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Anregungswahrscheinlichkeiten Probleme der Makrokausalitt und Teilchendichte in der relativistischen Wellenmechanik. III

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 31, Heft 4, 1974, S. 381-386
J. A. Barth, Leipzig
Anregungswahrscheinlichkeiten
Probleme der Makrokausalitat und Teilchendichte
in der rdativiotischen Wellenmechanik. III.
Von J. PETZOLD
Fachbereich Physik der Philipps-Universitat Marburg/Lahn
Abstract
We discuss in relativistic quantum mechanics the excitation 0- atoms by g-otons, assuming
an electromagnetic interaction of the form Ad'@.It turns out, that when localized in a region V a t
a certain time zo a photon would excite atoms also outside the light-cone of V . We arrive thus
at a contradiction between quantum mechanics and special relativity.
1. Problemstellung
Bei der Beschreibung der Ausbreitung fseier skalarer Teilchen treten in der relativistischen Wellenmechanik gsol3e Gchwierigkeiten auf. Identifiziert man die Teilchendichte eines Ensembles mit der Ladungsdichte, welche observabel ist, so kann nach
den experimentellen Befunden die Teilchendichte nicht positiv definit sein [I]. Konstruiert man hingegen matheinatische Ausdriicke fur die Dichten, die sich makroskopisch streng kausal verhalten (im Sinne von [l]Gl. (1.2)), dann weil3 man fur sie
keine Maevorschriften anzugeben [ Z ] .
Es sollen daher die Ein-Teilchensysteme verlassen werden, um durch Untersuchungen iiber wechselwirkende Pelder Hinweise auf evtl. mogliche Kausalitatsverletzungen in der Wellenmechanik zu erhalten. Insbesondere wird das raum-zeitliche Verhalten der Wahrscheinlichkeit fiir die Anregung fixierter Atome durch y-Quanten didrutiert.
2. Wahrscheinlichkeit fiir die Anregung von Atomen durch y-Qnanten
Entsprechend den Ausfiihrungen von [l] wollen wir sagen, da13 sich in einem
Raunigebiet V zur Zeit x'J im Zeitintervall 24x0 ein Elementarteilchen befunden hat,
wenn zwischen den Zeiten xo - dxo und xo
Ax0 sich die Zustande von Elektronen
in
befindlicher Atome geandert haben und die Atomzustlnde aul3eshalb V unverandert geblieben sind.
Wir fragen, wie wahrscheinlich es ist, da13 zu spateren Zeiten a n anderen Orten
befindliche Atome angeregt werden. Es sol1 das rauni-zeitliche Verhalten der Anregungswahrscheinlichkeit im Hinblick auf die Kausalitatsbedingung [11 G1. (1.2) analysiert werden. Speziell nehmen wir an, da13 ein y-Quant dasjenige Teilche? ist, das die
Atome anregt.
Es wird also folgende
Situation angenotnmen : Ein Atom befindet sich mit seinem
-
+
v
A
Schwerpunkt am Orte R , der als ruhend angesehen werde. Der Atomkern wird als
J.PETZOLD
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unendlich schwer angesehen, bzw. man kann sich vorstellen, daB das Atom in ein
Gitter starr eingebaut ist.
Das Leuchtelektron bewegt sich im Feld des Atomkernes und wird durch einen
Hamiltonoperator He beschrieben. Die Elektronenzustande werden mit I&'
bezeichnet
H,~J:= E"gi2.
(2.1)
Weiterhin sei ein y-Quant vorhanden , dessen Hamiltonoperator H , sei. Die Wechselwirkung zwischen Elektron und y-Quant ist in bekannter Weise
u = J A&)
(2.2)
?(z) d32,
p(x)
wobei
der elektrische Strom des Elektrons ist und i"(x) das Vektorpotential des
elektromagnetischen Feldes. Der Gesamt-Hamiltonoperator ist
+
H = €I8 -+ H y U.
(2.3)
Jetzt nehmen wir an, daB zur Zeit xp = 20 - AZO das Leuchtelektron sich im
Grundzustand gif befand und das y-Quant im Zustend q+,. Die Wahrscheinlichkeit
dafiir, da13 zur Zeit xp = a?' + Aa?' sich der Elektronenzustand des Atoms geandert
hat, ist
W(.O,A.O, i )= <qfqyI e 2 i H d e (1 - P:) e - z i H d z o 1 'poS v Y)
(2.4)
wobei
p,o = I& (p1,Ol
(2.5)
der Projektionsoperator auf den Grundzustand des Elektrons ist.
Wenn man die niedrigste Ordnung in U berechnet, erhalt man nach der Diracschen
Storunestheorie
J
Die Anregung des Elektrons ist mit einer Absorption des Photons verbunden. Deswegen geht in (2.6) nur der absorptive Anteil der Wechselwirkung ein, d. h. der positive Frequenzanteil des Vektorpotentials. Wenn AZO sehr kurz ist, wird
A
= -(2.4x0)2ezJyf(2
-i)+
~i+)(x)y"ym~~+,+)(z ) ~y f) (d~3 z
-(Ma?')'
ez 1 J y:(S - 2
). AL++'(z)y"y,O($ -
(2.8)
s)d3xI2.
Dabei ist das Photonenfeld Ai+)(x)das Matrixelement
~I;e)(z)= (0 I&(.)/
(2.9)
Vernachlassigt man die Beitrage der kleinen Koinponenten des Dirac-Spinors und
mittelt man iiber die Spinrichtungen des Elektrons, so vereinfacht sich (2.8) zu
giy).
w(Z0,AxO, %)
=
- ( 2 ~ 2 0 ez) ~J yf (G- Z)+
AL+)(~)
~ ( + ) y zy:
) (Z - i )a3x.
(2.10)
383
Anregungswahrscheinlichkeiten
Die Ausdehnung eines Wasserstoff-Atoms ist etwa 10-8 cm, die eines schweren
Elementes mit hoher Kernladungszahl etwa 10-10 cm. Der Dwchmesser eines p-mesonischen Atoms ist bei gro13er Kernladung ungefahr 10-13 cm. I m Grenzfall gro13er Masse
des Leuchtelektrons ist die Elektronenwellenfunktion stark am Orte R lokalisiert,
und man erhalt das einfache Ergebnis
w ( 2 )bc
(A(+)n(z)la.
(2.11)
A
n
Solche Formen fiir die Wahrscheinlichkeiten sind aus der nicht-relativistischen
Schrodinger-Theorie wohlbekannt. Dort bedeuten sie die Wahrscfieinlichkeit, am
Orte $ zur Zeit ZO ein Teilchen zu finden. Damit erfahrt unsere Betrachtung eine gewisse
Stutze. (Da in der Schrodinger-Theorie gleichzeitig (2.11) proportional zur Teilchendichte ist, treten dort die in unseren Arbeiten diskutierten Konsistenz-Probleme nicht
auf.)
Auf der anderen Seite ist
(2.12)
formal wie ein NewtoniWigner-Zustand (vgl. [2] G1. (3.3)j aufgebaut, man mu13 nur
a ( k ) durch v2k0a(k) ersetzen. Wir wissen von der in [2] gefiihrten Diskussion, daD
sich diese Zustande mit nicht zu vernachlassigender Wahrscheinlichkeit akausal
verhalten konnen. Das ubertragt sich sinngemii5 auf die Lichtquantenzustande.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit nach (2.11) (in anderer Normierung)
N
=
1
-la"(k)12
P2P
z O ( a + , 9 ) r 1 3 2 = ~s " k
n
2
(2.13)
ist zwar zeitunabhiingig, aber nicht lorentzinvariant.
Diskutiert man die Anregung von Atomen nicht nach sehr kurzen Zeiten, sondern
lii13t man AZO endlich, andern sich die obigen Betrachtungen nicht grundsiitzlich. Man
gehe von (2.6) aus und fuhre dort ein vollstandiges System von Zwischenzustlinden
der Elektronen ein:
w(a+, AxO,
i)
Fur die Anregungswahrscheinlichkeit erhiilt man dann
Dabei ist
-
A
-
g k ( k ) = (cp? 1 J e i k ' ( a - R ) p ( Z ) c ~ 1 xv,O)
das Ubergangsmatrixelement fiir den elektronischen Zustand.
Man darf A l p nicht zu groD wahlen, weil sonst wegen
sin Z A l p
lim
= 6(z)
A z 0 - t ~ ~ nz
(2.15)
J. PETZOLD
384
die Wahrscheinlichkeit w nach (2.14) von xO unabhangig wird. Bei einer unendlich
langen MeBzeit geht die Kenntnis uber den Anregungszeitpunkt verloren.
Wenn man die Zustande
a
y
: (X",
+ Eo)
sin (ko - En
ko - En
+- Eo
-.
e--QoaOe i k .A
z
(2.16)
einfiihrt, dann stellt sich w als Oberlagerung von Dichten dar
w(xO,dzo, R) = 2 l!P;(xo,
m.n
<)I?
(2.17)
die sich wie Newton-Wigner-Dichten [2] GI. (3.2) verhalten, denn die !Pg sind Losungen
der homogenen Wellengleichung fur freie, inasselose Teilchen im Unterraum positiver
Frequenzen. Da die !Pk sich akausal nach der D(+)(z)-Funktionausbreiten, tut es
auch w ( 9 , AX",
(vgl. [2], Abschn.3).
Wenn die P
!,: zu einer bestimmten Zeit Go nur in einem endlichen Raumgebiet von
Null verschieden sind, sollte man nach den Uberlegungen von [2] Abschn.3 dann
Kausalitiitsverletzungen von einigen Prozent erwarten. Solche lokalisierten Zustande
fur y-Quanten sind experimentell relativ leicht herzustellen, etwa durch Paarvernichtung (in einem Atom) oder durch nO-Zerfall.
Messungen an 7-Quanten aus dem Zerfall von 6 GeV ZO-Mesonen ergaben jedoch
keine Hinweise fur Uber- oder Unter-Lichtgeschwindigkeiten[31.
Bei diesen hohen y-Energien sollte man die Wellenpakete andererseits als geniigend
lokalisiert ansehen kdnnen, um die Voraussetzungen der obigen Betrachtungen zu
erfiillen.
2)
3. SehlnBbotraehtnng
Bei der Beschreibung des raum-zeitlichen Verhaltens eines Ensembles freier Elementarteilchen treten beachtliche Schwierigkeiten auf, wenn man die Erfahrungstatsache mit einbeeiehen will, daB durch diese Teilchen keine Signale mit tfberlichtgeschwindigkeit vermittelt werden konnen.
Versucht man eine Beschreibung durch eine Viererstromdichte, so zeigt sich, daB
es eine solche fur masselose Bosonen nicht gibt. Nimmt man an, da13 die elektrischen
Strome der Pionen eine Struktur besitzen, wie sie durch den aus Streuexperimenten
bestimmten Formfaktor gegeben ist, dann sollte es Zustande positiver Pionen derart
geben, dak? in makroskopischen Raumgebieten die Ladungsdichte negativ erscheint.
Nimmt man die elektromagnetische Wechselwirkung XJz) p(z)d32 als korrekt
an, dann sollte ein zu einer Zeit xo in einem Raumgebiet V befindliches Photon auch
solche Atome anregen konnen, die aullerhalb des Lichtkegels von V liegen.
Man konnte zwar versuchen, einen Teil des Kausalitatsproblems zu losen, indem
man erkliirt, dall der Pionenstroni nicht direkt observabel ware. Doch bleibt das Problem der Atomanregungen. An der Form der elektromagnetischen Wechselwirkung
wird man wohl kaum etwas iindern konnen. Einmal ist sie in der nicht-relativistischen
Schrodinger-Gleichung gut bestatigt worden, und zum anderen ist die Abhangigkeit
vom Potential praktisch schon durch die Eichvarianz festgelegt (minimale Ankopplung). Eine Aufgabe der Lorentz-Invarianz der Wechselwirkungsdichte gar diirfte
auf erhebliche Schwierigkeiten stollen, weil das Transformationsverhalten des elektromagnetischen Feldes durch die Darstellungen der Lorentzgruppe bestimmt ist
Anregungswahrscheinlichkeiten
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und der Strom iiber die Maxwell-Gleichungen mit dem elektromagnetischen Feld verkniipft ist.
Die Schwierigkeiten unseres Problems entstehen dadurch, daR die Felder fiir eine
bestimrnte Sorte von Teilchen durch Losungen der Klein-Gordon-Gleichung (bzw.
freien Maxwell-Gleichungen) im Unterraum positiver Frequenzen gegeben sind. Diese
Lijsungen haben die Eigenschaft, daR sie sich nicht nur innerhalb des Lichtkegels eines
Gebietes V ausbreiten, wenn sie dort zu einer bestimmten Zeit lokalisiert sind. (Die
Ausbreitung freier Felder geschieht z. B. nach der D(+)-Funktion.)
Man miil3te also zur Teilchenbeschreibung fur die Felder Bewegungsgleichungen
aufsuchen, die eine Ausbreitung innerhalb des Lichtkegels garantieren. Die derzeit
benutzten Feld-Gleichungen ergeben sich praktisch schon aus den Darstellungen der
Lorentzgruppe im Hilbertraum, die die diskutierten Akausalitaten implizieren. Soinit
erscheint es denkbar, da5 man zu nichtlinearen Wellengleichungen iibergehen muB,
daB man das Superpositionsprinzip und damit den Hilbertraum zur Darstellung der
Mikrophysik aufgeben mu5, wenn man im Sjnne von [I] G1. (1.2) die Makrokausalitiit
erfullen willl).
Eine Aufgabe der speziellen Relativitiitstheorie scheint uns kaum in Betracht zu
kommen, da die Lorentz-Transformation schon unter sehr schwachen Voraussetzungen hergeleitet werden kann, die mit Feldgleichungen nichts zu tun haben [4].
Bereits im Jahre 1939 hat WIGNER([5] FuBnotel)), wenn auch aus anderen Griinden, darauf hingewiesen, da13 es sich eines Tages a19 notwendig erweisen konnte, eine
nichtlineare Quantenmechanik zu entwickeln :
"The possibility of a future non linear character of the quantum mechanics must
be admitted, of course."
Immerhin stellt man an einigen Stellen der Erde bereits Cfberlegungen uber nichtlineare Schrodinger-Gleichungen an [6],wobei die Motivation jedoch ganz anders liegt
und nicht unbestritten ist.
Litersturverzeiehnis
El] J. PETZOLD,Probleme der Makrokausalitiit und Teilchendichte in der relativistischen Wellenmechenik. I. Kovariante Dichten. Ann. Physik Leipzig 81, 361 (1974).
f2] J. PETZOLD,
Probleme der Makrokausalitit und Teilchendichte in der relativistischen Wellenmechanik. 11. Nicht-kovariante Dichten. Ann. Physik Leipzig 81, 372 (1974).
/3] T. ALVAQER
e t a]., Phys. Lett. 12, 260 (1964).
141 H. J. BORCHERS
and G. C. HEOERBELDT,
Comm. math. Phys. 28, 269 (1972); G. C. HEQERFELDT, Nuovo Cimento A 10, 257 (1972).
[5] E. WIQXER,Ann. Math. 40, 149 (1939).
161 I. S. SHAPIRO,
Sov. J. Nucl. Phys. 16, 727 (1973).
Bei der Redaktion eingegangen am 6. Mai 1974.
A I I S C d,
~ ~Yerf.:
.
Dr. J. PETZOLD
Fmhbereich Physik d. Univ. Marburg
BRD-365 MarburgGhn, Mainzer Game 33
1). Es gibt in der Phyeik vide Beispiele von Wellenausbreitungen, fur die das Superpositionsprinzip nicht unbeschriinkte Gultigkeit haben k a m , weil die Wellen raum-zeitliche Veriinderungen
positiver Gro13en beschreiben. Man denke etwa an die Gasdichte bei Schallwellen oder an Temperaturwellen. Die Wellenamplituden diirfen niemals, auch nicht durch Uberlagerung zweier Wellen,
Werta annehmen, die zu negativen Gasdichten oder negativen (absoluten) Temperaturen fiihren
wurden
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