close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Beitrge zur Theorie der elektrischen Ablenkung von Elektronenstrahlenbndeln. II. Elektrische Ablenkung eines (ausgedehnten) elektronenoptischen Bildes und die dabei auftretenden Bild- und Ablenkfehler bis zur dritten Ordnung

код для вставкиСкачать
436
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
Beitrage xur Theorie d e r elektr4schen Ablenkung
von Elektronen strah lenbQn delm
I I . EEelctrische Ablenlcung eines (ausgedehnten)
elektronenoptischen Bildes und die dabei auftretenden Bildund Ablenkfehler bCs zur dritten Ordnung
Von J o h n n n e s P i c h t umd J o s e f Eimpan
(Mit 16 Bbbilduugen)
§ 1. Interpretation der Idealablenkung
Die Idealablenkung ist, wie in (I) ausgefiihrt, durch die
Gleichungen
(1)
(Xii)6
=
+
x<,
ZO'(Z5
- 2") = Zb
20
Za
mit
(3)
P = P ( 2 ) = - 2 (EY(y, Z)),=O
7
=
,[*A.]
y=O
definiert. Denken wir uns einen Gegenstand, befindlich in der
Ebene zg, durch ein ideales elektronenoptisches Linsensystem vollig
verzerrungsfrei auf eine Ebene xb abgebildet, und bringen wir zwischen
der Bildebene xb und dem Linsensystem ein elektrostatisches Prisma
so an, daB sich die beiden elektronenoptischen Elemente gegenseitig
nicht beeinflussen, so wird das in der Ebene zb entstehende Bild des
Gegenstandes der Ebene zg vollig verzerrungs-, verdrehungs- und
vergrogerungsfrei abgelenkt sein, sofern fur alle Strahlen, die das
Ablenkfeld durchsetzen, die Bedingungen, die zu den G1. (1) uncl (2)
gefiihrt haben, erfiillt sind (vgl. Abb. 1). Diese Aussage ist unmittelbar aus (1) und (2) au ersehen, denn dort erfahrt die Komponente xb eines Strahles durch das Ablenkfeld uberhaupt keine
Veranderung, wahrend die Komponente yb gegenuber dem unabgelenkten Strahl um
gewachsen ist. Die GroBe y,l (L4blenkungsgro6e der Idealablenkung)
ist ein von den Koordinaten und Einfallswinkeln eines auf die
J . Picht u. J . Himpan. Theorie deer elektrischen Ablenkung usw. II 437
z,-Ebene auftreffenden Elektronenstrahles unabh5i;ngiger Ausdruck
und daher unveranderlich fiir alle zu einem abgelenkten Bild gehorenden Strahlen.
Abb. 1. Schematisches Beispiel der Verhiiltnisse bei 4dealabIenkung.
Dss durch die Linse auf die Ebene zb abgebildete Kreuz wird in dieser Ebene
durch das Prisma urn den Betrag y n vollig verzerrungs-, verdrehungs- und
vergr6Berungsfrei abgelenkt
Wir wollen nun die Bedingungen, durch deren Beriicksichtigung (1)
und (2) erhalten wurcle, noch eininal ausfiihrlich anschreiben :
($'I2
< 1;
&'I2
<1;
ferner ist y im gauzen Bereich des Ablenkfeldes eine kleine GroBe,
d. h. in der Reihenentwicklung fiir 9 ist bereits das Glied
angenommen. AuBerdem ist noch in
1/G der
Ausdruck
vorausgesetzt. Die ersten Ungleichungen sind bereits aus der Gaussschen Dioptrik beksnnt und besagen, da5 es sich um Paraxialstrahlen
handeln soll, d. h. urn Strahlen, die in ihrem ganzen Verlauf der
xx-Ebene benachbart und nur wenig gegen die z-Achse geneigt
sind. Die vierte Ungleichung bedeutet physikalisch, daB an den
Stellen, wo P groB ist, y noch eine kleine GroBe bleiben muB, wahrend
in den Gebieten, wo P klein ist (Streufeld), y bereits entsprechend
grO5er werden darf.
438
Annalen der Physik. 5. Folge.
Band 39. 1941
Idealablenkung ist demnach auf zwei Wegen erreichbar inaturlich
wird gleichzeitig das Bestehen der drei ersten Ungleichungen vorausgesetzt); entweder durch den, trivialen Fall der Verwendung von
kleiuer Ablenkfeldstarke P, dann konnen die Ablenkplatten ranger
gemacht werden, urn grogere Ablenkempfindlichkeit zu erhalten, oder
aber auch bei groBem P, dann miissen allerdings die Ablenkplatten
entsprechend kurz sein. Die letzte Ungleichung konnte angesetzt
werden, weil sie bei den heute ausgefiihrten Kathodenstrahlrohren
meistens erfWt ist. Aber selbst, werin dies nicht der Fall ware, mu6
fur die der Ablenkspannung proportional vorausgesetzte Idealablenkung die vierte Ungleichung neben den ersten drei Ungleichungen bestehen, denn dann und nur d a m erbiilt man vollig
verzerrungsfreie Ablenkung l). Das Bestehen der letzten Ungleichung
ist demnach zur Erreichung einer definierten Idealablenkung (Ablenkung erster Ordnung) eine genau so fundamentale Notwendigkeit,
wie das der drei ersten.
9 2. Interpretation der Ablenkung bin dritter Ordnung
Wird ein Elektronenstrahl stiirker ausgelenkt, so da6 die
physikalischen Bedingungen fiir die Idealablenknng nicht mehr zutreffen, so treten in den entsprechenden Bahngleichungen eine Reihe
von Fehlergliedern auf, die sich aus (I,44),(I,45) mit 2 - (zJ,= As,
y - (y& = d y ergeben Z U ~ :
-
1) Wie man aus (I.38) und (I,40) erkennt, bedingt Mitnahme des
ia
auch noch linearen
Gliedes Py/2Q, in I/.G dse Auftreten der durch &, fly
und & und demnach durch Y, , , Ba, & charakterisierten Fehler, woraus diese
Aussage folgt.
2) Der in (I) durchgefuhrte obergang von (I,33) und (I,34) zu (I,37)
und [1,38) ist nicht ganz einwandfrei. Wir haben eigentlich schrittweise vorzugehen, also nach der Ermittlung der idealen Ablenkung die Gleichungen bis
einschlieElich erster Ordnung zu losen, wobei in den anf der rechten Geite auftretenden Integralen die Gr8Eeu. y, y', z' durch die Werte der ,,Idealablenkung"
ersetzt werden konnen. AnschlieEend wllre die Ablenkung bis zur zweiten
Ordnung einschlieBlich zu behandeln. Hier Bind rechte fiir die dort auftretenden y, y', z' die Losungen einzusetzen, die sich bei der Behandlung bis
einschlieElich a2Zer GrGEen erster Ordnung ergaben. Nun erst hiitte die Behandlung bis zur dritten Ordnung zu erfolgen. Hierbei sind rechts f u r y, y', z'
in den Gliedern, die in diesen GrGEen nur von erster oder zweiter Ordnung
sind, diejenigen Losungen einzusetzen, die sich bei der Behandlung bis einSchlieElich zweiter Ordnung ergaben, wiihrend f u r y, y', T' in den Gliedern, die
in diesen GriiEen von dritter Ordnung sind, diejenigen Losungen einzusetzen
sind, die sich bei der Bebandiung bis einschliefllich aller Glieder erster Ordnung
ergaben. Die Formeln, die sich so ergeben, sind indessen so kompliziert, daE
sie sich kaum noch fiir eine Diskussion eignen. Es treten in den Fehler-
-
J . Picht u. J . Himpan. Theorie der elektrischen Abklokung usw. II 439
(5)
(6)
=L
'
{
1
y'
=
u6
+
+
+
Yb
'b'
+ d'
Yb'
?;!
x~Y~Yb'16+z~Yb(2U19,
P1 f Y b @ 2 + Y b 2 P 3 + Yb3@4 + Y b ' p 5
+ Y;
+
yb2/99
iY;2@11 $-
"L2Ybpl5+
a13
Yb',3@17
s"pl2
$-
-!- Y i Y b P i
+
Yb"
ybp14
'bl'Ybl1820'
Hier sind die u j , (sj(j= 1, 2, 3 . . .) durch die Gl. (I,48a) bis (I,48f)
und (I,49a*) bis (I,49 m*) gegeben, aus denen ubrigens noch folgt, da6
=@
' 1!2 7
und dab bei von Null verschiedenem Ablenkfeld ale, tx19 und ,@,
stets groBer als Null, ulB und u16 stets kleiner als Null kind.
Die obigen Gleichungen enthalten, wie ersichtlich, nicht nnr
Abbildungs-, sondein auch einen Ablenkjehler!
%9
= @ZO
9
u16
= '@I6
9
%3
a) D e r A b l e d k f e h l e r
Als solcher mug der durch die Gleichungen
(7 4
As = 0,
AY = P,
ausgedriickte Fehler bezeichnet werden, da er sowohl von der Oflnung,
als a,uch von den Bildkoordinaten eines Strahlenbuschels unabhangig
durch P
ist und allein von der Ablenkung abhangt. Hier ist
P
p'
,,,
bestimmt, und zwar ist nach(I,49a*) mit __
= y, ; .= yA ; . .
4 0
(7 b)
@,
I ,
.
koeffizienten noeh eine groSe Zahl weiterer Integralausdriieke 'auf. Auch ergeben sich noch weitere Fehlerglieder. Da aber sowohl diese neu. auftretenden Fehlerglieder ale auch die neu hinzukommenden Integralausdrucke in
den bereits yorhandenen Fehlerkoeffizienten bei kleinen Werten der Ablenk,
gr06en y, , y, , y,
vernachllissigbar klein werden, da sie jene GroSen in
dritten und haheren Potenzen enthalten, legen wir der Diskuseion die in (I)
angegebenen Fehlerkoeffizienten und Fehlerausdrucke zugrunde.
##
...
440
Annalen der
Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
Dieser Ablenkfehler bewirkt z. B. bei einem abgelenkten Koordinatennetz eine zusatzliche Auslenkung p, fur samtliche Bildpunkte gegeniiber der Idealablenkung, wobei jedoch das Koordinatennetz unverzerrt
erhalten bleibt (vgl. Abb. 2). I n der x-Richtung tritt keine Veranderung im Vergleich zur Idealablenkung auf.
Abb. 2. Die Wirkung des Ablenkfeblers, gezeigt an einem abgelenkten
Koordinatennetz. Links das Netz
bei Idealablenkung, rechts bei Vorhandeqsein des Ablenkfehlers
(8, > 0 angenommenl
b) D i e A b b i l d u n g s f e h l e r
Die Abbildungafehler fassen wir in Analogie zur Theorii der
geometrischeu Lichtoptik zweckma8ig zusammen, und zwar in
1. Abbildungsfehler erster Ordnung, welche durch die Gleichungen
dargestellt werden:
dz = z; CCQ,
(8 a)
(8b)
mit
=
‘b
YbP2
P , = - s ( y1 n ) ’~ - ~ ( ’ b - 2 ! { Y g 2
2”
+
YbrP5
+
YA
y”‘)
3.Picht u. 3.Himpan. Theorie der etektrischen Ablenkung USW. I1 441
2. Abbildungsfehler zweiter' Ordnung; sie sind gegeben durch:
(9 a)
Ax=x,'YbU,
i9 b)
A y = Yb2@s
mit
+
2xdYblp12)
$- Y L Y L p 7
+ Yiapll +
'b12P12
442
Annalen der PhysiL. 5. Folge. Band 39. 1941
(10,)
+l(zb-
y'ia d z
(stets
> 0).
20
In den vorstehend angegebenen G1. (7J, (8,) bis (f$), (9J bis (g5),
(10,) bis (10,) der voneinander verschiedenen 16 Fehlerkoeffizienten uj,.
Pj Bind die Glieder 80 zusammengefafk, daJ3 unmittelbar diejenigen
gleicher GrOSenordnung mit Bezug auf y A , y A , y A ,
unter dem
gleichen Integralzeichen auftreten, wobei indessen die ohne Integralzeichen auftretenden Glieder von der gleichen GroBenordnung sind,
wie die ihnen unmittelbar folgenden Integralausdrlicke, auRer in u,,
wo der auftretende Integralausdruck bereits von kleinerer Grb6enordnung ist als das Glied ohne Integralzeichen.
Handelt es sich bei der praktischen Anwendung der Fehlerformeln urn kleine Werte von yA,yd, yA, ..., so konnen in den
einzelnen olj, $j - Ausdrucken die Integrale, deren Integrand in
von hOherer GroBenordnung ist, vernachlkssigt
den yd y A , yA
werden.
Beim Betrachten der Gleichungen fur die uj und Pj fallt noch
im Hinblick auf ihre GrOBenordnung in den AbleukgroBen auf, daB
der Koeffizient 8, des yon z b , y b , xb, ya unabhangigen Ablenkfehlers
in den AblenkgrGBen y A , yA , y, , ... von dritter Ordnung ist, wahrend
die Koeffizienten der Abbildungsfehler erster Ordnung in den AblenkgroBen von zweiter Ordnung und die Koeffizienten der Abbildungsfehler zweiter Ordnung in AblenkgroRen von erster Ordnung sind. Man
sollte entsprechend erwarten, da6 die Koeffizienten der Abbildungsfehler dritter Ordnung in den AblenkgroSen von nullter Ordnung sind.
Dies ist indessen nicht der Fall. Die Koeffizienten der Abbildungsfehler
I
1,
I
,
I
I,
, ...
P
t
,I
,
PI
,..
J . Picht u. J . Himpan. Theorie der elektrischen Abbnkung usw.XI 443
dritter Ordnung sind vielmehr in den AblenkgroBen von zweiter Ordnung
klein'), so daB bei kleinen Werten der AblenkgroBen der Ablenkfehler - den wir in diesem Zusammenhang auch als Abbildungsfehler nullter Ordnung ansehen konnen - sowie die Abbildungsfehler
erster und zweiterordnung hinsichtlich ihrer verschlechternden Wirkung
auf die Bildgiite etwa von gleicher Bedeutung sind, wahrend die Abbildungsfehler dritter Ordnung in diesem Fall gegeniiber den drei
genannten Gruppen von Abbildungsfehlern von untergeordneter Bedeutung sind.
Die in den Koeffizientengleichungen auftretenden Integrale lassen
sich noch umformen. Man kann z. B. dafur sorgen, daB die y i '
aus den Gleichungen verschwinden. Es treten dann in einzelnen
P'
Fallen Glieder nit
auf. Da dies aber mit a identisch ist,
ii
p"
wahrend y A = a ist, so bedeutet dies besonders bei Feldern, deren
111,
Verlauf nur experimentell ermittelt werden kann, einen Vorteil, da
sich in solchen Fllllen P' wesentlich genauer ermitteln lilfit als P".
Mit Rtkcksicht auf die Ausfilhrungen des vorletzten Absatzes
sowie auf die in I11 durchzufilhrenden Untersuchungen wollen wir
hier noch von den einzelnen u j , ,31-Eoeffizienten jeweils die Glieder
niedrigster Potenz (in den AblenkgraBen) aufschreiben und dabei die
auftretenden Integrale gleich zweckentsprechend umformen bzw. auswerten. Hierbei haben wir darauf zu achten, dab wir P = y A" an
der Stelle z = z,, als vernachlikssigbar klein voraussetzten. Desgleichen
ist (ZJ').~=0 und (yl)zp=O. Da wir auBerdem im allgemeinen
werden annehmen ditrfen, daB auch die Ebene x = zb bereits auberhalb
des Wirkungsbereiches unserer elektrischen Ablenkanordnung lieb, so
haben wir auch (y") ,
gleich Null zu setzen, wilhrend
(ii)zb,
...
naturlich ( y ) sowie auch (9') von Null
'
'
achten wir dies, so erhalten wir
A %
'b
verschieden sind. Be-
'b
1) DaS sie nicht yon erster Ordnung in den AblenkgrijSen sind, steht in
tfbereinetimmung mit der aus den Koeffizientengleichungen abzulesenden Tateache, da6 auch bei den Koeffizienten der Abbildungsfehler zweiter und erster
Ordnung und bei dem des Ablenkfehlers die folgenden Integrale jeweils um
zwei GroBenordnungen kleiner sind als die vorhergehenden Integrale des betreffenden Koeffizienten.
30 *
444
(811)
Annulen der Physik. 3. Folge. Band 39. 1941
J. Picht u. J.Himpan. Theorie der elektriscken Ablenkzlng W W . I1 445
Das uber den aj,8. sol1 darauf.hinweisen, daB hier nur diejenigen Glieder jener koeffizienten aufgeschrieben sind, die in den
r
AblenkgrijBen yA, yA, yA, ., jeweils von niedrigster Potenz sind.
Zur folgenden eingehenden allgemeinen Behandlung der einzelnen
Abbildungsfehler greifen wir aus dem abgelenkten Bildfeld ein Elektronenstrahlenbundel heraus, das im unabgelenkten Zustande das
Prisma schief durchsetze, voraussetzungsgemaS an der Stelle zo eioen
kreisformigen Querschnitt besitze und sich (bei Nicht- oder Idealablenkung) a d der Ebene zb zu einem mathematisohen Punkt verA
f,
.
Abb. 3. Bildliche Daretellung eines im unabgelenkten Zuetande
echief einfullenden Elektronenstrahlenbfindels
einige (vgl. Abb. 3). Dann ergibt sich bei Benittzung von Polarkoordinaten:
(11)
I n den anschliefienden Betrachtungen seien bereits die obenstehenden
Beziehungen zur Einfiihrung gebracht und einige zweckmabige Umformungen durchgef iihrt.
I . Abbildunysfehler erater Ordnicitg
Hierfur schreiben sicb jetzt auf Qrund der oberen Annahmen
die G1. @a), (8b) folgendermnJ3en:
(8a 3
dX=UX,-~L7COSrp,
A z j = by1, i-c , sin y,
(8b")
wobei
446
Anlzalen der Physik. 5. Folge. B a d 39. 1941
W C )
bedeutet.
Ersetzen wir in (12a), (12b), (12c) die aj,pj durch die G j ,
beschriinken wir uns also auf die Glieder, die in den y A , yd, y A ,
von niedrigster Potenz, hier: von zweiter Potenz sind, 80 erhalten wir
I
I,
bj,
...
a)
b)
Abb. 4. Beiepiel der Verzerrungen eines abgelenkten Koordinatennetzee, verureacbt durch den Verzeichnungefehler erster Ordnung; a) wenn a > 0, b > 0
(beidereeitige Zerdehnung), b) wenn a < 0, b < 0 (beidereeitige Schrumpfung).
Wenn a < 0 , b > 0 , ode? a > 0 , b < O tritt Schrumpfung in der T-,Zerdehnung
in der y-Richtung oder umgekehrt auf
I n (8a), (8b) kiinnen wir als
1a) Verzeichnungsfehlererster Ordnung den durch die Gleichungen
gegebenen Fehler bezeichnen. Dieser verursacht, wenn wir als anschauliches Beispiel wieder ein abgelenktes Koordinatennetz be-
J.Picht u. J . Himpan. Theorie der ebktrischen Ablenkung usw. II 447
trachten, eine Verzeichnung des Netzes in der y- und x-Richtung
in. der W-eise, da5 alle geraden Netzlinien Gerade bleiben, wie dies
schematisch imFalle einer beiderseitigen Zerdehnung baw. Schrumpfung
Abb. 4 zeigt. Ferner konnen wir als
1 b) Of'nungsfehler erster Ordnung den durch die beiden restlichen
A X , = - a T COS 9 ,
(8%*)
(8 bp*)
Ayz=
'
c y s i n q?,
L
AY (=
tg y,) = - C t g Cp
Ax*
a
j--@
I
vd
i
Abb. 5. Die Wirkung des OEnungsfehlers erster Ordnung in schematischer
Darstellung, wenn in beiden Bildern, 'a1 > ; c / augeuommen und aus untenstehender Tabelle die FQle 1 bzw. 3 herausgegriffen werden.
Fall
1
3
3
4
j
a
c
>O
<O
<> O0
<o
>O
>o
<o
1 Phasenverschiebung 1
1
I
I
180°
00
00
180 O
Umlaufsrichtung
negativ
nepativ
positiv
positiv
Awnalelz der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
448
Glieder gegebenen Fehler bezeichnen. Der Offnungsfehler erster
Ordnung erzeugt demnach Ellipsen, die als Mittelpunkt den Idealbildpunkt haben, deren Halbachsen direkt proportional zum Halbmesser T , unabhangig von den Koordinaten xb, yb und daher iiber
das ganze Bildfeld konstclnt sind (vgl. Abb. 5).
Elektronenstrahlen, deren Schnittpunkte mit der Ebene z I
zo
auf einer durch den Achsenschnittpankt xo= 0, yo= 0 dieser Ebene
gehenden Geraden liegen, schneiden die Bildebene z= zb in Punkten,
die wieder auf einer - hier durch den idealen Bildpunkt gehenden Geraden liegen, deren Neigung spa gegen die x-Achse aber im allpsnieinen von 'p verschieden ist. Nur f a r
kann T~ nur die beiden Werte
und __
3
unu 2
annehmen. Die Di&-
renz ya - 'p fiir cp = 0 sei kurz als ,,Phasenverschiebung" der Abbildung bezeichnet.
h d e r t sich 'p von 0 bis 2 II, so ilndert sich auch cps von 0 his 2 II.
Llurcbliuft also der Schnittpunkt der Elektronenstrahlen mit der
Ebene z = zo einen Kreis dieser Ebene um den Punkt x =I 0,
yo 0 einmal vollstilndig, so wird auch die diesem Kreis durch
die Elektronenstrahlen zugeordnete Ellipse der Bildebene z = zb
einmal vollstandig durchlaufen. Die mittlere ,,Umlaufsgeschwindigkeit" von va ist also derjenigen von y gleich. Dies sei abktirzend
durch : ,,mittlere Umlaufsgeschwindigkeit = cp" ausgedriickt. (Entsprechend bedeutet an spaterer Stelle: ,,mittlere Unilaufsgeschwindigkeit = 2 9 " , da6 die mittlere Umlaufsgeschwindigkeit von spa
gleich dem doppelten Betrsge .derjenigen Yon sp ist..)
2. Abbildungsfehler zweiter &hung
Die G1. (9a), (9b) lauten nach Einfuhrung von (11)
d x = (e xb yb) (g rz'sin 2 9 )
(9 a*)
(- ery, cos y - 2 y r s , sin cp),
y = (f 3
; -k 9x1,') -k ( h r 2 k r 2 COB 29j)
(963
$(lry,sin'p- 2grx,cosy)
mit
{
{
+
+
+
J.Picht u. J.Himpan. Theorie der eleklriscken Ablenkzrng usw. II 449
1
I=--
(134
Es ist noch
%
- zo
h+k=g.
(1369
'
Ferner bestehen, solange y A , yA , yd , .. . langs des ganzen StrahlenI,
verlaufes kleine GroSen sind und (zb- zo) (y;)" als vernachlassigbar
klein angesehen werden darf, nach (gI1)bis (gh1)noch folgende Beziehungen zwischen den vorstehenden Iioeffizienten :
(13h)
(13i)
iy)o nicht als
i
[dies gilt auch, wenn (zb- z,,) (
klein vorausgesetzt wird] ,
h x k a T1g ,
JPz-Z
-f z 2 g + 1 = 4h -f
4h + 1 % 4k -f
4 k +1,
80 da8 man unter der angegebenen Voraussetzung fur die Abbildungsfehler zweiter Ordnung naherungsweise mit zwei Koeffizienten auskommt, namlich
(13k)
e z 2q
1
fx---zb - zo
(13bO)
%
(iA)b?
1
( 1 3 ~ ~
q x - (2,- 2 0 ) (Yd)
~
b
Beschranken wir uns bei den a j 7Pj-Koeffizienten auf die Glieder,
die in den y A 7 y A , y A , . von niedrigster, hier also von erster
Potenz sind, und bezeichnen wir die hiermit gebildeten Koeffizienten e, f , g, h, k, 1 wieder durch ein dariiber gesetztes ', so erhalten wir :
I
IT
..
Annalem der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
450
In (9a*), (9b*) bezeichnen wir als
2a) Verzeichnungsfehbr zweiter Ordnung die Glieder
Ax, = exby,,
(9 &I*)
+
AY, = f Y b a
$Xb2,
(9 4 3
worin fiir kleine Ablenkung naherungsweise e ~l 2g -f ist. Abb. 6
veranschaulicht die Wirkung dieses Bildfehlers , und zwar wurden
J
X
g -@4 ,f =4@
e =-405
Abb. 6 s
Abb. 6b
Wirkung des Verzeichnungsfehlers zweiter Ordnung, dargestellt an einem Netz
das - fehlerfrei abgelenkt - gestrichelt eingezeichnet wurde. Abb. 6 s entspricht den in der Praxis miiglichen Verzeichnungsfehlern zweiter Ordnung,
wiihrend Abb. 6 b im allgemeinen nicht, moglich ist
und deshalb eingeklsmmert wurde
-
fur Abb. 6 a die Werte g = 0,05; f = 0,15; e = 0,05 augrunde
gelegt. Da in der Zeichnung ( Y A ) b = 3 angenommen wurde, entspricht der zugrunde gelegte g-Wert etwa einem (z, - z,,)-Wert von
7,75 und einem
1,16. Die Abb. 6b beziaht sich auf eineii
in der Praxis wohl kaum vorkommenden abnormalen Fall. Hier
wurden die Werte g = 0,15; f = 0,05; e = 0,25 zugrunde gelegt.
Da wieder [ Y d ) b = 3 gewahlt wurde, entsprechen die zugrunde gelegten g,f, e-Werte den Werten (zb - z,,) H 4,47 und
!= 0,2235,
(y;)b~
wahrend
~
’b
- ’0
~l
0,67 Bein wiirde. Tatsachlich aber wird man -
wie man leicht einsieht
I( Y’,),l
>
1
1
-
fiir alle praktisch moglicben Falle
annehmen miissen.
J . Picht u. J . Hirnpan. Theorie der elektrischen Abhkung usw. I I 451
Aus (13bJ und (13c,) erkennt man, daB es nicht moglich sein
wird, den Verzeichnungsfehler zweiter Ordnung zum Verschwinden
zu bringen.
2 b) Ojjnungsjehler xweiter Ordnung die Glieder
9
.
Die durch den offnungsfehler zweiter Ordnung bewirkten, durch einen
Strahlenkegel mit r = const erzeugten Verzerrungsfignren sind demnach im allgemeinen Fall gegen den idealen Bildpunkt verschobene
Ellipsen. Im Falle kleiner Ablenkung handelt es sich - unter der
)~
klein ist - um
Annahme, da8 (xb - zo) (Z J ~rernachlaasigbar
Ellipsen, deren groBe Achse der x-Achse parallel liegt und etwa
doppelt so groB ist wie die der y-Achse parallele kleine Achsel).
AuSerdem sind in dieaem Fall die Ellipsen gerade urn den Betrag
der kleinen Halbachse gegen den idealen Bildpunkt verschoben.
Abb. 7 a veranschaulicht die Wirkung des Offnungsfehlers zweiter
Ordnung fur diesen Fall. Da (9a,*) und (9b,*) von den Bildkoordinaten xb, ge unabhangig sind, wie dies ja fur &fnungsfehler
charakteristisch ist, werden alle Punkte der Bildebene in gleicher
Weise verzerrt. Die ,,mittlere Umlaufsgeschwindigkieit von cpl
(vgl. oben) ist hier gleich 2 y ; die EUipsen werden also bei einmaligem
Umlauf des Winkels y der Ebene I = xo zweimal durchlaufen.
Handelt es sich um groBere Werte der AblenkgrijBen bzw. ist
(xa - zo) (y&
0, so werden die den einzelnen Werten r = const zugeordneten Ellipsen der Bildebene nicht mehr durch den der idealen
Ablenkung entsprechenden Bildpunkt hindurchgehen. Wir erhalten
dann vielmehr fur die einzelnen Punkte der Bildebene Verzerrungsfiguren, deren Lage zum Bildpunkt idealer Ablenkung und deren
Achsenverhaltnis nicht mehr durch Abb. 7a (und 7d) dargestellt
werden, sondern etwa den Abb. 7c bzw. 7e naherungsweise ent1
sprechen werden. Abb. 7c entspricht der Beziehung &,= zP,a,
+
Abb. 70 der Beziehung
d. h. filr
81
a* = 0
p,,
=-
1
Tp15,,.
Wiihrend
das Acbsenverhiiltnis 2 : 1 war, ist es
groSer als 2 : 1 und fur
-&-< 0
Pl1.= 0,
fur 811 7 0
A*
also fiir
kleiner als 2: 1. Entsprechend ist
A 0
1) Es iet d a m nitherungsweise h x k
FZ
1
2
-g
bzw.
Pl1 a 0.
452
Annalen. der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
irn ersten Fall die Verschiebung der den Werten T = const zugeordneten Ellipsen gegen den Bildpunkt idealer Ablenkung grOBer,
irn zweiten Fall kleiner als die kleine Halbachse der Ellipse, 60
a
q=wz
d)
T/T
mQp $
5
9
Bq
$+
(3
3p
4 4
z4 4a
n;3z
Z t
f)
Abb. 7. Bildfehlerkurven, bedingt durch den Offnungsfehler eweiter Ordnung.
a) Zur Verankchaulichung der Abhangigkeit dieses Bildfehlers von den Bildpunktkoordinaten q,, yb und der Offnung der abbildenden Strahlenbfindel.
(1, 2, 3, 4 = Lage von 4 Bildpunkten bei Idealablenkung.)
b) bie f ) Einige mogliche spezielle Formen der Bildfehlerkurven, und zwar
Pl1; c) fur Pll
1
e) fur Pl1 = - 2 An;
b) fur ,!Ill
=
1
= g p L 0 ; d) fiir
f)
fir
Pl1 = 0;
8 1 =- BlP
e)
J . Picht u. J.Himpun. Theorie der elektrischen AbZenkung usw. I1 453
daB im ersten Fall die Bilder der einzelnen Bildpunkte komaahnliches Acssehen bekommen. F u r die beiden wohl praktisch
kaum vorkommenden Beziehungen:
= Pl2und /I,,
= -PI% wurden
die Ellipsen in Gerade bzw. in Kreise entarten, wie dies Abb. 7b
und 7 f erkennen lassen.
2 c) Verformungsfehler xweiter Ordnung, die Glieder
i9 8 3 )
A z 8 =-eerybcoscp-22grx,sincp,
Ay3 = lry,sincp - 2grx,cosrp,
(9b3)
worin noch bei kleinen AblenkgroBen e x 2g + 1, ferner - wenn
wir die resultierende Ablenkrichtung in positiver y-Richtung voraussetzen - nach (13c,) y > 0.sowie nach (13bJ und (13cJ im allgemeinen 1 < 0 und 111 > g sein wird.
Sind die diesen Fehler kennzeichnenden Koeffizienten gleich
Null, so behalt die Kaustik, die ja als Hullflache der Bildstrahlen
definiert ist, iiber das ganze ab&%!em Um/uu~yesrhw..ndgk&7
Y+ dA.p~mmkM.m=u
gelenkte Bildfeld ihre Form unverandert bei, wahrend sie ihre
Form andert, wenn der bier betrachtete Fehler nicht verschwindet. Aus diesem Qrunde bezehhnet
man ihn als ,,Verformungsfehler" ').
Seine Auswirkung in der Bildebene ist in Abb. 8 dargestellt.
Man erkennt, daB den einzelnen
Strahlenkegeln, die in der Ebene
z 5 x,, durch r
const gekennzeichnet sind, und deren Konvergenzpunkt bei nicht vorhandener
X
Ablenkung ein Punkt der Bildebene = zb ist, im allgemeinen Abb.8. Lage undCestaIt der durcbden
Verformungsfehler zweiter Ordnung
ellipsenahnliche Bildkurven mit bedingten Bildfehlerkurven in ihrer
dem fruheren, um @ d ) b verschobe- Abhlngigkeit von der Lage des Bildnen Konvergenzpunkt a h Mittel- punktes undder Offnung des abbildenpunkt zugeordnet sind, in denen die den Strahlenbundele. - Fur die Zeichnung wurde gewlihlt:
Bildebene z = zb von den Strahlen
g : Z : e = 1 : - 3 : -1
des betreffenden Strahlenkegels geg>O, Z<O, e < O
schnitten wird. Da in Abb. 8 ebenso
wie in den vorhergehenden Abb. 5 und 7 sowie in den entsprechenden
spateren Abbildungen die zu einem Bildpunkt gehorenden (ellipsenI
.
1) Vgl. hiereu die analogen lichtoptischen oberlegungen bei M. 15 e r e .
b e r g e r , Ztschr. f. Phye. 74. 9.88. 1938.
A54
Annalen der Physik. 5. Polge. Band 39. 1941
ahnlichen) Bildkurven Strahlenkegeln mit r = 0 - diese ergeben die
ideal abgelenkten Bildpunkte -, ferner mit r = r1 und mit r = Zr,
entsprechen, erkennt man aus den betreffenden Abbildungen in einfacher Weise, in welcher Ordnung die betreffenden Bildfehler sorrohl
von r als auch von den Bildpunktkoordinaten abhangen.
In Abb. 8 wurden fur die Koeffizienten g, 1 und e Werte gewahlt, wie sie etwa kleinen AblenkgrSBen nach den Ausfuhrungen
des vorletzten Absatzes entsprwhen, so dab Abb. 8 die allgemeine
Auswirkung des Verformungsfehlers kennxcichnet. Da bei gr6Beren
Werten der AblenkgroBen die oben angegebenen Beziehungen zwischen e, g und 1 nicht mehr streng erfiillt sind, wollen wir nachstehend das Aussehen der zu r = const gehijrenden Bildkurven noch
allgemeiner, also ohne Beriicksichtigung jener Beziehungen zwischen
e, g und 1 untersuchen.
In kartesischen Koordinaten mit dem ideal abgelenkten Bildpunkt als Koordinatenursprungspunkt und den Achsen parallel zur
x- bzw. zur y-Achse lautet die Gleichung der zu r = const gehorenden Bildkurven, wenn wir zur Abkurzung
(15 )
- e r y, = e';
- 2 g r xa = g';
l r ya = I'
setzen :
Fiir g'= 0, also sowohl fur xb = 0 , d. h. stets fiir alb Punkte der
y - A c h e , als auch fur g = 0, und zwar dann unabhangig von x,
und yb, also fiir alb Punkte, geht (16) iiber in
(A
(4 Y 8
117a)
,,s
3- 1
'
2= 1 *
Fur die Punkte der y-Ache ergeben sich also ski% Ellipsen - die
fiip e f a = t 3 natiirlich zu Kreisen entarten - als zu r const
gehorige Bildkurven (,,Verzerrungsfigureni'). Das gleiche gilt f a r
aZZe Punkte, falls g = 0 ist (AbE. 9a).
Wird e' = I' = 0, so geht (16) iiber in
=3
+
( A XJa
( A YJa = p.
(174
Nach (15) ergeben sich demnach fur die Punkte der z-Ache der
Ebene z = zb durch die Ablenkung als Verzerrungsfiguren stets
Kreis'e mit den zugeharigen abgelenkten Bildpunkten als Mittelpunkt.
Das gleiche gilt f u r alle Punkte der Bildebene, falls e = I = 0 ist.
Im allgemeinen sind aber - worauf ausdrucklich hingewiesen
sei - fur Bildpunkte, deren Koordinaten xb, yb gleichzeitig von
f
YA
.1
’7
*Z
‘5
b&;lff4 7..B/&unktebe/
/dea/ab/pnkung
>
Abb.9b. g : l : e = 2 : - 5 : - 5 .
g>O, l = e < O
Abb. 9. Wirkung des Verformungsfehlers eweiter Ordnung
i n zwei speziellen, in der Praxis selten vorkommenden Fiillen
I) Irrtiimlich werden in der Arbeit Von G. W e n d t , Die Telefunkenrohre.
Heft 15. April 1939 in Bhnlichem Zusammenhange auftretende schief liegende
Yerzerrungsovale als Ellipsen bezeichnet.
Annaten der Physik. 5. Polge. Band 39. 1941
456
Urn die allgemeilze Bedingling zu finden, die zwischen den
Koeffizienten e, 1 und g bestehen muB, damit die Verzerrungsovale
auch fur xb 0, yb 0 Ellipsen sind, beachten wir, daS die Parameterdarstellung einer Ellipse, deren Achsen a und b mit der xbzw. y-Achse eines Kqordinatensystems den'Winke1 u bilden, lautet
+
+
x = acosrpcosu-bsingosinac =a,cosrp-bb,sinrp,
y = a cos rp sin a + b sin 'p cos u = a2 cos y + b, sin rp .
Da bei
un8
a, = a c o s a =
- ery,
a2 = a s i n u = - 2 q r q
ist. so mu8
1
b, = bsinar = 2 g r x ,
b, = bcosoc = ITy,
f
sein. Die beiden Quotienten f u r t g u werden einander gleich
1. fur g = 0 ; 2. fur xb = 0 :
3. fur yb = 0
und
4. fur e = 1,
d. h. falls
- +
+
(19)
[2pl,% u8 b(' - '0)17
[p,6 ' (
'0)
2p111
so .daB also auBer bei g = 0 auch dann an jeder Stelle des Bildfeldes, also fur jedes (xb, yb), Ellipsen als Verzerrungsovale aaftxeten,
wenn e = 1 ist, d. h. wenn (19) erfiillt ist.
Die Halbachsen dieser Ellipsen haben die Werte
a=r
l e a ybz + 4gaxbz,
b = T 1/4g2xb2+ layb',
sind also zu T proportional.
Da die beiden Achsen a und b nicht nur fur yb = 0, sondern
auch fur e = Z einander gleich werden, ergeben sich also nicht nur
bei e = I = 0, sondern auch bei e = 1 0 fiir alle xb, yb stets
Kreise als Verzerrungsfiguren (Abb. 9 b).
Die fur die Verzerrungsfiguren geltende G1. (16) 1aSt sich in
folgender Darstellung schreiben:
+
ql = sin p
(E sin a + cos u 11 - Ez)
-
3. Picht ZL. J.Himpan. Theorie der elektriscbn Ablenkung usw. II 457
wo
bedeutet. (16a), (16b) wird noch einfacher, wenn man
setzt. Es wird dann
(164
111 = - c O 8 ( p + ~ + Y ) ,
(164
d. h. also:
v2
-
COS(P
# =cosy
- + Y)
Die Verzerrungsfiguren entarten beim Ubergang von der y- zur
x-Achse an einer Zwischenstelle (ab, yJ zu einer Geraden und
wechseln hierbei gleichzeitig das Vorzeichen ihres Umlaufsinnes,
wenn die Beziehung besteht :
PO>
'CAY,t
d. h. wenn laut (gas*), (9b,*) gleichzeitig die beiden Bexiehungen
gelten :
(20 a)
eyJ,= 2 c g x b ,
Cly, = - 2 g x b , ,
woraus
Yb
folgt. 1st demnach die 1/, der G1. (21) reell, also ?, < 0, d. h.
9
e 2 < 0, so andert sich von y b = 0 zu x, == 0 der Umlaufsinn der
/
1
yb zur Qeraden aus. Diese Gerade
Ellipse und artet fur xb = 1
liegt dann bei xg = y b , wenn - e E = 4g2 (vgl. Abb. 10).
ei
Annalr- 6-P -ci
- "srge.
'
39.
31
458
Amalert der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
Die Punkte (xb,yJ des unabgelenkten Bildes, fur die die durch den
Verformungsfehler zweiter Ordnung bedingten Verzerrungsfiguren zu
Gernden entarten, liegen
also ihrerseits auf einer
durch (21) bestimmten Geraden, wiihrend die Richtung
der diesen Punkten zugeordneten ,,Bildgeraden" durch
(20c) gegeben ist.
Eine ahnliche Rechnung
liegt vor, wenn wir danach
fragen, ob im Falle des Vorzeichenwechsels des Umlaufsinnes der Verzerrungsfiguren
beim fjbergang von der yzur x-Achse dies uber lemniskatenartige GebiIde maglich
ist. I n diesem E'alle muBte
die Verzerrungsfigur einen
Doppelpunkt besitzen, fiir
Abb. 10. Wirkuug des Verformungsfehlers den sich mit zwei verschiezweiter Ordnung in dem Sonderfall,
denen Werten yl und ya
da8 e . E < 0 ist. - Fur die Zeichnung
von
9 die gleichen Werte Ax,
wurde gewiihlt:
und
A y, ergeben wurden.
4
g : l : e = 2: -3
Es
warden
also die GIei:T
g>O,l<O,e>O
chungen bestehen :
e'cos cpl + g' sid yl = e' cos cpa g'sin yz = k, = const,
g'cos rpl l' sin spl = g' cos 'pa I' sin 'p2 = k, = const
darnus:
~ ' ( C O Sy1 - COB y z ) g'(sin y1 - sin cpz) = 0 ,
g'(cos i p l
cos 4pz) + 2' (sin spl - sin cp,) = 0
+
+
+
-
+
oder einfacher geschrieben (cos cp,
gesetzt):
(22)
{
- cos yPa= E , sin y1 - sin y 2 = H
Y
.
e'E+ g ' H = 0 ,
g ' 2 + I"=0 .
Die letzten Gleichungen haben nur von Null verschiedene LSsungen,
wenn
(23)
d. h. wenn
4g2xba=
- e 1 yb2.
J . Picht u. J.Himpan. Theorie der elektrischen Ablenkung usw. II 459
Das ist aber nach fruherem die Bedingung fur die Gerade. Bei
gibt es nur die triviale Losung E = H = 0 d. h.
sin spI = sin sp2
COB sp, = cos ys;
daher wird:
q2= 5p1 + 360'.
Lemniskatenartige Verzerrungsfiguren konnen demnach durch den
Verformungsfehler zweiter Ordnung unmoglich auftreten. Aus obigem
folgt : Wechselt der Umlaufsinn der Verzerrungsovale - beim obergang von einer Koordinate zur anderen - sein Vorzeichen, dann
geschieht dies allein durch deren Entartung an einer Zwischenstelle
zu einer Geraden. Eine Aussage, die man iibrigens auch aus (lbc)
(16d) sofort ablesen kann.
3. Abbildzclzgsfehler dritter Ordnzclzg
Die Abbildungsfehler dritter Ordnung (lOa), (lob) stellen sich
jetzt mit (11) dar zu:
da: = (n zbyba)+(- n r y c cos sp-2srzb ya sin cp)+(sraybsin 2sp
PO&*)
+ ~ T ~ : ~ C O-S p ~r 2~s b ) + (pr3sin2cpsinrp),
{
+ (tryb2sincp+ 2przbBsinrp
I d y = ( q y , 9 +- 2srxbyy,cossp)+(vrsyb+
wraybcos2rp
S"aB&,)
I
(lob*)
wenn :
I
- 2pr2x,sin2y) + (irs+ jr3cos2sp)sinsp,
Anrcalen der Physijc. 5. Folge. Band 39. 1941
460
--
(24g)
w = a (tb1
(24h)
im------
(24i)
j=
-
to\*
1
’(zb 2(tb
20)’
1
-
[PI,
-I- P*,L
[P*o
- P173‘
Zwischen den Xoeffizienten s, v, w besteht nach folgende Beziehung:
a
1
3 A,
(.- +) - f (zb- zo)B (-
+ p14)
Ersetzen wir wieder in (24a)-(24i) die uj,pj durch die iij, Ij,
beschrknken wir uns also bei Berechnung der Fehlerkoeffizienten auf
die Glieder. die in den yd , yA, yd , .,. von niedrigster Potenz, hier:
von zweiter Potenz sind, so erhalten wir
I,
I
‘b
1
(x -
( 2 4 ~ ~ )ii = .n = -,?T-J
!ii2d z
wets
> 0)
(stets
< o),
9
2”
(24b,)
4
= p = - -___- 1
4 (-“b - zo)j
‘b
J(zb
2.
- .zf y‘j2 a 2
J. Picht u. J . H i m p a n . Theorie der elektrischelz Ablelzkung usw. .?I 461
(24d,)
C =s =
--to
In (10a*), (10b*) ist enthalten :
3 a) der Verzeichnungsfehbr dritter Ordnung, gegehen durclk
(%*)
d z , = ns,Y,2,
SObl*)
4, = 4Yb8
worin nach (24a) und (24d) stets n > 0 und s 0 ist.
+%%A
Die schematisohe, grundsatzliche Wirkung dieses Fehlers zeigt
iibersichtlich ein abgelenktes, yuadratisches Koordinatennetz, wie es
&us Abb. 11 zu ersehen ist. Gegeniiber dem Verzeichnungsfehler
zweiter Ordnung liegen hier die Verzerrungen spiegelsymmetrisch zu
beiden Koordinatenachsen,
3b) der Astigmatismus und die Bildfeldwolbung, gegeben durch
(10a,*)
Ax, = - nrybzco8y- 2 s r x , ytsiov,,
(lobz*)
Ay, = t r y b 2 s i n y+ 2 p r x b 2 s i n y- 2srx, y,cosy.
[Wir tvenden die gleichen Bezeichnungen (auch spiiteter fur die
anderen E'ehler dritter Ordnung) an, wie sie in der Optili rotationssymmetrischer Linsensystemc f iir die (bezuglich ihrer Abhangigkeit
von r , x5, y,) entsprechenden Fehlerglieder iiblich sind. Diese
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
462
Nomenklatur ist jedoch nicht nur rein formal, sondern hat, wie sich
im folgenden zeigen wird, auch seine Berechtigung darin, dab im
Prinzip die Fehler wirklich mit den Bildfehlern dritter Ordnung
rotationssymmetrischer Linsensysteme identisch sind, wenn von
einjgen Abweichungen abgesehen wird.]
,-
-1-
1-7 -1
I
P
I
I
I
I
b. 11. Charakteristische Formen der durch den Verzeichnungsfehler dritter
Ordnung verzerrten Wiedergabe eines Netzes dessen (urspriinglich fehlerfreies) Bild durch ein elektrostatisches Ablenkfeld (Prisma) abgelenkt wurde.
(Das unverzerrte Bild des Netzes ist gestricheit eingezeichnet.) Da stets
n 1 0 , 8 < 0, ao ist das abgelenkte Bild in der Ablenkrichtung (y-Richtung)
stet8 ,,tonnenfijrmig", in der dam senkrechten Richtung 9-Richtung) stets
,,kistenformig" verzeichnet
,
I n kartesischen Koordinaten lautet die Gleichung fiir die Verzerrungsfiguren :
(25)
1
n' A S , f s' 1/ n'
n'
-
-
+ 8' * - (AS#
+ s'
9'
Ay, f (t'
+ 2p') v s ' * -I-(t' + 2 ~ '-) AygY
~
d Yf (t'
+ Zp'),
?
wenn :
(26)
n' = - nr yb2; t' = t r yb2; p' = p r x b 2 ; s' = - 2srx, yb
gesetzt wird.
F u r s'= 0 geht die G1. (25) der zu x8, yb, r gehorigen Verzerrungskurve uber in die Ellipsengleichung
Fur n' = 0, t' = - 2 p' geht (25) uber in die Kreisgleichung
2) ( . ~ I x ~ ) ~ + (=d~y '~~)=~( 2 s r x ~ y , ) ~ .
(28)
J . Picht u. J.H'impan. Theorie der eleklrischenAblenkung usw. I I 463
Die Bedingung fur den Fall 1) ist - da s nach (24d) nicht
verschwinden kann - nur durch folgende Unterf 2lIe erfullbar :
a) wenn xb = 0, dann geht die obige Ellipse~gleichung(27) uber in
d. h. alle Punkte der y-Achse haben stets als astigmatische Verzerrungsfiguren Ellipsen, deren Achsen mit der Richtung der Koordinatenachsen iibereinstimmen,
b) wenn yb = 0, d a m geht die Ellipsengleichung (27) uber in
2p' A X , = 0 , d. h. A S , = 0 ,
was aussagt, dab die deli Punkten auf der x-Aehse entsprechenden
Verzerrungsfiguren zur y- Achse parallele Gerade sind.
Die Bedingungen fur den Fall 2) lassen sich - da stets n 0,
p 0 ist - nur erfiillen, wenn gleichzeitig xb = 0 und yb = 0 ist.
Dann schrumpft der Kreis (28) auf einen Punkt zusammen. Fur den
Achsenpunkt x, c 0, yb 3 0 wird also stets A z , P 0, dy, = 0, unabhangig von r.
Analog wie beim Verformungsfehler zweiter Ordnung sind aber
0 geauch hier im allgemeinen die zu Bildpunkten sb 0, y,
hijrenden Verzerrungsovale keine Ellipsen. Nur wenn x, 0 oder
wenn in der folgenden 01. (29) der Wurzelausdruck
+
+
+
+
DI
reel1 ist, liegen Ellipsen vor. Jedoch nicht wie fruher beim Verformungsfehler far alle Punkte der Bildebene, sondern nur an der
durch (29) festgelegten Stelle, also fur die Punkte der beiden durch
den Nullpunkt gehenden Geraden
a, = a c o s u = -nryybz,
a, = asin
a!
= - 2 s r x , yb,
woraus - da ja stets s
unmittelbar folgt.
b, = b sina = 2srx, y b ,
b, = bcosa 3 try,,, + 2 p r x b 2 ,
+ 0 ist - neben
sb= 0 die Bedingung (29)
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 7941
464
Fur die Halbachsen der Ellipsen ergibt sich aus varstehezlden
Gleichungen
a = ry,1/4s*xba+n~yba, b = r 1 / 4 p ~ x , * + 4 ( s 2 + p t ? x , ~ y b ~ + t a y ~ .
Unter Berticksichtigung von (29) folgt hieraus
Die den Werten r
const entsprechenden Strahlenkegel, deren
I
d
mit t > n
Konvergenzpunkt ein Punkt der Geraden ya = f xb
ist, schneiden die Ebene z 53: xb also in Kroisen urn den zugehgrigen
ideal abgelenkten Bildpunkt (Abb. 12b).
Auf den besonders interessierenden Fall q, 0, yb = 0 (Fall l b )
kommen wir spllter noch zurtick.
(26) 1b0t sich wieder in der Darstellung scrhreiben:
+
wenn beztiglich der Wahl der Yorzeichen hier und weiter unten
dasmlbe wie das fur (16a, b) Festge!egte gilt und jetzt
sin 01 = Vn12’ T
9.
C08a=
-
8’
v/?t”f73
- ;
sin@=
8’
.l/8”+(t’+2p7
bedeutet. (26a) lABt sich noch weiter urnformen, wenn man
setzt. Es wird dann
(25 b)
d. h. also:
(25 c)
i
?11,2
= F co5 (P f ct
’
6 = cos y
+ Y)’,
--
(4,),,2
=T
pa3. (t‘ + 2P.Y
- cos [arctg -
S1
f2P
12’.
F arctg -r
8
+ arc&-- V%’ + xa* - ( AzJ*
8’
-1.
Die Verzerrungsfiguren konnen auBerdem beim obergang von
cler 9- zur x-Ache an einer Zwischenstelle (xb,yb) zu einer Geraden
entarten, wenn die folgenden Beziehungen reell besteheh, wenn also
die Radilranden in den Gl. (31) und (32) positiv sind:
(30)
d. h.
(30 a)
(3W
LIZ, =
Cdy,,
nybz= 2 C s x b y,,)
- 2s X L y b = c (tyb2+ 2 p
Zb2),
J . Picht u. J . Himpan. Thorie der elektrkchen Ablenkung usw. I1 465
woraus
(31)
und
(32)
iolgt.
Die Punkte (xb,yb) des unabgelenkten Bildes, ftir die die durch
Astigmatismus und Bildfeldwtilbung bedingten Verzerrungsfiguren
zu Geraden entarten, liegen also ihrerseits auf Geraden, die durch (32)
bestimmt sind, wahrend die Richtung der diesen Punkten zugeordneten
,,Bildgeraden" durch (31) gegeben ist. Damit derartige Bildgeraden
auSer fur x, = 0 w c h fiir die Punkte einer anderen (durch den Nullpunkt gehenden) Geraden auftreten, ist also, da stetb n > 0, s < 0,
a
p
-
< 0 ist, erforderlich,
da6 bei t > 0 die Beziehung p < -
<0
2 5%
und bei t < 0 die Beziehung 4 p < 0 gilt. In Abb. 12c
sind diese Verhaltnisse f a r den einen Sonderfall (t > 0) dargestellt.
In Abb. 1 2 sind mehrere abgelenkte Bildpunkte mit den zugehorigen astigmatischen Verzerrungsfiguren gezeichnet. Bemerkenswert ist, da6 f u r Bildpunkte, die im unabgelenkten Zustande auf der
x-Achse liegen, die Verzerrungsfiguren stets zu einer zur y -Achse
parallelen Geraden degenerieren, wie wir bereits oben sahes und wie
auch leicht durch die G1. (10a,r, (lob,*) gezeigt und ebenfalls au8
der Abb. 12 (der besseren tfbersichtlichkeit halber sind die Linien,
die zu verschiedenen Radien r gehtiren, verschieden stark gezeichnet)
entnommen werden kann. V i e leicht zu ersehen, haben wir es hier
mit der sagittalen Brennlinie des astigmatischen Strahlenbilndels zu
tun. Gerade dieser Fall (z, 0, ya = 0) ist deshalb noch filr die
Praxis wichtig, weil er in Fernseh- und Oszillographenrohren mit
gekreuzten Ablenksystemen fur das zweite Ablenksystem vorliegt. ES
interessiert daher, ob der astigmatische Fehler zu Null gemacht
werden kann. Aus (lo%*), (lob,*) folgt fiir yb= 0, x b + 0
(33a)
Ax2 = 0,
sin
A x 2 = rxbBl%n
+
(33V
WI)'
-
~
3
8
8011 dy, verschwinden, so mu8 bei beliebigern 'p die (3rOBe pa0
verschwinden, da in (33) alle ubrigen Glieder als von Null verschiedon vorausgesetzt wurden. Da aber - wie wir z.B. in (10,)
sahen - der Koeffizient p2, stets gro6er als Null ist, kann der
astigmatische Fehler nicht behoben werden.
Wir wollen noch zeigen, daS der hier mit ,,Astigmatismua und
BildfeldwiSlbung" bezeichnete Fehler tatsbhlich die gleichen Merk-
466
Annalen der Physilc. 5. Folge. Band 39. 1941
male wie bei rotationssymrnetrischen Feldern bzw. Linsen aufweist,
wobei wir uns auf Punkte der y-Achse beschranken. Wir betrachten
ein Blektronenstrahlenbindel, dessen Konvergenzpunkt - vor seinem
Durchgang durch das Ablenkfeld - in der Ebene x = xb liege und
dort die Koordinaten x = 0, y = yb habe (Abb. f3). Da fur die
Strahlen dieses Biindels nach (10a,*)
(34)
Ax, = - n ~ y ~ * c o s c y mit n > O
ist, so treffen alle Strahlen, die die Blendenebene x = zo auf der
Seite positiver x -Werte durchsetzt haben, die Bjldebene auf der
(p=0
Z
Abb. 12a: n
2 ss
> 0, s < 0, p < - __
< 0, t < 0
n
( n : s : p : t = 1 : -0,25:-0,3:-0,5)
Ahnlich bei: n
> 0, s < 0,
P SB
- __
< p < 0,O < t < n
n
I
Seite negativer x-Werte. Die Strahlen haben also alle die y 2-Ebene
an einer zwischen zo und zb gelegenen Stelle x, geschnitten. Wir
fragen nuL nach dem Wert x, und insbesondere, ob dieser Wert
von T und 'p abhangt oder von diesen GroBen unabhangig ist. Da
der unabgelenkte Strahl .an der Stelle z, von der y x-Ebene noch den
Abstand T cos 'p 3Z-5hat, mu6 der von dem Ablenkfeld i n Richtung
zb - zo
der y-Achse abgelenkte Strahl noch eine zusatzliche Fehlablenkung
(34a)
erfahren haben. Andererseits muB fur die Ablenkung die Beziehung (34) gelten mit dem Unterschiede, daS darin n durch n, zu
ersetzen ist und nicht mehr aus (24a) entnommen werden kann,
J . Picht u.J . Himpan. Theorie der elektvisckn Ablenkung usw. II 467
\
\
Abb. 12b. n
3S=
> 0, s < 0, - -A
<p
< 0, t > n
( n : s : p : t= 0,3: -0,25: -0,3:0,9)
Abb. 12c. n
2 s2
> 0, s < 0, p < - __
< 0, 0 < t < n
n
( n : s : p : t= 2: -0,5: -0,5:0,5)
2 s9
Ahnlich bei: n > 0, a < 0, - __ < p < o , t < O
I
n.
I
Abb. 12. Lage und Gestalt der durch Astigmatismus und BildfeldwGlbung
(dritter Ordnung) bedingten Bildfehlerkurven in ihrer Abhlingigkeit von der
Lage des Bildpunktea und der Offnung des abbildenden Strahlenbiindels.
Den 3 Abbildungen liegen verachiedene Annahmen bzgl. n,s,p und t eugrunde,
die besonders angegeben sind
-
Annalen dcr Physik. 5. Folqe. Band 39. 1941
4 68
sondern durch Zuriickgreifen auf (I,46 c), (I,47 l), (I,47m)mit (I,41 c),
(I,42k), (I,42m) neu bestimmt werden muB, da ja jetzt zwischen
den Grenzen zo und z, zu integrieren ist. Fiihrt man in den angegebenen Gleichungen die analogen fjberlegungen durch , die iiber
(lol), (lo6),(10,) zu (24a) gefiihrt haben, beachtet aber, daB jetzt in
Abb. 13. Schematische Darstellung dee Verlaufs der Elektronenstrahlen, wenn
durch das Ablenkfeld Astigmatismus und Bildfeldwiilbung bewirkt werden
den zuerst angegebenen Gleichungen die obere Grenze 5 durch zB
(und nicht durch zb) zu ersetzen ist, daB aber das in (1,47111) auftretende zb unverandert bleiben muB, da es durch (I,42b) bedingt
ist, so findet man nach einigen Umformungen und durch Gleichsetzen mit (34a) als Bestimmungsgleichung fur x, die Gleichung
(34,)
1
)
28
rgb' cos
(Ax),=- 2(Zb-Zlyl~[(Zb-.#-
(z~-~ji2~+z-2z~J~~~dZ
20
&us der man ersieht, da8 z, unabhlingig von r und q ist, da6 also
alle Elektronenstrahlen unseres Strahlenbiindels die y z-Ebene in
der zwischen z,, und zb gelegenen I)achsensenkrechten Schnittlinie der
1) Nine einfache oberlegung zeigt, da6 such das in (34,) auftretende
Integral fur alle zwischen z, und zb gelegenen Werte z, stets grofler a18 Null
ist. Piir z, > zb kann der unter dem Integral auftretende [ 1-Ausdruck zwar
negativ werden. Da wir dort aber bereits
= 0 voraiisgeeetzt haben, verschwindet das Integral nur fur z. = so.
ii
J . Picht u.J . Himpan. Theorie der elelctrischen Abbnkung usw. I I 469
Ebene z = z, mit der yz-Ebene durchsetzen. Diese Schnittlinie
bildet daher die sagittale Brennlinie unseres Strahlenbiindels.
Aus der Theorie der krummen Fliachen folgt weiter, daB es
dann noch eine zweite Brennlinie geben muS, die senkrecht zur
ersten liegt und in unserem Falle in der Richtung der x-Achse,
also tangential zu einem Kreise verlauft, dessen Ebene im Kreismittelpunkt von der z-Achse senkrecht durchstoSen wird. Da nun die
yx-Ebene und die ihr parallelen Ebenen - solange wir von dem
Streufeld in Richtung der s-Achse absehen konnen - mit Bezug
auf das elektrostatische Ablenkfeld einander gleichberechtigt sind
und sich nur mit Bezug auf die in der Eintrittsebene vorausgesetzte
Blende unterscheiden, so gelten die vorstehend mit Bezug auf die
Punkte xb = 0, yb += 0 bzw. mit Bezug auf die nach diesen Punkten
hin konvergierenden Strahlenbiindel abgeleiteten Folgerungen' sinngemaB auch fur sb 0, wenn wir nicht Strahlenpaare betrachten,
die zur y z-Ebene spiegelsymmetrisch liegen, sondern solche Strahlenpaare, die spiegelsymmetrisch zueinander mit Bezug auf die durch
xu yb) gehende, Z U ~yz-Ebene parallele Ebene liegen.
Aus dem Vorhergehenden ersehen - wir, daB der hier als ,,Astigmatisrnus und Bildfeldwolbung" bezeichnete Bildf'ehler genau wie
bei rotationssymmetrischen Linsen auch bei elektrostatischen Prismen
bewirkt wird, namlich dadurch, daS die Strahlen der Sagittalebene
einen anderen Schnittpunkt haben, als die der Tangentialebene.
Die beiden Flachen, welche die Brennlinien durchlanfen, haben wir
in Analogie zur Lichtoptik sagittale und tangentiale Rildfliiche zu
nennen, wahrend wir unter der sagittalen bzw. tangentialen Bildfeldwolbung oder Bildkriirnmung die reziproken Krummungsradien
dieser Flachen in dem Pnnkte verstehen wollen, der dem Punkte
x,= 0, ya = 0 nach der Ablenkung entspricht. Zu ihrer angenaherten
Berechnnng fiihren wir IZrummungskugeln ein, die die x y-Ebene an
der Stelle zb tangieren.
Nach Abb. 13 ist:
+
AY
(35)
A
r
und
otZ= ba
also
-a
p
.zb
- z, - a
+ (pt - a)a,
oa = 2pta - a2.
Setzen wir a a h kleine GroBe voraus, so folgt aus der letzten
Gleichung (b I= ya; az = 0 gesetzt):
Aqnalen der Physilc. 5. Folge. Band 39. 1941
470
Dies in (35) eingesetzt, ergibt:
- Ybq
- YO2 __
- et @b - zo) - YO'
6% (zb - zo) '
wo wir im Nenner yb2 gegen 2gt (. ..) in erster Naherung vernachlassigen k6nnen. Aus (lob,*) finden wir (57 = goo):
A Y-
(36)
~~
r
Dies mit (36) gleichgesetzt und &was umgeformt, ergibt die tangentiale Bildkriimmung in der yx-Ebene (z, = 0) zu:
Analog wiirde sich die sagittale Bildkriimmung errechnen lassen.
Wir brauchen aber i n (68) nur entsprechend zu vertauschen und
erhalten sofort:
Es bleibt noch zu erwiihnen, dab lie, und . l / p 8 je nach den
vorhandenen Verhaltnissen bpositiv oder negativ werden konnen.
Bei positiver GroBe einer der Krummungen liegt der Mittelgunkt
der entsprechenden Kriimmungskugeln links von xb, bei negativer
GroBe rechts von xb auf der durch y = y3 gelegten Parallelen zur
z- Achse.
Ferner erhalten wir den Astigmatismus aus der halben Differenz
der beiden Kriimmungen zu
= - @a
- Z")V
+ n)
und die mittlere Bildkriimmung aus der halben Summe der beiden
Krummungen zu
= - (zb - zo)(t - n),
3 c) der Komafehler, gegeben durch
(10a3*)
A x , = - s r 2 y ~ s i n 2 ~ + ~ r ~ x ~- pc ro%sx2, ,~
(lob,*)
A y 3 = - 2 p r 2 x ,sin 2 y
+ w r2 ybcos 257 + v r 2yb.
J . Picht u. J . Himpan. Theorie der elektrischen Ablenkung usw. II 471
I n Abb. 14 ist schematisch an ausgezeichneten, abgelenkten
Punkten gezeigt, wie die durch diesen Fehler bedingten Verzerrungsfiguren von der ijffnung und den Bildkoordinaten abhangen.
In kartesischen Koordinaten lautet die Gleichung fur die Verzerrungsfiguren :
P’ (Ax3 + P’)
(41)
wenn:
I
*
VP + s’%- ( A X $ + P’Y
+ 8)
w’(Ay3 - v’) j, 2p’”“
+ 4p” - (dy, - v’P
I
= __
8‘
p‘
I
9
w r =f 4p’2
s ’ = s r 2 y b ; p ’ = p r 2 x b ; w’=-wr2y,; v‘ = v r 2y,,
gesetzt wird. Die Verzerrungsfiguren werden demnach Ellipsen
falls einerseits p‘ = 0 oder bzw. andererseits s’ = w’= 0 wird, d. h.
also in allen Fallen fur diejenigen Bildpunkte, die auf den beiden
Koordinatenachsen liegen. [Die Falle: p = 0 sowie s = w = 0
ltonnen nach (24b) und (24d) nicht auftreten.]
Ausdrucklich sei darauf hingewiesen, da6 auch hier im allgameinen fur Bildpunkte, deren Koordinaten x,, yb gleichzeitig von
Nu11 verschieden sind, die zugehorigen Verzerrungsovale keine
Ellipsen ergeben. Nur wenn die Beziehung
S
(44) w = T , d. h. nach (24k): 3p,,
+
+ Pl4(za - zo) = 0
+
und w = 2‘
besteht, liegen auch fur alle (xb 0, gb 0) Ellipsen vor.
zur Begrundung die analogen fjberlegungen zu (18), (19).]
Die Halbachsen dieser Ellipsen sind:
[Vgl.
b = r2 14p 2 xb2 + sz yaa,
d. h. b = 2a. Sie sind zu r z proportional. Auch die Verschiebung
ihres Mittelpunktes gegen den idealen Bildpunkt ist zu r 2 proportional (Abb. 14b).
(41)konnen wir wieder in der expliziten Form schreiben:
q1.2 = sin p (E sin a & cos d 1/ 1 E2)
(414
T cosj31/1 - (Esina cosu1/1 - gz)>”,
a
= r2 1 J p x62
~
{
+ w2 yb2 ,
-
+
wenn bezuglich der Wahl der Vorzeichen hier and weiter unten
dasselbe gilt wie fur (15) und jetzt:
472
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
bedeutet. (41a) lltfit sich noch weiter umformen, wenn man
8 = cosy setzt. Es wird dann
(41b)
771,2
= 7 cos(B
* a + 7)
d. h. also:
X
747
2Q
YA
5R
p=@,.ja2 2
&,&
4 -
Ax,
+ P'=
C(Ay,
- o'),
J . Picht u. J.Himpan. Theorie der elektrischelz Ablenkung usw. I I 473
X
0
S Z J 65QP..~~~h~dw'/dorr/crd/mku/rg
Abb. 14bt
B
< 0, p < 0, w
-
u
I
0
&
<0
2
( 8 : ~W: : u
1,5 : -0,6 : -0,75 : -0,76)
Cuberail Ellipsen mit Aahnenverhaltnis 1: 21
-
Abb. 14~.8 < 0, p < 0, w > 0, v = 8 w
(8:~:~:~=-1:-0,B:+O,B:-1,51
Abb. 14. Lage und Gestalt der durch den Komafehler (dritter Ordnung) bedingten Bildfehlerkurven in ihrer Abhiingigkeit von der Lage des Bildpunktes
und der Offnung des abbildenden Strahlenbundels. - Den drei Abbildungen
liegen verschiedene Annahmen beziiglich 8, p , w und v zugrunde, die besonders
angegeben sind
Annalon dor Phvsik. 5. %ICC.
39
32
Annalert der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
474
und
(48)
folgt. Die im AnschluB an (20c) und (21) sowie im AnschluB an (31)
und (32) gemachten Ausfiihrungen gelten hier sinngemaB. Abb. 14c
gibt fur diesen Sonderfall ein schematisch gezeichnetes Beispiel.
F u r den Winkel 7, den die beiden in+ erster Naherung als
Geraden anzusprechenden Kurven miteinander bilden , die wir als
Einhlillende an die den verschiedenen r-Werten fur x, 0, yb+ 0
entsprechenden Ellipeen von dem dem Wert r = 0 entsprechenden
Punkt (a: = 0, y = yb + yd) zeichnen kannen, ergibt sich
I
3 d) der Ojjnungsfehler dritter Ordnung, gegeben durch
(10aJ
Ax4 = p r 3 sin 29 sin 9 ,
(lob&*)
A Y 4 = ( i r 3 + j r 3 cos 291) sine.
4-&@nh&MMm&
0
X
Abb. 16. Beispiel der Veraerrungen durch ,,sphtirische Aberration dritter Ordnung" fur vier verschiedene Punktc (sc, y) der Objektebene - [(sc, z) = (0,O);
pb,0); (0, ya); (zb,yb)]- und zwei verschiedene Offnungsradien r her abbildenden
Strahlenbiindel - [r, = 2rJ - in der Eintrittsebene z = z,
Die Koordinaten der Aberrationskurven dieses Fehlers ergeben
sich daher aus dem Prodnkt des Sinus des Umlaufwinkels mit den
Koordinaten einer ,,zugeordneten" Ellipse. Die ,,mittlere Umlaufs-
J . Picht u.J.Himpan. Theorie der elektrischen Ablenkung usw. 1I 475
geschwindigkeit" der ,,zugeordneten" Ellipse ist gleich 2 sp, ihr
Mittelpunkt fallt im allgemeinen nicht mit dem Idealbildpunkt zusammen, sondern ist gegen ihn in Richtung der y-Achse verschoben.
d
Die beiden Halbachsen sowie die Mittelpunktentfernung vom
Idealbildpunkt wachsen mit der dritten Potenz von r . Abb. 15 zeigt
in einem allgemeineren und Abb. 16 in einigen spezielleren Fallen
32*
476
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
die Form der auftretenden Verzerrungsfigaren. Aus den Ql. (lo&,*),
(lob,*), sowie den Abb. 15 und 16 kann entnommen werden, daB
die Form der spharischen Aberration hier wesent.lich kompliziertere
Verzerrungskurven bedingt als bei rotationssymmetrischen Linsen,
die ja dort einfache Kreise urn den Gaussschen Bildpunkt sind.
n a nach (24b), (24h), (24il
so kBnnen wir (load*),(lob,*) auch nach einigen Umformnngen
schreiben
(10a*:)
A x,
(10b,**) A yc
- - zo)'
&, Bina sp COB rp,
- -
(Pea
ra
I
l
_
-
(zb
1
_
(tb
COS'
zO)'
9~
+ PI, sin* sp) sin sp .
Indem wir hieraus 'p eliminieren, erhalten wir die explizite Darstellung der Bildl urve, die einem Kreise (r a const) der als ,,Eintrittsebene'l gewllhlten Ebene a = q, durch die Elektronenstrahlen
zugeordnet wird. Jndem wir dy,/dz, nsch (10a4**),lob,**) bilden,
erhalten wir zuniichst eine Gleichung far cotg 'p, nus der sich
ergibt
(60)
Hiermit ergibt sich dann aus (10a,**)
( A ~ & ) ~cotgay)'
(l
= 4paPc0tgSrp,
worin aoch cotg rp nach (50) einzusetzen ist. Wir wollen dies in(lessen nicht weiter ausfilhren, sondern begnilgen uns damit, die
Gleichung der Rildkurven in Polarkoordinnten 8 , A urn den Punkt
+
(To
nnzugehen. Sie lnutet
+
%A,
Yb 3. ? / A )
Zueammenfasaung
Nach einer kurzen Besprechung der Idealablenkung und der
dieser zugrnndeliegenden Annahmen werden in 8 2 die G l i d e r der
beiden Fehlerausdrucke d J: und d y zweckentsprechend nach der
Ordnung (dem Potenxgrad) ihrer Abhangigkeit von den (unabgelenktenj
Bildkoordinaten q, und gb und der Strahlneigung (q,'und y l ) gegen
J.Picicht u. J.Hinapan. Tlaeorie der elektrischen Ablenkung usw. I I 477
die z-Achse eingeteilt in Ablenkfehler und Bildfehler erster, zweiter
und dritter Ordnung. Hierbei werden die Koeffizicnten uj und pj
noch zweckentsprechend umgeformt, und es wird auf verschiedeae
awischen ihnen bestehende Beziehungen sowie in einzelnen Fallen auf
bestehende GraSenbeziehungen hingewiesen. Die Strahlneigung ,z; yb)
der unabgelenkten Strahlen wird sodann durch die Polarkoordinaten r, y
des Strahlenschnittpunktes mit der als ,,Blendenebene'i betrachteten
,,Eintrittsebene" z = x,, ttusgedritckt. Dies ermaglicht eine weitere Unterteilurig der Bildfehler erster, zweiter und dritter Ordnung in ,,Verzeichnungd6und ,,&Tnungsfehler erster Ordnung", in ,,VerzeichnungeJ',
,,C)ffnung~-~~
uud ,,Verformungafehler zweiter Ordnung" uud in ,,I7eraeichnungsfehler~~,,,Astigmatismus und Bildfeldw61bungi', ,,Komafehler" und ,,C)ffnungsfehler dritter Ordnung", die in ihrer Auswirkung auf dae abgelenkte Bild eingehend diskutiert uncl - unter
Beltchtung der GrbSenbeziehungen, die zwischen den die einzelneu.
Fehler kennzeichnenden Koeffizienten 'bestehen
durch eine griSI3ere
Zahl graphischer Darstellungen veranschaulicht werden.
-
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
1 629 Кб
Теги
dabei, die, auftretenden, der, zur, dritter, eine, elektronenstrahlenbndeln, bild, ordnung, elektronenoptischen, ablenkfehler, bildes, und, ausgedehnten, beitrge, theorie, elektrischen, ablenkung, bis, von
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа