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Beitrag zur Theorie des Streuproblems.

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465
Bedtrag xur l’heorie des Streuproblerns
Von FrBtx S a z c t e r
I. Einleitung
Jede Strahlung, W’ellen- oder ~orl)uskularstralilung, erleiclet beim Durchgang durch ein mnterielles Medinin im I’rinzip
tlie gleichen Veriinderungen , indem sie teils absorbiert., teils
gestrent w i d . Die Strenstrahlnng unterliegt wiederuni den
gleichen Verkndernngen und so fort in infinitum.
Die Restimniung der Xengenverhiiltnisse cler gestreuten
l m b - . absorbierten Energien ist fur eine Reihe yon I’roblemen
von griitlter Wichtigkeit (z. H. fur die Bestimmung des St,reuund des Absorptionskoeffizienten). Es erscheint daher nicht
iiberfliissig, sich eingehender init diesen E’rngen zu befassen.
Das in den vorliegenden dusfuhrungen 1)ebantleltc I’roldem
I&& sich folgendermafleu forlnulieren: Auf Grund der Kenntnis
cles Wirkungsmechanismus bei den ~~lemientarprozessen
der d b sorption nnd der Streunng, d. h. auf G r i d der Kenntnis des
-1bsorptions- und Streukoeffizienten sol1 die Vertcilung der
Strahlungsenergien im streuenden Medium in Hinsicht auf
Qualitit und Qunntitiit ails den primaren Stmhlungsquellen
ljestimnit werden.
91s interessanter Versudi zur Losung dieses Problems sei
die Berechnungsmethode voii H. W. S clim i d t I) angefiihrt, der
tlas Prohlem zii einem eindimensionalen idcalisiert und in
tliescr vereiiifachteii Form liisen kann. xhn1ic.h geht anch
1. -\.McClellanclJ) bei seinein Losungsrersuch vor.
Eine vie1 eingehendero Theorie hat G. W e n t z e l “ ) entwic.kelt,. . M’enii ancli w g e n niiherer Hetails auf die Original1) H . W. Schmidt, Ann. d. Phys. 23. S. 671. 1!)07; vgl. auch die
Darstellung bei W. B o t h e , Handb. d. Physik 24. S. 23. 1027.
2) I. A. McClelland, Dublin. Trans. 9. P. !I. l!IOl.i.
31 G. W e n t z e l , Ann. d. I’hye. 69. P. 335. 1922: 70. P. 361. 1923.
466
F. Sauter
arbeiten vem-iesen werden muS, so sei doch hier wenigstens
die Methode W e n t z e l s , sotieit sie fur das angefuhrte Problem
in Betracht kommt, im Prinzip dargestellt. Der Verfasser berechnet die %-ahrscheinlichkeit erstens dafiir , daS ein unter
vorgegebenen dnfangsbedingungen abgeschossenes Elektron eine
bestimmte Bahn durchlauft, zweitens ciafur, daB dieses Elektron
an einer bestimniten Stelle aus dem Medium austritt; er wird
hierbei auf eine ,,1ntegrodifferentialgleichungi6 gefiihrt , deren
Losung dnrch eine konvergente Reihenentwicklung gelingt.
Wenn anch W e n t z e l zu guten Ergebnissen gelangt, so
haften seiner Methode doch zwei prinzipielle Kachteile an.
Erstens wird nicht beriicksichtigt, daB eiri StreuprozeB f ~ r
jede Strahlung neben einer Quantitats- auch eine Qualitiitsanderung bedingt, indem die fur die Strahlung charakteristische
GroBe (Schwingungszahl, bzw. Elektronengeschwindigkeit) eine
Veranderung erfahrt, deren GrGBe sich auf Grund der Auffassung
des Streuprozesses als StoBprozeB aus den beidenErhaltungssatzen
f u r Energie und Impuls bestimmt. Zweitens ist die Methode
W e n t z e l s nur auf eine bestimmte Gruppe von Versuchsanordnungen (z. B. die von H. W. S c h m i d t ) anwendbar; eine
Verallgemeinerung auf streuende Nedien, die nicht die Form
von planparallelen Platten besitzen, erschein t nicht durchf uhrbar.
In den folgenden Abschnitten sol1 auf eine Behandlungsweise des eingangs gestellten Problems hingewiesen werden.
die zwar eine gewisse Ahnlichkeit mit der Methode MTentzels
aufweist, jedoch \ ollkommen allgeniein gehalten werden kann
und auch den ersten der beidcn I'unkte beriicksichtigt. Der
prinzipielle Unterschied gegenuber W e n t z e l besteht daiin.
daB hier auf den ElementarprozeB eingegangen wird, wiihrencl
W e n t z e l das Problem makroskopisch betrachtet und die
Gleichungen fur die aus dem atreuenden Medium nustretenden
Strahlungen aufstellt.
11. Aufatellung der Grundgleiahung
Eingangs wurde erwahnt, daO jede Strahlung beini Durchgang durch ein materielles Nedium prinzipiell die gleichen
Veranderungen (Strenung und Absorption) erleidet. Es liegt
daher nahe. alle Strahlungsarten, bestehen sie aus g-Strahl-
Heitrag zur Thorie des Streuproblems
46i
teilchen oder Elektronen, Lichtquanten oder elektromagnetischen Wellenziigen, unter einer gemeinsamen Betrachtungsweise zusamnienfassen.
Xls Bestimmungsstiicke fur eine im angefuhrten Sinne fur
alle Istrahlungsarten geltende Charakterisierung des gegebenen
Strahlenkompleses werden im folgenden nachstehende zwei
GrijBen verwendet:
1. Die Energie E der Strahlung, welche in der Zeiteinheit
an einer durch den Ortsvektor E definierten Stelle in der
durch den Einheitsvektor e gegebenen Richtung durch die
Fliicheneinheit hindurchtritt, was durch die Schreibweise E (,r,e)
angedeutet werden soll. Liegt nicht Parallelstrahlung vor, so
stellt E(,r,e).d o die Strahlungsenergie dar, welche unter den
gleichen Bedingungen innerhalb des infinitesimalen Richtungskeg& d o niit der Achsenrichtung e durch die Flacheneinheit tritt.
Da der Fall der Parallelstrahlung in der Natur nur 5uBerst
selten realisiert sein durfte, wird er in die folgenden Betrachtungen nicht einbezogen; seine Behandlung nach der gleichen
Methode bietet jedoch keine besonderen Schwierigkeiten. Im
iibrigen sollen nur zeitlich konstante Strahlungszustiinde behandelt werden, da die Betrachtung der Zeitabhangigkeit von
Strahlungserscheinungen fur die Praxis wohl kein Interesse
besitzt.
2. Bei jeder Strahlung tritt neben der Energie als Veranderliche noch eine zweite, fur die Qualitit der betreffenden
Strahlung charakteristische GroBe auf. Um nicht einen neuen
Ausdruck priigen zu mussen, soll sie im folgenden mit v (Geschwindigkeit) bezeichnet werden, kann aber natiirlich ebensogut als ~r(Schwingungszahl) oder ;I(Wellenlange) gelesen werden.
I n Hinsicht auf v liii8t sich jeder Strahlenkomplex, sofern
er niclit monochromatisch ist, spektral zerlegen. Bezeichnet
man niit E (v, e) d IJ die auf den spektralen Bereich zwischen
und v +- d v entfallende Ehergie, so gilt die Gleichung
x, -
\I)
E&,e)
=1b7
b e).dv,
wobei gegebenenfalls auf der rechten Seite der Gleichung die
durch ein Linienspektrum bedingten Energiebetriige hinzuaddiert H erden mussen ; einfachheitshalber soll jedoch den
46s
F. Snuter
folgenden Betrachtnngen stets ein kontinnierliclies Spektrum
zngrnnde gelegt werden.
Kach hesen einleitenden Hemerknagen kann nun zur Aufhtellung der Grundgleichung des Problems iibergegangen n erden.
%n diesem Zwecke soll die Strahlung nnf ihrem Wege voni
Punkte I’ (x) zum Punkte P (x + e d s) betraclitet nnd nach
den Ursachen fur die Veranderungen gefragt werden, die die
Strahlung auf den1 Wegelement rl s in der Strahlungsrichtung e
eifihrt. Hiei-fiir lassen sich drei Argunientc anfiihren :
Erstens kann der Fall eintreten, daB arif dcr Strecke d s
Strahlung entsteht, sei es durch radioaktiven Zerfall oder durch
Erregung von Sekundarstrahlung. Der 811s der ersten Gruppe
resultierende Energiebetrag , der als gegeben (Kenntnis der
primaren Strahlungsquellen!) und zeitlich konstant angenomnien
~ e r d e nsoll, wircl im folgenden mit E , p, x, e).d s - d w bezeichnet.
Auf den mesentlich koniplizierteren Fall der Rildung 7 on
Sekundarstrahlung soll in1 V. d l m h n i t t kurz eingegangen
werden.
.Us zweite Ursache fur die Veranderung, die die Strahlung auf dem Wege d s in der Strahlungsrichtung e erleidet,
ist die Schniichung anzufuhren; ihr EinfluB ist durch dl)zug
des Energiebctrages E (u, x, e)-p.d s - d w \on der urspriinglichen
Strahlungsenergie E tw,x, e) .d w in Rechnung zu setzen. Der
Schwiichungskoeffizient p hiingt, ebenso wie der spater eingefiihrte Streukoeffizient c+, von der GroSe o ab.
Drittens tritt zur primaren Strahlung auf der Strecke d s
ein bestinimter Energiebetrag durch Streuung hinzu. Die
Schwierigkeit bei der Behandlung dieses Punktes liegt darin,
daB, wie bereits fi-iiher erwahnt wurtle, bei der Strcuuiig die
(;robe w eine Veranderung erleidet. Sol1 eine Strahlung nach
einem StreuprozeB um den Winkel t’f. deui Spektral1)ereich
zRischen w nnd w + d a angehoren, so muB sic Tor ihni im
Bereich zwischen B uud B + d B gelegen haben. wobei sich der
Zusammenhang zwischen w, B und den1 Streuwinkel (9. :iub der
StoBtheorie tles Streuprozesses (Comptoneffekt !) ergibt.
Stellt der Einheitsvektor e die Strahlungsrichtung vor dein
Streuproze6 ilar. wobei die Gleichung
-
(2)
tei3 = cos :l.
Reitrag zur Tlieorie des Streuproblems
469
-
gilt, so tritt zur urspriinglichen Strahlungsenergie E (3, ,r,e) d v
x, -
uoch der Betrag fl? (0, F)
-
(a).d e d G d s durch Streuung
hinzu; die Integration ist hierbei iiber alle Raumwinkelelemente d G , mithin iiber die ganzr Einheitskugel uni den
Punkt P(x) mi erstrecken.
FaBt man die angefiihrten Betriige in einer (’rleichung
znsammen, so laBt sicli die Beziehung anfschreihen
1 Ep,€4-e d s , e ) . d u
+E,~w,~,e~.dw-ds
I
= E(e,z.e).dw
I
- E (1),x. e\.p.d w .d s -tjk (e,x, v). go (#).aa.d G .d s .
(3) {
Kach Division der Gleichung clurch tl u d s und nachtraglichen
Grenziibergang liin (1s = 0 erhalt nian unter Reriicksichtigung
der
(41
.
11m E (v, E’
dd=O
+ e-.
t7
s, e)
as
- E (v,--g, e)
.-
x,
= grad, E (w, e)
die gesuchte Grundgleichung in der Form
(5)
Gleichung (5),die eine gewisse Ahmlichkeit mit der von W e n t z e l
aufgestellten lntegrodifferentialgleichung besitzt, stellt eine
Gleichung fur die Unbekannte E (w,E, e) dar, deren Abhangigkeit voni Orte P(x) in Form einer Differentialgleichung, von
der Richtung e durch eine Zntegralgleichung gegeberi ist.
Zur vollstindigen Bestimmung von E (1): €, e) ist noch die
Angabe von Randbedingungen erforderlich. Sic ergeben sich
leicht aus der Natur des Problems. Liegt keine Einstrahlung
vor, befinden sich also alle Strahlungsquellen im Innern des
streuenden Necliums, so ist es klar, daIj an der Obertlache des
KSrpers alle jene Energiebetrage verschwinden, deren Richtungsvektor e in das lnnere des Nediums weist, die als’o einer Einstrehlung entsprechen wiirden. Ilaraus ergibt sich sofort
folgende formelmiiBigc Darstellung der Randbedingnngen: Sind
die Randpunkte des streuenden Mediums durch den Vektor zo
F. Sauter
4iO
bestimmt und bedeutet
so gilt die Gleichung
ti
die auBere Sorniale im l’nnkte I’ (go).
{ E (w,
-go, e) = eingestrahlter Knergiebctrag,
(6)
wenn (en) < 0 .
Durch diese Randbedingung ist, wie gezeigt werdeu wird, das
Problem vollkommen bestimmt.
111. L6sung der Grundgleichung
Eine Integration der Gleichung (8) in voller hllgemeinheit
durchzufuhren ist naturlich unmoglich; die vorstehende flberschrift ist vielniehr so zu verstehen, da6 in diesem Kapitel
eine Methode angegeben wird, durch deren Anwendung in
speziellen E’Bllen die Losung das Problems, wenigstens theoretisch, moglich gemacht wird. Die Methode, die der von
W e n t z e l angewandten im wesentlichen nachgebildet ist, beruht
auf der Darstellnng des Integrals in Gestalt einer konvergenten
Reihe.
Man fuhrt hierzu lnit Vorteil eine Folge von Funktionen
En@,E, e)’ (n = 1,2,. ..) ein, die folgenden nifferentialgleichungen
und Randbedingungen geuiigen sollen :
(7)
1
I
grad, E, (v, E, e) = Eo(v, g, e) - pa (w,E, e),
El (v, go, e) = eingestrahlter Energiebetrag,
wenn (e 11) < 0 ;
grad, E:,(w,h,e) = - p-E, (v, J-, e)
tl B
+ p,&
- (8, F, c‘) . -d
(8) {
I
L;
E,(w,,ro,e)
= 0 . wem
(en) < 0
(fl) * d
(Tzp
w,
\n = 2, 3,
. . .I.
Durch Summation der Gleichungen (i)
und (8) erkennt man,
da6 die Reihe
m
1,=1
die Grundgleichung (8),sowie die Randbedingungen (6) erfullt.
Aus der Gestalt der Gleichungen (7) und (8) (Differentialgleichungen init geniigenden Itandbedingungen] folgt die Eiudeutigkeit der aus ihnen gewonnenen Liisungen. Es steht nun
noch die Frage nach der Konvergenz der Reihe (9) zur Beantwortung offen, Ein strenger matheiiiatischer Beweis hier-
Beitrag zur Theorie des Streuprobkms
4; 1
fur auf Grund der Gleichungen (7) und (8) diirfte wohl nur
schwer zu erbringen sein. Man kann sich im vorliegenden
Falle jedoch dadurch behelfen, daB man die physikalische
Hedeutung der Gleichungen (7), (8) und (9) klarstellt, wodurch
man die Konvergenz leicht nachweisen kann.
Gleichung (7) lBBt sich dahin deuten, daS El (T,6, e) die
Verteilung der Strahlungsenergien auf ihrem Wege vom Entstehungsort, bzw. Eintrittspunkt der Strahlung in das streuende
Medium bis zur Stelle angibt, an der sie absorbiert oder das
erstemal gestreut wird. Man konnte in diesem Sinne E, als
Ma6 fur die Energieverteilung der ,,Strahlung erster Art" bezeichnen.
Die ,,Strahlung zweiter Art", dargestellt durch E,, gibt
zufolge der ersten Gleichung der Gruppe (8) den V e r l k f der
Ytrahlungskomponenten an, die ihren Entstehungsort in den
Punkten besitzen, in denen die ,,Strahlung erster Art" gestreut
wurde.
Analog la& sich allgemein sagen, E,, stellt die Energieverteilung dejenigen Strahlungselemente (,,Strahlung n. Art")
dar, die auf ihrem Wege von den primkren Strahlungsquellen
gerade n 1 ma1 gestreut wurden. Dementsprechend wird auf
Grund von (9) die Energieverteilung E an jeder Stelle uod in
jeder Richtung als Summe der entsprechenden Energieverteilungen der Strahlungen aller Arten dargestellt.
Wie erwahnt, folgt aus dieser Feststellung unmittelbar die
Konvergenz der Reihe (9). Denn erstens sind alle Glieder Es
naturgema6 positiv, andererseits nimmt ihre GroSe mit wachsendem n in einer Weise ab, daB die Summe, wie iillrigens
m c h aus dem Energieprinzip resultiert, kleiner als die
GrOSe der primiir entstehenden und eingeatrahlten Energie
sein muB.
E s wurde friiher angefuhrt, daS die eben beschriebene
Losungsmethode die Durchrechnung des Problems in speziellen
Fiillen, wenigstens theoretisch, ermoglicht. Die praktische
Durchfuhrbarkeit der Methode hangt jedoch noch von zwei
Faktoren ab: Erstens miissen sich alle auftretenden Integrale
ausfuhren und alle Differentialgleichungen h e n lassen und
zweitens muB es moglich sein, das allgemeine Glied der Reihe (9)
anzugeben, wenn nicht die Reihe derart rasch konrergiert
-
~
F. Sauter
47 2
(groBer Absorptions- und kleiner Streukoeffizient), daB sie mit
dem dritten oder vierten Gliede abgebrochen werden kann.
Im allgemeinen werden diese Faktoren zum Teil nicht
erfiillt sein, wovon Inan sich an einfachen Beispielen iiberzeiigen kann.
I m folgenden Kapitel soll die beschriebene Liisungsniethocle
auf ein spezielles Reispiel angewandt werden und zN-ar auf
den Ball, daS das streuende Xedium aus hoinogenen, planparallelen Platteii besteht. Ks wird sich hierbei herausstellen,
tlaB die vollst.andige 1)urchrechnung des Problems mit betriichtlichen Schwierigkeiten verbunden ist und ohne vereinfachende
Anuahnien und Vernachliissigungen wohl nicht liisbar sein durfte.
IV. Homogene, planparallele Platten ale etreuendee Medium
Uas vorliegende Reispiel, das sich leicht auf die voii
W e n t z e l behandelte S c h m i d t s c h e Tersuchsanordnung spezialisieren last, gestattet aus Symmetriegriinden eine wescritliche
T’ereinfachiing. An Gtelle der beiden, erst durch fiinf Hestimmungsstiicke festgelegten Vektoren und e geniigen mir Beschreibung der Lage und 12ichtung in tler planparallelen Platte,
bzw. in cleni System yon iibereinander gelagerten Platten zwei
Bestimmnngsstiicke. -41s solche sollen eingef iihrt werden :
erstens der senkrechte Allstand z des Yunktes, in deui die
~tralilungsverteilung hetrachtet werden soll, voii der einem Hegrenzungsebene des I’lattensystems, der mithin die Koordinate
:, = 0 zukommt, wiihrend die andere Begrenxungsebene yon ihr
den Abstand d besitzen soll; als iiaeites Bestimmungsstiick
soll der Winkel y zwischen der posit.iven z-Richtung untl deiii
T’ektor e dienen.
&if Grund der Bedeutung von grad, E laSt sich ails der
Kettenregel leicht die Rexiehung
x
’
ableiten. I h e Gleichungen (7) uncl (8)lassen sich, augewandt auf
tlas yorliegenile Bcispiel. amschreibeii in die (~leichnngssystenie
B eilrag zur Thorie des Streuproblems
47 3
a E - ( U , 3 , c pcoscy
).
= - p.~n(c,z,y)
(12)
17<
I
+ pL1P,
En(v,O,~ p =
) 0 fiir
En(.. d , y) = 0 fur
da
' d u-
- @) a
0 5 y < z,
2
-
2, Tp)
7
2
< fp
0,P
7r, ()I
*
Gj
*
= 2. 3, ...).
Die IMYerentialgleiclnmgen des Systems (12) lassen sicli
bei den gegebenen Randbedingungen, unabhangig von den eingestrahlten Energiebetragen, durch folgende Integrale h e n :
I
fiir
o
y
<2
;
2
..
I
.-
1)
.
= --
. PEn-1
I---.
cosq, d
e
COSP
p, 3
dz
da
dv
fur
. f76(v)
*
d a,
s <y s w .
n
n
Fur cp = gehcn beide Ausdriicke iiber in
2
di?
fYa (8) d 3,
,,l (C, 2, ql)* -( 1 3 C ) En w,2. - = - E
dv
(
3 3
-
wie sich durch einmalige partielle Integration von (13a) und
(13b) nach z leicht ergibt. fjbrigens resultiert (13c) auch unmittelbar aus (12) fur c o s y = 0 .
Was die Berechnung von El (w, z , y ) anlangt, so iuussen
hierzu spezielle Annahmen uber die Verteilung und die Ergiebigkeit der Strahlungsquellen geiuacht n-erden.
Fiillt beispielsweise ein homogenes Parallelstrahlenl~undel
( I : = f l 0 ) senkrechteauf die Begrenzungsflache z = 0 der Platte
auf, so 1i6t sich leicht bestatigeu, daB das Gleichungssystem
El jvo, 2 , 0) = E * e - P"
(14)
~E1(vo,2,y1
=0
fur 9 =j=0,
fur v w o ,
El (v, 2, cp) 0
die einzige Losung des Systems (11) darstellt. menn E die eingestrahlte Energiemenge hedeutet.
I
-
*
F. Sauter
474
Ah3 zweites Beispiel soll die bereits des ofteren angefiihrte
Versuchsanordnung von H. W. S c h m i d t I) behandelt werden.
Das Koordinatensystem soll hierbei im AnschluB an W e n t z e l
so gelegt werden, daB die radioaktive Schichte in der Ebene
z = 0 liegt, wiihrend sich das Medium I von z = 0 bis z = a,,
das Medium I1 von z = - a,, bis z = 0 erstreckt. Gibt E', (w, 0, y )
die Ausstrahlungsbedingungen der radioaktiven Schicht in der
dbhiingigkeit yon v und der Richtung cp, so wird die einzige,
mogliche Losung von (11) durch das Gleichungssystem dargestellt:
E, (v, x , sp)
.
= E, (v, 0, rp) e
- -cPI''o-s q
osrp<F,
fur o ~ z ~ a , ,
I
n
fur - d , , s z z O , T < v s n ,
alle iibrigen El-Werte = 0.
Der nachste Schritt in der Losung des speziellen Problems
besteht in der Berechnung der Werte von E2,E3 und so fort
auf Grund der Rekursionsformeln (13) aus El, bzw. den bereits
berechneten E,,-Werten. Ein diesbeziigliclier Versuch zeigt
jedoch, daB man wegen der groBen Schwierigkeiten bei der
Berechnung der in (13) auftretenden Integrale nur in den
wcnigsten Fallen iiber E,, evtl. iiber h', hinauskommen diirfte
wenn man nicht entsprechende Vereinfachungen und VernachIiissigungen einfuhrt.
V. Verallgemeinerung dee Probleme
Bei der dufstellung der Grundgleichung im 11.Abschnitt
wurde von einer Beriicksichtigung der Sekundarstrahlung einfachheitshalber abgesehen. Diese Liicke auszufiillen ist die
Aufgabe dieses Xapitels.
Das Problem soll jedoch gleich allgemeiner, der U'irklichkeit nocC niiher komuiend, gehalten werderi: Im betrachteten
Mediuni sollen mehrere Strahlungssysteme untereinander im
Gleicligewicht stehen, wobei die Absorption der Strahlung des
eineu Sjstems neben der Erzeugung neuer Strahlungsenergien
1) H. W. S c h m i d t , a. a. 0.; vgl. auch G. W e n t z e l , a. a. 0.
Beitrag
zur
T?wnie des Streuprobkms
475
der gleichen Art auch solche der anderen Systenie bedingt.
Auf Grund der Kenntnis der entsprechenden Elementarprozesse
sollen die Strahlungsenergien der einzelnen Systeme in der Abhiingigkeit vom o r t und von der Richtung angegeben werden.
Da6 dieses verallgemeinerte Problem in der Praxis von groBer
Bedeutung ist, liegt auf der Hand (lichtelektrischer Effekt, Erzeugung des Rijntgenspektrums durch Einstrahlung von Kathodenstrahlen, Durchgang von Kanalstrahlen durch Xaterie, radioaktiver Zerfall usf.).
Eine ausfiihrliche Theorie dieser Prozesse zu geben, ist
schon aus dem Grunde unmoglich, weil die Wirkungsweise
beim Energieumsatzo wahrend eines Absorptionsvorganges bei
weitem noch nicht geklart ist. E s sol1 deshalb hier lediglich
die Methode skizziert werden, nach der solche Probleme behandelt werden mussen.
Es mogen also im bestrahlten Medium mehrere wesensverschiedene Strahlungssysteme E (v, E , e) , F (w,,r, e) . miteinander im Gleichgewicht stehen. Analog wie im zweiten
Kapitel lassen sich dann f u r diese GrijBen Grundgleichungen
aufstellen von der Form
..
(16)
[
+
+
+ .
+
. .
grad,E = E, - PI - E e, (q f, (F) . .
grad,$' = F n - pZ-F e,(Q +f2(F) ...
+
. . . . . . . . . .
.
wobei in gleicher Weise wie friiher E n , Po ... die im Innern
des Mediums liegenden Strahlungsquellen, pl, p2 , die fiir
jede Strahlungsart geltenden Schwachungskoeffizenten bedeuten.
Die Funktionen e, f . entsprechen in leicht verstandlicher Weise den ~ m ~ ~ a n a l u n ~ s p r o zvon
e s s eeiner
~ Strahlenart
in eine andere. Aus der Erfahrung geht hervor, da6 sie,
wenigstens innerhalb sehr weiter Grenzen , lineare , homogene
Funktionen der Argumente E , F
sind. Im allgemeinen
werden sie als Summen von Integralen uber die Einheitskugel
urn den Punkt P @ ) auftreten (EinfluB der Streuung, Berechnung der in einem Volumelement absorbierten Strahlungsenergie), so daB wie friiher ,,Integrodifferentialgleichungen'vorliegen, bei denen die Ortsabhangigkeit durch eine Diflerentialgleicliung, die Richtungsabhaingigkeit durch einc Integralglcichung gegeben ist.
..
..
...
476
F. Sauter. Beitrag zur Tileorie des Sfreuproblems
Die Randhedingungen des Problems ergeben sich in gleicher
Weise wie friiher aus den Einstrahlungsbedingungen, wobei
als vereinfachendes Noment anzufiihren ist. daB bei dell meisteu
Problemen nur eine Strahlungsart eingestrahlt wird.
Was die Losuug des Gleichungssystems (16) anlangt. so
ist es wegen der Linearitat der Bunktionen e. f . .. miiglich,
die bereits im 111.Kapitel nusgefulirte Methode der Reihenentwicklung und der damit verbundenen Umwandlung der
Integrodifferentialgleichung in eine fortlaufende Reihe voii
Differentialgleichungen auf das vorliegende Problem anzuwenden. Von einer ausfuhrlichen ilnschreibung der diesbeziiglichen Gleichungssystenie kann wohl Sbstand genommen
werden, zumal die Durchrechnung eines konkreten Beispieles
wegen Unkenntnis iiber den Hau der Funktionen e , . f . .. undurchfiihrbar sein diirfte.
VI. Zueammenfaaaung
Die Durchrechnung des Problems, bei Kenntnis des Absorptions- und des Streukoeffizienten aus den primiiren Strahlungsquellen die quantitative und qualitative Verteilung der
Strahlungsenergien zu bestimmen, fiihrt hei Wahrung vollster
Allgemeinheit des Problems, sowie bei Beriicksichtigung der
durch einen StreuprozeB bedingten Qualifatsanderung der
Strahlung auf eine Integroditferentialgleichung mit bestimmten
Randbedingungen. Ihre Losung la& sich nach dem Vorgange
W e n t z e 1s durch eine konvergente Reihe, wenigstens theoretisch, durchfuhren. Die praktische Durchfuhreng stoBt dlerdings auf betrachtliche Schwierigkeiten bei der Herechnung yon
bestimmten lntegralen.
(Eingegangen 15. Juni 1929)
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