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Anonyme Beschreibung und hydrodynamische Nherung fr ein klassisches Plasma.

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398
Annden der Plty8ik. 7. Folgc. BaiLd 12. 1961
Anonyme Beschrei6ung und hydrodynamische Naherung
far ein klassisches Pfasma
Von W.M a c t e m i l B. P e g e l
Inhaltsiibcrsicht
Ausgehend von der exakten Beschreibung eines Gases mit Coulombwcchselwirkung wird mittels einer lranonischen Transformation eine aquivalente, anonyme Darstellung eingefiihrt , aus dcr durch raumliche Mittelwertbildungen ein
riichtabgeschlossenes System makroskopischer, hydrodynamischer Bilansgleichungen abgeleitet wird. Durch genaherte Auswertung gewisser Schwankungsterme wird ein abgesrhlossenrs hpdrodynaniischcs Gleichungssystem gewonnen.
1. Einlcitung
Der Gegenstand unswer Betrachtuiigen ist ciii ausgedehntes Gas elektrisch
geladener Puiiktteilchen ohne magiietische Wechselwirkung. Das dynamische
Verhalten eines solchen Vielteilchensystems kann in vieleii Flilleii durch (elektro)hydrodynamische Gleichuiigen l) beschrieben werden. Der Zusammenhang
derartiger makroskopischer Gleichungen mit den Mikrobewegungen wird gewohnlich mit den Methoden der kiiietischen Gastheorie h e r g e ~ t e l l t ~ - ~In
) . der
vorliegenden Arbeit SOUgezeigt wrrden ,da13 dieser Zusammenhang sich in direkter und ,,natiirlicher" Weisc ergiht., wenn die inikroslropischen Bewegungsgleichnngen in einer aquivalenten, anoiiymen Feldbeschreibung dargestrllt werden,
i n der sie von voriiherein eine quasihgdrodprtmische Form erhalten.
Zuniichst wird in Abschnitt 2 die a n o n p e Feldheschreibung eingefiihrt.
Xach einigeii vorboreitenden Retrachtungen iiber kanonische Transformationen
von diskreten auf kontinuierlichr Variable in Absclinitt 3 zeigen wir in Abschiiitt 4, daB die Feldbeschreibung ails der Teilchendarstellung durch einc
kanonische Transformation hervorgeht. In Abschnitt 5 erfolgt der Ubergang
zur makroslcopischen, hydrodynamischen Beschreibung durch eiiifache rliumliche Mittelwertbildungen. Das dabei entstehende, nichtnbgeschlossene GZeichungssystem makroskopischer Gr6Be.n entspricht dem aus der kinetischeri
Gastheorie bekannten nichtabgeschlossenen Gleichungssystem fur die stntistisohen Teilwahrscheinlichkeiten (BBGKTLT-Hicrarchie).welrhes a m der Liouville0. M. S t u e t z e r , Phys. Fluids 5, 531 (1962).
R. Herdaii u. B. S. Liley, Rev. mod. Phys. 32. 731 (l!%O).
a) H. S. Green, Phys. Fluids 2, 341 (1959).
') W. E. Brittin, Phys. Rer. 106, 843 (1957).
5 ) L. S p i t z e r , Physics of Fully Tonizd Gases. Jntcwcience Piibl.. Ntw York 19%;
1)
2)
Cleichung hervorgeht (s. L . B. 6 ) ) . Um zu ciiiem brauchbsren Satz hydrodynamischer Gleichungen zu kommen, mu13 dieses Gleichungssystem irgendwo abgebrochen werden, was nur durch zusiitzliche statistische Uberlegungen und
Niiherungsannahmen miiglich ist , wenn man uberhaupt eine wesentliche Vereinfachung gegeniiber einer systematischen Behandlung des Vielk6rperproblems
( 8 . B. 7) 8)) erreichen w
ill.I n Abschnitt G spezialisieren wir unsere Gleichungen
zuniichst auf ein zweikomponentiges Plasma. Die Bewegungsgleichungen fur
die einzelnen Teilchensorten enthalten neben den Partialdruck-Tensoren noch
Kraftdichteterme, die durch statistisehe Ladungsdichteschwankungen verursacht werden und bei geniigend groI3em Mittclungsbereich genghert vernachliissigt werden kiinnen. Fur das Zeitverhalten der Drucktensoren entsteht
nnter Venachliissigung von Schwankungstermen hiiherer Ordnung eine einf ache Gleichung, die das anisotrope Druclrverhalten bei raschcn Zustandsandernngen beschreibt.
2. Individuolle und snonyme Beschrcibung des Systems
Ein in ein grol3es Volumen eingeschlosseiies Gas elektrisch geladener Punkt teilchen mit Massen mi und Ladungen ei (i = 1,2 . . . N) wird in cler iiblichen,
individuellen Darstellung durch die Orte ri (t) und Impulse .pi( t ) der einzelnen
Teilchen beschrieben. Seine Hamiltonfunktion lautet bei Vernachlassigung magnet.ischer We ch selwirkungen
Eine deni vorliegenden Vielteilchensystem besser angepaI3te Darstellung,
die auf die Beschreibung der individuellen Teilchenbahnen rz( t ) verzichtet, ergibt
sich durch den ubergang zu einer anonymen Feldbeschreibung ( 8 . z. B.g)).Wir
definieren die Felder der Massendichte und Ladungsdichte durch
p ( r ,t ) z z m t 8 ( r - t z ( t ) )
l
~ ( rt ),= zae , 6 ( r , - - r t ( t ) )
(2)
niit 6 (r) als der Dirac’schen Deltafunktion. Ferner definieren wir ein Geschwindigkeitsfeld b (t,t ) , das an den Teilchenorten r, mit den entsprechenden Teilchengeschwindigkeiten iibereinstimmen soll und sonst zuniichst heliebig sein kanii :
b (r, t) = r, bei t = r,, sonst beliebig.
(3)
Fur spiitere Verwendung vereinbaren wir noch
e -5
--
F‘
In,
bei r = t , , sonst belicbig.
(4)
Mit (2) und (3) laBt sich die Hamiltonfunktion in der Form
C. M. T c h e n , Phys. Rev. 114, 394 (1959).
R. B a l e s c u , Phys. Fluids 3, 62 (1960).
8 ) R. K. Vtirma, Phys. Fluids 5, 626 (1962).
9 ) W. IVIiIncke, BIechanik der Teilchen, Systeme iind Kontinua. Akadrniisehe T‘erlngsgesellschicft, Leipzig 1962.
6,
7)
400
Annalen der Phyaik. Y. Folge. Band 12. 1904
schreiben, wobei der Integraloperator A-1 (reziproker Laplace-Operator) diirch
definiert ist. Er hat die unmittelbar aus (6) folgende Eigenschaft
P
$drg(r) A-lfW = S d r f W A-lg(r)
(7)
fur beliebige Funktionen f und g. In der Hamiltonfunktion (5) ist im Gegensatz
zu (1)die Selbstenergie der Teilchen mit enthalten. Da diese aber nur einen konstanten (unendlichen) Beitrag zu H lieftrt,, ist sie fiir das dynamische Verhalten
des Systems belanglos.
I m folgenden sol1 gczcigt werden, daB der Obergang von der individuellen
zur anonymen Beschreibung durch eine kanonische Transformation vermittelt
wird. Damit finden wir dann auch sofort die Bewegungsgleichungen fur die anonymeii Felder. Da kanonische Transformationen von diskreten zu kontinuierlichen Variablen ungewohnt sein diirften, werdeii im naohsteii Abschnitt ziiniirhst einige Siltzc iiber kanonische Transformationen zusammengostellt .
3. Hariunische Transformationen
Der Zeit,ablauf eines beliebigen klassischen Systems, charakterisiert diirch die
kanonischen Variabeln qi ( I ) , qk( t ) , w i d i n bekannter Weise durch
bcschriebcn, niit H als der Hsmiltonfunktion. Als lranonischc Transformation
wivd ein ubergang zu neuen Variablen
-'
qi, Pk -+ Q i , pk
H(q6, p k )
(Qa,
(2)
definiert derart, daB die Bewrgniigsgbichuiigen der nenen Variabeln wiedcr die
kananische Form haben :
Solche Transformation kaiin man bekanntlich ails Erzeugendeii R gewinnen
(s. z. B.9),z. B. in der Form
Diesc bekannteii Ergebnisse lasscn sich leicht auf kontinuierliche Variable
iibertragen. Die neuen Variablen seien raumlich kontinuierliche Felder. D a m
geht der diskrete Index i sozusagcii in einen ,,kontinuierlichen Index" r ubcr,
d. h. cs werden jedem Raumpunkt r xwri kanonische Variable zugeordnet :
P,(4-+ P , ( t ) = P ( r ,t ) .
Q , ( t ) --f Qdt)= Q(v7 I )
(5)
Jede Funktion P (P,)
aller Impulse geht danii in ein Fnnktional voii P ( 5 ) uber :
F ( P , ) + IP(P~)
=F I P ( ~=
) ] J d r f (P(r),
,
((i)
wobei wir (wegen der kontinuicrliclien Ortsabhangigkeit) in f auch riiumliche
Ableitungen voii P (v) zulasscn miissen. Partidle Ableitungen gehen beim ifber-
gang zu kont,inuierlichcn Variablen in Fiiiilitioiialableitungeli iiber :
-+-=
a
a
ap,.
d
aPr - dPir) ‘
Dabei bedeutet
4. ffhergang von der diskreten zur anonymen Beschreibiing duroh eine kanonisohe Transformation
Es wird eine kanonische Transformation von den urspriinglichen diskreten
Variabeln des vorliegenden Vielteilchensystems auf die in Abschnitt 2 eingefuhrten anonpmen Fcldva.riabe1n gesucht :
t,, p i
Q,, P,
P,
=: @(t).
(1)
Fiir P, wird aus gleich ersichtlichen Griinden die Bezeichnung @ (t)cingefiihrt.
Die gew-finschte Transformation folgl aus der Erzeugenden
--f
aR p . -mi a@(r,,
ari
ari
*
Wir definieran noch ein Geschwindigkcitsfeld :
Die zweite Gleichung (3) besagt dann
p.
m,
.
.r=
t, = 2 = ti h i
sonst beliebig bis auf Wirbelfreiheit.
(5)
d. h. clas so definierte Geschwindigkeitsfeld stimmt mit dem in (2.3) eingefiihrteii
uberein (bis auf die hier zusiitzlich gef0rdert.e Bedingung der Wirbelfreiheit).
Damit wird die Bedeutung der neuen kanonischen Variabeln als Massendichte
und Gcschwiiidigkeitspotential erkennbar. Die neue Hamiltonfunktion lautet
Bus (6) ergeben sich die Bewegungsgleichungen
-102
dnnalen dcr Phyaik. 7. Folqa. Bond I?. 1964
mid, mit cler an den Teilchenorten giiltigen Beziehung
(6) ist die bekaiinte Kontinuitiitsgleichung. Gleichung (7) gilt zuiiiichst iiur an
den Teilchenorten. Wegen der Willkiir voii @, b wid ~ / an
p allen anderen Orten
1;ann sie aber auch als iiberall giiltig angesehen werdeii und ist dann die Bewcgmigsgleichung fur Potentialstromungen ( 8 . z. B. 9)). Ini stationaren Falle geht
sie in die Bernoulli-Gleichung uber.
In physikalisch sinnvollen Gleichungen durfeii Funktionen von b nur im Produkt mit der Massendichte vorkommen, weil iiur dann die Willkiir von b auSerhalb der Teilcheiiorte belanglos wird. Aus diesem Grunde formeii wir (9) noch
folgendermalien um : Durch Gradientenbildung nnd anschlieSende Multiplikation niit ,u ergibt sich zuniichst
DRSerste Glied auf der rechten Seit,e kann wegen der Wirbelfreiheit von b auch
in der Form - p b v
IP geschrieben merclen. Das zweite Glied rechts wcrten wir
niit der fiir beliehige Funktionen f (r) giiltigen Gleichung
a m , die sich ergibt, wenn inan beaclitet, (la13 wegen cles Faktors M
, der Gradient
iiur a n den Teilchenorten zu bildeii ist und dort der Faktor p/p eine Konstaiite
(niimlich eJmi) ist, die vor den Differentialoperator gezogen werden kann. Indem
nir noch die elektrische Feldstarlce Q (r. t ) einfiihrcn, crhdten wir zusamnienfassend :
I n der ersten Zeile stehen die Definitionen von b und Q. Dabei wurde der
Vektoroperator 0 - 1 = Q A-1 eingefiihrt. Die Gleicliungen der zweiten Zeile
folgen aus diesen Definitionen. Die dritte Zeile eiithiilt die Kontinuitiitsgleichung
und die Bewegnngsgleichung. I n Zeile 4 ist letzterc uiiter Veriveiidung der Kont inuitiitsgleichung in die angegebeiie Form des Impulssatzes umgeformt worden.
Die K r a w c h t e e @ kann unter Verwendung der zaeiten Zeile als Divergenz des
MaxweUschen Spamiungstensors geschrieben werden. Die Gln. (12) beschreibeii
das vorliegende System bis anf die Uiiuiiterscheidbarl~eitgleichartiger Teilchen
exnld. Allerdings sind sie unabhiingig voii der Trilchenzahl N. Damit sie wirklich ein N-Teilchensystem beschreiben, mul3 die Teilchenzahl durch eine Zusat,zforderung festgelegt werden, die zum Beispiel in einer entsprechenden Vor gabr der Anfangsmaasendichte p (r, 0) bestehen kann.
5. Mittelwertbildung und hydrodynamisohe Beschreibung
Zur Untersuchung des kollektiven Verhaltens des betrachteten Systems werden die Gln. (4.12), die noch alle mikroskopischen Details der Teilchenbewegung
keschreiben, iiber makroskopische Bereiche, die viele Teilchen enthalten sollen ,
gemittelt. Als Mittelwert einer Funktion f (r, t ) definieren wir
-
f (r, t ) = Jdr' G(r - r') f (r', t )
(1)
niit G (r) = G (I r 1) als einer auf 1normierten Mittelungsfunktion, die nur in einem
Raumgebiet vom Radius R um die Stelle 1: = 0 wesentlich von Null verschieden
sei. Die GriiSc von R legen wir spiiter (Abschnitt 6) fest. Auf Grund ihrer Definition besitzen die Mittelwerte folgende Eigenschaften, dic im writercn laufend
verwendet werden :
-
Die erste beweist man durch Einsetzen von f aus (1) und partielle Intcgration.
Setzt man in die linke Seite der zweiten G1. (2) f aus (1)ein und fiihrt die r'-Integration aus, so entsteht zuniichst
J drfl f(r") g(r - r'')
(3)
uiid durch Umbenennung der Integrationsvariabeln die rechte Soite. Ziir Vrreinfachung der Schreibweise in spiiitereii Glcichungen vereinbaren wir iioch die
Rezeichnungswcise
fs= f s .
(4)
Die makroskopische, hydrodynamische Geschwindigkeit wird durch
yb=puS
-arax s * o
(5)
definiert. Sie ist im Gegensatz zu b oder D im allgemeinen nicht wirbelfrei uiid
bedeutet den Mittelwert aller Teilchengeschwindigkeitenim Mittelungsbercich R
(substantieller Mittelwert). Der riiumliche Mittelwert ii hat wegcn der Willkur
von b keine physikalische Bedeutung.
Mit den identischen Umformungen
pb o b = 6 5 p(D - G) o ( b -.6)
0
+
+ (e - @)v-qe - T I ,
~~
ev-1e
= e V-'e
( 6)
die man durch Ausmultiplizieren und Verwendung von (2) und (4) leicht beweist. ergeben aich aus (4.12) durch Mittelung die hydrodynamischen Gleichiin gen
404
dnnalen drr Physik. i'. Folgr. Rand 12. 1964
Wegen der quadmtischcn Schwankungsglieder auf der rechten Seite der zweiteii
Gleichung liegt hier ein nichtabgeschlossenes System von Best,immungsgleichungen fur die makroskopischen GroBen ,ii,
6 vor. Fur die Zeitabhiingigkeit der
Schwankungsglieder konneii unter Verwendung der Gleichungen (4.12) und (7)
wiederum Gleichungen aufgestellt werden, die danii Schwankungsterme hoherer
Ordiiung enthalten. Beispielsweise
ergibt sich fiir die Zeitabhiingigkeit, des
DrucktensorA P = p ( d - 5) 0 (tl - 5)
Urn zu ciiirin endlichen, abgeschlosveneii Satz von Bcstimmungsgleichungeii zu
kommen, murJ das offene Gleichuiigssystem a n irgendeiner Stelle durch geeignete Niiheruiigsaiiiiahnieii abgebrocheii werden. Das geschieht im iiiichstcn
Abschnitt. Zuvor soll noch etwas ziir _Bedeutung
der Schwankungsgrofien in ( 7 )
___
gmagt werden. Der Term ~ n ' ( g - L,)
(0 - e) bedeutet eine Kraftdichte,
die durch mikroskopische Ladungsdichteschwankuiigen hervorgerufcii wird. Er
wird in Abschnitt t i genauer diskutiert. Um die anschauliche Bedeutung des
Drucktcnsors P zu erkennen, wird eiii malrroskopisches Volumen betrachtet.
Dnrch ein Oberfliichenelement d f (nach nuBen gerichtet) wird in einem ,,malrrobkopischen" Zeitintervall bt die Masse
iiach iiincn traiisportiert. Handelt es sich uni eiii mit der makroslropischen Stromimg 6 mitbewegtes Volumen, so haben wir i n (9) iiiid (10) dftl + d f ( b - 5) zii
crsetzen uiid erhalten
dM
= - dfp(tl - 5) 6t = 0
(11)
___ -6% = - d f p ( t l - 5) b dt = - d f p ( a - 6) " (tl - 5) dt = - df P d t .
--df P bedeutet also den pro Zeiteinheit durch eiii mitbewegtes Oberfliichenele~
~
0
ment einstromendeii Impuls. Bei isotroper Verteilung der Teilchengeschwindigkeiten relativ zu einem lokalen, mit, der Stromung mitbewegteii Koordinatensystem wird P = pl, mit I als dem Einheitstensor. p bedeutet aiischaulich den
Druck in einem kleinen, mitbewegten Luftballon (dessen Hautelastizitat allerclings das Druckgleichgewicht mit der Umgebung nicht wesentlich beeinflussen
tlarf). AbschlieBeiid soll iioch die Encrgie H dureh Mittelwerte ausgedriicl-\t werclen. Zuniichst gilt
H==Jdr%=$drZ
(1.1)
mit
W.Macke u. B. Pegel: Beachreibwng und Xaheriinq .fur ein klaeaiachee Plaanm
405
Dnrch ident,ische Umformungen wie in (6) ergibt sich daraus
Die einzelnen Terme bedeuteii ihrer Reihenfolgc nach : hydrodynamische Stromungsenergie, potentielle Energie der makroskopischen Ladungsdichteschwan kungen, thermische Bewegungsenergie, potentielle Energie der mikroskopischen
Ladungsdichteschwankungen.
6. Uiitersuehung der Sohwanknng8glieder
Bci der Diskussion der Schwankungsglieder von (5.7) mu13 beachtet werden,
da13 das Plasma aus mehreren Teilchensorten besteht, die sich verschieden verhalten und daher auch die Schwankungsterme evtl. verschieden beeinflussen.
Aus diesem Grunde werden wir die einzelnen Plasmakomponenten fur sich zu
beschreiben haben.
Das Plasma moge aus zwei Teilchensorten bcstehen, die durch einen Index 6:
unterschieden werden :
E - Elektronen (Ladung eL = e, Masse mE = m)
(1)
(Ladung P, = -Xe. Masse nz, =- M).
= J - Ionen
Fur die Massendichten und Ladungsdichten gilt dann
I
1
p=+
@ = L e u
ea
-=;
n
-p*.
ma
(2)
Urn die makroskopischen Gleichungen fiir die einzelnen Plasmakomponenten
aufzuste!len, mitteln wir die Gleichungen (4.1 ‘2) mit dem Mittelungsoperator
G ( t - ti),wenn Tcilchen i ziir Sorte a gehort
G,(r - r,) =
(3)
0 , wenn Teilchen i nicht zur Sorte (Y gehort.
Fur die mittlere Massendichte der Sorte ;Y gilt dann
1
=J’dt‘G,(t-rr’)El(r’,t).
(4)
Dic hydrodynamischen Geschwindigkeiten 6, jeder Sorte dcfinieren wir durch
,iia(t,i)
-
pa D =
J dt’ G,(r
- t’) p(r’)b (t’)
pa%a
(6)
w-ieder als Pubstantielle Mittelwertc der Teilchcngeschwindigkeiten der betrcffenden Sorte im Mitteilungsbereich R.Die Mittelung der Gleichungen (4.12) mit
(3) ergibt (mit analogen Zerlegungen wie in Abschnitt 5)
Nunmehr sollen die Schwankungsterme der dritten G1. (6) diskutiert werden.
Wir beginnen mit dem letzten. Der Ausdruck unter dem Mittelungsstrich ist das
Produkt von zwei Gliedern, die, einzeln gemittelt , verschwinden. Wir werden
daher erwarten, daB auch ihr gemitteltes Produkt bei geniigend groBem Mitte-
406
dnnalcn der Phyeik. i . Folge. Bmd, 12. 196d
lungsbereich R geniihert,verschwindet. Zur geiiaueren Untersuchnng definieren
wir fiir jede Teilchensorte LX eiiien siibstaiitielleii Xittelwert der Feldstiirke durch
Daniit ergibt sirh
I
-(ea
€0
~
_-_
_.
- @ a ) V-l(e - e)
2
(0,-Q*)
-
-
((3- (3) = u,(Q* - E).
(8)
Die Differenz &a - voii substailtiellem Mittclwert und raumlichem Mittelwert der Feldstiirke wird klein sein, wenn im Mitkelmigsvolumen v R = 4n RS/3
viele Teilcheii der Sorte 01 moglichst gleichmiiBig verteilt sind. Die statistischen
Schwankuiigen der Teilchenzahl in v R bewirken jedoch, daR im allgemeinen
nicht @a w Egilt. Sie werden durch die zufallige thermische Bewegung der Teilchen hervorgerufen und entstehen niir, solaiige dabei die potentielle Energie der
Laduiigsdichteschwankungklein bleibt gegen die den an der Schwankung beteiligten T4lchen zur Verfiigung stehende kinetische Energie. Eine einfache Ahschkitzungergibt fur den Bereich R, in den1 erheblichr statistisrhe Dichteschwan kungcii auftreten kiinnen.
init A, als der Debye-Liinge und no als der mittleren Elektronendichte. Wird dor
Mittelungsbereich R von G also so gewiihlt.,daR R >, A, gilt, so konnen in R keine
groBriiumigen statistischen Schwankungen auftreten und die Teilchen sind in R
bis auf Mikroschwankungen nahezu gleichformig verteilt, d. h. der Schwankungsterm (8) wird zu vernachltsigen seiu. Die Vernachliissigung solchei.
Schwankmigstermeentspricht der sogenannten ,,Random Phase Approximation.
bei Bohm-PineslO).
Als niichstes betrachteii wir die Partialdruck-Tensoren P,. Bei lokaler isotropei.
Verteilung der Teilchengeschwindigkeiteii (lokales thermisches Gleichgewicht)
wird
mit I als dem Einheitstensor und T als der Temperatur. Das Verhalten eines
Gases bei Zustandsiinderungen wird gewohnlich durch eine Zustaiidsgleichung
T ,uz beschrieben. Fur rasche Zustandsiinderungen ideder Gase gilt x = 2 / f
= (CJC,) - 1, mit f als der Zahl der Freiheitsgrade pro Teilchen. Die Angabe
einer Zustandsgleichung ist natiirlich nur sinnvoll, wenn wiihrend der betrach teten Zustandsiinderungen das lokale t hermische Gleichgewicht aufrechterhalten
bleibt, d. b. die Temperatur T in jedem Augenblick der Zustandsiinderung definiert ist. Bei sehr raschen Zustandsiinderungen (Plaamaschwingungen) ist das
nicht mehr der Fall (8. z. 33.9))
und der Druck verhiilt sich anisotrop. Diese
Anisotropie kanii man geniihert durch folgende Argumentation ( 8 . z. B.s)) beriicksichtigen :Von einer raschen Kompression, etwa in x-Richtung, werden ZUnachst nur die x-Komponenten der Tcilchengeschwindigkeiten betroffen. Da
-
10)
D. P i n e s u. D. Bohm, Phys. Rev. 86, 338 (1952).
miihrend der Kompression die Teilchen keine Zeit haben, Energie und Iinpuls
untereinander auszutauschen, werden die y- und z-Komponenten der Teilcheii geschwindigkciten nicht beeinfluflt, S. h. von der Kompression wird 1111r eiii
F'rriheitsgrad pro Teilchen betroffeii und man hat im Adiabatenexponen ten
x = 2 / f , f = 1 EU setzen. Diese Uberlegung liil3t sich durch eine genauere Untcrsuchung cles anisotropeii Zeitverhaltens der Drucktensoreu P , rechtfertigen .
Fiir die Zeitabhiingigkeit von P , ergibt sich zunachst mit Hilfe der Bewegungsgleichungen (4.12) und (6.6) exakt :
a
(-%
+ 5, .) P , = - P ,
as,
B
0
.-
-
--
a
Die drei letzten Schwankungsterme werden wegen der Ungeordnetheit der Temperaturbewegung geniihert verschwinden, und wir werden sie vernachliissigen
Damit vernachliissigen wir auch z. B. die Wiirmeleitung im Plasma, die aber bei
raschen Kompressionen keine Rolle spielt. Die Spur des ersten Schwankungsglides von (11)ist niimlich bis auf eiiien
Faktor 2 gerade die Divergenz der
-
.
Wiirmestromdichte j,
Pa
= (b - a"),
( 0 - 6,)2
der Komponente
6. Zur
Unter-
d
suchung des aaisotropen Verhaltens des Druckes drfinieren wir einen ,,Temperaturtensor" Ta(r, t ) durch
P , = nbIT ,
n x = pa/naa.
(11)
Piir T , ergibt sich aus (11)bei Vernachlksigung der Schwankungsterme und
iinter Verwendung der Kontinuitiitsgleichung
(111)
nabci haben wir fiir die subetantielle Zeitableitung die Abkiirzurig 8/8t eingefiihrt. Die Ko~itinuitiitsgleichungschrei ben wir in der Form
Zur Diskussion von (13) betrachteh wir das speeielle Geschwindigkeitsfeld
GG&, x2,4,t ) = (v(xl, t ) , 0, 0). Die Hauptachsen des (syrnmetrischen) Temperaturtensors konncn wir aus Symmetriegriiiiden mit den Koordinatenachsen zusammenfallen lassen:
= z,dv7,.Fiir die suhstantielle Auderung der Eigenwerte ergibt sich BUS ( I3)
nr, _
_bf
niid
fizi
axi
27i
3
(I 5)
dic Ko~itinuitiitsgleichunggeht iibcr in
--
8.U
%
%
c)t
-!La-
ax,
-
(I ti)
S u e (16) falgt fiir i = 2,3
(17)
408
Annrrltn der Plbysik. 7 . Folge. Band I?.
1964
und fiir i = 1 untcr Verwendung von (16)
P,.
2 n/c
1 - - - '2 tl ht ?x, =- PA -2
6t
3
tl
,-pi.
(18)
Das heiSt , bei den betrachteten eindimensionulen Kompressionen in .%-Richtiing
vcrhalten sich tzund t3isotherm, wiihrend tl sich adiabatisch iindcrt.
AbschlieBend stellen wir das mit den Niiherungen diesesAbschnitts folgende,
fiir raxrhe Vorgange giilt,igc hydrodpnamische Gleichungssystem msammen :
ao
- =n
-2x @
-
p-=c,=
O
\' @n
ar
ar
Q*
em
=-,Uu,
111
A
-
,
8/lA
i
-1-, - - = 0
ar Pu,D,,
at
C,iA5&
---
at
f
t
-
(19)
?P,
r p. U n = 5, = g , c - Fr
I
c
a
br
In eirier weiteren Arheit werden anhand der C1. (19) gekoppelte Plasmawellen
uiid die Tscherenkow-RremPiinggeladener Teilchen im Plasma behandelt.
Dresden. Institut fiir Theoretische Physilr der Technischen Universitiit.
Bei der R,edaktion einpegnngen a m 24. -1pril 1963.
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