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Analytische Darstellung der photographischen Schwrzungsfunktion mit Hilfe von Matrixfunktionen.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 27, Heft 1,1971, S. 126-128
J. A. Barth, Leipzig
Analytische Darstellung der photographischen
Schwarzungsfunktion mit Hilfe von Matrixfunktionen
Von E. GERTH
Zur Aufstellung einer analytischen Beziehung fur den Zusammenhang zwischen der Belichtung und der bei der Entwicklung hervortretenden Schwarzung
einer photographischen Schicht wird davon ausgegangen, daR der Keimaufbau
(und -abbau) im Kristallgitter des Silberhalogenids als eine mehrstufige Kette
kinetischer Reaktionen mit stochastisch bedingten Obergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Stufen (MARKowsche Kette) betrachtet werden kann. Dabei
werden die Hinreaktionen von der Konzentration der infolge des inneren Photoeffektes im Kristallgitter freigesetzten Elektronen bestimmt, wahrend die Ruckreaktionen auf die thermische und chemische Dissoziation sowie die direkte
Einwirkung des Photoeffektes auf die bereits gebildeten Keime zuruckzufiihren
sind [I].
Mit den intensitats- und zeitabhangigen Obergangskoeffizienten ,uZ(E,t ) fur
die Hinreaktionen und v,(E, t ) fur die Ruckreaktionen sowie den Keimkonzentrationen c,(E, t ) lautet die i-te Reaktionsgleichung des homogenen, linearen
Differentialgleichungssystems
Das System kann zu einer Matrizengleichung
ac(E7
__ t, = a(E,t ) c(E, t )
~
at
zusammengefaBt werden, in der c(E, t ) der Spaltenvektor der Keimkonzentrationen und n ( E , t ) die quadratische Koeffizieritenmatrix vom JAcosIschen Typ
ist. Die Intensitat E tritt im allgemeinen als Parameter auf, wenn sie wahrend der
Dauer der Belichtung konstant bleibt ; sie kann aber auch als Zeitfunktion vorgegeben sein. Durch Integration von GL(2) erhalt man mit dem Anfangsvektor c(0) (to = 0 fur Einzelbelichtung im Zeitintervall t -to) die aquivalente
VOLTERRASChe Integralgleichung
t
+ J 9 ( E , t)c ( E ,t)d t ,
c ( E ,t ) = ~ ( 0 )
(3)
0
deren Losung auf iterativem Wege gefunden wird, indem man die NEUMANNsche
Reihe aufstellt.
t
t
9 ( E , t') dt'
t'
+ 0j" 9 ( E , t') 1St ( E ,t") dt"
0
dt'
+ . ..) c (0).
E. GERTH: Analytische Darstellung der photographischen Schwiirzungsfunktion
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Der in G1. (4) enthaltene Klammerfaktor ist die Resolventenmatrix zu G1. ( 3 ) ,
mit deren Hilfe die Losung als eine lineare Transformation des Vektors c(0)
d argest ellt werden kann,
c(E,t ) = W E , t ) c(0).
(5)
Die Transformatiommatrix % ( E ,t ) wird wegen ihrer Abhangigkeit von den
Parametern der Belichtung, der Intensitat E und der Zeit t , als ,,Belichtungsmatrix" bezeichnet.
I m speziellen Fall einer zeitlich konstanten Koeffizientenmatrix (z. B. im
Sattigungsgcbiet der Elektronenkonzentration - siehe [I]) kann die Belichtungsmatrix als Losung e k e s D'ALEMuERTSchen Differentialgleichungssystems
in Gestalt einer Matrix-Exponentialfunktion angegeben werden,
Eine analytische Formulierung der Elemente dieser Matrix gewinnt man durch
die LAPLACE-Transformation. Die LAPLACX-Transformierte %(8) der MatrixExponentialfunktion %(t) = eSit ist gegeben durch die inverse charakteristische
Matrix des D'ALEMUERTschen Systems
CC
=
j" e-@$t ePt dt
=( ~5 ~1-1,
(7)
0
die nach Losung der Eigenwertaufgabe fur jedes Element einzeln in den Originalfunktionenraum zurucktransforniiert werden kann.
Durch Inversion der Transformat>ionsgleichung (6) ist es moglich, von dem
Endzustand auf den Anfangszustand zu schliel3en. Die hierzu benotigte inverse
Belichtungsmatrix %-l(E, t ) folgt ails der ursprunglichen Belichtungsmatrix
B ( E , t ) durch eine Zeitspiegelung,
W ( E ,t ) = B(E,- t ) .
(8)
Mehrfachbelichtungen ergeben sich in der Matrizenschreibweise als Mehrfachtransformationen, wobei die resultierende Transformatiommatrix das Produkt
der Transformationsmatrizen der einzelnen Belichtungen ist. Fur die analytische Beschreibung der photographischen Doppelbelichtungseffekte ist insbesondere die Nichtkommutativitat der Matrizenmultiplikation von Bedeutung.
I n der Vert,auschungsrclation
W E , , t,)
% P I > tl)
-
%(E',, tl) BP2, t J
=
wq,E,, t,, t,)
(9)
ist die Differenzmatrix % ( E l ,E,, t,, t 2 ) im allgemeinen ungleich der Nullmatrix.
Kommutativitat liegt z. B. fiir Belichtungsmatrizen nach GI. (6) vor, wenn
E,
E, ist.
Die Losung der Mat'rix-Differentialgleichung mit nichtkoristanter Koeffizientenmatrix GI. ( 2 ) laSt sich auch durch eine Vielfachtransformation infinitesimaler Belichtungsmatrizen angeben. Naherungslosungen mit endlich vielen
Matrixfaktoren erhalt man durch Reihenansatze nach G1. (4) oder GI. (6) unter
Vernachlassigung der Glieder hoherer Ordnung.
Die Keimkonzentrat,ionen c i besitzen unterschiedliche Entwicklungswahrscheinlichkeiten w , . Experimentelle Befunde [a] lassen den SchluS zu, daS die
Keime erst von der vierten Reakt,ionsstufe an entwickelbar werden. Die fur die
=
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 27, Heft 1
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photographische Schwarzung mal3gebliche Entwicklungskeimkonzentration C
ist das Skalarprodukt aus dem Spaltenvektor der Keimkonzentrationen c und
dem Zeilenvektor der Entwicklungswahrscheinlichkeiten5,
c
= Ec.
(10)
Die mittlere Entwicklungskeimbesetzungszahl B eines Silberhalogenidkorns in
der aus der PoIssoNschen Verteilungsfunktion hergeleiteten SvEDBERGSChen
Schwarzungsformel [3]
S = So(l- e - z )
(11)
( S Schwiirzung, So Sattigungsschwarzung) ergibt sich unter Einbeziehung des
empfindlichen Kornvolumens V und der durch die Beljchtung bewirkten Transformation der Keimzustande zu
Z(E, t ) = VtuB(E,t ) c(0).
(12)
Rerucksichtigt man schlieSlich noch die KorngroSenverteilung o ( a ) (a Radius
der auf Kugelgestalt reduzierten Silberhalogenidkorner, 2 quadratischer Mittelwert der Kornradien) und die Schichtdicke vom Gesamtbetrag xo mit der
schicht,tiefenabhangigen Intensitiitsverteilungsfunktion ~ ( x )so, erhalt man die
folgende Formulierung der Schwarzungsfunktion :
Zur numerischen Auswertung der Schwarzungsfunktion nach G1. (13) sowie zur
Berechnung von Mehrfachbelichtungen wurden Programme fur einen elektronischen Digitalrechner entwickelt. Die Programme sind so eingerichtet, dal3 die
Resolventenmatrix unmittelbar durch Reihenentwicklung nach G1. (6) berechnet wird, so daS kein Eigenwertproblem gelost zu werden braucht. Die Rechnungen erbrachten eine qualitative Obereinstjmmung mit dem Schwarzungsverhalten realer photographischer Schichten - u. a. auch bei mehreren Belichtungseffekten (SCHWARZSCHILD-Effekt, WEINLAND-Effekt, UltrakurzzeitEffekt, HERSCHEL-Effekt, Intermittenz-Effekt).
Literaturverzeichnis
[l] GERTH,E., Z, wiss. Phot. 69 (1965) 1.
[a] GOTTWEISS,L., 2. wiss. Phot. 64 (1970) 57.
[3] SVEDBERO,
T., Phot. J. 5 (1922) 464.
P o t s d a m , Zentralinstjtut fur Astrophysik der Deutschen Akademie der
Wissenschaften, Bereich 11.
Bei der Redaktion eingegangen am 23. Februar 1971.
Anschr. d. Verf.: Dr. E. GERTH,
DAW ZIAP, Bereich 11, Astrophysikalischos Observatorium,
DDR-15 Potsdam, Telegrafenberg
Chefredakteur: Professor Dr. G. R i c h t e r , DDR-1199 Berlin-Adlershof, Rudower Chaussee 5. -4nzeigen Inland:
DEWAG-Werbung Leipzig,DDR-701Leipzig, Briihl34 - 40, Ruf 7 9740. Ausland: Interwerbung GmbH, DDlL-104
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DDR-701 Leipzig, SalomonstraDe 18b, Ruf 25245. Veroffentlicht unter der Lizenz-Sr. 1396 des
Yresseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der DDR
Druck: Paul Dunnhaupt KG, DDR-437 Kiithen (IV/5/1) L 111/71
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