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Beitrag zur Leitfhigkeitstheorie der Metalle bei tiefen Temperaturen.

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Beitrag zur Leitfahigkeitstheorie der Metalle
bei tiefen Temperaturen
I'on B. M i i h l s c h l e g e l
Mit 3 Ahhildunpen
Inhaltsiibersicht
Es werden Transporterscheinungen der Metallelektronen bei Anweseiiheit
von elektrischem Feld und Temperaturgradienten untersucht. Die verwendete Naherung fur die gestorte Verteilung erlaubt eine anschauliche
Deutung des Vorganges und liefert im Rahmen des einfachen Modells sinnvolle
Grenzen fur die linearen Gesetze.
I. Einleitung
Von K o p p e l ) stammt eine Methode zur Rerechnung der elektrischen
Leitfahjgkeit von Metallen, fur die der Begriff der deformierten F e r m i Oberflache charakteristisch ist. Das auBere elektrische Feld Q treibt die
F e r m i-Kugel im t-Raum als Ganzes aus ihrer RuheIage, wogegen die Wechselwirkung der Elektronen mit dem idealen Gitter ein diffusionsartiges Zuruckgleiten der auf der Oberflache befindlichen Elektronen bewirkt. Die gestorte stationare Verteilung wird von K o p p e durch eine ,,deforniierte
F e r m i -Bugel"
f (f,
1
-T , G) = y<
___
exr + l
approximiert, welche sich von der Gleichgew-ichtsverteilung /, nur darin
unterscheidet, daB an Stelle der Fermienergie &, eine von der Richtung im
f-Raum abhangige Funktion 5 (8,p, T , (5) auftritt, die mit verschwindendem
elektrischen Feld in To ubergeht. Bedingung der Stationaritat ist: I n einem
zu einer beliebig vorgegebenen Richtung 6, p gehvrenden infinitesimalen
Kegel mu13 die Bnderung der Teilchenzahl durch Diffusion (StoBe) gerade
diejenjge durch Drift (d. h. Einflulj des Feldes) kompensieren. Wegen der Entartung und auf Grund der gemachten Approximation resultiert hieraus eine
Differentialgleichung fur <, die bei K o p p e an die Stelle der Blochschen
Integralgleichung tritt. Sehr vorteilhaft an dem Ansatz fur die gestorte Verteilungsfunktion ist, da13 sie in jeder Richtung des f-Raumes ,,fermisch" von
1 auf 0 abfallt, was ohne Schwierigkeit die lntegration uber
ermoglicht.
Es erscheint nun wunschenswert, diese Methode so zu erweitern, dalj ihr
auch das allgenieine Transportproblem zuganglich wird, bei dem ne ben dem
If1
l)
H. Koppe, Z.Pl'aturforschg. 7a, 1 7
11.
156 (1962).
200
dnnalen der Physik. 6. Folge. Band 17. 1956
elektrischen Feld Q noch ein Temperaturgradient grab T vorgegeben ist.
Hierzu ist es erforderlich, naher auf die Struktur der Ubergangszone einzugehen, innerhalb welcher die Verteilung von 1 auf 0 abfallt; die Warmeleitung ist bekanntlich ein Effekt zweiter Ordnung in bezug auf die Temperatrir. Will man obige Approximation verfeinern, ohne die damit verbundenen
Vorteile aufzugeben, so besteht der einfachste Schritt in dieser Richtung
zmeifellos darin, neben 5 auch die Dicke der tfbergangszone richtungsabhangig
zu machen, d. h. an Stelle von 1c T eine Funktion q einzufiihren und
f
(U, ?’, @, grab T ) =
1
E--5---
e v
+1
e,
zu aetzen. i (6,p, T , @, grab T ) und rl (a,p, T , grab T ) sind zu bestimrnen
und miissen bei verschwindendem elektrischen Feld und Temperaturgradienten
in To und 1c T iibergehen. Da nun zwei unbekannte Funktionen vorhandm
sind, braucht man zwei Bestimmungsgleichungen. Sie ergeben sich aus der
B o l t zmanngleichung
(U deutet auf Drift, S auf StoBe), indem man folgert:
Hierbei wird iiber einen infinitesimalen Hegel in Richtung f integriert. Man
stellt also im Kegel neben der Teilchen- auch die Energiebilanz auf; zweifelsohne ist dies weniger als die Boltzmanngleichung allein, aber man braucht
nicht mehr, da die grobe Form der Verteilung schon feststeht.
Die folgende Darstellung stiitzt sich auf die einfachsten Annahmen, u. a. :
f i 2 lr.2
Ideales Critter, F =
Schallquantengleichgewicht und Blochsche
2m ’
Naherung fur die tfbergangswahrscheinlichkeit. Die hiermit verbundene
Problematik sol1 nicht diskutiert werden, wohl aber wollen wir zum SchluB
das geschilderte Verfahren dem iiblichen gegeniiberstellen.
~
11. hderung der Verteilung durch StoBr!
Wir beschaftigen uns zunachst mit der Frage, welche h d e r u n g eine
irgendwie aus dem Gleichgewicht gebrachte Verteilung f der Form (1) erfahrt, wenn nur die Wechselwirkung mit dem Gitter beriicksichtigt wird.
=\usgangspunkt ist dabei
(3)
Miihlxhlegel: Beitrag zur Leitfdhigkeitstheorie der Hetalle bei tiefcn Temperatusen
init der Blochschen tfbergangswahrscheinlichkeit fur Metalle 2,
JVl,f+rn = G0;p
. 6 (1 & (f
N(w)
201
:
+ 1 - sgn [&(f + m) - &(f,l}
+ m) -
&
I
( 4)
(f) - uo6 w).
f und tu : Ausbreitungsvektor des Elektrons bzw. des longitudinalen Schallquants, E (f) Energie des Elektrons, uo = Schallgeschwindigkeit, N (w)=
o w
--
V,hW
~.-
l/g % T
- 1= l/eT
WO
- 1: Schallquanten
im Gleichgewicht; (16
-
0 -
4 n cz
9 @?Lo
= const, hierbei ist C die Wechselwirkungskonstante
in Be thescher
Form, Q die Dichte des Metalls. Die starke Entartung druckt sich durch
97
iin f aus. Beschranken wir uns auf tiefe Temperaturen, also T 0,so
sind nur ,,kleine" Schallquanten angeregt. Hieraus und aus dem in (3) steckenden Pauliprinzip rcsultiert, daki flbergange nur in unmittelbarer Umgebung
der Fermi-Oberflache e(f) - 5 E 0 stattfinden konnen und dabei ltr~I<lfl
gilt. Daher komint man mit der linearen Naherung ~ ( f tu) - ~ ( f =
)
m . grabr E aus. ZweckmaiBig ist die Einfuhrung eines lokalen Koordinatensystems dessen Ursprung der Endpunkt
von f (Polarachse)
ist, hier sind die
- Komponenten von m: w, = w sin 6 cos ij; Wy = w sin 6 sin v; w, = w cos 6.
Wenn grabf wie im Falle freier Elektronen die Richtung von f hat, bedeutet
0 < 3 < 2 Absorpt'ion, T < &< TC Emission eines Schallquants, und es
<
<
+
u,
2
2
gilt
&(f
+ m) - &(f) = m
*
grabn &
-
=
wz& ' ( k )= &'(k)w cos 6 ,
d.e
dk *
&'(k)= -
Also wird die tfbergangswahrscheinlichkeit :
y
llllt
=-
11"
F'
fi
Da w r uns nur fur f-Werte in der Umgebung der F e r m i ( k )*
Oberflache zu interessieren brauchen, stellt y das Verhaltnis von Schallgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit an der Oberflache dar ; bei Metallen ist
y
1 und wird fortan als konstant angesehen.
Das erste Integral in (3) mird nun unter Beachtung von ( 5 ) :
<
I
. N (w)f d8 sin 8 S (cos 8 62
-
-~
2
1
Abgeleitet etwa bei S o m m e r f e l d - B e t h e 3 ) S. 514, oder W i l s o n 4 ) S. 258.
A. S o m m e r f e l d u. H. B e t h e , Hdb. XSIV. 2, 1933.
4 ) A. H. W i l s o n , Theory of Metals, Cambridge 1953.
14
.inn. Physik. 6. Folge, Bd. 17
2)
3)
3G2
dnnalen der Physik. 6 . Folge. Bund 17. 19.56
3
-
Energie- und Impulssatz liefern die Bedingung cos 6 = & y ; die erlaubten tu
liegen auf einem Kegel mit Offnungskosinus y ,
wir bezeichnen sie kurz mit my bzw. kt-.., (vgl.
Abb. 1). Damit wird aus (6):
3%
U’O
---?a--
(2 n)3F’
/
dzl~w2 N(zo)
1
t !N(UI)
J’
dg? (1 - f (f
0
+ 1) /
2z
dp, (I
--
1 (t -I-
+ tu,,)]
iVL)>
1
0
, (7a)
und ganz analog bekomnit man fur das zweite
Jntegral aus ( 3 ):
Abb. 1. Energie-Impulskrtgd
Die init mAY verknupfte Impulsanderung fiihrt von der Richtung 8, p
zur Richtung Of, p‘, d. h.
/(f+
m i 1’)
1
~~~~
<
.
-
cw,
~~
€
i Ug h w -.< -~
Y’!
‘i (O‘,Y‘)
+
1
Da I tuI 1’ 1
1 f 1, konnen wir, sofern unphysikalische starke Schwankungen
von und ’1 in der Umgebung der Richtung 6, p ausgeschlossen sind, nach
g = [(6’,
p’) - <(G, p) und h = 71 (a’,p’) - 71 (a,9) entwickeln. Mil- den
Abkur ziineen
gibt da s :
f(f
+ m;,J
1
=
= f (2
s-<lu,~&w-s
~~~
e
q+li
+1
hay)
1
-
--
’i
Y :(
a y)
[y
+
(2
1 Y) hi.
(8)
Die g-Mittelung iiber den Begel wirkt sich jetzt niir noch auf g und h aus,
und es ist leicht zu bestatigen (App. I), daB gilt:
A
= Laplaceoperator
auf der Einheitskugel.
Durch eine einfache Zwischenrechnung, bei der man (8) in (7) einsetzt,
(9) verwendet und noch die Beziehung N ( w ) 1 = - N ( - ul) benutzt,
findet man fur (3):
+
Muhlschlegd: Beitrag zur Lei~i~hlhigl~eitstheorip
dcr Mctalle bei tiefen Tetnperaturen
203
Fur [ = &. 11 = x T liegt die ungestorte Fermiverteilung vor. Wegen
= A7 = 0 fallt dann der zweite Term weg. Aber auch das erste Integral
verschwindet, da die geschweifte Hlainnier fur 1= 1Null wird, was man leicht
einsieht. Daher ist (of/at), = 0, wie es sein rnu13.
In1 folgenden betrachten wir nur Verteilungen, bei denen 17 nicht zu sehr
xT
von ~tT abweicht. 1, = - liegt dann bri 3 , und wir konnen die gesahweifte
'1
Klammer jm ersten Integral von (10) an der Stelle A = 1 entwickeln:
{ 1 = o - y ( 2 y) ( ~ ( 9 ) 1- /(a:,) (a - 1).
Im zweiten Integral darf in dieser Nkherung A = 1 gesetzt werden, was auf
Vernachlassjgung von Gliedern proportional (1- I) g und (A - 1) h hinauslauft. Aus (10) wird dann:
AT
+
. [ A [ -{-
(a
+
+ y) A q j .
Ohne Schwierigkeit kann man jetzt die Teilchenzahl- und Energieanderung
in einem Hegel in Richtung 6, q des f-Raumes erhalten; dazu ist lediglich
/ ( z ) s k 2 d k und [ ($)
00
03
ri
dt
~
s
F
lc2 dk auszurechnen. Wegen
6)
- d k , und ein Hick auf (1 1) zejgt, claB wir
ri
brauchen. Eierbei ist die Kenntnis von
lich. Wir nehmen
E =
~~
f i z Ii2
3rn
E
uiid finden mjt
k2
2 =
dk
r
f--i
~
'I
ist da
=
X.2
dk und +dk
in der Umgebung von [ erforder7f ,
-
d
< 1:
Der Integrand des ersten Integrals in (11) hat die Eigenschaft Gl (y, 2) =
- G, (-y, - 2 ) . Beim zweiten Integral gilt dies nur fur den 37 proportionalen
Teil, daneben gibt es noch ein G, mit G, (y, z ) = G, (-y, - a). Wegen q//r< 1
entspricht 0 < k -=z. 00 praktisch -- m < z < 00 und wir haben
00
@IT
zu beriicksichtigen. Man belrommt dann mit (11) und (12):
14"
504
Annulen. der Physik. C i B’olge. .Band 17. 1956
Nach App. I J besteht init den bekannten Integralen J , (a) der Zusammenhang :
KO (a)
-2
1
J5 ( 3 ) ;
2 322
Lo (a)=-,-J7
(a)- 3
3 J h (a); Jfo (a)= J5 (a). (14)
Da 1 = x T/q voraussetzLingsgema~ wenig von 1 abwricht, ltonnen wir
schreiben :
nnd erhalten schlie8lich fur die Teilchenzahl
und Energie
03
dw
i d w = $ fEk2dk-
4 32:j
0
im Begel der offnung d w :
Die K , L, M ergeben sich aus den KO,Lo, iM, dnrch Multiplikatiori init
_
_
~
Bevor mir (15) diskutieren, wollen wir ohne Rechnung noch auf eine andere
Moglichkeit hinweisen, urn zu diesen Gleichungen xu gelangen :
Ein Elektron sei bei t. Dann ist seine mittlere %7erschiebungdureh Stofi
pro Zeiteinheit :
u1
(f) = ./ ttJ (1 - f (f
+ m)] W f , b
am
It7
@;2)3 *
Uefindet sich bei f kein Elrktron, ist also dort ein ,,Loch“, so ist dessen niittlere
Verschiebung
11,
(1)
= ./
ttJ f (f
+ m)
dm
W t + l n , r v
4
Man kann auch sagcn: - u, bedeutet die mittlere Verschiebung eines Elektrons zu f hin, wenn dort ein ,,Loch" ist. Da f (f) bzw. 1 - f (f) die Wahrscheinlichkeit darstellt, daB sich bei f ein Elektron bzw. ein ,,Loch" befindet,,
erscheint cs sinnvoll,
3
(1) It1 (f) - { 1 - f (f)) u, (f)]
als niittlere Stroiiiungsdichte zu betrachten.
-('-fJc2
i u1 == (1 - f } u, heiBt danii, (la13 im Mittel ein
von f na,ch f' durch ein von f' nach f gehendes
Abb. 3. MittIere StromungsElektron ersetzt wird, so daB sich nichts andert.
dichte
hat naturDie Bestimmung des Vektors
lich grol3e Xhnlichkeit mit unserem bisherigen Vorgehen, und die Berechnung
rles Teilchen- und Energieflusses in einem Kegel auf Grund der Gleichungen
6(1)
= {. [f
(integriert wird uber das Volunien, bzw. die Oberflache eines Kegels der
Offnung dw) gibt in der Tat ebmfalls die Formeln (15)5).
Jetzt konnen wir (15) anschaulich cteuten. Die Teilchenzahl im Hegel verinindert sich hauptsachlich dadurch, da13 die beweglichen Elektronen in der
tfbergangszone in Richtung von - guabr ( (li(@IT)ist < 0) aus dem Kegel zu
kleinerer Energie hin herausstrbmen. Eine mit dem Faktor T / [ behaftete
Korrektm, die grabe 71 also dem ,,Teniperatur"-gradienten auf der F e r m i flache proportional ist, tritt hinzn. Na,turlich ist niit den herausstroinenden
Elektronen eine Energieverniinderung ini betrachteten Kegel verbunden, was
sich offensichtlich iin ersten Term von (15 b) bemerkbar macht. Aber die
Stroniungsdichte 6 hat anch eine Komponente in Richtung f bzw. grabr F ,
die auf die Teilcheninderung jni Begel keinen EinfluD hat, wohl aber auf die
Energietinderung, man erkennt das schon an (16). Diese Komponente giht
Anla13 zuin zweiten Term in (1.5b). Die Energieverininderung ist proportional
11 - il T ; die Wechselwirkung niit deni Gitter veranlaljt die Elektronen iin
Begel, mit ihrer formalen ,,Temperat,ur" Y / / X nach der Gittertemperatur hinzustreben.
Betrachten wir z. R. ein Elektronengas niit der Temperatur !Z" im Gleichgewicht (ri = x T ' ) , und denken wir uns die Wechselwirkung mit einein Gitter
der Temperatur T < T' eingeschaltet, so kuhlt sich das Elektronenga,s auf
die Gittertemperatur ab, in dcm es geniiilS (15b) sekundlich die Energie
5 ) Man inun sich aber vor Augen hnlt,rn, da13 die Strijmungs- bzw. Diffusionsbeschreibung des Stollprozesses j to 1
1 f 1 zur Voraussctzung hat. Daher ist eine Gleichung
*);(
+ divF5 = 0 nur sinnvoll, wenn
sit. Cibrr cin Volumen Vf (z. B. unsere Kegel) inte-
griert wird, desseii Ausdehnung iiii f-Rnum groU gegen die wahrsclieinlichste~iStonSndrrungcn tu ist.
206
Annalen der Physik. F . Folge. Band 17. 1956
abgibt. Da wir immer Schallquantengleichgewicht vorausgeset,zt haben,
wirkt das Gitter hierbei als Warmereservoir.
Allgemein gibt (15) quantjtativ dariiber Auskunft, wie eine gestorte Verteilung im Rahmen rinseres einfachen Modells durch Gitterwechselwjrkung in
den Gleichgeivichtszustaiid fo zuruckgleitet.
111. Stationare Verteilung
Urn die Bnderung von fi, und ? durch Drift zu bekommen, gehen wir von
aus; (3 und grab 1' rnogen konstante, parallele Yektoren sein, die in der Folge
die Polarachse 2 festlegen Man hat:
00
/
(z)D
00
00
k2 dk
K
= - - (grab
m
T ) , eos 6
/
Pf
?!P
?i3d k
co
/
00
. c?f
( z ) U & 2 d k = - - (grab T ) ,cos 0 / ; - E k w t IIL
oT
K
b
0
I (6. ~lrnbrf ) k 2 d k
1
0
0
0
+3
+[
(17)
00
t
(E grabe 1) k2 dk.
0
Da f sich in f-Richtung gemaI3 (1) fermisch verhdt, lionnen die in (17) vorkommenden Integrale in bekannter Weise ausgerechnet werden, wobei man
03
sich auf
-
-co
C (2)f ' ( 4dx =G ( 0 )
+ : z G t f (0) stutzt.
Das gibt (App. 111):
Hierbei haben wir die Abkiirzungen
eingefiihrt. Die Driftiinderung verschw-indet mit E; und P,. Liegen 0 und
grab T nicht in einer Richtung, oder i s t auch noch ein Magnetfeld vorhanden,
so werden die Formeln (18) entsprechend komplizierter und enthalten Ableitungen nach y . Die Verteilung f ist stationar, wenn gilt:
Miihlachlegel: Boitrag zur Lei~ul~iglseitstheoricder Metalle bei tiefen Tcmperaturen
207
Mit (15) und (18) kommen wir daher auf das Gleichungssystem:
5 ' 3
ai
2-9 ar/
K L I ~ - 5'L ~ A ? ~sin
=---(sin265)
6F819, ~
+ F , ( a x- ~Tz + - - - c3 qa) x: !Tc o s @
(%a)
dw
Es i e t unter der Bedingung
F1 + 0,
F2
-+
= n = const
i To,
0
-+
und:
21
+x T
zu losen.
Wenn
5' und
77
IV. Naherungslosung fur 5 und 17
nur wenig von den ungest6rten Werten abweichen, also bei
kann nian leicht eine gute erste Naherung angeben. Man setzt zu dieseni
Zmecak in (20) rechts round x T a n Stelle von 5' und 91, ferner in (20b) links noch
1
d
a
715' = x T/&,.i und werden nicht voii 9 abhangen, so da13 A = s____
- sin 8 in8 d 6
dB'
Daniit 5%ird aus (30) :
.
dc
x:T
-sin#'=
d
d
F " ~ + F7cz ~ ~ ~ ~ ~ T ) ~
~hnii.il,rfi'n'.-~/,slnBil~
Hierbei wurde
KO
8% T
d6
dx T
= -- 6
Co
(
0
'
1
(22a)
verwendet. Aus (22a) folgt:
oder :
I)a
< uiid
21
keine Sjngularitiiten haben diirfen, ist const
K 5'
x T
-
L 7-r/
50
=-
;;( F , + F
cos 6
=
0, also:
+ c (F,, P2).
(33)
SchlieBlich wird (23a) von ( 2 2 b) subtrahiert. Das liefert als Bestimniungsgleichung fur 71 - x T :
)
C
O
~
208
dnnalen der Physik. 6. Folge. Band 17. 1956
die Differentialgleichung der Legendreschen Polynome mit Inhomogenitat.
Fur T
0 geht -4 gegen m ; etwa im Bereich T / O < 0 , l ist A > 2. Dort hat
(24) die Losung
yj=xT+-cos 8.
--f
A-2
Setzen wir sie in (23)ein, so resultiert, da c (F, F,) durch 5
festgelegt ist:
5' = To c cos 8
niit
=
iofur F2 = F,
=
0
+
(56)
Diese Wiiherungslosungen konnen als Entwicklung nach Kugelfunktionen betrachtet werden, die nach PI abbrechen; sie sind in Feld und Temperaturgradient linear.
Allerdings sieht man, dal3 5 und 21 sehr unterschiedlich von PIund Yz abhangen: In B hat F1 gegenuber F , nodl den Faktor x T/&,bei C ist es gerade
unigekehrt. Das legt es nahe, iiberhaupt die mit x TIC,, behafteten
Terme gleich Null zu setzen. Der Fehler ist N 3: T/C0.
In dieser Naherung ist daher das elektrische Feld allein fiir die Deforniatioii
wghrend der Temperaturgradient lediglich die Dicke der ubergangsschjcht "/I (0)
bestimmt. Also ergibt sich von selbst, daB
Q l f zur Rehandlung von elektrischen Problemen nur die Teilchenbilanzgleichung
nijtig ist. Ferner ist die Verlinupfung des
'1 mit dem Temperaturgradienten in sehr
anschaulicher Weise plausibel : Betraclit.en
warm
wir am Ort t mit der Temperatur T die
Geschwindiglieitsverteilung. D a m werden
die Elektronen mit einer Geschwindigkeit
L4bb. 3. F e r m i - ~ u g e lam Ort mit
in Richt.ung grad T aus Bereichen T ' < il'
Temperaturgradient
liommen, w8hrend bei Geschwindigkeiten
entgegengesetzt grad T gerade T' > T ist: 9 i e Fermikugel kehrt lier
,,Warme ihre kalte Seite", der ,,Kalte ihre warme Seite" zu (Abb. 3).
5 (8)der F e r mikugel verantwortlich,
V. Strome
Die elektrische und Warmestromdichte
i = - - J gfit a b r c f
df
4nJ '
haben die Richtung der Polarachse
2.
c
1
=
Mit
df
7i- J E g r a b f E f x n 3
E =
82 x.2
2 tn
' x
= cos 6
ergibt rich
Muhlschlegel: Beitrag zur Leilfuhigkcitstheor.ie der llieiulle bei tipfen Temperatttrcn
809
Die k-Integration lafit sich wieder ausfiihren (App. 111) und liefert :
Wenn wir bei 5 = C0 (1
+
v-?t!P
( + ----)
xT
und 11 = 31 T 1
die Voraussetzung
(21) berucksichtigen, erhalten wir aus (28) in linearer Niiherung :
Man erkennt, daB in einer Entwicklung von [ und 91 naoh Kugelfunktionen
lediglich das Glied mit PI = 2 einen Beitrag gibt. 1st nur ein elekt,risches
Feld da, so folgt mit ( 2 7 ) und (19) aus (29) das Ohmsche Gesebz:
Hat man dagegen einen Temperaturgradienten vorgegeben, so ist i
=
0 mit
gleichhedeutend. Dies ist die Bestimniungsgleichung fur das T h o m s o n feld. Mit ihr wird der Warmestrom
Ein gernaiB (29) noch vorhandener Faktor 1 1 gesetzt. Nach (27) und (19) kommt:
wurde dabei gleich
(32)
Einsetzen der Ausdrucke fur K , L nnd ,4 liefert nach (30) die elektrische Leitfahkkei t
und nach (32) die Warmeleitfahigkeit
310
Annalen der Physit. 6. Polge. Band 17 1956
wahrend aus (31) das Thoinsonfeld
cFTl&=
-
-
: ;grab 1’
40
resultiert. Fur T
0 ergibt sich das P5-Cesetz der elektrischen und das
P2-Gesetz der Warmeleitfiihigkeit, wahrend das Thomsonfeld proportional
T3 grab T ist. Bei der reinen Warmeleitung geschjeht folgendes: Ein vorgegebener Temperaturgradieiit beeinflufit nur die Obergangsschicht 17 der
Fermikugel (Abb. 3). Dies hat neben den Warmestrom auch einen elektrischen
Strom zur Folge wie (29) zeigt. Das sich ausbildende Thomsonfeld fuhrt
aber zu einer zusatzlichen Deformation 5, wclche einen elektrisehen Strom
hervorruft, der jenen gerade kompensiert.
VI. Vergleieh mit dem iibliehen Verfahren
Die oben angegebenen Formeln fur 0 und K stirnmen mit,den entsprechenden
von Bloch und W i l s o n qenau uberein, wenn 1 - y 2 = 1 gesetzt wird. Dies
kann man cthne praktischen Fehler tun, denn z. B. bei To = 4 eV ist. y von der
GroBenordiiung lo-*.
~blicherweisewird in der Leitfahigkeitstheorie fur die gest6rte Verteilungsfunktion der Ausdrucli
f
= f o ( E ) - cos 8
f,(4 P3;f o
vem endet. Allerdings ist das nur dann eine gute Naherung, wenn fo>
<
(33)
afn
f1
z
gilt. Daniit folgt I j, (io)
I 3 x I’ und man fiiidet als Qiiltigkeitshereich des
Ohinschen Gese tzes :
x ill
.
i = rL E z ~ oI ofIyl,:~( I 4 TL ti z’o
(34)
-
in
~
LO
I i o p p el) hat darauf hingewiesen, dafi diese temperaturabhangige Schranke
lediglich eine Eigentumlichkeit der L o r e n t z - Sommerfeldschen Naherung
ist. In der Tat resultiert bei uns am (31) und (37) die Linearitatsbedingung:
1 E; 1 <C-Z!uiid in
(30) eirigesetzt:
50
Es gilt daher das Ohnische Gesetz, solange sich der Schwerpunkt m i i n e
der gestorten Verteilung wenig gegen den Radius rn tio der ungestorten F e r m i kugel im Impulsraum verschiebt, ein sehr plausibles Resultat 6 ) .
6 ) Die Bczichung (34) begrcnzt von unserem Standpunkt aus nicht das lincare Ohmsche Gesetz, sondcfn gibt an, bj6 zu welchen Stromdirhten die gestorte Verteilung noch
iin Bcreiche der Ubergangszonc x T der ungcstorten Bermiverteilung f, von 1 auf 0
abfallt. n e v, x Tic,,
ist allerdings recht groB und h a t fur To m 5 eV, T = 1’ K den Wert
a lo7 A/cmz. Experimentcll gefundene Abweichungen vom Ohmschen Gesetz bci
lo6 A / C ~ ? )sind
~ ) wegcn (35) sicherlich nicht im Rahmcn dcr vereinfachten Theorie
zu erkliircn.
?) A. A. I g n a t j e v a u. C. C. K a l a s c h n i k o w , J. exp. teor. Biz. 22, 385 (1952).
E. S. Uorowilr, Doklady Akad. Kauk 91, 771 (1953).
-
211
Muhlschlegel: Beitrag zur Leitfiil~iglceitstheorie der ?vletalle bei tiefen Teinperaturen
Auch der Fouriersche Ansatz kann gerechtfertigt werden, denn mit (21)
3 xT
und (27) folgt IF,\<2;22--.,-L(A--2) und in (32) eingesetzt:
LO
c0(0) +
5
3
Die mittlere Energie eines Elektrons im F e rmigas ist E(T) =-
z2
( x T)2)
~
50
daher ergibt sich als Bedingung fur einen dem Temperaturgradienten proportionalen Warmestroni :
c
wo
Jy = E(T)- E(O) der
<
2
-~
n As
)
UberschuB uber die Nullpunktsenergie
3
c O ( O ) ist.
Wir diskutieren Zuni Abschlul3 kurz, inwieweit die hier geschilderte Methode
verallgemeinerungsfahig ist und wo ihre Grenzen liegen. Zunachst ist daran
zu denken, a n der recht guten Niiherung (1)eine Korrektur y (f) anzubringen,
die Abweichungen vom fermischen Verhalten der gestorten Verteilung berucksichtigt. Dies wurde bereits von R o p p e angedeutet. Jedoch konnen auch
die genaueren Losungen der Boltzmannschen bzw. Blochschen Gleichung,
welche mit Hilfe der Variationsmethode durch sukzessive Naherungen gewonnen werden 9), nicht die schlechte quantitative ubereinstimmung mit den
Experimentenlo) bei der Warmeleitung uberwinden. Ein Versuch in dieser
Richtung, der sich an die Diffusionsnaherung anlehntell), beruhte auf einem
Rechenfehler 12). Es erscheint erfolgversprechender, nach Ziman13) vom
Bardeenschen Ansatz fur die Gitterwechselwirkung auszugehen. Allerdings
ist unsere Methode auf kleine Impulsanderungen beschrankt, weshalb ihr
Umklapp-Prozesse oder Transportvorgange im nichtentarteten Gas zunachst
nicht zuganglich sind. Dagegen ist das Verfahren auf starke Felder zugeschnitten
und sollte daruber hinaus auch eine Scliallquantenverteilung erfassen
Ironnen, die nicht im Gleichgewicht ist.
Ich danke Herrn Dr. K o p p e sehr herzlich fur Ratschlage und Diskussionen
und bin Herrn Prof. Moglich fur freundliche Unterstiitzung verbunden.
Appendix I
Im t-System gilt bei
r = 0, d. h. am Endpunlit des Vektors f :
9 ) M. Bohler, Z . Pliysil; 135, 679 (1949).
E. H. Sondhciiner, Proc. Roy. SOC.
London (A) 203, 75 (1950).
10) R. Bermanu. U. K. C. M s c U o n a l d , Proc. Roy. Soc. Loiidon (A) 209,368 (1951);
G. K. W h i t e , I’roc. Phys. Soc. 66, 814 (1953); P. 0. Klemens, Proc. Phys. Soc. 67,
194 119541.
li) M.’Toda, J. phys. Soc. Japan 8. 339 (1953).
12) A. B l a t t , J. phys. Soc. Japan 9, 440 (1954).
*a) J. M. Ziman, Proc. Roy. Suc. London 3‘3.6, 436 (1954).
212
Annalen der Phyeik. 6. Folp. Band IT. 1956
weil
5
= i ( 0 , 8).Daher
laatet die Taylorentnicklung:
.-
-
I-
--
Wegen Z,= to v1.- yi cos rp, u’,= xi 11’ 1- 712 sin @ ergibt sich hieraus
ox
(1-]!2).17
gd V, = ~-
?-
-
w2
P+
(;$
f-
; Transforniation v o n f auf f fuhrt zu (9).
0
Appendix I1
Man bringt die Integrale zunaclist auf die Form
nii 1
cg
=
1,
c2r
=
(ZT),
(1 -
Damit h i i n i t iiian
aiif
i(x) = Zetafunktion, folqt:
den in (14) festgestellten Zusanimenliang. Es ict
Appendix 111
0 . grabf,f = divf (f
0 . grabr f = dix--t ( ~G)j
a (sii1z69iz)
- Q . g r a b ~ zwreinfachen. Wegen dirt IZI =
2 (k2Z‘ T,) --X- sin B iiB
(% ist ein Velitor, der nur eine Komponente 21z in Richtung der Polarachse hat)
folgt rnit 91 = f @:
(1;) 1iiISt sicli niit
c o s 8 it
~~
F
Leitfahigkeitstheorie der Metalle bei fiefen Teniperaturen
213
und m i t (21 = E / E:
00
F
0'.grabt f k2 dk
0
und
Benutzt nian
so erpibt sich (18) und (28).
E e r l i n , Institut fur theoretische Physik der Humboldt-Universitat.
Rei der Redaktion eingegangen am 15. Juni 1955.
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