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Anwendung eines einfachen Variationsverfahrens auf die Bindungsenergien leichter Kerne.

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A n wendung eines einfachen Variationsverfahrens
auf die Bindungsenergien leichter Kerne
v072
IY. InthOff
Inhaltsiibersicht
Ausgehend vom H a r t r e e -Fockschen Energieausdruck mit den Eigenfunktionen des Harmonischeii Oszillators und einem einfachen Ansatz fur
die Spin-Bahndrehimpuls-Wechselwirkung
werden Gleichungen fur die Bindungsenergien aufgestellt. Durch Anwendung des Variationsverfahrens in
der einfacheii Form der Koordinatenstreckung ergeben sich WeitereGleichungen.
Aus dem Vergleich mit den empririschen Bindungsenergien und aus den Extremalbedingungen ergeben sich Gleichungen fur die Wechselwirkmigsparameter. Ferner werden ,,Kernradien" berechnet und eine Abschatzung
fur die (in dieser Arbeit vernachlassigte) Teiisorwechselwirkung gegeben.
fj 1. Einleitung
Der groBe Erfolg des Schalenmodells in den Jahren 1950- 53 fiihrte dazu,
daB man versuchte, das Einteilchenmodell soweit zu verbessern, daB man
auch quantitativ ubereinstimmung dort erhielt, wo das Schalenmodell in
seiner urspriinglichen Form nur qualitative Aussagen macheii konnte.
Im Rahmen des Einteilchenmodells ist die beste Annaherling an das
Mehrteilchenproblem, das der Kern darstellt, die F o c ksche Naherung. Selbst,
wenn man iiur Zweiteilchen-Zentralkrafte annimmt, ist die strenge Losung
ckr Fockschen Gleichungen eine Aufgabe, die nur mit Hilfe groI3er Rechengerate zu bewgltigen ist. Beschrankt man sich auf einfache Rechenmaschinen,
so ist die Rechnung nur in weitergehender Niiherung durchfuhrbar. I n der vorliegenden Arbeit wird das Variationsverfahreii in der einfachsten Form mit
einem verfugbaren Parameter angewendet . Da die Eigenfunktionen des
Harmonischen Oszillators verwendet werden, die nicht allzusehr von der
strengen Losung abweichen diirften, steht zu hoffen, daB die Ergebnisse nicht
zu sehr von dieser Niiherung abhangen.
Fur die Wechselwirkung wird ein Ansatz gemacht, der gewohnliche und
Austausch-Krafte enthalt. Die Form des Potentials ist die GauB sche
Fehlerfunktion, die wegen der bequemen Integration gewahlt wurde. Die
Coulom bwechselwirkung laBt sich streng berucksichtigen ; hinzugenommen
wurde noch eine Spin-Bahndrehimpuls-Wechselwirkung in der einfachst
moglichen Form: proportional zu x' li . 5,. Tensorkriifte und Mehrteilchen-
4
krafte wurden nicht beriicksichtigt.
Mit diesem Schema wird jetet nicht versucht, durch Annahmen uber die
verschiedenen Wechselwirkungsparameter die Bindungsenergien der leichten
W . InthojJ: VariulionscerJul~renfiir die Bindungsenergien leichter Kerne
221
Kerne auszurechnen, sondern die Bindmgsenergien dienen zur Berechnung
der Wechselwirkungskonstanten. Diese Verfahrungsweise fiihrt dann natiirlich
dam, daB die Parameter von der verwendeten Niiherung abhangen. Neben
dieser etwas eingeschrankten theoretischen Bedeutung ist das Ergebnis
auch von praktischem Nutzen, wed in vielen Rechnungen die hier verwendeten
Annahmen gemacht werden. Wed die Rechnungen fur eine grol3ere Zahl von
Nukliden gemacht werden, fiir die Kerne der 1s- und lp-Schale, kann man
namlich Hinweise auf die Gute einer entsprechenden Naherung erhalten, die
mail bei Anwendung auf einen einzelnen Kern nicht erhalt.
Q 2. Eintiihrung angepditer Einheiten
In der Einleitung wurde schon erwiihnt, dal) die Eigenfunktionen des
Harmonischen Oszillators verwendet werden sollten. Als Einheiten werden
wir also folgende GroBen einfiihren :
Energieeinheit: ti ~4 2 ;
Langeneinheit: vti/m oo= l o , wobei m die folgende Masseneinheit ist.
1
Masseneinheit: m = (m,
m N ) = 1,67359 . lo-* g (das arithmetische
2
Mittel zwischen Protonen- und Neutronenmasse).
co, wird spater so bestimmt, da13 die zugehorige Langeneinheit die Reichweite der Kernkrafte ist. Da sie vorliiufig noch unbekannt ist, wiihlen wir
ti w0/2 = 10 MeV, eine vernunftige GroBenordnung f i i r die Bindungsenergien
cm.
der Kerne. Die Ltingeneinheit ergibt sich dann zu 1,439 93
Fuhren wir spiiter &IsLgngeneinheit die Reichweite 1 ein, 1 gemessen in den
obigen Liingeneinheiten, so ist die Energieeinheit dann 10/l2MeV.
Bei den Rechnungen brauchen wir noch e2 in den angebenen Einheiten. Es
ergibt sich e2 = 0,099996; bzw. e2 = 0,099996 1.
Die Energieeigenwerte des H.-0. sind bei unserer Einheitenwahl 2 n
3
(n ganz 2 0). Die zugehorigen Eigenfunktionen sind bis auf einen Normierungsfaktor
+
-
+
In der H a r t r e e - F o ckschen Niiherung gehen in den Energieausdruck nur
die gemischten und gewohnlichenDichten ein. Wir benotigen nur die gemischte
Dichte, die gewohnliche ergibt sich als Spezialfall. Piir die einzelnen Energieniveaus ergibt sich bei vollstandiger Besetzung fur die gemischte Dichte die
Rekursionsformel
1
v
(2)
(r, t') = e-raIz e-f'/2 (2 z - v) . ( 2 t' - ') e912 er"l2 en-1 (r, r').
2n
Der Beweis folgt sofort aus der Rekursionsformel fur die Her mi teschen Polynome
&+l
(4 = 2 H , (4 - H:, (4
(3)
e,
und der Normierungsgleichung
fOO
J'
-m
-
e - x ' f p n. ( ) dz = 2% n! vn.
(4)
222
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
Fiir den Grundzustand n = 0 ist die gemischte Dichte
. p,, (t, r‘)
na!z
= e-r’/2
e-r”/2,
(5)
daraus ergibt sich fur
1: n a / s el (r, r’) :
e-+D
n
=
n
= 2:
e-r”/2
. 2 1:. r ’
1
rial* e2 (r, r’) = e--f/2 e-r”/2 . [ 4 (r . r‘)2 - 2 (r2f r‘2)
2
+ 31;
(6)
usw. nach (2). Man sieht aus der Rekursionsformel, daB die gemischten
Dichten Polynome sind mit dem allgemeinen Glied
-
(r r’)” (r2
+ r’2)v.
( 7)
Die gewohnliche Dichte ergibt sich a m der gemischten durch
e (r) = e (r, r).
(8)
Bei den Gln. (5) und (6) wurde der Spin und der Isotopenspin nicht berucksichtigt. Fur die Hartree-Focksche Niiherung geniigt folgende Indexschreibweise :
ek Dichte der Neutronen mit positiver Spinrichtung,
p N Dichte der Neutronen mit negativer Spinrichtung,
(91,
ep’, & die entsprechenden Protonendichten.
Ferner bezeichnet :
+
e+ = eitr + e:
e
+
@N =
ef
@N
= @N
ep
=
ep
entsprechend,
Q-
entsprechend,
+
(10)
e+ e-.
Die Argumente fehlen, da die Bezeichnungen fur gewohnliche und gemischte
Dichten gelten sollen.
Q 3. Die Ansiitze fur die Weehselwirkungen
Fur die Wechselwirkung durch zentrale Zweikorperkriifte verwenden wir
das GauBsche Potential
exp {- (r/Z)2},das auf streng losbare Quadraturen fuhrt. Im Fall abgeschlossener Niveaus lassen sich die Integrale zuriickfuhren auf das Integral
-
JJ exp {-
a r2 - /3 r12
+ 2 y r . r? dv dv’.
(11)
Dieses Integral und die weiter unten angegebenen lassen sich durch Drehung
im Gdimensionalen (r, r’)-Raum elementar integrieren. Als neue Koordinaten wiihlt man die Polarkoordinaten von r
r’ und r - r’. Die Losung
von (11)ist:
+
(11)= n 3 / 1 / ( x p - y 2 3 .
(12)
Durch partielle Differentiation nach a, /3 und y erhiilt man die benotigten
Integrale.
W . InthoJJ: Variationsverfahren
die Bindungsenergien leichter Kerne
JUT
223
Entsprechend geht man bei der Coulom benergie vor: dort verwendet
man, um kompliziertere Ausdriicke zu vermeiden, am besten die Integrale
ss exp {-a
rz -
1
P r ' 3 F-7 dv dv' = 2 $/(a
/J exp {-
a (+
+
r'2)
-~
#8j/n I/a
+ 2 y t .'r'}
+p),
1
7
I
(1 3)
dv dv'
(14)
=2n3/(1/2(M+y)VM-y)).
Fur nicht abgeschlossene Niveaus benotigt man noch folgende Integraltypen: im Fall der Kernkriifte
J/ exp {-
r2
I t 3- r
- oc (t - r')~} z x'2 dv dv'
-
=
1
+ 2 a +--$,
3 a2
+2
4 (1
U2
/ s e x p {- r2 - r t 2 - M (r - r'"} x x' y y'dv dw' = __ --n?
4 (1
und im Fall der Coulombkriifte
s/
,$2 x'2 e-r: e-r'=
1s9
1
~
Ir-r'J
y
l
e-r* e-r'l
~
~
1
lr-r')
78
49
dv dv' = - - -,
vzn 120
dv dv' =
78 43
~
-
1/2n 120
(15)
a)"S
+ 2 a)":
(17)
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
224
Zur Definition dieser Kriifte und zur Berechnung der obigen Gleichungen vergleiche z. B.l). Die Abkiirzung V (r, r') steht in allen Fiillen fur das von uns
gewlihlte Potential
B (r, r') = K exp {- (r - r')2/Z2}.
(26)
-
In der Anwendung auf die'Kerne von D2 bis OIRtreten nur drei linear unabhiingige Kombinationen der Koeffizienten W, M, B und H auf
Einen Normierungsfaktor, der auf Grund der Gln. (21) bis (25) noch frei war,
haben wir durch die Bezeichnungen ,,1-- x" und ,,x" gewahlt, denn es gilt
W
+ M = 413.
(27)
tfblicherweise normiert man
W
+M +
B + H = 1.
Zur Berechnung dieser Grol3e benotigen wir aber y, das bei unseren Rechnungen erst spiiter auftntt als die Kombination (27).
AuBer den bisher genannten Wechselwirkungen soll nur noch eine SpinBahndrehimpuls-Wechselwirkung beriicksichtigt werden in der einfachsten
moglichen Form
E s = - U X l a; G j .
(29)
8 4. Das Variationsvertahren
Das Variationsverfahren beschriinkt sich auf eine Koordinatenstreckung.
Auf die Elektronenhulle der Atome wurde dieses Verfahren von W. Kohna)
angewendet. Man geht debei von einer Eigenfunktion y(0)( v ) uber zu
y = y(0) ( A r) j13N/2
(N = Teilchenzahl).
(30)
Fiir die kinetische Energie EK und die Coulombenergie E, gilt dann
.
E , = A2 EKCO) [EK(o)entspricht yo (r)l,
(31)
E, = 1EC(0)
[Ec(o)entspricht yo (131.
(32)
Fiir die Wechselwirkung auf Grund der Kernkriifte gilt keine so einfache
Relation, da wir es in (25) nicht mit einer homogenen Funktion zu tun haben.
Trotzdem konnen wir durch Koordinatentransformation erreichen, del3 sich
E p (die potentielle Energie der Wechselwirkungskriifte) geschlossen darstellen
laBt in der Form
E p = F (A, 0 ,
(33)
oder spiiter, nachdem 1 = 1 gesetet wurde
E, = G ( I ) .
(34)
1)
2)
W. Heisenberg, Theorie des Atomkerns. Uottingen 1961, 8.64.
W. K o h n , Physic. Rev. 71, 635 (1947).
W . Inthojj: Varialionsserjahren f u r die Bindungaenergien leichter Kerne
225
U ist hierbei, wie sich aus (12) und (15) bis (17) ergibt, ein Bruch, dessen Ziihler
ein Polynom in 1 ist, wiihrend im Nenner eine Potenz von (A2 2)'/* steht.
Die Koeffizienten im Ziihlerpolynom sind dabei nur Funktionen von
Als letztes ist noch die Spin-Bahndrehimpuls-Wechselwirkungzu berucksichtigen. Fur die Konstante U in (29) machen wir den Ansate
u = La U ( 0 ) .
(35)
Die Proportionalitiit mit L2 ergibt sich dimensionsmiiflig aus einem Ansatz der
Form [vgl. dazu z. B. 3)]
+
Zusammenfassend ergibt sich
( B > 0 ist die Bindungsenergie),
+ E , + E p + E,
B = I2E=(o) + A Ec(0, + G' (1)- 2' U(0,J Zi = 3 i ,
-B
7
=E,
(37)
1
und aus der Extremalforderung
Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich naturlich bei einem bestimmten
Kern nicht alle Wechselwirkungsparameter bestimmen. Wir werden mit besonders einfachen Kernen beginnen und die Parameter dann sukzessiv bestimmen .
Noch zwei Bemerkungen. Zuniichst zur kinetischen Energie. Der
Virialsatz ergibt fur den Harmonischen Oszillator E , = E/2. Aber davon
ist noch die kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung abzuziehen. Die
Ergebnisse der dazu notwendigen elementaren Rechnungen sind bei den
einzelnen Kernen angegeben.
Die andere Bemerkung bezieht sich auf den Ansatz (35). Bei den weiter
unten angegebenen Rechnungen wurden probeweise auch die 0. und 1.Potenz von 1 eingesetzt. I n diesen Fiillen fuhren die Gln. (37)und (38) nicht
zu positiven Losungen fur 1, und nur solche Werte fuhren auf physikalisch
sinnvolle Ergebnisse.
Q 5. Bestimmung von K und 1
Zuniichst wurde der Versuch unternommen, die Siittigungsbedingung
x = 0 [vgl. dazu4)] mit zu berucksichtigen. In diesem Fall sind fiir He4 und
OIK auI3er den beiden I-Werten K und 1 die einzigen Unbekannten. Versucht
man aber ein Wertepaar K und 1 zu finden, das allen 4 Gleichungen genugt,
so ergibt sich, daB die Kurven K ( I ) fur He4 und 0ls f i i r positive 1-Werte sich
nicht schneiden. Die Bedingung x = 0 wurde deshalb fallengelassen.
Unabhangig von der Siittigungsbedingung hiingen nur von K und 1 die
Bindungsenergien von H3, He3 und He4 ab. Bei H2 wiirde der Singulettzustand auch nur von diesen Parametern abhangen, nicht jedoch der Grund_.___
3) J. P. E l l i o t t and A. M. Lane. Tho Nuclear Shell-Modell. S. 379. im Handburh
der Physik Bd. 39, Berlin 1957.
4 ) H. A. B e t he and R. F. Bachey, Rev. mod. Physics 5, 82 (1936).
16
Ann. Physik. 7 . Volpe. Bd. :i
226
Annalen der Phyaik. 7. Folge. Band 3. 1959
zustand, der Triplettzustand. Die Unabhiingigkeit von der Sattigungsbedingung kommt dadurch zustande, daI3 im la-Zustand des Harmonischen
= eo (r) po (d). Von den oben genannten Kernen
Oszillators gilt lpo (r,
wurden He3 und He4 ausgewiihlt zur Parameterbestimmung. Auf die Griinde
dieser Wahl werden wir bei der Berechnung der Bindungsenergie von H3
noch einmal zuruckkommen. Es gilt fur He3
4K
a=- 1
- B = 3 P + CA -,--Ti,
C = 0,079786,
(39)
A S 1s
(1 -t 2 4
’
Die Reihenfolge der Glieder entspricht der GI. (37) (E,q= 0). Fur He4 gilt
entsmechentl
Zu diesen Gleichungen kommen noch die Extremalbedingungen
He% O = O A + C - - - - - He4
0=9A+C’--
2411
(1 + 2
1
PA3
’
48K
1
(1 4- 2 a)r’*P 13
-
~
(48)
Aus den letzten vier Gleichuiigen berechiien wir die Kurven K (1) fur die
beiden Kerne. Der Schnittpunkt liegt bei
h’ = 1.936674,
1 = 1.771786.
(43)
Die zugehorigen I-Werte sind
He3: 0,827515,
He4: 0,974892.
(44)
I n den folgenden Paragraphen werden wir 1 als Llingeneinheit verwenden.
Die Energieeinheit ist dann 3,174738 MeV; und es gilt in den neuen Einheiten
e2 = 0,177472,
K = G,O94000.
(45)
Mit den bisher ermittelten Parametern konnen wir die Bindungsenergie
von H3 ausrechnen. Da es sich urn Spiegelkerne handelt, ist der Energieausdruck der gleiche wie bei He3 bis auf die Coulombwechselwirkung, die
hei H3 naturlich null ist.
Aus der entsprechenden Extremalbedingung ergibt sich
1 = 1,4833.
(46)
Die Bindungsenergie errechnet sich dann aus dem Energieausdruck zu
Bber = 8,514 MeV, der exp. Wert ist 8,483 MeV.
(47)
Die benutzten experimentellen Werte in dieser Arbeit sind die von M a t t a u c h
und Mitarbeitern berechneten An~gleichswerte~).
Die Ubereinstimmung in (47)
ist durchaus zufriedenstellend, wenn man beriicksichtigt, daB die Tensorkriifte vernachliissigt sind. Die Anpassung geschah aber an zwei Bindungsenergien, von denen die eine (He3) sicher einen Beitrag von Tensorkraften
enthalt, die andere ebenso sicher keinen. Da wir Kerne, bei denen die Tensorkriifte eine Rolle spielen, mit denselben Parameterwerten beschreiben wollen
5)
J. Mattauch, I,. Waldmann, R. Bieri u. F. Everling, Z. Naturforschg. l l a ,
526 (1966).
W . Inlhojj: Vuriulionsverji~l~ra~~
Stir dia Bindcnpsesergirn leichler Kerm
227
wie die anderen Kerne, bei denen sie keine Itolle spielen, mufiten wir also He4
zusammen mit einem Kern der Massenzahl 3 verwenden. (47) zeigt, dafi es
keine groBe Rolle spielt, welchen von beiden wir wahlten.
5 6. Bestimmung von 3c und y
Bei der Bestimmung von z haben wir nicht unter mehreren Moglichkeiten
zu wahlen. Der einzige Kern im betrachteten Intervall, der als weiteren Parameter nur x enthalt, ist Ol6. Sein Energieausdruck lautet
- B = 33,694727 A2
"
+ 2,938262 1- + 21'11
(4 1*+ 16 A2 + 31)
(12
Aus dieser Gleichung konnen wir mit Hilfe der Extremalbedingung z eliminieren. Die resultierende Gleichung fur il hat dann die Losung
1(O'O) = 1,55367.
(49)
Einsetzen in (48) ergibt
x = 0,247381.
(60)
Auch bei y haben wir keine Auswahl; nur H2 hat keine Spin-Bahndrehimpuls-Wechselwirkung. Der Energieausdruck lautet
Wie bei 0l6errechneii wir zunachst 1
1(H2)= 1,336218,
(52)
und daraus mit (61) 9
y = 0,761333.
(53)
Es ist vielleicht noch zu bemerken, daB z in den Ausdruck (51) nicht eingeht,
die Bestimmung von y also unabhangig von der Erfullung der Slittigungsbedingung.
Mit y konnen wir jetzt W
M - U - H ausrechnen
W
M - B - H = 4 (1- y).
(54)
Diese Grol3e wird benotigt fur den Vergleich mit anderen Theorien, die auf
W
M
B H = 1 normiert sind. Der Quotient
(W M - B -. H ) / ( W M
B H)
ergibt sich bei uns zu 0,558, Rosenf elds6) Wechselwirkungsparameter ergeben 0,G.
8 7. Anwendung der Theorie auf die ubrigen Heme
Bei der Anwendung auf die restlichen Kerne der lp-Schale ist das Problem
immer das gleiche: Unbekannt sind die A-Werte und die Konstante( 2 ) der
Spin-Bahndrehimpuls-Wechselwirkung.Es ist nun 80, daB durch die Ver-
+
+ + +
6,
+
+
+ + +
L.Rosenfeld, Nuclear Forces. Amsterdam 1948, S. 233.
16*
A,rnnlrn dcjr Ph!ysik. Y. k'olyc. Bnird 3. 1959
228
nachliissigung der Tensorkriifte cs nicht moglich ist, ein fiir die ganze lpSchale konstantes oder schwachveriinderliches U(0) zu finden. Deshalb gehen
wir so vor, da13 wir aus der Gleichung fiir die Bindungsenergie und der Extremalbedingung U(0) eliminieren und zunachst A bestimmen. Die Gleichungen fur il haben zwei positive Losungen, von denen aber nur die eine auf
ein Maximum der Bindungsenergie fuhrt . AUS der Energiegleichung wird
dann mit Hilfe des A-Wertes Uo berechnet.
Die allgemeine Form der WechselwirkungsenergieE , ist fur die betreffenden
Kerne
8 K i13
-H=12EK(O)+AEC(O)
--(a114++"212+a3)P U ( 0 ) ' J Z i * 6 i . (55)
(A* t- 2)''s
z
Diese Koeffizienten at sowie Ecc0)und E"(0) sind in der Tab. 1angegeben.
Die Werte fiir Eg(0)sind fur zwei Kerne gleicher Masse nicht immer identisch, ebenso sind die ai verschieden. Wenn die Kerne durch den Kernspin
sich unterscheiden, wie z. B. Lia und Bes, mu13 das bei der Aufstellung der
Punktion y(0) beriicksichtigt werden. Ein Nukleon bringt dann eine neue
Eigenfunktion der H. 0. herein, obwohl die anderen noch nicht voll besetzt
sind. Dies fiihrt dann auf die oben angefiihrten Unterschiede.
Zuniichst war veraucht worden, die Kerne der lp-Schale in einer statistischen Naherung zu behandeln, indem der Dichteanteil dieser Schale proportional zum Anteil bei 0ls gesetzt wurde. Dieses Verfahren wurde bei C12
angewendet und ergab, daB bei diesem Ansatz beine positive Losung von A
existiert.
Tabelle 1
~
a,
aa
a.3
1,123 691
1,123691
1,366 719
1,461376
1,871 072
1,871072
2,169 683
2,494760
2,742143
2,742143
3,108 862
3,108 862
3,203619
3,736906
3,736906
4.149 207
4;484286
4,866 368
4,866 368
5,346767
4,747 381
4,747381
6,733438
6,922 753
7,242 143
7,242143
8,319 366
8,989 624
9,984286
9,984 286
11,217724
11,217 724
11,407039
12.973810
12;973810
14,298413
14,968672
16,210 716
16.210 716
17i691634
5,000000
5,000000
6,368014
6,641 986
8,600000
8,600 000
9,833333
11,000 000
12,600 000
12,600000
14,368014
14,368014
14,641986
17,000 000
17,000000
18,833333
20,000000
22,000 000
22,000 000
24,368014
24,368014
24,641 986
27,600000
27,600000
6,833 333
6,833333
9,186276
9,186276
11,646 776
11,646776
13,990664
13,906162
16,376 648
16,376648
18,837141
18,837141
18,837 141
21,289 771
21,289 771
23,767636
23,733607
26,227 613
26,227613
28,711 783
28,711 783
28,711 783
31,210 120
31,210 120
0,141 603
0,364008
0,141 603
0,364008
0,364008
0,682064
0,364008
0,682064
0,682064
1,090 343
0,682064
1,614274
1,090343
1,090 343
1,614274
1,090 343
1,614274
1,614274
2,218447
1,614274
2,938262
2,218447
2,218447
2,938 262
Von den Ergebnissen fassen wir in der Tab. 2 folgende GroWen zusammen:
U(O) li . Si, 2'li . gi, U(0) und A. Man sieht, da13 U(0) fur C12 den tiefsten
+
i
229
W . Inthojj: Vnriulionsoerjahrem f iir die B i d u q p e n e r g i e n lcichler Kernc
Tabelle 2
A
~~
0,840
0,871
1,276
1,240
1,430
1,422
1,769
1,878
2,369
2,381
2,787
2,477
2,760
2,649
2,626
2,344
2,292
2,446
2,444
2,313
2,078
2,306
1,861
1,368
1,680
1,742
1,276
1,240
0,963
0,948
0,880
0,939
0,943
0,963
0,929
0,826
0,920
0,728
0,722
0,686
0,673
0,816
0,816
1,167
1,039
1,163
1,361
1,368
-
1,6879
1,6847
1,6149
1,6493
1,6494
1,6296
1,4976
1,6161
1,6626
1,6666
1,6499
1,6494
1,6316
1,6699
1,6606
1,6420
1,6861
1,6666
1,6679
1,6627
1,6668
1.6400
1.6620
1,6460
Wert erreicht und nach kleineren wie auch nach groSeren Kc rnen hin anskigt.
Diese Zunahmen diirften eine Folge der Vernachliissigung der Tensorkrafte
sein, da bei den Kernen mit der groI3ten Abweichnng, ein bcsonders groBer
Beitrag der Tensorkrafte zur Bindungsenergie zu erwarten ist. Zur Tab. 2
ist noch zu bemerken, da13 U,O)2 1, . Sj und U p ) in der Energieeinheit, die in
%
5 eingefuhrt wurde, angegeben sind.
Q 8. Berechnung der Kernradien
Bei den durchgefiihrten Rechnungen wurde nicht nur der hier beschriebene
Weg gegangen, sondern alxch versucht, durch kleine h d e r u n g e n der Methode
die Empfindlichkeit der Parameter zu testen. Als besonders unempfindlich
zeigte sich hierbei der Parameter l/A. Es ist also zu erwarten, daS auch Grol3en
wie die Kernradien sich im Rahmen dieser Theorie mit guter Genauigkeit berechnen lassen. Ob der Formfaktor, der durch die Wahl der Eigenfunktionen
festgelegt ist, zuverlassig ist, kann auf Grund der bisher vorliegenden experimentellen Ergebnisse noch nicht gesagt werden. Wir werden deshalb den
sogenannten r m s-Radius berechnen. Der r m e-Radius ist die Wurzel aiis dem
Mittelwert von r2, wobei die Mittelung iiber das Kernvolumen mit der Protonendichte als Gewichtsfunktion erfolgt. AuSer diesem Radius wird auch oft
in der Literatur der Lquivalente Kernradius angegeben
Aus diesem Radius kann dann ein Lquivalenter Protonenradius ro = Ri p/A1/8
berechnet werden.
230
Alrirohk
dur Pliysik. 7. Folye. Baikd 3 . 105!,
I n der Tab. 3a geben wir den r m s-Radius und ro nach den vorliegenden
Rechnungenan, in 3b den rms-Radius nach MessungenvonHofstadter und
Mitarbeitern ') unter Beriicksichtigung neuerer Ergebnisse 8 ) . Alle Gro13eii
in der Einheit von
cm.
Titbelle 3a
Rrms
-
.
HZ
2,343
2,127
2:13
1:809
1,967
2,183
2,066
2,23
2,23
2,362
2.31
R8
Hea
He4
He6
Li6
He6
12
1 2
Be7
I2
Re8
Bc?
Fig
Bela
H2
He4
Lie
2133
1,96
1,61
2,83
I Re9
1
('12
gLG
j
1
'
~
ro
2,40
1,907
1;909
1,471
1.486
lj660
1,469
1,687
1,604
1,696
1,493
1,445
1,436
1,478
1,398
2,80
2.37
2,64
Rrms
2,387
2,467
2,37
2,426
2,40
2,38
2,40
2,44
2,42
2,446
2,467
2,446
2,467
2,466
1,432
1,472
1,377
1,421
1,363
1,343
1,318
1,340
1,297
1,312
1,322
1,312
1,323
1,264
Hjnzu kommen noch theoretische Bedenken
bci der Anpassung des Protonenradius. Es
steht nicht fest, ob der Formfaktor des
231
W . I ~ ~ t I m f fVu~iationsc~~raWreti
:
fur d i e ~ i s d i i n y s e i i e r g i e i i leicIUer Kerne
wurden, stimmen gut mit den Ergebnissen von C a r l s o n und T a l m i uberein.
Da die Berechnung von AC keirie Rucksicht darauf nimmt, o b d i e I-Werte
bei dem Paar von Spiegelkernen gleich sind oder nicht, kann man annehmen,
tlaB die r,,-Werte in Tab. 3 eine Verbesserung darstellen. Die r,-Werte liegen
hoher als bei schweren Kernen.
(la sie aber stark abfallen, ist es
Tnbelle 4
tlurchaus wahrscheinlich, daB sie
A
1
t
sich fur schwere Kerne den dort
I
1
"
1
A
1
2;=-A
+1
gemessenen
Werten anniihern.
z= -__
2
2
Anders ist es mit den Differenzen zwischen Tab. 3a iind 3b.
A = 3: 1,700
1,4833
1,468
Dort sieht es cloch so aus, als oL
A = 6 : 1,210
1,6897
1,6847
1,6494
1,6296
ein systematischer Fehler vorliegt.
A = 7: 1,680
1,6626
1,6666
Ob eine Berucksichtigung der
1,6699
1,6606
Tensorkraft diesen Fehler aufhebt,
A = 13: 1,666
1,6666
1,6679
kann erst die Rechnung zeigen.
A
16: 1,636
1,6620
1,6460
-
~~~~
2 1lyi ~$~~
I
$9. Diskussion der Ergebnisse
Die Moglichkeit, aus der vorliegenden Theorie Kernradien zu berechnen,
wurde schon im vorangehenden Paragraphen besprochen. Die Wechselwirkungsparameter dagegen sind schwieriger zu bemteilen. Zmiichst uberrascht
die Reichweite der Kernkrafte, die deutlich groBer ist als die entsprechenden
Werte beim Zweikorperproblem. Dies liegt zum groBten Teil an der Vernachliissigung der Tensorkraf t. Bei eirier Anpassung an Bindungsenergie und
Protonenradius von He4 ergibt sich niimlich eine Reichweite, die auch sonst
gefunden wird, niimlich: 2,O .
cm. Dafiir ergibt sich allerdings die Bindungsenergie von He3 vollig falsch. Die VergroRqFung der Reichweite wirkt
natiirlich ein auf die GroBe von K . Bei kleinen Anderungen der Reichweite
bleibt niimlich K . l2 konstant.
Die beiden anderen Parameter x und y sind von der Anpassung nicht so
abhangig. Schon in $ 6 wurde gezeigt, daB der y-Wert gut mit anderen Werten
aus der Literatur ubereinstimmt.
Beim Parameter x ist diese Ubereinstimmung nicht vorhanden. Wenn
auch schon in anderen Arbeiten, z. B.lO),sogar noch gronere Werte fur x
angegeben wurden, so gilt die Siittigungsbedingung doch immer noch als erforderlich fur Kernkrilfte mit reinem anziehenden Potential. Da die Arbeiten
zum B r u e cknerschen Kernmodell aber gezeigt haben, daB das Verhalten bei
ZweierstoBen im Kernmedium ganz anders ist als im freien Raum, s. z. B. 11),
ist abzuwarten, wie eine Ausweitung der Theorie auf schwere Kerne sich auf
den Parameter x auswirkt.
Die Schwierigkeiten, den Parameter U(o, zu bestimmen, wurden schon erwahnt. Es 1iiBt sich kaum mehr sagen, als daB der Wert fur CI2 eine grobe Abschatzung nach oben liefert. Der Wert ist :
5 1,82 MeV;
U(o,
~ _ _
10)
11)
(1968).
zum Vergleich:
U(O,= 1,554 MeV.
(57)
J. M. Soper, Philos. Mag. (8) 2, 1219 (1967).
L. C. Comes, J. D. Walecka and V. F. Weisskopf, Ann. of Phys. 3, 241
232
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
Der Vergleichswert ist der ArbeitlO) entnommen. Mit der Abschatzung aus
(57) laBt sich jetz aber der EinfluB der Tensorkrafte, natiirlich auch nur sehr
grob, abschiitzen. Fiir den Anteil der Tensorkrafte E, ergibt sich so
E,
-
(U(0)-
0,573) z
Y li 5,;
Einheiten von
9 5.
(58)
AuSer der Ungenauigkeit in U(0) mu0 man hierbei beriicksichtigen, daB ein
Teil der Tensorkrafte schon in die ubrigen Wechselwirkungsparameter eingeht durch die Art der Anpassung.
Bis jetzt beschrankte sich die Diskussion auf Erganzungen der Theorie,
die ohne grundlegende h d e r u n g des Ansatzes vorzunehmen sind. Eine geringfiigige h d e r u n g , die gerade im Fall der Massenzahlen am Beginn und am
Ende der lp-Schale die Ergebnisse verbessern konnte, ware die Benutzung der
Eigenfunktionen eines anisotropen Oszillators. Eine gleiche Wirkung verspricht die Konfigurations-Mischung, d. h. Mischung von Eigenzustinden,
die energetisch dicht zusammenliegen. In der vorliegenden Arbeit waren wir
gezwungen, eine Auswahl unter den Linearkombinationen zu treffen, die
iiberhaupt zu Losungen fur den Parameter ;Z fiihrten (Tgl. 5 7). Die Form der
Eigrnfunktion, die gewahlt wurde, zeigt dann die Ziige eines oc-Teilchenmodelles. Es kann nicht gesagt werden, ob fur eine verbesserte Theorie diese
Notwendigkeit auch noch besteht. Das strenge a-Teilchenmodell liefert
zwar wcsentli he Ziige der Spektren, zeigt aber auch einige Unstimmigkeiten
[ vgl. hicrzu z. B. 9 3 .
Zu grundlegendeii Anderungen der Theorie wiirden vor allem zwei Annahmen fiihren, erstens die Beriicksichtigung der Korrelation und die Einfiihrung eines Potentials mit abstoflendem Kern. Ober eine Einwirkung solcher
. h k r u n g e n kann deshalb auf Grund der vorliegenden Ergebnisse nichts geeagt werden.
Mein Dank gilt den Herren Professoren B e c h e r t und S c h u b e r t fur die
Moglichkeit, wiihrend meiner Tatigkeit am hiesigen Institut die vorliegende
Arbeit durchfiihren zu konnen. Ferner danke ich Dr. M e y e r - B e r k h o u t
fur die Mitteilung von MeSergebnissen vor der Veroffentlichung.
12) S. A. Moszkowski, Models of Nuclear Structure. S. 460 ff. im Handbuch der
Physik Bd. 39, Berlin 1957.
M a i n z , Institut fiir theoretische Physik der Universitat.
Bei der R e h k t i o n eicgegacgen am 12. Kovember 1958.
Verantwortlich
fir die Schriftleitung:Prof. Dr. G. Richter, Zeuthen-Miemdorf,Platanenallee 6; fiir den Anzeigenteil: PEE Georg Thieme, Anzeigenabteilung, Leipzig C 1, Thomaakirchho! 20. Rut 2 1 0 0 5 . 2 . 2.gilt
Anzeigenpreisliste Nr. 4 ; Verlag: Johanu Ambrosiua Barth, Leipzig C 1, Salomomtr. 18 B,
Fernruf: 27 681, 27682. ZLN 5066
Printed in Germany
Druck: Paul Diinnhaupt, Kothen (IV/S/l) L 44/59
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