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Beitrag zur statistischen Theorie der Atomkerne.

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Beitrag zur statistischen Theorie der Atomkerne')
von
w.Znthoff
Mit 2 Abbildungen
Inha1tsiibersicht
Durch geeignete Approximation der gemischten Dichte wird eine zur
T h o m a s -Fermi-Dirac-Gleichung der statistischen Theorie der Elektronenhulle analoge Gleichung fur den Atomkern abgeleitet. Ein Naherungsverfahren zur Losung der erhaltenen Gleichungen wird skizziert. Bei der (in der
ganzen Arbeit angewandten) Beschrankung auf zentrale Zweikorperkrafte
konnen durch An passung an den empirischen Kernradius und die empirische
Bindungsenergie eines geeigneten Kernes Bedingungen fur die Kernkrafte
aufgestellt werden.
Einleitung
Einen Uberblick iiber die bisher vorliegenden Ansatze zu einer statistischen Theorie der Atomkerne gibt P. G o m b a s in seiner Arbeit: Wber die
statistische Theorie der Atomkerne2). In den dort referierten Arbeiten wird
entweder bei der Berechnung von konstanter Dichte im Kern ausgegangen,
oder, wie auch bei G o m b a s , das R i tzsche Verfahren angewendet. Die Nachteile dieses Verfahrens liegen bekanntlich darin, daB zwar die Energiewerte
sich recht genau ergeben, uber die Giite der verwendeten Naherung fur die
Dichte jedoch nichts ausgesagt werden kann.
In der vorliegenden Arbeit sol1 deshalb eine der T h o m a s - F e r m i - D i r a c Gleichung der statistischen Theorie der Elektronenhulle analoge Gleichung
abgeleitet werden. Die Annahmen uber die Kernkrafte, die in der statistischen
Theorie der Atomkerne ublicherweise gemacht werden,sind in $ 2 kurz skizziert.
Wenn es auch wenig hoffnungsvoll aussieht, mit diesen Annahmen die Streuprozesse bei hohen Energien zu erklaren, so sind die kinetischen Energien im
Kern doch um eine Zehnerpotenz kleiner als die Energien bei den Streuprozessen.
Man kann hoffen, daI3 durch Bnderung des Wechselwirkungspotentials allein
eine hinreichende Wbereinstimmung erzielt wird. (S. auch die Diskussion in
8 6.)
Wir gehen aus bei der Aufstellung der statistischen Gleichung von der
Hartree-Fockschen Naherung fur die potentielle Energie. Bei der Elimination der gemischten Dichte wird wie iiblich die Rechnung fur freie Nukleonen
durchgefuhrt. Zum Unterschied von G o m b a s erfolgt die Rechnung nicht fur
den Energieausdruck sondern fur eine Art Potential ; auBerdem wird die Ein-
- _1)
2)
Auszug ~ U einer
S
Dissertation an der Universitit Main~1954.
P. Gombas, Ann. Physik (6) 10, 263 (1952).
W . Inthoff: Beitrag zur statistkchen Theorie der Atomkerne
377
wirkung der Oberflache berucksichtigt. Die komplizierten Ergebnisse machen
es erforderlich, daB sie durch geeignete Funktionen im benotigten Interval1
approximiert werden. Die statistische Naherung fur die kinetische Energie
wird ohne Oberflachenkorrektur benutzt, die ja auch in der T h o m a s - F e r m i Dirac-Theorie unbeachtet bleibt. Bei dem Anteil der Coulombenergie
wurde der Austauschterm vernachlassigt und nur eine Korrektur zur Elimination der Selbstenergie eingefuhrt.
Aus den so erhaltenen Ausdrucken fur die Energie (2,9) und (4,17) erhalten
wird durch Variation der Dichte(n) die gesuchte(n) Gleichung(en). Bei der
Ableitung beschrilnken wir uns auf den kugelsymmetrischen Fall. Das angewandte Verfahren schlieBt sich an die Monographie von Gombas3) an. Ausfuhrlich wird das Verfahren nur durchgefuhrt unter Vernachlassigung der
C o u l o m bwechselwirkung, da es hier durchsichtiger ist. Auch das Naherungsveqfahren bei der Losung der statistischen Gleichungen wird nur fur diesen
Fall ausfuhrlicher gezeigt, wie es uberhaupt der Zweck der Paragraphen 2 und 3
ist, das angewandte Verfahren deutlich zu machen. In der Diskussion (I 6)
zeigt es sich, daB die Ergebnisse zwar qualitativ durchaus befriedigend sind,
aher zur quantitativen Ubereinstimmung Korrekturen erforderlich sind. In
welcher Richtung diese Korrekturen zu suchen sind, wird kurz angegeben.
Es wird in dieser Arbeit davon abgesehen, die mathematischen Naherungsverfahren zu verbessern, die verwendet werden, da es im gegenwartigen Zeitpunkt vor allem erst einmal darauf ankommt, sich Klarheit uber die Kernkrafte zu verschaffen. Zumindest in dem MaBe, wie sie fur die Theorie des
Atomkerns benotigt wird. Es zeigt sich, daB es ohne groBe Hilfsmittel zu muhsam ist, samtliche verfiigbaren Parameter zu variieren. Deshalb wurde die
Form des Potentials aus der Mesonentheorie ubernommen, die Anteile der Austauschkrafte wurden in Anlehnung an die Werte gewahlt, die sich aus der
Diskussion der StreuprozeBe ergaben (Nukleon-Nukleon-Streuung).
In der Arbeit wird ferner davon abgesehen, die zahlreichen moglichen Anwendungen einer statistischen Theorie fur den vorliegenden Fall durchzurechnen. Die doch nur qualitativ richtigen Ergebnisse durften den benotigten
Auf wand kaum rechtfertigen.
Q 1. Einfiihrung dimensionsloser GroBen. Ableitung einiger Hiifsgleichungen
Durch die auftretenden Gleichungen werden folgende Einheiten nahegelegt bei der Einfuhrung dimensionsloser GroBen :
I. als Langeneinheit die Reichweite der Kernkrafte :
E=-
M
m,c
1,398
-
cm; wobei m, die Masse des geladenen
n-Mesons ist : m, = 276 ma4)
; (me = Elektronenmasse) ;
11. als Masseneinheit das arithmetische Mittel von Protonen- und Neutronenmasse m = 4 (mN mp) = 1,674 lo-= g ;
+
fi2
mn2
.
-
c2
111. als Energieeinheit -- -- 10,60 MeV
2m12
3)
4)
2m
P. Gombas, Die stat. Theorie des Atoms und ihre Anwendungen. Wien 1949.
W. Heisenberg, Kosmische Strahlung. 2 . A d . S. 121. Berlin 1953.
Ann. Physik. 6. Folge, Bd. 15
26
378
Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 16. 1955
Damit ergibt sich als Impulseinheit
Is
T.
Das Volumen der Elementarzelle
des Phasenraumes betragt also in den gewahlten Einbeiten 8 9.Zunachst
wollen wir die Coulombwechselwirkung vernachlassigen, dann ist die Protonendichte gleich der Neutronendichte. I m folgenden bezeichnet Q die
Summe der beiden Dichten, die Nukleonendichte. Wir wollen weiter annehmen,
daf3 stets gleichviel Protonen und Neutronen im Kern vorhanden sind, und
daf3 stets beide Spineinstellungen gleich oft vertreten sind auch fur Protonen
und Neutronen allein. Da die Nukleonen der Fermistatistik gehorchen, gilt
dann fur den Fall der vollstandigen Entartung:
A
Hierbei ist
A
=N
P der Maximalimpuls, Q das Volumen des Aufenthaltbereiches.
+ Z ; A = Massenzahl, N
= Neutronen- und
Z
= Protonenzahl.
In dem Ausdrnok fiir die potentielle Energie im folgenden Paragraphen tritt die gemischte Dichte e(rl, rz) auf. Sie ist definiert durch:
wobei q n der ortsabhiingige Teil der Eigeniunktion yn ist.
Wir wollen im folgenden die statistische Niiherung fiir die gemischte Dichte berechnen.
Fur freie Teilchen gilt:
1
~n
=
~
m
~ X {-i
P
(Qn,
t)};
(Bei hinreichend grol3em s2 sind dime Eigenfunktionen ,,fast orthogonal".) Damit wird
aus (1,3):
4 A ?
e(rl, rz) = 5
exp { - i( P ~ (rl
, - rz)>);
n= 1
In der statistkchen Ntiherung wird das Integral fur die Summe gesetzt. Mit den Bezeichnungen: IpI = p; Irl - rzl = r12; ist nach (1,l):
1 P -1
e (rl, iZ) = - - J .f exp {- ip yI2 cos 6) d COB 6 7 d p ;
R Z 0 +1
Im Ebblick auf die Anwendung approximieren wir jetzt nicht (1,4) durch eine geeignete Funktion, sondern das Integral I,,, definiert durch:
In der Grenze
+ M liil3t sich das Integral geschlossen losen :
W . Inthff: Beitrag iicr statistkchen Theorie der Atmnkerne
379
Entwickeln wir nach Potenzen von P , so erhalten wir:
I,(-)
=
p6
9
-_
2 p_
8 + ...
46
1X-e Reihe konvergiert zu langsam, deshalb interpolieren wir die Funktion I , (m) im
Interval1 0 5 P 5 2 durch:
I , (co)M
- 0,024465P7.
(197)
Fiir (1,6)machen wir den Ansatz:
Il ( r ) m I. (M) (1 - e-' + B r e - ' ) .
Zur Bestimmung von 3 berechnen wir I , numerisch fur 0 5 r 5 5 ; und die Parameterwerte P = 0,6;1; 1,4; 2. Nach der Methode der kleinsten Quadrate ergibt sich d a m
B zu 0,3996 P .
Fur das unbestimmte Integral I ( r ) konnen wir also setzen:
I ( r ) = I&)
+ const;
7
I(r)
J I,(=) e-' [l - 0,3996 P ( r - l)] d r .
(1,s)
Sind P und e im betrachteten Gebiet nicht konstant, sondern so langsam
veranderlich, da13 man sie als stiickweise konstant betrachten kann, so wird
man e durch das geometrische Mittel von @(TI) und e(r2) ersetzen. P entsprechend. Als Bezeichnung fiihren wir ein :
PI= P(r,); entsprechend P2, el, e2;
Plz =
m2
; entsprechend
e12.(e12ist
nicht
e(q. rz)!)
Dann wird aus (1,4):
und aus (1,8),wenn wir P durch e ersetzen nach (1,2):
0 2. Aufstellung der Grundgleichung
Wir gehen aus vom Energieausdruck in der statistischen Naherung. Die
kinetische Energie der Nukleonen betragt :
Integriert wird uber das gesamte Kernvolumen, d. h. uber den Bereich, in
dem ,g 2 0 ist.
Bei der Berechnung der potentiellen Energie machen wir folgende Annahmen :
I. Wir nehmen als Kernkrafte Zentralkrafte an, die das Potential
dll
K (q2)= K,, = - C - haben sollen ; betrachten also nur Zentralkrafte.
2
1
'
26*
380
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 15. 1955
11. Die Krafte sollen ladungsunabhringig sein. (Unter dieser Voraussetzung
gilt auch nur die in 5 1 behauptete Gleichheit der Protonen- und Neutronendichte.)
111. Wir nehmen sowohl gewohnliche (Wigner-) als auch Austauschkrafte an.
IV. Fur die Eigenfunktion des Gesamtsystems rnachen wir den F o c k schen Determinantenansatz.
Dann wird die potentielle Energie5) :
E,t
b
=
+JJ el e2 K12 dv, dv2 + 7 JJ Ie(r1, %)I2
Kl, dv1 dv2.
(252)
Nehmen wir an, daI3 e kugelsymmetrisch ist, so konnen wh nach Einsetzen von (3,l)
die Integrmtion uber (pz ausfiihren, und erhalten fur das Austauschglied:
b
-- / J
2
0,54065 @Ti3
K12 [ l - 0,9812 e:i3 (r12 - 111 dvl dv2.
Fiihren wir die Abkiirzungen ein:
U(rJ = j ~ z K , , d ~ 2 ;
V , = V(tl) = J 0,54065
K12dv2;
W , = W(rJ = J 0,9812 ez/8 K12(r12 - 1) dv,;
Y , = Y(rl) = J 0,5305 p:/3 K12(rl, - 1)dv,;
u1 =
so wird aus (2,3):
Die Gesamtenergie E ist also:
Hieraus erhalten wir eine Gleichung fur Q, wenn wir die Gesamtenergie E
durch Variation von e zum Extremum machen. Wir variieren e in (2,9) unter
6 ) 8.
z. B. W. Heisenberg, Theorie des Atomkerns. S: 64. Gottingen 1951.
W . Inthoff: Bektrag zur statistiachen Theorie der Atomkerw
38 1
der Nebenbedingung :
= J @, dv,.
A
Die Extremalbedingung lautet dann :
Man e r U t daa Ergebnis am schnellsten, wenn man die Symmetrie der Wechselwirkungsintegmle bez. der Indizes ,,l" und ,,2" beriicksichtigt. Man variiert nur el
und multipliziert den potentiellen Anteil mit zwei.
( 2 , l l ) fiihrt, da 6e, beliebig ist, zu der Beziehung:
1
3n2
--(T
2
=
7
7
4
- (u + b ) U, + b V , ef'6 + - b W,e:ls - - b
6
6
Y , e;l3 - A.
(2,12)
Wir nehmen an, daR aul3erhalb eines Radius R die Dichte e verschwindet..
Die Funktionen a n der Stelle r = R bezeichnen wir mit dem Index ,,R",
z. B. e ( R )= ex.
erhalten wir nach J e n s e n aus der Forderunge):
eR
dE
a
= 0;
(2,131
wobei gleichzeitig (2,lO) und (2.12) berucksichtigt wird.
dE = 4 n R 2 [ ( ,
dR
+b)li, -b
V B e 116
R
-bW,ek"+b
ilE aR
Y,pg3
(2,141
Der Faktor zwei bei dem potentiellen Anteil tritt aus demselben Grund auf wie bei
( 2 , l l ) . Nach ( 2 , l l ) gilt:
sE
6A
(2,15)
fie = - A - 6e *
-erhalten
ae
wir aus (2,lO):
aR
Emsetzen in (2,14) ergibt, wenn wir noch durch 4 n R2kiirzen:
3 3n2
+ b) U , - b V , ep- b W , ex'" + b Y , + -(-e,>l"
+ A] pa = 0. (2,17)
10 2
Nehmen wir zunachst eR =+0 an, so konnen wir mit Hilfe von (2,17) in (2,12) A eli-
[(a
minieren :
6)
H. J e n s e n , Z. Physik 93, 232 (1936).
382
Annulen der Phyaik. 6. Folge. Band 15. 1955
und erhalten schliel3lich fiir rl = R:
Da auch @a= 0 eine Losung (2,19) ist, konnen wir die Einschrankung
Es wird sich bei der numerischen Berechnung im nachsten
Paragraphen zeigen, daB die einzige brauchbare Wurzel (d. h. 0 5 @R 5 1)
von (2,19) @R = 0 ist. (2,18) liefert mit diesem Wert:
eR + 0 fallen lassen.
8 3.
Beschreibung des Naherungsverlahrens. 1. Ntiherung
Nehmen wir an, daI3 e kugelsymmetrisch ist, so lassen sich die Volumenintegrale
(2,4) bie (2,7) zuruckfiihren auf einfache Integrale. Legt man die Drehachse von q, in
Richtung von r,, so ist:
dv, = 2 rl, dr,, dr, dq2.
(3J)
71
Die Integration uber q2 und r12lal3t sich sofort durchfuhren, und wir erhalten:
2n R
I e2 72 [exp {- I ~ I rz!]- exp {-- (rl r2)11dr,;
r1 0
2n
R
Vl = - - - 0,64066 J eT’6 r2 [exp {- Ir, - r2\]- exp f -(rl
+
.y1 -
r1
2n
Yl = - - -0,6306
rl
0
R
I e:’s
0
.
- r2 [Ir, - rzJexp {-
/TI- rzl} - (rl
(3,2)
+ r 2 ) } ]dr,;
+ r2)exp {-
(3,3)
(r,
+ r,)}]dr,.
(336)
Setzen wir (3,2) bis ( 3 , s ) i n (2,20) ein, so erhalten wir eine nichtlineare
Integralgleichung, die wohl kaum geschlovsen zu losen sein durfte.
Als Niiherungsverfahren vemenden wit die Kollokationsmethode’)
I n den zitierten Atbeiten werden zwar nur Differentialgleichungen behandelt, doch 1 aB t sich das
V e r f h n ohne weiteres auch auf Integralgleichungen anwenden. Liegt die Gleichung
in einer ibrationsfiihigen Form, vor, die in unserem Falle leicht gewomen werden kann,
so haben wir sofort eine Priifmethode fur die Gute w e r e r Niihemng. (Vgl. die Bemerkungen am Ende dieses Pamgraphen.)
Das Kollokationeverfahfenbesteht darin, daB wir fur e einen geeignetenAnsatz machen
mit verfiigbaren Parametern. Dieser Ansatz wird in (2,20) eingesetzt, und die Parameter
dadurch bestimsnt, dal3 wir an hinreichend vielen Stellen (Kollokationspunkten)verhngen,
dal3 die Gleichung genau erfiillt ist. Die Zahl der Kollakationspunkte ist, falls die erhaltenen Gleichungen unabhtingig sind, gleich der Zahl der Parameter. Der wesentlichc
’) K. Bechert, Ann. Physik (6) 4, 216 (1949).
R. A. Frazer, W. P. J o n e s , S. W. Skan, Approximations to Functions and
Solutions of Differential Equations, Reports and Memoranda Nr. 1799 (2913) Aeronautiwl Research Comittee, 1937.
W . Inthoff: Reitrag zur etatistischen Theorie der Atomkerne
383
Untcrschied der beiden zitierten Arbeiten liegt in der Wahl der Kollokationspunkte. In
7) sind physikalische Gesichtpunkte maBgeblich fiir die Wahl, in 8) sind es im wesentlichen Symmetriegriinde.
Ks ist wichtig beim Kollokationsverfahren, da13 man sich zunachst einen
qualitativen Uberblick uber die Losungskurve verschafft. Aus (2,19) ergibt
= 0. Wir wissen ferner auf
sich d t den noch folgenden Rechnungen
Grund unseres Ansatzes fur die Kernkrafte (ihre Reichweite ist zumindestens
fiir die schweren Kerne klein gegenuber den Kerndimensionen), daB im Innern
die Dichte nahezu konstant ist. Deutliche Abweichungen zeigen sich in einer
Entfernung vom Rand, die bestimmt ist durch die Reiohweite der Kernkrafte und xiemlich unabhangig von Rist. Die Dichteverteilung hat also nicht
die Form:
e = e (1)
- . Verwendet
man (2,20) als Iterationsgleichung (s. Be-
merkungen a m Ende dieses Paragraphen) mit der Ausgangsfunktion e = const.,
so sieht man, daB e in der nachsten Naherung die oben zitierten Eigenschaften
zeigt. Au13erdem ergibt sich, daI3 e eine gerade Funktion ist, und daB diese
Funktion rnonoton fallt. Die im Hinblick auf die Integration einfachste
Naherungsfunktion durfte sein :
It' = R liefert ein zu steiles Einrniinden der Dichte bei r = R. Fur nicht
z u leichte Kerne ist R' = R--0,5 die beste NBherung.
Leider konnen wir die Potenzen ea nicht streng integrieren in den Gln. (3,2) bis (3,6).
W ir verwenden deshalb als Interpolationsformel:
-_-
go\ r
Wshrend das Glied erster Ordnung in
noch einer strengen EntwickIung entspricht,
601R
ist das Glied zweiter Orhung so gewahlt, da8 die { . .}-Klammerfur r = R' verschwindet.
Der Fehlei, der sich fiir schwere Kerne nur in der Nahe des Randes bemerkbar macht,
kompensiert sich zum Teil, da die ,,Potentiale" U bis Y mit verschiedenen Vorzeichen
auftreten.
Die Werte fur die ,,Potentiale" U bis Y berechnen wir in der Naherung
(3.6) fur r = R und setzen sie in (2,19) ein. Fur R >= 1 und vernunftige Werte
von po ergibt sich dann, da13 keine brauchbare Losung eR> 0 existiert. Dividiert man durch b, das nach den SattigungsbedingungenY) positiv ist, so ist es
selbst fur b + 00 nicht moglich, eine brauchbare Losung zu finden. Der Zu> 1 aussatz, brauchbare Losung, sol1 die eventuell moglichen Losungen
schliellen, die erstens den Gultigkeitsbereich der Naherung fur die gemischte
Dichte uberschreiten, und zweitens zu vie1 xu kleinen Kernradien fuhren.
Das Ergebnis andert sich nicht, wenn wir die ,,Potentiale" U bis Y ausgehend
von konstanter Dichte berechnen.
Nachdem wir die Bestimmung von @R nachgeholt haben, nun zur Bercchnung von eo nach der Kollokationsmethode. Die Naherung (3,6) bis (3,7) und
9)
Vg1.z. B. H.A.Bethe and R.F. Bacher, Rev. mod. Physics 8 , 8 2 (1936).
384
Annalen der Physsik. 6 . Folge. Band 15. 1955
die damit berechneten Integrale setzen wir in (2,20) ein. Eine Bedingung fur
Po erhalten wir, wenn wir verlangen, da13 (2,20) an der Stelle rl = 0 genau erfiillt ist. Diese Stelle wurde gewiihlt, da erstens der Ansatz (3,6) (2,20) an der
Stelle r, = R identisch erfiillt, und zweitens die Koeffizienten von eo dann am
wenigsten von der Abweichung zwischen strenger Losung und Naherung abhangen. Denn diese Abweichungen treten hauptsiichlich am Rande auf.
Wir erhdten fiir (2,20) an der Stelle r, = 0 bei Vernachlassigung der Glieder
fit
e-SR’
.
--I)+
1 eR’( R 2- 3 R’
12
Eoj2R’
3)
*
Die Losung hangt a b von den Parametern a und Po).Zu ihrer Bestimmung miissen wir empirische Daten heranziehen. Und zwar wollen wir die
Bindungsenergien, wie sie unsere Rechnung liefert, vergleichen mit den
Werten der halbempirischen Wei zsackerformel:
F e a t h e r l l ) gibt fur die Konstanten die Werte an:
U, M 14,4 MeV; UD M
20,O MeV; uc m 0,60 MeV; uo M 15 MeV.
(3,lO)
Damit wir vergleichen konnen, mussen wir umrechnen auf die Einheiten
des $1. Wir erhalten so :
U,
i~
1,358; UD w 1,887; U C m 0,0566; u0
1,415.
(3,11)
Bei Vernachlassigung der Coulombkrafte reduziert sich (3,9) auf :
E = - 1,358 A
1,415
(3312)
Mit Hilfe der ,,Potentiale“ U bis Y berechnen wir jetzt nach (2,9) die Anteile der Ge-
+
samtenergie E . Ebenfalls in der Niiherung (3,6) bis (3,7) und unter Vernacbigung der
lo) Die Proportionalitiltakomtante C in K,, setzen wir fur die folgenden Rechnungen
diesea Paragraphen gleich 1.
11) N. Feather, Advances in Phgsies 2, 141 (1963).
W . Intho//: Beitrag
ZUY
etatistiachen Theorie der Atomkerne
Glider mit e-2B' ergibt sich:
3n2 213e50/3
E = -2 n -
+
73 +-.491 ~ _ _3097
16 n2
R'S
_ _ _ a _b _
. Rsel:
~
18 R'
64R'z
324R3}
2
3
5 ( 2 )
93
171
b 16n*
I1--. 21 +-----.--\ 4 R ' 8 R 2 1 6 R 3 ] + 3 ' 3 ' 0,54065 R'3
6676
128167
b 16n2
. I1 - 1199 + _
_ - -~
1 216 R' 432 R'2 10 368 R's} + * 3' 0,9812 RISeZi3
17249
116979
b 16n2
__._-.
.1---+$.----2592 R'
7776Rt2 9:130120!#3}
2
3
075305 @?3
2245
31716
271026
1
.I---+
___
324 R'
1944R'Z 23328 R'SJ
{
~
{
{
Wir benotigen noch das Normierungsintegrdfiir die Dichte:
Fur zwei mittlere Werte von R', z. B. R' = 5 bzw. R' = 6 konnen wir
jetzt leider nicht erreichen, daB fur beide (2,20) erfullt ist, und gleichzeitig
die berechneten Werte der Bindungsenergie mit der Wei zsackerformel
iibereinstimmen. Deshalb nehmen wir noch einen dritten Kernradius hinzu
(R' = 7) und eliminieren mit Hilfe von (2,20) Po aus (3,13) und (3,14). Fur
verschiedene Werte von a/b berechnen wir dann die Differenz der Bindungsenergien pro Nukleon nach (3,13) und (3,12) in Abhangigkeit von b. Fur einen
bestimmten Wert von b ist die Summe der Abweichungen bei den drei Kernradien ein Minimum. Die Summe der Abweichungen wachst mit ajb, falls
a/b> 0 ist. Fur kleine negative Werte von alb iindert sich bei unserer Genauigkeit der Wert des Minimums nicht. Wir konnen deshalb fur a / b den
Wert 0 wahlen in Obereinstimmung rnit den SattigungsbedingungenD).
R'
In der Tabelle folgen die Werte fur @$I3, A und ro = A'lr, den ,,Protonenradius", berechnet rnit dem Parameterwert 2 3c b = 25,07 ; der die minimale
Abweichung der Bindungsenergien fur a / b = 0 liefert.
5,5
6,5
7,6
0,8212
0,6816
0,6308
I
172,6
183,6
244
~
0,899
1,057
1,120
1
1,267
1,479
1,666
Wir wahlten a19 Kernradius bei der Definition des ,,Protonemadim"
R' statt R, da nach Abb. 1 R' wahrscheinlich besser mit dem empirischen
Kernradius ubereinstimmen wird. Eine scharfe Definition des Kernradius
ist nicht moglich auf Grund der verschiedenen MeRmethoden ; man. kann aber
die Stelle wahlen, an der e bei Annaherung von auBen her merkliche Werte
annimmt .
Wir wollen jetzt noch die Gute unserer Naherung (3,6) feststellen. Fur den
Wert R' = 6 berechnen wir durch Iteration rnit Hilfe von (2,20) die nachst
hohere Naherung. Wir setzen in (2,20) ( U , - U R ) , V,, W , und Y, ein, die sich
386
Annakn der Phyeik. 6.Folge. Band 15. I955
als Integrale wenig andern, und losen dann die Gleichung 4. Grades fur e;l6.
Wiirden wir auf diese Weise iterieren, d. h. die so erhaltenen Werte fur h
benutzen zur Berechnung der nachsten Naherung fur die ,,Potentiale" U
bis Y und so fort, so wurden die
Naherungsfunktionen stark oszillieren. Die Konvergenz gegen
die strenge Lijsung wird also
beschleunigt, wenn nicht, was
wahrscheinlicher ist, erst erzeugt,
wenn man den Mittelwert zweier
aufeinander folgender Naherungen als Ausgangsfunktion fur
die nachst hohere nimmt. In
Abb. 1 stellen wir die Naherung
(3,6) und die erste Naherung einschliel3lich der obigen Mittelwert.. ..
0. Niiherung (3,6)
bildung dar.
1. Naherung 8.0.
Wenn sich in Abb. 1 die nullte
Abb. 1. Vergleich der Niiherungen fur die und erste Naherung auch noch
ziemlich unterscheiden, so wollen
Nukleonendichte
wir jetzt nicht m i t e r durchiterieren, da die Extrapolation der Weizsackerformel sehr gewagt ist.
-----
5 4. Energieausdruck fur beliebige Kerne
In den folgenden Paragraphen wollen wir die Einschrankung des $ 1 fallen
lassen und die Neutronenzahl unabhangig von der Protonenzahl wahlen ;
auch die Spins brauchen sich nicht mehr abzusattigen. Wir haben dann mit
vier Dichten zu rechen:
&
Dichte der Neutronen mit positiver Spinrichtung,
eL$ Dichte
der Neutronen mit negativer Spinrichtung
p'p Dichte der Protonen mit positiver Spinrichtung,
QP
(491)
Dichte der Protonen mit negativer Spinrichtung.
ex bezeichnet in den folgenden Gleichungen irgendeine der oben definierten Dichten, P, den zugehorigeh Maximalimpuls, 0, das zugehorige
Volumen des Aufenthaltbereiches und n, die Zahl der Teilchen der betreffenden Sorte. Es gilt bei vollstiindiger Entartung :
4n
- Pi Q, = 8 n3 nz,
3
Pi = 6 nze,.
Fur den Anteil der kinetischen Energie @It:
Die potentielle Energie setzt sich zusammen aus dem Anteil, den die
Kernkrafte liefern, und der Coulombenergie der Protonen. Der Anteil der
W.I7tthoff: Beitrag zur
8tut&hchen Theorie der Atornkerne
38 7
Kwnkrafte spaltet sich weiter auf in den Anteil der normalen Wignerkraftc
E w , der Majoranakrafte E M , der B a r t l e t t k r a f t e EB und der H e i s e n bergkrafte EH. Ew lafit sich sofort hinschreiben, da das Austauschglied
den Ausweicheffekt der Nukleonen auf Grund des P a u l i prinzips beschreibt :
C
C
TJJK12 el e 2 dv1 dv2 - 2-8gJJK12 {leB (XI r2)I2
Ew =
f
+ lei
(r1 r2)I2
1e"P(TlC1, r2)I2 + leP (r1 r2)12} dv1 dv2;
mit der Abkurzung:
(435)
e = elt + & + eu + ep:
EM geht aus Ew hervor durch Vertauschung von gewohnlicher und gemischter
Dichte :
G
C
,Jj K,,
EM =
+
e$1
&z
r2)y
+ eP1
dv1 dv2 - 2J2 T-JJ4
eF2>
2
{&
1
e h + ehr1 e32
(476)
dv1 dv2:
diesmal gilt die obige Abkurzung fur die gemischten Dichten. EB und EH
lasven sich nicht so leicht anschaulich deuten. Durch formale Rechnung erhalt
man :
G
C
E B = 8 y JJ K12 {d e2'
p i Ei} dvi dv2 - B 9J.f K12 {leiv
r2)I2
(4,7)
lep (r17x,)~)dvl dv2:
+
+
EH =
c
@ TJS K12 (e'
(TI? r2)l
+ le-
(r1, r2)i2}
dv1 dv2
(478)
dahei bezeichnet :
+
+
f
e-=eic+eF;
m=p;+eN.
P
P
P
Das Argument wurde fortgelassen, da diese Abkiirzungen sowohl fur die
gewohnlichen als auch fur die gemischten Dichten gelten sonen.
Als letztes Glied im Energieausdruck fehlt uns jetzt noch die C o u l o m b energie. Den Austsusch wollen wir vernaohllssigen, dagegen die Selbst Z(2- 1)
1
wechselwirkung summarisch ausschalten durch den Faktor 2= 1 -2'
Die Coulombenergie Ec betragt dann:
wo bei :
e2 = 0,0971 ;
Wir konnen Ec auch in der Form schreiben :
388
Annalen der Phyaik. 6. Folge. Band 15. 1955
dann ist:
In der Niiherung (3,6)konnen wir U , streng berechnen und erhalten fur
r S R':
E , konnen wir auch streng berechnen, wir vernachlassigen aber die Glieder
mit e - z x :
W . Intlmff; Beitrag zur statistischwa Themie der Atmnkerne
389
Q 5. Aufstellung der verallgemeinerten Grundgleichung. Bestimmung der
Wechselwirkungsparameter
Ausgehend vom Energieausdruck des vorhergehenden Paragraphen
wollen wir jetzt die Erweiterung von (2,20) berechnen. Es wird sich, wenn
wir die vier Dichten &, ~ ief,und eji unabhangig voneinander variieren, ein
System von vier Integralgleichungen ergeben. Fur die vier Dichten gelten
die Normierungsbedingungen :
zi.
k
dv = N* ; J & d v =
(571)
Durch den Rechungsgang, den wir in 3 2 beachrieben haben, erhalten wir als Extremalbedingung fiir die Energie durch Variation der vier Dichten folgende vier Gleichungen (je zwei konnen zusammengefafit werden):
J@'V
1
+ lel(1- z
)UCl + 1;
= 0;
Die Rechnung geht analog 8 2 weiter. An die SteUe der G1. (2,13) tritt:
Die nachfolgenden Gleichungen lasaen sich leicht Ubertragen und fuhren schlielllich,
falls wir annehmen, daB die zu (2,19) analogen Gleichungen ah einzig brauchbare Wmeln
p Z a = 0 liefern, zu den Beziehungen:
(6,6)
j.;, = - % [ U , - Ui.,] - 'B [ - U i . R
U,] - b [ U R - U,,]
- 8 [- U N R U i ];
", == - % [ U , -
U;,]
-rm
[- U f ,
+
+ U,]
- b [U); - Up,] - 8 [-
+
up, + UR]
Die Gln. (6,2), (6,3), (6,6)und (6,6) sind die Erweiterung der G1. (2,20).
Es ist. natiirlich noch hoffnungsloser, dieses Gleichungssystem losen zu
wollen, als die G1. (2,20). Wir sind also auf Naherungsmethoden angewiesen.
3 90
AnnuEen der Physik. 6. Folge. Band 15.
1955
Das Verfahren des 8 3 wollen wir aber nicht auf den ellgemeinsten Fall anwenden, sondern uns beschranken auf den Spezialfall : e$T = p i . AuBerdem
z e, und pnr
wollen wir zunachst wieder ep = A
an der Stelle r, = 0:
N
=-
A
P
e setzen.
P
Dann ergibt sich
W . Inthoff: Beitrag zur statiatischen Theorie &r Atontkerne
391
Die Bestimmung der Parameter erfolgt durch Anpassung an die Bindungsenergie des Bleiisotops g P b :
-= 7,827 MeV.
A
Als ersten Ansatz fur die
Kernkrafte verwenden wir l2) :
%::Em:%:@ = (- 12):68:34:(-24).
(5SO)
Man erhielt ihn durch die Analyse der Streuprozesse bei niedriger Energie.
Die Proportion wurde nicht gekurzt, da sie bei einer Reichweite der Kernkrafte von 1,2 lO-'3 cm die Konstanten ILO bis @ in MeV angibt. Mit dem
Ansatz (5,lO) und den Protonen- und Neutronenzahlen fur das obige Bleiisotop
gehen wir in die Gln. (5,7) bis (5,9) ein. Als weitere Gleichung haben wir noch
das Normierungsintegral :
206 = J el d ~ , .
(5,111
In diesen vier Gleichungen haben wir als Unbekannte: eo, R bzw. R' und
CIS). Die vier Gleichungen werden sich also im allgemeinen nicht erfiillen
lassen. Deshalb lassen wir auch noch die in 5 1 gewiihlte Reichweite und damit
die Langeneinheit variabel.
-
Der Rechungsgang ist dann folgender :
Fur ein bestimmtes R bzw. R' erhalten wir a u (6,ll) eo. Mit diesem We1t ergibt
sich aus (6,7) der Wert fiir C und aus (6,8) mit diesen Werten e2. Alles in Einheiten, die
analog $ 1 mit einer vorlaufig noch unbekannten Langeneinheit Tgebildet Bind. Diese
Langeneinheit konnen wir aber aus e2 bestimmen. Es gilt:
1
e2 = 0,0971 (412)
1
Aus (6,9) konnen wir schliel3lich mit Hilfe von i d i e Bindungsenergie in MeV bestimmen.
-
.
Es zeigt sich, da13 es nicht nioglich ist, die berechneten und die empirisehen
Werte in Ubereinstimmung zu bringen. Der Faktor, um den die berechnete
Bindungsenergie zu klein ist, ist mindestens ein funftel. Hatten wir als Ansatz fur die Kernkrafte einen Ansatz nach Serberl2) verwendet:
%::Em:B:@= 28:28:5:5,
(5,13)
so waren die Bindungsenergien noch kleiner geworden.
Wenn wir also hoffen, da13 wir Bindungsenergie und Protonenradius
gleichzeitig mit den empirischen Werten in Ubereinstimmung bringen konnen,
mussen wir es durch
kleine Bnderungen von
(5,lO) versuchen. Die
Beziehung (5,lO) wurde
gewonnen mit dem Ansatz :
2%=@;
?
/4
~~
8
8.5
9
R'
Abb. 2. Die @-Punktegeben auf der Bindungsenergiekurve den emp. Wert an; auf der Kurve fiir den Protonenradius den zum selben R gehorigen Wert
%=28.
(5,141
la) Nach S. Fliigge,
Erg. ex. Naturwiss. XXVI,
S. 166 (1962).
18) Die Proportionalitiitakonstante in (6,lO)
nehmen wir in dime Unbekannte C hinein.
392
Annalen der Phyaik. 6. Folge. Band 15. 1955
Es wurden also nur zwei. Parameter angepal3t. Mit unseren Gleichungen
konnen wir aber auch gerade diese beiden bestimmen, wenn wir die ZusatzE
forderungen stellen, daf3 die Bindungsenergie pro Nukleon - - = 7,827 MeV
A
cm sein soll.
und der Protonenradius ro = 1,45
Wir setzen 8 = xrJn und fiihren jeweils fur die einzelnen x-Werte die
oben skizzierte Rechnung durch. Man erhalt fur x = -0,415 die in Abb. 2
E
dargestellten Werte fur --und
roin Abhangigkeit von R'. (In (5,lO) ist z =
A
-0,353 .)
Wir stellen noch einmal die berechneten Werte zusammen :
.
- - A_ - 7,827 MeV;
613 =
r,, = 1,443.
em;
0,455; in unseren Einheiten, oder
r= 0,995
~ $ 3
=
em;
.
0,476 1013 em-';
-
R' = 8,928; in unseren Einheiten, oder R' = 8,52 10-l' cm;
rJn . C = 7,22; in unseren Einheiten, oder 2.R - C = 1,641 MeV.
Q 6. Diskussion der Ergebnisse
Mit Hilfe der Gln. (5,7) und (5,8) konnen wir mit den berechneten Wechselwirkungsparametern die einzelnen stabilen Kerne ausrechnen. D. h. ihre
Dichte im Mittelpunkt, das Verhaltnis B / A , den Kernradius und die Bindungsenergie des Kernes. Die letztere wurde G1. (5,9) liefern. Natiirlich
konnen wir so nur Kerne berechnen, bei denen der Spin der Neutronen wie
auch der Protonen abgesattigt ist. Fur die anderen Kerne ist eine Korrektur
erforderlich, die sich aber wahrscheinlich nur auf die Bindungsenergie beschrankt.
Wir wollen ein Niiherungsverfahren anwenden, um nicht zu umstiindliche algebrakche
Gleichungen liken zu miiasen. Die Dichte im Mittelpunkt muBte, da der Protonenradius
und umere Naherung (3,6) nur sehr wenig varriieren, naherungsweise konstant sein. Wir
setzen:
&* = 0,465 (1 + 6 ) ; 6 a 1.
(691)
Eine Niiherung fiir Z / A gewinnen wir am der Gleichung, die sich aus der W e i z sackerformel fur stabile Kerne ergibt:
2 1
A - 2 + 0,0146ms'
Hier setzen wir den berechneten Protonenradiusein, ersetzen also A durch R 3 und entwickeln. AuBerdem fiigen wir noch eine Korrektur c hinzu:
z
1
- = A - 0,001698 R'2 5 ; C
(693)
A
2
+
z.
Mit diesen Ansatzen gehen wir in die Gln. (5,7 und (5,8) ein. Natiirlich
mit den Wechselwirkungsparametern, die wir am Ende des vorigen Para-
graphen berechnet haben. Fur R'
A
=
=
7 erhalten wir auf diese Weise:
E
102; 2 = 35,s; ro = 1 , 5 0 . lO-l3cm; -A
=
8,52 MeV.
(6,4)
Wahrend die Abweichung des Protonenradius unwesentlich ist, erscheint
der Wert fur 2 doch deutlich zu klein gegenuber dem empirischen Wert:
W . Inthoff: Beitrag zur stutistischen Tlheorie der Atomkerne
393
Z = 42,5. Dic Bindungsenergie ist befricdigend, da der empirische Wert etwa
8,60 MeV ist.
Dieses Versagen bei einem quantitativen Vergleich der Theoric mit der
Erfahrung lafit es besser erscheinen, keine weiteren Anwendungen mit den
Ergebnissen des $ 5 zu berechnen, sondern vorher zu versuchen, die Ansatze
zii verbessern.
Nehmen wir an, daI3 die Abweichungen nicht in den mathematischen
Naherungen ihre wesentliche Ursache habcn, so gibt uns die Tstsache, daI3 die
Reichweite der Kernkraftc ungewohnlich kbin ist, Hinweise, in welcher
Richtung die Bnderung der Ansatze zu erfolgen hat. Die Singularitat des
Wechselwirkungspotentials miiI3te abgeschwacht werden, oder sogar verschwinden. Eventuell miiI3te sie sogar ihr Vorzeichen andern, wie es von
J a s t r o w l4) vorgeschlagen wurde. Leidcr geht die Form des Wechselwirknngspotentials schon relativ fruh in die Rechnung ein, die auI3erdem nur
naherungsweise durchgefiihrt werden kann. Das hlitschleppen verfugbarer
Parameter ist daher nicht moglich, ohnc den Aufwand ganz wesentlich zu
erhohen. Man diirfte also darauf angewiesen sein, daI3 entweder die hfesonentheorie der Kernkrafte oder die Analyse der Streuversuche, Xukleon an
Nukleon, die Form des Potentials nahcr einschranken.
-
l4)
R. J a s t r o w , Physik. Rev. S1, 165 (1951).
M a i n z . Institut fur theoretische Pliysik der Universitht.
Bei der Redaktion eingegangen am 20. Xovember 1954.
Ann. Physik. 6. Folge, Bd. 15
27
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