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Amplitudenverhltnisse bei der Reflexion und Brechung des Lichtes an der Grenzebene zwischen isotropen und anisotropen Medien.

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Annalrn dcr Physilr. 7. Folgr, Rand 36, Hrft 2, 1978, S. 99-116
J. A. Rarth, Lcipzig
Amplitudenverhaltnisse bei der Reflexion und Brechung
des Lichtes an der Grenzebene
zwischen isotropen und anisotropen Medien
\ran A.
WiiXSCHE
Zcntr:ilinstitut fur Optik uncl Spektroskopie clcr Akademic der LViusensrhaften der DDK,
Brrlin-A4dlershof
I i ~ l i a l t s u h e r s i c , h t .Es werden die Aniplitudmbeziehungen fiir die elcktrischen Felder ebener
nioiioc,liromatischcr Wcllcn bei dcr Reflexion und :Brechiing an der Grenzebene zwischen isotroperi
und 1,tdiehig iinisotropen 3Iedicn bei Einfall sowohl vom isotropen rtls auch vorn imisotropcn Modiurn
hrr : I I I S clcr Maxwellschcn Theorie abgelcitet.. Weiterliin werdcn dic rektoricllen Arnplituden dcr
nniriidinlrn Schwingungen bcetimmt. Folgcndo Spezialfalle der allgemeinen Formeln werden betrachtvt : 1. senlcrcchtcr Einfall, 2. optischc i\chse in R.ichtung dcr im anisotropen Xcdium reflelctierten h w . gcbrochcnen U’cllc, 3. scnkrerhte nnd pa.rallcle Polarisation der !Ceilwelleii im anisotropen
3lcdiiini beziiglich der Einfallscbent:.
Relations for the Amplitudes’in Case of Bcflcctiori arid Refraction of Light
at t,lw Boundary Plane bctwoen Isotropic and Anisotropic Media
.\ h s t r a c t . Relations for the arnplitudcs of the clectric fields of planc inonochromatic waves
reflrcted und refracted at the bounclltry plane between isotropic and arbitrarily anisotropic media are
tlerivcd from the Maxwell theory both for incidcnce from the isotropic- or from the anisotropic
rnciliuiii. Farthcrmore, the vectorial amplitudes of the nniradiul oscillations arc determined. The
follou iiig specxtl C ~ S Wof the gcneral forniulac are considercd: 1. normal incidence, 2. optic axis in
direct ion of the reflected respectively refracted wuve in the anisotropic mcdiuni, 3. normal and parallel
polniizntion of the partial waves in the anisotropic medium with respect to thc planc of incidence.
1. Eiiileitung
1 he in dcr altwen 1,it.eratur vorhnndenen .Bercchnungcn zii den Ainplitudenverlililtnisscw bei der Rcflexion und Brechung ebener nioriochroinatisclier Wcllen an einer Grcnze h n e zwischen eincni hoinogenen isot.ropen und eineni lioinogenen anisotropcn Medium
11, 2 . :$I sind wegen der ausschliefilichen Anwendung von Koordinstcnmcthoden unistiincllich und dariiber ltinaus auch unvollstandig. Weseritliche lnipulsc zu einer ratioriellwm .L)arst.cllurigdcr Kristalloptik girigen erst in jiingerer Zcit von F . J O D ~ R[O
41W
duwll die Kritwicklung koordinateninvarianter Mcthodcn hinsichtlich dcs dreidirnensiofiit!cn Raumes (sogenannter invarinnt.er Methoden) aus, init deren Hilfe auch die
Ilcfloxion und Brechung an nnisotropen Mcdien neu hehandelt wurde [4- 81. llie Optilc
iinisot roper RiIedien ist cines clerjcnigcn Gehiete der :I’hyaik, die geradezii fine Heransfor(ktung zur Entwicklung und Anwenclung invarjantcr iMethoden darstellcn. Eine nielir
w f die Uediirfnisse des Experiinent,alphysikcrs zugeschnittene nsrstcllung von Reflesionsproblcirieii riiit Beriicltsichtigiing invsrianter Methoden fitidct. inari in dcr Monogriiphiv LO]. l n [ 101 wurdc dic 13erechnung der Airiplit,udenverhaltnissc bei der Reflexion
100
und Brechung ebener nionochrortiatisclicr Wellen an dcr Grenzebcne zwist:ltcri eineln
optisch isotropen und eincm beliebig nnisotropen Mediuni t)ei Einfall vonr iHotroperi
Mediuni her iriit invarianten 31et.hoden durchgcfiihrt,. JXe dort verweridetc Met hode liell
sich auch auf die .Behandlung der Reflexion und Brechung an ciner planparallcleri anisotropen Schicht erweitern [ I I I. .Die entsprechende Yrohlenistellung fiir zwci tta1l)tinendliche belicbig misotrope Medien ltonnte niit invarianten Methoden ehenfalls gclijst
wcrdcn 1121. Zwci 1970 gchaltene VortrBge [18, 141 liel3en erltennen, dafi fiir ( 1 ~ 1 1Fall
,,isotrop-anisotrop" einc niit cntsprechender Methodik wie in [ 101 durchgefiilirte 13ehandlung dcs Einfitlles von der Seitc dcs anisot,ropen Mediums vori praktisclie~nIntcresse fiir dic St.rahldurchrechniing in optischen Systeiiien mit anisotropen Elellrenten
ware. Wir wollen hier eine derartigc Berechnung durclifiihrcn, wobei Mrir den schon
behandelten Fall des Einfalles voni isotropen Mcdium her eirlschlieljen. ..ILIStler nllgemeincn L h n g lnssen sich auf einfache Weise prakt.isch d l e interessarttcrt S~)c~xii~lfallc
gewinnen, von denen einige in der Literatur [4--8, 15, 1.6, t 7 I auf direktere~i~
\5'ege bet,rachtet wurdcn. Iler in der vorliegenden Arbeit zu behandelnde Pall ,,isot.tq)-nnisotrop" ist vor alleni auch fiir die Zwecke der Ellipsomctrie von lnteresse [18: 191. Scbcn
anderen wesentlichen Uetails untcrscheiden sicli unscre Berechniingen von clciicn in
[4, 81 auch dadurch, da13 \sir iin wesentlichen mit den elektrischen l?eldstarlten nrl)eitcn,
wiihrcnd dort hanptsachlich 1)arstellungcn durch die inagnetisclicn Feldstarken t)cnut.r.t
wcrtlen.
I'raktischc nu nierischc Berechnungen zur Probleinstcllung der vorlicgcndeti Arboit,
erfolgcn wohl nni hesten in 3 Teilschritten in folgender Reihenfolge :
I.. Berechnung dcr Nortiialkoniponentcn dcr Itefrnktionsvektoren lxi vorgcgehwn
Tangcntialkornporienten nus der 1)ispersiorisgleichung.
2. Berechnung von Polarisat.ionsvektorcndes elektrischen Feldes (bzw. tles msgnet.iwhen Feldes oder der clektrischen I nduktion) der hcteiligtcn ehenen rnonoctit.ouIiltiscJien
Wellen in1 nnisotropcn Medium.
:\. J)ie eigcntliche .Bcrcchriiing der Aniplitudenvcrhaltnisse nus den Orcnz1)etlingiinKen unter Verwendurig der bcrechnctcn Refraktioris- und Polari~ationsi~cltl.oi~~!ii.
Wir widiticn uns in tier vorliegenden Arheit nur dcm 3. Piinkt. Auf den 1. I'iinkt, gelicn
wir nicltt eiri, da wir tiiesheziiglich nichts Xeues zu dcni in tier 1,iteratur [ 1 - 81 twrits
Vorhander~c~i~
t)eitragen kiinnt,en. Zuin 2. Punkt sind verschiedenc Methoderi h ~ k i ~ ~ n t
[I -4, 7, 8, '11, 201, wobci aher nach unscrer Meinurig noch kcin AbscliluIJ inshcsondpre
fiir gy~.otropeMedien (unsyiniiict,rischcr PeriiicahilitatPtcn~or)erreicht ist . tloc.11 ist
hier nicht. der gceignete Ort fiir die Behandlung dieser P r o b l e ~ ~ ~ t ~ t i k .
2. Prohlemstellring und Ausgnngsgleichungen
Wellen an
Wir betrachten die Reflexion lint1 Brcchung cbcner nionoc.hroiiiat~isclit~r
tier Circnzehene
Nx = 0 , ( N 2 = 1 )
(2. t )
zwischen rineiii honiogenen (optisch) isot,ropen Alediunt 1 niit dcin J-'et.nictt.bilitltstensol.
E~(U)=
) R ~ ( ( I ) ) 1 ( q ( m ) sltalare kornplexe Pernieiihilit~at)wid cinein honiogcnc:ri bc~liebig
anisotropcn Mediiini 2 init. deni koniplexen (iiii allgcrrieinen u n s y t ~i m c t ~ r i s c lI'ernie~~ ~ ~ i )
sbilititst.ensor ~ ~ ( 0(Abb.
))
I ) . Aus (2.1) geht hcrvor, daB wir den Koordin,ztt:nut.sprung
einfilchhcitshalher in die (hnzebene niit detn I'ornisl(:neinlic.itsvektor N legen. Ansonsten schlicljen wir uns sehr tmg :in die Bezeichnungsweise in [ 111 tin, die fiir Vcrallgemeinerungen giinstig ist. Wegcn dcr raurnlichen Honiogenitat der ht.rachtcten Anordnurig parallel ziir Grcnzet)ene und wegen der zcitlichen HoniogenitAt. kijnnt:n lulr die
i1 tnplituden cbcner nioriochro~natiscllerWellen niit gleicheri Tangcntia1kuirt~)orientcndcr
101
Reflesion und Brechung des Lichtes zwischen isotropen und anisotropen Medien
\
I
q4
II
anisotrop
Medium 2
I
:../ \
I f i
U
N%-0
I
.........................
8,
isotrop
(4=
c, (0)
4
I
n4
Medium1
1.. .....................................................................................
I
I
Abb. 1 Schematische Darstellang zur Vera~ischaulicli~ing
der Geometrie der Anordnung und der
Wnhl der Bezeichnungen.
Die iinkran Tndizes ,,l"oder ,,2" beziehen sich stets auf die Medien 1 oder 2, wahrend die oberen
Indizes ziir Kennzeichnung der verschiedenen Teilwellen dicnen. Mit Ti nird die gemeinsame Tangentialkomponentc aller Refraktionsvektoreii bezeichnet. Die Formeln im Text sind in einer Weise geschrieben, bei der die Wahl der Richt.ung des Piormaleneinheitsvcktora N zur Grenzebene Nx =: 0
lreine I?olle spielt und daher anch entgegengesetzt zur Zeichnung Rein konnte.
WelleJiVcktOren k heziiglich der (kenzebene und glcichen Frequenzen o und folglich
C
anch iirit glcicheIi Tangentialkoniponenten der Refrektionsvekt,orenl) n .= - k init,(0
eiriarider gekoppelt scin. Fiir das isotrope Medium 1 crgeben sich daiiiit 2 Refraktionsvekt.oren iiiit gleicher Tangentialkoniponente bezuglich der Grenzebene, die wir init n\
und n7, bezeichnen (oberer lndex ,,i" bedeutet ,,einfallend" und ,,Y" ,,reflelrtiert", von
,.incident" hzw. ,,reflected" abgcleitet). Fiir das anisotrope Medium 2 ergeben sich
clagcgen aus der I)ispersionsgleichung 4 in1 allgenieirien verschiedene Refrakt.ionsvektorcm init gleicher Tangentialkoiii1)onente beziiglich der Grenzebene, die wir init n[
( p = 1, 2 , 3,4) bezeichnen. Das vektorielle Reflexiohs- und Brechungsgesetz ILIjt sich
dsbei z. U. in folgenden aquivalenten Bornien schreiben [4]
ni(1 - N . N ) = n;(I - N . N ) == n;(l - N . N )
= n(1 - N . N ) = [ [ N , nl,Nj = : 6 ,
(2.2)
", n9 = ", nil = ", n$]5 1 ", n ] ", 121.
Fiir die elektrischen Feldstiirken E ( x , t ) und iibcr die Maxwcllschcn Gleichungen
daraus folgend fur die niagnetischen Feldstarlren B(x, t ) in den beiden Medien niachen wir
folgenclen Ansatz (5 =: [ [ N ,XI,N ] = (I - N . N ) x):
=,
--
l) Die Bezeichnung ,,Refraktionsvektoren" wurde von F J O D O R O W [4] eingefuhrt. FJODOROW
und die meiskn seiner SchCiler benutzen ziir Bezeichnung der kfraktionsvektoren generell den Buchstabcn i n . Da jedoch der Betrag der Itefralrtionsvektorcn gleich dcni Brechungsindcx fiir die entsprechende Welle ist, der nahezu iiberall mit n bezeichnet wird, haben wir schon der Korrespondenz
n2 = n2 wcgen die ltcfrnlrtionsvekturen mit tl bezcichnet und schlieDen uns in diever Hinsicht dem
und LIPSCRIZ[20] an. Der Bnchst,abe n wird bei PJODOROW
fiir Einbekannten Werk von LAKDAU
heitsvektoren in Richtung der Rcfraktionsvektorcn benntzt.
Medium 1
Mediiun 2
p=l
(2.4)
p=l
Darin Rind e$ Polarisationsvektoren des elektrischen Feldes der ebenen inonochroniatischen Wellen irn anisotropen Medium 2. Die Feldcr (2.3)und (2.4)enthalten die bciden
Vektoramplituden
und E; (je 2 unahhangige Kaniponenten wegen der Transversalitatsbedingung) und die 4 skalaren Amplituden E $ , d. h. insgesanit 8 unabhangige Amplitudenltomponenten, die durch die Grenzbedingungen niiteinander gekoppelt sind.
Es ergeben sich durch die Grenzbedingungen pro Grenzebene 4 unabhiingige skalare
Bedingungen, so da8 im betrachteten Pall von den 8 unabhangigen skalaren Komponenten in E$, E', und E&noch 4 frci wahlhar sind. Je nach Wahl der vorgegebencn und der zu
hestiininenden Komponenten ergeben sich unterschiedliche Aufgabenstellungen.
Die Grenzbedingungen dcr Stetiglteit der Tangentialkoinponenten des elelrtriwhcn
und niagnetischen k'eldes an der Grenzebene Nx = 0 lassen sich nach Spezialisicriing
gemafi (2.3)und (2.4)auch in folgender aquivalenter Form darstellen [4-I 1 1
4
[ N , EiI
+ [ N , E',] = 3 [ N , eg] E g ,
p=l
4
[a:,E:]
+ [n);,E;] = 2' in;, e;] Eg .
(2.5)
p=l
Das Gleichungssysteni (2.5) enthalt 5 skalare Gleichungen, von denen aber nur 4 linc~ar
unabhangig sind. Multiplieiert man namlich die erste Gleichung in (2.5)skalar niit cineni
beliebigen dcr Refraktionsveldoren und die zweite Gleichung slralar nlit N , SO ergellen
sich init Berucksichtigung von (2.2)identische skalare Gleichungen. Man kann das (:leichungssystem (2.5) auf 4 unabhkngige skalare Gleichungen reduzieren, indern nian die
'
zwcite Gleichung vektoriell init N oder die erste Glcichung slralar niit [ N , nl
N'
niultipliziert.
M-5 -
)
I",nlI
Das Gleichungssystetti (2.5)lafit sich z. B. in folgenden Fornien, denen untrrschiedliche Problernstellungen entspreehen, auflosen (das Symbol f sol1 hier nur (linearc)
funktionale Abhangigkeikn ansdrucken):
1.
2.
3.
( E i , E l ) = f ( E i ,Ez, E;, E ; ) ,
(Ei,Eg,E;, E i ) = f(EL;,E ; ) ,
(2.6)
( E i . E;, E$) = f ( E i , Eh, E ; ) .
Wenn wir E'g, und E; als Ainplit.uden der im anisotropen Medium 2 einfallenden 'Teilwellen und E i und EB entsprechend als.Amplituden der reflektierten bzw. gebrochenen
Teilwellen in1 Medium 2 ansehen, was nur cine Frage der Kunierierung dcr verschiedenen
niijglichen Teilwellen ist,, so entspricht dcr 3. Fall in (2.6)der haufigsten Problemstellung,
Reflexion und Rrechung des Lichtes zwivchen isotropen iind misotrapen 3Iedien
103
die wir hier hanptsachlich losen wollen. Die Losungen des 1. und 2. Falles in (2.G) kiinnen
Hilfszwecken dienen. Besitzt man I)eispielswcise die ‘~eilliisungE’; =f ( E i ,E;, E& ,Ti)
rind die Teilliisung (E;, Eg) = f(E”,, EA, E i ) . so lafit. sich durch Zusammenfiigen dieser
heiclen Teillbsungen auch leicht die Teillosung E< -f(E\, EB, E;) und damit, die gesan1t.e
lijsiing des 3. Falles in (2.6) erhalten. Die Losungen dcs 1. und 2. Falles in (2.6) diirftcn
aber a,uch sclbstandige Uedeutnng fiir das I’rohlcni der Reflexion und Brechung a n
liiiitereinandergeschalteteii planparallelen isotropen und anisot.ropen Schichten besitZen. Aufierdeni unifafit die Ibsung des 1. Falles in (2.fi) vollstandig die Lbsung des Prohlenis der Bestinimung der uniradialen Schwingungen, indeni nian 3 der 4 Aniplitnden
Xi,E i , E;, C$!, gleich Null sctzt.
Als ‘I’eilschritt,e zur Liisung der I’roblenistellungen kann nian zunachst, folgende
Kliniinationen in1 Sy3teni der Grenzbedingungen (2.F)) ausfiihren : 1. Eliniination von E\
bzw. E:,. (1. u n d 3. Fall in (2.6)), 2. Elimination von B&iind E; bzw. Ez und E i , (2. und
3. Fall in (2.6)). Man erhiilt durch diese Eliniinationen jeweils einc cinzige vektorielle
(&ichung,
(lie abcr nur 2 linear , unahhangigen skalaren Gleichungen aquivalent, ist,
fiir die restlichen 6 skalaren Ainplitudenkoniponenten,Von ctenen daher 4 frei wBhlhar
sind. Wir wollen uns hicr n u r mit der erstgenannten Mliigliclikeit der Elimination von E’,
hzw. E; besch5ift.igen.
3. Elimiiiat.ion von El bxw. E; aus don Grenzbediiigungeii
Duroh vektorielle Multiplikat,ion der Gln. (2.5) init, den Velitoren ni bzw. n{ ergeben sich init Beriiclrsichtigung der 7’ransver~alitat,sbeclingung(2.3) folgendc Forn~eln
fiir E i hzw. E’,
(3.1)
sowie
(3.2)
Fiir das isotrope Mediuni 1 gelten dahei folgende Gloichungen, die
9i.Y (Quadrat des Brechungsindex) verst,lndlieh niachrn
. .
rt,: =
.: n\n\
=
nin;
=
nqN -!- n’,N
=
0.
ttiicli
die A1,kiirzirng
(3 . 3 )
Mil Hilfe der Bezichungen (3. I ) otlw (3.2) lalll; sich E i hzw. E’; aus den1 System der
(:reiizbediIi#iingen (2.5) eliminieren. Setzt nian beispielswise E i bzw. E ; genial1 (3.2)
in die crst,e vektorielle (~renzherlingung(2.5) ein, so ergelcn sich tlireld folgende schon
in [11] abgcleitete Hezieliungen
(3.4)
A. W~:XSCHE
104
Die Operatoren AYl, A$;, A';Z;,A;'; ( p = I, 2, 3, 4). in die als va.riahle Griiflcn nur Refraktionsvektoren eingehen, sind folgenderniaflen definiert
(ninf - .'in';) 1 + n - n;, A$j= (nini - nlng) 1 + n . n i ,
(3.5)
(n;ni - n;ng) 1 + n . n ; .
11 = (#In'; - n;n;) 1 -1- n . n;, A;$
Air
11:- .
Afi
. ...
Fiir die un1)estininit gelassenen Refraktionsvelrtoren n in (3.5) kann jeder beliebige
vorkoniiiiende Refralrtionsvektor eingesetzt werden, da es in (3.4) dabei nur auf die nach
deni R,eflexions- iind-Brecliungsgesetz(2.2) fiir alle Refrakt,ionsvekt.orengleiche Tangent~ialkomponenteii ankotnnit, wahrend die N o r i r i a l k o ~~ i ~ ~ o r iannnlliert.
c n t ~n
werdcn. In1
folgenden beniitigen wir die z u AYl hzw. A?, komplenicntaren Operatoren
bzw. k>l,
fur die man leicht, findet [ I l l
-.
A5 = (nini - nin;) ((nin: - nini; -t nin) 1 - n . ni'
1! '
- .
(3.6)
A& = (n';n;-- n;n'i){(nin; - n;ni
nin) 1 - n . n ; ) .
el
-+
Anflerdeni gelten noch folgende Beziehungcn, die sich fiir Vereinfachungen in (3.6) und
(3.6) ausnutzcn lassen.
,
,i ni- nin; = n;n; -
nln',
=
2 ( n l N ) 2 ,(nlN)2-i ( n i N ) 2= (n';N)2. (3.7)
Den o h e n Index , , ? I oder ,,P in1 Ausdruck ( ~ I , Nhahen
) ~ wir weggelassen, da er davon
nicht ahhangt.
Durch vektorielle Mult,iplikat~ionder @In. (3.4) niit deni Vektor N ergeben sich dazn
jeweils iiqiiivalente Gleichungen. Set,zt'inaii die Operat,oren A$ und APl gelrial3 ihrer
speziellcn Gestalt (3.5) in die Cln. (3.4) ein, so ergeben sich nach einfaclien IJmforniungen
linter Ausnut,zung des lteflexionsgeesetzes nnd der Transvei,salit,atsbedingung sowie nscli
vektorieller Multiplikation dieser Olcichungcn niit deiri Vektor N folgcirick zit (3.4) aiquivalente Gleichungen
4
2 n ; N . [ N , [n;, E;]] -
2' [ N , [ N , A%e$J E$ = 0 ,
p=l
(3.8)
4
%n\N. [ N , [ n i , E ; ] ] -
2 [ N , [ N , A;fe$]J E.ff = 0 .
/r=1
Wir wollen im folgeriden die vektoricllen Gln. (3.4) oder die dazu iiqiiivalent.en vektoriellen Gln. (3.H)!voii dcnen jede n u r 2 linear unahhiingigen skalaren Gleichiingen entspricht, erst,ens nach E i hzw.
und zweitens nach Ez und h'g aufl6sen. Durch die Auflosung dieser Gleichungrn nach E'i hzw. &?, erlcdigcn wir gleichzeitig das Problem der
I%esti~iiniung
der uniraclialen Scliwingungen. Die Auflosung dcr unteren vektoriellen
Gln. (3.4) oder (3.8) nach E$ und E i liefert dagegen cine Teill6siing zur iiblichen Prohlenistellung dcr 13estiniinung der fhplit.uden der reflektierten und gebrochenen Teilwellen in Ahhiingiglieit von den Aniplituden cler in den Medien 1 und 2 einfallenden
.Daraus lalit sicli clam in Verbindung iiiit, den Fornieln (3.1) odcr (3.2) oder
r.lellwellen.
l
aucll ])lit deli Forlneln fiir die iiniradialeii Schwingungeri in1 nachsten Abschnitt die Liisung der iihlichcn ~'rot~lemstellung
vervollstiindigen.
'
4. Uniradiale Schwingungen
Zuni Zwecke der Atiflosung tier Gln. (3.4) nach E; bzw. Ei schreihen wir zunachst,
folgcnde, fiir beliehige Vektortm x, y , z mid beliehige Operatoren A giilbigen, identischen
[!lriforinungen auf, in deiien 3 dcn zii A Ico~npleuientarenOperator
i[A]1 -
(x
Reflesi,in nnd Brechung des Lichtes zwischen isotropen und anisotropen Medien
(A) A
-+ A2, (A)
1
Spur von A, [A] I- - ((A)2 - (A2), A X =
2
A
=
105
I A I 1)bezeichnet
\'on diesvn wichtigcn, aber bisher ver1ik;ltnisniiifligwenig hcknnnten 2), allgeineingiiltigen
(dreidiniensional!) Identitiiten 1aBt sich jede der beiden in (4.1.) links stehenden Identitaten in T'erbindnng mit der Transversalitiitshedingung (8. Fornieln (2.3)) ziir Aufliknrig dcr Gln. (3.4) nach E', bzw. E i ausnutzen. Dam multiplizieren wir beispielsweise
die crstcx dieser Gleichungen zuerst von rcchts mit dern Operator AYl und bilden danach
das Vekt.orprodukt der erhalt.enen vektoriellen Gleichung iriit deni Vektor ni. Mit Benutziirig tlcr ohercn linken Identitat in (4.1) lafit Rich danri folgende Umformung durchfiihren
[nt;, [ N , AFIE';] A'",T,I
= [n;,
[pzlN,Ei]]
:=
-n;AflN. E;.
(4.2)
Arif die beschriehenc Wciw ergehen sich aus den Gln. (3.4) folgende Bezichungen fiir E;
und E i (sielie auch Ll.11)
1)urch JSinsetzen der spezicllen Qcst,alt dcr in (4.3) cingehenden Operatoren (s. Fornicln
(3.5) und (3.0)) lassen sich leicht detailliertere Darstellungen der Forineln (4.3) ahleiten.
I3evor wir dies tun, wollen wir noch eine andcre Met,hode der Auflosung des Systenis der
Grenzhedingungen nach El; und Pl betrachten und gehen dahei von den zu (3.4) aquivalenten Gln. (3.8) aus.
Multipliziert, inan die obere Gleichung in (3.8) zuniichst vektoriell init den1 Vektor
n;, so ergibt sich daraus die Auflosung dieser Gleichung nach [n;, E;]. Durcli nochnialige
vaktorielle Multiplikat.ion der erhaltenen Gleichung r i d nt; crgibt sich niit Beriicksicht.igung dei: Transvcrsalitatshedingung n';E; = 0 die Auflosung nach El;.Analog verfahren
wir niit. tlcr unteren Gleichung in (3.8). Auf die angegehene Weise erhalt man
2) Dic beiden Idcntit~iitcnin der oberen Zeile in (4.1) Rind iins bivher noch nicht in der Literatur
begegnet, wiihrend man die iinteren Identitaten z.B. in 181 (Formcl (2G.64) atif S. 387) findet. Multipliziert inan die Identitaten in der oberen Zeile in (4.1) skalar mit z und die Identititen in der unteren
Zeilc in (4.1) ekalar mit x, so ergeben sich jeweils die gleichen skalaren Identitiiten. Der Beweis der
Identitiiten (4.1) IiiBt sioh durch Benutzung von Darstellungen niit Hilfe der Levi-Civit.a-Synibole
fiihrcn nnd ist bei Vertrnutheit niil dieser Symbolik sehr einfach.
106
A. WPSSC:HIC
Set,zt nian A% bzw. A{$ geriiafj (3.6) in (4.4)(:in und wiihlt man fiir die 1mt)estimirlt~plassenen 12efraktionsvektoren n speziell den TLcfrtLkt.ionsvekt,or n$ so crgiht sich
Die (4.5) analoge Darstelhrng fur das iiiagnetische Feld wurde in [4] (Formeln (29.5) und
(29.6) auf S. 21 0 und 22 I ) ahgeleitct,. Wir hahen hier lediglich einer Darstellunp dcr
inehrfachen VelttorTJrod1rkte itlit Hilfe der Projektionsoperatoren 1 .- N . N (I.’rojel<n : . nr
nil . ni
bzw. 1 (I’rojektioncn m f
tion a.uf Ehene senkrecht zu N ) und I - 1
n:n’;
n\n;
Ebenen senltrecht zii n{ hzw. d l )dcn Vorzug gegohen, iini die Hailfrlng incinandcrgeschachtelter Vektorprodukte zu veruieiden.
Eine andere 1)arst~ellungfur ET,und Ei ergiht sich aus (4.3) durch Einsetzen der tingehenden Operatoren genial3 (3.5) und (3.(i). Xach einfachen linlforniungen unter Ailsnutzung des Reflexions- und Brechungsgesetzes (2.2) erhiilt nian (vgl. mit Foriueln
(3.12) in [ 1 I J )
-
(4.6)
(n’;N+ n!jN)eg -- n@pI*
2 ‘2 . N ill
n‘;N
der oberen Forinel (4.6) niit n;N - n/.N, 80 crgiht sich nach Uniforniungcn mit Aiisnut zung des Brechungsgesetzes und rler ails der Wellengleichiing folgerirlen Bezielinng
[n;, [n;, e;)] = -e2e’.t, uiid entsprechonden Uiriforniungeli in dcr untert:n Formel (4.li)
Multipliziert
niiixi
Ziihler und K:nner des Ausdruckes
Eint: ahnliche Darstellung wurdo erst,innls in [8](Forrneln (8.35). (8.36) und (8.40) auf
S. 7 18) abgeleitet.
Jedes dcr Formelpaare (4.5), (4.6) oder (4.7) lijst die .l’ro~~lernstellungdes 1. Falles in
(2.6). Setzt man in diesen Fornieln E i = Eg
0 (kcine ini anisotropen Medium 1 einfallenden Wellen) sowie E i = 0 oder h’z == 0 (nnr eine im anisotropen Mediuni 2 gc1)rochene Welle), so ergchen sich unmittelbar Fornieln fur die elektrischen Feldstitrkeamplituden der uniradialen Schwingungen irn isot,ropen Nediuin 1. .Die uniradialen
Schwingungen sind definit.ionsgeniiil3solche Felder der. im isotropen Medium 1. einfallenden hzw. rcflcktiertcn Wellen, bei denen jeweils nur eine gebrochene Teilwelle in1 anisotropenMcdiuni 2 (d.h. auch nur ein Strahl, dalier die Bezeichnung) existiert. Die Winliel,
welche die elektrischen Feldstarken Ei hzw. E‘, der uniradialen Schwingungen init tler
Einfallsebene hilden, hezeichnet nian nach J. MACC~JLLAGH
als nniradiale Schwingungsnzimute (s. z.B. [3]). Aus den Forineln (4.5) bis (4.7) lasscn sich leicht Fornieln fiir den
Tangens der uniradialen Schwingungsazimute ableiten. Wir wollen uns hier nicht tlaiiiit
befaasen. .Es sei lediglich benierkt, daB die vekt.oriellen Bornieln (4.5) his (4.7) die uni-
Reflesion und Brechung des Lichtes zwischen isotropen und anisotropen Medien
107
radialen Schwingungen vollstandiger (hinsichtlieh Riehtung und Amplitude) charakterisieren als die uniradialen Schwingungsazimutc allein. Bei FJODOROW
14, 7, 81 werden
die den uniradialen Schwingungen bei
= 1, E i == 0 bzw. E; = 1, E: = 0 nach (4.5)
bis (4.7) entsprechenden Vektoren des elektrischen Feldes als Hauptschwingungsvektoren und die des magnetischen Feldes als Hauptpolarisationsvektoren bezeichnet .
6 . Arnplituden der reflektierten und gebrochenon Wellon
Wir wollen jetzt die untere GI. (3.4) nach E$ und E; auflosen, wobei d a r m erinnert
sei, dafi die oberen Indizes ,,3" und ,,4" den im Medium 2 reflektierten bzw. gebrochenen
Teilwellen zugeordnet wurden, wahrend die oberen Indizes ,,l" und ,,2" fiir die im
Medium 2 einfallenden Teilwellen vorgesehen wurden. Dazu inultiplizieren wir diesc
vektorielle Gleichung skalar mit den Vektoren A;$e,4 bzw. A',$e;, woraus sich unmittelbttr
ergibt
2
[ N , A;$e$, A71Ei] -
E$ =
3 [ N , A',:e;,,
A;feg] E;
jl=l
[ N , A&
;$
1
A;",;]
(5.1)
2
[ N , A';:ez, AF1E;] E$ =
2 [ N , AFie;,
A;$e;] E;
jl=1
[ N , A;ie$, A;4,ei]
Auf den rechten Seitcn der Formeln (5.1) stehen die h i der iiblichen I'roblemstellung
vorgegebenen Aniplituden E l (Vektoraniplitude der ini isotropen Medium 1einfallenden
Welle) und E i , EZ (Skalaraniplituden der im anisotropen Medium 2 einfallenden Teilwellen). Die Pormeln (5.1) liisen einen Teil der Problenistellung des 3. Falles in (2.6).
Iler restliche Teil dieser I'robleiristellung, die Bestimtnung der Vektoraniplitude E'; der
ini isotropen Medium 1 reflektierten bzw. gebrochenen Wellc in Abhangigkeit von E!,
E i , Eg lafit sich tuit den Bornielri (3.1) oder (3.2) oder niit jeder der Fornieln (4.3) his
(4.7) fiir E'; durch Substitution von (5.1) losen. Wir wollen jetzt die erhaltenen Forineln
dctaillierter darstellen.
Setzt man die in (5.1) cingehenden Operatoren entsprecheiid ihrer spezielleii Gestalt
(3.5) ein, so erhalt man z. 13. leicht folgende llarstellung dieser Formeln
A. W ~ X - S C H E
108
Durch Einsetzen von (5.1) bzw. (5.2) in die Bormeln (3.1) oder (3.2) fur EllaDt sieh
folgende Darstellung fur die Vektoraniplitude der im isotropen Medium 1 reflektierten
bzw. gebrochenen Welle erhalkn
(5.3)
Die Vektoren G; und g; sind mit den in [12] unter derselbcn Hezeichnung benutzten
Griifien identisch. Ans den dort angegebenen Darstellungen 111fit sich dafiir auch noch
z. 13. folgende Darstelluiig gewinnen3)
[ni - ng - nf, ef, E ” , ] . [ni,ei] + [n’;- ni
[n; - n; - n;, ei, ef] . [ni,E”,],
gg = + [n’;- ni - ng, e;, el] [n;, ei] + [n; - n;
+ [n; n$ - nt, ei, ei] [nl,eg].
Gf
= $.
+
- nz, E;, e;].
[n;, e f ]
(5.4)
n;, e l , eg] . [n;, e$]
a
I)er Vektor g; ist invariant gegeniiber geradcn Perniutationen der oberen lndizes 3,4, p ,
wahrend er bei ungeraden I’erinutationen sein Vorzeichen Lndert.
Wir wollen jetzt noch einige Uiiiformungen angeben, die zuin Erhalt anderer Darstellungen der Forineln (5.2) und des Vorfaktors in (5.3) ausgenutzt werden konnen.
Es gelten insbesondere folgende Beziehungen (p,v = 1, .. . , 4)
[ N , Age’”,,Ay2e;]
n‘;N
Die Beziehungen (5.5) zeigen, dafi bei Giiltigkeit der TransverHalitatsbedingung n.P2 e”2 -- 0
oder nie; = 0 fiir befitininite p, v, d. h. fiir bestiinmte Teilwellen im anisotropen Mediuin
2, weitere Vereinfachungen und znsltzliche Faktorisierungen in den allgenieinen RUHdriicken ( 5 . 5 ) eintreten. Ein solcher Fall liegt, z.B. fiir optisch einachsige Medien vor,
in welcheni die ordentlichen Wcllen der Transversalitatsbedingung geniigen. I>a cine
genauere Untersuchung dieses Falles beabsichtigt ist, mocliten wir hier nicht nLher darauf
eingehen.
Wesentlicli andcre I)arst.ellungen der gebrachten Forineln ergeben sich durch Uniforniungen analog denen beirn Ubergang von (4.t;) zu (4.7) init Benutznng der vektoriellen
WellEngleichungen. Es lassen sich d a m niit Beriicksichtigung dcr Identitaten (4:l.) fol-
--
9) Die Bezeirhnimg der Vektoren G$ imdg$ ist hinsichtlich der eingehenckn Refmktions- und Polarisationsvektoren nicht vollstandig. Eine vollstandigere Rezeichnung an Stellc von & ware z.B.
gig;$, doch ist dieee fur unsere Zwecke nnnijtig kompliziert.
Reflexion uiid Brechung des Lichtes zwischen isotropen und anisotropen Medien
109
gende Beziehungen ableiten
(5.6)
Das Erscheinen der Vektorprodukte [ ( E ~- ~ ~e$,1 ( F) ~ e l l ) e;] in den Formeln lafit
zumindest iin Fallc c1 = I, d. h. wenn das Medium I das Vakuuni ist, interessante physikalische Deutungen z. II. in Hinsicht auf den verallgenieinerten Brewster-Fa11 zu, da
1
- ( e 2 - 1)e$& dic, Amplitude der Polarisierung des anisotropen Mediunis 2 durch die
472
Teilwelle iiiit dein lndex ,,p" ist (s. dazu [7], $ 10).
Die Pormeln (5.1) bis (5.6) beschreiben eine vollstantfige Losung fiir die Aniplituden
der reflekt,ierteri bzw. gebrochenen Wellen in den beiden Medien in Abhangiglreit,von den
Ainplituden der einfallenden Wellen in den beiden Medien. Wir wollen jetzt Spezialfalle
betrachten, in denen sich dic Struktur dcr Lijsung wesentlich vereinfacht.
6. Senkrechtcr Einfall
l3ei scnkrechtem Ein- und Ausfall lassen sich folgende Bedingungen und Zuordnungen
zur Vereinfachung der allgemeinen Fornieln fiir heliebigen Ein- und Ausfall ausnutzen
(s. z.B. [II, 121)
[ N , n ]= 0, ng = ngN. N E n t N , (a = 1, 2 ; p = i, T , 1, ..., 4),
n4 = --?a;, n&= -& n23- -n& e$ = e;, ef = e $ .
B;
=
-1-
2n; [ N , ei,
F1]- nl
- nf
Eg ,
nl; + ng [ N , eg, e?J
nl; + n$
(6.1)
(6.2)
E ; ) . [ N , [ea, N I I
+ (-+-n
nl;
9
Ei +
WG!
1
-+ n$ [N,ei, e:]
2 4 g;).[ N , leg, N ] ] .
n); n;
~
+
Die Vektorainplituden Ei und El lassen sich bei senkrechtcm Ein- und Ansfall niit Berucksichtigung der Transversalitiitsbedingung NE?' = 0 folgenderinafien zerlegen
(6.3)
Die Fornieln (6.2) und (6.3) zeigen, dal!, bei senkrechteni IGnfall eine Fhtkopplung zwiwhen bestininiten Aniplitudenkoniponenten eintritt und daB das Systein der Ainplitutlenhezieliungen dann in zwci unahhangige Teilsysteine zerfallt.
110
9.
Wiixs~m
7. Optische Achse (Binormale) in Richtung der im ariisotropen Medium
reflektierten bzw. gebrochenon Wolle
Fa11t die im anisotropen Medium 2 reflektierte bzw. gebroehene Welle in die Richtung
einer optisehen Achse (oder Binormale), so vereinfaeht sieh die Struktur der allgeineincn
Formeln des 5. Absehnitts wesentlieh. Wegen der gemaR der Definition optischer Achsen
eintretenderi Entartung der Refraktionsvektoren ni = ni lassen sich die reflektierten
hzw. gebrochenen Teilwellen mit den Vektoramplituden egEi und e$Ei zii einer einzigen
reflelrtierten bzw. gebrochenen Welle, deren Vektoraniplitude wir niit E; bezeichnen,
zusanimenfassen4). Es sind daher vor allem die folgenden Relationen, die sieh zu
Vereinfachungen der allgenieinen P o r n d n ansnutzen lassen (a- weitgehend beliebiger
Vektor)
Aus (5.5) ergiht sieh dann
In den Formeln fiir E i und E'; lassen sieh die iin Ziihler und Kenner jcweils gleichzeitig
[ej, e;, a1
wegkiirzen. Es zeigt sich weiterhin, dall Rich fiir E',
auftretenden Faktoren
n;e,a
und Ei Zerlegungen finden lassen, hei denen von den beiden Falrtoren n;N - nl,N
undn',e,N. nin; - n;c.,n; . n';N in (7.2) in1 Nenner der Amplitudenforniel~~
jeweils nur
noch ein Faktor iihrig bleibt, wiihrend der andere sich wegltiirzen lafit. Hierbei spielcn die
folgenden Zerlegungen der GrGlJen E i , E i , El und e; cine Rolle
(7.3)
4) Da wir hier nur ideal ebene (unendlich ausgedehnte) monocliromatischeWellen betrachten,
brauclien wir nicht auf die bekannte innere konische Refraktion eingehen. Sic hiingt bekunntlich
damit zusammen, claD die Gruppengeachwindigkeiten fur Fkfraktionsvektoren in Richtung der Binormalen einen Kegel bilden und tritt erst bei nichtebenen Wellen in Erscheinung.
Reflesion und Breohung des Lichtea zwisclien isotropen und anisctrolxm Mcdien
111
Mit Benutzung der Zerlegungen (7.3) lafit sich aus den Formeln (5.1) bis ( 5 . 5 ) durch
Spezialisierung gernlrJ (7.1) folgende Darstellung fiir die Vektoramplituden der reflekt,ierta:n bzw. gebrochenen Wellen in den Medien 1 und 2 finden
n';N. [n;,n i E 2 1 [n:,El]- n'ln';. [n';,~ &
n';N. n ; ~ ~n ;n';n';.n;e,N
- 2p ='l
n ; N . [n;,nLF21in;, e;]
n';N. n;r,n;
-
P ~ . [I N , E ; ]
n';n;. [.n;,n ; F z l [ N ,egl
- ~ -nl;n;. n',e,N
'$1
" , nll
[ ~ E z ,
[n;,n ; E z l [ N , n ] *
Zerlegungen der Vektoraniylituden E ; , E;, E ; und e;& geitilll (7.3) beRitzen eine
grollc Ahnlichkeit zur Zcrlegung dieser Amplituden in s d i r e c h t und parallel heziiglich
dcr Einfallsehene polarisierte .Koniponenten iin Falle .isotroper Medien und gehen heini
h r g m g zii eineni isot.ropen Medium 2 auch in einc solche Zerlegung iiber. Die Fornieln
(7.4) dineln in ihrer Struktur schon sehr den entsprechenclen Forrrieln fiir zwei isotrope
Medicn. unti der cbcrgang zu diescni Spezialfall 1ii.Rt sicli in (7.4) leicht ausfiihren.
])it:
8. Scnkrecht,e und parallele Polarisation der Teilwcllen in1 anisot,ropenMedium
beziiglich der Ninfallneborte
Wir \)ctrachten jetzt den Spezialfall, in welcheni von den 4 Teilwellen in1 anisotropen
Mccliuin 2 je 2 senkrecht und 2 parallel beziiglich der Einfallsebene polarisiert sind
(nicht sonkrechter Einfall vorausgesetzt, da sonst die F:infallsehcne nicht definiert ist).
1)iesc.r Spezialfall lie@ 8tet.s dann vor,, ~ e n der
n Velitor [ N , n ] ,der eineii Sormalenvektor zur Einfallsebcne drtrstellt, sowohl Iteelits- als anch Linkseigenvektor von F~ zuni
Rigenwcrt E J ist, d h . wenn gilt [ I I ]
+[N, n ] - t$[N, n.1, [ N , n ]p2
= ?IN,
(8.1)
nl.
Uic Ijodingungen (8..I ) sind soniit hinreichend fiir das Vorliegen des genannten Spezialf a l h . Sirriirit nian noch zusatzlich an, dalJ die Polarisationsvektoren des elelitrischen
Wel'eltles fiir die beiden parallel heziiglich der Einfallsebene polarisierten Teilwellen in1
anisotropen Medium 2 linear unabliiingig sind (d. h. riioht die gleiche Ttichtung besitzen),
dann 1Rllt sicli zeigen, dal;) mit Aiisnahnie des besonderen Falles [ N , nI2- 0 die Bedingiirigc.11 (8.1 ) anch notwendig fiir dus Vorliegen des genannten Spezialfalles sind.
Die Vektoramplituden E i und E', der j n i isotropen Mediuni 1einfallenden bzw. reflektiert vn oder gebrochenen Welle zerlegen wir in serilrrecht und parallel beziiglich der
Einfallsebene polarisierte Koniponenten
E\
[ [ N ,n ] ,E i l ]
=
E',l -1.
=:
[ [ N :n], E\l1
Eill,
1
E;
= 0,
E';lj.
Ell,
[ N , n, EilIl
=
[ N , n, E',Il]
=
0.
(8.2)
A. Wi'ssc~e
112
Hinsichtlich der Teilwellen in1 anisotropen Mediulrl 2 treffell wir folgende Zuordnungen
und Umbezeiclinungen zur Erhohung der Anschaulichkeit
ni = nil, nz :Enil[,ng
ni 3: nkll, ei = $ e l , ei: . e$ll,ei eG11
@
Ei1, Bz pill
'2 @ E-: &l
, 5: 321.
(8.3)
Die I>ispcrsionsgleichudgen fiir die senkrecht und parallel polarisierten Teilwellrn in1
anisotropen Medium 2 lauten fiir den Gchnitt nlit der Einfalleebene im hctraohteten
Spczialfall (s. [ 111, E'orineln (6.l)))
t@,
-
9
)
nglngl
== E2I,n?llF
2 2nA
21 = [&a] -
&i
( E Z ) -+ ( & 9 ) 2 = 2,
I & I ( p = i,
7).
(8.4)
&$
Darin hedentet
[ E ~ die
J
zweitc Invariante von
E ~ ,
(1
1
4%.
( ( E , & ~ - (a))),
ilnd () das
2.
Zeichen fiir die Spurbildung. Ails (8.4) folgcn mit Bcrucksicht,igung dcs Iteflexionsgesetzes
folgcnde Beziehungen
nilN
+ nklN = 0, n$E2N -!- N E2nT2l -- N E2nil[
2 .-+ ii%2
2
N
==
0.
(8.5)
Fur optisch einachsige Medien nlit dein I'erlllcnhilitltstensor e2 = E$ c . c -1- ~ ; ( 1- c c )
(c Einheitxwelttor in Richtung der optisohen Achse) liegt der hetrachtetc Spczialfall
vor, wenn die optischc Achse entweder senkrecht
= &) oder parallel ( E $ -=&) zur
Einfallsebene liegt.
Aus den Formeln (5.1) bis (5.6) ergeben sich im betrnchteten Spezialfall init, lkriicksichtigung von n&y$
= n$lE,el = 0, ( p = i, T ) , folgende Fornieln fiir die A i i i p h d e n
der reflektierten bzw. gebrochenen Wellen in den beiden Medien
(~21
-
n;n'; . IN, eill, e l ] - n;N [n$l, e$l, ell
E;ll
n;n\ . [ N , ell, e l ] - n';N . [nill,cia, e l ]
a
.
In (8. ti) sind noch interessante Umforinungen miiglich. In1 Falle der parallelen Polarisation kann man dazu folgende Beziehungen ausnutzen (ai und ar sind hierin weitgehend
bcliebige Vektoren, fiir die nur nillp2aiund nLIlE2arnicht verschwinden)
Die in [lt] (Fornieln (0.12)) angegcbenen entsprechenden Beziehungen gehen aus (8.7)
hervor, wenn nian 0%=- [ekll, e l ] und Q" = [eill, e l ] setzt. Wir wollen hier a{ = n2
und a' = nil1 setzen. Zusarnmen niit Uiiiforniurigen in den Fornieln fur senkreclite
Reflexion und Brechung des Lichtes zwischen isotropen und anisotropen Medien
113
Polarisation ergeben sich dann aus (8.6) folgende 1)arstellungen der Aniplitudenbczieliungen iin betrachteten Spezialfall senkrechter und paralleler Polarisation beziiglich der
Eirifallsebene
(8.8)
ELI1 ==
-
2 n p * ng".,n$
[n;,Ell\, e l ]
n;n: . n%
2 2 N - nP;N.n31e2n$1 [nil!,
e&s,e l j
n\n: . n!Jle2N- n;N . n91e2n$l [n$,e"1, e l )
2
E$ .
nini. nHIIe2N - n;N . nklk2n!J [ngll, eL11, e l ]
.
Die Vektoren n?1e2 nnd nii1e2 sind irnr bctracliteten Spezialfall nach (8.7) parallel zur
Einfallsebenc. Die Winkel zwischen den Velitoren n!)e2 und nil1 bzw. n5l1e2 und nbl sind
dahcr gleich den Winkeln zwischen den elekt,rischen Feldstarken und den elektrischen
lndiiktionen der ent,sprechenden Teilwcllen ini anisotropen Mediuni 2, die nian auch als
Anisotropiewinkel bezeichnen kann.
In den Formeln (8.6) bzw. (8.8) lassen Rich leicht weitere Spezialisierungen vornehnien, z. B. aiif senlrrechten Einfall, auf opt,ischeinachsige Medien oder auf optisch isotrope
Medien. I in letzteren Falle ergeben sich sofort die bekannten Fresnelschen Formeln in
vekt,orieller 1)arstellung. Fiir ein optisch einachsiges Mediuiii 2 werden oft nials 3 einfache Spezialfalle betrachtct, nanilich die Faille, in denen die optische Achse in ltichtung
cines der 3 Vektoren N , ii
[ [ N ,n ] ,N ] oder ( N , n j licgt. (z.B. [4, 9, 171). .Die Forineln
(8.6) bzw. (8.8) sind in allen 3 genannten Fallen anwendbar und hssen sicli dann noch
etwas vereinfachen, wobci die heiden erstgcnannten Falle ihrerseits Spezialfalle dcs
Falles der Parallelitat von optisclicr Achse ilnd Einfallsebene sind, wahrend der letztgenannte Fall der Orthogonalitat von optischer Achsc und Einfallscbene einen eigenstandigen Spezialfall clarstellt.
!L SehlnBbemerkungen
Mit koordinateninvarianten .Met hoden von den Ausgangsgleichungen bis zur .I)arstellung der Ergebnisse wurden die Aiiiplitudenhezieliiingeiibei cler Keflesion und Brechung ebencr monochroinatiscKer Wellen an der Grcnzehene zwischcn eineiii hoinogciien
isot,ropen und einem homogcnen bcliehig anisotropen Mediuni aus der Maxwellschcn
Theorie abgeleitet. Dahei wurde der 1Sinfall der Wellen sowohl von der Seite des isot.ropen als auch von der Seite dcs anisotropen Mediums' betrachtet. Weiterhin wurden vollstandige velrtoriellc 1)arstellungen fiir die uniradialen Schwingungen gcgehen. .Die sllgeincinen Fornielii wnrden auf folgencle wescntlicli einfachere Fiille spezialisicrt:
1. senkrechter Einfall, 2. optische Achsc in Riclit,ung der reflektierkn bzw. gehrochenen
Welle ini anisotropen Mcdiuiri, 3. senkrechte und parallele I'olarisation der Teilwellen ini
anisot.ropenMediuni bezijglich cler lhfallsebene. Es wurde durchweg dm elektrische Felt1
ziini Erhalt und zur Darstellung der .Ergehnisse henut,zt. Eine Adaption der Ergehnisse
S bun. l'liysilc. 7.
FDIsI?,I3d. 35
auf spezielle praktische Uediirfnisse wie z. B. der Ellipsonietrie durch Bcrechnung IJeispielsweise des l'olarisationsgrades der rcflekticrten Welle oder der Schwinaungsa.ziniute
konnte hier nicht vorgerioiiiinen wcrden und mu13 den jeweiligen Spezialzweigen iiberlassen hleiben.
Iin Zusan~iiicnliangniit den Formeln (5.4) dieser Arheit mdchten wir noch eirle Erglnzung zii unserer Arbeit [ 121 niachen. Eine der in [ 1.21 gefundenen I)arstellnngen fiir
die .Deterniinante d itn Kenner.der 41iiplit~idenfornielnlalit cine intcressante Variation
zu, aiif die wir hier cingchen wollen. Die Forniel (3.10) in [ I 21 kann, wie wir k)ehaupten,
u.uch in folgerider etwas allgeineinerer 1)arstcllung geschriehen werden, worin 7 cine
beliebige Ito~uplexeZahl h d c u t e t
.,A
+ n:
ti - T I Ne:,
, c:] . [ng -1- nt -- -n - T I N ez,
, eil
+[:n: j-nz
. -t
7 - y N , e;, ci] . [n: -+ n; - n - T I N e:,
, eiJ
--[ni
n; - ti - T I Ne'i,,e$]
,
. [n: -!- ni: - ii - TIN,e:. eZ1.
= --
[11:
-
+
(!).I)
Die Forinel (3.10) in [12] erhiilt ninn aus (9.1), wenn Inan = 0 set,zt. Wenn wir voraussetzen, daL3 die erwiihnte Forniel richt.ig ist unrl wenn wir behaupten, tlan die Forinel
(9.1) fiir beliehigc:'?]den gleiclien Wert .A ergiht, dann hahen wir zu beweisen, dal$ die 17
und ,q2 proportionalen Ternie auf cler rechten Seite' von (!j.l) unabliangig voneinxnder
identisch vcrschwindcn. h r c h Iniformungen ahnlich denen in (3.1 1 ) mit. Benutzung
der Identitiit (3.18) in [ 121 liitit sich dies tatsachlich leicht heweisen. Dabei ist noch zu
beriicksichtigen, daB
ng
=
ii $- n $ N . N ,
(a = 1, 2 ; p = 1, .. . , 4)
(9.2)
ist .
Die Forniel (9. 1) karin rnit Iknutzung von (!).2) in folgendcr speziellerer Form geschrieben werden
A = -[n:
n: - n, ef, e ! ] .[ni ng - n, e;, eg]
+
+
+ n$ - n, c!, e ; ] . [n: +-n$ - n , e:, eg]
+ nh - n, e:, ei1 . [n: + n$ - n, ei, ei].
+[n;
(9.3)
-[n;
Fur den unbestimnitcn Refralit,ionwelitor n in (9.3) kann jeder beliebige der vorkonimenclen Refrakt~ions\~cktoren
eingesetzt werden. Setzt iiian speziell n = n;, SO crhalt man
folgeride I>arstelliing von d
(9.4)
Durch Vertauschung deer oheren Indizes 3 und 4 oder (bzw. und) Vertauschungen der
unteren lndizes 1 und 2 ergeben sich ttus (9.4) weitere niijgliche Dttrstellqngen fiir A .
Man kann die in [12] abgeleitete Forinel (3.10) als die maximal syinnictrische Variante der allgeineineren Darstellnng (9.1) und Foriiiel (9.4) a18 eine von 4 gleichwertigen
wcniger syninietrisehen. aber sehr einfachen Varianten von (9.1) anuehen. Auch fiir die
in [12] eingefiihrtenGrijfien gg undGf ergeben sich analog (9.1) neue Darstellungcn, von
denen wir eine in den Fornieln (5.4) dieser Arbeit angegehen hahen.
, Den Herren Prof. Ih. F.I. FJODOROW
und Prof. Dr. W. W. FILIPYOW
aus Minsk
niiichte ich fiir die t'bersendung ihrer Biicher 17, 81, die ihre Serucksichtignng in der vorliegenden Arbeit ermdglichtc, herzlich danken. Herrn DipL-Ing. CHR.BEYERaus llnienau miichte ich fiir wertvolle Diskussionen herzlich danken.
R.cflexion nnd Brechung des Lichtes zwischen isotropen und anisotropen Medien
115
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Anschr. d. Verf. : Dr. A. WUXSCHE
Zentralinst. f . Optik und Spektroskopie der AdW der DDR
DDR-3 199 Berlin-Adlershof, Rudowcr Chanssce G
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