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Analytische und graphische Methoden zur Lsung optischer Interferenzprobleme bei dnnen Schichten.

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AnaIytische und graphische Methoden zur Liisung
optischer Interferenzprobleme bei diinnen Schichten
Von Hubert Poftlack
(Mit 10 Abbildungen)
Inhaltsiibersicht
Nach formaler Beschreibung der Interferenzerscheinungen in dunnen, durchsichtigen, homogenen Schichten wird die Reflexionsforrnel fur Systenie aus einer
beliebigen Anzahl solcher Schichten abgeleitet. Durch Zusammerifassung der
wellenoptischen Daten zu Matrizen wird dabei eine weseiitliche Vereinfachung, sowohl fur die allgeineiiie Losung, als auch fur den speziellen Rechengaug erzielt. Eine
Reihe voii Beispielen zeigt die schematische Aiiwendung der Matrizenrechnuiig
auf praktische Probleme der ,,Optik dunner Schichten". Es folgt die Beschreibung
eines graphischen Verfahrens, mit dessen Hilfe einfache und ubersichtliche Naherungslosungen gefwiden werden konnen. Die Nrauchbarkeit der Methoden wird
beurteilt und die Moglichkeit erortert, beide Verfahren in der Praxis niiteinander
zu verbinden.
I. Einleitiing
Reflexioiisininderung an optischen Glasern, Steigerung der Metallreflexion,
optische Strableuteilung sowie verlustarine Lichtfilteruiig konnen bekanntlich
rnit dunncn, durchsichtigen Schichten erzielt werden, wobei die gewunschten Wirkungen auf die gleiche physikalische Ursache der Lichtinterferenz zuriickzufuhren
sind. Es liegt daher nahe, diese in der bisherigeri Literatur mcist speziell behandelten
Probleme a l l g e mein zu betrachten, urn hieraus genieiiisanie Methoden fur nunicrische Losungen und fur die Errechnung geeigiieter Konstruktionsdateii Z U
gew iiiiien.
Einen iieuartigen uud praktisch gangbaren Weg zu solchen allgenieinen Loaungen deut.et K. S c h u s t e r in einer kurzljch erschieiicnen Arbeit') an, indern
er Beziehungen der in der Elektrotechnik gebriiuchlichen Vierpoltheorie auf die
Wellenoptik duiiner Schichten ubertrtigt. S c h u s t e r weist dsrauf hiii, daD dime
forrnale Angleichung zu neuen Gesichtspunkten fuhrcn kanii und iiiacht, auch
bereits an eiiicm Beispiel auf fuiiktioiielle Zusainmenhange aufmerksam, die in
der bisher uhlichen inathernstischeii Behandlung des Problems iiicht Zuni Ausdruck kamen.
Von diesen Uberlegungen ausgehend, sol1 hicr zunachst die fiir den allgeineiiisten
Fall gultige Reflexionsformel hergeleitet werden, welche I n i t Einfuhrung voii
Koeffizientenmatrizeii und bei Benutzung der fur diese gultigen Rechenregeln in
1) I(.S e h u s t e r , Anwendung der Vierpoltheorie auf die Probleme der optischen Reflexionsmindemg, ReflexionsverstLrkung und der Interferenzfiltcr. Ann. I'hysik (6)
4, 352 (1949).
31 2
Annalen der Physik. G. Folge. Bard 5. 1950
schr eiiifa.chcr Fassuiig gcschriebeii werden karin. Dein Vort,eil der durch ciii
eolches stark sclieniatisierendcs Verfahren erreicht.eii Vereinfachuiig uiid forrnaleii
SlIReiiieiiigiilt,iPlieit steht sllerdiiigs auf dcr aiidereii Seite clcir Nacht,eil eiiies fast
volligen Verziclites auf Anschauliclikeit gegciiiibcr. h l s Ausyleich fur diesen Pllailgel
kaiiri die iii Abschiiitt I11 hergeleitete geoiiietrische N~hcruiigsniethodeaiigeweiidet werdeu : Wie gezeigt wircl, hesteht niimlich in znhlreichen FLlleii die &loglichlieit, beide Verfalireii - das formal-analytische nrid diis aiisehauli.cli-geoit~ctrische - in geeigiieter Weise so miteiriaiider z i i verlriiiipfeii, daB eine ei~ihcitliclic
urid relativ eiiifache Behaiidluiig des Reflexioiisl,rohieins fur bclieliigc! Schichtsystenie erreicht wird.
Hierzu sei vorerst der den Int~erfereiizcrscheiiiuiigei~
diiiiiier Scliichteii genieinsiiuie physikalisclie Tatbestand herausgestellt uitd u~rterL4nlehuugaii die Bct,rxchtungsweise I<. S c h u s t e r s wie folgt formuliert :
Eine h e a r poln,risicrte eliene Lichtwelle der Wcllenliinge loh e i t e sich aus iri
eiiiein unendlich ausgedehnt,eii Medium der Brechz:hl no. Die Welleiifllche crstrecke sicli parallel zur p E b e n e eiues rccht\nrinkligen Iioordinatt:risysteins, die
FortDfIaiizizurigsricht,uiig sei die der positiveii x-ilehsc ; iiber die La,ge ctes Nullpunkt.es wircl nichts T-orausgesetzt. Dmn ist das elektroma~iiet,ischeFeld in jecleiii
Raimq~iinlitcharakt,erisiert, durch die beiden Fcldvektorcii (Yo)uiid
und cs
he Vektor in die y-Riclitung fiillt:
gilt init der Festset,zuiig, da13 der clekt
j (p1 = E""
1
j @(O)
Urid da
aus d c n
1 = H!'.
Maxwellscheii Gleichuiigeii folgt:
Q ( 0 ) = n, (el x P),
woriii
C,
deli Eiiihcitsvektor der x-Achse (Fort~~flaiizuiigsricht,ung)
hecleutet,, wird
L171Ch :
ff;) = %"$O)
Y '
Zur Charakterisieruiig des Feldes in eiiieiii R a ~ i > i ~ ) u ~(x,,,
l l i ty,~ 2) des Mediums 0
kaiiii also itiit der zeitgrdhifreieri koriiplexcii Amplitude ?lo geschriebcii werderr :
E,( 0 ) =
&5
e-ih-vro
(1)
Bringt iuan im Medium 0 eiii Systeiii diinncr, plari.paralleler, hoinogcner, durclisichtiger Bchichteii 1, . . ., n an iiiit clen Brcchzahlen 71,:
,n, und schlieot dieses
System ab durcli ein iiiieiidlich ausgedchrites Mecliuin n
1 init der Breclizahl
nrz+l,so wird die Liclitwelle beilii Auftreffen auf die Grenzflach(.n ,,aufgespalt,cn"
in dnrchgeheiides uiid reflektiertes Licht. Wir seheii von deiu ,,Aiilauf-i.organ~",
der uiis hier iiicht interessiert', ab uiid betrachteri deii ,,st,atioiiiiren Zustaiitl":
Die Aiizahl der rlufspaltuiigen uiicl daiiiit die Aiizahl dcr sieh uberlagcriiden Eiiizelwellen ist uiibegrenzt. Mit, Suinniierung der diskreten Feldvektoren in jcdem
Raumpmikt (uiieiidliche Reiheii mit abiiehmeiiden Gliedern ! vgl. u. a. 2 ) und 3))
+
2 ) K. Ham m e r , Die optischen Eigcnschaften teildurcbllssiger Spiegcl rzus nichtmetallischen Stoffen. Z. t e c h . Physik 24, 169 (1943).
3, L. Hiesinger, Entspiegelung von Glasoberfllchcn. Optik 3, 485 (1948).
H . Pohhck: Analyt.
'u.
graph. Nethoden zur Liisung optischer Inlerferenzprobleme
313
kaiin nun in den Medieii 0, 1: . . ., n je cine Uberlagerungswelle in der positiven
und in der negativen x-Richt.uiig unterschiedeii werden, deren komplexe Aiiiplituden iin folgenden rnit illnb und
bezeichnet seien, so daW unter der mreinfachenden Voraussetzuug, da8 das Schieht'systeni scnkrecht zur Fort.pflaiizungsrichtung aiigeordnet ist, fur einen festeii Rsunipui&t ini Medillin m aiigesetzt
werdeii kanii :
= i?ln2
,Q
(m)-
(m) -
HZ
+ ill;
+
nm(el x (Z),I
- 12, ( a m -
I
nnz(- el x !Ilk2) 0 in^
I
82
(3)
5%'
($1
Die Wahl dieses Rauriipunktes steht zuniichst frei. R i r vereinbaren, dafi die
GI. ( 3 )(4) gelten sollen fur die der Lichtquelle zugekehrteii ,,Anfaiigsflacheu"
der Aledien 1, . . ., n, bzw. fur die ,,Endflacbe" cles Mediums 0. Unter Verweiiduiig
x
Alib. 1. Optisehes Syste,in yon n Schiclten
der durch Abb. 1 festgelegten Ortsveraiiderlicher~ gilt d a m fur eiiieii beliebigen
Puiikt in den Medien 0, I, . . ., n :
8, g-ikmzrn + 'i&e+jknbrm
(5)
Em =
0 gqn i n ,
H m == 92rn (gm e-ikmxm
e+ikmXm
(6) 4,
1
woriii die x, also VerLnderliche sirid:
i
X, 2 0 ;
0 5 x,, 2d,, bzw. - 00 I
und irn unendlich ausgedehntea Mediuni n
1 erhalt man die einfach fortschreitende Welle :
g-i h + 1 zn + I
&+I
=
(7) 4,
H,,, = n,,, '&+, e-ikn+lXn+l
(8)"1
2 z 2n
mitk,,b=---nm
(0 I m I n + 1).
+
+
Am
&
Unter Anwendung des Sat,zes von der Stetigkcit der Tengeiitialkoinpoiie~iten
der Fcldstarken in eiiier Qreiizflache zweier Medien ist dam1 also fur die Chenzflachen selbst zu setzen:
314
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 5. 1950
mit 2 5 9n L n und:
Hier zunachst noch ein Hinweis auf die zur Vereinfachung des allgenieinen
physikalischen Tatbestandes bisher eingefuhrten speziellen Annahmen :
Es wurden vorausgesetzt :
1. linear polarisiertes Licht,
2. eine ebene Wellenfront,
3. senkrechtes Auftreffen der Licbtwelle auf das Schichtsystem,
4. die das Schichtsystem einschIie5eiiden Medien wurden als einseitig unbegrenzt, angenornmen.
Inwieweit diese Voraussetzurigen in den praktisch interessierenderi Fallen berechtigt sind, sol1 hier im einzelnen nicht untersucht werden. Es sei lediglich beinerkt, da13 Annahnie 1 fur senkrecht einfallendes Licht, und isotrope Medien keine
Eindriinkung der Allgemeinheit bedeutet, wahrend 2, 3 und 4 eine Annaherung
an die praktischen Verhaltnisse darstellen.
11. Analytisehe Loslingsmethoden
1. Horleitimg
Fur die folgenden Uberlegungen setzen wir voraus :
Die Peldvektoren zweier Raumpunkte sind linear voneinander abhangig"). Wir
konnen also schreiben :
+ i?!:')
+ 98':
E(w-i)/m = R ~ T .)Em/(m+l)
.Hm/(m+1)
(15)7
f l ( r n - i ) / m = R$T) .E m / ( m + i )
*Hnz/(m+r).
(16) '1
Dieses Gleichuugspsar kann als Matrizengleichung wie folgt geschrieben werdcn :
Fur eiu System von n Schichteii erhalt nian dann 18 Glcbichungspaare in der
Form der G1. (15) (16) bzw. n Matrizengleichungeii geLuSil3 (17).
Interessiereii, die Beziehungen lediglich der ersten uiid der letzten Greiizflache
zueinancler, so kiinrien die E uiid H der Z~vischenflRcheneliniiiiiert werdcn, da in
jedein Gleichuiigspaar (15) (16) die unabhlngig Vcriiiiderlichen identisch sind niit
den abhiingig Vcranderlichen des iiachsten Gleichungspaares. In der Matrizcnrechilung v e r e i n f a c h t sicli d i e s z u r f o r m a l e i i M u l t i p l i k a t i o n d e r K o e f f i z i e n t e 11ma.t r i z e n :
Der Reweis lrann leicht init Hilfe der G1. (9) bis (14) gefiihrt werden.
Hierniit ist die formale Beeiehung zur elektrotochl7isclien Vierpoltheorie hergestollt
(vgl.
und u. a. ")).
8 , R. F e l d t l i e l l e r , Einfuhrung In die Vierpoltheorie der elektrischen Nachrichtentechnik. Leipzig, 6. Hirzcl, 3. A d . 1943.
6)
7)
H. Pohlack: Analyt. u. graph. Methoden zur Gsung optischer Interferenzprobleme 315
und unter Anwendung der Gl. (9) (10) und (13) (14):
1
a. + a:, - 911,,,1+
1
no N o - %) - LZl
n
,,,+ Szz'
woraus sich nach eiiifacher Umforinung ergibt :
3;
9;
-
-
&&+
n,o Q
.,,
1
7
+
2gll noL,,+
nR+l
9
2
1
-922
1
+
=
P,,,+ P,,
=%.
Dieser Quotient stellt als ,,komplexes Amplitudenreflexionsvermogeil" 8
einer beliebigen Folge d u n n e r S c h i c h t e n zwischen zwei ausgedehnten Medien
das Verhaltnis dar der ,,rucklaufenden" zur ,,hinlaufenden" elektrischell Amplitude im vorgelagerten Medium ; und man erhalt fur das entsprechende Verhaltnis
der Lichtintensitaten als ,,Intensitatsreflexionsvernlogen" des gesamten Systems :
Mit G1. (23) (24) haben wir Beziehungen fur reflektiertes Licht gewounen, aelche
auf samtliche Probleme der Optik dunner Schichten anwendbar sind mid uns gestatten, die speziellen Ergebnisse zu diskutieren.
Die Identifizierung der Matrixelemente ,Qtk niit, den optisch-nuruerischen Daten
eines Schichtsystems sol1 in den folgenden Abschnitten an Hand von praktischen
Beipielen durchgefuhrt werden.
0. Anwendung auf die Reflexion an einer vinfaehen Trennflache
Im Siiine der allgemeinen Behandlung des Reflexiolxsproblemsist es angebracht,
die einfache Trennflache zwischen zwei ausgedelmten Medien der Brechzahlen no
und n, in die Betrachtung niit einzubeziehen, indeni man dicsen Fall formal auffaljt als Einfachschicht mit der Schichtdielte d = 0. Marl erhalt dam1 mit:
Z d l
= Ed,
rr(l/l
= flub = 121 E"/l
die Koeffizientenmatrix:
Und es ergibt sich aus G1. (23) als komplexes Amplitude~~reflexiolisverrnogen
sofort :
(25)
316
uiid
Annnlen der Physik. 6.Folge. Band 5. 1950
als In terisitatsreflexioiisvermogen :
Dies ist die Fresnelsehe Reflexioiisforxnel fur senkrecht eiiifallerldes Liclit.
4. Aunendnng auf die Reflexionsminderunglerung (Entspiegelmig)
Fur deli Fall eirier e i n f a c h e n diinnen hoinogeiien S c h i c h t rnit der Brechzahl n,, eiiigebettet in ausgedehnte Medien init den Brechzahlcn no ulld n2, gilt
gem. G1. (9) bis (12):
+
Zl PI1
(9a)
Ho/,= 71, (?I,- %;)
(lea)
E,/, =
g,e-ikid, + 2); e+jhi&
Eli2=
fl112 - n, (a, e-ik'ldI-
2i;
eflk,d1)
(Ha)
(12a)
Also atis GI. ( l l a ) (lZa):
Und uiiter Eiiisetzen in GI. ( 9 a ) (loa):
Und inan c r h d t niit GI. ( 2 3 ):
nl(no- n,) cos L, d, + j (non2 - n:) sin It, d,
91 = n, ( ) i 0 + n,) cos k, d l + j (non, + 7%;) sin k, d,
8011 die Reflexion verschwinden, so muW cler Zibler zu Null wcrdcn. Da eirie
komplexe Zalil d a m uiid nur d a m verschwiiidet, wenn Real- iiiid Iinaginiirtcil
zugleich 0 werclen, ist zu setzen :
n, (no-
cos k , d,=
7~2)
(n,n, - nf)sin k1 d,
0
=0
fiir 92 = 0.
H . Pohlack: Analyt. u. yraph. Methoden zur Losung optisclr Istterferenqrobleme
317
Und es folgt aus:
sin k, d,
1.
$; 0 : n,=n,=n,
2'
2. sin k, d,
d, = y
=0
3
Al,
y3 A,, . . .
fur
no= n,
3= 0 .
3
d1 -- AI,,$,,...
3. cos k, d,
=0
~.
n, = v n on,
1. und 2. siiid Trivialfalle; 3. ist die bekannte Bedingung fiir verschwiiidende
Reflexion an einer diinnen Einfachschicht.
Bei Abweichung von den optimalen Bedingungen (28) ist zur Errechnung der
Restreflexion die G1. (27) mit dem konjugiert komplexen Wert zu multiplizieren.
Man erhillt d a m gemaB G1. (24):
R = l S l Z = {n,(no- n2)}2cos2 k, d,
+
+
(non, - n:)* sin2
k2
d1
{n,(no n2)}acos8 k , d,
(non,
sin2k, d,
- { n , (no2 n2)fectga kld, (non2 - nf)8
{n,(no ma)}, ctga k, d , f- (non2 n Y '
+
+
+
+
(9ai
\-'"I
+
G1. (29) ist identisch mit der in der Literatur haufig angegebenen Formel
11. a. 3 ) ) :
("61.
R=
no-nl 2
n,-n, 2
no-nl
n,-n,
( n i l +-(,+n,)
+ 2 ( w ~ : i - ) (GG) ' 0 s 2 k1dl
no-n,
nl-n,
nO-nl
n1-n2 2
+2
( n i i ) ' 0 s 2 k1d1'
1+ ( n i i , < )
(29a)
(=<)
Fiir eine Zweifachschicht ergibt sich die zweite Matrix, wie man sich leicht
uberzeugt, formal aus der ersten, indem in // 2f1) die Indices 1 durch 2 ersetzt
werden :
- 1
-sin k2 d,
cos k, d,
I/
j/ @a) , , =
na
j n, sin k, d,
cos k, d, cos k, da
\% sink,d,cosk,d,
1
- 3 sin k, d, sin k, d,
+-cosk,d,sink
nl
-
cos k, d,
n3
d
4
cos k, d, cc 7 k, d2
j (n, sin k, d, cos It, d,
+ n, cos k, dl sin k, d,)
n1
-sin
a2
Damit wird geluafi G1. (23):
,d, sin k, d ,
!I
.
n, (no- nJ
k, d, cos k, d, + (n:n3 - no n!)sin k, d, sin k, d, + . .
w = n1
n,n2 (n,+ n3)cos k, d, cos k, dz - (ny n3 + no ng)sin k, d, sin k, d, + .
*
COB
* *
+ j {n,(non2
-
+ i {n,(non3 +
n')
cos
n i ) cos
Ic, d,sin k , d,
k, d , sin k , d,
Ann. Physik. G . Folgc, Bd. 5
+ n, (non3 - $)
+ nz(non3 +
sin kl d, cos li, d,:
ni) sin k , d, cos k, d,;
.
__
3.)
(30)
31 8
Annalen der Physik. 6'. Folge. Band 5. 1950
Fur !X = 0 erhalt man, wieder unter der Berucksichtigung, da13 dann Realund Imaginarteil des komplexen Zahlers einzeln verschwinden mussen :
n n n
te kl dl tg k2 d2 = ;;
i3(:;
tg
k , d, - n, (76 - non,)
tg k, c12
n, (noI ~ , r<)
Gber (31. (31a) (31b), die K. Schuster') erstmals sngibt, 15Bt sich zundchst
folgendes aussagen :
Die Mannigfaltigkeit der Brechzahlkoinbinationen ?z1, n2 (bei vorgegel)enen no>
w3) fur vollstandige Elitspiegelung ist nicht ein- sondern zweidimensional; d. h. : zu
jeder Brechzahl der einen Schicht 1a5t sich cine unendliche Anzahl versohiedener
Brechzahlen fur die aiidere Schicht finden, so daB R = 0 wird, wobei die Schichtdicken dann verschiedene Werte *annehmen konnen.
Fiir die Praxis der Reflexionsmindermig gewinnt man aber noch ein weiteres
nertvolles Ergebnis, das jedoch hier nur angedeutct werden sol1: Wie man leicht
ubersieht, besitzen wegen der unendlichen Vieldeutigkeit der Arkusfunktion die
G1. (31a) (31b) vielfache Losungen. Es seien
kilt &l) = a
kill dil) = a,
zaei solcher Losungspaare. Es kann nun sein, daB
2nn,
-a1
J.,
= or1
2nn,
__
&
OI~:LY; =
&,:a;, also:
a, = a:
Und es wird dann:
Das he&: Durch Wahl yon Brechzahlen und Schichtdicken, die dieser speziellen
Losungsbedingung genugen, wird die Reflexion fur die Wellenlangen A, un d Ab ausgeloscht. Fiir LY' = z a ist diese Aussage trivial, da sie dann lecliglich eiue
Formulierung der bekannten Periodizitat des spektralen Reflexionsverlaufs bei
a1 = a2 darstellt. Fiir G1. (31a) (31b) sind jedoch wegen
+
...
tgor) = n-a, 2 n - a , . . .
arc (+t g n ) =
a, n + a ,
arc (auch Losungspaare vorhanden, fur welche gilt :
l 2
as?c
al:(z - a,) = LX,: (2n--a2),also a, = 201,.
Hieraus ergibt sich die bedeutsame Folgerung, da5 Wellenlangen A, und
1, mit verschwindender Reflexion bestimmt werden konnen, die n i c h t durch
ein Reflexions-Hauptmaximum voneinander getrennt sind. Bei geeignet gewahlter
Lage diesix Wellenlangen (2. B. im kurz- und im langwelligen Teil des sichtbareu
Spektrums) kann man dann cine au13erst geringe Reflexion uber einen breitexi Spektralbereich hinweg erhalten. Zur iibersichtlichen Bestiminung von realisierbaren
Brechzahlen, welche diese Forderung erfullen, sei auf die geometrische Methodc
Abschnitt I11 verwiesen (s. auch: Abb. 10a).
G1. (31 a) (31b) stelleii soiiiit eiiie weseiitliche Verallgenleineruiig dar gegenuber
tlen i n der bisherigen Literatur siigegebenen Abhaiigigkeitsbediiiguiigeii drr ?zl. w 2 Werte, wobei meist speziell
k , tl, = k , d, =
<-
qcsetzt wird und die dilnii lautct :
Zur Errechnung der Rcflexioii fiir beliebige Brechzahleii, Schichtdickeii m d
\Vellenlangen kanii dann fiir das Iiitetisitats-Reflerionsveriiiogeii geschriebcu
wrrden :
- n:) Ctg k1_
d,_f_ It2
(no723 - 7ty) C t g k2
.______
(non3 + n:) ctg k, d, n2 (?toit3 ?$) ctg k, d,)"
{'It1 (7Z0 9L3
+ (72,
+
+
\--I
I
'
Fur D r e i - uiid M e h r f a c h s c h i c h t e n bildet die Aufstellung der Matxizen keine
zusatzliche KompliBierung ; die Errechnung des Ref lexionsvermogens fur allgerneiue Asgumelite k,,d,,, wird aber bereits erheblich umstLtidlich. Die Erfahrung zeigt
(
1.
1.
jedoch, da.13 man durch Beschrankung auf spezielle Werte z. B. ?Ld = , .)usw.)
u. U. eine weseiitliche Vereinfachung der Xatrixelemeiite erreicht, ohne da13
dabei fur die Belange der RGfleliioiisiuiiideruiig der Verzicht auf Allgemeinheit
fuhlbar wird.
4. Anwendung aiif absorptionsfreie Spektralfiltor und Teiliingssehichten
Die Errechnuiig der reflektierteii ( b z ~ durchgelassenen)
.
Lichtiiitensitat fur
Spektralfilter uiid Eleiiiente zur Strablenteilung, deren Wirkungen auf clein
Prinzip der Lichtinterferenz dunner dielektrisrher Schichten beruhen, erfolgt fiir
den allgemeinen Fall auf dem gleicben Weg, wie im vorigeii Abschnitt angegeben
(vgl. such : lo), ")). Auch him hedeutet wieder die Auswahl spezieller, die Forineln
vereinfachender Werte eine oftinals tragbare Einschrankung der Allgemeiiiheit.
Wir wollen hier die Eigenschaften eines Schicbtsysteins diskutieren, melclres aus
J.
rainer F o l g e g l e i c h e r S c h i c h t p a s r e (n,,n,) gebildet wird. Ini Falle von -4 Schichten erhalteu ivir fdr 1 solches Schichtpaar:
*) Es ist zweckmiiDig, die Gleicliung jeweils in die fiir den speziollen Fall gceignete
Fi~ssungumzuf ormen.
10) C. H. Cartwright u. A. F. T u r n e r . Multiliiyer f h s of high reflecting power.
Physic. Rev. (2) 56, 1788 (1939).
11) R. MeIjner, Die Bedeutung der Interferenz fur die Herutellung verlustfreier Strahlenteilungen in optisclirn Geraten. Zeiss Nadir. 4,253 (1943).
320
Annakn der Phpik. 6. Folge. Bam'ul. 1950
Allgemein fur m Paarc :
Und hieraus gernaB GI. (23):
Fur verschwindeiide Reflexion mulj gesetzt werden :
Vollstindige Reflexion ist gegeben mit :
also init :
+ (2)"'= -():"
o&r: +(A)
n nl
+
1
=-(y
n1
Diese Bedingung ist erfiillt, wenn n,
f i 2 uiid lim m = 00; man sieht aber
sofort, da13 die Folge der W, urn so starker gegen 1 konvergiert, je groljer der iiumerische Unterschied der beiden Schichtbrechzahlen n, und n 2 ist Is).
Zur Errechnung des spektralen Verlaufs haben wir zii setzeii fur 1 Schichtpaar :
woriii
3
= k, d, = k , d, =
2 n 3."
2.
;uiid fur ni Schichtpaare:
~
~
PI?
13).
5. Anwendung nu1 Medien mit merklicber Absoqtion
Die abgeleiteten Beziehuiigen wurdeii bisher iiur anf dielektrische Medien angewendet, in deiien die Dampfung der Wellenausbreitung = 0 ist. Bei Einbeziehung
voii merklich absorbierenden Medien ist daher die Dampfung zu berucksichtigen.
Dies geschieht formal, indem der komplexe Brechungsexl,oiieiit n = n (1- j x )
und die kompleve Wellenzahl f = k (1-j x) aii Stelle der reellea Gro&n eingesctzt werden (vgl. z), '*)).
12) C s r t w r i g h t und T u r n e r haBen die Eigenvchaften solclicr Schiclitsysteme mit
abwcchselnd hohein und niedrigeni Brechbngsindeu untersuchtlo). Untm Einsetzen der
von h e n angegebcnen Schichtbrechzahkn 3,O nnd 1,3 errechnet sicli d a m fur no= 1,O
kind nGlas= 1,5 )>ereitsbei drei Schichtpaaren eine Reflexion von hu 98% (ohne Berucksiohtigung der Absorption). Die spektral steil abfdlciide Betlcxion wurdc von C. und T.
zur Herstellung yon Monochromatoren benutzt.
13) Fur pmktische Rechnungen ist es zweclm18Bjg, Tor dcm Potcnsicren (lie Zahlen.
werte fiir die Matrixelenientc einzusetzen.
14) R. Meflncr, Die Bedeutmig der Interfercnz fiir dic Steigening dcr PIIctalI-Rcflexion
und ihre praktische f'erwertung in dcr Optik. Optilc 2, 218 (1 947).
H . Pohlack: Analyt. u. graph. Nethoden zur Usung optischer Interferenzprobleme
321
Fib eine einfache Metalloberf lache gilt wieder die Koeffizientenmatrix
(vgl. Abschnitt 11,2) :
1 0
11 1 =
io
)I .
Iiiermit wird die reflektierte Amplitude (Gl. (23)):
und die reflektierte Intensittit:
R=
+
(nu- nl)? x e ni
+ n,)?+ %an,:
(n,
i.
Am Beispiel cines mit zwei T - S c h i c h t e n ,,vergiitcten" Metallspiegels
wird die durch Anwendung der Matrizenrechnung erzielte Vereinfachung besonders
1
bemerkbar: GemaD Abschnitt II,3 erhalt iiian fur die beiden T-Schichten die
Matrizen :
Und hieraus mit GI. (23) und (24):
Zur Errechnung des spektralen Reflexioiisverlaufs kann GI. (30) herangezogen
werden, worin dann der reelle Brechungsexponent n3 durch den koniplexeu
n, (1-i x ) ersetzt werden muB.
Bei a bsorbierende n S c h i c h t e n geht man wie folgt vor: Durch Eiilsetzen
der kompIexen Gr613en in die entsprechenden Matrizen (Abschnitt I I ,3 ) erhalt
man zunachst trigonometrische Funktionen init kornplexen Argumenten ; diese
sind dann nach den bekannten Formeln durch trigonometrische u n d h y p e r bo lische Funktionen mit reellen Argumenten zu ersetzen. Es ergeben sich dadurch
zwar gro13ere Glieder, die Aufgabe bleibt jedoch anf den1 bisherigen Weg prinzipiell
losbar.
6. Zusammenfassung und Beurteilung des Bisherigen
Wie gezeigt wurde, lassen sich bei Anwendung der bisher abgeleiteten Formeln
die in der Einleitung aufgezlhltcn praktischen Interferenzprobleme in jedem
einzelnen Fall numerisch erfassen. Das Verfahren ist in erster Lillie geeignet, das
Reflexionsvermogen eines vorgegebenen Schichtsystems zu bestimnien, wobei
die Rechnungen fur spezielle o tische Daten besonders einfach sein konnen. Weniger geeignet sind die Forme n jedoch zur Koustruktion von optischen Schichtsystemen mit bestimmten, vorgegebenen Eigenschaften und etwas unhandlicli im
Gebrauch bei der Errechnung des Reflexionsvermogens fur beliebige P h a s e n winkel (spektraler Verlauf) oder fur komplizierter gebaute Srhichtsysteme. In
P
328
Awtnle?~der Physlsik. G. Folotge. Band 5 . 1950
eiiiigeii solclier Fiille kaiiii die iix folgendeli Abschiiitt lwschrieheiit Losungsmethode
eiiifacher nucl schiiellrr min Ziel fiihrcn.
111. Braphischc Methoden Eiir Nahero~igsliisung~i~
1. .iufstellang und qeometrisehe Deutuug ciner Siiherui1qsformel
Es sei angenoininen, da13 f ~die
r reflektierte Gesarntarnplitude 91 (GI. (23)) ciiics
optischeii Schichtsystems (Abb. 1)in1 Falle geriuger Reflcxiou rnit guter Niiherung
geschriehi m-erclcn knnn :
init :
...............
2z
2 7c ?1,,,
~voriiik,,,d,,, = 7d,,, = -dl,, .
4*
J.0
Die Ndheruugsformel kann geometrisch gedeutet wcrden als Vektorsumme
der Presn e Ischen eiiifach-reflektierten Amplitude11 (vgl. G1. (25)), phaseini18Gig
bezogrn auf das rorgelagerte Medi~rn1~).
Der physiknlische Siiiri der Niiherung
geht aus Abb. 2 Iierror: Wir betrachten den Strahlengang am Beispid einer Riii-
w
a/
NL
Abb. 2. Strahlengang in cinrnl Einfachseliichtsysteni init
hohcr Cksamtreflcsion
I()
relativ geringcr, b ) relativ
15) Wir hslien ails anschiiulich-gcometriscllcii C:riinclen die e-Funktionen init positivcn
Exponenten angesetzt anst'itt mit den in Abschnitt I1 bonutzten ncgativen Werten.
D a wir darnit bdiglich eiiie Spiegdung an dcr recllen Achse vomelinien, iindcrt diesc
3Ia ~ n a l i n i enidxts an ilcii hicr interessiercndrn Rrgclmissen.
H . Polluck: Analyt. u. graph. Methoden zur Msung optiscler Interiferenzprobleme 323
fachschicht. Die Strahlenbreite deute die absoluten Betrage der Aiiiplitudeii an ;
dabei sollen die schraffierten Strahlen den tatslchlicheii Verhaltnissen entuprechen,
die geschwarzten Strahlen hingegen den durch Forinel (39) erfa13t'eii GroBeu. Die
TJnterschicde dieser Betrage koiineii jeweils fur die einzelnen in das Medium 0
zuriickgeworfenen Smplituden aus dem Schema groBenordnungsmaBig abgelesen
werdeu. Es ist zu beachten, daD die durch Schraffur minus Schwarzung (bzw.
Schwarzung minus Schraffur) sich ergebenden Differenzeii der Stralilenbreiteii
jedoch zunachst noch keine Aussage iiber den Grad der Niiheruug des G e s a m t Reflexionsverinogens zulassen, da in der Abbildung lediglich die Amplitudenb e t r a g e dargestellt sind, wlhrend zur Errechnung der Gesanitainplitude die
.Ph a seiizustande der einzelnen Aniplitudeii Beriicksichtigt werden niiissen. So
kann z. B. bei der in Abb. 2a schenia,tisch dargestellten Einfachschicht die Gesamtreflexion - je iiach der Schichtdicke (optischen Weglange) - ebensowohl grol3er
wie auch kleiner seiii als der aus der Naherung sich ergebeiide Wert. Aus einelii Vergleich der Abb. 2a und 2 b entnimint man aber sofort, da13 Formel (39) die wirklichen Werte urn SO besser wiedergibt, je geringer die Gesamtreflexioii des Systems ist.
Weitere Bemerkuqgen uber Brauchbarkeit und Genauigkeit der Naherung
folgen in Abschnitt III,4. Wir setzen hier die pra,kt,ische Brauchbarkeit fur die
liachstehend aufgefiihrten Falle zunachst voraus.
I.Anwendung auf Schichtsysteme zur Reflexionsminderung
Fiir eine E i n f a c h s c h i c h t zur Reflexioiisminderung von der Dicke d, ergibt
sich also bei vorgegebenen Brechzahlen no, n,, n, das koniplexe Ainplitudenreflexionsverinogei fur die Wellenlange A, geonietrisch aus den
zn-ei Fr e snelschen Ref lexionsve ktoren der beiden Trennungsflachen O j l und l j 2 und den1 Winkel
3
2 k, d, = 2 *'d,
gelkl%B Abb. 3.
20
Das Quadrat der'aus der mitBstiiblichen Zeichnung cntnommenen
Vektorlange 1 % 1 ist in Naherung A1,b. 3. Bestimmung der Restreflexion R = I % I2
das gesuchte Intensitats-Reflexions- einer Einfachschicht (hier:
= - I soI,
%, = - 1 % 1 )
vermogen (vgl. G1. (24)). Bei dieser
vektorgeometrischen Koustruktioii
ist darauf ZII achten, daf.3 clie Richtuiig der Vektoren %>,, aul3er roin Winkel
2 C k,,d,, auch vom Vorzeichen des Betrages
'Lm
nm
, anschaulich physikalisch
+ +'
-
nJn
*",+l
also von der optischeii Weglange nnd vom Phasensprung am optisch dichteren
Nedium, abhangt.
Der Abb. 3 entnimiiit, niaii auch sofort die Voraussetzung fur ~erschwindende
Reflexion :
BE, =- 5R0 fiir '% = 0,
in Worten: die Vektoren 'illo
und !Ill rniisseii gleiche LLiige (gleichen absoluten
Betrag) und entgegengesetztes Vorzeichen haben. Diesc Rediugung ist gegeben
niit
324
A n n a b der Physik. 6. Folqe. Band 5. 1950
oder :
-- n
b) n
-O'__l=
no
3-2s
+ n1
R1+ nz
mit 2 k, d, = a ~ ,3 z, 5 n
....
Und es folgt d a m :
aus a) no =
ails b) n, =
1
3
5
und n, d;= T , :zA, T A ,
n2
...
(Trivialfall)
5
l/n,7L,und n, d, = A , 3 1, gl,
...
(vgl. GI. (28)).
Die E r r e c h n u n g des. s p e k t r a I e n R e f l e x i o n s v e r l a u f s einer Einfachfichicht soll an einem Beispiel erliiutert werden :
A
Eine Glasoberflache (n,= 1,52) sei belegt mit einer x-Schicht (nl = 1,339);
650
z,
das Reflexionsminimum soll bei 550 mp liegen, also: d, =
AUS kid, =
560 sind dann fiir beliebige Wellenlangen Apl des Spektrums ditentsprechenden
-g)4
Argumente 2 k d etwa in nachstehener E'olge zu bestinmen:
= 400
500
550
600
700
2k,d, = 247,5"
198"
180"
165"
Yo0 mp
141,4"
123,8O
Man erhalt damit die vektorielle Darstellung der Abb. 4a und den hieraus ermittelten Kur~enverlaufAbb. 4b.
We/kn/angein rnp
Abb. 4. Spektfalo Reflcxion oiner Einfachschicht. a ) vektorgeoinetrisclie Konstruktion.
b ) aus u) ermittelter Kurvenvorlauf ( 0 numerisch ermittelto %Torte)
Entsprechend kann der Reflexionswrlauf fur Licht der Welleniange 1, bei
v e r a n d e r lic h e r Sc h i c h t d i c ke ermittelt verden. Die beliebigen Abweichungen
I,
von der (optimalen) opiischen Schichtdicke -4- bestirnmen dann die einzelnen
Argumente 2 k d, z. B. (fur ;Io
= 550 mp) :
1
5
3
7
1
3
1
1
-550 -550 -550 ,550
-550 mp
n d - ?550 -550 -550
16
16
4
8
16
2k,d,=
2
8
1-16
45"
90'
135"
180"
225"
270"
315"
360"
Hieraus ergeben sich als vektorielle Darstellung und als Kurvenverlauf die Abb. 5 a
und 5b.
Als Beispiel einer besomders zweckmal3igen Anwendung des vektorgeometrischen Verfahrens sei rtoch die vcrgleichende Darstellung des spektralen Reflexionsverlaufs fur Schichten gleichen Materials auf verschiedenen G l a s s o r t e n
augefiihrt (Abb. 6a und 6 b fiir nscl,icfit= 1,339; ?zala, = 1,52; 1,6 und 1>7.)
H . Pohlack: Analyt. u. graph. Hethoden zur Lo8ung optischr Iderlerenzprobleme
325
Fiir eine Z w e i f a c h s c h i c h t zur R e f l e x i o n s m i n d e r u n g ergibt sich das
Reflexionsvermogen R = 3 12 allgemein nach Abb. 7, und man erhait a h Voraus
setzung fur vtjllige Entspiegelung :
1
+ ill2) fur 8
= 0.
mtixhe h k e
A5b. 6. Reflexion einer Einfachyhicht 1 ei veriinderlicher Schichtdicke. a ) vektorgeometrische Konstruktion, b) aus a) ermittelter Kurvenverlauf ( o numerisch errechnete Werte)
w
8
$7
8B
YDU
m
MU
700
WeAenhge in mp
~ J J
Ab5. 6. Spektrale Reflexion einer Einfachschicht 1 ei verschiedenen Glassorten (no= l,O.
n . = 1,339, n1 = 1,52; 1,6; 1,7). a) vektorgeometrische Konstruktlon, b ) aus a )
ermittelter Kurvenverlauf ( o numerisch errecbnete Werte)
y=?
Aus dieser Vektorbedingung folgt, daB bei passend gegebenen GroBen (n, d ) die
aqderen GroBen (n, d ) fur % = 0 mit Hilfe elementarcr Dreieckskonstruktioneu
bestimmt werden konnen (Beispiel :
Abb. 8 ) 9 .
Die Erechuung des spektralen
/+,\
Reflexionsverlaufs einer ZweifachI
BO
schicht l a B t sich nach dem Beispiel der Abb. 9 durchfiihren. Fur N
optische Schichtdicken n, d, = n, d,
z
~
i
- - und
4
+\
ein Reflexionsminimum
aber Wertebereichc und Man- Ahh. 7. Zweifachschicht. Bestimmung der
nigfaltigkeit solcher Losungen vgl. I) Restreflexion H = 1 W j z (hier: Wo = - 1 801 7
und Ahschnitt 11, 3 dieser Arbeit.
=1, W2 = J %? 1 )
18)
w1
w,
+
326
bei
A=
A6"'
2 k, dl
2 (kldl
Alanah o
h Physik. 6.Fotge. Band 5. 1950
550 inp erhalt man namljch fiir beliebige Wellenlangen :
= 400
500
550
600
700
=
+ kpd2)=
800 m p
247,5"
198"
180"
165"
141,4"
123,8'
495'
396'
360"
330"
282,8"
247,5"
Abb. 8. Zweifachschicht: Bestimrnung der Schichtdicken fur R = 0 hei gegebencn
Brechzahlen. 2 Lijsungen (him: so= - I so1, 81= - I %,I, s2
=
I W21)
+
We~lenlaiigrin m ,u
Abb. 9. Spektrale Reflexion einer Zweifaohschicht (no= 1,0, n1 = 1,339, n2 = 1,65,
vt,, = 1,52). a) vektorgeometrische IConstruktion, b ) aus a) ermittelter Kurvenverlauf
( 0 numerisch errechnete Werte)
Es versteht sich, daO in gleicher Weise der spektrale Reflexionsverlauf errechnet werden kann fiir Brechzahlkombinationen, die an keiner Stelle des Spektrums die Reflexion verschwinden lassen oder fur welche fur R = 0 die optischen
Schichtdicken von
3-'4
abweichen. Ebenso konnen auch andere funktionelle Ab-
hangigkeiten der Reflexion ermittelt werden, wie z. 73. R als Funktion der beiden
veranderlicben Schichtdicken 17).
Auf D r e i - u n d M e h r f a c h s c h i c h t e n lafit sich das Verfahreii ebenfalIs mit
Erfolg anwenden. Allerdings ist die entsprechend erweiterte geometrische Konstruktion (von deren Darstellung hier abgesehen werden soll) bereits umstandlicher, bleibt jedoch immer, wie man sich leicht uberzeugt, weit anschaulicher und
einfacher als die numerische Errechnung, fiir welche die Rompliziertheit init wachsender Schichtzahl ja sehr erheblich zunimiqt.
17) Im Intei-esse der besonderen Anschaulichkeit mrden in den bisherigen Reispielen
fiir die Rrechzahlen z. T. praktisch nicht realisierbare Werte gewlhlt. Es ist Sache der
Xonstruktion, tatsachlich existierende Wcrtekombinationen einzusetzen.
8. Konstriiktion voii Scliichtsystemcn ziir Refle~:iorisruiuderi~u~
-Atis uorst,ehencleii, sowie weitereli ~)asseiildgewRhltcii Aii~~eridun~sbeispielcii
geht die GesetziiiiiSigkeit, init welcher die Eigeiischafteii v o ~ iSehiehtsystemen
'\-on deli gewihlteii Bedingungeii naheriingsweise abhiingen, aiischaulicli hervor,
HO daJ3 nach einiger Uhuiip klar iibcrseheii wcrdpn kann. wie die einzelnen pliysikalischeii GroBen
Bctrag der F r e site lsclicii Aniplit~udc.
~Phasenspruiiguiid
optische Weglange (Schichtdicke)
iu deli Endwert fiir das Reflexioiisveri~opeii eingeheii. Dit: I<onstruktion voli
Schichtsysteiiien zur Reflexioiisiiiiiiderunji 1,rdeutet soinit, keine prinzipielle
Sch-xierigkeit inehr's). Abb. 1Oa 'und 10b zeigen guiistige spekt,rale Reflexioiisk i i r ~ r n ,die niit Hilfe dieses Verfahwiis rrinittelt wurdcn.
b/
6UU 704 B Q 4JU
5l?J
620
7W
Wellenhnpein m.u
Wehlringctnm,lr
.A1Jb. 10. Iieflesionsaiindernc?(~~~ehrfnclischiclitriiniit giinstigein \-crlaii~ dei. It(*flesion iin inittlercn Teil d r s Spektrumv. <() Zweifachschicht (auf hoclibl.eclirndcni
Glas), 6) Preifachschicht ( o ilutliei isch crrcchnetc Wertc,)
400
5UU
1. ,~n7\~ntlruiBsbereiclilint1 Gciimigkeit der geonictrischcu N e t hodc
Eiiie allgcnieine Diskussion der Niiheruiigsforiuel (39), etwa durch analpt,ischeii
Vergleich niit deli entsprecheiiden, passsend umgefornit'rii Gleichuiigeii aus 4bschnitt 11, ist unistiindlich, uild e i i i e Fehlernbschatzuiip, z. B. durch Einfiihreii
cines allgeineiiieii Felilergliedcs, fiir praktisclie ZweeBe ungeeignet, weil hiermit
zuiniiidcst die clurch die NBherung erreiclitc Vereinf:tcliuiig mieder verlorcn gingc.
Dit. iius eiiirr griilieren hiizahl von Beispielen gewoiinciie Erfahrung ergibt jedoch
als einfache uiitl leicht anwendbare ,,Faust,rcgel", clall h i Reflexioiien linter 10 bis
XPb (also im Rereich der Aufgaben ziir ReflesioiiRiuinderung) dic Fehler gering
bleihcn uiid fiir die Praxis verrtachl ,igt merdcu konncn. So zcigen u. i t . die iii
itt 111, 2 uiid 3 angefuhrteii Beispicle (sowie eiiie Reihe weitercr ~ 0 1 1 1
cr peoilletrisch ermjttelt,er Kurven such voii Yrei- uild Mehrfacbsc,hicht,rn)
selir perinpe dbweichungen, die in den fiir die I(urvenderste1liiii~ gewihlten MaBstaben kaum h n w r k b a r werden *O). TrotzdGm ist ciiics Roiit.rolle in jedcm einzelneii
Fall z u eiiipftlilen :
Ifl) Fiir systeoiatisahe Vntcrsuchungen knnn PS zweclwiiiDig scin, weitere glnl)llisclle
und reclmei+xlio Vereinfacliungen eiiizuf iihreii : vgl. 19).
19) Schmeizer Patent 2233344 (4. I . 1943) : ul~erzug
ziir \'t<rniinderung der 0l)crflLclien-
reflcxion.
20) Uei gceignet.gewviililtcm MaWstab dcr vcktoriellen U;mteIlung (\'erf. hat vorwi(*gcnrl 100 mm:
= ) 0,t benutzt) liegen dic Al~weicllungengroWcnordnungmiiBig z . T.
nvch inncrhall) dw Felilcrl~ct.cichsdcr niit Rcclwnschiel~erermittelten Ergchnissc.
(1x1
328
Amalen der Physik. 6. Folge. Band 5. 1950
Dabei genugt es i. a., die durch geomctrische KonstruktioiiQi gewonneneii
Kurven jeweils iiur an einigen ausgewiihlten Stellen init den numerisch ernlittelten
Werten zu vergleichen (vgl. Abb. 4-6, 9 und 10). Wenn solche Kontrollen wieder
eine betrachtliche Erschwerung fur die praktische Handhabung des Verfahrens
bedeuten, 80 mu13 bedacht werden, da5 die Aufgabe der Naherungsniethode u. a.
darin liegt, zunachst durch schnelle und iibersichtliche Losungen eine Vielzahl
verschiedener Kombinationen auf ihre optischen Eigcnschaften hin grob zu untersucheu, urn dann die gceignet erscheineiicien SpstemP numerisch genau auswerten
zu konnen.
6. Anwendung a d optische Elemente rnit relativ holier Reflexion
\Vie aus dem vorigen Abschnitt folgt, ist die Naherungsformel fur eine genaue
quantitative Bestirnmung des Reflexionsverlvogens s t a r k r e f l e k t i e r e n d e r
optischer Syskme nicht nlehr brauchbar. Dagegen lassen sich mit ihrer Hilfe eine
Rcihe wertvoller q u a l i t a t i v e r A u s s a g e n machen, die fiir die Koiistruktion
solcher Elemente nutzliche Hiuweise geben konnen.
Auf die vielfache Moglichkeitl, d y c h vektorgeometrische Skizzen auch p r i n zipielle Fragen der ,,Optik dunner Schichtcn", insbesondere auf dem noch _wenig
ausgeschopften Gebiet der Lichtfilterung, wenigstens qualitativ zu beantworten,
um damit Ausgangspunkte fur spezielle numerische Untersuchungen zu gewinnen,
kann hier nur hingewiesen werden, Ins einzclne gehendc Betraclitungen sollen
einer spateren Arbeit vorbehalten bleiben.
IV. SchluBbotrachtung
Die numerische wie auch die graphische Losungslnethode Lesitzen in ihrer
Anwendbarkeit auf Probleme der ,,Optik dunner Schichten" zunachst einen
formal-vereinfachenden bzw. heurivtischcn Wert. Daruber hiuaus ergeben sich
jedoch in zahlreichen speziellerl FIillen auch weseiitliche Vereiiifach~iigeufur die
nulnerische Rechnung und praktische Hilfcn fur die Konstruktion.
Nach Abschlu13 dieser Arbeit erhielt ich Keiintiiis \-on folgenden Veroffentlichungen :
W.Wein s t e i n : The reflectivity and transmissivity of multiple thiii coatings.
J.O.S.A. 37, 576 (1947), ref.: Physik. Ber. 27, 439 (1948) und
R. B. M u c h m o r e : Optimum band width for two layer anti-reflection f i l m .
J.O.S.A. 38, 20 (1948), ref.: Phys. Kartei Uiiiversum 15 (29) 45.
Leider sind mir diesc Abhandlungen, in denen - nach den Referaten zu urt,eilen- eine Reihe yon Beriihrungspuilkten mit den1 hicr bchnndelteii Thcma vorhanden sein durften, in der Originalfnssung z. %. iiicht zng#ngliah, so da8 eine
Brzugnnhmr unterbleiben muBte.
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