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Amplituden- und Intensittsschwankungen nach Verstrkung mit einem Laserverstrker.

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A. BANDILLA 11. H. PAUL:
Amplituden- und Intensitatsschwankungen
110
Amplituden- und lntenritatsrchwankungen
nach Verstarkung mit einem Laserverstarker
Von A. BANDILLA
und H. PAUL
Abstract
I n a preceding paper [l] the phase uncertainty of an electromagnetic wave amplified
by an (ideal) laser amplifier has been evaluated. Similar calculations are now performed
for the amplitude and the intensity of the radiation. A special result is the conclusion that
a field with minimum intensity fluctuations after amplification corresponds uniquely t o a
signal with a sharp photon number. The same holds approximately for the amplitude, the
approximation being exactly the same as in [l] which allowed us t o identify the phase
uncertainty after amplification with the expression following formally from the phase operator applied to the incident field.
1. Einleitung
I n einer vorangegangenen Arbeit [ 11 wurde die Phasenunscharfe einer elektromagnetischen Welle nach einer moglichst rauscharmen Verstarkung (mittels
eines idealen Laserverstarkers) berechnet. Dabei zeigte sich, daB die Phasenunschiirfe des v e r s t a r k t e n S i g n a l s in guter Naherung mit derjenigen ubereinstimmt, die man bei Verwendung des HEITLERschen Phasenoperators dem
E i n g a n g s s i g n a 1 zuordnen kann. Um den Zusammenhang zwischen verstarktem Signal und Eingangssignal noch genauer zu studieren, untersuchen wir im
folgenden auch dasverhalten der Amplituden- und Intensitatsschwankungenbeim
Verstarkungsvorgang. Aus dem Ergebnis wird deutlich, daB - in der gleichen
Naherung wie in [ 11 - Eingangssignale mit verschwindender Amplitudenfluktuation (im Sinne des Amplituden-Operators) auch nach der Verstarkung eine
minimale Amplitudenschwankung aufweisen. Bei den Intensitatsschwankungen
kann man direkt aus den Schwankungen am Ausgang auf die Schwankungen a m
Eingang schlieI3en.
2. Amplitudenschwankungen
Wir gehen von der in [ l ] berechneten P-Darstellung fur den Dichteoperat,or
desjenigen Strahlungsfeldes aus, das vermittels des Verstarkungsvorganges aus
einem - durch einen beliebigen (reinen) 1-Moden-Zustand reprasentierten Eingangssignal hervorgeht. Diese P-Funktion deuten wir bei hinreichend groBer
Verstarkung als klassische Verteilungsfunktion fur die komplexe Amplitude
z = w exp (-ip,) der elektrischen Feldstarke, d.h., Pw dw dp, wird als die Wahrscheinlichkeit dafur angesehen, daB die reelle Amplitude w im Intervall w...w
dw und die Phase p, im Intervall p,.. .p, dp liegt. Da uns hier nur die Amplitude
+
+
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Annalen der Physik
*
7.Folge
*
Band 24, Heft 3/4
*
1970
interessiert., haben wir iiber die Phase zu integrieren. Verwenden wir hierzu die
Formel (4.15) aus [1J, so erhalten wir als Verteilungsfunktion fur die Amplitude 20
In (2.1)sind die c, die Ent,wicklungskoeffizienten des Anfangszustandes beziiglich
der Zustiinde In} definierter Photonenzahl, und es wurde gesetzt :
All)
s = ti 2 sinh2 yt.
(2.3)
00
a, = N $ - NY ist die anfangliche Gesamtinversion des aktiven Mediums, und
N: bezeichnet die Zahl der z. Z. t = 0 im Niveau j ( j = 1 unteres, j = 2 oberes
Kiveau) befindlichen Atome. Zunachsh berechnen wir den quadratischen Mitt,elwert der Amplitude
Das hier auftretende Integral konnen wir schreiben als
00
I, = j- w 2 e
- w'
''8
L,(cw2) waw
0
(2.5)
Verwenden wir die Beziehung (5.2) aus [l],so erhalten wir
I,
=
2s2 F(-n, 8;1, 2sc).
(2.6)
Dabei bezeichnet F die hypergeometrische Reihe, die sich hier auf ein Polynom
n-ten Grades reduziert, da sie bei k = n abbricht. Beachten wir, da13 im Grenzfall vollstandiger Inversion und hinreichend groBer Verstarkung (sinh yt 3 1)
(2.7)
gilt, und beriicksicht,igen wir nur das Glied mit k = n , das offenbar den Hauptbeitrag liefert,, so finden wir
-
02
w2 = 2 /c$
11=0
init
n=O
2S(W
+ 1) = 2 4 6 + 1)
A. BANDILLA
11. H.PAuL: Amplituden- und Intensitatsschwankungen
121
Der Mittelwert, W der Amplit,ude ist gegeben durch
(2.9)
Hier ist also zu berechnen
(2.10)
Man geht dazu analog zu (2.5) vor. Die Integration fuhrt auf die hypergeometrische Reihe F (-n, 312; 1, 2sc). Von ihr wird nur der Beitrag fur k = ?E
mitgenommen.
,41s Koeffizient ergibt sich dabei
(2.11)
Wir erhalten so
(2.12)
Zur Abkurzung schreiben wir
d =
*
(2% i3)! 1;
2"n+3[(n l)!]"
(2.13)
+
und vergleichen die d, mit den in [l] auftretenden Koeffizienten
b" = 1; V G i ( 2 n
22n+' n! ( n
+-l)!
_ - I/n(2%+ l)!
+ 1 [%!I*
+ l)!
22n+1
/1.12
(2.14)
mit dem Ergebnis
+
dn = I/n
2bn+l.
Damit lautet dann (2.12)
(2.16)
(2.16)
(2.17)
Das Fakt,or s in (2.17) kennzeichnet die GroSe der Verstarkung. Bemerkenswert
ist, da13 hier die gleichen Koeffizienten b, in Erscheinung treten wie bei der
Untersuchung der Phasenschwankung (siehe [ 13). Fuhren wir die gleiche Naherung bn m 1 durch wie in [l] (die uns dort die Identifikation mit der vom
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Annalen der Physik
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7.Folge
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Band 24, Heft 314
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1970
HEITLERschen Phasenoperator gelieferten Phasenunscharfe erlaubte), so konnen
wir schreiben
(2.18)
Fur festes t wird (2.18) dann - bei fest,gehaltener
mittlerer Photonenzahl - am
kleinsten, wenn ( 2Ic\I2
seinen Maximalwert annimmt. U’endet man
1/.‘>”
n
auf diesen Ausdruck (ahnlich wie in [2]) die ScHwaRzsche Ungleichung an
(2.19)
so erkennt man, daB die linke Seite \-on (2.19) maximal wird, wenn gilt
1/.+ 2 c,
(P unabhingig von n).
= Pc,
(2.20)
G1. (2.20) ist offenbar nur durch
c n = Sn,n,
und
P
__
= 1/n1+ 2
(nl fest,)
(2.21)
erfiillbar, d. h., nach der Verstarkung wird dann die geringste Amplitudenschwankung gemessen, wenn das Eingangssignal durch einen Zustand scharfer
Photonenzahl zu beschreiben ist. Da der Amplituden-Operator die Wurzel aus
dem Photonenzahloperator ist (siehe z. B. [3]), ist dann auch die Amplitude
scharf. Die durch verschwindende Amplitudenschwankung vor der Verstarkung
ausgezeichneten Zustande sind also auch naeh der Verstarkung ausgezeichnet
in dem Sinn, daB die Amplitudenschwankung zwar nicht mehr Null, aber doch
minimal ist.
Trotz des Rauschens erlaubt also in diesem Falle das verstarkte Signal einen
eindeutigen RiickschluB auf das Eingangssignal, selbst wenn wir es am Eingang
mit mikroskopischen Intensitaten zu tun haben. Der in [l]gezogene analoge
Schlurj beziiglich der Phasenschwankungen crscheint, damit noch besser gerechtfertigt .
3. Intensitiitsschwankiingen
Da wir bereits
-
w4
berechnet haben, benotigen wir nur noch den Ausdruck
00
=
0
w4 R(w,t ) w dw,
d. h., wir miissen das folgende Integral berechnen
00
I,
=
J w4 e
0
W*
-_
28
L , ( c w ~w) dw
(3.1)
A. BANDILLA
u. H. PAUL:Amplituden- und Intensitiitsschwankungen
123
Die Integration fuhrt auf das Ergebnis
Beschrankt man sich bei F wieder auf die hochste Potenz (n), wobei der entsprechende Koeffizient
k,
1
2
= - (n
+ 1) (n + 2) (-l)*&
(3.4)
lautet, dann erhiilt man das Resultat
-
2 lcnp ( n + 1) (n + 2).
00
w4 = 482
n=O
(3.5)
Damit ergeben sich die Intensitatsschwankungen zu
mit
Die GroRe 2s = 2h sinh2yt (Grenzfall nahezu vollstiindiger Inversion) ist hier
wieder der Verstarkungsfaktor. Aus ( 3 . 6 ) sieht man, daR die Intensitatsschwankungen bei festgehaltener mittlerer Photonenzahl E dann klein sind, wenn
n2 - n2 klein ist, d. h., wenn die Intensitat des Eingangssignals wenig schwankt.
Wie aus ( 3 . 6 )ersichtlich ist, kann man aus der Schwankung am Ausgang direkt
auf die Schwankung a m Eingang zuruckschlielien. Fur einen Zustand scharfer
Photonenzahl als Eingangssignal wird auch hier die Schwankung des verstarkten
Signals am geringsten.
Wir weisen noch darauf hin, daR bei den Intensitiitsschwankungen die obigen
Koeffizienten b, nicht in Erscheinung treten, so daR G1. ( 3 . 6 )genauer ist als die
entsprechenden Beziehungen im Falle der Phasen- und Amplitudenfluktuation,
wo wir ja die Niiherung b,&m 1verwendet haben.
Zum SchluR sei noch erwahnt, daB die durchgefuhrten Untersuchungen in
genau derselben Form auch fur den Fall eines parametrischen Verstarkers (mit
anfanglich leerer Idler-Mode) gelten, da der Ausdruck fur den Dichteoperator
des verstiirkten Feldes der gleiche ist wie beim Laserverstarker (siehe [4]).
Literaturverzeichnis
[l] BANDILLA,
A., u. H. PAUL,Ann. Phys., Leipzig 28 (1969) 323.
[2] PAUL,H., W. BRIJNNER
u. G. RICHTER,
Ann. Phys., Leipzig 12 (1963) 325.
[3] HEITLER,
W., The Quantum Theory of Radiation, 3rd Ed., Oxford University Press
1954.
[4] MOLLOW,B. R., u. R. J. GLAUBER,
Phys. Rev. 160 (1967) 1076.
B e r l i n - A d l e r s h o f , Zentralinstitut fur Optik und Spektroskopie der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
Bei der Redaktion eingegangen am 17. April 1969.
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