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aquivalente Operatoren der Wechselwirkung zwischen Atomen und elektromagnetischem Feld.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 28, Heft 1, 1972, S. 53-63
J. A. Barth, Leipzig
Xquivalente Operatoren der Wechselwirkung
zwischen Atomen und elektromagnetischem Feld
Von H. STEUDEL
Abstract
As well-known the dynamical interaction theory of molecules or atoms with the electromagnetic field may be based alternatively on one of two HAMILTONirtns, 'H or =R,
where the vector potential appears in the interaction term of 'H while this of =His expressed in terms of the electric and the magnetic field strength coupled to atomic multipoles.
Using a calculus of transversal functional derivation with respect to a vector function
we show that we can go from 'H to ITHby a comperatively simple canonical transformation
which may be interpreted within the classical theory as well as within as the quantized
theory.
The equivalence of both HAMILTONianS is lost if, a s customary in quantum optics,
only a few atomic levels are taken into account. We give a plausible argument that in this
case t,he multipole HAMILToNian ITHis more suitable.
1. Einleitung
Als Wechselwirkungsoperator fur die Kopplung zwischen einem System von
Atomen oder Molekiilen und dem elektromagnetischen Strahlungsfeld wird
entweder die ,,PA-Form" IHw = C[paAa (e/2mc2)AX(ra)] VC oder die
,,Multipolform" IIHw = 2 er,E(r,)
a
+
+
+ magnetische und hohere elektrische Multi-
I
polterme verwendet ( r , Ortsoperator, p , Impuls des or-ten Elektrons, A Vektorpotential, E elektrische Feldstarke, Vc COULOMB-Energie). Hinsichtlich der
Aquivalenz beider Operatoren im Rahmen der quantenmechanischen Behandlung eines Atoms im vorgegebenen iiulleren Feld verweisen wir auf MARIAG ~ P PERT-MAYER
[l], RICHARDS[2] und FIUTAK
[3].
Uns geht es hier u m die dynamische Theorie einer beiderseitigen Wechselwirkung zwischen Materie und Feld. Auf der Basis einer solchen Theorie haben
zuerst POWER
und ZIENAU[4,51 die Bquivalenz beider Wechselwirkungsoperatoren nachgewiesen. Neuerdings haben ATKINS und WOOLLEY[6] sowie WOOLLEY [7] das Problem erneut diskutiert und die Multipolentwicklungen explizit
angegeben. Die genannten Autoren [4- 71 erbringen den dquivalenzbeweis mit
Hilfe einer unitaren - also spezifisch quantentheoretischen - Transformation.
I n der vorliegenden Arbeit benutzen wir die von POWER
[5] vorgeschlagene
Variation nach dem transversalen Feldanteil zum Aufbau eines neuartigen klassischen kanonischen Formalismus, der es uns ermcglicht, den dquivalenzbeweis
so zu fiihren, dall er (wie die gesamte Theorie) Zeile fur Zeile sowohl klassisch
als auch quantentheoretisch lesbar ist.
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Am SchluB der Arbeit diskutierten wir einige Aspekte, die bisher nicht
genugend beachtet worden sind und weisen insbesondere auf die Giiltigkeitsgrenzen der Aquivalenz hin. Die Multipolform ist nicht geeignet, um Selbstwechselwirkungen eines Atoms zu behandeln. Dagegen isf sie bei Beschrank ung
auf einige wenige Atomniveaus gegeniiber der PA-Form zu bevorzugen.
Die Problematik der storungstheoretischen Aquivalenz [8] bleibt hier auI3er
Betracht .
2. LAQRANQEund HAMILTON-Forms~ismusin der Ausgangsform
Wir betrachten ein System von Teilchen mit der laufenden Kummer a.
ra der Ortsvektor des or-ten Teilchens. Beschreiben wir die Ladungsdichte der Teilchen durch Strukturfunktionen f rn
ma sei die Masse, e3 die Ladung und
e(s, 8 ) =
2
eL%fa(x- ra),
a
(1)
so erhalten wir als Stromvektor (in nichtrelativistischer Naherung)
j(x, t)
=
2
e a i a f a ( x- fa).
a
(2)
Der Punkt bedeutet Ableitung nach der Zeit. Von nun an bezeichnen wir
mikroskopische FeldgroiSen mit kleinen Buchstaben : a Vektorpotential, g~ skalares Potential, e elektrische Feldstiirke. Dann ist in CouLoMB-Eichung
diva = 0
(3)
1
e = -grad q~- - a ,
( 4)
und fur die magnetische Induktion b gilt
-
b = rot a.
Wir gehen aus von der bekannten LAGRANGE-Funktion
+- .-$
1
1
8n
2i
1
=~ 3 - m a r ~
-f
IL = C - m , r f
a
tz/[;
X
-
(e2 - b2)d3x - J
U2
- (rot a)2
Qd3x
~
(5)
1
+ -$
j a d3x
(grad y)2d3x (6)
J e y d3x + 1 $j a d3x.
Da
der LAGRANGE-Funktion die zeitliche Ableitung @ nicht auftritt, hat das
skalare Pohential hier nicht den Charakter einer dynamischen Variablen. Deshalb diirfen wir die Variation nach g~ getrennt ausfuhren, die so erhaltene
.Gleichung
A ~ J =- 47~0
(7)
und dieses Integral wieder in G1. (6)einsetzen. Dabei tritt die (nicht retardierte !)
COULOMB- Wechselwirkungsenergie
H. STEUDEL:Aquivalente Operatoren der Wechselwirkung
5.5
auf, und es wird
1
IL = 2
- mait
a 2
1 ' 1
+[- a 2 - (rot a)2] d3x
8n. cz
+1
&
l d8x
-
Va.
Der zu ra kanonisch konjugierte Impuls ist
I m Sinne der COULOMB-Eichung diirfen nur transversale Variationen von a
zugelassen werden [5]. Unter Verwendung der in Anhang B eingefiihrten Symbolik definieren wir den zu a kanonisch konjugierten Impuls durch
e I bezeichnet den transversalen Anteil des elektrischen Feldes (s. Anhang A).
Nun konnen wir den Obergang zur HAMILToN-Funktion vollziehen :
IH
= C Ipar:
+ J Inu d3x - IL
X
+ 8rr1 J (rot a)2d3x + vC.
(13)
Sind U und V Funktionale von ra,pa,a und n, so ist die verellgemeinert'e
PoIssoN-Klammer wie folgt zu definieren (i = 1, 2, 3)
Dsmit berechnet man
{psi, r p j } l
(15)
= 8ap &j
{ni(x),Uj(X')}L =
s t (x - x').
(16)
Das Symbol 6 6 ist in Anhang A, G1. (A 3) definiert.
Nun ersetzen wir den Index bc durch zwei Indizes pa, wobei p die Atome
numerieren sol1 und a die zu einem Atom gehorenden Teilchen. Unter Benutzung
der in Anhang C eingefiihrten, auf den Atomschwerpunkt bezogenen Koordinaten q p a und der dort definierten Gr6Ben p und m (effektive mikroskopische
Polarisation bzw. Magnetisierung) wird aus G1. (10) :
+ J(+b + r o t m1ad3x -
vC.
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Das Attribut effektiv sol1 davor warnen, den Funktionen p und m auch noch
innerhalb der Atomdimensionen eine lokale physikalische Bedeutung zuzuschreiben. Die Wechselwirkung des Atoms mit dem Strahlungsfeld geschieht
so, als ob die Polarisation p(x, t ) und die Magnetisierung m(x, t) vorhanden
waren. Da.s ist die physikalische Bedeutung dieser GroBen. (S. hierzu Anhang C.)
Durch raumliche Mittelung erhiilt man aus p und m die entsprechenden makroskopischen GroBen [9].
3. Kanonisehe TransPormat,ion
y o n der durch G1. (17) gegebenen LAGRANGE-Funktion gehen w b durch
Addition einer totalen Ableitung nach der Zeit und eines riiumlichen Oberflachenintegrals iiber zu der aquivalenten LAGRANGE-Funktion
+ S m r o t u d3x - Vc.
1
- -$$ad3x
e
Die zu q und u kanonisch konjugierten Impulse sind jetzt
IIppn
mpaqpa
1
t- Qpa
1
--dl.
47cc
Zur Definition von Q siehe Gln. (C 1-11). Jetzt bilden also nicht mehr a
I'R(x)
1 .
= ---a($)
4ne2
- -c1p l ( x )
= -
~
und -(1/4nc) e l ein Paar kanonisch konjugierter GroBen sondern a und
-(1/4nc) d l , undin d l erkennen wir den transversalen Anteil desvektors
d =e
4np,
(21)
den man in zwangslaufiger Analogie zu den entsprechenden Formeln fiir die
makroskopischen GriiBen als effektive mikroskopische dielektrische Verschiebung
anzusprechen hat.
Vergleich von Gln. (19), (20) mit Gln. (ll),(12) gibt mit Benutzung von
G1. (C 10) :
IIp pa2. - IPpai- - a $@-Lad3x
(22)
+
~
c
a4p.i
1
I'n(x) = In(%)- - p l ( x ) .
Zusammen mit der Festlegung, daB q und a nicht transformiert werden, ist das
eine kanonische Transformation. l )
R'un kijnnten wir in der bekannten Weise von IIL zur HAMILToN-Funktion
IIH iibergehen. Zu dem gleichen Ergebnis gelangen wir, wenn wir mit der kano1) Um die einfache Struktur dieser kanonischen Transformation so deutlich wie moglich
hervorzuheben, bemerken nir, daB in einem System mit zwei Freiheitsgraden durch
I
I1
91 = 4A= 41);
I1
I
IT
I
Pl = PI
I1
-
42
dg(41)
P2 = L 2 - d q , )
mit einer beliebigen Funktion g(qJ eine kanonische Transformation gegeben ist (sowohl im
Sinne der klassischen Theorie wie auch der Quantenmechanik).
42
=
42(=
42);
H. STEUDEL:Aquivalente Operatoren der Wechselwirkung
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nischen Transformation Gln. (22), (23) in IH [Gl. (13)] eingehen :
+ J (rot
u)2 d3x
+ vC.
Wir fuhren nun eine GroBe m' ein, die aus m dadurch hervorgehen soll, daB
man in der Definitionsgleichung (C Gb) qpadurch (1/2mpa)I1pPaersetzt. GemiiB
G1. (C 12) ist dann
$ m'b d
h
=
1
2' Qpa
pa 2mpa
4
I1ppa.1
(25)
Diese GroBe tritt in dem ersten Term von IIH auf.
BCl6Bt sich nach G1. (C 7) schreiben als Integral iiber ( ~ 1 1 ) ~ . Zusammen mit
dem Integral iiber ( ~ 1
bekommen
) ~
wir in IIH die GroBe 2n $ p2d3x. Dieser
Term beschreibt eine Selbstwechselwirkung jedes einzelnen Atoms. Wir erhalten
nunmehr
I1
H
=
IIHF -
I1 F
Ho
+
o - 2nc2 J
11
H oA +'IH",''H:
I 1 2 3
3t
dx
(26)
+ 1 J (rot u12d3x
Damit ist gezeigt, daB die beiden HAMrLToN-Funktionen ' H [G1.(13)] und
IIH [Gln. (2), (27)] durch eine kanonische Transformation auseinander hervorgehen, also aquivalent sind.
I1 m
H, beschreibt die magnetische Wechselwirkung. Hier tritt ein in b = rot u
quadratischer Term auf, der sich in niedrigster Naherung auf den aus der Theorie des Diamagnetismus bekannten Ausdruck 2 (2mpac2)-l ( Q p a x b)a reduziert.
11
e
Ira
H, beschreibt die elektrische Wechselwirkung. Mit G1. (20) konnen wir
auch schreiben
I 1H ew = - J Z ' p d 3 x .
(28)
(Das Zeichen I braucht nur einmal, bei d oder p, zu stehen.) Es kann sehr leicht
AnlaB zu MiBverstiindnissen oder Fehlern geben, wenn man die von uns als
effektive mikroskopische dielektrische Verschiebung bezeichnete GroBe d
wiederum ,,elektrische Feldstarke" nennt [4- GI. Wollten wir unbedingt die
1
elektrische Feldstarke e = - - u ins Spiel bringen (was aber im Rahmen des
C
kan onischen Formalismus unnatiirlich wiire), so hgtten wir mit GI. (C 7)
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Band 28, Heft 1
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VC enthalt einen zwischenatomaren Wechselwirkungsanteil V," und einen
Selbstwechselwirkungsanteil V g der einzelnen Atome. 2 V: bewirkt gemeinsam
mit dem letzten Term von G1.(29) nur eine Renormierung der Atomniveaus,
und beide konnen zu H t geschlagen werden. Als wesentlicher Term bleibt die
verdoppelte COULOMB-Wechselwirkungsenergie 2 V r. '1
4. Diskussion
1. Bisher haben wir die Sprache der klassischen Mechanik bzw. klassischen
Feldtheorie benutzt. Wir konnen jedoch leicht die Quantisierung ausfiihren,
indem wir in den Gln. (15), (16) die PoIssoN-Klammer ersetzen durch ( i / h ) [ 3
und auBerdem in allen auftretenden Funktionen die iibliche Symmetrisierungsbedingung beachten. Insbesondere ist auch der Aquivalenzbeweis Zeile fur Zeile
zu ubertragen.
2. ATKINS und WOOLLEY[GI benutzen ein von DIRAC[ll] stammendes
Verfahren zur Behandlung entarteter Variationsprobleme und gewinnen damit
einen klassischen kanonischen Formalismus fur die Multipolform der Wechselwirkung. Die auf diesem Wege gefundene ,,DmAc-Klammer" stimmt trotz des
wesentlich anderen Zugangs mit unserer verallgemeinerten P o ~ s s o ~ - K l a m m e r
iiberein. Das Verfahren hat fur sich den Vorzug groBerer Allgemeinheit: Es ist
nicht an die CouLoMB-Eichung gebunden. Andererseits ist es aber fur unsere
Zwecke schwerfalliger und weniger durchsichtig . WOOLLEY
[71 entwickelt den
entsprechenden klassischen kanonischen Formalismus auch fur die pa-Form
des Wechselwirkungsterms in L oder H , beharrt aber gleichzeitig auf einer rein
quantenmechanischen Interpretation der die Aquivalenz zeigenden kanonischen
Transformation.
3. Die Diskussion in Anhang C in Zusammenhang mit den Gln. (C 5) zeigt,
daB in IIH (Multipolform) die Wechselwirkung der Teilchen eines einzelnen
Atoms nicht korrekt erfaBt wird. Der mit I1 bezeichnete HAMILTON-Formah+
mus sol1 ja auch nicht dazu dienen, das Energiespektrum eines freien Atoms zu
liefern. Dieses setzen wir vielmehr als bekannt voraus (aus anderen Rechnungen
oder durch das Experiment gegeben).
4. In der Behandlung von Problemen der Wechselwirkung zwischen Atom
und Strahlungsfeld konnen in konkreten Rechnungen gewohnlich nur einige
wenige Energieniveaus beriicksichtigt werden. Die entsprechend verstummelten
Matrizen q und p erfullen dann nicht mehr die kanonischen Vertauschungsregeln, weshalb auch unser Aquivalenzbeweis nicht mehr durchfuhrbar ist.
Welcher der beiden HAMrLToN-Operatoren ist in einem solchen Fall besser geeignet 1
Wir wollen als typisches Beispiel ein Atom mit zwei uns interessierenden
Niveaus 1 und 2 betrachten. Alle anderen Niveaus s = 3, 4, 5 . .. werden nicht
berucksichtigt. Die Obergangsfrequenz cos1 moge im Infraroten oder im Sichtbaren liegen. Als Verhaltnis von vernachlassigten und nicht vernachlassigten
Matrixelementen erhalten wir
2) Damit heben wir den in einer fruheren Arbeit [lo] verwendeten HAMILTON-OperatOr
abgeleitet, zugleich aber diese Schreibweise als nicht sehr zweckmafiig erhnnt.
H. STEUDEL:Aquivalente Operatoren der Wechselwirkung
69
Fur die weitaus iiberwiegende Anzahl der vernachliissigten Niveaus s wird
w,,
oS1
sein, weshalb in Ausdriicken, in denen qpaauftritt, die Vernachliissigung der hoheren Niveaus weniger problematisch ist als in Ausdriicken, in denen
pPaauftritt. Dieses Argument spricht also fur IIH, ohne allerdings den Anspruch
eines zwingenden Beweises zu erheben. (Mit ganz analogen uberlegungen kam
BUNEIN[12] bei der Berechnung des Wirkungsquerschnitts der 2- QuantenAbsorption in der Nliherung eines Zwischenniveaus ebenfalls zu einer Bevorzugung von IIH.)
5. Es erscheint befremdend, daD in der Gestalt GL(28) unseres Wechselwirkungsoperators I1H,e die mikroskopische dielektrische Verschiebung d
auftritt. Wie ist das mit der iiblichen Behandlungsweise vertriiglich, wo an dieser
Stelle die elektrische Feldstiirke steht '1
Bei der Quantisierung des elektromagnetischen Feldes wird gewohnlich eine
Modenentwicklung des Vektorpotentials zugrunde gelegt :
und %+ eind Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren im HEISENBEROBild. Wir haben den Index I1 ergiinzt, um anzudeuten, daI3 wir uns im Rahmen
des HAMILTON-FormalismusIIH bewegen. Wenn wir GI. (32) so nach t differenzieren, als ob die ca und en+ die ungestorte Zeitabhiingigkeit hiitten, so kommen
wir nach Multiplikation mit - l / c zu dem Vektor
IIc
Dieser stimmt bei vorhandener Wecheelwirkung nicht mehr mit
el
=
- _l a
(34)
iiberein. Der Unterschied zwischen d und e wird in diesem Zusammenhang in der
Literatur meist nicht beachtet. Da man aber fiir die vermeintliche elektrische
Feldstarke schlieDlich die Entwicklung in G1. (33) einsetzt, bleibt das Ergebnis
dennoch richtig.
6. I n IIH tritt, im Gegensatz zu IH, die statische COULOMB-Wechselwirkungsenergie V c nicht mehr explizit auf. Zum Verstiindnis dieses Umstandes iiberlegen wir uns folgendes : Die Beitriige einer einzelnen Strahlungsmode der
Kreisfrequenz w zum Vektorpotential u und zur dielektrischen Verschiebung
d unterscheiden sich vor allem durch einen zusatzlichen Faktor w in d . Das
fiihrt dazu, daI3 in dem Term
-
2
(ea/2mac) I P a W a )
a
in G1. (13) langwellige Photonen mit einem grol3eren Gewicht vertreten sind als
in I@, [GI. (ZS)]. Diese Oberbewertung der langwelligen Photonen wird durch
den zusiitzlichen Term V c kompensiert. Von diesem Standpunkt aus erscheint
also IIH ,,natiirlicher" als IH. Die retardierte C o u ~ o ~ ~ - W e c h s e ~ w i r ist
k u ning
I e
H, implizit enthalten.
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Anhang A
Zerlegung eines Vektorfeldes in longitudinalen und transversalen
Anteil
Wir ubertragen hier einige Ergebnisse aus dem Buch von POWER
[5] in eine
fur uns zweckmiiBige Sprech- und Schreibweise und leiten einen in Anhang C
benutzten Integralsatz ab.
Unter B3 wollen wir den Raum aller Vektorfelder im dreidimensionalen
Raum verstehen, die fur r + 00 wenigstens wie l / r gegen Null gehen.
Jedes Vektorfeld v(x)= ~ ( x , x2,
, x3) E B3 laBt sich in eindeutiger Weise in
ein wirbelfreies (longitudinales) Vektorfeld und in ein quellenfreies (transversales) Vektorfeld zerlegen :
w(x) = vll(x) + &(x)
rot dl = div'v = 0.
(A 1)
(A 2)
Diese Zerlegung liil3t sich auffassen als eine ,,Projektion" auf die Teilriiume
231 und 232,"der wirbelfreien bzw. quellenfreien Vektorfelder. 9II und 9' seien
die entsprechenden Projektionsoperatoren. Mit Hilfe der von POWER
eingefuhrten ,,&Dyaden"
I
6,j (x) = 6ij 6(2)
i a a (-)i
+4n axi ax, r
-
mit der Eigenschaft
konnen wir schreiben
9
1
1 und 9' haben beide die fur Projektionsoperatoren charakteristische Eigenschaft
9 2 = 9.
(A 6)
AuBerdem gilt
9
1
1+ 91 = 1; 9
1
191= 0.
(A 7)
SchlieSlich geben wir noch eine Identitat an, die sich durch zweimalige Anwendung des GAussschen Integralsatzes leicht verifizieren la& :
+ Oberflachenintegral.
Beim Beweis sind die erste G1. (A 5), die erste G1. (A 3) und
1
d 7= 432 6(x)
zu benutzen.
(A 9)
H. STEUDEL: Aquivalente Operatoren der Wechselwirkung
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Anhang B
Longitudinale und transversale funktionale Ableitung nach einer
Vektorfun ktion
E s sei 9[v(x)]ein Funktional der Vektorfunktion v(x) E %3. Dann verstehen
wir unter der longitudinalen bzw. transversalen Ableitung nach v die Projektion
der gewijhnlichen funktionalen Ableitung in rZ!l bzw. 2
3: und schreiben
oder ausfuhrlich z. B.
Fur Variationen
6 1 v(x) E 8
gilt offenbar
3
und entsprechend fur die longitudinalen Variationen.
Insbesondere ist
6"v.(x)
s$
=
I
(x - x');
6 " v,(x')
6LVi(X)
~
6 1v,(x')
= S$(x - d).
Allgemein gilt
d1l.F
6"V(X)
6L.F
6.F
+ Blv(x) = 6v(x)'
Anhang C
Einfuhrung eines Polarisationsvektors p und eines Magnetisierungsvektors m
Hier schlieI3en wir uns eng an ATKINSund WOOLLEY[6] an, beschreiben
aber die Teilchenstruktur nicht durch Deltafunktionen, sondern durch nicht
spezialisierte Strukturfunktionen und priifen kritisch Bedeutung und Gultigkeitsgrenzen der entscheidenden Gleichungen [Gln. (C 5)].
Wir betrachten ein System von Atomen, die jeweils aus mehreren Teilchen
(Elektronen Kern) aufgebaut seien. y numeriere die Atome, a die Teilchen
eines Atoms. R, sei der Schwerpunkt des p-ten Atoms, rya und rn,, seien Ortsvektor und Masse des entsprechenden Teilchens :
+
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Die Schwerpunktsbewegung wird vernachlassigt :
(C 3)
= Qpa.
+pa
e,, sei die Ladung des Teilchens (pa).Die Atome seien neutral :
C e t c a= 0.
a
Dann lassen sich die durch
@(x)= 2 epa flra(X
w
Ax)
=
- qpa
-
RJ
(C 4a)
C
epa4ra fpa(X - qra - R J
Ira
(C 4b)
gegebenen GroBen der Ladungsdichte und der Stromdichte ausdrucken mit
Hilfe der effektiven mikroskopischen Polarisation p und der effektiven mikroskopischen Magnetisierung m
@ = - div p(x, t )
(!I
j = p(x, t ) c rot m(x, t )
(!I.
p und m konnen als Multipolentwicklungen angegeben werden
+
P
- 1
=
2
2 zepa(pa n = l
qpa
qpnfpa(x -
Rp)
(C 5a)
(C 5b)
(C Ga)
Die Ausrufezeichen in den Gln. (C 5) bedeuten, daB diese Gleichungen, und damit
auch die GroI3en p und m , einer besonderen Interpretation bediirfen. Man gelangt zu den Gln. (C 5, C 6), indem man in den Gln. (C 4) die Strukturfunktionen
f P a durch TAYLOR-Entwicklungen a m Atomschwerpunkt R, ersetzt. Das wiirde
die Analytizitat dieser Funktionen erfordern, wahrend andere Autoren [6, 7, 101
an dieser Stelle die Deltafunktion benutzen und auch wir die Analytizitiit als
eine zu starke Einschrankung ansehen. Lassen wir dagegen nichtanalytische
Strukturfunktionen zu, so durfen wir die so gewonnenen Darstellungen fur e
und j nur symbolisch verstehen in dem Sinne, daB erst durch Multiplikation mit
einer analytischen Funktion und Integration uber den Raum daraus mathematische Identitaten entstehen. Nur in dieser Form verwenden wir diese Darstellungen. Vorsicht ist allerdings bei der Berechnung der statischen COULOMBWechselwirkungsenergie Vc geboten : Setzen wir @ nach G1. (C 5a) in G1. (9) ein,
so folgt mit Anwendung des Integralsatzes G1. (A 8)
v c = 2n J [p"(x)]2d3X,
(C 7)
wenn p nur in einem endlichen Gebiet von Null verschieden ist oder fur 1x1 -+ 00
hinreichend schnell gegen Null geht. Nach dem oben Gesagten wird durch
Gl.(C 7) jedoch nur der zwischenatomare, nicht aber der inneratomare Anteil
von Vc korrekt erfaI3t ! Durch uneingeschrankte Anwendung einer ,,TAYLOREntwicklung" der Deltafunktion kommt WOOLLEY[7] zu dem SchluI3; daB
mit der Multipolform des HAMILTON-Operators auch inneratomare Wechselwirkungen korrekt beschrieben wiirden. Bei Zugrundelegung analytischer Strukturfunktionen ware das im Prinzip richtig, aber selbst dann (wegen der extrem
schlechten Konvergenz der TAYLOR-Entwicklung)kaum praktikabel.
H. STEUDEL:
Aquivalente Operatoren der Wechselwirkung
63
Aus der physikalischen Bedeutung der Strukturfunktionen ergibt sich, daB
sie sich bezuglich Faltung mit einer innerhalb eines Atoms nur langsam veriinderlichen FeldgroSe wie Deltafunktionen verhalten, daB also z. B.
Stpa(.
- RJ a($) M
a ( ~ p )
(C 8)
ist. Diese Eigenschaft benutzen wir, u m nutzliche Darstellungen fur die bei der
Bildung des kanonisch konjugierten Impulses auftretende GroBe
Qpni =
$s m b d3x
Ppai
zu gewinnen. Mit Hilfe der Gln. (C 6) finden wir
Aus G1. (C 9), zusammen mit der Feststellung, daB m homogen linear in qp. ist,
folgt noch
Herrn Professor Dr. G. RICHTERund Herrn Dr. J. FRAHM
mochte ich fur
wertvolle Diskussionen herzlich danken.
Literaturverzeichnis
[l] GOPPERT-MAYER,
M., Ann. Physik, Leipzig 9 (1931) 273.
P. I., Phys. Rev. 73 (1948) 254.
[2] RICHARDS,
[3] FIUTAK,
J., Canad. J. Phys. 41 (1963) 12.
[4] POWER,E. A., u. S. ZIENAU,Phil. Trans. A 261 (1959) 427.
E. A., Introductory Quantum Electrodynamics, Longmans, London 1964.
[5] POWER,
Proc. roy. SOC.
A 319 (1970) 549.
[6] ATEINS,P. W., u. R. G. WOOLLEY,
[7] WOLLEY,R. G., Proc. roy. SOC.A 821 (1971) 557.
Ann. Physik, Leipzig 19 (1967) 216.
[8] PAUL,H., u. J. FRAHM,
[9] DE GROOT,S. R., The MAXWELLEquations, Studies in Statistical Mechanics Vol. IV,
ed. by J. DE BOERu. G. E. UHLENBECH,
North-Holland Publ. Comp., Amsterdam u.
London 1969.
[lo] STEUDEL,
H., Ann. Physik, Leipzig 26 (1971) 219.
[ll] DIRAC,P. A. M., Proc. Camb. phil. SOC.29 (1933) 389; Canad. J. Math. 2 (1950) 129;
Proc. roy. SOC.A 246 (1958) 326.
[l2] BUNKIN,F. W., Sh. exp. teor. Fis. 60 (1966) 1685.
B e r l i n - A d l e r s h o f , Zentralinstitut fur Optik und Spektroskopie der
Deutschen Akademie der Wisaenschaften zu Berlin.
Bei der Redaktion eingegangen am 26. Oktober 1971
Anschr. d. Verf.: Dr. HEINZSTEUDEL
Zentralinst. f. Optik u. Spektroskopie d. DAW
DDR-1199 Berlin-Adlershof, Rudower Chaussee 6
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