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Behandlung des Oszillators und der Diracschen Gleichungen. Mitteilung III zu ДEine neue Behandlungs- und Darstellungsmethode wellenmechanischer ProblemeФ

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Behandlung der Oszillator8 und der D i r a c ochsn Cleichungen
Mitteitung III zu , s i n e neue Behandlungs- und Darsteilungsmethd?
wellenmechanischer Probleme"
Von Hartrnut Kallmann und Y a x Pasler
Inhdtdfbdcht
In vorliegender Arbeit sollen im AnschlnD an zwei friihere Veraffentlichnngenl)
der Fall des Oezillators und die Integration der Diracschen Differentialgleichungen
fiir die radialen Wellenfunktionen mit Hilfe der Laplace-Transformation durchgefiihrt werden. Es zeigt sich such hier d;rieder die , h l e g e n h e i t , ,die die Anwendung der Laplace -Transformation auf solche Aufgaben mit sich bringt.
Neben einer wesentlichen Vereinfachung der Rechnungen werden weitergehende
Resultate gefunden werden, ale sich bei der iiblichen Behandlung ergeben; insbesondere laBt sich das Verhalten der Gesamtheit aller Usungen sofort angeben
.
I.
Wir behandeln zuniichst den Fall des Oszillators, d e w n wellenmechanische
Gleichnng bekamtlichs) l a m :
Mit der Transformation
x2=
Y-
und
y=ag
geht (1,l) nwh einiger Rechnung uber in
Fiihrt man zur Abkiirzung
1 -- p = - 2 E
~U
ein, so schreibt sich (I,4)
a wo
H. K a l l m a n n und M. P a s l e r , Ann. Physik (6) 2, 292 u. 306 (1948).
A. S o m m e r f e l d , Atombau und Spektrallinien, S. 32, 1939, F.Vieweg, Braunschweig.
1)
2)
Unterwidt man die letzta Gleichung nun der Laplace-Transformation,
tiert daraus
80
resul-
in der die Grol3en yound q.~: die Anfangswerte von y und ihrer Ableitung bedeuten.
Gleichung (1,7)ist eine lineare inhornogene Differentialgleichungerster Ordnung,
die sich nach einfacher Urnformug auf die Form
bringen la&. Ihr allgemeines Integral lsutet
wobei C die willkiirliche Integrationskonstante ist. Wir betrachten zunbhst solche
Liimgen, deren Anfangswert
(1,W
YO'O
ist. Sie sind gqeben durch
Wendet man auf d i e m Ergebnis die in den friiheren Arbiten efiindig gebraachte
Asymptotik an, 80 erkennt man, daB die Losung y im Oberbereich im Unendlichen
-'s
wie e a verliiuft, sofern nicht der Exponent des Zahlers eine ganze Zahl m 7 0
ist. Da von den Lijsungen mit phyeikaliacher Bedeutung ein Verschwinden im
Unendlicben verlsngt wird, mu4 also
gelten, woraus fur p die Bedingung
p=4m+3>O
(1313)
folgt. Beachtet man die Bedeutung von 1 und a g e d (lJ), 80 ergibt sich fur die
Energie-Eigenwerte
4 m t 3
E=-
2
(1,141
ho,.
+
Vergleicht man 'dies mit der bekannten Formel B = (a 4)11 o,,80
, erkenpt
man, da0 (l,l4) nur die Eigenwerte mit ungeraden n wiedergibt. Wir miissen uns
48
Andn
det Phyeik. 6.Folge. Band4. 1948
nun noch davon iiberzeugen, daD die Oberfunktion zu ( 1 , l l ) in der Tat fur x = 0
1
verschwindet. Entwickelt man die Losung ( 1 , l l ) fur grol3e p nach - , so hat man
P
Dem entspricht in der Oberfunktion ein Verlauf
1
-
yNCyaNCx,
wiederuni in ifibereinstimmung mit dem bekannten Resultat, daD die Eigenfunktionen nur fiir ungerade n im Nullpunkt verschwinden,
1st yo$. 0, so liegt die Losung (1,9) vor, die wir nochmals ausfuhrlich aufschreiben :
Dabei sind die Grenzen des Integrals zu p e bzw. p angegeben. Die obere Grenze
ist die Variable p , wahrend die unkre Grenze p c eine, solange iiber C noch nicht
verfiigt ist, wilkiirliche, zweckmaaig zu wahlende Konstante bedeutet. Wir
fihren in der nachfolgenden Rechnung zur Abkiirzung fur die Losung der homogenen Gleichung (1,s) die Abkiirzung I2 ein, setzen also
/I-a
-
D a m schreibt sich (1,17) in der Form
+
Der darin auftretende Integrand wird an der Stelle p = + unendlich. DaB
dieses Unendlichwerden nicht start, sieht man am besten, wenn man partiell inte-
griert und wie folgt umformt. E i n e partielle Integration liefert
woraus man erkennt, daD sich der Exponent des Ziihlers und des Nenners' urn 1
erniedrigt hat [Gl. (1,20) n i c h t giiltig fur ' 9 2 0 und ganzzahlig. Dazu
s.
S. 521. Damit scheibt sich der zweite Teil der rechten Seite in ( l J 9 ) :
wobei A und B p-enthaltende Konstanten sind, die durch den Integrationsprozefl
auftreten. Integriert man das auf der rechten Seite stehende Integral weiterhin
partiell aus, 80 erhalt man fur die Partikularlosung nach n Schritten ersichtlich
nachstehende Form :
.I;
e-n
(Pf;)'
PC
+rdP
-1
(P-y)
4
in der D und F weitere Konstante sind. Wahlt man n groB genug, so kann man es
stets erreichen, daB der Exponent des Nenners negativ wird, also die storende
Nullstelle des Nenners verschwindet. Es nimmt dann das allgemeine Integral
(1,17) die Form
F [
Pc = t
Ann. Physik, G. Folge, Bd. 4
50
A n d m dcr Phyeik. &F+.
&md 4. 1948
an. Darin bedeutet K eine Konstante, die von der Wahl der unteren Grenzen bei
der partiellen Integration abhangt. Jetzt konnen wir unbeschadet der Allgemeinheit als untere Grenze p c = 3 einsetzen, was in (1,23)bereits angedeutet wurde.
Wir bemerken noch, daB der Exponent des Ziihlers groDer als 0 ist. In dieser
Funktion konnen wir
C+K=C'
(1924)
beispielsweise = 0 setzen, was erlaubt ist, d a uber C willkiirlich verfiigt werden
darf. Dann verbleibt von der Losung der Teil
.
PB,=v,{-7+.A
.}+p
*F
1
n-- P + 1
'
d
(p_____
n--
P+,
Dc = t
(p+
f)
p- 1
dP,
(1,251
4 .
+
der, wie man durch Entwicklung des Integrals in der Niihe p = 4 sieht, regular
ist. Das bedeutet, daD die zu (1,25)gehorige Oberfunktion die Eigenschaft besitzt,
--Y
im Unendlichen wie e a zu verschwinden. Es existieren also fur jeden beliebigen
p W e r t (also auch fur beliebige nicht ganze p - W e d ) Losungen .der urspriinglichen
--Y
Differentialgleichung, die im Unendlichen wie e
verschwinden.
Wir wollen nun untersuchen, wie sich diese Funktionen im N u 11p u n k t des
Oberbereiches verhalten. Wir schliel3en eu diesem Zweck an G1. (1,25)an, die wir
wie folgt urnformen. Zunachst ergibt sich fur das Integral in (1,25)fur groIle p
ohne den vor ihm stehenden Faktor
1
=
+ a 1 . . .) (1 + b
/pql+u$...)dp
Hierbei sind a, b gewisse Zahlenwerte und Q die willkurliche Integrationskonstante.
Iidmunn u. P&kc Behandlung dea OeZdhbW und der DimcadenQkkhungen
51
Ferner ergibt sich fiir den Lo?ungsteil a,GI. (Ills), der in (1,25) vor dem
Integral als Faktor auftritt [vgl. auch (1,M)I
Berucksichtigt man noch die in { } stehenden Glieder von (1,25), die eben1
falls wie - ins Unendliche gehen und beachtet den Faktor F vor dem Integral
P
in (1,25), 80 erhalt man fur
d = const.
Das bedeutet aber, da13 die Oberfunktion im Nullpunkt wie
-( + + ...)
F(O)=yo(1+dy+-.*)+& y
(1,W
verlauft. Schreibt man dies in der Variablen x,so findet man
y - y o (1
a
+ dza + e + . . + S (z+ j 9 +
~
a
a
.)
(1934)
d , e, f , = Eonstanten.
1
Dieses Ergebnis hatte auch direkt durch Entwicklung von (1,19) nach P
hergeleitet werden konnen. Die Losung y besteht also aus zwei Teilen, von
denen der eine mit yo(1+ -..) beginnt und nur nach geraden Potenzen von x
fortschreitet, wahrend der zweite die ungeraden Potenzen von x enthalt. Beide
zusammen sind im Unendlichen endlich, da sich ihre Unterfunktion bei p = 4
+
3
-
regular verhalt. Jeder einzelne Teil geht aber fiir sich wie ea ins Unendliche,
denn die zu den ungeraden Potenzen von (1,34) gehorige Funktion besitzt
die Unterfunktion QH, und H ist fiir alle 'Werte von p mit Ausnahme
des durch (1,13) gegebenen, im Punkte p = 4 nicht regular, d. h. also,
+
+-2'
daB die entsprechende Oberfunktion wie e a ins Unendliche geht. Da die gesamte Oberfunktion zu (1,25) aber im Unendlichen verschwindet, m& also
der Teil, der der Entwicklung nach geraden Potenzen entspricht, im Unendlichen
unendlioh werden und das Unendlichwerden dieser beiden Teile im Unendlichen
sich gegenseitig aufheben.
Fiir physikalische Probleme, bei denen wir das Verhalten der Funktionen-sowohl fur --5 als auch fiir + x bis ins Unendliche verfolgen mussen, sind diese
Losungen im allgemeinen aber nicht verwendbar; denn wir mussen verlangen, dsIl
i*
52
A n m h der Physik. S.Folge, Band4. 1948
+
die Funktionen sowohl fiir x = -m wie fiir x = 00 verschwinden und aul3erdem
noch im Nullpunkt einschlierjlich ihrer ersten Ableitung stetig sind. Diese Stetigkeit ist aber mit der durch (1,32) gegebenen GroBe gnicht erfullbar. Forderte man
die Stetigkeit, so wiirden sich die beiden Funktionen, die der Entwicklung nach
geraden bzw. ungeraden Potenzen entsprechen, nur fiir x = 00 oder nur fur
x = -cm aufheben. Solche Losungen konnte man erhalten, indem man fur die
positive oder negative z-Seite zu (1,25) noch eine Losung entsprechend (1,23)
von der Form C' €7 mit C' = - 2 hinzufugt. Sie waren aber physikalisch nicht
brauchbar. Nur fur den Fall, daB eine der beiden Entwicklungen fur sich allein
im Unendlichen verschwindet, erhalt man physikalisch brauchbare Losungen. Fur
die Entwicklung nach ungeraden Potenzen ist das fur die Werte p gemaB (1,13)
der Fall. Fur die Entwicklung nach geraden Potenzen ist dies n u d a m der Fall,
wenn die Konstante Q = 0 wird. Diese verschwindet aber, wie ein Blick auf GI.
(1,25) zeigt, nur, wenn
+
6
-1
_4_ ganzzahlig 2 0
[l
(L35)
ist. Dann entspricht der G1. (1,25) eine Oberfunktion, die ,nur nach geraden Potenzen uon x entwickelbar ist und sowohl fur x = -00 wie fur x = 00 verschwindet. Die G1. (1,35) liefert die durch (1,13) nicht gegebenen g e r a d e n
Energie-Eigenwerte des Oszillatorproblems, fur welche die Losungen des Oberbereiches sowohl fur z =
00 als auch x = - 00 endlich bleiben. Fiir alle
ubrigen M
, liefert aber der im Nullpunkt nicht verschkindende Teil der Losung
(gerader Teil) im Unendlichen einen einseitig unendlichen Beitrag. Ausgenommeii
+
+
ist hiervon der Fall
'T3
2 0 und ganzzahlig. Fiir diese Werte gilt G1. (1,20)
nicht, fur sie liefert die Integration von (1,19) log-Anteile, die ein Unendlichwerden der Oberfunktion fur x =
00 und x = - 00 bedingen.
Der wesentliche Vorzug der eben verwendeten Methodc liegt insbesondere
darin, daB man ohne zusatzliche Rechnung das Verhalten der Losungen der Ausgangsdifferentialgleichung g l e i c h z e i t i g fur Eigen- und auch Nichteigenwerte ermittelii kann. Dabei zeigt es sich vor allem, daB auch fur Nichteigenwerte im Unendlichen verschwindende Losungen existieren.
+
11.
Wir wollen nun nach demselben Verfahren die Integration der Diracschen
Gleichungen, soweit sie sich auf den radialen Anteil beziehen, behandeln. Die
fraglichen Gleichungen lauten bekanntlich 3)
(dT+T)~
>-+,E=
, ) R ,G
= - - - R(
, + -- o .~
--! +
d
1
Eo- E
hC
V
R
he
r
*
(23
Uin diese Gleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation zu behandelii
und das Problem auf eine Differentialgleichung 1. Ordnung zurtrckzufiihren, setzen
s, 8. A. Sommerfeld, A t o m h u und Spektrallinien, 19, S. 276, GI. (33), F. Vieweg,
Braunachweig.
Kallmann u. P&aler:Behandlung dea OBziUatora u d &r Dimcaden Qlekhungen
53
wir, ahnlich wie in wseren ersten Arbeiten, fur die beiden unbekannten Funktionen :
R,= P F l
R,= ra.F2,
(293)
(294)
in denen (X eine noch verfiigbare Konstante ist, die spater zweckmiiBig bestimmt
wid. Mit den Abkiirzunaen
PO - E - E , > O
-t C
gehen die Ausgangsgleichungen dann uber in
P -dF,
dr
p drs
+ ((x+ 1 - k) P - l F l =
E1P F,--yP-'F,
(2,8)
+ (a+ 1 + k ) F - - ' F ,= E2raFl+ y V - l F l .
(299)
Im allgemeinen geht man so vor, daB man diese simultanen Gleichungen
1. Ordnung in eine Differentialgleichung 2. Ordnung fiir die Funktion Fl bzw. F ,
allein umformt. Urn aber fiir die Funktionen Fl und F, getrennte Gleichungen
1
1. Ordnung zu bekommen, miissen die Glieder in (2,l) (2,2), die - enthalten,
zum Fortfall gebracht werden. Dafiir reicht die Transformation (2,3) (2,4) aber
nicht aus, weshalb wir jetzt (2,9) mit einer auch noch unbestimmten, geeigneh zu
wahlenden Konstanten p multiplizieren und sie dann zu (2,8) addieren. Dies
fuhrt zu
-+ B
'dF,
dr
dF,
+ + 1 -I-k - p y ) 3+ [B ( a + 1 + k ) +r lFsr -- E l p a + E,BFl.,
(01
Wir legen nun 01 und B so fest, da13 in letzterer Gleichung die beiden
tenden Glieder einzeln verschwinden, d. h. also daB
1
(2,101
enthal-
a+ l-k-/?y=O
(2711)
up+/?+ k B + y = O
(2,121
gilt. Wir brauchten hier im Gegensatz zu den Ausfuhrungen in friiheren Arbeiten
1
zwei willkiirliche Konstanten, weil nun zwei Glieder mit -auftreten, in denen die
verschiedenen Funktionen Fl und F , enthalten sind. Aus den Bedingungsgleichungen (2,ll) und (2,12) findet man fur die Konstanten
py=-kf
a=-l&
vk2-Ya
(2913)
1/kZ-y3.
(2,14)
G1. (2,lO) vereinfacht sich wegen (2,ll) und (2,12) in
54
A n d der Phyi6k. S.F&e.
Band4. 1948
welche Beziehung wir nun der Laplace-Transformation unterwerfen, die zu
fiihrt, wobei als Anfangsbedingung
FI (0)= F , (0) = 0
sngesetzt wird. In (2,16) bedeuten
61 (PI= 2 {Fl(T)}
gr (24 = 2 {C (d}.
(2,16) stellt eine gewohnliche (algebraische) Gleichung dar, aus der eine Unterfunktion durch die andere ausgedriickt werden kann, etwa
Nun gehen wir auf (2,9) zuriick, die mit
dF,
+ (a:+ 1 + k f F2 = E2 r Pi +
Fi
(2,211
gleichwertig ist, und unterwerfen such diese Gleichung der L a p l a c e -Transformation
d
- - -dPPg a + ( a
dg1
S k + I)ga=-Exdp+ygi
(2,221
die eine Differentialbeziehung zwischen g1 und ga darstellt:
Nun setzen wir in letzterer fur g1 den oben bestimmten Wert (2,20) ein, was zu
fuhrt. Das ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung fur ga, die sich noch auf die
Form
bringen lafit. Diese Gleichung ist durch Trennung der Variablen sofort zu integrieren und auf die Form
&=(--A
82
P-Po
+
B
P-PP,
+
~.
"1
P+ P,
zu bringen, in der A, B und C nach dem ublichen Partialbruchverfahren zu'bestimmende GroBen sind, fur welehe man
A = l
-_
B = & 2ik2---y2-2-C
(2,28)
(2,291
K d m a m u. Pdieler: Beirandlecng ~
O
s
z undder
~ sLkmchenQkMunqen
erhalt und
Po = E2B
PI*¶= 5
VmG
bedeuten. Die Losung von (2,27) ist also
+ PdC.
(P+ P d C
9%= const @-Po) ( p - P d B (P
Entsprechend erhalt man nach (2,20) fur
mit 5=
(2,338)
g1= const 0--p,)c P - P J B
Das Verhalten der zu g, gehorigen Oberfunktion Fs konnen wir jetzt
p'.
nach dem frtiheren Yerfahren ermitteln. Wir beginnen mit der Betrachtung des
1
Verhaltens von F, im Nullpunkt, wozu gsnach Potenzen von - entwickelt werden
2,
mu13. was auf
I
9 s - ~ ( 1 - ~ ) ( 1 - y ( 1 + ~ ) c
fuhrt. Wir miissen nun wegen (2,17) fordern, da13 P, im Nullpunkt verschwindet,
wodurch such automatimh nach (2,20) Fl verschwindet. Damit P,(0) = 0 ist,
m d nach den Regeln der Asymptotik
gelten. Dsruas foI@ daD die Quadratwurzel immer rnit dem unteren, also dem
negativen Vorzeichen zu wahlen ist. Das ergibt aber wegen (2,13) und (2,14)
nunmehr fiir a und die Werte
rfl=-k-Vk2-ys
(2,361
iy = - 1 vk'--ya,
(2,371
die damit e i n d e u t i g festgelegt sind. Fur den radialen Anteil R der Wellenfunktion ergibt sich dann nach (2,3) und (2,4) in der Umgebung des Nullpunktes
Viz?
R ~ . ~ = P F ~ 1, I' N
T (23)
in obereinstimmung mit den bekannten Ergebnissen, wobei zu beriicksichtigen ist,
daI3 k alle negativen und positiven ganzzahiigep Werte aul3er 0 durchlaufen kann.
Wir untersuchen nun das Verhalten der Funktionen P,und F, im Unendlichen.
D a m miissen wir p,, p , und pnkennen. Nun ist nach (2,31) das Vorzeichen von po
durch E , und @ gegeben. E , is6 nach (2,6) sicherlich positiv, da E = Energie des
diskreten Zustandes sicher < E, ist. Das Vorzeichen von /I
ergibt sich aus GI.(2,36),
nach der y immer negativ ist. Nun ist aber y auf Grund von (2,7)durch das Vorzeichen von V,, bestimmt, dieses aber, wenn es sich, wie in diesern Falle, uni die
Wechselwirkung von Ladungen mit entgegengesetzten Vorzeichen handelt, negativ.
Also ist @ und damit auch p,, positiv. Diese, in der positiven Haibebene liegende
Stelle der Unterfunktion gn ruft wegen ihres ganzzahligen positiven Exponenten
(A = 1) nach den Regeln der Asymptotik bei der Oberfunktion F, kein Unendlich;
werden fiir r 3 00 hervor.
Die beiden anderen Singularitaten liegen synimetrisch zum Nullpunkt an den
Stellen f p,. Damit also die Oberfunktion im Unendlichen verschwindet, mu13
gn (p)an der Stellep = p1eine Nullstelle mit positiven ganzzahligen Exponenten
+
56
An&%
der Phy.&k. 6. Fobe. Band 4. 1948
haben. Das ist erfullt, wenn C gleich einer ganzen positiven Zahl m ist :
Aus dieser Gleichung folgen unmittelbar die Eigenwerte, denn die GroDe C ist
auf Grund von (23)) eine Funktion des Energie-Eigenwertes E , und man erhalt,
wenn man fiir die Wurzeln p , und p o ihre Werte (2,31) und (2,32) einsetzt und zur
Abkiirzung vorubergehend
W = V W
(2940)
einfuhrt :
welches mit de; Abkiirzung
in die bekannte Diracsche Energiegleichung
-(v-y)=
1 - ( m2+ l T W )
(2,451
Y
ubergeht. Dabei kann m wegen (2,39) alle positiven ganzzahligen Werte von 0 b i s m
durchlaufen. m = - 1 wurde in (2,33) zu einem Glied von der Form
1
(2,46)
P- Pl
fuhren, also fur sich allein zu einem Unendlichwerden der Oberfunktion [Pz
(r)Ir
Ada13 geben. Fur diesen Fall ist,aber zu beachten, daD gerade fur m = - 1, und
n u r fiir diesen Wert, nach (2,39) p, undpo identisch werden. Infolgedessen hebt
sich in g2 nach (2,33) das Glied p - p o im Zahler gegen [(p- pl)"Im = - fort.
Also liefert fur m = - 1 unser ga eine Oberfunktion, die irn Unedlichen wie e-*"
verschwindet. Es mu13 also auch der Wertm=- 1 noch zugelassenwerden. Erst der
Wert rn = - 2 ist ebenso wie alle nicht ganzzahligen verboten. Damit ist die vollstandige ubereinstimmung mit den bekannten Ergebnissen erzielt. Auch die Eigenfunktionen ergeben sich jetzt unmittelbar aus G1. (2,33), die sich in der Form
N--
+
{
F,( r ) = 2-1 (P- P o ) (P- PIP
= e-pir
P (r)
(P + P l P
I
D = const
(2347)
(2,48)
schreiben lassen, wobei P ( r )die Abkiirzung fur ein Polynom in r darstellt.
Analog lassen sich das Kontinuum und der Fall, da13 F (0) $; 0 wird, behandeln.
Ber I in -C harlo t t e n b u r g, Institut fur Theoretische Physik der Technischen
Universitat und B e r l i n - D a h l e m , Kaiser-Wilhelm-Institut fur phys. Chemie
und Elektrochemie und Gastabteilungen.
(Bei der Redaktion eingegangen am 7. Mai 1948.)
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