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Beitrge zur electromagnetischen Lichttheorie.

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673
Electromagnetische Lichttheorie.
V. Bedtrage
eZectromngmetd8ch em LJch ttheorde;
won Prawnx KoZci6ek.
XUT
In zwei vor kurzem erschienenen Aufstitzen l) versuchte
ich auf Grund der electromagnetischen Lichttheorie die Farbenzerstreuung unter Zuhulfenahme selbstindiger electrischer
Oscillationen in den ponderablen Moleculen zu erkliiren.
Dieser Aufsatz behandelt in ilhnlicher Weise die Doppelbrechung und das Reflexionsproblem.
Die Moglichkeit derartiger Eigenschwingungen setzt vora m , dass die Moleculmasse di8lectrisch polarisirbar sei; es
ltsst sich nachweisen, dass die daher stammenden diBlectrischen
Polarisationsstrome gegen die Leitungsstrome selbst bei sehr
guten Leitern und massiger Dielectricitatsconstante nicht
verschwinden, wenn vorausgesetzt wird, dass die Eigenperiode
der Schwingungen von der Ordnung der Lichtschwingungen
oder noch kleiner sei. Sei beispielsweise K die Dielectricitlitsconstante, k der Widerstand eines Wiirfels von der
Kantenlange e i n s auf Quecksilber als Einheit bezogen, E der
Widerstand desselben mit Quecksilber angefiillten WTiirfels,
z die Periode einer electromotorischen Kraft X = sin(2nlr)t;
dann ist das Verhaltniss zwischen der Amplitude des Polarisationsstromes und jener des Leitungsstromes gegeben
durch Kk42t. Nun ist E im electromagnetischen (cgs) Maasse
gegeben durch 106/1,06,im absoluten electrostatischen Maasse
hingegen, in dem nuch K ausgedruckt sein soll, durch
106: 1,06 (3.101°)2,sodass obiges Verhaltniss in:
m :4 0 6 . 6 . a . 106
ubergeht, wenn 1 den Weg bedeutet, welchen das Licht im
Vacuum wahrend e i n e s Schwingungsdauer zuriicklegt. Bei
gewiihnlichen Oscillationen von Condensatoren, deren 10000
bis 100 000 auf eine Secunde gehen, ist obiges Verhaltniss
bei massigem K und ?t verschwindend; dagegen wird es selbst
bei guten Leitern, etwa Quecksilber, dem k = 1 entspricht, endliche Werthe bei Werthen des ?* erreichen, die von der Ordsind, also Lichtschwingungen entsprechen, und dies
_ _ ... .
1) Kolafiek, Wied. Ann. 82. p. 224 u. 429. 1887.
Ann. d. I’hys. u. Chem. N..F. XXXIV.
43
674
F. KoliEek.
schon bei mBseig grossen Werthen der Dielectricitatscohstante K. Die Theorie zeigt, dass bei electrischen Oscillationen an Stelle der kinetischen Energie die electrostatische
tritt, wghrend der potentiellen Energie elastischer Deformationen die electrokinetische Energie ontspricht. Absorption
ist der Hauptsache nach Umsatz in Joule'sche Warme.
Die Moglichkeit von Eigenschwingungen ist ferner an
gewisse, an der Grenzflache der schwingenden Massen zu
erfullende Bedingungen gebunden. Dieselben ergeben sich
in unsorem Falle leicht unter der Voraussetzung, dass die
Moleciile in einem Medium enthalten sind, das weder diBlectrisch polarisirbar ist , noch Leitungsstriime gestattet. Es
liefert dann das Maxwell'sche Stromcontinuitatsprincip die
einzige Bedingung, dass die Norrnalcomponente der totalen
electrischen Stromung an der Oberflache zu verschwinden
habe. In einzelnen Fallen, wo es sich etws um kugelformige
Molecule handelt, lassen sich diese Eigenperioden durch den
Radius, die Dielectricititsconstante und den specifiischen
Widerstand ohne Muhe ausdrilcken. Behufs Aufstellung allgemeiner optischer Theorien ist die Kenntniss der Moleciilform und infolge dessen die Kenntniss des geometrischen
Verlaufes der Strombahnen erllsslich; es geniigt, zu wissen,
dass die Strirmungen periodisch sind. Wir konnen uns nlmlich vorstellen, dass der Werth der electromotorischen Kraft
an irgend einer Stelle bei vorausgesetzter Kenntniss der geometrischen Eigenschaften der den einzelnen Partialschwingungen entsprechenden Strombahne'n durch n - Grirssen yl,
y z . .. y,, die etwa den Amplituden der Partialschwingungen
entsprechen , eindeutig bestimmt sei; wir setzen mithin die
Existenz von n allgemeinen L a g r a n g e ' schen Coordinaten
voraus, von der Eigenschaft, dass irgend eine electromotoriache Kraft oder Strirmung an irgend einer Stelle durch dieselben und gewisse, blos von der Ordnung der Partialschwingungen abhangige Functionen des Ortes eindeutig darstellbar
wird. Der geometrische Cherakter diever allgemeinen Raumfunctionen sol1 nun erhalten bleiben, wenn das die Molecule
umgebende Medium ein polarisirbarer Aether ist. Wir denken
dabei an ahnliche Vorgange in der Akustik, wo z. €3. unter
676
Electr o m ngnetische Lichttlieor ie.
der Voraussetzung, dass sich die Schwingungen einer Saite
durch die P o u r i e r ' sche Reihe , jene elastischen Kugeln durch
Rugelfunction darstellen lassen, exacte Lasungen sich auch
dann gowinnen lassen, wenc die tonenden Karper in Fliissigkeiten sich befinden. l) Geht nun durch den Aether eine
Lichtwelle, so treten zu den allgemeinen Kraftcomponenten,
die von den Stromschwankungen in den pondorablen Xoleculen herruhren, noch unabhangig inducirende Wirkungen
des Aethers als Erreger der Schwingungen hinzu. Umgekehrt iiussern die Stromschwankungen in den Moleciilen inducirende Wirkungen auf den Aether, die mit einer von
Fnrbe und Schwingungsrichtung abhiingigen Aenderung des
Tragheitswiderstandes des Aethers parallelisirt werden konnten, wenn es gestattet ware, die betreffenden Gleichungen vom
mechanischen Standpunkte zu erklaren. I n dieser Weise wird
Dispersion und Doppelbrechung erklarbar. Die aufgestellten
Differentialgleichungen selbst besitzen rnit jenen dee Hrn.
K e t t e l e r eine gewisse %ussere Aehnlichkeit.
Gegeniiber der mechanischen Lichthypothese, welche den
periodischen, die Lichtenergie charakterisirenden Lichtvector
unmittolbar mit den Aetherexcursionen identificirt , ist die
hier vertretene Theorie insofern im Kachtheile, als sie uber
mehrere solcher periodischen Vectoren verfiigt. Man hat es
im allgemeinen zu thun mit electromotorischen Kraften, die
theils von Stromschwankungen im Aether , theils von jenen
in den Moleculen herriihren, ebenso mit dem Totalwerthe
derselben und den entsprechenden dielectrischen Verschiebungen. Diese Vectoren sind nebstbei von magnetischen
Kriiften und den entsprechenden magnetischen Polarisationen
begleitet. Bei isotropen Korpern ist der Gang der Dispersion das Hauptproblem, und um dieses zu h e n , geniigt es,
irgend einen der Vectoren mit dem Liohtvector zu identificiren, da die Amplituden derselben zu einander Verhaltnisse
besitzen, welche an eine Richtung nicht gebunden sind. I n
den zwei ersten Aufsatzen aber diesen Gegenstand wurde die
von den Stromschwankungen im Aether allein herriihrends
-
.
- -. .1)
K o l B E e k , Wien. Ber. 87. p. 1147. 1883.
4R*
616
F. KoltiEek.
Kraft (oder dielectrische Verschiebung) als Lichtvector aufgefasst, weil dieselbe beziiglich der raumlichen und zeitlichen
Aenderungen Differentialgleichungen genugt, denen mit endlicher Geschwindigkeit fortgepflanzte Wellen als Integrale
entsprechen; der von den Moleculen lierriihrende Antheil
geniigte hingegen der L a p l a c e’schen Gleichung. Dies ist
jedoch eine iiberflussige Einschrankung, da sich die Totalwerthe der Kraft mit derselben Geschwindigkeit und in denselben Wellenebenen fortpflanzen, wie die Partialwerthe allein,
trotzdem ein Summand den Differentialgleichungen nicht geniigt. Es liegt in der Form der Gleichungen, dass zu dem
ersten Partialwerthe, der sich fortgepflanzt hat, der zweite
Theil, durch keine Fortpflanzung vermittelt, instantan hinzutritt. Lasst man nun den Lichtvector rnit dem Totalwerthe
der dielectrischen Verschiebung zusammenfallen, so ergeben
sich fur durchsichtige Krystalle in aller Strenge F r e s n e l ’ s
Gleichungen, jedoch mit dem Unterschiede, dass die Lage
der optischen Axen von der Farbe abhangig wird. Die Discussion der fur absorbirende Medien aufgestellten Gleichungen, die mit Rucksicht auf die verdienstvollen Arbeiten von
K e t t e l e r , V o i g t , L o m m e l unterlassen wurde, ergibt Dichroismus und Polychroismus. Dieselbe Annahme iiher den
Lichtvector ergibt im Problem der Reflexion die Fresne1’schen Gleichungen und dessen Definition der Polarisationsebene. Gleich consequent ware jedoch die Annahme, dass
der Lichtvector mit den magnetischen Verschiebungen zu
identificiren sei. Dies deutet darauf hin, dass die Frage
nach der Lage der Schwingungsrichtung zur Polarisationsebene in der electromagnetischen Lichttheorie keinen Sinn
besitzt; di6lectrische Strome und mrtgnetische Kr&fte sind
eben gleichzeitig vorhanden. Deshalb wird man nach Belieben das Verhalten des einen oder des anderen Vectors bei
Refiexion und Brechung getrennt untersuchen kijnnen, da
der Zusammenharg ihrer Amplituden ein ausserst einfacher
ist. Die exacte Durchfuhrung der Doppelbrechungstheorie
ergibt vom Standpunkte der Elasticitatshypothese Gesetze,
die mit F r e s n e l iibereinstimmen nur dann, wenn die Schwingungsrichtung in die Polarisationsebene hineinfallt. Das Re-
67 7
Eectromagnetische Lichttheorie.
flexionsproblem selbst ist wieder nur d a m einer L8sung zuganglich, wenn man an der Grenzfliiche beider Aethermedien
von den ponderablen Moleculen herruhrende Krafte annimmt,
die bei dem Vorgange der Reflexion und Brechung keine
Wellenarbeit leisten. Dies ist das berlihmte K i r c h h o f f ’ sche Princip , das zu derselben Definition der Polarisationsebene fiihrt, und dies rtuch in der dankenswerthen Verallgemeinerung von V o i g t. Die analytisch elegante Losung
dieser Probleme legt eR nahe, nicht die dielectrische Verschiebung, sondern die magnetische Kraft und ihr Verhalte,
bei Reflexion und Brechung zu untersuchen unter Zugrundelegung von bereits aufgestellten Grenzbedingungen, welche
vom Standpunkte der Electrodynamik unanfechtbar sind. Dies
fiihrt dann unmittelbar zu den Hauptgleichungen von K i r chhoff, V o i g t und D r u d e , und insofern ist die nahere Ausfuhrung des Problems fur Metallreflexion etc. mit Rticksicht
auf die Arbeiten von V o i g t und D r u d e l) unterblieben. Es
steht uns jedoch vollkommen frei, aus den Formeln die
F r e s n el’sche Definition der Polarisationsebene herauszulesen, wenn wir die dielectrische Verschiebung mit den sogenannten Lichtschwingungen zusammenfallen lnssen, weil die
dielectrische Verschiebung auf der magnetischen Kraft und
Wellennormale immer senkrecht steht.
I. Um den Zuaammenhang nicht zu storen, schicken wir
folgenden leicht beweisbaren algebraischen Satz voraus. Es
seien (DlUz....
On n lineare Functionen von yl yz... cpn,
ferner sei J2 eine quadratische Function derselben Qrdssen,
und qil T,o~... v,, n lineare Functionen von der Eigenschaft,
dass y1tpl + yztpz . . . y n y n i d e n t i s c h Null ist. Dann ist
a,,,,m = 1 .. i t , immer in der Form @,,=
, d.Q/dy,
VJ, darstellbar.
Von diesem Satze machen wir folgenden Gebrauch. Die
auf ein beliebiges Coordinatensystem
. .- bezogenen Componenten
der Leitungsstrome u v w lassen sicti als lineare Functionen
der electromotorischen Krafte X YZ in der Form darstellen:
.
1) l l r u d e , Wied. Bun. 3‘2. p. 554. 1887.
+
ax
u- = - d B + Q Y - - T Z ,
d
v=-
i c -ex+ 02,
d Y
__
w = dd R2 + t X - - n Y .
-
51. ist eine quadratische Function von X Y Z , Q cr t sind
Constante, deren Vorhandensein Effecte von der Natur des
H all’schen Phaenomens bedingt.
Es sei ferner l2 dieselbe quadratische Punction von
X = d X / d t , $ .$ sodass:
Die Componenten der dielectrischen Polarisation sind
gleichfalls lineare Functionen der’Kriifte X Y Z , doch durfen
die disymmetrischen Coefficienten wie Q 0 t n i c h t vorkommen;
widrigenfalls wurde ein solcher Korper von Kugelforlp im
homogenen electrostatischen Felde continuirliche Rotationen
ausfiihren. Stellt man sich namlich vor, dass durch den A c t
der Polarisation in einem Volumelemente Electricitiiten entgegengesetzter A r t an die Grenzflachen desselben getrieben
werden, 80 lassen sich jene Schlusse wiederholen, die auf dem
Gebiete der magnetischen Induction zu ahnlichem Resultate l)
fiihren. Es sei P eine quadratische Function der ,k Y Z ,
dann gilt, wenn m i t u’v’w’die Verschiebungsstrome bezeichnet
werden, t3u’ldt= 6’/i3t.dPld4%etc.
1st deshalb
- u v w der Totalstrom, so folgt durch Addition u = u’ + 21:
Nun hangen nach M a x w e l l die Werthe u v w mit X Y Z
vermiige der Relationen zusammen z):
1) Maxwell, Electricity and Magn. 2. p. 60.
2) Das zu Grundc liegende Maasssystem ist das electromagnetische,
magnetische Induction ist nnberucksichtigt geblieberi mit ltucksicht anf
die Untersuchungen des I-Irn. H e r t z iiber schnell verlaufende electrische
Oscillationen.
67,9
Electromagnetisohe Lichttheorie.
4n-du
dt
Y +d
Z
as S = -d- X + d-=Ax---,
--,
dx
dx
dy
dz
A=- dP +
dxa
da
dya
d a etc.
+ -z
dz
Xit Hulfe dieser und der Gleichungen (1) ergeben sich,
wenn der Factor 41d in den Coefficienten von 52 und Y einbegriffen wird, die folgenden Hauptgleichungen:
Diese allgemein gultigen Qleichungen benutzen wir, urn
die electrischen Bewegungen in einem sich selbst iiberlassenen,
in einem polarisationsfreien Aether befindlichen Moleculcomplex zu eruiren. An der Oberfliiche der Moleciile hat
die Normalcomponente Null zu sein. Dies soll zu der Lasung
der Aufgabe fuhron, und der allgemeine Charakter der Losung soll der sein, dass sich die GrBesen X Y Z unter Zuhulfenahrne gewisser als bekannt vorausgesetzter Functionen
des Ortes in eindeutiger Weise als Functionen von n allgemeinen Coordinaten y1y 2cp., deren jeder nur von t abhangt,
darstellen lassen sollen. Damit ergibt sich:
Wir rnultipliciren nun die Gleichungen in (2) der Folge
nach mit 6X,6 Y , 6.Z und addiren. Wir bekommen .in
dieser Operation zuerst einen Ausdruck:
F. KoldEek.
680
d dP
ax+- GY+-(-)dZ
a t (d X )
ft(:pk)
dt d 2
dP
dP
- - ax,
+ 6 Y d, Y + 62,-d Z
-ft[
dX
+ 6 Y- d P + 62-
J=d
-T
dZ
dY
Der erste Rlammerausdruck rechts ist aber wegen (3)
bis auf das Symbol a / d t gegeben durch:
2’aqj,
(EP d X
_-
[dk
oder wegen (4) durch:
~
dq,
+ -d-P. d Y- +
d X dq,
-
~
dZ d q n
Der zweite Klammerausdruck rechts ist aP, weil die
2 ) constante Cogfficienten
quadratische Function P (X,
besitzt, oder in allgemeinen Coordinaten:
Der Ausdruck J geht deshalb uber in:
Aehnlich ist:
(tX-6P)aZ
Die Ausdriicke (e f-t@)sX+(oi-pX)sY+
gehen durch Substitution fiir OX, X etc. tiber in:
B[g&
08, t T , l J y n ,
+
+
iZ 6. linearen Ausdrucke R,, Sn,
wobei die nach
, .. .
den Bedingungen geniigen:
R,& + R , 4 2 + . * . R n ( T ; n - O 0 ,
8
1
s
2
C
p
z
.. SnknEO,
T,kl + T2b2+ . . . T,I&-O.
61 +
Das Zeichen
G-0
+.
bedeutet identisches Nullwerdea.
Tn
68 1
Electromagnetiache Licbtlieorie.
Die Ausfuhrung der oben angedeuteten Operation ergibt
auf der linken Seite des Gleichheitszeichens:
Rechts dagegen steht:
Die Formen (5) und (6) multiplicire man mit dem Volumdifferential des Moleculs d t , und integrire fiber einen. bestimmten Moleculcomplex, etwa jenen, der sich in einer gegen
eine Wellenlange sehr kleinen Volumseinheit des optischen
Mediums hefinde. Die Grassen yn hangen nur von t ab;
man kann demnach, wenn H = f n d t , T = J ' P d z zwei quadratische Functionen der b,, mit von p,, n = 1, 2 ., abhilngigen Coefficienten bezeichnen, schreiben:
..
dabei ist R,'= fRnd t etc. gesetzt. Dieselbe Integration auf (6)
angewendet, ergibt, wie sogleich nachgewiesen werden wird,
Z a p , . a,,, wobei @n = d F ( y , y 2 . ..y n ) / d y nist. Setzt man
dieses Resultat dem in (V) gleich, so ergibt die lineare
Unabhangigkeit der Variationen Byl . Syn die Gleichungenreihe:
..
(VI1)-
dl
id")
dqn
dT
- --
dqn
+ ddq7H. +, ~ R , , ' + a S n ' + ~ T , , ' = @ n ;n = 1 , 2 . .
-
Um den Ausspruch @, = (dF/6'ycn)
(qly2 ... cp& m = 1, 2 . .
zu rechtfertigen, setze man in:
.
vermSge einer Relation von M a x w e l l (in der ctp y die magnetischen Kraftcomponenten bedeuten, welche ihren Ursprung
in den Striimen des Moleculs besitzen), und welche:
und bedenke, dass die Integration auch auf den intramolecularen Aether ausgedehnt werden kann, da in diesem die
602
I;. Koli8ek.
magnetischenKriifte den Bedingungen ( d y / d y ) - ( d P / d z )=Oetc.
genugen. Dehnt man die Integration bis zu einer unendlich fernen Kugel SUB, in welcher alle Kriifte Null sind, so
ergibt sich :
Die Integration per partes ausgefiihrt, ergibt auvorderst
das. Volumintegral:
(VIII)
und dies reducirt sich nach Einfuhrung der Werthe fur
X etc. offenbar auf:
yz ' * Vn).
Das Flachenintegral auf der unendlich fernen Rugel ist
Null, jenes an den Molociiloberflachen ist eine Summe von
Differenzen, in denen Minuend und Subtrahend die Form
besitzen :
+s w , ,
1[ s x ( ~ny - @ cos n z ) +
COB
+
;iY(U COB n z
+ S Z ( / j cos n x -I- cl cos ny)] ;
COB n x , COB n y ,
- cos n r )
cos nr sind in Minuend und Subtrahend Richtungscosinuse derselben Oberflachennormale, nur gehoren im
Minuend die Grossen
I; 6 X . . . Oberflachenpunkten im
Molecill, wahrend sie im Subtrahend solchen im Aether entsprechen.
Es seien 1,, i2,
L3 Richtungscosinuse einer Strecke der
Eigenschaft :
j c o s n y - 1 c o s n r = bi~.,,
ucosnz - ycosnx= O i 2 ,
@ c o s n z - clcosny = U i 3 .
Die Strecke fallt offenbar in die Moleciiloberflache. Quadrirt man und addirt dicse drei Gleichungen, so ist bis auf
das Differentiationssymhol d / at 8, ersichtlich dem in die
Moleculoberfliiche fallenden Antheil der magnetischen Kraft
B
Electromaynetische Lichttheorie.
683
gleich. Unsore Differenz ist also ein Unterschied zweier
Glieder:
j-4 I, 6 Y . A, + 8Z.I s ) .
(ax.+
Nun llisst sich nachweisen’), dass bei eventuellen Discontinuitaten an einer Flache die ihr parallele magnetische
Kraftcomponente (hier b ) , ebenso wie die gleichgemeinte
elcctrische Kraftcomponente X I ,
YA, Z I , , somit auch
die virtuelle Aenderung 3 X . I ,
3 Y.2, 8 2 .I, continuirlich beim Durchtritte durch die Flache bleihen muss. Aus
dicsem Grunde verschwinden die Oberfliichenintegrale, und
ist der Satz Z’Srp,,. On = bF(cp, . . yn) gerechtfertigt.
W i r werden von nun a n die Coefficienten e c t in (VII)
aussw Acht lassen. Ein genaueres Eingehen auf den Einfluss derselben wurde zu Circularpolarisntion, resp. elliptischer
Doppelbrechung in durchsichtigen 2, Medien fbhren, eventuell
z u r magnetischen Drehung der Pol:trisationsebene, wenn das
Vorhandensein von g (T t a n die Existenz eines Magnetfeldes
gehunden ist. Es sollen hier nur symmetrische Medien in
Bctracht gezogen werden.
Yollen die sich selbst uberlassenen Molecule selbstandige
Eigenschwingungen ausfiihren, deren Periode von der Amplitude nicht abhangt, so muss d T / d c / ‘ , ,in welchem Quadrate des
rpn vorkommcn, verschwinden, d. h. die Coefficienten von T
diirfen von cp, . , y,, nicht abhiingen. Dies wird erreicht,
wcnn eich die Kriifte X Y Z darstellen lnssen wie:
-y = zyn.fn 7
+
+
+
+
.
.
I’= Hyn.qn,
Z = 2’ynhn,
wobei die Grossen f m g , h , niir von x y z abhangen. Mit dieser Annahme wird auch F eine quadratische Function von
cpI, cp2 . 7. Diese den geometrischen Charakter der Partialschwingungen charakterisirenden Grossen hnben nach Einfuhrung der Werthe X Y Z in (2) den Bedingungen zu
geniigen:
..
_.
.
1) K o l d F e k , W i d Ann. 32. p. 430. 1887.
2) In nbsorbirendcn Medieu besteht, selbst wenn sie symmetrisch
sind, keiiic m d e i e alu elliptische Doppelbrecliung.
684
F. Kol&?'eh.
Es leuchtet dies ein, wenn man in (2) die p a r t i c u k e
Lasung:
X = vnfn,
Y = Yngn,
z= ynh,,
yn = evnt
einfuhrt, und unter PS2 jene Functionen versteht, die entstehen, wenn in diese Functionen, die vordem mit den
Argumenten X Y 2 versehen waren, statt dieser Argumente
f n 9%h, eingefiihrt werden.
Es sollen noch Betrachtungen uber die Coefficienten von
yna,ern2,
y,,cp, im Ausdrucke F angestellt werden. Setzt
man in:
F = - g J d r [ ( &d Y
+ ( zd- ZT z ) a x 2 ax d
-g)
+(6-2g]
statt X Y Z ihre Werthe Xfnpn, Z q n g n , Z ' q n R , ein, SO ist
nach Ausfuhrung der Integration der halbe Coefficient von
ymcpnin + 2F gegeben durch:
Die Integration bezieht sich laut (VIII) auf das game
allerseits ins Unendliche ausgedehnte Medium. Mit Rucksicht auf (IX) folgt:
Man hatte aber auch schreiben konnen, wenn n und m
vertauscht warden:
685
Electromapetische Lichttheorie.
Dies gibt, wenn A,, BnmIntegrationsresultate bezeichnen:
(X)
M n m
- ( Anm v n 2
+
vnBnm)1
Mnm
=
- ( A mvm2+
vm
Brim);
denn es ist:
f n -d-P
dfm
+ ... = f m - dP. + ...
und
M m m
+ ... =fm- d R +.--
dfm
Setzt man n = m. so ist:
Am,
fn--dJ2
'Jn
= - (?fm2 A m m
= S d s 2 * P ( f m , g m , h r n ) ,
+ urn
Bmm
dfn
Bmm)7
=2JdtJZ(frn*~m,hm):
also ist der CoBfficient von ym2in 2F leicht auszudrucken.
Aus G1. (X) folgt, wenn entweder das Medium durchsichtig ist, somit $2 und mit ihm B,, entfAllt, oder wenn die
Functionen P und J2 proportionale Coefficienten besitzen,
sodass A,, und B,, nur urn einen constanten von V , und
v m unabhiingigen Factor sich unterscheiden , M,, = 0, da
v, und v m nicht gleich sein sollen. Der letztere auf absorbirende Medien bezugliche Fall tritt ein, wenn das Moleculmaterial isotrop ist, oder wenn bei Anisotropie desselben die
Hauptaxen der dielectrischen Polarisation und Leitungsfiihigkeit zusammenfallen. In diesem Falle ist F eine rein quadratische Function von v1 yPa . yne M n m verschwindet aber
auch, wenn diese beschrankenden Annahmen uber die Constitution der Moleciilmaterie nicht gemacht werden.
Die Functionen T und H enthalten namlich zweimal
an(. - 1) doppelte Producte
Setzt man an Stelle der
n Grossen y1 y 2
yn andere n Grossen ql vl2 . y,, die
mit ihnen linear durch 12%Coefficienten verbunden sind, so
reichen von ihnen n ( n - 1) aus, um die doppelten Producte
in T und H zum Veqchwinden zu bringen. Man kann sich
also ein cp-System denken, in welchem die Grosse T rein
quadratisch ist. Zu Anfang des Abschnittes I1 wird gezeigt,
dass dann die 01. (11) oder:
..
. ..
6 4,.
..
I? KolhEeR.
686
Und dies fiihrt zu Bnm= 0, somit auch zu M,, = 0, solange
vn und urn verschieden sind.
Wir setzen also:
2 T = a, q 1 2 a2 T 2 2 * . .
2 5 2 = 6 , ~ p , ~ b+ z y z z + + * *
+ 2 1 ; = c , e12+ c a y F 2 2 + - * ,
wobei die
a,b und die (- c) ihrer Bedeutung nach imlner
positiv sind. Dadurch reduciren sich die Gleichungen (10)
auf :
..
(8)
any,, b,&(jn= c n q n . n = 1 , 2 . . . n .....
Die Grossen f,9, h , welche die geometrische Seite der
Partialschwingungen zum Ausdruck bringen , sind durch die
Differentialgleichungen (IX)definirt. H a t man f m9, h, diesen Gleichungen entsprechend bestimmt und setzt dieselben
in die an der Oberflkhe zu erfiillendu Continuitatebedingung
ein, so ergibt sich die Gleichung zur Bestimmung von v,
selbst. W i r konnen uns also immer vorstellen, dnss die
Functionen f mg,,, hm, als auch v, bekannt seien, wiewohl e8
nur in den allereinfachsten Fiillen (etwa bei kugelfijrmigen
Moleculen) gelingen wird, die angedeutete Richtung thats8chlich auszufuhren.
11. Es sollen nun aus der Thatsache, dass sich die
Grosse:
T = [dt P = [ d t [ A , , A-2 + A,, F2 + 2 A,, B i.- . .]
+
+
+
+
+
b1
auf eine rein quadratische Function der
bZ.. reduciren
lasst; Schlusse gezogen werden. l) Setzt man hierin:
k=
Y = srp,gn
fn
+
z= 2’qnhn
ein, so folgt:
T = 2’Cpnzan ; u s = S d t [ ~ i l f n ~ + ~ , Z y n a + 2 ~ , , f n g n +*.‘.I*
Das Verschwinden der doppelten Producte
fordert fiir m 5 n:
+
S
+
+
(pnbmin
dt [ A l l f n f m
~ z z y n . ~ r n A,, (fnga,
f m gn)
Mit Hiilfe von (11) ergibt sich f‘olgender Satz:
(1 1) 0 =
+
*
T
‘1*
.
1) Beziiglich iihnlicher Scliliisse sche man Ray 1e i gh, Schall I, Ueber-
setzung
voii
Neesen.
687
Electrumagnetische Lichttheorie.
Lassen sich drei beliebige Functionen von xyz, die E q g
heissen sollen, durch Reihen der Form:
(12)
g=
m=n
m=n
m=n
C=
25'grnVrn
XJnlpm
iZ:'1Ccrnhm*.*
m=l
tlkl
m= 1
darutellen, so aind die von xyz unabhangigen Coefficienten Y m
in folgender Weise eindeutig bestimmbar. Man bilde den
Ausdruck:
j' dt [ E A, Jm
(13)
+v
+c A,, +(Egm +7 f m ) ~ l z *I
vn + 9.1 2 YVn + ..
]
hm
~2,gm
n=n
** **
n=n
l=P
[
Dann reducirt sich die rechte Seite desselbcn vermoge
A,, 2 f i L
t ~n
n=l
4
gn
2
* *
n=l
(11) auf:
w ~ S[ n~i i f mT2 +
=
qpm
A 2 2 y ma
+ 2A1,fmym*.*.
3
dt P (fm, g m hm) 7
und weil die doppelte linke Seite mit:
identisch ist,
80
folgt zur Bestimmung von
vmdie Gleichung:
Die Coefficienten 4l A,, sind durch die Lage der Coordinatenaxen gegen die Elauptaxen der electrostatischen Induction und den Werth der Hauptdielectricitiitsconstanten
leicht auszudrucken.
Dass die Gleichungen (12) bestehen, dass mithin beliebige Functionen der xyz in Reihen dieser Art sich verwandcln lassen, und dass diese Reihen fiir n == 00 convergiren,
ist noch zu beweisen. Die Sache verhalt sich ganz ahnlich,
wie mit den Entwickelungen in Fourier'sche Reihen. Wird
die Maglichkeit vorausgesetzt, dass beliebige Functionen durch
F o u r i e r'sche Reihen darstellbar sind, so ist es gegenwartig
leicht, die Coefficienten zu finden, und dies ist F o u r i e r ' s
Verdienst. Dass aher diese Entwickelung maglich sei, dasa
also die F ourier'sche Reihe thatsachlich jene Function ergibt, die bei Bildung der CoBfficienten benutzt wurdc, hat
F. KoliEek.
688
hier, wie auch bei den Kugelfunctionen, erst D ir i c h 1e t bewiesen. E m im vorliegenden Falle den Beweis zu fiihren,
dass die Reihen 2 ? p mfm, 2q~,,,g,, 2vn h, thatellchlich
gleich sind jenen Functionen, die bei Bildung der I/), benutzt
murden , miissen diese Reihen wirklich in anderer, directer
Weise summirt werden, und dies ist eine Aufgabe, die ohne
Zweifel noch schwieriger sein diirfte, als das von D i r i c h l e t
geliiste Problem. Vielleicht wtirde bei einem eventuellen Versuche dieses Beweises folgende Bemerkung von Nutzen sein.
1st der Werth der Reihen Zlfmyrn
etc., respective ~ o q o ~ p o ,
die bei Bildung von 11 benutzte Function aber C, I, 6, so ergibt sich sehr leicht die Relation:
m=l..--
n.
Gelingt der Nachweis, dass letztere Gleichung n u r Null
ist fur 6 = go, 7 = ?lo, 5 =
so ist die Moglichkeit der Enwickelung jeder Function 67 ( nachgewiesen.
Die Voraussetzung dieser Moglichkeit ist eine Hauptbedingung fur die Richtigkeit aller im Nachfolgenden gezogenen Schliisse. Doch ist diese Voraussetzung durchaus nicht
absolut willktihrlich. Man erinnere sich, dass die electrischen Bewegungen in den Moleciilen erst dann eindeutig bestimmt sind, wenn sie beliebigen Anfangsbedingungen ( t = 0)
beziiglich der Werthe X Y Z , sowie jener X Y Z Rechnung
tragen. Halt man sich an die vie1 plausiblere Voraussetzung,
dass durch die Annahmen X = 2 V n f n etc. alle moglichen
particularen Losungen erschopft sind, so ergibt diese Annahme
im Verein mit der Ueberzeugung, dass die Anfangszustande
beliebig wahlbar sind, den Satz, dass beliebige Functionen
von X Y Z durch die Reihen Z’qn( t = O)fn darstellbar sein
miissen. Aehnliche Schliisse plausibler Natur sind es ja,
auf Grund deren wir Bewegungen eines transversal schwingenden Stabes, solche von Klangplatten etc. durch die Anfangszustgnde ausdriicken, und in ahnlichem Sinne mogen die
vorstehenden Erorterungen aufgefasst werden. Es sei noch
ausdrucklich hervorgehoben, dass, wenn 6 = z’yn fn etc. besteht , keincswegs Gleichungen bestehen miissen, die durch
co,
680
Electromagnatische Lichttiieorie.
Anwendung desselben Operationssymbols auf beiden Seiten
des Gleichheitszeichens gewonnen werden. E a n n doch die
Reihenentwickelung divergent werden; die Theorie der F our i e r'schen Reihen bietet hierfur aahlreiche Belege.
111. In dem allgemeinsten Falle, wo Aether und Molecule
sich gegenseitig beeinflussen, hat man es mit einem Gleichungencomplexe zu thun, welcher fur MolecUle und Aether
nach dem Muster der Gleichungen (2) gebildet werden kann.
Sind X Y Z die Componenten der gesrtmmten electromotorischen Kraft, so sind dieselben ale Functionen von syrt
so zu bestimmen, dass sie fur die Molecule, resp. den Aether
folgenden sechs Gleichungen genugcn:
II ist eine quadratische Function von X Y Z und reduGirt sich fur den Fall als das Coordinatensystem in die Dielectrioitatshauptaxen d e s A e t h e r s gelegt wird auf 2U=K,Xz
+ K2 Pz + K32 2 .
Der thatsiichliche Verlauf von X Y Z im Aether ist
selbstredend namentlich in der Nahe der Molecule stark
vuriabel, wir setzen deshalb an Stelle der wirklichen Vorg h g e im Aether Nittelwerthe derselben, welche nach einem
nicht nnher zu erorternden Verfahren gewonnen werden,
wenn man ein Volumenelement in Betracht zieht, das, wie.
wohl gegen eine Wellenlange sehr klein, nichtsdestoweniger
ausserst viele Molecule umfasst. Nobenbei empfiehlt es sich,
die qlectromotorischen Kraftcomponenten X Y Z in zwei Bestandtheile zu trennen, deren erster t ~ von
< den Stromschwankungen im Aether, deren zweiter X' Y'Z' von solchen
Aun. d. Phys.
U.
Chem. N. F. XXXIV.
44
690
li. KokiEeh.
in den Moleciilen herstammt. Die ersteren Grossen, die im
Aether den Bedingungsgleichungen 4 n d u l d t = A5 - d o / d x
geniigen, werden ausserhalb dessolben, also in den Moleciilen
Gleichungen dor Form 0 = L I E - d a / d x geniigen, wobei IS
fur dEldx + d l ; / d y + d < / d z geschriebenfist. Aus eben demselben Grunde werden die GrSssen X Y’ Z‘ im Aether Gleichungen der Form AX’ - d 5’ Idx = 0 etc. geniigen.
Wenden wir uns zuvorderst zu den fiir die Moleciile
geltenden Formeln (14). Piihrt man rechtR statt X Y Z ihre
Werthe X ‘ + El I“+ q , Z’ + 5 ein, so verbleibt rechter
Hand wegen A t - d a / d c = 0 nur A X ’ - d S ’ / d x etc.
Nun entwickele man E 7 in die Reihen XlYnf n , Z ’ t / J n g n ,
L Y ~ I , , ~und
, , desgleichen X’ in 2 ’ T n f, etc, so ist linker
Hand in (14) fiir X Y Z einzufiihren: X = 2 ( y n tpln)fn ,
Y = 2 ( V n q ! n ) g n l Z = X ( T n lp,)h,; rechts dagegen
muss fiir X Y‘ Z’ 2 ynfiL2 cp, y, 2 ‘p, h, eingesetzt werden. Dadurch gewinnt man aus den Formeln (14) in ahnb, b,, = c, bn
licher Weise wie friiher die Gleichungen a, &,,
jetzt:
<
+
+
+
+
(16) a,
($b, + $,,) + b,, (bn+ 41,)
= C, cp,
VL
.
= 1 . 2 . . ..
.
Die Grossen t / ~ergeben sich aus Formel (143 als lineare
Functionen von 6, 7 , 5, da wir E , 7 , in einem gegen die
Wellenlbnge kleinen Volumenelemente als constant voraussetzten.
Laut Formel (14,) werden die Grossen ip gewonnen durch
Division zweier Raumintegrale, die iiber eine gewisse, nicht
naher festgestellte Anzahl von Moleciilen ausgedehnt wurden.
Dass es auf die Zshl dieser Molecule nicht ankommt, also
q,,davon unabbbngig ist, wird klar, wenn man erwagt, dass
bei einer Integration iiber eine doppelte Anzahl von Moleciilen sich Zahler und Nenner verdoppelt, vorausgesetzt, dass
die Bewegungen im einfachen und doppelten Volumen vollkommen homogen sind. Wir wollen deshalb diejenigen Integrationen, welche bei der Bildung von TS2 F intervenirten,
ausgedehnt denken iiber eine unendlich kleine Volumeneinheit, d. h. wir wollen fiir den Fall, als die Integration iiber
jene Molecule auszudehnen ist, die in dem Volumenelement
<
691
Electromagnetische Lichttheorie.
des Aethermoleclilgemisches d V enthalten sind, das Resultat
der Integration mit T d V, 52d V, Fd V bezeichnen.
Setzt man in (16) yn = unE + p n q r o c , so ergeben
sich filr die Molecule die Differentialgleichungen:
+
(17)
n = 1 , 2 ...n
+ (un D - +
d2
anyn
d
6n;ti) (an
+ b,yn - c,y,
+
p n 71
+
yn
5) = 0
Die Gleichungen fur den Aether (15) gehen, wenn die
Diijlectricitatshauptaxen des Aethers zu Coordinatenaxen gewahlt werden, uber in :
D-nn linker Hand ist der Totalwerth des Kraftcomponenten
X Y Z zu ersetzen durch die vom Aether herrtihrenden Antheile & 8, 5 verlnehrt um jene Antheile, welche von den
Moleciilen herriihren, und welche in ihrem Mittelwerthe
lineare Functionen von y1yp2
y n sein miissen.
Die Gleichungen (17) und (18) geniigen selbstverstbndlich
dem Energieprincip, weil sie aus den electrodynamischen
Gleichungen (2) nbgeleitet wurden, welche nach passender
Umformung den Satz ergeben, dass die in der Ze t d t erfolgende Abnahme der gesammten Energie in der J o u l e ' .
schen Warme zu suchen ist, welche wahrend derselben Zeit
entwickelt wurde.
Zwischen den Coefficienten un(3, yn An B, C, n = 1 . 2 .
ergeben sich noch Beziehungen. Die A r t und Weise, wie
namlich bei gegebenen Stromschwankungen die in einem bestimmten Augenblicke vorhandenen inducirenden Krafte raumlich vertheilt sind, ist davon unabhlngig, ob dau Medium leitend ist oder nicht, d. h. die Grossen A, Bn Cn u n p n Y n werden sich nicht andern konnen, wenn wir die Molecule uns
als absolut isolirend denken und jene partiellen Strombahnen
als vorgeschrieben vorstellen, die sich in Wirklichkeit von
...
44 *
692
I% HiUki6eh.
selbst einfinden. Wir denken uns deshalb in (17) die Orijssen
bn der Null gleichgesetzt.
Um die zwischen den a n p a Y n A n B n C, bestehende Relation zu finden, multipliciren wir die drei Gleichungen in (18)
folgeweise mit & , i ,t , addiren; die Summe multipliciren wir
mit dem Volumendifferential des intramolecularen Aethers
und integriren iiber den gesammten intramolecularen Aether
bis ins Unendliche, wo voraussetzungsgemass keine electrische
Bewegung statthaben soll. Von dem Resultate dieser Operation auf der rechten Seite des Ojeichheitszeichens liisst
sich nachweisen, dass es ein vollstandiges Zeitdifferential ist.
Bedeuten cc /? y die Componenten der magnetischen Kraft,
F G H die Vectorpotentiale, deren negative Zeitdifterentialquotienten die electromotorische Kraft liefern, (hier stammen
diese magnetischen Kriifte, Vectorpotentide etc. nur von den
Stromschwankungen des Aethers), so gilt nach M a x w e l l :
H - d- - G
= d)
dy
dz
der Ausdruck A t -ddo/dx ist dam nichts anderes a15
- d p l d z , und das Integral rechter Hand geht iiber in:
djldy
Der Werth von J bleibt ungeandert, wenn wir die Integration auch noch uber die von der Integration unberiihrten Moleculraume ausdehnen. Denn ausserhalb des Aethers
sind die von seinen Stromschwankungen herriihrenden magnetischen Kraftcomponenten durch DifYerentialquotienten
eines Massenpotentials darstellbar, somit:
der Null gleich. Die 1ntegrati.on per partes ergibt dann
neben dem Volumonintegral:
noch ein auf die unendlich ferne Oberflache bezogenes, nach
dem Obigen Null zu setzendes Oberflachenintegral, und auch
600
Electrornagmbihhk Lichttheorie.
noch Differenzen von Oberflilohenintegralen an der Obertlliche
der Moleciile. Der Minuend einer dieser Differenzen ist:
+ ,[;lcosnz
I
-~cosny]+~[~cosnx-~co~ny]
a
Die in ihm vorkommenden Werthe ) & i t seien Werthe
dieser Grossen knapp an der Oberflache im Aether. Der
Subtrahend hat genau dieselbe Form, nur bedeuten 1 etc.
Werthe knapp an der Oberflache im Moleciil. COB n z , COB ny,
cos nz sind in beiden Fallen Richtungscosinuse derselben
0ber Kachennormale.
Wir setzen nun:
t c o s n y - 7 ; cosnz-Ijcosv,,
7;cosnz--cosny=Bcos)~~,
c o s n z - C O S R Z = 0 cosp,.
Quadrirt und addirt man, so ergibt sich 8 als d i e Componente der Resultirenden von $ i, welche in die Oberflilche
des Noleciils fallt. Nebenbei ist ?, pl v1 eine ebenfalls in
die Obcrflache gehorige Richtung. Somit sind die AusdrIicke
f cos ny - cos n a etc. Componenten der nach der Zeit differenzirten Kraft, und zwar einer solchen, die in die Oberflache hineinfallt. An anderer Stelle l) ist nachgewiesen
worden, dass die Componenten der Vectorpotentiale, resp.
jene der magnetischen Kraft, welche an einer Discontinuitatsflache in diese selbst hineinfallt, durch diese Flache continuirlich hindurchgehen. Infolge dessen werden Minuend
und Subtrahend, welche die Form:
[ b (& cos ill + fi cos p1 + cos v,) d s
annehmen, einander gleich. Setzt man nun noch fiir
( d g / a y ) - ( d i l d x ) den Werth
ein, so reducirt sich das
gesammte Resultat auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens auf:
L = - 4 a d t [i2+ + y23.
B
Linkerhand die angedeutete Operation ausfiihrend, kSnnen
& 7) 5 in einem vide Moleciile
wir mit Riicksicht darauf, dass
~.
-
1) KolAEek, Wicd. Ann. 32. p. 430. 1887.
F. KolhEeh.
694
umfassenden Volumenelement des Aethermoleciilgemenges d V
als constant betrachtet werden kann, statt des Volumendifferentials des intramolecularen Aethers d t auch d V .e schreiben, wenn im Volumenelement d V der Aether den Raum Ed V
einnimmt. So folgt nach Ausfiihrung der oben angedeuteten
Operation:
" 'I
+
ajiJdT
[c2+ /++j21+ J e d V [XI(A$,
+A,&+
* *
*)i
+ Kz(B,'PI + B, 4,- . .,; + K3(C, G1+ c2i2..
.) i]= 0
*
Aus GI. (17) folgt, wenn man mit 4, multiplicirt, alle
so entstehenden Gleichungen nddirt, mit dV die Summe mul-
tiplicirt und tiber den ganzen, Aether und Moleciile umfassenden Raum integrirt :
fiv [z
(20)
Qn @ n (;.n
+
c n y n 'pn
+
an(u,
+
fp n ;;
..
.
y n j )v n l =
0.
Durch Addition von (19) und (20) gewinnen wir das
Resultat, dass der Ausdruck:
.. .
+ Pnii + un5)yn
J d B [ z an(cn8
+
8
~ i x1 ( A n + , n ) +
EKZ;iz(BnGn) + i i E ~ 3 z ~ n i , n ]
ein Differentialquotient nach t sein 8011, welcher Bedingung
geniigt wird durch ancyn :Kl An = an& :K, B n = anyn = A> C n ;
damit ergeben sich folgende definitive Differentialgleichungen:
I
n=n
Aether*
I
695
Electromagnetische Lichttheorie.
+
Fiir c,, haben wir bequemlichkeitshalber -c, geschrieben, hn ist eine von der Ordnungszahl n abhangige Constante.
IV. Als Integrale von (21) und (22) nehmen wir, unter
cc y 1, m, n, Un complexe Grossen verstehend, und H = v t
+ u6(Zz m? n z ) setzend an:
+
+
5 = ye", y n = (DneH.
v = ( 2 n / t 1/=-1,
)
t die Schwingungsdauer, 1 die
= aejI,
=PeH,
Dabei ist
Zeit, J eine dem Sinne nach noch festzustellende Constante.
Die Bubstitution in (21) und (22) ergibt:
(K,u 4-2UnhnQn) = ud2(E2+ma+ n2) - 621 (lu + m p + fir),
(K,p f Z&hn @n) = paa(1' f 7/2*+ 71') - daln(lU + m p + n y ) ,
(K3y +- S y n h n dj,,) = y S 2 ( P + ma + n2)- P n (la + m p + n r ) ,
(bn (Q~Y' bnu cn) (anv'
bnv) (enu @n@ yny) = 0
+
+ +
+
+
+
Durch Substitution fur (fin:
Kia H a n h n J L ( a n e p n @
yny) = u6'2(i2 ma n2)
- rY21 (lu + m p + n y ) ,
Kcp Z p n k z J J n (unu @n@ y n ~=) ps2(p m2 n2)
- Jam (Zu+ m p n y ) ,
K3y
>yn/ln% (unu p n p yny) = y S a ( P m2 n2)
- 3.2, (lu + m p + ny).
Es sei ferner:
2 4 = X/&nJ&z
(gnu
PnP
yny)',
2 Go= Kl 12-t K2P' + K 3 y 2 ,
ferner S = Fo + Goeine quadratische Function von u p y mit
Coefficienten, die von v abhangig sind.
I n dieser Weise ergeben sich die drei Hauptgleichungen:
+
+
+
+
+
+
+
[
+ +
+
+
+
+
+ +
+ +
+
dd aS = u ( ~ 2 + m a + n ~ ) (~~ ~
e +- r~n ~p +~ n y ) ,
Behufs weiterer Entwickelungen sollen zuviirderst die
vollkommen durchsichtigen Krystalle behandelt werden. In
696
I;. Kola‘Ee;B.
diesem Falle ist 6, = 0 zu setzen, u p 7 seien r e d , desgleichen 1 m n. Die Werthe .$ q, 5 sind d a m :
rt
d (h+ my
1
+ nz)
+ l / T a ! . s i n T t + 2 n tc y ( / r + m . y + n z ) lJ.
Da die reellen und imaginiiren Theile von EQ[ fur sich
den Gleichungen geniiges, so sind hierdurch ebene, linear
polarisirte Wellen vorgestellt , die mit der Geschwindigkeit
v = - 1/ 6 langs der Wellennormale 1m n fortgepflanzt werden.
a! y sind projicirte Amplituden der von den Stromschwankungen im Aether stammenden &aft E,Q,<. Die Grosse a,,
wird reell: J2, = - a,va/(a,va + c,) , soniit sind auch die
CoGfficienten der quadratischen Function 5’ reell, aber von
v / ~ ~d. h.
l von
,
2 n / z , der Farbe abhhgig. D a zur Festlegung eines neuen Coordinatensystems drei Grossen geniigen,
so konnen wir dieses so wahlen, dass in S ,die doppelten
Producte wegfallen. Die Projectionen der Amplitude auf
die neuen Axen seien ct’fly’, die Richtungscosinuse der Wellennormale l’ m’ n‘. Ferner sei :
=PI~‘+P,P’+P,Y’l
p = ‘I,u’+
%PI+
‘ISY’l
~=.s11%’+S2p~+Ssr’.
Die p y s sind Richtungscosinuse des neuen Coordinatensystems. Vermoge:
folgt aus (23) nach vorhergegangener Multiplication mit p , y1 s1
unter Riicksicht auf l‘= Ip, + my, nsl , cc‘= upI pql + ys, ,
lu + m p + n y = l’u’+ m r p r + n‘y’ genau dieselbe Formelreihe wie in (23), wenn wir die Striche weglassen und die
Grossen “(3 y , l m n auf das neue Coordinatensystem beziehen,
in welchem 2 S die Form Hu2 Sp2 T y a durch passende
Wahl desselben angenommen hat. Die Formeln (23) vereinfachen sich in:
Ru = us2- P l (la m p n y ) ,
Sf3 = /IS2- J 2 m ( l u + m p + ?iy),
S y = y d 2 - d2n (1u + m a + ny).
+
+
+
+
+
+
ElectromaynetiscAa Xichttheorie.
697
Bus (23,) folgt forner:
Ra!2 S p m Tyn = 0,
(24)
und da (23,) auch in der Form geschrieben werden kann:
+
+
so ergibt sich die Multiplication mit 222, S m , Tn und Addition unter Rucksicht auf (24):
.
wenn fur S.. - 1Iv und fur 1/ R,1 / S,1/ T vza, vy2, vZa geschrieben wird. a e s ist eine VOD F r e s n e l hergeleitete
Grundformel der Doppelbrechungslehre. D e f i n i r t m a n den
L i c h t v e c t o r d u r c h d i e t o t a l e d i e l e c t r i s c h e Verschieb u n g , d i e von d e n S t r o m s c h w a n k u n g e n i m A e t h e r u n d
d e n M o l e cii len h e r s t a m m t , nennt die Componenten dersely'eH, so ergibt sich mit Riicksicht darauf, dass
ben aleE,
der Totalwerth der electromotorischen Kraft an einer Aetherstelle durch + (1/ K J 2'y,,ccnAn, somit die dielectrischen
Verschiebungen selbst durch (Kl6 2qj,a,,h,,)147c gegeben
sind fur die mit 4% multiplicirten Amplituden 4 n u ' , 4np',
4ny' dss Werthsystem a S / d a , d S l d p , d S / d y , und zwar
ohne Riicksicht darauf, ob der Krystall durchsichtig ist oder
nicht. I m letzteren Falle sind 4nu', 4.a' 4 n y' durch Ra,
S p , Ty gegeben, und die aus (24) entstehende Relation:
+
u'L+ ma'+ n y ' = 0
(248)
druckt die Transversalitat der Lichtschwingungen Bus.
Die Formeln (23,) lauten d a m :
I
y ' - C s 2 *T
i+120=0,
Sie lehren diejenigen Werthe u'f y' kennen, fiir welche
Fa+ yf2 sein Maximum oder Minimum
der Werth von
+
F. Koli6ek.
698
+
+
erreicht , wenn die Bedingung lot'
m,&
ny' = 0 und
d 2 /R f a / 5' ~ ' T ~= Const.
1
gestellt wird.
Die Schwingungsrichtungen fallen somit in die Hauptaxen der Ellipse, welche durch den Schnitt der Wellenebene
mit dem Ellipsoide
R f12/ S yI2/ T = Const. entsteht.
Aus den Gleichungen (26) folgt leicht durch Multiplication
mit u' 8' y' und Addition:
(at2 Pz fa) = 8* Const.
Verfiigt man iiber die beliebige Constante, sie gleich
Eins setzend, so ist:
+
+
.I2/
+
+
+ +
1
_ _8I -- - = - - T-$T2T>
'
und die einer Schwingungsrichtung entsprechende Portpflanzungsgeschwindigkeit ist deshalb identisch mit der inversen
Axenlange im Schnitte der Wellenebene mit dem Ellipsoide:
a'2
+ /P vya +
y'2 u,2
= 1.
Wendet man diesen Satz auf cinaxige Krystalle an, so
folgt unmittelbar, dass die dielectrischen Schwingungen des
ordinsren Strahles auf dem Hauptschnitte senkrecht stehen,
also Fr e s n e l ' s Definition der Polarisationsebene.
Nun existirt aber neben der fortschreitenden ebenen
Welle der dielectrischen Verschiebungen eine ebensolche fiir
die magnetischen Rriifte A B C, welche mit den Polarisationsstriimen u v w im Aether vermoge der Relationen dC;ldy-dB/dz
= 4 n u etc. zusammenhangen. Sind A , B, C, die Amplituden
diesermagnetischen Rrafte, sodass A= AoeEI= A,e&+vJ@+my+n*)
etc. geschrieben werden darf, so ergibt sich die Relation:
4na' = 6 (Corn- B,n), 4mp = 6 (Aon- ( ; I )
47~7'= s(B,Z- A,m).
Daraus folgt, dass die magnetischen Krafte auf der
dielectrischen Verschiebung und der Wellennormale senkrecht
stehen, und damit die von K i r c h h of f aus der Elasticititshypothese hergeleitete Doppelbrechungstheorie , wenn der
Lichtvector durch die magnetische Kraft definirt wird.
V. Die in Formel (143 vorkommende Grosse vn ist ein
Maass fur die Starke der Erregung der nten Partialschwingung durch gegebene inducirende Wirkungen q 5 der im
Aether fortschreitenden Lichtwelle. Unter der Vorsussetzung,
699
Electromagnetische Lichttheorie.
dass ij Q 5 in einem gegen die Wellenlange kleinen Volumelement constant ist, ergab sich fur ?inder Werth cin6+/lnq
+ ync. Daraus folgt, dass ilussere Krafte, welche in einer
zu ctn Pn yn senkrechten Ebene liegen, die nte Partialschwingung nicht zu erregen vermogen. Diese Richtung tcn /Yn yn
bezeichnen wir als Axe der n ten Molecularschwingung.
Dieser Axenbegriff kann dazu dienen? urn eine beilaufige
Vorstellung von der Constitution der verschiedenen Krystallsysteme zu gewinnen.
Um auszudrucken, dass in einem Molecul d r e i bevorzugte Richtungen existiren, denken wir unR dasselbe ellipsoidisch und aus isotropem Material bestehend. Unzweifelhaft werden sich die Eigenschwingungen den drei Hauptaxen
zuordnen lassen, in der Weise, dass z. B. die der %-Axezugeordneten durch Schwingungen in der xy-Ebene nicht erregt
werden. Mit anderen Worten, ‘die Schwingungsaxen der
Molecule werden nur in die x-? oder y-, oder %-Axe hineinfallen. Deshalb ist fur eine der drei Gruppen /Yn = 0 = yn = 0.
F u r die zweite ist nur Pn, fiir die dritte nur yn von der
Nulle verschieden. Liegen zudem die Ellipsoidaxen alle
unter einander parallel, und zwar den drei Krystallaxen cntsprechend, so gelangt man zum rhombischen System. Der
Ausdruck fur 2 Fo in Abschnitt 1 V reducirt sich, wenn die
drei Summenzeichen 2,Zg Z; den drei Schwingungsgruppen
P2.2z;f3nh,Rn
y223~*nhn.(2n.
entsprechen, auf a2L;unhn SZ,
Die drei Krystallaxen, die wir nebenbei mit den Hauptdikilectricitatsaxen zusammenfallen liessen, sind somit, unabhangig yon der Farbe, zugleich Richtungen der drei optischelastischen Hauptrichtungen,denn auchdieFunction S= F,+ Go
ist beziiglich apy rein quadratisch.
Handelt es sich urn durchsichtige Krystalle, so ergeben
sich fur die drei Hauptgescliwindigkeiten v,, vy, v, Werthe wie
+
+
Dabei ist Kl die erste Hauptdielectricitatsconstante des
Aethers i n e l e c t r o m a g n e t i s c h e m Maass. Druckt man
dieselbe durch ihren electrostatischen Werth k, aus, nennt
A?, den ersten Eauptbrechungsquotienten, so folgt das Dispersionsgesetz:
c'.).'
N.2 = k,
+ 21 '
i
.
).Li,'2
fly?= k, + 2a 1 c,".l
2-i
"
!,a
d
Nz2= k,
+ 2-, p-.
c,"'.
'
A,,**
1 ist die auf das Vacuum bezogene Lichtwellenlilnge,
I",' 1,"1,"' sind die den einzelnen Partialschwingungen
entsprechenden Constanten, die Summen selbst beziehen sich
auf alle Olieder einer Schwingungsgruppe. Die Richtigkeit
dieaer von K e t t e l e r aufgestelltcn Formeln ist durch Messungen an isotropen Medien und an Kalkspath erwiesen
worden. Stellt man sich vor, dass blos die r-Axen der
ellipsoidischen Moleciilmodelle in eine Richtung hineinfallen,
wahrend die zwei anderen Ellipsoidaxen einer bestimmten
Anordnung nur insoweit entsprechen, als ein Theil der y.Axen
nach einer Richtung der andere Theil nach einer anderen
Richtung orientirt ist, dass ferner diese zwei letzten Richtungen, die beide zur z-Axe senkrecht stehen, mit einander
einen von 90° verschiedenen W inkel einschliessen, so gelangt
man zu Krystallen des klinorhombischen Systems. Bei diesen
gibt es nur eine einzige von der Earbe unabhangige Richtung
der optischen Elasticifat, und dies geniigt zur Erklarung der
diesen Krystallen eigenthiimlichen Axendispersion. 8ind beziiglich der Ellipsoidaxen der Molecule keine regulilren Anordnungen vorhanden, sondern bezieht sich eine eventuelle
regelmgssige Anordnung blos auf die Schwerpunkte der
Molecule, so reprasentirt dieses Model1 das triklinische System.
Die Anisotropie des Aethers in electrischer Beziehung
k m n man sich durch Dichtigkeitsanderungen desselben veranlasst denken, welche einerseits in einer zwischen Aether
und Molociiltheilchen bestehenden Kraft, andererseits in der
regelmassigen Anordnung der Moleciilschwerpunkte ihre Erklarung finden.
Selbstverstandlich ist dieser, auf die gegcnseitige Lagerung
und Form der Molectile gestiitzte Erklarungsversuch der krystallinischen Structur nicht der einzig miigliche, der sich mit
unserer Doppelbrechungstheorie vertragt. 1st es doch nicht
c,' c,II c,"'
701
Electromapetische Lichttheorie.
ausgeschlossen, dass die fiir die Art der Axendispersion
charakteristische raumliche Vertheilung der molecularen
Schwingungsaxen durch die rilumlichen Eigenschaften des
Atomcomplexes bestimmt sein kann, welchen wir mit dem
Namen Moleciil hezeichnen.
VI. Wir wollen nun die in den Ausdrucken
= eH.t!?,
5 = e H .y , H -
vt
l = e H . u,
+ v S ( Z r + m y + nz) vorkommen-
den Grossen u p y , 1 m n complex annehmen. Wir setzen wie
friiher v = 2 n m / t , 6 = - l./v, ferner:
+,
1= p' + C i ./I" m = m, + 1/- i . m1+,
n = no + 1/- 1 .n: s *
y = 1'+ 1
/3
y" .
+1/-1.z,
i%=uCc'+V/-11.u" 1 = 1 ,
8
.
s
Die Substitution in
-_
2 X
t=(a'+l/-
1cc")e '
6
ergibt:
~(~,z+m,y+n,a)
v-I.
.e
2r
- t +1/-1.
2
-
~(~,z+rn,y+n,r)7
oder:
2R
~- r (II
g.e
z
+ m,y +
71, )I
= u'. cos (2:- t
+ 2:
B (l,z
+ m0y + no.))
Die fur sich selbst den Differentialgleichungen gentigenden reellen oder imaginhren Werthe von E, q, 5 reprasentiren
elliptische Wellen, die liings der Wellennormale I, m, no mit
der Geschwindigkeit - 1 IS fortschreiten, wahrend die Amplitude liings der Extinctionsrichtung ZI m, n1 nach einer
Exponentiellen des mit ( 2 4 ~e )multiplicirten Weges abnimmt.
Die Richtungen beider Normalen sind willkiirlich, also
Zo m, no und Z, m, n1 a18 gegeben zu betrachten. Zu bestimmen
sind ausser d und e noch u' u" /?" y' 7''. Von diesen letzten
sechs Griissen ist jedoch wegen der willklirlichen Wahl des
Zeitanfangspunktes eine und wegen willknrlicher Wahl der
resultirenden Amplitude noch eine als gegeben zu betrachten.
F. KokiLLek.
702
Also sind sachs Grossen zu bestimmen, und zwar aus den (3)
complexen Gleichungen (23).
Die daselbst vorkommende Grosse S, die nach cc p y
quadratisch ist, besitzt complexe Coefficienten, und weil das
Nullwerden der Coefficienten der drei doppelten Produkte
das Erfulltsein von sechs Bedingungen erfordert, so ist es
im allgemeinen nicht moglich, durch passende Wahl des
Coordinatensystems, welche drei arbitrare Grossen zur Verfiigung stellt, die Grosse S rein quadratisch zu machen.
Es gelingt dies durch Transformation auf ein geometrisch
nicht deutbares complexes Coordinatensystem. Es seien
p , p 2 p 3 , g1 g, q3, s1 s2 s3 neun complexe Richtungscosinuse, also:
= AjoI
+ BpZ +
P = A91 + Bgz + C93,
($31
= As1
+ Bs2 + cs3*
Wir setzen fest, dass von diesen neun Grossen folgenden
sechs Bedingungen geniigt werde:
PI2 912 S12 = 1, P l P , g1q2 S l S Z .= 0,
pz2 92'
spa = 1 1
~
2
~42933
s2s3 = 0,
p3'
9;
83' = 1,
1731'1
9391 s ~ s l= 0.
Durch Quadrirung und Addition folgt:
01' + p 2 + y 2 = A'+ B2 + c2.
Andererseits folgt:
A = U P 1 + p 9 , YS11 b'= "P, +P% Y S 2 1 c= CP3 + P 9 3 + Y S 3
und daraus durch Quadriren und Addition:
A'
B2 c2 = a2 p2 7' = a2( p 1 2 pZ2 p S 2 )
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+ B' (912 + + + y 2 (s,, + +
4-2@P(P191+ p2q2
+ 2PY(Pl% + 92% + 93s3)
+ 2aY(p1s, + PZS% +
922
.q22
y32)
$32)
+Y393)
P3'3)l
und da die letzte Relation fiir jedes
PI2
q12
s12
+ PZ2 + =
= 1,
+ + s32 = 1,
+ +
q22
sg2
P32
g32
11
P1 'I1
q1 s1
p1 s1
+
p, y
01,
172%
+
bestehen muss:
P393
+ 9% + 93
sg
+ p , s, +
= 0,
= 0,
p 3 s3 = 0.
$0
Beriicksichtigen wir die Relation:
multipliciren wir ferner die drei Gleichungen in (23) mit
p , q1 s1 und addiren, so folgt:
703
Elecdromagnetische Lichttheorie.
dS
d
B =
~ = ~ t ~ . A - - L 0und
. 6 tlhnlich
~
dC=
4 2 B - M.0.82
LPC-”O.S2.
+
Dabei ist L = Zpl + 7nql + ns,, M = Zp, + m y ,
ns2,
N = Z ~ l ~ + m q ~ + ~i tP ~= ~( P, + m , + n ~ ) d ~d2(La+
=
M2+N2),
0 = ( l a + m p ny) = ( L A M B N C ) .
Die drei noch willkurlichen complexen Grossen aus der
Reihe p , p , p , , q1 q, q 3 , s, s2sg lassen sich nun so wiihlen, dass
die drei complexen Coefficienten der doppelten Producte A B ,
A C, B C im Ausdrucke S verschwinden.
Durch passende Wahl eines complexen Coordinatensystems folgen also wiederum Ausdrucke der Form 2 S = R,A2
SOB2+ TOG‘,:
R o A = d Z A - L@.aa, SOB= d a B - M0.6’,
T o C = 62C- NO.SS
und aus ihnen die Formel von F r e s n e l :
+
+
+
+
Die complexen Richtungscosinuse I, M N gestatten keine
geometrische Deutung, es sei denn, dass Wellennormale und
Extinctionsrichtung zusammenfallen. F u r diesen Pal 1 ist es
jedoch besser, die Gleichungen (23) direct zu benutzen. Dieselben gelten laut ihrer Elerleitung fur jenes Coordinatensystem , das in die HauptdiGlectricitatsrichtungen fallt , sie
gelten aber auch, wie im Absatz I V nachgewiesen wurde,
der Form nach fur jedes beliebige reelle Coordinatensystem.
W i r legen nun die z-Axe desselben in die mit der Extinctionsrichtung zusammenfallende We1lennormale , wodurch
I, = 1, = 0 m, = m, = 0 no=n1= 1 wird. Setzen wir deshalb
in (23) 1=0 m = O n = l + ~ / 8 1 / - ,
so folgt:
Nun sind d S l d a , dSId(3, d S / d y die mit 4n multiplicirten totalen dielectrischen Verschiebungen. Vermage d Sldy = 0
ist deshalb die Lichtbewegung rein transversal, wenn wir sie
durch die totale dielectrische Verschiebung definiren.
F. KoldEek.
704
Nennen wir:
wobei A B C bis auf den Factor 4 n die complexen Amplituden der Lichtbewegung bedeuten. Die Aufliisung dieser
Gleichungen gibt nun:
wobei 0 eine quadratische Function von A B C ist. Unsere
dkei Gleichungen lauten d a m :
0 ist also eine quadratische Function von A und B allein,
somit in der Form w,,A2+ 2w1,A B + w,, = 2 0 darstellbar,
wobei wl1 cola wza bekannte Function der Farbe und der
Wellennormale sind. Aus:
(wll Aa- 17 A w,,. A2B= 0 , wlzA. A’ (wa24’- l ) B= 0
+
folgt dann :
+
i
1
i
1
W I
- jT
012
1
0
“’12
zz
I _ 0.
-2- I
Az 1
Die letzte Gleichung gestattet, zwei Werthe der
zu bestimmen. Es pflanzen sich somit in der
Richtung zwei elliptische ebene Wellen fort.
Werthe von A seien A, A,. Die entsprechenden
seien A, B,. Aus den Gleichungen folgt ferner:
A - - _?!z?LL
A, = - -B-1 0-l S-_
1 ’
w11-
also :
A,A, =
1 ’
2 -
1
A,
(011-
+ B, B,
m12--a(011
-
Grosse d
gegebenen
Die zwei
A und B
22)( 0 1 1
-
4
$)
’
oder mit Rucksicht auf die Determinante:
A , A , B I B 2= 0 .
Die y- und x-Axe legen wir in die Hauptaxen einer
der elliptischen Schwingungen. Es sei zu diesem Behufe
A, = A,’+ Ai’’v- 1
B,= B,‘+ B1”l/- 1
Bz= B2’+B2”V- 1.
A, = A,’+ Az”l/- 1
Dann ist dem vorigen zufolge:
+
Electrornapetische Lichttlieorie.
705
2n
-- ) , I :
El . e 7
= A,’ cos q~ - A,”
sin y
2n
lil
.e
812
= B,’cos cp
- Bl” sin ~1
eine reelle Lomng; rp hangt
von der Zeit ab.
Die Ellipsenaxen fallen in die Coordinatenaxen, falls
Al“= €I,’=
0 genommen wird. Aus:
o =(A,’ ~ ~ ’ ’ ] / -Ai~)3-(’ ~ ~ ” v - 1(B,’+B,”]/-~)(B;+
)
~~’’v-1)
folgt dann, wenn iiber die Amplitude von & , til so verfugt
wird, dass All= m , B1”=1 ist:
+
+
2n
I
,
3
=
5t1
2n
I,
m cos cp
und
z
e’
= - siny
Die Substitution in:
ijl
ergibt, wenn noch A2‘= S c o s x
wird:
tlr
A2‘- H2”= 0
m A,”+ B2’= 0.
A2“= S sin% geschrieben
Der zweite elliptisch polarisirte Strahl durchlauft also eine
senkrecht gelegene ahnliche Ellipse.
Bei den gewohnlichen absorbirenden Krystallen , die
nicht geradezu so stark wie Metalle absorbiren, werden diese
Ellipsen sehr flach sein, und eine nicht naher auszufiihrende
Rechnung zeigt, dass fur sie die Gesetze der Wellenfortpflanzung der absolut durchsichtigen Medien erhalten bleihen, weil in diesem Falle der als Urosse der ersten Ordnung
der Kleinheit aufzufassende Extinctionsindcx (2 nir)E in zweiter Potenz in die zur Berechnung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit dienenden Formeln eingeht.
Handelt es sich urn rhombische Krystalle, so ist die in
(23) vorkommende Function von S rein quadratisch, wenn
die Coordinatenaxen in die Hauptdielectricititsrichtungen
fallen. Dann gilt die Fresnel’sche Relation:
Ann. d. I’hye. n. Chem. N. F. XXXIY.
45
F. KoldEek.
706
Die complexen Hauptbrechungsindices ergeben sich aus
der Relation:
(a + & v-
1)2
1
= 7= n = K1
,712
+
a,?
/l,cL,,
. L2,L
+ h,l
+ h,,v + c,,
a,, Y Z
= Kl - 2; h, CL,.
I
Y
Die Transformation dieser Formel ergibt, wenn der
reelle Brechungsindex mit N , und der Extinctionsfactor mit
y2 bezeichnet wird, Formeln wie:
Aehnlich $,y, und N z y z .
F u r ein einaxiges Medium ergeben die Formeln, dass
der ordinare Strahl in dichroitischen Krystnllen dieselbe
Farbe zeigt. Die Abhangigkeit des Extinctionsindex von der
Richtung des ausserordentlichen Strahles ist aus den Formeln
leicht herauszufinden.
Wir ubergehen die naheren Details und wollen die Gleichung (23) so transformiren, dass in ihr nicht die Amplituden der von den Stromschwankungen des Aethers herriihrenden Krafte, sondern jene der totalen didectrischen Verschiebung vorkommen. W i r nennen die mit 4 n multiplicirten Amplituden Componenten der letzteren a , b , c , die
ersteren wie in G1. (23) CL y. Dem fruheren zufolge ist
a'= d S l d u , b = d S / d @ , c = d S / d y . Die AuflQsung dieser
drei linearen Gleichungen gibt CL = d F / r l a , 5'!, = d F / d b ,
y = d F / d c , wobei F eine quadratische Function von u b c
ist. Fuhrt man dies in (23) ein, so folgt:
707
Electromagnetische Lichttheorie.
Die Interpretation und niihere Ausftihrung yon (27) ergibt selbstverstandlich keine neuen Resultate mehr. Um mit
den von K i r c h h o f f ' ) gewilhlten Bezeichnungen in Uebereinstimmung zu bleiben, benutzen wir folgende Bezeichnungen :
u = a%, b = 6%, c = CZ. Die Function F ( n b c ) mit Argumenten a, 6, c heissen wie
Die Gleichung (27) schreibt
sich d a m :
s.
Die Componenten der magnetischen Kraft heissen wir
Actt?~,Apt?, Ay@, fiir die Componenten der von dem Aether
herriihrenden Krafte, die friiher mit den Ruchstaben ccpy
bezeichnot wurden, schreiben wir ihre Werthe d'. dF/ da
= e". 8 . d g / d a , etc. Die mit 4 76 multiplicirte Stromdichtigkeitscomponente u, also nach unserer Bezeichnung d(a&) / a t
oder d / a t (a%. e") oder a v . 8 e H ist die Differenz des nach y
genommenen Differentialquotienten der z - Componente der
magnetischen Kraft, und des nach z genommenen Differentialquotienten der ?J- Componente. 1x1Buchstaben gibt dies:
a 8 = 6(my - p n ) A
6% = d ( n ~ 1.0A
(28)
und daraus:
(29)
{
1
c8=S(Zp - u m ) A ,
A a = €(mC - n 6 ) %
.lP = e ( n a - Zc)
A y = ~ ( 1 6 -ma)%
E = - -
1
(I (22 -I-m2
+ n2) '
VII. Nach diesen Vorbereitungen gehen wir zum Problem
der Reflexion und Brechung iiber und lbsen dies in der Form,
dass wir die gespiegelten und gebrochenen Componenten der
rnagnetischen Kraft bestimmen. Es ist d a m laut (28) leicht,
die zugehorigen dielectrischen Verschiebungen zu finden. Die
Grenzbedingungen an der Trennungsfiiiche zweier Medien
1) K i r c h h o f f , Rcrl. Rer. 1876. p. 57.
45 *
F. Kol&k.
708
Bind in meinem zweiten Aufsatze I) bereits angegeben worden.
Sie lauten: 1) die zur Grenzflache parallele Componente der
magnetischen Kraft geht durch die Discontinuitatsfliiche continuirlich hindurch ; 2) die Componenten der Vectorpotentiale
FG H , also auch jene der electromotorischen &aft2) in ahnlichem Sinne genommen thun dasselbe. Satz (1) muss bestehen, denn die Negation desselben wiirde zu flachenformigen
Strijmen von endlicher Starke fiihren, und solche Strome
Bind, da sie zum Ohm’schen Gesetze in keine Beziehung zu
hringen sind, der bisherigen Electrodynamik fremd. Satz (2)
ist eine Folgerung aus dem Postulate, dass die in einem geschlossenen Stromkreis inducirte Kraft selbst d a m durch die
Summe der von seinen h i e n e l e m e n t e n herstammenden Wirkungen darstellbar ist, wenn der linienformige Stromkreis
durch eine Discontinuitatsfliche der Vectorpotentiale hindurchgeht. Die %-Axe sei zu der ebenen Trennungsflgche
senkrecht. Beziehen sich die Summen 2;Zg auf alle Wellen,
die in der Grenzflache zusammenkommen, j e nachdem sie
dem Medium Eins oder Zwei zugehijren, so ergibt die Bedingung (1) die Gleichungen:
\ XIAu=,Y,Acc
(30)
r;; A P = 2:,ap.
Die Grenzflache legen wir so, dass sie kein Molecul
triff’t, also im Aether allein verliiuft. Eine solche Flache ist
fur die Fernwirkungen der Molecule, weil ausserhalb derselben gelegen, keine Discontinuitltsflache. E s haben daher an
dieser die x- und y-Componenten der vom Aether allein herruhrenden Wirkung, also a und b, oder ‘u d 8 I d a und 8 (@ l d b
continuirlich zu sein. Nun ist laut (28):
= a?(12 +
+ 712) A3 (.2 + P? + I.,2 1 .1
also 8 durch A leicht auszudrucken.
D a s Medium sei durchsichtig; dann sind cc y p , a b c,
I m 71 reelle Richtungscosinuse, somit ist wegen 3 = - 11I;
(a? + b’z + c’)
3 2
1) KolBCek, \Vied. Aim. 33. 1). 430. 431. 18S7.
3 ) In diesem Aufsatze eiiid alle electromotorkchcil Krafte elcctrody-
na~nischeiiUrspruugs.
700
Eleclromagnetische Lichttheorie.
3L = A / V . ( V die Fortpflanzungsgeschwindigkeit). Die vier
Grenzbedingungen lauten dann :
(28)
Diese vier Gleichungen sind mit den (31. (25) und (24)
der K i r chhoff’schen Abhandlung identisch. Den Aetherexcursionen dort entsprechen magnetische Krafte hier; die
Richtung a b c liegt hier wie dort zur Wellennormale und
der Richtung u p y senkrecht.
Setxt man in (27,):
so gehen sie uber in:
dg
= aV2
da
+ ,dl
d5
- - - =bJ/2+pml
clb
dg
-dc
=cV2+pn,
unrl dies sind die Doppelbrcchungsgleichungen (13) in K i r chlioff’s citirter Arbeit.
I n letzter Zeit ist von Hrn. P. D r u d e ’ ) eine auf Grund
cler V o i g t’schen Theorie aufgebaute elegante Darstellung
des Reflexionsproblems veroffentlicht worden. Diese Theorie
ist von vornherein so nngelegt, dass sie beziiglich durchsichtiger Medien mit der K i r c h h o f f ’ s c h e n Theorie ubereinstimmen muss. Infolge dessen ist zu erwarten, dass sie
bezuglich der absorbirenden Medien n i t unserer Theorie
ubereinstimmen wird. Und dies ist in der T h a t der Fall,
Wir ersetzen die zweite der Gleichungen (29) durch
eine andere. L a u t Grenzbedingung (2) gilt:
Nun fordert die CoGxistenz der verschiedenen in der Grenztlache zusammenkommenden Wellen, dass 13’ und mS fiir alle
Partialwellen d e n s e l b e n Werth besitzen. D a s gibt:
oder vermoge G1. (27):
.-
1) I l r u d e ,
\Vied.
Aiiii.
32. p. 584,
1857.
.
Laut (29) gibt dies 2;-47= X2Ay
I m allgemeinen lasst sich die unbestimmt gebliebene
y-Richtung nicht so wahlen, dass m = 7no+ &,'(8v- 1 m,) der
Null gleich sei. Es gelingt dies nur d a m , wenn fur einen
der Strahlen die Extinctionsnormale und die Wellennormale
in der Einfallsebene liegen. Wahlt man die y-Axe senkrecht zur Einfallsebene, so wird fur diese Welle, somit fur
alle m = 0.. Unsere vier Gleichungen lauten d a m :
2; A E = Z2A U
2,A y = X Z A y
Wir setzen nun mit K i r c h h o f f und Hrn. D r u d e :
y =
cost9 s i n y
F u r durchsichtige Medien bedeutet y den Winkel, den
die Normale einer Welle mit dem aus Medium 1 in Medium 2
positiv gezahlten Einfallsloth einschliesst. 8 ist der Winkel
zwischen Schwingungsebene und Einfallsebene, fur undurchsichtige Medien sind sie complex.
Geben wir den Winkeln cp 8 und der Amplitude A Indices, welche die Nummern der Welle bezeichnen, so folgt,
nnch einigen Transformationen:
1
2; A,, sin a,,
(30)
'
= Z2A,, sin 17,~
2, A,, cos 3,,
sin gs,, = L2A,, cos 8,,
sin g,I
A
+
(sin a,,cos g,,wll- u13sin a,, +
siu q,,
2, T-J' [sin a,, cos y12uI1- u13sin 6,, aI2cos
8'n
---!
'p1L
cos an].
711
Electromuynetische Lichttheorie.
. +
..
+
Dabei ist 23 = ull aa uZab2 2u,, ab . . gesetzt
worden.
Die Winltel q und t'f. bestimmt man aus (27) vermoge
der leicht zu bildenden Gleichungen:
h,
%
d(1)1 2 + " 2 ) =
E d 2 ( 1 2 + n?) -
.]n - [!! 32
(12
+ n2) - c
dc
L o
1
= 0,
Setzt man 16 = l,h, so folgt nach einigen Transformationen:
(31)
i
h2 siii2qn - ( x P 2
tg Bn = o Iund
2cos T~ - a2$sin qn
[u,, - 2a,j t g c p n
+
(a33
- IL2) tg2cpn] [.22
+
uaz
- h2tg2y,,]
- ( ( ~ ~ 2 - ~ ~ ? t g ~+ t~g na v)n~) =( O1 .
Diese Formeln (30), (31) stimmen mit den Gldchungen
(37), (38), (39) des Hrn. D r u d e vollkommen iiberein, und
insofern bin ich der weiteren Entwickelungen der Formeln
tiberhoben, nachdem dime von Hrn. D r u d e (zum Theil
friiher schon von Hrn. V o i g t selbst) durchgefiihrt worden
sind.
1st das Problem der Reflexion und Brechung soweit gelost, dass Phasen und Amplituden der reflectirten und gebrochenen magnetischen Wellen bekannt sind , so ftihrt
Gleichung (28) z u r Kenntniss derselben Grossen fiir die
dielectrischen Verschiebungs wellen. D a in Uebereinstimmung
mit den Aetherschwingungen der K i r c h h o f f - N e u r n a n n ' schen Theorie die magnetischen Schwingungen in der Polarisationsebene gelegen sind , werden die dielectrischen Verschiebungen zu ihr senkrecht etehen. Insofern kann die
hier vertretene Theorie auch mit den Fresnel'schen Ansichten in Uebereinstimmung gebracht werden.
B r i i n n , den 17. Marz 1888.
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