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Beitrag zur allgemeinen Theorie der Vierpole und Kettenleiter.

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182
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
Beitrag x u r alt?gemeinert Fheorie d e r Yderpole
zcnd EetteMe4ter
Yon K o n s t antirt D a hr
(Mit 11 Figured
1. Formale Umbildung der Vierpolgleichungen
Unter einem Vierpol versteht man in der Elektrotechnik
ein beliebiges Leitungssystem (oder ein noch allgemeineres
elektromagnetisches System), das durch zwei Paare von Kupplungsklemmen mit anderen Systemen zusammengeschaltet
werden kann. Das eine Paar von Polklemmen nennt man
die Primarseite, das andere die Sekundarseite.
Die im folgenden betrachteten Vierpole werden alle als
passiv (a. h. ohne innere Energiequellen) und mit von der
Strombelastung unabhangigen Eigenschaften vorausgesetzt. Der
Stromverlauf darf hinsichtlich der Zeit im
allgemeinen
willkurZ'
I" licher Art sein. I n den
Formeln vorkornmende
e,
Impedanzen unddergleiFig. 1
chen sind demnach als
Operatorenausdriicke zu
behandeln, die auf bekannte Weise durch Einfuhrung von p
anstatt dldt in die Grundgleichungen erhalten werden. Strome
und Spannungen werden auf die aus der Fig. 1 ersichtliche
Weise positiv gerechnet.
Die KurzschluB- und Isolationsimpedanzen von der Primarseite heraus gemessen, wollen wir mit K bzw. y bezeichnen,
und mit E" bzw. I" die entsprechenden von der Sekundiirseite
gemessenen GriiBen.
Der Zusammenhang zwischen sekundaren und primairen
Striimen und Spannungen kann durch folgende Gleichungen
ausgedruckt werden:
[ w, = C ' . ( V ,
K'.i,),
7
+
K , Dahr. Allgemeine Theorie der Vierpole und Kettenleiter
183
die, bezuglich v2 und i, aufgelost, das gleichwertige System:
vz = c" * (V1 - h' il)7
1
(1 b!
i, = c'. (il - 7
* nl)
{
geben.
Zwischen den hier vorkommenden Koeffizienten K , I und C
gelten die Beziehungen :
J e drei unter diesen sechs Konstanten bestimmen offenbar
vollstandig die Netzeigenschaften des Vierpols.
Wir nehmen an, das zur Primarseite eine Stromquelle mit
der elektromotorischen Kraft e' (t) und der inneren Impedanz 2'
und zur Sekundarseite eine Belastungsimpednnz 2"angeschlossen
sind. Das Gleichungssystem ( l a ) und ( l b ) zusammen mit:
(3)
gibt dann die Losung des Grundproblemes: die Strome i,
und i, und die Spannungen v1 und vz zu berechnan.
M;ir wollen jetzt diese Losung auf eine spezielle Weise
herleiten; sie wird dabei eine etwas besondere Form erhalten,
deren Bedeutung erst bei der Verwendung auf Kettenleiter
klar hervortreten kann.
Wir definieren zaei neue Impedanzoperatoren, 2, und Z , :
(4)
vU1=z1.i,;v z = z 2 . i 2 ;
im folgenden als die Primar- bzw. die Sekundarimpedanz bezeichnet. Diese sind gemaB (1a) oder (1b) durch die lineare
Transformation:
verbunden.
Eine solche Transformation kann imnier auf die sogenannte
kanonische Form :
(5C!
184
Annalen deer Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
gebracht werden. P und Q nennen wir die Fixpunktsimpedanzen, A das Transformationsverhaltnis. Die vorigen sind
die Wurzeln der Gleichung:
is a)
2 2
- (I'- y).z- I'h'"=
0.
Nach Berechnung von P und Q findet man I. aus der Gleichung:
Wir nennen P , Q und il die kanonischen Daten des Vierpols
und wollen nun eine Losung des Grundproblems darzustellen
suchen, die diese drei GroBen anstatt der Konstanten K , I
und C enth'alt. Nach (3) wird:
(7)
2, = 2".
Aus (5c) und (7) erhalt man:
2, =
Z " ( P - I&) - (1 - - I ) * P &
2" - Q - h (Z'- P)
Wird dieser Ausdruck in die erste G1. (7) eingesetzt,
nimmt der Primarstrom die folgende Form an:
SO
Dabei haben wir die Bezeichnungen benutzt :
Etwas umstandlicher wird die Ableitung der Relation
zmischen i, und i,. Nach (1a), (1b) und (4)findet man:
c".(1+
+)
(114
i1
(llb)
i,=C'. (1-$)*i1.
I
.i2,
Wir gehen z. B. yon der letzteren dieser Gleichungen
Aus
(6a) folgt:
(.la)
p + Q = y - r, p . Q = - T K " = - ~ ' ~
aus und fiihren dort P, Q und il anstatt C und I' ein.
und aus (2) und (6b):
I=- €'-IQ
1--I
' I"=--
Q--IP
1-I
'
K. Dahr. Allgemeine Theorie der Vierpole und Kettenleiter
185
Demgema6 wird:
Werden nun die durch (13) und (15) gegebenen Ausdriicke
fur J' bzw. C' und der A d r u c k fur 2 gemaB (8) in ( l l b )
eingefiihrt, ergibt sich nach einfachen kechnungen der gesuchte Zusammenhang in der Form:
Die Formeln (9), (10) und (16) stellen zusammen mit (3)
die vollstandige Losung des Grundproblems dar. Wir bemerken,
daB die Ausdriicke fiir i, und i, invariant bleiben, wenn man
P und Q durch einander und I durch l j a ersetzt. Das Zeichen
der Quadratwurzel ist unwesentlich, da eine jede Polklemme
der Sekundarseite zum Pluspol gewahlt werden kann.
Die Ausdriicke fur i, und i, haben jetzt dieselbe Form,
wie man sie far die Strome am Anfang und Ende einer
homogenen elektrischen Leitung durch Superposition yon
unendlich Tielen hin- und riicklaufenden Wellen bekommen
kann. Mit diesem Wellensystem (das in unserem Falle
offenbar kein physikalisches Gegenstiick hat) als Vorbild,
kann man iibrigens die oben gewonnenen Ausdriicke auch
herleiten, indem man eine unbegrenzte Folge von virtuellen
Zustanden, die durch iterative Anwendung des sogenannten
T h 6 v en i n schen Theorems erhalten sind, aufeinander iiberlagert I). Wegen der formalen Analogie zwischen der Vierpoltheorie und der Leitungstheorie ist es vorteilhaft, einige Begriffe aus der letzteren zu der ersteren zu iibertragen. Wir
nennen also die durch (6) definierten GroBen G' und G den
primaren bzw. sekundaren Reflexionskoeffizienten und die
GraBe :
(17)
r = f 1/7,
die Transmissions- oder Fortpflanzungskonstante (oder auch
den Transmissionsoperator).
Bei einfach harrnonischen Zustanden [diese werden nach
der sogenannten symbolischen Methode ( p = j m) behandelt],
ist il eine komplexe Zahl. Infolge des schon erwahnten Umstandes, daB P und Q ihre Rollen tauschen, wenn I durch 112
ersetzt wird, kann man es offenbar immer so einrichten, daB
1 h 1 1 ist. Bisweilen ist es vorteilhaft, bei solchen Zustanden:
(18)
T=e-d,
B=p+jcc
<.
1) Vgl. unten im Anhang.
186
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
zu setzen. Wir nennen dann: 6 den Transmissionsexponenten,
den Dampfungsexponenten und cc den Winkelexponenten.
Offenbar wird:
/3 =+og 1
[Al.
(154
p
Wir nennen die Sekundarseite iterativ angeschlossen, wenn
die Belastungsimpedanz 2 ' mit der Fixpunktsimpedanz P in
Formel (5c) ubereinstimmt. Die G1. (9) und (16) werden dann
erheblich vereinfacht :
Demnach gilt der folgende wichtige Satx:
Bei iterativem AnschluB der Sekundiirseite durch P w i d der
Primarstrom derselbe, als wenn die Stromquelle direkt durch P
geschlossen wird, und der Sekundarstrom gleich Primarstrom
ma1 Trnnsmissionskonstante.
Wir bezeichnen mit is* den Strom, der in der Impedanz 2"
entstehen wiirde, falls diese direkt zur Stromquelle geschaltet
wurde. Man verifiziert leicht, daB i," aus (9) und (16) mit
3, = 1 erhalten wird:
e'
i2*= &- 1 + G" . -__.
1-GG'
Z'+P
Also wird:
Bei einfach harmonischem Zustand ptiegt man das Verhhltnis I,: I,* ( I , und I,* sind komplexe Vektoren) den Einschaltungsverlust zu nennenl). Offenbar wird dieser gleich vT ,
wenn G' oder G" gleich Null, d. h. wenn eine der Seiten iterativ angeschlossen ist. (Iterativer AnschluS der Primarseite
bedeutet, da6 Z'= - Q ist. Bei sinusformigem Verlauf und
kleinen Verlusten lassen sich die iterativen Anschlusse einfach
realisieren, weil sowohl positive als negative Reaktanzen erhalten werden konnen ; bei willkurlichen Zustiinden werden sie
i n der Regel virtueller Natur.)
Bei der Untersuchung von speziellen Vierpolen muB man
die kanonischen Daten P, Q und il aus den gegebenen Kreiskonstanten, z. B. den KurzschluB- und Isolationsimpedanzen,
berechnen. Dies ist leicht getan rnit Hilfe von (6a) und (6b).
-
~
-
1) Vgl. H. P1 e i j e l , Telefonledningars elektriska egenskaper, Stockholm 1923, 8. 53.
K. Dahr. Allgemeine Theorie der Vierpole ulzd Kettenleitm 187
Von besonderem Interesse sind die symmetrischen Vierpole. Hier ist: K'= h'"= I<; I'= I"= I; und wir bekommen
die einfachen Ausdriicke:
P - I K I ; &=-Vh'f; a =
(2 1)
l-i?
l+i?
Ein Vierpol wird rational genannt, wenn das elektromagnetische System von einer endlichen Anzahl von Elementen (d. h. Induktanzen, Kapazititen und Ridersfanden)
aufgebaut ist; dann werden I?', K ' , I' und I" rationale Funktionen vom Operator p.
Eine sowohl theoretisch als praktisch wichtige Klasse
bilden die verlustfreien Vierpole. Diese haben die Eigenschaft,
daB fiir p = j o die GroBen K und I rein imaginar sind.
2. Anwendung der Vierpolgleichungen auf Kettenleiter
Unter einem Kettenleiter versteht man eine Folge von
endlich oder unendlich vielen hintereinander geschalteten Vierpolen. Wir nehmen an, daB die Fixpunktsimpedanzen P und
Q uberall dieselben sind, w&hrend das Traosformationsverhaltnis il von Glied zu Glied wechseln mag. Das allgemeine Kettenleiterproblem kann so formuliert werden:
Ein Kettenleiter (mit n Gliedern) sei mit der Impedanz 2"
am Ende belastet und am Anfang zu einer Stromquelle mit
der Impedanz 2' und der elektromotorischen Kraft e'(t) geschaltet. Man suche Strom und Spannung an einer beliebigen
Stelle des Leiters.
2
7
_Q_
4
22
Fig. 2
Auf das k t e Glied verwendet, lautet die Formel (5c)
(vgl. Fig. 2):
wobei 2, (k = 1, 2
. - n)
durch die Beziehung: uk = 2,. i ,
188
Annabn der Plzysik. 5. Folge. Band
21. 1934
definiert wird. Werden diese Gleichungen f u r k = 1, 2
miteinander multipliziert, so ergibt sich:
--- n
Man ersieht hieraus, daB der ganze Kettenleiter als ein
Vierpol mit den Fixpunktsimpedanzen P und Q und dem
Transformationsverhaltnis A, A, . I n behandelt werden kann.
Wir schreiben kurz:
jiw = A, . I,, ... 1,(24)
Wenn A, = A, = .-.= I,, wird also A(k) = ilk.
GemaB (9) und (16) erhalten wir f u r den Primarstrom
i' = i1 und den Sekundarstrom i" = in + die Ausdrucke:
-
-
Es ist nun einfach, den in das ( k + 1)te Glied eingehenden Strom zu berechnen. Betrachtet man die k; ersten
Glieder als einen neuen Vierpol, erhalt man aus der letzteren
der obigen Formeln:
Hier bezeichnet Gk+ den Reflexionskoeffizienten der zum
kten Gliede gelenkten Belastung, die aus den Qliedern
Nrs. (k + 11, (k + 2) n und der Impedanz 2" besteht.
Nach der Definitionsformel (10) ist:
...
K. Dahr. AZlgemeine Theorie der Vierpole und Kettenleiter
189
Nach (25a) konnen wir auch schreiben:
-
Um die Spannung u k + = z k + i k + zu finden, brauchen
wir nur Z x + l mit Hilfe von (28) zu berechnen; es ergibt sich:
und daraus:
P
2)k+1
131)
=f
f -* G'.
p.1 - p)..'@'
Q
e'
-.
Z'tP
Damit haben wir das vorgelegte Problem formal vollstandig gelost. Die Formeln vereinfachen sich erheblich, wenn
der Kettenleiter sekundar iterativ angeschlossen ist, d. h.
G"= 0 ; d a m bekommt man:
(32 a, b, c)
ik+ 1
uk+l
=
* ym.i',
= P'ik+l.
Da A als eine komplexe Zahl vom Betrag lill < 1 betrachtet werden kann, erhalt man die letzten Formeln aus
den entsprechenden vorhergehenden mit n = co, was dem Falle
unendlich vieler Glieder entspricht. Einen bei allen moglichen Frequenzen und beliebigen Stromzustanden iterativen
AnschluB kann man in der Regel nur theoretisch durch Einfiihrung eines unendlichen Leiters erzielen. Bei einfach harmonischem Zustand und einer bestimmten Frequenz, oder
wenigstens einern speziellen .Frequenzgebiete, kann jedoch ein
iterativer AnschluB eines endlichen Kettenleiters mit verhaltnismaBig einfachen Vorrichtungen erhalten werden. Wenn
jill eine kleine Zahl ist, kann man oft mit wenigen Gliedern
die unendlich lange Leitung hinreichend gut approximieren.
3. Die Siebeigenschaften der rationalen Kettenleiter
bei stationlir sinusformigen Zustiinden
Wir wollen die allgemeinen Transmissionseigenschaften
eines rationalen, homogenen (a. h. aus gleichartigen Gliedern
aufgebauten) Kettenleiters untersuchen ; diesen nehmen wir un-
190
Annulen. der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
endlich lang an, damit die
und Spannungsverlauf den
Transformationsverhaltnis A
druck fur il mit Hilfe der
danzen wird [vgl. (21)] :
Formeln (32) gelten. Der StromLeiter entlang wird dann vom
bestimmt. Der allgemeine AusKurzschluf3- und Isolationsimpe-
Urn die Diskussion der Funktion A(@) (w = die Winkelgeschwindigkeit) zu vereinfachen, machen wir die Voraussetzung, der Kettenleiter sei ohne Verluste; vom physikalischen
Standpunkt aus bedeutet dies, daB die Glieder aus reinen
Induktanzen und Kapazitaten zusammengesetzt sind. In der
Praxis strebt man in der Regel danach, die Verluste, soweit
es aus okonomischen Griinden moglich ist, herabzusetzen.
Teils deswegen, teils weil die charakteristischen Siebeigenschaften eines rationalen Kettenleiters am klarsten zum Ausdruck kommen, falls dieser verlustfrei ist, ist unsere Voraussetzung berechtigt.
Bei einem verlustfreien Vierpol sind I und K rein
imaginke rationale Funktionen von w ; deshalb wird der
Ausdruck unter dem Wurzelzeichen in ( 2 1 4 eine reelle
Funktion, und man kann offenbar A in der Form:
(33)
schreiben, wo U und W reelle Polynorne in m2 sind.
konnen iibrigens :
Wir
= W , - (c3. - W 12) ( W 2 - w22)* * * (w'- q)
(34)
setzen und die Konstante W , positiv annehmen, urn die Verhaltnisse fur die Diskussion zu prazisieren. Die nachfolgende
Fig. 3 veranschaulicht den prinzipiellen Verlauf der Funktion
W ( w ) , menn n gerade ist.
Man erhiilt wechselweise Intervalle, wo W ( o )> 0, und
solche, wo W(w) < 0 ist. Innerhalb eines Intervalles der
ersten Gattung ist f W (w) reel1 und I ilj f1; folglich ,6 f0
[vgl. (lsa)]. Innerhalb eines Intervalles der zweiten Gattung
ist il eine reelle Zahl, nach Ubereinkunft 4 1; also > 0 .
Wie sich (3 ubrigens verhalt, ist fur die qualitative Untersuchung belanglos; je langer die Kette ist, um so schneller
mu6 der resultierende Exponent /I beiderseits eines Intervalles erster Gattung anwachsen. Die Fig. 4 veranschaulicht
den Verlauf von @(o).
w
I<.Dnhr. Bllgemeine Theorie der Vierpole uiid Kettenleiter
191
Der verlustfreie , rationale Kettenleiter besitzt also die
Eigenschaft, ohne Dampfung Strijme und Spannungen gewisse.r
Frequenzen (namlich in der Figur:
0 < 4 wl; W, < w < m3; ... w, < CO)
durchzulassen, wahrend solche anderer Frequenzen ausgesiebt
werden, indem sie die Leitung entlang exponentiell abnehmen.
Fig. 3
Bei einem physischen Kettenleiter kommt offenbar auch
eine gewisse Verlnstdampfung vor. Wenn die Verluste klein
sind, muB die wahre Kurve fur /?(w),wie es in der Figur angedeutet ist, im allgemeinen nur wenig von der theoretischen
Kurve der reinen Frequenzdampfung abweichen.
4. Die Behandlung der Einschwingungsvorgange
von methodischem Ciesichtspunkte BUS
Das Grundproblem, den Stromverlauf bei Einschaltung
einer beliebigen elektromotorischen Kraft auf einen Kettenleiter zu ermitteln, ist durch das Vorhergehende nur ganz
formal gelijst worden. Um den expliziten Zeitausdruck des
Einschwingungsvorganges zii finden mu6 man dann nach gewissen
Regeln die gewonnenen Operatorenausdriicke deuten. Wir wollen
192
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
nun eine dabei anzuwendende allgemeine Methodik kurz besprechen und gehen darum von den G1. (32) eines unendlich
langen Kettenleiters aus. Der Einfachheit halber nehmen
wir an, daB der Leiter homogen und die Impedanz 2' der
Stromquelle gleich Null ist. Die in das ( k 1)te Glied eingehende Spannung w k + (t) und der entsprechende Strom ir + l(t)
werden durch die, Beziehungen:
+
vk+l(t) = [r(p)]k'e(t)7 ik+l(t) = A ( l ? ) * Z l k + l ( t )
__
bestimmt; hier bezeichnet T ( p ) = f Y A ( p ) den Transmissionsoperator, p das Symbol d / d t und A (p) = - den reziproken
(35)
'
p (Pf
Wert des einen Fixpunktoperators.
Die Berechnung von Z)k+
und i k + l ( t ) kann iibrigens
direkt auf die Sprungfunktion H (t) zuriickgefuhrt werden, wenn
man e (t) gemaB der Operatorengleichung
e (t) = E (p). H (t)
(361
definiert.
Die eine Seite des Problems besteht nun in der Bestimmung der sogenannten Primarfunktionen der Operatoren
T(p),A @ ) und E (p), d. h. derjenigen Zeitfunktionen y ( t ) , a($)
und e (t) bzw. die die genannten Ausdriicke als Basintegratoren
haben. Wenn eine Funktion f(t) durch Einwirkung des Operators F @) auf die Sprungfunktion H (t)hervorgeht, der Schreibweise
f(t)= P(P) H ( t )
(37)
gemaI3, bedeutet dies definitionsgemafi, daB f(t) durch das
komplexe Integral
a+im
(37 a)
f ( t ) 1
= ~ J w . epp - a P
a-ico
dargestellt wird. F ( p ) nennt man deshalb auch den zu f(t)
gehorenden Basintegrator. Der Integrationsweg in (37 a) soll
eine zur imaginaren Achse der komplexen p-Ebene parallele
Gerade sein; c ist eine reelle Zahl, die so groB sein soll, da8
alle Singularitaten des Integranden links vom Integrationswege
liegen.
Im vorliegenden Falle haben wir die drei Definitionsgleichungen :
(35a, b, c)
1
- H (t)
Y (t, = I'P)
a ($1= A (p)
e (t)= E (p)
7
H (t),
. H (t).
I?. Dahr. Allgemeine Theorie der I'ierpole
and Kettenleiter
193
Nachdeni die Funktionen links gemaB (37a) berechnet
worden sind, bildet man die entsprechenden Integraloyeratoren:
(39 a, b, c)
Nit Hilfe derselben kann man die expliziten Zeitausdriicke
fur Spannung und Strom so schreiben:
Die symbolische Potenzierung yon
Formeln :
r
wird nach den
k-1
I
bewerkstelligt.
In den G1. (40a, b) treten auch symbolische Produkte von
verschiedenen Integraloperatoren auf; solche werden auf folgende W eise ausgefiihrt.
Es seien:
zwei Integraloperatoren.
van ihnen
(424
Fl xF,=
I
Dann ist das symbolische Produkt
t
1
~~(Oi.f,(O)+Sh.,,(t--)d~
Annden der Phy8ik. 6. Folge. 21.
0
13
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
194
wobei
Die Formel (42a) gibt auch das Produkt mehrerer Integraloperatoren, denn das symbolische Produkt gehorcht den gewohnlichen Multiplikationsgesetzen, und die E’aktoren durfen
deshalb beliebig assoziiert und permutiert werden.
Damit haben wir dargetan, wie man nach Berechnung
der Primarfunktionen [e(t) ist in den meisten Fallen schon von
Anfang an bekannt] die expliziten Ausdriicke f u r g k +
und
ik + (t) gema6 (40a, b) bilden kann.
Die Funktionen y ( t ) und a(t) sind ubrigens von unmittelbar praktischer Bedeutung; die erstere gibt j a die
Spannungsvariation den unendlichen Kettenleiter entlang bei
plotzlicher Einschaltung einer konstanten elektromotorischen
Kraft; die letztere gibt den ausgehenden Strorn derselben
Leitung.
Die oben beschriebene Methode fiihrt nicht immer am
schnellsten zum erwiinschten Ziele. Manchmal ist es am
vorteilhaftesten, nach allgemeinen funktionentheoretischen
Methoden das komplexe Integral (37 a) direkt auszuwerten.
Dies ist besonders der Fall, wenn der Operatorenausdruck
solcher Gestalt ist, daB irgendeines der sogenannten Expansionstheoreme zur Verwendung kommen kann.
5. Einige Anwendungen der allgemeinen Theorie
bei einer spesiellen Klasse von Hettenleitern
Um die oben angegebenen Methoden etwas zu illustrieren,
wollen wir jetzt gewisse Untersuchungen in konkreten Fallen
durchfuhren. Wir wahlen zu diesem Zwecke eine Klasse von
Kettenleitern mit einer charakteristischen und verhaltnisma6ig
einfachen Form des Transmissionsoperators T ( p ) . Zu derselben
gehijren u. a. der sogenannte Dreikreisleiter und der Transformatorleiter, beide in der Technik sehr wichtige Leitungstypen. Wir beginnen damit, bei diesen Leitern die Ausdrucke
f u r r ( p ) herzuleiten.
I. D e r D r e i k r e i s l e i t e r l )
Bei der Berechnung von T (p) kijnnen wir uns das
Vierpolelement in sogenannter T-Schaltung angeordnet denken ;
1) Vgl. unten im Auhang.
Ti. Dahr. Allgemeine Theorie der Vierpole und Kettenleiter 195
auf eine solche laat sich auch jede sogenannte I7-Schaltung
leicht, zuriickfiihren. Den Vierpol setzen wir weiter als verlustfrei und unsymmetrisch
voraus.
I n der Formel (21a)
f u r T (p) kommen die
KurzschluB- und Isolationsimpedanzen vor;
fur diese findet man
leicht mit Hilfe des
Prinzipschemas der Fig. 5
die folgenden Ausdriicke :
I" = p (Et+ L)
(43)
.
1
K ' = p L ' + - - c'
K " = p L " + - + p- c-1"
*-+I*
fl
Fig. 5
+ -p1 (-c1" + -)c1
+
(P L"
f
+ p+)
(PL +
p (L"
+ L) +$(-&
'.P(
+
&)
(PL+
&)
+q'
&)
:- + - 'c)
p(L'+L)+-
(At
W ir fuhren nun die Bezeichnungen ein :
1
1
F+c,,
= L'+L"
I Clq
w'a =
(44)
i
c1 , + -c1+"- c2
L ' + L " + ~ L7
4
C1 , + - +1C"
a
was = L' + L" + 4 L
V(L' + L") (L'+ L" + 4 L)
L' + L" + 2 L
Mit Benutzuna von diesen kann man den Ausdrnck fur
196
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
Aus (44)ist zu ersehen, daB immer x < 1 , uud die Frequenz of nwischen w 1 und o2 gelegen ist. Wir bekommen:
1
1
Es entsteht ganz natiirlich die Frage, ob sich nicht der
Ausdruck (451, der durch direkte Einsetzungen in die Grundformel ( 2 l a ) erhalten murde, so umformen laBt, dal3 der
Operator 2- ( p ) selbst, nicht dessen Quadrate, herausf sllt.
I n der Tat wird durch die Formeln (44) eine Beziehung
zwischen r i 1 , w 2 und w' dargestellt, die die Fortschaffung von
w' aus F ( p ) ermoglicht. Durch eine Rechnung, deren allgemeine Qriinde wir in einem folgenden Abschnitt naher darlegen werden, kann man auch leicht einen Ausdruck der gewunschten Form herleiten, namlich:
(47)
=f
1
+q/--
-.
Hier haben w1 und w 2 dieselbe Bedeutung wie vorher;
weiter ist:
(48)
11. Der T r a n s f o r m a t o r l e i t e r
Das Vierpolelement wird als unsymmetrischer verlustfreier
Transformator mit Wicklungskapazitat angenommen.
I n diesem Falle erhalt man die ImDedanzen .Z und K
n k i t ganz so einfach
wie im vorhergehenEs ist hier
den.
y~ vorteilhafter, von den
urspriinglichen
Beziehungen zwischen
primaren und sekunFig. 6
daren Stromen und
Spannungen auszugehen. Mit den Bezeiclinungen der Fig. 6 lauten diese:
A-'/,
l T \
K. Dahr. Allgemeine Theorie der Vierpole und Kettenleiter
197
Werden i' und i" hieraus eliminiert, geht das gesuchte
Systern hervor :
{
(1
+ p 2 L ' C ' ) . ~-, p L - i , = p'. M C"*V, + p
- p M il = (1 + p 2 L ' C ) vZ+ p
*
@) p a -M C ' . v ,
*
*
*
*
-
M a,,
L-i,.
Nun dividieren wir diese Gleichungen und fiihren die
V
Impedanzen: 2, = 3 , und 2, = P ein. Dann wird:
4
22
Um endlich L ( p ) = [ r ( p ) l 2 zu bekommen, miissen wir
diese lineare Transformation auf die kanonische Form umschreiben. Dabei ergibt sich ein Ausdruck fur I von demselben Aussehen wie (45). Doch haben nun die Konstanten w
und x die folgende Bedeutung:
w12
=
L'+L"+2M
(EL'' - Me) (a' + c")'
=
L'+L"- 2 M
(EL"- M e )(C'
x = 1.
WZ2
+ C") '
Auch in diesem Falle liegt die Frequenz m' immer
zwischen 01, und ma; je nach dem Zeichen von M ist G+ > w,
oder umgekehrt. F u r T ( p )gilt offenbar auch der Ausdruck (47)
mit = 1.
Wir wollen zunachst einen Ausdruck fur die Primarfunktion 1 (t) solcher Kettenleiter herleiten, bei denen r (pj
die von (47) angegebene Form hat.
Der Definitionsformel (37a) gemal3 wird y (t) durch das
komplexe Integral:
+im
0
dP
(51)
(I
- ioo
bestimmt. Der lntegrationsweg L ist dabei urspriinglich eine
zur imaginaren Achse parallele Geracle.
Der Integrand ist eine mehrdeutige Funktion mit den
Verzweigungspunkten & io, und f am,. Wir benutzen im
folgenden einen (eindeutigen) Zweig der Funktion, der mit
199
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
Hilfe zweier Schnitte zwischen den PRaren von Verzweigungspunkten gemaB Fig. 7 definiert sei. (Um die Verhaltnisse
naher zu prazisieren, nehmen wir an, es sei w2 > w , ; wenn
fi = 1 , mussen wir den im
Unendlichen verschwindenden
Funktionszweig wahlen).
Der Integrand besitzt im
Ursprung einen einfachen Pol.
Nach einem Satze von
J o r d a n ergibt sich der Wert
Null bei Integration langs einem
rechts konvexen unendlichen
Halbkreise, falls t < 0 ist, oder
auch bei Integration einen
links konvexeu Halbkreis entlang, falls t > 0 ist. Da keine
Singulariyaten rechts von L
vorlrommen, kann man offenbar
bei negativen Werten von t
diesen Weg in einen rechts
konvexen Halbkreis deformieren,
und wir schlieBen daraus, daB
y (t)= 0 , wenn t < 0 ist.
I m Falle t 0 konnen wir den Weg L mit einem links
konvexen unendlichen Halbkreis erganzen, ohne den Wert
des Integrals dadurch zu verandern. Dabei entsteht eine
geschlossene Kurve, die nach dem Satze von C a u c h y durch
Schlingen um die Verzweigungsschnitte und den Pol ersetzt
werden kann (vgl. Fig. 7). Der Pol gibt den Beitrag:
2 'IIi . T(O),wobei:
>
Die Beitrage der Integrationsschlingen um die Schnitte
druckt man leicht durch reelle Integrale Bus, indern man
zuerst das Zeichen der Wurzel auf den verschiedenen Randern
feststellt. Wir setzen p = i w und benutzen die Bezeichnung:
K . Dahr. Allgemeiiie Theorie der Vierpole und Kettelzleiter
Man findet zunachst fiir t
199
> 0:
-
Wl
und nach einigen Umformungen:
I
(55)
Wt
y(t) = T ( O+
)
1
.Jsin[wt
- a ( o ) l .d w
W1
1
w,
- ~ - ~ s i n [ o t + c ( r o ) ] .do
w
n
01
oder auch:
Wa
y ( t ) = r ( ~ ) - - . .2s i n [ a ( w ) ~ . c o s o t . - - .
(56)
dw
W
0 1
Also haben wir fur y l ( t ) = y'(t) den Ausdruck:
0 1
Der zu r ( p ) gehorende Integraloperator T ist gemaB (39 a):
Nach (56) wird:
W8
(58)
y (0)= T ( O)
$J sin [a (o)] d w
.
w1
Diesen Wert auf y ( 0 ) erh&lt man einfacher, wenn man
nach den Regeln der Operatorenrechnung p = m in T ( p )
einfuhrt; so ergibt sich auch:
(58a)
y (0) verschwindet
= 1 ist.
1-6
y (0)= -__-.
1+5
also
bei
dem Transformatorleiter , wo
200
Artnalen der Physik. 5 . Folge. Band 21. 1934
Der Integraloperator T erhalt die recht komplizierte Form:
Die gewonnenen Ausdrucke fur y it) geben unmittelbar
die Losung der Operatorengleichung:
wk
+ 1 (t) = [r\P)Ik
*
(t)-
+
Hier mag w k f l ( t ) die in das (k 1 ) t e Glied eingehende
Spannung bedeuten, wenn die elektromotorische Kraft H (t) am
Anfang der Leitung eingeschaltet wird. Es ist unmittelbar aus
( t )bekommen,
den Herleitungen zu ersehen, daB wir, urn ~ , + ~ zu
nur r ( 0 ) durch [r(0)Ikund .(GI) durch k . U ( W ) zu ersetzen
brauchen. Somit erhalten wir aus (56):
Besonders bemerkenswert ist der der Formel (55) entsprechende Ausdruck fur w k + (t). Hier treten namlich unter
dem Integralzeichen Funktionen vom Typus:
,
sin[wt f ~ . u ( w ) ]
auf. Bei einer homogenen Leitung kommen shnliche Funktionen vor, aber ii ist dann dem kontinuierlichen Abstand x
vom Anfang proportional, und die fraglichen Funktionen bedeuten physikalisch ungedampfte, sinusf Urmige Wellen, die die
Leitung entlang in der einen oder der anderen Rjchtung hinlaufen. Die Integrale in wk + (t) clriicken eine Uberlagerung
unendlich vieler ,,Quasiwellen‘. aus. I n diesem Umstand seheri
wir noch ein Beispiel der formalen Analogie zwischen Schwingungsvorgangen auf Kettenleitern und Wellensystemen auf
homogenen Leitungen, die wir schon bei der Einfuhrung der
Reflexionskoeffizienten G‘ und G” bemerkt haben.
I n vielen praktischen Fallen braucht man den Verlauf nur
in der ersten Zeit nach dem Einschaltungsaugenblicke zu
kennen; dann eignet sich besonders eine Poterizreihenentwicklung fur ~ ( t ) .Man kann eine solche z. B. aus (56) erhalten,
indem man die Reihe fur cos o t einfuhrt und gliedweise Integration bewerkstelligt; dabei erhalt man die gesuchten Koeffizienten i n der Gestalt noch auszuwertender bestimmter Integrale. Man kommt aber meistens einfacher zum Ziel, wenn
K . Dahr. dllgemeine Theorie der Vierpole und Kettenleiter 201
man T ( p ) nach Potenzen von l / p entwickelt und dann die
bekann te Op eratorenregel :
-
1
t” * H (t)
H (t) = -
P”
I2
verwendet. Beschranken wir uns auf das Ausrechnen der
ersten Glieder, so wird:
1-5
5
1
1
(WZ2 - q2)
* P
0 (-F)
(61) UP)= I+F
P
+
und also fur t
+
-
> 0:
Als ein einfaches praktisches Beispiel rechnen wir einen
ersten Naherungswert von v k + 1 (t) bei einem Kettenleiter mit
6 = 1 aus. Hier wird:
r(P)
und folglich:
”
-
was- 0 , s
4
.-P12
(63)
Diese Spannungen nehmen also von Glied zu Glied in
demselben MaBe wie die Glieder der Cos-Reihe ab.
Um nun die Siebeigenschaften des betrachteten Kettenleiters etwas naher zu analysieren, wollen wir die Spannung
vk + (t) bei einer plotzlich eingeschalteten sinusformigen elektromotorischen Kraft berechnen. Die letztere konnen wir in
Operatorenform angeben:
Dann erhalten wir fur
t’k +
( t ) den Busdruck:
Wir benutzen diesmal Verzweigungsachnitte, die nach
Fig. 8 unter rechtem Winkel zur imaginaren Achse von den
202
AnnaZen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
*
Punkten
i w , und f iw, herausgehen und in der linken
Halbebene verlaufen.
Fur t < 0 ist v k + (t)5 0. Fur t > 0 erhalt man v k + l ( t )
wie oben durch Integration rings um die Schnitte und die
Pole & iw,. In der k'igur
sind die verschiedenen Falle,
die hinsichtlich der moglichen Lagen der Pole untersucht werden mussen, durch
die Ziffern (I),(2) und (3)
ausgezeichnet. Mittels Residuumrechnung erhalt man
die folgenden Ausdriicke:
Fall (1)und (3),
d. h. w,, < w1 bzw. wo > ru,
1
vk
(664
+ 1 (t)= u k + 1 It)
H ( t )+ e - k * B ( W e )
sin GI,, t H ( t ) .
.
-
Fall (x),
d. h. ru, < w < w,
vk
Fig. 8
und
1-
+ 1 (t)= Uk + 1 (t)
H (t)+ sin[w,, t
- k * ~1 (GI,,)]H (t).
.
- ol$
x ( w ) ist wie vorher durch (53) definiert.
Den von den Verzweigungsschnitten herriihrenden Bestandteil U k + (t) nennen wir das Ausgleichungsglied. Dieses mu6
rnit der Zeit verschwinden, denn offenbar wird bei gro6em
positivem t und auf dem ganzen Integrationswege, mit Ausnahme der den Verzweigungspunkten nachstliegenden Stucke
(wo der Integrand endlich bleibt) der Faktor e P t verschwindend klein.
I:. Dahr. Allgerneine Theorie der Vierpole und Ketfenleiter 90.3
Die iihrigbleibenden Glieder in (66a) und (66b) geben
deshalb die stationare Losung (dieselbe, die man mittels der
sogenannten symbolischen Methode in der W echselstromtechnik
erhalt). In den Fallen ( I ) und (3) bekommt man ein langs der
Leitung exponentiell abnehmendes Glied; im Falle (2) gibt es
keine Dampfung , dagegen eine Phasenverschiebung urn einen
konstanten Betrag a ( w O ) von Glied zu Glied. Wir konnen
folglich sagen, daB sich der fragliche Kettenleiter wie ein Sieb
verhalt, das hauptsachlich Strome und Spannungen des Frequenzintervalles w1< w o < 0%durchlafit.
Der Charakter des spateren Teiles des Ausgleichungsvorganges la& sich einfach qualitativ untersuchen. Zu diesem
Zwecke wollen wir jetzt einen asymptotischen Ausdruck fur
Uk+ (t) ableiten. Zunachst berechnen wir den vom Punkte i wl
herriihrenden Bestandteil. Da fur groBe Werte yon t nur die
diesem Punkte naheliegenden Teile des Integrationsweges
merkliche Beitrage geben, mussen wir offenbar in dem Integralausdruck:
vi
k
1 - +A.
2iw
(68) I [ i o J = e ; w 1 i . 2
ma2~~
w,2
~- _ _ _
eine asymptotische Darstellung jenes Bestandteiles bekommen.
Der Integrationsweg ist hier eine Schlinge, die in positivem
Sinne die negative reelle Achse und den Ursprung der x-Ebene
umkreist.
Urn I [ i w l ] fur groBes t auszuwerten benutzen wir die
erste Annaherung :
Das erste Glied dieses Ausdruckes gibt offenbar den
Beitrag Null, und wir bekommen:
Das hier anftretende Integral kann leicht auf das Fehlerintegral zuriickgefuhrt werden. Es ergibt sich:
204
A?anaEen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
Nun fiihren wir dieses Resultat in (70) ein und schreiben
1+i
dort - anstatt f;
dann erhalten wir:
l/T
Auf analoge Weise berecbnen wir den Beitrag des Ver1-i
zweigungspunktes - i cu,; in diesem ist 1/ - i - zu
~
I=
0-
setzen, und es wird:
(72b) I [-ifo1]
N
-
.(l
-
Also haben wir :
I[iw,]
+ I[-iw,]
-
-4.
,-i
-*
t
m, t
- l/-t
Die Beitrage der beiden anderen Verzweigungspunkte &- iw,
werten wir nach derselben Methode aus; doch benutzen wir
hier anstatt (69) den Naherungswert:
Endlich schlagen wir die Ausdriicke fur:
I [ i w l ] + I [ - io,] und I [ i o 2 ]+ I[- iw,]
zusammen und erhalten dabei die gesuchte asymptotische Form
des Ausgleichungsvorganges :
Dieser bekommt also mit der Zeit immer rnehr den
Charnkter einer Summe von abklingenden Sinusschwingungen
mit den Grenzfrequenzen w1 und w2. DaB U,,,(t) proportional mit Gliednummer k anwachst ist nicht merkwurdig,
wenn man bedenkt, daB der Ausdruck (74) nur in asymptotischem Sinne gultig ist, und daB offenbar der Vorgang den
Leiter ontlang eine Art VersptCtung erleiden muB.
I - .Dab. Allgemeine Theorie der Vierpole und Kettenleiter
205
6. Erweiterte Unterauohungenuber die allgemeinen Eigenschaften
des Transmissionsoperators T ( p )
Wir nehmen ein beliebiges, rationales Leitungssystem in
Betracht, und denken uns dasselbe in n Stromkreise zerlegt.
Zum v-ten Kreise gehoren der Strom i,, und die elektromotoNach dem Kirchhoffschen Gesetze haben
rische Kraft e.,
wir d a m fur die Strome das Gleichungssystem:
(7 5)
wobei:
(75 a)
Fig. 9
Um einen Vierpol zu bekommen denken wir uns die
Kreise 1 und 2 aufgeschnitten (vgl. Fig. 9). Weiter nehmen
wir an, es seien:
e3 = e4 = ... = en = Q
und setzen:
e = v '
ed=-v2,
Dann lautet das System (75):
,
z,,il + z,,- i, + + 21, in= v1 ;
z,,- il + z, .i, + + Zan in
= - v, ;
z,, . i, +z,, i, + .*.
0;
*
*
*
*. *
*
*
*
+Z3n'in=
. . . . . . . . . . . . . . .
Znl. i,
+znz. iz + *..+Z,,.in=
0.
- 21
21,
231
23,
23, * * .
2
9
8
1
Zn2
Zn3'
221
(77)
.* .
2
1
,
211
21n
z,, + z, z,,. . * Z z n
. . . . . . . . . . .
z,,
D
= D(p)=
=0.
znn
z,, - 217%
* *
z,, - z2n
. . . . . . .
z,l
zn1
* *
Zn2 * * *
Znn
D:; das algebraische Komplement zu
Aus (77) bekommt man nun leicht die lineare Transformation :
Hieraus berechnet sich das Transformationsverhaltnis il(p):
1-
(79)
= [W)I2
=
1+
1/(DI1 Dll
+ 4 D - Di:
f D22
~ ( D l l -D22)2+ 4 -D
Dll
-.
-
__
-I- 0 2 2
Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen kann etwas umgeformt werden. Zunachst erhalten wir:
(Dll - D2*y + 4.0.0;; = (n,,+0,)2-4(0,1.D2P-D.D:~).
K. Dahr. Allgemeine Theorie der Vierpole und Kettenleiter 207
Nach einem bekannten Determinantensatze
D,, D, - D,,- D,
(80)
Also wird:
=D
ist aber :
l)
0:;.
+
(81) (D,,-DD,2)z 4 - 0 4 : = (D,1+D,2)z
Nit Benutzung der Abkiirzungen:
A = DI1 D,,- 2 . D,,
(82)
- q,.
+
konnen wir demnach (79) schreiben :
1-
A(p) = [ r ( p ) ] %=
(83)
VAB
1
- ( A c B)
2
l/=
-
1
3 ( A + B)
oder endlich :
Hier ist offenbar A / B immer der Quotient zweier Polynome
im Operator p.
Damit haben wir eine fiir rationale Vierpole allgemeingultige analytische Form des Transmissionsoperators T ( p ) hergeleitet.
Urn den Ausdruck (45) fiir r ( p ) auf diese kanonische
Form (84)zu bringen b r a u b e n wir Gur:
B = (L’+ L” + 4L). (pa + CQ)
zu setzen; dann bekommen wir die Formel (47)wieder. Bei
der Transformatorleiter wird noch einfacher :
B = p 2 + wa2.
A = pa + w I 2 ;
Bei verlustfreien Kettenleitern sind die Nullstellen der
Funktionen A @ ) und B ( p ) rein imaginar. Aus der Form
fur T ( p ) erkennt man, da6 die mathematische Behandlung der
Einschwingungsvorgange auf rationalen Kettenleitern charakteristischer Natur ist: durch die oben dargelegten einfachen
Rechnungen haben wir dieselbe etwas naher erlautern wollen.
A
= (E
+ V ) . ( p Z + cop);
1) Vgl. z. B. Determinantentheorie von G. K o w a l e w s k i , Leipzig
1909,
S. 80.
208
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
Anhang
I. A b l e i t u n g der A u s d r u c k e fur P r i m i i r - und Sekundiirstrom
d u rc h s u k z e s s i v e A n n iih er ung
Bei der Behandlung der Vierpolgleichungen im ersten
Abschnitt wurde erwahn t, daB die gewonnenen Ausdriicke sich
auch durch wiederholte Anwendung des sog. ThBveninschen
Theorems ermitteln lassen. Da dieses Vorgehen von gewissem
prinzipiellem Interesse ist und dazu einen klareren Einblick
in die physikalische Natur der Ausdriicke erlaubt? wollen wir
dasselbe etwas naher besprechen.
Unser Ausgangspunkt sind die Formeln (7), ( l l a , b) und
(5c) des ersten Abschnitts:
Die zweite GI. (7) haben wir dann unter Annahme einer
sekundaren elektromotorischen Kraft verallgemeinert.
Durch die nachstehende Fig. 10, die einen Vierpol und
dessen verschiedene Anschliisse schematisch darstellt , wird
illustriert , wie man die ersten vier Annaherungsschritte
nusf uhrt.
Wir denken uns zunachst, daB sekundar eine Hilfsimpedanz vom Wert - ( 2 - P) mit der gegebenen Belastungsimpedanz 2” in Reihe geschaltet ist. Die resultierende AnschluBimpedanz ist dann P, d. h. die Sekundarseite ist iterativ angeschlossen. Aus (7a) folgt fur e”= 0, daB Z,= (Z”)@)
= P.
Also wird nach (5c) auch 2, = P und gemaB (?a) erhalten wir
als ersten Naherungswert des Primarstromes :
e‘
q l ) = __.
Z‘+ P
Nach (11b) wird der entsprechende Sekundarstrom:
ip = 7’. i*y
wenn wir die Bezeichnung:
P
(8 5)
benutzen.
K. Dahr. AUgemeine Theorie der Vierpole und Keltenleiter 209
Um nun zum wirklichen Falle zu gelangen, mussen wir
die Hilfsimpedanz - ( 2 - P ) kurz schlieBen. Zu il(u und i2")
mussen wir, um die wahren Strome i, und is zu bekommen,
Fig. 10
die dabei eintretenden h d e r u n g e n in diesen Stromen hinzufiigen. Nach dern Theveninschen Theorem sind diese gleich
den Stromen i,* bzw. i2*, die entstehen wiirden, falls eine
elektromotorische &aft vom Wert -- (2"- P ) i,[" in den
kurzschlieBenden Zweig der Sekundarseite gelegt wurde, und
dabei keine primare elektromotorische Kraft vorhanden ware.
(2"- P) keinen
Auf diese Strome hat offenbar die Impedanz
EinfluB. Die Berechnung von i,* und i," ist natiirlich mit
denselben Schwierigkeiten wie eine direkte Berechnung von i,
und i, behaftet. Wir berechnen aber anstatt dessen die Stromanderungen i1(,)und i2(*),die, bei iterativem AnschluB der
Primarseite mit der Impedanz - Q, durch eine sekundare
elektromotorische Kraft gleich - (2"- P ) * i 2 ( l )entstehen wiirden.
Zu diesem Zweck denken wir uns nun eine neue Hilfsimpedanz
- (Z'+&) in Reihe mit 2' geschaltet. Dann wird 2, = Q, also
auch 2, = Q und wir erhalten nach (7 a):
-
;,m = G"
Annalen der Physik. 6. Folge. 21.
.i2"'
14
910
Annalen der Physik. 5. Folge. Band
mit der Bezeichnung:
G"= -
2"Z"-
~
21. 1934
P
(J
Die entsprechende Xnderung des Primarstromes, nach
(11a) berechnet, schreiben wir:
p,
,y=
wobei also:
f)
y" = C". ( 1 +
.
(854
Man sieht nun unmittelbar ein, wie sich der ProzeB
wiederholen (iterieren) 1aBt. I m nachsten Schritt schlieBen wir
durch einen Zweig mit der elektromotorischen &aft
( 2+ &) i1(Z)
unter gleichzeitigem iterativem AnschluB P der Sekundkseite,
die Impedanz - ( Z + &) kurz. Dabei ergibt sich die Primiirstromanderung :
i,'3'=
G'. i1 (2)7
falls wir
G'= - Z ' + q
Z'+ P
setzen, und die Sekundiirstromanderung:
-
-
~
q 3 )
= 7'.
i1(3).
Die sukzessiven Stromanderungen werden folglich durch
die Rekursionsformeln dargestellt:
G' ; ( 2 4
/ i f n + *-) - - 1 '
.
i(Zn)
-
I,
.(an)
- 7 '$2 '
Indem man immer mehr solche Stromanderungen superponiert, bekommt man immer bessere Annaherungen, und
wenn der ProzeB ad infinitum fortgesetzt mird, mussen als
Resultat die gesuchten wahren Strome i, und iz hervorgehen.
Somit findet man:
i = i (1) + ip)+ i (3) + . ,
L
1
1
1
.
.2 @'. y". G'.
+ ...
00
= (1
+ y'
y". G')
k=U
i2= i2 (1) + ip)+ q 3 )
G")k. $11,
K. Dahr. Allgemeine Theorie der Vierpole und Keltenleiter
211
Hieraus ergibt sich durch forinale Summierung der geometrischen Reihen folgende geschlossenen Ausdriicke fur Primar- und Sekundarstrom:
Mit Hilfe der Definitionsformeln fur y' und 7'' samt im
ersten Abschnitt gegebenen Beziehungen zwischen den urspriinglichen und den kanonischen Daten des Vierpols, verifiziert man einfach, da6:
Folglich sind die abgeleiteten Ausdriicke fur i, und i,
mit den im ersten Abschnitt gegebenen (9) und (16) ganz
gleichwertig.
11. D e f i n i t i o n u n d E i g e n s c h a f t e n d e s D r e i k r e i s l e i t e r s
Jedes elektrische Leitungssystem ist von den Grundelementen: Induktanz, Kapazitat und Widerstand (Ableitung)
aufgebaut. Vom Gesichtspunkt der Operatorenrechnung aus
ist es zweckmaflig, die folgenden Bezeichnungen einzufiihren:
Unter einem allgemeinen Impedanzkreiselement verstehen
wir eine Induktanz, eine Kapazitat und einen Widerstand in
Reihe geschaltet.
Unter einem allgemeinen Admittanzkreiselement verstehen
wir eine Induktanz, eine Kapazitat und eine Ableitung parallel
geschaltet.
Die Operatorenausdriicke 2 ( p ) bzw. Y ( p ) zweier solcher
Elemente sind offenbar analytisch gleichwertig, indem
Definition. Unter einem Dreikreisleiter verstehen wir
einen Kettenleiter, dessen Glieder entweder von drei Impedanzkreiselementen in Sternschaltung oder auch von drei
Admittanzkreiselementen in Dreieckschaltung aufgebaut sind.
Bemerkung. Vierpole der angegebenen Art, bei denen
die eine Kupplungsklemme prinzipiell uberfliissig ist , werden
auch Dreipole genannt.
14*
212
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934
Mit der allgemeinen Formel (21a) f u r [T(p)I2 als Ausgangspunkt beweist man einfach folgenden fur Dreikreisleiter
allgemein gultigen Ausdruck des Transmissionsoperators:
1
(88)
r ( p )=
1
1/-- u'+-.__.u
+ 1/ u,:';,+"t; u
-
U"
u' 4- U"+ 4
Hier bezeichnen U , U', U" die drei Impednnzkreiselemente 2,
Z', 2" oder die drei A4dmittanzkreiselemente Y , Y', Y", wie
es die nachstehenden Dingramme niiher erleuchten.
Fig. 11
Aus (88) ist zu ersehen, daB bei allen Dreikreisleitern
analytisch gleichwertige Ausdriicke fur den Transmissionsoperator erhalten werden.
Wir bemerken noch, daB eine Dreieckschaltung yon Impedanzkreiselementen oder eine Sternschnltung von Admittanzkreiselementen keinen Dreikreisleiter darstellt ; in der Tat
erhalt man in diesen Fallen einen komplizierteren Operator T@)
mit in der Regel vier Paaren von Verzweigungspunkten.
S t o c k h o l m , Stockholms Hogskola, lnstit. f. Mekanik och
Matematisk Fysik.
(Eingegangen 27. August 1934)
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