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Austauschintegrale zwischen Funktionen der K- bzw. L-und O-Schale fr gleiche effektive Kernladungen

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Austauschintegrafe zwischen Funktionen der ly- bzw. Lund O-SchafefiirgIeiche effektiveKernfadungen'1
Von G. K l o s e
Mit 1Abbildung
Inhaltsiibersicht
E s werden eine Reihe von Austauschintegralen zwischen Funktionen der
K- bzw. L-und 0-Schale fur gleiche effektive Kernladungen nach der Methode
von S u g i u r a berechnet. Die Formeln werden angegeben und die Integrale
in einem Wertebereich a = 4,O (0,5) 7,O und fur 8,25 und 8,75 tabelliert.
I n der quantenmechanischen Theorie der chemischen Bindung treten unter
anderem die Zweizentren-Zweielektronen-Austauschintegrale
&By8
=
JC(l)a;(2) G1 a y ( l )b 8 ( 2 ) d.1
dt2
(1)
auf. Die b,, a@,ay und b8 sind Elektronenfunktionen des Elektrons 1 bzw. 2
am Zentrum b bzw. a, und r12 ist der Abstand der Elektronen 1und 2. Die
Indices a, /3, y , 6 kennzeichnen die Quantenzahlen der Elektronen.
F u r die Wechselwirkung zwischen Elektronen der K-, der L-und der Kund L-Schale sind diese Integrale berechnet und tabelliert worden2). Wir
berechneten den Ausdruck ( 1 ) mit Elektronenfunktionen der Hauptquantenzahl 1bzw. 2 an einem Zentrum und Elektronenfunktionen der Hauptquantenzahl 5 am anderen Zentrum. Wir bedienen uns dabei einer Methode, die von
Sugiura3), Z e n e r und Guillemind), B a r t l e t t s ) , Rosene) und James')
entwickelt worden ist.
1) Die Integrale dieser Arbeit wurden benotigt zur Abschittzung von Austauschintegralen zwischen den Kohlenstoffeigenfu&tionen bzw. den Wasserstoffeigenfunktionen
und den Eigenfunktionen der Valenzelektronen von Cadmium, Zinn und Tellur. Siehe die
-4rbeit ,,Zur Theorie der indirekten Spin-Spin-Kopplunguber mehrere Bindun en zwischen
Protonen und schweren Isotopen mit dem Spin 1/2", Ann. Physik 9, 262 (1862).
2) Ein Literaturveneichnis dieser Arbeiten ist z. B. in der Arbeit [16] zu finden.
3, Y. Sugiura, Z. Physik 46,484 (1927).
'1 C. Zener u. V. Guillemin, Physic. Rev. 84, 999 (1929).
J. H. B a r t l e t t , Physic. Rev. 87, 607 (1931).
s, N. Rosen, Physic. Rev. 88, 255 (1931); 88, 2099 (1931).
7) H. M. J a m e s , In. Chem. Phys. 2, 794 (1934).
352
Annalen der Phyaik. 7. Folge. Band 9. 1962
Als Elektronenfunktionen verwenden wir die knot,enlosen S l a t e r - Funktionens) :
Kurz bezeichnung
k
s
rs
Die Integration wird in elliptischen Koordinaten durchgefiihrt, die dem
Zweizentrenproblem besonders gut angepal3t sind. Der Zusammenhang
zwischen Kugelkoordinaten (r,&,rp) mit dem Nullpunkt in a bzw. b und
elliptischen Koordinaten (p,v, q ) mit dem Nullpunkt in der Mitte zwischen
den Zentren a und b wird durch folgende Beziehungen gegeben:
R [(p2- 1) (1 - v 2 ) ] 112.,
r, sin 6u= r b sin &, = 5
R ist der Abstand der beiden Zentren.
1
Der reziproke Elektronenabstand - wird nach N e u m a n n s ) in eine Reihe
r12
nach Kugelfunktionen entwickelt :
~~
J. C. Slater, Physic. Rev. 86, 57 (1930).
s, C. Neumann, Theorie des Potentials, Teubner, Leipzig 1887.
aon*
0,1601
0,2343
0,1870
0,2837
0,3969
0,1873
0,2446
0,2116
0,6977-2
0,1177-1
0,8293-'
0,2847-l
0,2438-1
0,2386-1
0,1698
0,3896-1
0,2267
0,6144-1
0,7006-1
0,3660-1
0,1100
0,2849-1
0,5445
0,1673
0,3934
0,2669
0,8623-8
0,2927
0,1346
0,3262
0,2091
0,6066-'
0,2493
0,4920
0,1646
0,2737
0,1813
0,3144
0,3480
0,2076
0,2479
0,2261
0,4812-8
0,9944-8
0,6868-2
0,2176-1
0,2079-1
0,1962-1
0,1339
0,3041-l
0,1840
0,4144-l
0,6976-1
0,3160-1
0,9770-l
0,2421-l
6.6
0,1029
0,2664
0,1618
0,4143-2
0,2034
0,4212
0,1676
0,2881
0,1642
0,3119
0,2913
0,2096
0,2319
0,2182
0,3702-'
0,7969-4
0,5391-'
0,1601-'
0,1683-l
0,1536-l
0,1013
0,2278-1
0,1431
0,3185-l
0,6328-1
0,2634-l
0,8147-l
0,1948-1
6.0
7.0
0,6269-1
0,1366
0,8444
0,1738-'
0,1203
0,2679
0,1200
0,2486
0,1134
0,2420
0,1790
0,1708
0,1678
0,1626
0,1942-8
0,4436-8
0,2921-8
0,7813-8
0,9604-8
0,8266-'
0,6199-1
0,1144-1
0,7649-l
0,1663-1
0,4269-1
0,1668-l
0,4849-1
0,1096-1
65
0,7611-'0,1902
0,1194
0,2728-2
0,1693
0,3434
0,1416
0,2777
0,1400
0,2842 ,
0,2330
0,1966
0,2030
0,1941
0,2732-'
0,6069-8
0,4049-*
0,1136-1
0,1298-1
0,1149"
0,7386-1
0,1643"
0,1066
0,2346-l
0,6343-1
0,2076-l
0,6437-1
0,1493-l
0,1$66-1
0,49481
0,3036
0,49734
0,5148-l
0,lseO
0,6418-l
0,1466
0,5628-l
0,4283
0,7909-1
0,9674-l
0,8478-l
0,8346-l
0,71744
0,172V
0,1109-*
0,2700-4
0,3844-8
0,3119-*
0,1893-l
0,40W2
0,2880-1
0,6096-a
0,1974-1
0,6366-8
0,2002'
0,4300-8
8,26
~
0,2800-8
0,1170-l
0,3130-l
0,1912
0,2889-3
0,3482-1
0,8406-1
0,4649-1
0,1081
0,3888-1
0,9238-1
0,5401-l
0,7026-l
0,6026-l
0,6962-1
0,4684-8
0,1119-8
0,71464
0,1689-8
0,2622-a
0,2005-e
0,1206-1
6,2669-4
0,1863-1
0,3883-8
0,1362-1
0,4196-8
0,1326-1
8.76
=
0,1456
- lo-*
=
0,01465
, R - Kernabstand in A, CefI- Kernladung, abhiingig vom Atom und der Hauptquantenzahl n, n* - effektive Haupt-
0,1964
0,4441
0,2943
0,1143-1
0,3282
0,6672
0,1443
0,1783
0,1779
0,2172
0,4266
0,1612
0,2187
0,1706
0,7069-'
0,1308-1
0,9469-8
0,3671-l
0,2700-l
0,2741-l
. 0,2069
0,4764-1
0,2624
0,6061-l
0,6162-1
0,3684-1
0,1149
0,3148-1
quantenzahl [6], no = 0,6292 A ; es hedeutet 0,14b6-1
a,
0,2161
0,4641
0,3161
0,1466-1
0,3606
0,6622
0,1209
0,1220
0,1637
0,1226
0,4329
0,1073
0,1719
0,1048
. 0,7890-8
41363-1
0,1013-1
0,4278-1
0,2809-l
0,2984-l
0,2377
0,6646-1
0,2873
0,6700-l
0,4316-l
0,3468-l
0,1099
0,3240"
4.0
Tabelle
Annalen &r Physik. 7. Folge. Band 9. 1962
354
mit
c: =&"(-
1)'(2t
+ 1)I-[
(7-v)!
2.
,
&o= 1, &" = 2 fiir Y
2 1.
Fur p2 2 ,q gilt die obere Zeile in der Klammer des Ausdrucks (2) und fiir
p2 2 ,q die untere.
Damit lassen sich die Integrale (1)auf die Hilfsintegrale
m
~ : ( mn,, a ) = ~ : ( mn,) =
m
J J )':(:Q
1
1
PE("2)
e-a(fil+pr)
P1
x [(P?- 1)( P i - 1 ) P 2py P;
mit a = R @
(3)
4 1
4%
zuriickfiihren, die numerisch berechnet werden mussen. Tabellen der Integrale (3) wurden von H i r s c h f e l d e r und LinnettlO), K o t a n i , A m e m i y a
und Simosell)lZ), Ishiguro13), I s h i g u r o ,
Y u a s a , S a k a m o t o , K o d a i r a und H i g u chi14), K o t a n i , A m e m i y a , I s h i g u r o und
K i m u r a l s ) und PreuRla) aufgestellt.
Mit den nach der Abb. 1 eingefuhrten 8a
und 6a gelten folgende Identitaten") :
AmpyeF Apasy Aysap AsYpa.
Die Zahlenwerte der Austauschintegrale (1)
Y
b
d . . . . D
wurden mit den Hilfsintegralen (3) der ArAbb. 1
beit,en 12)13)la) berechnet. Die numerischen
Rechnungen wurden mit 5stelligen Zahlen
durchgefiihrt. Die Ergebnisse sind jedoch nur auf 3, hochstens auf 4 Zahlenstellen genau infolge der groRen Anzahl von Summationen.
D
Fur die Durchfuhrung der numerischen Rechnungen danke ich meiner
Frau R e n a t e Klose. Herrn Prof. L o s c h e bin ich fur das dieser Arbeit entgegengebrachte Interesse zu 'Dank verpflichtet.
Formeln
l0)\I.O. H i r s c h f e l d e r u. J. W. L i n n e t t . J. chem. Phvsics 18. 130 (1950).
11) M. K o t a n i , A. A m e m i y a u. T. S i m o s e , Proc. physico-math. SOC.Japan 20,
Extra-Nr. 1 (1938).
12) M. K o t a n ' i , A. A m e m i y a u. T. S i m o s e , Proc. physico-math. SOC.Japan 22,
Extra-Nr. 1 (1940).
la) E. I s h i g u r o , Natural Science Report, Ochanomizu University 4, 64 (1963).
14) E. I s h i g u r o , S. Y u a s a , M. S a k a m o t o , C. K o d a i r a u. S. H i g u c h i , Natural,
Science Report, Ochanomizu University 6, 197 (1955).
15) M. K o t a n i , A. A m e m i y a , E. I s h i g u r o u. T. K i m u r a , Table of Molecular
Integrals, Tokyo, Maruzen Co., Ltd. 1955.
16) H. P r e u s s , Integraltafeln zur Quantenchemie I, Springer-Verlag, Berlin/Gottingen/Heidelberg 1956.
17) H. J. K o p i n e c k , Z. Naturforschung 6a, 420 (1950).
>
I
G. Kloae: Auatauachintegrale zwiachen Funktionen der K - bzw. L- und O-Sc&
355
356
Annalen der Phyeik. 7. Folge. Band 9. 1962
G. Klose: Auatuuachintegrale zwischen Funktioxen der K - bzw. L- und 0-Schale
357
358
Annalen der Phyeik. 7. Folge. Band 9. 1962
360
Annalen der Phyeik. 7. Folge. Band 9. 1962
G. Klose: dustausehintegrale zwischen Punktionen &r K - bzw. L- und 0-Schule
361
362
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 9. 1962
C. Klose: Austauachintegralezwischen Funktionen der K - bzw. L- und 0-Schale
363
364
Annalen der Physik. 7. Fdge. Band 9. 1962
G'. K h e : Awtuuschintegrale zwischen Funktionen der K - bzw. L- und 0-Schale
365
366
Annakn a h Phyeik. 7. Folge. Band 9. 1962
Leipzig , Physikalisches Institut der Karl-Marx-Universitit.
Bei der Redaktion eingegangen am 24. Mitrz 1962.
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