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Beitrge zur Hydrodynamik. II

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623
3. Beitrage xur Hydrodynamik. II;
v o n C. W.Oseen.
I m ersten Teile dieser Abhandlung habe ich gezeigt, wie
ma11 dns System:
bei sehr kleinem, positiven p auflbsen kann. Das wesentliche
Resultat jener Untersuchung war das folgende. Wenn man
die Gleichungen (1)rtls die Bewegungsgleichungen einer Fliissigkeit auffatlt, so verhillt sich diese Fliissigkeit, selbst bei verschwindendem p, ganz anders an der Ruckseite eines starren
Korpers als a n der Vorderseite desselben. An dieser gleitet
sie und ihre Bewegung ist eine Potentialbewegung; an jener
haftet sie und die Bewegung ist im allgemeinen eine Wirbelbe wegung.
Es ist wohl kaum zu kuhn, diese Resultate auf das Verhalten einer reibungslosen Fliissigkeit zu ubertragen und in
den oben erwahnten Tatsachen die Erklaruog der bekannten
Erscheinungen bei der Bewegung eines Korpers in einer
schwach reibenden Flussigkeit zu sehen. Das groBe und
schwierige Problem, das jetzt vorliegt, ist aber diese Ubertragung in mathematisch strenger Form auszufuhren. Fur
einen speziellen Fall habe ich friiher') einen Versuch in dieser
Richtung gemacht.
-
~-
1) C. W. Ose en, Zur Theorie des Fliissigkeitswiderstandes.
Acta R. SOC. Sc. Upsaliensis 1914.
Nova
621
C. W . Owen.
Kin Weg zur Losung des Problems wurde darin bestehen,
die im ersten Teile fur das System (1) erledigte Aufgabe nunmehr fur das allgemeinere System:
zu lasen, wo ZL', v', wf bekannte Funktionen von x, y, z, t sind,
die man nachtraglich mit u, v , w identifizieren kann. Auf
diese Weise - und wie mir scheint, nur auf diese Weise wiirde man die Randbedingungen feststellen konnen, welche
u, v, w an der Oberflache eines Korpers zu befriedigen haben.
Da6 eine reibungslose Fliissigkeit sich an der Riickseite eines
Korpers in anderer Weise verhalt als an der Vorderseite desselben, day darf man wohl als experimentell und theoretisch
erwiesen betrachten. Was ist aber im allgemeinsten Falle
unter den Torten ,,Vorderseite" und ,,Ruckseite" zu verstehen? I)a6 diese Begriffe sich nicht auf die absolute Bewegung des Korpers beziehen, ist j a klar. - Vorlaufig scheint
indessen der bezeichnete Weg, der mathematischen Schwierigkeiten wegen, nicht gangbar zu sein.
So bleibt es nur ubrig, die vollstandigen hydrodynamischen
Differentialgleichungen vermittelst der im ersten Teile gewonnenen Resultate in ein System von Integro- Differentialgleichun~enumzoformen und aus diesen Gleichungen moglichst
prazise Schliiwe iiber die Bewegung zu ziehen. Mit dieser
Aufgabe werden wir uns bier beschaftigen.
Wir beschranken uns auch hier auf den Fall, wo ein
K6rper sic11 mit positiver Geschwindigkeit parallel einer geraden
Linie bewegt.
1. Wit- wollen annehmen, da8 ein Korper sich mit der
positiven Geschwindigkeit V(t) parallel der x - A c h e bewegt.
8(t) sei die Oberflache des Korpers, g(t) der vom Korper
okkupierte Raum, o (t) der Raum au6erhalb von S ( t ) , oih(t) der-
Beitrage zur Hydrodynamik.
II.
625
jenige Teil von o(t), der im Intervalle to bis t von S(t) iiberschritten worden ist, wa(t) der ubrige Teil yon o(t). Wir
stellen uns die Aufgabe, Funktionen von u, v, w , p von I , y , z, t
zu .bestimmen, die, bei sehr kleinem, positiven p, fur t < to in
w (t) den Gleichungen :
geniigen; die fur t = to in w(to) die Werte uo, vo, w o annehmen. wo:
in (u (to)
+ Vo COS
y ) + Wo COB (72 2 ) = u(to)
COS 12 G
an S(tO>,
(n die nach auben gezogene Normale);
die endlich fllr t > to an S(t) den Bedingungen:
u = V (t), v = 20 = 0
geniigen.
A,, Ag, A, sind him vorgeschriebene Funktionen von
x , y, z, t, die wiry der Einfachheit wegen, differenzierbar annehmen.
Wir machen den Ansatz:
Uo(n)
=
Uo COS (12 x )
(72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annalen der Physik. IY. Folge. 46.
40
626
C. W. Oseen.
y ist eine in
w (t) regukre Potentialfunktion.
Dieser Ansatz ergibt eine in o ( t ) regulare Losung der
Gleichungen (2). Die Bedingungen u(to)= u o , e)(t0)= v0,
w (to)= wo sind erfullt, wenn U, I (to)= 0 .
Wir stellen die Bedingungen dafiir auf, da6, bei sehr
kleinem, positiven y, an S(t): u = U(t), v w = 0.
Wir haben:
=I
- -e7'
4pV-r)
= -2 p
Wir haben folglich:
( t - Z)*h
asp
+--
II.
Beitrage zur Hydrodynamik.
62 7
Wenn p sehr klein ist, so ergibt dies mit geniigender
Annaherung:
ug(Gy,z)
+ &Ju-(to) cos ( n z ) - d S ,
E-X
r2
8 (to)
wenn der Punkt x, y, z in @(to)liegt und:
q - U ( t 0 ) cos (nx),-dd,
6-2
4n
s(to)
wenn x , y, z innerhalb von g(to)liegt.
Aus dem Integrale:
erhalten wir ebenso, wenn I, y, z in w ( t ) liegt, und wenn wir:
A, cos (n3) A, cos (ny) A, cos (nZ) = A,,
setzen:
+
+
wo :
Dagegen erhalten wir, wenn x, y, z innerhalb von
liegt, nur:
1
-
e
-.a @
am
Wir haben also, wenn x,y, z in
i
ma($
liegt:
g(r)
C. V.Oseen.
628
wenn dagegen x, y, z in oh(t)liegt:
t, (z,
y, z) und th (x,y, z) sind hier die Momente, wo Sjt) durch
x, y, z geht (t, 5 th).
Den Grenzwert des Integrales:
d z l ( k zu,'
to
+ ky vt' + k,
WE')d
8
s(4
kbnnen wir aus dem ersten Teile dieser Abhandlung entnehmen. Wenn wir uns wieder auf den Fall beschranken, wo
eine mit der x-Achse parallele Gerade den Korper in hijchstens
zwei Punkten schneidet, so daB wir S(t) in einen vorderen
Teil S,(t) und einen hinteren Teil Sh(t) zerlegen konnen und
wenn wir wieder V(t)lcos (nz)I = C,, setzen, so erhalten wir:
an S,(t):
an 8,(t):
-4-
Jh.
Jv hat hier die Bedeutung:
t
und Jh die Bedeutung:
<
Wenn E, I ] , ein beliebiger Punkt in wh(t)ist, so konnen
wir die zu diesem Punkt gehorigen Werte von t,, th, somit auch
von K,cV), A?),
R2(W,
k,(h) ; U,(v) und Uih) als Funktionen von .& 7, auffassen. Wir setzen:
<
AT),
Beitrage zur Hydrodpamik. II.
629
und nehmen an, daB die Funktionen K,, K,, K5 und k,, k,,
ti, den folgenden Bedingungen geniigen:
a K,
1.
--
a5
a K, a ~ ,
+ all
+ a5 = 0
innerhalb von oh(t)
- E(t)- K(to);
2.
Kn = K , cos (a X) + Kycos (ny) + K, cos (TZ Z) = 0
an der Mantelflache des Zylinders wh(t);
a
--+-L
kz(h)
a k
3.
aF u,,~ a
(w
a
UJh) + ag
k,(h)
U,O
=O
in K (to);
4.
A,%= k, cos (n Z)
+ k,
COB
(ny)+ A, cos (n Z) =
- U,(t)a
an &,(to)und an Sv(t).
Unter diesen Voraussetzungen haben wir, wenn x,y, z ein
Punkt der Flache S,(t) ist:
Wir setzen:
+ &j-(k?
dS
+ u,,31,m
= sp (Z,Y,Z,4.
s h (t )
Da k>), ky(v) und k,'") in E(t,)verschwinden, so ist cp eine
in w (t)regulare und fur t = to verschwindende Potentialfunktion.
630
C. W . Oseen.
Zur Bestimmung von kz, hy, k., und
an S,(t):
rp
erhdten wir jetzt
t
nebst zwei analogen Gleichungen. Wir geniigen diesen Gleichungen, indem wir tp an S,(t) die Bedingung:
t
t
d(P
__ =
(I
12
1
U(t)cos (nx) - u ~ ( ~- J) A ,
auferlegen und dann :
9
t,,
(t)
dr
-'
sd t
e s
dn
to
Wir erhalten also an Sh(t) auBerhalb von K(t,):
und zwei analoge Gleichungen. Innerhalb von r(t,)
bekommen
wir dagegen:
usw.
Beitrage zur Hydrodynamik.
IL
63 1
Wir sind jetzt imstande Ks, K y , Kz durch bekannte
Funktionen und durch die Ableitungen von 9 auszndriicken.
Indem wir die so erhaltenen Ausdrucke in die Bedingungen
1. und 2. einfuhren , bekommen wir die Nebenbedingungen,
welche sp an S,(t) und in der Grenzkurve zwischen S, und Sh
zu befriedigen hat. Am einfachsten gelangt man indessen in
der folgenden Weise zu diesen Nebenbedingungen.
I n einem Punkte 2, y, z innerhalb von w(th) haben wir
im Momente t:
usw., wo t, und th sich auf den Punkt x , y, z beziehen. I n
demselben Punkte gelten im Momente th die Gleichungen:
usw.
Folglich:
usw.
Die Kontinuitatsgleichung :
au
__
ax
au + aw
+ __
ay
ax
=o
ergibt jetzt an S,(t), wenn wir die Vektorsymbolik anwenden:
a
div (grad Y ) ~=, 3G U(tJ
+ f divJ(% + grad
@)T
dr.
th
Wir haben hier stillschweigeiid vorausgesetzt, da6 E , y, z
au6erhalb von g(t,,)liegt. Nan zeigt unschwer, da6 innerbalb
von F(i!,,)dieselbe Gleichung besteht.
Die Bedingung 2. ergibt:
t
to
in der Grenzkurve zwischen Sv(t) und S,,(t).
C. W. Oseen.
632
Die Bedingung 4. ist erfiillt, wenn y(to)= 0 .
Wir f assen unsere Ergebnisse zusammen. Zur Bestimmung
von y erhalten wir die Gleichungen:
(3)
Ay=O
in m ( t ) ; an 8:
(4)
wenn cos (nz)
0;
t
( 5 ) div (grad y ) t h=
a
az
U(tJ + $ divJ(X + grad W)rd t ,
11,
wenn cos (nz)< 0 .
Man hat hier:
@ (x,y,z, t ) = 1
p(5,m)
x grada&)
dw
4n
w
(t)
gesetzt.
Wenn es eine in ~ ( t regulare
)
Potentialfunktion gibt,
welche die Bedingungen (4)und (5) erflillt, so hat man:
in oa(t):
633
Differentiation der Gleichungen (6) und (7) ergibt:
Q azu= A n - - - a 4
as,
Diese Gleichungen gelten also sowohl in ma wie in whl
aber vielleicht nicht in der Grenze zwischen ma und wh.
Umgekehrt kann man aus den Gleichungen (9) und aus
den Nebenbedingungen: an S:
u cos (nz)+ v cos (ny)+ w cos (72%) = u,,
wenn cos (nz)10 ,
u=u,
v=w=o,
wenn cos (nz)< 0
ohne Schwierigkeit die Qleichungen (3)bis (8) ableiten, wenn
man die Annahme hinzufiigt, daB die Funktionen A,, $, A,
sowie q in w (t) zweimal stetig differenzierbare Funktionen von
5,y, z sind.
Dann ist namlich klar, da6 man fur p den Ansatz (8) machen kann, wo tp eine in m ( t ) regulare Losung der
Gleichung (3) ist. Durch Integration in bezug auf t unter
Beriicksichtigung der Nebenbedingungen erhalt man sodann
aus (9) die Gleichungen (6) und (7). Diese ergeben schlieBlich
die Qleichungen (4) und (5).
Wenn wir die Gleichungen (3) bis (8) auf die vollstiindigen
hydrodynamischen Differentialgleichungen anwenden wollen, so
haben wir entweder :
aw
u- = - a9
av
as
usw:
C. W. Oseen.
634
Die so erhaltenen Gleichungen gelten selbstverstandlich
nur unter der Voraussetzung, dab eine Potentialfunktion 9 mit
den oben angegebenen Eigenschaften existiert und daB die
Funktionen A,, By,A, und die aus ihnen abgeleitete Funktion @
beim Grenziibergange p = 0 endlich bleiben oder hochstens
integrabel unendlich werden.
2. Wenn ein nach hinten unendlich langer, zylinderformiger Korper sich mit konstanter Geschwindigkeit in einer
reibungslosen Fliissigkeit bewegt, so fallt die oben mit S,(t)
bezeichnete Flache weg, und man bekommt bei Vernachlassigung der quadratischen Glieder die folgende Losung des
Problems :
d p , = U cos (nx)
dn
an S.
Wir wollen nachpriifen, ob diese Losung auch den vollstandigen hydrodynamischen Differential- oder Integrodifferentialgleichungen geniigt. Wir setzen :
q = p + 4 g (712 + 0 2 + W Z ) ,
A, = 0 (V 13 - w 'D) ,
.4y = p (w Q - u ZP),
dz= p(uB - VU).
Zunachst ist klar, daB, wenn wir u = 8 y / a x usw. setzen:
t
10
usw. auBerhalb des Korpers verschwinden. Dagegen verschwindet nicht die Funktion @, Die Konvergenz der Funktionen u, v, zu gegen die Gremwerte d v / a x , dylay, 8 y l d . z
ist namlich nicht gleichmahig. In der Nahe des Korpers entsteht eine Grenzschicht, wo die Ableitungen von u, v, w sehr
gro6e und im Grenzfdtlle p = 0 unendlich groBe Werte annehmen. Obwohl die Dicke der Grenzschicht mit ,u gegeii
Null konvergiert, so ergibt sie doch einen endlichen Beitrag
zur Funktion @. Wenn wir die quadratischen Glieder beriicksichtigen wollen, so haben wir also @ als das Potential einer
gewissen Belegung an der Flache S aufzufassen. In o ( t ) hat
man also stets:
A@-0.
Beitrap zur Hydrodynamik. 11
635
Um nun die Berechnung einen Schritt weiter zu treiben,
so haben wir (wenn wir uo = vo = w o 0 setzen) eine in w [ t )
regulare Potentialfunktion yplzu bestimmen, die an S(t) der
Bedingung :
I
.
geniigt. Wir haben sodann in
o(t):
to
usw.
Nun hat man ersichtlich:
t0
Wir bekommen folglich auch in zweiter Naherung:
Die Grenzschicht ubt nuf die Bewegung der Fliissigkeit
auBerhalb derselben keinen EinfluB aus.
Dieses Resultat darf nicht auf den allgemeinen Fall fibertragen werden. Derjenige Anteil der Funktion:
t
J (4dt-
7
to
der von der Grenzschicht an der Vorderseite eines Korpers
herruhrt, kann stets fils das Potential gewisser Massen gedeutet werden. Aber diese Massen liegen im allgemeinen zum
Teil in wh(t). Es ist deshalb nicht moglich diesen Teil von:
t
j
dr
4
durch eine in w (t) regulare Potentialfuuktion zu kompensieren.
Dies ergibt eine (allerdings keineswegs erschopfende) Erklarung
der aus unseren Formeln hervorgehenden Tatsache, da6 hinter
dem Korper Wirbel auftreten mussen. DaB diese Erklarung
mit der Theorie von Hrn. P r a n d t l verwandt - aber nicht
identisch - ist, liegt am Tage.
C. W. Oseen.
636
3. Wenn ein nach vorn unendlich langer Zylinder sich
mit konstanter Geschwindigkeit in ejner reibungslosen Fliissigkeit bewegt, so erhalt man bei Vernachlassigung der quadratischen Glieder eine diskontinuierliche Bewegung der Fliissigkeit. Wir wollen, der Einfachheit wegen, annehrnen, da6 die
Oberflache des Korpers aus dem Zylinder:
'
V
+ 2% = R',
x
>Ut
( U > 0)
und der Ebene:
x = Ut,
y a + '2 < R 2
besteht. Der Korper bewegt sich dann mit der positiven Geschwindigkeit U in der Richtung der positiven x-Achse.
In der Flussigkeit erhalten wir, wenn:
?/a+z'>R';
U = V = W =
0,
? / ' + 3 < R 2 , x < U t : u=C-, u = w = O .
Urn zu entscheiden, ob diese Bewegung auch den vollstandigen Integro-Differentialgleichungengeniigt, miiBte man die
Berechnung in der Nahe der Diskontinuitatsflache einen Schritt
weiter treiben. Es scheint mir nicht notwendig diese Berechnung auszufuhren. Die von uns auf theoretischem Wege abgeleitete Bewegung ist im wesentlichen mit derjenigen identisch, die Lord Kelvin, auf der Erfahrung gestutzt, als Widerlegung der H e l m h o 1t z - Kir chho ffschen Theorie anfiihrte.?
Von einem anderen Oesichtspunkte aus ist es aber von Interesse, diese Bewegung etwas naher zu betrachten.
Hr. P r a n d t l hat die Behauptung aufgestellt, daB die
Reibung nur in der Nahe eines KGrpers einen merklichen
Einflu6 auf die Bewegung einer schwach reibenden Fliissigkeit ausiibt und Hr. v. K k r m k n hat sich dieser Meinung angeschlossen.2) Unser Beispiel zeigt - meines Erachtens -,
da6 die Reibung vielmehr in der Nahe des Korpers zu vernachlassigen ist und nur in grofler Entfernung, hinter dem
Korper, eine ausschlaggebende Bedeutung besitzt. Eine Vorstellung von dem Einflu6 der Reibung gewinnen wir in folgen1) Man vergleiche hierzu: L a n c h e s t e r , Aerodynamics § 100-102.
London 1907.
2) Th. v. RBrm&n u. H. Rubach, Uber den Mechaniemus des
Flueeigkeits- und Luftwiderstandes, Phys. Zeitschr. 13. p. 49. 1912.
Beitrage zur Hydrodynamik. II.
637
der Weise. Wir haben hinter dem K6rper: u = U,v = w = O .
Das Glied U haben wir dabei als Grenzwert des Ausdruckes:
erhalten. Wir woilen den angenaherten Wert dieses Ausdruckes flir einen Punkt auf der x-Achse berechnen. Wir
haben :
-~ e 7’
upl =
asp
ee
(t +
4rV-4
2p
?)‘/a
D
a2
g = Ut.
Also:
Nun ist:
Wir erhalten folglich im Punkte x = U t - a, 0, 0.
e{lU(t-r)-als+qs+C.)
t
Bp(t--r)---m
dqd5
SAC.)
In der jetzt folgenden NAherungsrechnung wollen wir annehmen, daB e R U/p eine groI3e Zahl ist und dsI3 der Abstand
638
C. W. Oseen
von dem Korper a nicht kleiner als R ist.
dann folgendermaflen. Die Funktion:
Wir verfahren
nimmt, wenn p klein ist, uberall mit Ausnahme von einem
kleinen Bereich in der Nahe voo dem z-Werte: t - (u/lJ) sehr
kleine Werte an. Wir konnen demnach im ersten Integrale
diese Funktion mit der Einfacheren:
ersetzen. Das zweite Integral konnen wir vernachlilssigen. Wir
erhalten SO:
Nach unseren Annahmen ist g U a l p eine groBe Zahl. Wir
konnen demnach das Glied:
neben 1 vernachlassigen. Um den Einflu6 der Reibung in
der Nahe der Achse zu beurteilen, haben wir also nur den
Ausdruck :
mit seinem Grenzwert U zu vergleichen.
Da
und da g U R I p nach unseren Annahmen eine gro6e Zahl ist,
so ersehen wir aus diesem Ausdruck sofort, da6 die Reibung
nur in groBer Entfernung von dem Kijrper einen merklichen
EinfluS auf die Bewegung ausiibt. Den Halbwert U/2 finden
wir erst in einem Abstande von etwa:
R eUR
--.
3
P
Beitrage
ZUT
Hydrodynamik. I%
639
Wir schlieBen: erst in groBer Entfernung von einem
Korper weicht die Bewegung einer schwach reibenden FlUssigkeit merklich von derjenigen einer reibungslosen Fliissigkeit ab.
4. An der Hand der Gleichungen (3) bis (8) (wo wir
q = p + &@(U2+tP+202),
A,= @(V@--W@)
usw. setzen) und der oben angefuhrten Beispiele wollen wir
die verschiedenen Theorien des Fliissigkeitswiderstandes kurz
besprechen.
Die Green-Dirichletsche Theorie nimmt an, da6 die
Bewegung der reibungslosen Fliissigkeit wirbellos ist, d. h. in
unseren Bezeichnungen, daB A, = A, = A, = @ = 0. Diese
Arnahme steht mit den Gleichungen (3) bis (8) in Widerspruch,
indem die Glieder
im allgemeinen eine Wirbelbewegung definieren.
Nach der Helmholtz-Kirchhoffschen Theorie sol1 in
der Fliissigkeit eine Diskontinuitatsflache auftreten. Diese ist
als Grenze einer leeren Zwischenpartie zwischen zwei getrennten
Teilen der Fiiissigkeit aufzufassen. Wiederum hat man also
iiberall: A, = By = A, = 0 , @ = 0, was unmoglich ist.
Man kann die Helmholtz-Kirchhoffsche Theorie eo
abandern, daB man, auf die Helmholtzsche Erklarung der
Entstehung der Diskontinuitatsflache verzichtend, diese als
Grenze einer stark (und im Grenzfall unendlich stark) durchwirbelten Grenzschicht auffallt. Die so modifizierte Tbeorie
scheint mir durch das Beispiel eines nach hinten unendlich
ausgedehnten Zylinders widerlegt zu sein.
Hrn. P r a n d t l gebuhrt das Verdienst, zuerst auf die Bedeutung der Grenzschicht an der Oberflache eines Korpers
hingewiesen zu haben. In der ursprunglichen Fassung der
P r a n d t l s c h e n Theorie wurde angenommen, daB die Bewegung
auBerhalb der Grerizschicht nach der Green-Dirichletschen
Theorie verlauft. Diese Annahme wird - meines Erachtens durch das Beispiel eines nach vorn unendlich langen Zylinders
widerlegt.
Die Khrmhnsche Theorie laBt die Frage von dem Verhalten der Fliissigkeit in der Nahe des Korpers unbeantwortet.
640
C. W . Oseen. Beitrage zur Hydrodynamik. II;
Wenn man die Wirbelintensitat in den Wirbelfaden auch bei
y = 0 iiberall endlich annimmt, so folgt aus unseren Formeln,
da6 die Fliissigkeit an der Ruckseite des Korpers haften mu6.
Ob diese Tatsache sich mit der Annahlne vereinbaren kBt,
daB Wirbelbewegung nur in isolierten Wirbelfaden auftritt,
Andererseits mu6 ich hier
mu6 ich dahingestellt lassen.
hervorheben , da6 ich bei meinen Untersuchungen uber die
Esistenz von Losungen der N a v i e r schen Differentialgleichungen,
zu der Annahme gefiihrt wurde, daB auch in der Bewegung
einer reibenden Flussigkeit Singularitaten auftreten konnen.
Ich konnte zeigen, da6 diese Singularitaten Stellen unendlicher
Wirbelintensitat enthalten mussen. - Auch ist hier zu erwahnen, daB das Beispiel des nach vorn unendlich langen
Zylinders nicht gegen die K Br m a nsche Theorie spricht. Die
Bewegung einer reibungslosen Flusvigkeit hangt namlich durchaus nicht nur von der momentanen Bewegung eines darin versenkten Korpers ab. Selbst wenn die von uns betrachtete
Stromung eine (von der Stabilitatsfrage abgesehen) mogliche
Bewegungsform ist, so ist damit keineswegs bewiesen, da6 man
diese Bewegungsform erhalt, wenn man einen sehr langen
Zjlinder aus Ruhe in einen Zustand konstanter Geschwindigkeit versetzt. Nach meinen oben erwahnten Ergebnissen ist
es durchaus zu erwarten, daB bei dem Ubergange die Wirbelintensitat in isolierten Wirbelfaden, selbst wenn y > 0 ist, unendlich grofie Werte annimmt.
5. Die Gleichungen (3) bis (8) beruhen, wie wir schon
hervorgehoben haben, auf der Annahme, da6 eine Funktion 'p
esistiert, die Qleichungen von der Form (3) bis (5) geniigt.
Eine der nachsten Aufgaben muB e8 sein, die Bedingungen
festzustellen, unter denen man die Esistenz dieser Funktion
darlegen kann.
Von noch groBerer Bedeutung fur die Hydrodynamik ist
die Losung des in der Einleitung erwahnten Problems.
-
M a r i e l u n d bei Upsala, Januar 1915.
(Eingegangen 26. Januar 1915.)
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