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Atomfaktor fr Rntgenstrahlen als Problem der Dispersionstheorie (K-Schale).

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H. Hod. Atomfaktor fur Rontgenstrahlert usw.
625
Atomfaktor fur Rdn'tgenstrahZen
aZs ProtjZem der D4spersionstheorie (K-SchaZe)
Vow H. HonZ
(Mit 4 Figuren)
Einleitung
Die bisherigen Theorien des Atomfaktors fur Roqtgenstrahlen gehen stets von geometrisch-interferenzmaBigen Uberlegungen aus: Das Atom (oder Molekiil) wird in wellenmechanischer Erweiterung friiherer Ansatze von P. D e b y e l)
und A. H. C o m p t o n z ) als S c h r a d i n g e r s c h e ,,LadungswolkeCL
idealisiert und es wird rein geometrisch die Interferenzwirkung
der von den einzelnen Volumelementen der Ladungswolke gestreuten Strahlung untersucht. Es wird dabei angenommen, daB
jedes Volumelement ,,klassisch", d. h. gemaB der Thomsonschen
Streuformel fur das quasifreie Elektron3) strahlt. E s ist dann
das Streumoment p, das eine ebene linear polarisierte elektromagnetische Welle mit der elektrischen Feldstarke 0: im Atom
induziert:
(v Frequenz der Welle, p(r) Ladungsdichte an der Stelle t, f,
und I Ausbreitungsvektoren der einfallenden und gestreuten
Welle, Integration iiber den ganzen Raum). Das in (a) auftretende Integral ist der Atomfaktor F und fur eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung p (t) eine reine Funktion von
sin @ / A (0Braggscher Reflexionswinkel gleich halbem Abbeugungswinkel). Nach dieser Methode sind von W. 2. R r a g g
1) P . D e b y e , Ann. d. Phys.46. S.809. 1915.
3) A. H. C o m p t o n , X-Rays and Elektrons, London, 1927.
3) Rei der Ableitung der Thomsonschen Streuformel wird die
Einwirkung des Magnetfeldes der Lichtwelle auf das Elektron vernachlassigt, so daS auf dieses kein Strahlungsdruck ausgeiibt wird; wir bezeiehnen das Elektron daher als ,,quasi-frei'(.
Aunaleii cler Physik. 5 . Polge. 18.
12
626
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 28. 1933
und J. W e s t ' ) (im AnschluB an T h o m a s 2 ) ) , H a r t r e e 3 ) ,
P a u l i n g d ) u. a. Atomfaktoren berechnet - wobei sich die
einzelnen Verfahren nur in cler Berechnung der Ladungsverteilung e (2) voneinander unterscheiden - und mit der Erfahrung verglichen worden; dabei hat sich fur kjnreichend hohe
Frequenz der einfallenden Strahlung stets gute Ubereinstimmung
mit den MeBergebnissen gezeigt.
Es ist aber klar, daB die Formel (a) nicht geeignet sein
kann, um die tatsachlichen Verhaltnisse in der Nahe einer
Absorptionskante befriedigend darzustellen, da sie nichts enthalt, was dem charakteristischen Verhalten des Streumoments
im Gebiet der auomalen Dispersion entspricht. G l o c k e r und
Schaifers) haben sich daher in der Weise zu helfen gesucht,
daB sie fur 0 = 0 (Einfallsrichtung) die Ergebnisse der Dispersionstheorie fur Rontgenstrahlen heranzogen und von hier
aus auf beliebige 0 extrapolierten. Dieser Extrapolation liegt
die sinngemafie Annahme zugrunde, daB der Unterschied A F
zwischen dem gemessenen F-Wert und dem nach (a) berechneten direkt den EinfluB der anomalen Dispersion der betreffenden Elektronenschale als Funktion der Wellenlange ii
und des Winkels 0 wiedergibt; der Verlauf von A F kann
dann (extrapoliert auf 0 = 0) z. B. mit der K a l l m a n n M a r kschen 6 , Dispersionskurve verglichen werden. Offenbar
ist die genannte Extrapolation noch nicht eindeutig, solange
man uber die Winkelabhangigkeit von A F nichts weiB. Speziell
fur das Gebiet der anomalen Dispersion in der Gegend der
K-Kante 1aBt sich allerdings abschatzen, daB wegen der Iileinheit der K-Schale die Winkelabhangigkeit von A F praktisch
keine Rolle spielen kann.'l)
Es ergibt sich somit die Aufgabe, den Atomfaktor fur
RSntgenstrahlen in allgemeiner Weise als Problem der Uispersionstheorie aufzufassen, derart, dab einerseits die berechtigten Anspriiche der geometrisch-interferenzmagigen Theorie
1) W. L. Bragg und J. W e s t , Ztschr. f. Krist. 69. S. 118. 1930.
2) L. H. T h o m a s , Proc. Combr. Phil. SOC. 23. S. 542. 1937.
31 D. R. H a r t r e e , Proc. Combr. Phil. SOC.24. S. 89 u. 426. 1928;
26. S. 225. 1929.
4) L. P a u l i n g , Proc. Roy. SOC. 114. S. 181. 1927; L. P a u I i n g u.
I. S h e r m a n , Ztschr. f. Krist. 81. S. 1. 1932.
5) R. G l o c k e r u. K. S c h a f e r , Ztschr. f. Phys. 73. S.289. 1931;
vgl. auch D. C o s t e r u. K. S. K n o l , Ztschr. f. Phys. 76. S. 340. 1932.
6 ) H. K a l l m a n n u. H. M a r k , Ann. d. Phys. 82. S. 585. 1927. Vgl,
auch R. d e L. K r o n i g , Journal of Opt. SOC.of America, 12. S. 547. 1926.
7) D. C o s t e r u. K. S. K n o l , a . a . 0. Eine von G l o c k e r und
S c h 1f e r urspriinglich (a. a. 0.) gefundene Winkelabhiingigkeit der
A F-Werte kommt nach neueren Messungen in Fortfall; vgl. Q 5.
H . Honl. Atomfaktor f u r Rontgenstrahlen usw.
627
im Grenzfall hoher Frequenz zur Geltung konimen , andererseits aber auch die Frequenz- und Winkelabhangigkeit der
P-Werte im Gebiet der anomalen Dispersion wiedergegeben
werden. Die Ansatze zu einer solchen Theorie liegen fertig
vor in der W allerschen Dispersionsformel I), welche als Verallgemeinerung der Kramers-Heisenbergschen Forme12) die
fur die Interferenzwirkungen maBgebenden Retardierungsfaktoren
enthalt. Unsere Diskussion der W allerschen Formel lauft
darauf hinaus, daB wir den ,,anomalen Bestandteil" des Streumoments in eine im allgemeinen sehr rasch konvergente Reihe
nach Kugelfunktionen entwickeln (Strahlungsfeld eines Dipol,
Quadrupol, Oktopol usf.) und fur jedes einzelne Entwicklungsglied die zugehorige Frequenzabhangigkeit bestimmen. Durchgefiihrt wird die Rechnung in der vorliegenden Arbeit nur fur
die K-Schale, und zwar bis zum Quadrupol einschlieBlich.3) Um
die MeSresultate in der Nahe der K-Kante darzustellen, ist
sogar das Dipolglied der K-Schale allein ausreichend. Diese
Verhaltnisse andern sich aber schon bei der L-Kante besonders
der schwereren Elemente. Die Berechnung des Dipolgliedes der
K - Schale fuhrt bei geeigneter Beriicksichtigung der Abschirmung des Kernfeldes der Atome als erste Naherung zu
einer Verbesserung der Kallmann-Markschen Formel, wie
wir schon in einer vorangehenden Mitteilung gezeigt haben.4)
Die Atomfaktormessungen von B r a d l e y und H o p e 5 ) an der
K-Kante von Eisen, von A. R u s t e r h o l z 6 ) an Kupfer und vor
allem die neuen Messungen von G l o c k e r und Schafer') an
Eisen und Chrom diirften ebenso wie die Dispersionsmessungen
von L a r s s o n 8) zugunsten unserer, von Ka.llmann und
M a r k abweichenden Dispersionsformel sprechen.
Im folgenden gehen wir mit W a l l e r von der nicht-relativistischen Schrodingergleichung aus; dies bedeutet, da8 wir
Relativifats- und Spineffekte sowie die Strahlungsdampfung
1) I. W a l l e r , Ztschr. f. Phys. 51. S. 213. 1928.
2) H . A . K r a m e r s u. W . H e i s e n b e r g , Ztschr. f. Phys. 31.
S. 681. 1925.
3) TVir haben die entsprechenden Rechnungen auch fur den Oktopol
vollstandig durchgefuhrt, aber in dieser Arbeit der Kiirze wegen nicht
mehr mitgeteilt.
4) H. H 6 n l , Ztschr. f. Phys. 84. S. 1. 1933; im folgenden als
I zitiert.
5) A. J. B r a d l e y und R. A . H . H o p e , Proc. Roy. SOC. A. 136.
S. 272. 1932.
6) A. R u s t e r h o l s , Ztschr. f. Phys. 85. S. 538. 1933.
7) R. G l o c k e r u. K. S c h a f e r , Naturw. 21. S. 559. 1933;
K. S c h a f e r , Ztschr. f. Phys., im Erscheinen.
8) A. L a r s s o n , Dissertation Uppsala 1929.
42 *
628
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
vernachlassigen. Der EinfluB der ersten beiden Effekte wiirde
sich bei sehr harten Rontgenstrahlen geltend machen, die Ergebnisse sind daher auf solche Strahlen nicht mehr anwendbar
(Voraussetzuag unserer Rechnung: h v m c2, m Elektronenmnsse, also A > 0,024 AE). Andererseits spielt die Strahliingsdampfung nur in unmittelbarer Nahe der Absorptionskanten
eine Rolle, WO sie das Unendlichwerden der Momentamplituden
verhindert, und 1aBt sich gegebenenfalls leicht in Analogie
z u r klassischen Theorie beriicksichtigen I).
<
§ 1. Aneatze.
a b e r g a n g zur geometriechen Theorie dee Atomfrtktore
Wir betrachten ein Atom mit Z Elektronen, auf das eine
linear polarisierte Riintgenwelle mit der Frequenz v in gegebener Richtung einfallt. Die Reaktion des Atoms auf die
Rontgenwelle ist enthalten in der zeitabliangigen Schrodingergleicliung
h
Ev - (BO+ H I )? A t ,
(1)
2ni a t in der H o den Hamiltonoperator des ungestorten Atoms
(Coulombkrafte), HI den Storungsoperator bedeutet. Es sei
B = Bocos {2 72 Y t - (fo r)j
(2)
der elektrische Vektor der einfallenden Welle, 8 ihr Vektorpotential, so daB
& : = - - -1- . 8 %
(3)
c at
Dann ist nach der klassischen Elektrodynamik die Stiirungsenergie von Lichtwelle und Atom:
(4)
8
hierin ist der Impulsvektor $, des s-ten Elektrons (Koordinaten
x8,y,, 2,) durch den Operator
zu ersetzen und iiber alle Elektronen zu surnmieren. Das
Streumoment
des Atoms wird bei Berucksichtigung der
Retardierung (fur groRe Entfernung vom Atom):
1) Vgl. J. A. P r i n s , Ztschr. f. Phys. 47. S. 479. 1928. Die strenge
Behandlung der StrahlungsdLmpfnng wiirde nacli D i r a c eine Quantisierung der Strnhlungsoseillatoren erfordern (Proc. Roy. SOC. A. 114.
H. 710. 1927).
H . H o d . Atomfaktor fiir Rontgenstrah2e.n usw.
'$ =
2 i,
8
e i ( f r d~ t 8
629
-+ konjug. Glied
(at8 = a x 8 a Y , a z j ,
wobei f der Ausbreitungsvektor in der Streurichtung und j, der
wellenmechanisch berechnete Strom des s-ten Elektrons ist l):
(6)
=
J(-
he
[y * grad, tp - y grad *,!I,*]
(dt = at,at,').
e2
- mc
as?p y *) at,'
F u r w ist eine Lijsung der Storungsgleichung (1) einzusetzen.
Diese Ansatze fiihren a,uf die W a l l ersche Formela) fur das
Streumoment 9. Nach ihr ist das fiir die koharente Streustrahlung maBgebende Moment eines im Zustande Q befindlichen Atoms:
(7)
vkoh.
=-
ea
8RSmY2
c
_
_
(ye,@,- G j e a n i v t +konj. GI.,
ferner ist
1
veta = -(Q
-EJ,
(10)
h
wenn Ee und EQrdie Energie des Atoms in Grund- iind Anregungszustand bedeuten. C @') in (7 a) ist iiber samtliche
virtuellen Anregungszustande des Atoms zu erstrecken.
I n dem Palle eines Atoms mit Coulombkraften, in melchem
die Eigenfunktionen T,D~ und ye, in reeller Form geschrieben
werden konnen, darf E5 durch die einfachere Summe
1
e'
1) W. G o r d o n , Ztschr. f.Phys. 40. S. 11T. 1926; 0.K l e i n , Ztschr.
f. Phys. 41. S. 407. 1927.
2) A. a. 0.
630
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16'. 1933
ersetzt werden, wobei zu beachten ist, daB wegen der T'ransversalitat elektromagnetischer Wellen sowohl (Go $) = 0 ist
als auch ein bei der Urnformung von
durch partielle
Integration auftretendes, f proportionales Glied zur Streustrahlung keinen Beitrag liefert.
Das Streumoment '$kko4. besteht nach (7) nus zwei Teilen,
von denen der erste [proportional 71, e , vgl. (S)] der geometrischinterferenzmasigen Theorie entspricht, wahrend der zweite (7 a)
bzw. (7 b), welcher die Resonanznenner uer & u enthalt, der eigentlichen ,,Dispersion" Rechnung tragt. Im Grenzfall hoher Frequenz
ist der zweite Bestandteil gegeniiber dem ersten zu rernachlassigen und tvir kommen auf die elementare Theorie des Atomfaktors zuriick. I m entgegengesetzten Grenzfall sehr langer
Rellen dagegen , in welchem die Retardierung vernachlassigt
werden kann , fiihrt die Vereinigung der beiden Bestandteile,
wie bekannt I ) , auf die K r a m e r s - H e i s e n b e r g sche Dispersionsformel.
Indem man die Qlieder der Summe G nach Elektroneniibergangen aus den Atomschalen in (virtuelle) Anregungszustande
ordnet, kann man dem Beitrag einer einzelnen Schale zur
Dispersion Rechnung tragen. Als Ausgangszustand Q denken
+r uns ein ,,vollbesetztes Atom", d. h. ein solches, bei dem
Ubergange in diskrete ,,Bahnen" (wegen des Paulischen
Prinzips) verboten sind. Die Anregnngszustande g' des Atoms
sind dann dadurch gekennzeichnet, da8 sich mindestens
ein Elektron auf einer ,,aperiodischen Bahn" befindet und
daher in einer bestimmten Atomschale ein Elelctron fehlt.
Diese Idealisierung hat physikalisch die Bedeutung, daB wir
von einem eventuellen EinfluB der ,,Struktur" der Absorptionskante sowie der Bindungskrafte des Atomgitters absehen.2) E s
ist ferner zu beachten, daB in der Summe (7a) bzw. (71))
strenggenommen auch alle diejenigen Ubergange zu beriicksichtigen sind, welche Doppel- und Mehrfach??regungen des
Atoms entsprechen. Da aber die zu solchen Ubergangen gehorigen Matrixelemente gegenuber denjenigen fur Einfachanregungen sehr klein sind (,,Fast-OrthogonalitatP der Eigenfunktionen), sollen diese Summenglieder weiterhin auBer acht
gelassen werden.
I n der Torliegenden Arbeit sol1 nur der Beitrag der I<Elektronen zur Dispersion berechnet werden. Dabei sehen wir
I) I. W a l l e r , a. a. 0.
3) R. d e L. K r o n i g , Ztschr. f.Phys. 70. 8. 317. 1931; 75. 8. 191
u. 46s. 1932.
H . Nod. Atomfaktor fur Rontgcnstrahbn usw.
631
von dem EinfluB der Abschirmung des Xernfeldes durch die
iibrigen Elektxonen zunachst vollstandig ab ; diesen fur die
quantitative Ubereinstimmung der Ergebnisse mit der Erfahrung
wichtigen Einflu6 werden wir in 5 4 erst nachtraglich beriicksichtigen. Somit behandeln wir ein K-Elektron zunachst wie
ein im Grundzustande eines wasserstofahnlichen Atoms mit
der Kernladung (2 - s)e gebundenes Elektron und konnen
demgema6 bei der Berechnung der Matrixelemente auf die
bekannten Eigenfunktionen fur wasserstofahnliche Atome
zuriickgreifen.
8 2.
Berechnung von Matrixelementen
Wir spezialisieren fur die Zwecke der Rechnung die
Orientierung des Atoms gegen das rechtshandige Koordinatensystem x, y, z. Es sei x die Richtung der einfallenden Strahlung und zugleich die Achse des Polarkoordinatensystems r,
8, cp; y sei die Polarisationsrichtung ([I
der Winkel cp werde
von der y-Achse aus in positivem Sinne urn die x-Achse gezahlt:
(1) z = r c o s Q ,
y=rsin8coscp,
x=rsin8sincp.
a',*,,
und
werden, indem wir
Die Matrixelemente (Go %),:
g dem Grundzustand, g' einem durch die Quantenzahlen ?a, 1, rn
charakterisierten Anregungszustand im kontinuierlichen Energiespektrum E eines wasserstoff ahnlichen Atoms entsprechen
lassen :
t 3)
Dabei ist fur den Grundzustand
(4a) eyl. = - 6 sin 9. cos cp yo,
grad tpo = - b
8Y
ferner ist fur einen Anregungszustand
'f
7p0
;
632
Annalen. der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
wo NnZn,
ein Normierungsfaktor [vgl. 3 4,G1.(8)] bedeutet; IZvl(rj ist
reel1 und kann nach S c h r o d i n g e r und S o m m e r f e l d - S c h u r
durch das komplexe Integral l)
dargestellt werden ; dabei ist n rein imaginiir, namlich
b
n'
n, = - b
k'
( E nicht-relativistisch gerechnet). Die in (6) angedeutete Integration ist in der komplexen g-Ebene um den Verzweigungsschnitt des Integranden von E = - Q bis = + 4 in positivem
Umlaufssinne zu f iihren.
Das durch (2) definierte Integral A,,lm ist aus der Theorie
des Photoeffektes wohlbekannt.2) Zuniichst ist A n l mmit Riicksicht auf die Integration nach cp nur fu r m = 1 von Null verschieden (wir schreiben weiterhin kiirzer A,, ebenso NE).Nach
Einsetzen von (4), (4a) und (5) wird
Sodann entwiclieln wir den Retardierungsfaktor im Integranden
3n T
von (8) noch Potenzen von q x = ----L:
I
Dieser Entwicklung liegt die Annahme zugrunde, daB die
Wellenliinge il der einfallenden Strahlung groJ3 gegen die
Dimensionen der K-Schale ist, wie dies bei den zu diskutierenden Experimenten stets der Fall ist. Das Integral (9) lA3t
sich nunmehr ausfuhren, d. h. in eine Potenzreihe nach q
entwickeln, indem man in der Reihenfolge 9, r,
iiber die
Variabeln integriert 3 ~ ,wie wir durch die Schreibweise andeuten:
1) E. S c h r o d i n g e r , Ann. d. Phys. 79. S. 361. 1926; A. S o m m e r f e l d u. G . S c h u r , Ann. d. Phys. 4. S. 409. 1930.
2) Vel. A. S o m m e r f e l d u. G. S c h u r . a. a. 0.:
- , F. S a n t e r . Ann.
d. Phys. 9, S. 217. 1931.
3) A. S o m m e r f e l d u. G. S e h u r (a. a. 0.)bereelmen A , , , in der
Naherung, als der Retardierungsfaktor 'durch 1 - i q z ersetzt"-werden
darf. Nach F. S a u t e r (a. a. 0.) kann man das 3fache Integral (8)
auf ein 1faches bestimmtes Integral zuriickfiihren ; diese Reduktion,
H . H o d . Atomfaktor fur Rontgeristrahlen usw.
633
I
J,
(11)
=
d 9.sin29. C O S P 4 P,l(cos #)
+1
=Jaql-i--7,zrlp
~
~
1
(
=~cosi+.
) ~
\
Die Anwendung der Orthogonalitatsrelation
ergibt dann folgende Werte fur die Jl,:
4
(14) J, = 3 s,,
,
16
4
J, = -g6,,
7
Jz = % S 1 3
4
+ 15.
s,, , . . .
womit die Integration uber 8 ausgefuhrt ist.
welche die Winkelverteilung der Photoelektronen in geschlossener Form
auzugeben erlaubt, scheint jedoch f u r uns keinen Vorteil zu bieten,
da die nachfolgenden Summationen uber 2 und n (letztere Integration)
dann Schwierigkeiten bereiten.
1) Vgl. z. B. A. S o m m e r f e l d , Welleumech. ErgCnzungsband zu
Atombau, Vieweg 1929.
Annalen cler Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
634
Die Integration uber r ist elementar. Der zum Summenglied p geharige Anteil des Integrals iiber r ist
.Jarrp-z+i
e-(b+zikt)r
0
=
*
1
(b + 2 i k 5 ) P - 2 + a
Endlich laBt sich die Integration nach $ bequem nach
der Residuenmethode ausfuhren, worin sich der Vorteil der
Integraldarstellung von Rn, erweist. Da nach ( 7 )
(IS)
b
+ 2ik5:-
2ik $+-
(
2 L )
=
2ik t-%,n
(
l .
'1 ,
wird das uber $ auszufuhrende Integral bis auf Faktoren, die
noch von k abhangen, gleich
Der Integrand besitzt an der Stelle E = gin' einen Pol endlicher Ordnung; im Unendlichen verschwindet er wie $ - (, f p +4),
also, da 1 1, p & 0, rascher wie ,.5-5. Daher laBt sich der geschlossene Integrationsweg auf einen Umlauf um die Stelle
6 = 9 i 12' in negativem Umlaufssinne zusammenziehen. Die
Berechnung des Residuums ergibt jetzt:
I
1
- 2ni
$= ( p - Z + l ) !
(15a)
Definieren wir eine GroBe
so l%Bt sicli A, entsprechend den Ausdrucken (11) bis (18) als
Potenzreihe nach q schreiben:
<Z>:
Jr
p I{*,
P-
,
1
y1 = - n- '1, b512N,
2
womit die Berechnung der Matrixelemente A , auf die Berechnung der J,, G1. (14), und der K,,&, G1. (18), xuriickgefiihrt ist.
H . H o d . Atomfaktor fur Ron,tgenstrahlen usw.
635
Einsetzen der Werte (14) in (19) ergibt, wenn wir der
fjbersichtlichkeit halber die Entwicklungen bis zum Gliede mit
q1 anschreiben:
Die Berechnung der h-p,l
ist nach Ausfiihrung der ( p - 1 + 1)-fachen
Differentiation nnr noch eine algebraische Aufgabe. Wir geben im
folgenden die ausgerechneten Werte der K p ,I f u r die niedrigsten Indizes
an, vor allem auch deswegen, weil diese Werte bei den entsprechend
auszuf iihrenden Rechnungen f u r die L- und AT-Schale erforderlich sind.
Wir ordnen nach der Anzahl der Differentiationen:
ferner
(21e) K,, =
1
- 2” n -k
(40 n’(
+ 362 nf2- 7 2 ) (-d 21-+ 1.
)6
-
(id l ) i 9 ~ ’
in’+ 1 ’
SchlieBlich ist der sich stets reproduzierende Faktor
=
- 2 n’arc tg --d1
*
Alle KD,zsind also reell.
§ 3. Winkelabhtingigkeit
Um die Berechnung der Matrixelemente %:p,, 8 2 G1. (3)j
in Analogie zu den Rechnungen des vorigen Paragraphen
durchfiihren zu konnen, wird man neben r, 19, ein zweites,
dagegen gedrehtes Koordinatensystem r, 8, (I, einfiihren,
636
Annalen der Physik. 5 . FoZge. Band 18. 1933
dessen Achse mit der Richtung von f (Streurichtung n) zusammenfiillt (vgl. Fig. 1). Der Winkel @ moge im gewohnlichen Richtungssinne so
gezahlt werden, da5 0= 0
die durch f und To (zRiclitung = no) festgelegte Ebene bedeutet.
0 mi5t den spharischen
Abstand des Bufpunktes P Tom DurchstoB-__---punkt 0 der Richtung it
auf der Einheitskugel.
s, no Die Richtung n sei andererseits durch 9. = tY0,
q j = a bestimmt.
Die fur die Streustrahlung in der Richtung n allein maBgebende
Fig. 1. Iioordinaten und Bezeichnungen
Kornponente 'cI, von r
zerlegen wir in die zueinander senkrechten Bestandteile r1, und rl parallel und
senkrecht zu der Ebene (9 = 0:
(11
ti,, =
{ rl
rI'
Unter Benutzung der in
nunrnehr
= r sin
= r sin
52
0 cos @,
0 sin a.
eingefuhrten Beseichnnngen wird
Dabei ist zu beachten, daB bei dem Obergang von 6,cp zu
0, (9 als Integrationsvariabeln der winkelabhangige Faktor
yon q n Z min der urspriinglichen Form von
2, G1. (5) zu
iibernehmen ist, da wir uns bei den Gro5en A , bereits auf
eine spezielle Wahl des Systems der Eigenfunktionen festgelegt haben. I m ubrigen diirfen wir uns ebenso wie bei A,
auf das Glied mit m = 1, und zwar auf das cos-Glied, beschrgnken (wie wir dies in der Bezeichnnng schon zum Ausdruck gebracht haben; weiterhin kurz 91:,, und 'iXtL, statt
Ln), da alle ubrigen Glieder in der Summe (7 b), 5 1,
wegen des Verschwindens von Atm fur m 1 keinen Beitrag
liefern.
+
H . H o d . Atornfaktor fur Ronfgenstrahlert usw.
637
Bevor wir die Integration (2) ausfiihren, miissen wir
Pi1(cos 8)cos y nach Kugelflachenfunktionen der Argumente 0,
Cf, entwickeln. Zu diesem Zweck beweisen wir den folgenden,
dem bekannten Additionstheorem der Kugelfunktionen l) an&logen Satz:
P,' (cos a)cos fp = P,' (cos a0)
P,O (c,os0)cos CL
I
u,, = [P,"
m
A m
=
-t- 1
(cos 9.J - m ct,g LT, P2m(c0sa,)]cos u ,
P,m (cos tTo)sin u .
Beweis des Additionstheorems fur die erstem zugeordneten .hicgelfiachenfunktionen. Wir fuhren den Beweis auf eine mehr anschaulichgeometrische Weise. Das Additionstheorem in seiner gewohnlichen
Form lautet: Sind P und Q zwei Orte auf der Einheitskugel mit den
Polarkoordinaten a, u nnd @, z und ist y ihr sphiirischer Abstand, also
cos y = cos n cos fl c sin M sin p cos [u - z) ,
so ist
(4) stellt einen in den Koordinaten von P und Q symmetrischen Ausdruck dar, den wir vorubergehend mit n,(P, Q) bezeichnen; dabei
wollen wir P als ,,Aufpunkt", Q als ,,Quellpunktic auffassen2
Wir konnen nun aus (4) eine neue Funktion I7,'(Pl
&I ableiten,
welche einer im Punkte Q vorhandenen, auf der Einheitskugel (wie der
Pfeil uber Q andeutet) beliebig orientierten ,,l)oppelquelle'L entspricht.
Wir definieren :
dabei seien &+ und Q- zwei Quellpunkte entgegengesetzt gleicher
Quellstarke, b ihr gegenseitiger spharischer Abstand, 1 /a die Quellstarke.
1) Vgl z. B. A. S om m e r f e l d , Wellenmech. Erganzungsband, S. 103.
2) Eine solche Auffassung wird durch den Umstand nahegelegt,
dal3 man das Additionstheorem (3) in iibersichtlicher Weise gewinnen
kann, indem man fur einen Kugelbereich die G r e e n s c h e Funktion
G (p,Q) ( pund Q im Innern der Kugel) fur AZL+ k a u = 0 in zwei verschiedenen, gegeueinander gedrehten Polarkoordinatensystemen nach Eigenfunktionen der Kugel (deren winkelabhAngige Faktoren die Kugelfliichenfunktionen sind) entwickelt ; der Vergleich der Koeffizienten Whrt dann
unmittelbar auf das zu beweisende Theorem (vgl. z. B. A. U n s o l d , Ann.
d. Phys. 8.2. S. 355. 1927). Unser Beweis entspricht dann der Darstellung
der G r eenschen Funktion einer Doppelquelle in zwei verschiedenen
orientierten Koordinatensystemen.
638
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
Wir behaupten zunachst, daS der Ausdruck (5) eine erste zugeordnete
Kugelfllchenfunktion darstellt.
I n der Tat: Q- falle mit dem Pol des Koordinatensystems 4, 'p zummmen; &+ habe die Koordinaten 8 = 8, 'p = 0. Damit wird, vgl.
Fig. 1:
1
nzl
= Lim - [Pz
(cos 4') - Pl (cos $11,
(6)
6 3 0
6
oder bei Anwendung von (4):
(7)
1
8
I&i
= Lim -1
6 3 0
+'
2
I
( E - Inzl)!
(I
+
,mo
,
FJZ~
(cos9) P
Z ~
(cos8) e i m q - pr(cos 8).P~(111.
Im=- E
Nach De,finition der zugeordneten Kugelfunktionen
liefern im Limes 8 -+ 0 nur die Glieder mit lm [ = 1 einen Beitrag zur
Summe (71, da die Glieder mit jml > 1 rascher ats 8 verschwinden. Es
ist daher:
also gleich der darzustellenden ersten zugeordneten Kugelfllchenfunktion.
Wir stellen jetzt dieselhe Funktion Dtl, G1. (B), in den Polarkoordinnten 0, @ dar. P, Q+, Q- haben jetzt die Koordinaten, vgl. Fig. 1:
Q+ ( 9 . 1 ,
P(@,@I,
a),
Q-
($0,
0)*
Somit wird nach (3):
In=-1
+ I
Es ist nunmehr bequem, die Glieder mit entgegengesetzt gleichem
m zu cos zusammenzufassen. Wir entwickeln Pzm
(cos 8,) nach dem
kleinen Winkel 8 bis zu dem in d linearen Gliede:
und nach Definition von Am(vgl. (8), m 2 1):
d Pi" (COB a0)
~ _ _ _ _
sin 8, = pZm (cos a0)- m ctg a. prw,(cos ao)
d cos a0
Man erhalt also:
4"(cos 4') = Pz" (cos 8,)
COB oL
+
[Pzm (cos a,) - m ctg 8,p l n &(COB a),)]
*
+
+
.
-
. ..
H . Honl. Atomfaktor f u r Rontgenstrahlen usw.
639
Ebenso wird (Sinussatz):
I
c o s m ( 0 - d @) = cosm @ -I-m s i n m @ A @ (J +
S
I
...
sin n
S+ .
sin a0
Setzt man die Entwicklungen (11) und (12) in (1Oa) ein, so wird die
Differenz entsprechender Glieder in (10a) und (10b) :
Pzm
(cos 4,)cos m ( @ - d @) - PLm
(cos 4,) cos rn @
(I2)
=
=
(13)
cos m @
+ m sin rn, @
s {[P~-1 (cos 8,)- m ctg 3,
+
-;--
..
(cos $,)Icos 9 n @ cos a
-
(cos a0)sin m 0 sin a + * .
fm- sin t!fo
Einsetzen von (IOa) und (lob) in (6) ergibt schlieBlich bei Berucksichtigung von (9) das zu beweisende Additionstheorem (3). Ein
(cos 8)sin q.
entsprechender Satz gilt fur Pzl
I
Tragt man (3) in den Integranden von (2) ein, so erkennt
man mit Riicksicht auf die Darstellung von rl ,,, G1. (l),daB
bei der Integration nach @ je nur ein Summenglied mit m = 1
einen nicht verschwindenden Wert ergibt. Wir bemerkeu
noch, da8 man fur m = 1 den Ausdruck
1
__ =
cos u
P,2(cos 9,) - ctg 8,P,l(cos 8,)
= (1 - 5 8 ) Pl” (5)- 5 P,’(2),
5
= cos 8,
wegen der Differentialgleichung, der die P, (z) geniigen:
(1 - 52)Pt”(2) 2zP,’(2) zg 1)Pl(5)= 0
umformen kann in
+ +
-
+
{ ==- (a +
1
(14)
1($
I
+
V , ( 4 XP,’(”)
1) P,(cos a,)+ ctg 9, P,’
(cos 8,).
Damit wird, da sich die Integrationen uber r, 0,@ nunmehr
in den Faktor A,*, 0 2 G1. (8), zusammenfassen lassen:
=
a;,l
= 2 cos
a!
i - P,
(cos 79,)
+ ____
ctg 8, P,’ (cos 79,) A?,
1 ( E f 1)
1
all.= 2 sin -a Z(l 1+ 1) __
P,’(cos
sin a0
8,)
A,*;
1
wir schreiben dafiir auch kurz:
0 5 a)
a; = @,(a07 4 4,
wobei die Winkelabhangigkeit der Streustrahlung in den Funktionen Wz(tYo,a), GI. (15), (im folgenden als @)I,II und @i,l
unterschieden) vollstandig enthalten ist.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
640
Wir geben noch cDl(8,,, a) f u r die Werte 1 = 1, 2 und 3
explizit an:
a’) 1 = 1:
(a,, a) entspricht dem Feld eines in der y-Richtung schwingenden H e r t z schen DipoZs in groBer Entfernung vom Ursprung.
b) Z=2:
stellt die Iiraftlinienverteilung eines statisclen (bzw. in groBer
Entfernung vom Ursprung: schwingenden) Quaampol dar,
dessen erzeugendes Potential geinaB der Maxw ellschen Definition proportional
sein wiirde. Ebenso entspricht
c) z = 3 :
(164
@3(9.,7
4=
16
sin a
($cos 2 8, +
I
der Kraftlinienverteilung eines Oktopols , dessen zugehoriges
Potential proportional
ist, usf.
Dem~emid3fiihren unsere Formeln (15’) auf eine Entwicklung des” Strahlungsfeldes nach (schwingenden) M u l t i p o h ,
deren statische Analoga durch ein erzeugendes Potential der
Form :
ilargestellt werden.
0 4. Bau
dea Atomfaktore.
Frequensabhangigkeit
Wir kijnnen nunmehr die Summe G bzw. G’, G1. (7 a) und (7 b)
Riicksicht auf (lo), 5 1, sowie (2), 8 2 , und (lSa), 53,
schreiben:
5 1, mit
H. Honl. Alornfaktor fur Rontgenstrahlen usw.
631
Dabei haben wir die in (7a) bzw. (7 b], 8 1, vorgesehene Summation
uber Q' in eine Summe nach I und ein Integral iiber den
kontinuierlichen Energieparameter E aufgeteilt. E, ist die
Energie des Grundzustandes des (wasserstoffiihnlichen) Atoms
und also stets negativ. Fiir das folgende ist es bequem,
E durch die Variable
r2)
8s-
E
lEol +
kl
b2
= __
+ l = p1+ l = y ' ,
(2 4
lEol = h v o , E
und ebenso v durch
(3)
zu ersetzen.
2
YO
- E,
=hvj,
hV
==z
l4l
yo
Damit wird nach (1)
m
Die obere Integrationsgrenze ist co, die untere Grenze lassen
wir [ebenso wie in (l)]vorlaufig noch offen.
Aus den G1. (19) und (20), 5 2 ergibt sich nun, da6 die
Groben /All2,nach dem Parameter
(5)
(a Schalenradius) entwickelt, die Gestalt annehmen:
IA, 12 =
+ x 2 p + x4 f,(4) + . . .
p
X2f2(2)
(6)
+ x4 f2(4) + . . .
x4f3(4)+ . . .
Hieraus wird die Bauurt cler Summe Q und damit des
Atomfaktors bereits ersichtlich: (1) stellt nach 5 3 eine Entwicklung nach Multipolen dar (Summe uber l). Jedes dieser
Multipolglieder besitzt aber nach den G1. (4) und (6) seine
eigene dispersionsmabige Frequenzabhangigkeit [G, ist Funktion ron x,,, G1.(3)], derart, da6 sich G, nach Potenzen des
rein geometrischen Parameters x 2 entwickeln 1iiBt. Die niedrigste dabei auftretende Potenz von x 2 ist um so hoher, ,je
hoher der Multipol ist (je groBer Z).
Annalen der Physik. 5. Folge. 18.
43
Annalen der Physik. 5. Folgge. Band 18. 1933
642
Unsere weitere Aufgabe besteht jetzt nur noch darin, die
GroWen fi(2r) explizite als E‘urtktionen von x anzugeben und die
Integration (4)auszufuhren.
Wir beschriinken uns im folgenden auf die Angabe der
Formeln, soweit sie zur Berechnung des Quadrupolgliedes der
Entwicklung einschlieBlich erforderlich sind. Zunachst erh8lt
m a n aus (20), 3 2:
Nun ist’)
ferner
n n’
l m ~ f l ’ ) 1 2 =U~( z7+ l ) = ( z + l ) D ( z )
Somit wird
Aus (6), (7), (S), sowie (2), (5) und
nunmehr nach einiger Rechnung:
-
3 2, (21) und (221, ergibt sich
- -__
ViTi
womit der erste Teil der Aufgabe erledigt ist.
Die Funktion g(x), Q1. (ll),haben wir in Iz)diskutiert und
von ihr gezeigt, da13 sie etwa in dem Interval1 0 5 x (= 4 mit
sehr guter Andherung durch die lineare Piinktion
e-4
(11a)
approximiert wird.
1) Vgl. (19),
GI. (35).
8 3,
g ( x ) = ---(4x
3
- 1)
sowie A. S o m m c r f e l d
2 ) A. a. 0. (vgl. Einleitung).
71.
G . S c h u r , a. a. O.,
H. H o d . Atomfakfor fur Ronfgenstrahlen usw.
643
Wir haben bisher ein E-Elektron als ein im Grundzustand
eines wasserstoff ahnlichen Atoms gebundenes Elektron aufgefai3t.
Es handelt sich jetzt darum, das Elektron als K-Elektron in
den Elektronverband des Atoms einzubauen, d. h. den abschirmenden EinfluB der ubrigen Elektronen zu berucksichtigen-l)
Man kann dem EinfluB der Abschirmung des Kernfeldes auf
Xnergie und Eigenfunktionen des betrachteten Elektrons mit
B e t h e 2, dadurch Rechnung tragen, daB man einerseits die
lonisierungsarbeit 1 E, I des wasserstoff ahnlich gebundenen Elektrons durch die wirkliche Ionisierungsarbeit
I = h v g = lEol - e V ,
(12)
ersetzt, wobei vg die Kantenfrequenz (K-Kante) und V , den
Mittelwert des (praktisch konstanten) Potentials der iibrigen
Elektronen im Bereiche der K-Schale bedeutet und andererseits in jA,(E)jZ, G1. (l),fur das Argument E die ,,scheinbare"
Energie E - e V,, einsetzt. Damit wird, vgl. (1),
M
und nach Substitution Ton
an Stelle von z, vgl. (2), (2a) und (3):
wobei
-
J=-- e V , - (2 s)% - I / R h
h Yo
(2- SP
und f , ( z ) die GroBe lA,/2 a,ls Punktion von z bedeutet. Fur
die Integration ist es nun bequem, als neue Variable 5 = z'/x,
einzufuhren, so daB (15) in
5
ubergeht, wobei
gesetzt worden ist.
1) Vgl. hierzu I, ijg 3 und 4.
2) H. B e t h e , G e i g e r - S c h e e l s c h e s Hdh. XXIVjl, S. 477%.
43 *
644
Annalen der Ph,ysik. 5. Folge. Band 18. 1933
Die Integration (16) ist elementar ausfiihrbar, wenn man
in den GroBen f E ( 2 z ) ( ~ ) , G1. (lo), die Funktion g(z) durch ~ ( z ) ,
G1. ( l l a ) , ersetzt. G, laBt sich dann niittels der Funktionen
+
2
X
X
2
wenn
!
?z
gerade,
in einfacher Weise ausdrucken; dabei gilt asymptotisch fur
groBe Werte von x:
(n gerade oder ungerade). Fur z < 1 ist unter dem Integral(l8)
(Integration uber die Unendlichkeitsstelle 5 = 1) der C a u c h y sche Hauptwert zu verstehen. Nunmehr lassen sich die Realteile der in
m
+=Z-l
auftretenden, den GroBen j t z ~ )G1.
, (6) und (lo), entsprechenden
Integrale
glmL
(22)
<
,&(2)=
9
e-46
(4Q2'
- C&')
7
-(4Q3'- 9 Q,' + 2
29
4
29e-
4
p =__
45 (16 QS'
- 16 Q,'
Q5') 7
+ 3 Q57,
H . HFnl, AtomfaMor fur Rontgenstrahbn usw.
645
Was die Imaginiirteile qjaZ)von gj2") betrifft, so mu8 man, um
einen stetigen AnschluB an die Formeln bei schwacher Dampfung
zu erhalten (endliche natiirliche Linienbreite), fur 2 < 1 mit
dem Integrationsweg an der Stelle 5 = 1 in die positiv-imaginare
Halbebene ausweichen.l) Durch Residuenbildung erhalt man
auf diese Weise
i q p = - i 7rTf+&-)
h3
(23)
4n m
oder ausfuhrlich geschrieben (x < 1, v
(24)
{
q,'2'=
-7
29e-4
r43 V
4%3
1-3
> vu):
9 x4
3 x5
(m-=+pj+
I
16 x4
andererseits verschwinden fur z > 1, v < vg (bei Vernaehlassigung der natiirlichen Linienbreite) die Imaginirteile
Damit ist die Integration vollstandig durchgefuhrt.
Wir betrachten noch besonders das Dipolglied g,(O]. Miir
konnen gl(0) nach (4),(6) und (20) in der Form schreiben
~PT?
Der Vergleich dieses Ausdrucks niit der ,,klassischen" Ilispersionsformel
sowie mit den Ausgangsformeln (7), (7a) und (2) in
stattet es, die GrBBe
8
1 ge-
(analog zu df / d vJ als ,,Oszillatorendichte" den 1;-Elektronen
anzusprechen. Wir haben somit
-
(ich
g , ( O ) = nE
q x __
(27)
1 7
wobei der erste Term in (25) und (27) die Gesanitoszillatorenstarke der K-Elektronen oder, was dasselbe ist, die ,,Zahl der
Dispersionselektronenii der K-Schale bedeutet und der zweite
646
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
den EinfluB der ,,Bindung" der Elektronen analog zur K a l l mann-Markschen Dispersionsformel I) enthalt. Es ist aber
zu beachten, daB sich unser Verteilungsgesetz (26) von der
K a l l m a n n - M a r k schen Annahme eines h3- Gesetzes sowohl
hinsichtlich der Normierung, als auch durch den h4-Term unt,erscheidet. Forrnel (26) stimmt mit dem Verteilungsgesetz, das wir
der Berechnung der Dispersion in I im AnschluB an Sugiuraa)
zugrunde gelegt haben, genau iiberein. Wie wir daselbst gezeigt
haben, ist die Berechnung des Dipolmoments g,(O) in guter Ubereinstirnmung mit den Dispersionsmessungen von A. L a r s so n 3)
an Kalkspat und Quarz (in der Nahe der K-Kanten der Cabzw. Si-Atome), sowie mit der Bestimmung der Zahl der K-Dispersionselektronen von Eisen durch P r i n s . ~ )
F a & man in G1. (7), 9 1, die beiden Bestandteile (proportional y,, und (5) zusammen und beachtet, dal3 im Grenzfall verschwindender Retardierung (unendlich groWer Wellenlange h) wegen der Normierung der Eigenfunktionen qle y , ,
gleich der Gesamtelektronenzahl 2 wird unrl alle hoheren
Multipolglieder auBer dem Dipolglied verschwinden , so wird
asymptotisch, da entsprechendes wie fur die I<-Schale auch
f u r alle weiteren Atomschalen gilt,
wobei
den Smplitudenvektor des Thomsonschen (qunsifieien) Elektrons bedeutet. (25) bringt zum Ausdruck, claB man, urn den
Beitrag einer Atomschale S zum Dipolmoment zu berucksichtigen, zunachst die Zahl der Dispersionselektronen ns von
der Gesarntelektronenzahl Z abzuziehen und hierauf durch die
den anomalen Verlauf der Dispersion infolge der die ,,Bindung"
cliarakterisierende Funktion cpS
zu ersetzen hat.5) For-
(3
me1 (28) haben wir der Berechnung der Dispersion in I inlplizite zugrunde gelegt.6)
1) A. a. 0. (vgl. Einl.).
2) Y. S u g i u r a , Journal de Phys. et le Rad. 8. S. 113. 1927.
3) A. L a r s s o n , Dissertation Uppsala, 1929.
4) J. A. P r i n s , a. a. 0. (vgl. Einl.).
5 ) Fur I --f 0 heben sich
und qs naturgemlB gegenseitig auf.
6) Dieses an sich plausible Verfahren wurde auch sonst meist
richtig angewandt.
H. HSnl. Atomfaktor f u r Rontgenstrahlen usw.
647
5 5. Streuintensitaten. Vergleich mit der Erfahrung
Es bleibt noch iibrig, die Intensitat der vom Atom gestreuten Strahlung in ihrer Abhangigkeit von Frequenz und
Streuwinkel zu berechnen. Diese Intensifat kann unmittelbar
mit den experimentellen Messungen des Atomfaktors verglichen werden.
Wir haben nach G1. (7) und (8), 8 1:
F, ist der ,,Atomfaktor" der elementaren geometrischen Theorie
( H a r t r e e , T h o m a s - F e r m i , P a u l i n g - S h e r m a n n u. a.)') und
eine reine Funktion von sin @/I, (0Braggscher Reflexionswinkel,
3 0 = 8).6 konnen wir nach 8 4, G1. (I) und (201, schreiben:
;a,,
G, = g2+
g1(2') = &w+ i 71122).
Da die Polarisationseigenschaften der vom ersten Gliede in (1)
herriihrenden Streustrahlung mit denen des Dipolgliedes in 6
iibereinstimmen, so konnen wir diese beiden Glieder nach
58 3 und 4 zusammenfassen in2):
(a a)
(3%)
(3b)
{
{
!&, = -
1
]PoI cos a{cos8 ( F n+ GI)
+ c o s 3 9 . G , + ...le"ivt
+ konj. GI.
1
SpL
= - z I P o l s i n a ( ( F n +GI)
+ cos 9. G, +
-
-.
.fe2nivt
+ konj. GI.
Ferner ist, unter S?,und s", die komplexen Bmglituden voii
und Sp, (Zeitfaktors e 2 x i V [) verstanden, das Amplitudenquadrat von Sp
(4)
($ojz = d ; # ' 1 2 + 41%':12
und mit
PIl
(5)
(6)
q';, = E,I+ iH,,
,
-
Spo, = ZI+a,:
pol= E; + H i + E; + a;.
1) Vgl. Einleitung.
2) Man kijnnte auch Fo go nach Kugelfunktionen entwickeln, was
aber fur die Diskussion der Streustrahlung nicht zweckmaBig wiire.
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
648
Die GroBen El,, H I , , E L ,H , selbst bestimmen die Polarisation der Streustrahlung; im allgemeinen wird das Streulicht
demnach bei linear polarisierter Primarstrahlung in einer gegebenen Richtiing eUiptisch polarisiert sein (Depolarisation).
Aiidererseits folgt aus (3a) bis (6):
1 rpp;
{
{ ip:i2
12
(74
(7b)
1 1 2 cos2 a (COSZ 8 [(Po+ El),+ H,ZJ
1
= 4po
+ 2 cos 6 cos 229 [(Po+El)E2+H, H,] + .. .),
=
1
4/po12
sin2 a { [ ( ~+, E J ~+ H , ~ I
+ 2 cos 8 [(F, + 5,)Zz+ H , H,] +
*
a)
.
Mittelung iiber das Azimut 01, wie es den1 experimentell meist
verwirklichten Falle nichtpolarisierter Primarstrahlung entspricht, ergibt nunmehr nach (3)
lrpOl2
=
IW(
+ cos2 4
2
-"(Po
+ Ell2+ Hl2I
+ 2 coss 6 [(F, + Z,) Z2 + H , H 2 ] + ..
I
is)
1
.I.
Ordnet nian nach Potenzen yon x 2 , wobei zu beachten ist,
da8 nach (3) und (2a)
i9)
{ F , + El
H,
= F,
=
+
+
ql'"
x
+ xz
2
p
T/~"'
+ .. . ,
+
* *
,
I
= x2E2(2)
H 2 = x2 ~
+ .. .,
+ .. .,
~ ' 2 '
so wird 1 qo1 2, wenn man die Entwicklung bis zu den Ternien
mit x 2 einschliefllich ausfulirt:
(10) \'$, I2
=
I # 012.
((A+ x 2 B+
1 cos24
+ x 2 c . 2cos38 +. ..)
- . .) 2
$.
Wie man aus (10) ersieht, ist es jetzt nicht mehr wie in der
elementaren Theorie moglich, den Faktor (1 + cos2 9 ) als
,,Polarisationsfaktor" yon dem Ausdruck fur die Streuintensitat
abzuspalten; zu dem ersten Gliede in (lo), das diesem Falrtor
proportional ist, tritt ein Glied proportional x 2 cos3 8,das von
der gberlagerung von Dipol und Quadrnpol herruhrt, und
ebenso treten mit wachsenden Potenzen von x 2 weitere Funktionen von 9 auf.
+
H . Honl. Atomfaktor fur Rontgenstrahlen usw.
649
Da es in der Praxis ublich ist, alle gemessenen Streuintensitaten J (214 I '$12,ma1 universellem Faktor) auf die Streuintensitat J , eines ,,Thorns on scheri Elektrons': proportional
zu beziehen, und das Verhaltnis J / J o als Quadrat des Atomjaktom F (genauer Atomamplitudenfaktors) zu bezeichnen, so
definieren wir diesen durch
oder
(12')
F = fx
+ -21 x 2
(z
+ v-2
B
-
1+ cos24
Da aber das Glied mit x 2 in der Gegend der K-Ksnte sehr
klein ist, .geniigt es, wie wir sogleich noch naher diskutieren
werden, sich in allen praktischen Fallen auf das erste Glied
in (12') zu beschranken. Damit wird
(12")
F
=
vx
V(Fo+ &
~
~
)
~
Es ist noch hervorzuheben, daB wir den EinfluB der hoheren
Schalen dadurch berucksichtigen konnen, da6 wir (12") durch
dem Beitrag der Schale S zunl
ersetzen, wobei &(O)s +
Dipolmoment des Atoms Rechnung tragt. Z. B. kann 2' q I o ) S
s
aus dem empirischen dbsorptionskoeffizienten entnommen
werden.
Alle experimentellen Untersuchungen uber den Atomfaktor
laufen darauf hinaus, die GroBe
(13)
AF = 147- Fexp
als Funktion von W ellenlange und Streuwinkel anzugeben,
vobei fur '8 einer der Werte von H a r t r e e , T h o m a s - F e r m i
oder P a u l i n g - S h e r m a n zugrunde gelegt wird. P wird je nach
dem Verfahren mit dem ,,idealen" F, mehr oder weniger genau
ubereinstimmen; am geringsten wird die Abweichung bei
H a r t r e e scher Methode ausfallen. Wir schreiben allgemein
(14)
E=F,+dF.
vz
AF wird dann nach (11) bis (14): wenn man
nach der,
wie sich zeigt, gegen Po kleinen Gro6e q1Io' entwickelt:
~
(550
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 18. 1933
Das Hauptglied von d F ist die GroBe - El('), die nur von
der Wellenliinge abhangt. Formel (15) laBt auBerdem eine
Winkelabh$ngigkeit von A F verschiedenen Ursprungs erkennen :
1. wegen des (nicht bekannten) Verlaufs von SF, das nach (14)
Funktion von sin @/A ist, 2. wegen des Absorptionsgliedes (proportional
z ) , welches das winkelabhangige F , im Nenner
enthalt, und 3. wegen des Quadrupols der K-Schale (proportional E2(2",. E s ist aufierdem zu beachten, daD auch der
Quadrupol der L-Schale in der Gegend der K-Kante eine
Winkelabhangigkeit von AF herv0rbringt.l) Bei der Diskussion
der MeBergebnisse an Pulvergemischen (z. B. F e und Al) ist
ferner wegen der verschiedenen Absorption der Rontgenstrahlen
in den Kristalliten des Gemisches der von I<. S c h a f e r 2 ) aufgedeckte KorngroBeneffekt zu berucksichtigen, der ebenfalls
eine, unter Umstanden die genannten Effebte sogar weit iiberwiegende Winkelabhangigkeit von d F vortauscht. Bei der
folgenden Diskussion sind die MeBergebnisse schon auf diesen
(makroskopischen) Effebt korrigiert gedacht.
Wir diskutieren zunachst das voin anomalen Verhalten
des Dipols der I<-Schale herriihrende Hauptglied El"'). Fig 3
gibt - A F = El(') fur F e (26), Mo (42) und W (74) als Funktion
der Wellenlange in der Nahe der I<-Kmte wieder. Die bei
tler Berechnung der Funktionen El(') erforderlichen 6-Werte (8 4)
sind einer vorangehenden Arbeit entnommen 3):
Fe: d = 0,212,
Mo: S = 0,182,
W: 6
= 0,143.
Zum Vergleich ist die K a l l m a n n -Marksche Dispersionskurve
ebenfalls eingezeichnet. Die fur die drei aufeinanderfolgenden
Elemente sehr verschiedener Ordnungszahl aufgetragenen Kurven
unterscheiden sich untereinander etwa nur um I/, -2/,, Elektronen, dagegen ist die Abweichung gegen die K a l l m a n n Marksche Kurve *), insbesondere auf der langwelligen Seite
1) Infolge der gr6Beren Lineardimension der L-Schale ist dats
Quadrupolglied hier wesentlich groBer als bei der K-Schale, dafiir aber
in der Nahe der AT-Schale noch wenig bemerkbar.
3) Vgl. eine demnachst in Ztschr. f. Phys. erscheinende Arbeit von
K. S c h a f e r .
3) I, a. a. O., Tab. 2.
4) Die Werte auf der kurzwelligen Seite (Absorption!) korrigiert
nach J. A. P r i n s , a. a. 0.
€1. Hiinl. Atomfuktor fiir Rontgenslra7.llen.isiralde~~ usw.
651
(wcgen der vergnderten Ztlhl der Dispersionselektronen, die bei
K a l l m a n n und Mark mit der Zahl der Elektronen in der
Schale identisch ist) erheblich (etwa 1-2 Elektronen),
Fig. 2. AB-Werte fiir F e (2= 26), Mo ( Z = 42) und W (2= 74)
im Vergleich zur K a l l m a n n - Markschen Kurve (Limes Y = 0)
Tabelle der
- AP-\n;'erte
a) Knrzwellige Seite
0,3
~
0,5
~
0,667
I -2;;
1
z =
&
111
Fe
MO
W
1
1,OB
1
I
~
I
0,;s
1,11
1 1
-0,2S
-0,31
-0,30
-2,60
-3,44
-2,26
1,3
1,33
-2,30
-2,06
-1,91
-l,90
-1,77
-1,65
~
~
0,9
~
~
b) Langaellige Seite
1 1 1
-3,30
-3,08
-2,85
-0,Ol
1
1,s
-1,47
-1,48
-1,40
1
2,0
0,05
1
12;;
-3,IS
~
I I 1
-1,73
-1,61
-1,49
-1,51
-1,43
-1,31
co
-1,32
-1,24
-1,15
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
652
In der vorstehenden Tabelle sind die Zahlenwerte von - AF
zusammengestellt. Die in der Spalte 2 = m angegebenen Werte
geben (vom Vorzeichen abgesehen) die Jahl der DispersionselektronendLder K-Schale an.
Wir geben in Fig. 3 die MeBergebnisse von B r a d l e y und
H o p e l ) an der K-Kante von Eisen, sowie vqp G l o c k e r und
S c h a f e r z ) an Eisen und Chrom 3, wieder. Die Ubereinstiinmung
1
"j
x
h
)
Cr (redl Glocker-Scbah
+ CuiredJ Rusterholz
Fig. 3. Ausgezogene Linie: F-Werte fur Eisen, extrapoliert auf 4 = 0.
Gestrichelte Linie: K a l l m a n n - M a r k sche Kurve. MeBpunkte nach
B r a d l e y und H o p e , G l o c k e r und S c h a f e r sowie R u s t e r h o l z
[die MeBpunkte von Cr und Cu sind auf F e reduziert eingetragen)
der G l o c k e r -SchaferschenMeDergebnisse mit der theoretischen
Kurve ist sehr befriedigend. Erwahihnenswert ist besonders, da6
der MeBpunkt fur Chromstrahlung ( A = 2,29 BE, 2 = 1,31), der
bei B r a d l e y und H o p e eine betrachtliche Abweichung vonl
11. R. A. H. H o p e , a. a. 0. (vgl. Einl.).
2) R. G l o c k e r u. K. S c h a f c r , Natnrw. 21. S. 559.1933; vgl. ferner
1L S c h a f e r , Ztschr. f. Phye., im Erscheinen. Die (in Ztschr. f. Phys. 73.
S. 289. 1931) friiher angegebenen, besonders auf der kurzwelligen Seite
wesentlich abweichenden Werte fur F e sind auf den oben im Text erwahnten KorngrijBeneffekt zuriickzufuhren.
3) Die Cr-Punkte sind auf die Fe-Punkte reduziert eingetragen.
Der Unterschied in den theoretischen AT-Kurven fur Cr und F e ist unmerklich gering.
1) J. A. B r a d l e y
H . Honl. Atomfaktor fiir Rorztgenstrahbn usw.
653
erwarteten Wert zeigt, nach G l o c k e r und S c h a f e r genau auf
der theoretischen Kurve liegt. fiberhaupt diirften die B r a d 1e y
H opeschen MeBwerte, die fast alle wesentlich zu hoch liegen,
mit systematischen Fehlern behaftet sein.
Vor kurzern erschien ferner eine Arbeit von A. R u s t e r holzl), welcher Messungen von A F an Kypfer auf der langwelligen Seite der K-Kante (A,= 1,378 AE) ausgefiihrt hat,
deren Ergebnis wir ebenfalls in Fig. 3 eingetragen haben.
Die MeBpunkte in der Nahe der Kante entsprechen etwa
%K = 1,3 (Zahl der Dispersionselektronen der K-Schale), in
Ubereinstimmung mit dem theoretisch zu erwartenden Wert2j;
in groBerem Abstand von der Kante fallen die gemessenen
AP-Werte allerdings groBer aus. R u s t e r h o l z hat ferner die
Winkelabhangigkeit der Streustrahlung fur eine Wellenlange
in unmittelbarer Nahe von der Kante (Zn-Kcc-Strahlung,
A/A, = 1,038) an sechs Interferenzen gemessen. Da infolge der
Nshe der Kante sich der EinfluB der anomalen Dispersion auch
beim Quadrupolglied besonders geltend rnachen muBte, andererseits aber der EinfluB der Absorption auf der langwelligen Seite
sehr klein ist und es sich ferner stets urn dieselbe Wellenlange handelt, so daB ein etwaiger Fehler im Absolutbetrag
von A F ohne Belang ist, scheinen die Verhaltnisse relativ
giinstig, urn einen etwaigen EinfluB des Quadrupolgliedes erkennen zu lassen. Unsere theoretische Formel (15) ergibt
f u r die betreffende Wellenlange
-
0 025
2 ~ 04
~ 3
3,50 + SF - &B', (4)- 3,50 + 07016 1 + ~ 0 9 3% *
Die Zahlenkonstante des Absorptionsgliedes haben wir dabei
nach den Angaben yon J o n s s o n 3, berechnet; dieses Glied ist
also fur die langwellige ISeite der I<-Kante so klein, d& es
fiir die Beobachtung nicht in Frage kommt. Aber auch das
vom Quadrupol herruhrende Glied ergibt sich als so klein, daB
es weit unterhalb der derxeitigen MeBgenauigkeit (etwa 0,5 Elektronen) liegt *); auBerdem wird dieses Glied durch den vermut-
AF
=
1) A. R u s t e r h o l z , Ztschr. f. Phys. 82. S. 538. 1933.
2) Vgl. I, Tab. 2.
3) E. J 8 n s s o n , Absorptionsmessungen im langwelligen RKntgengebiet, Dissertation Uppsala, 1928, S. 39ff. Auf der kurzwelligen Seite
wiirde das Absorptionsglied unmittelbar bei der Kante wegen des
Sprunges des Absorptionskoeffizienten etwa 50 ma1 groUer ausfallen.
4) In der von A. R u s t e r h o l z aus seinen Messungen abgeleiteten
empirischen Formel fur die Winkelabhangigkeit
sin
0
A F = 3,68 - 0,03 1
scheint uns die Konstante 0,03 rein zufalliger Natur zu sein.
654
Annalen der Physik. 5. Folge. Band
18. 1933
lich weit groBeren Gang von d F uberlagert. Dagegen ist die
Ubereinstimniung des Hauptbetrags von 3,50 Elektronen mit
dem Mittelwert 3,68 aus den Ru sterh o lzs c h e n Messungen
wieder durchaus befriedigend.
Die Diskussion cler MeBergebiiisse zusammenfassend kann
also behauptet werden, daB die empirischen d F-Werte schon
allein durch das Hauptglied El("), welches dem anomalen Verhalten
des Dipols der I<-Schale entspricht, im allgemeinen befriedigend
wiedergegeben werden, daB aber die theoretisch geforderteWinke1abhangigkeit in der Gegend der K-Kante weit unterhalb der
gegenwartig erreichbaren MeBgenauigkeit bleibt. Ks ist daher
zu erwarten, daB die gemessenen A F-Werte keine merkliche
Winkelabhangigkeit zeigen. Diese Feststellung ermoglicht einerseits eine Kontrolle der Zuverlassigkeit der MeBwerte. hndererseits erscheint es aber nicht ganz ausgeschlossen, daB es bei
Kombination groBerer MeBreihen, bei denen sowohl die Wellenlange als der Streuwinkel variiert wird, miiglich sein durfte,
(SF, also z. B. die etwa erforderliche Korrektion der H a r t r e e schen Atomfaktorbestimmung, direkt als Funktion von sin @/A
aus den MeBresnltaten zu ermitteln.
Zusammenfassung
Das fur die koharente Streustrahlung maBgebende Moment
des Atoms setzt sich nach der W allerschen Dispersionsformel
aus zwei Termen zusainmen, von denen der erste der geometrisch-interferenzma6igen Theorie des Atomfaktors (Streuwirkung
einer ,,Ladungswolkeii) entspricht, wahrend der zweite dem Einfiulj der ,,anomden Dispersionii der einzelnen Elektronenschalen
des Atoms Rechnung tragt. Dieser zweite Bestandteil laBt
sich (aaf Grund eines Additionstheorems fu r Kugelfunlrtionen)
nach Multipolen entwickeln. Bei Einfiihrung des Parameters
x = - 2 n a (a mittlerer Schalenradius der betreffenden Schale)
I
ergibt sich, daB das Moment des Dipols mit xo, das ties Quadrupols mit xz, das des Oktopols niit x4 usw., auftritt. Die
Berechnung der Frequenzabhangigkeit wird fu r den Dipol und
Quadrupol der K-Schale durchgefuhrt.
Zur Deutung der Atomfaktorbestimmungen in der Gegend
der K-Kante erweist sich die Berucksichtigung der Dipolglieder
der K-Schale allein als vollstindig ausreichend; die theoretisch
geforderte Winkelabhiingigkeit der A F-Werte , die infolge des
Quadrupols auftritt, liegt viillig innerhalb der erreichbaren
MeBgenauigkeit. Die berechneten P-Kurven, welche besonders auf
der langwelligen Seite von der aus der Kall ma n n -Ma r k s c h e n
H . H o d . Atomfaktor fur Rontgenstrahlen usw.
655
Dispersionsforme1 gewonnenen Kurve nbweichen, sind im ganzen
in guter Ubereinstimmung mit den neuen MeBergebnissen von
G l o c k e r und S c h a f e r a n Eisen und Chrom, den Messungen
von B r a d l e y und H o p e an Eisen und von R u s t e r h o l z an
Kupfer.
Zum SchluB habe ich mehrfachen Dank auszusprechen :
Herrn Prof. P. P. E w a l d f u r die Anregung zu dieser brbeit,
den Herren Prof. R. G l o c k e r und Dr. K. Schiifer f u r die
Freundlichkeit, ihre MeBergebnisse noch vor deren Veroffentlichung benutzen zu diirfen, Herrn Dr. H. 3 e t h e f u r wertvolle
Diskussionen und Herrn stud. K. S e i l e r f u r vielfache Hilfe
bei den Rechnungen.
S t u t t g a r t , Institut fur theoretische Physik, Juni 1933.
(Eingegangen 30. Juli 1933)
h’achtrag
Aus den Formeln (22) und (24) in § 4 lassen sich die komplesen
Amplituden ( Amplituden und Phasen) eines Atoms als Funktion der
Wellenliinge i und des B r a g g schen Winkels 0 berechnen. I n Fig. 4
sind die komplexen Amplituden fur das Fe-Atom (unter Berucksichtigung
der L-Absorption 7,) fur die Umgebung der K-Schale dargestellt.
Fig. 4. Komplexe Amplituden des Fe-Atoms.
Indizierung langs der Kurve: i / I K . Auf der Abszissenachse ist der
veriinderliche Nullpunkt der Figur als Funktion von sin @/A nach MaBgabe von Fo ( T h o m a s - F e r m i ) aufgetragen. Sprung der Amplitude an
der l i - K a n t e infolge Sprungs in der Absorption. tx fur i= A , aus
empirischem Wert fur die Diimpfung berechnet.
(Eingegangen 4. November 1933)
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