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Analogien zwischen auerordentlichen und ordentlichen Wellen nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation und die parabolischen Nherungsgleichungen.

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ANNALEN D E R PHYSIK
7.FOLGE
0
BAND 25,
HEFT 2
0
1970
Analogien
zwischen auBerordentlichen und ordentlichen Wellen
nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation
und die parabolischen Naherungsgleichungen
Von A. WUNSCHE
Mit 2 Abbildungen
Abstract
Within thelimits of Linear Optics we treat analogies between ordinary and extraordinary
waves in uniaxial media which become conspicuous through a nonorthogonal transformation of coordinates. To any ordinary wave solution in unbounded uniaxial media we can
construct a corresponding extraordinary wave solution by interchanging electrical and
magnetical field components. Boundary conditions for instance for ideal conducting plane
surfaces approximately preserve their original form, if the optical axis or the middle wave
vector are normal to the surface. The parabolic approximative equations for slowly varying
amplitudes are derived, the polarisation of these waves being considered as a slowly varying
quantity. Further these approximative equations are expanded to include frequency dispersion. Through the specified transformation we can simplify problems with extraordinary
waves.
1. Einleitung
Ein Ziel der folgenden Betrachtungen ist es, eine nichtorthogonale Koordinatentransformation anzugeben, durch welche sich eine Reihe von Beziehungen fur aufierordentliche Wellen in optisch einachsigen Medien wesentlich vereinfachen und entsprechenden Beziehungen fur ordentliche Wellen analog werden. Speziell gilt dies fiir die Dispersionsgleichung, fur die Vektoren der Polarisation und fur die parabolischen Naherungsgleichungen der Wellengleichung,
die in den transformierten schiefwinkligenKoordinaten formal exakt das gleiche
Aussehen besitzen wie diejenigen fur ordentliche Wellen in den untransformierten Koordinaten. Damit ergibt sich die Moglichkeit fur ein unbegrenztes optisch
einachsiges Medium zu schon bekannten Losuqgen fur ordentliche Wellen entsprechende Losungen fur auSerordentliche Wellen zu konstruieren. FISCHER
[11
hat kiinlich auf der IV. Allunionskonferenz uber Nichtlineare Opt& uber einen
offenen Resonator mit planparallden quadratkchen Spiegeln, der in ein optisch
einachsiges Medium eingebettet ist, berichtet. Hhsfbhtlich der ,,auBerordentlichen Moden" sol1 dieses System aquivalent einem Resonator mit isotropem
Medium und form- und lageverfinderten Spiegeln sein (in der Naherung der
parabolischen Gleichungen, s. auch [12]). Wir untersuchen hier in allgemeiner
Form die moglichen Bquivalenzbeziehungen und deren Grenzen. Insbesondere
lassen sich die Grenzbedingungen nur in speziellen Fallen und nur niiherungs8 Ann. Physik. i'.Folge, Bd. 25
114
Annalen der Physik
*
i . Folge
*
Band 25, Heft 2
*
1070
weise ineinander uberfiihren, so da13 die Aquivalenz bei Problemen offener Resonatoren und Wellenleiter nur eine genaherte sein kann.
I n den weiteren Abschnitten werden die quasioptischen (oder parabolischen)
Naherungsgleichungen fur auflerordentliche und ordentliche Wellen im Rahmen
der linearen Optik aufgestellt, wobei die Polarisation dieser Wellen ebenfalls als
langsam veriinderliche Grofle angesehen wird. Diese Naherungsgleichungen
wurden in der letzten Zeit mit grol3em Erfolg besonders in der Theorie offener
Resonatoren und Wellenleiter (WAJN~TEJN
[2], KOGELNIK
[8], u. a.), der Beugungstheorie (z. B. SUCHORUEOV
[3]) und der nichtlinearen Optik (z.B.
ACHMANOV,
CHOCHLOV,SUCHORUEOV
u. a. [ 4 , 5 , 6 ] ) angewendet. I n einem
weiteren Abschnitt leiten wir Niiherungsgleichungen fur ordentliche und auflerordentliche Wellen unter Beriicksichtigung der Frequenzdispersion ab. Diese
Gleichungen sind zur Behandlung nichtquasistationarer Wellenausbreitungsprozesse in dispergierenden Medien geeignet, z. B. bei der Ausbreitung ultrakurzer Lichtimpulse. Solche Gleichungen sind zuerst von ACHMANOV,
SUCHORUEOV und &KIN
[9] abgeleitet worden. Wir stellen hier speziell unsere Losung des Problems fur aufierordentliche Wellen dar, die durch Spezialisierung
weitgehend allgemeingiiltiger Formeln fur die Koeffizienten in den Niihenmgsgleichungen erhalten wurden. I m letzten Abschnitt wenden wir die erhaltenen
Beziehungen auf ordentliche und auflerordentliche fokussierte Wellen mit
Gaussscher Amplitudenverteilung an, berechnen insbesondere die kleinen Zusatzkomponenten der Feldverteilung sowie die Deformation des Strahlbiindels
im Falle auflerordent(1icherWellen gegeniiber ordentlichen Wellen.
2. Transformation der Dispersionsgleichung und der Polarisationsvektoren fur
aullerordentliche Wellen, Grenzbedingungen
I m vorliegenden Abschnitt untersuchen wir eine nichtorthogonale Koordinatentransformation, durch welche sich die Beziehungen fur auflerordentliche
Wellen, einschliefllich der Polarisationsverhaltnisse wesentlich vereinfachen und
denen fur ordentliche Wellen im noch zu erliiuternden Sinne analog werden.
Grob ausgedruckt wird aus dem Rot,ationsellipsoid, welches die Wellennormalenflache fur auflerordentliche Wellen darstellt, nach der Transformation eine
Kugel, und elektrisches und magnetisches Feld mussen vertauscht werden, urn
eine Analogie zur Polarisation von ordentlichen Wellen herzustellen. Die Grenzbedingungen lassen sich dabei nur in speziellen Fallen unter Il-aherungsvoraussetzungen in diejenigen fur ordentliche Wellen transformieren. Weiterhin muB
zur exakten Durchfuhrbarkeit der Analogien die Vernachliissigbarkeit der Frequenzdispersion des Mediums vorausgesetzt werden. Etwas allgemeiner konnte
man noch zulassen, dafl die Wellennormalenfliichen fur alle vorkommenden
Frequenzen ahnlich zueinander sind. Deshalb wollen wir unsere Betrachtungen
von vornherein auf quasimonochromatische Wellen oder Wellen mit einer mittleren Frequenz m,, und zeitlich langsam veranderlicher Amplitude beschriinken.
Eine sehr wichtige Anwendung der aufgefundenen Analogien stellen die parabolischen Kaherungsgleichungen fur aul3erordentliche Wellen dar, die unseres
Erachtens hier erstmals lionsequent aufgestellt werden. Zur Vorbereitung dieser
Untersuchungen in den nachsten Abschnitten richten wir hier schon die Darstellungsweise und die Bezeichnungen entsprechend ein und betrachten insbesondere quasiebene Wellen mit einer mittleren vorgegebenen Ausbreitungs-
A. WUNSCHE:Wellen nach nichtorthogonabr Koordinatentransformation
115
richtung, gekennzeichnet durch den Wellenzahlvektor k, und die elektrische
Feldstarke
E ( x , t ) = A(%,t ) ei(kg-(u$)
(2.1)
Die Richtung von k, bezeichnen wir mit z. Es sei weiterhin c ein Einheitsvektor
in Richtung der optischen Achse des Mediums. -Das kartesische Koordinatensystem x, y, z wiihlen wir so, daD c in der xz-Ebene liegt mit den Komponenten
c, = sin 6, cy = 0, c, = cos 6. Somit ist 6 der Winkel zwischen optbcher Achse
und mittlerer Ausbreitungsrichtung der Phasen. Fur' optisch einechsige Medien
hat der Permeabilitatstensor bei vernachliissigter raumlicher Dispersion die
Gestalt
Etj(W)
k::;:)
E X X ' &XU?
+
(6, - cp,)
P(W)cic,
Ee sin2 6 + E O cosa 6, 0, (Ee - &O) sin 6 cos 6
= EO(W)
Ex,
=
(
(Ee
0
9
0
EO,
- E O ) sin 6 cos 6, 0,
Ee
cos2 6
+
EO
sin2 6
).
(2.2)
Aus der Dispersionsgleichung fur die aul3erordentlichen Wellen folgt dann
beka,nntlich folgender Zusammenhang von k, und 0,
Die betrachtete Wellengruppe stellen wir jetzt in den weiteren Erorterungen
dieses Abschnitts als FOURIER-Integral uber ebene monochromatische Wellen
proportional ei(&- rut) dar. Fur die FOURIER-Komponentengilt dann die bekannte
Dispersionsgleichung
&O(U)
(ki + k; + k ~ ) + ( & ~ ( w ) - ~ ( ~ ) ) ( k ~ s i n 6 + k z c o s 6 ) ~ = ~ & o ( W ) & ~ ( W
Den Winkel zwischen der Richtung der Gruppengeschwindigkeit und dem
Wellenzahlvektor k,, den sogenannten Anisotropiewinkel, bezeichnen wir mit e.
Man erhiilt ihn leicht in Abhiingigkeit vom Winkel 6 aus bekannten Beziehungen
der Kristalloptik (z.B. Dualitiitsbeziehungen)
Man hat zu beachten, daB e bei dieser Definition sowohl positiv als auch negativ
sein kann und sich Differenzen im Vorzeichen im Vergleich zu anderen Autoren
ergeben konnen [3]. Aus (2.5) folgt sofort
(6- @) EE(WO)
cos 6 cos @
ee(co,,) cos26
eo(wo)sin2 6
cos
+
sin (6 - e)
E0(WO)
sin 8 cos e - E E ( O ~ ) cos2 6 eo(coo) sin2 6
+
8*
'
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7. Folge
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Band 26, Heft 2
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1970
Die Dispersionsgleichung (2.4) kann daher auch geschrieben werden
1
E'(o)
+ &d(W0)
2 w2
=koT
.-
- &'(a) sin p
(kzsin 6
- &O(W0) cos 6
@(W)
+ k,cos 1 9 ) ~
(2.7)
&yo)
Wo & ( W o ) &'(Uo) *
Wie eingangs schon angedeutet, betrachten wir jetzt den Spezialfall vernachllissigbarer Frequenzdispersion an der Stelle LO = q,,d. h. wir setzen tij(w)=
~ ~ ~ ( oDie
, , )Dispersionsgleiehung
.
(2.7) vereinfacht sich dadurch zu
{sin (6- @)
sin 6 cos e
sin p
+-(kGsin6+
cos 6
(G+ k: + kZ)
(2.8)
k,cos6)2
Wir fuhren nun die folgende nichtorthogonale Transformation der Iioordinaten x, y, z in neue Koordinaten 5, q , durch
1
6 =a(cos@.x-sine.z)
i
r = BY
t=z
a2
~
sin 26
=
sin 2 ( 6 (E'( oo))z
cos2 6
-_____
-
3
<
x=-
M.
1
cos @ (5
+ a sin
@
.i )
1
Y=7q
z=<
(2.9)
sin 6 cos e
BZ = GqK-7
+ (eo( o ~ sin2
) ) ~
6
E Y W O ) EE(WO)
>
- E ' ( O ~ ) cosa 6
+ eo(w0)sin26
E0(@O)
Abb. 1 veranschaulicht diese Transformation hinsichtlich der xz-Ebene. Das
Wesentliche dieser Transformation besteht darin, da13 man anstelle des Basisvektors a, in Richtung des mittleren Wellenzahlvektors k, einen neuen Basisvektor at in Richtung der Gruppengeschwindigkeit
oder was fur nicht-
(%),
gyrotrope Medien bekanntlich dasselbe ist, in Richtung des Poyntingvektors
einfiihrt, wkhrend man die Basisvektoren in X- und y-Richtung bis auf Faktoren
1
-4bb. 1. Darstellung der Transformation
der Basisvektoren zu (2.9) in der 2-3Ebene. (Hauptebene)
A. WUXSCHE
: Wellen nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation
117
beibehalt,. Die zuslitzlichen Faktoren, die einfache Dehnungen darstellen, wurden
ruckblickend so gewahlt, daB die Endresultate gleich ohne weitere Umformungen
ihre einfachste von uns gewunschte Form annehmen, speziell daB die Wellennormalenflache im Ersatzsystem eine Kugel wird.
Da es sich um schiefwinklige Koordinaten handelt, miissen wir zwischen
kovarianten und kontravarianten Komponenten von Vektoren und Tensoren
unterscheiden. Die Koordinaten E, 7, { verstehen wir als kontravariante Komponenten des Ortsvektors. Speziell transformieren sich die kovarianten Komponenten (Indizes unten) des Wellenzahlvektors k mit der kontragredienten
Matrix im Vergleich zur Transformation der Koordinaten (2.9), d. h. formal wie
die Basisvektoren
-
kc
=-
cos p
(COSQ
*
k, + Sin@ * k,)
I
k,
= kc - 01 S i n @
- kc
und es gilt
kx = kcE
kqv fJ@.
Die zugehorigen metrischen Tensoren gdi und gii haben die Gestalt
+
gij =
\
1,
1
s i ~ ; p”’
___
0,
lx cos2 @ ’
(2.11)
gii =
~
COB2 @
Mit Hilfe dieser Transformation erhalt man aus (2.8) die Dispersionsgleichung
in der einfachen Form
(2.13)
Sie hat formal jetzt das gleiche Aussehen wie dieDispersionsgleichung fur ordentliche Wellen in einachsigen Medien bzw. Wellen in isotropen oder kubischen
Medien in kartesischen Koordinaten, niimlich die Gestalt einer Kugel. Nur
druckt sich k, fur ordentliche Wellen darin durch ki = $ED(W,)
aus, wiihrend
k, fur auflerordentliche Wellen durch (2.3) gegeben ist.
Wir untersuchen jetzt, wie sioh die Polarisation der Welle bei dieser Transformatmionverhalt. Die Polarisation des elektrischen Feldes einer ebenen monochromat,ischen auBerordentlichen Welle liegt in der Hauptebene und 1LBt sich
durch den Einheitsvektor
w2
-&yo) c - (kc)k
e = ,
C=
a 2
-&O(W)C
C2
- (kc)&
I
(2.14)
beschreiben, d. h. eine Linearkombination der Vektoren k und c, welche die
Haupt,ebene aufspannen (z. B. FJODOROW
[7]). Ersetzt man darin P ( m ) durch
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Annden der Physik
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7. Folge
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~ ~ ( c o , im
, ) Sinne der oben gemachten Voraussetzungen, so liil3t sich (2.14) umformen in
Wz
C O B 8 COB @
k: COS(6-@) c - (kc)k
W:
e=
- c - ( k c )k l .
M
(2.15)
Man findet nach dem allgemeinen Schema (2.10) leicht die kovarianten Komponenten des Vektors e im System E, q, 5
+ kt) a sin (6 - e) - kcktcos 61,
e , = - - 1 k,[ktn sin (6 - e) + kt cos 61,
1
{(k: + k2,)cos 6 - k t k p sin (8- e)}.
eg =
((k2,
eg =
(2.16)
Daraus folgt die ,,Quasiorthogonalitatsbeziehung" ( E = A e )
+
+
k&'~
kqEq
ktEt = 0.
Das Magnetfeld B bestimmt man aus der Formel
B ( k , W ) = "w[ k , E(k, w)l*
(2.17)
(2.18)
Fur das Magnetfeld bestimmen wir die kontravarianten Komponenten (Indizes
oben) im System [, q, 5, da sich wie man sofort sieht fur diese einfache Beziehungen zu ke, k,, kt und Eg, E,, EC ergeben. Es gilt
Be = (@ cos e) - (k,Ec - kcE,)
C
0
Bis auf den Wert der Determinante der Transformationsmatrix der Transformation (2.9) von x,y, z in 5, q, [, der gleich ap cos e ist, drucken sich die kontravarianten Komponenten von B formal in Gestalt der Komponenten eines Vektorproduktes in orthonormierten Koordinaten aus kg, k,, kc und Ee, E,, Ec aus.
Weiterhin gelten die folgenden im Gegensatz zu (2.17) echten Orthogonalitiitsbeziehungen, die wegen ihrer Koordinateninvarianz keiner weit.eren Diskussion bedurfen
k B = kEB6
k,BV
ktBc = 0 ,
EB = EtBE
E,Bq f EcBt = 0 ,
(2.20)
C B = c~BE c,BV $. ctBc
= &BE$. cVB,
cCB~= 0.
Es ist
Bin 6
COB (6- Q)
Ct =c, = 0 ,
cc =
a C 0 8 e'
COBQ
'
(2.21)
CE = 01 sin (6 - e),
CQ = 0 ,
cc = cos 6.
+
+
+
+
+
A. WUNSCHE:Wellen nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation
119
I m Zusammenhang mit (2.21) folgt aus cB = 0, da13 die Komponenten BE und
BC sowie Bg und BC stets proportional zueinander sind
- OL cos (6- @)
sin (6 - e) Bb = - cos 6 BC.
sin 6 BE
01
=
BC,
(2.22)
Beriicksichtigt man dies, so erhalt man fur das Magnetfeld nach Umformung
mit dem metrischen Tensor (2.12) folgende Beziehungen zwischen kovarianten
und kontravarianten Komponenten
sin 6 cos e
p (2.23)
sin (6- 9 ) '
Die Beziehungen (2.23) spielen eine wichtige Rolle, da sie es gestatten in unserc
weiteren Betrachtungen sowohl kontravariante als auch kovariante Komponenten des Magnetfeldes einzubeziehen, wahrend sich vom elektrischen Feld
fur die angestrebten Vereinfachungen nur die kovarianten Komponenten eignen.
Von der dielektrischen Verschiebung sind dagegen f i i r unsere Zwecke gerade
nur die kontravarianten Komponenten von Bedeutung. Zunachst berechnen.
wir aber die zweifach kontravarianten Komponenten des Permeabilitatstensors.
Sie sind proportional dem Quasieinheitstensor Sij (,,quasi", weil Sij bei Koordinatentransformationen nicht invariant bleibt)
&ii(Wo) = &O(WO) g i j
(ES(wo) - & O ( O o ) ) c w ,
+
(2.24)
Daraus findet man fur die dielektrische Verschiebung
Di= E ~ ~ (Ewj ;~ )
(2.25)
De = 0c2 cos2 e n&!CE, DO = 0 1 ~cos2 en$,, DS = 012 cos2 en@c
und die Orthogonalitat von D und B lLDt sich analog (2.20) leicht invariant
schreiben.
In der Vereinfachung des Permeabilitatstensors in der zweifach kontravarianten Gestalt cij(co0) gemiiB (2.24) besteht praktisch das Wesen der betrachteten Transformation und man konnte sie als Ausgangspunkt der Betrachtungen
nehmen. Zum Beispiel folgt daraus sofort die Vereinfachung der Dispersionsgleichung fur aul3erordentliche Wellen (2.13) sowie die Quasiorthogonalitat
(2.17) von kg, k,, k~ und EE,
E,, Ec als Folge der echten Orthogonalitat von k
und D bzw. aus V D = 0
+ k,k, + kckc) = E'(LO~)
kD =
kiEj =
( k g E ~+ k,E, + ktEc) = 0
a
a
PO = ~ ~ j ( w
ViEj
~ )= /?2eo(wo)(% Eb + -E , + 4 El> = 0.
arl
cij(wo)kikj = p
(k&b
2 ~ O ( ~ o )
E~~(CO~)
/!?2~o(~o)
0 2
E~(wO),
(2.26)
Den Vektor der Gruppengeschwindigkeit bezeichnen wir mit u, (u, = u sin e,
u, = 0, u, = u cos e). Die durch die Transformation (2.9) erreichte formale
120
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Vereinfachung der grundlegenden Beziehungen fur auBerordentliche Wellen
nutzen wir im folgenden fur eine neue Deutung aus.
Wir fuhren dazu jetzt die folgenden neuen Bezeichnungen ein
X'
=
(5) q , i ) ,c'
= (ce.
cq, cg). u
=
(d.
us, Ut) = 0 0
(
k X = (kc, k,, kc), k;
= (0,
0, /to),eo>(coo)
w.
,
J
CZ
= T Z=
;~
Tk
;,
0;
B X = pa GOS e n,(Ee, E,, El) =
(Y
PP
E . = - &(BE B , B;) = - -(Be,
B,, Bc),
'
'
fino
(2.27)
cos gn, (De, Dq,Dt),
n0
I
I
p+o
beliebig.
D"= - - ( Be, Bq, BC) = - ,u,8no(BE,B,, Bc)
P
Fur einige Zeit kann man nun die Herkunft von 6, 17, ( als schiefwinklige
Koordinaten vergessen und sie als liartesische Koordinaten eines neuen euklidischen Raumes R deuten. Dann lassen sich in R ., eine Reihe von Beziehungen
aufschreiben, die formal identisch sind mit denjenigen fur ordentliche Wellen
in orthogonalen Koordinaten
B::
=w
[kx E x ]
DX = - c [ k S B > : ]= E O X ( W O )
"
kxBX
=
k:;E>'= c x E k
ux
=
($),=
0
=
EX BX
)
=
DXBX
=0
E X ,
(2.28)
wO kY
,, , [ k ; , ,u x ]= 0 .
~~
Es sind dies prakbisch die MAxwELLschen Gleichungen, spezialisiert fur ordentliche ebene monochromatische Wellen in R x . Damit ist es gelungen, die Gleichungen fur aul3erordentliche Wellen in ein aquivalentes System von Gleichungen fur ordentliche Wellen in einem Hilfsraum R zu transformieren. Bisher
wurde noch nicht das Transformationsverhalten von Grenzbedingungen untersucht. Eine exakte dquivalenz von Losungen fur aul3erordentliche Wellen zu
Losungen fur ordentliche Wellen in einem Ersatzmedium besteht daher zuniichst
nur fur unbegrenzte optisch einachsige Medien. Will man aus einer bekannten
Losung fur ordentliche Wellen E:, E , , E; und B;, B,;, B;, die wir als Losung
im Ersatzraum R in den orthogonalen Koordinat,en 5, q , deuten, eine entsprechende Losung fur aul3erordentliche Wellen finden, braucht man die aufgezeigt,en Transformationen nur umzukehren. Man erhalt sowohl fur die FOURIERKomponenten als auch fur das eigent>licheFeld
(2.29)
A. WUNSCHE:Wellen nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation
121
Der beliebige Faktor ,u =+ 0 in den vorangegangenen Gleichungen driickt dabei
den Fakt aus, daB man bei der Multiplikation einer Lbsung eines homogenen
linearen Gleichungssystems mit einem Faktor p wieder eine Losung dieses
Gleichungssystems erhalt.
Als ein Anwendungsbeispiel seien Losungen erwiihnt, die fokussierten
ordentlichen Wellen mit GAussscher Amplitudenverteilung entsprechen ( [ 6 , 81).
Nach den Formeln (2.28) bzw. (2.29) lassen sich leicht entsprechende Losungen
fur auserordentliche fokussierte Wellen konstruieren. Von der hierbei auftretenden Transformation der raumlichen Relationen gibt die Abb. 2 eine anschauliche Vorstellung.
09
X‘
i
Abb. 2. Anschauliche Darstellung der Transformation (2.9) als Transformation zweier
Riiume ineinander (7-bzw. y-Richtung nicht eingezeichnet)
Das von uns bisher benutzte Koordinatensystem ist erst durch die Betrachtungen der folgenden Abschnitte gerechtfertigt. Die Beweise dieses Abschnitts
vereinfachen sich geringfiigig, wenn man ein u m den Winkel 6 in der xz-Ebene
gedrehtes Koordinatensystem XI, yl, z‘ benutzt, dessen 2’-Koordinate in Richtung der optischen Aohse liegt (sie entsprechen dann etwa dem Fall 6 = 0 in
unseren Beweisen). I m Raum RX entspricht dies einem um einen Winkel 6 X in
der Si-Ebene gedrehten Koordinatensystem l’,q’,c’
x’ = c o s 6 . x - s i n 6 . z ,
y’ = y,
z1 = s i n B . x + c o s 6 . z ,
(2.30)
122
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I n diesen Koordinaten laBt sich die Transformation (2.9) in folgender einfacher
Weise darstellen
(2.31)
Der Faktor p spielt hierin die Rolle e k e s Bhnlichkeitsparameters, den man auch
in allgemeiner Form in (2.31) einfuhren konnte ohne die von uns gewahlte
Spezialisierung.
Bei der Betrachtung quadratischer GroBen in den Feldstarken scheint es
zunachst, daB die aufgezeigten Analogien verlorengehen, da man neben den hier
benutzten kovarianten Komponenten der elektrischen Feldstiirke E l , E,, Ec
im allgemeinen auch die entsprechenden kontravarianten Komponenten
EE, E,, Et bzw. die metrischen Tensoren benotigt. Wir wollen jedoch zeigen,
daB sich fur Ausdrucke die der Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
entsprechen, ebenfalls sehr einfache Beziehungen zwischen beiden Systemen
ergeben. Die Gleichheit von B*B und 4 (D*E
DE*) gilt bekanntlich fur
Kristalle beliebiger Symmetrie. Wiihlt man den bisher unbestimmten Faktor
jetzt speziell ,u = 1, so erhiilt man durch eine einfache direkte Rechnung bei
Vernachliissigung der Absorption
+
B*B
1
2
= -(D*E
26 cos2 e
+ DE*) = sin
---ng(EFEe+ E:E, + EFEc)
sin 2(6 - e)
- sin (6 e) (BE*Bc + B,*B, + BC*Bc).
sin 6
e
7
-
(2.32)
COB
Diese Beziehung aber l&Btsich in die Ausdruckweise der Bezeichungen (2.27) im
Hilfsraum R iibertragen und yuasiinvariant schreiben
B*B
1
2
= - (D*E
+ DE*) = B X * B X=
E"(u),,)
EX*E".
(2.33)
Beim POYNTING-Vektor S lassen sich die kontravarianten Komponenten im
Ersatzraum in herkommlicher Weise darstellen
S
S'
=
2 ( [ E * , Bl + [ E , B*1)
=
( S ,s,, SC)
=
8n ( [ E y * , B X ]
; kS = k X S y .
(2.34)
+ [ E X ,B x * ] )
Bemerkenswert ist, daB wir bei der Formulierung von Bquivalenzbeziehungen
in allen betrachteten Fallen mit den kovarianten Komponenten des elektrischen
Feldes ausgekommen sind, wahrend die kontravarianten Komponenten dabei
offensichtlich keine Rolle spielen.
Es bleibt noch das Verhalten der Grenzbedingungen bei der Transformation
(2.9) zu untersuchen. Als Spezialfall betrachten wir idealleitende Flachen. Fur
diese gilt bekanntlich
(2.35)
[ N , E ( x , t ) ] = 0; NB(x, t ) = 0
wobei wir mit N einen Normalenvektor zur Flache im betrachteten Punkt bezeichnet haben. Man sieht leicht, daB diese Grenzbedingungen im Ersatzraum
123
A. WWNSCHE:Wellen nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation
R X in die Bedingungen
[ N XB
, X ( x t, ) ] = 0 ; N X D X ( xt ,) = 0
(2.36)
ubergehen, in denen N X = ( N e , N,, Nc) die kovarianten KomponentendesNormalenvektors im System 6, r,.5 bedeuten. Die Grenzbedingungen einer idealleitenden Fliiche gehen somit im Ersatzsystem im allgemeinen nicht wiederum
in diejenigen einer idealleitenden Flache uber. Dies schriinkt die Anwendbarkeit
der aufgezeigten Bquivalenzbeziehungen wesentlich ein. Die Bedeutung der
Transformation (2.9) besteht dann hauptsachlich in einer Vereinfachung der
Ausgangsgleichungen fur auflerordentliche Wellen.
Die Bedingungen fur die Normalkomponenten in (2.35, 36) folgen schon aus
den entsprechenden Bedingungen fur die Tangentialkomponenten und sind
daher nicht als unabhangig von letzteren anzusehen. Deshalb geniigt es im
Prinzip die Bedingungen fur die Tangentialkomponenten des Feldes zur Grenzflache zu betrachten. Wir wollen die Bedingungen (2.36) noch etwas umformen,
um festzustellen, in welchen speziellen Fallen aus demverschwinden der Tangentialkomponenten der magnetischen Feldstarke naherungsweise auch das Verschwinden der Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstarke folgt. Dazu
stellen wir die elektrische Feldstarke der ordentlichen Wellen in R als FOURIERIntegral uber ebene Wellen dar und multiplizieren die Gleichung fur die Tangentialkomponenten von B X (2.36) vektoriell mit N X
$dkX
Kk',c I1
{ ( N X k X[)N X [, k x , cx]] - [ N X ,k x , c X ]- [ N X k, X ] )e8xzx
=
0
(2.37)
E X ( x X o)
, = J d k x A ( k X , w[k") hc"1
e8'5r.
1st der Normalvektor N X parallel zur optischen Achse, gekennzeichnet durch die
Richtung von c x , so verschwindet der zweite Summand in (2.37). LaI3t sich
weiterhin fur den wesentlichen Bereich der k -Vektoren N k als nahezu konstant annehmen, so folgt damit in diesem Falle auch das Verschwinden der
Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstarke.
Der andere Fall, in welchem aus (2.37) naherungsweise [ N X,E x ] = 0 gefolgert
werden kann, liegt vor, wenn der mittlere Wellenzahlvektor k," in Richtung des
Normalenvektors liegt. Ersetzt man dann in (2.37) k X durch k," aul3er im schnell
veranderlichen Faktor eikxz', so folgt aus (2.37) das naherungsweiseVerschwinden
der Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstarke. I n den meisten Fallen
z. B. bei offenen Resonatoren und Wellenleitern durfte es jedoch nur naherungsweise moglich sein, die Grenzbedingungen getrennt fur ordentliche und aul3erordentliche Wellen zu erfullen.
I n den folgenden Abschnitten behandeln wir parabolische Naherungsgleichungen fur aul3erordentliche und ordentliche Wellen. Auch hierbei zeigen
sich weitgehende Analogien unter Ausnutzung der Transformation (2.9), wobei
entsprechend (2.29) elektrisches und magnetisches Feld miteinander zu vertauschen sind.
3. Transformation der parsbolischen Niiherung der Wellengleichung fur aullerordentliche Wellen
Unter parabolischen Naherungen der Wellengleichung versteht man skalare
parabolische Differentialgleichungen fur die langsam veranderlichen Amplitu-
124
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 25, Heft 2
*
1970
den der Wellen, die sich nach Abspaltung der schnellveriinderlichen Anteile
proportional ei(kz-Oat) und Vernachlassigung gewisser riiumlicher und zeitlicher
Ableitungen aus der (in der Optik vektoriellen) Wellengleichung ergeben. Die
wichtigste Forderung, die man hierbei stellen muD ist diejenige, daD aus der
parabolischen Nilherung die Dispersionsgleichung in der Umgebung von k,
und w, annilhernd richtig folgen muD.
Wie im 2. Abschnitt betrachten wir wieder den Fall vernachlassigbarer
Frequenzdispersion in der Niihe von coo und ebenso wie dort nur lineare Optik.
Eine skalare Differentialgleichung fur eine langsam veriinderliche Amplitude
A(%,t ) , die exakt die Dispersionsgleichung (2.8) liefert, erhalt man, indem man
dort die Substitutionen
ks+-- i a
i a
.a
i a
k u - + ~ & , k z + k o + ~ ~ o, - t w o + a z
(3.1)
durchfuhrt und den erhaltenen Differentialoperator auf A anwendet
sin 2(6 - e) a2
{sin 26 cos2 e ax2
sin (6- e) a2
sin 6 cos e ay2
I
(2
+
a2
s i n e a)e
cos e ax
-5
mi
a'
at2
(3.2)
c)
Durch die Transformation (2.9) ergibt sich daraus (Af(E,7, = A ( z ,y,
- + a-2 + - -a 2- " -k?+ a 2 i 2 k ,
*k) }aA '
= 0.
z; :{
aq2
a52
(+ +
a:
at2
1
2))
(3.3)
1
Bei vernachlassigter Frequenzdispersion ist u,
- = u- c o s - 0, .
a2
k: a 2
Vernachliissigt man in (3.3) ag - -.)A'
oder in (3.2) den analogen
U; at
Term, so e r h d t man die sogenannte quasioptische Nliherung oder wegen des
Typs der Differentialgleichung auch parabolische Naherung genannt
(7
sin (6 -
e)
COS
(8- e)
mit, EO(U),) und
Den Zusammenhang der Faktoren -sin 8 cos e und cos 6 cos @
~ e ( w , )hatten wir schon in den Formeln (2.6) gegeben. Die G1. (3.4) kann man
auch in einer der folgenden alternativen Formen schreiben (vgl. mit ( 2 . 2 ) )
E i j EZ ~ i j ( ~ o )EG'
,
1
= 2 (Sif - S C ~ )
+ 1~icj.
Mit (3.6) ist gleichzeitig die entsprechende Gleichung bei GONEARENEO
[12] korrigiert, auf deren Fehlerhaftigkeit schon FISCHER
[131 hingewiesen hat, dessen
A. WUNSCHE:Wellen nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation
125
entsprechende Gleichungen aber auch nicht ganz konsequent sind.
Bei kleiner Anisotropie
lunddamit /el< 161kannmanfiir
die Koeffizienten der parabolischen G1. (3.4) leicht Naherungen ableiten, z. B.
1<
a2
{(I- 6 cos 2 6 ) ax2
+ (1- Scosa6)a9 + i2k0(%a + eza +
a2
a
ac
Durch Multiplikation der exakten G1. (3.3) mit - -
ko
:)}A
= 0 (3.8)
a folgt
at
(3.9)
kg 62
Die beim Obergang zu (3.5) vernachlassigte GroBe ( p- 2 s)A‘ lal3t sich somit durch gewisse 3. Ableitungen der langsam veranderlichen Amplitude A’
ausdriicken.
Wir untersuchen jetzt die Frage nach der Polarisation der aul3erordentlichen
Wellen in der quasioptischen Naherung. Haufig macht man hierzu die Annahme
1
E ( x , t ) = e, A(%,t ) ec(k@mJ); eot = , eoq = eot = 0
(3.10)
a2
wobei e, ein Einheitsvektor der Polarisation einer aulierordentlichen ebenen
monochromatischen Welle in Richtung z mit der Wellenzahl IC, und der Frequenz w, ist. Dies ist nicht ganz konsequent, denn auch die Polarisation ist
neben der Amplitude eine langsam veranderliche Grol3e. SUCHORUKOV
[3] hat
dies beriicksichtigt und allgemeinere Ausdrucke fur Amplituden und Polarisation angegeben. Auch wir wollen dieses Problem hier etwas nilher behandeln.
Zur Losung dieses Problems hat man von der vektoriellen Wellengleichung &uszugehen. Der Hauptanteil des elektrischen Feldes wird in Richtung von e,
liegen. Es ist deshalb zu erwarten, daZj das Koordinatensystem 5, q, 5 besonders
giinstig zur Behandlung des Problems ist, wenn wir die kovarianten Komponenten des elektrischen Feldes Ep, E,, Ec (oder die kontravarianten Komponenten
des magnetischen Feldes BE, BS, Bt) betrachten. Bei Vernachlassigung der Dispersion an der Stelle w = w o lautet die sonst exakte Wellengleichung in kontravarianten Komponenten
Ausfiihrlich geschrieben haben diese Gleichungen im System l , q, 5 fur die Vektoramplituden A t , A , , A t folgendes Aussehen
(3.12)
126
Annalen der Physik
k;
a
cos 6 cos
e
7. Folge
*
Band 25, Heft 2
*
1970
a2
- - ( A t - 01 sin
arl
*
6 sin e
A,
e A t ) ] - k2O sin
C G S T
= 0.
(3.13)
(3.14)
Die Ursache fur die relative Kompliziertheit der G1.(3.12
14) liegt darin,
daB diese noch sowohl die Dispersionsgleichungen fur ordentliche als auch fur
auBerordentliche Wellen enthalten. Wlhrend sich aber durch die Transformation (2.9) die Gleichungen fur auflerordentliche Wellen vereinfachen, komplizieren sie sich fur ordentliche Wellen.
Aus dem Verschwinden der Divergenz der dielektrischen Verschiebung D
erhalt man eine weitere Gleichung, welche die langsam veranderlichen Amplituden miteinander verknupft. Wegen der Eigenschaft (2.24) des .Permeabilitiitstensors nimmt diese in den transformierten Koordinaten eine besonders einfache Gestalt an (s. auch G1. (2.17))
(3.15)
Die damit erhaltene Beziehung ist naturlich nicht unabhangig von den aus der
Wellengleichung erhaltenen G1. (3.12 . . - 14) und man erhalt sie, wenn man die
Divergenz der Wellengleichung (3.11) bildet. Sie gestattet aber eine der 3 Komponentengleichungen (3.12 . . . 14) aus den Betrachtungen auszuschlieBen und
dafur die einfachere Gleichung (3.15) zu benutzen.
Die Losungsbedingung fur eine homogene Vektorgleichung ist das Verschwinden der Koeffizientendeterminante. Diese Bedingung ist formal auch fur
eine Vektordifferentialgleichung gultig. Die Koeffizientendeterminante ist
dann ein skalarer Differentialoperator, der angewendet auf eine beliebige Feldkomponente Null ergeben muB. Die Analogie zur Behandlung ebener monochromatischer Wellen ist vollkommen. Die Determinante der Koeffizienten der
optischen Wellengleichung ergibt einen Differentialoperator 4. Ordnung in
a a a a
ag , at , der im Spezialfall eines optisch einachsigen Mediums in dasProat7%'
dukt zweier Differentialoperatoren 2 . Ordnung zerflllt. Die Beschriinkung auf
auflerordentliche Wellen bedeutet, daB wir von dem Produkt der Operatoren
denjenigen Faktor weglassen konnen, der den ordentlichen Wellen entspricht
(3.16)
Voraussetzung dafur ist, daB der mittlere Wellenzahlvektor nicht in Richtung
der optischen Achse liegt. Fur die langsam veranderlichen Amplituden wurden
somit Gleichungen der Form (3.3) erhalten.
A. WUXSCHE:Wellen nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation
127
Es ist jetzt leicht zu sehen, wie man aus den G1. (3.12 ..-14) bzw. (3.15) zu
einem System von 3 unabhangigen Naherungsgleichungen gelangen kann. Man
kann annehmen, daB A,, und A t kleine Gr613en gegeniiber A t sind, da sie fur eine
ebene monochromatische Welle proportional ei(Eat-oat) exakt verschwinden.
Aus (3.14) bzw. (3.15) erhalt man dann naherungsweise
(3.17)
At= -
Ersetzt man in (3.13) nun At gem50 (3.17), soerhiiltmannachVernachlassigung
aller zweiten Ableitungen von A t gegeniiber den Gliedern mit ersten Ableitungen
von At sowie aller Ableitungen von A,, (Definition 6" s. (2.30) und Abb.2)
A
rl
-
1 COSP a
ik, sin@
cos 7
Y
--
sinax
-1
cos 8 coS(8 -@)
sin 8 sin (6 - e)
.
(3.18)
Zu den beiden Gl. (3.17, 18) fugen wir noch die schon diskutierte parabolische
Naherungsgleichung, hier fur die Komponente Ac hinzu
(3.19)
Man erhalt die Gl. (3.19) exakt auch, wenn man in der t-Komponente der Wellengleichung (3.12) At und A,, entsprechend (3.17) und (3.18) substituiert und in der
erhaltenen Gleichung alle hoheren als die zweiten Ableitungen von At vernachlassigt. Daran ist ersichtlich, daB man zur Ableitung der parabolischen G1. (3.19)
die im allgemeinen kleinen Komponenten At und A , genau in der angegebenen
Niiherung benotigt. Deshalb erscheint es logisch, &e 3 Naherungsgleichungen
(3.17 .. 19) stets im Zusammenhang miteinander zu sehen.
Die G1. (3.17 ... 19) bilden in der linearen Opt& ein vollstiindiges System
konsistenter Naherungsgleichungen fur die langsam veranderlichen Vektoramplituden aurjerordentlicher Wellen. Ausgeschlossen werden murj nur die Nahe
des Entartungsfalles 6 = 0, bei welchem die Brechungsindizes fur ordentliche
und aurjerordentliche Wellen gleich werden. Bei 6 =
$ , d. h. bei mittlerer Aus-
breitungsrichtung senkrecht zur optischen Achse folgt aus (3.18) A,, = 0 und
die erste nichtverschwindende Naherung fur A , enthalt gewisse zweite Ableitungen von Ac, die bei der Ableitung von (3.18) nicht berucksichtigt wurden. Die
G1. (3.19) konnte man als Hauptgleichung der quasioptischen Naherung bezeichnen, denn sie liefert naherungsweise die Dispersionsgleichung, und (3.17, 18)
als Zusatzgleichungen der quasioptischen Niiherung. Aus (3.17, 18) folgt noch
folgender naherungsweise Zusammenhang
a
a
s i n 6 X - - A , , = c o s 1 9 ~. - A t .
(3.20)
a6
a77
Nach der Rucktransformation der Naherungsgleichungen (3.17 . .. 19) in das
kartesische Koordinatensystem x,y, z ergibt sich
sin 2 ( 8 - p)2 -++-a2
sin (6 - e) a2 + i 2 k 0 c o s e -a+ s i n p - + a- - ) ) Al , =a ~
sin 2 8 cos e ax2
sin8
8y2
a2
ax
u at
{
(
(3.21)
cos (6 - @) a
ak, sin 6 cos @ ay A x *
Ay=-----1
128
Annalen der Physik
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7. Folge
*
Band 25, Heft 2
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1970
I m Rahmen der gemachten Naherungen erscheint es zulassig, in den G1. (3.21)
zur Bestimmung von A , und A , die bis auf gewisse zweite Ableitungen
a
a
a
a
richtigen Substitutionen - A , = cos p -A , und - A , = cos e - A , mit
ax
ax
aY
aY
A , = cos Q A , sine A , durchzufuhren. Da man die parabolische Naherungsgleichung fur beliebige Feldkomponenten und damit auch fur A , anstelle von
A , formulieren kann, erhiilt man aus (3.21) ein aquivalentes System von Naherungsgleichungen, welches sich besonders einfach mit Hilfe der um den Anisotropiewinkel e in der xz-Ebene gedrehten Komponenten A , und A , schreiben
1ant
sin 2(8 - e)
az
sin (8 - e) a2
sin8
-ay2
+
I,i,zaeases+--
a
a-
(
i2k0 cose-
1
& - - 1
- sin 2 ( 8 - e ) a
aka s i n 2 8 - G A z
+ sino-axa + 1
<)}A,
u at
= 0.
(3.22)
A,
=
cos Q A , - sin e A ,
Analoge Gleichungen kann ma.n auch fur die kontravaria,nten bzw. kovarianten Komponenten des Magnetfeldes aufschreiben. Es sei C(x, t ) die langsam
veranderliche Vektoramplitude des Magnetfeldes B(x, t )
B(x,t )
=
C(x, t ) e i ( k J - w J ) .
(3.23)
Fur die Amplituden des Magnetfeldes folgt durch Umrechnung aus dem elektrischen Feld naherungsweise
(3.24)
sowie daraus (vgl. auch mit (2.22))
i a
ct = ----'I
ik, all
c5=
1_
COB 8" a
_
- - C'I
ik, sin 8" 87
I
(3.25)
sin 8"
. CC = - cos B . Cc
(3.26)
Beim Magnetfeld ist die Komponente C'I grol3 gegeniiber C' und CC. Zu (3.35, 26)
mu13 man noch die zu (3.19) analoge Gleichung fur Cq hinzufugen um ein vollstandiges System von Niiherungsgleichungen zur Bestimmung der langsam
veranderlichen Amplituden des Magnetfeldes zu erhalten
(3.27)
A. WUNSCHE:Wellen nach nichtorthogona.ler Koordinatentransformation
129
Die Umrechnung in das kartesische Koordinatensystem x, y, z liefert etwas einfachere Beziehungen als bei den Amplituden des elektrischen Feldes
sin 2(8 - e)
a2
822
@
a
+ -sin- sin-(6-6 e ) + i2k, (cos e . -a + sin e - a + -i -)}
ay2
BZ
u at
C,
=
o
(3.28)
Zum AbschluB bilden wir noch quadratische GroBen, die zur Berechnung
der Energiedichte benotigt werden. Analog zu (2.27 ... 29) gilt
B*B
1
= - (D*E
2
+ DE*)
(3.29)
Diese Formeln gelten abgesehen von vernachlassigter Absorption exakt. Benutzt
man die Naherungsformeln (3.24), so gelingt die Umrechnung von den Komponenten C f , Cq, Ct zu den Komponenten At, A,],A t innerhalb der Formel
(3.28) nur niiherungsweise, wobei sich aber der Faktor vor ATAt exakt ergibt.
Dieses Glied bringt aber den groBten Beitrag zur Energiedichte.
4. Parabolische Naherung fur ordentliche Wellen
Das Problem der -Bestimmung eines Systems von Naherungsgleichungen
fur die ordentlichen Wellen ist irn Prinzip einfacher als das im 3. Abschnitt behandelte analoge Problem fur die auflerordentlichen Wellen. Trotzdem wollen
wir es bei dieser Gelegenheit kurz behandeln und dabei im Vergleich zur vorhandenen Literatur (mit Ausnahme von SUCHORUEOV
[3] und FISCHER
[13])
auch die Polarisation der Wellen als 1a.ngsamveranderliche GroBe ansehen. Die
Bezeichnungen sind die gleichen wie bisher, nur bedeutet Ic, jetzt durchgehend
die Wellenzahl einer ebenen monochromatischen ordentlichen Welle, d. h.
ko = ~ / E O ( C O ~ ) . Die Komponenten der Wellengleichung fur die langsam veranderlichen Amplituden des elektrischen Feldes haben jetzt folgendes Aussehen
9
Ann. Physik. 7. Yolge, l3d. 25
130
Annalen der Physik
*
k, sin 6 s i n e -a] } A , +
7. Folge
*
Band 25, Heft 2
*
1970
k;---[-sin 6 sin e cos e A , + A , ] = O .
sin (8- e) s i n e
Die Frequenzdispersion der Permeabilitat an der Stelle o = ooist wie bisher
vernachlassigt worden. Die Komponente A , wird bedeutend grol3er aein als die
Komponenten A , und A,, da sie fur eine ebene ordentliche Welle in z-Richtung
die einzige nichtverschwindende Komponente ist. Aus (4.1) und (4.3) folgt dann
unter Vernachlassigung aller kleinen GroBen
A = - - , -i A a
ZX-,
A,=
ay
y
1_
C O S ~a
_ik, sin 6 ay A~
1
(4.4)
s i n 8 . A,
= -
cos8. A,.
( 4.5)
Es fallt hier sofort die Analogie der Gleichungen fur die elektrischen Amplituden
der ordentlichen Wellen (4.4, 5) zu den Gleichungen fur die magnetischen Amplituden der auflerordentlichen Wellen (3.25, 26) auf. Setzt man (4.4) und (4.5)
in (4.2) ein, so erhalt man unter Vernachlassigung von kleinen GroBen
IS+@+
i2ko(;+Gz)}A,=
a
k, a
a2
a2
0;
u =%.
k,
Die G1. (4.4) .- . (4.6) bilden ein vollstandiges System von Niiherungsgleichungen
der linearen Optik zur Bestimmung von ordentlichen Wellen mit mittlerem
Wellenzahlvektor k,, und mittlerer Frequenz coo. Es mu13 dabei wiederum die
Umgebung des Entartungsfalles 6 = 0 ausgeschlossen werden.
Wie im Falle der auflerordentlichen Wellen bestimmen wir auch hier ein
naherungsweises Gleichungssystem fur die langsam veranderlichen Amplituden
des Magnetfeldes C (siehe auch (3.23)). Berucksichtigt man, daI3 die Komponente
A , gewohnlich bedeutend groBer als die Komponenten A , und A , ist, so erhiilt
man folgende naherungsweisen Umrechnungsbeziehungen zwischen den Amplituden der elektrischen und magnetischen Feldstarke
~a
c, = io,
z A y *
Daraus folgen die Gleichungen (vgl. auch mit (3.17, 18))
i a
c =-----c
ak, ax
1 cos8 a
c
ak, sin 8 ay cx
=--y7--
A. WUXSCHE:Wellen nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation
131
Zu diesen beiden Gleichungen konnen wir noch die parabolische Naherungsgleichung fur die Komponente C, der magnetischen Vektoramplitude hinzu(4.10)
Die G1. (4.8)
(4.10) bilden ebenfalls ein vollstandiges System von Naherungsgleichungen der linearen Optik f ur langsam veranderliche Vektoramplituden
des Magnetfeldes ordentlicher Wellen. Diese Gleichungen sind analog den
G1. (3.17 . 19) fur die elektrischen Amplituden aufierordentlicher Wellen.
- a
5. Beruclisiehtigung der Frequenzdispersion
Es wurde schon darauf hingewiesen, daS bei Berucksichtigung der Frequenzdispersion der Permeabilitat in der Umgebung von coo die aufgezeigten Analogien
zwischen ordentlichen und aufierordentlichen Wellen nicht mehr exakt gultig
sind. Die Berucksichtigung der Frequenzdispersion ist notwendig fur nichtstationare Prozesse und erlangt durch die Schaffung von Quantengeneratoren
fiir ultrakurze Impulse zunehmende Bedeutung (ACHMANOV
u..a. [9]). I m Zusammenhang damit wurden Erweiterungen der parabolischen Niiherungsgleichungen betrachtet, die zur Beschreibung solcher Prozesse geeignet sind ([9]).
Wir wollen hier ebenfalls kurz die Ableitung dieser Gleichungen fur ordentliche
und aul3erordentliche Wellen angeben, wobei wir uns wie bisher auf den Fall
eines linearen Mediums beschranken.
Zunachst schreiben wir einige allgemeine Beziehungen auf, die fiir Medien
beliebiger Symmetrie gelten. Die Beriicksichtigung der Frequenzdispersion ist
gleichbedeutend mit der B eriicksichtigung der Vorgeschichte der Entwicklung
des Feldes a m betrachteten 01%und fur die dielektrische Verschiebung D(s, t)
in Abhangigkeit vom elektrischen Feld E ( x , t) bedeutet dies
m
B~(x
t ) ,= E ~ ( xt ),
+ 4n J dt xij(t)E ~ ( xt ,-
Z)
0
m
~ i j ( c o )=
6cj
+ 4n 1dt
x i j ( t ) eimr
.
0
Der zweite Teil dieser Gleichung ist eine etwas ungewohnliche, aber sehr
niitzliche Schreibweise der Integralbeziehung unter Benutzung der Definition
der Permeabilitiit eij(co)ganz im Sinne einer Operatorfunktion vom Differentiala
operator i - . Spaltet man vom elektrischen Feld einen Faktor ei(kg-mot) ab,
at
so ergibt sich aus (5.1)
~ i ( x t ,) = E i j
(i aat ) (Aj(%,t )
ei(kg-4
1
(5.2)
9*
132
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 26, Heft 2
*
1970
Um zu einer Gleichung fur irgendeine der Komponenten A i der Vektoramplitude A(x, t ) zu gelangen, braucht man daher nur in der Dispersionsgleichung die uns schon bekannten Substitutionen (3.1) ausfuhren und die erhaltene
Operatorgleichung auf die Amplitude A i anwenden. Aus der erhaltenen Gleichung, welche die Dispersionsgleichung fiir ebene monochromatische Wellen
noch exakt enthalt, kann man auf mannigfaltige Weise Niiherungsgleichungen
ableiten, wie es am speziellen Beispiel in den vorangegangenen beiden'abschnitten durchgefuhrt wurde. I n allgemeiner Form kann man die Dispersionsgleichung z. B. nach der z-Komponente des Wellenzahlvektors auflosen, die dann
eine Funktion der x- und y-Komponente des Wellenzahlvektors k sowie der
Frequenz o ist. Wegen der Substitutionen (3.1) erhiilt man fur die Amplitude
A i daher folgende Gleichung
l a
i a
(5.3)
k,
= kz(kE)kg) w ) )
ko
= k,(O) 0, ~
0
)
i a
Durch Reihenentwicklung von k, - - - a
__
i ax
_i ay
_a und i ata
(t
ixy
i ay)
a n der Stelle ko = IC,(O, 0, coo), wenn alle Vorausset,zungen
dafiir erfullt sind (Nichtentartung der Wellennormalenfliiche am betrachteten
Punkt k,, w,),erhiilt man eine sukzessive Folge von Niiherungsgleichungen, je
nachdem welche Glieder der Reihenentwicklung man beriicksichtigt
a
(5.4)
Eine exaktere und ausfiihrlichere Darlegung dieser Fragen befindet sich in
Vorbereitung ([14]).
Wir spezialisieren jetzt die G1. (5.4) fur ordentliche und aul3erordentliche
Wellen bei Berucksichtigung von Gliedern mit Differentialoperatoren bis zur
zweiten Ordnung.
ordentliche Wellen:
(5.5)
aul3erordentliche Wellen:
a +1 a
+ i2k0 (%a + sine
-)}
c o s e az
u, at
--
(j.6)
Ai
=
0,
A. WUNSCHE: Wellen nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation
133
(5.6)
+2
[- -cos2 6 + - do2
-sin2 81
2
0
E'
d2EO
EO
EO
do2
E'
d2E'
sin>(&- e).
x -__
sin 26 cos2 e '
Das Glied mit gemischten raumzeitlichen Ableitungen in (5.6) verschwindet,
wenn die Wellennormalenflachen fur auDerordentliche Wellen bei Frequenzen
in der Xahe von oo Lhnlich zueinander sind
. I n diesem Falle
lafit sich die parabolische G1. (5.6) durch die Transformation (2.9) in eine Gleia2 A in (5.5) und ( 5 . 6 ) bilchung der Gestalt (5.5) transformieren. Das Glied Y atz
det das zeitliche Analogon zu den Gliedern mit raumlichen zweiten Ableitungen,
was insbesondere von ACHMANOVund Mitarbeitern [9] diskutiert wurde.
6. Beispiel : Sphiiriseh fokussierte Wellen mit Cfaussscher Amplitudenverteilung
Eine mehrparametrige allgemeine Klasse von Losungen der parabolischen
Naherungsgleichung ( 4 . 6 )fur ordentliche Wellen, die wir als Beispiel betrachten
wollen, lautet
+ i2%&)3- (1+ i2%&)7-
(1
(1/( +
+
(2 6,) kL+,
i2%&)(1 dv - i2%&) *
y>
+
'
z,rz-b.
Hierin sind x,,, x*, S,, &, a,b frei wahlbare Parameter und H m ( X ) ,H,( Y ) bedeuten die HERMITEsChen Polynome
H 0 ( X ) = 1, H , ( X ) = 2 x , H , ( X ) = 4x2 - 2, ... .
(6.2)
Fur S, = 6, = 0 und a = b stimmt (6.1) mit den Losungen fur die Eigenschwingungen eines konfokalen Resonators mit quadratischem Querschnitt der Spiegel
uberein ([ll]). Speziell erhalt man bei m = n = 0 und x, = xu = x , a = b = 0
Hfl
1
za -= z - a ,
134
Annillen der Physik
*
*
7. Folge
Band 26. Heft 2
*
1070
sphiirisch f okussierte Wellen mit GAussscher Amplitudenverteilung
Die Komponenten A , und A , konnen nach den Formeln (4.4)5 ) leicht aus A , gewonnen werden. Gewohnlich vernachlassigt man sie vollstandig. Fur die Losung
(6.3) lauten sie
Entsprechend erhiilt man fur die Amplituden der magnetischen Feldstarke aus
(4.7)
C, = - noAy,
i2xx
Cz=noW-A,,
C,=n
i2xy c o s 6
0 1
i2xz sin 6 A ,
~~
+
(6.5)
*
Aus den Formeln (6.4,5) ist ersichtlich, daD A , und A , bzw. C, und C, kleine
GroOen im Vergleich zu A , bzw. C, bleiben, solange die Abstande x und y von
der Achse des Wellenbiindels nochmit dem Radius der Welle PU = w,(1 + 4x2z2),
w -
1
vergleichbar sind.
,-KG
~
Wir wollen jetzt eine zu (6.1) entsprechende Klasse von Losungen fur aul3erordentliche Wellen konstruieren. Dazu braucht man nur diese Losung in die
Koordinaten 6, q ) umdeuten und dann gemal3 den aufgezeigten Analogiebeziehungen Losungen fur auBerordentliche Wellen aufschreiben. Anstelle von (6.1)
erhiilt man dann
A,
=
1
A,-
+ 6,
(1+ i2x,z,)
1
m+1
-
a
(1
l+i2xcz,
x 8'
( c o a p z - s i n ~ z ) ~ +_
1
1
l+azxqzb
'1)
+ i2%,%,)7
( 2 + "1
(1
+ 6,
"o"t
- OL (cos e
.x
- sin p z )
(6.6)
( 2 + 6,) k,,%
- i2x,z,)
+ i2X,]Z,) (1 + 6,
und als Spezialfa,ll, welcher den spharisch fokussierten Wellen (6.3) ent,spricht
Zu dieser Losung konstruieren wir noch die ubrigen Komponenten der Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes. Entsprechend (3.17, 18, 21)
ereibt
sich
"
i2xy COS (6- e)
A , = - i 2 x x cos e + sine
(6.8)
(1 + i2xz) cos @
A , = - ____
1 + i2xz ~sin (6- e) A~
sowie aus (3.24 - * - 28)
-
C,
2
= noA,
= 0
i2xy
1
sin6 cose
+ i2xz sin (8 - e) A , ,
C,
=n
0
i2xy
~
1
cos 6 cos @
+ i2xz sin (8- e) A,*
A. WUNSCHE:Wellen nach nichtorthogonaler Koordinatentransformation
136
Die durchgefuhrte Umrechnung der Komponenten einer spharisch fokussierten ordentlichen Welle auf den entsprechenden Fall einer auBerordentlichen
Welle mu13 sich auch mit den exakten Beziehungen (2.29) durchfiihren lassen.
In der Tat erhalt man dabei Beziehungen, die sich ein wenig von (6.8, 9) unterscheiden. Die Ursache dafur ist der Naherungscharakter der parabolischen Niiherungsgleichungen sowie der Zusatzgleichungen zur Bestimmung der relativ
kleinen Feldkomponenten.
Unter der Annahme kleiner Anisotropie E'(Wo)o- E o ( W o )
1 und damit klei~
E
(wo)
I<
nem Anisotropiewinkel e lassen sich in den erhaltenen Formeln leicht weitere
Naherungen durchfuhren. Jedoch steht diese Kaherung in keiner Beziehung zu
den Naherungen, welche bei der Aufstellung der parabolischen Naherungsgleichungen und der Zusatzgleichungen gemacht wurden und es sind dort durchaus auch Falle zugelassen, in denen der Anisotropiewinkel nicht klein gegenuber
dem Winkel 6 zu sein braucht.
Herrn Dr. R. FISCHER
danke ich fur die Aiiregung zur Arbeit und zahlreiche
Diskussionen.
Literaturverzeiehnis
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B e r l i n , Zentralinstitut fur Opt& und Spektroskopie, DAW zu Berlin
Anschr. d. Verf.: A. WUNSCHE
Zentralinstitut f. Optik u. Spektroskopie, DAW zu Berlin
1199 Berlin, Rudower Chaussee
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