованием п░име░но 20 │глов╗╡ волнов╗╡ ┤│нк╢ий и 40
░адиал╝н╗╡ волнов╗╡ ┤│нк╢ий дл┐ каждой ╖а▒▓и╢╗ | в▒его 800 волнов╗╡ ┤│нк╢ий дл┐ о▓дел╝ной ╖а▒▓и╢╗ и, ▒ледова▓ел╝но, 8005 1015
полн╗╡ много╖а▒▓и╖н╗╡ бази▒н╗╡ ▒о▒▓о??ний | може▓ да▓╝ более ▓о╖н╗й ░ез│л╝▓а▓, ╖ем л╛бое ▒ов░еменней╕ее кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление.
По к░айней ме░е, ▓акие в╗╖и▒лени┐ могли п░иве▒▓и к п░ед▒▓авл┐╛╣им
на│╖н╗й ин▓е░е▒ ░ез│л╝▓а▓ам (ко▓о░╗е невозможно пол│╖и▓╝ кла▒▒и╖е▒ки), ка▒а╛╣и╡▒┐ ко░░ел┐╢ионной ╜не░гии ╜лек▓░онов в B и о▓но▒и▓ел╝ной важно▒▓и ░азли╖н╗╡ возб│жденн╗╡ ▒о▒▓о┐ний.
Кван▓овое в╗╖и▒ление о▒новного ▒о▒▓о┐ни┐ B ▒ и▒пол╝зованием
опи▒анного в╗╕е бази▒а може▓ б╗▓╝ в╗полнено ▒ 60 к│би▓ами: 10
дл┐ ╖а▒▓и╢╗, ╖▓об╗ п░ед▒▓ави▓╝ ▒о▒▓о┐ние а▓ома (в▒его 50 к│би▓ов),
6 или 7 к│би▓ов дл┐ кван▓ового п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е и не▒кол╝ко
дополни▓ел╝н╗╡ ц╖е░нов╗╡ч1 . К ▒ожалени╛, дв│╡╖а▒▓и╖н╗е опе░а▓о░╗ (по░ождаем╗е к│лонов▒ким взаимодей▒▓вием межд│ ╜лек▓░онами)
дей▒▓в│╛▓ в подп░о▒▓░ан▒▓ве ░азме░но▒▓и (210 )2 ; они, ▓аким об░азом,
п░ед▒▓авлен╗ ма▓░и╢ами ▒ 240 ╜лемен▓ами. Вводи▓╝ ▓акие опе░а▓о░╗
г░│бой ▒илой | зна╖и▓ о▒▓авл┐▓╝ и╡ без опи▒ани┐ в обоз░имом б│д│╣ем. Однако, возможно, │да▒▓▒┐ п░ове▒▓и необ╡одим╗е п░еоб░азовани┐, и▒пол╝з│┐ кван▓ов╗й алго░и▓м. Один из возможн╗╡ ме▓одов |
1 Чи▒ло к│би▓ов, необ╡одим╗╡ дл┐ кван▓ового п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е, не ▓ак велико, как можно б╗ло б╗ п░едположи▓╝ ▒на╖ала, о▒нов╗ва┐▒╝ на ▒деланном ░анее
п░едположении, ╖▓о ▓о╖но▒▓╝ линейно п░опо░╢ионал╝на ░азме░│ п░еоб░азовани┐
Ф│░╝е. Э▓о │▓ве░ждение ве░но дл┐ ┤ик▒и░ованного U . Измен┐┐ U | в ╖а▒▓но▒▓и, │вели╖ива┐ длин│ в░еменного ин▓е░вала t в U (t), | можно пол│╖и▓╝ ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ ▒ л╛бой ▓о╖но▒▓╝╛, и▒пол╝з│┐ ┤ик▒и░ованное ╖и▒ло опе░а╢ий в
Ф│░╝е-п░еоб░азовании. Однако ░азме░ ╜▓ого п░еоб░азовани┐ должен б╗▓╝ до▒▓а▓о╖но бол╝╕им, ╖▓об╗ в╗дели▓╝ ╖а▒▓о▓╗, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие о▓дел╝н╗м ▒об▒▓венн╗м
век▓о░ам. Именно и▒╡од┐ из ╜▓и╡ ▒ооб░ажений б╗ла пол│╖ена о╢енка в 6 или 7
к│би▓ов (64- или 128-ме░ное Ф│░╝е-п░еоб░азование).
192
Д. С. Аб░ам▒, С. Ллойд
замена бази▒а: по▒ле п░ед▒▓авлени┐ взаимодей▒▓ви┐ ╖а▒▓и╢ в коо░дина▓ном п░о▒▓░ан▒▓ве вме▒▓о о░би▓ал╝ного бази▒а по▒╖и▓а▓╝ к│лонов▒кие ▓е░м╗ б│де▓ п░о▒▓о. Таким об░азом, можно о▓дел╝но пе░еве▒▓и
кажд│╛ ╖а▒▓и╢│ в коо░дина▓ное п░о▒▓░ан▒▓во (дл┐ ╜▓ого ▓░еб│е▓▒┐
небол╝╕ое ╖и▒ло кван▓ов╗╡ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий), пол│╖и▓╝ ╜вол╛╢и╛, оп░едел┐ем│╛ к│лонов▒ким взаимодей▒▓вием, и п░оизве▒▓и об░а▓ное п░еоб░азование. К ▒ожалени╛, п░ед▒▓авление в коо░дина▓ном
п░о▒▓░ан▒▓ве ▓░еб│е▓ бол╝╕е к│би▓ов. По на╕им о╢енкам, 30 к│би▓ов
на ╖а▒▓и╢│ (10 на каждое изме░ение, дл┐ ░еал╝ной п░о▒▓░ан▒▓венной
░е╕е▓ки 1024 1024 1024 на ╖а▒▓и╢│) б│де▓ более ╖ем до▒▓а▓о╖но. По▒кол╝к│ ╜▓и 30 к│би▓ов ▓ол╝ко в░еменно н│жн╗ дл┐ дв│╡ ╖а▒▓и╢, взаимодей▒▓вие ко▓о░╗╡ м╗ ░а▒▒ма▓░иваем дл┐ какого-ниб│д╝ ▒о▒▓о┐ни┐
в алго░и▓ме, ▓о дл┐ нового ╜┤┤ек▓ивного алго░и▓ма н│жно в▒его 2 30
к│би▓ов (дл┐ взаимодей▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓и╢), дополни▓ел╝н╗е 3 10 к│би▓ов (дл┐ о▒▓ав╕и╡▒┐ ╖а▒▓и╢) и ▓е же 10 к│би▓ов дл┐ п░еоб░азовани┐
Ф│░╝е и ░або╖его п░о▒▓░ан▒▓ва. Таким об░азом, оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о дл┐
▓ого, ╖▓об╗ на ▒амом деле п░ове▒▓и цин▓е░е▒н╗еч в╗╖и▒лени┐ ▒ и▒пол╝зованием опи▒анн╗╡ в╗╕е алго░и▓мов, н│жен кван▓ов╗й комп╝╛▓е░
п░име░но ▒ 100 к│би▓ами. Коне╖но, о▒▓ае▓▒┐ ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о може▓
б╗▓╝ изоб░е▓ен ╜┤┤ек▓ивн╗й алго░и▓м дл┐ опи▒ани┐ к│лонов▒кого взаимодей▒▓ви┐, не ▓░еб│╛╣ий дополни▓ел╝ного ░або╖его п░о▒▓░ан▒▓ва.
Подведем и▓ог: п░едложен нов╗й кван▓ов╗й алго░и▓м, ко▓о░╗й
може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован дл┐ на╡ождени┐ ▒об▒▓венн╗╡ век▓о░ов и ▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений опе░а▓о░а Гамил╝▓она. Алго░и▓м обе▒пе╖ивае▓ ╜к▒понен╢иал╝ное │вели╖ение ▒ко░о▒▓и по ▒░авнени╛ ▒ л│╖╕ими кла▒▒и╖е▒кими ме▓одами. Пе░в╗е ░еал╝н╗е в╗╖и▒лени┐ л│╖╕е в▒его п░оводи▓╝ дл┐ зада╖ а▓омной ┤изики по дв│м п░и╖инам: и по▓ом│, ╖▓о
име╛▓▒┐ ▓о╖н╗е ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗е данн╗е дл┐ п░ове░ки ░ез│л╝▓а▓ов
в╗╖и▒лений, и по▓ом│, ╖▓о и▒пол╝з│ем╗е па░аме▓░╗ │клад╗ва╛▓▒┐ в
ожидаем╗е ░амки мал╗╡ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов. По на╕им о╢енкам,
50{100 к│би▓ов до▒▓а▓о╖но дл┐ п░оведени┐ цин▓е░е▒н╗╡ч в╗╖и▒лений,
ко▓о░╗е ▓░│дно ▒дела▓╝ кла▒▒и╖е▒ки. Наконе╢, м╗ п░едлагаем па░│ ин▓е░е▒н╗╡ воп░о▒ов, ко▓о░╗е о▒▓али▒╝ о▓к░╗▓╗ми. Пе░в╗й: ╡о▓┐ м╗
▒делали о╢енки о▓но▒и▓ел╝но ╖и▒ла ▓░еб│ем╗╡ к│би▓ов, б╗ло б╗ ин▓е░е▒но ▓о╖но под▒╖и▓а▓╝ ╖и▒ло кван▓ов╗╡ гей▓ов, н│жн╗╡, ╖▓об╗ в╗полни▓╝ цин▓е░е▒н│╛ч зада╖│. В▓о░ой: ▒▓оило б╗ ▒дела▓╝ де▓ал╝н╗й
анализ вли┐ни┐ о╕ибок, как и анализ и▒п░авл┐╛╣и╡ о╕ибки кодов в
данном кон▓ек▒▓е.
Ли▓е░а▓│░а
193
D. S. A. в╗░ажае▓ п░изна▓ел╝но▒▓╝ за подде░жк│ NDSEG fellowship
и благода░и▓ D. Lidar, C. Froese Fisher, и о▒обенно W. R. Johnson за полезн╗е ди▒к│▒▒ии. Ча▒▓╝ данного и▒▒ледовани┐ б╗ла в╗полнена п░и
подде░жке г░ан▓а # N00014-95-1-0975 о▓ Oce of Naval Research, ▓акже ARO и DARPA о▓ г░ан▓а # DAAH04-96-1-0386 to QUIC, Quantum
Information and Computation initiative, и DARPA г░ан▓а о▓ NMRQC,
Nuclear Magnetic Resonance Quantum Computing initiative.
Ли▓е░а▓│░а
[1] P. Shor. In Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations
of Computer Science, edited by S. Goldwasser (IEEE Computer
Society, Los Alamos, CA, 1994), p. 124.
[2] B. Boghosian and W. Taylor. Phys. Rev. E. vol. 57 (1998), p. 54.
[3] S. Wiesner, п░еп░ин▓.
[4] C. Zalka. Proc. R. Soc. Lond. A (1998).
[5] D. Lidar, O. Biham. Phys. Rev. E vol. 56 (1997), p. 3661.
[6] A. Barenco et al. Phys. Rev. A 52, 3457 (1995).
[7] R. P. Feynman. Int. J. Theor. Phys. 21, 467 (1982).
[8] S. Lloyd. Science 273, 1073 (1996).
[9] C. Williams, ╖а▒▓на┐ бе▒еда.
[10] W. R. Johnson, ╖а▒▓на┐ бе▒еда.
[11] D. S. Abrams, S. Lloyd. Phys. Rev. Lett. 79, 2586 (1997).
[12] R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca. Submitted to Proc.
Roy. Soc. Lond. A, п░еп░ин▓ quant-ph/9708016.
И▒▒ледование
кван▓ового
╡ао▒а ▒ помо╣╝╛
кван▓ового
комп╝╛▓е░а
Р. Шак
(Rdiger Schack)1
Показано,
╖▓о кван▓овое
о▓об░ажение
пека░┐ |
п░о▓о-
▓ип о▓об░ажений, п░имен┐ем╗╡ п░и ▓ео░е▓и╖е▒ком из│╖ении кван▓ового ╡ао▒а | о╖ен╝ п░о▒▓о ░еализ│е▓▒┐ ▒ помо╣╝╛
кван▓ов╗╡ гей▓ов. Хао▒ в кван▓овом п░еоб░азовании пека░┐
можно и▒▒ледова▓╝ ╜к▒пе░имен▓ал╝но на кван▓овом комп╝╛▓е░е, ▒о▒▓о┐╣ем ▓ол╝ко из 3 к│би▓ов.
По▒ле о▓к░╗▓и┐ ▓ого, ╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ може▓ в п░ин╢ипе ┤ак▓о░изова▓╝ бол╝╕ие ╖и▒ла за полиномиал╝ное в░ем┐ [1, 2],
кван▓ова┐ ин┤о░ма╢и┐ ▒▓ала важной ▓ео░е▓и╖е▒кой и ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ▓емой и▒▒ледовани┐, ┤ик▒и░│╛╣ей ▒вое внимание на ▒вой▒▓ва╡,
и▒пол╝зовании, ▒оздании и ▒о╡░анении ▒к░е╣енн╗╡ кван▓ов╗╡ ▒о▒▓о┐ний [3]. Хо▓┐ не ┐▒но, б│де▓ ли когда-ниб│д╝ ░еализован полнома▒╕▓абн╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ [4, 5], ╜к▒пе░имен▓╗ ▒ кван▓ов╗ми гей▓ами
п░овод┐▓▒┐ │же ▒ей╖а▒ [6{9]. Важно най▓и п░именение дл┐ ▒ов░еменн╗╡ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов, ко▓о░╗е не ▒по▒обн╗ в╗полн┐▓╝ ▓акие
к░│пнома▒╕▓абн╗е в╗╖и▒лени┐, как ┤ак▓о░иза╢и┐.
Оказ╗вае▓▒┐, они ╡о░о╕о под╡од┐▓ дл┐ из│╖ени┐ кван▓овой динамики п░о▒▓╗╡ кван▓ов╗╡ о▓об░ажений. Кван▓овое о▓об░ажение пека░┐ [10], одно из п░о▒▓ей╕и╡ кван▓ов╗╡ о▓об░ажений, и▒пол╝з│ем╗╡
дл┐ из│╖ени┐ кван▓ового ╡ао▒а, ин▓ен▒ивно из│╖ало▒╝ в по▒ледние год╗ [11{16]. До ▒и╡ по░ оно ░а▒▒ма▓░ивало▒╝ как ╖и▒▓о ▓ео░е▓и╖е▒ка┐
иг░│╕ка. Однако, как ▒лед▒▓вие недавнего п░ог░е▒▒а в обла▒▓и кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов [6{9], ╜к▒пе░имен▓ал╝на┐ ░еализа╢и┐ кван▓ового
о▓об░ажени┐ пека░┐ каже▓▒┐ возможной в о╖ен╝ близком б│д│╣ем.
1 Departament of Mathematics, Royal Holloway, University of London Edham, Surrey
TW20 OEX, UK.
E-mail: r.schack@rhbnc.ac.uk.
Пе░евод О. Д. Тимо┤еев▒кой.
И▒▒ледование кван▓ового ╡ао▒а ▒ помо╣╝╛ кван▓ового комп╝╛▓е░а
195
Л╛бой │ни▓а░н╗й опе░а▓о░ можно апп░ок▒ими░ова▓╝ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛ п░о▒▓╗╡ кван▓ов╗╡ гей▓ов [17{19]. О▒новной ░ез│л╝▓а▓
╜▓ой ▒▓а▓╝и ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о о▒обенно п░о▒▓│╛ ░еализа╢и╛ в ▓е░мина╡ кван▓ов╗╡ гей▓ов имее▓ кван▓овое о▓об░ажение пека░┐. Оно
п░о┐вл┐е▓ ▒вои наиболее ▒│╣е▒▓венн╗е ▒вой▒▓ва │же в гил╝бе░▓овом
п░о▒▓░ан▒▓ве малой ░азме░но▒▓и. Чи▒ленное модели░ование [13] в гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве ░азме░но▒▓и D = 16 под▓ве░ждае▓, ╖▓о ░│димен▓а░н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, ▒о▒▓о┐╣ий в▒его ли╕╝ из ▓░е╡ би▓ов
(▓. е. ▓░е╡ ▒и▒▓ем ▒ дв│м┐ ▒о▒▓о┐ни┐ми, по░ожда╛╣и╡ D = 8-ме░ное
гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во), можно б╗ло б╗ и▒пол╝зова▓╝ дл┐ из│╖ени┐
╡ао▒а в кван▓овом о▓об░ажении пека░┐. В ╖а▒▓но▒▓и, вполне возможно
най▓и ╜к▒пе░имен▓ал╝ное доказа▓ел╝▒▓во дл┐ ▒ве░╡╖│в▒▓ви▓ел╝но▒▓и
к возм│╣ени┐м | п░едполагаемой ▓ео░е▓ико-ин┤о░ма╢ионной ╡а░ак▓е░и▒▓ики кван▓ового ╡ао▒а [13, 20{22].
Кла▒▒и╖е▒кое п░еоб░азование пека░┐ [23] о▓об░ажае▓ едини╖н╗й
квад░а▓ 0 6 q; p 6 1 в ▒еб┐ по ┤о░м│ле
8 1
<(2q; p);
0 6 q 6 12 ;
2
(q; p) ;! :
(2q ; 1; 21 (p + 1)); 21 < q 6 1:
Э▓о ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▒жа▓и╛ едини╖ного квад░а▓а в p-нап░авлении и ░а▒▓┐жени╛ в q-нап░авлении п░и ▒о╡░анении пло╣ади, за▓ем ░аз░езани╛
его по ве░▓икали и, наконе╢, вод░│жени╛ п░авой ╖а▒▓и на ве░╕ин│
левой ╖а▒▓и | п░име░но ▓ак пека░╝ ме▒и▓ ▓е▒▓о.
Дл┐ оп░еделени┐ кван▓ового о▓об░ажени┐ пека░┐ [10] м╗ кван▓│ем едини╖н╗й квад░а▓ ▒огла▒но [11, 24]. Ч▓об╗ п░ед▒▓ави▓╝ едини╖н╗й
квад░а▓ в D-ме░ном гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве, м╗ на╖инаем ▒ │ни▓а░н╗╡ опе░а▓о░ов ц▒двигач U и V , ко▓о░╗е п░оизвод┐▓ ▒двиг в цимп│л╝▒номч и цкоо░дина▓номч нап░авлени┐╡ ▒оо▓ве▓▒▓венно, и ко▓о░╗е
под╖ин┐╛▓▒┐ комм│▓а╢ионн╗м ▒оо▓но╕ени┐м [24]:
^
U^ V^ = V^ U";
2i
где "D = 1. М╗ в╗бе░ем " = e D . Далее п░едположим, ╖▓о V^ D =
= U^ D = 1; ▓. е. п░имем пе░иоди╖е▒кие г░ани╖н╗е │▒лови┐. О▓▒╛да
▒лед│е▓ [11, 24], ╖▓о опе░а▓о░╗ U^ и V^ мог│▓ б╗▓╝ запи▒ан╗ как
U^ = e2iq^ и V^ = e;2ip^:
196
Р. Шак
Опе░а▓о░╗ коо░дина▓╗ и имп│л╝▒а оба име╛▓ ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐
j=D; j = 0; : : : ; D ; 1:
Далее м╗ ог░ани╖им▒┐ об▒│ждением ▒л│╖а┐ D = 2L, ▓. е. ░азме░но▒▓╝ гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва | ╜▓о ▒▓епен╝ дв│╡. Дл┐ ▒огла▒овани┐ едини╢ в╗бе░ем кван▓ов╗й ма▒╕▓аб в ц┤азовом п░о▒▓░ан▒▓веч
как 2h = 1=D = 2;L: П░еоб░азование межд│ коо░дина▓н╗м бази▒ом jqi i и имп│л╝▒н╗м бази▒ом jpi i о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ ди▒к░е▓н╗м п░еоб░азованием Ф│░╝е FL0 , оп░едел┐ем╗м ма▓░и╖н╗ми ╜лемен▓ами
p
(FL0 )kj = hpk jqj i = 2h e;ipk qj =h = p1 e;2ikj=D :
D
Э▓о не един▒▓венн╗й ▒по▒об кван▓овани┐ кла▒▒и╖е▒кого квад░а▓а.
Зде▒╝ м╗ в╗би░аем кван▓ованное о▓об░ажение пека░┐, п░едложенное
Балазом и Во░о▒ом [10] и оп░едел┐емое ма▓░и╢ей
0
T 0 = FL;1 FL0;1 F 00 ;
L;1
где ма▓░и╖н╗е ╜лемен▓╗ в╗╖и▒л┐╛▓▒┐ в коо░дина▓ном бази▒е jqj i. Са░а╢ено [1] ввел кван▓овое о▓об░ажение пека░┐ ▒ более ▒ил╝н╗ми ▒вой▒▓вами ▒имме▓░ии, и▒пол╝з│┐ ан▓ипе░иоди╖е▒кие г░ани╖н╗е │▒лови┐,
но в ╜▓ой ▒▓а▓╝е м╗ ог░ани╖им▒┐ об▒│ждав╕ими▒┐ пе░иоди╖е▒кими
│▒лови┐ми, ко▓о░╗е и▒пол╝зовали▒╝ и в [10].
Ди▒к░е▓ное п░еоб░азование Ф│░╝е, ко▓о░ое и▒пол╝з│е▓▒┐ в оп░еделении кван▓ового о▓об░ажени┐ пека░┐ (5), иг░ае▓ ░е╕а╛╣│╛ ░ол╝ в
кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡ и може▓ б╗▓╝ легко ░еализовано как кван▓ова┐
▒╡ема, и▒пол╝з│╛╣а┐ п░о▒▓╗е кван▓ов╗е гей▓╗. По▒лед│╛╣ее об▒│ждение кван▓ового п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е близко ▒лед│е▓ [2]. Модели░│╛╣ее едини╖н╗й квад░а▓ D = 2L-ме░ное гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во
можно ░еализова▓╝ как п░┐мое п░оизведение L-к│би▓ов (▓. е. L-дв│ме░н╗╡ ▒и▒▓ем), ▓ак ╖▓о
jqj i = jjL;1 i jjL;2i jj0 i;
P
где j = jk 2k ; jk 2 0; 1 (k = 0; : : : ; L ; 1) и где кажд╗й к│би▓ имее▓
▒о▒▓о┐ни┐ j0i и j1i.
Ч▓об╗ по▒▓░ои▓╝ кван▓овое Ф│░╝е п░еоб░азование, по▓░еб│╛▓▒┐
И▒▒ледование кван▓ового ╡ао▒а ▒ помо╣╝╛ кван▓ового комп╝╛▓е░а
197
два кван▓ов╗╡ гей▓а: гей▓ Am , дей▒▓в│╛╣ий на m-й к│би▓, и оп░еделенн╗й на бази▒е j0i; j1i ма▓░и╢ей
Am = p1 11 ;11 ;
2
и гей▓ Bmn , опе░и░│╛╣ий ▒ m-м и ▒ n-м к│би▓ами и оп░еделенн╗й как
Bmn jjL;1 i jj0 i = eimn jjL;1 i jj0 i;
где
(
n;m
mn = =2 ; е▒ли jm = jn = 1
0;
е▒ли не ▓ак.
Оп░еделим дополни▓ел╝но гей▓ Smn , ко▓о░╗й пе░е▒▓авл┐е▓ m-й и n-й
к│би▓╗.
Ди▒к░е▓ное п░еоб░азование Ф│░╝е FL може▓ б╗▓╝ ▓епе░╝ в╗░ажено в ▓е░мина╡ ▓░е╡ ▓ипов гей▓ов как
FL = S (A0 B01 : : : B0;L;1) (AL;3 BL;3;L;2BL;3;L;1) (AL;2 BL;2;L;1) (AL;1 );
где
(
е▒ли L ╖е▓но;
S = S0;L;1S1;L;2 : : : SL=2;1;L=2;
S0;L;1S1;L;2 : : : S(L;3)=2;(L+1)=2; е▒ли L не╖е▓но
об░а╣ае▓ по░┐док к│би▓ов. Кван▓овое о▓об░ажение пека░┐ (5) ▓епе░╝
дае▓▒┐
T = FL;1 (I FL;1 );
где FL;1 дей▒▓в│е▓ на L ; 1 наименее зна╖и▓ел╝н╗е к│би▓╗, и I |
▓ожде▒▓венн╗й опе░а▓о░, дей▒▓в│╛╣ий на наиболее зна╖и▓ел╝н╗й к│би▓. Гей▓╗, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие опе░а▓о░│ пе░е▒▓ановки би▓ов S , можно
▒о╡░ани▓╝, е▒ли мен┐▓╝ ме▓ки к│би▓ов в ▓ензо░ном п░оизведении (6)
по▒ле в╗полнени┐ FL или FL;1 .
В D = 8 = 23 -ме░ном гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве одна и▓е░а╢и┐
кван▓ового о▓об░ажени┐ пека░┐ п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ ко░о▓кой по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛ гей▓ов
+ B+ A B+ A S A B A :
T = S02 A0 B01
02 1 12 2 01 0 01 1
198
Ли▓е░а▓│░а
Так│╛ ░еализа╢и╛ кван▓ового о▓об░ажени┐ пека░┐ можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ▒ дв│╡ дополн┐╛╣и╡ д░│г д░│га ▓о╖ек з░ени┐. С одной ▒▓о░он╗ она оказ╗вае▓, ╖▓о кван▓овое о▓об░ажение пека░┐ може▓ б╗▓╝
╜┤┤ек▓ивно ▒им│ли░овано на кван▓овом комп╝╛▓е░е. 30-би▓н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ мог б╗ в╗полни▓╝ модели░ование, ко▓о░ое ┤ак▓и╖е▒ки невозможн╗ на ▒ов░еменн╗╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░а╡.
С д░│гой ▒▓о░он╗, и▓е░а╢и┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓и гей▓ов (12) на
L-к│би▓ном комп╝╛▓е░е | ╜▓о ┤изи╖е▒ка┐ ░еализа╢и┐ кван▓ового о▓об░ажени┐ пека░┐. Э▓о о▓к░╗вае▓ возможно▒▓и дл┐ ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗╡
и▒▒ледований ╡ао▒а в ┤изи╖е▒ки╡ ▒и▒▓ема╡ в ╖и▒▓о кван▓овом ░ежиме.
Ли▓е░а▓│░а
[1] P. W. Shor. In Proceeding of the 35th Annual Symposium on the
Theory of Computer Science, edited S. Goldwasser (IEEE Computer
Society Press, Los Alamitos, California, 1994), p. 124.
[2] A. Ekert and R. Jozsa. Rev. Mod. Phys. 68, 733 (1996).
[3] See recent issue sof PRL and PRA and the e-print article quant-ph.
[4] W. G. Unruh. Phys. Rev. A 51, 992 (1995).
[5] M. B. Plenio and P. L. Knight. Phys. Rev. A 53, 2986 (1996).
[6] J. I. Cirac and P. Zoller. Phys. Rev. Lett. 74,4091 (1995).
[7] C. Monroe et al. Phys. Rev. Lett. 75, 4714 (1995).
[8] N. A. Gershenfeld and I. L. Chuang. Science 275, 350 (1997).
[9] D. Cory, A. Fahmy and T. Havel. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 94, 1634
(1997).
[10] N. L. Balazs and A. Voros. Ann. Phys. 190, 1 (1989).
[11] M. Saraceno. Ann. Phys. 199, 37 (1990).
[12] M. Saraceno and A. Voros. Chaos 2, 99 (1992); Physica D 79, 206
(1994).
[13] R. Schack and C. M. Caves. Phys. Rev. Lett. 71, 525 (1993); Phys.
Rev. E 53, 3257 (1996).
Ли▓е░а▓│░а
199
[14] A. Lakshminarayan and N. L. Balazs. Ann. Phys. 226, 350 (1993).
[15] A. Lakshminarayan. Ann. Phys. 239, 272 (1995).
[16] M. G. E. da Luz and A. M. Ozorio de Almedia. Nonlinearity 8, 43
(1995).
[17] D. Deutch. Proc. R. Soc. Lond. A 400, 97 (1985).
[18] A. Barenco et al. Phys. Rev. A 52, 3457 (1995).
[19] D. P. DiVincenzo. Phys. Rev. A 51, 1015 (1995).
[20] C. M. Caves. In Physical Origins of Times Asymmetry, edited
by J. J. Halliwell, J. Perez-Mercader and W. H. Zurek (Cambrifge
University Press, Cambridge, England, 1993), p. 43.
[21] R. Schack and C. M. Caves. Phys. Rev. Lett. 69, 3413 (1992); Phys.
Rev. E 53, 3387 (1996).
[22] R. Schack, G. M. D'Ariano and C. M. Caves. Phys. Rev. E 50, 972
(1994).
[23] V. I. Arnold and A. Avez. Ergodic Problems of Classical Mechanics
(Benjamin, New York, 1968).
[24] H. Weyl. The theory of Group and Quantum Mechanics (Dover, New
York, 1950).
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ и ▓░│дно░е╕аем╗е
(NP-полн╗е) зада╖и
Владими░ Че░н╗
(Vladimir C erny)1
В ▒▓а▓╝е об▒│жда╛▓▒┐ ┤изи╖е▒кие а▒пек▓╗ ▓░│дно░е╕аем╗╡ (NP-полн╗╡) в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ зада╖. В ░амка╡ ▒пе╢и┤и╖е▒кой модели показано, ╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ може▓,
в п░ин╢ипе, ░е╕и▓╝ л╛б│╛ NP-полн│╛ зада╖│ за полиномиал╝ное в░ем┐, однако в╗╖и▒ление по▓░еб│е▓ ╜к▒понен╢иал╝но
бол╝╕и╡ за▓░а▓ ╜не░гии. В╗▒каз╗вае▓▒┐ п░едположение, ╖▓о
п░едложенна┐ модел╝ о▓░ажае▓ ▒п░аведливо▒▓╝ п░ин╢ипа дополни▓ел╝но▒▓и п░имени▓ел╝но к ╜не░гии и в░емени, необ╡одим╗╡ дл┐ в╗полнени┐ NP-полного в╗╖и▒лени┐.
1. Введение
В ╜▓ой ▒▓а▓╝е б│д│▓ об▒│жден╗ ┤изи╖е▒кие а▒пек▓╗ ▓░│дно░е╕аем╗╡ (NP-полн╗╡) зада╖ в╗╖и▒лений. Фо░мал╝на┐ ма▓ема▓и╖е▒ка┐ ▓ео░и┐ NP-полно▓╗ [1] о▒нована на ▒▓░оги╡ оп░еделени┐╡ ▓аки╡ пон┐▓ий,
как зада╖а, алго░и▓м и ▒ложно▒▓╝ и, коне╖но, на ▒▓░оги╡ ма▓ема▓и╖е▒ки╡ ░а▒▒│ждени┐╡. Однако комп╝╛▓е░╗, в коне╖ном ▒╖е▓е, ┤изи╖е▒кие │▒▓░ой▒▓ва, ▓ак ╖▓о ┤изи╖е▒кие а▒пек▓╗ зада╖и (дополни▓ел╝но к
╖и▒▓о ма▓ема▓и╖е▒ким а▒пек▓ам) ▓акже ▒лед│е▓ об▒│ди▓╝ ▒ до▒▓а▓о╖ной полно▓ой. Не можем ли м╗ на│╖и▓╝▒┐ нов╗м ме▓одам в╗╖и▒лений,
п░ед▒▓авл┐┐ комп╝╛▓е░ как ┤изи╖е▒к│╛ ма╕ин│? Изве▒▓на┐ о▓к░╗▓а┐ п░облема ▓ео░ии ▒ложно▒▓и | P = NP-зада╖а. В ╜▓ой ▒▓а▓╝е б│д│▓
об▒│жден╗ ее ┤изи╖е▒кие а▒пек▓╗. М╗ поп░об│ем ░е╕и▓╝ NP-полн│╛
1 Institute of Physics, Comenius University, Mlynsk
a dolina, 842 15 Bratislava,
Czechoslovakia.
c Phys. Rev. A48(1), 116{119, 1993.
Пе░евод О. А. Х░│▒▓алева.
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ и ▓░│дно░е╕аем╗е (NP-полн╗е) зада╖и
201
зада╖│ за полиномиал╝ное в░ем┐. П░и ╜▓ом вме▒▓о ▒▓░огого ма▓ема▓и╖е▒кого ┐з╗ка б│де▓ и▒пол╝зован ┐з╗к ┤изи╖е▒кий. На╕и по▒▓░оени┐
не б│д│▓ име▓╝ п░┐м╗╡ ма▓ема▓и╖е▒ки╡ аналогий.
М╗ об▒│дим изве▒▓н│╛ зада╖│ о коммиво┐же░е (TSP | travelingsalesman-problem): дано множе▒▓во N го░одов и ░а▒▒▓о┐ни┐ dij межд│
каждой па░ой го░одов. Н│жно най▓и к░а▓╖ай╕ий ма░╕░│▓, п░о╡од┐╣ий ╖е░ез в▒е го░ода. (Фак▓и╖е▒ки, б│де▓ ░е╕а▓╝▒┐ ог░ани╖енна┐ зада╖а, когда п░едполагае▓▒┐, ╖▓о в▒е dij ог░ани╖ен╗ ▒ве░╡│ ╖и▒лом L.
Э▓о | в▒е е╣е NP-полна┐ зада╖а.) Е▒▓╝ п░о▒▓ой алго░и▓м ░е╕ени┐
╜▓ой зада╖и: пе░ен│ме░│ем в▒е возможн╗е ма░╕░│▓╗ и найдем длин│
каждого из ни╡. В░ем┐ ░е╕ени┐ в ╜▓ом ▒л│╖ае ╜к▒понен╢иал╝но ░а▒▓е▓
▒ N , по▒кол╝к│ ╖и▒ло ма░╕░│▓ов | вели╖ина по░┐дка N !. Неизве▒▓но,
▒│╣е▒▓в│е▓ ли ╜┤┤ек▓ивн╗й алго░и▓м, ▓░еб│╛╣ий полиномиал╝ного
по N в░емени в╗╖и▒лени┐ (▓о╖на┐ ┤о░м│ли░овка P = NP-зада╖и дана
в [1]). Па░аллел╝н╗й пе░ебо░ в▒е╡ N ! ма░╕░│▓ов однов░еменно по▓░еб│е▓ коне╖ного в░емени в╗╖и▒лени┐. Но е▒ли дл┐ ╜▓ого ▒л│╖а┐ по▓░еб│е▓▒┐ N ! п░о╢е▒▒о░ов, п░иде▓▒┐ ▒╖и▓а▓╝▒┐ ▒ ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕им
░азме░ом комп╝╛▓е░а и ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕им в░еменем ╖▓ени┐.
П░┐молинейн╗й па░аллелизм п░ине▒е▓ мало пол╝з╗. Наивн╗й под╡од
к зада╖е може▓ п░иве▒▓и к в╗вод│, ╖▓о в коне╖ной ▒и▒▓еме нел╝з┐ однов░еменно ░еализова▓╝ ц╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕оеч ╖и▒ло возможно▒▓ей.
Однако ▒п░аведливо об░а▓ное. Кван▓ова┐ ▒и▒▓ема може▓ │п░авл┐▓╝ ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕им ╖и▒лом возможно▒▓ей однов░еменно. Э▓о ▒вой▒▓во можно, в п░ин╢ипе, и▒пол╝зова▓╝ п░и в╗╖и▒лени┐╡. Кван▓ов╗е
комп╝╛▓е░╗ об▒│ждали▒╝, нап░име░, Дой╖ем [3] и Фейнманом [4]. На╕
ме▓од аналоги╖ен ме▓од│ Фейнмана [4], ╡о▓┐ его ╢ел╝ в неко▓о░ой ▒▓епени п░о▓ивоположна на╕ей. Фейнман показал, ╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ можно, в п░ин╢ипе, п░имени▓╝ дл┐ в╗полнени┐ ▓е╡ же в╗╖и▒лений, ко▓о░╗е в╗полн┐е▓ ▒▓анда░▓н╗й комп╝╛▓е░, и▒пол╝з│┐ логи╖е▒кие гей▓╗. Зде▒╝ об▒│ждае▓▒┐ в неко▓о░ом ▒м╗▒ле дополни▓ел╝на┐
п░облема: можно ли, ╡о▓┐ б╗ в п░ин╢ипе, п░ид│ма▓╝ ал╝▓е░на▓ивн╗й
▒по▒об в╗╖и▒лени┐, в о▒нове ▒воей о▓ли╖н╗й о▓ в╗╖и▒лений на ▒▓анда░▓ной ма╕ине (под╖е░кнем ▒лова цв п░ин╢ипеч). В ╜▓ом о▓но╕ении
на╕и ░а▒▒│ждени┐ близки к ░а▒▒│ждени┐м Фейнмана. М╗ не ╡о▓им
изоб░е▓а▓╝ ▓е╡ни╖е▒ки о▒│╣е▒▓вим│╛ ма╕ин│. М╗ п░ид│маем ╖▓о-▓о
в░оде м╗▒ленного ╜к▒пе░имен▓а: б│дем ░або▓а▓╝ ▒ ▒и▒▓емой, ко▓о░а┐,
може▓ б╗▓╝, не ▒│╣е▒▓в│е▓ в ░еал╝ном ми░е, но ее ▒│╣е▒▓вование не
п░о▓иво░е╖и▓ ни одном│ из законов п░ин┐▓ой ▓ео░ии. Такие ▒и▒▓ем╗
202
В. Че░н╗
мог│▓ б╗▓╝ ░еализован╗ п░ин╢ипиал╝но. На╕им ▓ео░е▓и╖е▒ким полем
де┐▓ел╝но▒▓и б│де▓ кван▓ова┐ ме╡аника. Б│де▓ показано, ╖▓о можно
░е╕и▓╝ NP-полн│╛ зада╖│ за цполиномиал╝ноеч в░ем┐ в цполиномиал╝номч п░о▒▓░ан▒▓ве. Дл┐ ╜▓ого б│де▓ по▒▓░оена ▒пе╢и┤и╖е▒ка┐ кван▓ова┐ модел╝ TSP-░е╕а▓ел┐.
2. Кван▓ов╗й TSP-░е╕а▓ел╝
На╕ гипо▓е▓и╖е▒кий кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ в╗гл┐ди▓ как много╣елева┐ ин▓е░┤е░ен╢ионна┐ ма╕ина ▒ п░ибо░ами Ш▓е░на{Ге░ла╡а
межд│ ╣ел┐ми. В ╜▓ом ░азделе м╗ ог░ани╖им▒┐ ее к░а▓ким опи▒анием. Де▓али можно най▓и в дополнении.
Дл┐ TSP c N го░одами н│жна ма╕ина, ▒о▒▓о┐╣а┐ из N ; 1 ▒лоев
из N ; 1 ╣елей в каждом ▒лое. Таким об░азом, кажд│╛ ╣ел╝ можно
един▒▓венн╗м об░азом зада▓╝ па░ой ╢ел╗╡ ╖и▒ел (i; j ). В дополнение к
╣ел┐м ма╕ина ▒оде░жи▓ и▒▓о╖ник ╖а▒▓и╢ (цлазе░ч), ░а▒положенн╗й в
▓о╖ке S , и де▓ек▓о░ ╖а▒▓и╢ в ▓о╖ке D (▒м. ░и▒. 1).
;
Ри▒. 1. Много╣елева┐ ин▓е░┤е░ен╢ионна┐ ма╕ина | TSP-░е╕а▓ел╝.
С│╣е▒▓в│е▓ (N ; 1)(n;1) возможн╗╡ ▓░аек▓о░ий, по ко▓о░╗м ╖а▒▓и╢а може▓ попа▒▓╝ из ▓о╖ки S в ▓о╖к│ D. Т░аек▓о░и╛ можно един▒▓венн╗м об░азом зада▓╝ пе░е╖и▒лением ╣елей на ней, нап░име░, ▓░аек▓о░и┐ на ░и▒. 2 задае▓▒┐ ▓ак:
S; (2; 2); (3; 4); (4; 3); (5; 5); D:
Я▒но, ╖▓о │каза▓ели ▒лоев можно оп│▒▓и▓╝ и опи▒а▓╝ ╜▓│ ▓░аек▓о░и╛
по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛
S; 2; 4; 3; 5; D:
(1)
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ и ▓░│дно░е╕аем╗е (NP-полн╗е) зада╖и
203
По▒ледова▓ел╝но▒▓╝ (1) можно п░ин┐▓╝ в ка╖е▒▓ве кода ма░╕░│▓а коммиво┐же░а по п┐▓и го░одам, е▒ли ▓ол╝ко о▓ожде▒▓ви▓╝ ▓о╖ки S
и D ▒ на╖алом и кон╢ом ма░╕░│▓а (го░од 1). Тогда ▓░аек▓о░и┐ (1)
б│де▓ п░ед▒▓авл┐▓╝ ма░╕░│▓ 1; 2; 4; 3; 5; 1. Однако ▒│╣е▒▓в│╛▓ ▓░аек▓о░ии, ко▓о░╗е не мог│▓ б╗▓╝ ма░╕░│▓ами коммиво┐же░а, нап░име░, S; 3; 2; 2; 5; D. Зде▒╝ го░од 2 по▒е╣ае▓▒┐ дважд╗, а го░од 4 п░оп│╣ен.
;
Ри▒. 2. Т░аек▓о░и┐, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ TSP-ма░╕░│▓│.
След│е▓ избави▓╝▒┐ о▓ в▒е╡ цзап░е╣енн╗╡ч ▓░аек▓о░ий и оп░едели▓╝ динамик│ движени┐ ╖а▒▓и╢╗ ▓ак, ╖▓об╗ ╖а▒▓и╢а, п░о╡од┐╣а┐
▒квоз╝ ма╕ин│, знала длин│ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его TSP-ма░╕░│▓а.
Ч▓об╗ │довле▓во░и▓╝ ╜▓им │▒лови┐м, н│жно име▓╝ ╖а▒▓и╢╗ ▒ неко▓о░╗м ╖и▒лом ▒▓епеней ▒вобод╗, ко▓о░╗е могли б╗ взаимодей▒▓вова▓╝
▒ ма╕иной. Можно и▒пол╝зова▓╝ вн│▓░енние ▒▓епени ▒вобод╗, подобн╗е изо▓опи╖е▒ком│ ▒пин│. Е╣е ░аз под╖е░кнем, ╖▓о пе░ед нами гипо▓е▓и╖е▒кий ми░, ▓ак ╖▓о можно изоб░е▓а▓╝ л╛б╗е вн│▓░енние ▒▓епени
▒вобод╗, даже е▒ли они не ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ╖а▒▓и╢ам ░еал╝ного ми░а.
П░едположим, ╖▓о вн│▓░енние ▒о▒▓о┐ни┐ на╕и╡ гипо▓е▓и╖е▒ки╡
╖а▒▓и╢ можно опи▒а▓╝ ▒лед│╛╣им к╜▓-век▓о░ом:
jk; c2 ; c3 ; : : : ; cN ; pi;
где
k 2 (0; 1; : : : ; NL); ci 2 (0; 1); p 2 (0; 1):
Кван▓овое ╖и▒ло k б│де▓ изме░┐▓╝ ц╖и▒ло киломе▓░овч ма░╕░│▓а, ╖и▒ла ci ▒каж│▓, по▒е╣ал▒┐ i-й го░од или не▓. Кван▓овое ╖и▒ло p не имее▓
о▓но╕ени┐ к TSP. Оно ▒в┐зано ▒ дополни▓ел╝ной ▒▓епен╝╛ ▒вобод╗,
необ╡одимой дл┐ ░еализа╢ии п░ин┐▓ой динамики.
Дл┐ опи▒ани┐ ░або▓╗ ма╕ин╗ в▒е го▓ово. Тепе░╝ ░а▒▒мо▓░им ╖а▒▓╝
▓░аек▓о░ии межд│ дв│м┐ ╣ел┐ми из ▒о▒едни╡ ▒лоев, (i; m) ! (i + 1; n).
204
В. Че░н╗
Э▓о | ╖а▒▓╝ ма░╕░│▓а п│▓е╕е▒▓в│╛╣его ▓о░гов╢а (TS) межд│ го░одами m и n. П░едположим, ╖▓о е▒ли ╖а▒▓и╢а п░о╡оди▓ ▒квоз╝ ╣ел╝ (i; n),
▓о кван▓овое ╖и▒ло cn измен┐е▓▒┐ ▒лед│╛╣им об░азом:
cn = 0 ! cn = 1:
(2)
П░едположим ▓акже, ╖▓о на╕а ╖а▒▓и╢а движе▓▒┐ межд│ ╣ел┐ми не
в ▒вободном п░о▒▓░ан▒▓ве, но в неко▓о░ом поле, ко▓о░ое задано ▓ак,
╖▓о кван▓овое ╖и▒ло k воз░а▒▓ае▓ на о▓░езке ▓░аек▓о░ии межд│ ╣ел┐ми (i; n) и (i + 1; m) как
k ! k + dnm ;
(3)
где dnm | ░а▒▒▓о┐ние межд│ го░одами n и m. Соо▓ве▒▓в│╛╣а┐ динамика об▒│ждае▓▒┐ в дополнении.
П░едположим, ╖▓о в▒е ╖а▒▓и╢╗ ░ожда╛▓▒┐ в ▓о╖ке S в ▒о▒▓о┐нии
j0; 0; 0; : : : ; 0; 0i:
По▒ле ▓ого как ╖а▒▓и╢╗ п░ойд│▓ ▒квоз╝ ма╕ин│, они окаж│▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии
X
jk; c ; c ; : : : ; cN ; pi
2
3
▓░аек▓о░и┐
:
(4)
▓░аек▓о░ии
Неко▓о░╗е из ▓░аек▓о░ий в ╜▓ой ▒│мме ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ░аз░е╕енн╗м
TS-ма░╕░│▓ам. Легко пон┐▓╝, ╖▓о ╜▓о | ▓е ▓░аек▓о░ии, дл┐ ко▓о░╗╡
в▒е кван▓ов╗е ╖и▒ла ci ░авн╗ 1, ╖▓о га░ан▓и░│е▓▒┐ п░авилом (2). Дл┐
▓аки╡ ▓░аек▓о░ий зна╖ение кван▓ового ╖и▒ла k ░авно длине ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его ма░╕░│▓а.
П░ед▒▓авим ▓епе░╝, ╖▓о в ▓о╖к│ D поме╣ен ┤ил╝▓░, ко▓о░╗й подавл┐е▓ в▒е ▒о▒▓о┐ни┐, к░оме ▓е╡, дл┐ ко▓о░╗╡ в▒е ci ░авн╗ 1. Тогда
▒о▒▓о┐ни┐ на в╗╡оде ма╕ин╗ ░авн╗
X
jДлина ма░╕░│▓аk; 1; 1; : : : ; 1; pi
▓░аек▓о░и┐
:
(5)
▓░аек▓о░ии
Соо▓ве▓▒▓в│╛╣ий ┤ил╝▓░ должен ▒о▒▓о┐▓╝ из ▒е░ии │▒▓░ой▒▓в ▓ипа
п░ибо░ов Ш▓е░на{Ге░ла╡а, ╖│в▒▓ви▓ел╝н╗╡ к кван▓ов╗м ╖и▒лам c и
погло╣а╛╣и╡ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒ c = 0. Заме▓им, ╖▓о пока на╕и ░а▒▒│ждени┐
▒лед│╛▓ д│╡│ ┤ейнманов▒ки╡ лек╢ий [2].
;
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ и ▓░│дно░е╕аем╗е (NP-полн╗е) зада╖и
205
Ри▒. 3. У▒▓░ой▒▓во Ш▓е░на{Ге░ла╡а, изме░┐╛╣ее минимал╝ное зна╖ение
k.
Зада╖а по╖▓и ░е╕ена. Н│жно ▓ол╝ко поме▒▓и▓╝ в ▓о╖к│ D дополни▓ел╝ное │▒▓░ой▒▓во Ш▓е░на{Ге░ла╡а, на ╜▓о▓ ░аз ╖│в▒▓ви▓ел╝ное к
кван▓овом│ ╖и▒л│ k. Оно должно ░аздели▓╝ по▓ок в╗╡од┐╣и╡ ╖а▒▓и╢ на
NL по▓оков, кажд╗й из ко▓о░╗╡ ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ неко▓о░ом│ зна╖ени╛ k
(▒м. ░и▒. 3). Е▒ли ▒набди▓╝ в╗╡одн╗е по▓оки де▓ек▓о░ами ╖а▒▓и╢, ▓о
де▓ек▓о░ │ по▓ока ▒ k = ML о▓кликне▓▒┐ в ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли ▒│╣е▒▓в│е▓ ма░╕░│▓ длин╗ M . Из ▓е╡ де▓ек▓о░ов, ко▓о░╗е о▓кликн│▓▒┐, можно
в╗б░а▓╝ де▓ек▓о░, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий минимал╝ном│ зна╖ени╛ k. Он и
│каже▓ коммиво┐же░│ к░а▓╖ай╕ий п│▓╝.
3. П░облема изме░ени┐
След│е▓, однако, ▓╣а▓ел╝нее об▒│ди▓╝ воп░о▒ о де▓ек▓и░овании
минимал╝ного k. О░▓одок▒ал╝на┐ кван▓ова┐ ме╡аника │╖и▓, ╖▓о кажда┐ ╖а▒▓и╢а, п░о╕ед╕а┐ ▒квоз╝ на╕│ ма╕ин│, на╡оди▓▒┐ в ▒│пе░пози╢ии ▒о▒▓о┐ний, оп░едел┐емой ▒│ммой (5). Кажда┐ ╖а▒▓и╢а о╣│╣ае▓
в▒е ▓░аек▓о░ии и именно по╜▓ом│ кажда┐ ╖а▒▓и╢а цзнае▓ч минимал╝ное
зна╖ение k. TSP-░е╕ение ▒к░╗▓о в коне╖ном ▒о▒▓о┐нии каждой ╖а▒▓и╢╗, п░о╕ед╕ей ▒квоз╝ ма╕ин│. Ч▓об╗ п░ой▓и ▒квоз╝ ма╕ин│, ╖а▒▓и╢е
н│жно ли╕╝ цполиномиал╝ное в░ем┐ч, по╜▓ом│ именно за ▓акое в░ем┐
░е╕ае▓▒┐ зада╖а о коммиво┐же░е. Ч▓о надо ▒дела▓╝, ╖▓об╗ м╗ (а не
▓ол╝ко ╖а▒▓и╢а) ▓акже знали ░е╕ение? Зада╖а ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓об╗
изме░и▓╝ (в ▒м╗▒ле кван▓ового изме░ени┐) минимал╝ное зна╖ение k,
▒оде░жа╣ее▒┐ в ▒│пе░пози╢ии (5). В ▒│мме (5) ▒оде░жи▓▒┐ (по по░┐дк│ вели╖ин╗) N ! ▒о▒▓о┐ний, и може▓ ▒л│╖и▓╝▒┐, ╖▓о ▓ол╝ко одно из
ни╡ ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ минимал╝ном│ зна╖ени╛ k. В ╜▓ом ▒л│╖ае п░иде▓▒┐
и▒ка▓╝ ▒о▒▓о┐ние, ко▓о░ое в╡оди▓ в ▒│пе░пози╢и╛ (5) ▒ ╜к▒▓░емал╝но
малой ампли▓│дой p1 : Таким об░азом, ╖▓об╗ за▒▓ави▓╝ де▓ек▓о░╗
N!
о▓клика▓╝▒┐ ▒ ░аз│мной ве░о┐▓но▒▓╝╛, надо п░оп│▒ка▓╝ ▒квоз╝ ма╕ин│ о╖ен╝ бол╝╕ое ╖и▒ло ╖а▒▓и╢ однов░еменно. Э▓о, в п░ин╢ипе, воз-
206
В. Че░н╗
можно, е▒ли м╗ имеем дело ▒ бозонами, из ко▓о░╗╡ можно по▒▓░ои▓╝
кла▒▒и╖е▒кое поле, п░име░но ▓аким же об░азом, как лазе░ное изл│╖ение ┤о░ми░│е▓▒┐ из бол╝╕ого ╖и▒ла коге░ен▓н╗╡ ┤о▓онов. Однако, на╕
цлазе░ч должен б╗▓╝ о╖ен╝ ╜не░ги╖н╗м: вед╝ ▓░еб│е▓▒┐, ╖▓об╗ ин▓ен▒ивно▒▓╝ кла▒▒и╖е▒кого пол┐ ▒оо▓ве▓▒▓вовала ▒об░ани╛ N ! бозонов. К
не▒╖а▒▓╝╛, дл┐ ╜▓ого необ╡одима ц╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕а┐ч ╜не░ги┐.
Таким об░азом, цв╗╖и▒лениеч дей▒▓ви▓ел╝но можно в╗полни▓╝ за полиномиал╝ное в░ем┐, но ╖▓ение ░ез│л╝▓а▓а по▓░еб│е▓ ╜к▒понен╢иал╝но
бол╝╕и╡ за▓░а▓ ╜не░гии.
4. В╗вод╗
Хо▓┐ в ░або▓е об▒│ждала▒╝ неко▓о░а┐ ╖а▒▓на┐ модел╝, нел╝з┐ о▓дела▓╝▒┐ о▓ ╖│в▒▓ва, ╖▓о она │каз╗вае▓ на неко▓о░╗й более об╣ий ░ез│л╝▓а▓. Каже▓▒┐, ╖▓о м╗ имеем дело ▒ неко▓о░╗м п░ин╢ипом дополни▓ел╝но▒▓и, ка▒а╛╣его▒┐ ╜не░гии и в░емени, необ╡одим╗╡ дл┐ в╗полнени┐ NP-полного в╗╖и▒лени┐. Сл│╖ай, п░о▓ивоположн╗й на╕ем│,
│же б╗л под░обно об▒│жден: показано, ╖▓о можно в╗╖и▒л┐▓╝ ▒ н│левой за▓░а▓ой ╜не░гии, е▒ли ▓ол╝ко ▒ми░и▓╝▒┐ ▒ медли▓ел╝но▒▓╝╛ в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕ин╗ [4{6]. Зде▒╝ б╗л ░а▒▒мо▓░ен д░│гой п░едел╝н╗й
▒л│╖ай: б╗▒▓░ое в╗╖и▒ление, но ╜к▒▓░емал╝но бол╝╕а┐ за▓░а▓а ╜не░гии. Дей▒▓ви▓ел╝но ли м╗ ▒▓олкн│ли▒╝ ▒ нов╗м п░ин╢ипом, или ╜▓о |
▒лед▒▓вие неко▓о░╗╡ изве▒▓н╗╡ законов п░и░од╗, нап░име░, в▓о░ого
закона ▓е░модинамики? Мог│▓ ли п░иведенн╗е в╗╕е ░а▒▒│ждени┐ на│╖и▓╝ ▓ом│, как ▒лед│е▓ цма▓ема▓и╖е▒кич подой▓и к P=NP-зада╖е? М╗
не знаем. На╕│ п░о▒▓│╛ модел╝ л│╖╕е ░а▒▒ма▓░ива▓╝ как возможное
на╖ало ди▒к│▒▒ии, ╖ем как ░е╕ение зада╖и.
5. Дополнение
Об▒│дим ▓е╡ни╖е▒кие под░обно▒▓и динами╖е▒кой ▒╡ем╗, ко▓о░а┐
п░оводи▓ к оп░едел┐╛╣им поведение ▒и▒▓ем╗ │░авнени┐м (1) и (3).
На╖нем ▒ пе░вого из ни╡. По▒кол╝к│ ░е╖╝ ▓ам иде▓ ▓ол╝ко о кван▓ов╗╡
╖и▒ла╡ cn , заб│дем о д░│ги╡ кван▓ов╗╡ ╖и▒ла╡, а ▓акже об индек▒е n в
обозна╖ени┐╡. П░едположим, ╖▓о в гнезде имее▓▒┐ поле, ко▓о░ое цвзаимодей▒▓в│е▓ч ▒ кван▓ов╗м ╖и▒лом c и ╖▓о гамил╝▓ониан взаимодей▒▓ви┐ ░авен
H^ 1 = !1(^a+ + a^);
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ и ▓░│дно░е╕аем╗е (NP-полн╗е) зада╖и
207
где a^+ и a^ | ▓акие опе░а▓о░╗:
a^+ j0i = j1i; a^+ j1i = 0;
a^j0i = 0;
a^j1i = j0i:
В ╜▓ом ▒л│╖ае
exp(;iH^ 1 t1 )j0i = cos(!1 t1 )j0i ; i sin(!1 t1 )j1i:
Е▒ли ░а▒по░┐ди▓╝▒┐ ╖а▒▓о▓ой !1 и в░еменем п░оле▓а ╖а▒▓и╢╗ ▒квоз╝
гнездо t1 ▓ак, ╖▓об╗ б╗ло !1 t1 = 2 , ▓о │░авнение (2) б│де▓ │довле▓во░ено.
Пе░ейдем к │░авнени╛ (3). Н│жно по▒▓░ои▓╝ аппа░а▓, ко▓о░╗й б│де▓ мен┐▓╝ ▒о▒▓о┐ние ╖а▒▓и╢╗ по закон│
jki ! jk + 1i:
(6)
Дл┐ ╜▓ого необ╡одимо дополни▓ел╝ное кван▓овое ╖и▒ло p, ▒ помо╣╝╛
ко▓о░ого изменение ▒о▒▓о┐ни┐ (6) можно п░ед▒▓ави▓╝ как по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ изменений
jk; p = 0i ! jk + 1; p = 1i ! jk + 1; p = 0i:
(7)
П░ед▒▓авим, ╖▓о ╖а▒▓и╢а взаимодей▒▓в│е▓ ▒ неко▓о░╗м вне╕ним полем
и гамил╝▓ониан взаимодей▒▓ви┐ ░авен
H^ 2 = !2 (^b+ d^+ + ^bd^);
где
^b+ jk; pi = jk + 1; pi дл┐ k < L; ^b+jk; pi = 0 дл┐ k = L;
^bjk; pi = jk ; 1; pi дл┐ k > 0; ^bjk; pi = 0 дл┐ k = 0;
d^+ jk; p = 0i = jk; p = 1i; d^+ jk; p = 1i = 0;
d^jk; p = 0i = 0;
d^jk; p = 1i = jk; p = 0i:
В ╜▓ом ▒л│╖ае
exp(;iH^ 2 t2 )jk; 0i = cos(!2 t2 )jk; 0i ; i sin(!2 t2 )jk + 1; 1i:
208
В. Че░н╗
В╗би░а┐ !1 и t2 (в░ем┐ п░оле▓а ▒квоз╝ поле) ▓ак, ╖▓о !1 t1 = 2 , пол│╖им
▓░еб│емое изменение ▒о▒▓о┐ни┐:
jk; 0i ! jk + 1; 1i:
Ч▓об╗ п░иве▒▓и кван▓овое ╖и▒ло p к зна╖ени╛ p = 0, можно и▒пол╝зова▓╝ взаимодей▒▓вие ▒ гамил╝▓онианом
H^ 20 = !20 (d^+ + d^)
;
и вз┐▓╝ в░ем┐ п░оле▓а t02 ▓аким, ╖▓об╗ в╗полн┐ло▒╝ !20 t02 = 2 .
Ри▒. 4. По▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ╕агов
▒о▒▓о┐ни┐.
k
!k
+ 1, под░аз│мева╛╣а┐ изменение
Однако, зде▒╝ ▒лед│е▓ ▒обл╛да▓╝ о▒▓о░ожно▒▓╝. Е▒ли в░емена t2
и t02 подоб░ан╗ недо▒▓а▓о╖но акк│░а▓но, пол│╖а▓▒┐ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒ малой
добавкой неве░н╗╡ кван▓ов╗╡ ╖и▒ел k и p. Э▓о опа▒но: вед╝ окон╖ание ░або▓╗ ▒в┐зано ▒ пои▒ком ╜к▒понен╢иал╝но малой ампли▓│д╗. Даже ╜к▒понен╢иал╝но мала┐ добавка ▒ цневе░н╗мич кван▓ов╗ми ╖и▒лами
може▓ п░иве▒▓и к ложном│ ░ез│л╝▓а▓│. К ▒╖а▒▓╝╛, дополни▓ел╝н│╛
пе░еменн│╛ p можно за▒▓ави▓╝ п░ове░┐▓╝, п░авил╝но ли измен┐е▓▒┐
▒о▒▓о┐ние. Н│жно ▓ол╝ко по▒▓ави▓╝ по▒ле │▒▓░ой▒▓ва, о▒│╣е▒▓вл┐╛╣его замен│ jk; 0i ! jk + 1; 1i, ┤ил╝▓░, ко▓о░╗й погло▓и▓ возможн│╛
добавк│ ▒о▒▓о┐ни┐ jk; 0i. Э▓о можно ▒дела▓╝, п░ове░┐┐ ▓ол╝ко зна╖ение
пе░еменной p. Гамил╝▓ониан H^ 1 ▒о╡░ан┐е▓ ко░░ел┐╢и╛ межд│ зна╖ени┐ми p и k. Именно ╜▓о об▒▓о┐▓ел╝▒▓во б╗ло главной п░и╖иной оп░еделени┐ дополни▓ел╝ной пе░еменной p. Далее, м╗ не можем п░ове░и▓╝ п░авил╝но▒▓╝ зна╖ени┐ k +1, по▒кол╝к│ нам неизве▒▓но зна╖ение k. Можно
▒нова добави▓╝ ┤ил╝▓░, ко▓о░╗й по▒ле изменени┐ jk + 1; 1i ! jk + 1; 0i
погло▓и▓ добавк│ ▒о▒▓о┐ни┐ jk +1; 1i. В ╜▓ом ▒л│╖ае пе░ед в╡одом в ▒лед│╛╣ий (k ! k = 1)-аппа░а▓ ▒о▒▓о┐ние б│де▓ име▓╝ п░авил╝ное зна╖ение p = 0. Полн╗й (k ! k +1)-аппа░а▓ изоб░ажен на ░и▒. 4. Тепе░╝ ┐▒но,
как обе▒пе╖и▓╝ необ╡одимое изменение ▒о▒▓о┐ни┐ (k ! k + dmn ) межд│
гнездами m и n: вложим dmn -╖а▒▓и (k ! k +1)-│▒▓░ой▒▓в в ▓░аек▓о░и╛
межд│ гнездами m и n. Такие │▒▓░ой▒▓ва необ╡одимо поме▒▓и▓╝ межд│
Ли▓е░а▓│░а
209
каждой из па░ гнезд m и n. Фил╝▓░╗ │мен╝╕а╛▓ ┐░ко▒▓╝ кван▓ового
комп╝╛▓е░а (неко▓о░╗е ╖а▒▓и╢╗ ▓епе░╝ не п░ойд│▓ ▒квоз╝ ма╕ин│),
однако ╜▓о неважно, по▓ом│ ╖▓о ┐░ко▒▓╝ должна б╗▓╝ ╜к▒понен╢иал╝но
бол╝╕ой. Под╖е░кнем е╣е ░аз, ╖▓о полное ╖и▒ло (k ! k + 1)-п░еоб░азований, необ╡одимое дл┐ ░е╕ени┐ зада╖и, ░а▒▓е▓ ▒ ░о▒▓ом N ▓ол╝ко
полиномиал╝но, ▓ак ╖▓о по▒▓░оенн╗й комп╝╛▓е░ ли╕╝ цполиномиал╝но
великч в п░о▒▓░ан▒▓ве и во в░емени.
Ли▓е░а▓│░а
[1] В ка╖е▒▓ве обзо░а можно ░екомендова▓╝, нап░име░, M. R. Garey
and D. S. Johnson. Computers and Intractability, A Guide of the
Theory of NP completeness (Freeman, San Francisco,1979).
Е▒▓╝ ░│▒▒кий пе░евод: М. Г╜░и, Д. Джон▒он. В╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ма╕ин╗ и ▓░│дно░е╕аем╗е зада╖и (Мо▒ква цМи░ч,1982).
[2] R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands. The Feynman Lectures
on Physics, Vol. 3 (Addison-Wesley, Reading, MA,1963).
[3] D. Deutch. Proc. R. Soc. London, Ser. A400, 97, (1985).
[4] R. P. Feynman. Found. Pyes. 16, 507 (1986).
[5] C. H. Bennet. IBM J. Res. Dev. 6, 525 (1979).
[6] T. J. Tooli. J. Comput. Syst. Sci. 15, 213 (1979).
▒о▒▓о┐ни┐. Дл┐ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений ab initio ▒░еди легко пол│╖аем╗╡ ▒вой▒▓в наибол╝╕ий ин▓е░е▒
п░ед▒▓авл┐╛▓ ▒лед│╛╣ие: пло▓но▒▓╝ ░а▒п░еделени┐ за░┐да, ко░░ел┐╢ионна┐ ┤│нк╢и┐, ░а▒п░еделение имп│л╝▒ов и ▓. д. Об▒│ждение воп░о▒а,
каким об░азом н│жна┐ ┤изи╖е▒ка┐ ин┤о░ма╢и┐ може▓ б╗▓╝ извле╖ена
из кван▓ового комп╝╛▓е░а, п░иведено в [11].
Об▒│дим ▓епе░╝ ▓о╖нее воп░о▒ пол│╖ени┐ ▒об▒▓венн╗╡ век▓о░ов и
▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений ц░еал╝ногоч гамил╝▓ониана. Об╗╖но ▓░еб│е▓▒┐
най▓и ▒об▒▓венн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ гамил╝▓ониана в ┤о░ме
H=
n
X
n
X
i=1
i>j
(Ti + Vi ) +
Vij ;
(8)
где n | ╖и▒ло ╖а▒▓и╢, Ti | кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐, Vi | вне╕ний по▓ен╢иал и Vij | взаимодей▒▓вие межд│ ╖а▒▓и╢ами. Однако не▓ п░и╖ин,
по╖ем│ ╜▓и ме▓од╗ нел╝з┐ б╗ло б╗ п░имен┐▓╝ к д░│гим гамил╝▓онианам или к гамил╝▓онианам, ▒оде░жа╣им дополни▓ел╝н╗е ▒лагаем╗е,
е▒ли гамил╝▓ониан може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен в виде ▒│мм╗ локал╝н╗╡
взаимодей▒▓вий (▓о е▒▓╝ ▒│мм╗ ▒лагаем╗╡, ко▓о░╗е дей▒▓в│╛▓ ▓ол╝ко
на k к│би▓ов, где k не зави▒и▓ о▓ ╖и▒ла ╖а▒▓и╢ n). (В а▓омн╗╡ зада╖а╡, нап░име░, можно вкл╛╖и▓╝ ╜┤┤ек▓ивное взаимодей▒▓вие как
▒пин-о░би▓ал╝н│╛ ▒в┐з╝ или как ┐де░н╗е ╜┤┤ек▓╗ коне╖н╗╡ обла▒▓ей
дей▒▓ви┐). По▒кол╝к│ гамил╝▓ониан ╜░ми▓ов, м╗ п░имен┐ем опи▒анн╗е в╗╕е ╕аги дл┐ опе░а▓о░а ╜вол╛╢ии Ub (t) = e;iHt , ко▓о░╗й │ни▓а░ен и имее▓ ▓е же ▒об▒▓венн╗е век▓о░╗ и ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐. Э▓о▓
опе░а▓о░ ╜вол╛╢ии можно пол│╖и▓╝ ▒ помо╣╝╛ ме▓одов, опи▒анн╗╡
в [8]. О▒новна┐ иде┐ ▒о▒▓ои▓ в п░ед▒▓авлении
H=
X
Hi ;
(9)
t
t
t m X
2
Ub (t) = e;iHt = e;iH1 m e;iH2 m : : : e;iH m + [Hi ; Hj ] 2tm + : : : ;
k
i>j
(10)
где кажд╗й Hi дей▒▓в│е▓ ▓ол╝ко на k к│би▓ов однов░еменно. (В опи▒анном в╗╕е гамил╝▓ониане кажд╗й Hi п░ед▒▓авл┐е▓ одно из ▒лагае-
Кван▓ов╗й алго░и▓м в╗╖и▒лени┐
189
t
м╗╡ Ti , Vi или Vij ). П│▒▓╝ Ui = e;iH m . Каждое ▒лагаемое Ui може▓
б╗▓╝ б╗▒▓░о по▒╖и▓ано, по▒кол╝к│ оно дей▒▓в│е▓ в п░о▒▓░ан▒▓ве ▓ол╝ко k кван▓ов╗╡ би▓ов, где k мало. Дл┐ до▒▓а▓о╖но бол╝╕и╡ m в▓о░ое
▒лагаемое в п░авой ╖а▒▓и (и ▒лагаем╗е в╗▒╕и╡ по░┐дков) ▒▓░ем┐▓▒┐
к н│л╛. Следова▓ел╝но, возможно пол│╖и▓╝ Ub (t) п│▓ем дей▒▓ви┐ на
▒о▒▓о┐ние кажд╗м Ui по▒ледова▓ел╝но в▒его m ░аз. Т╣а▓ел╝н╗й анализ [8] показ╗вае▓, ╖▓о дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ▒модели░ова▓╝ Ub (t) ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ ", необ╡одимо п░одела▓╝ O(t2 =") кван▓ов╗╡ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий1 .
Дл┐ конк░е▓н╗╡ зада╖ ┤о░ма ма▓░и╢ Ui в бол╝╕ой ▒▓епени зави▒и▓
о▓ бази▒а, в╗б░анного дл┐ опи▒ани┐ гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва. Более
▓ого, в╗бо░ може▓ ▒ил╝но вли┐▓╝ на ╖и▒ло ╜лемен▓ов бази▒а, ▓░еб│емого дл┐ ▓о╖ного опи▒ани┐ ▒и▒▓ем╗. В об╗╖ном п░ед▒▓авлении пе░ви╖ного кван▓овани┐ кажда┐ ╖а▒▓и╢а опи▒╗вае▓▒┐ ░┐дом из l к│би▓ов,
п░ед▒▓авл┐╛╣им волнов│╛ ┤│нк╢и╛ о▓дел╝ной ╖а▒▓и╢╗. Си▒▓ема как
╢елое, ▓аким об░азом, п░ед▒▓авлена n l к│би▓ами. (Возможно ▓акже
п░ед▒▓авление в▓о░и╖ного кван▓овани┐, ко▓о░ое може▓ б╗▓╝ более ╜┤┤ек▓ивн╗м дл┐ оп░еделенн╗╡ зада╖; ▒м. [11].) Дл┐ опи▒анного в╗╕е
гамил╝▓ониана ма▓░и╢╗ Ui мог│▓ б╗▓╝ пол│╖ен╗ о╖ен╝ ╜┤┤ек▓ивн╗м
▒по▒обом ▒ и▒пол╝зованием либо коо░дина▓ного, либо имп│л╝▒ного п░о▒▓░ан▒▓ва дл┐ одно╖а▒▓и╖ного бази▒а и пе░е╡одом межд│ п░о▒▓░ан▒▓вами ▒ помо╣╝╛ кван▓ового п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е. Однако дл┐ бол╝╕ин▒▓ва п░облем не ▒│╣е▒▓в│е▓ п░облем╗ в╗бо░а ▒амого ╜┤┤ек▓ивного
п░ед▒▓авлени┐ ▒об▒▓венн╗╡ ▒о▒▓о┐ний ▒ оп░еделенн╗м зна╖ением ╜не░гии. Один из набо░ов бази▒н╗╡ ▒о▒▓о┐ний об╗╖но более ╜┤┤ек▓ивен и
╖а╣е и▒пол╝з│е▓▒┐ п░и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ в╗╖и▒лени┐╡:
п░име░ом мог│▓ ▒л│жи▓╝ вейвле▓╗; д░│гим ▒▓анда░▓н╗м п░ед▒▓авлением може▓ б╗▓╝ одно╜лек▓░онное ░е╕ение дл┐ ╜┤┤ек▓ивного по▓ен╢иала. По▒кол╝к│ ░азме░но▒▓╝ одно╖а▒▓и╖ного бази▒а ┤ик▒и░ована (и
м╗ в╗би░аем более ▒ложн╗й бази▒ ▒ о╖евидной ╢ел╝╛ | ▒о╡░ани▓╝ его
i
1 То▓ ┤ак▓, ╖▓о U (t) имее▓ одни и ▓е же ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ и век▓о░╗ дл┐
в▒е╡ t, може▓ п░иве▒▓и к о╕ибо╖ном│ закл╛╖ени╛, ╖▓о ╖и▒ло опе░а╢ий, необ╡одимое дл┐ на╡ождени┐ ▒об▒▓венн╗╡ ▒о▒▓о┐ний ▒ данной ▓о╖но▒▓╝╛, може▓ б╗▓╝
▒ок░а╣ено п│▓ем в╗бо░а более ко░о▓ки╡ п░омеж│▓ков в░емени t дл┐ опе░а▓о░а U (t). Однако дл┐ в╗полнени┐ алго░и▓ма ▓░еб│е▓▒┐ в╗╖и▒ли▓╝ U M , и, по▒кол╝к│ U (t)M = U (M t), о╖евидно, ╖▓о U = U (t) може▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лено ▒ бол╝╕ей
▓о╖но▒▓╝╛, е▒ли U M б│де▓ в╗╖и▒лено ▒ ┤ик▒и░ованной ▓о╖но▒▓╝╛. Дей▒▓ви▓ел╝но, по▒кол╝к│ ▒об▒▓венн╗е век▓о░╗ оп░еделен╗ ▒ ▓о╖но▒▓╝╛, п░опо░╢ионал╝ной M ,
╖и▒ло кван▓ов╗╡ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий, необ╡одим╗╡ дл┐ в╗╖и▒лени┐ ▒об▒▓венн╗╡
▒о▒▓о┐ний ▒ заданной ╜не░гией ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ ", о╖евидно, по░┐дка ";2 .
190
Д. С. Аб░ам▒, С. Ллойд
мал╗м), ▓огда опе░а▓о░╗ Ui в▒егда мог│▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лен╗ в в╗б░анном
бази▒е и по▒▓░оен╗ ▒ и▒пол╝зованием опе░а▓о░ов O(d4 ), где d | ░азме░но▒▓╝ одно╖а▒▓и╖ного бази▒а [6]. Таким об░азом, можно п░имен┐▓╝
кван▓ов╗е алго░и▓м╗, и▒пол╝з│┐ наиболее ▓╣а▓ел╝но подоб░анн╗й бази▒, ко▓о░╗й, как п░авило, и▒пол╝з│е▓▒┐ п░и ▒▓анда░▓н╗╡ в╗╖и▒лени┐╡
ab initio. (По▒кол╝к│ ▒│╣е▒▓в│е▓ б╗▒▓░ое кван▓овое вейвле▓ное п░еоб░азование [9], возможно, ╖▓о вейвле▓н╗й бази▒ окаже▓▒┐ о▒обенно полезн╗м).
С д░│гой ▒▓о░он╗, ▒│╣е▒▓в│е▓ взаимозави▒имо▒▓╝ межд│ пам┐▓╝╛
и ▒ко░о▒▓╝╛. П░и и▒пол╝зовании коо░дина▓ного или имп│л╝▒ного п░ед▒▓авлени┐ н│жно ▓ол╝ко O(poly (k)) = O(poly(log d)) опе░а╢ий, ╖▓об╗
пол│╖и▓╝ каждое из Ui ; однако ▓░еб│е▓▒┐ бол╝╕ое коли╖е▒▓во к│би▓ов, ╖▓об╗ опи▒а▓╝ ▓о╖но ▒об▒▓венное ▒о▒▓о┐ние. И▒пол╝з│┐ наиболее
▓╣а▓ел╝но подоб░анн╗й бази▒, можно зна╖и▓ел╝но ▒ок░а▓и▓╝ ▓░еб│емое коли╖е▒▓во к│би▓ов, однако може▓ оказа▓╝▒┐, ╖▓о ▓░еб│е▓▒┐ го░аздо бол╝╕ее коли╖е▒▓во кван▓ов╗╡ логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий O(k4 ), ╖▓об╗
по▒▓░ои▓╝ каждое Ui . То е▒▓╝, как и п░и об╗╖н╗╡ в╗╖и▒лени┐╡, оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о в╗бо░ бази▒а в кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡ б│де▓ зави▒е▓╝ о▓
▒пе╢и┤ики ░е╕аемой п░облем╗ и возможно▒▓ей данного в╗╖и▒ли▓ел╝ного │▒▓░ой▒▓ва.
Об╗╖но на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние Va ┐вл┐е▓▒┐ ░ез│л╝▓а▓ом кла▒▒и╖е▒ки╡ в╗╖и▒лений, нап░име░, ме▓ода Ха░▓░и{Фока или в╗╖и▒лени┐ кон┤иг│░а╢ионного взаимодей▒▓ви┐. Можно и▒пол╝зова▓╝ л╛бой ab initio
ме▓од, п░ивод┐╣ий к изве▒▓ной волновой ┤│нк╢ии. (Заме▓им, ╖▓о ╜▓о
пон┐▓ие не вкл╛╖ае▓ в ▒еб┐ ме▓од╗, и▒пол╝з│╛╣ие ▓ео░и╛ ┤│нк╢ионала пло▓но▒▓и, по▒кол╝к│ н│жна волнова┐ ┤│нк╢и┐, а не п░о▒▓о ░а▒п░еделение пло▓но▒▓и за░┐да). Е▒ли м╗ вводим е╣е не ▒имме▓░изованн│╛
или ан▓и▒имме▓░изованн│╛ волнов│╛ ┤│нк╢и╛, м╗ можем и▒пол╝зова▓╝ алго░и▓м╗, опи▒анн╗е в [11], ╖▓об╗ ▒дела▓╝ ╜▓о ╜┤┤ек▓ивно.
Наконе╢, об▒│дим ░або▓а╛╣ие ab initio в╗╖и▒лени┐ ╜не░ге▓и╖е▒ки╡ │░овней а▓ома, ╖▓об╗ ▒░авни▓╝ опи▒анн╗й в╗╕е кван▓ов╗й алго░и▓м ▒ изве▒▓н╗ми кла▒▒и╖е▒кими ме▓одами. Зада╖и а▓омной ┤изики
▒л│жа▓ о▒обенно │да╖н╗м и▒╡одн╗м п│нк▓ом, по▒кол╝к│ ╡о░о╕о изве▒▓н╗ о╖ен╝ ▓о╖н╗е ╜к▒пе░имен▓ал╝н╗е данн╗е. Кван▓ов╗е алго░и▓м╗ наиболее близки ме▓одам, изве▒▓н╗м как цполное ак▓ивное кон┤иг│░а╢ионное взаимодей▒▓виеч или цполное кон┤иг│░а╢ионное взаимодей▒▓виеч, по▒кол╝к│ много╖а▒▓и╖н╗й бази▒ вкл╛╖ае▓ в▒е возможн╗е
п░оизведени┐ век▓о░ов одно╖а▒▓и╖ного бази▒а. Э▓о▓ под╡од наиболее
191
Кван▓ов╗й алго░и▓м в╗╖и▒лени┐
╜┤┤ек▓ивен в ▒и▓│а╢и┐╡, где ╜не░ги┐ ко░░ел┐╢ии велика и где много цкон┤иг│░а╢ийч облада╛▓ близкими ╜не░ги┐ми (╜▓о об╗╖но б╗вае▓,
когда много ╜лек▓░онов на╡од┐▓▒┐ на незаполненной оболо╖ке). К ▒ожалени╛, ▓░│дно ▓о╖но о╢ени▓╝ минимал╝н╗й ░азме░ ▒и▒▓ем╗, дл┐ ко▓о░ой кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ п░ево▒╡од┐▓ л│╖╕ие кла▒▒и╖е▒кие, по▒кол╝к│ во избежание ╜к▒понен╢иал╝ного │вели╖ени┐ в╗╖и▒лений п░и о╢енки о▒новного ▒о▒▓о┐ни┐ и▒пол╝з│╛▓▒┐ ░азнооб░азн╗е изо╣░енн╗е ме▓од╗. Наиболее ▓о╖н╗е кла▒▒и╖е▒кие в╗╖и▒лени┐ не и▒пол╝з│╛▓ п░┐мо
ме▓од цполного кон┤иг│░а╢ионного взаимодей▒▓ви┐ч. Однако, ▒▒╗ла┐▒╝
на [10], можно о╢ени▓╝, ╖▓о в╗╖и▒ление │░овней ╜не░гии B (5 ╜лек▓░онов) ▒ и▒пол╝зованием п░име░но 20 │глов╗╡ волнов╗╡ ┤│нк╢ий и 40
░адиал╝н╗╡ волнов╗╡ ┤│нк╢ий дл┐ каждой ╖а▒▓и╢╗ | в▒его 800 волнов╗╡ ┤│нк╢ий дл┐ о▓дел╝ной ╖а▒▓и╢╗ и, ▒ледова▓ел╝но, 8005 1015
полн╗╡ много╖а▒▓и╖н╗╡ бази▒н╗╡ ▒о▒▓о?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
4 021 Кб
Теги
вычисления, pdf, квантовые, часть, сборник, компьютер
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа