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Beitrag zur Theorie der optischen Schallanalyse.

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ANNALEN DER PHYSIK
6.FOLGE
*
B A N D 5,
H E F T 3-5
1949
.k
Beitrag zur Theorie der optischen Schallanalyse
Von Johannes Picht
(Mit 1 Abbildung)
M a x v. L a u e zurn 70.Geburtstag ( 9 . 10. 1949) gewidrnet
Inhnltsiibersieht
Die - bescnders van J. F. S c h o u t e n experimentell entwickelte und in
vereinfachter Weise theoretisch beg, iindete - or tiscbe Schallanalyse wild bezuglich ihrer Genauigkeit bzw. ihrer Genauigkeitsgrenze beugung-the..retisch naher
untersucht. Die Eierbei erhaltenen Fcrmeln, die den ZuFamnienhang der IntensitatsT erteilung im Beugungq ektrum mit den akustischen Frequenzen und
Amplituden der Scha1:aufzeichnmg angeben, werden auf ein spezielies Frequenzgemisch angewandt.
I m Jahre 1930 war von B o r i s G e r m a n s k y gezeigt worden'), daB man die
Fourier-Koeffizienten einer vorgegebenen Kurve auf optischem Wege erhalten
kann, indem man eine Blende (Blendenoffnung) herstellt, deren eine Begrenzungskurve die gegebene Kurve ist. Durchstrahlt man diese Blende mit parallelem
Licht, so lassen sich die gesuchten Koeffizienten aus den durch die Blende bewirkten Beugungserscheinungen leicht bestimmen. G e r m a n s k y beschrieb s. Z.
auch ein fiir die praktische Anwendung geeignetes Verfahren zur Herstellung
des ,,Kurvengitters".
1937 benutzte D. Brown2)die -nach dem ,,Dichte-Verfahren" vorgenommene
- Aufzeichnang von Schallschwingungen (Frequenzgemisch) auf einem Film als
optisches Beugungsgitter und zeigte, daB man von und mit diesem unter bestimmten
Bedingungen eine genaue Fourier-Analyse des auf dem Film aufgezeichneten
modulierten Schalles erhalten kann.
I n einer Reihe von Arbeiten beschaftigte sich dann J. F. S c h o u t e n mit dem
Problem der optischen Schallanalyse3), und zwar besonders unter der Voraussetzung, da13 die Aufzeichnung der Schallschwingungen nach der Methode der
Boris G e r m a n s k y , Ann. Physik (5) 7, 453 (1930).
D. Brown, Nature (London) 140,1099 (1937); Proc. phys. SOC.(London) 51,244
(1938).
a ) J. F. S c h o u t e n , Nature (London)141, 914 (1938); Ned. T. Natuurk. 6 , 224
(1938); Philips Technical Review 3, 303 (1938) und 4, 302 (1939); Physica ( b a g ) 7,
101 (194C).
1)
2,
Ann. Physik. 6. Folge, Bd.5
9
118
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 5. 1949
variablen Breite (im Gegensatz zu der der variablen Dichte) vorgenommen wurde.
Hierbei sind also aus einer an sich undurchsichtigen Schicht verschieden hohe
und breite Teile ausgespart, die durch die Amplitude der zu analysierenden Schwingung in ihrer Hohe (Ordinate), durch die in der Schwingung enthaltenen Frequenzen im wesentlichen in ihrer Breite bestimmt sind.
I n den Jahren 1942 bis 1944 beschaftigte ich mich gleichfalls u. a. mit der
optischen Schallanalyse, und zwar mit ihren theoretischen Grundlagen. Aus zeitlichen Grunden war es mir bisher nicht moglich, iiber meine Untersuchungen bzw.
deren Ergebnisse zu berichten. Der 70. Geburtstag meines hochverehrten Lehrers
Prof. Dr. Max v o n Laue, dem ich diese Arbeit mit den besten Gliickwiinschen
widme, gibt mir die auBere Veranlassung, die Veroffentlichung - in mehreren
Einzelarbeiten - jetzt zu beginnen.
Wie bei S c h o u t e n werde vorausgesetzt, daB der die Schallaufzeichnung tragende Film nach dem Philips-Miller-Verfahrenhergesteellt sei4),obwohl diessofern nur bei der experimentellen Durchfiihrung der optischen Schallanalyse entsprechende V?+chtsmaBnahmen eingehalten werden - fiir die nachfolgenden
theoretischen Uberlegungen von untergeordneter Bedeutung ist.
Bei dem genannten Verfahrcn wird ein an sich durchsichtiger Film benutzt,
der eine sehr diinne undurchsichtige Schicht tragt. Uber dieser Schicht befindet
sich ein an seinem dem Film zugekehrten Ende scharfes Messer (Stichel), das sich
- von den Schallschwingungen gesteuert und demnach diesen Schwingungen entsprechend - senkrecht zur Ebene des Films auf- und abwarts bewegt, wahrend
der Film selbst senkrecht zur Bewegungsrichtung des Messers und auch senkrecht
zur Scheidekante des Messers unter diesem mit einer bestimmten und bekannten
konstanten Geschwindigkeit vorbeigezogen wird. Die Schneidekante des Messers
ist nicht genau parallel der Oberflache des Films, sondern bildet - parallel zur
Bewegungsrichtung des Films gesehen - einen sehr stumpfen Winkel, dessen
Scheitel iiber der zur Bewegungsrichtung des Films parallelen Mittellinie des Films
liegt, und dessen Schenkel unter etwa 3" gegen die Ebene des Films geneigt sind,
und zwar derart, da13 der Scheitel dem Film zugekehrt ist.
Bei der den Schallschwingungen entsprechenden Auf- und Abwartsbewegung
des Messers (Stichels) wird dieses - je nach der Amplitude seiner schwingenden
Bewegung - mehr oder weniger tief in die undurchsichtige Schicht des Filmes
und in diesen selbst eindringen und dabei- da sich der Film ja unter dem Messer
hinwegbewegt - mehr oder weniger breite (streifenformige) Schichten des Films
sowie - was das Wesentliche ist - der ihn bedeckenden undurchsichtigen Schicht
abtragen (abschaben). Es entsteht also auf dem Film eine zur Mittellinie des
Films symmetrisch (durch eine Schwingungskurve) begrenzte lichtdurchlassige
Flache, beiderseits (in Richtung senkrecht zur genannten Mittellinie) von lichtundurchlassigen Flachen begrenzt.
Wird dieser so hergestellte Filmstreifen von Licht durchleuchtet, so wirkt er wie experimentell von S c h o u t e n gezeigt wurde - wie ein Beugungsgitter. Aus
den Beugungserscheinungen kann man - sofern gewisse experimentelle Notwendigkeiten beachtet werden - auf die im Sehall enthaltenen Schwingungsfrequenzen und ihre Amplituden schIieBen. Insbesondere ist es notwendig, den Film
in eine Fliissigkeit einzubetten, deren Brechungsindex mit dem des Filmmaterials
iibereinstimmt.
4,
R. Vermeulen, Philips Technical Review 1, 107 (1936).
I. Nach der Beugungstheorie zu erfpartender Zusammenhang der Intensitiitsverteilung im Beugungsspektrum rnit den akustischen Frequenzon und Amplituden der mechanischen (bzw. auch photographischen) Schallaufzeichnung
Bei den nachstehenden theoretischen Untersuchungen iiber die Schallanalyse
auf optischem Wege werde vorausgesetzt, da13 der die Schallaufzeichnungtragende
Film mit monochromatischem Licht (der Wellenliinge A) durchstrahlt wird, und
,daQ der Brechungsindex der Fliissigkeit, in die der Film eingebettet ist, mit dem
Brechungsindex der Filmschicht so weitgehend ubereinstimmt, dal3 das durch
Film und Fliissigkeit hindurchtretende Licht an der TrennungsfELche zwischen
Film und Fliissigkeit keine (ortlich variable) Ablenkung erfahrt, und daB auch
an den durch das Verfahren der Schallaufzeichnung bedingten Rillen im Film
keine Linsenrasterwirkung entsteht.
Das Film und Fliissigkeit durchsetzende Licht riihre von einer Lichtquelle her,
die sich in der Brennebene (imBrennpunkt) eines Objektivs befinde, und die als
klein vorausgesetzt werde, wobei indesseu nicht angenomen werden 8011, da13
es sich um eine streng punktformige Lichtquelle - die es ja praktisch nicht gibt handelt, obwohl in den folgenden Untersuchungen auch dies voriibergehend angen o m e n wird.
Wir legen den folgenden Untersuchungen ein Koordinatensystem x, y, 2 zup d e . Die Filmebene sei die Ebene z = 0, die x-Achse falle in die Richtung der
Schallaufzeichnung, die als Beugungsgitter wirkt und die - der grolieren Allgemeinheit wegen- durch die Beziehung
gegeben sei. Es wird also beriicksichtigt, da13 der Koordinatenanfang sowohl
bez. der x- als auch bez. der y-Achse nicht mit der Mitte der Schallaufzeichnung
auf dem Film zusammenzufallen braucht. Dagegen werde angenommen, daD der
Koordinatenanfang auf der optischen Achse des Kollimators und der mit dieser
zusammenfallend vorausgesetzten optischen Ache des Beobachtungsfernrohres
liege. Das Objektiv des Beobachtungsfernrohres sei frei von sphiirischer Aberration und genuge der Sinusbedingung, vereinige also die a m Film in gleicher
Richtung abgebeugten Strahlen in einem Punkte Fap der Brennebene. a und p
bezeichnen hierbei die Richtung der abgebeugten Strahlen gegen die x-*bzw. die
y-Achse. Die Richtung der von einem Punkt der Lichtquelle herriihrenden, den
Film durchsetzenden parallelen Strahlen (ebenen Welle) sei entsprechend durch
(xa, Po bezeichnet, wobei im allgemeinen Fall einer beliebig gestalteten Licbtquelle
3z/2--ai 5 LX,
5 4 2 -a6 und -gl (a,) i p 0 5 y, (ao).
Bei eber kreisformig begrenzten Lichtquelle ist - sofern sie hinreichend klein ist und ihr Mittelpunkt auf
der optischen Achse liegt - anzusetzen: g1(a,) = gz (a,) =
Bei rechteckig begrenzter Lichtquelle mit zu den Koordinatenachsen parallelen
Begremgslinien vereinfachen sich fiir a,, pa die Grenzbeziehungen. Es ist
dam, wenn wieder die Mitte der Lichtquelle auf der optischen Achse Iiegt,
42-01
l a 05 4 2
01 und - 0 s
Spa S + 0sUnter den angegebenen ziemlich allgemeinen Voraussetzungen erhalten wir wenn wir noch weiter annehmen, da13 die von der Absorption in FiIm- und Fliissigkeit herriihrende Amplitudenbeeinflussung und die mit dem Brechungsindex von
+
+
v m o .
+
9*
120
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 5. 1949
Film und Fliissigkeit in Zusanimenhang stehende Phasenbeeinflussung an allen
lichtdurchlassigen Xtellen des Films den gleichen Wert besitzt, also a19 ortsunabhangig angesehen werden darf - fur die Intensitat im Punkte Fa, der Brennebene des Beobachtungsfernrohres b i s a u f e i n e n Prop o r t ion a l i t a t sf a k t o r
Hier ist noch vorausgesetzt, daB das Licht a l l e r Punkte der Lichtquelle als
u n t e r e i n a n d e r koharent angesehen werden kann, was bei hinreichend kleiner
Lichtquelle der Fall ist, solange der Offnungswinkel des Kollimatorobjektivs nicht
zu groB ist. Gilt diese Annahme n i c h t mehr, so ist zunachst nur die Integration
nach x und y auszufiihren, der absolute Betrag des so erhaltenen Ausdruckes zu
quadrieren und erst dann dieser quadrierte Ausdruck nach a, und /3, zu integrieren.
Gilt die oben gemachte Annahme bez. der Amplituden- und Phasenbeeinflussung n i c h t , so ist der Integrand noch zu multiplizieren mit dem vom Orte abhangenden F a k t o r D ( z , y) e i p ( z , g ) . Wir wollen von diesem Faktor indessen vorlaufig absehen und auWerdem annehmen, daB alle Punkte der Lichtquelle untereinander koharent strahlen.
1st uberdies die L i c h t q u e l l e hinreichend klein und r e c h t e c k i g begrenzt,
so daW 276 x,,,:,,,0, <<A, ferner 2n yoo2 <<A und 2 3 ymax
~
o2 <4,25 A ist, so vereinfacht sich der oben angegeben Ausdruck wesentlich. Es wird dann, wenn wir
uns noch gleich auf die Intensitatsverteilung in der Horizontalen der Beugungsfigur, also auf /I=
$ = R beschranken
Hierin ist also f ( x ) = Y eine beliebige Schallaufzeichnung, die wir nach der F o u rie r -Zerlegung auch als Uberlagerung einer Vielzahl periodischer Schwingungen
auffassen konnen. Den Faktor 16 0: oi, der der GroWe der - hier als rechteckig
vorausgesetzten - Lichtquelle entspricht, konnen wir fortlassen, wenn wir uns
nur merken, daB die Intensitat der GroBe der Lichtquelle proportional ist, wenn
deren Leuchtdichte konstant ist.
1st nun f (x)die Uberlagerung von periodischen Funktionen, deren Schwingungszahlen einen gemeinsamen Teiler T besitzen, also etwa T vl, T v2, T v3 . . . sind,
so daB
J . Picht: Beitrag zur Theorie der optischen Schallanulyse
121
Hier haben wir noch bei I oben P k t statt koh geschrieben, uni zurn Ausdruck
zu bringen, daB es sich urn eine k l e i n e Lichtquelle handelt und der zur GroBe der
Lichtquelle proportionale Faktor (s. 0.) fortgelassen wurde. AuIjerdem ist X statt
X , (= X , ) geschrieben.
Nehmen wir-
urn einen Vergleich mit der von S c h o u t e n angegebenen Pormel
durchfiihren zu konnen - an, da13 f ( z )= p
1
T v l = -, qj = 0 fur
1
-x-Achse
+ q cos
227 1'
-
1
ist, daIj also q1 = 2,
j > 1 ist, so erhalten wir, wenn auf d e r
und zwar j e M g a n z e P e r i o d e n , und wenn wir f u r cos
(= r&
+x - u n d
der
die g l e i c h e g a n z e Zahl yon Perioden der Schallaufzeiehnung liegt,
,
also
T = r&\L X l
T keine
schreiben, wobei
01
den Wert
2.
T1
game Zahl zu sein braucht,
z
sondern eine beliebige Zahl ist, wahrend wir wieder /3 = Tj- = R voraussetzen:
Y
+
Befinden sich auf der
x-Achse ( M + 1) gaiize P e r i o d e n der Schallaufzeichnung, auf der -x-Achse n u r M g a n z e P e r i o d e n , so lautet die entsprechende Formel
Die dieser entsprechende Formel fur beliebige Werte von /3 lautet
(sin P
-
J
cos F w cos (Q cos w )dw- cos P; * 1
0
j'
cos w sin (& cos w )dw
mit
P = k p cos p =
2zzp
cosp
I
~
Fiir ganzzahlige Werte von 7, die wir zur Unterscheidung durch n bezeichnen
werden, besitzt dieser Ausdruck Hauptmaxima. Fur diese ergibt sich
122
Anmalen der Ph ysik. 6. Folge. Band 5. 1949
+
worin J,,die Besselsche Funktion n-ter Ordnung ist. Befinden sich auf der
XAchse und auf der - x-Achse je M ganze Perioden der Schallaufzeichnung, so ist
in vorstehender Formel nur (2 M
1)2 durch 4 M2 zu ersetzen.
Unsere vorstehende Formel fur die Intensitat an den Stellen der Hauptmaxima
+
l c o s oc = rL - , /3
; )
ist - bis a u f den Faktor
(2 M
+
(2 M)2, der das
Quadrat der Gesamtlange der Schallaufzeichnung ist und angibt, daB die Intensitat an den Stellen der Hauptmaxima diesem Ausdruck proportional ist - mit
dem von S c h o u t e n 5 ) in Formel (21) angegebenen Ausdruck identisch, wenn wir
2n
noch beachten, daB unser li cos /I = -cosp gleich ist dem b bei S c h o u t e n .
E2
31
Unsere allgemeine Intensititsformel cos i ~ := F-
(
1i.
1)2
bzw.
12
,/I) fur diesen Sonderfall der
periodischen Aufzeichnung gestattet aber daruber hinaus die Angabe der Intensitat an allen ubrigen Stellen der Brennebene des Beobachtungsfernrohres, insbesondere auch die Bestimmung der Intensitat der Nebenmaxima auf der Horizontalachse und des Verhaltriisses ihrer Intensitat zu derjenigen der Hauptmaxima.
Denn im Gcgensatz zu der Aussage bei S c h o u t e n , der angibt, daB - auIjer an
den Stellen der Hauptmaxima - die Intensitat iiberall Null ist, existieren noch
zwischen den Hauptmaximis eine groBere Zahl von Nebenmaxima, mit denen wir
nns noch naher beschaftigen werden. AuIjerdem fehlt - wie schon erwahnt bei S c h o u t e n die Angabe der Intensitatsabhangigkeit von der Gesamtlange der
Schallaufzeichnung.
Betrachten wir noch einmal die Formeln (6) und (7) fur die Inten-
" >
sitatsverteilung liings der (horizontalen) x-Achse /I = = R , so erkenuen wir,
daB sich die Intensitatswerte an entsprechenden Stellen F verhalteu wie
sin2 (2 M 1z rn):sinz (2 M 1 n ) . Das Verhaltnis der entsprechenden Intensitat,swerte ist f u r diesen F a l l also
(
+
(cos 5 n
+ sin Fn - cotg 2 M F Z ) ~ ;
+
fiir T" = n ganzzahlig, also fur die Stellen der Hauptmaxima wird dies (2 M
I)*:
(2 M)2, so dafi sich die entsprechenden Hauptmaxima also hier nur um einen konstanten Paktor in ihrer Intensitiit unterscheiden.
Die Formeln zeigen weiter - wie schon bekannt -, daB im Falle der rein
periodischen Schallaufzeichnung p
+p cos 272s
nur das nullte und erste der Haupt1
--
maxima auftreten, und daB sich diese beiden Hauptmaxima in beiden bisher betrachteten Fallen wie 4 p 2 : @verbalten. Denu es wird
Iflo,R
I Z-, ~ = 4 1 2
r
+
(2 M +
= 2 1 2 (2 M
1 ) 2 p2
1)2
bzw.
q2 bzw.
2 12 (2 M)z p*
(10s)
3 l 2 (2 H)2 4%.
(10b)
s B
Da man es aber in praktischen Fallen - besonders bei komplizierteren Schallaufzeichnungen - im allgemeinen nicht wird erreichen konnen, da13 sowohl auf der
b,
S c h o u t e n , Physica 7, 101 (1940)
J., Picht: Beitrag zur Theorie der optischen Schallanalyse
123
positiven als auch auf der negativen Seite der x-Achse je eine g a n z e Zahl von
Perioden liegt, wurden nacheinander noch andere Annahmen - zunachst fur den
Spezialfall der einfach-periodischen Schallaufzeichung - zugrunde gelegt. Schon
in dem noch verhaltnismaBig einfachen Fall, daB auf beiden Seiten der x-Achse je
( M m) Perioden liegen, wo Jf wieder eine ganze Zahl, m ein echter Bruch ist,
ergibt sich der wesentlich kompliziertere Ausdruck
+
2 1 ~I-,a-
4
--
,P(F2-
R
12
1) n
([? I,-p
+ YZ q cos ( 2 m n)]sin [2 r" ( M + m)
- r" q sin ( 2 m n)cos [2 F (M
321
+ m)7~1)~.
(11)
Fur F = n = 0 ergibt dies
1
Fur 'i: = n = 1, d. h. cosa = , ergibt sich
1
I, =
2 1 2 sin2 (2 m n)
3n
2
--
(q sin2 ( 2 m n )
+ 3 @ + q cos ( 2 m n ) l cos (2 mn))2.
(12%)
Wir erhalten jetzt also auch fur n = 2 und ebenso fiir n = 3, n = 4 USW. von
Null verschiedene Werte, die indessen nicht mehr von M abhangen und bei grijBeren
Wertcn von M zu I, und Il verhaltnismafiig intensitatsschwach sind, namlich nur
etwa von der GroBenordnung der zwischen den Hauptmaximis (nullter und erster
Ordnung) noch auftretenden Nebenmaxima.
AuBerdem erkennen wir an vorstehenden Ausdrucken, daB jetzt auch die
Intensitatswerte I, und I , n i c h t m e h r in dem oben angegeben einfachen Verhaltnis 4p2:qZ stehen, daB man jetzt also nicht mehr - wenigstens nicht mehr
streng - aus den Intensitaten des 0. und 1. Hauptmaximums auf das Verhaltnis
der Werte p und q der Schallaufzeicbnung BchlieBen kann.
1
1st beispielsweise rn =T ,so ist
1
+ +) P + n1 q ] % : [(H+ 7)
4 +
;1
Io:Il:I*:18:I$:.
. . = 4 [(a
P]
E
:
(13)
1st p sehr klein, geht also die Kurve der Schallaufzeichnung fast bis zur Mittelh i e , wahrend q groB ist, so ist - sofern nicht M eine sehr groBe Zahl ist - die
124
Anmlen der Physik. 6.Fdge. Band 5. 1949
Intensitat des zweiteii urid evtl. auch noch die des vierten Hauptmaxiinums niit
der des nullten Hauptmaximums groBenordnungsniaBig vergleichbar. Es werden
hier also noch schwache Oberschwingungen als vorhanden vorgct%uscht.
Dalj diese hoheren Ordnuiigen der (Haupt,)niaxin-ia') bci Xcli ou t e n niclit auftreten, ist- ebcnso wie das Fehlen der Nebenmaxima bci Sch o u t e n - dadurch
bedingt, daB er die Schallaufzcichnung als unendlich lang odcr doch als sehr lang,
Jf also als sehr groB (= 00) voraussetzt. Da sich die fur die zii aiialysicrende
Schallaufzeichnung cbarakteristischeii Hauptmaxinia riiit Ji! stark, die ,,falsehen"
(Haiipt)maximtL sowie die evtl. wahrnehmbareii Nebenmaxima nur wenig andern,
wird es durch Veranderung v011 M (durch geeignebe seitliche Abblcndung) stets
nioglich sein, festzustellen, welches die cliarakteristischen Hauptinexima sirid.
U'ir gcben nachstehcnd auch noch - wieder bei Voraussetzung eirwr einfaclt
periodischen Schallaufzeichung - fur den Fall die Formel der Iuteiisitiitsverteiling llngs der (horizontalen) z-Achse, dalJ sich die Schallaufzeichiiuiig von -XI =
- (B, m,)
2 his
X , = ( M , m,)1 erstreckt, wohei wicder MI und J12
zwei evtl. verschiedene gaiize Zahlen, nz, und m2 zwei evtl. verschicdene echte
Bruche sind, und wobei wieder - wie in den ~orstehendenAusdrucken - eine sehr
klcinc, anniihernd punktformige Lichtquelle vorausgesetzt wird. Da hicr die
+
+
+
+
Formel fiir den allgenieineren Fall: cosm
- 1,
?l
= r - , /3 = - wcsentlich
1
2
unifaiigrcichrr
ist, wolleii mir ihn Iiier nicht ausfiibrlich hinschreiben, soiidern gleicli die daraus
sich fur die IIauptmaxinia crgebe,nden Werte angeben. Wir erhalten jetzt,, wenn
wir noeh fur die genze eur Schallanalyse benutzte Liinge des Filmcs (dcr Schallaufzeichnung), die j e glcich ( M I M , m, mS2)2 ist, den Buchstaben L
schrciben,
+ + +
1
I, = r!q 2 . D
+ 1 q I L [a p (sin (2 m, n) + sin (2 m, n))
wiihrend die Ausdrucke fur I,, I,, . . . wiedcr von L unabhangig werdcn, im allgemeiricn aber nicht verschwinden. Wir mollen sic hier nicht explizite angcben.
Dasselbe gilt von den Ausdrucken der Nebenmaxinia.
S u s den angegcbenen Werten fur I,, und I , erkennen wir, dalj es schon in dieseni
einfachen Fall des einiach-periodischen Schalles kaum odcr bcsser : nicht moglich
sein w i d , aus dem Intcnsitatsverbaltnis dieser Linien genaue Folgerungen uber das
6,
Bci diesen hanc'e!t cs sich strcng genou-men nicht xehr uin ,,Ha~pt"-m;~si~n;l,
7L
da. sicli dcs s:n F z Clcs Ncnneis der a 11g e m e i n e n , also fiir j3 4 -F geltenden Forniel
in F z verwandelt hat.
J . Picht: Beitrag zur Theorie der optischen Schallanalyse
125
Verhaltiiis von I, und q zu ziehen, da man ja die GroBen m,und m,im allgemeinen
nicht kennen wird.
Fiir die praktische Durchfuhrung der optischen Schallanalyse ist noch von
Bedeutung: Aus den oben angcgebenen Ausdrucken fur I0 und I , und aus den hier
nicht angegebenen Ausdriicken fur I , , I,, . . . folgt, da13 fur m1 m, = 1 die
Hauptmaxima zweiter und hoherer Ordnung verschwinden, wahrend sich I,,:Il=
4 p2:q2verhalten, d a dann wieder
+
wird.
Io=2L2p2
und I l=+L2 q 2
(14*)
+
Die Forderung m, m, = 1 bedeutet, daB der zur Schallanalyse benutzte
Abschnitt des Films eine L a n g e L besitzt, die ein g a n ze s Vie1f a c hes d e r P e r i o d e
2 der Schallaufzeichnung ist, im ubrigen aber mit ciner beliebigen Phase der Schallaufzeichnung beginneii kann uiid auch in der x-Richtung beliebig verschoben
werden kann.
Die hier fur den Fall des einfach-periodischen Schalles durchgefuhrten Untersuchungcn lassen sich in entsprechender Weise im AnschluB an die Formel (5)
fur den Fall der Uberlagerung einer grol3eren Zahl von einfach-periodischen
Schallerscheinungen, also auch fur anharmonische Schallfuriktionen durchfuhren,
da sich diese ja durch Uberlagerung einfach-periodkcher Funktionen darstellen
lassen. Die Ausdriicke werden naturlich dann wesentlich komplizierter, da im
allgemeinen Ausdruck der Inteiisitatsverteilung die einzelnen einfachperiodischeii
Funktionen in Wechselwirkung treten, wie dies schon z. B. im Fane des einfachperiodischen Schalles in dem fur I , angegebenen Ausdruck (14J zwischen p und p
geschieht.
Bevor wir diesen komplizierteren Fall in der angegebenen Weise behandeln,
kehren wir noch eiiimal zu dem oben angegebenen Ausdruck (3) der Intensitatsvertcilung langs der (horizontalen) 2-Achse fur die allgemeine, also evtl. auch anY = f).( bzw. Y = yo& f).( mit kleinem
harmonische Schallaufzeichnung
*
i
Werte von yo und kleiner Lichtquelle zuriick, den mir jetzt mit cos 01 = r"- und
I
unter Fortlassung des durch die GroBe der Lichtquelle gegebeneii Faktors 16 0;0:
schreiben :
Wahlen wir nun zunachst X , = X , = 1 und setzen wir 2 n 5 = w, so erhalteii
1
wir
2%
sin(rw)dw-,- -1n
j
0
f(-
A
w) sin (r w ) dw
126
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 5. 1949
Beachten wir noch, da13 cos (r w)= cos (- r w) und sin (r w ) = - sin (- r w )
ist, 80 erkennen wir, daB wir f u r ? = n m i t g a n z z a h l i g e m n-Wert hierftir
schreiben konnen
IF
nT,z
= 4 1' ((a:
+ a,)* + ( b z -
b,)')
.
(17)
Hierin s i n d a i und b: die Koeffizienten der Fourier-Entwicklungder Funktion
k , ( w ) = f ( + ~ w ) = f ( x )n a c h w (nicht: nach x) unda; undb, die Koeffizienten der Fourier-Entwicklung der Funktion h, (w) = f
n a c h w ( n i c h t : nach
(- &.I)
= f(-
5)
2).
1st f(- 2)= f(+
x), eine Annahme, die aber inr allgemeinen nicht zutreffeu
wird, so ist a,' = a; und b z = b; und es wird
1st demnach ein bestimmter Film mit beliebiger, evtl. anharmonischer Schallaufzeichnung vorgegeben, so erhalten wir die a,-Koeffizienten der F o u r i e r Entwicklung nach w = 27c 1 , indem wir die Schallaufzeichnung spiegelbildlich
nebeneinader kopieren, so da13 f(- 2)= f ( + 2) wird, und diesen Film zur optischen Schallanalyse benutzen. Bezeichnen wir in diesem Fall den Intensitatswert
des n-ten Hauptmaximums auf der (horizontalen) 2-Ache durch I:), so ist
1
an proportional zu 1
1
I:)
Um die b,-Koeffizienten der Fourier-Entwicklug von f(z)nach w zu erhalten, decken wir von dem spiegelbildlich neberieinander kopierten Film den
spiegelbildlich kopierten Teil ab, lassen aber den Film in seiner vorigen Lage, also
so, daB die Xtelle, an der die beiden spiegelbildlich kopierten Teile zusammenstofien,
auf der optischen Achse der Objektive liegt. Bezeichneu wir in diesem Fall den
Intensitatswert des n-ten Hauptmaximums auf der (horizontalen) Achse durch I t ) ,
so ist jetzt
I:)
= 4 1 2 (u;
+bi),
so daB
b, proportional zu
(18b)
Zu bemerken ist, da13 noch gepriift werden mu& ob die sich fur nichtganzzahlige F-Werte ergebenden Nebenrnaxima in allcn Fallen geniigend intensitatsschwach sind, verglichen mit den Hanptmaxilnis fur F = n ganzzahlig, um mit
diesen nicht verwechselt zu werden. Es ist aber anzunehmen, da13 bei einem Film,
der die Xchallaufzeichnung f (z) mehrmals (M-mal) ncbeneinander enthalt - und
ebenso dann die spiegelsymmetrische Aufzeichnung M-ma1 - die Intensitat der
J . Picht: Beitrag zur Theorie der optischen Schdllanalyse
Hauptmaxima wieder zu
nicht anzunehmen ist.
Mz proportional ist,
127
wahrend dies fur die Nebenmaxima
Mit Riicksicht auf ein spezielles durchzurecbnendes Zahlenbeispiel der optischen Schallanalyse seien die allgemeinen theoretischen Untersuchungen noch
weiter fortgesetzt und erweitert.
Handelt es sich bei der zu analysierenden Schallaufzeichnung um ein Frequenzgemisch aus mehreren Teilschwingungen, deren Frequenzen -in Hertz gemessen durch F j bezeichnet seien, und betragt die Filmgeschwindigkeit bei der Aufzeich2?r.
nung des Schalles L mm sec-1, so ist die in (4)benutzte Gro13e k, = - gegeben
lj
durch die Beziehung
Wir konnen also F , mit dem dort benutzten v j und gleichzeitig
L
1
mit dem dorti-
1 .
gen T identifizieren, wahrend I, = E; = - 1st. Wir benutzen nun die auf S. 120
T vj
Pkt
fur IFaB
angegebene Formel (5), in der wir noch im vorliegenden Pall p = 0 setzen,
das vorliegende Frequenzgemisch in der Schallaufzeichnung also als durch
f ( z )= 2 q, COB kj 5
gegeben annehmen. Die inwendung jener Formel setzt noch voraus, daB XI= X ,
(= X ) ist, daB also die Mitte der x-Achse der Schallaufzeichung auf der optischen
Achse von Kollimator und Beobachtungsfernrohr liegt, und daB a n dieser S t e l l e
die einzelnen in der Schallaufieichnung enthaitenen Frequenzen gleiche Phase und zwar ihre Maximalamplitude pj - besitzen.
-:
-'">
Wir 'setzen nun cos 01 = r - = r - , also r = r - , worin wieder r eine
i2X
A (
I
beliebige nicht notwendig ganze Zahl ist. Dann lautet jene Formel (5)von S. 120, da
232
noch k = - ist, nach einigen Umformungen
2.
Man erkennt leicht, daB jeder der Einzelsummanden in vorstehender Formel
sein H a u p t m a x i m u m n a h e d e r S t e l l e
r=-
2x
v,=rj0,
d . h . fur
j!
COSOC=-V,=
L
1
1
hat. Fiir diesen r-Wert nehmen Zahler und Nentier des betreffenden Summanden
den Wert 0 an. Der Wert des betreffenden Summanden an jener Stelle, also sein
Maximalwert, ist angeniihert - aber nicht genau, wie wir unten noch sehen werden
- gleich qp
AuBer diesem Hauptmaximum besitzt jeder der Einzelsummanden noch eine
sehr grol3e Zahl allmahlich abnehmender Nebenmaxima. Die zwischen den ver-
128
Annalen dcr Physik. 6. Folge. Band 5. 1949
schiedenen Maxiniis liegenden N u l l s t elle n der Einzelsummanden errechnen sich
aus der Beziehung
2X
rtg(rn)=-v.tn3
).
-v.n
3
b ( y ?
(23)
Urn demnach die Nullstellen der Einzelsummanden - bei Anwendung der vorstehenden Fornieln auf bestimmte Falle der praktischen Schallanalyse - leichter
zu finden, empfiehlt es sich, Tabellen der Funktion r tg ( r n )in Abstanden von 0,05
fur die r-Werte zu berechnen. Urn dam den r-Wert zu finden, fur den r t g ( r n )
einen bestimrnten - liier: durch X , L und vj nach obiger Formel nalier bestirnrnten
- Wert a aimininit, suchen wir in der Tabelle eine Naherungslosung R fur r, fur
die - nach der Tabelle - gilt: R t g (Rn)= A. Das gesuchte r scteen wir gleich
R E , wo nach Voraussetzung E < 0,03 sein wird. Das gesuchte r ergibt sich danri
mit stet.s ausreichender Naherung zu
+
=R
+E
= R $-
(I
-A
-.______-.
zR
+
A
+ 1)
(24)
(30
worin wir fur n noch mit im allgemeinen hinreichender Naherung den Wert 3
nehmen liiinnen.
Der oben fur IF
angegebenc Ausdruck 1SiBt sich noch wciter in eine fur
r -,R
2x
praktische Berechnungen besonders vorteilhafte Form urnformen, indeln man den
in (22) eingefuhrten Wert rjobenutzt. Es wird d a m , wenn wir noch r - r j , , = si
setzen,
Fur gro8e We-l-tevon rjo wird das zweite Glied des betreffenden Summanden
sehr klcin, so da8 es in vielen Fallen vernachiassigt wcrden kann. Die GriiBe si
hat ihren Nullwert, das erste Glied des j-ten Summanden den Wert qj an der Stelle
r = r j o ,also an der Stelle, von der oben gesagt war, da13 in ihrer Nahe das Hauptmaximum des betreffenden Einzelsummanden liegt. Wir erkennen an vorstehender
Formel besonders einfach, da8 - wie bereits oben erwahnt - der Einzelsunimand
an der Stelle r = r j oangeniihert, abcr nicht geiiau den Wert qj besitzt, und dn13 auch
r = r j o nicht genau die Lage des Hauptmaximums des betreffenden Summanden
angibt.
Die vorstehend angegebene Formel fur den Verlauf der Lichtintensitat langs
der x-Achse der Brennebene des Beobachtungsferrirohres eigiiet sich besonders
gut auch fiir die graphische Auswertung. Es ist indessen erforderlich, eine genugend
weit gehende Tabelle der Funktionswerte
sin rn
rn
zu berechnen und die Werte graphisch darzustellen. Die fiir diese Funktion gedruckt vorliegenden Tabellen sind leider nicht ausreichend, so da13 hierfiir neue
Ta bellen berechnet wurden.
cJ. Picht: Beitrag zur Theorie der optischen Schallanalyse
Fur r = 0, d. h. cos oi = 0,
B
=
3
und B = R =
3,
129
werden beide Summan-
den in (25) einander gleich, so daB die Intensitfit im Schnittpunkt der optischen
Achse mit der achsensenkrechten Brennpunktsebene, d. h. im Brennpunkt des
Objektives des Beobachtungsfernrohres den Wert
annimmt.
11. Anwendung der Formcln (21) bis (25) auf ein spezielles Fro.quenzgcmisch
I m Anschlul3 an die im vorigen Abschnitt angegebenen Formeln sol1 nachstehend ein spezielles Frequenzgemisch betrachtet und untersucht werden, 01) und
in welchem Unifange die optische Schallanalyse normaler Art eine einwandfreie
Bestimmung der im Gemisch enthaltenen Frequenzen und ihrer Amplitudenverhaltnisse erwarten lafit. Gleichzeitig erkennen wir an dem durchzufiihrenden Beispiel die praktische Anwendung der Formeln (21) bis (25) des vorigen Abschnittes.
Als zu analysierendes akustisches Frequenzgemisch wahlen wir ein Gemisch
von 7 iiber einen verhaltnismaflig weiten Frequenzbereich verteilten und entsprechend mehr oder weniger eng benachbarten Frequenzen, die auch in ihrer Amplitude zum Teil nur wenig, zum Teil aber auch sehr stark verschieden sind.
Den durchgefiihrten zahlenmafligen Berechnungen wurde dementsprechend
folgendes Frequenzgemisch
mit
j =
1
2
3
4
5
6
vj=
2400
2280
1580
1220
1020
650
100
50
60
100
3
100
q.=
7
290 Hertz
8
zugrunde gelegt. Die Geschwindigkeit L des Filmes bei der Schallaufzeichnung
wurde mit 320 mm sec-1 angenommen. Die Lange des zur Analyse benutzten durchleuchteten Filmbereiches wurde zu 10 mm angenommen. Ferner wurde vorausgesetzt, daB dieser durchleuchtete Filmbereich symmetrisch zur optischen Achse
des Kollimators und des Fernrohrs liegt, und daB die verschiedenen Frequenzen
des Frequenzgemisches in der Mitte des durchleuchteten Filmbereiches gleiche Phase,
und zwar ein Maximum, besitzen.
Zur Berechnung der Lage der Lichtmaxima und allgemeiner der Lichtverteilung langs der Abszisse im Fernrohr wurden die auf S. 127 und 128 angegebenen
Formeln (21) bis (25) benutzt, worin noch 2 X = 10 und L = 320 zu setzen war.
Es wurden zunachst die Werte rjobestimmt, die mit groBer Naherung die Lage
der Hauptmaxima der Einzelsummanden der Formel (21) angeben. Es ergaben
130
Annalen der PhysdE. 6. Folge. Band 5. 1949
sich folgende Werte
j =
r9.0 =
1
2
3
75
71,25
49,375
4
38,125
5
31,875
6
7
20,3125
9,0625
Um den funktionalen Verlauf der Einzelsummanden der vorerwahnten FormeI
zu bestimmen - die die Einzelsummanden in ihrer Abhangigkeit von r darstellenden Kurven sind dsnn (graphisch) zu addieren und die so durch Addition erhaltene
Kurve ist sodann zu quadrieren -, war es u. a. notwendig, die Nullstellen jener
Einzelsummanden zu berechnen, wie dies durch Formel (23) und (24) und den zugehorigen Text angegeben wurde. Zu diesem Zwecke wurde die Funktion r t g (r n)
fiir r = 0 bis 100 in Abstanden von 0,05 berechnet, tabuliert und graphisch dargestellt (vgl. Tabelle 1) ').
Um die Bcrechnung der Werte der Einzelsummanden f& die verschiedenen
r-Werte zu erleichtern, wurde entsprechend die Funktion r sin ( r z ) fur r = 0
bis 100 in Abstanden von 0,05 berechnet, tabuliert und graphisch dargcstellt
(Tabelle 2) 7.
Die Berechnung der Nullstellen geschah sodann mit Benutzung der Tabelle
fiir r tg (r n) und der auf S. 128 des ersten Teiles dieser Arbeit angegebenen
Korrektionsformel (24).
Entsprechend wurde die Tabelle der Funktion r sin (rn)zur Berechnung
zwischenliegender Funktionswerte der Einzelsummanden benutzt.
Da die auf S. 128 des ersten Teiles dieser Arbcit angegebene Formel (25)
fiir die Berechnung der Intensititsverteilung fur die Berechnung der Zwischen-
Rerte der Einzelsummanden eine gewisse Vereinfachung bedeutct, vorausgesetzt,
(la13 eine geniigend weit gehende Tabelle der Funktion
( r n)
I
zvorliegt,
-
sill
wurde
auch diese Funktion fiir r = 0 bis 100 in Abstanden von 0,05 berechnet und tabuliert (Tabelle 3) ').
Es wurde so der Funktionsverlauf der Einzelsunimanden ermittelt und in Abhangigkeit von r graphisch dargestellt, wobei mit Rucksicht darauf, daB in dem zu
analysierenden Frequenzgemisch auch eine Frequenz mit der Amplitude q = 3
anftritt, fur die das Hauptmaximum des zugehorigen Einzelsummanden nur den
Wert 3 besitzt, wahrend bei anderen Frequenzen des Frequenzgemisches Amplitude
m d Hauptmaximum den Wert 100 haben, der Funktionsverlauf der Einzelsummanden rnit seinen vielen Schwingungen bis herab zu einem Nebenmaximum
von etwa 1,5 aufzuzeichnen war.
Nachdem dies fur die sieben Frequenzen des Frequenzgemisches iiber der
gleichen Abszissenachse geschehen war, wurden diese Kurven graphisch addiert
und das Ergebnis quadriert. (Da es sich nur um relative Werte der IntensitLtsverteilung im Beobachtungsfernrohr handelt, wurde der in den Formeln auftretretende - unwesentliche - Faktor 50 unberucksichtigt gelassen.)
')
Da die erwihnten Tabellen fur r tg (rn),r sin (T 'z) und
sin (r n)
-- -~
[mit r = 0 bis
9.7
. ..
100 in Allstanden von 0,061 aua riiumlichen Griinden hier nicht abgedruckt werden
konnten, konnen sie gegen Erstattung der Unkosten vom Verf. direkt bezogen werden,
J . Picht: Beitrag zu? Theorie der optaschen Schalknulyse
Die beiliegenden Kurvenblatter (Abb. 1) zeigen sowohl
den Verlauf der Einzelsummanden
und ihre additive Zusammenfassung aIs auch - iiber besonderer Abszissenachse - das durch
Quadrieren jener Uberlagerungskurve erhaltene Ergebnis, wobei
indessen Intensitaten kleiner als
0,0052der maximal auftretenden
Intensitat nicht mehr gezeichnet
wurden. Wir setzen im folgenden
die Maximalintensitat gleich loo2.
Wir erkennen zunachst, daB
- j e nachdem, welchen Tntensitatswert wir nls ,,Schwellenwert" ansehen - weniger oder
wesentlich mehr Intensitatsmaxima auftreten, als wir nach
der Zahl der im Frequenzgemisch
auftretenden Frcquenzerl crwarten. AuBerdem aber erkennen
wir, dnB auch die auftretenden
Hauptmaxirna - besoriders dort,
wo die zu analysierendcn FrequenZen enger benachbart sind weder hiasichtlich ihrer Lage
noch hinsichtlich ihrer Intensitat
bzw. ihres ILiteiisitatsverhaltnisses
den zngehorigen zu analysierendrll
Frequenzen g e n a u cntsprechen,
also bez. cler irn Frequenzgemisch
enthaltenen Prequenzen und relativen Amplituden zu falschen
Ergebnissen fiihren.
Beschranken wir uns bei der
,,Deutung"
der
Intensitatsmaxima im Sinne der Schallanalyse auf solche Intensitatsmaxima, die groBer oder gleicli
0,015 der Maximalintensitat loos
sind, so haben wir der Intensitatsdarstellung zu entnehmen, daB in
dem Frequenzgemisch folgende
Frequenzen mit den in Klammern beigesetzten (relativen) Amplituden enthalten sind:
2480 (15), 2448 (22,4), 2401,9
(961. 2352 (15). 2276 (45.6),
131
132
Annabn der Physik. 6.Folge. Band 5. 1949
2231,2 (15), 1627 (12,5), 1580 (58,3), 1532 (13,5), 1300,8 (15), 1268,8 (21,5),
1220,S (98,5), 1173,6 (l9,5), 696 (2&2),650 (loo), 604 (21,2), 571,2 (12,5).
Die vorstehend f c t t gedruckten Werte entspreohen den Frequenzen vl, vz,
v3,v4, v6,weichen aber auch von dicsen zurn Teil sowohl hinsichtlich dcr Frequcnz
als auch hinsichtlich der Amplitude ab, wahrend die F r e q ~ e n ~ ev5n und Y, wegen
ihrer kleinen Amplitude (< 1 2 3 ) vorstehend nicht mehr aufgefuhrt wurden. I n
der graphischen Darstellung sind ihre Soll-Lagen durch Pfeile angedeutet. Man
erkennt, daB auch dort kein Zusammenfallen niit ausgesprochenen Maxiniis vorliegt, wohl aber, daB in der Nahe etwas grol3cre Maxima auftreten, so daB auch hier
cine Prequenzabweichung herausgelesen werden muB, abgesehen von dcr Tatsache,
daB noch eine ziemlich grol3e Zahl von Intensitatsmaximis jener GroBe langs der
gauzen Abszisse auftrcten.
Zusaminenfasseiid kann hiernach beziiglich der Brauchbarkeit der Methode den
optischen Schallanalyse- in der bisher praktisch benutzten Form- gesagt werden,
daL? sie wenigstens naherungsweise richtige und einwandfreie Ergebiiisse nur
liefert, sofern es sich bei der Frequenzmischung nur urn Prequenzen hsndelt, deren
Amplitudenverhaltnisse nicht mehr als in1 Verhiiltnis von etwa 100:30 schwanken,
und sofern nicht zu nahe beiiachbarte Prequenzen in dem Gemisch auftreten.
Und auch dann, wenn diesc Voraussetzungen erfiillt sind, wird man die Frequenzen
nur mit einer Genauigkeit von etwa f 15 Hertz und die zugehorigen Amplituden
mit einer Genauigkeit von etwa f 10% erwarten durfen.
Ubcr die auf S. 123 und 123 des ersten Teiles im AnschluB an die Formeln (16)
bis (17") in (18a) und (18b) angegebene andcre Form der optischen Schallanalyse
ist durch diese vorliegende Untersuchung nichts a.usgesagt. Ihre Genauigkeit
muate gegehenenfalls gesondert untersucht werden.
P o t s d a m - B a b e 1sb e r g , Iiistitut fur Forschung, Entwicklung und Unterricht
in Physik, Mathematik und Optik.
(Bei der R2daktion eiigeganges am 1. Juli 1949.)
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