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Beitrag zur Conchyliometrie.

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111. Beitrng zur Conchyliomelrie;
con C a r l Friedrich N a u m u n n in Frriherg.
5.
1.
Gesetz der Winclungsabrtindc.
Die g r o k e , j a , die wahrhaft crstauncnswerthc RcgcIinzfsigkeit, welche viele Conchylien, zulnal die Sclialen
dcr Crplialopoden und Trachelipodcll besitzcn, veranlafste micb dariiber nachzudcnkcn, ob und ulic sich wohl
diese Regclmafsiigkcit auf matbeiuatische Geselzc zuriickfiibren lassen wcrde.
Ich glaubte deshalb zuv6rderst untersuchcn zu mussen, o b sich in den succcssivco Abstsnden dcr W i n duiigsnaht eiu bestimintes Gesetz erkeoncn lasse. Zu
dcin Eude nahm ich eiii Exeinplar vom Ili*oc/lus Conulus, ioaal's dicse Absr9ndc in eincr und dcrselbcn FallLinic der Kegclllticlic, und versuchte, wie sicli wohl j e
zrvei, unrnillclbnr auf eiriander folgende Abstsiide zii einander vcrhnltcn I). Da falid icli denn, dnfs dicsc W i n duiii;SabsIYiidc cine geometrischc Progres5;on biltleo, uad
zwar ttiiie sclir cinfaclic Pragrcssion, dcrcn Quotient 4
ist; ich crhiclt z. B. liir vier windungsabsl%udr.;
Gernweo.
2H,5
213
16.5
12,9
I ) Be;
Bereclmet.
2Y,.50
2 137
16,03
12,02.
dieseo uncl d e n folgcndcn Messungen sind irnmer die rcgclm&igsieo von den mir zu Geboie stcliendm Exernplare benutrt
worclcn , was wohl immer bci dcrariigcn Uotersuchuogen im Gcbicic
dcr orgmisclien Watur zu berGcksichtigen r e p diirfw. Dalj Gbrigcns
die Messungen nur in einer und derselben Fal1-I.inie (in einer uocl
dersclben Lage der Gcneratrix) der Kegclfliclic VorZuDetrmeo sind,
vexstpht rich von sclbst.
224
Ein Exemplar von Trochm modhpr vou Castel
Arquato gab mir gleichfalls eine geometrische Reibe, jedoch vom Quotienten $; ich fand namlich das Vcrbaltnifs von vier Windungsabstsnden :
Gemwaen.
BerecLnet.
35
35,O
25,O
17,9
123.
26
18
13
Dagegen gab Turn’lella rnuhisulcah von Grigaon abermals den Quotienten 2; denn es ergaben sich fiinf Winduugsabstznde :
Gcrnessen.
Berechoet.
33
33,Q
24
18
13,5
10,5
24,7
18,5
13,s
10,J.
Twrifelfa lerebra aus d e n Adriatischen Meerc lick in
finf Windungsabstanden eioe geometrische Reihc vom
Quotienten 9=4 erkennen; denn ich fand:
Gemesseo.
36
31
27
23
19
BerecLnet.
36,O
30,s
26,4
22,6
19,J.
Eben so gab auch Twritella terebellato den Quotienten q = f ; denn es bestimmten sich sechs Windungsabstiinde :
Gemuren.
Berechnet.
93
93,O
80
79,7
69
2k-P
Grrnc3srii.
Brrcchnct.
69
68,3
60
5s,5
50,1
42,9.
51
12
Niso ferrebellnfa gab 9 = ! ; denn icli fand fuof Wincluiigsabsthdc :
Gcmesrcii.
23
lY3
16
13
I1
Bwcchncl.
23,OO
19,16
15,96
13,W
11,lO.
Cerifiriuni mudurn V O I I Giigooa bat dcn Quoticuten
wic folgendc vier M'indungsabstSndc zcigeu :
Ccrnesscri.
43
35
2s
22
q= i,
Rrrcthnct.
13,O
34,t
27,5
22,o.
Eben so fand ich fur Terebra fuscnla deu Quotientell
9 =t , fiir Buccinurn confrariurn q= :, fur Miira fusiforrnis und Plewofornaj l o s a 9 =3 , fiir Mitm scrobiculata 4 = +' , fiir Turriiella oermicularis und Terebrn
duplicafa q = 4 , f i r Ampullaria palula 9 = : , f i r Pleuroforna c a i a p k a c h Fusus p lebejus und Fustrs bulbiJortnis c/=
u. s. w.
Diese Beobachtungeu durfteii hinreichen, urn zu beweisen, dafs sehr vieIe Trachelipoden -Schalen in deli
successiven Abstlnden ibrer Winduogsnaht das Gesefz
einer geomefrischen Progression bervortreten lassen. Dafs
iibrigens dicses Gesetz nicht nur die &&ere Schale, sonclcrn auch den ioneren Raum oder den forii/lon des ThiePoggcndorff'r Annd. Bd. L.
15
226
res selbst beherrsche, folgt daraus, wcil sicli aucli
a11
den schraubenfiirmigcn Steinkernen dicsclbcu Progrcssionen erkenncn lassen; was gewifs fur dic Bcbtiininung tlcr
Species inancher Stcinkernc zii beiiiitzen seyn durfle.
h b e r auch in viclen C:cphalopoden -SclinIci~, iind
namentlich in den Ammouifen und in dcnen, init ihncii
verwaoclten Formen scheint dusselbe Gesclz crfullt zu
scyn. Einige, welche ich bis jelzt auf inchr als zwci
Abstiindc dcr Wiiidungsnalit prufcii konnlc, gabcn gcmiiholich gleiche Quotientcn j e ztrcicr nrif cinniidcr folgender Abstkinde, und nntferc, w o ich niw zwci solcbc
AbstSndc vergleicbcn koniire, gnbcn docli eiii so eiiifachcs Znhlenvcrhiiltnib dcisclbctii, dnfs mail nticli fur sic
die Gultigkeit des Gesctzcs voraiissctzcii iniichfe. Es
sind jcdoch bei den Ainirioiiilcn inclirc Umstiindc vorhandcn , welchc eiue genaiic Bcsliinniiing dcs Windungsqiiotieutcn aus deli Abstiindcn dcr Wiiidringsiiaht crschwcren und oft ganz rininiiglicli innchcn; daliin gcliib
reii bcsonders die A u s f u h t g tlcr KncliIfiirclie init Gesfeinsmasse, und, bei vielen Specics, dic I(leinheit der
inneren Spirale. Man inufs tlnhcr in solchcn Fiillcn auf
andere Mittel zur Auffindung dcs W'induugsquoiien~cii bcdacht seyn.
D a die Ammoniten in einer Ebcne gcwrunden sind,
so wird sich die mathcmatische Theorie ihrcr Coulignration, sofern dabei uiir a d das Gesctz der Windung rcflectirt wird, etwas leichler bearbeiten lassen, als fiir dic
Trachelipoden und iiberhaupt fur alle schraiibenfijrinig
gewundene Conchylicn, bci dcnen nian cs imincr mit
Curven von doppcltcr Kruininung zu thun hat. Die meisten Trachelipoden - Gewindc haben jedoch einen constunten Descensionswinkel der Windungsnaht , was die
Theorie erleicbtert, daber ich aiicb an gegenwarligcm O r t e
n u r auf solche Gewiode Riicksicbt nehmeu will.
227
5. 2.
Kot1iweiicl;gkcit d c s G c s c t t e s d c r W i n d u n g r a b r i j r i d e
fii P gc \Y i s s c C o n cli y I i en.
Fur gewisse Concliylicn I d 3 sich ouf ciiic, von jedcr Messung iioabhittgige uiid dalier auch Sar keincr
Controversc untcrworfcuc W c i s e darthuu, daCs ilinen
das, im vorigen $. erliiutcrtr , Gesetz der Windungsabstaode n o t h e n d k zulioiniiieii m ufs. Es siod diefs allc
cliejenigcn Coiichglicn, welclre, %vie 2. B. Trochus 6'0nulus i i i ihreiit ( h w i n t l c cincn geradfhken Kegel uiid
cinen constanten L)cscensions&rikeI bcsitzcn ' ).
Es sey dic Axc dcs Kcgcls vertical rind [? dcr Aufslcigungswinkel der Kirgdscite ( odcr der Bcigringsrvink c l scincr Gciicratris g g c i i dic Horizontnlcb&c). Mnii
denke sich irgciidwo iii dcr Eutfernuog b von dcr Spitzc
dcs Kcgels diirch sciiic AIL. eine Horizontnlebenc, niif
\vclche die polareii Coordinntcn r und Y bezogcii wcrden sollen, rind inache die Kcgelaxe sclbst ziir Aac der
t. Unter dieseii Vorniissclzungcn wird in jcdcr bclicbigeii Lase tlic Glcichuuq d e r Generatrix dcs Kcgcls
+
z b = r fang p.
l)a dicsc Glcicliong in jeder beliebken Lage (in
je.
dern Hntiptscltuitle des Kcgels gilt) so erkilt sic durcli
die Einfiiliruug der polaren. Wiukelcoordinate v sofort
I ) Sotltcn rnanclic Coocliyliologen mit Hrn. B o u b6c clie folgendcn
Iictraclitungcn als cin ichu/rruciugc ulg;lrit,ue pcrliurrerireo, so
erliube icli mir, ilinen ~nzulibren,w a s B o u b c ' e setbst sagt: s i I'on
doil d i 2 r i r e d c s fo r m e s, e'rst r f In glometric, ~ u ' i l / n u t cmprunf r r scs moyrns; dr t o u t e uutre moniPrr on nc sauroif obtcnir
In p r k c i s i o n n c c e s s a i r r
Y o f . I p.
232).
( B u l l e t i n de Iu soe. geoIogi9uc
Ohnc irhrigenr
J U S der Concliyliologie u n corofrnuthcmatigi~cs machcn zu wollen, glaube icli doch, dafs
dic Erkenninit der wahren GesetzmSfsigkeit Jcr Formcn in der W e l t
der Coochylicn. cben so wie in der Krystallwelt, nur mittelst der
Mithematik gewoaaen werdcn kann. Auch rind ia schon durch
L e o p o l d v. B u c h uad durch B r o o n Messungcn in clu Conchyliologie eingeGhrt worden.
h i r e dcs
15 *
228
ciuc stereornefrische Bcdeutung, und rrpriiscntirt dann
a n und fur sich, die gonzc Ke;e@ache.
Man denke sich nun irgeud eirieii Punkt P dicscr
Kegelfliiche, VOII welchein aus eine krumme Liiiic in dcr
Kegclflicbe wie cine Scllraubenlinie oath dersefben RichLung uuter dein consfanfen Descensioiiswinkel 3 Iierablaufen sol1 (welcher WiuLel gleichhlls ilr dcr Kegclfl2che gegeben ist).
Der Yirokt P liabe die Coordiontcn
v , r uiid z ; daun zeigt eine eiiifachc geomctrisclre Betrachtung, d a b
l
h niin aber, vcrmiigc dcr
(;lcicliiiiig dcr I<c.gcltliiclrc,
dt=fan,o p die,
so wirtl, nach S u b s ~ i t u ~ i o dieses
ii
IVcrtlws :
dr
fang S d u = - v
l+fmg2,9
r
und, nach d e r Intcgrstiou, wciiu u i r i i i i t log, die tiu/iii-lichen Logaritbmcii bezeicliucu,
v fang S=fog r V I +farig2 $+cons/,
odcr auch:
fog r= u farig 5 cos @+ const.
Bezeichnen wir deiijeiiigcii Wertli VOII I', wclcber
dem Bogeu v=O entspricht, init o, so bestiluiiit sich die
Constante dieses Integrals zii fog u. Wir erhaltcu also:
log r=v iang 9 cos @+log a
als die Gleicliung der Hoiizoutalprojecrion der gesuchteo
?gel -Schraubenlinie.
Diese Horizontalprojectioii ist nun aber offeubar eine
Spirale, und zwar gehirrt sie in dic Ordouog dcr fogarithmischen Spirale, dieser Spira mirabilis, \vie sic J ac o b B e r n o u i I I i, ihrer vielen merkwiirdigcn Eigenschaften wegen, nannte, ohne wohl zu ahnen, d d s viclleicht eine gaiizc Thierklasse iliren Gesetzen unterworworfcn s e y Ich will sie, wegen dieser ihrer Beziehun-
229
gcn zu den Concliylieir , iin Folgeiiden die Conchospirule ncniien, und glcich jetzt eiuige Ausdriicke eiiifiiliren, die uus weitcrhin viele Bequeinlichkeit gewabrcn
werden. Es inag aiiiiilicli uiiter dern Namen Radius
Yecfor iminer iiuq dic indejnife Link vcrstaoden vverdcu, deren UrngYiige dic Cogcu otler Winkcl u bescbreiben; dagegen mag irgcnd eiiie bcstiininte, dcia Bogen v
entsprechentle Liingc dcrselbeii init dcin Wortc Radius
bezeiclinet wcrdcii. lhtlicn, dic 11111 gleiche Winkcl oder
B o p n voii einaiidcr nbstcliei), will icli aepidisfanfe Radien, und solchc l\atlieri, wclclie uiti den Uogcn +n, oder
z odcr 2 z ( u i n dic vicrtcl, odcr hnlbc oder gatizc I'cri phcri c ) abstclieii , qundrmlodisinnfe, .Ternissodislade
und singulodslanle uciincii.
In dcr vorhiii gcl'undeiien Concliospirale bilden nun
alle aepidistaiitcn, uad folglich aiich allc singulodistanLen Radicn ciiie geometrisclie Progression, was sicli tinmittclbar aus der Gleiclwng:
log r= v fang S cos ,$,+lo$ a
oder :
log
ar =v lung S cos p
crgiebt, s e m i innn in dersclben fiir 0 successiv V+.T
04-3z etc. schreibt, und dann x = 2 n setzt.
Ileun, wcil die so erlialtcneii Logarillrrnen der succesv+2z,
r
siven Wcrtbc voii .- eiiic arifllnielische Progression bila
den, so miissen offenbar die strcccssivcn Rudien selbst
eine geomelrirche Progression bildcn. Es ist dieis iibrigeiis bekaiiutlich die Gruudcigenscbaft aller logarithmiscben Spiralco.
Ua nun die DgJerenrerr der Glieder eioer geome
trischen Progression ebeufalls eine Jergleichen Progres
sion von demselben Quotienten bilden, so werden auck
iiolhweudig die succcssiven IXFFerenzen je zweier , untiiittclbar auf einander folgender singulodistanter Radien,
230
d. 11. d i e successiuen Windungsabstande der ConchospiWeiI
endlich dcr vorausgesctzte Kegel cia geradliniger ist, und
scine Axe durch den Mtlelpunkt dcr Spiralc gcht, auf
dcren E b e n e sie senkrecht ist, so wcrdcn offcnbar die
Windungsabstiinde d e r , auf seiner Oberlliiche berablaufenden Schraubenlinie ebenfalLs eiue geornefrische Progression bildcn niusseu; dcnn diese Schraiibcnlinie ist
ja nichts andcrcs als die Projection der Coucliospirale
in der Flzche dcs Kcgcls.
Fur uollkornrnen kegel/iimige Conchyliengewiiide init
conslantern Descensionswinkel clcr Scli mu beiiliri ie ist also
dic Horizontalprojcctiori dicscr letztcren cine Conchospiralc, und es miisserr dalicr auch die, auf dcr Kegelobcrflzclie liegendcn Windur~gsabsliinden o l h w e n d i g cine
geoinetrischc Progression bildcn. In allcn solclien Fdlen crschcint dieses Verlililtnifs als eiu geomefrisch nothrvendiges, und iiiir iii sofcrii durch dcii Orgnnisnws dcs
Thieres bediugtes Vcrhaltnifs, wicfcrn es in dem Wcsen
dicses Organisinus liegt, d d s e r seiiie Scliele gcuau kege@ormig und mit conslanlern Dcsccnsiouswinkel der W i n dungen baut.
ralc eine geornefrische Progression dars~cllcn.
5. 3.
Andere F o r m fiar d i e G l c i e l i u n g d c r C o n c h o s p i r a l c .
W i r wollen uns uun die Gleichung der Conchospiralc in einer anderen, etwas bcquernercu und voii der
Kcgelflliche unabhiiiigigen Form ableiten. Dns ihr zu
Grunde liegende Gesetz ist jenev alfer logaritlimischeu
Spiralen, dafs die successiven aequidistanten Radicii cine
geometrische Progression bilden. W i r suchen die Gleichung aus derjenigen Progression herzuleiteu , welche in
den singdodistanten Radien hervortritt.
,
D e r Radius Vector bewege sich vom Anfangspunkte
d e r Bewegung aus immer in dernselben Sinne, und durchlaufe auf diese W e i s e v i d e Male hinter einander die
ganzc Peripberie urn den Mittclpwkt. Fur jeden, auf
231
diese Wcise beschricbenen Bogen u wird sich in ihin
c i i ~bestiininter Radius r ergeben, welcher nicht nur eiue
Function yon u , soiidern auch von zwei Constanten abIiiiugig scyn wird. Uie eiue clieser Constanten, welche
icli a iiciiiieii will, is[ der Werth, welchen r fur u=O,
also in dciii Moineotc hat, da der Radius Vector seine
Bewcguiig beginnt. Als zweitc Constante sol1 iins der
Quotient derjenigeii geoinetrischen Progression dienen,
welche die siiigulodiskmten Radicn bilden; ich will ihn
init q bezeichncn uud kunftig schlcchthin den WindungsQuolienlen netincn.
Hicriincli bestiinint sich uun, von u=O nusgehend,
die Reilie dcr singulodistanten Radieu wic folgt :
, r=n
cs wird fur U = O
.
- - u=2n , r = a q
- - - u=4n
,r=~19~
. - u=6z ,r=aqs
.
-
...
.
...
..
..
..
. ...
- o=2nn,r=aqn
und f01glic:li allgeincin, fur irgeiid eiaen Bogen
0:
.-0
r = a q2X.
Dieses ist die bequemste Form, welche wir der Gleichuog der Conchospirnlc fur uiisere Zwecke geben kiinnen, daher wir sic auch fernerhin beibebalten wollen.
Es ist aber diese Gleichung iu der That identisch
mit der, im vorhergeheiiden 3. aus dcr Kegelschraubenlinic abgeleitcten Gleicbung :
lo,or=ulang6cosp+.loga.
Sie giebt niimlich uninittelbar :
Nun zeigt cine sehr einfache geometriscbe Betrachtung,
dafs fur dic Kegelschraubenlinie in Q. 2
dr
-rang cf cos p.
rdo-
2.32
b
6 6
h u s tler Glciclinui;
-
r=aF
folgt aber:
S e k t mau also :
log9=2n tang S c o s p ,
so werden beidc Glcichuiigcn idcntilicirt. W i r haben
hiermit zugleicli . gefundcn, wic sich der Windoogsquotient q als eiuc Function der beidcn Winkcl d uud p
bestimmt.
5. 4.
hbleitung der Kegelscliraubcnlinie
sp
Ic.
311s
d c r Conelro-
Indem wir uns die Gleichuog dcr Coucliospiralc mit
8
-
r=a7'*
gegcben denkcn, so kilnnen wir uns nun wieder riickw%ts die Schraubcnlinie eneugeu. Man h i k e sicli iiii
Mittelpunkte der Conchospiralc cine auf ihre Ebcne senkrcchtc Linie. Sobold wir nun dime Linic als eiuc Axe
der t cinfiihren, uiid-damit BUS dein Gcbicte der Planirnefrie in jenes der Slereornefrie eintreteo, so wirtl
U
such die Gleicbuug F = U ~ ' * , wvclche vorher iiur die Spirale in der Horizontalebene dnrstellte, eine sfereomelrische Bedcutung gewiniien , und den entsprecbcaden Spiralcrlinder, d. h. dicjcoigc cylindriscbe Flkdie reprsscntircn, welche beschrieben wird, wcnii cioc. der Axe der
z bestsndig parallele h i e die Corichospirale durcliliiuft.
Man denke sicli nun von irgend eiiiem Punkte dicses
Spiralcylioders eiue Lillie ausgcheud, welche in der Cylinderflache bestandig unter dern consfantcn Winkel E
herabsteigt. Es fragt sich, welche Eigenschaften die so
cntstehende Curve von doppelter Krummung habeu wird.
Dicse Eigenschaften 'werden natlirlich nur in den Projcctionen derselben erkannt werden kiinuen ; dic einc
23.3
Projection ist uns bekannt, es ist die gegebeue Concliospirale; wir baben daher nur noch eine zweife Projection
aufzusuchen, indem wir die, mit dem Winkel E gegebenc
Bedingung einfiihrcn. F a r dieseu Winkel gilt allgemein,
wie auch die cyliiidriscbc Flache beschaffen seyn miige,
iu wclclier die Linie herabstcigt :
dz
f ang e =
V r 2do2 +dry
'
L)a nun in unserem FalIe fur die CylindcrUZchc die Glci-
chung
t
r=ag2*
gegeben ist, so wird fur die gesuchte Linie:
2ndr
rdv=-.
fog 9
Substituirt man diefs in dem Ausdruck Cur tang F, so folgt :
foggdz=tang s d r V 4 i 2 + f o g ' 9.
Das Integral bittrvoii ist :
z log q=rtang V .Ix' +fog2 Q +const.
W i r wollcu die Schraubenliiiicu bci dcrn Ptmktc
aufangen lasscn, wo u=O, also r = a ist, so rrird der
entsprechendc W d i voii z cbcnfalls Null scyn luusscn;
dadurcli bestiulmt sich die Constante des liitcgrdes zu
-alang e V 4 n 2 + f o g 2 7, und folglich:
(r-a)fmg sV4n?+Io,n~ q
Z=
fog 9
als die gesuchtc Gleichung der zweiten Projection dcr
crzcugtcn Scliraubeulinic. Dicsclbe ist offcnbw eine Glcichuiig zwischen den rccbtwiokligen Cool dinaten r und
I, iiiid folglich die Glcichung eiuer geradcn Linie. Die
erzeugte Sclirnubcnlinie lie$ also i i i der Fliiche ciucs
gcradlinigen Kegels , dessen Aufsteiguogswinkel p durcit
Z
tang P = bestimiiit wird.
1st daher
P
r-a
gegcben, so wird:
Dieser Ausdrrick von long E ist schr bcqueni, uui den
gcradcn (sc&ren) Dcscerisioiiswinkel E einer Conchilie
zii bcrechiien I ) , fiir welchc q oder der Windungsqtloticnt, und p, oder dcr Keiguogswiiikel der Kcgelscile
gcgeu die Horizoutalebcue: diirch Bcobaclitungeii gcfunden worden siiid.
Fur Troclrus Conulus is1 z. B. q=+ uiid F = 6 I 0 ;
fiir ihn n i r d also:
log 7 =O,2S’i6389.
Substituirt inan dicscii Wwlh, so wic dcii W c r t h \ o n
fangP iii dic \orstclicndc Foritid, so crhalt inan :
E = J ” 43’
nls den seigcrcn Dcsceosiooswiokcl dcr Wiudringsiinlit
i i i Ilrochus Coriulus.
Fiir Niso lerebcllafa, Fusus plebejus und Pleurof o r m cafaphracfa, welclie sehr nalie cincii geradlinigeu
Krgcl bcsitzcn, h i d e icli dic npproximativen W c r t h c der
scigcrcii I)csccnsioiiswinkcl ihrer Windungsualit :
fiir Niso fcrebellda
fiir Frisus plebejus
fiir Pleuroforna cataphracla
E=
6”53’
E=
0
E
0
=10” 22’.
Hierbci haun inan sich nocli cine Abkiirzung crlauben,
W c i l niinlitli E C;twuhulicli
so laugc 7 nicht >$ ist.
(*in ziciiilich kleiirer W i n k c l ist, und dns Quadrat voii
log q ebcnfalls im Vcrglcich zii 4 n Z cineii sclir kleincn
Wertli tiat (sobald q<:), so l i n n i i inaii i n solclicii FiilIcn dcr (;cnauiRkcit uiibcsc:hndct
iii 5. 2 mil 3 bczeichnetc Winkel ist oairilicli der flucht., d. 11.
der in der Kegclfliclie sclbst oder ilircr Tangential -Ebcne gcioessene
Desccrsionswinkel Jer Windungsoalit; dcr liicr mit c bczeichnetc
W‘inkel dagegcn ist dcr seigere. d. 11. der in dcr Fliclie Jes Spiralcyliodcrs oder in scincr Tmgentialcbcne gentcucnc Desccnsiuoswiiikcl.
1 ) Dcr,
235
setzeu. Die vorher berechneten Winkel bestiuimen sich
aitf diese W e i s e wie folgt :
fiir Trochus Conufus
E=
4Od3'
- Niso ferebellata
E=
6 5.3;
Fuus plebejus
&=9
1
- Pleurolorna calaphrncfn & = I 0 23
wclche Wertlie nur Iiijclistc~is uin 1' yon deu erstcren
abmciclien.
Vl'ir siud also, mie ito 8. 2 vou der Kegelscbraubcnlinie auf die Coucliospirale, so in gcgenwiirtigem 3.
von dcr Coochosyirale auf die Kegelschraubenlinie gelangt, indeui wir in bcidcn Frillcn einen conslanteu Desccnsiooswiukel dcr Scliraubenlinie voraussetztcn.
Frcilich sind es nur gewisse Concliylieu, f h wclche diese
Rechnuugeu Giiltigkeit haben, weil es keincm Zweifcl
utitcrliegt, dafs die Windungskegel manchcr Conchylie~i
kcinc gerade, soudern cine krumme Linie zur Generatrix haben, und dafs fur andere Conchylien der Descensionswinkel nicht constanf, sondcrn ver~ndcrlicliist. lhnen
werden zum Thcil auch mdere Spiralen zum Grunde liegeu '), obwobl sich die Conchospirale mit krummlini-
-
1) Dafr nocti andere Spiralen vurkornmco, ist nicht uawahrrhcinlich;
ia, manclre Formeo, wie t. B. dirjenigen YOU P u p uod CIuurifiu
l a w n vennurlico, dafs er auclr :rrriir&luufcnde Spiralen giebr. Urn
cine snlche ruriichlaufende Spirale onust tell en deoke man rictr L. B.
d a h u irgeod einen hlrinen aliquoten Theil der Halbkrciser, ciwa
10' bedeutet, uod d d r die ttadieo dcr zu erzeugendeo Spirale naclt
folgendern Gesetre zunelimcn :
liir o=?n roll s e ~ nr=ti sin IC
- o=4n r=usinZrt
-
o=6z
-
-
r~asin3a
w., so wird r u s i n z L a die Glcicllung diescr Spirale Gr irl;end
n
cinco Bogeo P. Es mufs aber d;erc Spirde offenbar nach dcm Mi(u s.
telpuolrte :uriicUchren, sobald
5 rr)90°
2z
seworden isi, uod Filr
z ~ u = 1 8 0 ° e r r r i c h Jic wiederum dca Mittclpunkr, urn
entgegcngeseurcr Ricbtuog dieselbe Beweguog aurtufiilrrcn.
Jar40
in
gen Kegehi vereiiiigcu liifst, sobnld man eiiicu, besltiudig elwas zunehineiiden oder abnehmenden Descensionswinkcl voraussetzt.
Iin Folgenden sol1 nun zunzcfist versuclrt werdcu
die Anwendung der Conchospirale atif die Ainmoniten
'LU erkiuteru.
(Fort s e t r u n g folgt.)
IV. F;*rbesserungm
COIL
am Magnc.trlrktromotor
nr. N e eff in
I
):
Frankfurt a m Main.
%ur Axe dcr Spiralc nelimc man Buudcl von wcichcin
Eisendraht; statt- der Quccksilbcrgefike: Schraubenverbindungcn ; zrvisclicn Haininer und Ambos: I'lntin.
Moderafor (Tnf. I Fig. 3). Einc Glasriihrc, obcn
nnd untcn vcrkorkt; durch den obercn Kork gtht ein
yersclriebbarcr dicker Draht; auf dem untcren sitzt cin
Metallpl31tclicn, woran ein dunner Draht gcldthct, dcr
durcll dcn untcrcii Kork geht; diescn dunnen Dralit vcrbindet innii init dcm cirten Pol dcs Elektrornotors; den
211 elchtrisircoden Kiirper niit dcin verschiebbaren Dralrt,
l ~ & h c r mchr herausgezogen oder hinabgescltobcn w ird,
je 1iichr oder wenigcr die Scliljge verinindert mcrdcn
sollcn ; die Glnsriihre w i r d mit einer Mischung aus Wasscr uiid Wein;;cist grliillt, welchc den zwiscben Kilrper
rind Apyarnt eingcsch;iltcten Leilungswiderstand biltlet.
Eei Elcktroprinctur ist dcr Modcrator uncutbeIrrlich.
-
1) Siehc AnnaI. Rd. X X X x V l S . 104.
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