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Beitrge zur Stabilitt elektrischer Stromkreise insbesondere von Wechselstromkreisen.

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419
Beitrage x w Stabilitat elektipischer Stromkreise
h s b e s o n d e r e vow Wechselslromkreisen
Vow J. J. B o m m e i *
(Mit 22 Figuren)
I. Der einhche Wechselstromkreis
5 I. Die Verhiiltnisse beim Gleichetromkreis
Ober die Stabilitiit elektrischer Gleichstromkreise liegt
neben einer Reihe von Einzelschriften eine eingehende Untersuehung von H. B u s c h z ) vor.
Die iibliche Behandlung der Stabilitatsfrage ist in diesen1
Fnlle folgende : Wir denken uns irgendein beliebiges elektrisches System, das von einer Gleichspannnngsquelle gespeist
wird, die Spannungsqnelle selbst liefere eine Spannung, die mit
Clem Strom veranderlich sei. Es gilt also fiir die Spnnnungsquelle
(1)
EL{= E’(I).
Die Stromspannungsgleichung oder die C’harakteristik des
Systems sei in der Form gegeben:
(2)
E =.f(I).
Dann ist durch
(3)
Ea= E
irgenclejn Gleichgewichtszustand bestimmt.
Wir betracliten nun irgendeine Abweichung von diesein
Gleicligewichtszustand, wobei wir nnnehmen wollen, daB sicli
Ea uin d E a ,E m i A E und I urn A I iindern niiige.
1) Dissertation der Technischen Hochschule Miinchen.
2) H. B u s c h , Stabilitiit, Labilitat und Pendelungen in der Elektrotechnik, Leipzig, S. Hirzel 1913. Vergleiche in diesern Zusammenhangc
ferner die kiirzlich erschienene Arbeit von K. S t e i m e l , Jahrb. d. drahtl.
Tel. 36. S. 161. 1930.
38 *
J . J. Sowmer
420
Fur den neuen Zustand des Systems, das als Bapazitatsfrei
angenommen werden moge, gelte dann die folgende Gleichung :
(4)
Ea + d Ea = E
dAI
+ A E + L-----.
dd
Das letzte Glied in G1. (4)tragt der Indnktivitiit des Kreises,
die man nicht vernachlassigen darf l), Rechnung.
Un ter der Voraussetzung, daB die Abweicllungen sehr klein
sind, konnen wir E und En entwickeln, d. h. es w i d :
bzw.
A E = - dd LE
d l
und man erhiilt in erster Naherung:
wo I< die Iutegrationskonstante ist.
Die Bedingung dafiir, daW unsere anfaugliche Gleichgewichtslage eine stabile ist, ist nun die, claB die angenominene
Abweichung im Laufe der Zeit wieder verschwindet. Hiermit
erhalten wir als Stabilitatsbedingung:
JVir erhalten also das bekannte Stabilitatskriterium, das
Stussagt, daW bei einer steigenden (‘harakteristilc des Systems
die Neigung derselben groWer sein mu6 als die der Charakteristik der Spannungsyuelle. 1st dagegen die C!harakteristik des
Systeiiis fallend, also
dE
__
dI
<0,
so muB fiir einen stabilen
Zustand die Charakteristik der Spanuungsquelle iiocli starker
fallend sein als die des Systems.
PJirnmt man die Spannung der Spaunungsquelle nls lronstant
d 3, = 0 , so erlialten wir unmittelhar nus der
an, d. h. ist ~(1 I
obigen Bedingung das K a u f n i a n n sche 2, Stabilit&tskriteriuni:
1) H. B u s c h , a. a. O., S. 6.
3) W. K a u f m a n n , Ann. d. Phys. 2. S. 158. 1900.
Beitrage
ZUT
Stabilitat eleklrischer Xirotnkreise usw.
421
cl. h. das System ist stabil, wenn seine Charakteristik steigt
uncl labil, wenn sie fallt.
An der oben abgeleiteten Methocle zur Stabilitatsuntersnchung fallt auf, dalj die zunkchst eingefuhrte und fiir die
Spannungsbilanz von GI. (4) notwendige Selbstinduktion im
SchluDresultat herausfallt. Betrachtet man die Xethode genauer, so sieht inan, da8 sie uns mehr als eine Stabilitiitsbeclingung liefert. Sie gibt uns auch AufschluB uber die
Geschmindigkeit, mit der das System von der gestorten Lage
in seine Susgangslage zuriickkehrt (Gl. (5)). Fiir diese Geschwindiglieit ist aber die Selbstinduktion maggebend; sie ist
grolj, menn die Selbstinduktion klein ist und umgekehrt.
Xan kann dem eben nbgeleiteten Resultat noch folgende
phgsikalische Deutung geben. Multipliziert man G1. (7) mit A I
uncl ersetzt man
d I
dE
A I durch A E a u n d 2T. d I durcli AWE,
so tritt an Stelle von G1. (7):
(9)
A E - AE,> 0
~ZW.
AEa- A E
<0.
Handelt es sich also urn eine steigende Charakteristik und
besteht die Storung in einer Stromzunahme ( A 1 > 0), so he&
das: L)er Stromkreis ist stabil, wenn die Spannungsquelle nicht
imstande ist, die durch die Stromiinderung bedingte Erhiihung
der Spannung aufrechtzuerhalten. Uer Strom und damit die
Spannung am Kreis miissen automatisch sinken.
Entsprechendes gilt fur A I < 0 und ebenso fur fallende
Charakteristik.
Physikalisch noch einleuchtender gestaltet sich dies Hesultat,
wenn wir die G1. (4) noch mit dem Strom multiplizieren. Dann
erhnlten wir im Falle des Gleichstroms die Leistungen:
N=EI
(10)
bzw.
No=Ea.l.
F u r eine Storung A I ergibt sich d a m :
ill) A N
=E
A I + I AE
bzw.
ANa= EaAI +I d E n
und die Ungleichung (9) lautet in diesem Falle:
J . J . Sommer
42 2
Nimmt man wieder steigencle Charakteristik und Stroinerhohung
durch die Stiirung ( A I > 0) a n , so bedeutet dies, da clann:
A N - A ATa> 0, der Kreis inuW stabil sein, d. 11. die Storung
mul3 automatisch zuruckgehen, wenn die Spannungsquelle nicht
ausreicht, urn die fur den gestorten Strom notwendige Leistung
zu liefern.
2. Wechselstromkreia. Leistungabedingung
Bei TJ'echselstromkreisen ist von vornherein zu erwarten.
daM die Stiirungsreclinung (S. 419ff.\ auf Schwierigkeiten stol3en
wird, da der ungestorte Strom und die ungestorte Spannung
nicht wie bei GIeichstroin zeitlich konstant, soudern irgendw elche E'unktionen der Zeit sind.
Es liegt deshalb nahe, die Leistungsbeclingung , die
physikalisch bei Kechselstromkreisen genau so gelten mu13
wie bei Gleichstromkreisen, anzuwenden, d. 11. es inuB nucli
hier gelten:
(121
ANa-AN<O.
Nun ist:
n. A N = E I c o s y E' A @ cosy) + I c o s y * A E ,
(13) N a + A X a = R a e I cos + E a A( I cos 0") + I cos
* AEa.
{
+
.
+
Die Bedingung oben lautet dann:
(9 a \ I A E cos y - I A E acos y
>0
bzw. A E - A E a > 0 .
Hierbei ist y der Phasenwinkel l) und cos y wird als Punlition
von I eincleutig bestimmt. Man erhaiit also:
Da cos ';p bzw. I cos y niemals negativ werden kann, - es
11-iirde das heiMen, daW die Spannungsquelle dauerncl Energie
aufnimmt, was unmoglich ist - so folgt hieraus die gleiche
Stabilititsbedingung wie bei Gleichstromkreisen.
Dabei ist zu heachten , daB bei eineni Wechselstromkreis
bestimmter Frequeiiz die Kreisspannung als Funktion des Stroms
gegeben ist. Dagegen ist bei einer TTechselstrommaschine die
1) 9 ist hier der Phasenwinkel zwischen Strom und der Maschinenspannung.
Beitrage Zur S'tabilitat elektris cher Strorn kreise usw. 42 3
Spannung Ea als Funktion des Stromes I nicht bestimmt,
sondern von dem Phasenwinkel y aldi%ngig, z. B. ganz anders
bei kapazit,iver als bei induktiver Belastung. Es ist also die
Spannung der Maschine Eo fur die verschiedenen Werte von I
und fur denjenigen Phasenwinkel, den der Stromkreis bei
diesem 1 besitzt, zugrunde zu legen.
Die Beziehung sol1 nun angewandt n-erden auf eine
Maschine, deren Spannung nicht merklich vom Strom abhiingt,
d Ea = 0 unrl auf einen Stromkreis, der aus einem
d. h. __
d I
J
..
.
..
.
.
.___..
~.
Schaltungsschema
des einfachen
Wechselstromkreises
Stromspannungscharakteristik
eines Wechselstromkreises
mit Eisenkernspule
Fig. 1
Fig. 2
linearen Leiter, dessen Spannnng also proportional dem Strome
ist E,= Z .I , und einem irgendwie stroniabh&ngigen Leiter
besteht, dessen Spannung durch E, = j(.I) gegeben sein moge
(Fig. 1). Dann ist
(14)
E
= 1/E,2+
~
_
E,2+ 2 El E,cos cpl,
_
wobei y1 den Phasenwinkel bedeutet zwischen den Spannungen
dE
El und E, cler beiden Leiter. Das Stabilitatskriterium dl
>0
lautet in diesem Falle:
Diese Stabilitatsbedingung ist ganz unabhangig ron der Art
der Abhiingigkeit des stromveranderlichen Leiters. Sie gilt
424
J. J. Sominer
also in gleicher Weise fur eiii System init einein stroniveranderlichen 0 hni schen Widerstand, z. B. einein Lichtbogen
mie auch fiir ein System niit einer stroniveranderlichen Drossel,
z. B. einer Drossel mit Eisenkern. In allen Fiillen kommt man
auf die oben abgeleitete Stabilitatsbedingung, die man in der
m'eise deuten mnB, daB die C:harakteristik der EffektivaTerte
des Systems E =f(I)
steigend sein inu€i1) Hiermit kann man
auch die bei einem solchen System mit Eisendrossel bekannten
Labilitiiten der Spriinge der Effektivmerte erklaren, da die
Charakteristik des Systems bekanntlich fallende Teile besitzen
kann (Fig. a), die d a m SnlaB zu den Labilitiitserscheinungen
geben.
Die in1 vorhergehenden Abschnitt allgemein gevonnenen
Resultate sollen noch kurz an ein paai- Bpezialfiillen veranschaulicht werden.
Beispiel 1. Der \x~ecliselstroinkr.eis etithalte als linearen
Leiter eine eisenfreie Induktivitat, deren Induktanz vie1 grijBer
ist als der Kiderstand, also E , = L w I nnd als stromabhangigen
_ _
Leiter einen Liclitbogen, dessen Spannung durch E, =E,
5 gegeben sei. Die
Schaltung und das
Spannnngsdiagramm zeigt
Fig. 3. Hierhei ist
angenommen, daB
Fig. 3
der
Lichtbogenstrom die Phase y B = 0 gegen die Lichtbogenspannnng hesitzt. Dann erhalt man fiir die gesaiiite Spannung des Systeins
yz;
E =
+ L2w,I2
und fiir das Stabilitiitskriterium ergiht sich in ausfiihrlicher
Schreibweise:
(15 a)
1) Wegen seiner Analogie sol1 das in dieser Form ausgesprocliene
nnd in der Ungleichung (15) angegebene Stabilitatskriterium im folgenden
Beitrage zur Stabilitat elektrischer Stromkreise usw. 425
Reispiel 2. Andert man die Schaltuiig von Beispiel 1
dahin ab, dab man an Stelle cler eisenfreieii Incluktivitat eine
Kapazitat in den Kreis
schaltet (Fig. 4), so erhalt
chen Weise
inan ininit
der glei-
E
c.w * I
=-- I
1
fur die Gesamtspannung E :
E=
“,a%V
Fig. 4
i--EX+=
I2
nnd hiermit fiir ilas Stabilitiitskriterium:
*
I*
I n dieseni Falle miril also
die Iiapazifatsreaktanz ausschlaggebend fiir die Stabilitat des Systems. Um dies
Ergebnis auch experimentell
ZLI priifen, wurde die Ciiarakteristik der Effektivwerte
eines Lichtbogenkreises aufgenommen, der nur aus einem
Bogen bestand, der einmal
mit einer Kapazitat in Reihe
geschaltet war und das
andere Ma1 mit einer gleich
groBen Induktivitat, d.h. die
Induktanz und Reaktanz in
bezug auf die Grundschwingung waren einander gleich.
Das Ergebnis zeigt Fig. 5.
Reiile werden ungefahr bei
b
I
(75
I +
lo
Stromspannungscharakteristik
eines Lichtbogenkreises
mit reiner Induktivitat
nnd mit reiner Kapazitat
Fig. 5
immer als K a u f m a n n s c h e Bedingung bezeichnet werden, obwohl die
K a u f i n a n n schen Uberlegungen sich nur auf Gleichstromverhaltnisse
bezogen, also hier nicht mehr anwendbar sind.
J . J . Sommer
42 6
derselben Spannung (etwa 100Volt) labil. DaB bei dieser und
auch allen ancleren Spaunungen der Strom im Falle der
Kapazitat groWer ist riihrt von den starken Oherschwingungen
her, fur die die Kapazitat des Kreises praktiscli einen selir
kleinen Widerstand bildet. I n der Tat zeigen die Oszillo-
Zeitlicher Stromverlauf
eines Lichtbogenkreises
rnit reiner Kapazitiit
Fig. 6
Zeitlicher Stromverlauf
eines Lichtbogenkreises
init reiner Tnduktivitiit
Fig. 7
grainme Nr. 6 uud 7 , daB im Falle der Kapazitat der Lichtbogenstrom wesentlich Terzerrter ist als der im Falle einer
Induktivitiit.
Beispif.1,?. d l s letztes Beispiel sol1 hier noch ein TT’echselstromsj-stem behandelt m erden, das als linearen Leiter eisenfreie Drossel , Kapazitat und Ohmschen Riderstand in Reihe
geschaltet enthiilt uucl als strumver5iuclerliclien Leiter eiue
Eisendrossel.’) Denlren mir uns die Spannung an der Eisenclrossel durch E,, = Lew I gegeben, wo L, ( I ) nach S c h u n c k Z e n n e c k 2 ) der vom Ktrome abhkngige wirksame Selbstincluktionskoeffizient cler Eisenkernspule ist, so erhalt man fiir
die Gesamtspannung E :
uiicl damit f u r das Stabilitiitsliriteriuin :
11/..
{!I.4- L,) 0 -
-I
1
CW
________-
t15d)
f ( ( Lf I+) f!J
1
Iw
___.ad LT
- -.
1
- -}C W
z
1) 0. M a r t i e n s s e n , 1’hys.Ztschr. 11. S. 448. 1910; weitereLiteratur
rgl. S c h u n c k - Z e n n e c k , Jahrb. d. drahtl. Tel. 19. S. 170. 1922.
2) S c h u n c k - Z e n n e c k , a. a. 0.
Beitrage
3 3.
xir
,5Yabilifat elektrischer Stromkrcisr
Einfache Kreise.
USM.
427
Storungsrechnungen
Znr Kontrolle der hier gewonnenen Ergebnisse wollen wir
jetzt die einfachen Wechselstromkreise aucli nach der ersten
Methode der Storungsrechnung behandeln und zwar fiir den
Fall, daB wir nur einen stroinahhlingigen Leiter ini Kreise
haben. Wir betrachten zwei Falle: 1. als stroniabhangiger
Leiter liegt eine veranderliche Induktivitat (Eisendrosseli iin
Kreise; 2. des Wechselstromsystem entlialt einen stromveriinilerlichen 0 hmschen Widerstand (Lichtbogen).
FaZl 1. Der lineare Leiter des Systems lsestehe aus eiuer
eisenfreien lnduktiritat L, einem 0 h m schen TTiclerstaod R und
einer Knpazitiit C. Die Bpannung aiii stroiilabhiingigen Leiter e,
sei in cler F o m gegeben:
a a_( i_) .a i
e = a cf, (i)
(16)
2
at
di
dt
Hiermit erhalt man fiir die Bpannungsgleichung:
Fiir eine Stroiniinderung di. die durcli eine Storung herrorgerafen w i d , ergibt sich uiiter Vernachlassigung der GriiBen
kleiii von zweiter Ordnuug '):
Wir inaclien nun die Snnahnie, daB iiinn @(i) in folgende
Fourierreihe entwickeln kann:
TJnter Zugrundelegung des D r e y f u Bschen Bnsatzes fiir die
Siittigung cler Eisendrossel kann iiian hekanntlich leicht cliese
Fourierreihe ableiten.
In Fallen, in denen diese Ent~vieklungnicht iiiiiglicIi ist
(Hysteresis), wo 2. R. das Glied init cos o t iiicht verscli~indet,
hat man clam die Retrachtung, wie spater angegehen mird.
durchzufiihren.
1) E. J. R o u t h , Stability of a given estate of motion, London 1877.
2) Schunck-Zenneck,8. a. 0. u. a.
J . J . Somiiier
425
Unter der Voranssetzung, daM die Reihe schnell konvergiert, I&iiien wir hier in erster dnnaherung schreiben:
(19a)
@'$) = do4 d2 GOS 3 w t .
Die Koeffizienten -4, und A , sind hierhei unabhiingig von der
Zeit. Sie konnen aber irgendwelche Funktionen der Amplitude i,
des M'echselstromes sein bzw. der Effektivwerte. &lit diesem
Ansatz fiir (b'(4) erhiilt man fiir die Storungsgleichung, indem
iiian
(20)
(1 e
=U
tl i
setzt .
i
I
+
{ ( L A,)
+ d, cos 2w t ]
t12
Ai
+ f R - 4 w A , sin 2ci)tj-(1dAt i
+ {* 4 . ~ ~ cos
~ 4 2,w t A i = 0 .
1
--
Diese DiEerentialgleichung kann inan nach Lord R a y 1e i g h I )
niit Hilfe eines Fourierreihenansatzes losen. Cnter der Annahme, daW die Reihe rasch lionvergiert, kann nian dann als
erste Naherung der Losung als Differentialgleichung ansetzen:
(21)
d i = c6atsin(wt-y).
Xit diesem Ansatz erhalt man unter Vernachlassigung der
Glieder mit sin 3 w t cos 3 w t negen der Konvergenz und incleni
inan alle Glieder mit sin wf und cos w f getrennt fur sich
Null setzt:
Der hiiiplitudenfaktor c fallt hierliei heraus und die Amplitude
bleiht unbestjimint, n'as aber fiir nnsere Stabilitatsbetrachtung
ohne Belang ist. Fiir clie Stabilitiit des Systems ist der Exponent cz niafigebend iiiit seinein Vorzejchen. 1st a! reel1 und
1) Lord R a y l e i g h , Phil. AIag. 15. S. 329. 1883 u. 24. S. 145. 1687.
Beitruge
ZUT
S‘tabilitat ebktrischer Sfromkrcise uszo. 429
positiv, so wachst E~ mit der Zeit uncl vird beliebig groD, d. 11.
das System ist labil. 1st dagegen cc reel1 und negativ, so verschwindet die Storung init der Zeit. 1st endlicli u imaginar
oder komplex, so konimt es, wie schon bereits Lord Rayl e i g h , R o u t h u. a.I) gezeigt haben, nur auf das Vorzeichen
des reellen Teiles an. Der imagiuare Teil andert nur die
Frequenz und gefahrdet nicht die Stabilitiit des Systems. Aus
den beiden obigen Gleichungen ergibt sich fiir u:
Die Bedingung dafiir, daB alle reellen und die reellen Teile
der komplexen Wurzeln dieser Gleichung negativ sind lautet
nach R o u t h und H u r w i t z 2 ) :
Von diesen vier Bedingungen sind die erste und dritte imnier
erfullt, weil der Koeffizient do als Mittelwert des Selbstindnktionskoeffizienten iiber eine Periode (GI. 19a) stets positic sein
muB, ebenso wie die GroBen L, R,C. Ferner limn man zeigen,
claB auch die zweite Bedingnng immer erfullt sein muB. Die
oben angenoininene Fourierentwicklung (Gl. 19a) entspricht in
unserem Beispiel bekanntlich folgender Funktion:
@‘ (i) =
a
1 + x2 iO2
sin2 w t
~~
~
’ wo
a,x = const.
1) Lord R a y l e i g h , a. a. O.,’-Routh, a. a. O., H. B u s c h , a.a.O.,
s. 39ff.
2) R o u t h , a. a. O., H u r w i t z , Mathem. Ann. 46. S. 273. 1895.
J . J . Sommr
430
Herechnet nian iiiit Hilfe dieser E'unktion die Koeffizienten A,
uncl A , , so 1&6t sich leicht zeigen, da8 der Quotient
niemals
> 1 xerden
kann, ocler: A, &
y4 .
Es ist also nur die vierte Bedingung
Diese liaun man aber in cler Form schreiben:
2 4
entscheidend.
nobei inan m 2 als einen stets positiven Fmktor fortlaBt. Wie
bereits in einer Arbeit ron H. R i x i t e r - G u n t h e r l ) gezeigt
worclen ist, liann iiian fiir A,
+ ='2I
den nach S c h u n c k - Z e n -
n e c k clefinierten Incluktionslioeffidenten LL der stromveriinderlichen Drossel einsetzen. (1st niimlich Lt mi, cos o .t die Grundschwingung der Xpannung an der stroniveranderliclien Spule
unter der Voraussetmng sinnsfiirrriigen Wecliselstronies - also
i = i, sin m t , so hat man:
tl i
( 2 7 ) e,, = L e w i o cos wf = ( r l , + i l z cos 3 w t ) i cos w f =@'(I&.
at
Setzt nian den Wert ron O ( i ) in die obige Gleicliung ein (27),
so ergibt sich das oben liingeschriebene Eesultat.)
Jn clerselben T e i s e liann man nun auch zeigen, claD:
(381
ist. Denn sclireibt man die Spannnng am stromverihclerlichen
Leiter in der Form:
(7 eD
d i,
.i,
sin w t unter cler Voraussetznng
sinusfiirmigen M~echselstromesi
11 eD
rl i,
i, sin
c1)
t = @' (io)
i, sin o t
= i,
=
sin rr, f , so erhiilt man:
(A, + A, cos 2~ t ) .i, sin w t .
Hieraus folgt dann dns oben angeschriebene Resnltat (G1. 2s).
1) H. W i n t e r - G i i n t h e r , Jahrb d. drahtl. Tcl. 34. S. 41. 1939;
Y c h u n c k - Z e n n e c k , a. a. 0.
Beiiruge xur Stabilitat elektrischer Xtrornkreise usw.
43 1
Unter Beiiutzung dieser Beziehungen (Gl. 27 und GI. 28)
kann man nun die Stabilitatsbedingung (G1. 2 6 ) in der Forni
schreiben:
Man sieht, daW diese Bedingung identisch ist riiit cler fur dasselbe Beispiel auf S. 426 in anderer M'eise abgeleiteten (Gl. 15cl)
_ _ - bis auf clen E'aktor 1/ El2 + X2, der die Impedanz des Kreises
bedeutet, also stets positiv ist und deshalb fiir die StabilitLtsbedingung unwesentlich wird. Hiermit wird aber die obige
Bedingung identisch mit dem aus den Energiebetrachtungell
sicli ergebenclen Kaufrriannscherr Kriterium.
Es mag bei der obigen hbleitung des Stabilitiitskriteriunis
auf den ersten Blick hin befremdlich erscheinen, daB man fur
den Exponenten cc eine Bestimmungsgleichung roin vierten
Grade erhalt. Es hat danach den Anschein, als ob man entsprecherid den vier Wurzeln der Gleichung vier partikulare Integrale fiir unsere I)i~erentialgleichungerhielte , Iyalirend sich das
allgemeine Integral tIltsliclilicli nur am zwei partikularen zusammensetxt. In der Tat ist der vierte Grad der Bestirnmungsgleichung ftir a nuch nur sclieinbar. Wie schon Rayl e i g h l ) gezeigt hat, mussen die m'urzeln von u die Eigenscliaft haben, daW iiian wieder TVurxeln von cc erhalt, wenn
man die imaginiren Teile van u uni ganzzahlige Vielfxhe
der E'requenx vermehrt. Mit Hilfe dieser Bedingungen kann
man clann den Grad der Gleichung fiir CL um xnei erniedrigen,
eine Operation, die nber in1 vorliegenden F'alle ziemlich kompliziert wird.
Full '3. T i r betrachten nun das folgende Reispiel: Der
stromabliiingige Leiter bestelie aus einem viirialolen 0 h m schen
Widertsand, z. B. einem Lichtbogen. Die Spannung an deni1) Lord R a y l e i g h , a.
a.
0.
J . J . Sommer
432
selben sei durch e2 = e, gegeben. Der lineare Leiter enthalte konstante Induktivitat, Kapazitat uncl Olimschen Widerstand. D a m lautet die Spannungsgleichung in dieseiii Fall:
Fur eine Stromanderung d i ergibt sich die Storungsgleichung
tl e
mit der Annaliine = 0 zu:
di
Hierbei bedeutet eh den Widerstand cles Liclitbogens zu
jedem Zeitpunkt. Tl’ir gehen nun wieder so vor, daB wir f u r
die Spannung am stTomahhiingigen
%
Leiter eine Fonrierreihe ansetden.
Die Art der Fourierreihe h8ngt hierbei von der Form ab, die die Stromsrannungscli,2r:tkteristik des Leiters
i besitzt.
Wir wollen in unserem vorliegenden Falle R ~ SCharakteristik cles
stroinabhlngigen Leiters die %7echselstroincharakteristik eines Lichtbogens
in der Form von Fig. 8 annehmen,
Schematische Wechselstrom-indein wir clabei die Hysterese des
charakteristik eines elektri- B~~~~~vernachllssigen.
Fig. 9 zeigt
schen Lichtbogens
den monientanen Widerstand
Fig. 8
eh
a el?
= __
ai
in Abhangigkeit QOU i, wie inan sie leicht aus Fig. 8 heraus
graphisch ableiten liann. Dann ergibt sich fur e i (f) als
periodisclie aber nicht sinusformige Funlrtion der Zeit:
(32)
Es fragt sich nun, ob auch liier das Glied A1 cos ot wie im
Fall 1 verschwindet. TTie man leicht zeigen kann, ist das
jedenfalls dann der Pall, wenn e; folgende Bedingung erfullt:
eb (f) = e; (n - t ) .
(33)
Beitrage xur Stabilitat elektrischer St.r.omkreise usw. 433
V i e man sich leicht an Hand der Figg. 8 und 9 iiberlegen
kann, ist diese Bedingung stets dann erfiillt, wenn man den
Lichtbogen als hysteresefrei ansehen kann. Fig. 10 zeigt zur
Bestatigung dessen ek in Bbhangigkeit von t. Aber auch
dann, wenn der Lichtbogen eine Hysterese besitzt, wird man
Abhangigkeit des momentanen
deB
Widerstandes eB = 7
Abhangigkeit des momentanen
von i
von der Zeit t
I
I
Widerstandes eg =
~
Cl
i
Fig. 10
Fig. 9
cos wt bzw. A,, als TerhaltnismaBig
immer noch das Glied
kleine GroBe rnit guter Annaiherung vernachlassigen konnen.
Auf Grund dieser Uberlegungen erhalten wir fur e& in
erster Naherung:
eh = A o + A , cos 2 w t
(34)
und hierinit ergibt sich fur die Storungsgleichung:
d2 A i
L-+
d t'( R + A , + A ,
+ (+-
dAi
cos2rsf)t
2 w ~ sin
, 2wt
Zur Losung dieser Differentialgleichung niachen Fir mieder in
erster Naherung den Ansatz:
di = C . P $ sin(wt - 9).
(21)
Man erhalt d a m in der gleichen Weise wie in Fall 1 unter
Vernachlassigung der mit cos 3 CI) t und sin 3 w t multiplizierteu
Glieder folgende Bestimmnngsgleichung fur u :
Annalen der Physik. 5. Folge. 9.
29
J . J . 8ommer
434
(36)
I
I
L 2 a 4+ 2 L ( R + 4 )a3
- 0
+ (2L;( + d L )+ ( R + A,)2 - $ A 4
c2
+ +R + A,) (A+ d L ) }
+
{(A a , q +
-
2
( R + Ao)Z m2 - A
Lc w z ) = 0 .
4
Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Stabilitatsliedingungen :
1. 2 L ( R +A,)
>0,
2. 2 L ( B + A 0 ) { L ( ; +w?L)+(R+AJ2-$J
>0,
(37)
Die vierte Bedingung kann m m dabei wieder in folgencler
Form schreiben:
\va :
BB = A,
(39 a)
- -4
2
und:
d R, i
= do
di
(3913)
d
+8
2
gesetzt worden ist. RB kijnnte man hierbei dann in Analogie
zur verhderlichen Selbstinduktion als wirksamen Widerstand
hezeichen. Im iibrigen lassen sich die G1. (39a) und (39b)
i n derselben JTeise ableiten, wie das bei den entsprechenden
Beziehungen iin Falle 1 geschehen ist. Man hat nur als
Grundschwingung der Spannung an dem veranderlichen Widerstand anzusetzen:
(39C)
en
=
i = (A,
+ A , cos 2 w f) i, sin
01
t.
Beitriige
XUT
Stubilitat elektrischer Stronakreise usw.
435
Der auf cliese Keise berechnete wirksame Widerstand R B
kann nun, wie man leiclit einsieht, niemals negativ werden.
Es miirde das heitlen, daB das System unter der Voraussetzung
sinusformiger Spannung dauernd Leistung abgibt, was unmoglich ist.
Hieraus kann man schlieBen, ciaB dauernd A,
>
2
sein mu0.
Xacht man fur eB folgende dnnahmen unter Zugrnndelegnng von Fig. 8:
eB = k i
I
(40)
I c,--+m
n
fiir
O s i s a ,
fur
n r i s b ,
so ergibt sic11 fur die analytische Form yon ek:
(40a)
I
m
m
22
ioLsinxw t
eB=k
eg=--;-=:---
1 '
eB=
k
fiir
O s t
fiir
f,
stl,
stst,,
fur f,(=lsft,.
Unter diesen dnnahmen kann man nun die Fourierkoeffizienten
A, und A, unseres Ansatzes fur e;: berechnen. Man erhalt:
Eine Abschiitzung der beiden Koeffizienten zeigt aber, datl
A '
i d oI > ,i1 +
- 1
1.
Hieraus folgt aber, daR die obige TTngleichung
nnr dann erfiillt werden lcann, wenn stets A , > 0 ist.
Nit diesem Resultat sieht nian aber sofort, daB von den
vier Htabilitatsbedingungen [GI. (3711 stets die ersten drei erfiillt sind. Vergleicht man nun die vierte Stabilitatsbedingung
in der Form von G1. (35b) S. 434 mit der irn Beispiel 3 S. 426
aufgestellten, so sieht man, daB sie identisch ist mit dem
Kaufmannschen Kriterium bis auf den stets positiven Faktor:
436
J. J . Sommer
SchlieBlich sol1 zu dem oben behandelten Fall eines rerBnderlichen 0 hiii schen Widerstandes noch gesagt merden, clat),
wenn die GroBe e(n nicht in der angegebeneii Forni in eine
Fourierreihe von 2w t entwickelt werden kann, so andert das
an sich nichts an dem ganzen Rechengang. 1st z. B. die Entwicklung nur nach w . t moglich, so hat nian dann nur als
Losung der Stijrungsgleichung anzusetzen:
(31a)
Die Rechnung verlauft genau so wie oben. Nur lassen sich
in diesem Falle die Stabilitatsbedingungen nicht so einfach
physikalisch in terpretieren, wie das oben geschehen ist.
Zusammenfassend kann als Resultat dieses Paragraphen
gesagt werden. da8 ein der Kau fm an n sch e n Bedingung entsprechendes Kriterium allgemein fiir einfache Wechselstromkreise gultig ist.
11. Verzweigte Wecthselstromkreise
§ 1. Verzweigte Gleichetromkreiee
Wir wollen nun eine weitere Gruppe von Beispielen auf
ihre Stabilitat hin untersuchen und zwar sollen verzweigte
Stromkreise betrachtet werden, wie sie in dem schon genannten
Buch von H. B u s c h l ) behandelt worden sind. Wir wollen
hier die Betrachtungen auf Wechselstromkreise ausdehnen und
werden zunachst kurz einiges von den Untersuchungen von
H. B u s c h wiederholen.
Wir betrachten folgendes Gleichstromsystem. das in
Fig. 13a wiedergegeben ist. Allgemein gesprochen besteht es
aus Oleichstromquelle, einem linearen Leiter und einer Stromverzweigung, die miteinander in Reihe geschaltet sind. Die
Stromverzweigung selbst besteht aus zwei Asten. Der eine ist
ein h e a r e r Leiter , wahrend der andere ein stromveranderliches @lied enthalt. Fur das System gelten folgencle Gleichungen :
(-11)
I=I,+Iz,
Ea = R 1 + EB = E
1) H. B u s c h , a. a. O., S. 23ff.
+ E,,
Beitrage zur Stabilitat elektrischer Stromkreise uszo.
437
e2 sei die Spannung an dem stromveranderlichen Leiter der
Verzweigung, der z. B. ein elektrischer Lichtbogen sei.
W e H. B u s c h schon gezeigt hat, ist es hier nicht zulassig, das System als Ganzes zu behandeln. Wir haben hier ein
System mit zwei Freiheitsgraden und miissen dementsprechend
die beiden Kreise fiir sich untersuchen. Bei der Anwendung
der Stijrungsrechnung (S. 419 f.) nehmen wir an, daB durch eine
Storung im Kreise 1 der Strom I , urn A l l und im Kreise
2 I , urn A I , geiindert worden sei. Dann lauten die Spannungsgleichungen mit I = I , + I , nnd A I = A irl + A I,:
Diese Annahmen fuhren, wie B u s c h gezeigt hat, auf die beiden
Stabilitktsbedingungen:
(43)
I
Wie H. B u s c h weiter nachgewiesen hat, lassen sich diese
beiden Bedingungen in die folgenden drei aufspalten:
Diese drei Bedingungen sind notwendig und hinreichend fiir
die Stabilitat des Systems. Hierbei ist die dritte Bedingung
identisch mit dem Iiaufmannschen Kriterium angewandt auf
die Gesamtcharakteristik des Systems.
438
J. J . Sommer
9 2.
Wechselatrom
I n analoger F e i s e wollen wir die Stahilitat folgenclen
Wechselstromsystems untersuchen, dessen scheniatisches Schaltbild Fig. 11 zeigt. Allgemein gesprochen ist es dasselbe
System, das H. B u s c h fur den Fall des Gleichstronibetriehes
behandelt hat (vgl. S. 436). I n analoger Weise besteht es aus
einer Spannungsquelle (hier natiirlich Wechselspannung), eineiii
linearen Leiter und einer Stromverzweigung, die i n Reihe geschaltet sind. Die Stromverzweigung bestehe wieder aus zwei
parallel geschalteten Leitern, von denen der eine linear u i d
der andere stromabhiingig
ist. TTir untersuchen hier
also auch wieder nur
solche Wechselstromsysteme, die nur ein
stromabhangiges Glied
enthalten. T i r betrachten auch hier zuniichst
den Fall, daB als stroinSchaltungsschema
veriiinderliches Glied eine
des verzweigten Wechselstromkreises
Selbstinduktion,
z. R.
Fig. 11
Eisendrossel im Kreise
liege. I m iibrigen wollen wir annehmeii, claB jecler Leiter
des Systems Selbstinduktion, Kapazitit und 0 h m schen TTiclerstand besitze.
Fig. 15a zeigt die ausfuhrliche Schaltung, wobei alle
GroBen L, C und R lronstant sind riiit dusnahme des Selbstinduktionskoeffizienten der Eisendrossel.
Die Spannungsgleichung lantet jetzt folgendermaBen:
Bei demjenigen Leiter, der die Eisendrossel eiithzlt, sind die
Eisenverluste cler Drossel mit deni Widerstand R zusninmen-
Beitrage xur Stubilitat elekfrischer Btromkreise usw. 439
gefaBt.
@&'
bedeutet hier wieder die Spanuung an der
dt
Hieraus erhiilt man init
stromveranilerlichen Drossel.
(45)
i = i,
+ i,
fur die Storungsgleichungen, wenn sich i, um A i , urtd i,
um d i , andern:
wobei @'(il) =
@(' )
d i,
und
~
de
=
di
o
gesetzt worden sind.
Eliminiert man A i , aus den beiden Gleichungen, so erhalt man fur di, :
Setzt man fur @'(il)
wieder in erster Ngherung:
(19.4
@' (i,)= A,
+ A , cos 3 w f ,
so erhalt man die Differentialgleichung:
J . J . Sommer
440
dS A i
+ k, cos 2 w t f + -'-.
( k , + k4 c o s 2 w t
d
+ k, sin 2 a t ] + d i, { k , + k , cos 2 0 t + k, sin Bat]
rl d i
++
Ik, + k,, cos 2 0 t + k,, sin 2 0 t i
cl? A i,
dt-(
(47 a)
1
tk,
t3
a2
+di{k,,+k,,cos
2wt+k,,sin2aitj = 0 ,
wo die Koeffizienten lc folgende Bedeutung haben:
+ + w,;
+
k, = (L, L)J, 7
kl =LL, (L,
k, = B l ( L 2 + L ) +r-L,(R,+R) -t(R,L+RL,); k,=(R,+R)i42,
k, = - SAzrfi(L,
+ L); k6 = Rl(R, + R ) -t c1, ( L , +L)
1
1
1
k , = - 2 2 w 2 J i l ( L i ? + L ) + A (-+%.);
G
k 10 = - 1 2 ~ ~ d , ( R , + R ) ,
1
k 1 1 = 3 2 w " A, (L2+ L)- 4 w d,(c;
li
12
=-+-(-+Ti,
1
1
1
1
c,c
k, =-6wA4,(R,+fi),
1
+ c)
;
c, c2
+
R).
k,, = 8 A, (€2,
Zur Liisung dieser Differentialgleichung machen wir mit Lord
R a y l e i g h wieder den Ansatz:
(21)
A i l = c ~ ~ sin' (wt
t
- TI.
Mit Hilfe dieses Ansatzes erhalt man unter Vernachlassigung
der Glieder mit cos 3 w t und sin 3 w t nnd unter Streichung
des Amplitudenfaktors c:
Beitruge zur Stabilitut elektrischer Stromkreise usw.
TVO
k7’= A ,
($+
ist.
441
Hieraus ergibt sich als Bestim-
mnngsgleichung fiir a:
Fiir eine Gleichung achten Grades yon der Form:
J . J . Soinmer
442
lauten bekanntlich die Bedingungen dafur, daB alle reellen
l17urzeln und die reellen Bestandteile cIer Iioniplexen
negativ sind:
1- a,
>0;
2.
I
6.
a21a3
“0%
a3 a5 a7 0 0
a0 a2 a4 a, a, 0
0 a, a3 a5 a, 0
0 a, u2 uga, a8
0 0 a, a3 a5 a,
0 0 a, agaG
I! > o ;
7.
a,
> 0;
a,a3 a5 a, 0 0 0
aoa2U 4 U 6 a* 0 0
0 a1 a3 a5 ai 0 0
0 a, a2 a,a, a, 0
0 0
a3 a, a7 0
0 0 a,a3 a4a, a8
0 0 0 a,a3 u5 u7
>0;
8. ae > 0 .
Setzt man fur die a die Koeffizienten unserer Bestimmungsgleichung ein, so erhiilt man die gesucliten Stabilitgtsberlingungen. Diese Gleichungen enthalten die tdlst6ndige Losuq
der dufgabe. Liegt ein bestimmtes System (Pig. 15 a) vor uncl
setzt man die Werte der Koeffizienten C, L, R usf. ein, so
lassen sich die Deterininanten ausrechnen und man kann ULIinittelbar angeben, ob das System fur die angenomineneu
M7erte von L, C, R ... stabil oder labil ist.
Anders liegen die VerhBltnisse, wenn man aus diesen
Bedingungen allgemeine Schlusse ziehen will; die meisten \-on
ihnen sind vie1 zu kompliziert, als da8 man daraus allgenieine Folgerungen ableiten konnte. Nur wenige derselben,
niimlich die l., 2. und 8. gestatten eine allgemeine Diskussion.
1) Auch hier ksnn der Grad der Bestimmungsgleichuiigen uni 3
vermindert werden mit Hilfe der Bedingung, daW die rein imaginaren
Teile der Wurzeln um ganexahlige Vielfache von w vermehrt wieder
Wurzeln der Gleichungen sein miissen.
Beitrage xur Stabiliiut elelitriseher &"tromkreise usw. 443
Davon sind die 1. uncl 2. stets erfullt. Entscheidend ist also
die 8. Bedingung, deren Erfiillnng eine notwendige, aber nicht
hinreichende Bedingung der Stabilitiit ist. Praktisch lieikit
das also, wenn Bedingung 8 nicht erfullt ist, so ist das
System sicher instabil. 1st sie erfiillt. so ist clamit die
Stabilitait noch nicht garantiert.
DaB Bedingung 1 und 2 imnier erfiillt sind, ergibt sich
in folgender Weise: Die 1. Bedingung lautet namlich in ausfiihrlicher Form
wobei man den Faktor 2 als stets positive Grokie streichen
kann. Man sieht sofort, daD diese Bedingung stets erfiillt ist,
d a alle GroBen positiv sind und wie oben (S. 430) auseinnnderA
gesetzt wurde, stets A,
angenomrnen werden kann.
I n gleicher Weise ergibt sich fur die 2. Stabilitatsbeclingung, die folgendermaBen lautete:
-+
a, a2 - a, a, > 0
in ausfiihrlicher Schreibweise :
(52)
Auch bier sieht man leicht ein, daM die Bedingung stets erfiillt ist, wenn man an Stelle der Koeffizienten k ihre ursprungliche Bedeutung setzt. Es zeigt sich dann, daB alle
Klainmersusdrucke immer groDer als Null sind.
Die Bedingung 8 lautet in ausftihdicher. Schreibweise:
I
+ 2 ~4 k , k,, - 2 m2 12, k,, .
J . J . Sonanber
444
Setzt man fiir die Koeffizienten k die entsprechenden
Ausdriicke ein nnd bezeichnet mit:
X=Lm---
unc1 S,= ~~m -
co
1
~
c2w ’
so erhalt niau:
1 a,
= ro*
{;F+~
I
2
)
A, w
1
- __
G0
2
A,”%
+I,)- __
4
I
d22d
I + 2 (Ss,+ R Iz,) . [(A, w - r)1 - 4
+ R,?]
II - ( S Z + (X,, + R,2)) > 0 ,
2
(1 0
Iz2)
vobei inan m4 als stets positiven Faktor streichen kann.
SchlieBlich kann man noch fur A ,
d
+2
und A,,-
d
2
3
(%)I
die bereits oben [GI. ( 2 i ) und
angegebenen physilialischen
Bedeutungen setzen und erhalt dainit:
(54a)
T’ntsachlich entspricht diese Bedingung der 4. [S. 429
(31. (34)] des einfachen Kreises. Das la& sich in folgender
Weise zeigen. Die Snordnung (Fig. 15a) geht in diejenige
des einfachen Kreises yon Fig. 1 uber, wenn man die Impedanz
cler Leitung L,, R 2 . .. sehr grorj werden 1aBt gegen diejenige
der anderen Leiter. In diesein Falle geht G1. (54a) uber in:
Beitrage zur S'tabilitat elektrischer Stromkreise usw.
415
(55)
- (32+ R?)[XZ2+ R,2) > 0 ,
wobei 1/C, mit 1/C zusammengefaBt worilen ist. Iliese letxte
Bedingung ist aber identisch mit derjenigen, die oben bei dem
einfachen Iireis mit veranderlicher Selbstinduktion abgeleitet
wurde und dem K a u f m a n n schen Kriterium fiir Gleichstromkreise entsprach.
Man darf daraus aber nicht etwa den SchluB ziehen, daB
aucli im Falle von verzweigten Kreisen die K a u f m a n n sche
Bedingung, auf die Gesamtcharakteristik angewendet , erfullt sein
muB, wie es B u s c h
(8. 137) fiir verzweigte
Gleichstromkreise gezeigt
I
,
hat. Tatsachlich kann
ein verzweigtes Wechselstromsystem stabil sein,
obmohl die X a u f m a n n sche Bedingung fur die
I*
Effektivwerte nicht erfiillt ist. Ein solches BeiEin stabiler Wechselstromkreis
spiel ist das von Fig. 12.9
niit fallender Charakteristik
C
?
J
"K
vP
Wie H. W i n t e r - G u n Fig. 13
t h e r bei seinen Versuchen gefunden hat, kann bei gewisser Abstimmung des
Sekundarkreises (namlich X , < 0 ) die Gesamtcharakteristik des
Systems die Form von Fig. 12b annehmen.9 (Fig. 1 2 c zeigt
noch die graphische Konstruktion der in Fig. 12b experiinentell
1) H. W i n t e r - G u n t h e r , Jahrb. d. drahtl. Telegr. 59. S. 103. 1937.
2) DaB dieses System eine fallende Gesamtcharakteristik haben
und trotzdem stabil sein muB, ubersieht man aus physikalischen Griinden
leicht. Unter der Voraussetzung, daB S = 0 und da8 R zu vernachliissigen sei, zerfallt namlich das verzweigte System in zwei einfache
Kreise, die jeder fur sich unbedingt stabil sind und iiberhaupt nicht
labil Tverden kijnnen.
446
J . J. Xomnzer
gewonnenen Gesai-ntcharakteristik aus den Einzelcharakteristiken
der beiclen Kreise.)
Es ist interessant zu untersuchen, wie sich die 8. Bedingung in diesem Falle verhalt. Wie sich schon aus Fig. 12a
ergibt, geht das van H. W i n t e r - G i i n t h e r untersuchte System
aus Clem oben betrachteten (Pig. 15a) durch die Spezialisierung
hervor :
s=o una R = O u n ~ -I --0 .
c;
Fiihrt man cliese Bedingung ein, so ergibt sich far die ahgeleitete Bedingung [Gl. (54a)l:
b y + R,2) ( L e o ,
dL,wi,
di,
+
K,2j
> 0.
Sie zerfiillt also gauz entsprechend den physikalischen Verhiiltnissen (vgl. Anm. 2 S. 445) in zwei voneinander unabhangigen Hedingungen. Alle beide sind aber immer erfiillt,
da samtliche in ihnen vorkommenden GroI3en entweder niemals.
negativ werden lionnen oder nur quadratisch auftreten, wie
z. B. S,. Die 8. Bedingung steht also nicht wie das K a u f m a n n sche Kriterium im Gegensatz zu den Ergebnissen der
Versuche. l)
I n ahnlicher Weise laWt sich der Fall behandeln, wenn
wir nun ein verzweigtes Wechselstrornsysteln haben, das einen
stromveranderlichen Widerstand enthalt. Man erhalt ganz entsprechende Ergebnisse, wie in dem oben behandelten Falle,
wenn man fur den veranderlichen Widerstancl wieder die Entwicklung von S. 432 [Gl. (32)] macht.
S 3. Pendelungen und Eigenerregung
Nach den experimentellen Untersuchungen 2, kann man
zwei Srten von Labilitatserscheinungen unterscheiden, menn
nian als stabilen Zustand den der elektromotorischen &aft
nach Amplitude und Frequenz entsprechenden Strom ansieht.
1) Betreffend eines weiteren Falles, wo die Gesamtcharakteristik
trotz Stabilitiit fallen wird, vgl. S. 451.
2) I<. H e e g a e r , Ztschr. f. Phys. 29. S. 91. 1924 u. 38. S. 85. 1926;
H. P l e n d l , F. S a m m e r u. J. Z e n n e c k , Jnhrb. d. drahtl. Telegr. 26.
S. 104. 1925; H. W i n t e r - G i i n t h e r , Jnhrb. d. drahtl. Telegr. 29. 8. 103.
1027 u. 34. S. 41. 1929.
Beitrage zur Stabiliiat elektrischer Xtromkreise usw.
447
Die erste Art von Lahilitkt stellt clam die Selbsterregung
yon Schwingungen dar, deren Prequenz in irgendeinem ganzzahligen Verhaltnis zur Frequenz der elektromotorischen &aft
steht. Die zmeite Art von Labilitiit betrifft die Selbsterregnng Ton Schwingungen deren Prequenz in keinem
rationalen Verhaltnis zur Maschinenfrequenz steht, aber in
ihrer Sahe liegt. Diese Schwingungen geben dann AnlaB zii
Pendelnngserscheinungen. Uberblickt man noch einmal den
ohen (8 2) angegebenen Rechengang, so war die Stijrung als
Liisung unserer Differentialgleichung [Gl. (4.111 nach R a y l e i g h
iminer in cler Form von GI. (21) di = e t a t sin (ot- y ) angenommen worden. Der weitere Rechengang beschaftigte sich
init der Diskussion des Iioeffizienten u und zwar kann man
ciabei zwei Falle unterscheiden:
1. u reell, 3. a komplex. Im ersten Falle heiBt das, daB
die Storung fur unser System eine Amplituden- und Phaseniinderung bedeutet, natiirlich fur den Fall, daB u > 0, d. h.
das System labil ist. Der zweite Fall bedeutet in dem Falle
der Labilitat, d. h. daB der reelle Teil von u positiv ist, daR
su der Amplituden- und Phasenhderung noch eine Frequenzinderuiig hinzutritt. I n der Tat kann man leicht zeigen, da6,
wenn inan zwei konjugiert komplexe U'erte von a hat:
ci = c1 + j b und E = a - j b man die Storung als Losung
nnserer Differentialgleichung in folgender Form schreihen kann:
wobei nur folgende Bedingung fur die Amplituden el und cz
erfiillt sein mutl:
Cp
Dieser Ansatz fur die Storung geht fur den Fall a = 0 in den
andern iiber, den H. W i n t e r - G i i n t h e r benutzt hat, um das
Einsetzen der Pendelungen anzugeben. I n der Tat bezeichnet
man init
w1 = o + b und mit w 2 = w - b
und nimmt man an, daB b im Vergleich zu o nur eine kleine
Gr6Re ist, so besagt der Ansatz [Gl. (21b)] nichts anderes, als
cia8 iin Falle der Lahilitat Schwingungen erregt werden mit
J . J. Sommer
448
den Frequenzen w1 und w2. Diese Frequenzen, die ganz in
der Nahe der Maschinenfrequenz liegen, sind aber durch die
Beziehung verbunden
w1 w 2 = 2 w ,
die K. H e e g n e r bereits aufgestellt hat.l)
I n bezug auf die Frage nach der Eigenerregung von
Schwingungen mit einem ganzzahligen Vielfachen der Grunclfrequenz der Maschine und die Pendelungen der Aiiiplituden
der Oberschwingungen der Mawhine sei auf die Arbeiten von
K. H e e g n e r und H. W i n t e r - G u n t h e r vemiesen.
+
8 4. Satz von der Vertausohung der elektromotorischen Kraft
Eine vie1 weitergehende Verallgemeinerung der bisher gewonnenen Resultate l& sich aber durch folgende Uberlegung
gewinnen. Es war bei der Behandlung der vorstehenden Beispiele imnier
de
=0
di
-
gesetzt worden, d. h. es war aiigenonimeii
worden, daB die elektromotorische Kraft der Maschiiie iiicht
stromabhnngig ist. Zu dieser Annahnie ist man ininier berechtigt, weiiii die Spannungsquelle so dimensioiiiert ist, dtlM ihre
Spaririung f u r die Belastung durch das aiigeschlosseiie System
konstant bleibt. - In diesem Falle hat sich nun gezeigt, daB
die elektromotorische &aft ganz aus den StabilitBtsbeciinguiigeii
verschwindet. Man kanii also aus den Stabilitatsbedjiignngeii
iiicht erseheii, in welcliem Zweige die Maschine sitzt, d. h. die
Stabilititsbediriguiigen gelten, gleichgultig , in welchem Zweig
die Maschine eingeschaltet ist. Hat man also die Stabilitiitsbetrachtung fur ein verzweigtes Wechselstromsystem durchgefiihrt
und die dazu gehorigen Stabilitatsbedingungeii gefuiiden, so
kann man durch Verleguiig der Maschine eiii neues Wechselstromsystem herstellen, fur das die gleichen Stabilitatsbediiigungeii
gelten. Wir mollen die Bedinguiig gleich an einigen Beispielen
noch deutlicher zu machen versuchen.
Wir betrachteii zuiiiichst das bereits obeii erwahnte S.436
von H. Busch behandelte Gleichstrombeispiel. Fig. 13 a gibt
clie Schaltuiig wieder, die dadurch gekeiinzeichnet ist, daR mit
der Maschine ein Widerstand R in Reihe und eiii aiderer R,
1) K. H e e g n e r , a. a. 0.
Beitrage xur Xtabilittit elektrischer ,Stromkreise usw.
2)
parallel zum Lichtbogen liegt.
Die
oben (S. 436ff.) bereits dnrchgef uhrten =
Betrachtungen lieferten uns die Storungsgleichung (47).
Unsere Stabilitatbetrachtungen fiihren
uns auf dieselbe Storungsgleichung (47),
wenn man auch entsprechende
Bezeichnurigen
anwendet, z. B. im Falle
Fig. 13 b , wo der Widerstand R, in Reihe mit der
Maschine und R parallel zum
Lichtbogen liegt. Ebenso erhalt man (Fig. 13c) dieselben
Stabilitatsbedingungen, wenn
man den Lichtbogen in Reihe
mit der Maschine die Widerstande R und R, parallel
schaltet. Pig. 14 zeigt, da8
trotz derselben Stabilitatsbedingungen die Charakteristiken der verschiedenen
Schaltungen ganz verschieden
sein konnen. Man sieht, daB
aber alle Schaltungen bei
derselben Stromstarke I labil
werden.
S l s zweites Beispiel
fiihren wir das schon oben
behandelte verzweigte Wechselstromsystem (S.438ff.) an,
dessen Schaltung in Fig. 15a
wiedergegeben ist. Dieselbe
Storungsgleichung und die-
Annalen der Physik. 5. Folge. 9.
449
6)
Cl
Fig. 13
Strornspannungscharakt eristiken
der Schaltungen (Figg. 13a-el
Fig. 1-1
30
J . J . Sommer
450
selben Stabilitatsbedingungen erhalt man auch fur die beiden
Wechselstromsysteme Figg. 15b und 1 5c bei entsprechenden
Bezeichnungen nnd beim gleichen Strom durch das stromabhangige Element (Eisendrossel). Von den beiden vorher
erwahnten neuen Schaltungen ist nun Fig. 15b von Interesse,
Fig. 15
weil sie bereits andererseits experimentell und theoretisch
1
Rie
untersucht worden ist fur den Spezialfall - = 0.
~-
~.
C
1) H. P l e n d l , F. S a m m e r u. J. Z e n n e c k , a. a. 0. u. H. W i n t e r G tin t h e r , a. a. 0. In Wirklichkeit waren es gekoppelte Kreise, von
der Form der Fig. 16, die sich aber nach dem anf S. 452 Gesagten auf
Fig. 15b zuruckfuhren lassen.
Schaltungsschema der Versuche von P l e n d l , Sarnmer und Z e n n e c l r
Fig. 16
Beitrage Bur Stabilitat elektrischer Slromkreise uszo. 451
H. P l e n d l und F. S a m m e r und J. Z e n n e c k gezeigt haben,
liegt hier ein Fall vor, in dem die Charakteristik des Gesamtsystems fallend sein kann und trotzdem Stabilitat herrscht.
Man kann sich also auch hier die &age vorlegen, ob
die oben S. 442 abgeleiteten und auch hier giiltigen Stabilitatsbedingungen insbesondere die 8. mit dern experimentellen Ergebnis im Einklang stehen. Betrachtet man die 8. Bedingung in der Form von G1. (54a), so sieht man, daB sie
1
sich fur die Spezialisierung - = 0 und sehr groBem L auf
CW
die Form reduziert :
da in diesem Falle die Glieder mit L2 bzw. X2 ausschlaggebend
werden. Mit den oben angegebenen Bedingungen fur die GroBe
yon A , und A , sieht man
6)
aber leicht ein,-da8 die Bedingung G1. (56) stets erfiillt1 - 1
I
(
ist. Die abgeleitete Bedingung
steht also nicht in TTTiderspruch mit den Versuchen.
SchlieBlich geben die
Figg. 17 a-c
Schaltungen
wieder, fur die die Stabilitatsbedingungen die gleichen
sind, wie fur den oben
(S. 416) erwaihnten Fall, daR
man ein System hat mit
&em veranderlichen 0 hmschen Widerstand unter der
Spezialisierung
Lll k3
I
1
R, = R, = L , = =0.
NQ
Fig. 17
c:
Anch hier hat man beim Vergleich denselben Strom durch
das strornabhingige Glied (hier also der Lichtbogen) zu nehmen.
Bezuglich des Platzaustausches der Maschine ist aber
noch folgender allgemeiner Gesichtspunkt zu beachten. ES
30 *
452
J . J . 9ommer
war stillschweigend vorausgesetzt u-orden, daW die Fourierentwicklung der Spannung am stromveranderlichen Gliede in
jeder Schaltungsabart dasselbe ergibt. Das ist aher nur dann
der Fall, wenn die Form des Stromes durch das stromveraiiderliche Glied bei den Umschaltungen unverandert bleibt. Wie
man z. B. an den Schaltungen (Fig. 17) leicht ubersieht, wird
der Strom durch das stromveranderliche Glied in den drei
Schaltungen ganz verschieden sein. Das Ergebnis wurde auch
experinientell bestiitigt.
Als AbschluW dieses Paragraphen sol1 noch kurz gezeigt
werden, wie man das K a u f m a n n s c h e Kriterium modifizieren
muB, um auch bei verzweigten Wechselstromkreisen mit nur
eirzem stromabhaingigen Glied zu einer immer richtigen Stabilitatsbedingung zu kommen. Es 1aDt sich nkmlich immer durch
ahnliche Umschaltungen , wie sie oben gegeben worden sind,
erreichen, daB das stromveriinderliche Glied der Schaltung in
Reihe mit einer Stromverzweigung liegt, die nur lineare Glieder
enthalt. Diese Wtromverzweigung lA3t sich dann durch ein
ebenfalls lineares einfaches Glied (lineare Impedanz) ersetzen,
so daB die ganze Schaltung in ein stromveranderliches Glied
plus einem linearen Glied umgeschrieben werden kann. Auf
diese TVeise kann man also aus dem verzweigten Wechselstromsystem ein einfaches machen, fiir das d a m , wie oben schon
gezeigt worden war, (5 2) das K a u f m a n n s c h e Kriterium eine
notwendige Stabilitatsbedingung bildet. Wie schon aus den
Betrachtungen von H. B u s c h uber verzweigte Gleichstromsysteme und wie sich schon aus den Uberlegungen auf S. 438ff.
bei den verzweigten Wechselstromsystemen ergibt, kann das
K a u f m a n n s c h e Kriterium allerdings hier keine hinreichende
Bedingung f u r die Stabilitat cles Systems sein.
Es ist in diesem Kapitel immer nur von verzweigten
Kreisen die Rede gewesen. D a fur den Fall h e a r e r Kopplungsglieder jedes gekoppelte System durch ein verzweigtes
ersetzt werden kann, so gelten die oben gewonnenen Resultate
in derselben Weise auch fur gekoppelte Kreise. Selbst in
den Fallen, wo man keine linearen Kopplungsglieder hat, kann
man noch in guter Naherung fiir die Rechnung gekoppelte
Kreise durch verzweigte ersetzen.
Beitrage xur Stabilitat elektrischer Stro?nkreise usw.
453
111. Stabilitlt und Labilittt der Momentanwerte
Wir haben uns his jetzt mit Stabilitatsfragen von Wechselstromkreisen beschaftigt , wobei wir nur die Effektirwerte betrachtet haben, unter Verzicht anf die Vorgange innerhalb
einer Periode. I n diesem hbschnitt sollen nun unter der
Voraussetzung, daB die Effektivwerte stabil sind, die Erscheinungen wahrend einer Periode studiert werden. DaR die
Frage nach den Vorgangen wiiihrend einer Periode einen Sinn
hat, geht schon aus der Arbeit von H. R u k o p und J. Z e n -
Fig. 18
nec k iiber den Lichtbogengenerator mit Wechselstromb&ieb
Zeitlicher Stromverlauf
hervor. ') Es ist dort gezeigt
eines Liehtbogenkreises mit
worden, d& cine geprisse Art a) reinem Ohmsehen Widerstand,
'On
Schwingungserregung durch F) reiner Induktivitiit,
c) mit Ohmschen Widerstand und
den zeitlichen Stromverlauf
Induktivit&t
bzw. durch die zeitliche AndeFig. 19
rung der Neigung der Stromd e'
de
spanniingscharakteristik - also durch - , wo e' = d i 3 geat
gegeben ist. Dieselbe Frage sollen auch die folgende Oszillogramme veranschaulichen. Fig. 18 zeigt die Schaltung des
Kreises, der untersucht wurde. Die Oszillogramme (Fig. 19a-c)
geben den Stromverlauf des Systems wieder fur den Fall,
da6 der Kreis nus Lichtbogen und reinem Ohmschen Widerstand oder aus Lichtbogen und reiner Induktiritat oder schlie8lich aus Lichtbogen, Ohmschen Widerstand und Induktivitat
besteht.
1) H. R u k o p u. J. Z e n n e c k , Ann. d. Phys. 44. S.97. 1911.
I
J . J . Sommer
454
Das Oszillogramm des Stromverlaufs bei reinem 0 h m schen Widerstand zeigt einmal, da8 der Strom durch den
Lichtbogen wahrend eines Teiles der Periode erlischt und
dann, daB der Strom nach der Loschpause sprungartig ansteigt. Zieht man zur weiteren Erklarung die Stromspannungscharakteristik des Kreises heran (Fig. 201, so sieht man, dab
der Betriebspunkt des Kreises ' wahrend der Periode teilweise eine
fallende, also eigentlich labile Charakteristik durchlaufen mu&
Der
Sprung in dem zeitlichen Stromverlauf entspricht nun gerade dem
labilen Teil der Stromspannungscharakteristik, da hier zu der durch
die Wechselspannung bedingten zeitlichen Stromaaderung noch die durch
Stromspannungscharakte- die Labilitat der Charakteristik beristik des Kreises (Fig. 18) dingte zeitliche Stromanderung hinzutritt. Wir kiinnen uns diese Frage
Fig. 20
noch an folgendem einfachen Gleichstromsystem (Fig. 21) verdeutlichen, das aus Lichtbogen, Widerstand und Drossel besteht. Fig. 22 zeigt die Charakteristik des
Fig. 21
Fig. 22
Systems, die ebenfalls aus einem labilen fallenden und stabilen
steigenden Teil besteht. Liefert die Spannungsquelle U eine
konstante Spannung E a , d. h. ist die Charakteristik der
Spannungsqnelle die Gerade Ed,so schneidet diese die Charakteristik des Systems in den labilen Gleichgewichtspunkt P, und
in dem stabilen Pz. Legt man also durch die Spannungsquelle U die Spannung E, an das System, so wird dieses vom
Beitrage xur Stabilitat elektrischer htromkreise usw. 455
labilen Punkt P, uber P, zum stabilen Betriebspunkt P, ubergehen. Aus der Spannungsgleichung des Systems:
E a = LdI
x+R1fEB
(57)
folgt:
(58)
d I
1
dt = T I E a - ( B I
+ Es)f,
wobei G1. (55) nichts anderes bedeutet als die Geschwindigkeit
mit der der Qbergang erfolgt. Die GroBe von En- (RI EB)
kann man nun sehr leicht aus der Figur herauslesen, da sie
gleich dem Ordinatenstuck ist, das zwischen der Charakteristik
der Spannungsquelle und der des Iireises liegt. Wenn wir nun
zu unserem Wechselstrombeispiel (Fig. 18) zuruckkehren, SO ist
die durch die Labilitat der Charakteristik bedingte zeitliche
Stromhlerung nichts anderes als die eben erwahnte Geschwindigkeit, mit der der Betriebspunkt von dem seiner
Spannung entsprechenden labilen Punkt der Charakteristik zu
dem dazugehorigen stabilen ubergeht. Ton diesem Gesichtspunkt aus konnen wir diese sprungartige Stromanderung als
eine Labilitat der Momentanwerte bezeichnen. Als Charakteristikum dieser Labilitat konnen wir dabei folgendes ansehen:
Denkt man sich mit dem untersuchten Stromkreis einen einfachen Schwingungskreis von irgendwelcher Eigenfrequenz so
lose gekoppelt, daB dieser nicht auf unser ursprungliches System
zuriickwirkt, so wird derselbe durch den Sprung der Momentanwerte im Primarkreis jedesmal zu Schwingungen angestoBen
werden. Hiermit wiirde man als Labilitat der Momentanwerte
die plotzlichen h i e r u n g e n der Stromwerte definieren, mathematisch gesprochen also die Unstetigkeiten in dem zeitlichen
Stromverlauf, wobei als Charakteristikum die periodische Sto6erregung dient.l) Ebenso berechtigt ist eine andere Auffassung.
Der Strom im Lichtbogenkreis ist nicht sinusformig und deshalb
kann man ihn sich aus eiuer Grundschwingung und vielen
Oberschwingungen zusammengesetzt denken. Jede Schwingung
(Grund- oder Ober-) fur sich mu6 aber als ein durchaus stabiler
Vorgang angesehen werden, so daB es durchaus berechtigt er-
+
1) 0. E m e r s l e b e n , Jahrb. d. drahtl. Telegr. 34. S. 105. 1924.
456
J . J. S o w m e r
scheint, wenn man bei den Nomentanwerten von keiner Labilitat
sprechen wil1.I)
Nach beiden Erklarungen ist es durchaus verstandlich,
ivslruni fur den Fall, dab eine Selbstinduktion im Kreise liegt,
diese sprunghafte h d e r u n g kleiner wird und schlieBlich fu r
den Fall reiner Induktivitit verschwindet. I m Sinne der
Labilitat der Momentanwerte muB man sagen, daB mit der
Gr6Be von L die ijbergangsgeschwindigkeit vom labilen zum
stabilen Punkt der Clharakteristik abniinmt 2, und damit auch
clie sprunghafte xnderung der Stromwerte. Vom Rtandpunkt
der Oberschwingungen aus mu6 man sagen, daB im Falle einer
Selhstinduktion die Oberschwingungen unterdruckt n-erden und
der Kreisstrom sinusformiger gemacht wird.
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich im SnschluB an
das Buch von H. B u s c h : ,,Stabilitat, Labilitat und Pendelungen
in der Elektrotechniki' init der Stabilitat elektrischer Stromkreise insbesondere von Wechselstromkreisen.
Zugrunde gelegt werden fur die Stabilitatsuntersuchungen
die Storungsrechnung (Methode der kleinen Schvingungen) und
eine energetische Methode, die auf der Forderung beruht, daB
ein elektrisches System nur dann stabil ist, wenn bei einer
positiven Stromzunahme die verbrauchte Leistung des Systems
grol3er ist als die von der Maschine gelieferte.
Zuerst wird die Stabilitat von einfachen Wechselstromkreisen an einer Reihe von Beispielen fu r die Effelrtivwerte
untersucht unter der Einschrankung, daB nur ein Glied des
Iireises stromabhiingig ist. Die Resultate werden mit den
experimentellen Srgebnissen anderer Arbeiten verglichen. Es
wird gezeigt , da8 unter gewissen Voraussetzungen die beiden
angewandten Untersuchungsmethoden zu richtigen Resultaten
und zwar zu einer der I( a u f m a n n schen entsprechenden
Stabilitatsbedingung fiihren, die auch hier a19 notwendige Bedingung auftritt.
1) Vgl. z.B. E.A. G u i l l e m i n , Arch. f. Elektrotechn. 17. S. 17. 1926.
2) Vgl. 61. (as), S. 455 aus der man sofort ersieht, daB fur groBes L
die Ubergangsgeschwindigkeit klein wird und umgekehrt.
Beitrage zur Stabilitat elektrischer Siromkreise usw.
451
Bei der Untersuchung verzweigter bzw. gekoppelter Wechselstromkreise liefert die StBrungsrechnung samtliche notwendigen
und hinreichenden Bedingungen fur die Stabilitat des Systems.
Diese Stabilitatsbedingungen werden zum Teil physikalisch diskutiert und es wird gezeigt , daA die experimentell bekannten
Labilitatserscheinungen von ihnen wiedergegeben werden. An
zwei Beispielen wird gezeigt, daB das Kaufmannsche Kriterium
auf verzweigte Iireise nicht in der bei Gleichstromkreisen iiblichen Weise angewandt werden kann. Es wird gezeigt, in
welcher Form das Eiau fma n nsche Krit,erium modifiziert werden
muB, um auch bei Wechselstromkreisen zu richtigen Ergebnissen
zu fiihren.
Des weiteren wird dargelegt, wie es auf Grund von ge&sen Voraussetzungen moglich ist, Stabilitatsbedingungen von
einem System auf ein anderes zu ubertragen.
Zum SchluB wird die Frnge nach der Lahilitat der
Momentanwerte untersucht. Es wird gezeigt, daS die Frage,
ob man uberhaupt von einer Labilitat der Momentanwerte
sprechen kann, auf die verschiedenen Auffassungen von periodischer StoBerregung oder AussiebeD von Oberschwingungen
hinauslauft. Mit der StoBerregung kann man auch von einer
Labilitat der Momentanwerte reden. Dagegen wird man vom
Standpunkt des Aussiebens der Oberschwingungen die Frage
nnch der Labilitat der Momentanwerte verneinen. Beide Anschauungen erscheinen berechtigt.
Die vorliegende Arbeit wurde im Physikalischen Institut
der Technischen Hochschule Miinchen ausgefiihrt. Auch an
dieser Stelle mochte ich mir erlauben, meinem hochverehrten
Lehrer Hrn. Geheimrat Prof. Dr. J . Z e n n e c k fur die Anregung
zu dieser Arbeit und fur seine dauernde fordernde Teilnahme
meinen herzlichsten Dank auszusprechen.
Desgleichen bin ich Hrn. Dr. H. W i n t e r - G u n t h e r fur
mancherlei wertvolle Hilfe zu Dank verpflichtet.
(Eingegangen 11. Februar 1931)
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