close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сборник. Квантовый компьютер и вычисления Часть 2.pdf

код для вставкиСкачать
Р. Ланда│╜░
IEEE fellow and member of the IBM Thomas J. Watson
Research Center in Yorktown Heights, N.Y., USA.
НЕОБРАТИМОСТЬ И ВЫДЕЛЕНИЕ
ТЕПЛА В ПРОЦЕССЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ
П░ивод┐▓▒┐ а░г│мен▓╗ в пол╝з│ ▓ого, ╖▓о л╛б╗е ▒╖е▓н╗е ма╕ин╗ неизбежно
в╗╖и▒л┐╛▓ логи╖е▒кие ┤│нк╢ии, ко▓о░╗е не име╛▓ об░а▓н╗╡. Така┐ логи╖е▒ка┐
необ░а▓имо▒▓╝ ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ┤изи╖е▒кой необ░а▓имо▒▓и и ▓░еб│е▓ в╗делени┐
коне╖ного коли╖е▒▓ва ▓епла за ма╕инн╗й ╢икл, об╗╖но по░┐дка
kT
на кажд│╛
необ░а▓им│╛ ┤│нк╢и╛. Э▓а ди▒▒ипа╢и┐ ▒по▒об▒▓в│е▓ ▒▓анда░▓иза╢ии ▒игналов и
делае▓ и╡ незави▒им╗ми о▓ ▓о╖ной логи╖е▒кой и▒▓о░ии. Под░обн╗й обзо░ дв│╡
п░о▒▓╗╡, но полезн╗╡ моделей би▒▓абил╝н╗╡ │▒▓░ой▒▓в позвол┐е▓ под░обно из│╖и▓╝ кине▓ик│ пе░екл╛╖ений и пол│╖и▓╝ ▒оо▓но╕ение межд│ ▒ко░о▒▓╝╛ в╗╖и▒лений и ди▒▒ипа╢ией ╜не░гии, а ▓акже о╢ени▓╝ вли┐ние о╕ибок, инд│╢и░│ем╗╡
▓еплов╗ми ┤л│к▓│а╢и┐ми.
1. Введение
Пои▒ки более б╗▒▓░╗╡ и компак▓н╗╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ▒╡ем непо▒░ед▒▓венно п░ивод┐▓ к воп░о▒│ о ▓ом, каков╗ п░ин╢ипиал╝н╗е ┤изи╖е▒кие ог░ани╖ени┐ на п░ог░е▒▒ в ╜▓ом нап░авлении. На п░ак▓ике ог░ани╖ени┐, ве░о┐▓но, возника╛▓ из-за необ╡одимо▒▓и обе▒пе╖ени┐ до▒▓│па
к каждом│ логи╖е▒ком│ ╜лемен▓│. Пока, однако, ▓░│дно пон┐▓╝, какие
именно ┤изи╖е▒кие │▒лови┐ ╜▓о наклад╗вае▓ на ▓е ▒▓епени ▒вобод╗, ко▓о░╗е пе░ено▒┐▓ ин┤о░ма╢и╛. С│╣е▒▓вование ▓акой компак▓ной ▒░ед╗
╡░анени┐, как гене▓и╖е▒ка┐, позвол┐е▓ наде┐▓╝▒┐, ╖▓о можно ве▒╝ма далеко п░одвин│▓╝▒┐ в нап░авлении в▒е бол╝╕ей компак▓и┤ика╢ии │▒▓░ой▒▓в,
по к░айней ме░е, е▒ли м╗ го▓ов╗ поже░▓вова▓╝ на ╜▓ом п│▓и ▒ко░о▒▓╝╛
и п░оизвол╝н╗м до▒▓│пом.
Однако, о▓влека┐▒╝ о▓ п░облем╗ до▒▓│па, можно показа▓╝ или по
мен╝╕ей ме░е п░едположи▓╝ ▒ бол╝╕ой ▒▓епен╝╛ │ве░енно▒▓и, ╖▓о об░або▓ка ин┤о░ма╢ии неизбежно ▒оп░овождае▓▒┐ оп░еделенн╗м минимал╝н╗м в╗делением ▓епла. Вооб╣е гово░┐, ╜▓о и не │диви▓ел╝но. В╗╖и▒лени┐, как в▒е п░о╢е▒▒╗, п░о▓ека╛╣ие ▒ коне╖ной ▒ко░о▒▓╝╛, должн╗
п░иводи▓╝ к неко▓о░ой ди▒▒ипа╢ии. Тем не менее на╕и а░г│мен▓╗ знаКван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
1
Р. Ланда│╜░
╖и▓ел╝но более ┤│ндамен▓ал╝н╗ и п░ивод┐▓ к в╗вод│ о минимал╝ном
в╗делении ▓епла вне зави▒имо▒▓и о▓ ▒ко░о▒▓и п░о╢е▒▒а. Е▒▓е▒▓венно, коли╖е▒▓во в╗деленного ▓епла на много по░┐дков мен╝╕е, ╖ем ди▒▒ипа╢и┐
╜не░гии в л╛бом п░ак▓и╖е▒ки о▒│╣е▒▓вимом │▒▓░ой▒▓ве. П░ин╢ипиал╝н╗м момен▓ом ▓ем не менее оказ╗вае▓▒┐ ▓о▓ ┤ак▓, ╖▓о ди▒▒ипа╢и┐ п░иводи▓ к ░еал╝н╗м ▒лед▒▓ви┐м, а не ┐вл┐е▓▒┐ п░о▒▓о до▒адной и │▒▓░анимой неп░и┐▓но▒▓╝╛. На п░ак▓ике к ▓ем же ▒лед▒▓ви┐м мог│▓ п░иве▒▓и
не▒░авненно бол╝╕ие коли╖е▒▓ва ░а▒▒е┐нной ╜не░гии.
Рез│л╝▓а▓ на╕его и▒▒ледовани┐ о ди▒▒ипа╢ии можно п░ед▒каза▓╝ не▒кол╝кими ▒по▒обами, и на╕ей о▒новной ╢ел╝╛ б│де▓ ▒жа▓ое изложение
главн╗╡ идей, ко▓о░╗е помог│▓ до▒▓и╖╝ более гл│бокого понимани┐ ┤изи╖е▒ки╡ ▓░ебований к логи╖е▒ким │▒▓░ой▒▓вам. П░о▒▓ей╕ий п│▓╝ п░ед▒казани┐ на╕его в╗вода ▒о▒▓ои▓ в │╖е▓е ▓ого, ╖▓о бина░ное │▒▓░ой▒▓во
имее▓ по к░айней ме░е одн│ ин┤о░ма╢ионн│╛ ▒▓епен╝ ▒вобод╗. На кла▒▒и╖е▒ком │░овне одна ▒▓епен╝ ▒вобод╗ ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ kT ▓епловой ╜не░гии. Л╛бой пе░екл╛╖а╛╣ий ▒игнал, п░о╡од┐╣ий ╖е░ез данное │▒▓░ой▒▓во, должен, ▒ледова▓ел╝но, облада▓╝ бол╝╕ей ╜не░гией дл┐ подавлени┐
╕│ма. Э▓о▓ довод не озна╖ае▓, ╖▓о ╜не░ги┐ ▒игнала дей▒▓ви▓ел╝но должна ░а▒▒еива▓╝▒┐. В ка╖е▒▓ве ал╝▓е░на▓ивного ▒по▒оба п░ед▒казани┐ на╕и╡
в╗водов може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зована ▒▒╗лка на мнени┐ Б░илл╛╜на и более
░анни╡ ав▓о░ов, ▒об░анн╗е Б░илл╛╜ном в его книге цНа│ка и ▓ео░и┐ ин┤о░ма╢иич [1], о ▓ом, ╖▓о п░о╢е▒▒ изме░ени┐ ▓░еб│е▓ ░а▒▒е┐ни┐ ╜не░гии
по░┐дка kT . П░о╢е▒▒ в╗╖и▒лений, в ко▓о░ом ▒о▒▓о┐ни┐ ░азли╖н╗╡ ╜лемен▓ов зави▒┐▓ о▓ ▒о▒▓о┐ний д░│ги╡ ╜лемен▓ов в п░ед╕е▒▓в│╛╣ие момен▓╗ в░емени, ▓е▒но ▒в┐зан ▒ изме░ением. Сложно, однако, да▓╝ более
▓о╖н│╛ ╡а░ак▓е░и▒▓ик│ ▓акой ▒в┐зи. К░оме ▓ого, а░г│мен▓╗, ка▒а╛╣ие▒┐ п░о╢е▒▒а изме░ени┐, о▒нован╗ на анализе ▒пе╢и┤и╖е▒ки╡ моделей, ко▓о░╗е ве▒╝ма далеки о▓ │▒▓░ой▒▓в, о▒│╣е▒▓вл┐╛╣и╡ об░або▓к│ данн╗╡.
На ▒амом деле, п░и из│╖ении п░о╢е▒▒а изме░ений ▒амо пон┐▓ие изме░ени┐
не оп░едел┐е▓▒┐ до▒▓а▓о╖но ╖е▓ко, и, к░оме ▓ого, об╡оди▓▒┐ ▒лед│╛╣ий
╖░езв╗╖айно ▒│╣е▒▓венн╗й воп░о▒: когда ▒и▒▓ема A, взаимодей▒▓в│╛╣а┐ ▒ ▒и▒▓емой B , о▒│╣е▒▓вл┐е▓ изме░ение? Сам по ▒ебе ▓о▓ ┤ак▓, ╖▓о
две ┤изи╖е▒кие ▒и▒▓ем╗ взаимодей▒▓в│╛▓, не об┐за▓ел╝но п░иводи▓ к
ди▒▒ипа╢ии.
На╕ главн╗й а░г│мен▓ возникае▓ в ░ез│л╝▓а▓е ▒лед│╛╣ей ╢епо╖ки
░а▒▒│ждений. П░о▒▓ей╕ее бина░ное │▒▓░ой▒▓во п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой ╖а▒▓и╢│ в би▒▓абил╝ной по▓ен╢иал╝ной ┐ме, показанной на ░и▒. 1. Назовем
╖а▒▓и╢│, на╡од┐╣│╛▒┐ в левой ┐ме, ▒о▒▓о┐нием н│л╝, а ╖а▒▓и╢│ в п░авой
┐ме | ▒о▒▓о┐нием едини╢а. Ра▒▒мо▓░им ▓епе░╝ опе░а╢и╛ │▒▓ановки в
2
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
;
необ░а▓имо▒▓╝ и в╗деление ▓епла в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений
Ри▒. 1.
Би▒▓абил╝на┐ по▓ен╢иал╝на┐ ┐ма. X | обоб╣енна┐ коо░дина▓а,
по ко▓о░ой п░ои▒╡оди▓ пе░екл╛╖ение
, ко▓о░а┐ пе░еводи▓ ╖а▒▓и╢│ в ▒о▒▓о┐ние едини╢╗, вне зави▒имо▒▓и о▓ ее на╖ал╝ного положени┐. Е▒ли м╗ гово░им, ╖▓о ╖а▒▓и╢а на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии едини╢╗, ▓о ее легко ▒о╡░ани▓╝ в ╜▓ом ▒о▒▓о┐нии без
каки╡-либо за▓░а▓ ╜не░гии. Е▒ли же ╖а▒▓и╢а на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии н│л╝,
▓о необ╡одимо п░иложи▓╝ ▒ил│, ╖▓об╗ она ▒могла пе░е▒ко╖и▓╝ ба░╝е░, а
когда она п░ойде▓ мак▒им│м по▓ен╢иала | об░а▓н│╛ ▒ил│, ╖▓об╗ ╖а▒▓и╢а, попав в ▒о▒▓о┐ние едини╢╗, не имела изб╗▓ка кине▓и╖е▒кой ╜не░гии. Таким об░азом, полн╗й п░о╢е▒▒ не ▓░еб│е▓ за▓░а▓ ╜не░гии, ко▓о░а┐
во▒▒▓анавливае▓▒┐ благода░┐ │вели╖ени╛ ╜не░гии ▒ка▓╗ва╛╣ей▒┐ вниз
╖а▒▓и╢╗. Таким об░азом, на пе░в╗й взгл┐д, возможно о▒│╣е▒▓ви▓╝ │▒▓ановк│ в едини╢│ без по▓е░и ╜не░гии. О▓ме▓им, однако, ╖▓о дл┐ п░едо▓в░а╣ени┐ по▓е░╝ ╜не░гии по▓░ебовало▒╝ и▒пол╝зова▓╝ две ░азли╖н╗е
п░ог░амм╗ в зави▒имо▒▓и о▓ на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ │▒▓░ой▒▓ва. Комп╝╛▓е░ ░або▓ае▓ ▒ов▒ем не ▓ак. В бол╝╕ин▒▓ве ▒л│╖аев ▒по▒об пе░еме╣ени┐
ин┤о░ма╢ии комп╝╛▓е░ом не зави▒и▓ о▓ введенн╗╡ данн╗╡ и ┐вл┐е▓▒┐
┤│нк╢ией ▓ол╝ко ┤изи╖е▒кой ░еализа╢ии в╗╖и▒ли▓ел╝ной ▒╡ем╗.
Можем ли м╗ най▓и мен┐╛╣│╛▒┐ ▒о в░еменем ▒ил│ F (t), ко▓о░а┐, б│д│╖и п░иложенной к кон▒е░ва▓ивной ▒и▒▓еме на ░и▒. 1, пе░еведе▓ ╖а▒▓и╢│
в ▒о▒▓о┐ние едини╢╗, е▒ли в на╖ал╝н╗й момен▓ в░емени она на╡одила▒╝
либо в едини╢е, либо в н│ле? По▒кол╝к│ ▒и▒▓ема кон▒е░ва▓ивна, полное
об░а╣ение в░емени п░иводи▓ к д░│гой ▒и▒▓еме, │довле▓во░┐╛╣ей │░авнени┐м движени┐. В ╜▓ой ▒и▒▓еме имее▓▒┐ возможно▒▓╝ ▓ого, ╖▓о дл┐
оп░еделенного на╖ал╝ного │▒лови┐ (╖а▒▓и╢а на╡оди▓▒┐ в едини╢е, ▒коедини╢│
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
3
Р. Ланда│╜░
░о▒▓╝ ░авна н│л╛) ░ез│л╝▓а▓ом б│д│▓ по мен╝╕ей ме░е два ▒о▒▓о┐ни┐:
едини╢а и н│л╝. Э▓о, однако, невозможно. Закон╗ ме╡аники полно▒▓╝╛
де▓е░мини░ован╗, и ▓░аек▓о░и┐ оп░едел┐е▓▒┐ на╖ал╝н╗ми положением
и ▒ко░о▒▓╝╛. (Не│▒▓ой╖ивое на╖ал╝ное положение ┐вл┐е▓▒┐ в неко▓о░ом
▒м╗▒ле и▒кл╛╖ением, ▓.к. из не▒▓абил╝ной ▓о╖ки можно в╗й▓и по одном│ из по к░айней ме░е дв│╡ нап░авлений. На╕а на╖ал╝на┐ ▓о╖ка едини╢а, однако, ┐вл┐е▓▒┐ ▓о╖кой │▒▓ой╖ивого ░авнове▒и┐.) Возв░а╣а┐▒╝ к
и▒╡одном│ нап░авлени╛ в░емени, можно ▒дела▓╝ в╗вод, ╖▓о невозможно
однозна╖но по▒▓░ои▓╝ ▒ил│ F (t), ко▓о░а┐ обе▒пе╖ивае▓ пе░е╡од ╖а▒▓и╢╗
в ▒о▒▓о┐ние едини╢╗ вне зави▒имо▒▓и о▓ ее на╖ал╝ного положени┐.
Е▒ли, однако, доп│▒▓и▓╝ возможно▒▓╝ по▓ен╢иал╝ной ┐м╗ ▒ по▓е░┐ми, ▓акое по▒▓░оение │п░о╣ае▓▒┐. Бол╝╕а┐ нап░авленна┐ вп░аво на╖ал╝на┐ ▒ила, п░иложенна┐ до▒▓а▓о╖но медленно дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ подави▓╝
колебани┐, в╗▓олкне▓ ╖а▒▓и╢│ вп░аво, в ▒о▒▓о┐ние едини╢╗, вне зави▒имо▒▓и о▓ ее на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐. Тогда, е▒ли ▒ила │би░ае▓▒┐ до▒▓а▓о╖но медленно, ▓ак ╖▓о колебани┐ оп┐▓╝ подавлен╗, ╖а▒▓и╢а оказ╗вае▓▒┐ ▒в┐занной в ▒о▒▓о┐нии едини╢╗. Э▓о▓ п░име░ илл╛▒▓░и░│е▓ об╣ее
положение, обо▒нованное в [2] более под░обно: ╡о▓┐ ▒и▒▓ема ▒ бол╝╕им
за▓│╡анием по о╖евидн╗м п░и╖инам неп░иемлема, ▓. к. она ╖░езв╗╖айно
медли▓ел╝на, ▒и▒▓ема ▒о ▒ли╕ком мал╗м за▓│╡анием ▓акже нежела▓ел╝на дл┐ ░еализа╢ии пе░екл╛╖ени┐, по▒кол╝к│ ▒и▒▓ема може▓ пе░е▒ко╖и▓╝
об░а▓но в неп░авил╝ное ▒о▒▓о┐ние, когда пе░екл╛╖а╛╣а┐ ▒ила п░иклад╗вае▓▒┐ или │би░ае▓▒┐ ▒ли╕ком б╗▒▓░о.
2. Кла▒▒и┤ика╢и┐
П░ежде ╖ем на╖а▓╝ более под░обное об▒│ждение, необ╡одимо кла▒▒и┤и╢и░ова▓╝ │▒▓░ой▒▓ва дл┐ об░або▓ки данн╗╡ по ▒по▒обам ╡░анени┐
ин┤о░ма╢ии, когда она ни ▒ ╖ем не взаимодей▒▓в│е▓ и не об░аба▓╗вае▓▒┐. П░о▒▓ей╕ий кла▒▒, ко▓о░╗й б│де▓ ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ в дал╝ней╕ем,
вкл╛╖ае▓ │▒▓░ой▒▓ва, име╛╣ие возможно▒▓╝ ╡░ани▓╝ ин┤о░ма╢и╛ без
░а▒▒е┐ни┐ ╜не░гии. Си▒▓ема, показанна┐ на ░и▒. 1, о▓но▒и▓▒┐ к ╜▓ом│
кла▒▒│. Близкое о▓но╕ение к ме╡ани╖е▒ком│ п░име░│ на ░и▒. 1 име╛▓
┤е░░и▓╗, ┤е░░о╜лек▓░ики и ▓онкие магни▓н╗е пленки. По▒ледние мог│▓
пе░екл╛╖а▓╝▒┐ без пе░едвижени┐ доменной ▒▓енки и ве▒╝ма ▓е▒но ▒в┐зан╗ ▒ │▒▓░ой▒▓вом, изоб░аженн╗м на ░и▒. 1. К░ио▓░он╗ ▓акже ┐вл┐╛▓▒┐ │▒▓░ой▒▓вами, ди▒▒ипа╢и┐ в ко▓о░╗╡ имее▓ ме▒▓о ▓ол╝ко п░и пе░екл╛╖ении. Они о▓ли╖а╛▓▒┐, однако, о▓ │▒▓░ой▒▓в ▓ипа, изоб░аженн╗╡
на ░и▒. 1, по▒кол╝к│ в ни╡ едини╢а и н│л╝ не ┐вл┐╛▓▒┐ ╜не░ге▓и╖е▒ки
4
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
необ░а▓имо▒▓╝ и в╗деление ▓епла в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений
п░едпо╖▓и▓ел╝н╗ми. К░ио▓░он по╡ож ▒ко░ее на ме╡ани╖е▒кое │▒▓░ой▒▓во
▒ ░и▒. 2, изоб░ажа╛╣ее ╖а▒▓и╢│ в ┐╣ике. Два конк░е▓н╗╡ положени┐ в
┐╣ике в╗би░а╛▓▒┐ в ка╖е▒▓ве ▒о▒▓о┐ний н│л╝ и едини╢а, и ▒о╡░анение
ин┤о░ма╢ии зави▒и▓ о▓ ▓ого ┤ак▓а, ╖▓о б░о│нов▒кое движение в ┐╣ике
о╖ен╝ медленное. Упо░ на медленно▒▓╝ б░о│нов▒кого движени┐, а не на
▒о╡░ан┐╛╣ие ▒ил╗, ╡а░ак▓е░из│е▓ не ▓ол╝ко к░ио▓░он╗, но и бол╝╕ин▒▓во наиболее изве▒▓н╗╡ ▒по▒обов ╡░анени┐ ин┤о░ма╢ии. Из ли▓е░а▓│░╗
изве▒▓но, ╖▓о в▒е ▒│╣е▒▓венн╗е логи╖е▒кие ┤│нк╢ии мог│▓ б╗▓╝ ░еализован╗ │▒▓░ой▒▓вами пе░вого кла▒▒а. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о можно по▒▓░ои▓╝
комп╝╛▓е░╗, ▒оде░жа╣ие ▓ол╝ко к░ио▓░он╗ или ▓ол╝ко магни▓н╗е ┐д░а [3, 4].
;
Ри▒. 2. По▓ен╢иал╝на┐ ┐ма, в ко▓о░ой ▒о▒▓о┐ни┐ 0 и 1 не ░азделен╗ ба░╝-
е░ом. Ин┤о░ма╢и┐ ▒о╡░ан┐е▓▒┐, ▓ак как б░о│нов▒кое движение медленно
В▓о░ой кла▒▒ │▒▓░ой▒▓в вкл╛╖ае▓ ▒▓░│к▓│░╗, на╡од┐╣ие▒┐ в ▒▓абил╝ном (инва░иан▓ном по в░емени) ▒о▒▓о┐нии, ко▓о░ое оказ╗вае▓▒┐ ди▒▒ипа▓ивн╗м, когда дело иде▓ о ╡░анении ин┤о░ма╢ии. К ╜▓ом│ кла▒▒│
п░инадлежа▓ ▓░игге░н╗е ╜лек▓░онн╗е ▒╡ем╗, ░еле и ▓│ннел╝н╗е диод╗. По▒ледние обна░│жива╛▓ ▓ипи╖ное поведение, п░оилл╛▒▓░и░ованное
на ░и▒. 3. Две ▒▓абил╝н╗е ▓о╖ки ░азделен╗ не▒▓абил╝ной обла▒▓╝╛ ▓ак же,
как и дл┐ │▒▓░ой▒▓ва на ░и▒. 1. Ин▓е░е▒но, ╖▓о ╜▓о▓ кла▒▒ не имее▓ изве▒▓н╗╡ п░ед▒▓ави▓елей, аналоги╖н╗╡ ░и▒. 2. В▒е ак▓ивн╗е би▒▓абил╝н╗е
│▒▓░ой▒▓ва облада╛▓ в▒▓░оенн╗ми ▒░ед▒▓вами дл┐ во▒▒▓ановлени┐ н│жного ▒о▒▓о┐ни┐. С╡од▒▓во межд│ ░и▒. 3 и │▒▓░ой▒▓вом на ░и▒. 1 ▒▓ане▓
более о╖евидн╗м, е▒ли п░ед▒▓ави▓╝ би▒▓абил╝н│╛ ┐м│ на ░и▒. 1 г░а┤иком
зави▒имо▒▓и ▒ил╗ о▓ ░а▒▒▓о┐ни┐ (▒м. ░и▒. 4). Лини┐ F = 0 пе░е▒екае▓ к░ив│╛ в ▓░е╡ ▓о╖ка╡, аналоги╖но ▒пло╕ной линии (линии по▒▓о┐нного ▓ока)
на ░и▒. 3. Така┐ аналоги┐ наводи▓ на м╗▒л╝ о ▓ом, ╖▓о в ▒л│╖ае ди▒▒ипа▓ивного │▒▓░ой▒▓ва в ░ез│л╝▓а▓е ▓еплового возб│ждени┐ или кван▓овоКван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
5
Р. Ланда│╜░
;
ме╡ани╖е▒кого ▓│ннели░овани┐ возможн╗ пе░е╡од╗ межд│ ░азли╖н╗ми
▒▓абил╝н╗ми ▒о▒▓о┐ни┐ми, ▓ак же, как и в неди▒▒ипа▓ивном ▒л│╖ае, ╖▓о
Ри▒. 3. Ха░ак▓е░и▒▓ика о▓░и╢а▓ел╝ного ▒оп░о▓ивлени┐ (▒пло╕на┐ лини┐)
и лини┐ наг░│зки. 0 и 1 | ▒▓абил╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐, U | не▒▓абил╝ное
под░обно об▒│ждае▓▒┐ Свен▒оном [5]. Ди▒▒ипа▓ивное │▒▓░ой▒▓во, ▓акое,
как ▓│ннел╝н╗й диод, ▒▓░ого гово░┐, ┐вл┐е▓▒┐ аналогом не▒имме▓░и╖ной по▓ен╢иал╝ной ┐м╗, а не ▒имме▓░и╖ной ┐м╗ ▒ ░и▒. 1. Следова▓ел╝но,
можно ожида▓╝, ╖▓о из дв│╡ возможн╗╡ ▒о▒▓о┐ний │▒▓░ой▒▓ва ▒ о▓░и╢а▓ел╝н╗м ▒оп░о▓ивлением ▓ол╝ко одно дей▒▓ви▓ел╝но ▒▓абил╝но, д░│гое
же | ме▓а▒▓абил╝но. Ан▒амбл╝ би▒▓абил╝н╗╡ ▓│ннел╝н╗╡ диодов, п░едо▒▓авленн╗й ▒амом│ ▒ебе на до▒▓а▓о╖но дли▓ел╝ное в░ем┐, б│де▓ ╜вол╛╢иони░ова▓╝ к одном│ и ▓ом│ же аб▒ол╛▓но ▒▓абил╝ном│ ▒о▒▓о┐ни╛.
В об╣ем ▒л│╖ае, когда ▓акие запи░а╛╣ие │▒▓░ой▒▓ва и▒пол╝з│╛▓▒┐ в в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ▒╡ема╡, понижение ди▒▒ипа╢ии в дв│╡ доп│▒▓им╗╡
▒о▒▓о┐ни┐╡ може▓ б╗▓╝ до▒▓игн│▓о пе░еме╣ением ╜▓и╡ ▒о▒▓о┐ний как
можно ближе к о▒и ▓оков или нап░┐жений. Е▒ли б╗ │дало▒╝ по╖▓и полно▒▓╝╛ и▒кл╛╖и▓╝ ди▒▒ипа╢и╛ в ▒▓а╢иона░ном ▒о▒▓о┐нии, ▓акое │▒▓░ой▒▓во можно б╗ло б╗ о▓не▒▓и к пе░вом│ кла▒▒│. Следова▓ел╝но, ин▓│и▓ивно
можно ожида▓╝, ╖▓о в ▒▓а╢иона░ном ▒о▒▓о┐нии ди▒▒ипа▓ивного │▒▓░ой▒▓ва ди▒▒ипа╢и┐ на одно пе░екл╛╖ение по к░айней ме░е ▓ак же велика,
как и в │▒▓░ой▒▓ва╡ пе░вого кла▒▒а, и ╖▓о ╜▓а ди▒▒ипа╢и┐, ▒в┐занна┐ ▒
пе░екл╛╖ением, дополн┐е▓▒┐ ди▒▒ипа╢ией в ▒▓а╢иона░ном ▒о▒▓о┐нии.
По▒ледним, ▓░е▓╝им кла▒▒ом ┐вл┐╛▓▒┐ │▒▓░ой▒▓ва ▓ипа цcatch-allч,
а именно, ▓акие, в ко▓о░╗╡ дл┐ ░а▒познавани┐ ин┤о░ма╢ии ▒│╣е▒▓венно
изменение во в░емени. Э▓о▓ кла▒▒ вкл╛╖ае▓ линии заде░жки, а ▓акже не▒│╣ие ▒╡ем╗, нап░име░, ┤азов╗е би▒▓абил╝н╗е ▒и▒▓ем╗ ┤он Неймана [6].
6
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
необ░а▓имо▒▓╝ и в╗деление ▓епла в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений
По▒ледние п░ед▒▓авл┐╛▓ ▒обой из┐╣н╗й п░име░ и▒пол╝зовани┐ ╜┤┤ек▓ов
ди▒▒ипа╢ии; бол╝╕ин▒▓во д░│ги╡ п░ед▒▓ави▓елей ▓░е▓╝его кла▒▒а более
▒ложн╗ дл┐ об▒│ждени┐ в п░о▒▓╗╡ ┤изи╖е▒ки╡ ▓е░мина╡.
;
Ри▒. 4. Зави▒имо▒▓╝ ▒ил╗ о▓ ░а▒▒▓о┐ни┐ дл┐ би▒▓абил╝ной ┐м╗ на ░и▒. 1.
0 и 1 | ▒▓абил╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐, U | не▒▓абил╝ное
В ▒╡еме ┤он Неймана, ко▓о░│╛ м╗ ░а▒▒мо▓░им зде▒╝ не ▒ли╕ком
под░обно, и▒пол╝з│е▓▒┐ ▒игнал нака╖ки ▒ ╖а▒▓о▓ой !0, ко▓о░╗й, воздей▒▓в│┐ на ▒и▒▓ем│, на▒▓░оенн│╛ на !0=2 и облада╛╣│╛ нелинейной ░еак▓ивно▒▓╝╛, в╗з╗вае▓ ▒пон▓анн╗й пе░е╡од ▒игнала на мен╝╕│╛ ╖а▒▓о▓│.
Низко╖а▒▓о▓н╗й ▒игнал може▓ в╗би░а▓╝ межд│ дв│м┐ ┤азами (░азли╖а╛╣ими▒┐ на 180 на низкой ╖а▒▓о▓е), ╖▓о и ┐вл┐е▓▒┐ п░и╖иной би▒▓абил╝но▒▓и. В ▒╡еме ┤он Неймана нака╖ка п░ек░а╣ае▓▒┐ по▒ле по┐влени┐
▒│бга░моники, и ▒│бга░моника, ▒оо▓ве▓▒▓венно, може▓ п░опада▓╝ в ░ез│л╝▓а▓е неизбежн╗╡ по▓е░╝ в ▒╡еме. Э▓о▓ п░о╢е▒▒ п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой
▒│╣е▒▓венн│╛ ╖а▒▓╝ ▒╡ем╗, кон▓░оли░│┐ нап░авление п░о╡ождени┐ ин┤о░ма╢ии, ▓ак ╖▓о, на пе░в╗й взг┐д, по▓е░и зде▒╝ иг░а╛▓ важн│╛ ░ол╝.
Можно показа▓╝, однако, ╖▓о ░ед│к╢и┐ ▒игнала може▓ б╗▓╝ о▒│╣е▒▓влена в нелинейной ▒╡еме без по▓е░╝ дл┐ н│жн╗м об░азом ┤ази░ованного
▒игнала нака╖ки. Таким об░азом, п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ адеква▓н╗м и▒пол╝зование нелинейн╗╡ ▒╡ем без по▓е░╝, и вме▒▓о в╗кл╛╖ени┐ нака╖ки мен┐▓╝
┤аз│ нака╖ки, ╖▓о п░иведе▓ к ░а▒пад│ ▒игнала вме▒▓о ░о▒▓а. П░и ╜▓ом нап░авленно▒▓╝ по▓ока ин┤о░ма╢ии не зави▒и▓ о▓ нали╖и┐ по▓е░╝ в ▒╡еме.
По▓е░и в╗полн┐╛▓, однако, д░│г│╛ ▒│╣е▒▓венн│╛ ┤│нк╢и╛.
Си▒▓ема ┤он Неймана ▒ил╝но зави▒и▓ о▓ ▒╡ем╗ взаимодей▒▓ви┐, наКван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
7
Р. Ланда│╜░
з╗ваемой majority logic, в ко▓о░ой имее▓ ме▒▓о ▒в┐з╝ ▒ ▓░ем┐ ▒│бга░мони╖е▒кими о▒╢илл┐▓о░ами, а ▒│мма и╡ колебаний и▒пол╝з│е▓▒┐ дл┐ ▒ин╡░ониза╢ии ▒│бга░мони╖е▒кого о▒╢илл┐▓о░а, нака╖ка дл┐ ко▓о░ого вкл╛╖ае▓▒┐ не▒кол╝ко позже пе░в╗╡ ▓░е╡.
Кажд╗й из ▓░е╡ ▒клад╗ваем╗╡ ▒игналов може▓ име▓╝ одн│ из дв│╡
возможн╗╡ ┤аз. П░опа▒▓╝ мог│▓ ▒амое бол╝╕ее два из ни╡, а один в▒егда
о▒▓ане▓▒┐, ▓аким об░азом, в▒егда ▒о╡░ан┐е▓▒┐ ┤аза, п░едназна╖енна┐ дл┐
возб│ждени┐ о╖е░едного колебани┐. Син╡░онизи░│╛╣ий ▒игнал може▓,
▒ледова▓ел╝но, име▓╝ две возможн╗е ампли▓│д╗. Е▒ли в▒е ▓░и в╡одн╗╡
▒игнала ▒огла▒ованн╗, ▓о ▒ин╡░онизи░│╛╣ий ▒игнал в ▓░и ░аза ▒ил╝нее,
╖ем в ▒л│╖ае, когда ▓ол╝ко два ▒игнала име╛▓ заданн│╛ ┤аз│. Е▒ли в ▒│бга░мони╖е▒кой ▒╡еме о▓▒│▓▒▓в│╛▓ по▓е░и, по▒лед│╛╣а┐ на▒▓░ойка п░иведе▓ к дв│м ░азли╖н╗м ампли▓│дам в зави▒имо▒▓и о▓ ▒ил╗ и▒╡одного
▒ин╡░онизи░│╛╣его ▒игнала. Э▓о, однако, б│де▓ ин▓е░┤е░и░ова▓╝ ▒ о▒новной опе░а╢ией ▒╡ем╗ на ▒лед│╛╣ем ╜▓апе, когда по▓░еб│е▓▒┐ внов╝
п░о▒│мми░ова▓╝ в╗╡одн╗е ▒игнал╗ ▓░е╡ о▒╢илл┐▓о░ов, ко▓о░╗е должн╗
б│д│▓ име▓╝ ░авн╗е ампли▓│д╗. С▓ане▓ пон┐▓но, ╖▓о о▓▒│▓▒▓вие по▓е░╝
дае▓ в╗╡одн╗е ампли▓│д╗ о▓ каждого о▒╢илл┐▓о░а, ▓акже зави▒┐╣ие о▓
в╡одн╗╡ ▒игналов на п░ед╗д│╣ем ╜▓апе. В ▓о же в░ем┐, ╡о▓┐ о▓клонени┐ о▓ ожидаем╗╡ ампли▓│д не име╛▓ о▒обого зна╖ени┐ в одном ╢икле,
они мог│▓ │вели╖и▓╝▒┐ за в░ем┐, ░авное не▒кол╝ким ма╕инн╗м ╢иклам.
Следова▓ел╝но, по▓е░и необ╡одим╗ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ │ни╖▓ожали▒╝ не▒│╣е▒▓венн╗е де▓али п░ед╗▒▓о░ии ▒игнала. По▓е░и име╛▓ п░ин╢ипиал╝ное
зна╖ение дл┐ ▒▓анда░▓иза╢ии ▒игналов, ╜▓а ┤│нк╢и┐ долгое в░ем┐ не пол│╖ала адеква▓ного п░изнани┐ в ▓ео░е▓и╖е▒ки╡ ди▒к│▒▒и┐╡, но ве▒╝ма
╖е▓ко обозна╖ена в недавней ▒▓а▓╝е А.У.Ло [7].
3. Логи╖е▒ка┐ необ░а▓имо▒▓╝
Во введении п░и анализе команд╗ ▒о╡░анение в один б╗л из│╖ен
░и▒. 1 и │▒▓ановлена необ╡одимо▒▓╝ ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии. Тепе░╝ м╗ п░едп░имем поп╗▓к│ обоб╣ени┐ ▓акого ▒по▒оба ░а▒▒│ждений. Со╡░анение в
один ┐вл┐е▓▒┐ п░име░ом логи╖е▒кой ┤│нк╢ии и▒▓инно▒▓и, ко▓о░│╛ м╗
б│дем наз╗ва▓╝ необ░а▓имой. Назовем │▒▓░ой▒▓во логи╖е▒ки необ░а▓им╗м, е▒ли по ▒игнал│ на в╗╡оде нел╝з┐ оп░едели▓╝ однозна╖но ▒игнал на
в╡оде. М╗ ▒╖и▓аем, ╖▓о логи╖е▒ки необ░а▓им╗е │▒▓░ой▒▓ва име╛▓ п░ин╢ипиал╝ное зна╖ение дл┐ в╗╖и▒ли▓ел╝ной ▓е╡ники. М╗ ▒╖и▓аем ▓акже,
╖▓о логи╖е▒ка┐ необ░а▓имо▒▓╝ п░едполагае▓ в ▒во╛ о╖е░ед╝ ┤изи╖е▒к│╛
8
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
необ░а▓имо▒▓╝ и в╗деление ▓епла в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений
необ░а▓имо▒▓╝, а по▒ледн┐┐ ▒оп░овождае▓▒┐ ди▒▒ипа▓ивн╗ми ╜┤┤ек▓ами.
Б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ комп╝╛▓е░ как ▒▓░ого коне╖н╗й ма▒▒ив из
N двои╖н╗╡ ╜лемен▓ов, ▒по▒обн╗╡ ▒о╡░ан┐▓╝ ин┤о░ма╢и╛ без ди▒▒ипа╢ии. Б│дем ▒╖и▓а▓╝ комп╝╛▓е░ ▒ин╡░онн╗м, ╖▓о озна╖ае▓, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ ╡о░о╕о оп░еделенн╗й ма╕инн╗й ╢икл, и в кон╢е каждого ╢икла ▒о▒▓о┐ние N ╜лемен▓ов ┐вл┐е▓▒┐ ▒ложной ┤│нк╢ией и╡ ▒о▒▓о┐ни┐ в на╖але
╢икла.
На╕ анализ логи╖е▒кой необ░а▓имо▒▓и б│де▓ о▒│╣е▒▓влен на ▓░е╡
░азли╖н╗╡ │░овн┐╡. А░г│мен▓╗ пе░вого │░овн┐ закл╛╖а╛▓▒┐ п░о▒▓о в
│▓ве░ждении о ▓ом, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│╛╣ие в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е │▒▓░ой▒▓ва ▒ил╝но зави▒┐▓ о▓ логи╖е▒ки необ░а▓им╗╡ дей▒▓вий, и, ▒ледова▓ел╝но, л╛ба┐
ма╕ина, во▒п░оизвод┐╣а┐ логи╖е▒к│╛ о░ганиза╢и╛ ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ма╕ин, б│де▓ облада▓╝ логи╖е▒кой необ░а▓имо▒▓╝╛, а зна╖и▓, и ┤изи╖е▒кой
необ░а▓имо▒▓╝╛.
На в▓о░ом │░овне м╗ ░а▒▒ма▓░иваем ▒пе╢иал╝н╗й кла▒▒ комп╝╛▓е░ов, и▒пол╝з│╛╣и╡ логи╖е▒кие ┤│нк╢ии ▓ол╝ко одной или дв│╡ пе░еменн╗╡. По▒ле в╗полнени┐ ма╕инного ╢икла ▒о▒▓о┐ние каждого из N ╜лемен▓ов ▒▓анови▓▒┐ ┤│нк╢ией ▒о▒▓о┐ни┐ не более дв│╡ двои╖н╗╡ ╜лемен▓ов до
в╗полнени┐ ╢икла. Доп│▒▓им ▓епе░╝, ╖▓о комп╝╛▓е░ логи╖е▒ки об░а▓им.
Тогда ма╕инн╗й ╢икл о▓об░ажае▓ 2N возможн╗╡ на╖ал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний
на полное п░о▒▓░ан▒▓во 2N ▒о▒▓о┐ний, а не ▓ол╝ко на неко▓о░ое подп░о▒▓░ан▒▓во. В 2N возможн╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡ кажд╗й би▓ имее▓ ░авн│╛ ве░о┐▓но▒▓╝ оказа▓╝▒┐ в ▒о▒▓о┐нии едини╢╗ и в ▒о▒▓о┐нии нол╝. Следова▓ел╝но, об░а▓им╗й комп╝╛▓е░ може▓ и▒пол╝зова▓╝ ▓ол╝ко ▓е ┤│нк╢ии,
▓абли╢╗ и▒▓инно▒▓и ко▓о░╗╡ ▒оде░жа▓ ░авное ╖и▒ло ▒о▒▓о┐ний едини╢а
и н│л╝. Таким об░азом, доп│▒▓им╗ми ┤│нк╢и┐ми ┐вл┐╛▓▒┐ ▓ожде▒▓во
и о▓░и╢ание, а ▓акже и▒кл╛╖а╛╣ее или и его о▓░и╢ание. Однако ╜▓и
┤│нк╢ии не об░аз│╛▓ полного набо░а [8] и не позвол┐╛▓ об░азова▓╝ в▒е
о▒▓ал╝н╗е ┤│нк╢ии и▒▓инно▒▓и.
На ▓░е▓╝ем │░овне м╗ ░а▒▒ма▓░иваем более об╣ие │▒▓░ой▒▓ва. Нап░име░, │▒▓░ой▒▓во ▒ ▓░ем┐ в╡одами и ▓░ем┐ в╗╡одами, ▓.е. небол╝╕ой
▓░е╡би▓н╗й комп╝╛▓е░. П│▒▓╝ p, q и r | пе░еменн╗е до в╗полнени┐ ма╕инного ╢икла. Ра▒▒мо▓░им конк░е▓н│╛ ┤│нк╢и╛ и▒▓инно▒▓и, ко▓о░а┐
замен┐е▓ r на p q, е▒ли r = 0, и замен┐е▓ r на p q, е▒ли r = 1. Во в░ем┐
ма╕инного ╢икла пе░еменн╗е p и q не измен┐╛▓▒┐. Можно ▒каза▓╝, ╖▓о r
оп░едел┐е▓ в╗бо░ п░ог░амм╗, а p и q ┐вл┐╛▓▒┐ пе░еменн╗ми, на ко▓о░╗╡
в╗полн┐е▓▒┐ в╗б░анна┐ п░ог░амма. Э▓о │▒▓░ой▒▓во логи╖е▒ки об░а▓имо,
по▒кол╝к│ ░ез│л╝▓а▓ на в╗╡оде однозна╖но оп░едел┐е▓ в╡одн╗е данн╗е.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
9
Р. Ланда│╜░
Тем не менее, оно п░игодно дл┐ ░еализа╢ии ▓акой опе░а╢ии как и, ко▓о░а┐
▒ама по ▒ебе не ┐вл┐е▓▒┐ логи╖е▒ки об░а▓имой. Но комп╝╛▓е░ ▒о╡░ан┐е▓
до▒▓а▓о╖но в╡одной ин┤о░ма╢ии дл┐ обе▒пе╖ени┐ об░а▓имо▒▓и. Ин▓е░е▒но о▓ме▓и▓╝, однако, ╖▓о п░ог░амма на ▒амом деле не ц▒о╡░ан┐е▓▒┐ч; кака┐
она б╗ла, можно пон┐▓╝ ▓ол╝ко дед│к▓ивн╗м п│▓ем.
Тепе░╝ ░а▒▒мо▓░им комп╝╛▓е░, п░едназна╖енн╗й дл┐ более об╣и╡
╢елей, ко▓о░╗й п░и в╗полнении п░ог░амм╗ п░о╡оди▓, как п░авило, ╖е░ез множе▒▓во ма╕инн╗╡ ╢иклов. На пе░в╗й взгл┐д може▓ показа▓╝▒┐,
╖▓о логи╖е▒к│╛ об░а▓имо▒▓╝ легко пол│╖и▓╝, п░о▒▓о ▒о╡░ан┐┐ в╡одн╗е
данн╗е в неко▓о░ой ╖а▒▓и ма╕ин╗. Однако м╗ б│дем наз╗ва▓╝ ма╕ин│
логи╖е▒ки об░а▓имой ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда об░а▓им╗м ┐вл┐е▓▒┐
каждое ее дей▒▓вие. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о кажд╗й ░аз, когда в╗╖и▒л┐е▓▒┐
┤│нк╢и┐ и▒▓инно▒▓и дв│╡ пе░еменн╗╡, необ╡одимо ▒о╡░ан┐▓╝ дополни▓ел╝н│╛ ин┤о░ма╢и╛ о вели╖ина╡, над ко▓о░╗ми п░оизвод┐▓▒┐ дей▒▓ви┐,
вне зави▒имо▒▓и о▓ ▓ого, н│жна ╜▓а ин┤о░ма╢и┐ или не▓. С▓и░ание, ╜квивален▓ное │▒▓ановке в едини╢│, об▒│ждав╕ем│▒┐ в введении, не доп│▒кае▓▒┐. По▓░еб│е▓▒┐, ▒ледова▓ел╝но, длинна┐ п░ог░амма, ко▓о░а┐ п░иведе▓ в полн╗й бе▒по░┐док положени┐ би▓ов не▒│╣е▒▓венной ин┤о░ма╢ией
о п░омеж│▓о╖н╗╡ ░ез│л╝▓а▓а╡. Более ▓ого, е▒ли по▓░еб│е▓▒┐ и▒пол╝зова▓╝ об░а▓им│╛ ┤│нк╢и╛ ▓░е╡ пе░еменн╗╡, ▓ак│╛, как и, необ╡одимо
б│де▓ дополни▓╝ и▒╡одн│╛ п░ог░амм│ о▓дел╝н╗м ▒о▒▓о┐нием н│л╝ дл┐
каждой опе░а╢ии и, по▒кол╝к│ цо▓клонениеч, п░ог░амми░│╛╣ее ма╕ин│,
не ▒о╡░ан┐е▓▒┐ в п░о╢е▒▒е в╗полнени┐ и. Э▓о зна╖и▓, ╖▓о ма╕ина должна
име▓╝ гиган▓▒кие возможно▒▓и дл┐ ╡░анени┐ как дополни▓ел╝н╗╡ би▓ов
▒ цо▓клонени┐мич, ▓ак и дополни▓ел╝н╗╡ би▓ов ▒ в╗╡одн╗ми данн╗ми.
Можно ли обе▒пе╖и▓╝ ▓акие возможно▒▓и дл┐ ░еализа╢ии об░а▓имо▒▓и
в▒е╡ п░омеж│▓о╖н╗╡ дей▒▓вий? Е▒ли на╕а ма╕ина ▒по▒обна в об╗╖ном
▒м╗▒ле в╗полн┐▓╝ неп░е░╗вн│╛ п░ог░амм│, ▓о пон┐▓но, ╖▓о ▒о╡░анение
в▒ей ин┤о░ма╢ии о п░омеж│▓о╖н╗╡ дей▒▓ви┐╡ невозможно.
Не б│дем, однако, ▒облазн┐▓╝▒┐ ▓аким п░о▒▓╗м в╗╡одом из положени┐. Вполне ве░о┐▓но, ╖▓о │да▒▓▒┐ по▒▓░ои▓╝ ма╕ин│, полезн│╛ в об╣еп░ин┐▓ом ▒м╗▒ле, но не име╛╣│╛ возможно▒▓и в╗полн┐▓╝ неп░е░╗вн│╛
п░ог░амм│. Доп│▒▓им, ╖▓о ╜▓а ма╕ина и▒пол╝з│е▓ логи╖е▒ки необ░а▓им╗е ┤│нк╢ии и▒▓инно▒▓и. Необ░а▓им╗е ┤│нк╢ии мог│▓ б╗▓╝ п░ев░а╣ен╗ в об░а▓им╗е, как │же б╗ло п░оилл╛▒▓░и░овано, п│▓ем цпог░│жени┐ч
и╡ в ┤│нк╢ии бол╝╕его ╖и▒ла пе░еменн╗╡. Более к░│пн╗е ┤│нк╢ии ▓░еб│╛▓, однако, дополни▓ел╝н╗╡ в╡одов дл┐ │п░авлени┐ и дополни▓ел╝н╗╡
в╗╡одов дл┐ ▒о╡░анени┐ ин┤о░ма╢ии, обе▒пе╖ива╛╣ей необ░а▓имо▒▓╝.
М╗ │▓ве░ждаем ▓епе░╝, ╖▓о, ╡о▓┐ более к░│пна┐ ма╕ина и об░а▓има, она
10
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
необ░а▓имо▒▓╝ и в╗деление ▓епла в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений
не може▓ ▒л│жи▓╝ полезн╗м в╗╖и▒ли▓ел╝н╗м │▒▓░ой▒▓вом в об╗╖ном
▒м╗▒ле ╜▓ого ▒лова.
П░ежде в▒его, ╖▓об╗ обе▒пе╖и▓╝ п░о▒▓░ан▒▓во дл┐ ▒о╡░анени┐ дополни▓ел╝н╗╡ в╡одн╗╡ и в╗╡одн╗╡ данн╗╡, ▓░еб│е▓▒┐ зна▓╝, ▒кол╝ко ░аз
необ╡одимо в╗полни▓╝ кажд│╛ опе░а╢и╛ и▒╡одной (необ░а▓имой) ма╕ин╗. Полезно▒▓╝ комп╝╛▓е░а, однако, закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о он ┐вл┐е▓▒┐
не▒кол╝ко бол╝╕им, ╖ем на▒▓ол╝н╗м ▒п░аво╖н╗м │▒▓░ой▒▓вом; он може▓
▓акже в╗полн┐▓╝ множе▒▓во п░ог░амм, ко▓о░╗е не п░ед│▒ма▓░ивали▒╝
п░и его ░аз░або▓ке. Така┐ ма╕ина ▒ ░а▒╕и░енн╗ми ┤│нк╢и┐ми должна вкл╛╖а▓╝ в ▒еб┐ неко▓о░ое коли╖е▒▓во положений би▓ов дл┐ каждого в▒▓░оенного │▒▓░ой▒▓ва по░┐дка ╖и▒ла ╕агов п░ог░амм╗ и ▓░еб│е▓
обе▒пе╖ени┐ ╖и▒ла пе░екл╛╖ений во в░ем┐ заг░│зки п░ог░амм╗, ▒░авнимого ▒ ╖и▒лом пе░екл╛╖ений в ▒амой п░ог░амме. На▒▓░ойка │п░авлени┐
во в░ем┐ заг░│зки п░ог░амм╗, ко▓о░а┐ об╗╖но закл╛╖ае▓▒┐ в оп░еделении длинного ░┐да би▓ов как ▒о▒▓о┐ни┐ н│л╝, ┐вл┐е▓▒┐ как ░аз одной
из ░азновидно▒▓ей необ░а▓имой логи╖е▒кой опе░а╢ии, ╖его м╗ п╗▓али▒╝
избежа▓╝. Таким об░азом, на╕а г░омоздка┐ ма╕ина не и▒пол╝з│е▓ необ░а▓им╗╡ опе░а╢ий во в░ем┐ в╗полнени┐ п░ог░амм╗ ▓ол╝ко за ▒╖е▓ дополни▓ел╝ной необ░а▓имо▒▓и на ╜▓апе заг░│зки.
4. Логи╖е▒ка┐ необ░а▓имо▒▓╝ и ░ождение ╜н▓░опии
О▒▓ае▓▒┐ под░обно из│╖и▓╝ ▒в┐з╝ межд│ логи╖е▒кой необ░а▓имо▒▓╝╛
и изменени┐ми ╜н▓░опии. Нап░име░, ▒нова ░а▒▒мо▓░им опе░а╢и╛ │▒▓ановки в едини╢│. Обоб╣ение ░а▒▒│ждений на более ▒ложн╗е логи╖е▒кие
опе░а╢ии б│де▓ ▓░ивиал╝н╗м.
Доп│▒▓им ▒на╖ала, ╖▓о опе░а╢и┐ │▒▓ановки в едини╢│ │же в╗понена на каждом из би▓ов ан▒амбл┐. Э▓а ▒и▓│а╢и┐ напоминае▓ ан▒амбл╝
▒пинов, нап░авленн╗╡ вдол╝ положи▓ел╝ной о▒и z. В ▓епловом ░авнове▒ии
би▓╗ (или ▒пин╗) мог│▓ на╡оди▓╝▒┐ в дв│╡ ░авнове░о┐▓н╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡.
На╕и ▒пе╢иал╝но п░иго▓овленн╗е ▒и▒▓ем╗ обна░│жива╛▓ го░аздо бол╝╕е
│по░┐до╖енно▒▓и, а ▒ледова▓ел╝но, более низкие по ▒░авнени╛ ▒ ╡а░ак▓е░н╗ми дл┐ ▒о▒▓о┐ни┐ ░авнове▒и┐ ▓емпе░а▓│░│ и ╜н▓░опи╛. П░и адиаба▓и╖е▒ком ░азмагни╖ивании и▒пол╝з│е▓▒┐ как ░аз ▓акое ▒пиновое ▒о▒▓о┐ние,
и в п░о╢е▒▒е дезо░иен▓а╢ии ▒пинов ▒и▒▓ема пол│╖ае▓ ╜н▓░опи╛ о▓ ок░│жа╛╣ей ▒░ед╗ и ░е╕е▓ка, в │зла╡ ко▓о░ой на╡од┐▓▒┐ ▒пин╗, ░азмо░аживае▓▒┐. Ан▒амбл╝ │по░┐до╖енн╗╡ би▓ов веде▓ ▒еб┐ аналоги╖но. По ме░е
пов╗╕ени┐ ▓емпе░а▓│░╗ и заб╗вани┐ на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ ок░│жа╛╣а┐
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
11
Р. Ланда│╜░
▒░еда ░азмо░аживае▓▒┐. О▓ме▓им, ╖▓о наиболее важн╗м момен▓ом зде▒╝
┐вл┐е▓▒┐ не ▓о, ╖▓о в на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии в▒е би▓╗ ан▒амбл┐ ▒огла▒ованн╗, а ▓ол╝ко ▓о, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ един▒▓венное, ╡о░о╕о оп░еделенное
на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние дл┐ набо░а би▓ов. Хо░о╕о оп░еделенное на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓, по об╗╖ном│ оп░еделени╛ ╜н▓░опии S = k ln W ,
н│левой ╜н▓░опии. Ин┤о░ма╢ионн╗е ▒▓епени ▒вобод╗ мог│▓ по▒░ед▒▓вом
▓епловой ░елак▒и╢ии пе░ей▓и в л╛бое из 2N ▒о▒▓о┐ний (дл┐ N {би▓ового
ан▒амбл┐), п░и ╜▓ом ╜н▓░опи┐ │вели╖и▓▒┐ до kN ln2.
О▓ме▓им, ╖▓о на╕и ░а▒▒│ждени┐ не об┐за▓ел╝но зави▒┐▓ о▓ ╖а▒▓о
│поминаемой ▒в┐зи межд│ ╜н▓░опией и ин┤о░ма╢ией. М╗ п░о▒▓о ░а▒▒ма▓░иваем кажд╗й би▓ как локализованн╗й в ┤изи╖е▒кой ▒и▒▓еме, возможно, ▒о многими ▒▓епен┐ми ▒вобод╗, помимо ин┤о░ма╢ионной. Однако
дл┐ каждого возможного ┤изи╖е▒кого ▒о▒▓о┐ни┐, ко▓о░ое б│де▓ ин▓е░п░е▓и░ова▓╝▒┐ как н│л╝, имее▓▒┐ п░ак▓и╖е▒ки иден▓и╖ное возможное ┤изи╖е▒кое ▒о▒▓о┐ние, в ко▓о░ом ┤изи╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема п░ед▒▓авл┐е▓ едини╢│.
Следова▓ел╝но, дл┐ ▒и▒▓ем╗ в ▒о▒▓о┐нии едини╢╗ до▒▓│пно в два ░аза
мен╝╕е ▒о▒▓о┐ний, ╖ем дл┐ ▒и▒▓ем╗, ко▓о░а┐ може▓ на╡оди▓╝▒┐ в едини╢е или в н│ле. (М╗ б│дем игно░и░ова▓╝ ▒л│╖ай, когда едини╢а и н│л╝
п░ед▒▓авлен╗ ▒о▒▓о┐ни┐ми ▒ ░азли╖ной ╜н▓░опией. Э▓о▓ ▒л│╖ай ▓░еб│е▓
более ▒ложной а░г│мен▓а╢ии, но п░иводи▓ к ▓аким же ░ез│л╝▓а▓ам.)
П░и в╗полнении опе░а╢ии │▒▓ановки в едини╢│ п░ои▒╡оди▓ об░а▓н╗й п░о╢е▒▒. В на╖але кажд╗й би▓ на╡оди▓▒┐ в одном из дв│╡ ▒о▒▓о┐ний,
а в кон╢е имее▓ ме▒▓о ╡о░о╕о оп░еделенное ▒о▒▓о┐ние. Из│╖им ╜▓│ опе░а╢и╛ под░обнее.
Ра▒▒мо▓░им ▒▓а▓и▒▓и╖е▒кий ан▒амбл╝ ▒о▒▓о┐╣ий из би▓ов, на╡од┐╣и╡▒┐ в ▓епловом ░авнове▒ии. Е▒ли в▒е би▓╗ пе░евод┐▓▒┐ в едини╢│, ▓о
╖и▒ло ▒о▒▓о┐ний, занимаем╗╡ ан▒амблем ▒ок░а╣ае▓▒┐ вдвое. Эн▓░опи┐,
▒ледова▓ел╝но, │мен╝╕ае▓▒┐ на k ln2 = 0:6931k на би▓. Эн▓░опи┐ замкн│▓ой ▒и▒▓ем╗, ▓.е. комп╝╛▓е░а ▒ ▒об▒▓венн╗ми и▒▓о╖никами ╜не░гии,
не може▓ │мен╝╕а▓╝▒┐; ▒ледова▓ел╝но, она должна п░о┐ви▓╝▒┐ в ка╖е▒▓ве
╜┤┤ек▓а наг░евани┐ где-ниб│д╝ е╣е, во▒полн┐┐ 0:6931kT на би▓. Коне╖но,
╜▓о минимал╝но возможное наг░евание, и на╕и ░а▒▒│ждени┐ не га░ан▓и░│╛▓, ╖▓о ╜▓о▓ миним│м ░еал╝но до▒▓ижим.
Ра▒▒мо▓░енна┐ нами опе░а╢и┐ │▒▓ановки п░имен┐ла▒╝ к ан▒амбл╛ в
▓епловом ░авнове▒ии. В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и ╡о▓ело▒╝ б╗ пон┐▓╝, ╖▓о п░ои▒╡оди▓ в конк░е▓ной в╗╖и▒ли▓ел╝ной ▒╡еме, ░або▓а╛╣ей ▒ ин┤о░ма╢ией,
ко▓о░а┐ е╣е не наг░ела▒╝, но ▒о▒▓ои▓ из ╡о░о╕о оп░еделенн╗╡ ▒о▒▓о┐ний
едини╢а или н│л╝. П│▒▓╝ дл┐ на╖ала опе░а╢и┐ │▒▓ановки в╗полн┐е▓▒┐
на ▒л│╖айной ╢епи, ▒о▒▓о┐╣ей из едини╢ и н│лей. Можно, как об╗╖но,
12
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
необ░а▓имо▒▓╝ и в╗деление ▓епла в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений
и▒пол╝зова▓╝ ╜квивален▓но▒▓╝ ▒▓а▓и▒▓и╖е▒кого ан▒амбл┐ │▒░еднени╛ по
в░емени и ▒дела▓╝ в╗вод о ▓ом, ╖▓о ди▒▒ипа╢и┐ на одн│ опе░а╢и╛ │▒▓ановки дл┐ в░еменной по▒ледова▓ел╝но▒▓и ░авна ди▒▒ипа╢ии дл┐ наг░е▓ого
ан▒амбл┐.
Комп╝╛▓е░, однако, в░┐д ли ░або▓ае▓ ▒о ▒л│╖айн╗ми данн╗ми. Одно
из дв│╡ ▒о▒▓о┐ний би▓а може▓ по┐вл┐▓╝▒┐ ╖а╣е д░│гого или даже, е▒ли ╜▓и ве░о┐▓но▒▓и ▒овпада╛▓, може▓ име▓╝ ме▒▓о ко░░ел┐╢и┐ межд│
▒о▒едними би▓ами. Д░│гими ▒ловами, │▒▓ановленн╗е зна╖ени┐ не о▓░ажа╛▓ мак▒имал╝но возможного об║ема ин┤о░ма╢ии. Ра▒▒мо▓░им к░айний ▒л│╖ай, когда на в╡оде │▒▓ановлен╗ ▓ол╝ко едини╢╗ и не ▓░еб│е▓▒┐
в╗полн┐▓╝ никаки╡ опе░а╢ий. О╖евидно, ╖▓о не п░ои▒╡оди▓ изменений
╜н▓░опии и о▓▒│▓▒▓в│е▓ ди▒▒ипа╢и┐. И наобо░о▓, е▒ли на в▒е на╖ал╝н╗е
▒о▒▓о┐ни┐ | н│ли, ▓о они не не▒│▓ ин┤о░ма╢ии и и╡ │▒▓ановка в едини╢╗ не п░иводи▓ к изменени┐м ╜н▓░опии. О▓ме▓им, однако, ╖▓о опе░а╢и┐
│▒▓ановки, и▒пол╝з│ема┐ когда на в╡оде в▒е едини╢╗ (ни╖его не дела▓╝),
не може▓ п░имен┐▓╝▒┐ в ▓ом ▒л│╖ае, когда на в╡оде в▒е н│ли, а м╗ ╡о▓им
пе░еве▒▓и и╡ в едини╢╗. Тепе░╝ положение аналоги╖но ┤азовом│ п░еоб░азовани╛ межд│ дв│м┐ ┤азами в ░авнове▒ии, и п░о╢е▒▒ може▓ б╗▓╝
▒делан об░а▓им╗м без │вели╖ени┐ ╜н▓░опии в▒еленной, до▒▓а▓о╖но ▓ол╝ко
изоб░е▒▓и ▒пе╢иал╝но дл┐ ╜▓ой зада╖и неко▓о░│╛ п░о╢ед│░│ │▒▓ановки.
Таким об░азом, в ▒л│╖ае, когда на╖ал╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ не облада╛▓ мак▒имал╝но возможн╗м ░азнооб░азием, неизбежное пов╗╕ение ╜н▓░опии в
опе░а╢ии │▒▓ановки може▓ б╗▓╝ ней▓░ализовано, но ▓ол╝ко ▒ и▒пол╝зованием на╕и╡ знаний о в╡одн╗╡ данн╗╡ и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей ░еализа╢ии
╜▓ой опе░а╢ии.
Обоб╣ение на д░│гие логи╖е▒ки необ░а▓им╗е опе░а╢ии о╖евидно и
б│де▓ п░оилл╛▒▓░и░овано ▓ол╝ко одним п░име░ом. Ра▒▒мо▓░им ▒ов▒ем
небол╝╕ой комп╝╛▓е░ ▒ ▓░ем┐ двои╖н╗ми ╜лемен▓ами p, q и r. Ма╕инн╗й ╢икл замен┐е▓ p на r, q на r и r на p q. В▒его имее▓▒┐ во▒ем╝ возможн╗╡ ▒о▒▓о┐ний, и в ▓епловом ░авнове▒ии они по┐вл┐╛▓▒┐ ▒ ░авной
ве░о┐▓но▒▓╝╛. На ▒кол╝ко може▓ │мен╝╕и▓╝▒┐ ╜н▓░опи┐ за ма╕инн╗й
╢икл? На╖ал╝н╗е и коне╖н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ ма╕ин╗ показан╗ на ░и▒. 5. Со▒▓о┐ни┐ и по┐вл┐╛▓▒┐ ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ 1=8 каждое, ▒о▒▓о┐ни┐ и | ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ 3=8 каждое. На╖ал╝на┐ ╜н▓░опи┐ б╗ла ░авна
Si = k ln W = ;k ln = ;k 81 ln 18 = 3k ln2:
Коне╖на┐ ╜н▓░опи┐ е▒▓╝
Sf = ;k ln = ;k( 81 ln 18 + 81 ln 18 ) + 83 ln 38 + 83 ln 38 ):
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
13
Р. Ланда│╜░
;
Разно▒▓╝ Si ;Sf ░авна 1:18k. Следова▓ел╝но, минимал╝на┐ ди▒▒ипа╢и┐ дл┐
на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐, не не▒│╣его полезной ин┤о░ма╢ии, ░авна 1:18kТ .
Ри▒. 5.
У▒▓░ой▒▓во ▒ 3 в╡одами и 3 в╗╡одами, ко▓о░ое 8 возможн╗╡ ▒о▒▓о┐ний о▓об░ажае▓ на 4 ░азли╖н╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐
Возникае▓ воп░о▒, дей▒▓ви▓ел╝но ли ╜н▓░опи┐ ▒нижае▓▒┐ логи╖е▒ки
необ░а▓имой опе░а╢ией. Е▒ли м╗ на ▒амом деле о▓об░ажаем возможн╗е
на╖ал╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ н│л╝ и возможн╗е на╖ал╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ едини╢а
на одно и ▓о же п░о▒▓░ан▒▓во, ▓.е. п░о▒▓░ан▒▓во ▒о▒▓о┐ний едини╢а, никакого воп░о▒а не▓. Но возможно, ╖▓о по▒ле в╗полнени┐ опе░а╢ии може▓
о▒▓а▓╝▒┐ неко▓о░а┐ небол╝╕а┐ ░азни╢а межд│ ▒и▒▓емой, ко▓о░а┐ │же б╗ла в ▒о▒▓о┐нии едини╢╗, и ▓ой, ко▓о░а┐ должна б╗▓╝ пе░еведена в нее.
Е▒ли ▓ака┐ ░азни╢а ▒│╣е▒▓в│е▓ в ▓е╖ение неко▓о░ого п░омеж│▓ка в░емени, в ╜▓ом не▓ бол╝╕ого в░еда, но как б╗ло показано в об▒│ждении неди▒▒ипа▓ивного ▒│бга░мони╖е▒кого о▒╢илл┐▓о░а, нел╝з┐ п░оигно░и░ова▓╝
к│м│л┐▓ивн╗й п░о╢е▒▒, во в░ем┐ ко▓о░ого ░азли╖и┐ межд│ в▒евозможн╗ми ▒о▒▓о┐ни┐ми едини╢а ▒▓анов┐▓▒┐ в▒е бол╝╕е и бол╝╕е в ▒оо▓ве▓▒▓вие ▒ и╡ п░ед╗▒▓о░ией. Следова▓ел╝но, ┤изи╖е▒кое о▓об░ажение цмного
в одноч, ко▓о░ое и ┐вл┐е▓▒┐ и▒▓о╖ником изменений ╜н▓░опии, не должно
о▒│╣е▒▓вл┐▓╝▒┐ во в▒е╡ де▓ал┐╡ во в░ем┐ ма╕инного ╢икла, в╗полн┐╛╣его логи╖е▒к│╛ ┤│нк╢и╛. Но оно об┐за▓ел╝но должно име▓╝ ме▒▓о, и
╜▓о в▒е, ╖▓о о▓но▒и▓▒┐ к и▒▒ледовани╛ в╗делени┐ ▓епла.
5. Под░обн╗й анализ би▒▓абил╝ной ┐м╗
В дополнение к п░едва░и▓ел╝ном│ об╣ем│ ░а▒▒мо▓░ени╛ дадим ▓епе░╝ более под░обн╗й анализ пе░екл╛╖ени┐ в ▒и▒▓еме, п░ед▒▓авленной
14
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
необ░а▓имо▒▓╝ и в╗деление ▓епла в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений
в виде би▒▓абил╝ной по▓ен╢иал╝ной ┐м╗, как показано на одноме░ном
░и▒. 1, ▒ ба░╝е░ом, бол╝╕им по ▒░авнени╛ ▒ kT . Доп│▒▓им, к░оме ▓ого, ╖▓о
пе░екл╛╖ение о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ под дей▒▓вием дополни▓ел╝ной ▒ил╗, │вели╖ива╛╣ей ╜не░ги╛ одной ┐м╗ по ▒░авнени╛ ▒ д░│гой, но ▒о╡░ан┐╛╣ей
п░и ╜▓ом ба░╝е░, ко▓о░╗й должен б╗▓╝ п░еодолен ▓еплов╗м возб│ждением. (До▒▓а▓о╖но бол╝╕а┐ ▒ила може▓ п░о▒▓о полно▒▓╝╛ │ни╖▓ожи▓╝ один
из миним│мов. По╜▓ом│ пе░екл╛╖а╛╣ие ▒ил╗ б│д│▓ ▒╖и▓а▓╝▒┐ мал╗ми.)
Ра▒▒мо▓░им ▓епе░╝ ▒▓а▓и▒▓и╖е▒кий ан▒амбл╝ ▒и▒▓ем ▒ двойн╗ми ┐мами ▒
не░авнове▒н╗м ░а▒п░еделением, и зададим▒┐ воп░о▒ом, как б╗▒▓░о б│де▓
до▒▓игн│▓о ░авнове▒ие. Э▓о▓ воп░о▒ де▓ал╝но и▒▒ледован в ▒▓а▓╝е [2], и
зде▒╝ м╗ ог░ани╖им▒┐ ве▒╝ма п░о▒▓╗м кине▓и╖е▒ким анализом, ко▓о░╗й
п░иводи▓ к ▓ом│ же о▓ве▓│. П│▒▓╝ nA и nB | ╖и▒ла ╖ленов ан▒амбл┐ в
┐ма╡ A и B ▒оо▓ве▓▒▓венно. UA UB | ╜не░гии миним│мов каждой ┐м╗,
а U | в╗▒о▓а ба░╝е░а межд│ ними. Тогда ▒ко░о▒▓╝, ▒ ко▓о░ой ╖а▒▓и╢╗
пе░е╡од┐▓ из ┐м╗ A в ┐м│ B б│де▓ име▓╝ вид nA exp[;(U ; UA)=kT ].
По▓ок из В в ┐м│ A ░авен ▓огда nВ exp[;(U ; UВ)=kT ]. Два множи▓ел┐,
оп░едел┐╛╣и╡ ╖а▒▓о▓╗, п░инима╛▓▒┐ ░авн╗ми, по▒кол╝к│ и╡ ░азно▒▓╝
не▒│╣е▒▓венна по ▒░авнени╛ ▒ ░азно▒▓╝╛ ╜к▒понен▓. Имеем:
dnA = ;n exp[;(U ; U )=kT ] + n exp[;(U ; U )=kT ];
A
A
B
B
dt
dnB = n exp[;(U ; U )=kT ] ; n exp[;(U ; U )=kT ]:
A
A
B
B
dt
(5:1)
Можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝
│░авнени┐ (5.1) как линейное п░еоб░азование
(nA; nB ) в dndtA ; dndtB . Ха░ак▓е░и▒▓и╖е▒кие ╖и▒ла ╜▓ого п░еоб░азовани┐
▒│▓╝
1 = 0; 2 = ; exp[(U ; UA)=kT ] ; exp[;(U ; UB )=kT ]:
Соб▒▓венное зна╖ение 1 = 0 ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ не зави▒┐╣ей о▓ в░емени
за▒еленно▒▓и ┐м╗. Э▓о ░авнове▒ное ░а▒п░еделение
; UA :
nA = nB exp UBkT
О▒▓а╛╣ее▒┐ о▓░и╢а▓ел╝ное ▒об▒▓венное зна╖ение должно б╗▓╝ по▒▓авлено в ▒оо▓ве▓▒▓вие о▓клонени┐м о▓ ░авнове▒и┐, а exp(;2t) оп░едел┐е▓ ▒ко░о▒▓╝ и▒╖езновени┐ ╜▓и╡ о▓клонений. В░ем┐ ░елак▒а╢ии в╗░ажае▓▒┐, ▒ледова▓ел╝но, ╖е░ез вели╖ин│ U0 , ко▓о░а┐ ┐вл┐е▓▒┐ ▒░едним UA
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
15
Р. Ланда│╜░
и UB
1
= 2 = exp[;(U; U0)=kT ] exp[;(U0 ; UA)=kT ] + exp[;(U0 ; UB )=kT ] : (5.2)
С░едн┐┐ ╜не░ги┐ U0 в │░авнении (5.2) ▒ок░а╣ае▓▒┐, и │░авнение (5.2) в╗полн┐е▓▒┐ вне зави▒имо▒▓и о▓ оп░еделени┐ U0 . Обозна╖а┐ = 12 (UA ; UB ),
пол│╖аем
1
(5:3)
= 2 exp[;(U ; U0 )=kT ]ch(=kT ):
В пе░вом по░┐дке по пе░екл╛╖а╛╣ей ▒иле, об│▒лавлива╛╣ей ░азли╖ие
межд│ UA и UB , (U ; U0) не измен┐е▓▒┐, и │░авнение (5.3) можно пе░епи▒а▓╝ как
1 1
(5:4)
= 0 ch(=kT );
где 0 | в░ем┐ ░елак▒а╢ии дл┐ ▒имме▓░и╖ной по▓ен╢иал╝ной ┐м╗, когда = 0. Э▓о │░авнение демон▒▓░и░│е▓ полезно▒▓╝ данного │▒▓░ой▒▓ва.
В░ем┐ ░елак▒а╢ии 0 ╡а░ак▓е░из│е▓ п░омеж│▓ок в░емени, необ╡одим╗й
дл┐ наг░евани┐ би▒▓абил╝ного │▒▓░ой▒▓ва, и п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой мак▒имал╝ное в░ем┐, ╖е░ез ко▓о░ое ▒ │▒▓░ой▒▓вом можно на╖а▓╝ ░або▓а▓╝. С
д░│гой ▒▓о░он╗, ┐вл┐е▓▒┐ минимал╝н╗м в░еменем пе░екл╛╖ени┐. Таким об░азом, ch(=kT ) п░ед▒▓авл┐е▓ мак▒имал╝ное ╖и▒ло пе░екл╛╖ений
за в░ем┐ жизни ин┤о░ма╢ии. Оно може▓ б╗▓╝ бол╝╕им, ▒ледова▓ел╝но,
│▒▓░ой▒▓во може▓ б╗▓╝ полезн╗м. Даже е▒ли до▒▓а▓о╖но велико дл┐ на░│╕ени┐ п░иближени┐ пе░вого по░┐дка, в ко▓о░ом (U ; U0 ) | кон▒▓ан▓а,
╜к▒понен╢иал╝на┐ зави▒имо▒▓╝ ch(=kT ) о▓ в │░авнении (5.3) пе░еве▒и▓ изменени┐ в exp[(U ; U0)=kT , и 0= о▒▓ане▓▒┐ б╗▒▓░о ░а▒▓│╣ей
┤│нк╢ией .
О▓ме▓им, ╖▓о ░авна половине ╜не░гии, ░а▒▒еива╛╣ей▒┐ в п░о╢е▒▒е
пе░екл╛╖ени┐. Теплов╗е ░а▒п░еделени┐ ве░о┐▓но▒▓ей в каждой ┐ме б│д│▓
п░ак▓и╖е▒ки одинаков╗ми до и по▒ле пе░екл╛╖ени┐, един▒▓венна┐ ░азни╢а в ▓ом, ╖▓о коне╖на┐ ┐ма на 2 ниже и▒╡одной. Э▓а ░азни╢а в ╜не░ги┐╡
░а▒▒еивае▓▒┐ и ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ╜не░гии дл┐ половин╗ пло╣ади пе▓ли ги▒▓е░ези▒а ╜не░гии, об╗╖но ▒в┐з╗ва╛╣ей▒┐ ▒ пе░екл╛╖ением. У░авнение (5.4)
под▓ве░ждае▓, ▓аким об░азом, ╡о░о╕о изве▒▓н╗й ╜мпи░и╖е▒ки ┤ак▓, ╖▓о
│вели╖ение ▒ко░о▒▓и пе░екл╛╖ени┐ може▓ б╗▓╝ до▒▓игн│▓о ▓ол╝ко ╢еной
пов╗╕ени┐ ди▒▒ипа╢ии на одно пе░екл╛╖ение. У░авнение (5.4) в╗полн┐е▓▒┐, однако, ▓ол╝ко дл┐ ▒пе╢иал╝ного кла▒▒а моделей и не може▓ п░имен┐▓╝▒┐ в об╣ем ▒л│╖ае. Ч▓об╗ показа▓╝ ╜▓о, ░а▒▒мо▓░им ал╝▓е░на▓ивн│╛
модел╝. Доп│▒▓им, ╖▓о ин┤о░ма╢и┐ ▒о╡░ан┐е▓▒┐ положением ╖а▒▓и╢╗ на
16
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
необ░а▓имо▒▓╝ и в╗деление ▓епла в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений
п░┐мой и ╖▓о x = a ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ н│л╛ и едини╢е. Не п░едполагае▓▒┐ ▒│╣е▒▓вование никакого ба░╝е░а, но ▒л│╖айное ди┤┤│зионное движение ╖а▒▓и╢ п░инимае▓▒┐ до▒▓а▓о╖но медленн╗м, ▓ак ╖▓о положени┐ б│де▓
▒о╡░ан┐▓▒┐ на п░иемлемо п░одолжи▓ел╝ном п░омеж│▓ке в░емени. (Э▓а
модел╝, ве░о┐▓но, имее▓ бол╝╕е об╣его ▒ поведением ┤е░░и▓ов и ┤е░░о╜лек▓░иков, когда пе░екл╛╖ение ▒в┐зано ▒ движением доменной ▒▓енки,
╖ем п░ед╗д│╣а┐ модел╝ ▒ би▒▓абил╝ной ┐мой. Разни╢а в ╜не░ги┐╡ межд│
полно▒▓╝╛ и ╖а▒▓и╖но пе░екл╛╖енн╗м ┤е░░и▓ами ╖░езв╗╖айно мала, и
имее▓ ме▒▓о низка┐ мобил╝но▒▓╝ доменной ▒▓енки, │де░жива╛╣ей ╖а▒▓и╢│ вблизи ее на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ в о▓▒│▓▒▓вие пе░екл╛╖а╛╣и╡ ▒ил, а
╜▓о на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние може▓ ▒ ░авн╗м │▒пе╡ом б╗▓╝ как ╖а▒▓и╖но, ▓ак
и полно▒▓╝╛ пе░екл╛╖енн╗м.) В ╜▓ом ▒л│╖ае ╖а▒▓и╢╗ ди┤┤│нди░│╛▓ на
▓ипи╖ное ░а▒▒▓о┐ние s за в░ем┐ s2=2D, где D | по▒▓о┐нна┐ ди┤┤│зии. Ра▒▒▓о┐ние, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее по▓е░е ин┤о░ма╢ии, е▒▓╝ s a, в░ем┐
░елак▒а╢ии | 0 a2=2D. В п░и▒│▓▒▓вии ▒ил╗ F ╖а▒▓и╢а движе▓▒┐ ▒о
▒ко░о▒▓╝╛ F , где мобил╝но▒▓╝ оп░едел┐е▓▒┐ о▓но╕ением Эйн╕▓ейна
как D=kT . Ч▓об╗ пе░едвин│▓╝ ╖а▒▓и╢│ пе░екл╛╖а╛╣ей ▒илой F на ░а▒▒▓о┐ние 2a, ▓░еб│е▓▒┐ в░ем┐ s:
Fs = 2a;
(5:5)
или
s = 2a=F:
(5:6)
Ди▒▒ипа╢и┐ ╜не░гии 2 е▒▓╝ 2aF . Э▓о ▒лед│е▓ из │░авнений:
s = 2a2 =;
(5:7)
s=0 = 4kT=;
(5:8)
ко▓о░╗е демон▒▓░и░│╛▓ ▓акой же ╡а░ак▓е░ зави▒имо▒▓и s о▓ как и
дл┐ ▒л│╖а┐ ▒ ба░╝е░ом, но не вкл╛╖ае▓ ╜к▒понен╢иал╝ное изменение ▒
показа▓елем =kT . Е▒ли не п░инима▓╝ во внимание о▒▓ал╝н╗е а░г│мен▓╗, ▒▓анови▓▒┐ ┐▒но, ╖▓о би▒▓абил╝н╗й ╜лемен▓ ╜не░гии │░авнени┐ (5.4)
н│жно п░едпо╖е▒▓╝ ди┤┤│зионно ▒▓абилизи░ованном│ ╜лемен▓│ │░авнени┐ (5.8).
П░иведенн╗е в╗╕е п░име░╗ позвол┐╛▓ гл│бже пон┐▓╝ необ╡одимо▒▓╝ ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии, не┐вно под▓ве░жда╛╣│╛▒┐ ░а▒▒│ждени┐ми,
и▒пол╝з│╛╣ими ▒вой▒▓ва ╜н▓░опии. В опе░а╢ии ▒о╡░анени┐ в едини╢│
▓░ебовало▒╝ │▒▓анови▓╝ ▒и▒▓ем│ в ▒о▒▓о┐ние едини╢╗ вне зави▒имо▒▓и
о▓ ее на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐. Э▓о делало▒╝ по▒░ед▒▓вом понижени┐ ╜не░гии
▒о▒▓о┐ни┐ едини╢а о▓но▒и▓ел╝но ▒о▒▓о┐ни┐ н│л╝. Ча▒▓и╢а пе░е╡оди▓ в
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
17
Р. Ланда│╜░
▒о▒▓о┐ние ▒ низ╕ей ╜не░гией, ░а▒▒еива┐ п░и ╜▓ом изб╗▓ок ╜не░гии, имев╕ий▒┐ ▒ на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии.
6. Т░и и▒▓о╖ника о╕ибок
В ╜▓ой главе м╗ ░а▒▒мо▓░им, в ▓е▒ной ▒в┐зи ▒ п░ед╗д│╣ими ░а▒▒│ждени┐ми, о▓но▒и▓ел╝н│╛ зна╖имо▒▓╝ не▒кол╝ки╡ возможн╗╡ и▒▓о╖ников о╕ибок в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений. П░ежде в▒его, ░еал╝ное в░ем┐, о▓п│▒каемое на пе░екл╛╖ение, коне╖но, и ░елак▒а╢и┐ в н│жное ▒о▒▓о┐ние
не може▓ заве░╕и▓╝▒┐ полно▒▓╝╛. Е▒ли Ts | ░еал╝ное в░ем┐, в ▓е╖ение ко▓о░ого п░иложена пе░екл╛╖а╛╣а┐ ▒ила, и s | в░ем┐ ░елак▒а╢ии
из │░авнени┐ (5.4), ▓о exp(;Ts=s) е▒▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о пе░екл╛╖ени┐ не п░оизойде▓. В▓о░ой и▒▓о╖ник о╕ибок под░обно ░а▒▒мо▓░ен в
▒▓а▓╝е Дж. А.Свен▒она [5] и закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о 0 коне╖но, и ин┤о░ма╢и┐ б│де▓ и▒╖еза▓╝, ╡о▓┐ п░едполагае▓▒┐, ╖▓о она ▒покойно ╡░ани▓▒┐
в на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии. О▓но▒и▓ел╝на┐ важно▒▓╝ │казанн╗╡ о╕ибок ┐вл┐е▓▒┐ п░едме▓ом комп░оми▒▒ов п░и ░аз░або▓ке п░ибо░а. В░ем┐ Ts, о▓п│╣енное на пе░екл╛╖ение, в▒егда може▓ б╗▓╝ │вели╖ено, ╖▓о ▒делае▓
░елак▒а╢и╛ пе░екл╛╖ени┐ более полной. Однако полное в░ем┐, до▒▓│пное
дл┐ п░ог░амм╗, мен╝╕е, ╖ем 0 | в░емени ░елак▒а╢ии дл┐ ╡░анимой ин┤о░ма╢ии, ▓.е. │вели╖ение в░емени пе░екл╛╖ени┐ понижае▓ ╖и▒ло ╕агов
в мак▒имал╝но возможной п░ог░амме.
Т░е▓ий и▒▓о╖ник о╕ибок закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о даже е▒ли ▒и▒▓ема може▓ полно▒▓╝╛ ░елак▒и░ова▓╝ за в░ем┐ пе░екл╛╖ени┐, об┐за▓ел╝но
о▒▓ане▓▒┐ ╖а▒▓╝ ан▒амбл┐ по░┐дка exp(;2=kT ), о▒▓ав╕а┐▒┐ в нежела▓ел╝ном на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии. Дл┐ и▒пол╝зовани┐ в дал╝ней╕и╡ ░а▒▒│ждени┐╡ назовем ╜▓│ о╕ибк│ бол╝╢манов▒кой. М╗ покажем, ╖▓о не имее▓
зна╖ени┐, какой б╗ комп░оми▒▒ межд│ дв│м┐ пе░в╗ми видами о╕ибок ни
б╗л до▒▓игн│▓ п░и ░аз░або▓ке, бол╝╢манов▒ка┐ о╕ибка не б│де▓ домини░ова▓╝. П░оведем г░│бое ▒░авнение о╕ибок, не ░а▒▒ма▓░ива┐ ░азли╖и┐ в
и▒▓о░ии пол│╖ени┐ ин┤о░ма╢ии.
Дадим ве░╡н╛╛ о╢енк│ бол╝╢манов▒кой о╕ибки, ▒╖и▓а┐, ╖▓о пе░екл╛╖ение имело ме▒▓о в каждом ма╕инном ╢икле п░ед╗▒▓о░ии каждого би▓а. Э▓о и б│де▓ о╢енкой ▒ве░╡│ дл┐ бол╝╢манов▒кой о╕ибки, ко▓о░а┐, как м╗ покажем, п░енеб░ежимо мала по ▒░авнени╛ ▒ д░│гими
о╕ибками. Ве░о┐▓но▒▓╝ бол╝╢манов▒кой о╕ибки на одно пе░екл╛╖ение
е▒▓╝ exp(;2=kT ). За в░ем┐ пе░екл╛╖ени┐ непе░екл╛╖енн╗е би▓╗ возв░а╣а╛▓▒┐ об░а▓но ▒о ▒ко░о▒▓╝╛ exp(;t=0). Следова▓ел╝но, за в░ем┐ Ts
непе░екл╛╖енн╗е би▓╗ име╛▓ ве░о┐▓но▒▓╝ Ts=0 по▓е░┐▓╝ ин┤о░ма╢и╛.
18
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
необ░а▓имо▒▓╝ и в╗деление ▓епла в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений
Е▒ли бол╝╢манов▒ка┐ о╕ибка домини░│е▓, ▓о
Ts=0 < exp(;2=kT ):
(6:1)
Ра▒▒мо▓░им дл┐ оп░еделенно▒▓и би▒▓абил╝н│╛ ┐м│ │░авнени┐ (5.4). Тогда (6.1) п░инимае▓ вид
2Ts exp(;=kT ) < exp(;2=kT );
(6:2)
s
или, ╖▓о ╜квивален▓но
Ts < 1 exp(;=kT ):
(6:3)
s 2
Ра▒▒мо▓░им ▓епе░╝ ░елак▒а╢и╛ пе░екл╛╖енного ▒о▒▓о┐ни┐. О╕ибка за
▒╖е▓ неполной ░елак▒а╢ии е▒▓╝ exp(;Ts=s), ╖▓о, ▒огла▒но │░авнени╛ (6.3),
│довле▓во░┐е▓
exp(;Ts=s) > exp[; 21 exp(;=kT )]:
(6:4)
А░г│мен▓ п░авой ▒▓о░он╗ ╜▓ого не░авен▒▓ва 12 exp(;=kT ) мен╝╕е 21 .
Следова▓ел╝но, п░ава┐ ▒▓о░она велика по ▒░авнени╛ ▒ exp(;2=kT ),
бол╝╢манов▒кой о╕ибкой, ╜к▒понен▓а ко▓о░ой оп░еделенно бол╝╕е едини╢╗. М╗ показали, ▓аким об░азом, ╖▓о, е▒ли бол╝╢манов▒ка┐ о╕ибка
домини░│е▓ над ░а▒падом ин┤о░ма╢ии, она в ▒во╛ о╖е░ед╝ должна подавл┐▓╝▒┐ неполной ░елак▒а╢ией п░и пе░екл╛╖ении.
Д░│гой возможн╗й п│▓╝ к ╜▓ом│ в╗вод│ ▒о▒▓ои▓ в демон▒▓░а╢ии
▓ого, ╖▓о накопленна┐ бол╝╢манов▒ка┐ о╕ибка, ▒ │╖е▓ом мак▒имал╝ного
╖и▒ла пе░екл╛╖ений, ░аз░е╕енного │░авнением (5.4), мала по ▒░авнени╛
▒ едини╢ей.
Ра▒▒мо▓░им ▓епе░╝ ди┤┤│зионно ▒▓абилизи░ованн╗й ╜лемен▓ │░авнени┐ (5.8). Вме▒▓о │░авнени┐ (5.4) на╡одим дл┐ него ▒оо▓но╕ение
exp(;Ts=s) > exp[(;=4kT )exp(;2=kT )];
(6:5)
где п░ава┐ ▒▓о░она ▒нова бол╝╕е бол╝╢манов▒кой о╕ибки | exp(;2=kT ).
В ╜▓ом ▒л│╖ае ▓акже можно и▒пол╝зова▓╝ ал╝▓е░на▓ивн╗й под╡од, о▒нованн╗й на накоплении о╕ибки.
Е▒ли м╗ б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ более ░еали▒▓и╖н╗е модели ма╕ин, в
ко▓о░╗╡ пе░екл╛╖а╛╣ие ▒ил╗ п░иложен╗ к ▒в┐занн╗м │▒▓░ой▒▓вам, как
▒делано, нап░име░, дл┐ бездиодной логики магни▓ного ┐д░а [4], окаже▓▒┐,
╖▓о п░ове▒▓и ╖е▓кое анали▓и╖е▒кое и▒▒ледование ▓ипов о╕ибок го░аздо
▓░│днее. Тем не менее м╗ │бежден╗, ╖▓о и╡ кла▒▒и┤ика╢и┐ б│де▓ подобна
в╗╕еп░иведенной.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
19
Р. Ланда│╜░
7. Закл╛╖ение
Ин┤о░ма╢ионн╗е ▒▓епени ▒вобод╗ комп╝╛▓е░а взаимодей▒▓в│╛▓ ▒
▓еплов╗м ░езе░в│а░ом, п░ед▒▓авленном в данном ▒л│╖ае о▒▓ал╝н╗ми ▒▓епен┐ми ▒вобод╗. Э▓о взаимодей▒▓вие иг░ае▓ две важн╗╡ ░оли. Во-пе░в╗╡,
оно дей▒▓в│е▓ как накопи▓ел╝ ╜не░гии, ░а▒▒еиваемой в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений. Така┐ ди▒▒ипа╢и┐ имее▓ неп░еодолим╗й миним│м, ╖▓о ┐вл┐е▓▒┐
▒лед▒▓вием в╗полнени┐ комп╝╛▓е░ом необ░а▓им╗╡ опе░а╢ий. Во-в▓о░╗╡,
взаимодей▒▓вие ▒▓анови▓▒┐ и▒▓о╖ником ╕│ма, п░ивод┐╣его к возникновени╛ о╕ибок. В ╖а▒▓но▒▓и, ▓еплов╗е ┤л│к▓│а╢ии да╛▓ п░едположи▓ел╝но пе░екл╛╖енном│ ╜лемен▓│ небол╝╕│╛ ве░о┐▓но▒▓╝ о▒▓а▓╝▒┐ в на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии, даже е▒ли пе░екл╛╖а╛╣а┐ ▒ила дей▒▓вовала в ▓е╖ение
до▒▓а▓о╖но дли▓ел╝ного в░емени. На п░име░е дв│╡ п░о▒▓╗╡ моделей б╗ло показано, ╖▓о ╜▓о▓ и▒▓о╖ник о╕ибок подавлен одним из дв│╡ д░│ги╡
и▒▓о╖ников:
1) Неполн╗м пе░екл╛╖ением, ▒в┐занн╗м ▒ недо▒▓а▓о╖но п░одолжи▓ел╝н╗м п░омеж│▓ком в░емени, о▓п│╣енн╗м на пе░екл╛╖ение.
2) Ра▒падом ин┤о░ма╢ии, в╗званн╗м ▓еплов╗ми ┤л│к▓│а╢и┐ми.
Раз│мее▓▒┐, о╖евидно, ╖▓о ▓епловой ╕│м и ▓░ебовани┐ к ди▒▒ипа╢ии
╜не░гии на╡од┐▓▒┐ на ▓аки╡ ма▒╕▓аба╡, ╖▓о мог│▓ не п░инима▓╝▒┐ во внимание п░и ░а▒▒мо▓░ении ▒ов░еменной в╗╖и▒ли▓ел╝ной ▓е╡ники. Ра▒▒╖и▓анна┐ ди▒▒ипа╢и┐, однако, ┐вл┐е▓▒┐ аб▒ол╛▓н╗м миним│мом возможной
вели╖ин╗. Реал╝н╗е │▒▓░ой▒▓ва, ░або▓а╛╣ие на в╗▒оки╡ ▒ко░о▒▓┐╡ и ░азме░╗ ко▓о░╗╡ далеки о▓ минимал╝н╗╡, ▓░еб│╛▓, ве░о┐▓но, зна╖и▓ел╝но
бол╝╕ей ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии дл┐ обе▒пе╖ени┐ ▒▓и░ани┐ не▒│╣е▒▓венн╗╡
де▓алей п░ед╗▒▓о░ии в╗╖и▒лений.
8. Благода░но▒▓и
Неко▓о░╗е из об▒│ждав╕и╡▒┐ воп░о▒ов б╗ли впе░в╗е по▒▓авлен╗
Е. Р.Пио░е не▒кол╝ко ле▓ назад. На ░анни╡ ▒▓ади┐╡ [2, 5] ╜▓о▓ п░оек▓
п░одвигал▒┐ в о▒новном │▒или┐ми покойного Джона Свен▒она. Об╣ение ▒
Го░доном Ле╕е░ом б╗ло ве▒╝ма ▒│╣е▒▓венн╗м дл┐ ░азви▓и┐ идей, п░ед▒▓авленн╗╡ в данной ▒▓а▓╝е.
20
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
необ░а▓имо▒▓╝ и в╗деление ▓епла в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений
Спи▒ок ли▓е░а▓│░╗
[1] L. Brillouin, Science and Information Theory, Academic Press Inc., New York,
1956.
[2] R. Landauer and J. A. Swanson, Phys. Rev. 121 (1961) 1668.
[3] K. Mendelssohn, Progress in Cyrogenics, Vol. 1, Academic Press. Inc., New York,
1959. Chapter I by D. R. Young, p. 1.
[4] L. B. Russell, IRE Convention Record, p. 106 (1957).
[5] J. A. Swanson, IBM Journal, 4 (1960) 305.
Хо▓ело▒╝ б╗ во▒пол╝зова▓╝▒┐ возможно▒▓╝╛ в╗дели▓╝ два │▓ве░ждени┐ из
▒▓а▓╝и Свен▒она, на ко▓о░╗е не б╗ло об░а╣ено должного внимани┐ в оп│бликованной ве░▒ии.
1) Бол╝╕ое ╖и▒ло ╖а▒▓и╢ в оп▓имал╝ном ╜лемен▓е ( 100) ┐вл┐е▓▒┐ ▒лед▒▓вием низки╡ ╜не░гий на одн│ ╖а▒▓и╢│ (или кле▓к│), задей▒▓вованн│╛ в ▓ипи╖ном коопе░а▓ивном ╜┤┤ек▓е, и▒пол╝з│емом в комп╝╛▓е░е. Не▓ п░облем
в ╡░анении ин┤о░ма╢ии в положении един▒▓венной ╖а▒▓и╢╗ п░и комна▓ной ▓емпе░а▓│░е, е▒ли ╜не░ги┐ ак▓ива╢ии ее движени┐ до▒▓а▓о╖но велика
(по░┐дка не▒кол╝ки╡ ╜В).
2) Оп▓имал╝н╗й об║ем Свен▒она в об╣ем ▒л│╖ае не ▒ли╕ком о▓ли╖ае▓▒┐ о▓
об╣еп░ин┐▓ого ▓░ебовани┐ дл┐ U , именно t exp(;U=kT ) 1, ╖▓о може▓
б╗▓╝ пол│╖ено без и▒пол╝зовани┐ ▓ео░ии ин┤о░ма╢ии. Э▓о зна╖и▓, ╖▓о и▒пол╝зование г░омоздки╡ и │▒ложненн╗╡ ме▓одов коди░овани┐ не позволи▓
│вели╖и▓╝ об║ем ╡░анимой ин┤о░ма╢ии. О╖евидно, ╖▓о жела▓ел╝но избави▓╝▒┐ о▓ ╜▓и╡ │▒ложнений, ▓. к. ли╕╝ небол╝╕ое │вели╖ение каждого ╜лемен▓а по ▒░авнени╛ ▒ цоп▓имал╝н╗мч зна╖ением ▒делае▓ его п░игодн╗м дл┐
пе░ено▒а ин┤о░ма╢ии и без и▒пол╝зовани┐ │▒ложнений.
[6] R. L. Wigington, Proceedings of the IRE, 47 (1959) 516.
[7] A. W. Lo, п░ед▒▓авлено в IRE Transactions on Electronic Computers.
[8] D. Hilbert and W. Ackermann, Principles of Mathematical Logic, Chelsea
Publishing Co., New York, p. 10 (1950).
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
21
C. Х. Бенне▓▓
Argonne National Laboratry, Argonn, Illinois.
ЛОГИЧЕСКАЯ ОБРАТИМОСТЬ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Униве░▒ал╝н╗е об╗╖н╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ав▓ома▓╗ дл┐ об╣и╡ ╢елей (нап░име░,
ма╕ин╗ Т╝╛░инга) логи╖е▒ки необ░а▓им╗ | и╡ ┤│нк╢ии пе░е╡ода не име╛▓
однозна╖н╗╡ об░а▓н╗╡ ┤│нк╢ий. В ░або▓е показано, ╖▓о ▓акие ма╕ин╗ можно
▒дела▓╝ логи╖е▒ки об░а▓им╗ми на каждом ╕аге, ▒о╡░ан┐┐ и╡ п░о▒▓о▓│ и ▒по▒обно▒▓╝ дела▓╝ об╣ие в╗╖и▒лени┐.
Э▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ п░ед▒▓авл┐е▓ бол╝╕ой ┤изи╖е▒кий ин▓е░е▒, по▒кол╝к│ он
│каз╗вае▓ на возможно▒▓╝ ▒│╣е▒▓вовани┐ ▓е░модинами╖е▒ки об░а▓им╗╡ комп╝╛▓е░ов, ко▓о░╗е могли б╗ п░оизводи▓╝ н│жн╗е в╗╖и▒лени┐ ▒ п░иемлемой ▒ко░о▒▓╝╛, ▓е░┐┐ на каждом ╕аге ╜не░ги╛, зна╖и▓ел╝но мен╝╕│╛, ╖ем kT . Пе░в╗й
╜▓ап в╗╖и▒лений логи╖е▒ки об░а▓им╗╡ ав▓ома▓ов аналоги╖нен дей▒▓ви┐м ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ необ░а▓им╗╡ ав▓ома▓ов за ▓ем и▒кл╛╖ением, ╖▓о они ▒о╡░ан┐╛▓
в▒е п░омеж│▓о╖н╗е ░ез│л╝▓а▓╗, ▓аким об░азом избега┐ необ░а▓им╗╡ опе░а╢ий
▒▓и░ани┐. В▓о░а┐ ▒▓ади┐ ▒о▒▓ои▓ в ░а▒пе╖а▓╗вании н│жн╗╡ в╗╡одн╗╡ данн╗╡.
Тогда ▓░е▓╝┐ ▒▓ади┐ ░а▒полагае▓ в об░а▓ном по░┐дке в▒е нен│жн╗е п░омеж│▓о╖н╗е ░ез│л╝▓а▓╗, п░о╡од┐ ╕аги пе░вой ▒▓адии в об░а▓ном по░┐дке (п░о╢е▒▒ возможен ▓ол╝ко по▓ом│, ╖▓о пе░ва┐ ▒▓ади┐ б╗ла ▒делана об░а▓имо) до ▒воего на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐. Таким об░азом, коне╖ное ▒о▒▓о┐ние ма╕ин╗ ▒оде░жи▓ н│жн╗е
в╗╡одн╗е данн╗е и во▒▒▓ановленн│╛ копи╛ в╡одн╗╡ данн╗╡, но никаки╡ изли╕ни╡ данн╗╡. П░едложенна┐ ▒╡ема демон▒▓░и░│е▓▒┐ ┐вно на п░име░е ▓░е╡лен▓о╖ной ма╕ин╗ Т╝╛░инга. В ка╖е▒▓ве ┤изи╖е▒кого п░име░а об░а▓им╗╡ в╗╖и▒лений
об▒│ждае▓▒┐ био▒ин▓ез пе░ено▒╖ика РНК.
1. Введение
П░ог░амм╗ дл┐ об╗╖н╗╡ ╢и┤░ов╗╡ комп╝╛▓е░ов ╖а▒▓о п░оизвод┐▓
опе░а╢ии, ко▓о░╗е о▓б░а▒╗ва╛▓ ин┤о░ма╢и╛ об и▒▓о░ии комп╝╛▓е░а,
о▒▓авл┐┐ ма╕ин│ в ▓аком ▒о▒▓о┐нии, когда ▒ведени┐ о непо▒░ед▒▓венно
п░ед╕е▒▓в│╛╣ем ем│ ▒о▒▓о┐нии неоп░еделенн╗. Такие опе░а╢ии вкл╛╖а╛▓ ▒▓и░ание данн╗╡ или запи▒╝ и╡ пове░╡ п░ед╗д│╣и╡ и в╡од в ╖а▒▓и
п░ог░амм╗ ▒ об░а╣ением к не▒кол╝ким ░азли╖н╗м ин▒▓░│к╢и┐м по пе░ено▒│. Ина╖е гово░┐, ▓ипи╖н╗й комп╝╛▓е░ логи╖е▒ки необ░а▓им | его
┤│нк╢ии пе░е╡ода (╖а▒▓н╗е ┤│нк╢ии, о▓об░ажа╛╣ие каждое глобал╝ное
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
1
C. Х. Бенне▓▓
▒о▒▓о┐ние ма╕ин╗, в по▒лед│╛╣ее ем│, е▒ли ▓аковое ▒о▒▓о┐ние имее▓▒┐)
не облада╛▓ однозна╖н╗ми об░а▓н╗ми ┤│нк╢и┐ми.
Ланда│╜░ (Landauer [1]) ▒┤о░м│ли░овал воп░о▒: ┐вл┐е▓▒┐ ли логи╖е▒ка┐ необ░а▓имо▒▓╝ неизбежной ╖е░▓ой полезн╗╡ комп╝╛▓е░ов? О▓ве╖а┐
на ╜▓о положи▓ел╝но, он под╖е░кн│л ┤изи╖е▒к│╛ и ┤ило▒о┤▒к│╛ важно▒▓╝ ╜▓и╡ воп░о▒ов, показав, ╖▓о, е▒ли ┤изи╖е▒кий комп╝╛▓е░ о▓б░а▒╗вае▓ ин┤о░ма╢и╛ о ▒воем п░ед╗д│╣ем ▒о▒▓о┐нии, он должен по░ожда▓╝
▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее коли╖е▒▓во ╜н▓░опии. Следова▓ел╝но, комп╝╛▓е░ должен ░а▒▒еива▓╝ ╜не░ги╛, не мен╝╕│╛, ╖ем kT ln 2 (п░име░но 3 10;21 Дж
п░и комна▓ной ▓емпе░а▓│░е) на кажд╗й ▒▓е░▓╗й или по▓е░┐нн╗й ин╗м
об░азом би▓ ин┤о░ма╢ии.
Необ░а▓им╗й комп╝╛▓е░ в▒егда можно ▒дела▓╝ об░а▓им╗м, ▒па▒а┐
в▒╛ ин┤о░ма╢и╛, ко▓о░а┐ б╗ в д░│ги╡ ▒л│╖а┐╡ ▓е░┐ла▒╝. Нап░име░, ма╕ине можно добави▓╝ дополни▓ел╝н│╛ лен▓│ (изна╖ал╝но п│▒▓│╛), на
ко▓о░│╛ можно запи▒╗ва▓╝ кажд│╛ опе░а╢и╛, как ▓ол╝ко она б│де▓ п░оизведена, дела┐ ╜▓о до▒▓а▓о╖но под░обно, ╖▓об╗ п░ед╕е▒▓в│╛╣ее ▒о▒▓о┐ние можно б╗ло однозна╖но оп░едели▓╝ по на▒▓о┐╣ем│ и запи▒┐м на лен▓е. Однако, как о▓ме╖ал Ланда│╜░, ╜▓о ▓ол╝ко о▓одвине▓ п░облем│ о▓б░а▒╗вани┐ нен│жной ин┤о░ма╢ии, по▒кол╝к│ лен▓а должна б╗▓╝ о╖и╣ена
пе░ед нов╗м и▒пол╝зованием. Таким об░азом, необ╡одим╗ ▓акие об░а▓им╗е комп╝╛▓е░╗, ко▓о░╗е п░и о▒▓ановке ▒▓и░а╛▓ в▒е п░омеж│▓о╖н╗е
░ез│л╝▓а▓╗, о▒▓авл┐┐ ▓ол╝ко необ╡одим╗е в╗╡одн╗е данн╗е и на╖ал╝н╗е в╡одн╗е. (Ма╕ина должна име▓╝ возможно▒▓╝ ▒о╡░ан┐▓╝ в╡одн╗е
данн╗е | в п░о▓ивном ▒л│╖ае она не б│де▓ об░а▓имой и по-п░ежнем│ б│де▓ п░оводи▓╝ в╗╖и▒лени┐, п░и ко▓о░╗╡ в╡одн╗е данн╗е не оп░едел┐╛▓▒┐
в╗╡одн╗ми однозна╖но.)
М╗ покажем, ╖▓о об░а▓им╗е комп╝╛▓е░╗ дл┐ об╗╖н╗╡ ╢елей (ма╕ин╗ Т╝╛░инга), │довле▓во░┐╛╣ие ╜▓им ▓░ебовани┐м, ▒│╣е▒▓в│╛▓, и они
не ▒ли╕ком ▒ложн╗ по ▒░авнени╛ ▒ и╡ необ░а▓им╗ми п░ооб░азами.
Дл┐ в╗╖и▒лений на об░а▓им╗╡ комп╝╛▓е░а╡ ▓░еб│е▓▒┐ п░име░но в
два ░аза бол╝╕е ╕агов, ╖ем дл┐ в╗╖и▒лений на об╗╖ном, и може▓ по┐ви▓╝▒┐ необ╡одимо▒▓╝ во в░еменном ╡░анении бол╝╕ого коли╖е▒▓ва ин┤о░ма╢ии.
Пе░ед п░оведением ┤о░мал╝ной демон▒▓░а╢ии доказа▓ел╝▒▓во б│де▓
пе░еведено на ▒ов░еменн╗й ╜в░и▒▓и╖е▒кий │░овен╝.
М╗ на╖нем ▒ │же │поминав╕его▒┐ об░а▓имого, но не акк│░а▓ного
комп╝╛▓е░а, ко▓о░╗й п░оизвел в╗╖и▒лени┐, но не ▒│мел ▒▓е░е▓╝ долг│╛
и▒▓о░и╛ ▒воей де┐▓ел╝но▒▓и. Лен▓│, заполненн│╛ бе▒по░┐до╖н╗ми данн╗ми, можно о╖и▒▓и▓╝ ▓ол╝ко необ░а▓им╗м п░о╢е▒▒ом; однако лен▓а, за2
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
логи╖е▒ка┐ об░а▓имо▒▓╝ в╗╖и▒лений
пи▒ав╕а┐ и▒▓о░и╛, не бе▒по░┐до╖на | ▒│╣е▒▓в│е▓ небол╝╕а┐ изб╗▓о╖на┐
ин┤о░ма╢и┐, ко▓о░ой обменивали▒╝ лен▓а и по░одив╕а┐ и▒▓о░и╛ ма╕ина. Ее и можно и▒пол╝зова▓╝ дл┐ об░а▓имой о╖и▒▓ки лен▓╗. Нап░име░,
е▒ли к кон╢│ неко▓о░ого ╕ага в╗╖и▒лений нова┐ ▒▓ади┐ в╗╖и▒лений задае▓▒┐ ┤│к╢ией пе░е╡ода, ко▓о░а┐ об░а▓на к на╖ал╝ной ┤│нк╢ии пе░е╡ода,
ма╕ина на╖не▓ в╗полн┐▓╝ в▒е в╗╖и▒лени┐ в об░а▓ном по░┐дке, п░ивед┐
в кон╢е кон╢ов лен▓│ и▒▓о░ии в на╖ал╝ное п│▒▓ое ▒о▒▓о┐ние [2]. По▒кол╝к│ п░┐мое в╗╖и▒ление б╗ло де▓е░мини░ованн╗м и об░а▓им╗м, об░а▓ное
должно б╗▓╝ ▓аким же. К ▒ожалени╛, ▒▓ади┐ об░а▓ного пе░е╡ода ▓░ан▒┤о░ми░│е▓ в╗╡одн╗е данн╗е в пе░вона╖ал╝н╗е в╡одн╗е, дела┐ полное
в╗╖и▒ление полно▒▓╝╛ бе▒полезн╗м. По▓е░┐ н│жн╗╡ в╗╡одн╗╡ данн╗╡
може▓ б╗▓╝ п░едо▓в░а╣ена п░о▒▓о дополни▓ел╝н╗м копи░ованием и╡ на
о▓дел╝ной лен▓е пе░ед на╖алом об░а▓ного п░о╢е▒▒а. П░и опе░а╢ии копи░овани┐ (ко▓о░│╛ можно ▒дела▓╝ об░а▓имо, е▒ли лен▓а, и▒пол╝з│ема┐ дл┐
копи░овани┐, изна╖ал╝но ╖и▒▓а) запи▒╝ на лен▓│ и▒▓о░ии п░ек░а╣ае▓▒┐. Тогда об░а▓н╗й п░о╢е▒▒ │ни╖▓ожи▓ ▓ол╝ко о░игинал, но не копи╛.
В кон╢е в╗╖и▒лений в комп╝╛▓е░е б│д│▓ ▒оде░жа▓╝▒┐ (░екон▒▓░│и░ованн╗е) о░игинал╝н╗е в╡одн╗е данн╗е и неи▒каженна┐ копи┐ в╗╡одн╗╡; в▒е
о▒▓ал╝н╗е данн╗е в пам┐▓и б│д│▓ во▒▒▓ановлен╗ до и╡ пе░вона╖ал╝ного
п│▒▓ого ▒о▒▓о┐ни┐. Даже е▒ли никаки╡ ▒ведений об и▒▓о░ии не о▒▓ане▓▒┐,
в╗╖и▒ление б│де▓ об░а▓им╗м и де▓е░мини░ованн╗м, по▒кол╝к│ ▓аковой
б╗ла кажда┐ его ▒▓ади┐.
Може▓ показа▓╝▒┐, ╖▓о одним из недо▒▓а▓ков об░а▓им╗╡ ма╕ин ┐вл┐е▓▒┐ по▓░ебно▒▓╝ в бол╝╕ом об║еме в░еменной пам┐▓и, н│жной дл┐
запи▒и и▒▓о░ии | дл┐ {╕аговой пе░вой ▒▓адии по▓░еб│е▓▒┐ запи▒ей
и▒▓о░ии. Ниже б│де▓ доказано, ╖▓о п░и п░оизведении ░або▓╗ за много ▒▓адий, а не ░овно за ▓░и, ▓░еб│ема┐ в░еменна┐ пам┐▓╝ ╖а▒▓о може▓ б╗▓╝
зна╖и▓ел╝но ▒ок░а╣ена. В по▒леднем ░азделе об▒│ждае▓▒┐ возможно▒▓╝
об░а▓им╗╡ ┤изи╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░ов, ▒по▒обн╗╡ ░а▒▒еива▓╝ на каждом
╕аге мен╝╕│╛, ╖ем kT ╜не░ги╛, на п░име░е из био╡ими╖е▒ки╡ аппа░а▓ов гене▓и╖е▒ки╡ кодов.
2. Логи╖е▒ки об░а▓им╗е ма╕ин╗ Т╝╛░инга
В ╜▓ом ░азделе доказа▓ел╝▒▓во п░ед╗д│╣его ░аздела ┤о░мализ│е▓▒┐.
Показ╗вае▓▒┐, ╖▓о е▒ли имее▓▒┐ об╗╖на┐ ма╕ина Т╝╛░инга S , ▓о можно по▒▓░ои▓╝ об░а▓им│╛ ▓░е╡лен▓о╖н│╛ ма╕ин│ Т╝╛░инга R, ко▓о░а┐
подобна S п░и л╛б╗╡ ▒▓анда░▓н╗╡ в╡одн╗╡ данн╗╡ и ко▓о░а┐ о▒▓авл┐е▓
в кон╢е в╗╖и▒лений ▓ол╝ко ╜▓и в╡одн╗е данн╗е и желанн╗е в╗╡одн╗е.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
3
C. Х. Бенне▓▓
Ма╕ина R, как опи▒ано в╗╕е, п░оизводи▓ в╗╖и▒лени┐ в ▓░и ▒▓адии, ▓░е▓╝┐ ▒▓ади┐ по▒в┐╣ена опи▒ани╛ ░або▓╗ пе░вой ▒▓адии. Е▒ли ╖и▓а▓ел┐ не
ин▓е░е▒│╛▓ под░обно▒▓и доказа▓ел╝▒▓ва, он може▓ оп│▒▓и▓╝ о▒▓ав╕│╛▒┐
╖а▒▓╝ ╜▓ого ░аздела.
Об╗╖на┐ однолен▓о╖на┐ ма╕ина Т╝╛░инга [3] ▒о▒▓ои▓ из кон▓░ол╝ного мод│л┐, ╖и▓а╛╣ей и пи╕│╣ей головки (│▒▓░ой▒▓ва ввода/в╗вода)
и бе▒коне╖ной лен▓╗, ░азделенной на кле▓ки. Ее поведение оп░едел┐е▓▒┐
коне╖н╗м набо░ом ┤о░м│л пе░е╡ода (назовем и╡ п┐▓е░ками) ▓ипа ввод{
в╗вод{▒двиг. П┐▓е░ки в╗гл┐д┐▓ ▓ак:
AT ! T 0 A0;
(1)
╜▓о озна╖ае▓, ╖▓о е▒ли кон▓░ол╝н╗й мод│л╝ на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии A и
головка ▒кани░│е▓ на лен▓е ▒имвол T , ▓о головка ▒на╖ала запи╕е▓ T 0 на
ме▒▓е T , за▓ем ▒двине▓▒┐ на одн│ кле▓к│ влево, на одн│ кле▓к│ вп░аво
или о▒▓ане▓▒┐ на ме▒▓е в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒о зна╖ением (;, +, или 0 ▒оо▓ве▓▒▓венно); наконе╢ кон▓░ол╝н╗й мод│л╝ пе░ейде▓ в ▒о▒▓о┐ние A0 . В
об╗╖ном обоб╣ении на n{лен▓о╖н╗е ма╕ин╗ в▒е запи▒и в п┐▓е░ке ;T ,
T 0 и п░ед▒▓авл┐╛▓ ▒обой ▒овок│пно▒▓и n индек▒ов | n{пле▓╗.
Кажда┐ п┐▓е░ка оп░едел┐е▓ (╖а▒▓и╖ное) взаимно однозна╖ное о▓об░ажение на▒▓о┐╣его ▒о▒▓о┐ни┐ ма╕ин╗ (▓. е. ▒оде░жимого лен▓╗, положени┐ головки и ▒о▒▓о┐ни┐ кон▓░ол╝ного мод│л┐) на ее по▒лед│╛╣ее
▒о▒▓о┐ние, и ╜▓о о▓об░ажение | де▓е░мини▒▓и╖е▒кое и об░а▓имое. Следова▓ел╝но, ма╕ина Т╝╛░инга б│де▓ де▓е░мини▒▓и╖е▒кой в ▓ом и ▓ол╝ко в
▓ом ▒л│╖ае, е▒ли ее п┐▓е░ки оп░еделен╗ в непе░ек░╗ва╛╣и╡▒┐ обла▒▓┐╡,
а об░а▓имой она б│де▓ в ▓ом и ▓ол╝ко в ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли не б│д│▓ пе░ек░╗ва▓╝▒┐ зна╖ени┐. Пе░вое об╗╖но обе▒пе╖ивае▓▒┐ ▓░ебованием, ╖▓об╗
╖а▒▓и ▒лева о▓ ▒▓░елки б╗ли ░азли╖н╗ми дл┐ каждой п┐▓е░ки. С д░│гой
▒▓о░он╗, об╗╖на┐ ма╕ина Т╝╛░инга необ░а▓има.
Ч▓об╗ ▒дела▓╝ ма╕ин│ Т╝╛░инга об░а▓имой, м╗ должн╗ добави▓╝
пе░е╡од╗, ко▓о░╗е напомина╛▓ инве░▒ии │же име╛╣и╡▒┐ пе░е╡одов. Однако, по▒кол╝к│ опе░а╢ии запи▒и и ▒двига не комм│▓и░│╛▓, инве░▒и┐ п┐▓е░ки ввод{в╗вод{▒двиг ╡о▓┐ и ▒│╣е▒▓в│е▓, но имее▓ д░│гой вид: а именно ▒двиг{ввод{в╗вод. П░и кон▒▓░│и░овании об░а▓имой ма╕ин╗ необ╡одимо име▓╝ п┐▓е░ки обои╡ ▓ипов или и▒пол╝зова▓╝ ┤о░мализм, в ко▓о░ом
пе░е╡од╗ и и╡ инве░▒ии име╛▓ одн│ и ▓│ же ┤о░м│. Зде▒╝ б│де▓ и▒пол╝зована в▓о░а┐ возможно▒▓╝ | в об░а▓имой ма╕ине и▒пол╝зован п░о▒▓ой
▓ип ┤о░м│л╗ пе░е╡ода, в ко▓о░ой во в░ем┐ данного пе░е╡ода кажда┐ лен▓а подве░гае▓▒┐ опе░а╢ии ввода-в╗вода или опе░а╢ии ▒двига, но ни одна
лен▓а не подве░гае▓▒┐ обеим опе░а╢и┐м однов░еменно.
4
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
логи╖е▒ка┐ об░а▓имо▒▓╝ в╗╖и▒лений
Оп░еделение. Квад░│пле▓ом (дл┐ n{лен▓о╖ной ма╕ин╗ Т╝╛░инга,
име╛╣ей по одной головке на лен▓│) наз╗вае▓▒┐ в╗░ажение вида
A[t1 ; t2 ; : : : ; tn] ! [t01 ; t02; : : : ; t0n]A0 ;
(2)
где A и A0 | положи▓ел╝н╗е ╢ел╗е ╖и▒ла (обозна╖а╛╣ие вн│▓░енние ▒о▒▓о┐ни┐ кон▓░ол╝ного мод│л┐ до и по▒ле пе░е╡ода ▒оо▓ве▓▒▓венно); каждое tk може▓ б╗▓╝ или положи▓ел╝н╗м ╢ел╗м ╖и▒лом, обозна╖а╛╣им
▒имвол, ко▓о░╗й должен б╗▓╝ п░о╖и▓ан на k{й лен▓е, или ко▒ой ╖е░▓ой
(/), обозна╖а╛╣ей, ╖▓о п░и пе░е╡оде ▒╖и▓╗вани┐ ▒ k{й лен▓╗ не п░ои▒╡оди▓; каждое t0k или положи▓ел╝ное ╢елое ╖и▒ло, обозна╖а╛╣ее ▒имвол,
ко▓о░╗й должен б╗▓╝ напи▒ан на k{й лен▓е, или ╜лемен▓ набо░а (+; 0; ;),
ко▓о░╗й обозна╖ае▓ лев╗й, н│левой или п░ав╗й ▒двиг головки на k{й лен▓е. Дл┐ каждой лен▓╗ k, tk 2 (;; 0; +) ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда tk = =.
Таким об░азом, ма╕ина запи▒╗вае▓ на лен▓│ в ▓ом и ▓ол╝ко в ▓ом ▒л│╖ае,
е▒ли она ▓ол╝ко ╖▓о п░о╖и▓ала ╖▓о-▓о, и ▒двигае▓ лен▓│ в ▓ом и ▓ол╝ко в
▓ом ▒л│╖ае, е▒ли она ни╖его не ╖и▓ала пе░ед ╜▓им.
Как и п┐▓е░ки, квад░│пле▓╗ оп░едел┐╛▓ взаимно однозна╖н╗е о▓об░ажени┐ глобал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний ма╕ин╗. Л╛б│╛ п┐▓е░к│ цввод{в╗вод{
▒двигч можно ░аздели▓╝ на цввод{в╗водч и ц▒двигч, ко▓о░╗е можно п░ед▒▓ави▓╝ как квад░│пле▓╗. Нап░име░, п┐▓е░ка (1) ╜квивален▓на па░е квад░│пле▓ов
AT ! T 0 A00 ;
(3)
A00 [ == = ] ! A0 ;
(4)
где A00 | новое ▒о▒▓о┐ние кон▓░ол╝ного мод│л┐, о▓ли╖ное о▓ A и A0 . Когда ░азли╖н╗е п┐▓е░ки ░азби▓╗ ▓аким об░азом, дл┐ каждого надо и▒пол╝зова▓╝ ░азли╖н╗е ▒в┐занн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ A00, ╖▓об╗ избежа▓╝ ▓░│дно▒▓ей,
▒в┐занн╗╡ ▒ неоп░еделенно▒▓╝╛ ввода.
Квад░│пле▓╗ име╛▓ важн╗е ▒вой▒▓ва, ▒п░аведливо▒▓╝ ко▓о░╗╡ можно п░ове░и▓╝ непо▒░ед▒▓венно. П│▒▓╝
A[t1 ; : : : ; tn ] ! [t01 ; : : : ; t0n]A0
(5)
и
B [u1 : : : ; un ] ! [u01 ; : : : ; u0n]B 0
(6)
| два n{лен▓о╖н╗╡ квад░│пле▓а.
1) и взаимно об░а▓н╗ (оп░едел┐┐ об░а▓н╗е о▓об░ажени┐ глобал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний ма╕ин╗) в ▓ом и ▓ол╝ко ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли A = B 0 и B 0 = A,
и дл┐ каждого k либо (tk = uk = = и t0k = ;u0k ), либо (tk 6= = и t0k = uk
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
5
C. Х. Бенне▓▓
и tk = u0k ). Д░│гими ▒ловами, об░а╣ение квад░│пле▓а до▒▓игае▓▒┐ в ▓ом
▒л│╖ае, е▒ли мен┐╛▓▒┐ ме▒▓ами на╖ал╝ное и коне╖ное ▒о▒▓о┐ни┐ кон▓░ол╝ного мод│л┐, ▒имвол╗ ввода и ▒имвол╗ в╗вода и знаки в▒е╡ ▒двигов.
2) Обла▒▓и оп░еделений и пе░ек░╗ва╛▓▒┐ ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда A = B , и дл┐ каждого k (tk = = или uk = = или tk = uk ).
Непе░е▒е╖ение обла▒▓ей оп░еделени┐ ▓░еб│е▓ ░азли╖н╗╡ на╖ал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний кон▓░ол╝ного мод│л┐ или ░азли╖н╗╡ ▒кани░│ем╗╡ ▒имволов на
какой-ниб│д╝ лен▓е, ╖и▓аемой обоими квад░│пле▓ами.
3) Обла▒▓и зна╖ений и пе░ек░╗ва╛▓▒┐ ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда A0 = B 0, и дл┐ каждого k (tk = = или uk = = или t0k = u0k ). Э▓о ▒вой▒▓во
аналоги╖но п░ед╗д│╣ем│, но зави▒и▓ о▓ коне╖ного ▒о▒▓о┐ни┐ кон▓░ол╝ного мод│л┐ и запи▒анн╗╡ на лен▓│ ▒имволов.
Об░а▓има┐, де▓е░мини░ованна┐ n{лен▓о╖на┐ ма╕ина Т╝╛░инга може▓ б╗▓╝ оп░еделена как коне╖н╗й набо░ n{лен▓о╖н╗╡ квад░│пле▓ов, обла▒▓и оп░еделений и зна╖ений ко▓о░╗╡ не пе░е▒ека╛▓▒┐ дл┐ л╛бой па░╗
лен▓. Тепе░╝ м╗ ╡о▓им показа▓╝, ╖▓о ▓акие ма╕ин╗ можно по▒▓░ои▓╝ по
об░аз╢│ об╗╖н╗╡ (необ░а▓им╗╡) ма╕ин Т╝╛░инга. Удобно по▓░ебова▓╝,
╖▓об╗ п░и ╜▓ом в╗полн┐ли▒╝ оп░еделенн╗е ▓░ебовани┐ ▒▓анда░▓иза╢ии
┤о░ма▓а, ╖▓о, однако, не ог░ани╖ивае▓ ▒│╣е▒▓венно в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е возможно▒▓и ма╕ин.
Оп░еделение. В╡одн╗е или в╗╡одн╗е данн╗е наз╗ва╛▓▒┐ ▒▓анда░▓н╗ми, е▒ли они ░азме╣ен╗ на п│▒▓ой до ╜▓ого лен▓е и не ▒оде░жа▓
в▒▓авленн╗╡ п░обелов, когда головка лен▓╗ ▒кани░│е▓ п░обел непо▒░ед▒▓венно ▒лева о▓ нее и когда они вкл╛╖а╛▓ ▓ол╝ко б│кв╗, п░инадлежа╣ие
ал┤ави▓│ лен▓╗ ▒кани░│╛╣ей ма╕ин╗.
Оп░еделение. С▓анда░▓ной ма╕иной Т╝╛░инга наз╗вае▓▒┐ набо░
однолен▓о╖н╗╡ п┐▓е░ок
AT ! T 0 A0;
(1)
│довле▓во░┐╛╣и╡ ▒лед│╛╣им │▒лови┐м:
1) Де▓е░минизм. Не ▒│╣е▒▓в│е▓ дв│╡ квин▓ипле▓ов, о▓ве╖а╛╣и╡ одним и ▓ем же A и T однов░еменно.
2) Фо░ма▓. На╖ав ▒ кон▓░ол╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ A1 п░и л╛б╗╡ ▒▓анда░▓н╗╡ и▒╡одн╗╡ данн╗╡, ма╕ина, е▒ли она о▒▓анови▓▒┐, окаже▓▒┐ в кон▓░ол╝ном ▒о▒▓о┐нии Af (где f | номе░ кон▓░ол╝ного ▒о▒▓о┐ни┐), не в╗йд┐
из ▒▓анда░▓ного ┤о░ма▓а.
3) О▒об╗е п┐▓е░ки. В ма╕ине ▒оде░жа▓▒┐ ▒лед│╛╣ие п┐▓е░ки
A1 b ! b + A2 ;
6
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(7)
логи╖е▒ка┐ об░а▓имо▒▓╝ в╗╖и▒лений
Af ;1 b ! b 0Af
(8)
и кон▓░ол╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ A1 и Af бол╝╕е ни в каки╡ д░│ги╡ квин▓ипле▓а╡ не в▒▓░е╖а╛▓▒┐. Таким об░азом, ╜▓и п┐▓е░ки в╗полн┐╛▓▒┐ пе░вой и
по▒ледней, ▒оо▓ве▓▒▓венно, в л╛бом закон╖енном в╗╖и▒лении п░и ▒▓анда░▓н╗╡ в╗╡одн╗╡ данн╗╡. Б│ква b обозна╖ае▓ п░обел.
Ф░аза цМа╕ина М п░и вводе ▒▓анда░▓ного набо░а в╡одн╗╡ данн╗╡
I в╗╖и▒л┐е▓ набо░ ▒▓анда░▓н╗╡ в╗╡одн╗╡ данн╗╡ P ч б│де▓ замен┐▓▒┐
▒ок░а╣ением M : I ! P . Дл┐ n{лен▓о╖ной ма╕ин╗ ╜▓о в╗гл┐ди▓ как
М : (I1 ; I2; : : : ; In) ! (P1 ; P2 ; : : : ; Pn ), где Ik и Pk | ▒▓анда░▓н╗е в╡одн╗е и ▒▓анда░▓н╗е в╗╡одн╗е данн╗е на k{й лен▓е. П│▒▓а┐ лен▓а б│де▓
обозна╖ена как B .
Тепе░╝ можно ▒┤о░м│ли░ова▓╝ на╕│ о▒новн│╛ ▓ео░ем│:
Тео░ема. Дл┐ каждой ▒▓анда░▓ной однолен▓о╖ной ма╕ин╗ Т╝╛░инга
S
▒│╣е▒▓в│е▓ ▓░е╡лен▓о╖на┐ об░а▓има┐ де▓е░мини░ованна┐ ма-
R, ▓ака┐, ╖▓о е▒ли I и P | по▓оки ал┤ави▓а ма╕ин╗ S ,
S о▒▓анавливае▓▒┐ на I в ▓ом и ▓ол╝ко в
▓ом ▒л│╖ае, е▒ли R о▒▓анавливае▓▒┐ на (I ; B ; B ), и S : I ! P в ▓ом и
▓ол╝ко ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли R : (I ; B ; B ) ! (I ; B ; P ).
Более ▓ого, е▒ли S имее▓ f кон▓░ол╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний, N п┐▓е░ок и ал┤ави▓ ее лен▓╗ ▒о▒▓ои▓ из z б│кв, вкл╛╖а┐ п░обел╗, ▓о R б│де▓ име▓╝
2f + 2N + 4 ▒о▒▓о┐ний, 4N + 2z + 3 квад░│пле▓а и ал┤ави▓╗ лен▓ из z,
N + 1 и Z ли▓е░ ▒оо▓ве▓▒▓венно. Наконе╢ п░и каком-ниб│д╝ в╗╖и▒лении
на S ▓░еб│е▓▒┐ ╕агов, и▒пол╝з│е▓▒┐ s кле▓ок лен▓╗, и ╜▓о по░ождае▓
в╗╡одн╗е данн╗е длин╗ , ▓о дл┐ R по▓░еб│е▓▒┐ 4 + 4 + 5 ╕агов и s,
+ 1 и + 2 кле▓ок на ее ▓░е╡ лен▓а╡ ▒оо▓ве▓▒▓венно. (Ниже б│де▓
доказано, ╖▓о когда s, об╣ее ▓░еб│емое п░о▒▓░ан▒▓во може▓ б╗▓╝
p
│мен╝╕ено до вели╖ин╗, мен╝╕ей, ╖ем 2 z ).
╕ина Т╝╛░инга
не ▒оде░жа╣ие п░обелов, ▓о
Доказа▓ел╝▒▓во.
Ч▓об╗ по▒▓░ои▓╝ ма╕ин│ R, н│жно на╖а▓╝ ▒ п░иведени┐ N п┐▓е░ок
S в ▒оо▓ве▓▒▓вие ▒ пе░в╗м и по▒ледним ▒▓анда░▓н╗ми квин▓ипле▓ами
1) A1 b ! b + A2 ;
...
(9)
m) Aj T ! T 0 Ak ;
...
N ) Af ;1 b ! b0Af :
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
7
C. Х. Бенне▓▓
Разоб╝ем кажд│╛ из п┐▓е░ок на па░│ квад░│пле▓ов, как опи▒ано в╗╕е. В ╜▓ом ▒л│╖ае m{┐ п┐▓е░ка п░ев░а▓и▓▒┐ в
(
Aj T ! T 0 A0m;
(10)
A0m= ! Ak :
Дополни▓ел╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ A0m о▓ли╖а╛▓▒┐ о▓ ▒▓а░╗╡ ▒о▒▓о┐ний и
д░│г о▓ д░│га: каждое A0 по┐вл┐е▓▒┐ ▓ол╝ко в одной па░е квад░│пле▓ов.
За▓ем добавл┐╛▓▒┐ две дополни▓ел╝н╗е лен▓╗: одна дл┐ запи▒и и▒▓о░ии, д░│га┐ дл┐ д│бли░овани┐ в╗╡одн╗╡ данн╗╡. Лен▓а в╗вода (▓░е▓╝┐)
о▒▓ае▓▒┐ п│▒▓ой и не ▒двигае▓▒┐ на на▒▓о┐╣ий момен▓, а лен▓а и▒▓о░ии
(в▓о░а┐) ▒л│жи▓ дл┐ запи▒и индек▒а m, как ▓ол╝ко в╗полнена па░а пе░е╡одов.
m{┐ па░а квад░│пле▓ов п░инимае▓ вид:
(
Aj [T=b] ! [T 0 + b]A0m ;
(11)
A0m [=b=] ! [m0]Ak :
Заме▓им, ╖▓о лен▓а запи▒и и▒▓о░ии (в▓о░а┐) не ▒овпадае▓ по ┤азе ▒
дв│м┐ д░│гими | запи▒╝ на нее иде▓, когда ▓е ▒двига╛▓▒┐, и наобо░о▓.
Така┐ ко░░ел┐╢и┐ ┤аз необ╡одима, ╖▓об╗ обе▒пе╖и▓╝ об░а▓имо▒▓╝ | она
▒л│жи▓ дл┐ ▒бо░а ин┤о░ма╢ии, ко▓о░а┐ в п░о▓ивном ▒л│╖ае б╗ла б╗ по▓е░┐на, когда ▒пе╢и┤и╖е▒кое кон▓░ол╝ное ▒о▒▓о┐ние A0m пе░е╡оди▓ в более
об╣ее ▒о▒▓о┐ние Ak . Положи▓ел╝н╗й (+) ▒двиг лен▓╗ и▒▓о░ии обе▒пе╖ивае▓ го▓овно▒▓╝ п│▒▓ой кле▓ки во▒п░ин┐▓╝ ▒лед│╛╣│╛ вели╖ин│ m. Е▒ли
в╗╖и▒лени┐ S , ░авно как и в╗╖и▒лени┐ R, не о▒▓ановлен╗, ма╕ина б│де▓
п░одолжа▓╝ пе╖а▓╝ лен▓╗ и▒▓о░ии неог░ани╖енно. С д░│гой ▒▓о░он╗, е▒ли
(п░и ▒▓анда░▓ном вводе) S о▒▓ановлена, R в кон╢е в╗полни▓ N {╛ па░│
квад░│пле▓ов, на╡од┐▒╝ ▒ама в ▒о▒▓о┐нии Af , ▒о ▒▓анда░▓н╗м в╗водом
на лен▓│ 1. Головка и▒▓о░ии б│де▓ ▒кани░ова▓╝ номе░ N , ко▓о░╗й б╗л
▓ол╝ко ╖▓о запи▒ан в ▒ам│╛ к░айн╛╛ п░ав│╛ пози╢и╛ лен▓╗ и▒▓о░ии 2
(▒м. ▓абли╢│ 1). Кон▓░ол╝ное ▒о▒▓о┐ние дл┐ ╜▓ой ▒▓адии обозна╖ено ╖е░ез
B 0 и о▓ли╖ае▓▒┐ о▓ в▒е╡ кон▓░ол╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний ▓ипа A. Заме▓им, ╖▓о
п░о╢е▒▒ копи░овани┐ можно ▒дела▓╝ об░а▓им╗м, п░и ╜▓ом на лен▓е и▒▓о░ии бол╝╕е ни╖его пи▒а▓╝ не н│жно. Э▓о показ╗вае▓, ╖▓о ▒оздание (или
│ни╖▓ожение) д│блика▓а данн╗╡ не ▓░еб│е▓ о▓б░а▒╗вани┐ ин┤о░ма╢ии.
1
Ме▓ки 1)...m)...N) не ┐вл┐╛▓▒┐ ╖а▒▓╝╛ ма╕ин╗. Они о▓░ажа╛▓ ▒оо▓ве▓▒▓вие квин▓ипле▓ов о░игинал╝ной необ░а▓имой ма╕ин╗, ко▓о░│╛ мод│ли░│е▓ об░а▓има┐ ма╕ина.
На в▓о░ой ▒▓адии мален╝кие ▒кобки обозна╖а╛▓ набо░ квад░│пле▓ов дл┐ каждой неп│▒▓ой ли▓е░╗ лен▓╗ x.
8
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
логи╖е▒ка┐ об░а▓имо▒▓╝ в╗╖и▒лений
Табли╢а 1.1 С▓░│к▓│░а и дей▒▓вие ▓░е╡лен▓о╖ной об░а▓имой ма╕ин╗ Т╝╛░инга. В╗╖и▒лени┐ п░оизвод┐▓▒┐ в ▓░и ▒▓адии ▒ и▒пол╝зованием ░азли╖н╗╡ набо░ов квад░│полей
и кон▓░ол╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний, ▒в┐з╝ п░о┐вл┐е▓▒┐ ╖е░ез ▒о▒▓о┐ни┐ Af и Cf . Сп░ава ▒имволи╖е▒ки показано ▒оде░жимое лен▓ в на╖але и кон╢е каждой ▒▓адии. Под╖е░кивание
показ╗вае▓ положение головки. На╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние A1 и, дл┐ закон╖енного в╗╖и▒лени┐ коне╖ное ▒о▒▓о┐ние C1 .
С▓адии
A1 [b=b] ! [b + b]A01
A01 [=b=] !. [+ 1 0]A2
..
(
Aj [T=b] ! [T 0 + b]A0m
m)
A0m [=b=] !. [m0]Ak
..
(
Af ;1 [b=b] ! [b + b]A0N
N)
A0N [=b=] ! [0N 0]Af
1)
В╗╖и▒лени┐
(
Квад░│пле▓╗
Af [bNb] ! [bNb]B1
B10 [===] ! [+0+]B1
x 6= b fB1 [xNb] ! [xNx]B10 g
Копи░ование
B1 [bNb] ! [bNb]B20
в╗вода
B20 [===] ! [;0;]B2
x 6= b fB2 [xNx] ! [xNx]B20 g
B2 [bNb] ! [bNb]Cf
(
Cf [=N=] ! [0b0]CN0
N)
CN0 [b=b] !. [b ; b]Cf ;1
..
(
Ck [=m=] ! [;b0]Cm0
Во▒▒▓ановление m)
Cm0 [T=b] !. [T ; b]Cj
..
(
C2 [=1=] ! [;b0]C10
1)
C10 [b=b] ! [b ; b]C1
Соде░жание
Рабо╖а┐ Лен▓а
Лен▓а
лен▓а и▒▓о░ии в╗вода
ВВОД
|
|
ВЫВОД ИСТОРИЯ
|
ВЫВОД ИСТОРИЯ ВЫВОД
ВВОД
|
ВЫВОД
Т░е▓╝┐ ▒▓ади┐ о▓мен┐е▓ ░або▓│ пе░вой и ▒о▒▓ои▓ в инве░▒ии в▒е╡
пе░е╡одов пе░вой ▒▓адии ▒ заменой A на C . В коне╖ном ▒о▒▓о┐нии C1 лен▓а
и▒▓о░ии ▒нова п│▒▓а и д░│гие лен▓╗ ▒оде░жа▓ во▒▒▓ановленн╗е в╡одн╗е
и н│жн╗е в╗╡одн╗е данн╗е.
Как показано в ▓абли╢е 1, об╣ее ╖и▒ло кон▓░ол╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний ░авно
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
9
C. Х. Бенне▓▓
2N + 2f + 4, ╖и▒ло квад░│пле▓ов 4N + 2z + 3, п░и ╜▓ом в╗╖и▒ление ▓░еб│е▓ ▒▓ол╝ко в░емени и ▒▓ол╝ко кле▓ок, ▒кол╝ко б╗ло │пом┐н│▓о в на╖але доказа▓ел╝▒▓ва. Непе░ек░╗ваемо▒▓╝ обла▒▓ей оп░еделени┐ и зна╖ени┐
дл┐ в▒е╡ квад░│пле▓ов обе▒пе╖ивае▓ де▓е░минизм и об░а▓имо▒▓╝ ма╕ин╗
R. На пе░вой ▒▓адии ве░╡ние пе░е╡од╗ каждой па░╗ не пе░ек░╗ва╛▓▒┐
в и╡ обла▒▓┐╡ оп░еделений из-за по▒▓│ли░ованной де▓е░мини░ованно▒▓и
ма╕ин╗ Т╝╛░инга S , ╖╝и п┐▓е░ки ▓акже на╖ина╛▓▒┐ ▒ Aj T !. Обла▒▓и зна╖ений ве░╡ни╡ квад░│пле▓ов (как и обла▒▓и оп░еделений низ╕и╡)
п░едо╡░ан┐╛▓▒┐ о▓ пе░ек░╗вани┐ един▒▓венно▒▓╝╛ ▒о▒▓о┐ни┐ A0m . Наконе╢, обла▒▓╝ зна╖ений нижни╡ квад░│пле▓ов ▒па▒ена о▓ пе░ек░╗вани┐
един▒▓венно▒▓╝╛ в╗╡одн╗╡ данн╗╡ m на лен▓е и▒▓о░ии. Со▒▓о┐ние Af
не до▒▓авл┐е▓ ╡лопо▓, даже е▒ли оно по┐вл┐е▓▒┐ как в ▒▓адии 1, ▓ак и в
▒▓адии 2, по▓ом│ ╖▓о по оп░еделени╛ ма╕ин╗ S оно не по┐вл┐е▓▒┐ ▒лева
на ▒▓адии 1; ▓о же о▓но▒и▓▒┐ и к ▒о▒▓о┐ни╛ Cf . Непе░ек░╗ваемо▒▓╝ на
▒▓адии 2 можно п░ове░и▓╝, в ▓о в░ем┐ как де▓е░минизм и об░а▓имо▒▓╝
▒▓адии 3 ▒лед│╛▓ из ╜▓и╡ ▒вой▒▓в ▒▓адии 1.
3. Об▒│ждение
П░иведенное в╗╕е доказа▓ел╝▒▓во ▒п░аведливо не ▓ол╝ко в ▒л│╖ае
▓░е╡лен▓о╖ной ма╕ин╗ Т╝╛░инга, но може▓ б╗▓╝ п░именено к де▓е░мини░ованн╗м ав▓ома▓ам л╛бого ░ода, коне╖н╗м или бе▒коне╖н╗м, п░и
един▒▓венном │▒ловии, ╖▓о в░еменна┐ пам┐▓╝ до▒▓а▓о╖но велика дл┐ ╡░анени┐ и▒▓о░ии. С│╣е▒▓в│╛▓ и однолен▓о╖н╗е об░а▓им╗е ма╕ин╗, но и╡
╖а▒▓ое пе░екл╛╖ение межд│ ░або╖ей обла▒▓╝╛ лен▓╗ и обла▒▓╝╛ запи▒и
и▒▓о░ии ▓░еб│е▓ бол╝╕ого коли╖е▒▓ва ╕агов, п░име░но 2, дл┐ модели░овани┐ {╕агового об░а▓имого в╗╖и▒лени┐. Е▒ли S | │ниве░▒ал╝на┐
ма╕ина Т╝╛░инга, ▓о R ▒▓анови▓▒┐ ма╕иной дл┐ об░а▓имого в╗полнени┐ л╛бой комп╝╛▓е░ной п░ог░амм╗. Дл┐ ▓аки╡ │ниве░▒ал╝н╗╡ ма╕ин,
▒л│жа╣и╡ дл┐ л╛б╗╡ ╢елей, каже▓▒┐ ве▒╝ма малове░о┐▓н╗м, ╖▓о │да▒▓▒┐
избежа▓╝ необ╡одимо▒▓и ╖а▒▓и╖ного вкл╛╖ени┐ в╡одн╗╡ данн╗╡ в в╗╡одн╗е. Однако ▒│╣е▒▓в│е▓ множе▒▓во в╗╖и▒лений, п░и ко▓о░╗╡ в╗╡одн╗е
данн╗е оп░едел┐╛▓▒┐ в╡одн╗ми однозна╖но, и можно наде┐▓╝▒┐, ╖▓о дл┐
▓аки╡ зада╖ │да▒▓▒┐ по▒▓░ои▓╝ о▒об╗й об░а▓им╗й комп╝╛▓е░, ко▓о░╗й
б│де▓ п░о▒▓о о▓об░ажа▓╝ в╡одн╗е данн╗е в в╗╡одн╗е, ▒▓и░а┐ в▒е о▒▓ал╝ное. Э▓о дей▒▓ви▓ел╝но возможно п░и │▒ловии, ╖▓о м╗ имеем до▒▓│п к
об╗╖ной ма╕ине Т╝╛░инга, ко▓о░а┐ дл┐ име╛╣и╡▒┐ в╗╡одн╗╡ данн╗╡
в╗╖и▒л┐е▓ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие в╡одн╗е. П│▒▓╝ S1 | (необ░а▓има┐) ма╕ина
Т╝╛░инга, в╗╖и▒л┐╛╣а┐ в╗╡одн╗е данн╗е по в╡одн╗м, и S2 | ма╕ина,
10
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
логи╖е▒ка┐ об░а▓имо▒▓╝ в╗╖и▒лений
в╗╖и▒л┐╛╣а┐ в╡одн╗е данн╗е по в╗╡одн╗м. Об░а▓имое в╗╖и▒ление п░оизводи▓▒┐ в ▒ем╝ ▒▓адий, как показано в ▓абли╢е 2, из ко▓о░╗╡ пе░в╗е
▓░и и▒пол╝з│╛▓ об░а▓им│╛ ┤о░м│ комп╝╛▓е░а S1 и, как в ▓абли╢е 1,
▒л│жа▓ дл┐ о▓об░ажени┐ в╡одн╗╡ данн╗╡ во в╡одн╗е и в╗╡одн╗е. Че▓ве░▓а┐ ▒▓ади┐ мен┐е▓ ме▒▓ами в╡одн╗е и в╗╡одн╗е данн╗е. С▓адии п┐▓╝
и ▒ем╝ и▒пол╝з│╛▓ об░а▓им│╛ ░еализа╢и╛ комп╝╛▓е░а S2; ▒▓ади┐ п┐▓╝
имее▓ един▒▓венной ╢ел╝╛ во▒▒оздание и▒▓о░ии в╗╖и▒лений S2 (▓о е▒▓╝
пол│╖ение в╡одн╗╡ данн╗╡ из в╗╡одн╗╡). Э▓а ма╕ина, по▒ле ▓ого как
дополни▓ел╝н╗е копии в╡одн╗╡ данн╗╡ б╗ли ▒▓е░▓╗ на ▒▓адии ╕е▒▓╝,
и▒пол╝з│е▓▒┐ на ▒▓адии ▒ем╝ дл┐ │ни╖▓ожени┐ ▒еб┐ и о▒▓ав╕и╡▒┐ копий
в╡одн╗╡ данн╗╡; ▓аким об░азом ▒озда╛▓▒┐ ▓ол╝ко н│жн╗е в╗╡одн╗е данн╗е.
Табли╢а 2. Об░а▓им╗й комп╝╛▓е░ дл┐ конк░е▓ной зада╖и, в ко▓о░ой в╡одн╗е
данн╗е е▒▓╝ изве▒▓на┐ в╗╖и▒л┐ема┐ ┤│нк╢и┐ в╗╡одн╗╡.
С▓ади┐ Дей▒▓вие
1.
П░┐мое в╗╖и▒ление S1
2.
Копи░ование в╗вода
3.
Во▒▒▓ановление в╗╖и▒лений S1
4.
Смена ввода и в╗вода
5.
П░┐мое в╗╖и▒ление S2
6.
Об░а▓имое │даление
ли╕ней копии ввода
7.
Во▒▒▓ановление в╗╖и▒лений S2
Лен▓а1
ВВОД
Лен▓а2
|
ВЫВОД ИСТОРИЯ1
Лен▓а3
|
|
ВЫВОД ИСТОРИЯ1 ВЫВОД
ВВОД
|
ВЫВОД
ВЫВОД
|
ВВОД
ВВОД ИСТОРИЯ2 ВВОД
ВВОД ИСТОРИЯ2
ВЫВОД
|
|
|
Тепе░╝ ве░нем▒┐ к более п░ив╗╖ной ▒и▓│а╢ии, когда в╡одн╗е данн╗е н│жно ▒о╡░ани▓╝, по▒кол╝к│ неизве▒▓ен ▒по▒об и╡ в╗╖и▒лени┐. Е▒ли
п░оизводи▓╝ в╗╖и▒лени┐ об░а▓имо, ▓о ╜▓о повле╖е▓ за ▒обой ▓ол╝ко │ме░енное │вели╖ение в░емени в╗╖и▒лени┐ и ▒ложно▒▓и ма╕ин╗; о▒новной
недо▒▓а▓ок об░а▓им╗╡ комп╝╛▓е░ов п░о┐ви▓▒┐, ▓аким об░азом, в по▓░ебно▒▓и в бол╝╕ом об║еме в░еменной пам┐▓и, необ╡одимой дл┐ ╡░анени┐
и▒▓о░ии в╗полнени┐ в╗╖и▒лений п░оизвол╝ной дли▓ел╝но▒▓и (▓. е. ▓аки╡,
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
11
C. Х. Бенне▓▓
дл┐ ко▓о░╗╡ ╖и▒ло ╕агов зна╖и▓ел╝но п░ев╗╕ае▓ ╖и▒ло кле▓ок и▒пол╝з│емой пам┐▓и s). К ▒╖а▒▓╝╛, ▓░ебование к об║ем│ в░еменной пам┐▓и
може▓ б╗▓╝ ▒ил╝но │мен╝╕ено по▒ле ░азбиени┐ ░або▓╗ на по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ из n о▓░езков, кажд╗й из ко▓о░╗╡ може▓ б╗▓╝ п░оизведен и во▒▒▓ановлен в пам┐▓и (а лен▓а и▒▓о░ии, ▒ледова▓ел╝но, о╖и╣ена и го▓ова
к пов▓о░ном│ и▒пол╝зовани╛) пе░ед ▓ем, как п░и▒▓│па▓╝ к ▒лед│╛╣ем│.
Кажд╗й о▓░езок о▒▓ави▓ на ░або╖ей лен▓е (лен▓е 1) ▒лед ▒воей ░або▓╗,
ко▓о░╗й можно и▒пол╝зова▓╝ как в╡одн╗е данн╗е дл┐ зап│▒ка ▒лед│╛╣его ▒егмен▓а; но ╖▓об╗ ▒о╡░ани▓╝ об░а▓имо▒▓╝, ▒лед│е▓ о▒▓ави▓╝ (▒кажем,
на лен▓е 3) копии и╡ ▒об▒▓венн╗╡ в╡одн╗╡ данн╗╡, ко▓о░╗е в бол╝╕ин▒▓ве ▒л│╖аев мог│▓ б╗▓╝ п░о▒▓о о▒▓а▓ками п░ед╗д│╣и╡ зап│▒ков. В кон╢е в╗╖и▒лений м╗ пол│╖им, к░оме пе░вона╖ал╝н╗╡ в╡одн╗╡ и н│жн╗╡
в╗╡одн╗╡ данн╗╡, в▒е n ; 1 п░омеж│▓о╖н╗╡ о▒▓а▓ков (▒╢епленн╗е, нап░име░, на лен▓е 3). Э▓и п░омеж│▓о╖н╗е ░ез│л╝▓а▓╗, ко▓о░╗╡ не б╗ло
б╗, не подели м╗ ░або▓│ на ▒егмен▓╗, можно либо во▒п░инима▓╝ как неп░е░╗вн╗е (но нежела▓ел╝н╗е) в╗╡одн╗е данн╗е в обмен на n{к░а▓ное
▒ок░а╣ение лен▓╗ и▒▓о░ии, либо мог│▓ ▒ами б╗▓╝ об░а▓имо ▒▓е░▓╗ по▒ле
копи░овани┐ н│жн╗╡ в╗╡одн╗╡ данн╗╡ (и╡ можно поме▒▓и▓╝, ▒кажем, в
░анее неи▒пол╝зовав╕│╛▒┐ ╖а▒▓╝ лен▓╗ 3) и по▒лед│╛╣его об░а╣ени┐ в▒его n{▒егмен▓ного в╗╖и▒лени┐ ╢еликом. Э▓о об░а╣ение возможно, по▒кол╝к│ кажд╗й ▒егмен▓ б╗л ▒делан об░а▓имо. По▒ледова▓ел╝но▒▓╝ о▒▓а▓ков,
н│жн╗╡ дл┐ пе░езап│▒ка, ▓аким об░азом, ┤│нк╢иони░│е▓ как ▒воего ░ода
и▒▓о░и┐ более в╗▒окого │░овн┐ и ▒▓и░ае▓▒┐ по▒ле п░именени┐ на более
в╗▒оком │░овне ▓ого же ме▓ода, ╖▓о и▒пол╝з│е▓▒┐ дл┐ ▒▓и░ани┐ на╖ал╝н╗╡ и▒▓о░ий. В кон╢е в╗╖и▒лений в ма╕ине б│д│▓ ▒оде░жа▓╝▒┐ ▓ол╝ко
пе░вона╖ал╝н╗е в╡одн╗е и н│жн╗е в╗╡одн╗е данн╗е n{го ▒егмен▓а, и
кажд╗й ╕аг пе░вона╖ал╝ного необ░а▓имого в╗╖и▒лени┐ б│де▓ п░оделан
дважд╗ в одн│ ▒▓о░он│ и дважд╗ в д░│г│╛.
Дл┐ ░або▓╗, ▓░еб│╛╣ей ╕агов и ╡░анени┐ м│▒о░а дл┐ п░омеж│▓о╖н╗╡ ▒▓а░▓ов, ░азме░ ко▓о░ого ░авен z, ▓░ебование
на полн│╛ в░еменн│╛
p
p
пам┐▓╝ (минимизи░ованн│╛ в╗бо░ом n = =s) ▒о▒▓авл┐е▓ 2 =s кле▓ок, половин│
p на лен▓е и▒▓о░ии и половин│ на лен▓е м│▒о░а. Можно до1
▒▓и╖╝ 2 =s{к░а▓ного ▒ок░а╣ени┐ ╜▓ого п░о▒▓░ан▒▓ва за ▒╖е▓ │двоени┐
дли▓ел╝но▒▓и ▒╖е▓а (не ▒╖и▓а┐ в░емени, н│жного дл┐ запи▒и и ╖▓ени┐
о▒▓а▓ков дл┐ пе░езап│▒ка) без каки╡-либо нен│жн╗╡ в╗╡одн╗╡ данн╗╡.
И▒пол╝з│┐ ▒и▒▓ема▓и╖е▒кое об░а╣ение по▒ледова▓ел╝но │вели╖ива╛╣и╡▒┐ вложенн╗╡ ▒егмен▓ов, можно наде┐▓╝▒┐ на до▒▓ижение аб▒ол╛▓ного
миним│ма в░еменной пам┐▓и, ░а▒▓│╣ей ▓ол╝ко как ln дл┐ до▒▓а▓о╖но
12
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
логи╖е▒ка┐ об░а▓имо▒▓╝ в╗╖и▒лений
бол╝╕и╡ , ▒о в░еменем, ░а▒▓│╣им, возможно, как 2, по▒кол╝к│ ╖и▒ло
пов▓о░н╗╡ об░а╣ений к о▓░езкам ░а▒▓е▓ п░и ╜▓ом линейно.
Таким об░азом, оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о л╛бое в╗╖и▒ление може▓ б╗▓╝ ▒делано логи╖е▒ки об░а▓им╗м без ╖░езме░ного │вели╖ени┐ ▒ложно▒▓и ма╕ин╗, ╖и▒ла ╕агов, нен│жн╗╡ в╗╡одн╗╡ данн╗╡ или емко▒▓и в░еменной
пам┐▓и.
4. Физи╖е▒ка┐ об░а▓имо▒▓╝
С│╣е▒▓вование логи╖е▒ки об░а▓им╗╡ ав▓ома▓ов наводи▓ на м╗▒л╝,
╖▓о и ┤изи╖е▒кие комп╝╛▓е░╗ можно ▒дела▓╝ ▓е░модинами╖е▒ки об░а▓им╗ми и, ▒ледова▓ел╝но, ▓е░┐╛╣ими на каждом ╕аге в╗╖и▒лени┐ ▒░авни▓ел╝но малое коли╖е▒▓во ╜не░гии, е▒ли ▓ол╝ко в╗╖и▒л┐▓╝ не ▒ли╕ком
б╗▒▓░о. Полное об▒│ждение ┤изи╖е▒ки об░а▓им╗╡ комп╝╛▓е░ов в╗╡оди▓
за п░едел╗ на▒▓о┐╣ей ▒▓а▓╝и [5], но в▒е же имее▓ ▒м╗▒л да▓╝ ко░о▓кое и
не▒▓░огое введение в п░ин╢ип╗ и╡ ░або▓╗.
О╖евидн╗й под╡од к п░облеме минимиза╢ии по▓е░╝ ╜не░гии | по▒▓░ои▓╝ комп╝╛▓е░ ▓ак, ╖▓об╗ он мог ░або▓а▓╝ вблизи ▒о▒▓о┐ни┐ ▓е░модинами╖е▒кого ░авнове▒и┐. Тогда в▒е движ│╣ие▒┐ ╖а▒▓и в л╛бой момен▓
должн╗ име▓╝ около▓е░ми╖е▒к│╛ ▒ко░о▒▓╝, и жела▓ел╝н╗е логи╖е▒кие
пе░е╡од╗ ▒ необ╡одимо▒▓╝╛ б│д│▓ дополнен╗ ▓е░ми╖е▒ки ак▓иви░│ем╗м
▒пон▓анн╗м движением над ба░╝е░ом ▒вободной ╜не░гии в╗▒о▓╗ не ▒ли╕ком бол╝╕ей, ╖ем kT . На пе░в╗й взгл┐д ╜▓о може▓ показа▓╝▒┐ невозможн╗м | в ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ╜лек▓░онн╗╡ комп╝╛▓е░а╡, нап░име░, даже е▒ли пе░екл╛╖аем╗е ▒о▒▓авл┐╛╣ие ▒ами по ▒ебе не ди▒▒ипа▓ивн╗ (нап░име░ | магни▓н╗е ▒▓е░жни), п░о╢е▒▒ пе░екл╛╖ени┐ зави▒и▓ о▓ в░еменно
п░илагаемой бол╝╕ой вне╕ней ▒ил╗, н│жной, ╖▓об╗ необ░а▓имо пе░еме▒▓и▓╝ ╜▓и ▒о▒▓авл┐╛╣ие над в╗▒оким ба░╝е░ом ▒вободной ╜не░гии. Однако
п░и░ода дае▓ п░ек░а▒н╗й п░име░ ▓е░ми╖е▒ки ак▓ивизи░│емого цкомп╝╛▓е░ач в био╡ими╖е▒ки╡ аппа░а▓а╡, о▓ве▓▒▓венн╗╡ за копи░ование, ▓░ан▒к░ип╢и╛ и пе░еда╖│ гене▓и╖е▒ки╡ кодов [6]. Кажд╗й и╡ ╜▓и╡ п░о╢е▒▒ов вкл╛╖ае▓ длинн│╛ де▓е░мини░ованн│╛ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ манип│л┐╢ий над коди░ованной ин┤о░ма╢ией, ▒ове░╕енно аналоги╖н│╛ в╗╖и▒лени┐м, и, к░оме ▓ого, на▒кол╝ко изве▒▓но, кажда┐ манип│л┐╢и┐ е▒▓╝
п░о▒▓о по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▒в┐занн╗╡, ▓е░ми╖е▒ки ак▓иви░ованн╗╡ ╡ими╖е▒ки╡ ░еак╢ий. В био╡ими╖е▒ки╡ ▒и▒▓ема╡ ┤е░мен▓╗ иг░а╛▓ ▒│╣е▒▓венн│╛ ░ол╝ в изби░а▓ел╝ном понижении по░огов ак▓ива╢ии желаем╗╡
пе░е╡одов, в ▓о в░ем┐ как в╗▒окие ба░╝е░╗ п░одолжа╛▓ п░еп┐▓▒▓вова▓╝
в▒ем нежела▓ел╝н╗м пе░е╡одам | ▓ем, ко▓о░╗е в комп╝╛▓е░а╡ ▒оо▓ве▓-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
13
C. Х. Бенне▓▓
▒▓в│╛▓ о╕ибкам. Хо▓┐ ок░│жа╛╣а┐ ▒░еда, в ко▓о░ой но░мал╝но ┤│нк╢иони░│╛▓ ┤е░мен▓╗, не на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии ╡ими╖е▒кого ░авнове▒и┐, много ░еак╢ий, ка▓ализи░│ем╗╡ ┤е░мен▓ами, ▒вободно об░а▓им╗,
и можно подоб░а▓╝ набо░ ░авнове▒н╗╡ кон╢ен▓░а╢ий, п░и ко▓о░╗╡ как
п░┐м╗е, ▓ак и об░а▓н╗е ░еак╢ии ид│▓ ▒ одинаков╗ми ▒ко░о▒▓┐ми, в ▓о
в░ем┐ как ▒ко░о▒▓и конк│░и░│╛╣и╡ нека▓ализи░ованн╗╡ ░еак╢ий п░енеб░ежимо мал╗. Таким об░азом, не ли╕ено ▒м╗▒ла по▒▓│ли░ова▓╝ ▒│╣е▒▓вование ▓е░ми╖е▒ки ак▓иви░ованного комп╝╛▓е░а, в ко▓о░ом в ▒о▒▓о┐нии
░авнове▒и┐ кажд╗й логи╖е▒ки доп│▒▓им╗й пе░е╡од б│де▓ п░ои▒╡оди▓╝ ▒
одинаковой ╖а▒▓о▓ой как в п░┐мом, ▓ак и в об░а▓ном нап░авлении, ▓огда
как алоги╖н╗е пе░е╡од╗ едва ли по┐в┐▓▒┐. В дал╝ней╕ем б│де▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ ╡ими╖е▒ка┐ ▓е░минологи┐, но ╜▓о не под░аз│мевае▓, ╖▓о ▓е░ми╖е▒ки ак▓иви░ованн╗е комп╝╛▓е░╗ об┐за▓ел╝но должн╗ б╗▓╝ ╡ими╖е▒кими
▒и▒▓емами.
Хими╖е▒ка┐ ░еализа╢и┐ логи╖е▒ки об░а▓им╗╡ комп╝╛▓е░ов п░ед▒▓авл┐е▓ из ▒еб┐ ╢еп╝ ░еак╢ий, кажда┐ из ко▓о░╗╡ ▒в┐зана ▓ол╝ко ▒ п░ед╗д│╣ей и по▒лед│╛╣ей. Удобно п░ед▒▓авл┐▓╝ ▒ебе в╗╖и▒л┐╛╣│╛ ▒и▒▓ем│ как вкл╛╖а╛╣│╛ в ▒еб┐ ▒▓а░╕ий ░еак▓ив (аналоги╖н╗й ДНК), ко▓о░╗й коди░│е▓ логи╖е▒кое ▒о▒▓о┐ние, и млад╕ие ░еак▓ив╗, ко▓о░╗е взаимодей▒▓в│╛▓ ▒о ▒▓а░╕им, измен┐┐ логи╖е▒кое ▒о▒▓о┐ние. Имее▓▒┐ ▓ол╝ко
одна молек│ла из ▒▓а░╕его ░еак▓ива, а в▒е млад╕ие ░еак▓ив╗ п░и▒│▓▒▓в│╛▓ в оп░еделенн╗╡ кон╢ен▓░а╢и┐╡, ко▓о░╗ми можно манип│ли░ова▓╝, ╖▓об╗ дела▓╝ в╗╖и▒лени┐ в п░┐мом и об░а▓ном нап░авлени┐╡.
Е▒ли млад╕ие ░еак▓ив╗ на╡од┐▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии ░авнове▒и┐, а
▒▓а░╕ий ░еак▓ив пе░вона╖ал╝но ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ на╖ал╝ном│ ▒о▒▓о┐ни╛
{╕агового в╗╖и▒лени┐, ▒и▒▓ема на╖не▓ ▒л│╖айное бл│ждание по ╢епи
░еак╢ий и по▒ле 2 ╕агов б╗▒▓░о п░иде▓ к коне╖ном│ ▒о▒▓о┐ни╛. Э▓о
не за▒л│живае▓ названи┐ в╗╖и▒лени┐; ▓о╖нее б╗ло б╗ │▓ве░жда▓╝, ╖▓о
▒и▒▓ема п░о╡оди▓ по ╢епи ░еак╢ий ▒ неко▓о░ой положи▓ел╝ной ▒ко░о▒▓╝╛ д░ей┤а и, ▒п│▒▓┐ до▒▓а▓о╖ное коли╖е▒▓ва в░емени, имее▓ в╗▒ок│╛
ве░о┐▓но▒▓╝ оказа▓╝▒┐ в коне╖ном ▒о▒▓о┐нии (е▒ли в данном в╗╖и▒лении ▓аковое имее▓▒┐). П░ед╗д│╣ее ▓░ебование може▓ б╗▓╝ │довле▓во░ено по▒ле подбо░а ╡ими╖е▒ки╡ по▓ен╢иалов млад╕и╡ ░еак▓ивов ▓ак, ╖▓об╗
п░и каждом ╕аге впе░ед ▓е░┐ла▒╝ небол╝╕а┐ ╜не░ги┐ "; по▒леднее може▓
▒оп░овожда▓╝▒┐ ди▒▒ипа╢ией дополни▓ел╝ного коли╖е▒▓ва ╜не░гии на по▒леднем ╕аге. (Е▒ли по▓е░и на в▒е╡ ╕ага╡ одинаков╗, " < kT , ▓о ве░о┐▓но▒▓╝ зан┐▓╝ коне╖ное ▒о▒▓о┐ние б│де▓ ▓ол╝ко около kT" . П░и по▓е░е
дополни▓ел╝ного коли╖е▒▓ва ╜не░гии kT ln(3 kT" ) на по▒леднем ╕аге ╜▓а
ве░о┐▓но▒▓╝ воз░а▒▓ае▓ до 95%). Е▒ли в▒е п░┐м╗е ░еак╢ии име╛▓ одина14
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
логи╖е▒ка┐ об░а▓имо▒▓╝ в╗╖и▒лений
ков│╛ ▒ко░о▒▓╝ ; ди▒▒ипа╢и┐ ╜не░гии " < kT за ╕аг б│де▓ обе▒пе╖ива▓╝
▒ко░о▒▓╝ д░ей┤а (▓. е. ▒ко░о▒▓╝ в╗╖и▒лени┐) ;"=kT ╕агов в ▒ек│нд│. С
д░│гой ▒▓о░он╗, дл┐ " > kT об░а▓н╗е ╕аги б│д│▓ ╜┤┤ек▓ивно подавлен╗,
и ▒ко░о▒▓╝ в╗╖и▒лений б│де▓ п░иближа▓╝▒┐ к ▒ко░о▒▓и п░┐м╗╡ ░еак╢ий
;. Таким об░азом, ╡ими╖е▒кие ▒и▒▓ем╗ п░ед▒▓авл┐╛▓ ▒обой ▓е░модинами╖е▒ки об░а▓им╗е комп╝╛▓е░╗ и▒комого ▓ипа.
Е▒ли м╗ поп╗▓аем▒┐ п░имени▓╝ п░иведенное доказа▓ел╝▒▓во к логи╖е▒ки необ░а▓имом│ комп╝╛▓е░│, м╗ │видим, ╖▓о в ╜▓ом ▒л│╖ае ╡ими╖е▒кие ░еак╢ии ┤о░ми░│╛▓ ░азве▓вленн│╛ ▒▓░│к▓│░│ ▒ главн╗м ▒▓волом,
▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣им жела▓ел╝ном│ п│▓и в╗╖и▒лени┐, и боков╗ми ве▓в┐ми,
▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ими неве░н╗м или цпо▒▓о░оннимч об░а▓н╗м в╗╖и▒лени┐м. Со▒▓о┐ни┐ на боков╗╡ ве▓в┐╡ ┐вл┐╛▓▒┐ законн╗ми п░ед╕е▒▓венниками коне╖ного ▒о▒▓о┐ни┐, но незаконн╗ми по▓омками на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐. Небол╝╕ое коли╖е▒▓во ▓аки╡ по▒▓о░онни╡ ▒о▒▓о┐ний не до▒▓ави▓
╡лопо▓ | малой движ│╣ей ▒ил╗ в▒е е╣е ╡ва▓и▓, ╖▓об╗ двига▓╝ ▒и▒▓ем│ к
жела▓ел╝ном│ коне╖ном│ ▒о▒▓о┐ни╛. Мог│▓ ▒л│╖а▓╝▒┐ в░еменн╗е о▓клонени┐ в боков╗е ве▓ви, но п░о▓ив ожидани┐ ╜▓о не п░иведе▓ к о╕ибкам.
По▒кол╝к│ ни одно ▒о▒▓о┐ние де▓е░мини░ованного комп╝╛▓е░а не може▓
име▓╝ более одного логи╖е▒кого по▓омка, о╕ибо╖но об░а╣енн╗е опе░а╢ии
б│д│▓ и▒п░авлен╗, как ▓ол╝ко в╗╖и▒лени┐ ▒нова п░одолжа▓▒┐ в п░┐мом
нап░авлении, и п░о╢е▒▒ ве░не▓▒┐ на ве░н╗й п│▓╝.
На▒▓о┐╣ие п░облем╗ на╖ина╛▓▒┐, когда имее▓▒┐ о╖ен╝ бол╝╕ое коли╖е▒▓во по▒▓о░онни╡ п░ед╕е▒▓венников: об╗╖но и╡ коли╖е▒▓во п░ев╗╕ае▓ коли╖е▒▓во ▒о▒▓о┐ний в н│жном п│▓и в╗╖и▒лени┐ в ▒о▓ни ░аз по
по░┐дк│ вели╖ин╗. Э▓о п░ои▒╡оди▓ по▓ом│, ╖▓о п░и в╗╖и▒лени┐м по необ░а▓им╗м п░ог░аммам можно ▒дела▓╝ много ╕агов назад, двига┐▒╝ по
по▒▓о░онней ве▓ви, дела┐ и далее о╕ибо╖н╗е в╗бо░╗, пока не б│де▓ до▒▓игн│▓о ▒о▒▓о┐ние, │ ко▓о░ого не▓ п░ед╕е▒▓венников.
Е▒ли ▓е░ми╖е▒ки ак▓иви░ованн╗й комп╝╛▓е░ ▒ бол╝╕им коли╖е▒▓вом по▒▓о░онни╡ ▒о▒▓о┐ний ░або▓ае▓ вблизи ▒о▒▓о┐ни┐ ░авнове▒и┐, ▒и▒▓ема б│де▓ п░оводи▓╝ ли╕╝ ▒ам│╛ мал│╛ о▓п│╣енного ей в░емени на
п░авил╝ном п│▓и в╗╖и▒лений, п░ивод┐╣ем к желанном│ коне╖ном│ ▒о▒▓о┐ни╛. Дл┐ до▒▓ижени┐ п░иемлемой ▒ко░о▒▓и в╗╖и▒лений ▓░еб│е▓▒┐
1) ╖▓об╗ коне╖н╗е (но ▓░еб│╛╣ие в░емени) ╜к▒к│░▒ии в▒п┐▓╝ б╗ли б╗
зна╖и▓ел╝но подавлен╗, и 2) ╖▓об╗ бе▒коне╖н╗е ╜к▒к│░▒ии ▓акого ░ода
б╗ли б╗ полно▒▓╝╛ подавлен╗. Э▓о в ▒во╛ о╖е░ед╝ озна╖ае▓ (г░│бо гово░┐), ╖▓о ди▒▒ипа╢и┐ за ╕аг должна п░ев╗╕а▓╝ kT ln m, где m | ▒░еднее
╖и▒ло непо▒░ед▒▓венн╗╡ п░ед╕е▒▓венников 1) │▒░едненное по ▒о▒▓о┐ни┐м вблизи главного п│▓и, 2) │▒░едненное по ▒овок│пно▒▓и (▒кол╝ │годно
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
15
C. Х. Бенне▓▓
бол╝╕ой) в▒е╡ доп│▒▓им╗╡ ▒о▒▓о┐ний. Дл┐ ▓ипи╖ного необ░а▓имого комп╝╛▓е░а, ко▓о░╗й о▓б░а▒╗вае▓ п░име░но один би▓ на логи╖е▒к│╛ опе░а╢и╛, m ░авно п░иблизи▓ел╝но дв│м, и, ▓аким об░азом, kT ln m е▒▓╝,
как доказал Ланда│╜░ [1], п░иблизи▓ел╝но нижн┐┐ г░ани╢а по▓е░╝ ╜не░гии дл┐ подобн╗╡ ма╕ин. Дл┐ логи╖е▒ки об░а▓имого комп╝╛▓е░а, однако,
m в ▓о╖но▒▓и ░авно едини╢е по по▒▓░оени╛.
Био▒ин▓ез и био░а▒пад пе░ено▒╖иков РНК можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ как
под╡од┐╣ие п░име░╗ логи╖е▒ки об░а▓им╗╡ и необ░а▓им╗╡ в╗╖и▒лений
▒оо▓ве▓▒▓венно. Пе░ено▒╖ик РНК, линейна┐ полиме░на┐ ин┤о░ма╢ионна┐
мак░омолек│ла, как и ДНК, пе░ено▒и▓ гене▓и╖е▒к│╛ ин┤о░ма╢и╛ о▓ одного или более генов молек│л╗ ДНК и ▒л│жи▓ дл┐ │п░авлени┐ ▒ин▓езом
п░о▓еинов, закоди░ованн╗╡ ╜▓ими генами. Пе░ено▒╖ик РНК ▒ин▓ези░│е▓▒┐ ┤е░мен▓ами полиме░ов РНК в п░и▒│▓▒▓вии дв│▒пи░ал╝ной молек│л╗
ДНК и п░оизводи▓ мономе░╗ РНК (╖е▓╗░е н│клео▓идн╗╡ пи░о┤о▒┤а▓а
ATP, GTP, CTP и UTP). Фе░мен▓ п░ик░епл┐е▓▒┐ к оп░еделенном│ ме▒▓│
молек│л╗ ДНК и движе▓▒┐ вдол╝ нее, по▒ледова▓ел╝но ▒оедин┐┐ мономе░╗ РНК в ▒к░│╖енн│╛ один ░аз молек│л│ РНК, по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ н│клео▓идов в ко▓о░ой в ▓о╖но▒▓и ▒овпадае▓ ▒ аналоги╖ной по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛ в ДНК. Г░│пп╗ пи░о┤о▒┤а▓ов в╗▒вобожда╛▓▒┐ в ок░│жа╛╣ий
░а▒▓во░ как ▒вободн╗е пи░о┤о▒┤а▓н╗е молек│л╗. Таким об░азом, ┤е░мен▓ можно ▒░авни▓╝ ▒ п░о▒▓ой копи░│╛╣ей лен▓│ ма╕иной Т╝╛░инга,
ко▓о░а┐ ▒ко░ее п░оизводи▓ в╗╡одн│╛ лен▓│, ╖ем п░о▒▓о пи╕е▓ на ней.
Копи░ование лен▓╗ е▒▓╝ логи╖е▒ки об░а▓има┐ опе░а╢и┐, и ▒ин▓ез РНК
об░а▓им как ▓е░модинами╖е▒ки, ▓ак и логи╖е▒ки.
В ▒░еде кле▓ки ░еак╢и┐ п░оводи▓▒┐ в нап░авлении ▒ин▓еза РНК,
п░едпо╖▓и▓ел╝ном по о▓но╕ени╛ к д░│гим ░еак╢и┐м, ко▓о░╗е ▒озда╛▓
низк│╛ кон╢ен▓░а╢и╛ ▒вободн╗╡ пи░о┤о▒┤а▓ов о▓но▒и▓ел╝но кон╢ен▓░а╢ии н│клео▓идн╗╡ пи░о┤о▒┤а▓ов [8]. В╗▒ока┐ кон╢ен▓░а╢и┐ пи░о┤о▒┤а▓ов пове░не▓ ░еак╢и╛ в▒п┐▓╝, и полиме░ б│де▓ п░оводи▓╝ в оп░еделенной по▒ледова▓ел╝но▒▓и ░аз░│╕ение РНК, ▒░авнива┐ кажд╗й н│клео▓ид
▒ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣им н│клео▓идом ДНК пе░ед ▓ем, как его о▓╣епи▓╝. Э▓о▓
п░о╢е▒▒, ко▓о░╗й можно назва▓╝ логи╖е▒ки об░а▓им╗м ▒▓и░анием РНК,
об╗╖но не п░ои▒╡оди▓ в биологи╖е▒ки╡ ▒и▒▓ема╡ | вме▒▓о ╜▓ого РНК
░аз░│╕ае▓▒┐ д░│гими ┤е░мен▓ами, ▓акими как полин│клео▓идн╗й ┤о▒┤о░илаз [9], логи╖е▒ки необ░а▓им╗м об░азом (▓. е. без ▒ве░ки ▒ ДНК). Полин│клео▓идн╗й ┤о▒┤о░илаз ка▓ализи░│е▓ ░еак╢и╛ РНК ▒о ▒вободн╗ми
┤о▒┤а▓ами (в в╗▒окой кон╢ен▓░а╢ии) дл┐ ▒оздани┐ н│клео▓идн╗╡ ┤о▒┤а▓н╗╡ мономе░ов. Как и ░еак╢и┐ полиме░иза╢ии, ╜▓а ░еак╢и┐ ▓е░модинами╖е▒ки об░а▓има; однако из-за логи╖е▒кой необ░а▓имо▒▓и дл┐ ▓е╖е16
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
логи╖е▒ка┐ об░а▓имо▒▓╝ в╗╖и▒лений
ни┐ ее в п░┐мом нап░авлении ▓░еб│е▓▒┐ в╖е▓ве░о бол╝╕а┐ кон╢ен▓░а╢и┐
┤о▒┤а▓ов, ╖ем ▓░ебовала▒╝ б╗ дл┐ логи╖е▒ки об░а▓имого ┤о▒┤о░оли▓и╖е▒кого ░а▒пада. Т░еб│е▓▒┐ вне╕н┐┐ нап░авл┐╛╣а┐ ▒ила дл┐ подавлени┐
нежела▓ел╝ного ▒ин▓еза бе▒▒м╗▒ленн╗╡ РНК ▒л│╖айной полиме░иза╢ией.
В биологи╖е▒ки╡ ▒и▒▓ема╡, по-видимом│, ▒ко░о▒▓╝ и гибко▒▓╝ необ░а▓имого ▒▓и░ани┐ пе░еве╕ива╛▓ дополни▓ел╝н╗е за▓░а▓╗ ▒вободной ╜не░гии ( kT ln 4 на н│клео▓ид в данном ▒л│╖ае). В ▒амом деле, везде в гене▓и╖е▒ки╡ аппа░а▓а╡ ╜не░ги┐ ▓е░┐е▓▒┐ ▒о ▒ко░о▒▓╝╛ п░име░но о▓ 5 до 50kT
за ╕аг; ╡о▓┐ ╜▓а вели╖ина на де▒┐▓╝ по░┐дков мен╝╕е, ╖ем в ╜лек▓░онном комп╝╛▓е░е, она о╣│▓имо в╗╕е ▓ого, ╖▓о ▓ео░е▓и╖е▒ки возможно в
био╡ими╖е▒ки╡ ▒и▒▓ема╡, ко▓о░╗м не▓ необ╡одимо▒▓и ░або▓а▓╝ на ▒ко░о▒▓┐╡, близки╡ к кине▓и╖е▒ком│ мак▒им│м│, | п░едположи▓ел╝но ╖▓об╗ избежа▓╝ в░едного вли┐ни┐ ░адиа╢ии, нека▓ализи░ованн╗╡ ░еак╢ий и
▒о░евновани┐ ▒ д░│гими о░ганизмами.
Благода░но▒▓и
Я благода░╛ Рал╝┤а Ланда│╜░а за в╗движение воп░о▒а об об░а▓имо▒▓и в╗╖и▒лений на пе░вое ме▒▓о и за ▒▓им│ли░│╛╣ие об▒│ждени┐ мои╡
моделей.
Спи▒ок ли▓е░а▓│░╗
[1] R. Landauer; IBM J.Res.Develop. 3. 183 (1961). R. W. Keyes and R. Landauer
IBM J.Res.Develop. 14. 152 (1970). И▒▒лед│е▓▒┐ комп╝╛▓е░ о▒обой модели,
╖╝и по▓е░и ╜не░гии за ╕аг по░┐дка kT .
[2] R. W. Keyes Science 168, 796 (1970), подвод┐ и▓ог доказа▓ел╝▒▓в│ Ланда│╜░а
[1] заме╖ае▓, ╖▓о ▒па▒енна┐ и▒▓о░и┐ може▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ дл┐ во▒▒▓ановлени┐ ╕агов о░игинал╝ного в╗╖и▒лени┐, но ╜▓о неп░ак▓и╖но дл┐ комп╝╛▓е░ов
дл┐ об╣и╡ ╢елей. Он ┐вно не под╖е░кн│л, ╖▓о об░а▓им╗е ма╕ин╗ мог│▓ б╗▓╝
▒делан╗ дл┐ ▒▓и░ани┐ ▒об▒▓венной и▒▓о░ии (возможно▒▓╝, ко▓о░│╛ м╗ доказали, позвол┐е▓ им б╗▓╝ полезн╗ми как комп╝╛▓е░╗ дл┐ об╣и╡ ╢елей).
[3] Хо░о╕ее ┤о░мал╝ное опи▒ание ма╕ин╗ Т╝╛░инга ▒оде░жи▓▒┐ в главе 6 книги M. L. Minsky Computation: Finite and Innite Machines, Prentice{Hall Inc.
Englewood Clis, N. J., 1967.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
17
C. Х. Бенне▓▓
[4] Добавлением не▒кол╝ки╡ дополни▓ел╝н╗╡ ▒имволов лен▓ и квин▓ипле▓ов п░оизвол╝н│╛ ма╕ин│ Т╝╛░инга можно ▒дела▓╝ │довле▓во░┐╛╣ей ╜▓им ▓░ебовани┐м ┤о░ма▓а, ▓огда как в╗╖и▒лени┐ по ▒│╣е▒▓в│ о▒▓а╛▓▒┐ ▓еми же
┤│нк╢и┐ми, ╖▓о и ░анее. M. Davis Computability and Unsolvability McGraw{
Hill Book Co. Inc. New York, 1958, p. 25{26.
[5] Ав▓о░ в на▒▓о┐╣ее в░ем┐ го▓ови▓ ▒▓а▓╝╛ о комп╝╛▓е░а╡ ┤изи╖е▒ки об░а▓имой модели.
[6] Хо░о╕ее введение в п░едме▓ ▒оде░жи▓▒┐ в James D. Watson Molecular Biology
of the Gene (2nd ed.) W. A. Benjamin Inc. New York 1970.
[7] Ibid. p 336.
[8] Ibid. p 155.
[9] Ibid. p 403.
18
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
Пол Бенев
Division of Environmental Impact Studies,
Argonne National Laboratory,
Argonne, Illinois, 60439.
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ
ГАМИЛЬТОНОВА МОДЕЛЬ
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
Кван▓овоме╡ани╖е▒кие гамил╝▓онов╗ модели, ко▓о░╗е п░ед▒▓авл┐╛▓ п░оизвол╝ное коне╖ное ╖и▒ло ╕агов в╗╖и▒лени┐ п░оизвол╝ной ма╕ин╗ Т╝╛░инга, ░еализован╗ на коне╖ной ░е╕е▓ке ▒и▒▓ем╗ 21 {▒пинов. Разли╖н╗е обла▒▓и ░е╕е▓ки ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ░азли╖н╗м ▒о▒▓авл┐╛╣им ма╕ин╗ Т╝╛░инга (вме▒▓е ▒ ▒и▒▓емой
запи▒и). По▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▒о▒▓о┐ний ма╕ин╗ во в░ем┐ п░оизвол╝ного в╗╖и▒лени┐ п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛ ▒пинов╗╡ ▒о▒▓о┐ний модели. По▒▓░оен╗ модели, │п░авл┐ем╗е гамил╝▓онианами как зави▒┐╣ими, ▓ак и не зави▒┐╣ими о▓ в░емени. Не зави▒┐╣ие о▓ в░емени модели не ░а▒▒еива╛▓ ╜не░ги╛, а
▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗ не дег░ади░│╛▓ во в░ем┐ ╜вол╛╢ии. Они опе░и░│╛▓ по╖▓и на
кван▓овом п░еделе, ▓ак ╖▓о о▓но╕ение цнеоп░еделенно▒▓╝ полной ╜не░гии ▒и▒▓ем╗ч/ц▒ко░о▒▓╝ в╗╖и▒лени┐ч близка к п░едел│, оп░едел┐емом│ ▒оо▓но╕ением неоп░еделенно▒▓ей ц╜не░ги┐{в░ем┐ч. Однако ╜вол╛╢и┐ ▓аки╡ моделей глобал╝на во
в░емени, а гамил╝▓ониан╗ ▒ложн╗ по ▒░авнени╛ ▒ гамил╝▓онианами, зави▒┐╣ими
о▓ в░емени. Соо▓ве▓▒▓в│╛╣ие по▒ледним гамил╝▓онианам модели не п░ивод┐▓ к
дег░ада╢ии ▒о▒▓о┐ний. К░оме ▓ого, они локал╝н╗ во в░емени и гамил╝▓ониан╗ и╡
до▒▓а▓о╖но п░о▒▓╗.
1. Введение
В по▒леднее в░ем┐ пов╗▒ил▒┐ ин▓е░е▒ к зада╖е о ┤изи╖е▒ки╡ ог░ани╖ени┐╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п░о╢е▒▒ов. В ╖а▒▓но▒▓и, ▓емой много╖и▒ленн╗╡
ди▒к│▒▒ий ▒▓али воп░о▒╗ ╜не░ге▓и╖е▒кой ╢ен╗ в╗╖и▒лений или пе░еда╖и
ин┤о░ма╢ии и неизбежно▒▓и ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии п░и в╗╖и▒лени┐╡ [1{10].
Не▒кол╝ко ле▓ назад [3, 7] ▒ложило▒╝ мнение, ╖▓о в╗╖и▒лени┐ ▒в┐зан╗ ▒
ди▒▒ипа╢ией по ▓ой п░и╖ине, ╖▓о п░о╢е▒▒╗ в╗╖и▒лени┐ необ░а▓им╗. Однако в 1973 год│ Бенне▓ [2] по▒▓░оил об░а▓им│╛ модел╝ п░о╢е▒▒а в╗╖и▒лени┐ и об▒│дил ▓е░модинами╖е▒ки об░а▓им╗е модели в╗╖и▒лени┐. По▒ледние ▒▓а▓╝и на ╜▓│ ▓ем│ [1,10], в ко▓о░╗╡ │▓ве░ждало▒╝, ╖▓о ╜не░ги┐
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
1
Пол Бенев
п░и в╗╖и▒лени┐╡ об┐за▓ел╝но ░а▒▒еивае▓▒┐, к░и▓иковали▒╝ Дой╖ем [5].
Ланда│╜░ [11] под╖е░кн│л важно▒▓╝ окон╖а▓ел╝ного в╗┐▒нени┐, ▒│╣е▒▓в│╛▓ ли модели в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п░о╢е▒▒ов, не ▒в┐занн╗е ▒ ░а▒▒е┐нием
╜не░гии. Ф░едкин и То┤┤оли [12] по▒▓░оили кла▒▒и╖е▒к│╛ модел╝, в ко▓о░ой в╗╖и▒лени┐ без по▓е░и ╜не░гии вед│▓ билл╝┐░дн╗е ╕а░╗. В д░│ги╡
░або▓а╡ [13{15] по▒▓░оен╗ кван▓овоме╡ани╖е▒кие гамил╝▓онов╗ модели
ма╕ин Т╝╛░инга и об░а▓им╗╡ ди▒к░е▓н╗╡ п░о╢е▒▒ов. В ╜▓и╡ модел┐╡
в╗╖и▒ли▓ел╝н╗й п░о╢е▒▒ п░иводи▓▒┐ в движение по▒ледова▓ел╝н╗ми ░а▒▒е┐ни┐ми. Две из ни╡ ди▒▒ипа▓ивн╗ в ▓ом ▒м╗▒ле, ╖▓о ▒о▒▓о┐ние полной
▒и▒▓ем╗ ╜вол╛╢иони░│е▓ ▓ак, ╖▓о ▒о в░еменем воз░а▒▓а╛▓ ампли▓│д╗
нежела▓ел╝н╗╡ (╖и▒▓╗╡) ▒о▒▓о┐ний. В д░│гой модели [13] ди▒▒ипа╢и┐ о▓▒│▓▒▓в│е▓. Э▓и ▒вой▒▓ва моделей ▒лед│╛▓ из п░едположени┐, ╖▓о кине▓и╖е▒ка┐ ╜не░ги┐ ░а▒▒еива▓елей ┐вл┐е▓▒┐ линейной ┤│нк╢ией имп│л╝▒а.
В п░ед▒▓авл┐емой ░або▓е по▒▓░оен╗ кван▓овоме╡ани╖е▒кие гамил╝▓онов╗ модели ма╕ин Т╝╛░инга, не и▒пол╝з│╛╣ие ме╡анизма по▒ледова▓ел╝ного ░а▒▒е┐ни┐. Э▓а модел╝ ▒оде░жи▓ ░е╕е▓к│, в ко▓о░ой неко▓о░╗е
кон┤иг│░а╢ии 1=2-▒пинов вдол╝ оп░еделенной о▒и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ╖а▒▓┐м
ма╕ин╗ Т╝╛░инга. Изменени┐ в ▓акой ▒и▒▓еме опи▒╗ва╛▓▒┐ опе░а▓о░ами пе░ево░о▓а ▒пина, п░еоб░аз│╛╣ими ▒пин╗, локализованн╗е в оп░еделенн╗╡ ме▒▓а╡ ░е╕е▓ки. По▒кол╝к│ модел╝ не ▓░еб│е▓ о▓но▒и▓ел╝н╗╡ пе░еме╣ений, в ней о▓▒│▓▒▓в│╛▓ ▓акие и▒▓о╖ники ди▒▒ипа╢ии, как ░а▒пл╗вание волнов╗╡ паке▓ов и ▓. п., п░и▒│▓▒▓в│╛╣ие в д░│ги╡ модел┐╡ [14, 15].
В ▒лед│╛╣ем ░азделе дае▓▒┐ к░а▓кий обзо░ ▓ео░ии ма╕ин╗ Т╝╛░инга. За▓ем ▒лед│е▓ изложение кон▒▓░│к╢ии, п░ед▒▓авл┐╛╣ей ▒обой ма╕ин│ Т╝╛░инга вме▒▓е ▒ ▒и▒▓емой запи▒и как кон┤иг│░а╢и╛ ░е╕е▓ки
1
2 {▒пинов. Соо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ модел╝ ▒о▒▓о┐ний кон┤иг│░а╢ии п░оек╢ионн╗╡ опе░а▓о░ов и ╜лемен▓а░н╗╡ опе░а▓о░ов, п░оизвод┐╣и╡ изменение ▒о▒▓о┐ний кон┤иг│░а╢ии, ▒▓░ои▓▒┐ в ░азделе 3. Э▓и ▒о▒▓о┐ни┐ и опе░а▓о░╗
и▒пол╝з│╛▓▒┐ в ░аздела╡ 4 и 5 дл┐ по▒▓░оени┐, ▒оо▓ве▓▒▓вено, зави▒┐╣и╡ и не зави▒┐╣и╡ о▓ в░емени гамил╝▓онов╗╡ моделей пе░в╗╡ J ╕агов
ма╕ин╗ Т╝╛░инга.
В ░аздела╡ 6 и 7 об▒│жда╛▓▒┐ ╡а░ак▓е░и▒▓ики по▒▓░оенн╗╡ моделей, ▒вой▒▓ва и ог░ани╖ени┐ изме░ений ░азли╖н╗╡ под▒и▒▓ем моделей.
Оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о модели ▒ не зави▒┐╣ими о▓ в░емени гамил╝▓онианами
не ░а▒▒еива╛▓ ╜не░ги╛ и ╜вол╛и┐ ▓аки╡ моделей не п░иводи▓ к дег░ада╢ии ▒о▒▓о┐ний. Э┤┤ек▓ивно▒▓╝ опе░а╢ий в ▓аки╡ ▒и▒▓ема╡ ▓акова, ╖▓о
о▓но╕ение неоп░еделенно▒▓и ╜не░гии к ▒ко░о▒▓и в╗╖и▒лени┐ не п░ево▒╡оди▓ 2~. Однако ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие гамил╝▓ониан╗ мог│▓ показа▓╝▒┐
▒ли╕ком ▒ложн╗ми. Незави▒им╗е о▓ в░емени гамил╝▓ониан╗ п░ивод┐▓
2
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
к глобал╝ной во в░емени ╜вол╛╢ии, ▓ак ╖▓о изме░ени┐, ко▓о░╗е оп░едел┐╛▓ па░аме▓░╗ ▒и▒▓ем╗, оказ╗ва╛▓▒┐ к░айне ▒ложн╗ми. Такие изме░ени┐ в╗з╗ва╛▓ ░а▒▒е┐ние ╜не░гии и возм│╣а╛▓ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗.
(Глобал╝н╗ми во в░емени м╗ наз╗ваем ▓акие модели, ко▓о░╗е, ╜вол╛╢иони░│┐ о▓ ▒о▒▓о┐ни┐, п░ед▒▓авл┐╛╣его n{й ╕аг в╗╖и▒лени┐, к ▒о▒▓о┐ни╛,
п░ед▒▓авл┐╛╣ем│ (n + 1){й ╕аг, п░о╡од┐▓ ╖е░ез ▒о▒▓о┐ни┐, п░ед▒▓авл┐╛╣ие в▒е ╕аги в╗╖и▒лени┐. Модел╝ локал╝на во в░емени, е▒ли п░омеж│▓о╖н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ ┐вл┐╛▓▒┐ линейной комбина╢ией ▓ол╝ко ▒о▒▓о┐ний
n{го и (n + 1){го ╕агов в╗╖и▒лени┐.)
Модели, о▒нованн╗е на гамил╝▓ониана╡, зави▒┐╣и╡ о▓ в░емени, ▓акже не п░ивод┐▓ к дег░ада╢ии ▒о▒▓о┐ний ▒и▒▓ем╗. Э▓и гамил╝▓ониан╗
более п░о▒▓╗, и ╜вол╛╢и┐ моделей локал╝на во в░емени. В ░ез│л╝▓а▓е
изме░ени┐, ко▓о░╗е должн╗ │▒▓анови▓╝, закон╖или▒╝ ли в╗╖и▒лени┐, не
▒▓ол╝ ▓░│дн╗, как в п░ед╗д│╣и╡ модел┐╡, они не возм│╣а╛▓ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗ и не п░ивод┐▓ к ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии. Однако, в ╜▓ом ▒л│╖ае
необ╡одимо п░ед│▒мо▓░е▓╝ вне╕ние │▒▓░ой▒▓ва, │п░авл┐╛╣ие по▒ледова▓ел╝н╗ми ╕агами в╗╖и▒лени┐. В ░азделе 8 ▒░авнива╛▓▒┐ неко▓о░╗е
а▒пек▓╗ ░а▒▒мо▓░енн╗╡ моделей ▒ модел┐ми, п░едложенн╗ми в д░│ги╡
░або▓а╡ [13{15].
2. Ма╕ина Т╝╛░инга
2.1. П░едва░и▓ел╝н╗е ▒ведени┐
По▒кол╝к│ ма╕ин╗ Т╝╛░инга под░обно опи▒ан╗ в ли▓е░а▓│░е [2,16],
м╗ ог░ани╖им▒┐ к░а▓ким изложением п░облем╗. Ма╕ина Т╝╛░инга ▒о▒▓ои▓ из ▓░е╡ ╖а▒▓ей: вн│▓░енней ма╕ин╗ L, в╗╖и▒ли▓ел╝ной лен▓╗ T
и в╗╖и▒ли▓ел╝ной головки h. Со▒▓о┐ни┐ L можно п░ед▒▓ави▓╝ ╖и▒лами 0; 1; : : : из N , T | ╜▓о лен▓а, ▒о▒▓о┐╣а┐ из бе▒коне╖ного ╖и▒ла кле▓ок,
кажда┐ из ко▓о░╗x може▓ на╡оди▓╝▒┐ в одном из коне╖ного ╖и▒ла ▒о▒▓о┐ний из S | ал┤ави▓а ▒имволов. О▒об╗й ╜лемен▓ из S | b обозна╖ае▓
п│▒▓│╛ кле▓к│. На лен▓е T можно напи▒а▓╝ в╗░ажени┐ | по▒ледова▓ел╝но▒▓и ▒имволов : Z ! S , где Z | множе▒▓во ╢ел╗╡ ╖и▒ел и (j ) = b,
и▒кл╛╖а┐ не более ╖ем коне╖ное ╖и▒ло зна╖ений j .
Элемен▓а░н╗е опе░а╢ии ма╕ин╗ зада╛▓▒┐ п┐▓е░ками l(s; s0 ; )l0 ,
кажда┐ из ко▓о░╗╡ озна╖ае▓, ╖▓о L в ▒о▒▓о┐нии l и ▒имвол s в кле▓ке
из T , ▓ол╝ко ╖▓о п░о╖и▓анн╗й h, пе░е╡од┐▓ l0 и s0 , а головка h пе░еме╣ае▓▒┐ на одн│ кле▓к│ вп░аво ( = +1) или влево ( = ;1) или о▒▓ае▓▒┐ на
ме▒▓е ( = 0). Кажда┐ ма╕ина Т╝╛░инга ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ коне╖ном│ мно-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
3
Пол Бенев
же▒▓в│ п┐▓е░ок Q, в ко▓о░ом не▓ п┐▓е░ок, на╖ина╛╣и╡▒┐ ▒ дв│╡ одинаков╗╡ ▒имволов. Е▒ли в кон╢е неко▓о░ого ╕ага L на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии l,
а s | ▒имвол, п░о╖и▓анн╗й h, ▓о ▒лед│╛╣ий ╕аг задае▓▒┐ п┐▓е░кой вида
l(s; ;; ;);. Е▒ли ▓акой п┐▓е░ки в Q не▓, ▓о ма╕ина о▒▓анавливае▓▒┐.
Кажда┐ ма╕ина Q оп░едел┐е▓ ┤│нк╢и╛ Q : N S ! N S [;1; 0; 1], где
Q(l; s) = (l0 s0 )
(1)
дл┐ каждой па░╗ (ls) из п┐▓е░ки l(ss0 )l0 , п░инадлежа╣ей Q. Е▒ли в Q
не▓ п┐▓е░ки ▒ l и s, ▓о Q(ls) = (ls0):
С помо╣╝╛ ┤│нк╢ии Q можно оп░едели▓╝ пе░е╡одн│╛ ┤│нк╢и╛ ма╕ин╗ TQ как о▓об░ажение TQ: ID ! ID, где ID = N (S )Zb Z |
множе▒▓во мгновенн╗╡ опи▒аний ма╕ин╗. П░иведем ┐вное в╗░ажение
┤│нк╢ии TQ :
TQ(l (j )) = (l0 0j 0 );
(2)
где Q (l; (j )) = (l0 ; 0 (j ); ), j 0 = j + и 0 (k) = (k) дл┐ в▒е╡ k 6= j . Шаги
Q ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ и▓е░а╢и┐м TQ, и п░о╢е▒▒ в╗╖и▒лени┐ о▒▓анавливае▓▒┐
в неподвижной ▓о╖ке Q.
Удобно ог░ани╖и▓╝▒┐ ▓акими ма╕инами Т╝╛░инга, ко▓о░╗е в╗полн┐╛▓ в╗╖и▒лени┐ в ▒▓анда░▓ной ┤о░ме. В ╜▓ом ▒л│╖ае на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние оп░едел┐е▓▒┐ как ▒о▒▓о┐ние ц1ч, головка h ╖и▓ае▓ ▒имвол в кле▓ке ц0ч
из T и каждое в╗░ажение i (j ) = b, е▒ли j < 0, и не▓ дв│╡ неп│▒▓╗╡
▒о▒▓о┐ний ▒имволов в i , ░азделенн╗╡ п│▒▓╗м. В ╜▓ом ▒л│╖ае по▒ле n ╕агов в╗╖и▒лений ▒▓анда░▓ной ма╕ин╗ Т╝╛░инга ▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней
ма╕ин╗ L на╡оди▓▒┐ ▒░еди пе░в╗╡ Nn ╖и▒ел из N , где
Nn =
n
X
j =0
mj :
(3)
Зде▒╝ и далее m | ╖и▒ло ▒имволов в ал┤ави▓е S . С▓анда░▓ное коне╖ное
▒о▒▓о┐ние по╡оже на на╖ал╝ное, ▒лед│е▓ ▓ол╝ко п░ин┐▓╝ во внимание, ╖▓о
▓епе░╝ ╜▓о | одно из доп│▒▓им╗╡ ▒о▒▓о┐ний.
Нам понадоб┐▓▒┐ ╖и▒ла, ко▓о░╗е п░ед▒▓авл┐╛▓ в ░е╕е▓╖а▓ой модели
двои╖н╗е ╢епо╖ки ▒пинов, нап░авленн╗╡ вве░╡ (+) и вниз (;).
Дл┐ п░ед▒▓авлени┐ в▒е╡ положи▓ел╝н╗╡ ╖и▒ел, не п░ево▒╡од┐╣и╡ n,
▓░еб│е▓▒┐ l2 (n) двои╖н╗╡ ╢епо╖ек, где
[log2 (n)] + 1;
l2 (n) = log (n);
2
4
е▒ли log2 (m) ; [log2 (m)] > 0;
е▒ли log2 (m) ; [log2 (m)] = 0;
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(4)
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
где [r] озна╖ае▓ наибол╝╕ее ╢елое, не п░ево▒╡од┐╣ее ╖и▒ла r. П│▒▓╗е кле▓ки T модели░│╛▓▒┐ ╢епо╖ками (;){▒пинов. В п░ед▒▓авлении двои╖н╗╡
╖и▒ел на ░е╕е▓ке ▒пинов (+){▒пин╗ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ 1 и (;){▒пин╗ | 0.
Таким об░азом, кажда┐ п│▒▓а┐ кле▓ка T ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ╖и▒л│ 0, запи▒анном│ в кле▓ке.
В дал╝ней╕ем б│д│▓ ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ ▒и▒▓ем╗, ко▓о░╗е модели░│╛▓ ▓ол╝ко J пе░в╗╡ ╕агов ▒▓анда░▓ной ма╕ин╗ Т╝╛░инга. Э▓о ог░ани╖ение, в╗з╗ваемое и▒кл╛╖и▓ел╝но ин▓е░е▒ами ма▓ема▓и╖е▒кой п░о▒▓о▓о▓╗, позвол┐е▓ избежа▓╝ бе▒коне╖номе░н╗╡ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем. Тепе░╝ ▒о▒▓о┐ни┐ вн│▓░енней ма╕ин╗ L б│д│▓ на╡оди▓╝▒┐ ▒░еди ╖и▒ел
[1; 2; : : : ; Nj ].
Вооб╣е гово░┐, ┤│нк╢и┐ пе░е╡ода TQ ма╕ин╗ Т╝╛░инга не взаимно однозна╖на. Ч▓об╗ по▒▓░ои▓╝ гамил╝▓онов│ модел╝ ди▒к░е▓ного п░о╢е▒▒а, необ╡одимо име▓╝ взаимно однозна╖н│╛ ┤│нк╢и╛ пе░е╡ода. Э▓о
можно ▒дела▓╝, добавив запи▒╗ва╛╣│╛ ▒и▒▓ем│ R и запи▒╗ва╛╣│╛ головк│ j. В ╜▓ом ▒л│╖ае кажд╗й ╕аг ма╕ин╗ Т╝╛░инга б│де▓ ▒в┐зан ▒
опе░а╢и┐ми ▓░е╡ ▓ипов: запи▒╝, в╗╖и▒ление, ▒двиг. П░и опе░а╢ии запи▒и
▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней ма╕ин╗ L, запи▒╝ в кле▓ке из T , п░о╖и▓анна┐ головкой h, и положение h запи▒╗ва╛▓▒┐ в п│▒▓ой кле▓ке из R. Э▓и кле▓ки
▒кани░│е▓ головка j. П░и опе░а╢ии в╗╖и▒лени┐ ▒о▒▓о┐ни┐ вн│▓░енней ма╕ин╗ L запи▒╝ в кле▓ке из T и положение головки h измен┐╛▓▒┐ ▓ак, как
╜▓о п░едпи▒╗вае▓ п┐▓е░ка из Q, два пе░в╗╡ ▒имвола ко▓о░ой запи▒ан╗ в
кле▓ке из R, о▒мо▓░енной головкой j. Т░е▓ий ▓ип опе░а╢ии | ▒двиг j к
новой кле▓ке запи▒и. Э▓и ▓░и ▓ипа опе░а╢ий модели░│╛▓▒┐ на ▒пиновой
░е╕е▓ке или как ▓░и ▓ипа п░еоб░азований, пов▓о░┐╛╣и╡▒┐ ▒нова и ▒нова
(░аздел 4), или как пов▓о░н╗е п░еоб░азовани┐ одного ▓ипа (░аздел 5).
2.2. Спин{░е╕е▓╖а▓а┐ модел╝
Можно по▒▓░ои▓╝ модел╝ ▓ол╝ко ╖▓о опи▒анной ▒и▒▓ем╗, и▒пол╝з│┐
дв│ме░н│╛ ░е╕е▓к│ ▒пинов вели╖ин╗ 21 . Кажда┐ ▒о▒▓авл┐╛╣а┐ ▒и▒▓ем╗ модели░│е▓▒┐ как под░е╕е▓ка ▒пиновой ▒и▒▓ем╗. К░оме под░е╕е▓ок
дл┐ вн│▓░енней ма╕ин╗ L, в╗╖и▒ли▓ел╝ной лен▓╗ T и в╗╖и▒ли▓ел╝ной
головки h, в ╜▓ой ░е╕е▓ке в╗дел┐╛▓▒┐ под░е╕е▓ки дл┐ запи▒╗ва╛╣ей
головки j и запи▒╗ва╛╣ей ▒и▒▓ем╗ R. В▒е ╜▓и ░е╕е▓ки изоб░ажен╗ на
░и▒│нке 1. П░иведем де▓ал╝ное опи▒ание ▒и▒▓ем╗. Модел╝ вн│▓░енней
ма╕ин╗ L, ▒по▒обной во▒п░оизве▒▓и J ╕агов ▒▓анда░▓ной ма╕ин╗ Т╝╛░инга, ▓░еб│е▓ дл┐ ▒воей ░еализа╢ии обла▒▓╝ RL , занима╛╣│╛ по к░айней
ме░е l2 (NJ ) │злов ░е╕е▓ки. Дл┐ │доб▒▓ва ░а▒положим RL ▓ак, ╖▓об╗ она
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
5
Пол Бенев
▒оде░жала J + 1 │зел в x{нап░авлении, занима┐ ме▒▓а о▓ 0 до J , и M │злов в y{нап░авлении, занима┐ ме▒▓а о▓ 0 до M ; 1. Зде▒╝ и в дал╝ней╕ем
M = l2(m) | ╜▓о длина двои╖ной ╢епо╖ки, необ╡одимой дл┐ п░ед▒▓авлени┐ ▒имволов в ал┤ави▓е S . Заме▓им, ╖▓о по▒кол╝к│ NJ 6 mJ +1 , ▓о в
▒ил│ ░авен▒▓ва (2) MJ + J > l2 (NJ ). Каждое ▒о▒▓о┐ние l вн│▓░енней ма╕ин╗ L, до▒▓ижимое за 6 J ╕агов, когда оно ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ как одно
из ╖и▒ел f1; : : : ; NJ g, може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлено как об░а╣енное двои╖ное
п░ед▒▓авление ╖и▒ла в виде коне╖ной по▒ледова▓ел╝но▒▓и н│лей и едини╢.
Нап░име░, 2 = 01, 3 = 11, 4 = 001 и ▓. д. Зде▒╝ ╖и▒ла запи▒╗ва╛▓▒┐ об░а▓ном по░┐дке дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ можно б╗ло во▒пол╝зова▓╝▒┐ п░ед▒▓авлением
по▒ледова▓ел╝но▒▓┐ми из н│лей и едини╢ длин╗ ╖и▒ел f1; : : : ; M (J +1)g,
добавл┐┐ ▒п░ава н│ли без изменени┐ зна╖ени┐. По╜▓ом│ в дал╝ней╕ем l
б│де▓ озна╖а▓╝ или ╖и▒ло или, его ░а▒╕и░енное двои╖ное п░ед▒▓авление.
П│▒▓╝ | неко▓о░ое о▓об░ажение, ко▓о░ое │по░┐до╖ивае▓ │зл╗ ░е╕е▓ки RL . Нап░име░, (j; k) = jM + k дл┐ x{коо░дина▓ j = 0; : : : ; J и y{
коо░дина▓ k = 0; : : : ; M ; 1. | ╜▓о биек╢и┐ из RL
в f0; 1; : : : ; [(J + 1) M ] ; 1g. И▒пол╝з│┐ ╜▓│ ┤│нк╢и╛, каждое ▒о▒▓о┐ние l вн│▓░енней ма╕ин╗ L, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ▒пиновой кон┤иг│░а╢ии Fl
в RL , можно зада▓╝ ┤о░м│лой Fl (i; j ) = l((i; j )) дл┐ каждого │зла (i; j )
в RL . Э▓о▓ п░име░ ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▓акой плани░овке п░ед▒▓авлени┐ ▒о▒▓о┐ний ▒ помо╣╝╛ об░а╣енного двои╖ного п░ед▒▓авлени┐: ▒на╖ала ид│▓
пе░в╗е M н│лей и едини╢ вдол╝ y{нап░авлени┐ п░и x = 0, за▓ем M н│лей
и едини╢ ▒ x = 1; : : : , и наконе╢ M н│лей и едини╢ вдол╝ линии x = J .
В╗╖и▒ли▓ел╝на┐ лен▓а T модели░│е▓▒┐ п░┐мо│гол╝ной обла▒▓╝╛ RT
длин╗ 2J + 1 о▓ ;J до J в x{нап░авлении (▒м. ░и▒. 1). Дл┐ каждого j ,
;J 6 j 6 J , под░е╕е▓ка RT ▒о▒▓о┐╣а┐ из │злов ▒ x = j и зна╖ений
y, измен┐╛╣и╡▒┐ о▓ M до 2M ; 1, ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ j {й кле▓ке на лен▓е.
Длина лен▓╗ оп░едел┐е▓▒┐ из ▓е╡ ▒ооб░ажений, ╖▓о п░и ▒▓анда░▓ном в╗╖и▒лении головка на╖инае▓ ▒вое движение ▒ ╢ен▓░а и за J ╕агов не може▓
п░одвин│▓╝▒┐ более ╖ем на J ╕агов влево или вп░аво.
Ра▒п░о▒▓░аним п░ин┐▓ое п░ед▒▓авление ▒имволов S на множе▒▓во
(+; ;){по▒ледова▓ел╝но▒▓ей длин╗ M . В ╜▓ом ▒л│╖ае опи▒анна┐ в╗╕е
▒пинова┐ ко┤иг│░а╢и┐ ▒пиновой под░е╕е▓ки RT ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▒оде░жимом│ j {й кле▓ки T . Э▓│ кон▒▓░│к╢и╛ можно о╖евидн╗м об░азом обо╣и▓╝ ▓ак, ╖▓об╗ каждом│ в╗░ажени╛ на лен▓е ▒оо▓ве▓▒▓вовала кон┤иг│░а╢и┐ на ░е╕е▓ке RT . В дал╝ней╕ем, в зави▒имо▒▓и о▓ кон▓ек▒▓а, б│де▓ обозна╖а▓╝ или в╗░ажение на лен▓е или ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣│╛ ▒пинов│╛ кон┤иг│░а╢и╛ в RT . О╖евидно, ╖▓о п│▒▓ой кле▓ке ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓
6
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
;
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
Ри▒. 1. П░ед▒▓авление ░е╕е▓╖а▓ой модели в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕ин╗. Ком-
понен▓╗ X и Y положений │злов зада╛▓▒┐ ╖и▒лами о▓ ;J до J и о▓ 0
до 2M + LRJ + 1 ▒оо▓ве▓▒▓венно. Обла▒▓и ░е╕е▓ки дл┐ компонен▓ L, j и
R по о▒и x п░о▒▓и░а╛▓▒┐ о▓ 0 до J , дл┐ компонен▓ T и h | о▓ ;J до
J . Разме░ и положение обла▒▓ей L, T и R по о▒и y показан╗ ┤иг│░н╗ми
▒кобками. Узл╗ дл┐ головок h и j занима╛▓ ░┐д╗ ▒ коо░дина▓ами Y 2M
и 2M + 1 ▒оо▓ве▓▒▓венно. Символ + озна╖ае▓ ▒пин, нап░авленн╗й вве░╡,
▒имвол ; озна╖ае▓ ▒пин, нап░авленн╗й вниз, ▓о╖ки │каз╗ва╛▓ на │зл╗
▒о ▒пином 1/2
(;){по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ или ▒пинова┐ кон┤иг│░а╢и┐, в ко▓о░ой в▒е ▒пин╗
под░е╕е▓ки RT нап░авлен╗ вниз.
В╗╖и▒ли▓ел╝на┐ головка h модели░│е▓▒┐ как лини┐ ▒ ┤ик▒и░ованной
коо░дина▓ой y = 2M и коо░дина▓ой x, измен┐╛╣ей▒┐ о▓ ;J до J . В▒е ▒пин╗ на ╜▓ой линии, к░оме одного, нап░авлен╗ вниз. Вве░╡ нап░авлен ▓о▓
▒пин, ╖╝е положение ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ положени╛ кле▓ки, около ко▓о░ой ░а▒положена головка. Нап░име░, кон┤иг│░а╢и┐ (;; ;; : : : ; ;; +; ;; : : : ; ;),
где нап░авленн╗й вве░╡ ▒пин имее▓ коо░дина▓│ j , п░ед▒▓авл┐е▓ головк│ h, ░а▒положенн│╛ около кле▓ки j .
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
7
Пол Бенев
Запи▒╗ва╛╣а┐ головка j модели░│е▓▒┐ ▓ак же, как и h, ▓ол╝ко ▓епе░╝
y п░инимае▓ зна╖ение 2M = 1, а коо░дина▓а x измен┐е▓▒┐ о▓ 0 до J .
Модел╝ запи▒╗ва╛╣ей ▒и▒▓ем╗ R оказ╗вае▓▒┐ более ▒ложной, по▓ом│ ╖▓о зде▒╝ ▒ каждой кле▓кой, е▒ли она не│п│▒▓а┐, ▒в┐з╗ва╛▓ ▓░и ╖и▒ла.
В каждой кле▓ке н│жно запи▒а▓╝ ▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней ма╕ин╗ L, ▒имвол, п░о╖и▓анн╗й головкой h и положение h. Дл┐ пе░в╗╡ J ╕агов л╛бого
в╗╖и▒лени┐ л╛бой ▒▓анда░▓ной ма╕ин╗ Т╝╛░инга ▒о▒▓о┐ни┐ вн│▓░енней
ма╕ин╗ L лежа▓ в ин▓е░вале NJ , ▒оде░жимое кле▓ки, ▒кани░│емой h, лежи▓ в S , положение h ╡░ани▓▒┐ в ин▓е░вале [;J; J ].
П░едположим, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ взаимно однозна╖ное о▓об░ажение
множе▒▓ва (NJ S [;J; J ]) [ fbg на множе▒▓во в▒е╡ двои╖н╗╡ по▒ледова▓ел╝но▒▓ей длин╗ LRJ . Дополни▓ел╝н╗й ▒имвол b позвол┐е▓ │╖е▒▓╝ ▓о
об▒▓о┐▓ел╝▒▓во, ╖▓о ▒кани░│ема┐ кле▓ка може▓ б╗▓╝ п│▒▓ой. По▒кол╝к│
о▓об░ажение должно б╗▓╝ цо▓об░ажением нач или цо▓об░ажением вч, ▓о
должно в╗полн┐▓╝▒┐ ▒оо▓но╕ение LRJ > l2 [(NJ m (2J +1)+1], в ко▓о░ом
возможен и знак ░авен▒▓ва, а m | ╜▓о ╖и▒ло ╜лемен▓ов в S . С▓анда░▓н╗й
п░име░ ▓акого о▓об░ажени┐ дае▓ ┤│нк╢и┐ , оп░едел┐ема┐ ░авен▒▓вом
;
(lsj ) = 2J K (K (l; s); u(j )) + 1 ;
(5)
а (b) = 2J (0). В ╜▓ом ░авен▒▓ве ┤│нк╢и┐ u о▓об░ажае▓ о▓░езок [;J; J ]
на [0; 2J ] по п░авил│ u(j ) = 2j + 1, е▒ли j > 0 и u(j ) = ;2j , е▒ли j 6 0.
K | ┤│нк╢и┐ дв│╡ пе░еменн╗╡ [17], оп░еделенна┐ ┤о░м│лой
K (m; n) = 21 (m2 + 2mn + n2 + 3m + n):
Символ s в п░авой ╖а▒▓и (5) озна╖ае▓, ╖▓о s | одно из ╖и▒ел из [1; : : : ; m].
Символ 2J (n) оп░едел┐е▓ об╗╖ное двои╖ное п░ед▒▓авление ╖и▒ла n, дополненное ▒лева н│л┐ми, ▓ак, ╖▓об╗ длина ╖и▒ла 2J (n) б╗ла ░авна LRJ дл┐
в▒е╡ n 6 [NJ m (2J + 1)] + 1.
Обла▒▓╝ RR ░е╕е▓ки R ░а▒положена межд│ 0 до J в x{нап░авлении
и о▓ 2M + 2 до 2M + 1 + LRJ в y{нап░авлении (░и▒. 1). Соде░жимое k{й
запи▒╗ва╛╣ей кле▓ки модели░│е▓▒┐ ▒пинами в под░е╕е▓ке RR ▒ коо░дина▓ами x = k и 2M + 2 6 y 6 2M + 1 + LRJ . П░ед▒▓авление 2J (j ) ╖и▒ла j
по▒▓░оено ▓ак, ╖▓о п░и │ = 2M + 2 + n (+){▒пин ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ╖и▒л│
1 2n , а (;){▒пин | 0 2n . Э▓им оп░едел┐е▓▒┐ двои╖ное п░ед▒▓авление
j=
8
LRJ
X
n=0
[2J (j )](n) 2n :
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
П│▒▓╝ б│де▓ о▓об░ажением [0; J ] в (NJ S [;J; J ]) [ [b]. Тогда
оп░едел┐е▓ ░еги▒▓░и░│╛╣│╛ ▒и▒▓ем│, ▓ак ╖▓о (k) | ╜▓о ▒оде░жимое
k-й ░еги▒▓░и░│╛╣ей кле▓ки. О▓об░ажением можно во▒пол╝зова▓╝▒┐ дл┐
по▒▓░оени┐ ▒пиновой кон┤иг│░а╢ии G на ░е╕е▓ке RR , в каждой ▓о╖ке
(k; 2M + 2 + j ) ко▓о░ой
;
G(k; 2M + 2 + j ) = (k) (j ):
(6)
Дл┐ п░о▒▓о▓╗ и дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ име▓╝ возможно▒▓╝ п░ед▒▓авлени┐
л╛б╗╡ ма╕ин одной ┤ик▒и░ованной ░е╕е▓кой, ее ░азме░ в╗б░ан бол╝╕им, ╖ем ╜▓о необ╡одимо. Нап░име░, е▒ли д│ма▓╝ о ░еализа╢ии ▓ол╝ко
одной ма╕ин╗, ▓о можно зна╖и▓ел╝но │мен╝╕и▓╝ ░азме░╗ RR и RL .
;
Ри▒. 2. Ре╕е▓о╖на┐ модел╝ ▒пиновой кон┤иг│░а╢ии дл┐ п░име░а в ▓ек▒▓е.
Дв│нап░авленн╗е ▒▓░елки озна╖а╛▓ │зл╗ ▒о ▒пином, нап░авленн╗м вниз.
Как и на п░ед╗д│╣ем ░и▒│нке, обозна╖ен╗ ┤иг│░н╗ми ▒кобками и/или
░│копи▒н╗ми б│квами
Полезно п░иве▒▓и п░име░ ┐вной ░еализа╢ии ▓ол╝ко ╖▓о по▒▓░оенного п░ед▒▓авлени┐. П│▒▓╝ S = (b; s1 ; s2 ), где (b; s1 ; s2 ) ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ╖и▒лам 0, 1, 2. В ╜▓ом ▒л│╖ае m = 3 и l2 (m) = 2. П│▒▓╝ J = 5. Ри▒│нок 2
изоб░ажае▓ ▒о▒▓о┐ние ░е╕е▓ки по▒ле дв│к░а▓ного п░именени┐ ▓░ойки
опе░а╢ий цзапи▒╝{в╗╖и▒ление{j{▒двигч, ко▓о░╗е │п░авл┐╛▓▒┐ п┐▓е░ками
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
9
Пол Бенев
1 (b; 1; ;1) 3 и 3 (b; 2; 0) 5. Кон┤иг│░а╢и┐ в RL, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ об░а╣енном│ двои╖ном│ п░ед▒▓авлени╛ ╖и▒ла 5 или 1010...0, п░ед▒▓авл┐е▓
вн│▓░енн╛╛ ма╕ин│ L в ▒о▒▓о┐нии 5. В╗░ажение на лен▓е T , п░о╖и▓анное ▒лева нап░аво, гла▒и▓ bbbbs2 s1 s2 s1 s1 s2 s1 . В ╖а▒▓но▒▓и, ▒имвол s2
на╡од┐╣иий▒┐ п░и x = ;1, а s1 | п░и x = 0 ▒ по▒лед│╛╣ими ▒имволами (s2 s1 s1 s2 s1 , ко▓о░╗е п░оизвол╝н╗), зада╛▓▒┐ как ╖а▒▓╝ ▒▓анда░▓ного
в╡ода. Головка h, как оп░еделено п┐▓е░ками, на╡оди▓▒┐ в положении ;1,
а головка j | в положении 2, ▒кани░│┐ п│▒▓│╛ кле▓к│ запи▒и. В▒е кле▓ки
▒п░ава о▓ j ▓акже п│▒▓╗. П░о▓┐женно▒▓╝ под░е╕е▓ки R в y{нап░авлении
дае▓▒┐ в╗░ажением LRJ = l2 (NJ m (2J + 1) + 1). По▒кол╝к│ NJ = 364
(▒м. ░авен▒▓во (2)), ▓о LRJ = 14. П┐▓е░ки озна╖а╛▓, ╖▓о в пе░вой и в▓о░ой кле▓ка╡ запи▒и на╡оди▓▒┐ ▒лед│╛╣ее: (1; 0; 0) и (3; 0; ;1). Зна╖ени┐
┤│нк╢ии : (1; 0; 0) = 2J (6) = :::110 и (3; 0; ;1) = 2J (76) = :::1001100
запи▒ан╗ в кле▓ка╡ 0 и 1 под░е╕е▓ки R. Э▓о показано на ░и▒│нке 2.
3. Со▒▓о┐ни┐ и опе░а▓о░╗ модели
3.1. Со▒▓о┐ни┐ модели
П│▒▓╝ + (i; j ) и ; (i; j ) озна╖а╛▓ ▒о▒▓о┐ни┐ ц▒пин{вве░╡ч и ц▒пин{
внизч в ▓о╖ке ░е╕е▓ки ▒ коо░дина▓ами (i; j ). Э▓и ▒о▒▓о┐ни┐ можно
изоб░ази▓╝ ▒▓олб╢ами ( 10 )) и ( 01 )) П│▒▓╝ f | неко▓о░а┐ кон┤иг│░а╢и┐ в
под░е╕е▓ке R. Тогда ▒о▒▓о┐ние кон┤иг│░а╢ии п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ век▓о░ом
f =
O
(i; j )2R
f (i; j ) (i; j ):
(7)
С помо╣╝╛ ╜▓ого и▒╡одного оп░еделени┐ можно зада▓╝ ▒о▒▓о┐ние
п░оизвол╝ной кон┤иг│░а╢ии. Век▓о░ Ll , ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий ▒о▒▓о┐ни╛ l
вн│▓░енней ма╕ин╗ L, оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой (7) ▒ R = RL (░и▒. 1).
Зде▒╝ индек▒ l обозна╖ае▓ или ▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней ма╕ин╗ L или ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣│╛ кон┤иг│░а╢и╛ ▒пинов под░е╕е▓ки RL . О ╖ем именно иде▓
░е╖╝, об╗╖но ┐▒но из кон▓ек▒▓а.
Век▓о░╗ ▒о▒▓о┐ний T , hj и R оп░едел┐╛▓▒┐ аналоги╖но. Заме▓им
▓ол╝ко, ╖▓о в ░авен▒▓ве
T =
J
O
j =;J
T (jj )
(8)
век▓о░ T (jj ) оп░еделен в ▓ой обла▒▓и RTj ░е╕е▓ки, ко▓о░а┐ ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓
кле▓ке j из T и ▒о▒▓о┐ни╛ кон┤иг│░а╢ии, ко▓о░а┐ ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▒имво10
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
л│ (j ), ╡░ан┐╣ем│▒┐ в кле▓ке j из T . Аналоги╖ное оп░еделение ▒п░аведливо и дл┐ век▓о░а R . Он ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ в╗░ажени╛ , запи▒анном│
в кле▓ка╡ R. Кон┤иг│░а╢и┐, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ , оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой (6). Со▒▓о┐ни┐ hj и jk , ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие положени╛ в╗╖и▒ли▓ел╝ной головки │ кле▓ки j и запи▒╗ва╛╣ей головки │ кле▓ки k, оп░едел┐╛▓▒┐
┤о░м│лой (7) ▒ R = Rh и R = Rj (░и▒. 1). Е▒ли h на╡оди▓▒┐ в положении j , ▓о f (i; 2M ) = ; п░и i 6= j и f (j; 2M ) = +. П░и j в положении k
f (i; 2M + 1) = ;, е▒ли i 6= k и f (k; 2M + 1) = +.
Век▓о░ ▒о▒▓о┐ни┐ в▒ей ░е╕е▓ки дл┐ ▒пиновой кон┤иг│░а╢ии, ко▓о░а┐
▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▒и▓│а╢ии, когда вн│▓░енн┐ ма╕ина L на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии l, T ▒оде░жи▓ в╗░ажение , R | в╗░ажение , а головки h и j
о▒▓ановили▒╝ │ кле▓ок j и k, дае▓▒┐ в╗░ажением
ljk = Ll
O
T
O hO j O
j
k
R :
(9)
Такие ▒о▒▓о┐ни┐Nоб░аз│╛▓ подмноже▒▓во в▒е╡ возможн╗╡ кон┤иг│░а╢ий
░е╕е▓ки f = (m; n) 2 RJ f (m; n) (m; n), где RJ | в▒┐ ░е╕е▓ка, изоб░аженна┐ на ░и▒. 1, а f | п░оизвол╝на┐ кон┤иг│░а╢и┐ из RJ .
3.2. П░оек╢ионн╗е опе░а▓о░╗ модели
Необ╡одим╗е дл┐ дал╝ней╕его п░оек╢ионн╗е опе░а▓о░╗ ▓акже легко
пол│╖а╛▓▒┐ из о▒новн╗╡ оп░еделений. П│▒▓╝, как и п░ежде, f | кон┤иг│░а╢и┐, оп░еделенна┐ в неко▓о░ой обла▒▓и ░е╕е▓ки R. Тогда п░оек╢ионн╗й опе░а▓о░, в╗дел┐╛╣ий ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ▒о▒▓о┐ние f , оп░едел┐е▓▒┐
┤о░м│лой
O
Pf =
Pf (i; j )(i; j );
(10)
(i; j )2R
где п░оек╢ионн╗й опе░а▓о░, оп░еделенн╗й в ▒пиновой ▒и▒▓еме, ▒в┐занной
▒ ▓о╖кой (i; j ), ░авен
(11)
P (i; j ) = 1 23 (i; j ) :
Зде▒╝ 3 (i; j ) | ▒пинова┐ ма▓░и╢а Па│ли в │зле (i; j ). Из п░иведенного
оп░еделени┐ ▒лед│е▓, ╖▓о дл┐ п░оизвол╝но оп░еделенной в R кон┤иг│░а╢ии g
Pf g = f f; g ;
где f; g = 1, е▒ли f = g и 0, е▒ли f 6= g.
Ра▒▒│жда┐ ▓аким же об░азом, можно оп░едели▓╝ опе░а▓о░╗ PlL дл┐
обла▒▓и RL, PT дл┐ обла▒▓и RT , Pjh дл┐ обла▒▓и Rh , Pkj дл┐ обла▒▓и Rj
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
11
Пол Бенев
и PR дл┐ обла▒▓и RR . Нап░име░, опе░а▓о░, в╗дел┐╛╣ий в╗░ажение на
лен▓е T , можно запи▒а▓╝ в ┤о░ме
PT =
T
O
j =;J
PT(j )j ;
(12)
где PT(j )j | п░оек╢ионн╗й опе░а▓о░, в╗дел┐╛╣ий ▒имвол (j ) в кле▓ке j
на лен▓е T . Аналоги╖ное ░азложение ▒п░аведливо и дл┐ опе░а▓о░а PR ,
ко▓о░╗й и╣е▓ в╗░ажение в кле▓ка╡ R. Заме▓им, ╖▓о PlL | ╜▓о п░оек╢ионн╗й опе░а▓о░, позвол┐╛╣ий най▓и L в ▒о▒▓о┐нии Ll , ╡о▓┐ ╖а▒▓о гово░┐▓ о PlL как об опе░а▓о░е, ко▓о░╗й в╗дел┐е▓ L в ▒о▒▓о┐нии l.
Взаимна┐ замена пон┐▓ий ц▒о▒▓о┐ние ▒и▒▓ем╗ч и ц▒о▒▓о┐ние кон┤иг│░а╢иич п░ои▒╡оди▓ по▒▓о┐нно, но об╗╖но б│де▓ ┐▒но из кон▓ек▒▓а, о каком
▒о▒▓о┐нии иде▓ ░е╖╝. Каждом│ набо░│ ljk, необ╡одимом│ дл┐ полного опи▒ани┐ ▒о▒▓о┐ни┐ ма╕ин╗, ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ век▓о░ ▒о▒▓о┐ни┐ ljk
(▒м. ░авен▒▓во (9)), ко▓о░╗й в╗дел┐е▓▒┐ опе░а▓о░ом
Pljk = PlL
O
PT
O hO jO
Pj
Pk
PR :
(13)
3.3. Опе░а▓о░╗ изменени┐ кон┤иг│░а╢ий модели
П│▒▓╝ f и g | две кон┤иг│░а╢ии, оп░еделенн╗е в одной и ▓ой же
обла▒▓и R из на╕ей ░е╕е▓ки. Оп░еделим опе░а▓о░ fg ┤о░м│лой
fg =
O
(i; j )2Dfg
1 (i; j ):
(14)
Зде▒╝ Dfg = [(i; j )jf (i; j ) 6= g(i; j )] | множе▒▓во в▒е╡ │злов ░е╕е▓ки,
в ко▓о░╗╡ f о▓ли╖ае▓▒┐ о▓ g, а 1 (i; j ) | опе░а▓о░ пе░ево░о▓а ▒пина в
│зле (i; j ). Опе░а▓о░ 1 | ╜▓о ма▓░и╢а Па│ли, ко▓о░а┐ мен┐е▓ д░│г ▒
д░│гом век▓о░╗ + и ; . Опе░а▓о░ fg мен┐е▓ д░│г ▒ д░│гом век▓о░╗ f
и g , ▓. е. fg f = g и fg g = f . По▒леднее ▒вой▒▓во оп░едел┐е▓▒┐
▒оо▓но╕ением 1 2 = 1, из ко▓о░ого ▒лед│е▓, ╖▓о fg 2 = 1. Заме▓им, ╖▓о
fg h 6= h дл┐ в▒е╡ кон┤иг│░а╢ий, обла▒▓╝ оп░еделени┐ ко▓о░╗╡ имее▓
неп│▒▓ое пе░е▒е╖ение ▒ Dfg . Е▒ли f = g, ▓о Dfg | п│▒▓ое множе▒▓во
и fg = 1.
Удобно обоб╣и▓╝ п░иведенн│╛ в╗╕е кон▒▓░│к╢и╛ и ░а▒▒мо▓░е▓╝
│ни▓а░н╗й опе░а▓о░
Ufg = ei(f; g) fg ;
(15)
12
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
где exp(i (f; g)) | ┤азов╗й множи▓ел╝, зави▒┐╣ий о▓ f и g. Ufg | │ни▓а░н╗й опе░а▓о░, он б│де▓ ▒амо▒оп░┐женн╗м в ▓ом и ▓ол╝ко в ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли (f; g) = 0( mod 2). Как ╡о░о╕о изве▒▓но, ▓о╖ное в╗░ажение (f; g) зави▒и▓ о▓ вида взаимодей▒▓ви┐, ко▓о░ое и▒пол╝з│е▓▒┐ дл┐
░еализа╢ии опе░а▓о░а пе░е▒▓ановки. Зде▒╝ опе░а▓о░ взаимодей▒▓ви┐ в╗б░ан в ┤о░ме
~ fg ;
(16)
Hfg = 2
где | п░оизвол╝н╗й п░омеж│▓ок в░емени. Тогда опе░а▓о░ Ufg (t), оп░еделенн╗й ┤о░м│лой
Ufg = e;itHfg =~ ;
(17)
░авен
t
t :
Ufg (t) = cos 2 ; ifg sin 2
(18)
В ╜▓ом ▒л│╖ае
Ufg () = Ufg = ;ifg ;
(19)
▒ (f; g) = 3=2 незави▒имо о▓ f и g. Можно в╗б░а▓╝ и д░│гие опе░а▓о░╗ Hfg , но зде▒╝ ╜▓и возможно▒▓и об▒│жда▓╝▒┐ не б│д│▓.
4. Зави▒┐╣ие о▓ в░емени гамил╝▓онов╗ модели
4.1. Запи▒╝, в╗╖и▒ление и ▒двиги
В ╜▓ом ░азделе б│де▓ по▒▓░оена ▓ака┐ модел╝ в╗╖и▒лени┐, в ко▓о░ой
кажд╗й ╕аг п░о╢е▒▒а б│де▓ ░азделен на ▓░и: запи▒╝, в╗╖и▒ление, ▒двиг. В
╜▓ом ▒л│╖ае можно ░а▒по░┐ди▓╝▒┐ в╗╖и▒лени┐ми ▓ак, ╖▓о ▒и▒▓ем╗, ▒о▒▓о┐ни┐ ко▓о░╗╡ оп░едел┐╛▓, какие ▒лед│е▓ п░имени▓╝ опе░а▓о░╗ пе░е╡ода,
не б│д│▓ ▒овпада▓╝ ▒ ▓еми ▒и▒▓емами, в ко▓о░╗╡ ▒оде░жа▓▒┐ кон┤иг│░а╢ии, подлежа╣ие изменени╛. Г░│бо гово░┐, ▓░еб│е▓▒┐, ╖▓об╗ на каждом
╕аге в╗╖и▒лени┐ п░ове░┐╛╣ие ▒и▒▓ем╗ б╗ли б╗ о▓делен╗ о▓ ▒и▒▓ем, ╖╝и
▒о▒▓о┐ни┐ измен┐╛▓▒┐.
П░и╖ина ╜▓ого ▓░ебовани┐ к░ое▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о его ░ез│л╝▓а▓ом б│де▓ о▓но▒и▓ел╝но п░о▒▓ое гамил╝▓оново опи▒ание каждого ╕ага п░о╢е▒▒а.
Э▓о б│де▓ ▒лед▒▓вием ▓ого, ╖▓о п░оек╢ионн╗е опе░а▓о░╗, ко▓о░╗е иг░а╛▓
░ол╝ п░ове░┐╛╣и╡ опе░а▓о░ов, комм│▓и░│╛▓ ▒ опе░а▓о░ами, измен┐╛╣ими кон┤иг│░а╢ии ▒и▒▓ем╗. Э▓ого не б│де▓, е▒ли о▓не▒▓и п░оек╢ионн╗е
опе░а▓о░╗ к ▓ой же ▒амой ▒и▒▓еме, где дей▒▓в│╛▓ опе░а▓о░╗ изменений,
╖▓о п░иведе▓ к более ▒ложном│ гамил╝▓ониан│. Зада╖а ╕ага запи▒и, в╗полн┐емой пе░ед в╗╖и▒лением, ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓об╗ запи▒а▓╝ в ╖и▒▓│╛
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
13
Пол Бенев
кле▓к│ запи▒ей (и╡ б│де▓ ▒кани░ова▓╝ головка j) ▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней
ма╕ин╗ L, ▒оде░жимое кле▓ки, ко▓о░│╛ ▒кани░│е▓ головка h и положение h. Шаг в╗╖и▒лени┐ ▒о▒▓ои▓ в о▒│╣е▒▓влении в ▒и▒▓еме L + T + h
опе░а╢ии, оп░едел┐емой ┤│нк╢ией Q (│░авнение (1)). А░г│мен▓ами ╜▓ой
┤│нк╢ии ┐вл┐╛▓▒┐ зна╖ени┐ l и s, вз┐▓╗е из кле▓ки, ко▓о░│╛ ╖и▓ае▓ головка j. Запи▒анное положение головки h и▒пол╝з│е▓▒┐ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗
в╗б░а▓╝ положение, в ко▓о░ое ╜▓а головка должна, е▒ли н│жно, ▒ме▒▓и▓╝▒┐. Сдвиги ▓░е▓╝его ▓ипа | ╜▓о ▒двиги головки j к новой кле▓ке запи▒и.
Опе░а▓о░ V1 , о▒│╣е▒▓вл┐╛╣ий опе░а╢и╛ запи▒и, задае▓▒┐ в╗░ажением
V1 =
NJ X X
J X
J
X
l=1 s2S j =;J k=0
где
P1 =
PlL PsjT Pjh Pkj U(Rlsjk )b + 1 ; P1 ;
NJ X X
J X
J
X
l=1 s2S j =;J k=0
(20)
PlL PsjT Pjh Pkj lR :
Опе░а▓о░ U(Rlsjk )b оп░едел┐е▓▒┐ ░авен▒▓вом (19), в ко▓о░ом f и g оп░едел┐╛▓▒┐ набо░ом (lsj ) и b из кле▓ки k в R. Нали╖ие ▒лагаемого 1 ; P1
▒в┐зано ▒ ▓ем об▒▓о┐▓ел╝▒▓вом, ╖▓о в полной ░е╕е▓ке ▒│╣е▒▓в│╛▓ ▒пинов╗е кон┤иг│░а╢ии, ко▓о░╗е не п░инадлежа▓ к ▓ем, какие опи▒╗ва╛▓▒┐
░авен▒▓вом (9). Нап░име░, кон┤иг│░а╢ии ▒ более ╖ем одним (+){▒пином
в h или j под░е╕е▓ка╡.
Я▒но, ╖▓о V1 │довле▓во░┐е▓ по▒▓авленн╗м │▒лови┐м. Заме▓им, ╖▓о
L; T ; h; j | ╜▓о ▒и▒▓ем╗, ко▓о░╗е п░ове░┐╛▓▒┐, а R | ▒и▒▓ема, ▒о▒▓о┐ни┐ ко▓о░ой измен┐╛▓▒┐. V1 дей▒▓в│е▓ ▒лед│╛╣им об░азом: е▒ли кле▓ка
запи▒и, ▒оде░жимое ко▓о░ой из│╖ила головка j, п│▒▓а, ▓о V1 запи▒╗вае▓
в кле▓к│ ▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней ма╕ин╗ L, ▒имвол на лен▓е T , п░о╖и▓анн╗й головкой h, и положение h. В п░о▓ивном ▒л│╖ае, ▓. е. е▒ли кле▓ка
запи▒и, ▒кани░│ема┐ j, │же ▒оде░жи▓ п░авил╝н│╛ запи▒╝ об из│╖аемом
▒о▒▓о┐нии, ▓о V1 о╖и╣ае▓ кле▓к│ запи▒и. Е▒ли запи▒╝ в кле▓ке, ко▓о░│╛
п░о╖ла головка j, не ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▒о▒▓о┐ни╛ L, ▒имвол│ на T , п░о╖и▓анном│ h, и положени╛ h, ▓о V1 ▒ове░╕ае▓ неко▓о░╗е п░еоб░азовани┐
▒оде░жимого кле▓ки запи▒и, п░о╖и▓анной j. Однако ┐вн╗й вид ╜▓и╡ п░еоб░азований ▒ей╖а▒ дл┐ на▒ без░азли╖ен.
Ма▓ема▓и╖е▒ки изложенное в╗╕е в╗░ажае▓▒┐ ▒лед│╛╣им об░азом:
V1 ljk = ;iljk0 ;
14
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(21)
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
где
0 (k) = (l; (j ); j ); е▒ли 0 (k) = b
и
0(k) = b; е▒ли 0 (k) = (l; (j ); j ):
Заме▓им, ╖▓о (h) = 0 (h) дл┐ в▒е╡ h 6= k. V1 ▓акже измен┐е▓ (k), е▒ли
(k) имее▓ д░│гие зна╖ени┐. Однако зде▒╝ ╜▓о об▒│жда▓╝▒┐ не б│де▓.
Опе░а▓о░, п░оизвод┐╣ий в╗╖и▒лени┐, имее▓ вид
V2 =
NJ X X
J X
J
X
l=1 s2S j =;J k=0
где
P2 =
U(LlsT);h(jl0 s0 ) Pkj P(Rlsj)k + 1 ; P2 ;
NJ X X
J X
J
X
LT h
l=1 s2S j =;J k=0
l
(22);
Pkj P(Rlsj)k
и ▒лагаемое 1 ; P2 в╗полн┐е▓ ▓│ же ░ол╝, ╖▓о и 1 ; P1 в ░авен▒▓ве (20),
индек▒╗ l0 ; s0 ; оп░едел┐╛▓▒┐ по ┤о░м│ле (1): Q(ls) = (l0 s0 ).
В ▒ил│ ░авен▒▓ва (19)
U(LlsT);h(jl0 s0 ) = ;illL0 ssT j0 hj :
(23)
Дл┐ опе░а▓о░а llL0 ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие кон┤иг│░а╢ии f и g оп░едел┐╛▓▒┐ ╖и▒лами l и l0 в RL (▒м. ░и▒. 1). Дл┐ ssT j0 век▓о░╗ f и g в╗дел┐╛▓▒┐
▒имволами s и s0 из обла▒▓и RT j | множе▒▓ва кле▓ок j на лен▓е T ,
наконе╢, дл┐ hj век▓о░╗ f и g опозна╛▓▒┐ по ╖и▒лам j и j + в обла▒▓и Rh . (Заме▓им, ╖▓о зна╖ени┐ J + 1 и ;(J + 1) замен┐╛▓▒┐ на ;J и J ,
▒оо▓ве▓▒▓венно.) Е▒ли = 0, ▓о hj | ▓ожде▒▓венн╗й опе░а▓о░.
Опе░а▓о░ V2 ▓акже │довле▓во░┐е▓ │▒лови╛, ▒┤о░м│ли░ованном│ в на╖але ░аздела, по▒кол╝к│ R и j ▓епе░╝ | п░ове░┐╛╣ие ▒и▒▓ем╗, а L, T
и h | ▒и▒▓ем╗, ╖╝и кон┤иг│░а╢ии измен┐╛▓▒┐. V2 дей▒▓в│е▓ ▓ак: е▒ли
кле▓ка R, ко▓о░│╛ ▒кани░│е▓ головка j, ▒оде░жи▓ неко▓о░│╛ запи▒╝ (lsj ),
ко▓о░а┐ п░авил╝но п░ед▒▓авл┐е▓ ▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней ма╕ин╗ L, ▒оде░жимое кле▓ки в T , ▒кани░│емой головкой h, и положение головки h,
▓о V2 во▒п░оизводи▓ в╗╖и▒ление в L, T и h, в ░ез│л╝▓а▓е ко▓о░ого l, s
и j замен┐╛▓▒┐ на l0 , s0 и j + , где Q(l; s) = (l0 ; s0 ; ). Е▒ли кле▓ка в
R, ▒кани░│ема┐
головкой j, ▒оде░жи▓ (lsj ), а l0 | ▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней
0
ма╕ин╗ L, s | ▒оде░жимое кле▓ки, ▒кани░│емой головкой h, и j 0 | положение головки h, ▒в┐зан╗ ▒оо▓но╕ением Q(ls) = (l0 s0 ) c j 0 = j + ,
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
15
Пол Бенев
▓о V2 анн│ли░│е▓ в╗╖и▒ление, пе░евод┐ l0 в l, s0 в s и j 0 в j . Е▒ли ▒оде░жание кле▓ки запи▒и, ▒кани░│емой головкой j, ▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней
ма╕ин╗ L, ▒имвол в кле▓ке, ▒кани░│емой h и положение h ▒в┐зан╗ не
▓ак, как опи▒ано в╗╕е, ▓о V2 ▓акже измен┐е▓ ▒о▒▓о┐ни┐ L, T и h. Однако
зде▒╝ ╜▓и изменени┐ не ░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐.
Ма▓ема▓и╖е▒ки ╜▓о в╗░ажае▓▒┐ ┤о░м│лой
V2l1 1 j1 k = ;il0 0j 0k :
(24)
Дей▒▓вие опе░а▓о░а V2 можно опи▒а▓╝ ▒лед│╛╣им об░азом. Е▒ли дл┐ неко▓о░ого набо░а (l; s; j ) ▒п░аведлива ┤о░м│ла (k) = (lsj ) и l1 = l, 1 (j ) = s
и j1 = j , ▓о п░ои▒╡оди▓ пе░е╡од к (l0 ; 0 (j ); ) ▒ j 0 = j + и 0 (h) = 1 (h)
дл┐ в▒е╡ h 6= j1 . Е▒ли (k) = (lsj ) и Q(ls) = (l1 s1 ), где j1 = j + и 1 (j1 ) = s1 , ▓о п░ои▒╡оди▓ об░а▓н╗й ╕аг l0 = l, 0 (j1 ) = s, j 0 = j и
0(k) = 1(k) дл┐ в▒е╡ k 6= j1 . Е▒▓е▒▓венно, ╖▓о V2 в╗з╗вае▓ и д░│гие
изменени┐.
Опе░а▓о░ ▒двига оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой
V3 =
где
J
X
LT h
k=o
l
P3 =
jk P R + 1 ; P ;
U+1
3
k
J
X
LT hj
k=0
l
(25)
PkR :
Опе░а▓о░ PkR п░ое╢и░│е▓ на ▓акие ▒о▒▓о┐ни┐ ░е╕е▓ки запи▒и, │ ко▓о░╗╡
k{┐ кле▓ка R | ╜▓о по▒ледн┐┐ (в нап░авлении воз░а▒▓ани┐ k) неп│▒▓а┐
Pk
кле▓ка. Его можно оп░едели▓╝ ┤о░м│лой PkR = PR , где индек▒ k │
знака ▒│мм╗ по озна╖ае▓ ╖▓о ▒│мми░ование ог░ани╖ено ▓акими , ╖▓о
(k) 6= b и (j ) = b дл┐ в▒е╡ j , │довле▓во░┐╛╣и╡ не░авен▒▓вам k < j 6 J .
Сп░аведливо
V3ljk = ;iljk0 ;
(26)
где k0 = k + 1, е▒ли k | по▒ледн┐┐ заполненна┐ кле▓ка в и k0 = k ; 1
е▒ли k ; 1 | по▒ледн┐┐ заполненна┐ кле▓ка в . (Заме▓им, ╖▓о k + 1 = 0,
е▒ли k = J и k ; 1 = J , е▒ли k = 0.)
Можно показа▓╝, ╖▓о │ни▓а░н╗е опе░а▓о░╗ V1 , V2 , V3 , п░имен┐ем╗е
один за д░│гим к под╡од┐╣ем│ на╖ал╝ном│ ▒о▒▓о┐ни╛ 1 00b по░ождае▓
желаем╗е ╕аги п░о╢е▒▒а. Зде▒╝ 1 обозна╖ае▓ (▒▓анда░▓ное) на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней ма╕ин╗ L, a b озна╖ае▓, ╖▓о в▒е кле▓ки в R п│▒▓╗е.
16
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
В ╖а▒▓но▒▓и, е▒ли m 6 J , ▓о (V3 V2 V1 )m 1 00b | ▒о▒▓о┐ние, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее в╗полнени╛ m в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ╕агов. Де▓али ▒о▒▓о┐ни┐ модели
п░и m > J опи▒ан╗ в ░азделе 6.1.
4.2. Зави▒┐╣ие о▓ в░емени гамил╝▓ониан╗
На╕ей ╢ел╝╛ ┐вл┐е▓▒┐ по▒▓░оение дл┐ л╛бой ма╕ин╗ Т╝╛░инга ▓акого модел╝ного ░е╕е▓╖а▓ого гамил╝▓ониана, ╖▓о ╕░единге░ова ╜вол╛╢и┐
в╗деленн╗╡ ▒о▒▓о┐ний б│де▓ модели░ова▓╝ пе░в╗е J ╕агов в╗╖и▒лени┐
на ╜▓ой ма╕ине. Дл┐ ╜▓ого в╗бе░ем под╡од┐╣ий п░омеж│▓ок в░емени и гамил╝▓ониан H
H1 е▒ли
3m 6 t < (3m + 1)
H = H2 е▒ли (3m + 1) 6 t < (3m + 2)
(27)
H3 е▒ли (3m + 2) 6 t < (3m + 3)
дл┐ л╛бого ╢елого m. Гамил╝▓ониан╗ H1 , H2 и H3 должн╗ б╗▓╝ в╗б░ан╗
▓ак, ╖▓об╗ в╗полн┐ли▒╝ ▒оо▓но╕ени┐ (~ = 1)
Vj = e;iHj
(28)
дл┐ j = 1, 2, 3.
Я▒но, ╖▓о оп░еделенн╗й ▓ак гамил╝▓ониан зави▒и▓ о▓ в░емени и ▓░еб│е▓ вне╕него вме╕а▓ел╝▒▓ва дл┐ пе░екл╛╖ени┐ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ взаимодей▒▓вий. Однако он п░иводи▓ к желанном│ закон│ ╜вол╛╢ии. Ч▓об╗
│беди▓╝▒┐ в ╜▓ом, б│дем ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о t = (3m + h), где h = 0, 1 или 2.
Тогда, е▒ли в▒┐ ░е╕е▓ка на╡оди▓▒┐ в на╖ал╝н╗й момен▓ в ▒о▒▓о┐нии ,
век▓о░ (t) оп░едели▓▒┐ ┤о░м│лой
(t) = e;iHt = e;iHh+1 : : : e;iH1 (e;iH3 e;iH2 e;iH1 )m :
(29)
Из п░ед╗д│╣его ┐▒но, ╖▓о дл┐ t = (3m + h), где m 6 J , опе░а▓о░
exp(;iHt), п░имененн╗й к век▓о░│ 1 00b , по░ождае▓ ▒о▒▓о┐ние модели,
▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ▒о▒▓о┐ни╛ ма╕ин╗ Т╝╛░инга и ▒и▒▓ем╗ запи▒и по▒ле
3m + h ╕агов в╗╖и▒лени┐. Е▒ли m > J , ▓о ▒о▒▓о┐ние (t) по-п░ежнем│
оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой (29), но модел╝ более не опи▒╗вае▓ ╜вол╛╢и╛
цзапи▒╝{в╗╖и▒ление{▒двигч ма╕ин╗ Т╝╛░инга. Гамил╝▓ониан, опи▒╗ва╛╣ий запи▒╝, можно вз┐▓╝ в ┤о░ме
H1 =
NJ X X
J X
J
X
l=1 s2S j =;J k=0
PlL PsjT Pjh Pkj H(Rlsjk )b;
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(30)
17
Пол Бенев
где H(Rlsjk )b оп░едел┐е▓┐ ░авен▒▓вом (16), в ко▓о░ом кон┤иг│░а╢ии f и g
оп░едел┐╛▓▒┐ ╖и▒лами (lsj ) и b из кле▓ки k ▒и▒▓ем╗ запи▒и. Опе░а▓о░ H2
░авен
H2 =
NJ X X
J X
J
X
l=1 s2S j =;J k=0
H(LlsT);h(jl0 s0 ) Pkj P(Rlsj )k :
(31)
Из ░авен▒▓ва (16) ▒лед│е▓, ╖▓о
~ llL0 T j0 hj ;
H(LlsT);h(jl0 s0) = 2
ss
(32)
где кон┤иг│░а╢ии f и g оп░едел┐╛▓▒┐ ╖и▒лами l и l0 в ▒и▒▓еме L, s и s0
в j -й кле▓ке T и положением h в j и j + .
Дл┐ кажд╗╡ зна╖ений l и s вели╖ин╗ l0 , s0 и оп░едел┐╛▓▒┐ ┤│нк╢ией Q (▒м. ░авен▒▓во (1)). Е▒ли Q(ls) = (ls0), ▓о H(llsT )h; j(l0 s0 ) = ~=2.
В ╜▓ом ▒л│╖ае кон┤иг│░а╢ии L, T и h не измен┐╛▓▒┐.
Опе░а▓о░ H3 можно п░ед▒▓ави▓╝ в ┤о░ме
H3 =
H jk
J
X
k=0
jk P R ;
H+1
k
(33)
где +1 оп░едел┐е▓▒┐ ░авен▒▓вом (16) ▒ кон┤иг│░а╢и┐ми f и g, о▓но▒┐╣ими▒┐ к положени┐м k и k + 1( mod J + 1) головки j.
Легко п░ове░и▓╝, ╖▓о под▒▓ановка ▓ол╝ко ╖▓о оп░еделенн╗╡ опе░а▓о░ов H1 , H2 и H3 в │░авнени┐ (28) п░иводи▓ к ░авен▒▓вам (20), (22) и (25).
Э▓о ┐вл┐е▓▒┐ ▒лед▒▓вием попа░ной о░▓огонал╝но▒▓и ▒лагаем╗╡ в ▒│мма╡
по l, s, j и k.
Е▒ли зна╖ение t = (3m + h) + не к░а▓но , ▓о exp(;iHt) можно
п░ед▒▓ави▓╝ как exp(;iHh+1 ) exp(;iH (3m + h)), где h = 0; 1 или 2.
Дей▒▓вие exp(;iH (3m + h)), оп░едел┐е▓▒┐ ░авен▒▓вом (20), в ко▓о░ом
U(Rlsjk )b замен┐е▓▒┐ на exp(;iH(Rlsjk )b ). Э▓о в╗░ажение в ▒во╛ о╖е░ед╝ оп░едел┐е▓▒┐ ░авен▒▓вами (17) и (18), где f и g зада╛▓▒┐ кон┤иг│░а╢и┐ми
(lsj ) и b в кле▓ке k из R.
П░и h = 1 опе░а▓о░ exp(;iH2 ) оп░едел┐е▓▒┐ ░авен▒▓вом (22), в ко▓о░ом U(LlsT);h(jl0 s0 ) заменен╗ на
Tj
L
hj
(ls); (l0 s0 ) ) = cos 2 ; i(ll0 ss0 ) sin 2
exp(;iH LT hj
(34)
(▒м. ░авен▒▓во (18)). Дл┐ h = 3 опе░а▓о░ exp(;iH3 ) пол│╖ае▓▒┐ из ░авенjk заменен╗ на exp(;iH jk ). В ▒ил│ ░авен▒▓ва (18)
▒▓ва (25), в ко▓о░ом U+1
+1
▒нова пол│╖ае▓▒┐ п░иведенное в╗╕е в╗░ажение.
18
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
Оп░еделенн╗й в╗╕е гамил╝▓ониан довол╝но п░о▒▓, ╖▓о позвол┐е▓ непо▒░ед▒▓венно п░о▒леди▓╝ за его ░або▓ой. Однако недо▒▓аком ╜▓ого опе░а▓о░а ┐вл┐е▓▒┐ его ┐вна┐ зави▒имо▒▓╝ о▓ в░емени. Э▓о ▓░еб│е▓ неко▓о░ого
вне╕него вме╕а▓ел╝▒▓ва дл┐ п░именени┐ полного гамил╝▓ониана, как ╜▓о
оп░едел┐е▓▒┐ ░авен▒▓вом (27).
Жела▓ел╝но по▒▓░ои▓╝ модел╝ п░о╢е▒▒а, в ко▓о░ой гамил╝▓ониан не
зави▒ел б╗ о▓ в░емени. П░еим│╣е▒▓вом ▓акой модели б╗ла б╗ ее полна┐
незави▒имо▒▓╝, не ▓░еб│╛╣а┐ вне╕него вме╕а▓ел╝▒▓ва.
5. Гамил╝▓ониан╗, не зави▒┐╣ие о▓ в░емени
Ме▓од, ко▓о░╗й б│де▓ п░именен дл┐ по▒▓░оени┐ модели ▒ гамил╝▓онианом, не зави▒┐╣им о▓ в░емени, о▒нован на ▒лед│╛╣ем набл╛дении. В
п░иведенной в╗╕е кон▒▓░│к╢ии п░ои▒╡ождение зави▒имо▒▓и о▓ в░емени
▒к░╗вало▒╝ в необ╡одимо▒▓и по▒ледова▓ел╝н╗╡ изменений ▓ипа гамил╝▓ониана, ╖▓об╗ за в░ем┐ ▒ове░╕ило▒╝ ▓░и п░ев░а╣ени┐, в╗з╗ваем╗е
опе░а▓о░ами V1 , V2 и V3 . Однако не▓ п░и╖ин, по ко▓о░╗м ╜вол╛╢и┐ ▒и▒▓ем╗ не може▓ │▒ко░и▓╝▒┐ ▓ак, ╖▓об╗ за ин▓е░вал в╗полн┐ла▒╝ б╗
опе░а╢и┐ V , об║един┐╛╣а┐ в▒е ▓░и ╕ага | запи▒╝, в╗╖и▒ление и ▒двиг.
Ч▓об╗ о▒│╣е▒▓ви▓╝ ╜▓о, н│жно по▒▓░ои▓╝ │ни▓а░н╗й опе░а▓о░ V , ко▓о░╗й в ▓е░мина╡ ╖и▒ел (ljk) дей▒▓вовал б╗ ▒лед│╛╣им об░азом:
V ljk = l0 0 j 0k00 ;
(35)
где ljk и l0 0 j 0 k0 0 ▒в┐зан╗ ▒оо▓но╕ением
V3V2 V1ljk = l0 0 j0k00 :
(36)
Св┐з╝ межд│ ╕▓░и╡ованн╗ми и не╕▓░и╡ованн╗ми вели╖инами в
│░авнении (36) оп░едел┐е▓▒┐ ░авен▒▓вами (21), (24) и (26). Де▓али ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его в╗вода п░едо▒▓авл┐╛▓▒┐ ╖и▓а▓ел╛. Заме▓им ▓ол╝ко, ╖▓о
е▒ли п┐▓е░ки (ljk) опи▒╗ва╛▓ ▒о▒▓о┐ние (▒▓анда░▓ной) ма╕ин╗ Т╝╛░инга в кон╢е n{го ╕ага ▒▓анда░▓ного в╗╖и▒лени┐ (n < J ), ▓о (l0 0 j 0 k0 0 )
опи▒╗вае▓ ▒о▒▓о┐ние ма╕ин╗ в кон╢е (n + 1){го ╕ага. С│╣е▒▓в│е▓ много кон┤иг│░а╢ий (ljk), не ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ни одном│ из ▒о▒▓о┐ний
ма╕ин╗ Т╝╛░инга. К░оме ▓ого, в ▒ил│ по▒▓░оений ░аздела 2 ▒│╣е▒▓в│╛▓ кон┤иг│░а╢ии f , ко▓о░╗е нел╝з┐ п░ед▒▓ави▓╝ каким-ниб│д╝ набо░ом (ljk). В ка╖е▒▓ве п░име░а п░иведем кон┤иг│░а╢и╛, в ко▓о░ой
головка j запи▒ала более ╖ем один (+){▒пин. В ▓аки╡ кон┤иг│░а╢и┐╡ опе░а▓о░ V може▓ ▒води▓╝▒┐ к ▓ожде▒▓венном│, а може▓ и не б╗▓╝ им |
в▒е зави▒и▓ о▓ кон┤иг│░а╢ии.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
19
Пол Бенев
Ра▒▒мо▓░им неко▓о░╗й век▓о░ 1 00b , ко▓о░╗й п░ед▒▓авл┐е▓ на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние ▒▓анда░▓ного в╗╖и▒лени┐ (░аздел 3). П│▒▓╝ N | неко▓о░ое
╖и▒ло, оп░едел┐емое │▒ловием V N 1 00b = 1 00b . Такое ╖и▒ло ▒│╣е▒▓в│е▓, по▓ом│ ╖▓о V | │ни▓а░н╗й опе░а▓о░, а множе▒▓во кон┤иг│░а╢ий на
░е╕е▓ке коне╖но. Оп░еделим о░би▓│ V п░и 1 00b как множе▒▓во ▒о▒▓о┐ний [V n 1 00b jn = 0; 1; : : : ; N ; 1]. Дл┐ каждого ▒│╣е▒▓в│е▓ о░би▓а
длин╗ N . В ░ез│л╝▓а▓е J и▓е░а╢ий опе░а▓о░а V , п░имененн╗╡ к век▓о░│ 1 00b ▒оо▓ве▒▓в│╛▓ в╗полнени╛ J в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ╕агов ма╕ин│
Т╝╛░инга. П░одолжение и▓е░а╢ий V впло▓╝ до N ░аз░│╕ае▓ п░ед▒▓авление, ▓. к. пол│╖а╛╣ие▒┐ ▒о▒▓о┐ни┐ не ▒оо▓ве▒▓в│╛▓ ▒о▒▓о┐ни┐м, пол│╖аем╗м п░и в╗╖и▒лении. Однако ╜┤┤ек▓ом п░одолжени┐ и▓е░а╢ий ┐вл┐е▓▒┐
│ни╖▓ожение запи▒ей и ░ез│л╝▓а▓ов в╗╖и▒лени┐, по▓ом│ ╖▓о п░и╡оди▓ в
кон╢е кон╢ов к на╖ал╝ном│ ▒о▒▓о┐ни╛.
К░оме пе░е╖и▒ленн╗╡ в╗╕е, ▒│╣е▒▓в│е▓ много д░│ги╡ не▓░ивиал╝н╗╡ о░би▓. Л╛б│╛ кон┤иг│░а╢и╛ ░е╕е▓ки f , дл┐ ко▓о░ой f не ▒оде░жи▓▒┐ в │же по▒▓░оенн╗╡ о░би▓а╡, можно и▒пол╝зова▓╝ дл┐ ▒оздани┐ нов╗╡ о░би▓. П░имен┐┐ ╜▓│ п░о╢ед│░│, можно и▒╖е░па▓╝ запа▒ ▒о▒▓о┐ний
кон┤иг│░а╢ий ░е╕е▓ки и най▓и в▒е о░би▓╗ опе░а▓о░а V . В▒е ▒казанное
легко пе░еве▒▓и на ┐з╗к ▒▓анда░▓ного п░о▒▓░ан▒▓ва Гил╝бе░▓а. Гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во ░е╕е▓ки H, на▓┐н│▓ое на в▒е ▒о▒▓о┐ни┐ кон┤иг│░а╢ий,
можно ░азложи▓╝ на множе▒▓во замкн│▓╗╡ подп░о▒▓░ан▒▓в, ко▓о░╗е не▓░ивиал╝н╗ и неп░иводим╗ о▓но▒и▓ел╝но опе░а▓о░а V и на╡од┐▓▒┐ во
взаимно однозна╖ном ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ о░би▓ами. Каждое подп░о▒▓░ан▒▓во
на▓┐н│▓о на ▒о▒▓о┐ни┐ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей о░би▓╗. В ╖а▒▓но▒▓и, дл┐ каждого ▒▓анда░▓ного в╗░ажени┐ на лен▓е ▒│╣е▒▓в│е▓ подп░о▒▓░ан▒▓во H ,
на▓┐н│▓ое на [V n 1 00b jn = 0; 1; : : : ; N ; 1].
П│▒▓╝ H1 , H2 ; : : : ; HN | ╜▓о в▒е V {инва░иан▓н╗е неп░иводим╗е
подп░о▒▓░ан▒▓ва, а P1 , P2 ; : : : ; PN | п░оек╢ионн╗е опе░а▓о░╗, в╗дел┐╛╣ие ╜▓и подп░о▒▓░ан▒▓ва. Опе░а▓о░ V можно п░ед▒▓ави▓╝ в ┤о░ме
V=
N
X
j =1
Vj Pj ;
где Vj Hj = Hj = Pj H и [Vj ; Pj ] = 0. На▒ ин▓е░е▒│╛▓ подп░о▒▓░ан▒▓ва H
▒ п░оек╢ионн╗ми опе░а▓о░ами P и ▒│жени┐ V опе░а▓о░а V на H . Дл┐
╜▓ой ╢ели оп░еделим д░│гой опе░а▓о░ W :
W=
20
X
V P + 1 ;
X !
P ;
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(37)
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
где ▒│мма бе░е▓▒┐ по в▒ем возможн╗м п░и ▒▓анда░▓ном в╗╖и▒лении на╖ал╝н╗м в╗░ажени┐м на лен▓е. W {│ни▓а░н╗й опе░а▓о░, ▒овпада╛╣ий
▒ V на подп░о▒▓░ан▒▓ва╡ H и дей▒▓в│╛╣ий как едини╖н╗й в д░│ги╡
обла▒▓┐╡.
На╕а ╢ел╝ | по▒▓░ои▓╝ полн╗й гамил╝▓ониан H, │довле▓во░┐╛╣ий
▒оо▓но╕ени╛
W = e;iH :
(38)
Дл┐ ╜▓ого полезно най▓и в каждом подп░о▒▓░ан▒▓ве H ▒об▒▓венн╗е
зна╖ени┐ и ▒об▒▓венн╗е век▓о░╗ опе░а▓о░а V . (Излагаем╗й ме▓од един
дл┐ в▒е╡ коне╖номе░н╗╡ п░оc▓░ан▒▓в и его можно п░имени▓╝ к л╛бом│
опе░а▓о░│ Vj из ░азложени┐ V ).
Фик▒и░│ем и ░а▒▒мо▓░им век▓о░╗ 0 , 1 ; : : : ; N ;1 в H , оп░едел┐ем╗е ░авен▒▓вами n = V n 1 00b дл┐ n = 0; 1; : : : ; N ; 1: Дл┐ n 6 J
век▓о░ n п░ед▒▓авл┐е▓ ▒о▒▓о┐ние ма╕ин╗ Т╝╛░инга по▒ле n ╕агов в╗╖и▒лени┐. О╖евидно, ╖▓о
V n = n+1;
(39)
▒ ▓ем │▓о╖нением, ╖▓о е▒ли n = N ; 1, ▓о n + 1 ▒лед│е▓ положи▓╝ ░авн╗м 0.
В╗╕еп░иведенное показ╗вае▓, ╖▓о V | ╜▓о опе░а▓о░ дв│▒▓о░оннего ▒двига в H . По▒кол╝к│ п░о▒▓░ан▒▓во H коне╖номе░но, ▓о ▒пек▓░ V
╖и▒▓о ди▒к░е▓ен. Cоб▒▓венн╗е зна╖ени┐ и ▒об▒▓венн╗е век▓о░╗ ▓аки╡
опе░а▓о░ов изве▒▓н╗. Соб▒▓венн╗е зна╖ени┐ V | N {ко░ни из едини╢╗ | 0 , 1 ; : : : ; N ;1 , оп░едел┐ем╗е ┤о░м│лой
l = exp ; 2Nil
!
(40)
Соб▒▓венн╗е век▓о░╗ 0 ; 1 ; : : : ; N ;1 оп░едел┐╛▓▒┐ в╗░ажени┐ми
l
Я▒но, ╖▓о
= p1
NX
;1
N j =0
(l );j +1 j :
(41)
V l = l l :
Гамил╝▓ониан H должен │довле▓во░┐▓╝ ░авен▒▓вам (37) и (38). По▓░еб│ем, ╖▓об╗ его можно б╗ло п░ед▒▓ави▓╝ в ┤о░ме
H=
X
H
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(42)
21
Пол Бенев
где дл┐ каждого ▒▓анда░▓ного в╗░ажени┐ на в╗╖и▒ли▓ел╝ной лен▓е
опе░а▓о░ H дей▒▓в│е▓ не▓░ивиал╝но ▓ол╝ко в п░о▒▓░ан▒▓ве H и ░авен н│л╛ в д░│ги╡ обла▒▓┐╡. К░оме ▓ого, должно в╗полн┐▓╝▒┐ ░авен▒▓во
V = exp(;iH ). В ╜▓ом ▒л│╖ае дл┐ в▒е╡ t W (t) = exp(;iHt) │довле▓во░┐е▓ ░авен▒▓в│
W (t) =
X
e;iH t P + 1 1 ;
X !
P ;
(43)
▓. к. H H 0 = 0 п░и 6= 0 .
Можно оп░едели▓╝ ░азли╖н╗е гамил╝▓ониан╗ H , │довле▓во░┐╛╣ие
░авен▒▓в│ exp(;iH ) = V . Во▓ один из ▓аки╡ опе░а▓о░ов:
NX
;1
2 l Q ;
(44)
l
N
l=0
где Ql | опе░а▓о░ п░оек▓и░овани┐ на ▒об▒▓венн╗й век▓о░ l . ЗамеNP
;1
▓им, ╖▓о опе░а▓о░ H =
2=(l=N + nl )Ql , где nl | п░оизвол╝l=0
ное ╢елое ╖и▒ло, ▓акже ▒огла▒│е▓▒┐ ▒ │▒лови┐ми (37) и (38). Равен▒▓во (44) | п░о▒▓ей╕а┐ из в▒е╡ возможно▒▓ей: nl = 0 дл┐ в▒е╡ l и . П│▒▓╝
V (t) = exp(;iH t) | опе░а▓о░ ▒двига во в░емени дл┐ гамил╝▓ониана H ,
оп░еделенного ░авен▒▓вом (44). Тогда
H =
NX
;1
exp ;N2ilt
Ql
(45)
l=0
Фо░м│л╗ (44) и (45) зада╛▓ гамил╝▓ониан H и опе░а▓о░ ▒двига во в░емени V (t) в ▓е░мина╡ ▒об▒▓венн╗╡ век▓о░ов Ql . Удобно в╗░ази▓╝ V (t)
и H непо▒░ед▒▓венно в ▓е░мина╡ п░оек╢ионн╗╡ и обменн╗╡ опе░а▓о░ов
в ▒пиновом кон┤иг│░а╢ионном п░о▒▓░ан▒▓ве. И▒пол╝з│┐ ░авен▒▓ва (40)
и (41), можно п░ед▒▓ави▓╝ п░оек╢ионн╗е опе░а▓о░╗ Ql как
V =
Ql
Заме▓им, ╖▓о
22
= N1
NX
;1
j; k=0
!
exp ;N2il (j ; k) j k
j k = jk Pk ;
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(46)
(47)
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
где jk | опе░а▓о░ пе░е▒▓ановки кон┤иг│░а╢ий j и k, оп░еделенн╗й ░авен▒▓вом (14). Кон┤иг│░а╢ии j и k, ко▓о░╗е ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ▒о▒▓о┐ни╛
▒и▒▓ем╗ п░и j {м и k{м ╕ага╡ в╗╖и▒лени┐, оп░еделен╗ во в▒ей ░е╕е▓ке,
изоб░аженной на ░и▒. 1, Pk | опе░а▓о░ п░оек▓и░овани┐ на ▒о▒▓о┐ние k .
С помо╣╝╛ ░авен▒▓в (46) и (47) гамил╝▓ониан можно п░ед▒▓ави▓╝ ▓ак:
H =
NX
;1
j; k=0
P ;
djk jk
k
(48)
где ко╜┤┤и╢иен▓╗ djk ░авн╗
NX
;1
2l exp 2il(j ; k) :
2
N
l=0 N
Опе░а▓о░ ▒двига во в░емени ░авен
djk =
V (t) =
NX
;1
j; k=0
P ;
bjk (t)jk
k
где ко╜┤┤и╢иен▓╗ bjk оп░едел┐╛▓▒┐ ┤о░м│лой
bjk (t) = N1
NX
;1
l=0
(49)
exp ; 2Nil t + k ; j
(50)
!
:
(51)
Я▒но, ╖▓о оп░еделенн╗й ░авен▒▓вами (42) и (44) или (48) гамил╝▓ониан обладае▓ ожидаем╗ми ▒вой▒▓вами. Он не зави▒и▓ о▓ в░емени. Закон
╜вол╛╢ии на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ (t) = exp(;iHt)1 00b ▓аков, ╖▓о век▓о░
▒о▒▓о┐ни┐ в момен▓ в░емени t = n; (n) = n ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ кон┤иг│░а╢ии ▒и▒▓ем╗ по▒ле n ╕агов в╗╖и▒лени┐. (Заме▓им, ╖▓о 1 00b = 0 .)
Э▓о ▒лед│е▓ из ▓ого об▒▓о┐▓ел╝▒▓ва, ╖▓о в ▒ил│ (51) ╖и▒ла bjk (n) ░авн╗
н│л╛, е▒ли n( mod N ) + k ; j = 0 или N . В дв│╡ по▒ледни╡ ▒л│╖а┐╡
bjk (n) = 1. Дл┐ t = N | в░емени заве░╕ени┐ ╢икла дл┐ каждого
▒о▒▓о┐ни┐ из H ▒п░аведливо ░авен▒▓во W (N )n = n дл┐ каждого n < N . Таким об░азом, е▒ли на╖а▓╝ в╗╖и▒ление в момен▓ в░емени t = 0, в╗йд┐ из на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ 1 00b , ▓о в момен▓ N м╗
ве░нем▒┐ в на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние.
Дей▒▓вие W (t) на ▒о▒▓о┐ни┐ за п░омеж│▓ок в░емени, не к░а▓н╗й ,
оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой (50). В ╖а▒▓но▒▓и, п│▒▓╝ t = n+ , где 0 6 6 1.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
23
Пол Бенев
Тогда W (t) (или, ╖▓о ╜квивален▓но, V (t)), дей▒▓в│┐ на 1 00b, дае▓
(n + ) =
NX
;1
m=0
bm;n()m :
(52)
Зде▒╝ б╗ло и▒пол╝зовано (▒м. (51)) ▒оо▓но╕ение bm0 (n + ) = bmn () =
= bm;n ().
6. Ха░ак▓е░и▒▓ики моделей
6.1. П░ед▒▓авление в╗╖и▒лений
П░и╕ло в░ем┐ дл┐ более де▓ал╝ного об▒│ждени┐ неко▓о░╗╡ а▒пек▓ов зави▒┐╣ей и не зави▒┐╣ей о▓ в░емени моделей. Они │▒▓░оен╗ ▓ак,
╖▓о ▓░и ╕ага модели, зави▒┐╣ей о▓ в░емени, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ одном│ ╕аг│
модели, о▓ в░емени не зави▒┐╣ей. В ╖а▒▓но▒▓и, ▒о▒▓о┐ние n, ко▓о░ое по┐вл┐е▓▒┐ в момен▓ n в незави▒┐╣ей о▓ в░емени модели, на╖ав╕ей ▒вои
в╗╖и▒лени┐ в ▒о▒▓о┐нии 0 в момен▓ 0, в зави▒┐╣ей о▓ в░емени модели
до▒▓игае▓▒┐ за в░ем┐ 3n. Более ▓ого, ╜▓о ▒п░аведливо дл┐ в▒е╡ n.
Обе модели опи▒╗ва╛▓ J пе░в╗╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ╕агов ма╕ин╗
Т╝╛░инга. Е▒ли в╗╖и▒ление о▒▓анавливае▓▒┐ ╖е░ез m < J ╕агов, обе модели пов▓о░┐╛▓ в кле▓ка╡ запи▒и m + 1, m + 2; : : : ; J одн│ и ▓│ же, │же
запи▒анн│╛ в кле▓ке m ▓░ойк│ | ▒о▒▓о┐ние вн│▓░енней ма╕ин╗ L, ▒оде░жимое кле▓ки лен▓╗ T , из│╖аемое головкой h, положение головки h.
Со▒▓о┐ни┐ L, T , и h ▒▓а╢иона░н╗ дл┐ в▒е╡ зна╖ений в░емени n, где
m 6 n 6 J (не зави▒┐╣ие о▓ в░емени гамил╝▓ониан╗) или 3m 6 n 6 3J
(зави▒┐╣ие о▓ в░емени гамил╝▓ониан╗), как и должно б╗▓╝ п░и закон╖енном в╗╖и▒лении.
Е▒ли J < m < N , ▓о дл┐ зна╖ений в░емени n и дл┐ не зави▒┐╣и╡
о▓ в░емени гамил╝▓онианов пе░вона╖ал╝но ▒п░аведливое п░ед▒▓авление
░аз░│╕ае▓▒┐, и ▒о▒▓о┐ни┐ кон┤иг│░а╢ий модели │же не ▒оо▓ве▓▒в│╛▓,
вооб╣е гово░┐, никаком│ ▒о▒▓о┐ни┐ни╛ в╗╖и▒лени┐. Я▒но, однако, ╖▓о
запи▒и в ╜▓о в░ем┐ ▒▓и░а╛▓▒┐, по▓ом│ ╖▓о в к момен▓│ N в▒┐ ▒и▒▓ема
оказ╗вае▓▒┐ в на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии. Э▓│ ┤аз│ ░або▓╗ можно оп░едели▓╝
как ┤аз│ возв░а╣ени┐. Е▒ли необ╡одимо, ее можно ▒дела▓╝ в ▓о╖но▒▓и
об░а▓ной к п░┐мой ┤азе в╗╖и▒лени┐, как ╜▓о п░ои▒╡оди▓ в модели, по▒▓░оенной Бенне▓▓ом [2]. Соо▓ве▓▒▓в│╛╣ие кван▓овоме╡ани╖е▒кие модели, ко▓о░╗е в╗гл┐д┐▓ более ▒ложно, ╖ем п░ед▒▓авленн╗е зде▒╝, опи▒ан╗
в [15]. В▒е ▒казанное в╗╕е ▒п░аведливо и дл┐ моделей ▒ зави▒┐╣им о▓
в░емени гамил╝▓онианом п░и 3J < n < 3N .
24
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
6.2. Локал╝но▒▓╝ во в░емени
П░ед▒▓авл┐е▓ оп░еделенн╗й ин▓е░е▒ и поведение на╕и╡ моделей в ▓е
в░емена, ко▓о░╗е не к░а▓н╗ . Ра▒▒мо▓░им неко▓о░│╛ ▒и▒▓ем│, ко▓о░а┐
измен┐е▓▒┐ о▓ ▒о▒▓о┐ни┐ n в момен▓ в░емени n до ▒о▒▓о┐ни┐ n +1 в момен▓ в░емени (n + 1). Вооб╣е гово░┐, може▓ оказа▓╝▒┐, ╖▓о во в░емена
n + , 0 6 6 , ▒и▒▓ема б│де▓ обна░│жена в ▒о▒▓о┐нии n ▒ коне╖ной,
зави▒┐╣ей о▓ в░емени ве░о┐▓но▒▓╝╛ Pn () и в ▒о▒▓о┐нии n + 1 ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ Pn+1 (). Более ▓ого, можно ожида▓╝, ╖▓о е▒ли воз░а▒▓ае▓ ▒ 0
до , ▓о Pn () │б╗вае▓ ▒ 1 до 0, а Pn+1 () воз░а▒▓ае▓ ▒ 0 до 1, ▓ак ╖▓о
Pn () + Pn+1 () = 1 дл┐ в▒е╡ t из обла▒▓и n 6 t 6 (n + 1). Рез│л╝▓а▓ом ╜▓и╡ ░а▒▒│ждений б│де▓ ожидание ▓ого, ╖▓о м╗ не найдем ▒и▒▓ем│ в
▒о▒▓о┐нии, ко▓о░ое │же б╗ло п░ойдено не▒кол╝ко ╕агов назад или в ▓ом
▒о▒▓о┐нии, ко▓о░ое должно по┐ви▓╝▒┐ ▓ол╝ко ╖е░ез не▒кол╝ко ╕агов.
Ч▓об╗ п░ида▓╝ ╜▓им ░а▒▒│ждени┐м ▓о╖н╗й ▒м╗▒л, об░а▓им▒┐ к кван▓овой ме╡анике. Дл┐ оп░еделенно▒▓и назовем ▒и▒▓ем│ локал╝ной во в░емени, е▒ли дл┐ каждого n в▒е╡ t = n, 0 6 6 1, век▓о░ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗
(t) е▒▓╝ линейна┐ комбина╢и┐ ▓ол╝ко дв│╡ век▓о░ов n и n+1 , ▓. е.
(n + ) = n ()n + n ()n+1 :
(53)
Зде▒╝ n и n+1 | о░▓огонал╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐, в ко▓о░╗╡ ▒и▒▓ема на╡оди▓▒┐ в момен▓╗ в░емени n и (n + 1). Ко╜┤┤и╢иен▓╗ n () и n () |
комплек▒н╗е ╖и▒ла, │довле▓во░┐╛╣ие │▒лови┐м jn ()j2 + jn ()j2 = 1 и
n (0) = n() = 1, n() = n (0) = 0. В ╖а▒▓но▒▓и, (t) не ▒оде░жи▓
▒о▒▓авл┐╛╣и╡ m дл┐ m < n (╜▓и индек▒╗ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ │же п░ойденн╗м ▒о▒▓о┐ни┐м) или дл┐ m > n + 1 (╜▓и ▒о▒▓о┐ни┐ б│д│▓ до▒▓игн│▓╗ в
б│д│╣ем).
Возможен ▒л│╖ай, когда дл┐ неко▓о░ого ╖и▒ла n ▒и▒▓ема не б│де▓
локал╝ной во в░емени. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о к░оме ▒о▒▓о┐ний n и n+1
в линейной ▒│пе░пози╢ии по┐вл┐╛▓▒┐ ▒о▒▓о┐ни┐ m c m 6= n; n + 1 ▒
ко╜┤┤и╢иен▓ами (m) 6= 0. Скол╝ много ▓аки╡ ▒о▒▓о┐ний н│жно п░ин┐▓╝
во внимание, зави▒и▓ о▓ вели╖ин╗ мод│л┐ jm ()j.
Е▒ли ▒и▒▓ема и а▒▒о╢ии░ованн╗й ▒ ней гамил╝▓ониан ▓аков╗, ╖▓о дл┐
каждого n и по к░айней ме░е дл┐ неко▓о░╗╡ зна╖ений в░емени t = n+ ,
0 < < , ▒о▒▓о┐ние (t) б│де▓ линейной ▒│пе░пози╢ией в▒е╡ возможн╗╡
▒о▒▓о┐ний m ▒ нен│лев╗ми ко╜┤┤и╢иен▓ами nm (), ▓о ▒и▒▓ем│ наз╗ва╛▓ глобал╝ной во в░емени. П░и╖ина │по▓░еблени┐ ▓акого ▓е░мина ▒о▒▓ои▓
в ▓ом, ╖▓о пока ▒и▒▓ема ╜вол╛╢иони░│е▓ из ▒о▒▓о┐ни┐ n в момен▓ tn к
▒о▒▓о┐ни╛ n+1, полное ▒о▒▓о┐ние (t) ▒оде░жи▓ ▒о▒▓авл┐╛╣ие, ко▓о░╗е
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
25
Пол Бенев
▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ в▒ем ▒о▒▓о┐ни┐м, ко▓о░╗е б│д│▓ или │же б╗ли до▒▓игн│▓╗ как в в п░о╕лом, ▓ак и в б│д│╣ем.
Э▓и пон┐▓и┐ можно п░имени▓╝ к по▒▓░оенн╗м зде▒╝ модел┐м. Из ░авен▒▓ва (53) ▒лед│е▓, ╖▓о модели, по▒▓░оенн╗е на о▒нове не зави▒┐╣его о▓
в░емени гамил╝▓ониана, глобал╝н╗ во в░емени. В ╖а▒▓но▒▓и, как можно
пон┐▓╝ из ▒ооб░ажений неп░е░╗вно▒▓и и ди┤┤е░ен╢и░│емо▒▓и, ко╜┤┤и╢иен▓╗ bm;n () должн╗ б╗▓╝ о▓ли╖н╗ о▓ н│л┐ дл┐ бол╝╕ин▒▓ва (▓. е. дл┐
в▒е╡, к░оме, може▓ б╗▓╝, неко▓о░╗╡ изоли░ованн╗╡ ▓о╖ек) зна╖ений межд│ 0 и . Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о когда ▒о▒▓о┐ние ма╕ин╗ Т╝╛░инга пе░е╡оди▓ о▓ n в момен▓ n к ▒о▒▓о┐ни╛ n+1 в момен▓ (n + 1) полна┐
▒и▒▓ема на╡оди▓▒┐ в ▒│пе░пози╢ии как пе░в╗╡ J ╕агов в╗╖и▒лени┐, ▓ак и
п░ед▒▓о┐╣и╡ N ; J ╕агов. В╗░ажа┐▒╝ не▒кол╝ко вол╝но, можно ▒каза▓╝,
╖▓о ▒о▒▓о┐ние ▒и▒▓ем╗ (t), на╖ав в момен▓ в░емени n ▒ неко▓о░ого
▒о▒▓о┐ни┐ n , по ме░е воз░а▒▓ани┐ t ░а▒╕и░┐е▓▒┐ до ▒│пе░пози╢ии в▒е╡
п░о╕л╗╡ и б│д│╣и╡ ▒о▒▓о┐ний на о░би▓е, а за▓ем, к момен▓│ t = (n +1),
коллап▒и░│е▓ к ▒о▒▓о┐ни╛ n+1 (▒м╗▒л ▓е░мина цколлап▒ч зде▒╝ не ▒овпадае▓ ▒о ▒м╗▒лом ▓е░мина цколлап▒ волновой ┤│нк╢иич в ▓ео░ии изме░ений).
Модели ▒ зави▒┐╣им о▓ в░емени гамил╝▓онианом о▓ли╖а╛▓▒┐ о▓ моделей ▒ по▒▓о┐нн╗м гамил╝▓онианом ▓ем, ╖▓о они локал╝н╗ во в░емени. Об░а▓ив╕и▒╝ к ░аздел│ 4.2, можно пон┐▓╝, ╖▓о дл┐ каждого n и в▒е╡
n + , 0 6 6 │довле▓во░ено ░авен▒▓во (53) ▒ n() = = cos(=2)
и n () = ;i sin(=2), п░и╖ем n () и n () не зави▒┐▓ о▓ n. Ф│нк╢ии
n = (n) и n+1 = ((n + 1)) оп░едел┐╛▓▒┐ ░авен▒▓вом (29), в ко▓о░ом m и h │довле▓во░┐╛▓ n = 3m + h, h = 0; 1 или 2. Таким об░азом,
дл┐ в▒е╡ зна╖ений в░емени n + , 0 6 6 един▒▓венн╗ми ▒о▒▓о┐ни┐ми, да╛╣ими вклад в ▒о▒▓о┐ние (n+) , ┐вл┐╛▓▒┐ n и n+1 , ко▓о░╗е
▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ▓ол╝ко ╖▓о закон╖енной и непо▒░ед▒▓венно ▒лед│╛╣ей за
ней ▒▓ади┐м в╗╖и▒ли▓ел╝ного п░о╢е▒▒а.
Локал╝но▒▓╝ во в░емени ░а▒▒мо▓░енной зде▒╝ зави▒┐╣ей о▓ в░емени
модели п░иводи▓ к д░│гом│ важном│ ▒лед▒▓ви╛. Ра▒▒мо▓░им ╜вол╛╢и╛
▒ложной ▒и▒▓ем╗, ░а▒п░еделенной в неко▓о░ой обла▒▓и п░о▒▓░ан▒▓ва. Ин▓│и▓ивно можно п░едположи▓╝, ╖▓о во в░ем┐ ╜вол╛╢ии изменени┐ п░ои▒╡од┐▓ в ▒и▒▓ема╡ из одной подобла▒▓и, а ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем в о▒▓ал╝ной
╖а▒▓и обла▒▓и о▒▓а╛▓▒┐ ▒▓а╢иона░н╗ми. Как ▒ко░о п░о╢е▒▒ изменени┐
пе░еме╣ае▓▒┐ в д░│г│╛ подобла▒▓╝ и какие ▒и▒▓ем╗ оказ╗ва╛▓▒┐ вовле╖енн╗ми в него | зави▒и▓ о▓ де▓алей п░о╢е▒▒а.
П░о╢е▒▒ в╗╖и▒лени┐ на ма╕ине Т╝╛░инга о╖ен╝ ╡о░о╕о опи▒╗вае▓▒┐
в ╜▓и╡ ▓е░мина╡. Нап░име░, вна╖але k{┐ кле▓ка запи▒и п│▒▓а и о▒▓ае▓26
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
▒┐ п│▒▓ой п░и л╛б╗╡ изменени┐╡ в д░│ги╡ ╖а▒▓┐╡ ▒и▒▓ем╗. Со▒▓о┐ние
╜▓ой кле▓ки измени▓▒┐ ▓ол╝ко в ▓ом ▒л│╖ае, когда в ней запи╕│▓ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣│╛ ▓░ойк│. По▒ле ╜▓ого оно ▒нова п░еб│де▓ неизменн╗м, пока
╜▓а запи▒╝ не ▒о▓░е▓▒┐. Аналоги╖н╗е пе░иод╗ изменений, ▒мен┐ем╗е пе░иодами ▒▓а╢иона░но▒▓и, п░ои▒╡од┐▓ и в д░│ги╡ ╖а▒▓┐╡ ▒и▒▓ем╗.
Уме▒▓но заме▓и▓╝, ╖▓о ▒о▒▓о┐ни┐ ░азли╖н╗╡ под▒и▒▓ем облада╛▓
╜▓им ▒вой▒▓вом именно благода░┐ локал╝но▒▓и во в░емени, ко▓о░а┐ обе▒пе╖ивае▓▒┐ изменением во в░емени гамил╝▓ониана ▒и▒▓ем╗. Нап░име░,
▒о▒▓о┐ние под▒и▒▓ем╗, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее п│▒▓о▓е k{й кле▓ки запи▒и,
о▒▓ае▓▒┐ неизменн╗м дл┐ в▒е╡ t о▓ н│л┐ до 3k. За в░ем┐, ▓ек│╣ее межд│ 3k и (3k + 1), кле▓ка запи▒и мен┐е▓ ▒вое ▒о▒▓о┐ние Rb k на Rlsjk ▒
неко▓о░ой ▓░ойкой lsj . Э▓о ▒о▒▓о┐ние о▒▓ае▓▒┐ неизменн╗м до момен▓а
в░емени t = 3J . Дл┐ п░омеж│▓ка в░емени 3J < t < 3N ▒▓а╢иона░но▒▓╝ ▒о▒▓о┐ни┐ зави▒и▓ о▓ де▓алей ┤аз╗ об░а╣ени┐. Изве▒▓но ▓ол╝ко,
╖▓о в неко▓о░╗й момен▓ в░емени q ▒о▒▓о┐ние k{й кле▓ки возв░а╣ае▓▒┐
к Rb k и в дал╝ней╕ем не измен┐е▓▒┐.
В модел┐╡ ▒ не зави▒┐╣им о▓ в░емени гамил╝▓онианом дело об▒▓ои▓ ина╖е, по▓ом│ ╖▓о они глобал╝н╗ во в░емени. В ╖а▒▓но▒▓и, из ░авен▒▓ва (53) ▒лед│е▓, ╖▓о дл┐ каждого n в п░омеж│▓ке в░емени о▓ n до
(n + 1) измен┐е▓▒┐ ▒о▒▓о┐ние каждой под▒и▒▓ем╗. Е▒ли кон┤иг│░а╢и┐
под▒и▒▓ем╗ одинакова пе░ед n{м и (n+1){м ╕агами, ▓о ▒о▒▓о┐ние под▒и▒▓ем╗ одно и ▓о же дл┐ в░емен n и (n +1). Однако оно б│де▓ измен┐▓╝▒┐
п░и п░омеж│▓о╖н╗╡ в░емена╡1 .
Ма▒╕▓аб изменений в ▒о▒▓о┐нии л╛бой под▒и▒▓ем╗ п░и воз░а▒▓ании t о▓ n до (n + 1) зави▒┐▓, главн╗м об░азом о▓ зна╖ений ко╜┤┤и1 Со▒▓о┐ние л╛бой модел╝ной под▒и▒▓ем╗ X в момен▓ в░емени n + задае▓▒┐,
вооб╣е гово░┐, опе░а▓о░ом пло▓но▒▓и X (n + ), п░и╖ем в ▒ил│ ░авен▒▓ва (52)
X (n + ) =
X Xj bm;n()b
j m; m
0
m ;n ( ) Tr;X (jm ihm j):
0
0
Индек▒ ;X озна╖ае▓, ╖▓о ▒лед бе░е▓▒┐ по в▒ем ▒пинов╗м ▒и▒▓емам, не п░инадлежа╣им X . С│мма по j ░а▒п░о▒▓░ан┐е▓▒┐ на в▒е непе░е▒ека╛╣ие▒┐ подмноже▒▓ва N
кон┤иг│░а╢ий, оп░еделенн╗е ▓аким об░азом, ╖▓о в▒е кон┤иг│░а╢ии вн│▓░и каждого
подмноже▒▓ва ▓ожде▒▓венн╗ вне X и л╛б╗е две
кон┤иг│░а╢ии ▒ ░азли╖н╗ми подмноже▒▓вами ░азли╖н╗ вне X . С│мма по m; m0 ░а▒п░о▒▓░ан┐е▓▒┐ на в▒е па░╗ кон┤иг│░а╢ий вн│▓░и j {го подмноже▒▓ва. Е▒ли
подмноже▒▓во j ▒оде░жи▓ ▓ол╝ко одн│
кон┤иг│░а╢и╛ h, ▓о вклад ▒│мм╗ по m; m0 в опе░а▓о░ пло▓но▒▓и ░авен jbh;n ()j2 PhXjX ,
где PhXjX | опе░а▓о░ п░оек▓и░овани┐ на ▒о▒▓о┐ни┐ кон┤иг│░а╢ии JhXjX на X и hjX |
ог░ани╖ение h на X .
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
27
Пол Бенев
╢иен▓ов bm;n () дл┐ в▒е╡ зна╖ений m, п░и ко▓о░╗╡ кон┤иг│░а╢ии под▒и▒▓ем╗ в ▒о▒▓о┐нии m о▓ли╖а╛▓▒┐ о▓ ▓аков╗╡ в ▒о▒▓о┐нии n.
Важн╗м па░аме▓░ом зде▒╝ ┐вл┐е▓▒┐ в░еменной п░омеж│▓ок или ╖и▒ло ╕агов из n до ╕ага, п░и ко▓о░ом ▒о▒▓о┐ние кон┤иг│░а╢ии измен┐е▓▒┐.
Нап░име░, кон┤иг│░а╢и┐ k{й кле▓ки запи▒и измени▓▒┐ во в░ем┐ ╕ага
под номе░ом k + 1 о▓ b до под╡од┐╣ей ▓░ойки lsj . След│╛╣ее изменение
п░ои▒╡оди▓ во в░ем┐ ╕ага, о▒│╣е▒▓вл┐емого по▒ле J {го, когда п░ои▒╡оди▓ п░о╢е▒▒ возв░а╣ени┐. На q{м ╕аге k{┐ кле▓ка запи▒и возв░а╣ае▓▒┐ в
▒о▒▓о┐ние b и о▒▓ае▓▒┐ в ╜▓ом ▒о▒▓о┐нии на каждом из N ; q ╕агов.
Со▒▓о┐ние k{й кле▓ки запи▒и в момен▓ n+ , оп░едел┐емое опе░а▓о░ом пло▓но▒▓и Rk (n+ ), ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ в╗╕еопи▒анном│. В ╖а▒▓но▒▓и,
Rk (n + ) =
0 k N ;11
J
X X A
X
Rk +
=@ +
jbm;n ()j2 PbRk +
jbm;n ()j2 Plsj
m=0
m=q
+
q;1
X
m0 ; m=J +1
m=k+1
bm0 ;n()bm;n () Tr0 (jm ihm0 j): (54)
В ╜▓ой ┤о░м│ле lsj обозна╖ае▓ под╡од┐╣│╛ ▓░ойк│, зане▒енн│╛ в k{╛
Rk | ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие п░оек╢ионн╗е опе░а▓о░╗
кле▓к│ запи▒и, а PbRk и Plsj
на ▒о▒▓о┐ни┐ Rb k и Rlsjk . Ш▓░и╡ │ ▒имвола ▒леда озна╖ае▓, ╖▓о п░и его
в╗╖и▒лении и▒кл╛╖а╛▓▒┐ пе░еменн╗е, о▓но▒┐╣ие▒┐ к k{й кле▓ке.
Из п░иведенного в╗╕е ░авен▒▓ва и ▒вой▒▓в ко╜┤┤и╢иен▓ов bm;n ()
▒лед│е▓, ╖▓о п░и = 0 ма▓░и╢а пло▓но▒▓и Rk (n) ░авна PbRk , е▒ли 0 6
Rk , е▒ли k < n 6 J . В ╜▓и момен▓╗
n 6 n, или q 6 n 6 N и Rk (n) = Plsj
в░емени (к░а▓н╗е ) п░иведенн╗е в╗╕е кван▓ов╗е ▒о▒▓о┐ни┐ | ╖и▒▓╗е
и опи▒╗ва╛▓▒┐ век▓о░ами Rb k и Rlsjk . В момен▓╗ в░емени n+ , 0 < <
ма▓░и╢а пло▓но▒▓и Rk (n+ ) опи▒╗вае▓ ▒ме▒╝ ╖и▒▓╗╡ ▒о▒▓о┐ний PbRk
Rk , а ▓акже д░│ги╡ ▒о▒▓о┐ний, ко▓о░╗е мог│▓ вне▒▓и вклад в п░ав│╛
и Plsj
╖а▒▓╝ ░авен▒▓ва (54). Е▒ли 0 6 n 6 k или q 6 n < N , в ▒ме▒и домини░│е▓
опе░а▓о░ PbRk . Много ли д░│ги╡ ▒о▒▓авл┐╛╣и╡ в╡оди▓ в ▒ме▒╝, зави▒и▓ о▓
вели╖ин╗ и ░а▒▒▓о┐ни┐ m ; n дл┐ в▒е╡ k + 1 < m < q ; 1 или о▓ ▓ого,
▒кол╝ далеко ░а▒положен╗ ╖и▒ла m о▓ n. Аналоги╖н╗е воп░о▒╗ возника╛▓
и ░аз░е╕а╛▓▒┐ п░и k + 1 6 n 6 J .
28
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
6.3. Сложно▒▓╝ гамил╝▓онианов
Тол╝ко ╖▓о из│╖енн╗е гамил╝▓ониан╗ облада╛▓ ▒│╣е▒▓венно ░азли╖ной ▒ложно▒▓╝╛. В ╖а▒▓но▒▓и, ▒▓░оение не зави▒┐╣и╡ о▓ в░емени гамил╝▓онианов более ▒ложно, ╖ем гамил╝▓онианов, зави▒┐╣и╡ о▓ в░емени. Одна
из п░и╖ин ╜▓ого закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о по▒кол╝к│ в незави▒┐╣ей о▓ в░емени модели ▓░и ╕ага | запи▒╝, в╗╖и▒ление и ▒двиг об║единен╗ в один,
▓о обла▒▓╝ ░е╕е▓ки, ко▓о░а┐ подве░жена изменени┐м на каждом ╕аге, в
╜▓ом ▒л│╖ае бол╝╕е, ╖ем в ▒л│╖ае зави▒┐╣ей о▓ в░емени модели.
Д░│га┐ п░и╖ина ▒в┐зана ▒ ▓ем, ╖▓о по▒▓░оение не зави▒┐╣его о▓ в░емени гамил╝▓ониана ▓░еб│е▓ знани┐ де▓алей в▒е╡ в╗╖и▒лений, ко▓о░╗е
в╗полн┐е▓ ма╕ина Т╝╛░инга. Э▓о ▒▓анови▓▒┐ о╖евидн╗м по▒ле из│╖ени┐
░авен▒▓в (39), (42) и (44) или (48). Нап░име░, ╖▓об╗ по▒▓░ои▓╝ гамил╝▓ониан по ┤о░м│ле (42), дл┐ каждого ▒▓анда░▓ного на╖ал╝ного в╗░ажени┐ длин╗ 6 J на в╗╖и▒ли▓ел╝ной лен▓е необ╡одимо зна▓╝ в▒е мгновенн╗е
опи▒ани┐ и по░┐док, в ко▓о░ом они по┐вл┐╛▓▒┐ в ▓е╖ение пе░в╗╡ J ╕агов
и P ,
в╗╖и▒лени┐. Э▓о необ╡одимо зна▓╝ дл┐ по▒▓░оени┐ опе░а▓о░ов jk
k
в╡од┐╣и╡ в ░авен▒▓во (48). Э▓о ▓░ебование ╜квивален▓но ░е╕ени╛ зада╖и
об о▒▓ановке в ▓е╖ение пе░в╗╡ J ╕агов п░оизвол╝ного в╗╖и▒лени┐.
Такое положение ве╣ей к░айне нежела▓ел╝но, по▓ом│ ╖▓о л╛ба┐ ▓ака┐ модел╝ ▒▓анови▓▒┐ бе▒полезной ▒ п░ак▓и╖е▒кой ▓о╖ки з░ени┐. Хо╖е▓▒┐
име▓╝ дело ▒ ▓акой модел╝╛, ко▓о░а┐ п░ино▒ила б╗ нов│╛ ин┤о░ма╢и╛
в ╡оде в╗╖и▒лений, а не пов▓о░┐ла б╗ ▓о, ╖▓о в нее вне▒ено ▒▓░ои▓елем.
В ╖а▒▓но▒▓и, гамил╝▓ониан должен б╗▓╝ до▒▓а▓о╖но цп░о▒▓ч, ╖▓об╗ его
▒оздание не ▓░ебовало полного ░е╕ени┐ зада╖, дл┐ ко▓о░╗╡ ╜▓а модел╝
б│де▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐.
Модели ▒ зави▒┐╣им о▓ в░емени гамил╝▓онианом ▒ ╜▓ой ▓о╖ки з░ени┐
более │довле▓во░и▓ел╝н╗. По▒▓░оение гамил╝▓онианов запи▒и и ▒двига
H1 и H3 (▒м. ░авен▒▓ва (30) и (33)) не ▓░еб│╛▓ знаний о в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕ине Т╝╛░инга. Ч▓об╗ по▒▓░ои▓╝ в╗╖и▒л┐╛╣ий гамил╝▓ониан H2
(▒м. ░авен▒▓во (31)) дл┐ заданной ма╕ин╗ Т╝╛░инга, н│жно в▒его ли╕╝
зна▓╝ ┤│нк╢и╛ Q (▒м. ░авен▒▓во (1)), ко▓о░а┐ в ░авной ▒▓епени п░именима ко в▒ем п┐▓е░кам множе▒▓ва Q.
Такого ░ода ▒ведени┐ необ╡одим╗ дл┐ по▒▓░оени┐ л╛бого ╢и┤░ового
комп╝╛▓е░а и в╡одной п░ог░амм╗, по╜▓ом│ модели должн╗ б╗▓╝ п░ак▓и╖н╗ми п░и в╗╖и▒лени┐╡. По▒▓░оение ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ гамил╝▓онианов не ▓░еб│е▓ знани┐ в▒е╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ о░би▓ модели.
В ╜▓ой ░або▓е по▒▓░оен╗ модели дв│╡ ▓ипов. В одной из ни╡ ╜вол╛╢и┐
локал╝на во в░емени и гамил╝▓ониан п░о▒▓, но он зави▒и▓ о▓ в░емени. В
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
29
Пол Бенев
д░│гой ╜вол╛╢и┐ глобал╝на во в░емени, гамил╝▓ониан более ▒ложен, но
за▓о он не зави▒и▓ о▓ в░емени.
Можно ли обоб╣и▓╝ ╜▓и ░ез│л╝▓а▓╗? В ╖а▒▓но▒▓и, в▒е ли глобал╝н╗е
во в░емени гамил╝▓онов╗ модели п░о╢е▒▒а в╗╖и▒лени┐ должн╗ б╗▓╝ до▒▓а▓о╖но ▒ложн╗ми и ▓░ебова▓╝ п░едва░и▓ел╝ного знани┐ о в▒е╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ о░би▓а╡? Д│мае▓▒┐, ╖▓о о▓ве▓ должен б╗▓╝ положи▓ел╝н╗м.
В ░авной ▒▓епени важн╗й воп░о▒ зв│╖и▓ ▓ак: должн╗ ли б╗▓╝ глобал╝н╗ми во в░емени л╛б╗е модели, о▒нованн╗е на не зави▒┐╣и╡ о▓ в░емени
гамил╝▓ониана╡?
Дл┐ о▓ве▓а на него заме▓им, ╖▓о можно доказа▓╝ ▓ео░ем│, │▓ве░жда╛╣│╛, ╖▓о в▒┐ка┐ гамил╝▓онова модел╝, в ко▓о░ой │ни▓а░н╗й опе░а▓о░
V () = exp(;iH ) пе░еводи▓ за в░ем┐ ▒о▒▓о┐ни┐ n, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие закон╖енном│ n{м│ ╕аг│ в╗╖и▒лений, в ▒о▒▓о┐ни┐ n+1 , ▒оо▓ве▒▓в│╛╣ие закон╖енном│ (n + 1){м│ ╕аг│ дл┐ л╛б╗╡ n = 0; 1; : : : ; N ; 1 и
л╛б╗╡ на╖ал╝н╗╡ в╗░ажений (▓. е. ╜▓о | дв│▒▓о░онний ▒двиг), как ╜▓о
п░едпи▒ано ░авен▒▓вами (38){(43), должна б╗▓╝ глобал╝ной во в░емени.
Однако, из ╜▓ой ▓ео░ем╗ не ▒лед│е▓, ╖▓о в▒е модели п░о╢е▒▒а в╗╖и▒лени┐
▒ не зави▒┐╣им о▓ в░емени гамил╝▓онианом должн╗ б╗▓╝ глобал╝н╗ми
во в░емени. С│╣е▒▓в│╛▓ модели, гамил╝▓ониан╗ ко▓о░╗╡ не зави▒┐▓ о▓
в░емени и ко▓о░╗е локал╝н╗ во в░емени [13]. П░и╖ина, по ко▓о░ой ╜▓и
модели избега╛▓ ог░ани╖ени┐ ▓ео░ем╗, закл╛╖ена в ▓ом, ╖▓о и╡ можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ как неко▓о░╗й п░едел ░а▒▒ма▓░иваем╗╡ зде▒╝ моделей. Хо▓┐ ▒┤о░м│ли░ованна┐ ▓ео░ема ▒п░аведлива дл┐ каждой модели из
по▒ледова▓ел╝но▒▓и, она не ве░на дл┐ п░едел╝ной модели. М╗ надеем▒┐
впо▒лед▒▓вии ве░н│▓╝▒┐ к ╜▓ом│ воп░о▒│.
6.4. Ди▒▒ипа╢и┐ ╜не░гии
Е╣е одним важн╗м ▒вой▒▓вом моделей ▒ не зави▒┐╣им о▓ в░емени гамил╝▓онианом ┐вл┐е▓▒┐ н│лева┐ ди▒▒ипа╢и┐ ╜не░гии в ▓е╖ение ╜вол╛╢ии. Ре╖╝ иде▓ не ▓ол╝ко о ▒о╡░анении ╜не░гии, ╖▓о ▒п░аведливо в
л╛бой ▒и▒▓еме ▒ не зави▒┐╣им о▓ в░емении гамил╝▓онианом, но и об
о▓▒│▓▒▓вии ее дег░ада╢ии. В ╖а▒▓но▒▓и, в кажд╗й момен▓ в░емени n,
n = 0; 1; : : : ; N ; 1 ▒о▒▓о┐ние ▒и▒▓ем╗ ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ п░о▒▓ой ▒пиновой кон┤иг│░а╢ии на ░е╕е▓ке. Э▓о | не линейна┐ комбина╢и┐ ▒пинов╗╡
NP
;1
▒о▒▓о┐ний
cm (n)m, в ко▓о░ой cm (n) 6= 0 п░и m 6= n и аб▒ол╛▓m=0
н╗е зна╖ени┐ jcn (n)j │б╗ва╛▓ п░и воз░а▒▓ании n. Така┐ возможно▒▓╝
озна╖ае▓ дег░ада╢и╛ ╜не░гии ▒и▒▓ем╗ в ╡оде ╜вол╛╢ии.
В модел┐╡ ▒ зави▒┐╣им о▓ в░емени гамил╝▓онианом ди▒▒ипа╢и┐ ╜не░30
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
гии може▓ п░ои▒╡оди▓╝ во вне╕ни╡ │▒▓░ой▒▓ва╡, ко▓о░╗е вкл╛╖а╛▓ и
в╗кл╛╖а╛▓ ▓ек│╣ие гамил╝▓ониан╗. Вн│▓░и ▒амой модели изменени┐
╜е░гии п░ои▒╡од┐▓ ▓ол╝ко на ▓е╡ ╕ага╡, когда гамил╝▓ониан, б│д│╖и ак▓ивн╗м, не измен┐е▓ ▓е ▒о▒▓о┐ни┐ модели, ко▓о░╗е она п░ин┐ла на п░ед╗д│╣ем ╕аге, или п░иводи▓ модел╝ в ▓акие ▒о▒▓о┐ние, ко▓о░ое не измени▓▒┐ в ▓е╖ение по▒лед│╛╣его ╕ага.
Дей▒▓ви▓ел╝но, ░авен▒▓во (18) озна╖ае▓, ╖▓о е▒ли ((3m + h)) =
= ((3m + h + 1)), ▓о п░и в▒е╡ t = (3m + h) + , 0 < < ▒п░аведливо ▒оо▓но╕ение ((t); Hh+1(t)) = 2=2. Однако е▒ли
((3m + h)) 6= ((3m + h + 1)), ▓о ((t); Hh+1 (t)) = 0. Такое п░ои▒╡оди▓, нап░име░, е▒ли в╗╖и▒лени┐ закан╖ива╛▓▒┐ за L < J ╕агов, ▓огда дл┐ в▒е╡ зна╖ений t, │довле▓во░┐╛╣и╡ не░авен▒▓вам 3L < t < 3J ,
опе░а▓о░╗ H1 и H2 во в░ем┐ и╡ ак▓ивно▒▓и измен┐╛▓ ▒о▒▓о┐ни┐, но ак▓ивно▒▓╝ H2 к изменени╛ ак▓ивно▒▓и не п░иводи▓.
Д░│гой а▒пек▓, ▒в┐занн╗й ▒ не зави▒┐╣им о▓ в░емени гамил╝▓онианом, | ╜▓о ░або▓а ▓аки╡ моделей вблизи кван▓ов╗╡ п░еделов. В ╜▓ом
▒л│╖ае неоп░еделенно▒▓╝ ╜не░гии E , деленна┐ на ▒ко░о▒▓╝ в╗╖и▒лени┐ 1=, близка к п░едел│, │▒▓ановленном│ п░ин╢ипом неоп░еделенно▒▓и [18]. Ч▓об╗ │беди▓╝▒┐ в ╜▓ом, заме▓им, ╖▓о ве░╡ний п░едел неоп░еделенно▒▓и ╜не░гии E оп░едел┐е▓▒┐ ╕и░иной ░азб░о▒а ╜не░гии (2~=)(1;
;1=(N ; 1)) 2~=. П░ин╢ип неоп░еделенно▒▓и п░иводи▓ к не░авен▒▓в│ E & ~=.
Дл┐ по▒▓░оенн╗╡ зде▒╝ моделей неп░именим╗ о╢енки п░еделов ▒ко░о▒▓и в╗╖и▒лений, о▒нованн╗е на ▒ооб░ажени┐╡, ▒в┐занн╗╡ ▒ ди▒▒ипа╢ией ╜не░гии [11]. Можно, вооб╣е гово░┐, │вели╖и▓╝ ▒ко░о▒▓╝ в╗╖и▒лени┐,
│вели╖ива┐ ▒░едн╛╛ ╜не░ги╛ ▒и▒▓ем╗ hH i, не ▒оздава┐ п░и ╜▓ом ни дег░ада╢ии, ни ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии. В ╜▓ом можно │беди▓╝▒┐, из│╖а┐ ░авен▒▓ва (48) и (49), из ко▓о░╗╡ ▒лед│е▓, ╖▓о дл┐ п░оизвол╝ной кон┤иг│░а╢ии
░е╕е▓ки f
hH i =
f ; H f
!
= dff = ~ 1 ; N1 ~
(55)
Таким об░азом, ▒░едн┐┐ ╜не░ги┐ не зави▒и▓ о▓ f и ░авна п░и бол╝╕и╡ N
п░иблизи▓ел╝но ~=. Э▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ легко об║┐▒ни▓╝, е▒ли │╖е▒▓╝, ╖▓о
| ╜▓о в░ем┐, за ко▓о░ое ▒и▒▓ема в╗полн┐е▓ один ╕аг в╗╖и▒лени┐ (╜▓о,
г░│бо гово░┐, в░ем┐ жизни ▒иc▓ем╗ в каждом из ▒о▒▓о┐ний n), ▓ак ╖▓о
▒ко░о▒▓╝ в╗╖и▒лени┐ ░авна ' hH i=~. Э▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ подде░живае▓ довод╗ Дой╖а [5] и Ланда│╜░а [19], к░и▓ик│╛╣и╡ │▓ве░ждение Бекен╕▓ейна [1] о ▓ом, ╖▓о ▒ко░о▒▓╝ в╗╖и▒лени┐ можно ▒дела▓╝ ▒кол╝ │годно бол╝-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
31
Пол Бенев
╕ой п░и │вели╖ении ▒░едней ╜не░гии ма╕ин╗ Т╝╛░инга. Нап░име░, е▒ли
╜не░ги┐ ░авна 1 ╜лек▓░он-вол╝▓│, ▓о ▒ко░о▒▓╝ в╗╖и▒лени┐ ░авна п░иблизи▓ел╝но 4 1014 ╕аг/▒ек. Е▒ли ╜не░ги┐ ░авна 1 ╜░г│, ▓о ▒ко░о▒▓╝ в╗╖и▒лени┐ 31026 ╕аг/▒ек, ╖▓о зна╖и▓ел╝но п░ево▒╡оди▓ п░едел Бекен╕▓ейна
1015 ╕аг/▒ек.
7. Изме░ени┐
Ч▓об╗ и▒пол╝зова▓╝ ▒по▒обно▒▓╝ на╕и╡ моделей к в╗╖и▒лени┐м,
н│жно │ме▓╝ ▒ове░╕а▓╝ изме░ени┐ па░аме▓░ов, оп░едел┐╛╣и╡ модели
ма╕ин╗ Т╝╛░инга.
7.1. Не зави▒┐╣ие о▓ в░емени модели
Сна╖ала об▒│дим полн╗й набо░ изме░ений ма╕ин╗ Т╝╛░инга и па░аме▓░ов ▒и▒▓ем╗ запи▒и в п░едложенной зде▒╝ модели ▒ гамил╝▓онианом, не зави▒┐╣им о▓ в░емени. Рез│л╝▓а▓╗ ╜▓и╡ в╗╖и▒лений должн╗
▒оде░жа▓╝ зна╖ени┐ l, , j , k, , ко▓о░╗е опи▒╗ва╛▓ пе░в╗е J ╕агов в╗╖и▒лений и ▒о▒▓о┐ни┐ ▒пинов╗╡ кон┤иг│░а╢ий, по ме░е возв░а╣ени┐ в
на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние.
П│▒▓╝ ▓акое изме░ение ▓░еб│е▓ п░омеж│▓ка длин╗ около зна╖ени┐ в░емени n п░и n < J и п│▒▓╝ ╖и▒ла (ljn) оп░едел┐╛▓ ▒о▒▓о┐ние
ма╕ин╗ Т╝╛░инга и ▒и▒▓ем╗ запи▒и по▒ле n ╕агов. Э▓о ▒о▒▓о┐ние опи▒╗вае▓▒┐ век▓о░ом ljn = (n). Можно показа▓╝, ╖▓о е▒ли ,
▓о в ░ез│л╝▓а▓е изме░ени┐ ▒ бол╝╕ой ве░о┐▓но▒▓╝╛ ░авной 1 ; c2 =2
(где c | неко▓о░а┐ по▒▓о┐нна┐) б│д│▓ пол│╖ен╗ зна╖ени┐ (ljn). Ве░о┐▓но▒▓╝ д░│ги╡ ░ез│л╝▓а▓ов | вели╖ина по░┐дка c2 =2 .
Л╛бое ▓акое изме░ение ▒ необ╡одимо▒▓╝╛ возм│╣ае▓ ▒о▒▓о┐ние ▒и▒▓ем╗. П░и╖ина ╜▓ого закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о модел╝на┐ ▒и▒▓ема на╡оди▓▒┐ в ▒об▒▓венном ▒о▒▓о┐нии │казанн╗╡ ▓░е╡ пе░еменн╗╡ (как ╜▓о оп░едел┐е▓▒┐ ░авен▒▓вом (9)) ▓ол╝ко в момен▓ в░емени t = n. Во в▒е д░│гие
момен▓╗ в░емени ▒о▒▓о┐ние (t) ┐вл┐е▓▒┐ линейной ▒│пе░пози╢ией в▒е╡
N кон┤иг│░а╢ий на о░би▓е в╗╖и▒лени┐ и не може▓ б╗▓╝ ▒об▒▓венн╗м
век▓о░ом ни одной из │пом┐н│▓╗╡ в╗╕е набл╛даем╗╡.
В ╖а▒▓но▒▓и, можно показа▓╝1 , ╖▓о к кон╢│ взаимодей▒▓ви┐, о▒│1 П│▒▓╝ [f jf = 0; 1; : : : ; N ; 1] и b обозна╖а╛▓ о░▓оно░ми░ованн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ изме░и▓ел╝ного аппа░а▓а, где
b | ╜▓о на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние аппа░а▓а. П│▒▓╝ гамил╝▓ониан изме░ени┐ ░авен H 0 = (~=2)[P(Pf f ) ; 1], где Pf | п░оек╢ионн╗й опе░а▓о░,
f
в╗дел┐╛╣ий ▒о▒▓о┐ние f , а опе░а▓о░ f пе░е▒▓авл┐е▓ ▒о▒▓о┐ни┐ f и b . Изме░ение
32
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
╣е▒▓вл┐╛╣его изме░ени┐, в момен▓ n + =2, ▒о▒▓о┐ние ▒иc▓ем╗, ко , где
▓о░ое ▒оо▓ве▒▓вовало ╖и▒лам (ljn), оп░едел┐е▓▒┐ век▓о░ом ljn
j2 = 1 ; c2 =2 и
jljn
ljn
= + (n + =2) (n + =2)j; ljn
;
| ╜▓о (нено░ми░ованное) ▒о▒▓о┐ние, ко▓о░ое о░▓огонал╝но к (n+
+=2), п░и╖ем главное ▒лагаемое в ░азложении квад░а▓а мод│л┐ ╜▓ого
век▓о░а по ▒▓епен┐м = имее▓ по░┐док 2 =2 . По▒кол╝к│ (n+=2) |
╜▓о ▒о▒▓о┐ние, в ко▓о░ом на╡одила▒╝ б╗ ▒и▒▓ема в о▓▒│▓▒▓вие изме░ени┐,
▓о п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой возм│╣ение, в╗званное изме░ением, п░изванн╗м в╗дели▓╝ ╖и▒ла ljn.
Со▒▓о┐ни┐ модели f , а▒▒о╢ии░ованн╗е ▒ д░│гими и▒╡одами f , ▓аков╗, ╖▓о jf j2 < c2 =2 . Они ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ бол╝╕ом│ возм│╣ени╛ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗ во в░ем┐ изме░ени┐, по╜▓ом│ его нел╝з┐ ▒╖и▓а▓╝ п░ед▒▓ави▓елем какой-либо ▒▓адии в╗╖и▒лени┐ ма╕ин╗ Т╝╛░инга.
В╗╕еп░иведенное показ╗вае▓, ╖▓о е▒ли полна┐ ▒и▒▓ема изме░ений
должна п░ине▒▓и п░авил╝н╗й ░ез│л╝▓а▓ ▒ близкой к едини╢е ве░о┐▓но▒▓╝╛ и не ▒ли╕ком измени▓╝ ▒о▒▓о┐ние ▒и▒▓ем╗, ▓о дли▓ел╝но▒▓╝ изме░ени┐ должна б╗▓╝ много мен╝╕е ин▓е░вала межд│ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗ми
╕агами . Сдела▓╝ ╜▓о ▓░│дно, о▒обенно е▒ли длина о▓░езка мала.
Д░│гим ▒лед▒▓вием ▓ого, ╖▓о полное изме░ение, п░оизводимое за коне╖ное в░ем┐ , ▒ необ╡одимо▒▓╝╛ возм│╣ае▓ ▒о▒▓о┐ние ▒и▒▓ем╗, ┐вл┐е▓▒┐ ▓о об▒▓о┐▓ел╝▒▓во, ╖▓о изме░ение ▒ необ╡одимо▒▓╝╛ п░иводи▓ к ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии. В ╜▓ом можно │беди▓╝▒┐, заме▓ив, ╖▓о ▒о▒▓о┐ние ▒и▒▓ем╗ в кон╢е изме░ени┐ │же не ╖и▒▓ое ▒о▒▓о┐ние, а ▒ме╕анное ▒о▒▓о┐ние
▒ коне╖ной ╜н▓░опией. (Ма▓░и╢а пло▓но▒▓и ╜▓ого ▒о▒▓о┐ни┐ пол│╖ае▓▒┐
по▒ле в╗╖и▒лени┐ ▒леда по ▒▓епен┐м ▒вобод╗ изме░и▓ел╝ного п░ибо░а
об║единенной ма▓░и╢╗ пло▓но▒▓и бол╝╕ой ▒и▒▓ем╗ цмодел╝ + изме░и▓ел╝н╗й аппа░а▓ч.) Ди▒▒ипа╢и┐ ╜не░гии, ко▓о░│╛ можно оп░едели▓╝ как
░азно▒▓╝ ╜не░гии ▒и▒▓ем╗ в на╖ал╝ном
коне╖ного
▒о▒▓о┐нии
и ╜не░гии
2
▒о▒▓о┐ни┐ ljn, ░авна ~= ; ljn ; H ljn , ▓. е. (K =2 )(~=),
где K | по▒▓о┐нна┐ по░┐дка едини╢╗.
О╖евидно, ╖▓о дл┐ избежани┐ заме▓ного возм│╣ени┐ ▒о▒▓о┐ний ▒и▒▓ем╗ и ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии дли▓ел╝но▒▓╝ изме░ени┐ должна б╗▓╝ знаопи▒╗вае▓▒┐ гамил╝▓онианом H 0 , ко▓о░╗й вкл╛╖ае▓▒┐ в момен▓ в░емени n ; =2 и
в╗кл╛╖ае▓▒┐ в момен▓ n + =2, вме▒▓е ▒ гамил╝▓онианом H (│░авнение (48)), ко▓о░╗й дей▒▓в│е▓ по▒▓о┐нно. Со▒▓о┐ние
▒и▒▓ем╗ цмодел╝ + + аппа░а▓ч в момен▓ в░емени
n+ =2 оп░едел┐е▓▒┐ ┤о░м│лой P f f + b b . Свой▒▓ва f и b опи▒ан╗ в ▓ек▒▓е.
f
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
33
Пол Бенев
╖и▓ел╝но мен╝╕е дли▓ел╝но▒▓и ╕ага в╗╖и▒лений . Однако можно
│беди▓╝▒┐ в ▓ом, как ▓░│дно ╜▓ого до▒▓и╖╝. Я▒но, ╖▓о л│╖╕е избежа▓╝
подобн╗╡ изме░ений.
Можно в╗┐▒ни▓╝, закон╖ено в╗╖и▒ление или не▓, не п░оизвод┐ полного изме░ени┐. Дл┐ ╜▓ого н│жно из│╖и▓╝ ▓ол╝ко ╖а▒▓╝ ▒и▒▓ем╗: две ▒о▒едние кле▓ки ▒и▒▓ем╗ запи▒и. Е▒ли ▒оде░жимое k{й и (k + 1){й кле▓ок,
п░ове░енное в п░омеж│▓ок в░емени межд│ (k + 2) и J , одинаково,
▓о в╗╖и▒ление закон╖ило▒╝ до k{го ╕ага. П░о▓ивоположн╗й ░ез│л╝▓а▓
озна╖ае▓, ╖▓о в╗╖и▒лени┐ не о▒▓ановили▒╝ на k{м ╕аге.
Об▒│дим ▒вой▒▓ва изме░ений ▓акого ░ода. В ╜▓ом ▒л│╖ае ▓акже в
▒и▒▓ем│ б│де▓ вне▒ено возм│╣ение, е▒ли п░одолжи▓ел╝но▒▓╝ изме░ени┐
ог░ани╖ена │▒ловием < . Однако п░ак▓и╖е▒ки изменение ▒о▒▓о┐ни┐
п░и пе░е╡оде о▓ k{й к (k + 1){й кле▓ке може▓ б╗▓╝ до▒▓а▓о╖но мал╗м,
╖▓об╗ позволи▓╝ │вели╖и▓╝ дли▓ел╝но▒▓╝ изме░ени┐ до не▒кол╝ки╡ ,
не опа▒а┐▒╝ бол╝╕ого возм│╣ени┐ ▒о▒▓о┐ни┐ и зна╖и▓ел╝ной ди▒▒ипа╢ии
╜не░гии. Более ▓о╖н╗е о╢енки, ко▓о░╗е зави▒┐▓ о▓ ╖и▒ел n, k и па░аме▓░ов ▒и▒▓ем╗, можно пол│╖и▓╝ и▒╡од┐ из ░авен▒▓ва (54) дл┐ ▓аки╡ n,
╖▓о k < n < J .
7.2. Модели ▒ гамил╝▓онианами, зави▒┐╣ими о▓ в░емени
Полн╗й набо░ изме░ений ▓аки╡ моделей ▓акже возм│╣ае▓ ▒о▒▓о┐ние
▒и▒▓ем╗ и п░иводи▓ к ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии, даже е▒ли п░одолжи▓ел╝но▒▓╝
изме░ени┐ мен╝╕е . Однако изме░ени┐ о▒▓ановки, ко▓о░╗е п░ове░┐╛▓
k{╛ и (k + 1){╛ кле▓ки в п░омеж│▓ке в░емени 3(k + 1) < t < 3J ,
не возм│╣а╛▓ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗ и не п░ивод┐▓ к ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии.
П░и╖ина ╜▓ого ┐влени┐ закл╛╖ена в локал╝но▒▓и по в░емени. Со▒▓о┐ни┐
под▒и▒▓ем в ╜▓ом ▒л│╖ае ▒▓░ого ▒▓а╢иона░н╗, пока ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие ╕аги
не п░ивед│▓ к и╡ изменени╛. Э▓о закл╛╖ение в╗▓екае▓ из ░авен▒▓ва (53),
ко▓о░ое показ╗вае▓, ╖▓о ▒о▒▓о┐ние л╛бой под▒и▒▓ем╗, ко▓о░а┐ одинаково в╡оди▓ в n и n+1 , оказ╗вае▓▒┐ ▒▓а╢иона░н╗м во в▒е п░омеж│▓ки
в░емени межд│ n и (n + 1). Э▓о и озна╖ае▓, ╖▓о п░одолжи▓ел╝но▒▓╝
▓аки╡ изме░ений, как изме░ени┐ о▒▓ановки, не должна б╗▓╝ ог░ани╖ена
в░еменем одного в╗╖и▒лени┐ и може▓ ▒о▒▓авл┐▓╝ не▒кол╝ко .
8. Об▒│ждение
Полезно б░о▒и▓╝ бегл╗й взгл┐д на до▒▓оин▒▓ва и недо▒▓а▓ки по▒▓░оенн╗╡ зде▒╝ моделей. Модели ▒ не зави▒┐╣ими о▓ в░емени гамил╝▓ониа34
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
нами ╡о░о╕и ▓ем, ╖▓о они не зави▒┐▓ о▓ в░емени | не▓ необ╡одимо▒▓и во
вме╕а▓ел╝▒▓ве извне. К░оме ▓ого, они не ░а▒▒еива╛▓ ╜не░ги╛, ▒о▒▓о┐ние
▒и▒▓ем╗ не дег░ади░│е▓ и ░або▓а╛▓ ма╕ин╗ на кван▓овом п░еделе, ▓ак
╖▓о о▓но╕ение неоп░еделенно▒▓и ╜не░гии и ▒ко░о▒▓и в╗╖и▒лени┐ < 2~.
К ▒ожалени╛, ▓акие ма╕ин╗ ╖░езв╗╖айно ╖│в▒▓ви▓ел╝н╗ к вне╕ним воздей▒▓ви┐м. К░оме ▓ого, гамил╝▓ониан╗ ▓аки╡ моделей ▒▓ол╝ ▒ложн╗, ╖▓о
и кон▒▓░│и░ование ▓░еб│е▓ п░едва░и▓ел╝ного знани┐ о в▒е╡ J ╕ага╡ о░би▓╗ в╗╖и▒лени┐ модели░│емой ма╕ин╗ Т╝╛░инга. Наконе╢, ╜вол╛╢и┐
в ╜▓ом ▒л│╖ае глобал╝на во в░емени. В ░ез│л╝▓а▓е в▒е изме░ени┐, даже
е▒ли они ог░ани╖ива╛▓▒┐ о▓дел╝ной под▒и▒▓емой, возм│╣а╛▓ ▒о▒▓о┐ни┐
модели и п░ивод┐▓ к ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии. Э▓о п░ои▒╡оди▓ даже в ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли п░одолжи▓ел╝но▒▓╝ изме░ени┐ мен╝╕е, ╖ем дли▓ел╝но▒▓╝ ╕ага
в╗╖и▒лени┐ | ╜▓о ▓░ебование должно б╗▓╝ в╗полнено дл┐ л╛бого изме░ени┐.
Зави▒┐╣ие о▓ в░емени модели облада╛▓ ▓ем п░еим│╣е▒▓вом, ╖▓о в
ни╡ не▓ дег░ада╢ии ▒о▒▓о┐ний. К░оме ▓ого, гамил╝▓ониан╗ в ╜▓ом ▒л│╖ае
менее ▒ложн╗. В ╖а▒▓но▒▓и, дл┐ л╛бой ма╕ин╗ Т╝╛░инга по▒▓░оение
гамил╝▓ониана ▓░еб│е▓ знани┐ ┤│нк╢ии Q (▒м. ░авен▒▓во (1)). Не▓ необ╡одимо▒▓и зна▓╝ в▒╛ о░би▓│ в╗╖и▒лени┐ п░одолжи▓ел╝но▒▓╝╛ в J ╕агов.
Наконе╢, ╜вол╛╢и┐ в ╜▓ом ▒л│╖ае локал╝на во в░емени. В▒лед▒▓вие ╜▓ого
изме░ени┐, ог░ани╖енн╗е под╡од┐╣ей под▒и▒▓емой, ▓акие как изме░ени┐
о▒▓ановки, не возм│╣а╛▓ ▒и▒▓ем│ и не п░ивод┐▓ к ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии.
Недо▒▓а▓ок моделей закл╛╖ае▓▒┐ в и╡ к░айней ╖│в▒▓ви▓ел╝но▒▓и к вне╕ним воздей▒▓ви┐м. К░оме ▓ого, необ╡одим╗ вне╕ние │▒▓░ой▒▓ва, вкл╛╖а╛╣ие и в╗кл╛╖а╛╣ие ╕аги запи▒и, в╗╖и▒лени┐ и ▒двига.
В модел┐╡, ко▓о░╗е об▒│ждало▒╝ в ░або▓а╡ [13{15] в ка╖е▒▓ве
│▒▓░ой▒▓в, обе▒пе╖ива╛╣и╡ ╜▓и пе░екл╛╖ени┐, и▒пол╝зовали▒╝ движ│╣а┐▒┐ ▒и▒▓ема, ░а▒▒еива╛╣а┐▒┐ на ▒и▒▓еме ┤ик▒и░ованн╗╡ ░а▒▒еива▓елей
или набо░ движ│╣и╡▒┐ ▒и▒▓ем, ░а▒▒еива╛╣и╡▒┐ на ┤ик▒и░ованном ░а▒▒еива▓еле. Па░аме▓░╗ модели ┤ик▒и░│╛▓▒┐ ▓ак, ╖▓об╗ ░а▒▒е┐ние одной
▒и▒▓ем╗ на одном ░а▒▒еива▓еле ▒оо▓ве▓▒▓вовало одном│ в╗╖и▒ли▓ел╝ном│ ╕аг│ модели. В ╜▓и╡ модел┐╡ гамил╝▓ониан не зави▒и▓ о▓ в░емени и в
п░иближении, ко▓о░ое и▒пол╝зовало▒╝ в одной из ░або▓ [13], модели оказ╗ва╛▓▒┐ локал╝н╗ми во в░емени и в ни╡ о▓▒│▓▒▓в│╛▓ дег░ада╢и┐ ▒о▒▓о┐ний и ди▒▒ипа╢и┐ ╜не░гии. Д░│гие модели [14,15] обна░│жива╛▓ дег░ада╢и╛ и ди▒▒ипа╢и╛ даже в ▓ом ▒л│╖ае, е▒ли изме░ени┐ не п░оизвод┐▓▒┐.
Э▓и модели, к░оме ▓ого, локал╝н╗ во в░емени и в ░амка╡ неко▓о░╗╡ апп░ок▒има╢ий мог│▓ ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ как ▓о╖н╗е. Далее, гамил╝▓ониан╗
╜▓и╡ моделей мог│▓ б╗▓╝ менее ▒ложн╗ми, ╖ем ░а▒▒мо▓░енн╗е зде▒╝ за-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
35
Пол Бенев
ви▒┐╣ие о▓ в░емени гамил╝▓ониан╗ ма╕ин╗ Т╝╛░инга. Наконе╢, модели
▒ по▒ледова▓ел╝н╗м ░а▒▒е┐нием п░ивлека▓ел╝н╗ ▓ем, ╖▓о ▒оо▓ве▓▒▓вие
модели ма╕ине Т╝╛░инга не ░аз░│╕ае▓▒┐ и по▒ле J ╕агов в╗╖и▒лени┐,
▓ак ╖▓о изме░ени┐ в ╜▓ом ▒л│╖ае мог│▓ дли▓╝▒┐ ▓ак долго, как ╜▓о заблаго░а▒▒│ди▓▒┐.
В закл╛╖ение заме▓им, ╖▓о зде▒╝ показана ма▓ема▓и╖е▒ка┐ о▒│╣е▒▓вимо▒▓╝ неди▒▒ипа▓ивной кван▓овоме╡ани╖е▒кой гамил╝▓оновой модели, в╗полн┐╛╣ей коне╖ное ╖и▒ло в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ╕агов л╛бой ма╕ин╗
Т╝╛░инга. Однако о▒▓ае▓▒┐ о▓к░╗▓╗м воп░о▒, можно ли по▒▓░ои▓╝ ▓акие
модели в лабо░а▓о░ии. Нап░име░, е▒ли п░ин┐▓╝ как и▒▓инное │▓ве░ждение о ▓ом, ╖▓о в лабо░а▓о░ии можно по▒▓░ои▓╝ не более ╖ем бе▒коне╖но
▒╖е▓ное ╖и▒ло моделей, ▓о бол╝╕ин▒▓во ма▓ема▓и╖е▒ки ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡
гамил╝▓онианов не може▓ б╗▓╝ ░еализовано ┤изи╖е▒ки.
С д░│гой ▒▓о░он╗, ▒│╣е▒▓вование ▓аки╡ гамил╝▓онианов озна╖ае▓,
╖▓о ▒лед│е▓ б╗▓╝ о▒▓о░ожн╗м п░и п░едположени┐╡ о ▓ом, ╖▓о п░о╢е▒▒
в╗╖и▒лени┐ должен ░а▒▒еива▓╝ ╜не░ги╛ и не може▓ б╗▓╝ ░еализован модел┐ми, близкими к кван▓овом│ п░едел│. Рез│л╝▓а▓╗ ╜▓ой ░або▓╗ показ╗ва╛▓, ╖▓о а░г│мен▓╗ ▓е╡, к▓о │▓ве░ждае▓, ╖▓о подобн╗е модели в╗╖и▒лений не мог│▓ б╗▓╝ ░еализован╗ в п░ин╢ипе, не мог│▓ б╗▓╝ о▒нован╗
на о▓▒│▓▒▓вии гамил╝▓онов╗╡ моделей. Дл┐ оп░ове░жени┐ ▒лед│е▓ об░а▓и▓╝▒┐ к д░│гим п░ин╢ипам.
Спи▒ок ли▓е░а▓│░╗
[1] Jacob D. Bekenstein, Phys. Rev. Lett. 46, 623 (1981).
[2] Charles H. Bennet, IBM J. Res. Dev. 17, 525 (1973).
[3] Hans J. Bremerman, Part I. Limitations on Data Processing Arising From
Quantum Theory, in Self{Organizing Systems, M. C. Yovits, G. T. Jacobi and
G. D. Goldstein, eds. (Spartan Books, Washington, D. C., 1967).
_
[4] Hans J.Bremerman,
Energy and Entropy Costs in Information Transfer and
Computing, Preprint to appear in Proceedings of Conference on Physics of
Computation, MIT, May 6{8, 1981.
[5] David Deutsch, Phys. Rev. Lett. 48, 286 (1982).
[6] Robert W. Keyes, Proc. IEEE 69, 267 (1981); Rolf Landauer, Fundamental
Physical Limitations of the Computational Process. Preprint. 1981; Ber.
Bunsenges. Phys. Chem. 80, 1048 (1976).
36
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ гамил╝▓онова модел╝ ма╕ин╗ ▓╝╛░инга
[7] Rolf Landauer, IBM J. Res. Dev. 5, 183 (1961); Rolf Landauer and James
W. F. Woo, Appl. Phys. 42, 2301 (1971); Robert W. Keyes and Rolf Landauer,
IBM J. Res. Dev. 14, 152 (1970).
[8] K. K. Likharev, Classical and Quantum Limitations on Energy Consumption in
Computing, to appear in Proceedings of Conference on Physics of Computation.
MIT, May 6{8, 1981.
[9] L. B. Levitin, Physical Limitations of Rate, Depth and Minimum Energy in
Information Processing, Preprint, Dielfeld University.
[10] D. Mundici, Nuovo Cimento 61B, 297 (1981).
[11] Rolf Landauer, Preprint, to appear in Proceedings of Conference on Physics of
Computation. MIT, May 6{8. 1981. Int. J. Theor. Phys. 21, 283 (1982).
[12] Edward Fredkin and Tommaso Tooli, Conservative Logic. Tech. Memo.,
MIT/LCS/TM{197, April 29, 1981.
[13] Paul Benio, J. Stat. Phys. 22, 563 (1980).
[14] Paul Benio, J. Math. Phys. 22, 495 (1981).
[15] Paul Benio, Quantum Mechanical Hamiltonian Models of Discrete Processes
that Erase Their Own Histories: Application to Turing Machines, in Proceedings
of Conference on Physics of Computation MIT, May 6{8, 1981.
[16] Martin Davis, Computability and Unsolvability (McGraw Hill, New York, 1958).
[17] Hartley Rogers, Jr., Theory of Recursive Functions and Eective Computability
(McGraw Hill, New York, 1965), pp. 64, 65.
[18] A.Messiah, Quantum Mechanics, Vol. I (John Wiley and Sons, New York,1958),
Chap. IV, Sec. 10.
[19] Rolf Landauer, Informal Notes, 1981.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
37
Ри╖а░д П. Фейнман
Department of physics,
California Institute of Technology,Pasadena, California
91107.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКИ
НА КОМПЬЮТЕРАХ
1. Введение
В п░ог░амме ▒казано, ╖▓о ╜▓о о▒новной доклад | и ┐ не зна╛, ╖▓о
╜▓о ▓акое. И ┐ вов▒е не ▒оби░а╛▒╝ п░едлага▓╝, ╖▓о должно б╗▓╝ на ╜▓ой
кон┤е░ен╢ии о▒новной ▓емой об▒│ждени┐ или ╖▓о-▓о в ╜▓ом ░оде. У мен┐ е▒▓╝ ▒вой ▒об▒▓венн╗й п░едме▓ доклада, и вов▒е не под░аз│мевае▓▒┐,
╖▓о к▓о-▓о должен гово░и▓╝ на ▓│ же ▓ем│, или ╖▓о-▓о в ╜▓ом д│╡е. Я
╡о╖│ гово░и▓╝ о ▓ом, о ╖ем, по п░едположени╛ Майка Де▓░о│╢о▒а (Mike
Detrouzos), ник▓о никогда гово░и▓╝ не б│де▓. Я ╡о╖│ гово░и▓╝ о п░облеме модели░овани┐ ┤изики на комп╝╛▓е░а╡, и ┐ ╡о╖│ гово░и▓╝ об ╜▓ом
в о▒обом а▒пек▓е, ко▓о░╗й ▒оби░а╛▒╝ об║┐▒ни▓╝. П░и╖ина, по ко▓о░╗м
┐ ╜▓о дела╛ | ╜▓о не╖▓о, ╖ем│ ┐ на│╖ил▒┐ │ Эд. Ф░едкина (Ed. Fredkin),
и ве▒╝ мой ин▓е░е▒ к ╜▓ом│ п░едме▓│ б╗л ин▒пи░и░ован им. Он закл╛╖ал▒┐ в ▓ом, ╖▓об╗ │зна▓╝ ╖▓о-▓о о возможно▒▓┐╡ комп╝╛▓е░ов, а ▓акже
не╖▓о о возможно▒▓┐╡ в ┤изике. Е▒ли п░едположи▓╝, ╖▓о м╗ знаем в▒е
┤изи╖е▒кие закон╗ в ▒ове░╕ен▒▓ве, ▓о, коне╖но, нам не надо │дел┐▓╝ никакого внимани┐ комп╝╛▓е░ам. Однако ин▓е░е▒но поиг░а▓╝ ▒ идеей, ╖▓о
нам е▒▓╝ ╖▓о │зна▓╝ о ┤изи╖е▒ки╡ закона╡; и е▒ли ┐ б│д│ в╗гл┐де▓╝ зде▒╝
▒покойно (в кон╢е кон╢ов, ┐ зде▒╝, а не дома), ┐ п░изна╛, ╖▓о в▒его м╗
не понимаем.
Пе░в╗й воп░о▒: какой ▓ип комп╝╛▓е░ов м╗ ▒оби░аем▒┐ и▒пол╝зова▓╝
дл┐ модели░овани┐ ┤изики? Тео░и┐ комп╝╛▓е░ов б╗ла ░азви▓а до момен▓а, когда ▒▓ало пон┐▓но, ╖▓о не▓ никакой ░азни╢╗; е▒ли │ ва▒ е▒▓╝
│ниве░▒ал╝н╗й комп╝╛▓е░, не важно, как он изго▓овлен, как он на ▒амом
деле ▒делан. Следова▓ел╝но, мой воп░о▒ закл╛╖ае▓▒┐ в ▒лед│╛╣ем: можно ли модели░ова▓╝ ┤изик│ на │ниве░▒ал╝ном комп╝╛▓е░е? Я б╗ ╡о▓ел
име▓╝ ╜лемен▓╗ ╜▓ого комп╝╛▓е░а локал╝но ▒в┐занн╗ми и, ▒ледова▓ел╝-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
1
Ри╖а░д П. Фейнман
но, ░а▒▒мо▓░е▓╝ ╖▓о-▓о в░оде кле▓о╖ного ав▓ома▓а, нап░име░ (но ┐ б╗ не
╡о▓ел ╜▓о нав┐з╗ва▓╝). Но ┐ дей▒▓ви▓ел╝но ╡о╖│ не╖▓о ▒ локал╝но▒▓╝╛
взаимодей▒▓ви┐. Я б╗ не ╡о▓ел име▓╝ дело ▒ ог░омн╗м комп╝╛▓е░ом ▒
п░оизвол╝н╗ми ▒в┐з┐ми по в▒ей ▒и▒▓еме.
Тепе░╝, ╖▓о за ┤изик│ м╗ ▒оби░аем▒┐ ими▓и░ова▓╝. Во-пе░в╗╡, ┐
▒оби░а╛▒╝ опи▒а▓╝ возможно▒▓╝ модели░овани┐ ┤изики в кла▒▒и╖е▒ком
п░иближении, ▓о, ╖▓о об╗╖но опи▒╗вае▓▒┐ локал╝н╗ми ди┤┤е░ен╢иал╝н╗ми │░авнени┐ми. Но ┤изи╖е▒кий ми░ | ми░ кван▓овой ме╡аники, и,
▒ледова▓ел╝но, и▒▓инна┐ п░облема | модели░ование кван▓овой ┤изики |
╜▓о ▓о, о ╖ем ┐ на ▒амом деле ▒оби░а╛▒╝ гово░и▓╝, но пе░ейд│ к ╜▓ом│
позже. Так какое модели░ование ┐ име╛ в вид│? Э▓о, коне╖но, п░иближенное модели░ование, в ко▓о░ом в╗ ▒▓░ои▓е ╖и▒ленн╗е алго░и▓м╗ дл┐
ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений и за▓ем и▒пол╝з│е▓е комп╝╛▓е░╗ дл┐ в╗╖и▒лени┐ ╜▓и╡ алго░и▓мов и пол│╖ае▓е п░иближенн│╛ ка░▓ин│ ▓ого, ╖ем
должна б╗▓╝ ┤изика. Э▓о ин▓е░е▒но, но ┐ ╡о▓ел гово░и▓╝ не об ╜▓ом. Я
╡о╖│ гово░и▓╝ о возможно▒▓и ▓о╖ного модели░овани┐, когда комп╝╛▓е░
делае▓ ▓о╖но ▓о же, ╖▓о и п░и░ода. Е▒ли ╜▓о доказ│емо и е▒ли ▓ип комп╝╛▓е░а | ▓о▓, о ко▓о░ом ┐ │же гово░ил, ▓о ▒ необ╡одимо▒▓╝╛ ▒лед│е▓,
╖▓о в▒е, ╖▓о п░ои▒╡оди▓ в ог░ани╖енном об║еме п░о▒▓░ан▒▓ва и в░емени,
можно ▓о╖но п░оанализи░ова▓╝ ▒ помо╣╝╛ коне╖ного ╖и▒ла логи╖е▒ки╡
опе░а╢ий. О╖евидно, ╖▓о ▓ео░и┐ ┤изики на на▒▓о┐╣ий момен▓ не ▓акова.
Она доп│▒кае▓ дл┐ п░о▒▓░ан▒▓ва нали╖ие ин┤ини▓иземал╝н╗╡ ░а▒▒▓о┐ний, бе▒коне╖н╗╡ длин волн, бе▒коне╖н╗╡ ▒│мм, и ▓. д; ▒ледова▓ел╝но,
е▒ли ╜▓о п░едположение ве░но, ▓о ┤изи╖е▒кие закон╗ неве░н╗.
Таким об░азом, м╗ │же имеем п░едположение, как можно измени▓╝
┤изи╖е▒кие закон╗, и ╜▓о ▓а п░и╖ина, по ко▓о░ой ┐ из│╖а╛ данн│╛ п░облем│. Дл┐ п░име░а м╗ можем замени▓╝ иде╛ неп░е░╗вно▒▓и п░о▒▓░ан▒▓ва на иде╛, ╖▓о п░о▒▓░ан▒▓во, возможно, п░о▒▓о ░е╕е▓ка и в▒е ди▒к░е▓но
(▓ак ╖▓о м╗ можем замени▓╝ в▒е на коне╖ное ╖и▒ло ╢и┤░), и ╖▓о в░ем┐
измен┐е▓▒┐ не неп░е░╗вно. Тепе░╝ по▒мо▓░им, ╖▓о за ┤изи╖е▒кий ми░
м╗ пол│╖им или как│╛ в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ зада╖│ м╗ б│дем име▓╝. Нап░име░, пе░ва┐ ▓░│дно▒▓╝, ▒ ко▓о░ой м╗ ▒▓олкнем▒┐, ╜▓о ▓о, ╖▓о ▒ко░о▒▓╝
▒ве▓а б│де▓ ▒легка зави▒е▓╝ о▓ нап░авлени┐, и должн╗ б╗▓╝ д░│гие анизо▓░опии в ┤изике, ко▓о░╗е можно обна░│жи▓╝ ╜к▒пе░имен▓ал╝но. Э▓о
мог│▓ б╗▓╝ о╖ен╝ мален╝кие анизо▓░опии. Физи╖е▒кие знани┐, коне╖но,
в▒егда неполн╗, и в╗ в▒егда може▓е ▒каза▓╝, ╖▓о м╗ можем по▒▓░ои▓╝
не╖▓о, ╖▓о поб╝е▓ ╜к▒пе░имен▓ в на▒▓о┐╣ее в░ем┐, но ╖▓о п░ед▒каже▓
анизо▓░опии на ма▒╕▓аба╡, ко▓о░╗е должн╗ б╗▓╝ найден╗ позже. Э▓о
п░ек░а▒но. Э▓о б╗ло б╗ ╡о░о╕ей ┤изикой, е▒ли б╗ в╗ могли п░ед▒каза▓╝
2
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
╖▓о-ниб│д╝, ▒огла▒│╛╣ее▒┐ ▒ об╣еизве▒▓н╗ми ┤ак▓ами, и п░едположи▓╝
неко▓о░╗е нов╗е ┤ак▓╗, ко▓о░╗е м╗ не можем об║┐▒ни▓╝, но │ мен┐ не▓
оп░еделенн╗╡ п░име░ов. Я ░а▒▒каж│ вам п░о ╜к▒пе░имен▓ ▒ а▓омом ли▓и┐, ко▓о░╗й показ╗вае▓, ╖▓о анизо▓░опи┐ мен╝╕е, ╖ем ╜▓и по░┐дки, и
╖▓о ▓ака┐ ва╕а ▓ео░и┐ невозможна.
Д░│гое ░анее ▒деланное п░едположение ка▒ало▒╝ ▓ого, ╖▓о закон╗
п░и░од╗ об░а▓им╗, а п░авила в╗╖и▒лений не▓. Но ╜▓о оказ╗вае▓▒┐ неве░н╗м: п░авила в╗╖и▒лени┐ мог│▓ б╗▓╝ об░а▓им╗ми, и ╜▓о б╗ло о╖ен╝
полезно заме▓и▓╝ и о▓к░╗▓╝. (Заме╖ание изда▓ел┐: ▒м. Bennett, Fredkin,
Tioli). Зде▒╝ ▒в┐з╝ ┤изики и в╗╖и▒лений обе░н│ла▒╝ д░│гой ▒▓о░оной и
кое-╖▓о ▒казала нам о возможно▒▓┐╡ в╗╖и▒лений. Э▓о ин▓е░е▒н╗й п░едме▓, по▒кол╝к│ он гово░и▓ нам не╖▓о о п░авила╡ в╗╖и▒лений и може▓
▒каза▓╝ нам не╖▓о о ┤изике.
П░авили модели░овани┐, ко▓о░╗е ┐ б╗ ╡о▓ел име▓╝, | ▓акие, ╖▓о
╖и▒ло ╜лемен▓ов комп╝╛▓е░а, н│жное дл┐ модели░овани┐ бол╝╕ой ┤изи╖е▒кой ▒и▒▓ем╗, б╗ло б╗ п░опо░╢ионал╝но ▓ол╝ко п░о▒▓░ан▒▓веннов░еменном│ об║ем│ ┤изи╖е▒кой ▒и▒▓ем╗. Я не ╡о╖│ име▓╝ вз░╗в. То
е▒▓╝, в╗ гово░и▓е: ┐ ╡о╖│ об║┐▒ни▓╝ ╜▓│ ┤изик│, ┐ мог│ ▒дела▓╝ ╜▓о
▓о╖но, и мне н│жен комп╝╛▓е░ оп░еделенного ░азме░а. Е▒ли │двоение
об║ема п░о▒▓░ан▒▓ва{в░емени озна╖ае▓, ╖▓о мне понадоби▓▒┐ ╜к▒понен╢иал╝но бол╝╕ий комп╝╛▓е░, ┐ по▒╖и▓а╛, ╖▓о ╜▓о п░о▓ив п░авил. (Я ▒озда╛
п░авила, мне ╜▓о позволено.) Давай▓е на╖нем ▒ неко▓о░╗╡ ин▓е░е▒н╗╡
воп░о▒ов.
2. Модели░ование в░емени
Сна╖ала ┐ б╗ ╡о▓ел погово░и▓╝ о модели░овании в░емени. М╗ ▒оби░аем▒┐ доп│▒▓и▓╝, ╖▓о оно ди▒к░е▓но. В╗ знае▓е, ╖▓о │ на▒ не▓ бе▒коне╖ной
▓о╖но▒▓и в ┤изи╖е▒ки╡ изме░ени┐╡, ▓ак ╖▓о в░ем┐ може▓ б╗▓╝ ди▒к░е▓но
в ма▒╕▓абе мен╝╕ем, ╖ем 10;27 . (Вам п░и╡оди▓▒┐ п░ин┐▓╝ как миним│м
▓акое ╖и▒ло, ╖▓об╗ избежа▓╝ кон┤лик▓а ▒ ╜к▒пе░имен▓ом | но може▓е
п░ин┐▓╝ его 10;41 ▒ек. | и в╗ на▒ об╗г░али!)
Один из ▒по▒обов модели░ова▓╝ в░ем┐ | в кле▓о╖н╗╡ ав▓ома▓а╡; нап░име░, ▒каза▓╝, ╖▓о цкомп╝╛▓е░ иде▓ о▓ ▒о▒▓о┐ни┐ к ▒о▒▓о┐ни╛ч. Но на
▒амом деле зде▒╝ и▒пол╝з│е▓▒┐ ин▓│и▓ивное понимание в░емени | в╗
иде▓е о▓ ▒о▒▓о┐ни┐ к ▒о▒▓о┐ни╛. И, ▒ледова▓ел╝но, в░ем┐ (как, к▒▓а▓и, и
п░о▒▓░ан▒▓во в кле▓о╖н╗╡ ав▓ома▓а╡) не модели░│е▓▒┐ вооб╣е, оно ими▓и░│е▓▒┐ в комп╝╛▓е░е.
Возникае▓ ин▓е░е▒н╗й воп░о▒: е▒▓╝ ли ▒по▒об модели░ова▓╝ в░ем┐, а
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
3
;
Ри╖а░д П. Фейнман
Ри▒. 1
не п░о▒▓о его ими▓и░ова▓╝? Н│, ▒│╣е▒▓в│е▓ ▒по▒об ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ми░,
наз╗ваем╗й п░о▒▓░ан▒▓вом{в░еменем, п░едполага╛╣ий, ╖▓о ▓о╖ки п░о▒▓░ан▒▓ва и в░емени в▒е лежа▓, ▓ак ▒каза▓╝, впе░еди по в░емени. И за▓ем
м╗ можем ▒каза▓╝, ╖▓о цкомп╝╛▓е░н╗еч п░авила (комп╝╛▓е░ в кав╗╖ка╡, по▒кол╝к│ ╜▓о не▒▓анда░▓н╗й комп╝╛▓е░, ко▓о░╗й ░або▓ае▓ во в░емени) ▓аков╗: │ на▒ е▒▓╝ ▒о▒▓о┐ние si в ▓о╖ке п░о▒▓░ан▒▓ва{в░емени i
(░и▒. 1). Со▒▓о┐ние si в ▓о╖ке п░о▒▓░ан▒▓ва{в░емени i | заданна┐ ┤│нк╢и┐ Fi (sj ; sk ; : : : ) ▒о▒▓о┐ний в ▓о╖ка╡ j; k в некой ок░е▒▓но▒▓и i:
si = Fi (sj ; sk ; : : : )
В╗ ▒░аз│ заме▓и▓е, ╖▓о е▒ли ╜▓а ▒пе╢и┤и╖е▒ка┐ ┤│нк╢и┐ ▓акова, ╖▓о зна╖ение ╜▓ой ┤│нк╢ии в i ▓ол╝ко задей▒▓в│е▓ не▒кол╝ко ▓о╖ек назад по в░емени, ▓о в▒е, ╖▓о ┐ ▒делал, | ▓ол╝ко заново опи▒ал кле▓о╖н╗й а▓ома▓, по▒кол╝к│ ╜▓о зна╖и▓, ╖▓о в╗ в╗╖и▒л┐е▓е данн│╛ ▓о╖к│ как ┤│нк╢и╛ ▓о╖ек,
п░ед╗д│╣и╡ по в░емени, и ┐ мог│ в╗╖и▒ли▓╝ ▒лед│╛╣│╛ ▓о╖к│ и ▓. д. и
ид▓и ▓аким об░азом до заданного по░┐дка. Но давай▓е ▓епе░╝ под│маем о
комп╝╛▓е░е более об╣его ▓ипа, по▒кол╝к│ м╗ можем име▓╝ более об╣│╛
┤│нк╢и╛. Давай▓е под│маем о ▓ом, можем ли м╗ име▓╝ более ╕и░окое обоб╣ение взаимодей▒▓вий ▓о╖ек в п░о▒▓░ан▒▓ве{в░емени? Е▒ли F зави▒и▓
о▓ в▒е╡ ▓о╖ек как в б│д│╣ем, ▓ак и в п░о╕лом, ╖▓о ▓огда? Так може▓ ░або▓а▓╝ ┤изика. Я │поминал, в каком ▒о▒▓о┐нии на╡оди▓▒┐ ┤изика на данн╗й
момен▓. Во многи╡ ┤изи╖е▒ки╡ ▓ео░и┐╡ оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о ма▓ема▓и╖е▒кие │░авнени┐ немного │п░о╣а╛▓▒┐, е▒ли п░ед▒▓ави▓╝ ▒ебе пози▓░он как
╜лек▓░он, движ│╣ий▒┐ назад во в░емени, и д░│гие ве╣и, ко▓о░╗е ▒в┐з╗ва╛▓ об║ек▓╗ в п░┐мом и об░а▓ном нап░авлении. Важн╗м воп░о▒ом
може▓ б╗▓╝, е▒ли комп╝╛▓е░ б╗л по▒▓░оен, ▒лед│╛╣ий: ▒│╣е▒▓в│е▓ ли
в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и о░ганизованн╗й алго░и▓м, ▒ помо╣╝╛ ко▓о░ого ░е╕ение може▓ б╗▓╝ найдено, ▓о е▒▓╝ в╗╖и▒лено? П░едположим, в╗ знае▓е
▓акие ┤│нк╢ии Fi, и они ┐вл┐╛▓▒┐ ▓акже ┤│нк╢и┐ми пе░еменн╗╡ в б│4
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
д│╣ем. Как в╗ може▓е пол│╖и▓╝ ╖и▒ла ▓акие, ╖▓об╗ они ав▓ома▓и╖е▒ки
│довле▓во░┐ли в╗╕еопи▒анн╗м │░авнени┐м? Э▓о може▓ оказа▓╝▒┐ невозможн╗м. В ▒л│╖ае кле▓о╖н╗╡ ав▓ома▓ов ╜▓о ▓ак, по▒кол╝к│ из данного
░┐да в╗ пол│╖ае▓е ▒лед│╛╣ий ░┐д, и ▒│╣е▒▓в│е▓ о░ганизованн╗й ▒по▒об
дела▓╝ ╜▓о. Ин▓е░е▒н╗м п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ воп░о▒, ▒│╣е▒▓в│╛▓ ли об▒▓о┐▓ел╝▒▓ва, п░и ко▓о░╗╡ в╗ пол│╖ае▓е ┤│нк╢ии, дл┐ ко▓о░╗╡ в╗ не може▓е
п░ид│ма▓╝, по к░айней ме░е немедленно, о░ганизованн╗й ▒по▒об пол│╖и▓╝ и╡. Може▓ б╗▓╝, ╜▓о ╖▓о-▓о в░оде пол│╖ени┐ ▒ помо╣╝╛ неко▓о░ой
апп░ок▒има╢ии, или ╖его-▓о е╣е, но ╜▓о ин▓е░е▒н╗й д░│гой ▒по▒об в╗╖и▒лений.
Воп░о▒: не ▒води▓▒┐ ли ╜▓о к об╗╖н╗м г░ани╖н╗м зна╖ени┐м, как
п░о▓ивоположно▒▓и в╗╖и▒лени┐м о▓ на╖ал╝н╗╡ зна╖ений?
О▓ве▓: Да, но надо помни▓╝, ╖▓о ┐ опи▒╗ва╛ комп╝╛▓е░ как ▓аковой.
На ▒амом деле каже▓▒┐, ╖▓о кла▒▒и╖е▒ка┐ ┤изика п░и╖инна. В╗ може▓е в ▓е░мина╡ ин┤о░ма╢ии в п░о╕лом, е▒ли в╗ вкл╛╖ае▓е как имп│л╝▒
▓ак и коо░дина▓│, или коо░дина▓│ в два ░азли╖н╗╡ момен▓╗ в░емени в
п░о╕лом (▓ак и ╜дак, вам н│жн╗ два би▓а ин┤о░ма╢ии в каждой ▓о╖ке)
в╗╖и▒ли▓╝ б│д│╣ее в п░ин╢ипе. Так ╖▓о кла▒▒и╖е▒ка┐ ┤изика локал╝на,
п░и╖инна и об░а▓има и, ▒ледова▓ел╝но, вполне адап▓и░│ема (за и▒кл╛╖ением ди▒к░е▓но▒▓и и ▓. д., о ╖ем ┐ │же │поминал) дл┐ комп╝╛▓е░ного
модели░овани┐. Видимо, ▒ ╜▓им не▓ никаки╡ п░ин╢ипиал╝н╗╡ ▓░│дно▒▓ей.
3. Модели░ование ве░о┐▓но▒▓и
Ве░нем▒┐ к кван▓овой ме╡анике | м╗ знаем непо▒░ед▒▓венно, ╖▓о
зде▒╝ м╗ имеем ▓ол╝ко возможно▒▓╝, по-видимим│, п░ед▒каз╗ва▓╝ ве░о┐▓но▒▓и. Мог│ ли ┐ ▒каза▓╝ п░┐мо, ╖▓об╗ в╗ знали, к│да ┐ на ▒амом
деле наме░ева╛▒╝ двига▓╝▒┐, ╖▓о │ на▒ в▒егда б╗ли (▒ек░е▓но, ▒ек░е▓но, п░ик░ой▓е две░и!) бол╝╕ие ▓░│дно▒▓и в понимании ка░▓ин╗ ми░а,
п░едлагаемой кван▓овой ме╡аникой. По к░айней ме░е │ мен┐, по▒кол╝к│ ┐ до▒▓а▓о╖но ▒▓а░╗й ╖еловек и не должен дела▓╝ вид, ╖▓о ╜▓и ве╣и
о╖евидн╗ дл┐ мен┐. Ладно, ┐ в▒егда не░вни╖а╛ по ╜▓ом│ повод│. И, ▒ледова▓ел╝но, неко▓о░╗е из молод╗╡ ▒▓│ден▓ов... в╗ знае▓е, как ╜▓о в▒егда
б╗вае▓, дл┐ каждой новой идеи н│жно поколение или два, пока не ▒▓ане▓
о╖евидно, ╖▓о на ▒амом деле никакой п░облем╗ не▓. Дл┐ мен┐ пока ╖▓о
не о╖евидно, ╖▓о ░еал╝ной п░облем╗ не▓, и ┐ не │ве░ен, ╖▓о не▓ никакой
░еал╝ной п░облем╗. Во▓ по╖ем│ ┐ л╛бл╛ и▒▒ледова▓╝ ве╣и. Мог│ ли ┐
│зна▓╝ ╖▓о-ниб│д╝, задава┐ ▓акие воп░о▒╗ о комп╝╛▓е░а╡ | о ▓ом, ми▒-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
5
Ри╖а░д П. Фейнман
▓ика ╜▓о или не▓ | ▓о▓ ми░, ╖▓о п░ед▒▓авл┐е▓ нам кван▓ова┐ ме╡аника?
Но ┐ зна╛, ╖▓о кван▓ова┐ ме╡аника, каже▓▒┐, п░ивлекае▓ ве░о┐▓но▒▓╝, и,
▒ледова▓ел╝но, ┐ ╡о╖│ гово░и▓╝ о модели░овании ве░о┐▓но▒▓и.
Одним из ▒по▒обов пол│╖и▓╝ комп╝╛▓е░, модели░│╛╣ий ▓ео░и╛ ве░о┐▓но▒▓ей, не╖▓о, ▒оде░жа╣ее в ▒ебе ве░о┐▓но▒▓╝, може▓ б╗▓╝ ░а▒╖е▓
ве░о┐▓но▒▓и и за▓ем ин▓е░п░е▓а╢и┐ ╜▓и╡ ╖и▒ел, ╖▓об╗ п░ед▒▓ави▓╝ п░и░од│. Нап░име░, п░едположим, ╖▓о ╖а▒▓и╢а имее▓ ве░о┐▓но▒▓╝ P (x; t) на╡оди▓╝▒┐ в ▓о╖ке x в момен▓ в░емени t. Типи╖на┐ ве░о┐▓но▒▓╝ об╗╖но
│довле▓во░┐е▓ ди┤┤е░ени╢ал╝ном│ │░авнени╛, как, нап░име░, е▒ли ╖а▒▓и╢а ди┤┤│нди░│е▓:
@P (x; t) = ;r2P (x; t):
@t
Тепе░╝ м╗ можем ▒дела▓╝ x и t ди▒к░е▓н╗ми и, возможно, даже ▒ам│
ве░о┐▓но▒▓╝ и ░е╕и▓╝ ╜▓о ди┤┤е░ен╢иал╝ное │░авнение, как м╗ ░е╕аем
л╛бое ▒▓а░ое │░авнение пол┐, и ▒дела▓╝ дл┐ ╜▓ого алго░и▓м, ▒оздава┐ его
▓о╖н╗м пе░е╡одом к ди▒к░е▓но▒▓и. Сна╖ала ╜▓о б│де▓ зада╖а п░ед▒▓авлени┐ ве░о┐▓но▒▓и как ди▒к░е▓ной. Е▒ли в╗ ▒оби░ае▓е▒╝ вз┐▓╝ ▓ол╝ко k
╢и┤░, ╜▓о б│де▓ озна╖а▓╝, ╖▓о когда ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о ╖▓о-▓о ▒л│╖и▓▒┐,
мен╝╕е, ╖ем 2;k , в╗ гово░и▓е, ╖▓о ╜▓ого не ▒л│╖и▓▒┐ ▒ов▒ем. На п░ак▓ике м╗ ▓ак м делаем. Е▒ли ве░о┐▓но▒▓╝ ╖его-либо 10;700 , м╗ гово░им,
╖▓о ╜▓о не ▒оби░ае▓▒┐ ▒л│╖а▓╝▒┐, и м╗ не пол│╖аем подобн╗е ▒и▓│а╢ии
о╖ен╝ ╖а▒▓о. Так ╖▓о м╗ можем позволи▓╝ ▒ебе ╜▓о ▒дела▓╝. Но ░еал╝на┐ ▓░│дно▒▓╝ в ▒лед│╛╣ем: е▒ли б╗ │ на▒ б╗ло, нап░име░, много ╖а▒▓и╢
R в ▒и▒▓еме, ▓о м╗ могли б╗ опи▒а▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝ об▒▓о┐▓ел╝▒▓в, задава┐ ве░о┐▓но▒▓╝ най▓и ╜▓и ╖а▒▓и╢╗ в ▓о╖ка╡ x1 , x2; : : : ; xR в момен▓
в░емени t. Э▓о б╗ло б╗ опи▒анием ве░о┐▓но▒▓и ▒и▒▓ем╗. И, ▒ледова▓ел╝но, вам н│жно k{╢и┤░овое ╖и▒ло дл┐ каждой кон┤иг│░а╢ии ▒и▒▓ем╗, дл┐
каждого набо░а из R вели╖ин x. И, ▒ледова▓ел╝но, е▒ли имее▓▒┐ N ▓о╖ек п░о▒▓░ан▒▓ва, нам н│жно N R кон┤иг│░а╢ий. На ▒амом деле, ▒ на╕ей
▓о╖ки з░ени┐, ╖▓о в каждой ▓о╖ке п░о▒▓░ан▒▓ва е▒▓╝ ин┤о░ма╢и┐ в░оде ╜лек▓░и╖е▒ки╡ полей и ▓. д., R б│де▓ ▓ого же по░┐дка, ╖▓о и N , е▒ли
╖и▒ло би▓ов ин┤о░ма╢ии ▓аково же, как и ╖и▒ло ▓о╖ек п░о▒▓░ан▒▓ва, и,
▒ледова▓ел╝но, н│жно опи▒а▓╝ ╖▓о-▓о около N N кон┤иг│░а╢ий, ╖▓об╗ пол│╖и▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝, и ╜▓о ▒ли╕ком много, ╖▓об╗ ▒оде░жа▓╝▒┐ в на╕ем
комп╝╛▓е░е, е▒ли ░азме░ комп╝╛▓е░а по░┐дка N .
М╗ под╖е░киваем, ╖▓о е▒ли опи▒ание изоли░ованной ╖а▒▓и п░и░од╗
▒ N пе░еменн╗ми ▓░еб│е▓ об╣ей ┤│нк╢ии ▒ N пе░еменн╗ми и е▒ли комп╝╛▓е░ модели░│е▓ ╜▓о в╗╖и▒лением или ╡░анением ╜▓ой ┤│нк╢ии, ▓о
│двоение ░азме░а ╜▓ой ╖а▒▓и п░и░од╗ (N ! 2N ) по▓░еб│е▓ ╜к▒понен6
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
╢иал╝ного ░о▒▓а ░азме░ов модели░│╛╣его комп╝╛▓е░а. Таким об░азом,
в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ │▒▓ановленн╗ми п░авилами модели░ова▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝
в╗╖и▒лением невозможно.
С│╣е▒▓в│е▓ ли какой-ниб│д╝ д░│гой ▒по▒об? Какого ░ода модели░ование возможно? М╗ не можем ожида▓╝ в╗╖и▒лени┐ ве░о┐▓но▒▓и кон┤иг│░а╢ии дл┐ ▓ео░ии ве░о┐▓но▒▓ей. Но д░│гой ▒по▒об модели░ова▓╝ ве░о┐▓но▒▓н│╛ п░и░од│, ко▓о░│╛ ┐ назов│ P на данн╗й момен▓, | ╜▓о
модели░ование ве░о┐▓но▒▓ной п░и░од╗ комп╝╛▓е░ом C , ко▓о░╗й ве░о┐▓но▒▓ен ▒ам по ▒ебе, в ко▓о░ом в╗ в▒егда пол│╖ае▓е ▒л│╖айн╗м об░азом
по▒ледние две ╢и┤░╗ каждго ╖и▒ла, или в╗ делае▓е не╖▓о │жа▒ное дл┐
╜▓ого. Так, ┐ наз╗ва╛ ве░о┐▓но▒▓н╗м комп╝╛▓е░, в ко▓о░ом в╗╡одн╗е
данн╗е не е▒▓╝ един▒▓венна┐ ┤│нк╢и┐ в╗╡одн╗╡. И в╗ може▓е модели░ова▓╝ п░и░од│ в ▒лед│╛╣ем ▒м╗▒ле: ╖▓о C иде▓ о▓ какого-▓о ▒о▒▓о┐ни┐ |
на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐, е▒ли ╡о▓и▓е | к каком│-▓о коне╖ном│ ▒о▒▓о┐ни╛
▒ ▓ой же ве░о┐▓но▒▓╝╛, какой P иде▓ о▓ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его на╖ал╝ного
▒о▒▓о┐ни┐ к ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ем│ коне╖ном│ ▒о▒▓о┐ни╛. Коне╖но, когда в╗
на▒▓░ои▓е ма╕ин│ и позволи▓е п░и░оде ░або▓а▓╝, ими▓а▓о░ не б│де▓ дела▓╝ ▓е же ▒ам╗е ве╣и, он п░о▒▓о б│де▓ дела▓╝ ▒ ▓ой же ве░о┐▓но▒▓╝╛.
Э▓о не╡о░о╕о? Не▓, зде▒╝ в▒е в по░┐дке. О▓к│да в╗ знае▓е, ╖▓о ▓акое ве░о┐▓но▒▓╝? Знае▓е, п░и░ода неп░ед▒каз│ема; как в╗ п░едполагае▓е ▒дела▓╝
╜▓о на комп╝╛▓е░е? В╗ не може▓е | ╜▓о неп░ед▒каз│емо, е▒ли ве░о┐▓но▒▓но. Но ╖▓о в╗ в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и делае▓е в ве░о┐▓но▒▓ной ▒и▒▓еме |
пов▓о░┐е▓е ╜к▒пе░имен▓ в п░и░оде бол╝╕ое коли╖е▒▓во ░аз. Е▒ли в╗ пов▓о░┐е▓е ▓о▓ же ╜к▒пе░имен▓ на комп╝╛▓е░е бол╝╕ое коли╖е▒▓во ░аз (и
╜▓о, коне╖но, не займе▓ бол╝╕е в░емени, ╖ем ▒дела▓╝ ▓е же ве╣и в п░и░оде), ╜▓о да▒▓ ╖а▒▓о▓│ данного коне╖ного ▒о▒▓о┐ни┐ п░опо░╢ионал╝н│╛
╖и▒л│ ░аз п░име░но ▒ ▓ой же о╢енкой (пл╛▒-мин│▒ квад░а▓н╗й ко░ен╝
из n и в▒е ▓акое), как ╜▓о ▒л│╖ае▓▒┐ в п░и░оде. Д░│гими ▒ловами, м╗
можем п░ед▒▓ави▓╝ и б╗▓╝ аб▒ол╛▓но │довле▓во░ен╗, ┐ д│ма╛, ▓ем, ╖▓о
ве░о┐▓но▒▓но модели░│ем ве░о┐▓но▒▓н│╛ п░и░од│, в ко▓о░ой ма╕ина не
делае▓ в ▓о╖но▒▓и ▓о же, ╖▓о и п░и░ода, но е▒ли в╗ пов▓о░┐е▓е оп░еделенн╗й ▓ип ╜к▒пе░имен▓а до▒▓а▓о╖ное коли╖е▒▓во ░аз, ╖▓об╗ оп░едели▓╝
ве░о┐▓но▒▓╝ п░и░од╗, а за▓ем делае▓е ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий ╜к▒пе░имен▓ на
комп╝╛▓е░е, ▓о в╗ пол│╖и▓е ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣│╛ ве░о┐▓но▒▓╝ ▒ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей ▓о╖но▒▓╝╛ (▒ ▓о╖но▒▓╝╛ ▒▓а▓и▒▓ики). Тепе░╝ давай▓е под│маем о ╡а░ак▓е░и▒▓ика╡ локал╝ного ве░о┐▓но▒▓ного комп╝╛▓е░а, по▒кол╝к│
┐ б│д│ ╜▓о ░а▒▒ма▓░ива▓╝, е▒ли ┐ мог│ п░ед▒▓ави▓╝ п░и░од│ ▓аким об░азом (под цп░и░одойч ┐ б│д│ под░аз│мева▓╝ кван▓ов│╛ ме╡аник│). Одна из
╡а░ак▓е░и▒▓ик | ▓о, ╖▓о в╗ може▓е оп░едели▓╝ ее поведение в локал╝ной
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
7
Ри╖а░д П. Фейнман
обла▒▓и, п░о▒▓о не ░а▒▒ма▓░ива┐, ╖▓о делае▓▒┐ в д░│ги╡ обла▒▓┐╡. Нап░име░, п░едположим, ╖▓о в ▒и▒▓еме е▒▓╝ пе░еменн╗е, опи▒╗ва╛╣ие ╢ел╗й
ми░ (xA; xB ) пе░еменн╗е xA, ко▓о░╗е ва▒ ин▓е░е▒│╛▓, они цвок░│г ╜▓ого
ме▒▓ач; xB | полн╗й ░ез│л╝▓а▓ дл┐ в▒его ми░а. Е▒ли в╗ ╡о▓и▓е зна▓╝
ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о ╖▓о-▓о п░оизойде▓ вок░│г ╜▓ого ме▒▓а, в╗ може▓е пол│╖и▓╝ ╜▓о ин▓ег░и░ованием в▒ей ве░о┐▓но▒▓и в▒е╡ видов возможно▒▓ей
по xB . Е▒ли м╗ в╗╖и▒лили ╜▓│ ве░о┐▓но▒▓╝, нам е╣е може▓ понадоби▓╝▒┐
вз┐▓╝ ин▓ег░ал
Z
PA(xA) = P (xA; xB ) dxB ;
а ╜▓о ▓┐жела┐ ░або▓а! Но е▒ли м╗ ▒╗ми▓и░овали ве░о┐▓но▒▓╝, ▓о ╜▓о ▒дела▓╝ о╖ен╝ п░о▒▓о: вам не п░иде▓▒┐ ни╖его дела▓╝ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ вз┐▓╝
ин▓ег░ал, в╗ п░о▒▓о не ░а▒▒ма▓░ивае▓е, ╖▓о е▒▓╝ вели╖ин╗ xB , в╗ п░о▒▓о
▒мо▓░и▓е в обла▒▓╝ xA. И, ▒ледова▓ел╝но, ╜▓о и в ▒амом деле имее▓ п░и░одн╗е ╡а░ак▓е░и▒▓ики: е▒ли ╜▓о локал╝но, в╗ може▓е най▓и, ╖▓о п░ои▒╡оди▓ в обла▒▓и не ин▓ег░и░ованием или п░оведением какой-▓о ли╕ней
опе░а╢ии, но п░о▒▓о игно░и░ованием ▓ого, ╖▓о п░ои▒╡оди▓ где-▓о е╣е, а
╜▓о не опе░а╢и┐, вов▒е не▓.
Д░│гой а▒пек▓, ко▓о░╗й ┐ ╡о▓ел б╗ о▒обо в╗дели▓╝, | ╜▓о ▓о, ╖▓о
│░авнени┐, без ▒омнени┐, б│д│▓ име▓╝ ┤о░м│ ╖▓о-▓о в░оде ▒лед│╛╣ей.
П│▒▓╝ кажда┐ ▓о╖ка i = 1; 2; : : : ; N в п░о▒▓░ан▒▓ве б│де▓ в ▒о▒▓о┐нии si,
в╗б░анном из малого набо░а ▒о▒▓о┐ний (░азме░ ╜▓ого набо░а должен б╗▓╝
░аз│мн╗м, ▒кажем, до 25 ). И п│▒▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝ най▓и как│╛-▓о кон┤иг│░а╢и╛ fsig (набо░ вели╖ин ▒о▒▓о┐ни┐ si в каждой ▓о╖ке i) б│де▓ какое-▓о
╖и▒ло P (fsi g). Оно │довле▓во░┐е▓ │░авнени╛ в░оде ▓ого, ╖▓о измен┐е▓▒┐
ди▒к░е▓но ▒о в░еменем
Pt+1 (fsg) =
"
X Y
fs g
0
i
#
m(sijs0j ; s0k ; : : : ) Pt (fs0 g);
где m(sijs0j ; s0k ; : : : ) | ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о м╗ движем▒┐ к ▒о▒▓о┐ни╛
si в ▓о╖ке i, в ▓о в░ем┐ как ▒о▒еди име╛▓ зна╖ение s0j ; s0k ; : : : , где j; k
и ▓. д. | ▓о╖ки в ок░е▒▓но▒▓и i. Как ▓ол╝ко j │дал┐е▓▒┐ о▓ i, m ▒▓анови▓▒┐ даже менее ╖│в▒▓ви▓ел╝ной к s0i. П░и каждом изменении ▒о▒▓о┐ние в
о▒обенной ▓о╖ке i б│де▓ пе░е╡оди▓╝ о▓ ▓ого, ╖ем оно б╗ло, к ▒о▒▓┐ни╛ s
▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ m, ко▓о░а┐ зави▒и▓ ▓ол╝ко о▓ ▒о▒▓о┐ний в ок░е▒▓но▒▓и
(ко▓о░ое може▓ б╗▓╝ оп░еделено ▓ак, ╖▓о вкл╛╖ае▓ ▒ам│ ▓о╖к│ i). Э▓о дае▓ ве░о┐▓но▒▓╝ пе░е╡ода. Э▓о ▓о╖но ▓ак же, как и в кле▓о╖ном ав▓ома▓е;
▓ол╝ко вме▒▓о оп░еделенно▒▓и | ве░о┐▓но▒▓╝. Скажи▓е мне об ок░│жении, и ┐ ▒каж│ вам ве░о┐▓но▒▓╝ по▒ле ▒лед│╛╣его момен▓а в░емени ▓ого,
8
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
╖▓о в ╜▓ой ▓о╖ке ▒о▒▓о┐ние е▒▓╝ s. И ╜▓о ▒по▒об ░або▓╗, ▒огла▒н╗? Так
╖▓о │ ва▒ е▒▓╝ ма▓ема▓и╖е▒кие │░авнени┐ подобной ┤о░м╗.
Тепе░╝ ┐ пе░е╡ож│ к воп░о▒│, как м╗ можем модели░ова▓╝ на комп╝╛▓е░е | │ниве░▒ал╝ном ав▓ома▓е или ╖▓о-▓о в ╜▓ом ░оде | кван▓овоме╡ани╖е▒кие ╜┤┤ек▓╗. (Об╗╖на┐ ┤о░м│ли░овка | кван▓ова┐ ме╡аника
имее▓ неко▓о░╗й ▒о░▓ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений дл┐ ┤│нк╢ий ).
Е▒ли │ ва▒ одна ╖а▒▓и╢а, е▒▓╝ ┤│нк╢и┐ x и t, и ╜▓о ди┤┤е░ен╢иал╝ное │░авнение може▓ б╗▓╝ ▒модели░овано ▓ак же, как мое ве░о┐▓но▒▓ное
│░авнение (▒м. в╗╕е). Э▓о б│де▓ ╡о░о╕о, и е▒▓╝ л╛ди, ко▓о░╗е ▒делали мален╝кие комп╝╛▓е░╗, ко▓о░╗е модели░│╛▓ │░авнение Ш░единге░а
дл┐ одной ╖а▒▓и╢╗. Но полное опи▒ание кван▓овой ме╡аники дл┐ бол╝╕ой
▒и▒▓ем╗ ▒ R ╖а▒▓и╢ами дае▓▒┐ ┤│нк╢ией (x1 ; x2 ; : : : ; xR ; t), ко▓о░│╛
м╗ наз╗ваем амли▓│дой дл┐ на╡ождени┐ ╖а▒▓и╢ x1; : : : ; xR , и, ▒ледова▓ел╝но, по▒кол╝к│ пе░еменн╗╡ ▒ли╕ком много, ╜▓о нел╝з┐ ▒модели░ова▓╝
но░мал╝н╗м комп╝╛▓е░ом ▒ ╖и▒лом ╜лемен▓ов, п░опо░╢ионал╝н╗м R или
N . М╗ имеем ▓е же ▓░│дно▒▓и ▒ ве░о┐но▒▓┐ми в кла▒▒и╖е▒кой ┤изике.
И, ▒ледова▓ел╝но, п░облема закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, как можно ▒модели░ова▓╝
кван▓ов│╛ ме╡аник│. Е▒▓╝ два п│▓и ░е╕ени┐ ╜▓ой п░облем╗. М╗ можем
о▓б░о▒и▓╝ на╕и п░авила о▓но▒и▓ел╝но ▓ого, ╖▓о е▒▓╝ комп╝╛▓е░, м╗ можем ▒каза▓╝: цП│▒▓╝ комп╝╛▓е░ как ▓аковой б│де▓ по▒▓░оен из кван▓овоме╡ани╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов, под╖ин┐╛╣и╡▒┐ кван▓овоме╡ани╖е▒ким законамч. Или м╗ можем ▒ве░н│▓╝ на д░│г│╛ до░ог│ и ▒каза▓╝: цП│▒▓╝
комп╝╛▓е░ б│де▓ ▓о▓ же, ╖▓о м╗ п░едполагали вна╖але | логи╖е▒кий
│ниве░▒ал╝н╗й ав▓ома▓; можем ли м╗ ▒╗ми▓и░ова▓╝ ╜▓│ ▒и▓│а╢и╛?ч И
┐ ▒оби░а╛▒╝ ░аздели▓╝ мой доклад на ╜▓ом ме▒▓е, по▒кол╝к│ он ░азве▓вл┐е▓▒┐ на два п│▓и.
4. Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ | │ниве░▒ал╝н╗е
кван▓ов╗е модели░│╛╣ие │▒▓░ой▒▓ва
Пе░ва┐ ве▓в╝, ко▓о░│╛ в╗ може▓е назва▓╝ по▒▓о░онним заме╖анием,
▒лед│╛╣а┐: може▓е ли в╗ ▒дела▓╝ ╜▓о на новом ▓ипе комп╝╛▓е░а | кван▓овом? (┐ ве░н│▒╝ к д░│гой ве▓ви в ▒вое в░ем┐). Оказ╗вае▓▒┐, на▒кол╝ко ┐
мог│ ▒│ди▓╝, в╗ може▓е модели░ова▓╝ ╜▓о ▒ помо╣╝╛ кван▓овой ▒и▒▓ем╗
╜лемен▓ов кван▓ового комп╝╛▓е░а. Э▓о не ма╕ина Т╝╛░инга, а ма╕ина
д░│гого ▓ипа. Е▒ли м╗ не б│дем п░инима▓╝ во внимание неп░е░╗вно▒▓╝
п░о▒▓░ан▒▓ва и ▒делаем его ди▒к░е▓н╗м, и ▓. д., как п░иближение (▓ак же,
как м╗ позволили ▒ебе ▒дела▓╝ ╜▓о в кла▒▒и╖е▒ком ▒л│╖ае), ▓о на ▒амом
деле б│де▓ каза▓╝▒┐, ╖▓о в▒е ░азли╖н╗е ▓ео░ии пол┐ име╛▓ один и ▓о▓
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
9
Ри╖а░д П. Фейнман
же ▓ип поведени┐ и мог│▓ б╗▓╝ ▒модели░ован╗ в л╛бом ▒л│╖ае, видимо, ░або▓ой ░е╕е▓ки ▒о ▒пином и д░│ги╡ ве╣ей. Б╗ло заме╖ено внов╝ и
внов╝, ╖▓о ┐влени┐ ▓ео░ии пол┐ (е▒ли ми░ ▒оздан на ди▒к░е▓ной ░е╕е▓ке)
╡о░о╕о ими▓и░│╛▓▒┐ многими ┐влени┐ми ▓ео░ии ▓ве░д╗╡ ▓ел (ко▓о░╗е
┐вл┐╛▓▒┐ п░о▒▓о анализом ░або▓╗ ░е╕е▓ки а▓омов к░и▒▓алла, и в ▒л│╖ае
в░оде ▓ве░дого ▓ела ┐ под░аз│мева╛, ╖▓о кажд╗й а▓ом е▒▓╝ п░о▒▓о ▓о╖ка,
▒ ко▓о░ой а▒▒о╢ии░│╛▓▒┐ какие-▓о ╖и▒ла, в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ кван▓овоме╡ани╖е▒кими п░авилами). Нап░име░, ▒пинов╗е волн╗ на ▒пиновой ░е╕е▓ке
ими▓и░│╛▓ ╖а▒▓и╢╗ Бозе в ▓ео░ии пол┐. Я, ▒ледова▓ел╝но, полага╛, ╖▓о
ве░но ▓о, ╖▓о ▒ помо╣╝╛ под╡од┐╣его кла▒▒а кван▓ов╗╡ ма╕ин в╗ може▓е
▒╗ми▓и░ова▓╝ л╛б│╛ кван▓ов│╛ ▒и▒▓ем│, вкл╛╖а┐ ┤изи╖е▒кий ми░. Но
┐ не зна╛, б╗ла ли когда-либо ░аз░або▓ана об╣а┐ ▓ео░и┐ ▓акого взаимного
модели░овани┐ кван▓ов╗╡ ▒и▒▓ем, ▓ак ╖▓о ┐ п░ед▒▓авл┐╛ ╜▓о как д░│г│╛
ин▓е░е▒н│╛ зада╖│: ░аз░або▓а▓╝ кла▒▒╗ ░азли╖н╗╡ кван▓овоме╡ани╖е▒ки╡ ▒и▒▓ем, ко▓о░╗е дей▒▓ви▓ел╝но модели░│╛▓ д░│г д░│га | ко▓о░╗е
╜квивален▓н╗ | как б╗ло ▒делано в ▒л│╖ае кла▒▒и╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░ов.
Б╗ло найдено, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ некий │ниве░▒ал╝н╗й комп╝╛▓е░, ко▓о░╗й може▓ дела▓╝ в▒е, и не▓ о▒обенной ░азни╢╗, как он по▒▓░оен. Таким
же об░азом нам ▒лед│е▓ поп╗▓а▓╝▒┐ пон┐▓╝, какого ░ода кван▓овоме╡ани╖е▒кие ▒и▒▓ем╗ мог│▓ взаимно модели░ова▓╝ д░│г д░│га и поп╗▓а▓╝▒┐
най▓и ▒пе╢и┤и╖е▒кий кла▒▒ или ╡а░ак▓е░и▒▓ик│ ▓акого кла▒▒а, ко▓о░╗й
б╗ модели░овал в▒е. Д░│гими ▒ловами, ╖▓о е▒▓╝ │ниве░▒ал╝ное кван▓овое
модели░│╛╣ее │▒▓░ой▒▓во (в п░едположении ди▒к░е▓но▒▓и п░о▒▓░ан▒▓ва
и в░емени). Е▒ли │ ва▒ ди▒к░е▓н╗е кван▓ов╗е ▒и▒▓ем╗, какова д░│га┐
кван▓ова┐ ▒и▒▓ема, ▓о╖но ее модели░│╛╣а┐, и е▒▓╝ ли кла▒▒, ко▓о░ом│
в▒е може▓ б╗▓╝ ▒опо▒▓авлено? Я д│ма╛, до▒▓а▓о╖но легко о▓ве▓и▓╝ на
╜▓о▓ воп░о▒ и най▓и ▓акой кла▒▒, но ┐ е╣е ╜▓ого не ▒делал.
П░едположим, ╖▓о м╗ п╗▓аем▒┐ п░ове░и▓╝ ▒лед│╛╣ее п░едположение, ╖▓о кажда┐ ┤ини▓на┐ кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема може▓ б╗▓╝
▒делана ди▒к░е▓ной ▓о╖но, ▒модели░ована ▓о╖но, в п░едположении, ╖▓о
│ на▒ е▒▓╝ д░│га┐ ▒и▒▓ема, ▓ака┐, ╖▓о в каждой ▓о╖ке п░о▒▓░ан▒▓ва{
в░емени имее▓▒┐ ▓ол╝ка два возможн╗╡ о▒новн╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐. Э▓а ▓о╖ка
либо зан┐▓а, либо не зан┐▓а | во▓ ╜▓и два ▒о▒▓о┐ни┐. Ма▓ема▓ика кван▓овоме╡ани╖е▒ки╡ опе░а▓о░ов, ▒в┐занна┐ ▒ ╜▓ими ▓о╖ками, б│де▓ о╖ен╝
п░о▒▓ой.
10
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
a = ANNIHILATE = OCC
UN
OCC UN
0
0 = 21 (x ; iy )
1
0
a = CREATE
= 0 1
0 0
= 21 (x + iy )
n = NUMBER
= 1 0
0 0
=aa = 21 (1 + iz )
= 1 0
0 1
Там должен б╗▓╝ опе░а▓о░ a, ко▓о░╗й е▒▓╝ аннигил┐▓о░, е▒ли ▓о╖ка
зан┐▓а | он мен┐е▓ ее ▒о▒▓о┐ние на ▒вободное. Там е▒▓╝ ▒оп░┐женн╗й
опе░а▓о░ a, ко▓о░╗й дей▒▓в│е▓ наобо░о▓: е▒ли ▓о╖ка не зан┐▓а, он делае▓
ее зан┐▓ой. Там е▒▓╝ д░│гой опе░а▓о░, n, ко▓о░╗й наз╗вае▓▒┐ ╖и▒лом и
▒л│жи▓ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ▒п░о▒и▓╝: е▒▓╝ ▓ам ╖▓о-▓о? Мален╝кие ма▓░и╢╗
гово░┐▓ вам, ╖▓о они дела╛▓. Е▒ли ▓ам ╖▓о-▓о е▒▓╝, n пол│╖ае▓ едини╢│ и
╡░ани▓ ее, е▒ли не▓ | ни╖его не п░ои▒╡оди▓. Ма▓ема▓и╖е▒ки ╜▓о ┤ак▓и╖е▒ки ╜квивален▓но п░оизведени╛ д░│ги╡ дв│╡ опе░а▓о░ов. И за▓ем, е▒▓╝
е╣е едини╢а, 1, ко▓о░а┐ в▒егда должна б╗▓╝, ╖▓об╗ на╕а ма▓ема▓ика б╗ла полной | она вооб╣е ни╖его не делае▓!
К▒▓а▓и, в п░ав╗╡ ╖а▒▓┐╡ ┤о░м│л ▓е же опе░а▓о░╗ запи▒ан╗ в ▓е░мина╡ ма▓░и╢, ко▓о░╗е многие ┤изики ▒╖и▓а╛▓ наиболее │добн╗ми, по▒кол╝к│ они ╜░ми▓ов╗, и ╜▓о им каже▓▒┐ п░о╣е. Они изоб░ели д░│гой
набо░ ма▓░и╢, {ма▓░и╢╗ Па│ли:
z = 10 ;01 ; x = 01 10 ; y = 0i ;0i ; 1 = 10 01 :
И ╜▓о наз╗вае▓▒┐ ▒пином | ▒пином одна в▓о░а┐, ▓ак ╖▓о иногда неко▓о░╗е л╛ди гово░┐▓, ╖▓о ░е╖╝ иде▓ о ░е╕е▓ке ▒о ▒пином одна в▓о░а┐.
Воп░о▒ закл╛╖ае▓▒┐ в ▒лед│╛╣ем: е▒ли м╗ запи▒╗ваем гамил╝▓ониан, ко▓о░╗й вкл╛╖ае▓ ▓ол╝ко ╜▓и опе░а▓о░╗, локал╝но ▒в┐занн╗е ▒ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ими опе░а▓о░ами в д░│ги╡ ▓о╖ка╡ п░о▒▓░ан▒▓ва{в░емени,
можем ли м╗ ими▓и░ова▓╝ л╛б│╛ кван▓овоме╡ани╖е▒к│╛ ▒и▒▓ем│, ко▓о░а┐ ди▒к░е▓на и имее▓ коне╖ное ╖и▒ло ▒▓епеней ▒вобод╗? Я зна╛ по╖▓и
наве░н┐ка, ╖▓о м╗ можем ▒дела▓╝ ╜▓о дл┐ л╛бой кван▓овоме╡ани╖е▒кой
▒и▒▓ем╗ Бозе{╖а▒▓и╢. Я не │ве░ен, ╖▓о ╖а▒▓и╢╗ Фе░ми можно опи▒а▓╝
1=
IDENTITY
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
11
Ри╖а░д П. Фейнман
▓акой ▒и▒▓емой. Э▓о ┐ о▒▓авл┐╛ о▓к░╗▓╗м. Соб▒▓венно, ╜▓о п░име░ ▓ого,
╖▓о ┐ имел в вид│ под об╣им модели░│╣им │▒▓░ой▒▓вом дл┐ кван▓овой
ме╡аники. Я не │ве░ен, ╖▓о ╜▓ого до▒▓а▓о╖но, по▒кол╝к│ ┐ не │ве░ен, ╖▓о
╜▓о годи▓▒┐ дл┐ Фе░ми{╖а▒▓и╢.
5. Можно ли модели░ова▓╝ кван▓ов╗е ▒и▒▓ем╗
ве░о┐▓но▒▓н╗м об░азом на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е?
След│╛╣ий воп░о▒, ко▓о░╗й б╗ мне ╡о▓ело▒╝ ░а▒▒мо▓░е▓╝, коне╖но,
ин▓е░е▒ен: можно ли ▒модели░ова▓╝ ве░о┐▓но▒▓н╗м об░азом кван▓ов│╛
▒и▒▓ем│ на кла▒▒и╖е▒ком (ве░о┐▓но▒▓ном, ┐ име╛ в вид│) │ниве░▒ал╝ном
комп╝╛▓е░е? Д░│гими ▒ловами, комп╝╛▓е░, ко▓о░╗й да▒▓ ▓е же ве░о┐▓но▒▓и, ╖▓о и кван▓ова┐ ▒и▒▓ема. Е▒ли в╗ бе░е▓е комп╝╛▓е░ кла▒▒и╖екого
▓ипа, ко▓о░╗й ┐ опи▒╗вал ░ан╝╕е (а не кван▓ов╗й, ко▓о░╗й ┐ опи▒╗вал в по▒леднем ░азделе) и не▓ никаки╡ изменений в закона╡ и никаки╡
┤ок│▒ов, ▓о о▓ве▓ оп░еделенно цНе▓!ч Зде▒╝ е▒▓╝ п░облема ▒к░╗▓╗╡ пе░еменн╗╡: невозможно п░ед▒▓ави▓╝ ░ез│л╝▓а▓╗ кван▓овой ме╡аники на
кла▒▒и╖е▒ком │ниве░▒ал╝ном │▒▓░ой▒▓ве. Ч▓об╗ о▒▓анови▓╝▒┐ на ╜▓ом немного под░обнее, давай▓е поп╗▓аем▒┐ п░ед▒▓ави▓╝ кван▓ов╗е │░авнени┐
в ┤о░ме, как можно более близкой к кла▒▒и╖е▒ким │░авнени┐м, ▓ак ╖▓о
м╗ ▒можем │виде▓╝, в ╖ем ▓░│дно▒▓╝ и ╖▓о п░ои▒╡оди▓. П░ежде в▒его,
м╗ можем ▒модели░ова▓╝ но░мал╝н╗м ▒по▒обом. Как ┐ об║┐▒н┐л ░анее,
│ на▒ ▒ли╕ком много пе░еменн╗╡. На╕а един▒▓венна┐ надежда в ▓ом, ╖▓о
м╗ ▒оби░аем▒┐ модели░ова▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о м╗ ▒оби░аем▒┐ за▒▓ави▓╝
на╕ комп╝╛▓е░ дела▓╝ ве╣и ▒ ▓ой же ве░о┐▓но▒▓╝╛, ╖▓о набл╛дае▓▒┐ в
п░и░оде, как пол│╖ае▓▒┐ в кван▓овоме╡ани╖е▒кой ▒и▒▓еме. Може▓е ли в╗
▒дела▓╝ кле▓о╖н╗й ав▓ома▓ или ╖▓о-▓о, ими▓и░│╛╣ее ▓│ же ве░о┐▓но▒▓╝,
╖▓о и в п░и░оде, где ┐ ▒оби░а╛▒╝ п░едположи▓╝, ╖▓о кван▓ова┐ ме╡аника
ко░░ек▓на или, по к░айней ме░е, ко░░ек▓на по▒ле ▓ого, как п░о▒▓░ан▒▓во
и в░ем┐ дела╛▓▒┐ ди▒к░е▓н╗ми, и по▒мо▓░е▓╝, ▒мог│ ли ┐ ╜▓о ▒дела▓╝.
Я должен о▓ме▓и▓╝, ╖▓о в╗ може▓е п░┐мо ▒гене░и░ова▓╝ ве░о┐▓но▒▓и,
░ез│л╝▓а▓╗ ▒ ко░░ек▓ной кван▓овой ве░о┐▓но▒▓╝╛. Непо▒░ед▒▓венно, по▒кол╝к│ │ на▒ не▓ ▒по▒оба ╡░ани▓╝ в▒е ╖и▒ла, м╗ можем ▓ол╝ко ими▓и░ова▓╝ ┐влени┐ непо▒░ед▒▓венно.
За▓ем оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о д░│га┐ ве╣╝, более ╖ем ма▓░и╢а пло▓но▒▓и, ве╣╝, наз╗ваема┐ ма▓░и╢ей пло▓но▒▓и, дл┐ ╜▓ого более полезна. Она
не ▒▓ол╝ко полезна, когда дело ка▒ае▓▒┐ ма▓ема▓и╖е▒ки╡ │░авнений, по12
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
▒кол╝к│ они более ▒ложн╗е, ╖ем │░авнени┐ дл┐ , но ┐ не ▒оби░а╛▒╝
волнова▓╝▒┐ по повод│ ма▓ема▓и╖е▒кой ▒ложно▒▓и или по повод│ ▓ого,
какой п│▓╝ в╗╖и▒лени┐ ▒ам╗й легкий, по▒кол╝к│ ▒ комп╝╛▓е░ом нам не
надо забо▓и▓╝▒┐ о ▓ом, ╖▓об╗ в╗╖и▒л┐▓╝ п░о▒▓ей╕им п│▓ем. И ▒ небол╝╕им воз░а▒▓анием ▒ложно▒▓и │░авнений (не ▓аким │ж и бол╝╕им) ┐ б│д│
име▓╝ дело ▒ ма▓░и╢ей пло▓но▒▓и, ко▓о░а┐ дл┐ о▓дел╝ной ╖а▒▓и╢╗ ▒ коо░дина▓ой x в ╖и▒▓ом ▒о▒▓о┐нии ▒ волновой ┤│нк╢ией е▒▓╝:
(x; x0 ) = (x) (x0 ):
Она имее▓ о▒обенное ▒вой▒▓во б╗▓╝ ┤│нк╢ией дв│╡ коо░дина▓ x; x0. П░и▒│▓▒▓вие дв│╡ вели╖ин x и x0, ▒в┐занн╗╡ ▒ каждой коо░дина▓ой, аналоги╖но ▓ом│ ┤ак▓│, ╖▓о в кла▒▒и╖е▒кой ме╡анике вам н│жно име▓╝ две
пе░еменн╗е, ╖▓об╗ опи▒а▓╝ ▒о▒▓о┐ние, x и xt . Со▒▓о┐ние опи▒╗вае▓▒┐
│▒▓░ой▒▓вом в▓о░ого по░┐дка, ▒ дв│м┐ ▒о░▓ами ин┤о░ма╢ии (цкоо░дина▓ач и ц▒ко░о▒▓╝ч). Так ╖▓о нам н│жно два би▓а ин┤о░ма╢ии, ▒в┐занной ▒
╖а▒▓и╢ей, по аналагии ▒ кла▒▒и╖е▒кой ▒и▓│а╢ией, ╖▓об╗ опи▒а▓╝ кон┤иг│░а╢и╛. (М╗ запи▒али ма▓░и╢│ пло▓но▒▓и дл┐ одной ╖а▒▓и╢╗, но, коне╖но,
▒│╣е▒▓в│е▓ аналоги╖на┐ ве╣╝ дл┐ R ╖а▒▓и╢, ┤│нк╢и┐ 2R пе░еменн╗╡.)
Э▓а вели╖ина имее▓ много ма▓ема▓и╖е▒ки╡ ▒вой▒▓в ве░о┐▓но▒▓и. Нап░име░, е▒ли ▒о▒▓о┐ние (x) не ╖и▒▓ое, а п░ед▒▓авл┐е▓ из ▒еб┐ ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ p, ▓о ма▓░и╢а пло▓но▒▓и е▒▓╝ ▒│мма ма▓░и╢ дл┐ каждого
▒о▒▓о┐ни┐ ▒ оп░еделенн╗ми ве▒ами:
(x; x0 ) =
X
p (x) (x0 ):
Вели╖ина, ко▓о░а┐ имее▓ ▒вой▒▓ва даже более близкие к кла▒▒и╖е▒кой ве░о┐▓но▒▓и, е▒▓╝ ┤│нк╢и┐ Вигне░а, п░о▒▓ое пе░е┤о░м│ли░ование ма▓░и╢╗
пло▓но▒▓и; дл┐ одной ╖а▒▓и╢╗
Z W (x; p) = x + y2 ; x ; y2 eipy dy:
М╗ б│дем │дел┐▓╝ о▒обое внимание ее модели░овани╛ и назовем ее
цве░о┐▓но▒▓╝╛ч в кав╗╖ка╡ вме▒▓о ┤│нк╢ии Вигне░а. Смо▓░и▓е за ╜▓ими кав╗╖ками внима▓ел╝но, когда и╡ не▓, м╗ имеем в вид│ на▒▓о┐╣│╛
ве░о┐▓но▒▓╝. Е▒ли цве░о┐▓но▒▓╝ч имее▓ в▒е ма▓ема▓и╖е▒кие ▒вой▒▓ва ве░о┐▓но▒▓и, м╗ можем │б░а▓╝ кав╗╖ки и модели░ова▓╝ ее. W (x; p) е▒▓╝
цве░о┐▓но▒▓╝ч ▓ого, ╖▓о ╖а▒▓и╢а имее▓ коо░дина▓│ x и имп│л╝▒ p (на dx
и dp). Какие ▒вой▒▓ва е▒▓╝ │ нее, аналоги╖н╗е об╗╖ной ве░о┐▓но▒▓и?
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
13
Ри╖а░д П. Фейнман
Она имее▓ ▒вой▒▓во, ╖▓о е▒ли е▒▓╝ много пе░еменн╗╡ и в╗ ╡о▓и▓е
зна▓╝ цве░о┐▓но▒▓╝ч дл┐ коне╖ной обла▒▓и, в╗ п░о▒▓о не ░а▒▒ма▓░ивае▓е д░│гие пе░еменн╗еR(п│▓ем ин▓ег░и░овани┐). Более ▓ого, ве░о┐▓но▒▓╝
най▓и ╖а▒▓и╢│ x е▒▓╝ W (x; p) dp. Е▒ли в╗ може▓е ин▓е░п░е▓и░ова▓╝ W
как ве░о┐▓но▒▓╝ дл┐ на╡ождени┐ x и p, ╜▓о б│де▓ ожидаем╗м
│░авнениR
ем. Также можно ожида▓╝, ╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝ p б│де▓ W (x; p) dx. Э▓и два
│░авнени┐ ве░н╗, и, ▒ледова▓ел╝но, можно наде┐▓╝▒┐, ╖▓о, може▓ б╗▓╝,
W (x; p) е▒▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝ най▓и x и p. Тогда возникае▓ воп░о▒, можем ли
м╗ най▓и │▒▓░ой▒▓ва, модели░│╛╣ие W (x; p), по▒кол╝к│ оно могло б╗
░або▓а▓╝ ╡о░о╕о.
По▒кол╝к│ кван▓ов╗е ▒и▒▓ем╗, о ко▓о░╗╡ ┐ │поминал, л│╖╕е в▒его
мог│▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен╗ ▒пином одна в▓о░а┐ (зан┐▓ое п░о▓ив незан┐▓ого или ▒пин одна в▓о░а┐ одно и ▓о же), ┐ поп╗▓а╛▒╝ ▒дела▓╝ ▓о же
▒амое дл┐ об║ек▓ов ▒о ▒пином одна в▓о░а┐, и ╜▓о довол╝но легко. Хо▓┐
░ан╝╕е один об║ек▓ имел ▓ол╝ко два ▒о▒▓о┐ни┐, зан┐▓ое и незан┐▓ое, дл┐
полного опи▒ани┐ | дл┐ ▓ого ╖▓об╗ ░азви▓╝ ве╣и как ┤│нк╢ии о▓ в░емени | ▓░еб│е▓▒┐ в два ░аза бол╝╕е пе░еменн╗╡, ко▓о░╗е име╛▓ ▒м╗▒л
дв│╡ пози╢ий в каждой ▓о╖ке, ко▓о░╗е зан┐▓╗ или не зан┐▓╗ (обозна╖енн╗е + и ;), аналоги╖н╗е x и xt или x и p. То е▒▓╝ в╗ може▓е най▓и
╖е▓╗░е ╖и▒ла, ╖е▓╗░е цве░о┐▓но▒▓ич ff++; f+;; f;+; f;;g, ко▓о░╗е дей▒▓в│╛▓ по╖▓и ▓аким об░азом, и ┐ должен об║┐▒ни▓╝, по╖ем│ не ▓о╖но
▓аким же об░азом, а по╖▓и как ве░о┐▓но▒▓╝ най▓и ве╣и в ▒о▒▓о┐нии, в
ко▓о░ом оба ▒имвола вве░╡│, один вве░╡│, а один вниз│ и ▓. д. Нап░име░,
▒│мма f++ + f+; + f;+ + f;; ╖е▓╗░е╡ ве░о┐▓но▒▓ей ░авна 1. Помни▓е,
╖▓о об║ек▓ ▓епе░╝ имее▓ два индек▒а, два пл╛▒/мин│▒ индек▒а или две
едини╢╗ и н│л┐ в каждой ▓о╖ке, ╡о▓┐ кван▓ов╗е ▒и▒▓ем╗ име╛▓ ▓ол╝ко один. Нап░име░, е▒ли в╗ ╡о▓и▓е зна▓╝, ┐вл┐е▓▒┐ ли ┤ик▒и░ованн╗й
индек▒ положи▓ел╝н╗м, ве░о┐▓но▒▓╝ ╜▓ого б│де▓
Prob(пе░в╗й индек▒+) = f++ + f+;[▒пин z нап░авлен вве░╡];
▓о е▒▓╝ в╗ не забо▓и▓е▒╝ о в▓о░ом индек▒е. Ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о в▓о░ой
индек▒ о▓░и╢а▓елен, е▒▓╝
Prob(пе░в╗й индек▒;) = f;+ + f;;[▒пин z нап░авлен вниз]:
Э▓и две ┤о░м│л╗ ▓о╖но ве░н╗ в кван▓овой ме╡анике. В╗ види▓е, ╖▓о
┐ │клон┐╛▒╝ о▓ ▓ого, може▓ ли цве░о┐▓но▒▓╝ч f на ▒амом деле б╗▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝╛ без кав╗╖ек. Но когда ┐ пи╕│ ве░о┐▓но▒▓╝ без кав╗╖ек в левой
╖а▒▓и, ┐ не │клон┐╛▒╝; ╜▓о дей▒▓ви▓ел╝но кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ ве░о┐▓но▒▓╝. Зде▒╝ ╜▓о ин▓е░п░е▓и░│е▓▒┐ о╖ен╝ ╡о░о╕о. Подобн╗м об░азом
14
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о в▓о░ой индек▒ положи▓елен, може▓ б╗▓╝ найдена
▒лед│╛╣им об░азом:
Prob(в▓о░ой индек▒+) = f++ + f;+[▒пин x нап░авлен вве░╡]
и подобн╗м же об░азом
Prob(в▓о░ой индек▒;) = f+; + f;;[▒пин x нап░авлен вниз]:
В╗ може▓е зада▓╝ и д░│гие воп░о▒╗ о ▒и▒▓еме. Вам, може▓, за╡о╖е▓▒┐ │зна▓╝, какова ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о оба индек▒а положи▓ел╝н╗, и в╗
в▒▓░е▓и▓е▒╝ ▒ ▓░│дно▒▓╝╛. Но в╗ може▓е зада▓╝ д░│гой воп░о▒, ко▓о░╗й
ва▒ не за▓░│дни▓ и на ко▓о░╗й можно пол│╖и▓╝ ко░░ек▓н╗й ┤изи╖е▒кий
о▓ве▓. В╗ може▓е ▒п░о▒и▓╝, нап░име░, какова ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о оба
индек▒а одинаков╗. Э▓о б│де▓
Prob(одинаков╗е) = f++ + f;;[▒пин y нап░авлен вве░╡]:
Или ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о не▓ ▒овпадени┐ индек▒ов, ╖▓о они ░азн╗е:
Prob(░азн╗е) = f+; + f;+[▒пин y нап░авлен вниз]:
В▒е заме╖а▓ел╝но. В▒е ве░о┐▓но▒▓и ко░░ек▓н╗ и име╛▓ ▒м╗▒л и ▓о╖ное зна╖ение в ▒пиновой модели, показанн╗й в квад░а▓н╗╡ ▒кобка╡ в╗╕е. Е▒▓╝ и д░│гие комбина╢ии цве░о┐▓но▒▓ейч, д░│гие линейн╗е комбина╢ии ╜▓и╡ ┤│нк╢ий f , ко▓о░╗е ▓оже да╛▓ ┤изи╖е▒ки о▒м╗▒ленн╗е ве░о┐▓но▒▓и, но мне б╗ не ╡о▓ело▒╝ ▒ей╖а▒ на ╜▓ом о▒▓анавлива▓╝▒┐. Е▒▓╝
д░│гие линейн╗е комбина╢ии, о ко▓о░╗╡ в╗ може▓е зада▓╝ воп░о▒, но,
по-видимом│, задава▓╝ воп░о▒╗ об о▓дел╝ной f нел╝з┐.
6. О▓░и╢а▓ел╝на┐ ве░о┐▓но▒▓╝
Тепе░╝ дл┐ многи╡ взаимодей▒▓в│╛╣и╡ ▒пинов на ░е╕е▓ке м╗ можем зада▓╝ цве░о┐▓но▒▓╝ч (кав╗╖ки напомина╛▓ нам, ╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝
ли ╜▓о | в▒е е╣е воп░о▒) дл┐ ко░░ели░ованн╗╡ возможно▒▓ей:
F (s1 ; s2; : : : ; sN ) (si 2 f++; +;; ;+; ;;g):
За▓ем, е▒ли ┐ ░а▒▒ма▓░ива╛ кван▓овоме╡ани╖е▒кие │░авнени┐, ко▓о░╗е
гово░┐▓ мне, как F измен┐е▓▒┐ ▒о в░еменем, они ▓о╖но ▓акого же вида,
╖▓о и напи▒анн╗е мной в╗╕е дл┐ кла▒▒и╖е▒кой ▓ео░ии:
Ft+1 (fsg) =
"
X Y
fs g
0
i
#
0
0
M (si jsj ; sk ; : : : ) Ft (fs0 g);
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
15
Ри╖а░д П. Фейнман
но ▓епе░╝ │ на▒ F вме▒▓о P . M (sijs0j ; s0k ; : : : ), каже▓▒┐, можно ин▓е░п░е▓и░ова▓╝ как цве░о┐▓но▒▓╝ч на едини╖ное в░ем┐ или едини╖ное изменение
в░емени, ╖▓о ▒о▒▓о┐ние в i пе░ейде▓ в si, в ▓о в░ем┐ как ▒о▒еди на╡од┐▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии s0. Е▒ли в╗ може▓е изоб░е▒▓и ве░о┐▓но▒▓╝ M подобн╗м
об░азом, в╗ напи╕е▓е дл┐ него │░авнени┐ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ но░мал╝ной
логикой, ╜▓о ко░░ек▓н╗е │░авнени┐, ░еал╝н╗е ко░░ек▓н╗е кван▓овоме╡ани╖е▒кие │░авнени┐ дл┐ ╜▓ой F , и, ▒ледова▓ел╝но, в╗ може▓е ▒каза▓╝:
цО▓ли╖но, и▓ак, ┐ мог│ ими▓и░ова▓╝ ╜▓о на ве░о┐▓но▒▓ном комп╝╛▓е░е!ч
Одно ▓ол╝ко пло╡о. Э▓и │░авнени┐, к ▒ожалени╛, нел╝з┐ ин▓е░п░е▓и░ова▓╝ на о▒нове ▓ак наз╗ваемой цве░о┐▓но▒▓ич или ╜▓о▓ ве░о┐▓но▒▓н╗й комп╝╛▓е░ не ▒може▓ ▒модели░ова▓╝ и╡, по▒кол╝к│ F не об┐за▓ел╝но
положи▓ел╝на. Иногда она о▓░и╢а▓ел╝на! M , цве░о┐▓но▒▓╝ч (▓ак наз╗ваема┐) движени┐ о▓ одного ▒о▒▓┐ни┐ к д░│гом│, ▒ама по ▒ебе не положи▓ел╝на┐; е▒ли ┐ ▒дела╛ ве▒╝ п│▓╝ назад к f дл┐ едини╖ного об║ек▓а, она
оп┐▓╝ не б│де▓ положи▓ел╝ной.
Во▓ п░име░╗ ве░о┐▓но▒▓ей:
f++ = 0:6 f+; = ;0:1 f;+ = 0:3 f;; = 0:2
С│мма f++ + f+; ░авна 0.5, ╜▓о ╕ан▒ в 50% най▓и пе░в╗й индек▒
положи▓ел╝н╗м. Ве░о┐▓но▒▓╝ най▓и пе░в╗й индек▒ о▓░и╢а▓ел╝н╗м е▒▓╝
▒│мма f;+ + f;;, ко▓о░а┐ ▓акже 50%. Ве░о┐▓но▒▓╝ най▓и в▓о░ой индек▒ положи▓ел╝н╗м е▒▓╝ ▒│мма f++ + f;+ ко▓о░а┐ ░авна дев┐▓и де▒┐▓╗м, ве░о┐▓но▒▓╝ най▓и его о▓░и╢а▓ел╝н╗м е▒▓╝ f+; + f;;, ╖▓о ░авно
одной де▒┐▓ой, в▒е о▓ли╖но | он либо пл╛▒, либо мин│▒. Ве░о┐▓но▒▓╝,
╖▓о они ▒овпада╛▓, ░авна во▒╝ми де▒┐▓╗м, ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о не▓ | пл╛▒
две де▒┐▓╗е; в▒е ┤изи╖е▒кие ве░о┐▓но▒▓и оказ╗ва╛▓▒┐ положи▓ел╝н╗ми.
Но о░игинал╝на┐ f не положи▓ел╝на, и ▓│▓ закл╛╖ае▓▒┐ бол╝╕а┐ ▓░│дно▒▓╝. Един▒▓венна┐ ░азни╢а межд│ ве░о┐▓но▒▓н╗м кла▒▒и╖е▒ким ми░ом
и │░авнени┐ми кван▓ового ми░а закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о ▓ак или ина╖е
ве░о┐▓но▒▓и оказ╗ва╛▓▒┐ о▓░и╢а▓ел╝н╗ми, и м╗ не знаем, на▒кол╝ко ┐
понима╛, как ╜▓о модели░ова▓╝. Хо░о╕о, ╜▓о ┤│ндамен▓ал╝н╗й воп░о▒.
Я не зна╛ о▓ве▓а на него, но ┐ ╡о▓ел об║┐▒ни▓╝, ╖▓о, е▒ли ┐ п╗▓а╛▒╝
наил│╖╕им об░азом ▒дела▓╝ │░авнени┐ как можно более по╡ожими на ▓о,
╖▓о надо ▒╗ми▓и░ова▓╝ на кла▒▒и╖е▒ком ве░о┐▓но▒▓ном комп╝╛▓е░е, ┐
▒▓алкива╛▒╝ ▒ п░облемами.
16
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
7. Пол┐░иза╢и┐ ┤о▓онов | ▒и▒▓ем╗ дв│╡ ▒о▒▓о┐ний
Я ╡о╖│ показа▓╝ вам, по╖ем│ нел╝з┐ избежа▓╝ ╜▓и╡ знаков мин│▒
или, по к░айней ме░е, по╖ем│ в╗ имее▓е ▓акие п░облем╗. В╗, ве░о┐▓но, в▒е ▒л╗╕али о п░име░е па░адок▒а Эйн╕▓ейна{Подол╝▒кого{Ро│зена
(Einstein{Podolsky{Rosen), но ┐ об║┐▒н╛ ╜▓о▓ мален╝кий п░име░ ┤изи╖е▒кого ╜к▒пе░имен▓а, ко▓о░╗й може▓ б╗▓╝ ▒делан и б╗л ▒делан, ко▓о░╗й дей▒▓ви▓ел╝но дае▓ кван▓овоме╡ани╖е▒кие п░ед▒казани┐ о▓ве▓ов, и
о▓ве▓╗ дей▒▓ви▓ел╝но п░авил╝н╗е, зде▒╝ не▓ о╕ибки, е▒ли в╗ делае▓е
╜к▒пе░имен▓, ╜▓о дей▒▓ви▓ел╝но п░ои▒╡оди▓. И ┐ ▒оби░а╛▒╝ и▒пол╝зова▓╝
п░име░ пол┐░иза╢ии ┤о▓онов, ко▓о░╗й е▒▓╝ п░име░ ▒и▒▓ем╗ дв│╡ ▒о▒▓о┐ний. Когда ┤о▓он ле▓и▓, в╗ гово░и▓е, ╖▓о он пол┐░изован по x либо по y.
В╗ може▓е обна░│жи▓╝ ╜▓о, и▒пол╝з│┐ к│▒ок к░и▒▓алла кал╝╢и▓а, и ┤о▓он п░о╡оди▓ ╖е░ез к░и▒▓алл либо в одном нап░авлении, либо в д░│гом |
вооб╣е-▓о они ▒лабо ░азли╖а╛▓▒┐, и за▓ем в╗ по▒▓ави▓е не▒кол╝ко зе░кал, ╜▓о неважно. У ва▒ е▒▓╝ два п│╖ка, два в╗╡ода, о▓к│да може▓ в╗й▓и
┤о▓он (▒м. ░и▒. 2).
;
Ри▒. 2
Е▒ли в╗ зап│▒▓и▓е пол┐░изованн╗й ┤о▓он, ▓о он пойде▓ по одном│ п│▓и, но░мал╝ном│, или по д░│гом│ п│▓и, аномал╝ном│. Е▒ли ▓ам по▒▓ави▓╝
де▓ек▓о░╗, в╗ обна░│жи▓е, ╖▓о кажд╗й ┤о▓он, ко▓о░╗й в╗ зап│▒кае▓е,
в╗йде▓ ▓ам или ▓│▓ 100% ░аз, а не половина на половин│. В╗ найде▓е ┤о▓он в одном или д░│гом ме▒▓е. Ве░о┐▓но▒▓╝ най▓и его в но░мал╝ном л│╖е
пл╛▒ ве░о┐▓но▒▓╝ най▓и его в аномал╝ном л│╖е в▒егда 1 | в╗ должн╗
▒обл╛да▓╝ ╜▓о п░авило. Э▓о ░або▓ае▓. И далее, он никогда не обна░│живае▓▒┐ в обои╡ де▓ек▓о░а╡. (Е▒ли в╗ може▓е зап│▒▓и▓╝ два ┤о▓она, в╗
може▓е ╜▓о пол│╖и▓╝, но │ ва▒ │мен╝╕и▓▒┐ ин▓ен▒ивно▒▓╝ | ╜▓о ▓е╡ни╖е▒ка┐ ве╣╝, в╗ не найде▓е и╡ в обои╡ де▓ек▓о░а╡.)
Тепе░╝ ▒лед│╛╣ий ╜к▒пе░имен▓. Разделение на 4 пол┐░изованн╗╡ л│╖а (▒м. ░и▒. 3). В╗ ▒▓ави▓е два к░и▒▓алла на п│▓и ▓ак, ╖▓об╗ и╡ о▒и об░а-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
17
;
Ри╖а░д П. Фейнман
Ри▒. 3
зов╗вали │гол д░│г о▓но▒и▓ел╝но д░│га. Я, оказ╗вае▓▒┐, на░и▒овал в▓о░ой к░и▒▓алл в дв│╡ пози╢и┐╡, но не▓ ░азни╢╗, и▒пол╝з│е▓е в╗ один и ▓о▓
же к│▒ок или не▓, е▒ли ва▒ ╜▓о волн│е▓. Воз╝ми▓е но░мал╝н╗й л│╖ из одного, п░оп│▒▓и▓е его ╖е░ез в▓о░ой к│▒ок к░и▒▓алла и ░а▒▒мо▓░и▓е его но░мал╝н╗й л│╖, ко▓о░╗й ┐ б│д│ наз╗ва▓╝ но░мал╝но{но░мал╝н╗м (O ; O)
л│╖ем, или ░а▒▒мо▓░и▓е его аномал╝н╗й л│╖, но░мал╝но{аномал╝н╗й
(O ; E ) л│╖. А аномал╝н╗й л│╖ из пе░вого к│▒ка б│де▓ (E ; O) л│╖,
и е▒▓╝ е╣е (E ; E ) л│╖, в▒е п░авил╝но. Тепе░╝ в╗ може▓е ▒п░о▒и▓╝, ╖▓о
п░ои▒╡оди▓. В╗ обна░│жи▓е ▒лед│╛╣ее. Когда ┤о▓он п░о╡оди▓, ▒░аба▓╗вае▓ ▓ол╝ко один ▒╖е▓╖ик.
Е▒ли ┤о▓он O из пе░вого к░и▒▓алла, ▓о в▓о░ой к░и▒▓алл дае▓ O ; O ▒
ве░о┐▓но▒▓╝╛ cos2 или O ; 1 ▒ дополн┐╛╣ей ве░о┐▓но▒▓╝╛ 1 ; cos2 =
= sin2 . Подобн╗м же об░азом E ┤о▓он дае▓ E ; O ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ sin2 или E ; E ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ cos2 .
8. Эк▒пе░имен▓ по дв│╡┤о▓онной ко░░ел┐╢ии
;
Давай▓е ▓епе░╝ об░а▓им▒┐ к ╜к▒пе░имен▓│ по дв│╡┤о▓онной ко░░ел┐╢ии (▒м. ░и▒. 4).
Ри▒. 4
П░ои▒╡оди▓ ▒лед│╛╣ее | и▒п│▒ка╛▓▒┐ два ┤о▓она в п░о▓ивоположн╗╡ нап░авлени┐╡ (нап░име░, 3s ! 2p ! 1s пе░е╡од в а▓оме водо░ода).
Они набл╛да╛▓▒┐ однов░еменно (▒кажем, вами и мной) ╖е░ез два кал╝╢и▓н╗╡ │▒▓░ой▒▓ва под │глами 1 и 2 к ве░▓икали. Кван▓ова┐ ▓ео░и┐ и
18
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
╜к▒пе░имен▓ ▒огла▒│╛▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝ POO , ╖▓о м╗ оба обна░│жим но░мал╝н╗й ┤о▓он, е▒▓╝
POO = 21 cos2 (2 ; 1):
Ве░о┐▓но▒▓╝ PEE , ╖▓о м╗ оба набл╛даем аномал╝н╗й л│╖, ▓а же ▒ама┐
PEE = 12 cos2 (2 ; 1):
Ве░о┐▓но▒▓╝ POE , ╖▓о ┐ обна░│ж│ O, а в╗ обна░│жи▓е E , е▒▓╝
POE = 12 sin2(2 ; 1 );
и ве░о┐▓но▒▓╝ PEO ▓ого, ╖▓о ┐ за░еги▒▓░и░│╛ E , а в╗ O |
PEO = 12 sin2(2 ; 1 ):
Заме▓им, ╖▓о в╗ в▒егда може▓е п░ед▒каза▓╝, и▒╡од┐ из ▒об▒▓венн╗╡
изме░ений, ╖▓о ┐ пол│╖│, O или E . Дл┐ л╛бой о▒и 1, ко▓о░│╛ ┐ в╗бе░│,
п░о▒▓о помен┐й▓е ва╕│ о▒╝ 2 на 1, ▓огда и ┐ должен пол│╖а▓╝ ▓о же,
╖▓о и в╗.
Давай▓е ▓епе░╝ ░а▒▒мо▓░им, как ╜▓о должно б╗▓╝ дл┐ локал╝ного ве░о┐▓но▒▓ного комп╝╛▓е░а. Фо▓он 1 должен б╗▓╝ в неко▓о░ом ▒о▒▓о┐нии ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ f(1 ), ко▓о░а┐ оп░едел┐е▓ его п░о╡ождение но░мал╝н╗м
п│▓ем [ве░о┐▓но▒▓╝ п░ой▓и как E е▒▓╝ 1 ; f(1 )]. Подобн╗м же об░азом
┤о▓он 2 б│де▓ в ▒о▒▓о┐нии ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ g (2 ). Е▒ли p е▒▓╝ об╣а┐
ве░о┐▓но▒▓╝ най▓и па░│ │▒ловий ; , ▓о ве░о┐▓но▒▓╝ POO , ╖▓о м╗ оба
б│дем набл╛да▓╝ O л│╖и, е▒▓╝
POO (1 ; 2 ) =
аналоги╖но
POE (1 ; 2 ) =
X
X
p f(1 )g (2 )
X
p = 1;
p (1 ; f(1 )) g (2) и ▓. д.
У▒ловие оп░едел┐е▓, как п░о╡оди▓ ┤о▓он. Э▓о ▒воего ░ода ко░░ел┐╢и┐
│▒ловий. Подобного ░ода ┤о░м│ла не може▓ во▒п░оизве▒▓и пол│╖енн╗й
в╗╕е кван▓ов╗й ░ез│л╝▓а▓ дл┐ л╛б╗╡ p , f(1 ), g (2 ), е▒ли они ░еал╝н╗е ве░о┐▓но▒▓и | ▓о е▒▓╝ в▒е положи▓ел╝н╗е, ╡о▓┐ ╜▓о легко, е▒ли
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
19
Ри╖а░д П. Фейнман
они цве░о┐▓но▒▓ич | о▓░и╢а▓ел╝н╗е дл┐ неко▓о░╗╡ │▒ловий и │глов. Сей╖а▒ м╗ п░оанализи░│ем, по╖ем│.
Я не зна╛, ╖▓о ╜▓о за │▒лови┐, но дл┐ л╛бого │▒лови┐ ве░о┐▓но▒▓╝
f (1 ) б╗▓╝ но░мал╝н╗м или аномал╝н╗м в л╛бом нап░авлении должна
б╗▓╝ едини╢ей или н│лем. Ина╖е в╗ не може▓е п░ед▒каза▓╝, ╖▓о ▒ д░│гой ▒▓о░он╗. В╗ б│де▓е не в ▒о▒▓о┐нии п░ед▒каза▓╝ оп░еделенно ╖▓о ┐
пол│╖│, пока не б│де▓ аб▒ол╛▓но ┐▒но, какой п│▓╝ изб░ал ┤о▓он, когда он
п░и╕ел. Следова▓ел╝но, в каком б╗ ни б╗л ┤о▓он ▒о▒▓о┐нии, е▒▓╝ кака┐-▓о
▒к░╗▓а┐ вн│▓░и пе░еменна┐, ко▓о░а┐ оп░едел┐е▓, пойде▓ он но░мал╝н╗м
или аномал╝н╗м п│▓ем. Э▓о оп░еделение ▒делано де▓е░мини▒▓и╖но, не
ве░о┐▓но▒▓но; ина╖е м╗ не можем об║┐▒ни▓╝ ▓о▓ ┤ак▓, ╖▓о в╗ могли б╗
п░ед▒каза▓╝, ╖▓о ┐ пол│╖│ ▓о╖но. Так ╖▓о давай▓е п░едположим, ╖▓о п░ои▒╡оди▓ ╖▓о-▓о в░оде ╜▓ого. П░едположим, ╖▓о м╗ об▒│ждаем ░ез│л╝▓а▓╗
▓ол╝ко дл┐ │глов, к░а▓н╗╡ 30 .
;
Ри▒. 5
На каждой диаг░амме (░и▒. 5) о▓ме╖ен╗ │гл╗ 0 , 30 , 60 , 90 , 120
и 150 . Ча▒▓и╢а п░и╡оди▓ ко мне, и она на╡оди▓▒┐ в каком-▓о ▒о▒▓о┐нии, в ▓ом, ╖▓о за▒▓авл┐е▓ ее в╗би░а▓╝ 0 , 30 и ▓. д., в▒е п░ед▒каз│емо | де▓е░мини░ованно | ▒о▒▓о┐нием. Скажем, в оп░еделенном ▒о▒▓о┐нии е▒▓╝ п░ед▒казание дл┐ 0 , ╖▓о ▓ам б│де▓ аномал╝н╗й л│╖ (╖е░на┐
▓о╖ка), дл┐ 30 ▓оже аномал╝н╗й, дл┐ 60 | но░мал╝н╗й (бела┐ ▓о╖ка)
и. ▓. д. (░и▒. 5а). К▒▓а▓и, в╗╡од╗ ┐вл┐╛▓▒┐ дополн┐╛╣ими д░│г д░│га
дл┐ п░┐м╗╡ │глов, по▒кол╝к│, напомн╛, они в▒егда либо но░мал╝н╗, либ╗ аномал╝н╗; ▓ак, е▒ли в╗ пово░а╖ивае▓е на 90 , ▓о но░мал╝н╗й л│╖
▒▓анови▓▒┐ аномал╝н╗м. Следова▓ел╝но, каково б╗ ни б╗ло │▒ловие, оно
имее▓ ▓│ же модел╝ п░ед▒казани┐, в ко▓о░ой в╗ имее▓е п░ед▒казание или
но░мал╝но▒▓и или аномал╝но▒▓и | и ▓ам и ▓ам | по▒кол╝к│ п░и п░┐м╗╡ │гла╡ они не одного ╢ве▓а. Подобн╗м об░азом ╖а▒▓и╢а, ко▓о░а┐ иде▓
к вам, когда они ░азделили▒╝, должна име▓╝ ▓о▓ же ▓ип, по▒кол╝к│ в╗
може▓е оп░едели▓╝, ╖▓о ┐ пол│╖│, изме░┐┐ ва╕│ ╖а▒▓и╢│. Каков╗ б╗ ни
20
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
б╗ли │▒лови┐, ▓ип╗ должн╗ б╗▓╝ одинаков╗. Так, е▒ли ┐ ╡о╖│ зна▓╝,
б│де▓ ли │ мен┐ п░и 60 белое, ▓о в╗ п░о▒▓о изме░┐е▓е п░и 60 и в╗
пол│╖и▓е белое, и, ▒ледова▓ел╝но, в╗ п░ед▒каз╗вае▓е белое, или но░мал╝н╗й л│╖, дл┐ мен┐. Далее, кажд╗й ░аз, когда м╗ делаем ╜к▒пе░имен▓,
▓ип може▓ б╗▓╝ не один и ▓о▓ же. Кажд╗й ░аз м╗ ▒оздаем па░│ ┤о▓онов,
пов▓о░┐ем ╜▓о▓ ╜к▒пе░имен▓ ▒нова и ▒нова, он не об┐зан б╗▓╝ ▓аким же
как на ░и▒. 5а. П░едположим, ╖▓о в ▒лед│╛╣ий ░аз мой ┤о▓он б│де▓ O
или E дл┐ каждого │гла, как на ░и▒ 5▒. Тогда ва╕ б│де▓, как на ░и▒ 5d. Но
каков б╗ он ни б╗л, │ ва▒ должно б╗▓╝ ▓о же, ╖▓о и │ мен┐ в ▓о╖но▒▓и, |
ина╖е в╗ не може▓е п░ед▒каза▓╝ ▓о╖но, ╖▓о │ мен┐ пол│╖и▓▒┐ п░и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ем │гле. И ▓. д. Кажд╗й ░аз, когда м╗ делаем ╜к▒пе░имен▓,
м╗ пол│╖аем ░азли╖н╗е ка░▓инки; и ╜▓о п░о▒▓о: е▒▓╝ ▓ол╝ко ╕е▒▓╝ ▓о╖ек,
▓░и из ни╡ бел╗е, и в╗ о╡о▓и▓е▒╝ за ними в▒╛д│ ░азн╗ми ▒по▒обами |
в▒е може▓ ▒л│╖и▓╝▒┐. Е▒ли м╗ изме░┐ем п░и одном │гле, м╗ в▒егда пол│╖аем, ╖▓о ▒ подобного ░ода │▒▓░ой▒▓вом м╗ б│дем име▓╝ одинаков╗й
░ез│л╝▓а▓.
Тепе░╝ п░едположим, ╖▓о м╗ изме░┐ем п░и 2 ; 1 = 30 и ▒п░а╕иваем, ▒ какой ве░о┐▓но▒▓╝╛ м╗ пол│╖им ▓о▓ же ░ез│л╝▓а▓? Сна╖ала ░азбе░ем ╜▓о▓ п░име░ зде▒╝ (░и▒ 5а, 5b). С какой ве░о┐▓но▒▓╝╛ пол│╖им м╗
▓о▓ же ░ез│л╝▓а▓, ╖▓о они обе бел╗е или обе ╖е░н╗е? П░ои▒╡оди▓ ▒лед│╛╣ее: доп│▒▓им, ┐ гово░╛: по▒ле ▓ого как они п░о╕ли, ┐ ▒оби░а╛▒╝ в╗б░а▓╝
нап░авление ▒л│╖айн╗м об░азом, и гово░╛ вам о▓ме░и▓╝ 30 о▓ ╜▓ого нап░авлени┐. За▓ем, ╖▓о б╗ ┐ ни пол│╖ил, в╗ пол│╖и▓е не╖▓о д░│гое, е▒ли
▒о▒еди б╗ли д░│гие. (М╗ могли б╗ пол│╖и▓╝ ▓о же ▒амое, е▒ли ▒о▒еди б╗ли б╗ ▓еми же.) Каков ╕ан▒, ╖▓о в╗ пол│╖и▓е ▓о▓ же ░ез│л╝▓а▓, ╖▓о и ┐?
Шан▒ е▒▓╝ ╖и▒ло ░аз, когда ▒о▒еди име╛▓ ▓о▓ же ╢ве▓. Е▒ли в╗ мин│▓к│
под│мае▓е, в╗ найде▓е, ╖▓о в дв│╡ ▓░е▓╝и╡ ▒л│╖аев (░и▒ 5а) ╢ве▓ ▓о▓ же.
Наи╡│д╕ий ▒л│╖ай е▒▓╝ ╖е░н╗й/бел╗й/╖е░н╗й/бел╗й/╖е░н╗й/бел╗й, и
▓огда ве░о┐▓но▒▓╝ ▒овпа▒▓╝ ░авна н│л╛ (░и▒ 5c, d). Е▒ли в╗ по▒мо▓░и▓е
на во▒ем╝ возможн╗╡ ░азли╖н╗╡ ▒л│╖аев, в╗ найде▓е, ╖▓о наибол╝╕ий
возможн╗й о▓ве▓ е▒▓╝ две ▓░е▓и. В╗ не може▓е │▒▓░ои▓╝ в кла▒▒и╖е▒ки╡
ме▓ода╡ в░оде ╜▓ого, ╖▓об╗ ве░о┐▓но▒▓╝ ▒овпадени┐ п░и 30 б╗ла более
дв│╡ ▓░е▓╝и╡. Но кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ ┤о░м│ла п░ед▒каз╗вае▓ cos2 30
(или 3/4) | и ╜к▒пе░имен▓ ▒огла▒│е▓▒┐ ▒ ╜▓им | и зде▒╝ закл╛╖ена ▓░│дно▒▓╝.
Э▓о в▒е. Э▓о ▓░│дно▒▓╝. Во▓ по╖ем│ мне не каже▓▒┐, ╖▓о кван▓ова┐
ме╡аника може▓ б╗▓╝ ими▓и░ована локал╝н╗м кла▒▒и╖е▒ким комп╝╛▓е░ом.
Я в▒егда ░азвлекал▒┐ ▓ем, ╖▓о в▓и▒кивал ▓░│дно▒▓и кван▓овой ме╡а-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
21
Ри╖а░д П. Фейнман
ники во в▒е мен╝╕ие и мен╝╕ие ░амки, ▓ак, ╖▓об╗ в▒е бол╝╕е и бол╝╕е
бе▒покои▓╝▒┐ об ╜▓ом ╖а▒▓ном п░едме▓е. В▒егда каже▓▒┐ нелеп╗м, ╖▓о
в╗ може▓е в▓и▒н│▓╝ ╜▓о в ╖и▒ленн╗е воп░о▒╗, ╖▓о одна ве╣╝ бол╝╕е
д░│гой. Так оно и е▒▓╝ | ╜▓о бол╝╕е, ╖ем може▓ да▓╝ л╛бой логи╖е▒кий
а░г│мен▓, е▒ли в ╜▓ом е▒▓╝ кака┐-▓о логика. Тепе░╝ м╗ гово░им ц╜▓а логикач; какие ▒│╣е▒▓в│╛▓ д░│гие возможно▒▓и? Може▓ б╗▓╝, не▓ д░│ги╡
возможно▒▓ей, а може▓, е▒▓╝. Ин▓е░е▒но поп╗▓а▓╝▒┐ об▒│ди▓╝ возможно▒▓и. Я │поминал ╖▓о-▓о о возможно▒▓и в░емени | о ве╣а╡, на ко▓о░╗е
дей▒▓в│е▓ не ▓ол╝ко п░о╕лое, но и б│д│╣ее, и, ▒ледова▓ел╝но, ╖▓о на╕и
ве░о┐▓но▒▓и в неко▓о░ом ▒м╗▒ле цилл╛зо░н╗ч. М╗ имеем ин┤о░ма╢и╛
▓ол╝ко из п░о╕лого и п╗▓аем▒┐ п░ед▒каза▓╝ ▒лед│╛╣ий ╕аг, но в ░еал╝но▒▓и он зави▒и▓ о▓ ближай╕его б│д│╣его, ко▓о░ое м╗ не можем │╡ва▓и▓╝, или ╖▓о-▓о в ╜▓ом ░оде. О╖ен╝ ин▓е░е▒н╗й воп░о▒ | обла▒▓╝ ве░о┐▓но▒▓ей в кван▓овой ме╡анике. Д░│гой ▒по▒об зада▓╝ ве╣и ▒лед│╛╣ий:
│ на▒ е▒▓╝ илл╛зи┐, ╖▓о м╗ можем ▒дела▓╝ л╛бой ╜к▒пе░имен▓, какой
за╡о▓им. В▒е м╗, однако, из одной в▒еленной, ╜вол╛╢иони░овали вме▒▓е
▒ ней, и на ▒амом деле не имеем никакой ц░еал╝нойч ▒вобод╗. По▒кол╝к│
м╗ под╖ин┐ем▒┐ оп░еделенн╗м законам и п░и╕ли из оп░еделенного б│д│╣его. Неко▓о░╗м об░азом м╗ ко░░ели░│ем ▒ ╜к▒пе░имен▓ом, ко▓о░╗й
м╗ делаем, ▓ак ╖▓о п░о┐вл┐╛╣ие▒┐ ве░о┐▓но▒▓и в╗гл┐д┐▓ не ▓ак, как они
должн╗ б╗ли б╗ в╗гл┐де▓╝, е▒ли они ▒л│╖айн╗. И в▒е воп░о▒╗ по╡ожи
на ╜▓и, и ╖▓о ┐ п╗▓а╛▒╝ ▒дела▓╝ | ╜▓о п░ед▒▓ави▓╝ вам л╛дей, ко▓о░╗е д│ма╛▓, ╖▓о возможно▒▓и комп╝╛▓е░ного модели░овани┐ п░ивлек│▓
бол╝╕ое внимание к ╜▓ом│, п░ед▒▓ави▓╝ вам как можно л│╖╕е ░еал╝н╗е
о▓ве▓╗ кван▓овой ме╡аники и по▒мо▓░е▓╝, не ▒може▓е ли в╗ изоб░е▒▓и д░│г│╛ ▓о╖к│ з░ени┐, ╖ем ▓а, ко▓о░│╛ п░и╕ло▒╝ изоб░е▒▓и ┤изикам,
╖▓об╗ ╜▓о опи▒а▓╝. На ▒амом деле │ ┤изиков не▓ ╡о░о╕ей ▓о╖ки з░ени┐.
К▓о-▓о ╖▓о-▓о бо░мо╖е▓ о ка░▓ине многи╡ ми░ов, и ╜▓а ка░▓ина многи╡
ми░ов гово░и▓, ╖▓о волнова┐ ┤│нк╢и┐ | ╜▓о ▓о, ╖▓о ░еал╝но, и ╜▓о на╕е
п░окл┐▓╝е, ╖▓о пе░еменн╗╡ ▓ак много, как N R. В▒е ╜▓и ░азли╖н╗е ми░╗
и в▒е по▒▓░оение кон┤иг│░а╢ий ▓ам по╡оже на на╕е по▒▓░оение кон┤иг│░а╢ий, п░о▒▓о на╕е ▒╖а▒▓╝е, ╖▓о м╗ ▒идим зде▒╝. Э▓о може▓ б╗▓╝, но
┐ ╜▓им не о╖ен╝ доволен.
Так, ┐ б╗ ╡о▓ел зна▓╝, е▒ли е▒▓╝ какой-▓о д░│гой в╗╡од, и ┐ ╡о╖│ под╖е░кн│▓╝ или подн┐▓╝ воп░о▒ зде▒╝, по▒кол╝к│ о▓к░╗▓ие комп╝╛▓е░ов и
░азм╗╕лени┐ над комп╝╛▓е░ами оказ╗ва╛▓▒┐ ╖░езв╗╖айно полезн╗ми
во многи╡ о▓░а▒л┐╡ ╖елове╖е▒ки╡ ░а▒▒│ждений. Нап░име░, м╗ никогда
на ▒амом деле не понимали, как па░╕иво б╗ло на╕е понимание ┐з╗ков,
▓ео░ии г░амма▓ики и в▒его ▓акого, пока м╗ не поп░обовали ▒озда▓╝ ком22
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
п╝╛▓е░, ▒по▒обн╗й понима▓╝ ┐з╗к. М╗ п╗▓али▒╝ на│╖и▓╝▒┐ многом│ в
п▒и╡ологии, п╗▓а┐▒╝ пон┐▓╝, как комп╝╛▓е░ ░або▓ае▓. Е▒▓╝ много ин▓е░е▒н╗╡ ┤ило▒о┤▒ки╡ воп░о▒ов о ░а▒▒│ждени┐╡ и ▒в┐з┐╡, набл╛дени┐╡ и
изме░ени┐╡ и ▓. д., под│ма▓╝ о ко▓о░╗╡ заново ▒ нов╗й ▓ипом м╗╕лени┐
▒▓им│ли░овал на▒ комп╝╛▓е░. И в▒е, ╖▓о ┐ делал, б╗ло ▒делано в надежде, ╖▓о комп╝╛▓е░н╗й ▓ип м╗╕лени┐ да▒▓ нам неко▓о░╗е нов╗е идеи,
е▒ли какие-либо из ни╡ на ▒амом деле ░еал╝н╗. Я не зна╛, може▓ б╗▓╝,
┤изика аб▒ол╛▓но ╡о░о╕а в ▓ом виде, в ко▓о░ом она е▒▓╝. П░ог░амма,
ко▓о░│╛ в▒е в░ем┐ п░о▓алкивае▓ Ф░едкин, о поп╗▓ка╡ най▓и комп╝╛▓е░ное модели░ование ┤изики, каже▓▒┐ мне о▓ли╖ной п░ог░аммой, ╖▓об╗ ▒ледова▓╝ ей до кон╢а. М╗ ▒ ним имели заме╖а▓ел╝н╗е, ин▓ен▒ивн╗е
и бе▒коне╖н╗е ▒по░╗, и мои а░г│мен▓╗ в▒егда б╗ли ▓е, ╖▓о ░еализа╢и┐
должна б╗▓╝ ▒ помо╣╝╛ кван▓овой ме╡аники, и, ▒ледова▓ел╝но, полное
внимание и п░изнание ┐влений кван▓овой ме╡аники | в╗зов об║┐▒нени┐м кван▓овоме╡ани╖е▒ки╡ ┐влений | должно об▒│жда▓╝▒┐ и ╜▓и ┐влени┐
должн╗ б╗▓╝ ╡о░о╕о пон┐▓╗ п░и анализе ▒и▓│а╢ии. И мне не н░ави▓▒┐
анализ╗, и▒╡од┐╣ие ▓ол╝ко из кла▒▒и╖е▒кой ▓ео░ии, по▒кол╝к│ п░и░ода
не кла▒▒и╖е▒ка┐, ╖е░▓ воз╝ми, и е▒ли в╗ ╡о▓и▓е ▒дела▓╝ п░и░одн│╛ ▒и▓│а╢и╛, л│╖╕е ▒дела▓╝ ее кван▓овоме╡ани╖е▒кой, и, ей-бог│, ╜▓о п░ек░а▒на┐
п░облема, по▒кол╝к│ не в╗гл┐ди▓ ▓акой │ж п░о▒▓ой. Спа▒ибо.
9. Об▒│ждение
Воп░о▒. П░о▒▓о дл┐ об║┐▒нени┐. Сна╖ала в╗ гово░или о ве░о┐▓но▒▓и
A п░и данном В п░о▓ив об╣ей ве░о┐▓но▒▓и A и В | ╜▓о ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о
один набл╛да▓ел╝ види▓ ░ез│л╝▓а▓, оп░едел┐ем╗й ве░о┐▓но▒▓╝╛ д░│гого;
и за▓ем в╗ п░иводи▓е па░адок▒ | кван▓овоме╡ани╖е▒кий ░ез│л╝▓а▓ 3/4,
а зде▒╝ 2/3. Э▓о и в ▒вмом деле одни и ▓е же ве░о┐▓но▒▓и? Може▓, одна
об╣а┐ ве░о┐▓но▒▓╝, а д░│га┐ | │▒ловна┐?
О▓ве▓. Не▓, ╜▓о и в ▒амом деле одно и ▓о же. POO | об╣а┐ ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о в╗ и ┐ набл╛даем но░мал╝н╗й л│╖, и POO | об╣а┐ ве░о┐▓но▒▓╝ дл┐ аномал╝н╗╡ л│╖ей. Ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о на╕и набл╛дени┐ ▒овпад│▓, е▒▓╝
POO + PEE = cos2 30 = 3=4:
Воп░о▒. Зави▒и▓ ли ╜▓о в каком-либо ▒м╗▒ле о▓ п░едположени┐, ▒кол╝ко ин┤о░ма╢ии можно пол│╖и▓╝ о▓ ┤о▓она или о▓ ╖а▒▓и╢╗? И в▓о░ое,
е▒ли вз┐▓╝ ва╕ воп░о▒ о п░ед▒казании, ва╕ коммен▓а░ий о возможно▒▓и
п░ед▒казани┐ в неко▓о░ом ▒м╗▒ле напоминае▓ ┤ило▒о┤▒кий воп░о▒, е▒▓╝
ли какой-либо ▒м╗▒л в воп░о▒е о ▒вободе воли и п░едоп░еделенно▒▓и?
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
23
Ри╖а░д П. Фейнман
А именно, о ко░░ел┐╢ии межд│ набл╛да▓елем и ╜к▒пе░имен▓ом, и ╜▓о▓
воп░о▒ закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, возможно ли ▒озда▓╝ ▓е▒▓, в ко▓о░ом п░ед▒казание може▓ б╗▓╝ ▒ооб╣ено набл╛да▓ел╛, или, вме▒▓о ╜▓ого, имее▓▒┐ ли
возможно▒▓╝ п░ед▒▓ави▓╝ │же и▒пол╝зованн│╛ ин┤о░ма╢и╛? И ┐ подоз░ева╛, ╖▓о в╗ │же и▒пол╝зовали в▒╛ ин┤о░ма╢и╛, ▓ак ╖▓о п░ед▒казание
лежи▓ в ░амка╡ ▓ео░ии.
О▓ве▓. В▒е ╜▓и ве╣и ┐ не понима╛; гл│бокие воп░о▒╗, ┤│ндамен▓ал╝н╗е воп░о▒╗. Однако ┤изики име╛▓ неко▓о░╗й в┐л╗й п│▓╝, ╖▓об╗
избежа▓╝ в▒его ╜▓ого. Они п░о▒▓о гово░┐▓: ▒мо▓░и, д░│г, ▓╗ бе░е╕╝ па░│
▒╖е▓╖иков и ▒▓ави╕╝ и╡ по к░а┐м ▒воего кал╝╢и▓а и ▒╖и▓ае╕╝, ▒кол╝ко ░аз ▓╗ пол│╖и╕╝ ▒во╛ ве╣╝, и ╜▓о в╗╡оди▓ 75% По▓ом ▓╗ иде╕╝ и
гово░и╕╝: цТепе░╝ ┐ мог│ ими▓и░ова▓╝ ╜▓о п░ибо░ом, ко▓о░╗й да▒▓ ▓о▓
же ░ез│л╝▓а▓ и ко▓о░╗й б│де▓ ░або▓а▓╝ локал╝ноч, и ▓╗ п╗▓ае╕╝▒┐ изоб░е▒▓и какой-▓о ▒по▒об ▒дела▓╝ ╜▓о, и, е▒ли ▓╗ делае╕╝ ╜▓о, м╗▒л┐ как
об╗╖но, ▓╗ пол│╖и╕╝, ╖▓о ╜▓ого нел╝з┐ ▒дела▓╝ ▒ ▓ой же ве░о┐▓но▒▓╝╛.
Следова▓ел╝но, н│жен неко▓о░╗й нов╗й ▒по▒об м╗╕лени┐, но ┤изики, б│д│╖и ▒легка ▓│пова▓╗ми, ▒мо▓░┐▓ ▓ол╝ко на п░и░од│, и ┐ не зна╛, как
д│ма▓╝ по-д░│гом│.
Воп░о▒. В на╖але ва╕его доклада в╗ гово░или о ▓ом, ╖▓о ░азн╗е ве╣и
дела╛▓▒┐ ди▒к░е▓н╗ми, ╖▓об╗ п░иблизи▓╝▒┐ к ░еал╝ном│ в╗╖и▒лени╛
┤изики. Однако, мне каже▓▒┐, ╖▓о е▒▓╝ неко▓о░а┐ ░азни╢а межд│ ве╣ами
в░оде п░о▒▓░ан▒▓ва и в░емени и ве░о┐▓но▒▓╝╛, ко▓о░а┐ може▓ ▒│╣е▒▓вова▓╝ в неко▓о░ом ме▒▓е, или ╜не░гией, или какой-либо ╡а░ак▓е░и▒▓икой пол┐. Види▓е ли в╗ какой-ниб│д╝ ░езон ░азли╖а▓╝ кван▓ование или
ди▒к░е▓но▒▓╝ п░о▒▓░ан▒▓ва и в░емени и ░а▒▒мо▓░ение как ди▒к░е▓н╗╡
л╛б╗╡ оп░еделенн╗╡ па░аме▓░ов или вели╖ин, ко▓о░╗е мог│▓ ▒│╣е▒▓вова▓╝?
О▓ве▓. Мне б╗ ╡о▓ело▒╝ немного п░окоммен▓и░ова▓╝. В╗ гово░и▓е
кван▓ование или ░а▒▒мо▓░ение как ди▒к░е▓ное. Э▓о о╖ен╝ опа▒но. Кван▓ова┐ ▓ео░и┐ и кван▓ование | ве▒╝ма ▒пе╢и┤и╖н╗е ▓ео░ии. Ра▒▒мо▓░ение
как ди▒к░е▓ное | п░авил╝ное ▒лово. Кван▓ование | ╜▓о д░│га┐ ма▓ема▓ика. Е▒ли м╗ гово░им о ░а▒▒мо▓░ении как ди▒к░е▓ном... коне╖но, ┐ о▓ме╖а╛, ╖▓о м╗ ▒оби░аем▒┐ мен┐▓╝ ┤изи╖е▒кие закон╗. По▒кол╝к│ │ на▒ е▒▓╝
запи▒анн╗е ┤изи╖е▒кие закон╗ в кла▒▒и╖е▒ком п░еделе, везде пе░еменн╗е
неп░е░╗вн╗е п░о▒▓░ан▒▓во и в░ем┐. Е▒ли, нап░име░, в ва╕ей ▓ео░ии в╗
╡о▓и▓е име▓╝ ╜лек▓░и╖е▒кое поле, ▓о ╜лек▓░и╖е▒кое поле не должно име▓╝
(е▒ли н│жно, ╖▓об╗ оно могло б╗▓╝ ▒╗ми▓и░овано, в╗╖и▒лено коне╖н╗м
╖и▒лом ╜лемен▓ов) бе▒коне╖ного ╖и▒ла возможн╗╡ зна╖ений, оно должно
б╗▓╝ п░ед▒▓авимо ╖и▒ленно. В╗ должн╗ име▓╝ возможно▒▓╝ │д░а▓╝ ▒ до24
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
модели░ование ┤изики на комп╝╛▓е░а╡
б╗▓ой ▓ео░ией п│▓ем опи▒ани┐ заново ве╣ей без ╜лек▓░и╖е▒ки╡ полей, но
п░ед▒▓авим на мин│▓│, ╖▓о ╜▓ого ▒дела▓╝ не може▓е и ╡о▓и▓е опи▒а▓╝ ╜▓о
▒ ╜лек▓░и╖е▒ким полем, ▓огда вам п░иде▓▒┐ ▒каза▓╝, ╖▓о, нап░име░, е▒ли
пол┐ мен╝╕е оп░еделенной вели╖ин╗, и╡ не▓ ▒ов▒ем, или ╖▓о-▓о в░оде ╜▓ого. И ╜▓о о╖ен╝ ин▓е░е▒н╗е п░облем╗, но, к ▒ожалени╛, ╜▓о пло╡ие зада╖и
дл┐ кла▒▒и╖е▒кой ┤изики, по▒кол╝к│ е▒ли в╗ воз╝ме▓е как п░име░ звезд│ за ▒о▓н╛ ▒ве▓ов╗╡ ле▓ о▓▒╛да и она може▓ и▒п│▒ка▓╝ волн│, ко▓о░а┐
иде▓ к нам и ▒▓анови▓▒┐ ▒лабее, и ▒лабее, и ▒лабее, и ▒лабее, и ╜лек▓░и╖е▒кие пол┐ │мен╝╕а╛▓▒┐, │мен╝╕а╛▓▒┐, │мен╝╕а╛▓▒┐, и как│╛ вели╖ин│
м╗ можем изме░и▓╝? В╗ поме╣ае▓е ▓│да да▓╖ик и ▒л╗╕и▓е звон, и неко▓о░ое в░ем┐ ни╖его не п░ои▒╡оди▓, и оп┐▓╝ звон, и неко▓о░ое в░ем┐
ни╖его не п░ои▒╡оди▓. Э▓о вов▒е не п░ед▒▓авление в ди▒к░е▓ном виде,
в╗ никогда не ▒може▓е изме░и▓╝ ▓акие мален╝кие пол┐, в╗ не обна░│жи▓е ▓акие к░о╕е╖н╗е пол┐, в╗ не може▓е ими▓и░ова▓╝ ▓акие мален╝кие
пол┐, по▒кол╝к│ ми░, ко▓о░╗й в╗ п╗▓ае▓е▒╝ ими▓и░ова▓╝, ┤изи╖е▒кий
ми░, не кла▒▒и╖е▒кий, и веде▓ ▒еб┐ по-д░│гом│. Так ╖▓о ╖а▒▓н╗й п░име░
п░ед▒▓авлени┐ ╜лек▓░омагни▓ного пол┐ как ди▒к░е▓ного, ╜▓о п░облема,
ко▓о░│╛ ┐ не мог│, б│д│╖и ┤изиком, ░а▒▒ма▓░ива▓╝ как ┤│ндамен▓ал╝но ▓░│дн│╛, по▒кол╝к│ ╜▓о п░о▒▓о б│де▓ озна╖а▓╝, ╖▓о ва╕е поле ▒▓ало
▓аким мален╝ким, ╖▓о мне в л╛бом ▒л│╖ае п░иде▓▒┐ и▒пол╝зова▓╝ кван▓ов│╛ ме╡аник│, и в╗ пол│╖ае▓е неве░н╗е │░авнени┐, и │ ва▒ неко░░ек▓на┐
зада╖а! Во▓ как ┐ мог б╗ на ╜▓о о▓ве▓и▓╝. По▒кол╝к│ в╗ види▓е, ╖▓о е▒ли
в╗ може▓е ▒ебе п░ед▒▓ави▓╝, ╖▓о ╜лек▓░и╖е▒кое поле в╗╡оди▓ из цкого-▓оч
или ╖его-▓о, наимен╝╕ее, ╖▓о в╗ може▓е пол│╖и▓╝ б│де▓ полн╗м, но видим╗м, в╗ пол│╖и▓е полн╗й ┤о▓он. П░едполагае▓▒┐, ╖▓о дей▒▓ви▓ел╝но
ве░но в неко▓о░ом ▒м╗▒ле, ╖▓о ┤изи╖е▒кий ми░ п░ед▒▓авим ди▒к░е▓н╗м
об░азом, по▒кол╝к│ кажд╗й ░аз, когда в╗ ▓аким об░азом ог░ани╖ен╗, в╗
обна░│живае▓е, ╖▓о ╜к▒пе░имен▓ | ╜▓о ▓о, ╖▓о необ╡одимо, ╖▓об╗ избежа▓╝ ▓ой п░облем╗, ╖▓о возникае▓, когда ╜лек▓░и╖е▒кое поле ▒▓░еми▓▒┐
к н│л╛, или в╗ не може▓е виде▓╝ звезд╗ на оп░еделенном ░а▒▒▓о┐нии,
по▒кол╝к│ поле опи▒╗вае▓▒┐ мен╝╕им ╖и▒лом ╢и┤░, ╖ем ▓о, ко▓о░ое ва╕
ми░ може▓ не▒▓и.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
25
Ри╖а░д П. Фейнман
Department of Austrophysics, South Parks Road,
Oxford OX1 3RQ. U.K.
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ
КОМПЬЮТЕРЫ
Анализи░│╛▓▒┐ ┤изи╖е▒кие ог░ани╖ени┐, наклад╗ваем╗е на ┤│нк╢иони░ование
комп╝╛▓е░ов кван▓овой ме╡аникой.
1. Введение
Э▓а ░або▓а ┐вл┐е▓▒┐ ╖а▒▓╝╛ поп╗▓ки п░оанализи░ова▓╝ ┤изи╖е▒кие
ог░ани╖ени┐, наклад╗ваем╗е на комп╝╛▓е░╗ законами ┤изики. Нап░име░, Бенне▓▓ [1] п░овел ▓╣а▓ел╝ное и▒▒ледование ди▒▒ипа╢ии ▒вободной
╜не░гии, ко▓о░а┐ должна ▒оп░овожда▓╝ в╗╖и▒ление, и на╕ел, ╖▓о она ви░▓│ал╝но ░авна н│л╛. Он по▒▓авил пе░едо мной воп░о▒ об ог░ани╖ени┐╡,
п░ои▒▓ека╛╣и╡ из кван▓овой ме╡аники и п░ин╢ипа неоп░еделенно▒▓и. Я
│▒▓ановил, ╖▓о, к░оме о╖евидного ог░ани╖ени┐ на ░азме░, е▒ли ░або╖ие
╖а▒▓и ▒делан╗ из а▓омов, ▒ ╜▓ой ▓о╖ки з░ени┐ ▓акже не ▒│╣е▒▓в│е▓ никаки╡ ┤│ндамен▓ал╝н╗╡ ог░ани╖ений.
Зде▒╝ м╗ об▒│ждаем идеал╝н╗е ма╕ин╗; ╜┤┤ек▓╗ мал╗╡ не▒ове░╕ен▒▓в б│д│▓ ░а▒▒мо▓░ен╗ позднее. Э▓о и▒▒ледование но▒и▓ п░ин╢ипиал╝н╗й ╡а░ак▓е░; на╕а ╢ел╝ | п░ед║┐ви▓╝ неко▓о░╗й гамил╝▓ониан дл┐
▒и▒▓ем╗, ко▓о░а┐ могла б╗ ▒л│жи▓╝ в ка╖е▒▓ве комп╝╛▓е░а. М╗ не забо▓им▒┐ о ▓ом, ┐вл┐е▓▒┐ ли данна┐ ▒и▒▓ема наиболее ╜┤┤ек▓ивной, или о
▓ом, как наил│╖╕им об░азом вопло▓и▓╝ ее.
Так как закон╗ кван▓овой ┤изики об░а▓им╗ по в░емени, ▓о м╗ должн╗ ░а▒▒ма▓░ива▓╝ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ма╕ин╗, ко▓о░╗е под╖ин┐╛▓▒┐ ▓аким об░а▓им╗м законам. Указанна┐ п░облема │же возникала │ Бенне▓а [1], а ▓акже │ Ф░едкина и То┤┤оли [2], и на ╜▓│ ▓ем│ б╗ло в╗▒казано
много м╗▒лей. По▒кол╝к│ не в▒е мог│▓ б╗▓╝ знаком╗ ▒ ╜▓им, ┐ дам обзо░
▒деланного и п░и ╜▓ом во▒пол╝з│╛▒╝ возможно▒▓╝╛ п░иве▒▓и о╖ен╝ к░а▓ко в╗вод╗ Бенне▓а, ▓ак как м╗ под▓ве░дим и╡ полно▒▓╝╛, когда б│дем
анализи░ова▓╝ на╕│ кван▓ов│╛ ▒и▒▓ем│.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
1
Ри╖а░д П. Фейнман
Как изве▒▓но, │ниве░▒ал╝н╗й комп╝╛▓е░ може▓ б╗▓╝ ░еализован как
▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ ▒ложна┐ ▒е▓╝ взаимо▒в┐занн╗╡ п░ими▓ивн╗╡ (о▒новн╗╡) ╜лемен▓ов1 . След│┐ об╗╖ном│ кла▒▒и╖е▒ком│ анализ│, м╗ можем
п░ед▒▓авл┐▓╝, ╖▓о взаимо▒в┐зи о▒│╣е▒▓вл┐╛▓▒┐ идеал╝н╗ми п░оводами,
пе░еда╛╣ими одно из дв│╡ ▒▓анда░▓н╗╡ нап░┐жений, п░ед▒▓авл┐╛╣и╡
локал╝но 1 и 0. М╗ можем вз┐▓╝ ▓ол╝ко два п░ими▓ивн╗╡ ╜лемен▓а |
NOT и AND (в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и до▒▓а▓о╖но ▓ол╝ко одного ╜лемен▓а
NAND = NOT AND, по▒кол╝к│, е▒ли один в╡од │▒▓ановлен на 1, ▓о в╗╡одом ┐вл┐е▓▒┐ NOT о▓ д░│гого в╡ода). Символи╖е▒ки п░ими▓ивн╗е ╜лемен▓╗ изоб░ажен╗ на ░и▒. 1, где ▓акже п░иведен╗ логи╖е▒кие зна╖ени┐
на в╗╡оде в зави▒имо▒▓и о▓ в╡одн╗╡ зна╖ений.
;
Ри▒. 1. П░ими▓ивн╗е ╜лемен▓╗
С логи╖е▒кой ▓о╖ки з░ени┐ м╗ должн╗ ░а▒▒ма▓░ива▓╝ п░овода де▓ал╝н╗м об░азом, по▒кол╝к│ в д░│ги╡ ▒и▒▓ема╡, и в на╕и╡ кван▓ов╗╡
▒и▒▓ема╡ о▒обенно, │ на▒ може▓ не б╗▓╝ ▓аки╡ п░оводов. Заме▓им, ╖▓о
в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и │ на▒ е▒▓╝ е╣е два логи╖е▒ки╡ п░ими▓ивн╗╡ ╜лемен▓а | FAN OUT, когда два п░овода ▒оедин┐╛▓▒┐ в один, и EXCHANGE,
когда п░овода пе░е▒ека╛▓▒┐. В об╗╖ном комп╝╛▓е░е NOT и NAND ╜лемен▓╗ о▒│╣е▒▓вл┐╛▓▒┐ ▓░анзи▒▓о░ами, нап░име░, как показано на ░и▒. 2.
Какова минимал╝на┐ ▒вободна┐ ╜не░ги┐, ко▓о░а┐ должна ░а▒╡одова▓╝▒┐, ╖▓об╗ дей▒▓вовал идеал╝н╗й комп╝╛▓е░, ▒деланн╗й из ▓аки╡
п░ими▓ивн╗╡ ╜лемен▓ов? Нап░име░, когда дей▒▓в│е▓ AND, в╗╡од┐╣а┐
лини┐ c0 п░инимае▓ одно из дв│╡ зна╖ений и п░и ╜▓ом неважно, ╖▓о б╗ло
до ╜▓ого, ╜н▓░опи┐ измен┐е▓▒┐ на ln 2 едини╢╗. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о в╗дел┐е▓▒┐ kT ln 2 едини╢ ▓епло▓╗ п░и ▓емпе░а▓│░е T. В ▓е╖ение многи╡ ле▓
╜▓о зна╖ение ░а▒▒ма▓░ивало▒╝ как аб▒ол╛▓н╗й миним│м коли╖е▒▓ва ▓епло▓╗, ко▓о░ое должно ди▒▒ипи░ова▓╝▒┐ на п░ими▓ивном ╕аге в п░о╢е▒▒е
в╗╖и▒лений.
1
2
В на▒▓о┐╣ее в░ем┐ дл┐ ни╡ п░ин┐▓ ▓е░мин гей▓ (gate). (П░име╖ание пе░евод╖ика.)
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
;
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
Ри▒. 2. Т░анзи▒▓о░н╗е ╢епи дл┐ NOT и NAND
В на▒▓о┐╣ее в░ем┐ ╜▓о воп░о▒ ┐вл┐е▓▒┐ академи╖е▒ким. В ░еал╝н╗╡
ма╕ина╡ м╗ до▒▓а▓о╖но обе▒покоен╗ п░облемой ди▒▒ипа╢ии ▓епло▓╗, но
и▒пол╝з│ема┐ ▓░анзи▒▓о░на┐ ▒и▒▓ема в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и ди▒▒ипи░│е▓
около 1010 kT ▓епло▓╗! Как в╗┐▒нил Бенне▓, ╜▓о пол│╖ае▓▒┐ из-за ▓ого,
╖▓о дл┐ изменени┐ нап░┐жени┐ п░овода м╗ ▒на╖ала заземл┐ем его ╖е░ез
▒оп░о▓ивление, а за▓ем, оп┐▓╝ ╖е░ез ▒оп░о▓ивление, за░┐жаем его. По▓е░и ╜не░гии можно б╗ло б╗ зна╖и▓ел╝но ▒низи▓╝, е▒ли б╗ ╜не░ги┐ могла
запа▒а▓╝▒┐ на инд│к▓ивно▒▓и или каком-▓о д░│гом ░еак▓ивном ╜лемен▓е.
Однако, о╖евидно, ╖▓о п░и ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ▓е╡нологи┐╡ о╖ен╝ ▓░│дно
▒дела▓╝ инд│к▓ивн╗е ╜лемен▓╗ на ▒иликонов╗╡ обла▓ка╡. Даже П░и░ода
▒ ее ДНК-копи░овал╝ной ма╕иной ди▒▒ипи░│е▓ около 100kT ▓епло▓╗ на
кажд╗й копи░│ем╗й би▓. С │╖е▓ом ▓ого, ╖▓о в на▒▓о┐╣ее в░ем┐ м╗ на╡одим▒┐ ▓ак далеко о▓ ╜▓ого ╖и▒ла kT ln 2, може▓ показа▓╝▒┐ нелеп╗м доказ╗ва▓╝, ╖▓о даже ╜▓о зна╖ение ▒ли╕ком велико и на▒▓о┐╣им миним│мом
в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и ┐вл┐е▓▒┐ н│л╝. Но м╗ наме░ен╗ б╗▓╝ впо▒лед▒▓вии
е╣е более нелеп╗ми и ░а▒▒ма▓░ива▓╝ би▓╗, запи▒анн╗е на одном а▓оме,
вме▒▓о и▒пол╝з│ем╗╡ в на▒▓о┐╣ее в░ем┐ 1011 а▓омов. Така┐ нелепо▒▓╝
ве▒╝ма занима▓ел╝на дл┐ п░о┤е▒▒о░ов, подобн╗╡ мне. Я наде╛▒╝, ╖▓о в╗
▓акже найде▓е ее ин▓е░е▒ной и занима▓ел╝ной.
Бенне▓ в╗┐▒нил, ╖▓о п░ежний п░едел б╗л неве░н╗м, по▓ом│, ╖▓о не▓
необ╡одимо▒▓и и▒пол╝зова▓╝ необ░а▓им╗е п░ими▓ивн╗е ╜лемен▓╗. В╗╖и▒лени┐ мог│▓ б╗▓╝ п░оделан╗ об░а▓им╗ми ма╕инами, ▒оде░жа╣ими
▓ол╝ко об░а▓им╗е п░ими▓ивн╗е ╜лемен▓╗. В ╜▓ом ▒л│╖ае минимал╝на┐
▓░еб│ема┐ ▒вободна┐ ╜не░ги┐ не зави▒и▓ о▓ ▒ложно▒▓и или ╖и▒ла логи╖е▒ки╡ ╕агов в в╗╖и▒лении. Е▒ли ╡о▓и▓е, она ▒о▒▓авл┐е▓ kT на би▓ о▓ве▓а
на в╗╡оде.
Но даже ▓о, ╖▓о могло б╗ ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ как ▒вободна┐ ╜не░ги┐,
необ╡одима┐ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ о╖и▒▓и▓╝ комп╝╛▓е░ дл┐ дал╝ней╕его и▒пол╝зовани┐, могло б╗ ▓акже ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ как ╖а▒▓╝ ▓ого, ╖▓о в╗
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
3
Ри╖а░д П. Фейнман
▒оби░ае▓е▒╝ дела▓╝ ▒ о▓ве▓ом, в ░ез│л╝▓а▓е | ▒ ин┤о░ма╢ией, е▒ли в╗
пе░едае▓е ее в д░│г│╛ ▓о╖к│. Э▓о | п░едел, до▒▓ижим╗й ▓ол╝ко идеал╝но, е▒ли в╗ в╗╖и▒л┐е▓е на об░а▓имом комп╝╛▓е░е ▒ бе▒коне╖но малой
▒ко░о▒▓╝╛.
2. В╗╖и▒ление на об░а▓имой ма╕ине
Сей╖а▒ м╗ опи╕ем ▓░и об░а▓им╗╡ п░ими▓ивн╗╡ ╜лемен▓а, ко▓о░╗е
мог│▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован╗ дл┐ ▒оздани┐ │ниве░▒ал╝ной ма╕ин╗ (То┤┤оли [4]). Пе░в╗й из ни╡ | ╜▓о NOT, ко▓о░╗й, о╖евидно, не ▓е░┐е▓ ин┤о░ма╢ии и ┐вл┐е▓▒┐ об░а▓им╗м, об░а╣ение до▒▓игае▓▒┐ пов▓о░н╗м дей▒▓вием NOT. Так как п░ин┐▓╗й ▒имвол не ▒имме▓░и╖ен, вме▒▓о него м╗
б│дем и▒пол╝зова▓╝ X на п░оводе (▒м. ░и▒. 3a).
;
Ри▒. 3. Об░а▓им╗е п░ими▓ивн╗е ╜лемен▓╗
След│╛╣им ┐вл┐е▓▒┐ ╜лемен▓, ко▓о░╗й м╗ б│дем наз╗ва▓╝ CONTROLLED NOT (кон▓░оли░│ем╗й не▓) (▒м. ░и▒. 3b). Зде▒╝ име╛▓▒┐ две
в╡од┐╣ие линии a и b и две в╗╡од┐╣ие | a0 и b0 . a0 | в▒егда ▓о же ▒амое,
╖▓о и a, ко▓о░а┐ ▒л│жи▓ кон▓░ол╝ной линией. Е▒ли кон▓░ол╝на┐ лини┐
ак▓иви░ована (a = 1), ▓огда в╗╡од b0 е▒▓╝ NOT о▓ b. В п░о▓ивном ▒л│╖ае
b не мен┐е▓▒┐ b0 = b. Табли╢а зна╖ений дл┐ в╡ода и в╗╡ода п░иведена
на ░и▒. 3. Дей▒▓вие об░а╣ае▓▒┐ п░о▒▓╗м ▒воим пов▓о░ением.
Вели╖ина b0 на ▒амом деле ┐вл┐е▓▒┐ ▒имме▓░и╖ной ┤│нк╢ией a и b,
ко▓о░а┐ наз╗вае▓▒┐ XOR (и▒кл╛╖а╛╣ее или) a или b, но не оба. Э▓а опе░а╢и┐ подобна ▒│мми░овани╛ a и b по мод│л╛ 2. Она може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зована дл┐ ▒░авнени┐ a и b, дава┐ 1 как ▒игнал, ╖▓о они ░азли╖н╗.
4
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
Пожал│й▒▓а, заме▓╝▓е, ╖▓о ╜▓а ┤│нк╢и┐ XOR ▒ама по ▒ебе не ┐вл┐е▓▒┐
об░а▓имой. Нап░име░, е▒ли пол│╖и▓▒┐ зна╖ение 0, м╗ не можем ▒каза▓╝,
пол│╖ило▒╝ ли оно о▓ (a; b) = (0; 0) или о▓ (1; 1), но м╗ ▒о╡░ан┐ем д░│г│╛
лини╛ a0 = a дл┐ │▒▓░анени┐ неоп░еделенно▒▓и.
М╗ б│дем п░ед▒▓авл┐▓╝ CONTROLLED NOT, поме╣а┐ 0 на кон▓░ол╝н│╛ лини╛, ▒в┐занн│╛ ве░▓икал╝ной линией ▒ X на п░оводе, ко▓о░╗й кон▓░оли░│е▓▒┐.
Данн╗й ╜лемен▓ може▓ ▓акже обе▒пе╖и▓╝ на▒ опе░а╢ией FAN OUT,
▓ак как, е▒ли b = 0, м╗ видим, ╖▓о a копи░│е▓▒┐ на лини╛ b0. Э▓а ┤│нк╢и┐ COPY б│де▓ важна позднее. Э▓о▓ ╜лемен▓ ▓акже обе▒пе╖ивае▓ на▒
опе░а╢ией EXCHANGE, ▓ак как ▓░и ▓аки╡ ╜лемен▓а, п░имененн╗╡ по▒ледова▓ел╝но на па░е линей, но ▒ ╖е░ед│╛╣им▒┐ в╗бо░ом кон▓░ол╝ной
линии, ▒ове░╕а╛▓ обмен ин┤о░ма╢ии на лини┐╡ (░и▒. 3b).
Оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о комбина╢ии ▓ол╝ко ╜▓и╡ дв│╡ ╜лемен▓ов недо▒▓а▓о╖н╗ дл┐ в╗полнени┐ п░оизвол╝н╗╡ логи╖е▒ки╡ ┤│нк╢ий. Необ╡одим
неко▓о░╗й ╜лемен▓, вкл╛╖а╛╣ий ▓░и линии. М╗ в╗б░али ▓о▓, ко▓о░╗й
можно назва▓╝ CONTROLLED CONTROLLED NOT (кон▓░оли░│ем╗й
кон▓░оли░│ем╗й не▓). Зде▒╝ (▒м. ░и▒. 3c) │ на▒ е▒▓╝ две кон▓░ол╝н╗е линии a; b, ко▓о░╗е о▒▓а╛▓▒┐ неизменн╗ми на в╗╡оде и ко▓о░╗е измен┐╛▓
▓░е▓╝╛ лини╛ ▒ c на NOT c, ▓ол╝ко е▒ли обе линии ак▓иви░ован╗ (a = 1
и b = 1). В п░о▓ивном ▒л│╖ае c0 = c. Е▒ли на в╡оде ▓░е▓╝ей линии 0, ▓о,
о╖евидно, c0 = 1, ▓ол╝ко е▒ли a = 1 и b = 1, ▓ем ▒ам╗м м╗ пол│╖аем
┤│нк╢и╛ AND (▒м. ▓абли??│ 1).
Табли╢а 1.
a b c a' b' c'
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 0
Т░и комбина╢ии дл┐ (a; b), а именно, (0, 0), (0, 1) и (1, 0), в▒е п░ивод┐▓ к одном│ и ▓ом│ же зна╖ени╛ 0 ┤│нк╢ии AND (a; b), ▒ледова▓ел╝но,
дл┐ │▒▓░анени┐ неоднозна╖но▒▓и ▓░еб│е▓▒┐ два би▓а. Они ▒о╡░ан┐╛▓▒┐
на лини┐╡ a; b на в╗╡оде, по╜▓ом│ ╜▓а ┤│нк╢и┐ може▓ б╗▓╝ об░а╣ена
(пов▓о░н╗м дей▒▓вием ее ▒амой). Ф│нк╢и┐ AND ┐вл┐е▓▒┐ пе░ено▒╖иком
би▓а дл┐ ▒│мм╗ a и b.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
5
Ри╖а░д П. Фейнман
Изве▒▓но, ╖▓о из комбина╢ии ╜▓и╡ ╜лемен▓ов може▓ б╗▓╝ ▒о▒▓авлена л╛ба┐ логи╖е▒ка┐ ▒╡ема, а в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и и показано,
╖▓о може▓ б╗▓╝ ▒делан │ниве░▒ал╝н╗й комп╝╛▓е░. М╗ п░оилл╛▒▓░и░│ем ╜▓о небол╝╕им п░име░ом. Во-пе░в╗╡, коне╖но, как в╗ види▓е
на ░и▒. 4, м╗ можем ▒дела▓╝ ▒│мма▓о░, и▒пол╝з│┐ по▒ледова▓ел╝но ▒на╖ала CONTROLLED CONTROLLED NOT, а за▓ем CONTROLLED NOT.
Из a, b и 0 на в╡од┐╣и╡ лини┐╡ на в╗╡оде пол│╖а▓▒┐ пе░вона╖ал╝ное a на
одной линии, ▒│мма на в▓о░ой и пе░ено▒ на ▓░е▓╝ей.
;
Ри▒. 4. С│мма▓о░
Более ▒ложна┐ ▒╡ема | полн╗й ▒│мма▓о░ (▒м. ░и▒. 5), ко▓о░╗й бе░е▓
пе░ено▒ c (о▓ неко▓о░ого п░ед╗д│╣его ▒│мми░овани┐) и ▒клад╗вае▓ его
▒ дв│м┐ лини┐ми a и b, а к░оме ▓ого, ▒оде░жи▓ дополни▓ел╝н│╛ лини╛ d
▒ 0 на в╡оде. Э▓а ▒╡ема ▓░еб│е▓ ▒о▒▓авлени┐ вме▒▓е ╖е▓╗░е╡ п░ими▓ивн╗╡ ╜лемен▓ов. Помимо полной ▒│мм╗ ▓░е╡ линий a, b и c и пе░ено▒а, м╗
пол│╖аем е╣е два ▒ооб╣ени┐ на дв│╡ д░│ги╡ лини┐╡. Одним из ни╡ ┐вл┐е▓▒┐ a, ▒ ко▓о░ого м╗ на╖инали, а д░│гое | ╜▓о неко▓о░а┐ п░омеж│▓о╖на┐
вели╖ина, ко▓о░│╛ м╗ в╗╖и▒лили по до░оге.
;
Ри▒. 5. Полн╗й ▒│мма▓о░
Э▓о ▓ипи╖но дл┐ ▓аки╡ об░а▓им╗╡ ▒и▒▓ем; они п░оизвод┐▓ не ▓ол╝ко ▓о, ╖▓о в╗ ╡о▓и▓е пол│╖и▓╝ на в╗╡оде, но и оп░еделенное коли╖е▒▓во
м│▒о░а. В ╜▓ом конк░е▓ном ▒л│╖ае и, как оказ╗вае▓▒┐, во в▒е╡ ▒л│╖а┐╡ в
дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и м│▒о░ може▓ б╗▓╝ ▒веден в ▓о╖но▒▓и к ▓ом│, ╖▓о имее▓▒┐ на в╡оде, е▒ли б╗ ▓ол╝ко м╗ добавили дополни▓ел╝ное CONTROLLED
NOT на пе░в╗е две линии, как показано п│нк▓и░н╗ми лини┐ми на ░и▒. 5;
м╗ видим, ╖▓о м│▒о░ ▒▓ал б╗ a и b, ╖▓о ┐вл┐е▓▒┐ в╡одом по мен╝╕ей ме6
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
░е дв│╡ линий. (М╗ знаем, ╖▓о ╜▓а ▒╡ема може▓ б╗▓╝ │п░о╣ена, но м╗
делаем ее ▓акой дл┐ илл╛▒▓░а▓ивн╗╡ ╢елей.)
Таким ▒по▒обом, п│▓ем ░азли╖н╗╡ комбина╢ий м╗ можем ▒озда▓╝
▒ам╗й об╣ий логи╖е▒кий блок, ко▓о░╗й п░еоб░аз│е▓ n би▓ов в n би▓ов
об░а▓им╗м об░азом. Е▒ли зада╖а, ко▓о░│╛ м╗ п╗▓аем▒┐ ░е╕и▓╝, ▒ама по
▒ебе об░а▓има, ▓огда може▓ не б╗▓╝ дополни▓ел╝ного м│▒о░а, но в об╣ем
▒л│╖ае необ╡одим╗ неко▓о░╗е дополни▓ел╝н╗е линии дл┐ ▒о╡░анени┐ ин┤о░ма╢ии, ко▓о░а┐ вам по▓░еб│е▓▒┐ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ име▓╝ возможно▒▓╝
об░а▓и▓╝ опе░а╢и╛. Д░│гими ▒ловами, м╗ можем пол│╖и▓╝ зна╖ени┐ л╛бой ┤│нк╢ии, ╖▓о може▓ об╗╖на┐ ▒и▒▓ема, пл╛▒ м│▒о░. М│▒о░ ▒оде░жи▓
ин┤о░ма╢и╛, необ╡одим│╛ дл┐ об░а╣ени┐ п░о╢е▒▒а.
А какова вели╖ина м│▒о░а? В об╣ем ▒л│╖ае оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о, е▒ли и▒ком╗е в╗╡одн╗е данн╗е ▒оде░жа▓ k би▓ов, ▓о, на╖ав ▒ неко▓о░╗╡ в╡одн╗╡
данн╗╡ и k би▓ов, ▒оде░жа╣и╡ 0, м╗ можем пол│╖и▓╝ в ка╖е▒▓ве ░ез│л╝▓а▓а ▓ол╝ко в╡одн│╛ и в╗╡одн│╛ ин┤о░ма╢и╛, и никакого м│▒о░а. Э▓а
п░о╢ед│░а об░а▓има, по▓ом│, ╖▓о знание в╗╡одной и в╡одной ин┤о░ма╢ии
позвол┐е▓, ░аз│мее▓▒┐, анн│ли░ова▓╝ в▒е п░оделанн╗е дей▒▓ви┐. Э▓о дело
в▒егда об░а▓имо. А░г│мен▓ в пол╝з│ ╜▓ого п░иведен на ░и▒. 6.
;
Ри▒. 6. Убо░ка м│▒о░а
П░едположим, ╖▓о м╗ на╖инаем ▒ неко▓о░ой ма╕ин╗ M, ко▓о░а┐,
на╖ав ▒ в╡одной ин┤о░ма╢ии и неко▓о░ого бол╝╕ого коли╖е▒▓ва н│лей,
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
7
Ри╖а░д П. Фейнман
п░оизводи▓ желаем╗й в╗╡од пл╛▒ оп░еделенное коли╖е▒▓во дополни▓ел╝ной ин┤о░ма╢ии, ко▓о░│╛ м╗ наз╗ваем м│▒о░ом. Тепе░╝ м╗ видим, ╖▓о
возможна опе░а╢и┐ копи░овани┐, ко▓о░а┐ може▓ б╗▓╝ п░оделана по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛ CONTROLLED NOT, по╜▓ом│, е▒ли пе░вона╖ал╝но │ на▒
е▒▓╝ п│▒▓ой ░еги▒▓░ ▒ k би▓ами дл┐ в╗╡одной ин┤о░ма╢ии, м╗ можем
по▒ле дей▒▓ви┐ п░о╢е▒▒о░а M ▒копи░ова▓╝ в╗╡одн│╛ ин┤о░ма╢и╛ из M
на ╜▓о▓ нов╗й ░еги▒▓░.
По▒ле ╜▓ого м╗ можем по▒▓░ои▓╝ об░а▓н│╛ ма╕ин│ M наобо░о▓,
ко▓о░а┐ воз╝ме▓ ╜▓│ в╗╡одн│╛ ин┤о░ма╢и╛ о▓ M и м│▒о░ и пе░еведе▓
и╡ во в╡одн│╛ ин┤о░ма╢и╛ и н│ли. Таким об░азом, в▒е ╜▓о, ░а▒▒ма▓░иваемое как об╣а┐ ма╕ина, на╖инае▓ ▒ k н│лей ░еги▒▓░а дл┐ в╗╡одной
ин┤о░ма╢ии и в╡одн╗╡ данн╗╡, а пол│╖ае▓ в кон╢е в ка╖е▒▓ве ░ез│л╝▓а▓а ╜▓и k н│лей, зан┐▓╗е в╗╡одной ин┤о░ма╢ией, и пов▓о░ение в╡одн╗╡
данн╗╡. Э▓о ╖и▒ло н│лей, ко▓о░ое пе░вона╖ал╝но необ╡одимо в M ма╕ине
дл┐ ▒о╡░анени┐ м│▒о░а, во▒▒▓анавливае▓▒┐ оп┐▓╝ к н│л┐м и може▓ ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ как вн│▓░енние ▒оединени┐ вн│▓░и полной ма╕ин╗ (M; M
и копи░ование).
В об╣ем и ╢елом в ▓аком ▒л│╖ае м╗ заве░╕или ▓о, ╖▓о наме░евали▒╝
▒дела▓╝, и м│▒о░ никогда не должен б╗▓╝ бол╝╕е, ╖ем пов▓о░ение в╡одн╗╡
данн╗╡.
3. Кван▓овоме╡ани╖е▒кий комп╝╛▓е░
Ра▒▒мо▓░им ▓епе░╝, как ▓акой комп╝╛▓е░ можно по▒▓░ои▓╝, и▒пол╝з│┐ закон╗ кван▓овой ме╡аники. М╗ ▒оби░аем▒┐ запи▒а▓╝ гамил╝▓ониан дл┐ ▒и▒▓ем╗, ▒о▒▓о┐╣ей из взаимодей▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓ей, ко▓о░а┐ б│де▓ ве▒▓и ▒еб┐ в неко▓о░ом ▒м╗▒ле как бол╝╕а┐ ▒и▒▓ема, ▒л│жа╣а┐ │ниве░▒ал╝н╗м комп╝╛▓е░ом. Коне╖но, бол╝╕а┐ ▒и▒▓ема ▓акже под╖ин┐е▓▒┐
кван▓овой ме╡анике, но она взаимодей▒▓в│е▓ ▒ ▓е░мо▒▓а▓ом и д░│гими
ве╣ами, ╖▓о могло б╗ ▒дела▓╝ ее ╜┤┤ек▓ивно необ░а▓имой.
Ч▓о б╗ м╗ ╡о▓ели, ▓ак ╜▓о ▒дела▓╝ комп╝╛▓е░ на▒▓ол╝ко мал╗м и
на▒▓ол╝ко п░о▒▓╗м, на▒кол╝ко ╜▓о возможно. На╕ гамил╝▓ониан б│де▓
де▓ал╝но опи▒╗ва▓╝ в▒е вн│▓░енние в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е дей▒▓ви┐, но, ░аз│мее▓▒┐, не взаимодей▒▓ви┐ ▒ вне╕ней ▒░едой, вкл╛╖а╛╣ие в ▒еб┐ введение в╡одн╗╡ данн╗╡ (п░иго▓овление на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐) и ▒╖и▓╗вание
в╗╡одной ин┤о░ма╢ии.
На▒кол╝ко мал╗м може▓ б╗▓╝ ▓акой комп╝╛▓е░? На▒кол╝ко мал╗м,
нап░име░, може▓ б╗▓╝ ╖и▒ло? Как изве▒▓но, ╖и▒ло може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлено би▓ами, ▒о▒▓о┐╣ими из едини╢ и н│лей. П░ед▒▓авим ▒ебе, ╖▓о │ на▒
8
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
е▒▓╝ дв│╡│░овнев╗е ▒и▒▓ем╗ (▓. е. ▓акие, ко▓о░╗е мог│▓ на╡оди▓╝▒┐ в
одном из дв│╡ ▒о▒▓о┐ний), ко▓о░╗е м╗ б│дем наз╗ва▓╝ ца▓омамич. В ▓аком ▒л│╖ае n-би▓ное ╖и▒ло п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ неко▓о░╗м ▒о▒▓о┐нием ц░еги▒▓░ач | набо░а n дв│╡│░овнев╗╡ ▒и▒▓ем.
О╖евидно, м╗ можем п░ед▒▓ави▓╝ л╛бое ╖и▒ло, поме╣а┐ кажд╗й
а▓ом в одно или д░│гое из его дв│╡ ▒о▒▓о┐ний, ко▓о░╗е м╗ обозна╖им
как j1i и j0i. И ╖и▒ло може▓ б╗▓╝ ▒╖и▓ано ▒ ▓акого ░еги▒▓░а п│▓ем оп░еделени┐ или изме░ени┐, в каком ▒о▒▓о┐нии кажд╗й из а▓омов на╡оди▓▒┐
в данн╗й момен▓. Таким об░азом, один би▓ б│де▓ п░ед▒▓авл┐▓╝▒┐ одним
а▓омом, на╡од┐╣им▒┐ в одном из дв│╡ ▒о▒▓о┐ний, ко▓о░╗е м╗ б│дем наз╗ва▓╝ j1i и j0i.
Дл┐ ▓ого ╖▓об╗ пон┐▓╝, ╖▓о м╗ должн╗ ▒дела▓╝ дал╝╕е, ░а▒▒мо▓░им
один п░име░; а именно п░име░ ╜лемен▓а CONTROLLED CONTROLLED
NOT. П│▒▓╝ G | неко▓о░а┐ опе░а╢и┐ над ▓░ем┐ а▓омами a, b и c, ко▓о░а┐
пе░еводи▓ на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние a, b и c в неко▓о░ое ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ▒о▒▓о┐ние a0 , b0 , c0, ▓акое, ╖▓о ▒в┐з╝ межд│ a0 , b0, c0 и a, b, c ▓акова, как│╛ ▒ледовало б╗ ожида▓╝, е▒ли б╗ a, b, c и a0 , b0, c0 п░ед▒▓авл┐ли, ▒оо▓ве▓▒▓венно, в╡одн╗е и в╗╡одн╗е линии ╜лемен▓а CONTROLLED CONTROLLED
NOT.
Зде▒╝ надо п░ин┐▓╝ во внимание, ╖▓о в данн╗й момен▓ м╗ не п╗▓аем▒┐ пе░еве▒▓и ин┤о░ма╢и╛ ▒ одного ме▒▓а в д░│гое; м╗ как ░аз ▒оби░аем▒┐
измени▓╝ ее. В о▓ли╖ие о▓ ▓ого, ╖▓о имее▓ ме▒▓о в на▒▓о┐╣ем комп╝╛▓е░е, в ко▓о░ом нап░┐жение пе░едае▓▒┐ ▒ одного п░овода на д░│гой, ▓о,
╖▓о м╗ делаем зде▒╝, не╖▓о более п░о▒▓ое | а именно, име┐ ▓░и а▓ома
в неко▓о░ом оп░еделенном ▒о▒▓о┐нии, м╗ п░оизводим опе░а╢и╛, ко▓о░а┐
измен┐е▓ и╡ ▒о▒▓о┐ни┐ на нов╗е a0 , b0, c0 .
В ╜▓ом ▒л│╖ае м╗ имели б╗, ╖▓о ▒о▒▓о┐ние ja0; b0; c0i пол│╖ае▓▒┐ в
░ез│л╝▓а▓е неко▓о░ой опе░а╢ии G над ▒о▒▓о┐нием ja; b; ci. В кван▓овой
ме╡анике опе░а▓о░╗, ко▓о░╗е измен┐╛▓ ▒о▒▓о┐ни┐, ┐вл┐╛▓▒┐ линейн╗ми
опе░а▓о░ами, по╜▓ом│ м╗ п░едположим, ╖▓о G линеен. Таким об░азом, G
е▒▓╝ ма▓░и╢а, и ее ма▓░и╖н╗е ╜лемен▓╗, G
, в▒е ░авн╗ н│л╛,
к░оме ▓е╡, ко▓о░╗е ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ▒о▒▓о┐ни┐м, задаваем╗м ▓абли╢ей 1,
и ко▓о░╗е, о╖евидно, ░авн╗ 1.
Э▓о ▓о же ▒амое, ╖▓о ▓абли╢а до▒▓ове░н╗╡ зна╖ений дл┐ CONTROLLED CONTROLLED NOT. О╖евидно, ╖▓о ╜▓а опе░а╢и┐ об░а▓има,
╖▓о може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлено ┤о░м│лой G G = 1, где озна╖ае▓ ╜░ми▓ово ▒оп░┐жение. То е▒▓╝, G | │ни▓а░на┐ ма▓░и╢а. (В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и G
┐вл┐е▓▒┐ ве╣е▒▓венной ма▓░и╢ей G = G, но ╜▓о ▓ол╝ко в данном ▒л│╖ае.)
Дл┐ бол╝╕ей оп░еделенно▒▓и ма▓░и╢│ дл┐ данного G б│дем запи▒╗ва▓╝
a0 ; b0 ; c0 ; a; b; c
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
9
Ри╖а░д П. Фейнман
как A . М╗ б│дем и▒пол╝зова▓╝ ▓о же обозна╖ение A ▒ ░азн╗м ╖и▒лом
индек▒ов дл┐ ма▓░и╢, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ д░│гим п░ими▓ивн╗м ╜лемен▓ам.
Дл┐ п░о▒▓ого п░име░а, NOT, ко▓о░╗й б│дем п░ед▒▓авл┐▓╝ опе░а▓о░ом A , ма▓░и╢а имее▓ вид
0 1 :
1 0
Э▓о ма▓░и╢а 2 2, ко▓о░а┐ може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлена ░азн╗ми ▒по▒обами,
в ░азн╗╡ обозна╖ени┐╡, м╗ избе░ем ▓о▓, ко▓о░╗й о▒нован на ме▓оде опе░а▓о░ов ░ождени┐ и │ни╖▓ожени┐. Ра▒▒мо▓░им в ╜▓ом ▒л│╖ае дей▒▓ви┐
на одн│ лини╛ a. И▒пол╝з│┐ ▓│ же б│кв│, обозна╖им ╖е░ез a ма▓░и╢│
0
1
a= 0 0 ;
ко▓о░а┐ │ни╖▓ожае▓ 1 на а▓оме a, п░ев░а╣а┐ ее в 0; д░│гими ▒ловами,
a е▒▓╝ опе░а▓о░, ко▓о░╗й пе░еводи▓ ▒о▒▓о┐ние j1i в ▒о▒▓о┐ние j0i. Но
е▒ли а▓ом б╗л пе░вона╖ал╝но в ▒о▒▓о┐нии j0i, ▓о опе░а▓о░ a дае▓ ╖и▒ло 0.
То е▒▓╝ он не мен┐е▓ ▒о▒▓о┐ние, он п░о▒▓о дае▓ ╖и▒ленное зна╖ение 0,
дей▒▓в│┐ на ╜▓о ▒о▒▓о┐ние. Соп░┐женн╗м ем│, о╖евидно, ┐вл┐е▓▒┐
0
0
a = 1 0 ;
ко▓о░╗й е▒▓╝ опе░а▓о░ ░ождени┐, в ▓ом ▒м╗▒ле, ╖▓о, дей▒▓в│┐ на ▒о▒▓о┐ние j0i, он пе░еводи▓ его в ▒о▒▓о┐ние j1i. Дей▒▓в│┐ на ▒о▒▓о┐ние j1i, по▒кол╝к│ не ▒│╣е▒▓в│е▓ дал╝ней╕и╡ ▒о▒▓о┐ний, ко▓о░╗е можно ▒озда▓╝,
он дае▓ ╖и▒ловое зна╖ение 0. Л╛бой д░│гой 2 2 ма▓░и╖н╗й опе░а▓о░ може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен в ▓е░мина╡ ╜▓и╡ a и a. Нап░име░, п░оизведение
a a ░авно ма▓░и╢е
1
0
a a= 0 0 ;
ab;c
a
ко▓о░│╛ можно назва▓╝ N . Она дае▓ 1, дей▒▓в│┐ на ▒о▒▓о┐ние j1i, и 0,
дей▒▓в│┐ на ▒о▒▓о┐ние j0i, или, д░│гими ▒ловами, номе░ ▒о▒▓о┐ни┐, в ко▓о░ом на╡оди▓▒┐ а▓ом. Аналоги╖но п░оизведение
0
0
aa = 0 1
a
10
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
е▒▓╝ 1 ; N , дае▓ 0 дл┐ ве░╡него ▒о▒▓о┐ни┐ и 1 дл┐ нижнего. Б│дем и▒пол╝зова▓╝ 1 дл┐ обозна╖ени┐ диагонал╝ной ма▓░и╢╗
1 0
0 1
Из ▒казанного в╗╕е ▒лед│е▓, ╖▓о a a + a a = 1 :
О╖евидно ▓епе░╝, ╖▓о на╕а ма▓░и╢а дл┐ NOT, опе░а▓о░, ко▓о░╗й п░оизводи▓ NOT, е▒▓╝ A = a + a , и далее, ▓о, ╖▓о он ┐вл┐е▓▒┐ об░а▓им╗м
и │ни▓а░н╗м A A = 1.
Подобн╗м об░азом може▓ б╗▓╝ пол│╖ена и ма▓░и╢а A дл┐
CONTROLLED NOT. Е▒ли в╗ по▒мо▓░и▓е на ▓абли╢│ зна╖ений CONTROLLED NOT, ▓о │види▓е, ╖▓о она може▓ б╗▓╝ запи▒ана ▒лед│╛╣им
об░азом:
a a (b + b ) + a a :
В пе░вом ▒лагаемом a a в╗дел┐е▓ │▒ловие, ╖▓о лини┐ a = 1, в ╜▓ом ▒л│╖ае
м╗ ╡о▓им, ╖▓об╗ b+b, NOT, п░имен┐ло▒╝ к b. В▓о░ое ▒лагаемое в╗дел┐е▓
│▒ловие ▓ого, ╖▓о лини┐ a ░авна 0; в ╜▓ом ▒л│╖ае м╗ не ╡о▓им, ╖▓об╗ ╖▓о▓о дей▒▓вовало на b, ▓. е. под░аз│мевае▓▒┐, ╖▓о на b дей▒▓в│е▓ едини╖на┐
ма▓░и╢а. Э▓о може▓ б╗▓╝ ▓акже запи▒ано как
1 + a a (b + b ; 1) :
Зде▒╝ 1 ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▓ом│, ╖▓о в▒е линии п░о╡од┐▓ без изменений, но в
▒л│╖ае a = 1 м╗ ╡о▓ели б╗ и▒п░ави▓╝ ╜▓о, поме▒▓ив NOT вме▒▓о ▓ого,
╖▓об╗ о▒▓ави▓╝ лини╛ b без изменени┐.
Как, возможно, в╗ │же заме▓или, ма▓░и╢а дл┐ CONTROLLED
CONTROLLED NOT имее▓ вид
A = 1 + a a b b (c + c ; 1) :
След│╛╣ий воп░о▒ | как в╗гл┐ди▓ ма▓░и╢а дл┐ логи╖е▒кого блока об╣его вида, ко▓о░╗й ▒о▒▓ои▓ из по▒ледова▓ел╝но▒▓и п░ими▓ивн╗╡
╜лемен▓ов. В ка╖е▒▓ве п░име░а ░а▒▒мо▓░им ▒л│╖ай полного ▒│мма▓о░а,
ко▓о░╗й б╗л опи▒ан ░ан╝╕е (▒м. ░и▒. 5). Тепе░╝ │ на▒ б│де▓ в об╣ем
▒л│╖ае ╖е▓╗░е п░овода, п░ед▒▓авл┐ем╗╡ как a; b; c и d; необ┐за▓ел╝но полага▓╝ d ░авн╗м 0 во в▒е╡ ▒л│╖а┐╡, и м╗ ╡о▓ели б╗ опи▒а▓╝, как об║ек▓
дей▒▓в│е▓ в об╣ем ▒л│╖ае (е▒ли d ▒▓анови▓▒┐ ░авн╗м 1, ▓о d0 пол│╖ае▓▒┐
дей▒▓вием на него NOT). В ░ез│л╝▓а▓е пол│╖а▓▒┐ нов╗е ╖и▒ла a0; b0; c0
и d0 ; и м╗ могли б╗ п░ед▒▓ави▓╝ ▒ебе на╕│ ▒и▒▓ем│ как ▒о▒▓о┐╣│╛ из
╖е▓╗░е╡ а▓омов a; b; c; d, на╡од┐╣и╡▒┐ в ▒о▒▓о┐нии ja; b; c; di. Ма▓░и╢а
a
a
a
a
a; b
ab; c
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
11
Ри╖а░д П. Фейнман
M дей▒▓в│е▓, измен┐┐ ╜▓и ▒ам╗е ╖е▓╗░е а▓ома ▓ак, ╖▓о они оказ╗ва╛▓▒┐
в ▒о▒▓о┐нии ja0; b0; c0; d0i, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ем ╜▓ом│ логи╖е▒ком│ блок│. То
е▒▓╝, е▒ли j in i п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой в╡од┐╣ее ▒о▒▓о┐ние ╖е▓╗░е╡ би▓ов, ▓о
M | ма▓░и╢а, ко▓о░а┐ гене░и░│е▓ в╗╡од┐╣ее ▒о▒▓о┐ние j out i = M j ini
дл┐ ╜▓и╡ ╖е▓╗░е╡ би▓ов.
Нап░име░, е▒ли в╡од┐╣ее ▒о▒▓о┐ние б╗ло б╗ j1; 0; 1; 0i, ▓о, как м╗
знаем, в╗╡од┐╣ее ▒о▒▓о┐ние должно б╗▓╝ j1; 0; 0; 1i; пе░в╗е два, a0, b0,
должн╗ б╗▓╝ 1, 0, ▓ак как ╜▓и две пе░в╗е линии п░о╡од┐▓ без изменений,
а по▒ледние две, c0 , d0 ; должн╗ б╗▓╝ 0, 1 по▓ом│, ╖▓о они п░ед▒▓авл┐╛▓ ▒│мм│ и пе░ено▒ пе░в╗╡ ▓░е╡ би▓ов, a; b; c, в на╖ал╝ном в╡оде, ▓ак
как d = 0. Тепе░╝ ма▓░и╢а M дл┐ ▒│мма▓о░а може▓ ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ как
░ез│л╝▓а▓ п┐▓и по▒ледова▓ел╝н╗╡ п░ими▓ивн╗╡ опе░а╢ий, и, ▓аким об░азом, ┐вл┐е▓▒┐ ма▓░и╖н╗м п░оизведением п┐▓и ▒лед│╛╣и╡ одна за д░│гой
ма▓░и╢, п░ед▒▓авл┐╛╣и╡ ╜▓и п░ими▓ивн╗е об║ек▓╗:
M =A A A A A :
Пе░вой ма▓░и╢ей, к░айней п░авой, ┐вл┐е▓▒┐ A , ▓ак как она п░ед▒▓авл┐е▓ CONTROLLED CONTROLLED NOT, в ко▓о░ом a и b ▒л│жа▓ кон▓░ол╝н╗ми лини┐ми, а NOT по┐вл┐е▓▒┐ на линии d. Взгл┐н│в
на диаг░амм│ на ░и▒. 5, м╗ немедленно │видим, ╖ем│ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓
д░│гие множи▓ели. Нап░име░, по▒ледний множи▓ел╝ A п░ед▒▓авл┐е▓
CONTROLLED NOT ▒ кон▓░ол╝ной линией a и NOT на линии b. Э▓а
ма▓░и╢а обладае▓ ▒вой▒▓вом │ни▓а░но▒▓и, M M = 1, ▓ак как ┐вл┐е▓▒┐
п░оизведением │ни▓а░н╗╡ ма▓░и╢ A. То е▒▓╝ M | об░а▓има┐ опе░а╢и┐
и M | ее об░а▓на┐.
На╕а главна┐ зада╖а, ▓аким об░азом, закл╛╖ае▓▒┐ в ▒лед│╛╣ем.
П│▒▓╝ A1 ; : : : ; A | по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▓░еб│ем╗╡ в неко▓о░ом логи╖е▒ком блоке опе░а╢ий, дей▒▓в│╛╣и╡ на n линий. Ма▓░и╢а 2 2 M, ▓░еб│ема┐ дл┐ в╗полнени┐ ▓ой же ╢ели, е▒▓╝ п░оизведение A ; : : : ; A1 , где
A | неко▓о░а┐ п░о▒▓а┐ ма▓░и╢а. Как м╗ можем во▒п░оизве▒▓и ╜▓│ ма▓░и╢│ ┤изи╖е▒ки, е▒ли м╗ знаем, как ▒дела▓╝ более п░о▒▓╗е ╜лемен▓╗?
В об╣ем ▒л│╖ае в кван▓овой ме╡анике дл┐ ▒и▒▓ем╗ ▒ гамил╝▓онианом H ▒о▒▓о┐ние на в╗╡оде в момен▓ в░емени t е▒▓╝ e in, где in |
▒о▒▓о┐ние на в╡оде. Поп╗▓ка най▓и дл┐ неко▓о░ого данного конк░е▓ного
в░емени t гамил╝▓ониан, ко▓о░╗й п░иводил б╗ к M = e , где M | ▓акое
п░оизведение некомм│▓и░│╛╣и╡ ма▓░и╢, и▒╡од┐ из неко▓о░ого п░о▒▓ого
▒вой▒▓ва ╜▓и╡ ма▓░и╢, оказ╗вае▓▒┐ о╖ен╝ ▒ложной.
Заме▓им однако, ╖▓о, е▒ли м╗ ░азложим e (как 1 + iHt;
2
;H t2=2 ; : : :), ▓о м╗ найдем, ╖▓о опе░а▓о░ H дей▒▓в│е▓ п░оизвол╝ное
a; b
b; c
bc; d
a; b
ab; d
ab; d
a; b
k
k
iH t
iH t
iH t
12
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
╖и▒ло ░аз (один ░аз, дважд╗, ▓░ижд╗ и ▓ак далее), и полное ▒о▒▓о┐ние
пол│╖ае▓▒┐ ▒│пе░пози╢ией в▒е╡ возможно▒▓ей. Э▓о п░едполагае▓, ╖▓о м╗
▒можем ░е╕и▓╝ п░облем│ компози╢ии ╜▓и╡ A ▒лед│╛╣им об░азом.
Добавим к n а▓омам, ко▓о░╗е на╡од┐▓▒┐ в на╕ем ░еги▒▓░е, полно▒▓╝╛ нов╗й набо░ из k + 1 а▓омов, ко▓о░╗е м╗ назовем цп░ог░аммно ▒╖и▓а╛╣ие ┐╖ейкич. Обозна╖им ╖е░ез q и q опе░а▓о░╗ │ни╖▓ожени┐ и ░ождени┐ дл┐ ┐╖ейки i, i = 0; : : : ; k. Можно п░ед▒▓авл┐▓╝ ▒ебе в ка╖е▒▓ве
п░име░а ╜лек▓░он, пе░е╡од┐╣ий из одной ▒вободной ┐╖ейки в д░│г│╛. Е▒ли ┐╖ейка i зан┐▓а ╜лек▓░оном, ▓о его ▒о▒▓о┐ние е▒▓╝ j1i, е▒ли же ┐╖ейка
▒вободна, ▓о его ▒о▒▓о┐нием ┐вл┐е▓▒┐ j0i.
В ка╖е▒▓ве на╕его гамил╝▓ониана п░имем
i
H=
k ;1
X
i
=0
i
q+1 q A +1 + комплек▒но ▒оп░┐женное =
i
i
i
= q1 q0 A1 + q2 q1 A2 + q3 q2 A3 + : : : +
+ q0 q1 A1 + q1 q2 A2 + q2 q3 A3 + : : :
П░ежде в▒его заме▓им, ╖▓о е▒ли в▒е п░ог░аммн╗е ┐╖ейки не зан┐▓╗,
▓о е▒▓╝, в▒е п░ог░аммн╗е а▓ом╗ пе░вона╖ал╝но на╡од┐▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии
j0i, ▓о ни╖его не б│де▓ п░ои▒╡оди▓╝ по▓ом│, ╖▓о кажд╗й ╖лен в гамил╝▓ониане на╖инае▓ дей▒▓вова▓╝ ▒ опе░а▓о░а │ни╖▓ожени┐, ╖▓о дае▓ 0.
Во-в▓о░╗╡, заме▓им, ╖▓о е▒ли ▓ол╝ко одна (▓а или д░│га┐) из п░ог░аммн╗╡ ┐╖еек зан┐▓а (в ▒о▒▓о┐нии j1i), а в▒е о▒▓ал╝н╗е не зан┐▓╗ (в
▒о▒▓о┐нии j0i), ▓о ╜▓о │▓ве░ждение ▒п░аведливо в▒егда. Дей▒▓ви▓ел╝но,
╖и▒ло п░ог░аммн╗╡ ┐╖еек, на╡од┐╣и╡▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j1i, ┐вл┐е▓▒┐ ▒о╡░ан┐╛╣ей▒┐ вели╖иной. М╗ б│дем п░едполага▓╝, ╖▓о п░и дей▒▓вии ╜▓ого
комп╝╛▓е░а или ни одна ┐╖ейка не зан┐▓а (в ╜▓ом ▒л│╖ае ни╖его не п░ои▒╡оди▓), или зан┐▓а ▓о╝ко одна ┐╖ейка. Две или более п░ог░аммн╗╡ ┐╖еек
никогда не б╗ва╛▓ зан┐▓╗ однов░еменно в ▓е╖ение но░мал╝ной опе░а╢ии.
Давай▓е на╖нем ▒ на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐, в ко▓о░ом ┐╖ейка 0 зан┐▓а (на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j1i), а в▒е о▒▓ал╝н╗е | ▒вободн╗ (в ▒о▒▓о┐нии j0i). Е▒ли позже, в неко▓о░╗й момен▓ в░емени, коне╖на┐ ┐╖ейка k
окаже▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j1i (и, ▓аким об░азом, в▒е д░│гие в ▒о▒▓о┐нии j0i),
▓о м╗ │▓ве░ждаем, ╖▓о ░еги▒▓░ б╗л │множен на ма▓░и╢│
M = A : : : A1 :
k
Позвол╝▓е мне об║┐▒ни▓╝, как ╜▓о ░або▓ае▓. П░едположим, ╖▓о ░еги▒▓░ на╖инае▓ в неко▓о░ом на╖ал╝ном ▒о▒▓о┐нии in и ╖▓о п░ог░аммна┐
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
13
Ри╖а░д П. Фейнман
┐╖ейка 0 зан┐▓а. Тогда един▒▓венн╗й ╖лен во в▒ем гамил╝▓ониане, ко▓о░╗й може▓ вна╖але дей▒▓вова▓╝, по▒кол╝к│ гамил╝▓ониан дей▒▓в│е▓
по▒ледова▓ел╝но, | ╜▓о пе░вое ▒лагаемое q1 q0 A1 . Опе░а▓о░ q0 ▒делае▓
▓ак, ╖▓о ┐╖ейка номе░ 0 ▒▓ане▓ незан┐▓ой, а опе░а▓о░ q1 ▒делае▓ зан┐▓ой
┐╖ейк│ номе░ 1. Таким об░азом, ╖лен q1 q0 п░о▒▓о пе░едвигае▓ зан┐▓│╛
┐╖ейк│ из пози╢ии 0 в пози╢и╛ 1. Ма▓░и╢а A1 дей▒▓в│е▓ ▓ол╝ко на n ░еги▒▓е░н╗╡ а▓омов. Таким об░азом, на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние n ░еги▒▓е░н╗╡
а▓омов │множае▓▒┐ на A1 .
Тепе░╝, е▒ли гамил╝▓ониан│ доводи▓▒┐ дей▒▓вова▓╝ в▓о░ой ░аз, ╜▓о▓
пе░в╗й ╖лен ни╖его не да▒▓, по▓ом│ ╖▓о q0, дей▒▓в│┐ на незан┐▓│╛ н│лев│╛ ┐╖ейк│, дае▓ 0. Опе░а▓о░ом же, ко▓о░╗й дей▒▓в│е▓ на ▒ей ░аз, ┐вл┐е▓▒┐ в▓о░ое ▒лагаемое q2 q1 A2, по▒кол╝к│ именно оно може▓ ▒двин│▓╝
зан┐▓│╛ ┐╖ейк│, ко▓о░│╛ ┐ б│д│ наз╗ва▓╝ цк│░▒о░омч. К│░▒о░ може▓
▒двин│▓╝▒┐ из ┐╖ейки 1 в ┐╖ейк│ 2, а ма▓░и╢а A2 ▓епе░╝ дей▒▓в│е▓ на ░еги▒▓░; ▓аким об░азом, на ░еги▒▓░ в ░ез│л╝▓а▓е дей▒▓в│е▓ ма▓░и╢а A2 A1 .
В ░ез│л╝▓а▓е по▒ледова▓ел╝н╗╡ дей▒▓вий гамил╝▓ониана к│░▒о░ пе░едвин│л▒┐ б╗ по▒ледова▓ел╝но о▓ 0 к k, и в╗ пол│╖или б╗ одн│ за д░│гой
ма▓░и╢╗ A ; дей▒▓в│╛╣ие на n а▓омов ░еги▒▓░а в по░┐дке, ко▓о░╗й необ╡одим дл┐ кон▒▓░│и░овани┐ полной ма▓░и╢╗ M.
Однако, гамил╝▓ониан должен б╗▓╝ ╜░ми▓ов╗м, и по╜▓ом│ должно
п░и▒│▓▒▓вова▓╝ ▒оп░┐жение в▒е╡ ╜▓и╡ опе░а▓о░ов. П░едположим, ╖▓о на
на данной ▒▓адии м╗ имеем к│░▒о░ на ┐╖ейке номе░ 2 и ма▓░и╢│ A2 A1 ,
дей▒▓в│╛╣│╛ на ░еги▒▓░. Опе░а▓о░ q2, ко▓о░╗й ▓░еб│е▓▒┐ дл┐ пе░евода
к│░▒о░а в нов│╛ пози╢и╛, може▓ в▒▓░е▓и▓╝▒┐ и в д░│гом ▒лагаемом. В
дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и оно возникае▓ в ▒лагаемом q1 q2 A2 , ко▓о░ое ▒двин│ло
б╗ к│░▒о░ из пози╢ии 2 в пози╢и╛ 1.
Но заме▓╝▓е, ╖▓о когда ╜▓о п░ои▒╡оди▓, опе░а▓о░ A2 ▓акже дей▒▓в│е▓ на ░еги▒▓░, и, ▓аким об░азом, в ╜▓ом ▒л│╖ае полн╗й опе░а▓о░, дей▒▓в│╛╣ий на ░еги▒▓░, е▒▓╝ A2 A2 A1 . А ▓ак как A2; A2 = 1, ▓о о▒▓ае▓▒┐
▓ол╝ко A1. Таким об░азом, м╗ видим, ╖▓о когда к│░▒о░ возв░а╣ае▓▒┐ в
пози╢и╛ 1, ▓ол╝ко опе░а▓о░ A1 ░еал╝но дей▒▓в│е▓ на ░еги▒▓░. В и▓оге по
ме░е ▓ого как ░азн╗е ╖лен╗ в гамил╝▓ониане двига╛▓ к│░▒о░ взад или
впе░ед, ма▓░и╢╗ A либо накаплива╛▓▒┐ в п░оизведении, либо ╖и▒ло ╜▓и╡
▒омножи▓елей оп┐▓╝ │мен╝╕ае▓▒┐.
На л╛бом ╜▓апе, нап░име░, е▒ли б╗ к│░▒о░ на╡одил▒┐ в положении j,
ма▓░и╢╗ о▓ A1 до A дей▒▓вовали б╗ по▒ледова▓ел╝но на ░еги▒▓░. Не имее▓ зна╖ени┐, как к│░▒о░ попал в положение j, двига┐▒╝ ли п░┐мо о▓ 0 до j,
или п░о╡од┐ дал╝╕е и возв░а╣а┐▒╝, или двига┐▒╝ взад и впе░ед л╛б╗м
об░азом, важно ли╕╝, ╖▓о он в кон╢е кон╢ов оказал▒┐ в положении j.
j
14
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
Таким об░азом, е▒ли к│░▒о░ на╡оди▓▒┐ в положении k, ▓о ма▓░и╢а M
дей▒▓в│е▓ на на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние n а▓омов ░еги▒▓░а.
Как м╗ ▓епе░╝ могли б╗ п░оизводи▓╝ опе░а╢ии на ╜▓ом комп╝╛▓е░е?
М╗ на╖инаем ▒ ▓ого, ╖▓о заг░│жаем в╡одн╗е би▓╗ на ░еги▒▓░ и поме╣аем
к│░▒о░ в положение 0. За▓ем м╗ п░ове░┐ем ┐╖ейк│ k, ▒кажем, по▒░ед▒▓вом ░а▒▒е┐ни┐ ╜лек▓░онов, на п░едме▓ ▓ого, ▒вободна ли она или к│░▒о░
на╡оди▓▒┐ на ней. В ▓о▓ момен▓, когда м╗ на╡одим к│░▒о░ на ┐╖ейке k, м╗
│дал┐ем к│░▒о░ ▓ак, ╖▓об╗ он не мог ве░н│▓╝▒┐ на п░ог░аммн│╛ лини╛.
По▒ле ╜▓ого м╗ знаем, ╖▓о ░еги▒▓░ ▒оде░жи▓ в╗╡одн╗е данн╗е. Когда
нам б│де▓ │добно, м╗ можем изме░и▓╝ ╜▓о. Коне╖но, в п░о╢е▒▒ изме░ени┐ и оп░еделени┐ в▒его ╜▓ого вкл╛╖ен╗ и вне╕ние ┤ак▓о░╗, ко▓о░╗е не
┐вл┐╛▓▒┐ ╖а▒▓╝╛ на╕его комп╝╛▓е░а. О╖евидно, в кон╢е кон╢ов комп╝╛▓е░ должен б╗▓╝ во взаимодей▒▓вии ▒ вне╕ним ми░ом как дл┐ заг░│зки
данн╗╡, ▓ак и дл┐ ▒╖и▓╗вани┐ и╡.
Ма▓ема▓и╖е▒ки оказ╗вае▓▒┐, ╖▓о пе░едвижение к│░▒о░а вве░╡ и вниз
вдол╝ п░ог░аммной линии в ▓о╖но▒▓и ╜квивален▓но ▓ом│, как е▒ли б╗ в
гамил╝▓ониане не б╗ло б╗ опе░а▓о░ов A. Д░│гими ▒ловами, ╜▓о п░ед▒▓авл┐е▓ п░о▒▓о волн╗, знаком╗е из зада╖и ░а▒п░о▒▓░анени┐ ▒ил╝но ▒в┐занн╗╡ ╜лек▓░онов, или ▒пинов╗е волн╗ в одном изме░ении, ко▓о░╗е ╡о░о╕о
изве▒▓н╗. Э▓о волн╗, ко▓о░╗е движ│▓▒┐ вве░╡ и вниз по линии, │ ва▒ мог│▓ б╗▓╝ паке▓╗ волн и ▓ак далее.
М╗ могли б╗ │▒ове░╕ен▒▓вова▓╝ дей▒▓вие ╜▓ого комп╝╛▓е░а и п░ев░а▓и▓╝ его в балли▒▓и╖е▒кое дей▒▓вие, ▒оздав лини╛ ┐╖еек в дополнении
к ┐╖ейкам вн│▓░и, ко▓о░╗е м╗ дей▒▓ви▓ел╝но и▒пол╝з│ем дл┐ в╗╖и▒лени┐, лини╛ из многи╡ ┐╖еек до и по▒ле. Э▓о б╗ло б╗ в ▓о╖но▒▓и, как е▒ли
б╗ м╗ имели зна╖ени┐ индек▒а i дл┐ q , ко▓о░╗е мен╝╕е 0 и бол╝╕е k, дл┐
каждого из ко▓о░╗╡ вме▒▓о │множени┐ на ма▓░и╢│ A б╗ло б╗ │множение
на 1. Тогда │ на▒ б╗ла б╗ длинна┐ ▒пинова┐ ╢епо╖ка, и м╗ могли б╗ на╖ина▓╝, вме▒▓о ▓ого ╖▓об╗ поме╣а▓╝ к│░▒о░ ▓о╖но на на╖ал╝н│╛ ┐╖ейк│ 0,
поме╣а┐ к│░▒о░ ▒ ░азн╗ми ампли▓│дами на ░азн╗е ┐╖ейки, п░ед▒▓авл┐┐
на╖ал╝н│╛ в╡од┐╣│╛ ▒пинов│╛ волн│, ╕и░окий паке▓ ▒ п░иблизи▓ел╝но
оп░еделенн╗м имп│л╝▒ом.
Э▓а ▒пинова┐ волна п░о╕ла б╗ за▓ем ╖е░ез ве▒╝ комп╝╛▓е░ балли▒▓и╖е▒ким об░азом и в╗╕ла ▒ д░│гой ▒▓о░он╗ из в╗╡одного │▒▓░ой▒▓ва,
ко▓о░ое м╗ добавим к ╢епо╖ке на╕и╡ п░ог░аммн╗╡ ┐╖еек, и где о▓ве▓,
е▒ли он имее▓▒┐, може▓ б╗▓╝ легко оп░еделен или пе░еме╣ен в какое-либо
д░│гое ме▒▓о, б│д│╖и за╡ва╖енн╗м к│░▒о░ом. Таким об░азом, логи╖е▒кий
╜лемен▓ дей▒▓в│е▓ балли▒▓и╖е▒ким п│▓ем.
Э▓о о╖ен╝ важн╗й момен▓, и, по к░айней ме░е, ▒пе╢иали▒▓╗ в ▓еi
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
15
Ри╖а░д П. Фейнман
о░ии в╗╖и▒лений мог│▓ показа▓╝, ╖▓о м╗ могли б╗ по▒▓░ои▓╝ │ниве░▒ал╝н╗й комп╝╛▓е░, е▒ли, как нам изве▒▓но, м╗ ▒можем ▒дела▓╝ л╛бой
логи╖е▒кий ╜лемен▓. Пока не о╖евидно, как п░ед▒▓ави▓╝ │ниве░▒ал╝н╗й
комп╝╛▓е░ дл┐ заданной ▒овок│пно▒▓и логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов и и╡ ▒в┐зей, дл┐ ╜▓ого необ╡одим╗ некие дополни▓ел╝н╗е ▒ведени┐, ко▓о░╗╡ м╗
в дал╝ней╕ем ко▒нем▒┐.
4. Недо▒▓а▓ки и необ░а▓им╗е по▓е░и ▒вободной
╜не░гии
Однако имее▓ ме▒▓о неко▓о░ое коли╖е▒▓во воп░о▒ов, ко▓о░╗е нам необ╡одимо об▒│ди▓╝ более под░обно, а именно, нам ╡о▓ело▒╝ б╗ об░а▓и▓╝
внимание на ▓░│дно▒▓и в по▒▓░оении ▓аки╡ ▒и▒▓ем.
С│╣е▒▓в│е▓ бол╝╕ое коли╖е▒▓во и▒▓о╖ников ▓░│дно▒▓ей в подобн╗╡
ма╕ина╡, и в пе░в│╛ о╖е░ед╝ м╗ об░а▓им внимание на ▓о, ╖▓о ве░о┐▓но,
╖▓о ко╜┤┤и╢иен▓╗ в ▒в┐з┐╡ вдол╝ п░ог░аммн╗╡ линий мог│▓ оказа▓╝▒┐
не ░авн╗ми. Е▒ли ╜▓и линии б│д│▓ до▒▓а▓о╖но длинн╗ми, как в ░еал╝н╗╡ в╗╖и▒лени┐╡, небол╝╕ие не░ег│л┐░но▒▓и б│д│▓ в╗з╗ва▓╝ ░а▒▒е┐ние
волн╗, и она б│де▓ двига▓╝▒┐ не ▓о╖но балли▒▓и╖е▒ки, а пойде▓ назад и
во вне. Нап░име░, е▒ли ┐╖ейки, из ко▓о░╗╡ ▒о▒▓ои▓ ▒и▒▓ема, ┐вл┐╛▓▒┐
об╗кновенн╗ми ┤изи╖е▒кими а▓омами, ▓огда и╡ ▓е░ми╖е▒ка┐ виб░а╢и┐
б│де▓ измен┐▓╝ ▒в┐зи межд│ мален╝кими би▓ами и по░ожда▓╝ ▓░│дно▒▓и. (Нам даже б│де▓ необ╡одим ▓акой небол╝╕ой ╕│м из ┤ик▒и░ованн╗╡
де┤ек▓ов, ко▓о░╗е │мен╝╕а╛▓ гл│бин│ │де░жива╛╣и╡ обла▒▓ей, в ко▓о░╗╡ к│░▒о░ може▓ б╗▓╝ пойман.) П░едположим ▓огда, ╖▓о имее▓▒┐ нека┐
ве░о┐▓но▒▓╝, ▒кажем p на кажд╗й ╕аг в╗╖и▒лений (д░│гими ▒ловами, на
кажд╗й ╕аг пе░еме╣ени┐ к│░▒о░а, i ! i + 1) дл┐ ░а▒▒е┐ни┐ имп│л╝▒а
к│░▒о░а до п░оизвол╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ (1=p | ▒░едн┐┐ длина ▒вободного
п░обега). М╗ п░едположим ╜▓│ ве░о┐▓но▒▓╝ p довол╝но малой.
Так как п░и п░оведении длинн╗╡ в╗╖и▒лений волне по▓░еб│е▓▒┐ много в░емени дл┐ п░о╡ождени┐ о▓ ▒воего на╖ала до ▒воего кон╢а, ▓о бол╝╕а┐
╖а▒▓╝ ее ве░не▓▒┐ назад или вбок благода░┐ ░а▒▒е┐ни╛. Э▓о п░иведе▓ к ▓ом│, ╖▓о к│░▒о░ вдол╝ п░ог░аммной линии надо п░оводи▓╝ под дей▒▓вием
некой вне╕ней ▒ил╗.
Такой анализ може▓ б╗▓╝ п░о▒▓о п░оведен | ╜▓о по╖▓и кла▒▒и╖е▒кий
анализ длин╗ ▒вободного п░обега ╜лек▓░она. Кажд╗й ░аз, когда к│░▒о░
подве░гае▓▒┐ ░а▒▒е┐ни╛, ┐ б│д│ п░едполага▓╝, ╖▓о он ▒л│╖айн╗м об░азом
░а▒▒еивае▓▒┐ либо впе░ед, либо назад. Дл┐ ▓ого ╖▓об╗ ма╕ина п░оизводила дей▒▓ви┐, она должна двига▓╝▒┐ впе░ед ▒ более в╗▒окой ве░о┐▓но▒▓╝╛,
16
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
╖ем назад. Когда ░а▒▒е┐ние по┐вл┐е▓▒┐ ▓аким об░азом, ▓о по▓е░и в ╜н▓░опии е▒▓╝ лога░и┤м ве░о┐▓но▒▓и, ╖▓о к│░▒о░ движе▓▒┐ впе░ед, деленна┐
на ве░о┐▓но▒▓╝, ╖▓о к│░▒о░ движе▓▒┐ назад.
Э▓а вели╖ина може▓ б╗▓╝ апп░ок▒ими░ована ▒лед│╛╣им в╗░ажением: (ве░о┐▓но▒▓╝ ░а▒▒е┐ни┐ впе░ед { ве░о┐▓но▒▓╝ ░а▒▒е┐ни┐ назад)/(ве░о┐▓но▒▓╝ ░а▒▒е┐ни┐ впе░ед + ве░о┐▓но▒▓╝ ░а▒▒е┐ни┐ назад). Э▓о
б╗ла по▓е░┐ ╜н▓░опии за один ак▓ ░а▒▒е┐ни┐. Более ин▓е░е▒н╗м ┐вл┐е▓▒┐ вели╖ина по▓е░и ╜н▓░опии на ╢епи в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ╕агов, ко▓о░а┐
░авна п░о▒▓о п░оизведени╛ вели╖ин╗ p на ╜▓о ╖и▒ло ╕агов. М╗ можем
п░ед▒▓ави▓╝ по▓е░╛ ╜н▓░опии за один ╕аг в╗╖и▒лений, как
p = ;
D
R
где | ▒ко░о▒▓╝ д░ей┤а к│░▒о░а, а | ее ▒л│╖айна┐ ▒ко░о▒▓╝.
Или, е▒ли вам ▓ак б│де▓ │добнее, ╜▓о е▒▓╝ в░ем┐, │множенное на минимал╝ное в░ем┐, необ╡одимое дл┐ п░оведени┐ в╗╖и▒лени┐ (в ▓ом ▒л│╖ае,
е▒ли в▒е ╕аги п░оведен╗ в п░┐мом нап░авлении), деленное на ░еал╝но
▓░еб│емое в░ем┐.
Тогда по▓е░и ▒вободной ╜не░гии за один ╕аг б│д│▓ ░авн╗ kT p
минимал╝ное в░ем┐, за ко▓о░ое ╜▓о в╗╖и▒ление може▓ б╗▓╝ п░оделано, деленное на ░еал╝ное в░ем┐, ко▓о░ое в╗ о▓води▓е на п░оведение ╜▓ой
опе░а╢ии. Э▓а ┤о░м│ла впе░в╗е пол│╖ена Бенне▓▓ом. Множи▓ел╝ p ┐вл┐е▓▒┐ ▒глажива╛╣им ┤ак▓о░ом по о▓но╕ени╛ к ▒и▓│а╢и┐м, в ко▓о░╗╡ не
в▒┐кое ░а▒▒е┐ние ┐вл┐е▓▒┐ ▒л│╖айн╗м, за▓о имее▓▒┐ ▓ол╝ко мала┐ ве░о┐▓но▒▓╝ ░а▒▒е┐ни┐ ▓аким об░азом.
След│е▓ п░ин┐▓╝ во внимание, ╖▓о ╜не░ге▓и╖е▒кие по▓е░и на каждом
╕аг│ не ░авн╗ kT, а ┐вл┐╛▓▒┐ ╜▓ой вели╖иной, деленной на два ┤ак▓о░а. Пе░в╗й, 1=p, ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▓ом│, на▒кол╝ко ▒ове░╕енно в╗ може▓е
по▒▓░ои▓╝ ма╕ин│, а в▓о░ой п░опо░╢ионален длине в░емени, необ╡одимого дл┐ п░оведени┐ в╗╖и▒лений. В▒е ╜▓о о╖ен╝ по╡оже на ма╕ин│ Ка░но,
в ко▓о░ой, дл┐ ▓ого ╖▓об╗ ▒дела▓╝ п░о╢е▒▒╗ об░а▓им╗ми, надо п░оизводи▓╝ дей▒▓ви┐ о╖ен╝ медленно. Идеал╝ной ┐вл┐е▓▒┐ ма╕ина, │ ко▓о░ой
p = 0, или ▓огда, когда м╗ можем по▓░а▓и▓╝ на в╗╖и▒лени┐ бе▒коне╖ное
в░ем┐, | в ▓аки╡ ▒л│╖а┐╡ о▒новна┐ по▓е░┐ ╜не░гии ░авна н│л╛.
П░ин╢ип неоп░еделенно▒▓и, ко▓о░╗й наклад╗вае▓ об╗╖но неко▓о░│╛
неоп░еделенно▒▓╝ на ╜не░ги╛ и в░ем┐, нап░┐м│╛ не п░иводи▓ ни к каким ог░ани╖ени┐м. Хо▓┐ на╕ комп╝╛▓е░ п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой ма╕ин│ дл┐
п░оведени┐ в╗╖и▒лений, в░ем┐ п░иб╗▓и┐ к│░▒о░а на п░о▓ивоположн│╛
▒▓о░он│ и изме░ение зна╖ени┐ в╗╡одного ░еги▒▓░а (д░│гими ▒ловами,
в░ем┐, необ╡одимое дл┐ п░оведени┐ в╗╖и▒лений) не ┐вл┐е▓▒┐ оп░еделенD
R
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
17
Ри╖а░д П. Фейнман
н╗м. Э▓о▓ воп░о▒ ве░о┐▓но▒▓н╗й, и по╜▓ом│ имее▓ ме▒▓о ▒│╣е▒▓венна┐
неоп░еделенно▒▓╝ во в░емени, необ╡одимом дл┐ п░оведени┐ в╗╖и▒лений.
Не ▒│╣е▒▓в│е▓ по▓е░╝, ▒в┐занн╗╡ ▒ неоп░еделенно▒▓╝╛ ╜не░гии к│░▒о░а: по к░айней ме░е, ╜▓и по▓е░и не зави▒┐▓ о▓ ╖и▒ла в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡
╕агов. Коне╖но, е▒ли в╗ п░оизводи▓е балли▒▓и╖е▒кие в╗╖и▒лени┐ на ▒ове░╕енной ма╕ине, неко▓о░а┐ ╜не░ги┐ б│де▓ вложена в и▒╡одн│╛ волн│,
но ╜▓│ ╜не░ги╛ м╗ коне╖но пол│╖им об░а▓но из в╗╡одной волн╗, когда
она в╗▒ко╖и▓ ▒ д░│гой ▒▓о░он╗ ма╕ин╗ по окон╖ании п░ог░аммной линии. В▒е воп░о▒╗, ▒в┐занн╗е ▒ неоп░еделенно▒▓╝╛ опе░а▓о░ов и необ░а▓имо▒▓╝╛ изме░ений а▒▒о╢ии░│╛▓▒┐ ▒ в╡одн╗ми и в╗╡одн╗ми ┤│нк╢и┐ми.
Таким об░азом, не▓ д░│ги╡ ог░ани╖ений, и▒╡од┐╣и╡ из кван▓овой
п░и░од╗ комп╝╛▓е░а, никаки╡, ко▓о░╗е б╗ли б╗ п░опо░╢ионал╝н╗ ╖и▒л│
╕агов в╗╖и▒лени┐.
В ма╕ине, ▓акой как ╜▓а, имее▓ ме▒▓о бол╝╕ое коли╖е▒▓во д░│ги╡
п░облем, об│▒лавлива╛╣и╡ ее не▒ове░╕ен▒▓во. К п░име░│, в ░еги▒▓░а╡, в
ко▓о░╗╡ ▒оде░жа▓▒┐ данн╗е, где мог│▓ б╗▓╝ п░облем╗ ▒о ▒╖и▓╗ванием,
они мог│▓ б╗▓╝ ▒в┐зан╗ взаимодей▒▓вием межд│ оп░еделенн╗м а▓омом
и д░│гими а▓омами в данном ░еги▒▓░е или взаимодей▒▓вием а▓омов ░еги▒▓░а нап░┐м│╛ ▒ п░о╢е▒▒ами, п░ои▒╡од┐╣ими вдол╝ п░ог░аммной линии, ко▓о░╗е м╗ не можем вз┐▓╝ в ░а▒╖е▓. Д░│гими ▒ловами, мог│▓ име▓╝
ме▒▓о мал╗е по о▓но╕ени╛ к │же в╗пи▒анн╗м ╖лен╗ в гамил╝▓ониане.
До ▓е╡ по░ пока ╜▓и ┤ак▓о░╗ не б│д│▓ │пи▓ан╗, анализ б│де▓ к░айне
о▒ложнен. По к░айней ме░е неко▓о░╗е из ╜▓и╡ п░облем мог│▓ б╗▓╝ ░е╕ен╗ ▒ помо╣╝╛ об╗╖н╗╡ ме▓одов, ▓аки╡ как ▓е╡ника ко░░ек▓и░│╛╣и╡
о╕ибки кодов и ▓ом│ подобное, ко▓о░╗е б╗ли из│╖ен╗ на но░мал╝н╗╡
комп╝╛▓е░а╡. Но до ▓е╡ по░ пока м╗ не на╕ли конк░е▓ной ░еализа╢ии
▓акого комп╝╛▓е░а, ┐ не мог│ ▒каза▓╝ как подой▓и к анализ│ ▓аки╡ п░облем. Однако аб▒ол╛▓но ┐▒но, ╖▓о ╜▓и воп░о▒╗ о╖ен╝ важн╗ ▒ п░ак▓и╖е▒кой ▓о╖ки з░ени┐. Такой комп╝╛▓е░, как каже▓▒┐, б│де▓ о╖ен╝ ╖│в▒▓ви▓ел╝ной ▒и▒▓емой, и ▓акие п░еп┐▓▒▓ви┐ мог│▓ п░иве▒▓и к заме▓н╗м
о▒ложнени┐м в его ░або▓е.
В░ем┐, за ко▓о░ое можно п░оизве▒▓и один ╕аг в в╗╖и▒лении зави▒и▓
о▓ нап░┐женно▒▓и или ╜не░гии взаимодей▒▓ви┐ межд│ ╖а▒▓┐ми гамил╝▓ониана. Е▒ли кажд╗й из ▓аки╡ ╖ленов гамил╝▓ониана по п░едположени╛
б│де▓ по░┐дка 0.1 ╜лек▓░он-вол╝▓а, ▓о в░ем┐, за ко▓о░ое к│░▒о░ п░оизведе▓ кажд╗й из ╕агов, е▒ли п░о╢е▒▒ п░ои▒╡оди▓ балли▒▓и╖е▒ким об░азом,
б│де▓ по░┐дка 6 10;15 ▒ек│нд. Э▓о не ▓акое │ж ▒ил╝ное │вели╖ение ▒ко░о▒▓и, возможно ▓ол╝ко на ╖е▓╗░е по░┐дка б╗▒▓░ее, ╖ем в░ем┐ заде░жки
18
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
;
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
Ри▒. 7. Пе░екл╛╖а▓ел╝
на ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ▓░анзи▒▓о░а╡, и не на много мен╝╕е, ╖ем ожидаемое
в░ем┐, до▒▓ижимое на оп▓и╖е▒ки╡ ▒и▒▓ема╡.
5. П░о▒▓ей╕а┐ ░еализа╢и┐
Дл┐ ▓ого ╖▓об╗ заве░╕и▓╝ на╕е и▒▒ледование, нам ▒лед│е▓ най▓и какой-ниб│д╝ кван▓ово-ме╡ани╖е▒кий гамил╝▓ониан ▒и▒▓ем╗, ко▓о░а┐
може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зована в в╗╖и▒лени┐╡, и ╜▓о в▒е, ╖▓о нам ▓епе░╝ необ╡одимо ▒дела▓╝. Но имее▓ ме▒▓о некий ин▓е░е▒ зан┐▓╝▒┐ оп░еделенн╗ми
воп░о▒ами, ▒в┐занн╗ми ▒ п░о▒▓ей╕ей ░еализа╢ией. Гамил╝▓ониан, ко▓о░╗й м╗ в╗пи╕ем, ▒оде░жи▓ ╖лен╗, о▓░ажа╛╣ие о▒об╗й вид взаимодей▒▓ви┐ межд│ п┐▓╝╛ а▓омами. К п░име░│, ▓░и ▓аки╡ а▓ома дл┐ о▒│╣е▒▓влени┐ опе░а╢ии CONTROLLED CONTROLLED NOT, а два д░│ги╡ б│д│▓
и▒пол╝зова▓╝▒┐ как дополни▓ел╝н╗е ме▒▓а в ка╖е▒▓ве п░ог░аммн╗╡ ▒╖е▓╖иков.
Возможно, ╜▓о до▒▓а▓о╖но ▒ложно ▒дела▓╝. Воп░о▒ закл╛╖ае▓▒┐ в ▒лед│╛╣ем: можем ли м╗ по▒▓░ои▓╝ ▓ак│╛ ▒и▒▓ем│ из п░о▒▓ей╕и╡ ╖а▒▓ей.
М╗ ╜▓о можем ▒дела▓╝ по▓ом│, ╖▓о в ▓аком взаимодей▒▓вии мог│▓ │╖а▒▓вова▓╝ ▓ол╝ко ▓░и а▓ома. М╗ ▒оби░аем▒┐ ▒▓а░▓ова▓╝ ▒ нов╗╡ п░о▒▓ей╕и╡
╜лемен▓ов, вме▒▓о ▓е╡, ▒ ко▓о░╗╡ м╗ на╖инали ░ан╝╕е. М╗ б│дем име▓╝
▓│ же опе░а╢и╛ NOT, но в дополнение к ней м╗ б│дем п░оизводи▓╝ п░о▒▓ой цпе░екл╛╖а▓ел╝ч (▒м. ▓акже Priese [5]).
П░едположим, ╖▓о м╗ имеем ▒лед│╛╣ий ╖лен в гамил╝▓ониане qcp+
+r cp пл╛▒ ╖лен ем│ комплек▒но ▒оп░┐женн╗й (во в▒е╡ ▒л│╖а┐╡ м╗ б│дем и▒пол╝зова▓╝ б│кв╗ из на╖ала ал┤ави▓а дл┐ обозна╖ени┐ зна╖ений
а▓омов{░еги▒▓░ов и из кон╢а ал┤ави▓а дл┐ обозна╖ени┐ п░ог░аммного
ме▒▓а). См. ░и▒│нок 7. Зде▒╝ показано дей▒▓вие пе░екл╛╖а▓ел┐: е▒ли c в
на╖ал╝н╗й момен▓ на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j1i, к│░▒о░ из p б│де▓ двига▓╝-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
19
Ри╖а░д П. Фейнман
▒┐ в q, в п░о▓ивном ▒л│╖ае, е▒ли c на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j0i, к│░▒о░ из p
пе░ейде▓ в r.
В ▓е╖ение ╜▓ой опе░а╢ии кон▓░оли░│ем╗й а▓ом c измен┐е▓ ▒вое ▒о▒▓о┐ние. (Возможно ▓акже запи▒а▓╝ в╗░ажение, в ко▓о░ом кон▓░оли░│ем╗й а▓ом мен┐е▓ ▒вое ▒о▒▓о┐ние, а именно qc cp+rcc p пл╛▒ его комплек▒ное ▒оп░┐жение, ╜▓о не п░ино▒и▓ никаки╡ ╖а▒▓н╗╡ п░еим│╣е▒▓в или
недо▒▓а▓ков, м╗ и▒▒лед│ем ▒ам╗й п░о▒▓ой ▒л│╖ай.) Комплек▒ное ▒оп░┐жение п░иводи▓ к об░а▓ном│ ░ез│л╝▓а▓│.
Однако, е▒ли к│░▒о░ на╡оди▓▒┐ в q и c на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии j1i (или
к│░▒о░ на r, а c в ▒о▒▓о┐нии j0i), ▓огда H ░авен 0, а к│░▒о░ возв░а╣ае▓▒┐
назад. М╗ во▒п░оизведем в▒е на╕и ▒╡ем╗ и в╗бе░ем на╖ал╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ ▓аким об░азом, ╖▓о ╜▓и │▒лови┐ не б│д│▓ возника▓╝ п░и но░мал╝ном
┤│нк╢иони░овании и б│де▓ ░або▓а▓╝ идеал╝на┐ балли▒▓и╖е▒ка┐ мода.
С ▓аким пе░екл╛╖а▓елем м╗ можем ▒дела▓╝ бол╝╕ое ╖и▒ло опе░а╢ий.
Нап░име░, м╗ можем пол│╖и▓╝ CONTROLLED NOT опе░а╢и╛, как ╜▓о
показано на ░и▒│нке 8. Пе░екл╛╖а▓ел╝ кон▓░оли░│е▓ дей▒▓ви┐. П░едположим, ╖▓о к│░▒о░ на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии s. Е▒ли a = 1, п░ог░аммн╗й
к│░▒о░ движе▓▒┐ вдол╝ ве░╡ней линии, ▓огда как е▒ли a = 0, к│░▒о░ движе▓▒┐ вдол╝ нижней линии, в обои╡ ▒л│╖а┐╡ м╗ пол│╖им в кон╢е кон╢ов
п░ог░аммное ▒о▒▓о┐ни┐ t.
;
Ри▒. 8. Реализа╢и┐ CONTROLLED NOT ▒ помо╣╝╛ пе░екл╛╖а▓ел┐
На ╜▓и╡ диаг░амма╡ го░изон▓ал╝н╗е и ве░▓икал╝н╗е линии обозна╖а╛▓ п░ог░аммн╗е а▓ом╗. Пе░екл╛╖а▓ели во▒п░оизведен╗ как диагонал╝н╗е линии, и под п░┐мо│гол╝ником м╗ под░аз│меваем дей▒▓в│╛╣ие
на ░еги▒▓░╗ ма▓░и╢╗, ▓акие как NOT b. Таким об░азом, гамил╝▓ониан
дл┐ ╜▓ого небол╝╕ого │╖а▒▓ка CONTROLLED NOT опе░а╢ии, ▒▓а░▓│╛╣ий ▒о ▒о▒▓о┐ни┐ s и закан╖ива╛╣ий▒┐ в ▒о▒▓о┐нии t, дае▓▒┐ ▒лед│╛╣им
в╗░ажением:
H (s; t) = s as + t at + t (h + b)s + s as + tat + l s + c:c:
c
20
M
M
M
M
N
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
N
N
N
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
(Под c:c: понимае▓▒┐ комплек▒ное ▒оп░┐жение в╗╕еп░иведенного в╗░ажени┐.)
Хо▓┐ каже▓▒┐, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ два п│▓и пол│╖ени┐ в▒е╡ видов ╡а░ак▓е░и▒▓ик ▒ложно▒▓ей кван▓овой ме╡аники, но ╜▓о не ▓ак. Е▒ли в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ ▒и▒▓ема на╖инае▓ ▒ какого-▓о оп░еделенного ▒о▒▓о┐ни┐ а▓ома a и
▒о в░еменем к│░▒о░ до▒▓игае▓ ▒о▒▓о┐ни┐ s, ▓о а▓ом a в ╜▓о в░ем┐ б│де▓
▓акже на╡оди▓╝▒┐ в неком оп░еделенном ▒о▒▓о┐нии (╡о▓┐, возможно, и
о▓ли╖ном о▓ и▒╡одного, благода░┐ п░оизведенн╗м над ним ░анее в╗╖и▒ли▓ел╝н╗м опе░а╢и┐м). По╜▓ом│ возможен ▓ол╝ко один из дв│╡ п│▓ей.
В╗░ажение можно │п░о▒▓и▓╝ п░енеб░ежением, и оно s t и п░име▓ вид
t =s .
В ▓аком ▒л│╖ае не ▒▓ои▓ бе▒покои▓╝▒┐, ╖▓о один п│▓╝ (две к│░▒о░н╗е пози╢ии) длиннее, ╖ем д░│гой (одна пози╢и┐ к│░▒о░а), по▒кол╝к│ не
▒│╣е▒▓в│е▓ ин▓е░┤е░ен╢ии. Никакого ░а▒▒е┐ни┐ не возникае▓ в л╛бом
▒л│╖ае, когда м╗ к ╢епи ▒в┐зн╗╡ пози╢ий добавл┐ем дополни▓ел╝н╗й о▓░езок ╢епи, ▒о▒▓о┐╣ий из л╛бого ╖и▒ла пози╢ий ▒ ▓ой же взаимо▒в┐з╝╛
межд│ пози╢и┐ми (по аналогии ▒о ▒в┐з│╛╣им ▒оп░о▓ивлением в лини┐╡
пе░еда╖).
Из│╖а┐ далее ╜▓о▓ воп░о▒, ░а▒▒мо▓░им ▒оединенн╗е вме▒▓е о▓░езки.
О▓░езок ╢епи M (▒м. ░и▒│нок 9) може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен как логи╖е▒кий
╜лемен▓ взаимодей▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓ей, под ко▓о░╗ми м╗ понимаем на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние к│░▒о░а s и коне╖ное его ▒о▒▓о┐ние t . В▒е о▒▓ав╕ие▒┐ п░ог░аммн╗е ▒о▒▓о┐ни┐, на╡од┐╣ие▒┐ межд│ s и t , п░ед▒▓авлен╗
вн│▓░енними ╖а▒▓┐ми M | M ▒оде░жи▓ ▓акие ░еги▒▓░╗. Тол╝ко ▒о▒▓о┐ни┐ s и t мог│▓ б╗▓╝ ▒в┐зан╗ вне╕ним об░азом.
N
N
N
N
M
M
;
M
M
M
Ри▒. 9. Один из цо▓░езков линиич s
M
| на╖ал╝ное п░ог░аммное ▒о▒▓о┐ние дл┐ о▓░езка. t | коне╖ное п░ог░аммное ▒о▒▓о┐ние дл┐ о▓░езка.
H (s ; t ) | ╖а▒▓╝ гамил╝▓ониана, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ в▒ем ца▓омамч и
п░ог░аммн╗м ▒о▒▓о┐ни┐м, в╡од┐╣им в бок▒ M, а ▓акже и╡ взаимодей▒▓вие ▒ s и t
M
M
M
M
M
M
M
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
21
Ри╖а░д П. Фейнман
Гамил╝▓ониан ▓акой под▒и▒▓ем╗ м╗ б│дим обозна╖а▓╝ как H , а под
s и t м╗ б│дем понима▓╝ на╖ал╝ное и коне╖ное п░ог░аммн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ и запи▒╗ва▓╝ ╜▓о как H (s ; t ). И, ▓аким об░азом, под H м╗
б│дем понима▓╝ в▒е в╡од┐╣ие в бок▒ M а▓ом╗ и и╡ вн│▓░енние на╖ал╝н╗е
и коне╖н╗е ▒о▒▓о┐ни┐.
О▒обенно важн╗й и ин▓е░е▒н╗й дл┐ ░а▒▒мо▓░ени┐ ▒л│╖ай | ╜▓о когда вне╕ние данн╗е (на а▓ома╡ ░еги▒▓░а) п░и╡од┐▓ о▓ оп░еделенного логи╖е▒кого ╜лемен▓а, и нам необ╡одимо пе░ене▒▓и ╜▓и данн╗е на д░│гой
(▒м. ░и▒│нок 10). П░едположим, ╖▓о м╗ п░ед▒▓авили, ╖▓о бок▒ M на╖инае▓ ░або▓│ ▒ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒воего в╡одного ░еги▒▓░а, ▒оде░жа╣его 0, и
▒о▒▓о┐ни┐ в╗╡одного ░еги▒▓░а (возможно, ▓ого же ▒амого), ░авного ▓акже 0. Тогда б╗ м╗ могли б╗ и▒пол╝зова▓╝ его ▒лед│╛╣им об░азом. М╗
могли б╗ ▒дела▓╝ п░ог░аммн│╛ лини╛, п│▒▓╝, ▒кажем, она на╖инае▓▒┐ ▒
▒о▒▓о┐ни┐ s0 , и ╖╝┐ пе░ва┐ опе░а╢и┐ б│де▓ закл╛╖а▓╝▒┐ в пе░еме╣ении
ин┤о░ма╢ии ▒ вне╕него ░еги▒▓░а, ▒оде░жа╣его в╡одн╗е данн╗е, на M-й
в╡одной ░еги▒▓░, ▒оде░жа╣ий в данн╗й момен▓ н│ли.
Тогда пе░в╗м ╕агом на╕и╡ в╗╖и▒лений мог б╗ б╗▓╝, на╖ина┐, ▒кажем ▒ s0 , обмен ин┤о░ма╢ией межд│ вн│▓░енним ░еги▒▓░ом и ░еги▒▓░ом
M. П░и ╜▓ом зане▒ем н│ли в и▒╡одн╗й в╡одной ░еги▒▓░, а в╡одн╗е данн╗е запи▒╗ва╛▓▒┐ вн│▓░╝ бок▒а M. Тепе░╝ к│░▒о░ на╡оди▓▒┐ в пози╢ии
s . (М╗ │же ░аз║┐▒н┐ли, как п░ои▒╡оди▓ обмен ин┤о░ма╢ией на п░име░е
опе░а╢ии кон▓░оли░│емое NOT.) По▒ле п░оведени┐ п░ог░аммн╗╡ дей▒▓вий о▓ s до t , м╗ на╡одим в╗╡одн╗е данн╗е из бок▒а M. По▒ле ╜▓ого
в╗╡одной ░еги▒▓░ бок▒а M о╖и╣ае▓▒┐, а ▒оде░жа╣а┐▒┐ в нем ин┤о░ма╢и┐
зано▒и▓▒┐ в за░анее подго▓овленн╗й вне╕ний ░еги▒▓░, пе░вона╖ал╝но ▒оде░жа╣ий н│ли. Таким об░азом, на ╜▓апе о▓ t до t0 м╗ обмениваем▒┐
ин┤о░ма╢ией межд│ п│▒▓╗м вне╕нем ░еги▒▓░ом и в╗╡одн╗м ░еги▒▓░ом
бок▒а M.
Сей╖а▒ м╗ можем ░а▒▒мо▓░е▓╝ ▒ ░азн╗╡ ▒▓о░он ▒в┐з╝ ▓аки╡ логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ом. К п░име░│, наиболее о╖евидн╗й ▒по▒об ▓акой ▒в┐зи
можно о▒│╣е▒▓ви▓╝ за ▒╖е▓ по▒ледова▓ел╝но▒▓и. Е▒ли м╗ ▒на╖ала ╡о▓им
п░оизве▒▓и дей▒▓вие бок▒а M, а за▓ем дей▒▓вие бок▒а N, м╗ можем ▒в┐за▓╝ коне╖н│╛ пози╢и╛ пе░вого и на╖ал╝н│╛ пози╢и╛ в▓о░ого, как ╜▓о
показано на ░и▒│нке 11. Таким об░азом, пол│╖ае▓▒┐ нова┐ опе░а╢и┐ K,
гамил╝▓ониан H ко▓о░ой имее▓ вид
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
K
H (s ; t ) = H (s ; t) + H (t; t ):
Однако п│▒▓╝ ▓епе░╝ дей▒▓вие п░ои▒╡оди▓ по │▒лови╛: е▒ли a = 1,
▓о в╗полн┐е▓▒┐ M, но е▒ли a = 0, ▓о в╗полн┐е▓▒┐ N, как ╜▓о показано
K
22
K
K
M
K
N
K
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
;
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
Ри▒. 10. У╖а▒▓ок ▒ вне╕ним в╡одом и в╗╡одом
на ░и▒│нке 12. Дл┐ ╜▓ой опе░а╢ии гамил╝▓ониан имее▓ вид
Hcond (s ; t ) = (s as + t at + s as + tat + c:c:) +
+ H (s ; t ) + H (s ; t ):
Опе░а╢и┐ CONTROLLED NOT ┐вл┐е▓▒┐ ╖а▒▓н╗м ▒л│╖аем п░иведенного в╗╕е ▒ M = NOT b, дл┐ ко▓о░ого гамил╝▓ониан имее▓ вид
H
(s; t) = s(b + b)t + c:c:
и N | опе░а╢и┐ st.
c
c
M
c
c
M
N
c
c
M
N
M
M
N
N
N
;
N OT b
Ри▒. 11. По▒ледова▓ел╝но▒▓╝ опе░а╢ий
В ка╖е▒▓ве д░│гого п░име░а м╗ можем ░а▒▒мо▓░е▓╝ ц│ни╖▓ожи▓ел╝ м│▒о░ач (│же ░а▒▒мо▓░енн╗й на ░и▒│нке 6), ▒деланн╗й не из дв│╡
│▒▓░ой▒▓в, п░┐мого и об░а▓ного к нем│, а и▒пол╝з│╛╣ий ▓│ же ▒ам│╛
ма╕ин│, но ▓ол╝ко по▒╗ла┐ данн╗е об░а▓но в │▒▓░ой▒▓во в об░а▓ном нап░авлении, и▒пол╝з│┐ изоб░аженн╗й на ░и▒│нке 13 на╕ пе░екл╛╖а▓ел╝.
П░едположим, ╖▓о ▓ака┐ ▒и▒▓ема имее▓ ▒пе╢иал╝н╗й ┤лаг, ко▓о░╗й
изна╖ал╝но в▒егда на╡оди▓▒┐ в н│ле. М╗ ▓акже п░едположим, ╖▓о и▒╡одн╗е данн╗е ▒оде░жа▓▒┐ во вне╕нем ░еги▒▓░е, ▓акже е▒ли вне╕ний
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
23
;
Ри╖а░д П. Фейнман
Ри▒. 12. Кон▓░оли░│ема┐ опе░а╢и┐: е▒ли a = 1, ▓о в╗полн┐е▓▒┐ M, но е▒ли
a = 0, ▓о в╗полн┐е▓▒┐ N
░еги▒▓░ п│▒▓, в него можно поме▒▓и▓╝ в╗╡одн╗е данн╗е, а ▓акже в▒е ма╕инн╗е п│▒▓╗ (▒оде░жа▓ н│ли). Таким об░азом, м╗ пол│╖или на╖ал╝ное
▒о▒▓о┐ние ▒и▒▓ем╗ s.
Пе░ва┐ ве╣╝, ко▓о░│╛ м╗ ▒делаем, ▒копи░│ем (и▒пол╝з│┐ опе░а╢и╛
CONTROLLED NOT) ▒оде░жимое на╕его вне╕него ░еги▒▓░а в M. За▓ем
дей▒▓в│е▓ M, и к│░▒о░ пе░е╡оди▓ на ве░╡н╛╛ пози╢и╛ на на╕ем ░и▒│нке. Далее копи░│ем в╗╡одн╗е данн╗е дей▒▓ви┐ опе░а▓о░а M во вне╕ний
в╗╡одной ░еги▒▓░. В M ▒ей╖а▒ ▒оде░жи▓▒┐ цм│▒о░ч. Тепе░╝ мен┐ем f на
NOT f и возв░а╣аем▒┐ назад по д░│гой линии на пе░екл╛╖а▓ел╝, п░о╡одим в об░а▓н│╛ ▒▓о░он│ по M, о╖и╣а┐ его о▓ цм│▒о░ач, и в▒е копи░│ем
▒нова во вне╕ний в╡одной ░еги▒▓░.
Когда в╗ ▓аким об░азом копи░│е▓е данн╗е, в╗ ╜▓о▓ ░еги▒▓░ обн│л┐е▓е. По▒ле ▓акого в╗делени┐ данн╗е │╡од┐▓ (п░и╖ем f ▓епе░╝ изменен) по
д░│гой линии, за▓ем м╗ во▒▒▓анавливаем в f н│левое зна╖ение и до▒▓игаем момен▓а t. Таким об░азом, на п░омеж│▓ке о▓ s до t м╗ ▓епе░╝ имеем
по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ │▒▓░ой▒▓в, облада╛╣и╡ ▒лед│╛╣ими ▒вой▒▓вами.
;
Ри▒. 13. О╖и▒▓ка о▓ цм│▒о░ач
В на╖але ░або▓╗ в ░еги▒▓░е, названном IN, ▒оде░жа▓▒┐ на╖ал╝н╗е
данн╗е. Во вне╕нем ░еги▒▓░е, названном OUT, ▒оде░жа▓▒┐ н│ли. Вн│▓░енний ┤лаг на╡оди▓▒┐ в положении нол╝, а бок▒ M не ▒оде░жи▓ никаки╡
данн╗╡. В ░ез│л╝▓а▓е п░оизведенн╗╡ дей▒▓вий в момен▓ t во в╡одном
24
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
░еги▒▓░е ▓ак и б│д│▓ на╡оди▓╝▒┐ в╡одн╗е данн╗е, а в╗╡одной ░еги▒▓░
▒оде░жи▓ ░ез│л╝▓а▓ дей▒▓ви┐ опе░а▓о░а M:M, однако, п░одолжае▓ б╗▓╝
п│▒▓╗м, а ┤лаг f на╡оди▓▒┐ в н│ле.
Также о╖ен╝ важн╗м дл┐ комп╝╛▓е░ной п░ог░амм╗ ┐вл┐е▓▒┐ возможно▒▓╝ и▒пол╝зовани┐ одной и ▓ой же подп░ог░амм╗ в ░азли╖ное в░ем┐. Коне╖но, ▒ логи╖е▒кой ▓о╖ки з░ени┐ ╜▓ого можно до▒▓и╖╝, запи▒ав
╜▓о▓ │╖а▒▓ок п░ог░амм╗ е╣е и е╣е ░аз, ▒▓ол╝ко ░аз, ▒кол╝ко нам необ╡одимо, но в п░ак▓и╖е▒ки╡ в╗╖и▒лени┐╡ б╗ло б╗ го░аздо л│╖╕е, е▒ли м╗
могли по▒▓░ои▓╝ ▓акой ░аздел комп╝╛▓е░а, ко▓о░╗й п░оизводил б╗ некое
╖а▒▓ное дей▒▓вие, а за▓ем и▒пол╝зова▓╝ его ▒нова и ▒нова.
Дл┐ ▓ого ╖▓об╗ показа▓╝ ▓ак│╛ возможно▒▓╝, м╗ дл┐ на╖ала п░едположим, ╖▓о нам необ╡одимо п░оизве▒▓и двойное по▒ледова▓ел╝ное пов▓о░ение оп░еделенной опе░а╢ии (▒м. ░и▒│нок 14). М╗ на╖нем в момен▓ s,
┤лаг a на╡оди▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии 0. Далее м╗ б│дем двига▓╝▒┐ вдол╝ линии, и
пе░вое, ╖▓о п░оизойде▓, | измени▓▒┐ зна╖ение a. За▓ем м╗ п░оизведем
опе░а╢и╛ M. Тепе░╝, ▓ак как зна╖ение a изменено, вме▒▓о ▓ого ╖▓об╗
│й▓и по ве░╡ней линии, ▒ ко▓о░ой м╗ на╖инали, м╗ возв░а╣аем▒┐ назад по нижней линии, ко▓о░а┐ возв░а╣ае▓ п░ог░амм│ назад на момен▓
о╖е░едного изменени┐ зна╖ени┐ ┤лага a. Таким об░азом, в▒е на╖инае▓▒┐
▒нова.
На ╜▓о▓ ░аз, п░ойд┐ ▒квоз╝ M, м╗ в╗йдем из подп░ог░амм╗ по ве░╡ней линии и ▓аким об░азом до▒▓игнем ▓е░минал╝ного момен▓а t. Гамил╝▓ониан ╜▓ой ▒и▒▓ем╗ имее▓ вид
(s; t) = (s a s + s(a + a)s + xa t + sax + tat + c:c) +
+ H (s ; t ):
И▒пол╝з│┐ ▓акие кол╝╢а ▒ пе░екл╛╖а▓елем не▒кол╝ко ░аз, м╗, коне╖но, можем до▒▓и╖╝ пов▓о░ени┐ опе░а╢ии ▒кол╝ко │годно ░аз. Нап░име░,
и▒пол╝з│┐ ▓│ же иде╛ по▒ледова▓ел╝но ▓░и ░аза под░┐д, ▒▓░о┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ гнезд, м╗ можем пов▓о░и▓╝ опе░а╢и╛ во▒ем╝ ░аз ▒ помо╣╝╛
▒╡ем╗, изоб░аженной на ░и▒│нке 15. Дл┐ ▓ого ╖▓об╗ ╜▓о ▒дела▓╝, нам
понадобило▒╝ ▓░и ┤лага: a, b и c. Флаги н│жн╗ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ можно
б╗ло пов▓о░┐▓╝ опе░а╢ии, дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ │ на▒ б╗ла возможно▒▓╝ кон▓░оли░ова▓╝ ▓о, ▒кол╝ко ░аз ╜▓а опе░а╢и┐ пов▓о░┐е▓▒┐, и в каком ме▒▓е
п░ог░амм╗ она возникае▓, в п░о▓ивном ▒л│╖ае м╗ никогда не доб╝ем▒┐
необ╡одимой нам пов▓о░┐емо▒▓и.
Подп░ог░амма в об╗╖ном комп╝╛▓е░е може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зована, обн│лена и ▒нова и▒пол╝зована без каки╡-либо запи▒ей, гово░┐╣и╡, ╖▓о п░оизо╕ло. Но в данном ▒л│╖ае │ на▒ б│д│▓ ▓акие запи▒и, ▓ак как │ на▒ е▒▓╝
H
MM
N
N
M
M
M
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
M
M
25
;
Ри╖а░д П. Фейнман
Ри▒. 14. У▒▓░ой▒▓во, дважд╗ п░оизвод┐╣ее опе░а╢и╛ M
┤лаги, │каз╗ва╛╣ие на ▓о, в каком ме▒▓е ╢икла и▒пол╝зовани┐ подп░ог░амм╗ м╗ на╡одим▒┐. Е▒ли подп░ог░амма в╗з╗вае▓▒┐ из оп░еделенного
ме▒▓а п░ог░амм╗ и должна ве░н│▓╝▒┐ в какое-ниб│д╝ д░│гое ме▒▓о, ▓о во
в░ем┐ ее в▓о░и╖ного в╗зова ее на╖ал╝ное и коне╖ное положени┐ о▓ли╖н╗
о▓ п░ед╗д│╣его ▒л│╖а┐. Нам необ╡одимо зна▓╝ и де░жа▓╝ в пам┐▓и, где
╜▓о п░ои▒╡одило и к│да п░едполагае▓▒┐ об░а▓и▓╝▒┐ индивид│ал╝но дл┐
каждого ▓акого ▒л│╖а┐, ▓аким об░азом необ╡одимо ╡░ани▓╝ бол╝╕ое коли╖е▒▓во данн╗╡. И▒пол╝зование подп░ог░амм ▒нова и ▒нова в об░а▓им╗╡
ма╕ина╡ ▓ол╝ко не▒кол╝ко ▒ложнее, ╖ем на об╗кновенн╗╡ ма╕ина╡. В▒е
╜▓и по▒▓░оени┐ по┐вили▒╝ в ░або▓а╡ Ф░едкина, То┤┤оли и Бенне▓▓а.
;
Ри▒. 15. У▒▓░ой▒▓во, п░оизвод┐╣ее опе░а╢и╛ M во▒ем╝ ░аз
С▓ало ┐▒но, ╖▓о ▒ и▒пол╝зованием ▓акого ┤лага или по▒ледова▓ел╝но▒▓и и▒пол╝з│ем╗╡ д░евовидн╗╡ ▒▓░│к▓│░ пе░екл╛╖а▓елей, м╗ могли
▒▓е░е▓╝ данн╗е в л╛бом ме▒▓е в пам┐▓и. Под пам┐▓╝╛ м╗ понимаем
ме▒▓о, где на╡од┐▓▒┐ ░еги▒▓░╗, в ко▓о░╗╡ запи▒ан╗ данн╗е и к ко▓о░╗м
об░а╣ае▓▒┐ п░ог░амма. К│░▒о░ може▓ пе░еме╣а▓╝▒┐ по ▓аким данн╗м.
Я полага╛, ╖▓о должн╗ ▒│╣е▒▓вова▓╝ и д░│гие ▒и▒▓ем╗ де░ев╝ев из пе░екл╛╖а▓елей, позвол┐╛╣ие п░оводи▓╝ к│░▒о░ в об░а▓ном нап░авлении
по▒ле запи▒и данн╗╡, п░и╖ем ▒и▒▓ема о▒▓ае▓▒┐ об░а▓имой.
26
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
;
кван▓овоме╡ани╖е▒кие комп╝╛▓е░╗
Ри▒. 16. На░а▒▓а╛╣ий ▒╖е▓╖ик (▓░е╡би▓н╗й)
На ░и▒│нке 16 показан по╕агово п░и░а╣иваем╗й бина░ной ▒╖е▓╖ик
(▒оде░жа╣ий ▓░и би▓а a, b и c, п░и╖ем c | наиболее важн╗й би▓), ко▓о░╗й
▒о╡░ан┐е▓ ин┤о░ма╢и╛ о ▓ом, ▒кол╝ко ░аз к│░▒о░ п░о╕ел о▓ s до f. Э▓и╡
п░име░ов должно б╗▓╝ вполне до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ показа▓╝, ╖▓о м╗ дей▒▓ви▓ел╝но можем по▒▓░ои▓╝ л╛б│╛ в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ ┤│нк╢и╛, и▒пол╝з│┐
на╕и пе░екл╛╖а▓ели и опе░а╢ии NOT. Нам ▓епе░╝ не▓ необ╡одимо▒▓и
п░одолжа▓╝ дл┐ │▓о╖нени┐ де▓алей.
6. Закл╛╖ение
Из п░едложенн╗╡ п░име░ов ┐▒но, ╖▓о ▓ака┐ кван▓ова┐ ма╕ина в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и и▒пол╝з│е▓ далеко не в▒е ▒пе╢и┤и╖е▒кие о▒обенно▒▓и ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений кван▓овой ме╡аники.
В▒е, ╖▓о м╗ ▒делали, ▓ак ╜▓о ▓ол╝ко ▓о, ╖▓о поп╗▓али▒╝ ими▓и░ова▓╝ на▒▓ол╝ко близко, на▒кол╝ко ╜▓о возможно, ░або▓│ ╢и┤░овой ма╕ин╗ об╣еп░ин┐▓ой а░╡и▓ек▓│░╗. Э▓о аналоги╖но ▓ом│, как м╗, и▒пол╝з│┐
▓░анзи▒▓о░╗ в об╗кновенн╗╡ комп╝╛▓е░а╡, об╗╖но не и▒пол╝з│ем ве▒╝
аналогов╗й кон▓ин││м и╡ поведени┐, а и▒пол╝з│ем и╡ ▓ол╝ко как ╢и┤░овое │▒▓░ой▒▓во ▒ ▒о▒▓о┐нием вкл╛╖ен{в╗кл╛╖ен, ▓ак как анализи░ова▓╝
▓акое логи╖е▒кое поведение п░о╣е. Более ▓ого, ▓ака┐ ▒и▒▓ема аб▒ол╛▓но
по▒ледова▓ел╝на | нап░име░, даже п░и ▒░авнении дв│╡ k{би▓н╗╡ ╖и▒ел,
в╗ должн╗ ▒░авнива▓╝ кажд╗й из би▓ов по▒ледова▓ел╝но. Воп░о▒ о ▓ом,
╖▓о надо дела▓╝ дл┐ │вели╖ени┐ ▒ко░о▒▓и в╗полнени┐ конк│░и░│╛╣и╡
опе░а╢ий на кван▓овой ▒и▒▓еме, в ╜▓ой ░або▓е не из│╖ал▒┐.
Хо▓┐ по ▓ео░е▓и╖е▒ким и академи╖е▒ким п░и╖инам м╗ из│╖али ▓ол╝ко замкн│▓╗е и об░а▓им╗е ▒и▒▓ем╗, ▓о е▒ли ▓акие к░о╕е╖н╗е ма╕ин╗
и б│д│▓ о▒│╣е▒▓влен╗ в п░ак▓ике, не▓ п░и╖ин, по╖ем│ взаимодей▒▓ви┐,
п░ивод┐╣ие к необ░а▓имо▒▓и и воз░а▒▓ани╛ ╜н▓░опии, не мог│▓ ╖а▒▓и╖но возника▓╝ во в░ем┐ о▒│╣е▒▓влени┐ опе░а╢ий на ╜▓ой ма╕ине.
К п░име░│, можно доказа▓╝ ▒ложн╗ми дли▓ел╝н╗ми в╗╖и▒лени┐ми,
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
27
Ри╖а░д П. Фейнман
╖▓о ▓огда к│░▒о░ в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и имее▓ некий п░едел, до▒▓ига┐ ко▓о░ого, он │же не може▓ ве░н│▓▒┐ об░а▓но. Или може▓ оказа▓╝▒┐ п░ак▓и╖н╗м ▒оедини▓╝ ╡░анение необ░а▓имой пам┐▓и (дл┐ ▓ой ин┤о░ма╢ии,
ко▓о░а┐ ░еже и▒пол╝з│е▓▒┐) ▒ об░а▓им╗ми логи╖е▒кими и ко░о▓кодей▒▓в│╛╣ими об░а▓им╗ми запомина╛╣ими ░еги▒▓░ами. И ▒нова, возможно,
не▓ п░и╖ин в╗▒▓░аива▓╝ длинн╗е ╢епо╖ки из ▒в┐занн╗╡ ┐╖еек дл┐ о▒│╣е▒▓влени┐ ▒в┐зи на бол╝╕и╡ ░а▒▒▓о┐ни┐╡, когда ▒в┐з╝ на ▓аки╡ ░а▒▒▓о┐ни┐╡ ▒ помо╣╝╛ ▒ве▓а или п░оводов более б╗▒▓░а┐ и п░о▒▓а┐.
Во в▒┐ком ▒л│╖ае, как каже▓▒┐, закон╗ ┤изики не зап░е╣а╛▓ │мен╝╕а▓╝ ░азме░╗ комп╝╛▓е░а до ▓е╡ по░, пока би▓╗ не до▒▓игн│▓ ░азме░ов
а▓омов и кван▓овое поведение не ▒▓ане▓ домини░│╛╣им.
Спи▒ок ли▓е░а▓│░╗
[1] C. H. Bennett, Logical Reversibility of Computation, IBM J. Res. Dev. 6, 525{532,
1979.
[2] E. Fredkin and T. Tooli, Conservative Logic, Int. J. Theor. Phys. 21, 219{253,
1982.
[3] C. H. Bennett. Thermodynamics ol Computation | A Review, Int. J. Theor.
Phys. 21, 905{940, 1982.
[4] T. Tooli, Bicontinuous Extensions ol Invertible Combinatorial Functions, Math.
Syst.Theory 14, 13{23, 1981.
[5] L. Priese, On a Simple Combinatorial Structure Sucient for Sublying Nontnvial
Self-Reoroduction, J. Cybern. 6. 101{137, 1976.
28
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
Д. Дой╖
Department of Austrophysics, South Parks Road,
Oxford OX1 3RQ. U.K.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ, ПРИНЦИП
ЧЕРЧА{ТЬЮРИНГА И УНИВЕРСАЛЬНЫЙ
КВАНТОВЫЙ КОМПЬЮТЕР
У▓ве░ждае▓▒┐,
╖▓о
п░ин┐▓ие
гипо▓ез╗
Че░╖а{Т╝╛░инга
|
не┐вное
┤изи╖е▒-
кое п░едположение. Зде▒╝ ╜▓о п░едположение п░ед▒▓авлено ┐вно как ┤изи╖е▒кий
п░ин╢ип: цкажда┐ коне╖на┐ ░еализ│ема┐ ┤изи╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема може▓ б╗▓╝ полно▒▓╝╛ п░омодели░ована │ниве░▒ал╝ной модели░│╛╣ей в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕иной,
опе░и░│╛╣ей коне╖н╗ми ▒░ед▒▓вамич.
Кла▒▒и╖е▒ка┐ ┤изика и │ниве░▒ал╝на┐ ма╕ина Т╝╛░инга по п░и╖ине неп░е░╗вно▒▓и пе░вой и ди▒к░е▓но▒▓и в▓о░ой не обе▒пе╖ива╛▓ ╜▓о▓ п░ин╢ип, по
к░айней ме░е, в в╗╕еп░иведенной ▒▓░огой ┤о░ме.
Опи▒ан кла▒▒
модели░│╛╣и╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡
ма╕ин, ▓. е. кван▓овое об-
об╣ение кла▒▒а ма╕ин Т╝╛░инга, и показано, ╖▓о кван▓ова┐ ▓ео░и┐ и ц│ниве░▒ал╝н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ч ▒овме▒▓н╗ ▒ ╜▓им п░ин╢ипом. B╗╖и▒ли▓ел╝н╗е
ма╕ин╗, во▒п░оизвод┐╣ие │ниве░▒ал╝н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, могли б╗ в
п░ин╢ипе б╗▓╝ по▒▓░оен╗ и имели б╗ много заме╖а▓ел╝н╗╡ ▒вой▒▓в, не во▒п░оизводим╗╡ никакой ма╕иной Т╝╛░инга.
Э▓и ▒вой▒▓ва не вкл╛╖а╛▓ в╗╖и▒ление не░ек│░▒ивн╗╡ ┤│нк╢ий, но вкл╛╖а╛▓ цкван▓ов╗й па░аллелизмч | ме▓од, ▒ помо╣╝╛ ко▓о░ого оп░еделенн╗е ве░о┐▓но▒▓н╗е зада╖и мог│▓ б╗▓╝ ░е╕ен╗ │ниве░▒ал╝н╗м комп╝╛▓е░ом б╗▒▓░ее,
╖ем ╜▓о може▓ ▒дела▓╝ л╛бой его кла▒▒и╖е▒кий аналог. Ин▓│и▓ивное об║┐▒нение
╜▓и╡ ▒вой▒▓в подве░гае▓ непе░ено▒имой наг░│зке в▒е ин▓е░п░е▓а╢ии кван▓овой
▓ео░ии, к░оме ин▓е░п░е▓а╢ии Эве░е▓▓а.
И▒▒лед│╛▓▒┐ неко▓о░╗е из много╖и▒ленн╗╡ ▒в┐зей межд│ кван▓овой ▓ео░ией в╗╖и▒лений и о▒▓ал╝ной ╖а▒▓╝╛ ┤изики. Кван▓ова┐ ▓ео░и┐ ▒ложно▒▓и позвол┐е▓ оп░едели▓╝ ц▒ложно▒▓╝ч или цзнаниеч ▒ ┤изи╖е▒кой ▓о╖ки з░ени┐ в о▓ли╖ие
о▓ кла▒▒и╖е▒кой ▓ео░ии.
1. В╗╖и▒ли▓ел╝н╗е
ма╕ин╗
и
п░ин╢ип
Че░╖а{
Т╝╛░инга
Тео░и┐ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ма╕ин ╕и░око ░азвивала▒╝ на п░о▓┐жении
по▒ледни╡ не▒кол╝ки╡ де▒┐▓иле▓ий. Ин▓│и▓ивно в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ ма╕ина | ╜▓о л╛ба┐ ┤изи╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема, динами╖е▒ка┐ ╜вол╛╢и┐ ко▓о░ой
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
1
Д. Дой╖
пе░еводи▓ ее о▓ одного из множе▒▓ва цв╡одн╗╡ч ▒о▒▓о┐ний к одном│ из
множе▒▓ва в╗╡одн╗╡ ▒о▒▓о┐ний. Э▓и ▒о▒▓о┐ни┐ поме╖ен╗ неко▓о░╗м канони╖е▒ким об░азом, ма╕ина го▓ови▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии ▒ заданной ме▓кой
в╡ода, и за▓ем, в▒лед за неко▓о░╗м движением, изме░┐╛▓▒┐ в╗╡одн╗е ▒о▒▓о┐ни┐. Дл┐ кла▒▒и╖е▒кой де▓е░мини░ованной ▒и▒▓ем╗ изме░енна┐ ме▓ка в╗╡ода е▒▓╝ оп░еделенна┐ ┤│нк╢и┐ f заданна┐ в╡одной ме▓кой; более
▓ого, зна╖ение ╜▓ой ме▓ки може▓ б╗▓╝ в п░ин╢ипе изме░ено вне╕ним набл╛да▓елем (ц
ч), и гово░┐▓, ╖▓о ма╕ина ц
ч ┤│нк╢и╛ f .
Две кла▒▒и╖е▒кие де▓е░мини░ованн╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ма╕ин╗ ц
ч о▓но▒и▓ел╝но данн╗╡ ░азме▓ок и╡ в╡одн╗╡
и в╗╡одн╗╡ ▒о▒▓о┐ний, е▒ли они в╗╖и▒л┐╛▓ одн│ и ▓│ же ┤│нк╢и╛ по о▓но╕ени╛ к ╜▓им ░азме▓кам. Но кван▓ов╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ма╕ин╗ и в
дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и кла▒▒и╖е▒кие ве░о┐▓но▒▓н╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ма╕ин╗
не цв╗╖и▒л┐╛▓ ┤│нк╢иич в в╗╕еп░иведенном ▒м╗▒ле: в╗╡одное ▒о▒▓о┐ние
ве░о┐▓но▒▓ной ма╕ин╗ ▒л│╖айно, изве▒▓на ли╕╝ ┤│нк╢и┐ ░а▒п░еделени┐
ве░о┐▓но▒▓ей возможн╗╡ в╗╡одов, зави▒┐╣а┐ о▓ в╡одного ▒о▒▓о┐ни┐. Хо▓┐ в╡одное ▒о▒▓о┐ние кван▓овой ма╕ин╗ полно▒▓╝╛ оп░еделено в╡одн╗м
▒о▒▓о┐нием, оно не набл╛даемо, и, зна╖и▓, пол╝зова▓ел╝ не може▓, вооб╣е гово░┐, оп░едели▓╝ его ме▓к│. Тем не менее, пон┐▓ие в╗╖и▒ли▓ел╝ной
╜квивален▓но▒▓и може▓ б╗▓╝ обоб╣ено и до п░именимо▒▓и к ▓аким ма╕инам.
М╗ ▒нова оп░еделим в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ ╜квивален▓но▒▓╝
, но ▓епе░╝ необ╡одимо опи▒а▓╝ более ▓о╖но, ╖▓о должно б╗▓╝ поме╖ено. По▒кол╝к│ ░е╖╝ иде▓ о в╡оде, ме▓ки должн╗ б╗▓╝ дан╗ в▒ем возможн╗м ▒по▒обам на╖ал╝ной подго▓овки ма╕ин╗, ко▓о░╗е
▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ по оп░еделени╛ в▒ем возможн╗м в╡одн╗м ▒о▒▓о┐ни┐м.
Э▓о иден▓и╖но кла▒▒и╖е▒ком│ де▓е░мини░ованном│ ▒л│╖а╛. Тем не менее е▒▓╝ неко▓о░а┐ а▒имме▓░и┐ межд│ в╡одом и в╗╡одом, по▓ом│ ╖▓о е▒▓╝
а▒имме▓░и┐ межд│ подго▓овкой и изме░ением: в ▓о в░ем┐ как кван▓ова┐
▒и▒▓ема може▓ б╗▓╝ подго▓овлена в л╛бом желаемом в╡одном ▒о▒▓о┐нии,
изме░ение не може▓ в об╣ем ▒л│╖ае оп░едели▓╝ ее в╗╡одное ▒о▒▓о┐ние;
вме▒▓о ╜▓ого ▒лед│е▓ изме░┐▓╝ зна╖ение неко▓о░ой изме░имой вели╖ин╗.
(На п░о▓┐жении ╜▓ой ▒▓а▓╝и ┐ б│д│ и▒пол╝зова▓╝ ка░▓ин│ Ш░единге░а, в
ко▓о░ой кван▓овое ▒о▒▓о┐ние | ┤│нк╢и┐ в░емени, но набл╛даем╗е вели╖ин╗ | по▒▓о┐нн╗е опе░а▓о░╗.) Таким об░азом, ▓о, ╖▓о може▓ б╗▓╝ поме╖ено | ╖▓о множе▒▓во │по░┐до╖енн╗╡ па░, ▒о▒▓о┐╣и╡ из в╗╡одной набл╛даемой вели╖ин╗ (в кван▓овой ▓ео░ии ╜░ми▓ов опе░а▓о░ и одно из его
▒об▒▓венн╗╡ зна╖ений). Така┐ │по░┐до╖енна┐ па░а ▒оде░жи▓ ┤ак▓и╖е▒ки
пол╝зова▓елем
в╗╖и▒л┐е▓
в╗-
╖и▒ли▓ел╝но ╜квивален▓н╗
о▓но▒и▓ел╝-
но данн╗╡ ░азме▓ок
2
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
▒пе╢и┤ика╢и╛ возможного ╜к▒пе░имен▓а, ко▓о░╗й може▓ б╗▓╝ п░оведен
▒ в╗╡одом вме▒▓е ▒ возможн╗м ░ез│л╝▓а▓ом ╜▓ого ╜к▒пе░имен▓а.
Две в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ма╕ин╗ в╗╖и▒ли▓ел╝но ╜квивален▓н╗, е▒ли в
л╛бом возможном ╜к▒пе░имен▓е из по▒ледова▓ел╝но▒▓и ╜к▒пе░имен▓ов, в
ко▓о░╗╡ в╡од╗ ╜▓и╡ ма╕ин подго▓овлен╗ ╜квивален▓но по о▓но╕ени╛ к
░азме▓кам в╡одов и изме░ен╗ набл╛даем╗е ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие вели╖ин╗
о▓но▒и▓ел╝но ░азме▓ок в╗╡одов, изме░┐ем╗е зна╖ени┐ ╜▓и╡ набл╛даем╗╡
вели╖ин дл┐ ╜▓и╡ дв│╡ ма╕ин ▒▓а▓и▒▓и╖е▒ки не░азли╖им╗. Т. е. ┤│нк╢ии
░а▒п░еделени┐ ве░о┐▓но▒▓ей в╗╡одов дв│╡ ма╕ин иден▓и╖н╗.
В ▓ол╝ко ╖▓о опи▒анном ▒м╗▒ле данна┐ ма╕ина M в╗╖и▒л┐е▓ не более одной ┤│нк╢ии. Тем не менее не должно б╗▓╝ ▒│╣е▒▓венного ░азли╖и┐ межд│ изменением в╡одного ▒о▒▓о┐ни┐, в ко▓о░ом го▓ови▓▒┐ M , и
▒и▒▓ема▓и╖е▒ким изменением │▒▓░ой▒▓ва M ▓ак, ╖▓о она ▒▓анови▓▒┐ д░│гой ма╕иной M 0, в╗╖и▒л┐╛╣ей д░│г│╛ ┤│нк╢и╛. Ч▓об╗ ┤о░мализова▓╝
▓акие опе░а╢ии, ╖а▒▓о полезно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ма╕ин╗ ▒ дв│м┐ в╡одами,
подго▓овка одного из ко▓о░╗╡ ▒о▒▓авл┐е▓ цп░ог░амм│ч, оп░едел┐╛╣│╛ ▓о,
кака┐ ┤│нк╢и┐ д░│гого в╡ода должна в╗╖и▒л┐▓╝▒┐. Каждой ▓акой ма╕ине M ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ множе▒▓во C (M ) ц M {в╗╖и▒лим╗╡ ┤│нк╢ийч. Ф│нк╢и┐ f | M {в╗╖и▒лима, е▒ли M може▓ в╗╖и▒ли▓╝ f , когда подго▓овлена
неко▓о░а┐ п░ог░амма.
Множе▒▓во C (M ) може▓ б╗▓╝ │вели╖ено │вели╖ением множе▒▓ва изменений в │▒▓░ой▒▓ве M , ко▓о░╗е ░азме╖ен╗ как возможн╗е M {п░ог░амм╗. По дв│м данн╗м ма╕инам M и M 0 можно по▒▓░ои▓╝ ▒о▒▓авн│╛
ма╕ин│, множе▒▓во в╗╖и▒лим╗╡ ┤│нк╢ий ко▓о░ой ▒оде░жи▓ об║единение C (M ) и C (M 0 ).
Не ▒│╣е▒▓в│е▓ ╖и▒▓о логи╖е▒ки╡ п░и╖ин, по ко▓о░╗м не п░иде▓▒┐
▒▓░ои▓╝ в▒е более мо╣н╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ма╕ин╗ и по
ко▓о░╗м ▒│╣е▒▓в│е▓ кака┐-либо ┤│нк╢и┐, ко▓о░а┐ на╡оди▓▒┐ за п░еделами в╗╖и▒лимого множе▒▓ва л╛бой ┤изи╖е▒ки возможной ма╕ин╗. Но
╡о▓┐ логика и не зап░е╣ае▓ ┤изи╖е▒кое в╗╖и▒ление п░оизвол╝н╗╡ ┤│нк╢ий, каже▓▒┐, ╖▓о ▓акой зап░е▓ наклад╗вае▓ ┤изика. Как ╡о░о╕о изве▒▓но, ░аз░або▓╖ик в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕ин╗ б╗▒▓░о до▒▓игае▓ ▓о╖ки, когда
добавление нового обо░│довани┐ не мен┐е▓ множе▒▓во ┤│нк╢ий, в╗╖и▒лим╗╡ ма╕иной (п░и идеализа╢ии неог░ани╖енно▒▓и пам┐▓и); более ▓ого,
дл┐ ┤│нк╢ий, о▓об░ажа╛╣и╡ множе▒▓во ╢ел╗╡ ╖и▒ел Z в ▒еб┐, множе▒▓во C (M ) в▒егда ▒оде░жи▓▒┐ в C (T ), где T | │ниве░▒ал╝на┐ в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ ма╕ина Т╝╛░инга (Т╝╛░инг, 1936). Само C (T ), ▓акже изве▒▓ное
как множе▒▓во в▒е╡ ╖а▒▓и╖но-░ек│░▒ивн╗╡ ┤│нк╢ий, пе░е╖и▒лимо и, ▒ледова▓ел╝но, бе▒коне╖но мен╝╕е, ╖ем множе▒▓во в▒е╡ ┤│нк╢ий из Z в Z0 .
до
бе▒коне╖но▒▓и
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
3
Д. Дой╖
Че░╖ (1936) и Т╝╛░инг (1936) п░едположили, ╖▓о ╜▓и ог░ани╖ени┐
на ▓о, ╖▓о може▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лено, не наклад╗ва╛▓▒┐ ни ▒о▒▓о┐нием дел
в кон▒▓░│и░овании в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ма╕ин, ни на╕ими ▒по▒обно▒▓┐ми в
изоб░е▓ении моделей в╗╖и▒лений, а ┐вл┐╛▓▒┐ │ниве░▒ал╝н╗ми. Э▓о наз╗вае▓▒┐ гипо▓езой Че░╖а{Т╝╛░инга; по Т╝╛░инг│
Гипо▓еза 1. Л╛ба┐ ┤│нк╢и┐ в╗╖и▒лима┐ в е▒▓е▒▓венном ▒м╗▒ле мо-
(1. 1)
Об╗╖н╗й не┤изи╖е▒кий под╡од к (1. 1) ин▓е░п░е▓и░│е▓ ╜▓о как квазима▓ема▓и╖е▒кое п░едположение о ▓ом, ╖▓о в▒е возможн╗е но░мализа╢ии ин▓│и▓ивного ма▓ема▓и╖е▒кого пон┐▓и┐ цалго░и▓мч или цв╗╖и▒лениеч ╜квивален▓н╗ д░│г д░│г│. Но м╗ │видим, ╖▓о ╜▓о може▓ ▓акже ░а▒▒ма▓░ива▓╝▒┐ как │▓ве░ждение нового ┤изи╖е▒кого п░ин╢ипа, ко▓о░╗й ┐
б│д│ наз╗ва▓╝
Че░╖а{Т╝╛░инга, ╖▓об╗ о▓ли╖и▓╝ его о▓ д░│ги╡ ▒лед▒▓вий и пе░е┤о░м│ли░овок │▓ве░ждени┐ (1. 1). Гипо▓еза (1. 1) и
д░│гие ┤о░м│ли░овки, ко▓о░╗е ▒│╣е▒▓в│╛▓ в ли▓е░а▓│░е (▒м. ин▓е░е▒ное об▒│ждение ░азнооб░азн╗╡ ве░▒ий Хо┤╕ад▓е░ (1979)) о╖ен╝ ▓│манна
в ▒░авнении ▒ ▓акими ┤изи╖е▒кими п░ин╢ипами, как закон╗ ▓е░модинамики или п░ин╢ип г░ави▓а╢ионной ╜квивален▓но▒▓и. Но ниже б│де▓
видно, ╖▓о мое │▓ве░ждение п░ин╢ипа Че░╖а{Т╝╛░инга (1. 2) | по ▒│╣е▒▓в│ ┤изи╖е▒кое и однозна╖ное. Я покаж│, ╖▓о оно имее▓ ▓акой же
╜пи▒▓емологи╖е▒кий ▒▓а▓│▒, как и д░│гие ┤изи╖е▒кие п░ин╢ип╗.
Я п░едлага╛ по-новом│ п░оин▓е░п░е▓и░ова▓╝ ▓╝╛░ингово пон┐▓ие
ц┤│нк╢ий, в╗╖и▒лим╗╡ в е▒▓е▒▓венном ▒м╗▒леч как ┤│нк╢ий, ко▓о░╗е
мог│▓ б╗▓╝ в п░ин╢ипе в╗╖и▒лен╗ ░еал╝ной ┤изи╖е▒кой ▒и▒▓емой. Дей▒▓ви▓ел╝но, ▓░│дно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ┤│нк╢и╛ в╗╖и▒лимой в е▒▓е▒▓венном
(п░и░одном) ▒м╗▒ле, е▒ли она не в╗╖и▒лима П░и░одой, и наобо░о▓.
Зде▒╝ ┐ оп░едел╛ пон┐▓ие
. В╗╖и▒ли▓ел╝на┐
ма╕ина M може▓ полно▒▓╝╛ п░омодели░ова▓╝ ┤изи╖е▒к│╛ ▒и▒▓ем│ Y
о▓но▒и▓ел╝но данной ░азме▓ки и╡ в╡одов и в╗╡одов, е▒ли дл┐ M ▒│╣е▒▓в│е▓ п░ог░амма (Y 0), ко▓о░а┐ делае▓ M в╗╖и▒ли▓ел╝но ╜квивален▓ной Y
о▓но▒и▓ел╝но ╜▓ой ░азме▓ки. Д░│гими ▒ловами, (Y ) п░ев░а╣ае▓ M в
ц╖е░н╗й ┐╣икч, ┤│нк╢ионал╝но нео▓ли╖им╗й о▓ Y .
Тепе░╝ ┐ мог│ ▒┤о░м│ли░ова▓╝ ┤изи╖е▒к│╛ ве░▒и╛ п░ин╢ипа Че░╖а{
Т╝╛░инга:
же▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лена │ниве░▒ал╝ной ма╕иной Т╝╛░инга.
п░ин╢ипом
полного модели░овани┐
П░едложение 1. Кажда┐ коне╖но ░еализ│ема┐ ┤изи╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема
може▓ б╗▓╝ полно▒▓╝╛ п░омодели░ована │ниве░▒ал╝ной модели░│╛╣ей
(1. 2)
Э▓а ┤о░м│ли░овка и л│╖╕е оп░еделена и имее▓ более ┤изи╖е▒кий
в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕иной, дей▒▓в│╛╣ей коне╖н╗ми ▒░ед▒▓вами.
4
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
▒м╗▒л, ╖ем ▒об▒▓венн╗й ▒по▒об Т╝╛░инга ┤о░м│ли░ова▓╝ ╜▓о (1. 1), ▓ак
как она ▒▒╗лае▓▒┐ и▒кл╛╖и▓ел╝но на ┤изи╖е▒кие пон┐▓и┐, ▓акие, как цизме░ениеч, цподго▓овкач и ц┤изи╖е▒ка┐ ▒и▒▓емач, ко▓о░╗е │же ▒│╣е▒▓в│╛▓
в ▓ео░ии изме░ений. Она избегае▓ ▓аки╡ ▓е░минов, как це▒▓е▒▓венноч, ко▓о░╗й не ложи▓▒┐ в ▒│╣е▒▓в│╛╣│╛ ▒▓░│к▓│░│ ┤изики. Пон┐▓ие цконе╖но
░еализ│ем╗е ┤изи╖е▒кие ▒и▒▓ем╗ч, о ко▓о░╗╡ гово░и▓▒┐ в (1. 2), должно
вкл╛╖а▓╝ л╛бой ┤изи╖е▒кий об║ек▓, над ко▓о░╗м возможно п░оведение
╜к▒пе░имен▓а. цУниве░▒ал╝на┐ в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ ма╕инач, ▒ д░│гой ▒▓о░он╗, должна б╗▓╝ ▓ол╝ко идеализи░ованной (но ▓ео░е▓и╖е▒ки ░аз░е╕енной) коне╖но оп░еделимой модел╝╛. Разме▓ки, на ко▓о░╗е е▒▓╝ не┐вна┐
▒▒╗лка в (1. 2), ▓акже должн╗ б╗▓╝ коне╖но оп░еделим╗ми.
С▒╗лка в (1. 1) на о▒об│╛ │ниве░▒ал╝н│╛ ма╕ин│ (Т╝╛░инга) по необ╡одимо▒▓и заменена в (1. 2) на более об╣ее ▓░ебование ▓ого, ╖▓о ╜▓а
ма╕ина дей▒▓в│е▓ цконе╖н╗ми ▒░ед▒▓вамич. Пон┐▓ие цконе╖н╗╡ ▒░ед▒▓вч
може▓ б╗▓╝ оп░еделено ак▒иома▓и╖е▒ки без ог░ани╖и▓ел╝н╗╡ п░едположений о ┤изи╖е▒ки╡ закона╡ (▒░. Ганди, 1980).
По▒кол╝к│ м╗ можем п░ед▒▓ави▓╝, ╖▓о дей▒▓вие в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕ин╗ п░о╡оди▓ ╖е░ез по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ╕агов, дли▓ел╝но▒▓╝ ко▓о░╗╡
имее▓ нен│лев│╛ нижн╛╛ г░ани╢│, ▓о она дей▒▓в│е▓ цконе╖н╗ми ▒░ед▒▓вамич, е▒ли (i) ▓ол╝ко коне╖на┐ под▒и▒▓ема (╡о▓┐ и не в▒егда одна и ▓а же)
на╡оди▓▒┐ в движении на п░о▓┐жении одного ╕ага, (ii) движение зави▒и▓
▓ол╝ко о▓ ▒о▒▓о┐ни┐ коне╖ной под▒и▒▓ем╗ и (iii) п░авило, ко▓о░ое оп░едел┐е▓ движение, може▓ б╗▓╝ задано коне╖н╗м в ма▓ема▓и╖е▒ком ▒м╗▒ле (нап░име░, как ╢елое ╖и▒ло). Ма╕ин╗ Т╝╛░инга │довле▓во░┐╛▓ ╜▓им
│▒лови┐м, им ▓акже │довле▓во░┐е▓ и │ниве░▒ал╝н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ Q (▒м. x II).
У▓ве░ждение п░ин╢ипа Че░╖а{Т╝╛░инга (1. 2) ▒ил╝нее, ╖ем ▓о, ╖▓о
ог░ани╖енно в╗н│ждае▓▒┐ │▓ве░ждением (1. 1). Дей▒▓ви▓ел╝но, оно на▒▓ол╝ко ▒ил╝но, ╖▓о не │довле▓во░┐е▓▒┐ ма╕иной Т╝╛░инга в кла▒▒и╖е▒кой ┤изике. Благода░┐ неп░е░╗вно▒▓и кла▒▒и╖е▒кой динамики, возможн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ кла▒▒и╖е▒кой ▒и▒▓ем╗ необ╡одимо ▒о▒▓авл┐╛▓ кон▓ин││м.
Но ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓ол╝ко ▒╖е▓ное множе▒▓во ▒по▒обов подго▓овки коне╖ного
в╡ода дл┐ T . Следова▓ел╝но, T не може▓ полно▒▓╝╛ модели░ова▓╝ л╛б│╛ кла▒▒и╖е▒к│╛ динами╖е▒к│╛ ▒и▒▓ем│. (Хо░о╕о из│╖енна┐ ▓ео░и┐
цмодели░овани┐ч неп░е░╗вн╗╡ ▒и▒▓ем по▒░ед▒▓вом T ░а▒▒ма▓░ивае▓ не
полное модели░ование в моем ▒м╗▒ле, а по▒ледова▓ел╝н╗е ди▒к░е▓н╗е
апп░ок▒има╢ии.) В x III ┐ покаж│, ╖▓о ▒ на╕им ▒ов░еменн╗м знанием
о взаимодей▒▓ви┐╡, ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ в п░и░оде, ▒огла▒│е▓▒┐ ▓о, ╖▓о кажда┐ ░еал╝на┐ (ди▒▒ипа▓ивна┐) коне╖на┐ ▒и▒▓ема може▓ б╗▓╝ полно▒▓╝╛
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
5
Д. Дой╖
п░омодели░ована │ниве░▒ал╝н╗м кван▓ов╗м комп╝╛▓е░ом Q. Таким об░азом, кван▓ова┐ ▓ео░и┐ ▒овме▒▓има ▒ ▒ил╝ной ┤о░мой (1. 2) п░ин╢ипа
Че░╖а{Т╝╛░инга.
Тепе░╝ ┐ пе░е╡ож│ к моем│ а░г│мен▓│ о ▓ом, ╖▓о (1. 2) | ╜мпи░и╖е▒кое │▓ве░ждение. Об╗╖н╗й к░и▓е░ий ╜мпи░и╖е▒кого ▒▓а▓│▒а ▓ео░ии | ╜▓о к░и▓е░ий ее ╜мпи░и╖е▒кой ┤ал╝▒и┤и╢и░│емо▒▓и | │▒▓ановлени┐ ▒ложно▒▓и (Popper, 1959), ▓. е. ▒│╣е▒▓в│╛▓ по▓ен╢иал╝н╗е набл╛дени┐, ко▓о░╗е могли б╗ п░о▓иво░е╖и▓╝ ей. Но по▒кол╝к│ более гл│бокие
▓ео░ии м╗ наз╗ваем цп░ин╢ипамич, ▓о м╗ гово░им ▓ол╝ко об оп╗▓а╡
д░│гие ▓ео░ии, к░и▓е░ий ┤ал╝▒и┤и╢и░│емо▒▓и должен в каждом ▒л│╖ае п░имен┐▓▒┐ ко▒венно. Нап░име░, п░ин╢ип ▒о╡░анени┐ ╜не░гии ▒ам по
▒ебе не може▓ п░о▓иво░е╖и▓╝ каком│-ниб│д╝ под╡од┐╣ем│ набл╛дени╛,
по▒кол╝к│ он не ▒оде░жи▓ оп░еделени┐ ▓ого, как изме░┐▓╝ ╜не░ги╛. Т░е▓ий закон ▓е░модинамики, ┤о░ма ко▓о░ого:
ц
ч,(1.3)
имее▓ не╖▓о об╣ее ▒ ┤о░мой п░ин╢ипа Че░╖а{Т╝╛░инга, ▓акже не ┐вл┐е▓▒┐ п░┐м╗м об░азом оп░ове░жим╗м: никакое изме░ение ▓емпе░а▓│░╗
коне╖ной ▓о╖но▒▓и не може▓ о▓ли╖и▓╝ аб▒ол╛▓н╗й н│л╝ о▓ п░оизвол╝но
малой положи▓ел╝ной ▓емпе░а▓│░╗. Подобн╗м об░азом, по▒кол╝к│ ╖и▒ло
возможн╗╡ п░ог░амм дл┐ │ниве░▒ал╝ного комп╝╛▓е░а коне╖но, ▓о, вооб╣е гово░┐, никакой ╜к▒пе░имен▓ не може▓ │▒▓анови▓╝, ╖▓о ни одна из
ни╡ не може▓ модели░ова▓╝ ▒и▒▓ем│, п░е▓енд│╛╣│╛ б╗▓╝ кон▓░п░име░ом (1. 2). Но в▒е ╜▓о не в╗но▒и▓ цп░ин╢ип╗ч за п░едел╗ обла▒▓и дей▒▓вий ╜мпи░и╖е▒ки╡ на│к. Наобо░о▓, они ▒о▒▓авл┐╛▓ ▒│╣е▒▓венн│╛ о▒нов│
на ко▓о░ой ┤о░м│ли░│╛▓▒┐ непо▒░ед▒▓венно п░ове░┐ем╗е ▓ео░ии. П░о▓иво░е╖и▓ ли данна┐ ┤изи╖е▒ка┐ ▓ео░и┐ п░ин╢ип│, │▒▓анавливае▓▒┐ ╖и▒▓о логи╖е▒ки. Таким об░азом, е▒ли непо▒░ед▒▓венно п░ове░┐ема┐ ▓ео░и┐
в╗де░живае▓ ░е╕а╛╣ие ▓е▒▓╗, но п░о▓иво░е╖и▓ п░ин╢ип│, ▓о ╜▓о▓ п░ин╢ип должен б╗▓╝ о▓ве░гн│▓, ╡о▓┐ и ко▒венно. Е▒ли в▒е ╜к▒пе░имен▓ал╝но
п░ове░енн╗е ▓ео░ии │довле▓во░┐╛▓ ог░ани╖ива╛╣ем│ п░ин╢ип│, ▓о ╜▓о▓
п░ин╢ип ▒╖и▓ае▓▒┐ п░ове░енн╗м и ▒▓анови▓▒┐, ▒ одной ▒▓о░он╗, ░│ковод▒▓вом в кон▒▓░│и░овании нов╗╡ ▓ео░ий и, ▒ д░│гой ▒▓о░он╗, ▒░ед▒▓вом
более гл│бокого понимани┐ ▒оде░жани┐ ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ▓ео░ий.
Ча▒▓о │▓ве░ждае▓▒┐, ╖▓о л╛ба┐ ц░аз│мна┐ч
(в п░о▓ивоположно▒▓╝ ма▓ема▓и╖е▒кой) модел╝ в╗╖и▒лени┐, по к░айней ме░е дл┐
де▓е░мини░ованного в╗╖и▒лени┐ ┤│нк╢ий из Z в Z, ╜квивален▓на ▓╝╛░инговой. Но ╜▓о не ▓ак: не▓ ни какой
п░и╖ин╗, по ко▓о░ой
┤изи╖е▒кие закон╗ должн╗ ▒обл╛да▓╝ ог░ани╖ени┐ ма▓ема▓и╖е▒ки╡ п░о╖е-
░ез
Никакой коне╖н╗й п░о╢е▒▒ не може▓ │мен╝╕и▓╝ ╜н▓░опи╛ ▒и▒▓ем╗
или ▓емпе░а▓│░│ коне╖но ░еализ│емой ┤изи╖е▒кой ▒и▒▓ем╗ до н│л┐
┤изи╖е▒ка┐
ап░ио░ной
6
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
╢е▒▒ов, ко▓о░╗е м╗ наз╗ваем цалго░и▓мамич (▓. е. ┤│нк╢и┐ми C (T )). Хо▓┐ ┐ не на╕ел необ╡одим╗м в данной ▒▓а▓╝е ╜▓о дела▓╝, но не▓ па░адок▒ал╝ного или п░о▓иво░е╖ивого в по▒▓│ли░овании ┤изи╖е▒ки╡ ▒и▒▓ем,
ко▓о░╗е в╗╖и▒л┐╛▓ ┤│нк╢ии не из C (T ).
Мог│▓ б╗▓╝ ╜к▒пе░имен▓ал╝но п░ове░┐ем╗е ▓ео░ии ▒ ▓аким ╜┤┤ек▓ом: нап░име░, ░а▒▒мо▓░им л╛бое ░ек│░▒ивно пе░е╖и▒лимое не░ек│░▒ивное множе▒▓во (▓акое, как множе▒▓во ╢ел╗╡ ╖и▒ел, п░ед▒▓авл┐╛╣и╡ п░ог░амм╗ дл┐ заве░╕а╛╣и╡▒┐ алго░и▓мов на данной ма╕ине Т╝╛░инга).
В п░ин╢ипе, ┤изи╖е▒ка┐ ▓ео░и┐ могла б╗ име▓╝ ▒░еди ▒вои╡ ▒лед▒▓вий
▓о, ╖▓о неко▓о░ое ┤изи╖е▒кое │▒▓░ой▒▓во F може▓ в╗╖и▒ли▓╝ за оп░еделенное в░ем┐, п░инадлежи▓ ли п░оизвол╝ное ╢елое ╖и▒ло ╜▓ом│ множе▒▓в│. Э▓а ▓ео░и┐ б╗ла б╗ ╜к▒пе░имен▓ал╝но оп░ове░гн│▓а, е▒ли б╗ более
п░о▒▓ой комп╝╛▓е░ ▓╝╛░ингового ▓ипа, зап░ог░амми░ованн╗й дл┐ ▓ого,
╖▓об╗ пе░е╖и▒ли▓╝ ╖▓о множе▒▓во, когда-ниб│д╝ не ▒огла▒ил▒┐ б╗ ▒ F .
(Коне╖но, ▓ео░и┐ делала б╗ и д░│гие п░ед▒казани┐, ина╖е она не б╗ла б╗
не▓░ивиал╝но
, и ее ▒▓░│к▓│░а б╗ла б╗ ▓акой, ╖▓о ╜кзо▓и╖е▒кие п░ед▒казани┐ об F не могли б╗ е▒▓е▒▓венно пол│╖а▓╝▒┐ из д░│гого
┤изи╖е▒кого ▒оде░жани┐. В▒е ╜▓о логи╖е▒ки возможно.)
С д░│гой ▒▓о░он╗, нео╖евидно
, ╖▓о л╛ба┐ из изве▒▓н╗╡ ░ек│░▒ивн╗╡ ┤│нк╢ий в╗╖и▒лима в ┤изи╖е▒кой ░еал╝но▒▓и. П░и╖ин╗ ▓ого,
по╖ем│ м╗ на╡одим возможн╗м ▒кон▒▓░│и░ова▓╝, нап░име░, ╜лек▓░онн╗й кал╝к│л┐▓о░ и по╖ем│ м╗ в ▒амом деле можем в╗полн┐▓╝ а░и┤ме▓и╖е▒кие дей▒▓ви┐ в │ме, не мог│▓ б╗▓╝ найден╗ в ма▓ема▓ике или логике.
,
▓аки╡ как ▒ложение, в╗╖и▓ание и │множение. Е▒ли б╗ ╜▓о б╗ло не ▓ак, ▓о
╜▓и изве▒▓н╗е опе░а╢ии б╗ли б╗ нев╗╖и▒лим╗ми ┤│нк╢и┐ми. М╗ могли
б╗ ▓ем не менее зна▓╝ о ни╡ и и▒пол╝зова▓╝ и╡ в ма▓ема▓и╖е▒ки╡ доказа▓ел╝▒▓ва╡ (ко▓о░╗е изна╖ал╝но наз╗вали▒╝ б╗ цнекон▒▓░│к▓ивн╗мич),
но м╗ не могли б╗ в╗полни▓╝ и╡.
Е▒ли динамика неко▓о░╗╡ ┤изи╖е▒ки╡ ▒и▒▓ем зави▒ела б╗ о▓ ┤│нк╢ии не из C (T ), ▓о ▓акие ▒и▒▓ем╗ могли б╗ в п░ин╢ипе и▒пол╝зова▓╝▒┐
дл┐ в╗╖и▒лени┐ ╜▓ой ┤│нк╢ии. Чей▓ин (1977) показал, как и▒▓инно▒▓н╗е
зна╖ени┐ в▒е╡ цин▓е░е▒н╗╡ч не ░аз░е╕им╗╡ по Т╝╛░инг│ │▓ве░ждений
данной ┤о░мал╝ной ▒и▒▓ем╗ мог│▓ б╗▓╝ запи▒ан╗ в виде ▓абли╢╗ о╖ен╝
╜┤┤ек▓ивно как пе░в╗е не▒кол╝ко зна╖а╣и╡ ╢и┤░ одной ┤изи╖е▒кой кон▒▓ан▓╗. Но е▒ли б╗ ╜▓о б╗ло ▓ак, ▓о можно б╗ло б╗ воз░ази▓╝, ╖▓о м╗ б╗
об ╜▓ом никогда не │знали, по▓ом│ ╖▓о м╗ не могли б╗ п░ове░и▓╝ ▓о╖но▒▓╝ ц▓абли╢╗ч, п░едо▒▓авленной п░и░одой. Э▓о забл│ждение. П░и╖ина,
п░ове░┐емой
a priori
П░и╖ина ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о закон╗ ┤изики цоказали▒╝ч ▓акими, ╖▓о
░аз░е╕а╛▓ ▒│╣е▒▓вование ┤изи╖е▒ки╡ моделей дл┐ опе░а╢ий а░и┤ме▓ики
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
7
Д. Дой╖
по ко▓о░ой м╗ ве░им в ▓о, ╖▓о ма╕ин╗, ко▓о░╗е м╗ наз╗ваем кал╝к│л┐▓о░ами, на ▒амом деле в╗╖и▒л┐╛▓ а░и┤ме▓и╖е▒кие ┤│нк╢ии, ко▓о░╗е
им п░едпи▒ано в╗╖и▒л┐▓╝, не в ▓ом, ╖▓о м╗ можем цп░ове░и▓╝ч и╡ о▓ве▓╗, ▓ак как ╜▓о к░айне бе▒полезн╗й п░о╢е▒▒ ▒░авнени┐ одной ма╕ин╗
▒ д░│гой. Quis custodiet custodias ipsos? На▒▓о┐╣а┐ п░и╖ина в ▓ом, ╖▓о
м╗ ве░им в де▓ал╝н│╛ ┤изи╖е▒к│╛ ▓ео░и╛, ко▓о░а┐ б╗ла и▒пол╝зована
п░и и╡ кон▒▓░│и░овании. Э▓а ▓ео░и┐, вкл╛╖а┐ │▓ве░ждени┐ о ▓ом, ╖▓о
аб▒▓░ак▓н╗е ┤│нк╢ии а░и┤ме▓ики ░еализован╗ в п░и░оде ╜мпи░и╖е▒ка┐.
2. Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗
Л╛ба┐ ▒│╣е▒▓в│╛╣а┐ об╣а┐ модел╝ в╗╖и▒лений | ╜┤┤ек▓ивно кла▒▒и╖е▒ка┐. Т. е. полное опи▒ание ее ▒о▒▓о┐ни┐ в кажд╗й момен▓ ╜квивален▓но оп░еделени╛ множе▒▓ва ╖и▒ел, в▒е ╜▓и ╖и▒ла в п░ин╢ипе изме░им╗. Однако в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ кван▓овой ▓ео░ией ▒и▒▓ем ▒ ▓аким ▒вой▒▓вом не ▒│╣е▒▓в│е▓. То▓ ┤ак▓, ╖▓о кла▒▒и╖е▒ка┐ ┤изика и кла▒▒и╖е▒ка┐ │ниве░▒ал╝на┐ ма╕ина Т╝╛░инга не обе▒пе╖ива╛▓ п░ин╢ипа Че░╖а{
Т╝╛░инга в ▒▓░огой ┤изи╖е▒кой ┤о░ме (1. 2) | одна из мо▓ива╢ий пои▒ка
и▒▓инно кван▓овой модели. Более на▒▓о┐▓ел╝на┐ мо▓ива╢и┐, коне╖но, ▓о,
╖▓о кла▒▒и╖е▒ка┐ ┤изика ложна.
Бенно┤ (1982) по▒▓░оил модел╝ в╗╖и▒лени┐ в ░амка╡ кван▓овой кинема▓ики и динамики, но в▒е е╣е ╜┤┤ек▓ивно кла▒▒и╖е▒к│╛ в в╗╕е│пом┐н│▓ом ▒м╗▒ле. Она по▒▓░оена ▓ак, ╖▓о в кон╢е одно из ╡а░ак▓е░н╗╡
кван▓ов╗╡ ▒вой▒▓в | ин▓е░┤е░ен╢и┐, нео▓делимо▒▓╝, неде▓е░минизм |
не обна░│живае▓▒┐. Ее в╗╖и▒ление може▓ б╗▓╝ полно▒▓╝╛ п░омодели░овано ма╕иной Т╝╛░инга.
Фейнман (1982) подо╕ел е╣е на один ╕аг к на▒▓о┐╣ем│ кван▓овом│
комп╝╛▓е░│ ▒ его ц│ниве░▒ал╝н╗м кван▓ов╗м ▒им│л┐▓о░омч. Он ▒о▒▓ои▓ из ░е╕е▓ки ▒пинов╗╡ ▒и▒▓ем ▒ взаимодей▒▓ви┐ми ближни╡ ▒о▒едей,
ко▓о░╗е мог│▓ ▒вободно опи▒╗ва▓╝▒┐. Хо▓┐ он може▓ ▒ │ве░енно▒▓╝╛ модели░ова▓╝ л╛б│╛ ▒и▒▓ем│ ▒ коне╖н╗м п░о▒▓░ан▒▓вом ▒о▒▓о┐ний (┐ не
понима╛, по╖ем│ Фейнман ▒омневае▓▒┐, ╖▓о он може▓ модели░ова▓╝ ▒и▒▓ем│ ┤е░мионов), он не ┐вл┐е▓▒┐ в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕иной в ▒м╗▒ле ╜▓ой
▒▓а▓╝и. цП░ог░амми░ованиеч ▒им│л┐▓о░а ▒о▒▓ои▓ в на▒▓░ойке его в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ желаем╗ми динами╖е▒кими законами и за▓ем в п░иведении
его в ▓░еб│емое на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние. Но ме╡анизм, ко▓о░╗й позвол┐е▓
в╗б░а▓╝ п░оизвол╝н╗е динами╖е▒кие закон╗, не модели░│е▓▒┐. Динамика на▒▓о┐╣его цкомп╝╛▓е░ач в моем ▒м╗▒ле должна б╗▓╝ за┤ик▒и░ована
8
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
░аз и нав▒егда, а п░ог░амми░ование должно ▒о▒▓о┐▓╝ ╢еликом в подго▓овке его в под╡од┐╣ее
(или ▒ме╕анн╗й ▒л│╖ай).
Ал╝бе░▓ (1983) опи▒ал кван▓ово-ме╡ани╖е▒кий изме░и▓ел╝н╗й цав▓ома▓ч и заме▓ил, ╖▓о его ▒вой▒▓во изме░┐▓╝ ▒амого ▒еб┐ не имее▓ аналогов
▒░еди кла▒▒и╖е▒ки╡ ав▓ома▓ов. Ав▓ома▓╗ Ал╝бе░▓а, ╡о▓┐ и не ┐вл┐╛▓▒┐
в╗╖и▒ли▓ел╝н╗ми ма╕инами об╣его назна╖ени┐, ▒│▓╝ на▒▓о┐╣ие кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗, ╖лен╗ ╜▓ого об╣его кла▒▒а, ко▓о░╗й ┐ б│д│ из│╖а▓╝
в ╜▓ом ░азделе.
В ╜▓ом ░азделе ┐ п░ед▒▓авл┐╛ об╣│╛, полно▒▓╝╛ кван▓ов│╛ модел╝
в╗╖и▒лений. За▓ем ┐ опи╕│ │ниве░▒ал╝н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ Q, ко▓о░╗й може▓ полно▒▓╝╛ модели░ова▓╝ л╛б│╛ коне╖н│╛ ░еализ│ем│╛
▒и▒▓ем│. Он може▓ модели░ова▓╝ идеал╝н╗е замкн│▓╗е ▒и▒▓ем╗ н│левой ▓емпе░а▓│░╗, вкл╛╖а┐ в▒е д░│гие п░име░╗ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов
и кван▓ов╗╡ ▒им│л┐▓о░ов ▒ п░оизвол╝но в╗▒окой но не полной ▓о╖но▒▓╝╛. П░и в╗╖и▒лении ▒▓░оги╡ ┤│нк╢ий из Z в Z он гене░и░│е▓ в ▓о╖но▒▓и кла▒▒и╖е▒кие ░ек│░▒ивн╗е ┤│нк╢ии C (T ) (│▓ве░ждение п░ин╢ипа
╜квивален▓но▒▓и). В о▓ли╖ие о▓ T он може▓ модели░ова▓╝ л╛бое коне╖ное кла▒▒и╖е▒кое ▒вой▒▓во ди▒к░е▓ного ▒л│╖айного п░о╢е▒▒а. Более ▓ого,
как м╗ │видим в x III, │ него е▒▓╝ много заме╖а▓ел╝н╗╡ возможно▒▓ей,
ко▓о░╗е не име╛▓ кла▒▒и╖е▒ки╡ аналогов.
Как и ма╕ина Т╝╛░инга, модел╝ кван▓ового комп╝╛▓е░а Q ▒о▒▓ои▓
из дв│╡ компонен▓: коне╖ного
и бе▒коне╖ной
, из ко▓о░ой в кажд╗й момен▓ и▒пол╝з│е▓▒┐ ▓ол╝ко коне╖на┐ ╖а▒▓╝. В╗╖и▒ление
закл╛╖ае▓▒┐ в в╗полнении ╕агов ┤ик▒и░ованной п░одолжи▓ел╝но▒▓и T ,
и на п░о▓┐жении каждого ╕ага взаимодей▒▓в│╛▓ ▓ол╝ко п░о╢е▒▒о░ и коне╖на┐ ╖а▒▓╝ пам┐▓и, о▒▓ал╝на┐ пам┐▓╝ о▒▓ае▓▒┐ ▒▓а▓и╖ной.
П░о╢е▒▒о░ ▒о▒▓ои▓ из M набл╛даем╗╡ вели╖ин ▒ дв│м┐ ▒о▒▓о┐ни┐ми
fnbig (i 2 ZM );
(2.1)
где ZM | множе▒▓во ╢ел╗╡ ╖и▒ел о▓ 0 до M ; 1. Пам┐▓╝ ▒о▒▓ои▓ из
бе▒коне╖ной по▒ледова▓ел╝но▒▓и
fmb ig (i 2 Z);
(2.2)
набл╛даем╗╡ вели╖ин ▒ дв│м┐ ▒о▒▓о┐ни┐ми. Э▓о ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ бе▒коне╖но длинной цлен▓еч пам┐▓и в ма╕ине Т╝╛░инга. Я б│д│ обозна╖а▓╝ fnbgi
c. Положени╛ лен▓╗ ма╕ин╗ Т╝╛░инв ╢елом как на nb , а fmb g1 | как m
га ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ вели╖ина xb, ко▓о░а┐ в ка╖е▒▓ве множе▒▓ва ▒о▒▓о┐ний
имее▓ в▒е множе▒▓во Z. Набл╛даема┐ вели╖ина xb цад░е▒│е▓ч номе░ ме▒▓а
▒о▒▓о┐ние
п░о╢е▒▒о░а
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
пам┐▓и
9
Д. Дой╖
лен▓╗, ▒кани░│емого в на▒▓о┐╣ий момен▓. По▒кол╝к│ цлен▓ач | бе▒коне╖но длинна┐, но на╡оди▓▒┐ в движении на п░о▓┐жении в╗╖и▒лений, она
не должна б╗▓╝ же▒▓кой или ее нел╝з┐ за▒▓ави▓╝ двига▓╝▒┐ цконе╖н╗м
▒по▒обомч. Ме╡анизм, ко▓о░╗й движе▓ лен▓│ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ ▒игналами,
пе░едаваем╗ми ▒ коне╖ной ▒ко░о▒▓╝╛ ▓ол╝ко межд│ ▒межн╗ми ▒егмен▓ами, должен │довле▓во░┐▓╝ ▓░ебовани╛ цконе╖ного ▒по▒обач и должен
б╗▓╝ до▒▓а▓о╖н╗м, ╖▓об╗ в╗полни▓╝, ▓о ╖▓о опи▒ано далее. Удовле▓во░ив╕и▒╝ ▓ем, ╖▓о ▓акой ме╡анизм возможен, м╗ не н│ждаем▒┐ в ▓ом,
╖▓об╗ модели░ова▓╝ его ┐вно. Таким об░азом, ▒о▒▓о┐ние Q | едини╖н╗й век▓о░ в п░о▒▓░ан▒▓ве H , на▓┐н│▓ом на об║единенн╗е ▒об▒▓венн╗е
век▓о░а
jx; n ; m i jx; n0; n1; : : : ; nM ;1; : : : ; m;1; m0 ; m1; : : : i
(2.3)
c, поме╖енн╗е cоо▓ве▓▒▓в│╛╣ими ▒об▒▓венн╗ми зна╖евели╖ин xb; nb ; m
ни┐ми x; n ; m . Я наз╗ва╛ (2. 3) ц▒о▒▓о┐ни┐ми в╗╖и▒ли▓ел╝ного бази▒ач.
Удобно ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о ▒пек▓░ на╕и╡ набл╛даем╗╡ вели╖ин ▒ дв│м┐ ▒о▒▓о┐ни┐ми | Z2, ▓. е. множе▒▓во f0; 1g, а не f; 21 ; + 12 g как ╜▓о об╗╖но ▒╖и▓ае▓▒┐ в ┤изике. Набл╛даема┐ вели╖ина ▒о ▒пек▓░ом f0; 1g имее▓ е▒▓е▒▓венн│╛ ин▓е░п░е▓а╢и╛ как одноби▓ов╗й ╜лемен▓ пам┐▓и.
Динамика Q оп░едел┐е▓▒┐ в об╣ем │ни▓а░н╗м опе░а▓о░ом U на H .
Опе░а▓о░ U опи▒╗вае▓ ╜вол╛╢и╛ л╛бого ▒о▒▓о┐ни┐ j(t)i 2 H (в ка░▓ине
Ш░единге░а во в░ем┐ t) на п░о▓┐жении одного ╕ага в╗╖и▒лени┐,
j(nT )i = U n j(0)i (n 2 Z+);
(2.4)
U + U = UU + = b1:
(2.5)
Нам не н│жно оп░едел┐▓╝ ▒о▒▓о┐ние в момен▓╗ в░емени, о▓ли╖н╗е о▓ нео▓░и╢а▓ел╝н╗╡ ╢ел╗╡ к░а▓н╗╡ T . В╗╖и▒ление на╖инае▓▒┐ в t = 0. В ╜▓о▓
момен▓ в░емени xb и nb го▓ов┐▓▒┐ ▒ н│лев╗м зна╖ением, ▒о▒▓о┐ние коне╖c го▓ов┐▓▒┐ как цп░ог░аммач и цв╡одч в ▒м╗▒ле x I,
ного ╖и▒ла ╜лемен▓ов m
а о▒▓ав╕ие▒┐ ╜лемен▓╗ │▒▓анавлива╛▓▒┐ в н│лев╗е ▒о▒▓о┐ни┐. Таким об░азом
9
X
j(0)i = m j0; 0; m i ; >
>
=
m
(2.6)
X
>
>
jm j2 = 1;
;
m
где ▓ол╝ко коне╖ное ╖и▒ло m | нен│лев╗е и m ▒▓анов┐▓▒┐ н│лев╗ми,
как ▓ол╝ко бе▒коне╖ное ╖и▒ло m | нен│левое.
10
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
Ч▓об╗ │довле▓во░и▓╝ ▓ом│ ▓░ебовани╛, ╖▓о Q дей▒▓в│е▓ цконе╖н╗м
об░азомч, ╜лемен▓╗ ма▓░и╢╗ U име╛▓ ▒лед│╛╣ий вид:
0
x ; n 0; m 0 ; U jx; n ; m i =
Y
= xx+1 U +(n 0 ; m0xjn mx) + xx;1 U ;(n 0; m0xjn ; mx) mmyy : (2.7)
0
0
y6=x
0
П░оизведение в п░авой ╖а▒▓и обе▒пе╖ивае▓ ▓о, ╖▓о ▓ол╝ко один, x-й, би▓
пам┐▓и │╖а▒▓в│е▓ в в╗╖и▒лении. Член╗ xx1 обе▒пе╖ива╛▓ ▓о, ╖▓о на п░о▓┐жении каждого ╕ага пози╢и┐ лен▓╗ x не може▓ измени▓▒┐ более ╖ем
на едини╢│ впе░ед или назад или в обе ▒▓о░он╗. Ф│нк╢ии U (n 0 m0jn m),
ко▓о░╗е п░ед▒▓авл┐╛▓ динами╖е▒кое движение, зави▒┐╣ее ▓ол╝ко о▓ цлокал╝н╗╡ч набл╛даем╗╡ вели╖ин nb и mb x п░оизвол╝н╗ за и▒кл╛╖ением
▓░ебований (2. 5), ╖▓о U | │ни▓а░ен. Кажд╗й в╗бо░ оп░едел┐е▓ нов╗й
кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ Q[U +; U ;].
Гово░┐▓, ╖▓о ма╕ина Т╝╛░инга цо▒▓анавливае▓▒┐ч, ▒ооб╣а┐ о кон╢е
в╗╖и▒лени┐, когда 2 по▒ледова▓ел╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐ иден▓и╖н╗. цП░авил╝нойч наз╗вае▓▒┐ п░ог░амма, в╗з╗ва╛╣а┐ о▒▓ановк│ ма╕ин╗ по▒ле коне╖ного ╖и▒ла ╕агов. Тем не менее, (2. 4) показ╗вае▓, ╖▓о два по▒ледова▓ел╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а Q никогда не мог│▓ ▒овпа▒▓╝ по▒ле
не▓░ивиал╝ного в╗╖и▒лени┐. (Э▓о ве░но дл┐ л╛бого об░а▓имого комп╝╛▓е░а.)
Более ▓ого, Q не должен набл╛да▓╝▒┐ до ▓ого, как в╗╖и▒ление закон╖и▓▒┐, по▒кол╝к│ ╜▓о б╗, в об╣ем ▒л│╖ае, изменило его ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее
▒о▒▓о┐ние. По╜▓ом│, ▓░еб│е▓▒┐, ╖▓об╗ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ ак▓ивно
▒игнализи░овали о ▓ом, ╖▓о они о▒▓анавлива╛▓▒┐. Дл┐ ╜▓ой ╢ели должен
б╗▓╝ в╗б░ан один из вн│▓░енни╡ би▓ов п░о╢е▒▒о░а, нап░име░ nb0. Кажда┐
п░авил╝на┐ Q{п░ог░амма │▒▓анавливае▓ n0 в 1, когда она о▒▓анавливае▓▒┐, и не взаимодей▒▓в│е▓ ▒ nb0 в д░│ги╡ ▒л│╖а┐╡. Тогда набл╛даема┐
вели╖ина nb0 може▓ пе░иоди╖е▒ки набл╛да▓╝▒┐ извне без вли┐ни┐ на дей▒▓вие Q. Аналог кла▒▒и╖е▒кого │▒лови┐ o п░авил╝но▒▓и п░ог░амм╗ може▓
закл╛╖а▓╝▒┐ в ▓ом, ╖▓о ма▓ема▓и╖е▒кое ожидание зна╖ени┐ nb0 должно
пе░ей▓и в едини╢│ за коне╖ное в░ем┐. Тем не менее, ┤изи╖е▒ки ░аз│мно
░аз░е╕и▓╝ более ╕и░окий кла▒▒ Q{п░ог░амм. Q{п░ог░амма п░авил╝на,
е▒ли ма▓ема▓и╖е▒кое ожидание ее
коне╖но.
По п░и╖ине │ни▓а░но▒▓и динамика Q, как динамика л╛бой кван▓овой ▒и▒▓ем╗ необ╡одимо об░а▓има. С д░│гой ▒▓о░он╗, ма╕ин╗ Т╝╛░инга
▒ове░╕а╛▓ необ░а▓им╗е изменени┐ в п░о╢е▒▒е в╗╖и▒лений и до недавнего
в░емени дей▒▓ви▓ел╝но б╗л ╕и░око ░а▒п░о▒▓░анен взгл┐д, ▒огла▒но ко▓о░ом│ необ░а▓имо▒▓╝ | ▒│╣е▒▓венна┐ ╖е░▓а в╗╖и▒лени┐. Тем не менее,
0
в░емени ░або▓╗
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
11
Д. Дой╖
Бенне▓ (1973) доказал, ╖▓о ╜▓о не ▓ак, ┐вно по▒▓░оив об░а▓им│╛ кла▒▒и╖е▒к│╛ модел╝ в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕ин╗, ╜квивален▓н│╛ (▓. е. в╗╖и▒л┐╛╣│╛ ▓е же в╗╖и▒лим╗е ┤│нк╢ии, ╖▓о и) T (▒м. ▓акже Tooli 1979).
(Ма╕ин╗ Бенио┤а ╜квивален▓н╗ ма╕инам Бенне▓а, но и▒пол╝з│╛▓ кван▓ов│╛ динамик│.)
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ Q[U +; U ;], ╜квивален▓н╗е л╛бой об░а▓имой
ма╕ине Т╝╛░инга, можно пол│╖и▓╝, п░ин┐в
U (n 0 ; m0 jn ; m) = 21 nA(n ; m) mB(n ; m) [1 C (n m)];
(2.8)
где A; B; C | ┤│нк╢ии ▒о зна╖ени┐ми (Z2 )M ; Z2 и f;1; 1g ▒оо▓ве▓▒▓венно. Д░│гими ▒ловами, ма╕ин╗ Т╝╛░инга | ╜▓о ▓е кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗, динамика ко▓о░╗╡ обе▒пе╖ивае▓ ▓о, ╖▓о они о▒▓а╛▓▒┐ в базов╗╡
▒о▒▓о┐ни┐╡ в кон╢е каждого ╕ага, е▒ли они на╖али в базовом ▒о▒▓о┐нии.
Ч▓об╗ обе▒пе╖и▓╝ │ни▓а░но▒▓╝, необ╡одимо и до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ о▓об░ажение
f(n ; m)g () (A(n ; m); B (n ; m); C (n ; m))
(2.9)
б╗ло б╗ биек▓ивно. По▒кол╝к│ ▒о▒▓авл┐╛╣ие ┤│нк╢ии A; B; C в о▒▓ал╝ном п░оизвол╝н╗, должн╗ в ╖а▒▓но▒▓и, ▒│╣е▒▓вова▓╝ ва░иан▓╗, ко▓о░╗е
дела╛▓ Q ╜квивален▓н╗м │ниве░▒ал╝ной ма╕ине Т╝╛░инга T .
Опи▒а▓╝ │ниве░▒ал╝н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ Q непо▒░ед▒▓венно в
▓е░мина╡ его ▒о▒▓авл┐╛╣и╡ п░еоб░азований U можно, но неоп░авданно
│▓оми▓ел╝но. Свой▒▓ва Q л│╖╕е оп░едели▓╝ ▒ помо╣╝╛ пе░е╡од к опи▒ани╛ более в╗▒окого │░овн┐, о▒▓авл┐┐ ┐вное по▒▓░оение U в ка╖е▒▓ве
│п░ажнени┐ дл┐ ╖и▓а▓ел┐. Далее ┐ не▒кол╝ко ░аз б│д│ и▒пол╝зова▓╝ ▒вой▒▓во ц│ниве░▒ал╝но▒▓ич T .
Дл┐ л╛бой ░ек│░▒ивной ┤│нк╢ии f ▒│╣е▒▓в│е▓ п░ог░амма (f )
дл┐ T ▓ака┐, ╖▓о е▒ли к об░аз│ (f ) п░ипи▒ан об░аз л╛бого ╢елого i
на в╡оде T , ▓о T о▒▓анавливае▓▒┐ ▒ ▒амими (f ) и i на в╗╡оде, за ко▓о░╗ми ▒лед│е▓ об░аз f (i), а в▒е д░│гие би▓╗ по-п░ежнем│ (или ▒нова)
│▒▓ановлен╗ в н│л╝. Т. е., дл┐ неко▓о░ого положи▓ел╝ного ╢елого ╖и▒ла n
U n j0; 0; (f ); i; 0i = j0; 1; 0; (f ); i; f (i); 0i :
(2.10)
Зде▒╝ 0 озна╖ае▓ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ н│лей, а н│лев╗е ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ mb i (i < 0) не показан╗ ┐вно. T не ▓е░┐е▓ об╣но▒▓и, е▒ли ▓░еб│е▓▒┐,
╖▓об╗ кажда┐ п░ог░амма ░а▒п░едел┐ла пам┐▓╝ как бе▒коне╖н│╛ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ц▒ло▓овч, кажд╗й из ко▓о░╗╡ може▓ ▒оде░жа▓╝ п░оизвол╝ное
0
12
0
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
╢елое ╖и▒ло. (Нап░име░, a-й ▒ло▓ мог б╗ ▒о▒▓о┐▓╝ из би▓ов, поме╖енн╗╡
по▒ледова▓ел╝н╗ми ▒▓епен┐ми a-го п░о▒▓ого ╖и▒ла.) Дл┐ каждой ░ек│░▒ивной ┤│нк╢ии f и ╢ел╗╡ ╖и▒ел a и b ▒│╣е▒▓в│е▓ п░ог░амма (f; a; b),
ко▓о░а┐ в╗╖и▒л┐е▓ ┤│нк╢и╛ f на ▒оде░жимом ▒ло▓а a и поме╣ае▓ ░ез│л╝▓а▓ в ▒ло▓ b, о▒▓авл┐┐ ▒ло▓ a без изменени┐. Е▒ли ▒ло▓ b пе░вона╖ал╝но
не ▒оде░жал н│л┐, ▓о об░а▓имо▒▓╝ ▓░еб│е▓, ╖▓об╗ его ▒▓а░ое зна╖ение не
забивало▒╝, а комбини░овало▒╝ неко▓о░╗м об░а▓им╗м ▒по▒обом ▒о зна╖ением ┤│нк╢ии. Таким об░азом, оп│▒ка┐ ┐вное │поминание в▒е╡ изли╕ни╡
под░обно▒▓ей, м╗ можем п░ед▒▓ави▓╝ дей▒▓ви┐ п░ог░амм╗ ▒ помо╣╝╛
диаг░амм╗:
▒ло▓ 1
▒ло▓ 2
? ?? ▒ло▓ 3
j(f; 2; 3); i; j i ! j(f; 2; 3); i; j f (i)i ;
(2.11)
где | л╛ба┐ а▒▒о╢иа▓ивна┐, комм│▓а▓ивна┐ опе░а╢и┐ ▒о ▒вой▒▓вами:
i i = 0; (2.12)
i 0 = i;
(под╡оди▓, нап░име░, ┤│нк╢и┐ ци▒кл╛╖а╛╣ее илич). Че░ез 1 2 ┐ обозна╖а╛
дв│╡ п░ог░амм 1 и 2, ко▓о░а┐ в▒егда ▒│╣е▒▓в│е▓, е▒ли 1
и 2 | п░авил╝н╗е п░ог░амм╗; 1 2 | п░ог░амма дей▒▓вие ко▓о░ой
е▒▓╝ дей▒▓вие 1, за ко▓о░╗м ▒лед│е▓ дей▒▓вие 2.
Дл┐ л╛бой биек▓ивной ┤│нк╢ии g ▒│╣е▒▓в│е▓ п░ог░амма (g; a),
един▒▓венное дей▒▓вие ко▓о░ой | замени▓╝ л╛бое ╢елое i в ▒ло▓е a
на g(i). Доказа▓ел╝▒▓во пол│╖и▓╝ не▓░│дно, по▒кол╝к│ е▒ли неко▓о░╗й
▒ло▓ на╖ал╝но ▒оде░жи▓ н│л╝, ▓о
▒╢епление
(g; a) = (g; b; a) (g;1 ; b; a) (I; b; a) (I; a; b):
Зде▒╝ I | ┤│нк╢и┐ цполного изме░ени┐ч (Дой╖ 1985)
j(I; 2; 3); i; j i ! j(I; 2; 3); i; j ii :
(2.13)
(2.14)
Униве░▒ал╝н╗й комп╝╛▓е░ Q имее▓ в▒е ▓ол╝ко ╖▓о опи▒анн╗е ▒вой▒▓ва T , как │казано в (2. 10) и (2. 14). Но Q доп│▒кае▓ ▓акже и кла▒▒
п░ог░амм, ко▓о░╗е п░еоб░аз│╛▓ бази▒н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ в и╡ линейн╗е ▒│пе░пози╢ии.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
13
Д. Дой╖
В▒е п░ог░амм╗ дл┐ Q мог│▓ б╗▓╝ в╗░ажен╗ в ▓е░мина╡ об╗╖н╗╡
▓╝╛░ингов╗╡ опе░а╢ий и в ▓о╖но▒▓и во▒╝ми добаво╖н╗╡ опе░а╢ий. Э▓о |
│ни▓а░н╗е п░еоб░азовани┐, ▒│жен╗е на п░о▒▓ое дв│ме░ное гил╝бе░▓ово
п░о▒▓░ан▒▓во K , п░о▒▓░ан▒▓во ▒о▒▓о┐ний одного би▓а. Э▓и п░еоб░азовани┐ об░аз│╛▓ ▒емей▒▓во ▒ ╖е▓╗░╝м┐ (ве╣е▒▓венн╗ми) па░аме▓░ами.
П│▒▓╝ | л╛бое и░░а╢ионал╝ное к░а▓ное . Тогда ╖е▓╗░е п░еоб░азовани┐
9
cos
sin
cos
i
sin
>
>
V0 = ; sin cos ; V1 = i sin cos ; >
=
(2.15)
i
>
e
0
1
0
>
>
V2 = 0 1 ;
V3 = 0 ei ;
;
и и╡ об░а╣ени┐ V4 ; V5 ; V6 ; V7 по░ожда╛▓ о▓но▒и▓ел╝но компози╢ии г░│пп│, пло▓н│╛ в г░│ппе в▒е │ни▓а░н╗╡ п░еоб░азований K . Удобно, ╡о▓┐ и
не ▒│╣е▒▓венно добави▓╝ е╣е две об░аз│╛╣и╡:
; 12 1 i
; 21 1 1
(2.16)
V8 = 2 ;1 1 и V9 = 2 i 1 ;
ко▓о░╗е ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ цпово░о▓ам ▒пинач на 90 . Каждой об░аз│╛╣ей Vi
▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ╜лемен▓╗ в╗╖и▒ли▓ел╝ного бази▒а, п░ед▒▓авл┐╛╣ие п░ог░амм╗ (Vi; a), ко▓о░╗е в╗полн┐╛▓ Vi над наимен╝╕им зна╖а╣им би▓ом a-го ▒ло▓а. Так, е▒ли j е▒▓╝ н│л╝ или едини╢а, ╜▓и бази▒н╗е ╜лемен▓╗
дей▒▓в│╛▓ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ ┤о░м│лой
j(Vi; 2); j i !
1
X
k=0
hk jVij j i j(Vi; 2); ki :
(2.17)
Компози╢и┐ Vi може▓ б╗▓╝ в╗звана ▒ помо╣╝╛ ▒╢еплени┐ (Vi; a). Таким об░азом, ▒│╣е▒▓в│╛▓ п░ог░амм╗, ко▓о░╗е дей▒▓в│╛▓ на ▒о▒▓о┐ние
л╛бого одного би▓а │ни▓а░н╗м п░еоб░азованием, ▒кол╝ │годно близким
к желаемом│.
Аналоги╖н╗е закл╛╖ени┐ ▒п░аведлив╗ дл┐ ▒овме▒▓ного ▒о▒▓о┐ни┐
коне╖ного ╖и▒ла L заданн╗╡ би▓ов. Э▓о | не ▓░ивиал╝ное набл╛дение,
по▒кол╝к│ ▓акое ▒о▒▓о┐ние не об┐за▓ел╝но е▒▓╝ п░┐мое п░оизведение ▒о▒▓о┐ний п░иведенн╗╡ к гил╝бе░▓ов╗м п░о▒▓░ан▒▓вам о▓дел╝н╗╡ би▓ов,
а, вооб╣е гово░┐, линейна┐ ▒│пе░пози╢и┐ ▓аки╡ п░оизведений. Тем не менее, ┐ ▒ей╖а▒ п░ивед│ наб░о▒ок доказа▓ел╝▒▓в ▒│╣е▒▓вовани┐ п░ог░амм╗,
ко▓о░а┐ в╗з╗вае▓ │ни▓а░ное п░еоб░азование L би▓, ▒кол╝ │годно близкое к л╛бом│ желаемом│ │ни▓а░ном│ п░еоб░азовани╛. Далее ц▓о╖н╗йч
14
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
озна╖ае▓ ц▒кол╝ │годно ▓о╖н╗й о▓но▒и▓ел╝но но░м╗ вн│▓░еннего п░оизведени┐ч. Сл│╖ай L = 1 ▓░ивиален. Докажем п░едположение дл┐ L би▓ по
инд│к╢ии.
Во-пе░в╗╡, заме▓им, ╖▓о в▒е (2L )! возможн╗╡ пе░е▒▓ановок из 2L ▒о▒▓о┐ний в╗╖и▒ли▓ел╝ного бази▒а L | об░а▓им╗е ░ек│░▒ивн╗е ┤│нк╢ии
и, зна╖и▓, мог│▓ б╗▓╝ в╗зван╗ п░ог░аммами T и, ▒ледова▓ел╝но, Q. Далее м╗ покажем, ╖▓о Q може▓ по░ожда▓╝ 2L -ме░н╗е │ни▓а░н╗е п░еоб░азовани┐, диагонал╝н╗е в в╗╖и▒ли▓ел╝ном бази▒е, ▒кол╝ │годно близко
к л╛бом│ диагонал╝ном│ п░еоб░азовани╛ в ╜▓ом бази▒е. Согла▒но инд│к╢ионном│ п░едположени╛, (L ; 1)-би▓ов╗е диагонал╝н╗е п░еоб░азовани┐ ▓о╖но Q-в╗╖и▒лим╗ и, зна╖и▓, по░ожда╛▓▒┐ оп░еделенн╗ми 2L ме░н╗ми диагонал╝н╗ми │ни▓а░н╗ми ма▓░и╢ами, ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐
ко▓о░╗╡, име╛▓, даже, в╗░ождение. Пе░е▒▓ановки бази▒н╗╡ ▒о▒▓о┐ний
позвол┐╛▓ Q ▓о╖но в╗зва▓╝ л╛бое диагонал╝ное │ни▓а░ное п░еоб░азование ▒ ╜▓им в╗░ождением. Зам╗кание ╜▓ого множе▒▓ва в╗░ожденн╗╡
п░еоб░азований о▓но▒и▓ел╝но │множени┐ | г░│ппа диагонал╝н╗╡ п░еоб░азований, пло▓на┐ в г░│ппе в▒е╡ 2L-ме░н╗╡ диагонал╝н╗╡ │ни▓а░н╗╡
п░еоб░азований.
Далее м╗ покажем, ╖▓о дл┐ каждого L-би▓ового ▒о▒▓о┐ни┐ ji ▒│╣е▒▓в│е▓ Q{п░ог░амма (ji), ко▓о░а┐ ▓о╖но пе░еводи▓ ji в бази▒ное
▒о▒▓о┐ние j0Li, в ко▓о░ом в▒е L би▓ | н│ли. Запи╕ем
ji = c0 j0i j0i + c1 j1i j1i ;
(2.18)
где j0i и j1i | ▒о▒▓о┐ни┐ L ; 1 би▓, ▒ номе░ами о▓ 2 до L. По инд│к▓ивном│ п░едположени╛ ▒│╣е▒▓в│╛▓ Q{п░ог░амм╗ 0 и i, ко▓о░╗е
▓о╖но пе░евод┐▓ j0i и j1i ▒оо▓ве▓▒▓венно в (L ; 1)-к░а▓ное п░оизведение j0L;1 i. По╜▓ом│ ▒│╣е▒▓в│е▓ Q{п░ог░амма ▒о ▒лед│╛╣им дей▒▓вием:
Е▒ли би▓ номе░ 1 | н│л╝, в╗полни▓╝ 0 , ина╖е | 1. Она п░еоб░аз│е▓ (2. 18) ▓о╖но к
(c0 j0i + c1 j1i) j0L;1 i ;
(2.19)
за▓ем (2. 19) може▓ б╗▓╝ ▓о╖но пе░еведено в j0Li п░еоб░азованием би▓а
номе░ 1.
Наконе╢, п░оизвол╝ное 2L-ме░ное п░еоб░азование U ▓о╖но в╗з╗вае▓▒┐ по▒ледова▓ел╝н╗м п░еоб░азованием каждого ▒об▒▓венного век▓о░а ji
ма▓░и╢╗ U ▓о╖но в j0Li (в╗полнением п░ог░амм╗ ;1 (ji)), за▓ем |
в╗полнением диагонал╝ного │ни▓а░ного п░еоб░азовани┐, ко▓о░ое ▓о╖но
│множае▓ j0L i на ▒об▒▓венное зна╖ение (┤азов╗й множи▓ел╝), ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие ji, но имее▓ ▒кол╝ │годно малое дей▒▓вие на л╛бое д░│гое
▒о▒▓о┐ние в╗╖и▒ли▓ел╝ного бази▒а, и за▓ем | в╗полнением (ji).
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
15
Д. Дой╖
Э▓о │▒▓анавливае▓ ▒м╗▒л, в ко▓о░ом Q |
кван▓ов╗й
комп╝╛▓е░. Он може▓ модели░ова▓╝ ▒ п░оизвол╝ной ▓о╖но▒▓╝╛ л╛бой
д░│гой кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ Q[U + ; U ;]. Э▓о ▓ак, по▒кол╝к│, ╡о▓┐ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ имее▓ бе▒коне╖ное п░о▒▓░ан▒▓во ▒о▒▓о┐ний, ╖▓об╗ п░омодели░ова▓╝ его ╜вол╛╢и╛, на каждом ╕аге н│жно ▓ол╝ко коне╖номе░ное │ни▓а░ное п░еоб░азование.
│ниве░▒ал╝н╗й
3. Свой▒▓ва │ниве░▒ал╝ного кван▓ового комп╝╛▓е░а
М╗ │же │видели, ╖▓о │ниве░▒ал╝н╗й кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ Q може▓
полно▒▓╝╛ п░омодели░ова▓╝ л╛б│╛ ма╕ин│ Т╝╛░инга и може▓ модели░ова▓╝ ▒ л╛бой ▓о╖но▒▓╝╛ л╛бой кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ или ▒им│л┐▓о░.
Я ▒ей╖а▒ покаж│, как Q може▓ модели░ова▓╝ ░азн╗е ┤изи╖е▒кие ▒и▒▓ем╗, ░еал╝н╗е и ▓ео░е▓и╖е▒кие, ко▓о░╗е на╡од┐▓▒┐ за п░еделами обла▒▓и, до▒▓│пной │ниве░▒ал╝ной ма╕ине Т╝╛░инга T .
3.1. Сл│╖айн╗е ╖и▒ла и ди▒к░е▓н╗е ▒▓о╡а▒▓и╖е▒кие ▒и▒▓ем╗
Как и ▒лед│е▓ ожида▓╝, ▒│╣е▒▓в│╛▓ п░ог░амм╗ дл┐ Q, ко▓о░╗е по░ожда╛▓ на▒▓о┐╣ие ▒л│╖айн╗е ╖и▒ла. Нап░име░, когда о▒▓анавливае▓▒┐
п░ог░амма
(V8 ; 2) (I; 2; a);
(3.1)
▒ло▓ a ▒оде░жи▓ ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ 21 н│л╝ или едини╢│.
И▓е░а▓ивн╗е п░ог░амм╗, ▒оде░жа╣ие (3. 1) мог│▓ по░ожда▓╝ д░│гие ве░о┐▓но▒▓и, вкл╛╖а┐ л╛б│╛ ░ек│░▒ивно ве╣е▒▓венн│╛ ве░о┐▓но▒▓╝.
Тем не менее, ╜▓о не и▒╖е░п╗вае▓ возможно▒▓ей Q. Так в▒е на╕и п░ог░амм╗ ┤ак▓и╖е▒ки б╗ли кла▒▒и╖е▒кими, ╡о▓┐ они мог│▓ в╗з╗ва▓╝ пе░е╡од
цв╗╡однойч ╖а▒▓и пам┐▓и в ▒о▒▓о┐ние не из в╗╖и▒ли▓ел╝ного бази▒а. Сей╖а▒ м╗ ░а▒▒мо▓░им пе░в│╛ на╕│ кван▓ов│╛ п░ог░амм│. В╗полнение
2;1=2 (I; 2; a)
▒ло▓ 1
cos j0i + sin j1i
▒ло▓ 2
(3.2)
дае▓ в ▒ло▓е a би▓, ко▓о░╗й ░авен н│л╛ ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ cos2 . В▒е @1 ▒о▒▓о┐ний вида (3. 2) | п░авил╝н╗е п░ог░амм╗ дл┐ Q. В ╖а▒▓но▒▓и, ▒│╣е▒▓в│╛▓ п░авил╝н╗е п░ог░амм╗ ▒ п░оизвол╝н╗ми и░░а╢ионал╝н╗ми
16
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
ве░о┐▓но▒▓┐ми cos2 и sin2 . Следова▓ел╝но л╛ба┐ ди▒к░е▓на┐ коне╖на┐
▒▓о╡а▒▓и╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема, вне зави▒имо▒▓и о▓ ▓ого, ┐вл┐е▓▒┐ ли ее ┤│нк╢и┐
░а▒п░еделени┐ ве░о┐▓но▒▓ей T {в╗╖и▒лимой, може▓ б╗▓╝ полно▒▓╝╛ ▒модели░ована Q. Даже е▒ли ма╕ине T п░едо▒▓авлен до▒▓│п к цаппа░а▓ном│
гене░а▓о░│ ▒л│╖айн╗╡ ╖и▒елч (ко▓о░╗й не може▓ в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и ▒│╣е▒▓вова▓╝ кла▒▒и╖е▒ки) или к ц▒л│╖айном│ о░ак│л│ч (Бенне▓▓, 1981), ▓о
она ▓ем не менее не обладае▓ ╜▓им ▒вой▒▓вом.
С д░│гой ▒▓о░он╗, м╗ можем за▒▓ави▓╝ ее дела▓╝ ╜▓о модели░ование
п░иближенно ▒ л╛бой ▓о╖но▒▓╝╛. Но ни T , ни л╛ба┐ д░│га┐ кла▒▒и╖е▒ка┐
▒и▒▓ема, вкл╛╖а┐ даже и ▒▓о╡а▒▓и╖е▒кие не може▓ даже п░иближенно
модели░ова▓╝ ▒лед│╛╣ее ▒вой▒▓во Q.
3.2. Кван▓ов╗е ко░░ел┐╢ии
Гене░а▓о░╗ ▒л│╖айн╗╡ ╖и▒ел (3. 1) и (3. 2) немного о▓ли╖а╛▓▒┐ о▓
д░│ги╡ п░ог░амм, ко▓о░╗е ┐ ░а▒▒ма▓░ивал до ╜▓ого, ▓ем, ╖▓о они необ╡одимо п░оизвод┐▓ цм│▒о░ч на в╗╡оде. Би▓ в ▒ло▓е a, ▒▓░ого гово░┐, ▒ове░╕енно ▒л│╖аен ▓ол╝ко, е▒ли ▒оде░жимое ▒ло▓а 2 ▒к░╗▓о о▓ пол╝зова▓ел┐
и никогда ▒нова не │╖а▒▓в│е▓ в в╗╖и▒лени┐╡. Кван▓ова┐ п░ог░амма (3. 2)
може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зована ▓ол╝ко один ░аз, ╖▓об╗ по░оди▓╝ один ▒л│╖айн╗й би▓. Е▒ли она б│де▓ пов▓о░но и▒пол╝зована, в╗╡од б│де▓ ▒оде░жа▓╝
не▒л│╖айн╗е ко░░ел┐╢ии.
Тем не менее, в неко▓о░╗╡ п░иложени┐╡ ▓акие ко░░ел┐╢ии | как
░аз ▓о, ╖▓о ▓░еб│е▓▒┐. Со▒▓о┐ние ▒ло▓ов Q и a по▒ле в╗полнени┐ (3. 1) |
цне▒епа░абел╝ноеч (нео▓делимое) ▒о▒▓о┐ние (д'Э▒пан╝┐, 1976)
1
2; 2 (j0i j0i + j1i j1i) :
(3.3)
Ра▒▒мо▓░им па░│ п░ог░амм, ко▓о░╗е мен┐╛▓ ме▒▓ами ╜▓и ▒ло▓╗ в в╗╡одной обла▒▓и по одном│ за ░аз. Т. е. в╗╡од ▒на╖ала п│▒▓:
1
в╗╡од
2; 2 (j0i j0i + j1i j1i) j0i j0i;
в╗полнение пе░вой п░ог░амм╗ о▒▓анавливае▓▒┐ на
1
2; 2 j0i (j0i j0i + j1i j1i) j0i ;
а в╗полнение в▓о░ой п░ог░амм╗ о▒▓анавливае▓▒┐ на
1
2; 2 j0i j0i (j0i j0i + j1i j1i) :
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(3.4)
(3.5)
(3.6)
17
Д. Дой╖
Эквивален▓на┐ п░ог░амма показана ┐вно в кон╢е x 4. Тео░ема Белла (1964)
гово░и▓, ╖▓о никака┐ кла▒▒и╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема не може▓ во▒п░оизве▒▓и ▒▓а▓и▒▓и╖е▒кие ░ез│л╝▓а▓╗, ▒деланн╗е на в╗╡одн╗╡ ▒ло▓а╡ в момен▓╗ (3. 5)
и (3. 6). (По┐вление в╗╡ода на дв│╡ ╕ага╡ ▒ возможно▒▓╝╛ дл┐ пол╝зова▓ел┐ п░оизве▒▓и ╜к▒пе░имен▓ по▒ле каждого ╕ага до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗
в╗полни▓╝ ▓░ебование локал╝но▒▓и в ▓ео░еме Белла.)
Два би▓а в (3. 3) ▓акже мог│▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован╗ как цкл╛╖ич дл┐
в╗полнени┐ цкван▓овой к░ип▓ог░а┤иич (Бенне▓▓
, 1983).
и д░.
3.3. Полное модели░ование п░оизвол╝н╗╡ коне╖н╗╡ ┤изи╖е▒ки╡ ▒и▒▓ем
Динамика кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов, ╡о▓┐ и по по▒▓░оени╛ цконе╖на┐ч,
в▒е е╣е не┤изи╖на в одном важном о▓но╕ении: и╡ ╜вол╛╢и┐ ▒▓░ого │ни▓а░на. Тем не менее, из ▓░е▓╝его на╖ала ▓е░модинамики (1. 3) ▒лед│е▓,
╖▓о никака┐ ░еализ│ема┐ ┤изи╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема не може▓ б╗▓╝ п░иведена
в ▒о▒▓о┐ние, не ко░░ели░ованное ▒ вне╕ними ▒и▒▓емами, ▓ак как ее ╜н▓░опи┐ ▓огда б╗ла б╗ н│левой. По╜▓ом│ л╛ба┐ ░еализ│ема┐ ┤изи╖е▒ка┐
▒и▒▓ема взаимодей▒▓в│е▓ ▒ д░│гими ▒и▒▓емами в оп░еделенн╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡. Но ╜┤┤ек▓ ее динами╖е▒кой ▒в┐зи ▒ вне╕ними ▒и▒▓емами не може▓
б╗▓╝ │мен╝╕ен до н│л┐ коне╖н╗м п░о╢е▒▒ом, ▓ак как ▓емпе░а▓│░а ▒▓епеней ▒вобод╗ ╜▓ой ко░░ел┐╢ии ▓огда б╗ла б╗ │мен╝╕ена до н│л┐. По╜▓ом│
не може▓ б╗▓╝ ░еализ│емого ▒по▒оба п░иведени┐ ▒и▒▓ем╗ в ▒о▒▓о┐ни┐ в
ко▓о░╗╡ опе░а▓о░а ╜вол╛╢ии во в░емени, ко▓о░╗й ▒ме╕ивае▓ вн│▓░енние
и вне╕ние ▒▓епени ▒вобод╗, не име╛▓ вли┐ни┐.
По╜▓ом│ и▒▓инное опи▒ание коне╖но ░еализ│емой ┤изи╖е▒кой ▒и▒▓ем╗ ▒ L-ме░н╗м п░о▒▓░ан▒▓вом ▒о▒▓о┐ний H не може▓ б╗▓╝ о▒│╣е▒▓влено
▒ помо╣╝╛ век▓о░ов ▒о▒▓о┐ний в H , а должно и▒пол╝зова▓╝ ма▓░и╢╗ пло▓но▒▓и a b. В ▒амом деле, в п░ин╢ипе ░аз░е╕ен╗ в▒е ма▓░и╢╗ пло▓но▒▓и,
к░оме (благода░┐ ц╜н▓░опийнойч половине ▓░е▓╝его закона (1. 3)) ╖и▒▓╗╡
▒л│╖аев. Динамика ▓акой ▒и▒▓ем╗ по░ождае▓▒┐ не │ни▓а░н╗м опе░а▓о░ом, а ма▓░и╢ей ▒│пе░░а▒▒е┐ни┐ $:
X
ab (T ) = $a bc dc d (0):
(3.7)
c; d
С▓ои▓ о▓ме▓и▓╝, ╖▓о ┐ не за╣и╣а╛ не│ни▓а░н│╛ динамик│ в▒еленной
в ╢елом, ко▓о░а┐ п░о▓иво░е╖и▓ кван▓овой ▓ео░ии. У░авнение (3. 7), коне╖но, ┐вл┐е▓▒┐ п░о▒▓о п░оек╢ией в H │ни▓а░ной ╜вол╛╢ии в в╗▒╕ем
п░о▒▓░ан▒▓ве H H 0, где H 0 п░ед▒▓авл┐е▓ необ╡одим│╛ ╖а▒▓╝ о▒▓ал╝ной
18
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
в▒еленной. Г░│бо гово░┐ (▒и▒▓ем╗ далеки о▓ ░авнове▒и┐), H 0 иг░ае▓ ░ол╝
ц▓епловой ванн╗ч.
Таким об░азом, об╣ий опе░а▓о░ ▒│пе░░а▒▒е┐ни┐
X
$a bcd =
Uae cf U bc dg f g ;
(3.8)
0
0
0
e ;f ;g
0
0
0
0
0
0
где Uab cd | │ни▓а░н╗й опе░а▓о░ на H H 0, ▓. е.
X
Uab cd U ef cd = a e b f ;
0
0
0
0
(3.9)
0
0
0
0
c; d
0
╖▓о не ░азлагае▓▒┐ в п░оизведение на H и H 0. (Подн┐▓ие и оп│▒кание индек▒ов обозна╖ае▓ комплек▒ное ▒оп░┐жение.) Член a b имее▓ п░иближенн│╛ ин▓е░п░е▓а╢и╛ как ма▓░и╢а пло▓но▒▓и ц▓епловой ванн╗ч, ко▓о░а┐
б│де▓ в ▓о╖но▒▓и ▒оо▓ве▓▒▓вова▓╝ и▒▓ине, е▒ли ▒и▒▓ема, ▓еплова┐ ванна
и ▒│╣но▒▓╝, п░ивед╕а┐ ▒и▒▓ем│ в на╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние, до ╜▓ого не ко░░ели░овали. Пе░епи╕ем (3. 8) в H 0-бази▒е, в ко▓о░ом диагонал╝на
0
0
$a bcd =
X
Pf Uae ef U be df ;
0
0
e ;f
0
0
0
0
0
X
Pa = 1
(3.10)
0
a
0
где ве░о┐▓но▒▓и Pa | ▒об▒▓венн╗е зна╖ени┐ . Множе▒▓во J в▒е╡ ма▓░и╢ ▒│пе░░а▒▒е┐ни┐ (3. 8) или (3. 10) лежи▓ в подп░о▒▓░ан▒▓ве J п░о▒▓░ан▒▓ва H H H H , а именно в подп░о▒▓░ан▒▓ве, ╜лемен▓╗ ко▓о░ого │довле▓во░┐╛▓ ░авен▒▓в│
X
$a ab c = b c :
(3.11)
0
a
л╛бой ╜лемен▓ S │довле▓во░┐е▓ ог░ани╖ени┐м
X
06
(1) b $a bc d(2) cd 6 1
a; b; c; d
(3.12)
дл┐ п░оизвол╝н╗╡ ма▓░и╢ пло▓но▒▓и (1) и (2) .
Левое не░авен▒▓во в (3. 12) може▓ ▒▓а▓╝ ░авен▒▓вом ▓ол╝ко е▒ли ▒о▒▓о┐ни┐ H об░аз│╛▓ диз║╛нк▓н╗е подмноже▒▓ва, ▒о ▒▓░ого н│левой ве░о┐▓но▒▓╝╛ ▓ого, ╖▓о ▓епловой ╕│м може▓ в╗з╗ва▓╝ пе░е╡од╗ межд│
ними. Э▓о невозможно, е▒ли ▓ол╝ко не▓ п░авил ▒│пе░в╗бо░а, зап░е╣а╛╣и╡ ▓акие пе░е╡од╗; и▒кл╛╖а┐ ╜▓│ возможно▒▓╝, м╗ не ▓е░┐ем об╣но▒▓и,
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
19
Д. Дой╖
по▓ом│ ╖▓о ▓ол╝ко один ▒│пе░в╗б░анн╗й ▒ек▓о░ в кажд╗й момен▓ в░емени може▓ б╗▓╝ ░еализован как ┤изи╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема. П░авое не░авен▒▓во
▒▓анови▓▒┐ ░авен▒▓вом в ▓о╖но▒▓и в │ни▓а░ном ▒л│╖ае
$a bcd = Ua cU b d ;
(3.13)
ко▓о░╗й не┤изи╖ен, по▓ом│ ╖▓о п░ед▒▓авл┐╛▓ полно▒▓╝╛ неди▒▒ипа▓ивн│╛ ▒и▒▓ем│. Так множе▒▓во ┤изи╖е▒ки ░еализ│ем╗╡ ╜лемен▓ов S | о▓к░╗▓ое множе▒▓во в J . Более ▓ого, дл┐ л╛б╗╡ Q{в╗╖и▒лим╗╡ $(1) и $(2)
в╗п│кла┐ линейна┐ комбина╢и┐
p1$(1) + p2$(2) ;
(3.14)
где p1 и p2 | п░оизвол╝н╗е ве░о┐▓но▒▓и, ▓акже в╗╖и▒лима, благода░┐ гене░а▓о░│ ▒л│╖айн╗╡ ╖и▒ел (3. 2). С помо╣╝╛ в╗╖и▒лени┐ │ни▓а░н╗╡ п░еоб░азований, подобн╗╡ (3. 10), можно в╗╖и▒ли▓╝ л╛бой ╜лемен▓ в оп░еделенном ▒╖е▓ном пло▓ном подмноже▒▓ве S. Но л╛ба┐ ▓о╖ка в л╛бой
о▓к░╗▓ой обла▒▓и коне╖номе░ного век▓о░ного п░о▒▓░ан▒▓ва може▓ б╗▓╝
п░ед▒▓авлена коне╖ной в╗п│клой линейной комбина╢ией ╜лемен▓ов л╛бого пло▓ного подмноже▒▓ва ╜▓ого п░о▒▓░ан▒▓ва. Следова▓ел╝но, Q може▓
полно▒▓╝╛ модели░ова▓╝ л╛б│╛ ┤изи╖е▒к│╛ ▒и▒▓ем│ ▒ коне╖номе░н╗м
п░о▒▓░ан▒▓вом ▒о▒▓о┐ний. По╜▓ом│ кван▓ова┐ ▓ео░и┐ ▒овме▒▓има ▒ п░ин╢ипом Че░╖а{Т╝╛░инга (1. 2).
Воп░о▒ о ▓ом, ве░но ли ╖▓о в▒е коне╖н╗е ▒и▒▓ем╗ в ┤изи╖е▒кой в▒еленной мог│▓ б╗▓╝ подобн╗м об░азом п░омодели░ован╗ ▒ помо╣╝╛ Q,
▓. е. в╗полн┐е▓▒┐ ли (1. 2) в П░и░оде, должен о▒▓ава▓╝▒┐ о▓к░╗▓╗м до ▓е╡
по░ пока не б│де▓ л│╖╕его понимани┐ п░о▒▓░ан▒▓ва ▒о▒▓о┐ний и динамики В▒еленной. То немногое, ╖▓о изве▒▓но, как каже▓▒┐, под▓ве░ждае▓ ╜▓о▓
п░ин╢ип. Е▒ли ▓ео░и┐ ▓е░модинамики ╖е░н╗╡ д╗░ ▒▓ои▓ дове░и┐, ▓о никака┐ ▒и▒▓ема, ог░ани╖енна┐ пове░╡но▒▓╝╛ ▒ оп░еделенной пло╣ад╝╛ A,
не може▓ име▓╝ более, ╖ем коне╖ное ╖и▒ло (Бекен╕▓ейн, 1981)
N (A) = exp(Ac3 =4~G)
(3.15)
░азли╖н╗╡ до▒▓ижим╗╡ ▒о▒▓о┐ний (~ | п░иведенна┐ по▒▓о┐нна┐ Планка,
G | г░ави▓а╢ионна┐ по▒▓о┐нна┐, c | ▒ко░о▒▓╝ ▒ве▓а). То е▒▓╝, в оп░еделенном бази▒е ▒и▒▓ема може▓ б╗▓╝ вполне опи▒ана ▒ и▒пол╝зованием
N (A)-ме░ного п░о▒▓░ан▒▓ва и, ▒ледова▓ел╝но, полно▒▓╝╛ модели░│е▓▒┐ ▒
помо╣╝╛ Q.
20
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
3.4. Па░аллел╝ное в╗╖и▒ление на по▒ледова▓ел╝ном комп╝╛▓е░е
Кван▓ова┐ ▓ео░и┐ | ▓ео░и┐ па░аллел╝н╗╡ взаимодей▒▓в│╛╣и╡ ми░ов. Е▒▓╝ об▒▓о┐▓ел╝▒▓ва, п░и ко▓о░╗╡ в╗╖и▒лени┐, в╗полненн╗е в ░азн╗╡ ми░а╡ мог│▓ б╗▓╝ ▒комбини░ован╗ ▒ помо╣╝╛ Q, дава┐ возможно▒▓╝
па░аллел╝ной об░або▓ки. Ра▒▒мо▓░им кван▓ов│╛ п░ог░амм│
N
1X
N;2
i=1
j(f; 2; 3); i; 0i ;
(3.16)
ко▓о░а┐ п░едпи▒╗вае▓ во в▒е╡ N ми░а╡ в╗╖и▒л┐▓╝ f (i) дл┐ i о▓ 1 до N .
Из линейно▒▓и и из (2. 11) ▒лед│е▓, ╖▓о по▒ле в╗полнени┐ (3. 16) Q о▒▓анавливае▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии
N
N
; 21 X
i=1
j(f; 2; 3); i; f (i)i :
(3.17)
Хо▓┐ ╜▓о в╗╖и▒ление ▓░еб│е▓ в ▓о╖но▒▓и ▓ого же в░емени, об║ема пам┐▓и и обо░│довани┐, ╖▓о и (2. 11), ▒о▒▓о┐ние (3. 17) ▒оде░жи▓ ░ез│л╝▓а▓╗
п░оизвол╝но бол╝╕ого ╖и▒ла о▓дел╝н╗╡ в╗╖и▒лений. К ▒ожалени╛, в каждом ми░е до▒▓│пен не более, ╖ем один из ╜▓и╡ ░ез│л╝▓а▓ов. Е▒ли (3. 16)
в╗полн┐е▓▒┐ много ░аз, ▒░еднее в░ем┐, ▓░еб│емое дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ в╗╖и▒ли▓╝ в▒е N зна╖ений f (i), ко▓о░╗е ┐ б│д│ озна╖а▓╝ вме▒▓е как f | по
к░айней ме░е ▓о, какое ▓░еб│е▓▒┐ в (2. 11) дл┐ в╗╖и▒лени┐ в▒е╡ и╡ по▒ледова▓ел╝но. Тепе░╝ ┐ покаж│, ╖▓о ма▓ема▓и╖е▒кое ожидание в░емени
в╗╖и▒лени┐ л╛бой не▓░ивиал╝ной N -к░а▓но ░а▒па░аллеливаемой ┤│нк╢ии G(f ) о▓ в▒е╡ N зна╖ений f ▒ помо╣╝╛ кван▓ового па░аллелизма,
▓акого, как (3. 16), не може▓ б╗▓╝ мен╝╕е, ╖ем в░ем┐, ▓░еб│емое дл┐ в╗╖и▒лени┐ его по▒ледова▓ел╝но ▒ помо╣╝╛ (2. 11).
Дл┐ п░о▒▓о▓╗ п░едположим, ╖▓о , в░ем┐ в╗полнени┐ (2. 11), не зави▒и▓ о▓ i и ╖▓о в░ем┐, необ╡одимое дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ▒комбини░ова▓╝ в▒е f
дл┐ ┤о░ми░овани┐ G(f ) п░енеб░ежимо мало в ▒░авнении ▒ . Тепе░╝ п░едположим, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ п░ог░амма , ко▓о░а┐ дл┐ каждой ┤│нк╢ии f
извлекае▓ зна╖ение G(f ) из (3. 17) в п░енеб░ежимо малое в░ем┐ и ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ j j2 . То е▒▓╝ дей▒▓в│е▓ ▓ак:
N
1X
N;2
i=1
;
1
ji; f (i)i ! j0; G(f )i + 1 ; j j2 2 j1i j(f )i ;
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(3.18)
21
Д. Дой╖
где ▒о▒▓о┐ни┐ j(f )i не ▒оде░жа▓ ин┤о░ма╢и╛ о G(f ). Тогда пе░в╗й ▒ло▓
може▓ б╗▓╝ изме░ен. Е▒ли он ▒оде░жи▓ н│л╝, ▓о в▓о░ой ▒ло▓ должен ▒оде░жа▓╝ G(f ). Ина╖е ин┤о░ма╢и┐ в (3. 17) по▓е░┐на и ее п░иде▓▒┐ пе░ев╗╖и▒л┐▓╝. Уни▓а░но▒▓╝ вле╖е▓
N ;1
N
X
i=1
(f (i); g(i)) = j j2 (G(f ); G(g )) + (1 ; j j2 ) h(f )j(g )i
(3.19)
дл┐ л╛б╗╡ ┤│нк╢ий g(i) и f (i).
Е▒ли G(f ) не ┐вл┐е▓▒┐ кон▒▓ан▓ой, когда дл┐ л╛бой ┤│нк╢ии f (i)
▒│╣е▒▓в│е▓ д░│га┐ ┤│нк╢и┐ g(i) ▓ака┐, ╖▓о G(g ) 6= G(f ), но g(i) = f (i)
дл┐ в▒е╡, к░оме одного зна╖ени┐ i межд│ 1 и N . Дл┐ ╜▓ого в╗бо░а
1 ; N ;1 = (1 ; j j2 ) h(f )j(g )i ;
(3.20)
╖▓о вле╖е▓ j j2 < N ;1. Так ▒░еднее в░ем┐ дл┐ в╗╖и▒лени┐ G(f ) должно б╗▓╝ по к░айней ме░е =j j2 = N . О▓▒╛да ▒лед│е▓, ╖▓о кван▓ов╗й
па░аллелизм не може▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ дл┐ ▒ок░а╣ени┐ ▒░еднего в░емени
░а▒па░аллеливаем╗╡ алго░и▓мов.
В ка╖е▒▓ве п░име░а кван▓ового па░аллелизма положим
G(f ) f (0) f (1):
(3.21)
(▒м. │░авнение (2. 12)). Тогда ▒о▒▓о┐ние (3. 17), ▒лед│╛╣ее за кван▓ов╗м
па░аллел╝н╗м в╗╖и▒лением имее▓ вид
1
(3.22)
2; 2 (j0; f (0)i + j1; f (1)i) :
П░ог░амма , п░игодна┐ дл┐ цдекоди░овани┐ч ╜▓ого ▒о▒▓о┐ни┐ п░оизводи▓
изме░ение л╛бой нев╗░ожденной набл╛даемой вели╖ин╗ ▒ ▒об▒▓венн╗ми
▒о▒▓о┐ни┐ми
9
1
jzeroi 2 (j0; 0i ; j0; 1i + j1; 0i ; j1; 1i) ; >
>
>
>
>
>
>
1
>
jonei 2 (j0; 0i ; j0; 1i ; j1; 0i + j1; 1i) ; >
=
(3.23)
>
1
>
jfaili 2 (j0; 0i + j0; 1i + j1; 0i + j1; 1i) ; >
>
>
>
>
>
1
;
jerrori 2 (j0; 0i + j0; 1i ; j1; 0i ; j1; 1i) : >
Така┐ набл╛даема┐ вели╖ина ▒│╣е▒▓в│е▓, по▒кол╝к│ ▒о▒▓о┐ни┐ (3. 23) об░аз│╛▓ о░▓оно░мал╝ное множе▒▓во. Более ▓ого, изме░ени┐ мог│▓ б╗▓╝
22
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
▒делан╗ за ┤ик▒и░ованное в░ем┐, но зави▒┐╣ее о▓ в░емени в╗полнени┐
алго░и▓ма, в╗╖и▒л┐╛╣его f . Е▒ли ░ез│л╝▓а▓ изме░ени┐ | zero (▓. е. ▒об▒▓венное зна╖ение, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее ▒о▒▓о┐ни╛ jzeroi) или one, ▓о можно
закл╛╖и▓╝, ╖▓о f (0) f (1) ░авно н│л╛ или едини╢е ▒оо▓ве▓▒▓венно. Какова б╗ ни б╗ла ┤│нк╢и┐ f , ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ 21 в╗╡од б│де▓ fail, в ▒л│╖ае
╖его о зна╖ении f (0) f (1) нел╝з┐ ▒дела▓╝ никакого в╗вода. Ве░о┐▓но▒▓╝
в╗╡ода error п░и поп╗▓ке в╗╖и▒лени┐ може▓ б╗▓╝ ▒делана ▒кол╝ │годно
малой, вне зави▒имо▒▓и о▓ п░и░од╗ f .
В ╜▓ом п░име░е г░ани╢а N дл┐ в░емени в╗╖и▒лени┐ до▒▓игае▓▒┐.
Однако, дл┐ N > 2 ┐ не мог│ по▒▓░ои▓╝ п░име░ов, в ко▓о░╗╡ ▒░еднее в░ем┐ ░або▓╗ мен╝╕е ╖ем (N 2 ;2N +2) , и ┐ п░едполага╛, ╖▓о ╜▓о оп▓имал╝на┐ нижн┐┐ о╢енка. К░оме ▓ого, ╡о▓┐ и ▒│╣е▒▓в│╛▓ не▓░ивиал╝н╗е п░име░╗ кван▓ово ░а▒па░аллеливаем╗╡ алго░и▓мов дл┐ в▒е╡ N , в ▓е╡ ▒л│╖а┐╡
когда N > 0, ни дл┐ одного из ни╡ обла▒▓╝ оп░еделени┐ ┤│нк╢ии G(f ) не
┐вл┐е▓▒┐ множе▒▓вом в▒е╡ 2N возможн╗╡ г░а┤иков ┤│нк╢ии f .
В п░ак▓и╖е▒ки╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ зада╖а╡, о▒обенно в п░иложени┐╡
░еал╝ного в░емени, не в▒егда н│жно минимизи░ова▓╝ именно
в░ем┐ в╗полнени┐ п░ог░амм╗: ╖а▒▓о ▓░еб│е▓▒┐ минимизи░ова▓╝ минимал╝ное или мак▒имал╝ное в░ем┐ или как│╛-либо более ▒ложн│╛ ме░│. В ▓аки╡ ▒л│╖а┐╡ кван▓ов╗й па░аллелизм може▓ в▒▓│пи▓╝ в ▒вои п░ава. Я
п░ивед│ два п░име░а ╜▓ого.
(1) П░едположим, ╖▓о (3. 17) | п░ог░амма о╢енки зав▓░а╕ни╡ изменений на ┤ондовой би░же по ▒егодн┐╕нем│ ее ▒о▒▓о┐ни╛, а G(f ) оп░едел┐е▓ наил│╖╕│╛ ▒▓░а▓еги╛ инве▒▓и╢ий. Е▒ли | один ден╝, N = 2, ▓о
кла▒▒и╖е▒ка┐ ве░▒и┐ ╜▓ой п░ог░амм╗ ░або▓ае▓ два дн┐ и по╜▓ом│ бе▒полезна. Е▒ли кван▓ова┐ ве░▒и┐ и▒полн┐е▓▒┐ кажд╗й ден╝, ▓о в ▒░еднем в
один ден╝ из дв│╡ ▒ло▓ один ▒оде░жи▓ ░ез│л╝▓а▓ изме░ени┐ ц1ч, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее fail (не│да╖е). В ▓акие дни инве▒▓и╢ий дела▓╝ не ▒лед│е▓. Но
▒ ▓ой же ▒░едней ╖а▒▓о▓ой б│де▓ по┐вл┐▓╝▒┐ н│л╝, показ╗ва┐, ╖▓о ▒ло▓
два ▒оде░жи▓ ко░░ек▓ное зна╖ение ▒▓░а▓егии инве▒▓и╢ий G(f ). Ф│нк╢и┐ G(f ), ко▓о░а┐ ▒оедин┐е▓ ░ез│л╝▓а▓╗ дв│╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ цп░о╢е▒▒о░однейч в╗╖и▒лени┐ в ╜▓и╡ ▒л│╖а┐╡ в╗полн┐ло▒╝ б╗ одним п░о╢е▒▒о░ом за
один ден╝. Один из ┤изи╖е▒ки╡ п│▓ей опи▒ани┐ ╜▓ого п░о╢е▒▒о░а ▒о▒▓ои▓
в ▓ом, ╖▓о когда подзада╖и N -к░а▓ной па░аллел╝ной зада╖и ░а▒п░едел┐╛▓▒┐ межд│ N 2 ;2N +2 ми░ами, по к░айней ме░е в одном из ни╡ може▓
б╗▓╝ пол│╖ен окон╖а▓ел╝н╗й ░ез│л╝▓а▓.
(2) Тепе░╝ ░а▒▒мо▓░им п░облем│ ░аз░або▓ки па░аллел╝н╗╡ ▒и▒▓ем
об░або▓ки ин┤о░ма╢ии, подве░женн╗╡ воздей▒▓ви╛ ╕│ма. Нап░име░,
п░едположим, ╖▓о ▓░еб│е▓▒┐ в п░едела╡ ┤ик▒и░ованного в░емени в╗╖и▒ли▓╝ неко▓о░│╛ N -к░а▓но ░а▒па░аллеливаем│╛ ┤│нк╢и╛ G(f ). ДоКван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
23
▒░еднее
Д. Дой╖
▒▓│пно NR п░о╢е▒▒о░ов, кажд╗й из ко▓о░╗╡ може▓ дава▓╝ ▒бой по п░и╖ине ▓еплового ╕│ма и ▓. п. ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ p. Дл┐ п░о▒▓о▓╗ п░едположим, ╖▓о ▓ака┐ о╕ибка обо░│довани┐ може▓ б╗▓╝ надежно обна░│жена.
Зада╖а ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓об╗ минимизи░ова▓╝ об╣│╛ ╖а▒▓о▓│ ▒боев q.
цКла▒▒и╖е▒кич (▓. е. без и▒пол╝зовани┐ кван▓ового па░аллелизма) можно
минимизи░ова▓╝ q по▒░ед▒▓вам R-к░а▓ной изб╗▓о╖но▒▓и: R п░о╢е▒▒о░ов
п░ог░амми░│╛▓▒┐ дл┐ в╗полнени┐ каждой из N па░аллел╝н╗╡ подзада╖.
Ма╕ина в ╢елом п░и ╜▓ом б│де▓ дава▓╝ ▒бой ▓ол╝ко е▒ли в▒е R п░о╢е▒▒о░ов, в╗полн┐╛╣ие как│╛-ниб│д╝ подзада╖│. Э▓о п░ои▒╡оди▓ ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛
qclassical = 1 ; (1 ; pR)N :
(3.24)
Однако, п░и и▒пол╝зовании кван▓ового па░аллелизма каждом│ из NR п░о╢е▒▒о░ов можно да▓╝ в▒е N зада╖. Кажд╗й из ни╡ може▓ ▒би▓╝▒┐ по дв│м
незави▒им╗м п░и╖инам: (i) ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ p п░оизойде▓ аппа░а▓н╗й
▒бой, (ii) ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛, ко▓о░│╛ ┐ оп░еделил дл┐ оп░еделенн╗╡ G(f )
как 1;(N 2 ;2N +2);1 , п░о╢е▒▒ закон╖и▓▒┐ в ▓ом ми░е, в ко▓о░ом не пол│╖ае▓▒┐ о▓ве▓. Т░еб│е▓▒┐, ╖▓об╗ ли╕╝ один из NR п░о╢е▒▒о░ов п░о░або▓ал
безо▓казно, по╜▓ом│ ╖а▒▓о▓а о▓казов имее▓ зна╖ение
qquantum = 1 ; (N 2 ; 2N + 2);1 (1 ; p) NR ;
(3.25)
ко▓о░ое дл┐ под╡од┐╣и╡ зна╖ений p; N и R може▓ б╗▓╝ мен╝╕е,
╖ем (3. 24).
3.5. Более б╗▒▓░╗е комп╝╛▓е░╗
Когда-ниб│д╝ ▒▓ане▓ ▓е╡нологи╖е▒ки возможн╗м по▒▓░ои▓╝ кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗, може▓ б╗▓╝, ▒ и▒пол╝зованием кван▓ов╗╡ по▓оков как
┤│ндамен▓ал╝н╗╡ компонен▓. Ожидае▓▒┐, ╖▓о ▓акие комп╝╛▓е░╗ мог│▓
░або▓а▓╝ ▒ ╜┤┤ек▓ивн╗м в╗╖и▒ли▓ел╝н╗м б╗▒▓░одей▒▓вием п░ев╗╕а╛╣им б╗▒▓░одей▒▓вие ма╕ин, подобн╗╡ ма╕инам Т╝╛░инга, по▒▓░оенн╗╡
по ▓ой же ▓е╡нологии. Э▓о може▓ показа▓╝▒┐ │диви▓ел╝н╗м, ▓ак как ┐
показал, ╖▓о никака┐ ░ек│░▒ивна┐ ┤│нк╢и┐ не може▓ в╗╖и▒л┐▓╝▒┐ ма╕иной Q ▒ помо╣╝╛ кван▓ов╗╡ п░ог░амм в ▒░еднем б╗▒▓░ее, ╖ем без ни╡.
Тем не менее, идеализа╢ии в Q не п░инима╛▓ во внимание ▓о▓ ╖и▒▓о ▓е╡нологи╖е▒кий ┤ак▓, ╖▓о в▒егда лег╖е п░ак▓и╖е▒ки п░иве▒▓и о╖ен╝ бол╝╕ое ╖и▒ло иден▓и╖н╗╡ ▒и▒▓ем в одно ▒о▒▓о┐ние, ╖ем п░иве▒▓и кажд│╛ из
ни╡ в ▒вое ▒о▒▓о┐ние. По╜▓ом│ б│де▓ можно и▒пол╝зова▓╝ го░аздо бол╝╕│╛ ▒▓епен╝ изб╗▓о╖но▒▓и R дл┐ па░аллел╝н╗╡ кван▓ов╗╡ п░ог░амм,
╖ем дл┐ кла▒▒и╖е▒ки╡, ░або▓а╛╣и╡ на ▓ом же о▒новном обо░│довании.
24
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
3.6. След▒▓ви┐ дл┐ ин▓е░п░е▓а╢ии кван▓овой ▓ео░ии
В более ░анней ░або▓е [Дой╖, 1985, ▒░. ▓акже Ал╝бе░▓, 1983], каким
об░азом б╗ло б╗ возможно п░ове▒▓и ░е╕а╛╣│╛ ╜к▒пе░имен▓ал╝н│╛ п░ове░к│ ин▓е░п░е▓а╢ии кван▓овой ▓ео░ии Эве░е▓▓а (цмноже▒▓венно▒▓и ми░овч) ▒ и▒пол╝зованием кван▓ового комп╝╛▓е░а (▓аким об░азом, в▒▓│пив
в п░о▓иво░е╖ие ▒ ╕и░око ░а▒п░о▒▓░аненной ве░ой в ▓о, ╖▓о она ╜к▒пе░имен▓ал╝но нео▓ли╖има о▓ д░│ги╡ ин▓е░п░е▓а╢ий). Тем не менее, п░оведение ▓аки╡ оп╗▓ов ▓░еб│е▓▒┐ как по▒▓░оение кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов,
▓ак и дл┐ ░аз░або▓ки и▒▓инн╗╡ п░ог░амм и▒к│▒▒▓венного ин▓еллек▓а. В
об║┐▒нении ░або▓╗ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов ┐, где ╜▓о б╗ло необ╡одимо,
п░едполагал он▓ологи╛ Эве░е▓▓а. Коне╖но, ╜▓и об║┐▒нени┐ в▒егда можно
цпе░еве▒▓ич в об╗╖н│╛ ин▓е░п░е▓а╢и╛, но и╡ об║┐▒н┐╛╣а┐ ▒ила п░и ╜▓ом
полно▒▓╝╛ ▓е░┐е▓▒┐. П░едположим, нап░име░, ╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░
б╗л зап░ог░амми░ован ▓ак, как ╜▓о б╗ло опи▒ано в зада╖е о ┤ондовой
би░же. Кажд╗й ден╝ он пол│╖ае▓ ░азли╖н╗е данн╗е. Ин▓е░п░е▓а╢и┐ Эве░е▓▓а ╡о░о╕о об║┐▒н┐е▓, как веде▓ ▒еб┐ комп╝╛▓е░, е▒ли он пе░едал подзада╖и копи┐м ▒амого ▒еб┐ в д░│ги╡ ми░а╡. Как об╗╖на┐ ин▓е░п░е▓а╢и┐
об║┐▒ни▓ нали╖ие п░авил╝ного о▓ве▓а в ▓е дни, когда комп╝╛▓е░ │▒пе╕но
в╗полн┐е▓ ░або▓│ дв│╡ п░о╢е▒▒о░о-дней?
?
Где ╜▓о▓ о▓ве▓ в╗╖и▒лен
4. Дал╝ней╕ие ▒в┐зи межд│ ┤изикой и комп╝╛▓е░ной на│кой
4.1. Кван▓ова┐ ▓ео░и┐ ▒ложно▒▓и
Тео░и┐ ▒ложно▒▓и в о▒новном ▒в┐зана ▒ ог░ани╖ени┐ми, наклад╗ваем╗ми на в╗╖и▒лени┐ ┤│нк╢ий: какие ┤│нк╢ии мог│▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лен╗,
как б╗▒▓░о и ▒ и▒пол╝зованием какого об║ема пам┐▓и. С кван▓ов╗ми
комп╝╛▓е░ами, как и ▒ кла▒▒и╖е▒кими ве░о┐▓но▒▓н╗ми комп╝╛▓е░ами
▒лед│е▓ воп░о▒ ци ▒ какой ве░о┐▓но▒▓╝╛?ч. М╗ │же знаем, ╖▓о минимал╝ное в░ем┐ в╗╖и▒лени┐ може▓ б╗▓╝ дл┐ Q мен╝╕е, ╖ем дл┐ T . Тео░и┐
▒ложно▒▓и дл┐ Q позвол┐е▓ п░ове▒▓и дал╝ней╕ее и▒▒ледование.
Мен╝╕ее п░ак▓и╖ное, но по▓ен╢иал╝но более важное п░иложение ▓ео░ии ▒ложно▒▓и | в поп╗▓ке пон┐▓╝ ▒пон▓анн╗й ░о▒▓ ▒ложно▒▓и в ┤изи╖е▒ки╡ ▒и▒▓ема╡, нап░име░, ╜вол╛╢и╛ жизни и ╖елове╖е▒кого знани┐.
Бенне▓ (1983) ░а▒▒мо▓░ел не▒кол╝ко ░азли╖н╗╡ ме░ ▒ложно▒▓и (или цгл│бинач или цзнани┐ч), ко▓о░╗е б╗ли ░анее п░едложен╗. Бол╝╕а┐ ╖а▒▓╝ из
ни╡ ▒▓░адае▓ о▓ ┤а▓ал╝ного недо▒▓а▓ка, закл╛╖а╛╣его▒┐ в ▓ом, ╖▓о они
п░и▒ваива╛▓ наив╗▒╕│╛ ц▒ложно▒▓╝ч ╖и▒▓о ▒л│╖айном│ ▒о▒▓о┐ни╛. ТаКван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
25
Д. Дой╖
ким об░азом, они не о▓ли╖а╛▓ и▒▓инное знание о▓ п░о▒▓ого ▒оде░жани┐
ин┤о░ма╢ии. Бенне▓ ░е╕ил ╜▓│ п░облем│. Его цлоги╖е▒ка┐ гл│бинач е▒▓╝,
г░│бо гово░┐, в░ем┐ ░або▓╗ ▒амой ко░о▓кой T {п░ог░амм╗, ко▓о░а┐ в╗╖и▒л┐е▓ данное ▒о▒▓о┐ние , и▒╡од┐ из п│▒▓ого в╡ода. В биологи╖е▒кой
▓е░минологии логи╖е▒ка┐ гл│бина изме░┐е▓ коли╖е▒▓во ╜вол╛╢ии, ко▓о░ое ▓░еб│е▓▒┐, ╖▓об╗ ░азви▓╝ из п░о▒▓ей╕и╡ возможн╗╡ п░ед╕е▒▓венников. С пе░вого взгл┐да, каже▓▒┐, ╖▓о кон▒▓░│к╢и┐ Бенне▓а ▓е░┐е▓ ▒во╛
┤изи╖е▒к│╛ о▒нов│, когда ░а▒п░о▒▓░ан┐е▓▒┐ за п░едел╗ ▒▓░ого де▓е░мини▒▓▒кой ┤изики ма╕ин Т╝╛░инга. В ┤изи╖е▒кой ░еал╝но▒▓и бол╝╕а┐
╖а▒▓╝ ▒л│╖айн╗╡ ▒о▒▓о┐ний по░ожда╛▓▒┐ не цдлинн╗ми п░ог░аммамич
(▓. е. п░ед╕е▒▓венниками, ▒ложно▒▓╝ ко▓о░╗╡ близка к и╡ ▒об▒▓венной
▒ложно▒▓и), а ко░о▓кими п░ог░аммами, в ▒о╖е▓ании ▒ неде▓е░мини░ованн╗м обо░│дованием.
Тем не менее, ▒│╣е▒▓в│е▓ кван▓ов╗й аналог идеи Бенне▓а, ко▓о░╗й
░е╕ае▓ ╜▓│ п░облем│. Оп░еделим Q{логи╖е▒к│╛ гл│бин│ кван▓ового ▒о▒▓о┐ни┐ как в░ем┐ в╗полнени┐ ▒амой ко░о▓кой Q{п░ог░амм╗, ко▓о░а┐
по░ождае▓ ╜▓о ▒о▒▓о┐ние, и▒╡од┐ из п│▒▓ого в╡ода (или, возможно, как
╜▓о делал Бенне▓, ▒░еднее га░мони╖е▒кое в░ем┐ в╗полнени┐ в▒е╡ ▓аки╡
п░ог░амм). Сл│╖айн╗е ╖и▒ла мог│▓ б╗▒▓░о по░ожда╛▓▒┐
Q{
п░ог░аммами.
Заме▓им, ╖▓о Q{логи╖е▒ка┐ гл│бина не набл╛даема даже в п░ин╢ипе,
по▓ом│, ╖▓о она ▒оде░жи▓ ин┤о░ма╢и╛ о в▒е╡ ми░а╡. Однако она имее▓
┤изи╖е▒кий ▒м╗▒л: Q-логи╖е▒ка┐ гл│бина | ╡о░о╕а┐ ме░а знани┐, ▓ак
как она п░идае▓ ве▒ ▓ол╝ко ▒ложно▒▓и, ко▓о░а┐ п░и▒│▓▒▓в│е▓ во в▒е╡ ми░а╡ и ▒ледова▓ел╝но поме╣ена ▓│да цп░ин│ди▓ел╝ноч гл│боким п░о╢е▒▒ом.
Набл╛даем╗е ▒ложн╗е ▒о▒▓о┐ни┐, ко▓о░╗е ░азли╖н╗ в ░азли╖н╗╡ ми░а╡,
┐вл┐╛▓▒┐ не и▒▓инно гл│бокими, а в▒его ли╕╝ ▒л│╖айн╗ми. По▒кол╝к│
Q{логи╖е▒ка┐ гл│бина | ▒вой▒▓во кван▓ового
(век▓о░а), не
▓░еб│е▓▒┐, ╖▓об╗ кван▓ова┐ под▒и▒▓ема имела ▓о╖но оп░еделенн│╛ Q{
логи╖е▒к│╛ гл│бин│ (╡о▓┐ ╖а▒▓о жела▓ел╝на ╡о░о╕а┐ ▒▓епен╝ апп░ок▒има╢ии). Э▓о ▓акже ▒лед│е▓ ожида▓╝, по▒кол╝к│ знание в ▒и▒▓еме може▓
▒оде░жа▓╝▒┐ ╢еликом в ко░░ел┐╢и┐╡ ▒ д░│гими ▒и▒▓емами. Нагл┐дн╗й
п░име░ ╜▓ого | кван▓ова┐ к░ип▓ог░а┤и┐.
ко░о▓кими
▒о▒▓о┐ни┐
4.2. Св┐зи межд│ п░ин╢ипом Че░╖а{Т╝╛░инга ▒ д░│гими
╖а▒▓┐ми ┤изики
М╗ видели, ╖▓о кван▓ова┐ ▓ео░и┐ обе▒пе╖ивае▓ ▒▓░ог│╛ ┤о░м│ (1. 2)
п░ин╢ипа Че░╖а{Т╝╛░инга ▓ол╝ко в п░едположении и▒▓инно▒▓и ▓░е▓╝его на╖ала ▓е░модинамики (1. 3). Э▓о о▓но╕ение, возможно, можно л│╖╕е
26
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
пон┐▓╝, ░а▒▒ма▓░ива┐ п░ин╢ип Че░╖а{Т╝╛░инга как более ┤│ндамен▓ал╝н╗й и в╗вод┐ ▓░е▓╝е на╖ало из ╜▓ого п░ин╢ипа и кван▓овой ▓ео░ии. То▓
┤ак▓, ╖▓о кла▒▒и╖е▒ка┐ ┤изика не обе▒пе╖ивае▓ (1. 2), дае▓ повод ▒дела▓╝ дал╝ней╕ие ╕аги. Неко▓о░╗е о▒обенно▒▓и о▓ли╖а╛╣ие кван▓ов│╛
▓ео░и╛ о▓ кла▒▒и╖е▒кой ┤изики (нап░име░, ди▒к░е▓но▒▓╝ набл╛даем╗╡
вели╖ин) о╖евидно мог│▓ б╗▓╝ в╗веден╗ ▓ол╝ко из (1. 2) и законов ▓е░модинамики. По╜▓ом│ нов╗й п░ин╢ип дае▓ нам по к░айней ме░е ╖а▒▓╝
░е╕ени┐ п░облем╗ Уиле░а: цПо╖ем│ кван▓ова┐ ▓ео░и┐ должна име▓╝ ме▒▓оч (▒м., нап░име░, Уиле░, 1985).
Разнооб░азн╗е ц▒▓░ел╗ в░еменич, ко▓о░╗е ▒│╣е▒▓в│╛▓ в ░азн╗╡ обла▒▓┐╡ ┤изики ▒ей╖а▒ мог│▓ б╗▓╝ ▒об░ан╗ вме▒▓е и п░ед║┐влен╗ как
д░│гие п░овозгла╕ени┐ ▓ого же ▒амого ╜┤┤ек▓а. Но, воп░еки ▓ом│, ╖▓о
╖а▒▓о │▓ве░ждае▓▒┐ цп▒и╡ологи╖е▒ка┐ч или ц╜пи▒▓еми╖е▒ка┐ч ▒▓░ела в░емени | и▒кл╛╖ение. До Бенне▓а (1973) ▒╖и▓ало▒╝, ╖▓о в╗╖и▒ление по
▒│╣е▒▓в│ необ╡одимо и по╜▓ом│ п▒и╡ологи╖е▒ка┐ ▒▓░ела в░емени необ╡одимо нап░авлена в ▒▓о░он│ где ╜н▓░опи┐ воз░а▒▓ае▓. Э▓а ▓о╖ка з░ени┐
▓епе░╝ по╕а▓н│ла▒╝, ▓ак как п░едполагаема┐ ▒в┐з╝ | ложна.
Один из п│▓ей возв░а╣ени┐ п▒и╡ологи╖е▒кой ▒▓░ел╗ в░емени в ┤изик│ | по▒▓│ли░ова▓╝ д░│гой нов╗й п░ин╢ип П░и░од╗, ко▓о░╗й ▒▒╗лае▓▒┐
непо▒░ед▒▓венно на Q{логи╖е▒к│╛ гл│бин│.
Каже▓▒┐ ░аз│мн╗м, │▓ве░жда▓╝, нап░име░, ╖▓о Q{логи╖е▒ка┐ гл│бина В▒еленной пе░вона╖ал╝но минимал╝на. Более оп▓ими▒▓и╖н╗й ва░иан▓
нового п░ин╢ипа може▓ ▓░ебова▓╝, ╖▓об╗ Q{логи╖е▒ка┐ гл│бина б╗ла б╗
не│б╗ва╛╣ей. Возможно, не ┐вл┐е▓▒┐ не░аз│мн╗м надее▓▒┐, ╖▓о в▓о░ой
закон ▓е░модинамики мог б╗ б╗▓╝ в╗веден из ог░ани╖ени┐ ╜▓ого вида на
Q{логи╖е▒к│╛ гл│бин│. Э▓о б╗ │▒▓ановило и▒▓инн╗е ▒в┐зи межд│ п▒и╡ологи╖е▒кой (или ╜пи▒▓еми╖е▒кой или ╜вол╛╢ионной) и ▓е░модинами╖е▒кой ц▒▓░елами в░еменич.
4.3. П░ог░амми░ование ┤изики
Смо▓░е▓╝ на п░ин╢ип Че░╖а{Т╝╛░инга как на ┤изи╖е▒кий закон |
╜▓о не зна╖и▓ п░о▒▓о ▒дела▓╝ комп╝╛▓е░н│╛ на│к│ ╖а▒▓╝╛ ┤изики. Э▓о
п░ев░а╣ае▓ ▓акже ╖а▒▓╝ ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ┤изики в ░аздел комп╝╛▓е░н╗╡ на│к.
Из ▒│╣е▒▓вовани┐ │ниве░▒ал╝ного кван▓ового комп╝╛▓е░а Q ▒лед│е▓, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ п░ог░амма дл┐ каждого ┤изи╖е▒кого п░о╢е▒▒а. В ╖а▒▓но▒▓и, Q може▓ п░оводи▓╝ л╛бой ┤изи╖е▒кий ╜к▒пе░имен▓. В не ко▓о░╗╡
▒л│╖а┐╡ (нап░име░, п░и изме░ени┐╡ кон▒▓ан▓ или ┤о░м взаимодей▒▓вий)
╜▓о не п░ине▒е▓ пол╝з╗, по▒кол╝к│ дл┐ напи▒ани┐ п░ог░амм╗ должен
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
27
Д. Дой╖
б╗▓╝ изве▒▓ен ░ез│л╝▓а▓. В╗полнение на Q ▒лед│╛╣ей АЛГОЛ-68 п░ог░амм╗ е▒▓╝ п░оведение ╜к▒пе░имен▓а Эйн╕▓ейна-Подол╝▒кого-Розена:
int n=8*random;
bool x,y;
x:=y:=false;
V(8,y)
x eorab y;
if V(n, y )
V(n, x)
then print(("Кван▓ова┐ ▓ео░и┐ о▓ве░гае▓▒┐."))
else print(("Кван▓ова┐ ▓ео░и┐ п░инимае▓▒┐."))
fi
end
6=
Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ поднима╛▓ ин▓е░е▒н╗е п░облем╗ ░аз░або▓ки ┐з╗ков п░ог░амми░овани┐, ко▓о░╗е ┐ зде▒╝ не ░а▒▒ма▓░ива╛. Я ▒каж│ ▓ол╝ко, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│╛▓ п░ог░амм╗ ко▓о░╗е п░ове░или б╗ (в по░┐дке
воз░а▒▓ани┐ ▓░│дно▒▓и) не░авен▒▓во Белла, линейно▒▓╝ кван▓овой динамики и ин▓е░п░е▓а╢и╛ Эве░е▓▓а. П░едо▒▓авл┐╛ ╖и▓а▓ел╛ напи▒а▓╝ и╡.
Я ╡о▓ел поблагода░и▓╝ док▓о░а Бенне▓▓а за │казание мне на ▓о,
╖▓о гипо▓еза Че░╖а{Т╝╛░инга имее▓ ┤изи╖е▒кое зна╖ение, К. Пен░о│за
и К. Вол╝┤а за ин▓е░е▒н╗е ди▒к│▒▒ии о кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░а╡ и п░о┤е▒▒о░а Р. Пен░о│за, Ф. Р. С., за ╖▓ение ╖е░новика ╜▓ой ▒▓а▓╝и и многие
п░едложенн╗е │л│╖╕ени┐.
Спи▒ок ли▓е░а▓│░╗
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
28
Albert, D. Z. Phys. Lett. 1983, A98, 249.
Bekenstein, J. D. Phys. Rev. 1973, D7, 2333.
Bekenstein, J. D. Phys. Rev. 1981, D23, 287.
Bell, J. S. Physica. 1964, 1, 195.
Benio, P. A. Int. J. theor. Phys. 1982, 21, 177.
Bennett, C. H. IBM Jl Res. Dev. 1973, 17, 525.
Bennett, C. H. SIAM Jl Comput. 1981, 10, 96.
Bennett, C. H. On various measures of complexity, especially цlogical depthч.
Lecture at Aspen. IBM Report. 1983.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐, п░ин╢ип ╖е░╖а{▓╝╛░инга
[9] Bennett, C. H., Brassard, G., Breidbart, S. & Wiesner, S. Advances in
cryptography. In Proceding of Crypto. 1983, New York: Plenum.
[10] Chaitin, G. J. IBM Jl Res. Dev. 1977, 21, 350.
[11] Church, J. Am. J. Math. 1936, 58, 435.
[12] Deutsch, D. Int. J. theor. Phys. 1985, 24, 1.
[13] d'Espagnat, B. Conceptual foundations of quantum mechanics (second edn.).
Reading, Massachusetts: W. A. Benjamin. 1976.
[14] Feyman, R. P. Int. J. theor. Phys. 1982, 21, 467.
[15] Gandy, R. In The Kleene symposium (ed. J. Barwise, H. J. Keisler & K. Kunen),
Amsterdam: North Holland. 1980, pp. 123{148.
[16] Holfstadter, D. R. Godel, Escher, Bach: an eternal golden braid. New York:
Random House. 1979.
[17] Leggett, A. J. In Quantum discussions, proceedings of the Oxford quantum
gravity conference 1984 (ed. R. Penrose & C. Isham). Oxford University Press.
1985.
[18] Likharev, K. K. Int. J. theor. Phys. 1982, 21, 311.
[19] Popper, K. R. The logic of scientic discovery. London: Hutchinson. 1959.
[20] Tooli, T. J. J. Comput. Syst. Sci. 1979, 15, 213.
[21] Turing, A. M. Proc. Lond. math. Soc. Ser. 2. 1936, 442, 230.
[22] Wheeler, J. A. In NATO Advanced Study Institute Workshop on Frontiers of
Nonequilibrium Physics 1984. New York: Plenum. 1985.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
29
Д╜вид Дой╖ и Ри╖а░д Джо╕а
Departement I.R.O., Universite de Montreal, C.P. 6128
Succursale A. Montreal, Canada
БЫСТРОЕ
РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧ
С
ПОМО-
ЩЬЮ КВАНТОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
В ▒▓а▓╝е опи▒ан кла▒▒ зада╖, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ ░е╕ен╗ более ╜┤┤ек▓ивно ▒
помо╣╝╛ кван▓ового в╗╖и▒лени┐, ╖ем ▒ помо╣╝╛ л╛бого кла▒▒и╖е▒кого или ▒▓о╡а▒▓и╖е▒кого ме▓ода. Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ░е╕а╛▓ зада╖и ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ за ╜к▒понен╢иал╝но мен╝╕ее в░ем┐, ╖ем л╛бое кла▒▒и╖е▒кое де▓е░мини░ованное в╗╖и▒ление.
Рабо▓а л╛бой в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма╕ин╗ | ╜▓о неизбежно ┤изи╖е▒кий п░о╢е▒▒. Тем не менее, ▒▓анда░▓на┐ ма▓ема▓и╖е▒ка┐ ▓ео░и┐, ко▓о░а┐
и▒пол╝з│е▓▒┐ дл┐ из│╖ени┐ возможно▒▓ей и ог░ани╖ений в╗╖и▒лений (нап░име░, п░оизведенн╗╡ на ма╕ина╡ Т╝╛░инга), не п░изнае▓ кван▓ов╗е
ме╡ани╖е▒кие ╜┤┤ек▓╗, в ╖а▒▓но▒▓и нали╖ие коге░ен▓н╗╡ ▒│пе░пози╢ий
п░и в╗╖и▒лени┐╡. Под╡од┐╣ее оп░еделение дл┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а,
ко▓о░╗й, как и ма╕ина Т╝╛░инга, идеализи░ован как ░або▓а╛╣ий безо╕ибо╖но и име╛╣ий неог░ани╖енн╗е возможно▒▓и пам┐▓и, но ко▓о░╗й
▒по▒обен и▒пол╝зова▓╝ кван▓ов╗е ╜┤┤ек▓╗ п░ог░аммн╗м п│▓ем, б╗ло
▒┤о░м│ли░овано одним из на▒ в 1985 г. (Дой╖ 1985). Кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ не мог│▓ в╗╖и▒л┐▓╝ ┤│нк╢ии, ко▓о░╗е в ▒во╛ о╖е░ед╝ не в╗╖и▒лим╗ по Т╝╛░инг│, но они обе▒пе╖ива╛▓ нов╗е ▓ип╗ в╗╖и▒лений дл┐
множе▒▓ва ░азли╖н╗╡ кла▒▒ов зада╖. В данной ▒▓а▓╝е м╗ п░одемон▒▓░и░│ем важно▒▓╝ кван▓ов╗╡ п░о╢е▒▒ов дл┐ до▒▓ижени┐ ░ез│л╝▓а▓ов в в╗╖и▒ли▓ел╝ной ▓ео░ии ▒ложно▒▓и. М╗ опи▒╗ваем зада╖│, ко▓о░а┐ може▓
б╗▓╝ ░е╕ена более ╜┤┤ек▓ивно ▒ помо╣╝╛ кван▓ового комп╝╛▓е░а, ╖ем
▒ помо╣╝╛ л╛бого кла▒▒и╖е▒кого комп╝╛▓е░а. Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ ░е╕ае▓ зада╖и ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ за ╜к▒понен╢иал╝но мен╝╕ее в░ем┐, ╖ем л╛бой
кла▒▒и╖е▒кий де▓е░мини░ованн╗й комп╝╛▓е░.
П│▒▓╝ Uf | │▒▓░ой▒▓во, ко▓о░ое в╗╖и▒л┐е▓ ┤│нк╢и╛ f : Zm ! Zn .
Задав зна╖ение i, Uf , по▒ле неко▓о░ого в░емени, в╗да▒▓ зна╖ение f (i).
В об╣ем ▒л│╖ае, кла▒▒ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ зада╖, ко▓о░╗й м╗ должн╗ ░а▒▒мо▓░е▓╝, вкл╛╖ае▓ в ▒еб┐ Uf и за▓ем и▒пол╝з│е▓ его дл┐ ░аз░е╕ени┐ не-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
1
Д╜вид Дой╖ и Ри╖а░д Джо╕а
ко▓о░ого ▒вой▒▓ва G[f ] (╜▓о неко▓о░а┐ ┤│нк╢и┐ G о▓ по▒ледова▓ел╝но▒▓и
f (0), f (1); : : : f (m ; 1)) за наимен╝╕ее в░ем┐.
П░и анализе данного ▓ипа зада╖ ╖а▒▓о п░едполага╛▓, ╖▓о ▒╡ема вн│▓░енней ░або▓╗ Uf недо▒▓│пна. В ╜▓ом ▒л│╖ае Uf наз╗вае▓▒┐ о░ак│лом
дл┐ f . П░едположение б│де▓ более ▓о╖н╗м, е▒ли Uf оп░едели▓╝ как нов╗й
▓ип ┤изи╖е▒кого об║ек▓а ▒ неизве▒▓н╗ми законами вн│▓░еннего ┤│нк╢иони░овани┐.
Е▒ли Uf п░о▒▓о п░ог░амма дл┐ в╗╖и▒лени┐ f на комп╝╛▓е░е, ▓о
в╗▒казанное п░едположение ░авно▒ил╝но ▓ом│, ╖▓о не ▒│╣е▒▓в│е▓ более
б╗▒▓░ого ме▓ода пол│╖ени┐ f п░ог░аммой Uf (нап░име░, ▓ек▒▓ов╗м анализом), ╖ем ▒ помо╣╝╛ в╗полнени┐ Uf дл┐ пол│╖ени┐ до▒▓а▓о╖но бол╝╕ого ╖и▒ла зна╖ений f (i) и оп░еделени┐ G[f ]. О╖евидно, ╖▓о ╜▓о ▒п░аведливо
дл┐ в▒е╡ ╜лемен▓ов G, однако ╜▓о │▓ве░ждение, ▓акже как и не░авен▒▓во
P 6= NP , ▓░│дно доказ│емо.
Е▒ли Uf б╗ло б╗ ROM (read-only memory), ▓о е▒▓╝ пам┐▓╝ ц▓ол╝ко дл┐ ╖▓ени┐ч, ▒оде░жа╣а┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ из m ╢ел╗╡ ╖и▒ел, п░инадлежа╣и╡ Zn , ▓о п░едположение зв│╖ало б╗ ▓ак, ╖▓о не ▒│╣е▒▓в│е▓
более б╗▒▓░ого ▒по▒оба пол│╖ени┐ G[f ] из Uf , ╖ем ╖▓ением из ROM до▒▓а▓о╖но бол╝╕ого ╖и▒ла зна╖ений f (i) дл┐ оп░еделени┐ G[f ]. Я▒но, ╖▓о
в об╣ем ▒л│╖ае ╜▓о │▓ве░ждение не▒п░аведливо, по▒кол╝к│ мог│▓ б╗▓╝
┤изи╖е▒кие п│▓и оп░еделени┐ G[f ] нап░┐м│╛, как, нап░име░, полного в╗╖и▒лени┐, е▒ли зна╖ени┐ f (i) б╗ли ▒о╡░анен╗ как индивид│ал╝н╗е полн╗е
зна╖ени┐, однако ░а▒▒мо▓░енн╗й п░име░ ╡о░о╕о демон▒▓░и░│е▓ многие
░еал╝н╗е ▒и▓│а╢ии.
Удобно кла▒▒и┤и╢и░ова▓╝ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е зада╖и по о╢енкам ┤│нк╢ий и ░е╕ени┐м зада╖. В ▒л│╖ае ┤│нк╢ий, зада╖а закл╛╖ае▓▒┐ в пол│╖ении
един▒▓венного в╗╡одного зна╖ени┐, ко▓о░ое ┐вл┐е▓▒┐ оп░еделенной ┤│нк╢ией о▓ в╡одн╗╡ зна╖ений. Нап░име░, Uf , в ▓ом виде в ко▓о░ом м╗ ее
оп░еделили, о╢енивае▓ ┤│нк╢и╛ f . В ▒л│╖ае ░е╕ени┐ зада╖, ╢ел╝╛ ┐вл┐е▓▒┐ пол│╖ение л╛бого одного в╗╡одного зна╖ени┐, ко▓о░ое имее▓ оп░еделенное ▒вой▒▓во. Нап░име░, на╡ождение множи▓ел┐ заданного ▒о▒▓авного
╖и▒ла ┐вл┐е▓▒┐ зада╖ей. На╡ождение п░о▒▓ого наимен╝╕его множи▓ел┐
| ╜▓о о╢енка ┤│нк╢ии.
Когда кла▒▒и╖е▒кий де▓е░мини░ованн╗й (Т╝╛░инг) комп╝╛▓е░ ░е╕ае▓ зада╖│, он в▒егда делае▓ ╜▓о ▒ помо╣╝╛ в╗╖и▒лени┐ ┤│нк╢ии. Нап░име░, п░ог░амма на╡ождени┐ множи▓елей б│де▓ в▒егда на╡оди▓╝ один
и ▓о▓ же множи▓ел╝ дл┐ заданного в╡одного зна╖ени┐. То▓ множи▓ел╝,
ко▓о░╗й она и╣е▓, може▓ б╗▓╝ оп░еделен ▒ помо╣╝╛ дополни▓ел╝ного
│▒лови┐, │мен╝╕а┐ ░або▓│ по о╢енке ┤│нк╢ии. Следова▓ел╝но, п░и ░е╕е2
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
б╗▒▓░ое ░е╕ение зада╖ ▒ помо╣╝╛ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений
нии зада╖ кла▒▒и╖е▒кий комп╝╛▓е░ не може▓ помо╖╝ в╗полни▓╝ более
▒ложн│╛ в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ зада╖│, ╖ем ▓а, ко▓о░а┐ б╗ла по▒▓авлена.
С▓о╡а▒▓и╖е▒кий комп╝╛▓е░ (▓о е▒▓╝ ▓о▓, ко▓о░╗й имее▓ аппа░а▓н╗й
гене░а▓о░ ▒л│╖айн╗╡ ╖и▒ел) не должен по▒▓о┐нно о╢енива▓╝ ┤│нк╢ии, по▒кол╝к│ ╡од и╡ в╗╖и▒лени┐, и, ▒ледова▓ел╝но, и╡ в╗╡одн╗╡ зна╖ений, не
об┐за▓ел╝но должен б╗▓╝ един▒▓венн╗м об░азом оп░еделен заданн╗ми
в╡одн╗ми зна╖ени┐ми. Однако, ╜▓о ▒вой▒▓во дае▓ ▒▓о╡а▒▓и╖е▒ком│ комп╝╛▓е░│ небол╝╕ое п░еим│╣е▒▓во по ▒░авнени╛ ▒ Т╝╛░инг комп╝╛▓е░ами п░и ░е╕ении зада╖, ▓ак как е▒ли каждое возможное в╗╡одное зна╖ение
▒▓о╡а▒▓и╖е▒кого в╗╖и▒лени┐ имее▓ оп░еделенное ▒вой▒▓во, ко▓о░ое ░е╕ае▓ зада╖│, какова же ▓огда ╢ел╝ в╗бо░а ╖и▒ел ▒л│╖айн╗м об░азом в ╡оде
в╗╖и▒лени┐? Одной може▓ б╗▓╝ ▓о, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ некий де▓е░мини░ованн╗й алго░и▓м, ░е╕а╛╣ий зада╖│, ко▓о░╗й и▒пол╝з│е▓ оп░еделенн╗й
па░аме▓░, и в░ем┐ в╗╖и▒лени┐ непо▒░ед▒▓венно зави▒и▓ о▓ ╜▓ого па░аме▓░а. Е▒ли бол╝╕ин▒▓во зна╖ений па░аме▓░а оп░едел┐╛▓ небол╝╕ое в░ем┐
в╗╖и▒лени┐, ▓о д░│гие наобо░о▓ мог│▓ б╗▓╝ неп░ед▒каз│ем╗ми и мог│▓
занима▓╝ бол╝╕ое в░ем┐ дл┐ в╗╖и▒лени┐, по╜▓ом│ б╗ло б╗ жела▓ел╝но
в╗би░а▓╝ па░аме▓░ ▒л│╖айн╗м об░азом ╖▓об╗ │мен╝╕и▓╝ ожидаемое зна╖ение в░емени в╗╖и▒лени┐.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ (Дой╖ 1985) один из ▓е╡, в ко▓о░ом кван▓овоме╡ани╖е▒ка┐ поме╡а може▓ б╗▓╝ │▒▓░анена п░и в╗полнении в╗╖и▒лений. Такое в╗╖и▒ление ▓акже не н│ждае▓▒┐ в о╢енке ┤│нк╢ий п░и ░е╕ении зада╖и, по▒кол╝к│ ▒о▒▓о┐ние и╡ в╗╡одн╗╡ зна╖ений може▓ б╗▓╝ коге░ен▓ной ▒│пе░пози╢ией ▒о▒▓о┐ний, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ░азли╖н╗м о▓ве▓ам, кажд╗й из ко▓о░╗╡ ┐вл┐е▓▒┐ ░е╕ением зада╖и. Э▓о▓ ┤ак▓ позвол┐е▓
кван▓ов╗м комп╝╛▓е░ам ░е╕а▓╝ зада╖и ме▓одами, ко▓о░╗е не п░именим╗ к об╗╖ном│ кла▒▒и╖е▒ком│ │▒▓░ой▒▓в│.
Доп│▒▓им, ╖▓о опе░а╢и┐ Uf | ╜▓о коге░ен▓н╗й кван▓ово ме╡ани╖е▒кий п░о╢е▒▒. Раз│мее▓▒┐, в▒е ┤изи╖е▒кие п░о╢е▒▒╗ п░именим╗ к данном│
п░едположени╛ на неко▓о░ом до▒▓а▓о╖но полном │░овне опи▒ани┐, возможно вкл╛╖а╛╣ем и╡ ок░│жение. Но м╗ п░едполагаем, ╖▓о Uf може▓
б╗▓╝ легко ▒делано ╖а▒▓╝╛ коге░ен▓ного в╗╖и▒лени┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а.
П│▒▓╝ Hmn | гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во ░азме░но▒▓и mn и п│▒▓╝
fji; j ig(i 2 Zm ; j 2 Zn)
(1)
┤ик▒и░ованн╗й о░▓оно░ми░ованн╗й бази▒ в Hmn . П░едположим, ╖▓о Uf
п░инимае▓ в╡одн╗е зна╖ени┐ п░и л╛бом ▒о▒▓о┐нии бази▒а jk; 0i, п░ед▒▓авл┐┐ зна╖ение k и п░еоб░аз│┐ его в в╗╡одн╗е зна╖ени┐ в ▒о▒▓о┐нии
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
3
Д╜вид Дой╖ и Ри╖а░д Джо╕а
jk; f (k)i, из ко▓о░ого зна╖ение f (k) може▓ б╗▓╝ пол│╖ено ▒ ве░о┐▓но▒-
▓╝╛ 1. В об╣ем ▒л│╖ае м╗ можем п░едположи▓╝, ╖▓о Uf в╗полн┐е▓ неко▓о░ое │ни▓а░ное дей▒▓вие
Uf
ji; j i ;!
ji; j + f (i)i
(2)
где ▒│мма j + f (i) в в╗░ажении в╗полнена по мод│л╛ n. Тогда, │╖и▓╗ва┐
линейно▒▓╝ кван▓ового дей▒▓ви┐, Uf п░еоб░аз│е▓ в╡одное зна╖ение
m; 2 (j0; 0i + : : : + jm ; 1; 0i)
(3)
m; 2 (j0; f (0)i + : : : + jm ; 1; f (m ; 1)i):
(4)
1
в в╗╡одное зна╖ение
1
Таким об░азом, один ░аз в╗полнив Uf , м╗ пол│╖аем в неко▓о░ом ▒м╗▒ле
в╗╖и▒ленн╗ми в▒е m зна╖ений ┤│нк╢ии f в ▒│пе░пози╢ии. Элемен▓а░на┐
кван▓ова┐ ▓ео░и┐ в╗╖и▒лений демон▒▓░и░│е▓, ╖▓о кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐, п░имененн╗е к ▒и▒▓еме в ▒о▒▓о┐нии (4), не мог│▓ б╗▓╝ п░именен╗
дл┐ пол│╖ени┐ более ╖ем одного из m зна╖ений f (0), : : : f (m ; 1). Однако,
возможно извле╖╝ неко▓о░ое об║единение ▒вой▒▓в G[f (0); : : : f (m ; 1)] о▓
m зна╖ений п│▓ем в╗╖и▒лени┐ видим╗╡ зна╖ений, не ┐вл┐╛╣и╡▒┐ диагонал╝н╗ми в бази▒е (1). Э▓о наз╗вае▓▒┐ ме▓одом в╗╖и▒лений, ▒ помо╣╝╛
кван▓ового ░а▒па░аллеливани┐ и возможно ▓ол╝ко на комп╝╛▓е░а╡, ╖╝и
в╗╖и▒лени┐ ┐вл┐╛▓▒┐ коге░ен▓н╗ми кван▓ов╗ми п░о╢е▒▒ами. Смо▓░и▓е,
нап░име░, ▒▓а▓╝и Дой╖а (1985) и Джо╕а (1991).
В на▒▓о┐╣ее в░ем┐ в▒е изве▒▓н╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е зада╖и, ко▓о░╗е
мог│▓ б╗▓╝ в╗полнен╗ более ╜┤┤ек▓ивно ▒ помо╣╝╛ кван▓ового ░а▒па░аллеливани┐, ╖ем ▒ помо╣╝╛ л╛бого кла▒▒и╖е▒кого ме▓ода, име╛▓ два
о▒новн╗╡ ▒вой▒▓ва. Во-пе░в╗╡, о▓ве▓ не може▓ пол│╖и▓╝▒┐ ▒ ▓о╖но▒▓╝╛
в оп░еделенное в░ем┐. Э▓о озна╖ае▓ ▒лед│╛╣ее | ▒│╣е▒▓в│е▓ оп░еделенна┐ ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о п░ог░амма да▒▓ о▓ве▓, ╖▓о она не в ▒о▒▓о┐нии
п░оизве▒▓и в╗╖и▒ление, │дал┐┐ ин┤о░ма╢и╛ о f , по╜▓ом│, в об╣ем ▒л│╖ае, она должна б╗▓╝ зап│╣ена пов▓о░но пе░ед ▓ем, как о▓ве▓ б╗л пол│╖ен. Во-в▓о░╗╡, даже е▒ли дл┐ неко▓о░╗╡ ▒л│╖аев он ░або▓ае▓ б╗▒▓░ее,
╖ем л╛бой кла▒▒и╖е▒кий алго░и▓м, кван▓ов╗й алго░и▓м в ▒░еднем не более ╜┤┤ек▓ивен, ╖ем кла▒▒и╖е▒кий. Доказ╗вае▓▒┐ (Дой╖ 1985), ╖▓о в▓о░ое
▒вой▒▓во должно в╗полн┐▓╝▒┐, по к░айней ме░е, дл┐ одного в╗б░анного
в╡одного зна╖ени┐ п░и кван▓овом в╗╖и▒лении л╛бой ┤│нк╢ии.
4
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
б╗▒▓░ое ░е╕ение зада╖ ▒ помо╣╝╛ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений
Цел╝ данной ▒▓а▓╝и | опи▒ание зада╖и, дл┐ ко▓о░ой кван▓овое ░а▒па░аллеливание в╗дае▓ ░е╕ение ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ в оп░еделенное в░ем┐ и го░аздо более ╜┤┤ек▓ивно, ╖ем л╛бой кла▒▒и╖е▒кий или ▒▓о╡а▒▓и╖е▒кий
ме▓од.
Така┐ зада╖а може▓ зв│╖а▓╝ ▒лед│╛╣им об░азом: п░и заданн╗╡ на▓│░ал╝ном ╖и▒ле N и о░ак│ле Uf дл┐ ┤│нк╢ии f : Z2N ! Z2 , най▓и п░авдивое │▓ве░ждение из ▒лед│╛╣его ▒пи▒ка:
(A) f непо▒▓о┐нна┐ ┤│нк╢и┐ (дл┐ 0 или 1);
(B) по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ f (0); : : : f (2N ; 1), зна╖ений ┤│нк╢ии f не
▒оде░жи▓ в ▓о╖но▒▓и N н│лей;
Заме▓╝▓е, ╖▓о дл┐ л╛бого f , ╡о▓┐ б╗ одно из в╗░ажений (A) или (B)
в▒егда п░авдиво. Возможно, ╖▓о оба в╗░ажени┐ п░авдив╗, в ▓аком ▒л│╖ае или (A) или (B) ┐вл┐е▓▒┐ п░иемлем╗м ░е╕ением. Э▓о▓ ┤ак▓ ┐вл┐е▓▒┐
п░и╖иной ▓ого, ╖▓о ░е╕ение зада╖и не об┐за▓ел╝но ░авно▒ил╝но в╗╖и▒лени╛ ┤│нк╢ии. С▓о╡а▒▓и╖е▒кий или кван▓ов╗й алго░и▓м дл┐ ░е╕ени┐
зада╖и може▓ име▓╝ ▓акое ▒вой▒▓во, ╖▓о когда (A) и (B) оба п░авдив╗, ▓о
он возв░а╣ае▓ один из о▓ве▓ов ▒л│╖айн╗м об░азом. Но когда ▓ол╝ко один
из о▓ве▓ов ┐вл┐е▓▒┐ п░авдив╗м, алго░и▓м должен в ▓о╖но▒▓и возв░а▓и▓╝
именно его.
Ра▒▒мо▓░им ▒на╖ала кла▒▒и╖е▒кое ░е╕ение. М╗ должн╗ пе░иоди╖е▒ки в╗полн┐▓╝ Uf дл┐ в╗╖и▒лени┐ зна╖ений f в неко▓о░ом по░┐дке, ▒кажем f ((0)); f ((1)); f ((2)); : : : , где | ╜▓о пе░е▒▓ановка Z2N . М╗ п░одолжаем п░о╢е▒▒ до ▓е╡ по░, пока имее▓▒┐ до▒▓а▓о╖но ин┤о░ма╢ии дл┐
под▓ве░ждени┐ ▓ого, ╖▓о (A) или (B) п░авдив╗. Э▓о в▒егда до▒▓игае▓▒┐
п░и мак▒им│м N + 1 в╗зовов Uf , ╡о▓┐ неко▓о░╗е ┤│нк╢ии f ▓░еб│╛▓ небол╝╕ое ╖и▒ло в╗зовов. П░ед▒▓авл┐┐ ┤│нк╢и╛ f по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛ из
2N -╜лемен▓ов f ((0)); : : : f ((2N ; 1)) из н│лей и едини╢, м╗ пол│╖аем
░ез│л╝▓а▓╗, п░ед▒▓авленн╗е в ▓абли╢е 1.
Следова▓ел╝но, задав бол╝╕ое ╖и▒ло п░оизвол╝н╗╡ fs пол│╖аем, ╖▓о
▒░еднее ╖и▒ло в╗зовов Uf , ▓░еб│емое дл┐ ░е╕ени┐ зада╖и дл┐ каждого f
░авн┐е▓▒┐
N n;1
N +1 +X
n 21
(5)
= 3 ; N1;1 ;
N
;
1
2
2
n=2
▓о е▒▓╝, п░име░но 3 в╗полнени┐ дл┐ до▒▓а▓о╖но бол╝╕ого ╖и▒ла N . Е▒ли
же м╗ и▒кл╛╖и▓ел╝но не▒╖а▒▓лив╗ или е▒ли fs не гене░и░│е▓▒┐ ▒л│╖айн╗м об░азом, к░оме ▓ого ▒л│╖а┐, когда ин┤о░ма╢и┐ наме░енно и▒кажена
кем-либо, ▓о ▓░еб│е▓▒┐ N + 1 в╗зовов. В ▒л│╖ае кла▒▒и╖е▒кого ▒▓о╡а▒▓и╖е▒кого комп╝╛▓е░а м╗ можем в╗б░а▓╝ пе░е▒▓ановк│ п░оизвол╝но,
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
5
Д╜вид Дой╖ и Ри╖а░д Джо╕а
Табли╢а 1
╖и▒ло ( )
в╗полнений
n
U
f
1
2
3
:::
N
по▒ледова▓ел╝но▒▓╝
дей▒▓вий
╖и▒ло
дей▒▓вий ( )
k
не▓ дей▒▓вий
0
0 1
2N;2
(A) и▒▓инно 2
+ 22N;2
1 0
0 0 1
(A) и▒▓инно 22N;3 + 22N;3
1 1 0
0 0
0 1 (A) и▒▓инно 22N;N + 22N;N
1 1
1 0
0 0
0 0 (B) и▒▓инно
2N;1
0 0
0 1 (A) и▒▓инно
+2N;1
+2N;1
1 1
1 0 (A) и▒▓инно
+2N;1
1 1
1 1 (B) и▒▓инно
в▒его: 22N
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
N
+1
:::
:::
:::
ве░о┐▓но▒▓╝
░е╕ени┐
зада╖и п░и
в╗полнени┐╡,
2;2n
0
1
2
1
4
n
k
:::
1
2N ;1
1
22N ;1
в▒его: 1
по╜▓ом│ п░о╢е▒▒, ко▓о░╗й в ▒░еднем ▓░еб│е▓ O(ln(N )) ╕агов, може▓ по▒░ед▒▓вом ╜▓ого пол│╖и▓╝ ░е╕ение зада╖и за 3 в╗полнени┐, однако в не│да╖ном дл┐ на▒ ▒л│╖ае ╜▓о зна╖ение може▓ пов╗▒и▓╝▒┐ до N +1 в╗зовов,
пл╛▒ O(N ln(N ) ╕агов.
Тепе░╝ п░ед▒▓авим один из ме▓одов ░е╕ени┐, и▒пол╝з│╛╣ий кван▓овое ░а▒па░аллеливание. П│▒▓╝ S | │ни▓а░на┐ опе░а╢и┐, оп░еделенна┐
как
S ji; j i = (;1)j ji; j i:
(6)
Э▓а опе░а╢и┐ може▓ б╗▓╝ в╗полнена кван▓ов╗м комп╝╛▓е░ом (▒мо▓░и Дой╖ 1985) за ┤ик▒и░ованное ╖и▒ло ╕агов, незави▒имое о▓ N и f . Со▒▓о┐ние
2X
N ;1
ji; 0i
(7)
ji = p 1
(2N ) i=0
може▓ б╗▓╝ пол│╖ено, на╖ина┐ ▒ в╡одного зна╖ени┐ j0; 0i, за O(ln(n)) ╕агов, незави▒имо о▓ f . Нап░име░, е▒ли 2N | ╜▓о ▒▓епен╝ дл┐ ╢и┤░╗ 2, ▓о
она може▓ б╗▓╝ пол│╖ена п░именением ╜лемен▓а░ного одноби▓ного п░еоб░азовани┐
jxi ! p1 (jxi + (;1)x j1 ; xi) (x 2 Z2 )
(8)
2
дл┐ каждого из log2 (2N ) би▓ов, ╖▓о оп░едел┐е▓ зна╖ение i в (7).
6
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
б╗▒▓░ое ░е╕ение зада╖ ▒ помо╣╝╛ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений
П░и заданном кван▓овом о░ак│ле Uf , п░именение 3-╡ опе░а╢ий Uf ,
S , Uf возможно к │╖а▒▓кам пам┐▓и, на╡од┐╣и╡▒┐ в ▒о▒▓о┐нии ji. Тогда
из (1), (6) и (7) пол│╖аем:
N;
2X1
ji ! p 1
(2N ) i=0
!p1
2
N;
ji; f (i)i !
X1
(2N ) i=0
2
(;1)f (i) ji; f (i)i !
N ;1
X
!p1
(;1)f (i) ji; 0i j i:
(2N ) i=0
Вели╖ина вн│▓░еннего зна╖ени┐
N ;1
2
(9)
X
jhj ij = 21N (;1)f (i) i=0
(10)
░авна н│л╛, когда в╗░ажение (B) ложно, и ░авно едини╢е, когда (A) ложно. Следова▓ел╝но, е▒ли по▒ле в╗полнени┐ опе░а╢ии в (9) м╗ изме░┐ем
видим│╛ п░оек╢и╛ jihj и ░ез│л╝▓а▓ ░авен 0, ▓о можно б╗▓╝ │ве░енн╗ми в ▓ом, ╖▓о j i не б╗ло па░аллел╝но ji и, ▒ледова▓ел╝но, ╖▓о (A)
п░авдиво. А е▒ли ░ез│л╝▓а▓ ░авен 1, ▓о можно б╗▓╝ │ве░енн╗ми в ▓ом,
╖▓о j i не б╗ло о░▓огонал╝но к ji и, ▒ледова▓ел╝но, ╖▓о (B) п░авдиво.
Рез│л╝▓а▓ должен б╗▓╝ ░авен или 0 или 1, по▒кол╝к│ они ┐вл┐╛▓▒┐ ▒об▒▓венн╗ми зна╖ени┐ми л╛бой видимой п░оек╢ии. Следова▓ел╝но, п░о╢ед│░а не може▓ не пол│╖и▓╝ п░авдивое зна╖ение в╗░ажени┐ (A) или (B).
В╗╖и▒ление jihj може▓ б╗▓╝ в╗полнено за O(ln N ) ╕агов, п│▓ем
в╗полнени┐, во-пе░в╗╡, об░а▓ной опе░а╢ии о▓ ┤│нк╢ии п░еоб░азовани┐,
ко▓о░а┐ пол│╖ае▓ ji из на╖ал╝н╗╡ в╡одн╗╡ зна╖ений j0; 0i, и во-в▓о░╗╡,
в╗╖и▒лени┐ j0; 0ih0; 0j, ко▓о░ое ░е╕ае▓▒┐ п░о▒▓о в╗╖и▒лением каждого би▓а в о▓дел╝но▒▓и. О░ак│л Uf п░имен┐е▓▒┐ дважд╗ в (9) и более не ▓░еб│е▓▒┐ ни одного его в╗зова. Э▓о ┐вное п░еим│╣е▒▓во по ▒░авнени╛ ▒
3 ; 2;N +1 ▓░еб│ем╗ми в╗зовами п░и и▒пол╝зовании л│╖╕его кла▒▒и╖е▒кого или ▒▓о╡а▒▓и╖е▒кого ме▓ода и ог░омное п░еим│╣е▒▓во по ▒░авнени╛
▒ ╡│д╕им ▒л│╖аем (N +1 в╗зовов) л╛бого из ╜▓и╡ ме▓одов. Заме▓╝▓е, ╖▓о
зада╖а ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ ░е╕ае▓▒┐ дл┐ каждого из ▒л│╖аев.
Ин▓е░е▒но ▒░авни▓╝ в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ ▒ложно▒▓╝ ░а▒▒ма▓░иваемой
зада╖и о▓но▒и▓ел╝но кла▒▒и╖е▒кого и кван▓ового комп╝╛▓е░а. В кла▒-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
7
Д╜вид Дой╖ и Ри╖а░д Джо╕а
▒и╖е▒ком ▒л│╖ае, ▓ео░и┐ полиномиал╝ной ╜квивален▓но▒▓и кла▒▒а ▒ложно▒▓и (Га░ей и Джон▒он 1979) о▒нована на модел┐╡ де▓е░мини░ованн╗╡ (DTM) и неде▓е░мини░ованн╗╡ (NDTM) ма╕ин Т╝╛░инга. О▓ме▓им
один важн╗й ░ез│л╝▓а▓ (обозна╖аем╗й далее (*)), ╖▓о дл┐ л╛бого кла▒▒и╖е▒кого ░е╕ени┐ на╕ей зада╖и, и▒пол╝з│┐ DTM, ▒│╣е▒▓в│е▓ ┤│нк╢и┐
f : Z2N ! Z2 , ко▓о░а┐ ▓░еб│е▓, по к░айней ме░е, N + 1 в╗зовов о░ак│ла. Дл┐ ▓ого ╖▓об╗ показа▓╝ ╜▓о, п░едположим, ╖▓о DTM може▓ ░е╕и▓╝
зада╖│ дл┐ каждого ▓акого f , и▒пол╝з│┐ ▓ол╝ко M 6 N в╗зовов. П│▒▓╝
fc | по▒▓о┐нна┐ ┤│нк╢и┐ ▓ака┐, ╖▓о в╗░ажение (A) ложно, и ма╕ина
должна закл╛╖и▓╝, ╖▓о в╗░ажение (B) п░авдиво. Тогда дл┐ л╛бого ╖и▒ла в╗зовов M , дл┐ в╡одн╗╡ зна╖ений в╗б░анн╗╡ п░оизвол╝н╗м п│▓ем,
▒│╣е▒▓в│е▓ ┤│нк╢и┐ g, ко▓о░а┐ ▒овпадае▓ ▒ fc дл┐ в▒е╡ M и имее▓ ▓о╖но
N н│лев╗╡ зна╖ений. По▒кол╝к│, по ▒огла╕ени╛, M зна╖ений оп░едел┐╛▓ ▓ол╝ко ин┤о░ма╢и╛, ко▓о░│╛ DTM имее▓ о ┤│нк╢ии, ко▓о░а┐, в
▒во╛ о╖е░ед╝, не може▓ о▓ли╖и▓╝ Ufc о▓ Ug , ▒ледова▓ел╝но, не може▓ закл╛╖и▓╝, ╖▓о в╗░ажение (B) п░авдиво. Те же а░г│мен▓╗, п░именим╗е к
NDTM показ╗ва╛▓, ╖▓о ░е╕ение зада╖и, ┐вл┐е▓▒┐ ли B п░авдив╗м или
не▓, не п░инадлежи▓ кла▒▒│ NP (▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акже ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣а┐ зада╖а дл┐ A, ▓о е▒▓╝, A п░инадлежи▓ NP, но не п░инадлежи▓ P).
Дл┐ о╢енки ▒ложно▒▓и зада╖и, ░а▒▒мо▓░им, ▒на╖ала, идеализи░ованн│╛ ▒и▓│а╢и╛, в ко▓о░ой полагае▓▒┐, ╖▓о о░ак│л до▒▓игае▓ ░ез│л╝▓а▓а за
один ╕аг в╗╖и▒лени┐ и не зави▒и▓ о▓ ░азме░а в╡одн╗╡ зна╖ений зада╖и.
Тогда зада╖а оп░едел┐е▓▒┐ заданн╗м N , ко▓о░ое имее▓ ░азме░ O(ln N ).
Следова▓ел╝но, из (*) ▒лед│е▓, ╖▓о ▓░еб│е▓▒┐ ╜к▒понен╢иал╝ное в░ем┐ дл┐
░е╕ени┐. Кван▓овое в╗╖и▒ление, ▓░еб│╛╣ее ▓ол╝ко 2 в╗зова, и в░ем┐
O(ln N ), необ╡одимое дл┐ │▒▓ановки ▒о▒▓о┐ний в╡одн╗╡ зна╖ений, ░е╕ае▓ зада╖│ за полиномиал╝ное в░ем┐. Таким об░азом, зада╖а п░инадлежи▓
QP | кван▓овом│ аналог│ кла▒▒а P.
Е▒ли б╗ м╗ ╡о▓ели более ░еали▒▓и╖но ▒модели░ова▓╝ ░азме░ и в░ем┐
в╗╖и▒лени┐ о░ак│ла, ▓огда м╗ б╗ могли п░ин┐▓╝ ░азме░ о░ак│ла ░авн╗м
O(N ), дл┐ об╣его вида ┤│нк╢ии f , ╖▓о б│де▓ ░авн┐▓╝▒┐ ░азме░│ о░ак│ла,
ко▓о░╗й п░о▒▓о ▒оде░жи▓ ▒пи▒ок ROM зна╖ений ┤│нк╢ии. Также, дл┐
л╛бой ┤│нк╢ии f ▒│╣е▒▓в│е▓ о░ак│л, ко▓о░╗й в╗╖и▒л┐е▓ ее за в░ем┐
O(ln N ). Нап░име░, дл┐ пои▒ка f (k), о░ак│л може▓ обой▓и бина░ное де░ево в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ бина░н╗м ░азложением k. Из ╜▓и╡ о╢енок и из (*)
▒лед│е▓, ╖▓о л╛бой кла▒▒и╖е▒кий комп╝╛▓е░ ▓░еб│е▓, по к░айней ме░е,
полиномиал╝ное в░ем┐, в ▓о в░ем┐ как кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ ▓░еб│е▓
▓ол╝ко лога░и┤ми╖е▒кое в░ем┐. Э▓о внов╝ демон▒▓░и░│е▓ ▓о▓ ┤ак▓, ╖▓о
8
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
б╗▒▓░ое ░е╕ение зада╖ ▒ помо╣╝╛ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений
кван▓овом│ комп╝╛▓е░│ не▓ необ╡одимо▒▓и в и▒пол╝зовании ╜к▒понен╢иал╝ного в░емени.
Е▒ли м╗ ог░ани╖иваем в╡одн╗е зна╖ени┐ fs как кла▒▒ ┤│нк╢ий, ╖╝и
о░ак│л╗ име╛▓ ░азме░ мен╝╕ий ╖ем p(ln N ), где p | ┤ик▒и░ованна┐
полиномиал╝на┐ неизве▒▓на┐ дл┐ об║ек▓а, в╗╖и▒л┐╛╣его зада╖│, ▓о ╜▓а
ог░ани╖енна┐ зада╖а в кла▒▒и╖е▒ком ▒л│╖ае ▓░еб│е▓ ╜к▒понен╢иал╝ное
в░ем┐, а в кван▓овом ▒л│╖ае полиномиал╝ное в░ем┐. Э▓о именно ▓ак, по▒кол╝к│ дл┐ л╛бого заданного N данное │▒ловие, ▒ ▓о╖ки з░ени┐ об║ек▓а,
в╗╖и▒л┐╛╣его зада╖│, не и▒кл╛╖ае▓ л╛б│╛ ┤│нк╢и╛ f : Z2N ! Z2 , ▒ледова▓ел╝но, и▒пол╝з│┐ ▓е же п░едположени┐, ╖▓о и в ▒л│╖ае об╣ей зада╖и,
пол│╖аем, ╖▓о не може▓ б╗▓╝ кла▒▒и╖е▒кого ░е╕ени┐ и дл┐ ог░ани╖енной
зада╖и, ко▓о░ое б╗ не за▓░а╖ивало ╜к▒понен╢иал╝ное в░ем┐.
Спи▒ок ли▓е░а▓│░╗
[1] Deutsch, D. 1985 Proc. R. Soc. Lond. A400, 97-117.
[2] Deutsch, D. 1986 In Quantum concepts in space and time (ed. C.J. Isham and
R. Penrose). Oxford University Press.
[3] Garey, M. R. and Johnson, D.S. 1979 Computers and intractability. New York:
W. H. Freeman.
[4] Jozsa, R. 1991 Proc. R. Soc. Lond. A 435, 563-574.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
9
Пи▓е░ В. Шо░
AT&T Research, Room 2D{149, 600 Mountain Ave.,
Murray Hill, NJ 07974.
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ
АЛГОРИТМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ЧИСЛА
НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ И НАХОЖДЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ
КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА
Ци┤░овой комп╝╛▓е░, как ╜▓о об╣еп░ин┐▓о ▒╖и▓а▓╝, ┐вл┐е▓▒┐ │ниве░▒ал╝н╗м и
╜┤┤ек▓ивн╗м в╗╖и▒ли▓ел╝н╗м │▒▓░ой▒▓вом. Так же ▒╖и▓ае▓▒┐, ╖▓о он ▒по▒обен
во▒п░оизве▒▓и ░або▓│ л╛бого ┤изи╖е▒кого в╗╖и▒ли▓ел╝ного │▒▓░ой▒▓ва, п░и╖ем
▓░еб│емое дл┐ ╜▓ого в░ем┐ воз░а▒▓е▓ не более, ╖ем на полиномиал╝н╗й ┤ак▓о░.
Однако, ╜▓о не ┐вл┐е▓▒┐ п░авдой, е▒ли п░ин┐▓╝ в ░а▒▒мо▓░ение кван▓ов│╛ ме╡аник│. В данной ▒▓а▓╝е ░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐ ░азложение ╢елого ╖и▒ла на п░о▒▓╗е
множи▓ели и на╡ождение ди▒к░е▓ного лога░и┤ма. Хо░о╕о изве▒▓но, ╖▓о обе ╜▓и
п░облем╗ ┐вл┐╛▓▒┐ ▒ложн╗ми дл┐ кла▒▒и╖е▒кого комп╝╛▓е░а и ┐вл┐╛▓▒┐ о▒новой ░азли╖н╗╡ п░едлагаем╗╡ к░ип▓ог░а┤и╖е▒ки╡ ▒и▒▓ем. В ░або▓е п░едлага╛▓▒┐
╜┤┤ек▓ивн╗е алго░и▓м╗ дл┐ ░е╕ени┐ ╜▓и╡ дв│╡ п░облем на кван▓овом комп╝╛▓е░е. Э▓и алго░и▓м╗ ┐вл┐╛▓▒┐ полиномиал╝н╗ми по ╖и▒л│ ╕агов по о▓но╕ени┐
к ░азме░│ в╡одного ▒лова, д░│гими ▒ловами, по о▓но╕ени┐ ╢и┤░, ▒оде░жа╣и╡▒┐ в
▒лове, ко▓о░ое надо ┤ак▓о░изова▓╝.
1. Введение
Одним из пе░в╗╡ ░ез│л╝▓а▓ов в в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма▓ема▓ике, ко▓о░╗й п░ед╕е▒▓вовал по▒лед│╛╣ем│ ░азви▓и╛ бол╝╕ой ╖а▒▓и ▓ео░е▓и╖е▒кой на│ки о комп╝╛▓е░н╗╡ в╗╖и▒лени┐╡, б╗ло показанное в ░або▓а╡ Че░╖а [1936], Т╝╛░инга [1936] и По▒▓а [1936] ░азли╖ие межд│ в╗╖и▒лим╗ми и
нев╗╖и▒лим╗ми ┤│нк╢и┐ми. О▒новн╗м ░ез│л╝▓а▓ом ┐вл┐е▓▒┐ ▓ези▒ Че░╖а, ко▓о░╗й гово░и▓, ╖▓о в▒е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е │▒▓░ой▒▓ва мог│▓ б╗▓╝
▒модели░ован╗ на ма╕ине Т╝╛░инга. Э▓о▓ ▓ези▒ ▒ил╝но │п░о▒▓ил из│╖ение в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п░о╢ед│░ ▓ак как ▒вел поле по▓ен╢иал╝н╗╡ и▒▒ледований, ▒о▒▓о┐╣ее из бе▒коне╖ного ╖и▒ла по▓ен╢иал╝но возможн╗╡
в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ │▒▓░ой▒▓в, к из│╖ени╛ ░або▓╗ ма╕ин╗ Т╝╛░инга. Те-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
1
Пи▓е░ В. Шо░
зи▒ Че░╖а не ┐вл┐е▓▒┐ ма▓ема▓и╖е▒кой ▓ео░емой, дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ▒дела▓╝ ╜▓о нам б╗ понадобило▒╝ зна▓╝ ▓о╖ное ма▓ема▓и╖е▒кое опи▒ание ▓аки╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ │▒▓░ой▒▓в. Такое опи▒ание, однако, в▒егда о▒▓авл┐е▓ возможн╗м ▒оздание некоего ░еал╝ного в╗╖и▒ли▓ел╝ного │▒▓░ой▒▓ва,
ко▓о░ое не │довле▓во░┐е▓ ▓аком│ ▓о╖ном│ ма▓ема▓и╖е▒ком│ опи▒ани╛,
и, ▓аким об░азом, окон╖а▓ел╝на┐ ма▓ема▓и╖е▒ка┐ ▓ео░ема должна б╗▓╝
более м┐гкой, ╖ем о░игинал╝н╗й ▓ези▒ Че░╖а.
С по┐влением ░еал╝н╗╡ комп╝╛▓е░ов ▒▓ало о╖евидно, ╖▓о ░азли╖ие
межд│ в╗╖и▒лим╗ми и нев╗╖и▒лим╗ми ┤│нк╢и┐ми ┐вл┐е▓▒┐ ▒ли╕ком
г░│б╗м; в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ на│ка ▒ей╖а▒ ин▓е░е▒│е▓▒┐ ▓о╖ной ╜┤┤ек▓ивно▒▓╝╛, ▒ ко▓о░ой оп░еделенна┐ ┤│нк╢и┐ може▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лена. С д░│гой
▒▓о░он╗, ▓ака┐ ▓о╖на┐ ╜┤┤ек▓ивно▒▓╝ ┐вл┐е▓▒┐ ▓акже вели╖иной, оп░едел┐╛╣ей ▒ложно▒▓╝ п░едлагаем╗╡ в╗╖и▒лений. Об╣еп░ин┐▓╗м комп░оми▒▒ом межд│ г░│бо▒▓╝╛ и ▓о╖но▒▓╝╛ делае▓ ░азли╖ие межд│ ╜┤┤ек▓ивной и не╜┤┤ек▓ивной в╗╖и▒ли▓ел╝ной п░о╢ед│░ой по ▓ом│, ┐вл┐е▓▒┐
ли п░о▓┐женно▒▓╝ в╗╖и▒лений полиномиал╝ной или ▒│пе░полиномиал╝ной по длине в╡одн╗╡ данн╗╡. Кла▒▒ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ п░облем, ко▓о░╗е
мог│▓ б╗▓╝ ░е╕ен╗ ▒ помо╣╝╛ алго░и▓мов, ▒оде░жа╣и╡ полиномиал╝ное
по вели╖ине в╡одн╗╡ данн╗╡ ╖и▒ло ╕агов, изве▒▓ен как кла▒▒ P{п░облем.
Ч▓об╗ данна┐ кла▒▒и┤ика╢и┐ имела ▒м╗▒л, необ╡одимо име▓╝ незави▒им│╛ ма╕ин│. Д░│гими ▒ловами, нам необ╡одимо зна▓╝, зави▒и▓ ли
▓о в╗╖и▒лимо▒▓╝ оп░еделенной ┤│нк╢ии за полиномиал╝ное в░ем┐ о▓ ▓ого, какое б╗ло и▒пол╝зовано в╗╖и▒ли▓ел╝ное │▒▓░ой▒▓во. С ╜▓им ▒в┐зана
▒лед│╛╣а┐ коли╖е▒▓венна┐ ве░▒и┐ ▓ези▒а Че░╖а, ко▓о░│╛ Ве░ги▒ и д░.
[1986] назвали цСил╝н╗м ▓ези▒ом Че░╖ач, и ко▓о░а┐ ┐вл┐е▓▒┐ ╖а▒▓╝╛ цИнва░иан▓ного ▓ези▒ач ван Емде Бое▒а [1990].
Тези▒ (Коли╖е▒▓венн╗й ▓ези▒ Че░╖а). Л╛бое ┤изи╖е▒кое в╗╖и▒ли▓ел╝ное │▒▓░ой▒▓во може▓ б╗▓╝ ▒модели░овано ма╕иной Т╝╛░инга, п░и╖ем на ╜▓о▓ п░о╢е▒▒ полиномиален по ╖и▒л│ ░е▒│░▒ов, ко▓о░╗е б╗ли б╗
за▓░а╖ен╗ ╜▓им в╗╖и▒ли▓ел╝н╗м │▒▓░ой▒▓вом.
В │▓ве░ждени┐╡ ╜▓ого ▓ези▒а, к ма╕ине Т╝╛░инга иногда п░и▒овок│пл┐╛▓ гене░а▓о░ ▒л│╖айн╗╡ ╖и▒ел, по▒кол╝к│ до ▒и╡ по░ не ┐▒но, ▒│╣е▒▓в│╛▓ ли гене░а▓о░╗ п▒евдо▒л│╖айн╗╡ ╖и▒ел, мог│╣ие ╜┤┤ек▓ивно
модели░ова▓╝ и▒▓инн╗й гене░а▓о░ ▒л│╖айн╗╡ ╖и▒ел, необ╡одим╗й дл┐
░азнооб░азн╗╡ ╢елей. Чи▓а▓ел╝, не знаком╗й ▒ ма╕иной Т╝╛░инга, може▓ ▒ебе п░ед▒▓ави▓╝ об╗кновенн╗й комп╝╛▓е░, пам┐▓╝ ко▓о░ого ░а▒▓е▓
линейно ▒ длинной в╗╖и▒лений. Э▓и два кла▒▒а в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ма╕ин
мог│▓ ╜┤┤ек▓ивно модели░ова▓╝ д░│г д░│га.
В п░едложенном в╗╕е ▓ези▒е име╛▓ ме▒▓о два ▓онки╡ момен▓а. Пе░-
2
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
в╗й | как понима▓╝ ▒лово ц┤изи╖е▒кийч. И▒▒ледова▓ели │же ▒оздали модели в╗╖и▒ли▓ел╝ного │▒▓░ой▒▓ва, ко▓о░ое на░│╕ае▓ п░иведенн╗й в╗╕е
коли╖е▒▓венн╗й ▓ези▒ Че░╖а, но бол╝╕ин▒▓во из ╜▓и╡ моделей о▓ве░га╛▓▒┐ по п░и╖ине ▓ого, ╖▓о они не ┐вл┐╛▓▒┐ ц┤изи╖е▒кимич, д░│гими ▒ловами, не мог│▓ б╗▓╝ ░еал╝но по▒▓░оен╗ и и▒пол╝зован╗ в ░або▓е. Д░│гим
▓онким момен▓ом ┐вл┐е▓▒┐ ▒лово ц░е▒│░▒╗ч, зна╖ение ко▓о░ого не полно▒▓╝╛ оп░еделено п░ед╗д│╣ем изложением. Име╛▓ ме▒▓о два ▓ипа ░е▒│░▒ов: в░еменн╗е (╕аги в╗╖и▒лений) и п░о▒▓░ан▒▓венн╗е (▓░еб│ема┐ пам┐▓и). Также име╛▓▒┐ и д░│гие ░е▒│░▒╗, име╛╣ие о▓но╕ени┐ ▒ в╗╖и▒лени┐м; п░едлагали▒╝ некие аналогов╗е ма╕ин╗, ко▓о░╗е, как каже▓▒┐, ▒по▒обн╗ ░е╕и▓╝ NP{п░облем│ за полиномиал╝ное в░ем┐, но п░и ╜▓ом ▓░еб│е▓▒┐ ╜к▒понен╢иал╝ное │вели╖ение ▓о╖но▒▓и ме╡ани╖е▒кого воздей▒▓ви┐,
или ╜к▒понен╢иал╝н╗й ░о▒▓ за▓░а╖енной ╜не░гии (См. Vergis и д░. [1986]
и Steiglitz [1988]; обзо░ ▓акже ▒оде░жи▓▒┐ в ░або▓е Canny и Reif [1987]
и Choi и д░. [1995] по ▓░е╡ме░н╗м ко░о▓ким п│▓┐м.)
Дл┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а в дополнение к п░о▒▓░ан▒▓венн╗м и в░еменн╗м ░е▒│░▒ам, ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акже ▓░е▓ий по▓ен╢иал╝но важн╗й ░е▒│░▒ | ▓о╖но▒▓╝. Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ ░або▓ал, в л╛бой п░едполагаемой ░еализа╢ии, по мен╝╕ей ме░е необ╡одимо, ╖▓об╗ б╗ла возможно▒▓╝ мен┐▓╝ кван▓овое ▒о▒▓о┐ние ▒о▒▓авл┐╛╣и╡ его об║ек▓ов
(нап░име░, а▓омов, ┤о▓онов или ┐де░н╗╡ ▒пинов). Даже е▒ли ▓акое изменение б│де▓ ▒ове░╕ено акк│░а▓но, оно в▒егда б│де▓ ▒оде░жа▓╝ небол╝╕│╛ неп░еодолим│╛ не▓о╖но▒▓╝. Е▒ли ▓ака┐ не▓о╖но▒▓╝ по▒▓о┐нна (▓о
е▒▓╝, не зави▒и▓ о▓ вели╖ин╗ в╡одн╗╡ данн╗╡), ▓огда неизве▒▓но, как на
кван▓овом комп╝╛▓е░е може▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лена за полиномиал╝ное в░ем┐
┤│нк╢и┐, ко▓о░а┐ п░и ╜▓ом не може▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лена за полиномиал╝ное
в░ем┐ на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е ▒ гене░а▓о░ом ▒л│╖айн╗╡ ╖и▒ел. Однако, е▒ли м╗ ▒делаем ▓ак, ╖▓об╗ ▓о╖но▒▓╝ полиномиал╝но ░о▒ла ▒ ░о▒▓ом
вели╖ин╗ в╡одн╗╡ данн╗╡ (▓о е▒▓╝, е▒ли ╖и▒ло би▓ов ▓о╖но▒▓и б│де▓ лога░и┤ми╖е▒ки ░а▒▓и по о▓но╕ени╛ к вели╖ине в╡одн╗╡ данн╗╡), ▓о м╗
пол│╖им более мо╣н╗й ▓ип комп╝╛▓е░а. В ▒л│╖ае кла▒▒и╖е▒кого комп╝╛▓е░а полиномиал╝н╗й ░о▒▓ ▓о╖но▒▓и не п░иводи▓ к пов╗╕ени╛ в╗╖и▒ли▓ел╝ной мо╣но▒▓и, ╡о▓┐ ╜▓ого ░ез│л╝▓а▓а можно доби▓╝▒┐ п░и ╜к▒понен╢иал╝ном ░о▒▓е ▓о╖но▒▓и [Hartmanis and Simon 1974, Vergis et al. 1986].
Как м╗ знаем, ▓о╖но▒▓╝, до▒▓игаема┐ в кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡ оп░едел┐е▓▒┐ не ┤│ндамен▓ал╝н╗ми ┤изи╖е▒кими законами, а ▒вой▒▓вами ма▓е░иалов, из ко▓о░╗╡ по▒▓░оен кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, и а░╡и▓ек▓│░ой
по▒леднего. В на▒▓о┐╣ее в░ем┐ не ┐▒но, ▒│╣е▒▓в│╛▓ ли ▓акие а░╡и▓ек▓│░╗, какими они должн╗ б╗▓╝, а ▓акже какова б│де▓ обе▒пе╖иваема┐ ими
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
3
Пи▓е░ В. Шо░
▓о╖но▒▓╝. Е▒ли ▓о╖но▒▓╝ кван▓ового комп╝╛▓е░а б│де▓ до▒▓а▓о╖но велика, ╖▓об╗ ▒дела▓╝ его более мо╣н╗м, ╖ем кла▒▒и╖е▒кий комп╝╛▓е░, ▓о
дл┐ │┐▒нени┐ его по▓ен╢иал╝н╗╡ возможно▒▓ей ▒лед│е▓ ▒╖и▓а▓╝ ▒ам│ ╜▓│
▓о╖но▒▓╝ ░е▒│░▒ом пе░еменной вели╖ин╗. С╖и▓а▓╝ ▓о╖но▒▓╝ бол╝╕ой, но
коне╖ной вели╖иной (╡о▓┐ дл┐ л╛бой данной ма╕ин╗ ╜▓о по╖▓и наве░н┐ка ▓ак) | ╜▓о п░име░но ▓оже ▒амое, ╖▓о ▓░ак▓ова▓╝ об╗╖н╗й комп╝╛▓е░
как коне╖н╗й ав▓ома▓: по▒кол╝к│ пам┐▓╝ л╛бого комп╝╛▓е░а ог░ани╖ена, ╜▓а ▓о╖ка з░ени┐ ▓е╡ни╖е▒ки п░авил╝на, но не о╖ен╝ полезна.
Заме╖а▓ел╝на┐ ╜┤┤ек▓ивно▒▓╝ на╕и╡ ма▓ема▓и╖е▒ки╡ моделей п░о╢е▒▒а в╗╖и▒лений за▒лонила в глаза╡ ▒пе╢иали▒▓ов по в╗╖и▒лени┐м ▓о▓
┤ак▓, ╖▓о ╜▓о▓ п░о╢е▒▒ оп░едел┐е▓▒┐ законами ┤изики. Нап░име░, в ┤о░м│ли░овке коли╖е▒▓венного ▓ези▒а Че░╖а в van Emde Boas [1990], где
вме▒▓о ▒лова ц┤изи╖е▒кийч ▒▓ави▓ ц░аз│мн╗йч. Т░│дно п░ед▒▓ави▓╝ ▒ебе в ╜▓ом кон▓ек▒▓е ▓акое оп░еделение ц░аз│мно▒▓ич, ко▓о░ое не озна╖ало
б╗ ц┤изи╖е▒к│╛ ░еализ│емо▒▓╝ч, ▓о е▒▓╝ возможно▒▓╝ по▒▓░ои▓╝ и п░иве▒▓и в дей▒▓вие ▓ак│╛ в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ ма╕ин│!
Не│да╖и в▒е╡ п░едлагав╕и╡▒┐ кон▓░п░име░ов │бедили ▒пе╢иали▒▓ов
по в╗╖и▒лени┐м в и▒▓инно▒▓и коли╖е▒▓венного ▓ези▒а Че░╖а. Однако
бол╝╕ин▒▓во ╜▓и╡ кон▓░п░име░ом б╗ло о▒новано на закона╡ кла▒▒и╖е▒кой
ме╡аники, ▓огда как в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и ми░ кван▓овоме╡ани╖ен. Кван▓ов╗е об║ек▓╗ ╖а▒▓о вед│▓ ▒еб┐ не ▓ак, как нам п░ед▒каз╗вае▓ на╕а
ин▓│и╢и┐, во▒пи▓анна┐ кла▒▒и╖е▒кой ме╡аникой. По╜▓ом│ каже▓▒┐ п░авдоподобн╗м, ╖▓о в ▓о в░ем┐, как е▒▓е▒▓венн╗м ╜▓алоном в╗╖и▒ли▓ел╝ной
мо╣но▒▓и кла▒▒и╖е▒кой ме╡аники ┐вл┐е▓▒┐ ма╕ина Т╝╛░инга1 , кван▓ова┐ ме╡аника може▓ доп│▒ка▓╝ бол╝╕│╛ в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ мо╣но▒▓╝.
Пе░в╗м, к▓о зан┐л▒┐ взаимодей▒▓вием межд│ в╗╖и▒лени┐ми и кван▓овой ме╡аникой, по-видимом│, ┐вл┐е▓▒┐ Бене┤┤ [1980, 1982a, 1982b]. Хо▓┐ он не задавал▒┐ воп░о▒ом, ┐вл┐╛▓▒┐ ли кван▓ово-ме╡ани╖е▒кие в╗╖и▒лени┐ более мо╣н╗ми, ем│ │дало▒╝ показа▓╝, ╖▓о об░а▓има┐ │ни▓а░на┐
╜вол╛╢и┐ в ▒о▒▓о┐нии ░еализова▓╝ ма╕ин│ Т╝╛░инга, и ▓аким об░азом
показа▓╝, ╖▓о в╗╖и▒ли▓ел╝на┐ мо╣но▒▓╝ кван▓овой ме╡аники не мен╝╕е,
╖ем │ кла▒▒и╖е▒кого комп╝╛▓е░а. Э▓и ░або▓╗ положили на╖ало дал╝ней╕и╡ и▒▒ледований кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов.
Фейнман [1982, 1986] п░едположил, ╖▓о кван▓ова┐ ме╡аника може▓
п░иве▒▓и к более мо╣н╗м в╗╖и▒ли▓ел╝н╗м ▒░ед▒▓вам, ╖ем ма╕ина Т╝╛░инга. Он ▓акже п░ивел а░г│мен▓╗ о ▓ом, по╖ем│ кван▓ова┐ ме╡ани1
Мне каже▓▒┐, ╖▓о ╜▓о▓ воп░о▒ ░е╕ен не окон╖а▓ел╝но и за▒л│живае▓ дал╝ней╕е-
го и▒▒ледовани┐. См. Vergis et al. [1986], Steiglitz [1988], и Rubel [1989]. В ╖а▒▓но▒▓и,
╡о░о╕им кандида▓ом на ░ол╝ кон▓░п░име░а к коли╖е▒▓венном│ ▓ези▒│ Че░╖а може▓
б╗▓╝ ▓│░б│лен▓но▒▓╝, по▒кол╝к│ не▓░ивиал╝н│╛ динамик│ на многи╡ ма▒╕▓аба╡ длин╗ ▓░│дно ▒модели░ова▓╝ на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е.
4
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
ка може▓ в╗ве▒▓и за п░едел╗ в╗╖и▒лений, модели░│ем╗╡ на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е. Также он п░едположил ве░о┐▓ное и▒пол╝зование комп╝╛▓е░а, о▒нованного на п░ин╢ипа╡ кван▓овой ме╡аники дл┐ ░е╕ени┐
╜▓ой п░облем╗, и, ▓аким об░азом, он ко▒венно задал▒┐ об░а▓н╗м воп░о▒ом: Може▓ ли комп╝╛▓е░, по▒▓░оенн╗й ▒ и▒пол╝зованием кван▓овоме╡ани╖е▒ки╡ п░ин╢ипов в╗╖и▒л┐▓╝ более ╜┤┤ек▓ивно, ╖ем кла▒▒и╖е▒кий? Дой╖ [1985, 1989] б╗л пе░в╗й, к▓о задал▒┐ ╜▓им воп░о▒ом ┐вно.
Дл┐ ░е╕ени┐ ╜▓ого воп░о▒а, он оп░еделил кван▓ов│╛ ма╕ин│ Т╝╛░инга и кван▓ов│╛ ╢еп╝, а ▓акже неко▓о░╗е ▒вой▒▓ва ╜▓и╡ ▒и▒▓ем.
Ча╣е воп░о▒, п░иводи▓ ли и▒пол╝зование кван▓овой ме╡аники в комп╝╛▓е░а╡ к │вели╖ени╛ и╡ в╗╖и▒ли▓ел╝ной мо╣но▒▓и, ад░е▒│╛▓ к ░або▓ам Deutsch, Jozsa [1992] и Berthiaume, Brassard [1992a, 1992b]. В ╜▓и╡
░або▓а╡ показано, ╖▓о име╛▓ ме▒▓о зада╖и, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ б╗▒▓░о
░е╕ен╗ на кван▓овом комп╝╛▓е░е, мог│▓ б╗▓╝ б╗▒▓░о ░е╕ен╗ ▒ в╗▒окой ве░о┐▓но▒▓╝╛ и на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е и ▒ │╖е▓ом гене░а▓о░а
▒л│╖айн╗╡ ╖и▒ел. Однако, в ╜▓и╡ ▒▓а▓╝┐╡ не показано, как ░е╕а▓╝ как│╛либо зада╖│ на кван▓овом комп╝╛▓е░е в полиномиал╝ное в░ем┐, п░о ко▓о░│╛ не изве▒▓но, ░е╕аема ли она за полиномиал╝ное в░ем┐ ▒ помо╣╝╛
гене░а▓о░а ▒л│╖айн╗╡ ╖и▒ел ▒ малой ве░о┐▓но▒▓╝╛ о╕ибки; ╜▓о ╡а░ак▓е░и▒▓ика ▒ложно▒▓и кла▒▒а зада╖ BPP, ко▓о░╗й ╕и░око ░а▒▒ма▓░ивал▒┐
как кла▒▒ ╜┤┤ек▓ивно ░е╕аем╗╡ зада╖.
Дал╝ней╕а┐ ░або▓а над ╜▓ой п░облемой б╗ла ▒▓им│ли░ована ▒▓а▓╝ей
Bernstein и Vazirani [1993]. Одним из ░ез│л╝▓а▓ов, ▒оде░жа╣ий▒┐ в ╜▓ой
▒▓а▓╝е б╗ла п░облема о░ак│ла (д░│гими ▒ловами, п░облема введени┐ некой подп░ог░амм╗ ц╖е░н╗й ┐╣икч, комп╝╛▓е░ може▓ и▒пол╝зова▓╝ ее, но
ма╕инн╗й код ее неизве▒▓ен), ко▓о░а┐ може▓ б╗▓╝ ░е╕ена за полиномиал╝ное в░ем┐ на кван▓овой ма╕ине Т╝╛░инга, а на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е ее ░е╕ение ▓░еб│е▓ ▒│пе░полиномиал╝ное в░ем┐. Э▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ б╗л
│л│╖╕ен Саймоном [1994], ко▓о░╗й п░едложил более п░о▒▓│╛ кон▒▓░│к╢и╛ п░облем╗ о░ак│ла, ко▓о░а┐ ░е╕ае▓▒┐ за полиномиал╝ное в░ем┐ на
кван▓овом комп╝╛▓е░е, но ▓░еб│е▓ ╜к▒понен╢иал╝ного в░емени на об╗╖ном комп╝╛▓е░е. Дей▒▓ви▓ел╝но, в ▓о в░ем┐ как зада╖а Бе░н╕▓ейна и
Вазиани каже▓▒┐ не▒кол╝ко над│манной, зада╖а Саймана види▓▒┐ вполне
е▒▓е▒▓венной. Алго░и▓м Саймона вдо╡новил ав▓о░а на ░або▓│, п░едлагаем│╛ в ╜▓ой ▒▓а▓╝е.
Е▒▓╝ две п░облем╗ ▓ео░ии ╖и▒ел, ко▓о░╗е б╗ли ╕и░око и▒▒ледован╗,
но дл┐ ко▓о░╗╡ ▓ак и не найдено полиномиал╝н╗╡ по в░емени алго░и▓мов, | ╜▓о на╡ождение ди▒к░е▓н╗╡ лога░и┤мов и ░азложение ╖и▒ла на
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
5
Пи▓е░ В. Шо░
п░о▒▓╗е множи▓ели. [Pomerance 1987, Gordon 1993, Lenstra и Lenstra 1993,
Adleman и McCurley 1995].
То, ╖▓о ╜▓и п░облем╗ к░айне ▓┐жело ░е╕аем╗ на▒▓ол╝ко об╣еп░ин┐▓о, ╖▓о на и╡ о▒нове по▒▓░оен╗ неко▓о░╗е к░ип▓ог░а┤и╖е▒кие алго░и▓м╗,
вкл╛╖а┐ ╕и░око и▒пол╝з│ем│╛ к░ип▓о▒и▒▓ем│ RSA п│бли╖н╗╡ кл╛╖ей,
п░едложенн│╛ в Rivest, Shamir и Adleman [1978]. М╗ покажем, ╖▓о ╜▓а
п░облема може▓ б╗▓╝ ░е╕ена на кван▓овом комп╝╛▓е░е за полиномиал╝ное в░ем┐ ▒ малой ве░о┐▓но▒▓╝╛ о╕ибки.
Коне╖но, ник▓о не знае▓, как по▒▓░ои▓╝ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, ╡о▓┐, как каже▓▒┐, ╜▓о вполне возможно и▒╡од┐ из законов кван▓овой
ме╡аники. Б╗ли п░едложен╗ не▒кол╝ко п░оек▓ов ▓аки╡ комп╝╛▓е░ов
[Teich et al. 1988, Lloyd 1993, 1994, Cirac и Zoller 1995, DiVincenzo 1995,
Sleator и Weinfurter 1995, Barenco et al. 1995b, Chuang и Yamomoto 1995],
но л╛бой из ▓аки╡ п░оек▓ов ▒▓алкивае▓▒┐ ▒ одной ░еал╝ной п░облемой [Landauer 1995a, Landauer 1995b, Unruh 1995, Chuang et al. 1995,
Palma et al. 1995]. Наиболее ▓░│дной п░облемой закл╛╖ае▓▒┐ в ┐влении
декоге░ен╢ии кван▓овой ▒│пе░пози╢ии, по┐вл┐╛╣а┐▒┐ за ▒╖е▓ взаимодей▒▓ви┐ комп╝╛▓е░а ▒ ок░│жа╛╣ей ▒░едой, и ░еализа╢ии п░еоб░азовани┐
кван▓ового ▒о▒▓о┐ни┐ дл┐ пол│╖ени┐ ▓о╖н╗╡ ░ез│л╝▓а▓ов по▒ле многи╡
╕агов в╗╖и▒лений. Оба ╜▓и╡ об▒▓о┐▓ел╝▒▓ва ▒▓анов┐▓▒┐ ▒│╣е▒▓венн╗ми
когда ░азме░╗ комп╝╛▓е░а ░а▒▓│▓, ▓аким об░азом, може▓ оказа▓╝▒┐, ╖▓о
окаже▓▒┐ возможн╗м по▒▓░ои▓╝ мален╝кий кван▓овой комп╝╛▓е░, однако ▒ │вели╖ением ░азме░ов ма╕ин╗ до ░азме░ов, до▒▓а▓о╖н╗╡, ╖▓об╗
░е╕а▓╝ ин▓е░е▒н╗е в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е зада╖и, мог│▓ возникн│▓╝ ┤│ндамен▓ал╝н╗е п░облем╗.
Даже е▒ли никакого п░игодного дл┐ ░еал╝н╗╡ в╗╖и▒лений кван▓ового комп╝╛▓е░а никогда не б│де▓ по▒▓░оено, данное и▒▒ледование може▓
илл╛▒▓░и░ова▓╝ п░облем│ модели░овани┐ кван▓овой ме╡аники на кван▓овом комп╝╛▓е░е. Л╛б╗е ме▓од╗, позвол┐╛╣ие ╜▓о ▒дела▓╝ дл┐ п░оизвол╝ного гамил╝▓ониана, окаж│▓▒┐ необ╡одим╗ми п░и модели░овании
кван▓ового комп╝╛▓е░а. По╜▓ом│, л╛бой ме▓од модели░овани┐ кван▓овой
ме╡аники как мак▒им│м ▒ полиномиал╝н╗м замедлением може▓ п░иве▒▓и
к полиномиал╝ном│ по в░емени ┤ак▓о░иза╢ионном│ алго░и▓м│.
Данна┐ ░або▓а о░ганизована ▒лед│╛╣им об░азом. В x 2 м╗ п░едлагаем модел╝ кван▓ового комп╝╛▓е░а, ма▒▒ива из кван▓ов╗╡ гей▓ов, ко▓о░│╛ м╗ и▒пол╝з│ем в кон╢е ▒▓а▓╝и. В xx 3 и 4 м╗ п░едложим две подп░ог░амм╗, ко▓о░╗е м╗ и▒пол╝з│ем в на╕и╡ алго░и▓ма╡: об░а▓имого возведени┐ в ▒▓епен╝ по мод│л╛ в x 3 и кван▓ового п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е
в x 4. В x 5 м╗ даем на╕ алго░и▓м ░азложени┐ на п░о▒▓╗е ╖и▒ла, а в x 6 |
алго░и▓м пол│╖ени┐ ди▒к░е▓н╗╡ лога░и┤мов. В x 7 м╗ к░а▓ко об▒│дим
6
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
п░ак▓и╖е▒кое п░именение кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений и п░едложим возможн╗е нап░авлени┐ дл┐ дал╝ней╕ей ░або▓╗.
2. Кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐
В ╜▓ом ░азделе м╗ дадим к░а▓кое введение в п░облем│ кван▓ов╗╡
в╗╖и▒лений, ак╢ен▓и░│┐ внимание на ▒вой▒▓ва╡, ко▓о░╗е м╗ в дал╝ней╕ем и▒пол╝з│ем. М╗ опи╕ем ▓ол╝ко ма▒▒ив╗ кван▓ов╗╡ гей▓ов, или
кван▓ов╗е а╢икли╖е▒кие ╢епи, ко▓о░╗е ┐вл┐╛▓▒┐ аналогом а╢икли╖е▒ки╡
╢епей в ▓ео░ии кла▒▒и╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░ов. Д░│гие модели кван▓ового
комп╝╛▓е░а ░а▒▒мо▓░ен╗ в ▒лед│╛╣и╡ ░або▓а╡: кван▓ова┐ ма╕ина Т╝╛░инга в [Deutsch 1989, Bernstein and Vazirani 1993, Yao 1993], кван▓ов╗е
кле▓о╖н╗е ав▓ома▓╗ в [Feynman 1986, Margolus 1986, 1990, Lloyd 1993,
Biafore 1994]. Е▒ли они доп│▒ка╛▓ мал│╛ ве░о┐▓но▒▓╝ о╕ибки, ▓о кван▓ова┐ ма╕ина Т╝╛░инга и ма▒▒ив из кван▓ов╗╡ гей▓ов мог│▓ в╗╖и▒ли▓╝
одн│ и ▓│же ┤│нк╢и╛ за полиномиал╝ное в░ем┐ [Yao 1993]. Э▓о ▓акже
возможно б│де▓ ▒п░аведливо и дл┐ ░азли╖н╗╡ моделей кван▓ов╗╡ кле▓о╖н╗╡ ав▓ома▓ов, но ╜▓о пока е╣е не доказано. Э▓о в▒ел┐е▓ │ве░енно▒▓╝
в ▓ом, ╖▓о п░инадлежно▒▓╝ к к кла▒▒│ ┤│нк╢ий, в╗╖и▒лим╗╡ кван▓ов╗м
▒по▒обом за полиномиал╝ное в░ем┐, не зави▒и▓ о▓ конк░е▓ной а░╡и▓ек▓│░╗ кван▓ового комп╝╛▓е░а и ┐вл┐е▓▒┐ вполне ▒ил╝н╗м │▓ве░ждением. По
аналогии ▒ кла▒▒и╖е▒ким кла▒▒ом п░облем BPP, назовем ╜▓о▓ кла▒▒ BQP.
Ра▒▒мо▓░им ▒и▒▓ем│ из n об║ек▓ов, кажд╗й из ко▓о░╗╡ може▓ на╡оди▓▒┐ в дв│╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡. В о▓ли╖ие о▓ кла▒▒и╖е▒кой ┤изики, в ко▓о░ой
дл┐ полного опи▒ани┐ ▒о▒▓о┐ни┐ ╜▓ой ▒и▒▓ем╗ по▓░ебовало▒╝ б╗ n би▓ов,
в кван▓овом ▒л│╖ае дл┐ полного опи▒ани┐ ▒о▒▓о┐ни┐ ▒и▒▓ем╗ необ╡одимо
2n ; 1 комплек▒н╗╡ ╖и▒ел. Ч▓об╗ б╗▓╝ более ▓о╖н╗м, ▒о▒▓о┐ние ▓акой
кван▓овой ▒и▒▓ем╗ ┐вл┐е▓▒┐ ▓о╖ка в 2n {ме░ном век▓о░ном п░о▒▓░ан▒▓ве. Каждом│ из 2n возможном│ кла▒▒и╖е▒ком│ ▒о▒▓о┐ни╛ об║ек▓ов ▒опо▒▓авим бази▒н╗й век▓о░ ╜▓ого век▓о░ного п░о▒▓░ан▒▓ва и обозна╖им
его, нап░име░, ▒лед│╛╣им об░азом | j011 0i, п░едполага┐, ╖▓о пе░в╗й
би▓ ▒оде░жи▓ 0, в▓о░ой ▒оде░жи▓ 1, и ▓ак далее. Зде▒╝, под обозна╖ением ке▓-век▓о░а jxi понимае▓▒┐, ╖▓о x е▒▓╝ (╖и▒▓ое) кван▓овое ▒о▒▓о┐ние.
(Сме╕енн╗е ▒о▒▓о┐ни┐ в данной ▒▓а▓╝е не об▒│жда╛▓▒┐, по╜▓ом│ м╗ и╡
и не оп░едел┐ем; дл┐ ╜▓ого ▒мо▓░и▓е ли▓е░а▓│░│ по кван▓овой ▓ео░ии,
▓ак│╛, как Peres [1993].)
Гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во, а▒▒о╢ии░│емое ▒ на╕ей кван▓овой ▒и▒▓ем╗, ┐вл┐е▓▒┐ комплек▒н╗м век▓о░н╗м п░о▒▓░ан▒▓вом ▒ бази▒ом из 2n
век▓о░ов, и ▒о▒▓о┐ние на╕ей ▒и▒▓ем╗ в л╛бой момен▓ в░емени п░ед▒▓а-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
7
Пи▓е░ В. Шо░
вима в виде век▓о░а едини╖ной длин╗ ╜▓ого гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва.
Умножение ╜▓ого век▓о░а-▒о▒▓о┐ни┐ на ┤азов╗й множи▓ел╝ едини╖ной
длин╗ не измен┐е▓ ▒о▒▓о┐ние ▒и▒▓ем╗, по╜▓ом│ нам необ╡одимо ▓ол╝ко
2n ; 1 комплек▒н╗╡ ╖и▒ел дл┐ опи▒ани┐ ╜▓ого ▒о▒▓о┐ни┐. М╗ п░ед▒▓авим
╜▓│ ▒│пе░пози╢и╛ ▒о▒▓о┐ний как
;
n 1
2X
i=0
ai jSii ;
(2.1)
P
где ампли▓│д╗ ai ┐вл┐╛▓▒┐ комплек▒н╗ми ╖и▒лами, п░и╖ем jai j2 = 1,
i
а jSi i | бази▒н╗е век▓о░╗ ╜▓ого гил╝бе░▓ова п░о▒▓░ан▒▓ва. Е▒ли изме░и▓╝ ▒о▒▓о┐ние ма╕ин╗ (по о▓но╕ени╛ к данном│ бази▒│) на л╛бом конк░е▓ном ╕аге в╗╖и▒лений, ве░о┐▓но▒▓╝ обна░│жи▓╝ ▒и▒▓ем│ в бази▒ном
▒о▒▓о┐ние jSi i б│де▓ jai j2 ; однако, изме░ение ▒о▒▓о┐ни┐ ма╕ин╗ ▒п░оек▓и░│е▓ ее в набл╛денн╗й бази▒н╗й век▓о░ jSi i. По╜▓ом│, набл╛да▓╝ ▒о▒▓о┐ние ма╕ин╗ можно ▓ол╝ко в кон╢е в╗╖и▒лений. В ╜▓ой ▒▓а▓╝е м╗
б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ изме░ени┐ ▓ол╝ко о▓но▒и▓ел╝но канони╖е▒кого бази▒а. Э▓о не о╖ен╝ ▒ил╝но ог░ани╖и▓ на╕│ модел╝ в╗╖и▒лений, ▓ак как
изме░ени┐ в д░│гом ░аз│мном бази▒е мог│▓ б╗▓╝ ▒модели░ован╗ п│▓ем
изменени┐ бази▒а и п░иведени┐ его к канони╖е▒ком│.
Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ и▒пол╝зова▓╝ ┤изи╖е▒к│╛ ▒и▒▓ем│ дл┐ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ ╢елей, нам необ╡одимо измен┐▓╝ ▒о▒▓о┐ние ╜▓ой ▒и▒▓ем╗. Закон╗ кван▓овой ме╡аники ░аз░е╕а╛▓ ▓ол╝ко │ни▓а░н╗е п░еоб░азовани┐ над век▓о░ами ▒о▒▓о┐ни┐. Уни▓а░н╗ми ма▓░и╢ами наз╗ва╛▓▒┐ ▓акие, │ ко▓о░╗╡ ▒овпада╛▓ комплек▒но ▒оп░┐женна┐ ▓░ан▒пони░ованна┐ ма▓░и╢а ▒ об░а▓ной. Т░ебование ▓ого, ╖▓об╗ п░еоб░азовани┐ век▓о░ов ▒о▒▓о┐ни┐ ▒оо▓ве▓▒▓вовали │ни▓а░н╗м ма▓░и╢ам га░ан▓и░│е▓,
╖▓о ▒│мма ве░о┐▓но▒▓ей в▒е╡ возможн╗╡ и▒╡одов б╗ла ░авна едини╢е. Оп░еделение кван▓овой ╢епи (и кван▓овой ма╕ин╗ Т╝╛░инга) ░аз░е╕ае▓ ▓ол╝ко локал╝н╗е │ни▓а░н╗е п░еоб░азовани┐; д░│гими ▒ловами, │ни▓а░н╗е п░еоб░азовани┐ ▓ол╝ко над ┤ик▒и░ованном ╖и▒лом би▓ов. Физи╖е▒ки, ╜▓о вполне об║┐▒нимо. Аб▒ол╛▓но не ┐▒но, как ┤изи╖е▒ки ░еализова▓╝ │ни▓а░ное п░еоб░азование над n би▓ами, ▓огда как
дв│би▓н╗е п░еоб░азовани┐ ▓ео░е▓и╖е▒ки мог│▓ б╗▓╝ ░еализован╗ на
о▓но▒и▓ел╝но п░о▒▓╗╡ ▒и▒▓ема╡ [Cirac and Zoller 1995, DiVincenzo 1995,
Sleator and Weinfurter 1995, Chuang and Yamomoto 1995]. Тогда как об╣ее n{би▓ное п░еоб░азование в▒егда може▓ б╗▓╝ по▒▓░оено из дв│би▓н╗╡
[DiVincenzo 1995, Sleator и Weinfurter 1995, Lloyd 1995, Deutsch et al. 1995],
необ╡одимое ╖и▒ло ▓аки╡ п░еоб░азований за╖а▒▓│╛ б│де▓ ╜к▒понен╢иал╝8
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
но по n [Barenco et al. 1995a]. По╜▓ом│, ▒и▒▓ем╗ дв│би▓н╗╡ п░еоб░азований ┤о░ми░│╛▓ кон▒▓░│к▓ивн╗е блоки кван▓овой ╢епи, ▒╡ожим об░азом,
как │ниве░▒ал╝н╗е ▒и▒▓ем╗ кла▒▒и╖е▒ки╡ гей▓ов (▓аки╡ как AND, OR
и NOT гей▓╗) ┤о░ми░│╛▓ кон▒▓░│к▓ивн╗е блоки кла▒▒и╖е▒кой ╢епи. В
дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, в ка╖е▒▓ве │ниве░▒ал╝ной ▒и▒▓ем╗ кван▓ов╗╡ гей▓ов
до▒▓а▓о╖но име▓╝ ▓ол╝ко одноби▓н╗е гей▓╗ и о╖ен╝ п░о▒▓│╛ ░азновидно▒▓╝ дв│би▓ного гей▓а, кон▓░оли░│емого NOT, ко▓о░╗й измен┐е▓ зна╖ение в▓о░ого би▓а, е▒ли зна╖ение пе░вого ░авно едини╢е.
Возможно, полезн╗м окаже▓▒┐ ▒лед│╛╣ий п░име░. Кван▓ов╗й гей▓
може▓ б╗▓╝ задан ▓абли╢ей и▒▓инно▒▓и: дл┐ каждого бази▒ного век▓о░а
на в╡оде нам надо зада▓╝ дл┐:
j00i! j00i
j01i! j01i
j10i! p1 (j10i + j11i)
(2.2)
2
j11i! p1 (j10i ; j11i):
2
Не дл┐ л╛бой ▓абли╢╗ и▒▓инно▒▓и можно подоб░а▓╝ ┤изи╖е▒ки о▒│╣е▒▓вим╗й кван▓ов╗й гей▓, многие ▓абли╢╗ и▒▓инно▒▓и вооб╣е не ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ │ни▓а░н╗м п░еоб░азовани┐м.
В╗╕еп░иведенн╗й гей▓ може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен ▓акже и в виде ма▓░и╢╗. Р┐д╗ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ бази▒н╗м век▓о░ам на в╡оде. С▓олб╢╗ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ бази▒н╗м век▓о░ам на в╗╡оде. Индек▒╗ (i; j ) ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓
i{м│ бази▒ном│ век▓о░│ на в╡оде и j {м│ бази▒ном│ век▓о░│ на в╗╡оде гей▓а. Указанна┐ в╗╕е ▓абли╢а и▒▓инно▒▓и ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▒лед│╛╣ей
ма▓░и╢е:
j00i
j01i
j10i
j11i
j00i j01i j10i
j11i
p1
2
1
p
2
p1
2
1
; p2
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
(2.3)
:
Кван▓ов╗й гей▓ о▒│╣е▒▓вим, е▒ли, и ▓ол╝ко е▒ли он ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ │ни▓а░ном│ п░еоб░азовани╛, д░│гими ▒ловами, е▒ли его об░а▓ное п░еоб░азование е▒▓╝ его ▒оп░┐женное и ▓░ан▒пони░ованное.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
9
Пи▓е░ В. Шо░
П░едположим, ╖▓о на╕а ма╕ина на╡оди▓▒┐ в ▒│пе░пози╢ии ▒о▒▓о┐ний
(2.4)
p1 j10i ; p1 j11i
2
2
и м╗ п░именим │ни▓а░ное п░еоб░азование, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие (2.2) и (2.3).
Окон╖а▓ел╝н╗й ░ез│л╝▓а▓ ▓акого п░еоб░азовани┐ б│де▓ век▓о░, пол│╖аем╗й │множением ма▓░и╢╗ (2.3) на век▓о░ (2.4). Таким об░азом, ма╕ина
пе░ейде▓ в ▓ак│╛ ▒│пе░пози╢и╛ ▒о▒▓о┐ний
1
1
(2.5)
2 (j10i + j11i) ; 2 (j10i ; j11i) = j11i :
На ╜▓ом п░име░е показана по▓ен╢иал╝на┐ ╜┤┤ек▓ивно▒▓╝ ин▓е░┤е░ен╢ии
в кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡. Име┐ в на╖але в╗╖и▒лени┐ либо ▒о▒▓о┐ние j10i,
либо ▒о▒▓о┐ние j11i, м╗ имели б╗ ве░о┐▓но▒▓╝ обна░│жи▓╝ ▒о▒▓о┐ние j10i
по▒ле дей▒▓ви┐ гей▓а (2.3). Однако, когда м╗ на╖инаем в╗╖и▒лени┐ ▒ ▒│пе░пози╢ии ╜▓и╡ дв│╡ ▒о▒▓о┐ний, а??пли▓│да ве░о┐▓но▒▓и набл╛дени┐ j10i
п░опадае▓, д░│гими ▒ловами │ на▒ не▓ ве░о┐▓но▒▓и обна░│жи▓╝ ╜▓о ▒о▒▓о┐ние по▒ле дей▒▓ви┐ гей▓а. Заме▓им, ╖▓о е▒ли б╗ м╗ на╖инали в╗╖и▒лени┐ ▒ ▒│пе░пози╢ии ▒о▒▓о┐ний
(2.6)
p1 j10i + p1 j11i
2
2
в кон╢е м╗ б╗ имели вме▒▓о ▒о▒▓о┐ни┐ j11i ▒о▒▓о┐ние j10i, ╡о▓┐ набл╛дение ▓акого на╖ал╝ного ▒о▒▓о┐ни┐ дало б╗ ▓│же ве░о┐▓но▒▓╝ по┐влени┐ л╛бой ╖а▒▓ной кон┤иг│░а╢ии, как е▒ли б╗ набл╛дала▒╝ ▒│пе░пози╢и┐ (2.4).
Е▒ли м╗ п░именим гей▓ ▓ол╝ко к дв│м би▓ам бол╝╕ого бази▒ного
век▓о░а (в дал╝ней╕ем на╕а ╢еп╝ б│де▓ ▒о▒▓о┐▓╝ более ╖ем из дв│╡ п░оводов), м╗ б│дем │множа▓╝ ма▓░и╢│ гей▓а на ▓е два би▓а, на ко▓о░╗е гей▓
дей▒▓в│е▓, а о▒▓ал╝н╗е б│дем о▒▓авл┐▓╝ в покое. Э▓о дей▒▓вие ▒в┐зано ▒
│множением полного ▒о▒▓о┐ни┐ на ▓ензо░ное п░оизведение ма▓░и╢╗ гей▓а, дей▒▓в│╛╣ей на ╜▓и два би▓а, и едини╖н╗╡ ма▓░и╢ дл┐ о▒▓ав╕и╡▒┐
би▓ов.
Ма▒▒ив кван▓ов╗╡ гей▓ов п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой ▒и▒▓ем│ кван▓ов╗╡
гей▓ов и логи╖е▒ки╡ цп░оводовч, ▒оедин┐╛╣и╡ и╡ в╡од╗ и в╗╡од╗.
В╡одн╗е данн╗е ма▒▒ива гей▓ов, пи▓а╛╣а┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ кван▓ов╗╡ гей▓ов, возможно пе░ед на╖алом ░або▓╗ б│де▓ ▒о▒▓о┐▓╝ из ▒и▒▓ем╗
н│лей. Зна╖ени┐ би▓ов набл╛дае▓▒┐ по▒ле дей▒▓ви┐ по▒леднего гей▓а, и
пол│╖енное зна╖ение б│де▓ зна╖ением на в╗╡оде. С░авнива┐ ма▒▒ив╗ гей▓ов ▒ кван▓овой ма╕иной Т╝╛░инга, нам надо вве▒▓и │▒лови┐, ко▓о░╗е
10
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
в╗дел┐╛▓ в ма▒▒ива╡ гей▓ов │ниве░▒ал╝н╗е кла▒▒ ▒ложно▒▓и. Д░│гими
▒ловами, ▓ак как ма▒▒ив╗ гей▓ов дл┐ ░азн╗╡ ░азме░ов на╖ал╝н╗╡ данн╗╡
░азли╖н╗, необ╡одимо в▒егда име▓╝ под ░│кой кон▒▓░│к▓о░а ▓аки╡ ма▒▒ивов гей▓ов дл┐ п░оведени┐ нев╗╖и▒лим╗╡ (или ▒ложно в╗╖и▒лим╗╡)
опе░а╢ий по │по░┐до╖ивани╛ гей▓ов. Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ▒дела▓╝ ма▒▒ив╗
кван▓ов╗╡ гей▓ов │ниве░▒ал╝н╗ми, к оп░еделени╛ ма▒▒ива гей▓ов нам
необ╡одимо добави▓╝ две ве╣и. Пе░ва┐ ┐вл┐е▓▒┐ ▒▓анда░▓н╗м ▓░ебованием ▓ого, ╖▓об╗ ▒оздание ма▒▒ива кван▓ов╗╡ гей▓ов ▓░ебовало полиномиал╝ного ╖и▒ла (кла▒▒и╖е▒ки╡) ╕агов. В▓о░╗м ▓░ебованием може▓ ▒▓а▓╝
▒▓анда░▓на┐ ╖а▒▓╝ оп░еделени┐ аналогов╗╡ кла▒▒ов ▒ложно▒▓и, ╡о▓┐ в ▒ил│ ▓ого, ╖▓о аналогов╗е кла▒▒╗ ▒ложно▒▓и не ▓ак ╡о░о╕о из│╖ен╗, ╜▓о
▓░ебование не ▓ак ╕и░око изве▒▓но. Э▓о ▓░ебование закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом,
╖▓об╗ на в╡од гей▓ов, опи▒╗ваем╗╡ │ни▓а░н╗ми ма▓░и╢ами, подавали▒╝
в╗╖и▒л┐ем╗е ╖и▒ла. В о▒обенно▒▓и, пе░в╗е log n должн╗ б╗▓╝ кла▒▒и╖е▒ки в╗╖и▒л┐ем╗ за полиномиал╝ное по n в░ем┐ [Solovay 1995]. Э▓о п░едо╡░ан┐е▓ нев╗╖и▒лим│╛ (или ▓░│дно в╗╖и▒лим│╛) ин┤о░ма╢и╛ о▓ по▓е░и
ее би▓ов, опи▒╗ваем╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐ми кван▓ов╗╡ гей▓ов.
3. Об░а▓има┐ логика и возведение в ▒▓епен╝ по
мод│л╛
Оп░еделение ма▒▒ивов кван▓ов╗╡ гей▓ов ▓░еб│е▓ ░еализа╢ии об░а▓им╗╡ в╗╖и▒лений. Д░│гими ▒ловами, зна┐ кван▓ова┐ ▒о▒▓о┐ние на в╗╡одн╗╡ п░овода╡ гей▓а, можно однозна╖но ▒каза▓╝, какое ▒о▒▓о┐ние б╗ло на
в╡оде. Э▓о о▓░ажение ▓ого ┤ак▓а, ╖▓о не▒мо▓░┐ на мик░о▒копи╖но▒▓╝ п░омеж│▓ков в░емени, закон╗ ┤изики оказ╗ва╛▓▒┐ полно▒▓╝╛ об░а▓им╗ми.
Как може▓ показа▓╝▒┐, в▒е, по▒▓░оенное по законам ┤изики, должно б╗▓╝
об░а▓им╗м. Однако, кла▒▒и╖е▒кие комп╝╛▓е░╗ оп░ове░га╛▓ ╜▓о │▓ве░ждение благода░┐ ди▒▒ипа╢ии ╜не░гии, ╖▓о делае▓ ▓акой комп╝╛▓е░ ▓е░модинами╖е▒ки не об░а▓им╗м. В кван▓овом комп╝╛▓е░е ╜▓о оказ╗вае▓▒┐
невозможно, ▓ак как ▒│пе░пози╢и┐ кван▓ов╗╡ ▒о▒▓о┐ний должна подде░жива▓╝▒┐ в ▓е╖ении в▒его в╗╖и▒лени┐. Э▓о ▓░еб│е▓ дополни▓ел╝ной пла▓╗ п░и п░оведении кла▒▒и╖е▒ки╡ в╗╖и▒лений на кван▓овом комп╝╛▓е░е,
какие иногда ▓░еб│е▓▒┐ п░оизводи▓╝ в подп░ог░амма╡ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений.
В ▒ил│ об░а▓имо▒▓и кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений, де▓е░мини▒▓и╖е▒кие в╗╖и▒лени┐ о▒│╣е▒▓вим╗ на кван▓овом комп╝╛▓е░е ▓ол╝ко е▒ли и╡ ▒дела▓╝
об░а▓им╗ми. К ▒╖а▒▓╝╛, │же показано, ╖▓о л╛б╗е де▓е░мини▒▓и╖е▒кие
в╗╖и▒лени┐ мог│▓ б╗▓╝ ▒делан╗ об░а▓им╗ми [Lecerf 1963, Bennett 1973].
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
11
Пи▓е░ В. Шо░
Табли╢а и▒▓инно▒▓и дл┐ гей▓ов То┤┤оли и Ф░едкина.
Гей▓ То┤┤оли
INPUT
Гей▓ Ф░енкина
OUTPUT
INPUT
OUTPUT
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Дей▒▓ви▓ел╝но, об░а▓им╗е ма▒▒ив╗ кла▒▒и╖е▒ки╡ гей▓ов из│╖али▒╝. С│╣е▒▓венн╗м ░ез│л╝▓а▓ закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓о л╛бое кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление може▓ б╗▓╝ о▒│╣е▒▓влено ▒ помо╣╝╛ гей▓ов NAND, ┐вл┐╛╣и╡▒┐ ▓акже │ниве░▒ал╝н╗ми гей▓ами дл┐ об░а▓им╗╡ в╗╖и▒лений.
Два из ▓аки╡ гей▓ов но▒┐▓ название гей▓а То┤┤оли и гей▓а Ф░едкина
[Fredkin and Tooli 1982] (▒м. ▓абли╢│ 3).
Гей▓ То┤┤оли п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой п░о▒▓о кон▓░оли░│ем╗й NOT, д░│гими ▒ловами, по▒ледний би▓ измен┐е▓ ▒вое зна╖ение, ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда зна╖ение пе░вого би▓а ░авно едини╢е. В ╜▓ом гей▓е, е▒ли зна╖ение ▓░е▓╝его би▓а на в╡оде б│де▓ ░авно едини╢е, ▓о на в╗╡оде в ▓░е▓╝ем
би▓е б│де▓ ░ез│л╝▓а▓ дей▒▓ви┐ опе░а╢ии NAND пе░в╗╡ дв│╡ би▓ов. Так
как NAND ┐вл┐е▓▒┐ │ниве░▒ал╝н╗м гей▓ом дл┐ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений,
▓о и гей▓ То┤┤оли ┐вл┐е▓▒┐ ▓аким │ниве░▒ал╝н╗м гей▓ом. В гей▓е Ф░едкина, по▒ледние два би▓а мен┐╛▓▒┐ ме▒▓ами, е▒ли зна╖ение пе░вого би▓а
░авно н│л╛, и о▒▓а╛▓▒┐ неп░ико▒новенн╗ми, е▒ли в пе░вом би▓е ▒оде░жи▓▒┐ едини╢а. Дл┐ гей▓а Ф░едкина, е▒ли на в╡од ▓░е▓╝его би▓а подае▓▒┐
нол╝, ▓о во в▓о░ом би▓е пол│╖ае▓▒┐ ░ез│л╝▓а▓ дей▒▓ви┐ опе░а╢ии AND
▒оде░жимого пе░в╗╡ дв│╡ би▓ов; и е▒ли на в╡оде по▒ледни╡ дв│╡ би▓ов
пода▓╝ нол╝ и едини╢│ ▒оо▓ве▓▒▓венно, во в▓о░ом би▓е на в╗╡оде б│де▓ ░ез│л╝▓а▓ дей▒▓ви┐ опе░а╢ии NOT пе░вого би▓а. По╜▓ом│ и опе░а╢и┐ AND
и опе░а╢и┐ NOT ░еализ│╛▓▒┐ ▒ помо╣╝╛ гей▓а Ф░едкина, показ╗ва┐, ╖▓о
╜▓о▓ гей▓ ┐вл┐е▓▒┐ │ниве░▒ал╝н╗м.
И▒пол╝з│┐ ░ез│л╝▓а▓╗ ░або▓ по об░а▓им╗м в╗╖и▒лени┐м
[Lecerf 1963, Bennett 1973], м╗ можем в╗╖и▒л┐▓╝ л╛б│╛ полиномиал╝н│╛ по в░емени ┤│нк╢и╛ F (x), какой б╗ м╗ не подали x на в╡од
комп╝╛▓е░а. М╗ можем ▒дела▓╝ ╜▓о ▒ помо╣╝╛ п░и▒по▒обленн╗╡ дл┐
╜▓ого ме▓одов дл┐ в╗╖и▒лени┐ не об░а▓имой ┤│нк╢ии F . Э▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ може▓ б╗▓╝ легко ░а▒п░о▒▓░анен на ░або▓│ ма▒▒ива из гей▓ов
12
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
[Tooli 1980, Fredkin and Tooli 1982]. Е▒ли замени▓╝ AND, OR и NOT
гей▓╗ на гей▓╗ То┤┤оли либо Ф░едкина, ▓о необ╡одимо добави▓╝ в обои╡ ▒л│╖а┐╡ один в╡одной би▓, ▒оде░жа╣ий ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее зна╖ение, и
один в╗╡одной би▓, необ╡одим╗й дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ▒дела▓╝ в╗╖и▒ление об░а▓им╗м. Не▒мо▓░┐ на ▓о, ╖▓о дополни▓ел╝н╗й в╡одной би▓ не п░иводи▓ к
▒ложно▒▓┐м п░и кон▒▓░│и░овании кван▓ового комп╝╛▓е░а, дополни▓ел╝н╗й в╗╡одной би▓ к ▓аким ▓░│дно▒▓┐м п░иводи▓, ▓ак как, е▒ли и╡ зна╖ени┐ не об░а╣а▓╝ ▒нова в нол╝, они б│д│▓ вли┐▓╝ на ин▓е░┤е░ен╢ионн│╛
ка░▓ин│ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений. Ме▓од Бене▓▓а об░а╣ени┐ ▓аки╡ би▓ов в
нол╝ показан в ве░╡ней половине ▓абли╢╗ 3. Оказ╗вае▓▒┐, ма▒▒ив необ░а▓им╗╡ гей▓ов можно п░ев░а▓и▓╝ в ма▒▒ив об░а▓им╗╡ гей▓ов ▒лед│╛╣им
об░азом. Во-пе░в╗╡, б│дим д│бли░ова▓╝ зна╖ени┐ в╡одн╗╡ би▓ов ▒▓ол╝ко ░аз, ▒кол╝ко ╜▓о понадоби▓▒┐ (▓ак как зна╖ение в╡одного би▓а може▓
и▒пол╝зова▓╝▒┐ в ма▒▒иве гей▓ов более одного ░аза). Во-в▓о░╗╡, ▒о╡░ан┐┐ одн│ из копий в╡одн╗╡ би▓ов, замен┐ем необ░а▓им╗е гей▓╗ гей▓ами
То┤┤оли и Ф░едкина, а дополни▓ел╝н╗й в╗╡одной би▓ запи▒╗ваем в ░еги▒▓░ RECORD. Э▓и в╗╡одн╗е би▓╗ ▒о╡░ан┐╛▓ до▒▓а▓о╖ное коли╖е▒▓во
запи▒ей п░оизводим╗╡ опе░а╢ий, ╖▓об╗ ▒дела▓╝ в╗╖и▒лени┐ ма▒▒ива гей▓ов об░а▓им╗м. В╗╡од ┤│нк╢ии F (x) б│де▓ в╗╖и▒лен один ░аз, ░ез│л╝▓а▓
▒копи░ован в ░еги▒▓░, заполненн╗й ░анее н│л┐ми, и ▓епе░╝ можно ▒▓е░е▓╝ пе░вое зна╖ение ░еги▒▓░ов OUTPUT и RECORD.
Ме▓од Бенне▓▓а, ▒ помо╣╝╛ ко▓о░ого можно ▒дела▓╝ в╗╖и▒лени┐
об░а▓им╗ми.
INPUT
- - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
INPUT
OUTPUT
RECORD(
- - - - - -
INPUT
OUTPUT
INPUT
- - - - - -
INPUT
INPUT
- - - - - -
INPUT
- - - - - -
- - - - - -
F)
RECORD(F )
OUTPUT
- - - - - -
OUTPUT
RECORD(
OUTPUT
F ;1 )
;1 )
RECORD(F
- - - - - -
OUTPUT
OUTPUT
С▓и░а┐ x и пе░епи▒╗ва┐ на ее ме▒▓о F (x), в дополнение к полиномиал╝ном│ по в░емени алго░и▓м│ в╗╖и▒лени┐ ┤│нк╢ии F , нам необ╡одимо име▓╝ полиномиал╝н╗й по в░емени алго░и▓м в╗╖и▒лени┐ x по F (x),
д░│гими ▒ловами, нам необ╡одимо, ╖▓об╗ F б╗ла взаимнооднозна╖ной
┤│нк╢ией, и ╖▓об╗ F как и F ;1 б╗ли б╗ в╗╖и▒лим╗ за полиномиал╝ное
в░ем┐. Ме▓од ▓аки╡ в╗╖и▒лений п░ед▒▓авлен во в▒ей ▓абли╢е 3. Э▓о в╗╖и▒ление ░азби▓о на два ╜▓апа. Пе░в╗й аналоги╖ен изложенном│ в╗╕е: x
п░еоб░аз│е▓▒┐ в (x; F (x)). Ко в▓о░ом│ ╜▓ап│, показанном│ в нижней ╖а▒▓и
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
13
Пи▓е░ В. Шо░
▓абли╢╗ 3, заме▓им, ╖▓о е▒ли │ на▒ е▒▓╝ необ░а▓им╗й полиномиал╝н╗й по
в░емени ме▓од в╗╖и▒лени┐ F ;1 , м╗ можем и▒пол╝зова▓╝ ▓│же ▓е╡ник│
об░а▓имого о▓об░ажени┐ F (x) в (F (x), F ;1 (F (x))) = (F (x); x). Однако,
▓ак как ╜▓о в╗╖и▒ление об░а▓имо, об░а▓ив его м╗ можем пол│╖и▓╝ из
(x; F (x)) зна╖ение F (x). Склад╗ва┐ две ╜▓и ╖а▒▓и, пол│╖им зна╖ение x
по F (x).
Из в╗╕еп░иведенного об▒│ждени┐ видно, ╖▓о п░иведение в╗╖и▒ление
к об░а▓имом│ п░иводи▓ ли╕╝ по▒▓о┐нном│ по в░емени ┤ак▓о░│, но ▓акие
ме▓од╗ и▒пол╝з│╛▓ как го░аздо бол╝╕е ме▒▓а в пам┐▓и, ▓ак и и▒пол╝з│емого в░емени. И е▒ли кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление ▓░еб│е▓ го░аздо мен╝╕его
ме▒▓а, ╖ем в░емени, ▓о п░иведение алго░и▓ма к об░а▓имом│ вид│ ▓аким
▒по▒обом п░иведе▓ к ░езком│ │вели╖ени╛ ▓░еб│емой пам┐▓и. Ме▓одики,
дела╛╣ие в╗╖и▒лени┐ об░а▓им╗ми, не за▓░а╖ива╛╣ие ▓ак много опе░а▓ивного п░о▒▓░ан▒▓ва, но ▓░еб│╛╣ие го░аздо бол╝╕его в░емени на и▒полнение, можно най▓и в ░або▓а╡ [Bennett 1989, Levine and Sherman 1990].
В ▓о в░ем┐, как не ▒│╣е▒▓в│е▓ об╣его ме▓ода, не п░ивод┐╣его к ▒ил╝ном│ ░о▒▓│ ▓░еб│емой пам┐▓и либо в░емени и▒полнени┐, ▒│╣е▒▓в│╛▓ ▒пе╢иал╝н╗е алго░и▓м╗, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ ▒делан╗ об░а▓им╗ми без пла▓╗ за ╜▓о │вели╖ением и▒пол╝з│ем╗╡ п░о▒▓░ан▒▓венн╗╡ или в░еменн╗╡
░е▒│░▒ов. В кон╢е ╜▓ого ░аздела м╗ покажем как ╜▓о ▒дела▓╝ дл┐ алго░и▓ма возведени┐ в ▒▓епен╝ по мод│л╛, ко▓о░а┐ ┐вл┐е▓▒┐ необ╡одимой
подп░ог░аммой дл┐ кван▓овой ┤ак▓о░иза╢ии.
Узким ме▒▓ом кван▓ового алго░и▓ма ┤ак▓о░иза╢ии ╢елого ╖и▒ла,
д░│гими ▒ловами, ▓ой ╖а▒▓╝╛ алго░и▓ма, ко▓о░а┐ по▓░ебл┐е▓ бол╝╕│╛
╖а▒▓╝ в░емени и ме▒▓а, ┐вл┐е▓▒┐ возведение ╖и▒ла в ▒▓епен╝ по мод│л╛ ╢елого ╖и▒ла. Э▓а зада╖а закл╛╖ае▓▒┐ в ▒лед│╛╣им: п│▒▓╝ дан╗ n, x, и r, необ╡одимо най▓и xr mod n. Л│╖╕ий кла▒▒и╖е▒кий ме▓од, ▒ помо╣╝╛ ко▓о░ого ╜▓о можно ▒дела▓╝ закл╛╖ае▓▒┐ в ▒лед│╛╣им: надо пов▓о░но
возводи▓╝ в квад░а▓ ╖и▒ло x mod n до ▓е╡ по░, пока не пол│╖им x2i mod rn, где i 6 log2 r, за▓ем │множаем на ▒▓епени по
мод│л╛ n, пол│╖им x2 mod n. Е▒ли м╗ ░або▓аем ▒ l{би▓н╗м ╖и▒лом,
нам по▓░еб│е▓▒┐ O(l) возведений в квад░а▓ и │множений l{би▓н╗╡ ╖и▒ел по modn. А▒имп▓о▓и╖е▒ки, л│╖╕им кла▒▒и╖е▒ким алго░и▓мом │множени┐ дл┐ ма▒▒ивов гей▓ов ┐вл┐е▓▒┐ алго░и▓м Шан╡айге{Ш▓░а▒▒ена
[Schonhage and Strassen 1971, Knuth 1981, Schonhage 1982]. По ╜▓ом│ алго░и▓м│ можно по▒▓░ои▓╝ ма▒▒ив гей▓ов, в╗полн┐╛╣и╡ │множение ╢ел╗╡ ╖и▒ел, и▒пол╝з│╛╣ий O(l log l log log l) гей▓ов дл┐ пе░емножени┐ дв│╡
l{би▓н╗╡ ╖и▒ел. Таким об░азом, а▒имп▓о▓и╖е▒ки, возведение в ▒▓епен╝ по
мод│л╛ ▓░еб│е▓ O(l2 log l log log l) ╕агов. По▒ле ▓ого, как ▓акой алго░и▓м
14
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
▒дела▓╝ об░а▓им╗м, как ╜▓о наивно каже▓▒┐, по▓░еб│е▓▒┐ ▓акое же коли╖е▒▓во пам┐▓и. Однако, м╗ можем пов▓о░но и▒пол╝зова▓╝ ме▒▓о, занимаемое в ╖а▒▓и алго░и▓ма, где п░оизводи▓▒┐ пов▓о░┐╛╣ее▒┐ возведение в
квад░а▓, и, ▒ледова▓ел╝но, ▒│╣е▒▓венно ▒ок░а▓и▓╝ коли╖е▒▓во ▓░еб│емой
пам┐▓и, необ╡одимой дл┐ пе░емножени┐ дв│╡ l{би▓н╗╡ ╖и▒ел. Один ▓акой
п░о▒▓ой ме▓од ▒ок░а╣ени┐ ▓░еб│емого п░о▒▓░ан▒▓ва (╡о▓┐ и не ▒ам╗й ╜леган▓н╗й) б│де▓ дан позже, в кон╢е ╜▓ого ░аздела. Таким об░азом, возведение в ▒▓епен╝ по мод│л╛ може▓ б╗▓╝ о▒│╣е▒▓влена за O(l2 log l log log l)
╕агов и ▓░еб│┐ O(l log l log log l) ▒вободного п░о▒▓░ан▒▓ва.
Не▒мо▓░┐ на ▓о, ╖▓о алго░и▓м Шон╡айге{Ш▓░а▒▒ена ┐вл┐е▓▒┐ наил│╖╕им из изве▒▓н╗╡ алго░и▓мов пе░емножени┐ дв│╡ ╢ел╗╡ ╖и▒ел дл┐
бол╝╕и╡ l, ╜▓о не ▒п░аведливо дл┐ мал╗╡ l. Дл┐ небол╝╕и╡ ╖и▒ел л│╖╕им ма▒▒ивом гей▓ов, о▒│╣е▒▓вл┐╛╣и╡ │множение по ▒│╣е▒▓в│ ┐вл┐е▓▒┐ ▓о▓, ко▓о░╗й ░еализ│е▓ ╜лемен▓а░ное пе░емножение бина░н╗╡ ╖и▒ел
на б│маге, ко▓о░ом│ │╖а▓ в ╕коле. Э▓о▓ ме▓од ▓░еб│е▓ O(l2 ) ╕агов дл┐
пе░емножени┐ дв│╡ l{би▓н╗╡ ╖и▒ел, и, ▒ледова▓ел╝но, возведение в ▒▓епен╝ по мод│л╛ ▓░еб│е▓ O(l3 ) ╕агов в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ ╜▓им ме▓одом. Э▓о▓
ма▒▒ив гей▓ов можно ▒дела▓╝ об░а▓им╗м, и▒пол╝з│┐ п░и ╜▓ом ли╕╝ O(l)
▒вободной пам┐▓и.
Сей╖а▒ м╗ п░едложим ме▓од по▒▓░оени┐ ма▒▒ива кван▓ов╗╡ гей▓ов,
ко▓о░╗й и▒пол╝з│е▓ ▓ол╝ко O(l) ▒вободного п░о▒▓░ан▒▓ва и в╗╖и▒л┐е▓ за
O(l3) ╕агов (a; xa mod n) по a, где a, x, и n ; l{би▓н╗е ╖и▒ла. О▒новной
и▒пол╝з│ем╗й кон▒▓░│к▓ивн╗й блок п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой ма▒▒ив гей▓ов,
ко▓о░╗й по ╖и▒л│ b на в╡оде дае▓ b + c mod n на в╗╡оде. Заме▓им, ╖▓о
зде▒╝ b по▒▓│пае▓ в ма▒▒ив гей▓ов на в╡од, в ▓о в░ем┐, как c и n в▒▓░оен╗ в
▒▓░│к▓│░│ ма▒▒ива кван▓ов╗╡ гей▓ов. Так как добавок modn в╗╖и▒лим
по кла▒▒и╖е▒ким алго░и▓мам за O(log n) ╕агов, ▓акой об░а▓им╗й ма▒▒ив
кван▓ов╗╡ гей▓ов може▓ ▒о▒▓о┐▓╝ ▓ол╝ко из O(log n) гей▓ов и O(log n)
░або╖и╡ би▓, и▒пол╝з│┐ ▓е╡ник│, ░анее об▒│ждаем│╛ в ╜▓ом ░азделе.
Те╡ника, и▒пол╝з│ема┐ нами дл┐ в╗╖и▒лени┐ xa mod n в ▒│╣но▒▓и ▓а
же, ╖▓о и в кла▒▒и╖е▒ком ме▓оде.
В на╖але, м╗ пов▓о░┐╛╣ими▒┐ возве2i
дени┐ми в квад░а▓ в╗╖и▒лим x mod n дл┐ в▒е╡ ii < l. За▓ем, ╖▓о б╗ пол│╖и▓╝ xa mod n м╗ б│дем домножа▓╝ ▒▓епени x2 mod n, где 2i ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ бина░ной ░еализа╢ии ╖и▒ла a. В на╕ем алго░и▓ме ┤ак▓о░иза╢ии
╖и▒ла n нам н│жно в╗╖и▒л┐▓╝ ▓ол╝ко ▓акие xa mod n, где a п░ед▒▓авл┐е▓
▒обой ▒│пе░пози╢и╛ ▒о▒▓о┐ний, в ▓о в░ем┐, как x е▒▓╝ некое ╢елое ╖и▒ло. Э▓о в▒е ▒ил╝но │п░о╣ае▓, ▓ак как в и▒пол╝з│ем╗╡ нами об░а▓им╗╡
кван▓ов╗╡ гей▓а╡ ╖и▒ла a ▓░ак▓│е▓▒┐ как в╡одн╗е данн╗е, а x и n в▒▓░о-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
15
Пи▓е░ В. Шо░
ен╗ в ▒▓░│к▓│░│ ма▒▒ива гей▓ов. Таким об░азом, м╗ можем и▒пол╝зова▓╝
алго░и▓м, опи▒╗ва╛╣ий▒┐ ▒лед│╛╣им п▒евдокодом
:= 1
for i = 0 to l ;1
if ( ai == 1 ) then
power := power
x 2i mod n
endif
endfor
power
Зде▒╝ ai озна╖ае▓ i{й би▓ ╖и▒ла a в бина░ном п░ед▒▓авлении, где би▓╗
пе░ен│ме░ован╗ ▒п░ава налево и ▒ам╗й п░ав╗й би▓ a | a0 . Пе░еменна┐
a о▒▓ае▓▒┐ неизменной по ▒воем│ зна╖ени╛ и вели╖ина xa mod n ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ в╗╡одн╗м данн╗м ▒ пе░еменной ▒▓епен╝╛. Таким об░азом, ▓ака┐
п░ог░амма дае▓ ▓о╖ное зна╖ение (a; 1) по (a; xa mod n).
Э▓о▓ п▒евдокод може▓ б╗▓╝ легко ░еализован ╖е░ез ма▒▒ив гей▓ов.
Имее▓ ме▒▓о ▓ол╝ко одно за▓░│дни▓ел╝ное ме▒▓о,
в ╖е▓ве░▓ой ▒▓░о╖ке,
2i
где м╗ │множаем пе░еменн│╛ ▒▓епен╝ на x mod n. Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ╜▓о
▒дела▓╝ нам необ╡одимо и▒пол╝зова▓╝ довол╝но
▒ложн╗й ма▒▒ив гей▓ов
в ка╖е▒▓ве подп░ог░амм╗. В▒помним, ╖▓о x2i mod n може▓ б╗▓╝ кла▒▒и╖е▒ки в╗╖и▒лена и, по▒ле ╜▓ого, в▒▓░оена в ▒▓░│к▓│░│ кван▓ов╗╡ гей▓ов.
Таким об░азом, ╖▓об╗ ░еализова▓╝ ╜▓│ ▒▓░о╖к│, нам необ╡одимо име▓╝
об░а▓им╗й ма▒▒ив кван▓ов╗╡ гей▓ов, в ко▓о░ом b ┐вл┐ло▒╝ б╗ в╡одн╗ми
данн╗ми и bc mod n давал на в╗╡оде, п░и╖ем ▒▓░│к▓│░а ма▒▒ива гей▓ов
зави▒и▓ о▓ c и n. Коне╖но, ╜▓о▓ ╕аг може▓ б╗▓╝ об░а▓им ▓ол╝ко ▓огда,
когда gcd(c; n) = 1, или, д░│гими ▒ловами, когда c и n не име╛▓ об╣и╡
дели▓елей, ▓ак как в п░о▓ивном ▒л│╖ае два ░азли╖н╗╡ зна╖ени┐ b б│д│▓
о▓об░ажа▓╝▒┐ в одно и ▓оже зна╖ение bc mod n. К ▒╖а▒▓╝╛, ╜▓о▓ ▒л│╖ай
нам и н│жен дл┐ алго░и▓ма ┤ак▓о░иза╢ии. М╗ покажем, как по▒▓░ои▓╝
▓акой ма▒▒ив гей▓ов в два ╜▓апа. Пе░в╗й ╜▓ап в ▓о╖но▒▓и ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ возведение в ▒▓епен╝ п│▓ем по▒ледова▓ел╝ного возведени┐ в квад░а▓,
ко▓о░╗й ░еализ│е▓▒┐ п│▓ем по▒ледова▓ел╝ного │множени┐ по мод│л╛ n.
П▒евдокод ╜▓ого ╜▓апа ▓акой:
:= 0
for i = 0 to l ;1
if ( bi == 1 ) then
i
result := result + 2 c mod n
endif
endfor
result
Снова напомним, ╖▓о 2i c mod n може▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лен за░анее и в▒▓░оен
в ▒▓░│к▓│░│ ма▒▒ива гей▓ов.
16
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
В╗╕еп░иведенн╗й п▒евдокод и▒пол╝з│е▓ b в ка╖е▒▓ве на╖ал╝н╗╡ данн╗╡, а на в╗╡оде дае▓ (b; bc mod n). Ч▓об╗ пол│╖и▓╝ желаем╗й ░ез│л╝▓а▓
нам ▓епе░╝ необ╡одимо обн│ли▓╝ b. Напомним, ╖▓о gcd(c; n) = 1, ▓аким
об░азом ▒п░аведливо ▒оо▓но╕ение c;1 mod n ▒ c c;1 1 mod n. Домножение на ▓акое c;1 можно и▒пол╝зова▓╝ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ об░а▓но пол│╖и▓╝
из bc mod n ▒лед│╛╣ее (bc mod n; bcc;1 mod n) = (bc mod n; b). Э▓о как
░аз ▓а об░а▓на┐ вели╖ина, ко▓о░а┐ нам н│жна, и, ▓ак как м╗ ░або▓аем ▒
об░а▓им╗м в╗╖и▒лением, и▒пол╝з│┐ ╜▓│ опе░а╢и┐ м╗ можем ▒нова во▒▒▓анови▓╝ зна╖ение b. П▒евдокод ╜▓ой опе░а╢ии ▒лед│╛╣ий:
for i = 0 to l ;1
if ( result i == 1 ) then
i ;1 mod n
b := b ; 2 c
endif
endfor
Как и ░ан╝╕е, result i | i{й би▓ ╖и▒ла result.
Заме▓им, ╖▓о на ╜▓ой ▒▓адии в╗╖и▒лени┐ b должно б╗▓╝ ░авно 0. Однако, м╗ не можем п░о▒▓о зан│ли▓╝ b, ▓ак как ╜▓о б│де▓ не об░а▓имой
опе░а╢ией, и, ▒ледова▓ел╝но, не доп│▒▓имой дл┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а. Вме▒▓о ╜▓ого м╗ и▒пол╝з│ем до▒▓а▓о╖но ▒ложн│╛ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝
опе░а╢ий, п░ивод┐╣и╡ к b = 0, и ко▓о░а┐ на ▒амом деле зави▒и▓ о▓ │множений о▓но▒и▓ел╝но г░│пп╗ mod n.
С ╜▓ой ▓о╖ки з░ени┐, м╗ можем ▒дела▓╝ некий ▒мел╗й ╕аг: м╗ могли
б╗ изме░и▓╝ вели╖ин│ b и по▒мо▓░е▓╝ не ░авна ли она н│л╛. Е▒ли не▓, ▓о
▓огда м╗ знаем, ╖▓о где-▓о в на╕и╡ кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡ п░оизо╕ла
о╕ибка, и, ▓аким об░азом, пол│╖енн╗е ░ез│л╝▓а▓╗ ни╖его не ▒▓о┐▓ и на
необ╡одимо п░е░ва▓╝ в╗╖и▒лени┐ и на╖а▓╝ и╡ ▒на╖ала. Однако, е▒ли м╗
на╕ли, ╖▓о вели╖ина b ░авна н│л╛ (▓ак как м╗ ее ▓ол╝ко ╖▓о изме░или), ▓о она ▓о╖но б│де▓ ░авна н│л╛. По╜▓ом│, кван▓овое в╗╖и▒ление не
б│де▓ п░е░вано, ▓ол╝ко е▒ли в▒е ампли▓│д╗, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие н│левом│
зна╖ени╛ вели╖ин╗ b не зан│л┐▓▒┐. Более ▓ого, ▓ак как ве░о┐▓но▒▓╝ обна░│жи▓╝ данное ▒о▒▓о┐ние п░опо░╢ионал╝но квад░а▓│ ампли▓│д╗ ╜▓ого
▒о▒▓о┐ни┐, зави▒┐╣ей о▓ модел╝ной о╕ибки, однов░еменное в╗╖и▒ление
▒▓епени по мод│л╛ и изме░ение вели╖ин╗ b п░иводи▓ к ▒│╣е▒▓венном│
│вели╖ени╛ ве░о┐▓но▒▓и пол│╖и▓╝ п░авил╝н╗й о▓ве▓, когда изме░ение
вели╖ин╗ b дало нол╝, ╖ем ▓огда, когда ▓акое п░и ╜▓ом в╗╖и▒лении изме░ение вооб╣е не п░оизводило▒╝. Э▓о▓ ╜┤┤ек▓ но▒и▓ название кван▓ового
╢епного п▒а или кван▓ового Зено [Peres 1993]. П░иведенн╗й в╗╕е а░г│мен▓ на ▒амом деле не показ╗вае▓, дей▒▓ви▓ел╝но ли в╗годно п░оизводи▓╝ пов▓о░н╗е изме░ени┐ вели╖ен╗ b, ▓ак как ╜▓о по▓░еб│е▓ дополни-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
17
Пи▓е░ В. Шо░
▓ел╝н╗╡ за▓░а▓ (в░еменн╗╡, а, возможно, и каки╡ либо ин╗╡) на п░оведение ▓акого изме░ени┐. Когда ▓ака┐ ▒и▒▓ема б│де▓ ▒оздана, можно б│де▓
анали▓и╖е▒ки и ╜к▒пе░имен▓ал╝но п░ове░и▓╝ полезно▒▓╝ ▓аки╡ изме░ений по о▓но╕ени╛ к за▓░а▓ам на ни╡. Однако, ┐ наде╛▒╝, ╖▓о ╖а▒▓и╖н╗е
изме░ени┐, ▓акие как ╜▓о, ▒мог│▓ показа▓╝ п│▓╝ поп╗▓кам ▒▓абилиза╢ии
кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений.
Подвод┐ и▓ог, ▒кажем, ╖▓о алго░и▓м Шон╡айге{Ш▓░а▒▒ена п░именим дл┐ пе░емножени┐ бол╝╕и╡ ╢ел╗╡ ╖и▒ел, а дл┐ мален╝ки╡ ╖и▒ел более п░именим алго░и▓м │множени┐ ▒▓олбиком. Также ▒│╣е▒▓в│╛▓ алго░и▓м╗, на╡од┐╣ие▒┐ по ╜┤┤ек▓ивно▒▓и межд│ пе░в╗ми дв│м┐ и они ╡о░о╕и дл┐ ╖и▒ел ▒░едней длин╗ [Karatsuba and Ofman 1962,
Knuth 1981, Schonhage et al. 1994]. Пока не ┐▒но, какой из алго░и▓мов
наиболее п░иемлем дл┐ ╖и▒ел оп░еделенной длин╗. Не▒мо▓░┐ на ▓о, ╖▓о
в неко▓о░ом ▒м╗▒ле дл┐ кла▒▒и╖е▒ки╡ в╗╖и▒лений ╜▓о нам изве▒▓но
[Schonhage et al. 1994], и▒пол╝з│ем╗е данн╗е по ко▓о░╗м можно ▒каза▓╝,
какой алго░и▓м л│╖╕е ░або▓ае▓ на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е, мог│▓ п░иве▒▓и к недо░аз│мени┐м по дв│м п░и╖инам: во-пе░в╗╡, кла▒▒и╖е▒ком│
комп╝╛▓е░│ не н│жно б╗▓╝ об░а▓им╗м, а за▓░а▓╗ на ▓о, ╖▓об╗ ▒дела▓╝
алго░и▓м об░а▓им╗м зави▒┐▓ о▓ ▒амого алго░и▓ма; во-в▓о░╗╡, ▒│╣е▒▓в│╛╣ие комп╝╛▓е░╗ в о▒новном пе░емножа╛▓ 32-╡ или 64-╡ ░аз░┐дн╗е
╖и▒ла, ╖▓о за╕и▓о в аппа░а▓н│╛ ╖а▒▓╝ комп╝╛▓е░а, и ╜▓о може▓ пов╗▒и▓╝
оп▓имал╝н│╛ планк│ б╗▒▓░одей▒▓ви┐ алго░и▓ма, ▓ак как некий алго░и▓м
│множени┐ може▓ б╗▓╝ наил│╖╕им об░азом под▒▓░оен под │▒▓░ой▒▓во
комп╝╛▓е░а, ╖ем д░│гие. Таким об░азом, дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ п░ог░амм╗ на
кван▓овом комп╝╛▓е░е ░або▓али более ╜┤┤ек▓ивно, необ╡одимо на╢ели▓▒┐ на наил│╖╕│╛ ░еализа╢и╛ ╜лемен▓а░н╗╡ алгеб░аи╖е▒ки╡ опе░а╢ий на
▓аком кван▓овом комп╝╛▓е░е. Имее▓ ме▒▓о один л╛боп╗▓н╗й ┤ак▓, алго░и▓м Шон╡айге{Ш▓░а▒▒ена б╗▒▓░ого пе░емножение и▒пол╝з│е▓ б╗▒▓░ое
п░еоб░азование Ф│░╝е, ко▓о░ое ▓акже ┐вл┐е▓▒┐ бази▒ом дл┐ в▒е╡ н╗не изве▒▓н╗╡ б╗▒▓░╗╡ алго░и▓мов дл┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а. Можно ▒п░огнози░ова▓╝, ╖▓о ▒амо по ▒ебе │множение ╢ел╗╡ ╖и▒ел може▓ б╗▓╝ ▒ил╝но
│▒ко░ено на кван▓овом комп╝╛▓е░е, и возможно, ╜▓о е╣е более а▒имп▓о▓и╖е▒ки │▒ко░и▓ ┤ак▓о░иза╢и╛ ╢ел╗╡ ╖и▒ел на кван▓овом комп╝╛▓е░е,
и возможно ╜▓о п░иведе▓ к ▓ом│, ╖▓о взлом ▒и▒▓ем╗ RSA на кван▓овом
комп╝╛▓е░е б│де▓ п░оизводи▓╝▒┐ а▒имп▓о▓и╖е▒ки б╗▒▓░ее, ╖ем коди░ование RSA на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е.
18
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
4. Кван▓овое п░еоб░азование Ф│░╝е
Так как кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ име╛▓ дело ▒ │ни▓а░н╗ми п░еоб░азовани┐ми, б╗ло б╗ полезно и▒пол╝зова▓╝ ╜▓о дл┐ ░еализа╢ии какого-ниб│д╝
н│жного │ни▓а░ного п░еоб░азовани┐. В ╜▓ом ░азделе м╗ п░едложим алго░и▓м п░оведени┐ за полиномиал╝ное в░ем┐ на кван▓овом комп╝╛▓е░е
одного ▓акого │ни▓а░ного п░еоб░азование | ди▒к░е▓ного п░еоб░азовани┐
Ф│░╝е. Такое п░еоб░азование б│де▓ п░ед▒▓авлено в виде ма▓░и╢╗, ▒▓олб╢╗ и ▒▓░оки ко▓о░ой п░он│ме░ован╗ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ ▒о▒▓о┐ни┐ми, на
ко▓о░╗е она дей▒▓в│е▓. Такие ▒о▒▓о┐ни┐ ▒в┐зан╗ ▒ бина░н╗м п░ед▒▓авлением ╢елого ╖и▒ла в комп╝╛▓е░е. В ╖а▒▓но▒▓и, индек▒ ▒▓░ок и ▒▓олб╢ов
на╖инае▓▒┐ ▒ 0, е▒ли п░о▓ивоположное не огово░ено.
Э▓о п░еоб░азование закл╛╖ае▓▒┐ в ▒лед│╛╣ем. Ра▒▒мо▓░им ╖и▒ло a,
п░и╖ем 0 6 a < q дл┐ неко▓о░ого q, где ╖и▒ло би▓ов в q полиномиал╝но.
Нам надо п░оизве▒▓и п░еоб░азование век▓о░а jai в ▒о▒▓о┐ние
1
q=
1 2
q;1
X
c=0
jci exp(2iac=q):
(4.1)
То е▒▓╝, м╗ должн╗ ░еализова▓╝ дей▒▓вие │ни▓а░ной ма▓░и╢╗, ╜лемен▓╗
ко▓о░ой (a; c) ░авн╗ 11=2 exp(2iac=q). П░еоб░азование Ф│░╝е | ▒е░д╢е
q
на╕его алго░и▓ма, м╗ обозна╖им его ма▓░и╢│ как Aq .
Так как м╗ б│дим и▒пол╝зова▓╝ Aq дл┐ q ╜к▒понен╢иал╝н╗╡ ░азме░ов, нам необ╡одимо показа▓╝, как ╜▓о п░еоб░азование може▓ б╗▓╝ п░оведено за полиномиал╝ное в░ем┐. В ╜▓ой ▒▓а▓╝е м╗ дадим п░о▒▓ое по▒▓░оение дл┐ Aq , где q | ▒▓епен╝ двойки, ко▓о░ое б╗ло п░едложено в ░або▓а╡
Coppersmith [1994] и Deutsch [▒м. Ekert and Jozsa 1995]. Э▓а кон▒▓░│к╢и┐ по ▒│▓и ┐вл┐е▓▒┐ ▒▓анда░▓н╗м алго░и▓мом б╗▒▓░ого п░еоб░азовани┐
Ф│░╝е (FFT) [Knuth 1981], адап▓и░ованного дл┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а.
П░иведенное зде▒╝ по▒▓░оение впе░в╗е п░едложено в ░або▓а╡ Ekert and
Jozsa [1995]. В более ░анней ве░▒ии ╜▓ой ▒▓а▓╝и [Shor 1994] м╗ п░едлагали по▒▓░оение дл┐ Aq , где q п░инадлежала о▒обом│ кла▒▒ ▒глаженн╗╡
╖и▒ел ▒ небол╝╕ими п░о▒▓╗ми ┤ак▓о░ами. В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, в ░або▓е
Cleve [1994] показано, как ▒▓░ои▓╝ Aq ▒глаженн╗╡ ╖и▒ел q, ╖╝и п░о▒▓╗е
┤ак▓о░╗ не более O(log n).
Воз╝мем q = 2l , и п│▒▓╝ ╢елое ╖и▒ло a п░ед▒▓авимо в бина░ном виде
как jal;1 al;2 : : : a0 i. Дл┐ ░еализа╢ии кван▓ового п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е Aq ,
нам понадоб┐▓▒┐ ▓ол╝ко два ▓ипа кван▓ов╗╡ гей▓ов. Э▓о кван▓ов╗й гей▓
Rj , ко▓о░╗й дей▒▓в│е▓ на j {й би▓ кван▓ового комп╝╛▓е░а ▒лед│╛╣им
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
19
Пи▓е░ В. Шо░
об░азом
j0i
j1i
p1
2
1
;p
2
p1
2
1
p
2
Rj = j0i
j1i
(4.2)
;
и Sj; k , ко▓о░╗й дей▒▓в│е▓ на два би▓а на j и k пози╢ии, j < k, ▓ак:
j00i j01i j10i j11i
j00i 1 0 0
0
0
Sj; k = j01i 0 1 0
(4.3)
j10i 0 0 1
0
i
j11i 0 0 0 e k;j ;
где k;j = =2k;j . Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ░еализова▓╝ п░еоб░азование Ф│░╝е,
м╗ и▒пол╝з│ем ▒лед│╛╣│╛ ма▓░и╢│ (дей▒▓вие о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ ▒лева нап░аво)
Rl; Sl; ;l; Rl; Sl; ;l; Sl; ;l; Rl; : : :
(4.4)
: : : R S ;l; S ;l; : : : S ; S ; R ;
▓аким об░азом, м╗ п░имен┐ем гей▓╗ Rj в об░а▓ном по░┐дке о▓ Rl;
до R , а межд│ Rj и Rj м╗ п░имен┐ем в▒е гей▓╗ Sj; k , дл┐ ко▓о░╗╡ k > j . Нап░име░, дл┐ 3 би▓ов, ма▓░и╢╗ должн╗ дей▒▓вова▓╝ в ▒лед│╛╣им по░┐дке R S ; R S ; S ; R . Таким об░азом, ╖▓об╗ п░оизве▒▓и
п░еоб░азование Ф│░╝е Aq , где q = 2l , нам необ╡одимо l(l ; 1)=2 кван▓ов╗╡
1
2
1
1
0
2
1
3
0
2
1
3
02
2
01
3
0
1
0
+1
2
12
1
02
01
0
гей▓ов.
И▒пол╝з│┐ ▓ак│╛ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝
п░еоб░азований, окон╖а▓ел╝но
P
1
пол│╖им кван▓овое ▒о▒▓о┐ние 1=2 exp(2iac=q) jbi, где b | в неко▓оq
b
░ом ▒м╗▒ле цпоби▓но-об░а▓ноеч к ╖и▒л│ c, ▓о е▒▓╝, ╜▓о ╖и▒ло в бина░ной
запи▒и пол│╖ае▓▒┐, е▒ли поби▓но ╖и▓а▓╝ ╖и▒ло c ▒п░ава налево. Следова▓ел╝но, ╖▓об╗ пол│╖и▓╝ на▒▓о┐╣ее кван▓овое п░еоб░азование Ф│░╝е нам
необ╡одимо либо дела▓╝ какие-▓о дал╝ней╕ие в╗╖и▒лени┐, ╖▓об╗ ░азве░н│▓╝ би▓╗ ╖и▒ла jbi и пол│╖и▓╝ jci, либо о▒▓ави▓╝ ╜▓и би▓╗ в покое, а
догово░и▓╝▒┐ ╖и▓а▓╝ и╡ в об░а▓ном по░┐дке, либо п░ид│ма▓╝ д░│г│╛ более п░о▒▓│╛ ░еализа╢и╛.
Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ показа▓╝, ╖▓о ╜▓о опе░а╢и┐ в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и п░оизводи▓ кван▓овое п░еоб░азование Ф│░╝е, ░а▒▒мо▓░им ампли▓│д│ пе░е╡ода из ▒о▒▓о┐ни┐ jai = jal;1 : : : a0 i в ▒о▒▓о┐ние jbi = jbl;1 : : : b0 i. Во-пе░в╗╡,
20
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
p
┤ак▓о░╗ 1= 2 в ма▓░и╢е R, пе░емножа┐▒╝, об░аз│╛▓ ┤ак▓о░ 1=q = пе░ед
1 2
в▒ем в╗░ажением. Таким об░азом, нам надо бе▒покои▓╝▒┐ ▓ол╝ко о ┤азовом множи▓еле exp(2iac=q) в в╗░ажении (4.1). Ма▓░и╖н╗е ╜лемен▓╗ Sj;k
не измен┐╛▓ зна╖ени┐ ни одного би▓а, а ▓ол╝ко измен┐╛▓ и╡ ┤аз╗. По╜▓ом│, е▒▓╝ ▓ол╝ко один ▒по▒об пе░еве▒▓и j -й би▓ из aj в bj , и▒пол╝з│┐
под╡од┐╣ие вн│▓░енние ╜лемен▓╗ ма▓░и╢╗ Rj . Э▓и вн│▓░енние ╜лемен▓╗ добавл┐╛▓ ╖и▒ла к ┤азе, е▒ли би▓╗ aj и bj ▒оде░жа▓ 1, и о▒▓авл┐╛▓
в▒е без изменений во в▒е╡ д░│ги╡ ▒л│╖а┐╡. По▒ле ╜▓ого, ма▓░и╢а Sj; k добавл┐е▓ ╖и▒ло =2k;j к ┤азе, е▒ли aj и bk ▒оде░жа▓ 1, и о▒▓авл┐╛▓ в▒е без
изменений во в▒е╡ д░│ги╡ ▒л│╖а┐╡. Таким об░азом, пол│╖енна┐ ┤аза на
п│▓и о▓ jai до jbi имее▓ вид
X
0
6j<l
X
aj bj +
0
6j<k<l
ab:
2k;j j k
(4.5)
Э▓о в╗░ажение може▓ б╗▓╝ пе░епи▒ано, как
X
6j 6k<l
0
ab:
2k;j j k
(4.6)
Так как c цпоби▓но-об░а▓ноеч к ╖и▒л│ b, ╜▓о в╗░ажение може▓ б╗▓╝ далее
пе░епи▒ано как
X
aj cl; ;k :
2k;j
06j 6k<l
(4.7)
1
П░оизвод┐ ▒лед│╛╣│╛ под▒▓ановк│ l ; k ; 1 дл┐ k в ╜▓ой ▒│мме, м╗
пол│╖им
X
2 2 2l aj ck
2
06j +k<l
j k
(4.8)
Тепе░╝, ▓ак как изменение ┤аз╗ на 2 ее не измен┐е▓, м╗ пол│╖им ▓│ же
┤аз│, как п░и ▒│мми░овании j и k и▒кл╛╖а┐ ли╕╝ l, пол│╖а┐
l;1
X
j k
2 2 2l aj ck = 2l
2
2
j;k=0
l ;1
X
j =0
2j aj
l;1
X
k=0
2k ck ;
(4.9)
где по▒леднее ░авен▒▓во ▒лед│е▓ из ди▒▓░иб│▓ивного закона │множени┐
lP
;1
Тепе░╝, ▒│мма░но дл┐ c, q = 2l , a = 2j aj , ▓аким об░азом п░иведенное
j =0
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
21
Пи▓е░ В. Шо░
в╗░ажение ╜квивален▓но 2ac=q | ┤азе ампли▓│д╗ пе░е╡ода jai ! jci
п░и п░еоб░азовании (4.1).
Когда в гей▓е Sj;k ░азно▒▓╝ k ; j велика, ▒м. (4.3), ┤азов╗й множи▓ел╝
домножае▓▒┐ на о╖ен╝ мален╝к│╛ вели╖ин│. Физи╖е▒ки, ▓акое домножение б│де▓ ▓░│дно акк│░а▓но п░ове▒▓и ┤изи╖е▒ки, и е▒ли б╗ ╜▓о б╗ло
необ╡одимо дела▓╝ п░и кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лени┐╡, ╜▓о ▒▓ало б╗ ▒е░╝езной
поме╡ой. К ▒╖а▒▓╝╛, Coppersmith [1994] показал, ╖▓о можно вве▒▓и п░иближенное п░еоб░азование Ф│░╝е, в ко▓о░ом б│д│▓ игно░и░ова▓╝▒┐ ▓акие
мал╗е вклад╗ в ┤азов╗й множи▓ел╝, но ▓акое п░иближенное п░еоб░азование Ф│░╝е вполне до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ ▓акже и▒пол╝зова▓╝ дл┐ алго░и▓ма
┤ак▓о░иза╢ии. В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, ▓ака┐ ▓е╡ника заме▓но │мен╝╕ае▓
╖и▒ло кван▓ов╗╡ гей▓ов, необ╡одим╗╡ дл┐ п░оведени┐ (п░иближенного)
п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е, │би░а┐ бол╝╕ин▒▓во гей▓ов Sj; k .
5. Разложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели
Е╣е ▒ доевклидов╗╡ в░емен изве▒▓но, ╖▓о л╛бое ╢елое ╖и▒ло n може▓ б╗▓╝ однозна╖но п░ед▒▓авлена в виде п░оизведени┐ п░о▒▓╗╡ ╖и▒ел.
Ма▓ема▓ики же на╖али и▒▒ледова▓╝ воп░о▒ о ▓ом, как ░азложи▓╝ ╖и▒ло на п░о▒▓╗е множи▓ели не многим позже. Однако, ▓ол╝ко в 70-е год╗ внед░или па░адигм╗ в╗╖и▒ли▓ел╝ной ма▓ема▓ики в ▓ео░и╛ ╖и▒ел
и обна░│жили какое в░ем┐ а▒имп▓о▓и╖е▒ки ▓░еб│╛▓ алго░и▓м╗ ┤ак▓о░иза╢ии [Adleman 1994]. Э▓о▓ ░ез│л╝▓а▓ ╖░езв╗╖айно важен дл┐ из│╖ени┐ ╜┤┤ек▓ивно▒▓и ┤ак▓о░иза╢ионн╗╡ алго░и▓мов. Наил│╖╕ий ┤ак▓о░иза╢ионн╗й алго░и▓м ▓░а▓и▓ на п░ед▒▓авление ╖и▒ли в виде п░о▒▓╗╡
множи▓еле а▒имп▓о▓и╖е▒ки exp(c(log n)1=3 (log log n)2=3 ) ╕агов п░и л╛бой кон▒▓ан▓е c. В ▒ил│ ▓ого, ╖▓о в╡одн╗е данн╗е, ╖и▒ло n, длинной
▓ол╝ко log n би▓, ╜▓о▓ алго░и▓м ┐вл┐е▓▒┐ ╜к▒понен╢иал╝н╗м по в░емени. на╕ кван▓ов╗й ┤ак▓о░иза╢ионн╗й алго░и▓м ▓░еб│е▓ а▒имп▓о▓и╖е▒ки O((log n)2 (log log n)(log log log n)) ╕агов кван▓ового комп╝╛▓е░а, вме▒▓е ▒ полиномиал╝н╗м (в едини╢а╡ log n) коли╖е▒▓вом по▒▓п░о╢ед│░н╗╡
╕агов кла▒▒и╖е▒кого комп╝╛▓е░а, необ╡одим╗╡ дл┐ конве░▓а╢ии в╗╡одн╗╡ данн╗╡ кван▓ового комп╝╛▓е░а в ┤ак▓о░╗ ╖и▒ла n. Коне╖но, ▓акие
по▒▓п░о╢ед│░н╗е ╕аги можно б╗ло б╗ о▒│╣е▒▓ви▓╝ и на кван▓овом комп╝╛▓е░е, но не▓ п░и╖ин не и▒пол╝зова▓╝ кла▒▒и╖е▒кий комп╝╛▓е░, е▒ли
он дл┐ ╜▓ой зада╖и более ╜┤┤ек▓ивен.
Вме▒▓о ▓ого, ╖▓об╗ да▓╝ нап░┐м│╛ алго░и▓м ┤ак▓о░иза╢ии ╖и▒ла n
дл┐ кван▓ового комп╝╛▓е░а, м╗ п░едложим алго░и▓м на╡ождени┐ на
кван▓овом комп╝╛▓е░е на╡ождени┐ по░┐дка ╖и▒ла x о▓но▒и▓ел╝но г░│пп╗
22
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
│множений по mod n; д░│гими ▒ловами, на╡ождени┐ наимен╝╕его ╢елого
╖и▒ла r, ▓акого ╖▓о xr 1 mod n. Как изве▒▓но, и▒пол╝з│┐ ░андомиза╢и╛, ░азложение на п░о▒▓╗е множи▓ели може▓ б╗▓╝ ▒ведена к зада╖и о
на╡ождении ▓акого по░┐дка [Miller 1976]. Сей╖а▒ м╗ ко░о▓ко опи╕ем ╜▓│
п░о╢ед│░│.
Дл┐ ░азложени┐ не╖е▓ного ╖и▒ла n на п░о▒▓╗е множи▓ели и▒пол╝з│е▓▒┐ алго░и▓м на╡ождени┐ по░┐дка r ╖и▒ла x. В╗бе░ем п░оизвол╝ное
╖и▒ло x mod n, найдем его по░┐док r, и в╗╖и▒лим gcd(xr=2 ; 1; n). Зде▒╝
gcd(a; b) | наибол╝╕ий об╣ий дели▓ел╝ ╖и▒ел a и b, ▓о е▒▓╝, наибол╝╕ее ╢елое ╖и▒ло, на ко▓о░ое на╢ело можно ░аздели▓╝ и a и b. Алго░и▓м
Евклида [Knuth 1981], ко▓о░╗й може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зован п░и в╗╖и▒лении gcd(a; b), полиномиален по в░емени. Так как (xr=2 ; 1)(xr=2 + 1) =
= xr ; 1 0 mod n, gcd(xr=2 ; 1; n) оказ╗вае▓▒┐ не▓░ивиал╝н╗м дели▓елем ╖и▒ла n ▓ол╝ко е▒ли r ┐вл┐е▓▒┐ не╖е▓н╗м, либо е▒ли xr=2 ;1 mod n.
И▒пол╝з│┐ ╜▓о▓ к░и▓е░ий, можно показа▓╝, ╖▓о ╜▓а п░о╢ед│░а, п░имен┐╛╣а┐ п░оизвол╝н╗е ╖и▒ла x mod n, п░иводи▓ к на╡ождени┐ ┤ак▓о░а n
▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ не менее 1 ; 1=2k;1 , где k | ╖и▒ло ░азли╖н╗╡ не╖е▓н╗╡ ┤ак▓о░ов ╖и▒ла n. Ко░о▓ко п░о▒мо▓░им доказа▓ел╝▒▓во ╜▓ого ┤ак▓а.
k
Q
П░едположим, ╖▓о n = pai i . П│▒▓╝ ri | по░┐док ╖и▒ла x mod pai i . Тогi=1
да r е▒▓╝ об╣ее наимен╝╕ее к░а▓ное в▒е╡ ri . Ра▒▒мо▓░им наив╗▒╕│╛
▒▓епен╝ 2, на ко▓о░│╛ дел┐▓▒┐ в▒е ri . Алго░и▓м ░або▓ае▓ ▓ол╝ко ▓огда,
когда ╜▓и ▒▓епени 2 ▒огла▒ован╗: е▒ли в▒е они ░авн╗ 1, ▓огда r | не╖е▓ное и r=2 не ▒│╣е▒▓в│е▓; е▒ли они в▒е ░авн╗ д░│г д░│г│ и бол╝╕е 1,
▓огда xr=2 ;1 mod n ▓ак как xr=2 ;1 mod pi i дл┐ л╛бого i. В ▒ил│ Ки▓ай▒кой ▓ео░ем╗ об о▒▓а▓ке [Knuth 1981, Hardy and Wright 1979,
Тео░ема 121], п░оизвол╝н╗й в╗бо░ x mod n е▒▓╝ ▓оже ▒амое, ╖▓о п░оизвол╝н╗й в╗бо░ дл┐ каждого i ╖и▒ла xi mod pai i , где pai i | i ; x п░о▒▓╗╡
▒▓епенн╗╡ ┤ак▓о░ов n. Г░│ппа │множени┐ по mod p дл┐ л╛бой не╖е▓ной ▒▓епени p ┐вл┐е▓▒┐ ╢икли╖е▒кой [Knuth 1981], ▓аким об░азом дл┐
л╛бой не╖е▓ной п░о▒▓ой ▒▓епени pai i , имее▓▒┐ не более 1=2 ве░о┐▓но▒▓и
▓ого, ╖▓о в╗бо░ xi , име╛╣ий л╛б│╛ ╖а▒▓н│╛ ▒▓епен╝ двойки как наибол╝╕ий дели▓ел╝ ╜▓ого по░┐дка ri . По╜▓ом│, кажда┐ ▓ака┐ ▒▓епен╝ 2 обладае▓
более, ╖ем 50% ве░о┐▓но▒▓╝╛ ▒огла▒и┐ ▒ п░ед╗д│╣ей, ▓аким об░азом в▒е
k из ни╡ ▒огла▒│╛▓▒┐ ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ более 1=2k;1 , и имее▓ ме▒▓о не
менее 1 ; 1=2k;1 ве░о┐▓но▒▓и ▓ого, ╖▓о x м╗ в╗б░али п░авил╝но. По╜▓ом│ ▓ака┐ ▒╡ема б│де▓ ░або▓а▓╝, пока n | не╖е▓ное ╖и▒ло и не ┐вл┐е▓▒┐
п░о▒▓ой ▒▓епен╝╛. На╡ождение ┤ак▓о░ов дл┐ п░о▒▓╗╡ ▒▓епеней | зада╖а
╜┤┤ек▓ивно ░е╕аема┐ кла▒▒и╖е▒кими ме▓одами.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
23
Пи▓е░ В. Шо░
Тепе░╝, м╗ опи╕ем алго░и▓м на╡ождени┐ по░┐дка x mod n на кван▓овом комп╝╛▓е░е. Э▓о▓ алго░и▓м и▒пол╝з│е▓ два кван▓ов╗╡ ░еги▒▓░а,
в ко▓о░╗╡ ▒оде░жа▓╝▒┐ ╢ел╗е ╖и▒ла в бина░ном п░ед▒▓авлении. Также
нам е╣е понадоби▓▒┐ неко▓о░ое коли╖е▒▓во ░або╖его п░о▒▓░ан▒▓ва. Э▓о
░або╖ее п░о▒▓░ан▒▓во необ╡одимо обн│л┐▓╝ по▒ле каждой подп░ог░амм╗
на╕его алго░и▓ма, по╜▓ом│ м╗ не б│дем вкл╛╖а▓╝ его п░и опи▒ании ▒о▒▓о┐ни┐ на╕ей ма╕ин╗.
П│▒▓╝ дан╗ x и n, надо най▓и по░┐док ╖и▒ла x, ▓о е▒▓╝, наимен╝╕ее r,
▓акое, ╖▓о xr 1 mod n. М╗ по▒▓│пим ▒лед│╛╣им об░азом. Во-пе░в╗╡,
м╗ найдем ▓акое q, ▒▓епен╝ 2, ╖▓об╗ n2 6 q < 2n2 . М╗ не б│дем вкл╛╖а▓╝
╖и▒ла n, x или q в опи▒ание ▒о▒▓о┐ни┐ на╕ей ма╕ин╗, ▓ак как и╡ зна╖ени┐
никогда не мен┐╛▓▒┐. Нам не н│жно даже де░жа▓╝ и╡ зна╖ени┐ в пам┐▓и,
м╗ можем цза╕и▓╝ч и╡ зна╖ени┐ в ▒▓░│к▓│░│ ма▒▒ива кван▓ов╗╡ гей▓ов.
Тепе░╝, пе░еведем пе░в╗й ░еги▒▓░ в ░авноме░н│╛ ▒│пе░пози╢и╛ ▒о▒▓о┐ний, п░ед▒▓авл┐╛╣и╡ ╖и▒ла a mod q. Ма╕ина пе░ейде▓ в ▒о▒▓о┐ние
q ;1
X
1
q=
1 2
a=0
jai j0i :
(5.1)
Э▓о▓ ╕аг о▓но▒и▓ел╝но п░о▒▓, ▓ак как его можно до▒▓игн│▓╝ пе░евед┐
кажд╗й би▓ пе░вого ░еги▒▓░а в ▒│пе░пози╢и╛ p1 (j0i + j1i).
2
На ▒лед│╛╣им ╕аге, м╗ в╗╖и▒лим xa mod n во в▓о░ом ░еги▒▓░е, как
╜▓о п░едлагало▒╝ ▒дела▓╝ в x 3. Так как a на╡оди▓▒┐ в пе░вом ░еги▒▓░е, ╜▓о
можно ▒дела▓╝ об░а▓им╗м об░азом. По▒ле ╜▓ого на╕а ма╕ина пе░ейде▓ в
▒о▒▓о┐ние
1
q=
q ;1
X
1 2
a=0
jai jxa mod ni :
(5.2)
Тепе░╝, п░именим п░еоб░азование Ф│░╝е Aq к пе░вом│ ░еги▒▓░│, как
╜▓о б╗ло опи▒ано в x 4, о▓об░ажа┐ ▒о▒▓о┐ние jai в
1
q=
1 2
q ;1
X
c=0
exp(2iac=q) jci :
(5.3)
Зде▒╝ и▒пол╝з│е▓▒┐ │ни▓а░на┐ ма▓░и╢а ▒ вн│▓░енними ╜лемен▓ами (a; c)
░авн╗ми 11=2 exp(2iac=q). Тепе░╝, ▒о▒▓о┐ние на╕ей ма╕ин╗ ▓акое
q
q;1 q;1
1 X X exp(2iac=q) jci jxa mod ni :
q
24
a=0 c=0
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(5.4)
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
И наконе╢, м╗ п░оизводим изме░ение ▒о▒▓о┐ни┐ ма╕ин╗. Б╗ло б╗
до▒▓а▓о╖но изме░и▓╝ зна╖ение ▓ол╝ко jci в пе░вом ░еги▒▓░е, но дл┐ полной ┐▒но▒▓и, м╗ п░оизведем изме░ение и jci, и jxa mod ni. Тепе░╝ м╗
в╗╖и▒ли ве░о┐▓но▒▓╝
▓ого,
╖▓о на╕а ма╕ина на╡оди▓▒┐ в оп░еделенном
▒о▒▓о┐нии c; xk mod n , где п░едположим, ╖▓о 0 6 k < r. С│мми░│┐
ве░о
k
┐▓но▒▓и в▒евозможн╗╡ и▒╡одов, п░ивод┐╣и╡ к ▒о▒▓о┐ни╛ c; x mod n ,
м╗ найдем, ╖▓о ╜▓а ве░о┐▓но▒▓╝ ░авна
1
q
X
a: xa xk
2
)
exp(2iac=q ;
(5.5)
где ▒│мма веде▓▒┐ по в▒ем a, 0 6 a < q, ▓аким, ╖▓о xa xk mod n.
Так как r | по░┐док ╖и▒ла x, ▒│мми░ование п░оизводи▓▒┐ по в▒ем a,
│довле▓во░┐╛╣им a k mod r. Запи╕ем ▓епе░╝ a = br + k, и найдем ╖▓о
п░иведенна┐ в╗╕е ве░о┐▓но▒▓╝ имее▓ вид
b(q;k;1)=rc
X
1
exp(2
b=0
2
)
i(br + k)c=q :
q
(5.6)
М╗ оп│▒▓или ╖лен╗ ▓ипа exp(2ikc=q),▓ак как они мог│▓ б╗▓╝ о▓┤ак▓о░изован╗ из ▒│мм╗ и по вели╖ине они ░авн╗ 1. Также м╗ можем замени▓╝
rc на frcgq , где frcgq | о▒▓а▓ок, ▒░авним╗й ▒ rc mod q и измен┐╛╣ий▒┐ в ░амка╡ ;q=2 < frcgq 6 q=2. Таким об░азом, пол│╖им ▒лед│╛╣ее
в╗░ажение
b(q;k;1)=rc
X
1
exp(2
b=0
q
2
)
ibfrcgq =q :
(5.7)
Тепе░╝ м╗ покажем, ╖▓о е▒ли frcgq до▒▓а▓о╖но мал, в▒е ампли▓│д╗ в
╜▓ой ▒│мме б│д│▓ │каз╗ва▓╝ п░име░но в одно нап░авление (▓о е▒▓╝ име▓╝
п░иблизи▓ел╝но одн│ и ▓│же ┤аз│), дела┐, ▓аким об░азом, ▒│мм│ бол╝╕ой.
П░ев░а╣а┐ ▒│мм│ в ин▓ег░ал, пол│╖им
1
bq;Zk;1=rc
exp(2ibfrcgq =q) db +
q
0
!
b(q ; k ; 1)=rc (exp(2ifrcg =q) ; 1) : (5.8)
+O
q
q
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
25
Пи▓е░ В. Шо░
Е▒ли jfrcgq j 6 r=2, ▓о о╕ибка в п░иведенном в╗╕е в╗░ажении, как ╜▓о
легко виде▓╝, б│де▓ ог░ани╖ена O(1=q). Тепе░╝ м╗ покажем, ╖▓о е▒ли
jfrcgq j 6 r=2, п░иведенн╗й в╗╕е ин▓ег░ал
б│де▓
велик, и, ▓аким об░азом
ве░о┐▓но▒▓╝ пол│╖ени┐ ▒о▒▓о┐ни┐ c; xk mod n б│де▓ ▓акже велика. Заме▓им, ╖▓о ╜▓о │▒ловие зави▒и▓ ▓ол╝ко о▓ c и не зави▒и▓ о▓ k. Под▒▓авив
u = rb=q в ╜▓о▓ ин▓ег░ал, пол│╖им
1
r bq;k;1=rc
q Z
!
frcg
exp 2i r q u du:
r
(5.9)
0
Так как k < r, апп░ок▒ими░│┐ ве░╡ний п░едел в ин▓ег░але 1, в п░иведенном в╗╕е в╗░ажении м╗ ли╕╝ доп│▒▓им о╕ибк│ по░┐дка O(1=q). Сделав
╜▓о, пол│╖им ин▓ег░ал
!
Z1
frcgq
r exp 2i r u du:
1
(5.10)
0
П│▒▓╝ ▓епе░╝ frcgq =r измен┐е▓▒┐ межд│ ; 12 и 21 , аб▒ол╛▓на┐ вели╖ина ин▓ег░ала (5.10), как ╜▓о не ▓░│дно виде▓╝, минимизи░│е▓▒┐, когда
frcgq =r = 12 , в ╜▓ом ▒л│╖ае аб▒ол╛▓на┐ вели╖ина в╗░ажени┐ (5.10) ░авна 2=(r). Квад░а▓ ╜▓ой вели╖ин╗ | нижн┐┐
ве░о┐▓но▒▓и
г░ани╢а дл┐
▓ого, ╖▓о м╗ обна░│жим данное ▒о▒▓о┐ние c; xk mod n ▒ frcgq 6 r=2.
Следова▓ел╝но, ╜▓а ве░о┐▓но▒▓╝ ┐вл┐е▓▒┐ а▒имп▓о▓и╖е▒кой нижней г░ани╢ей ░авной 4=(2 r2 ), и по к░айней ме░е ░авна┐ 1=3r2 дл┐ до▒▓а▓о╖но
бол╝╕и╡ n.
Ве░о┐▓но▒▓╝ обна░│жи▓╝ данное ▒о▒▓о┐ние c; xk mod n б│ди▓, ▓аким об░азом, по к░айней ме░е 1=3r2 , е▒ли
▓о е▒▓╝, дл┐ ▓акого d, как
; r 6 frcgq 6 r ;
(5.11)
; r 6 rc ; dq 6 r :
(5.12)
2
2
2
2
Дел┐ в▒е на rq, пе░епи▒╗ваем в╗░ажение, как
26
c ; d 6 1 :
q r 2q
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(5.13)
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
0.12
0.10
0.08
P 0.06
0.04
0.02
0.00
0
32
64
96
128
c
160
192
224
256
Ве░о┐▓но▒▓╝ P обна░│жи▓╝ вели╖ин│ c межд│ 0 и 255, п░и q = 256 и
r = 10.
М╗ знаем c и q. Так как q > n2 , ▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ не более одного о▓но╕ени┐ d=r п░и r < n, │довле▓во░┐╛╣ее в╗╕еп░иведенном│ не░авен▒▓в│.
Таким об░азом, м╗ можем пол│╖и▓╝ о▓но╕ение d=r в наиниз╕и╡ ╖лена╡
п│▓ем ок░│глени┐ c=q до ▒амого близкого о▓но╕ени┐, име╛╣его знамена▓ел╝ мен╝╕ий, ╖ем n. Такое о▓но╕ение може▓ б╗▓╝ найдено за полиномиал╝ное в░ем┐, и▒пол╝з│┐ неп░е░╗вного ░азложени┐ д░обей дл┐ c=q,
ко▓о░ое дае▓ наил│╖╕│╛ апп░ок▒има╢и╛ c=q ▒ помо╣╝╛ д░обей [Hardy
and Wright 1979, Chapter X, Knuth 1981].
То╖на┐ ве░о┐▓но▒▓╝, кака┐ дае▓▒┐ │░авнением (5.7), дл┐ ▒л│╖а┐
r = 10 и q = 256, п░ед▒▓авлен виде г░а┤ика на ░и▒. 5. Зна╖ение r = 10 може▓ возникн│▓╝ п░и ┤ак▓о░иза╢ии ╖и▒ла 33, е▒ли, нап░име░, x ░авно 5.
Зде▒╝ q вз┐▓о мен╝╕ее, ╖ем 332 , ╖▓об╗ ▒дела▓╝ зна╖ени┐ c на г░а┤ике
░азли╖н╗ми. Э▓о не измен┐е▓ ┤│нк╢ионал╝н│╛ ▒▓░│к▓│░│ P(c). Заме▓им, ╖▓о в╗▒ока┐ ве░о┐▓но▒▓╝ обна░│жи▓╝ ╖и▒ло c набл╛дае▓▒┐ вблизи
зна╖ений q=r = 256=10, │множенна┐ на ╢елое ╖и▒ло.
Е▒ли о▓но╕ение d=r п░инадлежи▓ к наиниз╕им ▓е░мам, и е▒ли d и r
взаимно п░о▒▓╗, ▓о ▓аким
об░азом
можно пол│╖и▓╝ r . Под▒╖и▓аем ▓епе░╝ ╖и▒ло ▒о▒▓о┐ний c; xk mod n , ко▓о░╗е дад│▓ нам возможно▒▓╝ в╗╖и▒ли▓╝ r ▓аким ▒по▒обом. Имее▓▒┐ (r) возможн╗╡ зна╖ений d, взаимно
п░о▒▓╗╡ ▒ r, где (r) | {┤│нк╢и┐ Эйле░а (▓о▓иен▓) [Knuth 1981, Hardy
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
27
Пи▓е░ В. Шо░
and Wright 1979, x5.5]. Каждое ▓акое о▓но╕ение d=r близко к одном│ оп░еделенном│ о▓но╕ени╛ c=q, п░и╖ем jc=q ; d=rj 6 1=2q. Так же имее▓▒┐ r
возможн╗╡ зна╖ений вели╖ин╗
xk, ▓ак как r | по░┐док ╖и▒ла x. По╜▓ом│,
k
е▒▓╝ r(r) ▒о▒▓о┐ний c; x mod n , ко▓о░╗е могли б╗ помо╖╝ нам в╗╖и▒ли▓╝ r. Так как каждое ▓акое ▒о▒▓о┐ние обна░│живае▓▒┐ по к░айней ме░е
▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ 1=3r2 , м╗ пол│╖им r ▒ ве░о┐▓но▒▓╝ не мен╝╕ей (r)=3r.
И▒пол╝з│┐ ▓ео░ем│, ╖▓о (r)=r > = log log r дл┐ неко▓о░ой кон▒▓ан▓╗ [Hardy and Wright 1979, Тео░ема 328], можно показа▓╝, ╖▓о м╗ найдем r
▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ не мен╝╕ей = log log r п░и одном изме░ении, и пов▓о░┐┐
╜▓о▓ ╜к▒пе░имен▓ в▒его ли╕╝ O(log log r) ░аз, м╗ пол│╖им о╖ен╝ бол╝╕│╛
ве░о┐▓но▒▓╝ │▒пе╡а.
В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, п░едполага┐, ╖▓о кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ более
до░оги, ╖ем кла▒▒и╖е▒кие, каже▓▒┐ ▒▓о┐╣им пе░едела▓╝ в╗╕еп░иведенн╗й алго░и▓м ▓ак, ╖▓об╗ в нем и▒пол╝зовало▒╝ мен╝╕е кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений, и бол╝╕е кла▒▒и╖е▒ки╡ по▒▓п░о╢ед│░. Во-пе░в╗╡, е▒ли м╗ обна░│жили ▒о▒▓о┐ние jci, б╗ло б╗ п░авил╝н╗м поп░обова▓╝ п░ове░и▓╝ ▓акже
╖и▒ла, близкие к c, ▓акие как c1, c2, : : : , ▓ак как дл┐ ни╡ ▓акже имее▓▒┐
ве▒╝ма ве▒ом╗й ╕ан▒ оказа▓╝▒┐ близким к о▓но╕ени╛ qd=r. Во-в▓о░╗╡,
е▒ли c=q d=r, а d и r име╛▓ об╣ий ┤ак▓о░, ве░о┐▓но, он б│де▓ мален╝ким
╖и▒лом. По╜▓ом│, е▒ли обна░│женна┐ вели╖ина c=q може▓ б╗▓╝ ок░│глено
до d0 =r0 в наиниз╕и╡ ▓е░ма╡, в ка╖е▒▓ве кандида▓а на r б╗ло б╗ не пло╡о
░а▒▒мо▓░е▓╝ не ▓ол╝ко r0 но ▓акже и │множенн╗е на небол╝╕ие ╢ел╗е
╖и▒ла, ▓ипа 2r0 , 3r0 , : : : , по▒мо▓░е▓╝, не ┐вл┐╛▓▒┐ ли они дей▒▓ви▓ел╝но
по░┐дком ╖и▒ла x. Хо▓┐ пе░в╗й п░ием може▓ ▓ол╝ко │мен╝╕и▓╝ ╖и▒ло
поп╗▓ок, ▓░еб│ем╗╡ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ най▓и r на кон▒▓ан▓н╗й ┤ак▓о░,
в▓о░ой п░ием в ▒о▒▓о┐нии │мен╝╕и▓╝ ╖и▒ло ▓аки╡ поп╗▓ок дл┐ ▒ложн╗╡
n ▒ O(log log n) до O(1), е▒ли б│д│▓ ░а▒▒мо▓░ен╗ пе░в╗е (log n)1+ │множений r0 на ╢ел╗е ╖и▒ла [Odylzko 1995]. Т░е▓ий ▒по▒об закл╛╖ае▓▒┐ в
▒лед│╛╣им, п│▒▓╝ найден╗ два кандида▓а на ░ол╝ r, ▒кажем r1 и r2 , ░а▒▒мо▓░им ▓огда в ка╖е▒▓ве кандида▓а наимен╝╕ее об╣ее к░а▓ное r1 и r2 .
Э▓о▓ ▓░е▓ий ▒по▒об ▓акже ▒по▒обен ▒ок░а▓и▓╝ ╖и▒ло ▓░еб│ем╗╡ поп╗▓ок
на кон▒▓ан▓н╗й ┤ак▓о░ [Knill 1995], и возможно он ▒░або▓ае▓ в ▒и▓│а╢и┐╡, когда п░ед╗д│╣ие два ▒по▒оба окаж│▓▒┐ не ▒о▒▓о┐▓ел╝н╗ми.
Заме▓им, ╖▓о в ╜▓ом алго░и▓ме на╡ождени┐ по░┐дка ╖и▒ла, м╗ не и▒пол╝зовали многие о▒обенно▒▓и │множени┐ mod n. Дей▒▓ви▓ел╝но, е▒ли
имее▓▒┐ пе░е▒▓ановка f , о▓об░ажа╛╣а┐ множе▒▓во f0; 1; 2; : : : ; n ; 1g в
▒еб┐, ▓ака┐, ╖▓о ее k{┐ и▓е░а╢и┐, f (k) (a), в╗╖и▒лима за в░ем┐, полиномиал╝ное по log n и log k, ▓о▓ же алго░и▓м б│де▓ ▒по▒обен най▓и по░┐док
28
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
╜лемен▓а a по о▓но▒и▓ел╝но f , д░│гими ▒ловами, минимал╝ное r, ▓акое,
╖▓о f (r) (a) = a.
6. На╡ождение ди▒к░е▓н╗╡ лога░и┤мов
Дл┐ л╛бого п░о▒▓ого ╖и▒ла p, г░│ппа │множений по modp ┐вл┐е▓▒┐ ╢икли╖ной, ▓о е▒▓╝, ▒│╣е▒▓в│╛▓ гене░а▓о░╗ g, ▓акие, как 1, g, g2 ,
: : : , gp;2 о╡ва▓╗ва╛╣ие в▒е не н│лев╗е ╡а░ак▓е░╗ по modp [Hardy and
Wright 1979, Тео░ема 111, Knuth 1981]. П░едположим, м╗ задали ▓акое
п░о▒▓ое p и ▓акой гене░а▓о░ g. Ди▒к░е▓н╗м лога░и┤мом ╖и▒ла x по о▓но╕ени╛ к p и g наз╗вае▓▒┐ ╢елое ╖и▒ло r, где 0 6 r < p ; 1, ▓акое,
╖▓о gr x mod p. Сам╗й б╗▒▓░╗й изве▒▓н╗й алго░и▓м на╡ождени┐ ди▒к░е▓ного лога░и┤ма по мод│л╛ п░оизвол╝ного п░о▒▓ого ╖и▒ла p | алго░и▓м Го░дона [1993] п░и▒по▒облени┐ ╖и▒лового ▒и▓а, ко▓о░╗й ▓░еб│е▓
exp(O(log p)1=3 (log log p)2=3 )) ╕агов. М╗ покажем, как на╡оди▓╝ ди▒к░е▓н╗е лога░и┤м╗ на кван▓овом комп╝╛▓е░е ▒ дв│м┐ возведени┐ми в ▒▓епен╝ по мод│л╛ и дв│м┐ кван▓ов╗ми п░еоб░азовани┐ми Ф│░╝е.
Э▓о▓ алго░и▓м б│де▓ и▒пол╝зова▓╝ ▓░и кван▓ов╗╡ ░еги▒▓░а. Сна╖ала
м╗ найдем q | ▒▓епен╝ 2, ▓ак│╛, ╖▓об╗ q б╗ла близка к p, ▓о е▒▓╝,
╖▓об╗ p < q < 2p. По▓ом, м╗ поме▒▓им в пе░в╗е два ░еги▒▓░а на╕его
кван▓ового комп╝╛▓е░а ░авноме░н│╛ ▒│пе░пози╢и╛ в▒е╡ jai и jbi mod
(p ; 1), и в╗╖и▒лим ga x;b mod p в ▓░е▓╝ем ░еги▒▓░е. В ░ез│л╝▓а▓е, на╕а
ма╕ина пе░ейде▓ в ▒о▒▓о┐ние
1
p;2 X
p;2 X
p;1 a
=0
b=0
E
a; b; ga x;b mod p :
(6.1)
Как и ░ан╝╕е, м╗ п░именим п░еоб░азование Ф│░╝е Aq , пе░евод┐ jai ! jci
и jbi ! jdi ▒ ампли▓│дами ве░о┐▓но▒▓и 1q exp(2i(ac + bd)=q). Таким об░азом, м╗ пе░евели ▒о▒▓о┐ние ja; bi в ▒о▒▓о┐ние
q;1 q;1
1 X X exp ; 2i (ac + bd) jc; di ;
q
c=0 d=0
q
(6.2)
а на╕ кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ п░и ╜▓ом окаже▓▒┐ в ▒о▒▓о┐нии
1
p;2
X
(p ; 1)q a;b=0
q ;1
X
c;d=0
E
;
exp 2qi (ac + bd) c; d; ga x;b mod p :
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(6.3)
29
Пи▓е░ В. Шо░
И наконе╢, п░оизведем изме░ение ▒о▒▓о┐ни┐ на╕его кван▓ового комп╝╛▓е░а.
Ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о м╗ обна░│жим ▒о▒▓о┐ние jc; d; yi ▒
y gk mod p е▒▓╝
X
1
(p ; 1)q
2
) a;b
a;rbk
exp 2qi (ac + bd
(6.4)
где ▒│мма бе░е▓▒┐ по в▒ем (a; b), ▓аким, ╖▓о a;rb k mod p ; 1. Заме▓им,
╖▓о м╗ ▓епе░╝ имеем дело ▒ дв│м┐ мод│л┐ми, p ; 1 и q. До ▓е╡ по░ пока
╜▓о не п░иведе▓ к неко▓о░ом│ заме╕а▓ел╝▒▓в│, ╜▓о не б│де▓ в╗з╗ва▓╝
▒е░╝езн╗╡ п░облем. Тепе░╝ и▒пол╝з│ем ▒оо▓но╕ение
a = br + k ; (p ; 1) brp ;+1k
(6.5)
и под▒▓авим
(6.5) в в╗░ажение (6.4) дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ пол│╖и▓╝ ампли▓│д│
k
п░и c; d; g mod p , а именно
p;2
X
exp 2qi brc + kc + bd ; c(p ; 1) brp ;+1k
(p ; 1)q b=0
1
:
(6.6)
Аб▒ол╛▓на┐ вели╖ина
ампли▓│д╗ е▒▓╝ ве░о┐▓но▒▓╝ обна квад░а▓а ╜▓ой
░│жи▓╝ ▒о▒▓о┐ние c; d; gk mod p . Тепе░╝ м╗ п░оанализи░│ем в╗░ажение (6.6). Во-пе░в╗╡, ┤ак▓о░ exp(2ikc=q) може▓ б╗▓╝ в╗не▒ен из в▒е╡
▒лагаем╗╡ и им можно п░енеб░е╖╝, ▓ак как он не измен┐е▓ ве░о┐▓но▒▓и. Во-в▓о░╗╡, м╗ ░а▒╣епим ╜к▒понен▓│ на две ╖а▒▓и и о▓┤ак▓о░из│ем b,
╖▓об╗ пол│╖и▓╝
p ;2
X
1
где
и
(p ; 1)q b=0
T = rc + d ; p ;r 1 fc(p ; 1)gq ;
br + k
V = p br
;1 ; p;1
30
exp 2qi bT exp 2qi V ;
fc(p ; 1)gq :
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
(6.7)
(6.8)
(6.9)
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
Зде▒╝ под fz gq м╗ понимаем ╡а░ак▓е░ z mod q, п░и ;q=2 < fz gq 6 q=2,
как в в╗░ажение (5.7).
На ▒лед│╛╣им ╕аге м╗ ░а▒кла▒▒и┤и╢и░│ем возможн╗е и▒╡од╗ (набл╛даем╗е ▒о▒▓о┐ни┐ на╕его кван▓ового комп╝╛▓е░а) на ц╡о░о╕иеч и
цпло╡иеч. М╗ покажем, ╖▓о е▒ли м╗ пол│╖или ц╡о░о╕ееч коне╖ное ▒о▒▓о┐ние, ▓о, ве░о┐▓но, м╗ пол│╖им r, и, более ▓ого, ╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝ пол│╖и▓╝
▓акое ц╡о░о╕ееч коне╖ное ▒о▒▓о┐ние по▒▓о┐нно. Иде┐ закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом,
╖▓о е▒ли
fT gq = rc + d ; r fc(p ; 1)gq ; jq 0 6 1 ;
(6.10)
p;1
2
где j | ▒амое близкое ╢елое ╖и▒ло к T=q, ▓о, ▓ак как зна╖ение b закл╛╖ено
межд│ 0 и p ; 2, ┤аза пе░вой ╜к▒понен▓╗ в │░авнении (6.7) измен┐е▓▒┐ в
п░едела╡ ▓ол╝ко половин╗ к░│га. Далее, е▒ли
jfc(p ; 1)gq j 6 q=12;
(6.11)
▓о jV j в▒егда не бол╝╕е q=12, ▓аким об░азом ┤аза в▓о░ой ╜к▒понен▓╗
в │░авнении (6.7) измен┐е▓▒┐ межд│ exp(i=6) и 1. Е▒ли │▒лови┐ (6.10)
и (6.11) оба в╗полнен╗, м╗ можем ▒каза▓╝, ╖▓о коне╖ное ▒о▒▓о┐ние ц╡о░о╕ееч. М╗ покажем, ╖▓о е▒ли ╜▓и │▒лови┐ в╗полнен╗, ▓о вклад в ве░о┐▓но▒▓╝ о▓ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ╖ленов ▒│╣е▒▓венен. Более ▓ого, оба │▒лови┐
б│д│▓ в╗полнен╗ ▒ по▒▓о┐нной ве░о┐▓но▒▓╝╛, а ░аз│мное п░едположение
о зна╖ение c в ╜▓и╡ │▒лови┐╡ (6.10) позвол┐▓ нам пол│╖и▓╝ r.
Сей╖а▒ м╗ оп░еделим нижн╛╛ г░ани╢│ ве░о┐▓но▒▓и ▓акого положи▓ел╝ного и▒╡ода, ▓о е▒▓╝, и▒╡ода, │довле▓во░┐╛╣его │▒лови┐м (6.10)
и (6.11). М╗ знаем, ╖▓о b измен┐е▓▒┐ о▓ 0 до p ; 2, ┤аза exp(2ibT=q)
измен┐е▓▒┐ о▓ 0 до 2iW , где
p
;
2
r
(6.12)
W = q rc + d ; p ; 1 fc(p ; 1)gq ; jq
и j ▓оже, ╖▓о и в │░авнении (6.10). По╜▓ом│, ▒о▒▓авна┐ ╖а▒▓╝ ампли▓│д╗
пе░вой ╜к▒понен▓╗ в ▒лагаемом (6.7) в нап░авлении
exp (iW )
(6.13)
е▒▓╝ по к░айней ме░е cos(2 jW=2 ; Wb=(p ; 2)j). Из │▒ловий (6.11), ┤аза може▓ измен┐▓▒┐ до i=6, благода░┐ в▓о░ой ╜к▒понен▓е exp(2iV=q).
И▒пол╝з│┐ ╜▓о изменение дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ минимизи░ова▓╝ вклад в нап░авлении (6.13), м╗ пол│╖им ╖▓о ╜▓о▓ вклад в данном нап░авлении не
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
31
Пи▓е░ В. Шо░
мен╝╕е
cos(2 jW=2 ; Wb=(p ; 2)j + 6 ):
(6.14)
Таким об░азом, м╗ пол│╖аем, ╖▓о аб▒ол╛▓на┐ вели╖ина ампли▓│д╗ (6.7)
б│де▓ как миним│м
p;2
X
1
(p ; 1)q b=0
cos 2 jW=2 ; Wb=(p ; 2)j + 6 :
(6.15)
Замен┐┐ зде▒╝ ▒│мм│ на ин▓ег░ал, пол│╖им, ╖▓о аб▒ол╛▓на┐ вели╖ина
ампли▓│д╗ не мен╝╕е
2
Z1=2
q
0
cos( 6 + 2jW ju) du + O W
pq :
(6.16)
Из │▒ловий (6.10), jW j 6 21 , ▓аким об░азом о╕ибка ▒о▒▓ави▓ O( pq1 ). Так
как W измен┐е▓▒┐ о▓ ; 21 до 21 , ин▓ег░ал (6.16) минимизи░│е▓▒┐, когда jW j = 12 . Тогда, ве░о┐▓но▒▓╝ обна░│жи▓╝ ▒о▒▓о┐ние jc; d; yi, ко▓о░ое
│довле▓во░┐е▓ обоим │▒лови┐м (6.10) и (6.11) как миним│м
12
q
Z=3
2
2
cos u du ;
(6.17)
=6
или не мен╝╕е 0:054=q2 > 1=(20q2 ).
Со▒╖и▓аем ▓епе░╝ па░╗ ╖и▒ел (c; d), │довле▓во░┐╛╣ие │▒лови┐м (6.10)
и (6.11). Чи▒ло па░ (c; d), │довле▓во░┐╛╣и╡ (6.10) в ▓о╖но▒▓и ░авно ╖и▒л│
возможн╗╡ зна╖ений c, ▓ак как дл┐ каждого c ▒│╣е▒▓в│е▓ одно ▓акое,
╖▓о (6.10) оказ╗вае▓▒┐ │довле▓во░и▓ел╝но. Е▒ли gcd(p ; 1; q) не велик,
╖и▒ло ▓аки╡ c, дл┐ ко▓о░╗╡ в╗полн┐е▓▒┐ │▒ловие (6.11) п░иблизи▓ел╝но
░авно q=6, и даже е▒ли он велик, ▓аки╡ ╖и▒ел по к░айней ме░е q=12. Следова▓ел╝но, ▒│╣е▒▓в│е▓ по к░айней ме░е q=12 па░ (c; d), │довле▓во░┐╛╣ие
обоим │▒лови┐м. Умножа┐ в▒е но p ; 1, ╖и▒ло возможн╗╡ зна╖ений y,
пол│╖им п░иближенное коли╖е▒▓во ╡о░о╕и╡ ▒о▒▓о┐ний jc; d; yi | pq=12.
Комбини░│┐ данное в╗╖и▒ление ▒ нижней г░ани╢ей обна░│жени┐ ▓акого
╡о░о╕его ▒о▒▓о┐ни┐ | 1=(20q2 ) пол│╖им, ╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝ положи▓ел╝ного и▒╡ода не менее p=(240q), или по к░айней ме░е 1=480 (▓ак как q < 2p).
32
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
Заме▓им, ╖▓о каждое ╡о░о╕ее зна╖ение c имее▓ ве░о┐▓но▒▓╝ б╗▓╝ обна░│женной не менее (p ; 1)=(20q2 ) > 1=(40q), ▓ак как зде▒╝ p ; 1 зна╖ений
y и какое ▓о одно зна╖ение d, дл┐ каждого c може▓ об░азова▓╝ ╡о░о╕ее
▒о▒▓о┐ние jc; d; yi.
Тепе░╝ м╗ ╡о▓им извле╖╝ r из па░╗ c; d, ▓акой, ╖▓о
!
c(p ; 1)gq 6 1 mod 1;
; 21q 6 dq + r c(p ; 1)(p;;f1)
2q
q
(6.18)
где ╜▓о │░авнение може▓ б╗▓╝ пол│╖ено из │▒ловий (6.10) по▒░ед▒▓вом
делени┐ на q. Пе░вое, ╖▓о м╗ о▓ме▓им, ╖▓о множи▓ел╝ п░и r ▒ок░а▓и▓▒┐
▒о знамена▓елем p ; 1, ▓ак как q без о▒▓а▓ка дели▓ c(p ; 1) ;fc(p ; 1)gq . По╜▓ом│, нам надо ▓ол╝ко ок░│гли▓╝ d=q до ближай╕его к░а▓ного 1=(p ; 1)
╖и▒ла и ░аздели▓╝ по mod (p ; 1) на ╢елое ╖и▒ло
c(p ; 1) ; fc(p ; 1)gq
(6.19)
q
и най▓и кандида▓а на ░ол╝ r. Ч▓об╗ показа▓╝, ╖▓о дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ най▓и
п░авил╝ное r за полиномиал╝ное ╖и▒ло пов▓о░ений ╜▓ого в╗╖и▒лени┐, нам
c0 =
по▓░еб│╛▓▒┐ п░о┐▒ни▓╝ е╣е неко▓о░╗е де▓али. П░облема закл╛╖ае▓▒┐ в
▓ом, ╖▓о не можем дели▓╝ на ╖и▒ло c, ко▓о░ое не ┐вл┐е▓▒┐ о▓но▒и▓ел╝но
п░о▒▓╗м по о▓но╕ени╛ к p ; 1.
Дл┐ алго░и▓ма о▓╗▒кани┐ ди▒к░е▓н╗╡ лога░и┤мов, м╗ не знаем, ╖▓о
в▒е возможн╗е зна╖ени┐ c гене░и░│╛▓▒┐ ▒ ░аз│мной ▓о╖но▒▓╝╛, м╗ ╜▓о
можем ▒каза▓╝ ▓ол╝ко о и╡ двенад╢а▓ой ╖а▒▓и. Э▓а дополни▓ел╝на┐ ▒ложно▒▓╝ делае▓ ▒лед│╛╣ий ╕аг более ▒ложн╗м, ╖ем ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий ╕аг
в алго░и▓ме ┤ак▓о░иза╢ии. Е▒ли б╗ м╗ знали о▒▓а▓ок r по мод│л╛ в▒е╡
п░о▒▓╗╡ ▒▓епеней, деленн╗╡ на p ; 1, м╗ могли б╗ и▒пол╝зова▓╝ дл┐ извле╖ени┐ r за полиномиал╝ное в░ем┐ Ки▓ай▒к│╛ ▓ео░ем│ об о▒▓а▓ке. М╗
можем доказа▓╝ ▓ол╝ко, ╖▓о м╗ в ▒о▒▓о┐нии най▓и ╜▓о▓ о▒▓а▓ок дл┐ п░о▒▓╗╡ ╖и▒ел, бол╝╕и╡, ╖ем 18, но по▒ле небол╝╕ой дополни▓ел╝ной ░або▓╗
м╗ в▒е ▓аки окажем▒┐ в ▒о▒▓о┐нии извле╖╝ r.
В▒помним, ╖▓о кажда┐ ╡о░о╕а┐ па░а (c; d) гене░и░│е▓▒┐ ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ по к░айней ме░е ░авной 1=(20q2 ), и ╖▓о как миним│м двенад╢а▓а┐
╖а▒▓╝ в▒е╡ возможн╗╡ c п░инадлежи▓ к ╡о░о╕ей (c; d) па░е. Из │░авнени┐ (6.19), ▒лед│е▓, ╖▓о ▓акие c, о▓об░ажа╛▓▒┐ из c=q в c0 =(p ; 1) по▒░ед▒▓вом ок░│глени┐ и╡ до ближай╕его ╢елого множи▓ел┐ 1=(p ; 1). Далее,
╡о░о╕ими c ┐вл┐╛▓▒┐ в ▓о╖но▒▓и ▓е, дл┐ ко▓о░╗╡ c=q близко к c0 =(p ; 1).
По╜▓ом│, каждое ╡о░о╕ее c ▒в┐зано ▒ ▓ол╝ко одним c0 . Б╗ло б╗ ╡о░о╕о
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
33
Пи▓е░ В. Шо░
показа▓╝, ╖▓о дл┐ л╛бой п░о▒▓ой ▒▓епени pi i деленной на p ; 1, малове░о┐▓но, ╖▓о п░оизвол╝ное ╡о░о╕ее c0 ▒оде░жи▓ pi. Е▒ли м╗ п░имем в
░а▒▒мо▓░ение в на╕ем алго░и▓ме бол╝╕ие вели╖ин╗, м╗ ▒░аз│ можем
игно░и░ова▓╝ п░о▒▓╗е ▒▓епени ниже 18. Е▒ли м╗ знаем, ╖▓о r по мод│л╛
в▒е╡ п░о▒▓╗╡ ▒▓епеней бол╝╕е 18, м╗ можем поп╗▓а▓╝▒┐ и▒пол╝зова▓╝ в▒е
возможн╗е ╡а░ак▓е░╗ дл┐ п░о▒▓╗╡ ╖и▒ел, мен╝╕и╡ 18 ▓ол╝ко ▒ ░а▒▓│╣им
▒о в░еменем (бол╝╕им) кон▒▓ан▓н╗м ┤ак▓о░ом. Так как, как миним│м
одна двенад╢а▓а┐ ╖а▒▓╝ в▒е╡ c ┐вл┐е▓▒┐ ╡о░о╕ей дл┐ па░╗ (c; d), ▓о по
к░айней ме░е одна двенад╢а▓а┐ ╖а▒▓╝ c0 ▓оже ╡о░о╕а. По╜▓ом│, дл┐ п░о▒▓ой ▒▓епени pi i , п░оизвол╝ное ╡о░о╕ее c0 делимо на pi i ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛
не бол╝╕ей 12=pi i . Е▒ли │ на▒ е▒▓╝ t ╡о░о╕и╡ c0 , ▓о, ▒ледова▓ел╝но, ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓ака┐ п░о▒▓а┐ ▒▓епен╝, бол╝╕а┐ 18, ко▓о░а┐
дели▓ л╛бое из ни╡, не бол╝╕е
X
18 < pi i (p;1)
12
!t
pi i ;
(6.20)
где ajb понимае▓▒┐ как a ░авноме░но ░азделенное на b, ▓аким об░азом,
▒│мма бе░е▓▒┐ по в▒ем п░о▒▓╗м ▒▓епен┐м, бол╝╕им, ╖ем 18, ко▓о░╗е дел┐▓▒┐ на p ; 1. Така┐ ▒│мма (по в▒ем ╢ел╗м ╖и▒лам > 18) дл┐ t = 2 ▒╡оди▓▒┐, и │мен╝╕ае▓▒┐ далее по к░айней ме░е на ┤ак▓о░ 2=3 п░и каждом
дал╝ней╕ем │вели╖ении t на 1; Таким об░азом дл┐ какого-▓о зна╖ени┐
кон▒▓ан▓╗ t она ▒▓ане▓ мен╝╕е 1=2.
Напомним, ╖▓о кажда┐ ╡о░о╕а┐ c0 пол│╖ае▓▒┐ ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ не
мен╝╕ей, ╖ем 1=(40q) п░и каждом ╜к▒пе░имен▓е. Таким об░азом, м╗ б│дем име▓╝ q=12 ╡о░о╕и╡ c0 по▒ле 480t ╜к▒пе░имен▓ов, ▓о м╗, ве░о┐▓но,
пол│╖им п░име░ t ╡о░о╕и╡ c0 , в╗б░анн╗╡ п░иблизи▓ел╝но ░авноме░но из
в▒е╡ c0 . Таким об░азом, е▒ли м╗ б│дем в ▒о▒▓о┐нии най▓и ▓акое множе▒▓во c0 , ╖▓о в▒е п░о▒▓╗е ▒▓епени pi i > 20, ▓о на p ; 1 б│де▓ дели▓▒┐ по
к░айней ме░е одно из ▓аки╡ c0 . Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ пол│╖и▓╝ полиномиал╝н╗й по в░емени алго░и▓м, необ╡одимо поп╗▓а▓╝▒┐ и▒пол╝зова▓╝ в▒е возможн╗е c0 ░азме░а t; в ╖а▒▓но▒▓и, можно б╗ло б╗ и▒пол╝зова▓╝ алго░и▓м
на╡ождени┐ множе▒▓ва c0 ▒ бол╝╕ими об╣ими ┤ак▓о░ами. Такое множе▒▓во дае▓ ╡а░ак▓е░ r дл┐ в▒е╡ п░о▒▓╗╡ ╢ел╗╡ ╖и▒ел, бол╝╕и╡, ╖ем 18. Дл┐
каждого п░о▒▓ого pi, мен╝╕его 18, м╗ имеем не мен╝╕е 18 ва░иан▓ов дл┐
╡а░ак▓е░а по мод│л╛ pi i , где i | показа▓ел╝ ▒▓епени │ п░о▒▓ого ╖и▒ла pi п░и ┤ак▓о░иза╢ии на п░о▒▓╗е ▒омножи▓ели p ; 1. Таким об░азом,
м╗ можем поп░обова▓╝ в ка╖е▒▓ве ╡а░ак▓е░а по мод│л╛ ▒▓епени п░о▒▓ого
╖и▒ла в▒е возможн╗е ва░иан▓╗, мен╝╕ие 18: дл┐ ▓аки╡ возможно▒▓ей м╗
34
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
можем в╗╖и▒ли▓╝ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣│╛ r, и▒пол╝з│┐ Ки▓ай▒к│╛ ▓ео░ем│ об
о▒▓а▓ке и ▓огда п░ове░и▓╝, ┐вл┐е▓▒┐ ли он ди▒к░е▓н╗м лога░и┤мом.
Е▒ли б│де▓ ▒оздана ░еал╝на┐ п░ог░амма по ╜▓ом│ алго░и▓м│, ее
╜┤┤ек▓ивно▒▓╝ може▓ по многим п░и╖инам │вели╖и▓╝▒┐ по ▒░авнени┐
▒ ╜┤┤ек▓ивно▒▓╝╛, показанной в ░або▓е. Нап░име░, о╢енка дл┐ ╖и▒ла
╡о░о╕и╡ c0 ве░о┐▓но ▒ил╝но занижена, ▓ак как более м┐гки╡ │▒ловий,
╖ем (6.10) и (6.11), должно б╗▓╝ до▒▓а▓о╖но. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о ╖и▒ло ▓░еб│ем╗╡ пов▓о░ений должно ▒ок░а▓и▓╝▒┐. Так же каже▓▒┐ неп░авдоподобн╗м, ╖▓о ░а▒п░еделение пло╡и╡ зна╖ений c0 ▒▓анови▓▒┐ д░│гим п░и 18;
е▒ли ╜▓о дей▒▓ви▓ел╝но ▓ак, ▓о нам не надо ▒пе╢иал╝н╗м об░азом ▓░ак▓ова▓╝ мал╗е п░о▒▓╗е ▒▓епени.
Э▓о▓ алго░и▓м не пол╝з│е▓▒┐ многими ▒вой▒▓вами Zp , и ▓аким об░азом м╗ можем и▒пол╝зова▓╝ подобн╗й алго░и▓м и в д░│ги╡ пол┐╡, ▓аки╡
как Zp , ▓ак же как и в поле, име╛╣им ╢икли╖е▒к│╛ м│л╝▓иплика▓ивн│╛ г░│пп│. В▒е, ╖▓о нам надо, ▓ак ╜▓о зна▓╝ по░┐док гене░а▓о░а, и ╖▓о
м╗ можем │множа▓╝ и и▒ка▓╝ об░а▓н╗е ╜лемен▓╗ за полиномиал╝ное
в░ем┐. В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, по░┐док гене░а▓о░а може▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лен ▒
и▒пол╝зованием кван▓ового алго░и▓ма на╡ождени┐ по░┐дка, ко▓о░╗й опи▒ан в x 5 ╜▓ой ▒▓а▓╝и. В ░або▓е Boneh и Lipton [1995] алго░и▓м обоб╣ен,
и дае▓ возможно▒▓╝ най▓и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м, когда г░│ппа абелева,
но не ╢икли╖е▒ка┐.
7. Коммен▓а░ии и о▓к░╗▓╗е п░облем╗
П░ин┐▓о ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о бол╝╕ин▒▓во ▓░│дн╗╡ а▒пек▓ов, возника╛╣и╡
п░и по▒▓░оении ░еал╝н╗╡ кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░ов име╛▓ о▓но╕ение к
п░облемам не▓о╖но▒▓и и декоге░ен▓но▒▓и. Как показано в ░або▓е Bennett
et al. [1994], кван▓ов╗е гей▓╗ должн╗ облада▓╝ ▓о╖но▒▓╝╛ по░┐дка O(1=t)
дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ п░ий▓и к ░аз│мном│ ░ез│л╝▓а▓│ по▒ле t ╕агов кван▓ового
в╗╖и▒лени┐; ▓аким об░азом, ▒│╣е▒▓в│е▓ c, ▓ака┐, ╖▓о е▒ли ампли▓│д╗ в
│ни▓а░ной ма▓░и╢е, опи▒╗ва╛╣ей кван▓ов╗й гей▓, возм│╣а╛▓▒┐ не более, ╖ем на c=t ▓о │ кван▓ового комп╝╛▓е░а о▒▓ае▓▒┐ вполне ░аз│мн╗й
╕ан▒ п░оизве▒▓и желаем╗й о▓ве▓. То╖но ▓акже, необ╡одимо, ╖▓об╗ декоге░ен╢и┐ б╗ла полиномиал╝но мала по t, дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ име▓╝ по▒ле
t ╕агов в╗╖и▒лений име▓╝ ░аз│мн│╛ ве░о┐▓но▒▓╝ │▒пе╡а. Э▓о │▓ве░ждение имее▓ ▒ил│ не ▓ол╝ко дл┐ п░о▒▓ой модели декоге░ен▓но▒▓и, где
кажд╗й би▓ имее▓ ве░о┐▓но▒▓╝ подве░гн│▓╝▒┐ декоге░ен╢ии на каждом
╕аг│ в╗╖и▒лени┐, но ▓акже дл┐ более ▒ложн╗╡ моделей декоге░ен╢ии, ко▓о░╗е п░ои▒╡од┐▓ из ┤│ндамен▓ал╝н╗╡ кван▓ово-ме╡ани╖е▒ки╡ ░а▒▒мо▓-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
35
Пи▓е░ В. Шо░
░ений [Unruh 1995, Palma et al. 1995, Chuang et al. 1995]. Однако, по▒▓░оение кван▓ового комп╝╛▓е░а ▒ в╗▒оким │░овнем ▓о╖но▒▓и и низким │░овнем декоге░ен▓но▒▓и, п░едназна╖енного дл┐ ░еализа╢ии длинн╗╡ в╗╖и▒лений, може▓ ┐вл┐▓╝ ▒обой ┤│ндамен▓ал╝н│╛ п░облем│ дл┐ ╜к▒пе░имен▓ал╝ной ┤изики. В кла▒▒и╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░а╡, ве░о┐▓но▒▓н╗е о╕ибки
п░еодолева╛▓▒┐ не ▓ол╝ко за ▒╖е▓ ▒░ед▒▓в обо░│довани┐, но и за ▒╖е▓
п░ог░аммного обе▒пе╖ени┐, введени┐ изб╗▓о╖но▒▓и и кодов, ко░░ек▓и░│╛╣и╡ о╕ибки. По в▒ей видимо▒▓и, ме▓од изб╗▓о╖но▒▓и дл┐ кван▓ов╗╡
в╗╖и▒лений не годи▓▒┐ в ▒ил│ ▓ео░ем╗ о невозможно▒▓и клони░овани┐
би▓ов [Peres 1993, x 9{4], но ╜▓о▓ а░г│мен▓ не о▓░и╢ае▓ возможно▒▓и
п░именени┐ более ▒ложн╗╡ п░ог░аммн╗╡ ме▓одов пов╗╕ени┐ ▓о╖но▒▓и и
│мен╝╕ени┐ декоге░ен╢ии. В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, некий п░ог░е▒▒ в нап░авлении │вели╖ени┐ ▓о╖но▒▓и [Berthiaume et al. 1994] и │мен╝╕ени┐ декоге░ен╢ии [Shor 1995] │же до▒▓игн│▓. Из ░або▓╗ Bennett et al. [1995] ▒лед│е▓,
╖▓о кван▓ов╗е би▓╗ мог│▓ б╗▓╝ в ▓о╖но▒▓и пе░едан╗ по ╕│мов╗м кван▓ов╗м каналам, дава┐ возможно▒▓╝ наде┐▓╝▒┐, ╖▓о в дал╝ней╕ем кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ мог│▓ б╗▓╝ ▒╡ожим об░азом п░оведен╗ ▒ и▒пол╝зованием
╕│мов╗╡ кван▓ов╗╡ би▓ов и ╕│мов╗╡ кван▓ов╗╡ гей▓ов.
На╡ождение ди▒к░е▓н╗╡ лога░и┤мов и ░азложение на п░о▒▓╗е множи▓ели ▒ами по ▒ебе не ┐вл┐╛▓▒┐ ╕и░око и▒пол╝з│ем╗ми в╗╖и▒ли▓ел╝н╗ми зада╖ами. Они ▒▓али изве▒▓н╗ по▓ом│, ╖▓о на и╡ о▒нове по▒▓░оена
к░ип▓ог░а┤и╖е▒ка┐ ▒и▒▓ема о▓к░╗▓╗╡ кл╛╖ей. Таким об░азом ╜▓и п░облем и▒пол╝зовали▒╝ по▓ом│, ╖▓о ▒╖и▓ало▒╝, ╖▓о и╡ ▓░│дно ░е╕и▓╝. Также
╜▓о ▒п░аведливо и дл┐ обоб╣ени┐ ╜▓и╡ п░облем, п░едложенн╗╡ в ░або▓е
Boneh и Lipton [1995]. Е▒ли и▒пол╝зова▓╝ кван▓ов╗е в╗╖и▒лени┐ ▓ол╝ко
дл┐ на╡ождени┐ ди▒к░е▓ного лога░и┤ма или дл┐ ┤ак▓о░иза╢ии, ве░о┐▓но
╜▓а ди▒╢иплина ▒▓ане▓ │зко▒пе╢иализи░ованной ▓е╡нологией, ╖╝е raison
d'^
etre закл╛╖ае▓▒┐ в ▓ом, ╖▓об╗ ме╕а╛╣ей п░имен┐▓╝ к░ип▓ог░а┤и╛ о▓к░╗▓╗╡ кл╛╖ей. Однако, име╛▓ ме▒▓о бол╝╕ое коли╖е▒▓во п░облем, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ ░е╕ен╗ а▒имп▓о▓и╖е▒ки б╗▒▓░ее на кван▓овом комп╝╛▓е░е. В ╖а▒▓но▒▓и, ╖▓о ка▒ае▓▒┐ п░облем, о ко▓о░╗╡ не ┐▒но, ┐вл┐╛▓▒┐
ли они NP-полн╗ми, п░облема на╡ождени┐ ко░о▓кого век▓о░а на ░е╕е▓ке [Adleman 1994, Adleman and McCurley 1995] по▓ен╢иал╝но може▓ оказа▓╝▒┐ в ▒┤е░е ░е╕аем╗╡ на кван▓овом комп╝╛▓е░е зада╖.
Однако, в на│ке о в╗╖и▒лени┐╡ го░аздо бол╝╕е имее▓▒┐ важн╗╡ п░облем, п░о ко▓о░╗е не ┐▒но, ┐вл┐╛▓▒┐ ли они полиномиал╝но ░е╕аем╗ми по
в░емени или NP-полн╗ми. По╜▓ом│, кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗, ве░о┐▓но,
не б│д│▓ ▓ак ╕и░око и▒пол╝зован╗, пока на ни╡ не на│╖и▓▒┐ ░е╕а▓╝ NPполн╗е п░облем╗. Ре╕ение NP-п░облем╗ в неко▓о░ом ▒м╗▒ле ┐вл┐е▓▒┐
36
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
Св┐▓╗м Г░аалем ▓ео░е▓и╖е▒кой комп╝╛▓е░ной на│ки, ко▓о░│╛ множе▒▓во л╛дей п╗▓али▒╝ ░е╕и▓╝ на кла▒▒и╖е▒ком комп╝╛▓е░е. На╡ождение
полиномиал╝ного по в░емени алго░и▓ма ░е╕ени┐ ▓аки╡ зада╖ на кван▓овом комп╝╛▓е░е б╗ло б╗ вели╖ай╕им о▓к░╗▓ием. С│╣е▒▓в│╛▓ ▒лаб╗е
│казани┐ на ▓о, ╖▓о кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗ не до▒▓а▓о╖но мо╣н╗ дл┐
░е╕ени┐ NP-полной п░облем╗, но ┐ не │ве░ен, ╖▓о ╜▓о в пе░▒пек▓иве в▒е
б│де▓ ▓ак, как ▒ей╖а▒ п░едполагае▓▒┐,
Благода░но▒▓и
Я ╡о╖│ поблагода░и▓╝ Дже┤┤а Леге░иа▒а за найденн╗е к░и▓и╖е▒к│╛
о╕ибк│ в пе░вой ве░▒ии алго░и▓ма на╡ождени┐ ди▒к░е▓н╗╡ лога░и┤мов.
Я ▓акже благода░ен Давид│ Апплигей▓│, Ча░ли Бенне▓▓│, Гилли│▒│ Б░а▒▒а░д│, Энд░╛ Одлайзко, Дон│ Симон│, Боб│ Соловай, Уме╕│ Вази░ани за
заме╖ани┐ и │л│╖╕ени┐ к план│ ▒▓а▓╝и, за ли▓е░а▓│░н╗е │казани┐.
Спи▒ок ли▓е░а▓│░╗
[Adleman 1994] L. M. Adleman (1994), Algorithmic number theory | The
complexity contribution, in Proceedings of the 35th Annual Symposium on
Foundations of Computer Science, IEEE Computer Society Press, Los Alamitos,
CA, pp. 88{113.
[Adleman and McCurley 1995] L. M. Adleman and K. S. McCurley (1995), Open
problems in number-theoretic complexity II, in Proceedings of the 1994 Algorithmic
Number Theory Symposium, Ithaca, NY, May 6{9, Lecture Notes in Computer
Science, L. M. Adleman and M.-D. Huang, eds., Springer, to appear.
[Barenco et al. 1995a] A. Barenco, C. H. Bennett, R. Cleve, D. P. DiVincenzo,
N. Margolus, P. Shor, T. Sleator, J. A. Smolin, and H. Weinfurter (1995a),
Elementary gates for quantum computation, Phys. Rev. A, 52, pp. 3457{3467.
[Barenco et al. 1995b] A. Barenco, D. Deutsch, A. Ekert, and R. Jozsa (1995b),
Conditional quantum dynamics and logic gates, Phys. Rev. Lett., 74, pp. 4083{
4086.
[Benio 1980] P. Benio (1980), The computer as a physical system: A microscopic
quantum mechanical Hamiltonian model of computers as represented by Turing
machines, J. Statist. Phys., 22, pp. 563{591.
[Benio 1982a]
(1982a), Quantum mechanical Hamiltonian models of Turing
machines, J. Statist. Phys., 29, pp. 515{546.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
37
Пи▓е░ В. Шо░
[Benio 1982b]
(1982b), Quantum mechanical Hamiltonian models of Turing
machines that dissipate no energy, Phys. Rev. Lett., 48, pp. 1581{1585.
[Bennett 1973] C. H. Bennett (1973), Logical reversibility of computation, IBM J.
Res. Develop., 17, pp. 525{532.
[Bennett 1989]
(1989), Time/space trade-os for reversible computation, SIAM
J. Comput., 18, pp. 766{776.
[Bennett et al. 1994] C. H. Bennett, E. Bernstein, G. Brassard, and U. Vazirani
(1994), Strengths and weaknesses of quantum computing, preprint.
[Bennett et al. 1995] C. H. Bennett, G. Brassard, S. Popescu, B. Schumacher,
J. A. Smolin, and W. K. Wooters (1995), Purication of noisy entanglement, and
faithful teleportation via noisy channels, Phys. Rev. Lett., to appear.
[Bernstein and Vazirani 1993] E. Bernstein and U. Vazirani (1993), Quantum
complexity theory, in Proceedings of the 25th Annual ACM Symposium on Theory
of Computing, ACM, New York, pp. 11{20.
[Berthiaume and Brassard 1992a] A. Berthiaume and G. Brassard (1992a), The
quantum challenge to structural complexity theory, in Proceedings of the Seventh
Annual Structure in Complexity Theory Conference, IEEE Computer Society
Press, Los Alamitos, CA, pp. 132{137.
[Berthiaume and Brassard 1992b]
(1992b), Oracle quantum computing, in
Proceedings of the Workshop on Physics of Computation: PhysComp'92, IEEE
Computer Society Press, Los Alamitos, CA, pp. 195{199.
[Berthiaume et al. 1994] A. Berthiaume, D. Deutsch, and R. Jozsa (1994), The
stabilisation of quantum computations, in Proceedings of the Workshop on Physics
of Computation: PhysComp'94, IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, CA,
pp. 60{62.
[Biafore 1994] M. Biafore (1994), Can quantum computers have simple Hamiltonians,
in Proceedings of the Workshop on Physics of Computation: PhysComp'94, IEEE
Computer Society Press, Los Alamitos, CA, pp. 63{68.
[Boneh and Lipton 1995] D. Boneh and R. J. Lipton (1995), Quantum cryptanalysis
of hidden linear functions, Advances in Cryptology|CRYPTO '95, Proceedings of
the 15th Annual International Cryptology Conference, Santa Barbara, CA, Aug.
27{31, D. Coppersmith, ed. Springer, pp. 424{437.
[Canny and Reif 1987] J. F. Canny and J. Reif (1987), New lower bound techniques
for robot motion planning problems, in Proceedings of the 28th Annual Symposium
on Foundations of Computer Science, IEEE Computer Society Press, Los Alamitos,
CA, pp. 49{60.
[Choi et al. 1995] J. Choi, J. Sellen, and C.-K. Yap (1995), Precision-sensitive
Euclidean shortest path in 3-space, in Proceedings of the 11th Annual Symposium
on Computational Geometry, ACM, New York, pp. 350{359.
38
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
[Chuang et al. 1995] I. L. Chuang, R. Laamme, P. W. Shor and W. H. Zurek (1995),
Quantum computers, factoring and decoherence, Science, 270, pp. 1635{1637.
[Chuang and Yamomoto 1995] I. L. Chuang and Y. Yamamoto (1995), A simple
quantum computer, Phys. Rev. A, 52, pp. 3489{3496.
[Church 1936] A. Church (1936), An unsolvable problem of elementary number
theory, Amer. J. Math., 58, pp. 345{363.
[Cirac and Zoller 1995] J. I. Cirac and P. Zoller (1995), Quantum computations with
cold trapped ions, Phys. Rev. Lett., 74, pp. 4091{4094.
[Cleve 1994] R. Cleve (1994), A note on computing Fourier transforms by quantum
programs, preprint.
[Coppersmith 1994] D. Coppersmith (1994), An approximate Fourier transform
useful in quantum factoring, IBM Research Report RC 19642.
[Deutsch 1985] D. Deutsch (1985), Quantum theory, the Church{Turing principle
and the universal quantum computer, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 400, pp. 96{
117.
[Deutsch 1989]
(1989), Quantum computational networks, Proc. Roy. Soc.
London Ser. A, 425, pp. 73{90.
[Deutsch et al. 1995] D. Deutsch, A. Barenco and A. Ekert (1995), Universality of
quantum computation, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 449, pp. 669-677.
[Deutsch and Jozsa 1992] D. Deutsch and R. Jozsa (1992), Rapid solution of
problems by quantum computation, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 439, pp. 553{
558.
[DiVincenzo 1995] D. P. DiVincenzo (1995), Two-bit gates are universal for quantum
computation, Phys. Rev. A, 51, pp. 1015{1022.
[Ekert and Jozsa 1995] A. Ekert and R. Jozsa (1995), Shor's quantum algorithm for
factorising numbers, Rev. Mod. Phys., to appear.
[Feynman 1982] R. Feynman (1982), Simulating physics with computers, Internat. J.
Theoret. Phys., 21, pp. 467{488.
(1986), Quantum mechanical computers, Found. Phys., 16,
[Feynman 1986]
pp. 507{531. Originally appeared in Optics News (February 1985), pp. 11{20.
[Fredkin and Tooli 1982] E. Fredkin and T. Tooli (1982), Conservative logic,
Internat. J. Theoret. Phys., 21, pp. 219{253.
[Gordon 1993] D. M. Gordon (1993), Discrete logarithms in GF(p) using the number
eld sieve, SIAM J. Discrete Math., 6, pp. 124{139.
[Hardy and Wright 1979] G. H. Hardy and E. M. Wright (1979), An Introduction to
the Theory of Numbers, Fifth ed., Oxford University Press, New York.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
39
Пи▓е░ В. Шо░
[Hartmanis and Simon 1974] J. Hartmanis and J. Simon (1974), On the power of
multiplication in random access machines, in Proceedings of the 15th Annual
Symposium on Switching and Automata Theory, IEEE Computer Society, Long
Beach, CA, pp. 13{23.
[Karatsuba and Ofman 1962] A. Karatsuba and Yu. Ofman (1962), Multiplication of
multidigit numbers on automata, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 145, pp. 293{294 (in
Russian). English translation in Sov. Phys. Dokl., 7 (1963), pp. 595{596.
[Knuth 1981] D. E. Knuth (1981), The Art of Computer Programming, Vol. 2:
Seminumerical Algorithms, Second ed., Addison{Wesley.
[Knill 1995] E. Knill (1995), personal communication.
[Landauer 1995a] R. Landauer (1995a), Is quantum mechanics useful ? Philos. Trans.
Roy. Soc. London Ser. A, to appear.
(1995b), Is quantum mechanically coherent computation
[Landauer 1995b]
useful ? in Proceedings of the Drexel{4 Symposium on Quantum Nonintegrability
| Quantum Classical Correspondence, D. H. Feng and B.-L. Hu, eds., International
Press, to appear.
[Lecerf 1963] Y. Lecerf (1963), Machines de Turing reversibles. Recursive insolubilite
en n 2 N de l'equation u = n u, ou est un isomorphisme de codes, C. R. Acad.
Francaise Sci., 257, pp. 2597{2600.
[Lenstra and Lenstra 1993] A. K. Lenstra and H. W. Lenstra, Jr., eds. (1993), The
Development of the Number Field Sieve, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1554,
Springer.
[Lenstra et al. 1990] A. K. Lenstra, H. W. Lenstra, Jr., M. S. Manasse and
J. M. Pollard (1990), The number eld sieve, in Proceedings of the 22nd Annual
ACM Symposium on Theory of Computing, ACM, New York, pp. 564{572. An
expanded version appeared in Lenstra and Lenstra [1993], pp. 11{42.
[Levine and Sherman 1990] R. Y. Levine and A. T. Sherman (1990), A note on
Bennett's time-space tradeo for reversible computation, SIAM J. Comput., 19,
pp. 673{677.
[Lloyd 1993] S. Lloyd (1993), A potentially realizable quantum computer, Science,
261, pp. 1569{1571.
[Lloyd 1994]
(1994), Envisioning a quantum supercomputer, Science, 263,
p. 695.
[Lloyd 1995]
(1995), Almost any quantum logic gate is universal, Phys. Rev.
Lett., 75, pp. 346{349.
[Margolus 1986] N. Margolus (1986), Quantum computation, Ann. New York Acad.
Sci., 480, pp. 487{497.
40
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
░азложение ╖и▒ла на п░о▒▓╗е множи▓ели и ди▒к░е▓н╗й лога░и┤м
[Margolus 1990]
(1990), Parallel quantum computation, in Complexity,
Entropy and the Physics of Information, Santa Fe Institute Studies in the Sciences
of Complexity, Vol. VIII, W. H. Zurek, ed., Addison{Wesley, pp. 273{287.
[Miller 1976] G. L. Miller (1976), Riemann's hypothesis and tests for primality, J.
Comput. System Sci., 13, pp. 300{317.
[Odylzko 1995] A. M. Odlyzko (1995), personal communication.
[Palma et al. 1995] G. M. Palma, K.-A. Suominen and A. K. Ekert (1995), Quantum
computers and dissipation, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, submitted.
[Peres 1993] A. Peres (1993), Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer
Academic Publishers.
[Pomerance 1987] C. Pomerance (1987), Fast, rigorous factorization and discrete
logarithm algorithms, in Discrete Algorithms and Complexity, Proceedings of
the Japan{US Joint Seminar, June 4{6, 1986, Kyoto, D. S. Johnson, T. Nishizeki,
A. Nozaki and H. S. Wilf, eds., Academic Press, pp. 119{143.
[Post 1936] E. Post (1936), Finite combinatory processes. Formulation I, J. Symbolic
Logic, 1, pp. 103{105.
[Rivest et al. 1978] R. L. Rivest, A. Shamir and L. Adleman (1978), A method of
obtaining digital signatures and public-key cryptosystems, Comm. Assoc. Comput.
Mach., 21, pp. 120{126.
[Rubel 1989] L. A. Rubel (1989), Digital simulation of analog computation and
Church's thesis, J. Symbolic Logic, 54, pp. 1011{1017.
[Schonhage 1982] A. Schonhage (1982), Asymptotically fast algorithms for the
numerical multiplication and division of polynomials with complex coecients, in
Computer Algebra EUROCAM '82, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 144,
J. Calmet, ed., Springer, pp. 3{15.
[Schonhage et al. 1994] A. Schonhage, A. F. W. Grotefeld and E. Vetter (1994),
Fast Algorithms: A Multitape Turing Machine Implementation, B. I.
Wissenschaftsverlag, Mannheim, Germany.
[Schonhage and Strassen 1971] A. Schonhage and V. Strassen (1971), Schnelle
Multiplikation grosser Zahlen, Computing, 7, pp. 281{292.
[Shor 1994] P. W. Shor (1994), Algorithms for quantum computation: Discrete
logarithms and factoring, in Proceedings of the 35th Annual Symposium on
Foundations of Computer Science, IEEE Computer Society Press, Los Alamitos,
CA, pp. 124{134.
[Shor 1995]
(1995), Scheme for reducing decoherence in quantum memory,
Phys. Rev. A, 52, pp. 2493{2496.
[Simon 1994] D. Simon (1994), On the power of quantum computation, in
Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science,
IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, CA, pp. 116{123.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
41
Пи▓е░ В. Шо░
[Sleator and Weinfurter 1995] T. Sleator and H. Weinfurter (1995), Realizable
universal quantum logic gates, Phys. Rev. Lett., 74, pp. 4087{4090.
[Solovay 1995] R. Solovay (1995), personal communication.
[Steiglitz 1988] K. Steiglitz (1988), Two non-standard paradigms for computation:
Analog machines and cellular automata, in Performance Limits in Communication
Theory and Practice, Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, Il
Ciocco, Castelvecchio Pascoli, Tuscany, Italy, July 7{19, 1986, J. K. Skwirzynski,
ed., Kluwer Academic Publishers, pp. 173{192.
[Teich et al. 1988] W. G. Teich, K. Obermayer and G. Mahler (1988), Structural basis
of multistationary quantum systems II: Eective few-particle dynamics, Phys. Rev.
B, 37, pp. 8111{8121.
[Tooli 1980] T. Tooli (1980), Reversible computing, in Automata, Languages and
Programming, Seventh Colloquium, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 84,
J. W. de Bakker and J. van Leeuwen, eds., Springer, pp. 632{644.
[Turing 1936] A. M. Turing (1936), On computable numbers, with an application
to the Entscheidungsproblem, Proc. London Math. Soc. (2), 42, pp. 230{265.
Corrections in Proc. London Math. Soc. (2), 43 (1937), pp. 544{546.
[Unruh 1995] W. G. Unruh (1995), Maintaining coherence in quantum computers,
Phys. Rev. A, 51, pp. 992{997.
[van Emde Boas 1990] P. van Emde Boas (1990), Machine models and simulations,
in Handbook of Theoretical Computer Science, Vol. A, J. van Leeuwen, ed.,
Elsevier, Amsterdam, pp. 1{66.
[Vergis et al. 1986] A. Vergis, K. Steiglitz and B. Dickinson (1986), The complexity of
analog computation, Math. Comput. Simulation, 28, pp. 91{113.
[Yao 1993] A. Yao (1993), Quantum circuit complexity, in Proceedings of the 34th
Annual Symposium on Foundations of Computer Science, IEEE Computer Society
Press, Los Alamitos, CA, pp. 352{361.
42
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
Ю. И. Манин
IEEE fellow and member of the IBM Thomas J. Watson
Research Center in Yorktown Heights, N.Y., USA.
КЛАССИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ,
КВАНТОВОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
И АЛГОРИТМ ФАКТОРИЗАЦИИ ШОРА
0. По╖ем│ н│жно кван▓овое в╗╖и▒ление?
Об░або▓ка ин┤о░ма╢ии (в╗╖и▒ление) | ╜▓о динами╖е▒ка┐ ╜вол╛╢и┐
в╗▒окоо░ганизованной ┤изи╖е▒кой ▒и▒▓ем╗, ▒озданной ▓е╡никой (комп╝╛▓е░) или п░и░одой (головной мозг). На╖ал╝ное ▒о▒▓о┐ние ╜▓ой ▒и▒▓ем╗ | ее в╡од (оп░еделено им); ее закл╛╖и▓ел╝ное ▒о▒▓о┐ние | в╗╡од.
Физика опи▒╗вае▓ п░и░од│ дв│м┐ взаимодополни▓ел╝н╗ми ▒по▒обами:
кла▒▒и╖е▒ким и кван▓ов╗м. Впло▓╝ до дев┐но▒▓╗╡ годов о▒новн╗е ма▓ема▓и╖е▒кие модели в╗╖и▒лени┐, ма╕ин╗ Т╝╛░инга, б╗ли кла▒▒и╖е▒кими
об║ек▓ами, ╡о▓┐ пе░в╗е п░едложени┐ из│╖а▓╝ кван▓ов╗е модели да▓и░│╛▓▒┐ е╣е 1980 годом.
Г░│бо гово░┐, мо▓ива╢и┐ из│╖ени┐ кван▓ового в╗╖и▒лени┐ и▒╡оди▓
из не▒кол╝ки╡ и▒▓о╖ников: ┤изики, ▓е╡нологии, гно▒еологии и ма▓ема▓ики.
(i) С ▓о╖ки з░ени┐ ┤изики кван▓ов╗й ▒по▒об опи▒ани┐ более ┤│ндамен▓ален, ╖ем кла▒▒и╖е▒кий. В ▒емиде▒┐▓╗╡ и во▒╝миде▒┐▓╗╡ года╡
б╗ло заме╖ено, ╖▓о из-за п░ин╢ипа ▒│пе░пози╢ии модели░ование кван▓ов╗╡ п░о╢е▒▒ов на кла▒▒и╖е▒ки╡ комп╝╛▓е░а╡ ▒ложно ▒ в╗╖и▒ли▓ел╝ной
▓о╖ки з░ени┐ ([Po], [Fe1]). Г░│бо гово░┐, п░ед▒▓авл┐┐ в кван▓овом виде
кла▒▒и╖е▒к│╛ ▒и▒▓ем│ ▒ N ▒о▒▓о┐ни┐ми м╗ пол│╖им кван▓ов│╛ ▒и▒▓ем│,
п░о▒▓░ан▒▓во ▒о▒▓о┐ний ко▓о░ой | (N ; 1){ме░ное комплек▒ное п░оек▓ивное п░о▒▓░ан▒▓во, об║ем ко▓о░ого ░а▒▓е▓ ╜к▒понен╢иал╝но ▒ ░о▒▓ом N .
Можно │▓ве░жда▓╝, ╖▓о о▒новное зан┐▓ие кван▓овой ╡имии | бо░╝ба ▒
возника╛╣ими ▓░│дно▒▓┐ми. Об░а╣а┐ ╜▓о▓ а░г│мен▓, можно ожида▓╝,
╖▓о кван▓ов╗е комп╝╛▓е░╗, е▒ли они вооб╣е мог│▓ б╗▓╝ по▒▓░оен╗, б│д│▓ зна╖и▓ел╝но более мо╣н╗ми, ╖ем кла▒▒и╖е▒кие ([Fe1], [Ma2]).
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
1
Ю. И. Манин
П░ог░е▒▒ в ▓е╡нике миниа▓╛░иза╢ии ▒ов░еменн╗╡ комп╝╛▓е░ов │же
п░ивел на▒ к ▓аком│ │░овн╛, п░и ко▓о░ом кван▓ов╗й ╕│м ▒▓анови▓▒┐ ▒│╣е▒▓венн╗м п░еп┐▓▒▓вием дл┐ пол│╖ени┐ безо╕ибо╖но ░або▓а╛╣и╡ мик░о▒╡ем. Един▒▓венно логи╖н╗й под╡од | на╖а▓╝ и▒пол╝зова▓╝ ▒│╣е▒▓венно кван▓ово-ме╡ани╖е▒кое поведение мал╗╡ об║ек▓ов п░и кон▒▓░│и░овании комп╝╛▓е░ов вме▒▓о ▓ого, ╖▓об╗ ней▓░ализова▓╝ его.
(ii) Как д░│г│╛ мо▓ива╢и╛ можно п░ивле╖╝ о╖ен╝ │моз░и▓ел╝н╗е,
но ин▓░иг│╛╣ие п░едположени┐ о ▓ом, ╖▓о на╕ головной мозг на ▒амом
деле | кван▓ов╗й комп╝╛▓е░. Нап░име░, недавний п░ог░е▒▒ в напи▒ании
╜┤┤ек▓ивного п░ог░аммного обе▒пе╖ени┐ дл┐ иг░╗ в ╕а╡ма▓╗ (комп╝╛▓е░ Deep Blue) показ╗вае▓, ╖▓о дл┐ модели░овани┐ │░овн┐ ми░ового ╖емпиона▓а ▒ и▒пол╝зованием ▓ол╝ко кла▒▒и╖е▒ки╡ алго░и▓мов н│жно │ме▓╝
п░оанализи░ован▓╝ около 106 пози╢ий в ▒ек│нд│. и и▒пол╝зова▓╝ около
1010 бай▓ов пам┐▓и. По▒кол╝к│ ▓ипи╖ное в░ем┐ ▒░аба▓╗вани┐ ней░она |
около 10;3 ▒ек, ▒ ▓о╖ки з░ени┐ кла▒▒и╖е▒кой ┤изики головной мозг мог б╗
в╗полни▓╝ ╜▓│ ░або▓│ и иг░а▓╝ в ╕а╡ма▓╗ ▒▓ол╝ же │▒пе╕но, как Ка░пов. Менее впе╖а▓л┐╛╣а┐, но не менее ░е▒│░▒оемка┐ зада╖а | гене░а╢и┐
и во▒п░и┐▓ие ░е╖и, ко▓о░а┐ без ▓░│да в╗полн┐е▓▒┐ головн╗м мозгом л╛б╗м из миллиа░дов л╛дей, но пока п░ед▒▓авл┐е▓ непо▒ил╝н│╛ зада╖│ дл┐
▒ов░еменн╗╡ комп╝╛▓е░ов, и▒пол╝з│╛╣и╡ кла▒▒и╖е▒кие алго░и▓м╗.
В╗╖и▒ли▓ел╝на┐ ▒ложно▒▓╝ зада╖ ░а▒познавани┐ имее▓ не▒кол╝ко и▒▓о╖ников: о▒новн╗е пе░еменн╗е мог│▓ б╗▓╝ пол┐ми; ог░ани╖енное ╖и▒ло
мал╗╡ блоков мог│▓ комбини░ова▓╝▒┐ в ╜к▒понен╢иал╝но ░а▒▓│╣ие де░ев╝┐ ал╝▓е░на▓ив; должн╗ б╗▓╝ о░ганизован╗ ╡░анение и пои▒к не▒жимаемой ин┤о░ма╢ии в база╡ данн╗╡.
Дл┐ п░еодолени┐ ╜▓и╡ ▓░│дно▒▓ей б╗ли ░аз░або▓ан╗ две па░адигм╗:
логикоподобн╗е ┐з╗ки и комбина▓о░н╗е алго░и▓м╗ ▒ одной ▒▓о░он╗ и
▒▓а▓и▒▓и╖е▒кое ▒опо▒▓авление набл╛даем╗╡ данн╗╡ ▒ ненабл╛даемой модел╝╛ ▒ д░│гой ▒▓о░он╗ (более под░обное об▒│ждение в▓о░ой па░адигм╗
▒м. в ▒▓а▓╝е Д. Mам┤о░да [Mu]).
Во многи╡ ▒л│╖а┐╡ в▓о░а┐ ▒▓░а▓еги┐ ╜┤┤ек▓ивно подде░живае▓ п░иемлемое ┤│нк╢иони░ование, но об╗╖но не може▓ до▒▓и╖╝ ▒ове░╕ен▒▓ва
│░овн┐ Deep Blue. Обе па░адигм╗ ▓░еб│╛▓ г░омадн╗╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡
░е▒│░▒ов, и не ┐▒но, как и╡ можно о░ганизова▓╝, е▒ли обо░│дование не
доп│▒кае▓ ма▒▒ивно па░аллел╝ное в╗╖и▒ление.
Иде┐ цкван▓ового па░аллелизмач (▒м. ░азд. 2 ниже) | п░ивлека▓ел╝на┐ ▓ео░е▓и╖е▒ка┐ ал╝▓е░на▓ива. Тем не менее, не ▒ов▒ем ┐▒но, може▓ ли
она б╗▓╝ ▒огла▒ована ▒ до▒▓│пн╗ми ░ез│л╝▓а▓ами ╜к▒пе░имен▓ов, ко▓о2
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
░╗е опи▒╗ва╛▓ ╢ен▓░ал╝н│╛ не░вн│╛ ▒и▒▓ем│ как ╖и▒▓о кла▒▒и╖е▒кое
│▒▓░ой▒▓во.
Возможно, ▒▓ои▓ поп░обова▓╝ ▒лед│╛╣ий под╡од. В╗полнение ╜┤┤ек▓ивн╗╡ кван▓ов╗╡ алго░и▓мов, ко▓о░╗е из│╖а╛▓▒┐ в на▒▓о┐╣ее в░ем┐, може▓ б╗▓╝ обе▒пе╖ено одним или не▒кол╝кими кван▓ов╗ми ╖ипами
(░еги▒▓░ами), │п░авл┐ем╗ми кла▒▒и╖е▒ким комп╝╛▓е░ом. Зна╖и▓ел╝на┐
╖а▒▓╝ в▒ей в╗╖и▒ли▓ел╝ной ░або▓╗, к░оме │п░авлени┐ кван▓ов╗ми ╖ипами, ▓акже возлагае▓▒┐ на кла▒▒и╖е▒кий комп╝╛▓е░. Анализи░│┐ ┤изи╖е▒кое │▒▓░ой▒▓во ▓акой а░╡и▓ек▓│░╗, м╗ пол│╖аем п░┐мой до▒▓│п к его
кла▒▒и╖е▒кой компонен▓е (╜лек▓░и╖е▒кой или ней░онной ▒е▓и), ▓огда как
░азме╣ение его кван▓овой компонен▓╗ може▓ ▒о▒▓авл┐▓╝ ▓░│дн│╛ зада╖│. Нап░име░, кван▓ов╗е ╖ип╗ в головном мозге мог│▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен╗ мак░омолек│лами ▓ого ▓ипа, ко▓о░╗й ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ в неко▓о░╗╡
▓ео░е▓и╖е▒ки╡ модел┐╡ в╗▒око▓емпе░а▓│░ной ▒ве░╡п░оводимо▒▓и.
Каже▓▒┐, ╖▓о ▓░│дно▒▓и │вели╖ива╛▓▒┐ из-за ▓ого, ╖▓о кван▓ов╗е изме░ени┐ да╛▓ неде▓е░мини░ованн╗е ░ез│л╝▓а▓╗. На ▒амом деле можно
поп╗▓а▓╝▒┐ и▒пол╝зова▓╝ ╜▓о как п░еим│╣е▒▓во, по▓ом│ ╖▓о ▒│╣е▒▓в│╛▓
▒и▓│а╢ии, когда м╗ можем о▓ли╖и▓╝ кван▓ов│╛ ▒л│╖айно▒▓╝ о▓ кла▒▒и╖е▒кой, анализи░│┐ ░а▒п░еделени┐ ве░о┐▓но▒▓ей и и▒пол╝з│┐ не░авен▒▓ва
▓ипа беллов▒ки╡. П░и внима▓ел╝ном ░а▒▒мо▓░ении в под╡оде Белла обна░│живае▓▒┐ пе░в╗й п░име░ иг░овой ▒и▓│а╢ии, где кван▓ов╗е иг░оки
мог│▓ ве▒▓и ▒еб┐ о╖евидно более ╜┤┤ек▓ивно, ╖ем кла▒▒и╖е▒кие (▒м. опи▒ание ╜▓ого под╡ода в [Ts], c. 52{54).
Б╗ло б╗ к░айне ин▓е░е▒но ░аз░або▓а▓╝ ╜к▒пе░имен▓ал╝н│╛ │▒▓ановк│ ▒ ╢ел╝╛ показа▓╝, ╖▓о неко▓о░╗е ┤░агмен▓╗ ╢ен▓░ал╝ной не░вной ▒и▒▓ем╗, о▓ве╖а╛╣ие за об░або▓к│ ин┤о░ма╢ии, мог│▓ ┤ак▓и╖е▒ки б╗▓╝ в
кван▓овой ▒│пе░пози╢ии кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒о▒▓о┐ний.
(iii) Наконе╢, об░а▓им▒┐ к ма▓ема▓ике. Можно ▒каза▓╝, ╖▓о в на▒▓о┐╣ее в░ем┐ не н│жно даже дополни▓ел╝ной мо▓ива╢ии, ▓ак как имее▓▒┐ п░еоблада╛╣а┐ ▓енден╢и┐, п░едпи▒╗ва╛╣а┐ в╗░ажа▓╝ на кван▓овом ┐з╗ке цв▒е, ╖▓о движе▓▒┐ч. В голов│ п░и╡од┐▓ кван▓ов╗е г░│пп╗,
кван▓ов╗е когомологии, кван▓ов╗е инва░иан▓╗ │злов и ▓. д. Каже▓▒┐,
╖▓о ╜▓о дей▒▓ви▓ел╝но б╗ло пе░ви╖ной мо▓ива╢ией до 1994 года, когда
П. Шо░ ([Sh]) изоб░ел пе░в╗й кван▓ов╗й алго░и▓м, показав, ╖▓о ░азложение на п░о▒▓╗е множи▓ели може▓ б╗▓╝ ▒делано на кван▓ов╗╡ комп╝╛▓е░а╡ за полиномиал╝ное в░ем┐, ▓. е. зна╖и▓ел╝но б╗▒▓░ее, ╖ем ▒ помо╣╝╛ л╛бого изве▒▓ного кла▒▒и╖е▒кого алго░и▓ма. (Рабо▓а П. Шо░а б╗ла
ин▒пи░и░ована более ░анней ░або▓ой [Si] Д. Саймона). С▓а▓╝┐ Шо░а дала нов╗й ▓ол╖ок п░едме▓│. Д░│гой п░ек░а▒н╗й ░ез│л╝▓а▓, пол│╖енн╗й
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
3
Ю. И. Манин
Л. Г░ове░ом ([Gro]), ▒о▒▓ои▓ в ▓ом,
p ╖▓о кван▓ов╗й пои▒к ▒░еди N п░едме▓ов може▓ б╗▓╝ в╗полнен за c N ╕агов. А. Ки▓аев [Ki1] изоб░ел нов╗е
кван▓ов╗е алго░и▓м╗ дл┐ в╗╖и▒лени┐ ▒▓абилиза▓о░ов дей▒▓вий абелев╗╡
г░│пп; его ░або▓е п░ед╕е▒▓вовала ░або▓а Д. Боне и Р. Лип▓она [BoL], ко▓о░╗е из│╖али более об╣│╛ п░облем│ ▒ помо╣╝╛ моди┤ика╢ии ме▓ода
Шо░а (▒░. ▓акже [Gri]). Ин▒▓░│мен▓╗ ░аз░або▓анн╗е Шо░ом, Г░ове░ом и
Ки▓аев╗м ▒ами по ▒ебе не менее важн╗, ╖ем и╡ ░ез│л╝▓а▓╗.
Рабо▓а Шо░а | ╢ен▓░ал╝н╗й п░едме▓ ╜▓ой лек╢ии. Она об║┐▒н┐е▓▒┐
в ░азделе 4. Э▓о об║┐▒нение ▒лед│е▓ за об▒│ждением об╣и╡ п░ин╢ипов
кван▓ового в╗╖и▒лени┐ и ма▒▒ивного кван▓ового па░аллелизма в ░азделе 2 и ╖е▓╗░е╡ кван▓ов╗╡ подп░ог░амм, вкл╛╖а┐ алго░и▓м пои▒ка Г░ове░а в ░азделе 3. В▓о░а┐ из ╜▓и╡ подп░ог░амм, вкл╛╖а╛╣а┐ кван▓ов╗е
в╗╖и▒лени┐ кла▒▒и╖е▒ки╡ в╗╖и▒лим╗╡ ┤│нк╢ий, показ╗вае▓, как ▒п░ави▓╝▒┐ ▒ о▒новной п░облемой до▒▓ижени┐ кван▓овой об░а▓имо▒▓и п░и нали╖ии кла▒▒и╖е▒кой необ░а▓имо▒▓и. С бол╝╕ей ╖а▒▓╝╛ ╜▓ого можно ознакоми▓╝▒┐ в [Ben1] и [Ben2]. О▓к░╗ва╛╣ий ░аздел 1 ▒оде░жи▓ к░а▓кий
обзо░ кла▒▒и╖е▒кой ▓ео░ии в╗╖и▒лимо▒▓и. Я ▒делал неко▓о░│╛ поп╗▓к│
в╗░ази▓╝ оп░еделенн╗е пон┐▓и┐ комп╝╛▓е░н╗╡ на│к, вкл╛╖а┐ P/NP, на
┐з╗ке об╗╖ной ма▓ема▓ики. В по▒леднем ░азделе 5 об▒│ждае▓▒┐ колмого░ов▒ка┐ ▒ложно▒▓╝ в кон▓ек▒▓е кла▒▒и╖е▒ки╡ и кван▓ов╗╡ в╗╖и▒лений.
По▒ледним, но не менее в╗жн╗м ┐вл┐е▓▒┐ ▓о, ╖▓о обо░│дование дл┐
кван▓ового в╗╖и▒лени┐ до ▒и╡ по░ не ▒│╣е▒▓в│е▓: ▒м. ░азд. 3.3 ниже, где
п░иводи▓▒┐ к░а▓кое об▒│ждение пе░в╗╡ поп╗▓ок по▒▓░ои▓╝ его. Кван▓ов╗е алго░и▓м╗ изоб░е▓енн╗е и из│╖енн╗е к на▒▓о┐╣ем│ в░емени б│д│▓
▒▓им│ли░ова▓╝ пои▒к ▓е╡нологи╖е▒кого ░е╕ени┐, ко▓о░ое в ▒л│╖ае │▒пе╡а
не▒омненно ▒ко░░ек▓и░│е▓ на╕е ▒ов░еменное п░ед▒▓авление о кван▓овом
в╗╖и▒лении и кван▓овой ▒ложно▒▓и.
Благода░но▒▓и
Я благода░ен Але╕е Ки▓аев│, Д╜вид│ Мам┤о░д│ и Дми▓░и╛ Манин│
за и╡ ин▓е░е▒ и заме╖ани┐ к ░анним ве░▒и┐м ╜▓ого доклада. Многие из
и╡ п░едложений │╖▓ен╗ в ╜▓ом ▓ек▒▓е.
1. Кла▒▒и╖е▒ка┐ ▓ео░и┐ в╗╖и▒лений
В ╜▓ом ░азделе ┐ ░а▒▒ма▓░ива╛ ▓ол╝ко
де▓е░мини░ованн╗е в╗╖и▒лени┐, ко▓о░╗е мог│▓ б╗▓╝ п░омодели░ован╗
Кон▒▓░│к▓ивна┐ в▒еленна┐.
4
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
кла▒▒и╖е▒кими динами╖е▒кими ▒и▒▓емами ▒ ди▒к░е▓н╗м в░еменем и впо▒лед▒▓вии п░ед▒▓авлен╗ на кван▓овом │░овне.
Алан Т╝╛░инг п░едложил мик░о▒копи╖е▒кий анализ ин▓│и▓ивной
идеи алго░и▓ми╖е▒кого в╗╖и▒лени┐ В неко▓о░ом ▒м╗▒ле он на╕ел его
гене▓и╖е▒кий код. А▓ом ин┤о░ма╢ии | один би▓, можно подоб░а▓╝ а▓ома░н╗е опе░а╢ии, дей▒▓в│╛╣ие на одном/дв│╡ би▓а╡ и в╗да╛╣ие ░ез│л╝▓а▓╗ ▓акого же малого ░азме░а. Наконе╢, по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ опе░а╢и┐
▒▓░ого де▓е░мини░ована локал╝н╗м │▒▓░ой▒▓вом, ░азме░ ко▓о░ого ог░ани╖ен ▓акже не▒кол╝кими би▓ами.
Дл┐ ░азнооб░ази┐ ┐ пойд│ в об░а▓ном нап░авлении и на╖н│ ╜▓о▓ ░аздел ▒ п░ед▒▓авлени┐ мак░око▒ма кла▒▒и╖е▒кой ▓ео░ии в╗╖и▒лений. Дл┐
╜▓ого под╡оди▓ ┐з╗к ▓ео░ии ка▓его░ий.
П│▒▓╝ C | ка▓его░и┐, об║ек▓╗ ко▓о░ой | в╗╖и▒лим╗е или коне╖н╗е множе▒▓ва U . Элемен▓╗ x ╜▓и╡ множе▒▓в б│д│▓ в об╣ем ▒л│╖ае
коне╖н╗ми множе▒▓вами ▒ дополни▓ел╝ной ▒▓░│к▓│░ой. Не ожида┐ по┐влени┐ в▒е╡ необ╡одим╗╡ ак▒иом м╗ назовем x 2 U кон▒▓░│к▓ивн╗м
об║ек▓ом ▓ипа U (╢елое ╖и▒ло, коне╖н╗й г░а┤, ▒лово в данном ал┤ави▓е,
б│лево в╗░ажение, п░име░ ма▒▒овой п░облем╗...). Множе▒▓во U ▒амо б│де▓ наз╗ва▓╝▒┐ кон▒▓░│к▓ивн╗м ми░ом об║ек▓ов ┤ик▒и░ованного ▓ипа,
а C | кон▒▓░│к▓ивной в▒еленной. Ка▓его░и┐ C , ко▓о░а┐ б│де▓ ▒делана
более конк░е▓ной ниже, б│де▓ ▒оде░жа▓╝ в▒е коне╖н╗е п░оизведени┐ и
коне╖н╗е об║единени┐ ▒вои╡ об║ек▓ов, а ▓акже коне╖н╗е множе▒▓ва U
в▒е╡ мо╣но▒▓ей.
Мо░┤изм╗ U ! V в C | неко▓о░╗е ╖а▒▓и╖н╗е о▓об░ажени┐ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ множе▒▓в. Более ▓о╖но, ▓акой мо░┤изм | па░а (D(f ); f ),
где D(f ) U и f : D(f ) ! V | о▓об░ажение множе▒▓в. Компози╢и┐
оп░едел┐е▓▒┐ ░авен▒▓вом
(D(g); g) (D(f ); f ) = (g;1 D(f ); g f ):
М╗ б│дем оп│▒ка▓╝ D(f ) когда ╜▓о не п░иводи▓ к дв│▒м╗▒ленно▒▓и.
Мо░┤изм╗ f , ко▓о░╗е м╗ б│д??м ░а▒▒ма▓░ива▓╝ | (пол│)в╗╖и▒лим╗е
┤│нк╢ии U ! V . Ин▓│и▓ивн╗й ▒м╗▒л ╜▓ого пон┐▓и┐, ко▓о░ое имее▓ о╖ен╝
▒ил╝н╗й ╜в░и▒▓и╖е▒кий по▓ен╢иал, може▓ б╗▓╝ об║┐▒нен ▓ак: должен ▒│╣е▒▓вова▓╝ алго░и▓м ' ▓акой, ╖▓о е▒ли вз┐▓╝ в ка╖е▒▓ве в╡ода кон▒▓░│к▓ивн╗й об║ек▓ u 2 U , ▓о в╗полн┐е▓▒┐ одна из ▓░е╡ возможно▒▓ей:
(i) u 2 D(f ), ' в╗дае▓ за коне╖ное ╖и▒ло ╕агов ░ез│л╝▓а▓ f (u) 2 V:
(ii) u 2= D(f ), ' в╗дае▓ за коне╖ное ╖и▒ло ╕агов ▒▓анда░▓н╗й ░ез│л╝▓а▓, обозна╖а╛╣ий НЕТ.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
5
Ю. И. Манин
(iii) u 2= D(f ), ' ░або▓ае▓ бе▒коне╖но долго без в╗да╖и какого-либо
░ез│л╝▓а▓а.
Необ╡одимо▒▓╝ вкл╛╖ени┐ ал╝▓е░на▓ив╗ (iii) в оп░еделение (пол│)в╗╖и▒лимо▒▓и б╗ло важн╗м и не▓░ивиал╝н╗м о▓к░╗▓ием кла▒▒и╖е▒кой ▓ео░ии. Множе▒▓во в▒е╡ мо░┤измов U ! V обозна╖ае▓▒┐ C (U; V ).
Множе▒▓ва вида D(f ) U наз╗ва╛▓▒┐ пе░е╖и▒лим╗ми множе▒▓вами U . Е▒ли как E U ▓ак и U n E пе░е╖и▒лим╗, ▓о E наз╗вае▓▒┐
░аз░е╕им╗м.
Кла▒▒и╖е▒ка┐ ▓ео░и┐ в╗╖и▒лений делае▓ в▒е ╜▓о более ▓о╖н╗м ▒лед│╛╣им об░азом.
Оп░еделение.
Ка▓его░и┐
C
, оп░еделенна┐ в╗╕е, наз╗вае▓▒┐ кон▒▓░│к-
▓ивной в▒еленной, е▒ли она ▒оде░жи▓ кон▒▓░│к▓ивн╗й ми░ N в▒е╡ ╢ел╗╡
╖и▒ел
>1
, коне╖н╗╡ множе▒▓в
;; f1g; : : : f1; : : : ; ng; : : :
,
и │довле▓во░┐е▓
(a){(d).
(a) C (N; N) оп░еделено как множе▒▓во в▒е╡ ╖а▒▓и╖но-░ек│░▒ивн╗╡
┤│нк╢ий (▒м., нап░име░, [Ma1], Гл. V, или [Sa]).
(b) Л╛бой бе▒коне╖н╗й об║ек▓ C изомо░┤ен N.
(c) Е▒ли U бе▒коне╖но, ▓о C (U; V ) ▒о▒▓ои▓ из в▒е╡ ╖а▒▓и╖н╗╡ о▓об░ажений U ! V . Е▒ли V коне╖но, ▓о C (U; V ) ▒о▒▓ои▓ из ▓аки╡ f , ╖▓о
▒лед│╛╣им │▒лови┐м
п░ооб░аз л╛бого ╜лемен▓а
V
пе░е╖и▒лим.
Пе░ед ┤о░м│ли░ованием по▒леднего │▒лови┐ (d) ▒делаем неко▓о░╗е
коммен▓а░ии.
П░едложение (b) | ╖а▒▓╝ изве▒▓ного ▓ези▒а Че░╖а. Л╛бой изомо░┤изм (в╗╖и▒лима┐ биек╢и┐) N ! U в C наз╗вае▓▒┐ н│ме░а╢ией. Таким
об░азом, две ░азн╗╡ н│ме░а╢ии одного и ▓ого же кон▒▓░│к▓ивного ми░а о▓ли╖а╛▓▒┐ ░ек│░▒ивной пе░е▒▓ановкой N. М╗ б│дем наз╗ва▓╝ ▓акие
н│ме░а╢ии ╜квивален▓н╗ми. Заме▓им, ╖▓о из-за (c) два коне╖н╗╡ кон▒▓░│к▓ивн╗╡ ми░а изомо░┤н╗, е▒ли и ▓ол╝ко е▒ли они име╛▓ одн│ и ▓│
же мо╣но▒▓╝, и г░│ппа ав▓омо░┤измов л╛бого коне╖ного U ▒о▒▓ои▓ из
в▒е╡ пе░е▒▓ановок U .
П░ин╢ипиал╝но м╗ в▒егда ░а▒▒ма▓░иваем C как о▓к░╗▓│╛ ка▓его░и╛, и в л╛бой момен▓ ░аз░е╕аем ▒ебе добави▓╝ к ней нов╗е кон▒▓░│к▓ивн╗е ми░╗. Е▒ли неко▓о░╗й бе▒коне╖н╗й U добавл┐е▓▒┐ к C , он должен
вой▓и в нее ▒ неко▓о░╗м кла▒▒ом ╜квивален▓н╗╡ н│ме░а╢ий. Так л╛бое
коне╖ное об║единение кон▒▓░│к▓ивн╗╡ ми░ов може▓ б╗▓╝ е▒▓е▒▓венн╗м
об░азом п░ев░а╣ено в кон▒▓░│к▓ивн╗й ми░ ▓ак, ╖▓о пог░│жени┐ ▒▓анов┐▓▒┐ в╗╖и▒лим╗ми мо░┤измами, а и╡ об░аз╗ | ░аз░е╕им╗ми. Д░│гой
п░име░ | ми░ N коне╖н╗╡ по▒ледова▓ел╝но▒▓ей ╖и▒ел из N (ц▒лова в
6
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
ал┤ави▓е Nч) ▒набжен геделевой н│ме░а╢ией
k ;1 ; 1;
(n1 ; n2 ; : : : ; nk ; : : : ) 7! 2q 3n1 ;1 : : : pnk+1
(1)
где pk | k{е п░о▒▓ое ╖и▒ло, q = maxfi j nk = = nk;i+1 = 1g: Следова▓ел╝но, м╗ можем п░едположи▓╝, ╖▓о C замкн│▓а по о▓но╕ени╛ к
кон▒▓░│к╢ии U 7! U : В▒е е▒▓е▒▓венн╗е ┤│нк╢ии, ▓акие как длина ▒лова
U ! N, или i{┐ б│ква ▒лова U ! U в╗╖и▒лим╗.
Подобн╗м же об░азом C може▓ б╗▓╝ ▒делана замкн│▓ой по о▓но╕ени╛ к коне╖н╗м п░┐м╗м п░оизведени┐м ▒ помо╣╝╛ и▒пол╝зовани┐ (об░а▓ной) н│ме░а╢ии дл┐ N2 :
(m; n) 7! m + 21 (m + n ; 1)(m + n ; 2):
(2)
П░оек╢ии, диагонал╝н╗е о▓об░ажени┐, о▓об░ажени┐ V ! U V ,
v 7! (u0 ; v) в▒е в╗╖и▒лим╗.
Раз░е╕им╗е подмноже▒▓ва кон▒▓░│к▓ивн╗╡ ми░ов ▓акже кон▒▓░│к▓ивн╗.
Вме▒▓о ┐вной кон▒▓░│к╢ии н│ме░а╢ии ╖а▒▓о и▒пол╝з│е▓▒┐ Тези▒ Че░╖а, ко▓о░╗й │▓ве░ждае▓, ╖▓о ка▓его░и┐ C оп░еделена однозна╖но ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ до ╜квивален▓но▒▓и.
Сей╖а▒ м╗ пе░ейдем к ▒вой▒▓вам в╗╖и▒лимо▒▓и множе▒▓в мо░┤измов C (U; V ). Тепе░╝ оп┐▓╝ п░ин╢ипиал╝но, ╖▓о C (U; V ) ▒амо | не кон▒▓░│к▓ивн╗й ми░, е▒ли U бе▒коне╖но. Ч▓об╗ опи▒а▓╝ ▒и▓│а╢и╛ ак▒иома▓и╖е▒ки, ░а▒▒мо▓░им во-пе░в╗╡ л╛б│╛ диаг░амм│
ev : P U ! V
(3)
в C : Она оп░едел┐е▓ ╖а▒▓и╖ное о▓об░ажение P ! C (U; V ); p 7! p,
где p(u) := ev (p; u): М╗ б│дем гово░и▓╝, ╖▓о кон▒▓░│к▓ивн╗й ми░
P = P (U; V ) вме▒▓е ▒ о╢енива╛╣им о▓об░ажением ev е▒▓╝ ме▓од п░ог░амми░овани┐ (дл┐ в╗╖и▒лени┐ неко▓о░╗╡ о▓об░ажений U ! V ). Он
наз╗вае▓▒┐ │ниве░▒ал╝н╗м, е▒ли в╗полнен╗ ▒лед│╛╣ие два │▒лови┐. Вопе░в╗╡, о▓об░ажение P ! C (U; V ) должно б╗▓╝ ▒╛░║ек▓ивн╗м. Вов▓о░╗╡, дл┐ л╛бого ме▓ода п░ог░амми░овани┐ Q = Q(U; V ) ▒ ▓еми же
▒ам╗ми и▒▓о╖ником U и ╢ел╝╛ V , C (Q; P ) ▒оде░жи▓ мо░┤изм╗ ▓░ан▒л┐╢ии
trans : Q(U; V ) ! P (U; V )
(4)
ко▓о░╗е, по оп░еделени╛, в▒╛д│ оп░еделеннн╗е в╗╖и▒лим╗е о▓об░ажени┐ Q ! P ▓акие, ╖▓о е▒ли q 7! p, ▓о q = p.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
7
Ю. И. Манин
Тепе░╝ м╗ заве░╕им оп░еделение 1.2, добавив по▒ледн╛╛ ак▒иом│,
┤о░ми░│╛╣│╛ ╖а▒▓╝ ▓ези▒а Че░╖а.
(d) Дл┐ л╛б╗╡ дв│╡ кон▒▓░│к▓ивн╗╡ ми░ов U; V , ▒│╣е▒▓в│╛▓ │ниве░▒ал╝н╗е ме▓од╗ п░ог░амми░овани┐.
С▓анда░▓н╗е п░име░╗ P дл┐ U = V = N | ма╕ин╗ Т╝╛░инга или
░ек│░▒ивн╗е ┤│нк╢ии (▓о╖нее гово░┐, ┤о░мализованн╗е опи▒ани┐ ▓е╡ и
д░│ги╡).
Из (d) ▒лед│е▓, ╖▓о компози╢и┐ мо░┤измов може▓ б╗▓╝ подн┐▓а до
в╗╖и▒лим╗╡ ┤│нк╢ий на │░овне ме▓одов п░ог░амми░овани┐. То╖нее гово░┐, е▒ли Q (▒оо▓ве▓▒▓венно, P ) | ме▓од п░ог░амми░овани┐ дл┐ U; V
(▒оо▓ве▓▒▓венно V; W ), и R | │ниве░▒ал╝н╗й ме▓од п░ог░амми░овани┐
дл┐ U; W , ▓о ▒│╣е▒▓в│╛▓ в╗╖и▒лим╗е о▓об░ажени┐ компози╢ии
comp : P (V; W ) Q(U; V ) ! R(U; W ); (p; q) 7! r
(5)
▓акие, ╖▓о r = p q:
Конк░е▓н╗й вид P (U; V ) │▓о╖н┐е▓▒┐ в╗бо░ом ▓ого, ╖▓о наз╗вае▓▒┐
в комп╝╛▓е░н╗╡ на│ка╡ цмодел╝╛ в╗╖и▒ленийч. Э▓о по▒леднее пон┐▓ие
вкл╛╖ае▓ под░обное опи▒ание не ▓ол╝ко п░ог░амм, ▓о ▓акже и в▒е╡ ╕агов
в╗╖и▒ли▓ел╝ного п░о╢е▒▒а. На ╜▓ом ╜▓апе впе░в╗е по┐вл┐╛▓▒┐ модели
кинема▓ики и динамики п░о╢е▒▒а, и можно на╖а▓╝ об▒│ждение пе░е╡ода
к кван▓овой модели.
Фо░мализованное опи▒ание пе░в╗╡ n ╕агов б│де▓ наз╗ва▓╝▒┐ и▒▓о░ией в╗╖и▒лени┐ или дл┐ к░а▓ко▒▓и п░о▓околом (длин╗ n.) Дл┐ ┤ик▒и░ованной модели п░о▓окол╗ (л╛б╗╡ длин) ▓акже об░аз│╛▓ кон▒▓░│к▓ивн╗й
ми░. М╗ дадим две ┤о░мализованн╗е ве░▒ии ╜▓ого пон┐▓и┐ дл┐ ┤│нк╢ий ▒
бе▒коне╖н╗ми и коне╖н╗ми обла▒▓┐ми оп░еделени┐ ▒оо▓ве▓▒▓венно. Пе░ва┐ б│де▓ ╡о░о╕о под╡оди▓╝ дл┐ об▒│ждени┐ в╗╖и▒лимо▒▓и за полиномиал╝ное в░ем┐, в▓о░а┐ | о▒нова дл┐ кван▓ового в╗╖и▒лени┐.
П│▒▓╝ U | бе▒коне╖н╗й кон▒▓░│к▓ивн╗й ми░. В ╜▓ой ▒ек╢ии м╗ б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ╖а▒▓и╖н╗е ┤│нк╢ии U ! U:`Более об╣ий ▒л│╖ай U ! V може▓ б╗▓╝ ▒веден
к ╜▓ом│ пе░е╡одом к U V:
Но░мал╝на┐ модел╝ в╗╖и▒лений | ╜▓о ▒▓░│к▓│░а (P; U; I; F; s), ▒о▒▓о┐╣а┐ из ╖е▓╗░е╡ множе▒▓в и о▓об░ажени┐:
I U; F P U; s : P U ! P U :
(6)
Зде▒╝ s | ▓ака┐ в▒╛д│ оп░еделенна┐ ┤│нк╢и┐, ╖▓о s(p; u) = (p; sp(u))
дл┐ л╛бой (p; u) 2 P U: С ▒оде░жа▓ел╝ной ▓о╖ки з░ени┐ p | п░ог░амма
Модели в╗╖и▒лений I: но░мал╝н╗е модели.
8
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
под▒╖е▓а в░емени, а sp (u) | нова┐ кон┤иг│░а╢и┐, пол│╖енна┐ из u по▒ле
одного в░еменного ▓ак▓а. Два добаво╖н╗╡ подмноже▒▓ва I U (на╖ал╝н╗е кон┤иг│░а╢ии или в╡од╗), и F P U (закл╛╖и▓ел╝н╗е кон┤иг│░а╢ии) должн╗ б╗▓╝ задан╗ ▓ак, ╖▓о е▒ли (p; u) 2 F; ▓о s(p; u) = (p; u),
▓. е. u | неподвижна┐ ▓о╖ка sp:
Далее ╖е░ез fp м╗ обозна╖аем ▓ак│╛ ╖а▒▓и╖н│╛ ┤│нк╢и╛ fp: I ! U ,
╖▓о
u 2 D(fp ) и fp(u) = v ()
(7)
() дл┐ неко▓о░╗╡ n > 0; (p; sn(u)) 2 F и sn(u) = v:
p
p
Минимал╝ное из ▓аки╡ n б│де▓ наз╗ва▓╝▒┐ в░еменем (╖и▒лом в░еменн╗╡
▓ак▓ов), необ╡одим╗╡ дл┐ в╗╖и▒лени┐ fp(u) ▒ и▒пол╝зованием п░ог░амм╗ p.
Л╛ба┐ коне╖на┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝
(p; u; sp(u); : : : ; smp (u)); u 2 I;
(8)
б│де▓ наз╗ва▓╝▒┐ п░о▓околом в╗╖и▒лени┐ длин╗ m.
Тепе░╝ добавим │▒лови┐ кон▒▓░│к▓ивно▒▓и.
М╗ по▓░еб│ем, ╖▓об╗ P; U б╗ли кон▒▓░│к▓ивн╗ми ми░ами, s | в╗╖и▒лим╗м. К░оме ▓ого, м╗ б│дем п░едполага▓╝, ╖▓о I; F | ░аз░е╕им╗е
подмноже▒▓ва U и P U ▒оо▓ве▓▒▓венно. Тогда fp | в╗╖и▒лим╗ и п░о▓окол╗ данной длин╗ (п░оизвол╝ной длин╗ или, ▒оо▓ве▓▒▓венно, о▒▓анавлива╛╣ие▒┐ в F ), об░аз│╛▓ кон▒▓░│к▓ивн╗е ми░╗. Е▒ли м╗ обозна╖им ╖е░ез Q ми░ п░о▓околов, о▒▓анавлива╛╣и╡▒┐ в F , а ╖е░ез ev : Q U ! U |
о▓об░ажение (p; u) 7! smax
p (u), ▓о м╗ пол│╖им ме▓од п░ог░амми░овани┐.
Така┐ модел╝ наз╗вае▓▒┐ │ниве░▒ал╝ной, е▒ли ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий ме▓од п░ог░амми░овани┐ │ниве░▒ален.
Пон┐▓ие но░мал╝ной модели в╗╖и▒лений обоб╣ае▓ как но░мал╝н╗е
алго░и▓м╗, ▓ак и ма╕ин╗ Т╝╛░инга. Под░обно об ╜▓и╡ пон┐▓и┐╡ ▒м., нап░име░, [Sa], Гл. 4. В ╕и░оком ▒м╗▒ле, p 2 P | ▒пи▒ок под▒▓ановок алго░и▓ма Ма░кова или ▓абли╢а, оп░едел┐╛╣а┐ ░або▓│ ма╕ин╗ Т╝╛░инга.
Тогда ми░╗ U; I; F ▒о▒▓о┐▓ из ░азн╗╡ ▒лов в ░або╖ем ал┤ави▓е.
П░едложение.
Дл┐ л╛бого
U
▒│╣е▒▓в│╛▓ и мог│▓ б╗▓╝ ╜┤┤ек-
▓ивно по▒▓░оен╗ │ниве░▒ал╝н╗е модели в╗╖и▒лений.
Дл┐ U = N; ╜▓о ▒лед│е▓ из ▒│╣е▒▓вовани┐ │ниве░▒ал╝н╗╡ ма╕ин
Т╝╛░инга, а в об╣ем ▒л│╖ае | из ▓ези▒а Че░╖а. Хо░о╕о изве▒▓но, │ниве░▒ал╝на┐ ма╕ина дл┐ в╗╖и▒лени┐ ┤│нк╢ий k а░г│мен▓ов пол│╖ае▓▒┐
в╗бо░ом под╡од┐╣ей ┤│нк╢ии k + 1 а░г│мен▓ов и об║┐влением пе░вого
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
9
Ю. И. Манин
а░г│мен▓а пе░еменной ╖а▒▓╝╛ п░ог░амм╗. Тогда P в ╜▓ом ▒л│╖ае ▒о▒▓ои▓ из па░ (q; m); где q | ┤ик▒и░ованна┐ п░ог░амма (k + 1){ме▒▓ной │ниве░▒ал╝ной ┤│нк╢ии (обо░│довани┐), а m | ми░, запи▒анн╗й на лен▓е
(п░ог░аммное обе▒пе╖ение).
С╡ем╗ из логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов | кла▒▒и╖е▒кие модели в╗╖и▒лений, ╡о░о╕о
под╡од┐╣ие дл┐ из│╖ени┐ о▓об░ажений межд│ коне╖н╗ми множе▒▓вами,
╜лемен▓╗ ко▓о░╗╡ закоди░ован╗ по▒ледова▓ел╝но▒▓┐ми из н│лей и едини╢.
Ра▒▒мо▓░им б│лев│ алгеб░│ B, по░ожденн│╛ над F2 ▒╖е▓ной по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛ незави▒им╗╡ пе░еменн╗╡, нап░име░ x1 ; x2 ; x3 ; : : : Э▓о
алгеб░а ╖а▒▓н╗╡ F2 [x1 ; x2 ; : : : ] о▓но▒и▓ел╝но о▓но╕ений x2i = xi : Каж1
L
д╗й б│лев▒кий много╖лен оп░едел┐е▓ ┤│нк╢и╛ на F2 ▒о зна╖ени┐ми в
i=1
F2 = f0; 1g:
М╗ на╖нем ▒о ▒лед│╛╣его п░о▒▓ого ┤ак▓а.
Модели в╗╖и▒лений II: ▒╡ем╗ из логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов.
П░едложение.
Л╛бое о▓об░ажение
f :
m
2
F
!
n
2
F
може▓ б╗▓╝
п░ед▒▓авлено един▒▓венн╗м век▓о░ом б│лев▒ки╡ много╖ленов.
Доказа▓ел╝▒▓во.
До▒▓а▓о╖но ░а▒▒мо▓░е▓╝ ▒л│╖ай n = 1: Тогда f п░ед▒▓авлено ▒ помо╣╝╛
X
Y
F (x1; : : : ; xn ) :=
f (y) (xi + yi + 1);
(9)
y=(yi )2Fm
2
i
▓ак как п░оизведение в (9) | дел╝▓а-┤│нк╢и┐ в x на y: Более ▓ого, п░о▒▓░ан▒▓ва о▓об░ажений и б│лев╗╡ полиномов име╛▓ об╣│╛ ░азме░но▒▓╝
2m над F2 :
Тепе░╝ м╗ можем в╗╖и▒ли▓╝ л╛бой век▓о░ б│лев╗╡ много╖ленов, пов▓о░┐┐ опе░а╢ии из небол╝╕ого коне╖ного ▒пи▒ка, ко▓о░╗й в╗би░ае▓▒┐ и
┤ик▒и░│е▓▒┐, нап░име░, B := fx; 1; x+y; xy; (x; x)g: Такие опе░а▓о░╗ наз╗ва╛▓▒┐ кла▒▒и╖е▒кими гей▓ами. По▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▓аки╡ опе░а▓о░ов
вме▒▓е ▒ │казанием и╡ а░г│мен▓ов из ░анее в╗╖и▒ленн╗╡ би▓ов наз╗вае▓▒┐ ▒╡емой из логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов. Чи▒ло ╕агов в╗╖и▒лени┐ в ▓акой
▒е▓и ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ как в░ем┐ (ме░а в░емени) в╗╖и▒лени┐.
Е▒ли ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие коне╖н╗е множе▒▓ва | не Fm2 и, може▓ име╛▓ не под╡од┐╣ее ╖и▒ло ╜лемен▓ов, б│дем коди░ова▓╝ и╡ ╜лемен▓╗ коне╖н╗ми по▒ледова▓ел╝но▒▓┐ми би▓ов и ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ▒│жение б│лев▒кого
много╖лена на ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие подмноже▒▓ва.
10
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
Аналоги╖но п░ед╗д│╣ем│, п░о▓окол в╗╖и▒лени┐ в ╜▓ой модели можно п░ед▒▓ави▓╝ как коне╖н│╛ ▓абли╢│, ▒о▒▓о┐╣│╛ из ▒▓░ок (в об╣ем ▒л│╖ае ░азной длин╗) ко▓о░╗е п░ед▒▓авл┐╛▓ по▒ледова▓ел╝но▒▓и из н│лей
и едини╢. На╖ал╝на┐ ▒▓░ока ╜▓ой ▓абли╢╗ | в╡одн╗е данн╗е. Кажда┐
▒лед│╛╣а┐ ▒▓░ока должна пол│╖а▓╝▒┐ из п░ед╗д│╣ей ▒▓░оки п│▓ем п░именени┐ одной из базов╗╡ ┤│нк╢ий в B к по▒ледова▓ел╝но▒▓и ▒о▒едни╡
би▓ов (о▒▓ав╕ие▒┐ би▓╗ копи░│╛▓▒┐ без изменени┐). По▒ледн┐┐ ▒▓░ока |
в╗╡одн╗е данн╗е. То╖ное положение би▓ов, ко▓о░╗е измен┐╛▓▒┐ в каждой ▒▓░оке и ▒по▒об изменени┐ должн╗ б╗▓╝ ╖а▒▓╝╛ п░о▓окола.
Физи╖е▒ки можно ░еализова▓╝ ╜▓и ▒▓░оки как ░азли╖н╗е ░еги▒▓░╗
пам┐▓и или как по▒ледова▓ел╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐ одного и ▓ого же ░еги▒▓░а (▓огда нам п░иде▓▒┐ оп░едели▓╝, как ░або▓а▓╝ ▒ пе░еменной длиной,
нап░име░, и▒пол╝з│╛ ▒имвол╗ п░обела).
Соо▓ве▓▒▓вие
межд│
ма╕инами
Т╝╛░инга
и
▒╡емами
из
Л╛бой п░о▓окол ▓╝╛░ингового в╗╖и▒лени┐
┤│нк╢ии можно ░а▒▒ма▓░ива▓╝ как п░о▓ол в╗╖и▒лени┐ под╡од┐╣ей ▒╡ем╗
из логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов, в ╜▓ом ▒л│╖ае │ на▒ е▒▓╝ ▓ол╝ко один ░еги▒▓░
(на╖ал╝на┐ ╖а▒▓╝ лен▓╗), ▒о▒▓о┐ни┐ ко▓о░ого по▒ледова▓ел╝но мен┐╛▓▒┐
головкой (п░о╢е▒▒о░ом). В ╜▓ом кон▓ек▒▓е м╗ б│дем, по-п░ежнем│, и▒пол╝зова▓╝ ▓е░мин цгей▓ч.
В╗╖и▒лима┐ ┤│нк╢и┐ f ▒ бе▒коне╖ной обла▒▓╝╛ оп░еделени┐ | п░едел по▒ледова▓ел╝но▒▓и ┤│нк╢ий fi на коне╖н╗╡ множе▒▓ва╡, г░а┤ики
ко▓о░╗╡ ░а▒╕и░┐╛▓ д░│г д░│га. Т╝╛░ингова п░ог░амма дл┐ f по░ождае▓ в╗╖и▒лим│╛ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ▒╡ем и╡ логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов, ко▓о░╗е, в ▒во╛ о╖е░ед╝, в╗╖и▒л┐╛▓ в▒е fi . Така┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ иногда
наз╗вае▓▒┐ │ни┤о░мной.
логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов.
Разме░, ▒ложно▒▓╝ и в╗╖и▒лимо▒▓╝ за полиномиал╝ное в░ем┐.
Коли╖е▒▓венна┐ ▓ео░и┐ моделей в╗╖и▒лений имее▓ дело однов░еменно ▒
изме░ени┐ми п░о▓околов по об║ем│ пам┐▓и и в░емени. В п░ед╕е▒▓в│╛╣ем под░азделе ░а▒▒ма▓░ивало▒╝ в░ем┐ в╗╖и▒лени┐, зде▒╝ м╗ введем
об║ем пам┐▓и. Дл┐ п░о▓околов ▒╡ем из логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов (и ма╕ин
Т╝╛░инга) ╜▓о ▒дела▓╝ п░о▒▓о: длина каждой ▒▓░оки п░о▓окола | об║ем
пам┐▓и, ▓░еб│ем╗й в ╜▓о▓ момен▓ (пл╛▒ е╣е не▒кол╝ко би▓ов дл┐ оп░еделени┐ ▒лед│╛╣его гей▓а). Мак▒и▒│м ╜▓и╡ длин | об╣ий ▓░еб│ем╗й
об║ем.
Сл│╖ай но░мал╝н╗╡ моделей и бе▒коне╖н╗╡ кон▒▓░│к▓ивн╗╡ ми░ов | более ин▓е░е▒н╗й.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
11
Ю. И. Манин
В об╣ем ▒л│╖ае м╗ б│дем наз╗ва▓╝ ┤│нк╢ией ░азме░а U ! N : u ! juj
л╛б│╛ ▓ак│╛ ┤│нк╢и╛, ╖▓о дл┐ каждого B 2 N, е▒▓╝ ▓ол╝ко коне╖ное ╖и▒ло об║ек▓ов, дл┐ ко▓о░╗╡ juj 6 B: Таким об░азом, ╖и▒ло би▓ов
jnj = [log2 n] + 1 и ▓ожде▒▓венна┐ ┤│нк╢и┐ knk = n | ┤│нк╢ии ░азме░а.
И▒пол╝з│┐ н│ме░а╢и╛, м╗ можем пе░еве▒▓и и╡ в л╛бой кон▒▓░│к▓ивн╗й
ми░. В ╜▓и╡ дв│╡ п░име░а╡ ╖и▒ло кон▒▓░│к▓ивн╗╡ об║ек▓ов ░азме░а 6 H
░а▒▓е▓ как exp(cH ), ▒оо▓ве▓▒▓венно, cH: Така┐ о╢енка в более об╣и╡ ▒л│╖а┐╡ позвол┐е▓ дела▓╝ ░азли╖ие межд│ би▓ов╗м ░азме░ом, изме░┐╛╣им
длин│ опи▒ани┐ об║ек▓а, и об║емом об║ек▓а.
Как п░авило, ▓░еб│е▓▒┐ в╗╖и▒лимо▒▓╝ ┤│нк╢ий ░азме░а. Тем не менее, е▒▓╝ два и▒кл╛╖ени┐: нап░име░, колмого░ов▒ка┐ ▒ложно▒▓╝ | не
в╗╖и▒лима┐ ┤│нк╢и┐ ░азме░а ▒ о╖ен╝ важн╗ми ▒вой▒▓вами (▒м. ниже
и ░азд. 5).
Задав ┤│нк╢и╛ ░азме░а (на в▒е╡ ░елеван▓н╗╡ ми░а╡) и но░мал╝н│╛
модел╝ в╗╖и▒лений S , м╗ можем ░а▒▒мо▓░е▓╝ ▒лед│╛╣ие ▒ложно▒▓н╗е
п░облем╗.
(A) Дл┐ заданного мо░┤изма (в╗╖и▒лимого о▓об░ажени┐) f : U ! V ,
о╢ени▓╝ наимен╝╕ий ░азме░ KS (f ) ▓акой п░ог░амм╗ p, ╖▓о f = fp :
Колмого░ов, Соломоно┤┤ и Чай▓ин доказали, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓ака┐
оп▓имал╝на┐ │ниве░▒ал╝на┐ модел╝ в╗╖и▒лений U , ╖▓о дл┐ P = N и
би▓овой ┤│нк╢ии ░азме░а дл┐ л╛бой д░│гой модели S ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓ака┐
кон▒▓ан▓а c, ╖▓о дл┐ л╛бой ┤│нк╢ии f
KU (f ) 6 KS (f ) + c:
Когда модел╝ U в╗б░ана, KU (f ) наз╗вае▓▒┐ колмого░ов▒кой ▒ложно▒▓╝╛
┤│нк╢ии f: В╗би░а┐ ░азли╖н╗м ▒по▒обом U , м╗ б│дем пол│╖а▓╝ одн│ и
▓│ же ┤│нк╢и╛ ▒ложно▒▓и ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ до ▒лагаемого по░┐дка O(1).
Э▓а ме░а ▒ложно▒▓и о╖ен╝ не▓░ивиал╝на (и о▒обенно ин▓е░е▒на) дл┐
одно╜лемен▓ного ми░а U и бе▒коне╖ного V: В ╜▓ом ▒л│╖ае она изме░┐е▓
░азме░ наиболее ▒жа▓ого опи▒ани┐ пе░еменного кон▒▓░│к▓ивного об║ек▓а в V: Э▓а ме░а ▒ложно▒▓и ▒ове░╕енно цоб║ек▓ивнач, ▓ак как по╖▓и не
зави▒и▓ о▓ л╛б╗╡ п░оизвол╝н╗╡ в╗бо░ов. Б│д│╖и нев╗╖и▒лимой, она не
може▓ б╗▓╝ непо▒░ед▒▓венно и▒пол╝зована в коп╝╛▓е░ном деле. Однако,
она наклад╗вае▓ неко▓о░╗е о▒новн╗е ог░ани╖ени┐ на ░азли╖н╗е ме░╗
▒ложно▒▓и, подобн╗е ог░ани╖ени┐м, задаваем╗м законами ▒о╡░анени┐ в
┤изике.
Дл┐ N м╗ имеем KU (n) 6 jnj + O(1) = log2 knk + O(1): Пе░вое не░авен▒▓во цпо╖▓и в▒егдач може▓ б╗▓╝ заменено ░авен▒▓вом, но бе▒коне╖но
╖а▒▓о KU (n) ▒▓анови▓▒┐ намного мен╝╕е, ╖ем jnj:
12
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
(B)
Дл┐ данного мо░┤изма
(░ек│░▒ивного о▓об░ажени┐) f : U ! V
f (u); u 2 D(f ) ▒ и▒пол╝зова-
о╢ени▓╝ в░ем┐, ▓░еб│емое дл┐ в╗╖и▒лени┐
нием п░ог░амм╗
p и ▒░авни▓╝ ░ез│л╝▓а▓╗ дл┐ ░азли╖н╗╡ p и ░азли╖н╗╡
моделей в╗╖и▒лений.
(C) Сдела▓╝ ▓о же ▒амое дл┐ ┤│нк╢ии цмак▒имал╝н╗й ░азме░ п░омеж│▓о╖н╗╡ кон┤иг│░а╢ий в п░о▓околе в╗╖и▒лени┐ f (u) ▒ и▒пол╝зованием
п░ог░амм╗ pч (зона, об║ем пам┐▓и).
В по▒ледни╡ дв│╡ зада╖а╡ ▒лед│е▓ ▒░авнива▓╝ не ╖и▒ла, а ┤│нк╢ии:
в░ем┐ и об║ем пам┐▓и в зави▒имо▒▓и о▓ ░азме░а в╡ода. Зде▒╝ е▒▓е▒▓венно
возникае▓ г░│ба┐ полиномиал╝на┐ ╕кала. Покажем, как ╜▓о п░ои▒╡оди▓.
За┤ик▒и░│ем в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ модел╝ S ┤│нк╢ией пе░е╡ода s, в╗╖и▒л┐╛╣ей ┤│нк╢ии U ! U , и в╗бе░ем ┤│нк╢и╛ би▓ового ░азме░а на U ,
│довле▓во░┐╛╣│╛ ▒лед│╛╣ем│ ░е╕а╛╣ем│ п░едположени╛:
() juj ; c 6 jsp (u)j 6 juj + c, где кон▒▓ан▓а c може▓ зави▒е▓╝ о▓ p,
но не зави▒и▓ о▓
u:
В ╜▓ом ▒л│╖ае м╗ имеем jsmp (u)j 6 juj + cp m, ▓. е. ▓░еб│ем╗й об║ем
пам┐▓и ░а▒▓е▓ ▒о в░еменем не более, ╖ем линейно.
П│▒▓╝ ▓епе░╝ (S 0 ; s0 ) | д░│га┐ ▓ака┐ модел╝, ╖▓о sp = s0q дл┐ неко▓о░ого q: Нап░име░, ▓акое q в▒егда ▒│╣е▒▓в│е▓, е▒ли S 0 │ниве░▒ал╝на.
П░едположим, ╖▓о s0 ▓акже │довле▓во░┐е▓ и () и, вдобавок,
() s може▓ б╗▓╝ в╗╖и▒лено в модели S 0 за в░ем┐, ог░ани╖енное
полиномом
F
в п░едела╡ об║ема пам┐▓и, занимаемого в╡одн╗ми данн╗ми.
Э▓о ▓░ебование о╖евидн╗м об░азом в╗полнено дл┐ моделей Т╝╛░инга и Ма░кова и в об╣ем ▒л│╖ае ░аз│мно, ▓ак как пон┐▓ие ╜лемен▓а░ного
╕ага алго░и▓ма оп░авд╗вае▓ ▒вое название ▓ол╝ко, е▒ли ╜▓о▓ ╕аг дей▒▓ви▓ел╝но п░о▒▓ в в╗╖и▒ли▓ел╝ном ▒м╗▒ле.
Тогда м╗ можем замени▓╝ одно п░именение sp к smp (u) на
6 F (juj + cm) п░именений s0q . И е▒ли нам н│жно T (u) ╕агов дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ в╗╖и▒ли▓╝ fp(u) ▒ и▒пол╝зованием S , нам надо не более, ╖ем
T (u)
6 P F (juj + cm) ╕агов дл┐ в╗╖и▒лени┐ ▓ой же ▒амой ┤│нк╢ии ▒ и▒пол╝m=1
зованием S 0 и q: В де▓ализованной модели в╗╖и▒лени┐ може▓ │╖и▓╗ва▓╝▒┐ добаво╖на┐ ▒▓оимо▒▓╝ ▒ли┐ни┐ дв│╡ п░о▓околов. Э▓о п░име░ пе░евода
мо░┤изма (4), подн┐▓ого до ми░ов п░о▓околов.
Таким об░азом, из () и () ▒лед│е▓, ╖▓о ┤│нк╢ии, в╗╖и▒лим╗е за
полиномиал╝ное в░ем┐ ▒ помо╣╝╛ S , облада╛▓ ▓аким же ▒вой▒▓вом дл┐
л╛б╗╡ ░аз│мн╗╡ моделей. Заме▓им ▓акже, ╖▓о дл┐ л╛б╗╡ ▓аки╡ ┤│нк╢ий
jf (u)j 6 G(juj) дл┐ неко▓о░ого полинома G и, ╖▓о обла▒▓╝ оп░еделени┐
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
13
Ю. И. Манин
D(f ) ▓акой ┤│нк╢ии ░аз░е╕има: е▒ли за T (juj) sp{╕агов м╗ не попали в
закл╛╖и▓ел╝ное ▒о▒▓о┐ние, ▓о u 2= D(f ):
Таким об░азом, м╗ можем оп░едели▓╝ кла▒▒ PF ┤│нк╢ий, нап░име░,
▓ипа Nk ! N, в╗╖и▒лим╗╡ за полиномиал╝ное в░ем┐ ▒ помо╣╝╛ ┤ик▒и░ованной │ниве░▒ал╝ной ма╕ин╗ Т╝╛░инга, и, и▒пол╝з│┐ в╗╕еп░иведенн│╛ а░г│мен▓а╢и╛ │▒▓анови▓╝, ╖▓о ╜▓о оп░еделение не зави▒и▓ о▓ модели.
Однако, е▒ли м╗ ╡о▓им ░а▒╕и░и▓╝ его до кон▒▓░│к▓ивной в▒еленной C нам п░иде▓▒┐ по▒▓│ли░ова▓╝ вдобавок, ╖▓о л╛бой кон▒▓░│к▓ивн╗й
ми░ U задае▓▒┐ ▒овме▒▓но ▒ е▒▓е▒▓венн╗м кла▒▒ом н│ме░а╢ий, ко▓о░╗е
вме▒▓е ▒о ▒воими об░а╣ени┐ми в╗╖и▒лим╗ за полиномиал╝ное в░ем┐. Э▓о
по╡оже на ╖а▒▓╝ ▒оде░жани┐ цполиномиал╝ного ▓ези▒а Че░╖ач введенного
М. Ф░идманом в [Fr1]. Е▒ли м╗ п░имем ╜▓о │▒иление ▓ези▒а Че░╖а, ▓о м╗
можем оп░едели▓╝ ▓акже би▓ов╗й ░азме░ л╛бого кон▒▓░│к▓ивного об║ек▓а как би▓ов╗й ░азме░ его номе░а в одной из ╜▓и╡ н│ме░а╢ий. Ча▒▓ное
дв│╡ ▓аки╡ ┤│нк╢ий ░азме░а ог░ани╖ено положи▓ел╝н╗ми кон▒▓ан▓ами
▒ве░╡│ и ▒низ│.
Ниже м╗ б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ▓ол╝ко в▒еленн╗е C и ми░╗ U ▒ ╜▓ими ▒вой▒▓вами, и juj б│де▓ в▒егда обозна╖ением одной из но░м би▓ового ░азме░а. Геделева н│ме░а╢и┐ (2) дл┐ N N показ╗вае▓, ╖▓о ▓акие
C по-п░ежнем│ замкн│▓╗ о▓но▒и▓ел╝но коне╖н╗╡ п░оизведений. (Заме▓им, однако, ╖▓о п░ек░а▒на┐ н│ме░а╢и┐ (3) дл┐ N , и▒пол╝з│╛╣а┐ п░о▒▓╗е ╖и▒ла, не в╗╖и▒лима за полиномиал╝ное в░ем┐; ее можно замени▓╝
д░│гой н│ме░а╢ией, ко▓о░а┐ лежи▓ в PF .)
По оп░еделени╛, подмноже▒▓во E U п░инадлежи▓
P , е▒ли и ▓ол╝ко е▒ли его ╡а░ак▓е░и▒▓и╖е▒ка┐ ┤│нк╢и┐ E (░авна┐
1 на E и 0 за его п░еделами) п░инадлежи▓ кла▒▒│ PF: Далее, E 2 U
П░облема P/NP.
кла▒▒│
NP, ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда, когда ▒│╣е▒▓в│╛▓ ▓акие
подмноже▒▓во E 0 U V , п░инадлежа╣ее P , и полином G, ╖▓о
п░инадлежи▓ кла▒▒│
u 2 E () 9 (u; v) 2 E 0 ▒ jvj 6 G(juj):
Зде▒╝ V | д░│гой ми░ (ко▓о░╗й може▓ и ▒овпада▓╝ c U ). М╗ б│дем гово░и▓╝, ╖▓о E пол│╖ено из E 0 ▒ помо╣╝╛ полиномиал╝но │▒е╖енной п░оек╢ии.
В╗╕еп░иведенн╗е ░а▒▒│ждени┐ │▒▓анавлива╛▓ ▒м╗▒л, в ко▓о░ом ╜▓о
оп░еделение не зави▒и▓ о▓ модели.
Я▒но, ╖▓о P NP. Об░а▓ное вкл╛╖ение в░┐д ли в╗полнено. Наивн╗й
алго░и▓м, в╗╖и▒л┐╛╣ий E из E пои▒ком v, дл┐ ко▓о░ого jvj 6 G(juj)
и E (u; v) = 1, ▓░еб│е▓ ╜к▒понен╢иал╝ного в░емени, нап░име░, когда не▓
▓акого v (▓ак как juj | ┤│нк╢и┐ би▓ового ░азме░а). Коне╖но, е▒ли можно
0
0
14
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
об░аба▓╗ва▓╝ в▒е ▓акие v па░аллел╝но, ▓о ▓░еб│емое в░ем┐ б│де▓ полиномиал╝н╗м. Д░│га┐ возможно▒▓╝ | е▒ли │ ва▒ е▒▓╝ какой-либо о░ак│л,
ко▓о░╗й ▒ооб╣ае▓ вам, ╖▓о u 2 E и п░едо▒▓авл┐е▓ под╡од┐╣ее v, ▓о в╗
може▓е п░ове░и▓╝ ╜▓о за полиномиал╝ное в░ем┐, в╗╖и▒л┐┐ E (u; v) = 1:
Заме▓им, ╖▓о пе░е╖и▒лим╗е множе▒▓ва мог│▓ б╗▓╝ опи▒ан╗ ина╖е
как п░оек╢ии ░аз░е╕им╗╡ множе▒▓в и ╖▓о в ╜▓ом кон▓ек▒▓е п░оек╢ии не
▒озда╛▓ не░аз░е╕им╗╡ множе▒▓в. Ником│ е╣е не │дало▒╝ п░еоб░азова▓╝
диагонализа╢ионное по▒▓░оение пе░е╖и▒лим╗╡ не░аз░е╕им╗╡ множе▒▓в
▓ак, ╖▓об╗ │▒▓анови▓╝ подобн╗й ┤ак▓ в обла▒▓и P/NP. М. Ф░идман ([Fr2])
п░едложил нов╗й ин▓е░е▒н╗й под╡од к п░облеме P/NP, о▒нованн╗й на
моди┤ика╢ии ▒▓░а▓егии Г░омова опи▒ани┐ г░│пп полиномиал╝ного ░о▒▓а.
Давно │же изве▒▓но, ╖▓о ╜▓а п░облема може▓ б╗▓╝ ▒ведена к п░ове░ке ▓ого, п░инадлежа▓ ли P неко▓о░╗е о╖ен╝ ▒пе╢иал╝н╗е множе▒▓ва | NP{полн╗е. Множе▒▓во E U наз╗вае▓▒┐ NP{полн╗м, е▒ли дл┐
л╛бого д░│гого множе▒▓ва D V , D 2 NP, ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓ака┐ ┤│нк╢и┐
f : V ! U; f 2 PF; ╖▓о D = f ;1 (E ); ▓о е▒▓╝ D (v) = E (f (v)): П░иведем
кла▒▒и╖е▒кое обо▒нование (по К. К│к│, Л. Левин│, Р. Ка░п│) ▒│╣е▒▓вовани┐ NP{полн╗╡ множе▒▓в. Фак▓и╖е▒ки ░а▒▒│ждение кон▒▓░│к▓ивно: оно
│▒▓анавливае▓ полиномиал╝но в╗╖и▒лимое о▓об░ажение, в╗да╛╣ее f и▒╡од┐ из опи▒аний E и │▒ека╛╣его полинома G:
Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ опи▒а▓╝ одн│ NP{полн│╛ п░облем│, оп░еделим бе▒коне╖ное ▒емей▒▓во б│лев╗╡ полиномов bu индек▒и░ованн╗╡ ▒лед│╛╣ими
данн╗ми, об░аз│╛╣ими об║ек▓╗ u кон▒▓░│к▓ивного ми░а U . Каждое u
| ▒овок│пно▒▓╝
m 2 N; (S1; T1 ); : : : ; (SN ; TN );
(10)
где Si ; Ti f1; : : : ; mg; и bu оп░еделено как
0
0
bu(x1 ; : : : ; xm ) =
0
N
Y
@
i=1
1+
Y
k2Si
1
Y A
(1 + xk ) xj :
j 2Ti
(11)
Разме░ (10), по оп░еделени╛, ░авен juj = mN:
Положим
E = fu 2 U j 9v 2 Fm2 ; bu(v) = 1g:
В ▓е░мина╡ и▒▓инно▒▓н╗╡ зна╖ений можно ▒каза▓╝, ╖▓о v в╗полн┐е▓ bu ,
е▒ли bu (v) = 1, и E наз╗вае▓▒┐ п░облемой в╗полнимо▒▓и или SAT:
П░едложение.
E 2 NP.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
15
Ю. И. Манин
Дей▒▓ви▓ел╝но, п│▒▓╝
E 0 = f(u; v) j bu (v) = 1g U (1
(12)
i=1 F2 ) :
Я▒но, ╖▓о E | полна┐ п░оек╢и┐ E 0 : Чи▓а▓ел╝ без ▓░│да може▓ │беди▓╝▒┐ в ▓ом, ╖▓о E 0 2 P: Дей▒▓ви▓ел╝но, bu (v) можно в╗╖и▒ли▓╝, в╗полн┐┐
O(Nm) логи╖е▒ки╡ │множений и ▒ложений. П░оек╢и┐ на E може▓ б╗▓╝
заменена полиномиал╝но │▒е╖енной п░оек╢ией, ▓ак как нам надо п░ове░┐▓╝ ▓ол╝ко v ░азме░а jvj 6 m:
E | NP{полно.
Дей▒▓ви▓ел╝но, п│▒▓╝ D 2 NP, D A, где A | неко▓о░а┐ в▒еленна┐.
Воз╝мем п░ед▒▓авление D как полиномиал╝но │▒е╖енной п░оек╢ии неко▓о░ого множе▒▓ва D0 A B , D0 2 P: В╗бе░ем но░мал╝н│╛, нап░име░,
П░едложение.
▓╝╛░ингов│ модел╝ в╗╖и▒лениий и ░а▒▒мо▓░им ▓╝╛░ингов╗ п░о▓окол╗
в╗╖и▒лени┐ D (a; b) ▒ ┤ик▒и░ованн╗м a и пе░еменн╗м полиномиал╝но
ог░ани╖енн╗м b: Как об║┐▒нено в╗╕е, дл┐ данного a, л╛бой ▓акой п░о▓окол може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен как ▓абли╢а ┤ик▒и░ованного полиномиал╝но
ог░ани╖енного ░азме░а, ▒▓░оки ко▓о░ой | по▒ледова▓ел╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐
в╗╖и▒лени┐. В цмик░о▒копи╖е▒комч опи▒ании пози╢ии ╜▓ой ▓абли╢╗ мог│▓ б╗▓╝ заполнен╗ ▓ол╝ко знаками 0 или 1. Вдобавок, кажда┐ ▒▓░ока
▓абли╢╗ ▒набжена опи▒анием пози╢ии и вн│▓░еннего ▒о▒▓о┐ни┐ головки
(п░о╢е▒▒о░а). Неко▓о░╗е из заполнений | п░авил╝н╗е п░о▓окол╗, д░│гие | не▓, но локал╝на┐ п░и░ода ▓╝╛░ингова в╗╖и▒лени┐ позвол┐е▓ ▒озда▓╝ ▓акие б│лев╗ полином╗ bu в под╡од┐╣и╡ пе░еменн╗╡, ко▓о░╗е на
п░авил╝н╗╡ п░о▓окола╡ п░инима╛▓ зна╖ение 1; ▓аким об░азом, ░а▒познава┐ и╡. Более под░обн╗е по┐▒нени┐ ▒м. в [GaJ], ░азд. 2.6. Э▓о оп░едел┐е▓
┤│нк╢и╛ f , ▒вод┐ D к E . Э▓а кон▒▓░│к╢и┐ на▒▓ол╝ко непо▒░ед▒▓венна,
╖▓о в╗╖и▒лимо▒▓╝ f за полиномиал╝ное в░ем┐ пол│╖ае▓▒┐ немедленно.
Изве▒▓но, ╖▓о многие е▒▓е▒▓венн╗е п░облем╗ | NP {полн╗, в ╖а▒▓но▒▓и (п░облема ░а▒познавани┐) 3{SAT: Э▓о множе▒▓во оп░едел┐е▓▒┐ как
подмноже▒▓во SAT , ▒о▒▓о┐╣ее из ▓е╡ u, дл┐ ко▓о░╗╡ card (Si [ Ti ) = 3
дл┐ в▒е╡ i.
0
Бол╝╕ин▒▓во б│лев╗╡ ┤│нк╢ий не в╗╖и▒лим╗ за полиномиал╝ное в░ем┐. Неко▓о░╗е ва░иан▓╗ ╜▓ого п░едложени┐ можно доказа▓╝ п░о▒▓╗м под▒╖е▓ом.
П░ежде в▒его, за┤ик▒и░│ем коне╖н╗й бази▒ B б│лев╗╡ опе░а╢ий как
в 1.4.1, кажда┐ из ко▓о░╗╡ дей▒▓в│е▓ на 6 a би▓а╡. За▓ем по▒ледова▓ел╝но▒▓и ╜▓и╡ опе░а╢ий длин╗ t по░ожда╛▓ O((bna )t ) б│лев╗╡ ┤│нк╢ий
Заме╖ание.
16
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
n
2
F
! Fn2 , где b = card B: С д░│гой ▒▓о░он╗, ╖и▒ло в▒е╡ ┤│нк╢ий, 2n2n ,
░а▒▓е▓ как двойна┐ ╜к▒понен▓а n и дл┐ бол╝╕и╡ n не може▓ б╗▓╝ пол│╖ено
за в░ем┐ t, ог░ани╖енное полиномом о▓ n:
Такое же закл╛╖ение делае▓▒┐, когда м╗ ░а▒▒ма▓░иваем не в▒е ┤│нк╢ии, а ▓ол╝ко пе░е▒▓ановки: ┤о░м│ла С▓и░линга дл┐ card S2n = 2n ! ▒оде░жи▓ двойн│╛ ╜к▒понен▓│
Во▓ е╣е одно видоизменение ╜▓ой п░облем╗: оп░еделим в░еменн│╛
▒ложно▒▓╝ кла▒▒а ▒межно▒▓и в S2n как минимал╝ное ╖и▒ло ╕агов, необ╡одимое дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ в╗╖и▒ли▓╝ неко▓о░│╛ пе░е▒▓ановк│ в ╜▓ом
кла▒▒е. Э▓о пон┐▓ие возникае▓, е▒ли м╗ ин▓е░е▒│ем▒┐ в╗╖и▒лением ав▓омо░┤измов коне╖ной в▒еленной мо╣но▒▓и 2n , ко▓о░а┐ не ▒набжена ▒пе╢и┤и╖е▒ким коди░ованием бина░н╗ми ▒ловами. Тогда може▓ ▒л│╖и▓╝▒┐,
╖▓о под╡од┐╣ий в╗бо░ коди░овки може▓ ▒│╣е▒▓венно │п░о▒▓и▓╝ в╗╖и▒ление заданной ┤│нк╢ии. Однако, дл┐ бол╝╕ин▒▓ва ┤│нк╢ий м╗ в▒е ░авно не ▒можем до▒▓и╖╝ в╗╖и▒лимо▒▓и за полиномиал╝ное в░ем┐, ▓ак как
а▒имп▓о▓и╖е▒ка┐ ┤о░м│ла дл┐ ╖и▒ла кла▒▒ов ▒межно▒▓и
r
p(2n ) exp 23 (2n ; 241 )
p
4 3(2n ; 241 )
▓акже показ╗вае▓ ░о▒▓ по░┐дка двойной ╜к▒понен▓╗.
2. Кван▓ов╗й па░аллелизм
В ╜▓ом ░азделе м╗ об▒│дим о▒нов╗: как и▒пол╝зова▓╝ п░ин╢ип ▒│пе░пози╢ии дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ │▒ко░┐▓╝ (неко▓о░╗е) кла▒▒и╖е▒кие в╗╖и▒лени┐.
Опи▒ание п░облем╗.
! f0; : : : ; N ; 1g
|
П│▒▓╝
▓ака┐
N | бол╝╕ое ╖и▒ло, F : f0; : : : ; N ; 1g !
┤│нк╢и┐,
дл┐
ко▓о░ой
в╗╖и▒ление
л╛бого
F (x) п░о▒▓о, ▓. е. може▓ б╗▓╝ ▒делано за в░ем┐, ог░аx: М╗ ╡о▓им в╗╖и▒ли▓╝ (░а▒позна▓╝) неко▓о░ое ▒вой▒▓во г░а┤а (x; F (x)); нап░име░ :
(i) Най▓и наимен╝╕ий пе░иод r ┤│нк╢ии F , ▓. е. ▓акой наимен╝╕ий
в╗╖е▓ r mod N , ╖▓о F (x + r mod N ) = F (x) дл┐ в▒е╡ x (кл╛╖евой ╕аг в
╖а▒▓ного зна╖ени┐
ни╖енное полиномом о▓ log
).
п░облеме ░азложени┐ на множи▓ели
(ii) Най▓и
▓акое
неко▓о░ое ▓акое
x, ╖▓о F (x) = 1 или │▒▓анови▓╝, ╖▓о
x не ▒│╣е▒▓в│е▓ (п░облема пои▒ка).
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
17
Ю. И. Манин
Как м╗ │же о▓ме╖али, поп╗▓ка п░┐мого ░е╕ени┐ ▓акой п░облем╗ ▒о▒▓ои▓ в ▒оби░ании полного ▒пи▒ка па░ (x; F (x)) и по▒лед│╛╣ем п░именении к нем│ алго░и▓ма ░а▒познавани┐ в╗┐▒н┐емого ▒вой▒▓ва. Така┐ ▒▓░а▓еги┐ ▓░еб│е▓ по к░айней ме░е ╜к▒понен╢иал╝ного в░емени (как ┤│нк╢ии би▓ового ░азме░а N ), по▒кол╝к│ длина ▒пи▒ка | N: Е▒ли о▒▓ави▓╝ в
▒▓о░оне возможно▒▓╝ ▓ео░е▓и╖е▒кого п░о░╗ва в понимании ▓аки╡ зада╖,
(нап░име░, доказа▓ел╝▒▓во ▓ого, ╖▓о P = NP ), п░ак▓и╖е▒ким ░е╕ением
могло б╗ б╗▓╝ и▒пол╝зование возможно▒▓и па░аллел╝ного в╗╖и▒лени┐,
▓. е. в╗╖и▒лени┐ однов░еменно многи╡ или даже в▒е╡ зна╖ений F (x): Э▓о
занимае▓ мен╝╕е в░емени, но ▓░еб│е▓ (не)п░опо░╢ионал╝но много обо░│довани┐.
Заме╖а▓ел╝ное п░едложение, в╗▒казанное Д. Дой╖ем (▒м. [DeuJ],
[Deu]), ▒о▒▓ои▓ в и▒пол╝зовании кван▓овой ▒│пе░пози╢ии кла▒▒и╖е▒ки╡
▒о▒▓о┐ний jxi вме▒▓о об║единени┐ N кла▒▒и╖е▒ки╡ ░еги▒▓░ов, кажд╗й
из ко▓о░╗╡ на╡оди▓▒┐ в одном из на╖ал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний jxi. Дл┐ бол╝╕ей
▓о╖но▒▓и далее в ка╖е▒▓ве оп░еделени┐ ┤о░м│ли░│е▓▒┐ ма▓ема▓и╖е▒ка┐
модел╝.
Кван▓ов╗е па░аллел╝н╗е в╗╖и▒лени┐: ве░▒и┐ I.
введенн╗е обозна╖ени┐, п░едположим к░оме ▓ого, ╖▓о
биек▓ивное о▓об░ажение
же▒▓ва в▒е╡ в╡одов
(i)
лек▒ное
).
N = 2n и ╖▓о F
|
(множе▒▓во в▒е╡ в╗╡одов | пе░е▒▓ановка мно-
Кван▓овое п░о▒▓░ан▒▓во в╡одов и в╗╡одов |
гил╝бе░▓ово
Со╡░ан┐┐ ░анее
п░о▒▓░ан▒▓во
Hn
▒
2n {ме░ное
о░▓огонал╝н╗м
комп-
бази▒ом
jxi
,
0 6 x 6 N ; 1. Век▓о░а jxi наз╗ва╛▓▒┐ кла▒▒и╖е▒кими ▒о▒▓о┐ни┐ми.
(ii) Кван▓ова┐ ве░▒и┐ F | ▓акой │никал╝н╗й │ни▓а░н╗й опе░а▓о░
UF : Hn ! Hn , ╖▓о UF jxi = jF (x)i.
F | ┤изи╖е▒ка┐ ░еализа╢и┐ ▒и▒Hn и опе░а▓о░ом ╜вол╛╢ии UF .
Наивно гово░┐, е▒ли м╗ п░имен┐ем UF к на╖ал╝ном│ ▒о▒▓о┐ни╛, ко-
Кван▓овое па░аллел╝ное в╗╖и▒ление
▓ем╗ ▒ п░о▒▓░ан▒▓вом ▒о▒▓о┐ний
▓о░ое ┐вл┐е▓▒┐ ▒│пе░пози╢ией в▒е╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒о▒▓о┐ний ▒ ░авн╗ми,
нап░име░, ампли▓│дами, ▓о м╗ пол│╖аем однов░еменно в▒е кла▒▒и╖е▒кие
зна╖ени┐ F (▓. е. и╡ ▒│пе░пози╢и╛):
UF p1
N
X !
jxi = p1
N
X
jF (x)i:
(14)
Пе░ед ▓ем, как пе░ей▓и к более ░еали▒▓и╖е▒кой моди┤ика╢ии ╜▓ого оп░еделени┐, м╗ ░а▒▒мо▓░им неко▓о░╗е ▒в┐занн╗е ▒ ним воп░о▒╗.
18
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
(A) В╗╕е м╗ положили N = 2n , по▓ом│ ╖▓о м╗ п░ед▒▓авл┐ем ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣│╛ кла▒▒и╖е▒к│╛ ▒и▒▓ем│ как n{би▓ов╗й ░еги▒▓░ (▒░. об▒│ждение логи╖е▒ки╡ ▒╡ем). Каждое
P ╖и▒ло 0 6 x 6 N ; 1 запи▒╗вае▓▒┐ в двои╖ном виде как x = i 2i и о▓ожде▒▓вл┐е▓▒┐ ▒ ╖и▒▓╗м
i
(кла▒▒и╖е▒ким) ▒о▒▓о┐нием jn;1 ; : : : ; 0 i, где i = 0 или 1 | ▒о▒▓о┐ние i{го ░еги▒▓░а. Кван▓ова┐ ▒и▒▓ема H1 наз╗вае▓▒┐ к│би▓. М╗ имеем
Hn = H1
n; jn;1 ; : : : ; 0 i = jn;1 i j0 i:
Э▓о ▒огла▒│е▓▒┐ ▒ о▒новн╗ми п░ин╢ипами кван▓овой ме╡аники. Гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во об║единени┐ под▒и▒▓ем може▓ б╗▓╝ о▓ожде▒▓влено ▒ ▓ензо░н╗м п░оизведением гил╝бе░▓ов╗╡ подп░о▒▓░ан▒▓в под▒и▒▓ем.
Таким же об░азом, ░азложим╗е век▓о░╗ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ▓аким ▒о▒▓о┐ни┐м в▒ей ▒и▒▓ем╗, п░и ко▓о░╗╡ индивид│ал╝н╗е под▒и▒▓ем╗ на╡од┐▓▒┐ в
оп░еделенн╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡.
(B) Чи▒▓╗е кван▓ов╗е ▒о▒▓о┐ни┐, ▒▓░ого гово░┐, | ▓о╖ки п░оек▓ивного п░о▒▓░ан▒▓ва P (Hn), ▓о е▒▓╝ линии в Hn: Т░ади╢ионно вме▒▓о ни╡
░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐ век▓о░а едини╖ной но░м╗. Э▓о о▒▓авл┐е▓ неоп░еделенн╗м об╣ий ┤азов╗й множи▓ел╝ exp(i'). Е▒ли │ на▒ е▒▓╝ два век▓о░а
▒о▒▓о┐ний, ▓о индивид│ал╝н╗е ┤азов╗е множи▓ели не име╛▓ об║ек▓ивного зна╖ени┐ | зна╖ение имее▓ и╡ ╖а▒▓ное, ▓. е. ░азно▒▓╝ и╡ ┤аз. Э▓а
░азно▒▓╝ може▓ б╗▓╝ изме░ена набл╛дением ╜┤┤ек▓ов ин▓е░┤е░ен╢ии.
Э▓а возможно▒▓╝ и▒пол╝з│е▓▒┐ дл┐ ▒оздани┐ ╜┤┤ек▓ивн╗╡ кван▓ов╗╡ алго░и▓мов.
(C) Е▒ли кван▓ова┐ ▒и▒▓ема S изоли░ована, ▓о ее динами╖е▒ка┐ ╜вол╛╢и┐ опи▒╗вае▓▒┐ │ни▓а░н╗м опе░а▓о░ом U (t) = exp(iHt), где H | гамил╝▓ониан, t | в░ем┐. По╜▓ом│ одна из возможно▒▓ей в╗полнени┐ UF
| ┤изи╖е▒ки по▒▓░ои▓╝ │▒▓░ой▒▓во, дл┐ ко▓о░ого UF б╗л б╗ ┤ик▒и░ованн╗м опе░а▓о░ом ╜вол╛╢ии. Однако, ╜▓о о╖евидн╗м об░азом на╡оди▓▒┐
в п░о▓иво░е╖ии ▒о многими гл│боко │ко░енив╕ими▒┐ пон┐▓и┐ми ▓ео░ии
алго░и▓мов. Нап░име░, в╗╖и▒ление F (x) дл┐ ░азн╗╡ в╡одов x занимае▓
░азное в░ем┐ и б╗ло б╗ о╖ен╝ ▓░│дно │░авн┐▓╝ и╡ │же на ▒▓адии ░аз░або▓ки.
Вме▒▓о ╜▓ого можно поп╗▓а▓╝▒┐ в╗полни▓╝ UF как ░ез│л╝▓а▓ по▒ледова▓ел╝но▒▓и ко░о▓ки╡ взаимодей▒▓вий ▒и▒▓ем╗ S ▒ обо░│дованием,
▓о╖но │п░авл┐ем╗╡ кла▒▒и╖е▒ким комп╝╛▓е░ом (нап░име░, ▒ и▒пол╝зованием лазе░н╗╡ имп│л╝▒ов). В╗░ажа┐▒╝ ма▓ема▓и╖е▒ки, UF п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ как п░оизведение неко▓о░╗╡ ▒▓анда░▓н╗╡ │ни▓а░н╗╡ опе░а▓о░ов Um : : : U1 , кажд╗й из ко▓о░╗╡ дей▒▓в│е▓ ▓ол╝ко на небол╝╕ое подмноже▒▓во (до ▓░е╡) кла▒▒и╖е▒ки╡ би▓. Э▓и опе░а▓о░╗ наз╗ва╛▓▒┐ кван▓ов╗ми гей▓ами.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
19
Ю. И. Манин
Сложно▒▓╝ ░а▒▒ма▓░иваемого кван▓ового в╗╖и▒лени┐ оп░еделена его
длиной (╖и▒лом гей▓ов m) и ▒ложно▒▓╝╛ каждого из ни╡. По▒ледний
п│нк▓ ▒оде░жи▓ ▓онко▒▓╝: неп░е░╗вн╗е па░аме▓░╗, нап░име░, ┤азов╗е
▒двиги, о▓ ко▓о░╗╡ може▓ зави▒е▓╝ Ui дела╛▓ об║ем ин┤о░ма╢ии каждого Ui по▓ен╢иал╝но бе▒коне╖н╗м и п░ивод┐▓ к подоз░ени╛, ╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ б│де▓ в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и в╗полн┐▓╝ аналоговое в╗╖и▒ление, ли╕╝ ░еализованное ина╖е. О╖ен╝ ин▓е░е▒ное об▒│ждение ╜▓ого в [Ts]
(Лек╢и┐ 9) │беди▓ел╝но о▓ве░гае▓ ╜▓│ ▓о╖к│ з░ени┐ демон▒▓░а╢ией ▓е╡
╖е░▓ кван▓ового в╗╖и▒лени┐, ко▓о░╗е о▓ли╖а╛▓ его как о▓ кла▒▒и╖е▒кой
аналоговой, ▓ак и о▓ кла▒▒и╖е▒кой ╢и┤░овой об░або▓ки ин┤о░ма╢ии. Э▓о
об▒│ждение о▒новано на ▓е╡нике в╗╖и▒лений, │▒▓ой╖ив╗╡ к ▒бо┐м ▒ и▒пол╝зованием кван▓ов╗╡ кодов дл┐ ▒оздани┐ неп░е░╗вн╗╡ пе░еменн╗╡ в
в╗▒окой ▒▓епени за╣и╣енн╗╡ о▓ вне╕него ╕│ма.
(D) С кла▒▒и╖е▒кой ▓о╖ки з░ени┐, ▓░ебование о ▓ом, ╖▓о F должно
б╗▓╝ пе░е▒▓ановкой, в╗гл┐ди▓ о╖ен╝ же▒▓ким (нап░име░, в п░облеме пои▒ка F п░инимае▓ ▓ол╝ко два зна╖ени┐). Физи╖е▒ка┐ п░и╖ина ╜▓ого ▓░ебовани┐ ▓о, ╖▓о ▓ол╝ко ▓акие F п░одолжа╛▓▒┐ до │ни▓а░ного опе░а▓о░а
(цкван▓ова┐ об░а▓имо▒▓╝ч). С▓анда░▓н╗й ▒по▒об п░еодолени┐ ╜▓ого ог░ани╖ени┐ ▒о▒▓ои▓ во введении дв│╡ n{би▓ов╗╡ ░еги▒▓░ов вме▒▓о одного дл┐
╡░анени┐ как зна╖ени┐ а░г│мен▓а, ▓ак и зна╖ени┐ ┤│нк╢ии. Более ▓о╖но,
е▒ли F (jxi) | п░оизвол╝на┐ ┤│нк╢и┐, ▓о м╗ можем замени▓╝ ее пе░е▒▓ановкой Fe(jx; yi) := jx; F (x) yi; где | б│лева (поби▓ова┐) ▒│мма. Э▓о
▓░еб│е▓ не более, ╖ем полиномиал╝ного ░о▒▓а кла▒▒и╖е▒кой ▒ложно▒▓и, а
ог░ани╖ение Fe на y = 0 по░ождае▓ г░а┤ик ┤│нк╢ии F , ко▓о░╗й нам в
л╛бом ▒л│╖ае н│жен дл┐ ▓ого ▓ипа зада╖, ко▓о░╗ми м╗ ин▓е░е▒│ем▒┐.
Фак▓и╖е▒ки, дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ пе░е░або▓а▓╝ кла▒▒и╖е▒кий алго░и▓м
(по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ логи╖е▒ки╡ гей▓ов) дл┐ в╗╖и▒лени┐ F в кван▓ов╗й,
м╗ замен┐ем кажд╗й кла▒▒и╖е▒кий гей▓ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣им об░а▓им╗м
кван▓ов╗м гей▓ом ▓. е. │ни▓а░н╗м опе░а▓о░ом, ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣им ем│ в
▓ензо░ной ┤о░ме. К░оме дв│╡ ░еги▒▓░ов дл┐ ╡░анени┐ jxi и F (jxi) ╜▓о▓
▓░╛к ▓акже вводи▓ дополни▓ел╝н╗е к│би▓╗, в ко▓о░╗╡ м╗ п░ак▓и╖е▒ки не заин▓е░е▒ован╗. Соо▓ве▓▒▓в│╛╣ее п░о▒▓░ан▒▓во и его ▒оде░жимое
иногда наз╗вае▓▒┐ ц▒валкач, цм│▒о░ч и ▓. п. К░оме обе▒пе╖ени┐ об░а▓имо▒▓и, добаво╖ное п░о▒▓░ан▒▓во може▓ б╗▓╝ введено ▓акже дл┐ ░або▓╗
▒ ┤│нк╢и┐ми F : f0; : : : ; N ; 1g ! f0; : : : ; M ; 1g, где N; M | не ▒▓епени дв│╡ (▓огда м╗ │вели╖иваем и╡ до ближай╕ей ▒▓епени дв│╡). Более
де▓ал╝но ╜▓о▓ воп░о▒ ░а▒▒мо▓░ен в ▒лед│╛╣ем ░азделе.
Заме▓им, ╖▓о в╗бо░ по▒ледова▓ел╝но▒▓и гей▓ов (логи╖е▒кой ╢епи)
как кла▒▒и╖е▒кой модели в╗╖и▒лени┐ ▒│╣е▒▓венен в ▒лед│╛╣ем ▒м╗▒ле:
20
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
кван▓ова┐ п░ог░амма не може▓ и▒пол╝зова▓╝ │▒ловн╗╡ команд. Дей▒▓ви▓ел╝но, дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ в╗полни▓╝ ▓ак│╛ команд│ нам надо набл╛да▓╝
пам┐▓╝ в ▒е░едине в╗╖и▒лени┐, но набл╛дение в об╣ем ▒л│╖ае измени▓
▓ек│╣ее кван▓овое ▒о▒▓о┐ние.
По ▓ой же п░и╖ине нам ▒лед│е▓ избега▓╝ команд копи░овани┐, по▒кол╝к│ кла▒▒и╖е▒кий опе░а▓о░ копи░овани┐ jxi ! jxi jxi нелинеен. В
╖а▒▓но▒▓и, кажд╗й в╗╡одной к│би▓ кван▓ового гей▓а може▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐ ▓ол╝ко в одном гей▓е на ▒лед│╛╣ем ╕аге (е▒ли не▒кол╝ко гей▓ов
и▒пол╝з│╛▓▒┐ па░аллел╝но): клони░ование не ░аз░е╕ено.
Э▓и п░име░╗ показ╗ва╛▓, ╖▓о о▒нов╗ напи▒ани┐ кода кван▓овой п░ог░амм╗ б│д│▓ о╖ен╝ ▒пе╢и┤и╖н╗.
Тепе░╝ пе░ейдем к п░облемам, ▒оздаваем╗м п░ог░аммами вводав╗вода.
Ввод, или ини╢иализа╢и┐, в п░ин╢ипе, мог│▓ б╗▓╝ в╗полнени╗ ▓аким
же ▒по▒обом, как и в╗╖и▒ление: м╗ задаем в╡одное ▒о▒▓о┐ние, и▒╡од┐,
нап░име░, из кла▒▒и╖е▒кого ▒о▒▓о┐ни┐ j0i и п░имен┐┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝
о▒новн╗╡ │ни▓а░н╗╡ опе░а▓о░ов (▒м. ▒лед│╛╣ий ░аздел). В╗вод, однако,
▓░еб│е▓ дополни▓ел╝ного кван▓ово-ме╡ани╖е▒кого пон┐▓и┐ набл╛дени┐.
(E) П░о▒▓ей╕а┐ модел╝ набл╛дени┐ кван▓овой ▒и▒▓ем╗ ▒ гил╝бе░▓ов╗м п░о▒▓░ан▒▓вом H ▓░еб│е▓ в╗бо░а о░▓огонал╝ного бази▒а H: Тол╝ко
╜лемен▓╗ ╜▓ого бази▒а ji i мог│▓ по┐вл┐▓╝▒┐ как ░ез│л╝▓а▓╗ набл╛дени┐.
Е▒ли на╕а ▒и▒▓ема на╡оди▓▒┐ в неко▓о░ом ▒о▒▓о┐нии j i в момен▓ набл╛дени┐, она б│де▓ набл╛да▓╝▒┐ в ▒о▒▓о┐нии ji i ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ jhi j ij2 :
Э▓о озна╖ае▓, п░ежде в▒его, ▓о, ╖▓о каждое кван▓овое в╗╖и▒ление |
▒│╣е▒▓венно ве░о┐▓но▒▓ное. Набл╛дение (╖а▒▓и) кван▓овой пам┐▓и | не
▓о же ▒амое, ╖▓о цпе╖а▓╝ ░ез│л╝▓а▓ач. М╗ должн╗ ▒плани░ова▓╝ ▒е░и╛
п░огонов одной и ▓ой же кван▓овой п░ог░амм╗ и по▒лед│╛╣│╛ кла▒▒и╖е▒к│╛ об░або▓к│ набл╛даем╗╡ ░ез│л╝▓а▓ов, и м╗ можем ▓ол╝ко наде┐▓╝▒┐ пол│╖и▓╝ желаем╗й о▓ве▓ ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ близкой к едини╢е.
Более ▓ого, ╜▓о зна╖и▓, ╖▓о, в╗полн┐┐ кван▓ов╗й па░аллелизм нап░┐м│╛, как в (14), и за▓ем набл╛да┐ пам┐▓╝ ▓ак, как е▒ли б╗ она б╗ла
кла▒▒и╖е▒ким n{би▓ов╗м ░еги▒▓░ом, м╗ п░о▒▓о пол│╖им неко▓о░ое зна╖ение F (x) ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ 1=N . Такое дей▒▓вие не и▒пол╝з│е▓ по▓ен╢иал кван▓ового па░аллелизма. По╜▓ом│ м╗ ▒┤о░м│ли░│ем п░авил╝н│╛
ве░▒и╛ ╜▓ого пон┐▓и┐, о▒▓авл┐┐ бол╝╕е гибко▒▓и и под╖е░кива┐ дополни▓ел╝н╗е зада╖и ░аз░або▓╖ика, кажда┐ из ко▓о░╗╡ може▓ вне▒▓и вклад в
о╢енк│ ▒ложно▒▓и.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
21
Ю. И. Манин
Кван▓ов╗е па░аллел╝н╗е в╗╖и▒лени┐: ве░▒и┐ II.
Ч▓об╗ ╜┤┤ек-
▓ивно ░е╕и▓╝ зада╖│, и▒пол╝з│┐ ▒вой▒▓ва г░а┤ика ┤│нк╢ии
F , м╗ должн╗
:
(i) В▒помога▓ел╝н╗й │ни▓а░н╗й опе░а▓о░ U , не▒│╣ий н│жн│╛ ин┤о░ма╢и╛ о г░а┤ике F .
(ii) До▒▓а▓о╖но п░о▒▓│╛ в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ ░еализа╢и╛ U ▒ помо╣╝╛
по▒▓░ои▓╝ ▒лед│╛╣ее
▒▓анда░▓н╗╡ кван▓ов╗╡ гей▓ов.
(iii) До▒▓а▓о╖но п░о▒▓│╛ в╗╖и▒ли▓ел╝н│╛ ░еализа╢и╛ подп░ог░амм╗
ввода ин┤о░ма╢ии.
(iv) До▒▓а▓о╖но п░о▒▓ой ▒ в╗╖и▒ли▓ел╝ной ▓о╖ки з░ени┐ кла▒▒и╖е▒-
кий алго░и▓м дл┐ об░або▓ки ░ез│л╝▓а▓ов не▒кол╝ки╡ п░огонов кван▓ового
в╗╖и▒лени┐.
В▒е ╜▓о должно б╗▓╝ ▒набжено кван▓ов╗м коди░ованием ▒ и▒п░авлением о╕ибок, о ко▓о░ом зде▒╝ не гово░и▓▒┐. В ▒лед│╛╣ем ░азделе м╗
об▒│дим неко▓о░╗е ▒▓анда░▓н╗е кван▓ов╗е подп░ог░амм╗.
3. Неко▓о░╗е кван▓ов╗е подп░ог░амм╗
И▒пол╝з│┐ ▓е же ▒огла╕ени┐, ╖▓о п░ин┐▓╗ в (14) и
в по▒лед│╛╣и╡ коммен▓а░и┐╡, в ╖а▒▓но▒▓и, о▓ожде▒▓вление Hn = H1
n ,
м╗ имеем
Ини╢иализа╢и┐.
p1
N
NX
;1
x=0
jxi = p1
X
!
n
jn;1 : : : 0i = p1 (j0i + j1i)
2
N i =0;1
Д░│гими ▒ловами,
p1
N
NX
;1
x=0
jxi = U1(n;1) : : : U1(0) j0 : : : 0i;
:
(15)
(16)
где U1 : H1 ! H1 | │ни▓а░н╗й опе░а▓о░
j0i 7! p1 (j0i + j1i); j1i 7! p1 (j0i ; j1i) ;
2
2
и U1(i) = id U1 id дей▒▓в│е▓ ▓ол╝ко на i{й к│би▓.
Таким об░азом, за▒▓авл┐┐ кван▓ов╗й гей▓ U1 дей▒▓вова▓╝ на каждом би▓е пам┐▓и, можно за n ╕агов п░иве▒▓и один ░еги▒▓░ в на╖ал╝ное
▒о▒▓о┐ние, ┐вл┐╛╣ее▒┐ ▒│пе░пози╢ией в▒е╡ 2n кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒о▒▓о┐ний ▒
░авн╗ми ве▒ами.
22
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
П│▒▓╝ B | коне╖н╗й бази▒ кла▒▒и╖е▒ки╡ гей▓ов, ▒оде░жа╣ий одноби▓ов│╛ ▓ожде▒▓венн│╛ ┤│нк╢и╛ и по░ожда╛╣ий в▒е логи╖е▒кие ╢епи и ┤│нк╢и╛ F :
m
n
F2 ! F2 . Опи╕ем, как п░ев░а▓и▓╝ ▒╡ем│ из логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов длин╗ L, в╗╖и▒л┐╛╣│╛ F , в д░│г│╛ логи╖е▒к│╛ ▒╡ем│ ▒░авнимой длин╗,
▒о▒▓о┐╣│╛ ▓ол╝ко из об░а▓им╗╡ гей▓ов и в╗╖и▒л┐╛╣│╛ моди┤и╢и░ованн│╛ ┤│нк╢и╛, ко▓о░а┐, однако, ▒оде░жи▓ в▒╛ ин┤о░ма╢и╛ о г░а┤ике F . Об░а▓имо▒▓╝ озна╖ае▓, ╖▓о кажд╗й ╕аг е▒▓╝ биек╢и┐ (в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, ▒ве░▓ка) и, ▒ледова▓ел╝но, може▓ б╗▓╝ ░а▒╕и░ен до │ни▓а░ного опе░а▓о░а, ▓. е. кван▓ового гей▓а. Дл┐ кван▓ового гей▓а f оп░еделим
fe(jx; yi) = jx; f (x) + yi как в╗╕е в 2.2 (D).
Кван▓овое в╗╖и▒ление кла▒▒и╖е▒ки╡ ┤│нк╢ий.
B
П░едложение.
С╡ема из логи╖е▒ки╡ ╜лемен▓ов
S
длин╗
L в бази▒е
може▓ б╗▓╝ п░еоб░азована в об░а▓им│╛ логи╖е▒к│╛ ▒╡ем│
O((L + m + n)2),
в╗╖и▒л┐╛╣│╛ пе░е▒▓ановк│
▒лед│╛╕им ▒вой▒▓вом
:
H:
m+n+L
F2
Se
длин╗
! Fm2 +n+L
▒о
H (x; y; 0) = (x; F (x) + y; 0) = (Fe(x; y); 0):
Зде▒╝
x; y; z име╛▓ ░азме░╗ m; n; L ▒оо▓ве▓▒▓венно.
Доказа▓ел╝▒▓во.
Зде▒╝ м╗ б│дем понима▓╝ L как ▒│мм│ ░азме░ов в╗╡одов в▒е╡ гей▓ов,
│╖а▒▓в│╛╣и╡ в опи▒ании S : Во-пе░в╗╡, заменим в S кажд╗й гей▓ f его
об░а▓им╗м ва░иан▓ом f:e Э▓о п░иведе▓ к в▒▓авке нов╗╡ би▓ов, ко▓о░╗е
поме╣а╛▓▒┐ в нов╗й ░еги▒▓░ ▒пло╕н╗м ▒егмен▓ом об╣ей длин╗ L: Пол│╖енна┐ под╢еп╝ б│де▓ в╗╖и▒л┐▓╝ ▓ак│╛ пе░е▒▓ановк│ K : Fm2 +L ! Fm2 +L ,
╖▓о K (x; 0) = (F (x); G(x)) дл┐ неко▓о░ой ┤│нк╢ии G (м│▒о░).
Тепе░╝ добавим к пам┐▓и е╣е один ░еги▒▓░ ░азме░а n, ▒оде░жа╣ий
пе░еменн│╛ y: П░одолжим K до пе░е▒▓ановки K : Fm2 +L+n ! Fm2 +L+n ,
не измен┐╛╣ей y, ▓. │. K : (x; 0; y) 7! (F (x); G(x); y): О╖евидно, ╖▓о
K в╗╖и▒л┐е▓▒┐ ▓ой же логи╖е▒кой ▒╡емой, ╖▓о и K , но ▒ ░а▒╕и░енн╗м
░еги▒▓░ом.
Вкл╛╖им в ╜▓│ ▒╡ем│ е╣е одн│ под▒╡ем│, ▒клад╗ва╛╣│╛ ▒оде░жимое пе░вого и ▓░е▓╝его ░еги▒▓░ов: (F (x); G(x); y) 7! (F (x); G(x),
F (x) + y). И наконе╢, по▒▓░оим по▒леднее ░а╕и░ение, ко▓о░ое в╗╖и▒л┐е▓
K ;1 и ▒о▒▓ои▓ из об░а╣енн╗╡ гей▓ов, в╗╖и▒л┐╛╣и╡ K в об░а▓ном по░┐дке. Оно о╖и╣ае▓ ▒░едний ░еги▒▓░ (м│▒о░) и в╗дае▓ (x; 0; F (x) + y):
Дл┐ в▒ей ╢епи ▓░еб│е▓▒┐ O(L + m + n) гей▓ов, е▒ли м╗ ░аз░е╕аем и╡
п░именение не об┐за▓ел╝но к ▒о▒едним би▓ам. Ина╖е м╗ должн╗ в▒▓ав-
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
23
Ю. И. Манин
л┐▓╝ гей▓╗ дл┐ локал╝н╗╡ пе░е▒▓ановок, ко▓о░╗е замен┐▓ ╜▓│ о╢енк│
на O((L + m + n)2 ).
На╡ождение наимен╝╕его пе░иода ┤│нк╢ии одной ве╣е▒▓венной пе░еменной може▓ б╗▓╝ о▒│╣е▒▓влено
в╗╖и▒лением ее п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е анализа его мак▒им│мов. Така┐
▒▓░а▓еги┐ б╗ла п░именена Шо░ом в его ░е╕ении п░облем╗ ┤ак▓о░иза╢ии. Сей╖а▒ м╗ покажем, ╖▓о ди▒к░е▓ное п░еоб░азование Ф│░╝е n
в╗╖и▒л┐е▓▒┐ п░о▒▓о (за кван▓овое полиномиал╝ное в░ем┐). Оп░еделим
n : Hn ! Hn ▒ помо╣╝╛
Б╗▒▓░ое п░еоб░азование Ф│░╝е.
n (jxi) = p1
N
NX
;1
c=0
jci exp (2icx=N ):
(17)
Фак▓и╖е▒ки, неко▓о░╗м │п░о╣ением б│де▓ в╗╖и▒л┐▓╝ непо▒░ед▒▓венно
опе░а▓о░
NX
;1
jct i exp (2icx=N );
(18)
tn(jxi) = p1
N
ct
c=0
где | c, ╖и▓аемое ▒п░ава налево. Э┤┤ек▓╗ пе░е▒▓ановки би▓ов в ╜▓ом
▒л│╖ае можно без ▓░│да компен▒и░ова▓╝ на поздней ▒▓адии.
П│▒▓╝ U2(kj ) : Hn ! Hn; k < j; | кван▓ов╗й гей▓, ко▓о░╗й дей▒▓в│е▓ на па░е k{го и j {го к│би▓ов ▒лед│╛╣им ▒по▒обом: он │множае▓ j11i на exp(i=2j ;k ) и не мен┐е▓ о▒▓ал╝н╗е кла▒▒и╖е▒кие ▒о▒▓о┐ни┐
j00i; j01i; j10i.
Лемма.
М╗ имеем
tn =
nY
;1
k=0
0 n;1
1
Y
@U1(k)
U2(kj)A :
j =k+1
(19)
По на╕им п░авилам иг░╗ ▒╡ема (19) имее▓ полиномиал╝н│╛ длин│
в ▓ом ▒м╗▒ле, ╖▓о она вкл╛╖ае▓ ▓ол╝ко O(n2 ) гей▓ов. Однако, в╗полнение U2(kj ) ▓░еб│е▓ │п░авлени┐ пе░еменн╗м ┤азов╗м множи▓елем, ко▓о░╗й ▒▓░еми▓▒┐ к 1 п░и ░о▒▓е k ; j . Более ▓ого, п░оизвол╝н╗е па░╗ к│би▓ов должн╗ позвол┐▓╝ ▓акое кван▓ово-ме╡ани╖е▒кое ▒о╖е▓ание, ╖▓о дл┐
бол╝╕и╡ n взаимодей▒▓вие межд│ к│би▓ами должно б╗▓╝ не локал╝н╗м.
Вклад ╜▓и╡ │▒ложнений в пон┐▓ие об╣ей ▒ложно▒▓и не може▓ б╗▓╝ о╢енен без вникани┐ в де▓али ┤изи╖е▒кого и▒полнени┐. По╜▓ом│ ┐ добавл╛
не▒кол╝ко ▒лов по опи▒ани╛ ╜▓ого ╜┤┤ек▓а.
24
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
И▒полнение кван▓ового ░еги▒▓░а, п░едложенное в [CZ] ▒о▒▓ои▓ из ▒овок│пно▒▓и ионов (за░┐женн╗╡ а▓омов) в линейной га░мони╖е▒кой лов│╕ке (оп▓и╖е▒кой поло▒▓и). Два из ╜лек▓░онн╗╡ ▒о▒▓о┐ний каждого иона
обозна╖а╛▓▒┐ j0i и j1i и п░ед▒▓авл┐╛▓ к│би▓. Лазе░н╗е имп│л╝▒╗, пе░едаваем╗е в поло▒▓╝ по оп▓и╖е▒ким волокнам и │п░авл┐ем╗е кла▒▒и╖е▒ким комп╝╛▓е░ом, и▒пол╝з│╛▓▒┐ дл┐ ░еализа╢ии гей▓ов и ╖▓ени┐ в╗╡ода.
Об░а▓на┐ п│л╝▒а╢и┐ К│лона │де░живае▓ ион╗ на │далении (░аз░еженна┐
▒елек▓ивно▒▓╝), ╖▓о позвол┐е▓ го▓ови▓╝ кажд╗й ион о▓дел╝но в л╛бой
▒│пе░пози╢ии j0i и j1i, │▒▓анавлива┐ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее в░ем┐ лазе░ного
имп│л╝▒а и ▓╣а▓ел╝но го▓ов┐ его ┤аз│. Э▓а же п│л╝▒а╢и┐ К│лона позвол┐е▓ п░оизводи▓╝ коллек▓ивн╗е возб│ждени┐ ╢елого кла▒▓е░а, кван▓╗
ко▓о░ого наз╗ва╛▓▒┐ ┤о▓онами. Такие возб│ждени┐ ▓акже п░оизвод┐▓▒┐
лазе░н╗ми имп│л╝▒ами п░и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ │▒лови┐╡ ░езонан▒а. Пол│╖аема┐ ░езонан▒на┐ изби░а▓ел╝но▒▓╝ в ▒о╖е▓ании ▒ ░аз░еженной изби░а▓ел╝но▒▓╝╛ позвол┐╛▓ в╗полни▓╝ │п░авл┐емое ▒к░е╣ивание ▒о▒▓о┐ний
ионов, ко▓о░ое може▓ б╗▓╝ и▒пол╝зовано дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ модели░ова▓╝
дв│╡- и ▓░е╡би▓ов╗е гей▓╗. Под░обное и ┐▒ное ма▓ема▓и╖е▒кое об║┐▒нение ▒м. в [Ts] (лек╢и┐ 8).
Д░│гое недавнее п░едложение ([GeC]) | и▒пол╝зова▓╝ о▓дел╝н│╛ молек│л│ как кван▓ов╗й ░еги▒▓░, п░ед▒▓авл┐╛╣ий к│би▓╗ ┐де░н╗ми ▒пинами о▓дел╝н╗╡ а▓омов ▒ и▒пол╝зованием взаимодей▒▓вий ╖е░ез ╡ими╖е▒кие ▒в┐зи дл┐ ░еализа╢ии логи╖е▒ки╡ опе░а╢ий ▒ не▒кол╝кими би▓ами.
На╖ал╝н│╛ ▓е╡нологи╛ ╜▓ого п░оек▓а обе▒пе╖ивае▓ кла▒▒и╖е▒ка┐ ▓е╡ника ┐де░ного магни▓ного ░езонан▒а, ░аз░або▓анна┐ в 40-╡ года╡, ко▓о░а┐
позвол┐е▓ ░або▓а▓╝ ▒ не▒кол╝кими молек│лами однов░еменно.
В▒е подп░ог░амм╗, опи▒анн╗е до на▒▓о┐╣его момен▓а ▒вод┐▓▒┐ к неко▓о░╗м ▓ожде▒▓вам в │ни▓а░н╗╡ г░│ппа╡, ▒оде░жа╣им п░оизведени┐ из не ▒ли╕ком бол╝╕ого ╖и▒ла опе░а▓о░ов, дей▒▓в│╛╣и╡ на подп░о▒▓░ан▒▓ва╡ малой ░азме░но▒▓и. Они не ▒оде░жа▓ подп░ог░амм в╗вода и, по╜▓ом│, не цв╗╖и▒л┐╛▓ч ╖▓о-либо в ▓░ади╢ионном
▒м╗▒ле ╜▓ого ▒лова. Сей╖а▒ м╗ опи╕ем заме╖а▓ел╝н╗й алго░и▓м кван▓ового пои▒ка, п░едложенн╗й Л. Г░ове░ом. Э▓о▓ алго░и▓м дае▓ е╣е одно
▓ожде▒▓во ╜▓ого ▓ипа, но, к░оме ▓ого, показ╗вае▓ ╜┤┤ек▓ набл╛дени┐ и
▒по▒об, ко▓о░╗м можно и▒пол╝зова▓╝ кван▓овое ▒к░е╣ивание дл┐ ▓ого,
╖▓об╗ и▒пол╝зова▓╝ кван▓ов╗й па░аллелизм.
М╗ ░а▒▒мо▓░им ▓ол╝ко ▒ам│╛ п░о▒▓│╛ ве░▒и╛ алго░и▓ма. П│▒▓╝
F : Fn2 ! f0; 1g | ┤│нк╢и┐, п░инима╛╣а┐ зна╖ение 1 ▓о╖но в одной
▓о╖ке x0 : М╗ ╡о▓им в╗╖и▒ли▓╝ x0 : П░едположим, ╖▓о F в╗╖и▒лима за
Кван▓ов╗й пои▒к.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
25
Ю. И. Манин
полиномиал╝ное в░ем┐, или, д░│гой ва░иан▓ | ее зна╖ени┐ да╛▓▒┐ неко▓о░╗м о░ак│лом. Кла▒▒и╖е▒кий пои▒к x0 ▓░еб│е▓ в ▒░еднем около N=2
оп░еделений зна╖ений F , где N = 2n :
В кван▓овой ве░▒ии м╗ б│дем п░едполага▓╝, ╖▓о м╗ имеем кван▓ов│╛ логи╖е▒к│╛ ▒╡ем│ (или кван▓ов╗й о░ак│л), в╗╖и▒л┐╛╣│╛ │ни▓а░н╗й опе░а▓о░ Hn ! Hn
IF : jxi 7! eiF (x) jxi:
Д░│гими ▒ловами, IF | о▓░ажение, инве░▓и░│╛╣ее знак jx0 i и о▒▓авл┐╛╣ее о▒▓ал╝н╗е кла▒▒и╖е▒кие ▒о▒▓о┐ни┐ без изменений.
Более ▓ого, положим J = ;I , где : Fn2 ! f0; 1g дае▓ зна╖ение 1
▓ол╝ко в 0; и V = U1(n;1) : : : U1(0) ; как в (16).
П░едложение.
(i)
Ве╣е▒▓венна┐ пло▒ко▒▓╝ в
│ни┤о░мн│╛ ▒│пе░пози╢и╛
инва░иан▓на о▓но▒и▓ел╝но
(ii)
'N , где
▒│жение
T
Hn,
в▒е╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒о▒▓о┐ний
T := V JV IF :
на ╜▓│ пло▒ко▒▓╝ | в░а╣ение
p
(
из
на▓┐н│▓а┐ на
(15)
и на
в jx0 i)
jx0 i
,
на │гол
cos 'N = 1 ; N2 ; sin 'N = 2 NN; 1 :
П░ове░ка ╜▓ого п░оводи▓▒┐ непо▒░ед▒▓венно.
Тепе░╝ 'N близко к p2 , и дл┐ на╖ал╝ного │гла ' межд│ и jx0 i м╗
N
имеем
cos ' = ; p1 :
p
N
Следова▓ел╝но, в ▒л│╖ае ['='N ] 4N п░именений T к м╗ пол│╖им
▒о▒▓о┐ние, о╖ен╝ близкое к jx0 i. О▒▓анавлива┐ и▓е░а╢и╛ T по▒ле ▓акого
╖и▒ла ╕агов и изме░┐┐ в╗╡од в бази▒е кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒о▒▓о┐ний м╗ пол│╖им jx0 i ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛, о╖ен╝ близкой к едини╢е.
Одно п░именение T замен┐е▓ в кван▓овом пои▒ке одно оп░еделение
зна╖ени┐ F: Таким об░азом, благода░┐ кван▓овом│ па░аллелизм│, м╗ до▒▓игаем полиномиал╝ного │▒ко░ени┐ в ▒░авнении ▒ кла▒▒и╖е▒ким пои▒ком. В ▒л│╖ае, когда F п░инимае▓ зна╖ение 1 в не▒кол╝ки╡ ▓о╖ка╡, а м╗
╡о▓им най▓и ▓ол╝ко одн│ из ни╡, можно дей▒▓вова▓╝ ▒ помо╣╝╛ ░а▒╕и░ени┐ p╜▓ого ме▓ода. Е▒ли ╖и▒ло ▓аки╡ ▓о╖ек | n, ▓о алго░и▓м ▓░еб│е▓
около N=n ╕агов, а зна╖ение n можно за░анее и не зна▓╝ (▒м. [BoyBH]).
26
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
4. Алго░и▓м ┤ак▓о░иза╢ии Шо░а
П│▒▓╝ M | ╖и▒ло, ко▓о░ое ▓░еб│е▓▒┐ ░азложи▓╝ на множи▓ели. М╗ б│дем п░едполага▓╝, ╖▓о оно не╖е▓но и ╖▓о не ┐вл┐е▓▒┐ ▒▓епен╝╛ п░о▒▓ого ╖и▒ла.
Че░ез N обозна╖им ░азме░ о▒новного ░еги▒▓░а пам┐▓и, ко▓о░╗й
м╗ б│дем и▒пол╝зова▓╝ (не ▒╖и▓а┐ ▒валки). Ее би▓ов╗й ░азме░ n б│де▓ п░име░но в два ░аза бол╝╕е, ╖ем ░азме░ M . Более ▓о╖но, в╗бе░ем
M 2 < N = 2n < 2M 2 . И наконе╢, п│▒▓╝ 1 < t < M | ▒л│╖айн╗й па░аме▓░ ▒ gcd (t; M ) = 1: Э▓о │▒ловие може▓ б╗▓╝ п░ове░ено кла▒▒и╖е▒ки за
в░ем┐, ог░ани╖енное полиномом о▓ n:
Ниже м╗ опи╕ем один п░о╡од алго░и▓ма Шо░а, в ко▓о░ом t (и коне╖но M , N ) ┤ик▒и░овано. В об╣ем ▒л│╖ае ▓░еб│е▓▒┐ полиномиал╝но бол╝╕ое
╖и▒ло п░огонов, в ко▓о░╗╡ зна╖ение t може▓ о▒▓ава▓╝▒┐ ▓ем же ▒ам╗м или
б╗▓╝ в╗б░ано заново. Э▓о ▓░еб│е▓▒┐ дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ ▒об░а▓╝ ▒▓а▓и▒▓ик│. Алго░и▓м Шо░а имее▓ ве░о┐▓но▒▓н╗й ╡а░ак▓е░ ▒ дв│м┐ и▒▓о╖никами ▒л│╖айно▒▓и, ко▓о░╗е ▒лед│е▓ ┐▒но ░азли╖а▓╝. Один из ни╡ в▒▓░оен в
кла▒▒и╖е▒кое ве░о┐▓но▒▓ное ▒ведение ░азложени┐ на множи▓ели к на╡ождени╛ пе░иода неко▓о░ой ┤│нк╢ии. Д░│гой в╗▓екае▓ из необ╡одимо▒▓и
набл╛дени┐ кван▓овой пам┐▓и, ко▓о░ое ▓акже дае▓ ▒л│╖айн╗е ░ез│л╝▓а▓╗.
О╢енки, более ▓о╖н╗е, ╖ем ▓е, ко▓о░╗е дан╗ зде▒╝, показ╗ва╛▓, ╖▓о
кван▓ов╗й комп╝╛▓е░, ко▓о░╗й може▓ ╡░ани▓╝ около 3n к│би▓, може▓
на╡оди▓╝ дели▓ел╝ M за в░ем┐ по░┐дка n3 ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛, близкой к 1
(▒м. [BCDP]). С д░│гой ▒▓о░он╗, е▒▓╝ ╕и░око ░а▒п░о▒▓░аненное │беждение, ╖▓о никака┐ ░ек│░▒ивна┐ ┤│нк╢и┐ ▓ипа M 7! ▒об▒▓венн╗й дели▓ел╝ M не п░инадлежи▓ PF: Именно по╜▓ом│ наиболее поп│л┐░н╗е ▒╡ем╗ ╕и┤░овани┐ ▒ о▓к░╗▓╗м кл╛╖ом о▒нов╗ва╛▓▒┐ на ▓░│дно▒▓и зада╖и
░азложени┐ на множи▓ели.
Обозна╖ени┐.
Кла▒▒и╖е▒кий алго░и▓м.
Положим
r := min f j t 1 mod M g;
╖▓о ┐вл┐е▓▒┐ наимен╝╕им пе░иодом ┤│нк╢ии F : a 7! ta mod M:
Е▒ли можно ╜┤┤ек▓ивно в╗╖и▒ли▓╝ r как ┤│нкt, ▓о можно най▓и ▒об▒▓венн╗й дели▓ел╝ M за в░ем┐, ог░ани╖енное
;m дл┐ л╛бого ┤ик▒и░ованполиномом о▓ log2 M ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ > 1 ; M
ного m:
П░едложение.
╢и╛
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
27
Ю. И. Манин
П░едположим, ╖▓о дл┐ данного t пе░иод r │довле▓во░┐е▓
r 0 mod 2; tr=2 6= ;1 mod M:
Тогда gcd (tr=2 +1; M ) | ▒об▒▓венн╗й дели▓ел╝ M: Заме▓им, ╖▓о ┤│нк╢и┐
gcd в╗╖и▒лима за полиномиал╝ное в░ем┐.
Ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о ╜▓о │▒ловие в╗полн┐е▓▒┐ | > 1 ; k1;1 , где k
2
| ╖и▒ло ░азли╖н╗╡ не╖е▓н╗╡ п░о▒▓╗╡ дели▓елей M , ▒ледова▓ел╝но, > 12
в на╕ем ▒л│╖ае. По╜▓ом│ м╗ найдем ╡о░о╕ее зна╖ение t ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛
> 1 ; M ;m за O(log M ) поп╗▓ок. Самое длинное в╗╖и▒ление в одной
поп╗▓ке | в╗╖и▒ление tr=2 . Об╗╖н╗й ме▓од возведени┐ в квад░а▓ ▓акже
дае▓ полиномиал╝ное в░ем┐.
r. Зде▒╝ м╗ опи╕ем один п░огон кван▓ового алго░и▓ма, ко▓о░╗й позвол┐е▓ в╗╖и▒ли▓╝ r по M; N; t:
Кван▓ов╗й алго░и▓м, в╗╖и▒л┐╛╣ий
М╗ б│дем и▒пол╝зова▓╝ ░або╖ий ░еги▒▓░, ко▓о░╗й може▓ ▒оде░жа▓╝ па░│, ▒о▒▓о┐╣│╛ из пе░еменной 0 6 a 6 N ; 1 и ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его зна╖ени┐ ┤│нк╢ии ta mod M: Е╣е один ░еги▒▓░ б│де▓ ▒л│жи▓╝ ░або╖им полем,
н│жн╗м дл┐ в╗╖и▒лени┐ об░а▓имо▒▓и ja; ta mod M i. Когда ╜▓о в╗╖и▒ление заве░╕ено, ▒оде░жимое ░або╖его пол┐ б│де▓ ▒▓е░▓о п│▓ем об░а▓ного
п░огона (▒░. ▒ 3.2.1). В о▒▓ав╕ей▒┐ ╖а▒▓и в╗╖и▒лени┐ ░або╖ее поле бол╝╕е
не б│де▓ и▒пол╝зова▓╝▒┐, м╗ можем о▓▒оедини▓╝ его и заб╗▓╝ п░о него.
Кван▓овое в╗╖и▒ление ▒о▒▓ои▓ из ╖е▓╗░е╡ ╕агов, ▓░и из ко▓о░╗╡
б╗ли опи▒ан╗ в ░азделе 3:
(i) Ча▒▓и╖на┐ ини╢иализа╢и┐ пол│╖ае▓ из j0; 0i ▒│пе░пози╢и╛
p1
N
NX
;1
a=0
ja; 0i:
(ii) Об░а▓ное в╗╖и▒ление F п░еоб░аз│е▓ ╜▓о ▒о▒▓о┐ние в
p1
N
NX
;1
a=0
ja; ta mod M i:
(iii) Ча▒▓и╖ное п░еоб░азование Ф│░╝е дае▓
1
N
28
NX
;1 NX
;1
a=0 c=0
exp (2iac=N ) jc; ta mod M i:
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
(iv) По▒ледний ╕аг | набл╛дение ╜▓ого ▒о▒▓о┐ни┐ по о▓но╕ени╛
к ▒и▒▓еме кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒о▒▓о┐ний jc; m mod M i: Э▓о▓ ╕аг п░оизводи▓
неко▓о░╗й конк░е▓н╗й в╗╡од
▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛
jc; tk mod M i
(20)
2
1 X exp (2iac=N ) :
N a: tatk modM
(21)
На о▒▓ав╕ей▒┐ ╖а▒▓и п░огона ░або▓ае▓ кла▒▒и╖е▒кий комп╝╛▓е░, в╗полн┐┐ ▒лед│╛╣ие ╕аги.
(A) На╡оди▓▒┐ наил│╖╕ее п░иближение (▒низ│) к Nc ▒о знамена▓елем
p
r0 < M < N :
c ; d00 < 1 :
(22)
N
2N
r
Как м╗ │видим ниже, можно наде┐▓╝▒┐, ╖▓о r0 ▒овпаде▓ ▒ r по к░айней
ме░е в одном п░огоне из не более, ╖ем полиномиал╝ного ╖и▒ла. Зна╖и▓
надо поп░обова▓╝ r0 в ░оли r:
(B) Е▒ли r0 0 mod 2, ▓о ▒лед│е▓ в╗╖и▒ли▓╝ gcd (tr =2 1; M ):
Е▒ли r0 не╖е▓но или е▒ли r0 ╖е▓но, но м╗ не пол│╖или ▒об▒▓венного дели▓ел┐ M , ▓о ▒лед│е▓ пов▓о░и▓╝ п░огон O(log log M ) ░аз ▒ ▓ем же
▒ам╗м t. В ▒л│╖ае о▓каза, измени▓╝ t и на╖а▓╝ нов╗й п░огон.
0
Обо▒нование.
Тепе░╝ покажем, ╖▓о по t из набл╛даем╗╡ зна╖ений
jc; tk mod M i в O(log log M ) п░огона╡ м╗ можем най▓и п░авил╝ное зна╖ение r ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛, близкой к 1:
Назовем набл╛даемое зна╖ение c ╡о░о╕им, е▒ли
h
i
9 l 2 ; 2r ; 2r ; rc l mod N:
В ╜▓ом ▒л│╖ае ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓акое d, ╖▓о
▓ак, ╖▓о
; 2r 6 rc ; dN = l 6 2r
c
d
; r < 1 :
N
2N
Следова▓ел╝но, е▒ли c | ╡о░о╕ее, ▓о r0 , найденное из (22) дей▒▓ви▓ел╝но
дели▓ r:
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
29
Ю. И. Манин
Тепе░╝ назовем c о╖ен╝ ╡о░о╕им, е▒ли r0 = r:
О╢енива┐ ╜к▒понен╢иал╝н│╛ ▒│мм│ (21), м╗ можем легко п░ове░и▓╝,
╖▓о ве░о┐▓но▒▓╝ набл╛дени┐ ╡о░о╕его c не мен╝╕е, ╖ем 31r2 : С д░│гой
▒▓о░он╗, ▒│╣е▒▓в│е▓ r'(r) ▒о▒▓о┐ний jc; tk mod M i ▒ о╖ен╝ ╡о░о╕ими c:
Таким об░азом, ╖▓об╗ най▓и о╖ен╝ ╡о░о╕ее c ▒ в╗▒окой ве░о┐▓но▒▓╝╛
до▒▓а▓о╖но б│де▓ O(r2 log r) п░огонов.
5. Колмого░ов▒ка┐ ▒ложно▒▓╝ и ░о▒▓
░ек│░▒ив-
н╗╡ ┤│нк╢ий
Ра▒▒мо▓░им об╣ие ┤│нк╢ии f : N ! N: Тео░и┐ в╗╖и▒лимо▒▓и и▒пол╝з│е▓ не▒кол╝ко ╕кал ░о▒▓а дл┐ ▓аки╡ ┤│нк╢ий, из ко▓о░╗╡ наиболее
полезн╗ две: f може▓ б╗▓╝ ог░ани╖ена ▒ве░╡│ неко▓о░ой ░ек│░▒ивной
┤│нк╢ией (нап░име░, когда она ▒ама ░ек│░▒ивна), или полиномом (нап░име░, когда она в╗╖и▒лима за полиномиал╝ное в░ем┐). Каже▓▒┐, ╖▓о
линейн╗й ░о▒▓ ▒ложно▒▓и не ▒ов▒ем ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ на▒▓о┐╣ем│ кон▓ек▒▓│. Однако, ╜▓о впе╖а▓ление обман╖иво, по к░айней ме░е, е▒ли ░аз░е╕ено
пе░е│по░┐до╖ение N: Дей▒▓ви▓ел╝но, м╗ имеем ▒лед│╣ее.
П░едложение. С│╣е▒▓в│е▓ ▓ака┐ пе░е▒▓ановка K
л╛бой ╖а▒▓и╖но-░ек│░▒ивной ┤│нк╢ии
▓а
c ▒о ▒вой▒▓вом
K
f:
N
!N
: N ! N,
╖▓о дл┐
▒│╣е▒▓в│е▓ кон▒▓ан-
f K;1(n) 6 cn дл┐ в▒е╡ n 2 K(D(f )):
Более ▓ого, K ог░ани╖ено линейной ┤│нк╢ией, но K
;1
(23)
не ог░ани╖ено ни-
какой ░ек│░▒ивной ┤│нк╢ией.
Доказа▓ел╝▒▓во.
И▒пол╝з│ем колмого░ов▒к│╛ ме░│ ▒ложно▒▓и. Дл┐ ░ек│░▒ивной
┤│нк╢ии u : N ! N, x 2 N, положим Cu (x) := minfkjf (k) = xg, или 1,
е▒ли ▓акое k не ▒│╣е▒▓в│е▓. Назовем ▓ак│╛ ┤│нк╢и╛ u оп▓имал╝ной, е▒ли дл┐ л╛бой д░│гой ░ек│░▒ивной ┤│нк╢ии v ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓ака┐ кон▒▓ан▓а cu; v , ╖▓о Cu (x) 6 cu; v Cv (x) дл┐ л╛б╗╡ x: Оп▓имал╝н╗е ┤│нк╢ии дей▒▓ви▓ел╝но ▒│╣е▒▓в│╛▓ (▒м., нап░име░, [Ma1], ▓ео░ема VI.9.2); в ╖а▒▓но▒▓и,
они п░инима╛▓ в▒е положи▓ел╝н╗е ╢ел╗е зна╖ени┐ (однако, они, коне╖но,
не ┐вл┐╛▓▒┐ в▒╛д│ оп░еделенн╗ми). За┤ик▒и░│ем одно ▓акое u и назовем
Cu(x) (╜к▒понен╢иал╝ной) ▒ложно▒▓╝╛ x: По оп░еделени╛, K = Ku пе░е│по░┐до╖ивае▓ N в по░┐дке воз░а▒▓ани┐ ▒ложно▒▓и. Д░│гими ▒ловами,
K(x) := 1 + card fy j Cu (y ) < Cu (x)g:
(24)
30
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
Сна╖ала м╗ покажем, ╖▓о
(x) = exp (O(1)) Cu (x):
(25)
По▒кол╝к│ Cu п░инимае▓ каждое зна╖ение не более одного ░аза, из (24)
▒лед│е▓, ╖▓о K(n) 6 Cu (n): Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ показа▓╝, ╖▓о Cu (x) 6 cK(x)
дл┐ неко▓о░╗╡ c до▒▓а▓о╖но п░ове░и▓╝, ╖▓о
card fk 6 N j 9 x; Cu (x) = kg > b N
дл┐ неко▓о░ого b > 0: Дей▒▓ви▓ел╝но, по к░айней ме░е половина ╖и▒ел
x 6 N име╛▓ ▒ложно▒▓╝, не мен╝╕│╛, ╖ем x=2:
Тогда из VI.9.7(b) в [Ma1] ▒лед│е▓, ╖▓о дл┐ л╛бой ░ек│░▒ивной ┤│нк╢ии f и дл┐ в▒е╡ x 2 D(f ) м╗ имеем Cu (f (x)) 6 const Cu (x): По▒кол╝к│
Cu(x) и K(x) име╛▓ один и ▓о▓ же по░┐док ░о▒▓а c ▓о╖но▒▓╝╛ до ог░ани╖енного множи▓ел┐, на╕е п░едложение в╗полнено.
K
След▒▓вие.
Тогда
▓а.
Обозна╖им ╖е░ез
rec K;1
KS
1
S1rec
г░│пп│ ░ек│░▒ивн╗╡ пе░е▒▓ановок N
:
| подг░│ппа пе░е▒▓ановок не более, ╖ем линейного ░о▒-
В дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, и▒пол╝з│┐ п░едложение VI.9.6 ░або▓╗ [Ma1],
можно ▒│╣е▒▓венно │▒или▓╝ ╜▓о▓ ░ез│л╝▓а▓. Нап░име░, п│▒▓╝ | ░ек│░▒ивна┐ пе░е▒▓ановка K = KK;1 : Тогда K(x) 6 cx ▓ак, ╖▓о
(K )n (x) 6 cn x дл┐ n > 0: Но, в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и, по▒леднее не░авен▒▓во може▓ б╗▓╝ заменено на
(K )n (x) 6 c0 n
дл┐ ┤ик▒и░ованного x и пе░еменного n. С помо╣╝╛ x и n можно о╢ени▓╝ O(xn log(xn)).
Подобно ▓ом│, как коне╖н╗е пе░е▒▓ановки по┐вл┐╛▓▒┐ в кван▓ов╗╡
ве░▒и┐╡ логи╖е▒ки╡ ╢епей, бе▒коне╖н╗е (в╗╖и▒лим╗е) пе░е▒▓ановки е▒▓е▒▓венн╗ дл┐ из│╖ени┐ кван▓ов╗╡ ма╕ин Т╝╛░инга ([Deu]) и на╕и╡
об╗╖н╗╡ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗╡ моделей. Дей▒▓ви▓ел╝но, е▒ли п░едполжи▓╝,
╖▓о ┤│нк╢и┐ пе░е╡ода s | пе░е▒▓ановка, и за▓ем ░а▒╕и░и▓╝ ее до │ни▓а░ного опе░а▓о░а Us в бе▒коне╖номе░ном гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве,
можно можно заин▓е░е▒ова▓╝▒┐ из│╖ением ▒пек▓░ал╝н╗╡ ▒вой▒▓в ▓аки╡
опе░а▓о░ов. Но по▒ледние зави▒┐▓ ▓ол╝ко о▓ кла▒▒ов ▒межно▒▓и. Може▓
б╗▓╝, │ниве░▒ал╝ное ░азбиение на кла▒▒╗ ▒межно▒▓и UK б╗ло б╗ полезн╗м ▓ео░е▓и╖е▒ким ин▒▓░│мен▓ом в ╜▓ом кон▓ек▒▓е. В ╖и▒▓о кла▒▒и╖е▒кой ▒и▓│а╢ии, (23) може▓ ▒╗г░а▓╝ ░ол╝ в из│╖ении лими▓и░│╛╣его поведени┐ алго░и▓мов, полиномиал╝н╗╡ по в░емени, как б╗ло п░едложено
в [Fr1] и [Fr2].
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
31
Ю. И. Манин
В закл╛╖ение, ┐ ╡о▓ел б╗ п░окоммен▓и░ова▓╝ ▒к░╗▓│╛ ░ол╝ колмого░ов▒кой ▒ложно▒▓и в ░еал╝ной жизни кла▒▒и╖е▒ки╡ в╗╖и▒лений. Дело в ▓ом, ╖▓о в неко▓о░ом ▒м╗▒ле (ко▓о░╗й ▓░│дно ┤о░мализова▓╝),
на▒ ин▓е░е▒│е▓ ▓ол╝ко в╗╖и▒ление до▒▓а▓о╖но ╡о░о╕и╡ ┤│нк╢ий, ▓ак
как ▒л│╖айна┐ логи╖е▒ка┐ ┤│нк╢и┐ в л╛бом ▒л│╖ае б│де▓ име▓╝ (▒│пе░)╜к▒понен╢иал╝н│╛ ▒ложно▒▓╝. Хо░о╕а┐ ┤│нк╢и┐, по к░айней ме░е,
имее▓ ко░о▓кое опи▒ание и, по╜▓ом│, мал│╛ колмого░ов▒к│╛ ▒ложно▒▓╝.
Таким об░азом, име┐ дело ▒ п░ак▓и╖е▒кими п░облемами, м╗ в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и ░або▓аем не ▒ мал╗ми ╖и▒лами, г░а┤ами, ▒╡емами,: : : , а, ▒ко░ее, ▒ на╖ал╝н╗м ▒егмен▓ом ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его кон▒▓░│к▓ивного ми░а,
пе░е│по░┐до╖енного ▒ помо╣╝╛ K: М╗ ▒и▒▓ема▓и╖е▒ки замен┐ем бол╝╕ой об║ек▓ его ко░о▓ким опи▒анием и за▓ем п╗▓аем▒┐ п░еодоле▓╝ в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ▓░│дно▒▓и, по░ожденн╗е ╜▓ой заменой.
П░иложение
След│╛╣ий ▓ек▒▓ | вклад в п░ед╗▒▓о░и╛ кван▓ового в╗╖и▒лени┐.
Э▓о по▒ледние ▓░и па░аг░а┤а введени┐ в [Ma2] (1980). За ╜▓│ ▒▒╗лк│ ┐
благода░ен А. Ки▓аев│ [Ki].
цМоже▓ б╗▓╝, дл┐ л│╖╕его понимани┐ ╜▓ого ┐влени┐ [░еплика╢ии ДНК], нам н│жна ма▓ема▓и╖е▒ка┐ ▓ео░и┐ кван▓ов╗╡ ав▓ома▓ов. Така┐ ▓ео░и┐ дала б╗ нам ма▓ема▓и╖е▒кие модели де▓е░мини░ованн╗╡ п░о╢е▒▒ов ▒ ▒ове░╕енно необ╗╖н╗ми ▒вой▒▓вами. Один из доводов в пол╝з│
╜▓ого | ▓о, ╖▓о кван▓овое п░о▒▓░ан▒▓во ▒о▒▓о┐ний имее▓ го░аздо бол╝╕│╛ емко▒▓╝, ╖ем кла▒▒и╖е▒кое: дл┐ кла▒▒и╖е▒кой ▒и▒▓ем╗ ▒ N ▒о▒▓о┐ни┐ми ее кван▓ов╗й аналог, доп│▒ка╛╣ий ▒│пе░пози╢и╛, на▒╖и▓╗вае▓ cN
▒о▒▓о┐ний. Когда м╗ ▒оедин┐ем две кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒и▒▓ем╗, коли╖е▒▓ва и╡
▒о▒▓о┐ний N1 и N2 пе░емножа╛▓▒┐, а в кван▓овом ▒л│╖ае м╗ пол│╖аем
╜к▒понен╢иал╝н╗й ░о▒▓ cN1 N2 :
Э▓и г░│б╗е о╢енки показ╗ва╛▓, ╖▓о кван▓овое поведение ▒и▒▓ем╗
може▓ б╗▓╝ го░аздо более ▒ложн╗м, ╖ем его кла▒▒и╖е▒кое модели░ование. В ╖а▒▓но▒▓и, по▒кол╝к│ не▓ един▒▓венной декомпози╢ии кван▓овой
▒и▒▓ем╗ на ее ▒о▒▓авл┐╛╣ие ╖а▒▓и, ▒о▒▓о┐ние кван▓ового ав▓ома▓а може▓ б╗▓╝ многими ▒по▒обами п░ед▒▓авлено в виде ▒о▒▓о┐ни┐ ░азн╗╡ ви░▓│ал╝н╗╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ ав▓ома▓ов. С░. ▒лед│╛╣ей ин▒▓░│к▓ивн╗й коммен▓а░ий в кон╢е ▒▓а▓╝и [Po]: цКван▓ово-ме╡ани╖е▒кое в╗╖и▒ление одной
молек│л╗ ме▓ана ▓░еб│е▓ 1042 ▓о╖ек ▒е▓ки. П░едполага┐, ╖▓о в каждой
▓о╖ке нам надо в╗полни▓╝ ▓ол╝ко 10 ╜лемен▓а░н╗╡ опе░а╢ий и ╖▓о в╗╖и▒ление в╗полн┐е▓▒┐ п░и к░айне низкой ▓емпе░а▓│░е T = 3:10;3 K; нам
32
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
в▒е е╣е по▓░еб│е▓▒┐ в▒┐ ╜не░ги┐, п░оизведенна┐ на Земле за по▒леднее
▒▓оле▓ие.ч
Пе░в│╛ ▓░│дно▒▓╝, ко▓о░│╛ м╗ должн╗ п░еодоле▓╝ | в╗бо░ п░авил╝ного балан▒а межд│ ма▓ема▓и╖е▒кими и ┤изи╖е▒кими п░ин╢ипами.
Кван▓ов╗й ав▓ома▓ должен б╗▓╝ аб▒▓░ак▓н╗м: его ма▓ема▓и╖е▒ка┐ модел╝ должна и▒пол╝зова▓╝ ▓ол╝ко об╣ие п░ин╢ип╗ кван▓овой ┤изики, без
опи▒ани┐ ┤изи╖е▒кого и▒полнени┐. Тогда модел╝ ╜вол╛╢ии | │ни▓а░ное
в░а╣ение в коне╖номе░ном гил╝бе░▓овом п░о▒▓░ан▒▓ве, а декомпози╢и┐
▒и▒▓ем╗ на ее ви░▓│ал╝н╗е ╖а▒▓и ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ▓ензо░ном│ п░оизведени╛ п░о▒▓░ан▒▓ва ▒о▒▓о┐ний. Где-▓о в ╜▓ой ка░▓ине м╗ должн╗ ░азме▒▓и▓╝ взаимодей▒▓вие, ко▓о░ое опи▒ано ма▓░и╢ами пло▓но▒▓и и ве░о┐▓но▒▓┐ми.ч
Спи▒ок ли▓е░а▓│░╗
[BCDP] D. Beckman, A. N. Chari, Sr. Devabhaktuni, J. Preskill. Ecient networks
for quantum computing. Phys. Rev. A., 54:2, 1996, 1034{1063.
[Ben1] P. Benio. The computer as a physical system: A microscopic quantum
mechanical Hamiltonian model of computers as represented by Turing
machines. J. Stat. Phys., 22, 1980, 563{591.
[Ben2] P. Benio. Quantum mechanical Hamiltonian models of Turing machines
that dissipate no energy. Phys. Rev. Lett., 48, 1980, 1581{1585.
[BoL]
D. Boneh, R. Lipton. Quantum cryptoanalysis of hidden linear functions.
Proc. of Advances in Cryptology | CRYPTO'95, Springer LN in
Computer Science, vol. 963, 1995, 424{437.
[BoyBHT] M. Boyer, G. Brassard, P. Hoyer, A. Tapp. Tight bounds on quantum
searching. Preprint, 1996.
[CZ]
J. Cirac, P. Zoller. Quantum computation with cold trapped ions. Phys. Rev.
Lett., 74:20, 1995, 4091{4094.
[Deu]
D. Deutsch. Quantum theory, the Church{Turing principle and the
universal quantum computer. Proc. R. Soc. Lond. A 400, 1985, 97{117.
[DeuJ] D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum
computation. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 449, 1992, 553{558.
[Fe1]
R. Feynman. Simulating physics with computers. Int. J. of Theor. Phys.,
21, 1982, 467{488.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
33
Ю. И. Манин
[Fe2]
[Fr1]
[Fr2]
[Fr3]
[GaJ]
[GeC]
[Gri]
[Gro]
[Ki1]
[Ki2]
[Ma1]
[Ma2]
[Mu]
[Po]
[Sa]
[Sh]
[Si]
[Ts]
34
R. Feynman. Quantum mechanical computers. Found. Phys., 16, 1986, 507{
531.
M. Freedman. Topological views on computational complexity. In Proc.
ICM Berlin 1998, vol. II, 453{464.
M. Freedman. Limit, logic, and computation. Proc. Nat. Ac. Sci. USA, 95,
1998, 95{97.
M. Freedman. PnNP, and the quantum eld computer. Proc. Nat. Ac. Sci.
USA, 95, 1998, 98{101.
M. Garey, D. Johnson. Computers and Intractability: A Guide to the
Theory of NP{Completeness. W. H. Freeman and Co., San{Francisco,
1979.
N. Gersheneld, I. Chuang. Bulk spin{resonance quantum computation.
Science 275, 1997, 350{355.
D. Grigoriev. Testing the shift{equivalence of polynomials using quantum
mechanics. In: Manin's Festschrift, Journ. of Math. Sci., 82:1, 1996, 3184{
3193.
L. K. Grover. Quantum mechanics helps in searching for a needle in a
haystack. Phys. Rev. Lett. 79, 1997, 325{328.
A. Kitaev. Quantum computations: algorithms and error correction.
Russian Math. Surveys, 52:6, 1997, 53{112.
A. Kitaev. Classical and quantum computations. Lecture notes,
Independent University, Moscow, 1998.
Yu. Manin. A Course in Mathematical Logic. Springer Verlag, 1977, pp.
xiii+286.
Yu. Manin. Computable and uncomputable (in Russian). Moscow,
Sovetskoye Radio, 1980.
D. Mumford. The statistical description of visual signals. Preprint.
R. P. Poplavskii. Thermodynamical models of information processing (in
Russian). Uspekhi Fizicheskikh Nauk, 115:3, 1975, 465{501.
A. Salomaa. Computation and Automata. Cambridge UP, 1985.
P. W. Shor. Polynomial{time algorithms for prime factorization and
discrete logarithms on a quantum computer. SIAM J. Comput., 26:5, 1997,
1484{1509.
D. Simon. On the power of quantum computation. Proc. of the 35th Ann.
Symp. on Foundations of Comp. Sci., 1994, 116{123.
B. Tsirelson. Quantum information processing. Lecture notes, Tel{Aviv
University, 1997.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
?омиал╝но │▒е╖енной п░оек╢ией, ▓ак как нам надо п░ове░┐▓╝ ▓ол╝ко v ░азме░а jvj 6 m:
E | NP{полно.
Дей▒▓ви▓ел╝но, п│▒▓╝ D 2 NP, D A, где A | неко▓о░а┐ в▒еленна┐.
Воз╝мем п░ед▒▓авление D как полиномиал╝но │▒е╖енной п░оек╢ии неко▓о░ого множе▒▓ва D0 A B , D0 2 P: В╗бе░ем но░мал╝н│╛, нап░име░,
П░едложение.
▓╝╛░ингов│ модел╝ в╗╖и▒лениий и ░а▒▒мо▓░им ▓╝╛░ингов╗ п░о▓окол╗
в╗╖и▒лени┐ D (a; b) ▒ ┤ик▒и░ованн╗м a и пе░еменн╗м полиномиал╝но
ог░ани╖енн╗м b: Как об║┐▒нено в╗╕е, дл┐ данного a, л╛бой ▓акой п░о▓окол може▓ б╗▓╝ п░ед▒▓авлен как ▓абли╢а ┤ик▒и░ованного полиномиал╝но
ог░ани╖енного ░азме░а, ▒▓░оки ко▓о░ой | по▒ледова▓ел╝н╗е ▒о▒▓о┐ни┐
в╗╖и▒лени┐. В цмик░о▒копи╖е▒комч опи▒ании пози╢ии ╜▓ой ▓абли╢╗ мог│▓ б╗▓╝ заполнен╗ ▓ол╝ко знаками 0 или 1. Вдобавок, кажда┐ ▒▓░ока
▓абли╢╗ ▒набжена опи▒анием пози╢ии и вн│▓░еннего ▒о▒▓о┐ни┐ головки
(п░о╢е▒▒о░а). Неко▓о░╗е из заполнений | п░авил╝н╗е п░о▓окол╗, д░│гие | не▓, но локал╝на┐ п░и░ода ▓╝╛░ингова в╗╖и▒лени┐ позвол┐е▓ ▒озда▓╝ ▓акие б│лев╗ полином╗ bu в под╡од┐╣и╡ пе░еменн╗╡, ко▓о░╗е на
п░авил╝н╗╡ п░о▓окола╡ п░инима╛▓ зна╖ение 1; ▓аким об░азом, ░а▒познава┐ и╡. Более под░обн╗е по┐▒нени┐ ▒м. в [GaJ], ░азд. 2.6. Э▓о оп░едел┐е▓
┤│нк╢и╛ f , ▒вод┐ D к E . Э▓а кон▒▓░│к╢и┐ на▒▓ол╝ко непо▒░ед▒▓венна,
╖▓о в╗╖и▒лимо▒▓╝ f за полиномиал╝ное в░ем┐ пол│╖ае▓▒┐ немедленно.
Изве▒▓но, ╖▓о многие е▒▓е▒▓венн╗е п░облем╗ | NP {полн╗, в ╖а▒▓но▒▓и (п░облема ░а▒познавани┐) 3{SAT: Э▓о множе▒▓во оп░едел┐е▓▒┐ как
подмноже▒▓во SAT , ▒о▒▓о┐╣ее из ▓е╡ u, дл┐ ко▓о░╗╡ card (Si [ Ti ) = 3
дл┐ в▒е╡ i.
0
Бол╝╕ин▒▓во б│лев╗╡ ┤│нк╢ий не в╗╖и▒лим╗ за полиномиал╝ное в░ем┐. Неко▓о░╗е ва░иан▓╗ ╜▓ого п░едложени┐ можно доказа▓╝ п░о▒▓╗м под▒╖е▓ом.
П░ежде в▒его, за┤ик▒и░│ем коне╖н╗й бази▒ B б│лев╗╡ опе░а╢ий как
в 1.4.1, кажда┐ из ко▓о░╗╡ дей▒▓в│е▓ на 6 a би▓а╡. За▓ем по▒ледова▓ел╝но▒▓и ╜▓и╡ опе░а╢ий длин╗ t по░ожда╛▓ O((bna )t ) б│лев╗╡ ┤│нк╢ий
Заме╖ание.
16
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
n
2
F
! Fn2 , где b = card B: С д░│гой ▒▓о░он╗, ╖и▒ло в▒е╡ ┤│нк╢ий, 2n2n ,
░а▒▓е▓ как двойна┐ ╜к▒понен▓а n и дл┐ бол╝╕и╡ n не може▓ б╗▓╝ пол│╖ено
за в░ем┐ t, ог░ани╖енное полиномом о▓ n:
Такое же закл╛╖ение делае▓▒┐, когда м╗ ░а▒▒ма▓░иваем не в▒е ┤│нк╢ии, а ▓ол╝ко пе░е▒▓ановки: ┤о░м│ла С▓и░линга дл┐ card S2n = 2n ! ▒оде░жи▓ двойн│╛ ╜к▒понен▓│
Во▓ е╣е одно видоизменение ╜▓ой п░облем╗: оп░еделим в░еменн│╛
▒ложно▒▓╝ кла▒▒а ▒межно▒▓и в S2n как минимал╝ное ╖и▒ло ╕агов, необ╡одимое дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ в╗╖и▒ли▓╝ неко▓о░│╛ пе░е▒▓ановк│ в ╜▓ом
кла▒▒е. Э▓о пон┐▓ие возникае▓, е▒ли м╗ ин▓е░е▒│ем▒┐ в╗╖и▒лением ав▓омо░┤измов коне╖ной в▒еленной мо╣но▒▓и 2n , ко▓о░а┐ не ▒набжена ▒пе╢и┤и╖е▒ким коди░ованием бина░н╗ми ▒ловами. Тогда може▓ ▒л│╖и▓╝▒┐,
╖▓о под╡од┐╣ий в╗бо░ коди░овки може▓ ▒│╣е▒▓венно │п░о▒▓и▓╝ в╗╖и▒ление заданной ┤│нк╢ии. Однако, дл┐ бол╝╕ин▒▓ва ┤│нк╢ий м╗ в▒е ░авно не ▒можем до▒▓и╖╝ в╗╖и▒лимо▒▓и за полиномиал╝ное в░ем┐, ▓ак как
а▒имп▓о▓и╖е▒ка┐ ┤о░м│ла дл┐ ╖и▒ла кла▒▒ов ▒межно▒▓и
r
p(2n ) exp 23 (2n ; 241 )
p
4 3(2n ; 241 )
▓акже показ╗вае▓ ░о▒▓ по░┐дка двойной ╜к▒понен▓╗.
2. Кван▓ов╗й па░аллелизм
В ╜▓ом ░азделе м╗ об▒│дим о▒нов╗: как и▒пол╝зова▓╝ п░ин╢ип ▒│пе░пози╢ии дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ │▒ко░┐▓╝ (неко▓о░╗е) кла▒▒и╖е▒кие в╗╖и▒лени┐.
Опи▒ание п░облем╗.
! f0; : : : ; N ; 1g
|
П│▒▓╝
▓ака┐
N | бол╝╕ое ╖и▒ло, F : f0; : : : ; N ; 1g !
┤│нк╢и┐,
дл┐
ко▓о░ой
в╗╖и▒ление
л╛бого
F (x) п░о▒▓о, ▓. е. може▓ б╗▓╝ ▒делано за в░ем┐, ог░аx: М╗ ╡о▓им в╗╖и▒ли▓╝ (░а▒позна▓╝) неко▓о░ое ▒вой▒▓во г░а┤а (x; F (x)); нап░име░ :
(i) Най▓и наимен╝╕ий пе░иод r ┤│нк╢ии F , ▓. е. ▓акой наимен╝╕ий
в╗╖е▓ r mod N , ╖▓о F (x + r mod N ) = F (x) дл┐ в▒е╡ x (кл╛╖евой ╕аг в
╖а▒▓ного зна╖ени┐
ни╖енное полиномом о▓ log
).
п░облеме ░азложени┐ на множи▓ели
(ii) Най▓и
▓акое
неко▓о░ое ▓акое
x, ╖▓о F (x) = 1 или │▒▓анови▓╝, ╖▓о
x не ▒│╣е▒▓в│е▓ (п░облема пои▒ка).
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
17
Ю. И. Манин
Как м╗ │же о▓ме╖али, поп╗▓ка п░┐мого ░е╕ени┐ ▓акой п░облем╗ ▒о▒▓ои▓ в ▒оби░ании полного ▒пи▒ка па░ (x; F (x)) и по▒лед│╛╣ем п░именении к нем│ алго░и▓ма ░а▒познавани┐ в╗┐▒н┐емого ▒вой▒▓ва. Така┐ ▒▓░а▓еги┐ ▓░еб│е▓ по к░айней ме░е ╜к▒понен╢иал╝ного в░емени (как ┤│нк╢ии би▓ового ░азме░а N ), по▒кол╝к│ длина ▒пи▒ка | N: Е▒ли о▒▓ави▓╝ в
▒▓о░оне возможно▒▓╝ ▓ео░е▓и╖е▒кого п░о░╗ва в понимании ▓аки╡ зада╖,
(нап░име░, доказа▓ел╝▒▓во ▓ого, ╖▓о P = NP ), п░ак▓и╖е▒ким ░е╕ением
могло б╗ б╗▓╝ и▒пол╝зование возможно▒▓и па░аллел╝ного в╗╖и▒лени┐,
▓. е. в╗╖и▒лени┐ однов░еменно многи╡ или даже в▒е╡ зна╖ений F (x): Э▓о
занимае▓ мен╝╕е в░емени, но ▓░еб│е▓ (не)п░опо░╢ионал╝но много обо░│довани┐.
Заме╖а▓ел╝ное п░едложение, в╗▒казанное Д. Дой╖ем (▒м. [DeuJ],
[Deu]), ▒о▒▓ои▓ в и▒пол╝зовании кван▓овой ▒│пе░пози╢ии кла▒▒и╖е▒ки╡
▒о▒▓о┐ний jxi вме▒▓о об║единени┐ N кла▒▒и╖е▒ки╡ ░еги▒▓░ов, кажд╗й
из ко▓о░╗╡ на╡оди▓▒┐ в одном из на╖ал╝н╗╡ ▒о▒▓о┐ний jxi. Дл┐ бол╝╕ей
▓о╖но▒▓и далее в ка╖е▒▓ве оп░еделени┐ ┤о░м│ли░│е▓▒┐ ма▓ема▓и╖е▒ка┐
модел╝.
Кван▓ов╗е па░аллел╝н╗е в╗╖и▒лени┐: ве░▒и┐ I.
введенн╗е обозна╖ени┐, п░едположим к░оме ▓ого, ╖▓о
биек▓ивное о▓об░ажение
же▒▓ва в▒е╡ в╡одов
(i)
лек▒ное
).
N = 2n и ╖▓о F
|
(множе▒▓во в▒е╡ в╗╡одов | пе░е▒▓ановка мно-
Кван▓овое п░о▒▓░ан▒▓во в╡одов и в╗╡одов |
гил╝бе░▓ово
Со╡░ан┐┐ ░анее
п░о▒▓░ан▒▓во
Hn
▒
2n {ме░ное
о░▓огонал╝н╗м
комп-
бази▒ом
jxi
,
0 6 x 6 N ; 1. Век▓о░а jxi наз╗ва╛▓▒┐ кла▒▒и╖е▒кими ▒о▒▓о┐ни┐ми.
(ii) Кван▓ова┐ ве░▒и┐ F | ▓акой │никал╝н╗й │ни▓а░н╗й опе░а▓о░
UF : Hn ! Hn , ╖▓о UF jxi = jF (x)i.
F | ┤изи╖е▒ка┐ ░еализа╢и┐ ▒и▒Hn и опе░а▓о░ом ╜вол╛╢ии UF .
Наивно гово░┐, е▒ли м╗ п░имен┐ем UF к на╖ал╝ном│ ▒о▒▓о┐ни╛, ко-
Кван▓овое па░аллел╝ное в╗╖и▒ление
▓ем╗ ▒ п░о▒▓░ан▒▓вом ▒о▒▓о┐ний
▓о░ое ┐вл┐е▓▒┐ ▒│пе░пози╢ией в▒е╡ кла▒▒и╖е▒ки╡ ▒о▒▓о┐ний ▒ ░авн╗ми,
нап░име░, ампли▓│дами, ▓о м╗ пол│╖аем однов░еменно в▒е кла▒▒и╖е▒кие
зна╖ени┐ F (▓. е. и╡ ▒│пе░пози╢и╛):
UF p1
N
X !
jxi = p1
N
X
jF (x)i:
(14)
Пе░ед ▓ем, как пе░ей▓и к более ░еали▒▓и╖е▒кой моди┤ика╢ии ╜▓ого оп░еделени┐, м╗ ░а▒▒мо▓░им неко▓о░╗е ▒в┐занн╗е ▒ ним воп░о▒╗.
18
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
кла▒▒и╖е▒кое в╗╖и▒ление, кван▓овое в╗╖и▒ление и ┤ак▓о░иза╢и┐ ╕о░а
(A) В╗╕е м╗ положили N = 2n , по▓ом│ ╖▓о м╗ п░ед▒▓авл┐ем ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣│╛ кла▒▒и╖е▒к│╛ ▒и▒▓ем│ как n{би▓ов╗й ░еги▒▓░ (▒░. об▒│ждение логи╖е▒ки╡ ▒╡ем). Каждое
P ╖и▒ло 0 6 x 6 N ; 1 запи▒╗вае▓▒┐ в двои╖ном виде как x = i 2i и о▓ожде▒▓вл┐е▓▒┐ ▒ ╖и▒▓╗м
i
(кла▒▒и╖е▒ким) ▒о▒▓о┐нием jn;1 ; : : : ; 0 i, где i = 0 или 1 | ▒о▒▓о┐ние i{го ░еги▒▓░а. Кван▓ова┐ ▒и▒▓ема H1 наз╗вае▓▒┐ к│би▓. М╗ имеем
Hn = H1
n; jn;1 ; : : : ; 0 i = jn;1 i j0 i:
Э▓о ▒огла▒│е▓▒┐ ▒ о▒новн╗ми п░ин╢ипами кван▓овой ме╡аники. Гил╝бе░▓ово п░о▒▓░ан▒▓во об║единени┐ под▒и▒▓ем може▓ б╗▓╝ о▓ожде▒▓влено ▒ ▓ензо░н╗м п░оизведением гил╝бе░▓ов╗╡ подп░о▒▓░ан▒▓в под▒и▒▓ем.
Таким же об░азом, ░азложим╗е век▓о░╗ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛▓ ▓аким ▒о▒▓о┐ни┐м в▒ей ▒и▒▓ем╗, п░и ко▓о░╗╡ индивид│ал╝н╗е под▒и▒▓ем╗ на╡од┐▓▒┐ в
оп░еделенн╗╡ ▒о▒▓о┐ни┐╡.
(B) Чи▒▓╗е кван▓ов╗е ▒о▒▓о┐ни┐, ▒▓░ого гово░┐, | ▓о╖ки п░оек▓ивного п░о▒▓░ан▒▓ва P (Hn), ▓о е▒▓╝ линии в Hn: Т░ади╢ионно вме▒▓о ни╡
░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐ век▓о░а едини╖ной но░м╗. Э▓о о▒▓авл┐е▓ неоп░еделенн╗м об╣ий ┤азов╗й множи▓ел╝ exp(i'). Е▒ли │ на▒ е▒▓╝ два век▓о░а
▒о▒▓о┐ний, ▓о индивид│ал╝н╗е ┤азов╗е множи▓ели не име╛▓ об║ек▓ивного зна╖ени┐ | зна╖ение имее▓ и╡ ╖а▒▓ное, ▓. е. ░азно▒▓╝ и╡ ┤аз. Э▓а
░азно▒▓╝ може▓ б╗▓╝ изме░ена набл╛дением ╜┤┤ек▓ов ин▓е░┤е░ен╢ии.
Э▓а возможно▒▓╝ и▒пол╝з│е▓▒┐ дл┐ ▒оздани┐ ╜┤┤ек▓ивн╗╡ кван▓ов╗╡ алго░и▓мов.
(C) Е▒ли кван▓ова┐ ▒и▒▓ема S изоли░ована, ▓о ее динами╖е▒ка┐ ╜вол╛╢и┐ опи▒╗вае▓▒┐ │ни▓а░н╗м опе░а▓о░ом U (t) = exp(iHt), где H | гамил╝▓ониан, t | в░ем┐. По╜▓ом│ одна из возможно▒▓ей в╗полнени┐ UF
| ┤изи╖е▒ки по▒▓░ои▓╝ │▒▓░ой▒▓во, дл┐ ко▓о░ого UF б╗л б╗ ┤ик▒и░ованн╗м опе░а▓о░ом ╜вол╛╢ии. Однако, ╜▓о о╖евидн╗м об░азом на╡оди▓▒┐
в п░о▓иво░е╖ии ▒о многими гл│боко │ко░енив╕ими▒┐ пон┐▓и┐ми ▓ео░ии
алго░и▓мов. Нап░име░, в╗╖и▒ление F (x) дл┐ ░азн╗╡ в╡одов x занимае▓
░азное в░ем┐ и б╗ло б╗ о╖ен╝ ▓░│дно │░авн┐▓╝ и╡ │же на ▒▓адии ░аз░або▓ки.
Вме▒▓о ╜▓ого можно поп╗▓а▓╝▒┐ в╗полни▓╝ UF как ░ез│л╝▓а▓ по▒ледова▓ел╝но▒▓и ко░о▓ки╡ взаимодей▒▓вий ▒и▒▓ем╗ S ▒ обо░│дованием,
▓о╖но │п░авл┐ем╗╡ кла▒▒и╖е▒ким комп╝╛▓е░ом (нап░име░, ▒ и▒пол╝зованием лазе░н╗╡ имп│л╝▒ов). В╗░ажа┐▒╝ ма▓ема▓и╖е▒ки, UF п░ед▒▓авл┐е▓▒┐ как п░оизведение неко▓о░╗╡ ▒▓анда░▓н╗╡ │ни▓а░н╗╡ опе░а▓о░ов Um : : : U1 , кажд╗й из ко▓о░╗╡ дей▒▓в│е▓ ▓ол╝ко на небол╝╕ое подмноже▒▓во (до ▓░е╡) кла▒▒и╖е▒ки╡ би▓. Э▓и опе░а▓о░╗ наз╗ва╛▓▒┐ кван▓ов╗ми гей▓ами.
Кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ & в╗╖и▒лени┐
19
Ю. И. Манин
Сложно▒▓╝ ░а▒▒ма▓░иваемого кван▓ового в╗╖и▒лени┐ оп░еделена его
длиной (╖и▒лом гей▓ов m) и ▒ложно▒▓╝╛ каждого из ни╡. По▒ледний
п│нк▓ ▒оде░жи▓ ▓онко▒▓╝: неп░е░╗вн╗е па░аме▓░╗, нап░име░, ┤азов╗е
▒двиги, о▓ ко▓о░╗╡ може▓ зави▒е▓╝ Ui дела╛▓ об║ем ин┤о░ма╢ии каждого Ui по▓ен╢иал╝но бе▒коне╖н╗м и п░ивод┐▓ к подоз░ени╛, ╖▓о кван▓ов╗й комп╝╛▓е░ б│де▓ в дей▒▓ви▓ел╝но▒▓и в╗полн┐▓╝ аналоговое в╗╖и▒ление, ли╕╝ ░еализованное ина╖е. О╖ен╝ ин▓е░е▒ное об▒│ждение ╜▓ого в [Ts]
(Лек╢и┐ 9) │беди▓ел╝но о▓ве░гае▓ ╜▓│ ▓о╖к│ з░ени┐ демон▒▓░а╢ией ▓е╡
╖е░▓ кван▓ового в╗╖и▒лени┐, ко▓о░╗е о▓ли╖а╛▓ его как о▓ кла▒▒и╖е▒кой
аналоговой, ▓ак и о▓ кла▒▒и╖е▒кой ╢и┤░овой об░або▓ки ин┤о░ма╢ии. Э▓о
об▒│ждение о▒новано на ▓е╡нике в╗╖и▒лений, │▒▓ой╖ив╗╡ к ▒бо┐м ▒ и▒пол╝зованием кван▓ов╗╡ кодов дл┐ ▒оздани┐ неп░е░╗вн╗╡ пе░еменн╗╡ в
в╗▒окой ▒▓епени за╣и╣енн╗╡ о▓ вне╕него ╕│ма.
(D) С кла▒▒и╖е▒кой ▓о╖ки з░ени┐, ▓░ебование о ▓ом, ╖▓о F должно
б╗▓╝ пе░е▒▓ановкой, в╗гл┐ди▓ о╖ен╝ же▒▓ким (нап░име░, в п░облеме пои▒ка F п░инимае▓ ▓ол╝ко два зна╖ени┐). Физи╖е▒ка┐ п░и╖ина ╜▓ого ▓░ебовани┐ ▓о, ╖▓о ▓ол╝ко