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anderung der Wrmeleitfhigkeit von Metallen im transversalen Magnetfeld.

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256
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 29. 1937
,&derung
der WUrmeleitfUh%gkeItvon Metallem
i m traneverealen Magnetfeld
Vom M a x K o k l e r
Der Einflufl von Magnetfeldern auf die thermische Leitfahigkeit
von Metallen, auch 2. Righi-Leduc-Eff’ekt genaunt, ist wegen seiner
GroBe zuerst an Bi experimentell nachgewiesen und eingehend
untersucht worden’). Fast gar keine Versuche liegen an normalen,
regular kristallisierenden nichtferromagnetischen Substanzen vor, bei
denen die Verhaltnisse priiizipiell einfacher sind. Erst in neuester
Zeit ist der Effekt von G r u n e i s e n ? an W-Kristallen bei tiefen
Temperaturen nachgewiesen worden. Im folgenden soll der EinfluB
eines transversalen Magnetfeldes auf die thermische Leitfahigkeit bei
hohen Temperaturen, vom elektronentheoretischen Standpunkte aus.
unter vereinfachenden Annahmen untersucht werden. Die Behandlung dieses Problems mit Hilfe der Sommerfeldschen Theorie der
freien Elektronen ist nicht zulassig, da die Theorie des freien
Elektronengases schon bei der Berechnung der elektrischen Widerstandsanderung versagt. Der Grund dieses Versagens liegt bekanntlich in der Annahme volliger Isotropie des Metalls. Bei Beriicksichtigung moglicher Anisotropien ist aber eine allgemeine Behandlung des Problems nicht niehr moglich. Um die Rechnung
durchfuhrbar zu gestalten, wollen wir die Voraussetzung einfiihren,
daB eine mittlere StoBzeit existiert, die anisotrop sein soll, daB aber
die Eigenwertverteilung, wie bei der Sommerfeldschen Theorie
isotrop ist. liiese Annahme stellt natiirlich eine wesentliche Spezialisierung des Problems dar. I m allgemeinen wird sowohl die
mit den Warmeschwingungen eng msammenhangende mittlere StoSzeit, als auch die Eigenwertverteilung anisotrop sein. Aber trotzdem
ist die Annahme der Anisotropie der StoBzeit allein ausreichend, urn
die elektrische U’iderstandsiinderung 7 , und auch, wie wir sehen
werden, die h d e r u n g der tlierlnischen Leitfahigkeit in richtiger
1) Vgl. W. M e i s s n e r , Handb. d. Exp. Phys. Bd. S I , 2 S. 384; E. Griine i s e n u. J. G i e l e s s e n , Ann. d.Phys. [ 5 ] 26. S. 419. 1936.
2) E. G r i i n e i s e n , die Kenntnis dieser noch uuveroffentlichten Messungen
verdanke ich Herrn Ur. E. J n s t i .
3) Vgl. A. S o m m e r f e l d u. H. B e t h e , Handb. d. Phys. Bd. XSIV,
2. Teil, S. 567.
M.Kohler. hderung der Warnzeleitf6ih&$eit von MetulZen usw.
257
GriA3enordnung zu liefern. Wir wollen uns die Anisotropie der
StoSzeit etwa so vorstellen, dab wir den ganzen raumlichen Winkel
in verschiedene Bereiche einteilen, in denen die StoSzeit konstant,
d. h., unabhangig von der Richtung ist, von Bereich zu Bereich aber
verschieden ist. In jedem einzelnen Bereich konnen wir dann die
statistische Fundamentalgleichnng exakt losen, wie dies in der
Sommerfeldschen Theorie getan wird. Im iibrigen setzt die Annahme einer mittleren StoSzeit bekanntlich hohe Temperaturen vorans.
1
die Fermiverteilnng der MetallBezeichnet f, = E - C
-
e kT + I
elektronen , f die Verteilungsfunktion in Anwesenheit eines elektrischen Feldes 5 senkrecht zur z-Achse und eines Magnetfeldes $j
in Richtung der 2 - Achse, so lautet die statistische Fundamentalgleichung
Die kinetische Energie der Elektronen sei
Die exakte Losung der statistischen Fundamentalgleichung ergibt
sich in der bekannten Weise zu:
f = f o + va- x , + v&J' X 1 ,
wo
xl=-r
f*+q.fb.
f, = e F,
a fo
1 +pa
+
I
x2=-z
f,-Q-fi_.
'
1+q'
a fo
a fo
-&-; f, = e Fy
p =7 p =T
.+
a fo
;
-me H .
Die GroSe q hat eine anschauliohe physikalische Bedeutung: Sie ist
gleich dem Verhaltnis der freien Weglange 1 = T * v zum Radius
desjenigen Kreises, den das Elektron der Geschwindigkeit v im
transversalen Magnetfeld H beschreibt.
Der elektrische Strom und der Wiirmestrom bestimmen sich in
der ublichen Weise aus:
Annslen der Phyalk. 6. Folue. 20.
17
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 29. 1937
258
Bei der Ausfiihrung der Integration uber die Winkel des Geschwindigkeitsraumes hat man die GroBe T und Funktionen dieser GroBe
durch entsprechende Mittelwerte iiber alle Richtungen zu ersetzen.
Diese Mittelwertbildnng wollen wir durch mberstreichen kennzeichnen.
Nun ist
wobei q eine Abkiirzung f u r
5
(T-m)
a 5 ist.
Damit wird dann:
+ (6 - 11 La) a T
~4
Hierbei bedeutet
Experimentell ist bei nicht zu groBer auberer Warmeleitnng der
adiabatische Fall verwirklicht. AuBer J y = 0 muB auch Qy= 0 sein.
a
als Funktion
Diese beiden Bedingungen reichen aus, urn F y , __
aY
von F,,
~
aa x
auszudriicken.
Es ergibt sich:
eFz(LoL,- L,L,)+[ q G o L i - L,LJ
1
aT
(1)
--2 Tmp
ay -
m
- 2T
L, L,
(L, L,
- La*
- L, L,)] -
~
aT
ax
I
M.Kohler.
Anderung der Warmeleitfahigkeit mn Metallen ww. 259
Mit diesen beiden Ausdriicken gehen wir in die Formeln ftir J ,
und Q, ein, und erhalten dadurch Js und Q, a19 Funktionen der
longitudinalen Felds tarke F, und des longitudinalen Temperaturgradienten d T 1 ax.
Bekanntlich ist die Warmeleitung in der modernen Elektronentheorie ein Effekt 2. Ordnung, d. h. bei Zugrundelegung der Kastenverteilung der Elektronen wird sie gleich Null. Erst bei nicht vollstandiger Entartung ergibt sie sich von Null vemchieden. Man mu6
die Berechnung der L-Integrale bis zur 2. Ordnung durchfuhren (bis
zur 2. Potenz im Entartungsparameter k T 5). Dieses Nahernngsverfahren ist in unserem Falle aber nicht gestattet, da in 1. Naherung, wie man sich leicht iiberzeugt, der Nenner von (1) und (2)
verschwindet, und demgema6 auch die Zahler von (1) und (2). Will
man also d T / dy und Fy bis zu Gliedern 2. Ordnung im Entartungspaxameter genau haben, so mu8 man Zahler und Nenner
von (1) und (2) bis zur 3. Ordnung genau ausrechnen. Dies la6t
sich im stark entarteten Fall dnrchfiihren. Haben wir ein Integral
[F(e) eine gerade Funktion von E ]
m
I
L=[(F(e)$dc,
~
=5 ~
> e=-l z,kT 5
'
-a
und ist
so wird allgemein:
L = - F(0)+
i
$F"(0)+ =F@)(O)]
360
.
..
Die Integrale Lo, 4 ,L, . L, lassen sich allgemein nicht auswerten.
U'ir betrachten nur die beiden Grenzfalle kleiner nnd sehr gro6er
magnetischer Feldstarken. Diese beiden Grenzf alle sind gekennzeichnet durch q Q 1 und q 1.
>
I. QrensfiN kleiner magnetieoher Felder (qg1)
Wir beschranken uns auf die qnadratischen Glieder in der
magnetischen Feldstirke. Setzt man
y,=
nkT m v'
n
kT (i&= Fermische
.50
Grenzenergie fiir T = 0).
17*
260
Annalen der Physdk. 5. Folge. Band 29.
1937
So wird
Dabei wnrde die weitere Voraussetzung gemacht, daS die freie Weglange unabhangig von der Geschwindigkeit v ist, was sicherlich
streng nicht der Fall ist. Die angeschriebenen Beziehungen sind
nicht genau richtig, da schon beim Anachreiben darauf Rucksicht
genommen ist, daS z. B. in den Gliedern proportional zu y4 die
Feldstilrkenabhangigkeit weggelassen wurde , da diese Qlieder nur
bei der Berechnung von a T l a y und Fy aus (1) und (2) notwendig
sind, und dort aber Glieder mit dem Faktor p3 ergeben wiirden.
AnSerdem kommen Lo, L s , L, nur mit p multipliziert vor, so daS
man bei diesen GroSen die Feldstiirkenabhilngigkeit ebenfalls niclit
benotigt. Die GroSe v bedeutet immer die Fermische Grenzgeschwindigkeit.
Weiter ist
5 = co(l - sya)
1
und damit
71
=
T
Diese AusdrUcke werden nur bis zur 2. Naherung benotigt, da jede
Klammer in (1) und (2) ftir sich selbst in 1. Naherung verschwindet.
Nun wird:
AuBerdem ist bei einer Messung der Wiirmeleitfahigkeit Jz = 0.
Unter Verwendung von (1a) und (2a) erhalten , wir eine Gleichung
zur Bestimmung von F, als Funktion von d T / d z . Es folgt:
M.Kohkr.
Anderung der Warmekilfahigkeit mn Metalbn tuw.
Nun bestimmen wir den Warmestrom Q, als Funktion von
Nach einiger Rechnung folgt das einfache Resultat:
261
a T/ax.
Da die Elektronenzahl pro Eubikzentimeter gegeben ist durch
folgt fur die Wkmeleitfilhigkeit il der Ausdruck:
(4)
Vergleichsweise wollen wir noch die elektrische Leitfiihigkeit
im Magnetfeld bestimmen. Dazu geniigt der Ausdruck fiir J , in
1. Niernng. Es ergibt sich:
Zunachst kann man leicht vermittels der Schwarzschen Ungleichung zeigen, daE
-787
>0
'.
Wir lesen aus Formel (4) folgendes ab:
1. Fiir kleine Feldstiirken nimmt das Wkmeleitvermbgen im
Magnetfeld ab, und zwar proportional zum Quadrat der Feldstike.
2. Die h d e r u n g ist um so grober, je anisotroper das Metall ist.
3. Fur hohe Temperaturen (T 01, wo unsere Theorie nur
_-
>
richtig sein kann, ist " - 'la in derselben Weise temperatur(t)'
abhangig wie P . Da i nach der Metalltheone aber proportional
zu T-' ist, so wird die relative Anderung der thermischen Leitfahigkeit proportional zu T-2. (Anderung selbst ebenfalls proportional T-2).
4. Das W i e d e m a n n - F r a n z s c h e Gesetz gilt streng auch bei
Annahme einer anisotropen mittleren freien Weglange und, was
iibenascht, auch im Magnetfelde, solange das Feld genugend schwach
ist. Experimente, an denen sich diese Konsequenzen prtifen lieBen,
liegen zur Zeit nicht vor, da Bi und Te keine Substanzen sind, bei
denen starke Entartung des Uektronengases vorliegt, und die theoretischen Ergebnisse nur fur hohe Temperaturen gewonnen Bind.
Wir gehen nun zur Behandlung des anderen Grenzfdles iiber.
Annakn der Physik. 5. Folge. Band 29. 1937
262
11. Qrensfall groler magnetischer Felder (p
> 1)
In diesem Fall ergibt die Berechnung der L-Integrale:
-
L p -
c v 5 T--1
~
P*
(1
+ 47”);
36
29
Fur a T / d y und Fy folgt nach langerer Rechnung aus (1) und (2):
(1b)
aT - p
----.
aY
eFz
1’
[2 c0 ( 1 - T O29Y ‘ )
+ ( 1 - 2 ~ ) =d]T’
7-1
eF = ~ - [ e F z ( 1
l + F y11z ).- + - ~ y. p ~
Y
+-1
48 T
a
Damit gehen wir wieder in die Beziehung J,= 0 ein. Man
e r h d t schlie6lich:
(2b)
‘I
Hiermit ergibt sich:
Dies in den Ausdruck fur Q, eingesetzt, liefert:
Pur die Wiirmeleitfahigkeit :
Dies la& sich umformen in:
Das Warmeleitvermogen geht in starken Magnetfeldern einem
Grenzwert entgegen,
der zum Leitvermogen ohne Magnetfeld im
- Verhaltnis 1:C I S 5 steht. Mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung
laBt sich aeigen, da13
__
7-1r > 1,
d. h. der Grenzwert des Leitvermogens bei groBen Magnetfeldern ist
kleiner als das Leitvermogen ohne Magnetfeld. herraschenderweise gilt auch in diesem Grenzfalle, wie bei kleinen Feldern,
M . Kohler. Anderung der Wurme2eitfahigkeit txyn Metauen usw.
263
streng das W iedemann-Franzsche Gesetz. Denn berechnet man
die elektrische Leitfahigkeit, so erhalt man
c = - _n .en
fn 1-l
Durch Vergleich mit den Experimenten ergibt sich aus Messungen
des elektrischen Widerstandes in schwachen Magnetfeldern, da6
iqy
a
Werte von etwa 1-5
.-, s
annimmt bei normalen Metallen l).
-
-
Von derselben GroBenordnung wird auch T - ~ T sein.
Jedoch mu6 darauf hingewiesen werden, da6 die Voraussetzungen dieser Rechnungen sicherlich nicht allgemein zutreffen.
Doch wird man vielleicht in einzelnen Fallen mit den gemachten
Annahmen auskommen.
Zueammenfaaeung
Unter der Voraussetzung einer anisotropen StoBzeit, aber isotroper Eigenwertverteilung, wird die adiabatische xnderung des
thermischen Leitvermogens im transversalen Magnetfeld bei hohen
Temperaturen auf Grund der Elektronentheorie untersucht. E s ergibt sich im Falle niedriger Feldstiken eine Erniedrigung der
Leitfahigkeit proportional zu Ha und proportional zu Ta. Bei
hohen Feldstiirken ergibt sich ein Grenzwert der Thermischen Leitfahigkeit. Sowohl fur niedrige als fik hohe Feldstarken gilt exakt
das W i e d e m a n n - F r a n zsche Gesetz.
1) Vgl. A. Sommerfeld u. H.Bethe, a. a. 0.
B e r l i n W 15, Ludwig-Kirch-Str. 3.
(Eingegangen 1. April 1937)
.
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