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Analyse der isochromatischen Curven und der Interferenz-Erscheinungen in combinirten einaxigen Kristallen.

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ANNALEN
DER PHYSIK UND CHEMIE.
Bd. 1.
E K G A N z u N 6.
St. 4.
I. AnaIyse der isochromatischen Curoeiz und do,
Jnterferenz - Erscheinuiigen in cornbinirten eiriaxigen KristalZen ;
oon C h r . L u n g b e r g in Christiania.
(Vom Verfisser gernsclrter Auszug aus eincr irn nnrwegisclien 31uggorin
for Naturuidenskuberne Bd. I1 ausfiuldiclr veriilkntlicliten Alllandlung.)
w e n n ein Lichtstrahl durch zwei uber einandcr gelegte doppeltbrechende, von parallelen FlSchen begrsnztc,
Kristallc gcht, so wird er im Allpneiuen in vier Strahlen gethcilt, die, wenn sie iiacli ilirein Austritt aof einc
gemeinsame Schwingungsebene zuruckgefuhrt wcrden, init
einander zu interferiren fiihig sincl.
Es seyen, Fig. 4, Taf V El Oe, und E, Oc, die
Durchschnitte, welcbe der Hauptschnitt des ersten und
zweiten Kristalls mit der Ebene der Fignr bildet, und
P,Op, die Projection dcr Schwingungsebene der polarisirten Einfallsstrahlen. Von den zwci Strahlen, in wclche der Einfallsstrahl in d e n ersten Kristall getheilt wird,
schwingt nun, fur kleine Einfallswinkel , der ungcwijhnliclie ( l e ) im EIauptsclinitt E, O e , , der gewiilinliclie (10)
in eincr darauf senkrechten Ebene. Jedcr von dicsen
Strahlen wird im zweiten Kristall ebcnfalls getheilt, dic
ungewbhnlichcn ( I o e und l e e ) schwiigen in dcin HaupIschnitt E, Oe,, die gcwijhnlichen ( I O Ound l e o ) in
der darauf senkrecliten Ebene. W e n n die voin zweitcu
Kristall ausfah-enden 'Strablcn init einander intcrferircn
sollen, so mussen sic, alle auf eioc glcichc Schwingungsebene zuruckgefiihrt werden; diese sey in P,O p , projicirt. Die Sc1iain;;ungsebenen P,Op, und P,Op, dcr
cinfallcndcn und vorn zw-eitcn Kristall ausfabi eiidcu StrahPoggcod. Ann. I~rgEnziiugsbd. 1.
34
530
len bilden mit einender den Winkel a ; der Hauptschiiilt
des ersten Kristalls bilde den Winkel cp n i t der Schwingungsebene des analysirenden Turmalins oder Bichols ;
y’ sey der Winkel zwischen derselben Ebene und dem
Hauptschnitt E2Oe, des zweiten Kristalls; I/J der Winkel zwischen beiden Hauplschnitten. a+rp ist also der
Winkel, den die Schwingungsebene der Einfallsstrahlen
rnit dem Hauptschnitt des ersten Kristalls bildet.
Bedeutet nun c die absolute Vibrations Intensitlt
der einfallenden Strahlen, oder die Geschwindigkeit, woinit ein schwingendes hethermolekul des einfallenden Lichtes durch seine Gleichgewichtslage geht, so lakt sich die
Geschwindigkeit der hethermolekule im Augeublick des
Eintritts im ersten Kristall durch die Formel c - s i n 2 n g
ausdrucken. Zerlegt man diese Geschwindigkeit nach dem
Hauptscbnitt E, Oe, und senkrecht darauf, so hat inan
die Vibrationsintensitat der ungewtihnlich und gewbhnlich
gebrochenen Strahlen im ersten Kristall. Also ist
Ic= c cos ( a sp ) sin2 ng
Io=c sin ( a+cp)sin 2 n (g+9.),
wo 9. die Zahl der Wellenlangen bedeutet, die der W e g
des gew6bnlichen Strahls mehr als der dcs ungewdhnlichen entbalt, oder der Ganganterschied beider Sfrahlm.
Nachdem nun die Strahlen den zweiten Kristall durchlaufen haben, hat man ebenso, wenn 9.’ den Gangunterschied beider Strahlen in dieseln Kristall bedeutet ,
I e e = c cos (a+ q )cosy sin2ng
Jeo=
c. cos ( a+ y ) sin .ry sin2 IC (g a’)
1o o=
c sin ( a + y ) cos q sin2 IC (g 9. 8’)
IOc = c sin ( a 9)sin qp sin2 n (g 6).
Von diesen Strahlen k8nnen nur diejenigen, deren
Schwingungen parallel der Schwingungsebene P,Op, des
analysirenden Nichols sind, durch diesen hindurch gehen,
oder das Auge erreichen, also nur
(lee+Ioe)coscp’ und (leo+loo)sz’ny’.
Die Oscillationsgeschwindigkeit der Strahlen, die das
Auge erreichen, ist folglicli
-
+
-
+
+
+ +
+
531
S=c [sin2 ng cos ( a+y )cosy
.;-sin2n(g+8)sin( a + y ) s i n q ] cos y'
+c [sin 2 n (g+8') cOs( a+ y ) s i n v
+sin 2 n (g+6+ #)sin ( c c y ) cos 7v] sin T' ,
oder S= c [cos ( a+ sp ) cos ~pcoscp'
-sin( a+ cp ) sini!~
cos y'cos 2 n 9.
+cos ( a +y ) sinip sin sp'cos 2 n 8
+sin ( a+ y ) c o s q s i n cp' cos 2 n ( 9. +8>]
sin2 ng
+c [cos ( a +(p) sinO, I sin rp' sin 2 n 19'
-sm ( a+'p ) sinq cos 4p'sin 2 n 4
+sin ( a+rp) cos v s i n #sin 2 n ( 8 + $ ' ) ] cos 2 ng.
Bezeichnet man den Faktor bei sin2ng durcli A,
und den Faktor bei cos2ng durch B , so ist
S=A*sin2ng+B*cos2ng.
Dieser husdruck kenn auf folgende Form gebracht
werden
S = V , m T - sin ( 2 ng G 1,
+
+
B
wo tungG=7,
und G constant ist fur einen Strabl
von bestimmter Undulationslange oder Farbe. I)a dieser Ausdruck ganz dieselbc Form bat, als der Ausdruck
fur die Geschwindigkeit der Aetbermolekiile in den einfallenden Strahlen, so ist A
I'die Oscillationsgescbwindigkeit der ausfahrenden Strahlen, nachdem alle auf
eine gemeinsame Schwingungsebene PzOp, zuriickgefii hrt
sind, und das Quadrat hievon, oder P + B 2 driickt die
Intensitst des Lichtes, welches das Auge erreicht, aus.
Bezeicbnet man diese Lichtintensitst durcb I2,so
findet man, nach vorgenomlnenen Reductionen
P = P [ s i n l t p [ sin'(a+cp> COS's~'
+COSZ ( a +cp )szn2 y' 3
+coszy [ sins ( a+sp) sin2'p'
+cosz ( a + sp ) cosy sp']
+$n27p
sin2rp'cos'(a+cp) .
(1.1
- s h y a+ c p ) ]cos2 n 8
+$sh2 y s i n 2 ( a +sp) [sinz y'
-cos'rp']cos2n8+
+$sin 2(a+9) sin 293' [cos' q~cos 2n(&+tY)
-sinz ycos2 n ( 8 i ? ' ) ] ] .
34 *
+
+
+
-
532
Dicsc allgemeiue Formel ist uun der Ausdruck fur
die Intensitat der aus dem zweiten Kristall ausfahrcnden
Strahlen , die beide Kristalle in jeder Riclitung durchlaufen baben, wenn man das durcb Absorption und Refleaion verlorcne Licht aufser Betracht sctzt.
Ich werde nun diese allgemeine Forinel auf einige
speciellc F d l e anwenden.
I.
Setzt inan in der Formel (I.) y=O odcr =lSOo,
d. 11. fallen die Hauptschnitte beider Kristalle zusammen,
so ist cp=sp' oder sp'=180°+~, also die Intensitat
12= cz[sin2( a sp)sina y' +cos2( a+ sp) cos2y'+
+f sin 2 ( a+cp )sin2 sp'cos 2 7c (a+ a')], odcr
1 2 = C2 [cos2a sin2 (a+y )sin 2 sp s i n 2 n ( 8 + 8 ) ] (11.)
Die Intensitkit ist also in diesem Falle, fur einen bestimmten Werth von cc und sp, allein abkingig von
9.+8', oder der Summe der Gangunterschiede dcr gewijlinlichen und ungewfihnlichen Strahlen in beiden Kristallen, und ist dieselbe, die man finden wiirde, wenn
die Strahlen durch einen einzigen Kristall gingen, der
den ausfahrenden Strahlen einen Phasenunterschied @be,
gleich der Summe der Phasenunterschiede unserer beiden
Kristalle.
+
-
e
Setzt man. niimlich S+8'=x,
so labt sich der
obcnstehcnde Ausdruck in folgende Form bringcn
+sin2 ( a +y)sin 2 ycos 2 n-
0
A1
,
wclcher Ausdruck identiscli ist niit der bekanuten Airyschen Formel, fur die Iiitensitiit des Lichtes, das durcli
einen einzigen Kristall geht, wo der Gangunterscliied =O.
1. Stehcn die brectienden FlYclren dcr beiden Kristalk senkrcclit arrf der optischen Axe, so ist fur ncgativc Kristalle
533
weiin T die Dicke des KristalIs, i den Eiufallsninkei.
1
1
und
die Brechungserponenten der ungewiihnlichen
iT
und gewtihnlichen Strahlen bedeutet, in dem Fall, dafs
die Brechungsebene senkrecht auf der Axe steht.
HItten 5 , b und a dieselbe Bedeutung fur den zweiten Kristall, wie T,B und A fur den ersten, so ist
b2 a2
-
8'=t-=sin2i
26
und
Die Intensittit wird folglich nach (XI)
a sin2 (a cp) sin2 y sin2 (np sinzi) 3, ( 2 )
fur a=90° wird
1%=c2[cos2
-
+
I2=cZsin2'2 (p sin2(npsin2i)
(3)
Man hat also die bekannte Erscheinung des schwarzeu Kreuzes und der conccntrischen dunklen uud helleu Ringe (Taf. V Fig. 5).
Fur die Halbmesser der dunklen Ringe findet man
den Ausdruck
2nb B
(4)
'Tb(B' -AZ)+-t B( b2- 0 2 ) '
wo n eine ganze Zahl ist.
Die Erscheinung fur. einen einzigcn Krislall von dcr
nicke T findet man, wenn man t = O oder a = b setzt.
]lie Halbinesser der dunklen Ringe sind fur dicsen Fall
2nB
T(B"-AL)'
(5)
Conibinirt man also zmei gleichnamige Kristalle, su ziclien sich die Ringe zusammen, oder die Durchiiicsser der
Ringe sind kleiner' fur die combinirten Kristalle, als fiir
jeden dieser Kristalle allein.
1st der cine, z. B. der zweite Kristall, positiv, so
534
wechselt 6' das Zeichen, da a>b wird. Der Ausdruck
fur die 1ntensit;it bei (3) bleibt unveriindert, nur mit dem
Unterschied , dafs p nun bedeutet
T(B1 - M ) 1 ( b Z - a%)
2B
-
26
*
Die Halbmesser der dunklen Rmge sind also in diesem Falle
2nbB
Tb( BZ-A') -t B ( ba- a')'
(6)
Vergleicht man diesen Ausdruck mit der Formel (5),
so sielit man, dafs die Ringe durch diese Combination
sich ausdehnen, und dies ceteris paribus desto mehr, j e
grafser die Dicke des zweiten Kristalls ist im Vergleicli
mit der des ersten. 1st t so grofs, dafs
T
B
d-ba
_t -B'-&.b'
so siud die Ringe unendlich grofs, oder aIle Ringe ver-
schwinden. Man sieht leicbt, dafs in diesem Falle jeder
der combinirten Kristalle fur sich Ringe von gleichem
Durchmesser geben wiirde.
Wird t noch grafser, so ziehen sich die Ringe wieder zusammen, und werden desto kleiner, je mehr t zunimmt, wenn T unverlndert bleibt.
2. Sind die brechenden Fllchen der Kristalle parallel der Axe, so ist "), unter Voraussetzuog eines negativen Kristalles
sin'y]sJinai
-
1,
(7)
wo T,A, B und i dieselbe Bedeutung wie vorher hahen, und wo y den Winkel bezeicbnet, den die Projection des Einfallsstrahls auf die brechende Flaqhe des
Kristalls mit einer auf der Projection des Hauptschnitts
senkrechten Linie bildet.
1) Vgl. R a d i c k e ' s Optik I S. 417. In der Originallabhandlung ist
die von M i i l l e r (Pogg. Ann. XXXIII S. 291) gegebene, von der
obenstehenden rerschiedene, Formel angewandt, welches aber auf die
Hauptresultate keinen
Ed& hat.
535
Haben Fur den zweilen Kristall t, a, b y i und y dieselbe Bedeutung, so findet man fur zwei negative Kri&talk
8+6' =p +$ ( q rsin27)Sinai,
(8)
wenn man setzt
-
-
4 +t ( b -a)
AB
ab
9=T(B-A)+t(b-a)
P=
T(
r= T
(B-k)
B
t t
(b2-02)
b
-
Setzt man den Ausdruck ( 8 ) in die Intensitatsforme1 (II), so wird die Intensitat fur einen gegebenen
Werth von cc und 'p allein von 6-l-8'abhangig. Weno
man also, wegen der Kleinheit des Einfallswinkels, tar%;
mit shi vertauscht, so kann man die Gleichung
9.+ a'= const, oder C=p+$ (q rsinay ) s h a i ( 9 )
fur die PoIargIeichung der isochromatischen Curven au
nehmen.
Man findet auf diese Weise
1M
sinzi= 2(
9 r e sins y - q
r sinay '
welcher Ausdruck, da p, q und r unter der angenommenen Voraussetzung dasselbe Zeichen haben, und r> q,
die Gleichung einer Hyperbel ist, deren Halbaxen
-
c-P) -
sind , und deren Abymptotenwinkel, wenn 'man denselben 2 V nennt, gegeben ist durch
Die Intensittits-Formel (11) wird in diesem Falle
fur cc=90°
12=ca sin22 yshaR [p+I ( q r sinzy ) s h Zi].
Die Intensitst wird sodann Null fur jeden Einfallswinkel, wenn y=O=90°=1800
oder =270°, und sie
hat ihr Maximum, w e n 9=45O=135O=
u. s, w.
-
53G
Die Intensitat wird ferner Null, wenn
p + ( Q -rsin2 y ) sin2i
gleich einer ganzen Zalil n ist, wodurch inelirere diinklc
hyperbolisclie Ringe angedeutet werden (Fig. S), deren Abstand vom Centrum in der auf die Projection des Hauptschnitts senkrechten Richtung, wo y=O, gegeben ist durch
2(n-p) A D a 6 n - T a b ( ~ - A ) - t A B ( ~ - a ; )(. 11)
sm’”I = $7
A B a;b [T@--A)+t ( L a ) ]
Waclist i zu i+z”, so kann man fur kleine Einfallswinkel ohne bedeutenden Fehler annehmen , dafs
s h 2 i zu sin2t’+sinzi’ wlchst. Sol], fur diesen Zuwacbs
von z’, S+8‘ urn eine Einheit zunehmen, d. h. geht man
ron einer dunklen Stelle der Hyperbelaxc, wo y=O, zu
der niicbsten, wo die Intensittit gleichfalls Null ist, iiber,
so inufs, weil y = O
ist, zufolge der Gleichung ( 9 )
..
-- a
welchen Ausdruck man annaherungsweise fur den Gesiclitswinkel, worunter sich der Abstand der innersten
Ringe zeigt, aniiehmen kann, oder als die Breite des innersten Ringcs, wenn p eine ganze Zahl, und folglich
die Mitte des Gesiclitsfeldcs ganz dunkel ist.
Auf diesclbe Weise findet man fur die Halbmesser
der diinklen Ringe in der Projection des Hauptschnitts
sinai= 2 (P-4.
‘-9
Bezeichnet man den Gesichtswinkel, worunter sich
arif diese Are, wo y =go“, die Breite der innersten
Ringc fiir kleine Einfallsminkel zeigt, durch too,
so hat
man
Setzt man in den angefuhrteu Formelu t = O oder
so hat man die Erschcinung cines einzigcn Kri-
n=b,
stalles von der Dicke‘
wird bestimmt durch
sin
537
Z! Der
Asymptoteiiwinkel
r=VFB,
2V
B
und ist folglicli von der Dicke des Kristalls unabhangig.
Die Forineln (12) und (13) werden fiir eineu einzigen
Kristall
fiir zwei combinirte Kristalle hat man gefunden
Man sieht, dafs auch bei parallel der Axe geschliffenen Kristallen die Ringe sich durcli Combination zweier
glcichnainiger Kristallplatten zusammenziehen.
3. 1st der eine von den combinirten Kristallen,
z. B. der zwcite, p o s i t i v , so findet man, wenn a>b,
und man setzt
Tab(B-A)
-t A B ( a -
b)
P=
ABab
Q = T(B--A)--t( a - b )
r= T
wie oben
B2-A2
B
--t-
a2-b2
b
’
6 +8‘=p +5 (Q - r s i n 2 y ) sin2i.
(16)
Setzt man nun 6 + 8 gleich einer Constante, so
ist diese die Gleichung der isochromatisclien Curven.
So lange nun Q und r gleiches Zeichen haben, und
r > g , ist dieser Ausdruck die Polargleichung einer Hy-
538
perbel. Der Winkel V, den die Asymptoten mit der
Axe der Polarcoordinaten bilden , wird bcstimmt durch
wenn man T=nt setzt.
Man findet ferner
Vergleicht man dicse zwei Ausdrticke mit den Gleichungen (14)) so sielit man, dafs sich die Ringe durch
Combination zweier ungleichnamiger Kristalle ausdehnen.
a ) 1st der negative Kristall sehr dick in Vergleich
mit dem positiven, so nghert sich der Ausdruck (10)
seineln Gdnzwerth
~
m
.vAtB'
Geht man von diesem Werthe aus, und combinirt
den negativen Kristall rnit positiven Kristallen von mehr
und mehr abnehmender Dicke, so wlcbst V bis q=r,
oder
o-b aB
n= F A ' x b 9
(19)
da Y gleich einem Rechten wird. Der Asymptotenwinkel 2 Y wgcbst also bis zu dieser Granze, und zu gleicher Zeit dehnen sich die Ringe B U S , da q und r - q
zugleich mit n abnehmen.
b ) 1st r = q , so wird
Die Gleichung der isochromatischen Cuivcn wird nun,
.!(c - p ) =M gesetzt,
..
539
sms 1. =-.
M
q cos=y
Die Hyperbeln verwandeln sich also in ein System
von geraden Linien, parallel der optischen Axe.
Zufolge (19) wird
A
T(B A )-B
=t ( a b ) ab
Vergleicht man hiemit den Ausdruck (14), so sieht
man, d a t dieser Fall eintritt, wenn die Ringbreite der
in jedem Kristall fur sich hervorgebrachten Hyperbeln in
den voin Hauptschnitt halbirten Asymptotenwinkeln gleich
grofs ist.
c ) Wird n noch kleiner, so ist r e g , und die Gleichung (16) ist dann die einer Ellipse, deren grofse Axe
parallel der optischen Axe ist. Nennt man die @fate
Halbaxe a, die kleinste b, so hat man for kleine Einfallswinkel
- -.
-
a=Arc
(sin=
vq&),
-
b=Arc(sz'n=l/:).
d ) Je kleiner r wird, je mehr n%hertsich das Axena
verhdtnifs der Einheit; ist r=O, so wird -=l, und
b
die Gleichung (16) reducirt sich auf
Sinai=-
M
9 ,
die Gleichung eines Kreises.
e ) Nimmt R noch mehr ab, so wird r negativ; ist
nun 9 positiv, so ist (16,) die Gleichung einer Ellipse,
deren grobe Axe senkrecht auf dem Hauptschnitt ist;
man findet wie oben
f ) J e mehr q abhimmt, je mehr dehnen sich die Ellipsen in der Ltiuge aus bis g=O; die kleine Axe ist
ist dann A r c ( s h = v : ) ,
die grobe Axe unendlich
540
Imd die Ellipscn verwandelu sicli in ein System von parallclen geraden Linien, die senkrecbt aiif der Projection
des Hauptschnitls stehen. Da in diesem Falle
T(B A ) = t ( a b ) ,
so mird jedcr Kristall fiir sich Hyperbeln geben, welche
in den Asymptolenwinkelu, die von der auf dem Hauptschnitt senkrecbten Axe halbirt werden , gleiche Breite
haben.
g) W i r d n noch kleiner, so werden 9 und r
beide negativ; die paralleleu geraden Liuien fangen d a m
wieder an, sich zu Hyperbeln auszubiegen, deren Asymptotenwinkel immer gr8fser wird, und sich dem Granzwerthe
-
-
nshert, wenn n bis Null abnimmt. Da diescr Bogen stels
kleioer als 90° ist, so kann der Asymptotenwinkel 2Y
iiie ein Rechter werden.
4. Sind die brechenden Flschen der beiden Kristalle unter eioem Winkel von 45O gegen die Axe geschnitteu, so findet man fur 9 eiuen Ausdruck von der
Form ')
8= TCmsilt2ysinZi+ncos2ysinZi+qsir2 ysini-r] (20)
wenn wan die haheren Potenzen von sz'ni uuberiicksichtigt lafst. Setzt man nuu 9. constant, so hat man fur
die Gleichung der isochromatischen Curven, wenn die
Hauptschnitte parallel sind, rind inan aucb die zweite Potenz von s h i , wegen der Kleinheit des Einfallswinkels,
fortlafst , anniiherungsmeise, (fur positive Kristalle )
t, q' und f fur den zweilen Krislall dasselbe bedcuten,
was T,9 und r fur den Ersten sind.
Die Gleichung (21) ist, wie man sieht, die eincr
1) Pogg. Ann. I U K V S. 100, und Radiclce's Optik I, S . 425.
54 1
geraden auf den1 Hauptschnitt seukrccliteii h i e . Auf
gleiche Weise wic! oben fiudet man fur dic Breik j e
zwei auf einander folgender dunkler Linien, wenn man
y=900 setzt,
Als Ietztes Beisyiel von der Anwendung der Intensitatsformel (11) wollen n i r den Fall betrachtcn, dafs
die Iiauptscbnitte der beiden wie oben geschnittenen Kristalle 180° mit einander bilden, und der Kiirze willen
annehinen , dafs beide combinirte Kristallplatten Stiicke
von deniselben Kristall sind. Fur den zmeiten Kristall
findet man 8, wenn man in der Formel (20) y+lSOo
fur y sclzt, folglicli ist
8'=t [msin' y s i n z i t n C O S y~ sin'i-7 sin y sin i- rl
und
9.+ a'= rn ( T+ t ) sin2 y s i n z i t R ( T+ t ) cos2y s i d i
- q ( T - t ) s i n y s i n i - r ( T+tJ=k.
Diese Gleichung zeigt, dafs die isochomatisclicn Curven Ellipsen sind , deren Ceutrum iin Hauptschnilt liegt,
auf der Seite, wo die Projection des vom Auge nbgcwandten Eudes der optisclien Axe des dicksten Kristalls
fallt I ) , und in einer Entfernung vom Mittelpuukte des
Gesichtsfeldes, die desto g d s e r ist, je gr6fser der IJnterschied der Dicke beider Kristalle. Sind beide Platten
gleich dick, so findet man
sin' i=
ktr
msinZy+ncos2y'
welcher Ausdruck, da m uiid n gleicbes Zeichen haben,
eine Ellipse vorstellt, deren Centrum im Mittelpuukte
des Gesichtsfeldes liegt. 1st n>m, so liegt die groCse
Axe der Ellipse im Hauptscbnitte; wenn dagegen n < m
ist, so hat die kleine Axe diese Lage.
1 ) Weil
Jiny auf der Seite dcr auf dern Hauptsclmitte senkrecliten
Linie positiv wird, wo das dem Auge zugewandte Endc dcr Arc
projicirt ist.
542
11.
Setzt man in der allgemeinen Intensitltsformel (I)
q=90° oder 270°, also 'p'=yP990°, so findkt man
I' =c' [sin2 ( a! 'p ) COS2 'p' +toss (a! 'p ) sin2 'p'
- 2 sin (a+ fp ) cos (a+ 'p) sin y'cos y'
2sin( a+ y ) cos ( a! +($3) sin cp' cos y'
+; sin2 (a+ sp )sin 2 sp cos 2 n,( 9
=E[cos1a+sin2( a ~ ) s h 2 c p ( l - - c o s 2 a ( 4 - ~ ' ) ) ] ,
oder
I*= P[~0s'a---~h2(a+spP)sin
2yssin2n(8-8")]. (III)
1st a='p=45O,
so wird die Intensitst von 9 und
8' unabblngig, weil das letzte Glied in (111) Null wird;
die Carven verscbwinden also, und die Intensitlt ist fur
jeden Einfallswinkel constant, und gleich der halben Intensittit der Einfallsstrablen. Uebrigens wird bier, wie
im oben betrachteteo Falle, die Form der Curven dieselbe fur jeden Werth von a und y ; nur die relative
Intensitlt der dunklen und hellen Stellen, und die Lage
des ganzen Curvensystems wird verlndert.
1. Die brechenden F l k b e n beider Kristalle seyen
der Axe parallel.
Far zwei negative Kristalle hat man wie oben
+
+
+
-a)]
Da der Hauptscbnitt des zweiten Kristalls &goo mit
dem des ersten bildet, so findet man 8,wenn man in
diesem Ausdrucke y=j=90° fiir y setzt, oder =j=cosy fiir
shy. Man findet also
und
-
8 &'=p
wenn man selzt
+ (q -rsin' y )sins i,
(23)
543
p=-
Tab(B-44)--tAB(6-0)
ABab
B2-M
(b2-a2)
b
Setzt man unn 8--91 constant =C, so ist
r=T-
Da r- g =
B
-kt
n
T(B-A)z+t(b-a),
welches eine
positive Grsfse ist, so ist r>g, und die Gleichung (25)
druckt immer eine Hyperbel aus, deren Halbaxen sind
Der Asympiotenwinkel 2 Y wird gegeben durch
v=I/+l/
Tb
Tb(R--A)+ta(6--aF
(B-Al)+tB (b2-d)'
(26)
Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem Ausdruck
bei (lo), so sieht man, dafs dieser Winkel fur negative Kristalle kleiner, da b>a, fur positive g r a t e r ist,
da b < a , wenn die Hauptschnitte nuf einander senkrecht,
als wenn sie parallel siud. Der Asymptotenwinkel nahert sich also in beiden Fallen einein Rechten.
Sind beide Platten gleich dick, so wird 2 Vvon dcr
Dicke unabbangig uud gleich goo.
Fur die Ringbreite im Hauptschnitt des ersten Kristalls und senkrecht darauf findet inau aunaherunpsweise
sin't",
2b
Tb ( B -A )+t a ( b -a)
=-
Vergleicht man hiemit die Ausdriicke (15), 80 siebt
man, dafs die Ringbreite liir negative Kristalle in deln
Hauptschuitte grbper, und senkrecht darauf kleiner sind,
weun die optischen Axen auf einauder senkrecht, als
544
wenn sie parallel sind. Fur positive Kristalle findet das
Umgekehrte statt. Lafst man also den Wiiikel twisclien
den Hauptschnitten zunehmen von 0 bis 90°, so werdcn
sich fiir negative Kristalle die Ringe in den vom Ilanptschnilte halbirten Asymptotenwinkcln zusammenziehen,
uud sich in den andcren zwei Winkeln ausdehnen. Fiir
positive Kristalle verhalt es sich umgekebrt.
1st der zweite Kristall positiv, so verwaodeln sicli
die Ausdriickc (24) in
Tab ( B - A )+t ab ( a I )
-
P=
ABab
q= T ( B - A )
r=T
'g2-B
B
--t(o--b)T
-t-
a
a2-bz
b '
und die Yolargleicliung der isochromatischen Curven wird
wie oben
p +: ( q rsin1y)sin2i= C.
So lange T sehr grob ist im Vcrgleich mit t, sind
r und q positiv, und die Curven sind dann Hyperbeln.
-
T
Nimrnt - oder n ab, so werden die Curvensysteme
t
ganz dieselbe Vcr~nderungcn,wie dic oben fur parallele
Hauptschnitte beschriebenen, durchlaufeu. Vergleicht inan
die obenstehenden Werthe vnn p , q und r mit den Wertlicu (16) des vorigen Falles, so sicht man, dafs r unverandert ist, p und q dagegen eincu von den friihcren
vcrschiedenen Werth haben; ist der erste Kristall, wie
liicr vorausgesetzt, ncgativ, so wird 7 kleiner fiir senkreclite wie fiir parallele Hauptschnitte. 1st der erste Kristall positiv, der zweite negntiv, so findet das Umgckchrte statt. Der Uebergaug der Curven von Hyperbclu
zu Ellipsen, von diesen zu gerrrden Linien u. s. w. wird
also nicht bei denselbcn Wcrthen von n stattfindeo,
weuu die Hauptschnitte auf einandcr senkrccht und wcnn
sic parallel sind. Nur fur den Fall, dafs die Curven
Krcise
545
Krcisc sitid, wclcles fur r=O eintrilft, werden sie in
beiden Lngen der Hauptschnitte dicsclhe Forin behaltcii,
da r in beidcii Fallen denselhcn Wcrlh hat.
Hat also
R einen solchen Wertli, dafs das Curvensystem fur paxnllcle Hniiptsclinitte gerade Liriien parallcl der oplischeit
Axe des ersten Kristalls, also r = 7 , oder senkrecht dareuf ( q = O ) siud, so werden sie, wenti lnan dcn cincii
Kristall urn 90" dreht, sicli in beiden Fallen zu Nppcrbelri nusbiegen. 1st dagegen die Dicke der Kristalle ci:ic
solche, daCs man fur senkreclite Hauptschnittc cin Systcin von gcraden Linicn siclit, so werden diese, wciiii
inan die optischen Axen zusammenfnllen Izfst, sich zu
Ellipsen zusammenbicgen.
Die GrBnze, welcher sich der Sinus dcs halben Asyuiytotenwinkels V nzhert, wenn R ilniner zunimmt, ist
-
vgB:
oder derselbe Wcrth, den der erstc Kri-
stall fur sicli allein gicbt.
Wenn
nahert sich sin Y dem Grlinzwertli
71
dagegrn abniiumt,
1/%.
Da nun
fur positive Kristalle a> b, so wird dieser GrBnzwerth
grbrser \vie der Asymptotenwinkcl des zwcitcti Kristalls
a
frir sich allein, und da -grbrser als t ist, so ist
a t b
dieser Grlnzwerth griifscr als 45", folglicb der Asymytotenwinkel 2 Y> 90".
Den Wcrth von R , fur wclcl~cii der Asyinptotcnwinkcl 2 V ein Rechter wird, fitidet inan nus der Glcichung r = 2 7 , wouach
und die Curven werden in dieseln Fallc glcichscitige Hy
perbelii.
2. Sind die optischen Axeti bcidcr Kristalle untcr
35O gcgen die breclicnden Flschen gencigf, so fiudet man
Poggvncl. hiin. E ~ $ ; i ~ i ~ ~ ~ i 1.
pd~d.
i3.j
546
wenn man die zweite und hliberen Potenzen von sini
unberiicksichtigt Iabt, nach (20) und (21), weil
welcher Ausdruck, wie man leicbt sieht, die Polargleichung einer geraden Linie ist, welche mit der Axe der
Polarcoordinaten einen Winkel V bildet, dessen Tangente bestimmt wird durch
w o das obere Zeichen gilt, wenn die Projection der Axe
des zweiten Kristalls +goo, das untere, wenn sie - 9 U o
mit der Projection der Axe des Ersten bildet. Das System ron geraden isochromntischen Liiiien liegt also immer in dem Winkel, den die Projectionen der gleicligewandten (beide dem Augc
- mi- oder vun den1 Auge abgewnndten) Enden der optischen hxen mit cinonder
bilden.
1st B=b, A=a, so wird
t
tang
Die Linien bilden also eiuen kleineren Winkel mit dem
Hauptschnitt des diinneren, als mit dem des dickeren Kristalls.
111.
Setzt man in der allgemeinen Intensitats-Formel ( I )
(V=-C45O, also 071=4p-C45O; oder setzt man ~ = q = 1 3 5 ~ ,
macht man ferner, urn die Formeln nicht zu vie1 zu compliciren, a=90°, so findet man
547
C
P ='[ 1 ~ 0 sycos
' 2 nt!Y -sinz 2 ycos 2 n 8
2
-C sin2 y cos 2 y sin 2 n 6 s i n 2 n 8'1
(29 1
Fiir cr=O erhslt man den complementaren Ausdruck.
Macht man nun rp=O oder =90° u. s. w., so wird
I' =%( 1 -cos 2 n a'),
C'
ist dagegen y=45°=1350=2250=3150,
so wird
P--(1-cos2a8).
C'
-2
Im ersten FaUe iet also die Intensitst dieselbe, als
wenn das Licht durch den zweiten Kristall, und im zweiten 'Fall, als wenn es durch den ersten Kristall allein
gegangen ware; oder iin ersten Fall sieht man nur das
Curvensysteni des zweiten Kristalls, im zweiten Fall nur
das des ersten.
Setzt man in der Intensitatsformel (I) v=-F45O
oder =-C135O, und a=45', so findet man
C1
F =[ 1-cos 2 sin 2 y (cos 2 n 9-cos 2nB')
2
qzcosz 2 y sin 2n 8 s i n 2 n 8'1
-45O
Ca
1%
-[ 1+cos 2 y sin 2 y (cos2 mi?-2
(30)
iind fur a=
cos 2 mi?')
=I:COP
2 rp sin 2rc Bsin 2 n 8'1
(31)
welclier Ausdruck den vorigen zu c' ergfinzt; die Intend s t r n (30) und (31) sind daher complementar.
Setzt man in (30) 1y1=45~=135~
u. 8. w., so wird
C'
P = -.
2
Die Intensitst ist also fiir jeden Einfallswinkei constant, und gleich der halben Intensitst des Einfallslichtes. In diesem Falle werden also keine Curven sichtbar.
Macht man y=O oder =90° u. s. w., so ist fiir
y=+450
35 *
548
8
.la
=-[l-sin2nt?sin2n1Y]
2
(32)
und fiir ~ = - 4 5 O
C'
I' = -[1+sin2n8sin2mS'].
2
Die Intensitaten sind also complementar.
(33)
Fur
y=+W
sielit man in zwei gleich dickeu Plattcn von Bergkristall,
die unter 45O gegen die Are geschnitten sind, das Fig.
17 Taf. V abgebildete Curvensystein, weiin inan homogenes Iicht anwcndet.
W i r werden als Beispiel von der Anwendung der
Formeln ( 3 2 ) und (33) diesen Fall nehmcn, uiid uutersuchen, wie das Bild Fig. 17 Taf. V nach diesen Formeln construirt wcrden kann.
Die Intensitat wird nach ( 3 2 ) cin Minimuin und
gIeicb Null, wenn s i n 2 n 8 s i n 2 n 8 * = 1 , also entweder
a)
sin2n8=1
und
sin2nS'=l
oder
b)
sin2n8=-1
und
sin2n8'=-1.
Sie wird dagegen ein Maximum und glcich cz, w e m
sin2ni3sin2n8'=-- 1 , also entweder
u') s i n 2 n 8 = - 1
und sin2nt?'=+l,
oder
b')
sin2n8=tl
und si1~2nt?'=-1.
Die Stellen, wo die lotensitkit ein absolutes Maximum oder Minimum ist, sind also nicht in dicsem, nie
in allen bisher untersuchten Fallen, zusammenb~ngende
Curven, sondern isolirte Punkte, dic auf den Scbneidungspunktcn der Curven liegen, die durch dic Gleichungen
9.=k und #=I?
bestimmt werden, menu man fiir die Constantcn k und k'
successiv die durch die Gleichiingen' a, b, a' und b' bestinimten Werthe setzt.
In unserem Falle ist nun
i? =qsin ysin - r ,
(34)
und
a't.'=q
sin (y 450) sin i- r ,
(35)
wenn man die zweiten und h6heren Potenzen von sinz'
-
5 19
vernachlassigt, rind 4 uud r dieselbe Bedeutuog wie oben
haben, die Dicke T der Iiurze willen = L gesetzt. I)a
die Gleichungen (34) und (35) zwei gerade Linien ausdriicken, von welchen die eine auf dew Hauytschriitte
dcs ersteu, die anderc auf dein des zweitcn Kristalls senkrecht steht, so sieht inan leicht, d a t die Stellen, wo
die Intcnsitlt Null oder C’ ist, auf graden Linien liegen,
die parallel mit und senkrecht auf dcr Linie sind, die
den von beiden Hauptschriitten eingesclilossenen Wiukel
halbirt. I)a sodann das Bild in nezug auf diese Linien
syiniiietriscli ist, so wollen wir, urn die Formelu zu vereinfachen, die auf dieser Halbirungslioie Senkrcchte zur
Axe der I’olarcoordinaten wiihlen. Dieses gescliieht leicht,
wenn mail iiberall y t - 2 2 ; O fur y selzt. Macht man
diese Substitution, SO fiodet man aus (34) uud (35)
8=q~hisin(y+22$~)-r
a’= 4 sin isin (y -22; 0 ) -r
(36)
8- 8’
=2Q sin 22: 0 sinicos y
i
I
a+ i+’=a 4 cos 22; sin isin y -2 r.
oder wenn man rechtwinkliclie Coordinatcn einfuhrt, und
cosysinz=x, sinysini=y setzt, so erhalt man
9 =9cos22; O ( y t t a n g 2 2 ; Os)-r
a’= 9cos 22; O(y tang 22; Ox)-r
(37)
,9-8’=2qsiri22; Ox
9 . t 8’=2 9 cos 22; O y 2r.
..
-
-
iiian
Setzt iuau clicse Wertlic iu die Gleichuog (32), die
aucli so schreiben kann:
+
1’-C’-[ 1-$ C O S n~ (9.-8’) t cos 2n (a+ a’’>] (38)
-2
so findet inaii
c?
P = - [21 - ; c o s ( 4 n ~ ~ / s i n 2 2 $ Ox)
+;cos ( 4 ”Q cos22;
oy --r)].
Differeoliirt man diese Gleichung auf
das T~iffercuziirlgleich Null, so erhiilt man
(39)
2 , U I I ~setzt
wo R jede ganze Zahl oder Null ist. W e n n R eine gerade Zahl ist, so wird diircli diese Gleichung ein Minimum, und w m i IL eiue ungerade Zald ist, t i n Maximum
der Intensitlt angedeutet. Da d i e m Wcrth von x URnbliiingig von y ist, so liegen also alle dime Maxima oder
Minima auf geraden Linicn parallel der Axe y. I)a ferncr ri v o r ~einer solclien Linie, w o die Intensitiit, z. B.
cin Minimum ist, zu der n h h s t e n ' u m 2 wiichst, so ist
die Entfcrnung dieser Linien von einander gleich
1
1
2q.sin22; u = O , 7 6 5 g '
Setzt man das Differenzial der Gleichung (39) in
Bezug auf y gleich Null, so erbalt uian
4rAn
'= 4,q,cos22;O '
wclche Gleichung, wenn n eine geradc Zalil ist, ein Maximum, und wenn n eine ungerade Zahl, ein Miuiolum
ausdriickt; da sie von x unabliiingig ist, so sieht man,
dafs diese M a x i m und Minima fur jeden VVerth von x
dieselbe Entfcrnung von der Abscissenaxe liaben, folglich
auf gcraden, mit dieser Axe parallelen Linien liegeu.
Auf gleiche Weise wie oben findet man, dafs ihre
Entfernung von einander gleich ist
1
1'
2 9 cos 22; O
1,8489 *
Alle Maxima odcr Minima liegen also auf Linien,
die parallel init und s ~ n k r c ~ l al ut l der Abscissenaxe siud,
oder zufolge (39) und (39) auf Linieu die bestiiiimt werden durch
2 R ( f u r Minima)
i+-6'!=const==!=2
2 n t1
und
==k
(fur Maxima)
2
--
-
55 1
2n+1
- (fiir Minima)
6+8J.’=const=-c
2
2 n (fiir Maxima).
=-C-
und
2
Substituirt man in der Gleichung (38) diese Werthe von x und y , so findet man fur die Intensitat auf
den Linien, die alle Maxima oder Minima verbindet, pan
rallel der Axe y, wo 8-8’ist,
*
=[,Ca
*;+
1
~CO4
S 7~
( q cos 2!2: Oy -r ) ] ,
und auf deli aiif dieser senkrechten Linien, oder yaraln
lel der Axe x, wo @+a’=- ist
2
11
c=
=- 1 * ~ - ~ c o s 2 n ( ~ - ~ J ) ]
2
C’
=p [1+-C
++3s
(4 n q sin 22; Ox)] ,
v o die obercn Zeicheii fur die helleren, die unteren fur
die dunkleren Linieu angewandt werden mussen.
Man sieht, d d s die Intensitat in beiden Fallen, f i r
die Ersteren zwischen den Granzen ca uud + c 2 , und fur
die Letzteren zwischen den Granzen aca und Bull liegt.
n
Die Entfernung der durcb die Gleicbung $-aJ=2
bestimlnteu dunlden oder hellen Linien von einander ist,
uach dem oben Augefiihrten , gleicli
(
Arc sin=-
*
0 , 7l6 5 ~)’
vergleicht man diese Entfernung mit der, die flir parallelc oder senkrechte Hauptschnitte stattfindet, so sieht
man, dafs sic gri)Tser als diese beide ist, und zwar ungefahr das Doppelte von der Entfernung im Falle senkrechtcr Hauptschnitte. Fruher habe ich namlich gezeigt,
552
dals diese Entfernung fur scnkrechle Hauptschuittc
Arc
(ip=gOU)=
und fiir parallele Hauptschnitte
Fur die diircli die Gleichung
a@'=- I.4a
bestiiniiitcii Li-
iiicii tlcr Maxima odcr Minima, ist diese Entfcriiung
folglicli ungefiihr 2,41nal klciner als der gegenseitigc Abstand tier Liiiien in clcin ancleren naf diesein scnkrcchtcn
Linien~ystcm,ungefiihr 1,3 inal klciner als fiir die dunklen
Linicn, die inan fur qp=90° siclit, und 1,08nial gr8fscr
als wenn ,tp=O is[.
L);i die Bilder nacli dcii Forineln ( 3 2 ) und (33)
compltwcritiir sintl, weiin cc densclbcn Wcrth (+45O
oder -dY) hat, nachdein ~ = + 4 5 ~und 180'J+4460
orlrr 1p=-&jU
u n ~ l 180"- 4su;da fcriicr fiir einen
constanten Wcrtli von qp die Bilder sich crghzen, wenn
cc von +45" zu -4P iibergeht, so wird dasselbe Bild
nnter vier vcrschicdenen Stellungcn der coinbiiiirten Kristallc und des polarisirenden h'ichols hervorgebraclit
wrden.
Setzt man in der Intensititsformel (29)
y=2n-
!n
+22;0,
wo n jede gauze Zalil oder Nil11 ist, so wird
n
und we1111cp=(.21.4+1)-+2'2.~
4
O
gesetzt wird, so ist
\
553
wo die oberen Zeichen fiir ~ = + 4 5 O
oder 180°+450,
die unteren far 1,0=-445O
oder 18Oo-45O gelten. W i r
werden die durch das obere Zeichen in der ersten dieser Formeln ausgedruckte Intensitat durch A, die zweite
durch B bezeichnen.
Geht man voii rp=22io aus, und Ikifst rp urn 45O,
245O u. s. w. zonehinen, so sielit man abwechselud die
durch die Intensitlteu A und
bestimmten Bilder. 1st
namlich 1,0=+45",
so sieht man zuerst das Bild A, danach B, so wieder .4 11. s. w.; ist dagegen I,!J=--~BO,
so sieht man zuerst das Bild B, dann A, so wieder
B u. s. w. Fig. 18 Taf. V zeigt das Bild A, und Fig.
19 das Bild B, wic ich sie in zwei gleich dicken Bergkristallplatten, jede ungefrihr von der Dicke einer Linie,
sehe, in hoinogeneu Lichte.
1st a=O, so siud die Bilder complementar zu A
uud B.
Die Intensitateu A und B k6nnen auch so geschriebell werden
A- --[1-; ( cos 2 7c 6 +cos 2 72 9 )
C=
-2
B=
-t cos 2 n (9.+9.')+:cos 2 n (9. -a')]
C=
2[1-~(~os2n9.+cos~n8)
+a
cos 292 (a+
79')
i
(13)
-5 cos 2 n (79 -a)]
Da die Lichtiiitensitiit in jedem Punkte des Gesichtsfeldes gleich ist der Suinme der durch jedes einzelne Glied
dcr Gleichungeu (43) bestimmten Iutensitlten, so kann
inan sich vorlaufig cinen Grundril's des Bildes construiren, wenn man io jeclein Gliede dicses Ausdrucks den
Gangniiterscliied gleich einer Constanten setzt, und die
dadurcti bestiinintcn Ciirven construirt ; denn wenn man
die algebraischc Sulnine cler Intensitateu dieser Curven
ouf eiuem bcstiumtcn Schneidepunkte niiniiit , so ist diese
Summe gleich dcr wirklicbeii Iuteusitiit des Bilcles auf
dieser Stelle. 1st diese Summc fur eioe Reibe contiiiuirlich auf cinandcr folgendcr Punkte conslant, so wird
554
auch das durch die Interferenz der ausfahrenden Strablen hervorgebrachtc Bild vou isochrolnatisclien Curven
bestehen; im entgegengesetzten Falle wird man nur isolirte isocbroinatische Punkte sehen. Durch die Gleichung
~.-I!+'=c
wird, wie oben gezeigt, ein System von geraden Linien ausgedriickt , parallel der Halbirungslinie
des TOO beiden Hauptscbnitten eingescblossenen Winkels,
1
deren Entfernung von einander = -~
Die Glei2 q sin 221 O'
cliung 8+8=c'
giebt ein System Ton parallelen Geraden
1
senkrecht auf den Vorigen, deren Abstand =__ --__
2 q cos 22; "'
Endlicb wird durcb jede der Gleichungen & = c " und
QI=c"' ein System vou geraden Linien senkrecht resp.
auf dem Hauptscbnitte des ersten und zweiten. Kristalls
1
vorgestellt, deren Abstand = - ist. Wahlt man nun
9
solche Werthe fur c" und c"', dafs cos2nI!+=cos2n8'
--1
wird, so ist es zufolge der Gleichungen (43)
klar, d a b die genannte Suinlne ein Maximum, und gleicli
c wird. Ueun setzt man cos2na = ~ 0 ~ 2 n=
9 -1,
'
so wird
2ni-1
2mi-1
a=----und a'=2 '
2
folglich 6--9C=n-m
und &+8'=n+m+l,
oder
cos 2 n ( 8-8')=cos 2n (8+8')
=+1
uod damit
I2
=c'.
1st cos2n1!+9cos2nI!+'=+l, so findet man auf
gleichc Wcise, dafs die Intensitst ein Minimum wird,
uud gleicb Null. Fuhrt man nun diese Construction aus,
so wird man sehen, dafs die Punkte, wo la
= c2 oder
Null ist, sich auf Linien syinmetrisch ordneu, die parallel wit und senkrecht auf der Linie sind, die den, von
den Projectionen der gleichgewandten Enden der optischeu Aren eingeschlossenen Winkel, halbirt, und m a r
-
555
so, d a b auf jeder dieser Linien abwechselnd ein Maxi-
mum und ein Minimum liege Icb wihle also wie friiher
diese Linien zu Axen der rechtwinklichen Coordinaten,
wodurch man wieder a,uf die Ausdriicke (37) kommt.
Setzt man in der ersten dieser Gleichungen r=Q
und lafst I9 bis 4+4 zunehmeu, so wichst y zu
1
y= 4Q’ cos 22; i.
Nimmt man nun diesen Zuwachs von y, der 9. auf der
Coordinatenaxe y um wachsen Ilfst, zur Einbeit der
x und y, so reduciren sich die Formeln (37) auf folgende
einfache Ausdrlicke:
V-3-1
9. =iy+ t lang22: O x-r = y+ 4
a
a
4’=ty
4
-ftang22 ao x-r= 2 y-
-a’=$tang 22;
0
V5-1
4x-r
(44)
v2-1
x =4
6+4’+y--2r.
Es wird im Folgenden nutzlich, e als eine Function
von 3-19’ ausgedruckt zu haben; macht man 9--9.’=k,
so wird x=-
2k
v5-
1’
und man erhalt dann
n
2 n 9.= -y
2
+n k -2 n r
n
2n9.’= -y-nk-2lcr.
2
2 n (8-8’)
=2 n k, 2 n (4+ 8’)
=ny
- 4 n r.
Substitnirt man diese Werthe in den Intensitatsformeln (43), so findet man
c2
Iz=[1* t c o s
2
2 n k=j=acos( ny -4 n r )
-cos IC k cos (-n2 y -2 n r ) 1,
wo die obern Zeichen fur die Intensitat
(45)’
A, die untern
556
fiir R gclteu. M a c h inau in dieser Gleichung k constant, so erhalt man die Inteusit%t aul einer Linie parallel dcr .4xe y. Man siebt, dafs die Intensitlt auf jeder
solcher Linie periodiscben Veriinderungen unterrvorfen
ist, so dds fur die Ordinaten y uud y t d dieselbe Intensit:it statlfindet. Giebt man dagegen t eiueu constanten Werth, so sieht man, dafs die Intensitiit auf jeder
Liuie parallel der Axe x auch solche periodische Verauderungeu zeigt, und zwar so, d a t fur k = n uud k=n+Z
dicsclhe Intensitat wiederkehrt.
L)cr Kiirze willen wolleu wir annehinen - was bei
deli v o n mir angewandten Kristallpla~tenuahe dcr Fall
ist
- dafs.r=-,
2 n t l
2
was der Untersuchuug nichts von
ihrer Allgemeinbeit raubt , sondern im Grunde iiur eiue
Verriickung des Anfangspunktes der Coordinaten ist. Man
iindct unler dieser Voranssetzung
- 22-[
1?- C2 1=k$
cos 2 nkq=t cos ny t c o s z k
-
7z
cos -y]
(46)
2
Sctzt inan das Differenzial dieser Glcichung in Bezrig auf y gleicli Null, so fiudet inan die Coordinate y
aller Puulitc parallel der Axe y, TVO die Intensitit ein
Maxiinum oder Miniinuni ist. Man findet fur die obereii
Zeichcn, oder ftir das Bild .4
n
. n
5%
cosn k sir1 -y - s l i t -y cos I
y =0,
2
2
2
uud folglich
sriiZ;y=O
, n
und
c o s -r Ly = c o s z k .
2
Die erste dieser Wurzeln ist von k unabhzogig;
wir werdeu die datlurch bestinnten Maxima oder Miiiiiiia, die fur jeden Wertli vou k, dieselbe Entfernong
von der hxc .v behalten, Maxiiiia oder RIiuima erster
Klasse nennen. Man hat fur diese
y=2n,
w o n n jcde gauze Zabl oder Null bedeutet.
557
Die zweite Wurzcl ist cine Function von k, und
giebt
y= d n&2 k;
diese Pnnktc, die wir Maxima oder Minima zweiter Klassc
nennen wollen, versndcrn also ihre Lage gegen die Axe
8 fur verscliicdeue W e r t h e von k.
Auf dieselbe Weise iindct nian fiir die Intensitst B,
oder wenn die uirtercn Zeiclien iingewandt werden, fur
Maxima odcr Minima erster Klassc
y=2n,
und fur Maxima odcr Minima zmeiter Klasse
y =4 n +2 -C 2 k.
Allc Maxim oder Minima erster Klasse habcii also
fur die Bilder A und B gleiche Lage. Die Maxima odcr
Minima zrveiler Klasse sind fiir das Bild A allu Maxim,
uud fiir das ltild B alle Minima der Intensitat, voii wetchcn zn-ei iinwcr, wenn y = 2 n wird, zii einein Maxiinuiri odor Minimum erster Klasse zusammeufallcii.
Uni diese 1atensit:itsvcrandcrungcn anscbaulich zu rimclien, bctrachte ich y als die hbscisse einer Curve, deren Ordiiiaten der jedein Wcrthe von y entspreclicndcn
Intensitgt glcich sind, in Theilcn von c oder voii c l w Intensitat dcs Einfallslichtes ausgedruckt. Auf diem Wcise
habe ich nach der Forrnel (46) die in Fig. 20-24 Taf.
V vorgestellten Intensitiitsciirvcu fur verschicdcnc? W c r the von k construirt. Die punktirtcn Crirven entsprcchcn
der Intensitat B, die gnnz ausgezogenen der Inlensitst
A. Man siclit, daG der charaktcrisirende Unterscliied
zwischcn drn I W h m ,4 uiid B der ist, dafs parallel cler
Axe y die Liclitintensitat in der Nabe seines Maximums
beinabe constant ist fur sehr verschiedcne Wertlic voii
y, wogegen sie in der Nihc seines Minilnuins grscliwind
ab- und zunimoit; fur I3 findet das Umgekelirtc statt.
Mit andern W o r t e n , in dem BiIde A sind auf jrdcr I i nie, die das Bild parallel der Axe y,durclischneidct, die
hcllen Stellen breiter als die danklen, fur das Uild E
dagegeu sind die dunkleii Stellen lnehr vorherrschcnd als
558
die hellen.
Nur far k=*- 2n+1
2
sind in beiden Bil-
dern die hellen und dunklen Stellen gleich breit, und
da zugleich die Intensitatsveranderungen auf diese Linien
verhaltnifsmafsig klein sind, so scheiut C R , als wiire das
Bild auf diesen Stellen
9.- 9’=+ 2 n + 1 ) von Li-
2
nien von beinahe constanter Intensitlt, gleicli der dnraiif
herrschenden mittlern Insensillt gcz fiir A, rind $c2 fur
B , durchgeschnitten. In dem Bild A Fig. 18 Taf. V
ist dieses besonders augenBillig.
Setzt man das Differenzial der Gleichung (46) in
Bezug auf k gleicli Null, so findet man auf gleiche Weise
wie oben, dafs die Intensitst A, auf jeder Linie parallel der Axe x , zwischen den Grsnzen k = 2 n und k
=2n+2
(wo n jede ganze Zalil ist), wenn y nicht
cine gerade ganze Zahl ist, zwei Minima zweiter Klasse
fur die Abscissen k=2c/+I*$y
hat, und die Intensitst B unter derselben Bedingung zwei Maxima zwciler
Klasse fur die Abscissen k=29*;y.
Aufserdem hat die
Intensitlt A zwischeii denselben GrInzen drei Maxima,
und B drei Minima erster Klasse fur die Abscisscn k = 2 n
urid = 2 n + l
ond = 2 n + 2 ; von welchen fur A. das
erste und letzte, wenn y ein ungerades, das mittlcre, wenn
y cin gerades Multiplum von 2 ist, mit zwei Minima zweiter Klasse zusammenfallen, und vereint ein Minimum erster Klasse bildeo. F u r B dagegen wird das mitllere
Miniinum, wenn y ein ungerades, das erste und letzte,
wenn y ein gerades Multiplum von 2 ist, mit zwei Max i m zweiter Klasse zusammenfallen, und vereint eiu Maximum erster Klasse bilden.
Nimmt man-k als Abscise, und die jedein Werthe
von k entsprechende Inteusitat als Ordinate einer Curve
a n , so findet man fiir verschiedene Werthe von y die
Fig. 25 -29 Taf. V construirten Intensitatscurven. Man
sieht, dafs mch parallel der Axe x die hellen und duiiklen
559
Stellen der Bilder A und R gleiche Lage haben, und
dafs der charakteristische Unterschied zwischen beiden
Bildern in dieser Richtung ist, dafs fur A die dunklen
Stellen breiter als die hellen, fur
umgekehrt, die hellen breiter als die dunkien sind. Nur wenn y eine ganze
ungerade Zahl ist, werden beide gleich breit, und da in
diesem Falle die Intensitatsverlnderungen zwischen ziemlich enge Granzen eingeschlossen sind, wird das Bild
auch in dieser Richtung ( 8 + 9 / =2 nT+-1 2 r
) von Li-
nien von der mittleren Intensitat %c' fiir A, und %cafur
B, durchgeschnitten erscheinen.
Sucht inan die Gleichung der Linien, die alle Maxima oder hliuima zweiter Klasse verbindet, so findet
inan fur die Maxima
y=4n=!=(l6-
l ) ~ ,
und fur die Minima
y =d n+ 2 - C ( E - 1 ) z.
Diefs sind die Gleichungen zweier geradcn Lioien,
die mit der Axe der Abscissen einen Winkel von 224'
und lf30U-22$ hilden, also die eine senkrecht arif dem
Hauptschnitt des ersten, die andere auf dem des zweiteu
Kristalls ist. Und so komint man wieder auf die Gleichuugen i3=const und 9.' =const zuriick.
Die Intensittitsveranderungen auf diesen Linien sind
durch die Gleichangen
CZ
P=--(l+cos*nk)
2
fur A.
und
CZ
'
1 = -(1 -cosZnk) fir B
2
ausgedrtiekt, sind also zwischen den Granzen c2 und tc*
fiir A,
und 0 fur B eingeschlossen.
Ic'
n
Setzt man in der Forniel (30) 5 ~ = 2 n ~ + 2 2 ~ ~ ,
so erhalt man
560
(cos 2 n9?-cos 2 m 8)q=;sin 2 n 8 S i I 2 2 76 8'3. (1 7)
Ich bezeichne die durcli das oberc Zeiclicn (
+Go) ausgedriicktc IntcnsitRt durcli C, die aiiclerc? (tp
--45O)
durch d. Setzt man ferner in derselben For-
[I-;
-
me1 9 = ( 2 n + l ) - -
lz
4
t 2 2 4 O , so h d e t man
[l+ (cos 2 niY-cos 2 m 8)q=t sin2 m 9 s i n 2 ~IY']. (18)
Bezeichnet inan hier die durcli das obere Zcichcii
ausgedriickte Intensitat durch D , dic andcre durcli C,
so sieht man, dafs c rind C, D und d coinpleinentnr sintl.
Driickt man wie oben 9. und 13.' als Functionen
vuu y und k aus, so findet uian BUS der Forinel (47)
fur die Intensitgteu
und d
c
VerrIickt man den Anfangspunk t dcr Coorlliaa~cn
durch Substitution von y + l statt y , und k+$ statt lI,
so verwandelt sich obenstehender Ausdruck fiir die Intensittit in folgenden
I2 =
T
L
2
-
1-C cos 2 n k=i=tcos ( ICY 4 nr)
-y-276r
(50)
(1
11
Da dicser Ausdruck mit dem Ausdruck fur die In-cosnkcos
tensitat bei (45) identisch ist, so ist C = A uiid d = R .
Die Bilder haben also in beiden Fallen gleiches hussehcp, und unterscheiden sich nur dadurch von einander,
d a t eine von dein betrachtenden Auee arif die OberflB.
che des Kristalls gefallte Senkrecbte, die Bilder C und
d in einem andern Punkt als die Bilder A und h' trifft.
I.) a
561
Da die Bilder c und D zu C und dcomplementar
sind, so ist das Aussehen derselben bekannt, wenn man
das der letzteren kennt, und bedarf folglich keiner eigenen Untersucbung.
Die allgemeine Intensitats-Fonnel (I) kann auch
dazu dienen, die Erscheinungen zu bestinimen, die eine
einzige Kristallplatte zeigt , wenn das einfallende Licht
elliptisch oder circular polarisirt ist, und linear analysirt
wird, oder geradlinig polarisirt einfallt, und elliptisch
oder circular analysirt wird. Man darf nur im ersten
Falle annehmen, entwedcr, dafs der Gangunterschied der
gewghnlich und ungewthlich gebrochenen Strahlen im
ersten Kristall constant ist, und zwar eiii ungerades Vielfaches von Viertel-Wellenlangen, oder, dafs der Winkel
zwiscben der Schwingungsebene der Einfallsstrahlen und
dem Hauptschnitt des ersten Kristalls 45O ist, und der
Gangunterscbied verhderlich, aber fiir alle Strahlen derselbe sey. Im zweiten Falle macht man dagegen fur den
zweiten Kristall diese hnnahme.
Die Intensitstsforme1 (I) 18kt sich auch so schreiben
+cos 2 ( u +cp ) sin2 cp' sin 2 ly cos 2 m 8'
-sin 2 ( a+rp ) cos 2 cp'sin 2 ly cos 2 ma
>
+sin 2 ( a+ y sin 2 cp' [cos2y cos 2 n (9.+ 9.')
sin2 $0cos 2 It(9.- a)]1.
(51)
2n+l
Macht man nun in diesem Ausdrucke a=-
-
4
'
so erhtilt man
C=
=[ 1+cos 2 ( a +y ) cos 2 ~ ' C O 2S
2
+cos 2 ( a +cp ) sin 2 cp' sin 2q cos2 m 8'
q=sin 2 ( a+cp > sin 2 $sin 2 7z 9.' 1,
(52)
oder i,2 u. s. w.,
wo das obere Zeichen gilt, wenn
J'
das untere, wenn
&=a,
f,
Poggend. Ann. Ergbnzungsbd. 1.
:1
u. s. w. ist.
Setzt mau
36
562
y , oder den Winkel zwischen der Schwingungsebene
des Einfallslichtes und dem Haaptschnitte des ersten Kristalls gleich 90°-P, so ist ~=cr+rp'+a-90°,
und
die Formel (52) wird
a+
+cos 2psin 2 #sin 2 ( a +
y'+P) cos2 7c8
sin 2 p sin 2 y1sin 2 n 8'3,
(53)
welcher Ausdruck wit der Formel identisch ist, welche
Ai ry (Pogg. Ann. XXIII S. 228) augiebt, fur elliptischc
Polarisation und lineare Analyse, und wozii er auf einem
ganz verschiedenen Wege gekommen ist, narnlich durcli
Betrachtung der totalen Reflexion in F r e s n e l s Parallelepiped.
Da p in Airy's Formel den Winkel bezeichnet,
den die Schwingungsebene der einfallenden Strahlen mit
der Ebene der inneren Reflexionen im Glasparallelepiped
bildet, so sieht man, dafs dieser W'inkel, den Winkel
zwischen der Schwingungsebene der Eiufallsstralileu iind
dem Hanptschnitt des ersten Kristalls zu 90° crganzen
mufs, wenn beide Vorrichtungen dosselbe Resultat geben
sollen ; oder der Hanptschnitt des ersteii Kristallblatts
lnufs auf der Reflexionsebene des Parallelepipeds senkrecht stehen.
Macht man in dem AuEdruck (53) P=O od. =goo,
so kommt man wieder aiif die Formel (It) fur lineare
Polarisation und Analyse; die aus drm ersten Kristall
tretenden Strahlen siud liuear polarisirt uiid zwar parallel der Schwingnngsebene der Einfal1sstr;ihIen. Setzt man
p=45O, also cos2P=O, so findet man die Intensitst
fur circulare. Polarisation und Analyse
C=
Ja=-( 1
sin 2 y ' s h 2 7c 8.').
(54)
2
1st P=135O, so erhslt man den complementaren Ausdruck.
Setzt inan den Gangunterschied im zweiten Kristall
constant, und gleich einem ungeraden Vielfachcn vbn ci-
563
ner VierteIwelIe, so findet man durch Substitution in der
Formel (51), da q=cp’-cp
Jz
cz .
=-[
1 -cos 2 ( a+ c p ) cos 2 cp’cos2
2
-sin 2 ( a +
~ s i n (2a +
(TI--
y)
‘p) cos 2 y’sin2( 9’- 9)cos 2928
(p) sin 2 (p’sin2n93,
wo das obere Zeicben fur
tY==-,
4n+l
4
(55)
das untere fur
Macht man hierin (p’=O oder =goo, so erbalt man
dieselbe Formel als fiir lineare Polarisation und Analyse.
Fur circulare Analyse findet man, wenn man y1=450,
also cos2rp’=O, sin29’=1 setzt
C2
[ l ~ s z ’ n 2 ( a + y ) s i n 2 ~ 8 ] ; (56)
-2
fur cp =135O erhiilt nian den complementaren Ausdruck.
Fur jeden anderen Werlh von (p druckt die Formel ( 5 5 ) die Intensitat der in dns Aiige konimenden Strahlen aus, fur lineare Polarisation und elliptische Analyse.
JZ--
Bildet der Hauptschnift des ersten Kristalls einen
Winkel von 45O mit der Schwiugungsebene der einfallenden Strahlen, so werden die aus dem ersten Kristall tretenden Strahlen linear, circular oder alliptisch polarisirt
seyn, je nacli der GrBfse des Gangunterschiedes der Strahlen uiid Kristallblatte. M a c h mail nun in der Formel
( 5 1 ) c ~ + 9 7 = 4 5 ~ oder 135O, und nimmt inan an, dafs
9. fur alle einfallenden Strahlen constant ist und gleich
k, so erhzlt man, da t,9=y’+ar-45°
oder =#+a
-135’
+sin2 (p’ [sin2 (a+
(p) cos 2 n kcos 2 n 8
=
sin 2 ni
k sin 291a’)] 1,
(57)
wo das obere Zeichen fiir a+rg=45O,
das untere fur
36 *
564
n + ~ p = 1 3 5 ~ angewandt werden mufs. Diese Formel
findet z. B. ihre Anwendung auf die von H. W. D o v e
beschriebenen Depolarisations-Erscheinungen (Pogg. Ann.
XXXV) wo der Gangunterschied im ersten Kristall durch
Compression, Erwarmung oder Abkiihlung zum Variiren
gebracht wird, und die Licbtschwingungen dadurch jeden
Grad yon Ellipticitat, von der geraden Linie an bis zum
Kreise annehmen miissen.
1) Sctzt man in (57) k gleich cine ganze Zahl =n,
so wird
J2
ca
=[ 1 +cos
2
+v')
2 y' cos 2 (a
+sin2 y'sin 2 (a+ y') cos 272 8'1.
Die vom ersten Kristall austretenden Strahlen sind also
linear polarisirt, und die Schwingungen senkrecht auf der
Schwingungsrichtung des einfallenden Lichtes.
2) Fur k=n+i
erhlilt man den complementaren
Ausdruck ; die Strahlen sind also wieder linear polarisirt,
aber die Schwingungsrichtimg steht senkrccht auf der vorigen.
oder =n+;,
so sind die voiii
3) 1st k=n+;
ersten Kristall ausfabrenden Stralilen circular polarisirt,
und die Formel (57) wird dann, fiir k=n+:,
wit dem
husdruck bei (5.1), und fiir k=n+$,
mit dem Ausdruck bei (55) identisch. Da diese Ausdriicke complementar sind, so ist die kreisende Scliwiogungsriclitungi~
der Aethermolekiile in beiden Rillen entgegengesetzt.
Kinimt man an, daCs dcr Gangunterschied im zweiten Kristall constant ist fiir allc einfallenden Strahlen,
uud bildet dcr Hauptschnitt dieses Kristalls 45O mit der
Schwingungscbcne des zweiten Nichols, ist also 97'=45O
oder 135O, so giebt die Formel ( 5 1 ) die Intensitiit der
in das Auge koinmcnden Strahlen, wenn linear polarisirfes Eiofallslicht elliptisch oder circular analysirt wird.
Selzt man nun 8 ' = k , so erhalt man, da y=y'-y
4fi0 y odcr =L35O -9 ,
- -
565
CZ
P =[ 1+cos
2
2 sp cos2 ( a+ sp )cos 2 n k
+sin2 (a+
(p) (sin 2 'p cos 2 m k cos 2 n 9.
=
sin 2 n ki
sin 2 n a)].
(55)
(unW i r d in diesem Ausdruck k = n oder
ter n wieder eine ganze Zahl verstanden), so ist das
Licht linear analysirt, und die Intensitat, die fiir k=n
stattfindet, geht fur k=n+t in die complementare iiber.
1st k = n + t
oder =IL+:,
so wird das Liclrt circular analysirt ; die Schwingungsbewegung geschieht in
beiden FHllen in entgegeugesetzter Richtnng, die Erscheinuogen siud daher complemcntar, und der Ausdruck fiir
.
die Intensitgt ist gleich dem Ausdruck bei (66).
II. Ueber die Elektrolyse sekuncth'rer f i r h h l u n gen; von J.F. B a n i e l l .
(Ausrug aus der vom Verfasser mitgetheilten Abliandlung in den Phil.
Transact. 1839, pt. I. pag. 97).
w e n n Wasser in einem Elektrolyt vorhanden ist, so
wird es wahrscheinlich imlner durch den galvanischen
Stroin zersetzt ; alleiu aiidererseits weirs inan sclron durch
die Versuche von D a v y , dais weiin das Wasser Salze
enthilt, selbst in der geriugsten Mengc, auch diese in
ihre entferntcren oder nlhern Bestandtheilc zerfiillt wcrden. Es scheint jedoch noch iiicht untersucht worden ZII
seyn , o b diese gleicbzeitigen Zersetzungen iu Beziehung
zu eiuander stehcn. Dick zu ermitteh, ist der Zweck
der folgenden Untersuchung.
Es diente dazu eine Batterie von der vom Verf. erfundenen Construction, bestehend BUS 30 Zellen von 6
Zoll H6he. In den Kreis dieser Batterie wurde eine Zersetzungszelle von folgender Einrichtung eingeschaltet. Ein
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