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Asymptotische Phasenverschiebungen und der differentielle Streuquerschnitt der Elektronen an Atomen mit Latterschem Potential.

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Asymptotische Phasenverschieebungen
und der differentielleStreuquerschniffder Elektronen
an Atornen mit LafferschemPotential
Von T . T i e t z
Inhaltsiibersicht
In dieser Arbeit wird mit Hilfe der asymptotischen W e n z e l - K r a m e r s Brillouinschen Naherung eine geschlossene Formel fur die Phasen bei der
koharenten Streuung von Elektronen am Thomas-Fermischen Atom fur das
L a ttersche Potential abgeleitet. Die T h o m a s - Fermische Funktion des
freien neutralen Atoms wird hier durch die Naherungslosung von B u c h d a h l
approximiert. Weiter wird hier der differentielle Streuquerschnitt der Elektronen fiir das oben erwahnte Potential abgeleitet.
In einer friiheren Arbeit hat L a t t e r 1 ) verschiedene T h o m a s - F e r m i s c h e
Atompotentiale griindlich diskutiert. Diese Atompotentiale kann der Leser
in der Monographie von G o m b a s 2 ) und in der Latterschen Arbeit finden.
In dieser Arbeit betrachten wir folgendes Atompotential :
In G1. (1) ist ~ ( 2die
) T h o m a s - F e r m i s c h e Funktion des freien neutralen
Atoms. Die Entfernung r vom Kern druckt sich durch die dimensionslose
Variable x wie folgt aus3):
x
= r/p
mit l/p = 213,s 3-213
~413
m e2 h-2
2113.
(2)
Hier bezeichnet Z die Ordnungszahl des Atoms, e die positive Elementarladung,
m die Elektronenmasse und h die Plancksche Konstante. Die radiale Schrijdinger-Gleichung unseres Problems lautet:
d2 R
$
[P- u ( r )- Z(1 l ) / r 2 ]R, = 0
mit
u ( r ) = ( 2 m/R2)V ( r ) und k = m v/h = (2 m E/tta)ll2,
+
+
l)
R. L a t t e r , Physic. Rev. 99, 510 (1955).
z,
P.GombBs, Die Statistische Theorie des Atoms und ihre Anwendungen. Wien,
Springer-Verlag (1949).
3, Man vergleiche hierzu
2).
7*
100
Annulen der Physik. 7 . Folge. Band 8. 1961
wo E die Energie des einfallenden Elektrons in grofier Entfernung vom Kern
bezeichnet. Fiir V ( T ) ist der Ausdruck Gl. (1)zu setzen. Die Phasenverschiebungen qe (W. K. B.) kann man nach W e n z e l - K r a m e r s - B r i l l o u i n fur das
Potential Gl. (1)folgendermaoen berechnen :
rl
wo r1 die kernnahe Nullstelle des ersten und r2 die des zweiten Integranden
bezeichnet. Die Grose r0 ist durch folgende Beziehung definiert :
fiir ,u ist der Wert einzusetzen, der der Ordnungszahl Z entspricht. Tabelle 1
zeigt die zo-Werte als Funktion der Ordnungszahl 2.
Tabelle 1
Die xo-Werte fur verschiedene Ordnungszahlen Z
z
5
z
“0
z
5
z
z
5
z
50
20
z
z
ZO
ZO
z
5
z
XO
z
xo
--
2
0,7566
11
4,5363
20
6,6695
29
8,2713
38
9,5884
47
10,7238
66
11,7289
65
12,6382
74
13,4690
83
14,2394
92
14,9581
3
1,3977
12
4,8156
21
6,8669
30
8,4342
39
9,7223
48
10,8420
57
11,8352
66
12,7329
75
13,5582
84
14,3224
4
1,9422
13
5,0817
22
7,0587
31
8,5824
40
9,8542
49
10,9572
58
11,9392
67
12,8293
76
13,6461
86
14,404f
6
2,4019
14
5,3359
23
7,2452
32
8,7355
41
9,9837
50
11,0726
59
12,0414
68
12,9232
77
13,7319
86
14,4849
5,5792
24
7,4267
33
8,8841
42
10,1132
51
11,1849
60
12,1443
69
13,0154
78
13,8187
87
14,5656
5,8130
25
7,6035
34
9,0332
43
10,2374
52
11,2961
61
12,2438
70
13,1090
79
13,9049
88
14,645:
8
3,5943
17
6,0384
26
7,7764
35
9,1734
44
10,3641
53
11,4070
62
12,3441
71
13,1998
80
13,9884
89
14,724f
9
3,9281
18
6,2358
27
7,9455
36
9,3141
45
10,4860
54
11,5146
63
12,4432
72
13,2905
81
14,1735
90
14,8028
10
4,2420
19
6,4659
28
8,1100
37
9,4526
46
10,6059
55
11,6237
64
12,5406
73
13,3810
82
14,1576
91
14,8814
Die xo-Werte in Tabelle 1 haben wir mit der Hilfe der exakten numerischen
Werte von K o b y a s h i * ) und T a i m a berechnet.
4 , S. K Ob y a s h i u. T. T a i m a , Table of the exact values of the T. F. function Memoirs
of the Faculty of Liberal Arts and Educat.ion-Kagawa-Japan (1957)
101
T . Tietz: Streuquersclnitt der Elektronen an Atomen ?nit Latterschem Potential
Tabelle 1 und die Beziehung r,/p = z,,erlauben uns die GroBe r, zu berechnen. Fiir grol3e 1 werden die Phasenverschiebungen klein, und man kann in
diesem Falle die beiden Nullstellen einander gleich setzen: rl = r2. Die Entwicklung der Quadmtwurzel ergibt fur die Phasenverschiebungen qa,l (W.
K. B.) als asymptotische W; K. B.-Forme15)
In einer fruheren Arbeit hat der Verfasser6) gezeigt, daB an Genauigkeit die
asymptotische Wen z e l - Kr artier s - Brillouinsche Methode nicht hinter der
Bornschen Naherung fur die Atompotentiale zuriickbleibt. Die T h o m a s Fermische Funktion ~ ( aw)i d hier durch die Naherungslosung von B u c h
d a h17) approximiert..
-
v ( x ) =(1 + A
1
2) (1
+ B 2) (1 + cz)=&+vE
B
+ 1+cz
(7)
mit
A2
(A-C)
a= (A-B)
,
P
p = - - -___
..
( A - R)( B - C)
'
CZ
y = ( B - C) ( B - G )
.
(8)
Tabelle 2
Vergleich der nuinerischen IVerten fur I ( @ )in Einheiten 5,66 * 10-*0 fur das Lattersche
Potential niit entsprechenden numerischen Hartreeschen Werten fur I(@)
______
G1. (12)
GI. (12)
I(@)fur 2 = 16
H a r t r e e I ( @ fur
) 2 = 14
H a r t r e e I(@) fur 2 = 16
~ _ _ _ _ _
29 131
35929
70000
57600
I(6)fur 2 = 14
1
~
16014
19 755
13200
17400
~~~~
6443
7554
4150
6130
2197
2591
1830
2600
Die Konstanten A , B und C sind durch folgende numerische Werte festgelegt:
A = 0,9288, B = 0,1536 und C = 0,05727.
5)
Man vergleiche hierzu
6),
dort meitere Literatur.
s, Z.Tietz, Ann. d. Pliysik 3 105 (1959).
7,
H. A. Buchdahl, Ann. d. Physik 17, 238 (1956).
1.02
Anmlen der Physik. 7. Folge. Band 8. 1961
Die Anwendung von (6) auf das T h o m a s - F e r m i s c h e Potentiall) mit
Hilfe von (7) und (8) ergibt fur die a~ymptot~ischen
Phasenverschiebungen
qa,l (W. K. B.) die Formel:
I
~ a , (W.
l
Zt2-
K. B.) = kn-
I
I
I+%
r'
dt
r'
dt
Die in der Formel (9) auftretenden Integrale lassen sich leicht mit Hilfe der folgenden Formel auswerten :
f-dt
- -1 In 2u+bt+21=
Der Ausdruck R in Formel (10) bedeutet R
a, b, c sind
,p",*( I +-;p
a = 1 -~
=a
+ b t + c t2. Die Konstanten
b=-2,
c=l.
(11)
Die Formeln (9), (10) und die Tabelle 1 fur xo =To erlauben uns bei geP
gebener Ordnungszahl Z und gegebenem k numerisch die asymptotischen
Phasenverschiebungen qa,a (W. K. B.) fiir das L a t t e r s c h e Potential Gl. (1) zu
berechnen. Der differentielle Streuquerschnitt I ( 6 ) der Elektronen fur das
L a t t e r s e h e Potential G1. (1)la& sich wie folgt schreiben:
In dieser letzten Formel ist p gegeben durch
A bedeutet die Wellenlange der Materiewelle der Elektronenstrahlen und 6
ist der Winkelabstand zwischen Primiirstrahl und gestreutem Strahl. Fur die
T . Tietz: Streuquerschnitt der Elektronen an A tomen rnit ht(erschem Potential
103
exakte T h o m a s - F e r m i - F u n k t i o n des freien neutralen Atoms kann man das
Integral, welches in dcr Formel fur I(@, Gl. (12), auftritt, nur numerisch berechnen. Die cxaktcn x,-Werte sind in Tabelle 1 angegebcn. Tabelle 2 gibt
einen Vergleich des differentiellen Streuqucrschnitts I (6),
G1. (12), mit den entsprechenden numerischen H artreeschen Werten. Der Vergleich gilt fur
angegeben.
2 = 1 4 und 2 = 16. I ( @ )ist in Einheiten 5,66 .
Die BuchdahlscheApproximstion, G1. (7), hat denVorteil, daD man das in
der Formel (12) vorkommende Integral analytisch berechnen kann. Setzt man
die B u c h d a h l s c h c Approximation in die Formel (12) ein, so bekommt man
fur I ( 6 ) folgende Naherungslosung :
Die Symbole Si und Ci bedeutcn
X
c.3
L a t ' t e r hat fur das Potential G1. (1) die Eigcnwerte dcr S c h r o d i n g e r Gleichung numerisch berechnet. Die numerisch bcrcchneten L a t t e r schen
Eigenwerte stimmen sehr genau mit den H a r t r e e schen iiberein. Die Genauigkeit der Buchdahlschen Approximation erlaubt uns den SchluD zu ziehen,
daB die asymptotischcn Phasenverschiebungcn qa,l (W. K. B.), GI. (9), und der
differentielle Streuquerschnitt I (6),Gl. (14), sehr gute Werte im Vergleich mit
den numerisch exakten Werten gcbcn werden.
L 6 d i ( P o l e n ) , Institut der Thcoretischen Physik der Universitat.
Bei der ItedtLktion eingegtlngen am 11. Oktobcr 1960.
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