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Anwendung der Vierpoltheorie auf die Probleme der optischen Reflexionsminderung Reflexionsverstrkung und der Interferenzfilter.

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Anwendung der Vierpolthaorie auf die Bobleme der optischen
Reflexionsmihderrrng, Ref lexionsuerstdkkung
und der Interferenzfilter
V m Kurt Sc hus te r
(Mit 2 Abbildungen)
Inhaltsiibersicht
Die bei dcr Behandlung von Leitungavorgangen der Hochfrequenztechnik und
Akustik seit langem bewahrte Vierpoltheorie kann auch auf die Lichtausbreituug
durch eine Folge planparalleler Schichten Anwendung finden. F u r scnkrechten
Lichteinfall werden die Grundgleichungen angegeben. Als Beispiel wird das
Problenl der Entspiegeliing durch eine Doppelschicht dargestellt.
Durch Aufbringen geeigneter dunner Schichten IaDt sich die storende Reflexion
an Linsen weitgehend beseitigen 1 ) m d das Reflexiollsvermogen von Metallupiegeln
stark erhohen*). Durch AneinandeEreihen eincr Anzahl dunner Schichten aus verschiedenen Stoffen konnen Spektralfilter von sehr geringer DurchlaBbreite konstruiert werden ". Die erzielten Wirkungen beruhen auf der Lichtinterferenz an
diinnen Schichten. Zur ,theoretischen Behandlung Per genannten Probleme kann
mit Vorteil das aus d r Hochfrequenztechnik und Akustik bekannte Verfahren
der Vierpoltheorie 4, Rerangczogen werden. Besonders einfach liegen die Verhaltnisse bei senkrechteni Lichteinfall. I m folgenden sol1 daher dieses Verfahren
in seiner Nutzanwendung a u f , die Optik kurz beschrieben wid seine Brauchbarkeit a n einem spezicllen Beispiel dargelegt werden.
Die Wirkung jeder Schicht ist durch dit: drei GroBen Brechungsindex n, Absorptionskoeffizient x und Dicke gegeben. Die Kreisfrequeriz werde niit 'w,die
Lichtgeschwindigkeit iin Vakuuin niit c bezeichnet; A und 6 sollen Wellenlange und
Lichtgeschwindigkeit des betreffenden Mediums bedeuten. Die reelle Urelleilzahl
ist dann gegehen durch
Vgl. A. Smakula, Glastechn. Ber. 19, 377 (1941).
VgL R. MeOner, Optik 2, 2 8 (1947).
3) Vgl. W. Geffcken, Angew. Ch. A 6 0 , l ( 1 9 4 8 ) .
4 ) Fur die Akustik sind die entsprechenden Gedankengange z . R . in dem Artikel
des Verfassers ,,Die Messung mechanischer und akustischer Widerstande" (Ergebnisse
der erakten Naturwissenschaften 21, 313 (1946) kurz dargestellt. Im iibrigen sei auf die
ienschliigige Lieratur der Schwachstmstechnik und der Hochfrequenztechnik verwiesen.
1)
2)
K . Schuster: Vierpoltheoric un Probleme der optisckn Reflexwnaminderung
353
Die fur die Lichtausbreitung maogebenden GroDen sind der komplexe Brechungsindex q und die komplexe Wellenzahl p. Fur q und p gelten die Gleichungen:
q = n - (1 - j x )
p
= k . (1 - j x )
(0
= - ''I.
Die Lichtstrahlrichtung, die senkrecht zu den Flachen der Schichtenfolge angenonimen wird, bilde die 2-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Die
Lichtwelle sei in Richtung der z-Achse linear polarisiart, eine Annahme, die bei
isotropen Stoffen und senkrechtem Einfall keine Einschrankung der Allgemeinheit
bedeutet. Dann wird in jeder Schicht der ebene elektromagnetische Wellenvorgang durch die beiden Feldkomponenten E, und H , beschrieben. In dem die
Schichtenfolge abschlieBenden Medium, das als unendlich ausgedehnt angenommen
wird, besteht der Lichtvorgang aus einer fortschreitenden Welle. In den einzelnen
diinnen Schichten und in dem der Schichtenfolge vorgelagerten Medium setzt
sicli der Vorgang im allgemeinen @us je einer hinlaufenden und einer zuriickkommenden Welle zusammen. p.9 Verhaltnis E,/H, in einer rein fortachreitenden ebenen Welle ergibt sich aus der M a x w e 1 Ischen'Theorie bei Benutzung des
cgs-Systems (23, in elektrostatischen, H , in elektromagnetischen Einheiten) zu
1
-. (1 - j x ) ' bei Benutzung des internationalen Systems
n
AnlPere/cm) zu
ll.
.376'-5 j
(Bv in Volt/cm, H , in
Ohm. Die Grofie Ev/H, in einer rein fortschreitenden
ebenen Welle soll als der ,,optische Wellenwiderstand" 2 des betreffenden
Mediums bezeichnet werden. Der optische Wellenwiderstand ist in nicht absorbierenden Stoffen reell, in absorbiereiiden komplex. Wird das Verhaltnis EJH,
innerhalb eines beliebigen ebenen Wellenvorgangs gebildet, der sich aus einem hinlaufenden und einem zuruckkommenden Anteil zusammensetzt, so soll allgemein
voin ,,optischen W i d e r s t a n d " 3 gesprochen werden.
In einer bestimmten Schicht 1 mit dcm komplexen Brechungsindex q, und
der komplexen Wellenzahl p , sei nun der Wellenvorgang unter Benutzung des
cgs-Systems in folgender Weise dargestellt :
E (1)
, = ?[, . e - i p l x l + 'p, , + i p l z 1
(1)
. e - i P l z r - B, . e + i p t Z r ) .
4, .
Die Koordinatq 2, soll ihren Nullpunkt in der der Lichtquelle zugewandten Grenzflache der Schicht haben. Werden d'e Werte der Feldkomponenten in dieser
Grenzflache kurz mit El und H I , die efte der Feldkomponenten in der der Lichtquelle abgewandten Grenzflache der Schicht mit E, und Ha bezeichnet, so wird
d
El
= 9I,
HI
= 'I,
+ 8,
I{, = '$1,.
(a, - 8,)
e-jpldl
+ 8,.
e+ipidi
Hz=q,.(?{l.e-j~ldl-B
.e+ipld~).
(2)
Drtbei bedeutet d, die Dicke der Schicht. Durch Eliminierung der komplexen
Amplituden 8 , und 8, erhalt man einen unmittelbaren Zusammenhang zwischen
den Eingangs-FeldgroBen und den Ausgangs-FeldgroBen der Schicht in Form der
sogenannten Vierpolgleichungen :
El = cos p , d , .h',
H,
= jq, sin p,
+
d, . E ,
i sin p , d , . H ,
!?I
+ cos p , d , . H,.
(3)
354
Annalen der Phyaik. 6. Fob
Band 4. 1949
Durch Division der beiden Gleichungen ergibt sich ein Zusammenhang zwischen den Werten 8, und 82des optischen Widerstandes in der Eingangs- und
Ausgangsgrenzflache der Schicht:
Es ist zu beachten, daD sich die Indices bei pl, q,, d , auf die Schicht d b s t ,
bei den optischen Widerstanden 8, und & auf die Grenzflachen der Schicht beziehen. Die Vereinfachung der rechnerischen Handhabung der Probleme, die
die Vierpoltheorie mit sich bringt, beruht let,zteri Endes auf der neuen Formulierung der Bedingung der Stetigkeit beim Ihrchgang durch eine Grenzflache.
Die beiden Stetigkeitsbedingungen fur die Feldkomponenten E, und H,,wie
sie bei der ublichen Behandlung des Problems angcsetzt werden, konnen durch
die Vierpoltheorie zu der einen Stetigkeitsbedingung fur den optischen Widerstand
zusammengefafit werden. Der optische Widerstand in einer Grenzfliiche ist jeweils durch die dahinter angeordneten Teile der Schichtenfolge gegeben. G1. (4)
ermoglicht es, das System der Schichtenfolge bis zur Eingangsgrenzflache der
ersten Schicht ruckwarts durchzurechnen; sic ist dementsprechend als die Gleichung der Widerstandstransformation zu bezeichnen. Fur die optischen Aufgabestellungen ist man nicht unmittelbar am optischen Eingangswiderstand,
sondern am Reflexionsvermogen interessiert,. Das komplexe Amplituden-Rcflexionsvermogen % = %o/'%o an der ersten Grenzflfche ist in bekannter Weise
gegeben durch
wobei 2, den optischen Wellenwiderstand des dcr Schichtenfolge vorgelagerten
Mediums und
den optischen Widerstand in der ersten Grenzflache bedeutet.
Das Energie-ReflexionsvermogenR ergibt sich daraus in einfacher Weise zu
a1
R =1%
1,
=
a%*,
wobei '8* den zu '8 konjugiert komplexen Wert bezeichnet.
Die Anwendung der GI. (4) und (5) auf die Probleme der Reflcxionsverminderung, Reflexionserhohung und der Interferenzfilter ermoglicht die Losung der
gestellfen Aufgaben in besonders ubersichtlicher Weise. Als Beispiel sol1 im folgenden die Entspiegelung durch eine Doppelschicht dargelegt werden. In der vorhandenen Literatur wird die Dicke jeder Einzelchicht zu einer Viertelwellenlange angenommen, und es werden die Wertepaare n,, n, berechnet, die zu einer
vollkommenen Entspiegelung fuhren. Die folgende Berechnung nach der Vierpoltheorie wird dariiber hinaus zeigen, daD in gewissen Bereichen ein belie biges
Wertepaar n l , 12, zur Realisierung der vollkornrnenen Entspiegeiung herangezogen
werden kann, wobei dann die zu wahlenden Schiclitdicken im allgemeinen von der
Viertelwellenlange abweichen.
I n Abb. 1 ist die zu untersuchende Anordnung schematisch dargestellt. Die
beiden Schichten besitzen die Brechungsindiees n, und n, und die Schichtdicken
d , und d2.* Der Brechungsindex des vorgelagerten Mediums hat den Wert no,
der des abschlieaenden Mediums den Wert 71,. Alle Stoffe sind nicht absorbierend
6 ) R . L. Mooney, J. Opt. Soc. Am. 86, 5'74-583 (1945); Ref. Optik 2, 164 (1947);
L. H i e s i ng e r , Optik 8, 485 (1348).
K . Sch&r:
Vieqw&wk und Probbne der optkchen ReJlezionsminderung 355
( x = 0, p = n,p = k). Der Wellenwiderstand des vorgelagerten Mediums betragt
also lyn,, der des abschliel3enden Mediums l/n3. Entsprechend der Begriffsbildung
der Vierpoltheorie besteht die Aufgabe darin, fur eine bestimmte Frequenz die
Wellenwiderstande der beiden Medien durch einen Transformator einander ,,anzupassen", urn dadurch die Reflexion zu beseitigen. Die optischen Widerstande
an den drei Grenzflachen werden mit &, 82,
83 bezeichnet. Die stufenweise crfolgende
Berechnung der Widerstande ergiht
1
33 = n,
&
32=
cos k, d ,
+ 3 - sin k, d,
(6)
j n , . B 3 - s i nk t d , + c o s k , d ,
8, * cos k , d , +
k
& - sin k,d,
31= i n l &,- s i n k,d, + cosk,d,
*
32
33
Abb. 1. Schema der Doppehchicht
zur Entspiegelung
'
Im Falle der Reflexionsfreiheit R! = 0 mul) nach (5) 8, = 2, = l/n, gemacht
werden. Durch Einsetzen dieses Wertes in die letzte Gleichung nimmt die Bedingung der Reflexionsfreiheit die Porm an :
COB
sin k, d ,
-
k, d , - j
8a= no cos k,d, - j n1sin k,d,
'
Durph Gleichsetzen mit der zweiten Gleichung von (6) erhalt man nach einigen
einfachcn Umformungen
nl
n,
Hieraus ergeben sich sofort die Gleichungen zur Bestimmung der beiden
Schichtdicken:
Die Voreeichen der Wurzeln sind im Einklang mit den Gleichungen (7) zu
wiiblen. Die Diskussion der Gleichungen (8) sol1 an Hand der Abb. 2 erfolgen.
Hier sind die Brechungsindices n1 und n2 als kartesische Koordinaten aufgetragen .
Die Brechungsindices nound n3 sind als fest vorgegebene GriilJen angenommen. Die
356
Annalen &r Phyeik. 6. Folge. Band 4. 1949
horizontale Gerade entspricht der Gleichung
nP - 3
(.s
"z)-.o,
die vertikale Gerade der Gleichuiig
(!!
-
2)
uncl die schrage Gerade der Gleichuilg
:(
- ?I!")
L=-
0
'
= ().
%%
Die gleichen Klaiiimerausdrucke hildeii auch Teilfsktoren der Radikanden
in den Gleichungen (8). In 'den von den drei Geraden begrenzten schraffierten Gebieten ist das Vorzeichen der beiden Radikanden (8) positiv und damit die Aufgabe Ioabar. Die schrage Gerade stellt
den voii M o o n e y uiid.Hiesirlger b e handelte~i Spezialfall dar. Die vorliegcnde Rechnung zeigt, daB zur Erreichung vollkoniinciier Eiitspiegeluiig
die Wertepaare n,, n2 nicht auf der
schragen Geradcn zu liege11 brauchen,
sondern irgendwo in den schraffierten
Gebietcn liegen konnen. Nur sind dann
die zugehorigen Schichtdicken nicht
inchr gleich einer Viertelwellenlange,
sondern entsprechend den Gleichungeii (8)
-
Bei der Losung koinplizierterer Aufgaben (Reflcxioiisverstiirkung von Metalln7
spiegeln durch mchrere Schichteii, InterAbb. 2. Rereiche, in denen dic Aufgabc ferenzfilter) wird inan die numerische
der Entspiegdung losbar ist
Berechnung vorzieheii. Man kann d a m
nach dein Schema der G1eic:hungen (6)
fur eine Anzahl herausgegriffener Wellen1ange;en die optischen Widcrstiinde st.ufenweise riickwarts nuinerisch berechncii und zulet,it mit Hilfe von Gleichung (5)
den Ubergang zuiii Reflexionsvermogcn v?llzieheni. Sllgepein ist zu crwirten,
daO die Anwendung der Vierpoltheorie auf optische Probleine ebenso wie i n der
Hochfrequenztechnik und Akustik ncue Gesichtspunkte fur die Koiistruktion
von Wellenfiltern liefern wird.
20
J e n a , Carl Zeiss-U'crkc.
(Be;der Redaktion eingegangen a m 28. Dezemhr 1Y.18.)
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