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Beitrge zur Lehre vom inducirten Magnetismus.

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E. Riecke.
465
Um an die beruhrten Fragen niiher herantreten zu
konnen, wird es nothwendig sein, ein maglichst umfangreiches Uaterial zu untersuchen, deasen Beschaffung mir im
hugenblick nicht rnoglich ist.
I m InteTesse dieser Untersuchungen , durch welche man
gewiss im Stande sein wird, wichtige theoretische Resultate zu
$age zu fordern, mochte ich mich a n die chemischen Institute mit der Bitte wenden, mir etws 20 g yon den zu ihrer
Veriugung stehenden reinen fiussigen sowohl anorganischen
d s such organischen Verbindungen zur Disposition stellen zu
wollen, die ich unversehrt zuriickzuliefern mich verptfichte.
WAS ich um so eher tliun kann, als sie keinerlei Verbrauch
unterworfen sind.
Durcli solches Entgegenkomnien wiirden diese Unteriuchungen zii Ende gefiihrt, und der sich immer wichtiger
erweisentle physikaliwhe Theil der Chemie durch eine nicht
unwichtige Thatsaclie bereichert werden kiinnen.
Technische Hochschule Z I I Auclien.
I.
Z w t - i a p p r o x i n l a t i v e L o s i i n g c n d e s P r o b l e m s d e r magneti a c h e n I nd II c t i on.
Wenn man das gennnnte Problem in approximativer
Weise fur einen Eisenkorper von beliebig gegebener Gestalt
16cen will, so liegt es nahe, die Losung durch Anwendung
'
1 I Die unmittelbare Veranlassnng mi der Ver6ffentlichung der folgenden Remerknngen d
e mir durch eine Aeueeernng dea HHI. C. B a u e r
in seiner Abhandlung: ,,Neue Untersuchungen fiber den Magpetiamns's,
IVieiI. Ann. 11. p. 394. 1880 gegeben. Derselbe aagt: ,,Idit sehr kleinen
Kriiften hat nur R i e c k e experiinentirt, aber keine Resultate erhalten:.
D R Sdiese
~
Bemerkung auf einem Irrthume beruht, ergibt aich aus dem
Inhalte des vierten Abachnittes der vorliegenden Abhmdlung.
Ann. 6 P h p . o. Chem. X, P. 1111.
30
E. Riecke.
466
des Principes der Superposition zu bewerkstelligen. In der
That beruhen auf diesem Gedanken die von B e e r und im
Anschlusse an denselben von L. Weber l) gegebenen L6sungen Man bestimmt zunachst diejenige magnetische Vertheilung, welche in dem Ki5rper entsteht. wenn nur die gegebenen magnetisirenden Krafte beriicksichtigt werden. Nennt
man die mit dieser Vertheilung Quivalente Oherftlchenbelegung eine Belegung erster Ordnung, so kann man nun
die Kriifte bestimmen, welche von derselben auf das Innere
des Eisenkihpers ausgetibt werden. Aus der alleinigen Beriicksichtigung dieser K a t e ergibt sich eine zweite magnetische Vertheilung, sowie die mit ihr iiquivalente Oberfllchenbelegung zweiter Ordnung ; die alleinige Beriicksichtigung der von dieser herrtihrenden Krafte fuhrt zur Bestimmung einer Obertlichenbelegung dritter Ordnung u. s. f.
Der schliessliche magnetische Zustand des K6rpers wird
durch Superposition der successive herechneten Vertheilungen
erster, zweiter. dritter . . . Ordnung gefunden. Die beiden
im Folgenden mitgetheilten Anwendungen des Principes der
Superposition unterscheiden sich von den zuvor erwiihnten
dadurch. dasv der gegehene Korper in Volumenelemente von
besonderer Gestalt zerlegt wird. &litHulfe dieser Zerlegung
ergibt sich dann ein sehr onschaulicher Process, durch welchen die iiyuivtrlente Oberfl#chenbelegung ganz unmittelbar
erzeugt werden kann.
E r s t e Lo sung. L)as Potential der gegehenen magnetisirenden Krafte sei E Wir construiren die Kraftlinien.
welche diesem Potentiale entsprechend das Innere des Eisenkorpers durchsetzen. (Fig. 1). Grenzen wir en irgend einer
Stelle der Oberfllche des Korpers ein kleines Element d q
ab, so werden die von dem Rende desselben entspringenden
Kraftlinien einen engen Canal bilden, welcher das Element
da, verbindet mit einem gegentiberliegenden Elemente der
Oberfiirche dn2. Wir construiren die Axe dieses Canals und
bezeichnen den Ahstand irgend eines Punktes derselben von
ihrem in dem Element dn, liegenden Anfangspunkt durch
1)
L. Weber, Zrir Theoriv der Inagietisclien Illduction. Kicl 1875.
E. Riecke.
467
1. ddnn ist die an irgend einer Stelle des Canals wirksaine
mngnetisirende Kraft gegeben durch:
Indem wir den Canal durch zwei aufeinanderfolgende
Fliiclieii gleiclien Potentiales durchschneiden, grenzen wir in
____.
----:--& .,A /
/
.-,
P,
\
.
3
,
!
I
dem,elben ein Voluueneleuent u,Y u'$' w n solcher Grosse
a]). class die mtbgnetisirende Kraft im ganzen Inneren desselben als constant betrachtet werden kann. Die fh-unsere
erste Losung wesentliche Anndime besteht nun darin, dass
die nach der Richtung der Kraftlinien zu nehmende Liingendimension des Elementes iiusserst gross sei im Verhilltniss
x u dt.n Dimensionen deu Querschnitts. Unter dieser Vor:iussetzung ist dann dah in dem Volumenelement inducirte
mngnetische Moment gegeben durch:
wo rlw den mittleren Querschnitt des Elementes? d l seine
Liinge bezeichnet. X: ist die von P. N e u m a n n eingefiihrte
Magnetisirungsfunction, welche jedoch im Folgenden als eine
Constante betrachtet werden soll. Diesem Momente entspricht eine Belegung der Endflilchen des Elementes mit
iuapnetischer Masse, und zwar kommt auf die Endfhiche u ,3
die Menge - k ( a F / a l )do von positivem Fluidurn, auf die
Xn!'angsflBche u p die Menge k (dF/
al) d w von negativem.
Gehen wir ilber zu einem benachbarten in derselhen
Ji'cise nus dem Canal herausgeschnittenen Volumenelement
30 *
rt.2
468
E. Riecke.
U’$‘U”@”= dl’ dw‘, so ist das in diesem inducirte msgnetische
Moment gleich :
aF
- k ai
-dl’do’.
Die Belegung der Endtiache gleich - k (8F,
81’)dw’, die Belegung der Anfangsfliche u’$’gleich k (dF,
d 1‘) d0’. Auf dieser
letzteren Flache, als der gemeinsamen Endfliiche der beiden
hetrachteten Volumenelemente entsteht somit eine Gesamrntbelegung :
Die in der Iilitmlner enthaltene DXerenz ist aber, einer
bekitnnten Eigenschaft des Potentiales zufolge, gleict Null,
sodass sich die beiden entgegengesetzten Belegungen der
Flache u’,Y gegenseitig zerstoren. Derselbe Schluss wird sich
aber bei j e zwei weiteren aufeinander folgenden Volumenelementen, welche in der angegebenen Weise aus dem betrachte ten Canal herausgeschnitten werden, wiederholen, und
daraus ergibt sich, dass der ganze, in jenem Canal erzeugte
Xagnetismus sich ersetzen l a s t durch eine Belegung des
Endquerschnittes d w , mit der nordmagnetischen &sse
- k (aF;al,)do,,und eine Belegung des Anfangsqiierschnittes
d w l rnit der sudmagnetischen Xttsse k (dF,
81,)dw,.
Da nun nach dem Vorhergehenden:
so ergibt sich fur die Wirkung des Potentials F auf die in
dem betrachteten Canal enthaltene Eisenmasse die folgende
Interpretation:
Verstehen wir unter do irgend einen Querschnitt des
Canals, unter 1 die mit der Richtung einer Eraftlinie zusammenfallende Axe desselben, so wird durch das Potential
F eine Stromung magnetischen Fluidums in der Richtung
der Axe veranlasst, nnd zwar ist die Jllenge nordmagnetischen
Fluidums, welche infolge dieser Stromung von dem hnfangsquerschnitte zu dem Endquerschnitte Ubergeht, gegeben durch :
E. Riecke.
469
I n Wirklichkeit vird nun unser Canal nicht begrexizt
durch die Querschnitte d w , und d w l ! sondern durch die
Elemente do, und da, der Oberflkhe des EisenkBrpers; es
ersclieint daher zweckmhaiger , das Element do, zum Ausgangspunkt der betrachteten Stromung zu machen, das Element do2 zu ihrem Endpunkt. Thut man dies, so ergibt
sic11 unmittelbar ein Ausdruck fir die in diesen Elementen
durch die Stromung erzeugte Oberflgchendichtigkeit. Es ist
namlich, wenn ni und n, die inneren Normalen der Elemente
da, und da, bezeichnen:
d W , = - C/O, C'OS ( ? 1 2 . 12).
elm, = d 6 , cos (n],I,).
somit:
aF
Die infolge der Stromung auf dem Elemente da, sicli
niederschlagende Menge nordlichen Fluidums ist somit gegehen durch:
k at;
do2,
atl.l
die i n dem Eleiuente d c , zuriickbleibende Menge siidlichen
Fluidums ist gleich:
aF
k all,
-do,.
E s entsteht somit infolge der Strbmung in den Endflytchen des Canals eine Belegung der Oberflache, deren
Dichtigkeit in jedem Falle gegeben ist durch:
k-aF
ani
wo ni die innere Normale des Oberflllchenelementes da.
Fur den durch die alleinige Wirkung des Potentiales F
in dem ganzen Eisenkbrper hervorgerufenen magnetischen
Zustand ergibt sich hieraus der Satz:
Zerlegen w i r den gegebenen K b r p e r i n lauter
unendlich dtinne B a h r e n , d e r e n A x e n K r a f t l i n i e n
des Potentiales F sind, so kann die Oberflachen-
470
E. Riecke.
b e l e g u n g e r s t e r O r d n u n g e r z e u g t werden d n r c h
e i n e S t r o m u n g des positiven magnetischen B l u i d u m s
i n d e r R i c h t u n g d e r K r a f t l i n i e n . In j e d e r R o h r e
ist d i e Menge n o r d l i c h e n F l u i d u m s , welche d u r c h
j e n e S t r o m u n g v o n dem A n f a n g e d e r s e l b e n zu
i h r e m E n d e gefiihrt wird, gleich:
- k aF
-tlw
ai
.
Die hierdurch erzeugte Oberfliichendichtigkeit
e r s t e r O r d n u n g i s t gleich:
Hier bezeichnet d w einen Querschnitt von irgend einer
jener Rohren, 2 das zwischen demselben und ihrem Anfmge
liegende Stiick der Axe, k die Magnetisirun,osfunction von
F. N e u m a n n , ni die innere Normale eines Oherfiiichenelementes (la.
Um zu der Oberfllichenbelegung zweiter Ordnung zu
gelangen, haben wir zunachst das von der Belegung erster
Ordnung ausgeiibte Potential zu bestimmen. 1st Ti die reciproke Entfernung eines Oberflachenelementes (10 von einem
im Inneren des Eisenkorpers gelegenen Punkte, so ergiht
sich fUr dieees Potential der Werth:
Wenden wir auf dieses den vorhergehenden Satz an, so
erhalten wir fir die Oberflachendichtigkeit zweiter Ordnung
den Werth:
k aa2iFl i ,
und daher mird das von der Oberflachenbelegung zweiter
Ordnung ausgeiibte Potential :
aF,
Fa= k J ' T,----cld.
d ni
Die wiederholte Anwendung derselben Betrachtungen
liefert die weiteren Formeln :
. . . . . . .
I
.
.
.
.
.
.
.
.
E. Riec-ke.
47 1
Durch Acldition derselben ergibt sich:
Setzen mir:
4 + t.1 + F{ + ... =
Qi.
so ist:
a1.n Q, das inducirte Potential. Die an irgend einer Stelle
r . y. z des Eisenkbrpers in cler Volumeneinheit inducirten
mLipnetischen Momente u. ,3, y erqehen sich mit Hulfe .der
Formeln:
a ( F+ Y,, , ; / = - k - -a ( p+ Y,)
CI=
- k w +Y,)
ax
,
,rl=-k
aY
az
_.
11. clurch Superposition der successive inducirten Moniente
erster, zweiter, dritter . . . Ordnung.
Die Auwendbarkeit der im Vorhergehentlen entwickelten
Jletliode ist natiirlich gebunden an die Convergenz cler Reilie:
F, F2 k-, . . .
melche, wie man leicht sieht, nach steigenden Potenzen von
k fortschreitet; da li im allgemeinen weit grasser als 1 ist,
so kann diese Convergenz nur dadurch herbeigefiihrt werden,
dass der von cler Gestalt des Eisenkorpers abhiingende Factor
cler Functionen Fl , E3, F3 . . . in vorwiegendem Maasse der
Sull sich niihert. Wenn wir aber die Convergenz der Reihe
Fl + E, + F3 + . . . voraussetzen, so liisst sich dieselbe mittelst der folgenden Betrachtung in die von C a r 1 N e u m a n n l)
qegebene Entwickelung transformiren.
Die von C. N e u m s n n gegebene Losung des Problems
der magnetischen Induction beruht auf Folgendem. Er leitet
zunachst aus dem Potential I ; der gegebenen magnetisirenden Kraft eine Reihe YOU neuen Functionen ab durch den
11.
+ + +.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Dann ergibt sich fur das inducirte Potential Qi der h u s hck:
1) C. N e u m a n n , Untersuchungen uber das logarithmische nnd Sewton'schtl Potential. p. 24%
E. Rieche.
472
Q.=
'
- 1 -- 1 F . +
43rk1+4nk) '
l+4nk
E . ' + ( - 4- .n-k) E ; " + . . . I, - F , .
I+4nk
Zwischen den von uns eingeflihrten Functionen Fl,F-,
4 . . und den Functionen F 9 F ?F".. . bestehen die Beziehungen:
1
2
1
&' = F + a * F l .
fi" = F + 4nh*
- F 1 + (4,,A.)'F''
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemein:
+ (? (--1 + 4 n -k )
1 z 1.
-
'1
PI1
(4z.$'
Nehmen wir nun an, dass die Glieder der Reihe
4 + F2 + . . so stark gegen Null convergiren, dass wir dieselbe mit dem Gliede F. abbrechen konnen, so werden die
folgenden Gleichungen die abweichende Form annehmen:
.
Somit ergibt sich durch Addition:
E. Rieche.
473
oder. wenn wir die Summen entwickeln
und hieraus:
es ergiht sich somit? dass die Reihe Fl + F2 +- F3 + . . .
identisch ist mit dem aus der Keumann’schen Theorie sich
ergebenden Werthe von Qi; gleichzeitig ergibt sich, dass die
Reihe 3 + F2 + F3 + . . ., wenn sie uberhaupt convergirt,
starker convergirt, als die Neummn’sche Entwickelung.
Z w e i t e L o s u n g , welche e i n e u n t e r allen Umstiind e n c o n v e r g i r e n d e E n t w i c k e l u n g liefert.
Der geometriache Apparat, dessen wir uns bei der Losung bedienen, bleibt im ganzen derselbe, wie bei der vorhergehenden Unteranchung. Wir zerlegen wieder den Eisenkorper in ein System dIinner Rohren, deren Wtlnde durch
Kraftlinien des Potentiales
F gebildet werden. Dsgegen werden wir mit BeZUR anf die Gestalt des TOF
lumenelementes tl p c c ’ , ~ ! 1
welchea dnrch zwei aufeinander folgende Potentid- L
__
025chen aus irgend einer
Fig. 2.
jener RBhren herauageschnitten wird, cine vlillig andere Annahme eintreten lassen.
Wir setzen namlich fest. dass dieses Volnmenelement gegen-
El Riecke.
474
miirtig die Gestalt einer iiusserst diinnen Scheibe besitze.
(Fig. 2). Bezeichnen mir wieder durch I; das Potential der
gegebenen Krilfte, so ist das durch diese allein in dem Elemente inducirte magnetische Moment:
Die entsprechende Belegung der iiusseren Oberffiiche
mit magnetischer Masse ergibt sich aus diesem Werth des
in dem Volumenelement inducirten Momentes durch den
Process, welchen wir bei der vorhergehenden Untersuchung
susfuhrlich besprochen haben. Nur ist die Yenge des in
dem betrachteten Canal in Stromung versetzten nordmagnetischen Fluidums gegenwiirtig gegeben durch den Ausdruck :
1
dw ,
+ I Z k aE’
ai
und die durch diese Strbmung erzeugte Obertfiichendichtigkeit:
’
k
€1
aF
= 1-- + I -n k a-.
ni
Durch die vorhergehenden Ausdrucke ist diejenige magnetische Vertheilung bestimmt, selche wir im Vorhergehenden die Vertheilung erster Ordnung genannt haben. Wir
erhalten die Vertheilung zweiter Ordnung , wenn wir die
Kriifte bestimmen, welche von der Vertheilung erster Ordnung auf ein im Inneren des Eisenkorpers abgegrenztes
Volumenelement awgeubt werden , und darnach das magnetische Moment bestimmen, welches in diesem inducirt wird ;
dabei werden wir wiederum festsetzen, dass die Gestalt des
Volumenelementes die einer nach der Richtung der Kraftlinien unendlich dlinnen Scheibe sei. Durch diese Festsetzung wird aber eine wesentliche Complication unserer
zweiten Methode herbeigeflihrt. Man bemerkt niimlich leicht,
dass im Fall eines Volumenelementes O C / ~ U ‘ / ?von
’
der Form
einer unendlich dltnnen Scheibe die Vertheilung erster Ordnung in ihrer Wirkung nicht vollsttindig ersetzt wird durch
die Belegung der ilusseren OberflBche des Eisenkbrpers.
Denkt man sich das Element uPa’/3’ aus dem letzteren
herausgeschnitten , so wird auf den gegentiberstehenden Fltrchen des dadurch gebildeten Hohlraumes eine Belegung ent-
E. Riecke.
4i5
&hen, und es wird durch dieselbe auf das Innere des Hohlraunies eine Kraft ausgetibt werden, welche fur die Rerechnung des inducirten Magnetismus zweiter Ordnung von
wesentlicher Bedeutung ist. Diese innere Belegung des
Hohlraumes u,dtc’,3’ wird somit als ein integrirender Beytandtheil der Belegung erster Ordnung zu betrachten sein.
Fur die Dichtigkeiten dieser inneren Oberfliichenbelegung
q e b e n sich die Werthe:
x: a&
auf der Flache a@
11, (u$)= - __- - .
1 c 4 n k a1
auf der Fliiche u‘,.l’
);, (~’~4’)
=
k
1 -t 4;rk
6F
aT‘
Was nun die von diesen Belegungen erater Ordnung
itusgeubten Iiriifte anbelangt, so ergibt sich fir das Potential
(lor ctuf der Biisseren Oherfliiche gefundenen Belegung der
W erth :
Aus den i ~ u fu,J und u’$‘ betindlichen Belegungen ergibt sich fiir das Innere cles Elementes u$tc’p’ eine Eraft:
Wollen wir den inducirten Magnetismus zweiter Ordnung bestimmen, so mussen wir beachten, dass die Krxftlinien des Potentiales @,
mit denen des Potentiales F nicht
zusammenfdlen. Es wird daher nothwendig, zwischen der
Wirkung des Potentiales
und der Wirkung der Kriifte
R, zu trennen. Wir konnen das Potential fljl gerade so
behandeln, als ob dasselbe irgend welchen ausseren Kriiften
entsprache, welche zu den inneren Kriiften Bl m a b u n g i g
von diesen noch hinzuksmen. Construiren wir dann ein
Volumenelement ul ul‘,8,’, welches mit Bezug auf das Potential U1 dieselben Eigenschaften besitzt, wie das Element
c($u’p’ mit Bezug auf F, so ergibt sich fiir das in demselben
inducirte magnetische Moment der Werth:
416
E. Riecke.
Ditgegen wird durch die &aft R, i n dem Volumenelement upu',!l' ein magnetisches Moment:
inducirt. Die beiden so bestimmten unabhangig voneinander
bestehenden Vertheilungen lassen sich ersetzen durch eine
einzige Belegung der ilusseren Oberffache, deren Dichtigkeit
gegeben ist durch:
x am,
4nk'
aF
ej = 1 +-ink37
+ (1 +4;;kj'di'
Zu der Wirkung dieser auf der ausseren Oberfliiche
des Eisenkorpers befindlichen Vertheilung kommen wieder
hinzu die Wirkungen der inneren Belegungen auf den
Fhchen C C , , ~ tzl'.
,,
A' und up. u'p'. Fur die Dichtigkeiten
derselben ergibt sich:
D~zsPotential der Belegung e, ist gegeben durck:
Die Belegungen auf alpl und ul'pl' Iiben auf das Element ul ulf&' eine Kraft aus, welche gegeben ist durch:
Die von den Belegungen auf a@ und u'p' auf das Innere
des Elementej upa'p' ausgelibte Kraft ist:
Um die durch diese W i f t e hervorgerufene Vertheilung
dritter Ordnung zu bestimmen, ist es nothwendig, zu den
im Vorhergehenden betrachteten Volumenelementen noch
ein drittes hinzuzunehmen, welches yon zwei Potentialflgchen
E. Riecke.
47 7
O2 und den entsprechenden Krsftlinien begrenzt wird. Bezeichnen wir dieses Volumenelement durch u2,f2C C ~ ’ , ~ ~ ’so
,
ergeben sich die Formeln:
Diese drei Vertheilungen lnssen sich wieder ersetzen
durch eine einzige Vertheilung magnetischer Yassen auf der
ausseren Oberiiache des Eisenkijrpers, deren Diclitigkeit gegehen ist durch:
x:
E3
= 1
atb?
+ i7i
a,,,
4 7 x ~
+
11
at[),
I i x k ) : ~ aF
-.
+ 4 7 x : l ! atti + ( 1 + 4 n k ) 3 . ani
Hierzu kommen noch die Belegungen im Inneren:
F u r das durch die Belegung e3 ausgeiibte Potential ergibt sich:
F u r die von den inneren Belegungen irusgeiibten Krafte:
Ganz in derselben Weise ergibt sich ein viertes System
von Formeln, durch welches die inducirte Vertheilung vierter
Ordnung und die von derselben ausgetibten W irkungen bestimmt werden.
47s
E. Riecke.
Werden diese Entwickelungen weiter und weiter fortgesetzt. so ergibt sich schliesslich durch Addition der fiir
die aufeinanderfolgenden Belegungen der ilusseren Oberflache
aufgestellten Potentiitlfomeln die Gleichung:
(Dl + (b* (b:, . . .
+ +
Wenn, wie im Folgenden noch zu zeigen ist, die Functionen
4j gegen Null convergiren, so kann diese Gleichung in der
Form geschrieben werden :
@l
+ (b' + (b3+ . . . = n [ 'r,
;
( F + (bl + (b*+
ni
+ ...) na.
Die Summe der Potentiale der aufeinanderfolgenden
Belegungen der gusseren Oberflache, d. h. das Poten'tial:
Q i =(PI @* (D3 - . ..
der durch die ,Superposition derselben entstehenden Belegung der ilusseren Oberflllche gentigt also in der That der
Gleichung :
+ + +
E. Riecke.
479
welche durch die Poisson'sche Theorie gefordert wird.
F u r das in einem Volumenelement u p 4' $' inducirte
&snmmtmoment. dasselbe reducirt auf die Einheit des Volumens, ergibt sich durch Addition der inducirten Momente
erster. zweiter. dritter . . . Ordnung der Werth:
(Ui3Cc'$')
=
Die Componenten dieses Monientes nach den Richtungen
der Coordinatennxen besitzen die Werthe :
at;
- h - a. r ;
-k-.
- h az F>
a .+
wo
,/.
a/,
y. z die Coordinnten deyjenigen Stelle im Inneren des
Eisenkorpers hezeichnen . fir welche das Moment berechnet
werden soll.
Ebenso ergibt sich dlts Gesammtmoment, welches in
eineni Volumenelement G~p, ul'$,' inducirt wird. durch Addition der fur die Momente zweiter, dritter . . . Ordnung
ttufgestellten Formeln. W i r erhalten, indem wir wieder durcli
dns Tolumen des Elementes dividiren:
und fur die Componenten des Momentes nach der Richtung
der Coordinatenaxen :
Die Componenten des in einem Volumenelemente u,@, (cp'b2'
inducirten Gesammtmomentes, reducirt auf die Einheit des
Volumens. werden beatimmt durch die Ausdriicke :
Xun entsteht aber der gauze in dem Eisenkorper inducirtc Alngnetismus durch Superposition der in den Elementen
E. Riecke.
480
..
u p cc'p', u113,u l ' ~ l s., . inducirten Momente. Bezeichnen wir
also durch A, B, r die an irgend einer Stelle Z , J , z des
Eisenkarpers in der Volumeneinheit inducirten Momente,
genommen nach den Richtungen der Coordinatenaxen, so
ergeben sich die Formeln:
in vollkommener Uebereinstimmung mit der Poisson'schen
Theorie.
Die im Vorhergehenden berechneten Oberflichenpotentiale (Dl, (b2.. stehen in sehr einfacher Beziehung zu den
von C. X e u m a n n eingefiihrten Functionen F', F" . . .
Setzen wir :
.
oder mit Hiilfe der von C. X e u m n n n gegebenen Formeln:
(bl = x(F;- E ) .
Ferner wird:
Us= x
1
. -p
P3
a d 6 + x Ul ,
4n
ni
*,
= x'(F,"
- fy).
(b3= x 3 (F;" - F:)
Ebenso :
. . . .
. . . .
.
Da nun die Functionen F,
Fi",4"'. . gegen eine
Constante convergiren , so convergiren die Functionen Ul,
gegen Null. Ferner ergibt -sich aus den gefunU2,
denen Beziehnngen, dass der von C. N e u m a n n ftir das
inducirte Potential gegebene Ausdruck:
Qi
(1 - 2 ) (4+ x F ~ ' x'I;~,'+
-4
mit dem Ausdruck:
Qi = (bl
U 2
W, ..
identisch ist.
&I,
...
I
+
+ +
...;
+
E. Rieche.
481
XI. A n w e n d u n g der e n t w i c k e l t e n Methoden a u f Korper v o n
spec i el I er
c s t n l t b e i c o n s t a n ter magnetiairender Kraft.
(;
1. D e r K o r p e r h a t d i e G e s t a l t e i n e s E l l i p s o i (1e s. Das Potential der gegebenen magnetisirenden
Krat'te sei:
F= - B!/ - C Z .
Halten wir uns an die erste der im Vorhergehenden entwickelten Methoden, so wird:
=
- kJ' T, { A cos
(.L.,ni)
+ B cos (y, ni) + C cos (z,~ h )d)o ,
oder nach einem bekannten Satze, wenn durch M,N, P die
in der Anziehung eines homogenen Ellipsoides auftretenden
Constanten bezeichnet werden :
F, = k ( : V A . c + i V B y + P ' ( ' z ) .
Ebenso:
1.3 = k ' J T,{ M Acos (r,ni) LVLI cos (y,ni) + P C cos (zui)>
dri= - k'(M'A,/~
+ N'By + p"~),
FJ = k Y ( M 3 A .+
r LVBy + P C r )
+
. . . . . . . . . . .
61;= k M A .I' { 1 - k M + k'M2 - + . .:
.
Somit:
.
+kNB?/ ;1 -hN+k'N'+..I
+ k P C z : I - k P + R a P 2 - +..i.
die in den Klammern enthaltenen Reihen convergiren nur,
wenn :
h M < 1, h N < 1, k P < 1.
Sind dieve Bedingungen nicht gleichzeitig zu erffillen,
ist also z. B. zwar K P < 1, dagegen R M und KiX > 1, so behalt die fir Qi gegebene Entwickelung einen bestimmten
Werth nur d a m , wenn gleichzeitig A und B verschwinden.
1st dies der Fall, so ergibt sich:
In der That also bestitigt sich die im vorhergehenden
hbschnitt ausgeeprochene Vermuthung, dass die Anwendbarkeit der ersten Methode auf specielle FPlle beschrankt ist.
Am. d. Phys. n. Cham
N. F. YIII.
31
E. Rircke.
452
F u r die bei Zugrundelegung der zweiten Metliode
lwrechnenden Functionen ergibt sich:
zii
(D., =
. . . . . . . . . . . . . * . . . . . .
woriius:
(2.
1
;=
A..d l A . r
kSBy
kPC:
I + A . X +i + k . x + i + L P .
2. D e r K o r p e r liut d i e F o r u i e i n e s C y l i n d e r >
init G e r a d e n d f l l c h e n . D i e c o n s t a n t e m a g n e t i s i rende Krrft i s t d e r Cylinderaxe parallel gerichtet.
Die Untersuchung eines Kijrpers von der angegebenen (festdt besitzt ein hesonderes Interesse deshalh , weil bei der
Construction von Magnetometern und Galvanornetern vorzugsweise cylindrische Magnete von rechteckigem oder kreisfoimigem Querschnitt zur Anwendung kommen. Vielleicht
liegt in den vorhergelienden Betriichtungen ein Mittel, das
Problem der magnetischen Induction f i r einen solchen Kijrper etwas weiter zu verfolgen, als dies seither geschehen
ist. Nehmen wir die .r-Axe des Coordinatensystems parallel
der Axe des Cylinders, so ist:
F = - A,(..
Die Oberflachenbelegung erster Ordnung reducirt sich fur
die aussere Oherfiilche auf eine Belegung der Geradendflachen. Bezeichnen wir als Anfangsflache des Cylinders
dkjenige, durch welche die Kraftlinien in denselhen eintreten, als EndflAche diejenige. durch melche sie ihn ver-
E. Riecke.
-183
lktssen. so ergiht sich liei Zugrundelegung unserer zweiten
JIethode fiir die Anfangsflache die Dichtigkeit der Belegung :
x.
tl = A.
1 f 4 n k
t'iir tliv Endtflclie:
A
c,' = 1 f 4 nX.'l.
Da. von dieser ersten Belegung der ausseren Oliertliiclie ausgeiibte Potential kann zerlegt werden in zwei
Tlleile. ron welclien der erste (b, herriihrt yon der AnfangaHiicIle. der zweitc t b i ' yon der Endflache. I m Falle eines
]irc>i>fi\rmigenQuerschnittes des Cylinders sind U, uncl Ui'
die Potentide von hornogen rnit Masse belegten Kreisschril,en uncl kiinnrn nncli H. W e h e r dargrstellt werilen in
~ l e rF(orin:
I
Hier ist r , der HdLmesser des cylindrisclien Quer.clinitti; 1' tint1 2 sind Cylindercoordinaten irgend eines
Pi:nI;te. init Hclzug ~ u l thin
' Coordinutensystem, (lessen AnI';tn.r.puukt bezieliung.iweise im Mittelpunkt tler A n f m p cder der EndHiichc. des Cylinders gelegen ist.
%u der Wirkung dieaer Potentiale kommt noch hinzu
(lie IVirkung cler inneren Krafte R,,welche den Kruftlinien
(It.. gegtabeneii Potentides F gleicli gericlitet sind. und deren
Stii.rkr pegehen ist durcli:
fl:~c.l112
Bei cler Herstellung cler Oberiilckenbelegung zweiter
Orllnung machen wir wiederuni Cfebrauch von dem Princip
der Superposition, und zwar insofern: als wir die Wirkung
tler Potentiale @,'und tb, getrennt untersuchen. W i r zerlegen zunachst die Endfliiche dee Cylinders in einzelne
Eleinente. deren Inhalt der Einfitchheit halher gleicli der
Einheit des Fliicheninhalts genommen werden miige. Jedes
derselben machen wir zur Anfangsfliiche eines in den Cylin31 *
484
E. Rieche.
der eindringenden Canals, dessen Mantellinien Kraftlinien
des Potentiales a,' sind, und welcher auf der anderen Seite
durch den Mantel oder durch die Anfangsflilche des Cylinders begrenzt wird. Durch jeden d i e m Caniile stromt dann
von der Endflilche des Cylinders hinweg die Menge:
von nordmagnetischem Fluidum; die Dichtigkeit der auf der
Endfliiche befindlichen Belegung wird dadurch vermindert
urn den Betraa:
Andererseits wird durch die Wirkung der inncren Krilfte
R, eine Belegung der Oberflilche erzeugt , deren Dichtigkeit
fiir die Endflilche gleich ist:
4 n k'
(1+4kk+
fur die Anfangsflache gleich :
- 4zk'
(1
+ 4 1 k)'
A.
Durch die gleichzeitige Wirkung des Potentiales
und der
Kriifte R, wird also die Dichtigkeit der Belegung der Endfl8che vermehrt um den Betrag:
2zk2
(l-$-4,wZi'
Bezeichnen wir die Flache des Cylinderquerschnittes
durch f,so wird gleichzeitig die Menge:
2nk'
(1
+ 4 n k)' A .f
von nordmagnetischem Fluidum auf der Mantelflache und
der Anfangsfliiche des Cylinders niedergeschlagen in einer
Dichtigkeit, welche durch die Ausbreitung der dem Potential
angehorenden Kraftlinien ngher bestimmt wird. Die
Dichtigkeit der dadurch entstehenden Belegungen ist gegeben durch:
k 1
a@'
i + i n k ani 9
wo ni die innere Normale an irgend einer Stelle der Mantelflilche oder der Anfangsfliiche dee Cylinders bezeichnet.
E. Riecke.
485
Da nun ganz dieselben Betrrrchtnngen auch auf das
Potential
der Anfangsfllkhe Anwendung finden, 80 ergibt
sich fiir die gesammte magnetische Vertheilung, wie aie
durch den eraten und meiten Indnctionsact hergestellt wird,
das Resultat:
Auf den Geradendflgchen des Cylinders wird eine Belegung mit nordmagnetischem, bezw. slidmagnetiechem Fluidum hervorgerufen, deren Dichtigkeit gegeben ist durch:
Auf der Mantelflache des Cylinders und seiner Anfangstlache wird die Menge nordmagnetischen Fluidums :
auf der Nantelflliche und der Endfllche eine ebenso grosse
Menge slidmagnetischen Fluidums ausgebreitet. Die Dichtigkeit der dadurch entstehenden Belegung ist ftir die Manteltlilche gegeben durch:
1+47Zk
*
a (m,+ @;I
- a 7
*
fur die Anfangsfliiche durch :
-.k
1+4nk
fur die Endflache durch:
a @,
dn,'
am
k
.I*
1 + 4 ~ kan,
LII. Ueber die experimentelle Priifung der Poieaon'achen
The or ie.
Die Frage, ,welche Beobachtungen vonugsweise zur
Priifung der Poisson'schen Theorie sich eignen, kann nicht
wohl entschieden werden, ohne dass mvor einige Resultate
der theoretischen und experimentellen Forschung in Erinnerung gebracht werden. Die Gleichungen, von welchen das
Problem des inducirten Magnetiamus a b k g t , aind gegenmartig nur in solchen F U e n gelost, in welchen die Magnetisirungsfunction K als eine Constante betrachtet, bezw. durch
einen constant bleibenden Mittelwerth ersetzt werden kann.
Wir werden daher auch im Folgenden die Betracbtung be-
486
E. Ric-cke.
schranken H U solche
~
Palle, in melchen bei der Lijsung der
Poisson'schen Gleichung die Annahme einev constanten k
zultissig ist. Unter dieser Voraussetzung wird das Potential
des inducirten Magnetismus bestimmt durch die Gleichung :
melclie erfullt bleibt, wenn alle linearen Dimensionen dev
rechten Seite und gleichzeitig die Potentiale Qiund F in
deniselben Maassstabe rergrossert nerden. Daraus ergiht
sich der Satz: Werden ahnliche unll alinlich liegende Kiirpev
an entsprechenden Stellen magnetisirenden Kriiften y o n
gleicher Richtung und Starke unterworfen, so sind die in
der Volumeneinheit inducirten Moniente gleicli, die gnnzrn
Nomente dem Volumen proportional.
1st ferner fur einen Kijrper von beliebiger Gestitlt itbev
von cler Einheit des Volumens das Problem der mngnetischen Induction geliist, bei irgend einem Werth des inducirenden Potentiales 4 so bleibt die Gleichung:
erfiillt, menn F und Qimit demselben Zahlenfactor multiplicirt werden. D. h. menn k als constant betrachtet mirtl.
ist das inducirte Potential dem inducirenden proportional
und Gleiches gilt daher auch fur die inducirten Momente in
ihrem Verhaltniss zu der inducirenden Kmft. Ergeben .iich
also fiir die Einheit der letzteren die Werthe u, $, y der
inducirten Momente, so werden einer inducirenden Kmft J'
die Momente A = yf, B = Pf, r = yf entsprechen. Hierbei sind die Grossen u,$,y abhangig von k, von der Gestalt
des Korpers und von der Richtung der magnetisirenden
Kraft. Wenn aber die Functionen A, B, r den Poisson'schen Gleichungen gentlgen fir den seither festgehaltenen
Werth von R, so wird dies auch noch der Fall sein, wenn
dieser Werth durch einen anderen ersetzt wird, mie e r der
neuen magnetisirenden Kraft entspricht. Die in einem Korper von der Einheit dee Volumens durch eine constante
Kraft inducirten Xomente kijnnen somit dargestellt merden
E. Riecke.
-187
durch das Product aus der magnetisirenden Kmft und gewissen Factoren, welche von der Gestalt des Kiirpers, cler
Richtung der Kraft und von der Magnetisirungsfunction k
ahhiingig sind.
Fassen wir die erhaltenen Resultate zusammen, so ergibt sich, dass das in einem beliebigen Korper durch eine
constante Kraft inducirte magnetische Moment G dargestellt
merden kann durch einen Autxlruck von der Form:
G = ;'
. I'
J'.
wo .f die magnetisirende Kr:ift, I . das Volumen des Kiirpers
bezeichnet. D e r F a c t o r ;' i s t g l e i c h d e m m a g n e t i s c h e n M o m e n t e , welclies i n e i n e m I h n l i c h g e s t a l t e t e n K a r p e r von d e r E i n h e i t d e s V o l u m e n s ( l u r c h
e i n e K r a f t von g l e i c l i e r R i c h t u n g u n d G r i j s s e i n d u c i r t miirde, d i v i d i r t d u r c h d i e s e K r a f t . Es ist demnacli 7 im allgemeinen ahhiingig von der Gestalt des Korpers.
der Richtung der magnetisirenden Kraft und der Magnetisirungsfunction k . W i r w e r d e n i m F o l g e n d e n d i e
F u n c t i o n ;'. d e n Q u o t i e n t e n aus d e m i n d e r V o lumeneinheit eines Kiirpers durch eine qegebene
c o n s t a n t e K r a f t i n d u c i r t e n M o m e n t un'd a u s d i e s e r
K r a f t selbst hezeichnen als die Magnetisirungsf u n c t i o n d e s h e t r a c h t e t e n K i i r p e r s . Wir werden also
in diesem Sinnc von der Magnetisirungsfunction der Kugel!
des Ellipsoides! des Cylinders sprechen. Bei e i n e m u n d
(1 e m s e l h e n Korper ist die Magnetisirungsfunction ;* abhangig von der Richtung und S t i k e der magnetisirenden
Kraft , im a11g e m e i n e n abhiingig von den Gestaltsverhiiltnissen der Karper, sodass rihnliche Kiirper dieselbe Magnetisirungsfunction besitzen. Bezeichnen wir das in der Volunieneinheit eines Korpers inducirte Moment durch m.
so ist:
in
;=ye
Denken wir uns y els Function von f bestimmt, so
merden wir mit Hiilfe der vorhergehenden Gleichung jede
der drei Grossen 7 , m , f durch eine der anderen auszudriicken im Stande sein. Wir kijnnen also auch die Magne-
488
E. R i d e .
tisirungsfunction 7 darstellen als Function des in der Volumeneinheit inducirten Momentes m. Diese zuerst von
R o w1a n d benutzte Darstellung soll auch im Folgenden zur
Anwendung gebracht werden.
Mit Bezug auf die im Vorhergehenden gegebene Definition der Magnetisirungsfunction eines beliebig gestalteten
K6rpers besteht die Bedeutung der Poieson’schen Theorie
darin, dass sie einen Zusammenhang zwischen den Magnetisirungsfunctionen verschiedener K6rper herstellt , sodass.
wenn Alr irgend einen Korper die Magnetisirungsfunction
auf experimentellem Wege ermittelt ist, die Magnetisirungsfunctionen aller iibrigen Korper aus dieser einen ein fiir
allemal bestimmten berechnet werden konnen. Die Priifung
der Theorie wird dann darin bestehen, dass man die fiir
irgend einen Korper aus Beobachtungen bestimmte Magnetisirungsfunction vergleicht mit dem aus der Theorie berechneten Werthe derselben. Fiir diejenigen Fiille, auf
welche die theoretische Betrachtung bisher ausgedehnt wurde,
gestaltet sich die Rechnung in folgender Weise.
Bei einem geschlossenen Ringe, welcher der Wirkung
constanter , gegen seine Querschnitte senkrecht gerichteter
Erafte unterworfen wird, kann den Poisson’schen Gleichnngen
geniigt werden, wenn man Qi = 0 setzt. Man erhillt dann
filr das in der Volumeneinheit inducirte magnetische Moment:
m=R.f,
wenn f der constante Werth der magnetischen K r a e ist.
Es ergibt sich hieraus, dass die F. Neumann’sche Constante
definirt werden kann als die Magnetisirungsfunction eines
Ringes, welcher durch eine constante, seiner Axe parallelen
Kraft magnetisirt wird. Ganz ebenso geetaltet sich aber
auch die Losung fiir einen unendlich langen Cylinder, welcher
der Wirkung einer constanten, seiner Axe parallelen Kraft
unterworfen wird. Die Function h kann also ebenso gut als
Magnetisirungsfunktion eines solchen Cylinders definirt
werden. Bus dieser Magnetisirungsfunction h des unendlich
langen Cylinders kann die Magnetisirungsfunction des Ellipsoides in folgender Weise abgeleitet werden. Im Innern des
Cj-linders schneiden wir ein Ellipsoid von der Einheit des
E. Rieche.
489
V o h n e n s aus, dessen Axenrichtungen durch 7. y. z bezeichnet
werden mogen. Das gesammte in diesem Ellipsoid inducirte
Moment ist dann m = R.J und die Richtung desselben fiillt
mit der Richtung der auf den Cylinder wirkenden M t zusammen. Sind A, B. r die Componenten des Momentes IR
nach den Richtungen x, J. I, ferner a,6, c die Componenten
van-f nach denselben Richtungen, so ist:
A=k.a. B=k.b. r=k.c.
Auf das Innere des Ellipsoides wirkt die &aft f, ausserdem
aber die Belegung des Hohlraumes! aelcher entsteht, aenn
man sich das Ellipsoid aus dem Innern des Cylinders herausgenommen denkt. F u r die Componenten der auf das
Ellipsoid wirkenden magnetisirenden Kraft ergeben sich somit die Werthe:
A=a+M.I.
U=b+KB.
C=c+Pr.
Schreiben wir die Gleichung fur di'e inducirten Momente
in der Form:
A = -k ( 10 ++ kX 3. \II
- *
so erhalten wir :
und hieraus ergibt sich die Magnetisirungsfunction des Ellipsoides mit Hiilfe der Formel:
.
--
m - 1 A_' + ~B' i
_I;
_ I"_
- I/* 4-B' +
ct
.
In dem fiir die experimentelle Untersuchung besonders
geeigneten Falle , in welchem die magnetisirende Kraft zusammenallt mit einer der Axen des Ellipsoides , beispielsweise mit der r-Axe. ergibt sich ftir die Magnetisirungsfunction der Werth:
y =
I' =
k
Die yon dim Axenverhililtniss abhhgende Constante P hat
fiir den Fall der Kugel den Werth 4 n , in dem Fall einer
unendlich gosaen :-Axe, d. h. fnr den nnendlich langen
C-linder den Werth Null, in dem Fall einer unendlich kleinen
=-Axe. d. h. fdr eine unendlich dnnne Scheibe den Werth 4 3 .
fi. Rieckr.
490
Die experimentellen Untersuchungen sind in der 3lehrzahl gerichtet auf die Bestimmung der Jlagnetisirungsfunction k durch Beobachtung an Ringen oder gestreckteii
cylindrischen Staben. Abgesehen von gewissen Abweichungen,
welche fur den vorliegenden Zweck ohne Bedeutung sind,
kann nach diesen Untersuchungen die Function k in ihrer
Abhilngigkeit von dem in der Volumeneinheit inducirten
Moment m dargestellt werden durcli eine pnrabolische Cnrve
mit geneigter Axe. *)
Bestimmt wird dieselbe durch den Werth ko, welchen
die Function fur ein verschwindendes nr besitzt, durch den
Xaximalwerth von k, den fur k = 0 eintretenden Jlaximnlmerth von m und endlich durch die Neigung des durch den
hochsten Punkt der Psrabel hindurchgehenden conjugirten
Durchmessers. Die numerischen Werthe von k sind bei
gleichem Werthe cles Argumentes m fur verschiedene Eisensorten ausserordentlich verschieden, sodass beispielsweise
der Xaximalwerth von k zwischen 80 iind 400 schwankt.
Daraus folgt, dnss die verschiedenen Eisenstucken zugehiirenden ~lagnetisirungsfunctionenk in der Zeichenebene einen
breiten Streifen bedecken, derart, dass ,jede innerhalb dieses
Streifens verlaufende parabolische Curve als ein moglicher
Werth der Nagnetisirungsfunction zu betrachten ist. Aus
djesem Resultat ergibt sich nun eine gewisse Schwierigkeit
fiir die Prufung der Poisson’schen Theorie. Es kann nlimlich der Fall eintreten, dass fur ein bestimmtes Ellipsoid
die aus den Beobachtungen sich ergebende Function y innerhalb des von den Functionen k bedeckten Flachenstreifens
liegt. Wenn wir dann aus y die entsprechenden Werthe
von k berechnen, und die Function k liegt wieder i n n e r h l b
jenes Streifens, so wird dieses Resultat allerdings in Uebereinstimmung mit der Theorie sich befinden; ein unzweideutiger Beweis ihrer Richtigkeit wird aber nicht gewonnen
sein, da die Beobachtungen eine wesentliche. Venchiedenheit
der Functionen R und y uberhaupt nicht erkennen liessen.
Damit die Prlffung der Poisson’schen Theorie eine vollkom1)
Vgl. die Figur in Wid. Galv. 2. p. 127.
S Riecke.
40 1
men sichere ist, miissen demnirch die Ellipsoide. tlereli
Nagnetisirungsfunction bestimiiit werden sol1 so gewiililt
werden, dnss die Werthe von 7 in keinem Fall in das Gebiet der Magnetisirungsfunction k hineinfallen. Inwieweit
diese Bedingung erfullt ist , wird in jedem speciellen Fall
besonders geprUft werden kiinnen wenn hie Eigenschaften
der Function R filr die angewnndte Eisensorte bekannt sind.
Ganz allgemein ergibt sicli Folgendes. Der Yaximalwertli.
welchen k fur ein beliebiges Eisenellipsoid besitzen kann, ist
400; clie Werthe von 7 werden jedenfalls ausserhall) des von
den Functionen R bedeckten Gebietea liegen, wenn wir festsetLen, class der Maximdwertli yon ;' kleiner seiii sol1 als
der kleinste Werth, welchen k erreicblien k m n , 11. h. klciner
nli SO; es ergiht sich soniit:
TV 0I'tI 11'i
P > 0,01
und
<iO,
vorausgesetzt, class das Ellipsoid ein verlangertes Rotationzellipsoid mit den Hauptaxen c uncl (1.
Es scliliesst sich hierrin noch die Frage, welche Dimensionen einem Ellipsoid ZU geben sind, damit seine Mngnetisirunqsfunction 7 mit k a13 iibereinstimmend betrachtet werden kann. Allqemein ist:
1
Setzen wir k = 300,
yo
wird :
1
+p *
Lassen wir zwischen den Werthen von y und k eine Differenz
von 2 Proc. zu, so muss:
;' = l ) , i i j
P < O,OOi)l,
dSIJ
> 900
sein. Fiir R = 20 wird derselbe Grad von Uebereinstimmuncr
erreicht mit C I11 > 260.
Die vorliegenden experiinentellen Arbeiten konnen hiernach in drei Gruppen geschieclen werden.
E. RiecRe.
492
1. Versuche mit Ringen zur Bestimmung von R. (Die
Versuche von Stoletow, R o w l a n d und Bauer.)
2. Versuche mit Ellipsoiden zur Priifung der Theorie.
{ F r o mme’8 Bestimmung der Magnetisirungfunction vou
Eugeln; die von F r o m m e und von mir mit Ellipsoiden ausgehlhrten Untersuchungen; Beobachtungen von A. L. Holz.)
3. Versuche mit Ellipsoiden oder Cylindern von gestreckter Form, welche zwar zu einer unzweideutigen Priifung
der Theorie nicht geeignet sind, dagegen, die Richtigkeit der
letzteren vorausgesetzt, wohl brauchbar zur Berechnung der
Magnetisirungsfunction R. (Versuche von Q u i n t u s I c i l i u s
und Oberbeck).
IV. W e r t h e der Msgnetisirungsfunctionen 7 und k filr kleiiie
maguetisirende Kriifte.
Fiir eine Reihe von verlngerten Rotationsellipsoiden
hnbe ich im Jahre 1872 die Magnetisirungsfunction y bestimmt, und zwar n i t Anwendung der horizontalen und verticalen Componente des Erdmagnetismus rrls inducirender Kraft.
Die Resultnte silmmtlicher ausgefdhrter Messungen sind
im Folgenden zusammengestellt; es bezeichnen dabei yr die
Magnetisirungsfunction fdr die horizontale, yv die Magnetisirungsfunction fiir die verticale Componente des Erdmagnetismus, yo den Werth von y fdr eine verschwindende magnetisirende Kraft, d. h. fur m = 0. Die horizontale Intensitat
hatte zur Zeit der Beobachtungen den Werth 1,850, die
verticale den Werth 4,290.
Ellinsoid
Ax enverMtniss
I-
I
I
4:l
11
5:l
1,014
1,014
1,018
1,024
1,020
1,019
1,014
1,020 I
1,009 I
0,0025 1
1
i
I
1,326
1,319
1,344
1,340
1,339
1,342
1,322 1
1,341 1
1,308 I
0,0057I
111
I
IV
6:l
I
7:l
I v I
I
I
VII
8:l I 1 1 : l 112,5:1
2,888
:$;!
:gi
1
2,873
1,728 I 2,106 2,923
1,726 I 2.100 ’ 2,921
1,720 2,095 2,924
1,718 2,095 1 2,930
1,677 I-____2,049 I 2,880
1,723 I 2,099 1 2,925
1,643 2,016 I 2,855
0,0109 - 0 , % ) m i 6
1
VI
1
3,557 4,274
3,560 4,275
3,685 4,450
3,686 4,463
3,664 4,429
3,671 4,440
I 3,559 I 4,275
3,676 I 4,448
I 3,T74 I 4,162
I 0,0128 1 0,0142
1
I
E. Hiecke.
493
yo ist berechnet mit Hiilfe der Eormel:
Y = Y o 4-urn,
wo m wie friiher das in der Volumeneinheit inducirte Moment bezeichnet. Dass die Magnetisirungsfunctionen 7 der
verschiedenen Ellipsoide zunehmen mit wachsender magnetisirender Kraft, ergibt sich in unzweideutiger Weise aus der
Betrachtung aller beobachteten Werthe. Da aber die Function
k mit 7 durch die Formel zusammenhsngt:
k=
1-Py'
so iibertriigt sich das Verhalten von y in verstiirktem Maasse
auf k. I c h habe daher in meiner friiheren Arbeit in Pogg.
Ann. das Resultat derselben in den Worten ausgesprochen:
, , D a s s d a s e e l b e V e r h a l t e n d e r F u n c t i o n k (die anhngliche Zunahme mit wachsender magnetisirender Kraft)
selbst bei h u n d e r t m a l kleinerem W e r t h des A r g u ments s t a t t f i n d e t , diirfte das einzige allgemeine '
R e s u l t a t sein, welches wir a u s den vorhergehenden
T a be1 1e n e n t n e h m e n k 6 n nen.''
In den angefdhrten Tabellen hatte ich die berechneten
Werthe von k zusltmmengestellt. Was die fiir k gegebenen
Zahlenwerthe anbelangt, so ergeben die einzelnen Bestimmungen bei den weniger gestreckten Ellipsoiden sehr abweichende Werthe, welche z. B. bei Ellipsoid I fiir K, zwischen
38 und 50 liegen. Auf den Grund dieser mangelhaften
Cebereinstimmung bin ich in meiner friiheren Arbeit nicht
eingegangen, halte es aber jetzt fiir nothwendig, diesen Umstand einer etwas eingehenderen Betrachtung zu unterwerfen.
E s wird dadurch einmal die Bedeutung der friiher fiir R mitgetheilten Werthe sichergestellt werden, andererseite ergeben
sich gewisse Bemerkungen, welche far die Priifung der
Theorie durch Versuche mit Ellipsoiden von allgemeiner
Bedeutung sein diirften.
Z u r Bestimmnng von y wurde ein Erdinductor verwandt,
bestehend am einer 647mm langen LJpirale, welche um eine
horizontale und eine verticale Axe gedreht werden konnte.
Es ergab sich y aus der Vergleichung der Inductionsstr6me,
welche vom Erdmagnetismus in der Spirale allein inducirt
E. Hiecke.
494
wurdcn mit denjenigen. welclie auftraten. wenn in deiii
Innern der Spirale d a s zu untersuchende Ellipsoid hefestigt
w r . Zur Bestimiiiung von ;’ dient die Foriiiel:
1
- p
’.,- 4 . ,, .
)I,
..
;I
)I
._
F- I
)In
./.
sI -
(.)Im
+
3 . l(.i7
i)
’
-j
\
*
Hier sind 71, und 7 9 die iiiit dem Ellipwid und init cler
Spirale allein an einem Galvanometer heobachteten Scden;iusscliliige; F ist die von den Windunpen des Inductors
uinschlossene Flaclie. I * diis Volumen des Ellipsoids S eiiie
aus dem Axenverhaltniss und den Dimensionen der Spirale
zu 1)ereclinende Constante. Es ergiht sich leiclit, d i m nur
zwei Fehler in dem filr y gegebenen Ausdruck uberlinupt
von Becleutnng sein konnen. Namlicli einmal die Feliler der
,galv-anomet~rischgemessenen Ausschliige 11, und n,# und zweitens tlcr Feliler der Fliiclic I.: E s leuchtet ein: dass diese
heiden Fehler einen vollig verschiedenen Cliarnkter besitzen ;
Jer Fehler an I; wird je nacli seiner Iticlit.ung siimmtliclie y
in gleiclleiii L : t s s e vergrossern cider verkleinern ilir Verlinltniss ganz ungelndert lassen; der Pehler an den gnlvanonietrisch gemessenen Grossen dagegen wird ganz unregeliniissig auftreten. Mit Bezug 1iiera.uf erscheint es zweckmiissig. den Eintluss beider Feliler getrennt zii untersuchen.
Bezeiclinen wir durch 871, und dn,, den an n, und i t p
auftretenden Fehler. so ergiht sicli fur den nus Galranoinetermessungen entspringenden Fehler cler Ausdriick:
\vo zur Abkurzung gesetzt ist:
/I
-
,I
AT= 2-L.
a,,
Die iiiittleren Fehler dn, und 3nti lageu far alle Galvanorneterbeobacktungen nsch kleinsten Quadraten berechnet
vor; die hieraus far die einzelnen Ellipsoide sich ergebenden
Werthe von 6N / X sind in der folgenden Tabelle zusaimuengestellt :
E. Rieckt.
~-
~
~
Ellipeoid
_ _
Verticalcrmlb.
Hol.izl,iif:tlci)lnl,.
I
.
~
I
~
~
-
~
111
11
I 7<tiiTo,oo.l 0,002
!
0,OOfi
49.5
IlJJ(P2
Il,oO1
.
0,(w)1
Y
0,002
U,WH
O,W5
I\’
~
l-I
\“I
0,oo’l 0.1 H 12
O . ~ I I J ~ 0.1kI:i
Durch diesclben Zdilen sind dann such die Werthe
von 0 ; ’ ; ; ‘ gegehen. wenn 37 den Fehler von 7 bezeichnet.
welclier allein durcli die g:ilvanonietrisclie Messung verursaclit wird.
%u diesem Fehler kuiiimt nun hinzu der durch die Unsicherheit von F bedingte. Die Spirale, welche zu den Versuchen benutzt wurde, lag sclion fertig gewickelt vor? und
bei tler fiqheren Aufwindung cles Drahtes war eine Messung
der m r Berechnung von I; notliwendigen Griissen niclit vorgenonimen worden. Eine naclitriiglicli angestellte Messung,
welche aber immerhin nicht denselhen Grad von Genauigkht
geiviiliren k o n n t e , wie eine bei der Construction selljst ausqefiillrte, erg:tb die.jenigen Ahniessungen welch? in der
friiheren hbhandlung mitgetheilt sind. Liisst man bei der
Messung des inneren und ausseren Durchmessers der Spirale
bei eineni Gesammtbetrag von 45,9, bezw. 60.7 mm einen
FelilPr von 0,15 mm zu, so ergibt sich d Fi F = 0,006. D;uu
koninit noch, dass die Kiisserste Windungslage eine vie1 peringere Anzahl von Windungen erithielt als die iihrigen und
weniger regelmassig gewickelt war. Mit Riicksicht iiuf diesen
LTnistnnd werden wir setzen :
Ellipsoid
1’crtic:dcomp.
I
0.969
1 I1
0,944
HIw i z o ~ ~ r n l qn7.i
~ ~ ~ ~ O,%R
~ .
’
111
-
0.9’26
o,n.i?
Iv I
0,Wl
0,923
I
~
v
1
VI
1‘11
0,852
~ _ _ _ _
0,‘Wi
O,S17
o,w
o,m n , w
- -
E. Riech.
496
Die Werthe von P;. liegen ftir alle Ellipsoide nahe
an 1, um so niiher, je weniger gestreckt dieselben sind;
Uberdies sind alle Werthe gr6sser far die Vertical- als fur
die Horizontalcomponente. Da nun die Function h bestimmt
wird durch die Gleichung:
A=
&y
so ergibt sich, dass ein kleiner Fehler an Py auf den
Werth von R vom allergrbssten Einfluss ist. W b e z. B. beim
ersten Ellipsoid Py um 1 Proc. zu klein, so wtirde der
Werth von R dadurch im Verhdltniss 3 :2 vergrbssert werden; derselbe Fehler an P;.wIirde bei Ellipsoid V I I .cine
Vergriisserung von R im Verhiiltniss 18 :17, bezw. 15 : 14 zur
Folge haben. Man sieht hieraus, dass die wenig gestreckten
Ellipsoide zur Berechnung von R sehr ungeeignet sind. Noch
vollstiindiger ergibt sich dies aus der folgenden Zusammenstellung der berechneten Werthe von h mit den Fehlern dk
~ _ _ _ _
I
'T
Verticalcomwnentc 1
Horizontalcomponente
-_
,' 1
k,
'
1
_
.
_
.
'
42
32
37
+18
+8 I + 6
d k l l -' l l
' -6
1 -6
1,s
23
kl
Jk
+2
+ll
+4
- 7
-3
-2
Jk
f- 7 *1,5 f0,5
28 1 20
18
+ 6 I +2
1,s
-5 j -2
-1,5
l,o
*4,5 i *115
*
+
*
'
+
1,5
-1,5
0,5
18
+1
-1
rt 0,3
*
+1,5
1,5
~
22
+1
-1
*0,2
18
+1
-1
0,5
16
0.5
-0;5
*0,3
* l,o *
23
+1,5
-1,5
*1,0
+
30
c2
-2
*0,5
23
+1
-1
f 0,5
20
+1
-1
f0,b
Hierbei ist zu beachten, dass bei den Fehlern Ah Uberall
entweder das positive oder das negative Vorzeichen zu nehmen ist. Wollen wir die vorhergehenden Werthe benutzen,
urn auch h als Function des in der Volumeneinheit inducirten Magnetismus In danuetellen, so werden bei der
grossen Unsicherheit, mit welcher noch bei dem dritten der
benutzten Ellipsoide der Werth von R behaftet ist, zu dieeem
Zwecke nur die Ellipsoide I V bis V I I zu verwenden sein.
Setzen wir:
R = R, , 9 m ,
+
E. Riecke.
497
so ergeben sich die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Werthe:
3 ;:
Ellipsoid
I
IV
I
’
V
~
~
VI
VTI
22
15
18
23
30
1s
0’4.3
0’63
__ -~
‘11
1,3
0,5.5
Die fur A,, sich ergebeiiden Werthe sind um etwa 2 Einheiten kleiner als die in der vorhergehenden Tabelle enthaltenen aus yo berechneten.
In Uebereinstimmung mit der Annshme von R o w l a n d
und der Beobnchtung von B a u e r ergibt sich das Resultat,
dass die F u n c t i o n k f u r verschwindenden Magnetismus nicht verschwindet, sondern einen positiven
W e r t h b e s i t z t , w e l c h e r f u r d i e E l l i p s o i d e 11 b i s
\TI i n n e r h a l b d e r G r e n z e n 15 u n d 23 l i e g t , a l s o a b hiingig i s t von d e r specifischen N s t u r d e s Eisens.
Berechnet man die Beobachtungen von B a u e r nach der
im vorhergehenden angewrtndten Formel, so ergibt sich aus
seiner ersten Beobachtungsreihe mit Anwendung der drei
ersten Werthpaare:
k = 15,O + 0,49 m
BUS der zweiten mit demselben Ringe angestellten Beobachtungsreihe mit Benutzung der vier ersten Werthpaare:
k
= 15,s
+ 0,21 m
in Uebereinstimmung mit den in der obigen Tabelle enthaltenen Zahlen. Da nun die Beobachtungen von B a u e r auf
einen Ring, die von mir angestellten auf Ellipsoide von
kleiner Excentricitat sich beziehen, so liegt in dieser Uebereinstimmung ein hinreichender Beweis filr die Richtigkeit
der Poisson’schen Theorie. Zur Vergleichung der von B a u e r
und mir erhaltenen Reeultate werde noch hinzugefUgt, dass
die bei der Berechnung von y o , bem. A, in Frage kommenden Werthe von m bei mir zwischen den Grenzen 148 und
19,08, bei B a u e r zwischen den Grenzen 2,Ol und 46,72 eingeschlossen sind.
Ann. d. Phys. u. Cbem.
N. F. XI11.
3?
E. Rucke.
498
Ausser den im Vorhergehenden ausfiihrlich besprochenen Beobachtungen habe ich im Jahre 1870 eine Beobachtungsreihe mit der verticalen Componente des Erdmagnetismus allein ausgeflihrt. Die aus derselben sich ergebenden
Werthe von yo sind im Folgenden mit den im Jahre 1872
erhaltenen zusammengestellt :
___
Ellipid
1
I
0,969
1,020
ru 18i2
7 u 1870
1,053
'
I
I
-
-
I1
~
111
I IF'
_
_
1,282 1,646
1,341 1,723
1,046 1,046
I
,
I
1'
_
1v1 I VII
-
4,027 2,832 3,607 4,31S
2,099 2,925 1 3,656 14,448
1,035 1,034
Was die Temperaturverhaltnisse anbelangt , so war im
Jahre 1870 bei den Beobachtungen mit den Ellipsoiden I
bis I V die Temperatur constant gleich 19O; bei den Beobachtungen mit V bis V I I gleich 24O. I m Jahre 1872 dagegen war die Temperatur bei allen Beobachtungen nahezu
constant gleich 2OU. Die zwischen den Beobachtungen yon
18iO und 1872 bestehenden DiEerenzen sind jedenfalls griisser
als die Fehler der Beobachtungen, welche das Verhilltniss
y. 1372/;., 1870 nur um O,5Oji0 veriindern konnten.
Eine Veranderung in der magnetischen S a t u r der Eisenstiicke im Verlauf der zwischen den Beobachtungen liegenden zwei Jahre ist also nicht zu bezweifeln.
Fur die entsprechenden Werthe von k ergibt sich die
folgende Tabelle.
Die Vergleichung der far die Ellipsoide I, 11 und 111
gefundenen Werthe macht es sehr wahrscheinlich, daes der
bei d e n Ellipsoiden mit demselben Zeichen auftretende
Fehler dk negativ zu nehmen, d. h. dass der gemessene
Werth des yon den Windungen der Spirale umschlossenen
E. Riecke.
499
Fliicheninhaltes zu gross ist. Mit Rlicksicht hierauf ist in
der obigen Tabelle der constante Theil dea Fehlers durchweg
mit negativem Zeichen versehen worden. Leider ist der Inductor spaterhin einer Iteparatur unterworfen worden, sodass
eine rollstilndige U'ebereinstimmung der gegenwilrtig von
demselben umschlossenen Windungsfliche mit der bei der
Ausflihrung der obigen Versuche vorhandenen nicht erwartet
merden kann. Aus diesem Grunde wurde von einer suf galvanischem Wege vorzunehmenden Neubestimmung des F l b h e n inhaltes Abstand genommen.
I-. E r s e t z u u g des i n d u c i r t e n Magnetismus durcli c i n e i d e a l e
V t>rt 11 e il II 11g g a 1 van i s ch e r S t r 6 me.
Bezeichnen wir wie frliher mit F das Potential der gegebenen magnetisirenden Kriifte. mit Q, das inducirte Potential, so gelten fur die nn irgend einer Stelle x. ?/. :des
betrnchteten Korpers in der Volumeneinheit inducirten mngnetischen BIornente die Forineln :
u = - A k - - a, ( F + Q,)
I5 a
,?= - k
v - + Q,)
.*- - A a -__-.
a:
8 ( F + Q,,
-
a!
--*
/ -
W i r construiren die Flilchen constanten Potentiales:
I;+ Q,= const.
und greifen aus der ganzen Schar derselben zwei aufeinanderfolgende Fliichen F + Qi und E + Q: heraus, welche die
Oberflache des Kiirpers in zaei Curven constanten Potentiales n und n' durchschneiden. Grenzen wir in der zwischen
den Potentialflbhen liegenden Scheibe ein Volumenelement
yon cylindrischer Gestalt ab, dessen Mantellinien Kraftlinien
des Potentiales F + Qi sind, so ist das in diesem Elemente
iiiducirte magnetische Moment gieich:
n-enn d w den Querschnitt d l die Lbnge des Elementes bezeichnet. Wir kannen dieses magnetische Moment ersetzen
durch ein galvanisches, indem wir den cjlindrischen Mantel
32 *
500
E. Rieche.
des Volumenelementes zum Trager eines galvanischen Strome6 machen, dessen Stirrke nach magnetischem Maasse bestimmt wird durch die Gleichung:
w+
QJ
-dldw,
iclw = - k---
at
.
woraus:
i = h ( ( F + Q i ) - ( F +Q:)).
Dieselbe Betrachtung gilt far jedes andere Volumenelement, welches in derselben Weise aus der zwischen den
beiden Potentialfltichen liegenden Scheibe herausgeschnitten
wird. Wenn man also diese gnnze Scheibe in lauter einzelne Volumenelemente zerlegt, so kann der in jedem derselben inducirte Magnetismus ersetzt werden durch einen nuf
der cylindrischen Mantelfliliche verlaufenden Strom von der
Stirke i ; da diese StromsWke iiberall dieselbe ist, so zerstaren sich alle im Inneren der Scheibe verlaufenden Stromtheile, und es bleiben nur die an der Lusseren Obedliche
des Korpers rerlaufenden iibrig, welche sich zu einem einzigen in dem durch z und R’ begrenzten Streifen die Oberflache des Korpers umziehenden Strome zusammensetzen.
Dieser Strom, dessen Stiirke gleich:
h ( ( J ’ + Qi) - ( F + Qi’)]
ist, ersetzt die magnetische Wirkung der von den Curven
n und n’ begrenzten Korperscheibe fiir alle ausserhalb derselben gelegenen Punkte. Dieselbe Ersetzung gilt aber auch
bei den iibrigen Scheiben, in welche der Korper durch das
System der Potentialfliichen zerlegt wird, und wir erhdten
daher den Satz.
D e r i n einem beliebigen Korp’er d u r c h e i n gegebenes Potential F inducirte Magnetismus kann i n
s e i n e r W i r k u n g a u f iiussere P u n k t e e r s e t z t werd e n d u r c h e i n S y s t e m von galvanischen S t r a m e n ,
welches seine OberflBche umzieht. D i e B a h n e n d i e s e r
S t r o m e s i n d b e s t i m m t d u r c h d i e L i n i e n , i n welchen
d i e P o t e n t i a l f l g c h e n F + Q i d i e Oberflgche d e s K o r p e r s d u r c h s c h n e i d e n ; d i e Stiirke d e s i n dem I n t e r vall zweier b e n a c h b a r t e r P o t e n t i a l l i n i e n fliessend e n S t r o m e s ist n a c h magnetischem M a a s s e g l e i c h
E. Rieche.
50 1
d e r Xagnetisirungsfunction k multiplicirt mit d e r
Differenz d e r jenen beiden Linien entsprechenden
Potentialwerthe.
Die Wirkungen des in einem gegebenen Kbrper inducirten Magnetismus sind vollstllnh beatimmt, wenn die der
inneren Vertheilung entsprechende Oberfllichenbelegung gegeben ist. Daraus folgt, dass auch das mit jener Vertheilung aquivalente System galvanischer Strbme aus dem Potential Q der Oberflilchenbelegung allein abgeleitet werden
kann. Diese Bemerkung fUhrt zu einer etwas anderen Behandlung der vorhergehenden Aufgabe, welche deshalb von
Bedeutung ist, weil sie sich ganz in derselben Weise auf
permanente N a q e t e in Anwendung bringen lasgt.
Das Potential F der Pusseren KriLfte hilngt mit d e n
Potential Q der Oberfliichenbelegung zusammen durch die
Gleichung :
+a%\ -aQ)*
aE =- 1
1 an, a n , j all,
Fiihren wir eine neue Function (I, ein. welche an der
Oberflilche des Korpers der Gleichung:
6
4nk
a@,
dn,
=-.w,
an,
im Inneren desselben der Gleichung:
d@,=O
genugt, so wird:
Qi =
-
1
-J
4n
( Q +~ mi)
Ti a.___da.
a ni
Es erscheint also Qi als das Potential einer ObeABchenbelegung, deren Dichte gegeben ist durch:
Construiren wir die Potentialfliichen Qi+ @i= const., so
werden wir dieselben Betrachtungen wiederholen kdnnen:
welche wir im Vorhergehenden mit Bezug a d das Potential
F + Q angestellt haben. Nur wird das a d ein Volumenelement dl dw kommende magnetische Moment jetzt darzustellen sein durch:
E. Rieckc.
502
1 a(Qi + @pi)
__-is
ai
dldw.
Bezeichnen wir mieder durch x und n' zwei aufeinanderfolgende Linien constanten Potentiales an der OberflLche
des Karpers, so ergibt sich fnr die Stgrke des zwischen denselben verlaufenden galvanischen Stromes der Werth:
welcher sich von dem frUher gefundenen im wesentlichen nur
dadurch nnterscheidet, dass - fn an die Stelle von k getreten ist.
Wenden wir diese Betrachtungen an auf den Fall einer
Kugel, welche durch eine in der Richtung der z-Axe wirkende constante Kraft magnetisirt wird, so haben wir:
wo
u = 4zaS gleich
dem Volumen der Kugel.
Somit:
oder, wenn wir unter sp den Polabstand des Punktes, auf
welchen das Potential sich bezieht, nnter r seinen Radius
vector verstehen:
F + Q i = - - l + ) n k * r cossp.
Die Gleichung der auf der Oberflache der Kugel verlaufenden Curven constanten Potentiales ist:
d. h. diese Cnrven sind Parallelkreise; fnr die Starke des in
dem Intervall zweier aufeinander folgenden Kreise 9 und
y + d q circulirenden Stromes ergibt sich der Werth:
Was die Anwendung der zweiten im Vorhergehenden
angegebenen Methode zur Bestimmung der Lquivalenten
Oberflichenstriime anbelangt, so ergibt sich RmHchst:
..=--..-f n k C
aQll
aiaa
1+jnk
z
a'
E. Riucke.
Qi
503
4nkC
+ mi= Wk.
a cosy.
Fur die Stiirke des zwiechen zwei aufeinanderfolgenden
Potentiallinien circulirenden Stromes ergibt sich wieder der
Werth:
1
la {(Qa'
- (62, "J) = k c asinrpdrp.
Die letztere A r t der Berechnung ist, wie wir schon bemerkt haben, auch anwendbar auf permanente Magnete; wir
konnen dieselbe benutzen, um d a s j e n i g e S y s t e m v o n g a l v a n i s c h e n S t r o m e n zu b e s t i m m e n , w e l c h e s a n d e r
Oberflllche d e r E r d e circulirend den Magnetismus
d e r E r d e in allen a u f den umgebenden R a u m a u s g e u b t e n W i r k u n g e n zu e r s e t z e n i m S t a n d e ist.
Bezeichnen wir das Potential der idealen Vertheilung
des Erdmagnetismus durch Q, so ist f i r Punkte des llusseren
Raumes :
j
a3p"
a4p"'
"t')
&,=I~\;P
+
).J
+T+-'.)'
far Punkte im Inneren:
aenn T der Radius vector des Punktes, auf welchen das
Potential sich bezieht, a der Halbmesser der Erde. Somit:
aQ,
__
ana
=
=
da :
aQa
_ _ fir
at
r=a
- 2 P - 3 P" - 4Y"'-.. .,
so ist:
Die Gleichung der Linien constanten Potentialee an der
ObeAHche der Erde, d. h. die Gleichung der Stramungslinien ist demnach:
E. Riecke.
504
Qi
+
@i =: a
13 P'
+ 1P" + 5 P"' + . I .
1 .
...
Die Functionen P , P",P"'
sind Kugelfunctionen
erster, zweiter, dritter . . Ordnung mit Bezug auf die geographische Liinge
und die Poldistanz 9 eines an der
Oberflilche der Erde gelegenen Punktes. Es kann also P.11
dargestellt werden in der Form:
Pn)
= gnoC;'
.qIIlc; h I l 1 8;'
.
+
J
I
+
+
+ gn2C'; + q + *..
+ 9." Cz + hnn S : :
h"2
C; = sin" I? 9; (cos 8)cos m 9,
S; = sinm 9.9; (cos I!+) sin m q ,
9: (cos 9.) = cos I!+"-" - n - 2m. .? nn --m1 - 1 cos t')a--tn--8
+ n - nc. n - m - 1 . n - m -- 2 . n - m - 3 co$ a n - m - 4
wo :
-+
2.4.218-
1.2i8-3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Xehmen wir auf der Erdoberflache zwei benachbarte
Punkte n und a', welche auf zwei verschiedenen Potentiallinien n und m' gelegen sind, so wird die S t k k e des zwischen
diesen Potentiallinien circulirenden Stromes gegeben sein
1
477
-{(Qi'+
durch :
@i')
-(Qi
+
mi)].
Die Potentiale Qi und (bi sind Functionen von 9 und 'v.
Nehmen wir an, die beiden Punkte a und a' hatten dieselbe
geographische Liinge y , aber verschiedene Poldistanzen 9.
und 1 ? + d 8 , so wird:
Qi'+
Qi+
@i'=
@i+--*
a ( q + mi)
a4
da,
somit die Intensitat des zwischen n und n' verlaufenden
Wiihlen wir auf der Curve n' einen Punkt a" umgekehrt
so, dass er mit a dieselbe Poldistanz, aber eine andere- Lange
besitzt, so ergibt sich fur die Starke des Stromes zwischen
n und m' der Werth:
E. Riecke.
506
Bezeichpen wir den Winkel, unter welchem die Stromungscurve 'im Punkte (2 den Meridian durchschneidet, durch
u, so'ist:
sin$.dv
t g a = ~d8
oder da:
O d S = Wdiu,
tgu=-T
8 .sin ,!t
Beispielsweise moge der Werth der Stromstgrke und die
Richtung der Strijmung fur denjenigen Punkt der Erdoberflache berechnet werden, in welchem der Aequator von dem
Meridian von Greenwich durchschnitten wird.
Fur up = 0 und 9 = 90° ergibt sich:
oder mit Benutzung der yon E r m a n und P e t e r s e n l e rechneten Werthe der Gauss'schen Constanten :
Somit nach absolutem Maasse :
0 = 4333. lo8, W = 1512. lo',
u = 70' 46'.
Die Stromstiirke ist gegeben durch O d 4 ; besitzt der
zwischen den Potentiallinien n und a' liegende Streifen in
der Richtung des Meridians eine Breite yon 10oO mm, so ist:
und es ergibt sich die Starke des in diesem Streifen circulirenden Stromes zu 680 Einheiten des magnetischen Strommaassea.
Fur den Pol, d. h. fur 4 = 0 und w = 0 wird:
Woraus:
(9 = 101.lo6,
C(
= 7'28'.
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