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anderung der effektiven bergangswahrscheinlichkeit der induzierten Emission durch Strung des unteren Niveaus.

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W. BRUXNER
u. a. : Anderung der effektiven Ubergangswahrscheinlichkeit
18i
Xnderung der effektiven Ubergangswahrscheinlichkeit
der induzierten Emission durch Storung
des unteren Niveaus
Von W. BRUNNER,
H. PAUL,G. RICHTERund H. STEUDEL
Mit 3 Abbildungen
Abstract
The perturbation of the process of stimulated transition, in case the lower level is
coupled t o a third level by a) a spontaneous emission or b) a second stimulated transition,
is investigated theoretically. For strong perturbation a quantum mechanical treatment
of the problem - in contrast t o a calculation using rate equations - yields a reduction
of t h e effective transition rate for the stimulated transition which may be interpreted i n
case a) as a broadening and in case b) as a splitting of the level, thus giving some insight
into the disappearance of the laser effect due t o sufficiently strong pumping discussed in a
preceding paper.
_
_
_
_
~
~
~
I. Einleitung
Nach den von verschiedenen Autoren [ 1 . . . 4 ] in den letzten Jahren entwickelten halbklassischen Theorien des Lasers hangt die Photonenzahl n in
einer Lasermode im stationaren Zustand auBer von den Laser-Parametern, wie
Atomzahl, Verluste des Resonators, Kopplungskonstante und durch das Pumpen
bedingter (ungestorter) Inversion a,, auch von der Linienbreite T des Atoms
ab. Explizit ergibt sich eine Proportionalitat zwischen n und (a,,/o, - 1)mit a,
als kritischer Inversion, die ihrerseits proportional zu ist. Daraus folgt (wegen
n 2 0) sofort als Schwellenbedingung a, > ak, so daB ak eine untere Schwelle
fur den Laser definiert in dem Sinne, dalj nur fur groBere Pumpintensitaten.
d. h. a,Ja, 2 1,die Laser-Schwingung aufrechterhalten werden kann. Mit wachsender Pumpintensitat sollte dann auch n anwachsen.
Nun zeigte eine detaillierte und vollstandig quantenmechanische Behandlung des Pumpmechanismus und der Verluste des Resonators [5..-7], daB die
Linienbreite des Atoms init wachsender Pumpleistung zunimmt, wenn der
Pumpmechanismus am unteren Laser-Niveau angreift. Dies wurde in IS, 91
anschaulich als eine phasenzerstorende Wirkung der statistischen AnregungsstoBe gedeutet , welche zu einer Liiiienverbreiterung Anlalj geben. Allgemein
gilt entsprechend der Unschiirfebeziehung zwischen Energie und Zeit, daB bei
Verkleinerung der Aufenthaltsdauer in einem Nivean dessen Energieunscharfe
vergroBert wird. Diese Erscheinung fuhrt nun zu einer interessanten Konsequenz
bezuglich des Lasersffektes, wie kurz in [lo] bemerkt und von den Verfassern
kiirzlich in [ l l ] naher untersucht worden ist: Mit der Linienbreite des Atoms
nimmt anch die kritische Inversion o, linear mit der Pumpintensitat zu. Da
r
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andererseik a, mit wachsender Pumpleistung asymptotisch gegen 1 strebt, bedeutet dies, dalj die Bedingung fur den Laser-Betrieb o, > a, nur bis zu einer
bestimmten maximalen Pumpintensitat I,,,, erfiillbar ist, d. h ., es existiert auch
eine obere Schwelle fur den Laser-Betrieb in dem Sinne, daB der Laser fur I > Imax
aufhort zu oszillieren. Die Photonenzahl eines stationar laufenden Lasers nimmt
bei immer starkerem Pumpen nach einem anfanglichen Anstieg wieder ab, um
schlieljlich ganz zu verschwinden. Dieser Effekt ist so zu verstehen, dalj die
effektive fibergangswahrscheinlichkeit des induzierten Laser-uberganges nicht,
wie bisher angenommen, vom Pumpvorgang unabhangig und konstant ist,
sondern niit wachsender Pumpleistung abnimmt.
I m folgenden sol1 nun an Hand quantenmechanischer Betrachtungen einfacher Modelle gezeigt werden, dalj tatsachlich eine an das untere Niveau
einee induzierten ffberganges angekoppelte Storung die effektive ubergangswahrscheinlichkeit verringert, wobei wir als Storung einmal einen spontanen
ubergang und zum anderen einen induzierten ubergang betrachten wollen.
Dabei zeigt sich, daB die Reduzierung der fibergangswahrscheinlichkeit im
ersten Fall durch eine Verbreiterung, im zweiten Fall durch eine Aufspaltung
des unteren Niveaus bedingt ist.
Der Vergleich mit, den fur das gleiche System mit Hilfe der Besetzungsgleichungen gewonnenen Resultaten zeigt deutlich, dalj es bei einer im optisch
gepumpten Laser auftretenden Kopplung zweier ifbergange im allgemeinen
nicht mehr moglich ist, mit einem zeitlich konstanten und von dem Besetzungsgrad und der relativen Phase des Endniveaus unabhangigen Koeffizienten der
fibergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit zu rechnen. Dadurch sind die iiblichen Resetzungsgleichungen fur einen sehr stark gepumpten 3-Niveau-Laser
nur noch bedingt verwendbar.
Die berechnete Abnahme der ffbergangswahrscheinlichkeit mit wachsender
Storung des unteren Niveaus des induzierten ffbergangs erscheint bemerkenswert fur das Verstandnis der Lichtemission im allgemeinen und fiihrt insbesondere auch zu einer Erklairung des im vorstehenden erlauterten Verschwindens
des Laser-Effektes bei sehr starkem Pumpen.
2. Storung cines induzierten fjberganges dureh ansehlieBende spontane Emission
2.1. Quantenmechanische Beschreibung
Wir betrachten ein Atom, das sich anfangs im angeregten Zustand a befindet, und es seien n Photonen einer einzigen Eigenschwingung mit der Frequenz o/2n vorhanden. Die zum Niveauschems der Abb. 1 gehorige Wellenfunktion lautet
w(t)
= a ( t ) Id, n>
s
+ b ( t )1 B, + 1) -c S c n ( t ) Iy, n + 1, I?.>,
n
(2.1)
Abb. 1. Niveauschema-bei Stornng durch einen spontanen cbergang
W. BRUNNER
u. a.: Bnderung der effektiven ubergangswahrscheinlichkeit
1s9
wobei die durch den spontanen ubergang B --f y angeregten Eigenschwingungen
durch den Index il gekennzeichnet sind. Bemichnen wir die zu den Atomzustanden a, p, y gehorigen Energien mit hwa, ticog, Rtv, und mit Hpv den
Wechselwirkungsoperator, so lautet die SCI€RoDIr;GER-GleiChung, umgeschrieben auf die Koeffizienten a, 6. c,
itiic(t) = h ( w ,
i h i ( t ) = h[ w p
+ nw!cc(t) + (n, n lHFvI1,n + 1) b ( t ) ,
+ (n + 1 ) w ] b ( t ) + (B, n + 1 IH"1 a,n) a ( t )
+ 2a <B,
01
I HW I y > 13 c n ( 4
+ +
+
(2.2)
(2.3)
>
+
Iffrv]
i h & ( t ) = h[w,, (n 1)cu
w] s ( t ) ( y , 11
@, OA> b ( t ) . (2.4)
Die Matrixelemente von Hw, die ein MaB fur die Starke der Wechselwirkung
darstellen, kiirzen wir im folgenden ab durch
(a,n / H " / @, n
+ 1) = h k ,
(2.5)
y, 11) = Rkn.
Die obigen Gleichungen sind zweckmal3igerweise mit Hilfe einer LAPLACETransformation zu losen. Mit
(1,0 IH"l
a ( t ) -+ A (s) .
b(t)
--f
C A ( t ) -+
c i ( t ) + s A ( s ) - a(O),
B(s),
i ( t ) --f s B ( s ) ,
CA(4,
ha ( t )3 s CA ( s ) ,
(2.6)
(wobei die LAPLACE-Transformierten mit A B , CAbezeichnet und die Anfangsbedingungen a ( 0 )= 1,b ( 0 ) = c n ( 0 ) = 0 beachtet wurden) folgt aus (2.2) bis (2.4)
(is
- w a ) A (8) = i
[ i s - (mob
[is
- (WC
+ kB(s),
(2.7)
+ w ) ] B ( s )= k " A ( 8 ) + , V k l C ~ . ( s ) ,
(2.8)
+ + 0.41 C,(s)
(2.9)
0
1
=
kfB(4,
worin wir abkurzend
wa = cox
+ ncu,
tub = cup
+nw,
co, = cu,
+ no)
gesetzt haben. Die Auflosung dieses Gleichungssystems nach der uns im wesentlichen interewierenden GroBe A (s) ergibt
Dieser Ausdruck ist nun ruckzutransformieren und liefert dann die gesucht'e
Zeitabhangigkeit a ( t ) fur den induzierten ubergang in Abhangigkeit von der
Starke des als Storung wirkenden spontanen Oberganges. Leider ist die Rucktransformation des Ausdrucks (2.10) wegen der Summe uber ilnicht exakt durchfuhrbar.
Das gleiche Problem tritt bereits bei der Behandlung der spontanen Emission
allein auf, Hier wurde bekanntlich von WIGNER
und WEISSKOPF
ein Naherungs-
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rerfahren angegeben (vgl. [12]), das wir ebenfalls verwenden wollen und das in
unserem Formalismus auf die naherungsweise Ersetzung
is+
cob
+ co + iq,
+o,
q-3-
(2.11)
bei der Berechnung der A-Summe in (2.10) hinauslauft, wobei der Zusatzterm
ill beriicksichtigt, daB der Realteil von s aus Konvergenzgrunden stets positiv
sein muB. Die Berechtigung fur dieses Verfahren liegt darin, daW die A-Summe
nur in der Nahe der Stelle i s = cob co von Bedeutung ist, wahrend sie an davon
entfernten Punkten der s-Ebene die Rolle einer kleinen Korrebtur spielt.
Damit lakit sich nach Einfuhrung einer Dichteverteilung ~ ( ~ 0 (vgl.
2 ) z. B. [13])
die Sunime durch ein Integral ausdrucken :
+
( 2 12)
( d Q Rauniwinkelelement, entsprechend den verschiedenen Richtungen der
spontan emittierten Quanten). Explizit ergibt sich, daB die in (2.12) als Abkurzung eingefiihrte GroWe > 0) die (storungstheoretisch berechnete) totale spontane f5bergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit fur ein ursprunglich iin Zustand p befindliches Atom (bei Fehlen des induzierten Cberganges 01 ++ B) darstellt.
G1. (2.10) rereinfacht sich so zu
r(
s
-4(.)
= -
~-
__
t- i ( w ,
__
~
__
+_ _ +_ r_2- _ ~
- ~.
-
-
(2.13)
oder
(2.14)
init,
3I,? =
-
7
i-% fi w ,
(2.16)
wobei geset,zt,ist
Ein Xnsdruck der Forni (2.14) ist, leicht riickzutransformieren [14] uncl liefert
dann schlieWlich fur den Koeffizienten a ( t )
Wir bemerken a n dieser Stelle, daB man die vorstehende Gleichung auch in
der Weise erhalten hatte, daW man die SCHRODINCER-Gleichung fur den induzierten cbergang allein lost und den anschlieBenden spontanen Cbergang dabei
191
W. BRUNNER
u. a. : Anderung der effektiven ubergangswahrscheinlichkeit
formal durch Einfiihrung eines imaginaren Anteils der Atomfrequenz wB,entsprechend der Substitution wp -+ wp
r berucksichtigt.
+ i -.2
Die oben durch-
gefuhrte Rechnung liefert damit zugleich eine gewisse Rechtfertigung fur das
letztgenannte phanomenologische Verfahren, das haufig verwendet wird (s.
z. B. [4]).
Wir wollen, urn die Diskussion etwas ubersichtlicher zu gestalten, den Ausdruck (2.16) dadurch noch etwas vereinfachen, dalj wir einmal Resonanz fur
den induzierten ubergang, also
cc),
- wb - w = 0 und damit dann
Acc)
=
-2
r
2
voraussetzen und zum anderen den als Storung wirkenden spontanen Obergang
als genugend stark annehmen,
1 k 1, so dalj wir schreiben konnen
r>
GI. (2.16) vereinfacht sich dann zu
>
ist der zweite Term abgeklungen, und wir erhalten fur die WahrFur t
scheinlichkeit, das Atom im oberen Zustand des induzierten Oberganges anzutreffen,
(2.19)
d. h., die mittlere Lebensdauer des angeregten Niveaus ist gegeben durch
(2.20)
Mit wachsender Wahrscheinlichkeit 'I fur den spontanen ubergang vom
unteren Niveau nimmt die Lebensdauer des oberen Niveaus zu, die entsprechende
Cbergangswahrscheinlichkeit also ab.
I m Falle einer Abweichung von der Resonanz cc), - cob - co = dco
0 ergibt sich fur
I k 1 a n Stelle von (2.19)
+
r>
-4--
IklZrt -
m e 4(no)'+r2 .
(2.21)
Hieraus erkennt man, da13 bei irreversibler Storung des unteren Niveaus ein
breiteres Frequenzspektrum fur den induzierten ffbergang zur Verfiigung steht.
Eine Integration der ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit uber Acc,
(von - oo-+
00) liefert eine von r unabhangige Gesamtiibergangswahrscheinlichkeit, die mit der des ungestorten Falles
= 0) ubereinstimmt. Dies
hat zur Folge, da13 bei sehr grooer inhomogener Linienbreite der Atome die
effektive tfbergangswahrscheinlichkeit in erster Naherung nicht geandert wird.
Merkliche h d e r u n g e n treten erst dann auf, wenn die inhomogene Linienbreite
in die GroBenordnung von kommt.
Das Ergebnis der Beeinflussung der fibergangswahrscheinlichkeit eines
induzierten Oberganges durch eine anschlieljende spontane Emission kann, wie
in [Ill schon dargelegt, in der Weise gedeutet werden. da13 der spontane nberja(6) 12
+
(r
r
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gang als irreversibler ProzeB wie eine Storung des monochromatisch induzierten
nberganges durcli einen MeBproze13 wirkt, welcher jeweils nach einer mittleren
Zeit At = P1
die Wellenfunktion auereduziert, d. h. feststellt, daB sich das
Atom entweder im Zustand 01 oder /3 befindet. Dieses Zeitintervall gibt die
kurzeste Zeitdauer f iir die Beobachtungefolge und ist dadurch gegeben, daB
der Zeitpunkt des induzierten Uberganges im Mittel nur mit einer Unscharfe
von At = r-1 durch eine Beobachtung des spontan emittierten Photons bestimmt werden kann. Die sich gemaB der SCHRODINGER-Gleichung herausbildende nbergangswahrscheinlichkeitsamplitude mu13 dann nach jeder Ausreduktion erneut von Null anwachsen. Die ffbergangswahrscheinlichkeit pro
Zeiteinheit ist damit nicht mehr zeitunabhangig, sondern selbst proportional
der Zeit At zwischen zwei Ausreduktionen, so daB sie mit zunehmendem
entsprechend kleiner wird.
I n der semiklassischen Theorie wird dieses Verhalten dadurch verstlndlich,
daIJ durch einen starken spontanen Obergang die Wahrscheinlichkeitsamplitude
des unteren Niveaus des induzierten Uberganges verkleinert und dadurch das
Dipolmoment des induzierten Oberganges herabgesetzt wird, das ja der besagten
Wahrscheihlichkeitsamplitude proportional ist.
r
2.2. Beschreibung mit Besetzungsgleichungen
Zum Vergleich mit der obigen Rechnung behandeln wir nun das System
der Abb. 1 mit Hilfe der Resetzungsgleichungen
at
=
(2.22)
-Blnl(N, - N2),
(2.23)
(2.24)
wobei N i( i = 1, 2 , 3) die Besetzungszahlen fur die Atomniveaus i, B, den
EINsTEIN-Koeffizienten fur die induzierte Emission (auf e i n induzierendes
Photon bezogene ffbergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit), n, die Anzahl
der den nbergang verursachenden Photonen und z2 die Lebensdauer fur den
spontanen Ubergang /3 + y bezeichnen. Es ist n,
1 angenommen, so daB die
spontane Emission beim induzierten ffbergang 01 -+ vernachliissigt, werden
kann. Mit der Anfangsbedingung
>
N,(O)
=
1, N,(O)
=
N3(0)= 0
erhaken wir nach einfacher Rechnung die Losung
(2.2.5)
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u. a. : Anderung der effektiven Ubergangswahrscheinlichkeit
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I m Grenzfall grol3er Storung des induzierten durch den spontanen ffbergang
folgt (wie auch von vornherein fur z2+ 0 und damit N , = 0 ersichtlich ist)
Nl M e - B &
(2.27)
d. h., das Niveau 01 klingt unabhiingig von der Storung rnit exp (-BB,n,t) ab.
Dieses Ergebnis steht im Gegensatz zu dem der quantenmechanischen Rechnung, welche nach (2.19) fur
00
r-+
la(t)12 m 1
liefert und damit zeigt, daS die Behandlung eines induzierten ffberganges bei
starker Storung des unteren Niveaus mit Hilfe der Besetzungsgleichungen nicht
mehr zulicssig ist.
3. Storung eines induzierten ffberganges durch einen zweiten induzierten ffbergang
3.1. Quantenmechanische Beschreibung
Eine Verringerung der effektiven ffbergangswahrscheinlichkeit wie im Falle
der Storung durch eine spontane Emission ergibt sich, wie im folgenden gezeigt
wird, auch dann, wenn am unteren Niveau des jeweils betrachteten induzierten
ffberganges ein ebenfalls induzierter Ubergang angreift. Wir betrachten das
in Abb. 2 dargestellte Niveauschema, wie es (bis auf die nicht berucksichtigten
Relaxationen 3 -+ 2) genau bei einem 3-Niveau-Laser vorliegt, wenn wir den
induzierten ubergang 2 ++ 1 mit dem Laserubergang und die induzierten ffbergBnge 1 + 3, 4, ..., M
2 rnit dem PumpprozeS identifizieren. (Die Niveaus
3, ..., M
2 konnen dabei auch praktisch zusammenfallen.)
+
+
2
Abb. 2. Niveauschema bei Storung durch induzierte
nbergkinge
1
Wir untersuchen nun das zeitliche Verhalten eines im Anfangszeitpunkt
0 im Zustand 1befindlichen Atoms im Rahmen der semiklassischen Theorie,
d. h. bei klassisch beschriebenem Strahlungsfeld. Dieses nehmen wir der Einfachheit halber als eine Uberlagerung monochromatischer Wellen an :
t
=
@(r,t)= $ @z(r>cos Gzt,
(3.1)
wo @(r,t ) das Gesamtfeld und &(r) die Feldstiirkeamplituden der einzelnen
elektrischen Schwingungen rnit den Kreisfrequenzen 0,bezeichnen.
Die Wellenfunktion des Atoms schreiben wir in der Form
wobei y j (r) die Eigenfunktion des j-ten Zustandes und ti u jdessen Energie dar2). Aus der SCHRODINGER-Gleichung ergibt
stelk, wo j = 1, 2, 3, . .., ( M
+
13
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sich dann fur die Koeffizienten ci ( t ) bei VernachlLssigung der hochfrequenten
Terme entsprechend der ,,rotating wave approximation"
(3.3)
(3.4)
(3.5)
worin k bzw. k, den als reel1 vorausgesetzten Kopplungsfaktor des uberganges
2 bezeichnet und gegeben
zwischen den Niveaus 1 und 2 bzw. 1 und 3 bis M
ist durch - 5 ei(yjIt Iy,), j = 2, 3, . .., ( M
2). Ferner bezeichnen
2%
+
-
+
ACO= w2 - (04- 01)
(3.6)
und
fur n 4 3
Awn = 6,- (w, - wl)
(3.7)
die Abweichungen der eingestrahlten Frequenzen Gjvon den ihnen jeweils am
nachsten gelegenen Atomfrequenzen wj - cul.
I n (3.3) bis (3.5) ist vorausgesetzt, daI3 diese Abweichungen A w und Awn so
klein seien, da13 nur die Anregung durch die nachstgelegene Frequenz Gjin
Betracht gezogen zu werden braucht. (Spontane ObergLnge zwischen den
Niveaus sollen auch vernachlassigbar sein.)
Mit Hinblkk auf die spateren Anwendungen, bei denen die experimentellen
Verhaltnisse so liegen, da13 die Niveaus 1 und 3, 4 , . . ., 31 2 stets durch eine
starke r e s o n a n t e Strahlung (einer Laser-Oszillation) miteinander gekoppelt
sind, wollen wir fur das Weitere alle Am, = 0 fur n 2 3 annehmen.
In diesem Falle lassen sich die k , leicht aus dem System der Gln. (3.3), (3.5)
eliminieren, und man erhiilt fur c 2 ( t ) :
+
Ei + 2 i d ~ 0 Z 2+ (lkI2 + lkj2 - ( 4 ~ ) 'C,) + i A w lkI2c2 = 0 ,
(3.8)
worin gesetzt ist
Hieraus ist zunachst ersichtlich, da13 unter den obengenannten Bedingungen die
vereinte Wirkung der Niveaus 3 bis M
2 der eines einzigen Niveaus mit dem
(vergroserten !) Kopplungsfaktor I ]el2 iiquivalent ist.
Die mit dem Ansatz
+
c2 ( t ) = e--iAt
(3.10)
&us (3.8) folgende Gleichung 3. Grades fur A,
L 3 - 2dwA2-((ik12+ ) l E ) 2 - ( ( 4 ~ ) 2 ) A + d ~ l k 1 2 = 0
(3.11)
last sich auch in der Form schreiben
[A2
- (lk12 + 15 l2 - ( ~ l w ) ~[A
) ]- 2 A w ] = A w [IkI2 + 2(llCl2 - (Aw)Z)].
(3.12)
Ihre 3 Wurzeln seien A,, A,, A,. Die zu der uns interessierenden Anfangsbedingung fur t = 0 : c2 = 1, cl = cn = 0 (und damit E, = 0, C, = - k i 2 ) gehorige
W.
B R u N N m u.
a. : Anderung der effektiven Ubergangswahrscheinlichkeit
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Losung fur c 2 ( t ) lautet
+
Ikl2 +
lkI2
c 2 ( t ) = - --__-
- 22)
(11
+ (A3
+ (4 -
e-W
(13
-
--
4)
Ikl2
+ 423
42)
(& -
e--iR,t
12)
(3.13)
.
U L , - u , t
- k)( A 3 - %)
Zur Diskussion der Verhaltnisse mogen zwei Spezialfalle betrachtet werden,
welche besonders einfachen Losungen'von (3.12) entsprechen.
3.1.1. Bei vollstllndiger Resonanz mit den ungestorten Atomfrequenzen,
d. h. im Palle do = 0, folgt aus (3.12)
A, = -A2
= V l l C 1 2 $-
pip,
A,
(3.14)
= 0,
und (3.13) sowie (3.4) und (3.5) ergeben
(3.15)
k
c1 ( t ) = =
+
c , ( t ) = -__
kkn
jkl2 +
sin A,t,
(3.16)
Vlk12
(cosA,t - 1).
(3.17)
IZ12
An c 2 ( t ) gemaB Gl. (3.15) erkennt man den erwarteten Effekt der Verminderung
der effektiven Ubergangswahrscheinlichkeit infolge der Storung des unteren Niveaus. Mit wachsender Intensitkt der Ubergange 1 -+ n ( 23)) also mit wachsender
Storung 1kI2 geht c2 gegen Eins, d. h., das Atom bleibt fur Ik12 -+ 00 im angeregten Zustand, die effektive obergangswahrscheinlichkeit geht asymptotisch
gegen 0. Dieser Effekt ist physikalisch dadurch bedingt, da13 als Folge der
storenden ubergange 1-+ n das untere Atomniveau aufgespalten wird und
damit der betrachtete nbergang 2 ++ 1 mit wachsender Storung immer mehr
seinen Resonanzcharakter verliert und somit in seiner Intensitat abnimmtl).
Um dies zu zeigen, untersuchen wir im folgenden einen Nichtresonanzfall und
werden sehen, daB durch eine frequenzm&BigeNachstimmung der den obergang
2 ++ 1 induzierenden Welle die effektive ubergangswahrscheinlichkeit wieder
vergroBert werden kann.
3.1.2. Dazu betrachten wir die Spezialfalle
~w =
5~
w , mit
dw,=
ljlkl2
+ 1 lklz.
(3.18)
Auch hier verschwindet die rechte Seite von (3.12) und man erhklt leicht
=
=
Ik'
A,
F)
= 24w,.
l) Im Mikrowellenbereich wurde eine derctrtige Aufspaltung bereits von AUTLER und
TOWNES[15] im Zusammenhang rnit Absorptionsmessungen an OCS experimentell festgestellt und in einer methodisch anderen Weise theoretisch behandelt. JAVAN[16] kommt
in seiner Theorie eines 3-Niveau-Maserszu einem iihnlichen Ergebnis.
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7. Bolge
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Mit diesen Werten ergibt sich aus (3.13)
(3.20)
I m Falle relativ starker Storung ist 2Ac0,
von l c 2 ( t ) 12 wird dann zu Zeiten cos
k
t
k
>d. h. E < 1. Das Minimum
lj2 '
M
0 erreicht und betragt
v2
(3.21)
1 ~ (2t )ILin M E 2 .
Fur 6 1 ist bei den Verstimmungen A w = & A m , demnach eine wesentlich
bessere Entleerung des Niveaus 2 erreichbar als bei A w = 0. Bei sehr starker
Storung konnen wir die zu 5 und t2proporticnalen Terme streichen und wir
erhalten mit
k
c2 (t).+o = cos -t
<
v2
eine Losung, die genau dem ungestorten Fall (Gl. (3.15) fur
= 0) entspricht, lediglich mit einer um den Paktor
verkleinerten Kopplungskonatanten.
12
Die Frage, ob bei einer anderen Verstimmung Ao =/= do, ein noch geringeres Minimum
von 1 c 2 ( t ) j2 erreicht werden kann, 1al3t sich nur aus einer weiteren Diskussion der allgemeinen Losung (3.13) entnehmen, welche bei drei v e r s c h i e d e n e n Wurzeln von (3.11)
recht unubersichtlich wird. Der oben betrachtete Fall Aw = $do, kommt jedoch wenigstens im Falle 6< 1dem Minimum sehr nahe : Erstens ergibt eine naherungsweise Berechnung auch fur die von do, etwas abweichende Verstimmung A w l = & K bis auf Glieder
hoherer Ordnung in 5 denselben Wert fur j c 2 ( t ) l 2 wie (3.19). [Nur in dem Zahler des Vor1
faktors des sin-Terms von (3.19) ist 6 durch
6 zu ersetzen.] Fur E g 1 bleibt daher
2
~
(AT bzw. - 6 ( A o ) der Wert
4 k
von c2 ( t ) l 2 praktisch unverlndert. Zweitens zeigt ein Vergleich der jetzt - bei d o w ido,
oder A o w & A m , - auftretenden Minima mit dem nach (3.15) fur d o = 0 folgenden
Wert (1- 32E2),dal3 jedenfalls bei 6 < 1 in der Pu'ahe von B o = &do, die Resonanzbedingung sehr gut erfullt ist; denn die Minima von Ic,(t) l2 verschwinden hier mit E -+ 0 in
der Gronenordnung C2, wahrend im Falle d o = 0 das Minimum von l c 2 ( t )l2 + 1 geht.
Da aul3er im Falle A m = 0, fE = 0 ein exaktev Verschwinden von c 2 ( t ) zu irgend einer
Zeit t wegen der im allgemeinen vorliegenden Verschiedenheit der Frequenzen li in (3.13)
ohnehin nicht moglich ist, durfte die oben gewahlte Frequenzabweichung Aw = +Aw,
als hinreichend genaue ,,Nachstimmung" zu betrachten sein.
bei einer Anderung von d o um S(do) = do, - d w , w
~
Um den Effekt der Niveauaufspaltung durch die Storung deutlicher hervorzuheben, wollen wir ihn im folgenden noch auf eine andere Weise herleiten.
3.1.3. V e r s t i m m u n g e i n e s a b e r g a n g e s d u r c h S t o r u n g
Der Einfachheit halber beschranken wir uns auf einen einzigen storenden
Ubergang 1 c-f 3.
Wir transformieren zunachst rnit Hilfe der Substitution
(3.22)
W. BRIJNNER
u. a. : Bnderung der effektiven Ubergangswahrscheinlichkeit
197
die Gln. (3.3) (3.5) in ein System von Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten :
iB =M6
(3.23)
mit
(3.24)
:).
(3.25)
M = ( kt L 03 Aw
Wir fuhren nun eine solche unitare Transformation
6'= U 6
(3.26)
aus, so da13 im transformierten Gleichungssystem
idf = UMU-16'
M'6'
(3.27)
die Kopplung zwischen den transformierten Niveaus 1' und 3' fehlt. Explizit
lautet die entsprechende Transformationsmatrix
i
0
(3.28)
1
(3.29)
und die transformierte Matrix M' ergibt sich zu
(3.30)
U l l k U Z l k Llw
Unter Beachtung der Tatsache, daB ein gemeinsamer Phasenfaktor der Koeffizienten cl, c2, c3 physikalisch bedeutungslos ist, erkennt man leicht, daB
G1. (3.27) mit M' gemiil3 (3.30) das folgende Obergangsschema beschreibt
(s. Abb. 3 ) : Das friihere Niveau 2 bleibt unverandert, dagegen treten a n die
Stelle der fruheren NiTeaus 1 und 3 zwei Niveaus 1' und 3' mit
w; = wl
+
&(+),
w; = w1
+
&(-),
(3.31)
und es finden durch die Strahlung mit der ursprunglichen Kreisfrequenz w induzierte Obergiinge sowohl zwischen 2 und 1' als auch zwischen 2 und 3' (aber nicht
mehr zwischen 1' und 3' !) statt. Die zugehorigen Kopplungskonstanten lauten
nach (3.30)
k21t =
u l l k , k2y = ~ 2 1 1 % .
(3.32)
198
Annalen der Physik
*
7. Folge
Y
Bznd 21, Heft 314
*
1968
.r/'
Da die Transformation (3.28) auBerdem d,( = c2) unverandert lafit, kann man
zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsamplitude c2 im Falle der Anfangsbedingung ,,das Atom befinde sich im Ausgangszeitpunkt im Niveau 2" an
Stelle des Gleichungssystems (3.23) genauso gut das System (3.27) benutzen.
Letzteres aber hat den Vorzug, daB man es ohne weitere Rechnung leicht diskutieren kann.
-4,'
-- ---
---I
---- 3
Abb. 3. Niveauschema bei Storung durch einen induzierten nbergang entsprechend der Transformation der
Bewegungsgleichungen nach (3.26)
Das zugehorige Niveauschema (Abb. 3 ) zeigt ja bereits, dalj die Einwirkung
des storenden uberganges als Verstimmung des urspriinglichen Oberganges
2 ++1 aufzufassen ist. Bei nicht zu kleiner Aufspaltung der Niveaus 1' und 3'
(also bei geniigend groBem Wert der Kopplungskonstante z) wird das Niveau 2
offenbar am raschesten entleert, wenn die Strahlungsfeldfrequenz in Resonanz
mit einem der ubergange 2 tj 1' oder 2 ++ 3' ist, d. h., wenn gilt
03 =
me - o1- &(*).
(3.33)
Die Storung ist am wirksamsten fur Am, = 0 ; dann haben wir einfach
(3.34)
d. h., es liegt eine Verstimmung des ursprunglichen Oberganges 2 ct 1 um
A w = & k vor, und die urspriingliche Kopplungskonstante k ist um den Faktor v2 verkleinert, was mit dem Ergebnis von 3.1.2. ubereinstimmt.
Wir wollen im folgenden Abschnitt schlieljlich noch explizit zeigen, dalj
der geschilderte Effekt der Unterdriickung des uberganges 2 +-P 1 bei starker
Storung nicht aus den zur Beschreibung der Vorgange im Laser haufig benutzten
Besetzungsgleiehungen folgt, welche auf der Konzeption einer von der Zeit
sowie von anschlieaenden Ubergangen unabhangigen tfbergangswahrscheinlichkeiten beruhen.
3.2. Beschreibung mittels Besetzungsgleiohungen
Wir gehen wiederum aus von dem Niveauschema der Abb. 2 und untersuchen die Anderung der Besetzungszahlen N j ( j = 1, 2, 3) der Atomniveaus
unter dem EinfluB zweier Strahlungsfelder, die sich jeweils (zumindest naherungsweise) in Resonanz mit den entsprechenden Atomubergangen 2 -++ 1 bzw.
3 t-f 1 befinden sollen. Die weiteren Pumpniveaus denken wir uns der Einfachheit halber durch das Niveau 3 reprasentiert. Die entsprechenden mittleren Photonenzahlen ne und n3 wollen wir dabei als genugend groB voraussetzen, so daB
W. BRUNNER
u. a. : dnderung der effektiven U'bergangswahrscheinlichkeit
199
wir die spontane Emission sowie die Anderung von n, und n3 durch Oberganga
des Atoms vernachlassigen konnen. Die Besetzungsgleichungen iauten dann
-ddtN_z - n,B,(N,
- N,),
= --2B,(N,
'
3
= -n3B,(N3
dt
- N,)
(3.35)
+ n,B3(N3 - N,),
(3.36)
- N,)
(3.37)
(B,, B3 EINSTEIN-Koeffizienten fur die induzierten Obergange). Wenn wir uns
N,
N3 = 1. Mit der Anfangsbedingung,
auf e i n Atom beschranken, gilt N ,
da13 sich das Atom zur Zeit t = 0 im Zustand 2 befinde,
+ +
(3.38)
N,(O) = 1 , N,(O) = N 3 ( 0 ) = 0,
ergibt sich als Losung aus dem obigen Gleichungssystem
4i
N,(t) = 3 1
mit
+ 2+
B,n,
B,n, -
1
- -Bzn,
2
W
1
B,n, - W
W
-W
1
-
e-(Ban,+Batta-W)l
- e-(Bs%+&ns+W)t
(3.39)
1
+
1/(B,n,),
(B3n3)2- B,n,B3n3.
Wenn wir zunachst den Spezialfall fehlender Storung (n3 = 0) betrachten,
erhalten wir aus (3.39)
W
=
N , (t)=
+
(1 + e-2Ba?Lzt ) *
Fur geniigend grol3e Zeiten t
(3.40)
> ( 2B,n,)-l bildet sich also, wie1 auch zu erwarten
1
ist, eine Gleichbesetzung der Niveaus 1 und 2 aus: N , + - und Nl --f -.
2
2
Fur eine sehr starke Storung des Oberganges 2++ 1 durch den Strahlungsubergang 3 ++ 1, d. h. B,n,
B3n3, folgt aus (3.39)
<
(3.41)
Auch in diesem Fall ergibt sich fiir den stationaren Zustand eine Gleichbesetzung
1
der Niveaus: N i(t -+00) = 3,d. h., das Niveau 2 wird im Endeffekt bei
starker Storung des Oberganges mehr entleert als bei fehlender Storung ; allerdings geht der Entleerungavorgang im ersten Fall etwas langsamer vor sich
als im zweiten, wie aus dem Vergleich der Beziehungen (3.40) und (3.41) sofort
zu erkennen ist. Dieses mit Hilfe der Besetzungsgleichungen gewonnene Ergebnis steht ebenso wie im Falle des Niveauschemas der Abb. 1 im Gegensatz zu
den Folgerungen aus der SCHRODINOER-Gleichungund zeigt, da13 es im allgemeinen nicht zulassig ist, mit einer von der Zeit und evtl. sich anschliel3enden
weiteren Obergangen unabhangigen Obergangswahrscheinlichkeit pro Zeitein-
200
Annalen der Physik
*
7. Folge
* Band 21,
Heft 3i4
*
1968
heit zu rechnen. Dieses Ergebnis ist einmal fur die Lichtemission im allgemeinen
von Interesse und zum anderen bedeutet es speziell fur den Laser, daB die bei
extrem starkem Pumpen mit Hilfe der Besetzungsgleichungen berechneten Photonenzahlen prinzipiell iiberschatzt werden.
.4. Schlullbetraehtungen
Im vorstehenden wurde gezeigt, da13 das Verschwinden des Lasereffektes
bei extrem starker Pumpstrahlung, welche am unteren Laserniveau angreift,
dadurch zu verstehen ist, dafi als Folge der Storung des unteren Niveaus die
ubergangswahrscheinlichkeit verringert wird. Dies wurde niiher erlautert einma1 fur den Fall, da13 sich a n das untere Laserniveau ein spontaner ubergang
anschliefit und zum anderen, da13 auch die Storung durch einen induzierten
ubergang erfolgt. Dieser Effekt ist dabei fur den ersten Fall als die Folge einer
Niveauverbreiterung uud fur den zweiten Fall als die einer Niveauaufspaltung
des unteren Niveaus des induzierten ubergangs zu verstehen. Fur eine experimentelle Nachprufung des Effektes ist es am zweckmafiigsten, einen induzierten
ubergang durch einen zweiten, experimentell regelbaren induzierten Obergang
geniigend stark zu beeinflussen. (Die Beobachtung einer Storung der induzierten Emission durch einen spontanen ubergang kommt kaum in Betracht, da
ein solcher Stormechanismus normalerweise in seiner Starke nicht variiert
werden kann.) Es liegt nahe, als induzierten Obergang jeweils einen Laserubergang zu benutzen und die Abhangigkeit der Photonenzahl der einen Laserschwingung von der Intensitgt einer anderen Lasermode mit dem gleichen
Endniveau zu untersuchen. Offenbar ist wegen ihrer gro13en Intensitat eine
Laserschwingung als Storung besonders geeignet .
Tatsachlich gibt es verschiedene Moglichkeiten, einen derartigen Versuch
zu realisieren.
Auf Grund der vorstehenden allgemeinen Oberlegungen konnte von HERTZ
und HOFFMANN
in einem He-Ne-Gaslaser, bei dem zwei zum gleichen Endzustand fiihrende Laserubergange simultan stattfinden, ein solcher Effekt aufgefunden und die theoretischen Erwartungen bestatigt werden [17, 181. Eine
ausfiihrliche Diskussion dieses Experimentes erscheint in Kiirze [19, 201.
Literaturverzeichnis
[l] HAKEN,H., u. H. SAUERMANN,
Z. Physik 173 (1963) 261.
HAKEN,H., u. H. SAUERMANN,
2. Physik 176 (1963) 47.
FEIN,V. M., u. YA. J. KHANN,JETP 14 (1962) 1069.
LAMB,W. E., Jr., Physic. Rev. 134 (1964) A 1429.
HAREN,H., Z. Physik 190 (1966) 327.
SAUERMANN,
H., Z. Physik 189 (1966) 312.
LAX,M., Physic. Rev. 145 (1966) 110.
HAKEN,H., Z. Physik 181 (1964) 96.
HAKEN,H., Z. Physik 182 (1965) 346.
[lo] WEIDLICH,W., u. F. HAAKE,Z. Physik 186 (1965) 203.
1111 BRUNNER,
W., H. PAUL
u. G. RICHTER,Ann. Physik 19 (1967) 417.
[12] HEITLER,W., The Quantum Theory of Radiation, 3rd Ed., Oxford University Press
(1954).
[13] GORDON,
J. P., L. R. WALKERu. W. H. LOUISELL,
Physic. Rev. 130 (1963) 806.
[14] ERD~LYI,
A. (Ed.), Tables of Integral Transforms, Vol. I, McGram-Hill Book Co.
(1954).
[15] AUTLER,
S. H., u. C. H. TOWNES,
Physic. Rev. 100 (1965) 703.
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[S]
[9]
W. BRUNNER
u. a. : h d e r u n g der effektiven tfbergangswahrscheinlichkeit
201
[16] JAVAN,
A., Physic. Rev. 107 (1957) 1579.
[17] BRUNNER,W., H. PAUL,G. RICHTER,J. H. HERTZu. K. HOFFMANN,Physics
Letters 24A (1967) 692.
[18] BRUNNER,
W., H. PAUL,G. RICHTER,J. H. HERTZu. K. HOFFMANN,
Monatsberichte
Dt. Akad. Wiss. 9 (1967) 483.
u. G. RICHTER,Ann. Physik (im Druck).
[19] BRUNNER,
W., H. PAUL
[20] HERTZ,J. H., u. K. HOFFMANN,
Ann. Physik (im Druck).
B e r l i n - Adlershof, Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin,
Institut fur spezielle Probleme der theoretischen Physik.
Bei der Redaktion eingegangen am 23. Oktober 1967.
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