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Begrndung einer Integralgleichung fr die Bewegung eines strahlenden Elektrons.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 37, Heft G, 1980, S. 495-436
J. A. Barth, Leipzig
Begrundung einer lntegralgleichung fur die Bewegung eines
strahlenden Elektrons
Von J. PETZOLD
Fachbereich Physik der Universitiit Marborg
Inhaltsiibersicht. Fiir eine friiher als Bewegungsgleichung fiir ein strahlendes Elektron vorgeschlagene Integro-Differentialgleichung wird eine Begrundung iluf der Grundlsge der MaxwellLorent,z-Theoriegegeben. In erster Niiherung und im nicht-relativistischen Grenzfall erhalten wir die
Theorien von HERGLOTZ
(1003) und &UP (1966).
Foundation of a Functional Equation of Motion for the Radiating Electron
Abstract. ,4n integro-differential equation of motion for the radiating electron; proposed in
an earlier paper, is founded on the Naswell-Lorentz-theory. I n letorder approximation and in the
non-relativistic limit, our equation becomes identical with the theories of HERGLOTZ
(1903)and KAWP
(19GG).
1. Problemstellung iind Ergebnisse
Beschleunigte elektrische Ladungen senden eine elektro-magnetische Strahlung aus,
deren Riickwirkung auf die Bewegung des Ladungstragers heniniend wirkt. Seit vielen
Jahren haben zahlreiche Autoren versucht, diese Phanoniene auf verschiedene Weisen
durch Eiiifiihrung entsprechender Kraftternie in den Bewegungsgleichungenzu beschreihen (fiir eine ubersicht vgl. [l, 21). Diese Theorien sind in der einen oder anderen Hinsicht unbefriedigend: Entweder besitzen die Bewegungsgleichungen unphysikalische
Lijsungen wie etwa die Selbstbeschleunigungslosungen oder aber es werden ad hoc Annahmen gemacht, die aus den grundlegenden Theorien von Maxwell iind Lorentz nicht
herleitbar sind oder die Gleichungen sind nicht-relativistisch.
Es SOU hier versucht werden, eine nnlangst vorgeschlagene Bewegringsgleichung fur
das strahlende Elektron [3]l)
+
nz;UY(t)
m,{Q”(t) - UJt) @(T) UY(T)) = K:
(1)
aus der Maxwell-Lorentz-Theorie zu begriinden. Dabei sind mmdie mechnnische und na,
die elektro-magnetische Trilgheit (Coulomb-Energie), u” die Vierergeschwindigkeit des
Teilchenschwerpunktes, T die zugehorige Eigenzeit und
?S
Anti. Pliysit. 7. l:olge, Ild. 37
J. PETZOLD
426
I n dieseiii Ausdruck (2) bedeuten A den Teilchendurchuiesser und f(a) eine Strukturfunktion, die mit der Ladungsverteilung der Partikel zusammenhiingt und die Xormierungsbedingung
1
J' !(a)
CzfS = 1
(3)
-1 0
erfiillt. K , ist die auQere, auf das Teilchen wirkende Kraft.
Hier 8011 vor allem der Zusammenhang zwischen der Strukturfunktion f(o) und der
Ladungsdiclite des Teilchens gezeigt werden, und zwar durch Diskussion der Reaktionskraft fur kleiiie Geschwindiglieiten und Beschlcunigungen in lincarer Naherung. Das
Ergebnis (30) niit (27) stimint in nicht-relativistischer Xaherung mit dem von KAUP
[4] angegebenen iiherein. Die von uns angewandte Methode untersclieidet sich jedoch
von der von ihui henutzten. Sie ermijglicht niimlich die Berechnung hoherer Naherungen
in den Bewegungsgro8en2). (In einer folgenden Arbeit soll die 3. Ordnung berechnet und
lorentz-kovariant verallgemeinert werden, sie niacht eine Modifikation der vorgelegten
Ergebnisse notwendig. Hier geht es uns zunachst urn die Darstellung der Prohletne und
Methode.)
-41s Marginalie soll in Abschn. 6 gezeigt werden, dal) die Theorie von KAUPfur Teilclien konstantcr Ladungsdichte identiscli ist mit der von HERGI.OTZ [a] bereits 1903
entwickelten. Uieser gab seinen Susdruck fiir die Reaktionskraft allerdings nicht in
Integralforin, soridern als Reihe mit unendlich hohen Ableitungen an, so da13 anscheinend wegen der Vnhandlichkeit seiner Ausdriicke seine Arbeiten erst in den letzten Jahren n-ieder i n das BewuQtseirider Fachwelt geruckt sind.
2. Problenie ciner kovarianten Darstellung der Reaktionsliraft
Die auf ein geladenes Teilchen ruckwirkende Kraft ist nach der Lorentzschen Theorie
durcli die Kraftdichte
k'y.$) = s,(.$) F""(xQ)
(4)
gegeben init s' als Viererstronidichte des Teilchens und F')'(xG)als das durch diese erzeugte Eigenfeld, welches die Maiwellgleichungen
Fa'tlcw= sSt;
F[,.p/el = 0
(5)
erfiillt. Es ist i?'ein Vierervektor und steht ,,senkrecht" zur Viererstromdichte. Hingegen sind wedcr die Gesamtkraft
noch uo(z)Rl'Vierervektoren, wenn inan ini jeweiligen System iiber die durch das Laborsystem ausgezeichnete Hyperflache (a-Flache) Rp = const integriert [6]. Das bereitet
Schwierigkeiten, wenn inan eine Lorentz-kovariante Bewegnngsgleichung aufstellen
will.
Z;ni diese Probleme zu umgehen, hat man versucht, eine kovariante Gesamtkrrtft
zu definieren : Man integriere zunachst die Kraftdichte iiber diejenige rr-Fliiche, die im
Ruhesysteiii des Teilchenschwerpunktes die Flache konstanter Zeit bedeutet. Dann
iinterwerfe inan - bei festgehaltener a-Fliiche - das Ergebnis einer Lorentz-Transforinat ion, uni die Gesamtkraft im Laborsystem zu erlialten ['i].
?)
Es seien P ( G 0 ) die Schwerpunktsgeschn-indigkeit,2
.
=
J
ds?
un die Besclileunigung u w . und
F
eine Funktion oder Funktionnl von un, in,U f z , .. Ersetzt man C --f At", und damit 6" +ilv" usw. in F
und gilt lim F = n(A"), dann nennen wir F von n-ter Ordnung in denBeaegungsgroRen. Mlr machen
A+O
also im Prinzip eine Reihenentwicklung nach 1und setzen dann J. = 1.
Integrnlgleichungfur die Bewegung eines strahlenden Elektrons
427
Bei ansgedehnten Teilchen ist diescs Verfahren nicht iminer ohne Komplikationen
konsistent durchzufuhren : Die Coulombschen AbstoBungskrafte miissen durch mechanische Qegenkrafte von gleicher Ausdehnung wie die Ladungsverteilung kompensiert werden, wenn die Teilchen stabil bleiben sollen. Es ist nicht klar, ob das Ruhesystem des
mechanischen Schwerpunktes identisch ist mit dem des Ladungsschwerpunktes, so daB
die not wendige Auszeichnung einer a-Flache nicht wohldefiniert ist. Analog ist es schwierig, Gleichungen fur Mehr-Teilchen-Systeme aufzustellen, weil verschiedene Teilchen
verschiedenc Ruhesystenie besitzen.
I n einem Labor werden die Messungen nicht uber beliebige a-Flachen ausgefuhrt,
sondern iiber die ausgezeichnete des Labors = const. Daher wollen wir bei der Definition (6) fur die Gesamtkraft bleiben. Weil wir K” zunachst fur kleine Geschwindigkeiten
analysieren, ist die von uns benutzte a-Flliche nicht wesentlich von der oben erwahnten
verschieden. Es ist also nicht verwunderlich, wenn im nicht-relativistischen Grenzfall
unsere Ergebnisse init denen anderer Autoren ubereinstimmen.
Wenn wir eine Lorentz-kovariante Bewegungsgleichung fur den Ladungsschwerpunkt aufstellen wollen, miissen wir von u°K” einen geeigneten, kovarianten Anteil abspalten und diesen allein in der Bewegungsgleichung verwenden. Dieses Verfahren
mag folgendermafien gerechtfertigt werden :
Die nach den obigen Ausfuhrungen notwendigerweise auftretenden mechanischen
Krafte sind zwar im Prinzip unhekannt, bilden aber zusammen mit den elektro-magnetischen ein abgeschlossenes System, so daB die physikalischen Eigenschaften des Gesaint systems von der a-Flache unabhangig sind [6]. Das bedeutet, daB nicht-kovariante
Anteile des elektrischen Systems von entsprechenden des mechanischen Systems kompensiert werden, also einfach fortgelassen werden konnen, sofern wir uns nicht fur detaillierte Eigenschaften des Teilcheninnern interessieren.
I n den meisten Theorien fur das strahlende Elektron werden die mechanischen
d
Eigenschaften allein in einem lokalen Triigheitsterui durch den Ansatz m, - up
dfl
beriicksichtigt (vgl. die in [l] diskutierten Theorien, jedoch auch [4] uber mogliche
Verallgemeinerungen). Das ist physikalisch unbefriedigend angesichts der raumlichen
Ausdehnung der mechanischen Spannungen und der Tatsache, da13 es in der Relativitatstheorie cinen starren Korper - d.h. einen Korper ohne innere Freiheitsgrade nicht geben kann [8]. u b e r diese Spannungen konnen Wirkungen nur mit Schallgeschwindigkeit, also Unterlichtgeschwindigkeit weitergegeben werden. Bhnlich wie bei den elektromagnetischen Kriiften treten Retardierungseffekte auf, die sich wie dort als eine Art
nicht -1okaler Wechselwirkung zeigen mussen.
Wenn iiber die mechanischen Krafte keine Abstrahlungen passieren (z.B. als Mesonenfelder), die Kriifte kein Gedachtnis besitzen, keine Hysteresis-Effekte auftreten,
d a m sollten sie sich in einem mechanischen Impuls Pgech.manifestieren, der voni inneren
Teilcheiizustand in einem Zeitintervall von der GroBenordnung des Teilchendurchmessers abhangt :
Es liann
1.:
inakroskopisch nicht vom Wege abhangen, sondern niir von den Systcmeigenschaften in
der iiiikroskopischen Umgebung der Randpunkte z
:
. Das Integral definiert eine Art
Zust andsgroBe.
9s.
428
J. PETZOLD
Die mechanischen K d f t e konnen inoglicherweise
Anteile der Reaktionskraft komd
pensieren, falls diese sich in der Forin eines Tragheitstermes - '32 darstellen lassen
d.9
und p" ebenfalls wie Pgech.nur voiii ,,momentanen" Teilchenzustand, vom inneren
Zustand innerhalb einer Zeitschicht der Dicke A um
abhangt. Da die mechanischen
Krafte aber prinzipiell unbekannt sind (es wurden bisher keine entsprechenden Modelle
entwickelt), konnen wir uber die Reaktionskraft nur sichere Aussagen bis auf Triigheitsterme machen. Drts wird unser Vorgehen bei der Analyse von K" nach ( 6 ) beeinflussen.
Da in erster Niiherung der BewegungsgroDen K" sich als Triigheitsterm darstellen lafit,
wie gezeigt werden wird, sollte diesen Ergebnissen physikalisch nicht eine allzu ernste
Bedeutung zugemessen werden, sondern es mussen die hoheren Naherungen diskutiert
werden (was in der angekundigten Arbeit geschehen wird). Da alle bisher explizit entwickelten Theorien von der ersten Naherung ausgehen (vgl. die angegebene Literatur),
ubertriigt sich unsere Kritik such auf diese.
Wenn wir annehmen, daB die Teilchen sehr klein sind, sich die auBeren Felder praktisch nicht iiber den Teilchendurchmesser andern, dann gilt Kzu,,== 0. Fur eine konsistente Bewegungsgleichung mussen wir dann auoh fur die Reaktionskraft K@uB
= 0 verlangen, was fiirKP nach ( 6 ) i.a. nicht erfullt ist, selbst wenn man von K" nur (entsprechend den obigen Ausfiihrungen) einen kovarianten Anteil mitnimmt. Hier kann man
versuchen, entweder nur den zu U P senkrechten Teil von KJ' zu berucksichtigen, - was
physikalisch unbefriedigend ist - oder zu Kfi einen geeigneten mechanischen Anteil,
der sich ah zeitliche Ableitung eines Viererimpulses schreiben lassen muB, zu addieren,
um die Orthogonalitiitsforderung zu erfullen. Die Rechtfertigung, die in der prinzipiellen Unkenntnis der mechanischen Eigenschaften liegt, wurde oben erortert.
Bei den skizzierten Reduktionsverfahren von Kp wird sich eine gewisse Willkiir nicht
veriiieiden lassen. Doch wollen wir uns von folgenden Gesichtspunkten leiten lassen :
a) Es sol1 so wenig wie moglich von KP vernachlassigt werden.
b) Es sollen vor allem die raumlichen Komponenten der Kraft K" moglichst gennu
wiedergegegen werden; denn in der Newtonschen Mechrtnik ist primiir die Kreft der
fundamentale Begriff. Der Energiesatz, der hier durch die Zeitkoinponente der Bewegungsgleichung geliefert wird, ist dort eine abgeleit,et,eGroBe.
3. Eine Zerlegung der Reaktionskraft
Urn im angegebenen Sinne KP zii analysieren, werden zunachst die Vektorpotentiale
iiber den iiblichen Ansatz
schreiben.
Das letzte Integral verhiilt sich wie ein Triigheitsterm. Daher mu8 im ersten Integral von (9) die eigentliche Strahlungsreaktion enthalten sein. Doch stecken noch Conlonib-Anteile drin, die damit nichts zu tun haben. Sie lassen sich leicht eliminieren,
Intc,onilgleichnngfiir die Bewegung eines strshlenden Elektrons
429
wenn man fur die Potentiale die Coulomb-Eichung benutzt (die mit
werden) : Wir setzen fur die Nullkomponente
21‘ bezeichnet
Uni die Kausalitat der speziellen Relativitatstheorie zu erfullen, wahlen wir fur die
riiunilichen Komponenten An die retardierten Losungen der Maxwell-Gleichungen in der
Couloiiib-Eichung
kn
(54)
=
J @&&@
- 2)sm(2) d42,
wohei die transversale, retardierte Greens-Funktion lautet
(11)
(P= I k I)
:
Sie garantiert die Erfullung der die Coulomb-Eichung charakterisierenden Nebenbedingung
= 0, so daB es eigentlich nur zwei unabhangige, raumliche Komponenten
des Potentials gibt. k. beschreibt das Strahlungsfeld. Man kann es sich auch erzeugt
denken durch den transversalen Strom
Mit (10) erhalt man leicht fur den im ersten Integral von (9) auftretenden Term
der sich ebenfalls wie das zweite Integral von (9) wie ein Triigheitsterm verhiilt. Es ist im
Ruhesyst em
1
Js o k O 8 =
~ E,
(17)
2
die Coulomb-Energie der Partikel. Daher teilen wir KP in (9) folgendermaBen auf
K P ( 9 ) = K,”(#)
+ Kf(X”)
Das erste Integral enthalt keine Coulomb-Ternie mehr, sondern nur das Strahlungsfeld.
Wegen
= 0 hangt es nur vom transversalen Strom ab, wie man mit (13) und (14)
leicht sieht :
K / ( f l )= J s,,A”)”d3x = J
srr.k,J’O?X.
(19)
J. PETZOLD
430
Dieses Integral sollte also die Strahlungsreaktion auf das Teilchen beinhslten. Das zweite
d
und dritte Integral in (18) bilden einen Tragheitsterm KF - -Pi,wobei Pi nur vom
--a9
,,momentanen" Teilchenzustand abhangt, nicht aber von der Vorgeschichte bzw. Teilchenbehn; denn man kann mit (11) zeigen, daB bei der Integration allein Raum-ZeitGebiete von der GroBenordnung des Teilchendurchmessers und derjenigen Zeit, die das
Licht zum uberstreifen des Teilchens benotigt, eine Rolle spielen.
(Es verschwindet einerseits DF$,tr.(.@) innerhulb des Lichtkegels, auf der anderen Seite konnen
sich Teilchen hochstens mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen.)
4. Die Reaktionskraft in h e a r e r Niiherung
Fur eine weitere Analyse der Reaktionskraft betrachten wir den Fall sehr kleiner
Geschwindigkeiten der Teilchen und so schwacher Beschleunigungen, daI3 man von
Teilchendeformationen absehen kann. Unter diesen Voraussetzungen ist
so@",
zn)= e(xn - P ( 4 ),
P ( Z O , P)= e(z'& - F"(z0)) v m ( d ' ) .
(20)
d
Dahei ist pl(zO)die Bahn des Teilchenschwerpunktes, v" = -tndessen Geschwindigdzo
keit und e ( P ) die Ladungsdichte im Ruhesystem, die im folgenden uberdies als rotationssyminetrisch vorausgesetzt wird. Der Ansatz (20) garantiert weiterhin den Ladungssatz ,$a;" = 0.
Zu dieser Naherung (20) sollen vorab noch einige Anmerkungen gemacht werden: Wenn man \-on
K" einen Xnteili" abspalten will, derart, daB uO(T) kp einvierervektor unddurch die Schwerprinktsbewegang darstellbar ist, so mu13 der Vektorcharakter durch die Vektoren
(:J
-
~ " ((n
t )=
0, 1,
2, ...) getrngen werden mit Koeffizienten, die aus Invarianten gebildet werden. Wegen u'u, = 1und
0 ist die erste nichtverschwindende Invariante ti"(?)
uv(r),die von 2. Ordnung in den
BewegungsgroBen ist. Wenn eine Entwicklung nach BewegungsgroDen sinnvoll win aoll, dann durfen
die Beschlennigiingen nicht zu groD sein. Eine Entwicklung nach dimensionsbehafteten GroBen hat
wenig Sinn, die Invarianten miissen dimensionslos sein. Um solche GroDen zu konstruieren, stelit,una
hier ini wesentlichen nur noch als charakteristische GrijBe der Teilchendurchmesser A zur Verfiigung,
A
mit dein die dimensionslose Grofie -gebildet werden kann. Die Invarianten konnen somit ails den
&"(t)u,,(t)=
&r
?
dimeneionslosen Vierervektoren (A
~ " (konstruiert
t )
werden. Sollen diese Invarianten klein
sein, dnrf sich der Bewegungszustand des Teilchens nur wenig andern in Zeiten, die das Licht benotigt,, um iiber das Teilchen zu laufen. Speziell nehmen wir an
-AW(.) U " ( t ) -=g 1.
(21)
Der Ansatz (20) irupliziert weiterhin, daD von Rotationen und Vibrationen des Teilchens abgesehen
wird. Irn Fnlle rotationssymnietrischer Ladungsverteilungen sind beide nur durch stark inhomogene
Felder anregbar, d. h. durch nichtadiabatische Andernngen dea inneren Zustandqs. Die anschlieDend
abgestrahlte Energie wirkt auf diese inneren Bewegungen diimpfend, sie existieren nur fur k u n e
Zeiten. (Der Fall rotierender Oberflachenladungen wurde in [9] behandelt). Weiterhin kannen sie ein
ruhendes Teilchen nicht in Bewegung setzen und beeinflussen eine Schwerpunktabewegung kaum.
Also n-erden wir sie in den Bewegungsgleichungen fortlassen, da hier nur Gleichungen fur die Schwerpunktsbewegung aufgeatellt werden.
Es ist nicht ohne weiteres inoglich, den durch den Ansatz (20) begangenen Fehler
abzuschatzen. Fur Teilchen konstanter Geschwindigkeit hiitten wir in (20) vn --f u" zu
ersetzen und in e die Lorentzkontraktion zu beriicksichtigen. Gegenuber (20) bedeutet
Integralgleichiing fur die Bewegung eines struhlenden Elekt.rons
431
das einc Korrektur 2. Ordnung in den Bewegungsgr6Ben. Wenn jedocli auflere Krafte
einwirken, gibt es Deformationen, die von mechanischen Eigenschaften des Teilchens abhiingen, also unbekannt und nicht berechenbar sind. Um einen Eindruck von den miiglichen Einfliissen zu bekommen, haben wir in1 Anhang den Fall des starren Korpers nach
BORN[lo] behandelt, obwolil das Modell nach [8] fragwurdig ist. (Xcht-Esistenz eines
starren Korpers in der Relativitatstheorie.) Das Ergebnis ist, daB die durch Beschleunigungen hervorgerufene Korrektur gegenuber (20) sogar von 3. Ordniing ist. Dainit mag
der Ansatz (20) gerechtfertigt sein.
U'egen (1-2)wird KY nach (19) mindestens von zweiter Ordnung in den BewegungsgroBen klein (eine genauere Diskussion ergibt ein Verschwinden von 3. Ordnung). Es
bleibt nach (18) fiir die raumlichen Kraftkoniponenten in linearer Saherung beziiglich
der BewegungsgrijBen
x 0(.2)a32 V , J 2 ) dP.
Es w i d e tlabei (21) benutzt. Xun ist
I0
5"(2!J)-
p ( 5 Q )= J v"(2)
d.2
-0
und da das Integrationsgebiet von der GroBenordnung derjenigen Zeit ist, die das Licht
zum Uberstreifen des Teilchens benotigt, wie in Abschn. 3 angedeutet wnrde, ist (23)
klein von erster Ordnung. Es kann konseqnenterweise diese Ahhangigkeit in (22) vernachlassigt werden.
(Es ist in (22) die Ietzte Zeile ungcrade bei Bewegungsumkehr da(6@)
-+ - v " ( i 0 ) ,meswegen die erste
ist.)
Korrektur sognr von zweiter Ordnung in En(#) - t"(GO)
\Veil die Ladungsdichten rotationssymnietrisch angenominen werden, gilt
J o ( r )Dzr,tr.(.o,9 - 2 )e(7) a32 d3%
=
2
g""
J e ( r )Dret.(P,2 - 2 )e(7) d 3 d31
~
was aus (12) hergeleitet werden kann. Das benutzen wir in (22) und erhalten
Wenn man statt der Zeit P die Eigenzeit uOdt = dP benutzt, dann kann man vn dP = u"dz
setzen, und es unterscheiden sich xo - $Q und t - nur um Terme 2. Ordnung in den
Bewegungsgroflen
z0
20
- 9 =t - 2 +
(uO(+)-0
l} d?. Ersetzt man also in Dtet. die
J. PETZOLD
432
Zeitabliangigkeit
- $0 durch t - 2, dann andert sich K"(.O) urn Terme 3. Ordnung,
wir bleiben also in 1. Ordnung korrekt :
@(T)
d
2
3
---
K'jI
at
J" at u y t - Z) J p(r) D(2,i - 2 )@(;)
0
d3x d3.i.
Die relativist ische Verallgemeinerung ist evident, da n i r diese Beziehung als riiuinlichen
Anteil eines i-ierervektors ansehen kiinnen. Wir schreiben also
@(t) K
p
"
qt)* -
llI(C) ? P ( T - a) nu
(26)
niit (wvobei (15) zu beachten ist)
M(C, =
J (~3rg ( x r ) ~ ( aP, - 28) p ( 2 ) d3.2:
Offensichtlich gilt
M(u) = 0 fur la\ > A ,
wohei A der Teilchendiirchinesser ist. Weiterhin ist
i
I1
~ ( c r ) =4n
0
1
J ( ~ 3 xe(xr) ~ ( 2 'd35
) = -2E,
Ix - X I
init E, als Couloinbenergie und
y a B ( a )da
0
=
e2
-.4n
Setzen wir also
))I,
=
4
3 Ec
tind
1
--(a)
A
-1
= @(a) M ( a )
-
1
1
-.-.
2E, 4n
s
X ( 3 )d;r}
e(x')
2Ec
= @(a)M(0)
d(6 - Ix - XI)
I x - 51
e ( 2 )d3i9
dann niinmt P ( t )die gewunschte Form an :
tP(t)
K"(t) rn
-
d
1
- ??Ie - J f(o) U " ( t
at A
=--
d
at
- a) do
?neQ"(t)*
In der letzten Zeile wurde die Definition (2) fiir 61" benutzt.
Wenn man schlieBlich noch nach den Ausftihiungen von Abschn. 2 nur den zu UP(@
orthogonalen Teil von KO nach (26), niimlich K"(t)- u&) K"(7)
d'(t)
in die Bewegungs-
Integriilgleichung fur die Bewegung eines strahlenden Elektmns
433
gleichung aus Konsistenzgriinden einfiihrt, erhiilt man exakt eine Bewegungsgleichung
der Struktur (I),wobei trotz der in Abschn. 2 geiiuBerten Bedenken fur die mechanischen
Eigenschaften der ubliche Ansatz sn,uJ'(t) gemacht wurde. Aus (31) folgert man, daB
UJT) K'(t) um(z)von 3. Ordnung in den BewegungsgroBen, also von hoherer Ordnung
als die betrachtete von Kn ist, wodurch in der gewunschten Naherung die Ersetzung
von KI' durch KJ' - u,K"uJ'sich als zulassig erweist.
AbschlieBend soll noch bemerkt werden, daB fur fast punktformige Teilchen aus (2G) mit (28)
UO(7)
4
2
3
E,2'(7) + - - &'(a)
3 4n
e2
Kyr)a
-
folgt. Das zweite Glied der rechten Seite ist der bekannte Schott-Term.In diesem Sine ist die Differential-Gleichung der Lorentz-Dirac-Theorie fiir die Beaegung strahlender Punktladungen auch in
(1) enthalten.
5. Die Theorien von KAUYund HERGLOTZ
Diirch die bisherigen Untersuchiingen werden wir auf folgende Bewegiingsgleichung
gefiihrt
d
inm- u " ( t )
at
+- p daM(a)
dt 3 ,
d
UP(Z
- u)
(32)
2
0
Erset,zt inan in den riiumlichen Komponenten dieser Bewegungsgleichung t + xO,
UO 3 1 und vernachlassigt den 3. Term der linken Seite als Ausdruck hoherer
Ordnung, d.h. kehrt man zur Beziehung (25) zuriick, dann erhiilt man genau die von
BACP
[41 angegebene nicht-relativistische Bewegungsgleichung
uil + Vn,
Inm-
d
aa+ $(a?)
+da? 3
da M(a) $(a?
- a) = K,".
(33)
C'nser Integralkern stimnit mit dem seinen uberein. Da KAUPin seiner Arbeit [4] zeigte,
dafl die Bewegungsgleichung (33) keine Selbstbeschleunigungslosungen enthiilt, soll
hier auf diese Frage nicht eingegangen werden.
Nach (27) bestimmt die Ladungsdichte e eindeutig den Integralkern M(a). Umgekehrt best,immt dieser fur rotationssymmetrische Ladungsverteilung endlicher Aus4n
dehnung R eindeutig e(r). Fur R < 00 ist niimlich $ eikL.' e ( r ) d j x = - J sin l@re(r)r dr
PO
= r(P)
eine
in Ico analytische Funktion, die fur reelle l@ selbst reel1 ist. Also ist bis auf
ein globales Vorzeichen durch H(a)zuniichst
I, damit aber r(P)bestimmt, aus
dem dann e berechnet werden kann.
Spezialisiert man die Theorie von KAUPauf den Fall konstanter Ladungsverteilung
lr(Ico)
o
sonst
J. PETZOLD
434
so erhalt man fur M nach ( 2 7 ) und (15)
[&
["
M(a) = ea - (5) - 11'
+ 21 fur 0
Ra 4;lt 2R 2R
M ( a ) = 0 fur 0 2 2R; M(a) = --M(-u)
fur a
2R;
(35)
5 0.
Damit zeigt man leicht
d "
- /- danl(a)v(xo-a)=
dx0 6
ltfl
(36)
(-2R)"
- 36e2 OD
-v(aa).
47dR n=O n ! (n 5) (n 3 ) (n 2 )
U'enn man das in (33) einsetzt, so erscheint die von HERGLOTZ
[5] angegebene Bewegungsgleichung fur das strahlende Elektron, die also eigentlich eine Integralgleicliung
ist.
c
+
+
+
(&)
6. Schlnllbemerkung
Die Ergebnisse dieser Arbeit wurden hergeleitet aus einer Analyse der Reakt ionskraft
in der linearen Naherung, in der sich diese wie ein Tragheitsterm verhalt (vgl. (22)). Da
sich die unbekannten mechanischen Spannungen in den Teilchen, die die abstouenden
Coulomb-Krafte stabilisieren, ebenfalls wie eine TragheitsgroBe verhalten und in eine
Bewegungsgleichung die Summe beider Krafte eingeht, darf man der expliziten Form
der Reaktionskraft (25) keine zu ernste Bedeutung zumessen. Entscheidend ist vor allem
die Gesamt-Tragheit. Um die Riickwirkung der anseesandten Strahlung auf das Teilchen zu untersuchen, sollte man deshalb besser von der Strahlungsreaktion KF nach (19)
ausgehen und von daher eine Bewegungsgleichung herleiten. Das soll in einer folgenden
Arbeit geschehen.
Anhang: Der EinfluB von Beschleunigungen auf den starren KBrper
Der starre Korper soll wie bei BORX[lo] definiert werden. Fur eine eindiiiiensionnle
Bewegung in der 9-Richtung wird dementsprechend fur den Strom der Ansatz geiilacht
s p = @(d,
39, g(x.3, .")) u"(x3,
.ro)
(A 1)
mit u1 = u2 = 0. Die zu bestimmende Funktion g(.3, 9)heschreibt fur Teilclien konstanter Geschwindigkeit die Lorentz-Kontraktion, sonst die Deformation auf Griind der
Beschleunigungen.
Urn den integralen Ladungserhaltungssahz zu garantieren, wird
uO(x.3,.@) = g,3(d, 2 9 )
(A 2)
gesetzt, denn dann ist so d3x = @(xl, x2,9)
$2 = e. Der Starrheit des Korpers entspricht in einer Flussigkeit die Inkompressibilitat, d. h. die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes, also hier die Bedingung
UP/J9,
xo) = U0,o(9, f i ) u3,3(x3, xo) = 0.
(93)
Der differentielle Ladungserhaltungssatz s ~ ' ~ =
, , 0 verlangt dann, da13 ein initbewegter
Beohachter zeitlich keine Bnderung der Ladungsverteilung sieht :
+
also
UO(%!,Z O )
9/()(.2,3,f l )
+
u3(9, 20) 9,3(9,
a?) = 0.
435
Integralgleichung fur die Bewegung eines strahlenden Elektrons
Nimint inan noch die Konstanz der Lange der Vierergeschwindigkeit
[UO($, 9 ) ] 2 - [ u 3 ( $ , 9 ) ] 2 = 1
hinzu, dann erhalt inan aus (A 2), (A 3), (A 4) und (A 5 ) einmal
u3(9J
.zo) = -g/O($,
(A 5 )
(A 6)
9,
und zum anderen eine partielle Differentialgleichung fur g
''
.0)12 - [g/O(.3J .O)I2 =
(20) t(9)
= r(9)
die Bahn des Schwerpunktes
b/3(9,
(A 7)
1st wie in
und ~ ~ ' (dessen
f l ) Vierergeschwindigkeit, dann ist fiir Teilchen konstanter Geschwindigkeit
g ( 9 , f l ) = uO(2 - t(fl)}
eine Losung mit u3 = U O E / ~ , und uo = (1 - (t/o)2)-1fi.
Wir machen daher fiir allgemeine Bewegungen den Ansatz
+
+
g($J 9, uo(.o){." - t(.O))
(A 8)
#)
h(sJ
mit
I
1L0(20)
= (1
- (t/o(9))2}-'j2;
u3(9)
= u0(2+)r $ / o ( 9 ) .
Dann geht die Differentialgleichiing (A 7) iiber in
- 2 { U Y 0 [ 9 - 51 - u 3 } h,,
= -%43u~()[2?- 53
( u p [ 9 - 612.
2U0hl3
- [h,3]2
+
-
[hj012
Die rechte Seite von (A 9) ist in den BewegungsgroBen von 3. Ordnung klein, also auch
h ( 9 ,zO), d. h. die Deformationen der Ladungsverteilung auf Grund von Beschleunigungen sind von 3. Ordnung klein.
Weiterhin verschwindet die rechte Seite von (A 9) im moillentanen Ruhesystem des
Teilchens wie [5/0]2, also auch h(ZJ .O). Es gibt also ein fur alle Bereiche der Ladungsverteilung gemeinsamesRuhesystem. Dort stimmt die Verteilung mit dereineskraftefreien
Teilchens iiberein.
Bei einer Entwicklung von g($, .O) in eine Potenzreihe von 9 - lauten die ersten
Glieder
Es ist8g(9,zO) vollstiindig durch t(.O)bestimmt. Ein starrer Korper besitzt keine inneren Freiheitsgrade, was mit den Prinzipien der Relativitatstheorie kaum vereinbar ist.
Darauf hat bereits M. V. LAUE[8] hingewiesen.
Literaturverzeichnis
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[8] M. v. LAUE,Z. Phys. 12,85 (1911).
~ J. H. D. JENSEN,
Z. Phys. 065, 453 (1973).
[9] J. D A B Ound
[lo] M. BORN,Ann. Physik Leipz. 30, 1 (1909).
Bei der Redaktion eingegangen am G. Juni 1980.
Anschr. d. Verf.: Prof. Dr. JOACHIM
PETZOLD
Fachbereich Physik der Universitiit
Mhinzer Game 33
D-3550 Marburg/Lahn
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