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Beitrag zur Untersuchung des Zusammenhanges der bei Biegungsschwingungen an rechteckigen und quadratischen Platten beobachteten Staubfiguren.

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632
Annalen der Yhysik. 5. Folge. Band 28. 1937
B e i t r a g xur Untersuchzcng des Zusammenhangee
d e r be4 BBeyungsach.winyzcngem an rechteckiyem
wad quadrat48chem Platten beobachteten $tau&figwem
V o n Bohzcslav Pavldk:
(Mit 16 Figuren)
Schon E. F. F. C h l a d n i l) hat die Biegungsschwingungen bei
quadratischen und auch bei rechteckigen Platten experimentell untersucht. I n theoretischen Erwagungen uber die quadratischen Platten
hat W. R i tzz), 3, die Losung der Differentialgleichung der Bewegung
unter den zugehorigen Randbedingungen auf die Aufgabe zuriickgefiihrt, das Integral
unter der Bedingung, daB
eine gegebene GroBe ist, zu einem Minimum zu machen. R i t z
setzt die gesuchte Funktion w in Form einer Reihenentwicklung
nach Eigenfunktionen u, freischwingender Stabe an, deren Lange
der Lange der Plattenkante, namlich zwei Einheiten ist. Nach der
Behauptung von R i t z , daB die Losung fur rechteckige Platten
die Form
haben soll, hat Frl. E. G o l d m a n n 4 ) das Problem fur dieselben
theoretisch gelost. Sie wahlte als Grundfunktionen fur die Entwicklung von w die Eigenfunktionen der Stabe von beliebiger
Lange 2a. E. G o l d m a n n fand, daB die Klangfiguren bei rechteckigen Platten genau den Typus der Figuren einer quadratischen
Platte haben sollen. Dies ist aber im Widerspruch mit den
Chladnischen Figuren z,B. 170a, 174c, 163a, 176a, 172a, 171a.
H. Doerffler5) hat den nbergang von Biegungswellen und Transversalwellen an piezoelektrisch angeregten streifenf ormigen Quarzplatten untersucht. Die Arbeit enthalt die photographischen hufnahmen der Staubfiguren, in denen die Knotenlinien nur die
Parallelen zu der kiirzeren Seite sind. C . Zeissig6) hat denjenigen
Fall der rechteckigen Platte untersucht, wenn die Punkte der zwei
B. Pavlik. Beitrag xur Untersuchung U S M .
633
gegeniiberliegenden Kanten an transversalen Verschiebungen verhindert
sind, aber Drehungen der Platte um diese Kanten stattfinden konnen
und die beiden anderen Gegenkanten frei sind. Bei der experimentellen Untersuchung der Biegungsschwingungen an magnetostriktiv
erregten Stahlplatten mit freien Riindern zeigte sich, daB die G o l d niann sche Anwendung der Ritzschen Methode fur die rechteckige
Platte n i c k richtig sein kann. In einer Abhandlung 7 habe ich gezeigt,
wie die R i tzsche Methode vermendet werden mu6, um die theoretischen
Ergebnisse mit den experimentellen in Einklang zu bringen. Ich habe
gezeigt, da6 die Knotenlinien bei der rechteckigen Platte in erster
Naherung Parallelen zu der einen oder der anderen Iiante der Platte
sein miissen. Das Knotenliniensystem bei der quadratischen Platte
wurde fur verschiedene Eigenfrequenzen von W. R i t z 2, berechnet. Die
Staubfiguren, die ungleichen Indizes von derselben PariVat entsprechen,
wiirden also bei rechteckigen Platten ganz verschieden sein. Es ware
also noch der nbergang des Knotenliniensystems einer rechteckigen
Platte in das einer quadratischen Platte bei Verkiirzung der langeren
Kante der Platte zu untersuchen. Dies ist die zu losende Aufgabe
in der vorliegenden Arbeit.
Theoretische ErwLgungen
In der vorher angefiihrten Arbeit7) habe ich die rechteclrigc
Platte von den Kantenlangen 2 a und 2b als Spezialfall einer
parallelogrammartigen Platte (fur a = 90 ") behandelt. Aber wir
konnen auch direkt wie E. G o l d m a n n das Problem behandeln.
Wir wahlen ein rechtwinkliges Koordinatensystem S , Y , dessen
X-Achse durch das Zentrum der Mittelebene der Platte parallel zu
der langeren Seitenkante 2a geht; dann fiihren wir neue Variable
durch den Ansatz
X
- = u,
a
+li)
ein. Das Ritzsche Integral
das zu einem Minimum gemacht werden soll, kann unter der Annahme fur die Amplitude
2
(2)
w=
AlilRUmP)u,,cv,
in den neuen Variablen in der Form
(3)
7n, n
Annalen der Physik: 5. Folge. 28.
I
43
AnnaZen der Physik. 5. Folge. Band 28. 1937
634
geschrieben werden. Urn bzw. Un sind die Eigenfunktionen der
Stabe yon beliebiger Lange 2 a
sin am- sinh a,,, +- sinh ,?A - sin
a
a
=
-~ ~l/q(sinhz R~ - sin'
X
U,
cos
om=_
wobei
Rm die
X
R,
~
-
f u r ungerade m,
2, - cash 9,,, + cash 9,- cos Rm
X
X
_ a~
_
_
a
- __ ~.
l / a (cosh' 9%+ cos2 9,)
f u r gerade nz,
Wurzel der Gleichung
tg .Rm= 4tgh
Qm
ist. T e i t e r ist
(5) :Y
1
=
{ ( W q l l pwq,+
wpmmnn>
+ 2 (1-
-
01 aynp
an*}
k wird durch die Beziehung a = k b festgestellt.
Wmm, Wmn,
cmm
und ~ m n
haben dieselbe Bedeutung wie in der R i t z schen Arbeit. Die G1. (4),
die zur Berechnung der zugehorigen Eigenfrequenz in erster Naherung
dient, stimmt mit der Goldmannschen nicht uberein [Naheres?)].
E. G o l d m a n n berucksichtigt bei den rechteckigen Platten dieselben
Symmetrien wie bei der quadratischen Platte und nimmt die Amplitude
in der Form
an; sie unterscheidet syrnmetrische und antisymmetrische Schwingungen und berucksichtigt, ob rn und n beide gerade oder beide
ungerade Zahlen sind. Sie nimmt keine Riicksicht auf den Fall,
wenn eine der Zahlen m und n gerade und die andere ungerade ist.
E s ist also ganz begreiflich, daB E. Q o l d m a n n gefunden hat, daB
die Staubfiguren bei der rechteckigen Platte gerade den Typus der
Figuren einer quadratischen Platte haben sollen. Dies ist nur
richtig, wie aus meiner Rechnung hervorgeht, wenn m = n ist. Die
Annahme (6) ist wegen der Plattenform nicht zulassig. Die richtige
Bnnahme ist also die Annahme (2).
Da das Integral W , das nach G1. (3) eine quadratische Form
der Amnist, ein Minimum werden 5011, miissen alle ihre partiellen
Ableitungen nach den Amnverschwinden. Wir bekommen fiir die Am,
so vie1 Gleichungen, wie die Anzahl der Glieder betragt, mit denen
B. Pavlik. Beitrag zur Untersuchung usw.
635
wir uns bei der Reihenentwicklung fu r w begniigen. Durch geeignete Wahl der Grundfunktionen wird die Losung dieser Gleichungen vereinfacht. Das zu bestimmende 1, das mit der Frequenz
durch die Gleichung
1 =---12n2v'(1-u2)e
(7)
E h*
verbunden ist, erscheint nur in den Diagonalgliedern, und die
Diagonalglieder wachsen bedeutend rascher mit dem Index als die
anderen. Man kann also das R i t z sche Waherungsverfahren sehr gut
verwenden.
Wiirde meine Anwendung der Ritzschen Methode fiir die rechteckige Platte richtig sein, so mu8 man die Ritzschen Ergebnisse
fiir die quadratische Platte ohne irgendwelche Supposition auf Grund
der Symmetrie der Platte uber die Am, als Spezialfall der rechteckigen Platte fur k = 1 bekommen. Wenn k --t 1, geht aus G1. (4)
hervor, daB ;3:'(
und pEz sich einander nahern. Allgemein - also
auch f ur k = 1 - gilt :7 = ynnl. Der Einfachheit halber nimmt
man b = 1 an. Die Differenz der beiden 1, die man aus den
Gleichungen p:: = 0 und t9::: = 0 bekommt (m $r n), nahert sich
der Null, wenn k gegen Eins konvergiert. Bei der Berechnung der
Am, und A,, mu8 man in diesem Falle in der zugehorigen Determinante auch die benachbarten Glieder ihrer GrGBe halber beriicksichtigen. I n erster Naherung beschranken wir uns auf das System
von Gleichungen
111 1k
Die Determinante dieses Systems sol1 gleich Null sein. Setzt man f u r
I,,
7ll
y,,n 11L und :
+:y in diese Determinante ein, bekommt man
(fur m $I n und m und n gleicher Psritat)
n
pqn,,
p,,,n ,
+ +
2 = atL 9:
@
[2Wl,lm~i111
& Wf,
2
t CIJ,,,]
2
+ 2 (1 - 4 [am?rL
a,, t 5J
7
was mit der Ritzschen G1. (57) iibereinstimmt. F u r m = n geht aus
G1. (4) in flbereinstimmuug mit der Ritzschen G1. (58)
a = 29: + 2am1,, + 2 (1 - o ) a2m 7 7 L
hervor.
Im ersteren E'alle (m
+ n) bekommt
man aus (S)
43 *
636
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1937
Dies wurde von R i t z in seiner Arbeit als eine a w der Symmetrie
der Losung hervorgehende Voraussetzung (S. 763) benutzt. Wenn m
und n verschiedener Parifat sind, sind w
,
und a,, gleich Null.
= 0 identisch
Die G1. (8) sind fur die Wurzel der Gleichung :3:/
erfullt. Dieser Fall entspricht den R i t z schen Doppeltonen. ,,Fur
die Doppeltone (Ritz, S. 774) waren an und fiir sich unendlich
viele Figuren moglich. Den Ausdrucken
entsprechen hier zwei Figuren , die auseinander durch Drehung
um 90° entstehen, den einzelnen Schwingungen urn(x),un(y) Linien,
die angenahert parallel zu den Seiten verlaufen, und deren Lage
den Wurzeln von u;,(5)= 0 bzw. un(y) = 0 entspricht." Aus der
durchgefuhrten Erwagung ist ersichtlich, denn es gibt keine Unstetigkeit in der Abhangigkeit von k , daB der fjbergang der Staubfiguren bei rechteckigen Platten in diejenigen bei quadratischen
Platten ganz stetig ist, wenn die langere Seitenkante auf die Lange
der anderen stetig verkiirzt wird. Dies kann man rechnerisch und
auch experimentell naher verfolgen.
Numerisch fiihren wir die Rechnung fiir zwei Platten yon Abmessungen
I. 2a
= 1,0434 cm,
2b = 1,0013 cm,
11. 2a = 1,0738 cm, 28
= 1,0006 cm,
2h = 0,0987 cm;
272 = 0,0845 cm,
6 = 0,25,
e = 7,665 g/cm3
durch.
Beide Platten sind streng genommen rechteckige Platten; doch
kounen wir sagen, daB sie Quadrate sind - die erste auf ungefahr
4O//,genau, die zweite auf ungefahr 7,4°/0.
Durch das R i t zsche Naherungsverfahren bekommt man fiir
beide Platten folgende Ergebnisse:
1.
I. 3, = 166,6:
w =U , V , + 0,050 U , V l + 0,045 77,17,
- 0,012 U , V 3
- 0,0064 U , Vl - 0,0055 U , V , + 0,0034 77,V , + 0,0032 U , V , +
0
* *
11. 3, = 157,5
w
U , V , + 0,052 U, V , + 0,043 U , V , - 0,012 U , V ,
- 0,0067 U , I', - 0,0052 GI V , + 0,0034 U sV , + 0,0031 U , V , + =
* *
B. Pavlik. Beitrag zur Untersuchung usw.
637
Das Knotenliniensystem ist hier von derselben Form wie bei der
quadratischen Platte [R*),Fig. 11 (Fig. 1).
Fig. 1. Staubfiguren l a , l b , l c
I. il = 364,6
w =U , V , - 0,66 U,,V , - 0,0043 U, V, - 0,011 U , V,
+ 0,013 / T o V, - 0,0034U, V , + 0,0015 U, V , + 0,00077 U , V , + * * .
2.
II.
il = 338,s
w =U, V,, - 0,44 U, V , - 0,013 U , V, + 0,0075 U , V ,
+ 0,013 C7, V , - 0,00030 U , V2+ 0,0043 U , V , + 0,00023 U , V,+ * * *
Konnte man die Gleichung desKnotenliniensystems in der Form /J,T’, = 0
schreiben, so warden die Knotenlinien in zwei Parallele zum kiirzeren
= 0 dagegen wiirden sie,
Seitenpaar iibergehen. Bei U , 17,- U,, IT2
wie bei der quadratischen Platte, Diagonalen in dem Rechteck
( R Fig. 19) werden. Weil aber der Koeffizient des zweiten Gliedes
nicht eins ist, so mu8 die Gestalt der Knotenlinien zwischen den
beiden Grenzfallen liegen. Das Knotenliniensystem sol1 sich hier
bei der Platte I dem Knotenliniensystem bei der quadratischen Platte
mehr nahern als bei der Platte I1 (Fig. 2).
Fig. 2. Staubfiguren 3a, 2b, 2 c
3.
I. 3” = 547,7
w = 0,66 U , I’, +U , IT, - 0,022 U , T‘, + 0,016 U , T,’
+ 0,0090 U , Ir4+ 0,0046 U , T’, -j- 0,0027 U , I’, + 0,00035 U , V , + 11. a = 532,s
?U = 0,50 U , I
, -I- u, IT, - 0,025 u, IT, + 0,017 u, V ,
+ O,0064U,I’,+ 0,0051 U,~r,+0,0019U21’,-0,000097 U , T4+.*.
-
-
*)
R bezieht sich auf die Ritzsche Arbeit 2.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 28. 1937
638
Wiirde die Gleichung des Knotenliniensystems U,V, = 0 sein, so
wiirden die Knotenlinien in zwei Parallele Zuni langeren Seitenpaar
iibergehen. Wiirde die Gleichung dagegen U, V , + U, V, = 0, so
hatten die Knotenlinien dieselbe Form wie bei der quadratischen
Platte ( R Fig. 10). J e mehr sich das Rechteck dem Quadrate
nahert, desto mehr sind auch die in Betracht kommenden Parallelen
gekriimmt (Fig. 3).
Pig. 3. Staubfiguren 3a, 3b, 3 c
4.
I. a = 1134
w=
- 0,066 U , + 0,053 U , 17,
0,042 U4V,
0,0091 [To V , - 0,016 CT, ,T’
*. .
11. 3” = 104s
U, =
I’, - 0,061 CJ, 8, + 0,081 0,V3
0,044 T i 4 + o,oos9 I‘, - 0,016 CT4 T’,
* * *
Die Knotenlinien sollen hier zwei Parallele zu der kiirzeren und
eine zu der langeren Seite sein. Bei rler quadratischen Platte, deren
beide Kanten gleich groB sind, entspricht dieser Schwingungsart
dieselbe Staubfigur oder die Staubfigur R Fig- 26 (bei der quadratischen Platte ein Doppelton) (Fig. 4).
+
u,v,
v,
+
+
v,
+
u,
+
Fig. 4. Staubfiguren 4a, 4b, 3 c , 6 b, 5 c
I. 3, = 1213
5.
ZLI
=
u, v,- 0,088 u, v,+ 0,082 lJ3 v,
-
+ 0,036U1r’,+
10
O,011U,V0- 0,015U3T’,+.**
11. a = 1173
= U, 8, - 0,098 U , V , + 0,084 U , V 2
0,034 U ,
0,012 U , V , - 0:014 U , ,T’ + * *
+
-
+
-
B. PauUk. Beitrag zur Cntersuchung
639
USW.
Das Knotenliniensystem sol1 hier in erster Naherung eine der maglichen Formen ( R Fig. 25) der Knotenlinien bei der quadratischen
Platte haben (Fig. 4).
6.
I. A = 3205
w = O,094U, V , + U , 8, -0,024 U , V, +0,O28 U , V,+0,010 U3V4 * *
+.
-
11. I = 2860
0,024U,V7,+ 0 ,0 2 6 U,V,+ 0 ,0 1 0 U,~ ~ ‘,-t...
-
w = 0,11 U,V,+U,V,-
Das Knotenliniensystem besteht in diesem Falle aus drei Parallelen
zur kiirzeren Kante; dies ist auch eine der moglichen Formen bei
der quadratischen Platte ( R Fig. 27) (l’ig. 5).
Fig.6. Staubfiguren 6b, 6 c , Ba, 8b,
8c
7.
I. il = 3827
w = 0,016 73,V , + 0,01ti U , V , +U , V , - 0,02ti U , I’,
- 0,021 U , V , + 0,10 U , V , + 0,096 U , ‘V, - 0,024 U4V , + .
11.
= 3666
w = 0,015 T-, ITo+ 0,016 U , V ,+ U , I’, - 0.029 U , V0
- 0,019 u, v4+ 0,11 u, V , + 0,095 u,I‘, - 0,024 u, V4 + *
-
?&
*
Bei dieser Schwingungsart sincl die Knotenlinien zwei Parallele zu
der kiirzeren und zwei Parallele zu der langeren Seitenkante wie
bei der qua,dratischen Platte ( R Fig. 11) (Fig. 6).
Fig. 6. Staubfiguren 6a, 7b, 7c
I. 3, = 3772
w = 0,070 ll, V , + I;, V , -0,024 U , V , + 0,035 U , Yl +0,011 U,V,
TI. h = 3780
8.
-
-
zu = 0,06477, V,+U,V,-0,024U2V,
+-
+O,038U,V,+0,011U,V,+...
* *
640
Annaten der Physik. 5. Folge. Band 28. 1937
Diese Staubfigur, bestehend aus drei Parallelen zu der langeren
Seite, soll hier ahnlich sein einer der moglichen Staubfiguren bei der
quadratischen Platte ( R Fig. 27) (Fig. 5).
9.
I. 1 = 4515
- 0,020 Ul V, + A
U V - 0,64 U , S', + 0,029 U ,
+ 0,010 U 5V , + 0,0099 U , V , - 0,0047 U , V , - 0,0053 U, V , +
11. a = 3090
w = - 0,059 U , V , + U3VcT,
- 0,44 U , V , + 0,083 U , 8,
w
=
+ 0,032 U 5IT,+ 0,025 U , l',- 0,015 U5V3 - 0,014 U , V , +
*
* *
1
*
VC'iirde die Gleichung der Staubfigur U3Vl = 0 sein, so wiirdeii die
Knotenlinien drei Parallele zu der kiirzeren und eine zu der langeren
Kante sein; wiirde die Gleichung U , V , - U , V , = 0, wie bei dem
Quadrate ( R Fig. 7)! so wiirden die Diagonalen und die Sgmmetrieachsen der Kanten die Knotenlinien sein. In unserem Falle soll die
Gestalt der Knotenlinien zwischen den beiden Grenzfallen liegen (Fig. 7).
Fig. 7. Staubfiguren 7 n , 9 c
10.
I. a = 557s
zu = - 0,074 U , V , + 0,65 U, P,+ U , V , + 0,15 U, V ,
+ 0,052 U j V l + 0,043 U , I', - 0,025 U , V , - 0,023 U , V , +
-
11.
ZL;
= - 0:074 U , V ,
-
* *
a = 5491
+ 0,65 U , 7,+ U , V, + 0,15 I:, S',
+ 0,056 F,V, + 0,041 U , V , - 0,025 U ,,T' - 0,022 U , 'c.', +
* * *
Die Staubfigur soll hier eine Form haben, die den nbergang
+ U, V , = 0 ( R Fig. 2) darstellt (Fig. 8).
Ton U, V , = 0 zu U , V ,
Fig. 8. Staubfiguren Ua, l o b , 1Oc
B. Pavlik. Beitrag
XUT
Untersuchung usw.
11.
I. i= 10436
zu = - 0,094 U , V , 0,028 U , V , U , V , - 0,16 U , V ,
- 0,010 U , V , 0,13 U , T,’ + 0,085 U , Ti, - 0,024 U , V ,
+
+
+-
641
+-
* *
11. a = 9742
w = - 0,095 U , a’, + 0,027 U , Vi0+ U , I’, - 0,14 U , V4
- 0,011 U , T’, + 0,13 U , V , + 0,088 U , 8,- 0,024 U , V , + * * *
Die Staubfigur sol1 hier aus drei Parallelen zu der kiirzeren und
zwei zu der langeren Seitenlrante bestehen ( R Fig. 29) (Fig. 9).
-
12.
1. i= 11150
w = - 0,091 U , V , 0,027 U , V , + U , ,’I
- 0,2S U , V , - 0,0084 U , V , + 0,14 U , T’,
+-
11. I = 10650
w = - 0,090 U , T,’ + 0,027 UoIT, + U, V,
- 0,34 U , V, - 0,0078 U , V , + 0,14 U , V,
+
+
-
* *
* *
Bei dieser Schwingungsart gibt es zwei Parallele zu der lriirzereii
und drei zu der langeren Seite als Knotenlinien (Fig. 9).
Fig. 9. Staubfiguren 9a, l l b , l l c , 12b
13.
I. I = 12210
w = - 0,016 U0V , + 0,029 U , F’,
U4J’”
- 0,19U,,V,- 0,030U,V2+ 0,032U,V4+ 0,O15U,V4+
-..
11. I = 10920
w = - 0,017 U , V , + 0,031 U , V , U , V ,
- 0 , l l U,V4 - 0,030 U , V , + 0,029 tJz
V,
* * *
+
+-
+ 0,015 I‘, P43.
Fig. 10. Staubfiguren 10a, 13b, 13c
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 28. 1937
642
Die Knotenlinien sollen hier vier Parallele zu der kiirzeren Seitenkante sein; die Verzerrung durch das zweite Glied (vgl. R Fig. 20)
ist klein, soll aber bemerkbar sein (Fig. 101.
I. 1 = 13540
w-=- 0,013 u,I-, + 0,022 u, 8, + 0,20 u4T‘,
13.
+ r”I-,
+ o,043u4v, - 0,031 u,I’, + 0,015 u, r4+ -
*
11. 1, = 14550
w
?=
- 0,013 u, v,+ 0,020 u, v2+ 0,12 TT, v,+ u, v,
+ 0,051C7,T7,-
0,0~1U,‘V,+0,016U,T7,+
v . 0
Die Staubfigur soll hier durch vier Parallelen zu der langeren
Kante, die den Anlauf zu der Ritzschen Fig. 1 2 zeigen, gebildet
werden (Fig. 11).
Fig. 11. Staubfiguren l l a , 14b, 15c
15.
I. 3,
= 15410
zu = - 0,042 U , Y l - 0,035 U, T‘,
+ O,35 U , LT3+U , T’, - 0,035 U , 8, + 0,0016 U , T’, +
* * *
11. 3” = 13910
V , - 0,038 U, TT3
+ 0,48 77,V 3+CT4 V , - 0,031 U, T’,
zu = - 0,044 T’,
+ 0,0015 U , IT3+
-**
Die Staubfigur soll aus vier Parallelen zu der kiirzeren und einer
zu der langeren Kante sein ( R Fig. 31) (Fig. 12).
16.
I. 3, = 17620
- 0,037 U1 I’, - 0,025 U , I’,
+ 0,19 U , T7, + U , B, - 0,053 U , I’, + 0,0018 U , T,’ + -
U: =
*
11. 1, = 17500
w = - 0,035 rlV 2- 0,026 U , T,’
+ 0,16 r,V 2+ U , I’, - 0,064 U , IT,, 0,0016 U ,,T’
+
+-
*
B. Pavlik. Beitrag xur Untersuchurzg usw.
643
Die Staubfigur soll aus einer Parallele zu der kiirzeren und vier zu
der langeren Kante sein ( R Fig. 31) (Fig. 12).
Fig. 12. Staubfiguren.ljb, 14c, 12a, llib, 1Gc
20
17.
I. 1, = 21710
= 0,013U, V , - 0,098 U , 8, - 0,10 U , V , + U , V ,
0,097 U 5V , 0,071 U , ‘v, + 0,lZ U 5JTGT, 0,14 U , I’,
-
+
+--.
11. h = 20580
w = 0,013 U , V , - 0,098 U , V , - 0,lO U , V , +U,V3
- 0 , l l U , V , - 0,064 U , V , + 0,15 U , V , + 0,14 U , V , + -
.
*
Das Knotenliniensystem soll hier durch drei Parallele zu beirlen
Kanten - ahnlich wie bei einer quadratischen Platte ( R Fig. 3) gebildet werden (Fig. 13).
Fig. 13. Staubfiguren 13a, lSb, 17c
Fig. 14. Staubfiguren Ida, 18b, 18c
614
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 28. 1937
Das Knotenliniensystem soll hier die Form zwischen dem Bild, bestehend aus vier Parallelen zu der kurzeren Kante, zwei zu der
langeren Kante und der Ritzschen Pig. 21 sein (Fig. 14).
19.
I. i= 28560
11. il = 27810
Das Knotenliniensystem soll hier einen ubergang zwischen der
Staubfigur U , V , = 0 und der Ritzschen Fig. 13 bilden (Fig. 15).
Fig. 15. Staubfiguren 15a, 19b, 19c
11. A = 30040
w=
... -I-U 5 V , + .-.
Die Staubfigur soll hier aus funf Parallelen zu der kurzeren Seitenkante bestehen ( R Pig. 35) (Fig. 16).
Fig. 16. Staubfiguren ZOb, 20c, 16a und U, U, = 0 bei der Platte I
Beobachtungsergebnisse
Um die oben angegebenen theoretischen Ergebnisse zu priifen,
habe ich zwei Platten von oben angegebenen Abmessungen aus
B. Pavlik. Beitrag xur Untersuchung usw.
645
rostfreiem Stahl, und der Vergleichung rnit den Staubfiguren bei der
quadratischen Platte halber, noch eine Platte von Abmessungen :
2 h = 0,0952 cm,
2 a = 0,9990 cm,
2 b = 0,9953 cm,
die als quadratische Platte mit der Genauigkeit von 0,7°/0 angesehen werden kann, benutzt*). Diese Platten aus rostfreiem Stahl
wurden ahnlich wie bei meinen friiheren Arbeiten 7, s), magnetostriktiv
erregt. Die Staubfiguren, die ich dabei erhielt, sind in Figg. 1-16
wiedergegeben. I n den einzelnen Figuren sind die Staubfiguren bei
der quadratischen Platte (Platte 111) mit dem Buchstaben a), bei
der Platte I mit b) nnd bei der Platte I1 mit c) bezeichnet. Um
einen Vergleich der theoretischen Ergebnisse mit den experimentellen zu ermoglichen, wahlen wir teils diejenige Frequenz vo und
teils dasjenige no, die dem Knotenlinienkreuz entsprechen (Grundfrequenz), als zugehorige RezugsgroBen. Fur einzelne Schwingungsnrten sollen die ~ ~ / in
f demselben
~ o
Verhaltnis zueinander stehen
wie die zugehorigen v/wo [vgl. GI. (7)J So bekommt man folgende
Gegenuberstellung :
Tabelle 1
Platte I
Staubfigur
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
jtaubfigur **)
Frequenz in kHz
[gemessen ***)I
i
166,6
364,6
“7
1134
1813
3 205
3 627
3 772
4516
5 878
10440
11150
12210
14540
15410
17 620
21 710
24610
28 560
33700
1
1,4S
1,81
2,6l
2,70
4,38
4,79
4,76
5,21
6,78
7,92
8,17
836
9,34
9,62
10,s
11,4
12,2
13,l
14,2
31,42
46,2
57,6
78,4
79,7
11s
137
141
167
212
215
230
260
257
274
295
304
323
363
.I%
1
1,47
1,83
2,49
234
3,76
4,37
4,50
5,31
6,75
6,84
7,31
7,96
8,18
S,7L
9,39
9,68
10,3
11,5
*) Niihere Untersuchung der Transversalschwingungen bei quadratischen
Platten stammt von A. L e m k e (Ann. d. Phys. [4] 86. S. 717. 1928). Diese
Arbeit enthiilt auch Tabellen der om, und rrmn.
**) Die Ziffer im Zahler gibt die Zahl der zur kleineren Seite der Platte
parallel verlaufenden KnotenIinien, die im Xenner die zur liingeren Seite.
***) Doppelfrequenz des Senders [Naheres Lit. ?)I.
AnnaEen der Physik. 5. Folge. Band 28. 1937
646
Tabelle 2
Platte I1
-
.~
Staubfigur
Nr.
Frequenz in kHz
[gemessen **)I
Staubfigur *)
1
2
3
157,5 1
1
388,s
1,47
B32,8
1,84
1050
2.58
1173
2;73
2 860
4.14
3670
4;83
3 780
4,90
4090
5,09
5 490
5,90
9 740
7,86
10 650
8,22
10920
8,34
13910
9,40
14580
Y,62
17 BOO
10,5
20 580
11,4
22 550
12,o
13,3
27 810
30 040
13,s
1
5
6
7
8
9
10
11
13
13
14
15
16
17
18
.19
20
1
1,43
1,84
2,44
25,s
37,O
47,5
63,l
69,O
105
114
115
122
141
180
I
1
4
V;V"
2,65
4,06
4,42
4,41
4,72
5,46
6,97
739
8,36
8,64
9,18
9,84
-
196
216
233
237
254
261
280
304
10,1
10,9
11,8
Tabelle 3
Quadratische Platte
~
Staubfigur
Nr.
l/wa
Frequenz in kHz
[gemessen **)I
Vil%
~
~
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
u1 v1
u2vo - ac0 v 2
u, vo uov,
+
- u1~
U, V, - ZL, v
U,
2 ~1
;
V,
~ ; u8
4% 0 2
u3 v, - u1T 3
,243 v 1
+ u,
vg
u3v2 - u, us; ue v8
u4vo - uov4
u 4 vo + 210 v4
u4V~ - uu1
a,; u1
u3 VUR
u4vq - upv4
u4 v 2 + u,v4
u j v,,- uoV 6 / uov5
124:
26,4(
35,71
80,8
237,l
266,O
316,l
378
746
886
941
1131
1554
1702
2020
1
1,46
1,70
2,56
4,36
4,63
5,05
5,52
7,75
8,45
8,71
934
11,2
11,7
2300
14,2
13,7
31,74
46,6
58,6
79,8
137,4
137,s
149
167
216
245
253
267
296
312
326
378
1
1,47
1,85
2,51
4,33
4,34
4,70
5,36
6,81.
7,73
7,97
8,41
9,33
9,84
072
179
*) Die Ziffer im Zahler gibt die Zahl der zur kleineren Seite der Platte
parallel verlaufenden Knotenlinien, die im Nenner die zur langeren Reite.
**) Doppelfrequenz des Senders [Naheres Lit. 7)].
B. Pavlik. Beitrag zur Untersuchung usw.
647
Die theoretischen Werte fur il fur die quadratische Platte sind
a m der Ritzschen Arbeit2) entnommen (dabei ist CT = 0,225). F u r
E = 19,08 x lo1' Dyn/cm2,
0 = 7,665 g/cm8,
bekommt man als Grundfrequenz fu r die Platte I:
V",J
B
= 0,25
= 30,14 kHz,
fiir die Platte 11:
v ~ , I I=
25,l kHz
und fur die Platte I11 (,,quadratische" Platte):
VU,III=
31,7 kHz .
Man beobachtet eine sehr gute ubereinstimmung der theoretischen Ergebnisse mit den experimentellen. Eine einzige Abweichung der theoretischen von der experimentellen Reihenfolge der
Frequenzen bei der Platte I zwischen der 7. und 8. Schwingungsart
ist wahrscheinlich dadurch erklarbar, dafl die Naherungsformeln
fur mmn und E,,, mit griiflerer Genauigkeit als 2OI1, fur rn und n
groI3er als zwei gelten. Auch der fjbergang der Staubfiguren bei
den rechteckigen Platten in diej enigen bei der qnadratischen Platte
ist aus den beigefugten Figuren sehr gut ersichtlich. Es ist jetzt
nicht nur vom theoretischen, sondern auch vom experimentellen
Standpunkt begreiflich, warum W. R i t z bei der quadratischen
Platte fur
gewahlt hatte und warum die Goldmannsche Verwendung der
Ritzschen Methode fur die rechteckigen Platten nicht richtig
sein kann.
Zusammenfassung
I n der vorliegenden Srbeit habe ich den Obergang der Staubiiguren bei den Biegungsschwingungen von rechteckigen Platten in
die Staubfiguren bei quadratischen Platten theoretisch und experimentell untersucht. Theoretisch und experimentell habe ich gezeigt,
daf3 die Goldmannsche Verwendung der Ritzschen Methode fur
die rechteckige Platte nicht richtig sein kann. Die Staubfiguren
bei rechteckigen Platten sind in erster Niiherung durch die Parallelen zu der einen oder anderen Kante der Platte oder deren
Kombination gebildet. Die Staubfiguren bei den rechteckigen Platten
haben allgemein nicht den Typus der Xtaubfiguren bei den quadratischen Platten. Doch gehen die Staubfiguren bei rechteckigen
648
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 28. 1937
Platten stetig in diejenigen bei den quadratischen Platten bei der
Verkiirzung der langeren Seite iiber. Dies wurde nicht nur theoretiseh, sondern auch rechnerisch und experimentell bei magnetostriktiv erregten Platten besfatigt. Es wurde eine sehr gute nbereinstimmung zwischen den theoretisch berechneten und experimentell
gewonnenen Ergebnissen festgestellt.
Herrn Prof. A u g u s t i & E e k bin ich fur die Uberlassung der
experimentellen Hilfsmittel und f u r seine freundlichen Ratschliige
bei der Zusammenstellung dieser Arbeit zu groBem Danke verpflichtet.
Literatur
1) E. F. F. C h l a d n i , Trait6 d'acoustique, Paris 1809.
3) W. R i t z , Ann. d. Phys. [4] 28. S. 737. 1909.
3) W. R i t e , Journ. f. reine u. angew. Math. 135. S. 1. 1908.
4) E. G o l d m a n n , Anwendung der Ritzschen Methode suf die Theorie
der Transversalschwingungen freischwingender Platten von rechteckiger,
rhombischer, dreieckiger und elliptischer Regrenzung. Inauguraldissertation.
Breslau 1916.
5) H. D o e r f f l e r , Ztschr. f. Phys.63. S.30. 1930.
6) C. Z e i s s i g , Wied. Ann. 64. S. 360. 1898.
7) B. P a v l i k , Ann. d. Phys. [5] 27. S. 532. 1936.
8) B. P a v l i k , Ann. d. Phys. [a] 26. S. 635. 1936.
P r a h a , Physikalisches Institut der Karls-Universitiit.
(Eingegangen 14. Januar 1935)
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