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Anwendung der Vektorrechnung auf die geometrische Optik in bewegten Krpern.

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649
Vor einigen Jahren haben A. Sommerfeld und I. Rungs1)
pine Methode angegeben, durch die sich die Satze der geometrischen Optik in sehr ubersichtlicher und durchsichtiger
Weise darstellen lassen. Ihre Methode beruht darauf, den
Strahlengang durch ein Vektorfeld darzustellen. Sie ordnen
niimlich jedem Punkte des durchstrahlten Raumes einen Einheitsvektor in der Richtung des Lichtstrahles zu. In der vorliegenden Mitteilung sol1 nun gezeigt werden, daS diese Methode auch auf den Strahlengang in bewegten Korpern ausgedehnt werden kann, ein Gebiet, das haufig in nicht sehr
durchsichtiger Weise dargestellt wird. Wenn man aber das
genannte Vektorfeld zugrunde legt, kann man den EinfluS
der Bewegung der durchstrahlten Korper auf dieses Feld
durch eine sehr einfache Vektorformel darstellen, die es z. B.
ermoglicht, die Aussagen der Theorien von F r e s n e l und
S t o k e s uber die Qptik bewegter Medien unmittelbar zu vergleichen. Wir beschrtinken uns dabei uberall, wie es in der
geometrischen Optik ublich ist, auf die Glieder erster Ordnung
in dem Verhaltnis der Korpergeschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit.
3
1.
h r ein IKaB f i b die Abweiohnng einer Knrve von der*
Bshn den Liohtecl in ruhenden inhomogemen XGrpern.
Ehe wir daran gehen, den EinfluS der Bewegung auf den
bekannten Strahlengang in ruhenden Korpern zu untersuchen,
wollen wir eine GroSe eintiihren8), die als MaS dafiir dient,
1) A. Sommerfeld u. I. Runge, Ann. d. Phys. 86, p 277. 1911.
2) Dime M
Be habe ioh acbon in meiner Arbit ,,Zur Differential-
geometrie der Braohietochronen" (Sitznngeber. d. Wiener Akad. Math.-nat.
Kl. Abt. 118. 1914) mgewendet.
A m d e n der Physlk.
IV. Folge. 62.
42
Ph. Frank.
650
wie stark eine Kurve von der Bahn des Lichtstrahles im
ruhenden Korper abweicht., EO wie die gewohnliche Kriimmung
einer Raumkurve die Abweichung von der geraden Linie,
also der Bahn des Lichtes im homogenen ruhenden Korper,
mifit. Wir gehen auch genau so wie bei der Einfiihrung der
gewohnlichen Kriimmung vor.
Wir bezeichnen mit v die Lichtgeschwindigkeit in irgendeinem Punkte des inhomogenen Korpers, mit c die im leeren
Raume, dann ist der absolute Brechungsquotient n
c
n==0
eine gegebene Funktion des Ortes. Die Lichtstrahlen im
ruhenden Korper sind j a bekannt.lich die co2 Extremalen
des Integrals
wo d s das Bogenelement bedeutet. Wir denken uns eine
beliebige Kurve C gegeben; der tangential gerichtete Einheitsvektor der Kurve sei Q. Wenn die Kurve ein Lichb
strahl in dem angenommenen inhomogenen Korper ware,
miiBte ibr tangentieler Einheitsvektor, den wir in diesem
Falle Q* nennen wollen, der Differentialgleichung
(3)
geniigen. Durch Gleichung (3) sind die drei Lagraugeschen
Gleichungen, die zu (2) gehoren, in eine Vektorgleichung zusammengefafit. Dabei bedeutet die Differentiation nach s
hier wie im folgenden eine Differentiation in der Richtung
von G* btw. 6.
Wenn nun C eine beliebige Kurve
ist, konnen wir ihre Abweichung von
der Behn des Lichtstrahles durch einen
erweiterten Kriimmungsbegriff darstellen, der analog dem der geodatischen Kriimmung einer Kurve auf
einer krummen Flache gebildet ist.
Fig. 1.
Wir nehmen auf der Kurve C (Fig. 1)
zwei Punkte, P und P', an; den tangentialen Einheitsvektor
in diesen Punkten nennen wir Q bzw. (5'. Wir legen ferner
durch P den Lichtstrahl, der dort die Kurve C boriihrt; auf
*I/
1
Geometrische Optdk in bewegien Kiirpern.
651
ihm sei ein Punkt Q aufgetragen, so daS die Bogenstiictke
PP' und PQ gleich lang sind, etwa
FP
- F
Q
A*,
ferner zeichnen wir uns in Q den tangentialen Einheitsvektor 6*
des Lichtstrahles. Dann wollen wir unter der ,,relativen" l)
Kriimmung der Kurve C im Punkte P den folgenden Vektor L
vedehen:
(4)
Anstatt dessen kann man offenbar auch schreiben:
R = lim --(8'- 65) - @* -- a)
-.
Ar=O
A8
Das ist offenbar in der Symbolik der Differentialrechnung
(5)
Die beiden Ausdriicke rechts bedeuten bekanntlich die gewohnlichen Kriimmungen der Kurve C und des im Punkte P
beriihrenden Lichtstrahles. Die relative Kriimmung der Kurve C
in einem Punkte ist also nichts anderes als ihre gewohnliche
Kriimmung, vermindert um die des dort beriihrenden Lichtstrahles.
Nach GI. (3) ist nun
Wenn wir beriicksichtigan, daS im Punkte P selbst 6* = 6
ist, erhalten wir
ist klar, daB, wenn 6 einen Lichtstrahl darstellt, 9 = 0
folgt, was mit G1. (3) iibereinstimmt. Man kann die Formel (6)
auch in eine ganz ahnliche Form bringen, wie Sommerfeld
und Ru n g e sie fur die gewohnliche Kriimmung angegeben
1) ,,Reletiv" bedeutet hier eine Beeiehnng ant eine vorgegebene
Inhomogenitiit dee K6rpen, ale0 eine bestimmte Bshn dm Liohfas.
4s
Pk. Frank.
659
haben. Wir.gehen dabei von der fiir zwei beliebige Vektoren
'iT und b geltenden Identitat l) aus:
+
(7) grad(9lb)= ( 9 l ~ ) B (b~)o1+.
[%rot81
Wir setzen darin
+ [Brot'iT].
"
g=g)=-.
2,
Dann wird daraus
Da nun offenbar
folgt
""I
- grad-=
(8)
V
rot--,@
und
(9)
Fur konstantes v , also einen homogenen Korper, folgt die von
Sommerfeld und R u n g e angegebene Formel fiir die gewohnliche Krummung
ft = [rot G , G] .
8
2.
Die duroh den ,,&herwindg6hervorgerufene relative
griimmung der Liohtetrahlen.
Wir denken uns jetzt, daB der betrachtete inhomogene
Korper sich geradlinig gleichformig bewegt. Wir rechnen
immer in einem Koordinatensystem, das mit dem Korpea
fest verbunden ist, so daB ZI bzw. ?z immer dieselbe Funktion
der Koordinaten 2, y, z bleibt. Dann entsteht relativ zum
Korper ein Atherwind, dessen Geschwindigkeit, die wir a
1) Vgl. z. B. Ignatowsky, Vektoranalysis, G1. (68). R. Rothe,
Jahresber. d. Deutschen Mat.hem. Ver. 1912, hat die Identitiit (7) schon
zur Aufstellung der Sommerfeldschen Formel fiir die gewohnliche
Kriimmung herangezogen.
Geometrische Optik in bewegten IGrpern.
ti53
nennen wollen, sich einfach zur Lichtgeschwindigkeit, wie sie
im ruhenden Korper herrsohen wiirde, vektoriell addiert.
Uber die Art, wie die Geschwindigkeit des hitherwindes mit
der Geschwindigkeit des Korpers zusammenhhngt, wollen wir
zunachst gar keine Voraussetsung machen, sondern nur ganz
allgemein annehmen, daS a eine bekannte F'unktion der Koordinaten e, y, z ist. Wir stellen dann die Frage: Welche
relative Krummung erzeugt ein vorgegebenet hitherwind an
den Lichtstrahlen ?
Der absolute Betrag der Lichtgeschwindigkeit im ruhenden
Korper an einem Punkte e, y, z war o, der tangentiale Einheitsvektor G*; diem Gr6Sen mogen durch die Wirkung des
Atherwindes in w bzw. G ubergehen; dann ist
(10)
wG=vG*+a.
J)ie Lichtstrahlen sind jetzt, nicht mehr die Extremalen des
Integrals (2), sondern die von
1)urch Quadrieren von (10) erhalten wir:
w s = v z + 2 u ( a 6 1 ) + (aa).
Daraus folgt, wmn wir nur die ersten Pot,enzen von a / v bzw.
a / w beibehalten:
(19)
w=r+(aG*)
und mit derselben Cfrnauigkeit
J = d s ( 1 - $(ae7) .
21
W-mn wir J in dtlr Pa.ramet.erform haben
Ph. Frank.
664
wo ZI und a,, a,, a, gegebene Funktionen der Koordinaten
sind. Bilden wir dann die erste Lagrangesche Gleichung
d aF
--
d r ad
aF
=Xp
so lautet sie hier:
Bilden wir die entsprechenden Gleichungen fiir die 9- und
z-Richtang und benutzen wir G1. (14), so konnen wir die
Lagrangesohen Gleichungen wieder in eine Vektorgleichung
zur Bestimmung von 6 zusammenfassen :
Dabei ist fur die Bildung des letzten Gliedes rechts zu beacht.en,
da% 6 gegeniiber der Operation gerade eine Konstante ist.
Aus G1. (16) folgt wegen Gl. (6) fur die gesuchte relative
Kriimmung :
Dabei kann rechts anstatt 6 n i t der beabsichtigten Genauigkeit auch der Einheitsvektor des St.rahles im ruhenden Korper
6*gesetzt werden. Setzen wir in G1. (7)
0’
’
9-6
und bedenken, da% 6 nicht Funktion der Koordinaten ist,
so erhalten wir
(18)
-
grad7
faGI- ds
d ;;ar
+ [Grot]; -
Dann wird aus G1. (17)
(19)
Das ist die Endformel, die es gestattet, an jeder Stelle des
Raumes aus dem Strahle im ruhenden Korper 6* und dem
hitherwind a die relative Kriimmung zu berechnen, die durch
Gemtrische Optik in bewegten Kotpern.
655
diesen Atherwind erzeugt wird. Wenn wir G1. (1) anwenden,
wird daraus
~ = i n[ or o t n ~ a , ~ * ] .
@O)
Im leeren Raume (n = 1) geht die Formel in
1
(21)
uberl), wo
8
8.
Der
8 - - c [rot a, G*]
R natiirlich die gewohnliche Krummung bedeutet.
d m Erdbowegung auf den Btmhlenganq.
Wir nehmen nun an, unser System, das sich geradlinig
gleichformig bewegt, sei die Erde in ihrer Bewegung durch
den Weltenraum. Die Geschwindigkeit sei 9. Jede Theorie,
die von den optischen Erscheinungen auf der bewegten Erde
Rechenschaft geben will, muS, wenn sie auf der ublichen
Wellentheorie des Lichtes fuSt, von G1. (20) ausgehen.
Die verschiedenen Theorien unterscheiden sich nur dadurch,
daS sie den Zusammenhang zwischen der Erdgeschwindigkeit g
und der Geschwindigkeit des Atherwindes a in verschiedener
Weise annehmen. Jedenfalls wird in sehr groSer Entfernung von der Erde (etwa in der Gegend der Fixsterne)
kein EinfluS der Erdbewegung auf den Ather mehr vorhanden
sein, also
(22)
a= -9
zu setzen sein. Jede Theorie muS von den folgenden zwei
Erfahrungstatsachen uber den Strahlengang anf der bewegten
Erde Rechenschaft geben:
I. der Aberration des Fixsternlichtes;
11. der Unabhangigkeit aller Versuche uber Reflexion und
Brechung oon dem Winkel, den die Fortpflsnzungsrichtung
des Lichtes mit der Richtung der Erdbewegung einschlieBt:
Die TatstPche (I) erfordert, daS im leeren Raum zwischen
Fixstern und Erde die Lichtstrahle~durch die Erdbewegung
keine Krummung erleiden, also die relative Kriimmung verschwindet. Die Tatsache (11) erfordert, deS in der Niihe der
Erdoberflache in jedem, auch inhomogenen, Medium durch
1) Die Formel (21) findet sich schon bei H. A. Lorentz, Abhendlungen iiber theoretieche Pbpik, Bd. I, p. 401.
656 Ph. Frank. Geometrische Optik i n bewegten K b p e r n .
die Erdbewegung keine relative Kriimmung erzeugt wird.
Die beiden klassischen Theorien uber den Strahlengang in
bewegten Korpern geben nun von diesen beiden Tatsachen
in ganz verschiedener Weise Rechenschaft.
F r es n el erkliirt die Aberration in der denkbar einfachsten
Weise, indem er annimmt, daB G1. (22) uberall im leere'ii
Raume ( n = 1) gilt, woraus wegen der Konstanz von g naturlich aus G1. (21) sich R = 0 ergibt. Um das Verschwinden
der relativen Krummung auch in beliebigen inhomogenen Medien
(also Tatsache 11) zu erklaren, muB er die Annahme machen,
daB der Atherwind von Brechungsquotienten abhangt, und
ewar ergibt sich offenbar aus der Voraussetzung
in G1. (20) eingesetzt das Verschwinden von R.
S t o k es erklart umgekehrt die Tatsache I1 in der denbbar einfachsten Weise, indem er in unmittelbarer Umgebung
der Erdoberflache
a=O
setzt. Da aber aus Stetigkeitsgriinden im Weltenraume nicht
iiberall a = - g sein kann, muB der Atherwind stetig von
Null bis zu diesem Werte ansteigen, wodurch aich aber dann
keine Kriimmung ergibt (vgl. Gl. [21]), wenn uberall im
leeren Raume
rot a = 0
ist; und diese Annahme macht S t o k e s tatsachlich uber den
Atherwind, der durch die Erdbewegung erzeugt wird. Es ist
wohl uberfliissig, zu bemerken, daB diese Annahme heute
wohl nur noch historisches Interesse besitzt; es kam mir nur
darauf an, zu zeigen, wie an der Hand der Formel (20) sich
die verschiedenen Theorien in ubersichtlicher Weise darstellen
lassen.
Wien, 5.April 1917.
(Eingegangen 14. April 1917.)
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