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Beitrag zur Kenntnis der Reflexion und Fortpflanzung elektromagnetischer Strahlungsenergie.

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I227
9. Beitray
xur Kenntnis der Reflexion und 3ortp.annxung
elektromapaetischer Strahlungseneryie;
vom Hans l'h. W o l f f .
(Auszug aus der Rostocker Dissertation 1910. l))
Das Interesse, welches die Reflexion von langwelliger
Strahlung an Metalloberfliichen durch die Messungen von
E. H a g e n und H. R u b e n s 2 ) erlangt hat, bildete die Veranlassung zu einer Arbeit, welche die in Rede stehenden Vorgange rechnerisch und graphisch in einer ins Einzelne gehenden Weise verfolgte. Im nachstehenden ist von dieser Arbeit
ein kurzer Auszug gegeben.
I. F o r m e l n und B e t r a c h t u n g e n zur K e n n t n i s d e s V o r g a n g e s d e r
metallischen Reflexion.
Es treffe eine ebene, linear polarisierte elektromagnetische
Welle von der Schwingungsdauer T und von konstanter Amplitude aus dem Vakuum senkrecht auf die ebene Oberflache
eines unendlich dicken, homogenen, isotropen Korpers ein. In
Beziehung auf ein rechtshandiges, rechtwinkliges Koordinntensystem z,y, z sollen die Komponenten der elektrischen Feldstarke mit X, Y und 2, die der magnetischen mit A , B und C
bezeichnet werden, alle ausgedriickt in absolutem elektrostatischen MaBe. Die Welle falle in der z-Richtung ein. Die
Oberflache des. K6rpers sei die xy-gbene; er besitze die Permeabilitat p, die Dielektrizitatskonstante E und die Leitfahig1) Der vollstiudige Titel der Dissertation lautet : Behandlung des
Vorganges, dab eine ebene elektromagnetische Welle , die auf die ebene
Oberflache eines Korpers, insbesondere eines Leiters, auftrifft, von diesem
reflektiert wird, auf Grund der Maxw ellschen Gleichungeu unter ausfiihrlichem Eingehen auf die Art der stattfindenden Euergiefortpflanzung.
2) E . H a g e n u. H. R u b e n s , Ann. d. Phys. 11. p.873. 1903; Ber.
d. Deutsch. Physik. Ges. p. 710. 1908.
78"
H. Th. ToEfi
1228
keit x, und es gelte die Voraussetzung, clafl die drei Groflen
sich nicht zeitlich Lndern.
1. A l l g e m e i n e Formeln.
Es seien zunachst die in Betracht kommenden Formeln
zusammengestellt. Sie beziehen sich nicht nur auf Leiter,
sondern auf beliebige Kbrper, l)
Einfallende Welle:
Xe = E cos T
Elektrischer Vektor:
Magnetischer Vektor: Be = v E
Reflektierte Welle:
T
X
Eingedrungene Welle :
Die Bedeutung aller Buchstaben ist ohne weiteres klar.
Bei Kenntnis der Konstanten der einfallenden Welle und
der Materialkonstanten lassen sich nun die Konstanten der
reflektierten und eingedrungenen Welle mit Hilfe nachstehender Formeln schrittweise berechnen. Es ist :
an
tg+,
2%
- tl)liegt
-(T,
I'
-4 =
4x'TB+
E~
-6
2xT
bei positivem Werte von x im 1. Quadranten.
1) Ihre Ableitung ist in der Dissertation unter Vermeidung imaginiirer GrijEen auf Grund der Maxwellschen Gleichungen und der bekannten Grenzbedingungen gegeben.
Reflexion u. Fortpflanzuny elektromagn. Struhlunysenergie.
I/tE
p
- TI)
(To
uo =
’
xT
4
=
1229
va E 2vo u
c J ) 2 ’
2v+OoP[vz+(T)J
3 2
=
E2--. D2
8
vo P
Das Verhaltnis der wiiihrend der Schwingungsdauer eindringenden zur gleichzeitig auffallenden Energie hei6t Transmissionskoeffizient. Nennt man diesen 1 -P, so ist:
1--P=
E 2 - RB
42,
-
E3
2 2,
+
80
p
(?P+
g)
*
Wir setzen E, R, 6 und B als positive GroBen voraus.
cos-
2n
T
2 n
4 E Z + D2
z1=
COS -T o
T
=
- (+%)*
4ED
-
E + Rcos
271
to
T
7
71
4EB
a,
2. S p e z i a l i s i e r u n g der F o r m e l n .
Bei allen weiteren Betrachtungen sol1 angenommen werden,
daS das Produkt x T positiv und so groB ist, da0 man E und 1
dagegen vernachlassigen kann. Ferner sei fur die magnetische
Permeabilitat des Korpers der Wert p = l / v 2 zu benut2en.l)
1) fjber die Verwendbarkeit dieses Tertes bei der Betrachtung der
Reflexion von Warmestrahlen an ferromagnetischen KBrpern vgl. die genannte Abhandlung von H a g e n nnd R u b e n s , p. 900, sowie P. Drude,
Optik p. 440-444. 1906.
I% Tti. Wol$
1230
Unter diesen Voraussetzungen gelangt man zu folgenden Beziehungen:
Transmissionskoeffizient: 1 - P
. 2z
sin-t
=-
7’
2n
-tn
T
1
~
=
2
~
V f
’
2%
= -1
y n , cos ---to
T
ist also angenahert gleich m, somit to nahezu gleich 7’12.
2n
2n
Da cos z1 positiv ist, so ist ---zl angenahert gleich
T
T
- m/4, demnach ist z1 wenig von - TI8 verschieden.
.
2n
sin -T
Somit ist
to =
1
-(I
2
1
m
to nahezu
1
- -)’
01
1. 2’
2z2
cos-z*
2‘
=
1.
gleich Null.
3. Graphische Darstellung d e r W e l l e n fur einen Spezia’lfall.
Es sollen die Wellen fur den Fall zur Darstellung gebracht werden, daB Warmestrahlen von der Wellenlannge 12 p
auf Platin von Zimmertemperatur (18 C.) auffallen. Es ist also:
x = 88’4. 1015sec-l,
T = 4.
sec, v,, 7’= 0,2018 p.
Fur den genannten Fall hatten die Untersuchungen von
H a g e n und R u b e n s l) besonders gute Ubereinstimmung mit
der Theorie gezeigt. Als Wert des Ausdruckes (100 - P)
ergab sich experimentell der Betrag 10,6, wahrend aus der
Theorie die Zahl 10’54 folgt. Unter Benutzung der speziali-
1;
1) E . H s g e n u. H . R u b e n s , Ann. d. Phys. 11. p.873. 1903.
Reflexion
71.
FortpfEanzung e1ektroma.p. Strahlungsenergilic.
1231
sierten Formeln (Abschn. 2) erhalt man folgende Werte fur
die in Betracht kommenden Konstanten:
p=
59,5,
B / E = 1,984, R / E = 0,983,
013 = 0,0236,
to = - 0,503 T, z1 = - 0,1237 7',
Fig. 1.
zo =
0,0013 T.
Fig. 2.
Ortsdiagramm fur:
Ortsdiagramm fur:
t = - - T bzw. t
= -3T .
4
Wellenllnge im Leiter in 50 fachem
MaSstabe gegeniiber der im Vakuum
gezeichnet. X,. ist nicht gezeichnet,
d a es eiemlich mit X,zusammendllt.
t=O.
Wellenlange im Leiter in 50fachem
MaBstabe gegeniiber der im Vakuum
dargestellt. B, ist nicht gezeichnet,
d a es naheeu mit Be zusammenfallt.
4. T a b e 11a r i s c h e r
U b e r b 1ick.
In der folgenden Tabelle sind zu einigen Werten von x
und T die zugehiirigen Werte von 1 x 7 , 013 (Amplitudenverhaltnis von X , und XJ und von v,T angegeben.
s$
&
%
m
rn
v-l
Hg,
i(
= 9 , 6 . loL5sec-l
_D_
-4
3
10 / l
1 .10-'0
3
Ta belle.
D
.-
Ag,
x
.
= 58 10l6sec-
D
__
*
T
Wellenlange im
Leiter
IJO
E
I/Z
44.108 3,2,10-5 $3
!'
45 p
57.101 2,5.lo-(
22 .lo3 6,4, 10-
,,
1 s . 10 p
10-8
0,23mm
1,8mm
44.104 3,2.l o w 6
57.103 2 , 5 .
0,45 mm
,)
l,o
22.104 6,4.lo-"
-10-6
2 , o . 10-6
0,72mm
7,i . l o 5
,low6
5,6 m m
1 4 . lo6
1 8 . lo4 7 , 9 . 1 0 - e
1,4 rnm
,,
_.
3
1
-.31
~
1
3
--.10-5
T
Wellenlange im
Leiter
vo
E
Zn, x = 1 5 . 1OI6
I/xT
45
T
0,045 p
0,36P
71
vo
Wellenlange im
Leiter
0,016
0,12
0756 P
E
88
11
0,077
0,o 12
I/xT
0,089 p
4
- lo-[& 8ec
18
11.10
T
Wellenlange Schwingungsdauer
im
Vakuum
0,031
0,071p
,,
0789 P
415
10-1'
0,049
q4.10-4
10
28
22 . l o 2
.
14.10 0,010
0,11 P
,,
18 P
3
0,14 ,LL
22.10 0,0064
2,3P
2,5. 10-
25
- 10-1'
3
4 1'1
0,020
0,23p
44 .lo2 3,2,10-4
57.10
25 P
1 cm
Im
100 m
1OOOm
Befiexion u. li’ortpfianzung elekiromagn. Strahlunysenergie.
1233
Die Tabelle zeigt, da6 die Wellenlange im Leiter ( ~ ~ 2 ) )
vie1 langsamer anwachst als die im Vakuum. Die Abhangigkeit der Wellenrange q, T von der im Vakuum ( h , = v T ) ist
durch die Beziehung gegeben:
v,,T =
C.R.
11. Energieetromung.
Unter der Annahme des Bestehens eines periodischen
Zustandes sind im nachstehenden einige Energiebetrachtungen
angestellt. Des bequemen Vergleichs wegen ist hierbei jedesma1 das Verhalten in einem Isolator und in einem Leiter zusammengestellt.
1. W e l l e n g l e i c h u n g e n und S t a r k e des Energi estromes.
a) Isolator. Dieser besitze die Dielektrizitatskonstante E’
und die Permeabilitiit p’= l/v2. In ihm schreite eiue elektromagnetische Welle vorwarts, deren elektrischer Vektor lautet
X = E C O S2;(- t - -
v“,),
Y=Z=O.
Dann ergibt eine der Maxwellschen Gleichungen fur den
magnetischen Vektor:
(
B = E’V’ECOS27z t T
z,),
-
A = c= 0.
Nach dem Poyntingschen Satze ist die Starke des Energiestromes in der z-Richtung durch den Ausdruck gegeben:
Gi ist also immer positiv, somit striimt die Energie in1 Isolator
bestandig in deer iti’ortpflanzungsrichtung der Rille.
b) LeiteT. Es sollen die auf p. 1229 fur T und die Konstanten des Korpers , den Leiter, gemachten Voraussetzungen
erfiillt sein. In diesem pflanze sich eine Welle fort, deren
Gleichungen geschrieben werden konnen :
H. Th. Wolf.
1234
Vektor
2'=
z=0,
Man findet unter Benutzung der Maxw ellschen Gleichungen:
B = v B F e
- 2 x L
Hierbei ist:
Die erhaltene Welle kann man sich dadurch entstanden
denken, da% eine von au6en kommende Welle unter partieller
Reflexion in den Leiter eindringt, wie es in TeilI behandelt ist.
Die aus den zuletzt angefuhrten Gleichungen und auch
aus Fig. 2 ersichtliche Phasenverschiebung des elektrischen
und magnetischen Teiles der Welle bringt es mit sich, daB
das Produkt X . B , welches die GroUe des P o y n t i n g schen
Vektors bestimmt, regelmaBig wiederkehrende Vorzeichenwechsel
erleidet. Bie Energie stromt somit zeitweilig entgegengesetzt zur
~OrtpfEanzungsrichtungder Welle. Hierin liegt ein wesentlicher
Unterschied gegeniiber der Energiefortpflanzung durch die im
Isolator vorwarts gchreitende Welle. Die Rechnung ergibt
fur die S t k k e des Energiestromes in der z-Richtung irn Leiter:
In Fig. 3 (p. 1236) ist als Kurve @ der Ausdruck
als Kurve (X)die Funktion
cos
[$(t - )-; + $1
Reflexion u. 3’ool.tpfiunzung elektromagn. StraAhngYeneryie.
1235
und als Kurve (B) die Funktion
3
cos- 2 % t - -
(
T
dargestellt, also die Starke der Energiestromung, sowie der
elektrische und magnetische Teil der Welle, abgesehen vom
Dampfungsfaktor und von Proportionalitatsfaktoren.
2. D i e G e s c h w i n d i g k e i t der Energie.
a) IsoZator. Die Geschwindigkeit der Energie findet man
durch Vergleich der Starke des Energiestromes mit der Energiedichte. Die letztere heiBe im Isolator Hi und sei durch die
Gleichung definiert
H. = -(&’1
x2
8 n
+ p’ B2).
Unter der Voraussetzung, da6 immer die gesaxnte in einem
Volumenelement befindliche Energie mit derselben Geschwindigkeit v,’ striimt, ist zu schreiben:
Qi= xiue‘.
Durch Einsetzung der Werte ergibt sich:
I
,
ve=v,
also die Energie besitzt im Isolator dieselbe PortpfZanzungsgesciiwindigkeit uJie die Welle.
b) Leiter. Nennt man die Geschwindigkeit, welche die
Energie in ihrn besitzt,
Weise wie oben:
ue,
so findet man in entsprechender
Das mit der Dielektrizitatskonstante multiplizierte Glied des
Nenners wird gegen das zweite nicht vernachlassigt, da letzteres
fur andere Wertepaare von z und t gleich Null wird als ersteres.
I n der untereii Halfte von Fig. 3 (p. 1236) ist
-.45n
ve
-
vo
als Funktion von p =
fur den Fall dargestellt, da8 e / 2 x T den Wert l/,oo,
besitzt.
1236
H.Th. T o @
Fig. 3.
Veranschaulichung der Energiestromung durch Zeit- bz w. Ortsdiagramm.
.
(,fT
= =)
1
Bemerkwzg. Der obere Teil der Figur kann nur bei Absehen von der
Dampfung ais Ortsdiagramm gelten.
Der gr66te Wert, den we dem absoluten Betrage nach
annehmen kann, ist v / (v = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum,
E = DielektriziVatskonstante). Hieraus folgt : B e r Maximalwert
der FortpfEantungsgeschwind~yke~tder Xnergie gleicht im betrachteten KiiTper der Geschwindigkeit, mit welcher eine Velle
in einem Isolator won derselben Dielehtrizitatskonstante und der
Permeabilitat des Athers vorwiirts schreitet.l)
1) Anmerkmg: Es kBnnte befremden, daB die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Energie so rasch von jedem groBten negativen zu
einem maximalen positiven Werte iibergeht; zieht man jedoch in Betracht , daB gleichzeitig die Stiirke des Energiestromes einen Nullwert
durchschreitet, wie der obere Teil von Fig. 3 zeigt, so kann man das
genannte Verhalten wohl leichter verstehen.
Refiexion u. Portpflanzung elehtromagn. Strahlungsenergie.
3. D i e z e i t l i c h e n M i t t e l w e r t e v o n (E,
H und
1237
v,.
Die beiden ersteren sind nach den Qleichungen zu berechnen :
T
Q
=11
-
0
T
@ d t und H = -
's
' SH d t .
T
0
Man findet fiir den Leiter:
Letztere Gleichung entspricht der im Isolator gultigen Beziehung :
g i d t = Hid%,
wobei d z = v ' d t ist, also die von der Welle wilhrend der Zeit d t
zuriickgelegte Strecke bedeutet. Aus dieser zwischen gi und €Ij
bestehenden Qleichung ist zu ersehen , da6 die Energiefortpflanzung im Isolator derart erfolgt, als wenn sich zeitlich
konstante elektrische und magnetische Felder in ihm befanden
und er sich mit der Geschwindigkeit der Welle fortbewegte.
Qenugt es, nur die zeitlichen Mittelwerte von (3 und H in
Betracht zu ziehen, so konnen wir uns auch von der im
Leiter stattfindenden Energiefortpflanzung das angefiihrte Bild
machen. Es besteht allerdings darin ein Unterschied, da6 in
einem Leiter Absorption stattfindet. Unter Benutzung der
Gleichung
L
V
0
H
kann man leicht die Beziehung
T
He, d t
vo =
0
T
Hdt
0
ableiten, welche besagt, da8 die Energie im Burchschnitt (zeitiich aufgefagt) mit der Gesciiwindigkeit v o , d. h. der Fortpjlanzungsgeschwindigkeit der Welle stromt.
1238
H. Th. Wolff. .Reflexion und FortpFanzung usw.
4. E ne r g i e f o r t pf l an zu n g i m Vakuum wiihrond der R e fle xion.
Wir wollen jetzt die Energiestromung betrachten, die im
h h e r infolge der Ubereinanderlagerung der in Teil I behandelten einfallenden und reflektierten Welle zustande kommt.
Fur Qn, die Starke des Energiestromes in der z-Richtung,
ergibt sich die Formel:
Q, =
~
v E ~. 4 2
. 4n
sin 1
t sin - z
4 n
T
V T
.
Dieser Ausdruck zeigt, daB die Energiestromung im Vakuum
aug zwei Teilen zusammengesetzt ist. Der erste gibt fur den
Fall 1c T = co die gesamte Energiestrahlung an. Da im genannten Fall eine stehende Welle vorhanden ist, stellt er die
durch eine solche bedingte Energiestromung dar. F u r z = 0
ist sein Wert gleich Null, er gibt also keine Befdrderung der
Energie durch die Grenzflache zwischen Vakuum und Leiter
wieder. Diese findet auf Grund des zweiten Gliedes unseres
Ausdruckes statt. Letzteres stimmt, soweit ea die Genauigkeit der Formel erlaubt, mit der Funktion uberein, welche 6,
die Starke der Energiestrahlung im Leiter, darstellt , wenn
z = 0 ist.. Der Maximalwert, den die Geschwindigkeit der
Energie im Vakuum bei unserem Refiexionsvorgange besitzt,
ist, wie sich leicht zeigen lafit, die Iichtgeschwindigkeit.
(Eingegangen 3. Oktober 1910.)
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