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Analysis und Physik.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 47, Heft 2/3, 1990, S. 259-262
J. A. Barth, Leipzig
Analysis und Physik
Von A. WEHRL
Institut fur Theoretische Physik
Universitiit Wien, Wien, (Isterreicb
gewidmet Prof. A . Uhlmann zum 60. Geburhtag
Inhaltsubersicht. Es wird ein kurzer AbriB uber die Wechselwirkung von Analysis und
Physik prasentiert, beginnend vom Jahre 7000 v. u.Z. uber Euklid, Archimedes, Leibniz, Newton
bis zu modernen Entwicklungen (Sobolew-Ungleichungen,Nicht-Standard-Analysis).
Analysis and Physics
Abstract. A short survey on the interaction between mathematics and physics is presented,
starting from 7000 B.C. and leading over Euklid, Archimedes, Leibniz, Newton to modern develop ments such as Sobolew inequalities or non-standard analysis.
Analysis und Physik haben einander die langste Zeit immer gegenseitig befruchtet.
Erst seit etwa 25 Jahren ist es allerorten moglich, ein Mathematikstudium zu absolvieren, ohne auch nur eine einzige Physikvorlesung gehort zu haben.
Der Beginn der Analysis wird ublicherweise - und sicher weitgehend zu Recht mit den Namen Leibniz und Newton verbunden. Aber werfen wir zunachst einen ganz
kurzen Blick in die Friihzeit.
Man kann die Entwicklung der Mathematik bis etwa 7000 v. u.Z. zuriickdatieren
(Agypten, Zweistromland, Indien, wohl auch Arabien). I n Mitteleuropa, meint man,
bis etwa 2000 v. u. Z., aber es finden sich Hinwejse auf vie1 friihere Perioden.
In der Antike sind - neben vielen anderen - Thales von Milet, Pythagoras, Eudoxus, Aristarch und vor allem Euklid zu erwahnen. Die Reweise waren durchweg geometrischer Natur.
Archimedes nimmt - neben Euklid - nach meiner Auffassung eine Sonderstellung
ein. Ein Beispiel : der Flacheninhalt eines Parabelsegments (der beriihmte Faktor 2/3,
heute kinderleicht zu zeigen, aber das Originalargument ist ganz raffiniert). Auch seine
Untersuchungen iiber Kreis und Kugel sind iiberaus erwahnenswert. Oder (und darauf
werde ich noch zuriickkommen) das beruhmte, scheinbar vollig triviale ,,ArchimedesPostulat". (Man sollte in diesem Zusammenhang aber auch nicht einen Zeitgenossen
vori Archimedes, Apollonius von Perge, vergessen.)
Die Romer haben zur Forderung der Mathematik iiberhanpt nichts beigetragen, und
es ist sehr vieles verlorengegangen. Spater wurde in Europa die Mathematik lange Zeit
als mit dem Teufel im Bunde stehende Wissenschaft betrachtet. Erst im 16. Jahrhundert
kann von einer Verbesserung des wissenschaftlichen Niveaus die Rede sein. Insbesondere
seien hier die Trigonometer (Feuerbach, Regiomontanus) und die Algebraiker (,,Cossisten") wie z.B. Stifel genannt. Naturlich mu13 auch Adam Riese erwahnt werden, so-
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wie Tartaglia, von dem die gemeinhin Cardano zugeschriebene Formel fur die Losung
einer Gleichung 3. Grades stammt, und Vieta. Die Losung einer Gleichung 4. Grades
stammt von Ferrari, weiter geht es in gewissem Sinne nicht (Galois).
Es ist hier nicht die Zeit und nicht die Gelegenheit, alle wesentlichen Beitrage zu der
nun rasch aufbliihenden mathematischen Wissenschaft anzufiihren ; machen wir deshalb
gleich einen Sprung zu Leibniz und Newton.
Newton h& wohl noch sehr vie1 geometrisch gedacht (man denke an das als ,,Denksportaufgabe" gestellte Problem der Brachystochrone, das bekanntlich eine Zykloide
ergibt - dies hat Newton binnen 3 Stunden auf geometrischem Wege gelost). I n der
Physik ist Newton allgegenwartig. Die Zeitableitung einer GroBe f wird praktisch immer
mit seinem Symbol f bezeichnet. Vor allem aber sind es seine 3 Axiome (die z.T. auf
Galilei zuruckgehen), mit denen jeder Physikstudent konfrontiert ist, sowie das Gravitationsgesetz (beruhmt ist das ,,Apfel-Beispiel").
Eines der Paradebeispiele in einfuhrenden Mechanikvorlesungen sind die (zunachst
empirisch gefundenen) Keplerschen Gesetze. Was das Problem so schon analytisch losbar
macht, ist die Existenz einer weiteren ErhaltungsgroBe (neben Energie und Drehimpuls),
deren Entdeckung Laplace zugeschrieben wird und die jetzt meist Runge-Lenz-Vektor
genannt wird. Man hat es hier mit einer dynamischen O(4)-Symmetrie zu tun (O(4) =
O(3) x O(3))Die Fresnelsche Beugungstheorie bedeutete wohl einen gro5en Schritt in bezug auf
die Vertiefung der Beziehungen zwischen Analysis und Physik.
Die Maxwellschen Gleichungen der Elektrodynamik (4 gekoppelte Differentialgleichungen) bildeten ebenfalls eine grol3e Herausforderung fur die Mathematik. Physikalisch
waren sie ja eine der Voraussetzungen fur die spezielle Relativitatstheorie, die die Newtonsche Auffassung von Raum und Zeit drastisch revidiert hat.
I n der Statistischen Mechanik stellt die Boltzmann-Gleichung (eine nichtlineare
Integro-Differentialgleichung) ein Problem dar, an dem man sich auch heute noch die
Zahne ausbeibt. Nichtlineare Gleichungen, deren es in der Physik viele gibt, bilden
uberhaupt eine groBe Herausforderung. Wohl sind viele Phanomene bekannt (u.a. Bifurkationen oder Nichteindeutigkeit von Losungen), aber eine allgemeine Theorie scheint
noch in weiter Perne zu liegen (Ausspruch von Dieudonne bei seinem Vortrag in Wien).
Selbst ganz einfache Gleichungen konnen unuberwindliche Schwierigkeiten machen. In
diesem Zusammenhang eine Bemerkung: es herrscht oft die Attitude, daB, wenn ein
Problem nicht analytisch losbar ist bzw. man auch keine brauchbaren Abschatzungen
erhalt, so gibt man es zum Computer. Dies kann u.U. schwer ins Auge gehen.
Die neuzeitliche Entwicklung in der Physik ist durch einen Paukenschlag (1925,1926)
gekennzeichnet : die ,,Alte Quantentheorie" von N. Bohr (klassische Mechanik mit aufgepfropften Quantenbedingungen) wurde durch die Quantenmechanik (Wellenmechanik,
seinerzeit auch ,,Matrizenmechanik" genannt) von Heisenberg und Schrodinger abgelost
- eine Theorie, welche his heute ihre Giiltigkeit hat (und sie wohl nie verlieren wird).
J. v. Neumann gab der Theorie die rechte mathematische Fassung (Hilbertraummethoden und uberhaupt funktionalanalytische Methoden. - ,,Ein Funktionalanalytiker ist
zuvorderst ein Analytiker und keine entartete Spezies von Topologist." (Einar Hille)).
An die Stelle der klassischen Observablen treten selbstadjungierte Operatoren in einem
komplexen Hilbertraum.
Eine Konsequenz ist die Heisenbergsche Unscharferelation. Selten ist noch eine Beziehung (aus der modernen Physik) dermaBen miherstanden worden wie diese. Wenngleich das Wasserstoff-Atom (als einziges) exakt losbar ist, so liefert die Heisenbergsche
Unschiirferelation an sich absolut keinen Beweis fur die Existenz eines Grundzustandes
(obgleich dies in jeder Menge von Standard-Lehrbiichern so behauptet wird), man benotigt vielmehr Sobolev-Ungleichungen.
Sobolev-Ungleichungen (in modifizierter Form wegen der Teilchenidentitat) spielen
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eine wichtige Rolle beim Beweis der Stabilitat der Materie. Der ursprungliche Beweis
durch Dyson und Lenard [ l ] lieferte zwar fur Fermionen die Existenz eines Grundzustandes proportional zur Teilchenzahl, bloB um einen Faktor 1015 zu schlecht (kein Wunder, in den ziemlich langen Abschatzungen handelt man sich pro Seite einen Faktor 2
ein). Lieb und Thirring [2] konnten dies auf ein wohl auch nicht vollig optimales, doch
durchaus befriedigendes Ma13 herabdrucken.
Die fur e i n Atom relevante Soholew-Ungleichung ist (fur die kinetische Energie)
y
=
l2
Wellenfunktion, e,+,(x)= Iy(x) und
(
r3
IC, = 3 -
= 5,47
.. . (bestmogliche Kon-
stante).
Im Falle eines Systems von Fermionen lautet die - modifizierte - Sobolew-Ungleichung
T, 2 ( 4 ~ p ) - ' / ~K C
Q , ( z ) ~ / ~d3'%
(q = Zahl der Spineinstellungen, in der Praxis = 2),
(Hier ist die Konstante nicht die bestmogliche.)
Fur grol3e Atome der Molekiile kommt die Thomas-Fermi-Theorie [3] zum Tragen,
welche asymptotisch korrekt ist. Sie kann zwar nicht alle Peinheiten liisen (wie z.B.
chemische Bindung - Teller's no binding theorem), gibt aber doch ein gutes Bild der
Verhaltnisse. Die rigorose Behandlung der Thomas-Fermi-Theorie ist durchaus schwierig,
neben Sobolew-UngIeichungenbenotigt man z. H. die Theorie der subharmonischen Funktionen [3].
AbschlieBend miichte ich auf zwei Entwicklungen zu sprechen kommen, die erst so
etwa in den letzten 20 Jahren richtig zum Tragen gekommen sind (wenngleich wichtige
Vorarbeiten bereits vor dem Krieg geleistet worden sind) :
Die eine betrifft das chaotische Verhalten dynamischer Systeme. Hier gibt es zwei
Zugange : einmal uber die Mischungseigenschaften und zum anderen kommen typische
Eigenschaften nichtlinearer Differentialgleichungen zum Tragen, insbesondere die sensitive Abhangigkeit von den Anfangsbedingungen und das damit verbunderie meist exponentielle Auseinanderstreben von Losungen. Die Theorie ist teilweise noch in den Kinderschuhen ; es werden weitgehend Computerstudien gemacht. Merkwurdigerweise
scheinen sich Quantensysteme weniger chaotisch zu verhalten als klassische.
Die andere Entwicklung betrifft die Nicht-Standard-Analysis. Die Grundidee ist
einfach: man erweitert die reelle Zahlengerade R zu *R:= R N / U ( U = f r e i e s Ultrafilter, also eines, das keine endliche Menge enthalt) - d. h., zwei Folgen a,, b, sind aquivalent, wenn
VE
> 0 {nE N : la,
- b,
I < E} E U .
Das hat zur Folge, da13 es verschiedene Arten von Nullen gibt
1
((+) + (2)
+ {0}) .
*R (und damit komme ich wieder auf den Anfang zuruck) ist nicht Archimedisch geordnet. Aussagen, die in R gelten, lassen sich i. allg. auf *R iibertragen (Transfer-Prinzip),
die Umkehrung gilt nicht unbedingt [4].
Ich zitiere Anderson [5] : ,,Auf den Gebieten der Funktionalanalysis, Storungstheorie,
Mathematischen Physik, Potentialtheorie, Mathematischen Okonometrie und Wahrscheinlichkeitstheorie hat die Nicht-Standard-Analysis zu neuen Standardtheoremen
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gefiihrt. Ein Metatheorem garantiert, daS jedes S t andard-Theorem, das mit NichtStandard-Methoden beweisbar ist, auch einen Standard-Beweis hat. Dies ist wichtig :
Jeder Satz mit einem Nicht-Standard-Beweis folgt aus den gewohnlichen Axiomen der
Analysis. Der dazugehorige Standard-Beweiskann aber viel komplizierter, viel langer und
und auch iiber die MaSen unintuitiv sein."
Man darf dieses Zitat von Anderson aber nicht so verstehen, daS jedes ,,eigentliche"
Nicht-Standard-Theorem eine Ubertragung in die Standard-Welt hatte.
Nicht-Standard-Analysis mag zunachst einen esoterischen Eindruck erwecken. Indessen hat sie sich in der Mathematischen Physik als Liberdies brauchbares Konzept erwiesen, mit erfolgreichen Anwendungen bei der Boltzmann-Gleichung, Brownschen
Bewegung und bei vielen anderen Problemen [4].
Analysis ist nichts Starres.
Literaturverzeichnis
[l] DYSON,
F. J.; IJCNARD,
A.: J. Math. Phys. 8 (1967) 423 und J. Math. Phys. 9 (1968) 698.
[2] LIEB, E. H.; THIRRING,
W.: Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 687 und Phys. Rev. Lett. 36 (1975) 1116.
[3] LIEB,E. H.: Rev. Mod. Phys. 53 (1981) 603.
[4] ALBEVERIO,
s.; HBEOH-KROHN,R. ; FENSTAD,
J. E.; LINDSTRBM, T. : Nonstandard Methods in
Stochastic Analysis and Mathematical Physics. New York: Academic Press 1986.
[5] ANDERSON,
R. IN.:Israel J. Math. 25 (1976) 15.
Weitere Literatur:
Berkeley Physics Course. New York: McGraw Hill 1962.
CARLEMAN,
T.: Probli.mes mathkmatiques dans la th6orie cinktiquc des gaz. Uppsala: Almqvist &
Wiksell 1957.
HLAWKA,
Y. : Die Mathematik auf dem Weg durch die Zeit. Osterreichische Mathematische Gesellschaft, Didaktik-Reihe 15 (1987) 88.
Bei der Redaktion eingegangen am 8. Juni 1989.
Anschr. d. Verf.: Prof. A. WEHRL
Institiit fur Theoretische Phyaik
Universitgt Wien
A-1090 Wien
Boltzmanngasse 5
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