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Beitrge zur geometrischen Darstellung der physikalischen Eigenschaften der Krystalle.

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51. Beitriige xur geometrischesi D a rstellu n g d w
piMjsikalischen E i g e n s d t af t e n der K r y s t a l l e ;
vom w. Vo J g t .
Eine grosse und wichtige Klasse der physikalischen Eigenschaften der Krystalle wird durch lineare Beziehungen zwischen
den Componenten zweier gerichteter Grossen ausgedriickt.
Unter ihnen stehen an Einfachheit und Mannichfaltigkeit diejenigen oben an, bei welchen es sich um die Wechselbeziehungen zwischen zwei gewohnlichen Vectoren handelt,
wie z. B. die dielectrische und die magnetische Influenz, die
electrische und die thermische Leitung. Bezeichnet man niit
X, 2f 2 die Componenten des primaren, mit U, V, W diejenigen
des secundaren Vectors nach beliebigen Coordinatenaxen , so
haben die fur jene Klasse von Vorgangen charakteristischen
Formeln die Gestalt
C’ = f;, X + fi4Y + 8, etc.
Hier kann man in einzelnen Gebieten als theoretisch begrundet , in anderen als durch die Erfahrung wahrscheinlich
gemacht, die Beziehungen f ; , k = f;,, einfuhren und dadurch die
Zahl der fur die Substanz charakteristischen Parameter von
neun auf sechs reduciren. Es ist dann bekanntlich moglich,
die durch jene Formeln ausgedruckten Vorgange mit Hulfe
einer centrischen Oberflache zweiten Grades geometrisch zu
veranschaulichen, die, als fur jedeii Krystall nach Lage und
Grosse vollkommen bestimmt , ein Bild einer seiner physikalischen Eigenschaften liefert.
F u r die Erscheinungsgebiete , deren Gesetze durch lineare
Beziehungen zwischen einem Vector und einem Spannungsoder Deformationssystem , sowie zwischen einem Spannungsund einem Deformationssystem ausgedruckt werden, fehlte
eine solche Veranschaulichung bisher. Zwar hat man in dem
letzten der genannten Gebiete - dem der Elasticitat - die
Oberflache des linearen Dehnungsmoduls zu solchem Zwecke
verwenden wollen ; indessen ist diese Darstelluiig, wie weiter
377
Physikalische E'igenschaften der h-rystalle.
hervortreten wird , unvollstandig und somit ungenugend. Das
Folgende enthalt einen Versuch , die bezeichneten Lucken in
einfacher Weise auszufiillen.
I. Die Grundgesetze der Piezoelectricitat und der dazu reciproken electrischen Bef ornzation sind in folgenden Gleichungen
enthalten. Bezeichnen X,, Yy,Z:, I,:, ifz, X, die Componenten
der elastischen Spannungen, a , b, c diejenigen des durch sie
erregten electrischen Momentes der Volumeneinheit nach denselben Coordinatenaxen, so gilt')
I-a
(1)
+
+ + 5' + + xy,
- b = da1 x, + daz Yy+ d,, fl: + dz4 2.; + d25 xz+ x,,,
I- c = x, + d331: + 4, + dS4ci+ &flx.+ d3, Xy,
= dll
",
' 1 8 Yy
'1.9 'z
'14
'15
2'
4 6
.
d31
wobei die d,,k die dem Krystall und dem bestimmten Coordinatensystem individuellen piexoelectrischen Moduln darstellen.
Bezeichnen ferner X, Y, 8 die Componenten der electrischen
Feldstarke im Krystall, z,, yy, zz, y,: z,, x,/ diejenigen der
durch sie bewidcten Deformation, so gilt 2)
X,
= dll S
+ dZ11-+ d312,
y, = d14x'
+ dz4Y + 4 2 ,
wobei die Constanten dl,kden i n (1) auftretenden identisch sind.
Da die Anzahl der voneinander unabhangigen Parameter
dhk im allgemeinsten Falle achtzehn betragt, so empfiehlt es
sich, zur Darstellung der behandelten Eigenschaften drei centrische Oberflachen zweiten Grades zu beuutzen , die sich folgendermaassen einfiihren lassen.
Seien die Componenten X,! , . . bewirkt durch eine einzige Zugspannung S in einer durch die Cosiiius u, p, y bestimmten Richtung ; dann ist
'Uz= -sl%o, 1.'Y
X,=
=
- sg47 8:
--Sycc,
Xd
+
+
= - 8 )#z, 1: =
-Sap,
mid die Gleichungen (1) nehmen die Form an
(4) a = S(dll cc? d , , p2 d13y 2 d14py d15ycc
+
- splf,
=
+
+ d l , u p ) . etc.
1) W. V o i g t , Allg. Theorie der piezo- und pyroelectr. Erschein.
Abhandl. d. k. Gesellsch. d. Wiss. zu Bottingen. 1890.
2) F. P o c k e l s , N. Jahrb. f. Min. Beib. 7. p. 253. 1890.
N: Voigt.
378
Schreibt inan die Werthe a , b , c vor, so geben diese
Formeln fur jede Richtung a, p, y drei Werthe der Spannung
S, welche erforderlich sind , um die gewiinschten Partialmomente a , b , c hervorzurufen. und welche bez. mit S, , S, , S;,
bezeichnet werden mogen. Triigt man, j e nachdem S,, 0 ist,
)I--& &,(= !+, vom Coordinatenanfang aus als Strecke auf der
Richtung von S auf, und setzt man die Coordinaten des freien
Endpunktes
U!'h
= .T/" @!I/' = ?/n 7 yes = Z h 7
so ergiebt sich aus (4)
+ a = d l t , , r : + 4 a ~ : + d 1 3 = ; + d t , , * ~ 1 ~ 1 + d l , z , r+, d l o * r l ~ 1 ,
( 5 ) & b = d21 z: & Y;
(123
d 2 4 ~ 22, d2j ~ 2 ~( t ?2, l * r z ~ 2 -
I
+
L c = d s l " ; +d,,y:
+ =:+
+
+
+ d 3 3 z ; +d3,y,zs + ~ 1 3 5 z s+4t,,zsz;y3.
~)
Hierin ist der Satx enthalten:
Die Spannungen S,z, die in beliebigen Richtungen wirken
miissen, um in einem Krystall j e eincn gefordertcn constailten
Mirth einer der Componenten a , b , c des electrischen Momentes
bei beliebigen Werthen der beiden anderen zu errielen, werden
gemessen durch (?as Quadrat der ihnen parallelen Radienvectoren
in je einer centrisehen Oberflache zweiten Grades 0 , , deren Gestalt und Lage durcii die pieroelectrischen Moduln nes Krystalles
vollstandig bestimmt ist , roahrend dire Grosse mit der Quadratwurzel aus den absoluten Herthen dm. verlangten a, b, c proportional ist.
Giebt man den a, b, c gewisse Normalwerthe, setzt sie
etwa am einfachsteii gleich Eins, so erhalt man drei nur noch
von den Moduln
abhangige Flachen GI,, welche die piezoelectrischen Eigenschaften des Krystalles erschopfend darstellen. Ihre Gleichungen lauten:
( 6 ) f 1 = d i i . ~ ? diayl
di3zH
diayizi
d;jz,.Ti di61iYi,
+
+
+
+
+
wobei i = 1 , 2 , 3 sein kann. Uas obere Vorzeichen entspricht
positiven Werthen S, das untere negativen; es sind also jederzeit beide zu beriicksichtigen , soweit ihnen reelle Coordinatenwerthe entsprechen. Die Flachen GI, konnen Ellipsoide oder
Hyperboloidpaare, in Grenzfallen auch elliptische o&r hyperbolische Kegel bez. Cylinder sein. Die Bestimmung ihrer Gestalt
erfordert im allgemeinen die Kenntniss der dem Krystall in-
379
Physilralische E<qenschaf%ender h-rystalle.
dividuellen Modulwerthe ; in speciellen Fallen, namlich wenn
gewisse Symmetrien vorliegen , kann man iiber sie schon durch
rein geometrische Ueberlegungen Aufkllirung erhalten. Der
Raum gestattet nicht , dies naher auszufuhren.
Da eine jede der Flachen 0, dadurch erhalten ist, dass
eine der Componenten a, b, c gegeben ist, wahrcnd die beiden
anderen beliebig sind, so giebt die Schnittcurve zweier von
ihnen mit verschiedenen h durch ihre Radienvectoren diejenigen Spannungen nach Grosse und Richtung an, welche
zwei Compnnenten auf gegebene Grossen bringen und die dritte
beliebig lassen. Die diesen Componenten entsprechenden Gesammtmomente liegen somit in einer bestimmten Ebene durch
die letzte, willkurliche Componente, und wenn man sie vom
Coordinatenanfang als Vectoren construirt, so erfullen ihre
Endpunkte eine der willkiirlichen Componente parallele Gerade.
Die Schnittpunkte dreier Oberflachen 0, mit verschiedenen
h bestimmen dagegen durch die nach ihnen hin gelegten Vectoren nach Grosse und Richtung diejenigen Spannungen, welche
allen drei Componenten a, b, c verlangte Werthe ertheilen.
Wenn Schnittcurven oder Schnittpunkte der geschilderten
Art nicht auftreten, so folgt daraus , dass durch eine einfache
Spannung den beziiglich der Componenten a , b, c gestellten
Anforderungen nicht geniigt werden kann.
Durch Vorstehendes durfte die Rolle, welche die drei
charakteristischen Flachen Oh, bez. a,,,im Gebiete der Piezoelectricitat spielen, genugend aufgeklart sein ; es eriibrigt,
Analoges fur das Gebiet der electrischen Deformation zu zeigen.
Hierzu benutzen wir den allgemeinen Ausdruck fur die lineare
Dilatation I in einer durch die Richtungscosinus a, p, 7 bestimmten Richtung, namlich die Formel
A = .rzC t a fyy(3, f y2 f ?J: p )' f x, 7'
cc1/ a'pt
(7)
+
und setzen in dieselbe die Ausdriicke (2) fur 5..
., nachdem
in denselben entweder 1' und Z , oder Z und X, oder X u n d Y
gleich Null gemacht sind. Es resultiren dann drei Gleichungen von der Gestalt
(8) A, = X(d,, a2 d,, P2 d13ya+ d14P Y d16 Y a '16 a p)!
wobei A,, A,, A3 die in den bezeichneten drei Fallen auftretenden Dilatationen sind.
+
+
+
+
N ; Voigt.
380
Schreibt man die Werthe X! Y, 2 vor, so bestimmen diese
Gleichungen die Werthe der linearen Dilatationen, welche in
einem homogeneri Feld , dessen Kraftlinien je einer Coordinatenaxe parallel sind, in beliebigen Richtungen erregt werdeii.
Tragt man nun, j e nachdem die I,,
0 sind, 1
oh
vom Coordinatenanfang aus als Strecke auf der durch a, (3, y
charakterisirten Richtung auf, und setzt man die Coordinaten
der freien Endpunkte
=
!)h
= Xh !
3 P,
= Y,
7
/is-&,=
7 "a = Z/'9
so ergiebt sich aus (8)
+4 y: +
+', 9:+
=d 1 1 ~ :
="21
'l
2
4 3 .Z
"23
','
+dl
4 ~1 21
-bd24ya 2'
+ CI,
+
5 21 21
'26
x2
+dl
6 21 ~
t2
yz
1
7
Hierin ist cler Sat,z enthalteii :
Die linearen Dilatationen A, nach einer beliebigen Richtuny,
welche durch cine vorgeschriebene Feldstarke parallel j e einer
Coordinatenaxe in eineni ki.ystall erzeuyt werden , sind gemessen
durch die reciproken Quadrate der ihnen parallelen Hadienvectoren in j e einer centrischen Olerfliiche 0;' zweiten Grades, deren
Gestalt und Lage (lurch die piezoelectrischen filoduln des Krystalles vollstandig bestinimt wird, toahrend i h e Grosse der reciproken wurzel aus den absoluten Ij'erthen der wirhenden FeldSlaTke proportional ist.
Giebt man den X, 2'; Z gewisse Normalwerthe, setzt sie
etwa gleich Eins, so erhalt man drei nur noch von den Moduln d,, abhangige Flachen og;ihre Gleichungen lauten
(10)
& 1= d i l d
+ d j 2 t ~ j+ djxz; + d;dyi zi + di5 zi xi + di8 x i y i ,
wobei i = 1, 2, 3 sein kann, und das obere Varzeichen positiven , das untere negativen Dilatationen enhpricht.
Diese Flachen S;, sind mit den p. 378 eingefuhrten 9,
identisch, uiid hierin driickt sich die Reciprocitat zwischen
der piezoelectrischen Erregung und der electrischen Deformation allseitig aus.
,
Physikalische Eigenschaften der Krystalle.
38 1
11. Die Grundgesetze der Elasticitat sind in sechs Gleichungen von der Form
enthalten , zwischeu deren Parametern - den Elasticitiitsmoduln - die Beziehungen s , , ~= sk,, bestehen. Da die Anxahl der voneinander unabhangigen Elasticitatsmoduln hiernach irn allgemeinsteii Falle 21 betragt, so kann man die
elastischen Eigenschaften eines Krystalles durch die Combiiiation einer centrischen Oberflache zweiten und einer homogen
Tierten Grades crsehijpfend daistellen. Bezuglich der Wahl
beider hat man einige Freilieit, doch drangen verschiedene
Erwiigungen zur Bevorzugung von Flachen, die mit der Deformation durch eine einfache Spannung S in Beziehung stehen.
Setzt man demgemass in das System (1 1) die Ausdriicke (3)
fur die Spannurigscomponenten und bildet dann nach (7) die
lineare Dilatation k in der Richtung von IS, so erhalt man
A = s,s,
(12)
wobei
Bildet man hingegen unter gleichen Voraussetzungen den
Ausdruck 6 = xz + yy+ zz der raumlichen Dilatation, so erhalt man
tY = gs,
(14)
wobei der Modul sr dieser Dilatation gegeben ist durch
7;;
/v<
und sodann 1
als Strecke auf
TrZlgt man einmal 1 /
der Richtung von S auf, 80 erhalt man zwei Oberflachen der
verlangten Grade, deren Gleichungen die Moduln shk in 21
382
IV. Yoigt.
voneinander unabhangigen Combinationen enthalten, und die
demnach eine erschopfende Darstellung der elastischen Eigenschaften eines Krystalles liefern.
Indessen ist dieses Flachenpaar zur Gewinnung weiterer
Folgerungen wenig brauchbar. Vie1 vortheilhafter erweist es
sich, sl und sr selbst als Strecken aufzutragen, wie dies beziiglich sI zur Darstellung der Resultate von Biegungsbeobachtungen schon vielfach geschehen ist.
Berucksichtigt man, dass die Flachendilatatioii y normal
zur Spannungsrichtung die Form hat
y = sqs7
(16)
und bedenkt man, dass - sq = sZ-sj. den Modul der als flachenhafte Quercontraction zu bezeichnenden Deformation darstellt,
so erkennt man, dass die Strecke, welche auf der Richtung
von S zwischen den Obertlachen fur sL und s, liegt, den jener
Richtung entsprechenden Modul sp veranschaulicht.
Lasst man weiter auf den Krystall einen allseitig gleichen
Druck P wirken, wodurch
xz= Yy=Zz= P,
(17)
I’= Zz= ,YI= 0
wird, und bestimmt die lineare Dilatation A’ in der durch
a, /?,y bestimmten Richtung, so findet man
il’=- rszP,
(18)
wobei cL, der Modul der linearen Compression, gegeben ist
durch
(19)
{
cz=
+
(s11+
(‘41
,912 + . ~ 1 3 )
E~
+
( ~ 2 1
+s,Z
+*F.$~+S43)fiY+(Sj~
+“jz
+~a3)$’+
+s,,)yu+(sG1
(~31
+ssZ
+s33)
7’
+Se2+S63)a@*
Vergleicht man diesen Ausdrnck mit (15), so erkennt man
die Beziehung
s7 = f i1
)
und somit die Giiltigkeit des folgenden, als specieller Fall in dem
bekannten B e tti’schen Reciprocitatstheorem enthaltenen Satzes :
Ber Modul der raumlicheii Dilatation bei einseitiger Zugspanizung in gegebewer Richtun9 ist gleich dem Modul der linearen
Compression nach eben jener Richtung bei allseitig gleichem Druck.
383
Physikalische Eigenschaf'ten der Kystalle.
Die Oberflache fur den Modul s, stellt somit auch die
lineare Dilatation bei allseitig gleichem Druck anschaulich dar.
Bestimmen wir weiter die rtlumliche Dilatation 8' bei
allseitig gleichem Drucke P, so erhalten wir
(20)
wobei
(21)
c,.= ~
+ + +2 + +
1 1 ~ 2 2
~ 3 3
(*~23
~ 3 1
~12).
Berechnen wir dagegen den mittleren Werth s i von
der Formel
-.
.qr
(22)
Es ist somit
=
+ + + + 2 (3,+ +
(*Yl1
.9*2
0,
.c33
.q31
.TI,))
sr
nach
*
= 3 sr ;
das Dreifache des mittleren Badiusvector in der Flache sr stellt
also den Modul der raumlichen Compression bei allseitig gleichem
Druck dar. Berucksichtigt man noch, dass cr= crl cq ist,
+
unter cq den Modul der flachenhaften Querdilatation bei allseitig gleichem Drnck verstanden, so erkennt man, dass die
Combination der beiden Fllichen fiir sl und sT eine sehr vielseitige Veranschaulichung der elastischen Eigenschaften eines
Krystalles gestattet.
Freilich ist von den beiden zur Construction benutzteii
Moduln nur s1 in naher Beziehung zu direct beobachtbaren
Grossen, s, muss aus solchen ziemlich umstandlich berechnet
werden. Da die Beobachtungen ausser der longitudinalen
Dehnung, bez. der ihr aquivalenten Biegung von Prismen nur
deren Drillung um ihre Langsaxe betreffen, so kann man
versuchen, an Stelle des Moduls s7 einen anderen, gleichfalls
nur von einer Richtung abhangigen, zu setzen, der mit deli
Drillungsbeobachtungen in niiherer Beziehung steht. Ein
solcher ist der Modul sd der Drillung eines Kreisylinders, der,
wie ich gezeigt habe, aus dem Modul der Drillung eines Prismas - der von mehr als einer Richtung abhiingt - leicht
gewonnen werden kann.
K. Poigt.
384
Sein allgemeiiier Ausdruck lautet :
(24)
=
'
+
($11
(s33
f
+
(",j5
+(*'44
+
+
"66))
u2
+ + +
+ +
8.j;)) i ' 2 +
("22
("24
("06
s34
'44))
+S5(j)
p2
rj i '
Physiknlische Eigenschaf ?en der Krystalle.
385
Freilich scheint eine directe physikalische Deutung des Moduls so auf einfache Weise nicht moglich. Die einzige anschauliche Beziehung des Flachenpaares ist also ausser der Darstellung des Dehnungsmoduls .ti diejenige des Drillungsnioduls o d , iler durch den doppelten langs u, /?,y geniessenen
Abstand der Flacheii fur sl und so gemessen wird.
Zum Schluss mag eine auf die beiden Darstellungen der
elastischen Eigenschaften in gleicher Weise beziigliche Benierkung gemacht werden. Man kunn ganz allgemein die Anzuhl der roneinander unabhangigen Elasticitatsmoduln von 21
auf 18 reduciren, wenn man die Lage des Coordinatenspstems
in geeigneter Weise festsetzt. Da die Moduln s, und so je
symmetrisch sind in Bezug auf drei zu einander normnle
Nbenen, so wird man die Coordinatenebenen passend mit
einem dieser Ebenensysteme zusammenfallen lassen.
Die Bedingungen zwischen den Moduln, die hieraus folgen,
lauten im ersten Falle
(‘41
+ +
s4z
s43)
=07
(s51
f
‘52
+
’53)
=
(‘61
+
‘62
f
“03)
=
’
7
im zweiten
(“24+*’34+
gS5e)=0)
(‘35-kS15+
&*‘64)=O,
(slR+*tzS+
i*’Js)=o;
sie sind sonach im allgemeinen voneinancler verschieden, d. h.,
die Hauptaxen der Flachen fur sr und so fallen nicht zusam men.
Mustert nian indessen die den gewohnlich benutzten
Coordinatensystemen entsprechenden Modulsysteme f i r die
verschiedenen Krystallgruppeii l), so erkennt man! dass, mit
Ausnahme der dem triclinen und dem monoclinen System angehorigen, alle die vorstehenden zwei Bedingungstripel gleichrcitig erfullen. Fur sie alle fallen solnit die Hauptaxen der
beiden Flachen fiir sr und so in die bei ihnen gebr8uchlicheii
Hauptcoordinatenaxen.
Go tt i ngen , August 1897.
1) Vgl. W. V o i g t , Compendium der theor. Physik 1. p. 143.
Lcipzig 1895.
Ann. d. Phsy.
U.
Chem. N. F. 63.
25
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